9Exemples d’utilisation d’un logiciel

de calcul formel

67Le

ço

nn

°

Niveau Lycée - BTS

Prérequis

notions de programmation, notions d’arithmétique (PGCD), notions d’analyse(fonctions, croissance), suites, équations différentielles, lois normales, notions deprobabilités (calcul de probabilités et loi forte des grands nombres), calcul matri-ciel, résolution de systèmes d’équations

Références [50], [170], [177], [178]

On utilise principalement un logiciel de calcul formel pour vérifier des résultats ou pour fairedécouvrir de nouvelles notions aux élèves.

Dans cette leçon nous allons utiliser le logiciel de calcul formel XCAS (disponible ici : http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/giac_fr.html.)

Bien entendu, il existe d’autres logiciels de calcul formel comme MAPLE, MAXIMA ou encoreMATHEMATICA.

67.1 Arithmétique et algèbre linéaire67.1.1 Introduction du PGCD en 3e

Voici une activité donnée à des élèves de 3e qui permet de découvrir le PGCD. Comme l’utilisa-tion de Xcas n’est pas recommandé en classe de collège, il y a des indications pour taper les bonnescommandes.

1. Trouver tous les diviseurs de 145 (on pourra utiliser la commande L:=divisors(145) quicrée une liste L qui contient tous les diviseurs de 145).

2. Trouver tous les diviseurs de 464 (on pourra utiliser la commande M:=divisors(464) quicrée une liste M qui contient tous les diviseurs de 464).

3. Quels sont les éléments communs de L et deM ? (pour obtenir les éléments communs de deuxlistes, on peut taper la commande I := L intersect M) ?

4. Quel est le plus grand élément de la liste I ? (pour obtenir le plus grand élément d’une liste I ,on peut taper la commande max(I)).

5. On appelle PGCD de deux entiers naturels (Plus grand commun diviseur), le plus grand di-viseur communs de ces deux nombres. Quel est le PGCD de 145 et 464 ? (on peut obtenir lePGCD de a et b, on peut taper la commande gcd(a,b)).

6. Choisir deux entiers naturels non nuls. Quel est leur PGCD ?

Dv Éléments de réponses sur l’activité

1. L := divisors(145)[1, 5, 29, 145]

2. M := divisors(464)[1, 2, 4, 8, 16, 29, 58, 116, 232, 464]

10 Leçon n°67 • Exemples d’utilisation d’un logiciel de calcul formel

3. I := L intersect M[1, 29]

4. max(I)29

5. gcd(145,464)29

6. gcd(27,125)1

67.1.2 Egalité de BézoutDéfinition 67.1 — Egalité de Bézout. On appelle égalité de Bézout, une équation du type :

ax+ by = PGCD(a, b)

avec a et b deux entiers naturels non nuls et x et y deux entiers inconnus.

Dv Théorie sur l’égalité de Bézout

Théorème 67.2 — Bachet-Bézout. Étant donnés deux entiers relatifs a et b, si d est le PGCD dea et b alors il existe deux entiers relatifs x et y tels que ax+ by = d.

R 67.3 a et b sont premiers entre eux si et seulement si deux entiers relatifs x et y tels que ax+ by = 1.

Théorème 67.4 — Résolution des équations diophantiennes. On se donne une équation diophan-tienne :

ax+ by = c

1. Si δ = PGCD(a, b) - c alors l’équation n’a pas de solution.

2. Si δ | c alors les solutions de cette équation sont les couples d’entiers relatifs de la forme :(U + b

δ× k, V − a

δ× k

)

où k est un entier relatif et (U, V ) les solutions particulières de l’égalité ax+ by = c.

On souhaite résoudre l’égalité de Bézout suivante : 45x+ 75y = 15. Xcas permet de donner unesolution particulière de l’égalité de Bézout grâce à la commande bezout_entiers.

Dv Résolution de l’égalité de Bézout 45x + 75y = 15On remarque que PGCD(45, 75) = 15 grâce à l’algorithme d’Euclide. Donc l’équation diophan-tienne 45x+ 75y = 15 est équivalente à 3x+ 5y = 1. Une solution particulière peut être donnéegrâce à Xcas :

67.1 Arithmétique et algèbre linéaire 11

bezout_entiers(45,75)[2,-1,15]

(x = 2, y = −1),

Ainsi :3(x− 2) + 5(y + 1) = 0.

