Jou rn al of the In stitu te of Polytechnics, Osaka C ity U n iversity ,Vol. 8 , No. 2 , Sériés A

Etvde sur la théorie du potentiel pris par rapport au noyau symétrique

Par Nobuyuki N in o m iy a

(Received April 25, 1957)

Introducton

L’objet principal de la théorie classique du potentiel dans Pespace euclidien à m dimensions est Tétude du problème de l'équilibre et du problème du

balayage.P r o b l è m e d e l ’e q u il ib r e : Etant donné un compact C dans R^, y-a-t'il

toujours une distribution de masse positive X portée par C dont le potentiel

U^(M) = \cp[M,Q)dX{Q)

est égal à une constante sur C ?P r o b l è m e d u b a l a y a g e : Etant donnée une distribution de masse positive

fjL dans R^, y-a-t'il toujours sur un compact arbitraire C une distribution de masse positive [JL portée par C dont le potentiel

U^'[M)=\cp{M.Q)d^,' (Q)

est égal au potentiel de jlc sur C ?Ici, la fonction fondamentale (appelée noyau) est

^ (M, Q) = MQ-^ (si W = 3) ,

= — Iog MQ (si m = 2) .Dépuis que ces problèmes ont été résolus en toute généralité par C de La

Vallée-Poussin ([18]) en 1932, les recherches du potentiel pris par rapport à un noyau généralisé montaient sur la scène de la théorie du potentiel. En 1935, 0 . Frostman ([10]) a complété dans sa thèse célèbre la théorie générale du potentiel pris par rapport au noyau d'ordre a

cp (M, Q) = MQ^-^ (0 < a ^ 2) , dans laquelle il a résolu le problème de Péquilibre pour le noyau d'ordre a. Sa théorie est fondée sur un théorème du maximum qui est une conséqnence du fait que le potentiel d'une distribution de masse positive pris par rapport au noyau d'ordre a est sousharmonique dans tout domaine ne contenant aucune masse positive. Récemment, K. Kunugui ([13]) et N. Ninomiya ([14]) ont étendu la théorie de O. Frostman au cas où le noyau cp [M,Q) est positif, fonction décroissante de la seule distance MQ et convexe de MQ~ (si m=3) ou —Iog MQ (si m =2). En 1938, M. Riesz ([19]) a résolu le problème du balayage pour le noyau d'ordre a

en s'appuyant sur la théorie de 0. Frostman.Mais, la méthode du balayage n'était jamais simple même dans le cas du

noyau newtonien dans Pespace ordinaire. Il est donc un travail remarquable dans la théorie récente du potentiel que H. Cartan ([1], [2]) a complété la théorie générale du balayage pour le noyau newtonien

148 Nobuyuki N i n o m i y a

cp [M, Q) = MQ^-^ (m ^ 3 ) .En démontrant son théorème du maximum pour les potentiels newtoniens et son théorème fondamental sur le fait que Tensemble ^ des distributions positives d' énergie finie est complet pour la norme-énergie, il a étudié systématiquement le balayage des distributions positives sur les ensembles quelconques et la notion des points réguliers ou irréguliers des ensembles quelconques. Son théorème fondamental est le point de départ des recherches de J . Deny ([7]). Il a construit Tespace hilbertien complet dans lequel Tespace linéaire de @ ayant Ténergie mutuelle comme produit scalaire est partout dense. Alors, les éléments ajoutés à ne sont plus des distributions usuelles de masses (mesures de Radon), mais des distributions au sens de L. Schwartz. Il a donc défini le potentiel comme produit de composition de deux distributions et T au sens de L. Schwartz

U'i'=K^T,et fait le développement de la théorie de H. Cartan pour le potentiel de ce type en faisant des hypothèses convenables sur le noyau K.

Les recherches les plus nouvelles et les plus générales sur les problèmes de Téquilibre et du balayage progressent surtout par Teffort de quelques mathéma­ticiens en France. H. Cartan et J . Deny ([31]) ont démontré en collaboration qu'il y a identité entre les noyaux satisfaisant aux théorèmes du maximum et les noyaux pour lesquel les problèmes de Téquilibre et du balayage sont solubles. Mais, il me semble qu'ils s'appuient trop sur l'hypothèse de Ténergie. J . Deny ([8], [9]) a encore étudié les problèmes de Téquilibre et du balayage pour les noyaux S'appelés noyaux élémentaires. Le problème fondamental de la théorie du potentiel consiste à la détermination effective des noyaux pour lesquels les problèmes de Téquilibre et du balayage sont solubles. Sous ce point de vue, ses résultats nous donnent satisfaction. Il me semble que les recherches de M. Riesz ([19]) ont inspiré son idée de noyau élémentaire.

Le travail présent est consacré à profondir les recherches de H. Cartan et J . Deny, c'est-à-dire, à envisager les relations entre les théorèmes du maximum et les problèmes de Téquilibre et du balayage. Dans Tespace euclidien à w (^1) dimension ou plus généralement Tespace localement compact topologique i2, soit K{x, y) une fonction positive, continue, et symétrique en et en y de K [x,x) pouvant être -i-oo. Le potentiel et Ténergie d'une mesure dans Ü (distribu­tion de masse) pris par rapport au noyau K sont définis comme

W {x) = \ K {x ,y )i^ .{y )

et

I{l.) = \ \ K {x ,y )d i.{y )i,.{x )

respectivement. On doit naturellement admettre Phypothèse que tout ensemble ouvert dans ü porte des mesures positives (^0) dont les potentiels sont bornés sur tout compact dans Le potentiel U [x) d'une mesure positive fju à supportcompact est semi-continu inférieurement en tout point a; de et continu en tout point a; du complémentaire de S . Le noyau K étant symétrique, on a toujours la relation réciproque

J U’ dfz

pour tout couple (/x, v) de deux mesures quelconques fx et p . Comme cette rela­tion évidente joue un rôle très utile au cours du raisonnement, Phypothèse que le noyau K est symétric^ue est indispensable dans ce travail.

Dans le premier paragraphe, on étudiera la quantité

Q/,, ,.■) _ IifA X I(v)

définie pour tout couple {fju, v) de deux mesures positives fjuetv portées par chacun de deux ensembles boréliens et disjoints. Elle est le point de départ de ce travail. Un couple {fjL, v) pour lequel G {/ül, v) est minimum, s'il existe, jouit de la propriété caractéristique. On sait que, étant donnés un compact C et une mesure positive yu, la variation de Gauss

G{v) = I{v)-2\^U>^d,v

définie pour des mesures positives v portées par C fournit un outil très important dans la théorie classique du potentiel, et encore que K. Kunugui ([13]) et S. Kametani ([12]) ont obtenu des résultats sur la forme plus générale de la variation de Gauss. je signalerai que la quantité G{/n, v) est un outil plus utile quela variation classique de Gauss dans la théorie du potentiel pris par rapport au noyau positif et symétrique. Dans le second paragraphe, on étudiera la condition nécessaire et suffisante pour qu’un noyau K soit de type positif ou satisfasse au principe d'énergie. Il en résulte qu'un noyau satisfaisant au théorème du maximum au sens de O. Frostman ou au sens de H. Cartan est nécessairement de type positif. Dans le 3-ième paragraphe, on démontrera que, pour que le problème de l'équilibre (resp. du balayage )soit soluble pour un noyau, il faut et il suffit qu'il satisfasse au théorème du maximum au sens de O. Frostman [resp. de H. Cartan]. Il en résulte que, si le problème de l'équilibre ou du balayage est soluble pour un noyau, il est nécessairement de type positif. Dans le 4-ième paragraphe, on étudiera la relation entre le théorème du maximum au sens de O. Frostman et le théorèrde du

Etude sur la théorie du potentiel pris pav rapport au noyau symétrique 149

1) Il est connu que, pour cela, si le noyau est de type K(x, y)=^K(x-v) dans R^, il faut et il sufîEît que K(x) soit sommable dans un voisinage de Torigine 0. Voir K. Kunugui[13], p. 69.

maximum au sens de H. Cartan. On verra que le théorème du maximum au sens de H. Cartan entraîne le théorème de maximum au sens de 0 . Frostman toutes les fois qu'un noyau K est une fonction décroissante de la seule distance ] x-y | dans R^. Mais, inversement, sous quelles conditions posées au no\ au K le théorème du maximum au sens de 0. Frostman entraîne-t'il le théorème du maximum au sens de H. Cartan? Au grand regret, j'en ne peux donner aucune réponse. Il me semble que la recherche de M. Riesz ([19]) fait une référence à ce problème, mais son raisonnement n'est valide qu’au noyau d'ordre a. Dans le 5-ième paragraphe, on étudiera la condition nécessaire et suffisante pour qu’un noyau satisfasse au principe d'unicité. Il n'y a guère les résultats sur l'unicité des mesures produisant un potentiel donné pris par rapport au noyau généralisé. Au cas où le noyau satisfait au théorème du maximum au sens de H. Cartan on donne un résultat, ce qui a été obtenu toutefois, je me confesse, par suggestion d’un résultat de J . Deny ([18]).

J 'a i publié autrefois ([15], [16]) les résultats de la première partie de ce travail. Je veux les reprendre pour y apporter quelques précisions et compléments. Ce travail se borne aux recherches des potentiels pris par rapport aux noyaux symétriques. ]\Iais, je signale que quelques mathématiciens en France progres­sent dans les recherches sur les potentiels pris par rapport aux noyaux quelconques (symétriques ou non) ([4], [5]).

