exercices_methodes_numeriques

Exercicesdemthodes numriques

Avec solutions

Exercicesdemthodes numriques

Avec solutions

Vincent Goulet

cole dactuariat, Universit Laval

2008 Vincent Goulet

Cette cration est mise disposition selon le contrat Paternit-Partage des conditionsinitiales lidentique 2.5 Canada disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.5/ca/ ou par courrier postal Creative Commons, 171Second Street, Suite 300, San Francisco, California 94105, USA.

Historique de publication

Janvier 2008 : Premire dition

Code sourceLe code source LATEX de ce document est disponible ladresse

http://vgoulet.act.ulaval.ca/methodes_numeriques/

ou en communiquant directement avec lauteur.

Avis de marque de commerceS-Plus est une marque dpose de Insightful Corporation.

ISBN 978-2-9809136-8-6Dpt lgal Bibliothque et Archives nationales du Qubec, 2008Dpt lgal Bibliothque et Archives Canada, 2008

Introduction

Ce document est une collection des exercices distribus par lauteur dansses cours de Mthodes numriques en actuariat entre 2005 et 2007, cours don-ns lcole dactuariat de lUniversit Laval. Certains exercices sont le fruitde limagination de lauteur, alors que plusieurs autres sont des adaptationsdexercices tirs des ouvrages cits dans la bibliographie.

Cest dailleurs afin de ne pas usurper de droits dauteur que ce documentest publi selon les termes du contrat Paternit-Partage des conditions initiales2.5 Canada de Creative Commons. Il sagit donc dun document libre quequiconque peut rutiliser et modifier sa guise, condition que le nouveaudocument soit publi avec le mme contrat.

Le cours de Mthodes numriques est spar en quatre parties plus oumoins tanches les unes aux autres :

I. Introduction la programmation en S ;

II. Simulation stochastique ;

III. Analyse numrique ;

IV. Algbre linaire.

Tant la thorie que les exercices de la premire partie se trouvent dans Gou-let (2007). Ce document contient donc les exercices relatifs aux parties IIIV.Nous invitons le lecteur consulter, entre autres, Ripley (1987), Gentle (1998),Burden et Faires (1988) et Anton (2000) pour dexcellents exposs sur les sujetspr-cits.

Les rponses des exercices se trouvent la fin de chacun des chapitres etles solutions compltes en annexe du document.

Nous remercions davance les lecteurs qui voudront bien nous faire partde toute erreur ou omission dans les exercices ou leurs solutions.

Enfin, nous tenons remercier MM. Mathieu Boudreault, Sbastien Au-clair et Louis-Philippe Pouliot pour leur prcieuse collaboration lors de la r-daction des exercices et des solutions.

Vincent Goulet Qubec, dcembre 2007

v

Table des matires

Introduction v

II Simulation stochastique 1

2 Gnration de nombres alatoires 3

3 Simulation de variables alatoires 5

III Analyse numrique 11

4 Arithmtique des ordinateurs 13

5 Rsolution dquations une variable 17

IV Algbre linaire 21

6 Rvision dalgbre linaire 23

7 Valeurs propres, vecteurs propres et diagonalisation 31

8 Dcomposition LU 35

A Solutions 37Chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Chapitre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54Chapitre 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58Chapitre 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77Chapitre 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91Chapitre 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Bibliographie 105

vii

Deuxime partie

Simulation stochastique

1

2 Gnration de nombres alatoires

Lexercice 2.3 requiert dinstaller le packageR rgl, disponible sur CRAN1.Pour un utilisateur ayant les privilges dadministrateur, entrer simplement la ligne de commande

> install.packages("rgl")

Pour utiliser les fonctions du package, il faut ensuite charger le package enmmoire avec

> library(rgl)

Un utilisateur sans droit dcriture dans le dossier C:\Program Files(sous Windows) devra installer le package dans le dossier de son choix etspcifier celui-ci avec largument lib de la fonction install.packages. Ilfaudra galement utiliser largument lib.loc de la fonction library lorsdu chargement du package. Par exemple :

> install.packages("rgl", lib = "R:/R/library")> library(rgl, lib.loc = "R:/R/library")

2.1 Calculer cinq nombres pseudo-alatoires avec chacun des gnrateurs con-gruentiels ci-dessous. Dans tous les cas, m = 64. Choisir lamorce.

a) a = 29, c = 17

b) a = 9, c = 1

c) a = 13, c = 0

d) a = 11, c = 0

2.2 a) crire une fonction en S faisant la mise en oeuvre du gnrateur con-gruentiel multiplicatif avec m = 213 1 et a = 17. Gnrer 500 nombrespseudo-alatoire, puis faire un graphique des paires (xi, xi+1). Sur com-bien de lignes les points sont-ils aligns ?

b) Rpter la partie a) avec a = 85.

1http://cran.r-project.org

3

4 Gnration de nombres alatoires

2.3 Le gnrateur RANDU, qui a longtemps t le plus populaire gnrateurde nombres pseudo-alatoires, est dfini ainsi :

xi = 65539xi1 mod 231.

Les nombres alatoires obtenus avec ce gnrateur prsentent une ex-cellente structure alatoire en une et en deux dimensions. On peut tou-tefois dmontrer mathmatiquement quen trois dimensions, les triplets(xi, xi+1, xi+2) se retrouvent sur quinze plans ou moins, rendant ainsi as-sez prvisible la valeur de xi+2 tant donn les deux autres valeurs.

a) Gnrer une suite {xi} de longueur 20 002 avec le gnrateur RANDUet poser ui = 231xi. Pour tous les triplets (ui, ui+1, ui+2), slectionnerles cas o 0,5 ui+1 0,51 et faire un graphique de ui+2 en fonctionde ui. Commenter le graphique obtenu.

b) Gnrer une suite {xi} de longueur 1 002 avec le gnrateur RANDU. laide de R, placer les triplets (ui, ui+1, ui+2) dans un graphique entrois dimensions avec la fonction rgl.points du package rgl, puisfaire pivoter le graphique jusqu ce que les quinze plans sur lesquelsse trouvent les points soient visibles. (On peut galement utiliser lafonction spin de S-Plus.)

3 Simulation de variables alatoires

3.1 La transformation de BoxMuller est populaire pour simuler des nombresnormaux partir de nombres uniformes. Soit U1 U(0, 1) et U2 U(0, 1)deux variables alatoires indpendantes et

X1 = (2 log U1)1/2 cos(2piU2)X2 = (2 log U1)1/2 sin(2piU2).

Les questions ci-dessous font appel des notions de transformation devariables alatoires tudies dans le cours ACT-16384.a) Vrifier de manire heuristique que la transformation ci-dessus est bi-

jective de {(u1, u2); 0 < u1 < 1, 0 < u2 < 1} {(x1, x2); < x1 hist(x, prob = TRUE)

pour voir si la distribution des nombres transforms est approxi-mativement normale.

iv) On peut ajouter une courbe normale thorique au graphique avec

5


> curve(dnorm(x), add = TRUE)

pour fins de comparaison.

3.2 La distribution de Laplace, ou double exponentielle, est obtenue commela diffrence entre deux distributions exponentielles identiques et ind-pendantes. Sa fonction de densit de probabilit est

f (x) =

2e|x|, < x < .

Proposer une ou plusieurs faons de simuler des nombres issus de cettedistribution.

3.3 Faire la mise en oeuvre informatique (dans le langage de votre choix) delalgorithme de simulation suivant. Il sagit dun algorithme pour simulerdes observations dune loi Gamma(, 1), o > 1.

1. Gnrer u1 et u2 indpendemment dune loi U(0, 1) et poser

v =( 16 )u1( 1)u2 .

2. Si2(u2 1) 1 + v +

1v 2,

alors retourner le nombre x = ( 1)v. Sinon, si2 log u2 1 log v + v 1,

alors retourner le nombre x = ( 1)v.3. Rpter au besoin la procdure depuis ltape 1.

Faire les vrifications empiriques usuelles de la validit de lalgorithme.

3.4 Quelle procdure pourrait-on suivre pour simuler des nombres dune loiGamma(,) o > 1 ?

3.5 a) Dmontrer que si X| Exponentielle() et Gamma(,), alorsX Pareto(,). La fonction de densit de probabilit dune loi dePareto est

f (x) =

(x + )+1, x > 0.

b) Utiliser le rsultat ci-dessus pour proposer un algorithme de simula-tion de nombres issus dune loi de Pareto. Faire la mise en oeuvre in-formatique de cet algorithme et les vrifications dusage de sa validit.

Simulation de variables alatoires 7

3.6 La fonction de densit de probabilit de la loi de Pareto translate est

f (x) =

x+1, x > .

Simuler trois valeurs dune telle distribution avec = 2 et = 1 000 laide de la mthode de linverse et du gnrateur congruentiel linairesuivant :

xn = (65xn1 + 1) mod 2 048.

Utiliser une amorce de 12.

3.7 Simuler laide de R, S-Plus ou Excel des observations du mlange

0,6 f1(x) + 0,4 f2(x),

o f1(x) et f2 sont les densits de deux lois log-normales, la premire deparamtres = 3,1 et 2 = 0,6 ; la seconde de paramtres = 4,3 et2 = 0,4. Tracer par la suite un histogramme des observations, y superpo-ser la densit thorique de la distribution simule et vrifier que les deuxgraphiques correspondent.

3.8 Soit U1 et U2 deux variables alatoires indpendantes uniformment dis-tribues sur lintervalle (0, 1) et soit la transformation

X1 =

U1 cos(2piU2)

X2 =

U1 sin(2piU2).

Dmontrer que la distribution conjointe de X1 et X2 est uniforme sur ledisque de rayon de 1 centr en (x1, x2) = (0, 0). quoi ce rsultat peut-ilservir ?

3.9 a) Soit Y1 Gamma(, 1) et Y2 Gamma(, 1) deux variables alatoiresindpendantes. Dmontrer que

X =Y1

Y1 +Y2 Bta(,).

b) Utiliser le rsultat en a) pour proposer un algorithme de simulationdobservations dune loi Bta(,).

c) Faire la mise en oeuvre informatique de lalgorithme en b) ainsi que lesvrifications dusage.

3.10 a) Dans la mthode dacceptation-rejet, un nombre y tir dune variablealatoire Y avec fonction de densit de probabilit gY() est acceptcomme ralisation dune variable alatoire X avec fonction de densitde probabilit fX() si

U fX(y)cgY(y)

,


o U U(0, 1). Calculer la probabilit daccepter une valeur lors detoute itration de la mthode dacceptation-rejet, cest--dire

Pr[

U fX(Y)cgY(Y)

].

Astuce : utiliser la loi des probabilits totales en conditionnant sur Y =y.

b) Dterminer la distribution du nombre dessais avant daccepter unnombre y dans la mthode dacceptation-rejet.

c) Dterminer le nombre moyen dessais avant daccepter un nombre ydans la mthode dacceptation-rejet.

3.11 Soit X une variable alatoire continue dfinie sur lintervalle (a, b), o a etb sont des nombres rels. Pour simuler des observations de cette variablealatoire par la mthode dacceptation-rejet, on peut toujours inscrire lafonction de densit de probabilit de X dans un rectangle de hauteur M,ou M est le mode de X.

a) noncer lalgorithme dacceptation-rejet dcoulant dune telle proc-dure.

b) Calculer lefficacit de lalgorithme en a), soit la probabilit daccepterune valeur lors dune itration de lalgorithme.

3.12 Considrer le problme de simulation dobservations dune loi Bta(3, 2) laide de la mthode dacceptation-rejet.

a) Calculer lefficacit de lalgorithme dvelopp au problme 3.11 lorsqueadapt au cas prsent.

b) Calculer lefficacit de lalgorithme dvelopp dans lexemple 3.7 desnotes de cours, o lon a dtermin que

fX(x) {

3x, 0 < x < 0,812 12x, 0,8 x < 1.

c) Faire la mise en oeuvre en S et/ou VBA de lalgorithme le plus efficaceentre celui de la partie a) et celui de la partie b). Vrifier la fonction ensuperposant lhistogramme dun grand chantillon obtenu avec cettefonction et la vraie fonction de densit de la loi bta.

