Exercices ouverts - Tel - Hal-SHS

N° d’ordre 231-2013 Année 2013

THESE DE L’UNIVERSITE DE LYON

Délivrée par

L’UNIVERSITE CLAUDE BERNARD LYON 1

ECOLE DOCTORALE 485 EPIC - Éducation, Psychologie, Information et Communication.

DIPLOME DE DOCTORAT

(arrêté du 7 août 2006)

Spécialité : Didactique des mathématiques

Soutenue publiquement le 25 novembre 2013

par

Marie-Line GARDES

Étude de processus de recherche de chercheurs, élèves et étudiants,

engagés dans la recherche d’un problème non résolu en théorie des

nombres

ANNEXES

Sous la direction de Viviane DURAND-GUERRIER et Laurent HABSIEGER.

JURY

Véronique BATTIE Examinatrice

Christophe DELAUNAY Rapporteur

Viviane DURAND-GUERRIER Co-directrice

Laurent HABSIEGER Co-directeur

François HENNECART Examinateur

Christian MERCAT Examinateur

Cécile OUVRIER-BUFFET Examinatrice

Denis TANGUAY Rapporteur

Michel MIZONY Invité

Table des matières des annexes

Annexe A : Aides écrites utilisées dans la pré-expérimentation 1 5

Annexe B : Programme du Parcours Excellence 8

B1 : Chapitre sur les différents raisonnements 8

B2 : Exercices ouverts 11

B3 : Exercices avec la calculatrice TI-89 15

B4 : Problèmes 1 et 2 17

B5 : Diaporama sur l’introduction des nombres complexes 20

B6 : Diaporama sur la quadrature du cercle 28

B7 : Énoncé du concours général 34

B8 : Exemple d’un sujet de devoir à la maison 38

Annexe C : Productions du groupe 1 41

C1 : Affiches du groupe 1 41

C2 : Preuves du groupe 1 43

C3 : Cahier de bord de l’élève E11 47



C6 : Schématisation de la méthode d’élimination des cas 108

Annexe D : Productions du groupe 2 111

D1 : Affiches du groupe 2 111

D2 : Preuves du groupe 2 113

D3 : Utilisation du logiciel DERIVE par le groupe 2 117

D4 : Cahier de bord de l’élève E21 120




Annexe E : Productions du groupe 3 174

E1 : Affiches du groupe 3 174

E2 : Preuves du groupe 3 176

E3 : Analyse de la mise en œuvre d’un raisonnement par récurrence 179

E4 : Cahier de bord de l’élève E31 180



E7 : Schématisation de la méthode de décomposition 227

Annexe F : Questionnaire et réponses des élèves 230

F1 : Questionnaire 230

F2 : Réponses des élèves du groupe 1 235



Annexe G : énonce des exercices de l’institutionnalisation 279

Annexe H : Extraits du diaporama de la séance de synthèse 283

H1 : Algorithme construit à partir de la méthode du groupe 1 283

H2 : Algorithme construit à partir de la méthode du groupe 3 284

H3 : Travaux issus d’un atelier MATh.en.JEANS 286

H4 : Présentation des résultats actuels et démonstration du résultat 1 293

H5 : Illustration des résultats actuels 298

Annexe A : Aides écrites utilisées dans lapré-expérimentation 1

4

Pour un groupe qui n’arrive pas à démarrer au bout de 15 min :

� Aide 1 : Faire des essais pour différentes valeurs de n.

Pour un groupe qui n’arrive pas à trouver de solutions particulières pour n > 4 :

� Aide 2 : pourquoi la résolution devient plus difficile pour n > 4 ?

� Aide 3 : 4

n pour n < 4 peut être décomposée en 1 +

p

q. Pourquoi

4

n pour n > 4

ne peut pas être décomposée en 1 + p

q ? Peut-on trouver une décomposition

semblable ?

Pour un groupe qui utilise l’objet algébrique et la réduction au même dénominateur :

�Aide 4 : à quelles conditions deux fractions sont-elles égales ?

�Aide 5 : si 4

n = k

xy + xz + yz

xyz, k est-il quelconque ?

Pour un groupe qui peine à trouver la « bonne » valeur de x :

�Aide 6 : pourquoi quand x est trop petit, la décomposition est impossible ?

exemple : 4

11 – 1

2 = –

3

22.

Pour un groupe qui a trouvé la valeur de x mais pas les valeurs de y et z :

�Aide 7 : comment décomposer 1

n en somme de 2 fractions unitaires ?

Exemples : décomposer 1

10, 1

7, 1

23.

5

Pour faire trouver la valeur de x (généralisation) :

� Aide 8 : 4

n =

1

x +

1

y +

1

z entraîne

4

n >

1

x. Pourquoi ? Que peut-on alors dire sur

x ?

Pour un groupe qui énonce le résultat 4

kn =

1

kx +

1

ky +

1

kz et ne pense pas à réduire l’ensemble

des nombres n aux nombres premiers ou aux nombres impairs :

Aide 9 : avec ce résultat, que peut-on en déduire sur les nombres n ?

Pour faire avancer un groupe sur une généralisation (congruences ou non) :

Aide 10 : quelles relations peut-on faire entre les dénominateurs des fractions

suivantes : 4

7 = 1

2 +

1

14 et

4

11 = 1

3 +

1

33 ?

Pour faire avancer un groupe s’il est sur la piste des congruences :

� Aide 11 : si n = 4k – 1 alors n ≡ a mod b. Trouver a et b.

Pour un groupe qui tente la résolution par récurrence :

�Aide 12 : essayer la relation sur les premières fractions.

6

Annexe B : Programme du ParcoursExcellence

7

Annexe B1 : Chapitre sur les différents raison-nements

8

DIFFERENTS TYPES DE RAISONNEMENT

I) Raisonnement par contraposée

Au lieu de prouver l’implication « si p alors q », on peut prouver de manière équivalente

l’implication « si non q alors non p ».

On utilise la contraposée quand il est plus facile d’exprimer la proposition non q que la

proposition p.

Exemple : Montrer que si 10D + u n’est pas divisible par 19, alors D + 2u

n’est pas congru à 10D + u modulo 19

II) Raisonnement par condition nécessaire et suffisante

On utilise ce raisonnement quand on veut prouver une équivalence, quand on résout une

équation, quand on cherche un ensemble de points, …

Cela se ramène à prouver ceci pour un objet mathématique X :

X vérifie la propriété A X vérifie la propriété B

La démarche est alors la suivante :

- on suppose que X vérifie la propriété A et après diverses étapes on aboutit à la

propriété B.

Cette partie est le raisonnement par condition nécessaire ou encore l’analyse du

problème.

- en sens inverse, on suppose que X vérifie la propriété B et après diverses étapes on

aboutit à la propriété A.

Exemple : Montrer que : 10D + u est divisible par 19 si et seulement si D + 2u

est divisible par 19.

III) Raisonnement par l’absurde

Pour prouver l’implication « si p alors q », on montre qu’avoir p et non q simultanément

aboutit à une contradiction.

On utilise très souvent ce raisonnement pour montrer la non existence d’objets

mathématiques. En effet, la proposition non q s’exprime comme l’existence de ces dits objets.

Exemple : Montrer que 2 est irrationnel.

9

IV) Raisonnement par disjonction de cas.

Au lieu de prouver l’implication « si p alors q » on montre plusieurs implications « si p1 alors

q », « si p2 alors q», « si p3 alors q », … où la proposition p se décline en la réunion des cas

p1, p2, p3, …

Exemple : Montrer que si a2 + b2 est divisible par 7 alors a et b sont divisibles par

7.

V) Raisonnement par récurrence

Ce raisonnement réside dans la propriété suivante des entiers naturels :

Si A est un ensemble de IN tel que n0 y appartienne et tel que si n appartient à A alors n + 1 y

appartient, alors A est l’ensemble des entiers supérieurs ou égaux à n0.

Ce raisonnement comporte trois étapes :

- initialisation : on vérifie que la propriété à démontrer est vraie au rang

initial

- hérédité : on montre que si la propriété est vraie à un rang, alors elle est

vraie au rang suivant

- conclusion.

Exemple : Montrer par récurrence que 4n+1 + 6n + 5 est divisible par 9 pour tout

entier naturel n.

10

Annexe B2 : Exercices ouverts

11

Exercices ouverts

Exercice 1

Les « bêtes à mauvais caractère » sont des animaux qui ne peuvent pas cohabiter que sous une

condition : être éloignés les uns des autres d’au moins huit mètres.

Peut-on faire cohabiter 10 « bêtes à mauvais caractère » dans un enclos rectangulaire de 18

mètres de longueur et de 15 mètres de largeur ?

Exercice 2

A quoi est égal le nombre E 282

3

5290

328

2

3

5290

33 3 ?

(la réponse doit être justifiée sans l’aide de la calculatrice)

Exercice 3

Quel est le rayon du cercle inscrit dans le secteur angulaire de rayon R et d’angle 60° ?

Exercice 4 Soient x et y deux réels tels que x + y = 1 et x2

+ y2 = 2.

Calculer x3 + y3

.