1 . La quantité G(jic, v) définie pour tout couple de deux mesures positives

Soient et deux ensembles boréliens et disjoints contenus dans un com­pact fixé. On pose

C („ ,-I _ - (m) X I ( v)

pour tout couple (fi, v) de deux mesures positives /x et z/ (^ 0) portées par E et par ^ 2 respectivement. Elle a le sens seulement au cas où il y a des couples (/x, v) telles que 7(/x), I{v) et f àv ensemble soient positifs et finis. On appelle couple minimal sur E et E i tout couple (/xo> v ) pour lequel G (/x, v) est minimum parmi tous les couples (/ , v) de deux mesures positives fj. et v portées par E et par E. respectivement. Alors, on a

L e m m e 1. S’il existe un couple minimal {[jlq, Vq) sur E i et E , en posant

a = I (/io) , ô = / {vo) , ^ ^ 0

et(x) = C U Q (x) — a {x) , {x) = C Wo {x) — b U o [x]

dans la supposition 0 < a ,h ,c< +oo, g [x) [vesp. ^2(- )l jouit des propriétés suivantes :(1) i( ) [y p- gi ( )] ^ O sur E l [resp. E ] presque partout pour i q [resp. vq],(2) gi{x) [resp. g. (: ;)] ^ O sur E [resp. E< ] presque partout poîir toute mesure

150 Nobiiyuki N i n o m i y a

positive dont le potentiel est borné sur tout compact^\ en particulier, si et sont des compacts, gi{x) [resp. Wl sur E [resp. E ] presque partout pour toute mesure positive d’énergie fmie'^K

En effet, la relationG (/Xo O- , Vq) (yl6o , Z o)

a lieu pour toute mesure a (signe quelconque) portée par E telle que /x+cr soit positive, d'énergie finie et dcr<-\-oo. En tenant compte de la relation réciproque entre deux mesures quelconques, elle entraîne Pinégalité

O ^ 2 icr + [c I [cr) — a IPo do-) ] .

D'abord, supposons qu'un compact quelconque A contenu dans l'ensemble des points de E tels que ^ i(^ )> ^ > 0 est de mesure positive pour Alors, si on prend pour cr la mesure —6/x'o (0 < 6 < l) en désignant par /x'o la restriction de /j 'q k A, on a l'inégalité

O ^ — 2 6: ^ i/xo + [c I (/x'o) — j|

^ - 2 8 8 ^ fzo{A) + e^[ - ] .Puisque le coefficient de CvSt fini en vertu de l'hypothèse 0 < a ,b ,c < + oo, c'est contradictoire pour tout nombre positif assez petit 6. S étant arbitraire, 1' ensemble des points de E i tels que ^i(;i:)>0 est d'ailleurs de mesure nulle pour /Xq- Ensuite, supposons qu'un compact A contenu dans l'ensemble des points de El tels que (; ) ^ - - § < 0 est de mesure positive pour une certaine mesure positive T dont le potentiel est borné sur tout compact. Alors, si on prend pour CT la mesure Sr' (0<£<1) en désignant par t ' la restriction de t à 4, on a l'inégalité

0 ^ 2 S ■ ^ g ^ d r + £^[C^I (r' ) - a IPo dr'^]

^ - 2 £ S . t ' (^) + £2 [ ] .Le coefficient de est fini, car est borné sur tout compact et le support de Vq est un compact. Cest contradictoire pour tout nombre positif assez petit <S. § étant arbitraire, l'ensemble des points de Ei tels que [x) <0 est d'ailleurs de mesure nulle pour toute mesure positive dont le potentiel est borné sur tout compact. En particulier, soient Ei et E 2 les compacts. Supposons qu'un compact A contenu dans l'ensemble des points de E i tels que (x) ^ —8<0 est de mesure positive pour une certain mesure positive t d'énergie finie. Alors, si on prend pour O- la mesure 6r' (0< S< î) en désignant par r la restriction de t à A, juo-1-£t' est d'énergie finie et le coefficient de est fini, car on a

2) Dans la théorie usuelle du potentiel, l ’énoncé ' ‘de mesure nulle pour toute mesure positive dont le potentiel est borné sur tout compact” signifie "de capacité nulle”, et l’énoncé ‘ 'de mesure nulle pour toute mesure positive d'énergie finie” signifie “ de diamètre transfini nul” . Les deux ne sont pas toujours équivalents. On dira désormais qu’une propriété a lieu “ à peu près partout (à p p .p .)” , si elle ne tombe en défaut qu’aux points d’un ensemble de mesure nulle pour toute mesure positive d ’énergie finie.

Etude sur la théorie du potentiel pris par rapport au noyau symétrique 151

I (/ o) < + oo, I (t') < + OO

152 Nobuyuki N i n o m i y a

et

du fait que U'"' est fini et continu sur ie support de Pq. Il en résulte que Pensemble des points de tels que {x) <0 est de mesure nulle pour toute mesure positive d'énergie finie.

R e m a r q u e 1. Si et sont les compacts disjoints qui portent des mesures positives d’énergie finie, il y a toujours un couple minimal sur E i et E -

En effect, posonsGn = inf G {fji, v) ,

où inf est pris par rapport à tous les couples (/x, v) de deux mesures positives [jl et V portées par E et par respectivement. Alors, il existe une suite de couples {l n> n) de deux mesures positives fin et portées par E et par E respectivement, tels que

^ il n> n) i •Go et les masses totales de et de Vn étant finies, posons

(1) _ _ X (1) _ _ Tn__fdlXn " " ’

alors on a

= iG „ .

A partir de chacune des suites peut extraire des suites par­

tielles et convergent (vaguement) vers des mesures positives

et Po de masse totale un portées par E i et par E respectivement. Alors, comme il est bien connu, on a

I < Iim/ ( I i m/i- oo i~ oo

et

( C7'"oiz^„=lim(J î- oo J

en vertu de la convergence uniforme de {x) vers U o {x) sur E . On a donc

G (fio> l o) ^ l™ G (fxm , ) =Gq .î- oo

D'autre part, on a naturellement^ (.Mo o) ^ o-

Ainsi, le couple Pq) possède les propriétés requises.En fixant dans G (/x,‘ï ) une mesure positive /x portée par Ei, posons

G* H = —

pour toute mesure positive 0) portée par E . Elle a un sens seulement au cas où il y a des mesures p telles que I [p) et J dp soient positifs et finis. La mesure

fji peut donc être d'energie infinie. Alors, on a, de la même façon que le lemme 1, L e m m e 1* . S'il existe une mesure positive vq pour laquelle G {v) est minimum

parmi toutes les mesures positives portées par en posant h=I[v^, c=^U^o djjL etg [x )= c U o (x) - h U (X)

dans l'hypothèse 0<ô, c< + oo, jouit des propriétés suivantes :(1) g[x)^^ sur E 2 presque partout pour vq,(2) sur E 2 presque partout pour toute mesure positive dont le potentiel

est borné sur tout compact ; en particulier, si E et E sont des compacts, g{x)^0 p.p.p. sur E 2 .

R e m a r q u e 1*. Soient E et E 2 des compacts disjoints et fji une mesure positive (^0) quelconque portée par E . Si E 2 porte des mesures positives d'énergie finie, il existe toujours une mesure positive pour laquelle G* {y) est minimum parmi toutes les mesures positives (^0) portées par E ^

R e m a r q u e 2 . Soient E et E 2 des compacts disjoints et //, une mesure positive (^0) quelconque portée par E . Si E porte des mesures positives d’énergie finie, on peut trouver d’après le lemme 1 xme mesure positive /x' portée par E telle que

(1) U^'[x)^U^{x) sur E 2 presque partout pour fi ,(2) W' [x) ^ W [x) p.p.p. sur E 2 .

Mais, pour cela, on peut aussi utiliser au lieu de [v) la variation de Gauss

G '(z/ )= J(i.)-2^ Ui dv .

Comme il est bien connu ([10], p. 65), il existe une mesure positive pour laquelle G'(y) est minimum parmi toutes les mesures positives v de masse totale un portées par E 2 , et il existe une constante c telle que

(1) {x) ^ {x) + c sur E 2 presque partout pour ,(2) !!‘ '{x) ^ {x) + C p.p.p. sur E 2 .

On ne peut ici placer toujours c= 0. S. Kametani ([12]) a démontré qu'il existe une mesure fji pour laquelle G'[v) est minimum parmi toutes les mesures non- négatives V portées par E 2 , et que cette /z' jouit des prepriétés suivantes :

(1) U ' [x)^U^[x) sur E 2 presque partout pour ,(2) {x)'^U^[x) P-P-P- sur E 2 .

Il signale que cette s'annule seulement au cas où E 2 est de mesure nulle pour toute mesure positive d'énergie finie. Sa démonstration de l'existence de /x' n est pas simple. Toutefois, l'existence d'une mesure positive pour laquelle G* [v) est minimum parmi toutes les mesures positives portées par E 2 est presque évidente, car on peut se borner aux mesures positives de masse totale un portées par E 2 comme plus haut. De ce point de vue, G {v) est plus utile que G'{v).

Ensuite, supposons qu'on a toujoursv ) ^ l

pour tout couple (/x, v) de deux mesures positives ^ et v portées par chacun de

Utude sur ta théorie du potentiel pris par rapport au noyau symétrique 153

deux ensembles boréliens et disjoints contenus dans un compact. Alors, on a L e m m e 2 . Soient et deux ensembles boréliens et disjoints contenus dans

un compact fixé. Si G(/zo, pour iin couple [jjiQ, v ) de deux mesures positivest Vq 0) d'énergie finie portées par E i et par E respectivement, on a

gx[x)=g^ (X) = Odans tout Vespace j? presque partout pour toute mesure positive dont le potentiel est borné sur tout compact, gi{x) et désignant les fonctions définies dans le lemme 1.

