Stage de Recherche � Master 2 de Physique ThéoriqueEcole Normale Supérieure de Lyon / Université Claude Bernard Lyon 1

Etude de la renormalisabilité perturbative

des théories de gravité et supergravité en espace plat

Quentin PIERRE

e�ectué à

l'Institut des Hautes Etudes Scienti�ques

et au

Laboratoire de Physique Théorique et Hautes Energies

sous la direction de

Pierre VANHOVE

7 avril - 31 juillet 2009

1

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Résumé

Poussés par le désir de comprendre les phénomènes physiques se produisant aux très hautes énergies,et voulant trouver un cadre uni�cateur pour les 4 intéractions fondamentales, les physiciens théoriciensont accordé depuis les années 1930 une place prépondérante à la recherche d'une description quantique

de l'intéraction gravitationnelle. Ces e�orts, bien qu'ayant apporté des avancées considérables dans denombreux domaines de la physique théorique et des mathématiques, n'ont pas encore abouti, et doivent êtrepoursuivis.

Dans ce travail, nous nous proposons de synthétiser certaines étapes cruciales du développement decette gravitation quantique perturbative . Nous utilisons donc les outils de la théorie des champs,notamment la théorie des perturbations et le concept de renormalisation, pour examiner le comportementultraviolet de théories de la gravitation, en l'absence de matière (gravité pure) et lorsque l'espace de fondest plat (minkowskien). Plus précisément, nous verrons en premier lieu la relativité générale, avec uneapproche basée sur la fonctionnelle d'Einstein-Hilbert. Une étude détaillée de cette dernière nous permettrade traiter la question de l'invariance sous l'action du groupe des di�éomorphismes (et donc celle de la �xationde jauge) et d'extraire les règles de Feynman. Forts de ces informations, nous procèderons au comptage depuissances de la théorie, puis nous en examinerons les divergences aux premiers ordres en nombre deboucles. Notamment nous montrerons que la gravité pure, bien que renormalisable à une boucle, sou�rede divergences non-renormalisables dès l'ordre de deux boucles. Ensuite nous montrerons que l'ajout de lasupersymétrie permet d'améliorer le comportement quantique des théories de gravité. En�n, la conclusionnous donnera l'occasion d'esquisser les avancées modernes du domaine.

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4

Table des matières

1 Introduction : la quanti�cation de la gravité 7

2 Les divergences en Relativité Générale 7

2.1 La Relativité Générale vue comme théorie des champs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1.1 Cadre de travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1.2 L'action d'Einstein-Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1.3 Développement perturbatif de l'action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.1.4 Fixation de la jauge et règles de Feynman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2 Le comptage de puissances (power counting) de la Relativité Générale . . . . . . . . . . . . . . . 152.3 Divergences à l'ordre d'une boucle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3.1 Forme a priori du lagrangien de contre-terme � Résultat fondamental . . . . . . . . . . . 172.3.2 Examen des graphes à deux et trois pattes externes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4 Divergences à l'ordre de deux boucles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.4.1 Forme a priori du lagrangien de contre-terme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.4.2 Expression �nale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 Les divergences en Supergravité 22

3.1 Divergences à l'ordre d'une boucle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2 Divergences à l'ordre de deux boucles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4 Conclusion et perspectives 23

5 Annexes 26

5.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.2 Conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.3 Notions de géométrie di�érentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5.3.1 Qu'est-ce qu'une métrique ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.3.2 Action du groupe des di�éomorphismes sur Met(M ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.3.3 Action d'Einstein-Hilbert et groupe des di�éomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.3.4 Quelques propriétés du tenseur de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Remerciements 30

5

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1 Introduction : la quanti�cation de la gravité

� Car Dieu est le compacti�é d'Alexandrov de l'univers. �Alexander Grothendieck

Dès la découverte de la relativité générale, les physiciens commencèrent à mentionner l'intérêt d'une dé-termination des corrections quantiques à la théorie d'Einstein. D'abord à l'état de conjectures basées surdes considérations qualitatives, les idées naissantes prirent corps quelques dizaines d'années plus tard grâce auxdéveloppements de la théorie quantique (et relativiste) des champs (notamment les concepts de régularisationet renormalisation), cette dernière permettant des calculs explicites. Les mauvais pressentiments à l'égard ducomportement ultraviolet de la gravité einsteinienne trouvèrent alors con�rmation.

A l'heure actuelle, en ce qui concerne la description quantique des intéractions faible, forte et électromagné-tique, nous disposons du modèle standard . L'autre pan de la physique fondamentale, la gravitation, semblerésister aux physiciens. En e�et, aucun des modèles développés par ces derniers depuis les années 70 (qui re-cèlent, certes, un nombre mirobolant de richesses physiques et mathématiques) ne donne une théorie satisaisantepour la gravitation quantique.

� Quantum gravity makes no sense �, voilà l'une des attitudes que Du� envisage d'adopter ([1],1981 ) faceà l'échec de la non-renormalisabilité de la gravité einsteinienne. Cette interrogation est toujours d'actualité :pourquoi quanti�er la gravité ? ne pourrions-nous pas nous contenter des approximations (semi-)classiques ?Je liste ci-après quelques raisons en faveur d'une persévérance dans la recherche d'une telle théorie

(i) Appréhender les phénomènes cosmologiques se déroulant à échelle microscopique à la naissance de notreunivers, ou même ceux qui sont sur le point de se produire au coeur du LHC, nécessite de comprendre lese�ets gravitationnels dans toute leur non-linéarité

(ii) On sait de toute façon que les théories de Yang-Mills qui constituent le modèle standard ne sont qu'unedescription e�ective des intéractions. Autrement dit, elles ne sont valables que dans une certaine fenêtred'énergie (ou de longueur). 1 Toute théorie honnête visant à décrire les intéractions entre particules sedoit de prendre en compte la gravité.

Cette brève énumération, qui pourrait aisément être enrichie de nombreux développements, montre donc combienil est important de poursuivre les e�orts entrepris avec vigueur par la communauté physico-mathématique depuispresque 100 ans a�n de décrire d'une manière cohérente la gravitation au niveau microscopique.

2 Les divergences en Relativité Générale

2.1 La Relativité Générale vue comme théorie des champs

2.1.1 Cadre de travail

La théorie avec laquelle nous travaillerons dans cette partie est celle de la relativité générale, i.e. la théoriede la gravitation associée au nom d'Einstein. Nous nous bornerons au cas de la gravité pure , i.e. sans sourcede matière. Le parti pris est celui de la théorie des champs. Ainsi, nous voulons partir d'une métrique g qui estsolution des équations du mouvement (on dit que c'est une solution classique), lesquelles sont déduites d'uneaction nommée action d'Einstein-Hilbert , puis considérer des perturbations autour de celle-ci. Dans l'idéede la théorie des champs, le champ h décrivant cette perturbation, appelé le champ quantique, est généralementinterprétété comme une particule bosonique, de masse nulle et de spin 2, nommée graviton 2. Ensuite, pourobtenir les règles de Feynman de notre théorie, il faut calculer le développement de l'action classique S autourdu point de départ, i.e. le développement limité de S(g + εh). Dans la littérature on nomme souvent cela laméthode du champ externe .

2.1.2 L'action d'Einstein-Hilbert

On travaille sur une variété di�érentielle M supposée réelle, de dimension D ∈ N \ {0, 1}, et de classe C∞

(remarque : en relativité générale la dimension est supposée êtreD = 4). La restriction de Met(M ) aux métriques

1Pour ne citer qu'un problème parmi d'autres, le modèle standard prédit une masse nulle pour le neutrino, résultat ayant été

in�rmé par les expériences.2Cette particule n'a jamais été détectée, donc son existence reste hypothétique

7

lorentziennes, i.e. aux métriques de signature (1,−1, . . . ,−1), sera notée Lor(M ). L'action d'Einstein-Hilberten D dimensions est alors la fonctionnelle dé�nie comme suit :

S : Lor(M ) −→ R

g 7−→ S(g) := κ−2D

∫M

R(g) vol(g) = κ−2D

∫M

R(g)|det(g)| 12 dx (2.1)

où κD := (16πGD)12 .

Comme il s'agit de l'intégrale d'une fonction scalaire (le scalaire de courbure) avec la forme volume, la fonc-tionnelle considérée est invariante sous l'action du groupe des di�éomorphismes (voir 5.3). On emploiealors le vocabulaire des théories de Yang-Mills en décrétant que la relativité générale est une théorie de jauge,dont le groupe de jauge est Diff(M ) (tandis qu'il s'agit de C∞(M ,U1×SU2×SU3) dans le "modèle standard").

