EstafcfcKria - International Atomic Energy Agency
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rtyisoooiq /A}13- A£- ¡4ti0 EstafcfcKria IAEU Esewla de Cíñete Cucad É Its Cwfícwtíts * topüficacüi y AksardÉi de Ondas ElectrMuqpitícas ea no Nauta Denso C Wrica TESIS O» IMirtíiitf iltttííiéi: FÍSICO PRESENTA: Nerferte Arzate Plata Directors Dr. G w r (?. Gutiérrez Jépié Tohca, Mixteo. Octukr* 1994
Transcript of EstafcfcKria - International Atomic Energy Agency
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EstafcfcKria
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F Iacute S I C O
P R E S E N T A
Nerferte Arzate Plata Directors Dr Gwr ( Gutieacuterrez Jeacutepieacute
Tohca Mixteo Octukr 1994
Con todo carintildeo
A mi Madre
a la memoria de nuacute Pudre
A mis hermanos
Francisco
Lupe
Ana Muriacutea
Juan
Mauricio
Maribel
por el apoyo y confianza que me han brindado
A mis compantildeeros y Amigos
Marcelo
Omar
Javier
J Manuel
Agradezco al Dr Ceacutesar R Gutieacuterrez Tapia
Por su valiosa direccioacuten eu la elaboracioacuten
de este trabajo de tesis
De manera especial al
Fit Gerardo Anguiano 0
Por su apoyo en sistemas de computo
Por sus comentarios al
Dr Enrique Campraquo C
Por su colaboraciuacuteu cu la roviaacuteoacuteu de esta tesis
agradezco a los Profesorraquoraquoraquo
FM J Antonio Aguilar S
MC Gloria Daca L
Fit Aurelio A Tamez M
Dr Albino Hernaacutendez G
M en I Carlos Sandoval A
y a las instituciones
Universidad Autoacutenoma del Ettado de Meacutexico
Instituto Nacional de Investigaciones Nucleates
Gobierno del Estado de Meacutexico
por su apoyo y facilidades brindadas en la
realizacioacuten de este trabajo de tesis
CONTENIDO
INTRODUCCIOacuteN 1
CAPITULO 1 DESCRIPCIOacuteN DEL PLASMA 3
1 Principales paraacutemetros del plasma 3
2 Meacutetodos teoacutericos ltraquobull descripcioacuten del plasma 8
CAPITULO 2 GUIAS DE ONDA Y RESONADORES 12
3 Guias de onda 1 2
31 Ecuacioacuten de valores propios 12
32 Paraacutemetros de propagacioacuten 15
33 Coeficiente de absorcioacuten 18
34 Guiacutea de onda cilindrica Modo Hmn 19
35 Coeficiente de absorcioacuten Modo H^ 23
4 Cavidades resonantes (resonadores) 27
41 Caracteriacutesticas generales 27
42 Energiacutea almacenada y calidad de los resonadores 31
43 Excitacioacuten de los IIHMIIH tie ilaquorilac)oacuteii 34
44 Resonador de forma cilindrica 30
CAPITULO 3 TEORIacuteA DE PERTURBACIOacuteN 41
5 El meacutetodo de perturbacioacuten eu las guiacuteas de onda 41
6 El meacutetodo de jicrturbacioacuteii en los resonadores 49
CAPITULO 4 INFLUENCIA DEL PLASMA 5G
7 InfliUliriii del plasma cu la- guiacuteas de onda 5C
8 Influencia ilel plasma en los resonadores 74
CAPITULO 5 PENETRACIOacuteN DE ONDAS EN EL PLASMA 83
9 Penetracioacuten de campo ilectruniagneacuteikos cu el plasma S3
91 Penetracioacuten de campos electromagneacuteticos en la aproximacioacuten
hidrodinaacutemica Sistema de ecuaciones 84
92 Penetracioacuten de ondas tipo E y H 86
10 Penetracioacuten de una onda electromagneacutetica en un plasma homogeacuteneo
semihmitado Reflexioacuten y absorcioacuten de ondas tipo H 89
11 Paso de una onda H en una capa de plasma 96
12 Penetracioacuten de una onda tipo H en un plasma deacutebilmente no homogeacuteneo 99
CONCLUSIONES 105
REFERENCIAS 108
INTRODUCCIOacuteN
ActUiiluieiili cu rl IXIN se tiene miii fiiriitc de plasma roiistruida iU el proyecto IB-
230 Esta es una fuente de plasma friacuteo sin ilict rodos (pie genera rl plasma por mirroondas
IIH iiniite resonancia rirlot romea di- los electrones Este tipo de dispositivos son de eran
actualidad ililiiiin iexcli sus posibilidades potenciales di apuracioacuten a Iti industria tiacuteili-s romo ltl
pngtisiacuteiiiiiiiitn ili- ilifi-riiifrs materiales |]iexcl (la formacioacuten laquoIr peliacuteculas delgadas poliacutemeros
liiiacutecnielcct ioacutenica soldadura iiiiit|uinns-lierrainieiitns etc) En estos dispositivos tambieacuten
rs relevante el estudio de fenoacutemenos baacutesicos i|iie ocurren en el plasma ionio la conversioacuten
lineuumll y no lineiil de ondiacuteis en el plasma Parraquo mayor informadoraquo sobre vi dispositivo ver [2]
Uno laquoIr los componentes baacutesicos del dispositivo es el sistema de inicruondas el cual consiste
de un generador de microondas (magnetron) de una guiacutea de onda y de un resonador El
generador que se utiliza es un Raytheon PGlOxl con frecuencia fija de = 245 GHz y de
potencia variable f 10 - 500 W) Li alta frecuencia del campo se transporta a una cavidad
resonante por una guiacutea de onda cilindrica de bronce de 85cm de diaacutemetro En esta guiacutea se
excita una onda electromagneacutetica en modo H El resonador de bronce tiene un diaacutemetro
de 14cm y en el cual se excita una onda en modo TTm-
En este trabajo de tesis se realiza una revisioacuten del caacutelculo del sistema de microondas
que componen el dispositivo y un estudio sobre la interaccioacuten lineal de ondas que pueden
ocurrir en el plasma en este dispositivo En el Capl se hace una pequentildea descripcioacuten de
los principales paraacutemetros del plasma y de los principales meacutetodos teoacutericos para su des-
1
bull ti|Miexclltgtii En bull Cap2 w laquoICSITIacuteIM- In teoriacutea general de las guiacutea- de onda y los resonadores
cilindricos En el (iexcli|i3 si- de-rrilie la Teoriacutea gtbullbull Perttirltacioacuten uacutetil iexclwira el i-aacutelculo di lo
diferentes )i-iiaacuteiii(tros di- lagt uniacuteraquo de onda y lo- resonadores nur contienen itti plasma en
su interior En el Cap4 en lgtase a la teoriacutea ltllt- pi-rturltacioacuten gtbullbull calcula la variacioacuten di- la
constante ri pro|gtagariigtn de las ondas ijuc so propagan en una guiacutea dr onihi cilindrica asiacute
iilaquomgt la variacioacuten di liexclgt frecuencia de resonancia de las ondas lt|tio si- iiiencntraii oscilando
ili un resonador laquopie IOIIIIacuteIIM una i-olnniiia de plasma friacuteo riliacutendriro magnetizado ltbull inlio-
mogoacuteiieo disnilmido axiacutealiiinili En el Cap-V i-ii el marro dr la teoriacutea linral se Kivostiga
ri proccsiraquo di penetracioacuten di campos eleotioniauiacuteHlieiraquo- III un plasma ademaacutes sr obtienen
los coeficientes de reflexioacuten transmisioacuten y di aliMgtirioacuten paia ululas bullbullgtltgt Finalmente
si- lian- un resumen di- los principales resollados nlitriiidos en el traUiacutejo di- trxis
La propagacioacuten de ondas de muy alta frecuencia representa un lema laquolo gran anualishy
dad iii campo romo la radiofiacutesica (oomttiiiriirionos radares radiotelescopios etc) y la
fiacutesica d r plasmas (aplicariones y fusion termonuclear iotroluda) En la fiacutesica de plasmaraquo
actualmente se est lidian dispositivos en base a suirrooiidas y radiofrecuencia laquopie son muy
interesantes por la gama ile aplicaciones (pie se descu-ren constantemente Por otro latioacute
el calentamiento adiriacuteonal tlel plasma por ondas de radiofrecuencia en dispositivo donde
se obtienen plasmas de alta temperatura para el estudio de la fusioacuten termonuclear conshy
trolada es un tema que tiene gran importancia Por lo anterior el desarrollo de la teoriacutea
lineal y no lineal de propagacioacuten dr ondaraquo de alta frecuencia es de gran relevancia
2
CAPITULO 1
DESCRIPCIOacuteN DEL PLASMA
1 Principales paraacutemetros del plasma
El plasma rs un uniacute lio nmsinritro compuesto laquole partiacuteculas cargairaquo positivas negativas
y ademaacutes tli- partiacuteculas neutra (aacutetomos y moleacuteculas) que inicraci-ionan entre siacute y con la
radiacioacuten Las partiacuteculas positivas son los iones y las negativas son los electrones (los iones
negativoraquo juegan un papel secundario) Ademaacutes de los aacutetomos y de las moleacuteculas que se
encuentran cu su estado base en el plasma ]meden existir tambieacuten en grandes cantidades
aacutetomos y moleacuteculas cu estados excitados El plasma entonces es un gas ionizado en el
cual la carga negativa de los electrones neutraliza casi completamente la carga positiva de
los iones
Veamos algunos procesos que ocurren en el plasma (3-7] El plasma se obtiene por la
ionizacioacuten cuando se separan los electrones de los aacutetomos o de las moleacuteculas Son posibles
dos formas de ionizacioacuten en un plasma denso principalmente tiene lugar la ionizacioacuten por
choques de los electrones con los iones o aacutetomos nertros y para un plasma muy enrarecido
es caracteriacutestica la ionizacioacuten por radiacioacuten (oacuteptica ultravioleta y por rayos X) Es posible
tambieacuten que ocurra la ionizacioacuten por los choques entre los aacutetomos o con los iones El
3
proceso inverso iquesti 1Iacute ionizacioacuten es lit recigtmlltinlaquoooacuteiiexcl es ib-cjr Ib unioacuten de un electroacuten con
mi ion y con ii consecuente formacioacuten de un aacutetomo o moleacutecula neutra En un plasma
enrarecido la igtgt iacuteniliniexclnioacuteii ocurre generalmente con radiacioacuten y en un plasma denso lu
riioiubiiiacioacuteu gtbullbull rriiiiii en los choques triples (se recoiuliina un electroacuten y un ion y mi
segundo electroacuten gtbull lleva el sobrante de energiacutea) Por otro birlo el plasma lugt solamente
radia hi visible sino tambieacuten radiacioacuten ultravioleta y ademaacutes si t-1 plasma es muy caliente
tambieacuten radia rayos A
El plasma por naturaleza se comporta como un gas por lo que para su laquoICM riprioacuten
si- utilizan ronrepros talrs como densidad presioacuten (esiipfralmgt itr El movimiento ile
las partiacutecula- ocurre ilr fon na caoacutetica En laquoI caso laquobull bull partiacuteculas lt|tilt- no timen carpa en
su movimiento teacutermico la iliriciioacuten de su movimiento varia solo |Mgtr los c-limpies como
cu un gas simple Entre cada choque el movimiento de las partiacutecularaquo con velocidad
constante r describe una linca t rta En este cano la longitud promedio de recorrido
lilwe es A = VT = iexclnma donde r es el tiempo entre los clioques nm es la densidad
tlil medio y n es la seccioacuten de choque A mayor densidad la longitud de recurrido libre
medio tm menor y Ja frecuencia dr rolimeacuteo v = 1T = nmav es mayor Loraquo choques entre
las partiacuteculas neutras ocurren por la accioacuten de fuerzas de corto alcance las cuales son
proporcionales a rri y pueden ser tanto elaacutesticas (intercambio uacutenicamente de energiacutea
cineacutetica) como inelaacutesticas (transformacioacuten de la energiacutea cineacutetica de las partiacuteculas ergt otras
formas de energiacutea como son excitacioacuten ionizacioacuten y recarga) A diferencio de las partiacuteculas
neutras sobre las partiacuteculas cargadas actuacutean tuerzas de largo alcance proporcionales a r
las cuales se rigen por la ley de Coulomb Esta interaccioacuten disminuye lentamente con la
distancia El movimiento de las partiacuteculas ya no se realiza por una linea quebrada sino
siguen trayectorias muy complicadas Sin embargo estas trayectorias se pueden aproximar
a una linea quebrada y en esta forma introducir el concepto de choque coulombiano En
4
iexclo inuwrioacuten iilt- 1iexclIgt partiacuteculas las maacutes fuertes resultan raquo T las de largo alcance Las
interacciones coulombiaiifis determinan Minchas propiedades del plasma A traveacutes de eacutestas
a|raquoareceii las propiedades colectivas del planum relacionadas ron la interaccioacuten simultaacutenea
ltltbull mtiriiH- partiacuteculas
Las partiacutecula nue componen cl plasma se encuentran igteniianenteinente en estado de
movimiento teacutermico caoacutetico Este movimiento se caracteriza por lit temperatura del plasma
7 romo un todo y por la temperatura Tbdquo tic siis diferentes componentes (aquiacute ir puede ser
i o i pata iexclos elertrmies o iones respectivamente) La temperatura liacuteeiennina la energiacutea lilshy
las partiacuteculas del sistema el euiil se tinmiit i iexcli en ei|iiililirio teri-iodinaacuteiiiico El |gtlnsiiit se
llama isoteacutermico si este se encuentra en equilibrio teuuodinaacuteinico ionio un todo y la funcioacuten
de distrUumlMieioacuteit de la energiacutea de las partiacuteculas de todo tipo es una distribucioacuten inaxweliacuteaua
con una misinn temperatura X (T = T = T) En el caso de un equilibrio lennodiacutenaacutemicolaquole
una parte del plasma cuando diferentes componentes tienen una distribucioacuten maxweliana
pero diferentes temperaturas vi plasma se llaina no-isoteacutermico o sea Tt iquest T Esto uacuteltimo
es posible debido a laquopie cl intercambio de energiacutea emre los electroiws y los iones ocurte maacutes
lentamente que el intercambio de energiacutea entre las partiacuteculas que tienen una misma masa
En base a esto uacuteltimo en un plasma no muy denso con pocas colisiones puede existir
un estado con dos temperaturas ioacutenica 7iexcl y electroacutenica T En el caso de una funcioacuten de
distribucioacuten maxweliana de las partiacuteculas fm exp(-m0vl2kTo) la temperatura de un
plasma en equilibrio determina la energiacutea cineacutetica promedio del movimiento teacutermico
3fcT _ _ _ _ _ ^=(mavl2) = Eacutee (11)
donde k mdash 138 x W~ttrgioraquodegK es la constante de Boltzmann y 7_ es la temperatura
de las partiacuteculas de clase o La raya superior en la parte derecha indica un promedio con
respecto a las velocidades
5
Una earailiTisMra importante del plasma rgt la fririMii-in plaacutesmica la cual esta canic-
tiriaila por liis oM-ilaciacuteouo electroacutenicas ltlrl plasma
tliHide i es la carga del electroacuten (t iexclft 4SU32 x 10iraquolaquotoiWoraquo()i u es 1iexcliexcl concentracioacuten ilr
electrones (laquobula iii mi) y MI lt~iexcl la masa del electroacuten (raquolaquo = 01095 x lO^V)- Las oscilashy
ciones |gtliacuteisiuiris son oscilaciones longitudinales electrostaacuteticas i|tn- surgen romo resultado
ilr hi separacioacuten ilr partiacuteculas lardadas a distancias microscoacutepicas y ilil surgimiento de lalaquo
fuelas ill COIIIIIIIIII La fu incuria plaacutesmica soacutelo depende dr la ciiurrut racioacuten laquo
raquo- 5 Tx Wyj^ 113)
ii ltii la forma
A = | = 2 x l O 3 ^ 1 0 ^ (14)
La escala temporal ill separacioacuten laquole carga cs una cantidad inversa a la frecuencia plaacutesmica
r ss 1w Como laquoi los intervalos dc tiempo gt r las partiacuteculas realizan imirlins oscilashy
ciones cerca de su posicioacuten de equilibrio entonces el plasma como un todo se comporta
como un sistema neutro en el tiempo La separacioacuten de cargas puede ser importante soacutelo en
intervalos de tiempo t lt r pequentildeos con respecto a la escala temporal La escala espacial
de separacioacuten de cargas es la distancia basta la cual se puede desplazar una perturbacioacuten de
la concentracioacuten de las partiacuteculas cargadas debido a su movimiento teacutermico en un tiempo
igual al periodo de las oscilaciones plaacutesmicas la cual se expresa en la forma (dada en cm)
laquobullV V 4iregtnt
6
doxiie = lTni mdash 45 x VSyJT laquo-s In velocidad del movimiento teacutermico de los
bull iexclii-roiifs 7 laquo- Iraquo fltbullijijx-rittiilt le los electrones en A y gt es la cow-rut racioacuten laquole los
bullllaquoM-roraquofgt MI nn~ bull La ltlisuiiit
bullgtbull llama radio ltit- Debye para los electrones Para tin plasma niasiiirtirro es necesario ijiie
its liiuiitiMoiiis riinirifristiras L scan siciiihnitivniiifiitc mayores ipie el radio ir Debyc cs
laquo[bullbullbullbulli L ~iquestgt in ion esta condicioacuten slaquo- purde considerar ijnc laquobull -iexcl-teiacutena ilf partiacuteculas figtrman
un plasma En riiMi inverso L ltg riexcl i tenemos mi coiijmtlo I|I- |gtutiiiiiii- cargadas
-f|gtnli- Asiacute llenamos iexcli la definicioacuten laquoIt-1 plasma propuesta por Laugmuii [5iexcl rl plasma
i-s tin conjunto tic partiacuteculas iirutras y careadas en rl cual ai sc satisfaci- la condicioacuten dc
ciiasiiii-utralidiid poundbdquo rbdquoraquobdquo = 0 y lit el radio dc Debyc dc apaiitallainit-iilo es mucho niiiior
bullinraquo1 las dimensiones caracteriacutesticas laquopic ocupan el conjunto laquole partiacuteculas r^ lt L
Una infltiriiciii iiii]iortantf sobre rl iiioviinie-nto de las partiacuteculas la ocasionan la exisshy
tencia laquolaquobull un riexcluingt magneacutetico externo constante el cual ordena el movimiento caoacutetico de
las partiacuteculas En un campo magneacutetico actuacutea laquoobre las partiacuteculas cargadas una fuerza llashy
mada poiidcroinotriz (lorentziana) dirigida ])cr]gtcndirulannriite a la direccioacuten del campo
magneacutetico B0 y a la velocidad de la partiacutecula iacute Bajo la influencia de esta fuerza las
partiacuteculas giran con una frecuencia angular igual a wBbdquo A esta frecuencia se le conoce
como frecuencia riclotroacutenica o de Larmor y para los electrones tiene la forma
~B = mdash 176x07Bo (17) me
Para que el plasma resulte ser magnetizado (anisoacutetropo) eacuteste no debe ser muy denso y
deblt encontrarse en un campo magneacutetico muy fuerte Por esta razoacuten es necesario que en
laquorl intervalo ltli- liniipo vnf dos i-olisiotn-s rbdquo las partiacuteculas pmdan nahzar uiiniios iexclinraquo
ttlri-drdor ill- las lincas del raui]Hgt iiiiiacutegiit-tiro Esta condicioacuten gtbull inarm tizai ion jitira lets
rliTtroiics es di- la forma
w laquo r m raquo l (lSj
En la ltlin riiiiti ilrl rampo iiiin-iiitiio la influencia de laquo-sir soliri- Ins partiacuteculas careadaraquo cs
nulo En mi campo magnet iro lioiiiogeacutem-o las trayectorias del movimiento dc las partiacuteculas
cargadas tiiinu forma bullltbull bullbull -jiiiiilraquo-
Por laquofin lado liay ijiir diferenciar los conceptos dc plasma friacuteo y plasma caliente Eli
mi plasma friacuteo r) movimiento teacutermico de las partiacuteculas es menor que la presioacuten i-I bullbulliinjgtgt
MKiKiirtim es decir
-2=2fIlti (io) Entonces podemos decir que rii mi plasma friacuteo que sr oiicticiif ni en mi campo magneacutetico
w puede despreciar rl movimiento trrminraquo dc1raquogt partinilas En mi plasma caliente esto
uacuteltimo no es vaacutelido
2 Meacutetodos teoacutericos de descripcioacuten del plasma
En el desarrollo de la concepcioacuten del plasma como un gas de partiacuteculas cargadas cambiaron
tambieacuten los meacutetodos de su descripcioacuten Los primeros modelos maacutes simples de la descripcioacuten
cualitativa del plasma lo suponen como un sistema de partiacuteculas cargadas que no interar-
tuan entre siacute y que se mueven libremente en presencia de los campos eleacutectrico y magneacutetico
externos Es decir si so considera que el plasma esta compuesto de jVbdquo partiacuteculas de clase o
8
iexclbulli -r mueven dcltido iexcli MI energiacutea teacutermica en forma caoacutetica entonces es uii-fNarin resolver
~ ecuaciones laquogtbull movimiento con uti miacutenimo iexclEnfil raquobullbull condiciones iniciales i posicioacuten y
-bullbullio-idades iniciales ilr partiacuteculas | Obviamente esto uacuteltimo es imposible de realizar Se
puede reducir fuertemente el problema si gtraquobull desprecia liexcli dis]gtcrsiexcleacutegtn de las velocidades dr
bullu iovimicnlo teacutermico es decir si se considera el movimiento promedio de una partiacutecula
laquoiexclHe v encuentra en reposo cuando no hay campos externos Asiacute este modelo simple
de iexclarticulas independientes completamente desprecia no solamente la interaccioacuten entre
piiriexclniiacuteiacuteiraquo sino eiexcl movimieiiio teacutermico de la- mismas
Pura determinar la velocidad dgt- una partiacutecula carnada del ntasma en el modelo de
pariacuteVittiis independiacuteenles se resuelven las i (ilaciones de movimiento para partiacuteculas de
gtia- bullgt en la forma
-y- = lt iacute iquest + -|ibdquo X D + iexcliexcl111 I110) Jlz
ir ~ donde iexcl = gtnbdquorbdquo es el impulso de la partiacutecula de dase o y ies la aceleracioacuten provocada
por fiHTns no electromagneacuteticas Eti las ecuaciones (LiO) la iiidiiccioacuten magneacutetica D
y el campo eleacutectrico E no se consideran como variaUes conocidas ya ipie estos campus
incluyen en siacute campos inducidos en el plasma cjue MOJIacute provocados por el movimiento de las
partiacuteculas cargadaraquo por lo (pie hay que resolver un problema autocousigtente es decir la
solucioacuten de (110) conjuntamente con laraquo ecuaciones de campo
VxS = M + Iacute I ( + ( 0) (iii) c ot c
V-Eacute m 4-(p + po) (1 13)
v i = 0 (114)
9
01
(si-i) ltraquoiquestbull AW + J) + W + sectxsectA)Y +ilaacute- raquo
waacute(A-iacute) + ^ Vlt = JLVpound mp
(iquestri) -o = W aacute w - A + ^
iexcllaquoupauSimi HJiuiHiupo pii] laquoj ip laquoai iopuioa ap jjnaiscsi io x) inn uctuivcs u n
HZI|1)II t8 opiti |f ui |vmi raquoia ap OIIMIIUIAOIH jap t iopduauap H| H Iacute H J -OJIIIU OIIIIIJIIOI o ip j tu mi
(ipllllllUOJ OJIIK laquoHill OIlllll lltijjodll S Sgt1IIIIIltMI|IIOJ SHJSI Hill llX HJItlHI A UIIIIOI liJIIIOJl
bullJMraquo NtJIIHKullllO1 Sl| 11)111 IttllHMJIi j j l lililiacute IMIacutelj IS lili IIJlllllllipiU|lll| CI|I|KM11 |l l|-J
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(iinmiiiAoui (1 bulluipisUtii 1111 ofiji is (IHKII si|tfi(|ifiH(i|ifft s-ftptjiijiMi (lt lti(i(iorij ( 3
( 9 1 1 ) 0 = V V bull A + T ^
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ltcni bullbulliquestx^ = [ -x^ = lt
laquoUIKIJ i( (lllllll l|(MMJltll ijl A i|l(lll(IUI laquoSjlM laquolt Kj|tt|raquoISIM|gt gtlJ Sgt(itl) slj | Ifi
= V y [- x D - -pound-V x I i r Uuml) (119) Of 4 ~ ltT
V B = 0 (120)
donde ni ex 1iexclI ltbull usidad del liquido ltlaquoMiraquohicTtgtr (plasma) ron una rondiirtividad n vi es la
velocidad del plasma y ( r son 1lt- roi-firiciites de viscosidad Este sistema laquoir eriiarionis
w debe de roiujut mentar ron las emanones de rotado y la iiiiwioacuteii laquole tnuiNpurte de calor
= Hni-T) (121 0
M7 mdash + (rlaquoV| uumlt
~ bdquo 2L1L + X-(VTgt+ mdash mdash l ^ x Uuml r (122)
donde raquo = raquoij(T) es la entropiacutea de uiiii masa unidad de plasma n es la rondnrtividad
iltl ialor y rttJ elaquo el tensor laquoir viscosidad
^= (iiexclr + iiquestL~ hgtv TA) av bull IacuteL23)
En la magnet oliidrodinaacutemira se consideran dados la rondnrtividad eleacutectrica la conshy
ductividad laquolaquobull calor tlcl plasma y tambieacuten los coeficientes de viscosidad En la praacutectica
se utilizan modelos modificados dr la magnetoliidrodiacutenaacutemicn tales como el modelo cuasi-
magnetohidrodinaacutemico de dos liacutequidos (electrones y iones) y de tres liacutequidos (electrones
iones y neutros) tos cuales de forma fenomenoloacutegica consideran la interaccioacuten entre las
partiacuteculas- su movimiento teacutermico Estos modelos simples generalmente son aproximados
y para su fundamentacioacuten se exige la utilizar ion de un modelo maacutes general del plasma
como gas ionizado El modelo maacutes general es la descripcioacuten estadiacutestica del plasma como
un sistema compuesto de un gran nuacutemero de partiacuteculas
11
CAPITULO 2
GUIAS DE ONDA Y RESONADORES
En rstr i-i|gtiacutemlgt v ilisrrilraquo li iroriacutea grurral i|r lis gniacuteis laquoIt- IIMIUuml y laquoIr los rrsoimdorrx
bullilimlriros Si luir- un r-iexclMilil riifuumlsis ru his giiiacuteigt d r mifhi V lvsotinliili- de MMIIacuteIMI
tliUlsvriMiI bull i i i i i iuuml l nn iDliiii 1iexclgt rxcitiiiiiVn dr o lnl raquo t i l IIHMII bdquobdquo y TE laquo11 estos
IIIacuteN|HIMIIacuteVIraquo rrx|Mitiacuteviexclifilttr rli Iilii|iiliquest ron rl d i spos i t ivo drsni t iraquo cu [2iexcl
3 Guiacuteas de onda
31 Ecuacioacuten de valores propios
pound1 estudio dr IHS propiedades fnuciaiiicntalcs dr la propagacioacuten de ondaraquo laquobulllectroniaglictiras
en tubos cilindricos dr conductividad infinita sr ha realizado ampliamente Ha sido resuelto
el problema para guiacuteas do seccioacuten transversal arbitraria |8) y para secciones transversales
particulares de importancia praacutectica se lian solucionado en sus modos fundamentales de
propagacioacuten [9] Asiacute mismo una analogiacutea con las lincas de transmisioacuten ha sido descrita en
[Wi
Veamos con maacutes detalle las guiacuteas de onda Consideremos una guiacutea cilindrica ron su eje
dirigido a lo largo del eje 0iexcl Ademaacutes consideremos que la guiacutea de omlas es longitudiliaj-
12
iifiacuteiti- lioiingtmiiriexcli y iptc la iexclgtariilrgt- metaacutelica sou conductores iierfcetos Sigtigtntgtiexcluiiltgts ltpit
bullniexcli omlii bull-lcctrumagiirticH plana di frecuencia ur si propaga a lo largo di- la guia ilt- onda
pound(fiacutel=f(r^)t r- iacute (21)
poundlt) = (riacute)t r-w ) (22)
iexclonde r es la constante de proiMtgacioacuten o nuacutemero de onda El problema fie contorno que
-bull iacuteu-duiT de liexcltgt fiiiacutenioins de Maxweil pura ondas ti|Mgt H en una guiacutea dr ondas ciliwtricn
-bullbull rxprrsa en la forma
bullbullon laraquo condiciones de frontera
-2- = 0 para r = a (24)
E = 0 cti todo el espacio
donde $ = H(r^) De la misma manera para las ondas tipo E el problema de contomo
tiene la forma
0 lt vgtlt 2ir
13
rtm las condiciones de frontera
= 0 para r = a (2C)
H = 0 til todo el espacio
donde ahora lt1gt = pound(r^) n es el radio ilr la guiacutea tic ondas
Los valores positivos
bull = -gtL = iquest - riquest (27)
determinan el con junto de valores propios correspondientes a rada una de las soluciones
lraquoTiiiisilles igt minios caracteriacutestico de la guiacutea de onda donde II y t son las constantes
de permeabilidad y permit ividad respectivamente del medio ipie llena la guiacutea de onda
GiiHTMliiHiite bdquo depende ile las (limensioiies geomeacutetricas de la guiacutea de onda de IacuteHJIIIacute
IJIIC siempre si puedan selerrionar los modos de propagacioacuten raquopraquoe se reijuieran
Por otro lado las componentes transversales de los campos eleacutectrico y magneacutetico se
determinan si se conocen las componentes longitudinales de los campos de la forma [8]
iT Eacutet = - j -Ve para ondas en modo E (28)
a iT H = - mdash V para ondas en modo H (29)
Traquonigt
Ademaacutes las componentes transversales de ambos campos (eleacutectrico y magneacutetico) se relashy
cionan mutuamente romo
14
H = ~iquestbdquo x Eacute (210)
aonde ~bdquo es un vrrtor unitariti dirigido a lo iexclarjraquo ltlcl eje 0 y Zf laquo la iiiipedanria tlr 1raquo
onda tiraquo modo E Igt H respectivamente
cT Zf = mdash igtara ondas en modo pound (211)
ZH = mdash=bull pnra ondas en IIIIMIII H (212) cT
Las efiiiexclirioiiigt (23) y (25) determinan problemas de valores propios ron sus corresshy
pondientes condiciones de frontera Cada turn de las soluciones nos representan diferentes
bullnodos normales unos transversales eleacutectricos y otros transversales magneacuteticos corresponshy
dientemente
32 Paraacutemetros de propagacioacuten
De la ecuacioacuten (27) se tiene que para cada valor de bdquo y correspondientemente de la
frecuencia se determina un valor para el nuacutemero de onda
r raquo - ^ - T Iacute (2i3)
En general T puede ser una cantidad compleja de donde podemos distinguir tres casos
a) siacute (tt^ gt y^n entonces T es real y define un modo permisible de propagacioacuten es decir
la onda se propaga libremente a lo largo de la guiacutea b) si ftfty lt 73nn entonces T es una
cantidad compleja de donde la onda se amortigua exponencialmente y c) el caso cuando
15
r = 0 ilefiiu la condicioacuten di- rortlaquo la nial separa los casos a) y li) Asiacute podemos definir a
la friTuciina de corte romo
Wbdquobdquobdquo = -J=-bdquo 1214)
y expresar el nuacutemero de onda en funcioacuten de ella
r = ^ ^ - ^ (215)
Para ftecuencin- uiiiyores ijue la de rorle la onda se propagii a lo largo de 1raquo guiacutea En
el ruso contrario pitra freriietiriuumls menores i|iie lii de rorte 1iexclgt onda se amortigua Otra
caracteriacutestica imporiiiiite la ]iodeinos olilenei de la bullbullxpresioacuten 1213) Va |IH- el nuacuteniero de
onda r siempre es menor ipie su valor en un espacio lilire entonces Ii longitud de onda en
la guia es siempre maacutes grande
y 77 7ngtt
Anaacutelogamente definimos una longitud de onda de corte o criacutetica (cuando A = 00)
Af = yiliacutemdash (217)
y expresamos la longitud de onda cu la guiacutea cu funcioacuten de ella
A = _ j (218)
donde A es la longitud de onda en el vacio Dr aquiacute que la onda se puede propagar a lo
largo de la guiacutea de onda uacutenicamente para longitudes de onda menores (pie la de corte
0
~ y - i y
_bull-
_ 1
bull i
iexclA
0
0
- gtiacuter
JfT7 ~ m
n
0
raquov
^ yJZliacuteiiacuteiacute
9C
Imaginaria
V
mdash _ l _ - M i l
0
Imaginaria
A
-Jraquo-$mdashil
X
Imaginaria
Tabla 21 Iaraacutewotrus ele propagacioacuten para onda ltrn moiio pound y cti una guiacutea ltlr onilas
Miacuterica uniformraquo
Por otro hielo iexclgt viliraquodegiiliexcliltl ltli fasr iiexcl riexcl un medio bullbullgt uisiraquo JraquoILIIlt1laquo ijiii- su Viilor III el
Wigt
7 = r
(219)
Por debajo del punto dlaquo- corte 1raquo velocidad de fase es imaginaria y pierde asiacute su sigshy
nificado fiacutesico En el punto de corte la velocidad ltlr fase se viirlvr infinita Un liccho
importante resulta serel que la guiacutea dp ondas es un sistema dispersivo aun cuando el
medio que llena la guiacutea no lo sea (la velocidad de fase es funcioacuten de la frecuencia) La
velocidad de grupo de la onda tiene la forma
tortt 1
(220)
En la Tabla 21 se resumen los paraacutemetros de propagacioacuten para una guiacutea de ondas sin
peacuterdida de energiacutea
1
33 Coeficiente de absorcioacuten
El finjo laquole inicrgiacutesi raquobull describe por ltbull vlaquo-ctigtr cimiplejo di- Piacutemiling
Sbdquo=[iquest]i[poundxW-j (221
su parte real nos dh el finjo di- energiacutea promedio plaquogtr unidad de tiempo y por unidad de
aren La romponeiite axial de Su representa el flujo de energiacutea prmimlio a lo largo de la
guiacutea Por lo tanto d flujo total promedio de energiacutea que se transmite a lo largo de la guiacutea
de onda e- la integral de la componente axial del verfor laquoIr Poyntilig evaluada sobre IIMIIacuteI
la weeioacuteii transversal de la guiacutea de onda
HilU^1 - iacute2-22) donde iquestbdquo es un ver tor unitario a lo largo del eje ()
Hasta el momento se lia considerado laquopie las paredes laquole la guiacutea tie laquonula son conductores
jraquocrfectigts in tal caso el Unjo total de energiacutea conserva su valor a lo largo tie la guiacutea laquole
onda Sin embargo en problemas reales la conductividad de las paredes tiene un valor
finito debido a ello existe muiacute fraccioacuten del flujo total laquole energiacutea que se absorlw |araquor Inraquo
paredes Dlt- aquiacute qtw la expresioacuten (222) representa uacutenicamente el fhyo tie energiacutea total
que entra a la guumliacuten de onda y cuyo valor decrece durante la propagacioacuten de la onda es
decir se generan peacuterdidas de energiacutea En la praacutectica tales peacuterdidas se consideran muy
petmentildeas considerando que siempre existe una fraccioacuten de la energiacutea que se pierde ya sea
en las paredes o por la presencia de un dieleacutectrico que llena la guiacutea de onda En tal caso la
laquoMida se amortigua en BU propagacioacuten y la constitute aacutee propagacioacuten time en consecuencia
una parte real y una imaginaria
18
r=i~m (223)
iultif i gts vl factor laquoit- iacuteiisi- y gtbull vi n^bulltirivuu- tU- iexclilisorcioacuteu o ltlr iacuteiiuortigiiaiiiii-tito E
cticiacutetiif ltli- iexcligtlaquouiri(raquoii ltbull Juumltllfi laquoir iexcllti rrhiritu
o = raquo +ltu (224)
bulliiiidr IIbdquo y o son los nlaquofiriciiiigt di- alisorrioacuten ilrliido n liexclis jx-nlidiis de energiacutea en las
m|t-iligt iin-luacuteliacutei-iraquo y 111 Illtilio diacuterliiirirai i|lilaquo- iexcllililiacute 1iexclI Riliacuteii rcspi-itivamriiti CiMisiiii-railiio
1iexclII |gtctiliiliexclis l l i -d ir ig iacutea ilr hi rxprrsion (2231 gtbullbull indure que los nui i )ms MUIacute propiui-ionalcs
bull bullbull tUUiexclltfgt rxpnililinal raquo i Ir ilonilr lii |MitgtIniacuteiexcli (222) laquo|lir sr transmitiacute iexcli iigt largo ltlr lli
bulliacuteliacutei ill lllllli llisillillliyr iexclI lo litigo (Ir (II la furnia
raquo(-)= Pbdquogt -- (2251
Por tamo la roiistiwtr de amortiguamiento o de alisorcioacuteii se definiacute- como ln razoacuten de
i poti-uria i MI il i ii bullbull lio lli eiirrgiacuteli (ptr si pierdr por unidad ilr longitud c u t i r il flujo toliil
promedio ilr rut-rglli lt|lie se transmit a lo largo di liexcli guiacutea gtllt onda
mdashiquestiacute-
34 Guiacutea de onda cilindrica Modo Hbdquobdquo
Nuestro principal intereacutes se centra en las caracteriacutesticas de propagacioacuten de ondas electroshy
magneacuteticas en modo Hnn en las guiacuteas de onda cilindricas Consideremos que la guiacutea de
onda tiene paredes conductoras perfectas y qui el iiexclgtgt dio que llena uniformemente la guiacutea
19
fcciMTraquo |Mrililiis laquoIr m c r g iacute a ilispiiviiilili-j Parraquo bulllaquolaquobullbull rwsn IIIN MIIIUIacuteOUIS n IIHgtI)Igt~ |MTIIIIacuteSIacuteIgt1IVS
