F E U I L L E S D TAC H A B L E S

Maths

Euro

Enseigner les mathmatiques au CM1

CM1

LIVRE DU PROFESSEUR

Marie-Lise PeltierMatre de confrences - IUFM de Rouen

Jol BriandMatre de confrences - IUFM de Bordeaux

Bernadette NgonoMatre de confrences - IUFM de Rouen

Danielle VergnesProfesseur de mathmatiques - IUFM de Versailles

Table des matiresPARTIE 1 : ENSEIGNER LES MATHMATIQUES AU CM11. Quest-ce quune activit mathmatique ?1.1. Presque pareils et pourtant tellement diffrents 1.2. Le contenu et la manire 1.3. Les rles du professeur et des lves 1.4. Des statuts diffrents pour des mmes moments de classe 1.5. Conclusion 7 8 9 9 10

2. Des choix compatibles avec une charge de travail raisonnable2.1. Problmes et situations dapprentissage 2.2. Le travail quotidien du professeur 2.3. Complment : la question des problmes nonc textuel 11 13 16

3. Les modes de calcul3.1. Classication et limites 3.2. Le calcul rchi 3.3. Le calcul automatis 3.4. La progression de calcul mental dans EuroMaths 18 19 20 22

4. La numration, les oprations4.1. Les nombres entiers, les deux systmes de numration 4.2. Problmes daddition et de soustraction dans les ensembles numriques du CM 4.3. Problmes de multiplication et de division au CM 4.4. Organisation et gestion de donnes 24 26 29 34

5. Les nouveaux nombres5.1. Les fractions et les nombres dcimaux 5.2. Les erreurs frquentes 5.3. Nos choix 5.4. Les tapes dEuroMaths 36 36 37 38

6. Espace et gomtrie6.1. tat des lieux 6.2. Nos choix 6.3. Les tapes dEuroMaths 40 41 42

7. Grandeurs et mesures7.1. tat des lieux 7.2. Mathmatiques et exprience 7.3. Mesure de grandeurs et production de savoirs 7.4. Mesure de grandeurs et instruments de mesure 7.5. Les tapes dEuroMaths 47 47 47 48 48

HATIER, PARIS 2009 - ISBN : 978-2-218-93623-4

2

Toute reprsentation, traduction, adaptation ou reproduction, mme partielle, par tous procds, en tous pays, faite sans autorisation pralable est illicite et exposerait le contrevenant des poursuites judiciaires. Rf.-: loi du 11 mars 1957, alinas 2 et 3 de larticle 41. Une reprsentation ou reproduction sans autorisation de lditeur ou du Centre Franais dexploitation du droit de Copie (20, rue des Grands Augustins, 75006 Paris) constituerait une contrefaon sanctionne par les articles 425 et suivants du Code Pnal.

PARTIE 2 : TAPE PAR TAPELivre de Livre du llve matre Livre de Livre du llve matre

Priode 1C E C 1 2 3 4 5 C 6 7 8 E C 9 Addition et soustraction : problmes Calcul automatis, calcul rchi : addition et soustraction (1) Dnombrer une collection organise Reproduire en dcalquant Numration : dcomposition additive Alignements Alignements : restauration de gures Numration orale Numration orale Numration crite : dcomposition canonique (1) Numration crite : position et valeur des chiffres Numration crite : comparer des nombres entiers Calcul automatis, calcul rchi : addition et soustraction (2) Addition : techniques Addition et soustraction : problmes 8 9 10 11 12 14 16 17 18 20 22 24 27 28 30 32 34 36 38 40 42 44 48 53 55 56 57 58 60 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 74 76 78 80 82 84 22 Multiplication : technique usuelle 23 Numration orale : ses rgles 24 Problmes numriques : aide mthodologique la rsolution (1) 25 Numration crite : dcomposition canonique (2) 26 Droites parallles, droites perpendiculaires 27 Proprits des polygones 28 Estimer des longueurs, des distances 29 Mesurer des longueurs, des distances 30 Primtre des gures planes E Calcul automatis, calcul rchi : addition, soustraction, multiplication 64 66 69 70 72 74 76 78 80 82 83 84 88 99 101 103 104 105 107 109 111 113 115 116 117 119

31 Reprsentation de donnes : graphiques et tableaux 32 Interprter des donnes numriques (Europe) Mathmatiques et patrimoine : Neper

10 Addition et soustraction : calcul 11 Soustraction : technique usuelle 12 Distance de deux points, milieu dun segment 13 Distance de deux points, cercle 14 Cercles 15 Numration orale : lire, crire et comparer 16 Reprage sur quadrillage, tableaux, graphiques (Europe) Mathmatiques et patrimoine : Condorcet

Priode 333 Multiplication et division : problmes (quantits) 34 Division : nombre de parts 35 Division : valeur dune part 36 Division : soustraire des multiples du diviseur C Dcrire des gures 37 Reproduire des gures 38 Multiplication et division : problmes (grandeurs) 39 Division : lcriture en ligne 40 Utiliser la calculatrice (1) 90 92 94 96 98 100 102 104 106 109 110 112 114 116 118 120 122 124 125 126 130 121 124 125 127 129 131 133 135 137 139 140 142 144 146 148 150 152 154 155 157 159

Priode 2C C Multiplication et division : problmes Calcul rchi : le rpertoire multiplicatif 50 52 54 56 57 58 60 61 62 63 85 87 89 90 92 93 95 96 97 98

E

Calcul automatis, calcul rchi : les quatre oprations (1)

41 Calcul de dures 42 Figures : analyse et reproduction 43 Formes et aires 44 Mesure des aires 45 Division : combien de chiffres au quotient 46 Division : technique usuelle 47 Figures : programmes de construction 48 Problmes pour apprendre chercher (1) E Calcul rchi : rcration (1) 49 Mesurer des dures (Europe) Mathmatiques et patrimoine : Huyghens

17 Calcul rchi : les multiples 18 Comparer des angles 19 Reproduire des angles 20 Distance dun point une droite, droites perpendiculaires C C Calcul rchi : multiplier par 10, 100, 1 000 Calcul rchi : multiplier par des multiples de 10, de 100, de 1 000 Multiplication : technique usuelle

21 Calcul rchi : le rle des parenthses C

3

Livre de Livre du llve matre

Livre de Livre du llve matre

Priode 450 Multiplication et division : la proportionnalit au quotidien 51 Proportionnalit : graduations et chelles 52 Problmes numriques : aide mthodologique la rsolution (2) 53 Fractions au quotidien 54 Fractions et partages de longueurs 55 Fractions : la machine partager les segments 56 Fractions et graduations (1) 57 Fractions et graduations (2) 58 Mesure des contenances 59 Symtrie par rapport un axe 60 Axes de symtrie des gures usuelles E Calcul automatis, calcul rchi : les quatre oprations (2) 132 134 135 136 138 140 142 144 145 146 148 151 152 154 156 158 160 162 163 164 165 166 168 161 162 164 165 166 168 170 171 172 173 175 176 176 178 179 181 182 184 186 187 188 189 191

Priode 570 Comparer des nombres dcimaux 71 Nombres dcimaux et mesure des longueurs 72 Addition et soustraction des nombres dcimaux : vers la technique 73 Lecture de plans et de cartes : chelles 74 Nombres dcimaux au quotidien 75 Utiliser la calculatrice (2) 76 Solides : de lespace au plan 77 Paralllpipdes rectangles et cubes E Multiplication et division : problmes et calcul 172 174 176 178 180 181 182 184 186 188 191 192 194 195 196 197 198 200 201 202 206 193 195 196 198 200 201 202 205 207 209 211 212 213 214 216 27 218 221 223 223 225

78 Le million et au-del 79 Multiplication dun nombre dcimal par 10, par 100 ou par 1 000 80 Multiplication dun nombre dcimal par un nombre entier 81 Complter une gure par symtrie par rapport un axe (2) E Problmes une ou plusieurs tapes 82 Division dcimale de deux nombres entiers : quand peut-on partager le reste ? 83 Division dcimale de deux nombres entiers : approche de la technique 84 Mesure des masses 85 Problmes pour apprendre chercher (2) E Calcul rchi : rcration (2) 86 Les grands nombres : dcouvrir le milliard (Europe) Mathmatiques et patrimoine : Le systme mtrique

61 Fractions et partage daires (1) 62 Fractions et partage daires (2) 63 Complter une gure par symtrie par rapport un axe (1) 64 Placer une fraction sur la droite numrique 65 Fractions dcimales (1) 66 Fractions dcimales (2) 67 Fractions dcimales et nombres dcimaux 68 Reprsentation de donnes : graphiques C Numration 69 Utiliser la proportionnalit (Europe) Mathmatiques et patrimoine : Les gyptiens

PARTIE 3 : FICHES PHOTOCOPIABLESBanques dexercices pour bilans Fiches autocorrectives des tapes dentranement Matriel photocopiable Fiches autocorrectives Ce que je suis capable de faire 226 242 252 273

Couverture Crapass Conception graphique Bernard Van Geet Mise en page Jai deux zamours Dessins techniques Lydie Bou et Jai deux zamours Illustrations Franois Foyard

4

Partie 1Enseigner les mathmatiques au CM1Enjeux didactiques et prsentation argumente des progressions

Il ma paru quen gnral, on ne devrait rien enseigner aux enfants sans leur en avoir expliqu et fait sentir les motifs. Ce principe me semble trs essentiel dans linstruction, mais je le crois surtout fort avantageux en arithmtique et en gomtrie. Ainsi des lments de ces sciences ne doivent pas seulement avoir pour but de mettre les enfants en tat dexcuter srement, et facilement par la suite, les calculs dont ils peuvent avoir besoin, mais doivent encore leur tenir lieu dlments de logique et servir dvelopper en eux la facult danalyser leurs ides, de raisonner avec justesse.Condorcet

1Quest-ce quune activit mathmatique ?Pour rpondre la question Quest-ce quune activit mathmatique ? et pour montrer comment le manuel peut contribuer rguler cette activit, nous vous proposons une petite promenade dans quatre classes o la mme squence dapprentissage est mise en uvre suivant quatre scnarios diffrents. Nous montrerons ainsi linuence que peuvent avoir des choix presque pareils mais pourtant diffrents sur la faon dont les lves sapproprient les mathmatiques et sur le sens que les mathmatiques prennent pour eux.

1.1. Presque pareils et pourtant tellement diffrentsImaginons un professeur de CM1 voulant introduire laddition des nombres dcimaux et supposons que ses lves aient dj appris ce que sont des fractions dcimales et donnent du sens aux critures additives telles 2 3 que 3 + 10 + 100 . Il regarde ltape 72 (p. 176-177) du manuel Euromaths CM1 et lit dans la dcouverte lnonc suivant : Pour construire une grande frise chronologique, des enfants mettent bout bout deux bandes de carton. La premire mesure 1,45 m et la seconde mesure 2,7 m. Quelle est la longueur de la bande ainsi obtenue ? 1 partir de cet nonc, il imagine un scnario de classe. Nous allons tudier quatre scnarios possibles parmi dautres. ce qui permet dinstitutionnaliser laddition de deux nombres dcimaux et la manire de faire (addition en colonne, virgule sous virgule).

