F6637 Poteau Mixte

a~ RevueR M1 Construction Référence

W Métallique ELE-EC4 2-96

APPLICATION DE L'EUROCODE 4DIMENSIONNEMENT DES POTEAUX MIXTES

DEUXIÈME PARTIE: POTEAUX SOLLICITÉSEN COMPRESSION ET FLEXION COMBINÉES

par A. ALBITAR, Ph. BEGUIN etJ. P. GRIMAULT

1

Cette note technique est la seconde de deux notes traitant du dimensionnement despoteaux mixtes pour bâtiment, suivant l'Eurocode 4. Dans cette note nous poursuivonsl'étude des poteaux mixtes avec une interaction effort normal, moment de flexion, sui-vant l'Eurocode 4 ainsi que le traitement correspondant des deux exemples pratiquesabordés dans la première partie de cette étude.

LES POTEAUX MIXTES

Méthode simplifiée appliquée au calcul des poteaux mixtes soumis à compres-

sion et flexion combinées

Pour chacun des axes de symétrie, il est nécessaire de procéder à une vérification indé-pendante en raison des différentes valeurs d'élancements, de moments fléchissants etde résistance à la flexion pour les deux axes.

La résistance du poteau mixte sous sollicitation normale et moment de flexion (en géné-rai suivant les deux axes du poteau) est déterminée au moyen d'une courbe d'interac-tion M-Ntelle que présentée sur la figure 4. Sur cette courbe, seules les grandeurs résis-tantes sont représentées.

La courbe d'interaction ci-dessus est tracée en considérant plusieurs positions particu-lières de l'axe neutre dans la section droite et en déterminant la résistance de la sectiondroite à partir de la distribution des blocs de contraintes. La figure 5 explique le calculdes points A à D.

A. ALBITAR - Ingénieur CTICMPh. BEGUIN - Ingénieur CTICMJ. P. GRIMAULT -Ingénieur TUBEUROP

CENTRE TECHNIQUE INDUSTRIEL Domaine de Saint-Paul, 78470 Saint-Rémy-lès-ChevreuseDE LA CONSTRUCTION MÉTALLIQUE Tél.: (1) 30-85-20-00 - Télécopieur (1) 30-52-75-38

Construction Métallique, n" 2-1996

50 Rubrique TECHNIQUE ET APPLICATIONS

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N

Npl.R

Npm.R

1/2Npm.R

2 pl.Rd max.Rd

Fig. 4 - Courbe d'interaction pour la compression et la flexion uniaxiale

Point A: Résistance en compression, NA = Np/.Rd MA = o

Point 8: Résistance en flexion, Na = o Ma = Mp/.Rd

Point C: Moment résistant pour N> 0, Nc = Npm.Rd = Ac . a . ~ Mc = Mp/.Rd

Yc

P . O . M ,. . N 1 N 1 A fCkoint. oment reslstant maXimum, D = - Pm. Rd = - C' a . -2 2 Yc

- fy fs 1 fCdMD - Wpa' - + Wps' - + - Wpc' a. -

Ya Ys 2 Yc

Dans ces formules a vaut 0,85 pour les profils enrobés et 1,0 pour les profils creux.

Wpa' Wps' Wpc sont les modules de résistance plastique respectivement du poteau enacier, des armatures et du béton pour la configuration étudiée.

hn est la position de l'axe neutre plastique, sous Mp/.Rd' par rapport au centre de gravitéde la section mixte comme cela est indiqué à la figure 5.

Il faut remarquer que le point 0 de la courbe d'interaction correspond à un momentrésistant Mmax.Rd supérieur à Mp/.Rd. Cela est dû au fait que contrairement aux poteauxuniquement en acier, dans les poteaux mixtes, lorsque la charge axiale augmente sousl'effet de la contrainte axiale la fissuration par traction du béton est retardée et rend lepoteau mixte plus efficace pour reprendre la sollicitation de moment.

Quant au point E, il se situe à mi-distance de A et C. L'augmentation en résistance aupoint E est faible vis-à-vis d'une interpolation directe entre A et C. Le calcul du point Epeut être négligé.

Ce diagramme peut être simplifié de manière sécuritaire en négligeant le calcul dupoint 0 et en se limitant aux calculs des points A (calcul de Np/.Rd)' Cet 8 (calcul deNpm.Rd et Mp/,Rd)'

Une des difficultés des calculs provient du fait que dans de nombreuses configurations,l'axe neutre de flexion coupe les armatures des lits intermédiaires. Une démonstrationde cette difficulté sera présentée dans l'exemple numéro 1. Dans la pratique on peut

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Rubrique TECHNIQUE ET APPLICATIONS 51

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@ O,85fck/Yc y/YMa fsk/Ys

:~:î~= =:::~~=--~~:~~"~f~::"~~:;;- - ~~::;-~- - ~d

::',,":" ::";,'. O,85fck/Yo ,ic' fylYMa fsk/Y s

""i; -,~

2hn -- ,.., ~Mpl,Rd 30 ~ 2~==

/'C) O,85fck/Yc~~ - fyIY~~k/Ys

,

hn NpmRd2hn.. ~ - Mpl.Rd -

hn " ,

0 ::::==' ;",,:(1)' O,85tck/Yc fyl1MB fsk/Y s

:';...'" :::::~,--,~";:;;,..,, "~ MmaxRd -

! N pm.Rd/ 2

,~==Fig. 5 - Répartitions des contraintes correspondant à la courbe d'interaction

concentrer les aciers d'armature sur leur centre de gravité. Une autre option sécuritaireest de négliger les armatures coupées par l'axe neutre lorsque le cas se produit.

