1

Estimation des ressources

Septembre 2008

2

Plan

� Influence de la densité� Méthode polygonale� Méthode des triangles� Inverse de la distance� Méthode des sections

� Manuelle� Logiciels de CAO

� Critique des méthodes

� Calcul de densité théorique

3

Influence de la densité

t1,v1,d1 t2,v2,d2

V=v1+v2

d, t ?2v1v

2d*2v1d*1vd

+

+=

2d*2v1d*1v

2d*2v*2t1d*1v*1tt

+

+=

La quantité de métal dans un bloc est t*v*d = t*masse du blocPour une même teneur et un même volume, il y a plus de métal dans un bloc à forte densité

Souvent, les variations de densité peuvent être considérées comme négligeables par rapport aux variations des teneurs ou des volumes

4

Quand épaisseur et/ou densité varient :

Généralement on estime la quantité de métal dans un volume donné et on divise par le tonnage estimé pour ce même volume

Soit ti = teneur au point isi*= facteur de pondération dépendant de la méthode utiliséeei = épaisseur au point idi = densité au point i

À un point « 0 », on estime la teneur par

où∑

∑=

j

j

i

ii

0s

st

t

is Facteur total de pondération :

= si* quand « t » varie

= si* x ei quand « t » et « e » varient

= si* x ei x di quand « t », « e » et « d » varient

5

Méthode polygonale (plus proche voisin)

Principe : la teneur estimée en un point est égale à la teneur du point connu le plus proche

=> définit des polygones (polygones de Voronoï) à teneur constante

Même principe est appliqué pour l’épaisseur

6

Exemple

0 20 40 60 80 1000

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100Méthode des polygones

x

y

7

Exemple

0 20 40 60 80 1000

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100Méthode des polygones

x

y Le seul paramètre àspécifier est la règle de fermeture pour les polygones externes

Souvent: distance max

8

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 20 40 60 80 1000

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

x

y

Méthode des polygonesTeneur

Design de la mine, la teneur moyenne est

la moyenne pondérée par les

« surfaces »

9

Pour une zone donnée

is Facteur de pondération :

- surface

- surface x épaisseur

- surface x épaisseur x densité

∑

∑=

j

j

i

ii

moys

st

t

10

Comment obtenir les polygones?

� Triangulation de Delaunay Triangles les + équilatéraux possibles

� Perpendiculaires au milieu des côtés des triangles� Les points d’intersection des perpendiculaires définissent les

polygones

11

0 20 40 60 80 1000

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100Méthode des polygones

x

y

Note : pour points d’un même triangle => polygones de Voronoise touchent

Polygones de Voronoi et triangulation de Delaunay sont deux opérations duales

Dans une triangulation de Delaunay

Cercle défini par 3 points d’un triangle de Delaunay n’inclut aucun autre pointPlusieurs algorithmes très efficaces pour le programmer

AB

C

D

D est dans le cercle ABC. Le triangle ABC n’est pas Delaunay

AB

C

D

D n’est pas dans le cercle ABC. Le triangle ABC est Delaunay

13

Méthode des polygones : estimation ponctuelle et blocs

Tous les points dans un polygone reçoivent la teneur de la donnée associée au polygone

Ex. grille régulière => polygones sont des carrés

Estimés des blocs => même distribution statistique que les données 0 50 100

0

20

40

60

80

100Méthode des polygones

x

y

1 1.5 2 2.5 30

5

10

15histogramme des données

1 1.5 2 2.5 30

5

10

15histogramme des blocs (estimés)

Est-ce réaliste d’un point de vue statistique ?

14

Méthode des triangles

(ΣΣΣΣ ti + Σ Σ Σ Σ ti Si / ΣΣΣΣ Si) /4

(méthode des %)

- Teneur- Épaisseur

ΣΣΣΣ tiSi / Σ Σ Σ Σ Si

(moyenne pondérée)

- Accumulation = Teneur x épaisseur- Épaisseur (Si)

Teneur (triangle)Hypothèse: ce qui varie linéairement

Triangulation de Delaunay

Note, si la densité varie aussi, on l’inclut dans le facteur de pondération Si

15

Méthode des triangles : estimation ponctuelle et de blocs

Points : interpolation linéaire

+

t1 t2

t3

a

b

t13* c

dt0*

t13*= t1+a/(a+b)*(t3-t1)

t0*=t13*+c/(c+d)*(t2-t13*)