Scnario 2 Le professeur crit lnonc au tableau. Il demande aux lves de prvoir la solution, en les engageant utiliser les deux donnes 1,45 m et 2,7 m. Ceux-ci identient facilement un problme de nature additive, ce qui va les conduire laddition de 1,45 et 2,7 quils ne connaissent pas. Le professeur compte sur la confrontation des propositions qui, dans un premier temps, peuvent ntre que de simples paris, pour aboutir son objectif : constater que les lves parviennent des rponses diffrentes alors quils savent bien que, ici, un seul rsultat est possible. Vraisemblablement, certains des lves feront des propositions errones comme 3,52 ou 3,115 ou 1,72. Le rsultat 3,52 procde de laddition de chacune des deux parties des nombres (avant et aprs la virgule). Cela renvoie la reprsentation que se font de faon trs tenace certains lves du nombre dcimal comme couple dentiers naturels. Le rsultat 3,115 procde dune conception trs proche (2 + 1 = 3 et 45 + 70 = 115). Le rsultat 1,72 (145 + 27 avec virgule mise ensuite) atteste que dautres lves reviennent laddition de deux nombres entiers et placent ensuite la virgule comme ils peuvent . Une fois les prvisions recueillies, le professeur peut faire rejeter celles qui sont facilement rfutables. Par exemple pour 1,72 : Comment, avec une bande obtenue en mettant bout bout deux bandes de 1,45 m et de 2,7 m obtient-on une bande de 1,72 m ? Cest visiblement impossible !

Scnario 1 Le professeur crit lnonc ci-dessus au tableau. Il conduit ensuite une activit collective qui sappuie sur des savoirs dj acquis : il propose de transformer 1,45 et 2,7 en critures fractionnaires : 4 5 7 1,45 = 1 + 10 + 100 et 2,7 = 2 + 10 puis dadditionner les units avec les units et les diximes avec les diximes, ce qui permet daboutir 11 5 3 + 10 + 100 1 5 puis, par un travail de rduction, 3 + 1+ 10 + 100 1 5 cest--dire 4 + 10 + 100 . Il conclut par un retour lcriture dcimale 4,15 1,45 + 2,7 = 4,15 et pose laddition en colonnesunits 1 diximes centimes

+

1 2 4

, , ,

4 7 1

5 5

1. On se place donc rsolument ici dans le cadre dune situation dintroduction dune notion et non pas dans le cadre dune situation dentranement ou de bilan. Par ailleurs, nous avons fait le choix de ne pas faire travailler prcdemment les lves sur les conversions dunits an de mieux asseoir la construction des nombres dcimaux. Avec cette progression, il est alors peu probable que les lves convertissent les mesures en centimtres, procdure certes correcte mais que nous nencourageons pas ce stade de lapprentissage.

E NSEIGNER

LES MATHMATIQUES AU

CM1 C HAPITRE 1

7

Il peut reprendre ensuite le scnario 1 et montrer, laide des critures fractionnaires dcimales, pourquoi le rsultat 4,15 est le seul recevable.

Scnario 3 Le professeur raconte le problme en montrant deux bandes de carton (une de 1,45 m et lautre de 2,7 m) et en les mettant bout bout sur le sol de la classe. Puis il crit lnonc au tableau. Il met ensuite les lves par groupes. Il a prvu une paire de bandes par groupe. Chaque groupe dispose donc des deux bandes et mesure la bande obtenue par la mise bout bout. Il afche les rsultats obtenus par chaque groupe. Les rsultats tournent autour de 4,15 m. Le professeur se sert alors de lcriture fractionnaire, en reprenant le scnario 1 pour introduire laddition des nombres dcimaux et prendre position par rapport aux rsultats trouvs.

ou deux lves, sous le contrle des autres. Les rsultats de la mesure seront 4,15 m (ou aux alentours de 4,15 m). Ce rsultat exprimental va permettre dcarter bon nombre de propositions et donc de remettre en cause les modles qui en sont lorigine. La classe est ainsi amene sinterroger non pas sur Est-ce que cest juste ou faux ? , cette question tant rgle par la confrontation lexprience, mais sur Pourquoi est-ce faux ? et Comment allons-nous amliorer notre modle de laddition de deux dcimaux ? . Le professeur fait examiner, par groupes dlves, les calculs faits an que lorigine des erreurs soit identie. Il peut, par exemple, regrouper les lves qui ont produit des erreurs du mme type. Il propose alors dutiliser lcriture fractionnaire comme moyen de mieux prvoir, ventuellement avec une autre paire de bandes an de ne pas reprendre les mmes nombres. Les lves sappuieront ainsi sur le lien entre criture virgule et criture fractionnaire pour construire une prvision mieux taye et avancer un dbut de preuve. Premier bilan Ces quatre scnarios ont un mme but : lintroduction de laddition de deux nombres dcimaux. Ils ne prsentent pas de grandes diffrences du point de vue de lorganisation. Le scnario 3 demande une prparation matrielle assez lourde (plusieurs fois deux bandes), le scnario 4, une prparation plus lgre (deux bandes). Une lecture attentive du manuel permet de voir que lactivit prparatoire de dcouverte de ltape 72 est construite comme le scnario 4. Nous y reviendrons. Dans les quatre scnarios, apparat un moment le retour aux critures fractionnaires dcimales. Il sagit de revenir la signication des diximes : un dixime, cest ce que lon obtient quand on partage lunit en 10 parties gales ; donc 10 diximes, cest lunit ; donc 11 diximes, cest une unit et un dixime ; etc. Pourtant, ces scnarios sont trs diffrents du point de vue des rles que jouent les lves et le professeur.

Scnario 4 Le professeur procde comme pour le scnario 3 pour les deux premiers points. Il demande ensuite ventuellement une valuation vue dil de la longueur de la bande obtenue puis invite les lves se servir des donnes de lnonc : Vous devez prvoir, par des calculs, la longueur obtenue lorsque lon met ces deux bandes bout bout. Une fois vos prvisions effectues, nous vrierons en mesurant, puis nous tudierons comment vous avez procd pour faire votre prvision. Tout comme dans le scnario 2, les lves identient facilement un problme de nature additive, ce qui les engage dans laddition de 1,45 et 2,7 quils ne connaissent pas. Leurs propositions vont tre de mme nature que celles vues dans le scnario 2. La prvision 1,72 m sera sans doute carte pour des raisons de vraisemblance. Lorsque chaque lve a fait sa prvision, le professeur organise un mesurage effectif de la bande par un

1.2. Le contenu et la manireIntressons-nous tout dabord deux questions gnrales que tout enseignant se pose lorsquil doit prendre des dcisions : Quest-ce qui doit tre appris ? et Comment cela sera-t-il appris ?. La rponse la premire question est la mme pour les quatre scnarios : il sagit de faire apprendre laddition des nombres dcimaux. Venons-en maintenant la seconde question. Le scnario 1 montre une organisation trs claire des savoirs : le professeur explique et sassure que les lves comprennent bien ce qui est enseign. Mais les lves ne font pas de prvision : les calculs quils ont faire dans une telle sance sont commands par le professeur. Il sagit dune pdagogie du modle dans laquelle les lves peuvent tre ou non passifs, ce qui nexclut pas, bien sr, tout apprentissage (nous avons bien souvent appris comme cela), mais qui nintressera que les lves qui ont beaucoup investi dans lcole et pour lesquels toute sance est loccasion dapprendre quelque chose. Le scnario 2 montre que le professeur donne de limportance limplication personnelle des lves. Il propose une situation dont les enjeux sont plus forts : prvoir un rsultat. Mais cette prvision est ctive : elle ne fera pas lobjet dune confrontation au rel. La

8

E NSEIGNER

LES MATHMATIQUES AU

CM1 C HAPITRE 1

ngociation sur la validit ou non de la prvision se fera par un discours (utilisant des savoirs antrieurs directement apports par le professeur). Le scnario 3 permet chaque groupe dlves de manipuler les bandes et deffectuer un travail de mtreur. Les lves nont faire aucune hypothse. Ils pourront associer le rsultat de leur mesurage laddition des deux dcimaux. Le rsultat est obtenu par un travail pratique sur les objets. On pourrait dire que le professeur a propos un contexte concret. Par un expos proche de celui du scnario 1, il fera ensuite une synthse. aucun moment la construction de laddition de deux dcimaux na t objet dtude du ct des lves.

Le scnario 4 engage chaque lve construire une hypothse, faire une prvision par le calcul en tant provisoirement priv du dispositif matriel. Il engage aussi llve prendre conscience de la validit ou non de son hypothse par une confrontation, aprs coup, avec le rel. Il reste, pour le professeur faire en sorte que les premires preuves lies cette confrontation au matriel (preuves smantiques) soient remplaces par des preuves construites laide dcritures et de rsultats mathmatiques antrieurs (preuve de nature syntaxique utilisant les critures fractionnaires dcimales). Ces quatre scnarios nengagent donc pas les lves dans un mme rapport au savoir.

1.3. Les rles du professeur et des lvesDans chacun de ces scnarios, la mise en scne choisie par le professeur, le rle quil y joue et le rle que pourront y jouer les lves ne sont pas les mmes. Scnario 1 : le professeur dispense le savoir et sassure, par des moyens connus, de la bonne comprhension de son cours. Les lves ont appliquer . Il est peu probable quils puissent deux-mmes prendre conscience de leurs erreurs. Cest le professeur qui en assurera la correction. Scnario 2 : le professeur choisit dinciter les lves produire des propositions. On pourrait dire quil pratique une mthode o les lves sont plus actifs. Mais il dispose de peu de moyens pour conduire une synthse (carter les propositions manifestement errones). Il est rapidement conduit se rapprocher du scnario 1 sil veut que les lves apprennent. Les lves ont un rle de prvisionnistes un moment, mais leurs prvisions seront valides ou invalides par le recours lexpos des savoirs comme dans le scnario 1. Cest un rle un peu frustrant puisque la prvision nest pas mise lpreuve des faits. Scnario 3 : le professeur permet aux lves de dployer leur nergie mesurer. Il dveloppe son expos comme moyen de conforter les rsultats trouvs matriellement. Les lves mesurent. Ils peuvent, ou non adhrer lexpos du professeur : ils savent quils ont trouv le rsultat en mesurant. aucun moment ils ne sont dans une situation o des calculs sont des outils de prvision. Scnario 4 : le professeur construit un environnement auquel les lves doivent sadapter. Cest le dispositif, et non le professeur, qui renvoie le rsultat juste et permet dcarter radicalement les propositions errones. Les lves font des propositions qui sont mises lpreuve des faits. Ils sont ici dans un rle de responsables car la proposition de chacun est confronte lenvironnement matriel et rend ncessaire de revenir sur le calcul qui la produite. Le professeur doit alors encourager et aider les lves qui ont donn des rsultats errons revenir sur leurs procds de calcul an de comprendre les erreurs produites. Un des moyens dy arriver est de revenir aux critures fractionnaires an de trouver comment prvoir coup sr le rsultat de tout exercice qui serait de mme nature que celui propos. On voit donc que le rle du professeur est dterminant plus dun titre.

