Examen final de première année TPC1 – Mathématiques · 2020-06-07 · Examen final de...

Examen final de premiere annee

TPC1 – Mathematiques

Lundi 18 Juin 2012 de 14h a 18h

Les candidats sont invites a souligner leurs resultats et a soigner leurs copies. Un point sur 20est consacre a la presentation.L’usage d’une calculatrice electronique est interdit .Le sujet comporte 5 problemes. Les 5 problemes sont totalement independants. A l’interieur duprobleme, de nombreuses questions sont independantes, et d’autres peuvent etre traitees en admettantle resultat des questions precedentes.

Probleme 1

Soit f une application definie de R dans M3(R) par:

∀x ∈ R, f(x) =

3x 0 00 1 x0 0 1

.

On note E = {f(x), x ∈ R} (l’image directe de R par f).

1. Montrer que pour tout x, y ∈ R, on a f(x+ y) = f(x)f(y)

2. Calculer f(0).

3. En deduire que, pour tout x ∈ R, on a f(x) ∈ GL3(R), puis donner l’inverse de f(x)

4. Montrer que E est un sous groupe de GL3(R), E est-il commutatif?

Probleme 2

On note R2[X] l’espace vectoriel des polynomes de degre inferieur ou egal a 2. On definit lespolynomes e0 = 1, e1 = X, e2 = X2. B = (1, X,X2) designe la base canonique de R2[X]. On definitl’application f qui a tout polynome P de R2[X] associe le polynome

f(P ) = 2P (X) + (X −X2)P (2).

1. Montrer que f est un endomorphisme de R2[X] .

2. On note A la matrice de f dans la base canonique B de R2[X] .

(a) Montrer que A =

2 0 01 4 4−1 −2 −2

.

(b) Determiner le rang de f . L’application f est-elle un automorphisme de R2[X] ?

3. Determiner Ker (f) puis en donner une base.

4. Determiner Ker (f − 2Id) puis en donner une base.

5. On pose e′0 = X(X − 1), e′1 = X(X − 2), e′2 = (X − 1)(X − 2).

(a) Montrer que B′ = (e′0, e′1, e

′2) est une base de R2[X].

(b) Ecrire la matrice D de f dans la base B′.

6. (a) Determiner la matrice de passage P de la base B a la base B′.(b) Calculer P−1.

(c) Donner sans justification l’expression de Dn pour tout n ∈ N.

(d) Etablir par recurrence une relation entre An, P,D, n pour n ∈ N∗.

(e) Preciser les coefficients de An pour n ∈ N.

Probleme 3

Lors de la dissociation thermique de l’iodure d’hydrogene a une temperature fixee, on montre quele taux de dissociation y de l’iodure d’hydrogene evolue en fonction du temps t (exprime en secondes)selon une loi qui obeit a l’equation differentielle :

(E)dy

dt= A(1− 5y)(1 + 3y),

A etant une constante reelle strictement positive.

1. (Questions preliminaires)

(a) Trouver α, β ∈ R tels que ∀y ∈ R\{−1

3; 1

5}, 1

(1− 5y)(1 + 3y)=

α

1− 5y+

β

1 + 3y.

(b) En deduire, pour y ∈ R\{−1

3; 1

5},

∫

dy

(1− 5y)(1 + 3y).

2. Verifier que les fonctions constantes y =−13

, y =1

5sont des solutions de l’equation differentielle

(E).

3. Dans la suite du probleme, on cherche la solution non constante de l’equation (E), definie sur R

et verifiant y(0) = 0.

On admettra, dans les calculs, les inegalites : ∀t ∈ R,−13

< y(t) <1

5.

(a) Montrer que l’equation (E) peut s’ecrire sous la forme

5dy

8(1− 5y)+

3dy

8(1 + 3y)= Adt.

(b) Deduire de la question precedente la relation :1 + 3y

1− 5y= C e8At, ou C est une constante reelle

non nulle, et calculer la valeur de C correspondant a y(0) = 0.

(c) En deduire l’expression de la solution y.

Probleme 4

On considere la fonction f definie sur R par f(x) =ex−13 + 5 ex

. On note Cf la courbe representative

de f dans le plan muni d’un repere orthogonal (O,~i,~j).

1. Determiner la classe de f sur son domaine de definition.

2. Calculer les limites de f en ∓∞.

3. Calculer f ′, puis donner le signe de f ′(x), en deduire le tableau de variation de f .

2

4. Donner le DL a l’ordre 2 de f en 0. En deduire l’equation de la tangente T0 en O, a la courberepresentative Cf ainsi que la position de la courbe par rapport a T0.

5. Tracer la courbe C, sa tangente en O et ses asymptotes dans le repere orthogonal (O,~i,~j).

6. Montrer que la fonction f admet une fonction reciproque f−1 (bien justifier), puis donner l’expressionde f−1

Probleme 5

Partie A integrale de Wallis :Pour tout entier naturel n on pose

In =

π

2∫

0

sinn(t)dt.

1. Calculer I0 et I1.

2. Montrer que la suite (In)n∈N est decroissante. Montrer que pour tout n ∈ N, In ≥ 0. En deduireque (In)n∈N est convergente. On notera ℓ sa limite.

Partie B integration par parties et consequences :

1. Montrer par une integration par parties que pour tout entier n on a,

(n+ 2)In+2 = (n+ 1)In.

(Dans In+2 poser u′(t) = sin(t) et v(t) = sinn+1(t) et utiliser cos2 t+ sin2 t = 1).

2. En deduire que la suite ((n+ 1)In+1In)n∈N est constante et vaut π2. Determiner la limite ℓ.

3. Montrer que pour tout entier naturel n,

n+ 1

n+ 2≤ In+1

In≤ 1,

(on n’omettra pas de prouver que In 6= 0).

4. En deduire que les suites (In+1)n∈N et (In)n∈N sont equivalentes.

5. Etablir que la suite (In)n∈N est equivalente a la suite (√

π2n

)n∈N quand n tend vers l’infini.

Partie C changements de variable :

A l’aide des changements de variables indiques etablir les egalites suivantes :

In =

π

2∫

0

cosn(t)dt (t =π

2− u),

√n

∫

0

(

1− t2

n

)n

dt =√n

π

2∫

0

sin2n+1(t)dt (t =√n cos(u)) et

√n

∫

0

(

1 +t2

n

)−n

dt =√n

π

4∫

0

cos2n−2(t)dt (t =√n tan(u)).

Partie D une fonction croissante :

3

On definit sur R la fonction f par

∀x ∈ R, f(x) =

x∫

0

exp(−t2)dt.

1. Etudier les variations de cette fonction, sa parite. Justifier l’existence de L = limx→+∞

f(x).

2. Montrer que pour tout reel x > −1, on a

ln(1 + x) ≤ x.

(On pourra etudier la fonction d : x 7→ x− ln(1 + x).)

3. En deduire que pour tout entier n > 0 et tout reel t ∈ [0,√n] on a

(

1− t2

n

)n

≤ exp(−t2) ≤(

1 +t2

n

)−n

.

4. En deduire l’encadrement :

√n

π

2∫

0

sin2n+1(t)dt ≤

√n

∫

0

exp(−t2)dt ≤√n

π

2∫

0

sin2n−2(t)dt.

5. En deduire que la limite L vaut√π

2.

4



mardi 14 Juin 2011 de 8h a 12h

Les candidats sont invites a souligner leurs resultats et a soigner leurs copies. Un point sur 20est consacre a la presentation.L’usage d’une calculatrice electronique est interdit .

ALGEBRE

Probleme 1

On note R2[X] l’espace vectoriel des polynomes de degre inferieur ou egal a 2. On definit lespolynomes e0 = 1, e1 = X, e2 = X2. B = (1, X,X2) designe la base canonique de R2[X]. On definitl’application f qui a tout polynome P de R2[X] associe le polynome

f(P ) = P (X)− 2(1−X −X2)P (1).

1. Montrer que f est un endomorphisme de R2[X] .


(a) Montrer que A =

−1 −2 −22 3 22 2 3

.

(b) L’application f est-elle un automorphisme de R2[X] ?

3. Determiner Ker (f − Id), c’est-a-dire l’ensemble des polynomes P de R2[X] verifiant f(P ) = P .En donner une base.

4. Determiner Ker (f − 3Id) puis en donner une base.

5. On pose e′0 = 1−X −X2, e′1 = 1−X, e′2 = 1−X2.

(a) Montrer que B′ = (e′0, e′

1, e′

2) est une base de R2[X].

(b) Ecrire la matrice D de f dans la base B′.(c) Les espaces Ker (f − Id) et Ker (f − 3Id) sont-ils supplementaires ?


(c) Donner sans justification l’expression de Dn pour tout n ∈ N.

(d) Etablir par recurrence une relation entre An, P,D, n pour n ∈ N∗.


Probleme 2

1. Soit A, J et I les trois matrices carrees d’ordre 2 definies par

A =

(

1 33 1

)

, J =

(

1 11 1

)

, I =

(

1 00 1

)

(a) Determiner deux reels a et b tels que A = aI + bJ .

(b) Exprimer J2 en fonction de J .

(c) A l’aide d’un raisonnement par recurrence, etablir pour tout entier n, la relation suivante

An = (−2)nI + 1

2(4n − (−2)n) J

(d) Preciser les coefficients de la matrice An.

2. On note (vn) et (wn) les deux suites definies par v0 = 3, w0 = 1 et les relations suivantes, valablespour tout entier naturel n

{

vn+1 = vn + 3wn

wn+1 = 3vn + wn

On considere pour tout n ∈ N, la matrice Xn =

(

vnwn

)

.

(a) Determiner X0. Donner, sans justification, une relation entre A,Xn, Xn+1.

(b) Etablir par recurrence que pour tout entier naturel n, Xn = AnX0.

(c) En deduire les valeurs de vn et de wn en fonction de n.

3. (a) Rappeler ce que vaut 1 + q + q2 + . . .+ qn pour q 6= 1.

(b) Montrer que (vn + wn) est une suite geometrique. En donner le premier terme et la raison.

(c) Calculer

n∑

k=0

(vk + wk).

Probleme 3

Le but de ce probleme est de factoriser dans C le polynome

P (x) = x6 + x5 − 16x4 + 19x3 − x2 + 16x− 20

1. On considere le polynome Q(x) = x3 + x2 − 16x+ 20.

(a) Montrer que 2 est racine evidente de ce polynome.

(b) Montrer que 2 est une racine d’ordre 2 du polynome Q.

(c) Soit β la seconde racine du polynome. A l’aide des relations coefficients-racines du polynomeQ, preciser ce que vaut β?

2. On considere maintenant le polynome B(x) = x3 − 1.

(a) Determiner une racine evidente de ce polynome.

(b) Le factoriser completement dans C. Vous pouvez, si vous les connaissez, utiliser directementdes resultats du cours.

3. (a) Montrer que Q(x)B(x) = P (x).

(b) Conclure le probleme en factorisant completement dans C le polynome P .

2

ANALYSE

Probleme 4

On considere la fonction f definie par la relation

f(x) =ln(1 + x)

x.

1. Determiner D, domaine de definition de f (justifier soigneusement). Preciser la classe de f sur D.

2. Prolongement en 0

(a) Determiner le developpement limite de ln(1 + x) au voisinage de 0 a l’ordre 3. En deduire ledeveloppement limite a l’ordre 2 de f en 0.

