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Chapitre 12

Etude globale de fonctions

Sommaire

12.1 Intervalle de dé�nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

12.2 Variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

12.2.1 Rappels sur les intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

12.2.2 Rappels de la dé�nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

12.2.3 Monotonie et opération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

12.2.4 Lien avec la dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

12.3 Bornes d'une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

12.3.1 Fonction majorée, minorée ou bornée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

12.3.2 Minimum et maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

12.3.3 Borne d'une fonction sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

12.4 Théorème de la limite monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

12.5 Fonctions continues sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

12.5.1 Dé�nition et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

12.5.2 Théorèmes liés à la continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

Dans ce chapitre, nous allons revoir le plan d'étude globale d'une fonction. Ce sera pour nous l'occasionde revoir des propriétés importantes des fonctions, et de parler de continuité sur un intervalle. Cettedernière notion est l'hypothèse centrale de théorèmes puissants en mathématiques.

12.1 Intervalle de définition

On dit que f est une fonction numérique d'une variable réelle s'il existe un sous-ensemble I deR tel que pour chaque réel x ∈ I, il existe un unique réel f(x) associé qu'on appelle l'image dex.

On note :

f :

{I → Rx 7→ f(x)

.

Dé�nition 12.1 (Fonction)

L'ensemble I contenant tous les réels x ayant une image par f est appelé l'ensemble de dé�nitionde f . On le note traditionnellement Df .

Dé�nition 12.2 (Ensemble de dé�nition)

111

CHAPITRE 12. ETUDE GLOBALE DE FONCTIONS

Lorsqu'on étudie une fonction, la première chose à faire est de déterminer son ensemble dedé�nition.

Méthode 12.1

Exercice 12.1. Déterminer les ensembles de dé�nitions des fonctions suivantes :

f(x) = ln

(x− 1

x+ 1

), g(x) = exp

(1

x2

), h(x) =

√x2 − 1.

Une fois l'ensemble de dé�nition déterminé, il faut étudier la fonction sur cet ensemble. Parfois, certainespropriétés de la fonction permettent de réduire l'intervalle d'étude. Voyons cela.

Soit I un sous-ensemble de R. Soit f : I → R une fonction.

� f est dite paire si : ∀x ∈ I, on a −x ∈ I et f(−x) = f(x).

� f est dite impaire si : ∀x ∈ I, on a −x ∈ I et f(−x) = −f(x).

Dé�nition 12.3 (Fonction paire, fonction impaire)

Interprétation graphique :

Figure 12.1 � La courbe représentative d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe desordonnées.

Figure 12.2 � La courbe représentative d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine.

112 Cours ECS1

12.2. VARIATIONS

Exercice 12.2. Les fonctions suivantes ont-elles une parité ?

f(x) =1

x2 + 1, g(x) =

1

x− 2, h(x) = ex − e−x.

Lorsqu'on étudie une fonction paire ou impaire, on peut restreindre l'étude à Df ∩ [0,+∞[ puispar symétrie, en déduire l'étude sur Df ∩ ]−∞, 0[.

Méthode 12.2

Exercice 12.3. Etudier et tracer la courbe représentative de f (Exercice 1.2) sur R.

Soit T > 0. Une fonction f : R→ R est dite périodique de période T si, pour tout x ∈ R, on a

f(x+ T ) = f(x).

On dit qu'une fonction est périodique dès qu'il existe un T tel que f soit périodique de périodeT .

Dé�nition 12.4 (fonction périodique)

Exemple 12.1. Que connaissez-vous comme fonctions périodiques ?

Exercice 12.4. La fonction x→ x− bxc est-elle périodique ?

Si f : R→ R est périodique de période T , alors pour tout x ∈ R et pour tout n ∈ Z, on a

f(x+ nT ) = f(x).

Propriété 12.1 (périodicité)

Lorsqu'on étudie une fonction périodique, on peut restreindre l'étude sur une période (on choisitun x et on étudie la fonction sur [x, x+ T [) et compléter ensuite sur l'ensemble de dé�nitionentier en recopiant.

Méthode 12.3

Exercice 12.5. Etudier et tracer la courbe représentative de la fonction sinus sur R.

