EXERCICES DE TEECCHHNNIIQQUUEESS ...

EXERCICES DE

TTEECCHHNNIIQQUUEESS QQUUAANNTTIITTAATTIIVVEESS DDEE GGEESSTTIIOONN

(version 2.10 Révision 16 du 2015-08-09)

Sciences.ch Gestion

Serveur d'exercices 2/65

EXERCICE 1.

Niveau: Gymnase (lycée)

Auteur: Vincent ISOZ ([email protected])

Mots-clés: Gantt

Énoncé:

Chargé de l'organisation d'une enquête marketing, vous devez établir la planification des

tâches en fonction des contraintes suivantes:

TACHES DESCRIPTION TACHES

ANTERIEURES

DUREE

(SEMAINES)

A Contacter un

statisticien / 1

B Constituer un

échantillon / 3

C

Rechercher des

instituts de

sondage

/ 1

D Elaborer le

questionnaire / 4

E

Sélectionner

l'institut de

sondage

C 1

F Test du

questionnaire D 1

G Administration de

l'enquête B, I 5

H Mise à disposition

des enquêteurs E 1

I Essai du

questionnaire H, F 2

J Saisie des

données G 1

K Relance des non

répondants J 2

L Administration

des relances K 1

M Traitement des

données A, J, N 2

N Saisie des

relances L 1

O Résultat de

l'enquête M 1

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Etablissez un diagramme de Gantt sur papier A4 couché quadrillé pour chacun des cas

suivants:

E1. Sachant que l'enquête peut commencer la semaine n°5 au début, quand sera-t-elle

terminée avec un jalonnement au plus tôt et des liaisons entre les tâches de type fin à début.

E2. Sachant que l'enquête doit se terminer la semaine n°26 en fin, quand doit-elle commencer

avec un jalonnement au plus tard et des liaisons entre les tâches de type fin à début.

E3. Reproduisez le jalonnement au plus tard dans MS Project.

Solutions:

S1. Avec un jalonnement au plus tôt, il faut insérer les tâches sans liens d'antériorité à partir

de la semaine 5. Ensuite, on continue en inscrivant les tâches qui ont leurs tâches antérieures

réalisées et ainsi de suite, de gauche à droite. Cela nous permet d'obtenir le diagramme

suivant:

L'enquête sera donc terminée à la fin de la semaine n°24

S2. Avec un jalonnement au plus tard, il faut insérer les tâches sans liens de postériorité à

partir de la semaine 26. Ensuite, on continue en inscrivant les tâches qui ont leurs tâches

postérieures réalisées et ainsi de suite, de droite à gauche. Cela nous permet d'obtenir le

diagramme suivant:

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L'enquête doit donc commencer au début de la semaine n°7

S3. Dans MS Project cela donne:

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EXERCICE 2.



Mots-clés: Méthode des potentiels métra

Énoncé:

Un projet se compose des tâches suivantes:

TACHES DURÉE TACHES

ANTERIEURES

A 3 E

B 4 K, C

C 3 -

D 2 E, J

E 2 -

F 3 G, L

G 4 -

H 2 A, M, R

J 2 E

K 2 C

L 5 G

M 4 C

N 3 G

R 2 J

Représenter et calculer sur papier le graphe MPM (Méthode des Potentiels Métra), les tâches

critiques, le chemin critique, les marges libres et totales des tâches.

Enfin, afficher le tout dans MS Project

Solution:

S1. La graphique MPM est donné par (voir page suivant):

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S2. Une tâche est critique lorsque par définition sa marge totale est nulle ou en d'autres termes

que sa date de début au plus tôt égale sa date de début au plus tard.

Nous avons donc pour tâches critiques (les jalons omis) dans le MPM ci-dessus:

G, L, F

S3. Le chemin critique comprend lui les jalons. Nous avons alors pour chemin critique:

Début, G, L, F, Fin

S4. Rappelons que la marge libre (free slack) est par définition la marge de temps sur laquelle

une tâche peut varier avant que sa successeur ne se mette elle aussi à bouger. La marge totale

(total slack) est quant à elle la marge de temps sur laquelle la tâche peut varier avant que la

date de fin du projet se mette à bouger.

Le mieux pour déterminer rapidement ces informations est de construire le Gantt dans un

logiciel ou une feuille de papier et d'observer à l'œil les écarts libres entre tâches liées. Dans

MS Project cela donne:

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EXERCICE 3.



Mots-clés: Regroupements par analyse de covariance

Énoncé:

Un projet est composé de 10 tâches et 8 ressources y participent. Nous avons listé dans une

table à double entrée qui participait à quoi:

où le "1" signifie "présent sur la tâche et le "0" l'inverse…

Faites une analyse de la corrélation pour regrouper les personnes dans des équipes ad hoc en

utilisant MS Excel.

Solution:

Nous allons dans le menu Outils/Utilitaire d'analyse de MS Office Excel et choisissons

l'option Corrélation:

Vient alors une boîte de dialogue qu'il convient de remplir comme suit:

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Ce qui donne (nous avons mis des couleurs pour mettre en évidence un choix de

regroupement arbitraire):

Une première équipe sera donc composée de:

- Alain (corrélé + avec Albert), Albert (corrélé + avec Arthur), Arthur (corrélé avec personne)

Une deuxième équipe par:

- Aline (corrélée + avec Adel), Adel (corrélé + avec Vincent), Vincent

Une troisième et dernière équipe…:

Alex (corrélé + avec Anderson), Anderson (corrélé avec plus personne…)

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EXERCICE 4.



Mots-clés: PERT Probabiliste (PNET) selon loi bêta

Énoncé:

Soit id la durée des tâches d'un chemin critique composé des tâches , , ,B D F G d'un projet

donné et le choix suivant pour les durées optimistes pessimiste et attendues de chaque tâche

respectivement:

0.7 1.2 O i i P i i V i it T d t T d t T d

Nous imaginons que les tâches critiques sont telles que leurs durées attendues sont:

7, 12, 6, 2B D F GT T T T

En déduire:

1. La durée probable (espérance) Prt , l'écart-type et la valeur modale selon le PMBOK1

2. La durée de chacune des tâches avec un niveau de confiance de 95%

3. La probabilité cumulée que chaque tâche se termine dans le temps attendu.

4. La durée totale du chemin critique et son écart-type (toujours selon le PMBOK)

5. La probabilité cumulée que le projet soit terminé avant 27 jours.

6. Calculez la durée totale du projet avec 1 chance sur 20 seulement de la dépasser.

Solutions:

1. Sachant que selon le PMI:

PPr

4( )

6

O Vt t tE X t

et:

1 Référentiel de Gestion de projets: Project Management Body of Knowledge

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2

2

( )( )

6

P Ot tT

et:

0

2 2 2( )

4

P O P Ot t t tM

Nous obtenons après application:

Pr Pr Pr Pr

0 0 0 0

6.88 11.8 5.9 1.96

0.583 1 0.5 0.166

7.88 13.52 6.76 2.25

B D F G

B D F G

t T t T t T t T

T T T T

M M M M

2. La durée de chacune des tâches avec un niveau de confiance de 95% ne peut être obtenue

formellement. Il faut passer par exemple par MS Excel ou @Risk de Palissade.

