Evaluation de la stabilité transitoire d’un réseau ...

République Algérienne Démocratique et Populaire

Ministère d’enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique

Université Larbi Ben M’Hidi - Oum El Bouaghi –

Faculté des Sciences et des Sciences Appliquées

Département de Génie Electrique

Filière Électrotechnique

Mémoire de fin d’études

en vue de l’obtention du Diplôme de Master

Option : Energie et Réseaux

Thème :

Soutenue publiquement à Ain el Beida le : 10 Juin 2015

Dirigé par : Présenté par :

Mr. A. Alibi * Derbai Imane

Promotion : Juin 2015

Evaluation de la stabilité transitoire d’un

réseau électrique par intégration numérique

DEDICACES

Je dédie d’abord ce travail, à mes très chers parents

A mes chers frères

Mes chères sœurs « Sara, Ismahane, Tarkwa, Rima,Nawel »

A mon marie « Bilel »

A toutes ma famille

Et à tous mais amis

Remerciements

Je tiens tout d’abord à adresser mes remerciements à Monsieur ALIBI, pour

avoir accepté de dirigé mon projet avec beaucoup d’efforts et de patience, pour

son soutient sa disponibilité, ces conseils et ses encouragements permanents.

Merci.

Sommaire

INTRODUCTION GENERALE…………………………………………………………….1

Chapitre I : Stabilité transitoire des réseaux électriques

I.1) Introduction …………………………………………………………………………………..2

I.2) Généralités sur les réseaux électriques………………………………………………………..2

I.3) Phénomènes dynamiques et transitoires ……………………………………………………..3

I.3.1) Classification des phénomènes dynamiques …………………………………………….3

I.3.2) Définition des transitoires………………………………………………………………...4

I.3.3) Sources des transitoires…………………………………………………………………..4

I.3.3.1) Sources extérieures……………………………………………………………….4

I.3.3.2) Sources internes………………………………………………………………….5

I.4) Stabilité des systèmes électriques de puissance…………………………………………….5

I.4.1) Stabilité des réseaux…………………………………………………………………….5

I.4.2) Différents types de stabilité d'un système électrique……………………………………6

I.4.2.1) Stabilité de tension………………………………………………………………..7

I.4.2.2) Stabilité de fréquence ……………………………………………………………7

I.4.2.3) Stabilité angulaire………………………………………………………………..7

I.5) POSITION DU PROBLEME DE LA STABILITE TRANSITOIRE………………….8

I.6) Conclusion………………………………………………………………………………..10

Chapitre II : Modélisation des composants des réseaux électriques pour l’étude de la stabilité

II.1) Introduction …………………………………………………………………11

II.2) Modélisation des composants des réseaux électriques…………………………………..11

II.2.1) Machine synchrone ……………………………………………………………….11

II.2.2) Lignes de transmission…………………………………………………………….12

II.2.3) Charge ……………………………………………………………………………12

II.2.4) Modèle du transformateur ………………………………………………………….13

II.2.5) Modèles des nœuds du réseau ……………………………………………………13

II.3) Puissance transmise dans une ligne et angle de puissance …………………………….14

II.4) Equation du mouvement (Swing Equation) ……………………………………………16

II.5) Critère d’égalité des aires (Equal Area Criterion)………………………………………18

II.6) Méthodes d’évaluation de la stabilité transitoire……………………………………….. 21

II.6.1) Méthodes d’intégration numérique …………………………………………………21

Quelques exemples des méthodes d’intégration numérique………………………………..22

Méthode d’Euler ………………………………………………………………….22

Méthode de Runge-Kutta 2ème ordre……………………………………………22

II.7) calcul d'écoulement de puissance…………………………………………………………24

Calcul de l’E.P par la méthode de Gauss-Seidel ………………………………………………24

II.8) Conclusion………………………………………………………………………………..25

Chapitre III : Evaluation de la stabilité transitoire d’un réseau test

III.1) Introduction……………………………………………………………………………..26

III.2) problématique……………………………………………………………………………26

Temps critique d’élimination d’un défaut…………………………………………………….27

Exemple d’application pour une petite perturbation………………………………………….28

Résultat graphique………………………………………………………………………….28

III.3) EVALUATION DE LA STABILITE TRANSITOIRE………………………………..28

Exemple d’application (réseau 006N03M)…………………………………………………….30

IV) Augmentation de la matrice admittance…………………………………………………..32

Réduction de Kron…………………………………………………………………….33

Point d’équilibre……………………………………………………………………….34

V) Résultats graphiques ………………………………………………………………………36

VII) Conclusion……………………………………………………………………………39

Conclusion générale………………………………………………………………………….40

LISTE DES FIGURES

Figure :

I.1 Structure de base d’un réseau d'énergie électrique ………………………………..2

I.2 Vue d’ensemble de la stabilité des réseaux de puissance…………………………..3

II-1. Une machine synchrone connectée à un jeu de barres infini……………………11

II-2.Diagramme de vecteur de phase du système………………………………….12

II-3. Caractéristique puissance-angle rotorique………………………………………

II-4.Schéma équivalent d’une machine synchrone en régime transitoire………..

II-5.Schéma équivalent d’un modèle en П de la ligne de transport……………..

II-6.Schéma équivalent d’une charge……………………………………………

II-7.Schéma équivalent d’un transformateur……………………………………

III.1 Représentation unifilaire du système étudié……………………………………

III.2 Courbes 𝑃 − 𝛿 pour les deux lignes en parallèle (courbe1) et pour une seule ligne (courbe2)

et le critère d’égalité des aires : fonctionnement stable(a), cas critique (b) et fonctionnement (c).

………………………………………………………

III.3 repense naturel de l’angle rotorique et la fréquence de la machine ……….

III.4 Organigramme de l’évaluation de la stabilité transitoire…………………..

III.5 Schéma du réseau étudié. …………………..…………………..…………

III.6 Représentation du système de puissance réduit …..…………………..…………

III.7 Angle rotorique en fonction de temps(a) ..…………………..…………

III.8 le temps critique d’élimination du défault :0.45..…………………..…………

III.9 Défault eliminé après 0.5 s le système est stable(a)..…………………..………

III.9 Défault éliminé après 0.002𝑠 le système est instable(b)..…………………..…

Tableau

III.1-Données de nœuds du réseau IEEE 3 machines 6 nœuds……..………………

III.2- Caractéristiques des machines. ……..……………………..………………

Introduction générale

Page 1

INTRODUCTION GENERALE Dans certaines situations, le réseau ne peut pas atteindre un état de fonctionnement stable.

Plusieurs variables physiques décrivant l'état du système varient avec le temps en dépassant les

seuils admissibles et poussent alors le réseau vers un état de fonctionnement transitoire instable

[1]

Pour un réseau d'énergie électrique en fonctionnement stable, la puissance mécanique de la

turbine entraînant un générateur et la puissance électrique fournie par celui-ci sont équilibrées

(en négligeant les pertes) pour toute machine. Lorsque le réseau subit une perturbation

importante (court circuit triphasé dans une ligne de transport, perte de charge importante, perte

d'un générateur de grande puissance, ouverture d'une ligne fortement chargée, etc....), la

différence entre les puissances mécanique et électrique induit une accélération ou une

décélération pouvant entraîner la perte de synchronisme d'un ou de plusieurs générateurs. Les

angles rotoriques commencent à osciller jusqu'à l'intervention des systèmes de régulation de

tension et de vitesse afin de restituer la marche en synchronisme et mener le réseau à un nouvel

état de fonctionnement stable [2].

La durée de temps entre le début d'une perturbation (ou de plusieurs perturbations) et la

restauration de la marche en synchronisme est appelée période transitoire. Cette période,

généralement de 5 à 15 s [2, 3], ne concerne pas les phénomènes de petites oscillations dus au

réglage secondaire. L'analyse de la stabilité transitoire est l'étude du comportement du réseau

durant cette période. Dans certaines situations, le réseau ne peut pas atteindre un état de

fonctionnement stable. Plusieurs variables physiques décrivant l'état du système varient avec le

temps en dépassant les seuils admissibles et poussent alors le réseau vers un état de

fonctionnement transitoire instable.

Dans ce travail, nous étudions le problème de la stabilité transitoire par la méthode

d’intégration numérique. Nous posons, en premier lieu la stabilité transitoire des réseaux

électriques, puis nous présentons la méthodologie globale des calculs de stabilité transitoire avec

la prise en compte des défauts quelle conques et enfin nous développons les différentes étapes

de ces calculs en établissant les équations de performance du système en état d’équilibre, et

pendant le défaut, l’équation mécanique du rotor (swing équation) et le model de la machine

synchrone pour notre étude. Dans le dernier chapitre, nous présentons les résultats de simulation

de la stabilité transitoire par rapport aux défauts appliqués sur des réseaux test multi machines.

Stabilité transitoire des réseaux électriques

Page 2

I.1) Introduction

L’étude de la stabilité est considérer l’une des études les plus complexes de système de

puissance, et particulièrement la stabilité transitoire en raison des caractéristiques complexes du

système d’une part, d’autre part à l’objectif de ce type d’étude qui vise l’analyser de

comportement du système électrique en présence des grandes perturbations (le non linéarité du

système).

I.2) Généralités sur les réseaux électriques [12]

On appelle réseau électrique l'ensemble des infrastructures et ouvrages, permettant d'acheminer

l'énergie électrique des centrales électriques (centres de production), vers les consommateurs

d'électricité (charge).

Le réseau de transport électrique est divisé en lignes très haute, haute, moyenne et basse

tension (distribution). La structure des réseaux varie d’un pays à un autre, mais on peut la

représenter de la façon générale suivante :

Figure I.1 Structure de base d’un réseau d'énergie électrique [12]

Les réseaux électriques ont pour fonction d'interconnecter les centres de production tels que les

centrales hydrauliques, thermiques...avec les centres de consommation (villes, usines...).

L'énergie électrique est transportée en haute tension, voir très haute tension pour limiter les

pertes joules (les pertes étant proportionnelles au carré de l'intensité) puis progressivement

abaissée au niveau de la tension de l'utilisateur final.


Page 3

Un réseau électrique est un système maillé mettant en œuvre :

Des nœuds (ou postes) où sont raccordés : les centrales (centre de production),

les charges (consommation) et les lignes électrique (élément du réseau).

Des branches (ou lignes électrique) : qui interconnectent les nœuds.

