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Universite Choua Doukkali b Faculte des Sciences- El Jadida. ` Filiere SMIA - Semestre 1 - A.U : 09-10 ` Module Algebre I

EXERCICES CORRIGES 1. Enonces Exercice 1. Soit E une partie non vide de R. Pour x, y E, on pose x + y + |x y| xy = 2 Montrer que dnit une loi de composition interne sur E et tudier e e ses proprits. ee Exercice 2. Sur E = Q2 , on dni la loi par : (a, b) (a , b ) = (aa , ba + b ). e Citer les proprits de cette loi. On tudiera en particulier les lments ee e ee symtrisables. e Exercice 3. 1 - Montrer que Z est un mono pour la loi dnie par : de e x y = x + y xy 2 - Trouver les lments inversibles de (Z, ). ee 3 - Calculer pour la loi , les puissances dun lment a Z. ee Exercice 4. Dire si les ensembles suivants sont des mono des pour la multiplication des entiers. 1 - E = {x = a2 + b2 N : a, b N}. 2 - F = {x = a2 + b2 + c2 N : a, b, c N}. Exercice 5. Soit X un ensemble. On consid`re (F(X), ), le mono des applie de cations de X dans lui-mme. Soit f F (X). Montrer que : e 1 - f est rguli`re ` gauche f est injective f est inversible ` e e a a gauche.1

2 - f est rguli`re ` droite f est surjective f est inversible ` e e a a droite. 3 - f est bijective f est rguli`re f est inversible. e e Exercice 6. Soit E un mono dlment neutre e. de e e 1 - Montrer que tout lment inversible ` gauche et rgulier ` droite ee a e a est inversible. 2 - Donner un exemple dun mono contenant un lment inverde ee sible ` gauche non inversible ` droite. a a 3 - Montrer que dans un mono ni tout lment rgulier ` gauche de ee e a ou ` droite est inversible. a Exercice 7.x+y Soit E lintervalle ouvert ] 1, 1[. Pour x, y E, on pose x y = 1+xy . Montrer que dnit une l.c.i. sur E et que (E, ) est un groupe ablien e e isomorphe ` (R, +). a

Exercice 8. Soit n un entier 2. Pour tout k Z, montrer que k est inversible dans (Z/nZ, ), si et seulement si, k est premier avec n. Exercice 9. On appelle application ane de R, toute application de la forme fa,b : R R, x ax + b. 1 - Montrer que lensemble A(R), des applications anes est un mono pour la composition des applications. de 2 - Soit fa,b une application ane. Montrer que fa,b est bijective, si 1 et seulement si, a = 0. On a alors fa,b = fa1 ,a1 b . 3 - Montrer que lensemble des bijections anes, GA(R), muni de la composition des applications est un groupe. Exercice 10.2

1 - Soit (E, .) un ensemble ni muni dune l.c.i associative pour laquelle tout lment est rgulier. Montrer que (E, ) est un groupe. ee e 2 - Le rsultat prcdent reste-il vrai si on suppose seulement que e e e tout lment est rgulier ` gauche ? ee e a Exercice 11. Une table dune l.c.i sur un ensemble ni E est dite carr latin si e dans chaque ligne et dans chaque colonne, tout lment de E gure ee une et une seule fois. Montrer que la table dun groupe ni est un carr latin et tudier la e e rciproque. e Exercice 12. Soit G un groupe, H et K deux sous-groupes de G. Montrer que H K est un sous-groupe de G, si et seulement si, H K ou K H. Exercice 13. Montrer que les groupes (Q , ) et (Q, +) ne sont pas isomorphes. + Exercice 14. Soit (G, ) un groupe dlment neutre e, H un sous-groupe de G. ee On dnit la relation binaire R sur G de la faon suivante. e c x, y G : xRy xy 1 H 1 - Montrer que R est une relation dquivalence. e (On lappellera dans la suite relation dquivalence modulo H). e 2 - Pour tout a G, on note C(a) la classe dquivalence de a moe dulo R. a - Montrer que pour tout x H, on a xa C(a). b - Soit lapplication a : H C(a), dnie par a (x) = xa. Mone trer que a est une bijection. 3 - Dans la suite on suppose que G est ni, on note o(G) son ordre et o(H) celui de H. On se propose de montrer que lordre de H divise3

lordre de G. (Ce rsultat est appel le thor`me de Lagrange). e e e e Soit E = {C1 , . . . , Ck }, lensemble quotient pour la relation dquivalence e modulo H. a - Montrer que toutes les classes dquivalence modulo H ont le e mme cardinal gal ` o(H). e e a b - Justier que G = C1 . . . Ck et montrer que o(G) = k.o(H). Exercice 15. 1 - Dire si les ensembles suivants sont des sous-anneaux de R. A = {a + b 2 R : a, b Z}. B = {a + b 3 2 R : a, b Z}. 2 - Montrer que D = {a + bi C : a, b Z}, o` i2 = 1, est un u sous-anneau de C. Trouver ses lments inversibles. ee Exercice 16. Soit R. Donner une condition ncessaire et susante sur pour e que lensemble {a + b R : a, b Q}, soit un sous-anneau de R. Exercice 17. On appelle anneau de Boole un anneau A un anneau tel que x A, on a : x2 = x. 1 - Montrer quun anneau de Boole A vrie x A, on a : x + x = 0 e et quil est commutatif. 2 - Montrer que si un anneau de Boole A contient au moins trois lments, alors il nest pas int`gre. ee e Exercice 18. Soit (A, +, ) un anneau commutatif. On dsigne par 0, llment e ee neutre de (A, +) et par 1, llment neutre de (A, ). On dit que a A ee est nilpotent sil existe k N tel que ak = 0. 1 - Montrer que si a et b sont nilpotents alors a + b est nilpotent.4

2 - Montrer que si a est nilpotent alors 1 a est inversible. Calculer alors son inverse. Exercice 19. Montrer que tout anneau ni sans diviseur de zro est un corps. e Exercice 20.z Soit H = { z z M2 (C)}. Montrer que H est un corps non z commutatif pour les oprations usuelles sur les matrices. e

