Etude Texturale Et Fractale Des Echos Radar

République Algérienne Démocratique et Populaire

Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique

Université des Sciences et de la Technologie Houari BOUMEDIENE

FACULTE DE GENIE ELECTRIQUE

DEPARTEMENT TELECOMMUNICATION

Mémoire du projet de fin d’études

Pour l’obtention du diplôme

d’ingénieur d’état en électronique

Option : Télécommunication

SUJET :

ETUDE TEXTURALE ET FRACTALE DES ECHOS RADAR :

APPLICATION AUX SITES DE SETIF ET BORDEAUX

Thème proposé par : Mr. Haddad Etudié par :

Encadré par : Mr. Haddad MELLOUK Assia

Soutenu le :

Devant le jury composé de :

Président,

Examinateur,

PROMOTION : 2001 - 2002

Sommaire

INTRODUCTION GENERALE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

CHAPITRE I : RADARS ET ANOMALIES D E PROPAGATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1 INTRODUCTION ............................................................................................................ 3

1.2 LE RADAR METEOROLOGIQUE ................................................................................... 3

1.2.1 Principe ............................................................................................................. 4

1.2.1.1 Radar non cohérent ............................................................................... 4

1.2.1.2 Radar cohérent ...................................................................................... 6

1.2.2 Emplacement du Radar ................................................................................... 7

1.2.2.1 Angle de tir du radar ............................................................................. 7

1.2.2.2 Choix du site .......................................................................................... 7

1.2.3 Visualisation des données ................................................................................ 8

1.3 LES ANOMALIES DE PROPAGATION DANS LA BASSE ATMOSPHERE .......................... 8

1.3.1 Indice de Réfraction ......................................................................................... 8

1.3.2 Les modèles de la terre fictive ......................................................................... 9

1.3.3 Types de Réfraction ....................................................................................... 10

1.4 TYPES DE PRECIPITATIONS ........................................................................................ 11

1.4.1 Les précipitations convectives ....................................................................... 11

1.4.2 Les précipitations orographiques ................................................................. 11

1.4.3 Les précipitations frontales ........................................................................... 12

1.5 MESURES DES PRECIPITATIONS ................................................................................. 12

1.5.1 Le pluviomètre ............................................................................................... 12

1.5.2 Le pluviographe ............................................................................................. 12

1.6 REGIME DES PRECIPITATIONS ................................................................................... 12

1.7 CONCLUSION .............................................................................................................. 13

CHAPITRE II : CARACTERISTIQUES DES ECHOS DU SOL ET TECH NIQUES

DE LEUR ELIMINATION . . . . . . …………………………………....14

2.1 INTRODUCTION .......................................................................................................... 14

2.2 EQUATION DU RADAR ................................................................................................ 15

2.3 FACTEUR DE REFLECTIVITE...................................................................................... 15

2.4 CARACTERISTIQUES DES ECHOS RADAR ................................................................... 15

2.4.1 Pouvoir réflecteur des échos radar ............................................................... 15

2.4.1.1 Echos du sol ......................................................................................... 16

2.4.1.2 Echos de mer ....................................................................................... 16

2.4.2 Détection des échos radar .............................................................................. 17

2.5 TECHNIQUES D’ELIMINATIONS DES ECHOS RADAR ................................................... 18

2.5.1 Filtrage Doppler .............................................................................................. 18

2.5.2 Circuits MTI (Moving Target Indicator) ...................................................... 19

2.5.3 Filtrage par Polarisation ................................................................................ 20

2.5.4 Filtrage en Peigne ........................................................................................... 20

2.5.5 Les Approches Statistiques ............................................................................ 21

CHAPITRE III : ETUDE DE LA TEXTURE PAR L ’APPROCHE STATISTISTIQUE ....23

3.1 GÉNÉRALITÉS........................................................................................................23

3.2 DÉFINITION DE LA TEXTURE ..................................................................................23

3.3 ANALYSE DE LA TEXTURE......................................................................................24

3.3.1 L’approche structurale ...............................................................................24

3.3.2 L’approche statistique ................................................................................24

3.4 LA MÉTHODE DES HISTOGRAMMES........................................................................25

3.5 LA MÉTHODE DES MATRICES DE COOCCURRENCES DE NIVEAUX DE GRIS

(GLCM) ................................................................................................................26

3.5.1 Définition.....................................................................................................26

3.5.2 Formalisme mathématique .........................................................................26

3.5.2.1 Matrices directionnelles et moyennes ................................................26

3.5.3 Paramètres texturaux .................................................................................28

3.6 LA MÉTHODE D’UNSER (SADH)...............................................................................31

3.6.1 principe........................................................................................................32

3.6.2 Paramétres ..................................................................................................32

3.7 DOMAINES D’ÉTUDE ..............................................................................................34

3.7.1 Site de Setif ..................................................................................................34

3.7.1.1 Chaîne SANAGA ...............................................................................34

3.7.2 Site de Bordeaux .........................................................................................35

3.8 FACTEUR DE RÉFLÉCTIVITÉ ET TAUX DE PRÉCIPITATION ......................................36

3.9 TRAITEMENT DES IMAGES RADAR .........................................................................37

3.9.1 principe de la méthode................................................................................37

3.9.2 Structure physique des échos du sol et des échos de précipitations ..........38

3.9.2.1 Méthode d’histogrammes ..................................................................39

3.9.2.2 Méthode des matrices de cooccurrences............................................39

3.9.2.3 Méthode d’Unser ..............................................................................40

3.9.3 Organigrammes ..........................................................................................42

3.10 APPLICATION ......................................................................................................45

3.10.1 Méthode des Histogrammes......................................................................45

a) Critère d’identification..............................................................................45

b) Résultats du filtrage..................................................................................46

c) Facteur de réflectivité et taux de précipitations .........................................48

d) Discussion................................................................................................48

3.10.2 Méthode des Matrices de cooccurrences (MCNG) ..................................49

3.10.2.1 La méthode des matrices de niveaux de gris ................................49




d) Discussion................................................................................................56

3.10.3 Méthode d’Unser (SADH) ........................................................................57




d) Discussion................................................................................................68

3.11 COMPARAISON ....................................................................................................68

3.9 TRAITEMENT DES IMAGES RADAR .........................................................................37

3.9.1 principe de la méthode................................................................................37

3.9.2 Structure physique des échos du sol et des échos de précipitations ..........38

3.9.2.1 Méthode d’histogrammes ..................................................................39

3.9.2.2 Méthode des matrices de cooccurrences............................................39

3.9.2.3 Méthode d’Unser ..............................................................................40

3.9.3 Organigrammes ..........................................................................................42

3.10 APPLICATION ......................................................................................................45

3.10.1 Méthode des Histogrammes......................................................................45




d) Discussion................................................................................................48

3.10.2 Méthode des Matrices de cooccurrences (MCNG) ..................................49

3.10.2.1 La méthode des matrices de niveaux de gris ................................49




d) Discussion................................................................................................56

3.10.3 Méthode d’Unser (SADH) ........................................................................57




d) Discussion................................................................................................68

3.11 COMPARAISON ....................................................................................................68

CONCLUSION GÉNÉRALE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

CHAPITRE IV : ETUDE DE LA THÉORIE DES FRACTALES ......................................70

4.1 INTRODUCTION......................................................................................................70

4.2 HISTORIQUE DE LA THEORIE DES FRACTALES .......................................................70

4.3 LA DEFINITION D’UN ENSEMBLE FRACTAL ............................................................71

4.3.1 Les Dimensions fractales.............................................................................71

4.3.1.2 L’approche Aire\Périmétre ...............................................................72

4.3.1.2 La dimension de Minkowski-Bouligand .............................................72

4.4 PRINCIPE DE LA MÉTHODE ....................................................................................74

4.4.1 Organigramme ............................................................................................75

4.4.2 Résultats et interprétation ..........................................................................78

4.4.1.2 La dimension fractale aire/périmètre ................................................78

a) les pluies convectives.....................................................................79

4.4.1.3 La dimension fractale box-counting ..................................................80

4.4.3 filtrage des images radar par la dimension fractale ..................................81

4.5 CONCLUSION .........................................................................................................81

Introduction générale 1

Introduction générale

L’étude du cycle de l’eau ou de sa gestion a depuis toujours suscité un intérêt capital

chez l’homme. Les questions d’évaluation des ressources en eau, c’est à dire celles liées

principalement aux précipitations demeurent toujours posées malgré les avancées

considérables enregistrées en hydrologie.

Le réchauffement de la planète, la sécheresse qui commence à menacer sérieusement

tout le continent africain et les inondations fréquentes enregistrées en Amérique et en Asie

sont des dangers qui ne peuvent pas être écartés que grâce à une gestion rationnelle et très

précise des sources de renouvellement de l’eau. Le pluviomètre est l’instrument le plus utilisé

dans les stations météorologiques pour mesurer le taux de précipitations. L’inconvénient de

cet appareil est que la mesure n’est valable qu’au point ou elle a été effectuée. Alors l’étude

de la distribution des précipitations sur une grande étendue utilisant ce type d’instrument

nécessite des moyens matériels et financiers considérables. De nos jours, le radar

météorologique est le moyen d’observation et d’estimation des précipitations le plus utilisé de

par le monde. En effet, il présente l’aptitude unique d’assumer une couverture continue dans

l’espace et dans le temps de la structure des précipitations. En plus, il nous renseigne sur leurs

intensités. En Algérie , un réseau de sept radars couvre tout le nord du pays. Les images radar

comportent divers échos. Ce sont principalement :

- Ceux provenant des nuages et des précipitations.

- Ceux causés par la surface terrestre.

Ces derniers gênent considérablement la détection des échos météorologiques et sont

considérés comme des échos parasites. En effet, ils réduisent les performances du radar en

induisant des erreurs dans l’estimation des précipitations. L’objectif de ce travail est

l’élimination des échos du sol des images radar afin de ne recueillir que les échos de

précipitations. Pour se faire, nous allons étudier deux techniques différentes, la première

basée sur l’approche statistique de la texture des images radars, et la seconde basée sur le

calcul de la dimension fractale des échos de précipitations et des échos du sol. Compte tenu

de ces objectifs, ce mémoire sera organisé en quatre chapitres .

- Dans une première étape, nous allons procéder à la description de la physique de

l’atmosphère et rappeler le fonctionnement du radar.

Introduction générale 2

- Dans une seconde étape, nous présentons les techniques d’élimination des échos du

sol les plus couramment utilisées.

- Dans le troisième chapitre, nous proposons de développer trois méthodes d’analyse

texturale à savoir, la méthode des histogrammes, la méthode des matrice des cooccurrences, et

la méthode d’unser, et ceci pour deux sites de climats différents : l’un situé à setif (Algérie) et

l’autre à bordeaux (France).

- La dernière partie est consacré à l’analyse fractale des images radars par le calcul

de la dimension fractale des échos de précipitations et des échos du sol, et ceci pour les deux

différents sites cités précédemment.

Chapitre I : radars et anomalies de propagation. 3

CHAPITRE I

Radars et anomalies de propagation

1.1. INTRODUCTION.

L’atmosphère est un milieu très complexe à cause de sa structure et les différents

échanges qui s’y produisent. Le paramètre physique qui nous permet de le caractériser

convenablement est l’indice de réfraction. Cependant ce dernier présente plusieurs

fluctuations plus au moins importantes selon les conditions atmosphériques. Avec la mise au

point du radar, des recherches plus détaillées sur la structure atmosphériques devinrent alors

possibles [Friend, 1940-1949] et répondirent à diverses questions encore mal élucidées. En

effet, le radar présente l’avantage de collecter avec souplesse, efficacité et rapidité des

quantités considérables de données sur la structure tridimensionnelles de l’atmosphère

permettant ainsi une bonne description des phénomènes atmosphériques et une étude plus

approfondie de l’influence de l’atmosphère sur la propagation des ondes hertziennes.

Dans le cas de radar météorologique, les images comportent divers échos. Ces échos

sont principalement dus aux précipitations, mais ils sont le plus souvent accompagnés d’échos

du sol. Le caractère mystérieux de ces derniers, leurs valurent le nom, par ironie «échos

fantôme » ou «ange radar ». Des recherches plus détaillées ont permis assez rapidement de

conclure que deux causes principales étaient à l’origine de ces échos fantôme. Ils sont causés

essentiellement par des gradients très forts de l’indice de réfraction de l’air associés à de la

turbulence ou par des oiseaux et surtout des insectes, dont la répartition dans l’air est

fortement influencée par la structure thermodynamique des basses couches

atmosphériques.(voir annexe 1)

1.2. LE RADAR METEOROLOGIQUE.

Le radar est un système électromagnétique de détection et de localisation des objets. Il

fonctionne en émettant une onde de forme particulière, et en détectant l’écho de cette onde

provenant du volume rétro-diffusant. Il fournit des renseignements quantitatifs et qualitatifs,

sur les propriétés du milieu diffusant avec une très bonne résolution spatio-temporelle.

L’ensemble des signaux provenant des différents points de l’espace permet de préciser les

contours des cibles et, à l’intérieur de celle-ci, leur structure à petite et moyenne échelle, leur

évolution, leur mouvement, ainsi que d’autres renseignements dont l’interprétation fait appel

à l’expérience de l’analyste. Du point de vue hydrologique, le radar apporte une information

précieuse pour la détermination de la précipitation. La connaissance de la distribution des

échos radar (structures horizontale et verticale) est un indicateur très important pour l’étude

des différents types d’organisation des systèmes convectifs précipitants.


1.2.1. Principe.

Le radar conventionnel émet dans l’atmosphère, à intervalles de temps égaux, des

impulsions d’énergie électromagnétique puissantes très brèves et de fréquence élevée. Cette

énergie est alors concentrée en un faisceau de faible ouverture par une antenne directive. Les

cibles (obstacles) de toutes natures, présentes dans le faisceau, interceptent une partie de

l’énergie incidente qu’elles absorbent et rayonnent à nouveau dans diverses directions. La

fraction renvoyée vers le radar constitue le signal utile. En première approximation, on peut

admettre que, sur des distances n’excédant pas quelques centaines de kilomètres, les ondes

électromagnétiques utilisées se propagent en ligne droite et à vitesse constante (c 3 108

ms-1

)

L’orientation de l’antenne et le temps écoulé entre l’émission de l’impulsion et la réception

du signal permet de localiser la région diffusante, en direction et en distance (fig. 1.1).

Fig. 1. 1 - Diagramme distance-temps pour des signaux émis par un radar et

Rétro-diffusés par un nuage.

La partie gauche du schéma représente dans un plan vertical le faisceau d’onde

électromagnétique (F) issu d’un radar situé à l’origine O et interceptant un nuage (cible) entre

les distances radiales r1 et r2. Le diagramme de droite est une représentation de la distance en

fonction du temps pour les signaux émis par le radar et ceux diffusés par le nuage entre deux

impulsions successives. , h et fr représentent respectivement, la durée, la longueur et la

fréquence de récurrence des impulsions. [Sauvageot, 1992].

1.2.1.1. Radar non cohérent.

Le schéma bloc du radar non cohérent est donné par la figure 1.2. Ce radar travaille

généralement à des fréquences qui sont comprises entre 3 et 35 Ghz. L’oscillateur est un tube

à onde progressive ou un magnétron, modulé par un modulateur AM . Ce dernier détermine la

fréquence de répétition des impulsions fr (ou PRF = Pulse Répétition Frequency) ainsi que

leur durée (ou «largeur» temporelle). L’impulsion émise est alors composée d’un train

périodique d’ondes à très hautes fréquences, soient quelques milliers d’oscillations de

fréquence f0. En pratique, la durée est comprise entre une fraction de microsecondes et

quelques microsecondes. La période de répétition Tr est d’environ 1 ms à quelques dizaines

de ms. La puissance crête fournie par le radar à l’émission, est de quelques centaines de


kilowatts. Un duplexeur permet d’utiliser alternativement la même antenne à l’émission et à la

réception. En outre, le duplexeur est conçu de façon à protéger le récepteur durant l’émission.

Pour une cible ponctuelle située dans le faisceau, la tension instantanée du signal diffusé

reçu par le radar s’écrit :

e(t) = E0 cos[ 0t + (t)] (1-1)

Le signal reçu qui est pulsé à la fréquence fr., est mélangé par hétérodynage avec l’onde

entretenue d’un oscillateur local hyperfréquence de faible puissance. La fréquence de l’onde

locale présente un décalage constant fc = c/2 avec la fréquence f0 de l’émetteur à laquelle

elle est asservie par la commande automatique de fréquence. L‘onde locale est de la forme,

k cos ( 0 - c) t. Le mélangeur opère une multiplication des deux signaux, de sorte que l’on

obtient en sortie un signal de la forme : um (t)= U0 cos[ 0t + (t)]. cos( Lt), ou bien :

um = (U0 / 2) cos[( 0 - L)t + (t)] + (U0 / 2) cos[( 0 + L)t + (t)] (1-2)

avec : L = 0 - c

Ce signal est ensuite filtré et amplifié par l’étage de fréquence intermédiaire (FI) qui est

un amplificateur sélectif accordé à la fréquence fI. Le signal transmis est alors du type :

v (t) =V0 cos[ I + (t)], ou I = | 0 - L| et fI = I /2 = fréquence intermédiaire.

La fréquence intermédiaire d’un radar non cohérent se situe entre 35 et 60 MHz. Ce qui

explique l’intérêt de l’utilisation de la fréquence intermédiaire dans le fait que le signal radar

est transmis à plus basse fréquence et que pour ce faire, il suffit d’employer des circuits

électroniques ordinaires. A la sortie de l’étage d’amplification FI, se trouve un démodulateur

AM qui permet de détecter l’écho radar. Le signal ainsi démodulé, est transmis à

l’amplificateur vidéo fréquence, puis au système d’acquisition, de traitement et visualisation

du signal radar [Sauvageot, 1992].

Fig. 1. 2 - Schéma bloc d’un radar non cohérent à impulsions.


1.2.1.2. Radar cohérent.

En réalité, les cibles atmosphériques ne sont généralement pas immobiles.

