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Exercices de kholle 2017-2018

MP2

Lycée ChateaubriandGRELA Fabrice

MP

Table des matières1 Séries numériques. 4

1.1 Questions de cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Transformée d’Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Autour du lemme de Césaro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Dérivation des fonctions réelles et convexité. 72.1 Révisions sur la dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Intégration. 93.1 Intégrabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2 Théorèmes de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4 Algèbre. 134.1 Questions de cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.2 Algèbre linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.3 Formes linéraires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.4 Idéaux et arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5 Suites et séries de fonctions. 165.1 Suites de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165.2 Séries de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

6 Réduction des endomorphismes. 196.1 Eléments propres et endomorphismes diagonalisables . . . . . . . . . . . . . . . . . 196.2 Polynômes caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206.3 Du calcul ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216.4 Polynômes d’endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236.5 Oraux de concours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

7 Espace vectoriel normé. 257.1 Questions de cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257.2 Normes et distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257.3 Continuité des applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

8 Séries entières. 28

9 Ensemble dénombrable et famille sommable. 319.1 Dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319.2 Familles sommables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

10 Probabilités. 3410.1 Questions de cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3410.2 Du calcul ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3410.3 Fonction génératrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

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11 Topologie des espaces vectoriels normés. 3911.1 Questions de cours (première partie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3911.2 Questions de cours (deuxième partie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3911.3 Adhérence, intérieur et densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3911.4 Ouvert et fermé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4011.5 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4111.6 Compacité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4111.7 Connexité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

12 Espace préhilbertien réel. 4412.1 Cauchy-Schwartz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4412.2 Projection orthogonale, famille orthogonale et automorphisme orthogonal . . . . . . 4412.3 Adjoint et endomorphisme symétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

13 Equation différentielle. 4813.1 Révisions : du calcul ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4813.2 Plus théorique... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4913.3 Oraux de concours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

14 Intégrales à paramètre. 51

15 Calcul différentiel 5315.1 Des exercices classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5315.2 Plus difficile... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

16 Groupes, anneaux et corps. [A COMPLETER] 55

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MP

1 Séries numériques.

1.1 Questions de cours

Cours 1 :Enoncer et démontrer le critère de Riemann pour les séries numériques.

Cours 2 :Enoncer et démontrer la règle de D’Alembert pour les séries numériques.

Cours 3 :Enoncer et démontrer le lemme de la moyenne de Césaro.

1.2 Généralités

Exercice 1.1 : I

Déterminer la nature des séries dont les termes généraux sont

un =n

n2 + 1; vn =

(n

n+ 1

)n2

; wn = ln

(1 +

(−1)n

n

).

Exercice 1.2 : I

Déterminer la nature des séries dont les termes généraux sont

un = ln

(n2 + n+ 1

n2 + n− 1

); vn = e−n

2

; wn =(−1)n

n+ (−1)n−1.

Exercice 1.3 : I

Déterminer un équivalent den∑k=3

1

k ln(k)quand n→ +∞.

Exercice 1.4 : I I

Etudier la nature des séries dont le terme général est :

1. un =

(1

n

)1+1/n

;

2. un =(−1)n∑n

k=1 1/√k + (−1)n−1

.

Exercice 1.5 : II

Soit α ∈ R. Etudier, en fonction de α, la nature de la série de terme général

un =1 + (−1)nnα

n2α.

4

MP

Exercice 1.6 : II

Soit (an)n≥0 une suite de réelles à termes positifs.Montrer que les séries

∑an et

∑ an1 + an

ont même nature.

Exercice 1.7 : II

Soient (an) une suite positive et (un) la suite définie par u0 > 0 et pout tout n ∈ N, un+1 = un+anun

.

Montrer que la suite (un) est convergente ssi∑an converge.

Exercice 1.8 : I I I

Soit (un)n une suite de réels positifs et soit α > 1/2. On suppose que∑

n≥2 u2n converge. Montrer

que la série suivante converge : ∑n≥2

un√n(lnn)α

.

Exercice 1.9 : Mines III

Montrer qu’il existe un réel C > 0 tel quen∏k=2

(1 +(−1)k√

k) ∼ C√

nquand n tend vers +∞.

Exercice 1.10 : Centrale III

On pose un = 1/pn où pn est le n-ième nombre premier. Montrer que la série de terme général undiverge.

Indication : ConsidérerN∑n=1

ln

(1

1− pn

).

1.3 Transformée d’Abel


On donne une suite réelle (an). On suppose que les séries∑an et

∑|an+1 − an| convergent. On

suppose que a0 = 0.Montrer que

∑a2n converge.


Soit zn le terme général d’une série complexe convergente. Montrer que∞∑k=n

zkk

= o(1

n).

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MP

1.4 Autour du lemme de Césaro

Exercice 1.13 : I I

Soit (un) une suite réelle. On suppose que (un) converge vers une limite notée l. On pose :

vn :=u1 + 2u2 + ...+ nun

n2.

Déterminer la limite de vn.

Exercice 1.14 : I I

Soit (un) une suite de réels strictement positifs.On suppose que

un+1

un7→ l ∈]0,+∞[. Montrer que n

√un 7→ l.

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2 Dérivation des fonctions réelles et convexité.

2.1 Révisions sur la dérivation

Exercice 2.1 : I

1. Rappeler l’énoncé et la démonstration du théorème de Rolle.2. Application : Soit P un polynôme réel de degré n strictement positif ayant toutes ces racines

réelles et distinctes. Montrer que le polynôme dérivé à également toutes ses racines réelles etdistinctes.

Exercice 2.2 : I

Soit a > 0 et f une fonction réelle continue sur [0, a] et dérivable sur ]0, a]. On suppose que f(0) = 0et que f(a)f ′(a) < 0. Montrer qu’il existe c ∈]0, a[ tel que f ′(c) = 0.

Exercice 2.3 : Règle de l’Hopital. I I

Soient f, g : [a, b]→ R deux fonctions dérivables et continues. On suppose que pour tout x ∈ [a, b],g′(x) 6= 0.

1. Montrer que g(a) 6= g(b).

2. Montrer qu’il existe c ∈]a, b[ tel quef(b)− f(a)

g(b)− g(a)=f ′(c)

g′(c).

2.2 Convexité

Exercice 2.4 : I

Soient f et g deux fonctions réelles définies sur R. On suppose que f est concave et g concave etcroissante. La fonction gof est-elle concave ou convexe ?

Exercice 2.5 : I

Soit f : R→ R une fonction convexe strictement croissante et dérivable.Montrer que f tend vers +∞ en +∞.

Exercice 2.6 : I

Soit f : I → R une application continue strictement décroissante et convexe. Montrer que f−1 :f(I)→ I est une application convexe.

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MP

Exercice 2.7 : I I

Soit f ∈ C2(R,R).A-t-on f strictement convexe ssi f ′′ > 0 ?Si oui, le démontrer, sinon donner un contre-exemple.

Exercice 2.8 : I I

Soient x1, ..., xn, y1, ..., yn des réels positifs. Montrer que :

(x1...xn)1/n + (y1...yn)1/n ≤ ((x1 + y1)× ...× (xn + yn))1/n .

Exercice 2.9 : I I

Montrer que pour tout x1, ..., xn ∈ R∗+,

1 +

(n∏k=1

xk

)1/n

≤

(n∏k=1

1 + xk

)1/n

.

En déduire que pour tout a1, ..., an, b1, ..., bn ∈ R∗+,(n∏k=1

ak

)1/n

+

(n∏k=1

bk

)1/n

≤

(n∏k=1

(ak + bk)

)1/n

.


Soient p, q > 0 tel que1

p+

1

q= 1. Montrer que pour tout x, y ∈ Rn :

n∑k=1

|xkyk| ≤

(n∑k=1

|xk|p)1/p( n∑

k=1

|yk|q)1/q

.

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3 Intégration.

3.1 Intégrabilité

Exercice 3.1 : I

Soient f, g ∈ C([a, b],R). On suppose que g est positive.Montrer qu’il existe ξ ∈ [a, b] tel que ∫ b

a

fg = f(ξ)

∫ b

a

g.

Exercice 3.2 : I I

Etudier l’existence des intégrales suivantes.

1.∫ +∞

1

(e−

(1 +

1

x

)x)dx ;

2.∫ +∞

0

e−x2

√xdx ;

3.∫ +∞

0

sin3(x)

x2dx.

Exercice 3.3 : I I


1.∫ +∞

0

lnx

x+ exdx;

2.∫ +∞

1

e−√x2−xdx;

3.∫ +∞

0

ln(1 + x2)

x2dx.

Exercice 3.4 : I I


1.∫ +∞

0

x− lnxdx ;

2.∫ +∞

0

lnx

x2 − 1dx ;

3. Déterminer les valeurs du paramètre a ∈ R+∗ pour lesquelles l’intégrale suivante converge :∫ +∞

1

ax

1 + a2xdx.