Analyse de la distribution des moments fléchissants dans la structure

Bien que dans les hypothèses de la méthode simple on impose que la structure soitrigide au sens de l'Eurocode 3, ceci n'exclut pas une influence locale des effets dusecond ordre géométrique au niveau du poteau, en particulier sur l'amplification desmoments dans le poteau calculé au premier ordre. Le calcul du poteau mixte doit êtremené en considérant les effets du second ordre; ces effets sont à prendre en compte si:

- ~ ~ 0,1Ncr

où NSd est la sollicitation à l'ELU; Ncr est la charge élastique critique pour la longueurde poteau comme cela est indiqué l'Eurocode 4 à la clause 4.8.3.7 (1) (voir aussi lapremière partie de la présente note technique; revue CM n° 1-1996);

- et si À > 0,2 (2 - r)

où r est le rapport des moments d'extrémités, (- 1 ~ r ~ + 1). S'il existe un quel-conque chargement transversal, il convient de prendre régal à 1,0.

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Dans le cas où les effets du second ordre doivent être pris en compte cela peut se fairede manière simplifiée en appliquant au plus grand moment calculé par la théorie dupremier ordre le facteur multiplicateur k donné par la formule:

k = -~ ~ 1,0NSd

1--

Ncr

f3 = 0,66 + 0,44rmais f3 > 0,44; dans le cas où seul des moments d'extrêmités sont appli-

qués;

4 f3 = 1,0 si on applique des charges transversales sur le poteau.

'::==I=~=2J MSd

M Sdr""", -----1 -1SrS~ rMSd "":::::~[=:===-1 Msd

f:J = 0,66 + 0,44r fJ = 1,0

Fig. 6 - Répartition des moments le long du poteau

Influence de l'effort tranchant

Il est permis de prendre pour hypothèse que l'effort tranchant transversal de calcul VSds'exerce uniquement sur le profilé en acier. On peut aussi le répartir entre l'acier etle béton. Il convient cependant de prendre en compte l'influence sur la résistance àla flexion de l'effort tranchant auquel on admet que l'acier doit résister, par exempleen appliquant la courbe d'interaction relative aux poutres mixtes présentées à laclause 4.4.3 de l'Eurocode 4.

Résistance des poteaux mixtes à la compression et à la flexion uniaxiale combinées

La méthode de calcul est indiquée sous forme pas-à-pas, par référence à la figure 7 :

- La résistance du poteau mixte à la compression axiale est XNpl.Rd' et tient compte del'influence des imperfections et de l'élancement. X est le paramètre représentant la

NRdl Npl.Rd

1 courbe d'interaction pour, la section transversaleX

Xd

Xn

00 ~k 'Rd pl. Rd

Fig. 7 - Méthode de calcul pour la compression et la flexion uniaxiale



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résistance du poteau au flambement. Le calcul au flambement du poteau a été pré-senté dans la première partie de la présente rubrique.

- Xd est le paramètre représentant la sollicitation axiale; Xd = NSd/Npl.Rd où NSd est lasollicitation axiale de calcul.

- Xn=x(1-r)/4,maisXn~Xd'

Les valeurs de Xn pour les valeurs extrêmes de r sont données à la figure 8. Lorsque lavariation du moment n'est pas linéaire, il convient de prendre Xn égal à zéro.

1 1 r= 1:Xn=O 5, r = 0 : Xn = O,25X

r = -1 : Xn = O,5X

r+ ~, ~

Fig. 8 - Valeurs typiques de Zn

Pour une valeur correspondant à XNpl.Rd (X sur le diagramme adimentionnel de lafigure 7), il n'est plus possible d'appliquer un moment de flexion extérieur au poteaumixte. La valeur correspondante du moment de flexion IlkMpl.Rd est la valeur maximaledu moment secondaire de flexion, conséquence des imperfections. Sous la seule chargeaxiale XNpl.Rd le moment secondaire va décroître avec Xd.

Pour le niveau Xd la valeur disponible correspondante pour la résistance en flexion de lasection transversale est Il x Mpl.Rd" La longueur Il est présentée sur la figure 7 et peutêtre calculée au moyen de la formule suivante:

Il = Ild- Ilk' (Xd- Xn)/(X - Xn)

En-dessous de Xn le moment résistant est totalement mobilisable.

La résistance de la section transversale à la flexion vaut:

MRd= 0,9. Il. Mpl.Rd'

et le poteau a une résistance à la flexion suffisante si : MSd ~ MRd.

Compression et flexion biaxiale combinées

En raison des différentes valeurs d'élancements, de moments sollicitants, et de résis-tances à la flexion pour les deux axes, il est nécessaire, dans la plupart des cas, de pro-céder à une vérification du comportement biaxial.

Le poteau doit être vérifié pour chaque plan de flexion. Cependant il n'y a lieu deprendre en compte les imperfections que pour le plan où la ruine est susceptible dese produire. Pour l'autre plan de flexion, il est inutile d'en tenir compte (cas b sur lafigure 9). Si l'on a des doutes sur le plan de ruine, on se place en sécurité en tenantcompte des imperfections dans les deux plans.



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NRd/Npl.Rd NRd/NplRd

1, 1';"\ 1, ("i:'\X \!.) \!.I

X Xd ...,-..

Xn

0~k !-Ld 1,0 0MzRc:t' Mplz.Rd ' MyRc:t' MplyRd

6 o My.Rdl Mply.Rd 0,9 !-Ly

!-Ly Y

MzRd 1 Mplz.R

(a) Plan dans lequel on suppose une ruine pos-sible, avec prise en compte des imperfec-tions.

0,9 !-Lz 0 (b) Plan sans prise en compte des imperfec-!-Lz tions.

(c) Diagramme d'interaction pour la résistancez à la flexion.

Fig. 9 - Calcul de compression et flexion biaxiale

L'élément structural présente une résistance suffisante si :

MY.Sd~ 0,9. /ly. Mpl.y.Rd'

Mz.Sd ~ 0,9 . /lz. Mpl.z.Rd'

M Met y.Sd + z.Sd ~ 1,0

Ily. Mpl.Y.Rd Ilz. Mpl.z.Rd

avec Mpl.y.Rd et Mpl.z.Rd calculés comme ci-dessus selon l'axe approprié.