12.2 Variations

Lorsqu'on a réduit l'ensemble d'étude de la fonction au maximum, on peut commencer l'étude. La premièrechose à faire sera d'étudier les variations de la fonction.

12.2.1 Rappels sur les intervalles

Les intervalles de R sont des ensembles qui ont une importance considérable en analyse. Rappelonsrapidement ce qu'on appelle un intervalle et comment on peut les caractériser.

https://tatianaaudeval.wordpress.com/ 113

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On appelle intervalle réel un ensemble de nombres délimité par deux nombres réels constituantune borne inférieure et une borne supérieure. Un intervalle contient tous les nombres réelscompris entre ces deux bornes.

Dé�nition 12.5

Cette dé�nition regroupe les 4 types d'intervalles :

� {x ∈ R | a < x < b} = ]a, b[

� {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} = [a, b]

� {x ∈ R | a < x ≤ b} = ]a, b]

� {x ∈ R | a ≤ x < b} = [a, b[

Remarque 12.1

Soit J une partie de R. On a équivalence entre :i) J est un intervalle de R.ii) ∀(x, y) ∈ J2, x ≤ y ⇒ [x, y] ⊂ J .

Propriété 12.2 (Caractérisation)

Dans la suite de cette partie, I et J désignent des intervalles de R.

12.2.2 Rappels de la dé�nition

Soit f : I → R une fonction. On dit que

1. f est croissante sur I lorsque ∀(x1, x2) ∈ I2, x1 6 x2 ⇒ f(x1) 6 f(x2)

2. f est décroissante sur I lorsque ∀(x1, x2) ∈ I2, x1 6 x2 ⇒ f(x1) > f(x2)

3. f est strictement croissante sur I lorsque ∀(x1, x2) ∈ I2, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2)

4. f est strictement décroissante sur I lorsque ∀(x1, x2) ∈ I2, x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2)

5. f est monotone sur un intervalle si elle est croissante ou décroissante sur cet intervalle.

6. f est strictement monotone sur un intervalle si elle est strictement croissante ou stric-tement décroissante sur cet intervalle.

Dé�nition 12.6 (Monotonie)

Il est possible qu'une fonction ne soit ni croissante ni décroissante. Ainsi, comme nous l'avonsdéjà noté, la négation de � f est croissante �n'est pas � f est décroissante �. Qu'elle est-elled'ailleurs ?

Remarque 12.2

Exercice 12.6. Que dire de la monotonie de x→ x2 sur R ?

Exercice 12.7. Etudier, pour α ∈ R, la monotonie de x→ xα dé�nie sur R∗+.

Exercice 12.8. Montrer qu'une fonction strictement monotone est injective

114 Cours ECS1

12.2. VARIATIONS

Si f est strictement croissante sur I, alors pour tout (x, y) ∈ I2, on a :

x ≤ y ⇐⇒ f(x) ≤ f(y) et x < y ⇐⇒ f(x) < f(y).

Le résultat analogue pour f strictement décroissante est vrai.

Propriété 12.3 (équivalence)

�L'intégralité de la proposition précédente n'est pas vraie lorsque la monotonien'est pas stricte. Pourquoi ? Quelle partie reste vraie ?

Remarque 12.3

12.2.3 Monotonie et opération

On peut parfois simpli�er l'étude de la monotonie en exprimant la fonction comme une opération defonctions plus connues ou plus simples.

Si f : I → R et g : J → R avec f(I) ⊂ J , alors :� si f et g sont monotones de même sens, alors g ◦ f est croissante sur I.

� si f et g sont monotones de sens contraire, alors g ◦ f est décroissante sur I.

Propriété 12.4 (composée)

Exercice 12.9. Etudier la monotonie de x→ 1ln(x−3) .

La somme conserve la monotonie mais ce n'est pas le cas du produit. Pourriez-vous trouver uncontre-exemple ?

Remarque 12.4

12.2.4 Lien avec la dérivation

En pratique, dans la plupart des cas, on utilise l'outil de dérivation pour établir les variations d'unefonction. Rappelons rapidement le théorème central qui permet de conclure dans ce cas. Nous reviendronsplus en détails sur la notion de dérivation dans un chapitre futur.

