Exercices Sur La méthode Des Tableaux sémantiques
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Exercices sur la méthode des tableaux sémantiques : corrigé
Ci-dessous ne sont corrigés que des exercices d’application de la méthode de Carnap qui peuvent être résolus sans faire appel à plus d’une ramification entre plusieurs « cas ». Comme convenu, seuls ces exercices plus simples feront l’objet de l’examen.
55 (exercice 21)a) Ø(p ® q) p ® q si Ø(p®q) faux, p®q vrai
q p si p®q vrai, p faux ou q vrai
Aucune des deux hypothèses ne mène à une contradiction. Rendre fausse la formule complexe est donc parfaitement possible ; ce n’est pas une tautologie.
b) p ® (q Ú p) p q Ú p si p® (qÚp) faux, p vrai et (qÚp) faux q si (qÚp) faux, q faux et p faux p X
Quand on cherche à rendre fausse la formule, on arrive à une contradiction (p ne peut à la fois être vrai et faux) ; la formule est donc nécessairement vraie (tautologique).
c) (p Ù q) Ú (Øp Ù Øq) p Ù q Øp Ù Øq
p q
Øp Øq Øp Øq p q p q X X
Deux hypothèses restent ouvertes et ne mènent pas à une contradiction. Rendre fausse la formule complexe est donc parfaitement possible ; ce n’est pas une tautologie. Notons qu’il suffirait qu’une des hypothèses cas ne mène pas à une contradiction pour qu’on puisse tirer la même conclusion ; on pourrait donc arrêter l’exercice dès qu’on voit qu’un cas ne mène pas à une contradiction.
d) La résolution est complexe (deux ramifications au moins) ; tous les cas ne mènent pas à des contradictions ; la formule n’est donc pas une tautologie.
e) (p ® q) ® (Øp ® Øq) p ® q Øp ® Øq Øp Øq p q
q p
Quand on cherche à rendre fausse la formule, on n’arrive pas nécessairement à une contradiction. La formule n’est donc pas tautologique.
f) p Ù (q Ú Øp)
p q Ú Øp q Øp
p
Aucune des deux hypothèses ne mène à une contradiction. Rendre fausse la formule complexe est donc parfaitement possible ; ce n’est pas une tautologie.
g) La résolution est complexe (deux ramifications au moins) ; tous les cas ne mènent pas à des contradictions ; la formule n’est donc pas une tautologie.
h) (p ® q) Ù Øq
(p ® q) Øq p q
q
Aucun des deux cas ne mène à une contradiction. Rendre fausse la formule complexe est donc parfaitement possible ; ce n’est pas une tautologie.
i) (p Ù q) « (p Ú q)
(p Ù q) (p Ú q) (p Ú q) (p Ù q) p q p q p q X
p q p q X X
Deux hypothèses ne mènent pas à une contradiction. Rendre fausse la formule complexe est donc possible ; ce n’est pas une tautologie.
j) [(p ® q) ® p] ® p (p ® q) ® p p
p p ® q X p q X
Quand on cherche à rendre fausse la formule, on arrive à des contradictions ; la formule est donc tautologique.
k) (Øp Ú q) Ù (p Ù Øq)
Øp Ú q p Ù Øq Øp q
p p Øq
Aucune des hypothèses ne mène à une contradiction. Rendre fausse la formule complexe est donc parfaitement possible ; ce n’est pas une tautologie.
l) (p Ù q) ® (q Ú r) p Ù q q Ú r p q q r X
Quand on cherche à rendre fausse la formule, on arrive nécessairement à une contradiction. La formule est donc tautologique.
m) (p ® q) Ù Øq
(p ® q) Øq p q q
Aucune des hypothèses ne mène à une contradiction. Rendre fausse la formule complexe est donc parfaitement possible ; ce n’est pas une tautologie.
n) (p Ú Øp) Ù (q Ú Øq)
p Ú Øp q Ú Øq p q Øp Øq p q X X
Les deux hypothèses mènent à une contradiction. Rendre fausse la formule complexe est donc impossible ; c’est une tautologie.
o) p ® (q ® p) p q ® p q p X
Quand on cherche à rendre fausse la formule, on arrive à une contradiction ; la formule est donc tautologique.
p) [(p ® q) Ù (Øp ® r)] ® (q Ú r) (p ® q) Ù (Øp ® r) q Ú r p ® q Øp ® r q r
q p X
r Øp X p X
Quand on cherche à rendre fausse la formule, on arrive à une contradiction ; la formule est donc tautologique.
q) p Ú (q Ù Ør) p q Ù Ør
q Ør r
Aucune des deux hypothèses ne mène à une contradiction. Rendre fausse la formule complexe est donc parfaitement possible ; ce n’est pas une tautologie.
r) La résolution est complexe (deux ramifications au moins) ; tous les cas ne mènent pas à des contradictions ; la formule n’est donc pas une tautologie.
