Prof. ADANE Abd El Hamid, Exercices d'électromagnétisme, U.S.T.H.B., F.E.I., Département de lignes et d'antennes pour Ingénieurs et Masters Télécommunications

Exercice d'Electromagnétisme Exercice N° 1: Montrez qu’une onde plane est une solution de l’équation d’onde. Corrigé de l'exercice N° 1:

L’expression mathématique d’une onde plane se propageant selon une direction définie par le vecteur unitaire ur est:

)r k - tj(eA )t,r(rrr ω=Ψ avec uk k rr

= et k = ω / c.

kr

est, par définition, le vecteur d’onde et rr

est la direction qui sépare le point d’observation de l’origine des axes du système de référence.

Dans le système de coordonnées cartésienne, on a: k2 = kx2 + ky

2 + kz2 ,

i k i k i k k zzyyxxrrrr

++= et i z iy i x r zyxrrrr

++= .

⇒ z k y k x k r k zyx ++=rr

L’équation d’onde s’écrit : 0 xc

1 - 2

2

2 =∂

Ψ∂∆Ψ ou 0

tc1 -

z

y

x 2

2

22

2

2

2

2

2=

∂

Ψ∂

∂

Ψ∂+

∂

Ψ∂+

∂

Ψ∂

On a: [ ] z) k -y k - x k -t j( expA k j - z) k -y k - x k -t j( expA x

x

zyxxzyx ω=ω∂∂

=∂Ψ∂

ou [ ] z) k -y k - x k -t j( expA k - z) k -y k - x k -t j( expA k j - x

x

zyx2

xzyxx2

2

2

2ω=ω

∂

∂=

∂

Ψ∂

⇒ Ψ=∂

Ψ∂ k - x

2x2

2.

De même, on aura : Ψ=∂

Ψ∂ k - y

2y2

2 et Ψ=

∂

Ψ∂ k - z

2z2

2

D’où : Ψ=ΨΨΨ=∂

Ψ∂+

∂

Ψ∂+

∂

Ψ∂ k - k - k - k - z

y

x

22z

2y

2x2

2

2

2

2

2

On a aussi: [ ] z) k -y k - x k -t j( expA j z) k -y k - x k -t j( expA t

t

zyxzyx ωω=ω∂∂

=∂Ψ∂

ou [ ] z) k -y k - x k -t j( expA - z) k -y k - x k -t j( expA j t

t

zyx2

zyx2

2

2

2ωω=ωω

∂

∂=

∂

Ψ∂

⇒ Ψ=Ψω

=∂

Ψ∂ k - c

- tc

1 22

2

2

2

2

D’où : 0 k k - xc

1 - 222

2

2 =Ψ+Ψ=∂

Ψ∂∆Ψ

Prof. ADANE Abd El Hamid, Exercices d'électromagnétisme, U.S.T.H.B., F.E.I., Département de lignes et d'antennes pour Ingénieurs et Masters Télécommunications Exercice N°2 :

Soit )r(Ur

, une fonction scalaire et )r(Vrr

, une fonction vectorielle de points. Dans le système de coordonnées curvilignes (u1,u2,u3), on a:

333

222

111

euU

h1 e

uU

h1 e

uU

h1 Udgra rrrr

∂∂

+∂∂

+∂∂

=

et ( ) ( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

+∂∂

= 3213

2132

1321321

V h hu

V h hu

V h huhhh

1 V divr , avec

iii u

rh1 e∂∂

=r

r et i

i ur h

∂∂

=r (i = 1, 2, 3).

1. Utilisez ces deux opérateurs pour exprimer le Laplacien scalaire ∆U en fonction des coordonnées (u1,u2,u3).

2. Explicitez les composantes en coordonnées cartésiennes (x,y,z) d'un vecteur rr en fonction des coordonnées sphériques (r,θ,ϕ).

3. Déterminez les vecteurs unitaires )e,e,e( 321rrr et leurs paramètres directeurs (h1, h2, h3) en

fonction des coordonnées (r,θ,ϕ). Corrigé de l'exercice N°2 : 1. Le Laplacien scalaire ∆U s'écrit aussi: Udgra div ∆U

r= .

