Etude du champ proche d’un laser diaphragmé

Etude du champ proche d'un laser diaphragme

A. Kellou et Guy Stephan

A circular aperture is generally used inside a metrologic gas laser to suppress transverse modes. The resonantfield inside the laser or the near field observable at the output display longitudinal or transverse oscillationsdue to diffraction. These fields are different from the Gaussian modes usually obtained from nondiaph-ragmed cavities. This article studies the near field of a diaphragmed laser in both experimental andtheoretical aspects. For this purpose we use a field expansion on the basis of geometrical Laguerre Gaussmodes and we calculate the field diffracted by an aperture, inside a resonant cavity. This allows calculation ofthe measurable field at the laser output. Numerical applications and corresponding experiments are donewith a single frequency laser workingexperimental and theoretical curves.

1. Introduction

Depuis sa premiere observation en 19611 la dissyme-trie de la forme de raie d'6mission d'un laser A gazmonomode fait l'objet d'6tudes intensives: en effetelle est representative du fonctionnement du laser lui-meme et d'autre part sa connaissance est ncessairedans le domaine de la m6trologie pour la constructionde standards de fr6quence. Cette dissym6trie se man-ifeste A la fois dans la forme du Lamb dip et dans cellede toute la raie.

Parmi ses origines, on a d'abord cit6 des causes mi-croscopiques: les collisions atomiques, 2-4 puis descauses macroscopiques liees A la pression du gaz et aucourant de dcharge. 5 Ces causes interd6pendantesconduisent A une h6t6rog6neit6 du milieu5-9 donnantlieu A des effets lentilles complexes rsultant de lavariation transversale du gain et de l'indice qui chan-gent aussi avec la frequence. D'autres causes, li6es A ladistribution du champ ont te formul6es: ainsi on aremplac6 le champ moyen de la th6orie de Lamb 10 parun champ dont l'intensite est variable le long de l'axedu laser et poss6dant une variation transversale Gaus-sienne. 8 ,9,11 De mme on a montr6 que l'h6t6rog6n6itede saturation du champ12 ,13 conduisait A une dissym6-trie de la forme de raie.

When this work was done both authors were with University ofRennes, Department of Atomic and Molecular Physics, Avenue duGeneral Leclerc, F-35042 Rennes CEDEX, France. Guy Stephan isnow with University of Toronto, Physics Department, Toronto,Ontario M5S 1A7.

Received 9 May 1986.0003-6935/87/010076-15$02.00/0.© 1987 Optical Society of America.

on the 3.39-,um Ne line. Excellent agreement is obtained between

Dans le laser, la distribution spatiale du champ estfixee par les conditions aux limites impos6es par lastructure gom6trique de la cavit6. Sa longueur, lesdimensions et position du tube dans la cavit6, les di-mensions et rflectivit6s des miroirs, la position dudiaphragme influent sur la forme de raiel3,1 9-23 en agis-sant sur les propri6t6s du milieu. En fait le milieudevient h6t6rogene pour deux causes diff6rentes: lapremiere est die A la distribution non uniforme radialedes atomes excit6s. Celle-ci dpend du diametre dutube et du courant de dcharge. La seconde est de Ala saturation de la polarisation par le champ lumineux.Ces deux ph6nomenes conduisent A des effets lentillesopposes et selon la gom6trie de la cavit6, c'est l'un ou'autre qui devient pr6pond6rant. Par ailleurs, ces

causes ont fait l'objet de nombreuses tudes dans lecadre de la metrologie laser.1'-18

L'objectif de notre travail est de montrer qu'il existeaussi une relation entre la distribution spatiale externedu champ et la forme de raie sur l'axe. On montreraque cette derniere dpend de l'endroit ou elle est me-sur6e.

On s'int6ressera particulierement aux effets de dif-fraction ds A un diaphragme plac6 A l'int6rieur de lacavit6,juste devant le miroir de sortie. Ce diaphragmeest ncessaire pour l'6limination des modes trans-verses et obtenir ainsi un champ monofrequence.

Garside24 et Troistskii2 5 ont montre que les pertespar diffractions introduites par le diaphragme dpen-dent de la fr6quence, et agissent sur la dissym6trie de laforme de raie. D'autres travaux26,27 ont confirm et6tendu ces premiers rsultats mais jusqu'A pr6sentl'6tude de la distribution du champ n'a 6te faite quT'al'int6rieur de la cavit6: 'aspect original de notre tra-vail est le calcul du champ mergent du laser, sesvariations avec les coordonnees et avec la frequence.

76 APPLIED OPTICS / Vol. 26, No. 1 / 1 January 1987

z',O

Fig. 1. Modele theorique de la cavit6 utilisee: en z = 0, miroir plande coefficient de rflexion RA, en z = d, miroir concave de rayon de

courbure R, et de coefficient de r6flexion RB-

Les conclusions de notre 6tude feront apparaitre queles effets de diffraction influent beaucoup sur la formede raie en champ proche et tres peu en champ lointain.Pour la mener A bien, nous avons adopte le plan sui-vant:

Dans la premiere partie nous rappelons la m6thodeutilisee pour le calcul du champ r6sonnant A l'int6rieuret A l'ext6rieur d'une cavit6 passive diaphragm6e.Pour cela nous utilisons un d6veloppement du champsur une base de fonctions de Laguerre-Gauss. Noustenons compte de 'effet lentille du miroir concavelorsqu'il est travers6 par la lumiere laser ce qui produitune contraction de la figure de diffraction du champexterne.

Dans la deuxieme partie, nous 6tudions la distribu-tion du champ 6mis par un laser diaphragme. En effetla pr6sence d'un milieu amplificateur introduit deseffets lentille variables avec la fr6quence; ceci modifiela geom6trie du faisceau A l'int6rieur du laser et lafigure de diffraction A l'ext6rieur. I en resulte que laforme de raie, i.e., l'intensit6 du laser avec la frequenced6pend consid6rablement de l'endroit oi on la mesure.