( H est appel le corps des quaternions). e Exercice 21. Dans tout cet exercice, on consid`re les ensembles Q[ 2] = {a + e b 2 R : a, b Q} et Z[ 2] = {a + b 2 R : a, b Z} 1 - Montrer que Z[ 2] est un sous-anneau de R et que Q[ 2] est son corps de fractions. 2 - Soit : Q[ 2] Q[ 2] ; + b 2 a b 2. Montrer que est a un automorphisme du corps Q[ 2]. 3 - Pour tout z = a + b 2 Q[ 2], on pose N (z) |z(z)| = = 2 2 |a 2b | quon appelle norme de z. Montrer N (Q[ 2]) Q+ et que que N (zz ) = N (z).N (z ) pour tous z, z Q[ 2]. 4 - Soit z Z[ 2]. Montrer z est inversible dans Z[ 2], si et seulement si, N (z) = 1. 5 - Prouver que lensemble des lments inversibles de Z[ 2] est inee ni. 6 - Soit z Q[ 2]. Montrer quil existe u Z[ 2], tel que N (zu) < 1. (montrer dabord que pour tout x dans Q, il existe s Z tel que 1 |x s| 2 ). 7 - Montrer que, pour tous z, u Z[ 2], avec u = 0, il existe q, r Z[ 2], tels que z = qu + r et N (r) < N (q). Exercice 22. Montrer que pour tout P K[X] on a P (X)X divise P (P (X))X.5

Exercice 23. Pour quelles valeurs de n N , le polynme (X n + 1)n X n est-il o 2 divisible par X + X + 1 ? Exercice 24. Factoriser le polynme X 4 + 4 dans C[X] et dans R[X]. o Exercice 25.1 Soit une racine de P = X 4 + X 3 + X 2 + X + 1. On pose = + .

1 - Montrer que est racine dun polynme du second degr de Q[X] o e que lon dterminera. e 2 - En dduire lexpression de puis celles de cos 2 et sin 2 par e 5 5 radicaux. Exercice 26. Factoriser le polynme X n+2 2X n+1 + X n nX 2 + 2nX n dans o C[X], sachant quil poss`de 1 comme racine multiple. e Exercice 27. 1 - Soit P = an X n + an1 X n1 + . . . + a1 X + a0 Z[X]. Montrer que x Z est racine de P alors a x | P (a), pour tout a Z. En particulier, montrer quon a x | a0 . 2 - Trouver les racines enti`res de P = X 6 + X 5 3X 4 + 3X 3 e 16X 2 + 2X 12, puis factoriser ce polynme. o Exercice 28. Soit le polynme A(X) = X 6 3X 4 8X 3 9X 2 6X 2 C[X]. o 1 - Calculer A(j) et A (j), o` j = e u2i 3

= 1 + i 2

3 . 2

2 - Factoriser A dans C[X] et dans R[X]. Exercice 29. On consid`re le polynme B(X) = 2X 4 5X 3 + 4X 2 5X + 2 dans e o C[X].6

1 - Montrer que si C est une racine de B, alors = 0 et aussi racine de B.

1

est

2 - Montrer que B poss`de une racine enti`re que lon dterminera. e e e (Utiliser le fait que si a Z est une racine de B, alors a divise B(0)). 3 - Factoriser B dans R[X] et dans C[X]. Exercice 30. Soit P (X) = X 6 + X 3 + 1 C[X]. On pose = e2i 9

.

1 - Calculer P () et dterminer toutes les racines de P . e 2 - On pose = 2 cos 2 = + 1 . 9 a - Montrer que est racine dun polynme Q(X) unitaire ` coeo a cients entiers de degr 3 que lon dterminera. e e1 b - Calculer Q( 1 ).

c - Exprimer les racines de Q en fonction de . Exercice 31. Soit P C[X]. 1 - Montrer quil existe deux polynmes P1 et P2 dans R[X], tels que o P (X) = P1 (X) + iP2 (X). 2 - Soit R. Montrer que est racine de P , si et seulement si, est racine de P1 et de P2 . 3 - Soit P = X 4 + 4X 3 + (6 + i)X 2 + (5 + 3i)X + 2 + 2i C[X]. Vrier que P poss`de des racines relles et factoriser P . e e e Exercice 32. 1 - Factoriser le polynme X 4 + 4 dans R[X] et dans C[X]. o 2 - Soit P = X 6 4X 5 + 6X 4 12X 2 + 16X 8 C[X]. a - Dterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de P e par X 4 + 4.7

b - Montrer que P et X 4 + 4 poss`dent deux racines communes que e lon dterminera. e c - Dterminer les multiplicits de ces racines communes dans P . e e d - Factoriser P dans C[X] et dans R[X].

8

2. Corriges des Exercices Corrig de lexercice 1. e Remarquons que si x y, alors x y = x et si x y, alors x y = y. Par consquent x y = sup(x, y). e Commutativit. x, y E, x y = sup(x, y) = sup(y, x) = y x. La e loi est donc commutative. Associativit. x, y, z E, on a :(x y) z = sup(sup(x, y), z) = e sup(x, y, z) = sup(x, sup(y, z)) = x (y z). La loi est donc associative. Elment neutre. Pour que admette un lment neutre e, il faut que e ee x e = x, x E, i.e. x e x E. Ce qui veut dire que e doit tre e un plus petit lment de E. (Cette condition nest pas toujours vrie ee e e cest le cas par exemple pour E = R.) Elments rguliers. Soit a E, alors a est rgulier si a x = a y e e e x = y, x, y E. En prenant x < a et y = a, on a a x = a = a a, mais x = a. Donc dans ce cas l`, a nest pas rgulier. Par consquent, a e e pour que a soit rgulier, il faut que a x, x E, i.e. a doit tre e e llment neutre de . ee Elments symtrisables. On suppose que E poss`de un lment neutre e e e ee e. Puisque (E, ) est un mono tout lment symtrisable est rgulier. de, ee e e Comme e est le seul lment rgulier de (E, ), il en dcoule que e est ee e e le seul lment symtrisable. ee e Corrig de lexercice 2. e Associativit. Soient (a, b), (a , b ), (a , b ) E. On a : e ((a, b) (a , b )) (a , b ) = (aa , ba + b ) (a , b ) = (aa a , (ba + b )a + b ) = (aa a , ba a + b a + b ). (a, b) ((a , b ) (a , b )) = (a, b) (a a , b a +b ) = (aa a , ba a + b a + b ). Donc ((a, b) (a , b )) (a , b ) = (a, b) ((a , b ) (a , b )), par consquent, est associative. e Commutativit. On a (a, b) (a , b ) = (aa , ba + b ) et (a , b ) e (a, b) = (a a, b a + b). Il est facile de voir que la loi nest pas commutative. En eet, (1, 1) (0, 1) = (0, 1) alors que (0.1) (1, 1) = (0, 2).9

