exercices corrigés Économétrie -...

Sciences de gestion

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ric DOR

&

conomtrieCours et exercices adapts aux besoins des conomistes et des gestionnaires

Corrigs dtaills avec Excel, SPSS, TSP, Easyreg

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Sciences de gestion

Synthsede cours & Exercicescorrigs

conomtrieric DOR

professeur associ dconomtrie lIESEG School of Management (Lille)

Direction de collection : Roland Gilletprofesseur luniversit Paris 1 Panthon-Sorbonne

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Copyright 2009 Pearson Education France

ISBN : 978-2-7440-4071-9

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Sommaire

Lauteur VII

Introduction IX

Chapitre 1 Modlisation en conomie et gestion 1

Chapitre 2 Modle linaire en univers stationnaire 23

Chapitre 3 Complments sur les modles linaires 75

Chapitre 4 quations multiples en univers stationnaire 127

Chapitre 5 Tests de racine unitaire et modles ARIMA 149

Chapitre 6 Variables intgres, modles VAR et cointgration 201

Chapitre 7 Variables dpendantes discrteset volatilit conditionnelle autorgressive 257

Index 287

Sommaire V

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Lauteur

ric Dor est docteur s sciences conomiques. Il est directeur de la recherche et professeurassoci lIESEG School of Management de Lille, membre de la Confrence des Grandescoles de France. Il enseigne galement lInstitut Catholique des Hautes tudes Com-merciales (ICHEC) de Bruxelles. Il est lauteur de nombreuses publications scientifiques,en particulier dans des revues comme Oxford Bulletin of Economics and Statistics, EmpiricalEconomics, Recherches conomiques de Louvain, et Recherches et Applications en Marketing.Au cours de sa carrire, il a t Senior Economist chez Wharton Econometric ForecastingAssociates. Il a t frquemment matre de confrences invit lUniversit Catholiquede Louvain et a t invit dans plusieurs centres de recherche internationaux, dont leGraduate Center de la City University of New York.

Lauteur VII

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Introduction

Lapproche de ce livre est rsolument pdagogique. Son objectif est de prsenter clairementles principales mthodes conomtriques et dexpliquer en dtail comment les utiliser enpratique. Notre ouvrage se distingue par labondance des tudes de cas exposes, quiutilisent systmatiquement des donnes relles et qui portent aussi bien sur des probl-matiques dentreprise que sur des problmatiques financires ou macroconomiques. Celivre constitue donc un outil particulirement utile lapprentissage de lconomtrie pardes tudiants en sciences de gestion comme en sciences conomiques.

Louvrage se distingue galement par la place quil accorde expliquer comment lesmodles sont spcifis pour diffrents types dapplications. Lenseignement de lco-nomtrie se concentre trop souvent exclusivement sur les techniques destimation desmodles, sans dtailler au pralable les mthodes de spcification de ces modles. Or,dans la pratique, la validit dune tude conomtrique dpend de la pertinence dela spcification du modle estim ; il est vain de connatre les diffrentes mthodesdestimation et dinfrence statistique si on les applique des modles incohrents.

Toutes les donnes utilises dans les exercices peuvent tre tlcharges sur le site Internetde lditeur, ladresse www.pearsoneducation.fr. Les applications sont ralises laidede diffrents logiciels, dont lusage est trs rpandu. Dune part, pour certains exercicessimples, nous montrons comment raliser des calculs conomtriques avec un logiciel detype tableur, Excel, en raison de sa popularit sur les postes de travail. Dautre part, nousinitions le lecteur lutilisation de logiciels conomtriques spcialiss de grande qualit :TSP, SPSS et Easyreg. Ceux-ci sont complmentaires : ils diffrent dans leur mode defonctionnement, ce qui donne au lecteur toutes les cls des outils informatiques TSP estbas sur la programmation de squences dinstruction tandis que SPSS et Easyreg reposentsur des choix de menus. Pour chacun des logiciels utiliss, le livre prsente une introductiondtaille son utilisation de base. De cette manire, le lecteur peut passer une mise enpratique immdiatement, sans avoir lire au pralable les notices dutilisation fourniespar les diteurs. Toutefois, notre ouvrage ne prtend pas se substituer la documentationofficielle, dont la lecture est indispensable pour une utilisation approfondie. Prcisonsgalement que le choix de ces logiciels nimplique pas de jugement de valeur quant auxautres outils conomtriques qui existent sur le march il ntait pas possible dinclureune prsentation dtaille de tous les logiciels disponibles.

Introduction IX

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La comprhension de louvrage ncessite la connaissance de quelques notions mathma-tiques de base. Au besoin, le lecteur peut se rfrer louvrage Mathmatiques appliques la gestion de Ariane Szafarz. De la mme manire, une connaissance de base de lathorie statistique est ncessaire. Le lecteur peut se reporter utilement au livre de PatrickRoger : Probabilits, statistique et processus stochastiques, publi dans la mme collection.Les mthodes destimation et leurs proprits sont prsentes avec une grande rigueurmathmatique et statistique, tout en sefforant dexpliquer la porte pratique des rsultatsprsents ; le lecteur doit comprendre sous quelles conditions chaque mthode ou chaquetest peut tre utilis bon escient. Les preuves mathmatiques des diffrents rsultatset proprits ne sont toutefois pas dtailles dans cet ouvrage, le lecteur intress tantrenvoy pour cela aux nombreux ouvrages dconomtrie thorique existants. Notreconviction est que lenseignement de lconomtrie doit dabord intresser ltudiant la discipline en lui montrant demble les applications pratiques enthousiasmantesquelle permet de raliser. La motivation qui en rsulte devrait inciter naturellementle lecteur approfondir ensuite sa connaissance de lconomtrie, en sintressant auxdveloppements mathmatiques la source des mthodes et de leurs proprits.

Cet ouvrage constitue le manuel idal pour un premier cours dconomtrie, centr surlexplication des mthodes et sur leur mise en pratique. Le professeur peut y ajouter lui-mme, sa propre convenance, les dmonstrations mathmatiques de certains rsultats.Dans les programmes denseignement o lon organise sparment des cours dconom-trie thorique et un cours dconomtrie applique, notre ouvrage constitue bien sr unmanuel appropri ce dernier. Ce livre peut galement tre utilis en complment dunmanuel essentiellement thorique.

Je tiens remercier TSP International pour mavoir autoris reproduire ici des extraitsde rsultats produits avec le logiciel TSP, Herman Bierens pour avoir permis la repro-duction de captures dcran issues dEasyreg, et SPSS France pour un accord simi-laire concernant SPSS. La reproduction dlments issus dExcel respecte les conditionsimposes par Microsoft Corporation, telles quelles taient publies sur la page Inter-net http ://www.microsoft.com/france/permission/copyrgt/cop-img.htm#ScreenShoten fvrier 2004.

Je remercie galement Roland Gillet, le directeur de la collection, pour la confiance quilma tmoigne en me proposant de rdiger ce manuel, ainsi que Pearson Education Francepour le soin apport la ralisation de louvrage, en particulier Pascale Pernet, AntoineChret, et tout spcialement Christophe Lenne pour son engagement, sa patience et sarigueur. Leur professionnalisme permet de proposer au lecteur un produit de grandequalit.

ric DorDocteur s sciences conomiques

Directeur de la rechercheIESEG School of Management

Lille

X Introduction

PEARSON Education France Exercices dconomtrie 2e dition (Scriptex : 4e preuve) X

PEARSON Education France Exercices dconomtrie 2e dition (Scriptex : 4e preuve) 1

1ChapitreModlisationen conomieet gestion

Modlisation en conomie et gestion

1. Utilit et dfinition de lconomtrie . . 12. Relations conomiques . . . . . . . . . . . . . . . 23. Vrification de ladquation empirique

des relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24. Mesure des taux de raction . . . . . . . . . 35. Formes fonctionnelles et paramtres . . 3

5.1 Choix dune relation linaire . . . . . . 35.2 Choix dune relation non linaire 4

6. Validation empirique et typesde donnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56.1 Dimension du temps ou des agents 5

7. Formulation statistique des relationsconomiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

8. Processus stochastiques . . . . . . . . . . . . . . 79. Modles statiques ou dynamiques et

thorie conomique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Problmes et exercices . . . . . . 111. Ventes et publicit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112. lasticit des ventes aux prix . . . . . . . . . . 113. Spcification dune fonction de

production . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124. Fonction de consommation prix courants

ou constants? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135. Consommation, revenu disponible et

salaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136. Taux dintrt nominal ou rel? . . . . . . . 147. Choix des donnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158. Spcification dune fonction de

consommation dynamique . . . . . . . . . . . . 169. Spcification dun modle dynamique de

taux de change . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Ce chapitre dfinit lobjectif et la mthode gnrale de

lconomtrie. Il prcise quelques notions de base

indispensables la comprhension de louvrage, lies

la modlisation mathmatique des phnomnes

rencontrs en sciences conomiques et en sciences de

gestion.

1 Utilit et dfinitionde lconomtrie

Lconomtrie est le principal outil danalyse quantitative utilispar les conomistes et gestionnaires dans divers domaines dappli-cation, comme la macroconomie, la finance ou le marketing.Les mthodes de lconomtrie permettent de vrifier lexistencede certaines relations entre des phnomnes conomiques, et demesurer concrtement ces relations, sur la base dobservations defaits rels.

Dans son acception la plus restreinte, lconomtrie est un ensemblede techniques utilisant la statistique mathmatique qui vrifient lavalidit empirique des relations supposes entre les phnomnesconomiques et mesurent les paramtres de ces relations. Au senslarge, lconomtrie est lart de construire et destimer des modlesempiriques adquats par rapport aux caractristiques de la ralit,et intelligibles au regard de la thorie conomique.

Utilit et dfinition de lconomtrie 1



2 Relations conomiquesLa rflexion que lon peut mener sur une ralit conomique quelconque conduit tou-jours tablir des relations entre les phnomnes conomiques concerns. Une rflexionapprofondie dans un domaine de science conomique ou science de gestion est la basede toute analyse conomtrique. En dautres termes, la ralisation de travaux conom-triques suppose la connaissance pralable des disciplines conomiques en jeu, puisquellessuggrent le type de relation vrifier sur les donnes relles observes.