Nous avons:

Pr 95%Bt T =BETAINV(0.95;3+SQRT(2);3-SQRT(2);0.7*7;1.2*7)=8.25

Pr 95%Dt T =BETAINV(0.95;3+SQRT(2);3-SQRT(2);0.7*12;1.2*12)=14.14

Pr 95%Ft T =BETAINV(0.95;3+SQRT(2);3-SQRT(2);0.7*6;1.2*6)=7.07

Pr 95%Gt T =BETAINV(0.95;3+SQRT(2);3-SQRT(2);0.7*2;1.2*2)=2.35

avec un logiciel plus performant que MS Excel nous avons pour la fonction de distribution de

la tâche B où nous voyons bien sur l'image les valeurs calculées précédemment:

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Par contre nous voyons que la moyenne donnée par le logiciel @Risk ne correspond pas à la

valeur obtenue à l'aide de formule donnée par le PMBOK (PMI) qui est de 6.88 et donc sous

évalue de manière non négligeable la vraie espérance mathématique.

Au fait la raison est simple car le PMBOK (PMI) fait une erreur en confondant la valeur

modale et la valeur attendue. Nous n'avons en l'occurrence démontrés dans le chapitre de

Statistique que nous n'avons pas:

PPr

4( )

6

O Vt t tE X t

mais:

0 PPr

4( )

6

Ot M tE X t

et vous pouvez vérifier….!!! On comprend alors mieux aussi pourquoi nombre de projets

échouent…

3. La probabilité cumulée que chacune des tâches se termine dans le temps attendu ne peut

être obtenue formellement. Il faut passer par exemple par MS Excel ou @Risk de Palissade.

Nous avons alors:

7BP T =BETADIST(7;3+SQRT(2);3-SQRT(2);0.7*7;1.2*7)=20.79%

12DP T = BETADIST(12;3+SQRT(2);3-SQRT(2);0.7*12;1.2*12)=20.79%

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6FP T = BETADIST(6;3+SQRT(2);3-SQRT(2);0.7*6;1.2*6)=20.79%

2FP T =BETADIST(2;3+SQRT(2);3-SQRT(2);0.7*2;1.2*2)=20.79%

Nous voyons donc que la probabilité cumulée de tomber juste dans la durée estimée par le

chef de projet est assez faible…! Alors que la probabilité de tomber sur la valeur Modale est

bien plus grande!!!

4. La durée estimée du chemin critique est donnée par:

Pr 26.54est

C i

i

d t T

La variance du chemin critique est alors (si les variables aléatoires sont indépendantes

rappelons que la variance d'un somme est égale à la somme des variances quelque soit la loi!):

1.618 1.618 1.27est

C i

i

V V T

5. Calculons la probabilité pour que la durée du chemin critique soit inférieure à la valeur 27.

La loi de Gauss centrée réduite nous permet d'écrire:

* Pr 27 26.540.353

1.27

k tkk

En utilisant MS Excel nous avons maintenant:

=LOI.NORMALE.STANDARD(0.353)=63.82%

Donc nous avons une probabilité cumulée de ~64% d'avoir une durée inférieure ou égale à 27

jours !

Nous aurions obtenu le même résultat avec:

=LOI.NORMALE(27;26.54;1.27;1)=63.82%

6. Nous utilisons pour déterminer la durée avec une couverture du risque de 95%:

=LOI.NORMALE.INVERSE(95%;26.54;1.27)=28.62

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EXERCICE 5.



Mots-clés: Coût non qualité selon modèle Taguchi

Énoncé:

Dans un projet, une tâche de 4 jours a une marge totale de 2 jours. Si nous sortons de cette

marge, le projet va prendre du retard pour un coût de 1200.-/jour. Quel est le coût réel associé

à 1, 2 et 3 jours de retard selon le modèle de Taguchi?

Solution

Nous avons:

2 2

2

2 2

2

2 2

2

2 '400( ) (1) 5 4 600. / .

2

2 '400( ) (2) 6 4 2 '400. / .

2

2 '400( ) (3) 7 4 5'400. / .

2

L y k y T L j

L y k y T L j

L y k y T L j

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EXERCICE 6.



Mots-clés: tV@r et fV@r

Énoncés:

E1. Calculez la durée d'un projet de 26.5 jours planifié ayant un écart-type 1.27 jours pour

couvrir 95% des dépassements.

E2. Calculez le budget prévisionnel d'un projet ayant un coût planifié de ~78'000.- et un écart-

type de 3'900.- pour couvrir 95% des dépassements.

Solutions:

S1. Nous savons que sous certaines hypothèses:

(0,1)V@R ( 95%)N Duréet P X

La réponse sera donnée en utilisant la relation suivante dans MS Excel:

=NORMSINV(95%)*1.27=2.1

Ce qui donne une durée totale sécurisée de:

95% 26.5 2.1 28.6est

Cd

S2. Nous savons que sous certaines hypothèses:

(0,1)V@R ( 95%)N Coutf P X

La réponse sera donnée en utilisant la relation suivante dans MS Excel:

=NORMSINV(95%)*3'900.- =6'400.-

Ce qui donne un budget prévisionnel sécurisé de:

95% 78'000 6 '400 84 '400est

CB

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EXERCICE 7.



Mots-clés: Indicateurs de coûts et performances

Énoncés:

Dans MS Project, créez une tâche T1 de 500.- (francs) en coût fixe et d'une durée 5 j (à 8

h./jour) commençant un lundi à 8h00 et finissant donc le vendredi de la même semaine à

17h00.

E1. Enregistrez la baseline (planification initiale) et ensuite doublez la durée et le coût de la

tâche.

Question 1: quelle est la valeur du BCWS (budget encouru/CBTP) au premier, troisième,

sixième et neuvième jour de la tâche (à 17h00 pour chaque jour).

Question 2: la valeur du BCWS (budget encouru/CBTP) correspond elle à sa définition. Si

oui, pourquoi ?

Question 3: affichez le Tracking Gantt (Gantt Suivi) pour comparer la baseline à l'actuel

E2. Mettez maintenant la date d'état du projet (status date) à la fin du sixième jour ouvrable

(soit le deuxième lundi à 17h00) et le travail accompli à 75%.

Question 1: Quelle est la valeur de ACWP (coût encouru/CRTE) ? La valeur obtenue

correspond-elle au coût réel des travaux réalisés à la date d'état et imputable au projet (selon

définition).

Question 2. Quelle est la valeur du coût budgété du travail effectué BCWP (CBTE) ?

Correspond-il à la relation (selon la définition):

% 500 75%BCWP BAC Complete

ou le % à la date d'état:

% 500 60%BCWP BAC Complete

Mettez ensuite le coût fixe de la tâche courante T1 à 2000.- et dites combien vaut le BCWS,

BCWP et ACWP.

Question 3: Calculer les valeurs de l'écart de planning SV et de l'écart de coût CV et des

indicateurs SV% et CV% ? Comment interpréter les signes positifs ou négatifs des résultats

obtenus.

Question 4: Quelles sont les valeurs du CPI (IPC), IPP (SPI) et TCIP (TCPI).