Remarque sur les dimensions

En théorie des champs on est amené à considérer des intégrales de chemin de la forme∫Maps(X,Y)

G (ϕ) eiS(ϕ) Dϕ, (2.2)

ce qui impose que l'action S soit adimensionnée. Véri�ons cela :

D(S(g)) = (D(κD))−2 ·D(∫

M

R(g)|det(g)| 12 dx)

= (D(GD))−1 ·D(R(g)) ·D(dx)= (M2−D)−1 ·M2 ·M−D

= M0 (2.3)

♦

2.1.3 Développement perturbatif de l'action

On perturbe la métrique g en considérant g := g+εh3, où h est un élément de Met(M ) à support compact.Le développement à l'ordre n de l'action S s'écrit :

S(g) = S(g + εh) = S0 + εS1 + · · ·+ εnSn + O(εn+1) (2.4)

où

S0 = S(g) et ∀` ∈ {1, . . . , n}, S` = d`

dθ`

∣∣0

S(g + θh) (2.5)

Remarques

(i) Quelques notationsOn note ∇ et Γαµν , respectivement, la connexion de Levi-Civita et les symboles de Christo�el associés à lamétrique de fond g. De même, Rµναβ , Rµν et R désigneront respectivement les composantes du tenseurde Riemann, les composantes du tenseur de Ricci et le scalaire de courbure, associés à la métrique de fondg. En�n, les indices seront levés et abaissés à l'aide de cette même métrique.En revanche, toutes les quantités barrées supérieurement se réfèreront à g + εh, soit :

∀A , A := A (g + εh) (2.6)

(ii) Au sujet des dérivées totalesOn écrit souvent les résultats modulo des termes additifs de "dérivée totales" 4. Dans notre cas, ces termessont de la forme |det(g)

12 |(∇αX)α. En e�et :

Γαµα = |det(g)|− 12 ∂µ(|det(g)| 12 ), (2.7)

donc, pour tout X ∈ Γ(TM ),

3On se contentera parfois de la version non-rigoureuse de cette expression, i.e. g = g + h, où h sera lui-même supposé "in�nité-

simal"4Remarque : on utilisera parfois le signe ≡ pour indiquer que deux quantités sont égales modulo ce genre de terme additif

8

|det(g)| 12 (∇αX)α = |det(g)| 12 (∂αXα + ΓααµXµ)

= |det(g)| 12 ∂αXα +(∂µ(|det(g)| 12 )

)Xµ

= ∂α(|det(g)| 12Xα) (2.8)

Ainsi les intégrales des termes de cette forme s'écrivent :∫M

(∇αX)α vol(g) =∫

M

(∇αX)α|det(g)| 12 dx =∫

M

∂α(|det(g)| 12Xα) dx (2.9)

Ce sont donc des termes de bord. Dans notre cas, le champ vectoriel X sera toujours à support compact,et ces termes seront donc nuls. ♦

Avant de procéder au développement détaillé, on peut déjà se donner une idée de la forme des termes. Ladensité lagrangienne est

L (g) = κ−2D |det(g)| 12 R(g) = κ−2

D |det(g)| 12 gαβRσαβσ (2.10)

En injectant g 7→ g = g + εh on voit que le déterminant et l'inverse de la métrique ne donnent que despuissances de h, tandis que le tenseur de Riemann donne des dérivées de h. Schématiquement, si j'utilise lesnotations génériques D (dérivation) et Γ (symboles de Christo�el), ce tenseur s'écrit

Riem(g) ' DΓ + Γ2 ' D(g−1Dg) + (g−1Dg)2 (2.11)

mais (en oubliant les dérivées totales et les facteurs numériques)

D(g−1Dg) = D(g−1)Dg + g−1D2g ≡ g−1(Dg)g−1Dg + D(g−1)Dg ≡ (g−1Dg)2, (2.12)

d'où (en supposant Dg = 0, i.e. ∀(µ, α, β) ∂µgαβ = 0, ce qui sera notre cas par la suite)

Riem(g + εh) = Riem(g)≡ (g−1Dg)2

≡ (g + εh)−2(εDh)2

≡ ε2g−2(1 + εg−1h)−2(Dh)2

≡ ε2g−2(1− 2εg−1h+ 3ε2(g−1h)2 + · · · )(Dh)2, (2.13)

et donc L a bien une structure de type

L (g + εh) ' (a0 + a1εh+ a2ε2h2 + · · · )ε2(Dh)2

=∑m∈N

amεm+2hm(Dh)2 (2.14)

Ceci mérite déjà une remarque capitale : dans les théories de Yang-Mills (groupe de symétrie G = SUn parexemple), la densité lagrangienne LYM de la théorie libre (pure Yang-Mills) fait intervenir le carré de la �eld-strengh :

LYM = − 1

4trG

(FαβF

αβ)

= − 1

4(Fαβ)a

(Fαβ

)a(a ∈ {1, . . . ,dim(G)}) , (2.15)

qui est elle-même d'ordre 1 et 2 dans le champ A :

(Fαβ)a = ∂αAaβ − ∂βAa

α + g CabcAbαAc

β , (2.16)

de sorte que le développement de LYM ne contient que des termes quadratiques, cubiques et quartiques. Au-trement dit, on a des vertex à 2, 3 et 4 points seulement ; tandis qu'ici, la somme est in�nie et on a des vertexà nombre quelconque de points ! De ce point de vue, la gravité pose donc des problèmes inédits, et se détachedes autres théories connues des physiciens des particules.

Ensuite, chaque terme de cette somme contient exactement deux dérivées.Notamment, le terme quadratique, i.e. le terme libre, est une somme de termes de la forme L2 ' (Dh)(Dh), i.e.de la forme hD2h, ce qui donne k2h2 en transformée de Fourier : on peut donc déjà a�rmer que la fonction àdeux points, i.e. le propagateur , est en 1

k2 , caractéristique d'une théorie sans masse.

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Par ailleurs, le terme d'intéraction d'ordre le plus bas, i.e. la fonction à trois points ou vertex , est de laforme h(Dh)2, i.e., en transformée de Fourier, k2h3. La règle de Feynman pour le vertex est donc quadratiquedans les moments (internes ou externes). Comme nous le verrons par la suite, c'est ce résultat qui est à l'originede la non-renormalisabilité de la gravité pure.

Cela dit, il existe un autre moyen de s'apercevoir rapidement du comportement de la théorie : en faisant lechangement de fonction

h := ε

κDh, qui donne g = g + κDh = g + (16πGD)

12 h, (2.17)

et en considérant h comme le nouveau champ quantique, le facteur du terme cinétique (Dh)2 se retrouveadimensionné. On interprète alors le facteur du terme d'ordre 3 comme la constante de couplage .Dans la théorie en λϕ4 on a

MD = D((Dϕ)2) = D(λϕ4), (2.18)

(où D dénote toujours une dérivée première quelconque)d'où

D(ϕ) = MD−2

2 et donc D(λ) = M4−D (2.19)

Donc en dimension 4 la constante de couplage est adimensionnée et la théorie est renormalisable.En électrodynamique on a

MD = D((DA)2) = D(ψDψ) = D(eψAαγαψ), (2.20)

d'où

D(A) = MD−2

2 et D(ψ) = MD−1

2 et donc D(e) = M4−D

2 (2.21)

Ici aussi, en dimension 4 la constante de couplage (la charge électrique en l'occurence) est adimensionnée et lathéorie est renormalisable.En gravité pure, le facteur est κD (à un facteur adimensionné près) et on a

D(κD) = (D(GD))12 = M

2−D2 (2.22)

Notamment, en dimension 4 :D(κ4) = M

−1 = L (2.23)

La constante de couplage a la dimension d'une longueur, i.e. une dimension de masse négative. Ainsi, chaqueordre de correction nécessite un contre-terme présentant deux dérivées supplémentaires (pour garder un la-grangien de dimension D), et qui n'est donc pas de la forme du lagrangien initial : la gravité pure est doncmanifestement non-renormalisable.

Remarque : à partir de maintenant, nous omettrons la plupart du temps le facteur κ−2D , i.e. que nous suppo-

serons que κD = 1. ♦

Ecrivons le développement détaillé de l'action avec une métrique de fond g quelconque

S(g) = S(g + εh) =∫

M

R|det(g)| 12 dx (2.24)

Nous nous limiterons à l'ordre deux, et n'obtiendrons donc pas la forme explicite de la règle de Feynmanpour le vertex (qui, cela dit, a été calculée, et contient une centaine de termes). Nous nous contenterons desconsidérations qualitatives faites plus haut.Nous avons déjà :

det(g + εh) = etr(ln(g+εh))

|det(g + εh)| 12 = |det(g)| 12(

1 + ε( 1

2hαα) + ε2(− 1

4hαβh

αβ + 1

8(hαα)2) + O(ε3)

)(g + εh)µν = gµν − εhµν + ε2hµαh

αν + O(ε3)

Rµ

ναβ = ∂αΓµ

νβ + Γσ

νβΓµ

ασ − ∂βΓµ

να − Γσ

ναΓµ

βσ

= Rµναβ + εC1(R

µ

ναβ) + ε2C2(Rµ

ναβ) + O(ε3)

Rµν = Rα

µνα = Rµν + εC1(Rµν) + ε2C2(Rµν) + O(ε3)

R = gαβRαβ = R + εC1(R) + ε2C2(R) + O(ε3)

Γα

µν = Γαµν + εC1(Γα

µν) + ε2C2(Γα

µν) + O(ε3) (2.25)

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On obtient facilementC1(Γ

α

µν) = 1

2gασ(∂µhσν + ∂νhσµ − ∂σhµν)− hασΓσµν , (2.26)

que l'on peut mettre sous la forme plus compacte

C1(Γα

µν) = 1

2gασ((∇µh)σν + (∇νh)σµ − (∇σh)µν), (2.27)

Remarque : ceci montre que les C1(Γµ

αβ) sont les composantes d'un tenseur , que l'on notera Γ1. Une autre

manière d'obtenir ce résultat 5 est de dire que C1(Γµ

αβ) n'est autre que ddε

∣∣0

Γµ

αβ , puis de remarquer que cettedérivée est essentiellement la di�érence de deux symboles de Christo�el. Or la di�érence de deux connexions estun tenseur, d'où le résultat. ♦

En calculant, d'une part, C1(Rµ

ναβ) en fonction des Γµαβ et des C1(Γµ

αβ)(

= (Γ1)µαβ), et d'autre part, la

di�érence (∇αΓ1)µβν − (∇βΓ1)µαν , on montre facilement que ces deux quantités sont les mêmes, ce qui permet

d'exprimer C1(Rµ

ναβ) en fonction de h :