(b) Montrer que f se prolonge par continuite en 0. On precisera par quelle valeur f est alorsprolongee et on continuera a appeler f le prolongement ainsi obtenu. On appellera D′ lenouvel ensemble de definition de f .

(c) Montrer que f est derivable en 0 et preciser alors f ′(0).

(d) Preciser l’equation de la tangente a la courbe C de f en x = 0. Que peut-on dire de la positionrelative courbe-tangente?

3. Etude d’une fonction auxiliaire Soit k(x) = x− (1 + x) ln(1 + x).

(a) Dresser le tableau de variations de k sur ]− 1;+∞[.

(b) Determiner alors le signe de k sur ]− 1;+∞[.

4. Variations de f

(a) Calculer f ′(x) pour x ∈ D′. Donner le signe de f ′.

(b) Calculer les limites de f aux bornes de D′.(c) Dresser le tableau de variations de f (avec les limites et les valeurs particulieres).

5. Formule de Taylor-Young

(a) Rappeler la formule de Taylor-Young a l’ordre 2 en x = 1 pour la fonction f (ne pas faire lescalculs).

(b) La fonction f admet en x = 1 le developpement limite

f(x) = a+ b(x− 1) + c(x− 1)2 + o((x− 1)2), c > 0.

Determiner a et b.

(c) Interpreter ce resultat en termes de tangente et de position relative.

6. Montrer (sans resoudre) qu’il existe un unique α ∈ [0; +∞[ verifiant f(α) =1

2. Pour la suite on

admet que α ≃ 2, 5.

7. Tracer la courbe de f avec les elements caracteristiques mis en evidence dans l’etude. On donneln 2 ≃ 0, 69.

Probleme 5

Pour tout entier naturel non nul, on pose :

In =

∫ 1

0

tn

1 + t2dt.

1. Justifier l’existence de In.

3

2. (a) Calculer I0.

(b) Calculer I1.

(c) Calculer I0 + I2. En deduire I2.

3. (a) Montrer que la suite (In)n∈N est une suite decroissante.

(b) Montrer que pour tout entier n ∈ N, on a In ≥ 0.

(c) En deduire que la suite (In)n∈N est convergente.

4. (a) Sans faire d’integration par parties, montrer que pour tout n ∈ N:

In + In+2 =1

n+ 1. (1)

(b) Montrer que, pour tout n ∈ N, In ≤ 1

n+1.

(c) Redemontrer que la suite (In) converge et donner cette fois sa limite.

5. Pour n ∈ N, on pose f(n) = In+4 − In. Montrer, par exemple a l’aide de la relation (1), que:

f(n) =1

n+ 3− 1

n+ 1

6. (a) Calculer f(2) + f(6) + f(10) + ...+ f(4k − 2) en fonction de I2 et de I4k+2, ou k ∈ N∗.

(b) En deduire la limite de la somme :

1− 1

3+

1

5− 1

7+ ...− 1

4k − 1+

1

4k + 1

lorsque k tend vers +∞.

7. (a) Calculer f(1) + f(5) + f(9) + ...+ f(4k − 3) en fonction de I1 et de I4k+1, ou k ∈ N∗.

(b) En deduire que

limk→+∞

2k−1∑

p=0

(−1)pp+ 1

= ln 2

4



mercredi 16 Juin 2010??? de 8h a 12h

Les candidats sont invites a encadrer leurs resultats et a soigner leurs copies.L’usage d’une calculatrice electronique est interdit .Le 3 problemes sont totalement independants. A l’interieur du probleme, denombreuses questions sont independantes, et d’autres peuvent etre traitees en admettant le resultatdes questions precedentes.Chaque probleme devra etre redige sur une copie differente.

Probleme 1: ALGEBRE

Rappel : on pourra utiliser sans demonstration le resultat suivant:

“Si D =

a 0 00 b 00 0 c

alors ∀n ∈ N, on a Dn =

an 0 00 bn 00 0 cn

.”

Soit n un entier naturel superieur ou egal a 2. On note Rn[X] l’espace vectoriel des polynomes dedegre inferieur ou egal a n. On definit les polynomes e0 = 1 et pour 1 ≤ k ≤ n, ek = Xk. On definitl’application f qui a tout polynome P associe le polynome

f(P ) = 2P (X)− (1 +X +X2)P (1).

Question preliminaire : Montrer que f est un endomorphisme de Rn[X] .Partie I. Dans toute cette partie n=2


(a) Montrer que A =

1 −1 −1−1 1 −1−1 −1 1

.

(b) L’application f est-elle un automorphisme de R2[X] ?

2. Determiner Ker(f + Id) puis en donner une base.

3. Determiner Ker(f − 2Id) puis en donner une base.

4. On pose e′0 = 1 +X +X2, e′1 = X − 1, e′2 = X2 − 1.

(a) Montrer que B′ = (e′0, e′

1, e′

2) est une base de R2[X].

(b) Ecrire la matrice D de f dans la base B′.

(c) Les espaces Ker(f + Id) et Ker(f − 2Id) sont-ils supplementaires ?

5. (a) Determiner la matrice de passage P de la base B a la base B′.

(b) Calculer P−1.

(c) Calculer Dn pour tout n ∈ N.

(d) Etablir par recurrence une relation entre An, P , n et D pour n ∈ N∗.


6. On pose J =

1 1 11 1 11 1 1

. Justifier que A = 2I − J et A−1 = 1

2(I − J).

7. (a) Rappeler la formule du binome avec ses hypotheses pour les matrices.

(b) A l’aide de cette formule, montrer que pour tout n ∈ N,

An = 2nI +1

3((−1)n − 2n)J.

Partie II. Dans cette partie n est quelconque superieur ou egal a 2

On considere l’ensemble F = {(X − 1)Q(X), Q ∈ Rn−1[X]}.

1. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de Rn[X].

2. Montrer que Ker(f − 2Id) = F .

3. On note pour tout k = 0, ..., n− 1, Pk(X) = (X − 1)Xk. Montrer que la famille

(P0(X), P1(X), ..., Pn−1(X)) engendre F .

4. En deduire une base et la dimension de F .

5. En deduire le rang de l’endomorphisme f − 2Id.

Probleme II: Etude de fonctions, suite recurrente

On considere la fonction f definie par

f(x) =1

x+ 1− e−x.

On note Cf la courbe representative de f .

Partie I. Etude de la fonction f

1. (a) Montrer que la fonction g definie par g(x) = 1 + x− e−x est strictement croissante sur R.

(b) Determiner les limites de f en ∓∞.

(c) En deduire qu’il existe un unique α ∈ R tel que g(α) = 0, puis trouver α.

2. En deduire le domaine de definition de f , note Df , ainsi que la classe de f sur son domaine.

3. (a) Donner les limites de f en ∓∞.

(b) Determiner le developpement limite a l’ordre 2 en 0 de g.

(c) En deduire un equivalent de f en 0.

(d) Preciser alors les limites de f en 0

4. Calculer f′

, puis donner le tableau de variation de f .

5. Donner l’allure de Cf dans un repere orthonorme direct.

6. (a) Montrer que f est bijective de R∗

+ dans R∗+.

(b) Sans demonstration, dresser le tableau de variation de f−1 sans oublier d’y faire figurer leslimites en 0 et +∞.

2

7. Soit n ∈ N∗ fixe. On note xn la solution de l’equation f(xn) = n. On a donc xn = f−1(n).

(a) Determiner le signe de xn+1 − xn puis le sens de variation de la suite (xn)n>0.

(b) Montrer que (xn)n>0 converge et determiner sa limite.

(c) A l’aide de la question I3c, trouver un equivalent de xn lorsque n tend vers +∞.

Partie II. Valeur approchee de x1

On donne les valeurs e−1/e ≃ 0, 7, f(1/e) ≃ 1, 5, f(1) ≃ 0, 6.Soit la fonction ϕ definie sur R par ϕ(x) = e−x.

1. (a) Montrer que ϕ(x) = x ⇔ f(x) = 1. En deduire que x1 est l’unique solution de l’equationϕ(x) = x.

(b) Justifier que 1

e ≤ x1 ≤ 1.

2. On note I = [e−1; 1].

(a) Montrer que ϕ(I) ⊂ I.

(b) Montrer qu’il existe k ∈]0; 1[ tel que: ∀x ∈ I; |ϕ′

(x)| < k.

3. On considere la suite u = (un)n∈N definie par :

{

u0 = 1un+1 = ϕ(un) ∀n ∈ N

(a) Montrer par recurrence que pour tout n ≥ 0, on a : un ∈ I.

(b) Montrer que pour tout n ≥ 0, |un+1 − x1| ≤ k|un − x1|

(c) En deduire par recurrence que ∀n ∈ N, |un − x1| ≤ kn|1− x1|.

(d) En deduire que la suite (un)n converge puis donner limn→+∞

un.

Probleme III: Integrales et suites

Pour tout entier naturel n, on pose

In =

∫ 1

2

0

xn

1− x2dx, et donc en particulier I0 =

∫ 1

2

0

1

1− x2dx

1. Calcul de I0 puis de I1

(a) Determiner les reels u et v tels que1

1− x2=

u

1− x+

v

1 + x.

(b) En deduire la valeur de I0.

(c) En reconnaissant une derivee, montrer que I1 = 1

2ln 4

3

2. Calcul de I2, I3

(a) Sans faire d’integration par parties, montrer que, pour tout entier naturel n,

In − In+2 =1

(n+ 1)2n+1.

(b) En deduire les valeurs de I2, I3.

3. Etude de la convergence de la suite (In).

(a) Montrer que la suite (In) est decroissante.

(b) Montrer que, pour tout entier naturel n, on a un ≥ 0.

3

(c) En deduire que la suite (In) converge. Que peut-on dire de sa limite?

4. Calcul de la limite de la suite

(a) Montrer que pour tout x ∈ [0; 1

2], on a

1

1− x2≤

4

3.

(b) En deduire que pour tout n ∈ N, l’inegalite suivante In ≤4

3(n+ 1)2n+1.

(c) Redemontrer par une autre methode que (In) converge et preciser cette fois la limite de (In).

5. On pose, pour tout entier naturel n, Sn =∑n

k=0Ik = I0 + I1 + . . .+ In.

(a) Calculer pour x 6= 1, 1 + x+ x2 + . . .+ xn (indication: penser aux suites geometriques).

(b) Etablir l’egalite

Sn =

∫ 1

2

0

1

(1− x2)(1− x)dx−

∫ 1

2

0

xn+1

(1− x2)(1− x)dx.

(c) Montrer egalement que, pour tout entier naturel n, on a:

0 ≤

∫ 1

2

0

xn+1

(1− x2)(1− x)dx ≤ 2In+1

(d) En deduire l’expression de la limite de Sn quand n tend vers +∞ sous la forme d’une integrale.

(e) En utilisant que pour x ∈ [0; 1

2], on a:

1

1− x+

2

(1− x)2+

1

1 + x=

4

(1− x2)(1− x),

deduire de la question precedente la valeur de limn→+∞ Sn.