Soient x, y, et z trois réels tels que x + y + z = 1, x2 + y2

+ z2 = 2 et x3

+ y3 + z3

= 3.

Calculer x4 + y4

+ z4.

Exercice 5

Le nombre 35 peut s'écrire de plusieurs façons comme la somme d'entiers positifs.

Par exemple 35 = 11 + 7 + 13 + 4 = 9 + 19 + 4 + 3 =......

Trouver parmi ces sommes, celle(s) dont le produit est maximum.

Exercice 6 Les soixante-quatre nombres 1,2,3,…, 64 sont placés dans les cases d’un échiquier de 88

cases (un nombre dans chaque case).

Montrer qu’on peut trouver deux cases voisines dont les nombres diffèrent au moins de 5 (des

cases sont voisines si elles ont un côté en commun).

Exercice 7

Comparer les nombres :

A 3 14 2 3

B 7 46 10 46 2 21 3 46

(la réponse doit être justifiée sans l’aide de la calculatrice)

12

Exercice 8

Expliquer le paradoxe suivant :

on a : (n + 1)2 = n

2 + 2 n + 1 , d’où (n + 1)

2 – (2 n + 1) = n

2

Retranchons n (2 n+1) aux deux membres, nous obtenons :

(n + 1)2 – (n + 1)(2 n + 1) = n

2 – n (2 n + 1)

Ajoutons 1

4 (2 n + 1)

2 aux deux membres :

(n + 1)2 – (n + 1)(2 n + 1) +

1

4 (2 n + 1)

2 = n

2 – n (2 n + 1) +

1

4 (2 n + 1)

2

c’est-à-dire :

(n + 1) –

1

2 (2 n+1)

2

=

n –

1

2 (2 n + 1)

2

L’extraction de racine carrée donne :

n + 1 – 1

2 (2 n + 1) = n –

1

2 (2 n + 1).

Ainsi n + 1 = n et ensuite 1 = 0.

Exercice 9 On considère un tableau de 88 cases.

Peut-on le recouvrir en utilisant 13 figures de type 1 et 3 figures de type 2 ?

Exercice 10 Sur la figure ci-contre, on a indiqué les aires de quatre

triangles. Calculer l’aire x du cinquième triangle.

Exercice 11 Déterminer le nombre maximum de points d’intersection entre deux cercles et un rectangle.

Exercice 12 Peut-on recouvrir une table carrée de 90 cm de côté avec deux nappes circulaires de 1 m de

diamètre ?

Exercice 13

Résoudre l'équation (x2 – 3x – 2)

2 – 3 (x

2 – 3x – 2) – 2 – x = 0

13

Exercice 14

Une marchande des quatre saisons utilise une balance légèrement faussée : les deux bras de

leviers ne sont pas exactement de la même longueur. N'étant ni malhonnête, ni masochiste,

elle pèse deux fois la marchandise : une fois dans le plateau de droite, une fois dans le plateau

de gauche. Le poids facturé au client est la moyenne des deux poids obtenus. cette solution

est-elle équitable ou quelqu'un est-il encore volé ?

Exercice 15

On considère les fonctions f et g définies par f (x) = x + 1 et g (x) = x

x + 1.

Déterminer un montage en série n’utilisant que les fonctions f et g (peut-être plusieurs fois)

partant du nombre 1 et aboutissant à la fraction 8991

1998.

Exercice 16

Une piscine est alimentée par trois vannes.

Si les vannes 1 et 2 coulent ensemble, la piscine est remplie en 1 jour et 16 heures.

Si les vannes 2 et 3 coulent ensemble, la piscine est remplie en 30 heures.

Si les vannes 1 et 3 coulent ensemble, la piscine est remplie en 2 jours et demi.

Combien de temps chaque vanne, coulant seule, mettrait-elle pour remplir la piscine ?

Exercice 17

Expliquer le paradoxe suivant : "tout triangle est isocèle".

Soit O l'intersection de la médiatrice

de [BC] et de la bissectrice de BAC

.

O est sur la médiatrice de [BC], on a

donc OB=OC.

Dans les triangles rectangles AIO et

AJO, on peut écrire :

sin(IAO

)=OI

OA et

sin (OAJ

)=OJ

OA.

Or les angles IAO

et OAJ

sont égaux, de même pour leur sinus.

Ainsi OI=OJ.

En appliquant le théorème de

Pythagore dans les triangles OBI et OCJ, on obtient :

OB2 = IB

2 + OJ

2 et OC

2 = JC

2 + OJ

2.

Or OB=OC car O appartient à la médiatrice de [BC]. Donc IB2 = JC

2 et IB=JC.

Par suite AB = AI + IB = AJ + JC = AC.

Le triangle est isocèle en A.

A

B

O

IJ

C

14

Annexe B3 : Exercices avec la calculatrice TI-89

15

Exercices - Calculatrice TI-89

Exercice 25

1. Déterminer les dérivées des six fonctions.

a) f (x) = 8x4 – 2x

3 + 7x –

5

4 b) f (x) = 2x

3 + 15 –

5

x

c) f (x) = 4x

2 + 1

x + 3 d) f (x) = x

2 3 – x

g) f (x) = (5x – 2)5 h) f (x) =

7x2 – 2x – 1

2x2 + x + 1

2. Résoudre les deux équations suivantes :

a) x2 = x b) (x + 1)(x + 5) = (3x – 4)(4 – x)

3. Résoudre les deux inéquations :

a) 2x + 1

3x + 2 1 d)

3(x + 2)

x + 1 >

2x – 5

x + 1

4. Réduire au même dénominateur l’expression suivante :

A = 5

x + 1 –

5x + 7

(x – 2)(x + 1)

Exercice 26

Soit f la fonction définie sur IR – {1 ; – 1 } par f (x) = 5x

3 + 96x – 115

x2 – 1

.

1. Déterminer des réels a, b, c et d tels que pour tout x IR – {1 ; – 1}, on ait :

f (x) = a x + b + c

x + 1 +

d

x – 1.

2. Etudier les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.

3. Montrer que la courbe représentative (cf) de la fonction f admet trois asymptotes dont on

donnera une équation.

4. Dresser le tableau de variations de la fonction f.

5. Déterminer la position relative de (cf) et de son asymptote oblique.

6. Tracer la courbe (cf) dans un repère orthogonal (O ;

i ,

j ) d’unité 1 cm sur l’axe des

abscisses et 1

100 cm sur l’axe des ordonnées.

16

Annexe B4 : Problèmes 1 et 2

17

Problème 1

L’équation du troisième degré dans IR

On considère l’équation (E) : ax

3 + bx

2 + cx + d = 0.

1. On considère le polynôme réel P(X) = aX 3 + bX

2 + cX + d

(a, b, c et d réels et a 0).

On pose X = x + h.

a) Ecrire le polynôme Q (x) = P (X).

b) Montrer que l’on peut déterminer h tel que Q (x) = a (x3 + p x + q). On précisera les

coefficients p et q en fonction de a, b, c et d.

2. a) Etudier les variations sur IR de la fonction f définie par f (x) = x3 + px + q.

b) On suppose que p < 0.

Prouver que la fonction f admet deux extrema de signes contraires si et seulement si

4p3 + 27q

2 < 0.

c) En déduire, suivant le signe de D = 4p3 + 27q

2 le nombre de solutions de l‘équation (E) :

x3 + px + q = 0.

3. On suppose dans cette question que D = 4p3 + 27q

2 > 0.

a) Montrer que x3 + b

3 + c

3 – 3 x b c est factorisable par x + b + c.

b) Montrer que l’on peut déterminer des réels b et c tels que q = b

3 + c

3

p = – 3 b c.

c) Exprimer la seule solution de l’équation (E) en fonction de p et q.

(C’est la formule de Cardan).

4. On suppose dans cette question que D = 4p3 + 27q

2 < 0.

On pose x = r cos .

a) Ecrire f (x) en fonction de r et .

b) Montrer que : cos3 =

1

4 cos 3 +

3

4 cos .

(on rappelle que cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b).

c) Peut-on déterminer r pour que f (x) soit de la forme cos 3 + q ( en fonction de p et

q) ?

d) A quelle condition f (x) a-t-il des solutions ? Cette condition est-elle satisfaite ?

e) On note Arccos la fonction réciproque de la fonction cosinus sur [0 ; ]. Déterminer alors les trois solutions de (E) en les écrivant en fonction de p et q.

5. Soit l’équation x3 = 15x + 4.

a) Combien a-t-elle de solutions ?

b) Peut-on appliquer la formule de Cardan ?

Pourtant Bombelli (1530) l’a fait et il a donné naissance aux nombres complexes.

Comment a-t-il fait ?

18

Problème n°2

Exercices avec paramètre

Exercice 1Pour m ∈R, on considère l’équation (Em) : (m −2)x2 +2(m −1)x +m +1 = 0.Discuter, suivant les valeurs de m, l’existence et le signe des solutions de cette équation.

Exercice 2Même question avec l’équation (Fm) : e2x −4mex +2(m +1) = 0.

Exercice 3Le plan P est rapporté à un repère

(O,

−→i ,

−→j).

