Adel ARFAOUI Université Pierre et Matie Curie Laboratoire de Statistiques Théoriques et Appliquées Université PARIS VI - Jussieu

ESTIMATION DES MATRICES ORIGINE-DESTINATION A PARTIR DES COMPTAGES : ETUDE DE QUELQUES MODELES RAPPORT DE STAGE Septembre1999

Maître de stage: Mehdi DANECH-PAJOUH INRETS-GRETIA Génie des Réseaux de Transport et Informatique Avancée

1

Remerciements La réalisation de ce rapport repose sur la mise en commun de connaissances et de recherches développées par l'équipe du GRETIA et autres rapports de recherches.

Je remercie tout particulièrement Monsieur Mehdi Danech-Pajouh pour son accueil, ses conseils et ses encouragements

Ma reconnaissance va également à :

Monsieur Paul Deheuvels pour m'avoir permis de suivre le Dea de statistiques.

Monsieur D. Pierre-Loti-Viaud pour sa collaboration et ses conseils.

L'ensemble du GRETIA pour sa bonne humeur et sa coopération.

J'adresse un remerciement particulier à toute l'équipe de la bibliothèque (Anne, Malika, et Pascal ) pour leur gentillesse et leur efficacité.

Merci à Elsa qui a bien voulu m'accueillir dans son bureau.

2

RÉSUMÉ Ce document est un récapitulatif de l'existant au niveau des méthodes d'estimation des matrices Origine-Destination à partir des comptages. Il est composé de deux parties l’une consacrée à l’estimation dans un cadre statique lorsque l’on ne tient pas compte du temps, et l’autre au cadre dynamique où le facteur temps intervient. Cinq approches sont étudiées dans la première partie: l'approche gravitaire, la méthode de maximisation de l'entropie, une approche bayesienne, une approche fondée sur le modèle linéaire généralisé et une approche fondée sur le maximum de vraisemblance . Ces méthodes ont été plus au moins appliquées, selon leur nature et leur fiabilité, à des cas concrets. Par ailleurs, une grande partie de la première partie de ce document est consacrée à la méthode de maximisation de l'entropie (et/ou minimisation de l'information) vu l'intérêt et la popularité de l'approche. Les avantages et les limites de la méthode, notamment en ce qui concerne l'influence des erreurs en entrée ( consistance des capteurs, matrices a priori, matrice d'affectation) ont été étudiées. Une étude des modèles entropiques améliorés qui prennent en compte ces défaillances a aussi été réalisée. Dans la deuxième partie on a distingué deux types d’estimation : l’estimation simultanée qui est une extension de la première partie et l’estimation séquentielle qui considère la demande comme un processus stochastique. On a particulièrement étudié la notion de filtrage et plus particulièrement celle du filtre de kalman sur lequel est fondée la deuxième approche. Une étude comparative des deux modèles a été réalisé. Une bibliographie sommaire est finalement précisée à la fin de chaque partie de ce document

3

SOMMAIRE

PARTIE I ESTIMATION DES MATRICES O-D : CADRE STATIQUE

Introduction _________________________________________________________5 1.Définition ______________________________________________________________5

2.Utilités des matrices O-D _________________________________________________5

3.Obtention des matrices O-D_______________________________________________5

4.Cadre général et problématique ___________________________________________5

5.Moyens de résolution ____________________________________________________6

Notations ____________________________________________________________7

A. Approche Gravitaire_________________________________________________8 A.1. Notations, hypothèses et modèle _________________________________________8

A.2 Méthode _____________________________________________________________8

A.3 Le Modèle____________________________________________________________8

Conclusion et Remarques __________________________________________________9

B. Maximisation de l'entropie __________________________________________10 B.I. Le Modèle entropique ordinaire ________________________________________10

B.II. Les incertitudes des données en entrées _________________________________11 B.II.1 La matrice d’affectation ___________________________________________________ 12 B.II.2 La matrice a priori_______________________________________________________ 12 B.II.3 Les comptages des capteurs ________________________________________________ 12

B.III. Modèles entropiques améliorés________________________________________12 B.III.1 La modelisation bi-objectifs _______________________________________________ 12 B.III.2 La modelisation multi-objectifs _____________________________________________ 13 B.III.3 Quelques remarques _____________________________________________________ 14

B.IV Construction d’intervalles de confiances ________________________________14 Remarques et commentaires _____________________________________________________ 16

C. Approche Bayesienne_______________________________________________17 C.I Introduction _________________________________________________________17

C.II modèle _____________________________________________________________17

C.III. Conclusion ________________________________________________________18

D. Méthode de Maximisation de la vraisemblance __________________________19 D.I Introduction ________________________________________________________19

D.II Le modèle __________________________________________________________19

E. Méthode des moindres carees generalisees______________________________20 E.I Introduction _________________________________________________________20

E.II. Le modèle __________________________________________________________20

4

E.III Remarques_________________________________________________________20

F. Bibliographie PARTIE I ____________________________________________22

PARTIE I ESTIMATION DES MATRICES O-D : CADRE DYNAMIQUE

A.Introduction_______________________________________________________23

B.Hypothèses et notations _____________________________________________25 BI. Notations globales ____________________________________________________25

B.II.Les erreurs de mesures _______________________________________________25

C.Méthodes Simultanées ______________________________________________27 C.I.Introduction _________________________________________________________27

C.II.Exemple____________________________________________________________27

C.III.Conclusion_________________________________________________________28

D.Méthodes Séquentielles______________________________________________29 D.I.Introduction _________________________________________________________29

D.II.Notions de filtrage : Le filtre de Kalman _________________________________29

D.III.Application à l'estimation de la demande de trafic ________________________30

E.Etude comparative des deux approches: étude d'un cas particulier___________34 E.I.Introduction _________________________________________________________34

E.II.Estimation de la demande de trafic _____________________________________35

F. Bibliographie PARTIE II ___________________________________________37

5

PARTIE 1 :ESTIMATION DES MATRICES O-D : CADRE STATIQUE.

INTRODUCTION

Dans le cadre de la gestion du trafic en milieu urbain et inter urbain on est confronté aux

problèmes de l'estimation de la demande de trafic en unité de véhicules d'une zone i vers une zone j, c'est la deuxième étape du modèle à quatre temps de la théorie du trafic :

Génération : il s'agit d'étudier le nombre des déplacements émis et reçus par zone. Distribution: on essaye de calculer le nombre des déplacements entre les zones. Choix modal : étude du mode de transport utilisé. Affectation : Il s'agit de connaître les chemins empruntés pour chaque couple Origine-

Destination 1.DÉFINITION

Une matrice Origine-Destination ( Matrice O-D ) est un tableau à I lignes (nombre de zones "origine" ) et J colonnes (nombre de zones de destination) dont les éléments Tij représentent le nombre des déplacements de la zone i vers la zone j pendant un intervalle de temps bien déterminé k ( 24 heures, 1 heure, 15 min. etc..) Cette matrice représente la demande de trafic en unités de vehicule.

2.UTILITÉS DES MATRICES O-D

Les matrices O-D sont utilisées à court et à moyen terme : Court terme : gestion du trafic, prévision des durées des trajets. Lors de l'estimation de ces matrices on tient compte du facteur temps d’où le nom matrices O-D dynamiques Long terme : planification et construction des routes, modification des plans de circulation etc. Et puisque ces matrices sont estimées sur une durée relativement longue (par exemple 24 heures)on ne tient pas compte du facteur temps on parle alors de matrices O-D statiques. 3.OBTENTION DES MATRICES O-D

Les matrices O-D peuvent être obtenues par des moyens directs notamment par des photos aériennes et/ou par des enquêtes sur routes ou à domicile. L'inconvénient de telles méthodes est qu'elles sont coûteuses et leurs mises en oeuvre ainsi que l'exploitation des données recueillies sont d'une durée relativement longue ( plus d'un an). Pour remédier à ces problèmes on emploie une méthode indirecte qui consiste à l'exploitation des mesures recueillies par des capteurs placés sur certains tronçons. 4.CADRE GÉNÉRAL ET PROBLÉMATIQUE

L'aire ou la région étudiée est décomposée en N zones ou "centroïdes". On dispose de m capteurs placés sur quelques tronçons qui nous renseignent sur le débit Va et on cherche à estimer le nombre de véhicules Tij se déplaçant d'une zone i vers une zone j.