1.4. Des statuts diffrents pour des mmes moments de classePrenons lexemple de la phase de synthse collective. Scnario 1 : la synthse va de pair avec le cours. Le vrai est ce que le professeur enseigne. Scnario 2 : la synthse consiste prendre en compte les travaux de chaque groupe et faire comprendre quel est le bon rsultat. Cest le professeur qui doit un moment ou un autre dire le vrai , faire le cours . Scnario 3 : le rsultat est donn par le travail de mesurage effectif. L encore, le professeur doit dire le vrai mathmatique qui va justier lobtention du rsultat par le calcul. Dans aucun de ces scnarios, le travail sur les nombres na le statut doutil de prvision de ce qui se passe lorsque lon met les bandes bout bout. Scnario 4 : la phase de synthse ne porte pas sur la recherche du rsultat juste obtenu (ou non) par les lves puisque ce rsultat est donn par un mesurage effectif. Elle porte sur les raisons pour lesquelles les prvisions faites sont ou non en conformit avec la

E NSEIGNER

LES MATHMATIQUES AU

CM1 C HAPITRE 1

9

ralit et sur la faon dont elles pourront tre menes dans une situation similaire. Lengagement des lves dans ce qui fonde la cohrence du travail (prvoir par des crits ce qui se passe

dans la ralit) nest pas de mme nature. Il est fort probable qu terme ce type dengagement change le rapport lerreur et au savoir dans les phases dapprentissage.

1.5. ConclusionEn parcourant ces quatre scnarios, nous navons pas eu dcrire des pratiques pdagogiques mais des dcisions de nature didactique sur la mise en scne de lactivit. Le scnario 1 permet deffectuer une visite du savoir mathmatique vis par le professeur, mais ne propose pas un environnement permettant ce jour-l une activit mathmatique. Le scnario 2, sil permet de caractriser le moment de calcul comme un moment de prvision, ne cre pas un environnement sufsamment structur pour que les conjectures des lves soient, un temps, mises lpreuve des faits matriels. Le scnario 3 fait la part belle la manipulation sans travail de prvision, donc de mathmatisation en acte. Le scnario 4 constitue un choix didactique qui permet aux lves la fois de construire le savoir vis et de pratiquer une activit mathmatique. Il y a dans ces scnarios, des enjeux qui se nouent : couter, imiter dans le scnario 1 ; faire des prvisions dans le scnario 2 ; manipuler sans modliser dans le scnario 3 ; faire construire des propositions, les faire voluer dans un processus de mathmatisation en les mettant lpreuve des faits (preuve dabord matrielle puis laide du langage mathmatique) dans le scnario 4. Ce scnario contient les ingrdients qui nous rapprochent dune relle activit mathmatique. Lactivit mathmatique est en effet fonde sur une dialectique fondamentale entre faire une conjecture et apporter la preuve que celle-ci est vraie ou fausse (ici, prvoir un rsultat pour la bande de carton et vrier la validit de cette prvision). Le professeur a la libert de sapproprier lactivit et de lorganiser sa faon : le scnario 1, par exemple, est tout fait possible dans une classe de trs bon niveau. Mais, ltape 72, en faisant prcder la dcouverte dune activit prparatoire (prvision, puis manipulation pour vrier et dbat, voir scnario 4), nous avons souhait faciliter le travail de la dcouverte : ce qui a t acquis collectivement lors de lactivit prparatoire est transpos en travail individuel une situation proche de la premire et contextualise (construction dune frise chronologique) ; on retrouve en question 2 des erreurs vraisemblablement rencontres lors de lactivit prparatoire. Le scnario complet du manuel assure le lien, difcile construire spontanment dans la pratique de la classe, entre des situations dapprentissage labores comme le scnario 4 et les situations qui les suivent et les compltent de manire extraire progressivement le savoir institutionnaliser. Le rle du professeur, son appropriation de lactivit, ne sont pas entames, et sa tche sen trouve simplie. Construire des modles qui permettent davoir une prise sur la ralit en faisant voluer des raisonnements laide du langage crit est constitutif de lactivit mathmatique (et plus gnralement scientique). Bien entendu, la ralit est toujours bien plus complexe que le modle et les modles construits lcole primaire peuvent souvent tre confondus avec des mcanismes apprendre . En cela, le terme modle peut paratre prtentieux pour des mathmaticiens peu habitus lcole primaire. Nous lassumons pleinement. Il ne faut pas perdre de vue que ces mcanismes (dans lexemple donn : laddition de deux dcimaux) ne le sont que pour les adultes et que nous devons faire en sorte de prsenter aux lves des mondes nouveaux plutt que de leur faire visiter des monuments . Dans lexemple tudi, il appartient au professeur de faire construire laddition de deux dcimaux comme rponse un problme pos, mme si, pour les adultes cette addition est rduite un automatisme ! Le professeur est metteur en scne et acteur dune pice dont lui seul connat chaque fois le dnouement ! La construction dun modle na de place que si lon a conscience de limportance de lanticipation avant laction, anticipation qui contribue avoir un certain pouvoir sur le rel et qui dveloppe la capacit prvoir les consquences des actions projetes avant de les raliser. Les lves, quel que soit leur milieu dorigine, sont en mesure daccder au raisonnement logique. Les recherches actuelles dveloppes en sociologie et en didactiques des disciplines tendent montrer que proposer aux lves dorigine populaire des contenus moins conceptuels par un enseignement qui procderait davantage par lexemple et lillustration au dtriment de largumentation et de la dmonstration serait un facteur daccroissement des ingalits. Nous sommes aussi convaincus quune telle dmarche apporte un plus dans le climat de la classe. De tels efforts dorganisation contribuent la construction sociale dun groupe dindividus autour de lapprentissage de la raison. La raison se construit et les mathmatiques peuvent y contribuer.

10

E NSEIGNER

LES MATHMATIQUES AU

CM1 C HAPITRE 1

2Des choix compatibles avec une charge de travail raisonnableNous proposons, dans la collection EuroMaths, une dmarche dapprentissage associant : des moments de consolidation qui permettent au professeur de raviver certains savoirs tudis depuis longtemps, supposs acquis, mais qui, pour certains lves, auront besoin dtre revisits . Vous trouverez donc des tapes de consolidation qui proposent un soutien prventif avant daborder des notions nouvelles et qui sont donc places en consquence dans la progression. Cest au professeur de dcider de les laisser de ct, ou de les tudier avec la classe entire, ou encore de les faire travailler certains lves avec son aide ou celle dun tuteur en soutien (tapes de consolidation) ; des moments dapprentissage stricto sensu pour construire des connaissances nouvelles ou approfondir certaines notions (ces tapes sont numrotes, elles comportent une phase appele dcouverte accompagne par le professeur et un assortiment dexercices pour conforter les apprentissages viss) ; des moments de structuration an dinstitutionnaliser ces connaissances et de les lier des savoirs anciens (ces moments sont dvelopps dans le livre du professeur) ; des moments dentranement pour que les lves puissent sexercer et parfaire ainsi la matrise des connaissances indispensables, en particulier dans le domaine du calcul (tapes dentranement) ; des moments de bilan : plusieurs formes dvaluation sont proposes de manire rgulire pour permettre aux lves et au professeur de faire le point sur les savoirs acquis (tapes nommes Ce que je suis capable de faire et bilans complmentaires sous forme de banque dexercices dans le livre du professeur) ; enn, chaque tape, vous trouverez galement les activits de calcul mental, signales dans le manuel de llve et explicites dans le livre du professeur, prenant souvent la forme de jeux oraux ou de petits ds et dont le but est soit de conforter le travail effectu dans la ou les tapes prcdentes, soit de prparer ltape du jour ou du lendemain. Avant de dvelopper la faon dont nous avons structur le manuel pour aider le professeur conduire son enseignement, revenons sur la dnition de deux termes : problme et situation dapprentissage.

2.1. Problmes et situations dapprentissageLide que lapprentissage par rsolution de problmes serait la base dune bonne construction des savoirs mathmatiques est largement rpandue. Encore faudrait-il que lon saccorde sur le sens du terme problme.

2.1.1. Quest-ce quun problme ?Parler de problmes lorsquil sagit de situations mises en place dans la classe avec un dispositif permettant des expriences et parler de problmes lorsque les lves sont devant un exercice dapplication dun manuel scolaire sont bien videmment deux usages du mme mot pour des activits de nature diffrente. Pour notre part, nous nous appuyons sur la dnition donne par Jean Brun : Un problme est gnralement dni comme une situation initiale, avec un but atteindre, demandant au sujet dlaborer une suite dactions ou doprations pour atteindre ce but. Il ny a problme que dans un rapport sujet/ situation o la solution nest pas disponible demble, mais possible construire. Cest dire aussi quun problme pour un sujet donn peut ne pas tre un problme pour un autre sujet, en fonction de leur niveau de dveloppement intellectuel par exemple 2.

2. Jean Brun, Math-cole n 141.

E NSEIGNER

LES MATHMATIQUES AU

CM1 C HAPITRE 2

11

La notion de problme est donc lie au type dactivit du sujet. Il y a problme ds lors que les lves ont dvelopper une relle activit cognitive : anticiper le rsultat dune action relle, voque ou symbolique, sans mener effectivement cette action (si elle est relle ou voque) ; construire une stratgie de rsolution en faisant des hypothses, en dveloppant des raisonnements qui utilisent des outils mathmatiques (schmas, critures symboliques) ; mobiliser des moyens de contrle de la stratgie et des rsultats produits. On voit ainsi clairement que la notion de problme nest lie ni un domaine des mathmatiques (le numrique) ni une forme spcique (nonc textuel3), mme sil existe des spcicits de lactivit de rsolution lies au domaine considr. Cette conception du problme permet dorganiser le travail quotidien du professeur dans lapproche des

notions nouvelles enseigner. Les problmes pour apprendre ne doivent pas tre confondus avec les problmes pour apprendre chercher auxquels nous avons consacr deux tapes spciques dans le manuel de llve. Les problmes pour apprendre chercher sont des problmes non familiers, pour lesquels les lves ne disposent gnralement pas de la solution experte (souvent inaccessible leur niveau) mais pour lesquels des solutions originales et personnelles peuvent tre labores avec les connaissances dont ils disposent. Confronter les lves de tels problmes a pour but de dvelopper chez eux le plaisir de chercher, limagination et la conance en eux. Cela leur permet aussi dutiliser leurs connaissances en dcouvrant de nouvelles formes de raisonnement, par exemple ltude exhaustive de cas, la recherche de contre-exemples, etc. Mais insistons sur le fait que de tels problmes ne sauraient se substituer aux activits dapprentissage des notions gurant dans les programmes.