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Solutions:

Exercice 1:

Réponse 1: Le BCWS (Budgeted Cost Work Sheduled) est:

- Au premier jour à 17h00: 100.-

- Au troisième jour à 17h00: 300.-

- Au sixième jour à 17h00: 500.-

- Au neuvième jour à 17h00: 500.-

Réponse 2: Oui les valeurs données du BCWS correspond bien à sa définition car il indique

bien les coûts sur la base de la planification initiale et non sur la courante. Pour preuve, à

partir du 5ème

jour, nous avons toujours BCWS=500.- même si la tâche courante est de 10

jours !

Réponse 3: La tâche telle que préparée avec sa planification initiale est représentée dans MS

Project par:

Exercice 2:

Réponse 1: La valeur de l'ACWP (coût encouru/CRTE) est de 300.- Oui car sur la base des 10

jours de la tâche selon la planification courante, nous avons bien:

500.6 . 500 60% 300.

10 .ACWP CRTE j

j

la valeur obtenue correspond bien au coût réel des travaux réalisés et imputable au projet et

ceci à la date d'état (car dans notre exemple elle est antérieure au travail effectué!!!).

Réponse 2: le BCWP (Budgeted Cost Work Performed) correspond forcément à:

% 500 60% 300BCWP CBTE BAC Complete

Effectivement, nous avons changé la durée de la tâche et non ses coûts par rapport à la

planification initiale. Donc nous devons avoir une variation nulle des coûts (CV) tel que:

300 300 0CV CRTE CBTE ACWP BCWP

et comme nous avons 300.ACWP cela répond à la question. Le BCWP correspond donc

bien aux coûts initiaux de la tâche (500) rapporté à la durée de 10 jours relativement à la

position de la date d'état (60%)

Si nous changeons les coûts de la tâche fixe à 2000.-, nous avons en toute logique:

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2000 60% 1'200.

500.ne changent pas par rapport à avant !

300.

ACWP CRTE

BCWS CBTP

BCWP CBTE

Réponse 3: Nous avons alors pour les indicateurs d'écart de planning et de coût, selon les

définitions:

200

300 500% 40%

500

SV CBTE CBTP BCWP BCWS

SV

Le résultat étant négatif, cela signifie que la dépense des coûts à un retard de 200 selon la

planification initiale (d'où le fait que nous parlions de Schedule Variance), soit une variation

de -40% (le 40% de 500 étant égal à 200) par rapport à ce qui était prévu (retard).

Nous avons aussi:

300 1200 900

300 1200% 300%

300

CV BCWP ACWP CBTE CRTE

CV

Nous avons donc une variation de -900 (coûts ont augmenté) à travail égal et durée égale

entre la tâche dans planification initiale (tirée à 10 jours) et la tâche courante. Cela correspond

à un écart de 300% (le 300% de 300 étant 900).

Réponse 4: Les valeurs des indicateurs de performance sont respectivment:

- Indicateur de performance des coûts:

3000.25

1200

BCWP CBTECPI

ACWP CRTE

cette valeur est mauvaise. Plus on est proche de 1 plus les coûts sont respectueux de la

planification. La valeur tend vers zéro dans le cas contraire. Le résultat est donc ici assez

médiocre.

- Indice de performance de la planification et qui est défini par:

3000.6

500

BCWP CBTESPI

BCWS CBTP

cet indicateur s'interprète de la même manière que le CPI mais dans un contexte temporel. Le

résultat est cependant médiocre.

- Indice de performance à accomplir:

500 300 2000.29

500 1200 700

BAC CBTE BAC BCWPTCPI

BAC CRTE BAC ACWP

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le TCPI nous indique ici que nous les performances (rapidité du travail sur le terrain) peuvent

diminuer pour rester dans le budget et ainsi améliorer la qualité ou le profit (c'est selon).

Effectivement, dans notre exemple, le travail effectué à la date d'état est de 60% alors que

nous sommes réellement à 75% de travail achevé.

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EXERCICE 8.




Énoncés:

Nous devons fabriquer 1'000 pièces à 10.- en 50 jours. Au bout de 22 jours, l'atelier de

production a fabriqué 600 pièces pour un coût de 6'300.-.

E1. Quelle est la valeur de l'indice de performance des coûts donné pour rappel par:

BCWP CBTECPI

ACWP CRTE

E2. Quelle est la valeur de l'indice de performance des la planification donné pour rappel par:

CBTE BCWPSPI

CBTP BCWS

Solutions:

S1. Nous avons dans le cas présent le CBTE (valeur acquise) qui est de 6'000 et le CRTE

(coûts effectifs) qui est de 6'300. Le rapport est donc de:

60000.952

6300

BCWP CBTECPI

ACWP CRTE

ce qui ne prédit rien de bon financièrement parlant…

S2. Nous avons dans le cas présent le CBTE (valeur acquise) qui est de 6'000 et le CBTP qui

vaut:

221000 10 4 '400

50

Le rapport est donc de:

60001.363

4400

CBTE BCWPSPI

CBTP BCWS

ce qui prédit des problèmes en termes de rapidité d'exécution …

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EXERCICE 9.




Énoncés:

La première phase du projet LHC "pose de cavités accélératrices" a débuté le 3 mars et finira

le 10 octobre. Sur les 941 mètres prévus, 380 [m] ont été posés au 30 juin, et 13'648.- ont été

dépensés. Le budget total du projet est de 42'000.-.

Calculez BAC, CRTE, CBTP, CRTB, SV, CV, SPI, CPI, EAC

Solution:

D'abord nous avons la durée totale qui est de 31.5 semaines et la durée en cours qui est de 17

semaines d'effectuées.

Cela fait un avancement prévisionnel par semaine de:

94129.87

31.5m

Le budget par mètre est de:

142'00044.63. [ ]

941m

et le budget par semaine:

142'0001'333.33. [sem ]

31.5

Le BAC vaut donc:

42 '000.BAC

Le CRTE vaut lui (donné par l'énoncé):

13'648.-CRTE

Le CBTP est de:

17 1'333.33 22 '666.CBTP

Le CBTE est de:

380 44.64 16 '959.CBTE

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Nous avons alors la variation due uniquement à la planification qui est de:

16 '959 22 '666 5'707

16 '959 22 '666% 25%

22 '666

SV CBTE CBTP BCWP BCWS

SV

L'index de performance de la planification est donc de:

16'9590.748

22'666

CBTE BCWPSPI

CBTP BCWS

ce qui prédit des problèmes en termes de rapidité d'exécution …

Nous avons alors la variation due uniquement aux coûts qui est de:

16 '959 13'468 3'311

16 '959 13'468% 25%

16 '959

CV CBTE CRTE BCWP ACWP

CV

L'index de performance des coûts est donc de:

16'9591.242

13'468

BCWP CBTECPI

ACWP CRTE

ce qui est bon car globalement nous somme entrain de gagner de l'argent…!

Nous avons pour le coût estimé du projet à fin:

42'00033'816

1.242EAC

donc en termes de coûts si le projet continue tel qu'il est le coût global sera moins élevé que

prévu initialement.

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EXERCICE 10.



Mots-clés: Valeur actuelle nette (Goodwill/ROI)

Énoncés:

E1. Un ami vous propose de vendre votre machine pour un investissement de 2'000.-

(correspondant à sa valeur résiduelle) dans un projet ayant un cash-flow qui double chaque

période sur une base de 400.- assurée pendant 3 périodes alors que le taux moyen géométrique

d'intérêt du marché est de 5%. L'investissement est-il intéressant ?