ili- priiptiiuumlniiiii i|i 1iexclI r i i i iu ioacute i i (2 3 ) MHI
( bull r-t = CbdquoJJ- r)~laquoif (227)
laquolimilr Ci lt-- una ionstatiii y la rlaquotiltiirioacuteii ltr iacuteroutrrn (24) mjiriiTr jiir 1ltraquogt laquoiliircs propios
IDIIIIII la forma
bull t
bdquobdquo = mdash = U 123 122$) bulli
n = 123
Aipiiacute )bdquobdquo -un la raiacuteivs n bullbullMinas laquoIraquo la dnivaila ilr la fiuirioacuten gtlt- Ui-ssrl ili- unlcii m
JJjr) - Di y n rs il railin inlriim ilr la guia ir ondas Exislr un minino iexcliitiiiiln bullbull
IIHMIOS i|iu MUIacute -iiliniuiirs ilr (23) IIIII la i-igtiiiliexcli-iacuteoacuteii ili friitiliTa (24) Col aymla ili- (2Iacute))
y (210) iilitiiHiniraquo las rxprrsioiirs para las i-oinpoiimtrs transvirsalrs laquo1raquo- los campo ni
iminliiiailiacutei- riliacuteiiiiiiias y nitoiiri-s csiriacuteluacuteiiios las roiiipoiiriitcs ilr los i-ampos ni la furnia
H = C o ^ j h r ) trade m ^ i r mn
H = plusmniexclCo~-Jbdquohnnr)Zwir- (229) Inn r
E = 0 r laquoi
E = plusmniCbdquoZH-i Jmhmnr)ZtradeltigtriV-Tmn r
E = -iC0ZbdquoI-Jm(lmnr)Z^ert
donde los signos plusmn corresponden al en o co respectivamente y In expresioacuten Jm indica la
derivada ron respecto al argumento Jm = f- Sustituyendo (228) ni (213) w obtienen
20
gt valores tie la constante de propagacioacuten
r = Jfi- - iraquo (230)
Comraquo sc olwerva las ecuaciones (229) estaacuten doblemente degeneradas yraquo rpte uno de
lgtraquo ranijios se convierte ei el otro al girar ir2 alrededor del eje de la guiacutea
Determinemos lo paraacutemetros de pro|gtagiacuteicioacuteii para una guiacutea de inula cilindrica hueca
al variraquo) y de radio laquo = 425cm en la nuil se propaga una onda en modo Htl Considerashy
remos primeramente que las paredes de la guiacutea son conductores perfeetos En In siguiente
rioacuten se consideraraacute que estas tienen una conductividad finita
De acuerdo con (21C) toda onda electromagneticraquo podraacute propagarse en una guiacutea de
ouda de tales dimensiones si se cumple que su longitud de onda de )n primera es menor
que la longitud de onda critica Para tuia guia cilindrica se tiene
lisa A c = ~ (231)
Lolaquo dot modos inferiores Ha y JI para ondas de tipo H tienen las siguientes longishy
tudes de onda criacuteticas (en este caso iexcl = 18412 y j i t - 30542 [11])
Xe = 145cm (232)
Ac s 87cm
respectivamente Se puede demostrar que el modo pound0i es el modo fundamental para ondas
de tipo E Este modo tiene una longitud criacutetica
21
X = l l l f w (233)
Pur laquogttrcgt lhiii litraquo lougitiidcgt de inula rritkas lth- Uraquo siguiente modos ruiperiores ile muiacuteas
tipo H y li|xgt pound son menores que Itraquo valores 87rm y l l l m i rt-s]gtrrt miacutemente De aquiacute
que UMH onda clerirouiagiieacuteiira pueda propagarse en la guiacutea si su longitud lti onda laquobull
bulllienor que 145rraquoi Si ademaacutes fl valor de la longitud (ltbull ouda si- emueiilra en el iexclineacutervalo
11 lrjn lt A lt 145rru cntimres el jnodo H es el tiuiro que puede propagarse a lolargo
ile la guiacutea de onda
Eli figura 21 M muestra las vising tranvt-rsal y longitudinal de la estructura de los
bullaiii|Hraquogt en modo i | Aquiacute se 1gtI tomado la parti cosciioidal de (227) A continuacioacuten
e dan |igts valores de los paraacutemetros de propagacioacuten en el easu de IMIIIJIS clcrtronuigiieacutetiiiis
laquoMI iacutenriiencia w = 1539 x 10iacute (A = 1224nraquo) que si- propagan cu la guiacutea de onda
en nioilo | | Los valore se obtienen utilizando las expresiones correspondientes de la
seccioacuten (52) o de la Tnlila 21
Ar = 145laquoo
u w = 13 x 10luc
T = 02753cm-
A x 2282cro (234)
Zbdquo laquo 187 (i = l )
v = 5C x 100cm
w = 1CX10 OCTIIIacute
22
^mdashmdash Imea de campo eleacutectrico
mdash --Linearaquo di- campo magneacutetico
o Campo magneacutetico normal (hacia fuera ilr la hoja)
f ( ampo magneacutetico normal (hacia dentro di- la hoja)
Fig21 Vista- irahversal y longitudinal de la pstrurltira de Itraquo camporaquo ltn trimlo iacuteliexcliexcl La vigtti
otigitudial correspondiacute a un aacutengulo u = 90deg Figura tomada di- [bullgt]bull
i
Notemos (|Uf il iexclmaacutelisis anterior se inicioacute con una guiacutea dr onda de fliiiiensicmlts traquo-
gtltriacutetiacutecaj De- ahiacute se prosiguioacute a encontrar las onda electromagneticraquo npropiadas tale
que el modo fundamental H de la guiacutea de onda sea cl uacutenico que se propague Lo contrano
tambieacuten resulta vaacutelido es decir si se cuenta con una fuente de microotidas cotiacute determishy
nada longitud dr onda se pueden encontrar las dimensiones apropiadas de la guiacutea tales
que uacutenicamente se pueda propagar el modo fundamental
35 Coeficiente de absorcioacuten Modo Hmn
De la expresioacuten (226) determinemos la laquomulante de amortiguamiento debido H la conducshy
tividad finita de las paredes metaacutelicas para ondas en modo Hmn Primeramente calculemos
23
vi fltijiraquo total protiwlio ili laquowgia (222) r nial lunik bullbullscriiaacutersr IMI trrmiiins laquobullbull la funcioacuten
[gtrraquotgtiii bull at la forniH
iacutelowlc
= CMtmnr )rtismf (23C)
rlitotiirs
Praquo = If 1 Uw-T-KU [rIfjbdquor)nlaquoiquestraquoSlrlT-
= [iquest]^raquo^-Kraquol7rJraquo-rr- lt2-37)
La integra] ili- (237) sr cvaitwi utilizando la igualdad [12]
y CMisiacutedcnuidraquo IJHC la couiliriuacuteii de fruirtrra (24) rirquirrr ijiw Jm~innr)rmn = 0 DP rata
manera se obtiene el resultado
En el caso particular de ondas en modo Hti se tiene
La expresioacuten (240) puede escribirse en una forma mas conveniente
24
ionde
EJlJampuumlL (242
bullbull lii amgtIitultl del raui)Mgt eleacutertriro en rl bullbullclilro ltle 1raquo serriacutenraquo transversal laquobull 1raquo jiacuteiliacuteuuml de mida
La relanoacuteii (241I nos muestra rliimuienti- la iii-|n-iiiletiriacuteii rufidraacutetini ron n-sperrraquo iexclil radio
bull lti EUiiacutei ilil finjo total ]gtroiniilio ili- eneruiacuteraquo gt|raquo iitravicwi 1iexclI MTIIacuteIIH Iriexclmsvi-rsiil de 1raquo
uniacutea ib- omlu
Por otro lado la potcnria iacute|iic se pierde por mudad di- longitud (Mudo raquo las corrientes
u|gterfiiialc laquoi laraquo paredes metaacutelicas di- la guiacutea se expresa mediante la iutrgral de contorno
alrededor de la frontera de la guiacutea de onila) de las componentes tangenciales del campo
Magneacutetico en la fonna
p - dl
donde ntilde es un vector unitario normal a la superficie de la guiacutea de ondas ir es la conducshy
tividad de las paredes metaacutelicaraquo y S es el ancho de la capa piel expresada como
tiexcl es la permeabilidad magneacutetica de las paredes metaacutelicas Por tanto cotiacute ayuda de las
expresiones (229) se obtiene la potencia promedio que se pierde eti las paredes
25
- iexcl eacute f ^ - f (duuml]laquo 1245)
Fiiacutemlniiacuteiiti- di (245) y (240) bullbull oliticur la ruitstantr de Hiimnigiiuiiiitiitnpara el utixlo
I24G)
En vi raso ili- ondas ltw w propagan iii laquoI IIHMIO Hlt (MMII-IHH- laquoIr (24C) IDII raquoraquolt = raquo = I
obtener
f r i t o r sampsY+ traderaquo]
- - Id laquo-iexclzsf L v ( Siacute consideran)raquo tua guiacutea dr onda hurra ot dicir = 1 ni laquoti interior cotiacute paredes
metaacutelicas de broncr de conductividad a = 1413utg2crgaegnn) y radio a = 42vcm
en IB cual se propaga una onda en modo fiacuteu con una longitud de onda en el vacio de A s
1224cm (w = 15394 x 10degi) entonces obtenemos que la constante de amortiguamiento
tiene el valor de
om = 1032 xlO4 (248)
El valor anterior noraquo indica que a la distancia x = 0C88raquon la amplitud del campo eleacutectrico
disminuye 1e veceraquo de su valor en i = 0 De donde la constant v rlr amortiguamiento es
26
sntirp-itttniKiit nt-m-ntildea para considerar una guiacutea If onda laquoit unos riacutetanlos metros laquoit-
lUgitiiuacute romo una guia gtlr (tuda ideal (sin peacuterdulas)
4 Cavidades resonantes (resonadores)
Vu disjiositivo de gran importancia praacutectirtt y estrechamente relacionado ron las giriacuteas
ltbullbull onda son las cavidades resonantes Coinraquo w sabe una cavidad resonante (resoiimbir)
bull - privi-aiiii-iitr una cavidad roinpletameiit) armada por paredes nietaacuteliias Ins riacutetales
prewiiraii ilti propiedad tllt- podriacute alijiart-uar energiacutea eiertruiiiaRuitira tMeilanie Llaquoraquos riso-
iadores han sido ampliamente estudinilos en la misma magnitud ipu- las guiacuteas de ulula [13]
Anaacutelogamente al estudio de guiacuteas de laquonula gte ha resuelto el problema de 1laquoraquo resonadores
bullbull si-rrion transversal arbitraria routenieudraquo cu su interior un medio liiMiiogt-iraquo laquogt con IOIJS-
antes y t [S] Un estudio de los resonadores de formas particulares y de importancia
praacutectica se puede encontrar en [9] Ademaacutes una analogiacutea rlaquom liw circuitos resonantes se
(iescrUumlM en (II)] Con res|x-ctraquo a esto uacuteltimo podemos decir i|iie los rlaquosraquonailores tienen
la ventaja de ser superiores a los circuitos resonantes I - C en un factor laquole 20 laquos laquolecir
iexcla fraccioacuten de energiacutea almacenada laquopie se disipa por ciclo en un resonador es alrededor laquole
1 20 de la fraccioacuten disipada por ciclo en un circuito L - C [14]
41 Caracteriacutesticas generales
Consideremos una cavidad cilindrica hueca y acotada por un conductor perfecto Fijemos
el eje 0 de nuestro sistema de referencia a lo largo del eje de la cavidad cilindrica y
Mipongamos que la longitud del resonador esta acotada entre - = 0 y z mdash d
27
Un ri-Miiiitilor pucxlr i-oiisiilcriirsc mino unraquo guiacutea ltgtbull olida finita ilimih ltlaquobull tiww laquo|ingt
iexclumilir la rotiiliacutecioacuteii di- froniirit
para ltmdagt t-n modo TM
(Mirtl Otlflugt Ill IIMMIO TE
EbdquoM = 0 (249gt
HUbdquoi = 0 (250)
En itiilii linn illt- braquo sii](rrfiiiigt plana gtbull iilruumllnniitr ngtniltiitigtragt rxistr rcriixioacuteu di-ondas
El ti|Mgt lit iiiidii i|iilt- M- irrii iexclil siiprrpoiuT iliraquo ondas ilritroinatnitiias ron iexcliinplttudis
iguales y propagacioacuten en sentidos opuestos es ]iri)|iiiexcliinciiir rl di- uni onda estariouarin De
donde las rigtui]M)iiilillts axiales ilr 1ltKS rniupos ilclxn ttinl bullbull forma
para ondas en moiin TM
E = ( r r - )oi ^ - ) = 0123 (251)
para onda cu modo TE
H = Tf)raquoeM^-) j gt - 1 2 3 (252) o
Laraquo componentes transversales de los campos se determinan de (28) y (20) Para
ondas en modo TM obtenemos
28
Jfr = mdashT-cogtbullmdash )bdquo x V
(253)
vrrrgtjlaquogtijiiiciitfuifj)tc para ondas wi modo TE
pound = _ittif iacute iacutef)i1yr
W = iacutefJ_bdquo s (^)V
(254)
poundgtbullbull in-s riiiiiliiioliiN de frontera (249) y (25U olrtnirmos lt|iir 1iexclI ionstiuiti- ili- propagacioacuten
ltgtiitii 1ltraquo valores
r = uumlf = (0)123 ti
bull iexclonde de In ecuacioacuten (27) los vnlonv propio so expresan romo
(255)
(256)
La ecuacioacuten (25G) forma un conjunto discreto de valores que determina la frecuencia
bull ir resonancia para cada valor de p y bdquo es decir a cada tipo de onda estacionaria le
corresponde una frecuencia propia
vJ (257)
29
Fig22 Litraquo midas rsUt Miliaria- ilgt mi rismnclnr lidien en su lifiigiliitl un iiiiniTii IIIIITH ilr
niilMlcraquo lie la loiigilini tit- IgtMltU St- miii-sira H raso para )gt - Iiquest41 bullbull U exprntiiiacuteii iquestat)
En alaquoManii si mi si ritiniiita otra rosa raquobull omiten los Milmidiees rtii y laquopie ranraquo
UTIacutezan los modos laquoIr oscilacioacuten Ln resultado iiiiportaiilr laquole la ccuaraacutem (257) e laquopic se
pueden elegir Ian dimensiones ademadas ilcl resonador lie tal forma laquopie este opere ni una
frecuencia uacutenica de resonancia
Si comparamos (255) con la expresioacuten general para la parte real de la confitante de
propagacioacuten T = 2irA se concluye que para cada modo de resonancia la longitud del
resonador es proporcional a un nuacutemero entero de mitades de la longitud de onda (Fiacuteg22)
d s p ^ p laquo ( 0 ) 123 (258)
El caso plaquo0 correspondiente a la condicioacuten de corte para ondaraquo en modo TM tiene un
30
Mereacutes partieular ya qne eu este caso la longitud de nuda tiende a ser infinita entonces de
laquobullcuerdo ron (258 obtenemos
d - 0 bull oo (259)
ie donde la longitud del resonador esta indeterminada Los modos correspondientes a
gt raquo 0 existen en el resonador para cualquier longitud de la cavidad
Una propiedad de las ondas estacionarias es que loraquo CMIII|MgtK eleacutectrico y magneacutetico se
encuentran defamados en ir2
-ll = rt + iexclJ (2C0)
iielndu a ello existen instantes de tiempo en el resonador en que existe uacutenicamente el
bullampo eleacutectrico y momentos en que solo existe el rompo magneacutetico Como resultado de
este defasamiento el vector de Pijymiug resulta ser UIIH magnitud puramente imaginariacutea
de donde ai promedio con respecto al tiempo no existe transmisioacuten de energiacutea ya (pie el
valor promedio del vector de Poynting resulta ser indo Su - [ pound ] IitEacute x iquest ] = 0
42 Energiacutea almacenada y calidad de los resonadores
La energia total promedio almacenada en todo el volumen del resonador es la suma de las
energiacutearaquo eleacutectrica y magneacutetica promedio almacenadas por los modos normales
W m WE + WH (261)
donde
31
HiliacuteX-trade 2 M gt
Yraquo que en el resonador no hay MU flujo neto de energiacutea entonceraquo cu el cano en lt|Ur el
medio i|w Urna 1raquo guiacutea no genere |raquoeacutercliltlas di- energiacutea la energiacutea eleacutertririacutei y magneacutetica
promedio seraacuten igualo entre si Hiquest- s Wraquo Evaluemos la energiacutea total promedio alinarc-
tiada en el volumen del resonador |gtara ondas en modraquo TEmnf En este raso se tiene
=[iquest1U bull (2C4)
la cual puede expresarse cu teacuterminos de la integral de area tie la (tuicioacuten propia
= H(riacutep) evaluada sobre ln seccioacuten transversal de 1raquo guiacutea
bull-[iquestliacuteHs)]-- donde bull tiene la forma (227) Tomando uacutenicamente la parte cosenuiacutedal de (227) e
integrando de la misma manera como se evaluoacute la integral de (235) obtenemos
toT 47V ^n-m)Jmi^a) (266)
Para el caso particular de una onda en modo TEui se tiene
32
= [iquestiexcl](0375)|poundi|laquoib2 (2C7)
donde
1 1 - ^ (2-68)
raquo el valor di- lu magnitud tlt-1 riiinpo eleacutectrico en el centro di- la seccioacuten traiisveriMi) del
resonador
En griirral pura resonadores i n h siempre hay absorcioacuten ib energiacutea 1st nial se reashy
liza principalmente por dos raualcs a) porque el medio (pit- Ik-iui lu guiacutea es un medio
absorbente y Iraquo) debido a la conductividad finita de las paredes del resonador En cada
uno de estos casos las frecuencias de resonancia se vuelven cantidades complejas las ruakt
podemos escribir en la forma ugt = w + iw Entonces si la dependencia temporal de loraquo
campos es de la forma
Eacute(t)laquo Ac1 (269)
obtenemos que la energiacutea total promedio de un modo normal en un resonador real es
W(t)laquo W(0)e-3 (270)
donde se observa que se pierde al transcurrir el tiempo W(0) es la energiacutea total almaceshy
nada en el resonador en r = 0 Introduzcamos un paraacutemetro llamado factor de calidad Q
definido como 2n veces la razoacuten de la energiacutea almacenada en el resonador promediada con
respecto al tiempo entre las peacuterdidas de energiacutea por cada ciclo de oscilacioacuten
33
Qenrroiu ulmactnnda
SS itj mdash ^ mdash mdash ^ mdash ^ mdash mdash
jttrtlidim lit tnergtn
= wmdash IV
PmAtf
donde
(271)
P = - ^ I27-raquo)
egt la potencio media qui sc absorbe en tin ciclo de oscilacioacuten debido n las corrientes
superficiales de las |Ktrtdes del resonador (comparar ron la ecuacioacuten (224)) Di (270)-
(271) piulemos obtener que Q = raquo-2u Por lo tanto la frecuencia raquogt laquobull pnctlc expresar
a traveacutes de Q romo
=yj1 + eacutejh 273)
43 Excitacioacuten de los modos de oscilacioacuten
En el problema de un resonador ideal (sin jroacutedidas de energiacutea) cada modo de oscilacioacuten
tiene perfectamente definida su frecuencia propia de resonancia (257) Esto quiere decir
que si se quiere excitar un modo particular de oscilacioacuten en el resonador la frecuencia
de excitacioacuten debe coincidir exactamente con su frecuencia propia de resonancia En
problemas reales esto no ocurre y en lugar de ello se cuenta con un banda de frecuencias
alrededor de la frecuencia propia en la cual el modo de oscilacioacuten puede ser excitado La
existencia de esta banda de frecuencias se debe a que existen peacuterdidas de energiacutea
Para mostrar lo dicho anteriormente notoacutenos que las oscilaciones del tipo (260) se
pueden representar como una superposicioacuten de oscilaciones estacionariacuteas Supongamos
34
i le el campo electromagneacutetico se crea en el instante f = 0 y se le laquoleja oscilar libremente
para t gt 0 Obteniendo su transformada de Fourier de (269)
iquest(w) - p rt+Uacutet+Vt- (274) 2ff Jo
y evaluando la integral en (274) considerando que pound(t)| lsec = 0 se obtiene
cuyo valor absoluto es
eacuteMl = M mdash i ^ (27C)
La ecuacioacuten (27C) nos da un conjunto de curvas de resonancia para cada modo de
oscilacioacuten Cada graacutefica tiene su valor maacuteximo en w = u (Fig23) Los puntos ltii los
cuales la curva disminuye lgtsect de su valor maacuteximo se llaman puntos de potencia media y
su separacioacuten en frecuencia se denomina ancho de banda A cada punto de potencia media
le corresponden las frecuencias
w3 = w + ^ (278)
de donde obtenemos que el ancho de banda detennina el factor de calidad del resonador
en la forma
laquolaquo5 a raquoiquest- ltraquogt
35
IlaquolaquoM
Fiacuteg23 Curva (Ir resonancia para el mudo de oscilacioacuten a- Loraquo puntos |rV(laquo-|)| y |MJ)I son
lot punto dp potencia mediacutea y raquoraquo separacioacuten define el ancho de banda
Si las peacuterdidas de energiacutea son pequentildeas entonces las bandas de frecuencia son estrechas
Sin embargo siacute las ]ieacuterdidas son considerables entonces las curvas (le resonancia pueden
llegar a sobreponerse una sobre otra provocando la excitacioacuten mutua de los modos de
oscilacioacuten
44 Resonador de forma cilindrica
Consideremos ahora un resonador cilindrico Primeramente obtengamos las soluciones de
los campos para una onda en modo TE en un resonador ideal y posteriacuteormeite calculemos
la Q del resonador para este modo debido a la conductividad finita de las paredes metaacutelicas
Para este tipo de resonador y para ondas en modo TE las funciones propias o solucioneraquo
36
correspondientes al problema transversal (23 tienen la forma (227) ron los valores propios
1228) Ademaacutes con ayuda de las expresiones (234) se obtienen las expresiones de las
componentes transversales en coordenadas cilindricas y entonces escribimos los campos
en la forma
pit H- = C0Jn(mrr)cos(mj)sen(mdashz)
Hr = -r-mdashlt0-m nr)laquow(mi)laquow(-j-) O ~lmr O
H - -raquo -3 pound - -Jlaquo ( -mr)raquoen(ms)oraquo(5) (280) laquo in r laquo
E = 0 iCriquestft m laquor
E = mdashJB(-mraquor)iacutetrw(raquoraquof )rraquoi(mdashs) win
_ iacutei Co WK poundw = Jm(TimRr)laquow(raquon^)raquocii(-j-iacute)
C mn laquo
Sustituyendo (228) en (257) obtenemos para las frecuencias de resonancia la expresioacuten
i raquo J c
wmn= 4 = J ^ + (^) g | (281) c
El modo fundamental para las ondas tipo TE tiene como subiacutendices m = TI = p = 1
Este modo TEm es el modo fundamental de oscilacioacuten en la cavidad si la frecuencia de
resonancia u m para ondas TE es mas pequentildea que la frecuencia de resonancia corresponshy
diente a las ondas TM (wougt) Se puede demostrar que si d gt 203a (a es el radio del
resonador dado en cm) entonces el modo TE es el modo fundamental de oscilacioacuten del
resonador [9]
Calculemos ahora la Q del resonador debido a la conductividad finita de sus paredes en
el caso de ondas en modo TE La potencia que se pierde debido a las corrientes superficiales
en las paredes del resonador se calcula en la forma
37
bull -1iquest]iquest r r bull -bull+pound[+ - 4 (2-s2) donde ntilde| y ntilde2 son vectores unitarios normales a iraquo superficie cilindrica y a las superficies
transversales circulares respectivamente La expresioacuten (282) puede reescribtrsreu la forma
bull= [iquest] iquest j f W + lraquolaquol2)U + 2iquest J-iacutelJiacute + IWPMraquo bull (283) Usando las expresiones de los campos (2S0) sr resuelveraquo laraquo inti-gralcs de (2S31 en la
forma
I r l l f fo l mfa r ~ UirJ 2vlaquo 2 1 + bullpound(bullgtbullgt+
+2|CIraquopound [ lpoundrAOr)+ bullO^] laquo] bull Haciendo el cambio de variable x = fr obtenemos
I laquo-1 IColraquo iexclda UffJ 2ffiacute 2 m ]Cppoundr |dlaquo UffJ 2ltriacute 2
1 +
1 + rraquoraquo
J Iacute O laquo ) + 2 ^ j f [2iacute Ji(gt+J(X)] d
^(70) + [(7laquo)3(l~)^(^)] (284)
Sustituyendo la expresioacuten de f = ^ )bull arreglando teacuterminos resulta
Finalmente sustituyendo (266) y (285) en (271) obtenemos el (actor de calidad debido
a la conductividad finita de las paredes del resonador para ondas en modo TEmnt en la
forma
38
Consideremos un resonador cilindrico en el cual oscilan ondas electromagneacuteticas en
nodo TEm cou una frecuencia raquobull = 15394 gt 10degr (A = 1224cni) El resonador es de
bronce de conductividad o = 1413 x lOlsutiquestergscm y tiene un radio interno a mdash Ion
Pitra este resonador determinemos en el caso p = 1 los siguientes paraacutemetros a) la
longitud apropiada del resonador b) el factor de calii id ilrl resonador y ltbull) el audio de
banda donde sr puede excitar el modo TE
a) De acuerdo con (258) la condicrlaquon de un resonador es tal qui en su longitud exista
un nuacutemero entero de mitades de la longitud aacutev onda
d P Px
2 V1-WW - - _ V l (287
Despueacutes de sustituir los valores respectivos de A o y de los subiacutendices que caracterizan al
modo obtenemos
d - T13cm (288)
b) El factor de calidad Q del resonador se obtiene de (286) expresioacuten que reescribiacutemos
para ondas en modo TEm en la forma
Ud (l + 0343amp4)
2nlt61 + 02092 + 02436$
39
La permeabilidad magneacutetica del bronce (je) no difiere Mgninrativanicntt- riel valor corshy
respondiente al del vacio (lt as ftc - 1) Entonces la longitud de la capa piel (244) resulta
A = 812x 1 0 - W (290)
Finalmente obtenemos ltw el factor de calidad tiem- el valor
Q = 404903 (291)
c) FinalriKiitf nilrtilt-inos el ujrlifgt di- llaquoiinli en el nial la onda en moilo TEw puede
ser cxcitaihi Utilizando (277) y I27S) obleiicnicraquo los punto ile ]raquoifriiriiexcli inedia
-bull as 153927 x iexcluHz
w2 ss 153952 x 10VH
Por lo Unto el micho de banda tiene el valor
ui2 - ugt = 000025 x 10Hz
Observemos que el ancho de banda es lo suficientemente angosto relativamente por lo que
uacutenicamente se excita el modo TE Se puede demostrar que la frecuencia de resonancia
fundamental para ondas en modo TM es uiolo = 1031 x l0nHz
40
CAPITULO 3
TEORIacuteA DE PERTURBACIOacuteN
Toda Teoriacutea ile Perturbacioacuten establece que en ciertos casos los problemas irregulares
aquellos que no tienen soluciones analiacuteticas exactas) pueden ser considerados romo rrjpi-
iexcliexclTVraquo que sufrieron cierta perturbacioacuten Cuando la perturbacioacuten es suficientemente pequentildea
u el problema irregular podemos obtener una solucioacuten aproximada conociendo la solucioacuten
ltiel problema regular [9] El meacutetodo perturbativo se ha utilizado extensamente en las guiacuteas
de onda Existen trabajos donde se analizan los efectos de las perturbaciones en lew valoshy
res de frontera [15] asiacuteromo de las perturbaciones generadas por un pequentildea muestra de
Vrrita en el interior de las guiacuteas de onda y resonadores [1C] En este capiacutetulo se describe
ia teoriacutea baacutesica del meacutetodo perturbativo desarrollada en |17] en el caso cuando las guiacuteas
de onda y los resonadores contienen un pltsma en su interior
5 El Meacutetodo de Perturbacioacuten en las guiacuteas de onda
En la seccioacuten (32) se mostroacute que la propagacioacuten de ondas electromagneacuteticas en guiacuteas
de onda cilindricas se describe en teacuterminos de sus modos caracteriacutesticos Cada modo se
caracteriza por su constante de propagacioacuten Dependiendo de las dimensiones geomeacutetricas
41
de la guiacutea de mida estos modos o bien se propagaraquo o bien se atenuacutean En ln praacutectica Ins
dimensiones de las guias de onda siempre se escogen de tal forma lt|iii- unir amenteacute se puede
propagar el modo fundamental
El caso cuando se tiene una guia de onda parcial o completamente Urna con un plasma
sir produce uu cambio en los paraacutemetros caracteriacutesticos principales laquopie describen a la
guia de onda Si el efecto del plasma en tales paraacutemetros es lo suficientemente pequentildeo
entonces la teoriacutea de pertubacioacuten resulta ser mur adecuada para calcular ln constante de
propagacioacuten
Consideacuterenlos la propagacioacuten di ondas electromagneacuteticas a lo largo de tiiiiacutei guiacutea de ouila
cilindrica que se encuentra parrial ltgt rompidamente llena ron un plasma inhomogeacuteneo Si
sujHHiemos (|iir las caracteriacutesticas del plasma son axialmente uniformes podemos encontrar
la constante de propagacioacuten y las distribucioacuten de los campos
La propagacioacuten de ondas electromagneacuteticas en las guiacuteas de onda con plasma se tlescribc
por las ecuaciones de caminiacute
V x f + i - J = 0 (31) c
VxH-i-pound=mdashJ (32) c c
La condicioacuten de frontera se obtiene suponiendo que la conductividad de lax paredes de
la guiacutea de onda es infinita
|ntilde x Eacute = ntilde Ntilde = 0 (33)
donde ntilde es tin vector unitario normal a la frontera En ausencia de plasma la parte derecha
42
gtbull (32) es cero y el problema se reduce a U propagacioacuten dp ondas en una guia dlaquogt ondas
ivieca (Cap 2)
Las amplitudes del campo de las ondas normales se determinan en la forma
Eacutet(f) = pound ( I j e - i raquo w (34)
(F) = j(rj ) e- i ( r -
iquestonde r esel nuacutemero de onda En ausencia de peacuterdidas T es real (F = iacutei) Vamos a
suponer que las ondas se |gtropagan a lo largo del eje 0 paralelamente al eje de la guiacutea dr
onda
Para ileterniinar la influencia del plasma en la propagacioacuten de las ondas rlrrtroiiiagm-
licas en una guiacutea de onda es coacutemodo descomponer las ecuaciones pura las componentes
longitudinales y ]gtcr]gtendiculares del campo Estas ecuaciones se obtienen al descomponer
los campos y el operador V en la forma
pound = 4 + poundx ntilde = fflaquo + Ai = Lpound) + fjpound) (35)
V = Vbdquo + V I
donde los subiacutendices X y || denotan las componentes perpendiculares y longitudinales es
decir su proyecciones perpendiculares y paralelas al eje de la guiacutea de onda O) Sustishy
tuyendo (34) en (31)-(32) y considerando (35) obtenemos las ecuaciones en direccioacuten
perpendicular y longitudinal en la forma
- ^ [ V x ^ + V n ^ + i - l i o x f j = - mdash iexcl 0 x pound ( ) ] (36) IUgt C C
f-Vx[VxEacutex)-Vtamp-i-iexcloampl mdashrJiexcl (3-7) w C tt
43
donde i0 es un vector unitario dirigidraquo a lo largo del eje O Las componentes longitudinales
de tos campos se relacionan con las componentes jicrpctidiculares jKraquor liis expresiones
OZfy+^ftE) = [VxJbdquo (38)
Al = - - V x f ^ (39)
Ahora considerando que las ecuaciones de Maxwell son expresiones lineales es decir
que la combinacioacuten lineal de dos de sus soluciones tambieacuten es una solucioacuten y anaacutelogamente
para las condiciones de frontera (24) y (2C) determinamos (pie una solucioacuten maacutes general
del problema de uiiiacutei guumliacuten de onda sin plasma es una superposicioacuten de todos los modos
]MKgtibies de proiHigarioacuten con valores apropiados para sus eoetiacutecieiites Si la perturbacioacuten
originada por el plasma es lo suficientemente ]H-ltiuentildeu iiodemos suponer (pie la desviacioacuten
de cada uno de estos coeficientes es pequentildea con respecto a su valor no perturbada Dr
aquiacute que las componentes perpendiculares del cam]Mgt en una guiacutea de onda con plasma
se puedan representar como una serie (combinacioacuten lineal) con resjiecto a las funciones
ortogonales poundfc y Hk que determinan las comjioncntes transversales de los modos normales
en una guiacutea de oudn sin plasma
k
Los campos satisfacen las relaciones de ortogonalidnd [18]
(310)
JsEacute-kEacutedraquo laquo Nttu
JtpoundixEacute]deacute = ZSttu (311)
44
iquestiuumlaacutef el su|MTUacutegtdiexclctraquo denota el complejo conjugado de los campos Z = cTgt para
ltJAH ti|Mgt H y Z = wcT para ondas tilraquo pound ltlaquo es el siacutembolo de Kronecker bu = 1 si
raquo = y iquestbdquo = uuml si i- = ) y la integracioacuten se realiza sobre toda lo serenan transversal ilr la
tub de onda
Utilizando (310) y (311) rocontratnos las expresiones para los coeficientes uiquest y bk
(312) iexclsntilde ntildexu
Sistiruyriiiliraquo las seriacutees (310) en (3C) y (37) obtenemos el sislrinii f|i- eriiiioacuteoiirs
poundlt5r + ilgttfraquo4 = -- |iquestux(pound))l l t (313)
Ely+W)4 = VJbdquo (314) iacute
Multiplicando (313) vcrtorialinciitc por E[Aacute y (314) jMraquor HlM e integrando en 1raquo seccioacuten
transversal dr la guiacutea de onda obtenemos ron ayuda de las roiidintildeoucs de norma (311)
laraquo ecuaciones
rA + X KzcLEacuteltsEacute^ 3 1 6 gt En el caso en que los paraacutemetros del plasma no dependan de i la dependencia de los
campos con respecto a z se puede considerar de forma exponencial como en (34)
Eacute(jyz) = Eacutexy)t-iT ntildexvt) = ntilde(xy)r
45
(317)
o t ( iacute ) = laquo- M ) = V eacute r
Sustituyendo (317) n i (315) y (31C) obtenemos
laquoriacute - - - S S L bull +Ssect bull Uuml- 318)
Luraquo fiimriidirs (31S) y (319) |xira diferentes k roiii|xmni un sisirmraquo ltb-it-imrioiies lioinraquo-
geacuteneus liacutenenlegtgt ron res|gterttgt n liis roeiit-ientes nk y laquoV Lu riiudiriitn ilr solubilidad (igual)id
a rifo laquobrl determinante) determina la constante ib- igtrigt|Mi)igtiOacuteM Sin roiUirjpi el sistema
(318) y (319) resulta ser un problema muy laquolifiril laquoIt- resolwr De alaquo|iiiacute i|iie iexclti laraquo partes
ilereelias laquole (31S) y (319) son lo siinritrntetueiitc |ielt|iirntildeaH |MMICUIUS emplear la teoriacutea laquole
|MTturlgtMrilaquon
Sil|Kgtlliciifllaquogt fjflf- la denudad lie mrrirntc H traveacutes ilel plasma es (laquornjxirriimal H tin
paraacutemetro pequentildeo podemos descomponer las (-nulidades airaquorgt y E cii tiTiiiiiiiraquo laquole laquowte
paraacutemetro
bk = ZKv lt3 2 0gt
r - poundrubdquo
46
donde el subiacutendice ( dentildene el orden de pequentildees Vamos a considerar que en ausencia del
plasma en la guiacutea de onda se propaga el modo fundamental de una onda tipo H denotada
por iacute = 0 Ademaacutes si en la aproximacioacuten de orden cero se tiene
poundi = poundgt pound = pound | |= 0 (321)
entonces
ltbdquo - Abdquo (322)
Tiacuteo) = iexcl1lth
Asiacute considerando las expresiones (320)-(322) de (318) se oliticne la siguiente exshy
presioacuten en orden cero para lax ondas tipo H
laquo(bdquo[(r(0) + rbdquo + )raquo- rg = -^f-1 pound bdquo bull J(Eacute)d +
cAuZ|o) Js
de donde rlt -7IacuteT7-L iquestiacutef(Eacute)ds- (323) 2ni
Para las ondas tipo H Z(0) = c-iexcl^- mdash ^ de donde obtenemos finalmente
TMampLtedeg-f[Eacute)di- lt324gt
47
La cantidad compleja r ( 1 ) nos repcscnta el cambio que sufre la constante de propinacioacuten
T |Hgtr la presencia del plasma es ilecir es la correccioacuten a primer orden en la constante de
propagacioacuten (I = T - Tf0)) Esta cantidad se puede escribir en forma de unraquo suma de
sus componentes real e imaginaria
r bdquo = AJbdquo - iAobdquo (32b)
siendo An) gt 4 ltgt(i) las fracciones de cambio de la constante de fase y de amortiguamiento
respectivamente ocasionadas por la presenria del plasma
En corn-spomlencia con (32-1) y escribiendo la densidad de ciirrietite cuino J mdash J + i j
( es la parte real y es la parle iimiginaria) las cautidades de (325) toman respectivashy
mente la forma
iquest 4 1 = - V ^ V bull (3-20)
iquestngt = ^ C J bull (327)
2JSEacuteiexcl-Jiexcld
Vpoundbullpoundbdquo
far sfr0-Eacuteltj
En medios lineacuteale) anisotropicraquoraquo e inhomogeacuteneos la densidad de corriente r relaciona
ron el campo eleacutectrico en la forma
J=aEacute =mdashampbullpound (328) 4ir
donde amp es el tensor de conductividad eleacutectrica Af = (iacute - ) i es el tensor de permiacutetividad
dieleacutectrica e es el tensor unitario
Utilizando la expresioacuten (328) podemos reescribir (324) en la forma
48
wJ ft R bull Aacute iacute bull Ed
laquo Wen
r ^ poundbullampbullpound (330
En las expresiones anteriores no hay que olvidar que el campraquo eleacutectrico se expresa romo
una serif con respirtn al paraacutemetro pequentildeo pound Las expresiones (324)-(330) corresponden