Le maillage du réseau améliore la disponibilité de l’alimentation en énergie aux usagers, la

stabilité et la qualité du produit électrique car les deux dépendent de la puissance de court circuit,

laquelle augmente avec le maillage ou plus exactement avec le nombre et la puissance des

centres de production installés et raccordés.

I.3) Phénomènes dynamiques et transitoires [12]

I.3.1) Classification des phénomènes dynamiques

Figure I.2 Classification des phénomènes dynamiques dans les réseaux électriques

Il existe une vaste gamme de phénomènes dynamiques dans les réseaux électriques, qui doivent

être pris en compte pour assurer son fonctionnement correct. L’illustration précédente montre

une classification fondée sur la nature des phénomènes ainsi que sur les plages temporelles dans

lesquelles ils se manifestent.


Page 4

Les transitoires électromagnétiques

Prennent place dans les enroulements des générateurs et des moteurs et dans les dispositifs

électroniques de puissance. Ils résultent de perturbations (par exemple court-circuit),

d’opérations de coupure ou de commutations (thyristors, etc.).

Les transitoires électromécaniques

Sont précisément dues aux mouvements des masses tournantes des générateurs et moteurs, ainsi

qu’à la réponse des régulateurs de tension et de vitesse, suite à une perturbation et au

fonctionnement des protections.

Les phénomènes de restauration de la charge

S’étendent de quelques dixièmes de seconde à quelques dizaines de minutes. Ils correspondent

à la tendance des charges à recouvrer la puissance qu’elles consommaient avant perturbation.

Les phénomènes thermodynamiques

Avec la dynamique la plus lente et qui se développent dans les chaudières des centrales

thermiques, suite à une perturbation de l’équilibre production consommation de puissance.

I.3.2) Définition des transitoires

Les transitoires sont des changements momentanés de tension ou de courant qui se produisent

sur une très courte période, habituellement évaluée approximativement autour de 1

millisecondes.

I.3.3) Sources des transitoires

Différents types de commutation et de défauts peuvent ainsi causer des transitoires. Ces causes

sont ce qu’on appelle sources de transitoires et peuvent être classées en deux catégories :

I.3.3.1) Sources extérieures

La foudre est la plus connue des transitoires extérieurement produites.

Les mauvais raccordements dans un système de distribution peuvent également produire

des transitoires.

La commutation des charges, ouverture et fermeture des appareillages de coupure sur les

lignes activées, commutation de bancs de condensateur, les opérations de re-fermeture et

réglage de rapport de transformation sur des transformateurs peuvent causer des

transitoires.


Page 5

a)Transitoires dues aux Foudres

La foudre est une manifestation de l'électricité d'origine atmosphérique, comportant une

décharge électrique accompagnée d'une lumière vive (éclair) et d'une violente détonation

(tonnerre).

b) Transitoires dues au court-circuit

Le défaut le plus fréquent est le court-circuit phase-terre (SLG) qui constitue la majeure partie

de tous les défauts dans les lignes de transmission, particulièrement sur les lignes à haute tension.

Il peut causer l'augmentation significative de la tension des autres phases dues à l'asymétrie

existante d'un système si son neutre n'est pas solidement fondu

c) Transitoires de manœuvres dues à l’enclenchement et au ré enclenchement des lignes :

La mise sous tension d’une ligne, les surtensions de manœuvre sont essentiellement dues au

phénomène de réflexion d’onde. La remise sous tension de la ligne à la suite d’une ouverture sur

défaut des phénomènes dus aux charges résiduelles de la ligne peuvent amplifier ces

phénomènes de réflexion.

d) Transitoires dues aux commutations des capacités

Des condensateurs sont utilisés intensivement dans des systèmes de puissance pour le réglage

de la tension et l'amélioration du facteur de puissance. Malheureusement, quand la commutation

de condensateur se produit, les transitoires graves peuvent surgir et devenir ainsi une cause

principale de perturbation des tensions et des courants.

I.3.3.2) Sources internes

Chaque fois qu’un dispositif inductif est mis en marche, arrêté, chargé, ou déchargé, il se

produit des transitoires. Un arc peut produire des transitoires d'un certain nombre de sources. Les

contacts défectueux dans les disjoncteurs, les commutateurs, et les contacteurs peuvent produire

un arc.

I.4) Stabilité des systèmes électriques de puissance [12]

I.4.1) Stabilité des réseaux [5]

D’un point de vue physique, la stabilité est définie comme un état d'équilibre de forces

opposées. Dans le cas des réseaux électriques, ces forces sont liées à l’interaction de machines


Page 6

connectées aux réseaux électriques. D’une façon générale, la stabilité d'un système est ça

capacité de maintenir ou de revenir à son régime de fonctionnement normal après une

perturbation quelconque.

La stabilité est définie comme la propriété d’un système à retrouver son point de fonctionnement

(ou point d’équilibre) après avoir subi une ou plusieurs perturbations. Elle est caractérisée par les

fluctuations de puissances transitées dans le réseau et se mesure par les variations dans le temps

des tensions et fréquences associées. La stabilité d’un réseau électrique est la propriété qui lui

permet de rester dans un état d’équilibre, pour des conditions de fonctionnement normales, et de

retrouver un état d’équilibre acceptable, suite à une perturbation. Selon la nature physique de

l’instabilité, la plage de temps des phénomènes et l’amplitude de perturbations, on peut classifier

les types de la stabilité comme suit (figure I.2) [5].

I.4.2) Différents types de stabilité d'un système électrique [5, 6,10]

On définit trois types de stabilité du réseau électrique : celle de son angle de transport, celle

de la fréquence ou celle de la tension.


Page 7

Figure I.2 Vue d’ensemble de la stabilité des réseaux de puissance [12]

I.4.2.1) Stabilité de tension

La stabilité de tension concerne la capacité d’un système de puissance à maintenir des tensions

acceptables à tous ses nœuds, dans des conditions du fonctionnement normales ou suite à une

perturbation. L’instabilité de tension résulte de l’incapacité du système production-transport à

fournir la puissance demandée par la charge. Elle se manifeste généralement sous forme d’une

décroissance monotone de la tension.

Selon l’amplitude de la perturbation, on distingue la stabilité de tension de petites perturbations

et celle de grandes perturbations. [5]

I.4.2.2) Stabilité de fréquence


Page 8

La stabilité de fréquence concerne la capacité du système à maintenir sa fréquence proche de la

valeur nominale, suite à un incident sévère ayant ou non conduit à un morcellement du système.

La stabilité de fréquence est étroitement liée à l’équilibre global entre la puissance active

produite et consommée. La stabilité de la fréquence concerne l'aptitude du système électrique à

maintenir la fréquence dans des limites assignées, à la rupture de l'équilibre de

production/consommation. L'instabilité de la fréquence due au mouvement de fréquence peut

aboutir au déclenchement des groupes de génération ou de charges. [5]

I.4.2.3) Stabilité angulaire :

Dans un réseau électrique à courant alternatif, la stabilité de l’angle du rotor est définie comme

la capacité, que possède un générateur, de rester en synchronisme après une perturbation.

Autrement dit, un système est instable si la différence d'angle entre deux générateurs

interconnectés augmente indéfiniment ou si l'oscillation transitoire, provoquée par une

perturbation, n'est pas suffisamment amortie dans le temps d'évaluation.

Etant donné que les systèmes de puissance recourent principalement aux machines synchrones

pour la génération de puissance électrique, un aspect important est le fonctionnement de ces

générateurs au synchronisme. La stabilité angulaire (ou stabilité d’angle rotorique) implique

l’étude des oscillations électromécaniques inhérentes aux réseaux électriques [5].

L’instabilité angulaire se manifeste sous forme d’un écart croissant entre les angles rotoriques:

soit d’une machine et de reste du système, soit d’un groupe de machines et du reste du système.

Une machine qui a perdu le synchronisme sera déclenchée par une protection de survitesse ou

par une protection de perte de synchronisme, ce qui met en danger l’équilibre production

consommation du système. Selon l’amplitude de la perturbation, on parle de la stabilité angulaire

aux petites perturbations ou de la stabilité transitoire [13].

Stabilité angulaire aux petites perturbations

La stabilité angulaire aux petites perturbations concerne la capacité du système à maintenir le

synchronisme en présence de petites perturbations comme : une petite variation de la charge ou

de génération, manœuvre d’équipement, etc. Une autre définition peut être donnée à la stabilité

statique qui consiste à dire qu’un réseau d’énergie électrique est dit stable en régime statique si

suite à une perturbation quelconque infiniment petite, il retrouve un état de marche synchrone,

identique ou infiniment voisin de l'état d’origine. [6]

Stabilité transitoire


Page 9

La stabilité transitoire concerne la capacité du réseau à maintenir le synchronisme suite à une

perturbation sévère comme un court circuit, arrêt d’un générateur, etc. Cette perturbation peut écarter

notablement le réseau de sa position initiale. Avec la complexité de systèmes électriques modernes et

pour avoir un fonctionnement fiable de ce dernier l'analyse de problème de la stabilité transitoire

devient de plus en plus importante. La réponse du système comporte de grandes variations des angles

rotoriques et est influencée par la relation non linéaire entre couples et angles.

I.5) Position du problème de la stabilité transitoire

Un réseau électrique n’est jamais en régime établi, en plus des variations stochastiques liées

aux fluctuations de la charge, des défauts sévères peuvent se produire. Ces derniers sont

éventuellement accompagnés de mise hors circuit de machines ou d’ouvrages conduisant ainsi en

cas d’échec des procédures de réenclenchement à des modifications de la topologie du réseau. Il

en résulte, soit des phénomènes qui varient lentement et qui sont considérés comme dans un

régime établi, ils sont par conséquent, analysés en étudiant la stabilité statique, soit des

phénomènes électriques transitoires qui surviennent suite à des perturbations de grandes

amplitudes , tels que les court –circuits, les pertes de charges importantes ou de grandes unités de

production. Un réseau d'énergie électrique est dit en régime de stabilité transitoire, si à la suite

d’une perturbation importante (qui peut résulter d’une perte soudaine d’un générateur, ou d’une

ligne, ou plus fréquemment d’un court-circuit) il retrouve un état de régime permanent de

marche synchrone. Les études de stabilité transitoire portent généralement sur les défauts les plus

probables et les plus contraignants (court-circuit, déclenchement de groupes de production

importants, report de charge, perte de lignes d’interconnexion, etc

L’étude de la stabilité d’un réseau électrique est d’une importance primordial elle permet

d’évaluer les capacités du réseau à retrouver un état de fonctionnement normal ou synchrone

après élimination de défaut, elle permet aussi de déterminer la temporisation à afficher au niveau

des protections. Pour un réseau d'énergie électrique en fonctionnement stable, la puissance

mécanique de la turbine entraînant un générateur et la puissance électrique fournie par celui-ci

sont équilibrées (en négligeant les pertes) pour toute machine. Lorsque le réseau subit une

perturbation importante (court circuit triphasé dans une ligne de transport, perte de charge

importante, perte d'un générateur de grande puissance, ouverture d'une ligne fortement chargée,

etc... .), la différence entre les puissances mécanique et électrique induit une accélération ou une

décélération pouvant entraîner la perte de synchronisme d'un ou de plusieurs générateurs. Les

angles rotoriques commencent à osciller. L'intervention des systèmes de régulation de tension et


Page 10

de vitesse peut contribuer à restituer la marche en synchronisme et mener éventuellement le

réseau à un nouvel état de fonctionnement stable [1,2].