Considérons une cible supposée ponctuelle, se trouvant à une distance r, et se déplaçant à une

vitesse radiale vr. Après rétro-diffusion par la cible, la phase du signal reçu par l’antenne radar

est :

r(t)= λ

r(t).π4 (1-3)

où: est la longueur d’onde à laquelle travaille le radar.

La variation de phase qui en résulte, vaut :

rvλ

4π

dt

dr.

λ

4

dt

d (1-4)

Ce qui explique l’effet Doppler de fréquence :

λ

v2

dt

d

2π

1

df r (1-5)

Le paramètre fd est la fréquence Doppler. Elle est négative lorsque la cible s’éloigne du

radar (vr > 0) et positive dans le cas contraire. La formule (1-5) est une approximation valable

pour le mouvement des cibles atmosphériques.

En plus des mesures de distance, de position et d’intensité des échos radar, le radar

cohérent permet de détecter l’effet Doppler lié au déplacement d’une cible et de déterminer la

vitesse radiale de celle-ci. On peut voir clairement dans le schéma de la figure 1.3, qu’il est de

configuration plus complexe que le radar non cohérent. Ainsi, son récepteur est conçu de

façon qu’on puisse connaître à sa sortie, à la fois l’amplitude et la phase du signal rétro-

diffusé. Cela explique l’utilisation d’un oscillateur local très stable, appelé stalo (stable

oscillator), et travaillant à très hautes fréquences qui fournit un signal de fréquence f0. Ce

dernier est mélangé avec un signal également très stable, provenant d’un oscillateur cohérent,

appelé coho (cohérent oscillator). Cet oscillateur étant pris comme référence, la fréquence du

signal délivré par celui-ci est également à la fréquence intermédiaire fc. Le signal résultant de

fréquence f0+fc détermine, après amplification, les caractéristiques de l’onde émise par un

tube amplificateur (type klystron). Le signal reçu est mélangé avec l’onde du stalo pour

produire une onde de fréquence intermédiaire ayant les caractéristiques de phase du signal

rétro-diffusé. Aussi celui-ci est comparé au signal FI au niveau de deux modulateurs

équilibrés jouant le rôle de détecteur de phase. Notons qu’au préalable, les deux signaux ont

subi une division de fréquence et sur l’une des deux voies, la phase du signal issue du coho, a

été avancée de /2 avant comparaison. Les signaux obtenus respectivement aux deux sorties

du récepteur sont alors de la forme : v1 (t) =V0 cos(2 fd t) et v2 (t) = V0 sin(2 fd t).

On en déduit l’amplitude du signal rétro-diffusé en faisant : V0 = [v12+v2

2]1/2

et la phase

contenant la fréquence Doppler en écrivant que : (t) = Arctg (v2 / v1). En pratique, la mesure

de l’amplitude et celle de la phase du signal rétro-diffusé peut se faire à l’oscilloscope en

utilisant la méthode de Lissajous ou tout autre technique de mesure de ces deux paramètres.


Fig. 1. 3 - Schéma-bloc d’un Radar cohérent à impulsion.

1.2.2. Emplacement du Radar.

1.2.2.1. Angle de tir du radar.

Pour un fonctionnement idéal du radar, une exploitation adéquate de celui-ci s’impose.

Cette exploitation est liée à son angle de tir. En effet, si l’antenne radar est pointée vers le sol,

on obtient un signal très fort. Lorsque le radar travaille sous incidence rasante, une bonne

partie de son faisceau rencontre des cibles atmosphérique et le reste du rayonnement

intercepte le sol et produit un signal de retour non négligeable. Si l’antenne est trop élevée

vers le ciel, le radar risque de ne pas déceler les zones de précipitations et les nuages qui

apparaissent au-delà de l’horizon, car la distance séparant ces précipitations du radar est très

grande.

1.2.2.2. Choix du site.

L’emplacement du radar, est très important et nécessaire afin de réduire l’influence des

échos du sol. En d’autre terme, l’emplacement le plus convenable pour un radar

météorologique est le centre d’une plaine ou le sommet d’une montagne, réduisant ainsi

considérablement le nombre d’obstacles. Cependant, des contraintes liées à l’urbanisation

d’une région donnée et à la nature des terrains, ne permettent toujours pas de choisir l’endroit


idéal pour installer un radar. D’où, il est impératif de trouver d’autres moyens pour supprimer

le clutter de sol.

1.2.3. Visualisation des données.

La visualisation du signal radar peut se faire selon trois modes qui sont :

La représentation PPI (Plan Position Indicator). Elle correspond à un balayage azimutal de

l’antenne à site constant. L’origine est habituellement le centre de l’écran. La position des

cibles est donc représentée en coordonnées polaires.

La représentation RHI (Range Height Indicator). Il s’agit d’un balayage à azimut constant

et site variable. L’origine des coordonnées est déplacée vers le bord de l’écran. La

position des cibles est aussi donnée en coordonnées polaires.

La représentation HTI (Height Time Indicator). Elle traduit l’intensité du signal et de son

écho en fonction du temps.

1.3. LES ANOMALIES DE PROPAGATION DANS LA BASSE ATMOSPHERE.

Les anomalies de propagation, se développent fréquemment au-dessus des régions

côtières et de la mer. Elles sont dues à de fortes variations de l’indice de réfraction

atmosphériques qui ont pour effet de courber la trajectoire des ondes électromagnétiques,

provoquant ainsi, soit une transmission guidée s’étalant au-delà de l’horizon sur des longues

distances [Haddad, 1990], soit l’apparition d’échos anormaux dans les images radar (clutter).

1.3.1. Indice de Réfraction.

Afin de caractériser la transparence de l’atmosphère, on doit mesurer l’indice de

réfraction de l’air ; ce paramètre joue un rôle très important pour l’explication des différents

types de propagation des ondes électromagnétiques dans l’atmosphère. Dans le cas général, il

est donné par l’expression:

µrr

n (1-6)

où : r et µr désignent respectivement les constantes diélectrique et magnétique du

milieu considéré, Pour l’air, le paramètre µr vaut 1.

Les variations de l’indice de réfraction sont plus importantes selon la verticale que

l’horizontal. Au-dessus d’une vaste étendue maritime, la basse atmosphère peut être

considérée comme uniformément stratifiée c’est à dire que l’indice de réfraction ne dépend

que de la coordonnée d’altitude z.

Trois cas de variations de l’indice de réfraction apparaissent :

1)- nk = nk+1 = cste : (fig.1.4.a)

La trajectoire des ondes électromagnétiques est rectiligne, elle ne subit pas de réfraction.

Pour les deux autres cas, on suppose que chacune de ces couches a un indice constant et

que l’indice de réfraction varie quand on passe d’une couche à une autre . D’après la loi de

réfraction (loi de snell-descartes) :


nk sin ik = nk+1 sin ik+1 (1-7)

2)- nk > nk+1 ik<ik+1 : (fig.1.4.b)

D’après l’équation (1-7), les rayons électromagnétiques se courbent graduellement vers le

sol.

3)- nk< nk+1 ik>ik+1 : (fig.1.4.c)

Lorsque l’indice de réfraction croit avec l’altitude, les rayons s’incurvent vers le ciel.

D’après le C.C.I.R (Conseil Consultatif International de la Radioélectricité), le co-indice

de Réfraction N de l’air est donné par [Boithias,1983].

N = (n – 1)106 =

T

e4810p

T

677, (1-8)

où : p désigne la pression atmosphérique exprimée en mbar, e la pression de la vapeur en

mbar et T la température en degré Kelvin.

Fig. 1. 4 - Trajectoire des ondes électromagnétiques dans l’atmosphère

1.3.2. Les modèles de la terre fictive.

Pour certains problèmes relatifs à la propagation des ondes électromagnétiques dans

l’atmosphère, il est plus commode de raisonner en termes de terre fictive. Considérons pour

cela, une terre fictive de rayon (R’) surmontée d’une atmosphère d’indice (n’).

L’équivalence Terre réelle - Terre fictive est obtenue lorsque la courbe relative des

rayons électromagnétique est conservée. Ceci se traduit par [Boithias, 1983] :

0R

1

dz

dn

R'

1

dz

dn'. (1–9)

où : R0 est le rayon de la Terre réelle, n et R désignent respectivement l’indice de réfraction

atmosphérique et le rayon de la Terre réelle.

Deux cas particuliers de Terre fictive sont couramment utilisé en pratique. Ce sont :

1. Une Terre de rayon R’ entourée d’une atmosphère homogène (n’= cste). Ce modèle est

surtout utilisé pour des liaisons hertziennes point à point.

2. Pour une Terre plane (R’ ) surmontée d’une atmosphère d’indice n’, l’expression

(1-9) devient :

(a) L’indice de réfraction est

constant avec l’altitude

(b) L’indice de réfraction

décroît avec l’altitude

(c) L’indice de réfraction

croit avec l’altitude

nk

n1

n2 n2

n1 n1

n2

nk nk

i1 i1 i1

i2 i2 i2


0R

1

dz

dn

dz

dm. (1-10)

Après intégration, on trouve que :

0R

zn(z)m(z) . (1–11)

La quantité m, est par définition, l’indice de réfraction modifié. Pour mieux apprécier

les variations de (m), on utilise le co-indice de réfraction modifiée (M) qui s’écrit :

M = (m-1)106. (1–12)

1.3.3. Types de Réfraction.

Le tableau.1.1. résume les différents types de réfraction atmosphérique que l’on peut

rencontrer en fonction de la valeur du gradient d’indice g = dN/dz exprimées en (N/km).

Gradient d’indice dzdN Types de réfraction

dzdN >0 Infra-réfraction

dzdN =-39 Atmosphère standard

-157dzdN 0 Supra-réfraction

dzdN <-157 Guidage atmosphérique

Tableau. 1.1 - Types de réfraction atmosphérique.

L’Infra-réfraction correspond à des gradients d’indice positifs, les rayons hertziens

s’incurvent vers le haut dans ce cas. Plus le gradient d’indice croit, plus les rayons hertziens

s’éloignent de la Terre. En particulier, quand dN/dZ =0, les trajectoires sont rectilignes.

La Supra-réfraction se traduit par des trajectoires incurvées vers le sol Quand dN/dz est

inférieures à –157 N/km, les trajectoires des ondes électromagnétiques sont plus courbées que

la surface terrestre. Les ondes sont alors piégées dans un conduit de guidage semblable au

guide métallique. Les rayons peuvent subir plusieurs réflexions successives entre les limites

supérieures et inférieures du guide. Dans ces conditions, les ondes peuvent atteindre une

portée qui dépasse de loin la zone radioélectrique de visibilité directe (fig. 1.5)


Fig. 1. 5 - Les différentes conditions de réfractions dans l’atmosphère.

1.4. TYPES DE PRECIPITATIONS.

Il existe différents types de précipitations : les précipitations convectives, les

précipitations orographiques et les précipitations frontales (fig. 1.6).

Fig. 1. 6 - Principaux types de précipitations : convectives, orographiques et frontales.

1.4.1. Les précipitations convectives.

Elles résultent d’une ascension rapide des masses d’air dans l’atmosphère. Elles sont en

général de courte durée (moins d’une heure), de forte intensité et de faible extension spatiale.

1.4.2. Les précipitations orographiques.

Comme son nom l’indique (du grec oros, montagne), ces précipitations sont liées à la

présence d’une barrière topographique particulière et ne sont pas, par conséquent,

spatialement mobiles. Les caractéristiques des précipitations orographiques dépendent de

l’altitude, de la pente et de son orientation, mais aussi de la distance séparant l’origine de la


masse d’air chaud du lieu de soulèvement. En général, elles présentent une intensité et une

fréquence assez régulières.

1.4.3. Les précipitations frontales.

Elles sont considérées aussi de type cyclonique. Elles sont associées aux surfaces de

contact entre les masses d’air de température, de gradient thermique vertical, d’humidité et de

vitesse de déplacement différent, que l’on nomme fronts. Les fronts froids créent des

précipitations brèves, peu étendues et intenses. Les fronts chauds génèrent des précipitations

longues, étendues, mais peu intense.

1.5. MESURES DES PRECIPITATIONS.

Comme les précipitations varient selon différents facteurs (déplacement de la

perturbation, lieu de l’averse, etc.), leur mesure est relativement compliquée. Quelle que soit

la forme de la précipitation, liquide ou solide, on mesure la quantité d’eau tombée durant un

certain laps de temps. On l’exprime généralement en hauteur de précipitation ou lame d’eau

précipitée par unité de surface horizontale (mm). On définit aussi son intensité (mm/h) comme

la hauteur d’eau précipitée par unité de temps.

Les deux appareils fondamentaux permettant la mesure des précipitations sont :

1.5.1. Le pluviomètre :

Il est considéré comme l’instrument de base de la mesure des précipitations liquides ou

solides. Il indique la quantité d’eau totale précipitée et recueillie à l’intérieur d’une surface

calibrée dans un intervalle de temps séparant deux relevés.

1.5.2. Le pluviographe :

Cet instrument capte la précipitation de la même manière que le pluviomètre mais avec

un dispositif permettant de connaître, outre la hauteur d’eau totale, leur répartition dans le

temps, autrement dit les intensités.

1.6. REGIME DES PRECIPITATIONS.

Pour identifier et classer les diverses régions pluviométriques du globe, on a

habituellement recours aux précipitations moyennes mensuelles ou annuelles (évaluées sur

une longue période) et à leurs variations. Une classification pluviométrique générale basée sur

les données annuelles est fournie par le tableau. 1.2.


Nom Caractéristiques

Régime équatorial humide - plus de 200 cm de précipitations annuelles moyennes à

l’intérieur des continents et sur les côtes.

- région typique de ce régime : bassin de l’Amazone.

Régime subtropical humide en

Amérique

- entre 100 et 150 cm de précipitation annuelle moyenne à

l’intérieur des continents et sur les côtes.

- région typique de ce régime : pointe sud-est de

l’Amérique du Nord.

Régime subtropical sec - moins de 25 cm de précipitation annuelle moyenne

à l’intérieur des continents et sur les côtes ouest.

- région typique de ce régime : le sud du Maghreb.

Régime intertropical sous l’influence

des alizés

- plus de 150 cm de précipitation annuelle moyenne

sur des zones côtières étroites ; humidité.

- région typique de ce régime : côtes est de l’Amérique

centrale.

Régime continental tempéré - entre 10 et 50 cm de précipitation annuelle moyenne

à l’intérieur des continents ; il en résulte des déserts ou

des steppes.

- région typique de ce régime : plaines de l’ouest du

continent nord-américain.

Régime océanique tempéré - plus de 100 cm de précipitation annuelle moyenne

sur les côtes ouest des continents.

- région typique de ce régime : la Colombie britannique,

l’Europe.

Régime polaire et arctique - moins de 30 cm de précipitation annuelle moyenne

se situe au Nord du 60e parallèle ; formation de grands

déserts froids.

- région typique de ce régime : le Grand Nord canadien.

Tableau. 1. 2 - Régimes pluviométriques du monde.

1.7. CONCLUSION.

Les précipitations sont un des processus hydrologiques les plus variables. D’une part,

elles sont caractérisées par une grande variabilité dans l’espace et ceci quelle que soit

l’échelle spatiale prise en compte (régionale, locale, etc.). D’autre part, elles sont caractérisées

par une grande variabilité dans le temps, aussi bien à l’échelle annuelle qu’à celle d’un

événement pluvieux.

Chapitre II : Caractéristiques des échos du sol et techniques de leur élimination. 14

CHAPITRE II

Caractéristiques des échos du sol et techniques

de leur élimination

2.1. INTRODUCTION.

En général, l’information contenue dans les images radar comporte deux sortes d’échos.

Il s’agit principalement des échos de précipitations mais aussi ceux dus à la rétro-diffusion du

signal par la surface terrestre appelée échos du sol (clutter). Ces dernières gênent

considérablement la détection des échos météorologiques et ils peuvent induire des erreurs

dans l’estimation des précipitations.

Les échos du sol apparaissent sous forme de cibles fixes ou lentement mobiles :

Les échos mobiles.

Les échos mobiles se subdivisent en deux catégories principales :

- Des échos mobiles qui sont dus au mouvement des arbres ou au mouvement des vagues

de la mer sous l’effet du vent. Ils sont caractérisés par un mouvement lent et erratique, et qui

oscille à faible amplitude autour de sa position d’équilibre.

- Des échos mobiles qui sont dus aux anomalies de propagation dans la basse atmosphère et

qui proviennent de la surface terrestre, formant ce qu’on appelle, les échos AP (Anomalous

Propagation), appelés aussi anaprops. Ces échos apparaissent au-delà de la zone de visibilité

directe. Ils sont caractérisés par un mouvement lent et désordonné. Ces échos AP sont

persistants et ils peuvent occuper de grandes surfaces sur la côte et le continent par rapport à

la mer [Haddad et al, 1999].

Les échos fixes.

Les échos fixes, sont causés par la rétro-diffusion des ondes radar sur les obstacles

formant la surface terrestre tel que les terrains accidentés, les montagnes, les collines, les

pylônes métalliques, les constructions en béton et les routes. Ces derniers gênent

considérablement la détection des échos météorologiques, limitant ainsi les performances et

peuvent induire des erreurs dans l’estimation des précipitations.


2.2. EQUATION DU RADAR.

L’équation du radar exprime la relation entre l’intensité moyenne du signal reçu et les

propriétés de la cible ponctuelle ou du volume diffusant situé à la distance r en fonction des

caractéristiques techniques du radar et des conditions météorologiques.

L’expression de l’équation radar, s’écrit :

rπ4

λGσ

P

P43

22

m

t

(2-1)

où :

Pt : puissance totale émise par le radar.

Gm : gain maximum de l’antenne.

: section efficace de rétro-diffusion de la cible.

r : distance entre la surface visée et l’antenne.

: longueur d’onde.

2.3. FACTEUR DE REFLECTIVITE.

La cible interceptée par le radar est aussi caractérisée par la réfléctivité radar qui est :

Vσni

(2-2)

où : V est le volume d’impulsion contenant une multitude de centres diffusants de section

efficace i.