Elment neutre. Soit (e, e ) E tel que (a, b) E, on a : (a, b) e (e, e ) = (e, e ) (a, b) = (a, b). Alors ae = ea = a et be + e = e a + b = b, a, b Q. Ainsi e = 1 et e = 0. On vrie ensuite que e (a, b) (1, 0) = (1, 0) (a, b) = (a, b). Donc poss`de un lment e ee neutre qui est (1, 0). En conclusion (E, ) est un mono non commutatif. de Elments symtrisables. Soit (a, b) E un lment symtrisable. Il e e ee e existe alors (a , b ) E tel que (a, b) (a , b ) = (a , b ) (a, b) = (1, 0). Par consquent, aa = a a = 1 et ba + b = b a + b = 0. Il en rsulte e e 1 1 que a = 0, a = a et b = b.a . Rciproquement, si a = 0, alors e (a, b) (a1 , b.a1 ) = (a1 , b.a1 ) (a, b) = (1, 0). En conclusion, (a, b) est symtrisable, si et seulement si, a = 0 et on a alors e (a, b)1 = (a1 , b.a1 ). Elments rguliers. Les lments symtrisables sont rguliers. e e ee e e Rciproquement, si (a, b) nest pas symtrisable, on a a = 0 et (a, b) = e e (0, b). Par ailleurs (0, b) (1, b) = (0, 0) = (0, b) (0, 0), alors que (1, b) = (0, 0). Ce qui veut dire que (0, b) nest pas rgulier. Donc e dans ce mono nous avons tout lment rgulier est symtrisable. de, ee e e

Corrig de lexercice 3. e 1 - Associativit. Soient x, y, z Z, on a : e (x y) z = (x + y xy) z = x + y xy + z xz yz + xyz et x (y z) = x (y + z yz) = x + y + z yz xy xz + xyz. Donc (x y) z = x (y z). est associative. Commutativit. x, y Z, x y = x + y xy = y + x yx = y x. e est commutative. Elment neutre. Soit e tel que x e = x, x Z. On a x + e ex = x. e Donc ex = 0, par suite e = 0. On vrie alors que x 0 = 0 x = x. e Ainsi 0 est llment neutre de . ee En conclusion, (Z, ) est un mono commutatif. de 2 - Un lment x de Z est inversible pour , sil existe x Z tel ee que x x = x + x xx = 0. Ou encore, 1 (1 x)(1 x ) = 0. Ce qui implique que (1 x)(1 x ) = 1. Par consquent 1 x = 1 ou e 1 x = 1, x = 0 ou x = 2. Les lments inversibles de (Z, ) sont ee 0 et 2.10

3 - En remarquant que x y = 1 (1 x)(1 y), montrons par rcurrence que xn = 1 (1 x)n . Cest vrai pour n = 0, x0 = 0. e Supposons la proprit vraie pour n. On a x(n+1) = x xn = 1 (1 ee n x)(1 x) = 1 (1 x)n+1 . Corrig de lexercice 4. e 1 - Soient a, b, c, d N, on a : (a2 + b2 )(c2 + d2 ) = a2 c2 + a2 d2 + b2 c2 + b d = a2 c2 + b2 d2 + 2abcd + a2 d2 + b2 c2 2abcd = (ac + bd)2 + (ad bc)2 . On a ac + bd, ad bc N, donc (a2 + b2 )(c2 + d2 ) E. E est stable par multiplication. Par ailleurs on a, 1 = 12 + 02 . Donc 1 E. Puisque la multiplication des entiers est associative, (E, .) est un mono de.2 2

2 - Nous allons montrer que F nest pas stable par multiplication. On a 3 = 12 + 12 + 12 et 5 = 22 + 12 + 02 . Donc 3 et 5 sont dans F . Montrons que 15 = 3.5 nest pas un lment de F . Sinon, 15 = ee a2 + b2 + c2 . Ncessairement a, b, c 3. Dautre part, un des entiers e a, b, c est suprieur strictement ` 2. Il en rsulte quun des entiers, par e a e exemple a, est gal ` 3. On a alors 15 = 9 + b2 + c2 . Ce qui entra e a ne 2 2 que b + c = 6. Ce qui est absurde. Donc 15 F . / Corrig de lexercice 5. e 1 - f rguli`re ` gauche f injective. Supposons que f est rguli`re e e a e e ` gauche, soient y, y X tels que f (y) = f (y ). Montrons que y = y . a Considrons les applications constantes g, h F (X), telles que x e X, g(x) = y et h(x) = y . On a x X. f g(x) = f (g(x)) = f (y) = f (y ) = f (h(x)) = f h(x). Donc f g = f h. Comme f est rguli`re e e ` gauche, g = h. Donc y = y . f est injective. a f injective f inversible ` gauche. Supposons que f est injective. a Pour tout y x, f 1 {y} est un singleton ou vide. Fixons a X et dnissons g F (X) par : g(y) = x si f 1 {y} = {x}, g(y) = a, e si f 1 {y} = . Alors x X, on a : g f (x) = x, x X. Donc g f = IX . f inversible ` gauche f rguli`re ` gauche. Cette implication est a e e a vraie dans tout mono de. 2 - f rguli`re ` droite f surjective. Par contraposition, suppoe e a sons que f ne soit pas surjective. Il existe y X tel que y f (X). / Soient a, b X, a = b. On consid`re g, h F (X) dnies par : g est e e lapplication constante g(x) = a, x X, h est dnie par h(x) = a si e x f (X), h(x) = b sinon. On a g f (x) = h f (x) = a, x X, mais g = h. Donc f nest pas rguli`re ` droite. e e a11