En effet, le couple o) est un couple minimal sur E et Eo. vSoit E\ ^ensemble des points de E tels que gi[x) Alors, comme /,o est portée parE I en vertu du lemme 1, le couple (/o, est aussi un couple minimal sur E'i et

E + [E i—E'i), ce que entraîne

sur ito+ [Ei~E'-^ presque partout pour toute mesure positive dont le potentiel

est borné sur tout compact. En particulier, il en est ainsi sur E^—E' . D ’après l’égalité

Cgi {x) + ag {x )= 0 ,on a

sur Ei~E\ presque partout pour toute mesure positive dont le potentiel est borné sur tout compact. D'autre part, comme on a

gi[x) > Osur E i—E[, E i—E'i est de mesure nulle pour toute telle mesure. On a d'ailleurs

gi (x) = Osur E l presque partout pour toute telle mesure. D'autre part, on a de même

gdx) = 0sur E 2 presque partout pour toute telle mesure. Par suite, on a

gi[x)=g^ (X) = Osur E l et sur E presque partout pour toute mesure positive dont le potentiel est borné sur tout compact. Ensuite, soit E un ensemble borélien quelconque, con­tenu dans un compact, tel que E -E i—E-E^—O. Alors, puisque le couple (/ o, z'o) est un couple minimal sur Ei~\-E et E ou E i et E^+E, on a

et g i(x )^ 0sur E presque partout pour toute mesure positive dont le potentiel est borné sur tout compact. En tenant compte de

cgi(x)+ag^(x) = 0 .on a d'ailleurs

g i{x )= g A x )= 0 sur E presque partout pour toute telle mesure.

154 Nobuyuki N i n o m i y a

2 . Principe d’énergie

Dans ce paragraphe, on va caractériser les noyaux de type positif ou satis­faisant au principe d'énergie. Un noyau K est dit de type positif dans si l'intégrale d'énergie

I (a-) = j j i f {X, y) d<T {y) d<T (x)

de toute mesure cr (signe quelconque), lorsqu’elle existe, est toujours ^O. Un noyau K est dit satisfaire au principe d'énergie dans si l'intégrale d'énergie I {cr) de toute mesure <r (signe quelconque) portée par un compact, lorsqu'elle existe, est toujours et l'égalité n'a lieu qu'au cas de cr=0. Ce principe signifie qu'un noyau est strictement de type positif. L'étude sur le principe d'énergie est très important, car il conduisait à l'unicité des mesures dans les théorèmes de la théorie usuelle du potentiel. Comme bien connu, le no} au

K{x, y) = \x-y\ -^^ (0 < a < w ) satisfait au principe d'énergie dans ([10], p. 28). Plus généralement, T. Ugaheri ([20], p. 174) a démontré qu’un noyau K satisfait au principe d'énergie dans {m^3) s'il est une fonction de la seule distance r=\ x—y\ telle que K{r) soit décroissante de y.

On peut montrer qu'il y a identité entre les noyaux de type positif ou satisfai­sant au principe d'énergie et les noyaux satisfaisant à une sorte de principe du maximum. On a

T h é o r è m e 1. Poiir qu'un noyau K soit de type positif dans Q, il faut et il suffit qu'il juisse de la propriété suivante :

[Pi] Soient yu et v des mesures positives d'énergie finie à svipport compact. Si on a

sur le support de fx, on a la même inégalité au moins en un point du support Sy de V.

T h é o r è m e 2 . Pour qu’un noyau K satisfasse au principe d'énergie dans Q, il faut et il suffit qu’il juisse de la propriété suivante :

[Pg] Soient ijl et v des mesures positives distinctes {{jl v) d’énergie finie à support compact. Si on a

U^[x)^U^{x)sur le support 5 de fi, on a

U^{x)<U^ (x)Stir un ensemble de mesure positive pour v.

On les démontre ensemble pour plus de commodité.Démonstration. Les conditions sont évidemment nécessaires. En effet, on a

I iix~v) = I {,J,) - 2 Ü> dv + I [v]

Étude sur la théorie du potentiel pris par rapport au noyau syrrJtrique l55

Si le noyau K est de type positif, !{fji—v) > 0 et dfjb^O entraînentnaturellement J {U' — U ) dv^O. Si le no au K satisfait au principe d'énerige, I[fjL—v)> ^ et I [U^—U' ) dfjL^ entraînent naturellement I [U^-U^) dv>0. Il s ’agit donc de démontrer que les conditions sont suffisantes. Etant donnée une mesure <r 0) de signe variable, on peut trouver deux ensembles boréliens et disjoints et tels que cr soit représentée comme différence de deux mesures positives (^0) fx et v portées par et par E respectivement. Pour démontrer I{cr) [resp. >0], il suffit de démontrer v) [resp. >1]. Supposonsque le noyau K jouit de la propriété (Pi). D’abord, si E et E sont les compacts disjoints, il existe d'après la remarque 1 un couple (/ o, 2 0) pour lequel G{fi, v) est minimum parmi tous les couples (/x, v) de deux mesures positives ^ et portées par E et par ZTa respectivement. On a en vertu du lemme 1

C U o {%) < a Wo (x)sur E presque partout pour /xq. Comme tout potentiel d'une mesure positive à support compact est semi-continu inférieurement dans tout Pespace et continu dans le complémentaire du support, on a

(1) oU Q (X)-^aWo(X) sur le support de juq , et similairement

(2) cW o(x) Wo (x) sur le support de Vq .Alors, puisque le noyau K jouit de la propriété (Pi), ces relations ont lieu en même temps au moins en un point Ç du support de Pq. On a donc

156 Nobuyuki N i n o m i y a

ce qui entraîne

Par suite, on aG{fz, p ) ^ l ,

pour tout couple (/ , v) de mesures positives portées ?une par ^ i, l’autre par Eg. Ensuite, supposons que E et E ne sont pas les compacts. On peut trouver des suites et de compacts tels que

(1) F<'>cF^‘> c F ^ » c • •• • c F ^ c z c £ i ,

Iim^ (FW) (F,) (^ + œ ),n oo

(2) F f ’c: F'^’ c F(2>c ■ • • • c F f c • • • • c F ^ ,

limz.(F<f)) = z . ( F , ) ( ^ + o o ) .n- 00

Soient et les restrictions de /x et de z/ à et à respectivement, alors on a d’après ce qui précède

G {fjin, ï'n) è 1 •On a donc

G{ij„v) = I i m G { f j L n , v „ ) .n^oo

Enfin, supposons que le noyau K jouisse de la propriété [P J. Alors, on av)^\

pour tout couple [jji, v) de mesures positives portées par deux ensembles boréliens et disjoints et jEg contenus dans im compact. Par suite, si on avait

' o) = 1pour un certain couple (/xo, ce serait un couple minimal sur et Eo . Soient

a = I{fi^), b = I{vo), c=^Ui^odvo,

(x) = C IJi o (x) — a U''o (x) et {x) = c U'’o [x) — b U>a (x) .Alors, on a en vertu du lemme 1

sur presque partout pour v,,. On a encorecg^{x) agi{x)

partout dans tout l’espace £3 en vertu de

G(yUo. «) = ^ = l •

Par conséquent, on agi {x )^ 0

sur Ea presque partout pour pq. D’autre part, comme on a en vertu de lemme 1

sur E l presque partout pour /q, on a d’après la propriété [P ]gi ( ) < O

sur un ensemble de mesure positive pour Vq, ce qui est contradictoire. Ainsi, on aG [fji, Z/) > 1

pour tout couple (/z, v) de mesures positives portées par deux ensembles boréliens et disjoints contenus dans un compact. C.Q.E.D.

Considérons les noyaux K satisfaisant au principe du maximum au sens de O. Frostman ou de H. Cartan.

P r e m i e r p r i n c i p e d u m a xim u m ( 0 . Frostman) : Soit X une mesure positive à support compact. Si on a

sur le support S;, de X, on a la même inégalité partout dans tout Pespace £2.Sec o n d p r i n c i p e d u m a xim u m (H. Cartan) : Soient //, une mesure positive

d^énergie finie à support compact et p une mesure positive quelconque. Si on

U^{x)^U^x)sur le support de fju, on a Ia même inégalité partout dans tout Pespace Ü.

Alors, on aTi-îêorême 3. Si im noyau K satisfait au premier ou second principe du

maximum dans Q, il est nécessairement de type positif dans Q.Démonstration. Un noyau K satisfaisant au second principe du maximum

Etude sur la théorie du potentiel pris par rapport au-noyau symétfique 157

est évidemment de type positif en vertu du théorème 1. Il s'agit donc de démon­trer qu'un noyau K satisfaisant au premier principe du maximum est de type positif. Pour cela, comme il a été dit dans la démonstration des théorèmes anté­rieurs, il suffit de démontrer

v ) ^ lpour tout couple (/x, v) de deux mesures positives iju et v portées par chacun de deux ensembles boréliens et disjoints et E . Il suffit de le démontrer dans le cas où E et E sont tous deux des compacts. En effet, s'il en est ainsi, et

étant des suites des compacts tels que

n- oo

(2) C . ■.. c F f C • • •. c F a ,

Iim z. (F f ) = z .(£ ,) (^ + ~ ) .n- oo

et et Vn désignant les restrictions de et de z' à et à respectivement, on a

G (/X, v) = Iim G {juin, Vn) ^ 1 .n- oo

Lorsque E i et E sont des compacts, i] existe un couple minimal Vq) sur E i et E en vertu de la remarque 1. Alors, on a en vertu du lemme 1

C U o [%)^aU^o (x)sur El presque partout pour Comme tout potentiel d'une mesure positive à support compact est semi-continu inferieurement dans tout l'espace £2 et continu dans le complémentaire du support, on a

(1) cU ‘ o{x)'^aWo{x) sur le support F^ de //q , et similairement

(2) C Wo {x) ^ h Wo {x) sur le support F^ de •Si le noyau K satisfait au premier principe du maximum, on a

sup U o [x) ^ sup U o {x) ^ sup (a;) X Fi X Fi xœFo

158 N o b u y u k i N i n o m i y a

^ — sup Lf o (x) S: sup V o [x) , XGF2 XŒFi

G {f Q, l'o) = —-g- ^ I •

ce qui entraîne

Ainsi, on aG{f .

pour tout couple {/j,, v) de deux mesures positives /jü et p portées par E et par E respectivement. C.Q.F.D.

