Exercices de mathématiques pour les élèves de 1ère S entrant en TS

Les vacances d’été c’est long et l’année scolaire au lycée passe très vite, en particulier la classe de

Terminale. Il est essentiel pour effectuer l’année de terminale dans de bonnes conditions d’être

« opérationnel » dès la rentrée.

Ces exercices vous sont donc vivement recommandés.

Il s’agit de dix fiches reprenant une partie de votre cours vu en 1ère S et proposant des exercices

d’entraînement, à traiter avec sérieux pendant les vacances, pour aborder l’année de Terminale S en

mathématiques dans les meilleures conditions.

Quelques conseils :

Ne pas faire toutes les fiches d’un coup et ne pas commencer une semaine avant la rentrée. Vous pouvez

suivre les dates conseillées.

S’assurer que l’on maîtrise le cours de 1ère S avant de faire les exercices en s’interrogeant au brouillon

sur ce que l’on sait sur le sujet.

Essayer de faire un maximum de calculs sans votre calculatrice.

Si vous ne réussissez pas un exercice, n’abandonnez pas, allez rouvrir votre cours de 1ère S pour y

retrouver un exercice du même type.

Une correction de chaque exercice sera disponible sur le site du lycée fin août.

Dès la rentrée, vous pourrez consulter votre professeur afin d’obtenir des explications complémentaires.

La réalisation de ces exercices donnera lieu à une évaluation début septembre.

On pourra aussi consulter le cahier de vacances en ligne :

http://www.maths-et-tiques.fr/index.php/cours-en-videos/les30/1s-ts ,

un parcours de 30 heures, en 20 jours pour bien préparer l'année de terminale.

Bonnes vacances et bon courage.

I Lundi 20 août : le second degré

Exercice 1

Résoudre dans R les équations suivantes :

a) x²+3 x+2=0 b) 3 x² – 2 x+1=0 c) 4 x²+4 x+1=0

d) x – 1

3x+2=

2 x – 1

4 – x

Exercice 2

Un pré rectangulaire a un périmètre de 100 m. On se propose de déterminer les dimensions possibles de

ce pré pour que son aire soit supérieure ou égale à 621 m².

1) On note x et y les dimensions de ce pré avec x > y.

Exprimer y en fonction de x.

2) Vérifier que la condition sur l'aire de ce pré se traduit par l'inéquation x²50x+621≤0 .

3) Conclure.

Exercice 3

Résoudre, dans R les inéquations suivantes :

a) x²+3 x – 10 ≤0 b) 2 x ²+3 x+1≤0 c) x² – 4 x+4≥0

Exercice 4

On considère l’équation bicarrée (E) : x43 x²+2=0 .

1) Résoudre, dans R, l’équation (E') : X2 −3X +2 = 0

2) Déduire à partir des solutions de (E’), les solutions de (E).

Exercice 5

On dispose de deux résistors de résistances R1 et R2.

Rappels : La résistance équivalente est donnée par :

en série : en parallèle :

21 RRr +=

21

111

RRR+=

1) Si on connaît les valeurs de r et R, montrer que déterminer R1 et R2 revient à résoudre une équation du

second degré.

2) On sait que r = 10Ω et R = 2Ω. Déterminer R1 et R2.

3) Même question pour r = 4Ω et R = 1Ω.

R1

R2

R1

R2

II Mardi 21 août : les fonctions polynômes du second degré

Exercice 1

Soit h la fonction définie sur R par h(x) = 5x2 − 3x − 2

1) Factoriser h(x).

2) Donner la forme canonique de h(x).

3) En déduire parmi les graphiques suivants lequel est celui de la représentation graphique de h.

Justifier.

4) Donner alors les coordonnées des points remarquables A, B , C et D placés sur la figure

correspondante.

Exercice 2

Dans cet exercice, des affirmations sont faites. Certaines sont exactes et d’autres sont fausses. Pour

chaque affirmation, indiquer si elle est vraie (V) ou fausse (F). Aucune justification n’est demandée.

1) f est une fonction trinôme du second degré telle que, pour tout x∈R :

f(x) = ax2 + bx + c. ∆ est le discriminant de f. Le tableau des variations de f est donné ci-contre :

Affirmation 1 : L’équation f(x) = 0 possède 2 solutions α et β telles que : α < 1 < β.

Affirmation 2 : ∆ > 0.

Affirmation 3 : ∆ = b² – 4 a c .

Affirmation 4 : a < 0.

