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1

UNIVERSITE CADI AYYAD 2007-2008

FACULTE DES SCIENCES & TECHNIQUE

GUELIZ MARRAKECH

ELECTROMAGNETISME-RELATIVITE RESTREINTE

Problèmes d’examens avec solutions

Document préparé par le Pr. L. Hajji

2002-2003

.

2

0.1 SUJET- 1 PC2 1992-1993 PREMIERE SESSION

0.1.1 Exercice - 1On se propose d’étudier le principe de fonctionnement d’un fréquencemètre. Pourcela on considère le pont de Wien représenté ci-dessous. Le pont est alimenté parun courant alternatif d’amplitude I et de pulsation ω.

GBF

Oscillo

C0

R0

CRR2

R1

1/ Le pont est équilibré. Donner les expressions de R0 et C0 en fonction de ω,R, C et a avec a = R1

R2.

2/ R = 500Ω , C = 1µF , a = 103 et ω = 2 103 m/s. Calculer R0 et C0. Quelleest l’utilisation d’un tel montage .

3/ On se place dans le cas où R0 = R , C0 = C et a = 0,5. Examiner les nouvellesconditions d’équilibre.

3

Lorsque le montage est utilisé comme fréquencemètre avec C = 1µF entrequelles valeurs doit varier R si on veut mesurer des fréquencecomprises entre 100et 1000 Hz ? .

0.1.2 Exercice - 2On considère un métal de conductivité électrique σ pour lequel on cherche une

solution des équations de Maxwell correspondant à des ondes planes progressivesde pulsation ω se propageant dans la direction Ox. On suppose que la perméabilitémagnétique du métal est égale à µ0 . On rappelle que dans un métal le courant

conduction ε0∂−→E∂t

est négligeable devant le courant de déplacement −→j = σ−→E et

que.

−→rot(

−→rot(

−→E )) =

−−→grad(div(

−→E ) −4−→

E

1/ Ecrire les équations de Maxwell en donnant leurs significations physiques.2/ Déduire l’équation de propagation du champ électrique dans un métal de

conductivité σ.3/ Vérifier qu’une solution de la forme suivante peut convenir.−→E = E0e

−axei(ωt−kx)−→ey avec −→ey un vecteur unitaire suivant la direction Oy.En déduire les équations donnant a et k en fonction de σ, ω, c et µ0.4/ c = 3 108 ms−1 , σ = 107m−1Ω−1,µ0 = 4π10−7S.I., ω = 2.1015rd.s−1et E0 =

3.10−3Vm−1. Calculer a et k.5/ Déduire la distance δ = x à laquelle l’amplitude du champ −→

E est diviséepar 10. On appelle cette distance la profondeur de pénétration de l’onde.

6/ Calculer δ pour une onde radio de longueur d’onde λ = 3π103m et pourdes rayons X de longueur d’onde λ = 10Å. Conclure.

0.1.3 Exercice -3On considère une sphère S de centre O et de rayon R qui porte la charge

électrique Q uniformément répartie sur sa surface. Soit M un point quelconque del’espace, repéré par la coordonnée sphérique r telle que −−→

OM = r−→er

1ère partie : La sphère est seule dans le vide.1/ Calculer le champ électrique −→

E0 dans tout l’espace.2/ Calculer l’énergie électrostatique de la sphère.

4

2ème partie : La sphère est entourée d’une couche de matériau diélectriquecomprise entre les sphères de rayon r = a et r = b (a < b). Ce matériau est parfaite-ment isolant et ne contient pas de charges libres ; il est homogène et isotrope etpeut être caractérisé par sa permittivité relative εr.

1/ Déterminer en tout point de l’espace le vecteur déplacement électrique −→D ,

le champ électrique −→E et le potentiel électrique V.

2/ Que vaut la densité volumique des charges de polarisation ?3/ Exprimer en fonction de Q ,εr , a , et b les densités de charges de polarisa-

tions σa et σb sur les sphères de rayon r = a et r = b.4/ Le matériau compris entre les sphères r = a et r =b devient brusquement

conducteur, sa conductivité électrique étant σ, sa permittivité relative gardant savaleur initiale et sa perméabilité étant µ0.

a- Expliquer brièvement l’évolution du système. Quel est sont état électriquefinal?

b- On suppose que l’induction magnétique est nul dans tout l’espace tout aulong de l’évolution du système. Déduire de l’une des équations de Maxwell uneéquation différentielle vérifiée par le champ électrique. Intégrer cette équation etdonner l’évolution de−→E en fonction du temps dans le domaine a < r < b.

0.2 SUJET 2 : EXAMEN DE LA PREMIERE SESSION 1994

0.2.1 Exercice -1Pour mesurer avec précision la permittivité relative d’un diélectrique, on réalisele montage en pont, représenté sur la figure 2-1. Le montage est alimenté par unetension sinusoïdale de fréquence f = 2.27 104Hz. Z est l’impédance à mesurer;R1 et R2 des résistances pures; R une résistance pure variable; C un condensateurde capacité variable; Ve un voltmètre.

1/ Dans une première expérience, Z est un condensateur dont on a fait le videentre les armatures. L’équilibre du pont est obtenu pour les valeurs suivantes:

R1 = 103Ω R très grande devant R1 et R2

R2 = 105Ω C = 0,863 µFCalculer la capacité C0 du condensateur sans diélectrique.

2/ On remplit le condensateur par un diélectrique dont on veut mesurer lapermittivité relative que l’on prendra sous la forme de:

5

ε = ε′

r − jε′′

r avec j2 = - 1

R1 et R2 gardant les mêmes valeurs que précédemment, l’équilibre du pont estobtenu pour R = 818 Ω et C = 6,853 µF. En déduire les valeurs de ε′

r et ε′′r à lafréquence utilisée.

GBF

Z

C

VeR

R1

R2

Figure 2-1

0.2.2 Exercice -2On se propose de calculer directement le potentiel de polarisation Vp pour

deux diélectriques parfaits homogènes et isotropes de permittivité ε.

N.B. Les deux parties A et B sont indépendantes.

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A- On considère une sphère de centre O et de rayon R, placée dans un champextérieur −→E0, dirigé suivant Oz. On suppose que le vecteur de polarisation −→

P estuniforme dans tout le problème.

1/a- Calculer les densités de charges de polarisation volumique et surfacique.b- Donner l’expression du potentiel élémentaire dVp dû au moment dipolaire−→

dp (−→dp =

−→P dτ ) correspondant à l’élément de volume dτ , montrer que Vp peut

s’écrire sous la forme VP =−→P .

−→Es

c- Donner la signification du vecteur −→Es. Déterminer son expression ( en util-isant le théorème de Gauss) à l’extérieur et à l’intérieur de la sphère.

2/a- En déduire Vp à l’extérieur et à l’intérieur de la sphère.b- Calculer le champ électrique qui dérive du potentiel VP .c- Représenter sur un schéma les charges de polarisation, −→P ,−→E0 et −→EP .3/ Montrer que la susceptibilité χ et la polarisation −→

P sont liées par la relation:

−→P =

χ

1 + χ3

ε0−→E0

B- Le plan infini XOY porte n molécules par unité de surface, dont le momentdipolaire −→p pointe suivant Oz.

1/ Calculer le potentiel Vp et le champ −→EP en un point M quelconque de

l’espace.2/ Expliquer pourquoi −→EP est nul.

0.2.3 Exercice - 3Un solénoïde infini de rayon a et d’axe z’oz, comportant n spires jointives par

unité de longueur, est parcouru par un courant électrique d’intensité I(t) lentementvariable .

1/a- Déduire des propriétés de symétrie du système la direction des vecteurs

champ magnétique −→B et potentiel vecteur −→A en un point M de l’espace repéré parses coordonnées cylindriques dans la base (−→er ,

−→eθ ,−→ez ).

b- Donner sans démonstration l’expression de −→B et en déduire celle de −→

Apour r < a et r > a.

c- Déduire l’expression du champ électromoteur −→E induit par la variation tem-porelle de I pour r < a et r > a.

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2/a- On dispose à l’extérieur du solénoïde une boucle conductrice fermée C

(figure 2- 2). Calculer le flux magnétique à travers C. En déduire que la f.é.minduite dans C est nulle, quelles que soient la géométrie et la position de C.

b- A partir du résultat précédent, montrer que la f.é.m induite dans une boucleouverte présentant une coupure PP’ de longueur petite par rapport à la distance dela boucle à l’axe z’oz est

ePP ′ =−→E .

−−→PP ′

c- Expliquer pourquoi la boucle ouverte peut être remplacée par un conducteurlinéaire dont on précisera la longueur l ? Quelle doit être l’orientation de ce dernierpour que ePP ′ soit maximale ?

Application Numérique : Calculer l’amplitude maximale de ePP ′ dans le casd’un courant sinusoïdal d’intensité I = I0 cosωt avec les données suivantes :

n = 103m−1 a = 2 cm I0 = 1A r = 1m ν = 100Hz l = 1 cmOn rappelle que µ0 = 4π10−7S.I

Z

Z’

(C)

a

figure 2-2

8

0.3 SUJET - 3 : EXAMEN DE LA DEUXIÈME SESSION 1994

0.3.1 Exercice -1Un condensateur plan est constitué par deux plateaux circulaires de rayon a

(Figure 3-1). Les fils amenant le courant I sont supposés bons conducteurs. Ons’intéresse à l’opération de charge de ce condensateur et on désigne par q(t) lacharge portée par l’armature supérieure à l’instant t.

1/ Ecrire les équations de Maxwell satisfaites localement par les champs −→E et−→B dans le vide.

2/ On exprimera −→E à l’intérieur du condensateur en fonction de q(t) et des

paramètres géométriques.3/ Calculer le champ magnétique créé, entre les armatures, à la distance r de

l’axe Z’Z en fonction de dq(t)/dt et des paramètres géométriques.

Figure 3-1

Z’I

a

Z

0.3.2 Exercice - 2Un tore est engendré par la rotation d’un carré ABCD de côté a autour d’un

axe D de son plan. Le côté AB est parallèle à l’axe D et situé à la distance r de cetaxe (Figure 3-2).

On réalise un solénoïde torique en enroulant sur ce tore N tours de fil régulière-ment répartis. Les conditions de symétrie montrent que, lorsqu’un courant d’intensité

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I circule dans le fil, les lignes de champ de l’excitation magnétique H sont circu-laires, d’axe D, et que le module de −→

H est constant sur chaque ligne.1/ Calculer le module de −→

H en un point Q à la distance x de l’axe (0 < x < r, r< x < r + a , x > r +a).

2/ Le tore est en fer homogène dont la figure 3-3 donne la courbe d’aimantation.Sachant que N = 628 ; I = 0,20A ; r = 19 cm ; a = 2 cm. Quelle est la valeur :a- de l’intensité d’aimantation M1 et du champ d’induction B1 créés dans le

fer, au point P, centre du carré ABCD ?b- de la perméabilité magnétique relative µr du fer ?On admettra dans la suite que H est, en tous les points d’une section droite du

tore, égale à sa valeur en P.3/ On coupe le courant dans la bobine, le champ d’induction devient B2, don-

ner sa valeur.4/ Quel courant I’ faut-il faire passer dans la bobine pour que le fer ne soit plus

aimanté ?

D

Ar

P

CB

D

H

figure 3-2

0.4 SUJET - 4 : EXAMEN DE LA PREMIERE SESSION 1995

10

0.4.1 Exercice -11/ Rappeler les conditions de passage du champ électrique −→

E et du vecteur excita-tion électrique −→

D à la traversée d’une surface séparant deux milieux diélectriques(1) et (2) de permittivités respectives ε1 et ε2 .

2/ La différence de potentiel entre les armatures d’un condensateur plan estmaintenue constante grâce à un générateur qui maintient à ses bornes une dif-férence de potentiel U. On introduit dans l’espace inter armatures de largeur edeux lames, l’une conductrice d’épaisseur e1 l’autre diélectrique de permittivitérelative εr et d’épaisseur e2 (figure 4-1). Etablir la relation entre la charge Q0 ducondensateur avant l’introduction des lames et la charge Q en présence des lamesen fonction de e, e1 , e2 et εr.

eU

e1

e2

A

B

figure 4-1

0.4.2 PROBLÈME.A/ On considère une onde électromagnétique plane de fréquence ω se propageantdans la direction −→n , dans le vide.

a- Montrer que l’on a les relations suivantes avec−→k = k−→n

11

−→k .

−→E = 0−→

k .−→B = 0−→

k ∧ −→E − ω

−→B =

−→0−→

k ∧ −→B + ε0µ0ω

−→E =

−→0

b- Calculer la valeur de k en fonction de ε0, µ0, et ω .c- Donner les positions respectives de −→

E , −→B ,−→k et le rapport E/B.

d- Donner l’expression de la densité moyenne d’énergie électromagnétique etla valeur moyenne du vecteur de POYNTING en fonction de E0 et B0 amplitudesdes champs électrique et magnétique.

f- Quelle sont les valeurs des amplitudes des champs E0 et B0 dans un faisceaulaser de 20.109 watts et ayant un diamètre de 2 mm?

On donne :

ε0 =1

36π109; µ0 = 4π10−7

B- On considère les potentiels −→A et V du champ électromagnétique dans le

cas d’une onde plane de fréquence ω. On pose :

−→A =

−→A0e

i(−→k .−→r −ωt)

Et on suppose que l’on se place dans la jauge de LORENTZ

−→∇.−→A + ε0µ0dV

dt= 0

a- Sachant que −→B =

−→∇ ∧ −→A et −→

E = −−→∇V − d−→Adt

Calculer −→E et −→Bb- Montrer que −→

E et −→B obéissent aux équations de MAXWELL dans le vide(équations de la question A-a).

On montrera que −→E = iω

[−→A − (

−→A.−→n )−→n

)

avec −→n =−→kk

c- On considère un milieu supraconducteur (milieu dont la résistance élec-trique est nulle). Dans un tel milieu le potentiel vecteur obéit a l’équation deLONDON (−→j est le vecteur densité de courant) :

−→A = −λ−→j

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a- Calculer l’équation de propagation pour le champ magnétique −→B . On utilis-era la loi d’Ampère Maxwell.

b- Donner un exemple de solution indépendante du temps .On donne : −→

A ∧ (−→B ∧ −→

C ) = (−→A.

−→C )

−→B − (

−→A.

−→B )

−→C

0.5 SUJET - 5 : PC2 (ANNÉE 94-95 DURÉE 1H)

0.5.1 Exercice -1Une sphère métallique creuse S de centre O et de rayon a porte une charge Q sur sasurface est plongée dans un diélectrique linéaire homogène parfait de permittivitéélectrique εr.

Déterminer en tout point de l’espace :1- L’excitation électrique −→

D .2- Le champ électrique −→

E .3- La polarisation −→

P .4- La densité volumique des charges de polarisation (ρP ).5- Calculer la charge de polarisation QP qui apparaît à la surface du diélec-

trique en contact avec S.

0.5.2 Exercice - 2On considère un conducteur 4 rectiligne, infiniment long, parcouru par un

courant électrique d’intensité constante I. Dans le même plan que le fil 4 se trouveune spire ayant la forme d’un carré de côté a, dont deux côtés sont parallèles aufil 4 et tel que le centre O du carré est à la distance b du fil 4 (figure 5-1)

1-a- Calculer, en fonction de I, a et b le flux envoyé par le fil à travers le cadre.b- En déduire le coefficient d’induction mutuelle.2- Le circuit carré, parcouru par le courant I’, est éloigné jusqu’à l’infini.

Déterminer le travail fourni contre les forces électromagnétiques.

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3-a- Déterminer la force électromotrice e induite dans le circuit carré pendant le

déplacement si la vitesse de déplacement est uniforme et égale à v0.b- Quelle est sa valeur numérique au début du déplacement sachant que le côté

le plus proche de 4 est distant de a/2.On donne I = 100A, v0 = 3m/s

I

b O

a

figure 5-1

0.6 SUJET - 6 : CONTRÔLE DE RELATIVITÉ RESTREINTE

1

0.6.1 Exercice -1N.B. : Les parties A et B sont indépendantes.

1Cette année, la relativité a été enseignée comme demi-module.

14

A/ Un référentiel (R’) est animé d’un mouvement de translation uniforme devitesse −→v 0 par rapport à un référentiel (R) . Une particule a pour impulsion −→pdans (R) et

−→p′ dans (R’).

1- Déterminer la force−→f = d

−→pdt

en fonction de la force−→f ′ = d

−→p′dt

2- En déduire les composantes de−→f en fonction des composantes de

−→f ′ dans

le cas où la vitesse −→v0 est dans la direction parallèle à l’axe (ox).3- Examiner le cas où la particule est au repos dans le référentiel (R’)

B/ On définit la quadriforce de Lorentz par :

K = (−→k , i

−→E .

−→j

c)

Où−→k = ρ(

−→E + −→v ∧ −→

B )1- Montrer que la quadriforce K sous forme covariante s’écrit :

Kµ = F µνJν

F µν et Jν sont respectivement les composantes du tenseur champ et du quadrivecteurdensité de courant.

2- En déduire que la force de Lorentz est invariante par changement de référen-tiel

0.6.2 Exercice - 2On considère un conducteur parfait. On admet que le conducteur est à l’état neu-tre. Soit (R’) le référentiel propre du conducteur. Dans ce référentiel on a

−→j ′ = σ

−→E ′ et ρ′ = 0 (1)

où−→j ′ et ρ′ sont respectivement la densité de courant et la densité de charge,σ

la conductivité électrique et−→E ′ le champ électrique.

1- Montrer que les champ électrique −→E et magnétique −→

B dans le référentiel(R), par rapport auquel (R’) est animé d’un mouvement uniforme de vitesse −→v ,sont reliés à

−→E ′ par la relation.

−→E ′ = γ(

−→E + −→v ∧ −→

B ) − (γ − 1)(−→E .−→v )−→vv2

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où γ = (1 − β2)−1

2 et−→β =

−→vc.

3- Montrer que dans le référentiel (R). Les relations (1) deviennent

−→j = γσ(

−→E + −→v ∧ −→

B ) et ρ =

−→j .−→vc2

0.6.3 Exercice -3Un atome (un noyau ou une molécule) est en mouvement uniforme de vitesse vdans un fluide d’indice de réfraction n et se trouve dans un état excité. Lors dela transition vers l’état fondamental l’atome émet un photon (dans son référentieldu laboratoire (R) sous un angle φ par rapport à la direction du mouvement del’atome.

1- Si l’on désigne par m et m0 les masses respectivement dans l’état excité etdans l’état fondamental, donner la pulsation ω ′ émise dans le référentiel propre del’atome.

2- Déterminer la pulsation ω observée dans le référentiel (R) en fonction de ω,v, n et φ . On admettra que hω mc2 et on négligera les termes en h2.

3- En déduire la condition classique de rayonnement de Tchérenkov. Com-menter.