On en déduit que :3(2− x) = 5(y + 1)

Les nombres 3 et 5 étant premiers, 3 divise (y + 1) et 5 divise (2− x). Il existe donc deux entiersk et k′ tels que :

2− x = 5k et y + 1 = 3k′

Si on remplace dans la précédente équation :

3× 5k = 5× 3k′,

ceci montre que k = k′ et donc :

2− x = 5k et y + 1 = 3k,

ou encore :x = −5k + 2 et y = 3k − 1.

Réciproquement, on voit que :

3(−5k + 2) + 5(3k − 1) = −15k + 6 + 15k − 5 = 1.

Les solutions sont donc exactement les couples :

(x = −5k + 2; y = 3k − 1).

67.1.3 Résolution de systèmes d’équationsOn souhaite résoudre le système d’équations suivant :

x+ y + z = 1503x+ 2y − z = 100−2x+ 3y + 2z = 300

On peut résoudre ce système d’équations grâce à la méthode du Pivot de Gauss. Nous allons danscette leçon, utiliser le logiciel XCAS pour résoudre ce système linéaire par deux méthodes :

1. résolution directe du système linéaire

resoudre_systeme_lineaire([x+y+z=150,3*x+2*y-z=100,-2*x+3*y+2*z=300],[x,y,z])(

125/8 125/2 575/8)

2. par le calcul matriciel

A := [[1,1,1],[3,2,-1],[-2,3,2]]

12 Leçon n°67 • Exemples d’utilisation d’un logiciel de calcul formel

1 1 13 2 −1−2 3 2

det(A)16

inv(A)

716

116 − 3

16− 1

414

1413

16 − 516 − 1

16

B := [150,100,300][150,100,300]

inv(A)*B[125/8,125/2,575/8]

67.2 Analyse et probabilité

67.2.1 Suites et convergence

Soit la suite (un) définie sur N par :

{u0 = 1un+1 =

√1 + un

Calculer les 5 premiers termes de la suite ? Quelle est la limite de (un) quand n→ +∞ ?On donne un petit programme pour obtenir les termes de la suite (un) :

u(n):={si n==0 alors 1;sinon sqrt(1+u(n-1));fsi}:;

seq([u(k),evalf(u(k))],k=0..4)

[1, 1.0], [√

2, 1.41421356237], [√

1 +√

2, 1.55377397403], [√

1 +√

1 +√

2, 1.59805318248],

[√

1 +√

1 +√

1 +√

2, 1.61184775413]

La suite semble converger vers :

u(1000)1.61803398875

qui correspond au nombre d’or :

ϕ = 1 +√

52 ≈ 1, 618.

67.2.2 Étude d’une fonction

Utilisation de Xcas pour étudier les fonctions

67.2 Analyse et probabilité 13

� Exercice 67.5 À tout nombre réel m, on associe la fonction fm définie sur R \ {1} par :

fm(x) = x2 +m

x− 1 .

1. (a) Déterminer la fonction dérivée de fm.

(b) Suivant les valeurs de m, dresser le tableau de variation de fm.

2. Pour quelles valeurs de m, la fonction fm admet-elle un maximum et un minimum locaux ?

�

Dv

• Solution —

f(m,x) := (x^2+m)/(x-1)

(m,x)→ x2 +m

x− 1

1. (a)

diff(f(m,x),x)

2 ∗ xx− 1 −

x2 +m

(x− 1)2

(b) Si m < 1 :

resoudre(2*x/(x-1)-(x^2-2)/(x-1)^2>0)[x < 1, x > 1]

la dérivée de fm est toujours positive donc f est strictement croissante sur R \ {1}.Si m = −1 :

resoudre(2*x/(x-1)-(x^2-1)/(x-1)^2>0)Inéquation est constante par rapport à x

[x]

Si m > −1 :

resoudre(2*x/(x-1)-(x^2)/(x-1)^2>0) // m=0[x < 0, x > 2]

resoudre(2*x/(x-1)-(x^2+2)/(x-1)^2>0) // m=2

[x < (−(√

3) + 1), x > (√

3 + 1)]

La fonction dérivée fm est négative sur l’intervalle I = [−√m + 1 ,√m + 1] et

positive sur J = R \ I .(Faire les tableaux de variations en exercice).Pour tracer la fonction f0 dans un repère orthonormé (O, #»ı , #» ), on peut taper :

plot(f(0,x),x)

14 Leçon n°67 • Exemples d’utilisation d’un logiciel de calcul formel

2. fm admet un maximum et un minimum locaux quand m ≥ −1 atteint en x = −√m+ 1et x =

√m+ 1.