Dans les observations par radar, on utilise également le facteur de réflectivité z pour

caractériser la répartition moyenne de la population des diffuseurs dans le volume V. Dans le

cas des précipitations z est donné par :

DV

1z 6

ii (2-3)

où : Di est le diamètre des gouttelettes de pluie. z est exprimé généralement en m6. m

-3 à cause

la taille des éléments de précipitation qui sont de l’ordre du millimètre. A cette unité, on

associe une échelle logarithmique, appelé facteur de réflectivité radar donnée par :

Z(dBZ) = 10 log [(z (mm6.m

-3)] (2-4)

2.4. CARACTERISTIQUES DES ECHOS RADAR.

2.4.1. Pouvoir réflecteur des échos radar.

Les échos provenant de la surface terrestre peuvent être répartis en deux catégories : les

échos du sol et les échos de mer.


n

1i2

i0rititi

rπ4

A.Δ.A.G.PP

i

2.4.1.1. Echos du sol.

Les échos du sol sont décrits par 0, à savoir la section de rétro-diffusion différentielle,

appelée encore coefficient de rétro-diffusion. Ce dernier est utilisé car la réflexion par le sol

est une contribution d’un grand nombre d’élément diffusants dans les phases sont

indépendantes.

Soit n le nombre d’éléments diffusants, dans une région illuminée par les ondes radar,

la puissance moyenne réfléchie s’écrit [Skolnik, 1990] :

(2–5)

où :

Ai est l’aire de l’élément de surface de rang i.

Pti est la puissance émise correspondant à l’élément de surface i.

Gti et Ari sont respectivement, le gain et la surface effective de l’antenne.

0 = i / Ai : Section de rétro-diffusion.

(Avec ri et i sont respectivement le rayon et la section efficace de rétro-diffusion de l’ième

surface).

La rugosité du sol intervient dans la distribution du champ réfléchi. En effet, le

phénomène de diffusion existe lorsque les ondes électromagnétiques rencontrent sur leurs

trajets un nombre important d’obstacles dont les dimensions sont du même ordre de grandeur

ou plus grande que la longueur d’onde.

D’autre part, la constante diélectrique du sol influe aussi sur le coefficient 0. En effet,

la diffusion des ondes électromagnétique par des sols humides est plus importante que celle

due aux sols pauvres en eau. Les plus fortes valeurs de 0 ont été enregistrées pour des sols

couverts de neige. Mais pour des fréquences dépassant 35 GHz, les phénomènes d’absorption

deviennent importants, réduisant alors la rétro-diffusion des ondes électromagnétiques par la

neige.

2.4.1.2. Echos de mer.

La caractéristique des échos de mer dépend non seulement de la surface de rétro-

diffusion mais aussi du comportement de la mer (agitée ou calme). A titre d’exemple, la

vitesse du vent et l’état d’agitation de la mer sont des paramètres qui contribuent à la

génération des échos de mer. Les ondes à la surface de la mer sont définies par La période T

des vagues et la longueur d’onde m de celle-ci, d’après Skolnik [1990] :

T = 0,64 u et m = 0,64 u2

où : u représente la vitesse du vent exprimé en m/s.

L’échos de mer dépend de plusieurs paramètres et il est caractérisé par sa section

efficace normalisée 1. Cette dernière est obtenue en divisant la section efficace d’une région

illuminée par une surface normalisée Af, à savoir 1 = / Af.


2.4.2. Détection des échos radar.

Rappelons que la rétro-diffusion des échos radar par des cibles atmosphériques est le

résultat de la diffusion sur une cible formée par une multitude de diffuseurs élémentaires,

indépendants les uns des autres distribués aléatoirement dans le volume de la cible.

Soit X l’amplitude du signal issu de la cible décrite précédemment. Pour un récepteur à

détection linéaire, l’amplitude X est considérée comme une variable aléatoire caractérisée par

une densité de probabilité p(x), qui s’écrit [Marshall et al. , 1953] :

p(X) = ( X / 2) exp (- X

2 / 2

2) (2-6)

avec : dxp(X)0

X2X2 = 22 (2–7)

X2

= dxp(X)

0

XX2 = 2(1- /4)

2 (2-8)

Le rapport de ces deux paramètres après calculs, vaut : X2 / X

2 = 1 / (1- /4) = 4.66. Par

contre, la distribution des amplitudes des échos fixes suit une loi de Gauss pour laquelle le

rapport X2 / X

2 vaut 500 (27 dB) [Skolnik, 1990].

Le spectre de puissance (f) des échos de sol est :

(f) = 0 exp 2

f2σ

2

Df

Df

(2–9)

avec: f = 2 v /

où : fD est la moyenne de la distribution des fréquences Doppler associées à chacune de

réflecteurs de la cible, f désigne l’écart type de cette distribution et v est l’écart type de la

vitesse, s’exprime en [cm/s].

Les tableaux 2.1 et 2.2 ci-dessous donnent les variations de v en fonction de W, la

composante horizontale du vent pour l’échos de mer et l’échos du sol.

- Pour des terrains boisés :

W(m/s) v(cm/s)

5

10

20

4

22

32

Tableau 2. 1.-.Valeurs de v en fonction de la composante horizontale du vent (W)

pour la terre.[Darricaud, 1981]


- Pour la mer :

Tableau 2. 2 - Valeurs de v en fonction de la composante horizontale du vent (W)

pour la mer. [Darricaud, 1981]

Pour les nuages et la pluie, les valeurs de v s’étendent pratiquement de 2 à 4 m/s.A la

longueur d’onde de 10 cm, les valeurs de f sont :

échos du sol : 1 à 5 Hz

échos de mer : 10 à 30 Hz

Cibles atmosphériques : 30 à 100Hz

D’après les résultats obtenus, on peut dire que le spectre de fréquences caractérisant le

clutter de sol ou de mer, est beaucoup plus étroit que le spectre caractérisant les cibles

atmosphériques, dont la fréquence centrale du spectre est variable et dépend de la composante

horizontale du vent.

2.5. TECHNIQUES D’ELIMINATIONS DES ECHOS RADAR.

Les échos du sol réduisent considérablement l’identification et l’estimation des

précipitations, Divers méthodes d’élimination des échos fixes sont proposées dans la

littérature, à savoir [ Doviak et Zrnic, 1993 ; Hamuzu et Wakabayashi, 1991] :

1. Filtrage Doppler

2. Circuit MTI

3. Filtrage par polarisation

4. Filtrage par peigne

5. Méthodes statistiques

2.5.1. Filtrage Doppler.

Ce type de filtrage est assuré par un filtre passe-haut à flanc raide, placé à la sortie d’un

radar cohérent [Doviak et Zrnic, 1993]. Le rôle de ce filtre est d’éliminer les échos fixes en

supprimant la composante Doppler de fréquence nulle ou celles proches de 0 Hz. Mais il est

conçu de façon à conserver les échos de pluie et de nuages qui sont animés d’une vitesse

suffisamment grande, donc d’une fréquence Doppler élevée. Le filtrage de la vitesse est

effectué en procédant tout d’abord à une conversion analogique numérique du signal vidéo

issu du radar. Ensuite, ce signal est transmis à un filtre numérique qui est habituellement de

type cosinus, cosinus carré, Tchébytcheff ou Hamming.

Le filtre Doppler est très efficace quand on a affaire à des pluies intenses et à des vents

modérés soufflant à moins de 30 km/h. Pour des pluies fines, le spectre des échos de

W(m/s) v(cm/s)

4

10

45

105


précipitations risque de ce confondre avec celui des échos fixes. Il devient alors difficile

d’éliminer les échos fixes sans affaiblir les échos de précipitations.

2.5.2. Circuits MTI (Moving Target Indicator).

Le procédé MTI, se base sur la comparaison entre des échos radar obtenus à une période

donnée, qui seront pris comme référence, avec les échos apparaissant aux périodes suivantes,

dans le but de conserver les échos mobiles.

Les circuits MTI peuvent être : - à simple annulation.

- à double annulation.

- numérique.

Soit un circuit MTI à simple annulation, représenté par la fig.2.1 par un schéma bloc. Ce

circuit est placé généralement, soit à la sortie du démodulateur, soit dans la chaîne

d’amplification FI. Il se compose essentiellement d’une ligne à retard et d’un circuit

soustracteur.

X(t) R(t) S(t)

Ligne à retard soustracteur

X(t)

Fig. 2. 1 - Circuit M.T.I simple annulation.

- Le signal représentatif des échos du sol g(t) est de la forme :

g(t) = G cos ( t + 0 ) (2–10)

où : G est l’amplitude du signal, est la pulsation de la porteuse et 0 est le déphasage.

- Le signal représentatif des échos de précipitations y(t) est de la forme :

y(t) = Y(t) cos [ ( + D )t + (t) ] (2–11)

où : Y(t) est une variable aléatoire obéissant à la loi de Rayleigh, D est la pulsation

correspondant à la fréquence Doppler et (t) est la distribution de phase.

L’amplitude du signal représentatif du clutter du sol g(t), au niveau du récepteur est

pratiquement constante.

Le signal X(t) apparaissant à l’impulsion k est à la fois transmis à l’une des entrées du

circuit soustracteur et à l’autre entrée par le biais d’une ligne à retard. Cette dernière déphase

le signal X(t) de façon à ce qu’il soit retardé d’un temps égal à une période de répétition Tr.

Puis le signal R(t) ainsi retardé est comparé au signal X(t) apparaissant à l’impulsion k+1.

Après soustraction, les échos fixes sont éliminés car l’amplitude et la phase du signal sont

constantes. Par conséquent, le signal S(t) obtenu à la sortie du soustracteur, ne se compose

que des échos relatifs aux cibles mobiles, en général, et des échos atmosphériques en

particulier.


Dans le cas où on place un circuit MTI à double annulation, c’est à dire, deux MTI à

simple annulation montés en cascade, ceci améliorera l’élimination des échos fixes. Dans ce

cas, la suppression du clutter se fait au prix de deux soustractions successives. Le circuit MTI

à double annulation peut être assorti d’une contre réaction pour compenser la diminution du

gain du MTI.

2.5.3. Filtrage par Polarisation.

Le filtrage par polarisation, consiste à mesurer la réflectivité de cibles pour différentes

polarisations du champ électromagnétique. [Hamuzu et Wakabayachi, 1991].

La réflectivité d’une cible atmosphérique, constituée de N gouttelettes d’eau de tailles

différentes s’écrit [Sauvageot, 1992] :

= ( 5 /

4 ) k

n

1iid

V1 (2–12)

avec : k = - 1 / + 2

où : désigne la constante diélectrique, di est le diamètre des gouttelettes d’eau et V est le

volume de la cible atmosphérique.

Etant donné la forme quasi sphérique des gouttelettes, l’intensité des échos issus des

cibles atmosphériques varie peu avec la polarisation des ondes radar. Par contre, pour la

plupart des échos en provenance de la surface terrestre, l’intensité des échos dépend fortement

de la polarisation des ondes car la forme des obstacles constituant le relief qui est quelconque,

s’étale davantage dans un sens plutôt que dans un autre.

En faisant varier cette polarisation, il est possible de séparer les échos dus aux cibles

atmosphériques des échos fixes. Pour ce faire, considérons les puissances pH et pV reçues par

un radar et résultant de la rétro-diffusion, par une même cible, d’ondes émises respectivement

en polarisation horizontale (H) et en polarisation verticale (V). Par définition, la réflectivité

différentielle de la cible est :

DR = 10 log (pH / pV) (2–13)

L’identification des échos du sol, se fait grâce à ce paramètre. Il est pratiquement

constant pour les gouttelettes d’eau et il est très variable pour les échos provenant de la

surface terrestre à cause de la forme diversifiée des obstacles.

2.5.4. Filtrage en Peigne.

Pour un radar pulsé, le signal à l’émission est un signal sinusoïdal de fréquence f0,

modulé en amplitude par des impulsions rectangulaires de durée et de fréquence de

répétition fr (avec fr = 1 / Tr et << Tr). Le spectre de ces impulsions est formé d’une infinité

de raies qui s’espacent l’une par rapport à la suivante d’un intervalle de fréquence égal à fr et

dont l’amplitude :


pour n = 0 U = U0

pour n = 1,...,n U =

rT

nππ

rT

nππsin

02U

f0-fr f0-fr+fD f0 f0+fD f0+fr f0+fr+fD

Fig. 2. 2 - Raies d’échos fixes (traits fins) et d’échos de cible mobile (traits fort).

« Décalage Doppler du spectre pour une cible en mouvement.»

Supposons dans un premier temps que l’antenne soit fixe. Les raies spectrales des échos

fixes apparaissent évidemment aux même fréquences que celles du spectre à l’émission c’est à

dire aux fréquences f0 nfr (avec n = 0,1,..n). Mais lorsque le signal est rétro-diffusé par une

cible en mouvement, son spectre subit un décalage par rapport aux raies à l’émission. Pour

éliminer les échos fixes, il suffit de supprimer toutes les composantes de fréquences f0 nfr.

Pour les radars non cohérents, il suffit d’intercaler dans l’étage FI un filtre en peigne. Ce

type de filtre est un ensemble de filtres réjecteurs montés en cascade et réglés respectivement

sur chacune des fréquences à éliminer c’est à dire f0 nfr. Mais lorsque l’antenne n’est pas

fixe, le spectre subit un élargissement qui vaut 2 DaVa / (où Da est le diamètre de

l’antenne et Va sa vitesse de rotation) [Carpentier, 1981]. Les filtres réjecteurs sont réglés

alors sur les fréquences f0 – nfr – fc, f0 –nfr + fc,… ,f0 – fc, f0 + fc,… ,f0 + nfr – fc, f0 + nfr +

fc (avec n = 1,2,… ,n et fc = 2 DaVa / ).

2.5.5. Les Approches Statistiques.

Le principe des méthodes statistiques consiste à échantillonner le signal reçu et à

comparer les différents échantillons. Ainsi, l’écho du sol sera identifié en calculant la

différence entre la valeur moyenne et la valeur maximum du signal. On rejette ensuite tous les

signaux pour lesquels cette différence est faible. On peut aussi considérer un échantillon de N

impulsions, calculer le rapport entre la variance et la moyenne du signal. Ensuite, on élimine

les signaux pour lesquels ce rapport est petit.

Une autre approche utilisée pour l’élimination des échos du sol, est basée sur les

probabilités conditionnelles, les probabilités composées et la corrélation liant plusieurs pixels.

On peut par exemple appliquer un filtre qui élimine les pixels faiblement corrélés avec leur

voisinage. Pour cela, on prend une fenêtre d’analyse d’une dimension petite d’environ 5x5

pixels. L’écho est ainsi éliminé si la différence de réflectivité entre le pixel considéré et les

pixels environnants dépasse un certain seuil. Ce seuil Se est déterminé en examinant les

réflectivités Z de n échos météorologiques [Gabella et al., 1999] :


n

1i

minZmaxZn

1

eS (2–14)

Dans notre cas, on utilise une autre démarche pour la classification et l’élimination des

échos du sol ou échos parasites. Celle –ci consiste en l’analyse de la texture des échos radar.

Deux techniques différentes ont été considérées. L’une basée sur l’approche statistique de la

texture à savoir l’utilisation des matrices de cooccurrences, de la méthode des histogrammes

et de la méthode de la somme et de la différences des histogrammes et l’autre en étudiant la

dimension fractale des échos de précipitation et des échos du sol. Ces différentes méthodes

seront utilisées pour l’élimination des échos du sol dans deux sites à climats différents. Il

s’agit de Setif (Algérie) où règne un climat continental et Bordeaux où le climat est du type

océanique.

Chapitre III : Etude de la texture par l’approche statistique. 23

CHAPITRE III

Etude de la texture par l’approche statis tique

3.1. GENERALITES.

La caractérisation des phénomènes atmosphériques et terrestres à partir d’images radars

et satellitaires est effectuée le plus souvent par les procédures de classification classique en

n’utilisant que l’information spectrale. Pour une meilleure exploitation des informations

contenues dans ces images, l’intégration de l’information spatiale dans la classification de ces

dernières s’avère nécessaire.

La texture représente le premier niveau des propriétés spatiales qui peuvent être

extraites d’une image numérique. Elle est liée aux variations d’intensités locales d’une image

et peut être alors utilisée comme une donnée additionnelle pour la classification des images

radar.

Dans ce chapitre, nous allons d’abord introduire la notion d’analyse texturale, ensuite,

nous procéderons à une revue de trois approches statistiques appliquées sur des images radar

[Mesbah et Bouayed, 2001], en vue d’abord d’une classification des échos radar et ensuite de

l’élimination des échos du sol. Deux sites radar ont été considérées dans cette étude. Il s’agit

d’images radar prises respectivement à Setif (Algérie) et à Bordeaux (France).

3.2. DEFINITION DE LA TEXTURE.

La texture est le terme utilisé pour caractériser la distribution spatiale des éléments

d’une surface donnée dans une image. A l’origine le mot texture servait à qualifier des

qualités de tissu suivant la finesse ou la grosseur du tissage.

En imagerie, elle peut être définie par les relations spatiales que possèdent des niveaux

de gris voisins, qui contribuent à l’apparence globale de l’image.

Il existe plusieurs domaines d’application et d’utilisation de l’analyse texturale, à

savoir :

- L’industrie, où elle permet de détecter d’éventuels défauts de fabrications, et de contrôler la

qualité des produits.

- L’imagerie médicale, afin de distinguer les tissus saints des tissus pathologiques.

- Le domaine de l’audiovisuel et de l’infographie, où elle peut être utilisée pour le réalisme,

l‘art….

- Les images multispectrales acquises en télédétection, afin de reconnaître et différencier un

champ, d’une foret , d’une ville.


Il existe une multitude d’attributs de la texture tels que la finesse, la linéarité, la

structure, l’orientation, l’irrégularité, l’homogénéité, la rugosité..., qui permettent d’analyser

la texture des images numériques. Ces caractéristiques fortement corrélés sont étroitement

liées à la nature et aux propriétés de chaque région de l’image formée par un ensemble

maximum de pixels voisins possédant la même propriété et à leurs répartitions dans l’image .

Chacune des ces régions est appelée primitive.