A tout réel m, on associe la droite (Dm) d’équation : (1−m2)x +2my −2(2m +1) = 0.

1. Soit M0 un point de coordonnées (x0, y0).Discuter, suivant la position du point M0 dans le plan, le nombre de droites (Dm) passantpar M0.Préciser l’ensemble des points M0 du plan par lesquels il ne passe qu’une seule droite(Dm).

2. Soit −→u un vecteur non nul de coordonnées (a,b).Déterminer les droites (Dm) dont la direction est celle du vecteur −→u . Discuter.

3. Démontrer que toutes les droites (Dm) sont tangentes à un même cercle (C ) dont on dé-terminera le centre et le rayon.Toute tangente à (C ) est-elle une droite (Dm) ?

4. Déterminer l’ensemble des points M0 par lesquels il passe deux droites (Dm) orthogo-nales.

119

Annexe B5 : Diaporama sur l’introduction desnombres complexes

20

Annexe B5 : Diaporama sur la quadrature ducercle

28

Annexe B7 : Énoncé du Concours Général deMathématiques - Session 2011

34

Annexe B8 : Exemple d’un sujet de devoir à lamaison

38

Pour le vendredi 23/09/11

Exercice 1

Pour quelles valeurs du nombre entier p, le nombre 7

p – 3 est-il entier ?

Même question avec 2p + 1

p – 3 , puis avec

p2 – 6p + 16

p – 3 .

Exercice 2

Etudier la véracité des propositions suivantes :

a) tout nombre premier est pair

b) si a n’est pas premier, alors a + 1 est premier

c) si a est premier, alors a + 1 n’est pas premier

d) si a et b sont premiers alors la somme a + b n’est pas un nombre premier

e) si a et b sont premiers alors la somme a + b est un nombre premier

f) si a est premier supérieur ou égal à 3, alors a + 1 n’est pas premier

Exercice 3

Montrer qu’en ajoutant au produit de trois entiers impairs consécutifs quatre fois le nombre

moyen, on obtient un cube parfait.

Exercice 4

Déterminer la base dans laquelle : 45 179 = 7691 .

Exercice 5

Le dernier jour d’un certain mois de la Première Guerre mondiale, un obus éclate et met au

jour le squelette d’un capitaine. En multipliant l’âge du capitaine au moment de sa mort par le

nombre d’années écoulées entre sa mort et la date d’éclatement de l’obus, par le jour

remarquable du mois d’éclatement de l’obus, par la longueur (exprimée en pieds) de la

pertuisane trouvée à côté du squelette, on trouve 1 886 276.

Qui est le capitaine ?

Exercice 6*

Dans un repère, on considère 5 points tous distincts à coordonnées entières. Montrer qu’il

existe au moins deux de ces points formant un segment dont le milieu soit aussi un point à

coordonnées entières.

Exercice 7*

Deux amis Alain et Bernard se retrouvent après un grand nombre d’années.

Alain : « Le produit des âges de mes trois filles est 36 et leur somme est le numéro de cette

maison.

- Cela ne suffit pas ! dit Bernard.

- Ah oui, l’aînée aime le chocolat, ajoute Alain.

- Alors je connais les âges de tes filles. » conclut Alain.

Déterminer l’âge des filles d’Alain.

Exercice 8**

Quelle est la plus grande puissance de 2 qui divise 100 ! (factorielle 100)

(on rappelle que 100 ! = 1 2 3 … 99 100).

Devoir à la maison n°1

39

Annexe C : Productions du groupe 1

40

Annexe C1 : Affiches du groupe 1

41

Annexe C2 : Preuves du groupe 1

44

Annexe C3 : Cahier de bord de l’élève E11

47


61


90

Annexe C6 : Schématisation de la méthode d’éli-mination des cas

108

Mét

ho

de

fin

ale

d’é

limin

atio

n d

e ca

s d

u g

rou

pe

1

Equ

atio

n d

’Erd

ös-

Stra

us

: 4/

n =

1/a

+ 1

/b +

1/c

Si n

est

pai

r al

ors

4/n

= 1

/n +

1/n

+ 2

/n.

Si n

est

imp

air

alo

rs

4/n

= 1

/y +

x/z

av

ec y

= E

(n/4

) +

1,

x et

z e

nti

ers

nat

ure

ls

Si n

≡ 3

[4

] al

ors

x =

1 e

t 4

/n =

1/y

+ 1

/2z

+ 1/

2z.

Ex

emp

le :

4/2

3 =

1/6

+ 1

/13

8 =

1/3

6+

1/2

76

+ 1

/27

6.

Si n

≡ 1

[4]

alo

rs x

=3

.

Si z

≡ 0

, 3 [

6]

(z =

3k)

alo

rs 4

/n =

1/y

+ 1

/2k

+ 1

/2k.

Si z

≡ 2

, 4 [

6]

(z =

2k)

alo

rs 4

/n =

1/y

+ 1

/2k

+ 1

/k.

Exem

ple

: 4

/29

= 1

/8 +

3/2

32

= 1

/8 +

1/2

32

+ 1

/11

6.

Si z

≡ 1

, 5 [

6]

R

ech

erch

e d

’un

e au

tre

mét

ho

de

109

Annexe D : Productions du groupe 2

110

Annexe D1 : Affiches du groupe 2

111

Annexe D2 : Preuves du groupe 2

114

Annexe D3 : Utilisation du logiciel DERIVE parle groupe 2

117

Utilisation du logiciel DERIVE par le groupe 2

118

Annexe D4 : Cahier de bord de l’élève E21

120


131


143


163

Annexe E : Productions du groupe 3

173

Annexe E1 : Affiches du groupe 3

174

Annexe E2 : Preuves du groupe 3

177

Annexe E3 : Analyse de la mise en œuvre d’un raison-nement par récurrence

A partir de trois extraits de conversations au sein du groupe, nous analysons les difficultéséprouvées par les élèves dans l’élaboration d’une preuve par récurrence de leur conjecture pour lesnombres pairs.

La conjecture est la suivante : Si n est pair alors 4n = 1

n + 1n + 2

n . La propriété de récurrence estdéfinie par (Pn), 4

n = 1n + 1

n + 1n2avec n pair. Après avoir effectué l’initialisation à n = 2, les élèves

essaient alors de prouver l’hérédité.

Extrait 1 : L’élève E32 veut distinguer la variable n et le numéro du rang. Il propose d’utiliser npour définir la propriété (c’est-à-dire écrire Pn) et d’utiliser k pour le rang. Les deux autres élèvesne comprennent pas pour quelle raison il veut effectuer cette distinction.

E31 : On suppose la propriété vraie au rang n. E32 : Au rang k. E31 : Pourquoi au rangk ? E32 : Bah si tu as déjà un n de dans tu ne vas pas réutiliser un autre n, tu mets k.[...] E31 : On suppose la propriété vraie au rang n. E32 : Pourquoi n, il faut mettre ksinon tu vas t’embrouiller. E33 : Mais non.

Extrait 2 : En essayant d’écrire la propriété d’hérédité, l’élève E32 comprend qu’elle est à démontrerentre le rang n et le rang n+ 2, soit entre Pn et Pn+2. L’élève E33 propose à nouveau de distinguern et le rang. Nous faisons l’hypothèse qu’il veut effectuer cette distinction pour écrire l’hérédité sans« sauter de rang ». En effet, en posant n = 2k, l’hérédité s’écrit entre le rang k et le rang k + 1.

E31 : Et on veut démontrer que la propriété est vraie au rang n + 1. E33 : Oui. E31 :Bah pour le coup non pas n + 1 [...] n + 2 j’ai envie de dire presque. E32 : Oui c’estn+2, non parce que c’est le rang donc c’est n+1. E33 : Non c’est n+2 sinon il devientimpair. E32 : C’est le rang n et c’est le nombre n, là tu parles du rang donc c’est le rangn+1, c’est le rang 2 donc c’est 2× 4 (rires). Mets k, mets au rang k et au rang 4(k+1)[Il semble que pour lui, n = 4k à ce moment du raisonnement]. E33 : La propriété metsplutôt (Pk) et laisse, on va travailler avec n [...] n correspond à 15 000 trucs ça ne vapas là. E32 : C’est pour ça là, mets (Pk). E33 : Il faut remplacer dans l’expression aussi.E32 : Non non l’expression c’est le nombre n, n = 4k + 2 ou 4k. E31 : Il faut peut êtrequ’on le mette que n = 4k non ? E32 : Non n = 2k.

Extrait 3 : Les élèves se perdent dans les notations introduites et dans ce qu’elles représentent. Ilsne sont pas d’accord sur la valeur de n+1 en fonction de k. L’élève E32 calcule n+1 en remplaçantn par 2k (ce qui donne n+ 1 = 2k+ 1) alors que les élèves E31 et E33 calculent n+ 1 par itérationde k (ce qui donne n+ 1 = 2(k + 1) = 2k + 2).