4



17 Juin 2009 de 8h a 12h

Les candidats sont invites a encadrer leurs resultats et a soigner leurs copies.L’usage d’une calculatrice electronique est interdit .Le probleme et les 2 exercices sont totalement independants. A l’interieur du probleme, denombreuses questions sont independantes, et d’autres peuvent etre traitees en admettant le resultatdes questions precedentes. Neanmoins le candidat doit veiller a bien numeroter les questions qu’iltraite.Le probleme et les deux exercices devront etre tous les trois traites sur des copies

separees.

ALGEBRE

Rappel : on pourra utiliser sans demonstration le resultat suivant:

“Si D =

a 0 00 b 00 0 c

alors ∀n ∈ N, on a Dn =

an 0 00 bn 00 0 cn

.”

I. Etude d’un endomorphisme

On considere l’espace vectoriel E = R2[X] et f l’application definie pour tout polynome P de E

parf(P ) = X2P (1) + 2P (X) + (X − 1)P ′(X).

On pose e0 = 1, e1 = X, e2 = X2 et on designe par B = (e0, e1, e2) la base canonique de E.

1. Montrer que f est un endomorphisme de E.

2. Soit A la matrice de l’application lineaire f dans la base canonique B. Montrer (en justifiant bien)que

A =

2 −1 00 3 −21 1 5

.

3. L’application f est-elle bijective? injective? surjective?

4. A l’aide de la matrice A, determiner Ker (f − 4Id) c’est-a-dire l’ensemble des polynomes P de E

verifiant f(P ) = 4P . En preciser une base.

5. Ecrire la matrice de f − 3Id. Determiner le rang de cette matrice, en deduire la dimension deKer (f − 3Id).

6. Les sous-espaces vectoriels Ker (f−4Id) et Ker (f−3Id) sont-ils supplementaires dans E? Justifierevidemment votre reponse.

II. Matrice de f dans une nouvelle base

On definit les polynomes e′1 = 1− 2X+X2, e′2 = −1+X, e′3 = −2X+X2. On note B′ = (e′1, e′

2, e′

3).

1. Montrer que B′ est une base de E.

2. (a) Exprimer 3X2 − 8X + 2 dans la base B′.

(b) Determiner la matrice T de f dans la base B′.

3. (a) Soit N =

0 0 00 0 10 0 0

. Calculer N2, en deduire Nk pour k ≥ 2.

(b) Rappeler la formule du binome pour les matrices (ne pas oublier les hypotheses).

(c) Exprimer T comme combinaison lineaire deN et d’une matrice diagonaleD qu’on determinera.

(d) Montrer que pour n ≥ 1, on a :

Tn =

4n 0 00 3n −2n3n−1

0 0 3n

III. Calcul de An

1. (a) Rappeler comment on construit la matrice de passage d’une base B a une base B′.

(b) Determiner la matrice de passage P de la base B a la base B′.

(c) Calculer P−1.

2. (a) Exprimer A en fonction de T et P .

(b) Pour n ≥ 1, conjecturer l’expression de An en fonction de T, P, n. Montrer cette formule parrecurrence.

IV. Matrices commutant avec T

1. On pose M =

a b c

d e f

g h i

. On suppose que M commute avec T , c’est-a-dire MT = TM .

Determiner la forme generale de M .

2. Soit CT l’ensemble des matrices commutant avec T :

CT = {M ∈M3(R), MT = TM}

(a) Montrer que CT est un sous-espace vectoriel de M3(R). En donner une famille generatrice.

(b) Donner une base et la dimension de CT .

ANALYSE

Exercice 1


f(x) =x

ex − 1.

On note Cf la courbe representative de f .

1. Determiner le domaine de definition de f , note Df , ainsi que la classe de f sur son domaine.

2

2. Limites aux bornes du domaine

(a) Determiner limx→+∞

f(x).

(b) Donner une interpretation geometrique de ce resultat.

(c) Determiner limx→−∞

f(x).

(d) Montrer que Cf admet une asymptote ∆ au voisinage de −∞ et donner son equation.

(e) Etudier la position relative entre Cf et ∆ sur Df tout entier.

(f) Determiner limx→0

f(x).

3. Signe de f ′

(a) On pose g(x) = ex − xex − 1. Etudier les variations de g. En deduire le signe de g.

(b) Calculer f ′(x).

(c) Dresser la tableau de variations complet de f .

4. Le developpement limite de f en 0 est de la forme f(x) = 1+ax+ bx2+ o(x2). Determiner a et b.

5. (a) En deduire que f se prolonge en une fonction ϕ continue sur R. Preciser ϕ(0).

(b) Montrer que ϕ est derivable en 0. Preciser ϕ′(0).

6. On note T0 la tangente en 0 a la courbe de ϕ, notee Cϕ.

(a) Donner l’equation de T0.

(b) Discuter de la position relative entre T0 et Cϕ au voisinage de 0.

7. Donner l’allure de Cϕ dans un repere orthonorme direct, en faisant apparaıtre T0 ainsi que ∆, eten respectant chacun des elements de l’etude.

8. On considere la suite u = (un)n∈N definie par :

{

u0 = 1un+1 = ϕ(un) ∀n ∈ N

(a) En utilisant les resultats des questions precedentes, dresser le tableau de variations de ϕ sur[0; 1].

(b) Calculer ϕ(ln 2). On admet dans la suite que ln 2 ≃ 0, 7.

(c) Montrer que ϕ([0; 1]) ⊂ [0; 1].

(d) Montrer que pour tout n ≥ 0, on a : 0 ≤ un ≤ 1.

(e) On admet que ϕ′ est croissante sur R+. Montrer que ∀x ∈ [0; 1], on a : |ϕ′(x)| ≤ 1

2.

(f) En deduire que ∀n ∈ N, |un+1 − ln 2| ≤ 1

2|un − ln 2|.

(g) On admet alors que : |un − ln 2| ≤ 1

2n. En deduire lim

n→+∞un.

Exercice 2

Soit n ∈ N, on pose

In =

∫ 1

0

e−nx

1 + e−xdx et Sn =

n∑

k=1

(−1)k−1Ik

1. Determiner le signe de In.

3

2. (a) Montrer que1

1 + e−x=

ex

1 + ex.

(b) En deduire la valeur de I0.

3. Grace au changement de variable u = e−x, montrer que In =

∫ 1

e−1

un−1

1 + udu.

4. (a) Que vautN∑

k=0

qk (distinguer deux cas pour q)?

(b) Montrer quen∑

k=1

(−1)k−1uk−1 =1− (−u)n

1 + upour u ∈ [e−1; 1].

5. En deduire que Sn = A− Jn avec A =

∫ 1

e−1

1

(1 + u)2du et Jn =

∫ 1

e−1

(−u)n

(1 + u)2du.

6. Calculer A.

7. (a) Montrer que sur R+,

∣

∣

∣

∣

(−u)n

(1 + u)2

∣

∣

∣

∣

6 un.

(b) En deduire que |Jn| 61

n+1(1− e−n−1).

(c) En deduire que limn→+∞

Jn = 0.

8. En deduire limn→+∞

Sn.

4



18 Juin 2008 de 8h a 12h

Les candidats sont invites a encadrer, leurs resultats.L’usage d’une calculatrice electronique est interdit .Les 2 problemes et l’exercice sont totalement independants. A l’interieur d’un probleme, denombreuses questions sont independantes, et d’autres peuvent etre traitees en admettant le resultatdes questions precedentes. Neanmoins le candidat doit veiller a bien numeroter les questions qu’iltraite.

ALGEBRE

Probleme 1

On note Rn[X] l’espace vectoriel des polynomes de degre inferieur ou egal a n, ou n est un entiernaturel superieur ou egal a 2.On definit les polynomes e0 = 1 et pour 1 ≤ k ≤ n, ek = Xk.On definit l’application f qui a tout polynome P associe le polynome

f(P ) = 2P (X)− (1 +X2)P (2)

Question preliminaire. Montrer que f est un endomorphisme de Rn[X].

Partie I. Dans toute cette partie n = 2

1. On note A la matrice de f dans la base canonique B de R2[X].

(a) Montrer soigneusement que

A =

1 −2 −40 2 0−1 −2 −2

.

(b) L’application f est-elle un automorphisme ?

2. (a) Determiner Ker (f + 3Id), c’est-a-dire l’ensemble des P ∈ R2[X] verifiant f(P ) = −3P .

(b) Donner une base de Ker (f + 3Id).

3. (a) Determiner Ker(f − 2Id), c’est-a-dire l’ensemble des P ∈ R2[X] verifiant f(P ) = 2P .

(b) Quelle est la dimension de Ker(f − 2Id) ?

4. On pose e′0 = X2 + 1, e′1 = X − 2, e′2 = X2 − 4.

(a) Montrer que (e′0, e′

1, e′

2) forment une base de R2[X] notee B′.(b) Preciser la matrice D de f dans la base B′.(c) Les espaces Ker (f + 3Id) et Ker(f − 2Id) sont-ils supplementaires?


(c) Calculer Dn pour n ∈ N.

(d) Etablir par recurrence une relation entre An, P et D, n ∈ N∗.


Partie II. Dans toute cette partie n est quelconque superieur ou egal a 2

Soit F l’ensemble des polynomes de la forme P (X) = (X − 2)Q(X) avec Q ∈ Rn−1[X], c’est-a-direque

F = {(X − 2)Q(X), Q ∈ Rn−1[X]}.

1. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de Rn[X].

2. Montrer que Ker(f − 2Id) = F .

3. On note Pk(X) = (X − 2)Xk pour k = 0, . . . n− 1.Montrer que la famille (P0(X), P1(X), . . . , Pn−1(X)) engendre F .

4. En deduire une base et la dimension de F .

5. En deduire le rang de l’endomorphisme f − 2Id.

ANALYSE

Probleme 2

Le but du probleme est d’etudier la fonction f definie sur ]0;+∞[ par

f(x) =1

x(x2 + 1− lnx)

et de construire l’allure de sa courbe representative C, ce qui fait l’objet de la partie I, puis de decrireun procede d’approximation du nombre α pour lequel f atteint son minimum, ce qui fait l’objet de lapartie II.

Partie I

1. Soit g la fonction definie sur ]0;+∞[ par:

g(x) = x2 + lnx− 2

(a) Etudier les limites de g en 0 et +∞.

(b) Etablir le tableau de variation de g.

(c) En deduire que l’equation g(x) = 0 admet une et une seule solution α et que

1 ≤ α ≤ 2

(d) Etudier le signe de g(x).

2. (a) Etudier les limites de f en 0 et +∞.

(b) Exprimer f ′(x) a l’aide de g(x). En deduire le tableau de variation de f .

3. Le plan est rapporte a un repere orthonormal (O,~i,~j). On choisit 2cm pour unite graphique.

2

(a) i. Montrer que la droite ∆ d’equation y = x est asymptote en +∞ a la courbe C.ii. Determiner l’intersection de la courbe C et de la droite ∆.

iii. Etudier alors leur position relative sur ]0;+∞[ tout entier.

(b) i. Determiner le developpement limite de f a l’ordre 2 en 1.

ii. En deduire l’equation de la tangente D a la courbe C au point d’abscisse 1 et la positionde C par rapport a D au voisinage de ce point.