3.13 La fonction S de la figure 3.1 permet de simuler des observations de ladistribution Bta(, ).

a) Identifier le type dalgorithme utilis dans cette fonction.

b) On vous donne galement les valeurs suivantes, obtenues dans R :> set.seed(12345)> runif(10)

Simulation de variables alatoires 9

simul


2. Si v2 < ( 1)(v1 ln v1 1), poser x = v1. Sinon, retour-ner ltape 1.

3.16 valuer lintgrale 10

ln(5x + 4) dx

exactement ainsi qu laide de lintgration Monte Carlo. Comparer lesrponses.

3.17 valuer lintgrale 10

10

e2xy ln(3x + y2) dxdy

laide de lintgration Monte Carlo. Comparer la rponse obtenue avecla vraie valeur, 1,203758, obtenue laide de Maple.

3.18 Soit lintgrale

=

0x2 sin(pix)ex/2 dx.

a) valuer cette intgrale par Monte Carlo en effectuant un changementde variable.

b) valuer cette intgrale par Monte Carlo par chantillonnage directdune loi de probabilit approprie.

3.19 Soit X1, . . . , X25 un chantillon alatoire de taille 25 dune distributionN(0, 1) et soit X(1) X(25) les statistiques dordre de cet chan-tillon, cest--dire les donnes de lchantillon tries en ordre croissant.Estimer E[X(5)] par intgration Monte Carlo. Comparer la rponse obte-nue avec la vraie esprance, 0,90501.

Rponses

3.6 1619, 1126, 2103

3.10 a) 1/c b) Gomtrique(1/c) commenant 1 c) c

3.11 b) 1/(M(b a))3.12 a) 9/16 b) 4/5

3.13 b) [1] 0.46 0.33

3.16 Valeur exacte : 1,845969

3.18 Valeur exacte : 0,055292

Troisime partie

Analyse numrique

11

4 Arithmtique des ordinateurs

4.1 Convertir les nombres dcimaux suivants en base 6, puis en binaire.a) 119b) 343c) 96d) 43

4.2 Convertir les nombres hexadcimaux suivants en nombres dcimaux.a) A1Bb) 12Ac) B41d) BAFFE

4.3 a) Utiliser lalgorithme de conversion des nombres en base b vers la base10 et les ides de lexemple 4.6 des notes de cours pour trouver uneformule gnrale donnant la position de llment aijk dun tableau dedimensions I J K dans lordre de la liste des lments du tableau.Utiliser lordre lexicographique, o le tableau est rempli dans lordrea111, a112, . . . , a11K, a121, a122, . . .

b) Rpter la partie a) en utilisant lordre S, o le tableau est plutt remplidans lordre a111, a211, . . . , aI11, a121, a221, . . . . Comparer la rponse aveccelle de lexercice 3.7 b) de Goulet (2007).

4.4 La norme IEEE 754 pour les nombres en virgule flottante (S, E, F) en simpleprcision est le suivant : longueur totale de m = 32 bits ; 1 bit pour le signe S (valeur de 0 pour un nombre positif) ; 8 bits pour lexposant E, avec un biais de 127 ; 23 bits pour la partie fractionnaire F.Un nombre x est donc reprsent comme

x = (1)S 2E127 1,F.Trouver les valeurs , xmax et xmin pour les nombres en simple prcision.Comparer les rsultats avec les limites du type Single en VBA.

13

14 Arithmtique des ordinateurs

4.5 Outre les types Single et Double pour reprsenter des nombres en vir-gule flottante, le VBA dispose galement des types Integer, Long etByte pour reprsenter des nombres entiers. Comme son nom lindique, letype Byte utilise huit bits despace mmoire et ne sert que pour les entierspositifs. Les types Integer et Long requirent 16 et 32 bits, respective-ment, et peuvent contenir des nombres ngatifs. En supposant quun bitest rserv pour le signe dans ces deux derniers types (ce qui nest pasexactement le cas), trouver le plus grand nombre admissible pour chaquetype de donnes.

4.6 Reprsenter les nombres suivants comme des nombres en virgule flottanteen simple prcision selon la norme IEEE 754.

a) 1 234b) 55

c) 8 191

d) 10e) 23f) 1100

4.7 Les nombres ci-dessous sont reprsents en format binaire selon la normeIEEE 754 pour les nombres en simple prcision. Convertir ces nombres endcimal.

a) 0 00111101 10010000100000000000000

b) 1 00111101 10010000100000000000000

c) 0 10000100 10010000100000000000000

d) 1 10000100 10010000100000000000000

4.8 Trouver, pour les nombres des parties a) et c) de lexercice 4.7, le nombresuivant et le nombre prcdent en reprsentation binaire.

Rponses

La notation xb signifie que le nombre x est en base b. On omet gnralement bpour les nombres en base 10.

4.1 a) 3156, 11101112b) 13316, 1010101112c) 2406, 11000002d) 1116, 1010112

4.2 a) 2 587 b) 298 c) 2 881 d) 765 950

4.3 a) k + K(j 1+ J(i 1))

Arithmtique des ordinateurs 15

b) i + I(j 1+ J(k 1))4.4 = 223 = 1,192 107, xmax = (2 223) 2127 = 3,403 1038, xmin =

2126 = 1,175 1038 (nombre normal) ou xmin = 2149 = 1,401 1045(nombre sous-normal)

4.5 Type Byte : 255 ; type Integer : 32 767 ; type Long : 2 147 483 647.

4.6 a) 1 10001001 00110100100000000000000

b) 0 10000100 10111000000000000000000

c) 0 10001011 11111111111100000000000

d) 1 10000010 01000000000000000000000

e) 0 01111110 01010101010101010101010

f) 0 01111000 01000111101011100001010

4.7 a) 2,120 229 346 1020 b) 2,120 229 346 1020 c) 50,0625 d) 50,06254.8 a) 2,120 229 508 1020 et 2,120 229 185 1020 c) 50,062 503 815 et 50,062 496 185

5 Rsolution dquations unevariable

5.1 crire des fonctions S pour effectuer les calculs des algorithmes de bissec-tion, du point fixe, de NewtonRaphson et de la scante. Outre les argu-ments communs toutes les fonctions que sont le niveau de tolrance ,le nombre maximal ditrations Nmax et une valeur boolenne spcifiantsi les valeurs successives des itrations doivent tre affiches lcran, lesfonctions doivent compter les arguments mentionns dans le tableau ci-dessous.

Mthode dapproximation Arguments de la fonction S

Bissection f (x), a, bPoint fixe f (x), x0NewtonRaphson f (x), f (x), x0Scante f (x), x0, x1

5.2 Trouver la solution des quations suivantes par les mthodes de bissec-tion, de Newton-Raphson et de la scante.a) x3 2x2 5 = 0 pour 1 x 4b) x3 + 3x2 1 = 0 pour 4 x 0c) x 2x = 0 pour 0 x 1d) ex + 2x + 2 cos x 6 = 0 pour 1 x 2e) ex x2 + 3x 2 = 0 pour 0 x 1

5.3 Dterminer la valeur numrique de

2 laide de la mthode de bissec-tion dans lintervalle [0, 2] avec 10 itrations. Comparer avec la vraie va-leur.

5.4 Soit {xn} une suite dfinie par

xn =n

k=1

1k

.

Dmontrer que limn(xn xn1) = 0, mais que la suite diverge nan-moins. Ceci illustre que lerreur absolue peut tre un mauvais critre dar-rt dans les mthodes numriques.

17

18 Rsolution dquations une variable

5.5 Considrer la fonction g(x) = 3x sur lintervalle [0, 1].a) Vrifier si les hypothses du thorme 5.1 des notes de cours quant

lexistence et lunicit dun point fixe dans [0, 1] sont satisfaites.b) Dterminer graphiquement lexistence et lunicit dun point fixe de

g(x) dans [0, 1] puis, le cas chant, calculer ce point fixe.

5.6 Vrifier que les cinq fonctions g1, . . . , g5 de lexemple 5.4 des notes decours ont toutes un point fixe en x lorsque f (x) = 0, o f (x) = x3 +4x2 10.

5.7 Soit g(x) = 4x2 14x + 14. Pour quels intervalles de valeurs de dpart laprocdure de point fixe converge-t-elle et diverge-t-elle ?

5.8 Les trois fonctions ci-dessous sont toutes des candidates pour faire lap-proximation, par la mthode du point fixe, de 3

21 :

g1(x) =20x + 21x2

21

g2(x) = x x3 213x2

g3(x) = x x4 21xx2 21 .

Classer ces fonctions en ordre dcroissant de vitesse de convergence delalgorithme du point fixe. Astuce : comparer les valeurs des drives au-tour du point fixe.

5.9 Dmontrer, laide du thorme 5.1 des notes de cours, que la fonctiong(x) = 2x possde un point fixe unique dans lintervalle [ 13 , 1]. Calculerpar la suite ce point fixe laide de votre fonction S.

5.10 Vrifier graphiquement que le thorme 5.1 des notes de cours demeurevalide si la condition |g(x)| k < 1 est remplace par g(x) k < 1.

5.11 Utiliser la mthode de NewtonRaphson pour trouver le point sur lacourbe y = x2 le plus prs du point (1, 0). Astuce : minimiser la distanceentre le point (1, 0) et le point (x, x2).

5.12 Le taux de rendement interne dune srie de flux financiers {CFt} est letaux i tel que

n

t=0

CFt(1+ i)t

= 0.

crire une fonction S permettant de calculer le taux de rendement in-terne dune srie de flux financiers quelconque laide de la mthode deNewtonRaphson. Les arguments de la fonction sont un vecteur CF etun scalaire erreur.max. Au moins un lment de CF doit tre ngatifpour reprsenter une sortie de fonds. Dans tous les cas, utiliser i = 0,05comme valeur de dpart.

Rsolution dquations une variable 19

5.13 Refaire lexercice 5.12 en VBA en composant une fonction accessible dansune feuille Excel et comparer le rsultat avec la fonction Excel TRI().

5.14 a) crire une fonction S pour estimer par la mthode du maximum devraisemblance le paramtre dune loi gamma de paramtre de forme = 3 et de paramtre dchelle = 1/ de moyenne 3, donc partir dun chantillon alatoire x1, . . . , xn. Astuce : maximiser la fonc-tion de log-vraisemblance plutt que la fonction de vraisemblance.

b) Simuler 20 observations dune loi gamma avec paramtre de forme = 3 et moyenne 3 000, puis estimer le paramtre dchelle par lemaximum de vraisemblance.

5.15 Refaire lexercice 5.14 laide dune routine VBA. Comparer votre r-ponse avec celle obtenue laide du Solveur de Excel.

5.16 laide de la mthode du point fixe, trouver le taux dintrt i tel que

a(12)10 i

=1 (1+ i)10

i(12)= 8,

o (1+

i(12)

12

)12= 1+ i.

Comparer les rsultats obtenus avec la mthode de NewtonRaphson.

