Chapitre 2 :

Chapitre 1 Etude du modle Black Oil

Etude du modle Black Oil1.1 INTRODUCTION:Pratiquement, tous les phnomnes physiques peuvent tre dcrits mathmatiquement par un systme dquations aux drives partielles applicables dans lespace modlis (volume, temps), avec des conditions aux limites de lespace considr. Pour la rsolution de ce systme deux voies sont possibles: analytique ou numrique.

Les solutions analytiques consistent rsoudre directement les quations diffrentielles au moyen des techniques mathmatiques habituelles telles que la sparation des variables, les solutions par les transformes de Fourier et de Laplace.Dans notre cas de simulation, la mthode utilise est la rsolution numrique, cette mthode est plus avantageuse car elle permet:

Le traitement des formes gomtriques compliques. Le traitement des comportements complexes (non linarit).

Couplage des diffrents phnomnes: mcanique, thermique,

Exploitation directe et rapide des rsultats

Grande capacit de calcul

1.2 ETUDE DU MODLE BLACK OIL:Dans ce qui suit on va aborder la simulation du modle Black Oil qui donne une description simplifie des fluides de gisement par 3 pseudo constituants (Eau, Huile et Gaz) dont la composition ne varie pas au cours de la simulation, Ce modle est utilis afin de prvoir la rcupration primaire du ptrole et la rcupration secondaire par injection deau ou de gaz immiscible o les changements de la composition sont ngligeables et cela en utilisant la mthode numrique IMPES (Implicit Pressure Explicit Saturation).Tout dabord on va dtailler les diffrentes quations qui interprtent le modle Black Oil (dans notre cas on a un coulement biphasique gas, water) et qui se basent sur des lois physiques simples.

1.2.1 Loi de conservation de masse La loi de conservation de masse stipule que, dans un volume donn de milieu poreux et pendant un intervalle de temps donn, la somme algbrique des flux massiques est gale la variation de la masse dans llment de volume.

Autrement dit: (1.1)

Si llment de volume a une longueur de x, une largeur de y et une profondeur de z, on crit les termes de lquation (1-1) sous la forme suivante:

.. (1.2)

... (1.3)

. (1.4.a) Le dbit massique q est pris comme positif quant il sagit dun puits producteur et comme ngatif quant il sagit dun puits injecteur. La masse accumule dans llment de volume v est le changement de concentration de la phase p (Cp) travers un intervalle de temps t. Si la concentration Cp est dfinie comme tant la masse totale de la phase p dans llment de volume v divise par son volume, alors le terme daccumulation (ma) sera dfini comme: (1.4.b)

Lquation (1-1) devient:

(1.5)

En divisant (1.5) par xyzt on aura:

. (1.6)

A la limite, quand x, y, z et t tendent vars 0, lquation (1.6) devient:

(1.7) Les phases huile, eau et gaz satisfont lquation de conservation de masse donne sous la forme de lquation (1.7). 1.2.2 Equation dcoulement du systme Huile/Eau: Les flux de lhuile et de leau dans une direction, peuvent scrire comme suit:

................................................1.8 ..1.9Les vitesses sont supposes tre celles de DARCY et leurs composants suivants x sont:

..1.10 1.11

Les densits des phases sont donnes par: .1.12 1.13 Les concentrations des phases peuvent scrire comme suit:

..1.14 .1.15 .

Les saturations doivent satisfaire la relation:

So+Sw=1....1.16Des expressions similaires peuvent tre crites pour les directions y et z.En combinant les quations (1.7), (1.9), (1.14) et (1.15) pour chaque phase:Huile:

.....1.17 Eau:

....1.18Les masses volumiques, dans les conditions standard, sont constantes. Les deux quations prcdentes deviennent:

.1.20 1.22

Les quations (1.10) jusqu (1.15), (1.19) et (1.20) sont les quations de base des coulements qui sont rsolues numriquement dans le modle black oil.Les quations (1.19) et (1.20) peuvent scrire comme suit:

Les vitesses de DARCY (quations (1.10) et (1.11)) peuvent tre simplifies en introduisant la notion du potentiel: ..1.23 Les quations (1.21) et (1.22) deviennent:

....1.24 .............................1.25 Les quations (1.24) et (1.25) sont quivalentes celles de Peaceman (1977).

La prsence des termes de pressions complique plus le problme. Dans la majorit des cas, la diffrence entre les pressions des phases est petite et peut tre nglige ou traite moins rigoureusement du point de vue mathmatique. On peut aussi la simplifier dans les quations dcoulement en introduisant la notion de la pression capillaire: Pcow=Po-Pw . (1.26)

Exprimentalement, il a t vrifi que Pcow est principalement fonction de la saturation en gaz.

