IFIPS Ondes

Devoirs correction bientôt sur le web

Une sphère diélectrique uniformément polarisée Considérons une sphère composée d’un milieu diélectrique, de centre O de rayon R. Elle est placée dans un champ extérieur E0 uniforme selon Oz. Il en résulte une polarisation 0 zP P u= uniforme c’est à dire constante partout. 1. Montrer que les densités de charge surfacique σP et volumique ρP de polarisation satisfont :

ρP=0 et σP = P0 cosθ 2. On cherche à calculer le champ Ed en O dû aux charges de polarisation σP en fonction de P . On se place en coordonnées sphériques.

• Exprimer le champ d E dû à un élément de la surface de la sphère dS de charge surfacique σ en fonction de P, θ, du vecteur d S , de ε0 et de R.

• Que vaut la composante zdE selon z de d E ?

• Montrer que, par symétrie, le champ total ( )totE O en O dû à toute la surface de la

sphère vaut simplement : ( ) ztot zE O dE uΣ

= ∫∫ (ici, Σ est la surface de la sphère)

• En déduire finalement, après intégration sur Σ, la valeur de ( )totE O en fonction de

P . Commenter le signe

3. La distribution de charges de polarisation est équivalente à celle d’une superposition de deux sphères S+ et S- de rayon R uniformément chargées en volume avec les densités +ρ et -ρ, dont les centres O+ et O- sont très proches et selon Oz (voir figure). • Justifier qualitativement cette équivalence. • Grâce à la forme intégrale du théorème de Gauss, calculer le champ dû à S+ en tout point

intérieur à S+. Faire de même pour S-. • Que vaut alors le champ E dû à ces deux sphères en O ? (ce qui justifie quantitativement

l’équivalence entre les deux systèmes). • Retrouve-t-on comme dans la première partie ?

z

E0 O

z

O+

O-