Rponses

5.7 Converge pour x0 [1,5, 2] ; diverge pour x0 1,5 et x0 > 25.8 g2, g1 ; g3 ne converge pas

5.11 0,589755

5.16 0,0470806

Quatrime partie

Algbre linaire

21

6 Rvision dalgbre linaire

6.1 Pour chaque cas ci-dessous, supposer que la matrice donne est une ma-trice augmente dun systme dquations linaires exprime sous formechelonne. Rsoudre le systme dquations.

a)

1 3 4 70 1 2 20 0 1 5

b)1 0 8 5 60 1 4 9 3

0 0 1 1 2

c)

1 7 2 0 8 30 0 1 1 6 50 0 0 1 3 90 0 0 0 0 0

d)1 3 7 10 1 4 0

0 0 0 1

6.2 Rsoudre chacun des systmes dquations suivants par llimination gaus-sienne et llimination de GaussJordan.

a) x1 + x2 + 2x3 = 8x1 2x2 + 3x3 = 13x1 7x2 + 4x3 = 10

b) 2x1 + 2x2 + 2x3 = 02x1 + 5x2 + 2x3 = 1

8x1 + x2 + 4x3 = 1

c) x y + 2z w = 12x + y 2z 2w = 2x + 2y 4z + w = 13x 3w = 3

d) 2b + 3c = 13a + 6b 3c = 26a + 6b + 3c = 5

6.3 Rsoudre chacun des systmes dquations suivants par llimination gaus-sienne et llimination de GaussJordan.

a) 5x1 2x2 + 6x3 = 02x1 + x2 + 3x3 = 1

b) x1 2x2 + x3 4x4 = 1x1 + 3x2 + 7x3 + 2x4 = 2x1 12x2 11x3 16x4 = 5

c) w + 2x y = 4x y = 3

w + 3x 2y = 72u + 4v + w + 7x = 7

23


6.4 Rsoudre les systmes dquations homognes suivants.

a) 2x1 + x2 + 3x3 = 0x1 + 2x2 = 0

x2 + x3 = 0

b) 3x1 + x2 + x3 + x4 = 05x1 x2 + x3 x4 = 0

c) 2x + 2y + 4z = 0w y 3z = 0

2w + 3x + y + z = 02w + x + 3y 2z = 0

6.5 Pour quelle valeur de a le systme dquations

x + 2y 3z = 43x y 5z = 24x + y + (a2 14)z = a + 2

naura-t-il aucune solution ? Une seule solution ? Une infinit de solu-tions ?

6.6 Soit les matrices A45, B45, C52, D42 et E54. Lesquelles des expres-sions matricielles suivantes sont dfinies ? Pour les expressions dfinies,donner les dimensions de la matrice rsultante.

a) BA b) AC+D c) AE+ B d) AB+ B

e) E(A+ B) f) E(AC) g) ETA h) (AT + E)D

6.7 Soit les matrices

A =

3 01 21 1

B = [4 10 2]

C =[

1 4 23 1 5

]

D =

1 5 21 0 13 2 4

E = 6 1 31 1 2

4 1 3

.Calculer les expressions suivantes (lorsque possible).

a) D+ E b) AB

c) (2DT E)A d) (4B)C+ 2Be) (AC)T + 5DT f) (BAT 2C)Tg) BT(CCT ATA) h) DTET (ED)T

Rvision dalgbre linaire 25

i) tr(DDT) j) tr(4ET D)

6.8 Dmontrer que si A et B sont deux matrices n n, alors tr(A + B) =tr(A) + tr(B), o tr(A) = ni=1 aii.

6.9 Une matrice A est dite symtrique si AT = A et antisymtrique si AT = A.Dmontrer les noncs suivants, tant donn une matrice carre A.

a) AAT et ATA sont symtriques.

b) AAT est antisymtrique.6.10 Dmontrer que si ATA = A, alors A est symtrique et A = A2. Une

matrice qui satisfait cette dernire galit est dite idempotente.

6.11 Lesquels des ensembles de vecteurs dans R3 suivants sont linairementdpendants ?

a) (4,1, 2), (4, 10, 2)b) (3, 0, 4), (5,1, 2), (1, 1, 3)c) (8,1, 3), (4, 0, 1)d) (2, 0, 1), (3, 2, 5), (6,1, 1), (7, 0,2)

6.12 Soit v1, v2, v3 R3. Dterminer si les trois vecteurs se trouvent dans unplan.

a) v1 = (2,2, 0), v2 = (6, 1, 4), v3 = (2, 0,4)b) v1 = (6, 7, 2), v2 = (3, 2, 4), v3 = (4,1, 2)

6.13 Soit la matrice

A =

a11 0 00 a22 0...

......

0 0 ann

,o ni=1 aii 0. Dmontrer que A est inversible et trouver son inverse.

6.14 Soit les matrices

A =

3 4 12 7 18 1 5

B =8 1 52 7 1

3 4 1

C =3 4 12 7 1

2 7 3

.Trouver les matrices lmentaires E1, E2 et E3 satisfaisant les quationssuivantes.

a) E1A = B b) E2B = A c) E3A = C d) E4C = A

6.15 Utiliser la mthode des oprations lmentaires sur les lignes pour trou-ver linverse des matrices suivantes, si elle existe. Le cas chant, vrifiervotre rponse par multiplication de la matrice et de son inverse.


a)

3 4 11 0 32 5 4

b)1 3 42 4 14 2 9

c)1 0 10 1 1

1 1 0

d)

2 6 62 7 62 7 7

e) 1 0 11 1 1

0 1 0

6.16 Trouver linverse des matrices suivantes, o k, k1, . . . k4 sont des constantes

non nulles.

a)

k1 0 0 00 k2 0 00 0 k3 00 0 0 k4

b)

0 0 0 k10 0 k2 00 k3 0 0k4 0 0 0

c)

k 0 0 01 k 0 00 1 k 00 0 1 k

6.17 Soit la matrice

A =[

1 05 2

].

a) Trouver des matrices lmentaires E1 et E2 tel que E2E1A = I.b) crire A1 comme le produit de deux matrices lmentaires.c) crire A comme le produit de deux matrices lmentaires.

6.18 Rsoudre le systme dquations suivant par la mthode de la matriceinverse :

x1 + 2x2 + x3 = 1x1 x2 + x3 = 3x1 + x2 = 4.

6.19 Soit la matrice et le vecteur

A =

2 1 22 2 23 1 1

x =x1x2

x3

.a) Vrifier que lquation Ax = x peut scrire sous la forme (IA)x =

0 et utiliser cette formule pour rsoudre Ax = x pour x.b) Rsoudre Ax = 4x.

6.20 Sans faire aucun calcul, dterminer si les systmes dquations homo-gnes ci-dessous admettent une solution autre que la solution triviale,puis dterminer si la matrice des coefficients est inversible.

a) 2x1 x2 3x3 + x4 = 05x2 + 4x3 + 3x4 = 0

x3 + 2x4 = 03x4 = 0

b) 5x1 x2 + 4x3 + x4 = 02x3 x4 = 0

x3 + x4 = 07x4 = 0


6.21 Par simple inspection visuelle de la matrice

A =

2 8 1 43 2 5 11 10 6 54 6 4 3

,expliquer pourquoi det(A) = 0.

6.22 Dterminer si les matrices suivantes sont inversibles.

a)

1 0 19 1 49 9 1

b) 4 2 82 1 4

3 1 6

c)

2 7 032 37 05 9 0

d)3 0 15 0 6

8 0 3

6.23 Soit A une matrice 3 3 dont det(A) = 7. Trouver les dterminants

suivants.

a) det(3A) b) det(A1) c) det(2A1) d) det((2A)1)

6.24 Pour quelle(s) valeur(s) de k les matrices ci-dessous ne sont pas inver-sibles ?

a)[

k 3 22 k 2

]

b)

1 2 43 1 6k 3 2

6.25 Soit

A =

4 1 1 60 0 3 34 1 0 144 1 3 2

.Trouver les valeurs suivantes.

a) M13 et C13b) M23 et C23c) M22 et C22d) M21 et C21e) det(A)


Rponses

6.1 a) x1 = 37, x2 = 8, x3 = 5b) x1 = 10+ 13t, x2 = 5+ 13t, x3 = 2 t, x4 = tc) x1 = 11 7s + 2t, x2 = s, x3 = 4 3t, x4 = 9 3t, x5 = td) pas de solution

6.2 a) x1 = 3, x2 = 1, x3 = 2

b) x1 = 17 37 t, x2 = 17 47 t, x3 = tc) x1 = t 1, x2 = 2s, x3 = s, x4 = td) pas de solution

6.3 a) x1 = 2 12t, x2 = 5 27t, x3 = tb) pas de solution

c) u = 2s 3t 6, v = s, w = t 2, x = t + 3, y = t6.4 a) solution triviale

b) x1 = s, x2 = t s, x3 = 4s, x4 = tc) w = t, x = t, y = t, z = 0

6.5 Aucune solution : a = 4. Une seule solution : a 4. Infinit de solu-tions : a = 4.

6.6 a) non dfini b) 4 2 c) non dfini d) non dfini e) 5 5 f) 5 2 g) nondfini h) 5 2

6.7 a)

7 6 52 1 37 3 7

b) 12 34 5

4 1

c)6 336 0

4 7

d) non dfinie)

2 10 1113 2 54 3 13

f) 10 614 21 8

g) [40 7226 42]

h)

0 0 00 0 00 0 0

i) 61 j) 356.11 d) seulement

6.12 a) non b) oui

6.14 a)

0 0 10 1 01 0 0

b)0 0 10 1 0

1 0 0

c) 1 0 00 1 02 0 1

d)1 0 00 1 0

2 0 1

6.15 a)

32 1110 651 1 1 12 710 25

b) nexiste pas c) 12

1 1 11 1 11 1 1

d)

72 0 31 1 00 1 1

e) 12

1 1 10 0 21 1 1


6.16 a)

k11 0 0 0

0 k12 0 00 0 k13 00 0 0 k14

b)

0 0 0 k110 0 k12 00 k13 0 0

k14 0 0 0

c)

k1 0 0 0k2 k1 0 0k3 k2 k1 0k4 k3 k2 k1

6.17 a) E1 =

[1 05 1

], E2 =

[1 00 12

]6.18 x1 = 163 , x2 = 43 , x3 = 1136.20 a) solution triviale seulement, matrice inversible b) infinit de solutions,

matrice singulire

6.22 a) oui b) non c) non d) non

6.23 a) 189 b) 17 c) 87 d) 1566.24 a) (517)/2 b) 16.25 a) M13 = 0, C13 = 0

b) M23 = 96, C23 = 96c) M22 = 48, C22 = 48d) M21 = 72, C21 = 72e) 216

7 Valeurs propres, vecteurs propres etdiagonalisation

7.1 Trouver lquation caractristique, les valeurs propres et les bases de vec-teurs propres des matrices suivantes. Vrifier les rponses obtenues laidede la fonction eigen de R ou S-Plus.

a)[

3 08 1

]b)[

10 94 2

]

c)

4 0 12 1 02 0 1

d)5 6 20 1 8

1 0 2

e)

0 0 2 01 0 1 00 1 2 00 0 0 1

7.2 Dmontrer que si est une valeur propre de la matrice A, alors k est une

valeur propre de Ak.

7.3 Trouver les valeurs et vecteurs propres de A25 si

A =

1 2 21 2 11 1 0

.7.4 Soit

(x x1)(x x2) (x xn) = xn + c1xn1 + + cn.Dmontrer par induction les identits suivantes.

a) c1 = ni=1 xib) cn = (1)n ni=1 xi

7.5 Dmontrer que lquation caractristique dune matrice A22 est

2 tr(A)+ det(A) = 0.

31

32 Valeurs propres, vecteurs propres et diagonalisation

7.6 Dmontrer que si est une valeur propre de la matrice inversible A et quex est un vecteur propre correspondant, alors 1 est une valeur propre deA1 et x est un vecteur propre correspondant.

7.7 Trouver les valeurs propres et les bases de vecteurs propres de A1, o

A =

2 2 32 3 24 2 5

7.8 Dmontrer que tout vecteur est un vecteur propre de la matrice identit

correspondant la valeur propre = 1.