C1(Rµ

ναβ) = (∇αΓ1)µβν − (∇βΓ1)µαν

= 1

2gµσ((∇α∇βh)σν − (∇β∇αh)σν

+ (∇α∇νh)σβ − (∇α∇σh)βν − (∇β∇νh)σα + (∇β∇σh)αν) (2.28)

Mais par calcul direct on montre que

(∇α∇βh)σν − (∇β∇αh)σν = hµσRµνβα + hµνR

µσβα, (2.29)

de sorte que

C1(Rµ

ναβ) = (R1)µναβ = 1

2(hµσR

σνβα+hσνR

µσαβ +(∇α∇νh)µβ−(∇α∇µh)βν−(∇β∇νh)µα+(∇β∇µh)αν) (2.30)

Ainsi :C1(Rαβ) = 1

2((∇β∇αh)σσ + (∇σ∇σh)βα − (∇σ∇βh)σα − (∇σ∇αh)σβ) (2.31)

d'où :

C1(R) = gαβC1(Rαβ)− hαβRαβ

= (∇α∇αh)ββ − (∇α∇βh)αβ − hαβRαβ (2.32)

On est désormais en mesure d'écrire le terme linéaire complet :

C1(|det(g)| 12 R) = |det(g)| 12 ((∇α∇αh)ββ − (∇α∇βh)αβ − hαβRαβ + 1

2Rhαα)

≡ | det(g)| 12 (−hαβRαβ + 1

2Rhαα) (2.33)

Pour ce qui est de la partie quadratique, les symboles de Christo�el subissent le même type de réécriture quepour la partie linéaire :

C2(Γα

µν) = − 1

2hαβ(∂µhβν + ∂νhβµ − ∂βhµν) + 1

2hαγh

βγ(∂µgβν + ∂νgβµ − ∂βgµν)

= − 1

2hαβ((∇µh)βν + (∇νh)βµ − (∇βh)µν) (2.34)

Ce sont là aussi les composantes d'un tenseur, qu'on note Γ2.On montre ensuite aisément que

C2(Rµ

ναβ) = (∇αΓ2)µνβ − (∇βΓ2)µνα + (Γ1)γνβ(Γ1)µαγ − (Γ1)γνα(Γ1)µβγ (2.35)

et

C2(Rνα) = C2(Rµ

ναµ)

= ∇α(− 1

2hµγ(∇νh)µγ)

− ∇β(− 1

2hβγ((∇νh)γα + (∇αh)γν − (∇γh)να)

)+ 1

4((∇µh)γν + (∇νh)γµ − (∇γh)µν)((∇αh)µγ + (∇γh)µα − (∇µh)αγ)

− 1

4(∇γh)µµ((∇νh)γα + (∇αh)γν − (∇γh)να), (2.36)

5nous ne tenons pas ici compte de la rigueur, seulement de l'idée

11

ce qui permet d'obtenir la partie quadratique du scalaire de courbure en fonction de quantitées déjà toutescalculées :

C2(R) = C2(gναRνα)= gναC2(Rνα) + C1(gνα)C1(Rνα) + C2(gνα)Rνα (2.37)

Le terme quadratique complet s'écrit donc

C2(|det(g)| 12 R) = C0(|det(g)| 12 )C2(R) + C1(|det(g)| 12 )C1(R) + C2(|det(g)| 12 )C0(R) (2.38)

Les résultats �naux, écrits sous la forme S` =∫

M L` dx, sont donc :

terme lineaire : L1 ≡ −|det(g)| 12 hαβ(Rαβ − 1

2Rgαβ)

terme quadratique : L2 ≡ |det(g)| 12 (− 1

4(∇γh)αβ(∇γh)αβ + 1

4(∇γh)αα(∇γh)ββ

+ 1

2(∇γh)αβ(∇αh)γβ − h

αγh

γβRαβ − 1

2(∇γh)αα(∇βh)γβ

+ 1

2hγγh

αβRαβ − 1

8((hγγ)2 − 2hαβhαβ)R) (2.39)

Dans le terme linéaire L1 on reconnaît bien entendu le tenseur d'Einstein dont l'écriture en coordonnées localesest Gαβ = Rαβ − 1

2Rgαβ . Donc exiger que g soit un point critique de S, i.e. exiger pour tout h l'annulation deddε

∣∣0

S(g + εh), revient à exiger l'annulation du tenseur d'Einstein, i.e. :

Rαβ − 1

2Rgαβ = 0, (2.40)

dont la contraction avec gαβ nous donne

R = 0 = Rαβ (2.41)

Comme attendu, on retrouve bien les équations d'Einstein dans le vide .

Considérons le cas où la métrique de fond est η, la métrique de Minkowski, i.e. celle dont la matrice dansla base canonique de RD est diag(1,−1, . . . ,−1). On a 0 = R = Rµν = Rµναβ . Ecrivons alors la forme queprennent certaines quantités importantes pour la suite :

lagrangien quadratique : L2 ≡ 1

4(∂γhαα)(∂γhββ)− 1

4(∂γhαβ)(∂γhαβ)

+ 1

2(∂γhαβ)(∂αh

γβ)− 1

2(∂γhαα)(∂βhγβ)

tenseur de Riemann linearise : (R1)µναβ ≡ 1

2(∂α∂νh

µβ − ∂α∂

µhβν − ∂β∂νhµα + ∂β∂µhαν) (2.42)

2.1.4 Fixation de la jauge et règles de Feynman

Pour connaître le comportement de notre théorie, il nous faut calculer les ammplitudes de probabilité asso-ciées à des processus physiques. En choisissant la méthode des graphes de Feynman, nous sommes donc ramenésà devoir trouver les règles de Feynman , ce que nous ferons "en transformée de Fourier". La règle de Feynmanassociée à la fonction à 2 points est donnée par le propagateur, qui n'est autre que l'inverse de l'opérateur deséquations du mouvement ; ce dernier étant lui-même dé�ni comme l'opérateur Oµναβ intervenant dans l'écrituresous la forme 1

2hµνOµναβh

αβ de la partie quadratique du lagrangien.Dans notre cas, après élimination des termes de dérivées totales, on arrive à montrer que :

L2 = 1

2hµνOµναβh

αβ

avec Oµναβ = 1

2(ηαµηβν − ηµνηαβ)∂2 + ηαβ∂µ∂ν − ηµα∂ν∂β (2.43)

Mais on a

hµνηαβ∂µ∂νhαβ = hαβηµν∂α∂βh

µν

= (−1)2hµνηµν∂α∂βhαβ (+total derivative)

≡ 1

2hµν(ηαβ∂µ∂ν + ηµν∂α∂β)hαβ (2.44)

12

et

hµνηµα∂ν∂βhαβ = hνµηνβ∂µ∂αh

βα

= hµνηνβ∂µ∂αhαβ

= 1

2hµν(ηµα∂ν∂β + ηνβ∂µ∂α)hαβ (2.45)

et donc on a aussi L2 = 12h

µνO′µναβhαβ , avec

O′µναβ = 1

2

((ηαµηνβ − ηµνηαβ)∂2 + ηαβ∂µ∂ν + ηµν∂α∂β − ηµα∂β∂ν − ηνβ∂µ∂α

), (2.46)

opérateur qui possède les symétries O′αβµν = O′µναβ et O′νµβα = O′µναβ .

Interlude : Equations du mouvement pour h et ondes gravitationnelles

Au passage, nous pouvons maintenant écrire les équations du mouvement pour h

O′µναβhαβ = 0, (2.47)

sous la forme explicite

∂2hµν + ∂µ∂νhαα − ∂α∂νhαµ − ∂α∂µhαν + ηµν(∂α∂βhαβ − ∂2hαα) = 0 (2.48)

dans ce contexte, on dit que h décrit la propagation d'ondes gravitationnelles.En anticipant sur la suite du texte je construis, à partir de h, un nouveau champ h :

h := h− 1

2trη(h)η, i.e. hαβ = hαβ − 1

2trη(h)ηαβ (2.49)

avec trη(h) := ηαβhαβ = hσσ.

De manière à obtenir une équation sur h au lieu de h, nous calculons

trη(h) = trη(h)− 1

2trη(h)trη(η) = 2−D

2trη(h) (2.50)

(ce qui donne notamment : trη(h)∣∣D=4

= −trη(h)).Ainsi h = h+ 1

2−D trη(h)η. Après remplacement, on obtient :

∂2hµν + ηµν∂α∂βhαβ − ∂α∂µhαν − ∂α∂ν hαµ + 1+1−2

2−D (ηµν∂2 − ∂µ∂ν)(

trη(h))

= 0, (2.51)

ce qui donne une équation plus compacte :

∂2hµν + ηµν∂α∂βhαβ − ∂α∂µhαν − ∂α∂ν hαµ = 0 (2.52)

Il est instructif, à ce stade, de se référer à l'électrodynamique : dans cette théorie, le lagrangien libre s'écrit

L ED = − 1

4FαβF

αβ = 1

2Aµ(ηµν∂2 − ∂µ∂ν)Aν (+total derivative), donc

OEDµν = ηµν∂2 − ∂µ∂ν (2.53)

L'invariance de jauge s'exprime par

∀ϕ ∈ C∞(R4), Aα ∼ Aα + ∂αϕ (2.54)

et l'application de l'opérateur des équations du mouvement à la variation du champ δAν = ∂νϕ donne

∀µ, (OED · δA)µ = OEDµν ∂νϕ = ∂2∂µϕ− ∂µ∂2ϕ = 0, (2.55)

ce qui montre que le noyau de OED n'est pas réduit à {0} et qu'il s'agit dont d'un opérateur non-inversible.