E2. Une entreprise souhaite acquérir une nouvelle machine valant 6'000.- ce qui devrait

permettre d'abaisser les coûts de production de 1'000.- par an durant 5 ans. On estime que

dans 5 ans, la valeur résiduelle de cette machine sera de 3'000.-. Doit-on acheter cette

machine si cet investissement peut être financé par un emprunt à 10%?

E3. Une entreprise pharmaceutique veut développer un nouveau médicament. Elle opte pour

deux stratégies:

a. Investir 1 milliard de frs et vendre le médicament immédiatement. Dans ce cas, l'entreprise

estime recevoir 500 millions de frs à la fin de l'année, 400 dans 2 ans et 300 millions dans 3

ans.

b. Développer le médicament plus lentement, c'est-à-dire investir 200 millions maintenant,

200 millions dans 1 an et recevoir 300 millions à la fin des années 2 et 3

Quelle stratégie est à envisager si l'entreprise peut se financer à 5% l'an ?

Solutions:

Rappel:

La valeur actuelle nette (différence entre la valeur actuelle des dépenses et entrées futures) est

donnée par:

0

1 (1 %) (1 %)

nk n

k nk

C VVAN V

t t

où:

1. Les (1 %)

k

k

C

t donnent le capital initial investi pour arriver à chaque capital kC après un

temps k.

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2. La somme 1 (1 %)

nk

kk

C

t donne donc le capital total à investir pour arriver à la somme des

kC après leur temps respectif d'investissement k.

3. Le terme (1 %)

n

n

V

t donne le capital initial à investir pour arriver après n périodes au

capital nV .

En fin de compte, la somme:

1(1 %) (1 %)

nn k

n kk

V C

t t

donne le capital total à place en épargne pour arriver aux sommes respectives des ,n kV C après

leurs périodes d'investissement respectives.

Donc la différence:

0

1 (1 %) (1 %)

nk n

k nk

C VVAN V

t t

nous informe si l'investissement 0V est plus intéressant que celui d'épargner pendant des

périodes respectives des sommes qui nous auraient permis d'arriver aux ,n kV C .

S1. Un ami vous propose d'investir 2'000.- dans un projet ayant un cash-flow qui double

chaque période sur une base de 400.- assurée pendant 3 périodes alors que le taux moyen

géométrique d'intérêt du marché est de 5%. L'investissement est-il intéressant ?

Pour réponde à cette question nous savons donc que nous aurons pour les 3 périodes

respectivement 400.-, 800.- et 1600.- de cash-flow

Pour obtenir chacune des ces trois sommes à 3% pendant 1, 2 et 3 périodes respectives nous

aurions du épargner une somme initiale de:

1 2 31

400 800 16002'488.72.

(1 %) (1 5%) (1 5%) (1 5%)

nk

kk

C

t

La somme à capitaliser est donc plus grande que la somme de 2'000 à investir que nous

propose notre ami. Le ou VAN est donc de positif et égal à:

2 '488.72 2000 488.72VAN

Pour obtenir ce résultat sous MS Excel il suffit d'écrire:

=-2000+VAN(5%;400;800;1600)

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S2. Une entreprise souhaite acquérir une nouvelle machine valant 6'000.- ce qui devrait


dans 5 ans, la valeur résiduelle de cette machine sera de 3'000.-. Doit-on acheter cette

machine si cet investissement peut être financé par un emprunt à 10%

Nous appliquons le même raisonnement que précédemment:

0 51 1

1000 30006000 346.6

(1 %) (1 %) (1 5%) (1 5%)

n nk n

k n kk k

C VVAN V

t t

Le VAN étant négatif, nous n'avons pas intérêt, selon ce critère, à acheter cette machine.

Dans MS Excel il faut écrire:

=-6000+VAN(10%;1000;1000;1000;1000;4000)

S3. Une entreprise pharmaceutique veut développer un nouveau médicament. Elle opte pour

deux stratégies:



ans.



Quelle stratégie est à envisager si l'entreprise peut se financer à 5% l'an ?

Pour la stratégie (a) nous avons:

1 2 3

500 400 3001000 98.15 mios.-

(1 5%) (1 5%) (1 5%)aVAN

Pour la stratégie (b) il faut bien distinguer la partie retour sur investissement (cash-flow) de la

partie investie:

2 3 1

300 300 200200 140.78 mios.-

(1 5%) (1 5%) (1 5%)bVAN

Selon ce critère, la stratégie b est financièrement plus intéressante.

Dans MS Excel il faut écrire:

=-200+VAN(5%;-200;300;300)

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EXERCICE 11.



Mots-clés: Valeur actuelle nette (Goodwill/ROI)

Énoncés:

Considérons en avenir certain avec un investissement initial unique de 10'000.- avec un taux

d'actualisation constant de 10% et un cash flow parfaitement périodique de 3'250.-, 3'750.-,

4'250.-, 4'750.-.

1. Calculer le VAN avec MS Excel en établissant le tableau d'actualisation correspondant

2. Représenter graphiquement les cash-flows avec MS Excel.

Solutions:

1. Nous avons le tableau d'actualisation:

où dans le tableau ci-dessus F.N.T. signifie "Fond Net de Trésorerie", F.N.T.A. "Fond Net de

Trésorerie Actualisé", C.A. "Coefficient d'Actualisation" et C.F.A. "Cash-Flow Actualisé".

Soit sous forme explicite:

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2. Graphiquement nous avons:

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EXERCICE 12.



Mots-clés: Taux de rendement interne (Internal Rate of Return)

Énoncés:

A l'aide de MS Excel (ou autre logiciel) résoudre les exercices suivants:

E1. Un ami vous propose de vendre votre machine pour un investissement de 2'000.-

(correspondant à sa valeur résiduelle) dans un projet ayant un cash-flow qui double chaque

période sur une base de 400.- assurée pendant 3 périodes alors que le taux moyen géométrique

d'intérêt du marché est de 5%. Calculer le TRI (taux de rendement interne) à partir duquel le

VAN est nul.

E2. Une entreprise souhaite acquérir une nouvelle machine valant 6'000.- ce qui devrait


dans 5 ans, la valeur résiduelle de cette machine sera de 3'000.-. Calculer le TRI (taux de

rendement interne) à partir duquel le VAN est nul.

E3. Une entreprise pharmaceutique veut développer un nouveau médicament. Elle opte pour

deux stratégies:



ans.


200 millions dans 1 ans et recevoir 300 millions à la fin des années 2 et 3

Calculer le TRI (taux de rendement interne) à partir duquel le VAN est nul pour chaque

stratégie

E4. Une machine coûte 10'000.-. Elle permet de générer un profit net de 1'500.- par an durant

14 ans avec une valeur résiduelle nulle. Calculer le TRI de cet investissement.

E5. Calculez le VAN et le TRI d'un projet qui a amené à investir 400.- MF au départ et qui a

rapporté 100.- MF la première année, où nous avons investi 150.- MF la deuxième année, qui

nous a fait gagner 200.- MF la troisième année et 500.- MF la quatrième sur un marché où le

taux géométrique moyen est de 10 %.

