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Examen de 5AR01 – Commande des Systèmes RobotiquesModélisation, Identification et Commande d’un robot PRP

2016/12/15CONSIGNES

Durée : 2h00. | Aucun document autorisé. | Le sujet est à rendre avec la copie. | Présence obligatoire : 40 minutes.Le barème est donné à titre indicatif seulement. | Les questions sont volontairement nombreuses et, dans la mesure

du possible, indépendantes les unes des autres→ ne pas rester bloqué(e).

Le robot utilisé pour cette étude est de type cylindrique PRP. Il possède donc 3 articulations :— la première articulation est modélisée par une liaison glissière d’axe vertical (q1) ;— la seconde articulation est modélisée par une liaison pivot d’axe vertical (q2), colinéaire à celui de la première

liaison ;— la troisième articulation est modélisée par une liaison glissière d’axe horizontal (q3), orthogonal à celui de la

seconde liaison.

Une vue schématique (en perspective) du robot est donnée sur la figure 1.

FIGURE 1 – Géométrie du robot cylindrique PRP étudié

Le repérage a été réalisé de telle manière que l’axe de l’articulation i est aligné avec ~zi.

Par ailleurs :−−−→O0O1 = q1

−→z0q2 = ̂(−→x1,−→x2)−−−→O2O3 = l3

−→x2 + q3−→z3

, où l3 est une longueur constante, et

−→x0 = −→x1;−→y0 = −→y1−→z0 = −→z1 = −→z2 = −−→y3−→x2 = −→x3;−→y2 = −→z3

.

5AR01 – Commande des Systèmes Robotiques 1 Examen

1 Première partie : Modélisation (12 points)

La gravité est orientée selon −~z0.Les propriétés de masse des différents corps sont données ci-après :— Masse du corps i : mi.— Position des centres de gravité : G1 = O1 ; G2 = O2 et G3 = O3.— Tenseur d’inertie du corps i exprimé dans le repèreRi, au centre de gravité Gi :

Ii =

Ixi 0 00 Iyi 00 0 Izi

1. (1 pt.) Indiquez les unites (SI) des paramètres q1, q2 et q3 qui forment le vecteur de configuration q.

Notons Γi l’effort (couple ou force) produit par l’ensemble actionneur+réducteur i au niveau de l’articulation i.L’ensemble des Γi forme le vecteur des efforts moteurs Γ =

[Γ1 Γ2 Γ3

]T .

2. (1 pt.) Donnez l’expression du vecteur des efforts moteurs g (q) à fournir pour s’opposer aux efforts extérieursagissant sur le système et liés à la gravité.

3. (1 pt.) Donnez l’expression du vecteur des efforts moteurs Γfv à fournir pour compenser les frottements vis-queux.

4. (2 pt.) Ce modèle rend-il bien compte des phénomènes de frottement généralement rencontrés dans les sys-tèmes robotiques ? Proposez un modèle alternatif et dessinez sa courbe caractéristique.

5. (5 pt.) Le modèle dynamique du système exprimé dans l’espace articulaire peut s’écrire : Γ1

Γ2

Γ3

=

m1 +m2 +m3 0 00 Iy3 + Iz2 +m3

(l23 + q23

)m3l3

0 m3l3 m3

︸︷︷︸

A(q)

q̈1q̈2q̈3

+

0 0 00 0 2m3q30 0 0

︸︷︷︸

B(q)

q̇1q̇2q̇1q̇3q̇2q̇3

+

0 0 00 0 00 −m3q3 0

︸︷︷︸

C(q)

q̇21q̇22q̇23

+ g (q) + Γfv.

(1)

Commentez ce résultat en répondant de manière précise et concise aux questions suivantes (vous pouvez fairedes schémas) :— Pourquoi le modèle dynamique est-il indépendant de q1 et q2 ?— Pourquoi le mouvement de l’axe 3 ne produit-il pas d’effet centrifuge sur l’axe 2 ?— Pourquoi A12 et A13 sont-ils nuls ?— Quelle modification de conception pouvez-vous proposer afin d’assurer le découplage inertiel ?— Existe-t-il une configuration dans laquelle les axes 2 et 3 sont dynamiquement découplés d’un point de

vue centrifuge et Coriolis ?