La durée de temps entre le début d'une perturbation (ou de plusieurs perturbations) et la

restauration de la marche en synchronisme est appelée période transitoire. Cette période,

généralement de 5 à 15 s [2,3], ne concerne pas les phénomènes de petites oscillations dus au

réglage secondaire. L'analyse de la stabilité transitoire est l'étude du comportement du réseau

durant cette période. Dans certaines situations, le réseau ne peut pas atteindre un état de

fonctionnement stable. Plusieurs variables physiques décrivant l'état du système varient avec le

temps en dépassant les seuils admissibles et poussent alors le réseau vers un état de

fonctionnement transitoire instable [1].

Les études de stabilités fournissent des informations relatives aux variations dans le temps des

angles et des vitesses rotoriques, des tensions, courants et puissances des groupes

turboalternateurs ainsi que des variations des tensions, courants et puissances transitées dans le

réseau de transport, pendant et après la perturbation. Cette analyse permet d’une part de vérifier

si le système est en fonctionnement stable ou non et d’autre part de dimensionner les protections

censées éliminer le défaut avant d’atteindre le temps critique ou le système devient instable.

Elles aident aussi les planificateurs dans leurs tâches de renforcement des réseaux d’énergie

électrique par de nouveaux équipements.

I.6) Conclusion:

Dans ce chapitre, Nous avons présenté dans un premier temps les notions de stabilité des

réseaux d’énergie électrique et ses différents types sont brièvement exposés. Dans le chapitre

suivant l’analyse et les équations de performances du système à états d’équilibres et aussi les

méthodes d’évaluation de la stabilité transitoire.

Modélisation des composants des réseaux électriques pour l’étude de la stabilité

Page 11

II.1) Introduction

Ce chapitre a pour but de présenter en détails la modélisation d’un réseau d’énergie électrique

pour l’étude de la stabilité transitoire par la méthode d’intégration numérique, et les méthodes

d’évaluation de la stabilité transitoire.

II.2) Modélisation des composants des réseaux électriques [1, 3,9]

II.2.1) Machine synchrone

La machine synchrone est connectée au réseau par un nœud dit générateur, en régime

transitoire, elle est représentée par son modèle simple qui consiste à une tension interne derrière

une réactance transitoire [1]. La figure (II.1) représente le schéma du générateur connecté au

réseau.

Figure II.1Schéma équivalent d’une machine synchrone en régime transitoire

𝐸′ = 𝐸𝑡 + 𝑗𝑋𝑑′ 𝐼𝑔 (II.1)

Où :

𝐼𝑔 : Courant de la machine en 𝑝𝑢 ;

𝐸𝑡 : Tension terminale au nœud générateur en 𝑝𝑢 ;

𝐸′ : Tension interne derrière la réactance transitoire 𝑗𝑋𝑑′ .

Le modèle du deuxième ordre de la machine synchrone est décrit par l’équation des couples

𝑑𝜔𝑟

𝑑𝑡=

𝜔𝑠

2𝐻 𝑃𝑚 − 𝑃𝑒 (II.2)

𝑑𝛿

𝑑𝑡= 𝜔𝑟 − 2𝜋𝑓 (II.3)

Où :

𝜔𝑟 : Vitesse angulaire du rotor en [pu]


Page 12

𝑃𝑚 : Puissance mécanique

𝑃𝑒 : Puissance électrique

II.2.2) Lignes de transmission

Figure II.2 Schéma équivalent d’un modèle en П de la ligne de transport

La ligne de transport à été modélisée par un schéma équivalent en 𝜋 qui se compose d’une

impédance série (résistance R en série avec une réactance inductive X), et une admittance shunt

qui consiste en une susceptance capacitive B (due a l’effet capacitif de la ligne avec la terre) en

parallèle avec une conductance d’isolation G.

La figure représente le modèle en П d’une ligne de transmission. Il se caractérise par trois

paramètres principaux [3] :

Une résistance série R ;

Une réactance constituée d’une inductance série L ;

Une capacité shunt C.

II.2.3) Charge

Les caractéristiques des charges ont une influence importante sur la stabilité et la

dynamique du système. En raison de la complexité et la variation continuelle des charges et de la

difficulté d’obtenir des données précises sur leurs caractéristiques, une modélisation précise des

charges est très difficile. Ainsi, des simplifications sont indispensables selon le but de l’étude

demandée. Pour les études de stabilité dans lesquelles la gamme de temps considérée est de

l’ordre de 10 secondes après la perturbation, les modèles de charges les plus utilisés sont

généralement des modèles statiques [9].

Le modèle statique d’une charge est représenté par une admittance Y définie par :


Page 13

𝑌𝑖 = 𝑃𝑖−𝑗𝑄𝑖

𝑉𝑖2 (II.4)

Figure II-3.Schéma équivalent d’une charge

II.2.4) Modèle du transformateur :

Un transformateur de l’énergie électrique est représenté par un quadripôle en π non

symétrique. Les grandeurs associées sont le rapport de transformation a et l’impédance de

fuite. Les rapports 𝑎𝑖𝑗 sont inclus dans les éléments de la matrice admittance, c’est-à-dire que

les susceptance de la de la matrice admittance 𝐵𝑖𝑗 sont vues comme des fonctions de rapports

de transformation 𝑎. [9]

Figure II.4 Schéma équivalent d’un transformateur

II.2.5) Modèles des nœuds du réseau [9, 11,1]

Les nœuds dans un réseau électrique sont divisés en trois types :

Nœud de charge (PQ) : c’est un nœud connecté directement avec la charge, il ne possède

aucune source d’énergie. Les puissances active et réactive sont considérées connues.


Page 14

Nœud générateur (PV) : c’est un nœud connecté directement avec un générateur ou une

source d’énergie réactive.la puissance active et la tension sont considérées connues. La

production de l’énergie réactive est limitée par des valeurs inférieures et

supérieures 𝑄𝑔𝑚𝑖𝑛 et 𝑄𝑔

𝑚𝑎𝑥 , respectivement. Si l’une des deux limites est atteinte, la

valeur se fixe à cette limite et la tension se libère, le nœud devient alors un nœud (PQ).

Nœud bilan (slack bus) : c’est un nœud connecté avec un générateur relativement

puissant ; il est considéré dans le calcul d’écoulement de puissance afin de compenser les

pertes actives et assurer l’égalité entre la demande et la génération de la puissance active.

Dans un nœud bilan, l’amplitude et l’angle de la tension sont supposés connus.

II.3) Puissance transmise dans une ligne et angle de puissance [6]

Afin de comprendre la notion de l’angle de rotor ou l'angle de puissance, nous prenons un

système de puissance simple constitué d'un générateur connecté à un jeu de barres infini.

Figure II.5 Une machine synchrone connectée à un jeu de barres infini


Page 15

Figure II.6 Diagramme de vecteur de phase du système

Le diagramme de vecteur de phase nous permet d'écrire :

𝐸∟𝛿 = 𝑉∞∟0 + 𝑗𝑋. 𝐼 (II.5)

𝑋 = 𝑋𝐺+ 𝑋𝑒 (II.6)

𝑋𝐼𝑐𝑜𝑠 𝜑 = 𝐸𝑠𝑖𝑛 𝛿 (II.7)

𝐼𝑐𝑜𝑠 𝜑 =𝐸𝑠𝑖𝑛 (𝛿)

𝑋 (II.8)

𝑃𝑒 = 𝑉∞𝐼𝑐𝑜𝑠 𝜑 (II.9)

𝑃𝑒 =𝐸𝑉∞

𝑋sin 𝜑 (II.10)

L’équation (II. 10) représente la puissance transmissible en fonction de l’angle de rotor δ ou dite

l’angle de puissance, qui est l’angle entre la tension interne du générateur E et la tension de jeu

de barres infini 𝑉∞.

Cette équation est la forme la plus simple de l’équation du flux de puissance et c’est la

fondamentale pour comprendre tous les problèmes de la stabilité.

Figure II.7 Caractéristique puissance-angle rotorique


Page 16

L’équation (II. 10) peut être représentée graphiquement comme montre la Figure (II.7). Cette

courbe (𝑃 − 𝛿) est connue comme étant la courbe de l’angle de puissance.

A l’état d’équilibre la puissance électrique 𝑃𝑒1 correspondante à l’angle de puissance δ1 est

égale à la puissance mécanique fournie à la génératrice Pm1. L’augmentation graduelle de la

puissance 𝑃𝑒 reste possible jusqu’à une puissance maximale 𝑃𝑚𝑎𝑥, cette puissance maximale

est atteinte lorsque 𝛿 = 90°.

Lors d’une perturbation le rotor décélère ou accélère et un mouvement relatif commence,

l'équation qui décrit ce mouvement est dite équation du mouvement (swing équation).