56 (exercice 22) (p«q) Ú (q«r) Ú (p«r)
p«q (q«r) Ú (p«r) q«r p«r
p q q p
q r r q q r r q X X
p r r p p r r p X X X X
Toutes les hypothèses mènent à une contradiction. C’est une tautologie.
57. (exercice 23) exemple : tautologie 1 p Ú Øp p Øp p X
On ne peut rendre fausse la formule ; elle est donc tautologique.
58. (exercice 24)a) (p ® q) ® [(q ®m) ® (p ® m)] p ® q (q ®m) ® (p ® m) q ®m p ® m p m
q p X
m q X XToutes les hypothèses mènent à une contradiction. C’est une tautologie.
b) p ® (Øp ® q) p Øp ® q Øp q p XQuand on cherche à rendre fausse la formule, on arrive à une contradiction ; la formule est donc tautologique.
c) (Øp ® p) ® p Øp ® p p
p Øp X p XToutes les hypothèses mènent à une contradiction. C’est une tautologie.
59. (exercice 25)a) (q ® r) ® [(p Ú q) ® (p Ú r)] q ® r (p Ú q) ® (p Ú r) p Ú q p Ú r p r
p q X
r q X X Toutes les hypothèses mènent à une contradiction. C’est une tautologie.
b) [(p ® q) ® p] ® p (p ® q) ® p p
p p ® q X p q X
Toutes les hypothèses mènent à une contradiction. C’est une tautologie.
60. (exercice 26)a) p ® (q ® p) p q ® p q p X
Quand on cherche à rendre fausse la formule, on arrive à une contradiction ; la formule est donc tautologique.
b) [p ® (p®q)] ® (p®q) p ® (p®q) p®q p q
p®q p X
q p X X
Toutes les hypothèses mènent à une contradiction. C’est une tautologie.
c) (p®q) ® {(p®r) ® [p® (qÙr)]} p®q (p®r) ® [p® (qÙr)] p®r p® (qÙr) p qÙr
q p X
r p X
q r X X
Toutes les hypothèses mènent à une contradiction. C’est une tautologie.
d) (p®q) ® {(q®r) ® [(pÚq) ® r]} p®q (q®r) ® [(pÚq) ® r] q®r (pÚq) ® r pÚq r
r q X
q p X
p q X X
Toutes les hypothèses mènent à une contradiction. C’est une tautologie.
e) (p®q) ® [(q®p) ® (p«q)] p®q (q®p) ® (p«q) q®p p«q
p q q p
q p p q X X X X
Toutes les hypothèses mènent à une contradiction. Rendre fausse la formule complexe est donc impossible ; c’est une tautologie.
61. (exercice 27)a) [p ® (qÚr)] « [(p®q) Ú (p®r)]
p ® (qÚr) (p®q) Ú (p®r) (p®q) Ú (p®r) p ® (qÚr) p®q p qÚr p®r q p q r p r
p®q p®r qÚr p X
q p r p q r X X X X X XToutes les hypothèses mènent à une contradiction. Rendre fausse la formule complexe est donc impossible ; c’est une tautologie.
b) La résolution est complexe (deux ramifications au moins), mais tous les cas mènent à des contradictions ; la formule est donc une tautologie.
c) [p ® (q®r)] « Ø[pÙqÙr]
p ® (q®r) Ø[pÙqÙr] Ø[pÙqÙr] p ® (q®r) pÙqÙr pÙqÙr p p q®r q q r r
p qÙr q®r p X X
q r Xr q XCertaines hypothèses ne mènent pas à une contradiction. Rendre fausse la formule complexe est donc parfaitement possible ; ce n’est pas une tautologie.