Blocs : moyenne des teneurs ponctuelles estimées dans le bloc

16

Comparaison

0 20 40 60 80 100

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 20 40 60 80 100

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 20 40 60 80 100

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Réalité

Polygones

Triangles

17

Inverse de la distance

L’estimateur est de la forme :

∑∑

∑

∑

==

= ===n

1jb

j

b

ii

i

iin

1ib

i

n

1ib

i

i

d

1

d/1savecst

d

1

d

t

t

où di est la distance entre le point à estimer et le i ème point observé

18

Exemple

# distance

teneur %

1 40 1

2 40 1

3 30 1.5

4 35 1.5

5 20 3

Estimation au point A avec b=2

%05.2)1/201/351/301/40(1/40

)3/201.5/351.5/301/40(1/40t

22222

22222

=++++

++++=

19

Note:- Défini pour une estimation ponctuelle

- bloc: moyenne des estimations ponctuelles dans le bloc

- Si épaisseur (et/ou densité) varie, habituellement estimer accumulation (a*) et épaisseur (e*) séparément et calculert*=a*/e*.

20

Influence de « b »

b=0

b=0.25

b=0.5

b=1

b=1.5b=2b=2.5b=3

Forme des interpolations en fonction de l'exposant b

Coordonnée

Est

imat

ion

Le coefficient « b »contrôle la forme de l’interpolation Plus « b » est élevé, plus l’influence du point le plus près est grande; plus l’estimation apparaît comme une série de plateaux coupés par de forts gradients.

21

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Coord. x

Coo

erd.

y

Interpolation en 2D, b=1

0.10.2

0.20.3

0.4

0.4

0.5

0.5

0.6

0.6

0.7

0.7

0.8

0.8

0.8

0.90.9

0.9

0.9

11

11 1.11.1

1.11.21.2

1.2

1.31.3

1.3

1.4

1.41.4

1.4 1.5

1.5

1.5

1.6

1.6

1.6

1.7

1.7

1.8

1.8

1.9

0 1

2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Coord. xC

ooer

d. y

Interpolation en 2D, b=3

0.1

0.1

0.2

0.2

0.3

0.3

0.4

0.4

0.5

0.5

0.5

0.6

0.6

0.6

0.7

0.7

0.7

0.80.8

0.8

0.90.9

0.9

0.9

11

11

1.11.1

1.1 1.21.21.2 1.31.31.3 1.41.4

1.4 1.51.51.5 1.6

1.61.6

1.71.7

1.71.8

1.81.8

1.9

1.91.9

1.9

0 1

2

t=0 t=1

t=2

Note: l’inverse de la distance ne permet pas une interpolation linéaire

b = 1 b = 3 En 2D

22

La distance peut être anisotrope

d x ay= +2 2

« a » >1 indique qu’un écart donné sur le terrain correspond à une distance + grande en « y » qu’en « x »

A est plus près de B que de C, pourtant il est logique de considérer C plus semblable à A (que B)A

B

C

strates

23

Paramètres de contrôle avec l’inverse de la distance

- Exposant « b »

- Importance et orientation d’une éventuelle anisotropie

- Distance maximale utilisée pour sélectionner les données lors de l’estimation

et/ou nombre de données

Outil pour déterminer ces paramètres ?

Validation croisée

Principe : réestimer les points connus en se servant des voisins

- Enlever une observation Zi et effectuer l’estimation avec les autres => Zi*

-Calculer l’erreur d’estimation ei = Zi – Zi*

-Répéter le processus pour les autres observations et calculer une statistique globale sur l’erreur

e.g. ou ∑i

i |e|n

1 ∑i

2ie

n

1

24

Exemple

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.52

0.53

0.54

0.55

0.56

0.57

0.58

0.59

0.6Validation croisée

Exposant b

Moy

enne

|e|

Sol contaminé à l’arsenic (données de l’EPA)

b=2.5 procure en moyenne l’erreur absolue minimale

25

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 20 40 60 80 100

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 20 40 60 80 100

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Comparaison

0 20 40 60 80 100

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Réalité

« b » = 2

« b » = 1

26

0 20 40 60 80 100

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 20 40 60 80 100

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 20 40 60 80 100

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 20 40 60 80 100

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 20 40 60 80 100

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

16221317

Inv dist b=2Inv dist, b=1TrianglesPolygone

Validation croisée

27

Méthode des sections (« manuelle »)