iexcli iraquo aproximacioacuten de primer oidrn La condicioacuten que si- debe de satisfacer seguacuten la teoriacutea
de perttirlsirioacuten ni primera aproximacioacuten es tal qult- 1raquo magnitud de cambio en la ninstaiitr
de propagacioacuten debe ser sinnpre mucho menor que la magnitud laquobull- la difereiiria entre las
riHiMniitcraquo ilc propagacioacuten di cualquier modo con respecto al modo fundamental
ri lt r 0 r m lt |ru - rt| para todo Jl^O (331)
o con respecto a A y Aigt obtenemos
(332) Aibdquo laquo iquest A^bdquolt |A -r | iexcl
poundltraquobdquoltamp Ao(1)ltt|iquestt-rraquo|
6 El Meacutetodo de Perturbacioacuten en los resonadores
Anaacutelogamente al estudio de las guiacuteas de onda conteniendo plasma en su interior el anaacutelisis
en los resonadores que se encuentran parcial o completamente Henos con plasma exhibe
cambios en los paraacutemetros principales que describen los resonadores huecos En la seccioacuten
(41) ae mostroacute que un resonador tiene un nuacutemero infinito de modos de oscilacioacuten Cada 49
modo se caracteriza jagtr su frecuencia de resonancia su factor de calidad y su corres|Hraquon-
diente distribucioacuten de CHII)|Kgt La presencia del plasma en un resonador priMlure princishy
palmente un cambio en la frecuencia de resonancia en la cual el resonador se encuentra
opilando y en el factor de calidad Si la influencia del plasma en tales ]gtaraacutemetros es sufishy
cientemente pequentildea entonces para el anaacutelisis de este problema podemos tambieacuten emplear
la teoriacutea de perturbacioacuten
Consideremos un resonador que oscila en una de sus frecuencias de resonancia y que
contiene un plasma distribuido axialmente Evaluemos los iambins i|ite se producen en
liexcli frcciMiiciii de resonancia y en el factor de calidad del resonador Las distribuciones de
ciexclim|Hgty las frecuencias de resonancia se obtienen integrando las ecuaciones de campo (31)
y (32) con la condicioacuten de frontera (33) En este caso la condicioacuten de frontera (33) se
iipliia en la frontera cilindrica laquoleiacute resonador y en las superficies planas del mismo En
ausencia del plasma los raiiipos satisfacen las ecuaciones (31) v (32) con la piiacuterte derecha
igual con cero
VxEacutek + imdashH~k = 0 r (333)
V x Hk - mdashEacutebdquo = 0 c
y la condicioacuten de frontera (33) Donde se ha utilizado el subiacutendice Jt para denotar el
modo k de oscilacioacuten en un resonador hueco con frecuencia de resonancia ui Los campos
Ek y Hi satisfacen las relaciones de ortogonalidad
jvEacutekEacutedV = NkeacuteM
(334)
JvIacutekntildedV = Lk6kl
50
donde el superiacuteiidice nos indica el complejo conjugado de ios cam]gtos y la integracioacuten
igt realiza sobre tftdo el volumen del resonador
Se conoce que todo camjx) vectorial se compone de la suma de una parte con divergencia
ltITltJ iparte solenoidal) y una parte con rotacional cero (parte potencial) Para observar
la it^iuencia del plasma en la oscilacioacuten de ondas electromagneacuteticas es conveniente utilizar
este hecho escribiendo el campo eleacutertriacuteco como la suma de una parte solenoidal y una
potencial
Eacute = Eacute + Eacutebdquo V Eacutei = 0 (335)
V x Eacutebdquo = raquo
Llaquoraquos vectores solenoidales Eiexcl y H ile un resonador con plasma se pueden representar
como una coinlgtiuacioacuteu lineal de las funciones vectoriales Ei y Ht tjue detenuiiacuteian las
componentes solennidalcs de los modos de oscilacioacuten en un resonador sin plasma
Eacute = 5 gt pound raquo (33C) k
H - J gt amp (337)
Usando (336) y las relaciones de ortogonalidad (334) se encuentran las expresiones para
los coeficientes a y 6
TV (338)
_jvEacute-EacutexaacuteV 6gt 5 mdash bull
Sustituyendo (336) y (337) en las ecuaciones de campo (31) y (32) y considerando (333)
obtenemos eacutel sistema
51
k 1330)
J^(traquow-a tuf t)5 = 0
Multiplicando escalarmentc la primera ecuacioacuten de (339) por pound y la MRIIIKIIacuteI JMW HJ e
integrando sobre todo el volumen del resonador obtenemos
[b^k - laquow) = pound Eacute] bull poundkM - ^ I Eacute TIV (340)
(JW-laquo) = o 1341)
El primer tmuiiacuteiraquo tit- la tlrn-rlm ltb (340) i-s IacuteRIIUumlI IIHI erro Siacute ili-sprjaiiio ltbull (341) fr
y lo sustituimos cu (340) otitciii-inos
iJiexcl - J)nbdquo = Jj^L(pound-k f(g)dV (342) iexclSi Jv t
tlmide
k = ^ laquo 4 (343)
y Vi es el volumen que ocupa la columna dr plasma Sustituyendo la primera expresioacuten
para a de (338) en (342) se obtiene la relacioacuten
2 Jv Eacuteiexcl bull JEacute)dV - a g - iacute - 4 trade ^ iquest r f v 044)
donde se ha remarcado la dependencia de la densidad de la corriente con respecto al campo
eleacutectrico Por otro lado se observa que las ecuaciones (342) y (343) para diferenteraquo valores
de k forman un sistema de ecuaciones homogeacuteneas lineales con respecto a loraquo coeficientes
a La condicioacuten de solubilidad (igualdad a cero del determinante) determina la constante
52
bullltbull propagacioacuten Si la parte derecha fie (342) es lo suficientemente pequentildea jiodeinoraquo
ltiijgtlear el meacutetodo |gterturbatiro
Suponiendo laquoue la densidad de corriente a traveacutes del plasma es proporcional a un
paraacutemetro pequentildeo ]gtodemos desromponer las cantidades OkM^ ) E laquogt teacuterminos de este
paraacutemetro
h = poundbdquo lt3-45gt
(
lioiide el suloniHir ( define el orden (le peqncntildees Si en ausencia del plasma sr excita una
onda lie frecuencia UumlIiexcl en el resonador entotires en la aproximacioacuten de raquorltbii cero se tiene
pound|o) = Eiexcl
a = eacutelk (346)
Sustituyendo (345) en (344) e igualando los coeficientes de la misma potencia con respecto
al paraacutemetro pequentildeo se obtienen las soluciones en distintos ordenes de aproximacioacuten En
primera aproximacioacuten para k = l resulta
gt bien
53
= 2 ^ ^ 347)
En gmrral J ( ) ) es tuia cantidad complt-ja i|ttr mis reprcscuta la i-orrerrintildeu a primer
orden en la fnriirncia compleja de resonancia (uim = m mdash wi) Di- acuerdo ron (274) esta
cantidad puedr escribirse en la fonna
-bdquo = Aw + IA iacute J (348)
donde i parir mil ltbull imaginuria nos detenniunii las fraoioiirs laquobullbull cambio di- la |Ktrtc real
de la fri-eui-iicia di- n-soiiamia y la calillad dri resonador rcsptitivaiiniitc ocasionadas por
la pn-Hcuciacutea del plasma
En corrispoiidiiicia ion (347) escribiendo y descomponiendo la densidad de corriente
ronio J = 3 + i 3 (3 lts la parir real y 3 i la partiacute- imaginaria) las rantidailps ib (34S)
tulliacutean rirspeclivaineute la forma
- raquo m _av-j (340) wi w iexclv Eiexcl bull EilV
Qi) un fvpoundiexclEacuteM
En medios lineales anisotroacutepicos c inhomogeacuteneos la densidad de corriente se relaciona
con el campo eleacutectrico en la forma (328) De aquiacute qtie )gtodamos reescribir (347) como
WIacuteII bull - mdash mdash s mdash s 351) 2 v poundJ bull EdV
Para evaluar las correcciones en segunda aproximacioacuten a la frecuencia compleja de resoshy
nancia se sustituye la correcioacuten a primer orden del campo eleacutectrico E - poundbdquo + pound en
54
3441 la rual se determina por la expresioacuten (342) al evaluar cada uno de los rieficientes
u ron k JEacute
trtonces las correciones a las partes solenoidal y potencial se expresan en la forma
V pound | bdquo = mdash V bullbullltpound) (354)
Las roiidiiioniK laquo|nr se ilrlx-n satisfacer pariacutei cpir la expresioacuten (347) KIIacuteI viiacuteliiluuml es tul
([iilt parsi i ^ tentniMM
^ (355)
y |Hgtra I- =
A M mdash laquo 1 (366)
bull(4) e l
55
CAPITULO 4
INFLUENCIA DEL PLASMA
Eu i-sti- i-itpitulo en base al meacutetodo perturhativo descrito i-n el capitulo 3 se obtiene
el gtiexcliiiil)io laquopie sufre In constante de propagacioacuten para lindas rleclioniagneacutetiras eme se
propagan iii miii guiacutea ile onda ciliacuteiidriiacutea que i-oiitieur en su eje una roluijjua laquolaquobull plasma
friacuteo iiiliimiogeacuteufraquo y magnetizado Ademaacutes se determina la vaniiiioacuten ite la frecuencia laquole
roouancia para las ondas electromagneacuteticas qui se eiiruentran oscilando en tin resonador
cilindrico que contiene una columna de plasma friacuteo magnetizado e inhomogeacuteneo distribuido
axialmcnte Si- calculan las variaciones de la constante de propagacioacuten de la fierucucia de
resonancia y laquoleiacute factor de calillad jgtara diferentes valores de wjJJ1
7 Influencia del plasma en las guiacuteas de onda
Vamos a considerar como paraacutemetro pequentildeo que el radio del plasma es mucho menor que
la longitud de onda y que el perfil de densidad de electrones es de tipo paraboacutelico con
respecto al radio Ademaacutes el campo magneacutetico externo se considera homogeacuteneo y dirigido
a lo largo del eje O (Fig 41)
Como ya sabemos en una guiacutea de ondas cada modo de propagacioacuten se caracteriza por
56
Bo
P L A S M A
Fig41 Sc inwsira nnraquo i laquolimiiia ilr plasma laquoIc ratlin rbdquo loi aliidi sobre el ltbullbull bull)bull- miacutea guiacutea laquole
ogtda rihiiilrii-a dc railio rt in rampo iiiagnrliro externo iquestV osla dirigidraquo a Iraquo largraquo del ltbull)gtbull (gt
t i rumiante propagation Su parte real o factor dr fane drtrniiiiin la vrinriibul ill- fiiw
iexcluiftitraraquo I 1 piirti- imaginaria laquogt riwrkienlc tic absorcioacuten tlrtmniiacuteia el raquoinltgtrtigiiiexcliiiiiexcli-iitigt
(ir los diferentes modos ir propagacioacuten El efecto que se origina ttiantiraquo se rolix-a IIIIIacuteI
columna de plasma dentro de la guiacutea de ondas es un cambio en la constante de propagacioacuten
De acuerdo con la teoriacutea de perturbacioacuten este cambio es proporcional a la razoacuten del cambio
de energiacutea dentro de la seccioacuten transversal que ocupa el plasma sobre el vector de Poynting
evaluado sobre la seccioacuten transversal de la guiacutea de onda
r r - u _ IM-bullpound _ bdquo
donde las cantidades con subiacutendice 0 denotan cantidades no perturbadas (sin plasma)
Para evaluar la constante de propagacioacuten (41) es necesario obtener las soluciones de los
57
campos eleacutectrico y magneacutetico dentro del plasma en teacuterminos del jiaraacutemetrraquo peipientildeo
Para el caso de un plasma friacuteo cuando la velocidad de fase ile lsts nudas electromagneacuteshy
ticaraquo es mucho mayor (pie las velocidades teacutermicas di las (laquoarticulas si- utiliza el modelo
hidrodinaacutemico Debido a la simetriacutea cilindrica del problema su]Mgtngamos ijiacuten- los campos
tienen la forma
Eacute = iquestj(r)rr+--
Expresando la ecuacioacuten de onda
V x V x Eacute - ^r-iacuteEacute = 0
(42)
(43)
en coordenada iiliacuteiiltlriras se obtienen las eniariolies para las componentes del ranipo
eliVtriro i-ii la forma
igt
i-e- - mdash - DE = --Mt - DE + mdash(poundj + rr r r r r
E + - pound + (mdashv - ) pound = pound- + mdash (rpoundr) bull r r r r- r
(44)
(45)
-rcEr + iru(e - 1)poundJ + mdash | - i laquo ( f - 1)pound + poundpound] + rraquopound3 = 0 (46)
Aquiacute las primas indican una diferenciacioacuten con respecto a r l es el tensor dieleacutectrico en
la forma [19] (Bu esta dirigido a lo largo del eje 0)
poundraquo -
pound
0
pound 0
o vi ( t iquestu(e - 1) 0
= - t u ( c - l ) pound 0 V 0 0 r)
(47)
58
aacuteHtuacutee
- - 1 ti ul2 - - f j
2
= bull laquo bull i
_ = (r) = 4r r laquobull 1iexclI freruenna plaacutesmirraquo y -laquo lt-N ]iexclI fririirii-iraquo rirlotroacuteliira dr los
bullbulllaquobullerroiirs
Si il nidio ilil pliisiiiii o |Hi|iiiiacutein iii rumpiriiriuacuten ron IIacuteI loiigiliul de onda y n Irmas pound
varia i-ii un onli-n i|f iuiacuteraquotiacute-j)i in J |IIII|P)JIIgtS expresar li viiriiirioacuteji ili rraquo la forma
poundltrgt = bull ( laquo v ) bull iacute gt h 4 S )
donde el bullmnuiirtro se lm introducido para obtener las soluciones aproximadas ni difeshy
rentes ordenes ron respecta a pound di los camporaquo eleacutectrico y inaRiirliin Haciendo rl nunbio
lie variable x mdash =pound en la ininrioacuten (45) obtenemos
E = --(pound) - -plusmnpoundE - ^iquestE + - 4 J ( Iacute pound + gt9E) (4-9)
donde B kciexclwg = u(iacute - 1) y la prima denota una diferenciacioacuten con resprcto a x
Haciendo el mismo cambio de variable eliminando E por medio de (49) y limitaacutendole
hasta teacuterminos del orden (IO1- a ecuaciones (45) y (46) toman la forma
59
F i g 4 2 IVr l i l |gtiifiacuteilraquogtlirgtgt ili li |TinHivnli i l c|i| ( I I IM I I I n m P | W T 1 I I iexclI JT - mdashgt
[j-tl ltbullpoundbdquo-)] - (mh + mnixEf = 0 141raquo)
(411)
Se observa qui- la ecuacioacuten (410) no si- encuentra acoplada ron (49) y (411) cnloiires
podemos obtener su solucioacuten En condiciones experimentales una distribucioacuten dr la denshy
sidad de tipo paraboacutelico con respecto al radio resulta ser una rnuy buena aproximado
(Fig42) En tal caso escribimos
pound = T- - t0 (412)
siendo
CO
^ deg - 1 laquo413 J1 - ^
valor de la penuitividad en el eje del cilindro de plasma
Antes de sustituir el perfil paraboacutelico de iexcla permiacutetiviefad (412) en (4S) httgtimos en
bulli10 el cambio de variables
E = il|-r-|J-) 1414
bullbull donde obtenemos una ecuacioacuten diferencial pam en la forma
(V - bdquolr-+ [-(2|m| + 1 | - + (2|w| + 3|rjr-+ 2(|raquo| - tnu)Y = 0 1415
Haciendo un nuevo cambio de variables y = xiacutei en (415 se obtiene la ecuacioacuten
wd -v)r + H +1 - ( H + 2)W- iexcl y = o lt4icgt
Eltfa uacuteltima ecuacioacuten es una ecuacioacuten de tipo hiperficomeacutetrico y su solucioacuten es conocida
20 de donde la componente angular del campo eleacutectrico tiene la forma
poundv- = CxH-F(laquo6cy) (417)
donde F(a b c y) es la funcioacuten hipergeomeacutetrica [20] C es una constante y las constantes
cb y c tienen los valores
b = l + | m | - a (418)
C a 1 + H
61
respectivamente Dlt- la ecuacioacuten (411) podemos ahora escribir la expresioacuten paro la com-
jiacuteomrntf axial en la forma (hasta teacuterminos laquoiel orden (1iacute)1)
E = _ bdquo|m| D+-plusmn-CF(abc mdash mi poundu
= DiquestnbullT mdashJEiquest (419)
donde D es una constante La componente radial del campo eleacutectrico se obtiene de la
rniacioacuten (49) sustituyendo en esta (417 y (119) El campo majiexcliieacutetirtgt se deterniina laquole
la ecuacioacuten dr Faraday
1 OD r x pound = mdash mdash (420)
c uumlt
Limitaacutendose hasta teacuterminos del orden IO1 obtenemos la componente axial del camjm
magneacutetico
H = iacute H D gt i + Jiacute-lfEj - iiacuteuumlUuml^r (42D lit inz in(
Las constantes C y D que aparecen en (419) y (421) dependen de las condicioneraquo
de frontera Para su determinacioacuten acoplemos los campos dentro del plasma con los del
vacio bajo la condicioacuten que haya continuidad en la frontera del plasma (r = r) de las
componenteraquo E y Hiexcl
Ermfl = poundo | bdquo (422)
|tradebdquo = H0rmri (423)
Considerando que e(rf) = 1 y usando las expresiones correspondiente para las composhy
nentes axiales de los campos con plasma (419) y (421) y de los campos sin plasma
02
Z = DtJbdquo~ri y H0 = CWJbdquo(-T)) obtenemos las expresiones de las constantes C y
Z teacuterminos de los cani)gtos no perturbados En el raso para m gt 0 obtenemos
2 m (m- l ) -raquo - mF(n o r y ) + jF(noriexcl() bdquo-(bullraquo-raquogt( pound)bullraquo-)
D = 2miquest- C raquo + ^ deg - (4-25gt
iacute uiquest y = xfiacutey C0 y Dlaquo son unas constantes Hasta el momento nos hemos limitado a
- rinos del orden de ( l ) lo qtw equivale H decir que lit rondicioacuten de raquo|gt]irn)gtiliilad de
1- ecuaciones obtenidas es
kr iquest
7Iacute(l + | - bdquo | r laquo 1 1420)
Una vez lt|iie se lmn obtenido las expresiones tie los campos dentro del plasma evaluemos
bullbullbull integrales de 1iexclI expresioacuten (41) que determinan la const iexcltute tie propagacioacuten para una
sua de onda conteniendo en su eje una rolumna de plasma Se considera que el problema
gt perturbado es aquel que ronsiilera una guiacutea tie onda riliacutendrira llueca |fbdquo = 1 y bdquo = 1)
pound1 caacutelculo se realiza para una onda en modo H Para este modo la constante Dp es igual
con cero y las constantes C y D se reducen a la forma
C Jiquest poundk (4 27) 2 o F(a62yi) + ytFub2bdquo)
D = - g c bdquo (428)
Primeramente evaluemos la integral en el numerador de (41) para ello consideremos
la expresiones (229) Tomando la parte cosenoidal de (229) para la componente axial
correspondientes a los campos no perturbados y el tensor de permiacutetiv lad (47) obtenemos
63
= f - - A iacute - E iacute laquo 429) J Ai
= iexcl J |pound - 1) [poundJlaquoMraquon5(r + iuE) + poundt(MraquoiT-|pound - laquopound)] (-rdrtl
donde las componentes Ew Er y Eiquest dependen uacutenicamente del nidio La integral sobre if
en el intervalo [02r j se realiza expresando el termino exponencial romo senos y renenrraquo
y romanilo en cuenta sus relaciones de o-tugonalidad Por tanto despueacutes de realizar la
integral Mible r_ se obtiene
= - f r|pound - 1 )[Er(poundr + iuE) + EI poundr- - laquopoundbull ))ltbull
A1 r raquoraquo = r r(iacute - 1 )[rCZH mdash-J m (7r ) |pound r + laquopound) +
+ CZll-Jj-lr)(E-HiEr)dr 1430) i
La integral anterior se evalna sobre la seccioacuten transversal de la columna de plasma
Aquiacute r i es el radio de la columna de plasma Por otro linio si expresamos - en teacuterminos
de la longitud de onda di corte Ar (217) para tina guiacutea de ondas hueca en la forma = ^
ohservanios que el argumento de la funcioacuten de Bessel eu (430) es una cantidad mucho
menor que uno Para demostrar lo anterior notemos que de acuerdo con (218) para que
la onda se propague a traveacutes de la guiacutea de onda se debe satisfacer que la longitud de onda
en el vacio debe ser menor que t Ademaacutes debido a que sr ha considerado que la longitud
de onda es mucho mayor que el radio del plasma entonces la longitud de onda de corte
tambieacuten es mucho mayor que el radio del plasma Esto uacuteltimo nos sirve para considerar
uacutenicamente el primer teacutermino de la serie de la funcioacuten de Bessel [12] con respecto si
argumento -yr = 2iry De donde (430) se transforma romo
G4
Ix = gtCU (1 - ti) r(pound - iy[iEr + pound)rfr (431) Jrm Ji)
-spueacutes di- hacer el cambio de variable x = iacute - r y sustituir las formas expliacutecitas fie los
gt-npos (4D) y (417) para Er y Ef respectivamente se obtiene de (431) la expresioacuten
bull - f pound z raquo r m - i f e r ( i - u ) x 4-32) x i(-- -)rxx-F(iUlt mdash)] + iirtn-iquestFuUlt~ )li
Ai [ iquestu tu J
jiirlc se han aproximado los campos hasta teacuterminos del orden (7 ) Integrando P )laquoirles
raquo n-sperto a r el primer teacutermino de (432) obit-nemos
laquo - ^ V r r ( l - laquo ) x - + f V a r - (433) 2wi lt W bullraquo iacuteraquo
Sustituyendo la forma expliacutecita para la constante C (424) en (433) se observa miacutee (T-To)
vrrere con el nuacutemero de modo vi en la forma lt~IK Para t-l casiraquo (pie nos interesa tu = 1
iexcl integral ltpir aparece en (433) es faacutecil tie evaluar Para esto liaciendo el cambio de
variable y mdash x7t0 se puede reescribir la integral de (433) en la forma
Jsl+to x
xlnF(abcmdash)dx o iacuteo
= ~iexclg yF(abhy)dy (434)
utilizando la relacioacuten de diferenciacioacuten de las funciones hipergeonieacutetricas [11]
pound-[-gtF(abc)] = (c- n)nt-F(abc - ns) (435)
65
con ii = 1 v r = 3 se obtiene
Re-escribamos (43C) en una forma maacutes conveniente pura ello usando la siguiente
foacutermula de transformacioacuten para las funciones hipergeomeacutetricas [1121]
e f e - 1)(- - )Fnbc- z) + rr- 1 - ( 2 c - laquo - b- )zFlabr ) +
(r - laquo)(r - l | F I laquo i r - 1) = 0 (437)
ron laquobull = 2 y considerando las formas expliacutecitas praquoriexcli laquo y b tie (41) ron m = 1 de (437)
obtenemos la relacioacuten
F ( w fc 3 lplusmniraquo ) s ~ 4 ( 1 ^ 1 1 ) f^Ffafci 1plusmn^gt - J-(laquo2 l plusmn ^ iacute ) 1 (43S) poundbdquo (1 _ bdquo ) ( U i l j l fu ibdquo J
Finalmente usando la igualdad [11]
FUifc2) = F(ub-) - (laquo fc2c) (439)
la ecuacioacuten (43S) se puede escribir como
F(flft3^-=2)= F(laquob2^-^) (440) poundo ( I - K ) Iacute O iacuteo
Sustituyendo (440) en (436) y tomando en cuenta la relacioacuten t = 1 + pound0 obtenemos
-^|UftV(laquoraquoi^) H41) (1 - u) e0 pound0
y sustituyendo (427) y (441) en (433) finalmente obtenemos para | la expresioacuten
66
cbdquo r (1+^) riab2 iquestraquo)
M i r iacuteo F (laquo 6 2 l^ )+ L Uuml^F (laquo iquest 2 l i iacute i ) (442)
La integral del vector de Poynting correspondiente al denominador dr (41) evaluada
la seccioacuten transversal de la guiacutea de ondas tiene el valor obtenido cu (236) de donde
h - jA([Eiquestplusmnxntildevplusmn+EacuteraquoxxHiquest ]gtltlaquo
= CJZbdquoVgt bull laquo i i
JfjjLii- (-143)
iacutegt|HIacute rbdquo es el radio de la guiacutea ilc onda Finalmente dividiendo (442) entre (443) se obtiene
bulla expresioacuten para el cambio en la constante de propagacioacuten para unii onda en inodo Hu
ltue se propaga en una guiacutea de onda ron plasma
- ( r -r u ) = Ax iacute -Fnb2-^iacute)
F(laquoJ2 bullraquo)+ ^^Ff f i 2 ^ )
donde
(444)
M= 21(rr0)3
l - 3 3 9 ^
De aquiacute se obtiene que la constante de amortiguamiento es proporcional a
(445)
o = A F(o62ttiraquo)
f(afr2 iraquo) + UiacuteampFia fc2 raquo) Mtr)
F(a62iplusmniacuteraquo) (446)
07
Esta uacuteltima expresioacuten se igtigttnvigt ron vi uso di-la igualdad (439) Por otm bulo notemos
i|ugt- el argumento dr las funciones hipergromctriras dr (44G) es mayor laquopie la unidad Es
conocido laquopie la serie hipcrgeonirtrini diverge en yi = -f4 gt 1 [20] Por lo tanto rs
ruuvcuicute transformar las funciones hipergi-omctriras de- (44G) laquoru series convergentes
|gtaia filo obtrugamos las expresiones para Fluriacute l y ) y Fnb2y) donde y = 1(1 mdash z)
Para podrr estudiar la absorcioacuten de tma onda excitada en modo Hiexcl1 cu una guiacutea de onda
cilindrica como la que se tiene cu la fuente de plasma construida en el INlN y descrita
en 2] es necesario obtener las expresiones para Flnli 1 i) y FnU2y) ya ipie para
laraquo bull-iitiiiiciones de la niiiijuilia i tiende a la unidad como se desenlie con maacutes detalle maacutes
adelante
Observemos ipie la ecuacioacuten
t( 1 - )iquest + (1 - 3i)o - ltilgto = 0 1447)
tiene como solucioacuten la funcioacuten hiprrgromrt rica Finli li) Si bacnnus el cambio dr
variable raquo = 1(1 - z) entonces (447) sr rersrribr rn la forma
(1 - ) V + (1 - r gt ( 2 - r ) iquest + nkgt = 0 (448)
Fiacutetiaitnente con vi cambio iquestgt = (1 - )lt obtenemos la ecuacioacuten
i ( l - c)vgt + [2 - (26 + I r ) ] - IacuteraquoV = 0- N- 4 9 )
La solucioacuten dr la ecuacioacuten (449) es la funcioacuten hipergeomeacutetrica Fbb2z) [21] Sin emshy
bargo una solucioacuten maacutes general para F(ab i y) es una combinacioacuten lineal dr las dos
soluciones existentes de (449) [21] esto es
G8
Fiubly) = [-)lt AtF(bb2)-rB F(bb2z)Ln+Pii) + (l-fc) iJ
(450)
donde At y B son constantes por determinar y Pj(c) es una serie de potencias con resjiecto
a en la forma [21]
donde
^)=poundr^ [ lt ) - ( o j
Iraquo) = (laquo + raquo) + 4(+raquo)- I2 + raquo ) - ( + 1)
(451)
(452)
4 (bull In funcioacuten i igt iliiinim y (laquo) = laquo(laquo+ 1)(laquo + 2) bull bull bull (laquo + 7 - 1) Multiplicando anillos
luumldoM de hi ecuacioacuten 145(1) por zi - z) difiTciiciacutenndo ron respecto a i y considerando el
liacutemite ruando - tiende a cero olitcuciuoraquo la igualdad
vd - amp)bull(laquo ft 2v) = r r - r + BW + raquo - ) + iquesti-(i -raquo) (453)
Ahora usando la representacioacuten integral de la funcioacuten hiacutepergeomeacutetriacuteca (2Iiexcl y considerando
las definiciones (426) para aby c obtenemos
a - f - r(laquo)r(6)o ( i - lt y )
La primera integral de (454) se calcula faacutecilmente y tiene la forma
Jo 1 - ty y (455)
69
Para evaluar 1raquo segunda integral de (454) recordemos laquopie 1 = ^^ y notemos ipte en el
limite ruando y tiende a mm (c tiende en este castraquo a cero) iacutei se vuelve muy grande
raquo|iiraquo- laquobull equivalente a ltllaquorir que inraquo acercamos a] punto de resonancia eicloiroacuteiiica in = 1)
y por kgt tanto con r=2 Igt tiende a cero De esta manera la segunda integral de (454) se
aproxima al valor [21]
laquo-raquo- 1
1 - f dt = -(fc)-C (45C)
donde C es 1raquo constante de Euler Sustituyendo (455) y (45C) eiexcl (4541 obtenemos
f io 2) = 1
-Ltil - bull ) - laquo1M J- C 1 4 5 7 ) r(2-raquoinM
Pitra determinar las coacutemanles -4j y D sustituyamos (457) en (453) y separemos los
teacuterminos laquopie ionticueu Lti de aijticllos (pie no lo contienen Asi obtenemos las expreshy
siones para las constantes 4| y B en la forma
A =
B =
^ ^ laquo ^ ^ ^ r ( 2 - igt)T(igt)
(1-fc)raquo f(2-gt)JW
(45S)
(45ai
Anaacutelogamente se puede encontrar una solucioacuten para F[ab2y) en la forma
+ [ C + ( t ) + i raquo ] | F ( 6 f c - l l r ) I n iacute + fl(s)] (460)
donde
70
Las expresiones (450) y 1400) representn las transformaciones dr Filtibiy) y
Flt a b 2 y) respectivamente en series convergentes ruando y tiende iexcli la unidad Las consshy
tantes A y Bi se expresan mediante (458) y (459) corresigtondiexclentenieiitlaquo- Finalmente
y fie acuerdo ron (44G) dividiendo 4G0) intrc (450) y tomando la iexclgtiexclirtr iiiiiacute-uumliuaria
obtenemos la expresioacuten para la constante ltle amortiguamiento o de absorcioacuten en 1 forma
( i
Jf = laquo x Fffcfc - 11 )[1 - (1 - fc)(2 - fc)F(662 z) + Piexcl)- )bull]+
+ P (r) | l -6) F |6 6 2 )x
x [l - (1 - b)2 - h)FVb2) + P7(z)l - by +
+ C + (b) + Ln -](1 - 6)-F(6 62 r)] +
+ T T V ( 1 - 6 ) ^ ( 6 1 2 1 ) (4C2)
donde r = 1(1 + pound0) La figura 43 muestra el comportamiento de (4C2) en funcioacuten de
ni x u para m - 1 es decir los int2Tvalos [-LO) y [01] corresponden a m = - 1 y tu = +1
respectivamente Las graacuteficas de la figura 43 corresponden a los siguientes valores de
-bull(0)toiacutes a) 82 b) C c) 4 d) 3 y e) 1 Las graacuteficas c) d) y e) difieren de armellas
mostradas en [22j ya que aquiacute se han considerado uacutenicamente los primeros cinco teacuterminos
de las series Pz) y Pt(z) Por otro lado observemos que el coeficiente de amortiguamiento
se anula en el caso de resonancia cidotroacutenica (u = ) Sin embargo esto no significa que
no existe absorcioacuten de la onda en este caso como se reporta en [23] en los punto donde
71
o bulla
iquest
1 3
n raquo
o i
Wv
72
eiexcl Iacutendice de refraccioacuten tiende a infinito se produce una absorcioacuten delas ondas en el plasma
ltii- tipo no rolisioiiacuteal Esta absorrioacuteu se asraquo ic a la existencia de punto singulares dlaquo- la
ecuacioacuten de onda exacta para ciertos puntos dentro del plasma es decir ai|uiacute la componente
del campo eleacutectrico paralelo al gradiente de densidad es infinita
En la fuente de plasma descrita en el trabajo [2iexcl se trabaja actualmente con densidades
del plasma del orden raquof(0) = C x Nfcnr3 y con un campo magneacutetico externo B =
S~jGtntraquo Ademaacutes se cuenta ron una guiacutea de onda de radio rbdquo = 425rFraquogt en la rual se
IgtngtiexclgtiexcliEiexcli una onda electromagneacutetica ron 111raquo frecuencia w = 15304 X 10 gt Si el radio del
plasma es C| = 3ltm eutonres tendremos los Mullientes valores para _laquo_- 10) 11gtf0)-bull
y respectivatiieiite
wbdquo = 15379 x 10V
raquogt(()) = 13S19X 1 0 V
1 = 00990 1403)
^(0)--J = 08
poundn = 3902
A = 19525
En este caso podemos analizar de la figura 43 curva a) comportamiento riacutee la constante
de amortiguamiento cuando u^fO)raquo2 = 08 Como podemos olmcrvar la constante de
amortiguamiento tiene valores relativamente grandes en la vecindad de u = OC pero
decae raacutepidamente conforme u tiende a la unidad Cuando u = 0999 la constante de
amortiguamiento tiene el valor
73
o = Ai x (M)0()02455 = lSS x 10 (464)
El anaacutelisis anterior es vaacutelido si se rumple la rondicioacuten (42G)
^ ( 1 + |poundbdquo|)- ltpound 1 MCO)
que eii nuestro laquoaso es correcto ya que
^ - i d +|ibdquo|)-=ocnsx lo- ucc)
8 Influencia del plasma en los resonadores
El meacutetodo de Perturbacioacuten en este raso se mi de formraquo similii ii el rusraquo de tina guiacutea
tie onda Como paraacutemetro pequentildeo se considera anaacutelogamente que el radio del plasma
es lutirlio menor que la longitud de onda Ademaacutes se supone que el |HTTiexcl1 de tielisidad
electroacutenica es de tipo paralioacutelico y que el campo magneacutetico externo es homogeacuteneo y esla
dirigido a lo largo del eje O
Anaacutelogamente a el caso de una guiacutea de onda la presencia del plasma en un resonador
es originar un cambio en la frecuencia de resonancia De acuerdo ron la teoriacutea de perturshy
bacioacuten este cambio craquo proporrional a la razoacuten del cambio dr riirrga almacenadraquo dentro del
volumen que ocupa el plasma en el resonador sobre la energiacutea total almacenada en todo el
volumen del resonador (34C)
WJVpoundiquest iquestiquest EacutedV w - u 0 = wbdquo = - iquest (4Glt)
iquest Jr pound0 bulltoraquo
74
Lu i-niaciuacuteii (4CT) requiere la evaluacioacuteu de el campo eleacutectrico cu el plasma En la
-bullbullTIacuteOII 7 se obtuvieron los campos en una columna de plasma friacuteo de radio pefpit-iio
magnetizado e inhomogeacuteneo localizada en el eje de una guiacutea di- onda cilindrica Con
tuda de estas expresiones podemos determinar en forma expliacutecita los campos cuando una
lunuia de plasma se encuentra en el resonador
poundru-y--) = iacute
r 22
mi miacutem mS
poundir r-) = C | |- F(laquoraquor-K--fbdquo(4--) in raquo t4CS)
uy-) =
poundgtXM + _L pound raquoltiacute ti
In I-I - r i - l iacute - D P DJT] T mdashmdashstE) E 111 lllC laquo ( il
donde x = (iexclt~ C y D son constantes = ruy = u(i mdash 1) la prima denota diferenciacioacuten
con resjMcto a j - Fin h r y) es la funcioacuten de tipo hipergeomeacutetrico [20] y nb y r tienen llaquoraquos
valores obtenidos en (418)
No hay que olvidar que cu un resonador los campos son estacionarios de aquiacute que la
dependencia con respecto a r se escribe multiplicando cada ecuacioacuten de (468) por el factor
jffi(^z) oacute coM^z) p= 123 iacutees la longitud del resonador
Calculemos el cambio en la frecuencia de resonancia para ondas de tipo TEm- La
integral del denominador de la expresioacuten (4G7) nos expresa la cantidad de energiacutea eleacutectrica
almacenada por unidad de volumen en el resonador sin plasma cuyo resultado para un
resonador hueco se obtiene de (2GC) al considerar que WE = Wn y en pnrtirular fiv ~ 1
( = 1 El resultado para este modo se expresa en la forma
U = bull EacuteltW
= ^^M-MUn) M69)
Por otro lado la integral del numerador de (4C7) evaluada sobre todo el volumen que
ocupa el plasma se calcula con ayuda de las expresiones (2G0) (resonador sin plasma)
di las expresione (4CS) (resonador con plasma de radio pequentildeo) y de tensor dieleacutectrico
(47) obtcnirlidii
= iacute iacute f ( pound - l ) [E ( gtfm l T - | pound + l l lpound l + Jit u Jn
+EuacuterosinY-(Er - iuEr) rltMiJl-^-)riexclrd^dz (470) d
donde las coui]gtoiientes Eu E y pound tienen dependencia uacutenicamente radil Al realizar la
integracioacuten sobre Iacute y iquest en los intervalos [0 d) y [02riexcl respectivamenie obtenemos
s = V iacute r(t ~ XUumlEoE + iuE^) + Eiquest(E - niE)]ltlr iquest Jo d [ [ r
bull r ( iacute - l ) Jo
iC0 r Jm-r)Er + iuE)+
+ Q--JJfr)(E^ - iuE ] dr (471) c i J
Anaacutelogamente a el caso de una guiacutea de onda se utiliza el mismo argumento bajo el cual se
considera el primer teacutermino de la iuacute fmiacutecioacuteii en serie de la funcioacuten de Bcssel con respecto
al argumento r = 2JT^ De aquiacute que (471) se reescribe como
76
c iquest iquestml Jo
Lspueacutes de hacer el cambio de variable x = (iexcljfr y sustituir la forma expliacutecita de los campos
bull 49) y (417) para E y Et en (472) se obtiene
h = gtc ( l - u ) x wirdy-raquo l c V
0 c 2 2m V(wj
J-(pound- )L-[T FUIICmdash ) + mxJ-JF(bdquolt-i)h -raquo -raquo iraquo J
(473)
donde los campos M- han considerado hasta teacuterminos del orden (|) Integrando por partes
con respecto a J el primer teacutermino de (473) obtenemos
h = -2Cy bull )h (474) c 2 2raquoi Vi bulllaquo iu
La integral (pie aparece en (474) coincide exactamente con la cjne aparen- en (433)
de donde para ondas en modo TEm s se calcula sustituyendo (427) y 1441) en (474)
obteniendo
= rColTJiacutefrr iexclJ ltd j ( l+poundo) bull(laquoiquest2f)
(475) c3473 ebdquo f(o62lplusmnlaquoraquo)+1 plusmn a i v(o62iplusmniacuteraquo)
Finalmente dividiendo (475) entre (469) se obtiene la expresioacuten para el cambio en la
frecuencia de resonancia en modo T pound m para un resonador conteniendo una columna de
plasma friacuteo de radio pequentildeo
W(D = (u - u0) - MjX 1 - -F(laquo62lraquo)
siexcl X 1 -F(abll)
(476)
77
donde
La ecuacioacuten (47C) coincide con (444) salvo por una la constante Miexcl Anaacutelogamente n