II.4) Equation du mouvement (Swing Equation)

Considérons un générateur synchrone qui délivre un couple électromagnétique Te et qui tourne à

une vitesse de synchronisme ωs. Si Tm et le couple mécanique d'entraînement, à l'état

d’équilibre, nous aurons

𝑇𝑚 = 𝑇𝑒 (II.11)

Le couple de rotor :

𝑇𝑎 = 𝑇𝑚− 𝑇𝑒 (II.12)

𝐽.𝑑2𝜃𝑚

𝑑𝑡 2 = 𝑇𝑎 = 𝑇𝑚 − 𝑇𝑒 (II.13)

𝐽:Moment d’inertie en [kg. M2] ;

𝑇𝑎 : Couple d’accélération en [N.m] ;

𝜃𝑚 : Position angulaire du rotor par rapport à la référence statorique ;

𝑡 : Temps en seconde ;

Il est convenable de mesuré la position angulaire du rotor par rapport à un référence qui tourne

avec une vitesse de synchronisme :

𝜃𝑚 = 𝜔𝑠𝑚 𝑡 + 𝛿𝑚 (II.14)


Page 17

𝛿 : La position angulaire du rotor par rapport à la référence statorique

𝜔𝑠𝑚 : Vitesse de synchronisme de la machine en [rd/s] ;

𝛿𝑚 = 𝜃𝑚 − 𝜃𝑠𝑚 (II.15)

𝜃𝑠𝑚 : Angle système de la machine

L'accélération du rotor est donnée par :

𝑑2𝜃

𝑑𝑡2=

𝑑2𝛿

𝑑𝑡2 (II.16)

𝑑𝛿𝑚

𝑑𝑡=

𝑑𝜃𝑚

𝑑𝑡− 𝜔𝑚𝑠 (II.17)

𝜔𝑟 = 𝜔𝑚 − 𝜔𝑠𝑚 (II.18)

𝜔𝑠𝑚 : Pulsation de système de la machine

𝜔𝑚 : Pulsation de rotor

𝜔𝑟 =𝑑𝛿𝑚

𝑑𝑡= 𝜔𝑚 − 𝜔𝑠𝑚 (II.19)

𝑑𝜃𝑚

𝑑𝑡= 𝜔𝑚 (II.20)

𝑑𝜃𝑠𝑚

𝑑𝑡= 𝜔𝑠𝑚 (II.21)

𝜔𝑚 =𝑑𝛿𝑚

𝑑𝑡+ 𝜔𝑠𝑚 = 𝜔𝑟 + 𝜔𝑠𝑚 (II.22)

𝑑𝜔 𝑟

𝑑𝑡=

𝑑2𝛿𝑚

𝑑𝑡2 =𝑑𝜔𝑚

𝑑𝑡−

𝑑𝜔 𝑠𝑚

𝑑𝑡 (II.23)

Si :𝜔𝑠𝑚 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡

𝑑𝜔 𝑠𝑚

𝑑𝑡= 0 (II.24)

𝑑𝜔 𝑟

𝑑𝑡=

𝑑2𝛿𝑚

𝑑𝑡2 =𝑑𝜔𝑚

𝑑𝑡 (II.25)


Page 18

𝑃𝑚 = 𝜔𝑚𝑇𝑚 (II.26)

𝑃𝑒 = 𝜔𝑚𝑇𝑒 (II.27)

𝐽𝑑2𝛿𝑚

𝑑𝑡2 = 𝑇𝑚 − 𝑇𝑒 … … … … …… … . 𝜔𝑚 (II.28)

𝐽𝜔𝑚𝑑2𝛿𝑚

𝑑𝑡2 = 𝜔𝑚𝑇𝑚 − 𝜔𝑚𝑇𝑒 (II.29)

𝐽𝜔𝑚𝑑2𝛿𝑚

𝑑𝑡2= 𝑃𝑚 − 𝑃𝑒 (II.30)

𝐽𝜔𝑚 = 𝑀 (II.31)

𝑀 : Constant de temps mécanique

𝑀 =𝐻

𝜋𝑓 (II.32)

𝐻 : Constant d’étertie 𝑝𝑢

𝐻 =𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑒 𝑐𝑖𝑛𝑒𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑚𝑚𝑎𝑔𝑎𝑠𝑖𝑛é 𝑀𝐽

𝑃𝑢𝑖𝑠𝑠𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑎𝑝𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑢 𝑟𝑒𝑠𝑒𝑎𝑢 𝑀𝑉𝐴

Si :

𝑃𝑒𝑖 = 𝐸𝑖 𝐸𝑗 𝑦𝑖𝑗 cos(𝜃𝑖 − 𝜃𝑗 + 𝛿𝑖𝑗 ) (II.33)

La relation du mouvement de générateur :

𝐻

𝜋𝑓

𝑑2𝛿𝑚


En remplaçant (II.33) dans (II.34) :

𝐻

𝜋𝑓

𝑑2𝛿𝑚

𝑑𝑡2= 𝑃𝑚 − 𝐸𝑖 𝐸𝑗 𝑦𝑖𝑗 cos(𝜃𝑖 − 𝜃𝑗 + 𝛿𝑖𝑗 ) (II.35)

𝑑𝛿2

𝑑𝑡2=

𝜋𝑓

𝐻 𝑃𝑚 − 𝐸𝑖 𝐸𝑗 𝑦𝑖𝑗 cos(𝜃𝑖 − 𝜃𝑗 + 𝛿𝑖𝑗 ) (II.36)

L’équation (II.36) représente le système non liniaire qui sera résolue par des méthodes itératives

antre autre les méthodes d’intégration numérique.


Page 19

II.5) Critère d’égalité des aires (Equal Area Criterion)

Pour mieux comprendre le phénomène de la stabilité transitoire nous utiliserons une méthode

graphique simple appelée critère d’égalité des aires (Equal Area Criterion) pour expliquer ce

phénomène. Cette méthode permette de résoudre l’équation non linéaire du mouvement (Swing

Equation) graphiquement, elle s’appuie sur une interprétation graphique de l’énergie stockée

dans la masse rotorique. Elle donne une compréhension claire pour déterminer le temps critique

d’élimination de défaut (CCT) et la marge de stabilité.

𝐻

𝜋𝑓

𝑑2𝛿𝑚


Nous avons donc :

𝑑2𝛿𝑚

𝑑𝑡2 =𝜋𝑓

𝐻 𝑃𝑚 − 𝑃𝑒 (II.38)

Par multiplication par 2𝑑𝛿

𝑑𝑡 nous aurons :

2𝑑𝛿

𝑑𝑡

𝑑2𝛿

𝑑𝑡 2 = 2𝜋𝑓

𝐻 𝑃𝑚 − 𝑃𝑒

𝑑𝛿

𝑑𝑡 (II.39)

Ou :

𝑑

𝑑𝑡 𝑑𝛿/𝑑𝑡 2 = 2

𝜋𝑓

𝐻 𝑃𝑚 − 𝑃𝑒 𝑑𝛿/𝑑𝑡 (II.40)

𝑑 𝑑𝛿/𝑑𝑡 2 = 2𝜋𝑓

𝐻 𝑃𝑚 − 𝑃𝑒 𝑑𝛿 (II.41)

𝛿𝑒 =𝑃

2𝛿𝑚 Angle électrique du rotor qui est reliée à l’angle mécanique

On intègre :

𝑑𝛿/𝑑𝑡 2 = 2𝜋𝑓


𝛿

𝛿0𝑑𝛿 (II.42)

𝑑𝛿

𝑑𝑡= 2

𝜋𝑓


𝛿

𝛿0𝑑𝛿 (II.43)

𝑑𝛿

𝑑𝑡 : La vitesse du rotor par rapport la vitesse de synchronisme

𝑃

2 : Nombre de paire de pole de la machine


Page 20

Cette équation (représente la vitesse de rotation du rotor par rapport la vitesse de synchronisme.

Pour que le système soit stable, cette vitesse doit être égale à zéro à un certain moment après la

perturbation.

Nous avons donc comme critère de stabilité :

𝑃𝑚 − 𝑃𝑒 𝛿

𝛿0𝑑𝛿 = 0 (II.44)

Dans le cas ou la machine opérant au point d’équilibre𝛿0, la puissance mécanique Pm0 égale la

puissance électrique 𝑃𝑒0 (Figure II.6).

Considérant une augmentation brusque de la puissance mécanique de 𝑃𝑚0 à 𝑃𝑚1, cette croissance

soudaine de la puissance mécanique entraîne une accélération du rotor, la puissance

d’accélération du rotor est positive et l’angle de puissance 𝛿 augment.

Figure II.8Caractéristique puissance-angle rotorique avant, durant et après le défaut

Avec l’augmentation de δ la puissance électrique augmente jusqu'au point d, ou le couple

opposé développé est suffisant pour arrêter cette accélération. L’énergie stockée dans le rotor

durant l’accélération est donné par :

0

δ

m e 1

δ

(P -P dδ= Aire abc= Aire A)


Page 21

A l’arrêter de l’accélération du rotor (point d), une décélération du rotor commence avec une diminution

de l’angle de puissance. L’énergie stockée dans le rotor durant cette période de décélération est :

m ax

1

δ

m e 2

δ

(P -P dδ= Aire bde = Aire A)

La stabilité est maintenue seulement si l’aire A2 et au moins égale a A1. Dans cette

condition le générateur ne perd pas le synchronisme, dans le cas contraire, l'angle

rotorique s'évolue sans cesse et le générateur perd sa stabilité.

II.6) Méthodes d’évaluation de la stabilité transitoire :

En raison du retard dans la construction de nouveaux ouvrages (centrales de production, postes

de transformation, lignes de transport…etc.), de la dérégulation du marché d'électricité et de

l’interconnexion des réseaux électriques, les conducteurs du réseau électrique se retrouvent

obliger de faire fonctionner les réseaux électriques près, ou même des fois, à leurs limites de

stabilité. Ce qui donne une importance capitale à l'évaluation de la stabilité des réseaux d'énergie

électrique en temps réel. Une variété d’approches permettant l’évaluation de la stabilité des

réseaux d’énergie électrique a été proposée dans la littérature. Elles peuvent être classées en

quatre catégories distinctes [10, 11,14] :

a. Méthodes indirectes d’intégration numérique.

b. Méthodes directes énergétiques.

c. Méthodes directes d’apprentissage automatique.

d. Méthodes hybrides.

II.6.1) Méthodes d’intégration numérique [12,13]

Les modèles mathématiques des sciences et des techniques se présentent très souvent sous la

forme de systèmes d’équations différentielles ordinaires qui lient des fonctions du temps

inconnues à leur dérivée. Des conditions initiales sont en général requises pour compléter le

modèle.

