Exercices d’algèbre linéaireExercice 3. Résoudre suivant les valeurs de – œ R le système...

Exercices d’algèbre linéaire

L1 MIASHS2017 - 2018

Révisions

Exercice 1. Résoudre les systèmes d’équations suivants :Y__]

__[

x + y ≠ z = 0x ≠ y = 0x + 4y + z = 0

Y__]

__[

x + y + 2z = 5x ≠ y ≠ z = 1x + z = 3

Y__]

__[

3x ≠ y + 2z = a

≠x + 2y ≠ 3z = b

x + 2y + z = c

Exercice 2. Résoudre suivant les valeurs de – œ R les systèmes d’équations suivants :I–x + y = 2

(–2 + 1)x + 2–y = 1

I(– + 1)x + (– ≠ 1)y = 1(– ≠ 1)x + (– + 1)y = 1

Exercice 3. Résoudre suivant les valeurs de – œ R le système d’équations suivant :I

x + –y = ≠3–x + 4y = 6

Quelle interprétation géométrique du résultat faites-vous ?

Exercice 4. Résoudre suivant les valeurs de – œ R le système d’équations suivant :Y__]

__[

3x + y ≠ z = 1x ≠ 2y + 2z = –

x + y ≠ z = 1

Exercice 5. Peut-on trouver trois réels –, —, “ tels que pour tout polynôme P de degréinférieur ou égal à 3, on ait :

⁄ 4

2P (x)dx = –P (2) + —P (3) + “P (4).

Exercice 6. Représenter les sous-ensembles de R2 suivants :

A1 =Ó

(x, y) œ R2 , x + y < 1Ô

A2 =Ó

(x, y) œ R2 , |x + y| < 1Ô

A3 =Ó

(x, y) œ R2 , |x| + |y| < 1Ô

A4 =Ó

(x, y) œ R2 , x + y > ≠1Ô

A5 =Ó

(x, y) œ R2 , |x ≠ y| < 1Ô

Exercice 7. Dans R2 on donne les points A = (≠1, 3), B = (3, ≠1), C = (≠3, ≠3).

1) Montrer que le triangle (ABC) est isocèle en C.

2) Donner une équation de la droite (AB).

3) Déterminer une équation de la médiatrice de [A, B].

Exercice 8. On considère la famille des droites D⁄ d’équation x+⁄y+1 = 0, où ⁄ œ R.

1) Vérifier que ces droites passent toutes par un même point A dont on donnera lescoordonnées.

2) Parmi toutes ces droites, y en a-t-il une qui est verticale ? Si oui donner une équationde cette droite.

3) Parmi toutes ces droites, y en a-t-il une qui est horizontale ? Si oui donner une équationde cette droite.

4) Parmi toutes ces droites, y en a-t-il qui sont parallèles, confondues ou perpendiculairesà la droite � d’équation 2x ≠ 3y + 1 = 0 ? Si oui donner des équations de ces droites.

Exercice 9. On considère la famille de droites Dm : (2m ≠ 1)x + (3 ≠ m)y + m + 1 = 0,m œ R. Parmi toutes ces droites y en a-t-il une perpendiculaire à (�) : x + y ≠ 1 = 0 ? Sioui, laquelle ?

Exercice 10. Dans R3 on donne les plans P : x + 2y + 3z = ≠3 et P Õ : 2x + 5y ≠ z = ≠1.

1) Donner un vecteur normal à P et un vecteur normal à P Õ.

2) Montrer que l’intersection des deux plans P et P Õ est une droite, notée D. Déterminerun point et un vecteur directeur de D.

Exercice 11. On considère dans R2 les points A = (≠1, 1), B = (3, ≠1) et C = (1, 4).Déterminer les coordonnées du point H, projeté orthogonal de C sur la droite (AB).

Exercice 12. Montrer que les droites Dm d’équation

Dm : (1 ≠ m2)x + 2mx = 4m + 2

sont toutes tangentes à un cercle fixe à préciser. (Indication : on pourra dessiner les droitesDm pour m = 0, m = 1 et m = ≠1.)

Soit un point M = (a, b) de R2. Peut on trouver m œ R telle que M œ Dm.

Exercice 13. Soient – et — deux réels non nuls et un point M = (a, b) un point de R2.