ExempleOn suppose que la consommation totale des mnages augmente avec leur revenu disponiblerel, mais diminue quand le taux dintrt monte. Une telle relation conomique scrit de lamanire suivante :

c = f (yd, r) , avec cyd

> 0 etfc

fr< 0 (a)

o c correspond la consommation, yd au revenu disponible et r au taux dintrt. La nota-tion f (,) dsigne une fonction quelconque, linaire ou non (il faudrait poser des hypothsessupplmentaires pour en prciser la forme fonctionnelle, mais ce nest pas le propos de cettesection). La supposition de dpart se formule de la faon suivante : la drive partielle de f parrapport yd est positive taux dintrt r inchang, une augmentation du revenu disponibleyd implique une augmentation de la consommation c et la drive partielle de f par rapport r est ngative revenu disponible inchang, une augmentation du taux dintrt r impliqueune diminution de la consommation c.

ExempleUne relation conomique suggre que le taux dintrt nominal R est une fonction croissante dutaux dinflation INF et du taux de croissance de la production CR :

R = f (INF, CR) , avec RINF

> 0 etR

CR> 0 (b)

3 Vrification de ladquation empiriquedes relations

Pour expliquer comment se dtermine(nt) un ou plusieurs phnomnes conomiques,on construit un modle partir de certaines hypothses et des rsultats quelles donnentdans le cadre dune thorie particulire. On vrifie que ce modle dcrit rellement lamanire dont le ou les concept(s) dintrt se dtermine(nt) dans la ralit. Il faut pourcela disposer de mesures relles des phnomnes (les statistiques ) et vrifier au moyende techniques issues de la statistique mathmatique (1) que le modle correspond cesdonnes observes.

1. Si ncessaire, quelques rappels utiles de la statistique mathmatique peuvent tre puiss dans tout bonmanuel de base, comme par exemple le livre de Probabilits, statistique et processus stochastiques de PatrickRoger, publi chez Pearson Education France dans la mme collection.

2 Modlisation en conomie et gestion



1Chapitre4 Mesure des taux de raction

Dans la mesure o le modle est acceptable, on souhaite galement mesurer quantitati-vement les taux de raction des phnomnes expliqus aux variations des phnomnesexplicatifs. Ces mesures permettront de simuler ultrieurement leffet de telle ou tellevariation hypothtique dun phnomne explicatif sur les phnomnes expliqus.

Soit un modle explicatif du taux dintrt, sous la forme dune quation o le taux dinfla-tion est une variable explicative. On vrifie son adquation la ralit observe. Commeon dispose alors des mesures des taux de raction du taux dintrt ses dterminants,on peut valuer lavance leffet sur le taux dintrt dune acclration de linflationdun montant dtermin. Souvent, plusieurs thories concurrentes expliquent les mmesralits conomiques. Les techniques conomtriques permettent didentifier celle quiexplique le mieux la ralit, celle qui est au plus prs des observations.

5 Formes fonctionnelles et paramtresLobjectif est de vrifier ladquation dun modle la ralit observe et de mesurer lestaux de raction des phnomnes expliqus aux phnomnes explicatifs. Pour confronterefficacement modle et donnes, il convient dexprimer ce dernier sous une forme mani-pulable . Selon la relation (a), la consommation est une fonction du revenu disponible etdu taux dintrt. Cette formulation est mathmatiquement trop vague pour pouvoirtre confronte la ralit observe. Pour pallier le problme, il faut spcifier a priori uneforme fonctionnelle particulire de la fonction f (). Les possibilits sont innombrables.

5.1 CHOIX DUNE RELATION LINAIRE

Le choix le plus simple est celui dune relation linaire. Il se justifie quand on peutraisonnablement supposer que les drives partielles de la variable dpendante par rapport chaque variable explicative ne sont pas fonction des niveaux atteints par ces variablesexplicatives. Cette hypothse signifie que la variation de la variable dpendante, suite une variation de une unit de lune des variables explicatives, est toujours la mme quelsque soient les niveaux dj atteints par celles-ci.

ExempleOn suppose que la fonction f () est linaire. Soient les paramtres , et tels que :

c = + yd+ r , avec > 0 et < 0 (a)On a donc f (yd, r) = + yd+ r. On remarque que :

= cyd

et = cr

Le coefficient est donc la drive partielle de c par rapport yd. Il rend compte de limportancede la variation de c quand yd augmente de une unit, r constant. Que se passe-il quand rne change pas, mais que yd augmente de une unit (il sagit de lunit dans laquelle yd estexprim)? La rponse est que c varie de units (il sagit ici de lunit de mesure dans laquelle cest exprim). De la mme manire, est la drive partielle de c par rapport r. Il rend comptede limportance de la variation (par exemple en milliards deuros prix constants) de c quandr augmente de une unit (par exemple dun montant absolu de 1 % lorsque r est exprim enpourcentage), yd restant inchang. Lorsque la relation entre les variables est suppose linaire,chaque paramtre est interprt comme la drive partielle de la variable dpendante par

Formes fonctionnelles et paramtres 3



rapport la variable explicative concerne. Chaque paramtre mesure donc la variation de lavariable dpendante suite une augmentation de une unit de la variable explicative concerne,les autres variables explicatives restant inchanges.

5.2 CHOIX DUNE RELATION NON LINAIRE

La linarit est certes commode, mais nest pas toujours une proprit adquate la relationtraite. Souvent, il est irraliste de supposer que la variation de la variable dpendante esttoujours la mme, suite une variation de une unit dune variable explicative, quels quesoient les niveaux dj atteints par cette dernire et par les autres variables explicatives.On ne peut alors partir du principe que les drives partielles sont indpendantes desniveaux des variables. Dans ce cas, on travaille avec des relations formalises sous la formedquations non linaires.

ExempleOn souhaite modliser la relation entre les ventes dun produit de grande consommation V etles dpenses de publicit PUB de lentreprise productrice. Si lon pense que la productivit ,en termes de ventes, des dpenses de publicit dcrot avec leur montant, on peut crire :

V = PUB , avec 0 < < 1Cette spcification implique en effet une drive premire de V par rapport PUB, qui dcrotavec le montant de PUB. Autrement dit, au fur et mesure que les dpenses publicitairesaugmentent, laugmentation des ventes devient de plus en plus faible.

Certaines relations non linaires sont quivalentes des relations linaires entre destransformations des variables.

ExempleSi lon transforme les variables en logarithmes, une fonction de production de Cobb-Douglas,du type Y = AKL, o Y , L et K sont la production, le travail et le capital, implique une relationlinaire entre les transformations des variables :ln(Y) = ln(AKL) et donc ln(Y) = ln(A) + ln(K) + ln(L). Elle nimplique pas toutefois laconstance des productivits marginales, qui restent bien sr

Y

L= AKL1 et Y

K= AK1L.

Cette nouvelle quation ne constitue quune autre manire dexprimer la mme fonction deproduction : chacune des deux critures implique lautre et les proprits conomiques sont

exactement les mmes. Lcriture en logarithme met en vidence que = ln Y ln K

= YK

K

Yet

= ln Y ln L

= YL

L

Ysont les lasticits (1) de la production aux quantits de facteurs capital et

travail. Ces lasticits sont supposes constantes (indpendantes des quantits de facteurs Ket L) dans une telle fonction de production (Cobb-Douglas). Alors que la drive partielle dunevariable x1 par rapport une variable x2 mesure la variation de x1 (en nombres dunits) quandx2 augmente de une unit, llasticit de x1 x2 mesure la variation de x1 (en pourcentage) quandx2 augmente de 1 %. Les coefficients et , qui ne sont donc pas des productivits marginales,sont des rapports entre productivits marginales et moyennes. La fonction de Cobb-Douglasimplique en effet la constance de ces rapports, au sens de leur indpendance par rapport Ket L.

1. Affirmer que llasticit de x1 x2 est gale 2 revient affirmer la proposition suivante : lorsque x1 augmentede 1 %, alors x2 augmente de 2 %.




1ChapitreCela dit, de nombreuses formes fonctionnelles non linaires ne peuvent tre linarisesmoyennant une transformation des variables.

ExempleSoit la fonction de production CES, ayant la forme :

Y = (K + (1 )L)1/ ,Elle ne peut tre linarise exactement (cest--dire transforme en une relation linaire reliantdes transformations non linaires spares de chaque variable).

RemarqueUne erreur de spcification viter : la redondanceIl est important de comprendre linterprtation des coefficients en termes de drives par-tielles pour viter des erreurs dans la spcification dune relation. Une erreur trs rpandueconsiste introduire une variable explicative supplmentaire sous prtexte quelle affecte lavariable dpendante par son effet sur une autre variable explicative dj introduite. Cest lephnomne de la redondance !

6 Validation empirique et types de donnes6.1 DIMENSION DU TEMPS OU DES AGENTS

Une fois reprsentes par des formes fonctionnelles adquates, les relations thoriques,cest--dire le modle, peuvent tre confrontes aux donnes observes. Il sagit de vrifierleur caractre explicatif de la ralit et de mesurer concrtement la valeur de leursparamtres. Il est alors possible de calculer les taux de raction des variables expliquesaux variables explicatives. Les donnes observes peuvent tre des sries temporelles, desdonnes en coupe instantane ou des donnes panel.

Sries temporellesQuand une quation semble dcrire correctement la manire dont une variable voluedune priode lautre, en fonction de lvolution temporelle de certaines variablesexplicatives, elle peut tre vue comme une relation stable et valable tout moment. Sescoefficients ne sont pas indics par le temps. On les suppose constants dans le temps. Cestune hypothse forte, mais dans la mesure o la thorie conomique a une quelconquevalidit pour expliquer les phnomnes conomiques, on peut supposer lexistence derelations stables. Pour les vrifier empiriquement, il faut estimer leurs coefficients partirdes observations historiques des variables du modle, appeles sries temporelles (ou sries chronologiques ).

Donnes en coupe instantaneQuand une quation semble plutt dcrire la manire dont diffrents agents conomiques(entreprises, individus, rgions, pays, secteurs...) dterminent la valeur particulire dunevariable en fonction des valeurs que prennent pour eux certaines variables explicatives,elle peut tre vue comme une relation commune aux diffrents agents. Les coefficients

Validation empirique et types de donnes 5



sont supposs les mmes pour tous les agents, durant une priode dtude donne. Pourvrifier cette relation, il faut la confronter des observations concrtes des variables dumodle pour un ensemble dagents diffrents, durant une mme priode. On appelle detelles observations des donnes en coupe instantane .