7.9 Pour chacune des matrices A ci-dessous :i) trouver les valeurs propres de la matrice ;

ii) trouver le rang de la matrice IA pour chaque valeur propre ;iii) dterminer si la matrice est diagonalisable ;

iv) si la matrice est diagonalisable, trouver la matrice P qui diagonaliseA et P1AP ;

v) vrifier les rponses en iv) avec la fonction eigen de R ou S-Plus.

a)[

2 01 2

]b)

4 0 12 3 21 0 4

c)

3 0 00 2 00 1 2

d)1 4 23 4 03 1 3

e)

2 0 0 00 2 5 50 0 3 00 0 0 3

Rponses

7.1 a) = 3 avec base ( 12 , 1), = 1 avec base (0, 1)b) = 4 avec base ( 32 , 1)

c) = 1 avec base (0, 1, 0), = 2 avec base ( 12 , 1, 1), = 3 avec base(1, 1, 1)

d) = 4 avec base (2, 83 , 1), = 3 avec base (5,2, 1)e) = 1 avec base (0, 0, 0, 1) et (2, 3, 1, 0), = 2 avec base (1, 0, 1, 0),

= 1 avec base (2, 1, 1, 0)

Valeurs propres, vecteurs propres et diagonalisation 33

7.3 = 1 avec base (1, 1, 0) et (1, 0, 1), = 1 avec base (2,1, 1)7.7 = 1 avec base (1, 0, 1), = 12 avec base (

12 , 1, 0), =

13 avec base (1, 1, 1)

7.9 a) pas diagonalisable

b) P =

1 0 10 1 21 0 1

, P1AP =3 0 00 3 0

0 0 5

c) pas diagonalisable

d) P =

1 2 11 3 31 3 4

, P1AP =1 0 00 2 0

0 0 3

e) P =

1 0 0 00 1 1 10 0 1 00 0 0 1

, P1AP =2 0 0 00 2 0 00 0 3 00 0 0 3

8 Dcomposition LU

8.1 Rsoudre le systme dquations

3x1 6x2 3x3 = 32x1 + 6x3 = 224x1 + 7x2 + 4x3 = 3

par la dcomposition LU sachant que 3 6 32 0 64 7 4

= 3 0 02 4 04 1 2

1 2 10 1 20 0 1

.8.2 Soit

E1 =[

1 02 3

]E2 =

[ 13 00 13

]et

A = E11 E12

[1 20 1

].

Rsoudre le systme dquations

Ax =[

01

]par la dcomposition LU.

Rponses

8.1 x1 = 2, x2 = 1, x3 = 38.2 x = (1, 2)

35

A Solutions

Chapitre 2

2.1 Dans tous les cas, le gnrateur de nombres alatoires est

xi = (axi1 + c) mod m

= (axi1 + c)

axi1 + cm

m

o m = 64 et x0 = 19. Les suites ont t gnres avec la fonction rand dela figure A.1.a) > rand(n = 5, a = 29, c = 17, m = 64, seed = 19)

[1] 56 41 54 47 36

b) > rand(n = 5, a = 9, c = 1, m = 64, seed = 19)[1] 44 13 54 39 32

c) > rand(n = 5, a = 13, c = 0, m = 64, seed = 19)[1] 55 11 15 3 39

d) > rand(n = 5, a = 11, c = 0, m = 64, seed = 19)[1] 17 59 9 35 1

2.2 a) On utilise de nouveau la fonction rand de la figure A.1. Le graphiquede la figure A.2 a t cr avec les commandes

rand

38 Solutions

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0 2000 4000 6000 8000

020

0040

0060

0080

00

xi

x i++1

FIG. A.2 Paires de valeurs du gnrateur congruentiel multiplicatif avec m =231 1 et a = 17.

> x plot(x[-length(x)], x[-1], xlab = expression(x[i]),+ ylab = expression(x[i + 1]), pch = 19)

On compte 17 lignes dans le graphique.

b) Similaire la partie a), sauf que les nombres sont gnrs avec

> x u mat mat

Solutions 39

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xi

x i++1

FIG. A.3 Paires de valeurs du gnrateur congruentiel multiplicatif avec m =231 1 et a = 85.

> plot(mat, xlab = expression(u[i]), ylab = expression(u[i ++ 2]))

b) > library(rgl)> u rgl.points(u[1:1000], u[2:1001], u[3:1002])

Chapitre 3

3.1 a) Tout dabord, on a que cos(2piU2) (1, 1), sin(2piU2) (1, 1)et (2 log U1)1/2 (0,). Par consquent, X1 (,) et X2 (,). On vrifie la bijectivit de faon heuristique avec quelquesvaleurs de u1 et u2.

b) On a

X21 = (2 log U1) cos2(2piU2)X22 = (2 log U1) sin2(2piU2).

40 Solutions

Or, puisque sin2(x) + cos2(x) = 1, X21 + x22 = 2 log U1, do U1 =

e(X21+X22)/2. Dautre part, sin(x)/ cos(x) = tan(x), donc tan(2piU2) =X2/X1 ou, de manire quivalente, U2 = (2pi)1 arctan X2/X1.

c) Soit les fonctions

x1(u1, u2) = (2 log u1)1/2 cos(2piu2) u1(x1,x2) = e(x21+x22)/2

x2(u1, u2) = (2 log u1)1/2 sin(2piu2) u2(x1, x2) = 12pi arctanx2x1

.

Les variables alatoires U1 et U2 sont indpendantes, donc leur fonc-tion de densit de probabilit conjointe est le produit des densits mar-ginales :

fU1,U2(u1, u2) = 1, 0 < u1 < 1, 0 < u2 < 1.

La densit conjointe de X1 et X2 est, par dfinition dune transforma-tion,

fX1,X2(x1, x2) = fU1,U2(x1(u1, u2), x2(u1,u2))|det(J)|o

J =

[u1x1

u1x2

u2x1

u2x2

]

=

[x1e(x21+x22)/2 x2e(x21+x22)/2 12pi x2x21+x22

12pi

x1x21+x

22

]

Or,

|det(J)| = 12pi

e(x21+x

22)/2

=12pi

ex21/2 1

2piex

22/2,

do

fX1,X2(x1, x2) =12pi

ex21/2 1

2piex

22/2

et, donc, X1 et X2 sont deux variables alatoires N(0, 1) indpendantes.

d) > u1 u2 x1 x2 hist(x1, prob = TRUE)> curve(dnorm(x), add = TRUE)

Solutions 41

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

u1

u2

x1

x2

3 2 1 0 1 2 3

3

2

1

01

23

FIG. A.4 Dmonstration graphique du fonctionnement de la transformation deBoxMuller.

La figure A.4 illustre dune autre faon que la transformation de BoxMuller fonctionne bel et bien. Dans le graphique de gauche, on a plusieurscouples de points (u1, u2) o chaque composante provient dune distribu-tion uniforme sur lintervalle (0, 1).Chacun de ces points a t transform en un point (x1, x2) selon la trans-formation de BoxMuller, puis plac dans le graphique de droite. On asuperpos le nuage de points ainsi obtenu aux lignes de niveau dunedistribution normale bivarie (avec paramtre = 0). On observe que larpartition et la densit du nuage de points correspond effectivement auxlignes de niveau.

3.2 Deux suggestions :1. Simuler deux nombres indpendants x1 et x2 dune loi exponentielle

de paramtre et poser y = x1 x2.2. La fonction de rpartition de la distribution de Laplace est

FY(y) =

{12 e

x, x < 01 12 ex, x 0,

do

F1Y (u) ={

1 ln(2u) u < 0,51 ln(2(1 u)) u 0,5.

On peut donc utiliser la mthode inverse.

3.3 Voir la fonction S de la figure A.5. On vrifie graphiquement la validit delalgorithme :

> hist(rgamma2(1000, 5), prob = TRUE)> curve(dgamma(x, 5, 1), add = TRUE)

42 Solutions

rgamma2

Solutions 43

> rexp(1, rgamma(1, alpha, lambda))

3.6 La fonction de rpartition est

F(x) = x

y+1dy

=

{0, x 1

(x

), x >

et son inverse est

F1(y) ={, y = 0

(1y)1/ , 0 < y < 1.

Soit U U(0, 1). Alors

X = +

U1/ Pareto translate(,).

Les trois premires valeurs retournes par le gnrateur

xn = (65xn1 + 1) mod 2 048

avec une amorce de 12 sont :

781 1614 463.

En divisant ces nombres par 2 048, on obtient des nombres dans linter-valle (0, 1) :

0,3813 0,7881 0,2261.

Finalement, les observations de la Pareto(2, 1 000) sont

> 1000/sqrt(c(0.3813, 0.7881, 0.2261))

[1] 1619.446 1126.443 2103.051

3.7 Le mlange fX(x) = 0,6 fX1(x) + 0,4 fX2(x) est quivalent

fX(x) =2

i=1

fX|I(x|i)Pr(I = i),

o I Bernoulli(0,6) etX|I = 0 Lognormale( = 3,1, 2 = 0,6)X|I = 1 Lognormale( = 4,3, 2 = 0,4).

On peut simuler 1 000 observations dun tel mlange et faire une vrifica-tion graphique en S avec les expressions suivantes :

44 Solutions

> w curve(0.6 * dlnorm(x, meanlog = 3.1, sdlog = sqrt(0.6)) + 0.4 *+ dlnorm(x, meanlog = 4.3, sdlog = sqrt(0.4)), add = TRUE)

3.8 On a la transformation

X1 =

U1 cos(2piU2)

X2 =

U1 sin(2piU2)a

U1 = X21 + X22

U2 =1

2piarctan

X2X1

.

Cette transformation associe les points de lespace {(u1, u2) : 0 < u1 0 x21 + x22 > 0u1 < 1 x21 + x22 < 1u2 > 0 x2x1 > 0

u2 < 1 x2x1 < 0.

Les troisime et quatrime ingalits dfinissent les quadrants I et III, puisII et IV deR2, respectivement. On remarque galement que le point (0, 0),qui a probabilit zro, ne se trouve pas dans lespace image.Le Jacobien de la transformation est

J =

u1x1

u1x2

u2x1

u2x2

=

2x1 2x2 12pi x2x21+x22 12pi x1x21+x22 ,

=1pi

.

La fonction de densit de probabilit conjointe de X1 et X2 est donc

fX1,X2(x1, x2) = fU1,U2(u1, u2)|J|=

1pi 1 < x1 < 1,

1 x21 < x2 0,

fY2(y2) =1

()y12 e

y2 , y2 > 0

et

fY1,Y2(y1, y2) =1

()()y11 y

12 e

(y1+y2), y1 > 0, y2 > 0.

Soit X1 = Y1/(Y1 + Y2) et X2 = Y1 + Y2 (le choix de X2 tant justifipar lexposant de la distribution conjointe de Y1 et Y2). On cherche ladistribution conjointe de X1 et X2, fX1,X2(x1, x2). On a la transforma-tion

x1 =y1

y1 + y2x2 = y1 + y2

ay1 = x1x2y2 = x2 x1x2.

Cette transformation associe de manire vidente les points de lespace{(y1, y2) : y1 > 0, y2 > 0} ceux de lespace {(x1, x2) : 0 < x1 0}.

46 Solutions

Le Jacobien de la transformation est

J =

y1x1

y1x2

y2x1

y2x2

= x2 x1x2 1 x1

= x2.

La fonction de densit de probabilit conjointe de X1 et X2 est donc

fX1,X2(x1, x2) = fY1,Y2(y1, y2)|J|=

1()()

x11 (1 x1)1x+12 ex2

=[(+ )()()

x11 (1 x1)1] [

1(+ )

x+12 ex2]

,

pour 0 < x1 < 1, x2 > 0, do X1 et X2 sont indpendantes, X1 Bta(, ) et X2 Gamma(+ ) (un rsultat connu).

b) La conversion du rsultat en un algorithme est trs simple :

1. Gnrer y1 dune distribution Gamma(, 1).

2. Gnrer y2 dune distribution Gamma(, 1).

3. Poser x = y1/(y1 + y2).

Cet algorithme suppose videmment quune source de nombres pro-venant dune loi gamma est disponible.

La figure A.7 illustre le fonctionnement de cette transformation. Dansle graphique de gauche, on a un nuage de points (y1, y2) tirs indpen-demment de deux distributions gamma de paramtre dchelle gal 1. On a superpos ce nuage de points aux courbes de niveaux de ladistribution conjointe des deux lois gamma.