1) Déterminer les coordonnées du symétrique de M par rapport à la droite D d’équation :

D : x

–+ y

—= 1.

2) Donner l’ensemble des point M œ R2 pour lesquels les trois symétriques de M parrapport aux deux axes de coordonnées et à D soient alignés.

Matrices

Exercice 14. On considr̀e les matrices suivantes :

A =

Q

ca1 2 10 3 10 ≠1 3

R

db, B =

Q

ca≠1 02 01 ≠1

R

db, C =

Q

ca11

≠3

R

db, D =

Q

ca20

≠1

R

db, E =

Q

ccca

5 3≠1 59 3

≠2 7

R

dddb,

G =A

1 2 00 3 8

B

, H =

Q

ca6 4 ≠5

≠5 2 90 ≠6 3

R

db, I =A

1 2 1 70 3 1 10

B

et J =11 2 7

2.

A partir de ces matrices, e�ectuer toutes les sommes de matrices et tous les produits dematrices possibles.

Exercice 15. On considère deux matrices A et B de Mm(R) et on suppose que AB = BA.Montrer alors que pour tout n œ Nú,

(A + B)n =nÿ

k=0Ck

nAkBn≠k.

Exercice 16. On considèra la matrice J =

Q

ca0 1 00 0 10 0 0

R

db

1) Calculer J2 et J3 et en déduire Jn pour tout n œ Nú.

2) Soit A =

Q

ca1 1 00 1 10 0 1

R

db. Calculer An (On pourra écrire A comme somme de deux matrices

qui commutent).

3) Même question avec B =

Q

ca2 0 00 3 10 0 3

R

db.

Exercice 17. On considère la matrice

A =

Q

ca1 1 10 1 10 0 1

R

db .

On pose B = A ≠ I3.

Calculer Bn pour tout n œ N. En déduire l’expression de An.

Exercice 18. Soit

A =

Q

ca0 0 11 0 30 1 0

R

db .

Trouver a, b, c œ R telle que A3 = aA2 + bA + cI3. En déduire que A est inversible ettrouver A≠1.


A =

Q

ca2 ≠2 12 1 ≠21 2 2

R

db .

1) Calculer A tA et tA A.

2) En déduire que A est inversible et donner l’expression de A≠1.


A =A

≠1 ≠23 4

B

.

1) Calculer A2 ≠ 3A + 2I2. En déduire que A est inversible et calculer son inverse.

2) Pour n Ø 2, déterminer le reste de la division euclidienne de Xn par X2 ≠ 3X + 2.

3) En déduire l’expression de la matrice An.

Exercice 21. Soient A et B deux matrices carrées d’ordre n telle que A + B = AB.

1) Montrer que In ≠ A est inversible.

2) Montrer que A et B commutent.

Exercice 22. Soit A œ M3(R) telle que A3 = A2 ≠ 2A.

1) A est elle inversible ?

2) Déterminer An pour tout n œ Nú.

Espaces vectoriels

Exercice 23. On définit sur R, la loi de composition interne ı définie par xıy = 2x+2y.

1) Cette opération est elle associative ? commutative ?

2) Mêmes questions avec x ı y = 2x + y.

Exercice 24.1) Montrer qu’un groupe possède un unique élément neutre.

2) Monstrer que dans un groupe, le symétrique d’un élément est unique.

Exercice 25. Soit A un ensemble. On considr̀e S l’ensemble des permutations de A, c’està dire des bijections de A dans lui même. On considère sur S, ¶ la loi de compositionusuelle des applications.

1) Montrer que (S, ¶) est un groupe.

2) Montrer que ce groupe n’est pas commutatif si A contient au moins 3 éléments.

Exercice 26. Soit E un R - espace vectoriel. On munit le produit cartésien E ◊ E d’uneloi de composition interne + et d’une loi de composition externe définies comme suit :

’(x, y), (xÕ, yÕ) œ E ◊ E, (x, y) + (xÕ, yÕ) = (x + xÕ, y + yÕ)

’z = a + ib œ C, ’(x, y) œ E ◊ E, z ı (x, y) = (ax ≠ by, ay + bx).

Montrer que (E ◊ E, +, ı) est un C - espace vectoriel.