2) P est la parabole d’équation y = − x2 + 2x + 8.

Affirmation 1 : P coupe l’axe des abscisses en

A(4;0).

Affirmation 2 : L’abscisse du sommet S de P est : 1.

Affirmation 3 : L’équation − x2 + 2x + 8 = 0 a deux solutions de signes différents.

Affirmation 4 : L’inéquation x²+2x+8≤0 a pour ensemble de solutions : [ −2 ; 4 ].

3) Dans le repère ( ); ,O i j

, le vecteur de la translation qui permet d’obtenir la parabole

d’équation y = x2 + 3x – 1 à partir de la parabole d’équation y = x2 est :

Affirmation 1 : 3 13

2 4i j− −

Affirmation 2 : 3 13

2 4i j− +

Affirmation 3 : 3 13

2 4i j+

Affirmation 4 : 3 .

x − ∞ 1 + ∞

f(x)

−1

Exercice 3

On considère la fonction f définie sur R par f(x) = – 2x2 + 5x – 4. On appelle P sa courbe représentative

dans un repère orthonormé (O ; I , J ) dont la représentation graphique est donnée ci-dessous.

1) a) Donner la forme canonique de f, en déduire les coordonnées du sommet S de P.

b) Dresser le tableau de variation de la fonction f. Justifier.

2) On considère la fonction g définie sur R par g(x) = – 4x + 5.

Sur ce même graphique, tracer la courbe représentative de g.

3) a) Résoudre algébriquement l’inéquation f (x )≥g ( x) .

b) Donner une interprétation graphique du résultat précédent.

III Mercredi 22 août : calcul de dérivées

Donner les dérivées des fonctions suivantes :

1) Polynômes :

f 1(x)=3 x+2 , f 2(x )=4 x² – 4 , f 3( x)=2 x²+3 x+4 ,

f 4(x )=5 x3– 2 x² – 15 , f 5(x )=

x²

2+

x

3+5

2) Autres fonctions usuelles :

g1(x )=2+ x – 2√ x , g2(x )=2×1

x, g3( x)=

5

x+√ x , g4( x)= x² –

1

x, g5(x )=2 x

3+3

x

3) Produits :

h1( x)=(3 x+11)(4 – x) , h2( x)=(3 x²+3 x )(2 x+2) , h3( x)=1

x(3 – x² ) ,

h4(x )=2

x√ x , h5(x )=( x+1)×

1

x.

4) Quotients :

t 1( x)=3 – 2 x

x+1, t 2(x )=

x²+4 x – 1

2 x1, t 3(x )=

3

2 – x, t 4(x )= √ x

x+1, t 5( x)=

x² – 2 x+1

x ²5 x+6

IV Jeudi 23 août : études de fonctions

Pour chacune des fonctions suivantes, donner :

- son ensemble de définition,

- la dérivée de la fonction f ,

- l'équation des tangentes à la courbe de f en x = 1 et en x = 0 (quand elles existent) ,

- son tableau de variation.

1) f (x )=4 x² – 4 x – 3

2) f (x )=1

3x

3–

1

2x² –

1

2x+1

3) f (x )=x+2√ x

4) f (x )=( x – 4)√ x

5) f (x )=3 x² – 2 x – 2

2 x²+ x+1

6) f (x )=x+1

3x2

7) f (x )=x² – 3 x+1

x+1

V Vendredi 24 août : p roduit scalaire

Exercice 1 : Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on considère les points :

A ( -3 ; 2 ) , B (- 2 ; -2 ) , C (2 ; -1 ) et D ( 1 ; 3 )

1) Calculer le produit scalaire AB ⋅ AD

2) Démontrer que le quadrilatère ABCD est un rectangle.

Exercice 2 : Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on considère les points :

A ( -2 ; 3 ) , B ( 1 ; -4 ) et C (0 ; -2 ) .

1) Calculer le produit scalaire BA⋅ BC , BA et BC

2) En déduire une valeur approchée en degrés de l'angle géométrique ABC .

Exercice 3 :

Soit ABC un triangle équilatéral tel que AB = 6 cm . I, J et K sont respectivement les milieux des

segments [BC], [AC] et [AB] , M est le centre de gravité du triangle ABC.

1) Calculer BJ et BM

2) Calculer les produits scalaires AC ⋅ AB , AC ⋅ IC , MC ⋅ MA et CM ⋅ MI

Exercice 4 :

Soit ABC un triangle quelconque.

