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Exercice sur la programmation linéaire Plaques à découper
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Youssef 1
Exercice sur la programmation linéaireExercice :
Une usine à reçu des plaques de métal d’une largeur de 200cm et
d’une longueur de 500cm.
Il faut en fabriquer au moins 30 plaques de largeur de 110cm, 40
plaques de largeur 75cm et 15 plaques de largeur 60cm.
Donner le modèle mathématique pour que les déchets soient le pluspetits possible.
Solution
Plaques
110cm 75cm 60cm
110cm 75cm 60cm 110cm 75cm 60cm 110cm 75cm 60cm
15cm
déchets
30cmdéchets
15cmdéchets
50cmdéchets
60cm 30cmdéchets
60cm 60cm
5cmdéchets
5cmdéchets
20cmdéchets
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Youssef 2
Ainsi il y a 5 façons pour fabriquer les plaques :
1er
: 1 plaque 110cm et 1 plaque 75cm avec 15cm de déchets.
2ème
: 1 plaque 110cm et 1 plaque 60cm avec 30cm de déchets.
3ème
: 2 plaques 75cm avec 50cm de déchets.
4ème
: 1 plaque 75cm et 2 plaques 60cm avec 5cm de déchets.
5ème
: 3 plaques 60cm avec 20cm de déchets.
Définition des variables :
X1 : nombre de plaques à découper avec la 1ère
façon.
X2 : nombre de plaques à découper avec la 2ème
façon.
X3 : nombre de plaques à découper avec la 3ème
façon.
X4 : nombre de plaques à découper avec la 4ème
façon.X5 : nombre de plaques à découper avec la 5
èmefaçon.
Programme primal
Min {D = 15x1 +30x2 +50x3 +5x4 +20x5}
x1+ x2 ≥30
S C x1 + 2x3 +x4 ≥40
x3 + 2x4 +3x5 ≥15
x1 ,x2 ,x3 ,x4 ,x5 ≥0
Programme dual
Max {Z = 30a +40b +15c}
a + b ≤ 15
a ≤ 30
S C 2b + c ≤ 50
b + 2c ≤ 5
3c ≤ 20
a, b, c ≥ 0
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Youssef 3
Tableau 1
a b c * * * * * B
e1 1 1 0 1 0 0 0 0 15
e2 1 0 0 0 1 0 0 0 30
e3 0 2 1 0 0 1 0 0 50
e4 0 1 2 0 0 0 1 0 5
e5 0 0 3 0 0 0 0 1 20
Z 30 40 15 0 0 0 0 0 0
b entre ; R= B/b ⇒ 5 est le plus petit donc e4 sort
Tableau 2
a * c * * * e4 * B
L1-L4e1 1 0 -2 1 0 0 -1 0 10
L2e2 1 0 0 0 1 0 0 0 30
L3-
2L4 e3 0 0 -3 0 0 1 -2 0 40
L4b 0 1 2 0 0 0 1 0 5
L5e5 0 0 3 0 0 0 0 1 20
L6-
40L4 Z 30 0 -65 0 0 0 -40 0 -200
a entre ; R= B/a ⇒ 10 est le plus petit donc e1 sort
Tableau 3
* * c e1 * * e4 * B
L1a 1 0 -2 1 0 0 -1 0 10
L2-L1e2 0 20
L3
e3 0 40L4
b 0 5
L5e5 0 20
L6-
30L1 Z 0 0 -5 -30 0 0 -10 0 -500
Ainsi : Z*
= D*
= 500 ; x1*
= 30 ; x2*
= x3*
= 0 ; x4*
= 10 ; x5*
= 0