Le potentiel de water scrit alors:

.. 1.27

Les quations (1.24) et (1.25) deviennent:Huile:

.1.28Eau: ..1.29O: =1.30 =1.31La tche consiste essentiellement rsoudre les quations (1.28), (1.29) et (1.16) pour les trois inconnues Po, So et Sw. Toutes les autres proprits physiques dans les quations sont connues et souvent donnes en fonction des trois inconnues.1.2.3 Lquation de la pression La procdure utilise pour rsoudre les quations dcoulement consiste combiner les quations (1.16), (1.28) et (1.29) pour avoir une seule quation avec comme inconnue Po.On commence par les simplifications suivantes:

Huile: 1.32 Eau: 1.33On aura alors:

Huile: .1.34Eau: ..1.35Sachant queet sont fonction de la pression, les termes Lo et Lw peuvent scrire sous la forme suivante:Huile:

1.36Eau: 1.37En se basant sur lquation (1.16), on crit:

..1.38 On introduit (1.38) dans (1.37) et on aura

.1.39Les quations (1.36) et (1.39) sont deux quations deux inconnues, Po et So. En multipliant (1.36) par Bo et (1.39) par Bw et en faisant la somme on aura:

En simplifiant, lquation (1.40) peut scrire:

..1.41Et sachant que les compressibilits de lhuile, du gaz, de la roche et totale sont respectivement donnes par les formules suivantes:

....1.42 ....1.43 .1.44 ....1.45 On peut les employer dans lquation (1.41) pour avoir ...1.46 . Lquation (1.46) est appele lquation de pression car aucun terme de saturation nest prsent.

Lors de la simulation, le travail consiste donc rsoudre lquation (1.46) pour trouver Po quon utilise ensuite dans les quations (1.32) et (1.16) afin de trouver les saturations So et Sw.

1.2.4 Linarisation du systme dquations Le systme dquations rsoudre, lors de la simulation, est compos dquations diffrentielles partielles non linaires vues dans la section prcdente. Dans la plupart des cas, la rsolution analytique de ce systme dquations est impossible et le recours sa linarisation en un systme dquations algbriques, dit aussi systme dquations de diffrences finies, est indispensable. Les quations de diffrences finies sont obtenues en remplaant les drives par des approximations obtenues par le dveloppement en srie de Taylor.

1.2.4.1 Concepts de diffrences finiesLe but est de remplacer une drive partielle inconnue telle que par un autre terme simple. Cela peut se faire en manipulant les sries de Taylor:

(1.47)Il est clair que peut tre calcule partir de lquation (1.47):

...(1.48)

O:

(1.49)Si le terme, quest appel erreur de trancature, est ngligeable devant, on crit:

..(1.50)Pour des valeurs de x petites, la premire drive peut tre remplace par le terme de la formule (1.50).Lapproximation de la premire drive peut se faire selon une infinit de schmas. Cependant, trois schmas sont plus utiliss, il sagit des schmas forward, backword et central qui sont formuls respectivement par les quations suivantes:

... (1.51)

.. (1.52)

...(1.53)

Lapproximation des autres drives partielles se fait aussi par la manipulation des sries de Taylor, et la drive seconde, par exemple, peut tre remplace par la formule suivante:

... (1.54)Lautre approximation dont on aura besoin est:

.. (1.55)

O:

. (1.56)

.. (1.57)

La figure ci-dessous illustre le cas tudi dans lquation (1.55)Pi-1PiPi+1 Xi-1 ( Xi ( Xi+1 (

x x Fig. 1.1 Discrtisation en maillage non uniforme1.2.4.2 Evaluation des transmissibilits En ngligeant les changement de la mobilit de la phase p et de son facteur volumtrique du fond Bp, on peut crire lquation de DARCY sous la forme suivante:

(1.58)

La figure suivante illustre le cas tudi:

Fig.1.2 Transmissibilit entre deux mailles

La loi de DARCY pour chacune des mailles est donne comme suite:

..(1.59)

.(1.60)La combinaison entre les deux dernires quations donne:

..(1.61)En introduisant la formule (1.61) dans (1.58) on aura:

(1.62)Si on introduit cette expression dans (1.58) on aura:

.. (1.63)Il ne reste qu dterminer une approximation convenable au produit, ce produit est remplac par la formule suivante:

.. (1.64)

Lquation (1.64) scrit alors:

.. (1.65)O le terme Api-1/2 est la transmissibilit de la phase p entre les blocs (i-1) et (i).

Dans lquation de pression (1.46), le terme scrit:

. (1.66)

Lcriture du premier terme de lquation (1.66) en terme de diffrence finie donne:

(1.67)Dans ce cas la section transversale est suppose constante.

En multipliant lquation (1.67) par le volume de la ime maille on aura: . (1.68)

On crit aussi:

. . (1.69)O: Api-1/2 est la discrtisation en diffrence finie de la transmissibilit entre les blocs (i-1) et (i).