Dans la suite de ce rapport on supposera connues les proportions aijP des déplacements d'une

zone i vers une zone j passant par le tronçon a ( a =1,..,m). Ces proportions sont obtenues au préalable par des modèles d'affectation qui sortent du cadre de notre étude. On supposera par ailleurs que les coefficients d'affectation sont indépendants du temps et ne

6

varient pas en fonction des Tij. Ces hypothèses étant valables dans le cas où les itinéraires ne seraient pas saturés et le réseau ne serait pas modifié. On a donc pour chaque capteur la relation :

∑=j,i

ijaija TPV a=1,..,m (1)

On note par ailleurs que les débits et la matrice a priori correspondent au même intervalle de temps . On dispose ainsi de m équations et N² inconnues, comme en général on a m<< N² le système admet une infinité de solutions. 5.MOYENS DE RÉSOLUTION

Pour remédier à cette incertitude on essaye de trouver soit la matrice O-D la plus probable ou la plus vraisemblable soit la matrice O-D qui se rapproche le plus d'une certaine structure fixée au préalable, soit on combine les deux approches. La structure utilisée est dans la plupart des cas une ancienne matrice O-D obtenue soit par des enquêtes, soit par une autre estimation. Ces matrices dont les éléments sont notés (tij) jouent un rôle important et portent selon les méthodes d'estimation utilisées soit le nom de matrice de référence soit celui de matrice a priori. Il existe principalement deux types de modélisation : Modélisation structurée : Dans ce cas on impose une certaine structure aux Tij en essayant de l'exprimer à l'aide des données socio-économiques des deux zones i et j. Modélisation non-structurée : On utilise soit des moyens probabilistes et statistiques ( approche bayesienne, maximum de vraisemblance, modèle linéaire) soit la théorie de l'information (maximisation de l'entropie, minimisation de l'information ). Notons cependant que certains modèles utilisent des combinaisons des deux modélisations

7

NOTATIONS

N: nombre de centroïdes ( au total N² paires O-D). m :nombre de capteurs ( entier strictement positif).

aV : débit du capteur ( strictement positif).

ijT : La demande de trafic à estimer (ou à mettre à jour*)de la zone i vers la zone j

ijt :trafic connu (ou a priori )† de la zone i vers la j . aijP : proportion des déplacement d'une zone i vers une zone j et passant par le capteur a.

P est la matrice de dimension (m×N²) donnée par:

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

mNN

m1N

mN1

m11

1NN

11N

1N1

111

PPPP

PPPP

Il est important de remarquer que selon le modèle étudié une matrice Origine-Destination sera représentée soit par une matrice (N×N), soit par un vecteur colonne (N²×1) On introduit les notations matricielles suivantes . Les matrices sont représentées par des lettres en gras de taille plus grandes que les autres : Par exemple : T = j,iij )T( est la matrice O-D à estimer. Les vecteurs sont représentés par des caractères en gras soulignés : La transposée d'une matrice ou d'un vecteur est noté par le signe( ' ) . Par exemples : T est le vecteurs colonne de dimension N² dont les N premiers éléments sont constitués de la première ligne de la matrice O-D précédente, plus précisément:

T = )T..T,...,T,..,T( NN1NN111 ′

la notation matricielle exp(T) implique qu'on applique la fonction exponentielle à tout les éléments de la matrice T . La fonction logarithme est noté Log Dans toute la suite on considère que la quantité 0×Log0=0.

* Selon le problème le nom donné à la matrice O-D change.

† Selon le problème le nom donné à la matrice de "référence" change.

8

A. APPROCHE GRAVITAIRE

Dans ce type de modèle on suppose que les Tij ont une certaine structure, les comptages ne servent dans ce cas qu'au calibrage du modèle. Le modèle étudié est celui proposé par S DEBAILLE [8] et qui a servi à l'élaboration du logiciel NEMROD à l'INRETS. On suppose ici que l'on cherche à mettre à jour une matrice O-D à partir d'une ancienne matrice. A.1. NOTATIONS, HYPOTHÈSES ET MODÈLE

Dans ce modèle on suppose que les Tij ont la structure suivante :

ijjiij AT βα=

αi et βj sont respectivement des coefficients d'émission et de réception à estimer et dépendants du temps. Aij est un indicateur de relation entre le couple (i, j), et l'une des hypothèses les plus importantes de ce modèle est que ce paramètre est supposé constant ( dans le temps) et symétrique. A.2 MÉTHODE

La détermination des Tij est fondée sur deux problèmes de minimisation de distances euclidiennes : Dans un premier temps on détermine les Aij (supposés constants par rapport au temps) à partir de la matrice de référence. On ajuste en effet la structure de distribution avec le trafic de la période de référence de façon a obtenir le meilleur ajustement de la matrice de référence sur elle même ( voir premier problème au paragraphe suivant)

Dans un deuxième temps on détermine les coefficients d'attraction et d'émission iα et jβ qui minimisent l'erreur quadratique entre les débits observés et théoriques ( voir paragraphe suivant)

A.3 LE MODÈLE

Le premier problème s'écrit en passant au logarithme pour linéariser :

( )[ ]2ij*j

*ilog)

jiij

ji,ij

AAs.c

log(t Min A

=

βα−∑

S.DEBAILLE [8] montre que la solution particulière

9

N1,..,ji, A

1,...Ni

N1,..,j

*j

*iij

*i

=α×α×=

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=α

==β

∏

∏

=

=

/tt

t

t

1

jiij

N/1

N

1jji

N

1jij

*j

réalise le meilleur ajustement de la matrice O.D. de référence sur la structure de distribution retenue. Le deuxième problème s'écrit :

∑ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∑ βα−

=

m

1a

2

j,i

aijijjiaMin PAV

Cette forme quadratique est résolue moyennant un algorithme itératif . CONCLUSION ET REMARQUES

Ce modèle a été testé et semble donner des résultats satisfaisants. Cependant la matrice estimée est très sensible à la matrice de référence choisie et au nombre des capteurs.. L'une des hypothèses les plus importante est la symétrie des coefficient Aij. Le deuxième problème de minimisation concerne une fonction qui n'est pas convexe en (α, β) elle n'admet donc pas de minimum théorique unique. L'algorithme utilisé qui consiste à fixer une variable et trouver la valeur de la seconde n'assure pas que le minimum trouvé est le minimum de la fonction (un minimum d'une fonction en α avec β fixé ne veut pas dire que c'est un minimum de f.).

10

B. MAXIMISATION DE L'ENTROPIE

B.I. LE MODÈLE ENTROPIQUE ORDINAIRE

Cette approche a été développée par plusieurs chercheurs. Le logiciel OEDIPE de L'INRETS ( M Danech-Pajou [7 ] ) utilise ce modèle pour la construction et l'estimation des matrices O-D à partir des comptages Dans le cas où on ne posséderait pas de matrice de référence on cherche à maximiser le nombre de façons d'affecter T‡ individus aux N² paires Origines/Destination. Comme ce nombre est égal à :

( )∏

=

j,iij

ij !T!TTW

Le problème de maximisation s'écrit alors :

( )(2) TPV .c.s

TW Max

j,iij

aija

ij

(1)m1,..,a == ∑

En revanche, si on possède une matrice a priori ( ijt ), on suppose que le vecteur ( ijT ) suit une loi

multinomiale avec la probabilité t

t ij § qu'un individu appartienne à un couple

Origine/Destination (i,j) donné, soit:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

j,i

ijj,iij t

t,TleMultinomia~)T(

La probabilité que ijT individus appartiennent à un couple O-D donné est donc ijT

ij

tt

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

D'où la probabilité que T individus soient répartis sur les N² couples O-D est égale à :

( ) ∏∏ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×=

j,i

Tij

j,iij

ij

ij

tt

!T!TTW

Le problème revient donc à maximiser cette quantité sous les contraintes de comptages (1). Van Zuylen et al (1980) [16], Willumsen (1982) [19] proposent une résolution fondée sur le Lagrangien :

‡ ∑=

j,iijTT

§ ∑=j,i

ijtt

11

Après passage au logarithme et en utilisant l'approximation de Stirling : ( ) x)x(xLog!xLog −= ,

après élimination des termes constants, le problème peut être transformé en ( voir. [16] ):

∑ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

j,i ij

ijij 1

tT

LogT-S Max (3)

Sous les contraintes (1). En annulant les dérivées partielles du Lagrangien L ( avec m1...λλ les multiplicateurs de Lagrange), et puisque la fonction à maximiser est concave on trouve :