L’idée de base consiste à ne rechercher que la valeur des fonctions inconnues en un grand

nombre de points : il s’agit de la discrétisation. Au lieu de résoudre un problème différentiel ou

problème continu, on résout un grand système algébrique qu’on appelle le

Problème discret. Il est ici essentiel de comprendre la différence entre une solution analytique

exacte et une solution numérique approchée. Il est aussi essentiel de comprendre comment une


Page 22

solution approchée peut être interprétée comme la projection orthogonale d’une fonction dans un

espace discret de taille finie.

Les méthodes les plus exactes pour l’évaluation de la stabilité transitoire sont les méthodes

d’intégration numérique (méthodes dites classiques). Vu leur efficacité prouvée depuis leur

adoption, pratiquement toutes les compagnies d’électricité y ont recours lorsqu’il s’agit d’études

s’effectuant en temps différé (off-line).

Ces méthodes permettent d’inclure dans le modèle mathématique les caractéristiques

dynamiques des générateurs et des charges, les systèmes de régulation de vitesse et de tension,

les moyens et les systèmes de contrôle avancés (HVDC, PSS,…) et de prendre en considération

les actions des circuits de protection.

Quelques exemples des méthodes d’intégration numérique

Méthode d’Euler : [13]

En cas d’une équation différentielle du premier ordre dont la forme mathématique est:

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑓 𝑥, 𝑦 (II.45)

A partir de la connaissance de la valeur de 𝑦 = 𝑦0 pour une valeur de 𝑥 = 𝑥0 , on peut calculer

la valeur de (𝑑𝑦

𝑑𝑥) en ce point soit(

𝑑𝑦

𝑑𝑥)0 La valeur estimée de 𝑦 pour 𝑥 = 𝑥0 + 𝑑𝑥

Sera prise égale à 𝑦0 + 𝑑𝑦 = 𝑦0 + 𝑑𝑦

𝑑𝑥 𝑑𝑥 C’est une méthode itérative.

La valeur 𝑦𝑖+1est déterminée en ajoutant ∆𝑦𝑖à la valeur 𝑦𝑖

𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + ∆𝑥 × 𝑓 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 (II.46)

Si on note 𝑕 le pas de discrétisation en 𝑥𝑖 la méthode d'Euler définit deux suites :

une première qui définit les valeurs de 𝑥:

Terme initial :𝑥0

Relation de récurrence : 𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 + 𝑕

une deuxième qui permet d'évaluer les valeurs de 𝑦:

Terme initial :𝑦0

Relation de récurrence :

𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + 𝑕 × 𝑓 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 (II.47)

Méthode de Runge-Kutta 2ème ordre [13]

En cas d’une équation différentielle du premier ordre dont la forme mathématique est :

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑓 𝑥, 𝑦 (II.48)

Dans la méthode d’Euler, on exprime 𝑦(𝑥 + 𝑕) par 𝑦(𝑥 + 𝑕) = 𝑦(𝑥) + 𝑕 × 𝑓 (𝑥 , 𝑦)


Page 23

Dans la méthode de Runge-Kutta d’ordre 2, on exprime 𝑦(𝑥 + 𝑕) sous la forme :

𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + 𝐴𝑕 × 𝑓1 + 𝐵𝑕 × 𝑓2 = 𝑦𝑖 + 𝐴𝑘1 + 𝐵𝑘2 (II.49)

Avec :

𝑓1 = 𝑓 𝑥, 𝑦 =𝑘1

𝑕 (II.50)

𝑓2 = 𝑓 𝑥 + 𝑝𝑕, 𝑦 + 𝑄𝑕𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓 𝑥 + 𝑝𝑕, 𝑦 + 𝑄𝑘1 =𝑘1

𝑕 (II.51)

On a donc :

𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + 𝐴𝑘1 + 𝐵𝑘2 (II.52)

Avec :

(𝐴 + 𝐵) = 1

𝐵𝑃 = 1/2

𝐵𝑄 = 1/2

Donc :

P = Q = 1/2B

A = 1 − B

On fixe le paramètre B = 1.

On obtient :

P = Q = 1/2

A = 0

La formule générale de la méthode de Runge-Kutta 2ème ordre est:

𝑦𝑖+1 ≈ 𝑦𝑖 + 𝑕 × 𝑓(𝑥𝑖 +𝑕

2, 𝑦𝑖 +

𝑕

2× 𝑓 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 )

= 𝑦𝑖 + 𝑕 × 𝑓(𝑥𝑖 +𝑕

2,𝑘1

2)

𝑦𝑖+1 ≈ 𝑦𝑖 + 𝑘2

(II.56)

II.7) calcul d'écoulement de puissance :

L'étude de l'écoulement de puissance consiste à rechercher un point de fonctionnement stable à

un moment donné à travers une information complète du courant et de la puissance. En fait, il

s’agit principalement de calculer les quatre paramètres suivants au niveau de chaque nœud de

réseau :𝑃, 𝑄, 𝑉 𝑒𝑡 𝛿.

Il existe plusieurs méthodes de calcul d’écoulement de puissance, mais nous ne citerons que les

trois les plus importantes :

Méthode de Gauss-Seidel (G-S);

Méthode de Newton-Raphson (N-R);

Méthode Découplée Rapide (FDLF);


Page 24

Calcul de l’E.P par la méthode de Gauss-Seidel :

L’objectif est de déterminer tous les 𝑃𝑖 , 𝑄𝑖 , 𝑉𝑖𝑒𝑡 𝛿𝑖pour les n nœuds d’un réseau électrique. La

procédure est de calculer les 𝑉𝑖𝑒𝑡 𝛿𝑖 des nœuds 𝑃𝑄, ensuite les 𝑄𝑖 et 𝛿𝑖 des nœuds 𝑃𝑉 et

finalement le 𝑃 et 𝑄 du slack bus :

Nœuds PQ :

On détermine les tensions |𝑉𝑖| et les angles 𝛿𝑖 par la formulation suivante à programmer :

𝑉𝑖 𝑘

=1

𝑦𝑖𝑗

𝑃𝑖 − 𝑗𝑄𝑖

𝑉𝑖 ∗ 𝑘−1

− 𝑦𝑖𝑙

𝑖−1

𝑙≠1

𝑉𝑙 − 𝑦𝑖𝑙

𝑛

𝑙≠𝑖

𝑉𝑙 𝑘−1

𝑉𝑖(𝑘)

= |𝑉𝑖(𝑘)

| < 𝛿𝑖(𝑘)

Avec : 𝑖 = 𝑁𝑃𝑄 (nombre des nœuds𝑃. 𝑄).

• Nœuds PV

On a à déterminer les 𝑄𝑖 et les𝛿𝑖 , par les formules suivantes :

𝑄𝑖 𝑘

= −𝐼𝑚 𝑉𝑖∗(𝑘)

𝑦𝑖𝑗

𝑛

𝑗 =1

𝑉𝑗 𝑘

𝛿𝑖 𝑘

= 𝐴𝑟𝑔[1

𝑦𝑖𝑗(𝑃𝑖 − 𝑗𝑄𝑖

𝑉𝑖∗(𝑘−1)

− 𝑦𝑖𝑗

𝑗 =1𝑗≠𝑖

𝑉𝑗 𝑘

]

Slack bus

On détermine ici juste 𝑃𝑖 et 𝑄𝑖 , à l’ordre 𝑘 seulement (c-à-d à la 𝑘é𝑚𝑒 itération) :

𝑃𝑠 − 𝑗𝑄𝑠=𝑉𝑠∗ 𝑦𝑠𝑗

𝑛𝑗 =1 𝑉𝑗

𝑘

Ensuite, on exécute le test de la convergence pour les amplitudes de tension des nœuds 𝑃𝑄 (les

amplitudes de tensions des nœuds 𝑃𝑉 et du slack bus étant spécifiées) :

||𝑉| 𝑘 − |𝑉|(𝑘−1)| ≤ 𝑇𝑂𝑙

𝑉𝑖(𝑘+1)

=

𝑉𝑖𝑠𝑐𝑕 − 𝑗𝑄𝑠𝑐𝑕

𝑉𝑖∗(𝑘) + 𝑦𝑖𝑗

𝑛𝑗=1 𝑉𝑗

(𝑘)

𝑦𝑖𝑗𝑛𝑗=0

𝑖 ≠ 𝑗

Les puissances 𝑃𝑖 et 𝑄𝑖 sont exprimées par :

𝑃𝑖(𝑘+1)

= ℜ 𝑉𝑖∗(𝑘)

𝑉𝑖(𝑘)

𝑦𝑖𝑗 − 𝑦𝑖𝑗 𝑉𝑖(𝑘)

𝑛

𝑗=1

𝑛

𝑗=0 𝑖 ≠ 𝑗


Page 25

𝑄𝑖(𝑘+1)

= −ℑ 𝑉𝑖

∗(𝑘) 𝑉𝑖

(𝑘) 𝑦

𝑖𝑗− 𝑦

𝑖𝑗𝑉𝑗

(𝑘)𝑛

𝑗=1

𝑛

𝑗=0

𝑖 ≠ 𝑗

Remarque : Il faut que tous les éléments réalisent cette condition.

Amélioration de la convergence par relaxation (par facteur d’accélération):

|𝑉𝑖| 𝑎𝑐𝑐 (𝑘)

= |𝑉𝑖| 𝑘−1 + 𝛼(|𝑉𝑖

𝑘 − 𝑉𝑖|

𝑘+1 )

𝛼 : Facteur d’accélération, prise généralement entre 1,4 𝑒𝑡 1,6.

Conclusion :

La modélisation des différents éléments du système de puissance a permis de mettre en

exergue les équations mathématiques caractérisant de chaque modèle. Celle-ci permettra la mise

en équation de l’ensemble du système en régime permanent et en régime transitoire.

Ensuite nous avons présenté dans ce chapitre quelques méthodes de calcul mathématique

pour l’intégration numérique qui nous permettent d’évaluer l’ensemble des équations

différentielles du modèle complet d’un réseau électrique quelque soit son taille et sa complexité.

Evaluation de la stabilité transitoire d’un réseau test

Page 27

III-1) Introduction :

Dans ce chapitre nous allons étudier les modèles mathématiques classiques pour l’évaluation

d’ensemble des équations différentielles (système non linéaire) pour l’étude de la stabilité

transitoire, et l’exemple d’application

III-2) problématique :

Un exemple simple du critère d’égalité des aires peut être introduit en examinant la stabilité du

système de la figure (III.1), si l’une de deux ligne parallèles, qui lie le générateur à un nœud

infini, est déconnecté.