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Exercice 3.5 : I I

Etudier la convergence de l’intégrale suivante :∫ 1

0

1

xsin

(1

x

)dx.

Exercice 3.6 : I I

Soit f une fonction de classe C1 par morceaux. On suppose que f et f ′ sont intégrables. Montrerque lim

x→∞f(x) = 0.

Exercice 3.7 : I I

Calculer limn→∞

2n∏k=n+1

k1/k := un.

Exercice 3.8 : I I

On pose F (x) =

∫ +∞

0

e−t − e−xt

tdt.

1. Montrer que pour tout x > 0, F (x) est bien définie.

2. Montrer que l’application t 7→ e−t − 1

tadmet une limite en 0. En déduire

limε→0+

∫ xε

ε

e−t

tdt.

3. Calculer F (x) pour tout x > 0.

Exercice 3.9 : I I

Le but de l’exercice est de calculer l’intégrale∫ +∞

0

sin3(x)

x2dx.

1. Montrer que l’intégrale est bien définie.2. Montrer qu’il existe α, β ∈ R tel que sin3(t) = α sin(t) + β sin(3t).3. Montrer que :

limε→0+

[

∫ 3ε

ε

sin(u)

u2du−

∫ 3ε

ε

du

u] = 0.

4. Conclure.

Exercice 3.10 : I I

En admettant que I0 =√π, calculer pour tout n > 0,

In =

∫ +∞

−∞e−t

2

t2ndt.

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Exercice 3.11 : I I

Soit f ∈ C2([0,+∞[,R). On suppose f et f ′′ intégrables.1. Montrer que lim

x→+∞f ′(x) = 0.

2. Montrer que f × f ′ est intégrable.

Exercice 3.12 : I I

Soit f : [0,+∞[→ R une fonction de classe C1. On suppose que f 2 et f ′2 sont intégrables. Déter-miner la limite de f en +∞.

3.2 Théorèmes de Lebesgue

Exercice 3.13 : CCP I I

1. Montrer que pour tout n ∈ N, pour tout x ∈ [0, n], on a(

1− x

n

)n≤ e−x ≤

(1 +

x

n

)−n.

2. Pour tout n ∈ N, on pose

In :=

∫ n

0

(sinx)(

1− x

n

)ndx.

Etudier l’existence et la valeur de la limite de la suite (In)n∈N.

Exercice 3.14 : Centrale I I

On pose pour tout n ∈ N∗, In :=∫ +∞0

dx

(1 + x3)n. Etudier la nature de

∑In.

Exercice 3.15 : Mines I I

Montrer que+∞∑n=1

a

a2 + n2=

∫ +∞

0

sin ax

ex − 1dx pour tout a ∈ R.


Soit (an)n une suite croissante de réels strictement positifs tel que limn→+∞

an = +∞.

1. Montrer que la fonctionf : R∗+ → R

x 7→∞∑n=0

(−1)ne−anxest bien définie.

2. Montrer que∫ +∞

0

f(x)dx =+∞∑n=0

(−1)n

an.

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MP


On pose pour n ≥ 1, un :=

∫ 1

0

1

(1 + t4)ndt. Etudier la nature de

∑un.

Exercice 3.18 : I I

Montrer que la fonction fn définie par

fn(x) =ln(1 + x/n)

x(1 + x2)

est intégrable sur R∗+.Montrer que la suite de terme général un = n

∫ +∞0

fn(x)dx converge vers une limite à préciser.


Soit f : [0,+∞[→ R une fonction continue.1. On suppose qu’il existe a ∈ R et M ≥ 0 tel que pour tout x ∈ [M,+∞[, |f(x)| ≤ eax.

Montrer que limn→+∞

∫ +∞0

e−nxf(x)dx = 0.

2. On suppose que f est bornée. Montrer que

limn→+∞

n

∫ ∞0

e−nxf(x)dx = f(0).

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4 Algèbre.


Cours 1 :Enoncer et démontrer la formule de Grassmann.

Cours 2 :Montrer que si f et g sont deux endomorphismes qui commutent alors les espaces propres de fsont stables par g.

Cours 3 :Soit f ∈ L(E,F ).

1. Montrer que f réalise un isomorphisme de tout supplémentaire deKer(f) dans E vers Im(f).2. Démontrer le théorème du rang.

4.2 Algèbre linéaire

Exercice 4.1 : I

Soit φ : R[X]→ R[X] une application qui a un polynôme P associe le reste de la division euclidiennede P par X(X − 1)(X − 2).

1. Montrer que φ est linéaire.2. Montrer que φ est un projecteur. Déterminer Ker(φ) et Ker(φ− Id).

Exercice 4.2 : I I

Soient E et F des ev de dimension finie. Soit f ∈ L(E,F ).1. Montrer que si V est un sev de E alors dim(f(V )) = dim(V )− dim(V ∩Ker(f)).2. Montrer que si W est un sev de F alors dim(f−1(W )) = dim(W ∩ Im(f)) + dim(Ker(f)).

Exercice 4.3 : I I

Soit E un ev de dimension n et soit u ∈ L(E).On pose F := v ∈ L(E) | u o v = 0.Déterminer la dimension de F .

Exercice 4.4 : I I

Soient E et F deux ev de dimensions finies. SoitW un sev de E. Soit A l’ensemble des applicationslinéaires de E dans F s’annulant surW . Après avoir vérifié que A est un ev, déterminer la dimensionde A.

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MP

Exercice 4.5 : I I

Soit p un projecteur d’un ev de dimension finie E. Montrer que Tr(p) = rg(p).

Exercice 4.6 : I I

Soient a1, ..., an des réels. Calculer le déterminant de la matrice de Vandermonde :

Vn =

1 a1 a21 ... an−11

1 a2 a22 ... an−12...

......

......

. . . . .

1 an a2n ... an−1n

.


On définit une matrice par bloc M =

(Ir B

C D

)∈Mn(R) où Ir ∈Mr(R) est la matrice identité

(avec r < n).1. Montrer que rg(M) ≥ r.2. Montrer l’équivalence : rg(M) = r ⇔ D = CB.

4.3 Formes linéraires

Exercice 4.8 : I I

Soit E un ev de dimension finie n. Soient u, v ∈ E∗ tel que Ker(u) 6= Ker(v). Déterminer lesdimensions de Ker(u) + Ker(v) et de Ker(u) ∩ Ker(v). Représenter sur un dessin le cas oùE = R2.

Exercice 4.9 : I I

Soit H un sev de E un R-ev de dimension finie n. Montrer l’équivalence :

H est de dimension n− 1⇔ ∃φ ∈ E∗, φ 6= 0 tel que H = Ker(φ).

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Exercice 4.10 : I I

Soit E = Rn[x] et n+ 1 scalaires 2 à 2 distincts x0, ..., xn.1. Montrer que la famille L = (Li)0≤i≤n de polynômes définis par

Li(x) =n∏

j=0,j 6=i

x− xjxi − xj

∀i ∈ [|1, n|]

est une base de E.2. Déterminer une base duale de L.3. On suppose que pour tout i, xi ∈ [a, b].

Montrer qu’il existe des constantes réelles uniquement déterminées α0, ..., αn tel que pourtout P ∈ Rn[X], ∫ b

a

P (t)dt =n∑j=0

αjP (xj).

4. Traiter le cas n = 2, x0 = a, x1 =a+ b

2et x2 = b.


On appelle bidual de E l’espace vectoriel dual de E∗. On définit l’application :Ψ : E → (E∗)∗

x 7−→ Ψx : E∗ → R....... ........................f 7→ f(x).Vérifier que cette application définie un isomorphisme. Que pouvez-vous dire sur la dimension deE et de (E∗)∗ ?

Exercice 4.12 : Théorème de Dini I I I

Soit (fn)n≥0 une suite de fonctions croissantes réelles, continues et définies sur un segment [a, b] deR. Si (fn)n converge simplement vers une fonction continue f sur [a, b], montrer que la convergenceest uniforme.

4.4 Idéaux et arithmétique

Exercice 4.13 : I I

Soit (A,+,×) un anneau. Montrer que Nil(A) = x ∈ A | ∃n ∈ N∗ xn = 0 est un idéal de A.

Exercice 4.14 : I I

Soit K un corps. Montrer que les idéaux de K[X] sont principaux.

Exercice 4.15 : I I

Montrer que les idéaux de Z sont principaux.

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MP

5 Suites et séries de fonctions.

5.1 Suites de fonctions

Exercice 5.1 : I

Etudier la convergence simple et uniforme de fn(x) =1

1 + (x+ n)2pour tout x ∈ R.

Exercice 5.2 : I

Etudier la convergence simple et uniforme de fn(x) =n√πe−n

2x2 sur ]0,+∞[.

A t’on convergence uniforme sur tout segment inclu dans ]0,+∞[ ?

