STATISTIQUES ET PROBABILITÉSPartie 2 (Probabilités)

Chapitre II

VARIABLES ALÉATOIRES CONTINUES

EXERCICES DE RÉVISIONS: PROBABILITÉS-CHAPITRE II

Variables Aléatoires Réelles Continues

Une variable aléatoire réelle X est dite continue si ses valeurs x ne sont plus dénombrables.Au lieu d�une probabilité pX(xi), on dé�nie plutôt une densité de probabilité fX(x).

AvecR +1�1 fX(x)dx = 1:

La probabilité d�avoir une valeur bien determinée X = a est P (X = a) � 0:

La probabilité d�avoir a 6 X 6 b est P (a 6 X 6 b) =R bafX(x)dx:

La Fonction de Répartition d�une variable aléatoire continue est: FX(x) = P (X 6 x) =R x�1 fX(t)dt:

L�Espérance Mathématique d�une variable aléatoire continue est: E(X) � �(X) =R +1�1 xfX(x)dx:

L�Espérance Mathématique d�une fonction sur un intervalle est: E(g(X)) =R bag(x)fX(x)dx:

Le Moment Simple d�ordre r d�une variable aléatoire continue est: �r(X) = E(Xr) =

R +1�1 xrfX(x)dx:

Le Moment Centré d�ordre r d�une variable aléatoire continue est: mr(X) = E [(X � �)r] :

La Variance d�une variable aléatoire continue est: �2(X) � Var(X) = E(X2)�E2(X):

L�Écart-type d�une variable aléatoire continue est: �(X) =pVar(X):

La Variable Centrée Réduite est: X� = X��(X)�(X) :

La Fonction Génératrice des Moments d�une variable aléatoire continue est: GX(t) =R +1�1 etxfX(x)dx:

Une variable aléatoire continue X admet une espérance siR +1�1 xfX(x)dx converge absolument :

Une variable aléatoire continue X est dite centrée si E(X) = 0: Elle est dite réduite si Var(X) = 1:

La densité de probabilité fX+Y (x) de deux variables aléatoires continues et indépendantes X et Y estfX+Y (x) =

R +1�1 fX(t)fY (x� t)dt:

Lois de Probabilités ParticulièresIl arrive parfois qu�une probabilité suive une loi bien déterminée. Ci-dessous sont quelques unes.

Loi de Laplace-Gauss (ou normale centrée-réduite): fX(x) =1p2�e�

x2

2 : (E(X) = 0: Var(X) = 1:)

Loi Normale à deux paramètres: fX(x) =1p2��2

e�12 (

x��� )

2

: (E(X) = �: Var(X) = �2:)

Loi Uniforme Continue: fX(x) =

( 1

b� a si x 2 [a; b] :0 si x =2 [a; b] :

(E(X) = a+b2 : Var(X) =

(b�a)212 :)

Loi Exponentielle (de paramètre � > 0): fX(x) =��e��x si x > 0:0 si x < 0:

(E(X) = 1� : Var(X) =

1�2:)

F . H AM M AD http://sites.google.com/site/exerev