Les deux courbes 𝑃 − 𝛿 relatifs à un mode de fonctionnement normal (courbe 1) et à un mode de

fonctionnement d’une seule ligne (courbe 2) est représenté en figure (III.2)

Figure III.1 Représentation unifilaire du système étudié

FigureIII.2 Courbes 𝑷 − 𝜹 pour les deux lignes en parallèle (courbe1) et pour une seule

ligne (courbe2) et le critère d’égalité des aires : fonctionnement stable(a), cas critique (b) et

fonctionnement (c).


Page 28

L’aire 𝐴1 hachurée est proportionnelle à l’énergie cinétique stockée au rotor ; lorsque la

puissance d’entée 𝑃0 est plus grande que la puissance électrique délivrée par le générateur en

accord avec la courbe 2, et dans ce cas le rotor accélère (fig III-2.a).

L’aire 𝐴2 hachurée représente la quantité d’énergie que le rotor renvoie au système. Lorsque les

deux aires sont égales. Le rotor repose à 𝛿𝑚𝑎𝑥 (point c), sur quoi sa vitesse est encore

synchrone.

Ayant retourné toute l’énergie cinétique en extra vers le circuit électrique, le rotor continue à

décélérer (𝑃𝑒 > 𝑃𝑚 ) chutant vers le point b de la courbe pour revenu au point a. De telles

oxillations vont continue jusqu’à amortissement complet du nouveau angle 𝛿1(𝛿1 > 𝛿0 point b).

Cependant, si 𝑃0 puissance initiale de fonctionnement 𝑃0 et l’angle 𝛿0 sont augmentés à des

valeurs pour les quelles l’aire entre 𝛿0′ et𝛿1

′ (𝐴1) est juste égale à l’aire entre 𝛿1 et 𝛿𝑚𝑎𝑥 ou

𝛿′𝑚𝑎𝑥 = 180° − 𝛿′1, nous aurons le cas critique de fonctionnement (fig III-2.b).Ce serait la

condition pour une puissance d’entée maximale (𝑃0𝑚𝑎𝑥 ). Si la puissance d’entrée est plus grand

que 𝑃𝑚𝑎𝑥 alors l’énergie d’accélération (𝐴1) sera plus grande que l’énergie de décélération

disponible (𝐴1 > 𝐴2𝑎𝑣𝑎𝑖𝑙 ).L’énergie cinétique en excès poussera par continue d’augmenter au-

delà de 𝛿𝑚𝑎𝑥′ et l’énergie sera encore absorbée par le rotor (puissance 𝑃𝑒 diminue avec

l’augmentation de 𝛿.i.e. la pente est négative) et la stabilité sera perdue (figure III.2.c).

Le coefficient 𝒌 =𝑨𝟐,𝒂𝒗𝒂𝒊𝒍−𝑨𝟏

𝑨𝟏 estparfois le facteur de sécurité de la stabilité transitoire. Noter

qu’il est permis au rotor d’osciller après le passage du point 𝛿 = 90° (voir figure III.2), ainsi

longtemps que le critère d’égalité des aires est satisfait

Temps critique d’élimination d’un défaut :

Le temps critique d’élimination d’un défaut est le temps maximum 𝑡, pendant lequel le défaut

peut durer sans compromettre la capacité du système à retourner à l’équilibre.

Dans un système mono-machine, il est déduit directement par le critère des aires 𝐴1 = 𝐴2

apartir des equation

]cossin)2[(cos 1

ooocr

ms

ocrcr

P

Ht

)(4

Dans un système multi-machine, le temps critique est obtenu après intégration numérique

du système global.


Page 29

Exemple d’application pour une petite perturbation :

Représente la capacité d’un système de puissance de maintenir le synchronisme quand il est

soumis à des petites perturbations (une petite variation de la charge ou de la génération,

manœuvre d’équipement, …etc.).

Résultat graphique :

Figure III.3.reponse naturel de l’angle rotorique et la fréquence de la machine

III.3) Evaluation de la stabilité transitoire

Dans ce qui suit, nous présentons les différentes étapes à suivre pour l'évaluation de la stabilité

transitoire d'un réseau d'énergie électrique multi machine où les générateurs sont représentés par

un modèle classique de second ordre (f.e.m constante derrière une réactance transitoire).

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 314

16

18

20

t sec

delta

degre

e

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 359.96

59.98

60

60.02

60.04

t sec

frequency

hz

l'angle (delta)

la frequence(f)


Page 30

Figure III.4:Organigramme de l’évaluation de la stabilité transitoire

Début

Lire les données du système

Point initial de réseau (calcul de load Flow)

Identification de la perturbation

Calcul de :

-admittances équivalentes des charges

-tensions internes des générateurs

-matrice augmenté du réseau

-matrices admittances du réseau pendant et

après la perturbation selon la topologie du

réseau.

-matrices admittances réduites du système

𝑡 = 0

t > 𝑡𝑒

𝑡 > 𝑡𝑚𝑎𝑥

Résoudre les

équationsdifférentielles par la

méthode Runge-Kutta en utilisant

la matrice admittance réduite du

système après élimination du

défaut

𝑡 = 𝑡 + ∆𝑡

Afficher les courbes des

angles rotoriques Fin

Résolution des équations par

la méthode de Runge Kutta

en utilisant la matrice

admittance réduite du

système pendant défaut

𝑡 = 𝑡 + ∆𝑡

Non Oui

Non Oui


Page 31

Exemple d’application (réseau 006N03M)

Soit le réseau test représenté par le schéma unifilaire suivant :

Figure III.5 Schéma du réseau étudié.

DONNEES DES NŒUDS :

Nœud Tension Charge Génération

Nœ

ud

Ty

pe

Amplit

ude

(𝑝𝑢)

Angle

𝑟𝑎𝑑

Active

𝑀𝑊

Réactive

𝑀𝑊

Active

𝑀𝑊

Réactive

𝑀𝑊

1 1 1.060 0.0 0 0 0 0

2 2 1.040 0.0 0 0 0 0

3 2 1.030 0.0 0 0 0 0

4 0 1.0 0.0 100 70 0 0

5 0 1.0 0.0 90 30 0 0

6 0 1.0 0.0 160 110 0 0

Tableau III.1 Données de nœuds du réseau IEEE 3 machines 6 nœuds

Données de machines :


Page 32

PARAMETRES GEN1 GEN2 GEN3

𝑁 1 2 3

𝑅𝑔 0 0 0

𝑋𝑑′ 0.20 0.15 0.25

𝐻 20 4 5

Tableau III.2 Caractéristiques des machines.

La Matrice admittance du réseau 6 jeux de barre 3 générateurs

𝒀𝑏𝑢𝑠 =

3.6573

− 17.8314i 0 0

−0.6750

+ 4.3394i

−2.1459

+ 9.0129i

−0.8364

+ 4.4956i

0 0

− 28.5714i 0 0 + 28.5714i 0 0

0 0 0 − 23.8095i 0 0

+ 23.8095i 0

−0.6750

+ 4.3394i

0

+ 28.5714i 0

2.3814

− 40.5186i 0

−1.7064

+ 7.6178i

−2.1459

+ 9.0129i 0 0 + 23.8095i 0

2.9766

− 38.3788i

−0.8306

+ 5.5909i

−0.8364

+ 4.4956i 0 0

−1.7064

+ 7.6178i

−0.8306

+ 5.5909i

3.3734

− 17.6652i

L’écoulement de puissance :

Pour résoudre les équations de performances non linéaires, on utilise les méthodes numériques

itératives classiques. Dans notre programme, nous avons utilisé la méthode de Gauss-Seidel.

La solution de ces équations donne les tensions complexes du système. Une fois toutes les

tensions des nœuds sont déterminées, nous pouvons calculer directement les puissances circulant

dans les lignes, les puissances active et réactive du générateur du nœud de référence, les pertes

dans les lignes de transport et les pertes totales dans le système.

Résultat d’écoulement de puissance pour ce réseau test :

Le programme d’écoulement de charge converge en 4 itérations (méthode de Gauss Seidel)


Page 33

𝐵𝑢𝑠 𝑁 𝑉 𝐴𝑛𝑔𝑙(°) 𝑃𝑐𝑕 𝑄𝑐𝑕 𝑃𝐺 𝑄𝐺 𝑅𝑒𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑒 𝑠𝑕𝑢𝑛𝑡

1 1.060 0.000 0.000 0.000 105.287 107.335 0.000

2 1.040 1.470 0.000 0.000 150.000 99.771 0.000

3 1.030 0.800 0.000 0.000 100.000 35.670 0.000

4 1.008 −1.401 100.000 70.000 0.000 0.000 0.000

5 1.016 −1.499 90.000 30.000 0.000 0.000 0.000

6 0.941 −5.607 160.000 110.000 0.000 0.000 0.000

Tableau III.3 Résultat d’écoulement de puissance

L’admittance de charge (𝒚𝒍𝒐𝒂𝒅) :

Dans notre étude, on a représenté les charges par des admittances statiques vers la terre. Elles

sont calculées après la résolution des équations d’écoulement de puissance du système avant

défaut.

Soit : 𝑃𝑙𝑖 ,𝑄𝑙𝑖 : charge du nœud i donnée par la solution d’écoulement de puissance.

𝑉𝑙𝑖 : Tension au nœud i donnée par la solution d’écoulement de puissance.

On peut écrire l'expression de la charge sous sa forme admittance

𝑦𝑙𝑜𝑎𝑑 =𝑃𝑙𝑖 − 𝑄𝑙𝑖

𝑉𝑖2

III) Augmentation de la matrice admittance :

Dans l’étude de la stabilité on doit procéder aux modifications suivantes sur la matrice

admittance du réseau siège d’un court-circuit triphasé dans notre cas.

- Pour introduire le modèle du générateur dans le modèle globale du réseau, on doit ajouter un

nœud nouveau, connecté au nœud de génération par une admittance de la forme:

𝑌𝑖′ =

1

𝑗𝑋𝑑𝑖′ (III.1)

Ce qui correspond au modèle d'une f.é.m. derrière une réactance subtransitoire.

- Pour chaque charge, il suffit de connecter le nœud de charge à la terre par le biais d'une

admittance constante de la forme où les tensions sont ceux calculé par le programme de

l’écoulement de puissance avant l’apparition du défaut.

𝑌𝑘0 =𝑃𝑘−𝑗𝑄𝑘

𝑉𝑘2 (III.2)


Page 34

- Dans le cas où un générateur et une charge coexistent au niveau d'un nœud du réseau

électrique, les deux modifications précédentes sont combinées.