2.1.2. De la rsolution de problmes la construction de situations dapprentissagePour chaque savoir mathmatique, lenseignement se fonde sur la construction dune progression prcise relative ce savoir et sur la mise en uvre de situations spciques, dites situations dapprentissage, correspondant aux moments cls de cette progression. Nous nous appuyons sur les hypothses suivantes : lapprentissage se fait par adaptation (on apprend en sadaptant un milieu qui est un facteur de contradictions, de dsquilibres) ; le savoir, fruit de ladaptation de llve, se manifeste par des rponses nouvelles qui sont la preuve de lapprentissage ; lapprentissage se fait en sappuyant sur les changes entre pairs et en bnciant dun tayage appropri. Construire une situation dapprentissage ncessite donc de concilier le projet denseignement dun lment de savoir avec la cration dun milieu au sens didactique construit autour dun problme, avec lequel les lves peuvent interagir. Au niveau de lcole lmentaire, ce milieu est constitu dobjets matriels, dcrits de travail, de savoirs antrieurs... Il permet aux lves dlaborer, par adaptations successives, des stratgies de rsolution du problme qui conduisent lapprentissage vis. Dans un processus stalant sur plusieurs semaines, lvolution organise du milieu permet aux lves de passer dun niveau de savoir un autre, par exemple de stratgies de simulation de laction des stratgies de calcul pour rsoudre des problmes de division ou encore dune perception globale des proprits des gures une tude locale instrumente de ces proprits pour rsoudre des problmes de reproduction.

2.1.3. Lorganisation de lapprentissage dune notionLapproche et la prparation en premier lieu, la construction et la structuration ensuite, la consolidation et lutilisation enn, constituent trois grandes priodes de llaboration dun concept. Ces trois priodes ne sont pas simplement juxtaposes dans le temps. Lapprentissage dune notion est de nature spiralaire : la phase de construction se droule souvent sur plusieurs annes, par approfondissements et largissements successifs et par dcouverte de nouveaux aspects du concept. chaque nouvelle tape, il est fondamental que lensemble des connaissances nouvellement acquises soit structur et mis en rseau avec les connaissances anciennes concernant le mme champ conceptuel. Par ailleurs, chaque tape dapprentissage dun des aspects dune notion, la priode de construction peut se poursuivre pendant la priode de consolidation. En effet, par un phnomne quali daprs coup , il nest pas rare que ce soit en sexerant sur des exercices nombreux et varis que certains lves parviennent dcouvrir le sens dune notion.

3. la n de ce chapitre 2, nous proposons lenseignant un complment sur les spcicits des problmes nonc textuel et leurs modes de reprsentation.

12

E NSEIGNER

LES MATHMATIQUES AU

CM1 C HAPITRE 2

2.2. Le travail quotidien du professeur2.2.1. La rpartition dans le temps des enseignementsCette dmarche qui consiste faire voluer les connaissances initiales des lves suppose que lintroduction de nouvelles notions se fasse par quelques tapes cls proches les unes des autres. Nous avons organis le manuel en 5 priodes : dans chacune delles, laccent est mis sur certaines notions qui sont listes dans la page douverture de la priode an quil soit clair pour le professeur et les lves que lon ouvre un chantier sur lequel on va travailler plus spciquement pendant un certain temps. Chacune de ces priodes est subdivise en une vingtaine dtapes correspondant au travail dune ou deux sances, parmi lesquelles gurent des tapes de consolidation et des moments dentranement. Les sances de mathmatiques peuvent ne pas avoir toutes la mme dure. Celle-ci est fonction du rapport entre le contenu enseigner, la ou les situations proposes et les connaissances des lves de la classe. Elle est fonction aussi du travail de prparation de lenseignant (analyse pralable) et de son expertise lui permettant den prvoir le droulement. Gnralement, les sances de dcouverte demandent plus de temps (de 3/4 dheure 1 heure) que les sances dentranement (de lordre de 1/2 heure). Les comptences sacquirent des rythmes diffrents, et gnralement sur une longue dure. Les comptences et les savoirs en jeu dans le livre de CM1 se construisent tout au long du cycle 3 et se stabilisent pour certains au CM2 et pour dautres au collge. Nous reprenons aussi des notions dj abordes en CE2 pour les approfondir et les mettre en relation avec les nouvelles. Dans chaque priode, le professeur trouvera donc des reprises et des approfondissements des notions dj travailles. Rappelons que les programmes de lcole lmentaire sont rdigs selon deux points de vue : le premier concerne les contenus disciplinaires, liste de savoirs ofciels en termes de notions relatives la discipline. Nous avons regroup ces contenus dans des grands thmes (reprs par des couleurs et prsents en page 4 dans le manuel) : connaissance des nombres entiers, fractions et dcimaux, problmes arithmtiques : sens et calcul, espace et gomtrie, grandeurs et mesures, organisation et gestion de donnes ; le second est celui des comptences que les lves ont acqurir et dvelopper au cours de chaque cycle ; un certain nombre de ces comptences sont requises chaque palier du socle commun. Nous entendons par comptence la capacit mettre en uvre dans une action des connaissances prives efcaces, conscientes ou explicitables en partie seulement, mais rgulires et reprables. Nous avons distingu treize domaines de comptences (voir page 6 du manuel). Pour que les connaissances mises en uvre par les lves et les comptences qui sont dveloppes dans une tape soient faciles reprer, nous avons plac dans la marge de chaque tape du manuel une chelle qui indique le domaine de comptences concern et les tapes o ces comptences sont particulirement sollicites ; un curseur (numro de ltape sur fond de couleur) indique la place de ltape dans la progression. Revenons sur cet aspect du travail de lenseignant qui consiste organiser en parallle plusieurs chantiers autour dune notion : un travail sur de nouvelles situations pour permettre aux lves de construire de nouvelles connaissances ou de dcouvrir de nouveaux aspects de connaissances dj acquises ou encore de consolider des connaissances anciennes en les mobilisant dans de nouvelles tches ; un retour constant aux problmes dapplication qui permet aux lves dinvestir les mthodes construites, de les faire fonctionner, de se les approprier ; une attention soutenue porte aux moments dinstitutionnalisation des savoirs, aux crits associs (Que vont pouvoir crire les lves sur leur cahier la n de ltape ?) et lutilisation de ces crits au l des jours par la ractivation de connaissances antrieures pour rsoudre un nouveau problme (Lisons la conclusion que nous avions crite, ou le paragraphe de lAide-mmoire qui concerne cette notion) et par des situations de rappel4 ; plusieurs formes dvaluation des moments diffrents de lapprentissage. Les paragraphes suivants prcisent comment le manuel EuroMaths peut aider le professeur dans cette tche.

2.2.2. Le calcul mental ou les mises en routeNous insistons sur la ncessit de consacrer rgulirement un temps, mme bref, aux activits de la rubrique calcul mental (ou mise en route dans le domaine gomtrique). Ces activits ont, suivant les tapes, des nalits diffrentes : elles permettent soit de raviver des connaissances anciennes pour les conforter et les

4. Il sagit damener les enfants capitaliser leurs connaissances en apprenant retenir dune situation vcue non seulement laspect vnementiel mais aussi laspect notionnel. Ces situations donnent lieu une explicitation des notions acquises ou en cours dacquisition, ce qui permet de construire, avec les enfants, des synthses plus consquentes de tout ce quils ont appris dans un domaine ainsi que des ponts entre les diffrentes notions tudies.

E NSEIGNER

LES MATHMATIQUES AU

CM1 C HAPITRE 2

13

rendre disponibles, soit de stabiliser des connaissances travailles les jours prcdents, soit de prparer un travail venir. Les buts poursuivis sont prciss dans le livre du professeur lorsquils ne sont pas totalement vidents. Ce travail est essentiellement collectif et oral (avec ventuellement un crit sur ardoise ou feuille de papier) et ne

donne pas lieu une notation. Nous conseillons au professeur de le mener avec un rythme soutenu ; sil repre des difcults chez certains lves, il en prend note et organise le temps de la journe ou de la semaine de manire reprendre avec les lves concerns les questions non comprises pendant que les autres travaillent en autonomie.

2.2.3. Les activits prparatoires de dcouverte et les dcouvertesDe nombreuses notions doivent tre objets de situations de recherche de manire ce que les lves puissent leur donner du sens en dveloppant, pour les rsoudre, une relle activit cognitive de nature mathmatique. Les notions travailler apparaissent, le plus souvent possible, comme des rponses optimales des questions qui prsentent pour les lves un certain enjeu, elles revtent ainsi un caractre de ncessit . Ces situations correspondent ce que nous avons appel situations dapprentissage et relvent de la famille des problmes pour apprendre . Certaines de ces situations sont prsentes dans le manuel dans la rubrique Dcouverte . Dautres ncessitent une organisation spcique du travail, notamment lorsquelles se prsentent sous la forme de jeux ou lorsquelles supposent lutilisation de matriel. Elles sont dsignes alors par lexpression Activit prparatoire de dcouverte et dcrites prcisment dans le livre du professeur. Elles sont toujours suivies dans le manuel dune dcouverte qui reprend le travail effectu sans le livre. Dans les tapes de consolidation dune notion, lexercice dirig propose une situation permettant aux lves un retour sur celle-ci. La prsence de lenseignant est souhaitable an dapporter un soutien adapt. Ces phases dintroduction de notions nouvelles demandent une grande vigilance par rapport au sens, nous nous attardons donc dans ce livre sur ces moments forts. la recherche soit individuelle ou en groupe). Il les invite noter par crit ce quils font pour pouvoir le prsenter aux autres. Faire des mathmatiques, cest imaginer des stratgies de rsolution, mettre en uvre des procdures, les tester, les vrier, mettre au point leur cohrence. Pour cela, les lves doivent savoir quils peuvent prendre des initiatives, choisir leurs outils et leurs mthodes, en changer si cela leur parat ncessaire. Ce mode de fonctionnement ne peut se mettre en place que sils savent quils ont droit lerreur. Une relation de ce type avec le professeur, longue et constante, favorise les apprentissages. Pendant cette phase, le rle de lenseignant est trs important, il consiste solliciter les enfants, veiller ce quils se sentent concerns, relancer la recherche. Il consiste aussi prendre des informations sur les procdures des lves quil est en train dobserver et ventuellement les prendre en note. Ces informations sont importantes, elles lui permettent davoir une meilleure connaissance des comptences de ses lves et dorganiser ainsi plus facilement la phase de mise en commun. Les enseignants ont bien souvent du mal ne pas intervenir, et pourtant il est ncessaire que les lves arrivent progressivement se faire une ide par eux-mmes de la qualit de leurs rsultats ou de leurs propositions et ne pas attendre que la validation soit assure par le professeur. Toutefois, pour certains, une mdiation individuelle est ncessaire. Elle peut prendre des formes diverses : simple reformulation du but atteindre ; apport dlments daide pour la rsolution ; rduction ventuelle de la tche en en gardant toutefois lenjeu principal.