(-sqrt(m)+1,f(-sqrt(m)+1,m))

(−(√m) + 1, m

2 − (√m) + 1

m− 1

)

(sqrt(m)+1,f(sqrt(m)+1,m))

(√m+ 1, m

2 +√m+ 1

m− 1

)

•

67.2.3 Résolution d’équations différentiellesRésoudre les équations différentielles suivantes sur le logiciel Xcas :1. {

y′ + y ∗ cos(t) = 12 sin(2t)

y(0) = 12.

y′′ − 9y = 6e−3x

Dv

• Solution —

1.

deSolve([y’+y*cos(t)=sin(2*t)/2,y(0)=1],y)

sin(2 ∗ t)− exp(−x∗cos(t))∗cos(t)∗(−2∗cos(t)+sin(2∗t))cos(t)

2 ∗ cos(t)

2.

deSolve(y’’-9y=6*exp(-3x),y)

− exp(−3 ∗ x)− 6 ∗ x ∗ exp(−3 ∗ x)6 + c0 ∗ exp(3 ∗ x) + c1 ∗ exp(−3 ∗ x)

•

67.2.4 ProbabiltésSimuler un lancer de pièces ou un lancer de dés

Pour simuler un lancer de

67.2 Analyse et probabilité 15

— pièces (2 faces : pile (0) ou face (1)) :

rand(1)0

— dès (6 faces : (1, 2, 3, 4, 5, 6)) :

rand(6) + 15

1. Calculer la fréquence d’apparition du 3 dans un lancer de dés.

2. On considère une pièce biaisée telle que la face pile à 1 chance sur 5 de tomber et la face« face » à 4 chances sur 5 de tomber.Donner un programme qui permet de simuler ce lancer.

Dv

• Solution —

1.

freq3(n) fonctionlocal k,r,nb;

k := 1;nb := 0;tantque k <> n fairer := rand(6)+1;si r = 3 alorsnb := nb + 1;

fsik := k+1;

ftantqueretourne (nb/n);

ffonction:;

Pour obtenir la fréquence d’apparition de 3, il faut exécuter le programme pour de grandesvaleurs de n (résultat de la loi forte des grandes nombres).

freq3(20000)Temps mis pour l’évaluation: 0.68

8315000

evalf(831/5000)0.1662

proche de 16 ≈ 0, 1666.

2. Le programme ci-dessous permet de simuler un lancer de cette pièce biaisé.

lancerpiecebiaise() fonctionlocal k;k := rand(5)+1si k = 1 alors

16 Leçon n°67 • Exemples d’utilisation d’un logiciel de calcul formel

retourne("pile")sinonretourne("face")fsi

ffonction:;

lancerpiecebiaise()face

•

Lois normales

Lorsqu’une variable aléatoire X suit une loi normale centrée réduite, on a :

P(X <= x) = normal_cdf(x)

et

P(x <= X <= y) = normal_cdf(x,y)

� Exercice 67.6 À l’aide de Xcas, calculer P (3400 ≤ X ≤ 4000) si X ∼ N(< 3700, 182). �

Dv

• Démonstration — On centre la variable aléatoire :

P (3400 ≤ X ≤ 4000) = P

(3400− 3700

182 ≤ X − 3700182 ≤ 4000− 3700

182

).

Soit T = X−3700182 ∼ N(0, 1), donc :

P (3400 ≤ X ≤ 4000) = P

(3400− 3700

182 ≤ T ≤ 4000− 3700182

)= P

(−300

182 ≤ T ≤300182

).

On utilise ensuite la propriété suivante P (−a ≤ T ≤ a) = 2Φ(a)− 1.