13

Dans notre cas, qui est la relativité générale, on sait que le lagrangien6 total est invariant sous la transfor-mation de "jauge"

gµν 7→ g′µν = gµν + gµα∂νXα + gνα∂µX

α +Xα∂αgµν , (2.56)

ici écrite de manière in�nitésimale.En décomposant selon gµν = gµν + hµν et en gardant �xe la métrique de fond gµν , cette loi de transformations'écrit pour h :

hµν 7→ h′µν = hµν + (gµα + hµα)∂νXα + (gνα + hνα)∂µXα +Xα∂α(gµν + hµν)= hµν + (∇µX)ν + (∇νX)µ + hµα(∇νX)α + hνα(∇µX)α +Xα(∇αh)µν (2.57)

(où les indices sont toujours levés et abaissés avec la métrique de fond gµν)Mais nous travaillons avec une métrique de fond gµν = ηµν , donc

h′µν = hµν + ∂µXν + ∂νXµ + hµα∂νXα + hνα∂µX

α +Xα∂αhµν (2.58)

On ne sera donc pas étonnés de trouver que, pour tout champ vectoriel X = Xα ∂∂xα ,

O′µναβ ∂αXβ = 0 (2.59)

Cet opérateur des équations du mouvement n'est donc, lui non plus, pas inversible. On a alors l'idée demodi�er le lagrangien dont on est parti, le lagrangien d'Einstein-Hilbert, en lui ajoutant un terme dit de�xation de jauge .En électrodynamique, on sait qu'il est toujours possible d'imposer ∂ ·A = ∂αA

α = 0 : autrement dit, pour toutchamp A il existe un champ A qui lui équivalent (au sens des transformations de jauge), tel que ∂ · A = 0 ;ou encore : pour tout champ A il existe une fonction ϕ ∈ C∞(R4) telle que, en notant Aϕ = A + dϕ ouencore (Aϕ)α = Aα + ∂αϕ, on ait ∂ · Aϕ = 0. En e�et, si ∂ · A n'est pas nul, alors il s'agit de résoudre0 = ∂ ·Aϕ = ∂α(Aϕ)α = ∂ ·A+ �ϕ : il su�t de prendre ϕ = −�−1(∂ ·A).On aimerait faire de même ici : on aimerait �xer les degrés de liberté de jauge et ainsi garantir l'existence d'uninverse pour O, i.e. garantir la �nitude des quantités physiques. L'idée qui vient à l'esprit naturellement est deregarder si l'on peut imposer une condition analogue à ∂αA

α = 0, où Aα est remplacé par une quantité scalairede notre théorie.L'idée qui vient naturellement est donc d'imposer la relation

∂α

(|det(g)| 12 gαβ

)= 0 (2.60)

Cette jauge est dite jauge harmonique ou de De Donder .En écrivant g = η + εh et en appliquant membre à membre l'opérateur d

dε |0, on obtient

∂αhαβ = 0 (2.61)

(on a fait usage de ddε

∣∣0

det(id + εA) = tr(A)).La question qui se pose maintenant est de savoir si, moyennant une transformation hµν 7→ h′µν , on peut toujours

annuler la quantité ∂µhµν . Supposons donc que ∂µh

µν 6= 0 et considérons la transformation in�nitésimalehµν 7→ hµν + ∂µXν + ∂νXµ. On veut que

0 = ∂µ(h′µν − 1

2ηµνh′αα )

= ∂µ

(∂µXν + ∂νXµ + hµν − 1

2ηµν(2∂ ·X + hαα)

)= ∂2Xν + ∂µh

µν (2.62)

et il su�t donc de prendreXν = −�−1(∂µhµν) (2.63)

Dans le cas de l'électrodynamique, le lagrangien de �xation de jauge construit à partir de la quantitéinvariante de jauge ∂ · A est choisi comme étant proportionnel au carré de celle-ci (ainsi on n'ajoute pasd'intéraction) :

L EDgf = − 1

2ξ(∂ ·A)2 (2.64)

Par analogie, nous introduirons en gravité la �xation de jauge

6ou plutôt la densité lagrangienne

14

Lgf = − 1

2ξC2 = − 1

2αCνC

ν avec Cν = ∂µhµν (2.65)

Après développement, on peut écrire

Lgf = 1

2hµνOgfµναβh

αβ (2.66)

avec

Ogfµναβ = 1

ξ( 1

4ηµνηαβ∂

2 + ηνβ∂µ∂α − ηαβ∂µ∂ν) (2.67)

et le lagrangien quadratique total s'écrit

L tot2 = L2 + Lgf = 1

2hµνOtotµναβh

αβ (2.68)

avec

Ototµναβ = 1

2

(ηαµηνβ + ( 1

2ξ− 1)ηµνηαβ

)∂2 + (1− 1

ξ)(ηµν∂α∂β − ηαν∂µ∂β) (2.69)

En transformée de Fourier, ceci s'écrit (on garde, de manière abusive, la même notation) :

Ototµναβ = − 1

2

(ηαµηνβ + ( 1

2ξ− 1)ηµνηαβ

)k2 − (1− 1

ξ)(ηµνkαkβ − ηανkµkβ) (2.70)

Le choix de jauge ξ = 1 permet de ne garder que la partie en ∂2 :

Ototµναβ∣∣ξ=1

= 1

2

(ηαµηνβ − 1

2ηµνηαβ

)∂2, (2.71)

i.e., en transformée de Fourier,

Ototµναβ∣∣ξ=1

= − 1

2

(ηαµηνβ − 1

2ηµνηαβ

)k2 (2.72)

La partie "opérateur di�érentiel" est donc facile à inverser : on voit immédiatement que le propagateur contiendraun facteur 1

k2 , typique d'un champ de masse nulle. Quant à la partie matricielle : considérons

Pµναβ = 1

k2 (ηµαηνβ + ηµβηνα − 2

D−2ηµνηαβ) (2.73)

et calculons le produit P · Otot∣∣ξ=1

:

Pµναβ (Otot)αβσζ∣∣ξ=1

= 1

4

k2

k2 (ηµαηνβ + ηµβηνα − 2

D−2ηµνηαβ)(2ηασηβζ − ηαβησζ)

= 1

4(2δσµδ

ζν + 2δζµδ

σν + 2D−4−2(D−2)

D−2ησζηµν)

= 1

2(δσµδ

ζν + δζµδ

σν )

= 1σζµν (2.74)

Nous avons donc exhibé l'opérateur inverse de l'opérateur des équations du mouvement, i.e. le propagateur.En dimension D = 4, et écrit en transformée de Fourier, il s'agit de :

Pµναβ = 1

k2 (ηµαηνβ + ηµβηνα − ηµνηαβ) (2.75)

Cette forme pour le propagateur du graviton est nommée propagateur de De Donder .

2.2 Le comptage de puissances (power counting) de la Relativité Générale

Nous allons dans cette partie regarder le degré de divergence super�ciel ω des graphes de Feynmanintervenant en gravité pure. Mais avant cela, établissons une relation topologique sur les graphes.

A priori, le nombre de moments internes est I. Mais pour ne garder que les moments indépendants , on doitretrancher à cela le nombre de relations entre ces moments. Pour chaque vertex, on doit imposer la conservation0 = somme des moments entrants. On a V vertex, donc V relations de cette sorte. (Remarque : ces relationsfont intervenir des moments internes aussi bien qu'externes).En plus de cela, on a la conservation globale : 0 = somme des moments entrants externes. Le système linéaire

15

écrit précedemment est donc de rang V − 1. Le nombre de moments indépendants est donc I − (V − 1). Maisceci n'est autre que le nombre de boucles L, d'où

L = I − V + 1 (2.76)

Nous sommes en mesure d'écrire l'amplitude associée à un graphe typique. On a vu que, en gravité pure,chaque vertex donne des termes en moment2, et chaque propagateur est en 1

moment2 . L'amplitude associée à ungraphe à L boucles, V vertex et I lignes internes est donc

A ∝∫

(RD)L

(k2)V

(k2)Idq1 · · · dqL (2.77)

(où la lettre k désigne ici un moment quelconque, interne ou externe).Mettons, pour simpli�er, que l'on soit en métrique euclidienne. Alors en notant | · | la norme euclidienne et enne se préoccupant pas des parties angulaires, on écrit pour chaque ` : dq` = |q`|D−1d|q`|, ce qui donne

ω = (D − 1)L+ 2(V − I) + L = DL+ 2(V − I) (2.78)

Mais V − I = 1− L et donc ω = DL+ 2(1− L) = (D − 2)L+ 2.

ω = (D − 2)L+ 2 (2.79)

Pour voir en quoi ce résultat est singulier, prenons un exemple bien connu : la théorie en λϕn (n ∈ N \ {0, 1, 2}).Dans ce cas, la règle de Feynman pour le vertex est simplement λ, et si on ne se préoccupe que des divergencesUV le propagateur est ∝ 1

k2−m2 ∼ 1k2 , de sorte que

A∣∣λϕn∝∫

(RD)L

λV

(k2)Idq1 · · · dqL, (2.80)

d'oùω∣∣λϕn

= (D − 1)L− 2I + L = DL− 2I (2.81)

On utilise maintenant la relation traduisant le fait que les intéractions sont à n particules, à savoir :

nV = E + 2I, (2.82)

qui donne

I = nV−E2

= n(I+1−L)−E2

, i.e. I = n−nL−E2−n (2.83)

On reporte ça dans ω :

ω∣∣λϕn

= DL− 2n−nL−E2−n = (D − 2n

n−2)L− 2E−n

n−2(2.84)

Le degré de divergence super�ciel de la théorie en ϕn est donc une fonction décroissante du nombre de pattesexternes, et dès que ce dernier est strictement supérieur à la valeur critique n+ (n−2

2 D − n)L, on a ω∣∣λϕn

< 0,i.e. que le graphe est super�ciellement convergent (n'implique pas la convergence). Cette dépendance en Eest donc béné�que.