4- Application : des atomes d’hydrogènes excités sont émis dans le vide parune source au repos à l’origine d’un référentiel (R’) avec une vitesse v = 1.38106

m/s sous forme de deux faisceaux respectivement parallèle et perpendiculaire à ladirection du mouvement qui est l’axe (ox).

Déterminer pour la raie Hβ (λ′ = 4861A) les décalage 4λ⊥ et 4λ‖mesuréspar un observateur au repos dans (R) par rapport auquel (R’) est en mouvementde translation uniforme de vitesse v parallèle à (ox). Discuter.

0.7 SUJET - 7 : DEUG PC 95-96

0.7.1 Exercice - 1On considère une sphère conductrice portant une charge q répartie uniformé-

ment sur sa surface. Le centre de cette sphère est placé à la surface plane séparant

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deux diélectriques linéaires homogènes et isotropes qui sont notés 1 et 2 (figure7-1). Les grandeurs relatives au milieu 1 sont notées (−→E 1 , −→D1 , −→P 1 , ε1...) etcelles relatives au milieu 2 sont notées (−→E 2 , −→D2 , −→P 2 , ε2...).

1/ En utilisant les relations de continuité du champ électrique, montrer que lechamp électrique est le même dans les deux milieux.

−→E1 =

−→E2 =

−→E

2/a- En utilisant le théorème de Gauss, déterminer l’expression du champ élec-

trique en tout point M.On rappelle que :

∫ ∫ −→D.

−→dS = q et

−→Di = εi

−→Ei

b- En déduire les expressions de −→D1 et −→D2.

3/a- Déterminer les vecteurs de polarisation −→

P1 et −→P2.b- En déduire les charges de polarisation σ1P et σ2P

V2

V1

R1

O

R2

ε1

ε2

figure 7-1

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0.7.2 Exercice -2Un milieu neutre (ρ = 0), linéaire homogène et isotrope est caractérisé par

sa permittivité ε sa perméabilité µ0 et sa conductivité électrique γ.1/a- Donner les expressions des équations de Maxwell généralisées dans ce mi-

lieu.b- En déduire l’équation de propagation du champ électrique E.2/ On admet que les ondes électromagnétiques transversales, dont le champ

électrique est de la forme −→E =

−→E0e

−i(ωt−−→k .−→r ) puissent se propager dans ce

milieu.On définira une permittivité complexe ε∗ = ε+ i γ

ω

a- Quelle est l’équation de dispersion du milieu.b- En déduire l’indice de réfraction de ce milieu en fonction de εr.3/ Sachant que

−→B =

−→rot

−→A et

−→E = −−−→

gradV − ∂−→A∂t

Montrer que si on impose aux potentiels la condition suivante :

div−→A + εµ0

∂V

∂t+ γµ0V = 0

Le potentiel vecteur vérifie la même équation de propagation que le champélectrique E.

0.7.3 Exercice - 3Soit une spire circulaire de centre O , de rayon R0 et d’axe Oz, parcourue

par un courant constant I. Dans le champ statique crée par cette spire. On placeune seconde spire S plus petite ; de rayon R et de même axe, au point z0. Oncommunique à S un mouvement de translation sinusoïdale parallèle à Oz :

z(t) = z0 + aω sin(ωt)

z0 et a étant des constantes.1/a- Déterminer la vitesse de déplacement de la sphère S.c- En déduire l’expression du champ électromoteur de Lorentz.

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2/ Déterminer la f.e.m induite dans S à partir du champ de Lorentz en fonctionde Bρ.

On rappelle que le champ crée par une spire circulaire, en coordonnées cylin-driques, au voisinage de son axe est donné par :

−→B = Bρ(ρ, z)

−→eρ +Bz(ρ, z)−→ez

0.8 SUJET - 8 : CONTRÔLE DE RATTRAPAGE 95-96

0.8.1 Exercice -1A l’intérieur d’un solénoïde très long, d’axe horizontal Oz, comportant n spirespar unité de longueur parcourues par le courant : I = I0 cos (ωt).

On dispose une bobine plate de centre O, formée de N spires circulaires derayon a, de même axe que le solénoïde ( figure 8-1).

1. Déterminer le potentiel vecteur et le champ électromoteur en un point de laspire circulaire. On précisera le sens de chaque vecteur.

2. En déduire l’expression de la force électromotrice induite le long de la spire; on la supposera orientée dans le même sens que le solénoïde.

3. Reprendre le calcul de la force électromotrice par dérivation directe du fluxmagnétique

Z

spire

O.*

figure 8-2

19

0.8.2 Exercice - 2.On considère un cylindre constitué de matériau conducteur, de conductivité élec-trique γ de rayon a et de hauteur h, parcouru par le courant I uniformément répartien volume (

−→j = j(t)

−→k ).

1- Déterminer le champ électrique en tout point intérieur du conducteur.2- Déterminer de même le champ magnétique en tout point intérieur du con-

ducteur.3- Déterminer le vecteur de Poynting et son flux à travers la surface cylindrique

entourant le conducteur. Commenter

0.9 SUJET - 9 : 96-97 (DEVOIR - 1)

0.9.1 Exercice - 1 (7 points).I- Une lame magnétique, à faces parallèles, constituée d’un matériau linéaire, depermittivité relative µr est placée dans un champ magnétique −→

B0 uniforme. Dansun référentiel R (Ox,Oy,Oz) lié à la lame (figure 9-1), l’expression du champ àl’extérieur est:

−→B0 = B0x

−→ex +B0y−→ey

Déterminer les trois composantes des champs −→B , −→

H et −→M , supposés uni-formes, à l’intérieur du matériau en fonction de µr, B0x et B0y .

II- Soit un barreau cylindrique, de rayon a, de très grande longueur, aimantéuniformément dans une direction perpendiculaire à son axe. Déterminer, en toutpoint intérieur, le potentiel vecteur −→

A et le champ magnétique −→B crées par ce

barreau.

20

O

y

z

x

figure 9-1

0.9.2 Exercice - 2 .Un conducteur sphérique, de centre O, de rayon R, portant la charge

électrique Q, est entouré d’une couche d’un diélectrique linéaire, homogène etisotrope d’épaisseur a1 et de permittivité ε1, le reste de l’espace étant vide depermittivité ε0.

1/a- Déterminer l’induction −→

D , le champ électrique −→E et le vecteur polarisation−→

P en tout point de l’espace (r < R, R < r < R+a1, r > R+a1);b- Déterminer le potentiel V’(r) en tout point de l’espace ( V’ étant pris égal à

0 à l’infini).c- En déduire le potentiel V′

c du conducteur.2/ Déterminer le rapport K du potentiel V′

c et du potentiel Vc du conducteurportant la même charge Q en l’absence du diélectrique.

3/a- Calculer la capacité C’ et l’énergie potentielle U’ du conducteur.

21

b- En déduire le rapport C′

Cet U ′

U. C et U étant respectivement la capacité et

l’énergie du conducteur en l’absence du diélectrique.A.N ε1 = 2.5ε0, a1 = R = 10 cm.4/ Déterminer l’énergie électrique localisée dans le vide et dans le diélectrique.5/ La sphère conductrice est maintenant entourée de n couches diélectriques

superposées, d’épaisseur a1, a2, ..ak, .., an de permittivité ε1, ε2, .., εk, .., εn. Lacouche externe est métallisée et maintenue au potentiel 0 (figure 9-2).

a- Calculer l’induction −→D (r), le champ électrique −→

E (r) et l’énergie localiséedans la k-ème couche.

b- Déterminer la densité de charge de polarisation à la surface de la sphère derayon Rk.

R1

Rn

an

ak

RkR

figure 9-2

22

0.10 SUJET - 10 : DEVOIR SURVEILLÉ (DEVOIR 2 96-97)

0.10.1 Exercice - 1On étudie un solénoïde d’axe z’z, de rayon a et de longueur l, compor-

tant n spires par unité de longueur. Ce solénoïde est parcouru par un courantI(t). Le champ magnétique à l’intérieur est uniforme −→

B =−→B (t) ( on adopte

l’approximation du solénoïde infini).1/ Etablir l’expression du champ électromoteur induit à l’intérieur et à l’extérieur

du solénoïde.2/ Déterminer le vecteur de Poynting à l’intérieur du solénoïde et évaluer

le flux de ce vecteur à travers la surface cylindrique (longueur l, rayon a) dusolénoïde.

3/ Appliquer le théorème de Poynting et en déduire l’énergie magnétiqueemmagasinée dans le solénoïde.

4/ On considère une spire (C) de rayon R (R > a) entourant le solénoïde etpossédant le même axe de symétrie z’z que celui ci. Calculer la circulation duchamp électromoteur le long de cette spire.

5/ Calculer au moyen de la loi de Faraday la f.e.m d’induction e qui apparaîtdans la spire et vérifier que:

e =∫

C

−→E .

−→dl

0.10.2 Exercice -2La théorie électromagnétique étendue au cas d’un photon de masse nulle

dans le vide s’appuie sur les équations de Maxwell modifiées suivantes :

div−→B = 0 div

−→E = ρ

ε0− η2V

−→rot

−→E = −∂

−→B∂t

−→rot

−→B = µ0

−→j + 1

c2∂−→E∂t

− η2−→A

où V et −→A sont des potentiels scalaire et vecteur et où η est un paramètrepositif lié à la masse du photon.

1/ A quelle condition portant sur V et −→A la conservation de la charge est-ellesatisfaite ?

23

Dans la suite, on suppose que V et −→A sont liés par la condition de jauge suiv-ante :

div−→A +

1

c2∂V

∂t= 0

On rappelle que −→E = −−−→


et −→B =−→rot

−→A .

2/ Donner les équations de propagation vérifiée par V et −→A .3/ Dans le cas ou ρ et −→j sont nuls, on cherche les solutions des équations

précédentes sous la forme d’ondes planes monochromatiques

V (r, t) = ei(−→k .−→r −ωt) −→

A (r, t) =−→A0e

i(−→k .−→r −ωt)

Trouver la relation de dispersion entre ω, k et η et exprimer la vitesse de phasede ces ondes en fonction de k et η.

4/ Sachant qu’à une onde plane monochromatique de pulsation ω et de vecteurd’onde

−→k est associé un photon d’énergie E = hω et d’impulsion ,−→p = h

−→k en

utilisant la relation de dispersion, déterminer la masse m du photon prévue dansce cas.

0.10.3 Exercice - 3On considère une onde plane monochromatique de fréquence ν0 se propageant

suivant la direction de l’axe ox par rapport à un référentiel galiléen (R). Elle seréfléchit sur un miroir plan (M). Ce miroir est placé perpendiculairement à l’axeox est animé d’un mouvement de translation rectiligne et uniforme à la vitesse −→uparallèlement à l’axe ox.

Soient −→K0 et−→K ′ les quadrivecteurs de l’onde incidente respectivement dans le

référentiel R et R’. −→K et−→K ′′ les quadrivecteurs de l’onde réfléchie respectivement

dans le référentiel R et R’.Sachant que le quadrivecteur d’onde est donné par −→K = (

−→k , iω

c), déterminer

pour un observateur au repos dans (R) la fréquence ν de l’onde réfléchie en fonc-tion de ν0 et de β = u

c.

24

Onde incidente

Onde réfléchie

O x

z

o’

x’

z’

u

miroir

(R)

(R’)

0.11 SUJET - 11 : EXAMEN DE RATTRAPAGE 96-97

0.11.1 Exercice -1Entre les armatures d ’un condensateur plan se trouve un diélectrique dont la per-mittivité varie linéairement d’une plaque à l’autre. Soient εr1

et εr2les valeurs sur

les deux plaques (εr1<εr2

) et e la distance entre les plaques.Montrer que la capacité par unité de surface est donnée par

C =ε0(εr1

− εr2)

e logεr1

εr2

0.11.2 Exercice - 2Soit une sphère de centre O et de rayon R, aimantée uniformément (

−→M = M

−→k ).

1/ Déterminer la distribution de courants équivalente.2/ Calculer directement le champ magnétique au centre de la sphère.

25

0.11.3 Exercice -3Nous considérons un condensateur plan d’épaisseur d, circulaire de rayon r. Nousutilisons les coordonnées cylindrique et nous supposons que le champ électriqueest uniforme entre les armatures −→E = E

−→k où E = E(t).

a- Etablir l’expression du champ magnétique −→B entre les armatures en fonc-

tion de E(t).b- Evaluer le flux du vecteur de Poynting à travers la surface cylindrique (hau-

teur d, rayon r) constituée par le condensateur.c- Appliquer le théorème de Poynting et déduire l’expression de l’énergie U

stockée entre les armatures.

0.11.4 Exercice - 4Soit une particule de masse m, de quantité de mouvement p, d’énergie cinétiqueT, animée d’une vitesse v, toutes ces grandeurs étant mesurées dans le référentiel(R) du laboratoire. On pose γ = (1 − v2

c2)−

1

2

a- Rappeler l’expression de l’énergie et de la quantité de mouvement rela-tiviste.

b- Exprimer T et p en fonction de m et γ.c- Exprimer T en fonction de p et γ .d- Etablir la relation v = pc

T+mc2c.

e- Un faisceau de pions bombarde une cible constituée de protons pour donnernaissance à des mésons K1 d’énergie cinétique T =325 Mev et de quantité demouvement p = 650 Mev. Calculer la vitesse des mésons K1 dans ( R).

0.12 SUJET - 12 : DEVOIR SURVEILLÉ NR 1 (97-98)

0.12.1 Exercice -1Soit un cylindre conducteur de rayon R et de hauteur h, (h> >R), portant

une charge source Q. Ce conducteur est placé à l’intérieur d’un cylindre creuxde même hauteur et de rayon interne R1 et externe R2. L’espace entre les deux

26

surfaces délimités par les rayons R1 et R2 est remplie par un diélectrique de per-mittivité relative εr.

1- Calculer en tout point de l’espace, en fonction de Q, R, h, R1, R2, r, ε0 et εr

.- le champ électrique E(r)- l’excitation électrique D(r)- le potentiel électrique V(r)- la capacité du condensateur C- le vecteur polarisation P (r)- la densité de charge de polarisation surfacique σP

- la densité de charge de polarisation volumique ρP

2- En utilisant les conditions du passage à la surface de séparation externe ducylindre creux. Vérifier la continuité de chaque composante du champ électriqueE(r).

3- Calculer le champ électrique E0(r) créé par la charge source Q en tout pointen fonction de Q, r, h et ε0.

4- Considérons, maintenant, le diélectrique limité par R1 et R2. Exprimeruniquement en fonction de E0(r), ε0 et εr les grandeurs suivants :

- la polarisation P(r)- le champ électrique Ep crée par les charges de polarisation- le champ électrique total E(r)- l’induction électrique D(r)

0.12.2 Exercice - 2 :Soit un condensateur plan soumis à une ddp constante et dont les armatures

de surface S sont séparées d’une distance d. La surface supérieure porte la charge+Q = σ S et la surface inférieure la charge -Q = -σ S. On introduit à l’intérieur dece condensateur une lame diélectrique d’épaisseur e et de permittivité relative εr

1- En utilisant le théorème de Gauss, calculer le champ électrique crée parl’armature supérieure et inférieure. En déduire le champ électrique E0 crée par lesdeux armatures en fonction de σ et ε0.

2- En utilisant les conditions de passage à la surface du diélectrique calculerle champ E à l’intérieur du diélectrique en fonction de σ, ε0 et εr .

3- Calculer la différence de potentiel entre les bornes du condensateur en fonc-tion de σ, d, e, ε0 et εr.

4- En déduire la valeur de la capacité C du condensateur en fonction de d, e,ε0 et εr.

27

0.12.3 Exercice - 3Soit un cylindre de rayon R et de hauteur h (h> >R), remplie de matériau aimantéde perméabilité relative µr et parcouru par un courant libre de densité volumique

−→jlv (r) = αr

−→k

1- Calculer le champ magnétique B0 crée par les courants libres en tout point.2- Calculer les grandeurs suivantes, en tout point, en fonction de B0, µr et µ0.

- L’induction magnétique H.- Le champ magnétique total B.- L’aimantation M.- Le champ magnétique crée par l’aimantation Bm.

3- Vérifier les conditions de passage à la surface latérale du cylindre.4- Calculer les densités de courants d’aimantations surfaciques et volumiques.

0.13 SUJET - 13 : DEVOIR SURVEILLÉ NR 2 (97-98)

0.13.1 Exercice - 1

Un fil infini, parcouru par un courant I sinusoïdal (I = I0 sin ωt), estentouré, à une distance R0, par un solénoïde fermé sur lui même et comportant nspires par unité de longueur. Chaque spire de ce solénoïde a un rayon égal à R1,tel que R0> > R1 .

1 - Calculer la valeur du champ magnétique B crée par le fil à l’intérieur de cesolénoïde en fonction de µ0, I, et R0.

2 - En supposant que le champ magnétique qui traverse le solénoïde est con-stant, calculer le flux magnétique crée par le courant I et qui traverse chaque spire.

- En déduire le flux total.- En déduire le coefficient d’induction mutuelle fil - solénoïde.

3 - Le flux traversant le solénoïde étant variable dans le temps. En utilisant laloi de Faraday, calculer la f. e. m. e qui apparaît dans le solénoïde.

28

4 - Soit R la résistance total du solénoïde, la f. e. m. e donne naissance àun courant induit traversant les spires du solénoïde. Calculer la valeur du champmagnétique crée par ce courant induit.

0.13.2 Exercice - 2Une onde électromagnétique plane progressive monochromatique de pulsation

ω dont les vecteurs champs électriques et magnétique sont définis en coordonnéescartésiennes.

−→E =

Ex = E0x(x, y)ei(kgz−ωt)

Ey = E0y(x, y)ei(kgz−ωt)

Ez = E0z(x, y)ei(kgz−ωt)

−→B =

Bx = B0x(x, y)ei(kgz−ωt)

By = B0y(x, y)ei(kgz−ωt)

Bz = 0

kg étant le module du vecteur d’onde de propagation de l’onde guidée. Cetteonde se propage suivant la direction (oz) dans le vide. On suppose que le champ−→E est définis par une onde plane non transversale. On pose : k2 = ω2

c2.

1 -a) Donner l’expression des quatre équations de MAXWELL.b) En déduire que By = a Ex et Bx = b Ey. Donner la valeur de a et b.2 - Montrer, à partir des équation de MAXWELL, que les composantes Ex,

Ey, Bx et By s’expriment uniquement en fonction de ∂Ez

∂xou ∂Ez

∂y

3 - Montrer que l’équation de propagation de Ez s’écrit :

∂2Ez

∂x2+∂2Ez

∂y2+K2

cEz = 0

quelle relation lie Kc à k et kg.