Donnes panelQuand une quation semble dcrire la manire dont une variable varie dune priode lautre et diffre dun agent lautre en fonction de lvolution dans le temps de certainesvariables explicatives et de leurs diffrences dun agent lautre, elle peut tre vue commeune relation stable et commune tous, dcrivant le comportement de tous les agentsdurant toutes les priodes. Pour mesurer et vrifier une telle relation, il faut la confronter des observations des variables du modle pour un ensemble dagents diffrents, sur despriodes diffrentes. On appelle de telles observations des donnes panel .

Donnes relles ou nominalesUne variable de flux ou de stock peut gnralement tre mesure en termes nominaux (prix courants, en valeur...) ou en termes rels ( prix constants, en volume...). La mesureen termes rels est gale la mesure en termes nominaux divise par un indice de prixappropri. Le choix dun type de mesure au dtriment de lautre dpend logiquement ducontexte de la relation tudie. De manire gnrale, la variable dpendante et certainesvariables explicatives doivent tre exprimes en termes rels si la valeur relle de la variabledpendante reste inchange quand les valeurs nominales de ces variables explicativesdoublent et que tous les prix doublent simultanment.

Certaines variables de taux existent en version nominale ou relle. Cest le cas des tauxdintrt et des taux de change. On ralise une approximation du taux dintrt rel encalculant la diffrence entre le taux dintrt nominal et le taux dinflation. On obtient letaux de change rel entre deux devises en multipliant le taux de change nominal par lerapport entre les indices de prix des deux zones concernes. Une fois de plus, le choix delune des deux versions est dict logiquement par le contexte de la relation tudie.

7 Formulation statistique des relationsconomiques

En conomtrie, on suppose gnralement que les variables conomiques sont alatoires.En dautres termes, on considre que la valeur observe dun phnomne conomique,par exemple linvestissement total effectu durant une anne particulire, est en partiedue au hasard : cest la ralisation dune variable alatoire correspondante susceptible deproduire dautres ralisations si lon rpte lexprience.

Exemple

chaque priode t, on observe la valeur de la variable alatoire ct , en loccurrence la consom-mation, mais, dun point de vue conceptuel, on pourrait observer dautres valeurs, ventuellementdiffrentes, si lon rptait lexprience. De la mme manire, chaque priode t, les valeurseffectivement observes de ydt et rt sont perues comme des ralisations uniques des variablesalatoires correspondantes ydt et rt , qui pourraient avoir dautres ralisations.




1ChapitreLe hasard dtermine en partie les ralisations effectivement observes des variables co-nomiques et les rsultats auraient pu tre diffrents. Les probabilits dobtenir telle outelle valeur effectivement ralise sont dtermines par les distributions statistiques desvariables. Les relations conomiques supposes par la thorie conomique imposentdes liaisons entre ces distributions.

ExempleUne relation comme (a) relie les ralisations particulires des variables alatoires ct , ydt etrt quelle contient, par une forme fonctionnelle avec des coefficients , et supposs nonalatoires. Habituellement, on ajoute un ala ut la relation :

ct = + ydt + rt + ut (a)(Lexemple est prsent dans un cadre temporel, mais il en va de mme en coupe instantane :ci = + ydi + ri + ui, ou en panel : cit = + ydit + rit + uit .)

On justifie de diffrentes faons la prsence dun ala dans une relation entre des variables.Trs souvent, on affirme quune relation conomique nest pas une reprsentation exacteet complte de la ralit. Elle ne reprend que les principaux facteurs qui influencent c ;lala u, communment appel terme derreur , reprsente tous les effets qui onttendance se compenser mutuellement, de toutes les autres variables qui influencentgalement c. Cette interprtation, trs intuitive, a longtemps t favorise dans les manuelsdconomtrie, au dtriment des autres, sans que ce choix soit rellement justifi. Selonune autre interprtation (qui nexclut pas la prcdente), trs ancienne galement, lesmesures concrtes des ralisations des variables, telles quelles sont calcules et publiespar les instituts de statistiques, saccompagnent derreurs alatoires et lala u reprsenteleffet cumul de toutes ces erreurs sur la relation originale (pour que cette dernire soitexacte, il faudrait que les concepts soient parfaitement mesurs). Autre interprtation :si lon considre que la formule +ydt+rt constitue une approximation de la variablealatoire ct par une fonction des variables alatoires ydt et rt , ut est lerreur dapproximationqui en rsulte.

8 Processus stochastiquesEn finance, en marketing et en macroconomie, la plupart des donnes se prsententsous la forme de sries temporelles. Rappelons quune srie temporelle est un ensembledobservations qui portent toutes sur un mme concept, mais des dates successives.On suppose qu chaque priode, la donne observe est une ralisation (unique) dunevariable alatoire spcifique, et que lon obtiendrait dautres ralisations si lon rptaitlexprience. On mesure donc la ralisation dune variable alatoire (univarie) parpriode et lensemble des variables alatoires considres sur les priodes successivesforme un processus stochastique. Une srie temporellee est une ralisation dun processusstochastique, au sens o chaque donne de la srie est la ralisation de lune des variablesalatoires qui composent le processus stochastique.

Les processus stochastiques se rpartissent en deux groupes selon quils sont stationnairesou non. Lorsquils le sont, lesprance (valeur moyenne) et la variance (dispersion) restentconstantes dans le temps, et les covariances entre des composantes de dates diffrentes

Processus stochastiques 7



ne dpendent que de lcart de temps qui les spare. Un cas particulier de processusstochastique stationnaire est le processus bruit blanc (traduction littrale de whitenoise ) : lesprance est nulle en toute priode, la variance est constante dans le temps etles covariances entre composantes de dates diffrentes sont toujours nulles.

Les processus stochastiques non stationnaires se rpartissent eux-mmes en deux groupesselon quils sont tendance uniquement dterministe ou tendance stochastique (onles appelle alors processus intgrs ou processus racine unitaire ). Lorsquils sont tendance uniquement dterministe, leur non-stationnarit est due un phnomnepurement mcanique ; elle est inhrente leur partie dterministe, mais en rien leurpartie alatoire. Lorsquils sont tendance stochastique, leur non-stationnarit est due une accumulation progressive de chocs alatoires ; elle est donc au moins partiellementinhrente leur partie alatoire. Ces processus peuvent avoir galement une tendancedterministe.

Si lon travaille avec des sries temporelles, le choix des mthodes dinfrence statistique employer dpend de la nature des processus stochastiques qui ont gnr les donnes.Cest pourquoi les distinctions voques prcdemment sont trs importantes.

Dans un processus stochastique stationnaire, les coefficients de corrlations entre deuxcomposantes de dates diffrentes sont appels coefficients dautocorrlation . Ils nedpendent que de lcart de temps, ou retard, qui spare les deux composantes. Lasuccession de ces coefficients dautocorrlation, pour des retards croissants, forment ceque lon appelle un autocorrlogramme . Il montre avec quelle intensit les ralisationsdu processus restent lies linairement leurs valeurs passes, pour des retards de plus enplus loigns.

9 Modles statiques ou dynamiqueset thorie conomique

Un modle statique implique que linfluence dune variation dune variable explicative surla variable dpendante produit tous ses effets durant la priode o cette variation a lieu. Ilexclut toute inertie et tout dlai dans les ajustements de la variable dpendante aux fluctua-tions des variables explicatives, alors quils sont lun et lautre plus la rgle que lexception.En effet, une variable dpendante dpend souvent des valeurs passes, et pas seulementdes valeurs actuelles, de ses variables explicatives (dlais dajustement), ainsi que de sapropre valeur passe (inertie, effets dhabitude). De nombreux phnomnes conomiquesrels sont donc mieux expliqus par un modle dynamique plutt que statique.

Les relations entre les variables que la thorie conomique propose sont souvent formulesde manire statique et reprsentent une situation dquilibre (plus aucune force cono-mique ne pousse changer de situation ; tous les ajustements sont effectus). Pour autant,la thorie conomique ne prtend pas que, dans la ralit, la situation soit quilibre chaque instant. Les donnes observes rendent compte obligatoirement de cet tat de fait.

Il est donc erron de vrifier une thorie en estimant le modle statique issu de cettethorie partir des donnes observes, car la relation dquilibre thorique nest pas vraie chaque priode. Il faut en fait estimer, sur la base de ces donnes, un modle dynamiquesuffisamment riche pour prendre en compte toutes les inerties et dlais dajustement, etvrifier que la relation entre les variables mises en jeu pour une situation dquilibre estcompatible avec la relation dquilibre thorique. Pour quil en soit ainsi, on peut imposeraux paramtres du modle dynamique gnral les contraintes ou restrictions ncessaires.




1ChapitreUn modle dynamique gnral relie une variable dpendante ses valeurs passes etaux valeurs prsentes et passes de ses variables explicatives. Ce modle dcrit doncla trajectoire de la variable dpendante en fonction de la trajectoire de ses variablesexplicatives.

ExempleSoit une variable dpendante ln(Y), et ses variables explicatives ln(X), ln(W) et ln(L). Si lonne prend quune valeur passe pour chaque variable, le modle dynamique scrit comme suit,les deux formes tant quivalentes :

ln Yt = 1 + 2 ln Xt + 3 ln Xt1 + 4 ln Wt + 5 ln Wt1+ 6 ln Lt + 7 ln Lt1 + 8 ln Yt1 + ut

(ln Yt ln Yt1) = 1 + 2 (ln Xt ln Xt1)+ (2 + 3) ln Xt1 + 4 (ln Wt ln Wt1)+ (4 + 5) ln Wt1 + 6 (ln Lt ln Lt1)+ (6 + 7) ln Lt1+ (8 1) ln Yt1 + ut

La solution dquilibre stationnaire de ce modle dynamique gnral est la relation entreles variables qui prvaut dans une situation o elles restent toutes constantes chaquepriode, tout en respectant la relation dcrite par le modle dynamique gnral.

Exemple (suite)Dans lexemple prcdent, la solution dquilibre stationnaire est :

ln Y = 1 + 2 ln X + 3 ln X + 4 ln W + 5 ln W + 6L+ 7L+ 8 ln You encore :

ln Y = (1)+ (2 + 3) ln X + (4 + 5) ln W + (6 + 7) ln L1 8

La solution de croissance quilibre dun modle dynamique gnral est la relation entreles variables qui prvaut dans une situation o elles croissent au mme taux, tout enrespectant la relation dcrite par le modle dynamique gnral.