La troisibme partie est exp6rimentale: nous utili-sons un laser A He-Ne monomode fonctionnant A 3.39Am pour lequel de nombreux calculs ont d6jA ete faitsau laboratoire. On trouve que 'accord theorie-exp6ri-ence est excellent A la fois qualitativement et quantita-tivement.

11. Distribution du champ resonnant d'une cavite deFabry-Perot diaphragmee

Le but de ce paragraphe est de rappeler les m6thodesque nous avons mises au point pour le calcul du champA l'int6rieur d'une cavit6 r6sonnante diaphragme etque nous 6tendons maintenant pour '6tude A 'ext6r-ieur de la cavit6: ceci nous permettra de comprendrela structure du champ proche observable du laser.

Le modele de cavite que nous 6tudions est repre-sente Fig. 1. I comporte un miroir plan, un miroirconcave et un diaphragme plac6 contre 'un des mir-oirs. Dans la plupart des r6sultats que nous donnons,le miroir de couplage est le miroir concave et le diaph-ragme est place juste contre lui. Le champ propre Al'int6rieur de cette cavit6 est tel qu'il se retrouve iden-tique A lui-meme apres un aller-retour. Le champobservable correspond A l'une des ondes progressivesdu laser transmise et diffract6e par le miroir de cou-plage diaphragme. I faut donc d'abord calculer lesparametres du champ interne puis en deduire le champobservable externe.

L'6quation de propagation du champ issue des 6qua-tions de Maxwell [q. (16) de la Ref. 21] admet commesolutions les fonctions de Laguerre-Gauss Gp avec p =1,2,3.... Ces fonctions sont les fonctions propres duchamp dans une cavit6 non diaphragmee A symm6trieaxiale. I est donc naturel de les utiliser comme basede decomposition dans notre cas. Une methode simi-laire2 8 utilisant les fonctions d'Hermite-Gauss a utilis6e pour calculer le champ resonnant dans unecavit6 instable2 9 avec un milieu en mouvement. Lechamp dans la cavit rsulte de la superposition dedeux ondes progressives:

Ef(r,z) = Ff(r,z) exp(ikz - it),

Eb(r,z) = Fb(r,z) exp(-ikz - it); J(1)

Ff(r,z) etFb(r,z) sont les parties lentement variables duchamp selon les coordonn6es longitudinale z et trans-versale r. On fait ensuite la decomposition:

Ff(r,z) = E fpGfP(rz),

p

(2)

(3)

avec

Gfp(r,z) = W( ) exp[ikr2 /2q(z)] exp[-i(2p + 1)0(z)]LP(X),

(4)

OU

X = 2r2/W2 (z),

1/q(z) = 1/R(z) + 2i/[kW 2(z)],

0(z) = arctan(2z/kW0).

(5)

(6)

(7)

Lp(X) est un polynome de Laguerre d'ordre p. 3 0 Lesquantit6s R et W ont leur signification physiqueusuelle. 3 ' Le mode Gbp s'obtient en changeant k en -kdans (4).

Pour fixer les ides, nous consid6rons le cas o lediaphragme est sur le miroir concave en z = d. Lacondition de Kirchhoff en z = d indique que le champr6flechi vaut:

Eb(r) = RBEf(r) si r < b,to si r> b;

(8)

2b est le diam~tre du diaphragme et RB le pouvoirr6flecteur du miroir. Par ailleurs r et z sont reli6s surle miroir concave par la relation z = R - r2/2R +constante valable en optique paraxiale. On peut alorsrelier les coefficients fp et bp entre eux: La relation:

Eb(r) = E bpGbp(r) exp(-ikz) donne:

p

bp = f dsFb(r)G;P(r) exp(ikz) soit

bp = 7RB Z fq J d(r2 )Gbp(r)Gfq(r) exp(2ikd)q

(9)

1 January 1987 / Vol. 26, No. 1 / APPLIED OPTICS 77

I(z)I(o) ---- champ retour

____ - champ allerb/W(z)=1.2

\I ,/ a

86 172

___--

86 172 258 344 430 Z(mm)

Fig. 2. Distribution de l'intensite sur l'axe des champs rsonnants aller et retour dans une cavit6 pour deux positions differentes dudiaphragme: (a) diaphragme du cte du miroir concave; (b) diaphragme du c6te du miroir plan. Ces courbes ont 6te tracees pour un rapportb/W(z) = 1.2 mm dans les deux cas (a) et (b). 2b est le diametre du diaphragme, et 2W(z) le diametre du faisceau sur le diaphragme. Lenombre de fonctions de Laguerre-Gauss utilis6s est de 60. On remarque que dans les deux cas le maximum d'intensit6, c'est-A-dire le point fo-cal, ne se trouve pas sur le miroir plan; et donc la position du tube a une influence sur la forme de raie. La cavite fait 430 mm de longueur. Le

miroir concave a pour rayon de courbure R = 600 mm.

en utilisant (8). En d6finissant les 6l6ments de ma-trice symm6triques:

Apq = exp[-2i(p + q)Od] J exp(-X)Lp(X)Lq(X)dX, (10)

oa Xb 2b2/W2 (d) on peut 6crire:

bp = RB exp(2ikd -2iOd) 7 Apqfq. (11)q

Par ailleurs la condition de continuite sur le miroirplan s'6crit simplement: RAbp = fp. RA 6tant le pou-voir rflecteur. Dans ces conditions, on voit que lescoefficients fp sont les composantes d'un vecteur pro-pre de l'op6rateur:

Rpq = RARB exp(2ikd - 2iOd)Apq (12)

defini sur la base des fonctions Gfp.La m6thode de Caulfield et al.3 2 permet ensuite de

calculer simplement le vecteur propre correspondant Ala plus forte valeur propre (i.e., aux pertes les moinsgrandes) du laser. I s'agit d'une m6thode iterative etla convergence est tr6s rapide dans notre cas. La Fig. 2illustre ce calcul quand le diaphragme est du cot dumiroir concave [Fig. 2(a)] ou du cot6 du miroir plan[Fig. 2(b)]. Le nombre de fonctions de Laguerre-Gauss utilis6 est 60. On voit que le champ sur l'axe dulaser est constitu6 simplement par une figure de dif-fraction habituelle3 3 -35 repliee.