f surjective f inversible ` droite. Supposons que f est surjective. a 1 Alors y X, on a f {y} est non vide. Les ensembles f 1 {y} forment une partition de X, on choisit dans chaque f 1 {y} un lment z. On ee dnit ainsi une application par z = g(y). Alors f g = IX . e Limplication f inversible ` droite f rguli`re ` droite est vraie a e e a dans tout mono de. 3 - Les quivalences f est bijective f est rguli`re f est ine e e versible, sont une consquence de 2 et 3. e Corrig de lexercice 6. e 1 - Soit x E inversible ` gauche et rgulier ` droite. Il existe x E a e a tel que x x = e. On a (xx )x = x(x x) = xe = x = ex. Puisque x est rgulier ` droite, on a : xx = e. Donc x est inversible. e a 2 - En utilisant lexercice 5, il sut de considrer F(X) avec X ine ni et une application injective non surjective. Par exemple X = N et f : N N, dnie par f (n) = n + 1. e 3 - On suppose que E est ni et a E rgulier ` droite. Soit lape a plication a : E E, dnie par a (x) = xa. Puisque a est rgulier e e ` droite, a est injective. Or E et ni, donc a est bijective. Il existe a a E tel que : a a = e. Donc a est inversible ` gauche et rgulier ` a e a droite. On applique alors 1. Par la mme mthode on dmontre que rgulier ` gauche invere e e e a sible. Autre mthode. On consid`re lapplication : N E dnie par e e e (n) = an . Puisque E et ni, ne peut pas tre injective. Donc il e existe m > n tels que an = am . Donc, puisque a est rgulier ` gauche e a n mn ou ` droite, il en est de mme de a . Donc a a e = e. Ou encore a.amn1 = amn1 .a = e. Donc a est inversible. Corrig de lexercice 7. e est une l.c.i. Dabord si x, y E on a 1 < xy < 1 et 0 < 1 + xy < x+y 2. Do` x + y + 1 + xy = (x + 1)(y + 1) > 0. Donc 1+xy > 1. De mme u e x+y u x + y 1 xy = (x 1)(1 y) < 0. Donc 1+xy < 1. Do` x y ] 1, 1[. Associativit . Soient x, y, z E. On a : e (x y) z =x+y 1+xy

z =

x+y+z+xyz . 1+xy+xz+yz

12

x (y z) = x

y+z 1+yz

=

x+y+z+xyz . 1+yz+xy+xz

Donc (x y) z = x (y z). La loi est associative. Commutativit. On a x y = e Donc est commutative.x+y 1+xy

=

y+x 1+yx

= y x, x, y E.

Elment neutre. On a x 0 = 0 x = x, donc 0 est llment neutre e ee de la loi . Elments symtrisables. Pour tout x E on a x E et x (x) = e e (x) x = 0. En conclusion, (E, ) est un groupe ablien. e On cherche une application bijective f : R ] 1, 1[, telle que f (x)+f f (x + y) = f (x) f (y) = 1+f (x)f(y) . Une application qui rpond ` e a (y) cette proprit est th(x) = ee Corrig de lexercice 8. e k est inversible dans (Z/nZ, .) Il existe m Z/nZ : km = 1, Il existe m Z/nZ : n|km 1 il existe Z : km 1 = n n et k sont premiers entre eux Corrig de lexercice 9. e 1 - On a I = f1,0 est une application ane. Si fa,b , fc,d sont des applications anes, on a : x R, fa,b fc,d (x) = a(cx + d) + b = acx + ad + b = fac,ad+b (x). Donc fa,b fc,d = fac,ad+b . A(R) est donc stable par La loi et contient I. La loi tant associative, (A(R), ) e est un mono de. 2 - Soit fa,b une application ane. Si a = 0, on a, dapr`s 1, fa,b e fa1 ,a1 b = fa1 ,a1 b fa,b = f1,0 = I, donc fa,b est inversible. Rciproquement, si a = 0, on a f0,b (0) = f0,b (1) = b, donc f0,b nest e pas bijective. 3 - Puisque la rciproque dune bijection ane est une bijection afe ne, GA(R) est le groupe des lments inversibles du mono A(R). ee de Corrig de lexercice 10. e 1 - Nous allons montrer que (E, ) poss`de un lment neutre. Soit e ee a E x. On consid`re les applications a , a : E E, dnies par e e e13ex ex ex +ex

(la tangente hyperbolique).

a (x) = ax et a (x) = xa. Puisque a est rgulier , a et a sont ine jectives. Comme E est ni, elles sont bijectives. Donc e E tel que ae = a (e) = a. Soit x E. Comme a est bijective, il existe x E tel que x = x a. On a xe = (x a)e = x (ae) = x a = x. De mme e on a a(ex) = (ae)x = ax, donc par rgularit de a on a ex = x. Par e e consquent, (E, ) poss`de un lment neutre e. e e ee (E, ) est un mono ni dans lequel tout lment est rgulier, on de ee e utilise alors lexercice 6 question 3, pour conclure que tout lment de ee E et inversible. Donc (E, ) est un groupe. 2 - Soit E un ensemble ni de cardinal 2. on dnit sur E la loi e par x y = y. est associative et tout lment de e est rgulier ` ee e a gauche car a x = a y x = y. Mais (E, ) nest pas un groupe (il ne poss`de pas dlment neutre). e ee Corrig de lexercice 11. e Une table dune l.c.i est un carr latin , tout lment est rgulier e ee e pour . Ceci est vraie pour un groupe. la rciproque est fausse, il sut e de considrer la table : e a b c a b a c b c b a c a c b Ce nest pas la table dun groupe, lassociativit est en dfaut car e e a(bc) = aa = b, mais (ab)c = ac = c. Corrig de lexercice 12. e Montrons que, si H K est un sous-groupe, alors H K ou K H. Par contraposition. Si H K et K H. Il existe x H x K et / 1 1 y K, y H. Montrons que xy H K. Sinon, xy H ou / / xy 1 K. Si xy 1 H on a x1 xy 1 H, ce qui entra y 1 H. ne 1 1 Absurde. De mme, xy K entra x = xy y K cest encore e ne une absurdit. Donc xy 1 HK. Par suite HK nest pas un groupe. e / La rciproque est vidente. e e Corrig de lexercice 13. e Supposons quil existe un isomorphisme f : (Q, +) (Q , ). Il + existe Q, tel que f () = 2. On a 2 = f () = f ( + ) = f ( )2 . 2 2 2 Posons = f ( ), alors Q, et 2 = 2, ce qui est absurde. 214