∏=

=m

0a

Paijij

aijXtT (4)

avec m1,..,a =λ−= )exp(X aa . Si on ne possédait pas de matrice a priori on donne aux ( ijt ) la valeur 1 pour tout couple (i,j), ce qui résout le problème le problème (2) cité ci-dessus. Cette approche a été testée et validée, elle permet en effet l’obtention d’une matrice qui possède une même structure proche de celle de la matrice de référence et dont les coefficients (Tij) satisfont les équations (1). Bien que cette méthode soit très « populaire » et malgré la satisfaction de ses résultats elle présente plusieurs limites : B.II. LES INCERTITUDES DES DONNÉES EN ENTRÉES

La première est que la matrice estimée est très sensible aux variations de la matrice a priori. Si le trafic augmente (ou baisse) d’une manière sensible et puisque le modèle fournit une matrice proche de l’ancienne et qui reproduisent les comptages des capteurs on peut avoir des distorsions. Pour contrecarrer ce problème Bell (1983) [2] a proposé un modèle qui prend en compte la structure de la matrice a priori en rajoutant au problème de maximisation une contrainte de proportionnalité :

∑∑

=τ

j,iij

j,iij

t

T, (5)

et qui est estimée par la quantité:

∑∑

∑=τ

a j,i

aijij

aa

Pt

V (5)'

On trouve alors

∏=

×τ=m

0a

Paijij

aijXtT (6)

Le résultat ne diffère de la solution (4) de Willumsen que par le coefficient de proportionnalité τ. Ainsi le nouveau modèle reste invariant si la matrice a priori est multipliée uniformément par un certain scalaire. De plus Bell propose l’utilisation de l’algorithme de Newton-Raphson pour la résolution du problème de maximisation...

12

L’autre type de limitation est d’un ordre plus important, en effet, les modèles présentés ci-dessus considèrent les données en entrée comme étant parfaitement exactes or on peut avoir plusieurs types d’erreurs :

B.II.1 LA MATRICE D’AFFECTATION

Les proportions d’utilisation des chemins sont obtenues en général par des procédés qui ne peuvent être considérés comme exacts. Et d’après Nguyen (1983), il n’existe aucune procédure permettant le calcul de ces erreurs. On ne peut donc pas intégrer les écarts causés par les modèles d’affectation

B.II.2 LA MATRICE A PRIORI

Premièrement cette matrice peut être considérée comme une première estimation de la vraie matrice or en général les équations (1) ne sont pas vérifiées d’où une erreur sur la matrice a priori. Deuxièmement la matrice a priori peut être obtenue par le biais de sondages ou d’enquêtes, elle n’est donc pas exacte à cent pour cent et peut donc dépendre des méthodes de collecte des données. Une certaine mesure de cette erreur peut alors être établie.

B.II.3 LES COMPTAGES DES CAPTEURS

D’un côté les données utilisées sont des observations il y a donc un risque d’erreur lors de leur récupération. D’un autre côté les capteurs eux mêmes ne peuvent pas être considérés comme étant parfaitement fiables . Aussi, les mesures recueillies ne correspondent pas toujours au même intervalle de temps pour tous les capteurs d’où un risque de non consistance des équations Willumsen [18] 1994 identifie deux sortes de non consistances . a) Il peut arriver que le nombre total du flux à l’entrée d’un noeud soit différent de celui à la sortie donc il n’y pas de continuité de flux (total entrée = total sortie). b) Non compatibilité entre le modèle d’affectation et les flux observés : Par exemple il peut arriver qu’un modèle d’affectation n’alloue pas de trafic sur un tronçon (peut être flux faible) et dans ces conditions il n’y aura aucune matrice permettant de reproduire les débits observés. Comme mesure de l’incertitude on peut utiliser soit une matrice de variance-covariance si on dispose d’une suite de mesures de débits de capteurs, soit faire des hypothèses sur la distribution des erreurs. Plusieurs modèles ont alors été proposés pour essayer de minimiser ces erreurs. B.III. MODÈLES ENTROPIQUES AMÉLIORÉS

B.III.1 LA MODELISATION BI-OBJECTIFS

Willumsen (1984) [18] partant d’un développement en série de Taylor de la fonction

yxyxx)x(f −−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= log

au voisinage de 1 montre que :

( )(7)

ttT

211

tT

Tj,i j,i ij

2ijij

ij

ijij∑ ∑

−×≈

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛log

13

Ce qui donne à la fonction entropie une forme de mesure d’erreur, il suggère donc de rajouter à la fonction objective du problème de maximisation la quantité

∑ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×

a a

*a* 1

VV

LogV ** ( 8 )

et il propose de résoudre le problème suivant

m1,..,a ==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×α+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

∑

∑∑

s.c.

S

j,iij

aij

*a

a a

*a*

j,i ij

ijij

TPV

1VV

LogV1tT

LogTMin (9)

La résolution du problème par la méthode du Lagrangien conduit à :

α−

=

=

= ∏

/1aa

*a

m

0a

Paijij

XVVet

XtTaij

Willumsen n’a pas proposé de méthode pour calculer α et ne donnait pas la signification du coefficient α. Il précisait cependant que pour des grandes valeurs de α(>100) le débit réel est proche du débit observé et donc à la limite on se retrouve dans le cas du problème simple ( 3 ). Et plus α se rapproche de zéro avec *

aV proche de aV on tend vers le cas limite ijij tT = .

B.III.2 LA MODELISATION MULTI-OBJECTIFS

M Brenniger-Göthe et al (1989) [4] ont proposé un modèle de programmation multi-iobjectifs†† plus précis en se fondant sur les dernières idées citées ci-dessus. D’abord une formulation du problème (9) a été proposée en affectant dans ce cas aux deux fonctions objectifs deux coefficients 1α et 2α . Ce premier modèle étant très proche de celui cité précédemment mais les auteurs ont montré que les coefficients 1α et 2α peuvent être interprétés comme l’inverse d’une mesure d’incertitude Ensuite et partant du fait que les coefficients sont une mesure d’incertitude M Brenniger-Göthe et al proposent un modèle où on a comme objectif tout les ijt et les aV . le problème peut ainsi s’écrire dans un premier temps :

** L’astérisque * fait référence à la vraie valeur du débit ( non observé)

†† Le terme multi-objectif se rapporte au fait qu’on a plus d’une fonction « objectif » dans le problème de maximisation.

14

s.c. min

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

*m

m

*m*

m

*1

1

*1*

1

NNNN

NNNN

1111

1111

VVV

LogV

VVVLogV

TtT

LogT

TtT

LogT

(10) 1..m:a TPVj,i

ijaij

*a ∑=

Un problème formulé par

1..ma TPV s.c.

(11) 1VV

LogV1tT

LogT Min

j,iij

aij

*a

a a

*a*

aaj,i ij

ijijij

==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×β+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×α

∑

∑∑

Comme mesure naturelle d’incertitude, M Brenniger-Göthe et al, proposent l’inverse des variances et montre qu’on obtient ainsi une amélioration du modèle.

B.III.3 QUELQUES REMARQUES

•Comme les coefficients de pondération sont l’inverse d’une certaine incertitude on en déduit que si on accorde une certitude totale aux données observées l’incertitude est nulle et on a donc un coefficient infini.

•Le fait de prendre 1 comme coefficient pour toutes les fonctions n’implique pas l’égalité de la certitude qu’on accorde aux données. Il y a en effet un poids implicite correspondant à la valeur de chaque ijt et chaque Va, précisément, plus la valeur est grande plus l’écart relatif est petit entre la valeur observée et estimée donc plus on accorde de certitude aux grandes valeurs observées.