La phase dentre dans la tcheElle ncessite de la part de lenseignant une attention particulire : quil sagisse de la prsentation dun jeu5 ou dune activit, de la lecture dun nonc ou dun document de travail, le professeur doit envisager une mise en scne de manire enrler les lves dans la tche propose et sassurer que chacun se lapproprie correctement.

Les mises en communAprs un certain temps de recherche, les lves doivent tre informs sur la validit du travail quils ont effectu. Nous proposons diffrentes manires danimer cette phase (difcile pour lenseignant) en fonction du type de tche que les lves ont eu effectuer.

La phase de rechercheAu cours de cette phase, lenseignant laisse les enfants chercher sans leur donner dindication sur la mthode utiliser ni sur la valeur qualitative de leurs rsultats (que

5. Nous attribuons au mot jeu une signication spcique qui ne recouvre quen partie la dnition usuelle de ce mot ; il sagit dune situation mathmatique dans laquelle il y a : un enjeu : lissue du jeu, il y a un ou plusieurs gagnants ; une interaction sociale de fait : chacun joue son tour et chacun son tour rsout une question mathmatique, sous le regard des autres joueurs qui ont intrt contrler lactivit des uns et des autres ; une rptition de la mme activit cognitive : les enfants ont donc loccasion de faire des essais successifs, ce qui doit permettre une stabilisation de procdures correctes.

14

E NSEIGNER

LES MATHMATIQUES AU

CM1 C HAPITRE 2

Si plusieurs procdures sont envisageables pour rpondre la question, une mise en commun est souvent souhaitable pour que les lves, avec laide du professeur, prennent connaissance de ces procdures, les argumentent, les comparent et les valident ou les rejettent. Nous avons vu que, dans certains cas, la phase de synthse ne porte pas sur la recherche du rsultat juste produit (ou non) par les lves puisque ce rsultat est donn par une action effective. Elle porte alors sur les raisons pour lesquelles les prvisions faites sont ou non en conformit avec la ralit et sur la faon dont elles pourront, lors dune autre tentative, tre menes. Lorsque lon est dans une situation qui ne permet pas la connaissance du rsultat autrement que par un travail mathmatique, les lves donnent leurs rsultats, explicitent les procdures utilises et les justient. Cest un moment dchanges et de discussion entre les enfants favorisant lapprentissage (discussion qui ne peut avoir lieu si le professeur a dj donn son point de vue sur la question). Lenseignant est alors le meneur de jeu , il fait merger des modes de reprsentations (schmas, tableaux, dessins, crits mathmatiques) permettant de communiquer la situation et les solutions. Il note au tableau ce qui est dit en veillant ne pas anticiper sur les propositions des lves et amne ceux-ci mettre au point ce qui pourra tre la trace crite de la rsolution. Pour que ces moments puissent fonctionner, lenseignant doit veiller, ds le dbut de lanne, mettre en place la communication entre lenfant qui fait sa proposition et le groupe classe. Cela ncessite beaucoup dattention, dimplication et dcoute de la part de tous les lves. Les enfants doivent apprendre argumenter lorsquon leur pose la question pourquoi sans craindre davoir fait une erreur, considrer les erreurs non comme des fautes mais comme des propositions qui ne sont pas valides, respecter les arguments de leurs camarades.

Pour E. Bautier6 les situations didactiques dinteractions verbales demandent aux lves davoir acquis une familiarit avec cette pratique socio-langagire qui consiste utiliser le langage, la production des pairs pour apprendre. Il est aussi suppos que les lves considrent comme possible de construire langagirement un savoir plusieurs et de passer de cet oral pluriel une appropriation dun crit le plus souvent individuel.

Les phases de conclusions et les institutionnalisationsPour que les connaissances construites par ce travail de rsolution de problme puissent se rattacher aux connaissances anciennes et devenir des savoirs partags, les moments o le professeur va ofcialiser certains lments sont fondamentaux. Au cours de ces phases, les lves vont pouvoir sparer ce qui dans le problme pos relevait de la conjoncture et ce qui tait une ncessit, ils vont pouvoir se dtacher de la situation vcue pour en retenir les lments mathmatiquement pertinents et amorcer ainsi un travail de dcontextualisation conduisant progressivement vers la conceptualisation. Ces moments peuvent conduire une institutionnalisation stricto sensu de savoirs, dautres consistent simplement mettre en vidence des lments importants retenir pour les sances suivantes : nous les prcisons dans les rubriques Conclure avec les lves dont le professeur peut sinspirer pour laborer avec les lves un crit retenir et nous indiquons le renvoi ventuel aux pages concernes de lAide-mmoire. Cest une phase parfois dlicate conduire juste la suite de la phase de mise en commun. Elle peut alors tre reporte du matin laprs-midi ou du jour au lendemain mais il est alors important de garder les traces du travail effectu.

2.2.4. Les exercices : exercices dapplication directe et problmes pour sentranerLes connaissances doivent faire lobjet dune longue phase dentranement, avant de pouvoir tre values, pour que les lves puissent se les approprier et les mobiliser spontanment dans de nouveaux contextes. Cet entranement consiste en la rsolution dexercices dapplication directe ainsi que dexercices ncessitant soit de transfrer dans un nouveau contexte les connaissances apprises soit de mobiliser plusieurs connaissances antrieures. Dans ces deux derniers cas, il est nouveau possible de parler de problmes puisque la rsolution ncessite de la part de llve un travail de mobilisation et dadaptation de ce quil sait dj. Lorsque les problmes proposs ncessitent la prsence de lenseignant, par exemple lorsquils prsentent un nouvel aspect dune notion dj travaille, ils sont signals (par un fond vert sous le numro). Chaque tape comporte de nombreux exercices et problmes ayant cette fonction dentranement. Ce livre indique les raisons dtre et la nalit de chacun deux, ce qui permet chaque professeur de choisir ceux qui lui paraissent les plus adapts pour ses lves. Dans certaines tapes, un remue-mninges, un carr magique ou une illusion doptique permettent aux lves de se divertir en relevant des petits ds , ce qui les conduit investir leurs connaissances, laborer des raisonnements, effectuer de nombreux calculs.

6. Cit dans Argumentations et disciplines scolaires INRP 2004, pages 62, extrait de Les pratiques sociolangagires dans la classe de franais .

E NSEIGNER

LES MATHMATIQUES AU

CM1 C HAPITRE 2

15

Q Comment corriger ces exercices et problmes ? Pour les exercices dapplication directe, nous optons souvent pour une correction individuelle dans la mesure o elle permet au professeur de mieux connatre ltat de savoir de ses lves, de reprer immdiatement les erreurs et dapporter laide individuelle qui convient. Une correction collective peut parfois tre envisage pour gagner du temps, mais le professeur doit se rappeler quun tel mode de correction prote peu dlves sil ne les a pas entrans savoir tirer bnce de ce moment ; ils ont les trois annes du cycle 3 pour y parvenir avec son aide. Le professeur doit prvoir un temps sufsant pour ce type de corrections car les lves ne peuvent

en mme temps couter, lire ce qui est sur le tableau et crire dans leur cahier. Dans les premiers temps, il est important de vrier individuellement la faon dont ils ont pris les corrections. Pour les exercices de rinvestissement plus consistants dans lesquels plusieurs mthodes ou plusieurs procdures sont envisageables, nous proposons une mise en commun sur un mode identique celles des activits prparatoires ou des dcouvertes. Pour les exercices des pages dentranement, nous proposons des fiches autocorrectives photocopiables (p. 242 251) permettant aux lves de vrifier euxmmes lexactitude de leurs solutions.

2.2.5. Lvaluation des connaissances des lvesLe professeur doit valuer les comptences de chacun de ses lves dune part pour en rendre compte linstitution, aux parents, llve lui-mme et dautre part pour organiser son enseignement. Cette valuation des comptences se fait au jour le jour lorsque le professeur observe chaque lve devant une tche. Il est trs utile de prendre en note ces observations au fur et mesure pour ne pas les oublier. Lvaluation se fait galement au travers dactivits spciques permettant lenseignant dvaluer les performances des lves un moment donn sur un sujet donn. Pour cela, nous proposons deux outils : les exercices des pages Ce que je suis capable de faire prsentes en mi-priode et en n de priode. Ces exercices peuvent tre faits en classe ou la maison au moment o le professeur le juge opportun. Ils permettent aux lves de faire le point sur leurs connaissances. Le professeur pourra en photocopier la correction (p. 273 288 ; le bleu donne du gris la photocopie) pour la donner aux lves ; les exercices proposs dans ce livre de la page 226 la page 241 pour que le professeur puisse construire, mi-priode et en n de priode, une valuation adapte son enseignement et ses lves

2.3. Complment : la question des problmes nonc textuel2.3.1. Point de dpart pour la rexionPour essayer de rsoudre les difcults des lves dans la rsolution des problmes avec des noncs textuels, de nombreux enseignants mettent en place des sances consacres la mthodologie de la rsolution de problmes . Cette approche a suscit de nombreux dbats car lactivit mathmatique inhrente la rsolution dun problme mathmatique tait parfois occulte par un travail dune autre nature : travail sur lnonc en tant que texte, recherche dinformations, recherche de la bonne opration , classement dnoncs, etc. Or des travaux, en particulier ceux de Jean Julo7, ont montr que dans lactivit mathmatique de rsolution dun problme numrique, il nest pas possible de sparer le travail de comprhension de lnonc et celui de construction dune stratgie de rsolution : ce nest pas a priori mais en faisant effectivement le problme que lon va pouvoir trouver la ou les oprations pertinentes utiliser. Cela tant prcis, il va de soi que pour rsoudre des problmes numriques ayant un nonc textuel les lves doivent mettre en uvre leurs comptences en lecture. Cest par des allers-retours entre lnonc et la recherche de stratgies de rsolution que ces comptences vont se dvelopper. On comprend maintenant que le problme nest pas entirement caractris par lnonc crit : le texte nest quun des composants de la situation. Il peut dailleurs avoir une place variable selon la construction de la situation.

7. J. Julo. 1995, Reprsentation de problmes et russite en mathmatiques, Presses universitaires de Rennes.

16

E NSEIGNER

LES MATHMATIQUES AU

CM1 C HAPITRE 2

2.3.2. La construction du sens de lnonc textuelLa construction du sens dun problme sappuie sur le passage dune reprsentation de la situation une reprsentation du problme, cest--dire une reprsentation de la situation intgrant le versant action. Les modes de reprsentation que proposent les lves voluent progressivement. Pour les problmes arithmtiques, on peut dcouper lvolution en plusieurs grandes tapes ou plutt plusieurs grands modes car lvolution nest pas ncessairement linaire.