3. Principe d’équilibre et principe du balayage

Les recherches concernant les principes d'équilibre et du balayage occupent la place la plus importante dans la théorie du potentiel. Un noyau K est dit satisfaire au principe d'équilibre dans Q, lorsque, étant donné un compact quelcon­que F, il existe au moins une mesure positive X portée par F telle que

(1) {%) = 1 P-P-P- sur F ,(2) [%) ^ 1 partout dans tout Pespace .

Cette X (peut-être nulle) s'appelle une mesure d'équilibre sur F et (x) un potentiel d'équilibre sur F. Un noyau K est dit satifaire au principe du balayage dans lorsque, étant donné un compact quelconque F, on peut associer à toute mesure positive au moins une mesure positive jj! portée par F telle que

(1) U^'[x) = U^{x) p.p.p. sur ,(2) U^'(x)^U^(x) partout dans tout l'espace Q ,

(3) U ' dp = U^dp' pour toute mesure positive p d'énergie finie.

Cette X' (peut-être nulle) s'appelle une mesure balayée de jn sur F. La relation de réciprocité (3) était utilisée pour construire la mesure balayée d'une mesure pDsitive d’énergie infinie sur F ([2], § 18, [11]), mais on l'ajoute à la définition du balayage pour plus de commodité. Comme bien connu, le noyau

K{x , y ) = \x-y\^-^ (0<oc^2) satisfait aux principes d'équilibre et du balayage ensemble dans ([10], [9]). D'autre part, un noyau K satisfait au principe d'équilibre dans s'il est une fonction de la seule distance r-=\x—y | telle que K {r) —K [x,y) soit convexe de

(si W ==3) ou - Iog r (si m=--2) ([13], [14]).Les relations entre le principe d'équilibre ou du balayage et le principe du

maximum sont très importantes. H. Cartan et J . Deny ([3]) les ont recherchés en collaboration pour un noyau K qui n'est pas nécessairement une fonction, mais qui est une mesure de type positif (naturellement symétrique) dont la transformée de Fourier est une fonction positive à croissance lente ainsi que son inverse. En s'appuyant sur le fait qu'un tel noyau K satisfait à deux principes d'énergie — Pun au sens cité plus haut et Pautre concernant le fait que l'ensemble des mesures positives d'énergie finie est complet pour la norme-énergie —, ils ont démontré qu'il y a dans R^ identité entre le principe du balayage et le second principe du maximum et qu'il y a dans R^ identité entre les principes d'équilibre et du balayage ensemble et les premier et second principes du maximum ensemble. Dans ces études, une mesure d'équilibre sur tout compact et une mesure balayée d'une mesure positive sur tout compact sont évidemment uniques respectivement.

Dans ce paragraphe, on étudie ces problèmes sans aucune hypothèse sur Pénergie au cas où un noyau K est une fonction positive et symétrique. On a besoin de trois lemmes. Un noyau K est dit satisfaire au principe de continuité dans si le potentiel d'une mesure positive quelconque X est continu considéré

Etude sur la théorie du potentiel pris par rapport au noyau symétrique 159

comme fonction dans tout Tespace toutes les fois qu'il est continu considéré comme fonction sur le support de X. T. Ugaheri ([20], § 2) a démontré qu'un noyau i f satisfait au principe de continuité dans s'il est une fonction décroissante de la seule distance \x—y\, en s'appuyant sur son principe du maximum dilaté : si le potentiel d'une mesure positive X est sur le support de X, il est partout dans tout l'espace k étant une constante. Au moyen de son idée, on a

L e m m e 3 . Si un noyau K [symétrique ou non) satisfait au premier ou second principe du maximum dans S2, il satisfait au principe de continuité dans Q.

En effet, supposons que le potentiel d'une mesure positive \ à support compact F soit fini et continu en un point f de F comme fonction sur F. Alors, étant donné un nombre positif quelconque on peut trouver un voisinage V de tel que 0<U^' et soit continu en Ç comme fonction sur F , X' désignantla restriction de \ à V. Par suite, on peut encore trouver un voisinage W àe contenu dans V tel que 0<Ü^' [x )^ < e en tout point x àe F contenu dans W. En désignant par X" la restriction de X' à TF, on a

O < [%) < een tout point x F contenu dans W. Par conséquent, si le noyau K satisfait au principe du maximum dilaté, on a

160 Nobuyuld N i n o m i y a

[x) ^ Iim [x) ^ Iim {x) ^ Iim {x) + Iim {x)

Donc, il s'agit de démontrer que, si un noyau K satisfait au premier ou second principe du maximum, il satisfait au principe du maximum dilaté au sens local : si le potentiel d'une mesure positive X est sur le support F de X, il est -^k-M partout sur un ensemble ouvert O contenant F, où O et K dépendent seulement de F. Evidemment, il en est ainsi pour des noyaux satisfaisant au premier principe du maximum. Supposons qu'un noyau K satisfasse au second principe du maximum. Etant donnée une mesure positive à support compact telle que

[x) sur le support F de fji, on peut trouver une mesure positive v, à support compact, contenu dans le complémentaire de F, telle que [x) < ^ < + œ surF. On a en vertu de second principe du maximum

dans tout l'espace Q. Soit O un ensemble ouvert contenant F dans lequel U'"[x) <k' partout. Alors, on a partout sur 0.

U^[x)<kM .L e m m e 4 . Soit K un noyau [symétrique ou non) satisfaisant au principe de

continuité dans i2. Si un ensemble E est de mesure nulle pour toute mesure positive dont le potentiel est borné sur tout compact, il est aussi de mesure nulle pour toute mesure positive d’énergie finie.

En effet, étant donnée une mesure positive /x d'énergie finie à support compact, on peut trouver une restriction de /x telle que [x) soit continu comme fonction

sur le support de v. U [x) étant la somme de deux fonctions positives et semi-con­tinues intérieurement (i.e. = U ^ U' [x) et U ~'"{x) sont tous deux continus comme fonction sur le support de v. Comme le noyau K satisfait au principe de con­tinuité dans {%) est continu dans tout l'espace i?, d'où il est borné sur tout compact. E est donc de mesure nulle pour v, donc ainsi pour /x.

Lemme 5. Soit K un noyau satisfaisant au principe de continuité dans Q. Si une suite de mesures positives portées par un compact F converge [vaguement) vers une mesure positive fji, on a

{x) = Iim U n [x]n^oo

p.P-P- dans tout Vespace [è.En effet, on a, comme il est bien connu,

V^[0()^X^Wn[x)n- co

partout dans JQ. Si l'ensemble des points tels que[x) < Iim U n [x)

n- oo

porte une mesure positive 0) d'énergie finie, on peut trouver une restriction v' de V telle que la masse totale de v—v' soit arbitrairement petite et telle que U' ' (x) soit continu comme fonction sur le support de p'. Puisque le noyau K satisfait au principe de continuité dans W [x) est continu comme fonction dans tout l'espace Alors, on a

f U^dv' < hm \ U^ndv =\ïm \ W'd^^ = ( U 'dfj. = \ U^dv\n- oo n~ oo J J J

ce qui est contradictoire.Théoï^ème 4. Pour qu'un noyau K satisfasse au principe d'équilibre dans

i2, il faut et il suffit qu'il satisfasse au premier principe du maximum dans Alors, tous les potentiels d'équilibre sur un compact qiielconque coïncident deux à d.eux p-p-p- dans tout l'espace

Démonstration. D'abord, supposons qu'un noyau K satisfasse au premier principe du maximum dans Q. Si un compact donné F ne porte aucune mesure positive d'énergie finie, on peut prendre X=O comme une mesure d'équilibre sur F. Si un compact donné F porte des mesures positive d'énergie finie, on peut trouver une mesure positive (jlq pour laquelle l'intégrale d'énergie I (/x) est minimum parmi toutes les mesures positives /x portées par F de masse totale un. Si on pose

■A _

on a comme il est bien connu(1) UH[x)'^\ sur F presque partout pour toute mesure positive dont le

potentiel est borné sur tout compact,(2) [x) ^ l sur le support de Xo-

Alors, on a, en vertu du premier principe du maximum et les lemmes 3 et 4,(1) ^7^o(a;)=1 p.p.p. sur F.

Etude sur la théorie du potentiel pris par rapport au noyau symétrique 161

(2) U o {%) partout dans tout l'espace Ainsi, Xo est ce qu'on demande. Ensuite, supposons qu'un noyau K satisfasse au principe d'équilibre dans Q. Soit X une mesure positive à support compact dont le potentiel est (une constante positive) sur son support F. Si l'ensemble des points tels que {%) >M n’est pas vide, on peut trouver un compact C, contenu dans cet ensemble ouvert, qui porte une mesure positive /x d'énergie finie de masse totale un. Soit Vq une mesure positive de masse totale un pour laquelle

est minimum parmi toutes les mesures positives v portées par F. Alors, on a en vertu du lemme 1*

g {x )^ cU \ {x )-h U ^ {x )'^ 0 p.p.p. sur F,oh. ô = 7(z o) c==lU^dvQ . Par suite, on a

= Wo dx - b^U'^ d\

= c'^U ^iv^-b^U >^ilx<{c-h)M .