•On peut disposer facilement de matrice de variance-covariance pour les débits, en revanche, et si on ne fait pas d’hypothèses supplémentaires, une matrice de variance-covariance des ( ijt ) est beaucoup moins facile à obtenir d’où la difficulté de l’application du modèle proposé par M Brenniger-Göthe et al. B.IV CONSTRUCTION D’INTERVALLES DE CONFIANCES

M.G.H Bell (1983) [3] a proposé en effet une méthode pour calculer la matrice de variance-covariance des ( ijt ) en supposant qu’ils sont iid de variance σ², on pouvait ainsi construire des intervalles de confiances. On suppose résolu le problème de maximisation (3) avec la contrainte de proportionnalité (5) :

15

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛λ−ψ=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛λ−τ=τ= ∑∏ ∑

= aaij

m

0a aaij

Paijij exptexptXtT

aij (12)

avec ψ=Log(τ) L’idée est d’exprimer la matrice de variance-covariance en fonction de celle de débits en supposant qu’on possède plusieurs observations de comptages. Bell fait l’hypothèse que les (Tij) suivent une loi log-normale, il construit d’abord un intervalle de confiance pour le logarithme des (Tij) ensuite il obtient un intervalle de confiance asymétrique pour les (Tij). Avec les notations matricielles, la contrainte (1) s’écrit‡‡

v=P·T v de taille m x 1 P de taille m x N² ·T de taille N² x 1 donc et avec l’hypothèse d’indépendance

Var( v )=P.Var( T ).P’=σ².P.P’

soit D la matrice diagonale (N²×N²) Diag( ijT ),

µ le vecteur colonne ((m+1) ×1) : ),....,,( m1 ′λ−λ−ψ y le vecteur colonne ((m+1)×1) : : )V,....,V,( m1t ′

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

mNN

m11

1NN

111

PP

PP11

S

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ ττ

=

−−

mNN

m11

1NN

111

11

PP

PPR

d’où l'égalité (13) :

T=D.exp( S’µ ) ( 13 ) y=RT

donc

Log( T ) = D + S’µ et

Var( Log( T ) )= S’.Var( µ ).S

Ensuite par l’utilisation de l’approximation Var(y)≅JVar(µ)J’§§ ‡‡ Voir le paragraphe Notation pour plus de précisions

§§ Voir bibliographie pour plus de détail concernant cette approximation

16

avec )(E

Jvvv

y

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∂∂

= la matrice jacobienne (E(v) correspond aux débits observés)

On obtient donc à la fin :

′= − )S(JJS' 11- )y(VarT ) )Var( Log(

On calcule des intervalles de confiances pour Log(Tij) et en déduit des intervalles pour Tij.

REMARQUES ET COMMENTAIRES

Cette méthode a été testée et Bell a pu ainsi construire des intervalles de confiances ce qui permet de donner une idée sur l’erreur commise. En revanche l’hypothèse d’indépendance est une hypothèse relativement forte, par ailleurs les calculs sont très lourds. Cette méthode peut être intéressante dans le cas où les matrices à manipuler seraient de petites tailles. La matrice jacobienne est définie strictement positive dans le cas où les équations (1) relatives aux débits seraient indépendantes ( rang( P )=m ) et la matrice J serait donc inversible dans ce cas. Par ailleurs si les équations ne sont pas indépendantes il faut alors considérer les L premières lignes indépendantes, ce cas a été étudié.

17

C. APPROCHE BAYESIENNE

C.I INTRODUCTION

Cette approche est fondée sur le théorème de Bayes qui peut s‘écrire:

∫=

y)p(y)dy\f(xy)p(y)\f(x)x\y(p ( 14 )

Ce modèle a été proposé par M. J. Maher (1983) [11], l’idée principale est de considérer la demande de trafic et les débits comme étant des variables aléatoires multivariées notées respectivement Θ et Φ . Mettre à jour une matrice O-D revient alors a trouver la distribution postérieure d'une variable aléatoire sachant la valeur prise par la seconde ( les débits). C.II MODÈLE

La variable aléatoire Θ admet donc a priori une matrice de variance covariance 0∑ et une

moyenne à priori t et on cherche la loi conditionnelle de Θ sachant l’observation des débits Φ =v.( les débits v sont des observations de cette variable). Cette distribution sera la distribution à posteriori de Θ On suppose que les débits et les déplacements suivent des lois normales. On a Φ =P.Θ + ε Avec les hypothèses Θ ∼ MVN*** ( t , 0∑ )

ε ∼ MVN(0, Ω ) La distribution postérieure de la variable aléatoire Θ sachant Φ =v serait aussi MVN . En effet les densités de Θ et de (Φ \Θ=T) sont données par :

( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −ΘΣ′−Θ−

Σ

π −−

tt21exp

Det)2( 1

00

21

2²N

(15)

( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −ΘΩ′−Φ−

Ω

π −−

vv21exp

Det)2( 1

21

2²N

(16)

Et en utilisant l’égalité (14), Maher calcule la moyenne T et la matrice de variance-covariance à posteriori 1∑

*** MVN signifie Normale Multivariée

18

D’après le théorème de Bayes, la distribution conditionnelle serait proportionnelle au produit des deux densités (15) et (16) car le dénominateur de (14)††† ne dépend pas de Θ . Par identification en regroupant les termes et après simplification, il vient que :

)tPv()PP(PtTet

P)PP(P

100

01

0001

−′Σ+Ω′Σ+=

Σ′Σ+Ω′Σ−Σ=Σ

−

−

On a donc trouvé une expression directe de la nouvelle matrice O-D ainsi qu’une matrice de variance-covariance ce qui permettrait de faire des tests et de construire des intervalles de confiances. V. Pastinen et al (1992) [12] ont appliqué ce modèle à un secteur de Helsinki. Les variances ont été obtenues en considérant une erreur fixée pour tout les ijt , et seules les

covariances entre ijt et jit ont été supposées non nulles et sont données par :

Cov( ijt , jit )=k×Var( ijt )×Var( jit ) Avec k constante (les valeurs de k ont été 0, 1, 0.8) Plusieurs tests ont ainsi été réalisés dans ce cadre et il a été montré que le modèle bayesien était plus performant que le modèle entropique à condition de choisir une "bonne" matrice de variance covariance. En effet plusieurs valeurs de variances ont été testés et pour un coefficient précis V.Pastinen et al arrivent à des résultats acceptables. C.III. CONCLUSION

On peut dire que le modèle bayesien est théoriquement très intéressant dans le sens où il permet de prendre en compte les erreurs dues aux comptages et aux autres mesures et permet de faire des tests statistiques . D'autant plus que la programmation informatique de résolution ne présente pas de difficultés majeures et est même plus simple que le modèle entropique. L'inconvénient, si on admet les hypothèses de normalité, est que cette méthode reste très dépendante de la détermination de la matrice de variance-covariance des déplacements et qu'on ne possède pas de moyen mathématique capable de la calculer. En effet cette matrice dépend de la construction de la matrice a priori et il existe par ailleurs d’autres dépendances notamment avec la matrice d’affectation P. Pour ces raisons il n’existe aucune méthode qui permet de calculer exactement cette matrice de dispersion. Seules des hypothèses simplificatrices sur la forme de la matrice sont utilisées. L’autre problème est que l’utilisation de la solution bayesienne peut conduire à des valeurs de T négatives ce qui est absurde (dans l'étude de V Pastinen et al ceci ne s'est pas réalisé). L’hypothèse de normalité peut d’ailleurs être mise à défaut si l’on a des couples O-D avec des petits effectifs. D'autres modèles utilisent les lois de Poisson.

††† Dans l’égalité (11) faire x=Φ et y=Θ

19

D. MÉTHODE DE MAXIMISATION DE LA VRAISEMBLANCE

D.I INTRODUCTION

Le principe est de donner une certaine signification statistique à la matrice a priori qui est considérer ici comme une estimation de la matrice O-D. On considère ainsi que les ijt sont des observations issues d'une variable aléatoire Θ qui suit un loi connue. L'idée est de maximiser la vraisemblance, d'observer l'échantillon issu d'une enquête . H Spiess (1987) [14] prend comme hypothèse de distribution la loi de Poisson, qui est une approximation d'une loi multinomiale de faible moyenne. On considère en effet que l'on travaille avec une matrice issue d'enquêtes et on possède donc une matrice O-D à faibles effectifs. Il est donc important de noter la similitude avec le modèle entropique qui prend comme hypothèse de distribution une loi miltinomiale. D.II LE MODÈLE

Soit j,iρ un coefficient d'échantillonnage de la population des usagers de la paire O-D (i,j) i.e. la fraction de la population recensée ( supposée donc connue). Les ( ijt )sont des observations d'une variable Θ qui suit une loi de poisson de paramètre ijijTρ .

La probabilité d'observer ijt est donc donnée par

( ) ( )!t

)Texp(Tt)T(PoissonobPrtobPr

ij

ijijt

ijijijijijij

ij ρρ==ρ==Θ

Donc la probabilité d'observer la matrice O-D a priori est donnée par:

P= ( )[ ] ( )∏

ρρ=

j,i ij

ijijt

ijijij !t

)Texp(TtobPr

ij

Le problème revient donc à résoudre :

Max. P sous les contraintes (1) ∑=

j,iij

aija TPV

Un problème qui s'écrit après passage au logarithme et élimination des termes constants :

1..ma

==

−ρ

∑

∑

j,iij

aija

j,iijijijij

TPV.C.S

)T(LogtTMin

La fonction objectif est convexe et le problème admet donc une solution théorique unique .