3.3. ANALYSE DE LA TEXTURE.

L’analyse et la classification des images numériques présentant une répétition ou une

quasi-répétition d’éléments fondamentaux, sont des techniques très utilisées en traitement

d’images. Il existe diverses méthodes d’analyser et de discrimination de la texture qui peuvent

être adaptées aux images radar. Les principales approches utilisées sont : l’approche

structurale et l’approche statistique.

3.3.1. L’approche structurale.

Les méthodes structurales analysent les répétitions de zones constituées par un

ensemble de pixels ayant la même propriété ou primitives et leurs organisations. Parmi les

méthodes structurales d’analyse de la texture nous citons, [Belhadj, 1998] :

L’analyse de la texture par la morphologie mathématique.

La méthode des iso-segments.

La méthode des unités de texture.

3.3.2. L’approche statistique.

La texture est décrite par l’intensité d’un pixel et les caractéristiques statistiques de

variation de cette intensité dans un voisinage optimal. Les caractéristiques sont définies par

l’ensemble des relations spatiales qui lient entre eux les niveaux de gris d’une image.

Les méthodes d’analyse de texture les plus utilisées en télédétection sont [Kourgli,

1997] :

L’estimation de la texture par la fonction d’autocorrélation.

L’analyse de la texture par les méthodes de transformations.

Les méthodes de mesures des paramètres locaux de texture.

Transformations locales.

Méthodes des matrices de dépendance de niveau de gris (MDNG).

- Matrice de cooccurrence de niveau de gris (GLCM).

- Méthodes des différences de niveau de gris (GLDM).

- Méthodes de dépendance de niveau de gris voisins (NGLDM).

- Méthodes des sommes et différences d’histogrammes (SADH).


L’analyse de texture par la densité de contours.

Les modèles d’analyse de la texture.

Modèles stochastiques 2D basés sur le pixel.

Modèles structuraux basés sur les régions.

- Modèle mosaïque.

- Modèle fractal.

Après avoir passé en revue les différentes approches statistiques, nous allons appliquer

trois approches statistiques pour deux sites différents en vue de discriminer les échos du sol

des échos de précipitations. Il s’agit de :

- la méthode des histogrammes.

- la méthode des matrices de cooccurrence (GLCM).

- La méthode d’Unser ou méthode de la somme et la

différence des histogrammes(SADH).

3.4. LA METHODE DES HISTOGRAMMES.

Cette méthode consiste à représenter pour chaque fenêtre de traitement F de taille (T1 x

T2) balayant une image numérique S de taille (M x N) l’histogramme donnant les fréquences

d’occurrences des intensités des niveaux de gris de la fenêtre considérée. Les probabilités de

premier ordre de la distribution des intensités de l’image sont définies comme suit

[Pratt, 1976] :

P (i) = occ (i) / N 0 i Ngmax-1 (3-1)

où: occ (i) représente la fréquence d’occurrence de l’intensité i dans la fenêtre. N

représente le nombre total de pixels de l’image et Ngmax le niveau de gris maximal.

[Pratt, 1976] propose une série de paramètres texturaux basée sur l’histogramme

normalisé. Ce sont :

La moyenne : µ = i. P(i) (3-2)

La Variance: 2 =

1-N

0i

gmax

(i – µ)2. P(i) (3-3)

La Dissymétrie : D = 3σ

11-N

0i

gmax

(i – µ)3. P(i) (3-4)

L’Aplatissement : A = [4σ

1

1-N

0i

gmax

(i – µ)4. P(i)] – 3 (3-5)

1-N

0i

gmax


L’Energie: E =

1-N

0i

gmax

P(i)2

(3-6)

L’Entropie: H = –

1-N

0i

gmax

P(i) . log P(i) (3-7)

3.5. LA METHODE DES MATRICES DE COOCCURRENCES DE NIVEAUX DE

GRIS (GLCM).

3.5.1. Définition.

Une des premières méthodes utilisées dans l’analyse de la texture est la méthode des

matrices de cooccurrences dite aussi matrices de dépendance spatiale des niveaux de gris. Elle

est basée sur l’estimation de la fonction densité de probabilité conditionnelle conjointe du

second ordre p(i, j/d, ),où chaque p(i, j/d, ) pour ( = 0°, 45°, 90°, 135°, 180°, 225°, 270°)

représente la probabilité d’aller du niveau de gris i au niveau de gris j. Cette transition est

régie par un vecteur à deux composantes :

- La première est la distance « d » séparant les deux pixels.

- La seconde est l’orientation « » qui est définie par l’angle entre la direction de transition et

le sens de balayage de l’image.

L’orientation peut être déterminée aussi en coordonnées cartésiennes ( x : déplacement

dans la direction horizontale et y : déplacement dans la direction verticale).

3.5.2. Formalisme mathématique.

On définit la matrice de cooccurrence dont les éléments p(i , j) notés Pij représentent la

fréquence d’occurrence de la paire de niveaux de gris (i , j) dans une image S de taille: (MxN)

avec une fenêtre de traitement F de taille (T1 x T2) suivant une relation R(d, ) [avec =f( x ,

y)] définie par :

P(i, j/d, ) = Card {(x , y), (x+ x , y+ y) S / I(x , y) = i et I(x+ x, y+ y) = j suivant R}.

où : Card : cardinal ou nombre d’éléments.

- I(x , y) et I(x+ x , y+ y) représentent respectivement les fonctions intensité des pixels i, j

dans la fenêtre F : (T1 x T2).

La matrice Pij correspondante : Pij = P(i, j/d, )/r.

où : r est le paramètre de normalisation : r = (T1-| x|) . (T1-| y|).

3.5.2.1. Matrices directionnelles et moyennes.

Les éléments de la matrice de cooccurrence peuvent être calculés suivant trois variantes,

à savoir : considérer un sens, une direction, ou encore les quatres directions en même temps

(matrice moyenne).


a). Matrices sens (non symétriques).

IL existe huit matrices de cooccurrence (d, ) pour différentes directions ( = 0°, 45°,

90°, 135°, 180°, 225°, 270° et 315°) ( voir Fig. 3.1).

Fig. 3. 1 - Différents sens de calcul de la M.C.N.G.

Dans notre cas nous étudierons quatres directions ( = 0°, 45°, 90°, 135°), étant donné

que les matrices des directions ( = 180°, 225°, 270°, 315°) représentent les matrices

transposées respectives des quatres premières. (voir tableau 3.1)

d x y Matrice sens

1 0° 0 1

PPP

PPP

PPP

333231

232221

131211

1 45° -1 1

PPP

PPP

PPP

333231

232221

131211

1 90° -1 0

PPP

PPP

PPP

333231

232221

131211

1 135° -1 -1

PPP

PPP

PPP

333231

232221

131211

Tableau. 3. 1 – les différentes directions étudiées.


b). Matrices directionnelles (symétriques).

Ces matrices sont déduites à partir des matrices sens et cela en considérant que les

quatres directions principales (0°, 45°, 90° et 135°). Ainsi chaque élément de la matrice

direction est calculé par l’expression suivante :

S (d) = 21 ( (d , ) + (d , +180°)) =

21 ( (d , ) +

t (d , )). (3-8)

où : t est la matrice transposée.

c). Matrice moyenne.

Comme les matrices directionnelles, cette matrice est déduite des matrices sens en

considérant les huit directions en même temps. Ainsi chaque élément de la matrice moyenne

est calculé par l’expression suivante :

Sm (d) =41 [

21 ( (d , 0°) +

t (d , 0°)) +

21 ( (d , 90°) +

t (d , 90°)) +

21 ( (d , 45°) +

t (d , 45°)) +

21 ( (d , 135°) +

t (d , 135°)) ] (3-9)

Outre l’information texturale apportée par la matrice de cooccurrence, on peut calculer à

partir de cette dernière un ensemble de propriétés statistiques. Ces propriétés constituent des

paramètres texturaux permettant de révéler des caractéristiques particulières de la texture de

l’image représentée par sa matrice de cooccurrence de niveaux de gris.

3.5.3. Paramètres texturaux.

Les paramètres statistiques les plus utilisés et les plus significatifs proposés par Haralick

(1973) peuvent être regroupés en quatre catégories à savoir :

. Paramètres caractérisant l’aspect visuel de la texture : second moment angulaire (énergie) –

contraste (inertie) –corrélation (dépendance linéaire des niveaux de gris).

. Paramètres statistiques : variance –homogénéité locale –somme des moyennes –somme des

variances –différence de variances.

. Paramètres basés sur la théorie de l’information : entropie – somme des entropies –

différences des entropies.

. Paramètres de la corrélation : coefficient de corrélation maximum.

On utilisera seulement les neufs paramètres qui donnent les résultats les plus

décorrelées [Haralick, 1979 ; Unser, 1986 ]. Ce sont :

La moyenne:

µx=

1Ng

0ii

1Ng

0jPij

(3-10)

et : µy =

1Ng

0jj

1Ng

0iPij


Pour des zones plus ou moins homogènes le calcul de la moyenne revient à prendre le

niveau de gris dominant de l’image.

Pour une matrice directionnelle, celle-ci étant symétrique x = y. Il en est de même

pour la variance.

La variance:

x2 =

1Ng

0i(i – µx)

2

1Ng

0jPij

(3-11)

et y2 =

1Ng

0j (j – µy)

2

1Ng

0iPij

La variance est la mesure de l’hétérogénéité (l’étalement des Pij autour de la diagonale),

sa valeur sera nulle pour les zones plus ou moins homogène et les écarts entre un pixel et la

moyenne auront un plus grand poids. Ainsi, plus la valeur est grande plus la texture est

voisine d’une texture «poivre et sel ».

L’énergie:

E =

1Ng

0i

1Ng

0jPij

2 (3-12)

Ce paramètre est appelé aussi second moment angulaire ou uniformité, il permet de

mesurer l’uniformité texturale, c’est à dire la répétition des paires de pixels. Quand l’image

considérée est homogène, la valeur de l’énergie est plus élevée.

En effet, dans une image homogène, il y a présence des paires de niveaux de gris

similaires d’où la concentration de la matrice sur la diagonale principale. Par contre pour une

image possédant une texture hétérogène, la valeur de l’énergie sera faible.

L’entropie :

ENT = –

1Ng

0i

1Ng

0jPij log Pij (3-13)

Ce paramètre permet de mesurer le degré de «désordre» d’une image. Lorsque cette

image est hétérogène, plusieurs éléments de la matrice de cooccurrence ont des probabilités

très petites, ce qui implique une valeur d’entropie élevée.

L’inertie:

I =

1Ng

0i

1Ng

0j(i – j)

2. Pij (3-14)

L’inertie ou le contraste mesure la différence entre les hautes et les basses valeurs d’un

ensemble de pixels (passage d’un pixel très clair à un pixel très foncé ou inversement). Ainsi,

la valeur de l’inertie est d’autant plus grande qu’il y a de variations locales importantes. Ce

paramètre tend à ressortir sur l’image les zones hétérogènes.


L’homogénéité locale :

Hg =

1Ng

0i

1Ng

0j [1 / (1 + (i –j)

2 )].Pij (3-15)

L’homogénéité locale est aussi appelée moment de différence inverse. Pour des zones

homogènes, on a une petite différence entre les paires de niveaux de gris.

Ainsi, l’application de l’homogénéité locale, à l’inverse de l’inertie, donne un poids plus

grand aux fréquences d’occurrence des zones homogènes.

La corrélation :

C =

1Ng

0i

1Ng

0j[ (i– µx).(j– µy) / ( x . y) ].Pij (3-16)

La corrélation mesure la dépendance linéaire entre des intensités des paires voisines.

Le groupement de nuances :

CS =

1Ng

0i

1Ng

0j(i+j– µx– µy)

3 Pij (3-17)

Le groupement de prédominances :

CP =

1Ng

0i

1Ng

0j(i+j– µx– µy)

4 Pij (3-18)

Pour illustrer ce qui précède, prenons une image F de taille (4x5) contenant 4 niveaux

de gris et calculons les matrices de cooccurrences lui correspondant :

La fenêtre image F :

F =

20313

10221

02131

20100

Si l’on désire estimer la matrice sens R(1,0°) exprimé aussi par (d =1, x = 0, y = 1),

on comptabilise le nombre de fois qu’une paire de niveaux de gris (i , j) se trouve sur une

même ligne horizontale distante de un pixel en allant de i vers j.

la particularité de cette matrice est qu’elle fait la distinction entre la paire de niveau de

gris (i , j) et la paire de niveau de gris (j , i), prenons par exemple la paire de gris (1 , 2) elle se

présente dans l’image 2 fois alors que la paire (2 , 1) n’existe pas sur cette image, ainsi la

matrice sens R (1 , 0°) pour l’image F est :


avec : r = ( 4 – |0| ) . (T1 – |1| ) = 16.

Pour calculer la matrice directionnelle, on comptabilise le nombre de fois qu’une paire

de niveaux de gris (i , j) se trouve sur une même ligne horizontale distante de un pixel en

allant de i vers j ou de j vers i. Prenons par exemple le cas de la paire (2 , 1) qui est égale à la

paire (1 , 2), ainsi le nombre de répétitions est égal à ( 2 + 0 ) / 2 = 1.

la matrice directionnelle (symétrique) pour l’image F sera :

r = ( 4 - |0| ) . ( 5 - |1| ) = 16.

A partir de ces matrices ( sens ou directionnelle ), on peut calculer les paramètres

statistiques propres à la méthode des M.C.N.G. Par exemple la moyenne propre à l’image

précédente sera égale à :

Cas de la matrice sens ( x# y).

x = 1/16 [0 (1+2+2+0)+1 (1+0+2+2)+2 (2+0+1+0)+3 (1+2+0+0)]=20/16=1,25.

y = 1/16 [0 (1+1+2+1)+1 (2+0+0+2)+2 (2+2+1+0)+3 (0+2+0+0)]=20/16=1,25.

Cas de la matrice directionnelle ( x= y).

x= y=1/16[0 (1+1.5+2+0.5)+1 (1.5+0+1+2)+2 (2+1+1+0)+3(0.5+2+0+0)]=20/16=1,25.

3.6. LA METHODE D’UNSER (SADH).

UNSER (1986) a proposé une méthode basée sur la somme et la différence

d’histogrammes locaux. Elle consiste à remplacer la fonction de probabilité de second ordre

de la matrice de cooccurrence par l’estimation de la fonction de probabilité du premier ordre

suivant les axes principaux de la matrice de cooccurrences.


3.6.1. principe.

Soit une image de taille (M x N) dont la gamme de valeurs d’intensité est de 0 à Ng – 1,

où I( x , y ) représente l’intensité du pixel (x , y).

Une première étape consiste à définir deux variables aléatoires Z1 et Z2 pour une paire

{ I( x , y ), I( x+ x , y+ y ) } telles que :

Z1 = { I (x , y) + I(x+ x , y+ y) } (3-19)

et

Z2 = { I (x , y) – I(x+ x , y+ y) } (3-20)

La seconde consiste à générer deux fonctions histogrammes pour les distances fixées

par ( x , y) :

hs (i / x , y) = hs (i) = Card { (x , y) D, Z1 = i } où i = 2,…,2 Ng . (3-21)

hd (j / x , y) = hd (j) = Card { (x , y) D, Z2 = j } où j = -( Ng+1),…, (Ng–1). (3-22)

où : hs est l’histogramme «somme » et hd est l’histogramme «différence ».

Leurs fonctions de probabilité somme et différence estimées sont respectivement

[Unser, 1986] :

ps (i) = prob {Z1 = i} = hs (i) / r avec (i = 2,…,2 Ng) (3-23)

pd (j) = prob {Z2 = j}= hd (j) / r avec (j = - (Ng +1),…, (Ng –1)) (3-24)

avec : r = Card{D}= i

hs (i) =j

hd (j) (3-25)

L’intérêt de la méthode des sommes et différences d’histogrammes est, d’une part, la

génération des paramètres dérivés des deux fonctions somme et différence où chacune d’elle

révèle un aspect de l’organisation spatiale des pixels de l’image, et d’autre part, l’optimisation

du temps de calculs par rapport à la méthode des matrices de cooccurrence à paramètres

discriminants équivalents.

3.6.2. Paramétres.

Un ensemble de paramétres sont définis à partir des fonctions ps (i) et pd (j), equivalents

aux paramétres de cooccurrences.

La moyenne : µ = (1 / 2) i

i.Ps (i) (3-26)

La variance: 2 = (1/4) [

i(i– 2µ)

2. Ps (i) +

jj2. pd (j) ] (3-27)


L’énergie: E = i

Ps (i)2 .

j pd (j)

2 (3-28)

La corrélation : C = (1/22) [

i(i– 2µ)

2 . Ps (i) –

jj2. pd (j) ] (3-29)

L’entropie : ENT = – i

Ps (i).log (Ps (i)) – j

pd (j). log (pd (j)) (3-30)

L’inertie : I = j

j2. pd (j) (3-31)

L’homogénéité locale : H = j

(1/1 + j2). pd (j) (3-32)

Le groupement de nuance : CS =

2

3

2

i

3

i

.Ps(i))2µ) -(i (

i.Ps2µ)-(i

(3-33)

Le groupement de prédominance : CP = [2

4 Ps(i) . 2µ) -(i ] - 3 (3-34)

A titre d’illustration, nous donnons l’exemple numérique suivant : Soit une image F de

taille (MxN) = (4x5) possédant les intensités I(m , n).

F =

20110

10221

02101

20100

Afin de calculer « l’énergie » pour une direction horizontale ( x = 0 et y = 1 ) on crée

l’image décalée F(x+ x , y+ y), ensuite on procède à la création des matrices somme et

différence d’intensités élément par élément ,comme suit:

Gs = F(x , y) + F(x+ x , y+ y)

Avec : x < M - x et y < M - y

Gd = F(x , y) - F(x+ x , y+ y)

Les expressions de Gs et Gd sont :

Gs =

2121

1243

2311

2110

; Gd =

2101

1201

2111

2110


r = ( 4 - |0| ) . ( 5 - |1| ) = 16.

Enfin on calcule les histogrammes « somme » et « différence » correspondant :

;

E =2

12

1((1)

2 + (7)

2 + (5)

2 + (2)

2 + (1)

2 ).

212

1((2)

2 + (6)

2 + (3)

2 + (3)

2+ (2)

2 ) = 0,239.