0.14 SUJET - 14 : DEVOIR SURVEILLÉ DE RATTRAPAGE 97-98

Questions de cours :I - Donner la définition des vecteurs suivants ainsi que le sens physique

qu’ils représentent :

29

1 - Vecteur densité de courant libre2 - Vecteur densité de courant d’aimantation3 - Vecteur densité de courant de polarisation4 - Vecteur densité de courant de déplacement5 - Vecteur densité de courant de conduction

II - Donner l’expression des équations de Maxwell établies dans le videet dans les trois régimes suivants :

1- Stationnaire2- Quasi stationnaire3- VariableExpliquer la différence entre ces trois régimes.

0.14.1 Exercice - 1Soit un milieu diélectrique parfait neutre non magnétique de perméabilité

magnétique µ0 et de permittivité électrique ε ( ε est un complexe). On cherche àétudier la propagation des ondes électromagnétiques dont les plans d’ondes sontperpendiculaire à l’axe Ox. La forme la plus générale de ces ondes peut s’écrireainsi :

−→E =

Ex = E0x(x)e−iωt

Ey = E0y(x)e−iωt

Ez = E0z(x)e−iωt

−→B =

Bx = B0x(x)e−iωt

By = B0y(x)e−iωt

Bz = B0z(x)e−iωt

1 - Ecrire les équations de Maxwell - Ampère et Maxwell - Faraday qui régis-sent l’évolution des vecteurs champ électrique −→

E et champ magnétique −→B . En

déduire que −→E et −→B sont transversales.

2 - En déduire une relation différentielle de second degré pour Ey et pour Ez.3 - Résoudre cette équation et montrer que Ey s’écrit comme : Ey = E0ye

−iωt−γx

où γ est une grandeur complexe que l’on expliquera en fonction de ω, ε et µ0.

0.14.2 Exercice - 2On considère un milieu homogène de permittivité ε0, de perméabilité µ0 et

de conductivité γ, chargé avec la densité volumique ρ et parcourue par le courantde conduction de densité −→

Jc .1- Ecrire les équations de propagations du champ électrique −→

E et magnétique−→B .

30

2-Montrer qu’on peut obtenir des équations de propagation des potentielsvecteurs et scalaire équivalentes à celle déterminées ci-dessus à condition d’imposerle choix de Jauge suivant :

div−→A + ε0µ0

∂V

∂t+ γµ0V = 0

0.15 SUJET - 15 : DEVOIR SURVEILLÉ N-1 -98-99

0.15.1 Exercice -1Considérons un cylindre de rayon R0, de hauteur h (h> >R0) et rempli d’un

matériau diélectrique de permittivité absolue ε1. Ce cylindre est chargé avec unedensité volumique de charges libres ρl = αr, α = Cte. r est la distance du point Mde ce cylindre à l’origine du référentiel placé au centre de ce cylindre.

Ce cylindre est placé à l’intérieur d’un cylindre creux de même hauteur et derayon interne R1 et externe R2. L’espace entre les deux surfaces délimitées par lerayon R1 et R2 est rempli par un deuxième diélectrique de permittivité absolue ε2.

1 - Calculer, en tout point, l’induction électrique −→D .

2 -En déduire l’expression du champ total −→E et la polarisation −→P en tout point

de l’espace.3 - Calculer, en tout point, le champ −→

E0 crée par ρl.4 - En déduire le champ de polarisation −→

EP .5 - Sans faire de calcul, préciser les différentes surfaces qui présentent des

discontinuités pour chacun des vecteurs suivants :−→D , −→E0, −→EP , −→E , et −→P .6 - Calculer les densités de charges surfaciques de polarisation qui apparais-

sent à la surface des deux diélectriques.7 - Calculer, par deux méthodes différentes, les densités de charges volu-

miques de polarisation qui apparaissent à l’intérieur des deux diélectriques.8 - Vérifier que les charges de polarisation QP1 et QP2 qui apparaissent dans

les deux diélectriques sont bien nulles.

31

0.15.2 Exercice - 2Soit un cylindre de rayon R0 et de hauteur h (h> >R0) remplie d’un matériau

magnétique de perméabilité absolue µ1. Dans ce cylindre circule un courant librede densité volumique −→j = αr

−→k , α est une constante, r est la distance du point M

de ce cylindre à l’origine du référentiel placé au centre de ce cylindre. Ce cylindreest placé à l’intérieur d’un cylindre creux de même hauteur et de rayon interne R1

et externe R2 et est remplie par un deuxième matériau magnétique de perméabilitéabsolue µ2.

1- Calculer, en tout point, l’induction magnétique −→H en fonction de α, µ0,µi,

R0 et r.2- En déduire les vecteurs suivants en tout point :

Le champ magnétostatique totale −→B .

Le vecteur aimantation −→M .

3- Calculer en tout point le champ magnétostatique −→B0 crée par les courants

libres.4- En déduire le champ magnétostatique crée par les courants d’aimantation−→

Bm.5- En utilisant les symétries du cylindre 1.Citer les variables dont dépend le vecteur −→A et justifier.Citer les composantes nulles du vecteur −→A et justifier.En déduire le potentiel vecteur −→A crée par les courants libres à l’intérieur de

ce cylindre.6- Sans faire de calcul, préciser les différentes surfaces qui présentent de dis-

continuité pour chacun des vecteurs suivants : −→B0, −→B , −→H , −→M et −→Bm.7- Calculer les vecteurs densités de courant surfaciques d’aimantation qui ap-

paraissent à la surface des deux cylindres.8- Calculer les vecteurs densités volumiques de courants d’aimantation qui

apparaissent à l’intérieur des deux cylindres.9- Vérifier que les courants d’aimantation totale Im1 et Im2 qui circulent dans

les deux cylindres sont nuls.10- Vérifier les conditions de passage à la surface extérieure des deux cylindres

du champ −→Bm.

32

0.16 SUJET - 16 : DEVOIR SURVEILLE N-1 98-99

0.16.1 Exercice - 1 : effet de Peau dans un conducteurOn considère un milieu conducteur (câble coaxial par exemple) neutre,

de conductivité γ, de permittivité ε et de perméabilité µ0 dans lequel circule uncourant électrique sinusoïdal de pulsation ω. Ce courant est définit par un vecteurdensité de courant volumique libre −→

j tel que : −→j (r, t) =−→j0 (r)eiωt

1) Etablir les quatre équations de MAXWELL relatifs aux champs électro-magnétiques −→E et −→B en régimes quasi stationnaire.

2) Montrer qu’on peut obtenir l’équation suivante : 4−→j0 = iωγµ0

−→j0

3) En supposant que le vecteur −→j0 se réduit à la seule composante : −→j0 (r) =j0x(z)

−→i ; résoudre l’équation précédente en ne tenant compte que de la solution

physique.4) En déduire la profondeur δ à laquelle peut pénétrer le courant électrique.5) On appelle conducteur parfait un conducteur dans lequel le courant ne peut

circuler qu’à sa surface et par conséquent la profondeur δ est nulle. Quelle condi-tion faut-il imposer sur la conductivité γ pour obtenir une profondeur δ nulle.

6) Application : On donne : γ = 5,7 10−6 H−1 m−1 s , µ0 = 4π 10−7 H m−1.Pour deux types de fréquences, l’une industrielle (f 1 = 50Hz) et l’autre dans

le domaine de l’électronique (f2 = 100 MHz), calculer la profondeur δ1 et δ2. Quepeut-on conclure.

0.16.2 Exercice - 2 : Etude de photon de masse non nulleLes équations de MAXWELL-GAUSS et de MAXWELL-AMPERE qui

régissent l’évolution du champ électromagnétique, dans le vide, associées à unphoton de masse d non nulle sont :

div−→E = ρ

ε0− V

d2

−→rot

−→B = µ0

−→j + µ0ε0

∂−→E∂t

−−→Ad2

Où d est une constante inversement proportionnel à cette masse hypothétique.

Les équations intrinsèques (−→rot−→E = −∂−→B∂t

; div −→B= 0) ne subissent pas de

modifications.1) Donner la dimension de d.

33

2) Montrer, à partir de l’équation de la conservation de la charge électrique,qu’on peut obtenir la condition de la Jauge de Lorentz.

3) Etablir les équations de propagations des potentiels V et −→A dans le vide enutilisant la Jauge de Lorentz.

4) Etablir la relation de dispersion d’une onde plane sinusoïdal en fonction dek, ω, c et d.

5) En déduire la vitesse de phase et de groupe en fonction de c, ω et ω0. (onpose ω0= c/d)

6) Montrer que le photon ne peut se propager sans atténuation que si pulsationω est supérieur à ω0.

7) A une longueur d’onde de 650 nm, l’écart entre la vitesse de groupe mesuréedans le vide d’un paquet d’onde et la vitesse c est inférieur à 0,005%. Quellemasse maximale m pourrait avoir le photon sachant que d = h/2πmc. (h = 6,62610−34 j s).

0.16.3 Exercice - 3 : Effet Doppler relativiste

Considérons une source lumineuse s’éloignant à une vitesse −→v rectiligneet uniforme par rapport à un référentiel supposé fixe R. Une onde émise par cettesource possède une pulsation ω′ et un vecteur d’onde

−→k′ dans le référentiel R’ lié

à cette source. Cette même onde sera reçue par un observateur lié au référentielR et aura une pulsation ω et un vecteur d’onde

−→k . Le vecteur d’onde

−→k fait un

angle θ avec l’axe (ox) du référentiel R.1) Donner l’expression du quadrivecteur onde −→

K et−→K ′ dans les référentiels

R et R’.2) En s’appuyant sur la matrice L de Lorentz, établir les 4 équations reliants

les composantes du quadrivecteur onde−→K ′ à celles du quadrivecteur −→K .

3) Montrer que :

ω =ω′

√

1 − v2

c2

1 + v cos θc

4) Simplifier cette relation dans le cas classique : v < < c : effet Doppler clas-sique. (Cette relation a été établi avant l’élaboration de la théorie de la relativité).

34

5) Etudier l’effet Doppler relativiste dans les cas suivants : (θ= 0, θ = π2

etθ = π. Pour quelle valeur de θ l’effet Doppler ne peut être interpréter que dans lecadre de la relativité même si v < < c.

0.17 SUJET - 17 : EXAMEN DE RATTRAPAGE 98-99.

Questions de cours : (4 points)

1) Citer les deux postulats du principe de la relativité classique2) Citer les deux postulats du principe de la relativité restreinte3) Le principe de la relativité classique ne s’applique pas à une branche de la

physique, laquelle ?4) En 1905, Einstein a émis les deux postulats de le relativité restreinte, dans

quel but ?

0.17.1 Exercice - 1 : Induction électromagnétique (9 points)

On considère deux solénoïdes (1) et (2) de grande longueur h, de mêmeaxe et de rayon a1 et a2 (a1 < a2) comportants respectivement n1 et n2 spires parunité de longueur. On les oriente de la même façon, les deux solénoïdes sontparcourus par les courants d’intensités I1 et I2 respectivement.

1) En utilisant le théorème d’Ampère, calculer le champ magnétique −→B1 et −→B2

crée respectivement par le solénoïde (1) et (2).2) En utilisant le théorème de Stoke, calculer le potentiel vecteur −→A1 et −→A2 crée

respectivement par le solénoïde (1) et (2).3) Calculer le flux magnétique φ11 du champ magnétique −→

B1 qui traversechaque spire du solénoïde (1). En déduire le flux total φT

11et l’inductance L1.4) Calculer le flux magnétique φ22 du champ magnétique −→

B2 qui traversechaque spire du solénoïde (2). En déduire le flux total φT

22 et l’inductance L2.

35

5) Calculer le flux magnétique φ21 du champ magnétique −→B1 qui traverse

chaque spire du solénoïde (2). En déduire le flux total φT21 et le coefficient d’induction

mutuelle M.6) Calculer l’énergie potentielle magnétostatique des deux solénoïdes (1) et

(2). Retrouver les valeurs des coefficients L1, L2 et M.

0.17.2 Exercice - 2 : Etude du champ électromagnétique (7points)

Un condensateur sphérique est constitué de deux armatures métalliquesparfaitement conductrices sphériques, concentriques, de centre O, de rayon a et b(a<b) et portant une charge surfacique +σ et -σ respectivement. L’espace comprisentre ces armatures est rempli d’un matériau conducteur de conductivité γ, de per-mittivité ε0 et perméabilité µ0. On cherche à étudier le champ électromagnétiquevariable −→

E (r, t) et −→B (r, t) régnant à l’intérieur de ce condensateur. On ne tientpas compte du champ statique. Dans ce qui suit on suppose que −→

E0 peut s’écrire:−→E (r, t) =

−→E (r)f(t)

1) Etablir les équations de MAXWELL relatives aux champs −→E et −→B régnantà l’intérieur de ce condensateur.

2) En utilisant la symétrie du condensateur et à partir de l’équation de MAXWELL-GAUSS déterminer le champ −→

E (r) régnant à l’intérieur du condensateur.3) A partir de l’équation de MAXWELL-FARADAY montrer que le champ−→

B (r) est nul.4) A partir de l’équation de MAXWELL-AMEPRE déterminer une équation

différentielle temporelle du premier ordre satisfaite par f(t).5) Résoudre cette équation et en déduire la constante du temps τ en fonction

de µ0 et γ.6) En supposant que le condensateur porte la charge Q0 à l’instant t = 0 et à

partir du théorème de GAUSS déterminer l’expression finale du champ électrique−→E (r, t) en fonction de Q0, ε0, r, t et τ .


36

Questions de cours :1 - Une sphère diélectrique neutre est placée dans une région d’espace où

règne un champ électrostatique intense.a - Cette sphère, peut-elle émettre un champ électrostatique de polarisation à

l’extérieur ?b - Peut-on extraire les charges de polarisation qui apparaissent à sa surface ?2 - Expliquer en quelques lignes la réaction, au niveau microscopique et macro-

scopique, d’un matériau diamagnétique, paramagnétique et ferromagnétique sousl’action d’un champ magnétostatique extérieur.

0.18.1 Exercice - 1Considérons une sphère conductrice creuse de rayon R portant, uniformément,

la charge -Q à sa surface. Cette sphère est remplie d’un matériau diélectrique depermittivité absolue ε1 et portant une densité volumique de charge libre ρ = αr,α est une constante, r est la coordonnée d’un point M par rapport à un référentielplacé au centre de la sphère. Cette sphère est plongée dans un deuxième matériaudiélectrique, neutre, de permittivité absolue ε2.

1 - Justifiez chacune de vos réponses :a - Donner le système de coordonnées le mieux adéquat.b - Quelles sont les coordonnées dont dépend le champ électrostatique créé

par ce système.c - Quelles sont les composantes nulles du champ électrostatique créé par ce

système.2 - Etablir l’expression des vecteurs suivants : −→

D,−→E , −→P , −→E0et −→EP en tout

point en fonction de α, R, Q, ε1, ε2 et r.3 - Etablir l’expression de toutes les densités surfaciques et volumiques de

polarisation.4 - Pour quelle valeur de α a-t-on un champ électrostatique −→E nul à l’extérieur.5 - Pour quelle valeur de α a-t-on un champ électrostatique −→E nul à l’intérieur.6 - Quelle relation doit lier ε1 et ε2 pour que le champ électrostatique −→

E soitcontinu à la traversée de la surface de la sphère.

7 - Calculer les charges de polarisation totales QP1 et QP2. Conclure

37

0.18.2 Exercice - 2Considérons un cylindre de hauteur h, de rayon R0 tel que h> >R0, rempli

d’un matériau aimanté de perméabilité absolue µ1 et parcouru par un courant dedensité volumique

−→jlv = αr

−→k où α est une constante, r est la distance radiale d’un

point M par rapport à l’origine d’un référentiel placé au centre de ce cylindre.Ce cylindre est entouré par une substance aimantée sous forme torique de rayonintérieur R1 et extérieur R2 et de perméabilité absolue µ2.

1 - Justifiez chacune de vos réponses :a- Donner le système de coordonnées le mieux adéquat.b- Quelles sont les coordonnées dont dépend le champ magnétostatique créé

par ce système.c - Quelles sont les composantes nulles du champ magnétostatique créé par ce

système.2 - Etablir l’expression des vecteurs suivants −→

H , −→B , −→M , −→B0 et −→Bm en toutpoint en fonction de α, R0, µ1, µ2 et r.

3- Calculer tous les vecteurs densités de courants d’aimantations surfaciqueset volumiques.

4- Recalculer les vecteurs densités de courants d’aimantations surfaciques enutilisant les conditions aux passages d’un milieu à un autre.


Questions de cours :1) Citer l’équation de la conservation de l’énergie potentielle du champ élec-

tromagnétique contenue dans un volume rempli de charges électriques en mouve-ment.

2) Donner une interprétation physique à chacun des termes de cette équation.

0.19.1 Exercice - 1Considérons une tige métallique NM de longueur l, se déplaçant à la vitesse

constante −→v parallèle à l’axe (ox), dans un champ magnétique −→B constant et

38

parallèle à l’axe (oy). Cette tige a une résistance R.1) Calculer le champ électromoteur de Lorentz qui apparaît dans cette tige.2) Calculer le flux coupé par cette tige lors de son déplacement dans le champ

magnétique.3) Calculer la force électromotrice qui apparaît dans cette tige par deux méth-

odes différentes.4) Quel est le point de potentiel le plus élevé de cette tige.5) Calculer le courant i qui circule dans cette tige.Cette fois ci, le champ magnétique est variable dans le temps ( −→A = A0e

−αt−→k oùA0 et α sont des constantes) et la tige est immobile. On place une spire carrée decôté b dans le plan (xoz), à une distance a de la tige et de dimension négligeable.La longueur de la tige peut être considérée comme infinie devant la spire.

6) Calculer le champ électromoteur de Neuman qui apparaît dans la tige.7) Calculer le courant induit qui circule dans la tige.8) Calculer le flux magnétique créé par la tige et qui traverse cette spire. En

déduire le coefficient d’induction mutuelle M.

0.19.2 Exercice - 2L’ionosphère est une partie de l’atmosphère qui peut être considérée comme

un plasma formé d’électrons et d’ions de densité ρ nulle. On admet que la per-mittivité diélectrique et la perméabilité magnétique sont celles du vide. On veutétudier la propagation d’une onde plane de vecteur d’onde

−→k et de pulsation ω.

Les électrons étant libres, leur mouvement est caractérisé par une conductivitécomplexe γ telle que γ = i

ε0ω2p

ωoù ω est la pulsation de l’onde et ωp est la pulsa-

tion propre du plasma.1) Ecrire les équations de MAXWELL décrivant les champs électriques et

magnétiques relatifs à ce milieu.2) Déterminer les équations de propagation des champs −→E et −→B .3) En cherchant des solutions du champ électrique de type d’ondes planes et

en utilisant la notation complexe établir l’équation de dispersion du milieu.4) Calculer la vitesse de phase et celle du groupe de cette onde.5) Discuter la nature de l’onde dans ce milieu selon la valeur de ω.6) Calculer la longueur d’onde λ dans ce milieu en fonction de la longueur

d’onde λ0 dans le vide pour différents cas de ω.