D'autre part, comme on a sur le support F q de Pq, on a pour une mesured'équilibre sur F q,

(a;) Xo (a;) WodXQ— U dX^

= dvfy — J ^^0 d f j i ^ c ~ b

car U o (x) = I p.p.p. sur Fo et partout dans tout l'espace i2. Cest contradi­ctoire. Par suite, on a partout dans tout l'espace

Enfin, soient Xi et Xa deux mesures d'équilibre sur un compact donné F. Si F ne porte aucune mesure positive (^0) d'énergie finie, Xi et Xg sont tous deux identiquement nulles. Par suite, soit F un compact portant des mesures positives (^ 0) d'énergie finie. Si Xi^Xa, on peut trouver deux ensembles boréliens et disjoints F i et Fa tels que F i fF g = F et X i - X.2=/xo—z o. / o et vq étant des mesures positives d'énergie finie portées par F i et par Fg respectivement. Puisque Ie noyau K sati­sfait au premier principe du maximum, il est de type positif d'après le théorème3. D'autre part, comme on a

GifJ-Qy = 1moyennant l'hypothèse {x) (x) p»p.p. sur F , on a en vertu du lemme 2

C U o {x) = a U'' {x)dans tout l'espace jQ presque partout pour toute mesure positive dont le potentiel est borné sur tout compact, où

c = ^U''odfiQ = I{fXo )=a .

Par suite, on a

162 Nobuyuki N i n o m i y a

{x)==Wo {x)dans tout Pespace presque partout pour toute telle mesure. Puisque le noyau K satisfait au premier principe du maximum dans iè, on a d'ailleurs en vertu des lemmes 3 et 4

[x) = U\[%) p.p.p. dans tout Pespace Q. Ainsi, on a

UH (x) = Uh [x)p.p.p. dans tout Pespace Q. C.Q.F.D.

T h é o r è m e 5 . Pour qu'un noyau K satisfasse au principe dM balayage dans il faut et il suffit qu'il satisfasse ait second principe du maximum dans Alors, tous les potentiels des mesures balayées d'une mesure positive sur un compact quelconque coïncident deux à d eux p-p-p^ dans tout l'espace [è.

Démonstration. Supposons qu’un noyau K satisfasse au principe du balayage dans i2. Etant données une mesure positive ^ d'énergie finie à support compact et une mesure positive quelconque v telles que

U [x)^U'^[x)sur le support F de j j l , si on désigne par E' la mesure bala}^ée de la masse ponctuelle E placée en un point sur F, on a

J J j U^de'

^ J = J g J = J U V fPar suite, on a

U^{x)^W{x)partout dans tout Pespace JQ. Supposons qu'un noyau K satisfasse au second principe du maximum dans Si un compact donné F ne porte aucune mesure positive 0) d'énergie finie, une mesure associée à une mesure positive quelconque sur F se réduit à une mesure identiquement nulle. Par suite, soit F un compact qui porte des mesures positives d'énergie finie. Soient et { 5 “ } des suitesd'ensembles ouverts tels que

3 4^^ =^4^^ 13 . • •. =) 3 • • • •

et

et étant tous deux compacts. D'abord, à une mesure positive quel­conque /X portée par S2~F, on associe la mesure positive /x' portée par F obtenue de la manière suivante. Pour la restriction (d'énergie finie ou non) de /x à

il existe d'après la remarque 1* une mesure positive pourlaquelle

est minimum parmi toutes les mesures positives v portées par F. Si on pose

Etude SUV la théorie du potentiel pris par rapport au noyau symétrique 163

164 Nobuyuki N i n o m i y a

1«)on a en vertu du lemme 1*

(1) U - n (x) ^ U in [%) p.p.p. sur F ,

(2) U ^in (x) ^ U^in [%) sur le support de /x'i .

On a en vertu du second principe du maximum,

(1) U ln [%) = U in [x) p.p.p. sur F ,

(2) U ^ i n [ x ) ^ U ^ i n [ x ) partout dans tout Pespace .

Pour la restriction f 2n (d'énergie finie ou non) de yu, à on a de même une

mesure positive portée par F comme ci-dessus. Ce qu'on fait associer à yu- est

OO OO ^

= H + Z! f 2nW-=I M==INaturellement, cette mesure fju' jouit de la propriété suivante :

(1) U ' [x) = (x) p.p.p. sur F ,(2) Ü^'[x)^U^{x) partout dans tout Pespace .

Encore, à une mesure positive v d'énergie finie, on associe

et V. désignant les restrictions de à i2—F et à F respectivement. Puisque U' in [%) est borné sur F, /xi„ et Q'-i_n sont d'énergie finie. Par suite, on a

I Wmdv' ( = J m'^»dv')

pour toute mesure positive v d'énergie finie. Comme il en est ainsi pour on a d'ailleurs

J W-' dv = J U dv' ( = J W' dv')

pour toute masure positive v d'énergie finie et pour toute mesure positive quel­conque fjL portée par Q—F. Ensuite, à une mesure positive quelconque fx (d'­énergie finie ou non) portée par F, on associe la mesure positive portée par F obtenue de la manière suivante. Soit Tensemble (ouvert) des points tels

OOque U^[x)>n. Comme bien connu ([10], p, 81), Tensemble E — A E est de

M = Imesure nulle pour toute mesure positive dont le potentiel est borné sur tout com­pact. Comme le noyau K satisfait au second principe du maximum, E est d'­après les lemmes 3 et 4 de mesure nulle pour toute mesure positive d'énergie finie. SDient /Xi; et les restrictions de /x à En et à F - E ^ respectivement, et {j!- n la mesure associeé de sur F —En- La mesure positive

l 'n = J in + f 2n

est d’énergie finie et de masse totale uniformément borné, car on a

(1) [x) = U {%) p.p.p. sur F — En,

(2) ^ U (x) partout dans tout Pespace S? .

A partir de on peut extraire une suite partielle convergante (vaguement)

vers une mesure positive /x' portée par F. Alors, {x)} étant la suite crois santé avec i, on a

U ' {x) ^ Iim IJ^n [x) = Iim {x) ,Î oo i~ oo

régalité ayant lieu p.p.p. dans *0 d'apres le lemme 5. Cette mesure {jl' jouit des propriétés suivantes :

(1) u^'[x) = U^[x) p.p.p. sur F ,(2) (%) [x) partout dans tout Pespace Q .

Encore, étant d'énergie finie, on a

( dv = Hm f U i dv = Hm ( U i dv ^ ( W 'dv' - ( V^dv J i~*oo J î->oo J J J

pour toute mesure positive v d’énergie finie et sa mesure associée p' sur F. Enfin,à une mesure positive quelconque /a (d’énergie finie ou non), on fait associer

fi' = + /2

/Zi et //,2 étant les restrictions de /x à S2—F et k F respectivement. Le balayage d'une mesure positive sur F est ainsi achévé. Alors, si {x et /x" ensemble sont deux mesures balayées d'une mesure positive /x sur un compact F, on a

j W iv '= j U'‘" iv

pour toute mesure positive v d’énergie finie. Donc, on aÎ7 ' [x) = W ” {x)

p.p.p. dans tout Pespace Q. C.Q.F.D.R e m a r q u e 3. L ’unicité des mesures d’équilibre sur im compact ou des mesures

balayées d’une m3sure positive sur un compact n'est pas toujours assurée, comme un noyau K {x,y) = 1 la montre. On la recherchera dans le paragraphe 5.

Co r o l l a ir e . Un noyau K satisfaisant au principe d'équilibre ou du balayage est nécessairement de type positif.

4. Principes du maximum

Dans le paragraphe antérieur, on a recherché Pidentité entre le principe d’équilibre [resp. du balayage] et le premier [resp. second] principe du maximum. La détermination effective des noyaux satisfaisant au premier ou second principe du maximum est donc le problème fondamental de la théorie du potentiel. M.a,is, elle n’est pas facile. D’autre part, on pense que la relation entre le principe d’­équilibre et le principe du balayage — c’est-à-dire, la relation entre les premier

Etude sur la théorie du potentiel pris par rapport au noyau symétrique 165

et second principes du maximum — est très importante.Considérons dans le noyau d'ordre a

K{x,y) = \x~y\^-^ (0<oc^ 2).M. Riesz ([19], § 15) a construit la mesure balayée de la masse ponctuelle placée en Porigine O sur un compact quelconque F, en faisant la transformation de Lord- Kelvin à la mesure d'équilibre sur le compact distinct F\ En associant au noyau d'ordre a la famille des mesures balayées (appelée famille fondamentale) de la masse ponctuelle placée en Torigine O sur l'extérieur des sphères centrées en Torigine 0, J . Deny ([8], § 9) a démontré que le noyau d'ordre a satisfait au second principe du maximum. Ainsi, le résultat de Frostman que le noyau d'­ordre a (0< a^ 2) satisfait au principe d'équilibre, c'est-à-dire, au premier principe du maximum dans (m^S) entraîne le résultat de Riesz-Deny qu'il satisfait aussi au principe du balayage, c ’est-à-dire, au second principe du maximum dans R^{m^3). Mais, son raisonnement (l'utilisation de la transformation de Lord- Kelvin) n'est valable que dans le cas du noyau d'ordre a (0< oc<2) dans R^ (w^3).

Dans ce paragraphe, on donne un énoncé plus simple équivalent au premier ou second principe du maximum, et on en conclut que le second principe du maximum entraîne le premier principe du maximum toutes les fois qu'un noyau K est dans R^ de type K {x-y) et satisfait à une condition supplémentaire à l '­infini. On a

T h é o r è m e 6 . Pour qu'un noyau K satisfasse au premier principe du maximum dans il faut et il suffit qu’il jouisse de la propriété suivante :

[Çi] Soient f un point quelconque et X une mesure positive à support compact ne contenant pas Ç. Si on a

U^{ x) ^K{ x , ^)sur le support Sx de X, la masse totale de X est ^ l .