Exemple (suite)Dans lexemple prcdent, il faut donc imposer que les taux de croissance de Y , X, W et L,qui sont respectivement donns par ln(Yt) ln(Yt1), ln(Xt) ln(Xt1), ln(Wt) ln(Wt1) etln(Lt) ln(Lt1), soient des constantes :

ln(Yt) ln(Yt1) = gC , tln(Xt) ln(Xt1) = gY , t

ln(Wt) ln(Wt1) = gW , tln(Lt) ln(Lt1) = gL , t

La solution de croissance quilibre est alors :

gY = 1 + 2gX + (2 + 3) ln Xt1 + 4gW + (4 + 5) ln Wt1+ 6gL + (6 + 7) Lt1 + (8 1) ln Yt1 , t

ou encore :

ln Yt =(1 + 2gX + 4gW + 6gL gY

)+ (2 + 3) ln Xt + (4 + 5) ln Wt + (6 + 7) ln Lt1 8 , t

Modles statiques ou dynamiques et thorie conomique 9



RemarqueParfois, mme en croissance quilibre, certaines variables ne peuvent avoir logiquementquune croissance nulle (comme en quilibre stationnaire). Cest gnralement le cas desvariables de taux, comme les taux dintrt.

Exemple (suite)Si cest le cas de L dans lexemple prcdent, alors gL = 0 et

ln Yt =(1 + 2gX + 4gW gY

)+ (2 + 3) ln Xt + (4 + 5) ln Wt + (6 + 7) ln L1 8 , t

Parfois la thorie conomique suggre qu long terme, la variable dpendante doit treproportionnelle une variable explicative, cest--dire avoir une lasticit unitaire parrapport cette variable explicative. Il est alors ais didentifier les conditions ncessairessur les coefficients du modle dynamique gnral pour que ses solutions dquilibresoient compatibles avec la thorie. Le mcanisme correction derreur est le modlequon obtient en imposant ces restrictions au modle linaire gnral.

Exemple (suite)Soit le cas de figure suivant : selon la thorie conomique, long terme Y doit tre proportionnel X, et donc llasticit de long terme de Y X doit tre gale 1. Pour que les solutionsdquilibre du modle linaire gnral soient compatibles avec cette thorie, il faut que 2+3 =1 8. Le mcanisme correction derreur est alors le modle quon obtient en imposantcette restriction au modle linaire gnral :(ln Yt ln Yt1) = 1 + 2 (ln Xt ln Xt1)+ 4 (ln Wt ln Wt1)+ (4 + 5) ln Wt1

+ 6 (ln Lt ln Lt1)+ (6 + 7) ln Lt1 + (8 1) (ln Yt1 ln Xt1)+ ut

RsumLconomtrie permet de vrifier lexistence de relations de dpendance entredes phnomnes et de mesurer les taux de raction qui caractrisent cesrelations, en utilisant des donnes observes. Pour raliser ces objectifs, touterelation doit dabord tre exprime mathmatiquement au moyen dune formefonctionnelle approprie. La linarit ne se justifie que lorsquil est raliste desupposer que limpact dune mme variation dune variable explicative surla variable dpendante est toujours le mme, quels que soient les niveaux desvariables au dpart. Lconomtrie reconnat demble le caractre stochastiquedes phnomnes quelle tudie. Les variables observes sont ainsi considrescomme des ralisations de variables alatoires et les modles spcifis sontperus comme pertinents un terme derreur alatoire prs. Il est souventncessaire de recourir des modles dynamiques pour rendre compte delinertie des comportements. Pour plus de dtails sur la nature de lconomtrieet sur certains points dvelopps dans ce chapitre, on peut se rfrer Johnstonet DiNardo [JOH 1997], Hendry [HEN 1995] et Spanos [SPA 1986].




1ChapitreProblmeset exercices

EXERCICE 1 VENTES ET PUBLICIT

noncLes ventes V dune entreprise sont une fonction croissante de ses dpenses de publicitPUB, mais au fur et mesure que les dpenses de publicit augmentent, laccroissementdes ventes devient de plus en plus faible, dautant plus que le niveau de dpart des dpensespublicitaires est lev.

La relation entre les ventes V et les dpenses de publicit PUB est-elle bien reprsentepar une des spcifications suivantes, et laquelle?

Vt = 1 + 2PUBt , avec 1 > 0 et 2 > 0Vt = 1PUB2t , avec 1 > 0 et 0 < 2 < 1Vt = ln(1 + PUB2t ) , avec 1 > 0 et 0 > 2 > 1

Solution La deuxime spcification reprsente bien la relation entre ventes et dpenses publicitaires.La drive de Vt par rapport PUBt vaut en effet 12PUB

21t et cette drive diminue

quand PUBt augmente, parce que 1 > 0 et 0 < 2 < 1.

EXERCICE 2 LASTICIT DES VENTES AUX PRIX

noncPour que llasticit des ventes V au prix P du produit soit en valeur absolue une fonctiondcroissante des dpenses de publicit PUB, il faut quune des relations suivantes prvale :

Vt = 1P(2+(3/PUBt ))t , avec 1 > 0 et 2 > 0 et 3 > 0Vt = 1 + 2PUBt + 3Pt , avec 1 > 0 et 2 > 0 et 3 < 0Vt = 1P2t PUB3t , avec 1 > 0 et 2 < 0 et 3 > 0

Parmi ces trois relations, laquelle est retenir?

Solution La premire spcification est approprie, puisque llasticit des ventes au prix vaut(2 + (3/PUBt)

). Cette expression est ngative puisque 2 > 0, 3 > 0, et PUBt > 0

par dfinition. En valeur absolue, cette lasticit vaut donc(2+ (3/PUBt)

). Elle dcrot

si PUBt augmente tant donn que PUBt se trouve au dnominateur et que 3 > 0.

Modlisation en conomie et gestion 11

Exer

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EXERCICE 3 SPCIFICATION DUNE FONCTION DE PRODUCTION

noncSoit une fonction de production, quon reprsente de la manire suivante, et en prenantcomme hypothse dabsence de progrs technique :

Y = f (K, L)Y est la quantit produite, K est le capital et L lemploi.

Parmi ces deux spcifications, laquelle est raliste : Y = + K + L ou Y = AK L ?

Solution Exprimer cette relation sous une forme linaire, Y = + K + L, revient impo-ser arbitrairement que les productivits marginales sont constantes, donc quelles ne

dpendent pas des quantits de facteurs. En effet, avec une telle spcification, = YK

est la productivit marginale du capital et = YL

est la productivit marginale du

travail. Ces productivits marginales sont supposes indpendantes des quantits defacteurs, puisquelles sont gales des constantes et . Par consquent, en modlisantla production de cette manire, on ignore dlibrment des caractristiques bien connuesde beaucoup de processus de production rels. On ne tient pas compte en particulierdes deux phnomnes suivants : la productivit marginale du travail diminue quand laquantit de travail augmente et que le stock de capital reste un niveau constant, et ellecrot quand le stock de capital augmente et que la quantit de travail reste inchange.Concrtement, ajouter lun aprs lautre des ouvriers supplmentaires une quipe quitravaille sur une machine conduit en gnral des accroissements de moins en moinsimportants de la production et devient au bout dun certain temps contre-productif(on provoque une congestion qui diminue la production). Par contre, mieux quiperles ouvriers permet daugmenter la contribution productive apporte par une ventuellemain-doeuvre supplmentaire. Une spcification linaire de la fonction de productionnimplique pas ces proprits ralistes ; elle est donc inadquate dans le cas dune fonctionde production.

Pour reprsenter correctement de telles caractristiques, on utilise des formes fonction-nelles non linaires comme la fonction de Cobb-Douglas :

Y = AKL

La productivit marginale du travail se mesure alors parY

L= AKL1 = Y

Let la

productivit marginale du capital parY

K= AK1L = Y

K. Cette fois, les producti-

vits marginales ne sont pas constantes, mais varient en fonction du niveau dj atteintpar L et K. On peut vrifier quelles respectent les proprits ralistes mises en vidence

prcdemment. En effet, quand K est inchang, le supplmentY

Lde production induit

par lintervention dun ouvrier supplmentaire diminue au fur et mesure quaugmente

le nombre douvriers L dj en place :

(Y

L

)

L= A ( 1)KL2 = ( 1)Y

L2est




1Chapitrengatif condition que soit infrieur 1. Pour un nombre donn L douvriers dj luvre, augmenter le stock de capital K permet daccrotre le supplment de productionapport par un intervenant suppltif :

(Y

L

)

K= AK1L1 = Y

LK> 0

EXERCICE 4 FONCTION DE CONSOMMATION PRIX COURANTSOU CONSTANTS?

noncSoient ct les quantits consommes et pt leur prix, la priode t. La consommation relleest donc ct et la consommation nominale Ct = ptct . Le revenu nominal est Yt et le revenurel est yt = Yt/pt . En termes nominaux, la relation entre consommation et revenu estCt = a+ bYt tandis quen termes rels, elle scrit ct = a+ byt .La relation entre consommation et revenu doit-elle tre spcifie en termes rels ounominaux?

Solution En termes nominaux, la relation est Ct = a+ bYt , et donc ptct = a+ bYt , ce qui impliqueque ct = (a/pt) + b(Yt/pt), cest--dire ct = (a/pt) + byt . Si les prix pt et le revenunominal Yt doublent simultanment, le revenu rel yt reste inchang. Toutefois, le termea/pt change. La relation Ct = a + bYt implique donc que les quantits consommes ctdiminuent lorsque les prix et le revenu nominal doublent simultanment.

Logiquement, si les prix doublent et que le revenu nominal double aussi, cela ne changerien au pouvoir dachat des consommateurs ; les quantits achetes devraient resterinchanges. La relation en termes nominaux ne reflte donc pas un comportementrationnel de la part des consommateurs. Il faut lui prfrer la relation en termes rels :ct = a+ byt .

EXERCICE 5 CONSOMMATION, REVENU DISPONIBLE ET SALAIRE

noncOn ajoute la relation c = + yd + r dautres variables explicatives susceptibles decontribuer dterminer lvolution de la consommation, en loccurrence le niveau moyendes salaires w parce que lorsque les salaires augmentent, le revenu disponible augmenteet la consommation slve . On formule une nouvelle relation linaire de la forme :

c = + yd + r + w (a)

Cette suggestion est-elle raisonnable?