20

E. MÉTHODE DES MOINDRES CAREES GENERALISEES

E.I INTRODUCTION

Il s'agit ici de calculer une matrice O-D à partir d'une matrice obtenue par des sondages. Cette matrice sera considérée comme une première estimation de la vrai matrice O-D. Cette méthode, et contrairement à la précédente, permet d'obtenir une matrice sans que l'on rajoute d'hypothèses de lois sur l'ancienne matrice. On remarquera dans la suite qu'il existe une grande ressemblance entre la matrice et la variance trouvée par ce modèle avec celles trouvées par l'approche bayesienne . E.II. LE MODÈLE

Comme pour les derniers modèles ici on considère les notations vectorielles. On a alors les équations stochastiques suivantes :

t = T + η v =P. T +ε

η est l'erreur due à l'échantillonnage de matrice de variance-covariance et ε représentent Σ et ε l'erreur des débits de matrice de variance-covariance Ω. L'estimateur de la méthode des moindres carrées généralisées GLS est donné par

T = Min. (t - T)' 1−Σ (t - T) + (v - P. T )' 1−Ω (v - P. T )' On trouve ainsi:

( ) ( )vt 11111 PPPT −−−−− Ω′+ΣΩ′+Σ= avec :

ΣΩ+′Σ′Σ−Σ= − P)PP(P)T(Var 1

La matrice ΣΩ+′Σ′Σ − P)PP(P 1 est définie positive donc l'estimateur trouvé est de variance inférieure à celle de la variance de l'estimateur initiale. E. Cascetta(1984) [5] montre que cet estimateur est l'estimateur linéaire sans biais de variance minimale ( BLUE ). L'inconvénient de cet estimateur est que l'on peut avoir des composantes ijT négatives .

M.G.H Bell (1991) [1] propose de rajouter la contrainte 0Tij ≥ au problème de minimisation précédent pour évincer les valeurs aberrantes . Ce modèle a été testé par simulation d'une petite aire de circulation et les estimateurs trouvés semblent être meilleurs que ceux calculés par la méthode de maximisation de l'entropie. E.III REMARQUES

Ce modèle, et malgré les ressemblances, diffère de celui issue du modèle bayesien proposé par Maher ( cf. ci-dessus) en effet: Les théories probabilistes utilisées sont différentes : dans l'une on minimise des distances pondérées et dans l'autres on cherche une distribution d'une variable aléatoire. Cette différence induit une interprétation différente des résultats obtenus. Dans les autres modèles une distribution des ijT a été supposée, alors que dans ce modèle aucune hypothèse n'a été prise.

21

Comme pour les autres modèles le problème réside en l'approximation de la matrice des variance-covariance Cascetta propose comme estimateur :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−×≈

.i

ij

.i

ij.iij t

T1

tTT

)T(Var

sinon0)T,T(CovtTT

)T,T(Cov

lkij

.i

ikijikij

≈

−≈

22

F. BIBLIOGRAPHIE PARTIE I

1.BELL M.G.H : The estimation of origin destination matrices by constrained generalized least

squares, Transport Research Vol 25B (1991). 2.BELL M.G.H.: The estimation of an origin destination matrice from traffic counts, Transport

Science 10 (1983) 3.BELL MG.H. : The estimation of origin-destination flows and their confidence intervals from

measurments of link volumes: a computer program, (1983). 4.BRENNINGER-GÖTHE M, KURT O,.JÖRNSTEN, JAN T. LUNDEGREN: Estimation of

origin destination matrices from traffic counts using multiobjectice programming formulation

5.CASCETTA E. : Estimation of trip matrices from traffic counts and survey data : A generalized least squares estimators . Transportation research Vol 18B (1984)

6.CASCETTA E., NGUYEN S : A unified framework for Estimating or Updating O_D matrices from Traffic Counts Transportation. Research. Vol 18B (1988).

7.DANECH-PAJOU M : Estimation des matrices O-D par les comptages et la théorie de l'information, Rapport INRETS N°126 (septembre 1990)

8..DEBAILLE S. : Un modèle de reconstitution des matrices Origines Destination en milieu urbain ,Rapport de recherche IRT N° 27 ( Dec1977).

9.GOLAN A., JUDGE G., MILLER D. : Maximum Entropy Econometrics Robust estiation with limited data, Ed Series in financial and quantitative analysis

10.HALLEFJORD A. JORNSTEN K. : Multiobjective Gravity Models , Linköping Institute of Technology , (1983)

11.MAHER M.J. : Inferences on trip matrices from observation on link volumes : A bayesian statistical approach Transport Research. Vol 17B Vol N°6( 1983)

12.PASTINEN V PURSULA M,: A bayesian approach to update traffic flows from traffic counts 12th International Symposium on Transportation and Traffic Theory (1993).

13.ORTUZAR J. de D. , WILLUMSEN L.G.: Modelling Transport Second edition WILEY (1994) 14.SPIESS H : A Maximum likelihood model to estimate Origin-Destination Matrices, Transport

Research Vol 12B N°5 (1987) 15.VAN VLIET D., WILLUMSEN L.G. : Validation of the ME2 model for estimating trip

matrices from traffic counts.8th International Symposium On transportation (1981) 16.VAN ZUYLEN H J.,WILLUMSEN L.G. : The most likely trip matrice estimated from traffic counts, Transport Research Vol 14B (1980) 17.VAN ZUYLEN H J. : The estimation of errors traffic counts used for the estimation of an O-

D Matrix. 18.WILLUMSEN L.G : Estimating time-dependant trip matrices from traffic counts,

International Symposium on Transportation and traffic theory (1984) 19.WILLUMSEN L.G :Estimation of trip matrices from trafic volume counts validation of a

model under congested conditions. 10th Summer Meeting 12-15 July 1982 transportation Analysis and Models

23

PARTIE 2 : ESTIMATION DES MATRICES O-D : CADRE DYNAMIQUE.

A.INTRODUCTION

l s'agit dans cette partie d'estimer la demande de trafic représentée par des matrices Origine-Destination pendant une durée de temps bien déterminée. Il est important de noter la différence avec le cadre statique. Dans cette partie il est plus

judicieux de parler de demande de trafic que d'estimation moyenne des déplacements entre une paire origine-destination. L'effet dynamique peut se traduire de trois manières différentes : 1.On comptabilise le nombre des déplacements des véhicules partant pendant un instant, ou un intervalle de temps, t fixé et arrivant à la destination à l'instant, ou pendant l'intervalle de temps, h (h>t). Le facteur temps intervient alors au départ et à l'arrivée . 2.On comptabilise le nombre de véhicules partant de l'origine i et arrivant à l'instant t à la destination j, dans ce cas la partie dynamique n'intervient qu'à l'arrivée . 3.La dernière approche d'estimation dynamique des déplacements consiste à ne prendre en compte le facteur temps qu'au départ. On estime alors le nombre des déplacements des véhicules qui se dirigent vers la destination j partant à l'instant ou pendant un intervalle de temps t sans considérer leur temps d'arrivée à leur destination. C'est ce dernier cas de figure qui sera étudié ici. On estimera la demande non pas pendant un instant mais sur intervalle t. La période de temps sera ainsi subdivisée en plusieurs intervalles t. On rappelle que ces matrices servent à mieux gérer le trafic, estimer le temps des parcours et à faire des prévisions permettant, entre autres, le contrôle du trafic et une meilleure gestion des congestions. L'estimation et la prévision du trafic dans le cadre dynamique est une tache compliquée dans le sens où les déplacements sont fonction de l'espace et du temps. Le trafic dépend ainsi de plusieurs variables difficilement quantifiables comme par exemple le degré d'information reçu par le conducteur sur le trafic, son comportement vis à vis de l'information reçue etc. Seules les données dont on dispose sont issues des capteurs ou d'informations concernant la structure générale de la matrice O-D. On dispose ainsi de la vitesse des véhicules, du taux d'occupation et des débits des capteurs sur certains tronçons de l'aire étudiée. On supposera aussi, comme pour le cas statique, qu'on dispose d'un historique concernant la demande de trafic pendant toute la période étudiée. Cet historique se présente sous la forme d'un ensemble de matrices O-D correspondantes chacune à un intervalle de temps de la période étudiée. On distinguera deux types d'estimation :

•L'estimation simultanée : qui est en fait une extension des modèles classiques du cadre statique aux modèles dynamiques on obtient ainsi toutes les matrices O-D simultanément durant la période choisie.

