Exercices sur la méthode des tableaux sémantiques   : corrigé

Ci-dessous ne sont corrigés que des exercices d’application de la méthode de Carnap qui peuvent être résolus sans faire appel à plus d’une ramification entre plusieurs « cas ». Comme convenu, seuls ces exercices plus simples feront l’objet de l’examen.

55 (exercice 21)a) Ø(p ® q) p ® q si Ø(p®q) faux, p®q vrai

q p si p®q vrai, p faux ou q vrai

Aucune des deux hypothèses ne mène à une contradiction. Rendre fausse la formule complexe est donc parfaitement possible ; ce n’est pas une tautologie.

b) p ® (q Ú p) p q Ú p si p® (qÚp) faux, p vrai et (qÚp) faux q si (qÚp) faux, q faux et p faux p X

Quand on cherche à rendre fausse la formule, on arrive à une contradiction (p ne peut à la fois être vrai et faux) ; la formule est donc nécessairement vraie (tautologique).

c) (p Ù q) Ú (Øp Ù Øq) p Ù q Øp Ù Øq

p q

Øp Øq Øp Øq p q p q X X

Deux hypothèses restent ouvertes et ne mènent pas à une contradiction. Rendre fausse la formule complexe est donc parfaitement possible ; ce n’est pas une tautologie. Notons qu’il suffirait qu’une des hypothèses cas ne mène pas à une contradiction pour qu’on puisse tirer la même conclusion ; on pourrait donc arrêter l’exercice dès qu’on voit qu’un cas ne mène pas à une contradiction.

d) La résolution est complexe (deux ramifications au moins) ; tous les cas ne mènent pas à des contradictions ; la formule n’est donc pas une tautologie.

e) (p ® q) ® (Øp ® Øq) p ® q Øp ® Øq Øp Øq p q

q p

Quand on cherche à rendre fausse la formule, on n’arrive pas nécessairement à une contradiction. La formule n’est donc pas tautologique.

f) p Ù (q Ú Øp)

p q Ú Øp q Øp

p

Aucune des deux hypothèses ne mène à une contradiction. Rendre fausse la formule complexe est donc parfaitement possible ; ce n’est pas une tautologie.

g) La résolution est complexe (deux ramifications au moins) ; tous les cas ne mènent pas à des contradictions ; la formule n’est donc pas une tautologie.

h) (p ® q) Ù Øq

(p ® q) Øq p q

q

Aucun des deux cas ne mène à une contradiction. Rendre fausse la formule complexe est donc parfaitement possible ; ce n’est pas une tautologie.

i) (p Ù q) « (p Ú q)

(p Ù q) (p Ú q) (p Ú q) (p Ù q) p q p q p q X

p q p q X X

Deux hypothèses ne mènent pas à une contradiction. Rendre fausse la formule complexe est donc possible ; ce n’est pas une tautologie.

j) [(p ® q) ® p] ® p (p ® q) ® p p

p p ® q X p q X

Quand on cherche à rendre fausse la formule, on arrive à des contradictions ; la formule est donc tautologique.

k) (Øp Ú q) Ù (p Ù Øq)

Øp Ú q p Ù Øq Øp q

p p Øq

Aucune des hypothèses ne mène à une contradiction. Rendre fausse la formule complexe est donc parfaitement possible ; ce n’est pas une tautologie.

l) (p Ù q) ® (q Ú r) p Ù q q Ú r p q q r X

Quand on cherche à rendre fausse la formule, on arrive nécessairement à une contradiction. La formule est donc tautologique.

m) (p ® q) Ù Øq

(p ® q) Øq p q q

Aucune des hypothèses ne mène à une contradiction. Rendre fausse la formule complexe est donc parfaitement possible ; ce n’est pas une tautologie.

n) (p Ú Øp) Ù (q Ú Øq)

p Ú Øp q Ú Øq p q Øp Øq p q X X

Les deux hypothèses mènent à une contradiction. Rendre fausse la formule complexe est donc impossible ; c’est une tautologie.

o) p ® (q ® p) p q ® p q p X

Quand on cherche à rendre fausse la formule, on arrive à une contradiction ; la formule est donc tautologique.

p) [(p ® q) Ù (Øp ® r)] ® (q Ú r) (p ® q) Ù (Øp ® r) q Ú r p ® q Øp ® r q r

q p X

r Øp X p X

Quand on cherche à rendre fausse la formule, on arrive à une contradiction ; la formule est donc tautologique.

q) p Ú (q Ù Ør) p q Ù Ør

q Ør r

Aucune des deux hypothèses ne mène à une contradiction. Rendre fausse la formule complexe est donc parfaitement possible ; ce n’est pas une tautologie.

r) La résolution est complexe (deux ramifications au moins) ; tous les cas ne mènent pas à des contradictions ; la formule n’est donc pas une tautologie.

