Exemple: Test d’une dépendance d’ordre un
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STT-3220; Méthodes de prévision1
Exemple: Test d’une dépendance d’ordre un
Supposons que l’on a observé une série chronologique de taille n = 100.
La moyenne échantillonnale et l’écart-type échantillonnal sont:
ACF:
210453.1,01572.0 sz
délai 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12r(k) 0,4878 0,1492 0,1823 0,1393 0,0404 0,0325 -0,0179 0,0458 0,0827 -0,1024 -0,1693 -0,0265
STT-3220; Méthodes de prévision2
Test pour une dépendance d’ordre un (suite)
Dans le cas d’une dépendance d’ordre un:
On estime cette variance:
Ainsi, sous H0:
121 221
475992.14878.021121ˆ 2221 r
01475992.0,0
,100
475992.1,0,2
Nkr
Nkrk
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Test pour une dépendance d’ordre un (suite et fin)
La procédure consiste à rejeter H0 si on a
On rappelle que:
En conclusion, ceci semble compatible avec une dépendance d’ordre un.
2,238.001475992.096.1 kkr
délai 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12r(k) 0,4878 0,1492 0,1823 0,1393 0,0404 0,0325 -0,0179 0,0458 0,0827 -0,1024 -0,1693 -0,0265
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On pense que c’est compatible avec une dépendance d’ordre un: peut-on fournir un modèle?
On considère le modèle MA(1) suivant:
Pour ce modèle, on rappelle que:1 ttt aaZ
222
2
1
.2,0
,1,1
aZ
t
k
kk
ZE
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Méthode des moments
Ceci donne l’équation du second degré:
Les solutions de cette équation sont:
01111 22
1
12
1
12
1
12
141122
225.0025.14878.011ˆ r
STT-3220; Méthodes de prévision6
Méthode des moments (suite)
Donc ceci amène à deux solutions possibles, c’est-à-dire -0.8 ou encore -1.25. On choisit:
(on va justifier plus tard) On peut estimer également:
8.0ˆ
8927.08.01
)21.1(ˆˆ8.01)21.1(ˆ
2
222222
aaZ
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Modèle final
Ceci nous amène au modèle final:
avec En passant, le processus avait été généré
avec la fonction S-PLUS arima.sim():
18.00157.0 ttt aaZ
8927.0,0BBat
1,6.0 21 attt aaZ