39

7) Dans quelle condition a-t-on la vitesse de phase et celle du groupe presqueégale.

8) Calculer le vecteur de Poynting −→R en fonction du module de −→

E .

0.19.3 Exercice - 3Considérons deux référentiels galiléens R et R’. R est le référentiel de

Copernic et R’ est le référentiel, supposé galiléen, lié à la terre. R’ est animéd’une translation rectiligne et uniforme selon l’axe (ox) par rapport à R avec unevitesse −→u , la lumière émise par une étoile, supposée fixe dans R, fait un angle θpar rapport à l’axe (ox) dans le plan (xoy) de R et un angle θ ′ par rapport à R’.

On suppose que la lumière est constituée de photons (particule de masse nullese déplaçant à la vitesse de la lumière).

1) Donner les formules de transformations des vitesses d’un référentiel à unautre.

2) En décomposant les vecteurs vitesses −→v et−→v′ des photons dans le système

d’axes des référentiels R et R’, déterminer les relations suivantes :cosθ′ en fonction de cosθsinθ′ en fonction de sinθ et cosθ.3) Retrouver les résultats obtenus à la question 2) en utilisant les quadravecteurs

ondes.

0.20 SUJET - 20 : DEVOIR DU RATTRAPAGE 99-00

0.20.1 Exercice - 1Considérons un milieu neutre et de conductivité nulle dans lequel se propage

une onde électromagnétique suivant l’axe oz. Les vecteurs champ électrique etchamp magnétique de cette onde sont définis par les composantes suivantes :

−→E =

Ex = E1(x)ei(kz−ωt)

Ey = 0Ez = E2(x)e

i(kz−ωt−π2)

−→B =

Bx = 0By = B0y(x)e

i(kz−ωt)

Bz = 0

40

1) En utilisant l’équation de Maxwell - Gauss établir une relation différentielleentre E1(x) et E2(x).

2) En utilisant l’équation de propagation du champ électrique montrer queE1(x) et E2(x) vérifient une équation différentielle du deuxième degré de la forme:

∂2Ei

∂x2+ (

ω2

c2− k2)Ei = 0 i = 1 ou 2

3) Résoudre l’équation différentielle de E1(x) dans le cas suivant : ωc> k,

E1(0) = E0 = cte et dE1

dx)x=0 = 0.

4) En déduire l’expression de E2 (x) en fonction de E0.5) En utilisant l’équation de Maxwell - Faraday déterminer l’expression du

vecteur champ magnétique en fonction de E1.6) Vérifier que les champs électriques et champs magnétiques sont solutions

de l’équation de Maxwell - Ampère.7) Cette onde électromagnétique est-elle plane, transversale ? Justifier votre

réponse.8) Quelle condition faut-il imposer pour que cette onde électromagnétique soit

plane et transversale ?

0.21 SUJET - 21 : DEVOIR SURVEILLÉ -1 NOVEMBRE-2000

Questions de cours.1- Etablir le lien entre la susceptibilité et la polarisabilité d’un diélectrique non

polaire.2- En introduisant la masse volumique ρ, retrouver la formule de Clausius-

Mossoti.

0.21.1 Problème -1Une sphère diélectrique de rayon R est polarisée uniformément (vecteur de polar-isation −→

P ). On se propose de calculer directement le potentiel.

41

1- Déterminer l’expression du potentiel dV dû au moment d−→p correspondantà l’élément de volume dv.

2- Donner alors l’expression de V sous forme d’une intégrale qui se ramène àun calcul connu en électrostatique.

3- En déduire Vint (r<R) et Vext (r>R).4- Montrer qu’on retrouve à l’intérieur de la sphère polarisée, le champ uni-

forme −→Ei = −

−→P3ε0

et à l’extérieur le champ dû à un dipôle dont on déterminera lemoment dipolaire −→p .

5- On note −→E0 le champ extérieur qui a donné naissance à la polarisation −→P .

a- Donner l’expression du champ total −→E .b- Montrer que

−→P =

χ

1 + χ3

ε0−→E0

χ étant la susceptibilité diélectrique du matériau.6- Calculer les densités surfacique et volumique de charges de polarisation σp

et ρp , représenter σp sur la sphère.

0.21.2 Problème -2Soit un très long cylindre de rayon a taillé dans un matériau d’aimantation −→

M , levecteur −→M est parallèle en tout point à l’axe du cylindre ( on prendra Oz commeaxe du cylindre). L’aimantation ne dépend que de la distance r du point à l’axe,−→M est de la forme :

−→M =

r

aM0

−→ez

M0 est une constante.1- Calculer les densités de courants surfacique et volumique −→

jms et −→jmv dues àcette aimantation.

−→rot

−→U = −∂Uz

∂r−→eθ si

−→U = U(r)−→ez

2- On veut déterminer −→Bm en tout point à l’intérieur et à l’extérieur du cylindre.a- Monter que −→

Bm est porté par Oz.b- Monter d’une manière brève que −→

Bm,ext =−→0

c- En appliquant le théorème d’Ampère sur un contour de longueur h et delargeur a définir, monter que :

42

−→Bm,int = µ0

r

aM0

−→ez r < a

3- Etudier la continuité de −→Bm à la surface du cylindre.

4- Le matériau étudié est de susceptibilité magnétique χm, écrire −→M en fonc-

tion du champ total −→B.

0.21.3 Problème -3On considère une substance ferromagnétique telle que la courbe de dé-

saimantation B = f(H) est de la forme :

B =H + aHc

+ ab

a, b, c sont des constantes positives (b<c).Le champ B décroît à partir d’une valeur B0 jusqu’à B=0.1- Donner la signification physique des constantes a et b et les unités mesurant

ces constantes.2- Tracer l’allure du graphe B=f(H) pour 0BB0

0.22 SUJET - 22 DS NR 2 PREMIER SEMESTRE 2000

0.22.1 Problème -1Soit une bobine constituée par un enroulement solénoïdal de N spires sur unesurface cylindrique de rayon R et de longueur L0. Les extrémités de l’enroulementsont A et B. L’intensité du courant dans le solénoïde est i(t) et n le nombre despires par unité de longueur.

1) Déterminer le potentiel vecteur −→A à l’intérieur et à l’extérieur du solénoïde.2) Déterminer le champ électromoteur Em sur la bobine et donner l’expression

de dl ( dl étant un élément du fil).

43

3) En déduire alors la f.e.m eAB puis le coefficient L d’auto-induction de labobine.

4) Nous considérons maintenant un fil conducteur reliant A et B par l’extérieurdu solénoïde . Calculer la f.e.m e’AB induite sur ce fil On prendra :

0.22.2 Problème -2On considère un conducteur métallique de masse volumique µ et de masse

atomique M. Chaque atome du métal peut libérer un électron de conduction decharge -e et de masse m.

Le milieu est plongé dans un champ électrique −→E =

−→E0e

iωt où E0 est unvecteur constant et les électrons de conduction mis en mouvement sont soumis àune force de frottement de la part du réseau de la forme Ff = −m

τv où v désigne

le vecteur vitesse. On note N le nombre d’Avogadro.1) Ecrire le principe fondamental de la dynamique appliqué à un électron.2) Montrer qu’en substituant la solution v = v0e

iωt dans l’équation ci-dessus,on obtient v en fonction de E0 , ω, m et τ.

3) Montrer que la densité volumique de charges mobiles est: ρmobile = − eNµM

. En déduire l’expression du vecteur densité de courant J.4) La conductivité γ relie J et E ; donner son expression en utilisant la question

3).5) On étudie la propagation d’une onde E.M. plane progressive sinusoïdale

polarisée rectilignement dans le milieu . Etablir l’équation de propagation à partirdes équations de Maxwell.

6) Etablir la relation de dispersion dans le cas où le champ de l’onde est de laforme : E = E0e

i(ωt−kz)

On posera ω0 = 1τ

7) On étudie la relation de dispersion dans le domaine optique :ω ω0et ω < ωp . Donner l’expression approchée de k2. Quel est le champ

électrique dans ce cas ? Commenter.

0.22.3 Problème -3Soient deux repères galiléens (R) et (R’) reliés par la transformée de Lorentz. (R)étant fixe et (R’) en mouvement de translation uniforme par rapport à (R). Lavitesse de translation est u = uex

Une particule de charge q au repos dans (R’) et placée au point O’, crée en unpoint M (x’,y’,z’) par rapport au trièdre (O’x’y’z’) un champ électrostatique E’.

44

1) En utilisant la loi de Coulomb, donner l’expression de E’. On prendra :r′2 = x′2 + y′2 + z′2

Expliquer Brièvement pourquoi B’ = 02) Ecrire les transformations relativistes de E vers E’ et de B vers B’.3) En déduire E et B créés par la charge dans le référentiel (R ).4) Ecrire x’,y’,z’ ,t’ en fonction de γ , x, y, z , t ...On suppose que O et O’ coïncident à l’instant t= t’ = 0.

0.23 SUJET - 23 RATTRAPAGE JANVIER 2001

0.23.1 Exercice -1On se propose d’étudier la polarisabilité d’orientation pour un milieu con-

tenant n molécules par unité de volume. Debye a montré que les variations duvecteur Polarisation P dans le champ local El dépendant du temps sont donnéespar : P + τ dP

dt= nα0ε0El

1) Que représente physiquement les grandeurs α0 et τ?2) Calculer la polarisabilité complexe α(ω) dans le cas où El = E0e

−iωt etsachant que P = nα(ω)ε0El.

3) Dans le cas où l’on peut confondre le champ local El et le champ macro-scopique E , calculer la permittivité relative complexe εr = εr1 + iεr2

On rappelle que 1 + χ = εr ( χ étant la susceptibilité électrique du milieu)

0.23.2 Exercice - 2On considère un fil conducteur rectiligne très long parcouru par un courant I.

1) Calculer le champ magnétique B créé par le fil à une distance x du fil.2) On place à la distance c du fil un cadre rectangulaire dans le même plan que

le fil, de longueur a et de largeur b.a) Calculer le flux total φ à travers le cadre (on exprimera d’abord dφ)b) En déduire l’inductance mutuelle M du fil et du cadre.

45

0.23.3 Exercice -3Soit un milieu diélectrique parfait , neutre, de perméabilité magnétique µ0 et depermittivité électrique ε est un complexe de la forme - iε1 avec ε1 > 0.

On étudie la propagation d’ondes E.M. se propageant suivant Ox.1) Ecrire les équations de Maxwell qui régissent l’évolution des champs E et

B dans le milieu considéré.Montrer que Ex et Bx sont nuls.2) Etablir l’équation de propagation c’est à dire l’équation différentielle pour

Ey et Ez.En déduire la relation de dispersion (on trouvera k complexe)3) Montrer que Ey s’écrit :Ey = E0ye

−kxei(ωt−kx)

On donnera l’expression de k1 en fonction de ω, ε1r.4) Calculer la vitesse de phase et la vitesse de groupe pour cette onde.5) En utilisant le rotationnel de E , trouver Bz . En déduire Ey / Bz

6) Déterminer Ez et By

7) Calculer alors E.B et E / B

0.24 SUJET - 24 DEVOIR N 1- AVRIL 2001

0.24.1 Exercice-1A- Une sphère diélectrique S de rayon R, est polarisée uniformément avec −→

P =P−→ez .

1) Calculer les densités de charges équivalentes à cette polarisation.2) Montrer que cette distribution de charge peut être remplacée par deux dis-

tributions sphèriques S1 et S2 de rayon R, de centres respectifs O1et O2 et tels queO1O2 = a (a < < R). La sphère S1 porte la densité volumique uniforme -ρ et lasphère S2 la densité uniforme +ρ. Dans le volume commun au deux sphères, lesdeux charges volumiques se compensent. Representer les deux distributions ( -ρ ,+ρ ) et calculer le champ électrique qu’elles créent en tout point de l’espace.

3) Déduire le champ et le potentiel électriques crées par la sphère diélectriqueen tout point de l’espace.

4) Utiliser l’équation de Laplace pour retrouver les expressions du potentiel etdu champ électriques à l’intérieur de la sphère.

46

5) On applique un champ électrique uniforme −→E0à la sphère, calculer le champélectrique résultant en tout point de l’espace.

B- Une sphère ferromagnétique de perméabilité µ >> µ0 , possède une aiman-tation uniforme −→

M = M−→ez .1) Donner l’expression du potentiel-vecteur élémentaire d−→A créé par l’élément

de volume dτ de la sphère en un point P de l’éspace.2) Montrer que le calcul de −→A se ramène à un calcul bien connu en électrosta-

tique, en déduire l’expression de −→A :

a− à l’extérieur de la sphère.b− à l’intérieur de la sphère.

3) Donner l’expression de −→B en tout point de l’espace.

4) On place cette sphère dans une région de l’espace où régne un champ mag-nétique uniforme −→

B0 .a− Déterminer le champ interne résultant −→Bir en fonction de µ et −→B0 .En déduire l’expression de l’excitation interne résultante −→

Hir.b- Calculer le champ externe −→

Ber .

0.24.2 Exercice 2Un condensateur sphèrique est constitué de deux armatures métalliques d’épaisseurstrès faibles, de rayons R1 et R2 (R2 > R1 ). L’espace compris entre les armaturesest séparé en deux parties égales par un plan diamétral horizontal. Les deux demi-condensateurs sont remplis avec deux diélectriques différents de permitivité ε1

pour celui qui est au-dessus et ε2 pour l’autre. Le condensateur est chargé etmaintenu à une différence de potentiel constante positive V1 - V2 (Figure-24-1).

figure 24-1

1) Montrer que le champ électrique −→E entre les armatures est le même qu’en

absence des deux diélectriques ( on utilisera les relations de continuité du champélectrique au passage de l’interface).

2) En désignant par Q0 la charge du condensateur en absence des deux diélec-triques, calculer le champ électrique −→

E en tout point entre les armatures en fonc-tion de Q0 .

3) En déduire l’expression de la différence de potentiel V1 - V2 en fonction deQ0 , puis celle du champ −→

E en fonction de V1 - V2.4) On désigne par Q la charge du condensateur avec les diélectriques. En

appliquant le théorème de Gauss, déterminer Q en fonction de V1 - V2, en déduirela capacité d’un tel condensateur.

47

V2

V1

R1

O

R2

ε1

ε2

5) Calculer les densités superficielles de charge σ et σ ′ sur l’hémisphère supérieuret sur l’hémisphère inférieur de l’armature interne.

0.24.3 Exercice 3Un fil rectiligne (supposé infini) de section négligeable est disposé selon l’axeOz du repère (Oxyz). Il est parcouru dans le sens positif de l’axe par un courantcontinu d’intensité I1. Un cadre rectangulaire indéformable AA’B’B est placédans le plan (yOz) symétriquement par rapport à l’axe Oy ; le point P est le milieudu segment AB (figure-2). Les dimensions de ses côtés sont AB = A’B’ = b etAA’ = BB’ = a. Le côté AB est à la distance l de l’axe Oz. Le cadre est parcourupar un courant continu d’intensité I2. M est un point quelconque de la surface ducadre.

1) Déterminer le champ magnétique −→B (M) généré au point M par le courant

I1 circulant dans le fil infini.2)

a- Calculer le flux du champ magnétique −→B (M) à travers le cadre.

b- Calculer le potentiel vecteur −→A (M) du champ magnétique −→B (M).

c- Retrouver la valeur du flux du champ magnétique −→B (M) à travers le

cadre à partir de l’expression du potentiel vecteur −→A (M).3)

a- Calculer à l’aide de la loi de Laplace , les forces exercées par le champmagnétique du fil −→B (M) sur les quatre côtés du cadre.

b- Préciser la résultante des forces de Laplace −→FL sur le cadre.

48

z

x

O

A A’

B’B

M.

P

I2

I1

a

b

l

c- Retrouver l’expression de la résultante des forces de Laplace −→FL sur le

cadre à partir de lavaleur du flux du champ magnétique −→B (M) calculé en 2)a-.

d- On suppose que le cadre peut évoluer librement (poids du cadre nég-ligeable), interpréter l’action de la résultante des forces de Laplace −→FL sur le cadre.Conclusion ?

4) On suppose maintenant que le cadre possède des dimensions suffisammentpetites devant l ( a < < l et b < < l) pour qu’il puisse être assimilé à un dipôlemagnétiqueplacé en P.

a- Donner l’expression du moment magnétique −→M du dipôle.

b- Calculer l’énergie potentielle du dipôle dans le champ magnétique−→B (M).

c- En déduire la résultante des forces −→Fd exercée par le fil sur le dipôle.Comparer −→Fd et −→FL.

49

0.25 SUJET - 25 DEVOIR N 2-9 JUIN 2001

0.25.1 Problème-1I- Le milieu considéré est le vide. A partir de l’equation de Maxweel-Ampère,des relations reliants les champs −→

E et −→B au potentiel vecteur −→A et au poten-

tiel scalaire V et la jaug de Lorentz, montrer que le potentiel vecteur −→A vérifiel’équation de propagation :

4−→A − 1

c2∂2−→A∂t2

= 0

2

II- Une onde électromagnétique se propage entre deux plans infinis, parallèleset parfaitement conducteurs, d’abscisse x =0 et x = a, constituant un guide d’onde.

Dans le type de propagation étudié, le potentiel vecteur de l’onde a pour ex-pression

−→A = A0sin(

nπ

ax)exp− i(ωt− kz)−→ey

Où n est un entier définissant le mode de propagation.II-1. Déduire de l’équation de propagation du potentiel vecteur −→A l’équation

de dispersion du guide.Montrer pour qu’il ait propagation il faut que ω > ωc, ωc étant la pulsation de

coupure, dont on déterminera l’expression. Tracer k(ω).

Comment s’écrit le potentiel vecteur −→A pour ω < ωc. Y a-t-il propagation ?Dans la suite, on ne considère que le cas ω > ωc.II-2. Le potentiel scalaire est nul entre les deux plans, calculer le champ

électrique de l’onde , On posera E0 = ωA0. Les conditions aux limites sont-ellessatisfaites ?