56 (exercice 22) (p«q) Ú (q«r) Ú (p«r)

p«q (q«r) Ú (p«r) q«r p«r

p q q p

q r r q q r r q X X

p r r p p r r p X X X X

Toutes les hypothèses mènent à une contradiction. C’est une tautologie.

57. (exercice 23) exemple : tautologie 1 p Ú Øp p Øp p X

On ne peut rendre fausse la formule ; elle est donc tautologique.

58. (exercice 24)a) (p ® q) ® [(q ®m) ® (p ® m)] p ® q (q ®m) ® (p ® m) q ®m p ® m p m

q p X

m q X XToutes les hypothèses mènent à une contradiction. C’est une tautologie.

b) p ® (Øp ® q) p Øp ® q Øp q p XQuand on cherche à rendre fausse la formule, on arrive à une contradiction ; la formule est donc tautologique.

c) (Øp ® p) ® p Øp ® p p

p Øp X p XToutes les hypothèses mènent à une contradiction. C’est une tautologie.

59. (exercice 25)a) (q ® r) ® [(p Ú q) ® (p Ú r)] q ® r (p Ú q) ® (p Ú r) p Ú q p Ú r p r

p q X

r q X X Toutes les hypothèses mènent à une contradiction. C’est une tautologie.

b) [(p ® q) ® p] ® p (p ® q) ® p p

p p ® q X p q X

Toutes les hypothèses mènent à une contradiction. C’est une tautologie.

60. (exercice 26)a) p ® (q ® p) p q ® p q p X

Quand on cherche à rendre fausse la formule, on arrive à une contradiction ; la formule est donc tautologique.

b) [p ® (p®q)] ® (p®q) p ® (p®q) p®q p q

p®q p X

q p X X

Toutes les hypothèses mènent à une contradiction. C’est une tautologie.

c) (p®q) ® {(p®r) ® [p® (qÙr)]} p®q (p®r) ® [p® (qÙr)] p®r p® (qÙr) p qÙr

q p X

r p X

q r X X

Toutes les hypothèses mènent à une contradiction. C’est une tautologie.

d) (p®q) ® {(q®r) ® [(pÚq) ® r]} p®q (q®r) ® [(pÚq) ® r] q®r (pÚq) ® r pÚq r

r q X

q p X

p q X X

Toutes les hypothèses mènent à une contradiction. C’est une tautologie.

e) (p®q) ® [(q®p) ® (p«q)] p®q (q®p) ® (p«q) q®p p«q

p q q p

q p p q X X X X

Toutes les hypothèses mènent à une contradiction. Rendre fausse la formule complexe est donc impossible ; c’est une tautologie.

61. (exercice 27)a) [p ® (qÚr)] « [(p®q) Ú (p®r)]

p ® (qÚr) (p®q) Ú (p®r) (p®q) Ú (p®r) p ® (qÚr) p®q p qÚr p®r q p q r p r

p®q p®r qÚr p X

q p r p q r X X X X X XToutes les hypothèses mènent à une contradiction. Rendre fausse la formule complexe est donc impossible ; c’est une tautologie.

b) La résolution est complexe (deux ramifications au moins), mais tous les cas mènent à des contradictions ; la formule est donc une tautologie.

c) [p ® (q®r)] « Ø[pÙqÙr]

p ® (q®r) Ø[pÙqÙr] Ø[pÙqÙr] p ® (q®r) pÙqÙr pÙqÙr p p q®r q q r r

p qÙr q®r p X X

q r Xr q XCertaines hypothèses ne mènent pas à une contradiction. Rendre fausse la formule complexe est donc parfaitement possible ; ce n’est pas une tautologie.