•L'estimation séquentielle : Il s'agit de méthodes plus récentes qui considèrent la demande du trafic comme un processus stochastique, elles utilisent dans la plupart des cas la notion de filtrage et plus particulièrement le filtre de KALMAN. Ces deux types de méthode d'estimation seront développés dans la suite. On s'efforcera par ailleurs de donner un aperçu sur la notion de filtre de KALMAN et de son utilité dans la

I

24

mesure où plusieurs modèles qui semblent donner de bons résultats l'utilisent. Notons cependant que certains modèles ne sont valables que dans le cas d'un réseau simple comme les autoroutes ou les carrefours. On les a cependant incorporés dans ce rapport dans la mesure où ces modèles peuvent être améliorés et donc étendus au cas de réseaux complexes. On mentionnera le cas échéant le domaine de validité de chacun des modèles étudiés

25

B.HYPOTHÈSES ET NOTATIONS

BI. NOTATIONS GLOBALES

Les notations matricielles de la première partie seront globalement inchangées. Cependant, par souci de clarté de l’exposé, on notera les matrices et les vecteurs respectivement par des lettres en majuscules et en minuscules en gras. Vu la complexité du problème et la différence des variables utilisées pour chaque modèle, on ne mentionnera ici que les principales notations adoptées ainsi dans chaque début de modèle On précisera le cas échéant les nouvelles variables. Dans tout ce qui suit, on considère un intervalle de temps H subdivisé en hn intervalles supposés

sans perte de généralité de même durée τ et indexés par h. on a ainsi H=τ* hn .

On suppose que l'on possède N² paires Origine-Destination indexées par "r". m étant le nombre de capteurs qui seront indexés par a , a=1,..,m. Vu le contexte et afin d'éviter toute confusion avec le facteur temps on notera : rtd : la demande de trafic en unité de véhicules ( ou ombre de déplacements) pour la paire O-D r et partant de l'origine pendant l'intervalle t.

rtd : la demande de trafic a priori obtenue durant toute la période H et pour chaque intervalle t. On présentera la demande de trafic sous forme de vecteurs colonnes (N × 1) notés, selon qu'il s'agisse de l'information a priori ou les paires O-D estimées, par td ou td . On supposera connues les matrices d'affectation pour chaque intervalle de temps. L'obtention de ces matrices dans le cadre dynamique n'est pas une tache facile. En revanche, il existe quelques modèles qui fonctionnent et les études dans ce sens restent d'actualité. Pour plus de détails voir la bibliographie se rapportant à ce sujet. Soit alors rt

ahP la proportion des déplacements rtd pour la paire O-D r passant par le capteur a pendant l'intervalle de temps h On notera ahv le débit issu du capteur a pendant l'intervalle de temps h. on a donc la relation liant la demande du trafic avec les débits des capteurs :

∑∑=

=h

1t rrt

rtahah dPv (1)

L'équation (1) peut s'exprimer en une forme matricielle en notant htP la matrice d'affectation on

obtient

∑=

=h

t 1th dhtPv

B.II.LES ERREURS DE MESURES

Les mesures recueillies des capteurs ne sont pas les vraies valeurs du débit ceci est causé par les problèmes de recueil des données et par les imperfections de mesures. On exprimera ces

26

imperfections par des erreurs notées ahw pour chaque capteur a. Avec les notations matricielles adoptées on aura donc la relation

hhh wvv +=ˆ (2) Avec hv la vraie valeur des débits et hv les débits mesurés. De même que pour les capteurs, les modèles d'affectation ne sont pas en général exacts. En effet les matrices d'affectation qui traduisent les chemins empruntés et la probabilité de choix de ces chemins n'est qu'une approximation de la réalité. Les proportions de la matrice ahP ne peuvent donc pas traduire avec exactitude la relation (1) même avec les vraies valeurs de la demande. On traduit cette approximation par des erreurs aléatoires κ ah (erreurs de modélisation) et on a donc

∑∑=

κ+=h

1t rahrt

rtahah dPv

qui s'écrit sous forme matricielle :

∑=

+=h

t 1th dhtPv κ h (3)

en notant π h =κ h +w h L’équation (3) devient

∑=

+=h

t

ˆ1

th dhtPv π h

27

C.MÉTHODES SIMULTANÉES

C.I.INTRODUCTION

Comme on l'a montré dans la première partie l'estimation de la demande de trafic peut être obtenue par la résolution d'un problème de maximisation sous contraintes qui se traduit par :

)].ˆ()ˆ,([minarg 21 vv,dsd ffSs

+=∈

S est l'ensemble induit par les contraintes sur les capteurs, par exemple :

ε+=ℜ∈= + vPs,sS N Les fonctions (.)1f et (.)2f dépendent du modèle d'estimation choisi, du type de l'estimateur et des informations dont on dispose. Dans le cas statique l'estimation de la demande est relative à une seule période. Les modèles classiques ( cas statique) peuvent être étendus au cas dynamique, notant que dans ce cas on obtient simultanément toutes les matrices O-D en une seule résolution. Le vecteur de demande d est donc transformé en un vecteur de taille Nnh × ² et de même le

vecteur des débits transformés en un vecteur de taille mn h × . La forme générale du problème d'estimation peut donc s'écrire :

)].ˆ,..ˆ()ˆ,..,ˆ,,..,([),..,( 21,..1

hhhhh n1n1n1n1n1 vv,..vvddssdd ffmin argSss hn

+=∈

C.II.EXEMPLE

Comme on l'a précisé ci-dessus les fonctions (.)1f et (.)2f peuvent être la log-vraisemblace ( [9 ], [11] ) ou l'écart quadratique moyen résultant de la méthode des moindres carrées ( généralisées) [ 3 ] ou autres. La fonction (.)1f peut être dans le cas de l'estimateur de maximum de vraisemblance :

∑ −=r

rrrr )]slog(Ns[)ds,(f ρρ1

Avec rr )( ρ les coefficients d'échantillonnage ( voir première partie pour plus de détails). Dans le cas de la méthode des moindres carrées la fonction (.)1f s'écrit :

)ˆ()'ˆ()ˆ(f d-sVd-sds, -1=1

Avec V la matrice de variance-covariance du vecteur d. Cette équation reste valable dans le cas où l'on appliquerait la méthode du maximum de vraisemblance en supposant une distribution normale multivariée de la demande. Dans le cas où l'on supposerait que la distribution suit une loi multinomiale la fonction (.)1f serait la fonction entropie [ 10 ]. L'expression la plus utilisée pour la fonction (.)f 2 est la fonction quadratique :

δ δ -1W)ds, ′=ˆ(f 2

δ = Ps- v

28

Avec δ la différence entre les débits observés et les débits calculés à partir de la demande de trafic selon le modèle d'affectation choisi. W étant la matrice de variance-covariance correspondant aux erreurs de mesures issues des capteurs. Cette forme quadratique résulte de l'hypothèse que les erreurs suivent une loi normale multivariée dans un contexte du maximum de vraisemblance ou d'une estimation bayesienne. Cependant son utilité dans un cadre de méthode des moindres carrés ne nécessite pas de telles hypothèses. Ainsi, si on prend comme modèles la méthode de moindres carrés ou celle de la méthode bayesienne avec une distribution multinomiale, on arrive à l'équation

hδ = htht vsP ˆh

t−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛∑=1

∑=

−

∈′+−′−=

hn

1hh

1-hhhh

1hhh

Shns,..1sW)ds(V)ds[(),..,( δδmin arghnd1d

C.III.CONCLUSION

Ces méthodes d'estimation ont été testées et validées sur des réseaux( [3] , [ 8 ]). L'efficacité de telles méthodes à été prouvée L'inconvénient est que de telles méthodes demandent des capacités de calculs très puissantes vu le nombre de paramètres et d'équations à résoudre. Aussi on ne peut pas les appliquer pour des cas de prévision du trafic dans des programmes en ligne ( en temps réel). Cependant l'utilisation de telles méthodes peut contribuer à l’obtention d’une estimation du trafic qui elle-même peut servir dans le cas où l'on voudrait une estimation en ligne ( en temps réel) de la demande et faire donc des prévisions.