Posons : Udgra Vrr

= . Dans le système de coordonnées curvilignes (u1,u2,u3) on a:

333

222

111

euU

h1 e

uU

h1 e

uU

h1 Udgra rrrr

∂∂

+∂∂

+∂∂

=

( ) ( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

+∂∂

= 3213

2132

1321321

V h hu

V h hu

V h huhhh

1 V divr

En explicitant ces deux opérateurs dans le Laplacien, on obtient:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

=∆33

21

322

13

211

32

1321 uU

hh h

uuU

hh h

u

uU

hh h

uhhh1 U

2. Dans le système de coordonnées sphériques, z le point (P) est repéré par la distance u1 = r , ϕi

r

l'angle de site u2 = θ et l'angle d'azimut u3 = ϕ. (P) rir

Les vecteurs unitaires sont 1er = ri

r, 2er = θi

r, 3er

= ϕir

. θ r θir

Soit xi r

, yi r

et i zr

, les vecteurs unitaires du (O) y système de coordonnées cartésiennes et x , y et z ϕ les composantes du vecteur r PO rr

= . ∆r

En projetant ce vecteur sur les axes Oz et O∆, x on trouve que: z = r cosθ et ∆ = r sinθ Puis, en projetant la composante ∆ sur les axes Ox et Oy, on obtient: x = r sinθ cosϕ et y = r sinθ sinϕ. D'où: zyxzyx icosisinsini cos sinr i z iy i x r

rrrrrrrθ+ϕθ+ϕθ=++=

3. Par définition, les vecteurs unitaires du système de coordonnées curvilignes sont et les paramètres directeurs de ces vecteurs sont respectivement:

iii u

rh1 e∂∂

=r

r et i

i ur h

∂∂

=r

avec i = 1, 2, 3.

Par conséquent, on aura:

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]i cosr isin sinr i cos sin[r r

r r zyx

rrrr

θ+ϕθ+ϕθ∂∂

=∂∂

⇒ i cos isin sin i cos sin r r zyx

rrrr

θ+ϕθ+ϕθ=∂∂

et ]cos )sin (cos [sin ]cos sin sin cos [sin r r h 2/122222/122222

r θ+ϕ+ϕθ=θ+ϕθ+ϕθ=∂∂

=r

ou ]cos [sin h 2/122r θ+θ= ⇒ hr = 1 et i cos isin sin i cos sin i zyxr

rrrrθ+ϕθ+ϕθ=

]i cosr isin sinr i cos sin[r r zyxrrrr

θ+ϕθ+ϕθθ∂∂

=θ∂

∂

⇒ ]i sin isin cos i cos [cosr r zyxrrrr

θ−ϕθ+ϕθ=θ∂

∂ et

]sin )sin (cos [cosr ]sin sin cos cos [cosr r h 2/122222/122222 θ+ϕ+ϕθ=θ+ϕθ+ϕθ=θ∂

∂=θ

r

ou ]cos [sinr h 2/122 θ+θ=θ ⇒ hθ = r et i sin isin cos i cos cos i zyxrrrr

θ−ϕθ+ϕθ=θ

]i cosr isin sinr i cos sin[r r zyxrrrr

θ+ϕθ+ϕθϕ∂∂

=ϕ∂∂

⇒ ]icos sin i sin sin [-r r yxrrr

ϕθ+ϕθ=ϕ∂∂

et ]sin [cos sinr ] cos sin sin [sinr r h 2/1222/12222 ϕ+ϕθ=ϕθ+ϕθ=θ∂

∂=θ

r

⇒ hθ = r sinθ et icos i sin i yxrrr

ϕ+ϕ−=ϕ Exercice N°3: 1. Le double produit vectoriel de trois vecteurs A

r, Br

et Cr

s’écrit : C )B . A( - B )C . A( C B Arrrrrrrrr

=∧∧ . Montrez que V∆ Vdiv dgra Vtro trorrrrrrr

−= en utilisant l’opérateur nabla (∇).

2. Citez les lois de l'électricité d'où sont issues les équations de Maxwell. 3. Précisez les caractéristiques électriques du vide et écrivez les équations de Maxwell dans

un tel milieu. 4. Sachant que V - Vdiv dgra Vtro tro

rrrrrrr∆= , trouvez à l'aide des équations de Maxwell, les

équations de propagation des champs électrique et magnétique dans le vide. 5. A partir des équations de Maxwell dans le vide, montrez que le champ électrique et le

champ magnétique dérivent d’un potentiel scalaire Φ et d’un potentiel vecteur Ar

. 6. Déterminez la condition de Lorentz et trouver les équations de propagation des potentiels

Φ et Ar

dans le vide. Corrigé de l'exercice N°3: 1. En développant le double produit vectoriel, on a: C )B . A( - B )C . A( C B A

rrrrrrrrr=∧∧ .