1) Démontrer que pour tout point M du plan, AM ⋅ BC + BM ⋅ CA + CM ⋅ AB=02) En déduire que les trois hauteurs du triangle ABC sont concourantes en un point H.

Exercice 5 : Formule d'Al Kashi

Dans le triangle ABC, on a AB = 5,3 cm, AC = 3,7 cm et BC = 7 cm .

Calculer les trois angles du triangle ABC en utilisant la formule d'Al Kashi.

VI Lundi 27 août : statistiques

Exercice 1 : Le bridge est un jeu de cartes à 4 joueurs qui possèdent chacun 13 cartes.

Avant de commencer les enchères, les joueurs doivent compter leurs points. Un as vaut 4 points, un

roi 3 points, une dame 2 points et un valet 1 point. Les autres cartes ne valent aucun point.

Lors d'un tournoi, Stéphanie note son nombre de points lors de ses 60 jeux :

13 ; 17 ; 3 ; 14 ; 4 ; 2 ; 11 ; 14 ; 10 ; 0 ; 12 ; 12 ; 8 ; 11 ; 16 ; 11 ; 6 ; 15 ; 5 ; 12 ;

10 ; 3 ; 7 ; 12 ; 4 ; 8 ; 9 ; 14 ; 8 ; 15 ; 14 ; 7 ; 15 ; 10 ; 8 ; 6 ; 17 ; 11 ; 11 ; 13 ;

14 ; 10 ; 3 ; 9 ; 8 ; 5 ; 9 ; 14 ; 9 ; 8 ; 5 ; 19 ; 20 ; 11 ; 10 ; 14 ; 7 ; 9 ; 11 ; 11.

Déterminer le 1er quartile Q1 , la médiane M, le 3ème quartile Q3 et la moyenne x de

cette série.

On pourra compléter le tableau suivant pour s'aider :

nombre

de points0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

effectifs

effectifs

cumulés

croissants

Exercice 2 : Un industriel souhaite utiliser un nouvel engrais pour sa production de fleurs ;

les tailles des tiges doivent être homogènes ;

ainsi il se fixe comme contrainte : σ < 10 , où σ est l'écart-type.

Voici les résultats avec son nouvel engrais :

Taille des tiges (en cm) Effectif

[40 ; 50[ 15

[50 ; 60[ 36

[60 ; 65[ 33

[65 ; 70[ 45

[70 ; 90[ 21

a) Calculer la taille moyenne des tiges, la variance, puis l'écart-type de cette série

(on pourra utiliser la calculatrice en indiquant quelles listes ont été entrées).

b) L'industriel va-t-il adopter cet engrais ?

Exercice 3

Dans un lycée, on étudie les moyennes trimestrielles du premier trimestre de deux classes appelées

respectivement SA et SB.

Partie 1

Sur le diagramme en bâtons ci-dessous on a reporté les moyennes trimestrielles obtenues par 25

élèves de la classe SA au premier trimestre :

1) Déterminer la médiane Me, le premier quartile Q1 et le troisième quartile Q3 de cette série

statistique de moyennes trimestrielles.

2) Calculer la moyenne trimestrielle et l'écart type de la classe SA.

VII Mardi 28 août : trigonométrie

Exercice 1

Résoudre dans ℝ les équations suivantes :

cos x=√2

2 ; sin x=

1

2 ; cos x=√3

2 ; sin x=1 .

Exercice 2

Déterminer les valeurs principales de chacun des angles : 42 π

4 ;

23π

4.

Exercice 3

Soit MNPQ un carré direct de centre K. Déterminer les mesures des angles orientés suivants :

( KN , KM ) ; ( PN , MQ) ; ( KP , NQ ) .

Exercice 4

On considère les points A, B, C, D, E et F tels que ( AB , AC )=π

12 ; ( AB , AE )=2 π

3 ;

( AD , AE )= 11π

12 ; ( AF , AD)=7 π

12 .

a) Calculer ( AC , AD ) (on pourra utiliser la relation de Chasles). En déduire la nature du triangle ACD.

b) Démontrer que A, B et F sont alignés. Dans quel ordre ?

Exercice 5

Dans le plan muni d’un repère orthonormal (O ; i , j ) direct on considère les points :

A( √3 ; 1) et B(-3 ; -3) en coordonnées cartésiennes , et le point C tel que OC = 4 et ( i ,OC )= 2π

3

( On dit que les coordonnées polaires de C sont : C(4 ;2π

3 ) )

1) Placer les points A, B et C (unité graphique : 1 cm).