Cest cette valeur de transmissibilit qui sera utilise dans ces calculs. Dans le cas dun maillage uniforme, il est clair que la transmissibilit Ap est gale Ap, la diffrence finie de la transmissibilit.1.2.4.3 Evaluation des mobilits:Le terme de la transmissibilit est en fonction de la mobilit, on aura dterminer le terme qui est en fonction de la saturation, ce dernier va influencer sur la solution des quations, pour cela on va utiliser la notion de upstream (suivant le courant) pour valuer les mobilits cd:

.p=

Po,w1.2.4.4 Equations en diffrences finies En utilisant les approximations en diffrences finies dveloppes auparavant, on peut discrtiser et crire les quations diffrentielles partielles sous forme dquations linaires qui sont plus faciles rsoudre. Les quations concernes par cette procdure sont lquation de la pression (1.46) et lquation de la saturation en huile (1.32).Lquation (1.46) scrit, sous forme algbrique simplifie, comme suit:

.... (1.70)Et lquation (2.32) devient:

Huile:

(1.71A)

Eau:

(1.71B)

O:

(1.72)

.. (1.73) .(1.74) (1.75) 1.2.4.5 Maillage et conditions aux limites On utilise le maillage bloc centr qui dcoupe le rservoir en un ensemble de paralllpipdes dont les centres sont les points de discrtisation. Les conditions aux limites appliques sont celles de Neumann qui stipulent que le flux est nul aux frontires du rservoir.

1.2.4.6 La procdure IMPESLorigine de cette mthode est le travail ralis par Sheldon et al 1959 et Gardner1961, le but de cette mthode est davoir une seule quation avec inconnu Po qui va tre traite implicitement, puis lquation de la saturation sera traite explicitement, en consquence cette mthode est utilise uniquement dans le cas ou on a des petites variations de la saturation en fonction de temps, autrement dit pour des valeurs de t petites car le schma explicit est conditionnellement stable contrairement au schma Implicite qui est inconditionnellement stable.

Donc, dans notre cas, lquation de la prssion sera traite implicitement c..d partir dune seule valeur de la prssion linstant t( old time) et au point i, on va calculer les pressions aux points i-1, i , i+1 linstant t+ t( new time) et cela pour chaque maille, on aura une rsolution suivant un triangle, la discrtisation de P se fait linstant t+t

Linstant t+t .

Linstant t Fig 1.3:Schma Implicite Lquation de la saturation sera traite explicitement sans un effort de calcul (triangle inverse) cd on aura qua remplacer les valeurs de la prssion traites implicitement pour en dduire les saturations.

1.2.4.6.1 Limitation du pas de temps pour le schma explicit :

Afin de simuler la dynamique d'un phnomne physique de la faon la plus conome en temps de calcul, il convient d'utiliser le pas de temps le plus grand possible. Toutefois, certaines valeurs limites existent, afin de garantir un calcul de qualit ayant un sens physique. Ainsi, si un certain phnomne se propage la vitesse U, dans des cellules de longueurx, dans le sens de la propagation, il faut s'assurer que l'on effectue plusieurs pas de calculs avant que le phnomne n'ait travers la cellule, et ceci impose que le pas de temps soit suffisamment faible. Nous devons alors utiliser lors du calcul un pas de temps t qui soit infrieur : U.txEn effet, si l'on imagine que le pas de temps du calcul t, soit trs grand devant le temps de traverse de la cellule par le phnomne considr, alors on ne pourra de toute faon pas propager ce dernier en un temps plus bref. Ceci signifie alors que la vitesse de propagation simule est fausse et sans aucun rapport avec la physique du phnomne.

Dans ce qui suit, (1.70) peut scrire alors sous la forme suivante: ........ (1.76) O:

(1.77)

.. (1.78) (1.79)

(1.80) (1.81)

(1.82)

(1.83)

.(1.84) . (1.85).Tous les facteurs des termes de pression dans lquation (1.76) sont connus et la tche se rsume dterminer les pressions par des mthodes de rsolution numriques.

1.2.4.6.2 Lquation de la saturation:Une fois lquation de la prssion est rsolue, on utilise lquation de la saturation (1.71B) pour dduire les saturations en eau et cela en remplaant les valeurs de la prssion trouves, dans ce cas on prend Swt=Swi sachant que So+Sw=1 on dduit la saturation en huile1.2.4.7 Rsolution numrique du systme dquations: Lquation en diffrences finies de la pression, donne par la formule (1.76), conduit un systme dquations linaires o linconnue est Pnijk.

En posant, le systme dquation linaire peut scrire:

O: N = I, J, K.

Le systme (2.85) peut scrire sous forme matricielle:

A . P = q (2.86)

O A est la matrice des coefficients, P et q sont des vecteurs colonnes. Lquation (2.86) scrit alors:

Il existe plusieurs mthodes de rsolution des systmes dquations linaires. En gnral, elles peuvent tre divises en deux groupes; les mthodes directes dites exactes et les mthodes dites approches (itratives.)Gnralement, les mthodes directes ne sappliquent que pour des systmes dquations moyennes () .La rsolution directe des grands systmes ncessite un effort de calcul considrable et les mthodes de rsolution itratives savrent comme une bonne alternative. Le type de rsolution numrique utilis par le programme dexcution de clipse et la mthode orthomin (VINSOME 1976) avec un prconditionnement de la matrice suivant la mthode nested factorization (Appleyard, Chesire, 1983) Chapitre 1

EMBED Equation.DSMT4

.1.21

EMBED Equation.DSMT4

..1.22

EMBED Equation.DSMT4

1.40

(xi-1

(xi

EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4

Pi-1

Pi+1

Pi

Pi

EMBED Equation.3

EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4

PAGE 4

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