29

D.MÉTHODES SÉQUENTIELLES

D.I.INTRODUCTION

Dans ce contexte, on estime pour chaque intervalle de temps h le vecteur demande correspondant. On peut distinguer deux principaux avantages de cette méthode d'estimation : Le premier est la réduction du problème d'optimisation à plusieurs problèmes de tailles plus petites permettant ainsi un gain de temps de calcul. Le second avantage est que l'estimation pour un intervalle h peut contribuer à l'estimation de la demande pour (le ou) les intervalles de temps qui suivent. Ce modèle est principalement adapté à une utilisation en temps réel. L’organigramme ci-dessous montre le fonctionnement d’une estimation en temps réel.

L'idée principale de cette approche est de considérer la demande de trafic et les débits (liés dynamiquement par des équations linéaires) comme des processus stochastiques auto-régressifs. La technique du filtre de KALMAN est l'approche utilisée pour la résolution d'un tel problème.

D.II.NOTIONS DE FILTRAGE : LE FILTRE DE KALMAN

On considère deux processus stochastiques ( ( ) ( )tY , tX ) à valeurs dans ( mN² ℜ×ℜ ), de second ordre et liés statistiquement par des équations du type :

( ) ( ) ( ) ( )1t1tX1ttX −ε+−−Φ= (équation de transition)

( ) ( ) ( ) ( )ttXttY ωΘ += (équation de mesure ou d'observation)

Avec ( )tε et ( )tω deux bruits blancs faibles indépendants de moyenne nulle et de matrices de variances-covariances V et W. Φ(t) s'appelle la matrice de transition. X(t) s'appelle processus d'état, il caractérise le phénomène physique que l'on cherche à estimer. Ce processus n'est pas directement accessible, il l'est par la mesure du processus Y(t) qui est alors appelé processus d'observation. Le filtre de KALMAN est un algorithme qui produit le meilleur estimateur dans le sens de minimisation de l'erreur quadratique parmi tous les algorithmes d'estimation de X(t) ( [ 2 ] ). Il existe plusieurs formulations des équations du filtre, parmi lesquelles on cite :

30

corréctionde terme mesures sans estimation

)]t(X)t()t(Y)[t(K)t(X)t()t(X 1111 −−−+−−= ΘΦ (a)

Avec K(t) la matrice gain de KAMAN définie par :

11 111 −− ′−−+−= ])()()()[()()( ttStWttStK ΘΘΘ (b) Avec S(t) une matrice de variances-covariances qui satisfait le système d’équation suivant :

⎩⎨⎧

−−=+−′−−=

)t(S)t()t(K)t(S)t(QV)t()t(Q)t()t(S

1111

ΘΦΦ

Avec comme condition initiale :

S(t 0 ) =cov[(X(t 0 ), X(t 0 )] Ces 5 équations caractérisent le filtre de KAMAN dans le cas discret. L’équation (a) est formée de la somme de deux termes, le premier serait l’estimation de X(t+1) dans le cas où il n’y aurait pas de mesure de Y . Le second est appelé le terme correcteur. Notons par ailleurs que ce dernier terme est « proportionnel » à la matrice gain de KALMAN . Cette matrice comme le montre l’équation (a) donne le niveau de « crédibilité » que l’on attribue aux mesures par rapport aux équations de transitions. En effet on montre que ( [ 7 ] ) plus l’erreur des mesures ( présentée par la matrice de variance covariance) est grande par rapport à l’erreur de l’équation de transition plus K est petit en norme et donc le terme correctif est petit . Dans ce cas on accorde moins d’importance aux mesures plus K est grand ( en norme) dans le cas contraire. D.III.APPLICATION À L'ESTIMATION DE LA DEMANDE DE TRAFIC

D.III.a. L'équation de transition

L'idée est d'essayer de formuler la demande du trafic pendant un intervalle h comme fonction des autres observations des intervalles de temps précédents. Une première formulation s'écrit ( [ 6 ] , [ 4 ] ) :

tr

h

pht

N

r

tr

trrh

hr dfd ε+= ∑ ∑

−= =′′

′+

1

1

p est le nombre d'intervalles de temps précédant h où la demande est susceptible de contribuer à la demande durant l'intervalle h+1.

trrhf ′ exprime la part de l'effet de la demande t

rd ′ sur la demande hrd ′

Il a été montré ( [ 1 ] ) que ce modèle n'explique que les dépendances temporelles entre les paires O-D. Un tel modèle auto-régressif ne peut pas traduire l'information concernant la structure de la matrice O-D. Pour améliorer ce modèle on suppose que l'on dispose d'un historique (sur deux jours ou plus) qui nous permet d'avoir une estimation de la demande sur tous les intervalles de temps de la période étudiée. Ensuite on écrit l'équation de transition non pas entre la demande de trafic durant l'intervalle h et ceux qui le précédent mais entre les écarts par rapport à la demande a priori. L'équation de transition s'écrit donc :

31

( ) tr

h

pht

N

r

tr

tr

trrh

hr

hr ddfdd ε+−=− ∑ ∑

−= =′′′

′++

1

11 ˆˆ

Cette équation s'écrit sous forme matricielle :

( )( ) h

h

phttt

th1h1h ddFdd ε+−=− ∑

−=++ (4)

Avec t

hF une matrice (N²×N²) des effets des vecteurs ( tt dd − ) sur le vecteur ( 1h1h dd ++ − ) et

hε un vecteur d'erreur ( un bruit blanc faible ) de moyenne nulle et de matrice de variance-

covariance V 1h + de taille (N²×N²).

Le calcul de la matrice thF peut être obtenu par le biais des matrices a priori. Lors de la mise en

application de cette méthode elle a été supposée diagonale postulant ainsi qu'il n'y a pas de corrélation entre les différentes paires O-D. La valeur de p peut être obtenue à l'aide d'une estimation à partir des informations dont on dispose.

D.III.b. L'équation de mesures

Soit q le nombre maximal d'intervalles de temps passé pour voyager parmi toutes les paires O-D. L'équation (3) liant la demande de trafic et les débits peut alors s'écrire :

∑−=

+=h

qhtth dhtPv π h (5)

π h étant un bruit blanc de moyenne nulle et de matrice de variance-covariance W h de

dimension (m × m) . On supposera par ailleurs que π h et ε h sont indépendants. L'équation (5) peut s'écrire en terme d'écart par rapport aux données dont on dispose selon:

( ) h

h

qht

h

qhththh vdvv htPtdtdhtP π−∑ ∑

−= −=

+−+=− (6)

Avec hv les valeurs des débits a priori pour chaque intervalle h.

D.III.c. La résolution

Les équations (4) et (6) ne peuvent pas être appliquées directement au filtre de KALMAN. En effet l'équation de transition telle qu'exprimée en (4) donne la dépendance des écarts à la période h+1 et plus d'une période précédente. De même l'équation 6 exprime une relation entre une période et plusieurs périodes précédentes. Pour pouvoir appliquer le filtre de KALMAN des transformations s'imposent. La méthode la plus simple consiste à augmenter le vecteur d'état de manière à inclure tous les vecteurs des périodes précédentes . Posons avec s= max.(p , q)

32

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

=

−−

−−

shsh

hh

hh

h

dd

dddd

d~ 11 le vecteur n(s+1) × 1

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

=

−−

−−

shsh

hh

hh

h

vv

vvvv

v~ 11 le vecteur m(s+1) × 1

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

−−

0

0

1

nsI

shh

hh

hh

h

FFF

Φ de taille n(s+1)×n(s+1) , I ns étant la matrice identité (ns×ns)

[ ]sh

hh

hh

hh PPPP −−= 1 de taille m ×n(s+1)