2) Déterminer les coordonnées polaires de A et B

(c'est à dire calculer OA , ( i , OA) , OB , ( i ,OB ) )

3) Déterminer les coordonnées cartésiennes de C.

Exercice 6

Soit x un réel.

Exprimer les nombres suivants en fonction de cosx et/ou sinx.

A = cos(2 x) + cos(2π + x) + 2 sin(π + x).

B = 3 cos(π + x) + 5 sin(2 x) + 2 sin(−x)

VIII Mercredi 29 août: équations de droites

Exercice 1

1. Déterminer l' équation de la droite D1 passant par le point A(-1;1) et de vecteur directeur u(3

2) .

2. Déterminer l'équation de la droite D2 passant par les points B (2;3) et C (-3;5) .

3. Soit D3 la droite d'équation 3 x+ 2 y –6=0 . Donner un vecteur directeur et un point de D3 .

4. On donne les trois droites d'équations D4 :2 x –5

2y+ 3=0 ; D5 : 4 x+ 5 y+ 6=0 et

D6 :5 x – 2 y+ 3=0 . Déterminer la position relative de ces trois droites (parallèles ou sécantes).

5. Soient E(7

2 ;0) , F( 1

2 ;

4

3) et G( 5

2 ; 2) . Les points E, F et G sont-ils alignés ? Justifier.

6. Déterminer l'équation de la droite D7 passant par le point A ( - 1 ; 1 ) et parallèle à la droite D4 .

Exercice 2

ABCD est un parallélogramme, I est le milieu de [BC], R est le point d'intersection des droites (AI) et (BD),

S est le point d'intersection des droites (DI) et (AC).

On se propose de prouver que les droites (RS) et (AD) sont parallèles, puis de comparer les distances RS et AD.

On se place dans le repère (A ; AB , AD) .

a) Déterminer une équation de chacune des droites (AC) , (BD), (AI) et (DI).

b) Calculer les coordonnées de R et S.

c) Répondre aux questions posées.

Exercice 3

Donner la (ou les) bonne(s) réponse(s)

1) La droite d'équation x − 2 = 0 passe par le point de coordonnées :

a) A(0;2) b) B(2;0) c) C(2;2) d) D(0;0)

2) La droite (d) a pour équation cartésienne x +y − 1 = 0.

Elle admet aussi l'équation cartésienne :

a) 3x + 2y − 1 = 0 b) x + y + 3 = 0 c) −x − y + 1 = 0 2x + 3y − 6 = 0

3) La droite d'équation cartésienne ax + by + c = 0 a pour vecteur directeur le vecteur de coordonnées :

a) (b;a) b) (−b;a) c) (b;−a) d) (−b;−a)

Exercice 4

Soit A(−1;1), B(3;7) et C(4;−2).

1) Déterminer une équation des médianes issues de A et de C dans le triangle ABC.

2) En déduire les coordonnées du centre de gravité du triangle ABC.

Exercice 5

Le dessin ci-contre représente trois carrés ABGH,

BCFG et CDEF. I est le milieu de [AG] et les

droites (AE) et (BG) sont sécantes en J.

Prouver que les points I, J et C sont alignés.

IX Jeudi 30 août : Probabilités

Exercice 1

Un sac contient des jetons numérotés 2,3, 6 et 9 (il y a donc 4 jetons). On tire au hasard un jeton,

on le remet dans le sac puis on tire un autre jeton.

Soit X la variable aléatoire correspondant à la somme des chiffres marqués sur les deux jetons.

a) Faire un tableau avec les résultats possibles.

b) Donner la loi de probabilité de X .

c) Calculer P ( X ≥10) et P ( X < 9)

d) Calculer l'espérance et l'écart-type de X .

Exercice 2

Dans une région pétrolière, la probabilité qu'un forage conduise à une nappe de pétrole est 0,1.

On effectue 9 forages.

Soit X la variable aléatoire définie par le nombre de forages conduisant à une nappe de pétrole.

a) Donner la loi de probabilité de X

b) Donner la probabilité à 0,0001 près d'avoir 5 forages gagnants .

c) Combien de forages gagnants peut-on espérer en moyenne sur les 9 forages effectués ?

Exercice 3

Un fabricant produit et vend 125 tondeuses par mois. Le coût de fabrication d'une tondeuse est de 160€ par

machine. Le fabricant fait réaliser un test de conformité, dans les mêmes conditions, sur chacune de ses

machines. Le test est positif pour une tondeuse dans 92% des cas.