(c) On donne f(0, 5) ≃ 3, 9, f(4) ≃ 3, 9, f(6) ≃ 5, 9 et e ≃ 2, 7. Sur papier millimetre, construirel’allure de la courbe C ainsi que les droites ∆ et D.

4. Pour tout nombre reel T ≥ e, calculer l’aire A(T ) de la partie du plan comprise entre C et ∆ etles droites d’equations x = e et x = T .

Partie II

1. Soit h la fonction definie sur I = [1, 2] par h(x) =√2− lnx.

(a) Prouver l’equivalence suivante pour x ∈ I:

g(x) = 0⇐⇒ h(x) = x

(b) Montrer que h est de classe C∞ sur I.

(c) Etudier la monotonie de h sur I puis prouver que ∀x ∈ I, h(x) ∈ I.

(d) Pour x ∈ I, exprimer h′(x) en fonction de h(x). En deduire que

∀x ∈ I, |h′(x)| ≤ 1

2.

(e) En deduire en le justifiant soigneusement que

∀x ∈ I, |h(x)− α| ≤ 1

2|x− α|

2. Soit (un)n∈N la suite d’elements de I definie par la relation de recurrence un+1 = h(un) et lacondition initiale u0 = 1.

(a) Montrer que

∀n ∈ N, |un+1 − α| ≤ 1

2|un − α| .

(b) En deduire par recurrence sur n que

∀n ∈ N, |un − α| ≤(

1

2

)n

.

(c) Montrer que (un)n∈N est convergente et determiner sa limite.

(d) Determiner un entier n0 tel que |un0− α| < 0.01.

3

Exercice

Soit n ∈ N, on considere :

In =

∫ π

4

0

cos(x) tann(x) dx et Jn =

∫ π

4

0

sin(x) tann(x) dx

1. Preliminaires

(a) Sur votre copie, tracer le graphe de la fonction tangente sur ]−π/2;π/2[. Preciser tan 0, tan π

4.

(b) Justifier que pour tout n ∈ N, In et Jn existent.

2. Calcul de I1 et I2

(a) Calculer I1.

(b) i. Calculer une primitive de1

(1− u)(1 + u).

ii. En remarquant que u2 = u2 − 1 + 1, determiner une primitive de u 7→ u2

1− u2.

iii. Calculer I2 a l’aide du changement de variable u = sinx qu’on justifiera.

3. Etude de la convergence de la suite

(a) Montrer que la suite (In) est monotone.

(b) Determiner le signe de In.

(c) En deduire que la suite (In) converge vers une limite notee L.

4. Relation de recurrence et calcul de la limite

(a) Rappeler, sans justifier, les deux expressions de la derivee de la fonction tan.

(b) Sans faire de calculs d’integrales, montrer que ∀n ∈ N, In+1 = Jn.

(c) A l’aide d’une integration par parties, qu’on justifiera, montrer que :

∀n ∈ N, In+1 =

√2

2− (n+ 1)(Jn + Jn+2)

(d) Deduire des questions precedentes que :

In+1 + In+3 =

√2

2(n+ 1)− In+1

n+ 1

(e) Conclure concernant la valeur de L.

4

❊①❛♠❡♥ ✜♥❛❧ ❞❡ ♣*❡♠✐,*❡ ❛♥♥-❡

❚/❈✶ ✕ ▼❛4❤-♠❛4✐6✉❡8

✻ ❥✉✐♥ ✷✵✵✼ ❞❡ ✽❤ , ✶✷❤

▲❡" ❝❛♥❞✐❞❛(" "♦♥( ✐♥✈✐(+" , ❡♥❝❛❞%❡% ❧❡✉/" %&'✉❧*❛*' ❡( (❡/❧❡✉/" ❝♦♣✐❡'✳

▲✬✉"❛❣❡ ❞✬✉♥❡ ❝❛❧❝✉❧❛*%✐❝❡ +❧❡❝(/♦♥✐3✉❡ ❡"( ✐♥*❡%❞✐* ✳

▲❡' ✺ ❡①❡%❝✐❝❡' "♦♥( (♦(❛❧❡♠❡♥( ✐♥❞&♣❡♥❞❛♥*'✳ ➚ ❧✬✐♥(+/✐❡✉/ ❞✬✉♥ ❡①❡/❝✐❝❡✱ ❝❡/(❛✐♥❡" 3✉❡"(✐♦♥" "♦♥(

✐♥❞+♣❡♥❞❛♥(❡"✱ ❡( ❞✬❛✉(/❡" ♣❡✉✈❡♥( 9(/❡ (/❛✐(+❡" ❡♥ ❛❞♠❡((❛♥( ❧❡ /+"✉❧(❛( ❞❡" 3✉❡"(✐♦♥" ♣/+❝+❞❡♥(❡"✳ ◆+❛♥♠♦✐♥"

❧❡ ❝❛♥❞✐❞❛( ❞♦✐( ✈❡✐❧❧❡/ , ❜✐❡♥ ♥✉♠+/♦(❡/ ❧❡" 3✉❡"(✐♦♥" 3✉✬✐❧ (/❛✐(❡✳

▲❡ ❝❛♥❞✐❞❛( ♥✬♦✉❜❧✐❡/❛ ♣❛" ❞❡ %❡♥❞%❡ ❛✈❡❝ "❡" ❝♦♣✐❡" ❧❛ ❢❡✉✐❧❧❡ ❞❡ ♣❛♣✐❡% ♠✐❧❧✐♠

❢♦✉/♥✐❡ ♣♦✉/ ❧✬❡①❡/❝✐❝❡ ✹✱ ❡♥ ② /❡♣♦/(❛♥( '♦♥ ♥♦♠✳

❖♥ ♣♦"❡ R(X) = 1−X +X2✳ ❖♥ ❞+✜♥✐( ❧✬❛♣♣❧✐❝❛(✐♦♥ f 3✉✐ , (♦✉( ♣♦❧②♥A♠❡ P ❞❡ 2[X] ❛""♦❝✐❡ ❧❡ ♣♦❧②♥A♠❡

f(P ) = P (X)− 2R(X)P (1).

❖♥ ♥♦(❡ id : P 7→ P ❧✬❛♣♣❧✐❝❛(✐♦♥ ✐❞❡♥(✐( 2[X] ❡( B = (1, X,X2) ❧❛ ❜❛"❡ ❝❛♥♦♥✐3✉❡ ❞❡ 2[X]✳❖♥ ♣♦"❡

A = ccc−1− 2− 2232− 2− 2− 1

❖♥ ♥♦(❡ I3 ❧❛ ♠❛(/✐❝❡ ✐❞❡♥(✐( M3()✳

✶✳ ▼♦♥(/❡/ 3✉❡ f ❡"( ✉♥ ❡♥❞♦♠♦/♣❤✐"♠❡ ❞❡ 2[X]✳

✷✳ ❏✉"(✐✜❡/ 3✉❡ A ❡"( ❧❛ ♠❛(/✐❝❡ ❞❡ f ❞❛♥" ❧❛ ❜❛"❡ ❝❛♥♦♥✐3✉❡ ❞❡ 2[X]✳

✸✳ ▲✬❛♣♣❧✐❝❛(✐♦♥ f ❡"(✲❡❧❧❡ ❜✐❥❡❝(✐✈❡ ❄ ✭❙✐ ♦✉✐✱ ♦♥ ♥❡ ❞❡♠❛♥❞❡ ♣❛" ❞❡ ❞/♠✐♥❡/ f−1✮

✹✳ ❖♥ ♣♦"❡ g = f − id✳

✺✳ ❉♦♥♥❡/ ❧❛ ♠❛(/✐❝❡ ❞❡ g ❞❛♥" ❧❛ ❜❛"❡ B✳ ❈❛❧❝✉❧❡/ ❧❡ /❛♥❣ ❞❡ g✳ ❊♥ ❞✐/❡ 3✉❡ dim((g)) = 2✳

✻✳ ❉/♠✐♥❡/ ✉♥❡ ❜❛"❡ ❞❡ (g) = (f − id)✳

✼✳ ❖♥ ♣♦"❡ h = f + id✳ ❉/♠✐♥❡/ ✉♥❡ ❜❛"❡ ❞❡ (h) = (f + id)✳

✽✳ ❖♥ ♣♦"❡ P1 = X − 1 ❡( P2 = X2 − 1✳

✾✳ ❏✉"(✐✜❡/ 3✉❡ B′ = (P1, P2, R) ❡"( ✉♥❡ ❜❛"❡ ❞❡ 2[X]✳

✶✵✳ ❖♥ ♥♦(❡ D ❧❛ ♠❛(/✐❝❡ ❞❡ f ❞❛♥" ❧❛ ❜❛"❡ B′✳ ❈❛❧❝✉❧❡/ D✳

✶✶✳ ❈❛❧❝✉❧❡/ D2✳ ❊♥ ❞✐/❡ Dn

"❡❧♦♥ ❧❛ ♣❛/✐( ❞❡ n ∈✳

✶✷✳ ❉♦♥♥❡/ ❧❛ ♠❛(/✐❝❡ ❞❡ ♣❛""❛❣❡ P ❞❡ ❧❛ ❜❛"❡ B ❜❛"❡ B′✳ ❉/♠✐♥❡/ "♦♥ ✐♥✈❡/"❡ ✭❧❛ ❝♦♥♥❛✐""❛♥❝❡ ❞❡ ❝❡( ✐♥✈❡/"❡♥✬❡"( ♣❛" ♥""❛✐/❡ ♣♦✉/ ❧❡" ❞❡✉① ❞❡/♥✐" 3✉❡"(✐♦♥"✮✳

✶✸✳ ❈♦♥❥❡❝(✉/❡/ ✉♥❡ ❢♦/♠✉❧❡ ❡①♣/✐♠❛♥( An❛✐❞❡ ❞❡ P,P−1

❡( Dn✱ ♣♦✉/ n ∈✳ ▲❛ ❞♥(/❡/ ♣❛/ ///❡♥❝❡✳

✶✹✳ ❊♥ ❞✐/❡ An"❡❧♦♥ ❧❛ ♣❛/✐( n✳

✶

❛"#✐❡ ❆ ❖♥ ♣♦$❡ f(x) = e−x ln(1 + ex)✳

✶✳ ❖♥ ❝♦♥$✐❞ ❧❛ ❢♦♥❝.✐♦♥ ❞✈❛❜❧❡ g✱ ❞♥✐❡ $✉3 +♣❛3 g(t) =

t

1 + t− ln(1 + t)✳

✷✳ ❈❛❧❝✉❧❡3 g′(t) $✉3 +✳

✸✳ ❊♥ ❞✐3❡ ❧❛ ♠♦♥♦.♦♥✐❡ ❞❡ g✳ ❈❛❧❝✉❧❡3 g(0)✳ ❏✉$.✐✜❡3 $♦✐❣♥❡✉$❡♠❡♥. ❧❡ $✐❣♥❡ ❞❡ g $✉3 ]0; +∞[✳

✹✳ ❉♦♥♥❡3 ❧❡ ❞♦♠❛✐♥❡ ❞❡ ❞♥✐.✐♦♥ ❞❡ f ✳ ❏✉$.✐✜❡3 >✉❡ f ❡$. ❞❡ ❝❧❛$$❡ C1$✉3 ✳ ▼♦♥.3❡3 >✉❡ f ❡$. ♣♦$✐.✐✈❡ $✉3 ✳