Solution Cette suggestion nest pas fonde. Cette relation est redondante et nest pas correctementspcifie. Pourquoi? Le coefficient est la drive partielle de c par rapport au salaire w.Il mesure donc la raction de la consommation c une variation des salaires w, le revenudisponible yd et le taux dintrt restant inchangs. Or on a voulu justifier lapportde w en indiquant que ses variations provoquent une variation du revenu disponible yd,


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et par l mme de c. Manifestement, ne mesure pas ce type deffet, mais plutt unimpact direct hypothtique de w sur c, quand yd est inchang (donc un effet de wsur c, qui ne passerait pas par yd). Cest tout fait diffrent de leffet indirect quonvoulait (inutilement) mettre en vidence w influence yd, qui lui-mme influence c et qui est dj pris en compte travers yd dans lquation ; il nest donc pas ncessairedajouter w. Le coefficient mesure limpact sur c dune variation de yd, quelles quesoient les causes de ce changement, y compris une variation de w. Pour ajouter w lquation (a), et donc utiliser (a), il faut tre sr que, indpendamment de son effetindirect via son influence sur yd, w influence aussi directement c, pour une autre raison(cest seulement cet autre effet qui sera mesur par son coefficient). Dans lexempleutilis, il est difficile de justifier conomiquement une telle hypothse. Pour expliquer lesvariations de c, il est donc inutile dajouter la variable explicative w quand elle nexercequun effet indirect sur c. Mais quand lintrt de ltude porte effectivement sur lamesure de leffet indirect de w sur c, et non sur une explication des variations de c,comment mesurer cet effet indirect? Il faut spcifier une nouvelle relation dans le modle,qui explique yd en fonction de w et de ses autres dterminants quon reprsente icipar une variable x : par exemple, yd = + w + x. Leffet indirect de w sur c estalors

c

w= cyd

y

w= ; il est obtenu partir des coefficients de deux quations

diffrentes.

EXERCICE 6 TAUX DINTRT NOMINAL OU REL?

noncLe revenu nominal est Yt la priode t, et Yt+1 la priode t + 1. Soient ct les quantitsconsommes, et pt leur prix, la priode t. Soient ct+1 les quantits consommes, etpt+1 leur prix, la priode t + 1. Les consommations nominales des deux priodes sontCt = ptct et Ct+1 = pt+1ct+1. Le taux dintrt nominal est Rt . Le taux dintrt relest rt =

((1 + Rt)/(1 + It)

) 1, o It est le taux dinflation : It = (pt+1 pt)/pt .Les consommateurs choisissent les quantits consommes ct et ct+1 sous la contraintebudgtaire nominale intertemporelle Ct+1 = (Yt Ct)(1+ Rt)+ Yt+1. On veut spcifierun modle expliquant les quantits consommes ct en fonction du revenu rel yt , durevenu rel yt+1 et du taux dintrt.Celui-ci doit-il tre le taux dintrt nominal ou rel?

Solution La contrainte budgtaire nominale est encore pt+1ct+1 = (Yt ptct)(1 + Rt) + Yt+1,ce qui implique la relation suivante entre les quantits consommes : ct+1 =[((Yt/pt) ct

)/((1+ Rt)/(pt+1/pt)

)] + (Yt+1/pt+1). Cette contrainte peut se rcrireainsi : ct+1 =

[((Yt/pt) ct

)/((1+ Rt)/(pt+1/pt)

)] + (Yt+1/pt+1). Elle devient doncct+1 = (yt ct)/(1 + rt) + yt+1, o yt = Yt/pt est le revenu rel la priode t,yt+1 = Yt+1/pt+1 est le revenu rel la priode t + 1, rt est le taux dintrt rel, dfinipar rt = (1 + Rt)/(1+ It) 1 et It est le taux dinflation dfini par It = (pt+1 pt)/pt .La contrainte budgtaire ainsi exprime montre que les choix des quantits consommesaux priodes t et t+ 1 sont influencs par les revenus rels aux priodes t et t+ 1 et par letaux dintrt rel. Cest donc le taux dintrt rel, et non le taux dintrt nominal, quidoit intervenir dans une fonction explicative des quantits consommes.




1ChapitreEXERCICE 7 CHOIX DES DONNES

noncLa fonction de consommation suivante explique les dpenses c en fonction du revenudisponible yd et du taux dintrt r :

c = + yd + r

Vous voulez vrifier la pertinence de ce modle, cest--dire vous assurer quil peut rendrecompte des donnes observes. Expliquez dans quels cas vous utilisez :

des donnes en sries temporelles ;

des donnes en coupe instantane ;

des donnes panel.

Solution Sries temporelles. Si la fonction de consommation semble une bonne description dela manire dont la consommation agrge dun pays volue dune priode lautre, enfonction de lvolution temporelle du revenu et du taux dintrt, cette fonction peut trevue comme une relation stable et valable toute priode t. Soient ct la consommationrelle agrge durant la priode t, ydt le revenu disponible rel durant la priode t, et rtle taux dintrt moyen durant la priode t. Lquation devient :

ct = + ydt + rt , pour tout t

Les coefficients , , ne sont pas indics par t, contrairement aux variables ct , ydt et rt .On les suppose constants dans le temps. La relation conomique thorique reprsentepar la fonction de consommation est vraisemblablement une loi conomique stable dansle temps. Cest une hypothse forte, mais dans la mesure o la thorie conomique a unequelconque validit pour expliquer les phnomnes conomiques, on peut supposerlexistence des relations stables. Pour les vrifier, il faut estimer leurs coefficients partirdes observations historiques de c, yd et r, appeles sries temporelles .

Donnes en coupe instantane. Si lquation semble plutt dcrire la manire dontdiffrents agents (ici les consommateurs) dterminent leur consommation particulireen fonction de leur revenu disponible personnel et du taux dintrt, durant une priodedonne, elle peut tre vue comme une relation commune aux diffrents agents. Soientci la consommation de lagent i, ydi le revenu disponible de lagent i et ri le taux dintrtauquel lagent i peut prter ou emprunter. Le modle devient :

ci = + ydi + ri , pour tout i

Les taux de raction ces variables, cest--dire les coefficients et , sont suppossles mmes pour tous les agents, durant une priode dtude donne. Pour vrifier cetterelation, il faut la confronter des observations concrtes de la consommation, durevenu et du taux dintrt pour un ensemble dagents diffrents, durant une priodeprcise. Ces observations sont les donnes en coupe instantane. Remarque : quand letaux dintrt est le mme pour tous les consommateurs, et prend donc une valeur r,son effet est dilu dans un terme constant commun reprsent par + r et le taux deraction nest pas identifiable.


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Donnes panel. Si lquation semble dcrire la manire dont la consommation variedune priode lautre et diffre dun agent lautre en fonction de lvolution dansle temps du revenu et du taux dintrt et de leurs diffrences dun agent lautre, lafonction de consommation peut tre vue comme une relation stable et commune tous,dcrivant le comportement de tous les agents durant toutes les priodes. Soient cit laconsommation en termes rels de lagent i durant la priode t, ydit le revenu disponiblerel de lagent i durant la priode t, et rit le taux dintrt pour lagent i durant lapriode t. Lquation devient :

cit = + ydit + rit , pour tout i et pour tout t

On peut remplacer rit par rt quand on suppose que tous les agents ont le mmetaux dintrt. Pour mesurer et vrifier une telle relation, il faut la confronter desobservations du revenu et du taux dintrt pour un ensemble dagents diffrents, surdes priodes diffrentes de la consommation. De telles donnes sont appeles donnespanel .

EXERCICE 8 SPCIFICATION DUNE FONCTIONDE CONSOMMATION DYNAMIQUE

noncLes thories macroconomiques fondements microconomiques impliquent gnrale-ment que la consommation relle agrge est, lquilibre ( long terme ), propor-tionnelle au revenu disponible rel agrg et que la constante de proportionnalit est unefonction du taux de croissance dquilibre du revenu disponible rel, du taux dinflationdquilibre et du taux dintrt dquilibre. Spcifiez un modle dynamique explicatif dela consommation agrge, en veillant ce que ses solutions dquilibre respectent ce quivient dtre dit.

Solution La relation dquilibre thorique peut se formuler ainsi :

Ct = AYt , avec A = f (gY , gP, R)o

Yt est le revenu disponible rel agrg la priode t ;

gY est le taux de croissance dquilibre du revenu disponible rel ;

gP est le taux dinflation dquilibre (ou taux de croissance dquilibre des prix) ;

R est la valeur dquilibre du taux dintrt ;

Ct est la consommation relle agrge la priode t.

Cette relation thorique scrit :

ln(Ct) = A + ln(Yt) , o A = ln(A)

La thorie implique donc que, lquilibre, llasticit de la consommation au revenu estunitaire :

C

Y

Y

C= ln(C) ln(Y)

= 1




1ChapitreIl faut commencer par estimer, partir des donnes, un modle dynamique gnral(MDG) qui contient les valeurs prsentes et passes de chaque variable :

ln Ct = 1 + 2 ln Yt + 3 ln Yt1 + 4 ln Pt+ 5 ln Pt1 + 6Rt + 7Rt1 + 8 ln Ct1 + ut

Ce modle dynamique capte tous les dlais dajustement, effets dhabitude et autresinerties, tous les dsquilibres de court terme qui font que la consommation nest pas, chaque priode, en relation dquilibre avec ses dterminants. On peut crire ce modledynamique gnral dune autre manire, sachant que lgalit se maintient si lon soustraitla mme quantit gauche et droite :

ln Ct ln Ct1 = 1 + 2 ln Yt + 3 ln Yt1 + 4 ln Pt + 5 ln Pt1+ 6Rt + 7Rt1 + (8 1) ln Ct1 + ut

Le membre de droite est videmment inchang si on ajoute et soustrait en mme tempsles mmes lments :

ln Ct ln Ct1 = 1 + 2 ln Yt 2 ln Yt1 + 2 ln Yt1 + 3 ln Yt1+ 4 ln Pt 4 ln Pt1 + 4 ln Pt1 + 5 ln Pt1+ 6Rt 6Rt1 + 6Rt1 + 7Rt1+ (8 1) ln Ct1 + ut

Cela peut encore scrire de la manire suivante :

ln Ct ln Ct1 = 1 + 2 (ln Yt ln Yt1)+ (2 + 3) ln Yt1+ 4 (ln Pt ln Pt1)+ (4 + 5) ln Pt1+ 6 (Rt Rt1)+ (6 + 7)Rt1 + (8 1) ln Ct1 + ut

On obtient donc le modle dynamique gnral reparamtr (MDGR) :

ln Ct ln Ct1 = 1 + 2 (ln Yt ln Yt1)+ 3 ln Yt1 + 4 (ln Pt ln Pt1)+ 5 ln Pt1 + 6 (Rt Rt1)+ 7Rt1 + 8 ln Ct1 + ut

Les relations entre les paramtres des deux quations MDG et MDGR sont :

1 = 1 , 2 = 2 , 3 = 2 + 3 , 4 = 4 ,5 = 4 + 5 , 6 = 6 , 7 = 6 + 7 , 8 = (8 1)

Les quations MDG et MDGR ne sont pas deux modles diffrents, mais deux critures,deux reprsentations diffrentes du mme modle dynamique. Lune implique lautre !