3.7. DOMAINES D’ETUDE.

Les images étudiées ont été collectées avec les radars météorologiques de Setif

(Algérie) qui est de type ASWR 81 (Algerian Service Weather Radar) géré par l’Office

National de Météorologie (O.N.M), et de Bordeaux-Mérignac (44°52 W, altitude 70m) dans le

sud-ouest de la France géré par Météo-France. Les caractéristiques techniques de ces radars

sont données dans le tableau (3. 2).

3.7.1. Site de Setif.

Setif est une ville des hauts plateaux, entourée par les montagnes du Djurjura, des monts

des Bibans et du Babor. Le climat dans cette région est du type continental. On enregistre une

intensité moyenne de pluie avoisinant 400 mm par an. Cependant, Setif est confrontée à une

période de sécheresse depuis un certain temps. Cette ville est située à 1081m d’altitude, au

centre d’un vaste plateau dénudé. Ses coordonnées géographiques sont 36°11 N pour la

latitude et 5°25 E de longitude. Cette position stratégique a contribué au choix de

l’emplacement du radar à 1300 m d’altitude. Le radar AWSR 81 est composé d’un émetteur,

d’un récepteur, d’un système d’asservissement en position et d’un système de traitement des

données météorologiques. Il existe deux configurations pour le traitement des données

météorologiques. Pour la première configuration, les signaux représentant les zones de

précipitations sont visualisés soit en PPI, soit en RHI. Quant à la deuxième configuration, la

sortie vidéo du signal est connectée à une chaîne de SANAGA dont le rôle est de numériser le

signal. Les images obtenues grâce à la chaîne SANAGA sont significatives car elles sont

représentées par un code de couleurs qui nous renseigne sur la réflectivité des particules rétro-

diffusantes.

3.7.1.1. Chaîne SANAGA.

La chaîne SANAGA (Système d’acquisition Numérique pour l’analyse des Grains

Africains) est un système d’acquisition des données radar développé au laboratoire

d’Aérologie de Toulouse (UMR-CNRS/UPS-5560) [Sauvageot et Despaux, 1990] et implanté

sur de nombreux radars à travers le monde dont ceux du réseau algérien. Ce dispositif

comprend essentiellement un module câblé de numérisation, un micro-ordinateur et un


logiciel interactif, travaillant en temps réel. Ce dispositif câblé installé dans un boîtier

indépendant, réalise :

- La conversion numérique et l’intégration du signal vidéo.

- La numérisation des signaux provenant du dispositif de codage des angles de site et

d’azimuth.

- L’interfaçage au micro-ordinateur.

La numérisation du signal est effectuée en huit bits. Le signal vidéo est moyenné

numériquement toutes les 64 impulsions radars. L’acquisition en site et en azimuth est faite de

façon à permettre une bonne mise en séquence de la prise des données. Celle-ci est effectuée

par 512 portes "distance" espacées de 250, 500 ou 750 m suivant l’échelle des distances. Les

données numérisées provenant des radars sont converties en images à haute résolution et

affichées sur l’écran radar. Les données peuvent être sauvegardées sur bande magnétique ou

sur disque dur en deux fichiers :

- le premier avec une extension .RH , contient les commentaires que l’on peut saisir sur

l’affichage.

- le deuxième, extension .RD , englobe les données radar, radiale par radiale.

3.7.2. Site de Bordeaux.

Le climat de la région bordelaise est de type océanique. La plupart des précipitations

sont associées à des fronts cycloniques qui se déplacent de l’océan vers le continent. Les

conditions climatiques sont plutôt homogènes. Au cours de l’été, les systèmes frontaux sont

souvent réduits à la ligne convective associée à la ligne frontale froide (la partie stratiforme

est presque absente). La précipitation moyenne annuelle est environ 800mm. La région

bordelaise est plate ; à l’intérieur d’un rayon de 150 km autour du radar, l’altitude est au-

dessous de 200m, excepté la zone du nord-est, entre les azimuths 40° et 80°, à une distance un

peu supérieure à 130km, où l’on trouve le premier contreforts du Massif Central, avec une

altitude inférieure à 400m. a environ 200km au sud de bordeaux on rencontre la chaîne des

Pyrénées est prolongée par la cordillère Cantabrique. Cette dernière est une ligne de

montagnes d’altitude inférieure à 3000m, formant la limite sud du golfe de Gascogne. Cette

orographie est associée à un gradient méridien de la précipitation cumulée à travers le sud-

ouest de la France, avec des valeurs atteignant 1600mm sur la chaîne des Pyrénées.

Le radar de bordeaux fait partie du réseau de radar opérationnel français géré par

Météo-France. Les données sont collectées en permanence, sans interruption durant toute

l’année, avec une période, en exploration CAPPI (Constant Altitude Plan Position Indicator),

de 5 minutes.

Localisation du radar Setif Bordeaux-Mérignac

Localisation d’onde (cm)

Puissance (kW)

Fréquence de répétition (Hz)

Durée d’impulsion (µs)

Ouverture du faisceau (3 dB) (°)

5,3

250

250

2

1,1

10

500

300

2

1,8

Tableau. 3. 2 - Caractéristiques techniques des radars.


3.8. FACTEUR DE REFLECTIVITE ET TAUX DE PRECIPITATION.

l’intensité des échos radar fournit une mesure quantitative de précipitations R exprimée

en « millimètres par heure (mm\h), convertible en facteur de réflectivité Z exprimée en

« dBZ », et obtenue à partir des expressions :

Z = 10 log (z) (3-35)

Z = 200 R1,6

(3-36)

Les échos radar se présentent au moyen de zone coloriées, dont les niveaux de gris

différent d’un site à un autre. Pour le site de Setif les images sont de format 512x512 pixels

obtenue dans la représentation PPI selon un mode de 16 couleurs (fig. 3.2.a). Pour les images

de Bordeaux , elles sont de format 512x512 pixels avec une résolution de 1 km par pixel,

selon un mode de 12 couleurs, où chaque couleur correspond à un niveau de réflectivité bien

précis. (fig. 3.2.b)

dBZ

68

64

60

56 dBZ

52 55

48 50

44 45

40 40

36 35

32 30

28 25

24 20

20 15

16 10

08 05

00 00

(a) – palette de Setif. (b) – palette de Bordeaux.

Fig. 3. 2 – Niveaux de couleurs et facteurs de réflectivité correspondant


3.9. TRAITEMENT DES IMAGES RADAR.

Les échos en provenance de la surface ont été observés depuis les première années

d’utilisation du radar et demeurent toujours indésirables pour les météorologues. Après avoir

passé en revue les techniques les plus utilisées pour éliminer les échos du sol, nous avons

utilisé une méthode basée sur l’analyse de la texture pour filtrer les échos de précipitations.

Les algorithmes développés ont été implantés sur un pentium III 900 Mhz à partir du

logiciel MATLAB 5.3 .

3.9.1. principe de la méthode.

La technique d’élimination des échos du sol s’exécute en trois étapes qui se résument

comme suit :

- Etape 1 :

La première étape consiste à constituer deux bases de données, l’une représentant les

échos de précipitations est confectionnée à partir de logiciels de retouche d’image numérique

comme adobe photoshop 6.0 et Microsoft paintbrush où on distingue facilement les

précipitations des échos du sol. La seconde base de données est une image radar prise en

temps clair. Ces deux images de références vont servir par la suite à rechercher la condition de

classification des échos radar et d’élimination des échos du sol.

Image contaminées par les Image référence Image en temps clair

échos du sol

Fig. 3. 3 – Images radar de Setif.


Image contaminées par les Image référence Image en temps clair

échos du sol

Fig. 3. 4 - Images radar de Bordeaux.

- Etape 2 :

La deuxiéme étape consiste à balayer toute l’image en procédant par des fenêtres de 5x5

pixels. Pour chaque fenêtre, nous calculons les différents paramétres statistiques relatifs à

chacune des trois approches texturales présentées auparavant. Ensuite, nous passons à la

fenêtre suivante par simple décalage d’un pixel. Ainsi, nous disposons d’une série de valeurs

de paramètres texturaux propres à chaque type d’échos. Ces données sont ensuite représentées

sous forme d’histogrammes. Pour rechercher le paramètre discriminant entre les échos du sol

et les échos de précipitations, on analyse les deux histogrammes. Si ces deux derniers se

chevauchent, on rejette le paramètre statistique en question, mais, dans le cas contraire c’est à

dire si les deux histogrammes ne se recouvrent pas, on retient ce paramètre et on arrête le

critère d’identification.

- Etape 3 :

La troisième étape consiste à éliminer des échos du sol. Pour cela, on procède toujours

par des fenêtres de 5x5 pixels. Si la valeur du paramètre statistique se trouve à l’intérieur de

l’intervalle des valeurs propres aux échos de précipitations, on maintient la couleur du pixel

considéré. Dans le cas contraire ou si le nombre de pixels noirs dépasse 12 pixels, on affecte à

ce pixel la couleur noire. Ensuite, on passe au pixel suivant. Après balayage de toute l’image,

nous obtiendrons une image qui ne contient quasiment plus d’échos du sol.

3.9.2. Structure physique des échos du sol et des échos de précipitations.

Afin d’analyser la structure physique des échos du sol et des échos de précipitations,

nous allons analyser les paramètres statistiques des images en temps clair et l’image référence

pour les images de Setif et Bordeaux pour chacune des trois approches statistiques retenues,

Les différentes valeurs des paramètres sont présentées dans les tableau propres à chaque

sites :


3.9.2.1. Méthode d’histogrammes.

Image en temps clair Image référence

L’énergie 0,2207 0,6485

La moyenne 7,319 6,0478

La variance 13,9159 3,4316

la dissymétrie -0,0884 -0,8302

L’aplatissement -0,4214 1,8394

L’entropie 0,7607 0,2418

Table. 3. 1 - Ordres de grandeurs des paramètres statistiques de la méthode d’histogramme Calculés

pour l’image en temps clair et pour l’image référence de Setif.

Image en temps clair Image référence

L’énergie 0,238 0,4762

La moyenne 6,9475 5,5176

La variance 7,1733 3,9883

la dissymétrie -0,0156 -0,3789

L’aplatissement -0,8903 0,7497

L’entropie 0,6994 0,3898

Table. 3. 2 - Ordres de grandeurs des paramètres statistiques de la méthode d’histogramme

Calculés pour l’image en temps clair et pour l’image référence de Bordeaux.

3.9.2.2. Méthode des matrices de cooccurrences.

Orientation

0° 45° 90° 135°

I. temps

clair Image

Réf.

I. temps

clair Image

Réf.

I. temps

clair Image

Réf.

I. temps

clair Image

Réf.

L’énergie 11 0,511 0,114 0,513 0,108 0,519 0,113 0,518

L’homog. locale 0,415 0,781 0,369 0,776 0,434 0,775 0,359 0,784

La variance 13,508 3,351 12,891 3,150 13,387 3,252 12,933 3,170

La corrélation 0,337 0,177 0,207 0,161 0,369 0,174 0,197 0,169

L’entropie 1,091 0,383 1,031 0,399 1,087 0,389 1,033 0,396

La moyenne 7,391 6,111 7,488 6,122 7,406 6,110 7,447 6,119

L’inertie 16,825 5,331 20,605 5,116 15,380 5,299 21,164 5,578

Groupe.nuances -23,266 -50,707 -15,064 -48,236 -29,763 -49,487 -19,858 -48,836

Gp. prédominance 4504,8 304,655 3423,4 305,09 4833,8 303,832 3303,6 304,146

Table. 3. 3 - Ordres de grandeurs des paramètres statistiques de la méthode des matrices de

cooccurrences Calculés pour l’image en temps clair et pour l’image référence de Setif.


Orientation

0° 45° 90° 135°

I. temps

clair Image

Réf.

I. temps

clair Image

Réf.

I. temps

clair Image

Réf.

I. temps

clair Image

Réf.

L’énergie 0,118 0,326 0,128 0,327 0,116 0,326 0,122 0,328

L’homog. locale 0,474 0,664 0,414 0,657 0,475 0,664 0,373 0,652

La variance 7,047 3,763 6,864 3,674 7,021 3,726 6,884 3,659

La corrélation 0,261 0,181 0,271 0,179 0,289 0,187 0,273 0,179

L’entropie 1,031 0,624 0,975 0,599 1,031 0,621 0,988 0,597

La moyenne 5,539 4,976 5,550 4,971 5,547 4,969 5,567 4,973

L’inertie 11,119 5,211 12,754 5,669 11,089 5,380 13,838 5,765

Group.nuence -4,950 -13,522 -5,793 -12,442 -3,671 -12,386 -2,942 -13,46

Gp.prédominence 780,786 360,235 617,53 364,907 777,863 361,67 542,929 368,959

Table. 3. 4 - Ordres de grandeurs des paramètres statistiques de la méthode des matrices de

cooccurrences Calculés pour l’image en temps clair et pour l’image référence de Bordeaux.

3.9.2.3. Méthode d’Unser.

Orientation

0° 45° 90° 135°

I. temps

clair Image

Réf.

I. temps

clair Image

Réf.

I. temps

clair Image

Réf.

I. temps

clair Image

Réf.

L’énergie 0,031 0,369 0,032 0,370 0,033 0,360 0,031 0,361

L’homog. locale 0,415 0,791 0,369 0,787 0,434 0,795 0,359 0,784

La variance 27,015 6,701 25,781 6,300 26,774 6,505 25,866 6,341

La corrélation 0,314 0,168 0,176 0,154 0,341 0,165 0,145 0,156

L’entropie 1,796 0,666 1,742 0,656 1,785 0,613 1,750 0,648

La moyenne 7,391 6,068 7,488 6,122 7,406 6,099 7,477 6,119

L’inertie 16,825 5,331 20,605 5,116 15,380 5,299 21,164 5,578

Group.nuence -2,345 -3,479 -1,993 -3,658 -2,896 -4,183 -2,205 -3,220

Gp.prédominence 113,527 24,753 86,920 26,343 119,353 25,862 84,126 24,953

Table. 3. 5- Ordres de grandeurs des paramètres statistiques de la méthode d’Unser Calculés

pour l’image en temps clair et pour l’image référence de Setif.


Orientation

0° 45° 90° 135°

I. temps

clair Image

Réf.

I. temps

clair Image

Réf.

I. temps

clair Image

Réf.

I. temps

clair Image

Réf.

L’énergie 0,040 0,178 0,038 0,178 0,037 0,180 0,033 0,180

L’homog. locale 0,474 0,684 0,414 0,677 0,475 0,694 0,373 0,682

La variance 14,093 7,526 13,729 7,458 14,042 7,772 13,769 7,278

La corrélation 0,177 0,228 0,051 0,199 0,182 0,189 -0,020 0,205

L’entropie 1,672 1,023 1,641 1,007 1,679 0,972 1,671 1,002

La moyenne 5,539 5,986 5,570 6,001 5,547 5,962 5,567 6,003

L’inertie 11,119 5,211 12,754 5,669 11,089 5,380 13,838 5,765

Group.nuence -0,183 -1,849 -0,298 -1,546 -0,132 -1,148 -0,376 -1,662

Gp.prédominence 44,497 30,344 35,095 32,714 44,723 33,663 30,397 31,668

Table. 3. 6 - Ordres de grandeurs des paramètres statistiques de la méthode d’Unser Calculés pour

l’image en temps clair et pour l’image référence de Bordeaux.

3.9.3. Discussion.

Le calcul du paramètre statistique « moyenne », pour des zones plus ou moins

homogènes, revient à prendre le niveau de gris dominant de la fenêtre. Cela est le cas des

résultats propres aux précipitations, sachant que les niveaux de gris de ces derniers sont

inférieurs à ceux correspondants aux échos du sol. Donc, on peut conclure que les zones de

précipitations sont plus homogènes que les zones d’échos fixes.

Cela reste vrai pour le paramètre statistique « variance » qui mesure l’hétérogénéité de

la texture. Ainsi, plus la valeur est grande plus la texture est voisine d’une texture « poivre et

sel ». Comme on peut le voir clairement sur le tableau précédent où les valeurs de la variance

propres aux échos fixes sont sensiblement supérieures à celles propres aux précipitations.

Le paramètres statistique « énergie » permet de mesurer l’uniformité texturale, c’est à

dire la répétition des paires de pixels. Quand l’image considérée est homogène, la valeur de

l’énergie est plus élevée, par contre quand elle possède une texture hétérogène, la valeur de

l’énergie sera faible. Cela confirme une fois de plus que les précipitations ont une texture plus

homogène que les échos fixes.

On remarque aussi que les valeurs du paramètre «inertie » propres aux échos fixes sont

nettement supérieurs à celles propres aux précipitations. Cela est dû essentiellement aux faite

que ce paramètre mesure la différence entre les hautes et les basses valeurs d’un ensemble de

pixels. Ainsi, la valeur de l’inertie est d’autant plus grande qu’il y a de variations locales

importantes ce qui correspond aux zones hétérogènes.

L’application de l’homogénéité locale, à l’inverse de l’inertie, donne un poids plus

grand aux fréquences d’occurrences des zones homogènes. Cela est valable aussi pour les

précipitations qui ont des valeurs « d’homogénéité locale » nettement supérieures à celle des

échos fixes qui sont moins homogènes que les premières.


Ainsi, on peut considérer les zones de précipitations comme étant plus homogènes que

celle des échos du sol. Ces résultats sont en bon accord avec ceux publiés dans la littérature

[Moszkowicz, 1994].

3.9.3. Organigrammes.

Dans notre étude nous avons développé neuf programmes. Ainsi, chaque approche

texturale se caractérisera par deux organigrammes. Le premier permet de rechercher le critère

de classification des échos radar alors que le second sert à éliminer les échos du sol.

Notons que, les deux organigrammes sont presque identiques (voir fig. 3.5 et fig. 3.6).

La seule différence réside dans la fonction de la fenêtre. Ces organigrammes sont appliqués

aux trois approches qui font l’objet de notre étude, soit : la méthode des Histogrammes, la

méthode d’Unser, la méthode des matrices de cooccurrence. Chaque méthode se caractérise

par sa propre condition de filtrage et ses propres paramètres statistiques.