Nous poursuivons ici, les deux exemples traités sous charges axiales dans la premièrepartie parue dans la revue Construction Métallique n° 1-1996. Nous conseillons vive-ment aux lecteurs de s'y reporter pour une bonne compréhension de la suite de la

rubrique.

PREMIER EXEMPLE D'APPLICATION:

CALCUL D'UN POTEAU CREUX REMPLI DE BÉTON

Soit à calculer un poteau mixte à profil creux rectangulaire rempli de béton:

- Profil: 350 x 250 x 8: fy = 275 N/mm2 (Fe 430), Ea = 210000 N/mm2.

- Béton classe C40/50: fCk = 40 N/mm2, Ecm= 35000 N/mm2.

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- Armatures: 8010 en deux lits de 4 (voir figure),

fSk = 400 N/mm2, Es = 210000 N/mm2.

- Coefficients partiels de sécurité:

'Yma = 1,1, 'Yc = 1,5, 'Ys = 1,15, (NB: 'Yc en rigidité = 1,35).

Sollicitations extérieures: NSd = 3000 kN,

MSd. y = 7500 kN x cm (axe fort),

MSd.z = 3000 kN x cm (axe faible). 7Calcul pour quatre longueurs de flambement: L = 3, 4, 5 et 6 m.

250 Le profil étant creux, on a : a = 1.OHA P .

11ar al eurs, on suppose que le moment deh = t = 8 $70 il flexion est constant sur la longueur du

y y 70 8182 poteau ce qui entraîne r= 1 et ~ = 1.----

NB : r est ici le rapport des moments appli-qués aux extrémités du poteau, à ne pas

:z 1. confondre avec r le rayon de raccordement~ intérieur des faces du profil en acier.90

Fig. E1-1 - Poteau creux rectangulaire remplide béton

Le dimensionnement en compression centrée a été étudié dans la première partie

de la rubrique. Nous reprenons le dimensionnement sous compression et

flexion combinées

E : Vérification en compression et flexion combinées ,-

Calcul des modules de résistance plastique:

Axe fort YY:

. - Armatures: Wps=}:;Aj.ej=4x78,54x70+4x78,54x140=65974mm3,

, bc . h~ 2 3 2- Beton: Wpc=---r -r (4-n)(0,5.h-t-r)-Wps4 3

234 X 3342 2= 4 -3103_102(4-n)(0,5x350-8-10)-65974

= 6446103 mm3

r est le congé de raccordement intérieur du profil: = 10 mm.



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- Acier:

b. h2 2W =---(r+t)3-(r+t)2(4-7t)(05h-t-r)-W-Wpa 4 3 ' pc ps

250 X 3502 2= 4 -3 (10+8)3_(10+8)2(4-7t)(0,5x350-8-10)-65974-6446103

= 1096,722 103 mm3.

8 Axe faible zz:

- Armatures: Wps = LAi, ei= 8 x 78,54 x 90 = 56549 mm3,

, hc . b~ 2 3- Beton: W = - - - r - r2(4-7t)(0 5b- t- r) - Wpc 4 3 ' ps

334 X 2342 2= 4 -3103_102(4-7t)(0,5x250-8-10)-56549

= 4506 103 mm3

- Acier:

350 x 2502 2Wpa = - - (10 + 8)3 - (10 + 8)2(4 - 7t) (0,5 x 250 - 8 - 10) - 4506103 - 56549

4 3

= 872,533103 mm3.

Calcul des coordonnées des points de la courbe d'interaction

Axe fort YY:

Point A: NA = Np/. Rd = 4,662106 N MA = 0

P . D . M - - f Wpc. fcdoint. 0- Mmax.Rd- Wpa. yd+ Wps. fsd+ 2

M 1096,722 103 x 275 65974 x 400 6446103 x 40 1 60 = + + x - = 383,1 10 N x mm.

1,1 1,15 1,5 2

1 1 177528x40 6ND = - Npm Rd= - Ac. fcd= - = 1,03410 N.2 . 2 2 1,50

Point B:Mp/.Rd = Mmax.Rd- Mn. Rd

Mn.Rd = Wpan' fYd + Wpsn. fSd + Wpcn' fCd/2.

Wpan, Wpsn, Wpcn sont les modules de résistance plastique respectivement du poteau enacier, des armatures et du béton correspondant à la position de l'axe neutre (hJ aupoint B.



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Pour calculer Mn. Rd il faut déterminer la position de l'axe neutre de flexion au point B.

. Comme hypothèse de départ, on suppose que l'axe neutre se situe entre le 1er et le2e lit d'armature; ce qui veut dire que hn ~ 70 mm et par conséquent Asn = 314 mm2(Asn est l'aire des armatures situées à l'intérieur de la surface 2 de la figure E1-2.

(1B_- B

n 9(2 0

nC - C

(3;,

Fig. E1-2 - Schématisation des zones sollicitées du poteau mixte

Par application de l'expression correspondante au calcul de hn on trouve

( 400 40)2,067106-314 2x---

h = Npm.Rd-Asn(2fsd-fcd) = 1,15 1,50n 2 b . fcd + 4 . t. (2 fYd - fcd) 40 ( 275 40

)2x250x-+4x8 2x---1,50 1,10 1,50

= 1,857 106 = 65,2 mm28480

avec: Npm.Rd = 2,067 106 N (voir ci-dessus au point D).

Par comparaison: hn = 65,2 mm < 70 mm ce qui signifie que l'hypothèse de départ estnon validée.

. La deuxième hypothèse consiste à dire que l'axe neutre est en dessous du premier litd'armatures. C'est-à-dire hn ~ 70 mm et donc Asn = O.