Calculons maintenant le champ proche observable.Pour cela placons nous toujours dans le cas o le diaph-ragme est contre le miroir concave qui transmet par-tiellement la lumiere vers 'ext6rieur. Dans ce cas lechamp observable correspond au champ transmis parle diaphragme et modifi6 ensuite par le support dumiroir qui joue ici le rle d'une lentille convergente.Le champ incident s'ecrit:

Ej(d) = E apGfp(d) = E(d), (13)p

et de l'autre dote du diaphragme il devient:

E=(d) -Ej(d) pour r < b,E o pour r > b.

En crivant que

Et(d) = I tqGfq(d) (15)q

on pourra calculer la relation entre les tq et les ap:

tq = 7r ap I Gfp(d)G;q(d)d(r2 ). (16)

Les fonctions Gfp sont definies par deux param~tres:la position du point focal, ou pincement et le diam~tre2W en ce point. La lentille constitu6e par le miroir decouplage va modifier ces deux param~tres. Si z est ladistance entre le point focal du faisceau incident A lalentille (z = d dans le cas de la cavit6 vide), on a, enutilisant les formules de Kogelnik and Li31:

W2 = Wzo)/[l + W(2Z)/R(Z)I2 ,

zo = R(Z,)/[1 + R(Zo/V(2ZO)]2.

(17a)

(17b)

z0 et Wo1 repr6sentent, respectivement, l'image de zoet de Wo donn6e par la lentille. Le champ procheobservable s'6crit finalement:

Et(z) = > tqGlfq(z) exp(iwt - ikz), (18)q

ou les Glfq sont les images des Gfq definies A 'aide desrelations (17).

Ill. Champ propre d'un laser diaphragme

Dans un laser, le champ est modifi6 par le milieuactif. Ses parametres longitudinaux, amplitude etphase, varient compte tenu du gain et de la dispersiondu milieu. Comme les equations de Maxwell couplenttoutes les caract6ristiques du champ, il en rsulte queles param~tres transversaux W et R sont galementmodifies. Ces variations changent avec la fr6quence etsont dues aux h6t6rog6n6it6s de saturation (due A la


1.0

0.8

0.6

0.4L

0.2

n0 258 344 430 Z(mm)

I

10

4

2

0

-0.9 -0.6 -0.3 0

IUnitk orb.

8a

ufvg6

Z=200mm4

2

0 ,

0.3 0.6 k Vk Vm- 0.9 -0.6 -03

c

10

8

6Z=400mm

4

2

0 0.3 0.6 w @°kVm

I ,. I 0

- 0.9 -0.6 -0.3

d

Z=500mm

0 0.3 0.6 C J&Jk Vm

Units orb.4rnl

8

6

4

2

-0.9 -0.6 -0.3 0 0.3

10

8b

6

Z=300mm4

2

0.6 k-Wmk Vm

0

- 0.9 -0.6 -0.3 0

Units orb.10

f8

6Z=700mm

4

2

0

0.3 0.6 k Vm° - 0.9 -0.6 -0.3

Unites orb.

e

Z=600 mm

0 0.3 0.6 ( * -uk Vm

Fig. 3. Variation du terme I avec la fr6quence pour divers points de l'axe, Y 6tant le terme de diffraction. On peut noter que ce terme oscille

pour les petites valeurs de z et devient constant assez loin du diaphragme. Les parametres utilis6s pour l'application num6riques sont:diametre du diaphragme 2b = 2.6 mm, miroir de sortie; R = 600 mm, R' = 191 mm; longueur de la cavit6 d = 430 mm.

distribution Gaussienne du champ) et de la population(due aux collisions d6sexcitantes contre les parois). Ilapparait alors un gradient de la polarisabilit6 com-plexe responsable d'effets lentilles. En utilisant uncertain nombre d'approximations explicit6es dans laRef. 21, le champ s'ecrit:

Ff(r,z) = exp[-ief + ir2'nf/(2Wg)] Gf(rz),p

(19)

Fb(r,z) = exp[-ieb -ir?1b/(2W0)] Gb,(r,z);

ff,b repr6sentent les modifications des parametrestransversaux lIqfb par les h6terogen6it6s du milieu etEf,b les modifications longitudinales (gain et depha-sage).

Les 6quations de Maxwell permettent de calculer Ef,b

et ?f,b pour chaque fr6quence et donc les modes d6finispar (4) par une origine zo et un diametre Wo constantssont maintenant remplaces par des modes d6finis parun couple W0(w) et z0 (w) d6pendant de la fr6quence.Les variations R(w) et 5W(w) sont num6riquementcalculables sur le diaphragme en z = d et le couple

Wo(w), zo(co) peut alors facilement etre obtenu en d6ri-vant les equations usuelles:

R = z(1 + A),

W2 = W(1 + A-'),

A = r2W4/X2z2.

(20)

(21)

(22)

On obtient explicitement:

dz(co) = [2A2dbW 2(w)/Wo + (1 -A)bR(O)l/(1 + A)2, (23)

dW2(w) = [2W25R(c)/d + A(1 - A)6W2 (w)]/(1 + A)2 . (24)

Une formule analogue a (18) peut donc encore treutilis6e avec en plus un terme d'amplitude qui estobtenu grace a la condition de rsonance longitudin-ale. 36

Une description simple des ph6nomenes peut etrefaite en se placant dans le cadre de l'approximation laplus basse oi le champ est repr6sente par le modefondamental Gaussien Gfo a l'int6rieur du laser. Dansce cas le champ diffracte s'6crit3 4

,35 en un point M de

l'axe (voir Fig. 1):


l w -. . .