62. (exercice 28)exemple : (p®q) « (Øp®Øq)

p®q Øp®Øq Øp®Øq p®q Øp Øq p q q p

Øq Øp q p q p

Certains cas ne mènent pas à une contradiction. Rendre fausse la formule complexe est donc parfaitement possible ; ce n’est pas une tautologie.

63. (exercice 29)[p « (q«r)] ® [r« (q®p)]

La résolution est complexe (deux ramifications au moins) ; tous les cas ne mènent pas à des contradictions ; la formule n’est donc pas une tautologie. L’implication ne vaut pas.

[r« (q®p)] ® [p « (q«r)]La résolution est complexe (deux ramifications au moins) ; tous les cas ne mènent pas à des contradictions ; la formule n’est donc pas une tautologie. L’implication ne vaut pas.

64. (exercice 30){[p « (qÙr)] ® (pÙq)} ® {[p ® (qÙr)] « (pÙq)}

La résolution est complexe (deux ramifications au moins) ; tous les cas ne mènent pas à des contradictions ; la formule n’est donc pas une tautologie. L’implication ne vaut pas dans ce sens.

{[p ® (qÙr)] « (pÙq)} ® {[p « (qÙr)] ® (pÙq)} [p ® (qÙr)] « (pÙq) [p « (qÙr)] ® (pÙq) p « (qÙr) pÙq

p q

p qÙr p qÙr qÙr p qÙr p X q r X p ® (qÙr) p ® (qÙr) p ® (qÙr) p ® (qÙr) pÙq pÙq pÙq pÙq p p qÙr p p qÙr q X q X

X XToutes les hypothèses mènent à une contradiction. Rendre fausse la formule complexe est donc impossible ; c’est une tautologie. L’implication vaut dans ce sens.

65. (exercice 31)exemple : (p®q) ® [(pÚq) ® r]

p®q (pÚq) ® r pÚq r

p q

q p q p X

Certains cas ne mènent pas à une contradiction. Rendre fausse la formule complexe est donc parfaitement possible ; ce n’est pas une tautologie. L’implication ne vaut pas.

66. (exercice 32)exemple : [Øe Ú (dÙs)] ® [(dÚs) ®e]

Øe Ú (dÙs) (dÚs) ®e dÚs e

d s

Øe dÙs Øe dÙs e d e d

s s

Quand on cherche à rendre fausse la formule, on n’arrive pas nécessairement à une contradiction ; la formule n’est donc pas tautologique. L’implication ne vaut pas.

67. (exercice 33)(m®¬j) ® ¬(mÙj)

(m®¬j) ¬(mÙj)mÙj m j

¬j m j X X

Quand on cherche à rendre fausse la formule, on arrive à une contradiction ; la formule est donc tautologique. L’implication vaut.

¬(mÙj) ® (m®¬j) ¬(mÙj) (m®¬j)

mÙj m ¬j j

m j X X

Quand on cherche à rendre fausse la formule, on arrive à une contradiction ; la formule est donc tautologique. L’implication vaut dans ce sens-là également.68. (exercice 44) [( p ® q ) Ù p ] ® q

[( p ® q ) Ù p ] q p ® q

p

q p X X

Quand on cherche à rendre fausse la formule, on arrive à une contradiction ; la formule est donc tautologique. Le raisonnement est valide.

69. (exercice 45) [(Øp®Øq) Ù q] ®p (Øp®Øq) Ù q p

Øp®Øq q

Øq Øp q p X X

Quand on cherche à rendre fausse la formule, on arrive à une contradiction ; la formule est donc tautologique. Le raisonnement est valide.

70. (exercice 46) [(p®Øq) Ù (r®q)] ® (p®Ør) (p®Øq) Ù (r®q) p®Ør

p®Øqr®q p Ør r

Øq p q X

q r X X

Quand on cherche à rendre fausse la formule, on arrive à une contradiction ; la formule est donc tautologique. Le raisonnement est valide.71. (exercice 47) [(Øp®Øq) Ù (p®Øq)] ®Øq

(Øp®Øq) Ù (p®Øq) Øq Øp®Øq p®Øq

q

Øq Øp q p X

Øq pq X

X

Quand on cherche à rendre fausse la formule, on arrive à une contradiction ; la formule est donc tautologique. Le raisonnement est valide.