L'application de l'expression précédente, en considérant Asn = 0, donne:

h = Npm.Rd = 2,067 106 = 2,067 106 = 72,6 mmn 2 b. fcd + 4 . t. (2 fYd - fcd) 40

( 275 40 ) 28480 2x250x-+4x82x---

1,5 1,10 1,50

qui indique que l'axe neutre se situe au dessus du premier lit d'armatures! L'hypothèsehn ~/70 mm n'est donc pas valide.

Si nous n'arrivons pas à déterminer la position de l'axe neutre de cette manière,c'est qu'en fait il passe au travers du premier lit d'armatures et la formule précédenteappliquée sans discernement mène à une incohérence. La formule donnant hn corres-


,. ,58 R"~"'~HNIQUE ET APPLICATIONS

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pond à l'écriture de l'équilibre axial de la section. Nous avons fait le calcul, qui donnehn = 69,6 mm. Il est particulièrement long et complexe. En pratique, on pourra aussibien prendre hn = 70 mm, et considérer, soit que Asn = 0 en négligeant la section desarmatures, soit que les armatures sont concentrées sur l'axe neutre à hn = 70 mm.

Le lecteur intéressé trouvera en annexe, le calcul exact de la position de l'axe neutre hnainsi que les deux calculs, correspondant aux hypothèses simplificatrices proposées.Une comparaison des résultats montre que les différences sont de l'ordre de 3 %.

Pour la suite du calcul nous prenons les résultats correspondant au calcul exacthn = 69,6 mm (voir calcul en annexe A).

10 Coordonnées du point B: Na = 0 et Ma = 345,4106 N x mm.

Point C: Nc = 2No = 2,068 106N Mc = Ma = 345,4106 N x mm

Après la détermination des différentes coordonnées on trace la courbe d'interactionselon l'axe YY comme cela est indiqué à la figure E.1-3.

N (NI ~IRd )

~~~

C 345,4106 N x mm (1,00)

D383,1106Nxmm(1,10)

0 B345,4106Nxmm(1,OO)

M (MI MplRd )

Fig. E1-3 - Courbe d'interaction N-M, axe fort YY

N.B. : Les valeurs entre parenthèses sont les valeurs rendues adimensionnelles; M/Mpl.Rdet N/Npl.Rd

Axe faible ZZ:

Les calculs sont identiques à ceux effectués pour l'axe fort.

PointA: NA=Npl.Rd=4,662103N MA=O,OONxmm

P . D . M - M - f Wpc. 'Cdoint. 0- max.Rd-.Wpa'yd+Wps.'sd+ 2

M 872533 x 275 56549 x 400 4506103 x 40 10 = + + - = 298,6106 N x mm.

1,10 1,15 1,50 2

1 1 1 77528 x 40 6ND = - Npm Rd= - Ac. 'cd = - 1,03410 N.2 . 2 2 1,50


.c,


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Position de l'axe neutre pour le point 8 en considérant les armatures situées au-dessusde l'axe neutre.

h = Npm.Rd- Asn(2 fsd- fCd) = 2,067 106n 2h. fcd+ 4t(2fYd- fcd) 40

( 275 40)2x350x-+4x8 2x---

1,50 1,10 1,50

2,067 106= = 61 13 mm33813 '

Le résultat est conforme à l'hypothèse. 11

Wpsn = L IAsni. ezil = 0,00 mm3

Wpcn = (h- 2 t)h~- Wpsn = (350 - 2 x 8)61,132 - 0,00 = 1,248 106 mm3

Wpan = h, h~- Wpcn- Wpsn = 350 x 61,132 -1,248106 = 59907 mm3

fy Wcpn fCk 275 1,248106 40Mn Rd= Wpan - + -. - = 59907 x - + X - = 31,616106 N X mm. "fa 2 "fc 1,10 2 1,5

Ma = Mp/.Rd = Mmax.Rd- Mn. Rd = 294,4106 - 31,616106 = 262,8106 N X mm

Na = 0,00 N Ma = 262,8 106 N X mm

Point C: Nc= 2No= 2068106 N Mc= Ma= 262,8106 N X mm

N (NI ~IRd )

~~~

2068 kN (0,45) 262,8 106 N x mm (1,00)

1034 kN (0,22) D298,6 106 N x mm (1,14)

262 8 106 N x mm

M (MI MplRd )

Fig. E1-4 - Courbe d'interaction N-M, axe fiable ZZ

F : Calcul de la résistance du poteau: (pour L = 3, 4, 5 et 6 m)j ,

Le lecteur se reportera à la première partie de cette rubrique (revue CM n° 1-1996) pourle calcul de Ncr' Np/.Rd et NRd'

NSd 3,0 106Xd= - = = 0,649Np/. Rd 4,622 106



ElE-EC4 2-96

Vérification des effets du second ordre:

N -AxefortYY: ~<0,1? où "'crit=0,2(2-r)=0,2 avec r=1

Ncr

L (m) 3 4 5 6

Nsdl Ncr 0,053 0,094 0,148 0,212

Il faut tenir compte des effets du second ordre pour L = 5 et 6 m. Nous le ferons quand12 même dans tous les cas. Il en est de même pour l'axe faible.

Correction des moments pour tenir compte des effets du second ordre.

13MSd,cor = MSd' k avec k = > 1 et 13 = 11-~

NcrOn calcule:

Axe fort YY N lN k MSd,corX 106L(m) Sd cr (Nxmm)

3 0,053 1,056 79,20

4 0,094 1,104 82,78

5 0,148 1,178 88,03

6 0,212 1,269 95,18

AxefaibleYY N lN k MSd,corx106L (m) Sd cr (Nx mm)

3 0,094 1,103 33,10

4 0,167 1,200 36,00

5 0,260 1,352 40,57

6 0,376 1,603 48,08

Calcul de la résistance du poteau:

X(1-r) XdXn = = o avec r= 1 ~ ~ = ~d- ~k(Xd- xJ/(X - xJ = ~d- ~k-

4 X

NSd 3,0 106avec: Xd = - = = 0,649 1Np/. Rd 4,622 106

Axe faible ZZ: (~z)

L (m) 3 4 5 6

X = NRdl Np/. Rd 0,945 0,900 0,840 0,759


Rubrique TECHNIQUE ET APPLICATIONS 61 .,ELE-EC4 2-96

Sur la courbe de l'axe faible ZZ, X se situe entre 0,945 et 0,759 au-dessus du point C(0,45). Équation de la droite AC: X = ~k = - 1,8182 Y + 1,8182.