Donner l’expression de la valeur réelle −→ER de −→

E .Par la suite, il est conséillé d’abandonner la notation imaginaire.II-3. Calculer les composantes du champ magnétique −→BR de l’onde en l’absence

du champ magnétique permanent.II-4. L’onde étudiée est-elle plane progressive? Dans quelle direction se fait

la propagation et à quelle vitesse ?II-5. Calculer le flux φ du vecteur de Poynting à travers une surface S orthog-

onale à Oz de hauteur a et de largeur b. Calculer la valeur moyenne < φ > du flux

2Rappels : Jauge de Lorentz : div−→A + 1

c2

∂V

∂t= 0

50

φ.3

0.25.2 Problème - 2I- On considère deux référentiels R(Oxyz) et R’(O’x’y’z’) tels que :

- les deux axes O’x’, O’y’ et O’z’ orthonormés de R’(O’x’y’z’) soient paral-lèles aux axes Ox, Oy, Oz de R(Oxyz),

- O’x’ coïncide avec Ox,- R’(O’x’y’z’) se déplace à la vitesse −→u = u−→ex par rapport à R(Oxyz).A t = t’ = 0, O = O’, un faisseau lumineux est émis depuis l’origine O à la

vitesse C. La lumière atteint un détecteur placé en un point M de coordonnées(x,y,z,t) dans R(Oxyz) et de coordonnées (x’,y’,z’,t’) dans R’(O’x’y’z’).

I-1. Trouver la relation qui lie les coordonnées x,y,z,t d’une part et les coor-données x’,y’,z’,t’ d’autre part. Interpreter les résultats obtenus.

I-2. On veut exprimer les coordonnées (x,y,z,t) dans R(Oxyzt) en fonction decoordonnées (x’,y’,z’,t’) dans R’(O’x’y’z’) a l’aide de la transformation :

x′ = k(x− ut x = k′(x′ + ut′)y′ = y y′ = yz′ = z z′ = z

Où k et k’ ne dépendent que de u. Exprimer t’ en fonction de t, déterminer ket k’, en déduire la transformation spéciale de Lorentz.

II- On cherche à déterminer les relations qui lient les composantes du champélectromagnétique (

−→E ,

−→B ) dans R(Oxyz) et les composantes (

−→E ′,

−→B′) dans R’(O’x’y’z’).

On admet que la transformation spéciale de Lorentz laisse invariente les équationsde Maxwell dans le vide lorsqu’on passe de R(Oxyz) vers R’(O’x’y’z’) et inverse-ment.

II-1. Exprimer ∂∂x′, ∂

∂y′, ∂

∂z′, ∂

∂ct′en fonction de ∂

∂x, ∂

∂y, ∂

∂z, ∂

∂ct.

II-2. Ecrire dans R(Oxyz) et dans R’(O’x’y’z’) les équations de Maxwell quitraduisent la loi de l’induction électromagnétique.

II-3.a- Projeter les équations II-2. sur les axes Oy et O’y’, en les écrivant de

manière à ne faire intervenir que les opérateurs ∂∂x, ∂

∂y, ∂

∂z, ∂

∂ct. Identifier les termes

en ∂∂x, ∂

∂y, ∂

∂z, ∂

∂ctdans les équations en (

−→E ,

−→B ) et en (

−→E ′,

−→B′).

3On rappelle que : < sin2(ωt − kz) >= 1

T

∫ T

0sin2(ωt − kz)dt = 1

2

51

x

y

zO

a

b- Refaire la même démarche en projetant sur Oz et O’z’.II-4. Utiliser l’équation de Maxwell qui exprime le caractère conservatif du

flux du champ magnétique, en déduire Bx en fonction de B ′x.

II-5. On désigne par −→E‖ et −→E⊥, −→B‖,−→B⊥ les composantes respectivement paral-

lèles et orthogonales à la direction Ox du mouvement relatif des deux référentiels,donner les expressions de −→

E‖ et −→E⊥, −→B‖,−→B⊥ en fonction de (

−→E ′,

−→B′).

III. On considère une particule de charge q, animée de la vitesse −→v dans leréférentiel R(Oxyz) où régne un champ électrique −→

E et un champ magnétique−→B. Sans restreindre la généralisation du problème, on prend −→v = v−→ex . On sup-pose que le référentiel R’(O’x’y’z’) possède à l’instant t la même vitesse que laparticule chargée. On admet que la relation fondamentale de la dynamique New-tonienne est valable dans le référentiel R’(O’x’y’z’) où la particule est immobile.

III-1. On note −→a et−→a′ les accélérations respectives de la particule chargée

dans R(Oxyz) et dans R’(O’x’y’z’). Exprimer −→a ‖ , −→a ⊥ en fonction de−→a′ ‖ ,

−→a′ ⊥.

III-2. En utilisant les relations de transformation du champ électromagné-tique, écrire la relation fondamentale de la dynamique dans R(Oxyz).

III-3. Retrouver l’expression de la relation fondamental de l dynamique rela-

52

tiviste. Utiliser la relation :

d

dt(mγ−→v ) = mγ3−→a ‖ +mγ−→a ⊥

IV- On se place dans le cas non relativiste : vc 1

IV-1. Etablir les expressions de transformation du champ électromagnétique.IV-2. A partir de la loi de Coulomb donnant le champ électrique crée par la

charge q dans le référentiel R’(O’x’y’z’), trouver la loi de Biot et Savart donnantle champ magnétique crée dans le référentiel R(Oxyz) par la particule de charge qet de vitesse −→v .

0.26 DS1 : 2005-2006Licence professionnelle Génie électrique

Durée 2h30mm

Exercice Nr1Un condensateur cylindrique limité par deux armatures de rayon a et b ( a<b)

est rempli pour moitié par du vide et pour moitié par un diélectrique linéaire ho-mogène et isotrope de permittivité relative εr. On appelle h la hauteur du conden-sateur et on néglige tout effet de bord en supposant h b > a. Soit U la diffé-rence de potentielle entre l’armature interne est l’armature externe. On admet quela surface de séparation du diélectrique et du vide ne porte pas de charge libre.

b

a

53

1- Déterminer, la direction du champ électrique crée par ce système.2- En utilisant les relations de continuité, montrer que le champ électrique

dans le vide et le champ électrique dans le diélectrique ont même module.3- Déterminer l’expression du champ électrique entre les armatures en fonc-

tion de a, b et U.4- En déduire l’expression de la polarisation et du vecteur excitation électrique

en tout point de l’espace.5- Déterminer les densités de charges de polarisation.7- Calculer la somme de ces charges de polarisation.Exercice Nr2Soit un solenoide torique, à section carrée de côté a, constitué de N spires

enroulées régulièrement sur le tore parcourues par un courant I. Le tore de rayonmoyen R est rempli par le fer doux de perméabilité relative µr = 103.

1- Calculer le vecteur excitation magnétique en tout point de l’espace.2- En déduire le champ magnétique B et l’aimantation M en tout point de

l’espace.3- Calculer l’intensité qu’il faudrait faire passer dans le même enroulement

pour obtenir ce champ B si le fer doux était remplacé par le vide.4- Déterminer l’énergie magnétique du tore.5- On pratique une coupure de faible épaisseur l1 dans le tore. Déterminer

l’expression du champ magnétique à l’intérieur de cette coupure.

Exercice Nr3Le plan infini porte n molécules par unité de surface, dont le moment dipolaire

est −→p. Ce plan est polarisé uniformément suivant oz.1- Calculer les densités de charge de polarisation surfacique.2- a) Donner l’expression du potentiel dVp dû au moment dipolaire d−→p (d−→p =−→

P dS) correspondant à l’élément de surface dSb) Montrer que Vp peut s’écrire sous la forme Vp =

−→P .

−→J .

c-) Donner la signification du vecteur −→J et déterminer son expression en unpoint M à l’extérieur du plan.

3- a) En déduire Vp à l’extérieur du planb) Déterminer le champ électrique crée par ce plan polariséc) Expliquer pourquoi Ep est nul.

54

0.27 DS 2 : 2005-2006Licence professionnelle Génie électrique

Les parties A, B et C sont indépendantes

A. Questions de cours1) Donner l’équation locale exprimant la conservation de l’énergie électro-

magnétique. Commenter la signification physique des différents termes de cetteéquation.

2) Qu’appelle-t-on conducteur parfait ? Expliquer pourquoi les champs d’uneonde électromagnétique sont nuls dans un tel conducteur.

B. Etude d’un fil cylindriqueI. Régime stationnaire

On considère un fil conducteur homogène rectiligne cylindrique d’axe Oz, delongueur infinie, de rayon a et de conductivité σ. La perméabilité µ0 et la permit-tivité ε0 du conducteur sont identiques à celles du vide. Le fil est parcouru par uncourant continu d’intensité I = 1 A. On suppose que le champ électrique −→

E estconstant et uniforme dans tout l’espace ( conducteur et vide environnant) et quela densité de courant −→j = σ

−→E est constante et uniforme dans le conducteur. Les

valeurs numériques des constantes sont :

a = 1 mm ; σ = 108m−1 ;µ0 = 4π10−7Hm−1; ε =8.85 10−12Fm−1 .

1) Déterminer la densité de courant −→j , le camp électrique −→E , la densité de

charge ρ et le champ magnétique −→B en tout point M(r, θ, z) de l’espace. Pour le

calcul de −→B , on montrera par des raisons de symétries que

−→B (r, θ, z) = B(r)−→eθ

2) Tracer la courbe B(r) en fonction de r. Vérifier que les relations de passagedes champs électriques et magnétique sont satisfaites à la surface du conducteur.

3) On considère le produit scalaire

s =−→j .

−→E .

55

Quelle est la signification physique du produit scalaire s ? En quelle unités’exprime-t-il ?

Exprimer s en tout point de l’espace en fonction de I.Déterminer la valeur numérique de s.4) On considère le vecteur

−→R (r, θ, z) =

−→E ∧

−→B

µ0

Quelle est la signification physique du vecteur −→R ?En quelle unité −→

R s’exprime -t-il ?Déterminer le vecteur −→R en tout point M de l’espace, intérieur ou extérieur

au conducteur. On exprimera −→R dans le système de coordonnées cylindriques en

fonction de I.5) Calculer ψ =

−→5.−→R.

Quelle relation existe -t-il entre s et ψ ?Quelle est la signification physique de cette relation ?6) On considère le rectangle de sommets O, A, B et C situé dans le plan Oxz,

les longueurs des côtés OA et AB sont respectivement h et r. Calculer le fluxΦB(r)du champ magnétique à travers le rectangle R orienté suivant −→ey dans lesdeux cas r < a et r > a . On donnera la réponse en fonction de r, h et I.

II. Régime quasi-stationnaires

Le fil est maintenant parcouru par un courant d’intensité

I = I0eiωt (1)

en représentation complexe. On suppose que la densité de courant −→j resteuniforme dans le conducteur et que les expressions de −→

B et ΦB(r) obtenues enrégime stationnaire pour une intensité I constante restent valables lorsque l’inten-sité I est de la forme (1). En cas de besoin, on pourra admettre que le flux ΦB(r)est pour r ≤a

ΦB(r) = µ0I0hr2

4πa2 eiωt

1) Lorsque r ≤ a , montrer que v = − dΦB(r)dt

est de la forme v = v0ei(ωt−Φ)

où v0 > 0 et Φ sont des nombres réels à déterminer. Quelle est la significationphysique de v ?

56

Calculer numériquement v0 lorsque l’intensité I varie à la fréquence 50 Hzpour I0 =1 A, h = 1 m et r = a.

2) Montrer que la circulation C de la densité de courant −→j le long du contourΓ = OABCO formant le bord du rectangle R est donnée par

C = −σ dΦB(r)dt

En utilisant l’expression de v = − dΦB(r)dt

obtenue à la question précédente,donner C en fonction de I0, ω, h, r et t.

3) Déduire de la question précédente que la densité de courant −→j ne peut pasêtre uniforme dans le conducteur.

C. Onde plane électromagnétiqueOn considère la propagation dans le vide d’une onde plane électromagné-

tique de fréquence ν = 3 107Hz. La vitesse de la lumière dans le vide est c =3 108ms−1. On utilise un système cartésien Oxyz de vecteurs unitaires −→ex , −→ey , −→ez .Le champ magnétique de l’onde au point −→r (x, y, z) à l’instant t est donné par

−→B (r, t) = B0cos(ωt− kz)−→ey .

où B0 est une constante.1) Exprimer la longueur d’onde dans le vide λ en fonction des données et

calculer numériquement sa valeur.2) Donner l’expression du champ électrique −→

E (r, t) de l’onde. Tracer sur unmême schéma le système cartésien Oxyz, le vecteur d’onde

−→k et les champs élec-

trique −→E (0, 0) et magnétique −→B (0, 0) à l’instant t = 0 et à l’origine O du système.3) On désigne par C un cercle de rayon a = 5 cm et de centre O. Ce cercle est

le bord du disque D. Le vecteur unitaire −→n est perpendiculaire au disque D. Levecteur −→n se trouve dans le plan Oxy et fait l’angle θ avec Ox. Le cercle C estorienté dans le sens direct autour de −→n .

57

Boucle C

x

y

z

O

n

Démontrer, en utilisant les équations de Maxwell, que la circulation e(t) duchamp électrique −→

E le long de C s’exprime en fonction du flux Φ(t) du champmagnétique à travers le disque D par

e(t) = dΦB(r)dt

où Φ(t) =∫ ∫

D

−→B (r, t).−→n dS.

4) Justifier que l’on peut remplacer dans l’équation précédente le champ ma-gnétique −→B (r, t) par sa valeur en O, −→B (0, t).

En déduire que e(t) est de la forme

e(t) = Asin(ωt)

et déterminer A.5) Un dispositif mesure la valeur moyenne temporelleW (θ) =< e(t)2 > .Calculer W (θ)et tracer sa courbe en fonction de θ pour 0 ≤θ ≤ π.Déterminer les valeurs de θ pour lesquelles W (θ) est minimum ou maximum.

Préciser quelles sont alors les positions du disque D par rapport au champ magné-tique −→B

Questions supplémentairesAu lieu de l’onde (2), on considère maintenant une onde dans le vide de même

fréquence et de champ magnétique−→Bα(−→r , t) = αB0sin(ωt− kz)−→ex +B0cos(ωt− kz)−→ey

où α est une constante (0 ≤ α ≤ 1)

58

Est-ce une onde plane ? Déterminer l’expression du champ électrique −→Eα(−→r , t)de l’onde.

σP = − (ε−ε0)U

aln( ba)

0.28 DS1 (2006-2007)Exercice 1

1) On considère dans le vide un cylindre de hauteur h et de rayon R (R h),constitué par un diélectrique rigide polarisé de la façon suivante : en un point ducylindre, la polarisation est radiale et son intensité P a même valeur en tous lespoints intérieur au cylindre.

Un point M de l’espace sera repéré par ses coordonnées cylindriques (r,θ, z).1)a) Déterminer les densités de charges de polarisation surfaciques et volu-

miques.b) Calculer la somme des charges de polarisation.2) A l’aide du théorème de Gauss, détérminer le champ électrique en tout point

de l’espace.3) En déduire le potentiel électrique, que l ’on prendra nul à l’infini, en tout

point de l’espace.4) On veut déterminer le potentiel directement à l’aide de l’équation de Pois-

son, pour cela :a- Ecrire l’équation de Poisson en un point extérieur et intérieur au cylindre.b- Retrouver l’expression du potentiel , que l ’on prendra nul à l’infini, en

utilisant le fait que le potentiel est partout défini en particulier en r = 0.4) Déterminer l’énergie électrostatique de ce cylindre diélectrique.5) On creuse dans le diéléctrique une cavité cylindrique de hauteur h et de

rayon R1.a- Evaluer les densités de charges de polarisation partout où elles esistent.b- En déduire le champ électrique en tout point de l’espace.

Exercice 2

On considère un condensateur plan de surface S et d’épaisseur e. L’espacecompris entre les armatures est rempli par deux diélectriques de permittivitésrelatives εr1et εr2 ( voir figure).

59

Oz

diélectrique 1

diélectrique 2

+ Q

− Q

a

0

e

1) Déterminer dans chacun des deux milieux les vcteurs −→E , −→D et −→P .2) Evaluer les densités de charges de polarisation partout où elles esistent.3) En déduire la capacité de ce condensateur.

Exercice 3

On considère un aimant permanent en forme de cylindre de révolution, derayon R, de hauteur h ( hR) , est aimanté uniformément perpendiculairement àson axe Oz ( −→M = M

−→j )

1/a- Donner l’expression du potentiel vecteur élémentaire d−→A dû au moment

dipolaire−→dm (

−→dm =

−→Mdτ ) correspondant à l’élément de volume dτ , montrer

que −→A peut s’écrire sous la forme −→

A = µ0

4π

−→M ∧ −→

Es

b- Donner l’expression et la signification du vecteur −→Es et déterminer sa valeur,à l’extérieur et à l’intérieur du cylindre.

2/ En déduire les vecteurs −→A , −→B et −→H à l’extérieur et à l’intérieur du cylindre.3/ Déterminer les courants d’aimantation et calculer leur somme.On donne :En coordonnées cylindriques :

−→rot

−→A =

1r

∂Az

∂θ− ∂Aθ

∂z∂Ar

∂z− ∂Az

∂r1r(∂(rAθ)

∂r) − ∂Ar

∂θ

60

div(−→A ) = 1

r∂∂r

(rAr) + 1r

∂Aθ

∂θ+ ∂Az

∂z

0.29 DS 2 2006-2007Durée 2h

Exercice 1Soit un solénoide de longeur b très grande devant son rayon a qui comporte

n spires circulaires jointives par unité de longueur. Il est parcouru par un courantcontinu d’intensité I. On désigne par

−→k un vecteur unitaire parallèle à l’axe Oz du

solénoide.1. Déterminer la direction du champ magnétique −→

B crée par le solenoide enutilisant les régles de symétrie.

2. a) Justifier que −→B est nul à l’extérieur du solénoide.

b) Déterminer −→B à l’intérieur du solénoide en utilisant le théorème d’Ampère.c) En déduire le coefficient d’auto induction par unité de longueur du solénoide.3. On place une bobine circulaire de rayon r ( r<a), comportant N spires

circulaires. Les axes du solenoide et de la bobine sont confondus.a) Déterminer le flux envoyé par le solenoide à travers la bobine.b) En déduire le coefficient d’induction mutuelle.4. Le solénoide est à présent parcouru par un courant I(t) = I0sin(ωt).Déter-

miner la f.é.m. induite dans la bobine par deux méthodes :a) A partir de la Loi de Faraday.b) A partir du champ de Neumann.5. La bobine est maintenant susceptible d’effectuer un mouvement de transla-

tion suivant Oz avec une vitesse −→v = v0−→k .

Déterminer la f.é.m. induite dans la bobine dans les deux cas suivants :a) la bobine est placée dans le solénoide précédent.b) la bobine est placée dans un champ magnétique, consatnt, radial −→B = B−→eρ .

Exercice 2On s’intéresse à l’étude de la propagation des ondes de longueur d’onde métrique

dans de l’eau de mer. Dans cette gamme de fréquence, l’indice de réfraction de

61

l’eau vaut 8,4 et peut être considéré comme réel. On considére l’eau de mercomme un milieu diélectrique conducteur avec une densité de charge nulle àl’échelle macroscopique. On notera εr permittivité diélectrique relative et σ con-ductivité de l’eau de mer. La densité de courant −→j est donnée par la loi d’Ohm.