62. (exercice 28)exemple : (p®q) « (Øp®Øq)
p®q Øp®Øq Øp®Øq p®q Øp Øq p q q p
Øq Øp q p q p
Certains cas ne mènent pas à une contradiction. Rendre fausse la formule complexe est donc parfaitement possible ; ce n’est pas une tautologie.
63. (exercice 29)[p « (q«r)] ® [r« (q®p)]
La résolution est complexe (deux ramifications au moins) ; tous les cas ne mènent pas à des contradictions ; la formule n’est donc pas une tautologie. L’implication ne vaut pas.
[r« (q®p)] ® [p « (q«r)]La résolution est complexe (deux ramifications au moins) ; tous les cas ne mènent pas à des contradictions ; la formule n’est donc pas une tautologie. L’implication ne vaut pas.
64. (exercice 30){[p « (qÙr)] ® (pÙq)} ® {[p ® (qÙr)] « (pÙq)}
La résolution est complexe (deux ramifications au moins) ; tous les cas ne mènent pas à des contradictions ; la formule n’est donc pas une tautologie. L’implication ne vaut pas dans ce sens.
{[p ® (qÙr)] « (pÙq)} ® {[p « (qÙr)] ® (pÙq)} [p ® (qÙr)] « (pÙq) [p « (qÙr)] ® (pÙq) p « (qÙr) pÙq
p q
p qÙr p qÙr qÙr p qÙr p X q r X p ® (qÙr) p ® (qÙr) p ® (qÙr) p ® (qÙr) pÙq pÙq pÙq pÙq p p qÙr p p qÙr q X q X
X XToutes les hypothèses mènent à une contradiction. Rendre fausse la formule complexe est donc impossible ; c’est une tautologie. L’implication vaut dans ce sens.
65. (exercice 31)exemple : (p®q) ® [(pÚq) ® r]
p®q (pÚq) ® r pÚq r
p q
q p q p X
Certains cas ne mènent pas à une contradiction. Rendre fausse la formule complexe est donc parfaitement possible ; ce n’est pas une tautologie. L’implication ne vaut pas.
66. (exercice 32)exemple : [Øe Ú (dÙs)] ® [(dÚs) ®e]
Øe Ú (dÙs) (dÚs) ®e dÚs e
d s
Øe dÙs Øe dÙs e d e d
s s
Quand on cherche à rendre fausse la formule, on n’arrive pas nécessairement à une contradiction ; la formule n’est donc pas tautologique. L’implication ne vaut pas.
67. (exercice 33)(m®¬j) ® ¬(mÙj)
(m®¬j) ¬(mÙj)mÙj m j
¬j m j X X
Quand on cherche à rendre fausse la formule, on arrive à une contradiction ; la formule est donc tautologique. L’implication vaut.
¬(mÙj) ® (m®¬j) ¬(mÙj) (m®¬j)
mÙj m ¬j j
m j X X
Quand on cherche à rendre fausse la formule, on arrive à une contradiction ; la formule est donc tautologique. L’implication vaut dans ce sens-là également.68. (exercice 44) [( p ® q ) Ù p ] ® q
[( p ® q ) Ù p ] q p ® q
p
q p X X
Quand on cherche à rendre fausse la formule, on arrive à une contradiction ; la formule est donc tautologique. Le raisonnement est valide.
69. (exercice 45) [(Øp®Øq) Ù q] ®p (Øp®Øq) Ù q p
Øp®Øq q
Øq Øp q p X X
Quand on cherche à rendre fausse la formule, on arrive à une contradiction ; la formule est donc tautologique. Le raisonnement est valide.
70. (exercice 46) [(p®Øq) Ù (r®q)] ® (p®Ør) (p®Øq) Ù (r®q) p®Ør
p®Øqr®q p Ør r
Øq p q X
q r X X
Quand on cherche à rendre fausse la formule, on arrive à une contradiction ; la formule est donc tautologique. Le raisonnement est valide.71. (exercice 47) [(Øp®Øq) Ù (p®Øq)] ®Øq
(Øp®Øq) Ù (p®Øq) Øq Øp®Øq p®Øq
q
Øq Øp q p X
Øq pq X
X
Quand on cherche à rendre fausse la formule, on arrive à une contradiction ; la formule est donc tautologique. Le raisonnement est valide.