L (m) 3 4 5 6 yA

X 0,945 0,900 0,840 0,759

Xd 0,649 0,649 0,649 0,649 1

~k 0,100 0,181 0,290 0,438X

~d 0,638 0,638 0,638 0,638

~z 0,569 0,507 0,414 0,263 0 13x

Fig. E1-5

Axe fort YY: (~y)

Le calcul du flambement a été intégré dans le calcul de l'axe faible (~z). Il n'estplus nécessaire d'en tenir compte suivant l'axe fort Y. On aura directement ~y = ~d'~y= 0,638.

G : Vérifications

Axe fort: MY.Sd < 0,9 . ~Y' Mpl.y.Rd (1)

Axe faible: Mz.Sd < 0,9 . ~z. Mpl.z.Rd (II)

Combinaison: MY.Sd + Mz.Sd < 1,0 (III)~Y' Mpl.y.Rd ~z' Mpl.z.Rd

L = 3 m: 1 79,20106 < 0,9 x 0,638 x 345,4106 = 198 106 N . mm

Il 33,10 106 < 0,9 x 0,569 x 262,8106 = 135 106 N . mmIII 79,20 106 33,10 106 - o 8 o+- 5 <10,638 x 345,4106 0,569 x 262,8 106' ,

L = 4 m: 1 82,78106 < 0,9 x 0,638 x 345,4106 = 198 106 N . mm

Il 36,00106 < 0,9 x 0,507 x 262,8106 = 120 106 N . mm

III 82,78 106 36,00 106 o6+= 5<100,638 x 345,4106 0,507 x 262,8106' ,

L=5m: 1 88,03106<0,9xO,638x345,4106=198106N.mm

Il 40,57106 < 0,9 x 0,414 x 262,8106 = 98106 N. mm

III 88,03 106 + 40,57 106 = o 77 < 1 o0,638 x 345,4106 0,414 x 262,8106' ,

L = 6 m: 1 95,18106 < 0,9 x 0,638 x 345,4106 = 198 106 N . mm

Il 48,08 106 < 0,9 x 0,263 x 262,8 106 = 62 106 N . mm

95,18 106 48,08 106III + = 1 13> 1 o Ne passe pas.0,638 x 345,4 106 0,263 x 262,8 106' ,

Seul le poteau de 6 m ne résiste pas aux sollicitations.

. Construction Métallique, n° 2-1996


ELE-EC4 2-96

SECOND EXEMPLE D'APPLICATION:

CALCUL D'UN POTEAU ENROBÉ DE BÉTON

Calcul d'un poteau mixte à profil en 1 enrobé de béton présenté sur la figure E2-1 :

- Acier: Profil HEA 360: fy= 355 N/mm2 (fe 510), E= 210000 N/mm2,

- Béton: Section 500 x 500 mm2, Classe C30/37: fCk= 30 N/mm2,

- Amatures : 8<1>20 en acier S 420 (voir figure)

fsk= 420 N/mm2, Es= 210000 N/mm2.

14 On considère les armatures concentrées sur leur centre de gravité. Leurs propresmodules plastiques seront négligés.

- Coefficients partiels de sécurité:

Yma=1,1, Yc=1,5, Ys=1,15, (NB:Ycenrigidité=1,35).

Sollicitations extérieures: Nsd = 1200 kN,

MSd.y= 120 kN x m (axe fort),

MSd.z = 100 kN x m (axe faible),

On suppose que le moment de flexion est constant sur la longueur du poteau ce quientraîne r= 1 et 13 = 1.

Calcul pour quatre longueurs de flambement: L = 6, 8, 10 et 12 m .

b =500'f10~"C - """"'ï1QQ~'

HEA 360h hc= 500:<;:3 .

y tw

; 20 mmi.Vz 150 mm

Axe des armatures à 65 mm du nu du béton

Fig. E2-1 - Section du poteau mixte enrobé de béton

Le dimensionnement en compression centrée a été étudié dans la première partie de larubrique. Nous reprenons le dimensionnement sous compression et flexion combinées.

E : Vérification en compression et flexion combinées";

Calcul des modules de résistance plastique:

Axe fort YY:

- Acier: Wpa = 2088,5 cm3,



ELE-EC4 2-96

- Armatures: Wps=LAi.ei=3x314,164x(250-65)=174103mm3=174cm3,

, bc. h~- Beton: Wpc= - - Wpa- Wps4

50 X 502= - 2088,5 - 174 = 28987 cm34

Axe faible ZZ:

- Acier: W pa = 802,3 cm3,

- Armatures: Wps = LAi. ei = 3 x 314,164 x (250 - 65) = 174 103 mm3 = 174 cm3, 15

, bc . h~ W W- Beton: Wpc= - - pa- ps4

50 X 502= - 802,3 -174 = 30274 cm34

Calcul des coordonnées des points de la courbe d'interaction

Axe fort YY:

Le lecteur se reportera à la première partie de cette rubrique pour le calcul de Np/. Rd'

Point A: NA = Np/. Rd = 9,490103 kN MA = 0

. . Wpc. fCdPolntD. Mo=Mmax.Rd=Wpa.fYd+Wps.fsd+ 2

Mo = 2088,5103 x 355 + 174 x 420 + 28987 103 x30 = 1353 kN x m,

1,1 1,15 1,5

N = ~ N = ~ A . f = ~ 2332,08 102 x 30 = 2332 103 N.0 2 pm.Rd 2 c cd 2 1,50

Point B: Mp/.Rd = Mmax.Rd- Mm. Rd

Mm.Rd= Wpano fYd- Wpsno fSd+ Wpcn' fCd/2.