-l | -

-

-| | .

-

IUnits rb. 10 Unit�s orb.

I.

Inlensite

Z= 200mm

a

-0.9 -0.6 -0.3 0 0.3 0.6 k20k Vm

10

6

4

2

I ~~0

IntensiR6(unites arb.)

Z=400mm

C

-0.9 -0.6 -0.3 0 0.3 0.6 °kVm - 0.9 -0.6 -0.3

e

Z=600mm

0 0.3 0.6 "wokVm

i IntensiteI (unites arb.)

b

Z=300mm

10

4

2

0

.0.9 -0.6 -0.3 0 03

d

Z=500mm

2

00.6 w ̀ 0-kVm -0.9 -06 -0.3 0 03 0.6 0-'J

k Vm- 0.9 -0.6 -0.3

f

Z=700mm

0 0.3 0.6 kVkVm

Fig. 4. Variations de l'intensit6 sur l'axe en fonction de la fr6quence pour divers points del'axe. A cause des effets de diffraction qui dpendent de la frequence, la forme de raie surl'axe varie et sa dissym6trie change de c6t6. Vers les grandes distances la forme de raie quiavait un maximum vers les basses fr6quences a tendance se sym6triser parce que 4W > YR

9 (voir texte). Ceci est calcul6 dans le cas du faisceau Gaussien incident. Les paramtresutilis6s pour faire ce calcul sont les m8mes que ceux de la Fig.3. La m6thode de calcul de raie

est celle donn6e dans la Rf. 12.Omm

W(P) 2/W2(P)1(M) = (P) 1 + exp[-2b2 /W'I(P)J - 2 exp[-b /W(P)JW2J(M)

0 0.3 0.6 -Vk Vmkb2 1 1 i

X Cos- ~2 [R 1 (P) z-z1I

= I(P) x .

(25)

(26)

Ainsi l'intensit6 en un point de l'axe d6pend essentiel-lement de deux termes: d'abord l'intensit6 incidentesur le diaphragme I(P) (P se trouve en z = d) quicaracterise le fonctionnement du laser lui-mgme etensuite le terme de diffraction WY responsable d'unedistribution compliquee du champ proche observable.Il en rsulte que la distribution d'intensit6 en fonctionde la fr6quence, c'est-a-dire la forme de raie varie selonle point et la maniere dont on la mesure car dpendde la fr6quence et des coordonn6es.

On a repr6sent6 sur la Fig. 3 les variations du termede diffraction avec la fr6quence pour diff6rentspoints de axe. On peut voir que ce terme pr6sente


arb.)

Z=80O

-0.9 -0.6 -0.3

h

Z=900mm

- 09 -06 -3 0 C3 06 k Vm

_ -

b

Z=400mm

metre de mode W, avec la fr6quence. A partir del'expression (25) de l'intensit6 en un point Mon calculedI(M)/I(M) en fonction de dR(P)/R(P) et dW(P)/W(P):

oU

-0.9 -0.6 -0.3 0 0.3 0.6 09 kVkVm

a

Z=200mm

-0.9 -0.6 -0.3 0 0.3 0.6 0.9

f - R(P) (-2zo1 [Ri(M) R1(P) ][ i

2zo0 2zo, 2Z

R1 (P) R 1 (P) R1 (M)

1 f kb2 2W()

IF112 {R 1(P) exp[-b2 /w2(P)]

kb 2 F 1 1Xsin I + i2 [R,(P) Z - z 0 1JJ/

-4 Z0 z 1o 1 o

FW= (P) R(M) L1-2(P)1 4b2 2/W2)p[ 4b2

+ j exp[-2b 2 /W 2(P)] W2 (P)xF1 IW2(P) c2 ( ZZ

21 Ip]CSkb2 [ 1X exp[-b / ' ( ) o-~-[ 1_ + - zo

C

Z=600mm

- 0.9 -0.6 -0.3 0 0.3 0.6 09 @j °k Vm

Fig. 5. Cas du faisceau rel. Les donn6es utilisees sont les m6mesque celles de la Fig. 4. Le nombre de polynomes utilise est 6gal a 60.

des oscillations importantes en champ proche et de-vient constant en champ lointain. On peut pr6voirque la forme de raie sur l'axe sera sensible A ces oscilla-tions. C'est effectivement ce que l'on observe sur laFig. 4. Cette figure est tracee pour un faisceau Gaus-sien incident et la Fig. 5 pour un faisceau reel avec N =60 polyn6mes. La forme de raie sur l'axe passe d'uneforme oscillante A une forme ayant une dissymetrietant6t A gauche tant6t A droite pour devenir ensuitebeaucoup plus symetrique tres loin du miroir de sortie.Pour expliquer ce changement de dissymetrie par ladiffraction, nous allons 6tudier les variations de l'in-tensit6 en un point z de l'axe en fonction des modifica-tions du rayon de courbure R du faisceau, et du dia-

On a egalement utilis6 (17) et F est la distance focale dela lentille. Ces termes FR et FW repr6sentent respecti-vement les contributions des variations de R et W A ladissymetrie de la forme de raie.

L'6tude de ces facteurs montre qu'ils d6pendentaussi de la position z. Sur la Fig. 6 nous avons repre-sent6 leurs variations en fonction de z. Les oscilla-tions sont dues aux facteurs sin et cos qui apparaissentdans les deux expressions, et qui varient tres rapide-ment pour de petites valeurs de z. Ils deviennentconstants pour les grandes valeurs de z. On remar-quera que dans ce domaine FW est de plus en plusgrand que FR et par cons6quent aura une contributionpr6pond6rante. Sur la Fig. 7 nous avons 6tudi6 leursvariations avec la frequence pour plusieurs positions zsur l'axe. On peut noter lA aussi la pr6sence d'oscilla-tions tres proche du miroir de sortie. Ensuite cestermes deviennent constants vers les grandes distancesavec 4W > R.

