Sup Galilee - Universite Paris 13 OC

MACS3 27 janvier 2009

Examen

Duree : 3 heures

Notes de cours et de TD autorisees

Exercice 1

On envisage le programme lineaire en nombres entiers (P) suivant :

max 2x1 + x2

s.c. x1 + x2 ≤ 2 (1)x1 − x2 ≤ 1 (2)

x1, x2 ≥ 0

1. Resoudre (P) par l’algorithme primal du simplexe. On donne pour indication le tableauoptimal :

Base t T 1 T 2 T 3 T 4

A2 1/2 0 1 1/2 −1/2

A1 3/2 1 0 1/2 1/2

−7/2 0 0 −3/2 −1/2

ou x3 et x4 sont les variables d’ecart respectives des contraintes (1) et (2).

2. Soit (D) le dual de (P) :

min 2u1 + u2

s.c. u1 + u2 ≥ 2u1 − u2 ≥ 1u1, u2 ≥ 0

Quelle est sa valeur optimale ?

3. Resoudre (D) par l’algorithme dual du simplexe.

4. Representer graphiquement les domaines et les solutions optimales de (P) et de (D), ainsique les cheminements associes a leur resolution.

On envisage desormais le programme lineaire en variables entieres (P ) suivant :

max 2x1 + x2

s.c. x1 + x2 ≤ 2 (1)x1 − x2 ≤ 1 (2)x1, x2 ∈ N

5. Faire les resolutions graphiques de (P) et de (PL). Preciser les valeurs des problemeset les solutions optimales x∗ de (P ) et xPL de (PL). Dessiner egalement le domaineConv(Dom(P )).

6. Resoudre (P ) par l’algorithme de Branch-and-Bound en n’utilisant que les resolutionsgraphiques des programmes lineaires en continu envisages.

Exercice 2

On envisage le programme lineaire en nombres entiers (P) suivant :

maxx1 + 19x2

s.c. x1 + 20x2 ≤ 50 (1)x1 + x2 ≤ 20 (2)

x1, x2 ∈ N

dont on suppose connu le tableau optimal du programme lineaire en variables continues associe(PL) :

Base t T 1 T 2 T 3 T 4

A2 30/19 0 1 1/19 −1/19

A1 350/19 1 0 −1/19 20/19

−920/19 0 0 −18/19 −1/19

ou x3 et x4 sont les variables d’ecart respectives des contraintes (1) et (2).

1. Resolutions graphiques

Faire les resolutions graphiques de (P) et de (PL).

1.1.

Preciser les valeurs des problemes et les solutions optimales x∗ de (P) et xPL de (PL).

1.2.

Specifier egalement les droites definissant le domaine Conv(Dom(P)).

1.3.

Donner les points entiers realisables les plus proches de xPL. Quel est le meilleur de cespoints au sens de l’objectif ? Quel est l’ecart entre v(PL) et cette valeur ?

2. Dualite

Utiliser l’interpretation geometrique pour

2.1.

montrer que les valeurs– du dual lagrangien (L1) obtenu en dualisant la contrainte (1)– du dual lagrangien (L2) obtenu en dualisant la contrainte (2)– du dual (DL) de la decomposition lagrangienne

sont identiques a v(PL).

2.2.

donner la valeur du dual agrege (S).

Exercice 3

Etant donne le probleme du sac-a-dos (K) a quatre variables bivalentes :max 14x1 + 4x2 + 3x3 + 8x4

s.c. 15x1 + 4x2 + 2x3 + 4x4 ≤ 23xj ∈ {0, 1} j = 1, . . . , 4

1.

Resoudre (K) par programmation dynamique en gerant des ensembles de triplets(

∑

j∈J aj,∑

j∈J cj , J)

non domines pour determiner la valeur de (K) et sa solution optimale et realisable.

2.

Quelle aurait ete la valeur de (K) si le second membre avait ete egal a 20 ?

3.

Appliquer l’algorithme glouton dans l’ordre decroissant descj

aj, j = 1, . . . , 4, pour determiner

une solution realisable x de (K).

4.

Appliquer une recherche de type Tabou avec x pour solution initiale jusqu’a obtenir la valeurv(K) trouvee a la question 1.

Exercice 4

Etant donnee une grille carree de 81 cases decoupee en 9 carres de 9 cases, le jeu du Sudokuconsiste a completer cette grille partiellement remplie avec des chiffres allant de 1 a 9 selon lesregles suivantes : chaque chiffre ne doit etre utilise qu’une seule fois par ligne, par colonne et parcarre de 9 cases.En utilisant les variables binaires suivantes :xijk = 1 si le chiffre k est dans la case (i, j)

0 sinon.transcrire ces regles sous la forme d’un ensemble de contraintes qui doivent etre satisfaites pourobtenir une solution au jeu du Sudoku.