Soit I un intervalle de R. Si f : I → R est dérivable sur I, on a alors :

� si f ′ est nulle sur I, alors f est constante sur I.

� Si f ′ > 0 sur I, alors f est strictement croissante sur I.

� Si f ′ < 0 sur I, alors f est strictement décroissante sur I.

Théorème 12.1 (Lien dérivée et variations)




�Les deux derniers points restent vrais si f ′ s'annule en un nombre �ni de points(par exemple la fonction x 7→ x3 sur I = R).

Si f ′ s'annule sur un nombre non �ni de points, le résultat reste vrai en enretirant les � strictement �.

Remarque 12.5

�Il est très important que I soit un intervalle pour que ce théorème soit vrai !Pourquoi ?

Pour étudier les variations d'une fonction, on pourra :

� Véri�er que la fonction est dérivable sur l'intervalle que nous intéresse.

� Calculer la dérivée et conclure grâce au Théorème précédent.

Lorsqu'on utilise la dérivation pour étudier les variations d'une fonction, on présente les résul-tats sous forme d'un tableau de variation.

Méthode 12.4 (Etudier les variations d'une fonction en la dérivant)

12.3 Bornes d’une fonction

Une fois les variations de la fonctions établies, on peut regarder si la fonction est bornée.

12.3.1 Fonction majorée, minorée ou bornée

Soit I ⊂ R et f : I → R. On dit que :

� f est majorée s'il existe M ∈ R tel que, pour tout x ∈ I, on a f(x) ≤M .

� f est minorée s'il existe m ∈ R tel que, pour tout x ∈ I, on a f(x) ≥ m.

� f est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Dé�nition 12.7 (Fonction majorée, fonction minorée)

�Les bornes M et m ne doivent pas dépendre de x !

Remarque 12.6

116 Cours ECS1

12.3. BORNES D'UNE FONCTION

� Une fonction n'est pas toujours soit minorée soit majorée. Ainsi, la négation de � fminorée �n'est pas � f majorée �. Qu'elle est-elle ?

� Un majorant, lorsqu'il existe, n'est pas unique. Il en existe même alors une in�nité.

Remarque 12.7

Soit I ⊂ R et f : I → R. On a alors f est bornée si et seulement si |f | est majorée.

Propriété 12.5 (bornée)

� Il est souvent plus rapide et plus simple de montrer que |f | est majorée pour montrerque f est bornée.

� Pour exhiber une majorant ou un minorant d'une fonction, on raisonnera souvent parun enchaînement d'inégalités.

Méthode 12.5 (recherche de majorant et de minorant d'une fonction)

Exercice 12.10. � La fonction g : x 7→ 1√1+x2

dé�nie sur R admet-elle un majorant ? Un mino-rant ?

� La fonction h : x 7→ 2+cos(x)3 dé�nie sur R est-elle bornée ?

12.3.2 Minimum et maximum

Si la fonction est majorée ou minorée, il se peut (ce n'est pas systématique !) que les bornes soient atteintes.On peut ainsi dé�nir le minimum et le maximum d'une fonction.

Soit I ⊂ R et f : I → R. Soit x0 un élément de I. On dit que f admet un maximum en x0 surI si,

∀x ∈ I, f(x) ≤ f(x0).

On a la dé�nition équivalente pour le minimum.

Un extremum désigne un minimum ou un maximum.

Dé�nition 12.8 (Maximum, Minimum)

Nous reviendrons avec plus de rigueur sur ces notions dans un chapitre futur. Mais vous savezdéjà qu'un tableau de variation est un bon outil pour étudier les extrema d'une fonction.

Remarque 12.8

Lorsqu'une fonction est dérivable, on pensera à dresser un tableau de variation pour étudierl'existence potentielle d'extrema.

Méthode 12.6 (Etudier les extrema d'une fonction)




Exercice 12.11. La fonction f : x→ 3x2 + 2x+ 1 admet-elle des extrema sur [−1, 1] ?