72. (exercice 48) {[(ØpÚØq)® r] ÙpÙq)} ®Ør [(ØpÚØq)® r] ÙpÙq) Ør
[(ØpÚØq)® r]pÙq p q r
r ØpÚØq ØpØq
p q
Quand on cherche à rendre fausse la formule, on n’arrive pas nécessairement à une contradiction ; la formule n’est donc pas tautologique. Le raisonnement n’est pas valide.
73. (exercice 49) {[(p®q) Ùq®r] ÙØr} ® Øp
[(p®q) Ùq®r] ÙØr Øp [(p®q) Ùq®r]
Ørp®qq®r
r p
q pX
r q X X
Quand on cherche à rendre fausse la formule, on arrive à une contradiction ; la formule est donc tautologique. Le raisonnement est valide.
74. (exercice 50) {(¬p®q) Ù [p® (¬rÙs)]} ®(qÚs) (¬p®q) Ù [p® (¬rÙs)] qÚs
¬p®q p® (¬rÙs)
qs
q ¬p X p
¬rÙs p ¬r X s X
Quand on cherche à rendre fausse la formule, on arrive à une contradiction ; la formule est donc tautologique. Le raisonnement est valide.
75. (exercice 51) {[p ® (qÚr)] Ù (q®¬s) Ù [(sÙr) ® t] Ùt®¬u) ÙuÙs)} ®¬p
{[p ® (qÚr)] Ù (q®¬s) Ù [(sÙr) ® t] Ùt®¬u) ÙuÙs)} ¬p p ® (qÚr) q®¬s (sÙr) ® t
t®¬u uÙs u s p
¬s q s X
qÚr p X
q r X
t sÙr
¬u t s r u X X X
X
Quand on cherche à rendre fausse la formule, on arrive à une contradiction; la formule est donc tautologique. Le raisonnement est valide.
76. (exercice 52) [(pÚq) ® r] ® (p®r)
(pÚq) ® r p®r p r
r pÚq X p
q X
Quand on cherche à rendre fausse la formule, on arrive à une contradiction ; la formule est donc tautologique. Le raisonnement est valide.
77. (exercice 53) [(qÙr) ®p] ® {[(rÙ¬p) ® ¬q] Ú [q ® (rÙp)]}[(qÙr) ®p] [(rÙ¬p) ® ¬q] Ú [q ® (rÙp)]
(rÙ¬p) ® ¬qq ® (rÙp)
rÙ¬p ¬q r ¬p
p q q rÙp
p qÙr X
q r X X
Quand on cherche à rendre fausse la formule, on arrive à une contradiction ; la formule est donc tautologique. Le raisonnement est valide.
78. (exercice 54)a) [Ø(pÙr)] ®Ør
Ø(pÙr) Ør r pÙr
p r X
Quand on cherche à rendre fausse la formule, on n’arrive pas nécessairement à une contradiction ; la formule n’est donc pas tautologique. Le raisonnement n’est pas valide.
b) {[(pÙq) ® r] Ùp}®r [(pÙq) ® r] Ùp r
(pÙq) ® r p
r pÙq X
p q X
Quand on cherche à rendre fausse la formule, on n’arrive pas nécessairement à une contradiction ; la formule n’est donc pas tautologique. Le raisonnement n’est pas valide.Notons que le cas qui rend la formule fausse (p vrai, q faux, r faux) est bien celui que nous avions identifié avec les tableaux de vérité.
c) {[p ® (qÚr)] ÙØq }®Øp[p ® (qÚr)] ÙØq Øp
p ® (qÚr)Øq q p
qÚr pX
q r X
Quand on cherche à rendre fausse la formule, on n’arrive pas nécessairement à une contradiction ; la formule n’est donc pas tautologique. Le raisonnement n’est pas valide.
d) {[p ® (qÚr)] ÙØ(qÙr)}®Øp [p ® (qÚr)] ÙØ(qÙr) Øp
p ® (qÚr) Ø(qÙr)
qÙr p
qÚr pX
q r
q r q rX X
Rendre fausse la formule complexe est possible ; ce n’est pas une tautologie. Le raisonnement n’est pas valide.
e) {[p ® (qÚr)] ÙØq}®(Ør®Øp)[p ® (qÚr)] ÙØq Ør®Øp
p ® (qÚr)Øq
q Ør Øp p
r
qÚr pX
q r X X
Quand on cherche à rendre fausse la formule, on arrive à une contradiction ; la formule est donc tautologique. Le raisonnement est valide.