Dans le graphique de droite, on a plac en abscisse les points x =y1/(y1 + y2) rsultant de la transformation. On voit que la rpartitionet la densit de ces points correspond la densit de la loi bta gale-ment reprsente sur le graphique.

c) En S :

> (y

Solutions 47

y1

y 2

0 2 4 6 8

02

46

8

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.5

1.0

1.5

x

dbet

a(x, 2

, 3)

FIG. A.7 Dmonstration graphique du fonctionnement de la transformation delexercice 3.9.

3.10 a) On a

Pr[

U fX(Y)cgY(Y)

]=

Pr[

U fX(Y)cgY(Y)

|Y = y]

gY(y) dy

=

fX(Y)cgY(Y)

gY(y) dy

=1c

fX(y) dy

=1c

.

b) Les essais tant indpendants, la distribution du nombre dessais avantdavoir un succs (accepter un nombre y) est gomtrique de para-mtre 1/c, cest--dire

Pr[Z = z] =(

1c

)(1 1

c

)z, z = 1, 2, . . . ,

o Z reprsente le nombre dessais avant daccepter un nombre.c) On a E[Z] = 1/(1/c) = c.

3.11 a) On posecgY(x) = M, a < x < b,

soit Y U(a, b) et c = M(b a). Lalgorithme dacceptation-rejet estdonc le suivant :

1. Simuler deux nombres indpendants u1 et u2 dune loiU(0, 1).

2. Poser y = a + (b a)u1.3. Si u2 fX(y)/M, poser x = y. Sinon, retourner ltape

1.

48 Solutions

rbeta.ar

Solutions 49

Private Function sqrt(x)sqrt = x ^ 0.5

End Function

Private Function g(x As Double)DensiteTriangle = IIf(x < 0.8, 2.5 * x,

10 - 10 * x)End Function

Private Function Ginv(u As Double)InverseTriangle = IIf(u < 0.8, sqrt(0.8 * u),

1 - sqrt(0.2 - 0.2 * u))End Function

Private Function dbeta(x As Double, shape1 As Double,shape2 As Double)

Dim cte As DoubleWith WorksheetFunction

cte = Exp(.GammaLn(shape1 + shape2) -.GammaLn(shape1) -.GammaLn(shape2))

dbeta = cte * x ^ (shape1 - 1) *(1 - x) ^ (shape2 - 1)

End WithEnd Function

Function betasim()Dim u1 As Double, u2 As Double, y As Double

Dou1 = Rndu2 = Rndy = Ginv(u1)

Loop Until u2

50 Solutions

> x hist(x, prob = TRUE)> curve(dbeta(x, 3, 2), add = TRUE)

Pour un exemple dutilisation de la fonction VBA, voir le fichier betasim.xls.

3.13 a) On reconnat lalgorithme dacceptation-rejet de lexercice 3.11.

b) On doit simuler deux observations dune loi Bta(2, 3) dont la fonc-tion de densit de probabilit est

f (x) = 12x(1 x)2, 0 < x < 1.

Le mode de cette densit se trouve en x = 1/3 (voir la solution delexercice 3.12) et la valeur de ce mode est M = f (1/3) = 16/9. Pourobtenir le rsultat de lappel de la fonction simul, il faut sassurerdutiliser les nombres uniformes dans le bon ordre. Quatre itrationsde la boucle repeat seront ncessaires ; voici leurs rsultas.

1. On a u = 0,72, puis (16/9)(0,88) > f (0,72), donc u est rejet.

2. On a u = 0,76, puis (16/9)(0,89) > f (0,76), donc u est rejet.

3. On a u = 0,46, puis (16/9)(0,17) > f (0,46), donc u est accept :x1 = 0,46.

4. On a u = 0,33, puis (16/9)(0,51) > f (0,33), donc u est accept :x2 = 0,33.

Le rsultat est donc le vecteur x = (0,46, 0,33).

3.14 a) Si 0 x 1, e1 < ex < 1, do x1ex x1. De mme, puisque0 < < 1, x1 < 1 pour x > 1, do x1ex ex pour x > 1.

b) On veut borner la densit fX(x) = x1ex/(), x > 0 et 0 < < 1.Du rsultat en a), on a

fX(x) {

x1/(), 0 x 1ex/(), x > 1.

Posons

cgY(x) =

{x1/(), 0 x 1ex/(), x > 1.

Laire totale sous la fonction cgY(x) est

10

x1

()dx +

1

ex

()dx =

1()

(1+

1e

),

Solutions 51

do

gY(x) =

x1

(1/) + (1/e), 0 x 1

ex

(1/) + (1/e), x > 1,

GY(x) =

e

+ ex, 0 x 1

1 ex

(1/) + (1/e), x > 1,

et

G1Y (x) =

(+ e

ex)1/

, 0 x e/(+ e) ln[((1/) + (1/e))(1 x)], e/(+ e) < x 1.

On remarque que

fX(x)cgY(x)

=

{ex, 0 x 1x1, x > 1.

On a donc lalgorithme de simulation suivant :

1. Simuler deux nombres u1 et u2 dune U(0, 1).

2. Poser y = G1Y (u1).3. Si

u2 {

ey, 0 y 1y1, y > 1,

alors poser x = y. Sinon, retourner ltape 1.

3.15 On veut simuler des observations de la fonction de densit de probabilitfX(x) = x1ex/() avec 1. Or, on nous donne

fX(x)

()e1 1

ex/, x > 0,

do fX(x) cgY(x) avec

c =

()e1

et

gY(x) =1

ex/.

52 Solutions

Ainsi, Y Exponentielle(1/). Soit y une observation de la variablealatoire Y et u une observation dune loi U(0, 1). Selon lalgorithmedacceptation-rejet, on accepte la valeur y comme observation dune loiGamma(, 1) avec 1 si

u fX(y)cgY(y)

= y1 ey(11/)

1e(1)

m

u1/(1) ( y

) ey/e1

mln u ( 1)

[ln( y

) y+ 1]

m ln u > ( 1)

[ y ln

( y

) 1]

.

Or, tant la distribution de ln U que celle de Y/ est une Exponentielle(1),do lalgorithme donn dans lnonc.

3.16 On a

= 1

0ln(5u + 4) dx

= E[ln(5U + 4)],

o U U(0, 1), ou encore simplement = E[ln(X)],

o X U(4, 9). Une approximation de est

=1n

n

i=1

ln(xi),

o x1, . . . , xn est un chantillon alatoire dune distribution U(4, 9). Unevaluation avec R donne

> mean(log(runif(1e+06, 4, 9)))

[1] 1.845911

3.17 On pose

= 1

0

10

e2xy ln(3x + y2) dxdy

= E[e2XY ln(3X +Y2)],

Solutions 53

o X U(0, 1), Y U(0, 1) et X et Y sont indpendantes. Ainsi, leurdensit conjointe est uniforme sur (0, 1) (0, 1). Une approximation de est

=1n

n

i=1

e2xiyi ln(3xi + y2i )

o x1, . . . , xn et y1, . . . , yn sont deux chantillons alatoires indpendantsdune distribution U(0, 1). Une valuation avec R donne

> x y mean(exp(2 * x * y) * log(3 * x + y^2))

[1] 1.203179

3.18 a) Soit le changement de variable u = ex/2 a x = ln u2, do2du = ex/2dx. On a donc

= 1

02( ln u2)2 sin(pi ln u2) du

= 2E[( ln U2)2 sin(pi ln U2)],o U U(0, 1). Une estimation de est

=2n

n

i=1

( ln u2i )2 sin(pi ln u2i ),

o u1, . . . , un est un chantillon alatoire dune distribution U(0, 1).Une valuation avec R donne> u 2 * mean((-log(u^2))^2 * sin(pi * (-log(u^2))))

[1] -0.07674176

b) On remarque que la fonction intgrer contient, une constante prs,la fonction de densit de probabilit dune loi Gamma(3, 1/2). Ainsi,

= 16

0sin(pix)

(1/2)3

(3)x2ex/2 dx

= 16E[sin(piX)],

o X Gamma(3, 1/2). Une estimation de est donc

=16n

n

i=1

sin(pixi)

o x1, . . . , xn est un chantillon alatoire dune Gamma(3, 1/2). Unevaluation avec R donne> 16 * mean(sin(pi * rgamma(1e+06, 3, 0.5)))

54 Solutions

[1] -0.060359

3.19 On peut faire lestimation en R simplement avec les expressions sui-vantes :

> x mean(apply(x, 2, function(x) sort(x)[5]))

[1] -0.9056168

Chapitre 4

La notation xb signifie que le nombre x est en base b. On omet gnralement bpour les nombres en base 10.

4.1 Lalgorithme de conversion des nombres dcimaux en une base b se r-sume essentiellement ceci pour la partie entire :

1. les chiffres du nombre en base b sont obtenus de droite gauche enprenant le reste de divisions par b ;

2. on divise par b dabord le nombre dcimal dorigine, puis la partie en-tire de la division prcdente, jusqu ce que celle-ci soit gale 0.

On a donc les rsultats suivants.

a) Conversion en base 6 :

119 6 = 19 reste 519 6 = 3 reste 1

3 6 = 0 reste 3,do 119 3156.

Conversion en binaire :

119 2 = 59 reste 159 2 = 29 reste 129 2 = 14 reste 114 2 = 7 reste 07 2 = 3 reste 13 2 = 1 reste 11 2 = 0 reste 1,

do 119 11101112.

Solutions 55

b) Conversion en base 6 :

343 6 = 57 reste 157 6 = 9 reste 3

9 6 = 1 reste 31 6 = 0 reste 1,

do 343 13316.


343 2 = 171 reste 1171 2 = 85 reste 185 2 = 42 reste 142 2 = 21 reste 021 2 = 10 reste 110 2 = 5 reste 05 2 = 2 reste 12 2 = 1 reste 01 2 = 0 reste 1,

do 119 1010101112.c) Conversion en base 6 :

96 6 = 16 reste 016 6 = 2 reste 4

2 6 = 0 reste 2,do 96 2406.


96 2 = 48 reste 048 2 = 24 reste 024 2 = 12 reste 012 2 = 6 reste 0

6 2 = 3 reste 03 2 = 1 reste 11 2 = 0 reste 1,

do 96 11000002.d) Conversion en base 6 :


do 43 1116.


43 2 = 21 reste 121 2 = 10 reste 110 2 = 5 reste 0


do 43 1010112.4.2 On fait les deux premires conversions laide de la dfinition dun nombre

hexadcimal, puis les deux dernires laide de lalgorithme de conver-sion des nombres en base b vers la base 10.a) A1B16 = 10 162 + 1 16+ 11 = 2 587b) 12A16 = 1 162 + 2 16+ 10 = 298c) B4116 = (11 16+ 4) 16+ 1 = 2 881d) BAFFE16 = ((((11 16+ 10) 16) + 15) 16) + 15)+14 = 765 950

56 Solutions

4.3 La gnralisation de lalgorithme de conversion des nombres en base bvers la base 10 la conversion dun nombre

x = xm1xm2 x1x0en base [bm1 . . . b0] vers la base 10 est la suivante (nombre entiers seule-ment) :

1. Poser x = 0.

2. Pour i = m 1, m 2, . . . , 0, faire les tapes suivantes.i) Trouver di, le nombre dcimal correspondant au symbole xi.

ii) Poser x = xbi1 + di, avec b1 = 1.Cet algorithme permet de trouver les formules demandes.

a) Tel que prsent lexemple 4.6 des notes de cours, on trouve la posi-tion de llment aijk dans lordre de la liste des lments du tableau enconvertissant le nombre [i 1 j 1 k 1] de la base [I J K] la base10, puis additionnant 1. laide de lalgorithme ci-dessus, on obtient

[((i 1) J + j 1) K + k 1] + 1 = k + K(j 1+ J(i 1))

b) Dans lordre S, on convertit le nombre [k 1 j 1 i 1] exprim dansla base [K J I] en base 10. On obtient alors

[((k 1) J + j 1) I + i 1] + 1 = i + I(j 1+ J(k 1))soit la mme rponse qu lexercice 3.7 b) de Goulet (2007).