Exercice 27. Soit E = Rú+ muni de la loi de composition interne définie par

’a, b œ E, a ü b = ab

et de la loi de composition externe définie par

’a œ E, ’⁄ œ R, ⁄ ¢ a = a⁄.

Montrer que (E, ü, ¢) est un R - espace vectoriel.

Exercice 28. Sur E = R2 on définit les deux lois suivantes :

’(x, y), (xÕ, yÕ) œ E, (x, y) + (xÕ, yÕ) = (x + xÕ, y + yÕ)

’(x, y) œ E, ’⁄ œ R, ⁄ ı (x, y) = (⁄x, 0).

Est ce que (R2, +, ı) est un R - espace vectoriel ?

Exercice 29. Les parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels de R2 ?

B A =)(x, y) œ R2 | x Æ y

*

B B =)(x, y) œ R2 | xy = 0

*

B C =)(x, y) œ R2 | x = y

*

B D =)(x, y) œ R2 | x + y = 1

*

Exercice 30. Les parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels de R3 ?

B A =)(x, y, z) œ R3 | x Æ y

*

B B =)(x, y, z) œ R3 | xyz > 0

*

B C =)(x, y, z) œ R3 | y = z

*

B D =)(x, y, z) œ R3 | 2x + y ≠ 3z = 0

*

Exercice 31. Soit E l’espace vectoriel de toutes les fonctions de [0, 1] dans R. Les partiessuivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels de E ?

B A = {f œ E, 2f(0) = f(1)}B B = {f œ E, f(1) = f(0) + 1}B C = {f œ E, f Ø 0}B D = {f œ E, ’x œ [0, 1], f(x) = f(1 ≠ x)}B F = {f œ E, f polynomiale de degré 4}

B G = {f œ E, f polynomiale de degré inférieur ou égal à 4}B H = {f œ E, f est une fonction paire}

Exercice 32. Parmi les sous-ensembles de matrices de Mn(R) suivants, lesquels sont dessous-espaces vectoriels :

B les matrices symétriquesB les matrices diagonalesB les matrices inversiblesB les matrices triangulairesB les matrices triangulaires supérieuresB les matrices qui commutent avec une matrice donnée A

B les matrices M telle que M2 = M

B les matrices de trace nulle

Exercice 33. On considère E = RN l’espace vectoriel des suites réelles. Les parties sui-vantes sont-elles des sous-espaces vectoriels de E ?

B A =Ó

(un) œ RN | (un) bornéeÔ

B B =Ó

(un) œ RN | (un) monotoneÔ

B C =Ó

(un) œ RN | (un) convergenteÔ

B D =Ó

(un) œ RN | (un) arithmétiqueÔ

Exercice 34. Soit – un réel. On considère le sous-ensemble suivant de R3 :

F– =Ó

(x, y, z) œ R3 | x + 2y ≠ z = –Ô

.

Montrer que F– est un sous-espace vectoriel de R3 si et seulement si – = 0.

Exercice 35. Soient F =)(x, y, z) œ R3 | x + y ≠ z = 0

*et G = {(a ≠ b, a + b, a ≠ 3b), a, b œ R}.

1) Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels de R3.

2) Déterminer F fl G.

Exercice 36. Soient E un R - espace vectoriel et A et B deux sous-ensembles de E.Montrer que :

B Si A µ B alors Vect(A) µ Vect(B)B Vect(A) fi Vect(B) µ Vect(AUB)B Vect(A fl B) µ Vect(A) fl Vect(B)B Vect(A) = Vect(Vect(A))

Exercice 37. Soient E un R - espace vectoriel et a1, . . . , an, n éléments de E. On considèreA = {a1, . . . , an}. On pose

F := {–1a1 + . . . + –nan | (–1, . . . , –n) œ Rn}

1) Montrer que F est un sous-espace vectoriel de E.

2) Montrer que A µ F .

3) En déduire que Vect(A) µ F .

4) Montrer que Vect(A) = F .

Exercice 38. Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d’un R - espace vectoriel E.Montrer que

F + G := {x + y | x œ F, y œ G}

est un sous-espace vectoriel de E qui contient F fi G.

Exercice 39. Soient E un R - espace vectoriel et F et G deux sous-espaces vectoriels deE.