Ainsi, si la tondeuse est conforme, elle est vendue 250 €.

Si le test est négatif, la tondeuse est bradée à un sous-traitant à 100€.

Quel est le bénéfice mensuel moyen que le fabricant peut espérer ?

(on pourra appeler X la variable aléatoire qui indique le nombre de tondeuses conformes parmi les 125

tondeuses produites. Après avoir exprimé le prix de vente en fonction de X, puis avoir calculé le coût total de

fabrication, exprimer le bénéfice, que l'on pourra noter Y , en fonction de X )

Exercice 4

Une urne contient 10 boules blanches et m boules rouges, m étant un entier supérieur ou égal à 2.

Un joueur tire successivement et avec remise n boules de l'urne. Pour chaque boule blanche tirée, il gagne 2 € et

pour chaque boule rouge tirée, il perd 3 € . On désigne par G la variable aléatoire égale au gain du joueur.

1. On suppose que n = 2

a) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire G .

b) Calculer l'espérance de G en fonction de m.

c) Pour quelles valeurs de m, le jeu est-il favorable ?

2. On suppose maintenant que n = 20

On note X la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches tirées.

a) Quelle est la loi de probabilité de X ?

b) Déterminer l'espérance de X.

c) Exprimer la variable aléatoire G en fonction de la variable aléatoire X. En déduire l'espérance de G .

d) Pour quelles valeurs de m, le jeu est-il favorable ?

Exercice 5

Un joueur lance une pièce parfaitement équilibrée trois fois de suite;

1) Donner une représentation de la situation

2) On considère l'algorithme suivant :

Variables

A, B et C sont des entiers naturels

Début

Affecter à A un entier aléatoire entre 1 et 2

Affecter à B un entier aléatoire entre 1 et 2

Si A ≠ B

Alors afficher "Perte de 20€"

Sinon Affecter à C un entier aléatoire entre 1 et 2

Si A ≠ C alors afficher "Perte de 20€"

Sinon afficher "Gain de 30€"

FinSi

FinSi

Fin

On appelle X la variable aléatoire donnant le gain (positif ou négatif) du joueur.

a) Expliquer les règles du jeu.

b) Donner la loi de probabilité de X.

c) Calculer l'espérance mathématique de cette loi. Le jeu est-il équitable ?

d) Combien le joueur devrait-il perdre (même valeur dans les deux cas) pour que le jeu soit équitable ?

X Vendredi 31 août : suites

Exercice 1 : Soit (un) la suite définie par : u0=1 et un+ 1=1

2un+

1

4

a ) Représenter graphiquement les premiers termes de la suite (un)(on prendra une échelle de 10 cm pour 1 unité sur chaque axe)

b) Conjecturer grâce à ce graphique le sens de variation et la limite éventuelle de la suite (un)

Exercice 2 : On définit la suite (un) par u0=2 et un+1=un ² – 1

a) Calculer les premiers termes de la suite (un):u1 , u2 et u3 .

b) Ecrire la relation reliant u4 à u3 , puis la relation reliant un à un – 1 .

Exercice 3 :

Etudier les variations de la suite (un) définie par un=1+1

n pour tout entier naturel n non nul.

Exercice 4 :

La suite (un) est définie sur ℕ par u0=0 et la relation un+ 1=2 un+ 3

un+ 4 .

1. Calculer u1 , u2 , u3 et u4 .

2. Donner une représentation graphique des premiers termes de la suite en utilisant la droite d'équation y=x

et la fonction f définie par : f (x )=2 x+ 3

x+ 4 sur [ 0 ; 1 ] . On prendra pour échelle sur les axes de

coordonnées : 1 unité = 10 cm .

3. Pour tout entier naturel n , on définit la suite (vn) par vn=un – 1

un+ 3

a) Montrer que la suite (vn) est géométrique de raison 1

5 . On précisera son premier terme.

b) En déduire la limite de la suite (vn) et son sens de variation. Donner l'expression de vn en fonction de n.

c) Soit Sn=v0+ v1+ …+ vn la somme des premiers termes de la suite (vn) .

Donner l’expression de Sn . Déterminer la limite de la suite (Sn) .

4. a) Montrer que un=1+ 3 vn

1 – vn

. En déduire le comportement à l’infini de la suite (un) .

b) Déterminer la plus petite valeur de n telle que ∣un – 1∣< 105