L’actionneur i est constitué d’un moteur à courant continu commandé par le courant d’induit ii et d’un réducteur.Nous notons :— Kci la constante de couple du moteur i ;— Ni l’inverse du rapport de réduction de l’axe i, tel que, si θ̇mi est la vitesse du moteur i, alors : θ̇mi = Niq̇i ;— Imi le moment d’inertie du moteur i.

6. (1 pt.) Donnez les unités des Ni.

7. (1 pt.) Citez deux systèmes de transmissions différents utilisables pour transmettre le mouvement de l’action-neur 3 vers le corps 3.

2 Seconde partie : Identification (4 points)

Le but de cette partie est d’identifier les paramètres constants inconnus du modèle ci-dessus. Les paramètresconnus a priori sont :


— N1 = 278SI , N2 = 111SI et N3 = 173SI ;— Kc1 = 0, 62SI , Kc2 = 0, 58SI et Kc3 = 0, 29SI ;— l3 = 0, 29m.

1. (1 pt.) Quelle est l’unité des Kci ?

2. (3 pt.) Expliquez succinctement une procédure d’identification globale de p en boucle fermée. Précisez notam-ment :— Combien de mesures environ sont nécessaires ?— Quels types de trajectoires articulaires doivent être utilisées ?— Quel contrôleur articulaire est utilisé pendant cette procédure ?

3 Troisième partie : Commande (20 points)

Une commande décentralisée de type PID est mise en oeuvre (en entrée du correcteur PID pour l’axe i : l’erreuren position de l’axe i, en sortie : le courant moteur de l’axe i). Le courant dans les moteurs est limité à ±20A. Plu-sieurs expériences sont réalisées, dont les relevés sont tracés ci-après. Malgré leur apparence médiocre, les courbesfournies suffisent amplement pour répondre aux questions posés.

3.1 Questions préliminaires

Chaque axe est équipé d’un codeur incrémental monté côté actionneur et dont les caractéristiques sont les sui-vantes : 512 points par tour et comptage en quadrature. Sa fréquence maximale de transmission des données est100kHz. Par ailleurs la fréquence d’échantillonnage du contrôleur est 1kHz.

1. (1 pt.) Donnez la précision de la mesure en sortie de réducteur pour chacun des axes.

2. (1 pt.) Donnez la valeur de la vitesse maximale (en sortie d’actionneur) mesurable.

3. (1 pt.) Donnez la valeur de la vitesse minimale (en sortie d’actionneur) mesurable.

3.2 Expérience 1

Les axes 2 et 3 sont bloqués et l’asservissement de l’axe 1 est réglé comme suit : Kp1 = 5000A/m, Kd1 =100A/(m/s) et Ki1 = 0. Une consigne qd1 = A sin (2πft) avec f = 0, 1Hz et A = 0, 01m est appliquée. Les résul-tats obtenus (pour l’axe 1 seulement) sont représentés sur la figure "Expérience 1".

1. (1 pt.) Pourquoi l’erreur n’est-elle pas nulle ? Pourquoi est-elle toujours positive ?

2. (1 pt.) Pourquoi la valeur du courant est-elle quasiment constante ?

3. (1 pt.) Quelle valeur du modèle peut on retrouver à partir de la valeur moyenne du courant ? Indiquez ladémarche et faites le calcul.

3.3 Expérience 2

Les axes 2 et 3 sont bloqués et l’asservissement de l’axe 1 est réglé comme suit : Kp1 = 5000A/m, Kd1 =100A/(m/s) et Ki1 = 40000A/(m.s). Une consigne qd1 = A sin (2πft) avec f = 0, 1Hz et A = 0, 01m est appliquée.Les résultats obtenus (pour l’axe 1 seulement) sont représentés sur la figure "Expérience 2".

1. (1 pt.) Pourquoi l’erreur est-elle nulle ?