12.3.3 Borne d'une fonction sur un intervalle

Soient I ⊂ R (I 6= ∅) et f : I → R.

� Si f est majorée sur I, l'ensemble f(I) est une partie non vide et majorée de R. Elleadmet donc une borne supérieure notée sup

If . Sinon, on pose sup

If = +∞.

� Si f est minorée sur I, l'ensemble f(I) est une partie non vide et minorée de R. Elleadmet donc une borne inférieure notée inf

If . Sinon, on pose inf

If = −∞.

Dé�nition 12.9 (Bornes d'une fonction)

Exemple 12.2. La fonction f : R∗+ → R qui à x associe 1x admet une borne inférieur sur R∗+ (à savoir

0) mais pas de borne supérieure �nie.

12.4 Théorème de la limite monotone

Lorsqu'une fonction est monotone et majorée ou minorée, on peut en dire des choses intéressantes.

Soient (a, b) ∈ R et f : ]a, b[→ R une fonction croissante.

� Si f est majorée sur ]a, b[, alors f admet une limite �nie en b, sinon limx→b

f(x) = +∞.

� Si f est minorée sur ]a, b[, alors f admet une limite �nie en a, sinon limx→a

f(x) = −∞.

� En tout x0 ∈ ]a, b[, f admet une limite à gauche et à droite et

limx→x−0

f(x) ≤ f(x0) ≤ limx→x+

0

f(x).

On a le résultat analogue si f est décroissante sur [a, b[.

Théorème 12.2 (Théorème de la limite monotone)

Lorsque f est croissante sur ]a, b[, on a limb

= sup]a,b[

f et lima

= inf]a,b[

f

Remarque 12.9

12.5 Fonctions continues sur un intervalle

Nous allons maintenant généraliser la notion de continuité en un point que nous avions vue dans leChapitre 8 en continuité sur un intervalle.

118 Cours ECS1

12.5. FONCTIONS CONTINUES SUR UN INTERVALLE

12.5.1 Dé�nition et premières propriétés

Soit I un intervalle de R. On dit que f : I → R est continue sur I si f est continue en toutpoint de I.

On note C(I) ou C(I,R) l'ensemble des fonctions continues sur I.

Dé�nition 12.10 (Continuité sur un intervalle)

Soit I un intervalle de R. Soient (f, g) ∈ C(I). Soit λ ∈ R. On a alors,

� f + g, λf , fg sont des éléments de C(I).

� si de plus g ne s'annule pas, alors fg est un élément de C(I).

Propriété 12.6 (Continuité et opérations)

Si I et J sont deux intervalles de R, f ∈ C(I) et g ∈ C(J) avec f(I) ⊂ J , alors g ◦ f ∈ C(I).

Propriété 12.7 (Continuité et composition)

Exercice 12.12. Montrer que les fonctions suivantes sont continues sur leur intervalle de dé�nition.

1) f : x 7→√− ln(1− x2).

2) g qui à x ≥ 0 associe√x2 + x et à x < 0 associe exp

(1x

).

Pour montrer qu'une fonction est continue sur un intervalle :

� on se ramène à des fonctions usuelles par opérations pour les points sans problème.

� on étudie les points à problème comme dans le Chapitre 8.

Méthode 12.7 (Montrer qu'une fonction est continue sur un intervalle)

12.5.2 Théorèmes liés à la continuité

La notion de continuité est centrale en mathématiques car elle est l'hypothèse de théorèmes puissants etfondamentaux dans l'étude globale des fonctions.

Théorème des valeurs intermédiaires

Soient (a, b) ∈ R2 tel que a < b et f une fonction continue sur [a, b]. Alors, pour tout réel kentre f(a) et f(b), il existe un réel c entre a et b tel que f(c) = k.

Théorème 12.3 (TVI)




�Ce théorème des valeurs intermédiaire ne donne pas l'unicité de c. Il ne fautpas le confondre avec le théorème de la bijection. Pour obtenir en plus l'unicité,il nous faut un argument d'injectivité (par exemple, une stricte monotonie !).Nous verrons cela plus loin dans ce chapitre.