Il faut ensuite rechercher la solution dquilibre stationnaire du modle dynamique, quiest une proprit de ce modle. Elle se prsente sous la forme dune relation entre lesvariables quil implique lorsquelles sont constantes dans le temps, lorsquelles sont enquilibre stationnaire. Dans cet exercice, la solution dquilibre stationnaire du modledynamique est la relation entre les variables impliques simultanment par lquationMDG (ou MDGR) et les hypothses de stationnarit suivantes :

Ct = Ct1 = C , tYt = Yt1 = Y , tRt = Rt1 = R , tPt = Pt1 = P , t


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Pour trouver cette solution, il suffit donc dintgrer ces hypothses de stationnarit danslquation MDG. On obtient :

ln C = 1 + 2 ln Y + 3 ln Y + 4 ln P + 5 ln P + 6R+ 7R+ 8 ln CCela implique :

ln C = (1)+ (2 + 3) ln Y + (4 + 5) ln P + (6 + 7) R1 8

Ce rsultat est la solution dquilibre stationnaire du modle dynamique (1). Il sagit dela relation (et non dun nouveau modle) quil implique dans le cas particulier dunesituation dquilibre stationnaire. Pour tester sur les donnes la thorie, il faut estimerle modle dynamique et vrifier que ses coefficients sont tels que sa solution dquilibrestationnaire est compatible avec la relation dquilibre de la thorie. Celle-ci est doncvrifie si les hypothses suivantes ne sont pas rejetes :

(4 + 5)1 8 = 0 et

(2 + 3)1 8 = 1

On peut objecter que, sur des donnes macroconomiques caractrises par une croissancecontinue, le concept dquilibre stationnaire est peu pertinent. On peut aussi rechercher lasolution de croissance quilibre du modle dynamique qui est une autre de ses proprits.Cette solution est la relation entre les variables que le modle implique lorsque toutes cellesqui reprsentent le flux, les stocks et les prix croissent un taux constant dans le temps(elles sont en croissance quilibre) et que les variables relatives aux taux sont constantesdans le temps (elles sont en quilibre stationnaire puisquil est insens quun taux dintrtaugmente un taux de croissance constant indfiniment). Dans cet exercice, la solution decroissance quilibre du modle dynamique est la relation entre les variables impliquessimultanment par lquation MDG (ou MDGR) et les hypothses de croissance quilibresuivantes :

ln(Ct) ln(Ct1) = gC , tln(Yt) ln(Yt1) = gY , t

Rt = Rt1 = R , tln(Pt) ln(Pt1) = gP , t

Pour trouver cette solution, il est prfrable dutiliser la reprsentation MDGR du modledynamique. Si lon intgre ces hypothses de croissance quilibre dans lquation MDG,on trouve :

gC = 1 + 2gY + 3 ln Yt1 + 4gP + 5 ln Pt1 + 7Rt1 + 8 ln Ct1t , tCela implique :

ln Ct1 = gC 1 2gY 3 ln Yt1 4gP 5 ln Pt1 7Rt1

8, t

Et donc :

ln Ct = gC 1 2gY 4gP 3 ln Yt 5 ln Pt 7Rt

8, t

1. On trouve exactement la mme solution en substituant les hypothses de stationnarit dans lquationMDGR. Cest logique puisque MDG et MDGR sont deux reprsentations diffrentes du mme modle.




1ChapitreOu, de manire quivalente :

ln Ct =(1 + 2gY + 4gP gC

)+ (2 + 3) ln Yt + (4 + 5) ln Pt + (6 + 7) R1 8 , t

Ce rsultat est la solution de croissance quilibre du modle dynamique. Il sagit de larelation quil implique dans le cas particulier dune situation de croissance quilibre.Pour tester sur les donnes la thorie, il faut estimer le modle dynamique et vrifier queses coefficients sont tels que sa solution de croissance quilibre est compatible avec lepostulat de relation dquilibre thorique. Cette relation est donc vrifie si les restrictionsou hypothses suivantes ne sont pas rejetes :

(4 + 5)1 8 = 0 et

(2 + 3)1 8 = 1

Pour sassurer que le modle dynamique gnral respecte la thorie, cest--dire pour queses solutions dquilibre stationnaire et de croissance quilibre soient compatibles avecla relation dquilibre de la thorie conomique, il suffit dimposer ces contraintes sesparamtres. Si lon procde ainsi, le modle dynamique gnral devient le mcanisme correction derreur, en loccurrence :

ln Ct ln Ct1 = 1 + 2 (ln Yt ln Yt1)+ (1 8) (ln Yt1 ln Ct1)+ 4 (ln Pt ln Pt1)+ 6 (Rt Rt1)+ (6 + 7)Rt1 + ut

On peut calculer ses solutions dquilibre stationnaire et de croissance quilibre :

ln Ct = (1)+ (6 + 7) R1 8 + ln Yt

ln Ct =(1 + (2 1) gY + 4gP

)+ (6 + 7) R1 8 + ln Yt

Elles sont bien compatibles avec la thorie macroconomique. Quand C est proportionnel Y , gC = gY .

EXERCICE 9 SPCIFICATION DUN MODLE DYNAMIQUE DE TAUX DE CHANGE

noncLa thorie de la parit des pouvoirs dachat implique qu lquilibre, le taux de changeentre deux devises sajuste de manire galiser le cot dacquisition dun panier de biensdans les deux pays concerns, lorsque les biens sont exprims dans une mme devise. court terme, le taux de change fluctue galement en fonction dautres variables, tel lediffrentiel de taux dintrts nominaux entre les deux pays. Spcifiez un modle explicatifde lvolution du taux de change eij entre les devises de deux pays i et j, qui soit appropri court terme tout en tant compatible avec la thorie de la parit des pouvoirs dachat long terme. Supposez que les priodes sont annuelles et que la dynamique peut se rduire des retards dune priode.


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Solution Soit eij le taux de change dfini comme le prix dune unit de devise i exprim en unitsde devise j. Les variables explicatives suggres par lnonc sont :

pi, lindice des prix dans le pays i, en devises du pays i ;

pj, lindice de prix dans le pays j, en devise du pays j ;

Ri, le taux dintrt nominal court terme pour la devise du pays i ;

Rj, le taux dintrt nominal court terme pour la devise du pays j.

En donnes annuelles, on suppose que la dynamique peut se rduire une priode. Onspcifie le modle dynamique gnral :

ln(eijt) = 1 + 2Rit + 3Rit1 + 4 ln(pit)+ 5 ln(pjt)+ 6 ln(pjt1)+ 7 ln(pit1)+ 8Rjt + 9Rjt1 + 10 ln(eijt1)+ ut

Cela peut scrire ainsi :(ln(eijt) ln(eijt1)

) = 1 + 2(Rit Rit1)+ (2 + 3)Rit1 + 4(ln(pit) ln(pit1)

)

+ 5(ln(pjt) ln(pjt1)

)+ (5 + 6) ln(pjt1)+ (4 + 7) ln(pit1)+ 8(Rjt Rjt1)+ (8 + 9)Rjt1 + (10 1) ln(eijt1)+ ut

La thorie de la parit des pouvoirs dachat suggre qu lquilibre :

piteijt = kpjto k est un facteur de proportionnalit tenant compte de diffrences ventuelles dans lacomposition et le choix de lanne de base des indices de prix des deux pays. Cette relationdquilibre scrit encore :

ln(eijt) = A+ ln(pit) ln(pit)o A = ln(k). La solution dquilibre stationnaire du modle dynamique gnral est :

ln(eijt) =(1 + (2 + 3)Rit + (4 + 7) ln(pit)+ (5 + 6) ln(pjt)+ (8 + 9)Rjt

)/(1 10)

puisque Rit = Rit1, Rjt = Rjt1, eijt = eijt1, pit = pit1 et pjt = pjt1. La solution decroissance quilibre scrit :

ln(eijt) =((1 + 4gi + 5gj ge)+ (2 + 3)Rit + (4 + 7) ln(pit)+ (5 + 6) ln(pjt)+ (8 + 9)Rjt)/(1 10)

o ge = ln(eijt) ln(eijt1), gi = ln(pit) ln(pit1), gj = ln(pjt) ln(pjt1), Rit = Rit1et Rjt = Rjt1. Pour tre compatibles avec la relation thorique ln(eijt) = A + ln(pit) ln(pit), les coefficients de ces solutions dquilibre doivent tre contraints de sorte que(5 + 6)/(1 10) = (4 + 7)/(1 10) = 1. lquilibre, la relation thoriqueln(eijt1) = A+ln(pit)ln(pit) implique aussi que ge = gjgi. En imposant ces restrictionsau modle dynamique gnral, on obtient le mcanisme correction derreur :(ln(eijt) ln(eijt1)

) = 1 + 2(Rit Rit1)+ (2 + 3)Rit1 + 4(ln(pit) ln(pit1)

)

+ 5(ln(pjt) ln(pjt1)

)

+ (5 + 6)(ln(pjt1) ln(pit1) ln(eijt1)

)

+ 8(Rjt Rjt1)+ (8 + 9)Rjt1 + ut




1ChapitreRfrences bibliographiques

[JOH 1997] J. Johnson, J. DiNardo, Econometric Methods, McGraw Hill, 1997.

[HEN 1995] D. Hendry, Dynamic Econometrics, Oxford University Press, 1995.

[SPA 1986] A. Spanos, Statistical Foundations of Econometric Modelling, Cambridge Uni-versity Press, Cambridge, 1986.