1) Montrer que F fi G est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si F µ G ou bienG µ F .

2) Montrer que :Vect(F fi G) = F + G.

Exercice 40. On considère E le R- espace vectoriel des fonctions de R dans R. SoientF le sous-ensemble de E des fonctions paires et G le sous-ensemble de E des fonctionsimpaires.

1) Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels de E.

2) Montrer que F et G sont supplémentaires.

Exercice 41. On considère E le R - espace vectoriel des fonctions de R dans R qui sontindéfiniment dérivables. On considère les sous-ensembles de E suivants :

B F = {f œ E | f(0) = f Õ(0) = 0}B G le sous-ensembles des fonctions de E qui sont a�nesB H = Vect(sin, cos)

1) Montrer que F , G et H sont des sous-espaces vectoriels de E.

2) Montrer que F et H sont supplémentaires.

3) Montrer que F et G sont supplémentaires.

4) A-t-on G = H ? Que peut on conclure ?

Bases

Exercice 42. On considère le R - espace vectoriel E = R3 et u1 = (1, 0, 0), u2 = (1, 1, 0),u3 = (1, 1, 1) et u4 = (1, 0, 1).

1) {u1, u2, u3, u4} est-il un système libre ? générateur ?

2) {u3, u3 + 2u4, u4} est-il un système libre ? générateur ?

3) {u1, u2, u3} est-il un système libre ? générateur ?

4) {u1, u2, u4} est-il un système libre ? générateur ?

5) {u1, u4} est-il un système libre ? générateur ?Exercice 43. Soit E un R - espace vectoriel et (e1, e2, e3, e4) une famille de de 4 vecteurslinéairement indépendants. Les familles suivantes sont-elles libres ?

B (e1, 2e2, e3)B (e1, e3)B (e1, 2e1 + e4, e4)B (3e1 + e3, e3, e2 + e3)B (2e1 + e2, e1 ≠ 3e2, e4, e2 ≠ e1)

Exercice 44. Soit E un R - espace vectoriel et soit (u, v, w) une famille libre de troisvecteurs de E. On pose x = v + w, y = w + u et z = u + v. Montrer que (x, y, z) est unefamille libre.Exercice 45. Soient dans R4 les vecteurs u = (1, 2, 3, 4) et v = (1, ≠2, 3, ≠4). Peut ontrouver – et — deux réels pour que (–, 1, —, 1) œ Vect(u, v) ? Et pour que (–, 1, 1, —) œVect(u, v) ?Exercice 46. On considère les vecteurs suivants de R3 :

e1 = (2, 3, ≠1), e2 = (1, ≠1, ≠2), e3 = (3, 7, 0), e4 = (5, 0, ≠7).

Montrer que Vect(e1, e2) = Vect(e3, e4).Exercice 47. On considère E = R4 et

F = {x = (x1, x2, x3, x4) œ E | x1 + x3 = 0, x2 ≠ x4 = 0, x2 + x1 = 0} .


2) Déterminer une base de F .

3) Montrer que F admet un supplémentaire et en proposer un.Exercice 48. Dans E = R3 on considère les sous espaces vectoriels F = {(x, y, z) œR3 | x + y + z = 0} et G = Vect{e1, e2, e3} où e1 = (1, ≠1, 2), e2 = (1, 1, ≠1) et e3 =(≠1, ≠5, ≠7).

1) Donner une base de F .

2) Donner une base de G.

3) Donner une base de F fl G.Exercice 49. Soit E = R2[X] le R - espace vectoriel des polynômes de degré inférieurou égal à 2. Soit

F =Ó

P œ E | X2P ÕÕ ≠ 2P = 0Ô

.


2) Déterminer une base de F .

3) Déterminer un supplémentaire de F dans E.

Exercice 50. Soit n œ Nú et –, — deux réels tel que a ”= b.

1) Montrer que la famille B =1(X ≠ a)k

2

0ÆkÆ2nest une base de R2n[X].

2) Déterminer les coordonnées de (X ≠ a)n(X ≠ b)n dans la base B.

Exercice 51. Soit n œ N vérifiant n Ø 2 et soit E = Rn[X]. Soit F l’ensemble despolynômes P de E tels que P (1) = P Õ(1) = 0.