Remarque 12.10 (c n'est pas unique)

La démonstration par dichotomie que nous venons de faire permet, en pratique, de détermi-ner numériquement une valeur approchée d'une solution x de l'équation y = f(x). Nous enreparlerons en détails dans le TP Scilab sur la dichotomie.

Remarque 12.11 (Valeur approchée)

Exercice 12.13. Justi�er que l'équationln(x)

x=

1

3possède au moins une solution sur l'intervalle [1; 3].

Sous les hypothèse précédentes, en particulier, si f(a)f(b) ≤ 0, alors il existe c ∈ [a, b] tel quef(c) = 0.

Corollaire 1

Exercice 12.14. Pour (a, b, c) ∈ R3, montrer que l'équation x3 + ax2 + bx + c = 0 possède au moinsune solution réelle. Pourrions-nous généraliser ce résultat ?

Exercice 12.15. Soient f et g deux fonctions de [a, b] dans R continues. On suppose que f(a) ≤ g(a)et f(b) ≥ g(b). Montrer qu'il existe x ∈ [a, b] tel que f(x) = g(x).

Soient I un intervalle de R et f : I → R une fonction continue, alors f(I) est un intervalle deR.

Corollaire 2

1. Considérons la fonction f : x 7→ x2 continue sur R.Alors f(] − 1, 2]) = [0, 4] : l'image de l'intervalle ] − 1, 2] par f continue est bien unintervalle, mais il n'est pas de même nature. (l'un est fermé, l'autre est semi-ouvert).

2. Considérons la fonction g : x 7→ 1x continue sur ]0, 1], intervalle borné. On trouve

g(]0, 1]) = [1,+∞[ intervalle non borné, qui de plus n'est pas ouvert du même côté !Donc l'intervalle image n'a pas nécessairement les mêmes propriétés que l'intervalle dedépart.

3. Conclusion : les extrémités de l'intervalle f(I) sont infIf et sup

If mais on ne peut sans

hypothèses supplémentaires a�rmer si ces extrémités sont ouvertes ou fermées. Un bonoutil pour répondre rigoureusement à cette question est le tableau de variation :

Remarque 12.12 ( Nature de l'intervalle image )

Exercice 12.16. Soit f : I → R une fonction continue sur un intervalle I. On suppose que f n'est nimajorée ni minorée. Montrer que f est surjective.

Exercice 12.17. Soit f une fonction continue sur [0, 1] et à valeurs dans [0, 1]. Montrer que l'équationf(x) = x admet au moins une solution sur [0, 1] (i.e. que la courbe Cf coupe au moins une fois la premièrebissectrice).

120 Cours ECS1


Image d'un segment par une fonction continue

On appelle segment de R tout intervalle de la forme [a, b] avec (a, b) ∈ R2.

Dé�nition 12.11 (segment)

Exemple 12.3. [8, 9] est un segment, mais ]0, 1] n'en est pas un.

Soit f : I → R avec I un intervalle de R.1) Si f est majorée et sup

If ∈ f(I), on dit que f atteint sa borne supérieure ou que f a un

maximum.

2) Si f est minorée et si infIf ∈ f(I), on dit que f atteint sa borne inférieure ou f a un

minimum.

Dé�nition 12.12 (Fonction atteignant ses bornes)

Pourquoi cette dé�nition est-elle équivalente à celle que nous avons donnée plus haut ?

Remarque 12.13

L'image d'un segment [a, b] par une fonction continue est un segment.

En particulier, si f est continue sur [a, b], alors elle est bornée sur [a, b] et atteint ses bornes.

Théorème 12.4 (Image d'un segment par une fonction continue)

Ce théorème est équivalent à dire que si f : [a, b] → R est continue, alors f([a, b]) est unesegment et il existe c ∈ [a, b] et d ∈ [a, b] tels que : f(c) = min

[a,b]f et f(d) = max

[a,b]f . En d'autres

termes, on a f([a, b]) = [min[a,b]

f ; max[a,b]

f ].

Remarque 12.14

�Attention, l'hypothèse � être sur un segment �est cruciale. Etudier le contre-exemple x 7→ 1

x sur ]0, 1[.