Exercice 5.3 : I

Etudier la convergence simple et uniforme de fn(x) =sin(nx)

1 + n2x2sur [a,+∞[ pour tout a > 0 puis

sur ]0,+∞[.

Exercice 5.4 : I I

Soit f : R→ R une fonction continue. Montrer que si (Pn)n∈N est une suite de polynômes conver-geant uniformément vers f alors (Pn × f)n converge uniformément vers f 2 sur tout segment deR.


Soit f ∈ C2([1,+∞[,R). Il existe M > 0 tel que |xf ′′(x)| ≤ M pour tout x ≥ 1. Pour tout x ≥ 1,pour tout n ∈ N∗, on pose fn(x) =

n

x[f(x+

x

n

)−f(x)]. Etudier la convergence simple et uniforme

de (fn)n≤1.


Pour tout n ∈ N, on définit fn : [a, b] → R des fonctions continues tel que (fn)n cvs vers 0. Onsuppose que pour tout x ∈ [a, b], (fn(x))n est décroissante.

1. Justifier l’existence de limn→+∞

||fn||∞.

2. Justifier que pour tout n ∈ N, il existe xn ∈ [a, b] tel que ||fn||∞ = fn(xn).3. Montrer que ||fn||∞ → 0. Conclure.

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MP


On appelle indicatrice de Q, la fonction, notée 1Q définie par :

1Q(x) =

1 si x ∈ Q0 sinon

Montrer que 1Q est limite simple de limites simples de fonctions continues.

5.2 Séries de fonctions


On considère (un)n≥1 définies sur [0, 1] par un(x) = ln(

1 +x

n

)− x

n.

1. Montrer que la somme S de la serie∑un est dérivable sur [0, 1].

2. Calculer S ′(1).

Exercice 5.9 : I I

On pose f(x) =∞∑n=0

e−x√n.

1. Déterminer l’ensemble de définition de f .2. Etudier la continuité de f .3. Calculer la limite de f en +∞.4. Trouver un équivalent de f en 0+.

Exercice 5.10 : I I

Pour x > 0, on pose S(x) =+∞∑n=1

1

n+ n2x.

1. Montrer que S est bien définie sur R∗+.2. Montrer que S est continue.3. Calculer la limite de S en +∞.4. Déterminer un équivalent de S en 0.

Exercice 5.11 : I I

Pour x ∈ R, on pose S(x) =+∞∑n=1

(−1)n−1x

n+ x2.

1. Montrer que la fonction S est bien définie.2. Montrer que la fonction S est continue.3. Déterminer la limite de S en +∞.

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MP

Exercice 5.12 : CCP I I I

On considère∑fn où fn(x) =

cosn(x) sin(nx)

n.

1. Etudier la CVS de∑fn sur R.

2. Montrer que la somme S de cette série C1 sur R\πZ.3. Calculer explicitement S ′(x) puis dessiner S(x).


On pose f(x) =+∞∑n=1

(−1)n

nx.

Montrer que f est bien définie puis que f est C∞ sur ]0,+∞[.


Pour n ≥ 1 et x ∈ R, on pose un(x) = (−1)n ln

(1 +

x2

n(1 + x2)

).

1. Etudier la convergence uniforme de la série de fonctions∑un.

2. Déterminer la limite de sa somme en +∞.


Déterminer la limite quand n→ +∞ de

un =n∑k=0

(k

n

)n.


Pour x > 0, on pose S(x) =+∞∑n=0

n∏k=0

1

x+ k.

1. Montrer que S est définie et continue sur ]0,+∞[.2. Trouver une relation entre S(x) et S(x+ 1).3. Trouver un équivalent de S(x) en +∞ et en 0.

18

MP

6 Réduction des endomorphismes.

6.1 Eléments propres et endomorphismes diagonalisables

Exercice 6.1 : I

Soient u et v deux endomorphismes d’un R-ev E de dimension finie. Montrer que si λ est unevaleur propre de uov alors λ est une valeur propre de vou.

Exercice 6.2 : I

Soit f un endomorphisme d’un R-ev E de dimension finie.Montrer que 0 /∈ Sp(f)⇔ f surjective.

Exercice 6.3 : I I

Soit E un ev de dimension finie n. Soient u, v ∈ L(E) tel que uov = vou. On suppose que u admetn valeurs propres distinctes. Montrer que v est diagonalisable.

Exercice 6.4 : I I

Soient u, v deux endomorphismes d’un espace vectoriel réel E.1. Si λ 6= 0 est une valeur propre de u o v, montrer que λ est vp de v o u.2. Soit P ∈ R[X]. On pose u(P ) = P ′ et v(P ) =

∫ X0P (t)dt. Vérifier que ces applications

définissent bien des endomorphismes. Déterminer Ker(uov) et Ker(vou).3. Montrer que 1. est vraie pour λ = 0 si E est de dimension finie.

Exercice 6.5 : I I

Soit u un endomorphisme d’un R-ev E tel que tout vecteur non-nul soit un vecteur propre de u.Montrer que u est une homothétie vectorielle.

Exercice 6.6 : I I

Soit (a1, ..., an−1) ∈ Cn−1. On pose A =

0 · · · 0 a1... . . . ...

...0 · · · 0 an−1

a1 · · · an−1 0

.

1. Calculer le rang de A.2. En étudiant la trace de A, que pouvez-vous dire sur les valeurs propres de A ?3. A est-elle diagonalisable ?

19

MP

Exercice 6.7 : I I

Soit A ∈ Mn(R) vérifiant rg(A) = 1. Montrer qu’il existe λ ∈ R tel que A2 = λA et que λ estvaleur propre de A.


Soit A = (ai,j) ∈ Mn(R) vérifiant pour tout i, j ∈ 1, ..., n, ai,j > 0 et pour tout i ∈ 1, ..., n,∑nj=1 ai,j = 1.1. Montrer que 1 ∈ Sp(A).2. Montrer que si λ ∈ C est vp de A alors |λ| ≤ 1.3. Montrer que si λ ∈ C est vp de A et vérifie |λ| = 1 alors λ = 1.

6.2 Polynômes caractéristiques

Exercice 6.9 : I

Montrer que deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique. Etudier la réci-proque.

Exercice 6.10 : I

Soit F un sev stable par un endomorphisme u d’un K-ev E de dimension finie.Montrer que le polynôme caractéristique de l’endomorphisme induit par u sur F divise le polynômecaractéristique de u.

Exercice 6.11 : I I

Soient p ∈ N∗ et a0, ..., ap−1 ∈ R. On appelle matrice compagnon du polynôme P (X) = Xp +ap−1X

p−1 + ...+ a0 la matrice

Cp =

0 · · · 0 0 −a01 0 · · · 0 −a10 1

. . . 0 −a2... . . . . . . ...

...0 · · · 0 1 −ap−1

.

Calculer le polynôme caractéristique de Cp.

20

MP

Exercice 6.12 : I I

Soit A ∈ GLn(R) de polynôme caractéristique χA. Montrer que pour tout x ∈ R∗,

χA−1(x) =xn

χA(0)χA(

1

x).

Exercice 6.13 : I I

Soit n ≥ 2 et f ∈ L(Cn) un endomorphisme de rang 2. Exprimer le polynôme caractéristique de fen fonction de tr(f) et tr(f 2).


Soient A,B ∈Mn(C).1. Montrer que χBA = χAB lorsque A ∈ GLn(C).2. Même question pour A ∈Mn(C).

6.3 Du calcul !

Exercice 6.15 : I

On pose A =

0 −1 0

−1 0 0

1 1 1

. Diagonaliser A.

Exercice 6.16 : I

On pose A =

3 0 −1

2 4 2

−1 0 3

. Diagonaliser A.

Exercice 6.17 : I

On pose A =

4 −6 −3

0 1 0

6 −12 −5

. Diagonaliser A.

Exercice 6.18 : I I

Déterminer les valeurs propres de la matrice

0 · · · 0 1... . . . ...

...0 · · · 0 1

1 · · · 1 1

.

21

MP

Exercice 6.19 : I I

On pose A =

1 3 0

3 −2 −1

0 −1 1

. Combien y’a t-il de matrices M telle que M2 = A dans Mn(C) ?

dans Mn(R) ?

Exercice 6.20 : I I

On pose A =

2 −1 0

−1 0 2

−1 −2 4

.

Déterminer les solutions de l’équation M2 +M = A.

Exercice 6.21 : I I On appelle commutant de A ∈Mn(R) l’ensemble

C(A) = M ∈Mn(R) | MA = AM.

Déterminer le commutant de

1 0 −1

1 2 1

2 2 3

.


Soit A la matrice

A =

3 2 4

−1 3 −1

−2 −1 −3

et f l’endomorphisme de R3 associé.

1. La matrice A est-elle diagonalisable ?2. Déterminer les sous-espaces propres et caractéristiques de A.3. Démontrer qu’il existe une base de R3 dans laquelle la matrice de f est

B =

−1 0 0

0 2 1

0 0 2

.