2) Montrer que P œ F si et seulement si (X ≠ 1)2 divise P .

3) Donner une base de F et déterminer sa dimension.

Exercice 52. On considère E le R - espace vectoriel des suites réelles. Soit

F = {u = (un)nœN œ E | ’n œ N, un+2 ≠ 3un+1 + 2un = 0} .


2) Soit u = (un)nœN œ E et v = (vn)nœNú définie par ’n œ Nú, vn = un ≠ 2un≠1.

a) Exprimer pour tout n Ø 1, vn en fonction de n, u0 et u1.

b) Montrer à l’aide de la question précédente qu’il existe deux suites a = (an)nœN etb = (bn)nœN deux suites de F telle que

’u = (un)nœN œ F, ÷–, — œ R telle que ’n œ N, un = –an + —bn.

3) Montrer que {a, b} est une famille linéairement indépendante.

4) Déduire la dimension de F .

Applications linéaires

Exercice 53. Les applications suivantes sont-elles linéaires ?

B f : R2 æ R2 définie par f(x, y) = (x ≠ y, x + y)B f : R2 æ R2 définie par f(x, y) = (x ≠ y, x2 ≠ y2)B f : R2 æ R3 définie par f(x, y) = (y, x, 0)B f : R3 æ R définie par f(x, y, z) = x + y + 2z

B f : R2 æ R définie par f(x, y) = x + y + 1B f : R2 æ R définie par f(x, y) = |x ≠ y|B f : R2 æ R définie par f(x, y) = xy

B f : R3 æ R définie par f(x, y, z) = x ≠ z

Pour chacune des applications f qui sont linéaires, déterminer une base de Ker f , une basede Im f et rg f et dire si f est injective, surjective ou bijective.

Exercice 54. Soient n Ø 2 et f : Rn[X] æ R2[X] qui à P associe

f(P ) = P (1)X + P (0)(X2 ≠ 4).

Montrer que f est linéaire et trouver les dimensions de Ker f et de Im f .

Exercice 55. Soient E = R3 et f œ L (E) définie par ’(x, y, z) œ E, f(x, y, z) = (z, y, z).

1) Trouver une base de Ker f et une base de Im f .

2) Montrer que Ker f ü Im f = E.

3) Montrre que f est un projecteur de E et le caractériser.

Exercice 56. Soit E un R - espace vectoriel et f œ L (E) telle que f ¶ f = f et Ker f ”={0E}.

1) Montrer que Ker f ü Im f = E.

2) Soit g = IdE ≠f

a) Montrer que g œ L (E) et déterminer Im g et Ker g.

b) Montrer que g est projecteur de E et le caractériser.

Exercice 57. Soit n œ Nú et E = Rn muni d’une base (e1, . . . , en). On note H le sous-espace vectoriel de E donné par

H = {x = x1e1 + . . . + xnen œ E | x1 + . . . + xn = 0}.

On note u = e1 + . . . + en et D = Vect{u}.

1) Montrer que E = H ü D.

2) Soit x œ E. Donner la décomposition de x dans H ü D.

3) Donner la projection p sur H parallèlement à D et la projection q sur D parallèlementà H.

Exercice 58. Soit E un R - espace vectoriel et f œ L (E) une symétrie de E, c’est à direun endomorphisme qui vérifie f ¶ f = IdE .

1) Montrer que Ker f = {0E} et Im f = E.

2) Montrer que F = {x œ E | f(x) = x} et G = {x œ E | f(x) = ≠x} sont supplémentairesdans E.

3) On considère l’application f : R3 æ R3 définie par f(x, y, z) = (z, ≠y, x).

a) Montrer que f est une symétrie de R3.

b) Déterminer une base de F et une base de G.

Exercice 59. Soient f et g deux endomorphismes d’un R - espace vectoriel E. Montrerque g ¶ f = 0 ≈∆ Im(f) µ Ker(f)

Exercice 60. Soient f et g deux endomorphismes d’un R - espace vectoriel E.

1) Comparer Ker(f) fl Ker(g) et Ker(f + g).

2) Comparer Im(f) fl Im(g) et Im(f + g).

3) Comparer Ker(f) et Ker(f2).

4) Comparer Im(f) et Im(f2).