el caso de una guiacutea de onda utilicemos las expresiones (450) y (4C0) juira Fintly) y
Fllti2 i) respectivamente Sustituyendo (450) y 14CO) eji (47C) y separando las partes
real e imaginaria obtenemos la variacioacuten de la frecuencia de resonancia (Araquo) y la variacioacuten
del inverso de la calidad del resonador l -M IO)) por influencia del |gtlasiniexcli respectivamente
en la forma
mdash^ = iexcl-zFbb- 11-) [-F( fcraquo 2-)([C+(-)] ( 1 -bf-
- (1 -fraquo)(2-)[C+(fc)l-Hl-lt) J(l - - ) ) +
+ C + ()][-gt(-)(] - h) - Ij] + -(1 - l)lPt)C + laquoK))F(hb2-) x
x [l - (1 - b)2-h)F(kb2z) + PJzil - raquo)+
+ -(1 - bjgtC + () + Li z]Fbb2z) + V | 1 - )F(bullbull 2--) (478)
-poundiquestmQ) = JTSX
x Fbb-lls)|l-(l- b)(2- b)zF(bb2z) + P ( - - ) r ( l -6 ) ]+
+ --F(i)(l-6) JF( iacute t 2i)x
x [ l - ( l - f r ) (2-amp^ -F(M2^) + P J ( - - ) iacute ( l -6 ) +
+ [C + (6) + iquestn --](1 - 6)zF(ampamp2z)]2 +
+ w12(l-b)4Fa(blgt2iacute)Yiacute (4-79)
t bull bull 78
La figuras 44 y 45 muestran las graacuteficas de las expresiones (478) y (479) con respecto
a ri x ii ]gturn distintos valores de u^(0)uz respectivamente Anaacutelogamente a el caso de
la- guiaraquo de onda se han considerado uacutenicamente los primeros cinro teacuterminos en las series
para Pi) y P jU) Un resultado importante de acuerdo cotiacute la figura 44 resulta ser
que en la resonancia ciclotroacutenica la variacioacuten del inverso del factor de calidad es cero es
decir en este caso y en la misma manera como en las guias de onda no existen peacuterdidas
de energiacutea de tipo colisional Sin embargo de la figura 45 notamos que cu resonancia
rirlotruacuteliira si existe un pequentildeo cambio en la frecuencia laquole resonancia del resonador
En la fuente de plasma descrita en [2J se tiene un resonador cilindrico donde oscila
una Diida a IUIIacuteI frecuencia laquobull = 15394 x ]() excitada en modo TEw y de radio
rbdquo = cm en el cual una columna dr pliacutetstua fie radio riexcl = 3lt se ein-iieiitrraquo a lo largo
del eje tlel resonador La cavidad resonante se encuentra dentro de un campo magneacutetico
externo D mdash SloacuteGauxraquo La densidad de electrones en la fuente tie plasma puede ser igual
a ni 0) = C x 10 I 0CTO 3 En este caso tenemos los mismos valores (4C3) para yinnfv0) u
y u-ji 0)raquo mientras cpie Miexcl tiene el valor
SU = 04C55 (480)
Entonces el cambio en el inverso de la calidad y en la frecuencia de resonancia tendraacuten
los valores
A( l ( ) = mdash x 000009C2455 = 582 x 1 0 (481)
Aw = Mj x |1 - (100035)] = - 1 0 3 x 10 V (482)
79
AwMa
i
o
I
U
bull3 I
I O
bull
a 6
1 1 1 bull 1 bull
bull
_
c x ^
- r f -
| 1 bull J T | 1 - | 1 |
l IX V if | rt i iacute i ( iraquo i i i bull i i i
i i
i i i
V
deg
iacute bull f
i i i
VI 1 A 1 ^ t
x X Iacute
JU i f ^
1 bull x
so
o i
fit
Zf Z rt w
El valor (481) se encuentra dentro del rango de validez de la teoriacutea de perturliacioacuten
ile acuerdo ron (35C) Asi mismo la variacioacuten de la freruenria de resonancia es dema-
siado |Mf|ttentildea en comparacioacuten con la freruencia propia del resonador de tal manera rpie
podemos considerar une no existe un cambio fuerte en la freruenria de resonancia ion esta
densidad
Los resultado iexclinteriores de las secciones 7 y 8 fueron presentados en iexcl24] y [25iexcl respecshy
tivamente
82
CAPITULO 5
PENETRACIOacuteN DE ONDAS EN EL PLASMA
En este iiipiacutetiilo ni el marro de 1iexclI teoriacutea lineal se liare una revisioacuten sulire el proceso
gtigt- penetracioacuten de campos elertDinaRneacuteticos en un plasma En vista de ijne en la fuente
lie plasma descrita en [2j se excita una onda tipo H nos vamos a limitar al caacutelenlo de
Un coeficieiites tie reflexioacuten transmisioacuten y de alisorrioacuteu para estlt- tipo de ondas liacuteay
eme hacer notar que en el experimento [2] se tiene un campo magneacutetico externo lo que
complica fuertemente el estudio de la interaccioacuten de ondas en este plasma Nos limitaremos
en este trabajo a considerar un plasma homogeacuteneo y deacutebilmente inhomogeacuteneo sin raiujm
magneacutetico externo Estos resultados preliminares son uacutetiles para posteriormente estudiar
la transformacioacuten lineal de ondas que es muy importante para el anaacutelisis del perfil de
densidad observado en la fuente de plasma [2]
9 Penetracioacuten de campos electromagneacuteticos en el plasma
El estudio de la interaccioacuten de ondas electromagneacuteticas en un plasma tiene particular
intereacutes por la gran variedad de paraacutemetros existentes como se mencionoacute anteriormente
83
(densidad de |ttirtirulas di- diferentes tipos prado dlt- ionizacioacuten longitud de trayectoria lishy
bre tfiii|raquocratura etc) 111 los diferentes casos Una de las caracteriacutesticas mas importantes
de un plasma real es su iuliomogeueidad Alt|iiiacute los paraacutemetros del jjasiilii variacutean en el
espacio produciendo considerables cambios en las caracteriacutesticas del mismo Freruontc-
menfe en lo concerniente a la propagacioacuten de ondas electromagneacuteticas estos cambios son
tan fuertes que la pennitividad dieleacutectrica cambia de signo
91 Penetracioacuten de campos electromagneacuteticos en la aproximacioacuten hidrodinaacutemica Sistema de ecuaciones
Il l sistema de emaeiones atltoroiisisteule i|iie desrribr la penetracioacuten tie un campo elecshy
tromagneacutetico en d plasma en la aproximacioacuten bidroiliuaacutemira se compone de las ecuaciones
ile Maxwell
V x pound = -2f 51 c 01
f x f l = - - i - mdash + mdash (02) c 01 c
V bull(poundlaquopound) = 4p (53)
V H = 0 (54)
donde las densidades de corriente y carga se determinan en la forma
P- pound c raquo n lt raquo = laquoiexcllaquoi + tnt = pound e bdquo n r r n (55)
y se expresan a traveacutes de los campos eleacutectrico y magneacutetico de las enlacioacutenos hidrodinaacutemicas
de movimiento y continuidad del fluido conductor de carga o [26]
84
sect + bullbdquobulllaquobull = ^(Eacute+-vnxH)-^--^va (56)
3raquobdquo _ _ _ ~ + V-n0viexcl = 0 U 7 )
En las ecuaciones (55)-(57) tbdquo es la carga m0 la masa tibdquo es la densidalt v0 es la
velocidad hidrodinaacutemica jgtbdquo o la presioacuten y ibdquo la frecuencia de colisioacuten entre las partiacuteculas
ltir- tipo o ron las partiacuterulas di- otra claw y con las moleacuteculas El subiacutendice o rorrcspondc a
i igt i ln ipii indica a los iones o electrones correspondientemente E D son las tensiones de
ligt- campos eleacutectrico y magiacutenico respectivamente y r es la velocidad de la luz en el vacio
Se supone i|iie el plasma se encuentra en un medio con un jieruiitiviilail dieleacutectrica iacutebdquo para
un plasma gaseoso bdquo = 1 y MI un plasma de estado soacutelido es la pcrmitiviilail dieleacutectrica
de la red cristalina Ya que la permit i vidad magneacutetica del plasma praacutecticamente es igual
a uno no vamos a diferenciar la induccioacuten magneacutetica de la tensioacuten del campo magneacutetico
lo que se refleja en las ecuaciones anteriormente descritas
El sistema laquole ecuaciones (oacutel)-(57) debiacute ser complementado con las ecuaciones de
estado de la materia expresados a traveacutes de la densidad nbdquo y la temperatura Tbdquo pn mdash
p0(noTa) Siacute las variaciones de estado de las componentes del plasma ocurren perioacutedicashy
mente entonces
Tpo = bullgtltJbdquoVn0 = 7raquoltfTbdquoVnlt (58)
donde vj = 2T0m0)t1 es la velocidad teacutermica promedio de laraquo partiacuteculas de tipo o 70
e la razoacuten entre loraquo caloreraquo especiacuteficos a presioacuten y volumen constante del gas de partiacuteculas
y 1 = mil
85
Las ecuaciones ib- movimiento describen un fluido en presencia dlt- cinco fuerza- ni
interaccioacuten a) la fuerza eleacutectrica (bdquopound b) la fuerza magneacutetica J x H c) la fuerza debida al
gradiente de la presioacuten d) la fuerza de interaccioacuten o colisioacuten entre la partiacuteculas de diferente
ti|Kraquo v0vbdquo y raquobull) la fuerza de inercia m-r0 bull V)tbdquo Por otro lado vamos a ronsiderar laquopie la
ecuacioacuten de estadraquo expresa un proceso adiatgtaacutetico caracterizado por el coeficiente -
92 Penetracioacuten de ondas tipo E y H
Vamos a investigar la penetracioacuten en el plasma ile ondas di- amplitud pcquiua La inteshy
raccioacuten de ondas electromagneacutetica con el plasma perturba los paraacutemetro caracteriacutesticos
en equilibrio del plasma Si las perturbaciones de los diferente paraacutemetros son lo sushy
ficientemente |xi|iientildeos en comparacioacuten con sus valoreraquo eii eipiilibrio entonces podemos
liiuariar las ecuaciones (51 H57) es decir iexclMHIIIIIOS despreciar los teacuterminos que contienen
producto entre las perturbaciones
Consideremos un plasma semiliiuitado sobre el cuaacutel a un aacutengulo fgt incide una onda
electromagneacutetica linealmente polarizada El sistema de coordenada lo escogemos de tal
manera que el plasma ocupe la regioacuten x gt 0 y la onda se propague sobre el plano X(gtZ
(Fig51) La onda incidente parcialmente se refleja del plasma y parcialmente se refracta
a un aacutengulo 8 Las amplitudes de las ondas reflejada y refractada se determinan de las
condiciones de frontera Como consecuencia de esto si la dependencia del campo de la
onda incidente con respecto a y t se determina a traveacutes del exponente rl-laquo) donde
kiquest = k0tcn9 k0 = raquogtc y w es la frecuencia de la onda entonces en la teoriacutea lineal para un
plasma estacionario y homogeacuteneo esta misma dependencia deben tener las ondas reflejada
y refractada en el plasma a lo largo de O
86
PLASMA
(b)
FiacutegKl Penetracioacuten de una onda electromagneacutetica lincalmente polarizada en un plasma raquoemi-
limitado La onda que incide a un aacutengulo 8 parcialmente se refleja a un aacutengulo 8 y parcialmente
se refracta a un aacutengulo V a) penetracioacuten de una onda tipo E y b) penetracioacuten de una onda tipo
H
87
Supongamos UIRraquo tenemos un plasma de dos componentes compuesto de electrones bullbull
iexclunes motwcargjados ron concentraciones en et|uilibrio raquobdquo = raquoraquolaquo = gtibdquo En un (Jasina friacuteo
la velocidad ternura de los iones se puetk despreciar 1 = 0) si esta es muy pei|iK-ntildea rn
contparacioacuteii con la velocidad de fase de la onda Si a lo largo del eje 0t la densidad no
varia entonces f = 0 y de laraquo ecuaciones (51)-(58) podemos obtener el sijpiiente sistema
dtr ecuaciones para los campos electromagneacuteticos
iexclKH = iquestJtpound - iacuteiacutejEi 159)
-rmdash = -iK0e mdash pound - + mdashmdashUE r ) U10) ni [ raquo-raquor J (w ni
Jvpound = - I (512)
^ = bullbdquobdquo (513) As
ik-HiE = JiL-ikJlr (514) ni
iloiiitr iacute ex la jx-ruiitividnd dirlrctrirraquo de un plasma isotropicraquo y friacuteo
taraquo(w + l^e) W(uraquo + Ifi)
ugtgt y uy son las frecuencias plaacutesmicas de los electrones e iones respetivamente expresadas
en la forma
iquestgt tgt
4c n 0 IJ
(6M) mlaquo
w a IB frecuencia compleja raquobull = w + ic y e eraquo la permitividad dieleacutectrica del fluido de
iones en la forma
88
t=to- + bull (517) w(w + llj)
El sistema de ecuaciones (59)-(514) se descompone en dos subsistemas iudc|Hiidientes
-i9H5ll y (512)-(514) lo que corresponde a la propagacioacuten en el plasma de dos ondas
independientes (Fig51) Para las ondas con componentes E E y Hy el vector del campo
eleacutectrico estraquo sobre el plano de incidencia XOZ Esta onda es una onda con polarizacioacuten
gt onda tipo TM o E Para )n segunda onda con comeacutentente Ebdquo Hr y H el vertor
fifi rutll|Mgt eleacutertriro es |H-r]gtriiiliriiIiir al planraquo fie incidencia Esta onda es unraquo onda ron
polarizacioacuten i ulula tipo TE o H Para las condiciones mencionadas iexclinteriormente el
ijjovjmieijlo teacutermico de laraquo partiacutecula es despreciable para la propasacioacuten de ondas tipo H
Sin embargo para las ondas ti]gto E puctlc ser bastante importante
10 Penetracioacuten de una onda electromagneacutetica tipo H en un plasma homogeacuteneo semilimitado Reflexioacuten y absorcioacuten de ondas tipo H
De las dos posibles polarizaciones que puede tener la onda que incide en el plasma el caso
de la onda de tipo H es el maacutes simple Encontremos la solucioacuten de las ecuaciones (512)-
(514) en el plasma y en el vacio suponiendo una frontera bien definida Sustituyendo H
de (513) en (514) y usando (512) obtenemos que el campo E satisface la ecuacioacuten
tPE - ^ + Jkfo - laquolaquoraquo)pound - 0 (518)
89
dmde en el plasma e se determina xx (515) y en el vacio pound = 1 Es faacutecil ronwtrar laquojar
eu el varkgt los campus tienen la furnia
para la onda incidente
poundbdquo = Eoraquo Bu m Fbdquocw0 (519)
y para kgt onda reflejada
Eraquo = llEbdquo-kltlt H = -Etcoraquoraquo ISM)
iliHiilraquo- pound es lii amplitud lie In i mi In hiiiiliiiti y iacutels rl riM-riiiiiili ili- icHrxiiVn El linihi|raquoligt
r i)r--wi) at j a s rX|ri^iHBM jbdquon lri caui|HKlaquo se excluye raquo aquiacute en adelante Praquor laquonraquo laria
bullbullI rwn]Mgt cu el plasma tirnr la forma
pound() = Eiquest0)rik B() = (^) poundlt) (5-21)
donde Et[0) es Iraquo amplitud de la rom|Hgtiiiiite poundbdquo del rampraquo cliVtriro III la frontera tlrl
plasma ( = ()) y A- se expresa romo
Jt JWlaquo - e2laquo (5-22)
Si it| es una cantidad real entonces la onda se propaga libremente en rl plasma prro
siacute Ai es una cantidad compleja entonces el campo en rl plasma r amortigua dr forma
exponencial a partir de la frontera
Para determinar el coeficiente de reflexioacuten y la amplitud del campo rn la frontera de)
plasma se utilizan laa condiciones de continuidad de laa componentes tangenciales dr los
eampoa en i = 0
90
pound(0)+poundbullbdquolaquogt) = pound(0)
(0) + raquo(0)-jr ((0)
Sustituyendo (519)-(oacute20) en (523) y considerando (521) encontramos
pound(0) = pound(l + rt)
dr donde obtiiunnos el coeficiente di reflexioacuten en Iraquo forum
(523)
(524)
=ampgtbull donde
e la impedancia sti]gtcrfieial o del plasma para una onda tipo H Sustituyendo (525) en
(524) encontramos la amplitud de la componente E del campo eleacutectrico raquo teacuterminos de
la impedancia el aacutengulo de incidencia y de la amplitud de la onda incidente en la frontera
del plasma
La definicioacuten de la impedancia (526) resulta coacutemoda ya que el coeficiente de reflexioacuten y la
profundidad de penetracioacuten se expresa de forma maacutes sencilla a traveacutes de ella En general
la impedancia es una cantidad compleja ZH = X + iX2 por eso el coeficiente de reflexioacuten
se puede escribir en la forma polar de Euler
01
M(AVlaquoM+1)-+ laquo-] e gt U 2 8 gt ^^xraquoiacute-l)1 + Y|coIiacutel
l
donde bull dcfitie la fase en la forma
XjcosO XjcosB bull = arctan bull mdash- - arctan bdquo mdash- (o29)
A i c o s 0 - 1 Xcos8+l
Uu paraacutemetro muy important del medio es ltbull) coeficiente lt]ltbull iexclilgtson-iiraquou el cual indica
laquorue laquoarte dc in energiacutea de la onda incidente se transfiere al pla-siiiraquo Si
P = 4~E x j = -iexcl-Eltraderaquo (030)
eraquo Iraquo denudad laquoIt-1 finjo de CIHTRIacuteH normal u la frontera dr la onda laquo[in incide y PT = y| |
es la densidad del finjo laquoIr In onda reflejada entonces el laquobulllaquobulleficiente de iilisorrioacuteii se define
roiiMraquo
W = ^mdash^ = 1 - |J|raquo (531)
Sustituyendo (528) en (531) obtenemos el coeficiente ltle absorcioacuten en teacuterminos de las
partes real e imaginaria dc la impedancia
W laquo Xcogt$ (532)
Ahora analiacutezemos con maacutes detalle las condiciones de propagacioacuten y amortiguamiento
de ondas electromagneacuteticas en un plasma de electrones en diferentes rangos dc frecuencia y
calculemos los coeficientes de reflexioacuten y absorcioacuten para cada casraquo respectivamente Para
92
ello sustituyamos (515) en (522) donde en este caso debido a la gran diferencia dr
masa de lo iones con respecto a los electrones consideraremos iquest^ as 0 Dr esta manera
obtenemos
r w V2
t - laquo raquo raquo - - (533) l jltlaquo + ilaquot)J
Consideremos los siguientes casos
a) El caso de altas frecuencias (cr lt -gt) Aquiacute los choques entre los electronraquo- se pueden
ilespreciar y entonces X- se reduce a la forma
Xraquo i- = - l - r o ^ - ^ (534)
En el reacutegimen de frecnciiriajiacute u lt ^lotfiacute lu m]x-ltlnraquorii es una caiitiilncl real y por In
tanto el coeficiente di- reflexioacuten y de absorcioacuten tomitii resjMrtivnniente la forma
donde
En este caso la fase (529) es igual con cero lo cual nos indica que laraquo ondas incidente
y reflejada se encuentran en fase Por otro lado la condicioacuten de amortiguamiento en un
plasma gaseoso sin colisiones consiste en que se cumple la desigualdad
ucof8 lt ugtVf (538)
03
IntrotUuetunos en calidad dr cararteriacutestica de penetracioacuten lthI ciexclttii|Mgt una |gtroftmililtlaltl
compleja de itetirtracioacuten determinada por medio de la relacioacuten tgt = t(gtraquo iquesti) El sentido
fiskti di la cantidad i es la distancia a la cual la amplitud del rampraquo en rl plasma ilecren
eu e mdash 271 veres de su valor inicial Con la condicioacuten ugt gtbull uicosB la profundidad de
penetracioacuten (anchura de la capa piel) no depende de la frecuencia = cu
h) En la regioacuten de bajas frecuencias w lt vt) los choques ya mgt se pueden despreciar En
este caso Rt Jt| s Ivi k y el campo en el plasma decreeraquo- ex]Mmirurial y oscilatoriamente
ilruumldr la frontera Si v gt m slt- tiene
k = -^zJviVrCosH+i- (539) Jiv v
si iacuteiilnilaacutes raquoiquest gt vrivosH entonces
y la longitud laquoIr la rapa piel tiene la forma
r iexcl2vt iquest = mdash J mdash = - 7 f iquest mdash (541)
donde raquo0 SB wf(4ffi) es la conductividad del plasma Notemos que (541) determina
la profundidad de penetracioacuten del campo en un conductor en el cual fluye una corriente
variable de baja frecuencia Asiacute las expresiones (521) determinan el campo en el plasma
en condiciones de un efecto piel normal o claacutesico A bajaraquo frecuencias y alta temperatura
del plasma estas expresiones ya no son vaacutelidas y es necesario analizar la penetracioacuten de los
campos en base a un modelo cineacutetico
Considerando las colisiones entre las partiacuteculas la impednncia del plasma tiene la forma
94
Zbdquo = (542) ^ugt(u)1cot10 - u pound ) + bull-bullJraquo
Si la frecuencia de colisiones es pequentildea pero sigue siendo finita y ademaacutes se cumplen las
desigualdades v lt raquo- ffgtiacute lt gtJcosi0 mdash uiiquest() entonces (542) se transforma COJIJO
Zbdquo = (543)
de donde observamos que en la regioacuten de frecuencias uirraquo^ lt ufPr el rocuumlcinjte ile iibsorrioacuten
se exprtsut en la lonnti
W = 2pro^Jtvwtraquo - l ) - (544)
Por otro lado si la frecuencia de la onda es lo suficientemente pequentildea tal laquopn- i gt laquobull y
se cumple la desigualdad J^Kv) gt OM rntonres la inj|MdnncIacutei se expri-sraquo como
z - iacute1 Voacuteiacute (545)
V -gtltbull y loraquo coeficientes de reflexioacuten y absorcioacuten se expresan respetivamente en la forma
R = (l-2Acltw0) 2e- MltM (540)
W = 4Xcoraquo9 (547)
donde A^ laquo -Xt = bullraquo( 2wt)
Finalmente observemos que las peacuterdidas de energiacutea que la onda sufre en el plasma
defiacutenidu por las foacutermuias (544) y (536) tiene diferente significado fiacutesico La W diferente
de cero cuando u = 0 esta relacionado con la excitacioacuten de una onda electromagneacutetica en
05
el plasma y el valor de W de (544) determina la parte de la energiacutea de la onda incidente
qiK- es utilizada para el calentamiento de los electrones del plasma eigt la capa piel
11 Paso deacute una onda H a traveacutes de una capa de plasma
Si la profundidad de penetracioacuten del campo ni una capa de plasma es tk-I orden de sns
dimensiones transversales o si la onda se pro|gtaga elraquo el plasma entonces la influrmia de
la segunda frontera del plasma resulta muy importante Determinemos el campo en el
plasma y los coeficientes iexclle reflexioacuten y de transmisioacuten en el paso de una onda incidente a
traveacutes de una rapa de plasma homogeacuteneo de anchura d
El canijaraquo i-n el vacio o cu la regioacuten T lt 0 tiene la forma (519)-(iquestj2l)) y el campo en la
regioacuten i gt 0 tiene la forma
Eraquo = TE0tcu = Eraquoltbdquosraquo (548)
donde T es el coeficiente de transmisioacuten El campo en el plasma consiste de dos ondas
tina de las cuales se propaga en direccioacuten de los valores positivos y la otra en direccioacuten de
los valores negativos de x
E = Aek + Be-ik = - iquest trade (549)
Las condiciones de continuidad de las componentes tangenciales del campo en la fronshy
tera del plasma x = 0 y x = ti anaacutelogas a (523) permiten determinar T y el campo en
el plasma
06
R = (1-pound)AiquestlaquogtM (550)
T = 2icoa$aacuteJWt - atn8t-kdeg (551)
Ey = 2cos8bTHi [iyt - iacuteenflcoJt(iacute - x) + aM0eni-(ri - ) ] (552)
donde
Aw = (t - 1 + 2colaquoI0)ifnfrrf + 2raquoVi - xriMrosHrosktd (553)
En el caso dr una onda que ]M-nctra en el plasma para la cual iquestrosH gt u dcspnviando
las colisiones entre las partiacuteculas el coeficiente de alisorcioacuten determinado como
B s l - R - T (554)
es igual a cero El cani|wgt en cl plasma tiene la forma dc uua onda estacionaria y con
la variacioacuten di- la cantidad t|rf los coeficientes de reflexioacuten y refraccioacuten oscilan Si en
condiciones de cierto piel kfd lt 1 entonceraquo a frecuencias lo suficientemente pequentildeas
(laquobullpound gt -(w + iv)) los coeficientes de reflexioacuten y nfraccioacuten tienen la forma
R = - (o iacute + io3)(o + 2co8 + iaj)~ (555)
T = 2cos0(a f 2ctgtiacuteiacute+^OJ^ (55C)
donde
- - 5^5-
97
En este caso el coeficiente de absorcioacuten se expresa como
IV = 4ocolaquo[(oi + 2co9)2 + a]]- (559)
Si Pt gtgt raquobull entonces o t gt cgt-iexcl Las peacuterdidas maacuteximas en este caso se obtienen con
la condicioacuten o = 2coi0 iguales a la mitad de la energiacutea de la onda incidente Las ondas
reflejada y refractada en este caso tendraacuten la misma amplitud en valor absoluto Las
foacutermulas (555)-(55G) se pueden generalizar para una capa delgada con cualquier iuhomc-
gcticidad Si diquest kcbdquobdquoj lt 1 entoneacuteis los campos en el plasma se ltrternmii del sistema
de ecuaciones
ils Ai r(w + ivrs)) = laquogtbull r 1 f i - laquo5CII)
donde las soluciones tienen lt forma
pound = C H = -f(x)C + C (5C1)
siendo
co w + iit(j)
Las condiciones de continuidad de los campos en las fronteras x = 0 y r mdash d nos llevan a
los valores (555) y (556) en los cuales oiacute = Re laquo(lt) y a2 = Im n(rf) Por otro latioacute
las constantes Ct y C3 a traveacutes de las cuales se expresan los campos en el plasma tienen
la forma
C = TEltiexcl = 2E0coraquo9aH(d) + 2coraquo9)- (503)
Cj = 2EoCO$eaH(d)co6)aHd) + 2coraquo8)- (564)
98
12 Penetracioacuten de una onda tipo H en un plasma deacutebilmente no homogeacuteneo
En una gran variedad de aplicaciones la densidad del plasma variacutea lentamente en el espacio
desde cero hasta cierto valor maacuteximo La penetracioacuten del campo en tales plasmas se
diferencia fuertemente de la penetracioacuten en un plasma con una frontera bien definida o
fuertemente no homogeacutenea Las ecuaciones que describen a las ondas electromagneacuteticas
en un plasma no homogeacuteneo son un sistema de ernarkmes diferenciales ron roefirntildeiites
variables iloudr sus soluciones exartas o aproximadas se enriient ran uacutenicamente para rasos
(laquoarticulares Uno ile estos rasos |gtartirulares es aquel laquoIr un medio de ra)gtas planas donde la
densidad variacutea ni una sola dirrrrioacuten Una serie dr soluciones escarias de las eruaeiones ile
la clertrodinaacutemira en un medio ile rapas planas ron diferentes variaciones de la densidad
se pueden ver en los trabajos (2327) Generalmente soluciones aproximadas relativamente
simples en estos medios se pueden eiirotitrar en regiones asintoacutetiras es decir a distanrias
grandes ron rcsjwrto a los puntos singulares de las eruaeiones difcrenriales Los paraacutemetros
que se usan en esta aproximar ion pueden ser la relacioacuten del tamantildeo caracteriacutestico de la
no lioinogcneidad L ron res|ierto a las longitudes de propagacioacuten A de las ondas en el
plasma Si uno de los valores rumple la desigualdad LX gt 1 eutoures en relacioacuten a esta
onda al plasma se le puede llamar deacutebilmente no homogeacuteneo La penetracioacuten de campos
electromagneacuteticos en un plasma deacutebilmente no homogeacuteneo se ha considerado en diferentes
trabajos [222327-31] Consideraremos algunos resultados obtenidos
Veamos un plasma compuesto de iones pesados fijos con densidad n0i) la carga de
los cuales en estado no perturbado se compensa con la carga dr los electrones ron temshy
peratura diferente de cero Te La densidad del plasma n0 - 0 ruando iacute - t O y rrece o
es infinita cuando mdashraquo ce No existe campo magneacutetico externo y la distriburioacuten de eler-
99
trones por velocidades es isotroacutepica Para la descripcioacuten de la penetracioacuten de mi cam]Mgt
electromagneacutetico en tal plasma se utilizan las ecuaciones de la hidrodinaacutemica (50)-(514)
en las cuales hay que sustituir iacuteo = 1raquo iacutei = 1 y gt mdash gt()bull La i-ruacioacuteu diflaquoniciacuteal (5IS)
que rige la jicnetracioacuten de ondas tipo H en un plasma no homogeacuteneo toma iexclihoni la fonna
iPE -=bull + kl(t[x) - stnH)E = 0 (5C5) tiacutex
donde la pcrinitividad dieleacutectrica es funcioacuten de la posicioacuten en la forma
pound ( ) = 1 ttiquestIl (5GG)
w(uiacute+ II ( x ) )
De id ecuacioacuten (oacuteCuuml) se puede hacer ililncdiiitaiiieiite tilia serie de deducciones a) 1raquo onda
se propaga libremente en li regioacuten Jif t lt bullgtni1tiacute b) en mi plasma maacutes ileliso iloude
Jlt gt nrrifl la propagacioacuten se vuelve imposible y la onda uacutenicamente penetra el plasma
en la longitud de la rapa piel y c) el punto Rr pound = srtiB es el punto de corle donde 1raquo
onda se refleja
En un plasma deacutebilmente inhomogeacuteneo ruando raquoo(x) variacutea deacutebilmente en la longitud de
la onda que se propaga por el plasma la ecuacioacuten (5C5) se puede resolver por el meacutetodo de
la geometriacutea oacuteptica para una dependencia arbitraria de la densidad gtibdquo(s) [23] La enlacioraquo
(565) tiene una solucioacuten exacta para una capa lineal cuando la permitividad dieleacutectrica
(v(x) lt ui) puede escribirse n la forma
donde
+ iUumlIacutepoundgtpoundf 507) X0 WI0
bull = amp
100
Aquiacute a es la pendiente que caracteriza la dependencia lineal de la densidad de electrones
ron respecto a la posicioacuten Para el caso de un plasma sin colisiones (e = 0) reescribimos
iacuteoacute65) en la forma
- pound + kl( co1raquo - mdash )pound = 0 (569) ax Xo
haciendo el cambio de variable
C=[f) ix^coraquo2raquo - x) (570)
la ecuacioacuten (5C9) se puede llevar a la ecuacioacuten de Airy
^ + C pound = 0 (571)
Su solucioacuten decreciente cuando i mdashbull ltx tiene la forma [32]
poundraquolaquo) = mdash coM--Ct)gtlv (5-72) ir Jo J
donde A ex una constante que se determina de la roiidieiones de frontera manilo x = 0
En la obtencioacuten de la expresioacuten (572) (te lia despreciado la reflexioacuten de la onda en la
frontera del plasma debido al gradiente de densidad Es decir la amplitud del campo
eleacutectrico en el punto x bull 0 se considera igual a Eg lo que es vaacutelido para valores pequentildeos
del gradiente de densidad en este punto (|^|o ltC k) En la regioacuten 0 lt x lt x0colaquo28
debido a la suma de las ondas incidente y reflejada poundbdquo(() tiene la forma de una onda
estacionariacutea Lo anterior es asiacute ya que para valores positivos y grandes de ( E(Q tiene
una representacioacuten asintoacutetica en la forma [32]
101
Cerca df la frontera los valores del campo estaacuten dados aproximadamente |laquogtr
cuyo valor maacuteximo es
4a-gtgt-w-niexcliacuteiquest5^- bull (575)
Ln expresioacuten (575) resulta de la interferencia constructiva de las ondas ipie viajan a In
ii|UIacutecrda y a la derecha rrsprctivamrnte pin lo tanto la amplitud de la onda incidente poundbdquo
tt-tidru la forma
Aliora evaluemos la ronstatite 4 de (572) Para rilo iitiliemos la representacioacuten
asintoacutetira (573) y consideremos la condicioacuten de frontera de acoplamiento de los campos
en el plasma y en el vacio
poundT(0) = JEIacute (577)
De acuerdo con la definicioacuten (570) para ( podemos escribir el teacutermino ijCv en ln forma
f^^ (--pound_) (578)
Sustituyendo (578) en (573) y evaluando en x = 0 obtenemos
3A 2 ir poundlaquo(0) ) = -7k0Xo)-ucos-iacuteli9coraquo(-k0j0coS9 - -) (579)
yf f O 4
102
x = O = x0rnslV X
FiexclgS2 Alii|tli(ultl laquoId rrtiii|ngt eleacuterlrim cu la vecindad del punto de reflexioacuten s - xbdquoiiiH
Finalmente apurando 1raquo roiitliacutetiacuteoacuten de frontero (577) cnroutraiiioM el valor de A
(580)
La amplitud aacutee la onda estacionaria que se forma en el plasma cu los puntos cercanos
al punto de reflexioacuten x = Xoco29 crece (Fig52) Su valor maacuteximo se puede obtener de la
expresioacuten (572) el cual corresponde al primer cero de la derivada de la funcioacuten de Airy
[11] y tiene el valor
2 a a | l = 268 (581)
Asiacute dividiendo (5S1) entre (576) obtenemos el coeficiente de amplificacioacuten de la amplitud
del campo eleacutectrico en el plasma con respecto al campo en el vacio
103
| s f = 374(oolaquo3laquo)3 (582)
En el caso maacutes general de un plasma deacutebilmente inhomogeacuteneo en (562) en lugar dr
arbdquo debemos sustituir
En este caso para valores grandes de (koro)l^eoraquo0 auacuten una |MI jtirntildea parte imaginaria de
ki pcniMtiviacutedad dieleacutectrica puede rondticir a jteacuterdidas significativa de energiacutea de la onda
Si ni gtgt P jiacute () entonces la ecuacioacuten (571) conserva su forma pero ( en csrraquoiexcl caso laquo-S una
cantidad compleja
- ( )
raquo ( j v o ^ + x - mdash ) (584)
Nuevamente la onda (pit se forma en la regioacuten 0 lt x lt sltol(t es una onda estacionaria
lgtcro ahora la onda que se refleja cu el punto de corte Tit t = oc) nltgt tiene la misma
amplitud de la oiiif-t incidente Aquiacute cl coeficiente de reflexioacuten es diferente de la unidad y
se expresa como [23]
R as e m laquomdashgtbull m e-raquopound raquolaquoraquo (585)
La amplitud maacutexima del campo cerca del punto de reflexioacuten en este raso disminuye en
Ry
|iexcl iacute | 2 374|| 2(ltWw3)1 3 (586)
104
CONCLUSIONES
I Se describioacute la teoriacutea general de las guiacuteas de onda y resonadores cilindricos En base a
esta teoriacutea se obtuvieron obtenido los paraacutemetros principales que ritrart izan vi sistema
de microondas di- la fuente de plasma descrita cu [2] En el raso ilc una guiacutea de onda
cilindrica hecha tiraquo- bronce y ron Suacuterm de diaacutemetro interno se obtuvieron los siguientes
valores para los distintos paraacutemetros de pro|gtagariexcloacuteu de midas litadas en el IIIIHIO
A = 145rw raquobullbdquo = 13 x WHi I = 02753rraquor A = 22S2raquo Zbdquo = 187
ti = 56 x 10degtrade K3 = lC x 10uumlcfia
La constante de amortiguatniento lgtara estas ondas romraquo ronseriiriiciraquo de la roudur-
tividad finita ile las paredes metaacutelicas tiene el valor om = 1032 x 104 como este valor
es muy pequentildeo obtenemos que se puede considerar que la guiacutea de onda del sistema de
microondas (de no maacutes de un metro de longitud) es una guiacutea de onda ideal (sin ]xrdiexcldas de
energiacutea) Por otro lado para el resonador cilindrico laquopie compone el sistema de microondas
de radio a bull 7cm se obtuvo la distancia necesaria para que en el resonador oscile una onda
en modo Ht (wm = 15394 x 10(f ) Esta distancia tiene el valor d - 71Gcm Ademaacutes
se evaluaron la calidad del resonador y el ancho de banda donde el modo TEu puede ser
excitado uacutenicamente Q =bullbull 404963 w2 - uraquo = 000025 x WH respectivamente
II Se analizoacute el problema cuando la guiacutea de onda y el resonador cilindricos conshy
tienen una columna de plasma friacuteo magnetizado e inhomogeacuteneo distribuido axialmcnte
105
La columna de plasma cti el caso de la fuente de plasma [2j tiene un radio r = 3mraquo
y ademaacutes el perfil de densidad se consideroacute de tijraquoo paraboacutelico Eu base a la teoriacutea tie
perturbacioacuten y usando como paraacutemetro pequentildeo la pequenez del radio del plasma con
respecto a la longitud dt- onda se calculoacute la constante de amortiguamiento de la ondas
que se propagan en la guiacutea de onda ocasionada por la presencia del plasma La constante
de amortiguamiento tiene el valor o = lSS x 10~4
Se calculoacute ia variacioacuten de la frecuencia de resonancia fie las ondas que se etinieutran
resonando en modo TEtti en i resonador asiacute romo la variacioacuten en el inverso dr la calidad
del resonador obteniendo resp t-tiacutevaineiifc Aw - -lG3x 10 H MlQ) = oacuteS2x lO1