72. (exercice 48) {[(ØpÚØq)® r] ÙpÙq)} ®Ør [(ØpÚØq)® r] ÙpÙq) Ør

[(ØpÚØq)® r]pÙq p q r

r ØpÚØq ØpØq

p q

Quand on cherche à rendre fausse la formule, on n’arrive pas nécessairement à une contradiction ; la formule n’est donc pas tautologique. Le raisonnement n’est pas valide.

73. (exercice 49) {[(p®q) Ùq®r] ÙØr} ® Øp

[(p®q) Ùq®r] ÙØr Øp [(p®q) Ùq®r]

Ørp®qq®r

r p

q pX

r q X X

Quand on cherche à rendre fausse la formule, on arrive à une contradiction ; la formule est donc tautologique. Le raisonnement est valide.

74. (exercice 50) {(¬p®q) Ù [p® (¬rÙs)]} ®(qÚs) (¬p®q) Ù [p® (¬rÙs)] qÚs

¬p®q p® (¬rÙs)

qs

q ¬p X p

¬rÙs p ¬r X s X

Quand on cherche à rendre fausse la formule, on arrive à une contradiction ; la formule est donc tautologique. Le raisonnement est valide.

75. (exercice 51) {[p ® (qÚr)] Ù (q®¬s) Ù [(sÙr) ® t] Ùt®¬u) ÙuÙs)} ®¬p

{[p ® (qÚr)] Ù (q®¬s) Ù [(sÙr) ® t] Ùt®¬u) ÙuÙs)} ¬p p ® (qÚr) q®¬s (sÙr) ® t

t®¬u uÙs u s p

¬s q s X

qÚr p X

q r X

t sÙr

¬u t s r u X X X

X

Quand on cherche à rendre fausse la formule, on arrive à une contradiction; la formule est donc tautologique. Le raisonnement est valide.

76. (exercice 52) [(pÚq) ® r] ® (p®r)

(pÚq) ® r p®r p r

r pÚq X p

q X

Quand on cherche à rendre fausse la formule, on arrive à une contradiction ; la formule est donc tautologique. Le raisonnement est valide.

77. (exercice 53) [(qÙr) ®p] ® {[(rÙ¬p) ® ¬q] Ú [q ® (rÙp)]}[(qÙr) ®p] [(rÙ¬p) ® ¬q] Ú [q ® (rÙp)]

(rÙ¬p) ® ¬qq ® (rÙp)

rÙ¬p ¬q r ¬p

p q q rÙp

p qÙr X

q r X X

Quand on cherche à rendre fausse la formule, on arrive à une contradiction ; la formule est donc tautologique. Le raisonnement est valide.

78. (exercice 54)a) [Ø(pÙr)] ®Ør

Ø(pÙr) Ør r pÙr

p r X

Quand on cherche à rendre fausse la formule, on n’arrive pas nécessairement à une contradiction ; la formule n’est donc pas tautologique. Le raisonnement n’est pas valide.

b) {[(pÙq) ® r] Ùp}®r [(pÙq) ® r] Ùp r

(pÙq) ® r p

r pÙq X

p q X

Quand on cherche à rendre fausse la formule, on n’arrive pas nécessairement à une contradiction ; la formule n’est donc pas tautologique. Le raisonnement n’est pas valide.Notons que le cas qui rend la formule fausse (p vrai, q faux, r faux) est bien celui que nous avions identifié avec les tableaux de vérité.

c) {[p ® (qÚr)] ÙØq }®Øp[p ® (qÚr)] ÙØq Øp

p ® (qÚr)Øq q p

qÚr pX

q r X

Quand on cherche à rendre fausse la formule, on n’arrive pas nécessairement à une contradiction ; la formule n’est donc pas tautologique. Le raisonnement n’est pas valide.

d) {[p ® (qÚr)] ÙØ(qÙr)}®Øp [p ® (qÚr)] ÙØ(qÙr) Øp

p ® (qÚr) Ø(qÙr)

qÙr p

qÚr pX

q r

q r q rX X

Rendre fausse la formule complexe est possible ; ce n’est pas une tautologie. Le raisonnement n’est pas valide.

e) {[p ® (qÚr)] ÙØq}®(Ør®Øp)[p ® (qÚr)] ÙØq Ør®Øp

p ® (qÚr)Øq

q Ør Øp p

r

qÚr pX

q r X X

Quand on cherche à rendre fausse la formule, on arrive à une contradiction ; la formule est donc tautologique. Le raisonnement est valide.