1. Ecrire les équations de Maxwell dans de l’eau de mer.2. En déduire l’équation de propagation du champ électrique.3. L’océan occupe le demi-espace z > 0. On considére une onde en notation

complèxe −→E = E0ei(kz−ωt)−→ex . Montrer que pour qu’il y a propagation, le vecteur

d’onde doit vérifier la relation

k2 = εrω2

c2+ iµ0ωσ

4. La conductivité de l’eau de mer vaut σ = 4Ω−1m−1. Calculer le rapportentre la partie imaginaire de k2 et sa partie réelle pour un rayonnement de longueurd’onde 3m.

5. a) Dans le cas où la partie réelle de k2est négligeable devant la partie imag-inaire, donner l’expression du champ électrique.

b) Peut-on communiquer avec un sous marin avec ces ondes radio? justfiervotre réponse.

Exercice 31. Ecrire les équations de Maxwell dans le vide en présence de charge volu-

mique ρ et du densité de courant volumique −→j .

2. Montrer à partir de ces équations que −→j et ρvérifient l’équation suivant :

−→5.−→j + ∂ρ

∂t= 0

3. Dans un conducteur, les équations demandées à la question 1) sont valables.La densité de courant −→j et le champ −→

E vérifient la loi d’Ohm : −→j = σ−→E .

En utilisant ces hypothèses, montrer que ρ vérifie une équation différentiellede la forme :

∂ρ

∂t+ aρ = 0

où a est une constante qu’ on déterminera.En déduire la valeur de ρ pour un conducteur.

62

0.30 Correction du devoir 1992-19934

0.30.1 Exercice - 11 / On a Z = R0

1+jR0C0ωet Z ′ = R + 1

jCω. Le pont est en équilibre si

R1Z′ = R2Z

d’où :

R0 = a(R + 1RC2ω2 )

C0 = Ca(1+R2C2ω2)

2 / Application numérique,

C0 = 0.5nF R0 = 1MΩ

Le montage peut être utilisé pour mesures de capacités et éventuellement despermittivités.

3 / Si R = R0 , C = C0 et a = 0.5, l’équilibre du pont donne R2C2ω2 =1 .Donc si on veut mesurer des fréquences comprises entre 100 et 1000 Hz, larésistance doit varier entre R = 1600 Ω et R = 160 Ω.

0.30.2 Exercice - 21 / Equations de Maxwell

−→rot

−→E = −∂

−→B∂t

variantion de−→B cre

−→E

−→rot

−→B = µ0(

−→j + ε0

∂−→E∂t

) variantion de−→E cre

−→B

div−→B = 0 conservation du flux

div−→E = ρ

ε0conservation de la charge

2 / Dans un métal,la densité de courant de déplacement ε0∂−→E∂t

est négligeabledevant la densité de courant de conduction −→

j = σ−→E et la densité de charge

volumique ρ = 0.D’où l’équation de propagation du champ électrique :

4Document préparé par le Pr. L. Hajji

63

4−→E = µ0σ

∂−→E

∂t

3 / Vérifions que le champ électrique suivant −→E = E0e−axej(ωt−kx)−→ey est une

solution de l’équation de propagation. On a

∂−→E∂t

= jω−→E

∂2−→E

∂x2 = (a+ jk)2−→E

Si on rapporte ces résultats dans l’équation d’onde, on trouve que le champproposé est une solution si :

a = k =

√

µ0σω

2

4 / Application numérique. a ≈ 11.107m−1

5 / La distance à laquelle l’amplitude du champ est divisée par 10 est

δ = 2.3

√

2

µ0σω

6 / Application numérique

δradio ≈ 2.07mmδX ≈ 10−9m

L’onde radio peut pénétrer un métal alors que les R-X ne traversent pas lemétal.

0.30.3 Exercice - 3Première partie.1 / L’application du théorème de Gauss donne

r < R−→E0 =

−→0

r > R−→E0 = Q

4πε0r2−→er

2 / Calcul de l’énergie électrostatique de la sphère.

64

A l’extérieur de la sphère, on a V (r) = Q

4πε0r. Donc le potentiel de la sphère

est V = constante = Q4πε0R

. D’où la capacité du conducteur sphérique est C =4πε0R. L’énergie électrostatique de la sphère est donc :

w =1

2CV 2 =

1

2

Q2

4πε0R

Deuxième partie.1 /

r < R−→E =

−→0

−→D =

−→0 V (r) = C0

R < r < a−→E = Q

4πε0r2−→er

−→D = Q

4πr2−→er V (r) = Q

4πε0r+ C1

a < r < b−→E = Q

4πεr2−→er

−→D = Q

4πr2−→er V (r) = Q

4πεr+ C2

r > b−→E = Q

4πε0r2−→er

−→D = Q

4πr2−→er V (r) = Q

4πεr

Les constantes se séduisent en utilisant la continuité du potentiel électrique.2 / Densité de charge volumique de polarisation ρ = −div−→P . Or le vecteur

polarisation électrique est donnée par

a < r < b−→P = (ε− ε0)

−→E = (ε− ε0)

Q4πεr2

−→er

On utilisant l’expression de div en coordonnées sphériques, on trouve que ρ =0.

3 / Calcul des densités de charges de polarisation surfacique.On a σP =

−→P .−→n où −→n est la normale à la surface considérée.

r = a σP =−→P .(−−→er ) = −(ε− ε0)

Q4πεa2

r = b σP =−→P .−→er = (ε− ε0)

Q

4πεb2

4 / a- Le milieu compris entre les deux sphères devient brusquement conduc-teur, les charges libres vont être déplacées par le champ électrique −→

E0 de tellefaçon à obtenir un champ nul à l’intérieur du conducteur.

b- Si on suppose que l’induction magnétique est nul à l’intérieur du conduc-teur, on a

−→j + ε0

∂−→E∂t

=−→0

σE = −ε0∂E∂t

E(t) = E0e− σ

ε0t

65

0.31 Correction de l’examen 1ère partie 1994

0.31.1 Exercice-11 / Condition d’équilibre

R1Z = R2Z’ avec Z’ = R1+jRCω

A.N. C0 = 8630µF2 / Condition d’équilibre

ε′r = R1CR2C0

et ε′′r = R1RR2C0ω

ε′r = R1CR2C0

et ε′′r = R1RR2C0ω

A.N. ε′r= 7.94 ε′′r = 9.94 10−3

0.31.2 Exercice-2A]1 / a) La polarisation est uniforme donc :

ρP = 0 et σP =−→P .−→n = Pcos θ

b)

dVP = 14πε0

d−→p .

−→rr3

= −→P . dτ

−→r4πε0r3

=⇒ VP = −→P .

∫

dτ−→r

4πε0r3= −→P . −→Es

c) −→Es est le champ électrique crée par une densité de charge volumique ρ = 1distribuée uniformément à l’intérieur de la sphère. Le calcul de ce champ se faitaisaimant a l’aide du théorème de Gauss.

Théorème de Gauss :

r < R −→Es =

−→r3ε0

r > R −→Es = R3

−→er3ε0r2

66

2 / a- Connaissant Es , on déduit VP .

VP = −→P .−→Es =⇒ r < R VP = Pr cos θ

3ε0

=⇒ r > R VP = P cos θR33ε0r2

b- Connaissant VP , on déduit EP .

−→EP = -

−−→grad VP =⇒−→

EP = −−→P3ε0

3 /−→E = −→E 0 + −→E P =⇒−→E =

−→E 0

1+ χ3

=−→Pε0χ

=⇒ −→P = ε0χ1+ χ

3

−→E 0

B]1 / 1ère méthode : calcul direct

dVP = 14πε0

d−→p .

−→rr3

= ndS−→P .

−→r4πε0r3

Comme la polarisation est suivant Oz, donc

dVP = ndSpz4πε0r3 =⇒ VP = np

4πε0

∫

zdSr3

un calcul simple de l’intégrale donne :

VP = P2ε0

=⇒−→EP = -

−−→grad VP = −→

O

( On a dVP = ndSpz4πε0r3 avec dS = ρdρdθet r =

√

(z2 + ρ2))deuxième méthode :On peut écrire comme dans la partie A] que ^

VP = −→P .−→Es

avec −→Es est le champ crée par le plan chargé avec une densité de charge uni-

forme σ = 1, le calcul de ce champ se déduit facilement par le théorème de Gauss.−→Es = 1

2ε0

−→k =⇒ VP = −→

P .−→Es = np2ε0

d’où−→EP = -

−−→grad VP = −→

O

2 / Le champ électrique au point M est celui crée par un condensateur planinfini, donc le champ a l’extérieur du plan est nul.

67

0.31.3 Exercice-31 / a- Le solénoïde est invariant par translation suivant Oz et par rotation autour

de Oz⇒−→B et −→A sont donc indépendants de z et de θ.

−→B (M,t) = −→

B (r,t) et −→A (M,t) = −→A (r,t)

Solénoïde infinie =⇒−→B (M,t) = Bz(r,t) −→ez et −→A (M,t) = Aθ(r,t)−→eθ

b-

r < a −→B = µ0nI−→ez

r > a −→B = −→

0

On a∮−→B .

−→dS =

∮−→A .

−→dl=⇒µ0nIS = 2πrAθ

Aθ = 12µ0nI a2

rpour r > a

Aθ = 12µ0nI pour r < a

c-

−→E = -∂

−→A∂t

2 / a-

φ = 0 car B = 0

e = - dφdt

= 0 ∀ la boucle C

b-

e =∮−→E .

−→dl

soit ePP ′ = −→E .

−−→PP ′

c-

ePP ′ est max si−−→PP ′ = l −→eθ

A.N. ePP ′ = 1.6 µV

68

0.32 Correction de l’examen de la deuxième session94-95

0.32.1 Exercice - 11 / Equation de maxwell dans le vide2 / Théorème de Gauss

E(t) = σ(t)ε0

3 / Soit (C) un contour d’integration situé entre les armatures. On a

∮ −→B.

−→dl = 2πrB

=∫ ∫ −→

B.−→dS

= ε0µ0

∫ ∫

∂−→E∂t.−→dS

= ε0µ0∂∂t

∫ ∫ −→E .

−→dS

Or∫ ∫−→

E .−→dS = q

ε0=⇒B2πr = µ0

∂q∂t

d’où

B =µ0I(t)

2πr

4 / même question pour r < a.Le condensateur en cours de charge, le champ électrique augmente. Calculons

la circulation de −→B le long d’un cercle C de rayon r centré sur l’axe du condensa-

teur.Entre les armatures, on a

−→rot

−→B = ε0µ0

∂−→E∂t

car −→j =−→0

Soit∫ −→B.

−→dl = ε0µ0

∂∂t

∫ ∫ −→E .

−→dS

= 1c2

∂∂t

(πr2E)

par raison de symétrie, −→B est tangent au cercle C, donc

B =r

2c2∂E

∂t

69

Le champ électrique variable donne donc naissance a un champ magnétiquevariable.

Question de réflexion.D’après les équations de Maxwell, ce champ magnétique variable crée à son

tour un champ électrique variable, a l’aide de ces équations déduire l’expressionde ce champ électrique.

0.32.2 Exercice - 21 / on a

∮ −→H.

−→dl =

∑

I=⇒pour r < x < r+a H = NI2πx

ailleurs : I = 0 =⇒H = 0

2 / a- au point P

H1 =NI

2π(r + a2)

= 100A/m

d’après la courbe M1 = 106A/m et −→B1 = µ0(−→H +

−→M) ≈ µ0

−→M

soit B1 = 1.26 Tb-

−→B1 = µ0(1 + χ)

−→H1 = µ0µr

−→H1

soit µr = M1

H1≈ 104

3 /

I = 0 =⇒H = 0

la courbe ⇒M2 = 4 105 A/m et B2 ≈µ0M2≈ 0.5T4 / il faut réaliser H’ = -25 A/m (voir courbe)soit I’ = -0.05 A appliquer un courant de 0.05 A en sens inverse.

70

0.33 Correction du devoir 94-95

0.33.1 Exercice - 1r < a −→

D = −→Ei = −→

P = ρP = 0

Pour r > a1 /

∫ ∫ −→D .

−→dS = Qlib =⇒ −→

D = Q

4π

−→err2

2 /

−→D = ε −→E =⇒ −→

E = Q4πε

−→err2 = Q

4πε0εr

−→err2

3 /

−→P = −→

D - ε0−→E=⇒−→

P = Q4π

( 1 - 1εr

)−→err2

4 /

ρP = - div−→P = 0

5 /

σP = −→P .(- −→er ) = - (1 - 1

εr) Q4π

−→era2

soit

QP = σ 4πa2 = - (1 - 1εr

)Q

0.33.2 Exercice-21 / a-

B = µ0I2πx

=⇒φ = µ0Ia2πlog(2b+a

2b−a)

b-

M = φI

= µ0a2πlog(

b+ a2

b−a2

)

71

2 / Le travail des forces électromotrices est :

W = I’ ( φ∝- φ)

le travail fourni contre les forces contres électromotrices est W’ = - WSoit W’ = I’ φ car φ∝= 0. D’où ;

W’ =µ0II′a2π

log(2b+a2b−a

)

3 / a-

e = - dφdt

= - dφdb

. dbdt

avec v0 = dbdt

Soit

e = 2µ0Iv0

πa2

4b2−a2

b- A.N. e = 80 µV

0.34 Contrôle l’électromagnétisme DEUG-PC 95-96

0.34.1 Exercice-11 / Relation de continuité :

E1t = E2t

D2n - D1n = σl

σl est la densité de charge libreoù

( −→E2 - −→E1 ) ∧−→n12 =−→0

( −→D2 - −→D1 ) . −→n12 = σl

Symétrie sphérique, le champ électrique se réduit à sa composante tangen-tielle. Soit

E1 = E1t et E2 = E2t

72

or

E1t = E2t=⇒−→E1 = −→

E2 = −→E

2 / a- Théorème de gauss :∫ ∫ −→

D.−→dS = q

d’où

D12πr2 + D22πr2 = q et D = ε E

d’ oùE =

q

2πr2(ε1 + ε2)

où encore : div−→D = ρl donc D = Cr2

Soit D1 = C1

r2 et D2 = C2

r2

Comme ∫ ∫ −→D.

−→dS = q

donc 2π(C1 + C2) = q soit C1 + C2 = q2π

Or E1 = C1

ε1r2 = E2 = C2

ε2r2 = C1+C2

(ε1+ε2)r2 = q2π(ε1+ε2)r2

ou encore à partir du théorème de Gauss :∫ ∫ −→

E−→dS = qiunt

ε0avec qint = q − σ1p2πr

2 − σ2p2πr2

avec σ1 = P1 = (ε1ε0)Eb-

−→D1 = ε1

−→E−→

D2 = ε2−→E

oùD1 = ε1q

2πr2(ε1+ε2)

D2 = ε2q2πr2(ε1+ε2)

3 / a- On a

−→P = (ε− ε0)

−→E

d’où :

−→P1 =

(ε1 − ε0)q

2πr2(ε1 + ε2)−→er

73

−→P1 =

(ε2 − ε0)q

2πr2(ε1 + ε2)−→er

b-

σ1P =−→P1.(−−→er ) = − (ε1 − ε0)q

2πR2(ε1 + ε2)

σ2P =−→P2.(−−→er ) = − (ε2 − ε0)q

2πR2(ε1 + ε2)

0.34.2 Exercice - 21 / a-

div−→B = 0 div

−→E = 0

−→rot

−→E = −∂

−→B∂t

−→rot

−→H = ∂

−→D∂t

+ γ−→E

b-

4−→E − µ0γ

∂−→E

∂t− µ0ε

∂2−→E∂t2

=−→0

2 / ∂∂t

= −iω et −→∇ = i−→k

l’équation de propagation donne

k2 = µ0ω2(ε+ i

γ

ω) = µ0ω

2ε∗

b- d’où l’indice de réfraction est donné par :

n =ck

ω=

√εr avec εr =

ε∗

ε0

c- En utilisant la condition de jauge donnée, on montre facilement que

4−→A − µ0γ

∂−→A

∂t− µ0ε

∂2−→A∂t2

=−→0

74

0.34.3 Exercice - 31 / a-

z(t) = z0 + a sin (ωt)

v(t) =dz

dt= aω cosωt

b-−→E = −→v ∧ −→

B= aω cosωt−→ez ∧ (Bρ

−→eρ +Bz−→ez )

Soit −→E = aωBρ cosωt−→eρ

2 /e =

∮ −→E .−→dl avec−→dl = Rdϕ−→eϕ

Soite = 2πaωRBρ cosωt

0.35 Correction du devoir de la 1re partie de la 1re

session 1995

0.35.1 Exercice - 11 / Les conditions de passage du champ électrique d’un milieu 1 à un milieu 2

sont :

−→(E2 −

−→E1) ∧ −→n12 =

−→0

(−→D2 −

−→D1).

−→n12 = σl

σl est la densité de charge libre à la surface de séparation.2 / Avant l’introduction des lames

U = eE0 avec E0 =σ0

ε0

=Q0

ε0S

75

SoitU =

Q0e

ε0S

Après introduction des lames

U = E1(e− e1 − e2) + E2e1 + E3e2

E2 est le champ à l’intérieur de la lame conductrice =⇒ E2 = 0E3 est le champ à l’intérieur de la lame diélectrique , pour le déterminer, on

utilise les conditions de passage.Soit ε0E1 = εE3 =⇒ E3 = E1

εravec E1 = σ

ε0= Q

ε0S

Un calcul simple donne :

Q = Q0eεr

εr(e− e1 − e2) + e2

0.35.2 ProblèmeA]a- Onde plane

−→E =

−→E 0e

i(−→k .−→r −ωt)

−→B =

−→B0e

i(−→k .−→r −ωt)

les équations de Maxwell dans le vide :

−→∇.−→E = 0−→∇ ∧ −→

E = −∂−→B∂t

−→∇.−→E = 0−→∇ ∧ −→

B = ε0µ0∂−→E∂t

on a−→∇ = i

−→k et

∂

∂t= −iω

d’où les relations suivantes :−→k .

−→E = 0 (1)−→

k .−→B = 0 (2)−→

k ∧ −→E − ω

−→B =

−→0 (3)−→

k ∧ −→B + ε0µ0ω

−→E =

−→0 (4)

76

b- En utilisant la relation

−→A ∧ (

−→B ∧ −→

C ) = (−→A.

−→C )

−→B − (

−→A.