Fig. 3. 5 - Organigramme du critère d’identification.


Fig. 3. 6 - Organigramme de filtrage.


3.10. APPLICATION.

3.10.1. Méthode des Histogrammes.

a). Critère d’identification.

Pour déterminer le critère d’identification ou la condition de filtrage, on applique

l’algorithme 1 (de l’organigramme 1) à l’image en temps clair et à l’image de référence

représentative des échos de précipitations. Cette technique est appliquée au calcul de tous les

paramètres statistiques pour chacun des sites étudiés à savoir Setif et Bordeaux. A partir des

résultats obtenus sous formes de bases de données, on peut comparer les histogrammes de

chaque paramètre. Cette technique de comparaison nous permet de déterminer directement la

condition de filtrage. A titre d’illustration, nous présentons les histogrammes des paramètres

statistiques « moyenne » et « énergie »pour les deux sites.

site de Setif site de Bordeaux

Fig. 3. 7 – Histogrammes du paramètre « moyenne ».

D’après la figure 3.7, on peut voir que le paramètre « moyenne » ne pourra pas être

choisi comme paramètre discriminant, car on constate un large recouvrement des deux

histogrammes aussi bien pour le site de Setif que celui de Bordeaux. C’est le cas aussi pour

les autres paramètres, c’est à dire « la variance », « la dissymétrie », « l’aplatissement » et

« l’entropie », qui excluent toute possibilité de filtrage.

Par contre le paramètre « énergie », permet de distinguer sans ambiguïtés les valeurs

propres aux échos du sol à celles des précipitations, comme le montre la figure suivante :

0

100

200

300

400

500

600

0,2 1,2 2,2 3,2 4,2 5,2 6,2 7,2 moyenne

effectifi.ref t. clair

0

500

1000

1500

0,2 1,2 2,2 3,2 4,2 5,2 6,2 7,2 moyenne

effectif i.ref t. clair



Fig. 3. 8 – Histogrammes du paramètre « énergie ».

En analysant les histogrammes du paramètre « énergie », on peut voir clairement que ce

paramètre prend des valeurs inférieures à 0,33 pour l’image en temps clair et des valeurs

supérieures à 0,33 dans le cas de l’image référence quelque soit le site étudié. Notre critère

d’identification des échos du sol se résume comme suit :

- Si l’énergie « eng » > 0,33 : considérer la fenêtre comme étant des précipitations et

passer à la fenêtre voisine en gardant la couleur du

premier pixel.

- Si l’énergie »eng » 0,33 : considérer la fenêtre comme étant des échos du sol et

remplacer le premier pixel de la fenêtre par un pixel noir.

b). Résultats du filtrage.

On applique l’algorithme 2 (de l’organigramme 2) pour les images, et ceci en prenant en

considération les conditions de filtrages retenues auparavant . Les résultats de classification et

d’élimination des échos du sol sont illustrés par les figures 3.9 et 3.10.

Image bruitée Image filtrée

Fig. 3. 9 – Image de setif avant et après filtrage par la méthode

des histogrammes

0

200

400

600

800

1000

1200

0,025 0,225 0,425 0,625 0,825energie

effectifi. ref t.clair

0

500

1000

1500

2000

2500

0,025 0,225 0,425 0,625 0,825 energie

effectifi. ref i. clair

eng= 0,33 eng= 0,33


Image bruitée Image filtrée

Fig. 3. 10 - Image de bordeaux avant et après filtrage par la méthode

des histogrammes.

D’après ces résultats, on peut voir clairement que d’une part la structure des

précipitations reste pratiquement inchangée, et d’autres part on note une forte atténuation des

échos du sol. Mais on remarque la présence d’échos du sol résiduels. L’application d’un filtre

médian permet d’éliminer parfaitement ces derniers.

Image setif filtrée Image setif filtrée par

filtre médian

Image bordeaux filtrée Image bordeaux filtrée

par filtre médian

Fig. 3. 11 – Images de Setif et bordeaux filtrée par la méthode des histogrammes avant et après

passage par filtre médian.


c). Facteur de réflectivité et taux de précipitations.

Nous allons dans une première étape, estimer les facteurs de réflectivité Z et les taux de

précipitations R des images filtrées pour chaque site avant et après l’application du filtre

médian. Nous allons ensuite comparer nos résultats à ceux obtenus pour l’image bruité et

l’image confectionnée à partir de logiciels de retouches d’images. De même, nous allons

calculer l’erreur relative sur R pour pouvoir enfin estimer les pertes d’informations. Les

résultats sont présentés dans les tables 3.7 et 3.8.

Z

[dBZ]

z

[mm6/m

3]

R

[mm/H]

Erreur sur R

[%]

Img.contaminée 16,818 48,063 0,410 //

Img. Référence 16,322 42,873 0,382 //

Img. Filtrée 16,244 42,111 0,378 1,11

Img. Filtrée (filt.med) 16,238 42,049 0,377 1,20

Table. 3. 7 - Facteurs de réflectivité et taux de précipitations de l’image filtrée de Setif

Avant et après le filtre médian.

Z

[dBZ]

z

[mm6/m

3]

R

[mm/H]

Erreur sur R

[%]

Img.contaminée 7,441 5,547 0,106 //

Img. Référence 7,327 5,404 0,105 //

Img. Filtrée 7,157 5,205 0,102 2,35


Table. 3. 8 : Facteurs de réflectivité et taux de précipitations de l’image filtrée de Setif

Avant et après le filtre médian.

d). Discussion.

D’après les résultats obtenus, on remarque que la méthode des histogrammes donne un

filtrage très satisfaisant en utilisant le paramètre « énergie ». Ceci est illustré sur les images

traitées où on constate que les échos du sol sont quasiment éliminés alors que les échos de

précipitations sont peu affectés aussi bien pour l’image prise à Setif que celle de Bordeaux.

Ce filtrage à été amélioré par l’application du filtre médian. Les pertes d’informations sont

très faibles. Elles sont de l’ordre de 2% avant l’application du filtre médian et de 3% après

l’application du filtre pour les deux sites étudiés. Pour tester les performances de notre

méthode de filtrage, nous avons considéré plus de deux cents images radar contaminées par

les échos en provenance de la surface terrestre. Les erreurs commises sur le taux de

précipitations ne dépassent pas les 4%.


3.10.2. Méthode des Matrices de cooccurrences (MCNG).

3.10.2.1. La méthode des matrices de niveaux de gris.

Dans cette partie, nous allons nous intéresser à l’application de la méthode des matrices

de cooccurrences et ceci en considérant les quatre directions à savoir = 0°, 45°, 90°, 135° .


En comparant les histogrammes des différents paramètres texturaux pour les différentes

directions, on trouve une fois encore que le paramètre « énergie » donne le meilleur résultat.

Mais pour les autres paramètres statistiques à savoir « la variance », « l’entropie »,

« l’inertie », « l’homogénéité locale », « la corrélation », « le groupement de nuances » et « le

groupement de prédominances », on remarque un large recouvrement des histogrammes. A

titre d’exemple, nous allons représenter les histogrammes pour les différentes directions du

paramètre « homogénéité locales » pour les images de référence prise à Setif et à Bordeaux,

illustrés par la fig.3.12 et fig. 3.13.

Site de setif Site de bordeaux

Fig. 3. 12 – Histogramme du paramètre « Homogénéité locale » pour = (0°, 45°,90°).

0

200

400

600

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

homogénéité locale

effectif

i. ref i. clair

0

100200

300

400500

600

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

homogénéite locale

effectif

i. ref i. clair

0

100

200

300

400

500

600

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9



0

500

1000

1500

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

homogéneité locale

effectif i. ref i. clair

0

500

1000

1500

2000

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9


effectif i. ref i. clair

0

500

1000

1500

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9





Fig. 3. 13 – Histogramme du paramètre « Homogénéité locale » pour =135°.

Comme le montre les fig 3.14 et fig 3.15, les histogrammes du paramètre « énergie » ne

se recouvrent pratiquement pas.


Fig. 3. 14 – Histogrammes du paramètre «énergie» pour = (0°, 45°,90°).

0

200

400

600

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9



0

500

1000

1500

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9



0

1000

2000

3000

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

energie


0,18

0

500

1000

1500

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

energie

effectif

i. ref i. clair

0,18

0

1000

2000

3000

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9energie


0,18

0

1000

2000

3000

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

energie


0,18

0

500

1000

1500

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

energie

effectif

i. ref i. clair

0,18

0

500

1000

1500

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

energie

effectif

i. ref i. clair

0,18


.


Fig. 3. 15 – Histogrammes du paramètre «énergie» pour = 135°.

Ce qui nous conduit à choisir le paramètre « énergie » comme critère d’identification et

de fixer la condition de filtrage suivante:

- Si l’énergie « eng » > 0,18 : considérer la fenêtre comme étant des précipitations et passer à

la fenêtre voisine en gardant la couleur du premier pixel.

- Si l’énergie «eng » 0,18 : considérer la fenêtre comme étant des échos du sol et remplacer

le premier pixel de la fenêtre par un pixel noir.


Une fois la condition établie, nous allons appliquer les programmes de filtrages pour

nos deux images contaminées par les échos du sol et pour chacune des quatres directions .

(voir fig 3.16 et 3.17).

Image setif bruitée Image setif filtrée Image setif filtrée par

filtre médian

Fig. 3. 16 - Images de setif avant et après filtrage par la méthode de matrices de cooccurrence et

après le filtre médian pour = 0°.

0

1000

2000

3000

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1energie


0,18

0

500

1000

1500

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

energie


0,18


Image bordeaux bruitée Image bordeaux filtrée Image bordeaux filtrée

par filtre médian

Fig. 3. 17 - Images de bordeaux avant et après filtrage par la méthode de matrices de cooccurrence

et après le filtre médian pour = 0°.

Après le filtrage des images pour = 0° , on peut voir clairement que la surface des

échos du sol a considérablement diminué, alors que celle des précipitations est restée

quasiment inchangée pour les deux sites. De même, la structure des précipitations est

demeurée intacte. Le même travail est appliqué pour la direction = 45°, =90° et = 135°.

Les résultats de traitement sont présentés à travers les fig. 3.18, 3.19 et 3.20.

Fig. 3. 18 - Images de setif et bordeaux avant et après filtrage par la méthode de matrices de

cooccurrence et après le filtre médian pour = 45°.


On constate que quelque soit la direction choisie, la surface et la structure des

précipitations sont restées quasiment intactes alors que la surface des échos du sol a

sensiblement diminué pour devenir presque nulle.


Dans ce paragraphe, nous allons estimer le facteur de réflectivité Z et le taux de

précipitation R pour chaque image filtrées par la méthodes de cooccurrences ( = 0°, 45°,90°,

135° ), ensuite nous allons estimer l’erreur relative sur R afin de voir l’influence du choix de

la direction sur le filtrage . Les résultats sont présentés de la table 3.9 à la table 3.16.

c-1) = 0° :

Z

[dBZ]

z

[mm6/m

3]

R

[mm/H]

Erreur sur R

[%]

Img.contaminée 16,8181 48,0634 0,4102 //

Img. Référence 16,3218 42,8730 0,3819 //

Img. Filtrée 16,2416 42,0882 0,3775 1,15



Avant et après le filtre médian pour = 0°.

Z

[dBZ]

z

[mm6/m

3]

R

[mm/H]

Erreur sur R

[%]

Img.contaminée 7,4408 5,5473 0,1064 //

Img. Référence 7,3270 5,4039 0,1047 //

Img. Filtrée 7,1642 5,2050 0,1022 2,35


Table. 3. 10 : Facteurs de réflectivité et taux de précipitations de l’image filtrée de Bordeaux


c-2) = 45° :

Z

[dBZ]

z

[mm6/m

3]

R

[mm/H]

Erreur sur R

[%]

Img.contaminée 16,8181 48,0634 0,4102 //

Img. Référence 16,3218 42,8730 0,3819 //

Img. Filtrée 16,2449 42,1202 0,3777 1,10





Z

[dBZ]

z

[mm6/m

3]

R

[mm/H]

Erreur sur R

[%]

Img.contaminée 7,4408 5,5473 0,1064 //

Img. Référence 7,3270 5,4039 0,1047 //

Img. Filtrée 7,1706 5,2127 0,1023 2,26




c-3) = 90°:

Z

[dBZ]

z

[mm6/m

3]

R

[mm/H]

Erreur sur R

[%]

Img.contaminée 16,8181 48,0634 0,4102 //

Img. Référence 16,3218 42,8730 0,3819 //

Img. Filtrée 16,2376 42,0495 0,3773 1,20




Z

[dBZ]

z

[mm6/m

3]

R

[mm/H]

Erreur sur R

[%]

Img.contaminée 7,4408 5,5473 0,1064 //

Img. Référence 7,3270 5,4039 0,1047 //

Img. Filtrée 7,1707 5,2128 0,1023 2,26




c-4) = 135° :

Z

[dBZ]

z

[mm6/m

3]

R

[mm/H]

Erreur sur R

[%]

Img.contaminée 16,8181 48,0634 0,4102 //

Img. Référence 16,3218 42,8730 0,3819 //

Img. Filtrée 16,2360 42,0342 0,3772 1,23





Z

[dBZ]

z

[mm6/m

3]

R

[mm/H]

Erreur sur R

[%]

Img.contaminée 7,4408 5,5473 0,1064 //

Img. Référence 7,3270 5,4039 0,1047 //

Img. Filtrée 7,1841 5,2289 0,1025 2,07


Table. 3. 16 :Facteurs de réflectivité et taux de précipitations de l’image filtrée de Bordeaux


d). Discussion.

D’après les résultats des tables 3.9, 3.10,3.11, 3.12, 3.13, 3.14, 3.15 et 3.16 , on constate

que la direction influe très peu sur le filtrage des échos de précipitations. Ceci explique

pourquoi l’approche des histogrammes a donné des résultats satisfaisants dans l’élimination

des échos du sol. Donc, l’application des probabilités du premier ordre suffit amplement pour

la classification des échos radar . En outre, ces résultats montrent que la structure des échos

radar est isotropique si on considère l’erreur commise sur le taux de précipitations.


3.10.3. Méthode d’Unser (SADH).

Dans cette troisième partie, nous allons nous intéresser à l’application de l’approche

d’Unser ou la méthode de la somme et de la différence des histogrammes. Cette approche est

aussi puisante que celle des matrices de cooccurrence et donne des résultats similaires. De

plus, elle nécessite un espace mémoire beaucoup plus réduit que lorsqu’on applique les

matrices de cooccurrence.


Pour la méthode d’Unser, nous trouvons que les paramètres statistiques « moyenne »,

« variance », « inertie », « entropie », « corrélation », « groupement de nuances » et

« groupement de prédominances » ne peuvent pas être utilisés comme paramètres

discriminants entre les deux types d’échos.

Par contre, les paramètres statistiques « énergie » et « homogénéité locale » peuvent

servir à la classification des échos radar pour les quatre directions ( = 0°, 45°, 90°, 135°).

Les (fig. 3.21, 3.22) et (fig. 3.23, 3.24) illustrent le choix des paramètres statistiques retenus

pour l’élimination des échos du sol.

Site de setif (0°, 45°)


Fig. 3. 21 – Histogrammes du paramètre «énergie» pour = (0°, 45°,90°).

0

500

1000

1500

2000

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 energie

effectifi, ref i. clair

0,06

0

500

1000

1500

2000

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9energie

effectif

i, ref i, clair0,06

0

1000

2000

3000

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 energie

effectifi, ref i, clair0,06

0

1000

2000

3000

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 energie

effectif

i, ref i, clair0,06

0

500

1000

1500

2000

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 energie

effectif i, ref i, clair0,06

0

1000

2000

3000

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9energie

effectifi, ref i, clair

0,06



Fig. 3. 22 – Histogrammes du paramètre «énergie» pour = 135°.

Les conditions de filtrage retenues sont les suivantes :

- Si l’énergie « eng » > 0,06 : considérer la fenêtre comme étant des précipitations et passer

à la fenêtre voisine en gardant la couleur du premier pixel.

- Si l’énergie «eng » 0,06 : considérer la fenêtre comme étant des échos du sol et

remplacer le premier pixel de la fenêtre par

un pixel noir.

- pour le paramétre « homogénéite locale » :

site de setif site de bordeaux

Fig. 3. 23 - Histogrammes du paramètre «homogénéité locale» pour = (0°, 45°).

0

100

200

300

400

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9


effectif

i, ref i, clair

0,57

0

200

400

600

800

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9



0,57

0

100

200

300

400

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

homogéhéité locale


0,57

0

200

400

600

800

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1


effectif

i, ref i, clair

0,57

0

500

1000

1500

2000

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9energie

effectifi, ref i, clair0,06

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9energie


0,06


site de setif site de bordeaux

Fig. 3. 24 - Histogrammes du paramètre «homogénéité locale» pour = (0°, 45°).

De la même manière que pour le paramètre « énergie », la condition de filtrage est

comme suit:

- si l’homogénéité locale > 0,57 : considérer la fenêtre comme étant des précipitations et

passer à la fenêtre voisine, en gardant la couleur du

premier pixel.

- si l’homogénéité locale 0,57 : considérer la fenêtre comme étant des échos fixes et

remplacer le premier pixel de la fenêtre par un pixel noir.


La procédure de filtrage reste la même que pour les deux autres méthodes précédentes. Les

fig. 3.25, 3.26, 3.27 et 3.28 illustrent le filtrage des échos du sol par l’approche de la somme et la

différence des histogrammes.

0

100

200

300

400

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9


effectif

i, ref i, clair

0,57

0

100

200

300

400

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9


effectif

i, ref i, clair

0,57

0

200

400

600

800

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1


effectif

i, ref i, clair

0,57

0

200

400

600

800

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1



0,57


- en utilisant le paramètre « énergie ».

Images setif bruitées Images setif filtrées Images setif filtrées par

filtre médian

Fig. 3. 25 - Images de setif avant et après filtrage par la méthode d’Unser et après le filtre médian

pour = (0°, 45°, 90°, 135°)


Images bruitées Images setif filtrées Images setif filtrées par

filtre médian

Fig. 3. 26- Images de bordeaux avant et après filtrage par la méthode d’Unser et après le filtre

médian pour = (0°, 45°, 90°, 135°).