Solutions:

Rappel: le taux de rentabilité interne (TRI) est le taux d'actualisation pour lequel le VAN du

projet est nulle. Il s'agit en fait de trouver le taux t% tel que:

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1 2

02

1 2

0 2

... 01 % (1 %) (1 %) (1 %)

...1 % (1 %) (1 %) (1 %)

n n

n n

n n

n n

C VC CVAN V

t t t t

C VC CV

t t t t

Il existe une fonction spéciale pour cela dans MS Excel, la fonction TRI:

0 1 2( ; ; ;...; ;[ ])nTRI V C C C estimation

S1. Nous avons déjà partiellement résolu cet exercice précédemment où nous avions écrit:

1 2 3

400 800 16002000 2'488.72.

(1 5%) (1 5%) (1 5%)VAN

Il nous suffit alors de poser:

1 2 3

400 800 16002000 0

(1 %) (1 %) (1 %)t t t

et de trouver le bon t%. Pour cela nous allons recourir au logiciel standard MS Excel en

écrivant (attention à mettre 0V toujours en premier et ensuite à l'ordre chronologique des cash

flow!) la formule

=TRI({-2000;400;800;1600)=15.117%

S2. Une entreprise souhaite acquérir une nouvelle machine valant 6'000.- ce qui devrait


dans 5 ans, la valeur résiduelle de cette machine sera de 3'000.-. Calculer le TRI (taux de

rendement interne) à partir duquel le VAN est nul.

Nous procédons de manière identique en saisissant la formule:

=TRI({-6000;1000;1000;1000;1000;4000})=8.17 %

S3. Une entreprise pharmaceutique veut développer un nouveau médicament. Elle opte pour

deux stratégies:



ans.

Nous appliquons le même raisonnement que pour la solution précédente, en écrivant la

formule:

=TRI({-1000;500;400;300})=10.65 %



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Nous appliquons le même raisonnement que pour la solution précédente:

=TRI({-200;-200;300;300})=22.47%

S4. Une machine coûte 10'000.-. Elle permet de générer un profit net de 1'500.- par an durant

14 ans avec une valeur résiduelle nulle. Calculer le TRI de cet investissement (sol. = 11.89%)

De même que précédemment, nous écrivons:

=TRI({-10000;1500;1500;1500;1500;1500;1500;1500;1500;1500;1500;1500;1500;1500;1500)=11.89%

S5. Même principe qu'avant:

=-400+VAN (10%;100;-150;200;500)=58.71

et:

=TRI({-400;100;-150;200;500})=14.26%

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EXERCICE 13.

Niveau: Université (Fac)

Auteur: Vincent ISOZ

Mots-clés: VAN et TRI apériodiques

Énoncé:

A l'aide de MS Excel (ou autre logiciel) résoudre l'exercice suivant:

Calculez le VAN et le TRI d'un projet qui a amené à investir 400.- MF le 01.01.2008, et qui a

rapporté 100.- MF le 31.12.2008, où nous avons investi 150.- MF le 31.12.2009, qui nous a

fait gagner 200.- MF la 31.12.2010 et 500.- MF le 31.12.2011 où le taux géométrique moyen

est de 10%.

Solution:

Nous construisons le tableau suivant:

et les relations correspondantes sont:

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EXERCICE 14.


Auteur: F. HEMICI, M. BOUNAB

Mots-clés: Valeur actuelle nette espérée et TRI espéré

Énoncé:

Soit un projet dont les cash-flows annuels possibles sont estimés comme suit (chiffres en

millier de francs):

Année 1: 20, 40, 60, 80 / Année 2: 40, 60, 70, 90 / Année 3: 30, 40, 60, 80

Avec des possibilités respectives de 1 2 3 420%, 30%, 30%, 20%P P P P

E1. Sachant que le montant de l'investissement est de 100'000.- et que le taux du marché est

de 12% déterminer l'espérance et l'écart-type du VAN.

E2. Déterminer l'espérance du TRI

Solution:

S1. L'espérance du VAN est donnée par:

0 0

1 1

1 2

3

( ) ( ) ( )( ) ( )

(1 %) (1 %) (1 %)

(20 0.2 40 0.3 60 0.3 80 0.2) (40 0.2 60 0.3 70 0.3 90 0.2)

(1 12%) (1 12%)

(30 0.2 40 0.3 60 03 80 0.2)100

(1 12%)

50 0.893 65 0.

n nk n k

k n kk k

E C E V E CE VAN V E VAN V

t t t

797 52 0.712 100 33.479. kF

Soit dans MS Excel:

=-100+NPV(12%;50;65;52)

Pour le calcul de la variance nous avons (en utilisant la relation de Huyghens):

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et donc:

811.18 RACINE(VAN(420;265;316)) 28.48 kF

Entre deux ou plusieurs projets concurrents, nous retenons celui dont l'espérance

mathématique de la VAN est la plus élevée et l'écart-type de la VAN la plus faible. Ne reste

plus qu'à faire de l'inférence statistique…

S2. Une fois les calculs du VAN effectués le calcul du TRI espéré est simple.

Pour l'espérance nous avons alors:

=TRI({-100;50;65;52})=30.415%

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EXERCICE 15.



Mots-clés: Rendement global combiné de processus

Énoncé:

Soit le processus suivant:

dont le niveau de qualité de certaines étapes a été indiqué en rouge. Veuillez calculer le RTY

(taux de rendement global combiné) de l'ensemble du processus et déterminez son niveau de

qualité Sigma basé sur la méthodologie Six Sigma.

Solution:

En ouvrant MS Excel et en y reportant les différent taux nous avons alors en les multipliant:

soit un taux de rendement global combiné de ~57%.

En prenant le tableau de niveau de qualité Six Sigma (cf. chapitre de Génie Industriel):

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cela correspond donc à la ligne numéro 2 et alors à un niveau de qualité d'environ 3 sigma.

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EXERCICE 16.



Mots-clés: Rendement global combiné de procédé de fabrication

Énoncé:

Soit un procédé de production industrielle dont le taux de non-rebus a été indiqué à chacune

des étapes ci-dessous:

Quelle quantité Q bien définie de produits (supposés utiliser qu'un seul composant de chaque

étape) au début de la chaîne faudra-t-il prévoir à l'étape A et à l'étape B pour avoir un RTY de

100% à la fin?

Solution:

Le nombre de composants à prévoir à l'étape A sera de:

par rapport au prévision initiales. Soit 52.42% de composants A de plus que prévus.

Il faudra prévoir à l'étape B:

soit 37.17% de composants de plus. Et ainsi de suite...

Remarque: En toute rigueur le taux de rebus (et respectivement de non-rebus) est une variable

aléatoire. Donc pour savoir combien on devrait lancer de pièces à chaque étape on utilisera

typiquement dans les grosses productions la fonction CRITERE.LOI.BINOMIALE de

MS Excel ce qui donnera par dans le cas présent, 19 chances sur 20 d'arriver à 100 pièces de

RTY si en A nous en prévoyons ~169. Donc une différence de 17% avec le calcul précédent!

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EXERCICE 17.