Démonstration. D ’abord, supposons qu'un noyau K satisfait au premier principe du maximum dans Q. Etant donnés un point quelconque Ç et une mesure positive X à support compact ne contenant pas telle que [x) ^ K (. ', Ç) sur le support 5 de une mesure d'équilibre Xo sur 5 n'est pas nulle, car

porte la mesure positive X d'énergie finie. Alors, puisque U o[x) — 1 p.p.p. sur et ^ l partout dans tout l'espace on a

J = J U^odx = j mdXa ^ U^o{^) ^ 1 .Ensuite, supposons qu’un noyau K jouisse de la propriété [Qi\. Soit /z une mesure positive à support compact telle que {x) ^ l sur le support de /z. S 'il y a un point Ç tel que (?) > L posons

b = I {p, ) , c^\^K{x,^)dv, {x)

etg{x)==cU-^^[x)-hK{x, Ç) ,

Vq étant une mesure positive (^ 0) pour laquelle

Iô6 Nobuyuki N i n o m i y a

Etude sur la théorie du potentiel pris par rapport au noyau symétrique 167

G* l v ) =- I M[SK{x , ^)dv(x)Y

est minimum parmi toutes les mesures positives v portées par Alors, on a en vertu du lemme 1*

g (x) < Osur 5^ presque partout pour Comme g {%) est semi-continue intérieurement, on a

( a?) ^O i.e. c W o { x ) ^ b K ( x , B ) sur le support de Pq- On a

Cen vertu de la propriété [ÇJ. D^autre part, g{x) étant p.p.p. sur 5 , on a

0 ^ ^ g { x ) d f , {x) = C J U'od/ ~ b ^ K ( x , Ç ) dfi {x)

= c^Wdv,~hU>^{^) < c ~ b ,

ce qui est contradictoire. Ainsi, on a(x ) ^ 1

partout dans tout Tespace û. C.Q.F.D.T h é o r è m e 7 . Pour qu\m noyau K satisfasse au second principe du maximum

dans il faut et il suffit qu'il jouisse de la propriété suivante :[Og] Soient Ç un point quelconque et X une mesure positive à support compact

ne contenant pas Ç. Si on aU ^ { x ) ^ K { x , Ç)

sur te support S de X, on a la même inégalité dans tout Vespace Sè.Démonstration. Si un noyau K satisfait au second principe du maximum

dans j?, il jouit de la propriété [Q , car K [x, Ç) est lui-même un potentiel de la masse ponctuelle placée en Inversement, supposons qu'un noyau K jouisse de la propriété [Q ], Soient /z une mesure positive à support compact d’énergie finie et v une mesure positive quelconque telle que U {x) ^ U' {x) sur le support

de /z. S’il y a un point Ç tel que (Ç) > (Ç), posons

h = I {vo) . c = \ k {x,Ç) dvo {x)et

g{x) = c W o { x ) ~ b K { x , Ç ) ,Pq étant une mesure positive 0) pour laquelle

G * { v ) ^ --------- LilfL[ !K{x , ^)dv (x)f

est minimum parmi toutes les mesures positives portées par 5 . Alors, comme on a

g{x)sur le support de Pq, on a la même inégalité dans tout Tespace ii. D'autre part, comme on a

g { x ) ^ 0

p.p.p. sur S , on a

Q ^ ' ^ g { x ) d | x ( x ) ^ c ‘ U \ d | M - b ^ K { x , ^ ) d . ^ ^ { % )

= C J iv ^ -h U' ( ! ) < C J U'' dv, - h ( Ç )= C J U-^odv - 6 J K (x , I ) d v = J g ( x ) dv (a:) ^ O .

ce qui est contradictoire. Ainsi, on a

partout dans tout Fespace Q. C.Q.F.D.Dans Tespace euclidien soit K{%) une fonction positive, continue,

symétrique et sommable dans tout voisinage de Torigine O telle que K (O) =Iim K{x)^-\-co, Considérons le potentiel

U - [ x ) ^ \ K { x ~ y ) d f . ( y )

d'une mesure positive /x pris par repport au noyau K {%). Pour les potentiels de ce type, on étudie la relation entre les premier et second principes du maximum. Remarquons que, pour les potentiels de ce type, les théorèmes 6 et 7 s'expriment sous les formes suivantes.

T h é o r è m e 6 * . Povir qu’un noyau K {%) satisfasse au premier principe du maxi­mum dans R^, il faut et il suffit qu'il jouisse de la propriété suivante :

[Ç*i] Soit X tine mesure positive à support compact ne contenant pas l'origine 0. Si on a

m ( x ) ^ K { x )sur le support S de X, la masse totale de X est ^ l .

T h é o r è m e 7 .* Pour qu'un noyau K {x) satisfasse au second principe du maximum dans R^, il faut et il suffit qu'il jouisse de la propriété suivante :

2] Soit X une mesure positive à support compact ne contenant pas l'origine 0. Si on a

U ^ { x ) ^ K [ x )sur le support S de X, on a la même inégalité dans tout l'espace R^.

Alors, on aT h é o r è m e 8 . Si un noyau K {x) satisfait au second principe du maximum

dans R^ et à la condition :J K{x)dx

p07ir tout nombre positif c, B [a, p) désignant la houle d.e rayon p centrée en le point a, il satisfait au premier principe du maximum dans R^.

Démonstration. Soit X une mesure positive à support compact ne contenant pas Torigine O telle que U [x) ^ K [x) sur le noyau 5; de X. Il s'agit de démontrer J 1. Comme le noyan K{x) satisfait au second principe du maximum, on a

168 Nobuyuki N i n o m i y a

U ^{x )^K (x )

partout dans i?”®. On a donc

J [x) dx^\^K (x) dxB{b, f) b (o, r)

pour tout nombre positif r. Comme, pour tout nombre assez grand f et la plus grande distance c de Porigine O aux points de toute boule de rayon r-c contrée en tout point de 5 est contenue dans la boule B (0, r), on a

5 m{x)dx^\dx\K(x-y)dX{y)B { 0 , r ) B { 0 , r ) Sx

= J {y) y) <ix ^ dx (y) K (x — y) dxSx B ( 0 , r ) Sx B (y, r - c )

= {\dX)-{\K{x)dx)Sx B { 0 , r - c )

par suite, on a

iComme + cx>, la condition [R ] entraîne J ix ^ 1. Ainsi, le noyau K (x) satisfait au premier principe du maximum dans R^. C.Q.F.D.

Co r o l l a ir e . S i tm noyau K {%), sommable dans tout l ’espace R^, satisfait au

second principe du maximum dans R^, i l satisfait ait premier principe du maximum

dans R^,

En effet, on a pour tout nombre positif cJ K { x ) d x l K { x ) d x

1 - B{ 0,r)________ ________J K[x)dx - lK{x)dx = I -

^ B { 0 , r - c ) Rm

Co r o l l a ir e . S i un noyau K [x), fonction décroissante de la seule distance \x\,

satisfait au second principe du maximum dans R^, i l satisfait au premier principe du

maximum dans R^.

En effet, on a pour tout nombre positif c et tout nombre assez grand r I K {x)dx J K {x) dx

B (o ) -c ) ^ ' J< Iim Fl I K ( r - c ) • mes [B (0, r) - B (0, r - c } ] ~T-.+CO K ( r - c ) . mes [B (0, r - c ) ] J

mes [S (0, y)] i- / imes [S (0, r -c ) ] r - c ) ■

5. Principe d’unicité

Dans ce paragraphe, on recherche les noyaux satisfaisant au principe d'unicité : si on a

Etude sur la théorie du potentiel pris par rapport au noyau symétrique 169

(X) == W {x)p.p.p. dans pour deux mesures quelconques /x et z/ à support compact, on a nécessairement La recherche de ce principe, simple au premier abord,est très importante dans la théorie du potentiel. Le résultat classique montre que le noyau newtonien

K (x, y) =\x — y\satisfait au principe d’uncité dans On souligne qu'il y a des démon­strations nouvelles dues à H. Delange ([6]) et A. Pfluger ([17]). Plus généralement, un résultat récent de J . Deny ([8], § 5) montre qu’un noyau K satisfait au principe d’unicité si on peut lui associer une famille fondamentale (c’est-à-dire, la famille des mesures balayées de la masse ponctuelle placée en Torigine sur les complémen­taires de tous les voisinages de l’origine). Il en résulte que le noyau d’ordre a

K [x,y) = \x-y\^-^ (0 < a ^ 2 ) satisfait au principe d’unicité dans i^^(m ^3). Mais, comme il est dificile d’­exprimer en toute généralité un critère pour les noyaux satisfaisant au principe d’unicité, on le recherche dans le cas où un noyau K satisfait au second principe du maximum et à une condition supplémentaire.

Un noyau K est dit régulier lorsque, pour tout point Ç et un voisinage quelconque V (f) de Ç, il existe une constante A (seulement dépendant de f) et une mesure positive X portée par V (Ç) d’énergie finie et de masse totale un telle que

[ x ) ^ A ^ K { x , f )

dans tout l ’espace. Lorsqu’un noyau K est régulier et symétrique, le résultat obtenu est ce qui améliore un peu le résultat de J. Deny cité dessus, car un noyau associé à une famille fondamentale satisfait au second principe du maximum. D’abord, on a besoin d’un lemme.

L e m m e 6 . Si un noyau K satisfait dans au premier ou second principe du maximum et aussi au principe d'unicitié, il satisfait au principe d'énergie dans ü.

En effet, puisque le noyau K satisfait au premier ou second principe du max­imum dans S2, il est de type positif dans On a donc

170 Nobuyuki N i n o m i y a

[ IU^ d v Ypour tout couple [jjL, v) de deux mesures positives fi et v portées par chacun de deux ensembles boréliens et disjoints E- et contenus dans un compact, comme on l’a déjà dit. Ici, soulignons que l’égalité n’a lieu jamais. S’il n’en était pas ainsi pour un certain couple (/z, v), on aurait en vertu du lemme 2

[x] = a U' (x)dans presque partout pour toute mesure positive dont le potentiel est borné sur tout compact, où a = I{fji), h = I[v) et c=lLï^^dv, Par suite, on a encore en vertu du lemme 4

( ) = a {x)

p.p.p. dans Q, ce qui est en contradiction avec le principe d’unicité. Donc, on aG {jii, p) > 1

pour tout couple {/ll, v), ce qui montre que le noyau K satisfait au principe d'­énergie dans Q.