En r6sum6, pour les petites valeurs de z, la dissyme-trie de la forme de raie sur l'axe sera sensible auxvariations avec la fr6quence de-R et W, et aux oscilla-tions de la figure de diffraction. Par contre pour lesgrandes valeurs de z, elle ne d6pend plus de ces effets.

IV. Verification experimentale

A. Montage experimental

Afin de mener A bien cette 6tude, nous avons utilis6le montage experimental illustr6 par la Fig. 8. Lacavite r6sonante est constituee d'un miroir plan (MP)en z = 0, de coefficient de r6flexion RA = 1, et d'un


dI(M) dI(P) dR(P) dW(P)I(M) I(P) R (P) W(P)

(27)

(28a)

(28b)

,FW X=-0.2 b=1.3mm-Uni(s rb. R=600mm

a

j1 2 350

450 550 650 750 850

FRUni(es orb.

8L

6

4

2

950 1050 Z(mm) 50

-2

8I- Fw b=1.3mm

Unltes orb. x = 0 R=600mm

hC. .X . b

i 0 350

6

4

2

050

-2

450 550 650 750 850 950 1050 Z(mm)

x=-0.2b=1.3mmR=600mm

B ll \tl\ l | | | * I~~~~~

350 450 550 650 750 850 950 1050 Z(mm)

FRUni(es orb.

x= 0

b=1.3mm

I I I '

150 50 350 450 550 650 750 850 950 1050 Zimm)

x=0.2b=1.3mmR=600mm

4

2

0

450 550 650 750 850 950 1050 Z(mm) Sc

-2

FR

Unites orb.

X0.2 b=1.3mmR=600mm

..

/150 V250 350 450 550 650 750 850 950 1050 Zmm)

Fig. 6. Variation des termes F, et FR avec z pour trois fr6quences rduites diff6rentes: x = 0, 0.2, et -0.2. On a pos x = ( - o)/kvM oci2kvM est la largeur Doppler. Ces deux termes pr6sentent des oscillations en champ proche et deviennent constants en champ lointain. FW estalors croissant tandis que FR est d6croissant. En champ lointain FW est sup6rieur a FR d'environ un facteur 3. Les paramatres utilis6s pour le

calcul num6rique sont les mmes que ceux de la Fig. 5.

miroir concave (MC) de rayon de courbure R et decoefficient de rflexion RB = 0.64. Les valeurs R =600, 850 et 1200 mm ont te utilisees.la longueur dulaser est d = 430 mm. La separation entre modes vautdonc c/(2d) = 348,8 MHz dans le vide. La largeurDoppler dans notre cas est de 300 MHz. On est certainde travailler en monomode longitudinal.

Le tube (T) a une longueur L = 400 mm dont 350 mmsont utiles A la dcharge. Son diametre int6rieur = 4mm a te choisi assez grand pour ngliger les ventuelseffets de diffraction ds A ses bords. Dans ce tubeapres avoir fait le vide A 10-6 Torr, on a introduit unm6lange gazeux He-Ne A la pression totale de 0.5 Torr,et dans le rapport Ne-Ne = 5. On purifie ensuite lemelange par les zolites refroidis A l'air liquide pen-

dant que le laser est allum6. Le tube est ferm6 par desfen8tres de Brewster afin d'obtenir une polarisationfixe dans le laser, et viter ainsi le probleme de lacontre-reaction vectorielle optique37 et ses cons6-quences sur la forme de raie.

Le dtecteur (D) est un monocristal InAs. I formeune cellule photovoltaique dont la surface dtectrice0,04 mm2 est suffisamment faible pour qu'on puisse enpremiere approximation supposer que l'on mesure l'in-tensit6 sur l'axe. Ce dtecteur est oriente oblique-ment par rapport A l'axe afin d'6liminer sa contre-r6action. La tension entre l'anode et la cathoden6cessaire pour entretenir la dcharge est de l'ordre de1 A 2 kV. Le courant est fonction du diametre dudiaphragme et varie entre 3 et 5 mA.


7

5

3

50-1

-3

7

S

3

-1

-3

sForUnites rb.

6

4

2

.5 3S050

-2

-4

. . E s l

-lll jj j i t f . * | | | -

_,lj j j j j. / .

_ j l j j j j jv

150 \�0

Unies arb.

I,' Z=400mm

Uniles rb.0~

6

4c

2

I I 0

-0.9 0.6 0.3 0 0.3 0.6 k Vk Vm

Units arb.

Z=500mm

d

Z=600mm

e

-09 -0.6 -0.3 0 0.3 06 kVk Vm

Unites arb.

__-- ___1 =__----

8

6Z=700mm

4f

2

I ~~003 0.6 ) -Vm

k Vm-0.9 -0.6 -0.3 0 0.3 0.6 k Vk Vm

Fig. 7. Variations des facteurs FR (traits pleins) et Fw (pointill6s) avec la fr6quence pourdivers points de l'axe. Comme on pouvait s'y attendre ces termes d6pendent beaucoup de lafr6quence en champ proche et trds peu en champ lointain. Dans cette r6gion Y, > YR. Les

diff6rents parametres correspondent a ceux de la Fig. 6.