4.4 Voir les notes de cours de la section 4.4. Les calculs sont exactement lesmmes que pour les nombres en double prcision.

4.5 Ltendue des nombres admissibles pour le type Byte est [0, 28 1] =[0, 255]. Les nombres maximaux pour les types Integer et Long sont,respectivement, 215 1 = 32 767 et 231 1 = 2 147 483 647. Ltendue estplus grande de 1 pour les nombres ngatifs (32 768 et 2 147 483 648)parce que les nombres sont en fait stocks en complement deux ; voirhttp://fr.wikipedia.org/wiki/Compllment_a_deux.

4.6 Dans les galits ci-dessous, le ct droit est en binaire.

a) Premirement, 1234 100110100102. On a donc1 234 = (1)1 210 1,001101001

= (1)1 2137127 1,1010010.Or, puisque 137 100010012, on a la reprsentation en simple prci-sion

1 10001001 00110100100000000000000

Solutions 57

b) On a 55 1101112, do55 = (1)0 25 1,10111

= (1)0 2132127 1,10111.Or, puisque 132 100001002, on a la reprsentation en simple prci-sion

0 10000100 10111000000000000000000

c) On a 8 191 11111111111112 et 149 10001011, do8 191 = (1)0 212 1,111111111111

= (1)0 2149127 1,111111111111= 0 10001011 11111111111100000000000 .

d) On a 10 10102 et 130 10000010, do10 = (1)1 23 1,010

= (1)1 2130127 1,010= 1 10000010 01000000000000000000000 .

e) La reprsentation de 23 en binaire est 0,101010 . . . . (La faon la plussimple dobtenir ce rsultat consiste convertir 23 2n, o n est lenombre de bits souhait aprs la virgule). Puisque 126 11111102,on a

23= (1)0 21 1,01010101010101010101010= (1)0 2126127 1,01010101010101010101010= 0 01111110 01010101010101010101010 .

f) La reprsentation binaire de 1100 est infinie : 0,000000101000111101 . . . .Puisque 120 011110002, on a

1100

= (1)0 27 1,01000111101011100001010= (1)0 2120127 1,01000111101011100001010= 0 01111000 01000111101011100001010

4.7 a) Puisque 1111012 61, on a le nombre(1)0 261127 1,100100001 = (1)0 266 1,100100001

= 266(1+ 21 + 24 + 29) 2,120 229 346 1020.

58 Solutions

b) Signe invers par rapport la partie a).

c) Puisque 100001002 = 27 + 22 132, on a le nombre

(1)0 2132127 1,100100001 = (1)0 25 1,100100001= 25(1+ 21 + 24 + 29) 50,062 5.

d) Signe invers par rapport la partie c).

4.8 a) Le nombre suivant est

0 00111101 10010000100000000000001 ,

soit

266(1+ 21 + 24 + 29 + 223) 2,120 229 508 1020.Le nombre prcdent est

0 00111101 10010000011111111111111 ,

soit

266(1+ 21 + 24 + 29 223) 2,120 229 185 1020.

c) Le nombre suivant est

0 10000100 10010000100000000000001 ,

soit25(1+ 21 + 24 + 29 + 223) 50,062 503 815.

Le nombre prcdent est

0 10000100 10010000011111111111111 ,

soit25(1+ 21 + 24 + 29 223) 50,062 496 185.

On remarque que les nombres sont beaucoup plus loigns les uns desautres ici quen a).

Chapitre 5

5.1 Se baser sur la fonction de point fixe fp prsente au chapitre 5 de Goulet(2007) pour composer les fonctions de bissection, de NewtonRaphson etde la scante.

Solutions 59

1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

5

05

1015

2025

x

f (x)

(a) f (x) = x3 2x2 5

4 3 2 1 0

15

10

5

0

x

f (x)

(b) f (x) = x3 + 3x2 1

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1.

0

0.5

0.0

0.5

x

f (x)

(c) f (x) = x 2x

1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

1.

5

1.0

0.

50.

00.

5

x

f (x)

(d) f (x) = ex + 2x + 2 cos x 6

0.20 0.22 0.24 0.26 0.28 0.30

0.

2

0.1

0.0

0.1

x

f (x)

(e) f (x) = ex x2 + 3x 2FIG. A.10 Fonctions de lexercice 5.2.

60 Solutions

5.2 Les solutions suivantes ont t obtenues laide de nos fonctions de r-solution dquations une variable. Les valeurs intermdiaires sont affi-ches pour montrer la convergence. La figure A.10 contient les graphiquesdes cinq fonctions pour les intervalles mentionns dans lnonc.

a) La fonction na quune seule racine dans [1, 4].> f1 f1p bissection(f1, lower = 1, upper = 4, echo = TRUE)

[1] 1.000 4.000 2.500 -1.875[1] 2.5000 4.0000 3.2500 8.2031[1] 2.5000 3.2500 2.8750 2.2324[1] 2.500000 2.875000 2.687500 -0.034424[1] 2.6875 2.8750 2.7812 1.0432[1] 2.68750 2.78125 2.73438 0.49078[1] 2.68750 2.73438 2.71094 0.22481[1] 2.687500 2.710938 2.699219 0.094355[1] 2.687500 2.699219 2.693359 0.029757[1] 2.6875000 2.6933594 2.6904297 -0.0023855[1] 2.690430 2.693359 2.691895 0.013673[1] 2.6904297 2.6918945 2.6911621 0.0056403[1] 2.6904297 2.6911621 2.6907959 0.0016266[1] 2.69042969 2.69079590 2.69061279 -0.00037968[1] 2.6906128 2.6907959 2.6907043 0.0006234[1] 2.69061279 2.69070435 2.69065857 0.00012185[1] 2.69061279 2.69065857 2.69063568 -0.00012892[1] 2.6906e+00 2.6907e+00 2.6906e+00 -3.5365e-06[1] 2.6906e+00 2.6907e+00 2.6907e+00 5.9155e-05[1] 2.6906e+00 2.6907e+00 2.6906e+00 2.7809e-05[1] 2.6906e+00 2.6906e+00 2.6906e+00 1.2136e-05$root[1] 2.6906

$nb.iter[1] 21

> nr(f1, f1p, start = 2.5, echo = TRUE)

[1] 2.7143[1] 2.6910[1] 2.6906$root[1] 2.6906

$nb.iter[1] 3

> secante(f1, start0 = 1, start1 = 4, echo = TRUE)

[1] 1.5455[1] 1.9969[1] 4.1051

Solutions 61

[1] 2.2947[1] 2.4787[1] 2.7514[1] 2.6831[1] 2.6904[1] 2.6906$root[1] 2.6906

$nb.iter[1] 9

b) La fonction possde deux racines dans [4, 0]. La convergence se feravers lune ou lautre selon la position de la ou des valeurs de dpartpar rapport lextremum de la fonction dans lintervalle. Ici, il sagitdun maximum x = 2. Ainsi, avec des valeurs de dpart infrieuresau maximum, on trouve la premire racine :> f2 f2p bissection(f2, lower = -3, upper = -2.8, echo = TRUE)

[1] -3.000 -2.800 -2.900 -0.159[1] -2.90000 -2.80000 -2.85000 0.21838[1] -2.900000 -2.850000 -2.875000 0.033203[1] -2.900000 -2.875000 -2.887500 -0.062014[1] -2.887500 -2.875000 -2.881250 -0.014185[1] -2.8812500 -2.8750000 -2.8781250 0.0095642[1] -2.8812500 -2.8781250 -2.8796875 -0.0022966[1] -2.8796875 -2.8781250 -2.8789062 0.0036373[1] -2.87968750 -2.87890625 -2.87929688 0.00067121[1] -2.87968750 -2.87929688 -2.87949219 -0.00081245[1] -2.8795e+00 -2.8793e+00 -2.8794e+00 -7.0567e-05[1] -2.87939453 -2.87929688 -2.87934570 0.00030034[1] -2.87939453 -2.87934570 -2.87937012 0.00011489[1] -2.8794e+00 -2.8794e+00 -2.8794e+00 2.2161e-05[1] -2.8794e+00 -2.8794e+00 -2.8794e+00 -2.4203e-05[1] -2.8794e+00 -2.8794e+00 -2.8794e+00 -1.0210e-06[1] -2.87938538 -2.87938232 -2.87938385 0.00001057$root[1] -2.8794

$nb.iter[1] 17

> nr(f2, f2p, start = -3, echo = TRUE)

[1] -2.8889[1] -2.8795[1] -2.8794$root[1] -2.8794

62 Solutions

$nb.iter[1] 3

> secante(f2, start0 = -3, start1 = -2, echo = TRUE)

[1] -2.75[1] -3.0667[1] -2.862[1] -2.8772[1] -2.8794[1] -2.8794$root[1] -2.8794

$nb.iter[1] 6

Pour trouver la seconde racine, on utilise des valeurs de dpart sup-rieures au maximum :> bissection(f2, lower = -1, upper = 0.5, echo = TRUE)

[1] -1.00000 0.50000 -0.25000 -0.82812[1] -1.000000 -0.250000 -0.625000 -0.072266[1] -1.00000 -0.62500 -0.81250 0.44409[1] -0.81250 -0.62500 -0.71875 0.17850[1] -0.718750 -0.625000 -0.671875 0.050953[1] -0.671875 -0.625000 -0.648438 -0.011236[1] -0.671875 -0.648438 -0.660156 0.019719[1] -0.6601562 -0.6484375 -0.6542969 0.0042058[1] -0.6542969 -0.6484375 -0.6513672 -0.0035239[1] -0.65429688 -0.65136719 -0.65283203 0.00033872[1] -0.6528320 -0.6513672 -0.6520996 -0.0015932[1] -0.65283203 -0.65209961 -0.65246582 -0.00062736[1] -0.65283203 -0.65246582 -0.65264893 -0.00014435[1] -6.5283e-01 -6.5265e-01 -6.5274e-01 9.7175e-05[1] -6.5274e-01 -6.5265e-01 -6.5269e-01 -2.3592e-05[1] -6.5274e-01 -6.5269e-01 -6.5272e-01 3.6791e-05[1] -6.5272e-01 -6.5269e-01 -6.5271e-01 6.5995e-06[1] -6.5271e-01 -6.5269e-01 -6.5270e-01 -8.4961e-06[1] -6.5271e-01 -6.5270e-01 -6.5270e-01 -9.4828e-07[1] -6.5271e-01 -6.5270e-01 -6.5270e-01 2.8256e-06[1] -6.5270e-01 -6.5270e-01 -6.5270e-01 9.3867e-07[1] -6.527e-01 -6.527e-01 -6.527e-01 -4.804e-09$root[1] -0.6527

$nb.iter[1] 22

> nr(f2, f2p, start = -1, echo = TRUE)

[1] -0.66667[1] -0.65278

Solutions 63

[1] -0.6527$root[1] -0.6527

$nb.iter[1] 3

> secante(f2, start0 = -2, start1 = -1, echo = TRUE)

[1] -0.5[1] -0.63636[1] -0.65394[1] -0.6527[1] -0.6527$root[1] -0.6527

$nb.iter[1] 5

On remarquera que les deux valeurs de dpart de la mthode de lascante nont pas se trouver de part et dautre de la racine.

c) La fonction na quune seule racine dans [0, 1] et elle est lgrementsuprieure 0,6.> f3 f3p bissection(f3, lower = 0.6, upper = 0.65,+ echo = TRUE)