4. Montrer qu’il existe une matrice diagonalisable D et une matrice nilpotente N tel que DN =ND et A = D + N . Cette décomposition s’appelle décomposition de Dunford de la matriceA.

5. Calculer l’exponentielle de A.

6. (Bonus) Donner la décomposition de Dunford de la matrice

(1 1

0 2

).

22

MP

6.4 Polynômes d’endomorphismes

Exercice 6.23 : I

Soit u un automorphisme d’un K-ev E de dimension finie n ∈ N∗.Montrer que u−1 est un polynôme en u.

Exercice 6.24 : I

Soit u ∈ L(E) où E est de dimension finie (u 6= 0).Soit F un sev de E de stable par u. On suppose que u est diagonalisable.Montrer que la restriction de u à F est diagonalisable.

Exercice 6.25 : I

1. Soient u ∈ L(E) et soit P ∈ R[X]. Montrer que si λ est une vp de u et x un vecteur propreassocié alors P (λ) est une vp de P (u).

2. Montrer que si P est un polynôme annulateur de u alors toute valeur propre de u est racinede P ie Sp(u) ⊂ Zero(P ).

3. Soit A ∈ Mn(R) une matrice nilpotente. Montrer que A est semblable à une matrice trian-gulaire supérieure stricte.

Exercice 6.26 : I I

Soient f, g deux endomorphismes diagonalisables d’un K-ev de dimension finie.Montrer que f et g commutent ssi f et g sont simultanément diagonalisables.

Exercice 6.27 : I I

Soient A,B ∈Mn(C). Montrer que χA(B) ∈ GLn(C)⇔ Sp(A) ∩ Sp(B) = ∅.

Exercice 6.28 : I I

Soit E un R-ev de dimension finie. Soit u ∈ L(E) non nul tel que u3 + u = 0. Montrer que le rangde u est pair.

Exercice 6.29 : I I

Soit A ∈M5(R) tel que A3 = A2 − 2A. A est-elle inversible ?

Exercice 6.30 : I I

Chercher toutes les matrices M ∈Mn(R) vérifiant tr(M) = 0 et M3 + 2M2 +M = 0.

23

MP


Soit A ∈Mn(C) une matrice vérifiant 4A3 + 2A2 + A = 0 et à coefficients dans Z.1. Montrer que lim

k→+∞Ak = 0.

2. Montrer que A est nilpotente.3. Déterminer A.

6.5 Oraux de concours


Soit A ∈ Mn(R). On suppose qu’il existe P ∈ GLn(R) tel que P−1AP = 2A. Montrer que A estnilpotente.


Soit A ∈Mn(K). On note χA le polynôme caractéristique de A et ΠA son polynôme minimal.1. Caractériser en fonction de χA et ΠA le caractère diagonalisable et trigonalisable de A.2. On suppose que K = R.

(a) Montrer que si χA est scindé alors χAk est scindé pour tout k ∈ N.(b) Montrer que si χA2 est scindé à racines réelles positives alors χA est scindé.

Exercice 6.34 : Mines I I I

Soit f ∈ L(Cn). Montrer que f est diagonalisable si et seulement si f 2 est diagonalisable etKer(f) = Ker(f 2).


Soit A ∈Mn(K) une matrice de rang 1.Montrer que A est diagonalisable ssi tr(A) 6= 0.

24

MP

7 Espace vectoriel normé.


Cours 1 :Montrer que l’espace l2(N,R) est un espace vectoriel.

Cours 2 :Enoncer et démontrer l’inégalité triangulaire.

Cours 3 :Enoncer et démontrer la formule de Cauchy-Schwarz.

7.2 Normes et distances

Exercice 7.1 : I

Soient a1, ..., an des réels et N : Kn → R définie par N(x1, ..., xn) = a1|x1| + ... + an|xn|. A quellecondition sur les ai l’application N est-elle une norme sur Kn ?

Exercice 7.2 : I

Soit n ∈ N et E l’espace des polynômes réels de degré inférieur à n. Montrer qu’il existe λ > 0 telque

∀P ∈ E,∫ 1

0

|P (t)|dt ≥ λ supt∈[−1,1]

|P (t)|.

Exercice 7.3 : I I

Soient f1, ..., fn : [0, 1]→ R continues. A quelle condition l’application

N : (x1, ..., xn) 7→ ||x1f1 + ...+ xnfn||∞

est-elle une norme sur Kn ?

Exercice 7.4 : I I

Soit E = C1([−1, 1],R). On note N1(f) = sup[−1,1]|f |, N2(f) = |f(0)|+ sup

[−1,1]|f ′| et N3(f) =

∫ 1

−1 |f |.

1. Montrer que N1, N2 et N3 sont des normes sur E.2. Comparer N1 et N3 d’une part et N1 et N2 d’autre part.

25

MP

Exercice 7.5 : I I

Soit R(N) l’ensemble des suites nulles à partir d’un certain rang. On note ||u||1 =∑

n≥0 |un|,

||u||2 =

(+∞∑n=0

u2n

)1/2

et ||u||∞ = supn∈N|un|.

1. Comparer || · ||1 et || · ||∞.2. Comparer || · ||1 et || · ||2.

Exercice 7.6 : I I

On note B(N,R) l’espace des suites bornées par la norme infinie || · ||∞.Soit x ∈ B(N,R), on définit ∆x(n) := x(n + 1)− x(n). On pose F := ∆x | x ∈ B(N,R) et e lasuite constante égale 1. Calculer la distance de e à F .

Exercice 7.7 : I I

On note B(N,R) l’espace des suites bornées par la norme infinie || · ||∞. Déterminer la distance dela suite e constante à 1 au sev C0 des suites réelles convergeant vers 0.

Exercice 7.8 : I I

On définit sur R[X] deux applications N1(P ) =∑∞

k=0 |P (k)(0)| et N2(P ) = supt∈[−1,1]

|P (t)|.

1. Montrer que N1 et N2 définissent 2 normes sur R[X].

2. Etudier la convergence de la suite Pn =1

nXn pour N1 et N2.

3. Ces deux normes sont-elles équivalentes ?

Exercice 7.9 : Centrale I I I

Soient p > 1, q > 1 tel que1

p+

1

q= 1. On rappelle que ||x||p =

(n∑i=1

|xi|p)1/p

.

1. Pour tout a, b > 0, montrer que ab ≤ 1

pap +

1

qbq.

2. Montrer quen∑i=1

|xiyi| ≤ ||x||p||y||q (Inégalité de Holder).

3. Montrer que ||x+ y||p ≤ ||x||p + ||y||p.4. En déduire que || · ||p est une norme pour tout p ≥ 1.

26

MP


Soit E = C1([0, 1],R) et N : E → R+. On note N(f) =

√f(0)2 +

∫ 1

0

f ′(t)2dt.

1. Montrer que N est une norme sur E.2. Montrer que || · ||∞ ≤

√2N .

3. || · ||∞ et N sont-elles équivalentes ?

7.3 Continuité des applications linéaires

Exercice 7.11 : I I

Soient E = C0([0, 1],R) et F = C1([0, 1],R). On définit les normes N1(f) = ||f ||∞ et N2(f) =||f ||∞ + ||f ′||∞. On considère l’applicationT : (E,N1) −→ (F,N2)

f 7−→ T (f) : [0, 1]→ R............ ; ; ;....................x 7→

∫ x0f(t)dt.

1. Montrer que T est linéaire et continue.2. Calculer sa norme.

Exercice 7.12 : I I

Soit E = C0([0, 1],R) muni de la norme || · ||2. Soient f, φ ∈ E. On définit Tφ(f) :=∫ 1

0f(t)φ(t)dt.

1. Montrer que Tφ est une forme linéaire continue. Calculer sa norme.2. Tφ est-elle continue pour la norme || · ||1 ? Et pour la norme || · ||∞ ?

Exercice 7.13 : I I

On considère l’evn (l2(N,R); || · ||2). Pour tout y ∈ l2(N,R), on note

φy : l2(N,R) −→ Rx 7−→ < x, y >

.

Montrer que φy est une forme linéaire continue. Calculer sa norme.

27

MP

8 Séries entières.

Exercice 8.1 : I

Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes :

∑n≥0

n2 + 1

3nz2n et

∑n≥1

cnzn où cn =

2n si n pair1/2 si n impair.

Exercice 8.2 : I

Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes :∑n≥0

(2n

n

)zn et

∑n≥0

zn2

.

Exercice 8.3 : I

Calculer le rayon de convergence des séries suivantes :∑n≥0

nn

n!z3n et

∑n≥0

sin(n)zn

.

Exercice 8.4 : I

Justifier la convergence puis calculer∞∑n=0

n2

22n.

Exercice 8.5 : I

Déterminer le rayon de convergence puis calculer la somme de la série∑

n≥0n

3n.

Exercice 8.6 : I

Déterminer le rayon de convergence puis calculer la somme de la série∑

n≥11

2nn.