4

2

0

-0.9 -0.6 -03 0

8

6

_~42

0

- 0.9

9

0.3 0.6 k Vk Vm

1 IUnites arb._ _ _ -._ _ - -_-_ _

Z=900mm

h

B. Etude de la distribution longitudinale de de l'intensit6

Les Figs. 9 et 10 repr6sentent le champ calcul6 surl'axe dans le cas d'un faisceau Gaussien incident sur lediaphragme (Fig. 9) ou d'un faisceau laser r6sonnantr6el construit A partir de 30 et 60 polyn6mes de La-guerre. On voit que la position des deux derniersmaxima d6pend peu du modle utilis6. Les r6sultatsexp6rimentaux et les courbes th6oriques correspon-dantes sont indiques Fig. 11 dans les deux cas: R = 600mm et R = 1200 mm. Les positions des deux derniersmaxima sont indiques dans les Tableaux I et II. L'ac-cord th6orie-exp6rience est convenable compte-tenudes incertitudes experimentales. Les ecarts sont dispour plusieurs raisons resultant gen6ralement de laprecision du materiel. De plus les valeurs exp6rimen-tales de Z r6sultent d'une moyenne: en effet on ob-serve pour les maxima d'intensit6 des paliers qui sontde plus en plus grands A mesure qu'on augmente lediametre du diaphragme: ils peuvent varier de 20 A 60mm. De meme nous avons suppos6 en premiere ap-


Unites arb.

a

-O

kVm-09

-0.9

arb.

b

Z=300mm

w-UIJQ

k Vm

10

8

6

4

2

1Cf. |nits arb.

-0.9 -0.6 -03

8

6

Z=800mm

-0.6 -03 0 0.3 0.6 - °k Vm

b

- _

IIIIII

III-,,', O 1 _, , ,

MPx

ditecteur In As

diaphragm. Y IAV

z

secl--1-eur L _ --- I

modulation de source d'alimentation H.T. Y :la cramique osIscp

-~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~oclocp

08s

0,4.

Z mm)

50 170 290 410 530 650 Zmm)

Fig. 8. Montage experimental:MP, miroir plan; MC, miroir con-

cave, T, tube amplificateur.

IL/1mli

b=1,4

mmI ~~~~~R =1200mm,,

I I ~~~~~~~E

01 - - I . . I . .50 170 290 4`10 530 650

50s 17 290 41 5300 650

Z (mmI

E Emm)

50 170 290 410 530 650 z

-IIL/I---

II- I b=0,8 ..I I

I I R=600.m- I I

I I Id

I : I . I I I I I -

0,8

0,4

0(mm)

170 290 410 530 650 Ztmm

* IL/Imal-

I I ~~~~R=1200mm,

I gII

170 290 410 530

IL/I---

i b=0,8.mR=1200..

h

I . 1 . I . I . . . I5 170 290 410 530 650 Zmm

Fig. 9. Distribution de l'intensit6 axale du champ diffract6 Al'ext6rieur du laser pour diff~rents diam~tres du diaphragme et pour deuxrayonsde courbure du miroir concave: (a) R =600mm (R' =191 mm), (b) R =1200 mm (R' =379 mm) etpour une longueur du laser d =430 mm. Onest dans le cas du mod~le du faisceau incident Gaussien. Le miroir de couplage forme une lentille convergente de distance focale (a)-(d) f =685 mm ou (e-(h f = 1352 mm. En champ proche cette intensitA est caract6ris6e par des oscillations. En champ lointain apr~s le derniermaximum, elle devient constante, dcroissante, proportionnelle A /W 2(z). On remarque que les effets de diffraction diminuent quand on

auginente le diain~tre du diaphragme.


50

650 V.mmI

I

0

0,8 -

0,4.

0,1

0'A

0

50 110 170 230 290 350 410 470 530 590 Z(mm)

b=1.3mmR=600mm

50 110 170 230 290 350 410 470 530 590 Z(mm)

Fig. 10. Distribution de l'intensite axiale-diffract6e dans le cas du faisceau reel avec les mames donn6es que pour la figure pr6cedente et pour

deux valeurs du diaphragme. Les courbes en traits pleins sont trac6es pour N = 30 polynomes de Laguerre et celles en pointill6s pour N = 60.

N est le m8me pour les champs incident (non repr6sentes ici) et transmis. La position des derniers maxima est pratiquement la m~me que

dans le cas du faisceau Gaussien. Par contre on observe moins d'oscillations en champ proche.

Fig.m 11 Dstiutonlngtuinl d litesie ifrctepor eu iaeteddaprgmdfernt:a2=196m2b ) 2.13 mm1.0 Ln dbuli

0.8 0.8 - 1.

0.4 0.4

0.2 Q2

110 190 270 350 430 510 Z(mm) 110 190 270 350 430 510 Z(mm)

Fig. 11. Distribution longitudinale de l'intensit6 diffract~e pour deux diam~tres du diaphragme diff6rents: (a) 2b = 1.96 mm; (b) 2b = 2.13

mm. Les valeurs des diff6rentes constantes exp~rimentales sont: rayon du diaphragme b = 1.07 mm, longueur du laser d = 430 mm, diam~tre

du mode: 2W(d) = 1.93 mm, rayons de courbure du miroir de sortie: R = 850 mm,R' = 268mm (c6t6 sortie). Ce miroir forme une lentille con-

vergente de distance focale: f = 957 mm. Les barres representent les points experimentaux tandis que les courbes sont th6oriques. Celle en

trait continu correspond au cas du faisceau Gaussien, et celle en trait discontinu au cas du faisceau reel. On peut noter que l'accord th6orie-ex-

perience est meilleur dans ce dernier cas. Les fleches 1 a 10 designent les positions du d6tecteur sur l'axe ou les oscillogrammes de la forme deraie ont e photographi6s (voir Fig. 14).

proximation que le d6tecteur mesurait l'intensit6 surl'axe. En fait, en toute rigueur ce n'est pas le cas. Lasurface d6tectrice est de l'ordre de 0,04 mm2 , c'est-a-dire qu'elle a un diametre de 0.2-mm environ. Or lediametre du faisceau est de l'ordre de 2 mm, et doncelle int6gre 10% du signal. De plus l'intensit6 et laforme de raie changent avec la fr6quence [voir Fig.14(j)] et positionner le d6tecteur sur l'axe exige de faireplusieurs moyennes. A cela il faudra encore ajouterl'incertitude A(2b) sur le diametre des diaphragmesqui conduit A une indetermination dans le calcul de Z:AZ = 2ZA(2b)/2b ce qui donne, par exemple, pour 2b =2.21 + 0.04 mm, AZ = 12 mm. Compte-tenu de cesincertitudes, on v6rifie que l'accord th6orie-exp6rienceest satisfaisant et, comme on peut le voir sur la Fig. 11,il est meilleur dans le cas du faisceau r6el que dans lecas du faisceau Gaussien.