E31 : Donc on veut montrer que 4n+1 est égal à 1

n . E32 : Mais non. E33 : Mais si çamarche, ça fait 2k+ 2. E31 : Oui et 2k+ 2 c’est un pair. E32 : n est égal à quoi ? E31 :2k. E32 : Et voilà, on cherche quel rang ? k+1 donc ça fait 2(k+1), et bien ce n’est pasn+1 [...] Non ce n’est pas n+1 c’est 2× (k+1). E31 : Mais c’est la même chose puisquen = 2k [...] on s’est trompé si on met n = 2k, ça il faut y laisser en n et ça on doit touty mettre en k. [...] E32 : Là mets pas 2k, tu mets 2 fois une lettre, n’importe laquelle [...]Donc là on cherche au rang k + 1. E31 : Ah bah non moi c’est n+ 1 du coup. E32 : Jene comprends plus rien. Oui donc là c’est 4

2(k+1) car c’est k que tu remplaces par k+1.E31 : Et ça, ça correspond bien à n + 1. E32 : Bah non, n + 2. E31 : n + 1 = 2k + 2c’est un nombre pair aussi [...] si tu as n+1, q devient q+1 et quand tu fais (q+1)× 2ça fait 2q + 2. E32 : Mais non là t’as n + 1 donc là ça fait n + 1 = 2q + 1 parce quen = 2q donc là il faut mettre plus 2, c’est n+2 obligatoirement. E31 : Oui mais depuisquand on saute des rangs comme ça ? E32 : Mais on ne saute pas de rang, on veut quece soit pair. [...] E32 : En fait on se perd dans les rangs. E31 : Déjà je ne comprends pas

179

pourquoi il y a des k et des n. E32 : Parce que n c’est le nombre, k c’est le rang. [...]E33 : On s’emmêle dans les variables, enfin dans les rangs. [...] On est obligé que ce soitn+ 2 sinon il devient impair. En fait on fait une récurrence sur deux rangs.

Pour lever ces difficultés liées aux notations utilisées et à l’écriture de la propriété d’hérédité entrele rang n et le rang n + 2, l’élève E33 propose de changer de notations et d’utiliser une suitearithmétique. Il définit la suite un par un = 2n + 2 et la relation de récurrence un+1 = un + 2. Lapropriété Pn devient 4

un= 1

un+ 1

un+ 2

unet la propriété d’hérédité s’écrit entre le rang n et le rang

n + 1. Il s’agit donc de démontrer Pn+1, c’est-à-dire 4un+1

= 1un+1

+ 1un+1

+ 2un+1

, qui est égale à4

un+2 = 1un+2 + 1

un+2 + 2un+2 . Cependant une difficulté subsiste : pour démontrer Pn+1 à partir de

Pn, il leur manque une relation 1 entre 4un

et 4un+1

. L’élève E31 repère cette difficulté :

E31 : Ah mais il faudrait une relation entre les 2 non ? Bah ça c’est ce qu’on veutdémontrer ok ? On part de ça. [...] Il faut qu’on ait une autre relation [...] Il faudraitqu’on ait quelque chose de la suite [...] On a toujours deux informations et on part d’uneet avec l’autre, on arrive à

Lorsqu’il tente de démontré l’hérédité, il vérifie en fait que le membre de droite (la somme des troisfractions unitaires) est égal à 4

un+2 . Il obtient alors4

un+2 = 4un+2 .

E31 : J’ai l’impression qu’on a rien démontré du tout.

Les différents extraits de conversation entre les élèves montrent que les difficultés éprouvées par les

élèves sont liées à l’élaboration d’un raisonnement par récurrence dont l’hérédité s’effectue entre la

propriété au rang n et la propriété au rang n+ 2. Comme nous l’avons mentionné dans l’analyse a

priori, le raisonnement par récurrence est une connaissance disponible et souvent mobilisée par les

élèves de terminale scientifique mais sa mise en œuvre dans l’étude de la conjecture d’Erdös-Straus

est complexe pour eux dans la mesure où ils n’ont jamais rencontré de problème où l’hérédité ne

s’effectue pas entre deux rangs consécutifs. Notons également que cette preuve est loin d’être la plus

performante pour démontrer ce résultat.

1. Cette relation est 4un+2 − 4

un= −8

un(un+2) .

180

Annexe E4 : Cahier de bord de l’élève E31

181


198


207

Annexe E7 : Schématisation de la méthode dedécomposition

227

Mét

ho

de

fin

ale

de

déc

om

po

siti

on

du

gro

up

e 3

Equ

atio

n d

’Erd

ös-

Stra

us

: 4

/n =

1/a

+ 1

/b +

1/c

Si n

est

pai

r al

ors

4/n

= 1

/n +

1/n

+ 2

/n.

Si n

est

imp

air

alo

rs

4/n

= 1

/t +

j/m

av

ec t

= E

(n/4

) +

1,

j et

m e

nti

ers

nat

ure

ls

Si j=

1 e

t m

en

tier

nat

ure

l alo

rs 4

/n =

1/t

+ 1

/2m

+ 1

/2m

. Ex

emp

le :

4/1

1 =

1/3

+ 1

/33

=1

/3 +

1/6

6 +

1/6

6.

Si j=

3 e

t m

en

tier

nat

ure

l

Si m

est

pai

r al

ors

4/n

= 1

/t +

1/m

+ 2

/m.

Exem

ple

: 4

/13

= 1

/4 +

3/5

2 =

1/4

+ 1

/52

+ 2

/52

.

Si m

est

imp

air

et c

on

gru

à 2

mo

du

lo 3

. So

ien

t d

le

fac

teu

r p

rem

ier

de

m c

on

gru

à 2

mo

du

lo 3

et

e l’e

nti

er n

atu

rel t

el q

ue

3e

= d

+1. A

lors

4

/n =

1/t

+ 1

/m +

1/m

e +

d/m

e.

Exem

ple

: 4

/41

= 1

/11

+ 3

/45

1 =

1/1

1 +

1/1

80

4 +

11

/18

04

.

Si m

est

imp

air

et c

on

gru

à 1

mo

du

lo 3

La v

ale

ur

de

t es

t in

crém

enté

de

1 e

t

4/n

= 1

/(t+

1)

+ 7

/m =

1/(

t+1

) +

2/m

+ 5

/m

ou

4

/n =

1/(

t+1

) +

7/m

= 1

/(t+

1)

+ 1

/m +

6/m

Ex

emp

le :

4/7

3 =

1/2

0 +

7/1

46

0 =

1/2

0 +

2/1

46

0 +

5/1

46

0.

La v

aleu

r d

e t

est

incr

émen

té d

’un

e va

leu

r k.

Ex

emp

le :

4/2

41

= 1

/63

+

11

/15

18

3 =

1/6

3 +

1/3

03

66

+

21

/30

36

6

228

Annexe F : Questionnaire et réponses desélèves

229

Annexe F1 : Questionnaire

230

Questionnaire sur la recherche de la conjecture d'Erdös-Straus

Mai 2012

1 Sur l'activité de recherche mathématique

Arsac et Mante dans Les pratiques du problème ouvert expliquent que

Le but de la pratique du problème ouvert est [...] de placer les élèves dans la situation la plus typiquede l'activité de recherche mathématique, c'est à dire a�ronter un problème dont l'énoncé les place, toutesproportions gardées, dans la situation du chercheur en mathématiques. (p.13)

1. Selon vous, quel serait le travail d'un chercheur sur la conjecture d'Erdös-Straus ?

2. Pensez-vous que votre travail s'en est approché ? Si oui par quels côtés, si non pourquoi ?

3. Si vous aviez à communiquer à une autre classe cette expérience de recherche de la conjecture d'Erdös-Straus,que mettriez-vous en avant ?

2 Sur le fait que ce soit un problème non résolu

Au début des séances, nous vous avions dit que vous alliez travailler sur un problème non résolu.

1. Avez-vous gardé en tête que ce problème était non résolu ou l'avez-vous oublié ?

231

2. Si vous n'avez pas oublié, à quels moments de votre recherche avez-vous pensé que c'était un problème nonrésolu ?

3. Comment cela a-t-il in�ué sur votre recherche ?

3 Sur l'organisation des séances

Indiquez un indice de pertinence concernant l'organisation des di�érents temps de recherche.

1. Lors de la première séance, vous avez disposé de 45 min de recherche individuelle. Que pensez-vous de cettephase de travail individuel ?

Non pertinent Peu pertinent Pertinent Très pertinent

Commentaires :

2. Les séances collectives de recherche ont duré 2 heures. Que pensez-vous de ces séances de travail ?


Commentaires :

3. Vous avez fait une présentation de votre travail aux autres groupes après 2 séances de travail. Que pensez-vousde ce temps de mise en commun ?


Commentaires :

4. Lors de la séance 4, vous avez rendu deux productions : une a�che et un compte-rendu des démonstrationsde vos résultats. Que pensez-vous de ce travail demandé ?