Mots-clés: Pareto

Énoncé:

Une entreprise prestataire services vend des formations continues en entreprise. Elle a extrait

de sa base de données la liste de tous les cours vendus en ne prenant que le nom du domaine

concerné et le numéro d'identifiant correspondant (car MS Excel ne sait pas faire d'analyse de

Pareto automatique sur une base autre que des chiffres). Ce qui correspond à 2528 lignes de

données avec 43 types de formations (ID) dans une feuille nommée Données:

Pareto.xls

Nous souhaiterions savoir quels sont les cours qui à eux seuls représentent 80% des ventes

afin de pouvoir se focaliser sur leur qualité et de développer la partie minoritaire.

Donnez cette analyse avec MS Excel et avec MiniTab.

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Solution:

D'abord créez sur une nouvelle feuille nommée Rangée une liste simple des numéros allant de

1 à 43 (le nombre de type de formations):

Ensuite, revenez dans la feuille Données, après avoir éventuellement activé l'Utilitaire

d'Analyse de MS Excel, vous allez dans le menu Données/Utilitaire d'Analyse:

et prenez l'option Histogramme:

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vous y mettez les valeurs ci-dessus et validez par OK pour obtenir un tableau qui après

nettoyage donne (nous avons un peu amélioré esthétiquement le diagramme et avons mis en

rouge la ligne limite représentant les 80%):

Attention il arrive à MS Excel de retourner dans la colonne Bin des valeurs décimales… il

faut alors formater les cellules afin d'avoir des valeurs entières.

Nous voyons alors dans la colonne D que les numéros (5;27;4;6;3;7;21;8;19;14) du type de

formation représentant les 80% des prestations à eux seuls.

Copions maintenant les données dans Minitab qui lui est capable de se baser sur des textes

pour faire un diagramme de Pareto:

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Ensuite, allez dans le menu Stat/Outils de qualité/Diagramme de Pareto:

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Nous obtenons alors:

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EXERCICE 18.



Mots-clés: Indice de Gini

Énoncé:

En utilisant le tableau généré par MS Excel dans l'exercice précédent:

déterminez l'indice d'asymétrie de Gini.

Solution:

Nous avons vu que l'indice de Gini était défini par:

Ce qui nous donne dans notre exemple:

11 66.77 0.55

43G

Il y a donc une assez forte inégalité entre les éléments étudiés car si l'indice de Gini vaut 0

l'égalité est parfait et dans le cas extrême l'indice vaut 1.

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EXERCICE 19.

Niveau: Lycée (Gymnase)


Mots-clés: Probabilité de rupture de stocks

Énoncés:

Considérons un article dont la demande quotidienne suite une loi normale de paramètres:

90, 20

Le stock disponible au moment de la commande est de 500 unités et le délai de

réapprovisionnement de 5 jours.

Nous souhaiterions savoir:

E1. Quelle est la probabilité cumulée d'être au-dessus ou égale à la rupture de stock?

E2. Quelle est la probabilité cumulée d'être en-dessous de la consommation quotidienne

supposée?

Solution:

Nous avons pour le premier point la consommation moyenne sur 5 jours qui est en utilisant la

propriété de l'espérance et de la linéarité de la variance (pour cette dernière la linéarité et

valable qui si les variables sont indépendantes!):

2 2 2 2 2

5 90 450

20 20 20 20 20 20 5 44.72

Nous avons alors en utilisant la propriété de stabilité de la loi Normal (la somme de variables

aléatoires normalement distribuées donne encore une loi Normale!):

( 450) 13.17%P X

soit en utilisant MS Excel:

=1-LOI.NORMALE(500;450;44.72;1)=13.17%

Et pour la consommation quotidienne il vient simplement:

=1-LOI.NORMALE(100;90;20;1)=30.85%

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EXERCICE 20.



Mots-clés: Modèle de Wilson (pilotage de stocks)

Énoncés:

Pour un entrepôt, la demande de réfrigérateurs est estimée à 600 unités par mois Le coût de

lancement s'élève à 3'000.- par commande (de lot). Le coût de possession du stock est estimé

à 90.- par unité en stock et par mois.

Déterminez à l'aide du modèle de Wilson:

1. La quantité économique optimale à commander

2. La rotation annuelle du stock

3. La couverture du stock

4. Le coût minimal annuel de gestion de ce stock

5. Le coût de stockage que nous devrions avoir pour atteindre les 600 unités comme quantité

économique optimale.

Remarque: Une année fait 12 mois et 30 jours

Solution:

Il convient d'abord d'identifier les informations. Nous avons donc:

600N et 90.SC et 3000.LC

S1. Le lot économique optimal est donné par:

2 2 600 3000200

90

Le

s

NCQ

C

S2. La rotation annuelle des stocks est définie comme le nombre de fois que le lot optimal est

consommé sur une période. Ainsi dans notre cas le lot optimal est consommé 3 fois par mois,

soit:

36 fois par année

S3. Nous avons donc 600 unités par mois soit sur un mois de 30 jours: 20 unités quotidiennes

qui sortent. Et comme le lot économique est de 200, la couverture du stock est de:

10 jours

S4. Le coût minimal de gestion est donné pour une période:

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%2 2

t L s u L s s

N Q N QC C S t P C S C

Q Q

et plus précisément par:

600 2003000 90

2 200 2

et L s s s

e

QNC C S C S

Q

Si le stock de sécurité est nul alors nous avons:

600 2003000 90 9000 9000 90 200 18'000.

200 2tC

soit sur une année:

18'000 12 216 '000

ce que le lecteur peut comparer au coût de gestion de gestion sans optimisation du lot

économique… il verra que la différence est absolument non négligeable!

S5. Il s'agit de faire un peu d'algèbre:

2 22 2 2 2 300010.

600

L L Le e s

s s

NC NC CQ Q N C

C C N

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EXERCICE 21.


Auteur: ?

Mots-clés: Modèle de Wilson (réapprovisionnement de stocks)

Énoncés:

Une entreprise estime à 12% le taux de possession de stock. La consommation annuelle de la

référence M4300 représente 2'600 unités à 30.- l'unité (soit 78'000.- au total).

La valeur de chaque livraison ne saurait être inférieure à 10'000.- pour des questions de

logistiques.

L'étude du coût du service approvisionnement de votre entreprise permet d'estimer à 270.- le

coût de lancement et de suivi de commande.

E1. Quel est le nombre maximum de livraison par année?

E2. Dans chacune des hypothèses du possible calculez le coût de stockage et déterminez le

nombre de commandes optimal.

E3. Retrouvez le nombre de commandes optimal avec la relation de Wilson.

Solutions:

S1. Le nombre maximum de livraisons est de 7. Car juste au-delà nous aurions:

78'0009'750 10'000

8

ce qui ne répond plus au cahier des charges qui exige que la valeur de chaque livraison soit

supérieure à 10'000.-

S2. Nous avons:

Nombre de commandes 1 2 3 4 5 6 7

Stock moyen: 2

Q

N

1'300

pcs.

650

pcs.

433

pcs.

325

pcs.

260

pcs.

217

pcs.

186

pcs.

Coût de détention: %2

u

Qt P

N 4'680.- 2'340.- 1'560.- 1'170.- 936.- 780 669

Coût de lancement 270.- 540.- 810.- 1'080.- 1'350.- 1'620.- 1'890.-

Coût total de stockage 4'950.- 2'880.- 2'370.- 2'250.- 2'286.- 2'400.- 2'559.-

Nous nous apercevons que c'est pour un nombre de commandes égal à 4 que le coût total de

stockage est minimum.