C. Etude de la distribution transversale de l'intensite

Nous avons relev6 pour plusieurs positions du d6tec-teur (Fig. 12) la distribution transverse de l'intensit6au centre de la raie. On peut noter tout de suite que

pour des grandes distances du dtecteur au miroirconcave, la distribution transverse devient Gaussiennetout A fait en accord avec la th6orie (Fig. 13). la r6giondu champ lointain commence apres la position du der-nier maximum lA ou la distribution longitudinale d'in-tensit6 ne pr6sente plus d'oscillation.

Les positions du d6tecteur ont ete choisies de tellefacon A rendre compte des oscillations de la distribu-tion transverse. En effet le flux d'energie 6tant con-stant, la diminution de l'intensit6 sur l'axe se traduitpar l'apparition de pics dans la distribution transverseFigs. 12 et 13. Par rapport aux courbes th6oriques, noscourbes exp6rimentales ne sont pas tout a fait sym6tri-ques et cela A cause des m~mes raisons que dans le casde la distribution longitudinale de l'intensit6. A cela ilfaudra ajouter un effet g6om6trique de notre miroirconcave: En effet nous avions d6jA vu que ce dernierest un m6nisque forme de deux surfaces R1 et R2. Lesr6flexions multiples que subit la lumiere entre ces deuxsurfaces donnent lieu A plusieurs faisceaux de sortied'intensites plus ou moins faibles et legerement d6-cal6s, les uns par rapport aux autres. Cela a pour effet


IvIv

Z=100 mm

-0.8

Z=100mmIH

Z=160mmZ=210 mm

b d 05 f

B . .a1 0.

-Q8 0 C8 y(mm) -1.6 -0.8 0 0.8 ylmm) _16 0.8 0 0.8 1.6 y(mml

Iv 1 lo Iv Iv IO-

Z=290mm Z=350mm1 Z=450mm

0.5 0.5.0 0.5

O .C B _ * * ° .B B!k0 0 B

-0.8 0 0.8 1.6 x(mm) -16 -08 0 0.8 16 dmm} -16 -0.8 0 0.8 1.6 xlmm)

IH 1.01. 1 0

Z= 290mm Z=35Omm Z=45Omm

05 \9 0.5 0.5

0 0 S-1.6 -08 0 0.8 y(mm --1.6 -0.8 0 0B 1.6y(mm) -1.6 -08 0 0.8 y(mm)

Fig. 12. Distribution transversale de l'intensit6 diffractee pour divers points de l'axe. Noter que vers les grandes distances elle devientGaussienne. Compar6e avec les courbes th6oriques de la Fig. 13, on voit qu'il y a un excellent accord. Sur ces courbes z represente la positiondu dtecteur sur l'axe; R le rayon de courbure du miroir concave, 2b: le diametre du diaphragme. Les petits rectangles sont les pointsexperimentaux avec leur domaine d'incertitude. x = 0. Les deux sries de courbes correspondent deux dplacements perpendiculaires du

d6tecteur [l'un horizontal (IH), l'autre vertical (Iv)].


-0.8

Iv

Z=160 mm

C

* I/me

Z=210mm

-08 0 0.8 1.6 x mm)

Tableaux I et i. Comparaison entre les positions theoriques et experimentales Zdes derniers maxima d'intensite sur l'axe en fonction du diametre 2b dudiaphragme pour deux valeurs du rayon de courbure R du miroir concave soit R = 600 mm (Tableau I) et R = 1200 mm (Tableau II).

R = 600 mm ; n 0

TABLEAU I

R 1200mm ; n -

Resultats theoriques

diametre du position dudiaphragme dernier maximum

2b Zth

1.80 235

2.00 287

2.20 337

2.40 395

Resultats experimentaux

diamtre du position dudiaphrag du dernier maximumdiaphragme d'intensite

2b + A(2b) Zexp + AZ

(mm) (mm)

1.78 + 0.04 226 + 20

1.96 + 0.04 310 + 20

2.21 + 0.04 380 + 30

2.42 + 0.04 444 + 4 9

TABLEAU Il


Resultats thdoriques

diainctre du position dudiaphragme dernier maximum

2b zth

(mm) (mh

2.00 293

2.20 350

2.40 407

2.60 466

Resultats expdrimentaux

position dudiaitre du dernier maximumdiaphragme d'intensite

2b + A(2b) Z + AZ(m) nxu

1.96 + 0.04 290 + 20

2.21 + 0.04 340 + 30

2.42 + 0.04 402 + 40

2.62 0.04 450 + 40

_

It/Imax

Z= SOmm

I/I max

Z = 100mm

b

-1.0 -0.6 0 0.6 1.0 r/b -1.0 -0.6 0 0.6 1.0 r/b

It/I max

Z= 350mm

9

-1.0 -06 0 0.6 1 r/b

-1.0 0.6 0 0.6 1.0 r/b -tO -0.6 0 0.6 1D r/b -1.0 0.6 0 0.6 1.0 r/b -1.0 -0.6 0 0.6 1.0 r/bFig. 13. Distribution transversale de l'intensit6 du champ diffracte

AR/I max I t/I max en fonction de la distance z au diaphragme. Cette intensit6 tend1.0 Z=250mm 1.0 Z-300mm vers une forme Gaussienne loin du diaphragme apres la position du

0.8 0 8 dernier maximum. Les courbes sont th6oriques et calculees avec les.62[ .6 /Xa2 parametres experimentaux indiqu6s Fig. 11.

e f0.4 0 _.4

0.2 0.2

-1.0 0.6 0 0.6 1.0 r/ b

d'6largir le faisceau de sortie et d'att6nuer les pics dansles courbes d'intensit6.