Los valores para n Aw y plusmniexclQ) se obtuvieron paro el caso mando ^bulljiacute(l))raquo = OS y
para el punto cerranraquo al punto di- resonancia ciclorroacutenica u = 0999 Ademaacutes se obtuvo
que la constante de amortiguamiento en el caso de la guiacutea de onda en el punto de resonancia
ciclotroacutenica l-u = w) se hace cero De lo anterior podernos roiirluir que la inutii se propaga
libremente en el plasma
III En el marco de la teoriacutea lined se analizoacute el proceso de penetracioacuten de campos
electromagneacuteticos en un plasma scmilimitaclo Se obtuvieron Jos coeficientes de reflexioacuten
transmisioacuten y de absorcioacuten para ondas tipo H tanto para un plasma homogeacuteneo y un
plasma no bomogeacutetieo Un aspecto fiacutesico importante en el estudio de la penetracioacuten de
ondas electromagneacuteticas en plasmas inhomogeacuteneos es que para una incidencia normal existe
un crecimiento del campo eleacutectrico en el punto donde la permitividad se hace cero Para
plasmaraquo magnetizados el comportamiento anterior es similar Por otro lado cabe sentildealar
que los puntos dentro de un plasma friacuteo e inhomogeacuteneo en los cuales el iacutendice de refraccioacuten
106
es infinito permite una absorcioacuten de las ondas de tipo no colisional en el plasma y al
mismo tiempo se obliga al campo eleacutectrico a tener un valor finito Esta absorcioacuten en el
plasma se asocia al hecho de que en el punto iacute = oo el campo electromagneacutetico sufre una
transformacioacuten lineal en otro tipo de ondas
Finalmente hay que hacer notar que la absorcioacuten de las ondas en las guiacuteas de onda
y los resonadores se debe uacutenicamente a la variacioacuten o cambio que sufre la constante de
propagacioacuten y la calidad del resonador respectivamente por la influencia tlcl plasma Este
mecanismo de transferencia de energiacutea ai plasma es diferente al mecanismo laquoIr la transforshy
macioacuten lineal de ondas
107
REFERENCIAS
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32 Lebctlev N(1972) Special functions and ihrtr aplications Dover puhlirntioits Nrw
York
110
Con todo carintildeo
A mi Madre
a la memoria de nuacute Pudre
A mis hermanos
Francisco
Lupe
Ana Muriacutea
Juan
Mauricio
Maribel
por el apoyo y confianza que me han brindado
A mis compantildeeros y Amigos
Marcelo
Omar
Javier
J Manuel
Agradezco al Dr Ceacutesar R Gutieacuterrez Tapia
Por su valiosa direccioacuten eu la elaboracioacuten
de este trabajo de tesis
De manera especial al
Fit Gerardo Anguiano 0
Por su apoyo en sistemas de computo
Por sus comentarios al
Dr Enrique Campraquo C
Por su colaboraciuacuteu cu la roviaacuteoacuteu de esta tesis
agradezco a los Profesorraquoraquoraquo
FM J Antonio Aguilar S
MC Gloria Daca L
Fit Aurelio A Tamez M
Dr Albino Hernaacutendez G
M en I Carlos Sandoval A
y a las instituciones
Universidad Autoacutenoma del Ettado de Meacutexico
Instituto Nacional de Investigaciones Nucleates
Gobierno del Estado de Meacutexico
por su apoyo y facilidades brindadas en la
realizacioacuten de este trabajo de tesis
CONTENIDO
INTRODUCCIOacuteN 1
CAPITULO 1 DESCRIPCIOacuteN DEL PLASMA 3
1 Principales paraacutemetros del plasma 3
2 Meacutetodos teoacutericos ltraquobull descripcioacuten del plasma 8
CAPITULO 2 GUIAS DE ONDA Y RESONADORES 12
3 Guias de onda 1 2
31 Ecuacioacuten de valores propios 12
32 Paraacutemetros de propagacioacuten 15
33 Coeficiente de absorcioacuten 18
34 Guiacutea de onda cilindrica Modo Hmn 19
35 Coeficiente de absorcioacuten Modo H^ 23
4 Cavidades resonantes (resonadores) 27
41 Caracteriacutesticas generales 27
42 Energiacutea almacenada y calidad de los resonadores 31
43 Excitacioacuten de los IIHMIIH tie ilaquorilac)oacuteii 34
44 Resonador de forma cilindrica 30
CAPITULO 3 TEORIacuteA DE PERTURBACIOacuteN 41
5 El meacutetodo de perturbacioacuten eu las guiacuteas de onda 41
6 El meacutetodo de jicrturbacioacuteii en los resonadores 49
CAPITULO 4 INFLUENCIA DEL PLASMA 5G
7 InfliUliriii del plasma cu la- guiacuteas de onda 5C
8 Influencia ilel plasma en los resonadores 74
CAPITULO 5 PENETRACIOacuteN DE ONDAS EN EL PLASMA 83
9 Penetracioacuten de campo ilectruniagneacuteikos cu el plasma S3
91 Penetracioacuten de campos electromagneacuteticos en la aproximacioacuten
hidrodinaacutemica Sistema de ecuaciones 84
92 Penetracioacuten de ondas tipo E y H 86
10 Penetracioacuten de una onda electromagneacutetica en un plasma homogeacuteneo
semihmitado Reflexioacuten y absorcioacuten de ondas tipo H 89
11 Paso de una onda H en una capa de plasma 96
12 Penetracioacuten de una onda tipo H en un plasma deacutebilmente no homogeacuteneo 99
CONCLUSIONES 105
REFERENCIAS 108
INTRODUCCIOacuteN
ActUiiluieiili cu rl IXIN se tiene miii fiiriitc de plasma roiistruida iU el proyecto IB-
230 Esta es una fuente de plasma friacuteo sin ilict rodos (pie genera rl plasma por mirroondas
IIH iiniite resonancia rirlot romea di- los electrones Este tipo de dispositivos son de eran
actualidad ililiiiin iexcli sus posibilidades potenciales di apuracioacuten a Iti industria tiacuteili-s romo ltl
pngtisiacuteiiiiiiiitn ili- ilifi-riiifrs materiales |]iexcl (la formacioacuten laquoIr peliacuteculas delgadas poliacutemeros
liiiacutecnielcct ioacutenica soldadura iiiiit|uinns-lierrainieiitns etc) En estos dispositivos tambieacuten
rs relevante el estudio de fenoacutemenos baacutesicos i|iie ocurren en el plasma ionio la conversioacuten
lineuumll y no lineiil de ondiacuteis en el plasma Parraquo mayor informadoraquo sobre vi dispositivo ver [2]
Uno laquoIr los componentes baacutesicos del dispositivo es el sistema de inicruondas el cual consiste
de un generador de microondas (magnetron) de una guiacutea de onda y de un resonador El
generador que se utiliza es un Raytheon PGlOxl con frecuencia fija de = 245 GHz y de
potencia variable f 10 - 500 W) Li alta frecuencia del campo se transporta a una cavidad
resonante por una guiacutea de onda cilindrica de bronce de 85cm de diaacutemetro En esta guiacutea se
excita una onda electromagneacutetica en modo H El resonador de bronce tiene un diaacutemetro
de 14cm y en el cual se excita una onda en modo TTm-
En este trabajo de tesis se realiza una revisioacuten del caacutelculo del sistema de microondas
que componen el dispositivo y un estudio sobre la interaccioacuten lineal de ondas que pueden
ocurrir en el plasma en este dispositivo En el Capl se hace una pequentildea descripcioacuten de
los principales paraacutemetros del plasma y de los principales meacutetodos teoacutericos para su des-
1
bull ti|Miexclltgtii En bull Cap2 w laquoICSITIacuteIM- In teoriacutea general de las guiacutea- de onda y los resonadores
cilindricos En el (iexcli|i3 si- de-rrilie la Teoriacutea gtbullbull Perttirltacioacuten uacutetil iexclwira el i-aacutelculo di lo
diferentes )i-iiaacuteiii(tros di- lagt uniacuteraquo de onda y lo- resonadores nur contienen itti plasma en
su interior En el Cap4 en lgtase a la teoriacutea ltllt- pi-rturltacioacuten gtbullbull calcula la variacioacuten di- la
constante ri pro|gtagariigtn de las ondas ijuc so propagan en una guiacutea dr onihi cilindrica asiacute
iilaquomgt la variacioacuten di liexclgt frecuencia de resonancia de las ondas lt|tio si- iiiencntraii oscilando
ili un resonador laquopie IOIIIIacuteIIM una i-olnniiia de plasma friacuteo riliacutendriro magnetizado ltbull inlio-
mogoacuteiieo disnilmido axiacutealiiinili En el Cap-V i-ii el marro dr la teoriacutea linral se Kivostiga
ri proccsiraquo di penetracioacuten di campos eleotioniauiacuteHlieiraquo- III un plasma ademaacutes sr obtienen
los coeficientes de reflexioacuten transmisioacuten y di aliMgtirioacuten paia ululas bullbullgtltgt Finalmente
si- lian- un resumen di- los principales resollados nlitriiidos en el traUiacutejo di- trxis
La propagacioacuten de ondas de muy alta frecuencia representa un lema laquolo gran anualishy
dad iii campo romo la radiofiacutesica (oomttiiiriirionos radares radiotelescopios etc) y la
fiacutesica d r plasmas (aplicariones y fusion termonuclear iotroluda) En la fiacutesica de plasmaraquo
actualmente se est lidian dispositivos en base a suirrooiidas y radiofrecuencia laquopie son muy
interesantes por la gama ile aplicaciones (pie se descu-ren constantemente Por otro latioacute
el calentamiento adiriacuteonal tlel plasma por ondas de radiofrecuencia en dispositivo donde
se obtienen plasmas de alta temperatura para el estudio de la fusioacuten termonuclear conshy
trolada es un tema que tiene gran importancia Por lo anterior el desarrollo de la teoriacutea
lineal y no lineal de propagacioacuten dr ondaraquo de alta frecuencia es de gran relevancia
2
CAPITULO 1
DESCRIPCIOacuteN DEL PLASMA
1 Principales paraacutemetros del plasma
El plasma rs un uniacute lio nmsinritro compuesto laquole partiacuteculas cargairaquo positivas negativas
y ademaacutes tli- partiacuteculas neutra (aacutetomos y moleacuteculas) que inicraci-ionan entre siacute y con la
radiacioacuten Las partiacuteculas positivas son los iones y las negativas son los electrones (los iones
negativoraquo juegan un papel secundario) Ademaacutes de los aacutetomos y de las moleacuteculas que se
encuentran cu su estado base en el plasma ]meden existir tambieacuten en grandes cantidades
aacutetomos y moleacuteculas cu estados excitados El plasma entonces es un gas ionizado en el
cual la carga negativa de los electrones neutraliza casi completamente la carga positiva de
los iones
Veamos algunos procesos que ocurren en el plasma (3-7] El plasma se obtiene por la
ionizacioacuten cuando se separan los electrones de los aacutetomos o de las moleacuteculas Son posibles
dos formas de ionizacioacuten en un plasma denso principalmente tiene lugar la ionizacioacuten por
choques de los electrones con los iones o aacutetomos nertros y para un plasma muy enrarecido
es caracteriacutestica la ionizacioacuten por radiacioacuten (oacuteptica ultravioleta y por rayos X) Es posible
tambieacuten que ocurra la ionizacioacuten por los choques entre los aacutetomos o con los iones El
3
proceso inverso iquesti 1Iacute ionizacioacuten es lit recigtmlltinlaquoooacuteiiexcl es ib-cjr Ib unioacuten de un electroacuten con
mi ion y con ii consecuente formacioacuten de un aacutetomo o moleacutecula neutra En un plasma
enrarecido la igtgt iacuteniliniexclnioacuteii ocurre generalmente con radiacioacuten y en un plasma denso lu
riioiubiiiacioacuteu gtbullbull rriiiiii en los choques triples (se recoiuliina un electroacuten y un ion y mi
segundo electroacuten gtbull lleva el sobrante de energiacutea) Por otro birlo el plasma lugt solamente
radia hi visible sino tambieacuten radiacioacuten ultravioleta y ademaacutes si t-1 plasma es muy caliente
tambieacuten radia rayos A
El plasma por naturaleza se comporta como un gas por lo que para su laquoICM riprioacuten
si- utilizan ronrepros talrs como densidad presioacuten (esiipfralmgt itr El movimiento ile
las partiacutecula- ocurre ilr fon na caoacutetica En laquoI caso laquobull bull partiacuteculas lt|tilt- no timen carpa en
su movimiento teacutermico la iliriciioacuten de su movimiento varia solo |Mgtr los c-limpies como
cu un gas simple Entre cada choque el movimiento de las partiacutecularaquo con velocidad
constante r describe una linca t rta En este cano la longitud promedio de recorrido
lilwe es A = VT = iexclnma donde r es el tiempo entre los clioques nm es la densidad
tlil medio y n es la seccioacuten de choque A mayor densidad la longitud de recurrido libre
medio tm menor y Ja frecuencia dr rolimeacuteo v = 1T = nmav es mayor Loraquo choques entre
las partiacuteculas neutras ocurren por la accioacuten de fuerzas de corto alcance las cuales son
proporcionales a rri y pueden ser tanto elaacutesticas (intercambio uacutenicamente de energiacutea
cineacutetica) como inelaacutesticas (transformacioacuten de la energiacutea cineacutetica de las partiacuteculas ergt otras
formas de energiacutea como son excitacioacuten ionizacioacuten y recarga) A diferencio de las partiacuteculas
neutras sobre las partiacuteculas cargadas actuacutean tuerzas de largo alcance proporcionales a r
las cuales se rigen por la ley de Coulomb Esta interaccioacuten disminuye lentamente con la
distancia El movimiento de las partiacuteculas ya no se realiza por una linea quebrada sino
siguen trayectorias muy complicadas Sin embargo estas trayectorias se pueden aproximar
a una linea quebrada y en esta forma introducir el concepto de choque coulombiano En
4
iexclo inuwrioacuten iilt- 1iexclIgt partiacuteculas las maacutes fuertes resultan raquo T las de largo alcance Las
interacciones coulombiaiifis determinan Minchas propiedades del plasma A traveacutes de eacutestas
a|raquoareceii las propiedades colectivas del planum relacionadas ron la interaccioacuten simultaacutenea
ltltbull mtiriiH- partiacuteculas
Las partiacutecula nue componen cl plasma se encuentran igteniianenteinente en estado de
movimiento teacutermico caoacutetico Este movimiento se caracteriza por lit temperatura del plasma
7 romo un todo y por la temperatura Tbdquo tic siis diferentes componentes (aquiacute ir puede ser
i o i pata iexclos elertrmies o iones respectivamente) La temperatura liacuteeiennina la energiacutea lilshy
las partiacuteculas del sistema el euiil se tinmiit i iexcli en ei|iiililirio teri-iodinaacuteiiiico El |gtlnsiiit se
llama isoteacutermico si este se encuentra en equilibrio teuuodinaacuteinico ionio un todo y la funcioacuten
de distrUumlMieioacuteit de la energiacutea de las partiacuteculas de todo tipo es una distribucioacuten inaxweliacuteaua
con una misinn temperatura X (T = T = T) En el caso de un equilibrio lennodiacutenaacutemicolaquole
una parte del plasma cuando diferentes componentes tienen una distribucioacuten maxweliana
pero diferentes temperaturas vi plasma se llaina no-isoteacutermico o sea Tt iquest T Esto uacuteltimo
es posible debido a laquopie cl intercambio de energiacutea emre los electroiws y los iones ocurte maacutes
lentamente que el intercambio de energiacutea entre las partiacuteculas que tienen una misma masa
En base a esto uacuteltimo en un plasma no muy denso con pocas colisiones puede existir
un estado con dos temperaturas ioacutenica 7iexcl y electroacutenica T En el caso de una funcioacuten de
distribucioacuten maxweliana de las partiacuteculas fm exp(-m0vl2kTo) la temperatura de un
plasma en equilibrio determina la energiacutea cineacutetica promedio del movimiento teacutermico
3fcT _ _ _ _ _ ^=(mavl2) = Eacutee (11)
donde k mdash 138 x W~ttrgioraquodegK es la constante de Boltzmann y 7_ es la temperatura
de las partiacuteculas de clase o La raya superior en la parte derecha indica un promedio con
respecto a las velocidades
5
Una earailiTisMra importante del plasma rgt la fririMii-in plaacutesmica la cual esta canic-
tiriaila por liis oM-ilaciacuteouo electroacutenicas ltlrl plasma
tliHide i es la carga del electroacuten (t iexclft 4SU32 x 10iraquolaquotoiWoraquo()i u es 1iexcliexcl concentracioacuten ilr
electrones (laquobula iii mi) y MI lt~iexcl la masa del electroacuten (raquolaquo = 01095 x lO^V)- Las oscilashy
ciones |gtliacuteisiuiris son oscilaciones longitudinales electrostaacuteticas i|tn- surgen romo resultado
ilr hi separacioacuten ilr partiacuteculas lardadas a distancias microscoacutepicas y ilil surgimiento de lalaquo
fuelas ill COIIIIIIIIII La fu incuria plaacutesmica soacutelo depende dr la ciiurrut racioacuten laquo
raquo- 5 Tx Wyj^ 113)
ii ltii la forma
A = | = 2 x l O 3 ^ 1 0 ^ (14)
La escala temporal ill separacioacuten laquole carga cs una cantidad inversa a la frecuencia plaacutesmica
r ss 1w Como laquoi los intervalos dc tiempo gt r las partiacuteculas realizan imirlins oscilashy
ciones cerca de su posicioacuten de equilibrio entonces el plasma como un todo se comporta
como un sistema neutro en el tiempo La separacioacuten de cargas puede ser importante soacutelo en
intervalos de tiempo t lt r pequentildeos con respecto a la escala temporal La escala espacial
de separacioacuten de cargas es la distancia basta la cual se puede desplazar una perturbacioacuten de
la concentracioacuten de las partiacuteculas cargadas debido a su movimiento teacutermico en un tiempo
igual al periodo de las oscilaciones plaacutesmicas la cual se expresa en la forma (dada en cm)
laquobullV V 4iregtnt
6
doxiie = lTni mdash 45 x VSyJT laquo-s In velocidad del movimiento teacutermico de los
bull iexclii-roiifs 7 laquo- Iraquo fltbullijijx-rittiilt le los electrones en A y gt es la cow-rut racioacuten laquole los
bullllaquoM-roraquofgt MI nn~ bull La ltlisuiiit
bullgtbull llama radio ltit- Debye para los electrones Para tin plasma niasiiirtirro es necesario ijiie
its liiuiitiMoiiis riinirifristiras L scan siciiihnitivniiifiitc mayores ipie el radio ir Debyc cs
laquo[bullbullbullbulli L ~iquestgt in ion esta condicioacuten slaquo- purde considerar ijnc laquobull -iexcl-teiacutena ilf partiacuteculas figtrman
un plasma En riiMi inverso L ltg riexcl i tenemos mi coiijmtlo I|I- |gtutiiiiiii- cargadas
-f|gtnli- Asiacute llenamos iexcli la definicioacuten laquoIt-1 plasma propuesta por Laugmuii [5iexcl rl plasma
i-s tin conjunto tic partiacuteculas iirutras y careadas en rl cual ai sc satisfaci- la condicioacuten dc
ciiasiiii-utralidiid poundbdquo rbdquoraquobdquo = 0 y lit el radio dc Debyc dc apaiitallainit-iilo es mucho niiiior
bullinraquo1 las dimensiones caracteriacutesticas laquopic ocupan el conjunto laquole partiacuteculas r^ lt L
Una infltiriiciii iiii]iortantf sobre rl iiioviinie-nto de las partiacuteculas la ocasionan la exisshy
tencia laquolaquobull un riexcluingt magneacutetico externo constante el cual ordena el movimiento caoacutetico de
las partiacuteculas En un campo magneacutetico actuacutea laquoobre las partiacuteculas cargadas una fuerza llashy
mada poiidcroinotriz (lorentziana) dirigida ])cr]gtcndirulannriite a la direccioacuten del campo
magneacutetico B0 y a la velocidad de la partiacutecula iacute Bajo la influencia de esta fuerza las
partiacuteculas giran con una frecuencia angular igual a wBbdquo A esta frecuencia se le conoce
como frecuencia riclotroacutenica o de Larmor y para los electrones tiene la forma
~B = mdash 176x07Bo (17) me
Para que el plasma resulte ser magnetizado (anisoacutetropo) eacuteste no debe ser muy denso y
deblt encontrarse en un campo magneacutetico muy fuerte Por esta razoacuten es necesario que en
laquorl intervalo ltli- liniipo vnf dos i-olisiotn-s rbdquo las partiacuteculas pmdan nahzar uiiniios iexclinraquo
ttlri-drdor ill- las lincas del raui]Hgt iiiiiacutegiit-tiro Esta condicioacuten gtbull inarm tizai ion jitira lets
rliTtroiics es di- la forma
w laquo r m raquo l (lSj
En la ltlin riiiiti ilrl rampo iiiin-iiitiio la influencia de laquo-sir soliri- Ins partiacuteculas careadaraquo cs
nulo En mi campo magnet iro lioiiiogeacutem-o las trayectorias del movimiento dc las partiacuteculas
cargadas tiiinu forma bullltbull bullbull -jiiiiilraquo-
Por laquofin lado liay ijiir diferenciar los conceptos dc plasma friacuteo y plasma caliente Eli
mi plasma friacuteo r) movimiento teacutermico de las partiacuteculas es menor que la presioacuten i-I bullbulliinjgtgt
MKiKiirtim es decir
-2=2fIlti (io) Entonces podemos decir que rii mi plasma friacuteo que sr oiicticiif ni en mi campo magneacutetico
w puede despreciar rl movimiento trrminraquo dc1raquogt partinilas En mi plasma caliente esto
uacuteltimo no es vaacutelido
2 Meacutetodos teoacutericos de descripcioacuten del plasma
En el desarrollo de la concepcioacuten del plasma como un gas de partiacuteculas cargadas cambiaron
tambieacuten los meacutetodos de su descripcioacuten Los primeros modelos maacutes simples de la descripcioacuten
cualitativa del plasma lo suponen como un sistema de partiacuteculas cargadas que no interar-
tuan entre siacute y que se mueven libremente en presencia de los campos eleacutectrico y magneacutetico
externos Es decir si so considera que el plasma esta compuesto de jVbdquo partiacuteculas de clase o
8
iexclbulli -r mueven dcltido iexcli MI energiacutea teacutermica en forma caoacutetica entonces es uii-fNarin resolver
~ ecuaciones laquogtbull movimiento con uti miacutenimo iexclEnfil raquobullbull condiciones iniciales i posicioacuten y
-bullbullio-idades iniciales ilr partiacuteculas | Obviamente esto uacuteltimo es imposible de realizar Se
puede reducir fuertemente el problema si gtraquobull desprecia liexcli dis]gtcrsiexcleacutegtn de las velocidades dr
bullu iovimicnlo teacutermico es decir si se considera el movimiento promedio de una partiacutecula
laquoiexclHe v encuentra en reposo cuando no hay campos externos Asiacute este modelo simple
de iexclarticulas independientes completamente desprecia no solamente la interaccioacuten entre
piiriexclniiacuteiacuteiraquo sino eiexcl movimieiiio teacutermico de la- mismas
Pura determinar la velocidad dgt- una partiacutecula carnada del ntasma en el modelo de
pariacuteVittiis independiacuteenles se resuelven las i (ilaciones de movimiento para partiacuteculas de
gtia- bullgt en la forma
-y- = lt iacute iquest + -|ibdquo X D + iexcliexcl111 I110) Jlz
ir ~ donde iexcl = gtnbdquorbdquo es el impulso de la partiacutecula de dase o y ies la aceleracioacuten provocada
por fiHTns no electromagneacuteticas Eti las ecuaciones (LiO) la iiidiiccioacuten magneacutetica D
y el campo eleacutectrico E no se consideran como variaUes conocidas ya ipie estos campus
incluyen en siacute campos inducidos en el plasma cjue MOJIacute provocados por el movimiento de las
partiacuteculas cargadaraquo por lo (pie hay que resolver un problema autocousigtente es decir la
solucioacuten de (110) conjuntamente con laraquo ecuaciones de campo
VxS = M + Iacute I ( + ( 0) (iii) c ot c
V-Eacute m 4-(p + po) (1 13)
v i = 0 (114)
9
01
(si-i) ltraquoiquestbull AW + J) + W + sectxsectA)Y +ilaacute- raquo
waacute(A-iacute) + ^ Vlt = JLVpound mp
(iquestri) -o = W aacute w - A + ^
iexcllaquoupauSimi HJiuiHiupo pii] laquoj ip laquoai iopuioa ap jjnaiscsi io x) inn uctuivcs u n
HZI|1)II t8 opiti |f ui |vmi raquoia ap OIIMIIUIAOIH jap t iopduauap H| H Iacute H J -OJIIIU OIIIIIJIIOI o ip j tu mi
(ipllllllUOJ OJIIK laquoHill OIlllll lltijjodll S Sgt1IIIIIltMI|IIOJ SHJSI Hill llX HJItlHI A UIIIIOI liJIIIOJl
bullJMraquo NtJIIHKullllO1 Sl| 11)111 IttllHMJIi j j l lililiacute IMIacutelj IS lili IIJlllllllipiU|lll| CI|I|KM11 |l l|-J
i
OIIIIIIIIipiM|)II[ (gt|l|raquoOIII |l iZI|llll
is osli i|Si 113 ltM1IIHI l((|ill|)Ulll o|(llllil | mi imuii Jllli|MSIIlu ipmd is lti|i(i| (III oltloi
Dlllsmii |l lt ltI|IIIKIIJI(1IJltII 1)1111111 Ulllj l||St IS IIIHI SI|lll(UIltI SI|IIMIJI(I sltlt[ 1(1 (IJfUItlllAillll
|i ltisui|i 11111 miis-H|ltl 1111 111 iiUuumluniii iexcllaquo j o j ii|iiiuiiii(iultii ms i ltm siquniiud ltn gtgt
ltI|I1III1U Villi |l (MU | l lll lt 1(11ili 111 AIIIII iMIIsiqil tin 1(1 IKIII |i l|gt II|IK lti|ilI|I|ll MS i|llllltl
Sgt|I1HIIIIMII|IIII -ii(liilinil ip II(I|KMII (1 H|tiit|iiltl 113 lti|iiiiitll] si inusiqd |i|i IIltIIMIUISI|I
l| lll IIOIHiipill US Hill ltl| Hid degSI(||||||Ilt1 Sl| 1(1 i||llll(1llAOIII |lp 11(11liqll1111 bull] OlIItU11
(iinmiiiAoui (1 bulluipisUtii 1111 ofiji is (IHKII si|tfi(|ifiH(i|ifft s-ftptjiijiMi (lt lti(i(iorij ( 3
( 9 1 1 ) 0 = V V bull A + T ^
|Mqmimiuoj ltraquofi tiacuteotjuttji laquoj uKiexclatms (()) niexcljsijtfs j pthy
ltcni bullbulliquestx^ = [ -x^ = lt
laquoUIKIJ i( (lllllll l|(MMJltll ijl A i|l(lll(IUI laquoSjlM laquolt Kj|tt|raquoISIM|gt gtlJ Sgt(itl) slj | Ifi
= V y [- x D - -pound-V x I i r Uuml) (119) Of 4 ~ ltT
V B = 0 (120)
donde ni ex 1iexclI ltbull usidad del liquido ltlaquoMiraquohicTtgtr (plasma) ron una rondiirtividad n vi es la
velocidad del plasma y ( r son 1lt- roi-firiciites de viscosidad Este sistema laquoir eriiarionis
w debe de roiujut mentar ron las emanones de rotado y la iiiiwioacuteii laquole tnuiNpurte de calor
= Hni-T) (121 0
M7 mdash + (rlaquoV| uumlt
~ bdquo 2L1L + X-(VTgt+ mdash mdash l ^ x Uuml r (122)
donde raquo = raquoij(T) es la entropiacutea de uiiii masa unidad de plasma n es la rondnrtividad
iltl ialor y rttJ elaquo el tensor laquoir viscosidad
^= (iiexclr + iiquestL~ hgtv TA) av bull IacuteL23)
En la magnet oliidrodinaacutemira se consideran dados la rondnrtividad eleacutectrica la conshy
ductividad laquolaquobull calor tlcl plasma y tambieacuten los coeficientes de viscosidad En la praacutectica
se utilizan modelos modificados dr la magnetoliidrodiacutenaacutemicn tales como el modelo cuasi-
magnetohidrodinaacutemico de dos liacutequidos (electrones y iones) y de tres liacutequidos (electrones
iones y neutros) tos cuales de forma fenomenoloacutegica consideran la interaccioacuten entre las
partiacuteculas- su movimiento teacutermico Estos modelos simples generalmente son aproximados
y para su fundamentacioacuten se exige la utilizar ion de un modelo maacutes general del plasma
como gas ionizado El modelo maacutes general es la descripcioacuten estadiacutestica del plasma como
un sistema compuesto de un gran nuacutemero de partiacuteculas
11
CAPITULO 2
GUIAS DE ONDA Y RESONADORES
En rstr i-i|gtiacutemlgt v ilisrrilraquo li iroriacutea grurral i|r lis gniacuteis laquoIt- IIMIUuml y laquoIr los rrsoimdorrx
bullilimlriros Si luir- un r-iexclMilil riifuumlsis ru his giiiacuteigt d r mifhi V lvsotinliili- de MMIIacuteIMI
tliUlsvriMiI bull i i i i i iuuml l nn iDliiii 1iexclgt rxcitiiiiiVn dr o lnl raquo t i l IIHMII bdquobdquo y TE laquo11 estos
IIIacuteN|HIMIIacuteVIraquo rrx|Mitiacuteviexclifilttr rli Iilii|iiliquest ron rl d i spos i t ivo drsni t iraquo cu [2iexcl
3 Guiacuteas de onda
31 Ecuacioacuten de valores propios
pound1 estudio dr IHS propiedades fnuciaiiicntalcs dr la propagacioacuten de ondaraquo laquobulllectroniaglictiras
en tubos cilindricos dr conductividad infinita sr ha realizado ampliamente Ha sido resuelto
el problema para guiacuteas do seccioacuten transversal arbitraria |8) y para secciones transversales
particulares de importancia praacutectica se lian solucionado en sus modos fundamentales de
propagacioacuten [9] Asiacute mismo una analogiacutea con las lincas de transmisioacuten ha sido descrita en
[Wi
Veamos con maacutes detalle las guiacuteas de onda Consideremos una guiacutea cilindrica ron su eje
dirigido a lo largo del eje 0iexcl Ademaacutes consideremos que la guiacutea de omlas es longitudiliaj-
12
iifiacuteiti- lioiingtmiiriexcli y iptc la iexclgtariilrgt- metaacutelica sou conductores iierfcetos Sigtigtntgtiexcluiiltgts ltpit
bullniexcli omlii bull-lcctrumagiirticH plana di frecuencia ur si propaga a lo largo di- la guia ilt- onda
pound(fiacutel=f(r^)t r- iacute (21)
poundlt) = (riacute)t r-w ) (22)
iexclonde r es la constante de proiMtgacioacuten o nuacutemero de onda El problema fie contorno que
-bull iacuteu-duiT de liexcltgt fiiiacutenioins de Maxweil pura ondas ti|Mgt H en una guiacutea dr ondas ciliwtricn
-bullbull rxprrsa en la forma
bullbullon laraquo condiciones de frontera
-2- = 0 para r = a (24)
E = 0 cti todo el espacio
donde $ = H(r^) De la misma manera para las ondas tipo E el problema de contomo
tiene la forma
0 lt vgtlt 2ir
13
rtm las condiciones de frontera
= 0 para r = a (2C)
H = 0 til todo el espacio
donde ahora lt1gt = pound(r^) n es el radio ilr la guiacutea tic ondas
Los valores positivos
bull = -gtL = iquest - riquest (27)
determinan el con junto de valores propios correspondientes a rada una de las soluciones
lraquoTiiiisilles igt minios caracteriacutestico de la guiacutea de onda donde II y t son las constantes
de permeabilidad y permit ividad respectivamente del medio ipie llena la guiacutea de onda
GiiHTMliiHiite bdquo depende ile las (limensioiies geomeacutetricas de la guiacutea de onda de IacuteHJIIIacute
IJIIC siempre si puedan selerrionar los modos de propagacioacuten raquopraquoe se reijuieran
Por otro lado las componentes transversales de los campos eleacutectrico y magneacutetico se
determinan si se conocen las componentes longitudinales de los campos de la forma [8]
iT Eacutet = - j -Ve para ondas en modo E (28)
a iT H = - mdash V para ondas en modo H (29)
Traquonigt
Ademaacutes las componentes transversales de ambos campos (eleacutectrico y magneacutetico) se relashy
cionan mutuamente romo
14
H = ~iquestbdquo x Eacute (210)
aonde ~bdquo es un vrrtor unitariti dirigido a lo iexclarjraquo ltlcl eje 0 y Zf laquo la iiiipedanria tlr 1raquo
onda tiraquo modo E Igt H respectivamente
cT Zf = mdash igtara ondas en modo pound (211)
ZH = mdash=bull pnra ondas en IIIIMIII H (212) cT
Las efiiiexclirioiiigt (23) y (25) determinan problemas de valores propios ron sus corresshy
pondientes condiciones de frontera Cada turn de las soluciones nos representan diferentes
bullnodos normales unos transversales eleacutectricos y otros transversales magneacuteticos corresponshy
dientemente
32 Paraacutemetros de propagacioacuten
De la ecuacioacuten (27) se tiene que para cada valor de bdquo y correspondientemente de la
frecuencia se determina un valor para el nuacutemero de onda
r raquo - ^ - T Iacute (2i3)
En general T puede ser una cantidad compleja de donde podemos distinguir tres casos
a) siacute (tt^ gt y^n entonces T es real y define un modo permisible de propagacioacuten es decir
la onda se propaga libremente a lo largo de la guiacutea b) si ftfty lt 73nn entonces T es una
cantidad compleja de donde la onda se amortigua exponencialmente y c) el caso cuando
15
r = 0 ilefiiu la condicioacuten di- rortlaquo la nial separa los casos a) y li) Asiacute podemos definir a
la friTuciina de corte romo
Wbdquobdquobdquo = -J=-bdquo 1214)
y expresar el nuacutemero de onda en funcioacuten de ella
r = ^ ^ - ^ (215)
Para ftecuencin- uiiiyores ijue la de rorle la onda se propagii a lo largo de 1raquo guiacutea En
el ruso contrario pitra freriietiriuumls menores i|iie lii de rorte 1iexclgt onda se amortigua Otra
caracteriacutestica imporiiiiite la ]iodeinos olilenei de la bullbullxpresioacuten 1213) Va |IH- el nuacuteniero de
onda r siempre es menor ipie su valor en un espacio lilire entonces Ii longitud de onda en
la guia es siempre maacutes grande
y 77 7ngtt
Anaacutelogamente definimos una longitud de onda de corte o criacutetica (cuando A = 00)
Af = yiliacutemdash (217)
y expresamos la longitud de onda cu la guiacutea cu funcioacuten de ella
A = _ j (218)
donde A es la longitud de onda en el vacio Dr aquiacute que la onda se puede propagar a lo
largo de la guiacutea de onda uacutenicamente para longitudes de onda menores (pie la de corte
0
~ y - i y
_bull-
_ 1
bull i
iexclA
0
0
- gtiacuter
JfT7 ~ m
n
0
raquov
^ yJZliacuteiiacuteiacute
9C
Imaginaria
V
mdash _ l _ - M i l
0
Imaginaria
A
-Jraquo-$mdashil
X
Imaginaria
Tabla 21 Iaraacutewotrus ele propagacioacuten para onda ltrn moiio pound y cti una guiacutea ltlr onilas
Miacuterica uniformraquo
Por otro hielo iexclgt viliraquodegiiliexcliltl ltli fasr iiexcl riexcl un medio bullbullgt uisiraquo JraquoILIIlt1laquo ijiii- su Viilor III el
Wigt
7 = r
(219)
Por debajo del punto dlaquo- corte 1raquo velocidad de fase es imaginaria y pierde asiacute su sigshy
nificado fiacutesico En el punto de corte la velocidad ltlr fase se viirlvr infinita Un liccho
importante resulta serel que la guiacutea dp ondas es un sistema dispersivo aun cuando el
medio que llena la guiacutea no lo sea (la velocidad de fase es funcioacuten de la frecuencia) La
velocidad de grupo de la onda tiene la forma
tortt 1
(220)
En la Tabla 21 se resumen los paraacutemetros de propagacioacuten para una guiacutea de ondas sin
peacuterdida de energiacutea
1
33 Coeficiente de absorcioacuten
El finjo laquole inicrgiacutesi raquobull describe por ltbull vlaquo-ctigtr cimiplejo di- Piacutemiling
Sbdquo=[iquest]i[poundxW-j (221
su parte real nos dh el finjo di- energiacutea promedio plaquogtr unidad de tiempo y por unidad de
aren La romponeiite axial de Su representa el flujo de energiacutea prmimlio a lo largo de la
guiacutea Por lo tanto d flujo total promedio de energiacutea que se transmite a lo largo de la guiacutea
de onda e- la integral de la componente axial del verfor laquoIr Poyntilig evaluada sobre IIMIIacuteI
la weeioacuteii transversal de la guiacutea de onda
HilU^1 - iacute2-22) donde iquestbdquo es un ver tor unitario a lo largo del eje ()
Hasta el momento se lia considerado laquopie las paredes laquole la guiacutea tie laquonula son conductores
jraquocrfectigts in tal caso el Unjo total de energiacutea conserva su valor a lo largo tie la guiacutea laquole
onda Sin embargo en problemas reales la conductividad de las paredes tiene un valor
finito debido a ello existe muiacute fraccioacuten del flujo total laquole energiacutea que se absorlw |araquor Inraquo
paredes Dlt- aquiacute qtw la expresioacuten (222) representa uacutenicamente el fhyo tie energiacutea total
que entra a la guumliacuten de onda y cuyo valor decrece durante la propagacioacuten de la onda es