Avec F th =0, thth vv −− − =0 pour t >p si p < q

Et P th =0, thth dd −− − =0 pour t >q si q > p

On obtient ainsi les deux équations suivantes

h

h~~~

~~~

ξ

π

Φ +=

++=

+ h1h

hhhh

dd

BdPv

Avec

hhhh vdPB ~~−=

On suppose qu'à l'état initial le système admet comme moyenne 0d et une matrice de variances-

covariances 0R Après ces transformations on montre que l'algorithme de KALMAN s'écrit :

33

( )

( )

00

hhhhh

1h1h1h1hh

h

1hhhhhhh

1h1hhh1hh

R

PKV~

:équationsd' systèmedu solution Avec

W~PPPK

étantgain LeB

~P~K

~~

=Σ

⎪⎩

⎪⎨⎧

Ω−Ω=Σ+Φ′ΣΦ=Ω

+′Ω′Ω=

−Φ−+Φ=

−−−−

−

−−−

Ω

1-hh1-h dvdd

On montre ( [ 2 ] , [ 7 ].) que ce filtre ( donnée par les équations ci-dessous) fourni la plus petite erreur quadratique parmi tous les estimateurs linéaires. Et sous l’hypothèse de normalité des erreurs, on obtient le meilleur estimateur parmi tous les estimateurs ( linéaires ou non-linéaires)

34

E.ETUDE COMPARATIVE DES DEUX APPROCHES: ÉTUDE D'UN CAS PARTICULIER

E.I.INTRODUCTION

Il s'agit d'estimer une matrice O-D en supposant connu le nombre de départs et d'arrivées des véhicules pour chaque nœud. Ceci revient à supposer qu'on connaisse les sommes marginales de la matrice. Ce cas de figure peut se réaliser dans le cas d'un petit réseau comme un carrefour ou dans le cas d’un réseau simple tel une autoroute où l'on placerait des capteurs à chaque entrée et à chaque sortie.

On introduit alors les notations suivantes : y(t), le vecteur colonne de taille n dont les éléments sont notés y j (t) et qui représentent le nombre d’arrivées à la destination j durant l’intervalle de temps t. q(t), le vecteur colonne de taille m dont les éléments sont notés q i (t) et qui représentent le nombre de départs de l’origine i. B(t) est la matrice de taille m×n dont les éléments sont notés b ij (t) et qui représentent le nombre les proportion de véhicules partant de l’origine i. vers la destination j. Les éléments de B(t) ( la matrice à estimer ) doivent satisfaire les contraintes suivantes:

)(tt) et de beurs de B(es estimat(t) sont db(t) et B

B(t) la matriceolonne de vecteur c(t): le jb

)t(b

)t(b

jj

èmej

ij

n

jij

(1.b)0

(1.a)1

n.1,..,j m,1,..,i

m.1,..,i ,1

==≥

==∑=

On supposera ici que l'intervalle de temps t est assez grand par rapport au temps de voyage de i vers j. On peut alors lier les quantités ci-dessous par la relation : (t)B(t)q'(t)y' = (2)

Comme on l'a précisé dans les parties précédentes, cette relation ne peut pas être satisfaite à cause de différents types d'erreurs. On introduit ainsi le vecteur des erreurs e(t)= njj te ,..))(( 1=

l'équation (2) devient ainsi : e(t)(t)B(t)q'(t)y' += (3) On en déduit que chaque élément de y(t) peut s'exprimer en fonction de chaque colonne de la matrice B indépendamment selon la relation : )((t)(t)bq')( j tety jj += (4). Si on néglige les contraintes (1.a-1.b) le problème d'estimation de la matrice B(t) décomposé en n problèmes d'estimation grâce à la relation ci-dessus. Cette décomposition permet de simplifier considérablement les calculs et de rendre ainsi les programmes de calculs plus performants. Le raisonnement sur l'équation (4) sans contraintes montre des liaisons entre les estimateurs issues des méthodes classiques en l'occurrence la méthode des moindres carrées et l'estimateur obtenu par le filtre de KALMAN (Cremer et Keller [], Nihan et Davis []).

35

E.II.ESTIMATION DE LA DEMANDE DE TRAFIC

L'estimateur de chaque colonne peut être obtenu par la méthode des moindres carrées ordinaires selon :

q(t)(t)q(t)q'bt

j ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= ∑∑

−

ty(t)

1

et pour une estimation pour chaque intervalle t :

q(h)(h)q(h)q')(bt

1h

t

1hj ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= ∑∑

=

−

=

(h)yt j

1

Cet estimateur a été utilisé par Cremer [ 4 ] pour estimer la demande de trafic dans un carrefour. Nihan et Davis [ 5 ] ont amélioré cette expression en appliquant un lemme sur les approximations d'inversions des matrices: On montre ainsi qu'on peut obtenir une relation de récurrence qui permet le calcul de B : En notant

[ ]

1)q(t)(t(t)Pq'1)(t(t)P1)q(t)q'(tP

)(P)(P

1)q(t)(t(t)Pq'11)q(t)(tP

(t)K

1)(tb(t)q')((t)K)(b)(b

(h)q(h)q')(P

j

jjjj

j

jj

jjjj

j

−+

−−−−=

−+

−=

−−+−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

−

=∑

11

1

:suivantes relations lesobtient on

111

1

tt

tytt

ttt

j

t

h

Cette relation est très proche de celle obtenue par le filtre de KALMAN si l'on considère le système suivant :

)((t)(t)bq')(

s(t)1)(tb(t)b

j

jj

tety jj +=

+−=

Avec s un bruit blanc de moyenne nulle et de matrice de variance-covariance R j (t) et e j de

variances r j . Ceci suppose donc que les proportions de demande de trafic ne varient pas d'une manière considérable dans le temps. En appliquant le filtre de Kalman ( cf. réf. ci dessus) on obtient :

36

[ ]

1)q(t)(t(t)Pq'1)(t(t)P1)q(t)q'(tP

R)(P)(P

1)q(t)(t(t)Pq'1)q(t)(tP

(t)K

1)(tb(t)q')((t)K)(b)(b

j

jjjjj

j

jj

jjjj

−+

−−−+−=

−+

−=

−−+−=

j

j

j

rtt

r

tytt

1

1

Ce résultat rappelle donc celui trouvé dans le cas de l'estimateur des moindres carrées. En effet, si les mesures étaient sans erreurs ( c'est à dire R j =0 ) et dans le cas où l'on appliquerait la méthode des moindres carrées généralisée en minimisant la quantité :

[ ]∑=

−t

hj

j

hyr1

1 2j(h)bq')(

on trouverait exactement les deux même expressions.

On peut donc dire que si l'on possède assez d'information sur la demande de trafic notamment si l'on dispose des matrices de variance-covariance l'emploi du filtre de KALMAN peut contribuer à améliorer la qualité de note estimateur.

Dans cette estimation on n’a pas pris en compte les contraintes (1.a-1.b). En effet les auteurs cités ci-dessous ne prennent en compte les contraintes que dans les algorithmes proprement dite, les méthodes utilisées sont les méthodes classiques du Lagrangien et de Newton.

Les résultats obtenus ne diffèrent pas d’une manière considérable lorsque ces différent modèles ont été appliqué à l’estimation de la demande du trafic sur une autoroute.

37

F. BIBLIOGRAPHIE PARTIE II

[1] Ashok K., Ben-Akiva E. (1993 ) : Dynamic Origin-Destination matrix estimation and

Prediction for real time trafic management systems. In Proceedings of 21th international Symposium on trafic Theory. Berkley Ca.

[2] Bertein J.C. Ceshi R. ( 1998 ) : Processus Stochastiques et filtrage de Kaman . Collection traitement du signal. Ed Hermes.

[3] Cascetta E., Inaudi D. , Marquis G. ( 1993 ) : Dynamic estimators of Origin-Destination mtrices using trafic counts. Transp. Res. Vol 27 No. 4, november 1993.

[4] Cremer M, Keller H. ( 1987 ) : A new class of dynamic methods for the identification of Origin-DestinationO-D flows. Transp. Res. Vol 21B .

[5] Nancy L.N., Davis G.A. ( 1987 ) : Recursive estimation of Origin-Destination matrices from input/output counts. Transp. Res. Vol 21B .

[6] Okutani I. (1987) : The kalman filtering approach in some transportation and trafic problems In International Symposium On Transportation and Trafic Theory . eds N.H. Gartner and N.H. Wilson. Elsevier Publishing Company Inc.

[7] Vieville T. ( 1996) : Filtre de Kalman et estimation robuste en vision

Article ( support de cours)

[8] Wong S.C. Tong C.D. (1998) : Estimation of time dependant Origin-Destination Matrices for transit networks. Transp. Res. Vol 32. B

[9] Wu J. , Chang G.L.. ( 1996) : Estimation of time varying Origin-Destination distribution with dynamic screenlline flow. Transp Res. Vol 30.B.

[10] Wu J. (1997) : Areal time Origin-Destination matrix updating alogorithm for on-line applications. Transp. Res. Vol 31. B.

[11] Zhou J. Yang H. ( 1998) : Optimal trafic counting locations for Origin-Destination matrix estimation Transp. Res. Vol. 32.B.