En rsum6, cette tude de la distribution spatiale del'intensite du faisceau de sortie d'un laser nous con-firme qu'en champ proche il n'est pas Gaussien. I nele devient que vers les grandes distances.

D. Formes de raieLa Fig. 14 represente la forme de raie sur l'axe pour

diverses positions du dtecteur par rapport au miroirde sortie et indiqu6es Fig. 11. Ces oscillogrammesillustrent les oscillations de la distribution longitudin-ale de l'intensite. Ils montrent un maximum d'inten-sit6 du c6t6 basses fr6quence et une volution de ladissym6trie avec z. On peut d'ailleurs observer unchangement de dissym6trie, par exemple, pour z = 180mm en se dplacant l6gerement transversalement. Ona calcule le facteur de dissym6trie

2(H-h)H+h

pour quelques positions. h et H sont les hauteurs desmaximums de la courbe, respectivement, du c6t6 deshautes et basses frequences.

(pour la courbe) a: f = 0,066,

(pour la courbe) g: f = 0,044,

(pour la courbe) j: f = 0,026.

Les rsultats montrent bien l'att6nuation de la dissy-m6trie de la forme de raie en accord avec la theorie.

V. Conclusions

L'objectif de notre travail 6tait d'6tudier la distribu-tion du champ A l'int6rieur comme A l'ext6rieur de lacavit6 laser diaphragm6e afin de pr6voir les cons6-quences sur la forme de raie en fonction de la fr6-quence.

Pour mener A bien cette tude, nous avons mis aupoint une methode th6orique simple bas6e sur l'utilisa-tion des fonctions de Laguerre-Gauss. Le choix de cesfonctions nous a te sugg6re par la sym6trie axiale denos systames. Cette m6thode nous a permis d'abordde retrouver des rsultats classiques de la th6orie de ladiffraction.

La determination de la distribution de l'intensit duchamp rsonant A l'int6rieur de la cavit a montre quele point focal du faisceau ne se trouve pas sur le miroirplan mais en avant de celui-ci conform6ment au faitque le diaphragme joue un rle focalisateur. Celapermet de pr6voir les rgions ou la saturation duchamp est la plus importante, et de comprendre mieuxainsi, par exemple, l'influence de la position du tubedans la cavit6 sur la dissym6trie de la forme de raie.

Le calcul du champ diffracte A l'ext6rieur du lasernous a montr6 que le signal de sortie, n'est pas Gaus-sien, mais qu'il est compos6 de nombreux modes go-m6triques. Cependant nous avons vu qu'on pouvaitl'approximer par un faisceau Gaussien en champ loin-tain apres la position du dernier maximum. L'6tudedes variations de l'intensit6 du champ nous a montr6que les effets de diffraction dpendent de la frequenceen champ proche, et donc peuvent donner lieu A deschangements de la forme de raie sur l'axe. Pour pallierA cela, on a deux solutions: soit mesurer la forme deraie en champ lointain, soit int6grer le signal avec unelentille. Pour confirmer nos previsions th6oriques,


Z=400mm

h

-1.0

-1.0 -0.6 0 0.6 1.0 r/b-c

a d Y

b

c fFig. 14. Formes de raie sur l'axe pour diverses positions Z du detecteur par rapport au

miroir de sortie etindiquees Fig. 11. La frequence croit de la gauche vers ladroite. QuandZ

augmente on note l'att6nuation de la dissym6trie de la raie ainsi que les oscillations dues a la

diffraction. Le diamatre du diaphragme est 2b = 2.13mm et le courant de decharge dans le

tube vaut i = 4 mA. Les autres donnees experimentales sont celles correspondant a la Fig.11.

nous avons relev6 exp6rimentalement les distributionstransverses et longitudinales de l'intensite diffract6e.Nous avons vu que l'accord theorie-exp6rience 6taitsatisfaisant dans la limite de la precision de notremat6riel. Cet accord est d'autant meilleur quand ontient compte de l'effet du milieu et du fait que le champn'est pas Gaussien mais compose de plusieurs modesg6om6triques dfis A la diffraction.

La d6partement de physique atomique et mol6cu-laire est unite associ6e au Centre National de la Re-cherche Scientifique 1203.

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Meetings continued from page 75 30-3 Apr. 4th Int. Symp. on Optical & Optoelectronic AppliedSciences & Engineering, The Hague SPIE, P.O. Box10, Bellingham, WA 988271987

March

18-20 Machine Vision Top. Mtg., Lake Tahoe OSA Mtgs.Dept., 1816 Jefferson Pl., N.W., Wash., DC 20036

18-20 Photonic Switching Top. Mtg., Lake Tahoe OSAMtgs. Dept., 1816 Jefferson Pl., N.W., Wash., DC20036

31-3 Apr. Schrodinger Centenary Conf., London Secretary,Schrodinger Centenary Conf.,Rm. 637, Huxley Bldg.,Imperial Coll., London SW7 2BZ, UK

April23-27 Semiconductor Technologies: Applied Sciences & En-

gineering Mtg., Panama City SPIE, P.O. Box 10,Bellingham, WA 98827

13-15 Industrial Lasers: Solving Manufacturing Problemscourse, Hilton Head Laser Inst. of Amer.,5151 Mon-roe St., Toledo, OH 43623

23-27 Advances in Semiconductor & Semiconductor Struc-tures Mtg., Bay Point, FL SPIE, P.O. Box 10, Bel-lingham, WA 98827

continued on page 110


Etude du champ proche d’un laser diaphragmé

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