En gravité pure, on a vu que ω ne dépend pas du nombre de pattes externes, donc on a aucune chanced'améliorer la convergence en considérant des graphes à nombre croissant de pattes externes. On voit mêmeimmédiatement que ω est toujours strictement positif, et donc tous les graphes sont super�ciellement divergents,donc divergents. On dit que la gravité pure est non-renormalisable par comptage de puissance .

Remarque importante

En dimension D = 4 on a ω = 2(L + 1), i.e. qu'une amplitude typique A a pour dimension physique D(A) =M

2(L+1). Si on note R une quantité de courbure générique, on a D(R) = 2 et donc D(A) = D(RL+1). Ainsi,pour une amplitude à L boucles, le lagrangien de contre-terme que l'on doit ajouter au lagrangien initial est dela forme

Lct ∼ RL+1 (2.85)

♦

16

2.3 Divergences à l'ordre d'une boucle

2.3.1 Forme a priori du lagrangien de contre-terme � Résultat fondamental

A une boucle on a, d'après le paragraphe précédent, ω = D. En dimension 4, ω vaut 4 et il va donc falloir uncontre-lagrangien de dimension physique 4. Comme ce contre-terme doit aussi être invariant sous transformationde jauge, i.e. sous di�éomorphisme, il est nécessairement de la forme

Lct = |det(g)| 12 φ, avec φ ∈ C∞(M ) (2.86)

Or, les seuls scalaires de dimension physique 4 pouvant être construits à partir de la métrique seule sont des"carrés" des quantités de courbure (conformément à 2.85), à savoir Rµναβ Rµναβ , Rµν Rµν et R2 :

Lct = |det(g)| 12 (a Rµναβ Rµναβ + b Rµν Rµν + c R2) (2.87)

Mais pour les variétés de dimension paire il existe un résultat, le théorème de Gauss-Bonnet-Chern , liantune quantité géométrique à un invariant topologique de la variété nommé caractéristique d'Euler-Poincaré etnoté χ(M ). Pour D = 4 il prend la forme particulière suivante :

χ(M ) = 3

4π2

∫M

(Rµναβ Rµναβ − 4 Rµν Rµν + R2)|det(g)| 12 dx (2.88)

Le contre-terme ajouté à S est donc

Sct =∫

M

Lct dx = 4π2a

3χ(M ) +

∫M

((b+ 4a)Rµν Rµν + (c− a)R2

)|det(g)| 12 dx (2.89)

Le terme proportionnel à χ(M ) ne modi�ant pas les équations du mouvement de la théorie, nous pouvonsl'omettre, de sorte que le contre terme prend la forme :

Sct ≡∫

M

L ′ct dx ou L ′ct = |det(g)| 12 (b′Rµν Rµν + c′R2) (2.90)

Remarque

Le résultat précis a été obtenu pour la première fois par 't Hooft et Veltman [8]. En régularisation dimensionnellede paramètre ε = 4−D

2 , il s'écrit comme suit :

L ′ct = 15

2π2 ε−1|det(g)| 12 (42 Rµν Rµν + R2) (2.91)

♦

Le tenseur de Riemann étant maintenant absent, injecter les équations du mouvement 0 = Rαβ a pour e�etd'annuler le contre-terme :

L ′ct∣∣on shell

= 0 (2.92)

Dans cette situation particulière, deux remarques s'imposent :(i) On peut absorber le lagrangien de contre-terme dans celui de départ par une redé�nition du champ.Montrons ce résultat dans un cas générique, où on se donne une densité lagrangienne L dont les argumentstypiques sont φ (un ensemble de champs quelconques φ`) et Dφ (l'ensemble de leurs dérivées ∂αφ`). Leséquations du mouvement sont les équations d'Euler-Lagrange :

∀`, ∂L

∂φ`− ∂α ∂L

∂(∂αφ`)= 0 (2.93)

Si la fonction Lct s'annule lorsque cette condition est satisfaite, c'est qu'il existe des applications F` =F`(ϕ,Dϕ) telles que

Lct =∑`

F` ·(∂L

∂φ`− ∂α ∂L

∂(∂αφ`)

)(2.94)

Mais

L (ϕ+ εF) ≡ L (ϕ) + ε∑`

F` ·(∂L

∂φ`− ∂α ∂L

∂(∂αφ`)

)(ϕ) + O(ε2), (2.95)

donc

L (ϕ+ εF) = L (ϕ) + εLct(ϕ) + O(ε2) (2.96)

17

On remarque ensuite que L + εLct est justement le lagrangien corrigé Ltot, et on introduit le nouveauchamp ϕ = A (ϕ) = ϕ+ εF, ce qui permet d'écrire

Ltot(ϕ) = L (A (ϕ)) + O(ε2) (2.97)

Donc, à l'ordre 1 en ε, la correction e�ectuée se résume à une redé�nition des champs ϕ 7→ A (ϕ)(ii) Les quantités physiques peuvent toutes êtres calculées à partir d'une fonctionnelle génératrice de laforme

Z(J) =

∫Maps(X,Y)

ei(S(ϕ)+〈J,ϕ〉) Dϕ∫Maps(X,Y)

eiS(ϕ) Dϕ(2.98)

et ne dépendent donc pas d'une redé�nition quelconque des champs de la théorie

Les in�nis mentionnés plus haut n'ont donc aucune sini�cation physique : à une boucle, la gravité pureest renormalisable . C'est le résultat fondamental obtenu par 't Hooft et Veltman [8].

Remarque

Nous devons ici insister sur le fait que ce résultat n'est valable que pour la gravité pure, i.e. en l'absence dematière. Mettons qu'on ajoute au modèle des particules de Klein-Gordon, i.e. des champs scalaires ϕ`, de sorteque l'action devienne

(g, ϕ) 7−→ Snew(g, ϕ) := κ−2D

∫M

(R(g) +

∑`

1

2(∂αϕ`) gαβ (∂βϕ`)

)|det(g)| 12 dx (2.99)

On peut démontrer que le lagrangien de contre-terme devient

Lct,new = 203

1280π2 ε−1|det(g)| 12 R2 (2.100)

Mais les équations d'Einstein en présence de matière sont

Rαβ − 1

2Rgαβ = 1

2κ2DTαβ , (2.101)

où T , qui est fonction de ϕ, est le tenseur d'énergie-impulsion.

On a donc R = κ2D

2−D trg(T ), et le scalaire de courbure n'a donc aucune raison de s'annuler :

Lct,new

∣∣on shell

6= 0 (2.102)

On est en présence d'une véritable divergence physique : cette théorie n'est pas renormalisable. ♦

2.3.2 Examen des graphes à deux et trois pattes externes

Regardons plus précisément le comportement de la gravité pure en calculant explicitement les amplitudesassociées à certains graphes simples.

Remarques préliminaires

Soit A l'amplitude associée à un graphe donné.(i) A est écrite à l'aide des règles de Feynman en représentation de Fourier(ii) A est une fonction scalaire (aucune structure tensorielle) qui dépend des (transformées de Fourier des)

polarisations externes h(`) =(h

(`)αβ

)α,β

et des impulsions entrantes p(`) (` ∈ {1, . . . , E}, E=nombre de

gravitons externes).(iii) A est une quantité invariante sous transformation de jauge . ♦

Traitement du diagramme à deux gravitonsD'après les règles de Feynman énoncées précédemment, l'amplitude associée au diagramme à trois pattes

externes prend la forme

A = h(1)αβ [p(1)] h(2)

µν [p(2)]∫q∈RD

Eαβµν(q,p)

q2(q−p)2 dq (2.103)

(la conservation globale de l'impulsion donnant p(1) = p(2) = p).En ce qui concerne les moments, chacun des deux vertex de ce diagramme contribue quadratiquement, de sorteque le numérateur E αβµν est d'ordre 4 : il se développe comme somme de termes de la forme q4p0, q3p, q2p2, qp3

18

Fig. 1 � Le diagramme à une boucle et deux gravitons

et q0p4 (où la notation kn désigne ici l'ensemble des produits du type kα1kα2 · · · kαn).

Il existe un argument qui réduit drastiquement les choix possibles : pour que A soit invariante de jauge,le tenseur de Riemann linéarisé doit nécessairement être présent. Rappelons l'expression de ce dernier, entransformée de Fourier :

(R1)µναβ(k) = 1

2

(−kαkν hµβ(k) + kαk

µhβν(k) + kβkν hµα(k)− kβkµhαν(k)

)(2.104)

On véri�e immédiatement qu'il est invariant de jauge en regardant l'e�et du changement h 7→ δh avec (δh)µν =∂µXν + ∂νXµ :

(R1)µναβ(k) 7→ 1

2i(−kαkν(kµXβ(k) + kβX

µ(k)) + kαkµ(kνXβ(k) + kβXν(k))

+ kβkν(kµXα(k) + kαXµ(k))− kβkµ(kνXα(k) + kαXν(k)))

= 0 (2.105)

Puisqu'il est quadratique dans les moments, il faut (pour en construire deux) des termes du type q0p4 ; et notreamplitude est de la forme

A ∝ (R(1)1 )µναβ [p(1)] (R(2)

1 )µναβ [p(2)]∫RD

1

q2(q−p)2 dq (2.106)

Mais, pour les grands moments, l'intégrand est de la forme |q|−4|q|D−1d|q|, donc pour D = 4 cette intégralediverge et nous allons la régulariser en choisissant la régularisation dimensionnelle de paramètre ε, avecε = 2− D