[1] 0.60000 0.65000 0.62500 -0.02342[1] 0.6250000 0.6500000 0.6375000 -0.0053259[1] 0.6375000 0.6500000 0.6437500 0.0037029[1] 0.63750 0.64375 0.64062 -0.00081[1] 0.6406250 0.6437500 0.6421875 0.0014468[1] 0.6406250 0.6421875 0.6414062 0.0003185[1] 0.64062500 0.64140625 0.64101562 -0.00024573[1] 6.4102e-01 6.4141e-01 6.4121e-01 3.6390e-05[1] 0.64101562 0.64121094 0.64111328 -0.00010467[1] 6.4111e-01 6.4121e-01 6.4116e-01 -3.4140e-05[1] 6.4116e-01 6.4121e-01 6.4119e-01 1.1251e-06[1] 6.4116e-01 6.4119e-01 6.4117e-01 -1.6507e-05[1] 6.4117e-01 6.4119e-01 6.4118e-01 -7.6910e-06[1] 6.4118e-01 6.4119e-01 6.4118e-01 -3.2830e-06[1] 6.4118e-01 6.4119e-01 6.4118e-01 -1.0789e-06[1] 6.4118e-01 6.4119e-01 6.4119e-01 2.3101e-08[1] 6.4118e-01 6.4119e-01 6.4119e-01 -5.2791e-07$root[1] 0.64119

$nb.iter[1] 17

64 Solutions


[1] 0.641[1] 0.64119$root[1] 0.64119

$nb.iter[1] 2

> secante(f3, start0 = 0.6, start1 = 0.65, echo = TRUE)

[1] 0.64122[1] 0.64119$root[1] 0.64119

$nb.iter[1] 2

d) La fonction na quune seule racine dans [1, 2] et elle est lgrementsuprieure 1,8.> f4 f4p bissection(f4, lower = 1.8, upper = 1.85,+ echo = TRUE)

[1] 1.800000 1.850000 1.825000 -0.017913[1] 1.825000 1.850000 1.837500 0.033517[1] 1.825000 1.837500 1.831250 0.007667[1] 1.8250000 1.8312500 1.8281250 -0.0051567[1] 1.8281250 1.8312500 1.8296875 0.0012468[1] 1.8281250 1.8296875 1.8289063 -0.0019571[1] 1.82890625 1.82968750 1.82929688 -0.00035568[1] 1.8292969 1.8296875 1.8294922 0.0004454[1] 1.8293e+00 1.8295e+00 1.8294e+00 4.4827e-05[1] 1.82929688 1.82939453 1.82934570 -0.00015544[1] 1.8293e+00 1.8294e+00 1.8294e+00 -5.5307e-05[1] 1.8294e+00 1.8294e+00 1.8294e+00 -5.2405e-06[1] 1.8294e+00 1.8294e+00 1.8294e+00 1.9793e-05[1] 1.8294e+00 1.8294e+00 1.8294e+00 7.2762e-06[1] 1.8294e+00 1.8294e+00 1.8294e+00 1.0178e-06$root[1] 1.8294

$nb.iter[1] 15


[1] 1.8301[1] 1.8294

Solutions 65

$root[1] 1.8294

$nb.iter[1] 2

> secante(f4, start0 = 1.8, start1 = 1.85, echo = TRUE)

[1] 1.8289[1] 1.8294[1] 1.8294$root[1] 1.8294

$nb.iter[1] 3

e) Encore ici, la fonction na quune seule racine dans lintervalle men-tionn et elle se situe autour de 0,25.> f5 f5p bissection(f5, lower = 0.24, upper = 0.26,+ echo = TRUE)

[1] 0.240000 0.260000 0.250000 -0.028475[1] 0.2500000 0.2600000 0.2550000 -0.0095634[1] 0.25500000 0.26000000 0.25750000 -0.00011444[1] 0.2575000 0.2600000 0.2587500 0.0046084[1] 0.2575000 0.2587500 0.2581250 0.0022471[1] 0.2575000 0.2581250 0.2578125 0.0010664[1] 0.25750000 0.25781250 0.25765625 0.00047597[1] 0.25750000 0.25765625 0.25757812 0.00018077[1] 2.5750e-01 2.5758e-01 2.5754e-01 3.3166e-05[1] 2.5750e-01 2.5754e-01 2.5752e-01 -4.0637e-05[1] 2.5752e-01 2.5754e-01 2.5753e-01 -3.7355e-06[1] 2.5753e-01 2.5754e-01 2.5753e-01 1.4715e-05[1] 2.5753e-01 2.5753e-01 2.5753e-01 5.4898e-06[1] 2.5753e-01 2.5753e-01 2.5753e-01 8.7717e-07[1] 2.5753e-01 2.5753e-01 2.5753e-01 -1.4291e-06[1] 2.5753e-01 2.5753e-01 2.5753e-01 -2.7598e-07[1] 2.5753e-01 2.5753e-01 2.5753e-01 3.0059e-07$root[1] 0.25753

$nb.iter[1] 17


[1] 0.25753[1] 0.25753$root[1] 0.25753

66 Solutions

TAB. A.1 Valeurs successives de la mthode de bissection pour lexercice5.3.

n an bn xn f (xn)

1 0 2 1 12 1,00 2,00 1,50 0,253 1,0000 1,5000 1,2500 0,43754 1,250000 1,500000 1,375000 0,1093755 1,37500000 1,50000000 1,43750000 0,066406256 1,37500000 1,43750000 1,40625000 0,022460947 1,40625000 1,43750000 1,42187500 0,021728528 1,4062500000 1,4218750000 1,4140625000 0,00042724619 1,41406250 1,42187500 1,41796875 0,01063538

10 1,41406250 1,41796875 1,41601562 0,00510025

$nb.iter[1] 2

> secante(f5, start0 = 0.24, start1 = 0.26,+ echo = TRUE)

[1] 0.25753[1] 0.25753$root[1] 0.25753

$nb.iter[1] 2

5.3 On trouve la racine de f (x) = x2 2 dans lintervalle [0, 2] par la mthodede bissection avec un maximum de 10 itrations. Le tableau A.1 contientles valeurs successives de a, b, x = (a+ b)/2 et f (x). On obtient donc unerponse de 1,41601562, alors que la vraie rponse est le nombre irrationnel

2 = 1,414214.

5.4 On a que

xn xn1 =n

k=1

1k

n1k=1

1k

=1n

,

do limn(xn xn1) = limn n1 = 0. Or, nk=1 k1 est la srieharmonique qui est connue pour diverger. On peut, par exemple, justifierceci par le fait que lintgrale

1

1x

dx

Solutions 67

diverge elle-mme. Cet exercice illustre donc que le critre |xn xn1| < peut tre satisfait mme pour une srie divergente.

5.5 a) On considre la fonction g(x) = 3x dans lintervalle [0, 1]. En premierlieu, 1/3 3x 1 pour 0 x 1, donc g(x) [0, 1]. De plus,g(x) = 3x1(ln 3), do

|g(x)| = ln 33x+1

ln 3 < 1, 0 x 1.

Par le thorme 5.1 des notes de cours, la fonction g possde un pointfixe unique dans lintervalle [0, 1].

b) Le graphique de la fonction g se trouve la figure A.11. On constateque la fonction a effectivement un point fixe unique dans lintervalle[0, 1] et que celui-ci se trouve prs de x = 12 . On peut donc utiliser cettevaleur comme point de dpart de lalgorithme du point fixe :

> pointfixe(function(x) 3^(-x), start = 0.5)

$fixed.point[1] 0.54781

$nb.iter[1] 24

On remarque que la rponse est indpendante de la valeur de dpart :

> pointfixe(function(x) 3^(-x), start = 0)


$nb.iter[1] 29



$nb.iter[1] 28



$nb.iter[1] 29

68 Solutions

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

g (x)

FIG. A.11 Fonction g(x) = 3x dans [0, 1].

5.6 Les cinq fonctions sont les suivantes :

g1(x) = x x3 4x2 + 10

g2(x) =(

10x 4x

)1/2g3(x) =

12(10 x3)1/2

g4(x) =(

104+ x

)1/2g5(x) = x x

3 + 4x2 103x2 + 8x

.

Soit f (x) = x3 + 4x2 10. On peut rcrire lquation f (x) = 0 de diff-rentes faons :

a) x = x f (x) ;b) x3 = 10 4x2 x2 = 10/x 4x x = (10/x 4x)1/2 ;c) 4x2 = 10 x3 x2 = (10 x3)/4 x = 12 (10 x3)1/2 ;

Solutions 69

2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0

2.5

2.6

2.7

2.8

2.9

3.0

x

g (x)

(a) Fonction g1(x)

2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0

2.5

2.6

2.7

2.8

2.9

3.0

x

g (x)

(b) Fonction g2(x)

2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0

2.5

2.6

2.7

2.8

2.9

3.0

x

g (x)

(c) Fonction g3(x)

FIG. A.12 Fonctions de lexercice 5.8.

d) 4x2 + x3 = 10 x2 = 10/(4+ x) x = (10/(4+ x))1/2 ;e) x = x f (x)/ f (x).Les fonctions g1 g5 correspondent, dans lordre, au ct droit de chacunedes quations ci-dessus. On remarquera que la fonction g5 est celle prco-nise par la mthode de NewtonRaphson et celle qui converge le plusrapidement.

5.7 La fonction g(x) = 4x2 14x + 14 est une parabole ayant deux pointsfixes. On observe graphiquement que lun se trouve en x = 2 et queg(1,5) = g(2). Or, pour toute valeur de dpart x0 < 1,5 de lalgorithmedu point fixe, on constate que les valeurs de x1, x2, . . . se retrouveront deplus en plus loin sur la branche droite de la parabole. Il en va de mmepour tout x0 > 2. La procdure diverge donc pour de telles valeurs de d-part. En revanche, il est facile de vrifier graphiquement que la procdureconverge pour toute valeur de dpart dans lintervalle [1,5, 2]. Si x0 = 1,5,on obtient le point fixe x = 2 aprs une seule itration.

5.8 En premier lieu, on remarque que les fonctions g1, g2 et g3 sont dvelop-pes partir de lquation x3 = 21 pour calculer 3

21 par la mthode du

point fixe. La figure A.12 prsente ces trois fonctions. On a

g1(x) =2021 2

x3

g2(x) =23 14

x3

g3(x) = 12x5 84x3 + 21x2 + 441

(x2 21)2 .

Considrons lintervalle [2,5, 3] autour du point fixe. On a que |g2(x)|

70 Solutions

5.9 On considre la fonction g(x) = 2x dans lintervalle [ 13 , 1]. En premierlieu, on a g(x) [ 12 , 1/ 3

2] [ 13 , 1] pour x [ 13 , 1]. De plus, on a g(x) =

2x1(ln 2), do

|g(x)| = ln 22x+1

ln 2 < 1, 13 x 1.

Par le thorme 5.1 des notes de cours, la fonction g possde donc un pointfixe unique dans lintervalle [ 13 , 1]. La valeur de ce point fixe est> pointfixe(function(x) 2^(-x), start = 2/3)


$nb.iter[1] 14

5.10 La condition |g(x)| k < 1 du thorme 5.1 assure lunicit dun pointfixe. Cette condition est ncessaire pour que la fonction g(x) ne puisserepasser au-dessus de la droite y = x aprs lavoir dj croise une pre-mire fois pour crer un point fixe. Or, il est seulement ncessaire de li-miter la croissance de la fonction soit les valeurs positives de sa pente.Peu importe la vitesse de dcroissance de la fonction dans lintervalle[a, b] (mais toujours sujet ce que g(x) [a, b]), la fonction ne peut croi-ser la droite y = x quune seule fois. La condition g(x) k < 1 est doncsuffisante pour assurer lunicit du point fixe dans [a, b].

5.11 La distance entre deux points (x1, y1) et (x2, y2) de R2 est

d =(x1 x2)2 + (y1 y2)2.

Par consquent, la distance entre le point (x, x2) et le point (1, 0) est unefonction de x

d(x) =(x 1)2 + (x2 0)2 =

x4 + x2 2x + 1.

On cherche la valeur de minimisant d(x) ou, de manire quivalente,d2(x). On doit donc rsoudre

ddx

d2(x) = f (x) = 4x3 + 2x 2 = 0 laide de la mthode de Newton-Raphson. Cela requiert galement

f (x) = 12x2 + 2.