Corrig de lexercice 14. e 1 - Rexivit : On a x G, xx1 = e H, donc xRx. R est donc e e rexive. e Symtrie : Soient x, y G tels que xRy. On a xy 1 H. Donc e 1 yx = (xy 1 )1 H, car H est un sous-groupe. Donc yRx. Par suite, R est symtrique. e Transitivit : Soient x, y, z G, tels que xRy et yRz, alors xy 1 H e 1 et yz H. Donc xz 1 = xy 1 yz 1 H. Toujours du fait que H est un sous-groupe. R est donc transitive. En conclusion, R est une relation dquivalence. e 2 - a. Soit x H, on a (xa)a1 = a H. Donc xaRa. Do` u xa C(a). b - Montrons que a est bijective. Injection : soient x, y H : a (x) = a (y). On a xa = ya. Or dans un groupe tout lment est rgulier. Donc x = y. Par suite a est injective. ee e Surjection : soit y C(a). Posons x = ya1 . Puisque yRa, on a x H et y = xa = a (x). Donc a est surjective. En conclusion, a est bijective. 2 - a. Soit i {1, . . . , k} et a Ci . Puisque a est une bijection de H dans C(a) = Ci , on a cardCi = o(H). b - On a C1 . . .Ck G et tout lment de G est contenu dans une ee classe dquivalence. Donc G = C1 . . . Ck . Dautre part les classes e dquivalence sont deux ` deux disjointes, donc o(G) = k cardCi . e a i=1 Or pour tout i = 1, . . . , k, on a cardCi = o(H), par consquent o(G) = e k.o(H).

Corrig de lexercice 15. e 1 - On a 1 A. Soient a + b 2, a + b 2 A, alors : (a+b 2)(a +b 2) = (aa )+(bb ) 2 A, car (aa ), (bb ) Z.15

(a + b 2)(a + b 2) = (aa + 2bb ) + (ab + ba ) 2 A, car aa + 2bb , ab + ba Z. En conclusion, A est un sous-anneau de R. Nous allons montrer que B nest pas un sous-anneau. Plus prcisment e e que ( 3 2)2 3 4 B. Supposons que 3 4 = a + b 3 2 On = / B. mul 3 3 3 3 3 3 tiplie par 2 obtient 8 = 2 = a 2 + b 4. Donc, a 2 + b 4 = on 3 a 2 + b(a + b 3 2) = ab + (a + b2 ) 3 2 = 2. - Si a + b2 = 0, on a b3 = 2, ce qui est impossible. - Si a + b2 = 0, alors 3 2=2ab a+b2

Q, ce qui est encore impossible.

En consquence, ( 3 2)2 B. B nest pas un sous-anneau de R. e / 2 - On a 1 D. Soient a + bi, a + b i D, alors : (a + bi) (a + b i) = (a a ) + (b b )i D, car (a a ), (b b ) Z. (a + b 2)(a + b i) = (aa bb ) + (ab + ba )i D, car aa bb , (ab + ba ) Z. D est donc un sous-anneau de C. Soit z = a+bi D un lment inversible. Il existe z = c+di D tel ee que zz = 1. En prenant les modules, on obtient | zz |2 =| z |2 | z |2 = 1. Par consquent (a2 + b2 )(c2 + d2 ) = 1. Il en rsulte que a2 + b2 = 1. e e Do` (a, b) = (0, 1), (1, 0), (0, 1) ou (1, 0). Les lments inversibles u ee sont donc 1, 1, i et i. Corrig de lexercice 16. e Soit A = {a + b R : a, b Q}. On a 1 A et il est clair que A est toujours un sous-groupe de (R, +). Supposons que A soit un sous-anneau de R, alors a, b, a , b Q, on a : (a + b)(a + b ) = aa + (ab + ba ) + bb 2 A, ce qui entra ne 2 A. i.e 2 = c + d, avec c, d Q. Cette condition est aussi susante, car si 2 = c + d, on a (a + b)(a + b ) = aa + (ab + ba ) + bb 2 A Corrig de lexercice 17. e16

1 - (x + 1)2 = x + 1 = x2 + x + x + 1 = x + x + x + 1, ce qui implique x + x = 0, i.e. x = x. Dautre part, x + y = (x + y)2 = x2 + xy + yx + y 2 = x + xy + yx + y, ce qui entra xy + yx = 0. Mais yx = yx, donc yx = xy. A est ne commutatif. 2 - Soient x = 0, 1. On a x(x + 1) = x + x = 0, mais x = 0 et x + 1 = 0. A nest pas int`gre. e Corrig de lexercice 18. e 1 - Soient a, b A nilpotents. Il existe k, m N tels que ak = bm = 0. Dapr`s la formule du binme, qui sapplique puisque A est commutae o tif, on a :k+m i i k+mi (a + b)k+m = i=0 Ck+m a b k i i k+mi i = + k+m Ck+m ai bk+mi i=0 Ck+m a b i=k+1 k k+m i i = bm i=0 Ck+m ai bki + ak i=k+1 Ck+m aik bk+mi

Donc : (a + b)k+m = 0 En conclusion on a (a + b)k+m = 0, do` a + b est nilpotent. u 2 - Soit a A, On a (1 a)(1 + a + a2 + . . . + ak1 ) = 1 ak . Donc si ak = 0, (1 a)(1 + a + a2 + . . . + ak1 ) = 1. Ce qui entra que (1 a) ne est inversible et que (1 a)1 = (1 + a + a2 + . . . + ak1 ). Corrig de lexercice 19. e Un lment qui nest pas diviseur de zro est rgulier dans (A, ). ee e e Soient x, y A . Puisque A est sans diviseurs de zro, on a xy A . e Donc (A , ) est un mono ni dans lequel tout lment est rgulier. de ee e (A , ) est donc un groupe. Corrig de lexercice 20. e Montrons que H est un sous-anneau de M2 (C)}. On a I2 H. Soientz z z z z z z z z z z z

,

u v v u

H. On a : H. =v v v v

u u u u u u u u

= =

zu (z u ) z u zu zuz u (zu +z u) z u+zu z u +zu

H, o` u

v = zu z u et v = z u + zu .17

Par consquent, (H, +, ) est un anneau. ez Montrons que(H, +, ) est un corps. Soit M = z z = 0. Donc z z ou z = 0. Posons z = a + bi et z = c + di, avec a, b, c, d R non tous nuls. On a detM = zz + z z =|z|2 + |z |2= a2 + b2 + c2 + d2 = 0. Donc M est inversible.