2 −→ 0, i.e. D = 4− 2ε −→ 4.La formule de Feynman (AB)−1 =

∫ 1

0(Ax+ (1− x)B)−2 dx permet d'écrire

I =∫RD

(q2(q − p)2)−1 dq

=∫RD

dq

∫ 1

0

dx ((1− x)q2 + x(q − p)2)−2, puis k := q − px donne

I =∫ 1

0

dx

∫RD

dk (k2 + x(1− x)p2)−2 (2.107)

Mais on a ∫RD

(k2 + a)−α dk = (−1)D2 π

D2 i

Γ(α−D2 )

Γ(α)a−(α−D2 ), (2.108)

donc

I = (−1)2−επ2−εiΓ(ε)∫ 1

0

(x(1− x)p2)−ε dx

= iπ2(1− ε lnπ + O(ε2))(ε−1 − γ + O(ε)

)(1− ε

∫ 1

0

ln(x(1− x)p2

)dx+ O(ε2)

)= iπ2

(ε−1 − lnπ − γ −

∫ 1

0

ln(x(1− x)p2

)dx

)+ O(ε) (2.109)

d'où

19

A ∝ (R(1)1 )µναβ [p(1)] (R(2)

1 )µναβ [p(2)](ε−1 − lnπ − γ −

∫ 1

0

ln(x(1− x)p2

)dx+ O(ε)

)(2.110)

Dans le schéma de régularisation dimensionnelle, on obtient donc une divergence en ε−1 pour l'amplitudeassociée au diagramme à une boucle et 2 gravitons ; ce qui est en accord avec 2.91.

Remarque

Considérons, en électrodynamique quantique, le diagramme à 1 boucle et 4 photons, pour lequel le comptagede puissances prévoit une divergence logarithmique. Son amplitude doit être invariante sous transformation dejauge, et est donc proportionnelle à un produit de quatre tenseurs de Faraday (ce dernier remplace ici le tenseurde Riemann linéarisé). L'intégrale restant en facteur est �nalement convergente, et l'amplitude est donc �nie.Ceci est une illusration supplémentaire de la puissance de l'argument d'invariance de jauge. ♦

Traitement du diagramme à trois gravitons

Fig. 2 � Le diagramme à une boucle et trois gravitons

D'après les règles de Feynman énoncées précédemment, l'amplitude associée au diagramme à trois pattesexternes prend la forme

A = h(1)[p(1)] h(2)[p(2)] h(3)[p(3)]∫q∈RD

E ′(q,p(1),p(2),p(3))

q2(q+p(3))2(q−p(1))2 dq, (2.111)

où les produits non dé�nis désignent des contractions tensorielles que l'on se doit de préciser.

Remarque pour la suite

On se placera sur la couche de masse (on mass shell), de sorte que ∀`, (p(`))2 = 0. Mais comme on a aussi laconservation globale de l'impulsion 0 = p(1) + p(2) + p(3), on a 0 = (p(1))2 = (−p(2)− p(3))2 = (p(2))2 + (p(3))2 +2p(2) · p(3), i.e. p(2) · p(3) = 0 ; �nalement, tous les produits scalaires sont nuls :

∀`1, `2 ∈ {1, 2, 3}, p(`1) · p(`2) = 0 (2.112)

♦

Etant donné D(A) = 4, on présume que

A ∼ h (R1)2 (2.113)

Par invariance de Bose (invariance de A sous permutation des polarisations externes), je peux choisir de singu-lariser la polarisation (1) et d'écrire ainsi

A ∼ h(1) R(2)1 R

(3)1 (2.114)

Puisqu'il y a trois vertex, le numérateur E ′ est d'ordre 6 dans les moments qα, p(1)β , p

(2)γ et p

(3)δ . Pour obtenir

R(2)1 R

(3)1 il faut déjà extraire des termes du type (p(2))2(p(3))2, de sorte que le numérateur devient E ′′ ∼

moment2 : il se développe comme somme de termes de la forme qαqβ , qαp(`)β et p

(`1)α p

(`2)β . Mais pour les deux

derniers termes, l'intégrand varie comme |q|−2d|q| et |q|−3d|q| (resp.), et l'intégrale converge. Les seuls termesvéritablement divergents sont ceux pour lesquels le numérateur est quadratique dans le moment interne q, etcela nous laisse avec des intégrands de la forme

qαqβ

q2(q+p(3))2(q−p(1))2 dq (q ∈ RD), i.e. 1

(q+p(3))2(q−p(1))2 dq (pour |q| −→ ∞) (2.115)

On est dans le cas précédent, et on voit donc au passage que la divergence est une fois de plus en ε−1.

Il s'agit maintenant d'expliciter une contraction de type h(1) R(2)1 R

(3)1 qui soit invariante sous transformation

de jauge. Montrons que

20

V := (h(1))µν (R(2)1 )µαβγ (R(3)

1 ) αβγν (2.116)

jouit de cette propriété.On va donc montrer que sous la transformation h(1) 7→ δh(1) (avec

(δh(1)

)µν

= ∂µXν + ∂νXµ), V s'annule.

V∣∣h(1) 7→δh(1) = (δV )1 + (δV )2 (2.117)

où

(δV )1 = ip(1)µ Xν [p(1)] (R(2)

1 )µαβγ (R(3)1 )ναβγ

= 1

4ip(1)µ Xν [p(1)]

· [(p(2))µ(p(2))β(h(2))αγ + (p(2))α(p(2))γ(h(2))µβ

− (p(2))α(p(2))β(h(2))µγ − (p(2))µ(p(2))γ(h(2))αβ ]

· [(p(3))ν(p(3))β(h(3))αγ + (p(3))α(p(3))γ(h(3))νβ− (p(3))α(p(3))β(h(3))νγ − (p(3))ν(p(3))γ(h(3))αβ ]

= 1

2i(X[p(1)] · p(3)

)(p(3)h(2)p(1)

)(p(2)h(3)p(2)

)(2.118)

et

(δV )2 = ip(1)ν Xµ[p(1)] (R(2)

1 )µαβγ (R(3)1 )ναβγ

= 1

2i(X[p(1)] · p(2)

)(p(1)h(3)p(2)

)(p(3)h(2)p(3)

)(2.119)

où on a utilisé la notation

p(`1)h(`2)p(`3) := (p(`1))α(h(`2))αβ(p(`3))β (2.120)

Pour continuer le calcul on choisit de se placer dans la jauge de De Donder :

∂αhαβ = 0, i.e. ∂αhαβ = 1

2∂β (trη(h)) , donc

pαhαβ = 1

2trη(h)pβ , i.e. h · p = 1

2(trη(h))p (2.121)

Ceci permet une réécriture de certains termes :

p(3)h(2)p(1) = p(3)h(2)(−p(2) − p(3))

= − 1

2

(trη(h(2))

)(p(3) · p(2)

)− p(3)h(2)p(3)

= −p(3)h(2)p(3), etp(2)h(3)p(2) = p(2)h(3)(−p(1) − p(3))

= −p(2)h(3)p(1) − 1

2

(trη(h(3))

)(p(2) · p(3)

)= −p(1)h(3)p(2) (2.122)

d'où

(δV )1 = 1

2i(X[p(1)] · p(3)

)(p(3)h(2)p(3)

)(p(1)h(3)p(2)

), (2.123)

et donc

V∣∣h(1) 7→δh(1) = 1

2i(p(3)h(2)p(3)

)(p(2)h(3)p(1)

)(X[p(1)] · p(3) + X[p(1)] · p(2)

)= − 1

2i(p(3)h(2)p(3)

)(p(2)h(3)p(1)

)(X[p(1)] · p(1)

)(2.124)

Mais je peux décomposer le vecteur X[p(1)] en u+λp(1), avec u ⊥ p(1), i.e. u · p(1) = 0 ; et comme p(1) · p(1) = 0,on a X[p(1)] · p(1) = 0, d'où :

V∣∣h(1) 7→δh(1) = 0 (2.125)

CQFD

21

2.4 Divergences à l'ordre de deux boucles

2.4.1 Forme a priori du lagrangien de contre-terme

D'après 2.85, pour D = 4 et à l'ordre de deux boucles on doit introduire un lagrangien de contre-termeformé d'un produit de 3 quantités de courbure : Lct = |det(g)| 12φ, où φ est combinaison linéaire de termes dela forme (on note toujours D un symbole de dérivation générique)

(D R)2, (D Ric)2, R Ric2,R Riem2, Ric Riem2, Riem Ric2, R3, Ric3 et Riem3, (2.126)

soit, explicitement [3] :

(∇µR)(∇µR), (∇µR)αβ(∇µR)αβ , R Rαβ Rαβ , R Rµναβ Rµναβ , Rµν Rαβγµ Rαβγν , (2.127)

Rαβµν Rαµ Rβν , R3, Rαβ Rβ

γ Rγα, Rαβ

µν Rµνσζ Rσζ

αβ et Rαβµν Rα µσ ζ Rβσνζ (2.128)

Mais si l'on utilise les équations du mouvement, tous ces termes s'annulent sauf ceux de la dernière catégorie.Ainsi, par redé�nition du champ, tous les invariants écrits ci-dessus peuvent être absorbés, exceptés ceux dutype Riem3. Donc le contre-terme se développe a priori comme

Lct

∣∣on shell

= |det(g)| 12 (c1 Rαβµν Rµν

σζ Rσζαβ + c2 Rαβµν Rα µ

σ ζ Rβσνζ) (2.129)

Mais

Rαβµν Rα µσ ζ Rβσνζ = 1

2Rαβ

µν Rµνσζ Rσζ

αβ + termes s′annulant sur la couche de masse (2.130)

(cette formule pouvant être déduite du théorème de Gauss-Bonnet-Chern en dimension 6 [3]).

