Exemples

= 15+6 = 21

Soit ’= 21 / gcd(14,21) = 3

Exemples

= 5+6 = 11

Soit ’= 11 / gcd(11,11) = 1

Applications Quasi-Affines

Definition : Un pavé d’ordre 2 est l’ensemble des points dont l’image par l’AQA appartient au pavé d’ordre 1 pour l’indice i,j

Il y a ’2 pavés distincts à l’ordre 2

Exemples

= 1+1 = 2

Soit ’= 2 / gcd(2,3) = 2 4 paves à l’ordre 2

Exemples

= 1+1 = 2

Soit ’= 2 / gcd(2,3) = 28 pavés différents à l’ordre 3

Exemples

Ordre 1 Ordre 2

Ordre 3 Ordre 4

Ordre 5Ordre 7

Applications Quasi-Affines

Definition : application contractante

Une application affine est dite contractante pour une constante de Lipschitz s<1 pour tout vecteur x,y nous avons

||f(x)-f(y)|| <s||x-y|| avec ||.|| la norme Euclidienne.

Théorème: une application affine f qui est contractante a un unique point fixe tel que f()=

Applications Quasi-Affines

Propriété : AQA contractante

Si l’application affine associée à une AQA F est strictement contractante alors F est aussi contractante en-dehors de la boule de rayon

Dynamique

Trajectoire du point (10,0)

La dynamique de l’AQA est définie par la suite Xn = F(Xn-1)

Dynamique

Bassin attracteur : un bassin attracteur d’un cycle limite est la réunion de tous les arbres attachés au cycle.

Z2 est décomposée en bassin d’attracteur

Dynamique

• Cycle Limite : une suite {Pn} de longeur n telle que F(Pi)=Pi+1 pour i<n, et F(Pn)=P1

• Racine : un point d’un cycle limite. Une racine non triviale est reliée à un arbre non limitée à sa racine.

• Arbre : Pour une racine R appartenant à un cycle limite C, un arbre est l’ensemble des points P pour lequel il exist n>0 tel que Fn (P)=R et Fn-1 (P) C.

Dynamique

•Point fixe : Un point fixe pour une AQA P est un 1-cycle

• Arbre isolé : Arbre d’un point fixe

• Cycle isolé : Un cycle limite avec des racines toutes triviales.

• Feuille : point P tel que F-1(P) =

Dynamique

• a 1 unique point fixe : (0,0)

Pas d’autres cycle limite.

• a 2 points fixes : (0,0) et (0,-1)

• Pas d’autres cycles limites.

•

a 5 points fixes :

(0,0);(-1,-1);(0,-1);(1,-1);(0,-2)

Dynamique

•

a 32768 points fixes.

• a 1043 3-cycles et l’origine comme

point fixe

Dynamique

Dynamique

Autour de l’origine il y a un 3-cycle, 5-cycle, 7-cycle, 11 –cycle, 15-cycle, …

Dynamique

Seulement 1 seul bassin attracteur infini. La couleur représente la distance à l’origine qui est l’unique point fixe.

Dynamique

Quatre bassins attracteurs infinis

Dynamique

La couleur donne la distance au point fixe

A propos des Aqas

- Les AQAs donnent une idée de la dynamique de certains calculs en informatique.

- Les AQAs permettent de construire des transformations avec certaines propriétés (rotations bijectives par exemple).

- Les AQAs sont liées aux systèmes de numérations.

- Les AQAs permettent de construire des pavages.

- Les AQAs sont liées aux intersections de droites discrètes.

Exemples d’ AQA :

Rotations discrètes bijectives

Rotation discrète classiqueRot()

Problème : perte d’information

Perte d’information

Rotation discrète classique

Rotation pythagoricienne

with a2 + b2 = (b+1)2

Andres (1992)

Rotation pythagoricienne

Théorème

La rotation pythagoricienne est une transformation discrète bijective

Evaluation de la qualité de la rotation :

Distance max et min entre un point tourné par les rotations discrètes et continues :

Max = 0.707 average = 0.3