S3. Pour déterminer le nombre optimum de commandes nous utilisons la relation de Wilson:

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2 2 2'600 270624.5

12% 30

Le

s

NCQ

C

Ce qui correspond à:

2 '6004.16

624.5

soit 4 commandes ce qui correspond bien au tableau obtenu plus haut.

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EXERCICE 22.



Mots-clés: Modèle de Wilson (réapprovisionnement de stocks)

Énoncés:

Une entreprise approvisionne des clients en semences. La demande est fortement saisonnière

et concentrée sur le printemps. Les prévisions mensuelles de ventes pour le premier semestre

sont de:

Mois Ventes [tonnes]

Janvier 0

Février 10

Mars 80

Avril 150

Mai 100

Juin 60

Total 400

L'entreprise achète les semences en vrac, au prix de 920.-/tonne et les conditionne en sacs de

100 [Kg]. La livraison s'effectue par voie ferroviaire, un wagon ayant une contenance de 25

tonnes.

Le coût de passation et de réception d'une commande est de 90.- et nous considérons que le

coût du financement du besoin en fond de roulement est de 6% l'an.

L'entreprise commence l'année avec un stock de 40 tonnes et considère comme normal de

détenir en permanence un stock de sécurité d'au moins 30 tonnes. Le fournisseur livre avec un

délai de livraison de 15 jours.

Proposez un programme d'approvisionnement!

Solutions:

Comme nous n'avons que des données pour le 1er

semestre il va falloir tout rapporter à cette

période.

Il convient d'abord d'identifier les informations. Nous avons donc:

400 100N , 90.LC , % 6%t , 920.uP

Le lot économique optimal est donné par:

2 2 2 400 100 9051.075

6%%920

2

L Le

s u

NC NCQ

C t P

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Comme le fournisseur livre par wagon de 25 tonnes, nous avons intérêt à programmer par

quantités constantes et à commander le multiple de 25 le plus proche de 51: ici 50.

Chaque commande portera donc sur 2 wagons, et il faut déterminer les dates prévisionnelles

de livraison et de commande par la méthode des cumuls. Il y aura donc pour un semestre:

4008

50

commandes à passer.

Pour anticiper les dates de livraison, il faut comparer l'évolution de la fonction des ressources

disponibles cumulées (stock initial + achats cumulés) à celle de la fonction des besoins

cumulés (consommations cumulées + stock de sécurité). Il faut déclencher chaque mois

suffisamment de commandes pour que les ressources cumulées couvrent les besoins cumulés.

D'où le tableau suivant:

Mois Besoins cumulés Ressources cumulées Nombre de livraisons

Janvier 30+0=30 40+(050)=40 0 (aucune livraison)

Février 30+10=40 40+(150)=90 1 (juste en fin de mois)

Mars 40+80=120 90+(150)=140 1

Avril 120+150=270 140+(350)=290 3

Mai 270+100=370 290+(250)=390 2

Juin 370+60=430 440+(050)=440 1

Pour calculer la date de livraison on utilise une simple interpolation linéaire. Prenons pour

exemple le mois de février (supposé faire 28 jours).

Nous avons en début de mois 40 tonnes (résiduels de l'année précédente) et nous avons mis en

stock de sécurité 30 tonnes. Cela fait que nous avons 10 tonnes disponibles pour le mois de

février pour lequel il y a 10 tonnes (aussi…) de consommation prévue. Donc nous devons

avoir une nouvelle livraison de 50 tonnes le dernier jour du mois, soit le 28 Février 2010.

Comme il faut 15 jours de délai de livraison il faudra donc faire la commande le:

13 Février

Pour le mois de mars l'idée est la même si on veut calculer le jour de commande. Nous avons

donc reçu le 28 février 50 tonnes et nous savons que pendant les 31 jours ouvrés du mois de

Mars nous allons consommer linéairement (hypothèse du modèle de Wilson) 80 tonnes. Ce

qui équivaut à une consommation journalière de:

802.58

31

Donc les 50 tonnes seront épuisées après:

5020.161 jours

2.58

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Il avoir un nouvel arrive pour le 20 Mars. Comme il faut 15 jours de délai de livraison il

faudra donc faire la commande le:

5 Mars

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EXERCICE 23.



Mots-clés: Prévision des ventes

Énoncé:

Une entreprise a représenté graphiquement ses ventes mensuelles sous formes graphique

comme ci-dessous:

Avec une analyse fréquentielle des déviations:

Elle fait alors l'hypothèse de normalité et calcule alors la moyenne est l'écart-type suivant:

14 et 39

E1. Quelle est la quantité de vente possible à 1 sigma pour le 25ème

mois et la probabilité de

dépasser cette quantité si les ventes sont considérées sans tendance générale (sans drift)?

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E2. Déterminez la relation MS Excel à écrire pour connaître la probabilité cumulée d'en

vendre au moins un nombre XX!

Solution:

La quantité des ventes pour le mois de 24ème

mois étant de 20 pièces, pour la prochaine

période (25ème

mois), sous l'hypothèse de normalité… nous avons la quantité qui suit la loi

suivante:

=20+N(14,39)

Nous avons donc 68% (1 sigma) de probabilité cumulée d'avoir le mois prochain entre:

[20+14-39,20+14+39]=[-,73] pièces

Ce qui signifie aussi que nous avons 32%/2=16% (1 chance sur 6) de probabilité cumulée de

dépasser les 73 pièces.

L'intervalle supérieur peut être calculé avec MS Excel en écrivant:

=LOI.NORMALE.INVERSE(50%+68%/2;14;39)+20

S2. La probabilité cumulée d'en vendre au moins une quantité XX est donnée dans MS Excel

par:

=1-LOI.NORMALE(XX-20;14;39;1)

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EXERCICE 24.



Mots-clés: SPC en gestion de projets

Énoncé:

Les déviations temporelles en % de 25 tâches donnent les valeurs suivantes après clôture d'un

projet:

E1. Nous souhaiterions savoir si les estimations du chef de projet sont sous contrôle (test de

normalité de Kolmogorov-Smirnov sous Minitab).

E2. Nous souhaitons faire une analyse de capabilité des déviations en faisant les calculs

manuellement et en les vérifiant avec Minitab en prenant l'intervalle LSL/USL de [-0.1,02]

avec une cible nulle.

Solution:

S1. Nous ouvrons Minitab et reportons les données dans une unique colonne:

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Nous allons dans le menu Stat/Statistiques élémentaires/Test de normalité…:

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Nous remplissons la boîte de dialogue:

et validons par OK ce qui donne:

La p-value étant supérieur à 0.05 (puisque Minitab indique qu'elle est plus grande que 0.150)

fait qu'on peut accepter sans crainte l'hypothèse de normalité.

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S2. Nous faisons d'abord les calculs à la main:

0.1 ( 0.2)0.35

6 6 0.143p

USL LSLC

ce qui est très médiocre!

Remarque: Cette valeur correspond à la capabilité long terme Pp dans Minitab.