Exercice 8.7 : I I

On note an la n-ième décimale de√

3. Quelle est l’ensemble de définition de∑

n≥1 anxn.

Exercice 8.8 : I I

Déterminer le rayon de convergence de la série∑

n≥1 d(n)zn où d(n) désigne le nombre de diviseurssupérieur à 1 de n.

28

MP

Exercice 8.9 : I I

Après avoir trouver le rayon de convergence, calculer∑

n≥0(n+ 1)(n− 2)

n!xn.

Exercice 8.10 : I I

Soient a, b ∈ R, établir la formule :

n∑k=0

(a

k

)(b

n− k

)=

(a+ b

n

).

Exercice 8.11 : I I

Soit∑

n≥0 anxn une série entière de rayon de convergence R > 0. On note f sa somme. On suppose

qu’il existe 0 < α < R tel que f(x) = 0 pour tout x ∈ [0, α]. Montrer que f ≡ 0.


On pose

f(x) = 1 +∞∑n=1

1× 3× 5...× (2n− 1)

n!xn.

Trouver une équation différentielle vérifiée par f . En déduire f .

Exercice 8.13 : I I

Calculer∞∑n=0

(−1)n

3n+ 1.

Exercice 8.14 : I I

Déterminer une solution développable en série entière de l’équation différentielle ordinairexy′′ + y′ + y = 0

y(0) = 1

Exercice 8.15 : I I

On considère l’équation différentielle y′′ + xy′ + y = 1. Déterminer l’unique solution de cetteéquation différentielle vérifiant y(0) = y′(0) = 0.Indication : on supposera qu’il existe une fonction f développable en série entière solution del’équation.

29

MP


Soit une série entière∞∑n=0

anzn de rayon de convergence R > 0 et de somme f(z) où z ∈ C.

1. Démontrer la formule de Gutzmer : soit r ∈]0, R[,

∞∑n=0

|an|2r2n =1

2π

∫ 2π

0

|f(reiθ)|2dθ.

2. Que pouvez-vous dire sur la fonction f si |f | admet un maximum local en 0 ?


Soit une série entière∑∞

n=0 anzn de rayon de convergence R > 0 et de somme f(z).

1. Démontrer la formule de Cauchy : soit r ∈]0, R[,

an =1

2πrn

∫ 2π

0

f(reit)e−intdt.

2. Nous allons démontrer le théorème de Liouville. On suppose que R =∞ et que f est bornée.Montrer que f est constante.

Exercice 8.18 : Développement de l’inverse d’une fonction I I I

Soit f une fonction, somme d’une série entière∑anz

n de rayon R > 0, et vérifiant a0 = f(0) 6= 0.

1. Justifier le fait que g = 1/f est définie sur un voisinage de 0.

2. On suppose ici que g est développable en série entière : g(z) =∞∑n=0

bnzn pour |z| < Rg.

Déterminer un système d’équation vérifiées par (bn)n∈N∗ .3. Réciproquement, vérifier que les équations précédentes possèdent une unique solution (bn)n∈N∗ .

On fixe les bn ainsi dans la suite, et on cherche à établir une majoration de la forme|bn| ≤ αβn, avec α, β > 0.

4. Montrer qu’il existe K1, K2 > 0 tels que pour tout n ∈ N, |an| ≤ K1Kn2 .

5. On suppose avoir établi les majorations |bk| ≤ αβk pour tout k < n. Que peut-on en déduiresur |bn| ?

6. Montrer qu’on peut choisir α et β tels qu’on ait effectivement |bn| ≤ αβn pour tout n ∈ N,puis conclure.

30

MP

9 Ensemble dénombrable et famille sommable.

9.1 Dénombrement

Exercice 9.1 : I I

Montrer que l’ensemble P(N) des parties de N n’est pas dénombrable.


Soit f : R → R croissante. Montrer que l’ensemble des points de discontinuité de f est au plusdénombrable.


Nous allons montrer que [0, 1] n’est pas dénombrable.Soit (un)n une suite de réels de [0, 1].

1. Justifier que l’on peut construire une suite (xn)n d’élements de [0, 1] vérifiant :

∀n ∈ N, xn /∈n⋃k=0

[uk −

1

2k+2, uk +

1

2k+2

]6= ∅.

2. Montrer que l’on peut extraire de la suite (xn)n une suite convergeant vers un élémentl ∈ [0, 1].

3. Conclure.

9.2 Familles sommables.

Exercice 9.4 : I

Soit q ∈ C avec |q| < 1.Montrer que (q|n|)n∈Z est sommable et calculer sa somme.

Exercice 9.5 : I

Pour n ≥ 1, on pose un = vn =(−1)n√

n.

1. Montrer que les séries∑un et

∑vn convergent.

2. Le produit de Cauchy de∑un et

∑vn converge-t-il ?

31

MP

Exercice 9.6 : I

Montrer l’existence et calculer la valeur de

+∞∑n=0

(n+ 1)3−n.

Exercice 9.7 : I I

Montrer l’existence et calculer la valeur de∑(p,q)∈N×N∗

1

(p+ q2)(p+ q2 + 1).

Exercice 9.8 : I I

Soit (un)n une famille sommable. Pour tout n ∈ N, on pose vn =1

2n

n∑k=0

2kuk.

Montrer que (vn)n est sommable et exprimer sa somme en fonction de celle de la famille (un)n.

Exercice 9.9 : I I

On considère la famille (up,q)(p,q)∈N∗2 définie pour tout α > 0 par

up,q =1

(p2 + q2)α.

1. Montrer que la sommabilité de la famille (up,q)p,q équivaut à celle de 1

(p+ q)2α(p,q)∈N∗2 .

2. En déduire les α > 0 pour lesquels la famille (up,q)p,q est sommable.

Exercice 9.10 : I I

Soit σ une permutation de N∗. Etudier la nature de la série de terme général1

nσ(n).

Exercice 9.11 : I I

1. Pour quels α ∈ R, la somme+∞∑n=0

+∞∑k=n+1

1

kαa-t-elle un sens ?

2. Montrer alors que+∞∑n=0

+∞∑k=n+1

1

kα=

+∞∑p=1

1

pα−1.

32

MP


Montrer que pour tout x ∈]− 1, 1[,

+∞∑n=1

xn

1− xn=

+∞∑n=1

d(n)xn

avec d(n) le nombre de diviseurs positifs de n.

33

MP

10 Probabilités.


Cours 1 :Appliquer la loi faible des grands nombres à la suite (Xn) suite de variables alétaoires i.i.d. de loiG(2).

Cours 2 :Enoncer le lemme de transfert et calculer la variance de la loi de Bernoulli.

Cours 3 :On lance une infinité de fois une pièce équilibrée. On définit les évènements suivants :A= "Obtenir Pile à tous les lancés"An= "Obtenir Pile aux n premiers lancés"Après avoir écrit A comme une union ou une intersection des An, calculer P(A).

10.2 Du calcul !

Exercice 10.1 : I

Soient X, Y deux v.a. à valeurs dans N. On suppose que la loi conjointe de X et Y vérifie P(X =

j, Y = k) =a

j!k!avec a ∈ R.

1. Déterminer a.2. X et Y sont-elles indépendantes ?

Exercice 10.2 : I

Montrer qu’il existe une variable aléatoire X à valeurs dans N tel que :

P(X = k) =e−2

4

2k

k!(1 + ak) ∀k ∈ N

pour une unique valeur de a que l’on précisera.

Exercice 10.3 : I I

Soit Y une v.a de loi de Poisson de paramètre λ > 0. Trouver la loi de

Z =

Y/2 si Y est pair(1− Y )

2si Y est impair

34

MP

Exercice 10.4 : I I

Soit T une v.a de loi géométrique de paramètre p ∈]0, 1[. On pose U = 4[T/2] − 2T + 1. Trouverla loi de U .

Exercice 10.5 : I I

Soit λ > 0. Soit X une va suivant la loi de Poisson de paramètre λ.Montrer que P(X est impaire) < P(X est paire).

Exercice 10.6 : I I

Soit X une va à valeurs dans N∗ telle que pour tout k ≥ 1, P(X = k) 6= 0.On suppose que ∀k, l ∈ N,

P(X > k + l | X > l) = P(X > k).

Montrer que X suit une loi géométrique.

Exercice 10.7 : I I

Soient n ≥ 1 fixé et p1, p2, p3 trois réels positifs. On pose

pij =

n!

i!j!(n− i− j)!pi1p

j2pn−i−j3 si i+ j ≤ n

0 sinon

1. A quelle condition sur p1, p2, p3 existe-t-il un couple (X, Y ) tel que P(X = i, Y = j) = pij.2. Trouver la loi de X.

Exercice 10.8 : I I

Soient X, Y deux v.a. à valeurs dans N. On suppose que X ∼ P(λ), λ > 0 et que L(Y |X = n) ∼B(n, p), p ∈]0, 1[.