decir se generan peacuterdidas de energiacutea En la praacutectica tales peacuterdidas se consideran muy
petmentildeas considerando que siempre existe una fraccioacuten de la energiacutea que se pierde ya sea
en las paredes o por la presencia de un dieleacutectrico que llena la guiacutea de onda En tal caso la
laquoMida se amortigua en BU propagacioacuten y la constitute aacutee propagacioacuten time en consecuencia
una parte real y una imaginaria
18
r=i~m (223)
iultif i gts vl factor laquoit- iacuteiisi- y gtbull vi n^bulltirivuu- tU- iexclilisorcioacuteu o ltlr iacuteiiuortigiiaiiiii-tito E
cticiacutetiif ltli- iexcligtlaquouiri(raquoii ltbull Juumltllfi laquoir iexcllti rrhiritu
o = raquo +ltu (224)
bulliiiidr IIbdquo y o son los nlaquofiriciiiigt di- alisorrioacuten ilrliido n liexclis jx-nlidiis de energiacutea en las
m|t-iligt iin-luacuteliacutei-iraquo y 111 Illtilio diacuterliiirirai i|lilaquo- iexcllililiacute 1iexclI Riliacuteii rcspi-itivamriiti CiMisiiii-railiio
1iexclII |gtctiliiliexclis l l i -d ir ig iacutea ilr hi rxprrsion (2231 gtbullbull indure que los nui i )ms MUIacute propiui-ionalcs
bull bullbull tUUiexclltfgt rxpnililinal raquo i Ir ilonilr lii |MitgtIniacuteiexcli (222) laquo|lir sr transmitiacute iexcli iigt largo ltlr lli
bulliacuteliacutei ill lllllli llisillillliyr iexclI lo litigo (Ir (II la furnia
raquo(-)= Pbdquogt -- (2251
Por tamo la roiistiwtr de amortiguamiento o de alisorcioacuteii se definiacute- como ln razoacuten de
i poti-uria i MI il i ii bullbull lio lli eiirrgiacuteli (ptr si pierdr por unidad ilr longitud c u t i r il flujo toliil
promedio ilr rut-rglli lt|lie se transmit a lo largo di liexcli guiacutea gtllt onda
mdashiquestiacute-
34 Guiacutea de onda cilindrica Modo Hbdquobdquo
Nuestro principal intereacutes se centra en las caracteriacutesticas de propagacioacuten de ondas electroshy
magneacuteticas en modo Hnn en las guiacuteas de onda cilindricas Consideremos que la guiacutea de
onda tiene paredes conductoras perfectas y qui el iiexclgtgt dio que llena uniformemente la guiacutea
19
fcciMTraquo |Mrililiis laquoIr m c r g iacute a ilispiiviiilili-j Parraquo bulllaquolaquobullbull rwsn IIIN MIIIUIacuteOUIS n IIHgtI)Igt~ |MTIIIIacuteSIacuteIgt1IVS
ili- priiptiiuumlniiiii i|i 1iexclI r i i i iu ioacute i i (2 3 ) MHI
( bull r-t = CbdquoJJ- r)~laquoif (227)
laquolimilr Ci lt-- una ionstatiii y la rlaquotiltiirioacuteii ltr iacuteroutrrn (24) mjiriiTr jiir 1ltraquogt laquoiliircs propios
IDIIIIII la forma
bull t
bdquobdquo = mdash = U 123 122$) bulli
n = 123
Aipiiacute )bdquobdquo -un la raiacuteivs n bullbullMinas laquoIraquo la dnivaila ilr la fiuirioacuten gtlt- Ui-ssrl ili- unlcii m
JJjr) - Di y n rs il railin inlriim ilr la guia ir ondas Exislr un minino iexcliitiiiiln bullbull
IIHMIOS i|iu MUIacute -iiliniuiirs ilr (23) IIIII la i-igtiiiliexcli-iacuteoacuteii ili friitiliTa (24) Col aymla ili- (2Iacute))
y (210) iilitiiHiniraquo las rxprrsioiirs para las i-oinpoiimtrs transvirsalrs laquo1raquo- los campo ni
iminliiiailiacutei- riliacuteiiiiiiias y nitoiiri-s csiriacuteluacuteiiios las roiiipoiiriitcs ilr los i-ampos ni la furnia
H = C o ^ j h r ) trade m ^ i r mn
H = plusmniexclCo~-Jbdquohnnr)Zwir- (229) Inn r
E = 0 r laquoi
E = plusmniCbdquoZH-i Jmhmnr)ZtradeltigtriV-Tmn r
E = -iC0ZbdquoI-Jm(lmnr)Z^ert
donde los signos plusmn corresponden al en o co respectivamente y In expresioacuten Jm indica la
derivada ron respecto al argumento Jm = f- Sustituyendo (228) ni (213) w obtienen
20
gt valores tie la constante de propagacioacuten
r = Jfi- - iraquo (230)
Comraquo sc olwerva las ecuaciones (229) estaacuten doblemente degeneradas yraquo rpte uno de
lgtraquo ranijios se convierte ei el otro al girar ir2 alrededor del eje de la guiacutea
Determinemos lo paraacutemetros de pro|gtagiacuteicioacuteii para una guiacutea de inula cilindrica hueca
al variraquo) y de radio laquo = 425cm en la nuil se propaga una onda en modo Htl Considerashy
remos primeramente que las paredes de la guiacutea son conductores perfeetos En In siguiente
rioacuten se consideraraacute que estas tienen una conductividad finita
De acuerdo con (21C) toda onda electromagneticraquo podraacute propagarse en una guiacutea de
ouda de tales dimensiones si se cumple que su longitud de onda de )n primera es menor
que la longitud de onda critica Para tuia guia cilindrica se tiene
lisa A c = ~ (231)
Lolaquo dot modos inferiores Ha y JI para ondas de tipo H tienen las siguientes longishy
tudes de onda criacuteticas (en este caso iexcl = 18412 y j i t - 30542 [11])
Xe = 145cm (232)
Ac s 87cm
respectivamente Se puede demostrar que el modo pound0i es el modo fundamental para ondas
de tipo E Este modo tiene una longitud criacutetica
21
X = l l l f w (233)
Pur laquogttrcgt lhiii litraquo lougitiidcgt de inula rritkas lth- Uraquo siguiente modos ruiperiores ile muiacuteas
tipo H y li|xgt pound son menores que Itraquo valores 87rm y l l l m i rt-s]gtrrt miacutemente De aquiacute
que UMH onda clerirouiagiieacuteiira pueda propagarse en la guiacutea si su longitud lti onda laquobull
bulllienor que 145rraquoi Si ademaacutes fl valor de la longitud (ltbull ouda si- emueiilra en el iexclineacutervalo
11 lrjn lt A lt 145rru cntimres el jnodo H es el tiuiro que puede propagarse a lolargo
ile la guiacutea de onda
Eli figura 21 M muestra las vising tranvt-rsal y longitudinal de la estructura de los
bullaiii|Hraquogt en modo i | Aquiacute se 1gtI tomado la parti cosciioidal de (227) A continuacioacuten
e dan |igts valores de los paraacutemetros de propagacioacuten en el easu de IMIIIJIS clcrtronuigiieacutetiiiis
laquoMI iacutenriiencia w = 1539 x 10iacute (A = 1224nraquo) que si- propagan cu la guiacutea de onda
en nioilo | | Los valore se obtienen utilizando las expresiones correspondientes de la
seccioacuten (52) o de la Tnlila 21
Ar = 145laquoo
u w = 13 x 10luc
T = 02753cm-
A x 2282cro (234)
Zbdquo laquo 187 (i = l )
v = 5C x 100cm
w = 1CX10 OCTIIIacute
22
^mdashmdash Imea de campo eleacutectrico
mdash --Linearaquo di- campo magneacutetico
o Campo magneacutetico normal (hacia fuera ilr la hoja)
f ( ampo magneacutetico normal (hacia dentro di- la hoja)
Fig21 Vista- irahversal y longitudinal de la pstrurltira de Itraquo camporaquo ltn trimlo iacuteliexcliexcl La vigtti
otigitudial correspondiacute a un aacutengulo u = 90deg Figura tomada di- [bullgt]bull
i
Notemos (|Uf il iexclmaacutelisis anterior se inicioacute con una guiacutea dr onda de fliiiiensicmlts traquo-
gtltriacutetiacutecaj De- ahiacute se prosiguioacute a encontrar las onda electromagneticraquo npropiadas tale
que el modo fundamental H de la guiacutea de onda sea cl uacutenico que se propague Lo contrano
tambieacuten resulta vaacutelido es decir si se cuenta con una fuente de microotidas cotiacute determishy
nada longitud dr onda se pueden encontrar las dimensiones apropiadas de la guiacutea tales
que uacutenicamente se pueda propagar el modo fundamental
35 Coeficiente de absorcioacuten Modo Hmn
De la expresioacuten (226) determinemos la laquomulante de amortiguamiento debido H la conducshy
tividad finita de las paredes metaacutelicas para ondas en modo Hmn Primeramente calculemos
23
vi fltijiraquo total protiwlio ili laquowgia (222) r nial lunik bullbullscriiaacutersr IMI trrmiiins laquobullbull la funcioacuten
[gtrraquotgtiii bull at la forniH
iacutelowlc
= CMtmnr )rtismf (23C)
rlitotiirs
Praquo = If 1 Uw-T-KU [rIfjbdquor)nlaquoiquestraquoSlrlT-
= [iquest]^raquo^-Kraquol7rJraquo-rr- lt2-37)
La integra] ili- (237) sr cvaitwi utilizando la igualdad [12]
y CMisiacutedcnuidraquo IJHC la couiliriuacuteii de fruirtrra (24) rirquirrr ijiw Jm~innr)rmn = 0 DP rata
manera se obtiene el resultado
En el caso particular de ondas en modo Hti se tiene
La expresioacuten (240) puede escribirse en una forma mas conveniente
24
ionde
EJlJampuumlL (242
bullbull lii amgtIitultl del raui)Mgt eleacutertriro en rl bullbullclilro ltle 1raquo serriacutenraquo transversal laquobull 1raquo jiacuteiliacuteuuml de mida
La relanoacuteii (241I nos muestra rliimuienti- la iii-|n-iiiletiriacuteii rufidraacutetini ron n-sperrraquo iexclil radio
bull lti EUiiacutei ilil finjo total ]gtroiniilio ili- eneruiacuteraquo gt|raquo iitravicwi 1iexclI MTIIacuteIIH Iriexclmsvi-rsiil de 1raquo
uniacutea ib- omlu
Por otro lado la potcnria iacute|iic se pierde por mudad di- longitud (Mudo raquo las corrientes
u|gterfiiialc laquoi laraquo paredes metaacutelicas di- la guiacutea se expresa mediante la iutrgral de contorno
alrededor de la frontera de la guiacutea de onila) de las componentes tangenciales del campo
Magneacutetico en la fonna
p - dl
donde ntilde es un vector unitario normal a la superficie de la guiacutea de ondas ir es la conducshy
tividad de las paredes metaacutelicaraquo y S es el ancho de la capa piel expresada como
tiexcl es la permeabilidad magneacutetica de las paredes metaacutelicas Por tanto cotiacute ayuda de las
expresiones (229) se obtiene la potencia promedio que se pierde eti las paredes
25
- iexcl eacute f ^ - f (duuml]laquo 1245)
Fiiacutemlniiacuteiiti- di (245) y (240) bullbull oliticur la ruitstantr de Hiimnigiiuiiiitiitnpara el utixlo
I24G)
En vi raso ili- ondas ltw w propagan iii laquoI IIHMIO Hlt (MMII-IHH- laquoIr (24C) IDII raquoraquolt = raquo = I
obtener
f r i t o r sampsY+ traderaquo]
- - Id laquo-iexclzsf L v ( Siacute consideran)raquo tua guiacutea dr onda hurra ot dicir = 1 ni laquoti interior cotiacute paredes
metaacutelicas de broncr de conductividad a = 1413utg2crgaegnn) y radio a = 42vcm
en IB cual se propaga una onda en modo fiacuteu con una longitud de onda en el vacio de A s
1224cm (w = 15394 x 10degi) entonces obtenemos que la constante de amortiguamiento
tiene el valor de
om = 1032 xlO4 (248)
El valor anterior noraquo indica que a la distancia x = 0C88raquon la amplitud del campo eleacutectrico
disminuye 1e veceraquo de su valor en i = 0 De donde la constant v rlr amortiguamiento es
26
sntirp-itttniKiit nt-m-ntildea para considerar una guiacutea If onda laquoit unos riacutetanlos metros laquoit-
lUgitiiuacute romo una guia gtlr (tuda ideal (sin peacuterdulas)
4 Cavidades resonantes (resonadores)
Vu disjiositivo de gran importancia praacutectirtt y estrechamente relacionado ron las giriacuteas
ltbullbull onda son las cavidades resonantes Coinraquo w sabe una cavidad resonante (resoiimbir)
bull - privi-aiiii-iitr una cavidad roinpletameiit) armada por paredes nietaacuteliias Ins riacutetales
prewiiraii ilti propiedad tllt- podriacute alijiart-uar energiacutea eiertruiiiaRuitira tMeilanie Llaquoraquos riso-
iadores han sido ampliamente estudinilos en la misma magnitud ipu- las guiacuteas de ulula [13]
Anaacutelogamente al estudio de guiacuteas de laquonula gte ha resuelto el problema de 1laquoraquo resonadores
bullbull si-rrion transversal arbitraria routenieudraquo cu su interior un medio liiMiiogt-iraquo laquogt con IOIJS-
antes y t [S] Un estudio de los resonadores de formas particulares y de importancia
praacutectica se puede encontrar en [9] Ademaacutes una analogiacutea rlaquom liw circuitos resonantes se
(iescrUumlM en (II)] Con res|x-ctraquo a esto uacuteltimo podemos decir i|iie los rlaquosraquonailores tienen
la ventaja de ser superiores a los circuitos resonantes I - C en un factor laquole 20 laquos laquolecir
iexcla fraccioacuten de energiacutea almacenada laquopie se disipa por ciclo en un resonador es alrededor laquole
1 20 de la fraccioacuten disipada por ciclo en un circuito L - C [14]
41 Caracteriacutesticas generales
Consideremos una cavidad cilindrica hueca y acotada por un conductor perfecto Fijemos
el eje 0 de nuestro sistema de referencia a lo largo del eje de la cavidad cilindrica y
Mipongamos que la longitud del resonador esta acotada entre - = 0 y z mdash d
27
Un ri-Miiiitilor pucxlr i-oiisiilcriirsc mino unraquo guiacutea ltgtbull olida finita ilimih ltlaquobull tiww laquo|ingt
iexclumilir la rotiiliacutecioacuteii di- froniirit
para ltmdagt t-n modo TM
(Mirtl Otlflugt Ill IIMMIO TE
EbdquoM = 0 (249gt
HUbdquoi = 0 (250)
En itiilii linn illt- braquo sii](rrfiiiigt plana gtbull iilruumllnniitr ngtniltiitigtragt rxistr rcriixioacuteu di-ondas
El ti|Mgt lit iiiidii i|iilt- M- irrii iexclil siiprrpoiuT iliraquo ondas ilritroinatnitiias ron iexcliinplttudis
iguales y propagacioacuten en sentidos opuestos es ]iri)|iiiexcliinciiir rl di- uni onda estariouarin De
donde las rigtui]M)iiilillts axiales ilr 1ltKS rniupos ilclxn ttinl bullbull forma
para ondas en moiin TM
E = ( r r - )oi ^ - ) = 0123 (251)
para onda cu modo TE
H = Tf)raquoeM^-) j gt - 1 2 3 (252) o
Laraquo componentes transversales de los campos se determinan de (28) y (20) Para
ondas en modo TM obtenemos
28
Jfr = mdashT-cogtbullmdash )bdquo x V
(253)
vrrrgtjlaquogtijiiiciitfuifj)tc para ondas wi modo TE
pound = _ittif iacute iacutef)i1yr
W = iacutefJ_bdquo s (^)V
(254)
poundgtbullbull in-s riiiiiliiioliiN de frontera (249) y (25U olrtnirmos lt|iir 1iexclI ionstiuiti- ili- propagacioacuten
ltgtiitii 1ltraquo valores
r = uumlf = (0)123 ti
bull iexclonde de In ecuacioacuten (27) los vnlonv propio so expresan romo
(255)
(256)
La ecuacioacuten (25G) forma un conjunto discreto de valores que determina la frecuencia
bull ir resonancia para cada valor de p y bdquo es decir a cada tipo de onda estacionaria le
corresponde una frecuencia propia
vJ (257)
29
Fig22 Litraquo midas rsUt Miliaria- ilgt mi rismnclnr lidien en su lifiigiliitl un iiiiniTii IIIIITH ilr
niilMlcraquo lie la loiigilini tit- IgtMltU St- miii-sira H raso para )gt - Iiquest41 bullbull U exprntiiiacuteii iquestat)
En alaquoManii si mi si ritiniiita otra rosa raquobull omiten los Milmidiees rtii y laquopie ranraquo
UTIacutezan los modos laquoIr oscilacioacuten Ln resultado iiiiportaiilr laquole la ccuaraacutem (257) e laquopic se
pueden elegir Ian dimensiones ademadas ilcl resonador lie tal forma laquopie este opere ni una
frecuencia uacutenica de resonancia
Si comparamos (255) con la expresioacuten general para la parte real de la confitante de
propagacioacuten T = 2irA se concluye que para cada modo de resonancia la longitud del
resonador es proporcional a un nuacutemero entero de mitades de la longitud de onda (Fiacuteg22)
d s p ^ p laquo ( 0 ) 123 (258)
El caso plaquo0 correspondiente a la condicioacuten de corte para ondaraquo en modo TM tiene un
30
Mereacutes partieular ya qne eu este caso la longitud de nuda tiende a ser infinita entonces de
laquobullcuerdo ron (258 obtenemos
d - 0 bull oo (259)
ie donde la longitud del resonador esta indeterminada Los modos correspondientes a
gt raquo 0 existen en el resonador para cualquier longitud de la cavidad
Una propiedad de las ondas estacionarias es que loraquo CMIII|MgtK eleacutectrico y magneacutetico se
encuentran defamados en ir2
-ll = rt + iexclJ (2C0)
iielndu a ello existen instantes de tiempo en el resonador en que existe uacutenicamente el
bullampo eleacutectrico y momentos en que solo existe el rompo magneacutetico Como resultado de
este defasamiento el vector de Pijymiug resulta ser UIIH magnitud puramente imaginariacutea
de donde ai promedio con respecto al tiempo no existe transmisioacuten de energiacutea ya (pie el
valor promedio del vector de Poynting resulta ser indo Su - [ pound ] IitEacute x iquest ] = 0
42 Energiacutea almacenada y calidad de los resonadores
La energia total promedio almacenada en todo el volumen del resonador es la suma de las
energiacutearaquo eleacutectrica y magneacutetica promedio almacenadas por los modos normales
W m WE + WH (261)
donde
31
HiliacuteX-trade 2 M gt
Yraquo que en el resonador no hay MU flujo neto de energiacutea entonceraquo cu el cano en lt|Ur el
medio i|w Urna 1raquo guiacutea no genere |raquoeacutercliltlas di- energiacutea la energiacutea eleacutertririacutei y magneacutetica
promedio seraacuten igualo entre si Hiquest- s Wraquo Evaluemos la energiacutea total promedio alinarc-
tiada en el volumen del resonador |gtara ondas en modraquo TEmnf En este raso se tiene
=[iquest1U bull (2C4)
la cual puede expresarse cu teacuterminos de la integral de area tie la (tuicioacuten propia
= H(riacutep) evaluada sobre ln seccioacuten transversal de 1raquo guiacutea
bull-[iquestliacuteHs)]-- donde bull tiene la forma (227) Tomando uacutenicamente la parte cosenuiacutedal de (227) e
integrando de la misma manera como se evaluoacute la integral de (235) obtenemos
toT 47V ^n-m)Jmi^a) (266)
Para el caso particular de una onda en modo TEui se tiene
32
= [iquestiexcl](0375)|poundi|laquoib2 (2C7)
donde
1 1 - ^ (2-68)
raquo el valor di- lu magnitud tlt-1 riiinpo eleacutectrico en el centro di- la seccioacuten traiisveriMi) del
resonador
En griirral pura resonadores i n h siempre hay absorcioacuten ib energiacutea 1st nial se reashy
liza principalmente por dos raualcs a) porque el medio (pit- Ik-iui lu guiacutea es un medio
absorbente y Iraquo) debido a la conductividad finita de las paredes del resonador En cada
uno de estos casos las frecuencias de resonancia se vuelven cantidades complejas las ruakt
podemos escribir en la forma ugt = w + iw Entonces si la dependencia temporal de loraquo
campos es de la forma
Eacute(t)laquo Ac1 (269)
obtenemos que la energiacutea total promedio de un modo normal en un resonador real es
W(t)laquo W(0)e-3 (270)
donde se observa que se pierde al transcurrir el tiempo W(0) es la energiacutea total almaceshy
nada en el resonador en r = 0 Introduzcamos un paraacutemetro llamado factor de calidad Q
definido como 2n veces la razoacuten de la energiacutea almacenada en el resonador promediada con
respecto al tiempo entre las peacuterdidas de energiacutea por cada ciclo de oscilacioacuten
33
Qenrroiu ulmactnnda
SS itj mdash ^ mdash mdash ^ mdash ^ mdash mdash
jttrtlidim lit tnergtn
= wmdash IV
PmAtf
donde
(271)
P = - ^ I27-raquo)
egt la potencio media qui sc absorbe en tin ciclo de oscilacioacuten debido n las corrientes
superficiales de las |Ktrtdes del resonador (comparar ron la ecuacioacuten (224)) Di (270)-
(271) piulemos obtener que Q = raquo-2u Por lo tanto la frecuencia raquogt laquobull pnctlc expresar
a traveacutes de Q romo
=yj1 + eacutejh 273)
43 Excitacioacuten de los modos de oscilacioacuten
En el problema de un resonador ideal (sin jroacutedidas de energiacutea) cada modo de oscilacioacuten
tiene perfectamente definida su frecuencia propia de resonancia (257) Esto quiere decir
que si se quiere excitar un modo particular de oscilacioacuten en el resonador la frecuencia
de excitacioacuten debe coincidir exactamente con su frecuencia propia de resonancia En
problemas reales esto no ocurre y en lugar de ello se cuenta con un banda de frecuencias
alrededor de la frecuencia propia en la cual el modo de oscilacioacuten puede ser excitado La
existencia de esta banda de frecuencias se debe a que existen peacuterdidas de energiacutea
Para mostrar lo dicho anteriormente notoacutenos que las oscilaciones del tipo (260) se
pueden representar como una superposicioacuten de oscilaciones estacionariacuteas Supongamos
34
i le el campo electromagneacutetico se crea en el instante f = 0 y se le laquoleja oscilar libremente
para t gt 0 Obteniendo su transformada de Fourier de (269)
iquest(w) - p rt+Uacutet+Vt- (274) 2ff Jo
y evaluando la integral en (274) considerando que pound(t)| lsec = 0 se obtiene
cuyo valor absoluto es
eacuteMl = M mdash i ^ (27C)
La ecuacioacuten (27C) nos da un conjunto de curvas de resonancia para cada modo de
oscilacioacuten Cada graacutefica tiene su valor maacuteximo en w = u (Fig23) Los puntos ltii los
cuales la curva disminuye lgtsect de su valor maacuteximo se llaman puntos de potencia media y
su separacioacuten en frecuencia se denomina ancho de banda A cada punto de potencia media
le corresponden las frecuencias
w3 = w + ^ (278)
de donde obtenemos que el ancho de banda detennina el factor de calidad del resonador
en la forma
laquolaquo5 a raquoiquest- ltraquogt
35
IlaquolaquoM
Fiacuteg23 Curva (Ir resonancia para el mudo de oscilacioacuten a- Loraquo puntos |rV(laquo-|)| y |MJ)I son
lot punto dp potencia mediacutea y raquoraquo separacioacuten define el ancho de banda
Si las peacuterdidas de energiacutea son pequentildeas entonces las bandas de frecuencia son estrechas
Sin embargo siacute las ]ieacuterdidas son considerables entonces las curvas (le resonancia pueden
llegar a sobreponerse una sobre otra provocando la excitacioacuten mutua de los modos de
oscilacioacuten
44 Resonador de forma cilindrica
Consideremos ahora un resonador cilindrico Primeramente obtengamos las soluciones de
los campos para una onda en modo TE en un resonador ideal y posteriacuteormeite calculemos
la Q del resonador para este modo debido a la conductividad finita de las paredes metaacutelicas
Para este tipo de resonador y para ondas en modo TE las funciones propias o solucioneraquo
36
correspondientes al problema transversal (23 tienen la forma (227) ron los valores propios
1228) Ademaacutes con ayuda de las expresiones (234) se obtienen las expresiones de las
componentes transversales en coordenadas cilindricas y entonces escribimos los campos
en la forma
pit H- = C0Jn(mrr)cos(mj)sen(mdashz)
Hr = -r-mdashlt0-m nr)laquow(mi)laquow(-j-) O ~lmr O
H - -raquo -3 pound - -Jlaquo ( -mr)raquoen(ms)oraquo(5) (280) laquo in r laquo
E = 0 iCriquestft m laquor
E = mdashJB(-mraquor)iacutetrw(raquoraquof )rraquoi(mdashs) win
_ iacutei Co WK poundw = Jm(TimRr)laquow(raquon^)raquocii(-j-iacute)
C mn laquo
Sustituyendo (228) en (257) obtenemos para las frecuencias de resonancia la expresioacuten
i raquo J c
wmn= 4 = J ^ + (^) g | (281) c
El modo fundamental para las ondas tipo TE tiene como subiacutendices m = TI = p = 1
Este modo TEm es el modo fundamental de oscilacioacuten en la cavidad si la frecuencia de
resonancia u m para ondas TE es mas pequentildea que la frecuencia de resonancia corresponshy
diente a las ondas TM (wougt) Se puede demostrar que si d gt 203a (a es el radio del
resonador dado en cm) entonces el modo TE es el modo fundamental de oscilacioacuten del
resonador [9]
Calculemos ahora la Q del resonador debido a la conductividad finita de sus paredes en
el caso de ondas en modo TE La potencia que se pierde debido a las corrientes superficiales
en las paredes del resonador se calcula en la forma
37
bull -1iquest]iquest r r bull -bull+pound[+ - 4 (2-s2) donde ntilde| y ntilde2 son vectores unitarios normales a iraquo superficie cilindrica y a las superficies
transversales circulares respectivamente La expresioacuten (282) puede reescribtrsreu la forma
bull= [iquest] iquest j f W + lraquolaquol2)U + 2iquest J-iacutelJiacute + IWPMraquo bull (283) Usando las expresiones de los campos (2S0) sr resuelveraquo laraquo inti-gralcs de (2S31 en la
forma
I r l l f fo l mfa r ~ UirJ 2vlaquo 2 1 + bullpound(bullgtbullgt+
+2|CIraquopound [ lpoundrAOr)+ bullO^] laquo] bull Haciendo el cambio de variable x = fr obtenemos
I laquo-1 IColraquo iexclda UffJ 2ffiacute 2 m ]Cppoundr |dlaquo UffJ 2ltriacute 2
1 +
1 + rraquoraquo
J Iacute O laquo ) + 2 ^ j f [2iacute Ji(gt+J(X)] d
^(70) + [(7laquo)3(l~)^(^)] (284)
Sustituyendo la expresioacuten de f = ^ )bull arreglando teacuterminos resulta
Finalmente sustituyendo (266) y (285) en (271) obtenemos el (actor de calidad debido
a la conductividad finita de las paredes del resonador para ondas en modo TEmnt en la
forma
38
Consideremos un resonador cilindrico en el cual oscilan ondas electromagneacuteticas en
nodo TEm cou una frecuencia raquobull = 15394 gt 10degr (A = 1224cni) El resonador es de
bronce de conductividad o = 1413 x lOlsutiquestergscm y tiene un radio interno a mdash Ion
Pitra este resonador determinemos en el caso p = 1 los siguientes paraacutemetros a) la
longitud apropiada del resonador b) el factor de calii id ilrl resonador y ltbull) el audio de
banda donde sr puede excitar el modo TE
a) De acuerdo con (258) la condicrlaquon de un resonador es tal qui en su longitud exista
un nuacutemero entero de mitades de la longitud aacutev onda
d P Px
2 V1-WW - - _ V l (287
Despueacutes de sustituir los valores respectivos de A o y de los subiacutendices que caracterizan al
modo obtenemos
d - T13cm (288)
b) El factor de calidad Q del resonador se obtiene de (286) expresioacuten que reescribiacutemos
para ondas en modo TEm en la forma
Ud (l + 0343amp4)
2nlt61 + 02092 + 02436$
39
La permeabilidad magneacutetica del bronce (je) no difiere Mgninrativanicntt- riel valor corshy
respondiente al del vacio (lt as ftc - 1) Entonces la longitud de la capa piel (244) resulta
A = 812x 1 0 - W (290)
Finalmente obtenemos ltw el factor de calidad tiem- el valor
Q = 404903 (291)
c) FinalriKiitf nilrtilt-inos el ujrlifgt di- llaquoiinli en el nial la onda en moilo TEw puede
ser cxcitaihi Utilizando (277) y I27S) obleiicnicraquo los punto ile ]raquoifriiriiexcli inedia
-bull as 153927 x iexcluHz
w2 ss 153952 x 10VH
Por lo Unto el micho de banda tiene el valor
ui2 - ugt = 000025 x 10Hz
Observemos que el ancho de banda es lo suficientemente angosto relativamente por lo que
uacutenicamente se excita el modo TE Se puede demostrar que la frecuencia de resonancia
fundamental para ondas en modo TM es uiolo = 1031 x l0nHz
40
CAPITULO 3
TEORIacuteA DE PERTURBACIOacuteN
Toda Teoriacutea ile Perturbacioacuten establece que en ciertos casos los problemas irregulares
aquellos que no tienen soluciones analiacuteticas exactas) pueden ser considerados romo rrjpi-
iexcliexclTVraquo que sufrieron cierta perturbacioacuten Cuando la perturbacioacuten es suficientemente pequentildea
u el problema irregular podemos obtener una solucioacuten aproximada conociendo la solucioacuten
ltiel problema regular [9] El meacutetodo perturbativo se ha utilizado extensamente en las guiacuteas
de onda Existen trabajos donde se analizan los efectos de las perturbaciones en lew valoshy
res de frontera [15] asiacuteromo de las perturbaciones generadas por un pequentildea muestra de
Vrrita en el interior de las guiacuteas de onda y resonadores [1C] En este capiacutetulo se describe
ia teoriacutea baacutesica del meacutetodo perturbativo desarrollada en |17] en el caso cuando las guiacuteas
de onda y los resonadores contienen un pltsma en su interior
5 El Meacutetodo de Perturbacioacuten en las guiacuteas de onda
En la seccioacuten (32) se mostroacute que la propagacioacuten de ondas electromagneacuteticas en guiacuteas
de onda cilindricas se describe en teacuterminos de sus modos caracteriacutesticos Cada modo se
caracteriza por su constante de propagacioacuten Dependiendo de las dimensiones geomeacutetricas
41
de la guiacutea de mida estos modos o bien se propagaraquo o bien se atenuacutean En ln praacutectica Ins
dimensiones de las guias de onda siempre se escogen de tal forma lt|iii- unir amenteacute se puede
propagar el modo fundamental
El caso cuando se tiene una guia de onda parcial o completamente Urna con un plasma
sir produce uu cambio en los paraacutemetros caracteriacutesticos principales laquopie describen a la
guia de onda Si el efecto del plasma en tales paraacutemetros es lo suficientemente pequentildeo
entonces la teoriacutea de pertubacioacuten resulta ser mur adecuada para calcular ln constante de
propagacioacuten
Consideacuterenlos la propagacioacuten di ondas electromagneacuteticas a lo largo de tiiiiacutei guiacutea de ouila
cilindrica que se encuentra parrial ltgt rompidamente llena ron un plasma inhomogeacuteneo Si
sujHHiemos (|iir las caracteriacutesticas del plasma son axialmente uniformes podemos encontrar
la constante de propagacioacuten y las distribucioacuten de los campos
La propagacioacuten de ondas electromagneacuteticas en las guiacuteas de onda con plasma se tlescribc
por las ecuaciones de caminiacute
V x f + i - J = 0 (31) c
VxH-i-pound=mdashJ (32) c c
La condicioacuten de frontera se obtiene suponiendo que la conductividad de lax paredes de
la guiacutea de onda es infinita
|ntilde x Eacute = ntilde Ntilde = 0 (33)
donde ntilde es tin vector unitario normal a la frontera En ausencia de plasma la parte derecha
42
gtbull (32) es cero y el problema se reduce a U propagacioacuten dp ondas en una guia dlaquogt ondas
ivieca (Cap 2)
Las amplitudes del campo de las ondas normales se determinan en la forma
Eacutet(f) = pound ( I j e - i raquo w (34)
(F) = j(rj ) e- i ( r -
iquestonde r esel nuacutemero de onda En ausencia de peacuterdidas T es real (F = iacutei) Vamos a
suponer que las ondas se |gtropagan a lo largo del eje 0 paralelamente al eje de la guiacutea dr
onda
Para ileterniinar la influencia del plasma en la propagacioacuten de las ondas rlrrtroiiiagm-
licas en una guiacutea de onda es coacutemodo descomponer las ecuaciones pura las componentes
longitudinales y ]gtcr]gtendiculares del campo Estas ecuaciones se obtienen al descomponer
los campos y el operador V en la forma
pound = 4 + poundx ntilde = fflaquo + Ai = Lpound) + fjpound) (35)
V = Vbdquo + V I
donde los subiacutendices X y || denotan las componentes perpendiculares y longitudinales es
decir su proyecciones perpendiculares y paralelas al eje de la guiacutea de onda O) Sustishy
tuyendo (34) en (31)-(32) y considerando (35) obtenemos las ecuaciones en direccioacuten
perpendicular y longitudinal en la forma
- ^ [ V x ^ + V n ^ + i - l i o x f j = - mdash iexcl 0 x pound ( ) ] (36) IUgt C C
f-Vx[VxEacutex)-Vtamp-i-iexcloampl mdashrJiexcl (3-7) w C tt
43
donde i0 es un vector unitario dirigidraquo a lo largo del eje O Las componentes longitudinales
de tos campos se relacionan con las componentes jicrpctidiculares jKraquor liis expresiones
OZfy+^ftE) = [VxJbdquo (38)
Al = - - V x f ^ (39)
Ahora considerando que las ecuaciones de Maxwell son expresiones lineales es decir
que la combinacioacuten lineal de dos de sus soluciones tambieacuten es una solucioacuten y anaacutelogamente
para las condiciones de frontera (24) y (2C) determinamos (pie una solucioacuten maacutes general
del problema de uiiiacutei guumliacuten de onda sin plasma es una superposicioacuten de todos los modos
]MKgtibies de proiHigarioacuten con valores apropiados para sus eoetiacutecieiites Si la perturbacioacuten
originada por el plasma es lo suficientemente ]H-ltiuentildeu iiodemos suponer (pie la desviacioacuten
de cada uno de estos coeficientes es pequentildea con respecto a su valor no perturbada Dr
aquiacute que las componentes perpendiculares del cam]Mgt en una guiacutea de onda con plasma
se puedan representar como una serie (combinacioacuten lineal) con resjiecto a las funciones
ortogonales poundfc y Hk que determinan las comjioncntes transversales de los modos normales
en una guiacutea de oudn sin plasma
k
Los campos satisfacen las relaciones de ortogonalidnd [18]
(310)
JsEacute-kEacutedraquo laquo Nttu
JtpoundixEacute]deacute = ZSttu (311)
44
iquestiuumlaacutef el su|MTUacutegtdiexclctraquo denota el complejo conjugado de los campos Z = cTgt para
ltJAH ti|Mgt H y Z = wcT para ondas tilraquo pound ltlaquo es el siacutembolo de Kronecker bu = 1 si
raquo = y iquestbdquo = uuml si i- = ) y la integracioacuten se realiza sobre toda lo serenan transversal ilr la
tub de onda
Utilizando (310) y (311) rocontratnos las expresiones para los coeficientes uiquest y bk
(312) iexclsntilde ntildexu
Sistiruyriiiliraquo las seriacutees (310) en (3C) y (37) obtenemos el sislrinii f|i- eriiiioacuteoiirs
poundlt5r + ilgttfraquo4 = -- |iquestux(pound))l l t (313)
Ely+W)4 = VJbdquo (314) iacute
Multiplicando (313) vcrtorialinciitc por E[Aacute y (314) jMraquor HlM e integrando en 1raquo seccioacuten
transversal dr la guiacutea de onda obtenemos ron ayuda de las roiidintildeoucs de norma (311)
laraquo ecuaciones
rA + X KzcLEacuteltsEacute^ 3 1 6 gt En el caso en que los paraacutemetros del plasma no dependan de i la dependencia de los
campos con respecto a z se puede considerar de forma exponencial como en (34)
Eacute(jyz) = Eacutexy)t-iT ntildexvt) = ntilde(xy)r
45
(317)
o t ( iacute ) = laquo- M ) = V eacute r
Sustituyendo (317) n i (315) y (31C) obtenemos
laquoriacute - - - S S L bull +Ssect bull Uuml- 318)
Luraquo fiimriidirs (31S) y (319) |xira diferentes k roiii|xmni un sisirmraquo ltb-it-imrioiies lioinraquo-
geacuteneus liacutenenlegtgt ron res|gterttgt n liis roeiit-ientes nk y laquoV Lu riiudiriitn ilr solubilidad (igual)id
a rifo laquobrl determinante) determina la constante ib- igtrigt|Mi)igtiOacuteM Sin roiUirjpi el sistema
(318) y (319) resulta ser un problema muy laquolifiril laquoIt- resolwr De alaquo|iiiacute i|iie iexclti laraquo partes
ilereelias laquole (31S) y (319) son lo siinritrntetueiitc |ielt|iirntildeaH |MMICUIUS emplear la teoriacutea laquole
|MTturlgtMrilaquon
Sil|Kgtlliciifllaquogt fjflf- la denudad lie mrrirntc H traveacutes ilel plasma es (laquornjxirriimal H tin
paraacutemetro pequentildeo podemos descomponer las (-nulidades airaquorgt y E cii tiTiiiiiiiraquo laquole laquowte
paraacutemetro
bk = ZKv lt3 2 0gt
r - poundrubdquo
46
donde el subiacutendice ( dentildene el orden de pequentildees Vamos a considerar que en ausencia del