Ainsi les deux invariants dont il est question peuvent être considérés comme proportionnels. Le contre-termen'est donc composé que d'un seul invariant :

Lct

∣∣on shell

= a|det(g)| 12 Rαβµν Rµν

σζ Rσζαβ , (2.131)

où a est un coe�cient(dépendant de D, i.e. de ε) à déterminer.

Etant donné que les divergences à une boucle sont en ε−1, pour les divergences à deux boucles on aurauniquement des termes en (ε−1)2 = ε−2 et ε−1. De plus, on sait que les divergences de la matrice S sontrenormalisables à une boucle ; donc les e�ets en (ε−1)2 peuvent être oubliés, et on en conclut qu'à deux boucles,comme à une boucle, le coe�cient a varie comme ε−1.

2.4.2 Expression �nale

Goro� et Sagnotti montrent [3] qu'il su�t, pour déterminer a, de calculer la correction à deux boucles duvertex , et que seuls 8 diagrammes sont à considérer. Le résultat de ces calculs est

Lct

∣∣on shell

= 209

1474560π4 ε−1|det(g)| 12 Rαβ

µν Rµνσλ Rσλ

αβ (2.132)

Le coe�cient a n'étant pas nul, nous sommes en présence d'une véritable divergence. Autrement dit, la matriceS de la gravité d'Einstein pure possède une divergence non-renormalisable à deux boucles.

3 Les divergences en Supergravité

Nous considérons dans cette partie une classe d'extensions supersymétriques de la relativité générale 7

regroupées sous le nom de supergravité 8 et nous proposons de montrer qu'elle jouit de propriétés quantiquesplus appréciables que celles de la théorie d'Einstein, que nous avons mises en lumière dans les précédentesparties.Le modèle le plus simple 9 est celui avec une seule charge de supersymétrie ou supercharge (N = 1), notée Q.Quant au contenu en champs, voici la constitution du supermultiplet le plus simple :

7formulable en diverses dimensions, mais nous nous bornerons à D = 48abrégé en sugra9simple supergravity en anglais

22

(i) la partie bosonique : le vierbein e (ou tétrade), de composantes eaµ, telles que gµν(x) = eaµ(x)ebν(x)ηab ;où g est la métrique, qui donne naissance au graviton. C'est un objet de spin 2.

(ii) la partie fermionique : le gravitino (ou champ de Rarita-Schwinger) ψ, de composantes ψαµ . C'est un

objet de spin 32 (spin adjacent).

3.1 Divergences à l'ordre d'une boucle

Grisaru et ses collaborateurs ont montré en 1976 que la supergravité exhibait le même comportement quela gravité pure à une boucle, dans le sens où le lagrangien de contre-terme s'écrit Lct = ε−1B2, où B s'annulelorsqu'on utilise les équations du mouvement (i.e. les équations d'Einstein pour le champ gravitationnel et cellesde Rarita-Schwinger pour le gravitino), de sorte que

L 1 loopct

∣∣on shell

= 0 (3.1)

Ainsi il s'agit d'une théorie �nie sur la couche de masse à une boucle : le problème est reporté à l'ordrede deux boucles au moins.

3.2 Divergences à l'ordre de deux boucles

Dans [10] les auteurs examinent les conséquences de la formule

L 2 loopsct

∣∣on shell

= a|det(g)| 12 Rαβµν Rµν

σζ Rσζαβ (3.2)

sur le processus de di�usion à quatre gravitons (graviton-graviton scattering). Si on note ψ`(ζ`) l'état quantiquede la `-ième particule, dont l'hélicité est ζ` (ζ` ∈ {2,−2} pour le graviton) et

A(ζ3, ζ4; ζ1, ζ2) = 〈ψ3(ζ3)⊗C ψ4(ζ4) | S · (ψ1(ζ1)⊗C ψ2(ζ2))〉 (3.3)

l'amplitude relative au processus

(ζ1, ζ2) −→ (ζ3, ζ4), (3.4)

alors on montre que les seules quantités a priori non-nulles sont A(2, 2; 2,−2) et A(2, 2;−2,−2). Mais ces ampli-tudes violent la conservation de l'hélicité : ζ1 +ζ2 6= ζ3 +ζ4. Or, dans une théorie invariante sous transformationssupersymétriques (globales comme locales), l'hélicité est conservée (résultat de Grisaru et Pendleton). C'est doncque

a|sugra = 0, soit L 2 loopsct

∣∣sugra, on shell

= 0 (3.5)

Ainsi, en dimension 4, la supergravité est �nie sur la couche de masse à deux boucles.La supersymétrie permet donc à elle seule de reporter les éventuelles divergences à l'ordre de trois boucles aumoins.

4 Conclusion et perspectives

Nous avons démontré par des arguments simples (le comptage de puissances et l'invariance de jauge du la-grangien), que la gravité (einsteinienne) pure est renormalisable à une boucle. Les mêmes outils nous ont ensuitepermis d'arriver au résultat de Goro� et Sagnotti, à savoir la présence de divergences non-renormalisables àl'ordre de deux boucles ; résultat fort célèbre et non moins désastreux, puisqu'il implique d'a�reuses divergencesnon-renormalisables à tous les ordres supérieurs en boucles (une in�nité de nouveaux paramètres restant in-déterminés). Ainsi la relativité générale n'est pas renormalisable et ne peut donc pas convenir comme modèlesatisfaisant pour la gravitation quantique. 10

Ensuite, nous avons montré que l'ajout de la supersymétrie dans le modèle permettait à lui seul de repousserles éventuelles divergences à l'ordre de trois boucles, i.e. que les théories de supergravité sont �nies sur la couchede masse à deux boucles.

Historiquement, pendant plus de 20 ans, la majorité des physiciens a alors pensé que toutes les théories desupergravité étaient divergentes à trois boucles, et peu de calculs furent menés à bien. Il faut remarquer que lagrande complexité des calculs basés sur les diagrammes de Feynman a grandement contribué à ce � creux �derésultats. En e�et, en gravité, les calculs d'amplitudes associées aux graphes de Feynman deviennent vite d'unedi�culté diabolique, ce qui en fait un formalisme très mal adapté. Par exemple, le nombre de termes dansl'expression d'un diagramme à 3 boucles typique est de l'ordre de 10 21 (avant même de calculer une seuleintégrale) ; à 5 boucles, on arrive à 10 30 .

10tant que l'on ne remet pas en question le fait qu'une théorie quantique des champs satisfaisante se doit d'être renormalisable

23

Ce n'est que très récemment que les physiciens purent, à l'aide de techniques issues par exemple de la théoriedes cordes, calculer certaines de ces amplitudes. A l'heure actuelle, on sait ainsi que la supergravité N = 8échappe à ces divergences à trois boucles, et réussit même à repousser les éventuelles divergences à un ordrebien plus élevé. Par conséquent, il n'est pas impossible que cette théorie soit �nie dans l'ultraviolet ; cecifaisant actuellement encore l'objet de recherches actives (et de débats houleux). Il s'agit donc d'une des lignesdirectrices les plus prometteuses dans la quête d'une théorie quantique de la gravitation.

24

Références

[1] M. J. Du�. Ultraviolet divergences in extended supergravity. Supergravity 81, Spring school on supergravity,ICTP, Trieste, 1981.

[2] M. H. Goro� and A. Sagnotti. Quantum Gravity At Two Loops. Phys. Lett. B, 160 :81, 1985.

[3] M. H. Goro� and A. Sagnotti. The Ultraviolet Behavior Of Einstein Gravity. Nucl. Phys. B, 266 :709,1986.

[4] M. T. Grisaru. Two Loop Renormalizability Of Supergravity. Phys. Lett. B, 66 :75, 1977.

[5] C. Rovelli. Notes for a brief history of quantum gravity.

[6] G. 't Hooft. Perturbative quantum gravity.

[7] G. 't Hooft. An algorithm for the poles at dimension four in the dimensional regularization procedure.Nucl. Phys. B, 62 :444�460, 1973.

[8] G. 't Hooft and M. J. G. Veltman. One loop divergencies in the theory of gravitation. Annales PoincaréPhys. Theor. A, 20 :69�94, 1974.

[9] P. van Nieuwenhuizen. Supergravity. Physics Reports 68, 4 :189�398, 1981.

[10] P. van Nieuwenhuizen and C. C. Wu. On integral relations for invariants constructed from three Riemanntensors and their applications in quantum gravity. J. Math. Phys., 18 :1, 1977.

[11] P. Vanhove. Non-renormalisation theorems in superstring and supergravity theories.

[12] M. J. G. Veltman. Quantum theory of gravitation. In Les Houches 1975, Proceedings, Methods in �eldtheory, pages 265�327, Amsterdam 1976.

25

5 Annexes

5.1 Notations

R Corps des nombres réelsC Corps des nombres complexesD Dimension de la variété qu'on s'est donnée comme espace-tempsGD Constante de Newton en D dimensionsCn(q) ou qn Composante d'ordre n dans le développement perturbatif de la quantité physique qk (ou p, q, . . . ) Variable typique dans l'espace de Fourier (moment)∂α Opérateur de dérivation ∂

∂xα dans le système de coordonnées locales (x0, . . . , xD−1)∂2 = ηαβ∂α∂β = � Opérateur d'alembertienE∨ Hom(E,R), le dual algébrique du R− espace vectoriel E

D(Q) = MαEβLγTδ Dimension physique de la quantité Q

Γ(E ) Espace des sections globales du �bré vectoriel Eπ−→ B

Riem Tenseur de RiemannRµ

ναβ Composantes du tenseur de Riemann

Ric Tenseur de RicciRαβ = Rσ

αβσ Composantes du tenseur de Ricci

R = gαβRαβ Scalaire de courbureE, I, V, L Nombre de lignes externes, lignes internes, vertex et boucles (resp.) d'un graphe♦ Signe indiquant la �n d'une remarqueTM ,m Espace tangent à la variété M au point m ∈MTM =

⋃m∈M

TM ,m Fibré tangent de la variété M

vol(g) = |det(g)| 12D−1∧`=0

dx` Forme volume associée à la métrique semi-riemannienne g

5.2 Conventions

1. La convention d'Einstein sur les indices répétés est utilisée.

2. On se place en unités naturelles c = } = kB = 1, de sorte que M = E = L−1 = T

−1

3. Si E et F désignent deux R−espaces vectoriels, les isomorphismes

(E∨)∨ ' E et E ⊗R F ' Bil(E∨ × F∨,R) (5.1)

sont utilisés de manière implicite.