Le point sur la courbe y = x2 le plus du point (1, 0) est donc la limite dela suite

xn = xn1 4x3n1 + 2xn1 2

12x2n1 + 2, n = 1, 2, . . . ,

avec x0 une valeur de dpart prs de la solution. On obtient

Solutions 71

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

x^2

l

l

FIG. A.13 Point de y = x2 le plus prs du point (1, 0).

> nr(function(x) 4 * x^3 + 2 * x - 2, function(x) 12 *+ x^2 + 2, start = 0.6)

$root[1] 0.58975

$nb.iter[1] 2

On voit la figure A.13 que la solution, disons le point (x, (x)2), est laprojection du point (1, 0) sur la courbe y = x2 ; autrement dit, la droitepassant par (x, (x)2) et (1, 0) est perpenticulaire la tangente de y = x2en x = x.

5.12 La fonction devra utiliser la mthode de NewtonRaphson pour trouverla racine de f (i) = 0, o

f (i) =n

t=0

CFt(1+ i)t

72 Solutions

tri

Solutions 73

Function tri2(flux As Range, Optional ErreurMaxAs Double = 0.000000001)

Dim nrow As Integer, ncol As Integer, n As IntegerDim CF() As Double, f As Double, fp As Double,

i As Double, it As Double

nrow = flux.Rows.Countncol = flux.Columns.Countn = IIf(nrow > 1, nrow, ncol) - 1ReDim CF(0 To n)

For t = 0 To nCF(t) = flux.Cells(t + 1, 1)

Next t

If CF(0) > 0 Thentri2 = "Erreur"Exit Function

End If

i = 0.05Do

f = 0fp = 0it = iFor t = 0 To n

f = f + CF(t) / (1 + i) ^ tfp = fp - t * CF(t) / (1 + i) ^ (t + 1)

Next ti = i - f / fp

Loop Until Abs(i - it) / i < ErreurMaxtri2 = i

End Function

FIG. A.15 Fonction VBA de calcul du taux de rendement interne dune srie deflux financiers.

74 Solutions

emv.gamma

Solutions 75

Function emvGamma(Data As Range, Optional ErreurMaxAs Double = 0.000000001)

Dim n As IntegerDim sData As Double, f As Double,

fp As Double, x As Double, xt As Double

n = Data.Rows.CountsData = WorksheetFunction.Sum(Data)

x = sData / n / 3Do

f = sData / x ^ 2 - (3 * n) / xfp = -2 * sData / x ^ 3 + 3 * n / x ^ 2xt = xx = x - f / fp

Loop Until Abs(x - xt) / x < ErreurMaxemvGamma = x

End Function

FIG. A.17 Fonction VBA destimation du paramtre dchelle dune loi gammapar le maximum de vraisemblance.

[1] 1006.8

5.15 La figure A.17 prsente le code VBA dune fonction emvGamma trs si-milaire la fonction S de lexercice prcdent. Pour lutiliser dans Ex-cel, il suffit de lui passer en argument une plage (verticale) contenant unchantillon alatoire dune loi Gamma(3, 1/).

5.16 On cherche rsoudre lquation

a(12)10 i

=1 (1+ i)10

i(12)= 8

ou, de manire quivalente,

f (i) =1 (1+ i)10

12(1+ i)1/12 1 8 = 0.

Pour rsoudre le problme laide de la mthode du point fixe, on peutconsidrer la fonction

g1(i) = i f (i),mais, comme le graphique de la figure A.18(a) le montre, la procdureitrative divergera. En posant

1 (1+ i)108

= 12[(1+ i)1/12 1],

76 Solutions

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

i

g(i)

(a) Fonction g1(x)

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

i

g(i)

(b) Fonction g2(x)

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

i

g(i)

(c) Fonction g3(x)

FIG. A.18 Trois fonctions pour rsoudre a(12)10 i

= 8 par la mthode du point fixe.

puis en isolant i du ct droit de lquation, on obtient une alternative

g2(i) =(

97 (1+ i)1096

)12 1.

Cette fonction satisfait les hypothses pour lexistence et lunicit dunpoint fixe, mais sa pente est toutefois prs de 1, donc la convergence seralente ; voir la figure A.18(b). Enfin, on peut considrer la fonction

g3(i) = i f (i)f (i)

=120(1+ i)11[(1+ i)1/12 1] [1 (1+ i)10](1+ i)11/12

144[(1+ i)1/12 1]2 .

On remarquera que cette dernire est la fonction utilise dans la mthodede NewtonRaphson et sa pente est presque nulle, do une convergencetrs rapide ; voir la figure A.18(c). On obtient les rsultats suivants :

> f fp g2 g3 pointfixe(g2, start = 0.05)


$nb.iter[1] 40

> pointfixe(g3, start = 0.05)

Solutions 77


$nb.iter[1] 2

Chapitre 6

6.1 a) On a une solution unique. Le systme dquations correspondant est

x1 3x2 + 4x3 = 7x2 + 2x3 = 2

x3 = 5.

Par substitution successive, on obtient x3 = 5, x2 = 2 2(5) = 8 etx1 = 7+ (3)(8) 4(5) = 37.

b) Le systme est sous-dtermin : il compte plus dinconnues que dqua-tions. Il y a donc une infinit de solutions. Le systme dquations cor-respondant est

x1 + 8x3 5x3 = 6x2 + 4x3 9x4 = 3

x3 + x4 = 2.

On utilise la variable libre x4 = t. Ainsi, la solution gnrale du sys-tme dquations est x3 = 2 t, x2 = 3 4(2 t) + 9t = 5 + 13t etx1 = 6 8(2 t) + 5t = 10+ 13t.

c) On avait lorigine un systme dquations quatre quations et cinqinconnues. La matrice chelonne contient une ligne complte de z-ros, ce qui indique que la quatrime quation tait une combinaisonlinaire des trois autres. Ne reste donc quun systme sous-dtermin trois quations et cinq inconnues :

x1 + x2 2x3 8x5 = 3x3 + x4 + 6x5 = 5

x4 + 3x5 = 9.

Ce systme a une infinit de solutions et il faudra, pour les exprimer,poser deux variables libres. Les candidates sont les variables corres-pondant aux colonnes sans un 1 sur la diagonale. On pose donc x2 = set x5 = t. On a alors x4 = 9 3t, x3 = 5 (9 3t) 6t = 4 3t etx1 = 3 7s + 2(4 3t) + 8t = 11 7s + 2t.

d) La dernire ligne de la matrice chelonne correspond lquation im-possible satisfaire

0x1 + 0x2 + 0x3 = 1,

do le systme na pas de solution.

78 Solutions

6.2 a) On donne la solution pour llimination gaussienne seulement. La ma-trice augmente est 1 1 2 81 2 3 1

3 7 4 10

.Les oprations lmentaires effectuer sur cette matrice pour lexpri-mer sous forme chelonne sont, dans lordre :

1. additionner la premire ligne la seconde ;

2. additionner 3 fois la premire ligne la troisime ;3. additionner 3 fois la premire ligne la troisime ;4. multiplier la deuxime ligne par 1 ;5. additionner 10 fois la deuxime ligne la troisime ;

6. diviser la troisime ligne par 52.On obtient alors la matrice chelonne1 1 2 80 1 5 9

0 0 1 2

,do x3 = 2, x2 = 9+ 5(2) = 1 et x1 = 8 1 2(2) = 3.

b) On donne la solution pour llimination de GaussJordan seulement.La matrice augmente est 2 2 2 02 5 2 1

8 1 4 1

.Les oprations lmentaires effectuer sur cette matrice pour lexpri-mer sous forme chelonne rduite sont les suivantes :

1. multiplier la premire ligne par 12 ;

2. additionner 2 fois la premire ligne la deuxime ;

3. additionner 8 fois la premire ligne la troisime ;4. additionner la deuxime ligne la troisime ;

5. multiplier la deuxime ligne par 17 ;

6. additionner 1 fois la deuxime ligne la premire.On obtient alors la matrice chelonne rduite1 0 3/7 1/70 1 4/7 1/7

0 0 0 0

.En posant x3 = t, on a la solution gnrale x2 = 17 47 t et x1 = 17 37 t.

Solutions 79

c) On donne la solution pour llimination gaussienne seulement. La ma-trice augmente est

1 1 2 1 12 1 2 2 21 2 4 1 13 0 0 3 3

.Les oprations lmentaires effectuer sur cette matrice pour lexpri-mer sous forme chelonne sont, dans lordre :

1. additionner 2 fois la premire ligne la seconde ;2. additionner la premire ligne la troisime ;

3. additionner 3 fois la premire ligne la quatrime ;4. additionner 1 fois la deuxime ligne la quatrime ;5. multiplier la deuxime ligne par 13 ;

6. additionner 1 fois la deuxime ligne la troisime.On obtient alors la matrice chelonne

1 1 2 1 10 1 2 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0

,do x3 = s, x4 = t, x2 = 2s et x1 = 1+ 2s 2s + t = 1+ t.

d) En changeant les premire et troisime quations, on a la matrice aug-mente 6 6 3 53 6 3 2

0 2 3 1

.Aprs les oprations lmentaires

1. multiplier la premire ligne par 16 ;

2. additionner 3 fois la premire ligne la deuxime ;3. multiplier la deuxime ligne par 13 ;

4. additionner 2 fois la deuxime ligne la troisime,

on obtient la matrice chelonne1 1 1/2 5/60 1 3/2 3/20 0 0 2

.La troisime quation tant impossible satisfaire, le systme na pasde solution.

80 Solutions

6.3 La procdure de rduction des matrices augmentes sous forme chelon-ne est similaire celle utilise dans les solutions de lexercice 6.2. On nedonne, ici que les rsultats de cette procdure.

a) La matrice chelonne est[1 2/5 6/5 00 1 27 5

]et la matrice chelonne rduite est[

1 0 12 20 1 27 5

].

Par consquent, la solution gnrale est x3 = t, x2 = 5 27t et x1 =2 12t.

b) La matrice chelonne rduite est1 2 1 4 10 1 6/5 6/5 1/50 0 0 0 6

.Ce systme na donc pas de solution.

c) La matrice chelonne est1 2 1/2 7/2 0 7/20 0 1 2 1 40 0 0 1 1 30 0 0 0 0 0

et la matrice chelonne rduite est

1 2 0 0 3 60 0 1 0 1 20 0 0 1 1 30 0 0 0 0 0

.Par consquent, la solution gnrale est v = 2, y = t, x = 3 + t, w =2 t et u = 6 3t 2s.

6.4 a) Aprs quelques oprations lmentaires sur les lignes de la matriceaugmente correspondant ce systme dquations, on obtient2 1 3 00 3 3 0

0 0 6 0

,do x3 = x2 = x1 = 0, soit la solution triviale.

Solutions 81

b) La somme des deux quations donne une nouvelle quation 4x1 + x3 =0, do x3 = 4x1. De la premire quation, on a galement x2 =3x1 x3 x4 = x1 x4. En posant x1 = s et x4 = t, on a la solutiongnrale x3 = 4s et x2 = s t. Il y a videmment de multiples autresfaons dexprimer la solution gnrale en utilisant des variables libresdiffrentes.

c) La matrice chelonne de ce systme dquations est1 0 1 30 1 1 7/30 0 0 10 0 0 1

.On a donc z = 0 et, en posant y = t, x = t, w = t.

6.5 Aprs des oprations lmentaires sur la matrice augmente du systmedquations, on obtient1 2 3 40 7 14 10

0 0 a2 16 a 4

.On constate alors que le systme dquations na pas de solution si a2 16 = 0 et a 4 0, donc lorsque a = 4. En revanche, si a2 16 = 0et a 4 = 0, soit lorsque a = 4, le systme a une infinit de solutions.Finalement, si a2 16 0 a |a| 4, le systme a une solution unique.

6.6 La somme (ou la diffrence) entre deux matrices est dfinie si les dimen-sions des matrices sont identiques. Les dimensions du rsultat seront lesmmes. Quant au produit, il est dfini si le nombre de colonnes de la pre-mire matrice est gal au nombre de lignes de la seconde ; le rsultat estune matrice dont le nombre de lig

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