f) {[(p®q) ® r] ÙØr}®Ø(ØpÚq)[(p®q) ® r] ÙØr Ø(ØpÚq)
(p®q) ® r Ør
r ØpÚq
r p®q p q
Øp q p X X
Quand on cherche à rendre fausse la formule, on arrive à une contradiction ; la formule est donc tautologique. Le raisonnement est valide.
g) [(p®q) Ùr®q)]®q (p®q) Ùr®q) q
p®qr®q
q p X
q r X
Quand on cherche à rendre fausse la formule, on n’arrive pas nécessairement à une contradiction ; la formule n’est donc pas tautologique. Le raisonnement n’est pas valide.
h) {[(pÙr) ® q] Ù [q ® (pÙq)]}®(p«q)[(pÙr) ® q] Ù [q ® (pÙq)] p«q
(pÙr) ® q q ® (pÙq)
p q q p
q pÙr pÙq q X p X
q X
p r X
Un des cas ne mène pas à une contradiction; il est donc possible de rendre fausse la formule ; elle n’est pas tautologique. Le raisonnement n’est pas valide.
i) {Ø[(pÚq)ÙØr] ÙØp} ® (Øq®Ør) Ø[(pÚq)ÙØr] ÙØp Øq®Ør
Ø[(pÚq)ÙØr] Øp
(pÚq)ÙØrp
Øq Ørq
r
pÚq Ør p r q
Quand on cherche à rendre fausse la formule, on n’arrive pas nécessairement à une contradiction ; la formule n’est donc pas tautologique. Le raisonnement n’est pas valide.
j) {[p ÙØ(ØqÙØr)] Ù (p®Ør)} ® q[p ÙØ(ØqÙØr)] Ù (p®Ør) q
p ÙØ(ØqÙØr) p®Ør
p Ø(ØqÙØr)
ØqÙØr
Øq Ør q r X
Ør pr X
XQuand on cherche à rendre fausse la formule, on arrive à une contradiction ; la formule est donc tautologique. Le raisonnement est valide.
k) [(p®q) Ù (r®s) Ù (ØqÙr)] ® Ø(s®p) (p®q) Ù (r®s) Ù (ØqÙr) Ø(s®p)
p®q r®s ØqÙr
Øq r
q s®p
q p X
p s X
s rX X
Quand on cherche à rendre fausse la formule, on arrive à une contradiction ; la formule est donc tautologique. Le raisonnement est valide.79. a) [(pÚr) Ù (p®q) Ù (r«s)] ® (qÚs)
(pÚr) Ù (p®q) Ù (r«s) qÚspÚr
p®q r«s
qs
q p X
p r X
r r s s X X
Quand on cherche à rendre fausse la formule, on arrive à une contradiction ; la formule est donc tautologique. Le raisonnement est valide.
b) [(pÙØs) Ù (qÚØr) Ù (s®r)] ® [(p®q) Ú (r®s)](pÙØs) Ù (qÚØr) Ù (s®r) (p®q) Ú (r®s)
pÙØs qÚØr s®r
p Øs
sp®qr®s
p q r s
q Ør X r
X
Quand on cherche à rendre fausse la formule, on arrive à une contradiction ; la formule est donc tautologique. Le raisonnement est valide.
c) {[(pÚr) ® (qÙs)] Ù Øs Ù (Øp«q)} ® (qÚr)[(pÚr) ® (qÙs)] Ù Øs Ù (Øp«q)qÚr
(pÚr) ® (qÙs)
Øs Øp«q
sqr
qÙs pÚr q p s r X
Øp Øp q q X p
X
Quand on cherche à rendre fausse la formule, on arrive à une contradiction ; la formule est donc tautologique. Le raisonnement est valide.
d) [p Ù q Ù (ØqÚs) Ù (r®Øp)] ® Ø(s®r) p Ù q Ù (ØqÚs) Ù (r®Øp) Ø(s®r)
p q
ØqÚs r®Øp
s®r
Øq s q X
r s X
Øp r p X X
Quand on cherche à rendre fausse la formule, on arrive à une contradiction ; la formule est donc tautologique. Le raisonnement est valide.