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Etude et réglage des systèmes asservis 2

I. Rappel sur les systèmes asservis 1.1. Objet d’un asservissement. 1.2. Structure de base d’un système asservi. 1.3. Fonction de transfert en boucle fermée. 1.4. Fonction de transfert en boucle ouverte. 1.5. Cas particulier du retour unitaire.

II. Performances des systèmes asservis 2.1. Précision en poursuite. 2.2. Précision en régulation. 2.3. Stabilité en fonction de la nature des pôles. 2.4. Critère graphique de stabilité. 2.5 Stabilité relative. 2.6. Rapidité. 2.7. Consigne des systèmes asservis. 2.8. Synthèse sur les performances des systèmes asservis

III. Correction des systèmes asservis 3.1. But et place du correcteur. 3.2. Correcteur proportionnel. 3.3. Correcteur intégral. 3.4. Correcteur proportionnel intégral. 3.5. Correcteur proportionnel dérivé. 3.6. Correcteur à avance de phase.

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III. Correction des systèmes asservis 3.1. But du correcteur. Le correcteur permet d’améliorer les performances de l’asservissement, c’est à dire : La rapidité (temps de réponse à 5%). La précision (erreur statique indicielle ou erreur de trainage). Les dépassements. La stabilité (marges de phase et de gain).

Toutes ces performances peuvent être étudiées avec le diagramme de Bode de la FTBO. Place du correcteur On place généralement le correcteur après le comparateur. Structure type d’un système asservi :

Pour que le système soit précis (condition nécessaire) le capteur et l’adaptateur doivent avoir le même gain. On peut alors mettre le schéma bloc sous forme de schéma bloc à retour unitaire.

3.2. Correcteur proportionnel KpC )( . Lorsque K augmente () : Le système réagit plus fortement (pour un même écart). Le diagramme de gain de la FTBO translate vers le haut, la pulsation de coupure

au gain unité augmente (tous les systèmes sont des filtres passe bas). La précision , la stabilité , le temps de montée .

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Remarque : Lorsque K , cela peut provoquer des oscillations et des dépassement s de plus en plus importants (diminution de la stabilité), ce qui rend le système moins rapide. D’où l’importance d’avoir des marges de stabilité suffisantes.

Exemple : Soit le système asservi suivant.

Réponse temporelle à un échelon unitaire avec K= 0,2 ; 1 et 4

Diagramme de Bode de la FTBO avec K= 0,2 ; 1 et 4.

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3.3. Correcteur intégral pKpC )( .

Ce correcteur, en apportant une intégration dans la FTBO, permet d’améliorer la précision. Il introduit par contre un déphasage de -90° qui dégrade la stabilité par diminution de la marge de phase. Illustration : Soit le système non corrigé suivant.

Réponse temporelle à un échelon unitaire.

Diagramme de Bode de la FTBO.

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Remarque : Le système n’est pas précis, la marge de gain est infinie et la marge de phase de 40°.

On utilise un correcteur intégral pur avec K = 0,1 ; 0,3 et 0,6.

Réponse temporelle à un échelon unitaire du système corrigé avec K = 0,1 ; 0,3 et 0,6.

Diagramme de Bode de la FTBO du système corrigé avec K = 0,1 ; 0,3 et 0,6.

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K = 0,1 K = 0,3 K = 0,6

3.4. Correcteur proportionnel intégral pTpTKpC

..1.)(

.

Ce correcteur possède 2 réglages : K agit sur le gain. T agit sur la phase.

Ce correcteur améliore : La précision (il apporte une intégration dans la FTBO)

La stabilité (en ajustant le gain). Illustration : Soit le système asservi suivant

).05,01.().1,01(5)(

2 pppH

p

ppC.1,0

.1,01.14,0)(

Réponse temporelle à un échelon unitaire du système non corrigé et corrigé.

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Diagramme de Bode de la FTBO non corrigé et corrigé.

Pour information (pas au programme) : Diagramme de Black de la FTBO non corrigé et corrigé.

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Sans correcteur : Avec correcteur : 3.5. Correcteur proportionnel dérivé ).1.()( pTKpC . Effet : Ce correcteur améliore la stabilité en apportant une phase positive de +90°

pour les hautes fréquences. Remarque : Ce correcteur est purement théorique. En effet, le gain est infini pour les

pulsations infinies. Par contre il est possible de réaliser le correcteur proportionnel dérivé

approché : ).1(

).1.()(p

pTKpC avec T .

Illustration : Soit le système asservi suivant

).5,01.(1)(

2 pppH

).51.(4,0)( ppC

Réponse temporelle à un échelon unitaire du système non corrigé. Le système est instable.

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Diagramme de Bode de la FTBO non corrigé et corrigé.

Réponse temporelle à un échelon unitaire du système corrigé.

Pour information (pas au programme) : Diagramme de Black de la FTBO non corrigé et corrigé.

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3.6. Correcteur à avance de phase.

).1()..1(.)(

pTpTaKpC

avec 1a .

Effet : Ce correcteur apporte une phase positive de +90°. Il permet donc d’améliorer :

La stabilité (augmentation des marges de gain et de phase). La rapidité ((augmentation de la bande passante).

Remarque : Si a très grand, on retrouve un correcteur proportionnel dérivé approché :

)..1.()( pTaKpC

Illustration : Soit le système asservi suivant

).5,01.(20)(

pppH

p

ppC.07,01.21,01)(

Réponse temporelle à un échelon unitaire du système non corrigé.

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Diagramme de Bode de la FTBO non corrigé et corrigé.

Pour information (pas au programme) : Diagramme de Black de la FTBO non corrigé et corrigé.

Réglage d’un correcteur à avance de phase.

Diagramme de Bode du correcteur : pTpTa

pppC

.1..1

.07,01

.21,01)(

Le diagramme de Bode admet 2 cassures : Ta.1

1 et T1

2 .

On a le maximum de phase pour : aTM .

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Pour M :

...

1

.1.1..1)(

ajaj

pTpTapC

La phase maximum est donnée par : 11sin

aa

M

On a aussi : M

Ma

sin1sin1

De plus apC )(

Méthode de réglage d’un correcteur à avance de phase: « a » permet de doser l’apport de phase. « T » permet de positionner l’apport de phase à proximité du point

critique.