1. Obtenir une série de sections parallèles avec les forages projetés sur les sections

2. Identifier à partir des forages les intersections de minerai et dessiner la forme présumée du gisement sur chaque section

3. Estimer la teneur sur la section (e.g. polygonale, i.e. étendre la teneur de chaque forage à mi-distance du forage voisin)

4. Se donner une règle pour combiner 2 sections consécutives et ainsi définir un volume minéralisé

e.g. Changement brusque, linéaire, cône tronqué ou obélisque

5. Calculer la teneur moyenne du volume selon la règle choisie et selon les teneurs sur chaque section

28

D

C

B

A

29

b 2

a 2

b 1

a 1

Hypothèses pour le calcul des volumes

A:S1

S2

L

B:S1

S2

C:

S1

S2

( )3

2121 LSSSSV

++=

( )2

21 LSSV

+=

( )2

21 LSSV

+=

D:

S1

S2

( )6

22 122121 LbabaSSV

+++=

-400 -300 -200 -100 0 100

-400

-300

-200

-100

0

100

95059506

9746

974197449739

9738

9752

Section perp a x=160, epaisseur=15

Coordonnée y (m)

9735

97189722

Coo

rdon

née

z (m

)

Nb<=0.40.4<Nb<=0.50.5<Nb<=0.70.7<Nb<=0.90.9<Nb

Surface=47800 m2Teneur=0.70%

31

-400 -300 -200 -100 0 100

-400

-300

-200

-100

0

100

95079508

9741

97449745

Section perp a x=145, epaisseur=15

Coordonnée y (m)

9718

9725

9721

9724

Coo

rdon

née

z (m

)

Nb<=0.40.4<Nb<=0.50.5<Nb<=0.70.7<Nb<=0.90.9<Nb

Surface=57900 m2Teneur=0.575%

32

Ayant la teneur et la surface de chaque section, on peut calculer le volume compris entre les 2 sections et la teneur de ce volume

s1=47800 s2=57900 t1=0.70% t2=0.575% L=15m

0.6165%791540 m3Cône tronquét varie lin.

0.6024%792750 m3Surface lin. t varie lin.

0.6345%792750 m3Surface brusquet varie brusque.

TeneurVolumeMéthode

33

Méthode des sections (moderne)

� Conserver l’approche géométrique pour définir l’enveloppe du gisement en 2D

� Passage section => 3D par « modélisation solide »� Estimer les teneurs séparément dans un modèle de blocs

(e.g. par krigeage)� Intersection modèle de blocs et géométrie du gisement =>

teneur du solide

Principe : séparer le problème de l’estimation des teneurs de celui de la définition de la géométrie du gisement

0 0.5 10

0.5

1Section S1 a y=0 apres interpolation

Coord x

Coo

rd z

0 0.5 10

0.5

1Section S2 a y=1 apres interpolation

Coord x

Coo

rd z

0 0.5 10

0.5

1Section S3 a y=2 apres interpolation

Coord x

Coo

rd z

0.20.4

0.60.8

0

1

2

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

Points servant à définir le polygoneLe tracé est interpolé en un grand

nombre de points

Les points d’interpolation de deux sections consécutives sont joints par des triangles

Les points d’interpolation de deux sections consécutives sont joints par des triangles

36

Il faut fermer le volume par des sections « de bout »

37

Logiciels de CAO minière

Grand nombre de logiciels permettant d’exécuter la modélisation 3D des gisements; logiciels dispendieux (10 k$ et +)

- GDM- Datamine- GOCAD- Surpac (Surpac Vision)- Gemcom (Gems)- Maptek (Vulcan)- Mintec (MineSight)- …

38

Critique des méthodes

� Méthode des sections => enveloppe du gisement (aspect géométrique)

� Inverse de la distance => plus de flexibilité� Triangles => bons résultats si données abondantes et de qualité

(ex. représenter une topographie)� Polygonale => à éviter (imprécise et ne fournit pas de teneurs

réalistes pour des blocs)� Localement, polygonale utilise 1 donnée, triangles 3 données et

inverse de la distance : à déterminer, habituellement 5-50� Triangle, polygonale et inverse de la distance : interpolateur exact

choix discutable lorsque les données sont entachées d’erreur� Triangle et polygonale : surtout problèmes 2D (ex. veine; niveau

d’une mine)� Comparer les performances des méthodes par la technique de la

validation croisée

39

Calcul de densité théorique

Certaines mines calculent la densité du minerai à partir des analyses chimiques obtenues

Deux approches :- formule empirique obtenue par régression;- calcul basé sur la minéralogie déduite de l’analyse chimique

Exemple : - gisement de Cu

- Cu dans la chalcopyrite (d=4.2, teneur en Cu dans chalco 35%)

- chalco est le seul sulfure présent

- autres minéraux ont une densité voisine de 3

- densité d’un minerai ayant 1% Cu ? 5% Cu ?