Il reste ` montrer que M 1 H. On a M 1 = (detM)1 .t Com(M ). a z Posons = det(M )1 . On a R et M 1 = z z H. z (H, +, ) nest pas commutatif, il sut de prendre :i 0 i M = ( 0 1 ), M = ( 0 i ). On a M M = ( 0 0 ), M M = i 1 0 0 i i 0

.

On a bien M M = M M . Corrig de lexercice 21. e 1 - On a 1 Z[ 2]. Soient a + b 2, a + b 2 Z[ 2], alors : (a + b 2) (a + b 2) = (a a ) + (b b ) 2 Z[ 2], car (a a ), (b b ) Z. (a + b 2)(a + b 2) = (aa + 2bb ) + (ab + ba ) 2 Z[ 2], car aa + 2bb , ab + ba Z. En conclusion, Z[ 2] est un sous-anneau de R. En gnral, si A est un anneau int`gre contenu dans un corps, alors e e e lensemble F = { a K : a A, b A }, est un sous-corps de K et b cest un corps de fractions de A. Soient a + b 2 Z[ 2], c + d 2 Z[ 2] , alors : a+b 2 (a + b 2)(c d 2) (a + b 2)(c d 2) = = Q[ 2] 2 + 2d2 c c+d 2 (c + d 2)(c d 2) c Rciproquement, tout lment a + d 2, de Q[ 2] scrit, (ad+bc) 2 , e ee e b bd cest donc un quotient de deux lments de Z[ 2]. Par consquent, ee e Q[ 2] = { x R : x Z[ 2], y Z[ 2] }. Cest donc le corps de y fraction de Z[ 2].18

2 - : Q[ 2] Q[ 2] ; a + b 2 a b 2. Soient x = a + b 2, y = a + b 2 Q[ 2]. On a : (x + y) = ((a + a ) + (b + b ) 2) = a + a (b + b ) 2 = a b 2 + a b 2 = (x) + (y). (xy) = ((aa +2bb ))+(ab +ba ) 2 = (aa +2bb )(ab +ba ) 2 = (a b 2)(a b 2) = (x)(y). est un morphisme de corps, donc ncessairement injectif. Il est e aussi surjectif car x = a + b 2 Q[ 2], on a (a b 2) = x. Finalement, est un automorphisme. 3 - Pour tout z = a + b 2, Q[ 2], il est clair que N (Q[ 2]) Q+ . Par ailleurs, N (zz ) = |zz (zz )| = |zz (z )(z ) = |z(z).z (z )| = |z(z)|.|z (z )| = N (z)N (z ). 4 - Soit z Z[ 2]. z est inversible dans Z[ 2], si et seulement si, il existe z Z[ 2] : zz= 1. Ce qui entra que N (zz ) = N (z)N (z ) = ne ne 1. Comme z, z Z[ 2], on a N (z), N (z ) N. Ce qui entra que N (z) = 1. Rciproquement, supposons que N (z) = 1, on a z = a + b 2, et e a2 2b2 = 1. Posons z = a b 2, alors zz = 1, ce qui entra ne que z est inversible. 5 - Llment z = 1 + 2 est inversible car N (z) = 1. On a ee n N, z n est aussi inversible. Dautre part, z n = z m , n = m, sinon z nm = 1, ce qui implique, puisque z R, que z = 1 ce qui est absurde. Donc lensemble {z n : n N} est inni. 6 - Soit x Q. Notons E(x), la partie enti`re de x. Posons (x) = e 1 E(x), si x [E(x), E(x) + 2 [ et (x) = E(x) + 1, si x [E(x) + 1 , E(x) + 1[. On a toujours |x (x)| 1 . 2 2 Pour z = x + y 2 Q[ 2], posons u = (x) + (y) 2 Z[ 2]. On a N (z u) = |(x (x))2 2(y (y))2 | | 1 1 | < 1. 4 2 z 7 - Soient z, u Z[ 2], avec u = 0. On a u Q[ 2], donc, dapr`s e z 6, il existe q Z[ 2], tel que N ( u q) < 1. Posons r = z qu, alors r z = qu + r, et N ( zqu ) = N ( u ) < 1. Ce qui entra que N (r) < N (q). ne u19

Corrig de lexercice 22. e Posons P = n ak X k . On a P (P (X)) X = P (P (X)) P (X) + k=0 P (X) X. Il sut donc de montrer que P (X) X divise P (P (X)) P (X). On a P (P (X)) P (X) = n ak P k n ak X k = n ak (P k k=0 k=0 k=0 X ). Comme P X divise P k X k pour tout k N, on a alors P (X) X divise P (P (X)) P (X).k