f) {[(p®q) ® r] ÙØr}®Ø(ØpÚq)[(p®q) ® r] ÙØr Ø(ØpÚq)

(p®q) ® r Ør

r ØpÚq

r p®q p q

Øp q p X X

Quand on cherche à rendre fausse la formule, on arrive à une contradiction ; la formule est donc tautologique. Le raisonnement est valide.

g) [(p®q) Ùr®q)]®q (p®q) Ùr®q) q

p®qr®q

q p X

q r X

Quand on cherche à rendre fausse la formule, on n’arrive pas nécessairement à une contradiction ; la formule n’est donc pas tautologique. Le raisonnement n’est pas valide.

h) {[(pÙr) ® q] Ù [q ® (pÙq)]}®(p«q)[(pÙr) ® q] Ù [q ® (pÙq)] p«q

(pÙr) ® q q ® (pÙq)

p q q p

q pÙr pÙq q X p X

q X

p r X

Un des cas ne mène pas à une contradiction; il est donc possible de rendre fausse la formule ; elle n’est pas tautologique. Le raisonnement n’est pas valide.

i) {Ø[(pÚq)ÙØr] ÙØp} ® (Øq®Ør) Ø[(pÚq)ÙØr] ÙØp Øq®Ør

Ø[(pÚq)ÙØr] Øp

(pÚq)ÙØrp

Øq Ørq

r

pÚq Ør p r q

Quand on cherche à rendre fausse la formule, on n’arrive pas nécessairement à une contradiction ; la formule n’est donc pas tautologique. Le raisonnement n’est pas valide.

j) {[p ÙØ(ØqÙØr)] Ù (p®Ør)} ® q[p ÙØ(ØqÙØr)] Ù (p®Ør) q

p ÙØ(ØqÙØr) p®Ør

p Ø(ØqÙØr)

ØqÙØr

Øq Ør q r X

Ør pr X

XQuand on cherche à rendre fausse la formule, on arrive à une contradiction ; la formule est donc tautologique. Le raisonnement est valide.

k) [(p®q) Ù (r®s) Ù (ØqÙr)] ® Ø(s®p) (p®q) Ù (r®s) Ù (ØqÙr) Ø(s®p)

p®q r®s ØqÙr

Øq r

q s®p

q p X

p s X

s rX X

Quand on cherche à rendre fausse la formule, on arrive à une contradiction ; la formule est donc tautologique. Le raisonnement est valide.79. a) [(pÚr) Ù (p®q) Ù (r«s)] ® (qÚs)

(pÚr) Ù (p®q) Ù (r«s) qÚspÚr

p®q r«s

qs

q p X

p r X

r r s s X X

Quand on cherche à rendre fausse la formule, on arrive à une contradiction ; la formule est donc tautologique. Le raisonnement est valide.

b) [(pÙØs) Ù (qÚØr) Ù (s®r)] ® [(p®q) Ú (r®s)](pÙØs) Ù (qÚØr) Ù (s®r) (p®q) Ú (r®s)

pÙØs qÚØr s®r

p Øs

sp®qr®s

p q r s

q Ør X r

X

Quand on cherche à rendre fausse la formule, on arrive à une contradiction ; la formule est donc tautologique. Le raisonnement est valide.

c) {[(pÚr) ® (qÙs)] Ù Øs Ù (Øp«q)} ® (qÚr)[(pÚr) ® (qÙs)] Ù Øs Ù (Øp«q)qÚr

(pÚr) ® (qÙs)

Øs Øp«q

sqr

qÙs pÚr q p s r X

Øp Øp q q X p

X

Quand on cherche à rendre fausse la formule, on arrive à une contradiction ; la formule est donc tautologique. Le raisonnement est valide.

d) [p Ù q Ù (ØqÚs) Ù (r®Øp)] ® Ø(s®r) p Ù q Ù (ØqÚs) Ù (r®Øp) Ø(s®r)

p q

ØqÚs r®Øp

s®r

Øq s q X

r s X

Øp r p X X

Quand on cherche à rendre fausse la formule, on arrive à une contradiction ; la formule est donc tautologique. Le raisonnement est valide.