Alors, on aT h é o r è m e 9 . Soit K un noyau régulier satisfaisant au second principe du

maximum dans Q. Pour qu'il satisfasse au principe d'unicité dans S2, il faut et il suffit qu'il jouisse de la propriété suivante :

[S] Soient un point quelconque et \ une mesure positive à support compact ne contenant pas f. Si on a

sur le support S de on aU ^ { x ) < K { x , ^ )

dans un voisinage V (|) de f.Démonstration. D’abord, supposons qu’un noyau K satisfasse au principe

d’unicité dans ü. Si K = + on aU^ { x ) < K( x , ^ )

dans un voisinage V (|) de Ç, car (x) est fini et continu en Si Z* (|, Ç) < + 00, la masse ponctuelle 8 placée en est d’énergie finie. Comme le noyau K satisfait dans au second principe du maximum (donc est de type positif) et aussi au principe d’uncité, il satisfait au principe d’énergie en vertu du lemme 6. Si on a

U ^ { x ) S K { x , B) sur le support 5^ de X, on a en vertu du théorème 2

U ^ { x ) < K { x , ^ )sur un ensemble de masse positive pour 8, c’est-à-dire, en x On a donc

{x) < K [x, Ç)dans un voisinage V { ) de Ç. Ensuite, supposons qu’un noyau K jouisse de la propriété [S]. Soient fju et p deux mesures positives à support compact telles que

{x) = (X)

p.p.p. dans JQ. Soient co un ensemble ouvert contenant les supports de / 1 et de V tel que œ soit un compact, et r une mesure positive à support œ dont le potentiel est borné sur tout compact. En chaque point f de co, prenons une suite {Dn} d’ensembles ouverts tels que

Di 3 Da 3 D3 3 ---- 3 D;, 3 ---------.On pose

désignant la mesure balayée de la masse ponctuelle placée en sur Co-D^. Alors, on a

(1) [x, Ç) ^ K [ x , f) partout dans ,(2) [x, Ç) < K{x, Ç) dans un voisinage de contenu dans ,(3) (x, f) = K{x, Ç) p.p.p. sur â>-D „ .

Etude sur la théorie du potentiel pris par rapport au noyau symétrique 171

On va démontrer qu'on a, pour tout nombre assez grand n et pour tout point arbitrairement fixé x àe œ,

(1) [x, ^ K (x, Ç) pour tout Ç ,(2) Vn{x,^) < K {x,Ç) pour tout Ç d’un certaine voisinage W{x) de

a; (réduisant vers a; avec + o o ) ,

(3) (X, Ç) pour tout d e â) — {x) .Etant donnés un nombre quelconque n et un point quelconque de œ, soient G un voisinage quelconque de et {G^} une suite de voisinages de tels que

G =) Gi 3 G, 3 • • • • IDGi 3 ---- a; .

Le noyau K étant régulier, on peut trouver une mesure positive portée par G d’énergie finie et de masse totale un telle que

(y) K (X, y)pour tout point y de Alors, on a

U ^ ( X ) = I i mi-* + oo J

pour toute mesure positive X telle que U^(x)< + oo. Prenons un point quelconque g de ô) tel qu’on ait

G . D, = Opour Tensemble ouvert Dn de la suite {D ^ réduisant vers Comme on a

U n [y) = K {y,p.p.p. dans ô>—A j, on a

(x, f) - U n (x) = Iim [u^ndoLi = Iim U 'i (Ç) == K [x, Ç) .

Encore, on peut trouver un voisinage G'(ciG) de :5c; tel qu’on aitG 'a

pour tous les ensembles ouverts des suites {D^y réduisant vers chaque point Ç de G'. Soient et les mesures balayées (d’énergie finie) des mesures pon­ctuelles et placées en et en f sur co~G' respectivement. Comme on a

U^'x[x)<K{x, x)

en vertu de la propriété [S], on a

U^'x{^)<K{x^ S)

en tout point f d’un voisinage G* (ciG) de Alors, on a en tout point de G*

K {x, ?) > (Ç) = J U'>‘d€( = J UHde, = J UH {x) ,

ce qui est encore^U^n{x) = V^(x,^)

en vertu de G'czD„. On a doncV A x , ^ ) < K { x , ^ )

en tout point Ç de G*. G étant un voisinage quelconque de x, l’ensemble W (x) des points f tels que

V , ( x ,^ ) < K { x ,^ )

172 Nobuyuki N i n o m i y a

réduit vers avec #-> + 0 0 . Alors, on a

(1) Vn (x, Ç) < K [x, Ç) pour tout Ç de Wn {%),(2) Vn {x, ^) = K {x, pour tous les autres | de cô .

Si on pose

An=\[K{x. ^ ) - V, { x , ^ ) ] dT{ ^) >Q,

les mesures positives

- ^ [ K [ x . B-Vn{x,Ç)]dr{^)

convergent (vaguement) vers la masse ponctuelle placée en On a donc, pour toute fonction positive et continue / (f) à support compact,

Etude sur la théorie du potentiel pris par rapport au noyau symétrique 173

Iim /(5)An

D'autre part, en tout point f de co (à l'exception de masse nulle pour toute mesure positive d'énergie finie), on a

J [K {X, ?) - F, [x, m i ^ {x) = (?) - j m dx„

= (?) - J = 5 [K [X, ?) - F„ (x, ?)] dv {x)Donc, on a

(?) j [ K [X. ?) - F„ [x, ?)] d^ [x)

V „ { x ,^ ) ] d v (X)

En altérant l ’ordre d'intégration, on a

[x] 5 /(?)~ Â :r

[ K [ X , ^ ) ~ V , { , ? ) ] < i r ( ? )

= '^dv(x)'i^ [ K { x , ^ ) - V n { x . ? ) H t ( ? )

f { x ) dia{x) j f{x) âv {x)

Ainsi, on aC^Q.F.D.

R e m a r q u e 4. Evidemment, l ’hypothèse qu'un noyau K satisfait au second principe du maximum dans S2 n’est pas indispensable dans la démonstration de la condition nécessaire, mais indispensable dans la démonstration de la condition suffisante. Peut-on remplacer par une hypothèse plus faible—par exemple, d’être de type positif ?

R e m a r q u e 5. Si un noyau K satisfait au principe d'unicité dans S2, la mesure d'équilibre sur tout compact (ou la mesure balayée d ’une mesure positive quelconque sur tout compact) est toujours unique. En effet, comme on l'a déjà dit, les potentiels d'équilibre sur tout compact (ou les potentiels der mesures balayées d'une mesure positive quelconque sur tout compact) coïncident deux à deux p.p.p.

dans tout Tespace S2,C o r o l l a ir e . Soit K un noyau régulier satisfaisant à la fo is aux premier et

s&cond principe du maximum dans i?. Po^lr qu’il satisfasse au principe d'unicité dans Q, il suffit que K {x,y)<K {x, x) (^ + oo) pour tout point x^y] en particulier, elle est nécessaire lorsque K {x, x) = K (y,y) (^+oo) pour tout point x ^ y .

En efïet, pour un point quelconque Ç et une mesure positive \ à support compact ne contenant pas Ç, si on a

(X) {X, I )

sur le support de X, on a J iX en vertu du théorème 7. Alors, comme on a

m { ^ ) = ^ K ( l y ) d X ( y ) < K ( t f) -\d\

on aU ^ ( x ) < K { x , I)

dans un voisinage V (Ç) de Donc, le noyau K satisfait au principe d’unicité dans û. Ensuite, supposons K (x, x) = K {y,y) pour tout point x ^ y . Comme le noyau K satisfait au premier ou second principe du maximum et aussi au principe d'unicité dans ü, il satisfait au principe d’énergie dans en vertu du lemme 6. Il en résulte

[K{x,y)]^ < K { x , x) ‘ K { y , y ) ( ^ + o o )

pour tout point x^ y. On a doncK {x, y) < K {x, x) + oo’)

pour tout point x=^y. C.Q.F.D.Dans soit K{x) une fonction positive, continue, symétrique, et sommable

dans tout voisinage de Torigine O telle que K(O) =Iim X(^)(^ + oo). Considérons le potentiel

U< ^ ( x ) =^ K { x - y ) d ^ { y )

d’une mesure positive /x pris par rapport au noyau K (x), Le noyau K (x) est régulier lorsque, pour la mesure positive X de masse totale un avec la densité uniforme dans toute boule assez petite centrée en Torigine 0, il existe une constante A telle que

m ( X) ^ A K(X) dans tout l ’espace R^, Le noyau d’ordre a

K (x,y) = (0 < a < 2 ')est régulier dans R^, car on peut poser toujours A =^mja ([10], p. 28), Plus générale­ment, It noyau K(x) est régulier dans R^ s'il existe un nombre h< m tel que

K ( x ) ^ 2 ^ • K(2_x)pour tout point d’un voisinage de Torigine O ([3], § 6). Pour les potentiels de ce type, remarquons que le théorème 9 et son corollaire s’expriment sous les formes suivantes.

T h é o r è m e 9 * . Soit K(x) un noyau régulier satisfaisant au second principe du

174 Nobuyuki Ninomîya

maximum dans R^. Pour qu'il satisfasse au principe d'unicité dans il faut et il suffit qu’il jouisse de la propriété suivante :

[S*] Pour toute mesure positive \ à support compact ne contenant pas Vorigine0, si on a

U ^ ( x ) < K { x )sur le support de X, on a

U ^ { x ) < K { x )dans un voisinage de l'origine 0.