Nous avons pour la capabilité potentielle décentrée:

0.05 0.1741 1 0.35 1

1 0.5 0.1 ( 0.2)( )

2

0.2240.35 1 0.17

0.15

pk p p

TC C k C

USL LSL

où pour rappel:

2

USL LSLT

Donc comme k est supérieur à 1 (et donc Cpk inférieur à 0), nous sommes au-delà de USL (ce

que nous confirmera la graphique Minitab).

Remarque: Cette valeur correspond à la capabilité potentielle long terme Ppk dans Minitab.

Dans Minitab nous allons dans Outils de la qualité/Analyse de capabilité/Normale…:

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Nous paramétrons l'analyse de capabilité:

nous cliquons sur le bouton Options… et complétons la boîte de dialogue:

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Graphiquement nous avons finalement:

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EXERCICE 25.


Auteur: -

Mots-clés: Théorie des files d'attentes (probabilité d'appels) M/M/1

Énoncé:

Supposons que l'on dispose d'une machine à commande numérique traitant des pièces une à la

fois. Supposons que 8 pièces/heure et que 10 pièces/heure . Calculer les paramètres

suivants:

M/M/1

Probabilité système vide 1 A Probabilité d'attente A

Nombre moyen de clients dans le système ( )

1

AE C

A

Nombre moyen de clients en attente

2

1Q

AE C

A

Nombre moyen de client en service

Temps moyen de séjour dans le système ( ) 1( )

E CE T

Temps moyen d'attente dans la queue

1

1Q

AE T

A

Condition d'atteinte de l'équilibre 1

Solution:

Supposons que l'on dispose d'une machine à commande numérique traitant des pièces une à la

fois. Supposons que 8 pièces/heure et que 10 pièces/heure . Nous avons alors:

880%

10A

ce qui correspond au trafic ou taux d'occupation de la machine. Donc il y a 20% de probabilité

pour que le système soit vide et 80% de probabilité pour qu'il y ait une attente.

0.8( ) 4

1 1 0.8

AE C

A

Ce qui correspond donc au nombre moyen de pièces dans le système (machine + en attente).

2 20.8

3.21 1 0.8

Q

AE C

A

Sciences.ch Gestion


Ce qui correspond donc au nombre moyen de pièces en attente en dehors de la machine.

1 1( ) 0.5

10 8E T

Ce qui correspond à un temps moyen de séjour de 30 minutes dans le système.

1 1 0.8

0.41 10 1 0.8

Q

AE T

A

Ce qui correspond à une attente moyenne de 24 minutes dans la file d'attente.

Et la probabilité qu'il y a ait 5 pièces dans le système (exécution + attente):

5(1 ) 0.8 (1 0.8) 6.5%kkp A A

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EXERCICE 26.


Auteur: -

Mots-clés: Théorie des files d'attentes (probabilité d'appels) M/M/1

Énoncé:

Une entreprise effectue des mesures sur son serveur de base de données:

- taux moyen d'arrivées: 30 requêtes/seconde

- temps moyen de service: 20 millisecondes/requête

E1. A partir de quelle charge faut-il augmenter la vitesse du processeur pour maintenir un

service de même qualité?

E2. Si la firme augmente la charge du serveur de 40% par exemple, de combien doit

augmenter la vitesse du processeur?

Solution:

R1. Nous avons le taux de traitement de requêtes:

3

150 requetes/seconde

20 10

et le trafic (charge) correspondant:

300.6

50A

Donc c'est à partir de cette valeur qu'il faudra augmenter la vitesse du processeur pour

maintenant un service de qualité ayant un temps d'attente moyen dans le système (à garder

constant!):

1 1 1( ) 50 millisecondes

50 30 20E T

R2. Si le nombre de requête s'accroît de 40% nous avons:

1 1( ) 125 millisecondes

1.4 50 1.4 30E T

Pour que ce chiffre reste à 50 ms, il suffit la différence au dénominateur fasse toujours 20.

Ainsi:

1.4 30 20 20 1.4 30 62 requetes/seconde

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Soit une augmentation de vitesse du processeur de:

62 5024%

50

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EXERCICE 27.



Mots-clés: Théorie des files d'attentes (probabilité d'appels) M/M/…

Énoncé:

Une TPE souhaitant mettre en place une hotline estime qu'au début elle recevra par journée de

8 heures, 4 appels téléphoniques (soit une probabilité de 1 chance sur 2 d'avoir un appel par

heure). Qu'elle est la probabilité:

1. Qu'elle reçoive alors exactement 4 appels par jour

2. Au moins 4 appels par jour selon le modèle théorique de la théorie des files d'attentes?

Solution:

Puisque l'estimation est de 4 appels téléphoniques par journée de 8 heures, nous avons le

temps moyen entre appel qui est alors de:

11 10.5 [ ]

4h

Nous avons alors:

S1. La probabilité de recevoir exactement 4 appels par jour:

40.5 8( ) (0.5 8)

LOI.POISSON(4;0.5*8;FAUX) 19.55%! 4!

kt

k

tp e e

k

S2. La probabilité de recevoir au moins 4 appels par jour:

4 4

0 0

( )LOI.POISSON(4;0.5*8;VRAI) 62.88%

!

kt

k

k k

tp e

k

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EXERCICE 28.



Mots-clés: Théorie des files d'attentes (probabilité de saturation) M/M/k/k

Énoncés:

E1. Quelle est la probabilité de saturation d'une hotline (dont la durée de service suit une loi

exponentielle et la distribution des arrivées suit une loi de Poisson) sachant que le trafic A de

la ligne est estimé à 2 Erlang (1 appel par heure pour 1 appel traité par ½ heure - - donc

rapport de 2 sur 1) pour une seule ligne téléphonique (N=1) en utilisant le modèle d'Erlang-B?

E2. Dans une entreprise, on a dénombré aux heures de pointes 200 appels d'une durée

moyenne de traitement de 6 minutes (temps de service moyen). Quelle est la probabilité de

saturation avec 20 opérateurs (sachant que la durée de service suit une loi exponentielle et la

distribution des arrivées une loi de Poisson)?

E3. Dans un magasin, on compte 240 clients par heure et il faut 28 secondes en moyenne pour

traiter un client (temps de service moyen). Sachant que la durée de service suit une loi

exponentielle et la distribution des arrivées une loi de Poisson, quelle est l'intensité du trafic et

le taux d'occupation des caisses si le magasin en a que deux?

Solutions:

S1. Nous utilisons la relation démontrée lors de notre étude de la théorie des files d'attentes:

ce qui donne:

S2. La plus grosse difficulté ici est de calculer le trafic…! Il y a donc 200 appels par heures

avec 10 appels traités seulement par heure (puisque 6 minutes par appel dans une heure de 60

minutes fait 10 appels). Le trafic A est donc de 200/10 soit 20 Erlang. En appliquant alors la

relation précédente, nous avons:

Sciences.ch Gestion


S3. Le trafic est donc donné par le rapport du nombre de clients par heure divisé par le

nombre de clients traités par heure. Comme il faut 28 secondes pour en traiter un et qu'il y a

3'600 secondes dans une heure, nous avons l'intensité de trafic suivante:

240 2401.866 Erlangs

60 60 28 228.57A

La charge moyenne (ou taux d'occupation) par caisse, sachant qu'il y en a deux, est donc de:

1.8660.93 93%

2

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