1 % Cu => 1/0.35=2.86% chalco

100 g roche=>2.86 g chalco => volume de chalco = 2.86 g / 4.2 g/cm3 => 0.68 cm3=> 97.14 g gangue => volume de gangue => 97.14 g / 3 g/cm3 => 32.38 cm3

Volume total = 33.06 cm3

Masse volumique théorique = 100g / 33.06 cm3 = 3.02 g/ cm3 => d=3.02

40

5 % Cu => 5/0.35=14.29% chalco

100 g roche=>14.29 g chalco => volume de chalco = 14.29 g / 4.2 g/cm3 => 3.40 cm3=> 85.71 g gangue => volume de gangue => 85.71 g / 3 g/cm3 => 28.57 cm3

Volume total = 31.97 cm3

Masse volumique théorique = 100g / 31.97 cm3 = 3.13 g/ cm3 => d=3.13

Note: 3.13 ≠ 0.857*3+0.143*4.2=3.17

0 10 20 30 403

3.5

4

4.5Densité vs teneur en Cu

Teneur en Cu, (%)

Den

site

La variation de la densité n’est pas linéaire en fonction de la teneur en Cu

41

Si chalco + pyrite ?

% Cu => % chalco% S – (%S dans chalco) => % pyrite (suppose que S provient uniquement de pyrite et chalco)

Cas général => système d’équations linéaires Ax=b

A(i,j) = teneur élément « i » dans minéral « j » connu par la formule chimique du minéralb(i) = teneur élément « i » dans la roche connu par l’analyse chimiquex(j)= teneur du minéral « j » dans la roche; x(n) est la gangue à déterminer

On a aussi la contrainte : ∑ = 1)j(x

Pour réduire le nombre d’inconnues, on n’isole que les minéraux ayant une densité nettement différente de la « gangue ».

42

Exemple : gisement de Cu, Zn, Cu dans la chalcopyrite (CuFeS2) et la chalcocite Cu2SZn dans la sphalérite (ZnS)la roche contient aussi de la pyrite (FeS2)il y a en moyenne 2% de Fe dans la gangue mais pas de soufre

Analyse => 6% Cu, 9% Zn, 5% Fe, 10% S

Poids atomique et formule stoechiométrique => 35% Cu dans chalcopyrite80% Cu dans chalcocite67% Zn dans la sphalérite35% S dans la chalcopyrite20% S dans la chalcocite33% S dans la sphalérite53% S dans la pyrite30% Fe dans la chalcopyrite47% Fe dans la pyrite

=

>

>

>

>

1

0.05

0.10

0.09

0.06

Gangue

Pyrite

Sphalérite

Chalcocite

teChalcopyri

11111

02.047.0000.30

053.033.020.035.0

0067.000

00050.035.0

Fe-

S-

Zn-

Cu- 0.80

43

Solution :

Densité chalcopyrite : 4.1chalcocite : 5.6sphalérite : 4.1pyrite : 5.0gangue : 2.9

%

71.4

7.9

13.43

7.7

0

Gangue

Pyrite

Sphalérite

Chalcocite

teChalcopyri

=

Volume pour 100 g de roche

chalcopyrite : 0 g/ 4.1g/cm3= 0 cm3

chalcocite : 7.7/5.6 = 1.38 cm3

sphalérite : 13.43/4.1= 3.28 cm3

pyrite : 7.9/5.0= 1.58 cm3

gangue : 71.4/2.9= 24.62 cm3

Volume total: 30.86 cm3

Masse volumique : 100 g/30.86 cm3= 3.24 g/cm3Densité théorique: 3.24

44

Effet de la porosité sur la densité

théorique

videroche

théoriqueroche

videroche

roche

réelle n)-(1VV

V

VV

Mρ=

+

ρ=

+=ρ

videroche

vide

VV

Vnporosité

+=≡