Commentaires :

232

5. Lors de la séance 6, nous avons fait un débat sur les di�érentes productions des groupes. Que pensez-vous dece débat ?Non pertinent Peu pertinent Pertinent Très pertinent

Commentaires :

6. Que pensez-vous de la répartition temps de travail individuel / temps de travail collectif ?


Commentaires :

7. Que pensez-vous de la répartition temps de travail en groupe / temps de mise en commun ?


Commentaires :

8. Que pensez-vous de la durée globale de ce travail ?


Commentaires :

4 Sur votre travail

1. Quelles connaissances mathématiques avez-vous apprises, revues ou consolidées durant ce travail de recherche ?

2. Qu'avez-vous appris sur l'activité de recherche en mathématiques ?

3. Plus généralement, pour vous, quels sont les apports de cette expérience ?

233

4. Que vous manque-t-il, selon vous, pour avancer dans votre recherche ?

5. Avez-vous pensé au problème entre les séances ? Si oui, pour quelles raisons ?

6. Avez-vous eu envie d'aller sur Internet ? Si oui, pour quelles raisons ?

7. Cette expérience aura-t-elle une in�uence sur votre manière de faire des mathématiques ?

234

Annexe F2 : Réponses des élèves du groupe 1

235


248


265

Annexe G : Énoncé des exercices del’institutionnalisation

278

Séance de synthèse sur la recherche de la conjecture d'Erdös-Straus

Mai 2012

1 Au sujet de l'algorithmique

Le groupe 3 a émis l'idée de faire un algorithme mais ne l'a pas fait. Nous proposons donc de travailler sur cet

aspect de la recherche grâce au logiciel ALGOBOX.

Question 1

Lire et décrire ce que fait l'algorithme suivant :

1 VARIABLES

2 n EST_DU_TYPE NOMBRE

3 x EST_DU_TYPE NOMBRE

4 y EST_DU_TYPE NOMBRE

5 z EST_DU_TYPE NOMBRE

6 DEBUT_ALGORITHME

7 LIRE n

8 SI (n%2==0) ALORS

9 DEBUT_SI

10 x PREND_LA_VALEUR n

11 y PREND_LA_VALEUR n

12 z PREND_LA_VALEUR n/2

13 AFFICHER x

14 AFFICHER y

15 AFFICHER z

16 FIN_SI

17 SINON

18 DEBUT_SINON

19 AFFICHER "pas de décomposition avec cette formule pour n= "

20 AFFICHER n

21 FIN_SINON

22 FIN_ALGORITHME

Question 2

A partir de vos recherches, essayez de construire un algorithme avec Algobox permettant de décomposer d'autres

nombres. Vous préciserez alors les nombres restants, c'est à dire ceux dont vous n'avez pas de décomposition.

2 Au sujet d'un résultat général

Vous avez montré que si l'équation admet des solutions pour n alors elle en admet pour tout multiple de n. Ainsi,grâce au théorème de décomposition en facteurs premiers, la recherche de la conjecture d'Erdös-Straus peut se

réduire au cas n = p premier. Dans cet exercice, nous allons montrer que le problème peut être encore réduit en

éliminant d'autres cas.

279

Question 1

1. Le groupe 1 a écrit que pour n ≡ 3[4], il existait une décomposition. Prouver cette conjecture.

2. Pour quels nombres, modulo 4, la conjecture reste-t-elle à prouver ?

Question 2

A l'aide des résultats du groupe 1, montrer que :

1. Pour n ≡ 0[6] et n ≡ 3[6], la conjecture est véri�ée.

2. Pour n ≡ 2[6] et n ≡ 4[6], la conjecture est véri�ée.

Reste donc les cas n ≡ 1[6] et n ≡ 5[6] à traiter.

On va montrer que les cas n ≡ 1[4] et n ≡ 1[6] ouis n ≡ 1[4] et n ≡ 5[6] reviennent respectivement aux cas n ≡ 1[12]et n ≡ 5[12].

Question 3

Proposition. Si m et n sont premiers entre eux alors la condition

{a ≡ b[n]

a ≡ b[m]

est équivalente à la condition a ≡ b[mn].

1. En utilisant le théorème de Gauss, démontrer cette proposition.

Soit m et n premiers entre eux. On cherche toutes les solutions entières de

{x ≡ c[m]

x ≡ d[n]

On considère u et v tels que um+ vn = 1.

Théorème. On obtient une solution en prenant x = cum+dvn. Toutes les solutions sont alors de la forme x+kmn.

1. Véri�er que x = cum+ dvn est une solution.

2. Véri�er que pour tout k entier, x+ kmn est une solution.

3. Si x et y sont deux solutions, montrer, en utilisant la proposition ci-dessus que y = x+ kmn.

Question 4

1. Montrer que le cas n ≡ 1[6] et n ≡ 1[4] revient au cas n ≡ 1[12].

2. Montrer que le cas n ≡ 5[6] et n ≡ 1[4] revient au cas n ≡ 5[12].

Question 5

Le groupe 3 a travaillé de manière semblable mais en utilisant d'autres congruences. Leur recherche montre qu'ils

ont une décomposition pour tout n non congru à 1 modulo 8 et 1 modulo 3.

Montrer, grâce au théorème ci-dessus que cela revient à n ≡ 1[24].

280

Question 6

Un résultat général, énoncé la première fois par Oblath en 1950 et utilisé dans de nombreuses recherches sur la

conjecture est le suivant : pour tout n non congrus à 1, 112, 132, 172, 192, 232 modulo 840, la conjecture est véri�ée.

840 = 24× 5× 7.Modulo 24, nous avons montré qu'il ne restait qu'une classe de nombres pour lesquels la conjecture reste à prouver :

n ≡ 1[24].Modulo 5, on peut trouver des solutions pour n = 2 et n = 3. Il reste donc deux classes pour lesquelles la conjecture

reste à prouver : n ≡ 1[5] et n ≡ 4[5].Modulo 7, on peut trouver des solutions pour n = 3, n = 5 et n = 6. Il reste trois classes pour lesquelles la conjecturereste à prouver : n ≡ 1[7], n ≡ 2[7] et n ≡ 4[7].Grâce à ces informations et à l'aide du théorème des restes chinois, démontrer le résultat modulo 840.

281

Annexe H : Extraits du diaporama de laséance de synthèse

282

Annexe H1 : Algorithme construit à partir dela méthode du groupe 1

Décomposition de 4n avec la méthode du groupe 1 pour tout n différent de 1 et 17 modulo 24.

(ie. n congru à 1 mod 4 et 1 mod 6 et n congru à 1 mod 4 et 5 mod 6).

1 VARIABLES2 n EST_DU_TYPE NOMBRE3 x EST_DU_TYPE NOMBRE4 y EST_DU_TYPE NOMBRE5 z EST_DU_TYPE NOMBRE6 a EST_DU_TYPE NOMBRE7 DEBUT_ALGORITHME8 LIRE n9 SI (n%2==0) ALORS10 DEBUT_SI11 x PREND_LA_VALEUR n12 y PREND_LA_VALEUR n13 z PREND_LA_VALEUR n/214 AFFICHER n15 AFFICHER x16 AFFICHER y17 AFFICHER z18 FIN_SI19 SINON20 DEBUT_SINON21 AFFICHER "pas de décomposition possible avec la formule 1 pour n = "22 AFFICHER n23 FIN_SINON24 SI (n%4==3) ALORS25 DEBUT_SI26 x PREND_LA_VALEUR floor(n/4)+127 y PREND_LA_VALEUR 2*n*x28 z PREND_LA_VALEUR 2*n*x29 AFFICHER n30 AFFICHER x31 AFFICHER y32 AFFICHER z33 FIN_SI34 SINON35 DEBUT_SINON36 AFFICHER "pas de décomposition possible avec la formule 2 pour n = "37 AFFICHER n38 FIN_SINON39 SI (n%4==1) ALORS40 DEBUT_SI41 x PREND_LA_VALEUR floor(n/4)+142 a PREND_LA_VALEUR (3*n*x)/(4*x-n)43 SI (a%6==0 OU a%6==3) ALORS44 DEBUT_SI45 y PREND_LA_VALEUR 1/((4*x-n)/(2*n*x))

283

46 z PREND_LA_VALEUR 1/((4*x-n)/(2*n*x))47 FIN_SI48 SI (a%6==2 OU a%6==4) ALORS49 DEBUT_SI50 y PREND_LA_VALEUR 1/((4*x-n)/(3*n*x))51 z PREND_LA_VALEUR 1/(2*(4*x-n)/(3*n*x))52 FIN_SI53 SI (a%6==1 OU a%6==5) ALORS54 DEBUT_SI55 AFFICHER "pas de décomposition générale"56 FIN_SI57 AFFICHER n58 AFFICHER x59 AFFICHER y60 AFFICHER z61 FIN_SI62 FIN_ALGORITHME

284

Annexe H2 : Algorithme construit à partir dela méthode du groupe 3

Décomposition de 4n avec la méthode du groupe 3 pour tout n différent de 1 modulo 24 (reste

donc 73, 193, 241)