- en utilisant le paramètre « homogénéité locale ».

Images setif bruitées Images setif filtrées Images setif filtrés par

filtre médian

Fig. 3. 27- Site de setif pour = (0°, 45°, 90°, 135°) en utilisant le paramètre

« homogénéité locale ».


Images bordeaux bruitées Images bordeaux filtrées Images bordeaux filtrées par

filtre médian

Fig. 3. 28 - Site de bordeaux pour = (0°, 45°, 90°, 135°) en utilisant le paramètre

« homogénéité locale ».



Comme précédemment, nous allons estimer l’erreur relative commise sur le taux de

précipitations R et étudier l’influence de la direction sur le filtrage. Les résultats sont

regroupés de la table 3.17 jusqu’à la table 3.32.

- en utilisant le paramètre « énergie » :

Z

[dBZ]

z

[mm6/m

3]

R

[mm/H]

Erreur sur R

[%]

Img.contaminée 16,8181 48,0634 0,4102 //

Img. Référence 16,3218 42,8730 0,3819 //

Img. Filtrée 16,2292 41,9677 0,3769 1,31




Z

[dBZ]

z

[mm6/m

3]

R

[mm/H]

Erreur sur R

[%]

Img.contaminée 16,8181 48,0634 0,4102 //

Img. Référence 16,3218 42,8730 0,3819 //

Img. Filtrée 16,2164 41,8448 0,3762 1,49


Table. 3. 18 : Facteurs de réflectivité et taux de précipitations de l’image filtrée de Setif)


Z

[dBZ]

z

[mm6/m

3]

R

[mm/H]

Erreur sur R

[%]

Img.contaminée 16,8181 48,0634 0,4102 //

Img. Référence 16,3218 42,8730 0,3819 //

Img. Filtrée 16,2383 42,0563 0,3774 1,19




Z

[dBZ]

z

[mm6/m

3]

R

[mm/H]

Erreur sur R

[%]

Img.contaminée 16,8181 48,0634 0,4102 //

Img. Référence 16,3218 42,8730 0,3819 //

Img. Filtrée 16,2267 41,9436 0,3767 1,36





- pour l’image de bordeaux :

Z

[dBZ]

z

[mm6/m

3]

R

[mm/H]

Erreur sur R

[%]

Img.contaminée 7,4408 5,5473 0,1064 //

Img. Référence 7,3270 5,4039 0,1047 //

Img. Filtrée 7,1264 5,1599 0,1017 2,88




Z

[dBZ]

z

[mm6/m

3]

R

[mm/H]

Erreur sur R

[%]

Img.contaminée 7,4408 5,5473 0,1064 //

Img. Référence 7,3270 5,4039 0,1047 //

Img. Filtrée 7,1471 5,1845 0,1020 2,59




Z

[dBZ]

z

[mm6/m

3]

R

[mm/H]

Erreur sur R

[%]

Img.contaminée 7,4408 5,5473 0,1064 //

Img. Référence 7,3270 5,4039 0,1047 //

Img. Filtrée 7,1606 5,2007 0,1022 2,40




Z

[dBZ]

z

[mm6/m

3]

R

[mm/H]

Erreur sur R

[%]

Img.contaminée 7,4408 5,5473 0,1064 //

Img. Référence 7,3270 5,4039 0,1047 //

Img. Filtrée 7,3294 5,4069 0,1047 2,17





- en utilisant le paramètre « homogénéité locale » :

Z

[dBZ]

z

[mm6/m

3]

R

[mm/H]

Erreur sur R

[%]

Img.contaminée 16,8181 48,0634 0,4102 //

Img. Référence 16,3218 42,8730 0,3819 //

Img. Filtrée 16,2500 42,1700 0,3775 1,15




Z

[dBZ]

z

[mm6/m

3]

R

[mm/H]

Erreur sur R

[%]

Img.contaminée 16,8181 48,0634 0,4102 //

Img. Référence 16,3218 42,8730 0,3819 //

Img. Filtrée 16,2376 42,0495 0,3773 1,20




Z

[dBZ]

z

[mm6/m

3]

R

[mm/H]

Erreur sur R

[%]

Img.contaminée 16,8181 48,0634 0,4102 //

Img. Référence 16,3218 42,8730 0,3819 //

Img. Filtrée 16,2542 42,2106 0,3782 0,97




Z

[dBZ]

z

[mm6/m

3]

R

[mm/H]

Erreur sur R

[%]

Img.contaminée 16,8181 48,0634 0,4102 //

Img. Référence 16,3218 42,8730 0,3819 //

Img. Filtrée 16,2392 42,0649 0,3774 1,18





- pour l’image de bordeaux :

Z

[dBZ]

z

[mm6/m

3]

R

[mm/H]

Erreur sur R

[%]

Img.contaminée 7,4408 5,5473 0,1064 //

Img. Référence 7,3270 5,4039 0,1047 //

Img. Filtrée 7,1876 5,2332 0,1026 2,02




Z

[dBZ]

z

[mm6/m

3]

R

[mm/H]

Erreur sur R

[%]

Img.contaminée 7,4408 5,5473 0,1064 //

Img. Référence 7,3270 5,4039 0,1047 //

Img. Filtrée 7,1879 5,2334 0,1026 2,02




Z

[dBZ]

z

[mm6/m

3]

R

[mm/H]

Erreur sur R

[%]

Img.contaminée 7,4408 5,5473 0,1064 //

Img. Référence 7,3270 5,4039 0,1047 //

Img. Filtrée 7,1578 5,1973 0,1021 2,44




Z

[dBZ]

z

[mm6/m

3]

R

[mm/H]

Erreur sur R

[%]

Img.contaminée 7,4408 5,5473 0,1064 //

Img. Référence 7,3270 5,4039 0,1047 //

Img. Filtrée 7,1743 5,2171 0,1024 2,21





d). Discussion.

D’après les résultats obtenues, nous pouvant conclure en premier que la méthodes d’Unser

donne un filtrage aussi satisfaisant que celui des deux autres méthodes étudiées précédemment , en

utilisant une fois de plus le paramètre « énergie », mais aussi le paramètre « homogénéité locale ».cela

peut être confirmé par les images obtenues après filtrage dont la structure des précipitations reste

pratiquement inchangée. En second , on peut voir clairement que les valeurs déduites des

histogrammes que ce soit pour le paramètre « énergie » qui est de 0,06 pour setif et pour bordeaux, et

du paramètre « homogénéité locale » qui est de 0,57 pour setif et pour bordeaux réalisent un bon

filtrages des images bruités et ceci pour les quatres directions, d’ou l’on peut considérer que ces deux

valeurs correspondantes à chaque paramètres peuvent être appliquer à n’importe quel image provenant

d’autres radar pour éliminer les échos du sol des échos de précipitations.

3.11. COMPARAISON.

les tableaux représentés ci-dessous résument tous les résultats obtenus pour les trois

approche texturales.

Temps

d’exécution

[s]

Pertes en surfaces

en

[%]

Perte sur R

[%]

Méthode des Histogrammes

Paramètres « énergie » 34 10,7 1,20

Méthode des M.C.N.G

pour les quatres directions

Paramètres « énergie »

0° 41 11,6 1,26

45° 38 10,9 1,23

90° 40 11,8 1,31

135° 39 11,5 1,28

Méthode d’Unser pour

les quatres directions


0° 30 12,3 1,49

45° 28 12,8 1,62

90° 29 12 1,38

135° 27 12,4 1,44



Paramètres « hom. locale »

0° 27 9,9 1,26

45° 24 10,1 1,31

90° 26 9,5 1,15

135° 25 10 1,26

Table. 3. 33 – tableau comparatif des performances de filtrage des trois approches

Texturales sur l’image de Setif.


Temps

d’exécution

[s]

Pertes en surfaces

en

[%]

Perte sur R

[%]

Méthode des Histogrammes

Paramètres « énergie » 71 11,5 3,10

Méthode des M.C.N.G

pour les quatres directions


0° 89 11,6 3,12

45° 85 11,8 3,35

90° 91 12,4 3,73

135° 89 12,1 3,64




0° 73 13,2 3,47

45° 70 12,9 3,26

90° 75 12,1 3,01

135° 71 12,4 3,13



Paramètres « hom. locale »

0° 70 9,9 2,19

45° 68 10,2 2,60

90° 71 10,9 2,85

135° 66 10 2,48

Table. 3. 34 – tableau comparatif des performances de filtrage des trois approches

Texturales sur l’image de Bordeaux.

D’après les résultats obtenus, on remarque que les temps d’exécutions pour filtrer les images

contaminées par les échos du sol restent faibles vu les performances de l’ordinateur (Pentium III,

900Mhz, 64Mo). Cependant, on constate que la méthode d’unser utilisent le paramètre statistique

« homogénéité locale » comme facteur discriminant, et c’est de loin celle où les pertes sont les plus

faibles, ceci pour les images de setif et de bordeaux. Aussi, on remarque que les résultats obtenues

pour les différentes directions de la matrice de cooccurrences et d’unser ne sont pas très différentes

l’une de l’autre, d’où l’influence très faible des directions dans la détermination des paramètres

texturaux.

Chapitre IV : Etude de la théorie des fractales. 70

CHAPITRE IV

Etude de la théorie des fractales

4.1. INTRODUCTION.

Une fractale est en générale une forme non régulière qui apparaît inchangée quand on

l’examine par différentes résolutions [Lovejoy et Mandelbrot, 1985]. Ce terme a été utilisé

pour la première foi par Mandelbrot pour décrire le chaos qui règne dans les phénomènes

naturels [Mandelbrot, 1974]. Si initialement, seuls les objets géométriques étaient à l’origine

de cette approche, de nos jours, le termes fractal se trouve dans plusieurs disciplines,

notamment en hydrologie et dans les sciences de l’atmosphère. C’est dans ce sens que

Lovejoy (1983), examine les aspects du champ de l’intensité de la pluie et en déduit que les

variations respectent des lois d’invariance d’échelles, conduisant à une géométrie fractale. Il

établit ainsi, que le champ de pluie est composé d’un grand nombre de discontinuités (fronts)

dont on n’aperçoit que les importantes, et que les fluctuations existent à toutes les échelles,

fluctuations régies par une loi d’invariance d’échelle. Il en déduit donc que la forme des aires

de pluie est de géométrie fractale. Fort de cette conclusion, nous utiliserons ce caractère

fractale des champs de pluie pour étudier la dimension fractale des échos de précipitations et

des échos du sol des images radar. La question à laquelle on essaiera de répondre dans ce

chapitre est la suivante : la dimension fractale peut elle servir de facteur discriminant entre les

deux types d’échos ?

4.2. HISTORIQUE DE LA THEORIE DES FRACTALES.

La théorie des fractales, due au mathématicien Benoît Mandelbrot, est une théorie qui se

propose d’étudier une certaine famille de formes celles dites «fractales ». Ce qualificatif

aujourd’hui passé dans la langue courante. à été forgé par Mandelbrot en 1975 à partir du latin

«fractus», qui dérive lui même du verbe frangere : casser, mettre en pièces, briser en

fragments irréguliers. Fractal signifie fragmenté, fractionné, irrégulier, interrompu. D’une

façon générale, la théorie fractale est une théorie du brisé, du fractionné, de l’épars ou encore

du grainé, du poreux, de l’enchevêtré, etc… Les formes dont elle traite se caractérisent par

une complexité intrinsèque, par une irrégularité fondamentale qui se manifeste à toutes les

échelles d'observation.

Benoît Mandelbrot a développé sa théorie dans les années 1960, au terme d’un parcours

intellectuel sinueux et en tout cas hors du commun. C’est en effet son approche géométrique

qui lui a permis d’élaborer une théorie qui, si le processus « normal » de la recherche


scientifique avait été suivi, aurait sans doute fini par être formulée, mais seulement plus tard,

par des spécialistes dont la formation intellectuelle aurait exclu des mathématiques comme

celles de peano, cantor, etc. [Mandelbrot,1989].

La théorie fractal ne s’inscrit pas dans le prolongement d’une théorie déjà existante,

mais se présente d’abord et avant tout comme « une nouvelle discipline scientifique » à part

entière. Elle « vient ajouter, explique Mandelbrot, de nombreux “ caractères ” nouveaux à

“l’ alphabet ” que Galilée avait hérité d’Euclide ». Un grand nombre et même la plupart des

formations naturelles ne peuvent pas être représentées adéquatement au moyen des seules

notions de la géométrie euclidienne. Il est clair en effet que « les nuages ne sont pas des

sphères, les montagnes ne sont pas des cônes, les côtes ne sont pas des cercles, l’écorce n’est

pas lisse et l’éclair ne se propage pas en ligne droite »[Mandelbrot,1986]. En assignant à la

géométrie fractale la tâche de modéliser ces formes naturelles oubliées de la géométrie

classique, Mandelbrot ne fait somme toute que reconduire la géométrie à sa vocation

originelle qui est d’être, si l’on se fie à l’étymologie, une mesure (metron) et une description

de la Terre. On peut même dire que la géométrie fractale est la première et la seule géométrie

qui soit véritablement digne de ce nom, c’est-à-dire conforme au projet géométrique lui-

même. La géométrie euclidienne n’est en effet qu’une géométrie partielle, c’est-à-dire une

géométrie parcellaire ou plutôt de la parcelle; elle n’a pas été conçue pour embrasser la Terre

en sa complexité et en sa diversité, mais uniquement pour mesurer les formes au contours

réguliers, d’où l’importance qu’y ont prise les notions de ligne, de plan, de cercle, etc.

4.3. LA DEFINITION D’UN ENSEMBLE FRACTAL.

Qu’est-ce qu’un objet fractal ? Comment et à quoi reconnaître qu’une structure

mathématique est fractale ? Qu’est-ce qui distingue un ensemble fractal d’un ensemble qui ne

l’est pas ? Aussi surprenant que cela puisse paraître, il n’est pas facile de répondre à ces

questions, pourtant fondamentales. Mandelbrot a d’abord pensé introduire la notion

mathématique de dimension . « Une des caractéristiques principales de tout objet fractal est sa

dimension fractal » [Mandelbrot,1989]. La dimension fractale est un « nombre qui quantifie

le degré d’irrégularité et de fragmentation d’un ensemble géométrique ou d’un objet naturel,

et qui se réduit, dans le cas des objets de la géométrie usuelle d’Euclide, à leurs dimensions

usuelles » [Mandelbrot,1989].

Il existe plusieurs manières de mesurer l’irrégularité d’un ensemble, et donc différentes

définitions de cette notion. Nous citerons la dimension de Hausdorff-Besicovitch, la

dimension de Minkowskie-Bouligand et la dimension d’homothétie [Gouyet, 1992]. Toutes

ces dimensions ont la particularité de ne pas être nécessairement entières. Elles peuvent être

fractionnaires (1/2; ¾ ; etc.), ou même irrationnelles ( ). Bien que leur domaine d’application

naturel soit l’univers des structures irrégulières, elles gardent un sens et peuvent être calculées

pour tout ensemble, et donc aussi pour les ensembles réguliers (les lignes, les surfaces, etc.).

4.3.1. Les Dimensions fractales.

Il existe plusieurs définitions de la dimension fractale. Dans le cas d’analyse des nuages,

deux approches sont principalement utilisées . Il s’agit de l’approche aire périmètre [Lovejoy

1982, Lawford 1996, Benner and Curry 1998] et celle de la dimension de Minkowski-

Bouligand ou Box Counting [ lovejoy et al., 1987] .


4.3.1.1. L’approche Aire\Périmétre.

L’approche aire \ périmètre utilise la relation :

P = C ADp/2

(4-1)

où P et A désignent respectivement le périmètre et l’aire de l’écho. C est une constante et Dp

représente la dimension fractale ( valeur supérieure ou égale à 1).

La valeur de Dp caractérise l’irrégularité du contour de l’écho. Théoriquement, la valeur

de Dp pour des contours lisses ou réguliers tels le rectangle ou le cercle vaut 1. La dimension

fractale des nuages peut dépasser dans certains cas la valeur 1,8.

4.3.1.2. La dimension de Minkowski-Bouligand.

La dimension de Minkowski-Bouligand, qu’on appelle également dimension d’entropie,

dimension capacitaire, densité logarithmique, dimension d’information, dimension de

comptage de boites ( box-counting dimension ), etc…, remonte aux années 1930. Elle n’a de

sens, comme la dimension de Hausdorff, que dans les espaces métriques.

Soit donc un sous-ensemble borné F d’un espace métrique E quelconque, par exemple

Rn. Appelons Nd(F) le plus petit nombre de boules de diamètre d nécessaires pour recouvrir F.

La dimension de Minkowski notés dimM(F) est définit par :

dimM(F) = lim

d

1log

FNlog d (4-2)

Lorsque les ensembles sont réguliers, la dimension de Minkowskie coïncide avec la

dimension topologique, comme représenter dans le tableau ci-dessous :

Objet (F) Nd(F) dimM(F)

Boule

Courbe de

longueur L

Surface plane

fermée

1

lim = 0

lim = lim [1 + ] = 1

lim = lim [2 + ] = 2

Tableau. 4. 1 – dimensions de Minkowski-Bouligand pour les ensembles réguliers.

d 0

d

1log

1)( log

d

L

d 0

d

1log

d

Llog

d

1log

2

d

Llog

dlog

(L) log

d 0

dlog

(L) log

d 0

2

d

L


D’après le tableau 4.1 la dimension de Minkowski d’un point est nulle car une boule

suffit pour le recouvrir, et par conséquent la limite d’un point est nulle quel que soit d. La

dimension de Minkowski d’une courbe de longueur L vaut 1 puisque le nombre de boules de

diamètre d nécessaires pour la recouvrir est L/d. De même, la dimension de Minkowski d’une

surface plane fermé est 2, etc. D’une manière générale, la dimension de Minkowski d’une

variété lisse de dimension topologique m est égale à m.

Pour illustrer ce qui a été dit, calculons la dimension de Minkowski-Bouligand (box-

counting) pour un triangle isocèle de coté égale à 1.