1. Quelle est la loi du couple (X, Y ) ?2. Quelle est loi de Y ?

Exercice 10.9 : I I

Soit X et Y deux v.a. indépendantes suivant une loi géométrique de paramètre p. Quelle est loi deX + Y ?

Exercice 10.10 : I I

Soit X et Y deux v.a. indépendantes suivant des lois de Poisson de paramètres respectifs λ et µ.1. Quelle est loi de X + Y ?2. Quelle est la loi de X sachant que X + Y = n.

35

MP


Une secrétaire effectue n appels téléphoniques vers n correspondants distincts. On suppose que lesn appels sont indépendants et que la probabilité d’obtenir le correspondant vaut p ∈]0, 1[. Soit Xla variable aléatoire représentant le nombre de correspondants obtenus.

1. Déterminer la loi de X.2. La secrétaire rappelle les n − X correspondants qu’elle n’avait pas pu joindre au premier

appel. On note Y la variable aléatoire représentant le nombre de personnes jointes au coursdes seconds appels.(a) Soit i ∈ [|0, n|]. Pour tout k ∈ R, calculer P(Y = k | X = i).

(b) On pose Z = X + Y . Déterminer la loi de Z.(c) Calculer l’espérance et la variance de Z.


Soit X une v.a. à valeurs dans N. Montrer que X admet une espérance finie ssi∑

P(X > n)converge.


On lance une pièce de monnaie truquée dont la probabilité d’obtenir pile est p. On note X lenombre de lancers nécessaires pour obtenir le r-ième pile.

1. Trouver la loi de X.2. Calculer l’espérance de X. Interpréter le résultat.


Soit X une v.a. à valeurs dans N pour un réel a et p ∈]0, 1[ vérifiant

P(X = k) = a

(n+ k

n

)pk.

1. Déterminer a.2. Calculer l’espérance de X.

36

MP

Exercice 10.15 : Théorème de Weierstrass par les polynômes de Bernstein I I I

Soit f : [0, 1] → C une fonction continue. Pour tout n ∈ N∗, on définit le n-ième polynôme deBernstein de f :

Bn(X) =n∑k=0

(n

k

)Xk(1−X)n−kf

(k

n

).

L’objectif de cet exercice est de montrer que la suite de polynômes (Bn)n converge uniformémentvers f sur [0, 1].Soit x ∈ [0, 1]. On considère (Xn)n une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement

distribuées de loi de Bernoulli de paramètre x. On note Sn =n∑k=1

Xk.

1. Calculer l’espérance de f (Sn/n).2. En déduire une majoration uniforme de |f(x)−Bn(x)|.3. Conclure.

Exercice 10.16 : Paradoxe de l’autobus I I I

Soit (Xn)n une suite de va iid de loi B(p) définie par :Xn = 1 si un bus passe au temps n ;Xn = 0 s’il n’y a pas de bus au temps t = n.

Soit N1 le temps d’attente du premier bus : N1 = infn ≥ 0 | Xn = 1.1. Déterminer la loi de N1. Calculer la valeur moyenne de N1.

2. Soit N2 le temps d’attente du deuxième bus. Déterminer la loi de N2. Calculer la valeurmoyenne de N2. Calculer la moyenne du temps qui sépare le passage des deux premiers bus.

3. Soit T un temps déterministe.On note K le nombre de bus passé avant T : K(Ω) = 0, 1, ..., T.Soit NK le temps d’attente du K ième bus : NK ≤ T.Soit NK+1 le temps d’attente du (K + 1)ième bus : NK+1 > T .

Posons D = NK+1 −NK . On écrit D = D+ +D− avec

D+ = NK+1 − TD− = T −NK

.

Déterminer la loi de D+ puis celle de D−.Déterminer la valeur moyenne de D.

10.3 Fonction génératrice.

37

MP


Soit X une v.a. à valeurs dans N dont la loi est P(X = k) = a(n+kk

)pk avec a > 0 et p ∈]0, 1[.

1. Calculer la fonction génératrice de X.2. Trouver la valeur de a.3. Calculer l’espérance et la variance de X.


Une urne contient 4 boules rapportant 0, 1, 1, 2 points. On effectue n tirages avec remise et on noteS le score obtenu.

1. Calculer la fonction génératrice de S.2. Quelle est la loi de S ?


Soient N et X1, X2, ... des variables aléatoires indépendantes à valeurs dans N. On suppose queX1, X2, ... suivent toute une même loi de fonction génératrice GX et on pose

S =N∑k=1

Xk.

1. Calculer GS(t) en fonction de GX(t) pour tout |t| ≤ 1.2. En supposant que les variables aléatoires ont une espérance finie, montrer l’identité de Wald :

E(S) = E(N)E(X1).


Soit X une variable aléatoire intégrable à valeurs dans N de loi PX . On note pn = P(X = n) et onsuppose que p0 ∈]0, 1[.On note G la fonction génératrice de X.

1. Montrer que G est bien définie et de classe C1 sur [0, 1].2. Montrer que G est strictement croissante sur ]0, 1[.3. Montrer que G est convexe sur ]0, 1[.4. Montrer que G est strictement convexe sur ]0, 1[ ssi p0 + p1 < 1.

38

MP

11 Topologie des espaces vectoriels normés.

11.1 Questions de cours (première partie)

Cours 1 :Définir un ouvert d’un evn puis démontrer qu’une boule ouverte est ouverte.

Cours 2 :Définir un fermé d’un evn puis démontrer qu’une boule fermée est fermée.

Cours 3 :Soient A,B deux parties d’un evn E tel que A ⊂ B.

1. Définir l’intérieur de A puis montrer à l’aide de la définition de l’intérieur queA ⊂

B.

2. Définir l’adhérence de A puis utiliser la caractérisation séquentielle de l’adhérence pour mon-trer que A ⊂ B.

11.2 Questions de cours (deuxième partie)

Cours 1 :Montrer que tout fermé borné de Rn ou Cn est compact.

Cours 2 :Soit K un compact d’un evn E. Montrer que K est fermé.

Cours 3 :Montrer que toute partie fermée d’une partie compacte est compacte.

11.3 Adhérence, intérieur et densité


Soit I un intervalle de R. On note E l’espace vectoriel des fonctions bornées sur I à valeurs dansun espace vectoriel normé F et A l’ensemble des fonctions continues de E. On munit E de || · ||∞.Déterminer l’adhérence et l’intérieur de A. A est-il ouvert ou fermé ?

39

MP


1. Montrer que GLn(R) est une partie ouverte de Mn(R). En déduire que si (An)n est une suitede matrices de Mn(R) non inversibles qui converge vers A alors A n’est pas inversible.

2. Montrer que GLn(R) est dense dansMn(R). En déduire que pour tout A,B ∈Mn(R), χAB =χBA.

3. Montrer que l’ensemble des matrices diagonalisables de Mn(C) est dense dans Mn(C). Quedire dans Mn(R) ? En déduire que pour tout A ∈Mn(C), det(exp(A)) = exp(tr(A)).


On note E l’ensemble des suites bornées. On munit E de la norme usuelle.1. Déterminer l’adhérence des suites stationnaires en 0 de E (ie des suites suites nulles à partir

d’un certain rang).2. Déterminer l’intérieur des suites croissantes de E.3. Déterminer l’adhérence des suites croissantes de E.

11.4 Ouvert et fermé

Exercice 11.4 : I

1. Montrer que A = (x, y) ∈ R2 / xy = 1 et B = 0 × R sont des fermés.2. Montrer que A+B n’est pas fermé.

Exercice 11.5 : I I

Soient F une partie fermée non vide d’un evn E et x ∈ E. Montrer que d(x, F ) = 0 ssi x ∈ F .

Exercice 11.6 : I I

Soit E un espace euclidien. Montrer que (x, y) ∈ E2 / (x, y) libre est un ouvert de E2.

Exercice 11.7 : I I

Montrer qu’un hyperplan d’un espace vectoriel normé E est soit fermé, soit dense dans E.

Exercice 11.8 : I I

Soit E = C([0, 1],R). Posons F = f ∈ E | f(0) = 0.1. Montrer que F est fermé dans (E, || · ||∞).2. Montrer que F est dense dans (E, || · ||1).

40

MP

11.5 Continuité


Soit u un endomorphisme de E.Montrer que u est continu ssi x ∈ E / ||u(x)|| = 1 fermée.


Montrer qu’une forme linéaire est continue ssi son noyau est fermé.


Soit f une fonction continue sur [0,+∞[ tel que f ait une limite finie l en +∞. Montrer que f estuniformément continue sur [0,+∞[.


Soit f : R → R une application continue tel que pour tout x, y ∈ R, f(x + y) = f(x) + f(y).Déterminer f .

11.6 Compacité.

Exercice 11.13 : I

Soient K une partie compacte non vide d’un evn E et x ∈ E.Montrer qu’il existe y ∈ K tel que d(x,K) = ||y − x||.