4. La transformée de Fourier F(f) = f d'une fonction intégrable f : Rn −→ C est dé�nie comme

Rn 3 k 7−→ f(k) :=

∫Rn

f(x) e−ik·x dx ∈ C, (5.2)

où k ·x dénote l'évaluation en (k, x) de la forme bilinéaire symétrique non-dégénérée que l'on se donne surRn.

Remarques

(i) La formule d'inversion est :

f(x) = (2π)−n2

∫Rn

f(k) eik·x dk (5.3)

(ii) L'opérateur ∂α agit comme ikα, et ∂2 comme −k2.

(iii) En pratique, dans le texte, cette formule est appliquée de manière abusive 11. ♦

5.3 Notions de géométrie di�érentielle

5.3.1 Qu'est-ce qu'une métrique ?

Soit M une variété di�érentielle de classe C∞. L'espace Sym2T ∨M est un �bré vectoriel de base M dontla �bre en un point m ∈ M , Sym2T ∨M ,m, est isomorphe à l'espace des formes bilinéaires symétriques de

11à des objets non dé�nis e.g.

26

TM ,m × TM ,m dans R. Parmi les objets intéressants pour la physique, on considère les sections globales dece �bré : ce sont donc les champs tensoriels covariants, de degré 2 et symétriques. La restriction de cet espaceaux champs qui ne sont pas dégénérés donne ce qu'on notera l'espace Met(M ). Un élément de cet espace seraappelé métrique sur M .

5.3.2 Action du groupe des di�éomorphismes sur Met(M )

Le pull-back fournit une action à droite du groupe des di�éomorphismes Diff(M ) sur l'espace des métriquesMet(M ) :

Met(M )×Diff(M ) −→ Diff(M )(g, f) 7−→ f∗g (5.4)

En pratique on utilisera souvent la version in�nitésimale, ce qui revient à considérer l'action de Vect(M ) =Γ(TM ).A tout champ de vecteurs X ∈ Vect(M ) je peux associer son Flot , qui est un groupe à un paramètre de di�éo-morphismes, i.e. un homomorphisme t 7−→ FX,t du groupe additif R vers le groupe Diff(M ) : par dé�nition,pour tout m ∈ M , t 7−→ FX,t(m) est l'unique solution du système d'équations di�érentielles (portant sur lacourbe R ⊃]− a, a[3 t 7−→ σ(t) ∈M ) dont l'écriture dans le système de coordonnées locales (x0, . . . , xD−1) est

∀α ∈ {0, . . . , D − 1}, d

dtxα(σ(t)) = Xα(σ(t))

(avec X = Xα ∂

∂xα

)(5.5)

et telle que σ(0) = m.

La dérivée de Lie d'un champ tensoriel s par rapport à un champ de vecteurs X est dé�nie par

LXs := d

dt

∣∣0

F ∗X,t s (5.6)

Ceci implique :

F ∗X,t s = s+ t(LXs) + O(t2) (5.7)

Je peux notamment écrire cette formule pour un élément g ∈ Met(M ), et prendre la composante (µ, ν) dechaque membre :

(F ∗X,t g)µν = gµν + t(LXg)µν + O(t2) (5.8)

Mais, si on prend ∇ := la connexion de Levi-Civita associée à la variété semi-riemannienne (M , g), on a

(LXg)µν = gνσ(∇µX)σ + gµσ(∇νX)σ (5.9)

En utilisant les formules (∇µX)ν = ∂µXν + ΓνµαX

α et Γαµν = 12gασ(∂µgσν + ∂νgσµ − ∂σgµν), on obtient

(LXg)µν = gνσ∂µXσ + gµσ∂νX

σ +Xσ∂σgµν (5.10)

On a donc immédiatement :

(F ∗X,t g)µν = gµν + t(gνσ∂µXσ + gµσ∂νXσ +Xσ∂σgµν) + O(t2), (5.11)

Remarque

Si aucune confusion n'est possible, cette formule sera écrite de la manière abusive suivante :

gµν −→ g′µν = gµν + ε(gνσ∂µXσ + gµσ∂νXσ +Xσ∂σgµν), (5.12)

le paramètre ε (paramètre de �ot) étant même souvent omis. ♦

Si g ∈ Met(M ) alors il est naturel de considérer l'orbite de cet élément sous l'action de Diff(M ) : c'est pardé�nition

O(g) = {s ∈ Met(M ) | ∃f ∈ Diff(M ), s = f∗g} (5.13)

Appartenir à une même orbite est une relation d'équivalence, d'où notre

Dé�nition � Equivalence de métriques

Deux métriques g1, g2 ∈ Met(M ) seront dites équivalentes si elles sont dans une même orbite sous l'action dugroupe des di�éomorphismes, i.e. si il existe f ∈ Diff(M ) tel que g2 = f∗g1.On dira que g1 et g2 sont reliées par une transformation de jauge et on écrira souvent la version in�nitésimalede la relation, à savoir

(g1)µν −→ (g2)µν = (g1)µν + (g1)µσ∂νXσ + (g1)νσ∂µXσ +Xσ∂σ(g1)µν (5.14)

27

5.3.3 Action d'Einstein-Hilbert et groupe des di�éomorphismes

Dans cette section, nous donnons un sens à l'assertion bien connue selon laquelle l'action d'Einstein-Hilbertest "invariante sous di�éomorphisme". Pour cela nous considérons une fonctionnelle

F : C∞(M )×Met(M ) −→ R

(ϕ, g) 7−→ F(ϕ, g) :=∫

M

ϕ vol(g) =∫y∈M

ϕ(y)|det(gy)| 12 dy (5.15)

ainsi qu'une application f ∈ Diff(M ) qui nous permet de réaliser le changement de variables y = f(x) :

F(ϕ, g) =∫x∈M

|det(gf(x))|12 (ϕ ◦ f)(x)

∣∣∣∣det(∂yα

∂xβ

)α,β

∣∣∣∣ dx (5.16)

Or, si g est donnée en coordonnées locales par gy = gµν(y)dyµ ⊗ dyν , le pull-back de g par f est donné par :

(f∗g)x = (f∗g)µν(x)dxµ ⊗ dxν (5.17)

avec

(f∗g)µν(x) = gαβ(f(x))∂yα

∂xµ∂yβ

∂xν, (5.18)

donc

(f∗g)µν(x)∂xµ

∂yα∂xν

∂yβ= gαβ(f(x)), (5.19)

d'où

det(gf(x)) = detαβ

((f∗g)µν(x)∂x

µ

∂yα∂xν

∂yβ

)=

∣∣∣∣det(∂xα

∂yβ

)α,β

∣∣∣∣2 det((f∗g)x), (5.20)

et donc

|det(gf(x))|12 =

∣∣∣∣det(∂yα

∂xβ

)α,β

∣∣∣∣−1

|det((f∗g)x)| 12 (5.21)

D'autre part, le pull-back d'un champ scalaire ϕ ∈ C∞(M ) n'est autre que la composition

f∗ϕ = ϕ ◦ f (5.22)

Nous trouvons donc que

F(ϕ, g) =∫x∈M

|det((f∗g)x)| 12 (f∗ϕ)(x) dx, (5.23)

c'est-à-dire :

F(f∗ϕ, f∗g) = F(ϕ, g) (5.24)

Il reste à dire que l'action d'Einstein-Hilbert est la fonctionnelle de "courbure totale", et comme le scalairede courbure est bien un élément de C∞(M ), notre résultat s'applique, et cette action est bien invariante sousl'action du groupe des di�éomorphismes, au sens de la formule ci-dessus.

5.3.4 Quelques propriétés du tenseur de Riemann

Rappel : on monte et descend les indices à l'aide de la métrique g.

1. Première idendité de Bianchi

Rµναβ + Rµβνα + Rµαβν = 0 (5.25)

28

2. Seconde identité de Bianchi

(∇σR)µναβ + (∇βR)µνσα + (∇αR)µνβσ = 0 (5.26)

3. Propriétés de symétrie

Rνµαβ = −Rµναβ

Rµνβα = −Rµναβ

Rαβµν = Rµναβ (5.27)

4. Expression en fonction des symboles de Christo�el

Rµναβ = ∂αΓµνβ + ΓσνβΓµασ − ∂βΓµνα − ΓσναΓµβσ

= ∂αΓµνβ + ΓσνβΓµασ − (α↔ β) (5.28)

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Remerciements

Je remercie chaleureusement Pierre Vanhove, Laurent La�orgue, Jean-Pierre Bourguignon, Olivier Babelon,Michela Petrini, Marco Picco, Léo Granger, Nicolas Marie, Benjamin Lévêque, Guillaume Raynaud, ThomasCailleteau, Virgile Ducet, Sébastien Darses, Cheng Zhang, David Andriot ainsi que tout le personnel de l'IHESet du LPTHE.

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