Les données des lignes qui permettent le calcul de la matrice admittance avec des nouveaux

nœuds après modélisation des générateurs et calcul des admittances équivalentes des charges du

réseau précédant sont rassemblées dans le tableau qui suit:

𝑁𝑠 𝑁𝑟 𝑅 𝑋 𝐵

2

𝑡𝑎𝑝

1 4 0.0350 0.2250 0.0065 1.0000 1 5 0.0250 0.1050 0.0045 1.0000 1 6 0.0400 0.2150 0.0055 1.0000 2 4 0 0.0350 0 1.0000 3 5 0 0.0420 0 1.0000 4 6 0.0280 0.1250 0.0035 1.0000 5 6 0.0260 0.1750 0.0300 1.0000 7 1 0 0.2000 0 1.0000 8 2 0 0.1500 0 1.0000 9 3 0 0.2500 0 1.0000

Réduction de Kron :

Dans le réseau les générateurs sont connectés à des nœuds dit de génération, les autres nœuds

sont des nœuds passifs auxquels des charges linéaires peuvent êtres connectées. Pour un objectif

de trouver la relation entre les courants

injectés par les générateurs et les tensions

aux nœuds générateurs la taille du réseau

peut être réduite en éliminant les nœuds

passifs.

Il s’agit donc de trouver la relation

𝐼𝑔 = 𝑌𝑟𝑒𝑑𝐸𝑔

Figure III.6 Représentation du système de puissance réduit [1]

La réduction de Kron est une technique utilisée afin de réduire les dimensions de la matrice

d’admittance. Lorsqu’un réseau électrique comporte 𝑚générateurs et 𝑚 + 𝑛 barres, l’équation

𝐼 = 𝑌𝑏𝑢𝑠𝑉 devient :

𝐼𝑚𝐼𝑛

= 𝑌𝑚𝑚 𝑌𝑚𝑛

𝑌𝑛𝑚 𝑌𝑛𝑛

𝑉𝑚𝑉𝑛

(III.3)


Page 35

Pour les 𝑛barres, qui ne sont pas des barres de génération, le courant 𝐼𝑛est égal à zéro et

l’équation(III. 1)devient :

𝐼𝑚 = 𝑌𝑚𝑚 𝑉𝑚 + 𝑌𝑚𝑛 𝑉𝑛 (III.4)

𝐼𝑛 = 𝑌𝑛𝑚 𝑉𝑚+𝑌𝑛𝑛𝑉𝑛 = 0 (III.5)

La variable 𝑉𝑚 peut être résolue à partir de l’équation (III. 5)et remplacée dans l’équation(𝐼𝐼𝐼. 4)

Afin d’obtenir l’équation suivante :

𝐼𝑚 = 𝑌𝑚𝑚 − 𝑌𝑚𝑛 𝑌𝑛𝑛−1𝑌𝑛𝑚 𝑉𝑛 (III.6)

Dans l’équation (III. 6) la nouvelle matrice d’admittance est de dimensions𝑚 × 𝑚. Étant donné

que la quantité de calculs est réduite considérablement, le temps d’exécution du programme

devient alors plus efficace. Il est important de noter que cette technique est seulement applicable

quand les charges sont modélisées comme des impédances constantes.

Le Résultats de la matrice réduite avant le défaut par la méthode de Kron est donnée par la

matrice 𝑌𝑏𝑓 suivanate :

𝑌𝑏𝑓 =

0.3517 − 2.8875i 0.2542 + 1.1491i 0.1925 + 0.9856i 0.2542 + 1.1491i 0.5435 − 2.8639i 0.1847 + 0.6904i0.1925 + 0.9856i 0.1847 + 0.6904i 0.2617 − 2.2835i

Point d’équilibre :

Après réduction du réseau à un système composé de nœuds de génération recevant les courants

des générateurs après leurs fém. interne on peut déterminer le point d’équilibre des générateurs

représenté par leurs fém, leurs angle de phase et les puissances mécaniques qui leurs sont

appliquées.

A l’équilibre avant le défaut la puissance mécanique est égale à la puissance électrique

développée par le générateur.

𝑃𝑚(𝑖) = 𝑃𝑒 (𝑖) = 𝛴𝐸(𝑖) ∗ 𝐸(𝑗) ∗ 𝑌(𝑖, 𝑗) ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝑡𝑕(𝑖, 𝑗) − 𝑑0(𝑖) + 𝑑0(𝑗))

Point d’équilibre pour les trois générateur est défini par :


Page 36

𝑵° 𝑬 𝜹° 𝑷𝒎

𝟏 1.2781 8.9421 2.4931

𝟐 1.2035 11.8260 1.5000

𝟑 1.1427 13.0644 2.1584

Modélisation du défaut :

Nous avons choisi le défaut le plus sévère dans les réseaux électriques le court-circuit triphasé

qu’on va appliquer à proximité du jeu de barre 6

La tension au jeu de barre devient nulle est nœud correspondant sera éliminer de la matrice

augmentée après quoi en refait la réduction par a méthode de Kron de cette matrice pour obtenir

en fin la matrice qui régit le système durant le court-circuit.

Matrice admittance Durant le défaut

𝒀𝒅𝒇 =

𝟎.𝟐𝟒𝟕𝟒 − 𝟑. 𝟐𝟑𝟐𝟕𝐢 𝟎 𝟎. 𝟏𝟐𝟎𝟎 + 𝟎. 𝟕𝟕𝟗𝟎𝐢

𝟎 𝟎 − 𝟔. 𝟔𝟔𝟔𝟕𝐢 𝟎 𝟎.𝟏𝟐𝟎𝟎 + 𝟎. 𝟕𝟕𝟗𝟎𝐢 𝟎 𝟎. 𝟐𝟏𝟐𝟑 − 𝟐. 𝟒𝟎𝟕𝟎𝐢

Matrice admittance après le défaut

On fixant le temps critique d’élimination du défaut (dans notre étude il va prendre plusieurs

valeurs afin d’étudier plusieurs cas), la phase qui suit la précédente se caractérise par action des

systèmes de protection et l’élimination de la ligne an défaut soit dans ce cas la ligne 5-6.

Un calcul de la matrice augmentée dans ce programme est refait en éliminant la ligne mise hors

service de cette dernière puis on réduit encore une fois la matrice par Kron, on obtient donc la

matrice après élimination de défaut 𝑌𝑎𝑓 suivante :

𝒀𝒂𝒇 =

𝟎. 𝟔𝟐𝟖𝟗 − 𝟐. 𝟓𝟎𝟏𝟔𝐢 𝟎 𝟎. 𝟑𝟕𝟎𝟗 + 𝟏. 𝟐𝟏𝟐𝟒𝐢

𝟎 𝟎 𝟎𝟎. 𝟑𝟕𝟎𝟗 + 𝟏. 𝟐𝟏𝟐𝟒𝐢 𝟎 𝟎. 𝟑𝟕𝟔𝟎 − 𝟐. 𝟏𝟓𝟎𝟕𝐢

Résultats graphiques :


Page 37

L’intégration de l’équation II.36 ci-dessous par la méthode de Runge-Kutta dans le temps qui

varie du temps de l’apparition du défaut jusqu’après élimination de la ligne en défaut donne les

résultats qui suivent :

𝑑𝛿2

𝑑𝑡2 =𝜋𝑓

𝐻 𝑃𝑚 − 𝐸𝑖 𝐸𝑗𝑦𝑖𝑗 cos(𝜃𝑖 − 𝜃𝑗 + 𝛿𝑖𝑗 ) (II. 36)

1 - Temp d’élimination du défaut 𝒕𝒄 = 𝟎. 𝟒𝒔 maintien de la stabilité

Figure III.7 Angle rotorique en fonction de temps(a)

Un Zoom de la courbe précédente(b)

0 5 10 15 20 25 30-100

-50

0

50

100

150

t, sec

Delta,

degre

e

default eliminé aprés 0.4s le systeme maintient de la stabilité

0 0.5 1 1.5-100

-50

0

50

100

150

t, sec

Delta,

degre

e

delt2-delta1

delta3-delta1


Page 38

Interprétation des courbes

Nous allons présenter sur les figures précédentes l’évolution dans le temps des angles

rotoriques qui nous permettent de décider sur la stabilité ou l’instabilité du réseau pour un point

de fonctionnement et un défaut donné.

La figure (III.7) montre que le système est stable pour un défaut éliminé après 0.4 avec des

oscillations qui durent long temps à cause de la sévérité du défaut (court-circuit triphasé) ; mais

en fin le système retrouve le point d’équilibre.

2- Temps d’élimination du défaut0.5𝑠pour le même défaut

Figure III.8 le temps critique d’élimination du défault :𝟎.𝟒𝟓

La figure Fig.III.8 montre la divergence de la différence des l’angle δ2- δ1 de la machine 2 d’où

l’instabilité du système lors de l’élimination du défaut après 0.5 s.

Temps critique d’élimination de défaut :

On faisant une investigation sur le temps critique d’élimination du défaut nous avons eu la

courbe suivante pour le temps tc= 0.45s

0 0.5 1 1.5-200

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

t, sec

Delta,

degre

e

temps d'elimination du defaut 0.5 (perte de la stabilité)

data1

delta2-delta1

delta3-delta1


Page 39

FigIII9 .Temps critique d’élimination de défaut

La figure (III.8) montre que le système est proche aux limites de stabilité transitoire, L’écart

entre δ2-δ1 à augmenté (presque 150 °) par rapport à l’écart dans la figure FigIII.7 où tc=0.45, la

machine risque de perdre le synchronisme avec le reste des machines du réseau.

De cette figure, on peut conclure que le temps d’élimination du défaut (0.45s) est très proche au

temps critique.

Influence du coefficient d’amortissement des générateurs sur la stabilité

Toujours pour le même default : court-circuit triphasé au jeu de barre 6, mais dans ce qui suit on

va tenir en considération les coefficients d’amortissement des générateurs et refaire notre étude,

nous avons abouti à ce qui suit :

- A partir de La figureIII.9 on observe que le système ne perd pas sa stabilité même si le

defaut sera eliminé après 0.5 s ce qui justifié que les expert ne prenne pas dans l’etude de la

stabilité transitoire les coefficients d’amortissement des alternateurs pour assurer la stabilité

après choisir le temps d’elimination des defauts.