Exercice 11.14 : I

Soient K,L deux compacts d’un evn E.Montrer que K × L = (x, y) | x ∈ K, y ∈ L est un compact de E.En déduire que K + L = x+ y | x ∈ K, y ∈ L est un compact de E.


Soit K une partie compacte d’un espace vectoriel de dimension finie.Soit r > 0, montrer que Kr =

⋃x∈K Bf (x, r) est compacte où Bf désigne une boule fermée.

41

MP


Soient (E, || · ||) un evn, K un compact non vide de E et f : K → K tel que pour tout x, y ∈ K,x 6= y ⇒ ||f(x)− f(y)|| < ||x− y||.

1. Montrer que f possède au plus un point fixe.2. Justifier qu’il existe c ∈ K tel que pour tout x ∈ K, ||f(x)− x|| ≥ ||f(c)− c||.3. Montrer que f admet un point fixe.


Soit (Kn)n≥0 une suite de compacts d’un espace métrique.

1. Montrer que K =∏n≥0

Kn est un compact.

2. En déduire que si D est une partie dénombrable de R et si (fn)n est une suite de fonctionsde D → [−1, 1] alors il existe une sous-suite (fϕ(n))n qui converge simplement.


Soient E1 et E2 deux espaces vectoriels normés réels, f une application de E1 dans E2 telle quepour tout compact K de E2, f−1(K) soit un compact de E1.Montrer que, si F est un fermé de E1 alors f(F ) est un fermé de E2.

11.7 Connexité.


Montrer que On(R) = A ∈Mn(R) / tAA = In est compact. Est-il convexe ?

Exercice 11.20 : Générateurs du groupe linéaire et connexité de SLn(R) I I I

Soit n ≥ 2 et K = R ou C. On définit :

SLn(R) = M ∈Mn(R) | det(M) = 1.

1. On appelle matrice de transvection toute matrice de la forme Tij(λ) = In + λEij où i 6= j etλ ∈ K.On appelle matrice de dilatation toute matrice diagonale Di(α) = In + (α− 1)Eii où α ∈ K.Montrer que l’ensemble des matrices de transvection engendre le groupe SLn(K) et quel’ensemble des matrices de transvection et de dilatation engendre le groupe GLn(K).

2. Montrer que GLn(R) est engendré par l’ensemble des matrices inversibles diagonalisables.3. Déduire de la question 1. que SLn(K) est connexe par arcs.

42

MP


1. Montrer que GLn(R) n’est pas connexe par arcs.2. Montrer que GLn(C) est connexe par arcs.3. Montrer que GL+

n (K) (ie l’ensemble des matrices inversibles de déterminant positif) estconnexe par arcs où K = R ou C.

43

MP

12 Espace préhilbertien réel.

12.1 Cauchy-Schwartz

Exercice 12.1 : I I

Montrer que pour tout n ∈ N∗ :

n−1∑p=1

p

(n− p)2≥ 2

n(n− 1)

(n−1∑p=1

p

n− p

)2

Exercice 12.2 : I I

Montrer que pour tout n ∈ N∗ :n∑k=1

k√k ≤ n(n+ 1)

2√

3

√2n+ 1


Déterminer le maximum puis le minimum, lorsque σ parcourt l’ensemble des permutations de1, ..., n de

∑nk=1 kσ(k).

12.2 Projection orthogonale, famille orthogonale et automorphisme or-thogonal

Exercice 12.4 : I

Soit f ∈ O(E) diagonalisable. Montrer que f est une symétrie.

Exercice 12.5 : I I

Soit p un projecteur d’un espace euclidien E tel que ∀x ∈ E (p(x)|x) ≥ 0.Montrer que p est un projecteur orthogonal.

Exercice 12.6 : I I

Soit p un projecteur d’un espace euclidien E.Montrer que p est un projecteur orthogonal ssi ∀x ∈ E ||p(x)|| ≤ ||x||.

44

MP

Exercice 12.7 : I I

Soit E un espace préhilbertien et (e1, ..., en) une famille de n vecteurs unitaires de E telle que pour

tout x ∈ E, ||x||2 =n∑k=1

< x|ek >2.

Montrer que (e1, ..., en) est une base orthonormée de E.

Exercice 12.8 : I I

On suppose que (en)n est une famille orthonormale totale d’un espace préhilbertien E.

Montrer que pour tout x ∈ E, ||x||2 =+∞∑n=0

|〈en | x〉|2.

Exercice 12.9 : I I

Calculer

inf∫ 1

0

t2(ln(t)− at− b)2dt | (a, b) ∈ R2.


Soit A ∈Mn(R). Montrer que rg(tAA) = rg(A).


Soit n ∈ N∗, E = Rn[X] et 〈P,Q〉 =

∫ +∞

0

P (t)Q(t)e−tdt.

1. Justifier que 〈·, ·〉 est un produit scalaire.2. Montrer qu’il existe une famille (Pn)n de polynômes vérifiant pour tout n ∈ N, deg(Pn) = n

et pour tout m,n ∈ N,

〈Pm, Pn〉 =

1 si m = n

0 sinon.

3. Calculer Pk(0)2.4. Déterminer une base de F⊥ que l’on exprimera dans la base (P0, ..., Pn). En déduire d(1, F )

et d(1, F⊥) où F = P ∈ E | P (0) = 0.


Soient a et b deux vecteurs unitaires d’un espace euclidien E tel que a 6= b.Déterminer le max sur la boule unité fermée de

f : x 7−→ (a|x)(b|x).

45

MP

12.3 Adjoint et endomorphisme symétriques


Soit A ∈Mn(C). On note A∗ l’adjoint de A. On rapelle que A∗ :=t A.1. Montrer que tr(AA∗) ≥ 0.2. Montrer que |tr(A)| ≤

√n tr(AA∗).

Exercice 12.14 : I

Soit u un endomorphisme symétrique d’un espace euclidien E dont les valeurs propres comptéesavec multiplicité et rangées dans l’ordre croissant sont notées λ1, ..., λn. Montrer que :

∀x ∈ E, λ1||x||2 ≤ (u(x)|x) ≤ λn||x||2

Exercice 12.15 : I

Soit u ∈ S(E). On pose k = supλ∈Sp(u)|λ|. Montrer que :

∀x ∈ E, ||u(x)|| ≤ k||x||


Soit A ∈ Mn(R). Après avoir justifier que tAA est diagonalisable, montrer que toutes les valeurspropres de tAA sont réelles positives.


Soit E un espace euclidien de dimension n. On note S la sphère unité et pour p ∈ 1, ..., n, onnote νp l’ensemble des sous-espaces vectoriels de E de dimension p.Soit f un endomorphisme symétrique de E de valeurs propres λ1, ..., λn comptées avec multiplicité.Montrer que :

λp = minV ∈νp

maxx∈S∩V

(f(x)|x)


Soit E un espace euclidien. Soit u ∈ Sn(R) dont les valeurs propres sont strictement positives. Onnote S la sphère unité de E. On définit :

f : x 7→< u(x) | x >< u−1(x) | x > .

Déterminer infSf .

46

MP


1. Soit (E1, ..., En) une b.o.n de Mn,1(R). Pour tout M ∈Mn(R), montrer que

tr(M) =n∑k=1

.tEkMEk.

2. Soit A ∈ Sn(R) dont les valeurs propres sont positives. Montrer que pour tout U ∈ On(R),on a tr(UA) ≤ tr(A).

Exercice 12.20 : Racine carrée I I I

Soit S ∈ Sn(R) dont toutes les valeurs propres sont positives. Montrer que S admet une unique"racine carrée" symétrique dont les valeurs propres sont positives, ie une unique matriceM ∈ Sn(R)dont les valeurs propres sont positives tel que S = MTM = M2.

Exercice 12.21 : Décomposition polaire ou de Cartan I I I

1. Soit A ∈ GLn(R). Montrer qu’il existe un couple (Q;S) avec Q ∈ On(R) et S ∈ Sn(R) dontles valeurs propres sont strictement positives tel que A = QS.

2. Soit A ∈ Mn(R). Montrer qu’il existe un couple (Q;S) avec Q ∈ On(R) et S ∈ Sn(R) dontles valeurs propres sont positives tel que A = QS.


On munit Mn(R) de la norme || · ||2 définie par ||A||2 = supX∈Rn,||X||=1

||AX|| où || · || est la norme

euclidienne de Rn.On note B la boule unité fermée de (Mn(R), || · ||2).On dit qu’un point M ∈Mn(R) est extrêmal de B (et l’on note M ∈ Extr(B)) ssi

∀M1,M2 ∈ B, M =M1 +M2

2⇒M = M1 = M2.

L’objectif de l’exercice est de montrer que On(R) = Extr(B).1. Montrer que les points extrêmaux de B sont de norme 1.2. Montrer que les éléments de On(R) sont extrêmaux.3. Montrer que les éléments extrêmaux sont des isométries et conclure.