LES MODES DE REPRSENTATIONS ICONIQUES, FIGURATIVES OU ANALOGIQUES Le mode des reprsentations guratives non opratoiresOn le rencontre frquemment au cycle 2, il peut encore tre prsent chez certains lves au cycle 3 : llve peroit lhistoire avec des personnages, des objets et se construit une sorte de lm mais sans percevoir les enjeux numriques. Si on lui demande de reprsenter par crit la situation, il fait des dessins, mais ceux-ci ne permettent pas de construire une procdure de rsolution. lorganiser de manire opratoire. Il dessine de manire encore gurative, mais les informations numriques sont prises en compte, le dessin peut donc servir de support la rsolution.

Le mode des reprsentations analogiquesLenfant reste attach au contexte, la reprsentation exhaustive des personnages ou des objets, mais dune part il ne conserve que ceux qui sont pertinents pour le problme, dautre part il ne cherche plus xer exactement la ralit, il simplie les objets, les symbolise par des ronds, des croix, des points, ses doigts... et il utilise ces collections analogiques pour rsoudre le problme du moins partiellement, avec des procdures qui restent assez primitives et de porte trs locale.

Q Le mode des reprsentations guratives opratoiresTout en restant trs dpendant du contexte et de la ralit laquelle ce contexte correspond, llve peut

LES MODES DE REPRSENTATIONS SYMBOLIQUES Llve se dtache de la reprsentation iconique pour ne sintresser quaux rapports entre les objets. Parmi les reprsentations symboliques, on trouve les modes de reprsentations schmatiques (schmas chs, tableaux, droite numrique, segments, tableaux de proportionnalit, etc.). Ces modes de reprsentation sont un moyen didentier plus clairement des objets mathmatiques dcisifs pour la conceptualisation. Ce sont des modes plus abstraits et plus riches sur le plan opratoire. On trouve enn les critures arithmtiques qui sont des reprsentations symboliques (formelles) particulires. Traduire un nonc de problme par une criture numrique (de type quation pour les problmes arithmtiques, par exemple 450 = 5 ? ou 1 246 = ? + 857) est un mode expert de reprsentation qui permet dapporter la rponse demande moindre cot. Ce mode suppose lassimilation des modes prcdents, il traduit ce que lon appelle couramment lacquisition du sens du problme. Ces reprsentations symboliques se construisent de manire spiralaire : elles sappuient sur les catgorisations primitives de diverses situations connues dj en place, tout en dveloppant chez llve des comptences catgoriser les nouvelles situations quil rencontre, et ainsi afner les premires catgories qui servent nouveau dappui pour enrichir les diverses classes de situations. chacun de ces modes, est associ un mode de reprsentation langagire dont la fonction est multiple : aide la dsignation permettant lidentication des lments de la situation et de leurs relations, aide lanticipation des effets et des buts, linfrence, au raisonnement et aide lorganisation de laction, planication et contrle. Comprendre le problme, donn sous forme dun nonc, cest donc comprendre que : le texte relate une certaine situation, souvent issue, pour les problmes arithmtiques de lcole lmentaire, de la vie relle ou dun autre champ disciplinaire ; certaines donnes fournies sont dj des rponses aux questions quaurait pu se poser un personnage ctif qui se serait trouv dans la situation voque ; cet nonc doit conduire une action impliquant une rexion et des prises de dcisions, cest--dire quil ne sagit pas simplement dun acte de lecture, mais dun projet de rponses des questions ; ce nest pas seulement la rponse donner au problme qui est attendue, mais la mise en uvre de diverses connaissances pour travailler un savoir mathmatique. Cest donc partir de la reprsentation mentale de la situation et de lanticipation des questions et des rponses que llve peut rsoudre le problme et non partir de la recherche de traits ou dindices de surface dans le texte ou de proximit temporelle avec des notions en cours dapprentissage.

E NSEIGNER

LES MATHMATIQUES AU

CM1 C HAPITRE 2

17

3Les modes de calculLe rapport entre calcul et construction du sens des oprations est dialectique. Sans mise en perspective dans un problme, le sens dune opration ne peut pas se construire, mais sans recherche de stratgies de calcul pour le rsoudre, le travail sur le problme ne peut aboutir. Il est donc indispensable de mener simultanment le travail sur les problmes et celui sur les procds de calcul.

3.1. Classication et limites Un regard qui met en avant le type de fonctionnement cognitif convoquOn trouve ici deux grands modes : le calcul rchi qui ncessite de la part du sujet un travail cognitif spcique : analyse des donnes, recherches de stratgies adaptes ces donnes, mise en uvre de ces stratgies et contrle des tapes et du rsultat ; le calcul automatis, cest--dire un calcul dans lequel, chaque tape, le sujet ne se pose pas de question sur ce quil a faire et restitue des faits numriques mmoriss ainsi que des stratgies galement mmorises.

Un regard qui met en avant le moyen utilis pour calculerOn trouve alors trois grands modes : le calcul mental (effectu dans la tte) ; le calcul crit qui ncessite lutilisation dun crayon et dun support pour crire ; le calcul instrument (il ncessite un matriel spcique : abaque, table compter, rgle calculer, calculatrice, logiciel de calcul).

Calcul automatis

Calcul rflchi

Calcul mental Rsultats mmoriss

Calculatrices Logiciels

Techniques crites algorithmises

Calcul mental Procdures personnellesCalcul automatis Calcul rflchiCalcul mental Rsultats mmoriss Calculatrices Logiciels Techniques crites algorithmises Calcul mental Procdures personnelles Calcul crit Procdures personnelles Calcul approch

Calcul mental

Calcul crit

Calcul instrument

Calcul crit Procdures personnelles

Calcul approch

Calcul mental

Calcul crit

Calcul instrument

Limites dune telle classicationCette classication contribue prciser des types de fonctionnement qui peuvent tre utiliss par les lves ; il ne faut cependant pas oublier : dune part, quau cours dun mme calcul les lves peuvent passer dun mode de fonctionnement un autre ; dautre part, que la construction dun algorithme nest nalement quune optimisation, dans le temps, de procdures de calcul rchi.

Prenons un exemple.

2 1 1 1 .

9 2 7 2 5 1 .

0 0 0 0 0 2 .

1 0 1 0 1 0 .

@ @ @

100 fois 12 100 fois 12 10 fois 12

18

E NSEIGNER

LES MATHMATIQUES AU

CM1 C HAPITRE 3

Lorsque Tho, dans ltape 36 (p. 96), fait cette dclaration an deffectuer la division de 2 901 par 12, il est dans un processus qui, terme, le conduit du calcul

rchi, qui a t le moteur des tapes prcdentes, au calcul automatis qui sera lorganisation dnitive de la division en tant que procd de calcul.

3.2. Le calcul rchiLa terminologie calcul rchi ou calcul raisonn met laccent sur lactivit cognitive du sujet en train de calculer. Les procdures de calcul rchi ou raisonn sont en effet caractrises par le fait que le sujet prend en compte les donnes numriques fournies, les analyse, les situe dans le rseau des nombres, repre leurs particularits et utilise ces particularits pour choisir le traitement quil va leur faire subir. Ce traitement dpend troitement des nombres en jeu et est donc crer chaque nouveau calcul mais il diffre aussi suivant les individus, chacun choisissant parmi ses connaissances celles qui lui permettent de traiter lopration au moindre cot. De ce fait, pour chaque individu, le choix des procdures volue dans le temps avec lacquisition de nouvelles connaissances et la pratique. Exemple Voici 4 mthodes pour le calcul de 17 8 1. Dcomposer 17 en 10 + 7 on a donc (10 8) + (7 8) = 80 + 56 = 136 2. Dcomposer 17 en 20 3 (20 3) 8 = (20 8) (3 8) = 160 24 = 160 20 4 = 136 3. Dcomposer 8 en 10 2 17 8 = (17 10) (17 2) = 170 34 = 170 30 4 = 140 4 = 136 4. Reconnatre dans 8 le cube de 2 et donc doubler trois fois de suite 17 8 = [(17 2) 2] 2 = (34 2) 2 = 68 2 = 136 Pour le calcul de 17 9, les trois premires mthodes peuvent sappliquer mais pour utiliser la quatrime, il faut reconnatre dans 9 le carr de 3 et de plus il faut savoir multiplier 17 par 3 rapidement ce qui est a priori plus difcile que doubler . Pour le calcul de 17 7, la quatrime mthode savre impossible. Le calcul rchi peut la plupart du temps se faire mentalement car les nombres sont envisags dans leur globalit et non pas chiffre chiffre, cependant il peut se faire aussi par crit pendant toute la phase de construction du sens des oprations, puis plus tard, la fois mentalement et par crit lorsque le calcul est complexe : llve peut avoir en effet besoin de noter des rsultats intermdiaires. Labsence de support papier nest donc pas caractristique de ce mode de calcul.

3.2.1. Le calcul crit rchiDs que le professeur propose aux lves des situations dapproche dune nouvelle opration, ceux-ci mettent en uvre des procdures de rsolution personnelles souvent empiriques, trs lies aux nombres en jeu et au contexte de la situation. Parmi ces procdures, certaines peuvent faire lobjet dune explicitation et dune forme crite spcique qui xeront la manire de faire de telle sorte quelles puissent tre utilises par la suite en calcul mental rchi. Par exemple, dans ltape 10 (p. 32) consacre la ractivation des connaissances sur laddition et la soustraction, les procdures de calcul rchi crit (sauts sur la droite numrique ou dcomposition de 1 152 pour calculer le terme manquant de laddition trou (1 152 + ? = 1 438) prcdent la construction de la technique et pourront tre utilises ultrieurement en calcul mental rchi. Il en est de mme pour la technique des sauts employe dans les tapes consacres la construction de la technique de la multiplication pose (p. 54-55 et 60). Cest encore le cas pour les procdures dadditions ou de soustractions successives du diviseur ou dun multiple du diviseur qui conduiront les lves comprendre la technique usuelle de la division aux tapes 33, 34, 35 et 36 (p. 90 97).