1 VARIABLES2 n EST_DU_TYPE NOMBRE3 x EST_DU_TYPE NOMBRE4 y EST_DU_TYPE NOMBRE5 z EST_DU_TYPE NOMBRE6 DEBUT_ALGORITHME7 LIRE n8 SI (n%2==0) ALORS9 DEBUT_SI10 x PREND_LA_VALEUR n11 y PREND_LA_VALEUR n12 z PREND_LA_VALEUR n/213 AFFICHER n14 AFFICHER x15 AFFICHER y16 AFFICHER z17 FIN_SI18 SINON19 DEBUT_SINON20 AFFICHER "pas de décomposition possible avec la formule 1 pour n = "21 AFFICHER n22 FIN_SINON23 SI (n%4==3) ALORS24 DEBUT_SI25 x PREND_LA_VALEUR floor(n/4)+126 y PREND_LA_VALEUR 2*n*x27 z PREND_LA_VALEUR 2*n*x28 AFFICHER n29 AFFICHER x30 AFFICHER y31 AFFICHER z32 FIN_SI33 SINON34 DEBUT_SINON35 AFFICHER "pas de décomposition possible avec la formule 2 pour n = "36 AFFICHER n37 FIN_SINON38 SI (n%8==5) ALORS39 DEBUT_SI40 x PREND_LA_VALEUR floor(n/4)+141 y PREND_LA_VALEUR x*n42 z PREND_LA_VALEUR (x*n)/243 AFFICHER n44 AFFICHER x45 AFFICHER y

285

46 AFFICHER z47 FIN_SI48 SINON49 DEBUT_SINON50 AFFICHER "pas de décomposition possible avec la formule 3 pour n = "51 AFFICHER n52 FIN_SINON53 SI (n%8==1 ET n%5==2) ALORS54 DEBUT_SI55 x PREND_LA_VALEUR floor(n/4)+156 y PREND_LA_VALEUR 2*x*n57 z PREND_LA_VALEUR (2*x*n)/558 AFFICHER n59 AFFICHER x60 AFFICHER y61 AFFICHER z62 FIN_SI63 SINON64 DEBUT_SINON65 AFFICHER "pas de décomposition possible avec la formule 4 pour n = "66 AFFICHER n67 FIN_SINON68 SI (n%8==1 ET n%3==2) ALORS69 DEBUT_SI70 x PREND_LA_VALEUR floor(n/4)+171 y PREND_LA_VALEUR (x*n*(x+1))/372 z PREND_LA_VALEUR (x*n*(x+1))/(3*x)73 AFFICHER n74 AFFICHER x75 AFFICHER y76 AFFICHER z77 FIN_SI78 SINON79 DEBUT_SINON80 AFFICHER "pas de décomposition possible avec la formule 5 pour n = "81 AFFICHER n82 FIN_SINON83 FIN_ALGORITHME

286

Annexe H3 : Travaux issus d’un atelier MAThen JEANS

287

fractions égyptiennespar Club Maths en jeans, Classe de Seconde,Lycée Montaigne, Bordeaux (33)

enseignant : Pierre Grihon

chercheur : Laurent Habsieger

— fractions égyptiennesConjectures concernant 4/n = 1/x + 1/y + 1/z (Erdös) et5/n = 1/x + 1/y + 1/z

Les fractions dites “égyptiennes” sont cellesde la forme 1/n, n étant un entier naturel.

Il existe de nombreux problèmes portant surces fractions. Parmi eux, deux conjectures :

Celle d’Erdös et Straus selon laquelle l’équa-tion :

4/n = 1/x + 1/y + 1/z

peut être résolue avec des entiers naturelspour tout n > 1

Cel le de Sierpinski , simi laire, concernantl’équation :

5/n = 1/x + 1/y + 1/z

C’est sur ces deux conjectures que nousavons travaillé.

remarques

• Si a/b = 1/x + 1/y + 1/z, alors

a/(kb) = 1/(kx) + 1/(ky) + 1/(kz).

Ce qui revient à dire que si l’on sait décom-poser la fraction a/b pour un nombre b donné,on sai t aussi la décomposer pour tout lesmutiples de b.

• a/b se décompose di rectement si unesomme de trois multiples de b vaut a.

Par exemple, dans la fraction a/b, si i, j et ksont des multiples de b et que i + j + k = aalors :

a/b = 1/(b/i) + 1/(b/j) + 1/(b/k).

• Si a/b = 1/x + 1/w, alors

a/b = 1/x + 1/(2w) + 1/(2w).

page 35

“MATh.en.JEANS” en 1997

288

conjecture 4/n = 1/x + 1/y + 1/z :

Nous avons utilisé la méthode suivante: oncherche x tel que 1/x soit la fraction inférieurela plus proche de 4/n. Si n n’est pas multiplede 4, cette f raction est 1/[E(n/4)+1]. Puis on retranche 1/x de 4/n pour obtenir une fraction a/b. Enfin, on cherche y et z tels que : a/b = 1/y + 1/z. Comme il n’existe pasde solution générale à l’équation, nous avonsdistingué plusieurs cas :

[I] n = 4 m[II] n = 4 m + 1[III] n = 4 m + 2[IV] n = 4 m + 3

[I] n = 4 m

La fraction 4/(4 m) est égale à 1/m. On peutdonc la décomposer ainsi :

4/(4 m) = 1/(3 m) + 1/(3 m) + 1/(3 m).

[II] n = 4 m + 1

On procède alors comme on l’a indiqué :

x = E((4 m+ 1)/4) + 1 = m + 1, d’où 1/x = 1/(m+ 1).

4 / ( 4m+1) – 1/(m+1) = 3/[ (4m+ 1 ) (m+1)] ;cette fraction ne peut se décomposer pourtout m.

[III] n = 4 m + 2

Ce nombre est multiple de 2 :

4 m + 2 = 2 (2 m+ 1).

Comme on l ’ a indiqué, i l suff it de savoirdécomposer 4/2 pour pouvoir égalementdécomposer 4/(4 m + 2). 4/2 se décomposeainsi : 4/2 = 1/1 + 1/2 + 1/2. Donc :

4/(4m+2) = 1/(2m+1) + 1/(4m+2) + 1/(4m+2).

[IV] n = 4 m + 3

4/(4 m + 3) – 1/(m+1) = 1/[(4m+ 3 ) (m+ 1 ) ] .D’où : 4/(4m+3) = 1/(m+1)+1/[2(4m+3)(m+1)]

+1/[2(4m+3)(m+1)].

Il reste donc le cas : n = 4 m+ 1

Distinguons deux cas :

[A] m = 2 p ou n = 8 p + 1 [B] m= 2 p + 1 ou n = 8 p + 9

[A] m= 2 p

4/(8p+1) – 1/(2p+1) = 3/[(2 p + 1)(8 p + 1)] ;cette fraction ne peut se décomposer pourtout p.

[B] m= 2 p + 1

4/(8p+5) – 1/(2p+2) = 3/[(8 p + 5)(2 p + 2)].D’où : 4/(8p+5) = 1/(2p+2) + 1/[2(8p+5)(2p+2)]

+ 1/[2(8p+5)(2p+2)].

Il reste donc le cas m = 2 p. Distinguons cettefois trois cas :

p = 3 q ou n = 24 q + 1 p = 3 q + 1 ou n = 24 q + 9 p = 3 q + 2 ou n = 24 q + 17

p = 3 q

4 / ( 2 4q+1) – 1/(6q+1) = 3/[(24q+ 1 ) ( 6q+1)] ;cette fraction ne peut se décomposer pourtout q.

p = 3 q + 1

4 / ( 2 4q+9) – 1/(6q+3) = 3/[(24q+ 9 ) ( 6q+3)] = 1/[(24q+9)(2q+1)].

D’où : 4/(24q+9) = 1/(6q+3) + 1/[2(24q+9)(2q+1)]

+ 1/[2(24q+9)(2q+1)].

p = 3 q + 2

4/(24q+17) – 1/(6q+6) = 7/[(24q+17)(6q+6)].

D’où : 4/(24q+17) = 1/(6q+6) + 1/[(24q+17)(q+1)]

+ 1/[(24q+17)(6q+6)].

Nous nous sommes arrêtés au cas n = 24q+1.

[NDLR : les élèves fournissent aussi un pro-gramme en Pascal, que nous ne reproduisonspas, et qui cherche une décomposi ti oncomme indiqué en fin d’article, p.38.]

page 36


289

conjecture 5/n = 1/x + 1/y + 1/z :

Nous utiliserons la même méthode que pourla décomposition de 4/n. Ici , cinq cas sontdistingués :

[I] n = 5 m [IV] n = 5m + 3 [II] n = 5m+ 1 [V] n = 5m+ 4 [III] n = 5m+ 2

[I] n = 5 m

La fraction 5/(5 m) est égale à 1/m. On peutdonc la décomposer ainsi :

5/(5 m) = 1/(3 m) + 1/(3 m) + 1/(3 m).

[II] n = 5 m+ 1

5/(5 m + 1) – 1/(m + 1) = 4/[(5m+1)(m+1)] ;cette fraction ne peut se décomposer pourtout m.

[III] n = 5 m + 2

5/(5 m + 2) – 1/(m+1) = 3/[(5 m + 2)(m+1)].D’où : 5/(5 m+ 2) = 1/(m+ 1) + 1/[(5m+2)(m+1)]

+ 1/[(5m+2)(m+1)/2].