Rfrences bibliographiques 21

Exer

cice

s



2ChapitreModlelinaireen universstationnaire

Modle linaire en univers stationnaire1. Prsentation gnrale . . . . . . . . . . . . . . . 242. Interprtations du modle linaire et

hypothses sur les erreurs . . . . . . . . . . . 253. Estimation par la mthode des moindres

carrs ordinaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294. Modle linaire dynamique . . . . . . . . . 385. Tests de mauvaise spcification du

modle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Problmes et exercices . . . . . . 451. Rgression linaire avec Excel . . . . . . . . 452. Rgression linaire avec TSP . . . . . . . . . . 513. Rgression linaire avec SPSS . . . . . . . . 614. Rgression linaire avec Easyreg . . . . . . 66

Ce chapitre tudie les problmes de spcification,

destimation et dinfrence relatifs des relations

linaires entre des processus stochastiques purement

stationnaires ou stationnaires autour dune tendance

dterministe (voir chapitre 1). Linfrence statistique

tudie dans ce chapitre ne sapplique donc pas des

relations linaires entre des processus stochastiques

intgrs, cest--dire non stationnaires tendance

stochastique ou racine unitaire (voir chapitre 1). Les

exercices proposs se concentrent sur lestimation des

relations linaires par moindres carrs ordinaires au

moyen des logiciels Excel, TSP, SPSS et Easyreg.

Modle linaire en univers stationnaire 23



1 Prsentation gnrale1.1 DFINITION GNRALE ET NOTATION GNRALE

Un modle linaire une quation, en sries temporelles, suppose quune variablealatoire univarie Yt est une fonction linaire dautres variables alatoires univariesX2t , X3t . . .Xkt , laquelle sajoute une variable alatoire univarie ut appele termederreur , et met certaines hypothses sur la distribution de toutes ces variables. Onreprsente cet ensemble dhypothses de la manire suivante :

Yt = 1 + 2X2t + 3X3t + + kXkt + ut , pour tout t = 1 . . . n (2.1)avec 1, 2 . . . k des coefficients non alatoires constants dans le temps.

La variable Yt est dite dpendante. Les variables X2t , X3t . . .Xkt sont dites explicatives.Yt et les Xit sont des variables alatoires (1) (au sens o chacune delles peut avoir, dunpoint de vue conceptuel, plusieurs valeurs possibles, en fonction du hasard, mme silon observe effectivement une seule ralisation puisque la priode t n a lieu quunefois) et observables (puisquon peut en observer une ralisation).

La variable ut est appele terme derreur ou perturbation. Cest une variable alatoireet non observable (en effet, ut = Yt12X2t3X3t kXkt , mais on ne peutpas dduire sa ralisation des ralisations observes de Yt et des Xit car les coefficientsi sont inconnus et donc non observs).

Yt , X2t , X3t . . .Xkt et ut sont les composantes la date t des processus stochastiques cor-respondants Y = {Y}=1...n, X2 = {X2}t=1...n, X3 = {X3}=1...n . . .Xk = {Xk}t=1...n, etu = {u}=1...n.

Le coefficient 1 est souvent appel constante (ou terme constant ) du modlelinaire. De faon implicite, une variable explicative X1t vaut 1 chaque priode t(X1t = 1 pour tout t), ce qui implique que 1X1t = 1 pour tout t. Pour cette raison,lindice des variables explicatives commence 2 dans la formulation du modle. Oncompte donc k variables explicatives, constante comprise (soit k1 sans la constante !).Les coefficients i sont des concepts non alatoires (des valeurs uniques supposesexister dans la nature) et non observables (leur valeur est inconnue).

ExempleLa fonction de consommation suivante est un exemple de modle linaire :

ln(Ct) = 1 + 2 ln(YIt)+ 3Rt + ut , pour tout t = 1 . . . nln(Ct) est le logarithme nprien de la consommation prix constants Ct .ln(YIt) est le logarithme nprien du revenu disponible rel YIt .Rt reprsente le taux dintrt rel.ln(Ct) correspond la variable dpendante Yt .ln(YIt) correspond la variable explicative X2t .Rt correspond la variable explicative X3t .On compte donc trois variables explicatives, constante comprise (k = 3). ln(Ct), ln(YIt), Rtet ut sont les composantes la date t des processus stochastiques correspondants ln(C) ={ln(C)}=1...n, ln(YI) = {ln(YI)}=1...n, R = {R}=1...n et u = {ut}=1...n.

1. Pour quelques rappels utiles sur les concepts de variable alatoire, on peut se rfrer utilement au livre dePatrick Roger, Probabilits, statistique et processus stochastiques, publi chez Pearson Education France dansla mme collection.

24 Modle linaire en univers stationnaire



2ChapitreExempleLa fonction de consommation suivante est un autre exemple de modle linaire :

ln(Ct) = 1 + 2 ln(YIt)+ 3Rt + 4 ln(Ct1)+ 5 ln(YIt1)+ ut , pour tout t = 2 . . . nln(Ct) correspond la variable dpendante Yt .ln(YIt) correspond la variable explicative X2t .Rt correspond X3t .ln(Ct1) correspond X4t .ln(YIt1) correspond X5t .On compte donc cinq variables explicatives, constante comprise (k = 5). Dans cet exemple,X4t = Yt1 et X5t = X2t1. ln(Ct), X2t , Rt et ut sont les composantes la date t des processusstochastiques correspondants ln(C) = {ln(C)}=1...n, ln(YI) = {ln(YI)}=1...n, R = {R}=1...n etu = {u}=1...n. ln(Ct1) est la composante de date t1 du processus stochastique {ln(C)}=1...n.ln(YIt1) est la composante de date t 1 du processus stochastique {ln(YI)}=1...n.

1.2 NOTATION MATRICIELLE

Lhypothse dun modle linaire reliant des processus stochastiques X2, X3 . . .Xk peutencore tre prsente de la manire suivante :

Y = X+ u (2.2)

o Y =

Y1Y2...

Yn

, X =

1 X21 Xk11 X22 Xk2...

.... . .

...

1 X2n Xkn

, =

1

2...

k

, u =

u1u2...

un

.

Y est un vecteur n lments (une matrice n 1), X est une matrice n lignes et kcolonnes, est un vecteur k lments (une matrice k1) et u est un vecteur n lments(une matrice n 1). Exprim en notation matricielle, le modle linaire implique que :

Y1 = 1 + 2X21 + 3X31 + 4X41 + + kXk1 + u1Y2 = 1 + 2X22 + 3X32 + 4X42 + + kXk2 + u2. . .

Yn = 1 + 2X2n + 3X3n + 4X4n + + kXkn + unLquation (2.2) est bien quivalente lquation (2.1).

2 Interprtations du modle linaireet hypothses sur les erreurs

Dans lquation (2.1), la somme 1 + 2X2t + 3X3t + 4X4t + + kXkt est souventinterprte, de manire conventionnelle, comme la partie de la variable dpendante Ytqui peut sexpliquer linairement en fonction des variables explicatives X2t , X3t . . .Xkt ,tandis que le terme derreur ut est interprt comme la partie ne pouvant sexpliquer linairement en fonction des variables explicatives.

Interprtations du modle linaire et hypothses sur les erreurs 25



Pour intuitive quelle soit, cette interprtation est encore trop vague et manque de rigueur.Il reste prciser les diffrents statuts statistiques dun modle linaire. La section suivantetablit le lien entre ces statuts et certaines proprits du terme derreur.

2.1 HYPOTHSES SUR LE LIEN ENTRE TERME DERREURET VARIABLES EXPLICATIVES

Modle linaire comme approximation linaire

Statistiquement, les coefficients dun modle linaire sont les coefficients de lapproxi-mation linaire de la variable dpendante par les variables explicatives, condition quelesprance du terme derreur soit nulle et que les covariances entre le terme derreuret chaque variable explicative soient nulles. Cela se formalise ainsi : si les processusstochastiques Y , X2 . . .Xk sont tels quils sont relis par le modle linaire (2.1) (voirsection 1.1) sous les hypothses que E(ut) = 0 t et Cov(ut , Xit) = 0 i = 2 . . . ket t, la partie 1 + 2X2t + 3X3t + 4X4t + + kXkt reprsente lapproximationlinaire de la variable alatoire Yt par les variables alatoires X2t . . .Xkt . En dautres termes, = 1Xt Xt Yt o Xt est un vecteur (1) alatoire k lments dfini par Xt = (1X1t . . .Xkt).

Remarque

Lapproximation linaire dune variable alatoire Yt par des variables alatoiresX2t , X3t . . .Xkt est une fonction linaire des variables X2t , X3t . . .Xkt , dont les coefficients sontchoisis de manire minimiser lesprance du carr de lcart entre Yt et cette fonctionlinaire.

Avec de telles hypothses sur le terme derreur, le modle linaire suppose donc la constancedans le temps des coefficients de lapproximation linaire de Yt par X2t , X3t . . .Xkt , et parl mme un comportement particulier des esprances et variances des variables Yt et Xit(i = 2 . . . k) ainsi que des covariances entre ces variables, aux diffrentes priodes t. Eneffet, si ces esprances, variances et covariances varient dans le temps, elles doivent le fairede manire telle que 1Xt Xt Yt soit constante dans le temps.

Exemple avec une variable explicative (k = 2)Le modle linaire Yt = 1+ 2X2t+ ut , lorsquil comprend les hypothses Cov(ut , X2t) = 0 pourtout t et E(ut) = 0 pour tout t, implique que la valeur de lexpression E(Yt) Cov(Yt , X2t)

V(X2t)E(X2t)

et celle de lexpressionCov(Yt , Xt)

V(X2t)ne changent pas quelle que soit la priode t. Les coefficients

du modle linaire sont alors dfinis statistiquement ainsi :

1 = E(Yt) Cov(Yt , X2t)V(X2t)

E(X2t) et 2 = Cov(Yt , X2t)V(X2t)

1. Xt est une matrice carre k lignes et k colonnes puisque cest la matrice de variances et covariances duvecteur Xt . Xt Yt est une matrice k ligne et 1 colonne, donc un vecteur, puisque cest la matrice des covariancesentre le vecteur Xt et la variable univarie Yt .