Co r o l l a ir e . Soit K[x) un noyau régulier satisfaisant à la fo is aux premier et second principes du maximum dans R^. Pour qu’il satisfasse au principe d’uncité dans R^, il faut et il suffit que K{x) <K{0) oo) pour tout point

Co r o l l a ir e . Soit K[x) un noyau régulier décroissant de la seule distance \x\ {ou plus généralement, ayant la condition [7?] du théorème 8) et satisfaisant au second principe du maximum. Pour qu’il satisfasse au principe d ’unicité dans R^, il fau t et il suffit que K{x)<K(fd) (^+oo) pour tout point a; =4=0.

6. Potentiels pris par rapport à un noyau symétrique de signe variable

Dans les paragraphes antérieurs on étudiait quelques problèmes fondamentaux dans la théorie du potentiel pris par rapport au noyau positif et symétrique, en sortant à partir de la quantité G {fx, v) définie par tout couple (/z, v) de deux mesures positives portées par chacun de deux ensembles boréliens et disjoints. G {jbi, v) n'a pas toujours de sens pour des noyaux de signe variable. Mais, les résultats obtenus dans les paragraphes antérieures ont lieu, en modifiant un peu rénoncé, au cas où un noyau K (x,y) est une fonction continue et symétrique de signe variable dans i?, K (x,x) pouvant être Comme il est bien connu ([10],p. 61), le noyau logarithmique

K (x,y) = - log|A;-3;| satisfait au principe (restreint) d’énergie dans R'^ {m=2,3) : Soit <r une mesure de masse totale nulle à support compact, alors Tintégrale d'énergie

I (<r) ==\^\^\og^^-J^d<T{y)d<r{x) ,

lorsqu’elle existe, est toujours ^O, l ’égalité n’ayant lieu que si <r=0. Confor­mément à cet exemple, lorsqu'un noyau K est de signe variable, il est dit de type positif dans si Tintégrale d’énergie

I { a ) ^ \ \ K ( x , y ) i a { y ) d a ( x )

de toute mesure cr de masse totale nulle, lorqu’elle existe, est toujours ^0. Encore, il est dit satisfaire au principe d'énergie dans X? si l ’intégrale d’énergie /(cr) de toute mesure <r de masse totale nulle à support compact, lorsqu'elle existe, est toujours ^O et l'égalité n'a lieu qu'au cas de cr=0.

Pour tout couple (^, v) de deux mesures positives de masse totale un portées

Etude sur la théorie du potentiel pris par rapport au noyau symétriique 175

par chacun de deux ensembles boréliens et disjoints et contenus dans un compact, posons

G{ iJ i ,v )= T{ i j ) -2\^Wdv + I {v) .

Naturellement, elle a un sens seulement au cas où il y a deux mesures {jl et v telles que Z(/x), I{v) et J dv sont tous finies. On souligne que G (/z, revient à la variation de Gauss

G{v) = I {v)-2\^ dv

si on fixe une mesure fi portée par Ei. On appelle couple minimal sur E et E un couple ( y, Vq) pour lequell G (/x, v) est minimum parmi tous les couples (//., v) comme ci-dessus. Alors, on a de manière analogue au lemme 1

L e m m e T . S ’il existe un couple minimal v ) sur E et E , en posant gi [x) = tT'*- [x) - {x) , (x) = ~ g i {X)

ri = (x) (x) et g., (x) dv„ {x)

g {%) jouit des propriétés suivantes :(1) {x) [resp {x)^}^] sur E [resp. E< ] presque partout pour {resp.

(2) gi (x) ^ Vi [resp. g (x) ^ y sur E i [rosp. E \ presque partout pour toute mesure positive dont le potentiel est borné sur tout compact ; en particulier, si E i et E.2, sont les compacts, g i[x)'^ yi [resp. . 2 W ^ P-P^P' ['f'esp. E 2 ].

Ensuite, supposonsG [fji, Z) ^ O

pour tout couple (^, v) de deux mesures positives de masse totale un portées par deux ensembles boréliens et disjoints E i et E contenus dans un compact, Alors, on a de la manière analogue au lemme 2

L e m m e 2 '. Si G (/xy, Vq) = pour un couple Vq) de deux mesures positives de masse totale un portées par chacun de E i et E , on a

U o {%) = U o (x)dans Q presque partout pour toute mesure positive dont le potentiel est borné sur tout compact.

Au cas où des noyaux sont de signe variable, on pose quelques principes fon­damentaux dans la théorie du potentiel sous les formes suivantes.

P r e m i e r p r i n c i p e d u m a xim u m : Soit X une mesure positive de masse totale un à support compact. Si on a

{%) (M : une constante ^ 0)sur le support 5 de X, on a la même inégalité partout dans tout Tespace i2.

Sec o n d p r in c ip e d u m a xim u m : Soient fju une mesure positive d’énergie finie, de masse totale un et à support compact et v une mesure positive quelconque de masse totale un. Pour une constante y (^0), si on a'

[x) y

176 Nobuyuki N i n o m i y a

sur le support de fju, on a la même inégalité partout dans tout TespaceP r in c ip e d ’é q u il ib r e : Etant donné dans Q un compact F (portant des

mesures positives d'énergie finie), il existe au moins une mesure positive X de masse totale un portée par F telle que

(1) [%) = M [M : une constante ^O) p.p.p. sur F,(2) {%) ^ M partout dans tout TespaceP r i n c i p e du b a l a y a g e : Etant donné dans Q un compact F (portant des

mesures positives d'énergie finie), on peut faire associera toute mesure positive yct de masse totale un au moins une mesure positive fji', de masse totale un, portée par F telle que, pour une constante y (^0)

(1) [%) = {%) + y p.p.p. sur F ,(2) {%) ^ [%) + y partout dans tout Tespace Q,

(3) dr = \ dr pour toute mesure cr et 7 de masse totale nulle,

T é ta n t d 'én erg ie finie.

P r in c ip e d ' u n ic it é : Si on a

U^(X) = {%)p.p.p. dans pour deux mesures quelconques /x et de masse totale un à support compact, on a nécessairement

Alors, en s'appuyant sur les lemmes 1' et 2', on aT h é o r è m e r . Pour qu'un noyau K soit de type positif dans il faut et il

suffit qu'il jouisse de la propriété suivante :[Pi'] Soient jx et v des mesures d'énergie finie, de masse totale un et à support

compact.Pour une constante y (^0), si on a

{x) ^ U'' {x) + ysur le support de jm, on a 1% même inégalité au moins en un point du support Sy de V,

T h é o r è m e 2 '. .Pour qu’un noyau K satisfasse au principe d’énergie dans il fau t et il suffit qu’il jouisse de la propriété suivante :

[Pa'] Soient yu et v des mesures positives différentes {jjb' v) d’énergie finie, de masse totale un à support compact.

Pour une constante y (^0), si on aU ^ ( X ) S W ( x ) + y

sur le support S de fi, on aU^{x)< (x) + y

sur un ensemble de masse positive pour v.T h é o r è m e 3 ' . (le m êm e énoncé que le th éo rèm e 3)

T h é o r è m e 4 ' . ( " " " 4)

T h é o r è m e 5 '. ( " " " 5)

C o r o l l a ir e . Vn noyau K satisfaisant au principe d'équilibre ou du balayage est nécessairement de type positif dans Q;.

Etude sur la théorie du potentiel pris par rapport au noyau Sywetriique 177

Théorèm e 6'. Pour qu'un noyau K satisfasse au premier principe dit maximum dans Ü, il faut et il suffit qu'il jouisse de la propriété suivante :

[Qi] Soient Ç îin point quelconque et X une mesure positive de masse totale un à support compact ne contenant pas

Pour une constante y, si on aU ^ [ x ) ^ K [ x , Ç) + 7

sur le support de X, on a nécessairement y^O.Théorèm e 7'. Pour qu'un noyau K satisfasse au second principe du maximum

dans il faut et il suffit qu’il jouisse de la propriété suivante :[Q2 ] Soient Ç un point quelconque et X une mesure positive de masse totale un

à support compact ne contenant pas Ç.Pour une constante y, si on a

{x) (x, Ç) + y sur te support S de X, on a la même inégalité dans tout Vespace Q.

Théorèm e 9'. Soit K un noyait régulier satisfaisant au second principe du maximum dans S2. Pour qu'il satisfasse au principe d'unicité dans il faut et il suffit qu'il jouisse de la propriété suivante :

[S'] Soient un point quelconque et X une mesure positive de masse totale un à support compact ne contenant pas

Pour une constante y, si on am { x ) ^ K { x , S ) + y

sur le support S de X, on aU ^ x ) < K [ x , ^ ) + y

dans un voisinage V (Ç) de f .On abrège les démonstration de ces théorèmes, car elles sont analogues aux

démonstrations des théorèmes correspondants dans les paragraphes antérieurs. On n'a pas d'énoncé analogue au théorème 8. Mais, il est facile de démontrer que, le potentiel du type

U > ^ { x ) ^ \ K { x - y ) d i . { y )

pris par rapport au noyau symétrique K{;x) sommable dans tout Tespace 1),le second principe du maximum entraîne le premier principe du maximum. En effet, soit X une mesure positive de masse totale un à support compact ne contenant pas Torigine O telle que, pour une constante y, on ait

U ^ { x ) S K { x ) + y sur le support S de X. Alors ,on a

j U^dx-^^K dx + y ' mes. [B (0, r)]B {0,1) b ( 0 ,t)

i.e.

178 Nobuyiiki N i n o m i y a

Etude sur la théorie du potentiel fr is par rapport au noyau symêtriique

= mes. [B (0, r)] \ K { x ) d x + YB (0, r)

Comme + K {%) étant sommable dans tout Tespace R^, on a y ^ 0.Enfin, soulignons que les théorèmes 6' et 1' entraînent facilement les résultats

bien connus que le noyau logarithmiqueK[ x,y) = - \og\x- y\

satisfait aux premier et second principes du maximum tous deux dans R .

Biblioéraphies

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