plasma en la guiacutea de onda se propaga el modo fundamental de una onda tipo H denotada
por iacute = 0 Ademaacutes si en la aproximacioacuten de orden cero se tiene
poundi = poundgt pound = pound | |= 0 (321)
entonces
ltbdquo - Abdquo (322)
Tiacuteo) = iexcl1lth
Asiacute considerando las expresiones (320)-(322) de (318) se oliticne la siguiente exshy
presioacuten en orden cero para lax ondas tipo H
laquo(bdquo[(r(0) + rbdquo + )raquo- rg = -^f-1 pound bdquo bull J(Eacute)d +
cAuZ|o) Js
de donde rlt -7IacuteT7-L iquestiacutef(Eacute)ds- (323) 2ni
Para las ondas tipo H Z(0) = c-iexcl^- mdash ^ de donde obtenemos finalmente
TMampLtedeg-f[Eacute)di- lt324gt
47
La cantidad compleja r ( 1 ) nos repcscnta el cambio que sufre la constante de propinacioacuten
T |Hgtr la presencia del plasma es ilecir es la correccioacuten a primer orden en la constante de
propagacioacuten (I = T - Tf0)) Esta cantidad se puede escribir en forma de unraquo suma de
sus componentes real e imaginaria
r bdquo = AJbdquo - iAobdquo (32b)
siendo An) gt 4 ltgt(i) las fracciones de cambio de la constante de fase y de amortiguamiento
respectivamente ocasionadas por la presenria del plasma
En corn-spomlencia con (32-1) y escribiendo la densidad de ciirrietite cuino J mdash J + i j
( es la parte real y es la parle iimiginaria) las cautidades de (325) toman respectivashy
mente la forma
iquest 4 1 = - V ^ V bull (3-20)
iquestngt = ^ C J bull (327)
2JSEacuteiexcl-Jiexcld
Vpoundbullpoundbdquo
far sfr0-Eacuteltj
En medios lineacuteale) anisotropicraquoraquo e inhomogeacuteneos la densidad de corriente r relaciona
ron el campo eleacutectrico en la forma
J=aEacute =mdashampbullpound (328) 4ir
donde amp es el tensor de conductividad eleacutectrica Af = (iacute - ) i es el tensor de permiacutetividad
dieleacutectrica e es el tensor unitario
Utilizando la expresioacuten (328) podemos reescribir (324) en la forma
48
wJ ft R bull Aacute iacute bull Ed
laquo Wen
r ^ poundbullampbullpound (330
En las expresiones anteriores no hay que olvidar que el campraquo eleacutectrico se expresa romo
una serif con respirtn al paraacutemetro pequentildeo pound Las expresiones (324)-(330) corresponden
iexcli iraquo aproximacioacuten de primer oidrn La condicioacuten que si- debe de satisfacer seguacuten la teoriacutea
de perttirlsirioacuten ni primera aproximacioacuten es tal qult- 1raquo magnitud de cambio en la ninstaiitr
de propagacioacuten debe ser sinnpre mucho menor que la magnitud laquobull- la difereiiria entre las
riHiMniitcraquo ilc propagacioacuten di cualquier modo con respecto al modo fundamental
ri lt r 0 r m lt |ru - rt| para todo Jl^O (331)
o con respecto a A y Aigt obtenemos
(332) Aibdquo laquo iquest A^bdquolt |A -r | iexcl
poundltraquobdquoltamp Ao(1)ltt|iquestt-rraquo|
6 El Meacutetodo de Perturbacioacuten en los resonadores
Anaacutelogamente al estudio de las guiacuteas de onda conteniendo plasma en su interior el anaacutelisis
en los resonadores que se encuentran parcial o completamente Henos con plasma exhibe
cambios en los paraacutemetros principales que describen los resonadores huecos En la seccioacuten
(41) ae mostroacute que un resonador tiene un nuacutemero infinito de modos de oscilacioacuten Cada 49
modo se caracteriza jagtr su frecuencia de resonancia su factor de calidad y su corres|Hraquon-
diente distribucioacuten de CHII)|Kgt La presencia del plasma en un resonador priMlure princishy
palmente un cambio en la frecuencia de resonancia en la cual el resonador se encuentra
opilando y en el factor de calidad Si la influencia del plasma en tales ]gtaraacutemetros es sufishy
cientemente pequentildea entonces para el anaacutelisis de este problema podemos tambieacuten emplear
la teoriacutea de perturbacioacuten
Consideremos un resonador que oscila en una de sus frecuencias de resonancia y que
contiene un plasma distribuido axialmente Evaluemos los iambins i|ite se producen en
liexcli frcciMiiciii de resonancia y en el factor de calidad del resonador Las distribuciones de
ciexclim|Hgty las frecuencias de resonancia se obtienen integrando las ecuaciones de campo (31)
y (32) con la condicioacuten de frontera (33) En este caso la condicioacuten de frontera (33) se
iipliia en la frontera cilindrica laquoleiacute resonador y en las superficies planas del mismo En
ausencia del plasma los raiiipos satisfacen las ecuaciones (31) v (32) con la piiacuterte derecha
igual con cero
VxEacutek + imdashH~k = 0 r (333)
V x Hk - mdashEacutebdquo = 0 c
y la condicioacuten de frontera (33) Donde se ha utilizado el subiacutendice Jt para denotar el
modo k de oscilacioacuten en un resonador hueco con frecuencia de resonancia ui Los campos
Ek y Hi satisfacen las relaciones de ortogonalidad
jvEacutekEacutedV = NkeacuteM
(334)
JvIacutekntildedV = Lk6kl
50
donde el superiacuteiidice nos indica el complejo conjugado de ios cam]gtos y la integracioacuten
igt realiza sobre tftdo el volumen del resonador
Se conoce que todo camjx) vectorial se compone de la suma de una parte con divergencia
ltITltJ iparte solenoidal) y una parte con rotacional cero (parte potencial) Para observar
la it^iuencia del plasma en la oscilacioacuten de ondas electromagneacuteticas es conveniente utilizar
este hecho escribiendo el campo eleacutertriacuteco como la suma de una parte solenoidal y una
potencial
Eacute = Eacute + Eacutebdquo V Eacutei = 0 (335)
V x Eacutebdquo = raquo
Llaquoraquos vectores solenoidales Eiexcl y H ile un resonador con plasma se pueden representar
como una coinlgtiuacioacuteu lineal de las funciones vectoriales Ei y Ht tjue detenuiiacuteian las
componentes solennidalcs de los modos de oscilacioacuten en un resonador sin plasma
Eacute = 5 gt pound raquo (33C) k
H - J gt amp (337)
Usando (336) y las relaciones de ortogonalidad (334) se encuentran las expresiones para
los coeficientes a y 6
TV (338)
_jvEacute-EacutexaacuteV 6gt 5 mdash bull
Sustituyendo (336) y (337) en las ecuaciones de campo (31) y (32) y considerando (333)
obtenemos eacutel sistema
51
k 1330)
J^(traquow-a tuf t)5 = 0
Multiplicando escalarmentc la primera ecuacioacuten de (339) por pound y la MRIIIKIIacuteI JMW HJ e
integrando sobre todo el volumen del resonador obtenemos
[b^k - laquow) = pound Eacute] bull poundkM - ^ I Eacute TIV (340)
(JW-laquo) = o 1341)
El primer tmuiiacuteiraquo tit- la tlrn-rlm ltb (340) i-s IacuteRIIUumlI IIHI erro Siacute ili-sprjaiiio ltbull (341) fr
y lo sustituimos cu (340) otitciii-inos
iJiexcl - J)nbdquo = Jj^L(pound-k f(g)dV (342) iexclSi Jv t
tlmide
k = ^ laquo 4 (343)
y Vi es el volumen que ocupa la columna dr plasma Sustituyendo la primera expresioacuten
para a de (338) en (342) se obtiene la relacioacuten
2 Jv Eacuteiexcl bull JEacute)dV - a g - iacute - 4 trade ^ iquest r f v 044)
donde se ha remarcado la dependencia de la densidad de la corriente con respecto al campo
eleacutectrico Por otro lado se observa que las ecuaciones (342) y (343) para diferenteraquo valores
de k forman un sistema de ecuaciones homogeacuteneas lineales con respecto a loraquo coeficientes
a La condicioacuten de solubilidad (igualdad a cero del determinante) determina la constante
52
bullltbull propagacioacuten Si la parte derecha fie (342) es lo suficientemente pequentildea jiodeinoraquo
ltiijgtlear el meacutetodo |gterturbatiro
Suponiendo laquoue la densidad de corriente a traveacutes del plasma es proporcional a un
paraacutemetro pequentildeo ]gtodemos desromponer las cantidades OkM^ ) E laquogt teacuterminos de este
paraacutemetro
h = poundbdquo lt3-45gt
(
lioiide el suloniHir ( define el orden (le peqncntildees Si en ausencia del plasma sr excita una
onda lie frecuencia UumlIiexcl en el resonador entotires en la aproximacioacuten de raquorltbii cero se tiene
pound|o) = Eiexcl
a = eacutelk (346)
Sustituyendo (345) en (344) e igualando los coeficientes de la misma potencia con respecto
al paraacutemetro pequentildeo se obtienen las soluciones en distintos ordenes de aproximacioacuten En
primera aproximacioacuten para k = l resulta
gt bien
53
= 2 ^ ^ 347)
En gmrral J ( ) ) es tuia cantidad complt-ja i|ttr mis reprcscuta la i-orrerrintildeu a primer
orden en la fnriirncia compleja de resonancia (uim = m mdash wi) Di- acuerdo ron (274) esta
cantidad puedr escribirse en la fonna
-bdquo = Aw + IA iacute J (348)
donde i parir mil ltbull imaginuria nos detenniunii las fraoioiirs laquobullbull cambio di- la |Ktrtc real
de la fri-eui-iicia di- n-soiiamia y la calillad dri resonador rcsptitivaiiniitc ocasionadas por
la pn-Hcuciacutea del plasma
En corrispoiidiiicia ion (347) escribiendo y descomponiendo la densidad de corriente
ronio J = 3 + i 3 (3 lts la parir real y 3 i la partiacute- imaginaria) las rantidailps ib (34S)
tulliacutean rirspeclivaineute la forma
- raquo m _av-j (340) wi w iexclv Eiexcl bull EilV
Qi) un fvpoundiexclEacuteM
En medios lineales anisotroacutepicos c inhomogeacuteneos la densidad de corriente se relaciona
con el campo eleacutectrico en la forma (328) De aquiacute qtie )gtodamos reescribir (347) como
WIacuteII bull - mdash mdash s mdash s 351) 2 v poundJ bull EdV
Para evaluar las correcciones en segunda aproximacioacuten a la frecuencia compleja de resoshy
nancia se sustituye la correcioacuten a primer orden del campo eleacutectrico E - poundbdquo + pound en
54
3441 la rual se determina por la expresioacuten (342) al evaluar cada uno de los rieficientes
u ron k JEacute
trtonces las correciones a las partes solenoidal y potencial se expresan en la forma
V pound | bdquo = mdash V bullbullltpound) (354)
Las roiidiiioniK laquo|nr se ilrlx-n satisfacer pariacutei cpir la expresioacuten (347) KIIacuteI viiacuteliiluuml es tul
([iilt parsi i ^ tentniMM
^ (355)
y |Hgtra I- =
A M mdash laquo 1 (366)
bull(4) e l
55
CAPITULO 4
INFLUENCIA DEL PLASMA
Eu i-sti- i-itpitulo en base al meacutetodo perturhativo descrito i-n el capitulo 3 se obtiene
el gtiexcliiiil)io laquopie sufre In constante de propagacioacuten para lindas rleclioniagneacutetiras eme se
propagan iii miii guiacutea ile onda ciliacuteiidriiacutea que i-oiitieur en su eje una roluijjua laquolaquobull plasma
friacuteo iiiliimiogeacuteufraquo y magnetizado Ademaacutes se determina la vaniiiioacuten ite la frecuencia laquole
roouancia para las ondas electromagneacuteticas qui se eiiruentran oscilando en tin resonador
cilindrico que contiene una columna de plasma friacuteo magnetizado e inhomogeacuteneo distribuido
axialmcnte Si- calculan las variaciones de la constante de propagacioacuten de la fierucucia de
resonancia y laquoleiacute factor de calillad jgtara diferentes valores de wjJJ1
7 Influencia del plasma en las guiacuteas de onda
Vamos a considerar como paraacutemetro pequentildeo que el radio del plasma es mucho menor que
la longitud de onda y que el perfil de densidad de electrones es de tipo paraboacutelico con
respecto al radio Ademaacutes el campo magneacutetico externo se considera homogeacuteneo y dirigido
a lo largo del eje O (Fig 41)
Como ya sabemos en una guiacutea de ondas cada modo de propagacioacuten se caracteriza por
56
Bo
P L A S M A
Fig41 Sc inwsira nnraquo i laquolimiiia ilr plasma laquoIc ratlin rbdquo loi aliidi sobre el ltbullbull bull)bull- miacutea guiacutea laquole
ogtda rihiiilrii-a dc railio rt in rampo iiiagnrliro externo iquestV osla dirigidraquo a Iraquo largraquo del ltbull)gtbull (gt
t i rumiante propagation Su parte real o factor dr fane drtrniiiiin la vrinriibul ill- fiiw
iexcluiftitraraquo I 1 piirti- imaginaria laquogt riwrkienlc tic absorcioacuten tlrtmniiacuteia el raquoinltgtrtigiiiexcliiiiiexcli-iitigt
(ir los diferentes modos ir propagacioacuten El efecto que se origina ttiantiraquo se rolix-a IIIIIacuteI
columna de plasma dentro de la guiacutea de ondas es un cambio en la constante de propagacioacuten
De acuerdo con la teoriacutea de perturbacioacuten este cambio es proporcional a la razoacuten del cambio
de energiacutea dentro de la seccioacuten transversal que ocupa el plasma sobre el vector de Poynting
evaluado sobre la seccioacuten transversal de la guiacutea de onda
r r - u _ IM-bullpound _ bdquo
donde las cantidades con subiacutendice 0 denotan cantidades no perturbadas (sin plasma)
Para evaluar la constante de propagacioacuten (41) es necesario obtener las soluciones de los
57
campos eleacutectrico y magneacutetico dentro del plasma en teacuterminos del jiaraacutemetrraquo peipientildeo
Para el caso de un plasma friacuteo cuando la velocidad de fase ile lsts nudas electromagneacuteshy
ticaraquo es mucho mayor (pie las velocidades teacutermicas di las (laquoarticulas si- utiliza el modelo
hidrodinaacutemico Debido a la simetriacutea cilindrica del problema su]Mgtngamos ijiacuten- los campos
tienen la forma
Eacute = iquestj(r)rr+--
Expresando la ecuacioacuten de onda
V x V x Eacute - ^r-iacuteEacute = 0
(42)
(43)
en coordenada iiliacuteiiltlriras se obtienen las eniariolies para las componentes del ranipo
eliVtriro i-ii la forma
igt
i-e- - mdash - DE = --Mt - DE + mdash(poundj + rr r r r r
E + - pound + (mdashv - ) pound = pound- + mdash (rpoundr) bull r r r r- r
(44)
(45)
-rcEr + iru(e - 1)poundJ + mdash | - i laquo ( f - 1)pound + poundpound] + rraquopound3 = 0 (46)
Aquiacute las primas indican una diferenciacioacuten con respecto a r l es el tensor dieleacutectrico en
la forma [19] (Bu esta dirigido a lo largo del eje 0)
poundraquo -
pound
0
pound 0
o vi ( t iquestu(e - 1) 0
= - t u ( c - l ) pound 0 V 0 0 r)
(47)
58
aacuteHtuacutee
- - 1 ti ul2 - - f j
2
= bull laquo bull i
_ = (r) = 4r r laquobull 1iexclI freruenna plaacutesmirraquo y -laquo lt-N ]iexclI fririirii-iraquo rirlotroacuteliira dr los
bullbulllaquobullerroiirs
Si il nidio ilil pliisiiiii o |Hi|iiiiacutein iii rumpiriiriuacuten ron IIacuteI loiigiliul de onda y n Irmas pound
varia i-ii un onli-n i|f iuiacuteraquotiacute-j)i in J |IIII|P)JIIgtS expresar li viiriiirioacuteji ili rraquo la forma
poundltrgt = bull ( laquo v ) bull iacute gt h 4 S )
donde el bullmnuiirtro se lm introducido para obtener las soluciones aproximadas ni difeshy
rentes ordenes ron respecta a pound di los camporaquo eleacutectrico y inaRiirliin Haciendo rl nunbio
lie variable x mdash =pound en la ininrioacuten (45) obtenemos
E = --(pound) - -plusmnpoundE - ^iquestE + - 4 J ( Iacute pound + gt9E) (4-9)
donde B kciexclwg = u(iacute - 1) y la prima denota una diferenciacioacuten con resprcto a x
Haciendo el mismo cambio de variable eliminando E por medio de (49) y limitaacutendole
hasta teacuterminos del orden (IO1- a ecuaciones (45) y (46) toman la forma
59
F i g 4 2 IVr l i l |gtiifiacuteilraquogtlirgtgt ili li |TinHivnli i l c|i| ( I I IM I I I n m P | W T 1 I I iexclI JT - mdashgt
[j-tl ltbullpoundbdquo-)] - (mh + mnixEf = 0 141raquo)
(411)
Se observa qui- la ecuacioacuten (410) no si- encuentra acoplada ron (49) y (411) cnloiires
podemos obtener su solucioacuten En condiciones experimentales una distribucioacuten dr la denshy
sidad de tipo paraboacutelico con respecto al radio resulta ser una rnuy buena aproximado
(Fig42) En tal caso escribimos
pound = T- - t0 (412)
siendo
CO
^ deg - 1 laquo413 J1 - ^
valor de la penuitividad en el eje del cilindro de plasma
Antes de sustituir el perfil paraboacutelico de iexcla permiacutetiviefad (412) en (4S) httgtimos en
bulli10 el cambio de variables
E = il|-r-|J-) 1414
bullbull donde obtenemos una ecuacioacuten diferencial pam en la forma
(V - bdquolr-+ [-(2|m| + 1 | - + (2|w| + 3|rjr-+ 2(|raquo| - tnu)Y = 0 1415
Haciendo un nuevo cambio de variables y = xiacutei en (415 se obtiene la ecuacioacuten
wd -v)r + H +1 - ( H + 2)W- iexcl y = o lt4icgt
Eltfa uacuteltima ecuacioacuten es una ecuacioacuten de tipo hiperficomeacutetrico y su solucioacuten es conocida
20 de donde la componente angular del campo eleacutectrico tiene la forma
poundv- = CxH-F(laquo6cy) (417)
donde F(a b c y) es la funcioacuten hipergeomeacutetrica [20] C es una constante y las constantes
cb y c tienen los valores
b = l + | m | - a (418)
C a 1 + H
61
respectivamente Dlt- la ecuacioacuten (411) podemos ahora escribir la expresioacuten paro la com-
jiacuteomrntf axial en la forma (hasta teacuterminos laquoiel orden (1iacute)1)
E = _ bdquo|m| D+-plusmn-CF(abc mdash mi poundu
= DiquestnbullT mdashJEiquest (419)
donde D es una constante La componente radial del campo eleacutectrico se obtiene de la
rniacioacuten (49) sustituyendo en esta (417 y (119) El campo majiexcliieacutetirtgt se deterniina laquole
la ecuacioacuten dr Faraday
1 OD r x pound = mdash mdash (420)
c uumlt
Limitaacutendose hasta teacuterminos del orden IO1 obtenemos la componente axial del camjm
magneacutetico
H = iacute H D gt i + Jiacute-lfEj - iiacuteuumlUuml^r (42D lit inz in(
Las constantes C y D que aparecen en (419) y (421) dependen de las condicioneraquo
de frontera Para su determinacioacuten acoplemos los campos dentro del plasma con los del
vacio bajo la condicioacuten que haya continuidad en la frontera del plasma (r = r) de las
componenteraquo E y Hiexcl
Ermfl = poundo | bdquo (422)
|tradebdquo = H0rmri (423)
Considerando que e(rf) = 1 y usando las expresiones correspondiente para las composhy
nentes axiales de los campos con plasma (419) y (421) y de los campos sin plasma
02
Z = DtJbdquo~ri y H0 = CWJbdquo(-T)) obtenemos las expresiones de las constantes C y
Z teacuterminos de los cani)gtos no perturbados En el raso para m gt 0 obtenemos
2 m (m- l ) -raquo - mF(n o r y ) + jF(noriexcl() bdquo-(bullraquo-raquogt( pound)bullraquo-)
D = 2miquest- C raquo + ^ deg - (4-25gt
iacute uiquest y = xfiacutey C0 y Dlaquo son unas constantes Hasta el momento nos hemos limitado a
- rinos del orden de ( l ) lo qtw equivale H decir que lit rondicioacuten de raquo|gt]irn)gtiliilad de
1- ecuaciones obtenidas es
kr iquest
7Iacute(l + | - bdquo | r laquo 1 1420)
Una vez lt|iie se lmn obtenido las expresiones tie los campos dentro del plasma evaluemos
bullbullbull integrales de 1iexclI expresioacuten (41) que determinan la const iexcltute tie propagacioacuten para una
sua de onda conteniendo en su eje una rolumna de plasma Se considera que el problema
gt perturbado es aquel que ronsiilera una guiacutea tie onda riliacutendrira llueca |fbdquo = 1 y bdquo = 1)
pound1 caacutelculo se realiza para una onda en modo H Para este modo la constante Dp es igual
con cero y las constantes C y D se reducen a la forma
C Jiquest poundk (4 27) 2 o F(a62yi) + ytFub2bdquo)
D = - g c bdquo (428)
Primeramente evaluemos la integral en el numerador de (41) para ello consideremos
la expresiones (229) Tomando la parte cosenoidal de (229) para la componente axial
correspondientes a los campos no perturbados y el tensor de permiacutetiv lad (47) obtenemos
63
= f - - A iacute - E iacute laquo 429) J Ai
= iexcl J |pound - 1) [poundJlaquoMraquon5(r + iuE) + poundt(MraquoiT-|pound - laquopound)] (-rdrtl
donde las componentes Ew Er y Eiquest dependen uacutenicamente del nidio La integral sobre if
en el intervalo [02r j se realiza expresando el termino exponencial romo senos y renenrraquo
y romanilo en cuenta sus relaciones de o-tugonalidad Por tanto despueacutes de realizar la
integral Mible r_ se obtiene
= - f r|pound - 1 )[Er(poundr + iuE) + EI poundr- - laquopoundbull ))ltbull
A1 r raquoraquo = r r(iacute - 1 )[rCZH mdash-J m (7r ) |pound r + laquopound) +
+ CZll-Jj-lr)(E-HiEr)dr 1430) i
La integral anterior se evalna sobre la seccioacuten transversal de la columna de plasma
Aquiacute r i es el radio de la columna de plasma Por otro linio si expresamos - en teacuterminos
de la longitud de onda di corte Ar (217) para tina guiacutea de ondas hueca en la forma = ^
ohservanios que el argumento de la funcioacuten de Bessel eu (430) es una cantidad mucho
menor que uno Para demostrar lo anterior notemos que de acuerdo con (218) para que
la onda se propague a traveacutes de la guiacutea de onda se debe satisfacer que la longitud de onda
en el vacio debe ser menor que t Ademaacutes debido a que sr ha considerado que la longitud
de onda es mucho mayor que el radio del plasma entonces la longitud de onda de corte
tambieacuten es mucho mayor que el radio del plasma Esto uacuteltimo nos sirve para considerar
uacutenicamente el primer teacutermino de la serie de la funcioacuten de Bessel [12] con respecto si
argumento -yr = 2iry De donde (430) se transforma romo
G4
Ix = gtCU (1 - ti) r(pound - iy[iEr + pound)rfr (431) Jrm Ji)
-spueacutes di- hacer el cambio de variable x = iacute - r y sustituir las formas expliacutecitas fie los
gt-npos (4D) y (417) para Er y Ef respectivamente se obtiene de (431) la expresioacuten
bull - f pound z raquo r m - i f e r ( i - u ) x 4-32) x i(-- -)rxx-F(iUlt mdash)] + iirtn-iquestFuUlt~ )li
Ai [ iquestu tu J
jiirlc se han aproximado los campos hasta teacuterminos del orden (7 ) Integrando P )laquoirles
raquo n-sperto a r el primer teacutermino de (432) obit-nemos
laquo - ^ V r r ( l - laquo ) x - + f V a r - (433) 2wi lt W bullraquo iacuteraquo
Sustituyendo la forma expliacutecita para la constante C (424) en (433) se observa miacutee (T-To)
vrrere con el nuacutemero de modo vi en la forma lt~IK Para t-l casiraquo (pie nos interesa tu = 1
iexcl integral ltpir aparece en (433) es faacutecil tie evaluar Para esto liaciendo el cambio de
variable y mdash x7t0 se puede reescribir la integral de (433) en la forma
Jsl+to x
xlnF(abcmdash)dx o iacuteo
= ~iexclg yF(abhy)dy (434)
utilizando la relacioacuten de diferenciacioacuten de las funciones hipergeonieacutetricas [11]
pound-[-gtF(abc)] = (c- n)nt-F(abc - ns) (435)
65
con ii = 1 v r = 3 se obtiene
Re-escribamos (43C) en una forma maacutes conveniente pura ello usando la siguiente
foacutermula de transformacioacuten para las funciones hipergeomeacutetricas [1121]
e f e - 1)(- - )Fnbc- z) + rr- 1 - ( 2 c - laquo - b- )zFlabr ) +
(r - laquo)(r - l | F I laquo i r - 1) = 0 (437)
ron laquobull = 2 y considerando las formas expliacutecitas praquoriexcli laquo y b tie (41) ron m = 1 de (437)
obtenemos la relacioacuten
F ( w fc 3 lplusmniraquo ) s ~ 4 ( 1 ^ 1 1 ) f^Ffafci 1plusmn^gt - J-(laquo2 l plusmn ^ iacute ) 1 (43S) poundbdquo (1 _ bdquo ) ( U i l j l fu ibdquo J
Finalmente usando la igualdad [11]
FUifc2) = F(ub-) - (laquo fc2c) (439)
la ecuacioacuten (43S) se puede escribir como
F(flft3^-=2)= F(laquob2^-^) (440) poundo ( I - K ) Iacute O iacuteo
Sustituyendo (440) en (436) y tomando en cuenta la relacioacuten t = 1 + pound0 obtenemos
-^|UftV(laquoraquoi^) H41) (1 - u) e0 pound0
y sustituyendo (427) y (441) en (433) finalmente obtenemos para | la expresioacuten
66
cbdquo r (1+^) riab2 iquestraquo)
M i r iacuteo F (laquo 6 2 l^ )+ L Uuml^F (laquo iquest 2 l i iacute i ) (442)
La integral del vector de Poynting correspondiente al denominador dr (41) evaluada
la seccioacuten transversal de la guiacutea de ondas tiene el valor obtenido cu (236) de donde
h - jA([Eiquestplusmnxntildevplusmn+EacuteraquoxxHiquest ]gtltlaquo
= CJZbdquoVgt bull laquo i i
JfjjLii- (-143)
iacutegt|HIacute rbdquo es el radio de la guiacutea ilc onda Finalmente dividiendo (442) entre (443) se obtiene
bulla expresioacuten para el cambio en la constante de propagacioacuten para unii onda en inodo Hu
ltue se propaga en una guiacutea de onda ron plasma
- ( r -r u ) = Ax iacute -Fnb2-^iacute)
F(laquoJ2 bullraquo)+ ^^Ff f i 2 ^ )
donde
(444)
M= 21(rr0)3
l - 3 3 9 ^
De aquiacute se obtiene que la constante de amortiguamiento es proporcional a
(445)
o = A F(o62ttiraquo)
f(afr2 iraquo) + UiacuteampFia fc2 raquo) Mtr)
F(a62iplusmniacuteraquo) (446)
07
Esta uacuteltima expresioacuten se igtigttnvigt ron vi uso di-la igualdad (439) Por otm bulo notemos
i|ugt- el argumento dr las funciones hipergromctriras dr (44G) es mayor laquopie la unidad Es
conocido laquopie la serie hipcrgeonirtrini diverge en yi = -f4 gt 1 [20] Por lo tanto rs
ruuvcuicute transformar las funciones hipergi-omctriras de- (44G) laquoru series convergentes
|gtaia filo obtrugamos las expresiones para Fluriacute l y ) y Fnb2y) donde y = 1(1 mdash z)
Para podrr estudiar la absorcioacuten de tma onda excitada en modo Hiexcl1 cu una guiacutea de onda
cilindrica como la que se tiene cu la fuente de plasma construida en el INlN y descrita
en 2] es necesario obtener las expresiones para Flnli 1 i) y FnU2y) ya ipie para
laraquo bull-iitiiiiciones de la niiiijuilia i tiende a la unidad como se desenlie con maacutes detalle maacutes
adelante
Observemos ipie la ecuacioacuten
t( 1 - )iquest + (1 - 3i)o - ltilgto = 0 1447)
tiene como solucioacuten la funcioacuten hiprrgromrt rica Finli li) Si bacnnus el cambio dr
variable raquo = 1(1 - z) entonces (447) sr rersrribr rn la forma
(1 - ) V + (1 - r gt ( 2 - r ) iquest + nkgt = 0 (448)
Fiacutetiaitnente con vi cambio iquestgt = (1 - )lt obtenemos la ecuacioacuten
i ( l - c)vgt + [2 - (26 + I r ) ] - IacuteraquoV = 0- N- 4 9 )
La solucioacuten dr la ecuacioacuten (449) es la funcioacuten hipergeomeacutetrica Fbb2z) [21] Sin emshy
bargo una solucioacuten maacutes general para F(ab i y) es una combinacioacuten lineal dr las dos
soluciones existentes de (449) [21] esto es
G8
Fiubly) = [-)lt AtF(bb2)-rB F(bb2z)Ln+Pii) + (l-fc) iJ
(450)
donde At y B son constantes por determinar y Pj(c) es una serie de potencias con resjiecto
a en la forma [21]
donde
^)=poundr^ [ lt ) - ( o j
Iraquo) = (laquo + raquo) + 4(+raquo)- I2 + raquo ) - ( + 1)
(451)
(452)
4 (bull In funcioacuten i igt iliiinim y (laquo) = laquo(laquo+ 1)(laquo + 2) bull bull bull (laquo + 7 - 1) Multiplicando anillos
luumldoM de hi ecuacioacuten 145(1) por zi - z) difiTciiciacutenndo ron respecto a i y considerando el
liacutemite ruando - tiende a cero olitcuciuoraquo la igualdad
vd - amp)bull(laquo ft 2v) = r r - r + BW + raquo - ) + iquesti-(i -raquo) (453)
Ahora usando la representacioacuten integral de la funcioacuten hiacutepergeomeacutetriacuteca (2Iiexcl y considerando
las definiciones (426) para aby c obtenemos
a - f - r(laquo)r(6)o ( i - lt y )
La primera integral de (454) se calcula faacutecilmente y tiene la forma
Jo 1 - ty y (455)
69
Para evaluar 1raquo segunda integral de (454) recordemos laquopie 1 = ^^ y notemos ipte en el
limite ruando y tiende a mm (c tiende en este castraquo a cero) iacutei se vuelve muy grande
raquo|iiraquo- laquobull equivalente a ltllaquorir que inraquo acercamos a] punto de resonancia eicloiroacuteiiica in = 1)
y por kgt tanto con r=2 Igt tiende a cero De esta manera la segunda integral de (454) se
aproxima al valor [21]
laquo-raquo- 1
1 - f dt = -(fc)-C (45C)
donde C es 1raquo constante de Euler Sustituyendo (455) y (45C) eiexcl (4541 obtenemos
f io 2) = 1
-Ltil - bull ) - laquo1M J- C 1 4 5 7 ) r(2-raquoinM
Pitra determinar las coacutemanles -4j y D sustituyamos (457) en (453) y separemos los
teacuterminos laquopie ionticueu Lti de aijticllos (pie no lo contienen Asi obtenemos las expreshy
siones para las constantes 4| y B en la forma
A =
B =
^ ^ laquo ^ ^ ^ r ( 2 - igt)T(igt)
(1-fc)raquo f(2-gt)JW
(45S)
(45ai
Anaacutelogamente se puede encontrar una solucioacuten para F[ab2y) en la forma
+ [ C + ( t ) + i raquo ] | F ( 6 f c - l l r ) I n iacute + fl(s)] (460)
donde
70
Las expresiones (450) y 1400) representn las transformaciones dr Filtibiy) y
Flt a b 2 y) respectivamente en series convergentes ruando y tiende iexcli la unidad Las consshy
tantes A y Bi se expresan mediante (458) y (459) corresigtondiexclentenieiitlaquo- Finalmente
y fie acuerdo ron (44G) dividiendo 4G0) intrc (450) y tomando la iexclgtiexclirtr iiiiiacute-uumliuaria
obtenemos la expresioacuten para la constante ltle amortiguamiento o de absorcioacuten en 1 forma
( i
Jf = laquo x Fffcfc - 11 )[1 - (1 - fc)(2 - fc)F(662 z) + Piexcl)- )bull]+
+ P (r) | l -6) F |6 6 2 )x
x [l - (1 - b)2 - h)FVb2) + P7(z)l - by +
+ C + (b) + Ln -](1 - 6)-F(6 62 r)] +
+ T T V ( 1 - 6 ) ^ ( 6 1 2 1 ) (4C2)
donde r = 1(1 + pound0) La figura 43 muestra el comportamiento de (4C2) en funcioacuten de
ni x u para m - 1 es decir los int2Tvalos [-LO) y [01] corresponden a m = - 1 y tu = +1
respectivamente Las graacuteficas de la figura 43 corresponden a los siguientes valores de
-bull(0)toiacutes a) 82 b) C c) 4 d) 3 y e) 1 Las graacuteficas c) d) y e) difieren de armellas
mostradas en [22j ya que aquiacute se han considerado uacutenicamente los primeros cinco teacuterminos
de las series Pz) y Pt(z) Por otro lado observemos que el coeficiente de amortiguamiento
se anula en el caso de resonancia cidotroacutenica (u = ) Sin embargo esto no significa que
no existe absorcioacuten de la onda en este caso como se reporta en [23] en los punto donde
71
o bulla
iquest
1 3
n raquo
o i
Wv
72
eiexcl Iacutendice de refraccioacuten tiende a infinito se produce una absorcioacuten delas ondas en el plasma
ltii- tipo no rolisioiiacuteal Esta absorrioacuteu se asraquo ic a la existencia de punto singulares dlaquo- la
ecuacioacuten de onda exacta para ciertos puntos dentro del plasma es decir ai|uiacute la componente
del campo eleacutectrico paralelo al gradiente de densidad es infinita
En la fuente de plasma descrita en el trabajo [2iexcl se trabaja actualmente con densidades
del plasma del orden raquof(0) = C x Nfcnr3 y con un campo magneacutetico externo B =
S~jGtntraquo Ademaacutes se cuenta ron una guiacutea de onda de radio rbdquo = 425rFraquogt en la rual se
IgtngtiexclgtiexcliEiexcli una onda electromagneacutetica ron 111raquo frecuencia w = 15304 X 10 gt Si el radio del
plasma es C| = 3ltm eutonres tendremos los Mullientes valores para _laquo_- 10) 11gtf0)-bull
y respectivatiieiite
wbdquo = 15379 x 10V
raquogt(()) = 13S19X 1 0 V
1 = 00990 1403)
^(0)--J = 08
poundn = 3902
A = 19525
En este caso podemos analizar de la figura 43 curva a) comportamiento riacutee la constante
de amortiguamiento cuando u^fO)raquo2 = 08 Como podemos olmcrvar la constante de
amortiguamiento tiene valores relativamente grandes en la vecindad de u = OC pero
decae raacutepidamente conforme u tiende a la unidad Cuando u = 0999 la constante de
amortiguamiento tiene el valor
73
o = Ai x (M)0()02455 = lSS x 10 (464)
El anaacutelisis anterior es vaacutelido si se rumple la rondicioacuten (42G)
^ ( 1 + |poundbdquo|)- ltpound 1 MCO)
que eii nuestro laquoaso es correcto ya que
^ - i d +|ibdquo|)-=ocnsx lo- ucc)
8 Influencia del plasma en los resonadores
El meacutetodo de Perturbacioacuten en este raso se mi de formraquo similii ii el rusraquo de tina guiacutea
tie onda Como paraacutemetro pequentildeo se considera anaacutelogamente que el radio del plasma
es lutirlio menor que la longitud de onda Ademaacutes se supone que el |HTTiexcl1 de tielisidad
electroacutenica es de tipo paralioacutelico y que el campo magneacutetico externo es homogeacuteneo y esla
dirigido a lo largo del eje O
Anaacutelogamente a el caso de una guiacutea de onda la presencia del plasma en un resonador
es originar un cambio en la frecuencia de resonancia De acuerdo ron la teoriacutea de perturshy
bacioacuten este cambio craquo proporrional a la razoacuten del cambio dr riirrga almacenadraquo dentro del
volumen que ocupa el plasma en el resonador sobre la energiacutea total almacenada en todo el
volumen del resonador (34C)
WJVpoundiquest iquestiquest EacutedV w - u 0 = wbdquo = - iquest (4Glt)
iquest Jr pound0 bulltoraquo
74
Lu i-niaciuacuteii (4CT) requiere la evaluacioacuteu de el campo eleacutectrico cu el plasma En la
-bullbullTIacuteOII 7 se obtuvieron los campos en una columna de plasma friacuteo de radio pefpit-iio
magnetizado e inhomogeacuteneo localizada en el eje de una guiacutea di- onda cilindrica Con
tuda de estas expresiones podemos determinar en forma expliacutecita los campos cuando una
lunuia de plasma se encuentra en el resonador
poundru-y--) = iacute
r 22
mi miacutem mS
poundir r-) = C | |- F(laquoraquor-K--fbdquo(4--) in raquo t4CS)
uy-) =
poundgtXM + _L pound raquoltiacute ti
In I-I - r i - l iacute - D P DJT] T mdashmdashstE) E 111 lllC laquo ( il
donde x = (iexclt~ C y D son constantes = ruy = u(i mdash 1) la prima denota diferenciacioacuten
con resjMcto a j - Fin h r y) es la funcioacuten de tipo hipergeomeacutetrico [20] y nb y r tienen llaquoraquos
valores obtenidos en (418)
No hay que olvidar que cu un resonador los campos son estacionarios de aquiacute que la
dependencia con respecto a r se escribe multiplicando cada ecuacioacuten de (468) por el factor
jffi(^z) oacute coM^z) p= 123 iacutees la longitud del resonador
Calculemos el cambio en la frecuencia de resonancia para ondas de tipo TEm- La
integral del denominador de la expresioacuten (4G7) nos expresa la cantidad de energiacutea eleacutectrica
almacenada por unidad de volumen en el resonador sin plasma cuyo resultado para un
resonador hueco se obtiene de (2GC) al considerar que WE = Wn y en pnrtirular fiv ~ 1
( = 1 El resultado para este modo se expresa en la forma
U = bull EacuteltW
= ^^M-MUn) M69)
Por otro lado la integral del numerador de (4C7) evaluada sobre todo el volumen que
ocupa el plasma se calcula con ayuda de las expresiones (2G0) (resonador sin plasma)