Exercice 61. Soient E et F deux R - espaces vectoriels. On considère f œ L (E, F ) etg œ L (F, E) telle que f ¶ g = IdF .

1) Montrer que Ker g = {0F } et Im f = F .

2) Montrer que g ¶ f est un projecteur de E.

3) Montrer que Im(g ¶ f) = Im g.

4) Montrer que Ker(g ¶ f) = Ker f .

5) Dans quel cas peut on dire que f est inversible ?

Exercice 62. Soit E = R[X]. Soient deux applications „ et Â de E dans E définies par„(P ) = P Õ et Â(P ) = XP , pour tout P œ E.

1) Montrer que „ et Â sont des endomorphismes de E.

2) Les applications „ et Â sont-elles injectives, surjectives, bijectives ?

Exercice 63. Soient E et F deux R - espaces vectoriels, f œ L (E, F ) et A, B deuxsous-espaces vectoriels de E. Montrer que :

f(A) µ f(B) ≈∆ A + Ker f µ B + Ker f

Exercice 64. Soient f et g deux formes linéaires sur E un R - espace vectoriel. Montrerque

Ker f = Ker g ≈∆ ÷⁄ œ K \ {0}, tel que g = ⁄f.

Exercice 65. Soit E un R - espace vectoriel de dimension finie. On considère f œ L (E)vérifiant :

’x œ E, ÷⁄ œ R, f(x) = ⁄x.

Montrer que f est une homothétie, c’est à dire, ÷⁄ œ R telle que f = ⁄ Id.

Exercice 66. On considère Rn[X] le R - espace vectoriel des polynômes de degré inférieurou égal à n. Soit l’application � qui à tout élément P œ Rn[X] associe le polynôme�(P ) = P (X + 1) ≠ P (X).

1) Montrer que � est un endomorphisme de Rn[X].

2) Trouver Ker � et Im �.

3) Montrer que � est nilpotent, c’est à dire qu’il existe k œ N telle que �k = 0.

4) Déterminer des réels –0, . . . , –n, –n+1 non nuls telle que :

’P œ Rn[X],n+1ÿ

i=0–iP (X + i) = 0.

Exercice 67. Soit E un R - espace vecotriel E et f œ L (E) telle que f3 = Id. Montrerque :

Ker(f ≠ Id) ü Im(f ≠ Id) = E.

Exercice 68. On consdère E un R - espace vectoriel de dimension finie. Soit f œ L (E)vérifiant rg(f2) = rg(f).

1 - Montrer que Im(f2) = Im(f) et Ker(f2) = Ker(f).

2 - Prouver que Im f ü Ker f = E.

Exercice 69. Soit E un R - espace vectoriel de dimension finie et soit f un endomorphismede E. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes.

1. E = Ker f ü Im f

2. E = Ker f + Im f

3. Im f = Im f2

4. rg f = rg f2

5. Ker f = Ker f2

6. Ker f fl Im f = {0E}

Représentation matricielle des applications linéaires

Exercice 70. Soit f l’application de R3 à valeurs dans R3 définie par

f

S

WUxyz

T

XV =

S

WUx ≠ yy ≠ xx ≠ z

T

XV .

1) Montrer que f est une application linéaire.

2) Exprimer la matrice de f dans la base suivante de R3 :

B =

Y_]

_[

S

WU101

T

XV ,

S

WU011

T

XV ,

S

WU110

T

XV

Z_̂

_\.

3) Ecrire la matrice de passage de la base B à la base canonique de R3.

4) Donner la matrice de f exprimée dans la base canonique.


A =

Q

ccca

1 2 13 4 15 6 17 8 1

R

dddb .

Calculer le rang de A. Déterminer une base du noyau et une base de l’image de l’applicationlinéaire associée fA.

Mêmes questions pour la matrice

B =

Q

ccca

2 2 ≠1 74 3 ≠1 110 ≠1 2 ≠43 3 ≠2 11

R

dddb .

Exercice 72. Soit E un R - espace vectoriel muni d’une base B = (i, j, k). Soit f l’en-domorphisme de E dont la matrice dans la base B est :

A =

Q

ca2 ≠1 ≠11 0 ≠11 ≠1 0

R

db .

1) Calculer A2. Que peut on déduire pour f ?