2ChapitreModle linaire comme approximation conditionnelleLa partie explique de la variable dpendante dun modle linaire est aussi une approxi-mation conditionnelle qui dpend dune hypothse plus forte que celle de la covariancenulle entre terme derreur et variables explicatives : il sagit de lindpendance entreterme derreur et variables explicatives. Si les processus stochastiques Y , X2 . . .Xk sont telsquils sont relis par le modle (2.1) sous les hypothses que E(ut) = 0 t et que ut estindpendant de Xit i = 2 . . . k et t, la somme 1+2X2t+3X3t+4X4t+ +kXktreprsente lapproximation conditionnelle (1) de la variable alatoire Yt par les variablesalatoires X2t . . .Xkt . Par consquent :

1 + 2X2t + 3X3t + 4X4t + + kXkt = E(Yt |X2t . . .Xkt) (2.3)Il apparat clairement que ce cas implique celui de la rubrique prcdente (Modle linairecomme approximation linaire). Un modle linaire, avec les hypothses complmentairesque E(ut) = 0 t et que ut est indpendant des variables explicatives X2t . . .Xkt , peutdonc tre interprt de la manire suivante : lapproximation conditionnelle de Yt parles variables explicatives X2t . . .Xkt est une fonction linaire de ces variables explicativesavec des coefficients constants dans le temps. Cela revient dire que lapproximationconditionnelle de Yt par les variables explicatives est identique lapproximation linairede Yt par ces variables explicatives et que des coefficients sont constants dans le temps.Dailleurs, lhypothse dindpendance entre ut et X2t . . .Xkt pour tout t implique queCov(ut , Xit) = 0 i = 2 . . . k et t et donc que les i sont la fois les coefficients delapproximation linaire et ceux de lapproximation conditionnelle.

RemarqueLapproximation conditionnelle est gale lapproximation linaire lorsque les variablesdpendante et explicatives sont toutes distribues normalement. En effet, si la fonction dedensit jointe de Yt et des Xit est une normale multivarie, lesprance conditionnelle deYt , conditionnellement aux ralisations des Xit , est effectivement une fonction linaire desralisations des Xit et est gale lapproximation linaire. Toutefois, la normalit nimpliquepas elle seule que les coefficients de lapproximation conditionnelle (et linaire) de Yt enfonction des Xit soient constants dans le temps. Il faut, pour cela, que la distribution jointe aitdes proprits supplmentaires.

Autres casDans beaucoup de cas, en raison du contexte (la problmatique conomique, financireou marketing) dans lequel on suppose lexistence dune relation linaire constante entredes processus stochastiques Y , X2 . . .Xk, du type de lquation (2.1), on ne peut supposerque le terme derreur u est indpendant des variables explicatives, ou que les covariancesentre le terme derreur et les variables explicatives sont toutes nulles. Dans ces conditions,lexpression 1 + 2X2t + 3X3t + 4X4t + + kXkt nest pas lapproximation condi-tionnelle ni lapproximation linaire de Yt par X2t , X3t . . .Xkt . Les coefficients i ne sontdonc pas ceux dfinis pour les coefficients de lapproximation linaire.

La simultanit est une des causes principales de dpendance entre terme derreur etvariables explicatives. Par simultanit, on entend influence rciproque entre variabledpendante et variables explicatives , cest--dire influences simultanes des variables

1. Pour quelques rappels utiles sur le concept desprance conditionnelle, le lecteur peut se rfrer au manuelde Patrick Roger, Probabilits, statistique et processus stochastiques, publi chez Pearson Education Francedans la mme collection.

Interprtations du modle linaire et hypothses sur les erreurs 27



explicatives sur la variable dpendante et de la variable dpendante sur certainesvariables explicatives .

ExempleOn suppose habituellement que la consommation agrge Ct est fonction du revenu dispo-nible YIt :

Ct = 1 + 2YIt + ut (a)Cette quation sinscrit dans un contexte o le revenu disponible YIt est dfini comme unepartie du PIBt (produit intrieur brut), qui est la somme des valeurs ajoutes dgages danslconomie, soit approximativement la somme des revenus primaires verss sous la forme desalaires, dividendes, intrts :

YIt = PIBt IMPt (b)o IMP est un montant dimpts et de cotisations sociales nettes des prestations socialesoctroyes.

PIBt = Ct + It + Gt + Xt Mt (c)I reprsente linvestissement avec les variations de stock, G les dpenses publiques, X lesexportations et M les importations. Au regard de ces trois quations, on se rend compte quetoute variation de ut affecte Ct , qui, en variant, affecte PIBt , qui, en variant, affecte YIt . Le termederreur ut et la variable explicative YIt ne sont donc pas indpendants :

u(a)

C(c)

PIB(b)

YI donc u YIIl en rsulte que les coefficients 1 et 2 ne sont pas les coefficients de lapproximationconditionnelle ni de lapproximation linaire de Ct par YIt . En particulier, 2 nest pas gal Cov(Ct , YIt)/V(YIt).

2.2 HYPOTHSES POSSIBLES SUR LVOLUTION TEMPORELLEDU TERME DERREUR

Plusieurs hypothses concernant la manire dont le terme derreur volue dans le temps,et les liens ventuels quil a avec ses ralisations passes, sont envisageables et seule lanature de la problmatique tudie rend plausible lune dentre elles.

Terme derreur bruit blancLorsquon fait lhypothse dun modle linaire coefficients constants reliant des pro-cessus stochastiques Y , X2 . . .Xk, du type de lquation (2.1), on se demande si lensembledes fluctuations systmatiques de Y au cours du temps est expliqu par les fluctuationsdes variables explicatives X2 . . .Xk. Si cest le cas, toutes les composantes systmatiquesde Yt sont prises en compte par la somme 1 + 2X2t + 3X3t + 4X4t + + kXkt etle terme derreur ut ne contient plus dlments systmatiques. On peut donc supposerque ut est un bruit blanc. En effet, les ralisations successives dun bruit blanc formentune suite de valeurs de moyenne 0, damplitude ou de dispersion constante et sans lienlinaire entre elles. Il sagit bien dune succession de valeurs ne prsentant aucun caractresystmatique.

RemarqueUn bruit blanc est un processus stochastique dont la composante chaque date a uneesprance nulle et la mme variance, et dont des composantes des dates diffrentes ontune covariance nulle.




2ChapitreTerme derreur autocorrl ou htroscdastique

Toutefois, dans beaucoup de cas, seule une partie des fluctuations systmatiques de Y aucours du temps est explique par les fluctuations des variables explicatives X2 . . .Xk.Lautre partie se retrouve dans le terme derreur u. Celui-ci a donc une composantesystmatique, ce qui implique quil nest pas un bruit blanc (1). Trois cas de figure sontalors possibles :

Soit le terme derreur dune priode est autocorrl, cest--dire quil est li toutesou certaines de ses valeurs passes : 6= 0| cov(ut , ut) 6= 0. On parle alorsd autocorrlation du terme derreur (ou des perturbations).

Soit le terme derreur est htroscdastique, cest--dire que sa variance (dispersion)varie dans le temps : V(ut) 6= 2u t. On parle alors d htroscdasticit du termederreur (ou des perturbations).

Soit il est la fois autocorrl et htroscdastique.

3 Estimation par la mthode des moindrescarrs ordinaires

3.1 PRINCIPE DE LA MTHODE

On suppose que lhypothse dun modle linaire coefficients constants reliant des pro-cessus stochastiques Y , X2 . . .Xk est correcte. On veut dire par l quil existe effectivementdes coefficients vrais inconnus i constants dans le temps tels que :

Yt = 1+ 2X2t + 3X3t + 4X4t + + kXkt + ut , t , comme dans lquation (2.1)ce que lon peut encore reprsenter par :

Y = X+ u , comme dans lquation (2.2)o Y , X, et u sont les matrices dfinies la section 1.3.

Plusieurs estimateurs du vecteur vrai inconnu des coefficients vrais inconnus i du modle linaire sont possibles. Le choix du bon estimateur dpend du statut descoefficients i, cest--dire de leur interprtation, qui dpend elle-mme des propritsdes distributions de probabilit des variables alatoires multivaries Y , X2 . . .Xk et u (voirsection 2). Dans cette section, on dfinit un estimateur trs populaire : lestimateur desmoindres carrs ordinaires. On tudie ses proprits sous diffrentes hypothses sur lemodle linaire sous-jacent, ce qui permet de dterminer dans quels cas le choix de cetestimateur est opportun et dans quels cas il ne lest pas.

Il faut donc dfinir la formule dun estimateur du vecteur vrai inconnu , obtenueen appliquant le principe des moindres carrs ordinaires (MCO). Cet estimateur estnot MCO. Il sagit dune formule appliquer aux ralisations observes des processus

1. La problmatique de la section 2.2 est indpendante de celle de la section 2.1 : si, par exemple, la partieexplique de Y dans le modle est lapproximation conditionnelle linaire de Y et si, par l mme, le termederreur u est indpendant des Xi, cela nimplique pas pour autant que le terme derreur u soit un bruit blanc.

Estimation par la mthode des moindres carrs ordinaires 29



Y , X2 . . .Xk, donc aux valeurs observes du vecteur Y et de la matrice X, pour obtenir unevaleur estime du vecteur des coefficients vrais inconnus .

En dfinissant un estimateur particulier MCO de , on dfinit forcment un modleestim du type :

Y = XMCO + e (2.4)o MCO est lestimateur de et e est un rsidu calcul, dfini ainsi : e = Y XMCO.Le modle estim (2.4) correspond au modle linaire Y = X + u de lquation (2.2),o le vecteur des coefficients vrais inconnus est remplac par lestimateur MCO,qui est lui-mme un vecteur, et o le vecteur des termes derreur vrais inobservables

u est remplac par le vecteur des rsidus calculs e. On a en effet MCO =

MCO1MCO2...

MCOk

et

e =

e1e2...

en

. Par ailleurs, le vecteur XMCO, not Y , est la partie explique de Y .

Le modle estim peut encore tre prsent ainsi :

Yt = MCO1 + MCO2 X2t + + MCOk Xkt + et , t = 1 . . . n (2.5)o, la priode t, MCO1 + MCO2 X2t + + MCOk Xkt , not Y t , est la partie explique de Yt .Le modle estim (2.5) correspond au modle vrai (2.1) o les coefficients vrais incon-nus i sont remplacs par leurs estimateurs MCOi et o le terme derreur vrai ut est

remplac par le rsidu et . Lestimateur des moindres carrs or

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