c Christophe Bertault - MPSI Coniques

Exercice 1

Une hyperbole est dite quilatre si ses asymptotes sont orthogonales. Donner une condi-

tion ncessaire et suffisante sur lexcentricit dune hyperbole pour quelle soit quilatre.

Exercice 2

Soit E une ellipse dont on connat seulement les quatre sommets. Les deux sommets dugrand axe sont nots A et A et ceux du petit axe B et B.

1) Donner une rprsentation paramtrique de E dans un repre orthonormal directdans lequel E a pour quation son quation rduite.

2) En dduire une construction point par point de E la rgle et au compas partirdes cercles de diamtres

[AA

]et

[BB

].

Exercice 3

On connat un foyer F et les sommets A et A du grand axe dune conique C.1) Si C est une ellipse, dcrire une construction des sommets B et B du petit axe.2) Si C est une hyperbole, dcrire une construction de ses asymptotes.

Exercice 4

Dterminer une quation cartsienne dans le repre orthonormal direct(O, , ) de :

1) lellipse de centre (2, 1), de grand axe 4 et de petit axe 2, dont le grand axe estcolinaire au vecteur . Que vaut son excentricit ?

2) la parabole de sommet (0, 2) et de directrice passant par (0, 1) dirige par (1, 2).3) lhyperbole dexcentricit 3 et de foyers (1, 3) et (3, 1).

Exercice 5

Dcrire lensemble des points dquation polaire :

1) r =9

1 3 sin + 3 cos . 2) r =1

2 + sin . 3) r = 1 + tan2

2.

Exercice 6

On travaille dans un repre orthonormal direct(O, , ). Dterminer, pour chacune

delles, la nature de la conique dcrite, son excentricit, les coordonnes dun foyer et

une quation de la directrice associe.

1) a) 4x2 + y2 + 4x 2y 6 = 0. b) x2 y2 + 4x+ 2y + 3 = 0.c) 10x2+10x3y2+12y1 = 0. d) 27x216y218x64y12 = 0.

2) a) xy = 1. b) x2+xy+y21 = 0. c) x2+xy3+x2 = 0.d) 3x2+xy

3+2y2+14y4 = 0. e) x2+2xy+y222x+62y+6 = 0.

Exercice 7

Soit H une hyperbole de demi-petit axe a et de demi-grand axe b. Tous les calculs seronteffectus dans un repre orthonormal direct associ lquation rduite de H. On sedonne un point M = (x, y) H et on note H = (xH , yH) et H = (xH , yH) les projetsorthogonaux de M sur les asymptotes de H.

1) Montrer que : xH =a(ax+ by)

a2 + b2et calculer de mme yH , xH et yH .

2) En dduire lgalit : MH MH = a2b2

a2 + b2.

Exercice 8

Pour toute courbe C, on appelle courbe orthoptique de C lensemble des points par les-quels passent deux tangentes C orthogonales. Empiriquement, la courbe orthoptiquede C est lensemble des points depuis lesquels C est observe sous un angle droit.Soit P une parabole de paramtre p, de sommet S et de directrice D. On souhaite d-terminer la courbe orthoptique de P . Tous les calculs seront effectus dans le repreorthonormal direct associ lquation rduite de P .

1) Soit M0 = (x0, y0) P . A quelle condition sur y0 existe-t-il un point M1 P telque les tangentes P en M0 et M1 soient orthogonales ? Montrer dans ce cas queM1 est unique et calculer ses coordonnes en fonction de x0, y0 et p.

2) Soient M0 = (x0, y0) P avec y0 6= 0 et M1 le point trouv en 1) associ M0.Calculer les coordonnes du point dintersection des tangentes P en M0 et M1en fonction de x0, y0 et p.

3) Conclure.

Exercice 9

SoitH une hyperbole quilatre i.e. dont les asymptotes sont orthogonales, cf. exercice1 de demi-axe a et de centre .

1) Soit(,I ,J)un repre orthonormal direct construit sur les asymptotes de H.

Dterminer une quation cartsienne de H dans ce repre. Tous les calculs serontdsormais effectus dans ce repre.

2) Soient A,B,C H distincts. On note H lorthocentre du triangle ABC. Montrerque H H.

Exercice 10

Soient P et P deux plans non orthogonaux et C un cercle inclus dans P , de centre et de rayon R. On note le projet orthogonal de sur P , n un vecteur unitaireorthogonal P , k un vecteur unitaire orthogonal P et un vecteur unitaire quidirige la fois P et P . Posant = k , on effectuera tous les calculs dans le repreorthonormal direct

(, , ,k ).

1) Que peut-on dire des coordonnes de dans(, , ) ?

2) Montrer que pour un certain R \ Z : n = cos + sin k .3) Dterminer une quation de P .4) Dterminer une quation de C.5) Dterminer enfin une quation de limage C de C par la projection orthogonalesur P . Que peut-on dire de C ?