−→B )

−→C

et les équations de Maxwell, on trouve

k = ω√ε0µ0

c-(1) =⇒ −→

k ⊥−→E

(2) =⇒ −→k ⊥−→

B

or −→B = 1ω

−→k ∧ −→

E−→−→B⊥−→

E

donc (−→k ,

−→E ,

−→B ) forment un trièdre direct

l’équation (3) =⇒EB

= cd- densité moyenne de l’énergie électromagnétique :

< w >=<1

2ε0E

2 > + <1

2µ0B

2 >

soit

< w >=ε0E

20

2

La valeur moyenne du vecteur de Poynting ;on a

−→P =

−→E ∧

−→B

µ0

d’où< P > = <EB>

µ0

=E2

0

2

√

ε0

µ0

f- A.N.E0 = 2.2.109V/m B0 = 7.3T

B] a- Calcul de −→B

−→B =

−→∇ ∧ −→A = i

−→k ∧ −→

A 0ei(−→k .−→r −ωt)

b- Calcul de −→E

77

−→E = −−→∇V − d

−→A

dt= −i−→k V + iω

−→A

en utilisant la jauge de Lorentz, on montre que

−→E = iω

[−→A − (−→n .−→A

)−→n

c- En utilisant ces expressions des champs −→E et −→B , on montrera facilementque −→

E et −→B obéissent aux équations de Maxwell décrites précédemment.C] milieu supraconducteur :

−→A = −λ−→j

a- Equation de propagation de −→B

on a−→∇ ∧ −→

B = ε0µ0∂−→E∂t

+ µ0−→j−→

B =−→rot

−→A

or,

−→rot(

−→rot

−→B ) =

−−→grad(div

−→B ) −4−→

B

d’où

−4−→B = ε0µ0

∂(−→rot

−→E )

∂t+ µ0(

−→rot

−→j )

soit

4−→B − ε0µ0

∂2−→B∂t2

− µ0

λ

−→B = 0

b- solution indépendante du temps,

4−→B − µ0

λ

−→B = 0

soit

−→B =

−→B 0exp

√

µ0

λ

−→k .−→r

78

0.36 Correction du devoir N 1 DEUG-PC 1996-1997

0.36.1 Exercice - 11 / −→

B = B0x−→ex +B0y

−→ey

les conditions de continuité =⇒ B1n = B2n et H1t = H2t

d’oùBx = B0x

Hy = H0y

milieu linéaire =⇒B = µH et B0 = µ0H0

donc,

−→B = B0x

−→ex + µrB0y−→ey

−→H =

B0x

µ0µr

−→ex +B0y

µ0

−→ey

et−→M =

−→B

µ0

− −→H

0.36.2 Exercice - 2

0.36.3 Exercice - 31 / on a ∫ ∫ −→

D.−→dS = Q

d’où

−→D =

0 r < RQ

4πr2

−→er R < r < R + a1Q

4πr2−→er r > R + a1

milieu linéaire homogène et isotrope, donc

−→E =

0 r < RQ

4πε1r2−→er R < r < R + a1

Q4πε0r2

−→er r > R + a1

79

on a −→P = (ε− ε0)

−→E donc

0 r < R−→P = (ε1−ε0)Q

4πε1r2−→er R < r < R + a1

0 r > R + a1

b- on a V ′ = − ∫

Edr donc

Q4π

[

1ε1R

+ 1(R+a1)

( 1ε0− 1

ε1

)

r < R

V ′ = Q

4π

[

1ε1r

+ 1(R+a1)

( 1ε0− 1

ε1

)

R < r < R + a1Q4π

1ε0r

r > R + a1

c- V’c = V pour R < r < R+a1qui peut s’écrire sous la forme :

V ′c =

Q(R + a1

εr)

4πε0R(R + a1)

2 / pour un conducteur sphérique, on a

Vc =Q

4πε0R

d’où

V ′c

V c=R + a1

εr

R + a1

3 / a-

C ′ =Q

V ′c

=4πε0ε1R(R + a1)

ε1R + ε0a1

U ′ =1

2QV ′

c =Q2(ε0a1 + ε1R)

8πε0ε1R(R + a1)

b- conducteur sphérique :

C = 4πε0R et U =Q2

8πε0R

d’oùC ′

C=ε1(R + a1)

ε1R + ε0a1et

U ′

U=

(ε0a1 + ε1R)

ε1(R + a1)

80

4 / Dans le vide, l’énergie localisée est :

U =ε0

2

∫ ∞

(R+a1)E2dτ =

Q2

8πε0(

1

R + a1)

Dans le diélectrique, l’énergie localisée est :

Udi =ε1

2

∫ R+a1

RE2dτ =

Q2

8πε1(1

R− 1

R + a1)

5 / a- −→D = Q2

4πr2

−→er−→E = Q2

4πεkr2

−→er

Uk = εk

2

∫ rk

rk−1E2dτ Uk = Q2

8πεk( 1

rk−1− 1

rk)

b- on a −→Pk = (εk − ε0)

−→Ek−→

P k+1 = (εk+1 − ε0)−→E k+1

σ = (εk − ε0)Ek − (εk+1 − ε0)Ek+1

= Q

4πr2k

( 1εrk+1

− 1εrk

)

0.37 Correction du devoir N 2 1996-1997

0.37.1 Exercice - 11 / Par raison de symétrie, le champ électromoteur est suivant −→e θ et ne dépend

que de r.On a

−→rot

−→E = −∂

−→B

∂t=⇒

∮ −→E .

−→dl =

∫ ∫ −→B.

−→dS

a- à l’intérieur du solénoïde, la relation précédente donne :

−→E (ρ, t) = −1

2ρdB

dt−→eθ

b- à l’extérieur du solénoïde :

−→E (ρ, t) = −1

2

a2

ρ

dB

dt−→eθ

2 / Le vecteur de Poynting est donné par,

81

−→R =

−→E ∧

−→B

µ0

−→R = −1

2

ρ

µ0BdB

dt−→eρ

Le flux du vecteur de Poynting à travers la surface cylindrique de rayon a estde longueur l est

∫ ∫ −→R.

−→dS

φ−→R

= − Bµ0

dBdtπa2l

−µ0n2

2dI2

dtπa2l

3 / D’après le théorème de Poynting,

∫ ∫ −→R.

−→dS = −dU

dt

= − ddt

( B2

2µ0)πa2l

Soit :

U =B2

2µ0πa2l

4 /C =

∮ −→E .

−→dl

= −µ0πa2ndI

dt

5 / D’après la loi de Faraday

e = −dφdt

d’oùe = −πa2dB

dt

cette force électromotrice vérifie bien la relation

e = −dφdt

=∮ −→E .

−→dl

82

0.37.2 Exercice -21 / La loi de conservation de la charge est ,

div−→j +

∂ρ

∂t= 0

en utilisant les équations de Maxwell, on trouve que cette condition est satis-faite si

div−→A +

1

c2∂V

∂t= 0

2 / Equation de propagation pour V,

4V − 1

c2∂2V

∂t2+ρ

ε0

= 0

Equation de propagation pour −→A

4−→A − 1

c2∂2−→A∂t2

+ µ0−→j = η2−→A

3 / Relation de dispersion,

V (−→r , t) = ei(−→k .−→r −ωt)

d’après l’équation de propagation de V, on trouve

k2 =ω2

c2− η2

la vitesse de phase de l’onde est définie par :

vϕ = ωk

= c√

1 + η2

k2

4 /on aE = hω et −→p = h

−→k

et en utilisant la relation de dispersion, on trouve

E2 = p2c2 + η2h2c2

cette relation est du type

E2 = p2c2 +m2c4

d’où la masse du photon prévue dans ce cas est :

m = ηh

c

83

0.37.3 Exercice - 3Soit −→K0 = (

−→k0 ,

iωc) le quadrivecteur de l’onde incidente dans le référentiel <

−→K ′ = (

−→k′ , iω′

c) le quadrivecteur de l’onde incidente dans le référentiel <′

−→K ′′ = (

−→k′′, iω′′

c) le quadrivecteur de l’onde réfléchie dans le référentiel <′

−→K = (

−→k , iω

c) le quadrivecteur de l’onde incidente dans le référentiel <

la réflexion sous incidence normale =⇒−→k′′ = −−→

k′ et ω′′ = ω′

on a −→K = (L)−1 −→K ′′ et

−→K0 = (L)−1 −→K ′

L est la matrice de Lorentz.d’où

ν =1 − β

1 + βν0

0.38 Correction du contrôle de rattrapage 1996-1997

0.38.1 Exercice - 1on a

E =σ

ε=

σ

ε0εr

avec εr(x) = ax + b et on a

U =∫ e

0Edx

or Q = CU, d’où

C =ε0(εr2 − εr1)

e log εr2

εr1

0.38.2 Exercice - 21 / Les distributions des courants équivalents à l’aimantation M sont :

−→Js = M sin θ−→eθ−→

Jv =−→0

84

2 / Les courants surfaciques sont formés par des spires circulaires. Or, lechamp magnétique crée par une spire circulaire, de rayon r, parcourue par uncourant dI est :

d−→B =

µ0dI

2rsin3 θ−→ez

avec : r = R sin θ et dI = J sRdθle calcul de l’intégrale donne alors

−→B =

2

3µ0−→M

0.38.3 Exercice - 3a- On a

−→rot

−→B = µ0ε0

∂−→E∂t

∫ ∫ −→B−→.dl = µ0ε0

∂∂t

∫ ∫ −→E−→.dS

En utilisant les coordonnées cylindrique, on trouve

−→B (ρ, t) =

µ0ε0ρ

2

∂E

∂t−→eϕ

b- On a−→R =

−→E ∧

−→B

µ0

Soit,

−→R = −Eε0ρ

2

∂E

∂t−→eρ

d’où, le flux de ce vecteur à travers la surface cylindrique constituée par cecondensateur est

φ−→R

= −ε0r2dπE

∂E

t∂

c- On a∫ ∫ −→

R.−→dS = −dU

dt

d’où

U = πr2dε0E

2

2

85

0.38.4 Exercice - 4 (voir cours)


0.39.1 Exercice - 1* Le cylindre étant un conducteur, la charge portée par ce conducteur est donc

surfacique. A l’intérieur de ce conducteur (r < R1), on a

E = D = P = σP = ρP = 0 et V = constante

* Pour R < r <R1

Le théorème de Gauss appliquée a un cylindre de rayon r et de hauteur hdonne :

E =Q

2πrhε0

or le vecteur excitation électrique est donné par D = ε0E et dV = −E(r)dr ,d’ où

D =Q

2πrhet V (r) =

Q

2πhε0

logR

r

La capacité du conducteur est donnée par C = QVR2

−VR1

, d’où

C =2πhε

log R2

R1

Comme dans cette région on a le vide, donc σP = ρP = 0* Pour R1 < r < R2.Le vecteur excitation électrique ne dépend que des charges libres, donc il garde

la même expression, soit

D =Q

2πrh

Comme D = εE , et P = (ε− ε0)E donc

E = Q2πrhε

P = (ε−ε0)Q2πrhε

V = Q2πhε

(log R1

r+ ε

ε0log R

R1)

σintP = − (ε−ε0)Q

2πR1hεσext

P = (ε−ε0)Q2πR2hε

ρ = 0

86

* Pour r > R2 , P, E, D, σP , et ρP gardent les mêmes expression que pour R <r < R1.

et le potentiel électrique devient :

V (r) =Q

2πhε0(log

RR2

rR1+ε0

εlog

R1

R2)

2 / Dans ce cas le champ électrique se réduit à sa composante normale, E = En.Vérifier alors qu’à la surface interne (r = R1) et externe (r = R2) du diélectrique ona bien

E2n − E1n =σP

ε0

3 / Le champ électrique crée par la charge Q est

r < R E0 = 0r > R E0 = Q

2πrhε0

4 / Il suffit de réecrir les résultats de la question 1 ) en fonction de E0.

0.39.2 Exercice - 2 ( se référer a l’exercice—)

0.39.3 Exercice - 3 (voir exercice-2 98-99)


0.40.1 Exercice - 21 / a

−→rot

−→E = −∂

−→B∂t

−→rot

−→B = µ0ε0

∂−→E∂t

div−→B = 0

div−→E = 0

b- En utilisant les expression de div et de rot en coordonnées cartésiennes, ontrouve à partir des équations de Maxwell les équations suivantes

87

∂Ex

∂x+ ∂Ey

∂y+ ikgEz = 0 (1)

∂Bx

∂x+ ∂By

∂y= 0 (2)

∂Ez

∂y− ikgEy = iωBx (3)

ikgEx − ∂Ez

∂x= iωBy (4)

∂Ey

∂x− ∂Ex

∂y= 0 (5)

−ikgBy = −i ωc2Ex (6)

−ikgBx = −i ωc2Ey (7)

∂By

∂x− ∂Bx

∂y= −i ω

c2Ez (8)

d’où(6) =⇒ By = ω

kgc2Ex =⇒ a = ω

kgc2

(7) =⇒ Bx = − ωkgc2

Ey =⇒ b = − ωkgc2

2 / En utilisant les relations précédentes, on trouve :

Bx = −ik2

ω(k2−k2g)

∂Ez

∂yEy = ikg

k2−k2g

∂Ez

∂y

By = ik2

ω(k2−k2g)

∂Ez

∂xEx = ikg

k2−k2g

∂Ez

∂x

3 / L’équation de propagation de Ez est :

4Ez −1

c2∂2Ez

∂t2= 0

avec 4 = ∂2

∂x2 + ∂2

∂y2 + ∂2

∂z2

D’où l’équation de propagation de Ez devient

∂2Ez

∂x2+∂2Ez

∂y2+ (k2 − k2

g)Ez = 0 =⇒ k2c = k2 − k2

g


0.41.1 Exercice- 1 (voir exercice-1 97-98)

0.41.2 Exercice - 21 / Le vecteur induction magnétique ne dépend que des courants libres. D’autre

part tout plans contenant Oz est un plan de symétrie, donc le vecteur −→H est perpen-diculaire à ce plan et par donc il est suivant −→eϕ . De même le système est invariant

88

par translation suivant Oz et par rotation autour de Oz. Donc, le module de −→H ne

dépend que de ρ .Soit : −→

H = H(ρ)−→eϕ

Pour déterminer le module de H, utilisant le théorème d’Ampère appliquée aun cercle de rayon ρ.

∮ −→H.

−→dl =

∑

Ilibre =⇒ H(ρ)2πρ =∑

Ilibre

pour r < R0∑

Ilibre =∮ −→Jlib.

−→dS = 2πα ρ3

3

pour r > R0∑

Ilibre = 2παR3

0

3

d’oùr < R0 H(ρ) = α

3ρ2

r > R0 H(ρ) =αR3

0

3ρ

2 / Le champ magnétique B et l’aimantation M se déduisent de l’expressionde H en utilisant les relations qui lient B, M et H.

Calcul de B :

ρ < R0−→B = µ1

−→H = µ1

αρ2

3−→eϕ

R0 < ρ < R1 et ρ > R2−→B = µ0

−→H = µ0

αR30

3ρ−→eϕ

R1 < ρ < R2−→B = µ2

−→H = µ2

αR30

3ρ−→eϕ

Calcul de M :

ρ < R0−→M = (µr1

− 1)αρ2

3−→eϕ

R0 < ρ < R1 et ρ > R2−→M =

−→0

R1 < ρ < R2−→M = (µr2

− 1)αR3

0

3ρ−→eϕ

3 / Les expressions de −→B0 se déduisent de celle de −→H par la relation −→B0 = µ0

−→H

car le vecteur −→H ne dépend que des courants libres.4 / Le champ magnétique crée par les courants d’aimantation se déduit a partir

de la relation :

−→B =

−→B0 +

−→Bm

89

soit :ρ < R0

−→Bm = (µ1 − µ0)

αρ2

3−→eϕ

R0 < ρ < R1 et ρ > R2−→Bm =

−→0

R1 < ρ < R2−→Bm = (µ2 − µ0)

αR30

3ρ−→eϕ

5 / ⇒Le Système est invariant par translation suivant Oz et par rotation autourde Oz, donc toutes grandeur physique ne dépendra ni de z ni de ϕ.

⇒ Tout plan (xOy) est un plan d’antisymétrie, donc le potentiel vecteur estperpendiculaire à ce plan. D’où

−→A (ρ, z, ϕ) = Az(ρ)

−→k

Comme −→B =

−→rot

−→A et en utilisant les composantes du vecteur rotationnel en

coordonnées cylindriques on trouve :

−→A (ρ) = −µ1αρ

3

9

−→k

6 / Les champs qui présentent la discontinuité aux surfaces R0 , R1 et R2 sont−→M ,−→B et −→Bm du fait qu’il y a des courants d’aimantation surfaciques.

Le vecteur −→H est continue car il n y a pas de courant libre surfacique.7 / Les densités de courant d’aimantation surfaciques sont données par

−→Js

m =−→M ∧ −→n . −→n étant la normale à la surface étudiée.

−→Js

m(ρ = R0) = (1 − µr1)

αR20

3

−→k

−→Js

m(ρ = R1) = (µr2− 1)

αR21

3

−→k

−→Js

m(ρ = R2) = (1 − µr2)

αR22

3

−→k

8 / Les densités de courants d’aimantation volumiques sont données par :

−→Jv

m(ρ) =−→rot

−→M

−→M = Mϕ(ρ)−→eϕ

ρ < R0−→Jv

m(ρ) = αρ(µr1− 1)

−→k

R1 < ρ < R2−→Jv

m(ρ) =−→0

9 / Le courant d’aimantation total dans le cylindre de rayon R0 est :

Im1=

∫ −→Jv

m.−→dS +

∫ −→Js

m.−→dl = 0

de même Im2= 0.

90

0.42 DS 1 (1999-2000)

0.42.1 Exercice - 11 / a- Le système de coordonnées adaptées : coordonnées sphériques (système

invariant par rotation autour du centre o)b- Les grandeurs physiques ne dépendent ni de θ ni de ϕ car la variation d’un

de ces angles laisse le système invariant.c- Le plan formé par −→er et−→eθ et un plan de symétrie, donc −→E ‖(−→er ,

−→eθ )=⇒Eϕ =0

Le plan formé par −→er et −→eϕ et un plan de symétrie, donc −→E ‖(−→er ,−→eϕ)=⇒Eθ = 0

Donc, −→E (r, θ, ϕ) = E(r)−→er

2 / Déterminons d’abord le vecteur déplacement électrique qui lui ne dépendque des charges libres. Pour cela, utilisant le théorème de Gauss.

∫ ∫ −→D.

−→dS =

∫

ρdτ∫ ∫ −→

D.−→dS =

∫

ρdτ −Q

r < R D4πr2 = παr4 r > R D4πr2 = 4παR4

4−Q

D(r) = αr2

4D(r) = −Q+παR4

4πr2

Les autres vecteurs se déduisent a partir des expressions du vecteur D.

E = Dε

P = Dε(ε− ε0) E0 = D

ε0EP = D(1

ε− 1

ε0)

r < R E1 = αr2

4ε1P1 = αr2

4( ε1−ε0

ε1) αr2

4ε0

αr2

4( 1

ε1− 1

ε0)

r > R E2 = −Q+παR4

4πε2r2 P2 = −Q+παR4

4πr2 ( ε2−ε0

ε2) −Q+παR4

4πε0r2

−Q+παR4

4πr2 ( 1ε2− 1

ε0)

3/ Les densités de charges surfaciques de polarisation sont données par σP =−→P .−→n

Sur la surface de séparation des deux diélectriques, les densités de chargessurfaciques sont

σ1P =

−→P1.