[ N D L R : (5m+ 2 ) (m+1) est toujours pair carsoi t m est pair, et 5m+2 aussi , soi t m e s timpair et m+1 est pair ; donc (5m+2)(m+1)/2est bien un entier.]

[IV] n = 5 m+ 3

5/(5 m + 3) – 1/(m+1) = 2/[(5 m + 3)(m+1)].D’où : 5/(5 m+ 3) = 1/(m+ 1) + 1/[(5m+3)(m+1)]

+ 1/[(5m+3)(m+1)].

[V] n = 5 m + 4

5/(5 m + 4) – 1/(m+1) = 1/[(5 m + 4)(m+1)].D’où : 5/(5 m+ 4) = 1/(m+ 1) + 1/[2(5m+4)(m+1)]

+ 1/[2(5m+4)(m+1)].

Il reste donc le cas n = 5 m + 1. A nouveau,deux cas :

[A] m = 2 p ou n = 10 p + 1 [B] m = 2 p + 1 ou n = 10 p + 6

[A] m = 2 p

5 / ( 1 0p+1) – 1/(2p+1) = 4/[(10p+ 1 ) ( 2p+1)] ;cette fraction ne peut se décomposer pourtout p.

[B] m = 2 p + 1

5 / ( 1 0p+6) – 1/(2p+2) = 4/[(10p+ 6 ) ( 2p+ 2 ) ] .D’où : 5/(10p+6) = 1/(2p+2) + 1/[(10p+6)(p+1)]

+ 1/[(10p+6)(p+1)].

Il reste le cas m= 2 p. Trois cas enfin :

p = 3 q ou n = 30 q + 1 p = 3 q + 1 ou n = 30 q + 11 p = 3 q + 2 ou n = 30 q + 21

p = 3 q

5 / ( 3 0q+1) – 1/(6q+1) = 4/[(30q+ 1 ) ( 6q+1)] ;cette fraction ne peut se décomposer pourtout q.

p = 3 q + 1

5/(30q+11) – 1/(6q+3) = 4/[(30q+11)(6q+3)].D’où : 5/(30q+11) = 1/(6q+3) + 1/[(30q+11)(2q+1)]

+ 1/[(30q+11)(6q+3)].

p = 3 q + 2

5/(30q+21) – 1/(6q+5) = 4/[(30q+21)(6q+5)].D’où : 5/(30q+21) = 1/(6q+5) + 1/[(10q+7)(6q+5)]

+ 1/[(30q+21)(6q+5)].

Il reste donc le cas n = 30 q + 1, où nous noussommes arrêtés …

page 37


290

Pour certains cas non résolus, nous avons misau point une méthode manuelle qui permet deles décomposer. Elle consiste à transformer lafraction a/b que l’on veut décomposer en unef raction égale c/d de façon à ce qu’ unesomme de trois facteurs de d vaille c. Si l’onappelle d1, d2 et d3 les trois facteurs de d telsque d1 + d2 + d3 = c, on a alors :

a/b = c/d = 1/(d/d1) + 1/(d/d2) + 1/(d/d3).

Il faut que d soit supérieur à b. Pour mieuxrechercher les facteurs de d, on écrit d sous laforme d’un produit de facteurs premiers.

Exemple : 5/31.

5/31 = 40/248

248 = 31 × 2 × 2 × 2 (× 1) ; 31 + 2 × 2 × 2 + 1.

Donc ici, d1 = 31, d2 = 8, d3 =1. Alors : 5/31= 40/248 = 1/8 + 1/31 + 1/248.

Nous avons prouvé d’ autre part que si dansles équations :

5/(30q+1) = 1/x + 1/y + 1/z

4/(24q+1) = 1/x + 1/y + 1/z

x, y et z existent, alors il existe un nombre kentier tel que a k = c et b k = d.

Preuve : Considérons une fraction e/f irréduc-tible; toute fraction g/h égale à e/f est tellequ’il existe un nombre k entier tel que e k = get f k = h. Or, les f racti ons 5/(30q+1) et 4/(24q+1) sont irréductibles. Il existe doncbien un nombre k qui permet de passer de lafraction a/b, soit de la forme 5/(30q+1) soitde la forme 4/(24q+1), à la fraction c/d q u ipermet la décomposition.

[NDLR : les élèves fournissent un programme enPascal, que nous ne reproduisons pas, et qui, pour lesf ractions de la forme 4/(24q+1), essaye tous les kjusqu’à obtenir la fraction c/d qui permet la décompo-sition. Ce programme en une page, non vérifié, seraadressé sur toute demande faite à l’AMeJ, et accompa-gnée d’une enveloppe timbrée.]

page 38


voir page suivantedans cette versionpdf

291

t ype ent i er =l ongi nt ;Tabl e=ar r ay[ 1. . 10000] of ent i er ;

var m, N : ent i er ;x : ent i er ;p, q : ent i er ;D i v i : T a b l e ;u , v , n b d : e n t i e r ;

f unct i on pgcd ( a, b: ent i er ) : ent i er ;b e g i n

i f b=0t hen pgcd: =ael se pgcd: =pgcd( b, a mod b )

e n d ;

pr ocedur e si mpl i f i e( var a, b : ent i er ) ;var d: ent i er ;b e g i n

d : = p g c d ( a , b ) ;i f d>1

t h e nb e g i n

a: =a di v d; b: =a di v de n d

e n d ;

pr ocedur e cher che_di vi seur s( n: ent i er ; var T: t abl e; var Nb : ent i er ) ;{ Const r ui t l a t abl e des di vi seur s}

var i : ent i er ;b e g i n

n b : = 1 ;i : = 2 ;T [ n b ] : = 1 ;whi l e i * i <=n do

b e g i ni f n mod i =0

t h e nb e g i n

i n c ( n b ) ; T [ n b ] : = i ;i f i * i <>n

t h e nb e g i n

i nc( nb) ; T[ nb] : =n di v i ;e n d

e n d ;i n c ( i ) ;

e n de n d ;

f unct i on t r ouve( p: ent i er ; var V: t abl e; max: ent i er ; var t , z: ent i er ) : bool ean;{ r echer che 2 nombr es de somme p dans l a t abl e V}

var i , j : ent i er ;b e g i n

f or i : =1 t o max dof or j : =i +1 t o max do

i f V[ i ] +V[ j ] =pt h e n

b e g i nt : = V [ i ] ; z : = V [ j ] ; t r o u v e : = t r u e ; e x i t

e n d ;t r o u v e : = f a l s e

e n d ;b e g i n

c l r s c r ;wr i t el n( ‘ On cher che N de l a f or me N=24m+1’ ) ;wr i t e( ‘ Val eur de m ? ‘ ) ; r eadl n( m) ;N : = 2 4 * m + 1 ;x : = 6 * m + 1 ;whi l e x< ( maxl ongi nt di v n) dob e g i n

p : = 4 * x - N ;q : = x * N ;si mpl i f i e( p, q) ; { wr i t el n( p, ’ ‘ , q) ; }c h e r c h e _ d i v i s e u r s ( q , D i v i , n b d ) ;i f t r ouve( p, Di vi , nbd, u, v) t hen

b e g i nwr i t el n( ‘ 4/ ’ , N, ’ = 1/ ’ , x, ’ + 1/ ’ , q di v u, ’ + 1/ ’ , q di v v) ;

e n d ;x : = x + 1 ;

e n d ;e n d .

fractions égyptiennes, Lycée Montaigne, Bordeaux (33) — annexe — programme en Pascal


292

Annexe H4 : Présentation des résultats actuelset démonstration du résultat 1

293

La conjecture d'Erdös-Straus

Mai 2012

Présentation des résultats connus

Ernst Straus et Paul Erdös s'intéressent, en 1948, à la décomposition d'une fraction a/ben une somme de fractions unitaires et énoncent la conjecture selon laquelle :

Conjecture 1. Pour tout n au moins égal à 2, on peut trouver des entiers (non nécessai-rement distincts) tels que :

4

n=

1

x+

1

y+

1

z. (1)

Résultat 1. On sait déterminer des solutions de cette équation pour tous les nombres noncongrus à 1, 112, 132, 172, 192, 232 modulo 840 par une certaine méthode. Ces solutions sontpolynomiales en n.

Résultat 2. Pour les nombres congrus à 1, 112, 132, 172, 192, 232 modulo 840, AndrzejSchinzel a montré que ces solutions n'étaient pas polynomiales en n lorsque n parcourtl'une de ces progressions arithmétiques.

Résultat 3. La conjecture a été véri�ée pour tous les nombres inférieurs à 1014.

Actuellement ce sont donc des nombres dont tous les facteurs premiers sont congrus à1, 112, 132, 172, 192, 232 modulo 840 et plus grands que 1014 qui posent problème. Cepen-dant, il su�t de prouver la conjecture pour les nombres premiers congrus à 1, 112, 132, 172,192, 232 modulo 840 et plus grands que 1014 en vertu du résultat suivant et du théorèmede décomposition d'un entier en produit de facteurs premiers : si l'équation pour l'en-tier n admet une solution (x, y, z), alors l'équation pour l'entier kn admet une solution(kx, ky, kz).