Position de l'axe neutre de flexion pour le point B avec:

Npm.Rd = 2 X No = 4664 kN (voir ci-dessus au point D)

( 420 30)4664103_2x3142x---

h = Npm.Rd- Asn(2 fsd- fCd) = 1,15 1,50n 2 bc. fcd + 2 . tw. (2 fYd- fcd) 30

( 355 30)2x500x-+2x 10 2x---

1,50 1,10 1,50

4,2107 106= = 129,74 mm32509

Construction Métallique, n' 2-1996


ELE-EC4 2-96

L'axe neutre se situe bien dans l'âme du profil et la formule pour le calcul de hn est

applicable.

Wpan = tw. h~ = 10 X 129,742 = 168324 mm3

Wpsn = 0 Négligée

Wpcn = bc' h~ - Wpan - Wpsn = 500 X 129,742 - 168334 - 0 = 8,248 106 mm4

355 420 6 30 1Mn Rd = 168334 x - + 0 x - + 8,24810 x - - = 136,81 kN X m. 1,10 1,15 1,50 2

16 Ma = Mp/.Rd = Mmax.Rd- Mn. Rd = 1253 - 136,81 = 1116 kN x m

Na = 0,00 N

Point C: Nc= 2No= 4664 kN Mc= Ma= 1116 kN x m

N (NI ~IRd )

@~~

C 1116 k N x m (1,00)

D1253kNxm(1,12)

0 B 1116 k N x m (1,00)

M (MI MplRd )

Fig. E2-2 - Interaction N-M, axe fort YY

NB: Les valeurs entre parenthèses sont les valeurs rendues adimensionnelles; M/Mp/.Rdet N/Np/.Rd'

Axe faible ZZ:

Les calculs sont identiques à ceux effectués pour l'axe fort.

Point A: NA = Np/. Rd = 9490 kN MA = 0,00 kN x m

. . Wpc' fCdPoint D. MD = Mmax.Rd= Wpa. fYd+ Wps. fSd+ 2

802103 x 355 179103 x 420 30267103 x 301Mo= + +-

1,10 1,15 1,50 2

= 625,05106 N x mm = 625,05 kN x m.

1 1ND = :2 Npm.Rd = :2 Ac. fCd = 2332 kN (cf, axe fort).



ELE-EC4 2-96

Point B: Mpl.Rd = Mmax.Rd- Mm.Rd

fCdMm. Rd = WpanX fYd+ WpsnX fsd+ WpcnxT

Position de l'axe neutre pour le point B. Est-il dans l'âme?

( 420 30 )4664103_2x3142x---h Npm.Rd-Asn(2 fsd- fcd) 1,15 1,50n = = = 9,21 mm

2 hc . fcd + 2 . h . (2 fYd - fcd) 30 ( 255 30)2x500x-+2x350 2x---

1,50 1,10 1,50

17hn est tw/2 = 5 mm, l'axe neutre se situe dans la semelle et la formule utilisée n'est pasla formule correcte. On doit donc adapter la formule à cette situation.

h = Npm.Rd-Asn(2fsd- fcd) + tw(2. t,- h)(2. fYd,- fcd)n 2.hc.fcd+4.t,(2.fYd-fcd)

( 420 30) , ( 355 30)4664103_2x314 2--- + 10(2x 17,5-350) 2---

1,151,5 1,1 1,5=30 ( 355 30

)2x500x-+4x17,5 2---1,5 1,11,5

2247665= = 35 24 mm63781 '

L'axe neutre se situe bien sur les semelles.

Wpan = 2 t,. h~ - (h - 2. t,) t~ = 2 x 17,5 x 35,242 - (350 - 2 x 17,5) = 35590 mm3

4 4

Wpcn = hc. h~ - Wpan - Wpsn = 500 X 35,242 - 35590 - 0,00 = 585339 mm3

Mn Rd = Wpan. ~ + ~. ~ = 35590 x ~ + 585399x30 x ~ + ~~. 'Ya 2 'Yc 1,10 1,5 2 1,15

= 17339854 N x mm = 17,34 kN x m

N (NI ~IRd )

~::§]

4664kN(0,49) '-..: C 607,71 kNxm(1,OO)

2332 kN (0,245) .--'.'.'..'.! 0625,05 kN x m (1,028)

0 ' B 607,71 kNxm

M (MI MplRd )

Fig. E2-3 -Interaction N-M, axe faible ZZ


~66 Rubrique TECHNIQUE ET APPLICATIONS

ELE-EC4 2-96

Ma= Mp/.Rd= Mmax.Rd- Mn. Rd = 625,05-17,34 = 607,71 kN X m

Na = 0,00 N Ma= 607,71 kN x m

Point C: Nc= 2No= 4664 kN Mc= Ma= 609,62 kN x m

F : Calcul de la résistance du poteau: (pour L = 6, 8, 10 et 12 m)

Le lecteur se reportera à la première partie de cette rubrique pour le calcul de Np/. RdetNcr

18 Xd=~= 1200103=0,12Np/. Rd 9,49 106

Vérification des effets du second ordre:

AxefortYV: ~<0,1? où ~=0,2(2-r)=0,2 avec r=1Ncr

L (m) 6 8 10 12

Nsdl Ncr 0,047 0,084 0,13 0,19

Il faut tenir compte des effets du second ordre pour tous les poteaux car l'élancementréduit est partout supérieur à 0,2.

Correction des moments pour tenir compte des effets du second ordre.