✺✳ ▼♦♥.3❡3 >✉❡ ∀x ∈, f ′(x) = e−xg(ex). ❊♥ ❞✐3❡ >✉❡ f ❡$. $.3✐❝.❡♠❡♥. ❞♦✐$$❛♥.❡ $✉3 ✳

✻✳ ❙❛❝❤❛♥. >✉❡ ln(2) ≃ 0, 7✱ ❥✉$.✐✜❡3 ❛✐❞❡ ❞❡$ >✉❡$.✐♦♥$ ♣3❞❡♥.❡$ >✉❡ ✿

∀x ∈ [0, 1], 0f(x)1

✼✳ ❖♥ ♣♦$❡ h(x) = f(x)− x✳

✽✳ ▼♦♥.3❡3 >✉❡ h ❡$. $.3✐❝.❡♠❡♥. ❞♦✐$$❛♥.❡ $✉3 ✳

✾✳ ❊♥ ❞✐3❡ >✉✬✐❧ ❡①✐$.❡ ✉♥ ✉♥✐>✉❡ 3 α ∈ [0; 1] .❡❧ >✉❡ h(α) = 0✳❊♥ ❞✐3❡ >✉❡ f(α) = α✳ ✭➚ ❛✉❝✉♥ ♠♦♠❡♥. ♦♥ ♥❡ ❞❡♠❛♥❞❡ ❞❡ ❝❛❧❝✉❧❡3 ❡①♣❧✐❝✐.❡♠❡♥. α✮

❛"#✐❡ ❇ ❖♥ ❝♦♥$✐❞ (un)n∈ ❧❛ $✉✐.❡ ❞♥✐❡ ♣❛3

{

u0 ∈ [0, 1]un+1 = f(un) ∀n ∈

✶✵✳ ▼♦♥.3❡3 ♣❛3 333❡♥❝❡ >✉❡ ∀n ∈, un ∈ [0, 1]✳

✶✶✳ ▼♦♥.3❡3 >✉❡ ∀x ∈ [0, 1], |f ′(x)||g(e)|✳ O♦✉3 ❧❛ $✉✐.❡ ♦♥ ❛❞♠❡. >✉❡ |g(e)| ≤ 0, 6✳

✶✷✳ ❆ ❧✬❛✐❞❡ ❞✬✉♥❡ ✐♥❧✐.$ ❛❝❝3♦✐$$❡♠❡♥.$ ✜♥✐$✱ >✉✬♦♥ ❥✉$.✐✜❡3❛ $♦✐❣♥❡✉$❡♠❡♥.✱ ♠♦♥.3❡3 >✉❡ ✿

∀n ∈, |un+1 − α|0, 6|un − α|

✶✸✳ ❖♥ ❛❞♠❡. >✉❡ ✿

∀n ∈, |un − α|(0, 6)n

❏✉$.✐✜❡3 ❛❧♦3$ >✉❡ ❧❛ $✉✐.❡ (un) ❝♦♥✈❡3❣❡ ❡. ❞♦♥♥❡3 $❛ ❧✐♠✐.❡✳

❖♥ ❝♦♥$✐❞ ❧✬❛.✐♦♥ ❞✐✛♥.✐❡❧❧❡

y′′ + y′ − 2y = 18xe2x (E)

✶✳ ❉♦♥♥❡3 ❧❛ $♦❧✉.✐♦♥ ❣3❛❧❡ ❞❡ ❧✬❛.✐♦♥ ❤♦♠♦❣ y′′ + y′ − 2y = 0✳

✷✳ ❉3♠✐♥❡3 ✉♥❡ $♦❧✉.✐♦♥ ♣❛3.✐❝✉❧✐ ❞❡ ❧✬❛.✐♦♥ (E)✳

✸✳ ❉♦♥♥❡3 ❧❛ $♦❧✉.✐♦♥ ❣3❛❧❡ ❞❡ ❧✬❛.✐♦♥ (E)✳

❖♥ ❝♦♥$✐❞ ❧❛ ❢♦♥❝*✐♦♥

f : x 7→ arctan

(

1 + x

1− x

)

✶✳ ❉♦♥♥❡/ ❧❡ ❞♦♠❛✐♥❡ ❞❡ ❞♥✐*✐♦♥ ❞❡ f ✳

✷✳ ❈❛❧❝✉❧❡/ f(0)✱ f(−1)✳

✸✳ ❉/♠✐♥❡/ ❧❛ ❧✐♠✐*❡ ❞❡ f ❡♥ +∞ ❡* ❡♥ −∞✳

✹✳ ❉/♠✐♥❡/ ❧❛ ❧✐♠✐*❡ ❞❡ f ❡♥ 1− ❡* ❡♥ 1+✳

✺✳ ❉/♠✐♥❡/ ❧❛ ❝❧❛$$❡ ❞❡ f ✳

✻✳ ❉/♠✐♥❡/ ❧❛ ❞✈❡ f ❡* ❞/❡$$❡/ $♦♥ *❛❜❧❡❛✉ ❞❡ ✈❛/✐❛*✐♦♥$✳

✼✳ ▼♦♥*/❡/ =✉✬✐❧ ❡①✐$*❡ C1 ❡* C2 /$ *❡❧$ =✉❡ $✉/ ] −∞; 1[ ♦♥ ❛✐* f(x) = arctanx + C1 ❡* $✉/ ]1; +∞[✱ ♦♥ ❛✐*f(x) = arctanx+ C2✳ ❉/♠✐♥❡/ ❝❡$ ❝♦♥$*❛♥*❡$✳

✽✳

✾✳ ❊♥ ❝❤♦✐$✐$$❛♥* ❥✉❞✐❝✐❡✉$❡♠❡♥* ❧✬❡①♣/❡$$✐♦♥ ❞❡ f(x)✱ ❞♦♥♥❡/ ❧❡ ❞❧♦♣♣❡♠❡♥* ❧✐♠✐* f ♦/❞/❡ 3 ❡♥ 0✳

✶✵✳ ❊♥ ❞✐/❡ ❧❛ *❛♥❣❡♥*❡ ❝♦✉/❜❡ ❡* ❧❛ ♣♦$✐*✐♦♥ /❡❧❛*✐✈❡ ❞❡ ❧❛ ❝♦✉/❜❡ ❡* ❞❡ $❛ *❛♥❣❡♥*❡ ❡♥ 0 ❛✉ ✈♦✐$✐♥❛❣❡ ❞❡ 0✳

✶✶✳ ❙✉/ ♣❛♣✐❡/ ♠✐❧❧✐♠❛❝❡/ ❧❛ ❝♦✉/❜❡ ❞❡ f ✱ ❧❡$ ❛$②♠♣*♦*❡$✱ ❧❡$ ♣♦✐♥*$ ♣❛/*✐❝✉❧✐❡/$ ❝❛❧❝✉❧♥ ✷✮ ❡* ❧❛ *❛♥❣❡♥*❡ ❡♥

0✱ ❞❛♥$ ✉♥ /❡♣ ♦/*❤♦♥♦/♠/❡❝*✳

❖♥ ❞♦♥♥❡ ❧❡$ ✈❛❧❡✉/$ ❛♣♣/♦❝❤ $✉✐✈❛♥*❡$ ✿

π π

2

π

4f(−3) f(3)

3, 1 1, 6 0, 8 −0, 5 −1, 1

L♦✉/ *♦✉* ❡♥*✐❡/ n ❞❡ ∗✱ ♦♥ ❝♦♥$✐❞ ❧✬✐♥*❛❧❡✿

In = 1e(lnx)nx

✶✳

✷✳ L♦✉/ *♦✉* x ∈]1; e[ ❡* ♣♦✉/ *♦✉* n ∈∗✱ ❞/♠✐♥❡/ ❧❡ $✐❣♥❡ ❞❡ (lnx)n+1 − (lnx)n✳

✸✳ ❊♥ ❞✐/❡ =✉❡ ❧❛ $✉✐*❡ (In) ❡$* ♠♦♥♦*♦♥❡✳

✹✳ ❉/♠✐♥❡/ ❧❡ $✐❣♥❡ ❞❡ In ♣♦✉/ n ∈∗✳

✺✳ ❊♥ ❞✐/❡ =✉❡ ❧❛ $✉✐*❡ (In) ❝♦♥✈❡/❣❡✳

✻✳

✼✳ ❈❛❧❝✉❧❡/ I1 ❛✐❞❡ ❞✬✉♥❡ ✐♥*❛*✐♦♥ ♣❛/ ♣❛/*✐❡$✳

✽✳ ▼♦♥*/❡/ =✉❡ ♣♦✉/ n ∈∗✿In+1 = e− (n+ 1)In.

✾✳

✶✵✳ ❉♥*/❡/ =✉❡✱ ♣♦✉/ n ∈∗✱ (n+ 1)In ≤ e✳

✶✶✳ ❆✈❡❝ ❧❛ =✉❡$*✐♦♥ ♣/❞❡♥*❡✱ /❡❞♥*/❡/ =✉❡ (In) ❝♦♥✈❡/❣❡ ❡* ❞♦♥♥❡/ ❝❡**❡ ❢♦✐$ $❛ ❧✐♠✐*❡✳

✶✷✳ ❉/♠✐♥❡/ ❧❛ ❧✐♠✐*❡ ❞❡ nIn✳



7 juin 2006 de 8h a 12h

Les candidats sont invites a encadrer leurs resultats.L’usage d’une calculatrice electronique est interdit .L’exercice et les 3 problemes sont totalement independants. A l’interieur d’un probleme, denombreuses questions sont independantes, et d’autres peuvent etre traitees en admettant le resultatdes questions precedentes. Neanmoins le candidat doit veiller a bien numeroter les questionsqu’il traite.

Exercice

On donne les matrices

A =

0 1 2−2 3 2−1 1 3

, P =

1 1 11 0 10 1 1

.

1. Montrer que P est inversible et calculer P−1.

2. Montrer que P−1AP est une matrice diagonale notee D.

3. Soit f un endomorphisme de R3. Si A represente la matrice de f dans la base canonique, dans

quelle base, D est-elle la matrice de f ?

4. Que vaut Dn, n ∈ N ? (Inutile de rediger la recurrence)

5. Trouver une relation entre An, P, P−1, D, n ∈ N. La montrer par recurrence

6. En deduire les coefficients de la matrice An, n ∈ N.

Premier Probleme

Soit E le R-espace vectoriel des applications de [−π

2, π

2] dans R. Soit F l’ensemble des applications

f de E definies par f(x) = ex(a+ b sinx+ c cosx), ou a, b, c sont trois reels quelconques.

Partie A

1. (a) Rappeler un resultat du cours permettant de montrer qu’un ensemble F est un sous-espacevectoriel de E.

(b) En utilisant le resultat rappele ou une autre methode, demontrer que F est un sous-espacevectoriel de E.

2. Soit∀x ∈ [−

π

2,π

2], f1(x) = ex, f2(x) = ex sinx, f3(x) = ex cosx.

(a) Montrer que B = (f1, f2, f3) est une famille libre.

(b) En deduire la dimension de F .

3. Soit f une fonction de F de coordonnees (a, b, c) dans la base B.

(a) Calculer la derivee f ′ et la derivee seconde f ′′ de f .