Corrig de lexercice 23. e Les racines de X 2 +X +1 sont j = 1 +i 23 et Donc X 2 +X +1 = j. 2 Posons P = (X n + 1)n X n . Pour que P soit divisible (X j)(X j). par X 2 + X + 1, il faut et il sut que P (j) = P ( = 0. Comme P j) est ` coecient rels, on a P (j) = 0 P ( = 0. Donc il sut davoir a e j) P (j) = 0. Notons dabord que j 3k+r = (j 3 )k j r = j r , pour r = 0, 1, 2. Si n = 3k, P (j) = (j 3k + 1)3k j 3k = 23k j 3k = 0. Si n = 3k + 1, P (j) = (j 3k+1 + 1)3k+1 j 3k+1 = (j + 1)3k+1 j P (j) = (j 2 )3k+1 j = (1)3k+1 j 6k+2 j = (1)3k+1 j 2 j = 0. Si n = 3k + 2, P (j) = (j)3k+2 j 2 = (1)3k+2 j 3k+2 j 2 = (1)3k j 2 j 2 = ((1)k 1)j 2 Il en rsulte que dans ce cas P (j) = 0 k est pair. e Finalement P est divisible par X 2 + X + 1, si et seulement si, n = 6k + 2. Corrig de lexercice 24. e On a X 4 + 4 = X 4 + 4X 2 + 4 4X 2 = (X 2 + 2)2 4X 2 = (X 2 2X 2 + 2)(X 2 + 2X 2 + 2). Les polynmes (X 2 2X 2 + 2) et (X 2 + 2X 2 + 2) sont irrductibles o e dans R[X] car le descriminant 22 4.2 = 4 < 0. Donc X 4 + 4 = (X 2 2X 2 + 2)(X 2 + 2X 2 + 2), est la factorisation dans R[X]. Les racines de (X 2 2X 2 + 2) sont 1 + i = et . Les racines de (X 2 + 2X 2 + 2) sont et . 20

Donc la factorisation dans C[X] est : X 4 + 4 = (X )(X )(X + )(X + ) Corrig de lexercice 25. e 1 - On a = + do` 2 + = 1 u1

=

2 +1

=

3 + , 2

et 2 = 2 +

1 2

+2 =

4 +22 +1 , 2

2 - Soit = cos 2 + i sin 2 , alors est racine de X 5 1 = 5 5 (X 1)(X 4 + X 3 + X 2 + X + 1). Comme = 1, on a est racine 1 de X 4 + X 3 + X 2 + X + 1. Il en rsulte que 2 cos 2 = + est rae 5 cine de X 2 + X 1. Donc 2 cos 2 = 1 5 . Comme 0 < 2 < , 5 2 5 2 on a cos 2 > 0 et cos 2 > 0. Donc cos 2 = 1+ 5 et sin 2 = 5 5 5 4 5 10+2 5 2 2 = 1 cos 5 4 Corrig de lexercice 26. e Posons P = X n+2 2X n+1 + X n nX 2 + 2nX n. On a P (1) = 1 2 + 1 n + 2n n = 0. P = (n + 2)X n+1 2(n + 1)X n + nX n1 2nX + 2n ; P (1) = n + 2 2(n + 1) + n 2n + 2n = 0 P = (n + 1)(n + 2)X n 2(n + 1)nX n1 + n(n 1)X n2 2n P (1) = (n + 1)(n + 2) 2(n + 1)n + n(n 1) 2n = n2 + 3n + 2 2n2 2n + n2 n 2n = 2 2n Si n = 1, alors P (1) = 0 et P = (X 1)3 . Si n > 1, alors P (1) = 0. Donc 1 est racine double de P . La division euclidienne de P par (X 1)2 , donne P = (X 1)2 (X n n) Les racines (X n n) sont n nk , o` les k sont les racines n-`mes de u e lunit, pour k = 0, . . . , n 1. e Corrig de lexercice 27. en k k k k 1 - On a P (X) P (a) = k=0 ak (X a ). Comme X a = k1 k2 k2 k1 (X a)(X +aX +. . .+a X +a ), il est clair que X a divise P (X)P (a) dans Z[X]. Do` il existe Q Z[X] tel que P (X)P (a) = u (X a)Q. Donc, si x Z est racine de P , alors P (a) = (x a)Q(a). Do` x a divise P (a). En particulier, pour a = 0, x divise P (0) = a0 . u

2 - Si P poss`de des racines enti`res, alors elles divisent 12. Donc e e appartiennent ` lensemble {1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 6, 6, 12, 12}. a21

On vrie que 2 et 3 sont racines de P . Ainsi P est divisible par e (X 2)(X + 3) = X 2 + X 6. La division euclidienne de P par X 2 + X 6 donne P = (X 2 + X 6)(X 4 + 3X 2 + 2) Par ailleurs, on a X 4 + 3X 2 + 2 = (X 2 + 1)(X 2 + 2), do` les factou risations : P = (X 2)(X + 3)(X i)(X + i)(X i 2)(X + i 2) dans C[X]. P = (X 2)(X + 3)(X 2 + 1)(X 2 + 2) dans R[X]. Corrig de lexercice 28. e 1 - A(j) = j 6 3j 4 8j 3 9j 2 6j 2 = 1 3j 8 9j 2 6j 2 = 9 9j 9j 2 = 0. A (X) = 6X 5 12X 3 24X 2 18X 6 et A (j) = 6j 2 12 24j 2 18j 6 = 18j 2 18j 18 = 0. 2 - Il en rsulte que j est une racine au moins double de A. Comme A e est un polynme rel, est aussi racine au moins double. Par consquent, o e j e A est divisible par (X j)2 (X 2 = ((X j)(X 2 = (X 2 +X +1)2 . j) j)) La division euclidienne de A par (X 2 + X + 1)2 donne A = (X 2 + X + 1)2 (X 2 2X 2) Les racines de X 2 2X 2 sont 1 = 1 + 3 et 2 = 1 3 et sont relles. e En conclusion A se factorise de la mani`re suivante : e A = (X j)2 (X 2 (X 1 )(X 2 ) dans C[X]. j) A = (X 2 + X + 1)2 (X 1 )(X 2 ) dans R[X]. Corrig de lexercice 29. e 1 - Soit C une racine de B. Puisque B(0) = 2 = 0, on a 1 1 1 1 1 1 = 0. Calculons B( ). On a B( ) = 2 4 5 3 + 4 2 5 + 2 = 1 1 (2 5 + 42 53 + 24 ) = 4 B() = 0. 4 2 - Si est une racine enti`re alors divise B(0) = 2. (voir exercice e 6). Donc {1, 1, 2, 2}. On vrie que B(2) = 3240+1610+2 = e 0.22

3 - On a 2 est racine de B et dapr`s 2, 1 est aussi racine de B. e 2 Il en dcoule que B est divisible par (X 2)(X 1 ), donc aussi par e 2 2(X 2)(X 1 ) = 2X 2 5X + 2. La division euclidienne donne 2 B = (2X 2 5X + 2)(X 2 + 1). On obtient les factorisations : B = 2(X 2)(X 1 )(X i)(X + i) dans C[X]. 2 B = 2(X 2)(X 1 )(X 2 + 1) dans R[X]. 2 Corrig de lexercice 30. e 1 - P (X) = X 6 + X 3 + 1 C[X] et = e On a P () = 6 + 3 + 1 = e4i 3 2i 9

.