Faisons: ∇= Ar

, ∇= Br

et V Crr

= . En remplaçant, on a : V - )V ( V ) . ( - )V . ( V 2 rrrrr

∇∇∇=∇∇∇∇=∧∇∧∇

Or: VVtrorrr

∧∇= , VVdivrr

∇= , UUdgra ∇=r

⇒ UU)U( Udgra div 2 ∆=∇=∇∇=r

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Sachant que chaque composante de V r

est une fonction scalaire telle que U, on en déduit que: V V 2 rrr

∇=∆ . D'où: V - Vdiv dgra Vtro tro

rrrrrrr∆=

2. tBEtro∂∂

−=r

rr Lois de Faraday et de Maxwell (génération d'une f.e.m.)

JtDHtro

rr

rr+

∂∂

= Lois d'Ampère et de conservation des charges (équation de continuité)

0Bdiv =r

Loi de Maxwell (conservation du flux d'induction magnétique ρ=D div

r Théorème de Gauss (Equation de Poisson)

avec EDrrε= et HB

rµ= .

3. Pour que le milieu de propagation soit assimilé au vide, il ne doit y avoir ni charges, ni courants, c'est-à-dire que ρ = 0 et 0J =

r. De plus, dans le système SI (MKSA rationalisé), on

doit avoir: ε = εo = (1/36π) 10-9 F/m et µ = µo = 4π 10-7. Compte tenu des conditions dans le vide, les équations de Maxwell s'écrivent:

tHEtro o ∂∂

µ−=r

rr

tEHtro o ∂∂

ε=r

rr

0Hdiv =r

0Ediv =

r

4. Sachant que: V - Vdiv dgra Vtro tro

rrrrrrr∆= , on a en posant EV

rr= :

)Htro(t

)tH(troE - Ediv dgra Etro tro oo

rrr

rrrrrrrr

∂∂

µ−=∂∂

µ−=∆=

⇒ 2

2

ooootE)

tE(

tE - Etro tro

∂

∂εµ−=

∂∂

ε∂∂

µ−=∆=rr

rrrrr car 0Ediv =

r

D'où: 0tE

c1E 2

2

2 =∂

∂−∆

rrr

avec c = (µo εo)-1/2 = 3 10+8 m/s.

De même, en faisant HVrr

= , le calcul est identique et on trouve que: 0tH

c1H 2

2

2 =∂

∂−∆

rrr

5. La troisième équation de Maxwell est 0Bdiv =

r. Elle implique que 0Arot div =

r. En

identifiant, on voit que le champ Br

dérive bien du potentiel vecteur Ar

. Soit: Atro Brrr

= En remplaçant dans la première équation de Maxwell, on obtient:

)tA (-tro )Atro(

t -

tBEtro

∂∂

=∂∂

=∂∂

−=r

rrrr

rr

L'équation des rotationnels est résolue à un gradient près, car on a: 0U)()U( Udgra tro =∇∧∇=∇∧∇=

rr

De plus, en électrostatique, on avait trouvé que: Udgra - Err

= .

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Faisons: U = Φ. En superposant les deux types d'équations, on obtient:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Φ

∂∂

=Φ+∂∂

= dgra -tA -tro )dgra (-tro )

tA (-tro Etro

rr

rrrr

rrr

D'où: Φ∂∂

= dgra -tA - E

rr

r

Le champ Er

dérive donc du potentiel scalaire Φ.

6. En combinant la seconde équation de Maxwell tEHtro o ∂∂

ε=r

rr et Atro B

rrr= , on a:

tEBtro oo ∂∂

µε=r

rr ⇒ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

−−∂∂

=tAΦdgra

tµεAtro tro oo

rrrrr

et 2

2

ooootA µε -

tΦµεdgra - A - Adiv dgra

∂

∂⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

=∆r

rrrrr

ou tΦ

c1 Adivdgra

tA

c1 -A 22

2

2 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+=∂

∂∆

rrr

rr avec 2/1

oo )(1 cεµ

=

Le premier membre de cette équation est celui de l'équation d'onde.

Or, d'après la condition de Lorentz : 0 tΦ

c1 Adiv 2 =

∂∂

+r

D'où: 0 tA

c1 -A 2

2

2 =∂

∂∆

rrr

En combinant la quatrième équation de Maxwell 0Ediv =r

et Φ∂∂

= dgra -tA - E

rr

r, on a:

0dgra -tA -div Ediv =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡Φ

∂∂

=r

rr

⇒ 0dgra div )tAdiv( =Φ+∂∂ rr

ou 0)Adiv(t

=∂∂

+∆Φr

. Or, d'après la condition de Lorentz: 2

2

2 tΦ

c1 - )A(div

t ∂

∂=

∂∂ r

D'où: 0 tc

1 2

2

2 =∂

Φ∂−∆Φ

Comme les champs Er

et Hr

, les potentiels Φ et Ar

se propagent comme dans des ondes dans le vide à la vitesse de la lumière.