(b) Montrer que f ′ et f ′′ appartiennent a F et donner leurs coordonnees dans la base B.

(c) Preciser f(π/2), f ′(π/2), f ′′(π/2) en fonction de a, b, c.

(d) Determiner alors l’ensemble des elements de F verifiant la condition (⋆) :

(⋆) f(π/2) = f ′(π/2) = f ′′(π/2) = 0.

Partie B

Soit ϕ l’endomorphisme de F qui a la fonction f de coordonnees (a, b, c) dans la base B associe lafonction h de coordonnees : a′ = 3a+ 4b, b′ = −2a− 3b, c′ = 2a+ 2b− c dans la meme base.

1. Montrer soigneusement que la matrice de l’application lineaire ϕ est :

A =

3 4 0−2 −3 02 2 −1

2. (a) Determiner une base de Ker(ϕ− Id), c’est a dire l’ensemble des f ∈ F verifiant ϕ(f) = f .

(b) Determiner une base de Ker(ϕ+ Id), c’est a dire l’ensemble des f ∈ F verifiant ϕ(f) = −f .

3. Demontrer que Ker(ϕ− Id) et Ker(ϕ+ Id) sont des espaces vectoriels supplementaires dans F .

4. Rappeler la definition d’une symetrie.

5. Montrer que ϕ est une symetrie et donner ses elements caracteristiques.

6. Calculer A2 puis An pour n ∈ N.

Partie C

On pose

∀x ∈ [−π

2,π

2], g1(x) = ex(2− sinx+ cosx), g2(x) = ex cosx, g3(x) = ex(sinx− 1).

1. Montrer que B′ = (g1, g2, g3) est une base de F .

2. Exprimer ϕ(g1),ϕ(g2),ϕ(g3) en fonction de g1, g2, g3.

3. En deduire D, matrice de ϕ dans la base B′.

Second probleme

Dans ce probleme, on se propose d’etudier la fonction f definie par

f(x) =ln(1 + x2)

x− x

1. Premiers resultats

(a) Donner le domaine de definition de f .

(b) Montrer que f est C∞ sur son domaine de definition.

(c) Etudier la parite de f . Qu’en deduit-on pour la courbe de f ?

(d) Calculer soigneusement limx→+∞

f(x) + x. En deduire que C admet une asymptote ∆ en +∞

et en −∞.

(e) Determiner la position de la courbe par rapport a ∆ sur R∗ tout entier.

2. Etude d’une fonction auxiliaire

Soit g definie sur [1,+∞[ par g(t) = t ln t+ (t− 1)(t− 2).

(a) Calculer la derivee seconde de g. En deduire les variations de g′ sur [1,+∞[.

(b) En deduire le signe de g sur [1,+∞[.

2

3. Etude des variations de f

(a) Calculer la derivee f ′ de f et montrer que

f ′(x) =g(1 + x2)

−x2(1 + x2)

(b) Dresser le tableau des variations de f sur ]0,+∞[ avec les limites et les valeurs particulieres.

4. Prolongement en 0

(a) Determiner le developpement limite a l’ordre 3 de f au voisinage de 0.

(b) Montrer que f se prolonge par continuite sur R en une fonction notee ϕ.

(c) Montrer que ϕ est derivable sur R. Est-elle de classe C1 sur R ?

(d) Donner la tangente en 0 a la courbe de ϕ et etudier la position relative de la courbe et de latangente au voisinage de 0.

(e) Tracer l’allure du graphe de ϕ dans un repere orthonorme direct en faisant apparaıtre tousles elements caracteristiques de l’etude.

Troisieme probleme

On considere pour tout entier naturel n, l’application ϕn definie sur R par :

∀x ∈ R, ϕn(x) = (1− x)ne−2x,

ainsi que l’integrale

In =

∫ 1

0

ϕn(x)dx.

1. Justifier que, pour tout n ∈ N, In est bien definie.

2. Calculer I0 et I1.

3. Montrer que la suite (In) est decroissante.

4. Determiner le signe de In.

5. En deduire que (In) est convergente. Que peut-on dire de sa limite, qu’on ne demande pas decalculer ici ?

6. Soit n ∈ N∗. Calculer

∫ 1

0

(1− x)ndx puis montrer que

0 ≤ In ≤1

n+ 1.

7. Retrouver que (In) converge et preciser cette fois sa limite.

8. Montrer que :∀n ∈ N, 2In+1 = 1− (n+ 1)In.

9. En deduire la limite de nIn lorsque n tend vers +∞.

10. Determiner la limite de n(nIn − 1) lorsque n→ +∞.

11. A l’aide des questions precedentes, determiner a, b, c ∈ R tels que

In = a+b

n+

c

n2+

1

n2ε(n) avec lim

n→+∞ε(n) = 0.

3



4 Juin 2005 de 8h a 12h

Les candidats sont invites a encadrer leurs resultats.L’usage d’une calculatrice electronique est interdit .Les 2 problemes sont totalement independants. A l’interieur d’un probleme, de nombreusesquestions sont independantes, et d’autres peuvent etre traitees en admettant le resultat des questionsprecedentes. Neanmoins le candidat doit veiller a bien numeroter les questions qu’il traite.Le probleme Algebre compte pour la moitie des points environ.

ALGEBRE

I. Etude d’un endomorphismeOn considere l’espace vectoriel E = R2[X] et f l’application definie pour tout polynome P de E

parf(P ) = (1−X − 2X2)P (1) + 2P ′(0)(X +X2)

On pose e0 = 1, e1 = X, e2 = X2 et on designe par B = (e0, e1, e2) la base canonique de E.


2. Donner la matrice de l’application lineaire f dans la base canonique B.

3. Determiner le rang de f , en deduire la dimension du noyau de f .

4. Determiner une base de l’image de f .

5. Determiner une base du noyau de f .

II. Exponentielle d’une matrice d’ordre 3Soient A et P les matrices definies par :

A =

1 1 1−1 1 −1−2 0 −2

, P =

1 −2 −30 1 1−1 3 5

.

1. Montrer que la matrice P est inversible et determiner P−1 (tous les calculs doivent figurer sur lacopie).

2. On pose T = P−1AP .

(a) Question de cours : Si on considere que A est la matrice dans la base canonique d’un endo-

morphisme de R3, a quoi correspond le calcul T = P−1AP ? Que representent les colonnes

de P ?

(b) Calculer la matrice T .

(c) Calculer T 2, T 3 puis Tn pour tout entier naturel n ≥ 3.

(d) Montrer par recurrence que pour tout n ∈ N, An = PTnP−1.

(e) En deduire que :∀n ≥ 3, An = 0,

ou 0 designe la matrice nulle d’ordre 3.

3. Pour tout reel t, on definit la matrice E(t) par :

E(t) = I + tA+t2

2A2,

ou I designe la matrice identite d’ordre 3.

(a) Montrer que∀t, t′ ∈ R, E(t)E(t′) = E(t+ t′).

(b) Calculer E(0). En deduire que pour tout t reel, la matrice E(t) est inversible et determinerson inverse en fonction de I, A,A2, t.

(c) Pour tout t reel et pour tout entier naturel n, determiner (par recurrence) [E(t)]n en fonctionde I, A,A2, t et n.

4. Montrer que H = {E(t), t ∈ R} est un sous-groupe d’un groupe multiplicatif a preciser. Est-ilcommutatif ?

III. Exponentielle d’une matrice carree d’ordre 2Soient B et D les matrices definies par

B =

(

0 −12 3

)

, D =

(

1 00 2

)

, X =

(

x

y

)

On note S1 = {X ∈ R2, tel que BX = X} et S2 = {X ∈ R

2, tel que BX = 2X}.

Pour tout entier naturel n non nul, et pour tout reel t, on definit la matrice En(t) par :

En(t) =

n∑

k=0

tk

k!Bk que l′on note En(t) =

(

an(t) cn(t)bn(t) dn(t)

)

1. (a) Question de cours : rappeler comment on peut montrer que F ⊂ E est un sous-espacevectoriel de E.

(b) Montrer que S1 est un sous-espace vectoriel de R2. On admet que S2 est aussi un sous-espacevectoriel de R

2.

(c) Determiner une base de S1 et une base de S2.

(d) Montrer que R2 = S1

⊕

S2.

2. On pose

Q =

(

1 1−1 −2

)

(a) Verifier que D = Q−1BQ.

(b) Calculer Dn, n ≥ 0, (ne pas rediger la recurrence). Etablir (sans rediger la recurrence) uneexpression de Bn, n ≥ 0 en fonction de Q,D, n.

(c) Montrer que :

Bn =

(

2− 2n 1− 2n

2n+1 − 2 2n+1 − 1

)

.

3. Montrer que :

∀n ∈ N, an(t) =

n∑

k=0

2tk − (2t)k

k!.

Exprimer de meme bn(t), cn(t), dn(t) sous la forme d’une somme.

4. On admet que ∀x ∈ R

limn→+∞

n∑

k=0

xk

k!= ex

En deduire les limites de an(t), bn(t), cn(t), dn(t) lorsque n tend vers +∞.

2

5. Calculer

E(t) = limn→+∞

En(t) =

(

limn→+∞

an(t) limn→+∞

cn(t)

limn→+∞

bn(t) limn→+∞

dn(t)

)

ANALYSE

On definit deux fonctions de la variable reelle x :

f(x) =ln(x)

1 + x2

F (x) =

∫ x

1

ln(t)

1 + t2dt =

∫ x

1

f(t)dt

.

On note Cf la courbe representative de f et CF celle de F .

I. Etude de f .

1. Justifier que f est de classe C∞ sur R∗+.

2. Montrer que pour tout x > 0, f ′(x) est du signe de g(x) = 1 + x2 − 2x2 ln(x).

3. Question de cours : Soit a ∈ R, donner selon les valeurs de a les limites limx→+∞

xa ln(x) et

limx→0+

xa ln(x).

4. (a) Etudier les variations de g. Calculer les limites aux bornes et dresser le tableau de variationcomplet de la fonction g.

(b) Justifier qu’il existe un unique reel α > 0 tel que g(α) = 0.

5. En deduire le tableau de variation complet de f . En particulier, on montrera que f(α) =1

2α2.

6. Determiner le developpement limite a l’ordre 2 de f au point x = 1.

7. En deduire l’equation de la tangente T1 a la courbe Cf au point d’abscisse 1. Etudier la positionde la tangente T1 par rapport a Cf au voisinage du point d’abscisse 1.

8. Donner l’allure de Cf dans un repere orthonorme direct, en faisant apparaıtre tous les elementsremarquables, ainsi que T1. (On prendra α ≃ 2.)

II. Etude de F .

1. (a) Question de cours : Que represente F par rapport a f ?

(b) Quelle est alors la classe de F sur R∗+ ?

(c) Sans calculer la derivee, determiner le signe de F (x) sur R∗+.

(d) Calculer F ′, puis en deduire un developpement limite a l’ordre 3 de F au point x = 1.

2. Montrer a l’aide d’un changement de variable que ∀x > 0 F ( 1x) = F (x).

3. On pose h(x) =arctanx

xpour x 6= 0.

(a) Montrer que h est prolongeable par continuite en 0. La nouvelle fonction ainsi obtenue, definiesur R, sera encore notee h.