−→er = αR2

4( ε1−ε0

ε1)

σ2P =

−→P2.(−−→er ) = −Q+παR4

4πR2 ( ε0−ε2

ε2)

La densité de charge volumique de polarisation est donnée par ρP = −div−→P ,d’où

r < R ρP = αr( ε0−ε1

ε1)

r > R ρP = 0

91

4/ Le champ électrostatique est nulle à l’extérieur de la sphère si α = Q

πR4

5/ Le champ électrostatique est nulle à l’intérieur de la sphère si α = 06/ Le champ électrostatique est continu à la traversée de la sphère si E1(r =

R) = E2(r = R) ,soit,

ε2 = ε1(1 − Q

απR4)

7/ Calcul de charges de polarisation.Pour le diélectrique a l’intérieur de la sphère, on a

QP1=

∫

σ1PdS +

∫

ρPdτ= 0

Pour le diélectrique à l’extérieur de la sphère, on a

QP2=

∫

σ2PdS

= (−Q+ απR4)( ε0−ε2

ε2)

N.B. QP2

n’est pas nulle car on tient pas compte de la surface externe dudeuxième diélectrique.

0.43 DS2 (1999-2000)

0.43.1 Exercice - 11/ Cas d’un circuit qui se déplace dans un champs magnétique constant. Le

champ électromoteur est donné par la relation de Lorentz.

−→Em = −→v ∧ −→

B

= vB−→k

2/ Calcul du flux coupé par la tige lors de son déplacement dans le champmagnétique.

φc =∫ −→B.

−→ds

= − ∫ −→B.ldx

−→j

= −Blvt

l est la longueur de la tige.

92

3/ La force électromotrice qui apparaît dans cette tige se calcul par deux mé-thodes.

- A partir de la circulation du champ électromoteur de Lorentz.

e =∫ −→Em.

−→dl

=∫

vB−→k .dl

−→k

= vBl

- A partir de la variation du flux coupé par la tige.

e = −dφdt

= Bvl

4/ on a e = Bvl > 0 =∫ MN

−→Em.

−→dl = VN − VM =⇒ VN > VM

5/ e=Ri=⇒ i = BlvR

6/ Cas d’un circuit fixe dans un champ variable. Le champ électromoteur estdonnée par la relation de Newmann.

−→Em = −∂

−→A∂t

= αA0e−αt−→k

7/e =

∫ −→Em.−→dl

= αA0le−αt

= Ri

d’où

i =αA0le

−αt

R8/ La tige est considérée comme infinie. Cette tige crée donc un champ ma-

gnétique donné par :

−→B =

µ0i

2πr−→eθ

Le flux magnétique crée par la tige et qui traverse la spire est donné par.

φ =∫ −→B.

−→ds =

µ0i

2πb log

a + b

a

D’où le coefficient d’induction mutuelle M :

M =µ0b

2πlog

a+ b

a

93

0.43.2 Exercice - 21/ Equations de Maxwell relatifs au milieu.

−→rot

−→E = −∂

−→B∂t

−→rot

−→B = µ0

−→j + µ0ε0

∂−→E∂t

div−→B = 0

div−→E = 0

2/ les équations de propagation pour le champs électromagnétique sont don-nées par.

4−→E − µ0γ

∂−→E∂t

− µ0ε0∂2−→E

∂t2= 0

4−→B − µ0γ

∂−→B∂t

− µ0ε0∂2−→B

∂t2= 0

3/ Equation de dispersion du milieu.Soit −→E =

−→E 0e

i(kx−ωt) , donc ∂∂t

= −iω , −→∇ = i−→k et 4 = −k2

d’où

k2 =ω2

c2(1 − ω2

p

ω2)

4/ La vitesse de phase vϕ et la vitesse de groupevg sont données par .

vϕ = ωk

= c√

1−ω2

p

ω2

vg = dωdk

= c√

1 − ω2p

ω2

5/ La nature de l’onde dépend la valeur de ω par rapport à ωp.

ω < ωp =⇒ k2 < 0 =⇒ onde vanescenteω > ωp =⇒ k2 > 0 =⇒ onde non attennue

6/ Dans le vide, on a vϕ = c = 2πλ0

ket dans le milieu étudié vϕ = 2πλ

k. D’où

λ =λ0

√

1 − ω2p

ω2

7/vϕ ≈ vg =⇒ ωp

ω≈ 0

=⇒ ω ωp

8/ Le vecteur de Poynting est donné par −→R =−→E ∧

−→B

µ0=⇒ R = E2

cµ0

94

0.44 Rattrapage (1999-2000)

0.44.1 Exercice - 11/ L’équation de Maxwel-Gauss est div−→E = 0 (milieu neutre). En utilisant les

expressions données pour le champ électrique, on a donc

∂Ex

∂t+ ∂Ey

∂t+ ∂Ez

∂t= 0

∂E1

∂t+ k2E2 = 0

2/ L’équation de propagation du champ électrique est

4−→E =

1

c2∂2−→E∂t2

Soit :

4Ex−→i + 4Ey

−→j + 4Ez

−→k =

−ω2

c2−→E

Comme Ey = 0 et ∂2

∂z2 = −k2 donc :

∂2E1

∂x2 + (ω2

c2− k2)E1 = 0

∂2E2

∂x2 + (ω2

c2− k2)E2 = 0

3/ La solution de l’équation différentielle vérifiée par E1 est de la forme (ωc>

k )

E1(x) = A cos(

√

ω2

c2− k2x) +B sin(

√

ω2

c2− k2x)

Dans le cas où E1(0) = E0 = constante et ∂E1

∂t)x=0 = 0. La solution est de la

forme

E1(x) = E0 cos(

√

ω2

c2− k2x)

4/ D’après la première question, on a

E2(x) =E0

√

ω2

c2− k2

ksin(

√

ω2

c2− k2x)

95

5/ L’équation de Maxwell-Faraday

−→rot

−→E = −∂

−→B

∂t⇒ ∂Ex

∂z− ∂Ez

∂x= iωB0ye

i(kz−ωt)

En utilisant les relations précédentes, on trouve :

−→B =

ω

kc2E1e

i(kz−ωt)−→j

6/ En utilisant les expressions de −→E et de −→

B

0.45 DS1 Juin 2001Problème 11- A partir des équations de Maxwell :−→rot

−→B = µ0ε0

∂−→E∂t

−→rot

−→E = −∂

−→B∂t

et−→B =

−→rot

−→A

−→E = −−−→


on trouve facilement

4−→A − 1

c2∂2−→A∂t2

= 0

2- A partir de l’équation de propagation en remplacant ∂∂t

= −iω et 4 =∂2

∂x2 + ∂2

∂z2 = −(nπa

)2 − k2

on trouve l’équation de dispersion suivante :

k2 = ω2

c2− (nπ

a)2

Pour qu’il y a propagation, il faut que k ≥ 0 donc :

ω ≥ ωc = nπca

Pour ω < ωcle potentiel vecteur s’écrit :

−→A = A0sin(nπ

ax)e−ρze−iωt−→ey

96

avec ρ =√

ω2c−ω2

c2

II-2) Le champ électrique se déduit de la relation : −→E = −∂−→A∂t

Soit −→ER = E0sin(nπax)cos(ωt− kz − π

2)−→ey

II-3) Le champ magnétique B se déduit de l’équation de Maxwell −→rot−→E =

−∂−→B∂t

Soit :−→BR = E0k

ωsin(nπ

ax)sin(kz − ωt)−→ex + E0

ωnπacos(nπ

ax)cos(kz − ωt)−→ez

II-4) L’onde étudiée n’est pas plane car le module du champ électrique dépendde deux variables x et z.

La vitesse de phase est donnée par v = ωk

= c√

1−ω2

ω2c

II-5) le flux du vecteur de Poynting a travers la surface S orthogonale à Oz est

φ =E2

0kba

2ωµ0sin2(kz − ωt)

La valeur moyenne de ce flux est :

< φ >=E2

0kba

4ωµ0

0.46 DS1 Juin 2005-2006Exercice11) Par raison de symétrie −→

E = E(r)−→er .2) Relations de continuité : E1t = E2tor à la surface de séparation du vide et

du diélectrique, le champ se réduit à sa composante tangentielle donc E(vide) = E( dié ).

3) On a∫ ∫ −→

D−→dS = E1πrh+ E0πrh = σ1lπah+ σ2lπah

Soit ε1Eπrh+ ε0Eπrh = σlπahd’où E = σla

r(ε1+ε0)

On a aussi U =∫

Edl = σla(ε1+ε0)

ln( ba)

donc E = U

rln( ba)

A partir de E, on déduit les autres expressions.6) dans le vide σP = 0 et dans le diélectrique σP = −div−→Psurface r= a σP = − (ε−ε0)U

aln( ba)

sueface r = b σP = (ε−ε0)U

bln( ba)

7) La somme des charges de polarisation = 0

97

0.47 DS2 Juin 2005-2006B) 1) L’intensité du courant est donnée par I = J πa2car J est uniforme et

constant dans le conducteur. On a donc :

−→j =

Iπa2

−→k si r ≤ a

0 si r ≥ a

)

et pour le champ électrique ,

−→E = I

σπa2

−→k

La densité de charge est donnée par l’équation de Maxwell ρ = ε0div−→E , soit

ρ = 0

Le plan OzM est plan de symétrie, donc le champ magnétique est perpendicu-laire à ce plan : soit

−→B = B(r, θ, z)−→eθ

et le système est invariant par rotation autour de Oz et par translation suivantOz donc :

−→B = B(r)−→eθ

pour déterminer l’expression de B, on utilise le théorème d’Ampére appliquéesur un cercle de rayon r et d’axe Oz, ainsi :

2πB(r) =

µ0Ir2

a2 si r ≤ aµ0I si r ≥ a

On a donc

−→B = B(r)−→eθ =

µ0Ir2πa2 si r ≤ aµ0I2πr

si r ≥ a

2) Les champs E et B sont continus à la surface du conducteur, les relations depassage sont donc vérifiées s’il n’ya ni charge ni courant surfacique.

3) Le produi scalaire s =−→j .

−→E est la puissance par unitée de volume commu-

niquée aux charges ou puissace dissipée par effet Joule. Son unité est leW/m3.Ainsi :

98

s =

I2

σπ2a4 = 103Wm−3 si r ≤ a0 si r ≥ a

4) Le flux du vecteur de Poynting à travers une surface est la puissance élkec-tromagnétique qui traverse cette surface. L’unité de R est le W/m2

−→R =

−→E ∧

−→B

µ0=

− I2r2π2a4σ

−→er si r ≤ a

− I2

2π2a2σr−→er si r ≥ a

5) Ona

ψ =−→∇.−→R =

− I2

π2a4σsi r ≤ a

0 si r ≥ a

Ainsi, on a donc

ψ = −s où encore −→∇.−→R +−→j .

−→E = 0

Cette relation exprime la forme locale de la conservation de l’énergie dans lecas du régime stationnaire.

6) Le flux du champ magnétique à travers le rectangle OABC est :

φB(r) =

µ0Ihr2r4πa2 si r ≤ a

µ0Ih4π

(1 + 2Ln ra

si r ≥ a

II) Régime quasistationnaire1) v = −dφB(r)

dtest la force électromatrice qui apparaît dans le contour OABCDO.

En utilisant l’expression de φB(r)pour r ≤ a, on trouve :

v = µ0I0hr2ω4πa2 ei(ωt−π

2)

D’où v0 = µ0I0hr2ω4πa2 et φ = π

2

A.N. v0 = 3, 1 10−5V2) Comme −→

j = σ−→E , La circulation de la densité de courant s’exprime en

fonction de la circulation du champ électrique par

C =∮

Γ−→j .

−→dl = σ

∮

Γ

−→E .

−→dl

99

Or à laide de l’equation de Maxwell −→∇.−→E = −∂−→B∂t

on a σ∮

Γ

−→E .

−→dl = −dφB(r)

dt

On a donc : C = −σ dφB(r)dt

= σv

Soit C = −iµ0σI0hr2ω

4πa2 eiωt

3) Comme la circulation de la densité de courant le long du circuit Γ n ’est panulle, la densité de courant ne peut pas être uniforme dans le conducteur.

C) Onde plane électromagnétique1) La longeur d’onde λ = c

ν= 10m

2) −→E , −→B et−→k forment un triédre direct et on a B = E

cd’où

−→E = cB0cos(ωt− kz)−→ex

3) −→∇ .−→E = −∂

−→B∂t

permet d’obtenir e(t) = σ∮

Γ

−→E .

−→dl = −dφB(r)

dt

4) Sur le disque D, z varie entre -a et a. On a donc λ a le champ magnétiquereste donc presque uniforme sur le plan du disque et on peut remplacer magnétiquepar sa valeur en O. On a donc :

φ(t) =∫ ∫

B0cos(ωt)−→ey−→n dS = B0πa

2sinθcos(ωt)

Ainsi : e(t) = Asin(ωt) o A = B0πa2sinθ

5) On a W (θ) =< e(t)2 >=< A2sin2(ωt) >= A2

2

Ainsi W (θ) est minimum pour θ = 0(mod π). Le champ B est alors paral-lèle au disque. W (θ) est maximum por θ = π

2(mod π). Le champ B est alors

perpendiculaire au disque.

0.48 DS1 2006-2007Exercie 1On a −→

P = P−→er avec P est constante dans le diélectrique.Les charges de polarisation sont :

ρp = −div−→P = −1r

ddr

(rP ) = −Pr

σp =−→P .−→n =

−→P .−→er = P

La somme des charges de polarisation est :∑

Qp =∫

ρpdτ +∫

σdS =∫ −P

r2πhrdr + P

∫

dSsoit :

∑

Qp = 02- Le théorème de Gauss appliquée a une sphère de rayon r donne :

100

r < R−→E (r) = −P

r−→er

r > R−→E =

−→0 (Qint = 0)

3) On a −→E = −−−→

gradV ⇒ dV = −Edrd’où :

r < R V (r) = − Pε0

(r − R)

r > R V (r) = 0

4) L’équation de Poisson est :

r > R 4Vext = 0r < R 4Vint = − ρ

ε0= − P

ε0r

⇒

r > R ddr

(r dVdr

) = 0r < R d

dr(r dV

dr) = P

ε0

d’où : Vint(r) = Prε0

+ Aln(r) +B

Vext(r) = Clnr +D

Déterminons les constantes d’integration :On a Vext(r)tend vers 0 si r tend vers l’infini, donc : C = D = 0.La continuité de V donne : Vint = P

ε0(R− r)

4) L’énergie électrostatique de la sphère est :U = ε

2

∫

E2dτ soit U = ε2

P 2

ε20

πhR2

5) On creuse dans le diélectrique une cavité de rayon R1.a) Les charges de polarisation sont :

r = R1 σp = −Pr = R2 σp = P

R1 < r < R2 ρp = −Pr

En utilisant le théorème de Gauss, on déduit le champ électrique suivant :

r < R1 E = 0R1 < r < R2 E = − P

ε0

r > R2 E = 0

101

0.49 DS2 2006-2007Exercice-11. Solénoide de longuer b très grande , donc par raison de symétrie cylindrique

on a B(r, θ, z) = B(r).Tout plan perpendiculaire Oz est un plan de symétrie donc B est parallèle à

Oz.D’où : −→B = B(r)

−→k

2. a)aSoit le contour (C) indiqué par le schéma suivant :

a

rQM

(C)

Cylindre de rayon a

r’’

On a∮ −→B.

−→dl = 0 d’où (B(Q)-B(M) = 0

donc B est uniforme à l’exterieur. Comme B est nul à l’infini, le champ àl’extérieur est donc nul.

b) Théorème d’Ampére :∮ −→B .

−→dl = µ0

∑

Iint

102

en utilisant le contour d’intergration suivant :

Cylindre de rayon a

a

r

(C)

on a : B = µ0nIc) ϕ = Le flux de B à travers une spire :ϕ = BSS = surface d’une spire.Pour le solenoide : φ = nbϕ = n2bµ0Iπa

2

Le coefficient d’auto-induction de la bobine est L = n2bµ0πa2

Le coefficient d’auto-induction par unité de longueur est : L = Lb

= n2µ0πa2

3) a) Soit ϕ le flux envoyé par le solenoide à travers une spire de la bobine :ϕ = Bπr2

d’où, le flux total à traves la bobine est : φ = NBπr2 = µ0nNIπr2

b) Le coefficient d’induction mutuelle est M = φI

= µ0nNπr2

4) a) f.é.m induite dans la bobine :1- A partir de la loi de Faraday :

e1 = −dφdt

= −µ0nNπr2I0ωcosωt

2- A partir du champ de Neumann .On a −→

B =−→rot

−→A⇒A = Br

2

Donc −→A = µ0nIr

2−→eρ⇒

−→Em = −∂

−→A∂t

= −µ0nI0ωcosωt2

rd’où la f.e.m induite est :

e1 =∮ −→Em.

−→dl = Em.2Nπr = −µ0nNπr

2I0ωcosωt

103

5) a) On a −→v = v0−→k ⇒ e =

∮ −→E .

−→dl

avec : −→E = −→v ∧ −→B − ∂

−→A∂t

comme −→v ∧ −→B =

−→0

Donc : e = e1

b) On a −→B = B−→eρ

Donc le champ électromoteur est : E = −→v ∧ −→B = v0B

−→eθ

D’où : e =∮ −→E .

−→dl =

∮

v0Brdθ

⇒ e = v0Br2Nπ

Exercice Nr21) Equation de Mawxell dans l’eau de mer :

div−→B = 0 div

−→E = 0

−→rot

−→E = −∂

−→B∂t

−→rot

−→B = µ0(J + ∂

−→D∂t

2) L’équation de propagation se déduit à partir de ces équations :

4−→E = − εr

c2∂2−→E

∂t2− µ0σ

∂−→E∂t

=−→0

3) En notation complexe, l’équation de propagation s’écrit :−k2 + εr

c2ω2 + iµ0σω = 0. D’où :

k2 = εr

c2ω2 + iµ0σω

4) Le rapport entre la partie imaginaire et la partie réelle de k2 = σεω

= 105) Si Im(k2) Re(k2)on a k2 = iµ0σω = µ0σωe

i π2

Donc : k =√µ0σωe

i π4 =

√

µ0σω

2(1 + i)

On pose δ =√

2µ0σω

⇒k = 1δ(1 + i)

D’où :

E(z, t) = E0e− z

δ ei( zδ−ωt)

b) On a une onde évanescente, donc on ne peut pas communiquer avec un sousmarin dans ce cas.

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