0 0.5 1 1.5-150

-100

-50

0

50

100

150

t, sec

Del

ta, d

egre

e


Page 40

Figure III.9 Défault eliminé après 𝟎. 𝟓 s le système est stable(a)

Figure III.9 Défault éliminé après 𝟎. 𝟎𝟎𝟐𝒔 le système est instable(b)

La figure FigIII.9 presente le cas d’instabilité pour un temps très faible d’elimination de defaut

qui est le plus proche du temps critique.

Conclusion :

Dans ce chapitre nous avons traité le problème de l’évaluation de la stabilité transitoire par une

méthode classique d’intégration numérique qui nous a permet de juger la robustesse d’un réseau

électrique face à une grande perturbation tell qu’ ’un court-circuit triphasé en observant

l’évolution dans la temps de l’écart des angles rotorique par la résolution pas à pas de l’ensemble

des équations différentielles non linéaire qui régissent le système.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

t, sec

Delta,

degre

e

defaut eliminer aprés 5s

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

1

2

3

4

5

6

7

t, sec

Delta,

degre

e

default eliminé aprés 0.002s systeme instable

Conclusion générale

Page 41

Conclusion générale

L’étude présenté dans ce mémoire porte sur l’application des méthodes classiques d’intégration

numériques pour l’évaluation de la stabilité transitoire des réseaux multi-machines celle-ci qui

constitue un sujet d’actualité et revêt une importance primordiale dans l’exploitation et la

planification des systèmes énergétique.

Dans le premier chapitre nous avons rappelé les différents phénomènes transitoires qui peuvent

affectés les réseaux électriques ainsi que les définitions et la classification de la stabilité et les

méthodes utilisées dans la littérature pour l’évaluation de cette dernière dans les réseaux

électriques.

La modélisation de tout les éléments du réseau électrique a fait l’objet du deuxième chapitre

dont lequel nous avons développé toutes les équations de performances d’un réseau électrique et

nous avons expliqué avec plus de détails les méthodes d’évaluation de la stabilité transitoire en

particulier des aires égales.

La méthode d’intégration numérique est basée sur la résolution des équations différentielles non

linéaires qui décrites le phénomène de la stabilité transitoire. Plusieurs techniques numériques

sont utilisées pour résoudre ces systèmes à savoir la méthode d’Euler et de Runge-Kutta.

La méthode d’intégration numérique est toujours considérée comme la méthode de référence en

comparaison avec les autres méthodes au niveau de la précision. L'évaluation de la stabilité

transitoire avec cette méthode comporte trois phases : L’étude du système avant défaut

(écoulement de puissance), la phase pendant le défaut et la phase après élimination du défaut.

Les avantages des méthodes d'intégration numérique, s’expriment par:

- Permettent d'inclure dans le modèle mathématique les caractéristiques dynamiques des

générateurs, des charges, des systèmes de régulation, les moyens et les systèmes de

contrôle avancés (AVR, PSS, …) ;

- La possibilité d’avoir les réponses temporelles de toutes les variables du réseau qui

contiennent les informations importantes sur la dynamique du réseau (les tensions, les

angles, la fréquence, ainsi que les puissances) ;

- La possibilité de calculer les impédances apparentes, les courants de lignes, les tensions de

jeux de barres.

La limitation principale de cette méthode en plus de sa complexité est le temps de calcul

important qui ne permet pas d’entreprendre des applications en temps réel.

HP

Text Box

Résumé du sujet Lorsque le réseau subit une perturbation importante (court circuit triphasé dans une ligne, perte de charge importante, etc.…), la différence entre la puissance de la turbine entraînant un générateur et la puissance électrique fournie par celui-ci induit une accélération ou une décélération pouvant entraîner la perte du synchronisme d’un ou de plusieurs générateurs. L’étude de la stabilité transitoire du système énergétique fournit des informations relatives aux variations dans le temps des angles et des vitesses rotoriques des alternateurs, des tensions, courants et puissances transitées dans le réseau, pendant et après la perturbation afin de juger si ce système est en fonctionnement stable ou non et aussi de dimensionner les protections censées éliminer le défaut avant d’atteindre le temps critique. Plusieurs approches permettant l’évaluation de la stabilité transitoire ont été proposées dans la littérature entre autre les méthodes d’intégration numérique (méthodes classiques), basées sur la résolution des équations différentielles non linéaires décrivant le régime dynamique du système. L’analyse de la stabilité transitoire des réseaux électriques par ces méthodes classiques fera l’objet de ce travail. Mots clés: Stabilité transitoire – Intégration numérique

Nomenclature

Nomenclature

𝐽:Moment d’inertie en [kg. M2] ;

𝑇𝑎 : Couple d’accélération en [N.m] ;

𝜃𝑚 : Position angulaire du rotor par rapport à la référence statorique ;

𝑡 : Temps en seconde ;

𝑑

𝑑𝑡 : Dérivée par rapport au temps ;

𝛿 : La position angulaire du rotor par rapport à la référence statorique

𝜔𝑠𝑚 : Vitesse de synchronisme de la machine en [rd/s] ;

𝜃𝑠𝑚 : Angle système de la machine

𝜔𝑠𝑚 : Pulsation de système de la machine

𝐻 : Constant d’étertie 𝑝𝑢

𝜔𝑚 : Pulsation de rotor

𝑀 : Constant de temps mécanique

𝛿𝑒 =𝑃

2𝛿𝑚 Angle électrique du rotor qui est reliée à l’angle mécanique

𝑑𝛿

𝑑𝑡 : La vitesse du rotor par rapport la vitesse de synchronisme

𝑃

2 : Nombre de paire de pole de la machine

𝑉𝑏𝑢𝑠 : Vecteur des tensions complexes des noeuds de dimension (𝑛 + 𝑚 ´ 1) mesurées par

rapport au nœud de référence.

𝐼𝑏𝑢𝑠 : Vecteur des courants complexes des noeuds de dimension (𝑛 + 𝑚 ´ 1) (pris positifs

lorsqu’ils circulent vers le réseau).

Nomenclature

𝑌𝑏𝑢𝑠 : Matrice nodale carrée des admittances complexes du réseau de transport d’énergie de

dimension (𝑛 + 𝑚 ∗ 𝑛 + 𝑚)

Les éléments diagonaux :𝑌𝑖𝑖 = 𝑌𝑖𝑖𝑛+𝑚𝑗=0

Les éléments non diagonaux :𝑌𝑖𝑗 = −𝑦𝑖𝑗

𝐼𝑔 : Courant de la machine en 𝑝𝑢 ;

𝐸𝑡 : Tension terminale au nœud générateur en 𝑝𝑢 ;

𝐸′ : Tension interne derrière la réactance transitoire 𝑗𝑋𝑑′ en .

𝜔𝑟 : Vitesse angulaire du rotor en [pu]

𝛼 : Accélération ou décélération du rotor de la machine

𝑇𝑛𝑒𝑡 : Le couple net responsable de 𝛼

𝑇𝑚 : Couple mécanique de l’arbre rotorique.

𝑇𝑒 : Couple électromagnétique.

𝛿𝑚 : Déplacement angulaire du rotor à partir de l’axe de référence tournant.

Ω𝑚 : Vitesse synchrone de la machine

𝑇𝑒𝑠 : Le couple synchrone

𝑇𝑒𝑟 : Le couple réluctant

𝐸: Force électromotrice (tension interne) de la machine synchrone

𝑉𝑡 : Amplitude de tension aux bornes de la machine

𝜔𝑟 : Vitesse angulaire rotorique de la machine [rad/𝑠]

𝛿: Angle interne de la machine

𝑋𝑑 : Réactance de la machine selon l’axe d

Bibliographie

[1] B.Boussahoua,”Evaluation de la stabilité transitoire des réseaux d’énergie électrique par les

methods énergétiques”, Thése de Magister,ENP,Algérie, 2004.

[2] G.T.Heydt, “Computer analysis methods for power system”, Macmillan publishing

company, New York, 1986

[3] M.Pavella et P.G.Murthy, “Transient stability of power system: theory and practice”,

library of congress cataloguing in publication, 1994.

[4] P.Kundur, “Power System Stability and Control”, McGraw-Hill Inc, 1993.

[5] P.Kundur, et al.”Definition and Classification of Power System Stability,”IEEE Trans.on

Power Systems, Vol.19, No.2, pp.1387-1401, May 2004.

[6] Yanfeng Gong, “Development of an Improved On-Line Voltage Stability Index Using

Synchronized Phasor Measurement.” PHD thesis, Mississippi State University, Mississippi,

USA, December 2005.

[7] E. G.Shahraki, “Apport de l'UPFC à l'amélioration de la stabilité transitoire des

réseaux électriques”, Thèse d’état, université de Nancy, 2003.

[8] N. Kandil, “Algorithmes pour accélérer la simulation en stabilité transitoire”, Thèse d’état,

université de MONTREAL, 1999.

[9] Hassen Badi, El-Harrach, “Evaluation de la stabilité transitoire des réseaux d’énergie

électrique par le critère d’égalité des aires élargi", Juin 2007, Ecole National Polytechnique, 10,

AV. Algérie.

[10] J. Task-Force, “Definition And Classification Of Power System”, IEEE\CIGRE

June 2003.

[11] B.Boussahoua, " Evaluation de la stabilité transitoire des réseaux d’énergie électrique par

les méthodes énergétiques ", Thèse de Magister, ENP, Alger, Algérie, 2004.

[12] M. Pavella et P. G. Murthy, "Transient stability of power systems: theory and practice",

Library of congress cataloguing in publication, 1994.

[13] A. Padilha et E. F. Denis, "Transient stability indices from hybrid approach", IEEE porto

power tech conference, Sep. 2001.

[14] Slimane RAMDANE, MEMOIRE DE MAGISTER "Programmation en MATLAB de la

Stabilité Transitoire d’une Modélisation Interactive d’un Réseau Electrique par Intégration

Numérique".29 / Juin / 2008.

ANNEXE A

Données du système :

A-1.Topologie du réseau :

Figure. Schéma d’un réseau One-machine infinie bus

Données de ce réseau :

𝐸 1.35

𝑉 1.0

𝐻 9.94

𝑃𝑚 0.6

𝐷 0.138

𝑓0 60

𝑋 0.65

Evaluation de la stabilité transitoire d’un réseau ...

Documents

Transcript of Evaluation de la stabilité transitoire d’un réseau ...