EXEMPLE 1

Étudier la fonction f (x) = x² sur l'intervalle [-2; 3]

EXEMPLE 1

On étudie f (x) = x² sur l'intervalle [-2; 3]

Première étape : L'intervalle d'étude est [-2; 3]

Deuxième étape : f '(x) = 2x

Troisième étape : Résolution de l'équation f '(x) = 0

f '(x) = 0 est équivalent à 2x = 0 soit x = 0 ( résultat placé en première ligne)

x -2 0 3Signe de f ' - 0 +

Variation de f 4 0 9

Pour compléter la troisième ligne, il faut calculer f (-2) , f (0) et f (3)

f (-2) = (-2)² = 4 f (0) = 0² = 0 f (3) = 3² = 9

EXEMPLE 1

Quatième étape :

A partir du tableau de variation, on peut placer les points (-2 ; 4) , 0 ; 0) et (3 ; 9) et puis tracer à main levée l'allure de la courbe

2-1

2

3

4

5

6

7

8

9

-10 1

1

x

y

EXEMPLE 2

Étudier la fonction f (x) = 2x² + 5x +1

sur l'intervalle [-3 ; 1]

EXEMPLE 2

On étudie f (x) = 2x² + 5x +1 sur l'intervalle [-2; 3]

Première étape : L'intervalle d'étude est [-3; 1]

Deuxième étape : f '(x) = 2×2x+ 5 = 4x + 5

Troisième étape : Résolution de l'équation f '(x) = 0

f '(x) = 0 est équivalent à 4x+5 = 0 soit 4x = -5 d'où x = -5/4 = -1,25

x -3 -1,25 1Signe de f ' - 0 +

Variation de f 4 -2,125 8

Pour compléter la troisième ligne, il faut calculer f (-3) , f (-1,25) et f (1)

f (-3) = 2×(-3)² + 5×(-3) +1 = 4f (-1,25) = 2×(-1,25)² + 5×(-1,253) +1 = -2,125 f (1) = 2×1² + 5×1 +1 = 8

EXEMPLE 2

Quatrième étape :

A partir du tableau de variation, on peut placer les points (-3 ; 4) , (-1,25 ;-2,125) et (1 ; 8) et puis tracer à main levée l'allure de la courbe

-1-2

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-1

-2

0 1

1

x

y

EXEMPLE 3

Étudier la fonction f (x) = x3

3 x

2

2−2x1

sur l'intervalle [-3 ; 2]

EXEMPLE 3

On étudie f (x) = x3

3 x

2

2−2x1 sur l'intervalle [-3; 3]

Première étape : L'intervalle d'étude est [-3; 3]

Deuxième étape : f '(x) = 3x2

32x

2−2 = x²+x-2

Troisième étape : Résolution de l'équation f '(x) = 0

f '(x) = 0 est équivalent à x²+x-2 = 0

a = 1 b= 1 c = -2 d'où ∆ = b² – 4ac = 1² - 4×1×(−2) = 9

Comme le résultat ∆ > 0 , il y a deux solutions x1 et x2. x1 = -2 et x2 = 1

x -3 -2 1 3Signe de f ' + 0 - 0 +

Variation de f 2,5 4,33 -0,17 8,5

Pour compléter la troisième ligne, il faut calculer f (-3) , f (-2) , f (1) et f(3)

f (-3) = 2,5 f (-2) = 4,33 f (1) = -0,17 f (3) = 8,5

EXEMPLE 3

Quatrième étape :

A partir du tableau de variation, on peut placer les points (-3 ; 2,5) , (-2 ;4,33) , (1 ;-0,17) et (3 ; 8,5) et puis tracer à main levée l'allure de la courbe

2-1-2

2

3

4

5

6

7

8

9

-10 1

1

x

y

EXEMPLE 4

Étudier la fonction f (x) = 2x

sur l'intervalle [-4 ; -0,5]

EXEMPLE 4

On étudie f (x) = 2x sur l'intervalle [-4; -0,5]

Première étape : L'intervalle d'étude est [-4; -0,5]

Deuxième étape : f '(x) = − 2x²

Troisième étape : Résolution de l'équation f '(x) = 0

f '(x) = 0 est équivalent à − 2x² = 0 . Il n'y a pas de solution

Comme x² est positif (quelque soit la valeur de x ), la division de (-2) par x² est négatif

x -4 -0,5Signe de f ' -

Variation de f -0,5 -4

Pour compléter la troisième ligne, il faut calculer f (-4) , f (-0,5)

EXEMPLE 4

Quatrième étape :

A partir du tableau de variation, on peut placer les points (-4 ; -0,5) , (-0,5 ;-4) , et puis tracer à main levée l'allure de la courbe

-1-2-3-4-1

-2

-3

-4

-5

0 1

1

x

y

EXEMPLE 5

Étudier la fonction f (x) = x900x

sur l'intervalle [10 ; 90]

EXEMPLE 5

On étudie f (x) = 2x sur l'intervalle [10; 90]

Première étape : L'intervalle d'étude est [10; 90]

Deuxième étape : f '(x) = 1−900x²

Troisième étape : Résolution de l'équation f '(x) = 0

f '(x) = 0 est équivalent à 1−900x² = 0 soit x² = 900

Les solutions à cette équation sont x1 = -30 et x2 = 30

x 10 30 90 Signe de f ' - 0 +

Variation de f 100 40 100

Pour compléter la troisième ligne, il faut calculer f (10) , f (30) et f (90)

Quatrième étape :

A partir du tableau de variation, on peut placer les points (10 ; 100) , (30,40) et(90,100) et puis tracer à main levée l'allure de la courbe

20 30 40 50 60 70 80 90

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

-10

-20

0 10

10

x

y