P (3400 ≤ X ≤ 4000) = 2Φ(

300182

)− 1.

On calcule Φ( 300

182)

sur Xcas :

evalf(normal_cdf(300/182))

0.950359734043

et donc :P (3400 ≤ X ≤ 4000) ≈ 2× 0, 95− 1 ≈ 0, 9.

•

67.3 Algorithmes 17

67.3 Algorithmes67.3.1 Algorithme d’Euclide

Soient a et b deux entiers relatifs. L’algorithme d’Euclide permet de calculer le plus grand commundiviseur des entiers a et b.

R 67.7 Puisque l’algorithme a pour objet le calcul d’un PGCD, il est possible de se restreindre aux entiers positifs,un PGCD de deux entiers relatifs étant égal au PGCD de leurs valeurs absolues.

Description de l’algorithme.— Le cas où a et b est nul est trivial car PGCD(a, 0) = a.— On définit une suite (an)n∈N par récurrence telle que a0 = a et a1 = b puis tant que an+1

n’est pas nul, an+2 est défini comme le reste de la division euclidienne de an par an+1.On commence donc par calculer le reste de la division de a par b, qu’on note r ; puis onremplace a par b, puis b par r et on réapplique le procédé depuis le début.On obtient ainsi une suite, qui vaut 0 à un certain rang ; le PGCD cherché est le terme précé-dent de la suite.

Dv

• Démonstration — On montre que l’algorithme s’arrête à un moment donné.La définition même de la suite (an) par division euclidienne montre que, pour tout n tel quean+1 est non nul, il existe un entier qn+2 tel que an = qn+2 × an+1 + an+2 avec de plus0 ≤ an+2 < an+1 pour tout n tel que an+1 non nul. La suite d’entiers naturels (an) est doncstrictement décroissante (tant qu’elle est non nulle) à partir du rang 1, et donc vaut 0 à uncertain rang. L’existence d’un dernier reste non nul est ainsi établie. •

� Exemple 67.8 On calcule, par exemple, le PGCD de 1071 et de 1029 à l’aide de l’algorithmed’Euclide :

1071 = 1029× 1 + 421029 = 42× 24 + 21

42 = 21× 2 + 0

Il faut prendre le dernier reste avant le zéro donc PGCD(1071, 1029) = 21. �

Voici l’algorithme implémenté sur Xcas :

pgcdeuclide(a,b):={local r;tantque b <> 0 faire

r := irem(a,b)a := bb := r

ftantqueretourne(a)

}

pgcdeuclide(1071,1029)

21

18 Leçon n°67 • Exemples d’utilisation d’un logiciel de calcul formel

67.3.2 DichotomieProblème

Soient I = [a, b] un intervalle de R et f : I → R une fonction continue telle que f(a) < f(b). Onveut calculer m tel que f(m) = 0. Pour cela, on construit deux suites (an) et (bn) convergentes versm.

Principe— On pose a0 = a et b0 = b.— Soit m0 le milieu de [a, b] :

— Si f(m0) > 0 alors on pose a1 = a0 et b1 = m0— Sinon on pose a1 = m0 et b1 = b0.

— Ainsi de suite, si on veut construire le ke terme de la suite, on pose mk−1 le milieu de[ak−1, bk−1] :— Si f(mk−1) > 0 alors ak = ak−1 et bk = mk−1— Sinon on pose ak = mk−1 et bk = bk−1.

L’algorithme sur Xcas

dicho(F,p,a,b):={local aa,bb,k,f;aa:=a;bb:=b;epsilon:=1e-100;f:=unapply(F,x);k:=0;tantque evalf(bb-aa,p)>10^(-p) fairesi sign(evalf(f((bb+aa)/2),p))==sign(evalf(f(bb),p))alors bb:=evalf((aa+bb)/2,p);sinon aa:=evalf((aa+bb)/2,p);k:=k+1;fsi;ftantque;retourne evalf((bb+aa)/2,p)+" est la solution trouvée après " +k+ " itérations";}:;

dicho(x^4-x^2+x-4,5,0,5)1.47198 est la solution trouvée après 11 itérations

et sa version récursive :

dicho_rec(f,a,b,eps,compteur):={si evalf(b-a)<eps alors 0.5*(b+a),compteur+1

sinon si f(a)*f(0.5*(b+a))>0alors dicho_rec(f,0.5*(b+a),b,eps,compteur+1)sinon dicho_rec(f,a,0.5*(b+a),eps,compteur+1)fsi

fsi}:;

dicho_rec(x->x^4-x^2+x-4,0,5,10^(-6),0)(1.47198408842,24)