2. (1 pt.) Pourquoi la valeur du courant est-elle la même que pour l’expérience 1 ?

3.4 Expérience 3

Pour l’axe 1, le réglage du correcteur et la consigne sont les mêmes que pour l’expérience 2. Cette fois, cependant,les axes 2 et 3, sous asservissement PID, sont soumis à une consigne variable à forte dynamique. Les résultats obtenussont représentés sur les figures "Expérience 3" et "Expérience 3 (suite)".

1. (2 pt.) Pourquoi les erreurs de suivi en position des axes 2 et 3 sont-elles non nulles ? Quelles sont les solutionspossibles pour améliorer les performances ?

2. (1 pt.) Pourquoi les résultats pour l’axe 1 sont-ils similaires à ceux de l’expérience 2 ?


3.5 Expérience 4

Pour cette expérience l’axe 1 est bloqué. Le réglage des PID pour les axes 2 et 3 est :— Kp2 = 2000A/rad, Kd2 = 50A/(rad/s) et Ki2 = 0A/(rad.s) ;— Kp3 = 3000A/m, Kd3 = 100A/(m/s) et Ki3 = 0A/(m.s).

Les consignes pour les axes 2 et 3 sont :— qd2 = 0 ;— qd3 : signal carré d’amplitude 0, 01m et de fréquence 0, 5Hz.Les résultats obtenus sont représentés sur les figures "Expérience 4" et "Expérience 4 (suite)".

1. (1 pt.) Pourquoi l’erreur statique (après disparition du transitoire) est-elle nulle pour l’axe 3 ?

2. (1 pt.) Pourquoi l’erreur ne reste-t-elle pas constamment nulle pour l’axe 2 ?

3. (1 pt.) Existe-t-il une position différente pour les axes 2 et/ou 3 telle que ce phénomène n’apparaisse pas ?

3.6 Expérience 5

Pour cette expérience l’axe 1 est bloqué. Le réglage des PID pour les axes 2 et 3 est le même que précédemment.Les consignes pour les axes 2 et 3 sont :

— qd2 : rampe à vitesse constante de pente 1 rad/s ;— qd3 = 1m (avec une position initiale q3 = 1m).Les résultats obtenus sont représentés sur les figures "Expérience 5" et "Expérience 5 (suite)".

1. (1 pt.) Expliquez l’allure du courant pour l’axe 2.

2. (1 pt.) Quel paramètre du modèle dynamique peut-on identifier à partir des résultats de l’axe 2. Ne faites pasle calcul.

3. (1 pt.) Pourquoi y-a-t-il une erreur transitoire sur l’axe 3 ?

4. (1 pt.) Pourquoi l’erreur statique (après disparition du transitoire) n’est-elle pas nulle pour l’axe 3 ?

5. (1 pt.) Quel réglage différent du correcteur de l’axe 3 permettrait de supprimer cette erreur pour cette expé-rience ?

6. (1 pt.) En conservant le même réglage du correcteur de l’axe 3 et la même consigne pour l’axe 2, existe-t-il uneposition de l’axe 3 pour laquelle l’erreur statique serait nulle ?

4 Quatrième partie : questions de cours (9 points)

1. (2 pt.) Comment calculer le couple articulaire équivalent en statique à une torseur d’efforts appliqué au niveaude l’organe terminal ?

2. (2 pt.) Quelles sont les applications potentielles d’un robot doté d’une loi de commande compensant juste lesefforts de gravité ?

3. (2 pt.) Pour un système commandé en couple au niveau articulaire, un terme de dissipatif proportionnel à lavitesse peut être ajouté à la commande. Quelle est l’expression d’un tel terme ? Quelle peut être son intérêt ?

4. (1 pt.) Expliquez la différence fondamentale entre une loi de commande en découplage et une loi de com-mande en anticipation.

5. (2 pt.) Existe-t’il une limite à la valeur du gain dérivé dans un contrôleur PID ? D’où vient cette limite ?


Expérience 1


Expérience 2


Expérience 3


Expérience 3 (suite)


Expérience 4


Expérience 5


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