3.2.2. Le calcul mental rchiCest par la pratique rgulire que les lves vont progressivement dvelopper des comptences de calcul mental rchi en mobilisant les connaissances quils construisent sur les nombres. Le calcul mental rchi a donc de nombreuses fonctions. Il permet de donner le rsultat dun calcul sans laide de lcrit ou dune calculatrice, ce qui est utile dans la vie quotidienne. Il permet de donner lordre de grandeur dun rsultat, ce qui peut tre utile la fois dans la vie quotidienne et pour contrler un calcul effectu

E NSEIGNER

LES MATHMATIQUES AU

CM1 C HAPITRE 3

19

par crit ou la calculatrice. Mais il a aussi pour but de rendre les nombres familiers aux lves : il les conduit envisager chaque nombre sous de nombreux aspects ou points de vue lis leurs proprits, mettre les nombres en rseau en fonction de leurs caractristiques et ainsi enrichir la reprsentation quils se font des nombres de manire rendre disponibles ces reprsentations lors de la rsolution dun problme. Rappelons aussi que les travaux de recherche mens par D. Butlen et M. Pzard9 ont montr que laccroissement de comptences en calcul mental conduisait une amlioration des performances en rsolution de problmes. En

effet, une certaine aisance en calcul mental permet aux lves de se dcharger de langoisse du calcul ou de la surcharge de travail quimplique celui-ci et ainsi de se donner les moyens de faire des hypothses et de faire des choix avant de se lancer dans la rsolution effective. Cela leur permet aussi destimer lordre de grandeur dun rsultat possible et de vrier leurs calculs. Un travail spcique dentranement au calcul mental est propos dans de nombreuses tapes dans la rubrique Calcul mental ainsi que dans les tapes spciques intitules Calcul automatis, calcul rchi (p. 9, 27, 82, 109, 125, 151 et 201).

3.2.3. Le calcul instrument rchiNous appelons calcul instrument le calcul qui seffectue laide dune calculatrice ou dun logiciel de calcul. Contrairement une opinion trop rpandue, lusage dinstruments de calcul nest pas une alternative aux autres formes de calcul qui rendrait ces dernires obsoltes. Il nous semble fondamental de dvelopper paralllement chez les lves des comptences spciques qui leur permettent de calculer en labsence dinstruments mais aussi avec les instruments de manire ce quils utilisent ceux-ci de manire raisonne : prvision de lordre de grandeur dun rsultat et de sa plausibilit, prise dindices sur la vraisemblance des chiffres obtenus, raccourcis de calcul Lintroduction des calculatrices dans les classes, loin de faire disparatre les autres activits de calcul, nous semble tre au contraire un moyen de donner du sens ces activits de calcul, de dvelopper leur aspect fonctionnel et mme de confronter les lves de vrais petits problmes mathmatiques leur niveau. Ainsi, demander aux lves de CM1 de trouver le quotient et le reste de la division de 309 par 23 avec une calculatrice nayant pas la touche division euclidienne (tape 40, p. 106) relve du calcul instrument rchi et permet de renforcer les notions de quotient et de reste. De mme, demander aux lves dafcher le nombre 37.165 puis sans effacer ni revenir 0 dafcher le nombre 37.175 (tape 75, p. 181) permet de renforcer la notion de centimes. Leur demander dafcher sur leur calculatrice le nombre 3.33 sans taper sur la touche 3 (tape 75) permet de repenser le nombre 3.33 en tant que nombre dcimal, dutiliser en acte les proprits de la numration et des oprations arithmtiques.

3.3. Le calcul automatis3.3.1. Le calcul crit automatis : algorithmes de calculUn algorithme de calcul est un procd qui est caractris par le fait quil se droule de manire identique quelles que soient les valeurs numriques auxquelles on lapplique. Les algorithmes de calcul sont conventionnels , ils varient suivant les poques et les cultures (on neffectue pas les divisions de la mme manire en France, en Angleterre ou en Espagne, la technique franaise actuelle est trs diffrente de celle utilise en France au XVIIe sicle). Pour tre intressant, un algorithme de calcul doit tre relativement conomique, il doit tre able et ne doit pas tre trop difcile retenir. Il faut distinguer la phase de construction de lalgorithme, qui repose sur des raisonnements sappuyant sur les proprits des nombres et des oprations, de son utilisation ultrieure. En effet, une fois matris, il peut tre appliqu de manire semi-automatique , entendons par l qu chaque tape du calcul, le sujet ne doit pas se poser de questions pour savoir comment il va continuer. Il ne faudrait pas en dduire que le calcul algorithmis ne convoque jamais une rexion chez llve, mais lun des objectifs de lapprentissage de ce type de calcul est de rendre llve capable de le conduire de manire quasi automatique par lutilisation de conduites invariantes ce qui assure dune part un certain gage de russite lopration et dautre part une certaine rapidit. Les techniques de laddition en colonne (p. 28) de la soustraction en colonne (tape 11, p. 34), de la multiplication

9. D. Butlen, M. Pzard, Le rle du calcul mental dans la connaissance des nombres, des oprations et dans la rsolution de problmes in Repres IREM, 2000.

20

E NSEIGNER

LES MATHMATIQUES AU

CM1 C HAPITRE 3

pose (pages 63 65), de la division en utilisant la potence (tapes 45, p. 118-119 et 46, p. 120-121) sont ainsi des algorithmes de calcul qui sont enseigns lcole et qui doivent tre appris et retenus par les lves. Insistons sur le fait que connatre lalgorithme de calcul dune opration nest pas le gage dune connaissance approfondie de cette opration, cest--dire dune reconnaissance des situations dans lesquelles celle-ci est prsente. De mme, ne pas connatre un algorithme ne signie pas ncessairement ne pas comprendre lopration. Le travail dacquisition dun algorithme, sil ne peut tre confondu avec le travail de construction du sens dune opration, peut cependant y contribuer. La mise en uvre dun algorithme de calcul ncessite une trs bonne connaissance de nombreux faits numriques , tels que les rsultats des tables daddition et de multiplication, et une trs bonne comprhension de la numration dcimale de position, mais elle ne

ncessite pas ncessairement la matrise des proprits qui permettent de le justier mathmatiquement. Lapprentissage des techniques opratoires crites a eu, pendant longtemps, une place prpondrante dans les activits mathmatiques proposes aux lves lcole lmentaire : on pensait alors quil fallait apprendre faire les oprations avant dapprendre les utiliser. Depuis plusieurs annes, lacquisition de techniques, tout en restant trs prsente, seffectue en mme temps que le travail sur le sens des notions : il semble plus judicieux de mettre les enfants en face de problmes ayant du sens pour eux, de les laisser mettre en uvre des procdures de calcul empiriques sappuyant sur leurs connaissances anciennes pour rsoudre le problme pos. Loptimisation des procdures de calcul utilises permet alors dintroduire lapprentissage des techniques algorithmiques conventionnelles. Viennent ensuite les phases dentranement indispensables : ce sont les gammes du mathmaticien en herbe !

3.3.2. Le calcul mental automatisPour que les lves puissent mener bien un calcul rchi crit ou mental ou un calcul crit algorithmis, il est indispensable quils puissent utiliser un certain nombre de rsultats mmoriss, sans avoir les reconstruire chaque fois. Le calcul mental automatis renvoie cette activit spcique de mmorisation de faits numriques de manire ce que les lves puissent les restituer de manire automatise lors dun calcul. Il intervient donc tout autant dans le calcul rchi que dans le calcul crit algorithmis. De nombreuses activits spciques et rgulires doivent naturellement tre menes avec les lves pour permettre la mmorisation dnitive de faits numriques essentiels : tables daddition et de multiplication mais aussi liste des multiples de certains nombres : 10 ; 100 ; 25 ; 15 ; produits par les puissances de 10 ; dcompositions canoniques des nombres ; etc. Nous proposons pour cela de multiples activits dans les rubriques Calcul mental et notamment les jeux de recto verso qui permettent aux lves de sentraner tout en leur donnant le moyen de valider immdiatement leur rponse, ce qui est essentiel. Les tapes des pages 9, 27, 82, 109, 125, 151 et 201 proposent galement des exercices de calcul automatis. La rapidit nest pas un objectif primordial du calcul mental automatis (appel parfois calcul rapide), mais il est vident que cest un objectif important dans la mesure o le rappel en mmoire des rsultats mmoriss lors dun calcul ne doit pas faire perdre llve le l de son calcul.

3.3.3. Le calcul instrument automatisToutes les calculatrices ne sont pas programmes de manire analogue et de ce fait ne fonctionnent pas de la mme manire. Pour sen convaincre, il suft de faire le test suivant : la squence frappe 5 + 4 2 = donne comme rsultat 13 sur certaines calculatrices et 18 sur dautres. Or le rsultat correct est 13 puisquen labsence de parenthsage, la multiplication est prioritaire sur laddition. Les calculatrices qui donnent le rsultat 18 ne disposent pas de ce que lon appelle la priorit intgre : elles effectuent les calculs au fur et mesure de la frappe et donc dans le cas qui nous proccupe, elles effectuent 5 + 4 soit 9 avant de sintresser au produit par 2. Pour certaines oprations telles que la division euclidienne, certaines calculatrices donnent directement le quotient et le reste tandis quavec dautres, les lves doivent savoir comment trouver le quotient et le reste partir du quotient dcimal qui est afch (tape 40, p. 106). Ces exemples montrent que loutil doit tre matris pour tre performant et quavant de se lancer dans un calcul, il est ncessaire de tester sa calculatrice pour viter dobtenir des rsultats errons. Les lves doivent donc apprendre se servir de manire rapide, efcace et quasi automatise, de la calculatrice dont ils disposent, et contrler attentivement toutes les tapes des calculs pour dtecter les erreurs de frappe possibles ; les tapes 40 (p. 106-107) et 75 (p. 181) contribuent cet apprentissage.