(b) Pour x ∈ R, on pose H(x) =

∫ x

1

h(t)dt. Justifier que H ∈ C1(R).

4. (a) Montrer que ∀x > 0 F (x) = arctan(x) ln(x)−

∫ x

1

h(t)dt = arctan(x) ln(x)−H(x).

(b) En deduire que F est prolongeable par continuite en 0, on ne demande pas une valeurnumerique pour F (0). La nouvelle fonction ainsi obtenue sera encore notee F .

(c) Montrer que F admet une limite finie lorsque x tend vers +∞ (On ne demande pas la valeurnumerique de cette limite). Qu’en deduit-on pour CF ?

5. Montrer que F n’est pas derivable a droite en 0. Qu’en deduit-on pour CF au point d’abscisse 0 ?

3

6. Etablir le tableau de variation complet de F .

III. Valeur approchee de F (0).

1. Pour k ∈ N∗ et x > 0, on pose Ik(x) =

∫ x

1

tk ln(t)dt. A l’aide d’une integration par parties,

calculer Ik(x). En deduire limx→0+

Ik(x).

2. Question de cours : Soient q ∈ R et n ∈ N∗, que vaut

n∑

k=0

qk ?

3. Montrer que ∀n ∈ N∗, ∀x > 0

1

1 + x2=

n∑

k=0

(−1)kx2k + (−1)n+1 x2n+2

1 + x2.

4. En deduire une expression de F (x)−n∑

k=0

(−1)kI2k(x) sous la forme d’une integrale.

Puis montrer que ∀x ∈]0; 1[,

∣

∣

∣

∣

∣

F (x)−

n∑

k=0

(−1)kI2k(x)

∣

∣

∣

∣

∣

≤ I2n+2(x).

5. On pose pour n ∈ N∗, un =

n∑

k=0

(−1)k

(2k + 1)2.

(a) Montrer que ∀n ∈ N∗ |F (0)− un| ≤

1

(2n+ 3)2.

(b) Justifier que la suite (un)n∈N est convergente et donner sa limite.

(c) Donner, en expliquant la methode utilisee, une valeur approchee a 10−1 pres de F (0), onexprimera cette derniere sous forme d’un quotient .

6. Donner l’allure de CF dans un repere orthonorme direct, en faisant apparaıtre tous les elementsremarquables.

4



9 Juin 2004 de 8h a 12h

Les candidats sont invites a encadrer, leurs resultats.L’usage d’une calculatrice electronique est interdit .Les 2 problemes sont totalement independants. A l’interieur d’un probleme, de nombreusesquestions sont independantes, et d’autres peuvent etre traitees en admettant le resultat des questionsprecedentes. Neanmoins le candidat doit veiller a bien numeroter les questions qu’il traite.

ALGEBRE

I. Etude d’un endomorphisme

On considere l’espace vectoriel E = R2[X] et f l’application definie pour tout polynome P de Epar

f(P ) = (3 +X)P (0)− 2P ′(0) +P ′′(0)

2(3 + 2X + 2X2).

On pose e0 = 1, e1 = X, e2 = X2 et on designe par B = (e1, e2, e3) la base canonique de E.Enfin, IdE designe l’application identite de E.


2. Montrer que dans la base canonique B la matrice de f est

A =

3 −2 31 0 20 0 2

.

3. L’application f est-elle bijective ?

4. Determiner une base et la dimension de

Ker(f − IdE) = {P ∈ E | f(P ) = P}.

5. Determiner une base et la dimension de Ker(f − 2IdE).

II. Calcul des puissances de A

1. On pose u1 = 1 +X,u2 = 2 +X et u3 = 1 +X +X2. Montrer que C = (u1, u2, u3) est une basede E.

2. De preference sans utiliser de matrice de passage, determiner T , matrice de f dans la base C.

3. A l’aide de la formule du binome, montrer que pour tout n ∈ N∗, on a :

Tn =

1 0 00 2n n2n−1

0 0 2n

4. Determiner la matrice de passage P de la base B a la base C. Determiner son inverse P−1.

5. Rappeler la relation matricielle entre A, P et T .

6. Par recurrence, en deduire une relation entre An, P, T et n ∈ N∗.

7. En deduire l’ecriture matricielle de An en fonction de n ∈ N∗ (Preciser les coefficients de An).

III. Matrices commutant avec A.

M3(R) designant l’ensemble des matrices carrees d’ordre 3, on considere le sous-ensemble C(A)deM3(R) des matrices M telles que :

AM =MA.

1. Montrer que C(A) est un sous-espace vectoriel deM3(R).

2. Pour M appartenant aM3(R), on pose M′ = P−1MP . Montrer que :

AM =MA⇐⇒ TM ′ =M ′T.

3. Montrer qu’une matrice M ′ deM3(R) verifie TM′ =M ′T si et seulement si M ′ est de la forme

a 0 00 b c

0 0 b

ou a, b, c sont reels.

4. En deduire, en fonction de a, b, c, quelle doit etre la forme des matrices M de C(A). Preciser lescoefficients de M .

5. En deduire une base et la dimension de C(A).

IV. Etude de suites couplees

On considere le systeme de suites couplees recurrentes defini par :

un+1 = 3un − 2vn + 3wn

vn+1 = un + 2wn

wn+1 = 2wn

et u0 = 1, v0 = 2, w0 = 3. On pose

Xn =

un

vnwn

, X0 =

123

1. Exprimer Xn+1 en fonction de A,Xn. Pour n ∈ N∗, en deduire Xn en fonction de A,X0, n (ne pas

rediger la recurrence).

2. Pour n ∈ N∗, en deduire l’expression de un, vn et wn en fonction de n.

3. Determiner les limites des trois suites en +∞.

2

ANALYSE

On considere les fonctions ch et sh definies sur R par :

ch(x) =ex + e−x

2, sh(x) =

ex − e−x

2

ainsi que la fonction f definie sur R par :

{

f(x) =x

sh(x)si x 6= 0

f(0) = 1

I. Etude de la fonction f

1. Question de cours : rappeler le tableau de variations, les limites aux bornes et l’allure du graphedes fonctions sh et ch.

2. Etudier la parite de f .

3. Determiner la limite de f en +∞.

4. Donner le developpement limite a l’ordre 2 en 0 de f .

5. Etudier la continuite et la derivabilite de f sur R. Preciser ce qui se passe en 0 (tangente eventuelleet position relative).

6. Montrer que la fonction f est strictement decroissante sur ]0,+∞[ (pour etudier le signe de laderivee, on pourra s’aider d’une fonction auxiliaire).

7. Donner l’allure de la courbe representative de f dans un repere orthonorme (unite 5cm).

II. Etude d’une courbe parametree

Soit g la fonction definie sur R par g(x) =x

x2 + x+ 1.

1. Etudier les variations de g ainsi que ses limites en +∞ et −∞.

2. On considere la courbe parametree de representation parametrique :

Γ

{

x(t) = f(t)y(t) = g(t), t ∈ R

(a) Dresser le tableau des variations simultanees de x et y. Preciser en particulier le vecteurtangent pour les parametres t = 0, t = 1 et t = −1.

(b) Donner l’allure de la courbe parametree (unite 5cm). On donne f(1) ≃ 0.85

III. Etude d’un point fixe de f .On donne

f(0.8) ≃ 0.9, f(1) ≃ 0.85, sh(0.6) ≃ 0.64, sh(0.8) ≃ 0.89, sh(1) ≃ 1.18, sh(1.2) ≃ 1.51

1. Etude de l’equation (E) : f(x) = x

(a) Montrer que (E) n’a pas de solution sur ]−∞, 0].

(b) Montrer que sur ]0 +∞[, l’equation (E) admet une unique solution α (on pourra etudier lesvariations de ϕ : x 7→ f(x)− x sur ]0,+∞[).

(c) Montrer que α ∈ [0.8, 1].

2. On pose h(x) = shx− xchx.

(a) Justifier que :

∀x ∈ [0.8, 1],h(1)

sh2(0.8)≤ f ′(x) ≤

h(0.8)

sh2(1).

3

(b) On donne :h(1)

sh2(0.8)≃ −0.47 et

h(0.8)

sh2(1)≃ −0.13.

Montrer que pour tous a, b ∈ [0.8, 1], on a :

|f(b)− f(a)| ≤ 0.5|b− a|.

3. Etude d’une suite recurrente associee a f . On definit la suite (un) par :

{

u0 = 1∀n ∈ N, un+1 = f(un).

(a) Justifier que f([0.8, 1]) ⊂ [0.8, 1] puis que :

∀n ∈ N, un ∈ [0.8, 1].

(b) Montrer que :∀n ∈ N, |un+1 − α| ≤ 0.5|un − α|,

(c) Par recurrence, montrer que

∀n ∈ N, |un − α| ≤ 0.2(0.5)n.

(d) En deduire la limite de la suite (un) lorsque n→ +∞.

(e) Donner une valeur de l’entier N pour laquelle on a |uN − α| ≤ 10−3.

4



11 Juin 2003 de 8h a 12h

Les candidats sont invites a encadrer, leurs resultats.L’usage d’une calculatrice electronique est interdit .De nombreuses questions sont independantes, et d’autres peuvent etre traitees en admettant le resultatdes questions precedentes. Neanmoins le candidat doit veiller a bien numeroter les questions qu’il traite.

Preliminaires

1. Calculer une primitive de la fonction x 7→ lnx sur ]0,+∞[.

2. Pour tout entier naturel n non nul, on considere la fonction gn : x 7→ xn lnx.

(a) Montrer que gn se prolonge par continuite a l’intervalle [0,+∞[. On notera encore gn ceprolongement.

(b) En deduire que gn admet une primitive sur [0,+∞[. Soit A > 0 ; calculer

∫ x

A

gn(t) dt en

fonction de n, A et x.

(c) Calculer∫ x

0

gn(t)dt = limA→0

∫ x

A

gn(t)dt.

Partie A

Soit E = C0(R+,R) l’ensemble des fonctions numeriques de la variable reelle x continues sur [0,+∞[.On considere les fonctions f1, f2, g1, g2 definies par :

f1(x) = x, f2(x) = x2,

{

g1(x) = x lnx si x > 0g1(0) = 0

,

{

g2(x) = x2 lnx si x > 0g2(0) = 0

ainsi definies, les fonctions g1 et g2 sont bien continues (voir les preliminaires).

1. Etudier la derivabilite des fonctions g1 et g2 sur [0,+∞[. Donner une interpretation graphique dela derivabilite ou non en zero.

2. (a) Etudier les variations des fonctions f1, f2, g1, g2.

(b) Classer ces fonctions par ordre de negligeabilite en +∞.

(c) Determiner le developpement limite a l’ordre 2 des fonction g1 et g2 au point x = 1. Endeduire l’equation des tangentes aux courbes representatives de g1 et g2 en 1, et la positionrelatives des courbes par rapport aux tangentes.

3. Construire les courbes representatives des fonctions f1, f2, g1, g2 dans un plan rapporte a un memerepere. On donne les valeurs approchees suivantes : e ≈ 2.7, e−1 ≈ 0.4 et e−1/2 ≈ 0.6.