13Msd,cor= Msd' k avec k= > 1 et 13 = 1NSd1--Ncr

On calcule:

Axe fort YV NIN k MSd,corx 106L (m) Sd cr (N x mm)

6 0,047 1,051 126,1

8 0,084 1,092 131,0

10 0,13 1,149 137,9

12 0,19 1,235 148,2

Axe faible ZZ N lN k MSd,corx106L (m) Sd cr (Nx mm)

6 0,11 1,124 112,4

8 0,20 1,244 124,4

10 0,30 1,441 144,1

12 0,44 1,788 178,8



ELE-EC4 2-96

1 Calcul de la résistance du poteau:

1 X(1 - r) XdXn = = o avec r= 1 => Il = Ild- Ilk(Xd- Xn!/(X - Xn! = Ild- Ilk-

1 4 X11 Nsd 1200103

avec: Xd= - = 6 = 0,126Np/, Rd 9,49 10

Axe faible ZZ: (Ilz)

L (m) 6 8 10 12 19X = NRd/ Np/. Rd 0,564 0,380 0,263 0,180

Sur la courbe de l'axe faible ZZ, X se situe entre 0,564 et 0,180 c'est-à-dire dans la zoneAC (poutre de 6 ml, dans la zone CO (poutre de 8 m et de 10 m) et dans la zone DB(poutre de 12 ml.

À partir des différents tronçons on peut calculer les valeurs de Ilk' Ild et Ilz.

Équation de la droite AC: X = Ilk = - 1,965 Y + 1,965

Équation de la droite CD: X = Ilk = - 0,114 Y + 1,056

Équation de la droite DB: X = Ilk = - 0,114 Y + 1,00

L (m) 6 8 10 12

X 0,564 0,380 0,263 0,180

Xd 0,126 0,126 0,126 0,126

Ilk 0,857 1,0127 1,026 1,021

Ild 1,014 1,014 1,014 1,014

Ilz 0,822 0,678 0,522 0,299

Axe fort YY: (Ily)

À partir des différents tronçons on peut calculer les valeurs de Ilk' Ild et Ilz.

Équation de la droite AC: X = Ilk = - 1,965 Y + 1,965

Équation de la droite CD: X = Ilk = - 0,490 Y + 1,240

Équation de la droite DB: X = Ilk = 0,490 Y + 1,00

À partir de Xd = 0,126, se situant au niveau de la droite BO, on calcule:

X = Ild = 0,490Xd + 1,00 = 1,062

Le calcul du flambement a été intégré dans le calcul de l'axe faible (Ilz)' Il n'est plusnécessaire d'en tenir compte suivant l'axe fort Y. On aura directement Ily = Ild identique

Construction Métalliqne. n° 2-1996


ElE-EC4 2-96

à celui de l'axe Z. ~y = 1,062. Or par application de la clause 4.8.3.13 (1) les valeurs de ~yet ~z ne peuvent pas être supérieures à 1,0. Nous prenons donc ~y = 1,0.

G : Vérifications ",;

Axe fort: MY.Sd < 0,9~yMpl.Y.Rd (1)

Axe faible: Mz.Sd < 0,9~zMpl.z.Rd (II)

20 Combinaison: MY.Sd + Mz.Sd < 1,0 (III)

~Y' Mpl.y.Rd ~z. Mpl.z.Rd

L=6m: 1 126106<0,9x1,Ox1116106=1004106N.mm

Il 112 106 < 0,9 x 0,822 x 607,71 106 = 456106 N . mm

126 106 112 106 -0 337 1 0III + - <1,Ox1116106 0,822x601,11106' ,

L=8m: 1 131106<0,9x1,Ox1116106=1004106N.mm

Il 124,4106 < 0,9 x 0,678 x 607,71 106 = 370 106 N . mm

131106 124,4106 _0412 1 0III + -, <,

1,0 x 1116 106 0,618 x 607,11 106

L=10m: 1 137,9106<0,9x1,Ox1116106=1004106N.mm

Il 144,4106<0,9xO,522x607,71106=286106N.mm

137,9106 141,1106 _ 0568 10III + -, <,1,Ox 1116106 0,522x607,71106

L=12m: 1 148,2106<0,9x1,Ox1116106=1004106N.mm

Il 178,8106>0,9xO,299x607,71106=163106N.mm

148,2106 178,81061 12 1 0III + =, >,

1,Ox 1116106 0,299x607,71106

Seul le poteau de 12 m ne tient pas la charge, tous les autres poteaux sont correc-tement dimensionnés.



ELE-EC4 2-96

ANNEXE A

Exercice 1, calcul de la position exacte de l'axe neutre de flexion au point 8 et compa-raison des résultats dans le cas où l'on choisit Asn = 0 ou Asn concentré sur l'axe desarmatures.

La formule donnant hn correspond à l'écriture de l'équilibre axial dans la section. Nousallons écrire l'équilibre d'une autre manière.

. . l Compression La zone en compression est plastifiée,ANP

cj;',,; ~~ ~-~. ---~~-- ---th La z~ne en traction est Plastifiée 21, '. .. . TractionLe béton en traction est négligé.

~~::~ Calcul de N en fonction de hn :

11~~ ~~sez~~~:r:e~d~e~~rtir du bilan des zones comprimées et.. N = Ntendue - Ncomprimée = 0 pour l'équilibre.

Le calcul ci-après est développé de manière très précise; il montre le degré de com-plexité auquel on peut aboutir lorsque l'axe neutre passe par le lit d'armature.

- Acier: NA = 2 . hn. 2 t. fYd

- Armatures: As = 2<1>10 (2e lit du haut) - 2<1>10 (2e lit du bas)

+ Zone hachurée du 1er lit du haut

- Zone blanche du premier lit du haut

+ 2<1>10 du lit du bas.