67.3 Algorithmes 19

Le théorème des valeurs intermédiairesThéorème 67.9 — Théorème des valeurs intermédiaires. Soient I un intervalle, a et b dans I tels quea < b. Soit f une application continue sur l’intervalle I . Soit λ, un réel compris entre f(a) et f(b).Alors il existe (au moins) un réel c dans [a , b] tel que f(c) = λ.

Dv

• Démonstration du théorème 67.9 — Supposons f(a) < f(b). Nous allons construire deuxsuites adjacentes (an)n∈N∗ et (bn)n∈N∗ par l’algorithme suivant :— Si le milieum de l’intervalle [a , b] est tel que f(m) ≥ m alors on pose a1 = a et b1 = m.— Sinon, on pose a1 = m et b1 = b.On recommence le découpage :— Si le milieu m de l’intervalle [a1 , b1] est tel que f(m) ≥ λ alors on pose a2 = a1 et

b2 = m.— Sinon, on pose a2 = m et b2 = b1.On a ainsi :

a ≤ a1 ≤ a2 ≤ b2 ≤ b1 ≤ b et f(a2) ≤ λ ≤ f(b2).

a

f(a)

b

f(b)

?

λ

Cf

b1a1 b1b2?

En réitérant le procédé, on construit ainsi une suite de segments emboîtés a :

[a , b] ⊃ [a1 , b1] ⊃ · · · ⊃ [an , bn] ⊃ · · · .

De plus, par construction, la longueur de [an , bn] est b−a2n . Les segments [an , bn] ont donc

des longueurs qui tendent vers 0. Les suites (an)n∈N∗ et (bn)n∈N∗ sont donc adjacentes.Notons c leur limite commune (ce réel c est dans l’intervalle [a , b]). Montrons que f(c) = λ.On a, pour tout n ∈ N∗ :

f(an) ≤ λ ≤ f(bn)

et par passage à la limite :

limn→+∞

f(an)λ ≤ limn→+∞

f(bn).

20 Leçon n°67 • Exemples d’utilisation d’un logiciel de calcul formel

Or, f est continue en c donc :f(c) ≤ λ ≤ f(c)

et ainsi f(c) = λ. On a bien montré qu’il existe un réel c dans [a , b] tel que f(c) = λ. •

a. Il s’agit d’une méthode de dichotomie.

R 67.10

1. Le théorème des valeurs intermédiaires nous dit que l’équation f(x) = λ (f(a) < λ < f(b)) admet aumoins une solution dans [a , b].

2. L’hypothèse de continuité est indispensable dans le théorème. Essayer d’applique le théorème desvaleurs intermédiaires à la fonction « partie entière » avec a = 0, b = 1 et λ = 1

2 . . .

a

f(a)

b

f(b)

c

λ

Cf

FIGURE 67.1 – Cas d’une fonction monotone

a

f(a)

b

f(b)

c

λ

Cf

FIGURE 67.2 – Cas d’une fonction non monotone

� Exemple 67.11 Tout polynôme de polynôme P (à coefficients réels) de degré impair admet (aumoins) une racine réelle. En effet, comme le degré de P est impair, on a :

limx→−∞

P (x) = −∞ et limx→+∞

P (x) = +∞.

67.3 Algorithmes 21

En conséquence, il existe un réel a ∈ R tel que pour tout x < a, on ait P (x) < 0 et un réel b ∈ R telque pour tout x > b, on ait P (x) > 0. Comme P est une fonction continue, le théorème des valeursintermédiaires permet d’affirmer l’existence d’un réel c ∈ ]a , b[ tel que P (c) = 0. �

R 67.12 Le théorème des valeurs intermédiaires n’admet pas de réciproque. Une fonction f peut très bien vérifierla propriété des valeurs intermédiaires sans être continue. Considérer par exemple la fonction f définie surI = R par :

f(x) ={

sin 1x si x 6= 0

x0 si x = 0où x0 ∈ [−1 , 1].