Il ne faut pas confondre f([a, b]) et [f(a), f(b)] qui sont di�érents en général. Etudier le contre-exemple f : x 7→ x2 continue sur [−1; 2].

Remarque 12.15




Sous les hypothèses du théorème précédent, on a

1. si f est de plus croissante sur [a, b] alors max[a,b]

f = f(b) et min[a,b]

= f(a)

donc f([a, b]) = [f(a), f(b)]

2. si f est de plus décroissante sur [a, b] alors max[a,b]

f = f(a) et min[a,b]

= f(b)

donc f([a, b]) = [f(b), f(a)]

Propriété 12.8 (Cas particuliers : fonction monotone)

Exercice 12.18. Soient f et g deux fonctions continues sur [a, b] et telles que ∀x ∈ [a, b], f(x) < g(x).Montrer qu'il existe α > 0 tel que ∀x ∈ [a, b], f(x) ≤ g(x)− α.Exercice 12.19. Soient f : R → R bornée et g : R → R continue. Montrer que g ◦ f et f ◦ g sontbornées.

Image d'un intervalle par une fonction continue strictement monotone

Si I est un intervalle et f une fonction continue et strictement monotone sur I, alors f(I) estun intervalle donné par le tableau suivant :

f \ I [a, b] [a, b[ ]a, b] ]a, b[

strictement croissante [f(a), f(b)] [f(a), limbf [ ] lim

af, f(b)] ] lim

af, lim

bf [

strictement décroissante [f(b), f(a)] ] limbf, f(a)] [f(b), lim

af [ [lim

bf, lim

af [

Propriété 12.9

Théorème de la bijection

Maintenant que nous savons justi�er rigoureusement la forme de f(I), nous pouvons utiliser proprementle théorème de la bijection.

Si f est continue et strictement monotone sur I, alors f réalise une bijection de I sur f(I).En outre, sa réciproque f−1 est continue sur f(I), strictement monotone et sa monotonie estcelle de f.

Théorème 12.5 (Théorème de la bijection)

Ainsi, si on ajoute l'hypothèse de stricte monotonie sur f , on obtient l'existence et l'unicitéde la solution pour toute équation du type f(x) = k, où k est situé entre f(a) et f(b) (situéstrictement entre les limites de f en a et en b dans le cas d'un intervalle ouvert).

Remarque 12.16

Si f est bijective de I sur f(I), le graphe de f−1 dans un repère orthonormé s'obtient à partirde celui de f par symétrie par rapport à la première bissectrice (droite d'équation y = x).

Théorème 12.6

122 Cours ECS1


Exercice 12.20. Soit f : R∗+ → R dé�nie par

f(x) = x− ln(x).

Cette fonction est-elle une bijection ? Si oui, tracer la courbe représentative de f et celle de f−1.

Si f est continue et strictement monotone sur [a, b] et f(a)f(b) < 0, alors ∃! c ∈ [a, b] / f(c) = 0.

Propriété 12.10

Ce théorème permet donc d'obtenir l' existence et l'unicité de solutions d'équation du typef(x) = 0.

Remarque 12.17

Lorsqu'on ne peut pas résoudre l'équation de manière algébrique, on applique le théorème dela bijection à chacun des intervalles sur lesquels f est strictement monotone.

Méthode 12.8 (Equation f(x) = k, lorsque f est continue)

Exercice 12.21. 1. Montrer que l'équation x3 − 3x2 + 1 = 0 possède une unique solution dansl'intervalle ]2,+∞[. Existe-t-il d'autres intervalles où cette équation a des solutions ?

2. Montrer que l'équation x ln(x) = 1 possède une unique solution sur R∗+, qu'on notera α, puisjusti�er que 1 < α < e.

On écrira un programme Scilab, utilisant la méthode de dichotomie, permettant d'obtenir unevaleur approchée d'une racine de l'équation lnx+ x = 2 dans l'intervalle [1, 2].

Remarque 12.18

Exercice 12.22 (A retenir). Montrer que la fonction tangente réalise une bijection de]−π2 ,

π2

[dans un

intervalle à déterminer. On appelle son application réciproque la fonction arctangente, notée arctan.



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