=2.Q-(2<1>10-2.o.) + 2<1>10=4.Q

Ns = As . fsd

- Béton: Ac=bc.(~-t-hn)-(2<1>10-2.Q)

Nc = Ac . fCd

Il faut avoir l'équilibre: Na + Ns = Nc. Cet équilibre fournit hn.

La tranche hachurée d'une armature se calcule par la formule:

d . A A . d A d . ~ ., d .- = sin p avec p = arc sin - p Olt etre exprime en ra lan.R R

'Y exprimé en radian s'obtient par 7t - 2/3

Aire du quartier: -I x R22



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Aire du triangle supérieur: R cos [3 x R sin [3 = R2 X cos [3 x sin [3

Aire hachurée : ~ - R2 X cos [3 x sin [3

d (nnnn) 0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5

Q (nnnn2) 39,27 34,28 29,33 24,99 19,82 15,35 11,18 7,38 4,08 1,46

Calcul de l'équilibre horizontal:

22275 400

Na = 2 . hn. 2t. fYd = 2 x hn X 2 x 8 x - Ns = 4 . Q . fSd = 4Q -1,10 1,15

40Nc = [bc . (h/2 - t - h J - (2<1> 10 - 2 Q)] f cd = 234 (350/2 - 8 - h J - (157,07 - 2.Q) -

1,50

hn (nnnn) d (nnnn) Na (kN) Ns (kN) Na + Ns (kN) Nc (kN)

65 5 520 - 520,0 634,0

66 4 528 5,686 533,6 626,0

67 3 536 15,558 551,6 620,0

68 2 544 27,571 571,6 614,0

69 1 552 40,816 592,8 608,9

70 0 560 54,636 614,6 603,1

L'axe neutre se situe entre 69 et 70 nnnn de l'axe central.

hn (nnnn) d (mnn) Na (kN) Ns (kN) Na + Ns (kN) Nc (kN)

69,6 0,4 556,8 49,077 605,877 605,468

On prendra: hn = 69,6 nnnn.

Si on applique la valeur correspondante dans la fornnule de hn on a :

( 400 40)2,067106-141 2 x--- 6

h : 1,15 1,50 = 2~~ = 69,30 mnnn 40

( 275 40 ) 28480 2x250x~+4x8 2x---

1,50 1,10 1,50

valeur conforme à ce que nous attendons.

fcdMn. Rd = Wpan' fYd + Wpsn' fSd + Wpcn' 2

Construction Métallique. n° 2-1996


ElE-EC4 2-96

Wpan, Wpsn' Wpcn sont les modules de résistance plastique respectivement du poteau enacier, des armatures et du béton correspondant à la position de l'axe neutre (hJ aupoint B.

On calcule: ,~~::~~~~~ ~-60%d J~ 69,6

Gd65,0 -60%d

W psn = L IAsn;. ezi 1 = 2 x 2 x 35,27 x [65 + (69,6 - 65,0) x 0,61 = 9560 mm3

Wpcn = (b- 2 t) h~- Wpsn = (250 - 2 x 8)69,62 - 9560 = 1,124106 mm4

Wpan = b. h~ - Wpcn - Wpsn = 250 X 69,62 - 1,124106 - 9560 = 77507 mm3 23275 400 1,124 106 40Mn Rd = 77 507 x - + 9 560 x - + x - = 37,68 1 06 N x mm. 1,10 1,15 2 1,50

Mpf.Rd= Mmax.Rd- Mn. Rd = 383,1 106- 37,68106 = 345,4106 N x mm

NB = 0,00 N MB = 345,4106 N x mm.

Le calcul est long et compliqué. Afin de ne pas effectuer les calculs deux attitudes pluspragmatiques peuvent être adoptées:

a) Négliger les armatures coupées par l'axe neutre et donc considérer hn = 70 mm etAsn = O. On a :

Wpsn = 0

Wpcn = (b- 2 t) h~ = (250 - 2 x 8) X 702 = 1,1466.106 mm3

Wpan = b. h~ - Wpcn = 250 X 702 -1,1466.106 = 78400 mm3

275 1,1466. 106 40Mn Rd= 78400 x - + x - = 34,89.106 N x mm.. 1,1 2 1,5

La valeur de Mpf.Rd est égale à

Mpf.Rd = Mmax.Rd- Mn. Rd = 383,1 .106 - 34,89.106 = 348,2.106 N x mm

b) Considérer les armatures comme concentrées sur leur axe en admettant des varia-tions non continues de Mn.Rd lorsque l'axe neutre passe par l'axe des armatures.

On a pour hn = 70 mm et Asn = 4 x 78,54 mm2.

Wpsn =LIAsn;.ezil=2x2x78,54x70=21991 mm3

Wpcn = (b- 2t)h~- Wpsn = (250 - 2 x 8)702 - 21991 = 1,125106 mm3

Wpan = bh~ - Wpcn - Wpsn = 250 X 702 -1,125106 - 21991 = 78009 mm3

M 78009 275 1,125106 40 21991 x 400 6n Rd = X - + x - + = 42,1510 N x mm

. 1,1 2 1,5 1,15

et Mpf.Rd= Mmax.Rd- Mn.Rd= 383,1106- 42,15106 = 341,0106 N x mm.



ElE-EC4 2-96

En comparant les résultats des 3 hypothèses on a :

- Calcul exact de la position de l'axe neutre, hn = 69,6 mm :

Mpl.Rd = 345,4106 N x mm.

- Calcul avec hn = 70 mm et Asn = 0 :

Mpl.Rd = 348,2 106 N x mm.

- Calcul avec hn = 70 mm et Asn concentrée sur les axes:

24 Mpl.Rd= 341,0106 N x mm.

Nous remarquons que les résultats diffèrent de 3 % maximum ce qui est très faible. Lecalcul exact peut dès lors être remplacé par un des deux calculs approchés.

Construction Métallique, n" 2-1996

F6637 Poteau Mixte

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