Démonstration du résultat 1

Résultat 1. On sait déterminer les solutions de cette équation pour tous les nombres noncongrus à 1, 112, 132, 172, 192, 232 modulo 840 par une certaine méthode. Les solutions sontpolynomiales en n.

294

Démonstration.Pour démontrer ce résultat, deux remarques préliminaires sont nécessaires.

1. Première remarqueSi l'équation pour l'entier n admet une solution (x, y, z) alors l'équation pour l'entierkn admet une solution (kx, ky, kz). En e�et, il découle immédiatement de l'équationinitiale que :

4

kn=

1

kx+

1

ky+

1

kz.

En particulier, l'équation (1) admet les solutions particulières suivantes :� Pour n = 2, le triplet (x, y, z) = (1, 2, 2) est solution ;� Pour n = 3, le triplet (x, y, z) = (1, 6, 6) est solution ;� Pour n = 5, le triplet (x, y, z) = (2, 5, 10) est solution ;� Pour n = 7, le triplet (x, y, z) = (2, 21, 42) est solution.On en déduit donc que (1) admet des solutions pour certaines relations de congruencessur n :

n x y zn ≡ 0[2] n = 2k k 2k 2kn ≡ 0[3] n = 3k k 6k 6kn ≡ 0[5] n = 5k 2k 5k 10kn ≡ 0[7] n = 7k 2k 21k 42k

2. Deuxième remarqueSi n est un nombre premier > 3 alors x, y, z ne peuvent pas être tous les trois multiplesde n.En e�et, si x = k1n, y = k2n, z = k3n, ki ∈ N∗ pour i = 1, 2, 3 alors :

4

n=

1

x+

1

y+

1

z⇔ 4 =

1

k1+

1

k2+

1

k3≤ 3.

On obtient alors une contradiction.Donc soit un seul est multiple de n, par exemple x, soit deux sont multiples de n,par exemple y et z. Cela donne alors :

4

n=

1

nx+

1

y+

1

z, yz 6= 0 (≡ n) (2)

4

n=

1

x+

1

ny+

1

nz, x 6= 0 (≡ n) (3)

Or ces représentations existent sous certaines conditions :

(2) existe si et seulement si pour tout a, b, c, d entiers, (x, y, z) = (bcd, acd, abd) où(a, b) = (b, c) = (c, a) = 1, n ne divise pas abcd et a+ bn+ cn = 4abcd.

295

(3) existe si et seulement si pour tout a, b, c, d entiers, (x, y, z) = (bcd, abd, acd) où(a, b) = (b, c) = (c, a) = 1, n ne divise pas bcd et na+ b+ c = 4abcd.

Démonstration. Montrons (3) dans le sens direct. Soit (y, z) = a. Il existe alors bentier tel que y = ab. De même, il existe c entier tel que z = ac. Alors

4

n=

1

x+

1

ny+

1

nz⇔ 4

n=

nyz + xz + xy

nxyz

⇔ 4nxyz = n(nyz + xz + xy)

⇔ 4xyz = nyz + xy + xy

⇔ 4xabac = nabac+ xac+ xab

⇔ 4xabc = nabc+ cx+ bx.

Posons x = bcd, comme (b, c) = 1 = (b+ c, bc), n ne divise pas bcd.On a alors

4bcdabc = nabc+ cbcd+ bbcd⇔ 4dabc = na+ (c+ b)d.

On obtient donc 4abcd = na+ b+ c.On va donc chercher des solutions sous la forme (x, y, z) = (bcd, nabd, nacd). Commeon vient de le voir, l'équation initiale se transforme en :

na+ b+ c = 4abcd (4)

En choisissant convenablement a, b, c, d, cette dernière équation permet d'obtenir dessolutions pour certaines relations de congruences sur n :• si a = 2, b = 1, c = 1 alors n = 4d− 1.• si a = 1, b = 1, c = 1 alors n = 4d− 2.Les cas n ≡ 2, 3 mod 4 sont donc traités. Le cas n ≡ 0 mod 4 a également été traité.Reste donc le cas n ≡ 1 mod 4.• si a = 1, b = 1, c = 2 alors n ≡ −3 mod 8.Reste donc à considérer le cas n ≡ 1 mod 8.Ecrivons (4) sous la forme : na+ b = c(4abd− 1) = cq où q + 1 ≡ 0 mod 4ab.• prenons q = 3, a = b = 1, alors n ≡ −1 mod 3.Comme le cas n ≡ 0 mod 3 a été résolu plus haut, il reste le cas n ≡ 1 mod 3.• prenons q = 7, alors ab divise 2 et on obtient n ≡ −1,−2,−4 mod 7.Comme le cas n ≡ 0 mod 7 a été résolu plus haut, il reste le cas n ≡ 1, 2, 4 mod 7.• prenons q = 15 alors ab divise 4 et avec (a, b) = (1, 2) ou (2, 1), on obtient n+2 ≡ 0mod 15 et n+ 8 ≡ 0 mod 15.

296

Si n ≡ 1 mod 3, on a n ≡ −2,−3 mod 5. Les cas restants à traiter sont doncn ≡ 1, 4 mod 5.

On a donc trouvé des solutions à l'équation (1) pour :• n ≡ 0, 2[3]• n ≡ 0, 2, 3[5] (ce qui revient à n ≡ 7, 13[15])• n ≡ 0, 3, 5, 6[7]• n ≡ 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7[8] (n ≡ 0, 2, 4, 6[8] sont traités par le cas n ≡ 0[2] et n ≡ 3, 7[7]sont traités par le cas n ≡ 3[4])

Et on n'a pas de solution, pour cette méthode, pour n ≡ 1[8], n ≡ 1, 2, 4[7] etn ≡ 1, 4[15].

Récapitulatif :a b c d na+ b+ c = 4abcd x y z1 1 k 1 n ≡ 2[3] n = 2 + 3k k 3k-1 k(3k − 1)2 1 1 k n ≡ 3[4] n = 3 + 4k k 2k(4k − 1) 2k(4k − 1)2 1 2k − 1 1 n ≡ 3[7] n = 3 + 7k 2k − 1 2(7k − 4) 2(2k − 1)(7k − 4)1 2 k 1 n ≡ 5[7] n = 5 + 7k 2k 2(7k − 2) k(7k − 2)1 1 k 2 n ≡ 6[7] n = 6 + 7k 2k 2(7k − 1) 2k(7k − 1)1 1 2 k n ≡ 5[8] n = 5 + 8k 2k k(8k − 3) 2k(8k − 3)2 1 2k − 1 2 n ≡ 7[15] n = 7 + 15k 2(2k − 1) 4(15k − 8) (2k − 1)(15k − 8)1 2 k 2 n ≡ 13[15] n = 13 + 15k 4k 4(15k − 2) 2k(15k − 2)

Déterminons maintenant l'ensemble des nombres pour lesquels cette méthode ne per-met pas de trouver des solutions.D'après le théorème des restes chinois, il y a donc 6 classes de congruences (1×3×2)et on peut alors exhiber les nombres n modulo 840 pour lesquels on ne connait pasde solution :n ≡ 1[8] n ≡ 1[8]n ≡ 1[7] n ≡ 1[840] n ≡ 2[7] n ≡ 172[840]n ≡ 1[15] n ≡ 4[15]n ≡ 1[8] n ≡ 1[8]n ≡ 1[7] n ≡ 132[840] n ≡ 1[7] n ≡ 192[840]n ≡ 4[15] n ≡ 1[15]n ≡ 1[8] n ≡ 1[8]n ≡ 2[7] n ≡ 112[840] n ≡ 4[7] n ≡ 232[840]n ≡ 1[15] n ≡ 4[15]

Donc pour les n modulo 840 suivant, il n'y a pas de solutions déterminées par cetteméthode :

n ≡ 1, 112, 132, 172, 192, 232[840].

297

Annexe H5 : Illustration des résultats actuels

298

Illustration des résultats actuels

Résultat 1 : de nombreuses formules polynomiales.

Résultat 2 : pas de formules polynomiales générales pour ces progressions modulo 840.

2521 1[840] et 3361 1[840]

Décompositions obtenues avec la méthode x = E[n/4] + a :

4/2521 = 1/638 + 1/55462 + 1/804199. a = 5

4/3361 = 1/850 + 1/84025 + 1/571370. a = 10

Il existe des décompositions de 4/2521 et de 4/3361 mais pas de décomposition générale

permettant de trouver des solutions pour n 1[840].

Résultat 3 : méthodologie de l’algorithme de vérification.

Première étape : diminuer le nombre de classes à étudier.

- Modulo 840 : 6 classes, soit 0.71% de classes restantes.

Utilisation du théorème des restes chinois et de formules polynomiales.





Deuxième étape : traitement des classes restantes

Le programme part des 42462 classes restantes. Il les soumet à certains filtres composés de

différentes formules polynomiales particulières. Le programme rejette alors les exceptions. Il

en reste 76. Pour ces nombres là, on cherche explicitement une décomposition grâce à une

identité. L’algorithme ne rejette alors aucun nombre : la conjecture est vérifiée pour tout

n < 1017

.

299

Exercices ouverts - Tel - Hal-SHS

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