2) Déterminer une base de Im f et une base de Ker f . Montrer que BÕ, la réunion de cesdeux bases, est une base de E.

3) Quelle est la matrice de f dans BÕ ?

Exercice 73. Soit B = (i, j, k) la base canonique de R3 et f l’endomorphisme de R3 dontla matrice dans B est donnée par :

A =

Q

ca2 ≠1 ≠1

≠1 2 ≠1≠1 ≠1 2

R

db .

1) Déterminer Ker f et Im f . Démontrer que ces deux sous-espaces vectoriels sont supplé-mentaires dans R3.

2) Déterminer une base BÕ adaptée à cette supplémenatarité. Ecrire la matrice de f dansBÕ.

3) Décrire f géométriquement.

Exercice 74. Soit f œ L (R3) représenté dans la base canonique B de R3 par :

A =

Q

ca2 1 ≠10 1 01 1 0

R

db .

1) Soit BÕ = (u, v, w) avec u = (1, 0, 1), v = (≠1, 1, 0) et w = (1, 1, 1). Montrer que BÕ estune base.

2) Déterminer la matrice de f dans BÕ.

3) Calculer, pour tout n œ N, la matrice de fn dans B.

Exercice 75. Soit E un R - espace vectoriel muni d’une base B = (i, j, k). Soit f l’en-domorphisme de E dont la matrice dans B est

A =

Q

ca2 ≠1 0

≠2 1 ≠21 1 3

R

db .

Soit BÕ = (u, v, w) la famille définie par u = i + j ≠ k, v = i ≠ k et w = i ≠ j.

1) Montrer que BÕ est une base de E et donner la matrice M de f dans BÕ.

2) Exprimer la matrice de passage P de B à BÕ et calculer P ≠1.

3) Calculer An pour tout n œ N.

Exercice 76. Soit E un R - espace vectoriel de dimension 3 et f œ L (E) telle que f2 ”= 0et f3 = 0. Montrer qu’il existe une base de E dans laquelle la matrice de f est :

A =

Q

ca0 0 01 0 00 1 0

R

db .

Exercice 77. On considère les matrices :

A =

Q

ccca

0 0 1 00 0 0 10 0 0 00 0 0 0

R

dddb , B =

Q

ccca

0 0 0 00 1 0 00 0 0 10 0 0 0

R

dddb , C =

Q

ccca

0 1 0 00 0 0 00 0 0 10 0 0 0

R

dddb .

1) Montrer que A et B ne sont pas semblables.

2) Montrer que A et C sont semblables.

Exercice 78. On considère les matrices :

A =

Q

ccca

0 0 0 00 0 1 00 0 0 10 0 0 0

R

dddb , B =

Q

ccca

0 1 0 00 0 0 00 0 0 10 0 0 0

R

dddb .

Les matrices A et B sont-elles semblables ? (On pourra calculer A2)

Exercice 79. Soit E un espace vectoriel de dimension 3 muni d’une base B = (i, j, k).Soit – œ R, on considère les vecteurs u = ≠i ≠ j + k, v = i ≠ –j ≠ k et w = i ≠ j ≠ –k.Soit f– l’application linéaire de E dans E, définie par :

f–(i) = u, f–(j) = v, f–(k) = w.

1) Déterminer la matrice A– de f– dans B.

2) Déterminer suivant les valeurs de – le rang de f–.

3) Trouver, suivant les valeurs de –, Ker f–.

4) Montrer que la matrice

P =

Q

ca1 0 11 1 0

≠1 ≠1 ≠1

R

db

est inversible et calculer son inverse.

5) Montrer que A0 = PDP ≠1, où

D =

Q

ca0 0 00 1 00 0 ≠1

R

db .

En déduire que f30 = f0.

Exercice 80. Soient n œ Nú et E = Rn[X]. On note BÕ = {Pk, k = 0, 1, . . . , n} oùPk = Xk(1 ≠ X)n≠k.

1) Montrer que BÕ est une base de E.

2) Ecrire les matrices de passages de la base canonique vers BÕ et de BÕ vers la basecanonique. (On pourra remarquer que 1 = X + (1 ≠ X).)

Exercices d’algèbre linéaireExercice 3. Résoudre suivant les valeurs de – œ R le système...

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