+e

2i 3

+ 1 = j2 + j + 1 = 0

Soit C une racine de P . On a 6 + 3 + 1 = 0. Posons = 3 , alors 2 + + 1 = 0. Donc = j ou = o` j = 1 + i 23 . Donc j, u 2 3 = j ou 3 = j. On obtient = e2i + 2ki 9 3

, k = 0, 1, 2, ou = e

4i + 2ki 9 3

, k = 0, 1, 214i 9

Finalement les 6 racines de P sont : = e conjugus. e 2 - a- Posons = 2 cos 2 = + 1 . On a : 9

2i 9

, e

8i 9

, e

, et leurs

3 = 3 + 3 + 3 1 + 3 = 3 ( 6 + 3 4 + 3 2 + 1). = 3 ( 4 + 2 ). Donc 3 3 = 3 ( 6 + 1) = 1. Donc si on pose Q = X 3 3X + 1, alors Q() = 0.1 1 1 1 b - Q( 1 ) = ( 1 )3 3 1 + 1 = ( 1 )3 (1 1 3 ( 1 ) (1 3 32 + 6 + 1 3 + 32 3 ) =

3(1 )2 + (1 )3 ) = 1 ( 1 )3 (1 + 3 3 ) = 0.

1 1 c - Dapr`s b, 1 est aussi racine de Q. On a 1 = , sinon, e 2 + 1 = 0, ce qui absurde car est un nombre rel. Donc et e 1 sont deux racines distinctes. Soit u la troisi`me racine de Q, on a e 1 1 u Q = (X )(X 1 )(X u). On a Q(0) = 1 = 1 u, do` u = 1

Corrig de lexercice 31. e23

n k 1 - Soit P = k=0 (ak + bk i)X C[X], avec ak , bk R. Posons n n P1 = k=0 ak X k et P2 = k=0 bk X k , alors P (X) = P1 (X) + iP2 (X).

2 - Soit R racine de P . Alors 0 = P () = P1 ()+iP2 (). Puisque P1 () et P2 () sont des nombres rels, on a P1 () = P2 () = 0. e 3 - P = X 4 +4X 3 +6X 2 +5X +2+i(X 2 +3X +2) = P1 (X)+iP2 (X). Si R est racine de P , on a 2 + 3 + 2 = 0. Donc {1, 2}. On vrie que P1 (1) = P1 (2) = 0. Donc 1 et 2 sont racines e de P . La division euclidienne de P par X 2 + 3X + 2 donne P = (X 2 + 3X + 2)(X 2 + X + 1 + i). Le discriminant du polynme X 2 +X +1+i est gal ` = 144i = o e a 34i. On cherche dabord les racines carres de . Soit u = a+ib C e a, b R, tel que u2 = . Alors a2 b2 + 2abi = 3 4i. Dautre part on a | u |2 = a2 + b2 =| |= 32 + 42 = 5. Donc a2 = 1 et b2 = 4 et ab < 0. Ce qui donne a = 1 et b = 2 ou a = 1 et b = 2. Les racines du polynme X 2 + X + 1 + i sont donc i et i 1. Do` la factorisation o u P = (X + 1)(X + 2)(X + i)(X + 1 i) Corrig de lexercice 32. e 1 - Factorisons le polynme X 4 + 4 dans R[X]. o On a X 4 + 4 = X 4 + 4X 2 + 4 4X 2 = (X 2 + 2)2 4X 2 = (X 2 2X 2 + 2)(X 2 + 2X 2 + 2). Les polynmes (X 2 2X 2 + 2) et (X 2 + 2X 2 + 2) sont irrductibles o e dans R[X] car le descriminant 22 4.2 = 4 < 0. Donc la factorisation dans R[X] est : X 4 + 4 = (X 2 2X 2 + 2)(X 2 + 2X 2 + 2) Factorisons le polynme X 4 + 4 dans C[X]. o Les racines de (X 2 2X 2 + 2) sont 1 + i = et . Les racines de (X 2 + 2X 2 + 2) sont et . Donc la factorisation dans C[X] est : X 4 + 4 = (X )(X )(X + )(X + ) 24

2 - a. Soit Q le quotient et R le reste de la division euclidienne de P par X 4 +4. Le calcul donne : Q = X 2 4X +6 et R = 16X 2 +32X 32. b - Puisque P = Q (X 4 + 4) + R, si z C est une racine commune de P et X 4 + 4, alors R(z) = P (z) Q (z 4 + 4) = 0. Donc z est aussi racine de R = 16(X 2 2X + 2). i. e z = = 1 + i ou z = . Or dapr`s la question 1, le polynme X 2 2X + 2 divise X 4 + 4. Donc e o X 2 2X + 2 divise Q (X 4 + 4) + R = P . Do` et sont aussi racines u de P . c - On P = 6X 5 20X 4 + 24X 3 24X + 16 et P () = 6(4 4i) + 80 + 24(2 + 2i) 24(1 + i) + 16 = 0. P = 30X 4 80X 3 + 72X 2 24. et P () = 120 80(2 + 2i) + 72.2i 24 = 16 + 16i = 0 En conclusion, et sont deux racines doubles de P . d - Puisque et sont deux racines doubles de P . On a : (X )2 (X )2 = [(X )(X )]2 = (X 2 2X + 2)2 = X 4X 3 +8X 2 8X +4 divise P . Le quotient de la division euclidienne de P par (X 2 2X + 2)2 est X 2 2. On obtient alors les factorisations :4

Dans C[X], P = (X )2 (X )2 (X Dans R[X], P = (X 2 2X + 2)2 (X

2)(X +

2).

2)(X +

2).

25