Triangle isocèle d = 1 Nd = 1 d = 1/2 Nd = 3

d = 1/4 Nd = 10 d = 1/8 Nd = 36

Fig. 4. 1 - Processus de décomposition par la méthodes des boites (box-counting).

On voit que :

N(1) = 1

N(1/2) = 3 = 1 + 2

N(1/4) = 10 = 1 + 2 + 3 + 4

N(1/8) = 36 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8

En général :

N( (1/2)n

) = 1 + 2 + 3 +………+ 2n.

La dimension de Minkowski-Bouligand représente

la pente de la droite du diagramme de la figure 4.2.

Elle est égale comme on le voit approximativement

à 2. C’est celle d’un ensemble régulier, précisément

une surface plane. Fig. 4. 2 – Diagramme de la dimension de

Minkowski-Bouligand pour la

décomposition d’un triangle.

y = 1,8573x - 0,1027 R 2 = 0,9996

0

1

2

3

4

0 0,5 1 1,5 2 Log(1/d)

Log(N)


4.4. PRINCIPE DE LA METHODE.

L’analyse d’image numérique de télédétection est un champ approprié pour

l’application des fractals en raison de la signification inhérente de l’individu-similitude des

champs de pluie. C’est pour cela que nous avons utilisé ce concept afin de calculer la

dimension fractale Dp des images radar en premier par la méthode aire/périmètre et en second

par la méthode de box-counting.

La méthode aire/périmètre consiste tout d’abord à segmenter et à codifier les différentes

régions de précipitation contenues dans l’image radar (voir fig. 4.3), ensuite à comptabiliser

pour chaque région codifiée le nombre de pixels (s) recouvrant sa surface et le nombre de

pixels (p) qui constitue son périmètre. Ces deux données seront par la suite stockées dans

deux tableaux, l’un propre a la surface et l’autre au périmètre. Enfin, nous représentons par le

nuages de points de la fonction 2*log(p) = f (log(s)) et on trace la courbe de tendance de ce

nuage de point afin de déduire la valeur de la dimension fractale Dp de l’image radar.

Image originale non codifiée image codifiée

Fig. 4. 3 - Codification des différentes régions de l’image radar.

Quant à la méthode box-counting, elle consiste d’abord à la génération de l’image

contour qui ne contient que les contours des régions et non leur surface (voir Fig. 4.4). Puis on

décompose notre image par des fenêtres (boites) de taille [NxN] (par ex : N=2) et on

comptabilise le nombre de boites (s) contenant les pixels de contours des régions. Cette

opération est répétée pour les différentes valeurs de N (N = 2, 4, 8,..,512) (voir fig. 4.5) .

Après cela nous tracerons la courbe de nuage log(s) = f (log(1/N) afin de déduire comme pour

la méthode aire/périmètre la valeur de Dp, c’est à dire la dimension fractale de l’image radar.

Image originale Image contour

Fig. 4. 4 – Génération de l’image contour.


N = 2 , s = 1020 N = 4 , s = 541

N = 8 , s = 252

Fig. 4. 5- Processus de décomposition par la méthodes des boites (box-counting).

4.4.1. Organigramme.

Dans notre étude nous avons développé deux programmes ; le premier correspondant à

la dimension fractale aire/périmètre et le second à la dimension fractale box-counting. Ces

deux organigrammes sont appliqués en premier sur les images radars de l’événement

météorologiques exceptionnel qu’à connu l’Algérie le 09 et 10 novembre 2001. En second,

on appliquera l’organigramme aire/périmètre sur les images de Setif et de Bordeaux étudiées

dans le chapitre 3 afin de connaître si la dimension fractale peut servir de facteur discriminant

entre les deux types d’échos ?.


Fig. 4. 6– Organigramme de la dimension fractale aire/périmètre.


Fig. 4. 7– Organigramme de la dimension fractale box-counting.


4.4.2. Résultats et interprétation.

4.4.2.1. La dimension fractale aire/périmètre.

Dans une première étape nous allons considérer toutes les images radar des journées 09

et 10 novembre enregistrées toutes les 15 minutes. la dimension fractale moyenne de

l’ensemble de notre base de données vaut 1,38. La courbe de la figure 4.8 représente le nuage

de points considéré pour le calcul de la dimension fractale.

Fig. 4. 8 – Dimension fractale moyenne des images radar enregistrées toutes les 15min.

Dans une seconde étape, nous allons considérer les images radar enregistrées toutes les

heures afin de mieux voir la variation de la dimension fractale (fig. 4.9) et de la surface des

échos de précipitations (fig. 4.10).

Fig. 4. 9 – Variation de la dimension fractale des images radar pour chaque heure.

Fig. 4. 10 – Variation de la surfaces des précipitations pour chaque heure.

y = 1,38 x + 0,6121

R2 = 0,9652

0

1

2

3

4

5

6

7

0 1 2 3 4 5

log (s)

2 *

lo

g (

p)

0

0,25

0,5

0,75

1

1,25

1,5

1,75

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48

temp (heures) nov 09/10

dim

. fr

acta

l air

e/p

éri

métr

e

0

2500

5000

7500

10000

12500

15000

17500

20000

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48


su

rfa

ce d

es é

ch

os d

e p

réc.


- Discussion.

D’après les figures 4.8, 4.9, 4.10. on constate que la variation de la dimension fractale

varie entre 1,36 et 1,4, et que sa moyenne est de 1,38. Ces résultats sont en bon accord avec

ceux publiés par la littérature [Lovejoy et al., 1987 ; Lawford., 1996 ; Cahalan et Joseph.,

1989 ; Féral et Sauvageot., 2002].

a) les pluies convectives.

Dans une seconde partie nous allons calculer la dimension fractale des pluies

convectives des événements du 09 et 10 novembre 2001 qui sont ; rappelons le, de fortes

intensités et de faible extension spatiale. Pour les traiter nous allons éliminer tous les échos de

faible réfléctivité c’est à dire ne considérer que les pixels dont l’intensité est supérieur au

onzième niveaux de gris correspondant à 52 dBZ ( voir fig. 4.11).

(a) pluies stratiformes et convectives (b) pluies convectives

Fig. 4. 11 – Filtrage des pluies stratiformes.

La figure 4.12 représente la valeur de la dimension fractale de l’ensemble des images

radar enregistrées tout les 15min, en considérant seulement les pluies convectives.

Fig. 4. 12 -– Dimension fractale moyenne des pluies convectives pour l’ensemble des images radar

enregistrées toutes les 15min.

y = 1,49 x + 0,4368

R2 = 0,8949

0

1

2

3

4

5

0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2 2,25 2,5 2,75 3

log (s)

2 *

lo

g (

p)


- discussion.

La figure précédente montre que la dimension fractale moyenne des pluies convectives

est égale à 1,49, ceci se traduit par les petites surfaces de ces échos c’est à dire que le nombre

de pixels de leur périmètre devient presque égale à celui de la surface, ce qui fait croître la

valeur de la dimension fractale.

4.4.2.2. La dimension fractale box-counting.

Pour cette méthode, nous avons considéré la dimension fractale moyenne pour les

images radar enregistrées toutes les 15 min. Ensuite nous avons étudier la variation de la

dimension fractale calculée toutes les heures. Les résultats sont présentés sur les figures 4.13

et 4.14. On trouve que la dimension vaut 1,38.

Fig. 4. 13 - Dimension fractale moyenne des images radar enregistrées toutes les 15min.

Fig. 4. 14 – Variation de la dimension fractale des images radar pour chaque heure.

- Discussion.

D’après les figures 4.13 et 4.14, nous voyons que la dimension fractale moyenne est

égale à 1,38 et que sa variation pour les 48 heures est presque invariante. Ces résultats

ressemble de très près à ceux obtenus par la méthode aire/périmètre. Ce qui nous conduit à

conclure que la dimension fractale aire/périmètre et la dimension fractale box-counting sont

deux méthodes qui peuvent être utilisées pour caractériser les échos de précipitations et se

valent. De même, nous avons considéré la dimension fractale d’un événement fréquent et

0

0,25

0,5

0,75

1

1,25

1,5

1,75

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48


dim

. fr

acta

l bo

x-c

ou

nti

ng

y = 1,38 x + 0,1961

R2 = 0,9821

0

1

2

3

4

5

0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2 2,25 2,5 2,75 3

log (1/N)

lo

g (

s)


courant pour le nord de l’Algérie. les images traitées sont celles collectées durant le mois de

Janvier 2001. Ces images décrivent divers types de précipitations. Elles représentent, soit des

pluies stratiformes, soit des pluies convectives. on trouve que la dimension fractale quelque

soit la méthode utilisée vaut 1,38 (fig. 4.15).

Fig. 4. 15 – Dimension fractale moyenne des images radar de janvier 2001.

En outre, nous avons considéré des échos de pluie enregistrés dans le sud ouest de la

France, précisément dans la région Bordelaise pour la base de données présentée au chapitre

III. La dimension pour ce site vaut 1,37 (Fig. 4.16). Ces résultats montrent que la dimension

fractale est invariante quelque soit le type de pluie et le site considéré. Nos résultats sont

identiques à ceux publiés dans la littérature, nous citons à titre d’exemple les travaux

[Lovejoy., 1982 ; Rys et Waldvogel.,1986] pour les images radar prise au Canada et [Cahalan

et Joseph., 1989] pour des images prise en Israël.

Fig. 4.16 – Dimension fractale de Bordeaux.

y = 1,38 x + 0,6859

R2 = 0,9531

0

1

2

3

4

5

6

7

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

log (s)

2 *

lo

g (

p)

y = 1,37 x + 0,6749

R2 = 0,9786

0

1

2

3

4

5

6

7

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5

log (s)

2 *

log

(p)


0

1

2

3

4

5

6

0 0,22 0,44 0,66 0,88 1,1 1,32 1,54 1,76 1,98

dim. fractal

effectif i.clair i.ref

0

1

2

3

4

5

0 0,24 0,48 0,72 0,96 1,2 1,44 1,68 1,92dim. fractal

effectif i.clair i.ref

y = 1,56 x + 0,361

R2 = 0,9634

0

1

2

3

4

5

6

7

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

log (s)

2 *

lo

g (

p)

y = 1,4 x + 0,6266

R2 = 0,9816

0

1

2

3

4

5

6

7

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5

log (s)

2 *

lo

g (

p)

4.4.3. Filtrage des images radar par la dimension fractale.

Comme pour la méthode de filtrage par approches statistique, le filtrage des images

radar par la méthode de la dimension fractale consiste à constituer deux bases de données

pour les images de Setif et de Bordeaux. La première base de données représente la dimension

fractale des échos de précipitations de l’image de référence et la seconde base de données la

dimension fractale celle des échos du sol. ces données sont ensuite représentées sous forme

d’histogrammes. Les résultats obtenus sont représentaient par les Fig. 4.17.


Fig. 4.17 – Histogrammes de la dimension fractale.

Aussi, nous avons calculé la dimension fractale des échos du sol pour Setif et pour

Bordeaux (Fig. 4.18). Elles valent respectivement 1,56 et 1,4.


Fig. 4.18 – Dimension fractale des échos du sol de Setif et de Bordeaux..

- Discussion.

En analysant les histogrammes du paramètre « dimension fractale » des échos de

précipitations et des échos du sol, on constate un large recouvrement des deux histogrammes,

aussi bien pour l’image de Setif que celle de Bordeaux, ce qui nous permet de déduire que la

« dimension fractale » ne constitue pas un paramètre discriminant pour le filtrage des images


radar. De même, on constate que la dimension fractale des échos du sol est plus grande que

celle des précipitations. Le radar de Setif est entouré de reliefs montagneux alors que le radar

de Bordeaux est installé dans une région pratiquement plate, ceci explique la forte valeur de la

dimension fractale des échos du sol de la région de Setif car le contour est très irrégulier.

4.5. CONCLUSION.

D’après les résultats obtenus, nous pouvons conclure que la dimension fractale peut

caractériser les types de précipitations stratiformes ou convectives et que sa valeur est

invariante dans le temps et dans l’espace. Aussi le calcul de la dimension fractale par la

méthode aire/périmètre ou par la méthode box-counting donne approximativement les même

résultats. Enfin la dimension fractale ne constitue pas un paramètre discriminant pour le

filtrage des images radar.

Conclusion générale 84

Conclusion générale

Le but de notre travail est l’élimination des échos du sol par l’analyse de la texture des

échos radar. Cette étude à été effectuée sur des images provenant de deux sites différents l’un

situé à Setif (Algérie) et l’autre situé à Bordeaux (France). Deux techniques d’élimination ont

été développée. La première basée sur l’approche statistique de la texture, à savoir la méthode

des histogrammes, la méthode des matrices de cooccurrences et la méthode d’Unser. La

seconde technique consiste quant à elle au calcul de la dimension fractale des échos de

précipitations et des échos du sol.

Les principaux résultats obtenus concernant l’approche statistique montrent que les

paramètres statistiques énergie pour les histogrammes et les matrices de cooccurrences, ou

homogénéité locale et énergie pour la méthode d’Unser apportent une discrimination parfaite

entre les échos provenant de la surface terrestre et les échos de précipitations avec une perte

d’information maximum de 4% sur le taux de précipitations et une élimination quasi totale

des échos parasites, et ceci quelque soit la direction considérée pour la matrice de

cooccurrences et la méthode d’Unser. Aussi, la combinaison de différents paramètres

statistiques n’améliore pas le filtrage des échos de précipitations.

D’autre part, le calcul de la dimension fractale des échos radars par la méthode

aire/périmètre et par la méthode box-counting permet en effet de caractériser la variation des

échos de précipitations mais ne permet pas l’identification des échos du sol des échos de

précipitations. D’ou l’on peut conclure que l’approche statistique de la texture reste une

meilleure technique pour la classification des deux types d’échos et ceux pour n’importe quel

site radar.

Annexe.

ANNEXE

Les couches atmosphériques.

Exosphère.

Partie la plus externe de l'atmosphère terrestre,

située à partir de 500 km (au-dessus de l'ionosphère).

De faible densité, elle est constituée de molécules qui

peuvent (avec une forte probabilité) s'échapper de

l'attraction terrestre vers l'espace intersidéral.

Thermosphère.

Se situe à 85 km d’altitude a une température

500°C.

Mésosphère.

Région de l'atmosphère située entre 50 et 85

km d'altitude, au-dessus de la stratosphère.

La température s'élève jusqu'à -10°C à 50 km et

redescend à -90°C à 80 km d'altitude (mésopause).

Stratosphère.

Située dans l'homosphère entre la troposphère

et la mésosphère (à des altitudes comprises entre 11

et 50 km environ).

Troposphère.

Région de l'atmosphère située en dessous de la stratosphère (à des altitudes comprises

entre 0 et 11 km environ), La troposphère est le siège des transferts de l'énergie des masses

d'air, par convection thermique. Ces mouvements qui régissent le climat, évitent

l'échauffement de la surface terrestre. La température y décroît globalement avec l'altitude,

sauf localement en cas d'inversion de température.

Ionosphère.

Région de l'atmosphère située entre 60 et 500 km environ contenant des particules

ionisées par le vent solaire. L'existence de l'ionosphère a été découverte en même temps par

Kenelly et Heaviside (1902). Appleton mit en évidence l'influence de couches de cette région

sur la propagation des ondes radioélectriques (1924). L'ionosphère joue le rôle de réflecteur

de certaines ondes électromagnétiques, notamment des ondes radio. Les hyperfréquences

convenablement dirigées sont insensibles à l'action perturbatrice de l'ionosphère.

48Km

18Km

500Km

7 à 18 Km

85Km

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http://www.sciences-en-ligne.com/Dictionnaire/DictionnaireDIST/s/stra07.htm

http://www.sciences-en-ligne.com/Dictionnaire/DictionnaireDIST/h/homo09.htm

http://www.sciences-en-ligne.com/Dictionnaire/DictionnaireDIST/t/trop02.htm

http://www.sciences-en-ligne.com/Dictionnaire/DictionnaireDIST/m/meso08.htm


http://www.sciences-en-ligne.com/Dictionnaire/DictionnaireDIST/s/stra07.htm

http://www.sciences-en-ligne.com/Dictionnaire/DictionnaireDIST/c/conv06.htm


http://www.sciences-en-ligne.com/Dictionnaire/DictionnaireDIST/I/ion001.htm

http://www.sciences-en-ligne.com/Dictionnaire/DictionnaireDIST/s/sola01.htm

http://www.sciences-en-ligne.com/Dictionnaire/DictionnaireDIST/a/appl02.htm

http://www.sciences-en-ligne.com/Dictionnaire/DictionnaireDIST/e/elec49.htm

http://www.sciences-en-ligne.com/Dictionnaire/DictionnaireDIST/r/radi18.htm

http://www.sciences-en-ligne.com/Dictionnaire/DictionnaireDIST/h/hype12.htm

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Résumé.

Pour les radars météorologiques, le clutter du sol induit des erreurs dans l’estimation

des précipitations et rend difficile la mesure hydrologique. Deux méthodes d’analyse de la

texture ont été considérées, la première est l’approche statistique à savoir, l’histogramme, les

matrices de cooccurrences, et la méthode d’unser, la seconde méthode consiste quant à elle au

calcul de la dimension fractale des échos de précipitations et des échos du sol. Appliquées sur

les images radars des régions de Setif (Algérie) et de Bordeaux (France), les résultats

montrent que la dimension fractale ne permet pas l’identification des échos du sol des échos

de précipitations, tandis que les paramètres statistiques énergie et homogénéité locale

identifient ces deux échos avec des erreurs du taux de précipitations qui ne dépasse pas les

4%.

Abstract.

The problem of ground clutter weather radar observation has especially important that

the rainfall data sometimes applied operational hydrology. Two methods of texture analysis

were considered, the first one is the statistics approach, namely, histogram, cooccurrences

matrices, and unser method. The second one is the calculation of the fractal dimension of

precipitations echos and ground echos. Applied on the radar images of Setif (Algeria) and

Bordeaux (France),the result show that the fractal dimension don’t allow the identification of

undesirable radar echos from the precipitations whereas the statistical parameters energy and

homogeneity are good identifiers for these two echos with the error commited on the

precipitation rate less than 4%.

Etude Texturale Et Fractale Des Echos Radar

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