1

Partie B

On considere les ensembles E1 et E2 definis par :

E1 = Vect(f1, g1), E2 = Vect(f1, f2, g1, g2).

1. Determination d’une base de E1 :

(a) Demontrer que (f1, g1) est une famille libre de E.

(b) En deduire une base de E1 puis la dimension de E1.

2. Determination d’une base de E2 :

Soient α, β, γ et δ quatre nombres reels tels que : αf1 + βf2 + γg1 + δg2 = 0.

(a) Montrer que cette egalite conduit a :

∀x ∈]0,+∞[\{1},α

x lnx+

β

ln(x)+

γ

x+ δ = 0

En deduire la valeur de δ.

(b) Demontrer que (f1, g1, f2, g2) est une famille libre de E.

(c) En deduire la dimension de E2.

Partie C : etude d’un endomorphisme de E2

Etant donnee une fonction f dans E, on definit la fonction ϕ(f) par

∀x ∈ R+, ϕ(f)(x) =

∫ 1

0

f(xt)dt

1. Demontrer que l’application ϕ : f 7→ ϕ(f) est une application lineaire de E dans E.

2. A l’aide d’un changement de variable a preciser, montrer que pour tout f de E, on a

ϕ(f)(x) =1

x

∫ x

0

f(u) du si x > 0

ϕ(f)(0) = f(0)

3. Matrice de ϕ.

A partir de maintenant, on note ϕ la restriction de ϕ a E2.

(a) Montrer que

ϕ(g2) =1

3g2 −

1

9f2.

(b) Determiner les images par ϕ de f1, f2 et g1.

(c) En deduire la matrice A de ϕ dans la base (f1, f2, g1, g2)

Partie D : etude d’une equation differentielle

On s’interesse dans cette partie a l’equation differentielle suivante :

xy′(x) + y(x) = f(x) (ED)

ou le second membre f est une fonction dans E, et la fonction inconnue y est de classe C1 sur ]0,+∞[.

1. Montrer que ϕ(f) est une solution particuliere de (ED).

2. On considere maintenant l’equation homogene associee a (ED) :

xy′(x) + y(x) = 0 (ED0)

2

(a) Soit y une solution de (ED0). Montrer que la fonction x 7→ xy(x) est constante sur ]0,+∞[.

(b) Reciproquement, montrer que les fonctions de la forme x 7→C

x, avec C constante, sont

solutions de (ED0)

3. En deduire que les solutions de (ED) sont les fonctions de la forme x 7→ ϕ(f)(x)+C

xavec C ∈ R.

4. Si f est un element de E2, exprimer les solutions de (ED) en fonction des coordonnees de f dansla base (f1, f2, g1, g2).

Partie E : etude des composees ϕn de ϕ

On definit, jusqu’a la fin du probleme, la notation ϕn par ϕ0 = IdE2, et pour tout entier n, ϕn+1 = ϕ◦ϕn.

Autrement dit, ϕn = ϕ ◦ ϕ ◦ · · · ◦ ϕ (ou ϕ apparait n fois).

1. Montrer que ϕ est bijective puis determiner la matrice de sa reciproque dans la base (f1, f2, g1, g2)de E2.

2. Demontrer par recurrence que la matrice de ϕn dans la base (f1, f2, g1, g2) est :

An =

(

1

2

)n0 an 0

0(

1

3

)n0 bn

0 0(

1

2

)n0

0 0 0(

1

3

)n

ou an et bn sont les termes de deux suites numeriques (an) et (bn) verifiant :

a0 = b0 = 0 et ∀n ∈ N

{

an+1 =1

2an −

1

4

(

1

2

)n

bn+1 =1

3bn −

1

9

(

1

3

)n

3. Calculer a1, a2, a3. Montrer par recurrence que pour tout n ∈ N, an = −1

4n(

1

2

)n−1.

De meme on montre par recurrence (admis : ne pas le faire) que pour tout n ∈ N, bn = −1

9n(

1

3

)n−1.

Partie F :Etude du comportement de Γn =∑n

k=0ϕk quand n tend vers +∞

1. Soit n un entier naturel non nul ; on considere la fonction numerique de la variable reelle x definie

par h(x) =n

∑

k=1

kxk−1.

(a) Calculer h(1).

(b) Calculer une primitive de H de h. Simplifier, pour x 6= 1, l’expression de H(x) obtenue.

(c) En deduire que pour x 6= 1

h(x) =nxn+1 − (n+ 1)xn + 1

(1− x)2.

2. Determiner la matrice Bn de Γn =

n∑

k=0

ϕk dans la base (f1, f2, g1, g2) de E2.

3. (a) Determiner la limite des suites definissant les coefficients de Bn. On notera B la matrice ainsiobtenue.

(b) Montrer que B est inversible et determiner sa matrice inverse B−1.

3



11 Juin 2002 de 8h a 12h

Les candidats sont invites a encadrer, leurs resultats.L’usage d’une calculatrice electronique est interdit .Les 3 problemes sont totalement independants. A l’interieur d’un probleme, de nombreusesquestions sont independantes, et d’autres peuvent etre traitees en admettant le resultat des questionsprecedentes. Neanmoins le candidat doit veiller a bien numeroter les questions qu’il traite.La partie Algebre de ce sujet compte pour environ la moitie des points.

ALGEBRE

Probleme 1

On note Rn[X] l’espace vectoriel des polynomes de degre inferieur ou egal a n, ou n est un entiernaturel superieur ou egal a 2.On definit les polynomes e0 = 1 et pour 1 ≤ k ≤ n, ek = Xk.On definit l’application f qui a tout polynome P associe le polynome

f(P ) = P (X) + (1 +X +X2)P (1).

1. Montrer que f est un endomorphisme de Rn[X].

On suppose dans toute la suite du probleme que n = 2.

2. On note A la matrice de f dans la base canonique B.

(a) Preciser A.

(b) L’application f est-elle un automorphisme ?

3. (a) Determiner Inv(f), ensemble des polynomes de R2[X] invariants par f , c’est a dire :

Inv(f) = {P ∈ R2[X] : f(P ) = P}

(b) Donner une base de Inv(f).

4. Determiner Ker(f − 4Id), c’est-a-dire l’ensemble des P ∈ R2[X] verifiant f(P ) = 4P .

5. On pose e′1 = X − 1, e′2 = X2 − 1, e′3 = X2 +X + 1.

(a) Montrer que (e′1, e′

2, e′

3) forment une base de R2[X] notee B′.

(b) Preciser la matrice D de f dans la base B′.

(c) Les espaces Inv(f) et Ker(f − 4Id) sont-ils supplementaires ?

6. (a) Determiner la matrice de passage P de la base B a la base B′.

(b) Calculer P−1.

(c) Calculer Dn pour n ∈ N.

(d) Etablir par recurrence une relation entre An et Dn, n ∈ N.

(e) Donner sous forme de tableau l’expression de An pour n ∈ N.

(f) La formule est-elle vraie pour n < 0 ?

7. On pose Q(X) = X + 1. Determiner le polynome P verifiant fof(P ) = Q.

Probleme 2

On designe par F = F(N,R) le R-espace vectoriel des suites a valeurs reelles. On definit l’ensemble

G = {u ∈ F |∀n ∈ N, un+2 =3

2un+1 + un.}

1. Montrer que G est un sous-espace vectoriel de F .

2. Soit q un reel non nul. Determiner pour quelles valeurs de q la suite geometrique u = (qn)n∈N (depremier terme egal a 1) appartient a G.

3. On definit l’application Φ de G vers R2 par Φ(u) = (u0, u1) (on rappelle que u0 et u1 designent

respectivement le premier et le deuxieme terme de la suite).

(a) Montrer que Φ est lineaire.

(b) Soit u une suite de G. Montrer par recurrence que si ses deux premiers termes sont nuls alorsla suite u est nulle. En deduire que Φ est injective.

(c) Montrer que Φ est un isomorphisme.

(d) En deduire que G est un espace vectoriel de dimension 2.

4. On pose a = ((− 1

2)n)n∈N et b = (2n)n∈N. Montrer que ces deux suites forment une base de G.

5. Soit u une suite de G verifiant u0 = 2 et u1 = 3

2.

(a) Exprimer un en fonction de an et bn puis en fonction de n pour n ≥ 0.

(b) Calculer :

limn→+∞

un

2n−1.

ANALYSE

Ce probleme comporte trois parties. La partie I est independante des parties II et III. La partie IIIutilise des resultats de la partie II.


f(x) = (x− 1)2 arctan1

x

et on note C sa courbe representative dans un repere orthonorme.

Partie I Etude de f .

1. Donner l’ensemble de definition D de f .

2. Determiner les limites de f en +∞ et −∞.

3. Montrer que l’on ne peut pas prolonger f par continuite sur R.

4. (a) Justifier que f est derivable sur D et calculer sa derivee. Mettre f ′ sous la forme f ′(x) =(x− 1)g(x) ou g est une fonction que l’on precisera.

(b) Calculer la derivee de g et montrer que g′ est negative sur R∗.

(c) Determiner les limites de g aux bornes D, et construire le tableau de variation de g. Endeduire le signe de g sur R∗

(d) Dresser finalement le tableau de variations de f .

5. (a) Calculer les limites de f ′ en zero a gauche et a droite.

(b) En deduire l’existence de deux demi-tangentes a la courbe C en 0.

6. Determiner le(s) zero(s) de f , ainsi que la (les) tangente(s) en ce(s) point(s).

2

7. (a) Determiner le developpement limite a l’ordre 3 de la fonction arctan au voisinage de 0.

(b) Montrer que, au voisinage de +∞ ou −∞, on a

f(x) = x− 2 +2

3x+ o

(

1

x

)

(c) En deduire que C admet une asymptote que l’on precisera. Preciser egalement la position deC par rapport a l’asymptote au voisinage de +∞ et −∞.

8. Representer l’allure de la courbe representative C. On fera figurer sur le dessin les differentesinformations concernant f trouvees dans cette partie.

Partie II Primitive de f .

L’objectif de cette partie est de calculer F (x) =

∫

x

1

f(t) dt pour x > 0.

1. A l’aide d’une integration par partie, exprimer F (x) en fonction de

∫

x

1

(t− 1)3

t2 + 1dt.

2. Effectuer la division euclidienne de (X − 1)3 par X2 +1, et en deduire quatre reels a, b, c et d telsque

(t− 1)3

t2 + 1= at+ b+

ct

t2 + 1+

d

t2 + 1

3. Calculer finalement F (x).

4. Montrer qu’au voisinage de +∞, F (x) ∼x2

2

Partie III Une suite associee a f

On definit pour tout n ≥ 1 la suite un par

un = f(1) + f(2) + · · ·+ f(n) =n∑

k=1

f(k)

1. Montrer que un est croissante et que limn→+∞

un = +∞

2. Montrer que pour tout entier k ≥ 2, on a l’encadrement

∫

k

k−1

f(t) dt ≤ f(k) ≤

∫

k+1

k

f(t) dt

3. En deduire l’encadrement f(1)+F (n) ≤ un ≤ F (n+1) ou F est la primitive de F introduite dansla partie II.

4. Montrer finalement que un ∼n2

2lorsque n tend vers +∞

3

Examen final de première année TPC1 – Mathématiques · 2020-06-07 · Examen final de...

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