E NSEIGNER

LES MATHMATIQUES AU

CM1 C HAPITRE 3

21

3.4. La progression de calcul mental dans EuroMathsDans les tapes de consolidation et dentranement, le calcul mental a pour but de renforcer des connaissances anciennes pour les rendre disponibles tout moment. Il nest donc pas ncessairement li au travail propos dans la page. Dans les deux premires priodes, il permet aux lves de revisiter les relations arithmtiques simples entre les nombres : structuration de la suite numrique en sappuyant sur les multiples de 2, de 5, de 10, de 100 (jeu du furet en priode 1), notion de double et moiti, triple et tiers, produit par 10, 100, 1 000 ( jeu de mmoire en priodes 2 et 3). Dans les priodes suivantes, il sagit de stabiliser les acquis sur la numration (dcomposition et dicte de nombres, mise en ordre), les calculs additifs simples (calculs en chanes), les tables de multiplications (jeux de recto verso multiplicatif). Dans les tapes de construction ou dapprofondissement de connaissances (tapes numrotes), les activits de calcul mental ou les mises en route proposes sont lies aux notions en cours dapprentissage : suivant les cas, elles prparent les lves aborder le travail qui sera effectu dans ltape du jour ou les suivantes ou elles entranent les lves sur des notions qui viennent dtre travailles pour les aider les mmoriser et les faire fonctionner. Lorsque le travail se droule sur plusieurs sances, la mme activit peut tre propose : la rptition permet de favoriser la matrise de ces procdures ce qui aide rassurer les lves. Dans chaque tape, les activits proposes sont explicites et justies ; nous avons pris un soin tout particulier dvelopper leur aspect ludique. En priode 1, les lves vont travailler principalement sur la numration (passage de la numration orale la numration crite, dcompositions additives, canoniques, valeur des chiffres suivant leur position dans lcriture du nombre, comparaison et mise en ordre), notamment par des jeux de mmoire, des jeux dassemblages de mots-nombres... et sur laddition et la soustraction (rsolution mentale de problmes arithmtiques simples, ajout ou retrait de 9, de 11, recherche de complments 10, 100...). Le dbut de la priode 2 est consacr la structuration de la suite numrique en sappuyant sur les multiples des nombres de la premire dizaine dans les jeux du furet. Cest un travail fondamental qui permet non seulement de stabiliser la connaissance des tables de multiplication mais aussi dapprendre reprer rapidement les multiples des nombres de 2 9, savoir identier de quel multiple il sagit en mettant en uvre de nombreuses proprits : associativit, distributivit de la multiplication par rapport laddition et la soustraction, etc. Ces comptences sont fondamentales pour matriser tous les modes de calcul et notamment les algorithmes de la multiplication et de la division. Des jeux de portraits sur les nombres sont ensuite proposs : ils permettent de mettre en rseau des notions tudies dans des tapes diffrentes, de mettre en vidence les proprits des nombres et de les mettre en mots. Ils seront repris plusieurs moments de lanne. Le travail propos en calcul mental dans les tapes suivantes a pour but de stabiliser les connaissances des lves sur la numration, les calculs additifs et soustractifs, le rpertoire multiplicatif (jeux de recto verso multiplicatif). En priode 3, le calcul mental est centr sur la division. Au dbut de cette priode, il sagit nouveau de travailler sur les multiples des nombres de la premire dizaine en mettant en avant le point de vue de leurs dcompositions multiplicatives. Puis, aprs avoir rsolu mentalement des problmes arithmtiques simples relatifs la multiplication et la division, les lves sont entrans trouver mentalement les termes manquants dune division (nombres de la premire centaine). Les connaissances anciennes sur la numration, et les calculs additifs et soustractifs sont entretenues dans certaines tapes pour tre disponibles dans diffrents contextes et particulirement dans le domaine de la mesure des grandeurs. Au cours de la priode 4, tout en continuant travailler sur la division et les autres oprations sur les nombres entiers, les lves vont se familiariser avec les fractions et leurs diverses critures. Encadrer une fraction par deux nombres entiers conscutifs, lcrire sous forme de sa partie entire et de son rompu et trouver des fractions quivalentes font largement intervenir les connaissances sur la division et la multiplication des entiers. Avec les jeux de portraits sur les nombres entiers et le jeu du compte est bon , les lves vont mettre en uvre sous forme ludique leurs connaissances dans le domaine du calcul et travailler le raisonnement. La rsolution mentale de problmes contribue xer les diffrents sens des oprations et constituer des classes de problmes en sappuyant sur les grandeurs et la mesure. Cest en priode 5 que le calcul mental intgrera ltude des nombres dcimaux, tout dabord en liant les critures virgules aux fractions dcimales, puis en travaillant spciquement lextension de lordre dans lensemble des nombres dcimaux Les jeux de portraits sur les nombres dcimaux et les jeux avec la calculatrice apportent leur concours pour permettre aux lves de bien comprendre les caractristiques de ces nouveaux nombres et leur lien avec les nombres entiers. Les jeux de furet, les recherches de complments, les

22

E NSEIGNER

LES MATHMATIQUES AU

CM1 C HAPITRE 3

jeux de mmoire entraneront les lves calculer avec ces nouveaux nombres. Le jeu la recherche du milieu contribue renforcer la proprit fondamentale de lensemble des nombres dcimaux : entre

deux nombres dcimaux, il en existe toujours un autre. Lanne se termine par une activit collective : le d 100 qui permet, sous une forme ludique, de mettre en uvre les comptences acquises en calcul.

Priode 1 la numration laddition et la soustraction

Priode 2 les tables de multiplication les multiples

Priode 3 la division les mesures de grandeurs

Priode 4 la division les fractions

Priode 5 les nombres dcimaux

E NSEIGNER

LES MATHMATIQUES AU

CM1 C HAPITRE 3

23

4La numration, les oprations4.1. Les nombres entiers, les deux systmes de numration4.1.1. Place dans le cycle 3Une grande partie du travail sur la numration a t mene au cycle 2 et en CE2. Au cours des annes de CM, il sagit de consolider les acquis antrieurs des lves pour leur permettre de dvelopper des stratgies de calcul rchi et de comprendre les algorithmes de calcul crit. Une trs bonne matrise de la numration est indispensable pour construire les algorithmes opratoires et les utiliser avec efcacit. Ainsi laddition 123 + 375 sera un jeu denfant si llve a intgr que 123 = 100 + 20 + 3 et que 375 = 300 + 70 + 5. Il en est de mme pour la construction des autres algorithmes de calcul. Nous avons vu que traduire un nonc de problme par une criture numrique est un mode expert de reprsentation qui permet dapporter la rponse demande moindre cot. Mais cela suppose, a minima, que le sens des critures numriques soit acquis par les lves. On peut donc dire que, si les lves nont pas compris comment fonctionnait notre numration, ils ne peuvent accder ni la reprsentation experte qui permet de traduire un problme ni aux techniques opratoires. Il sagit galement en CM, o lon rencontre un champ numrique plus grand, de mener un travail spcique sur la numration orale de manire permettre aux lves den comprendre les rgles de fonctionnement qui nont t quabordes dans les classes antrieures. Cest souvent en effet au moment de la rencontre avec des grands nombres que la non-matrise par certains lves des liens entre numration crite et numration orale devient apparente10. Nos deux systmes de numration des nombres entiers sont comme deux langues diffrentes , lune verbale appele souvent numration orale mais qui peut se trouver sous forme crite en lettres, lautre en chiffres appele numration crite. Rappelons quil ne suft pas de proposer des dictes ou des lectures de nombres pour aider les lves dpasser leurs ventuelles difcults.

4.1.2. Des difcults frquentesDs le CP, les lves sont confronts aux diffrences fondamentales de fonctionnement des deux systmes de numration : lire le groupe de signes 18 , en disant dix-huit et comprendre que 18 est construit partir de 10 et de 8 par une addition (10 + 8). Or, il nest pas rare dobserver des lves qui lisent 18 en nonant dix-huit et simultanment considrent que 18 cest 8 et 1 (donc 9 !) . Au cours du cycle 3, certains lves ont toujours des difcults voir dans les critures chiffres autre chose que les chiffres qui le composent : dans 4 537 par exemple, ils sont capables de reprer que 5 est le chiffre des centaines, mais ne parviennent pas envisager 5 comme la trace de 500 ; pour dautres, le fait que le nombre 4 537 contient 45 centaines nest pas encore acquis, or dans un calcul de division tel que 4 537 divis par 42, il est ncessaire de pouvoir envisager de retrancher 42 centaines aux 45 centaines du nombre 4 537.Par ailleurs, les rsultats des valuations nationales lentre en sixime montrent une persistance des difcults chez certains lves crire en chiffres des nombres donns en lettres et rciproquement. Faisons un tour des erreurs les plus frquentes. Certains lves codent sparment avec des chiffres chacun des mots-nombres entendus et juxtaposent ces codes : par exemple, quatre-vingt(s) crit 420 ou quatre cent sept crit 4007 ou encore 41007. Les relations somme sont souvent moins bien matrises que les relations de type produit. Ainsi, quatre cents est bien crit 400, mais cent suivi de mots-nombres peut encore poser des problmes certains lves qui crivent par exemple 10016 pour le nombre cent seize . Il est probable que, pour ces lves, chaque symbole entendu rend compte dune collection dunits11. Pour crire cent seize , dautres lves proposent 1016. Ils ont sans doute observ des rgularits et se sont cr des rgles de construction errones de la forme suivante : 101 ; 102 ; 103 ; ; 109 ; 1010 ; ... ; 1016, proche de la manire de les dire.

10. Lors de la construction des nombres dcimaux, nous serons galement confronts des questions de lecture : 3,45 se lit habituellement trois virgule quarante-cinq , laissant croire que la partie droite de la virgule est elle-mme un nombre entier. Nous y revenons dans le chapitre consacr ces nouveaux nombres page 36. 11. B. Dufour-Janvier, N. Bednarz, Construction des savoirs , in N. Bednarz et C. Garnier (dir.), Obstacles et conits, ditions Agence dArc, 1999, Montral.

24

E NSEIGNER

LES MATHMATIQUES AU

CM1 C HAPITRE 4

Pour les grands nombres , ce sont souvent les coefcients de mille ou de millions qui posent problme alors que les lves crivent sans erreur les trois derniers chiffres. Le problme peut venir dune mauvaise segmentation de la suite de mots-nombres composant le nom du nombre, alors que les lves ont bien retenu quon ncrivait pas de chiffres lorsque lon entend les mots million , mille ou cent . Par exemple, pour le nombre trois cent quatre-vingt mille huit cent vingt-sept, on peut trouver les erreurs suivantes :

trois /cent quatre /vingt mille /huit cent vingt sept 310420827 trois cent quatre /vingt mille/ huit cent vingt sept 30420827 trois cent/ quatre-vingt mille/ huit cent vingt sept 30080827 trois/ cent quatre vingt mille/ huit cent vingt sept 3180827 Pour dautres enn, cest le rle des zros qui nest pas pris en compte : vingt-quatre mille trois cent huit 2438.

4.1.3. Les diffrents systmes de dsignation des nombres entiersRevenons rapidement la question qui nous occupe : les diffrentes manires de dsigner les nombres. Les numrations les plus performantes sont celles qui permettent de coder tous les nombres (donc une innit) avec un nombre ni de symboles et de faire des calculs sur ces codages sous forme dalgorithmes relativement simples et ables. Cest le cas de notre numration crite de position, mais ce nest pas le cas de notre numration orale. Pour dnir une numration, il est donc ncessaire de prciser la valeur des groupements successifs (la base), les symboles utiliss et les rgles dagencement de ces symboles pour dsigner des nombres. Le tableau ci-dessous permet de mettre en vidence les ressemblances et les diffrences entre nos deux systmes de dsignation des nombres.

Numration crite Valeur(s) des Groupements uniquement groupements par dix Dix symboles exactement : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 et 0

Numration orale Groupements par dix, mais aussi des groupements auxiliaires par mille, million, etc. Une grande quantit de mots, que nous appelons souvent mots-nombres : neuf mots qui correspondent la lecture des chiffres : un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit, neuf ; des mots qui correspondent aux diffrentes puissances de la base : dix, cent, mille, million, etc. ; cinq mots pour certains multiples de 10 (certaines dizaines) : vingt, trente, quarante, cinquante, soixante ; six mots anomalies onze, douze, treize, quatorze, quinze, seize ; le mot zro qui ne sert qu se dsigner lui-mme mais qui nentre dans la composition daucun autre nom de nombre. Non La juxtaposition des mots-nombres a toujou