Soit S, T ∈ S++n (R).

1. Montrer que le spectre de ST est inclu dans R+.2. On suppose que S, T ∈ S+

n (R). Montrer que

det(S) + det(T ) ≤ det(S + T ).

47

MP

13 Equation différentielle.

13.1 Révisions : du calcul !

Exercice 13.1 : I

Résoudre dans R :(1 + x2)y′ − 2xy = 1 + x2

Exercice 13.2 : I

Résoudre dans R :y′′ − 3y′ + 2y = (6x− 5)e−x

Exercice 13.3 : I

Résoudre dans R :y′′ − 4y′ + 4y = 2e2x

Exercice 13.4 : I

Résoudre sur R :x2y′ − y = 0.

Exercice 13.5 : Résoudre sur R :

xy′ = 3y + 2x− 3.

Exercice 13.6 : I

Résoudre sur R :xy′ − 2y = x4.

Exercice 13.7 : I

Résoudre sur R :xy′ + y − 1 = 0.

48

MP

13.2 Plus théorique...

Exercice 13.8 : I I

Trouver toutes les applications dérivables en 0, f : R→ R telles que :

∀(x, y) ∈ R2, f(x+ y) = exf(y) + eyf(x).

Exercice 13.9 : I I

Soit f ∈ C0(R,R). Résoudre y′′ + y = f .


Soit f ∈ C0(R,R). Résoudre y′′ − y = f .


On considère l’équation y′ + y = f(x) où f est continue.1. Trouver toutes les solutions de cette équation.2. On suppose que f est T -périodique. Peut-on trouver une solution T -prériodique ?


Soit a : R → R une application continue et paire. Soit f : R → R une fonction de classe C2vérifiant :

f ′′ + af = 0

f ′(0) = 0

Montrer que f est paire.

13.3 Oraux de concours


On note E l’ensemble des applications continues et bornées de R dans R.1. Soit f ∈ E. Montrer qu’il existe une unique solution bornée dans E à l’équation différentielle :y′′ − y = f .On notera φ(f) cette solution.

2. On munit E de la norme uniforme sur R.Montrer que φ est un endomorphisme continu de (E, || · ||∞).

49

MP

Exercice 13.14 : CCP I I I

Soit f ∈ C1(R+,R) telle que limt→+∞

f(t) + f ′(t) = 0.

Montrer que limt→+∞

f(t) = 0.

Exercice 13.15 : Centrale-ENS I I I

Soit b ∈ C0(R+,R) intégrable.Montrer que l’équation y′′ + by = 0 possède des solutions non bornées.


Soit E un R-ev de dimension n ∈ N∗ muni d’une base B. Soit t 7→ a(t) une application continuede R vers L(E) et t0 ∈ R.Montrer que si les fonctions ϕ1, ..., ϕn forment un système fondamental de solutions de l’équationx′ = a(t)x alors son Wronskien W dans la base B est déterminé par

W (t) = W (t0) exp

(∫ t

t0

tr(a(u))du

).

Application : On veut résoudre l’équa. diff.

a(t)y′′(t) + b(t)y′(t) + c(t)y(t) = 0,

où a, b, c, d ∈ C0(I,K) avec a qui s’annule pas.On suppose que l’on connait une solution u. On cherche v, une autre solution, de la forme v = λu.Déterminer v.

50

MP

14 Intégrales à paramètre.

Exercice 14.1 : I I

1. Justifier que l’intégrale suivante est définie pour tout x > 0 :

f(x) =

∫ 1

0

tx−1

1 + tdt.

2. Justifier la continuité de f sur son domaine de définition.3. Calculer f(x) + f(x+ 1) pour tout x > 0.4. Donner un équivalent de f en 0+ et la limite de f en +∞.

Exercice 14.2 : I I

On pose

f(x) =

∫ +∞

0

e−xt

1 + t2dt.

1. Montrer que f est bien définie sur R+.2. Montrer que f ∈ C2(R∗+).3. Calculer la limite de f en +∞.

4. Montrer que f ′′(x) + f(x) =1

x.

Exercice 14.3 : I I

On considère

f(x) =

∫ +∞

0

e−xt2

1 + t2dt.

1. Montrer que f est définie et continue sur R+.2. Montrer que f est C1 sur R∗+.

3. Montrer que f est solution de l’équation différentielle y − y′ =√π

2√x.

Exercice 14.4 : I I

Pour tout x ∈ R, on pose

F (x) =

∫ +∞

0

exp

(−(t2 +

x2

t2)

)dt.

1. Montrer que F est définie et continue sur R.2. Montrer que F est de classe C1 sur ]0,+∞[.3. Former une équation différentielle vérifiée par F sur ]0,+∞[.4. En déduire une expression simple de F sur R.

51

MP

Exercice 14.5 : I I

En dérivant la fonction suivante, déterminer une expression simple de

g(x) =

∫ +∞

−∞e−t

2

eitxdt.

Exercice 14.6 : I I

Montrer que pour tout a, b > 0, on a :∫ +∞

0

te−at

1− e−btdt =

+∞∑n=0

1

(a+ bn)2.

Exercice 14.7 : I I

Montrer que ∫ +∞

0

t

et − 1dt =

+∞∑n=1

1

n2.


Pour x ∈ R, on pose

F (x) =

∫ 1

0

e−x2(1+t2)

1 + t2dt et G(x) =

(∫ x

0

e−t2

dt

)2

.

1. Montrer que F est de classe C1 sur R et calculer F ′.2. Montrer que G est de classe C1 sur R et calculer G′.3. Montrer que F +G est constante sur R.4. Déterminer lim

x→+∞F (x).

5. En déduire I =∫ +∞0

e−t2dt.

52

MP

15 Calcul différentiel

15.1 Des exercices classiques

Exercice 15.1 : I

Soit (H,< ·, · >, || · ||) un espace préhilbertien réel. On définit f : H → R par f(x) = ||x||2.Calculer la différentielle de f .

Exercice 15.2 : I I

Démontrer que f admet une dérivée suivant tout vecteur en (0, 0) mais que f n’est pas continueen (0, 0).

f(x, y) =

x2y

x4 + y2si x 6= 0

0 sinon.

Exercice 15.3 : I I

Pour (x, y) 6= (0, 0), on pose f(x, y) = xyx2 − y2

x2 + y2.

1. f admet-elle un prolongement continu à R2.2. f admet-elle un prolongement C1 à R2 ?3. f admet-elle un prolongement C2 à R2 ?

Exercice 15.4 : I I

Pour (x, y) 6= (0, 0), on pose f(x, y) = xyxy3

x4 + y2.

1. f admet-elle un prolongement continu à R2.2. f admet-elle un prolongement C1 à R2 ?3. f admet-elle un prolongement C2 à R2 ?

Exercice 15.5 : I I

Etudier les points critiques de f(x, y) = y2 − x2 +x4

2.

Exercice 15.6 : I I

Etudier les points critiques de f(x, y) = y3 + x4 − 3y − 2.

Exercice 15.7 : I I

Résoudre∂f

∂x+∂f

∂y= f en posant g(u, v) = f

(u+ v

2,u− v

2

).

53

MP

Exercice 15.8 : I I

Déterminer les fonctions de classe C1 solutions de∂f

∂x(x, y) =

x√x2 + y2

∂f

∂y(x, y) =

y√x2 + y2

Exercice 15.9 : I I

On définit f : (x, y) 7→ (x− y)3 + 6xy sur R2 et on note

∆ = (x, y);−1 ≤ x ≤ y ≤ 1.

Montrer qu’il existe un minimum global et un maximum global de f sur ∆. Les calculer.

15.2 Plus difficile...


Soit u ∈ S(E) un endomorphisme symétrique d’un espace euclidien E.1. On définit f : x 7→< u(x) | x >. Calculer la différentielle df de f . En déduire le gradient def .

2. On définit sur E − 0 :

F (x) =< u(x) | x >< x | x >

.

Calculer dF . Montrer que dF (a) = 0 ssi a est vecteur propre de u.

Exercice 15.11 : Différentielle du déterminant sur Mn(R). I I I

1. Montrer que l’application det : Mn(R)→ R définie par det : A 7→ det(A) est C1.2. Calculer d(det)(In).

On pourra étudier le cas où σ ∈ Sn n’est pas l’identité.3. Calculer d(det)(A) pour A ∈ GLn(R).4. Calculer d(det)(A) pour A ∈Mn(R).

54

MP

16 Groupes, anneaux et corps. [A COMPLETER]


Soit G un groupe, H un sous-groupe de G, A une partie non vide de G. On pose

AH = ah | a ∈ A, h ∈ H.

Montrer que AH = H si et seulement si A ⊂ H.

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Exercices de kholle 2017-2018ˆperso.eleves.ens-rennes.fr/people/Fabrice.Grela/...MP Exercice1.6: II...

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