On peut montrer (en exercice) que la fonction f est non continue en 0 et vérifie pourtant la propriété desvaleurs intermédiaires. En effet, soient a et b deux réels avec a < b.— Si a et b sont non nuls et de même signe, alors c’est immédiat (puisque dans ce cas f est continue sur

[a , b]).— Si a = 0 (et b > 0) alors on prend un réel λ compris entre f(a) = x0 et f(b). Comme λ ∈ [−1 , 1], on

peut toujours trouver un réel X ≥ 1b tel que sinX = λ. En posant x = 1

X , il vient bien f(x) = λ avecx ∈ [a , b].

— On raisonne de même si on a un intervalle [a , 0] ou [a , b] lorsqu’il contient 0.

C’est plus, c’est moins !L’utilisateur du programme choisit un nombre au hasard entre 1 et 100. Donner un algorithme qui

permet à l’ordinateur de détecter le nombre choisi par l’utilisateur.Pour cela, on va utiliser la méthode de dichotomie.

plusmoins(n) fonctionlocal a,b,m;a := 0;b := 100;m := (a+b)/2;tantque m <> n faire

si m < n alorsa := m+1;m := floor((a+b)/2)

sinonb := m-1;m := floor((a+b)/2)fsi

ftantqueretourne(m)

ffonction:;

plusmoins(80)

80

22 Leçon n°67 • Exemples d’utilisation d’un logiciel de calcul formel

Bibliographie

[1] Problème des sept ponts de Königsberg, Wikipédia, l’encyclopédie libre.

[2] C. LE BOT, Théorie des graphes, 2006, http://blog.christophelebot.fr/wp-content/uploads/2007/03/theorie_graphes.pdf.

[3] Coloration des graphes, Apprendre-en-ligne, http://www.apprendre-en-ligne.net/graphes-ancien/coloration/sommets.html

[4] O. GARET, Exemples de problèmes de graphes, http://iecl.univ-lorraine.fr/~Olivier.Garet/cours/graphes/graphes-documents_d_accompagnement.pdf.

[5] E. SIGWARD & al., Odyssée Mathématiques Terminale ES/L, Hatier, 2012.

[6] Graphes probabilistes, Terminale ES spécialité. http://mathadoctes.free.fr/TES/graphe/f4_graphe.PDF

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[8] P. RIBEREAU, Cours 5 Probabilités : Notion, probas conditionnelles et indépendance, URL :http://www.math.univ-montp2.fr/

[9] P. DUVAL, Probabilités, TS. URL : http://lcs.werne.lyc14.ac-caen.fr/~duvalp

[10] G. COSTANTINI, Probabilités : Généralités, conditionnement, indépendance, Cours de Pre-mière S. URL : http://bacamaths.net.

[11] M. LENZEN, Leçon no 3 : Coefficients binomiaux, dénombrement des combinaisons, formuledu binôme. Applications., 2011, URL : http://www.capes-de-maths.com/index.php?page=leconsNEW

[12] G. CONNAN, Une année de mathématiques en Terminale S, Ch. 14, 2009-2010, URL : http://tehessin.tuxfamily.org

[13] G. COSTANTINI, Loi binomiale, URL : http://bacamaths.net

[14] C. SUQUET, Intégration et Probabilités Elémentaires, 2009-2010. URL : http://math.univ-lille1.fr/~ipeis/

[15] L. LUBRANO & al., Mathématiques, BTS Industriels - Groupement B et C, Dunod, 2011.

[16] G. COSTANTINI, Lois de probabilités continues. URL : http://bacamaths.net.

[17] J.-P. GOULARD, Lois de probabilités continues, TS, 2014-2015.http://blog.crdp-versailles.fr/jpgoualard/public/TS-2014-2015-cours-loiscontinues.pdf.

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[19] Loi uniforme sur [a; b], IREM de Toulouse. URL : http://www.irem.ups-tlse.fr/spip/IMG/pdf_LOI_UNIFORME.pdf

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