di las expresione (4CS) (resonador con plasma de radio pequentildeo) y de tensor dieleacutectrico
(47) obtcnirlidii
= iacute iacute f ( pound - l ) [E ( gtfm l T - | pound + l l lpound l + Jit u Jn
+EuacuterosinY-(Er - iuEr) rltMiJl-^-)riexclrd^dz (470) d
donde las coui]gtoiientes Eu E y pound tienen dependencia uacutenicamente radil Al realizar la
integracioacuten sobre Iacute y iquest en los intervalos [0 d) y [02riexcl respectivamenie obtenemos
s = V iacute r(t ~ XUumlEoE + iuE^) + Eiquest(E - niE)]ltlr iquest Jo d [ [ r
bull r ( iacute - l ) Jo
iC0 r Jm-r)Er + iuE)+
+ Q--JJfr)(E^ - iuE ] dr (471) c i J
Anaacutelogamente a el caso de una guiacutea de onda se utiliza el mismo argumento bajo el cual se
considera el primer teacutermino de la iuacute fmiacutecioacuteii en serie de la funcioacuten de Bcssel con respecto
al argumento r = 2JT^ De aquiacute que (471) se reescribe como
76
c iquest iquestml Jo
Lspueacutes de hacer el cambio de variable x = (iexcljfr y sustituir la forma expliacutecita de los campos
bull 49) y (417) para E y Et en (472) se obtiene
h = gtc ( l - u ) x wirdy-raquo l c V
0 c 2 2m V(wj
J-(pound- )L-[T FUIICmdash ) + mxJ-JF(bdquolt-i)h -raquo -raquo iraquo J
(473)
donde los campos M- han considerado hasta teacuterminos del orden (|) Integrando por partes
con respecto a J el primer teacutermino de (473) obtenemos
h = -2Cy bull )h (474) c 2 2raquoi Vi bulllaquo iu
La integral (pie aparece en (474) coincide exactamente con la cjne aparen- en (433)
de donde para ondas en modo TEm s se calcula sustituyendo (427) y 1441) en (474)
obteniendo
= rColTJiacutefrr iexclJ ltd j ( l+poundo) bull(laquoiquest2f)
(475) c3473 ebdquo f(o62lplusmnlaquoraquo)+1 plusmn a i v(o62iplusmniacuteraquo)
Finalmente dividiendo (475) entre (469) se obtiene la expresioacuten para el cambio en la
frecuencia de resonancia en modo T pound m para un resonador conteniendo una columna de
plasma friacuteo de radio pequentildeo
W(D = (u - u0) - MjX 1 - -F(laquo62lraquo)
siexcl X 1 -F(abll)
(476)
77
donde
La ecuacioacuten (47C) coincide con (444) salvo por una la constante Miexcl Anaacutelogamente n
el caso de una guiacutea de onda utilicemos las expresiones (450) y (4C0) juira Fintly) y
Fllti2 i) respectivamente Sustituyendo (450) y 14CO) eji (47C) y separando las partes
real e imaginaria obtenemos la variacioacuten de la frecuencia de resonancia (Araquo) y la variacioacuten
del inverso de la calidad del resonador l -M IO)) por influencia del |gtlasiniexcli respectivamente
en la forma
mdash^ = iexcl-zFbb- 11-) [-F( fcraquo 2-)([C+(-)] ( 1 -bf-
- (1 -fraquo)(2-)[C+(fc)l-Hl-lt) J(l - - ) ) +
+ C + ()][-gt(-)(] - h) - Ij] + -(1 - l)lPt)C + laquoK))F(hb2-) x
x [l - (1 - b)2-h)F(kb2z) + PJzil - raquo)+
+ -(1 - bjgtC + () + Li z]Fbb2z) + V | 1 - )F(bullbull 2--) (478)
-poundiquestmQ) = JTSX
x Fbb-lls)|l-(l- b)(2- b)zF(bb2z) + P ( - - ) r ( l -6 ) ]+
+ --F(i)(l-6) JF( iacute t 2i)x
x [ l - ( l - f r ) (2-amp^ -F(M2^) + P J ( - - ) iacute ( l -6 ) +
+ [C + (6) + iquestn --](1 - 6)zF(ampamp2z)]2 +
+ w12(l-b)4Fa(blgt2iacute)Yiacute (4-79)
t bull bull 78
La figuras 44 y 45 muestran las graacuteficas de las expresiones (478) y (479) con respecto
a ri x ii ]gturn distintos valores de u^(0)uz respectivamente Anaacutelogamente a el caso de
la- guiaraquo de onda se han considerado uacutenicamente los primeros cinro teacuterminos en las series
para Pi) y P jU) Un resultado importante de acuerdo cotiacute la figura 44 resulta ser
que en la resonancia ciclotroacutenica la variacioacuten del inverso del factor de calidad es cero es
decir en este caso y en la misma manera como en las guias de onda no existen peacuterdidas
de energiacutea de tipo colisional Sin embargo de la figura 45 notamos que cu resonancia
rirlotruacuteliira si existe un pequentildeo cambio en la frecuencia laquole resonancia del resonador
En la fuente de plasma descrita en [2J se tiene un resonador cilindrico donde oscila
una Diida a IUIIacuteI frecuencia laquobull = 15394 x ]() excitada en modo TEw y de radio
rbdquo = cm en el cual una columna dr pliacutetstua fie radio riexcl = 3lt se ein-iieiitrraquo a lo largo
del eje tlel resonador La cavidad resonante se encuentra dentro de un campo magneacutetico
externo D mdash SloacuteGauxraquo La densidad de electrones en la fuente tie plasma puede ser igual
a ni 0) = C x 10 I 0CTO 3 En este caso tenemos los mismos valores (4C3) para yinnfv0) u
y u-ji 0)raquo mientras cpie Miexcl tiene el valor
SU = 04C55 (480)
Entonces el cambio en el inverso de la calidad y en la frecuencia de resonancia tendraacuten
los valores
A( l ( ) = mdash x 000009C2455 = 582 x 1 0 (481)
Aw = Mj x |1 - (100035)] = - 1 0 3 x 10 V (482)
79
AwMa
i
o
I
U
bull3 I
I O
bull
a 6
1 1 1 bull 1 bull
bull
_
c x ^
- r f -
| 1 bull J T | 1 - | 1 |
l IX V if | rt i iacute i ( iraquo i i i bull i i i
i i
i i i
V
deg
iacute bull f
i i i
VI 1 A 1 ^ t
x X Iacute
JU i f ^
1 bull x
so
o i
fit
Zf Z rt w
El valor (481) se encuentra dentro del rango de validez de la teoriacutea de perturliacioacuten
ile acuerdo ron (35C) Asi mismo la variacioacuten de la freruenria de resonancia es dema-
siado |Mf|ttentildea en comparacioacuten con la freruencia propia del resonador de tal manera rpie
podemos considerar une no existe un cambio fuerte en la freruenria de resonancia ion esta
densidad
Los resultado iexclinteriores de las secciones 7 y 8 fueron presentados en iexcl24] y [25iexcl respecshy
tivamente
82
CAPITULO 5
PENETRACIOacuteN DE ONDAS EN EL PLASMA
En este iiipiacutetiilo ni el marro de 1iexclI teoriacutea lineal se liare una revisioacuten sulire el proceso
gtigt- penetracioacuten de campos elertDinaRneacuteticos en un plasma En vista de ijne en la fuente
lie plasma descrita en [2j se excita una onda tipo H nos vamos a limitar al caacutelenlo de
Un coeficieiites tie reflexioacuten transmisioacuten y de alisorrioacuteu para estlt- tipo de ondas liacuteay
eme hacer notar que en el experimento [2] se tiene un campo magneacutetico externo lo que
complica fuertemente el estudio de la interaccioacuten de ondas en este plasma Nos limitaremos
en este trabajo a considerar un plasma homogeacuteneo y deacutebilmente inhomogeacuteneo sin raiujm
magneacutetico externo Estos resultados preliminares son uacutetiles para posteriormente estudiar
la transformacioacuten lineal de ondas que es muy importante para el anaacutelisis del perfil de
densidad observado en la fuente de plasma [2]
9 Penetracioacuten de campos electromagneacuteticos en el plasma
El estudio de la interaccioacuten de ondas electromagneacuteticas en un plasma tiene particular
intereacutes por la gran variedad de paraacutemetros existentes como se mencionoacute anteriormente
83
(densidad de |ttirtirulas di- diferentes tipos prado dlt- ionizacioacuten longitud de trayectoria lishy
bre tfiii|raquocratura etc) 111 los diferentes casos Una de las caracteriacutesticas mas importantes
de un plasma real es su iuliomogeueidad Alt|iiiacute los paraacutemetros del jjasiilii variacutean en el
espacio produciendo considerables cambios en las caracteriacutesticas del mismo Freruontc-
menfe en lo concerniente a la propagacioacuten de ondas electromagneacuteticas estos cambios son
tan fuertes que la pennitividad dieleacutectrica cambia de signo
91 Penetracioacuten de campos electromagneacuteticos en la aproximacioacuten hidrodinaacutemica Sistema de ecuaciones
Il l sistema de emaeiones atltoroiisisteule i|iie desrribr la penetracioacuten tie un campo elecshy
tromagneacutetico en d plasma en la aproximacioacuten bidroiliuaacutemira se compone de las ecuaciones
ile Maxwell
V x pound = -2f 51 c 01
f x f l = - - i - mdash + mdash (02) c 01 c
V bull(poundlaquopound) = 4p (53)
V H = 0 (54)
donde las densidades de corriente y carga se determinan en la forma
P- pound c raquo n lt raquo = laquoiexcllaquoi + tnt = pound e bdquo n r r n (55)
y se expresan a traveacutes de los campos eleacutectrico y magneacutetico de las enlacioacutenos hidrodinaacutemicas
de movimiento y continuidad del fluido conductor de carga o [26]
84
sect + bullbdquobulllaquobull = ^(Eacute+-vnxH)-^--^va (56)
3raquobdquo _ _ _ ~ + V-n0viexcl = 0 U 7 )
En las ecuaciones (55)-(57) tbdquo es la carga m0 la masa tibdquo es la densidalt v0 es la
velocidad hidrodinaacutemica jgtbdquo o la presioacuten y ibdquo la frecuencia de colisioacuten entre las partiacuteculas
ltir- tipo o ron las partiacuterulas di- otra claw y con las moleacuteculas El subiacutendice o rorrcspondc a
i igt i ln ipii indica a los iones o electrones correspondientemente E D son las tensiones de
ligt- campos eleacutectrico y magiacutenico respectivamente y r es la velocidad de la luz en el vacio
Se supone i|iie el plasma se encuentra en un medio con un jieruiitiviilail dieleacutectrica iacutebdquo para
un plasma gaseoso bdquo = 1 y MI un plasma de estado soacutelido es la pcrmitiviilail dieleacutectrica
de la red cristalina Ya que la permit i vidad magneacutetica del plasma praacutecticamente es igual
a uno no vamos a diferenciar la induccioacuten magneacutetica de la tensioacuten del campo magneacutetico
lo que se refleja en las ecuaciones anteriormente descritas
El sistema laquole ecuaciones (oacutel)-(57) debiacute ser complementado con las ecuaciones de
estado de la materia expresados a traveacutes de la densidad nbdquo y la temperatura Tbdquo pn mdash
p0(noTa) Siacute las variaciones de estado de las componentes del plasma ocurren perioacutedicashy
mente entonces
Tpo = bullgtltJbdquoVn0 = 7raquoltfTbdquoVnlt (58)
donde vj = 2T0m0)t1 es la velocidad teacutermica promedio de laraquo partiacuteculas de tipo o 70
e la razoacuten entre loraquo caloreraquo especiacuteficos a presioacuten y volumen constante del gas de partiacuteculas
y 1 = mil
85
Las ecuaciones ib- movimiento describen un fluido en presencia dlt- cinco fuerza- ni
interaccioacuten a) la fuerza eleacutectrica (bdquopound b) la fuerza magneacutetica J x H c) la fuerza debida al
gradiente de la presioacuten d) la fuerza de interaccioacuten o colisioacuten entre la partiacuteculas de diferente
ti|Kraquo v0vbdquo y raquobull) la fuerza de inercia m-r0 bull V)tbdquo Por otro lado vamos a ronsiderar laquopie la
ecuacioacuten de estadraquo expresa un proceso adiatgtaacutetico caracterizado por el coeficiente -
92 Penetracioacuten de ondas tipo E y H
Vamos a investigar la penetracioacuten en el plasma ile ondas di- amplitud pcquiua La inteshy
raccioacuten de ondas electromagneacutetica con el plasma perturba los paraacutemetro caracteriacutesticos
en equilibrio del plasma Si las perturbaciones de los diferente paraacutemetros son lo sushy
ficientemente |xi|iientildeos en comparacioacuten con sus valoreraquo eii eipiilibrio entonces podemos
liiuariar las ecuaciones (51 H57) es decir iexclMHIIIIIOS despreciar los teacuterminos que contienen
producto entre las perturbaciones
Consideremos un plasma semiliiuitado sobre el cuaacutel a un aacutengulo fgt incide una onda
electromagneacutetica linealmente polarizada El sistema de coordenada lo escogemos de tal
manera que el plasma ocupe la regioacuten x gt 0 y la onda se propague sobre el plano X(gtZ
(Fig51) La onda incidente parcialmente se refleja del plasma y parcialmente se refracta
a un aacutengulo 8 Las amplitudes de las ondas reflejada y refractada se determinan de las
condiciones de frontera Como consecuencia de esto si la dependencia del campo de la
onda incidente con respecto a y t se determina a traveacutes del exponente rl-laquo) donde
kiquest = k0tcn9 k0 = raquogtc y w es la frecuencia de la onda entonces en la teoriacutea lineal para un
plasma estacionario y homogeacuteneo esta misma dependencia deben tener las ondas reflejada
y refractada en el plasma a lo largo de O
86
PLASMA
(b)
FiacutegKl Penetracioacuten de una onda electromagneacutetica lincalmente polarizada en un plasma raquoemi-
limitado La onda que incide a un aacutengulo 8 parcialmente se refleja a un aacutengulo 8 y parcialmente
se refracta a un aacutengulo V a) penetracioacuten de una onda tipo E y b) penetracioacuten de una onda tipo
H
87
Supongamos UIRraquo tenemos un plasma de dos componentes compuesto de electrones bullbull
iexclunes motwcargjados ron concentraciones en et|uilibrio raquobdquo = raquoraquolaquo = gtibdquo En un (Jasina friacuteo
la velocidad ternura de los iones se puetk despreciar 1 = 0) si esta es muy pei|iK-ntildea rn
contparacioacuteii con la velocidad de fase de la onda Si a lo largo del eje 0t la densidad no
varia entonces f = 0 y de laraquo ecuaciones (51)-(58) podemos obtener el sijpiiente sistema
dtr ecuaciones para los campos electromagneacuteticos
iexclKH = iquestJtpound - iacuteiacutejEi 159)
-rmdash = -iK0e mdash pound - + mdashmdashUE r ) U10) ni [ raquo-raquor J (w ni
Jvpound = - I (512)
^ = bullbdquobdquo (513) As
ik-HiE = JiL-ikJlr (514) ni
iloiiitr iacute ex la jx-ruiitividnd dirlrctrirraquo de un plasma isotropicraquo y friacuteo
taraquo(w + l^e) W(uraquo + Ifi)
ugtgt y uy son las frecuencias plaacutesmicas de los electrones e iones respetivamente expresadas
en la forma
iquestgt tgt
4c n 0 IJ
(6M) mlaquo
w a IB frecuencia compleja raquobull = w + ic y e eraquo la permitividad dieleacutectrica del fluido de
iones en la forma
88
t=to- + bull (517) w(w + llj)
El sistema de ecuaciones (59)-(514) se descompone en dos subsistemas iudc|Hiidientes
-i9H5ll y (512)-(514) lo que corresponde a la propagacioacuten en el plasma de dos ondas
independientes (Fig51) Para las ondas con componentes E E y Hy el vector del campo
eleacutectrico estraquo sobre el plano de incidencia XOZ Esta onda es una onda con polarizacioacuten
gt onda tipo TM o E Para )n segunda onda con comeacutentente Ebdquo Hr y H el vertor
fifi rutll|Mgt eleacutertriro es |H-r]gtriiiliriiIiir al planraquo fie incidencia Esta onda es unraquo onda ron
polarizacioacuten i ulula tipo TE o H Para las condiciones mencionadas iexclinteriormente el
ijjovjmieijlo teacutermico de laraquo partiacutecula es despreciable para la propasacioacuten de ondas tipo H
Sin embargo para las ondas ti]gto E puctlc ser bastante importante
10 Penetracioacuten de una onda electromagneacutetica tipo H en un plasma homogeacuteneo semilimitado Reflexioacuten y absorcioacuten de ondas tipo H
De las dos posibles polarizaciones que puede tener la onda que incide en el plasma el caso
de la onda de tipo H es el maacutes simple Encontremos la solucioacuten de las ecuaciones (512)-
(514) en el plasma y en el vacio suponiendo una frontera bien definida Sustituyendo H
de (513) en (514) y usando (512) obtenemos que el campo E satisface la ecuacioacuten
tPE - ^ + Jkfo - laquolaquoraquo)pound - 0 (518)
89
dmde en el plasma e se determina xx (515) y en el vacio pound = 1 Es faacutecil ronwtrar laquojar
eu el varkgt los campus tienen la furnia
para la onda incidente
poundbdquo = Eoraquo Bu m Fbdquocw0 (519)
y para kgt onda reflejada
Eraquo = llEbdquo-kltlt H = -Etcoraquoraquo ISM)
iliHiilraquo- pound es lii amplitud lie In i mi In hiiiiliiiti y iacutels rl riM-riiiiiili ili- icHrxiiVn El linihi|raquoligt
r i)r--wi) at j a s rX|ri^iHBM jbdquon lri caui|HKlaquo se excluye raquo aquiacute en adelante Praquor laquonraquo laria
bullbullI rwn]Mgt cu el plasma tirnr la forma
pound() = Eiquest0)rik B() = (^) poundlt) (5-21)
donde Et[0) es Iraquo amplitud de la rom|Hgtiiiiite poundbdquo del rampraquo cliVtriro III la frontera tlrl
plasma ( = ()) y A- se expresa romo
Jt JWlaquo - e2laquo (5-22)
Si it| es una cantidad real entonces la onda se propaga libremente en rl plasma prro
siacute Ai es una cantidad compleja entonces el campo en rl plasma r amortigua dr forma
exponencial a partir de la frontera
Para determinar el coeficiente de reflexioacuten y la amplitud del campo rn la frontera de)
plasma se utilizan laa condiciones de continuidad de laa componentes tangenciales dr los
eampoa en i = 0
90
pound(0)+poundbullbdquolaquogt) = pound(0)
(0) + raquo(0)-jr ((0)
Sustituyendo (519)-(oacute20) en (523) y considerando (521) encontramos
pound(0) = pound(l + rt)
dr donde obtiiunnos el coeficiente di reflexioacuten en Iraquo forum
(523)
(524)
=ampgtbull donde
e la impedancia sti]gtcrfieial o del plasma para una onda tipo H Sustituyendo (525) en
(524) encontramos la amplitud de la componente E del campo eleacutectrico raquo teacuterminos de
la impedancia el aacutengulo de incidencia y de la amplitud de la onda incidente en la frontera
del plasma
La definicioacuten de la impedancia (526) resulta coacutemoda ya que el coeficiente de reflexioacuten y la
profundidad de penetracioacuten se expresa de forma maacutes sencilla a traveacutes de ella En general
la impedancia es una cantidad compleja ZH = X + iX2 por eso el coeficiente de reflexioacuten
se puede escribir en la forma polar de Euler
01
M(AVlaquoM+1)-+ laquo-] e gt U 2 8 gt ^^xraquoiacute-l)1 + Y|coIiacutel
l
donde bull dcfitie la fase en la forma
XjcosO XjcosB bull = arctan bull mdash- - arctan bdquo mdash- (o29)
A i c o s 0 - 1 Xcos8+l
Uu paraacutemetro muy important del medio es ltbull) coeficiente lt]ltbull iexclilgtson-iiraquou el cual indica
laquorue laquoarte dc in energiacutea de la onda incidente se transfiere al pla-siiiraquo Si
P = 4~E x j = -iexcl-Eltraderaquo (030)
eraquo Iraquo denudad laquoIt-1 finjo de CIHTRIacuteH normal u la frontera dr la onda laquo[in incide y PT = y| |
es la densidad del finjo laquoIr In onda reflejada entonces el laquobulllaquobulleficiente de iilisorrioacuteii se define
roiiMraquo
W = ^mdash^ = 1 - |J|raquo (531)
Sustituyendo (528) en (531) obtenemos el coeficiente ltle absorcioacuten en teacuterminos de las
partes real e imaginaria dc la impedancia
W laquo Xcogt$ (532)
Ahora analiacutezemos con maacutes detalle las condiciones de propagacioacuten y amortiguamiento
de ondas electromagneacuteticas en un plasma de electrones en diferentes rangos dc frecuencia y
calculemos los coeficientes de reflexioacuten y absorcioacuten para cada casraquo respectivamente Para
92
ello sustituyamos (515) en (522) donde en este caso debido a la gran diferencia dr
masa de lo iones con respecto a los electrones consideraremos iquest^ as 0 Dr esta manera
obtenemos
r w V2
t - laquo raquo raquo - - (533) l jltlaquo + ilaquot)J
Consideremos los siguientes casos
a) El caso de altas frecuencias (cr lt -gt) Aquiacute los choques entre los electronraquo- se pueden
ilespreciar y entonces X- se reduce a la forma
Xraquo i- = - l - r o ^ - ^ (534)
En el reacutegimen de frecnciiriajiacute u lt ^lotfiacute lu m]x-ltlnraquorii es una caiitiilncl real y por In
tanto el coeficiente di- reflexioacuten y de absorcioacuten tomitii resjMrtivnniente la forma
donde
En este caso la fase (529) es igual con cero lo cual nos indica que laraquo ondas incidente
y reflejada se encuentran en fase Por otro lado la condicioacuten de amortiguamiento en un
plasma gaseoso sin colisiones consiste en que se cumple la desigualdad
ucof8 lt ugtVf (538)
03
IntrotUuetunos en calidad dr cararteriacutestica de penetracioacuten lthI ciexclttii|Mgt una |gtroftmililtlaltl
compleja de itetirtracioacuten determinada por medio de la relacioacuten tgt = t(gtraquo iquesti) El sentido
fiskti di la cantidad i es la distancia a la cual la amplitud del rampraquo en rl plasma ilecren
eu e mdash 271 veres de su valor inicial Con la condicioacuten ugt gtbull uicosB la profundidad de
penetracioacuten (anchura de la capa piel) no depende de la frecuencia = cu
h) En la regioacuten de bajas frecuencias w lt vt) los choques ya mgt se pueden despreciar En
este caso Rt Jt| s Ivi k y el campo en el plasma decreeraquo- ex]Mmirurial y oscilatoriamente
ilruumldr la frontera Si v gt m slt- tiene
k = -^zJviVrCosH+i- (539) Jiv v
si iacuteiilnilaacutes raquoiquest gt vrivosH entonces
y la longitud laquoIr la rapa piel tiene la forma
r iexcl2vt iquest = mdash J mdash = - 7 f iquest mdash (541)
donde raquo0 SB wf(4ffi) es la conductividad del plasma Notemos que (541) determina
la profundidad de penetracioacuten del campo en un conductor en el cual fluye una corriente
variable de baja frecuencia Asiacute las expresiones (521) determinan el campo en el plasma
en condiciones de un efecto piel normal o claacutesico A bajaraquo frecuencias y alta temperatura
del plasma estas expresiones ya no son vaacutelidas y es necesario analizar la penetracioacuten de los
campos en base a un modelo cineacutetico
Considerando las colisiones entre las partiacuteculas la impednncia del plasma tiene la forma
94
Zbdquo = (542) ^ugt(u)1cot10 - u pound ) + bull-bullJraquo
Si la frecuencia de colisiones es pequentildea pero sigue siendo finita y ademaacutes se cumplen las
desigualdades v lt raquo- ffgtiacute lt gtJcosi0 mdash uiiquest() entonces (542) se transforma COJIJO
Zbdquo = (543)
de donde observamos que en la regioacuten de frecuencias uirraquo^ lt ufPr el rocuumlcinjte ile iibsorrioacuten
se exprtsut en la lonnti
W = 2pro^Jtvwtraquo - l ) - (544)
Por otro lado si la frecuencia de la onda es lo suficientemente pequentildea tal laquopn- i gt laquobull y
se cumple la desigualdad J^Kv) gt OM rntonres la inj|MdnncIacutei se expri-sraquo como
z - iacute1 Voacuteiacute (545)
V -gtltbull y loraquo coeficientes de reflexioacuten y absorcioacuten se expresan respetivamente en la forma
R = (l-2Acltw0) 2e- MltM (540)
W = 4Xcoraquo9 (547)
donde A^ laquo -Xt = bullraquo( 2wt)
Finalmente observemos que las peacuterdidas de energiacutea que la onda sufre en el plasma
defiacutenidu por las foacutermuias (544) y (536) tiene diferente significado fiacutesico La W diferente
de cero cuando u = 0 esta relacionado con la excitacioacuten de una onda electromagneacutetica en
05
el plasma y el valor de W de (544) determina la parte de la energiacutea de la onda incidente
qiK- es utilizada para el calentamiento de los electrones del plasma eigt la capa piel
11 Paso deacute una onda H a traveacutes de una capa de plasma
Si la profundidad de penetracioacuten del campo ni una capa de plasma es tk-I orden de sns
dimensiones transversales o si la onda se pro|gtaga elraquo el plasma entonces la influrmia de
la segunda frontera del plasma resulta muy importante Determinemos el campo en el
plasma y los coeficientes iexclle reflexioacuten y de transmisioacuten en el paso de una onda incidente a
traveacutes de una rapa de plasma homogeacuteneo de anchura d
El canijaraquo i-n el vacio o cu la regioacuten T lt 0 tiene la forma (519)-(iquestj2l)) y el campo en la
regioacuten i gt 0 tiene la forma
Eraquo = TE0tcu = Eraquoltbdquosraquo (548)
donde T es el coeficiente de transmisioacuten El campo en el plasma consiste de dos ondas
tina de las cuales se propaga en direccioacuten de los valores positivos y la otra en direccioacuten de
los valores negativos de x
E = Aek + Be-ik = - iquest trade (549)
Las condiciones de continuidad de las componentes tangenciales del campo en la fronshy
tera del plasma x = 0 y x = ti anaacutelogas a (523) permiten determinar T y el campo en
el plasma
06
R = (1-pound)AiquestlaquogtM (550)
T = 2icoa$aacuteJWt - atn8t-kdeg (551)
Ey = 2cos8bTHi [iyt - iacuteenflcoJt(iacute - x) + aM0eni-(ri - ) ] (552)
donde
Aw = (t - 1 + 2colaquoI0)ifnfrrf + 2raquoVi - xriMrosHrosktd (553)
En el caso dr una onda que ]M-nctra en el plasma para la cual iquestrosH gt u dcspnviando
las colisiones entre las partiacuteculas el coeficiente de alisorcioacuten determinado como
B s l - R - T (554)
es igual a cero El cani|wgt en cl plasma tiene la forma dc uua onda estacionaria y con
la variacioacuten di- la cantidad t|rf los coeficientes de reflexioacuten y refraccioacuten oscilan Si en
condiciones de cierto piel kfd lt 1 entonceraquo a frecuencias lo suficientemente pequentildeas
(laquobullpound gt -(w + iv)) los coeficientes de reflexioacuten y nfraccioacuten tienen la forma
R = - (o iacute + io3)(o + 2co8 + iaj)~ (555)
T = 2cos0(a f 2ctgtiacuteiacute+^OJ^ (55C)
donde
- - 5^5-
97
En este caso el coeficiente de absorcioacuten se expresa como
IV = 4ocolaquo[(oi + 2co9)2 + a]]- (559)
Si Pt gtgt raquobull entonces o t gt cgt-iexcl Las peacuterdidas maacuteximas en este caso se obtienen con
la condicioacuten o = 2coi0 iguales a la mitad de la energiacutea de la onda incidente Las ondas
reflejada y refractada en este caso tendraacuten la misma amplitud en valor absoluto Las
foacutermulas (555)-(55G) se pueden generalizar para una capa delgada con cualquier iuhomc-
gcticidad Si diquest kcbdquobdquoj lt 1 entoneacuteis los campos en el plasma se ltrternmii del sistema
de ecuaciones
ils Ai r(w + ivrs)) = laquogtbull r 1 f i - laquo5CII)
donde las soluciones tienen lt forma
pound = C H = -f(x)C + C (5C1)
siendo
co w + iit(j)
Las condiciones de continuidad de los campos en las fronteras x = 0 y r mdash d nos llevan a
los valores (555) y (556) en los cuales oiacute = Re laquo(lt) y a2 = Im n(rf) Por otro latioacute
las constantes Ct y C3 a traveacutes de las cuales se expresan los campos en el plasma tienen
la forma
C = TEltiexcl = 2E0coraquo9aH(d) + 2coraquo9)- (503)
Cj = 2EoCO$eaH(d)co6)aHd) + 2coraquo8)- (564)
98
12 Penetracioacuten de una onda tipo H en un plasma deacutebilmente no homogeacuteneo
En una gran variedad de aplicaciones la densidad del plasma variacutea lentamente en el espacio
desde cero hasta cierto valor maacuteximo La penetracioacuten del campo en tales plasmas se
diferencia fuertemente de la penetracioacuten en un plasma con una frontera bien definida o
fuertemente no homogeacutenea Las ecuaciones que describen a las ondas electromagneacuteticas
en un plasma no homogeacuteneo son un sistema de ernarkmes diferenciales ron roefirntildeiites
variables iloudr sus soluciones exartas o aproximadas se enriient ran uacutenicamente para rasos
(laquoarticulares Uno ile estos rasos |gtartirulares es aquel laquoIr un medio de ra)gtas planas donde la
densidad variacutea ni una sola dirrrrioacuten Una serie dr soluciones escarias de las eruaeiones ile
la clertrodinaacutemira en un medio ile rapas planas ron diferentes variaciones de la densidad
se pueden ver en los trabajos (2327) Generalmente soluciones aproximadas relativamente
simples en estos medios se pueden eiirotitrar en regiones asintoacutetiras es decir a distanrias
grandes ron rcsjwrto a los puntos singulares de las eruaeiones difcrenriales Los paraacutemetros
que se usan en esta aproximar ion pueden ser la relacioacuten del tamantildeo caracteriacutestico de la
no lioinogcneidad L ron res|ierto a las longitudes de propagacioacuten A de las ondas en el
plasma Si uno de los valores rumple la desigualdad LX gt 1 eutoures en relacioacuten a esta
onda al plasma se le puede llamar deacutebilmente no homogeacuteneo La penetracioacuten de campos
electromagneacuteticos en un plasma deacutebilmente no homogeacuteneo se ha considerado en diferentes
trabajos [222327-31] Consideraremos algunos resultados obtenidos
Veamos un plasma compuesto de iones pesados fijos con densidad n0i) la carga de
los cuales en estado no perturbado se compensa con la carga dr los electrones ron temshy
peratura diferente de cero Te La densidad del plasma n0 - 0 ruando iacute - t O y rrece o
es infinita cuando mdashraquo ce No existe campo magneacutetico externo y la distriburioacuten de eler-
99
trones por velocidades es isotroacutepica Para la descripcioacuten de la penetracioacuten de mi cam]Mgt
electromagneacutetico en tal plasma se utilizan las ecuaciones de la hidrodinaacutemica (50)-(514)
en las cuales hay que sustituir iacuteo = 1raquo iacutei = 1 y gt mdash gt()bull La i-ruacioacuteu diflaquoniciacuteal (5IS)
que rige la jicnetracioacuten de ondas tipo H en un plasma no homogeacuteneo toma iexclihoni la fonna
iPE -=bull + kl(t[x) - stnH)E = 0 (5C5) tiacutex
donde la pcrinitividad dieleacutectrica es funcioacuten de la posicioacuten en la forma
pound ( ) = 1 ttiquestIl (5GG)
w(uiacute+ II ( x ) )
De id ecuacioacuten (oacuteCuuml) se puede hacer ililncdiiitaiiieiite tilia serie de deducciones a) 1raquo onda
se propaga libremente en li regioacuten Jif t lt bullgtni1tiacute b) en mi plasma maacutes ileliso iloude
Jlt gt nrrifl la propagacioacuten se vuelve imposible y la onda uacutenicamente penetra el plasma
en la longitud de la rapa piel y c) el punto Rr pound = srtiB es el punto de corle donde 1raquo
onda se refleja
En un plasma deacutebilmente inhomogeacuteneo ruando raquoo(x) variacutea deacutebilmente en la longitud de
la onda que se propaga por el plasma la ecuacioacuten (5C5) se puede resolver por el meacutetodo de
la geometriacutea oacuteptica para una dependencia arbitraria de la densidad gtibdquo(s) [23] La enlacioraquo
(565) tiene una solucioacuten exacta para una capa lineal cuando la permitividad dieleacutectrica
(v(x) lt ui) puede escribirse n la forma
donde
+ iUumlIacutepoundgtpoundf 507) X0 WI0
bull = amp
100
Aquiacute a es la pendiente que caracteriza la dependencia lineal de la densidad de electrones
ron respecto a la posicioacuten Para el caso de un plasma sin colisiones (e = 0) reescribimos
iacuteoacute65) en la forma
- pound + kl( co1raquo - mdash )pound = 0 (569) ax Xo
haciendo el cambio de variable
C=[f) ix^coraquo2raquo - x) (570)
la ecuacioacuten (5C9) se puede llevar a la ecuacioacuten de Airy
^ + C pound = 0 (571)
Su solucioacuten decreciente cuando i mdashbull ltx tiene la forma [32]
poundraquolaquo) = mdash coM--Ct)gtlv (5-72) ir Jo J
donde A ex una constante que se determina de la roiidieiones de frontera manilo x = 0
En la obtencioacuten de la expresioacuten (572) (te lia despreciado la reflexioacuten de la onda en la
frontera del plasma debido al gradiente de densidad Es decir la amplitud del campo
eleacutectrico en el punto x bull 0 se considera igual a Eg lo que es vaacutelido para valores pequentildeos
del gradiente de densidad en este punto (|^|o ltC k) En la regioacuten 0 lt x lt x0colaquo28
debido a la suma de las ondas incidente y reflejada poundbdquo(() tiene la forma de una onda
estacionariacutea Lo anterior es asiacute ya que para valores positivos y grandes de ( E(Q tiene
una representacioacuten asintoacutetica en la forma [32]
101
Cerca df la frontera los valores del campo estaacuten dados aproximadamente |laquogtr
cuyo valor maacuteximo es
4a-gtgt-w-niexcliacuteiquest5^- bull (575)
Ln expresioacuten (575) resulta de la interferencia constructiva de las ondas ipie viajan a In
ii|UIacutecrda y a la derecha rrsprctivamrnte pin lo tanto la amplitud de la onda incidente poundbdquo
tt-tidru la forma
Aliora evaluemos la ronstatite 4 de (572) Para rilo iitiliemos la representacioacuten
asintoacutetira (573) y consideremos la condicioacuten de frontera de acoplamiento de los campos
en el plasma y en el vacio
poundT(0) = JEIacute (577)
De acuerdo con la definicioacuten (570) para ( podemos escribir el teacutermino ijCv en ln forma
f^^ (--pound_) (578)
Sustituyendo (578) en (573) y evaluando en x = 0 obtenemos
3A 2 ir poundlaquo(0) ) = -7k0Xo)-ucos-iacuteli9coraquo(-k0j0coS9 - -) (579)
yf f O 4
102
x = O = x0rnslV X
FiexclgS2 Alii|tli(ultl laquoId rrtiii|ngt eleacuterlrim cu la vecindad del punto de reflexioacuten s - xbdquoiiiH
Finalmente apurando 1raquo roiitliacutetiacuteoacuten de frontero (577) cnroutraiiioM el valor de A
(580)
La amplitud aacutee la onda estacionaria que se forma en el plasma cu los puntos cercanos
al punto de reflexioacuten x = Xoco29 crece (Fig52) Su valor maacuteximo se puede obtener de la
expresioacuten (572) el cual corresponde al primer cero de la derivada de la funcioacuten de Airy
[11] y tiene el valor
2 a a | l = 268 (581)
Asiacute dividiendo (5S1) entre (576) obtenemos el coeficiente de amplificacioacuten de la amplitud
del campo eleacutectrico en el plasma con respecto al campo en el vacio
103
| s f = 374(oolaquo3laquo)3 (582)
En el caso maacutes general de un plasma deacutebilmente inhomogeacuteneo en (562) en lugar dr
arbdquo debemos sustituir
En este caso para valores grandes de (koro)l^eoraquo0 auacuten una |MI jtirntildea parte imaginaria de
ki pcniMtiviacutedad dieleacutectrica puede rondticir a jteacuterdidas significativa de energiacutea de la onda
Si ni gtgt P jiacute () entonces la ecuacioacuten (571) conserva su forma pero ( en csrraquoiexcl caso laquo-S una
cantidad compleja
- ( )
raquo ( j v o ^ + x - mdash ) (584)
Nuevamente la onda (pit se forma en la regioacuten 0 lt x lt sltol(t es una onda estacionaria
lgtcro ahora la onda que se refleja cu el punto de corte Tit t = oc) nltgt tiene la misma
amplitud de la oiiif-t incidente Aquiacute cl coeficiente de reflexioacuten es diferente de la unidad y
se expresa como [23]
R as e m laquomdashgtbull m e-raquopound raquolaquoraquo (585)
La amplitud maacutexima del campo cerca del punto de reflexioacuten en este raso disminuye en
Ry
|iexcl iacute | 2 374|| 2(ltWw3)1 3 (586)
104
CONCLUSIONES
I Se describioacute la teoriacutea general de las guiacuteas de onda y resonadores cilindricos En base a
esta teoriacutea se obtuvieron obtenido los paraacutemetros principales que ritrart izan vi sistema
de microondas di- la fuente de plasma descrita cu [2] En el raso ilc una guiacutea de onda
cilindrica hecha tiraquo- bronce y ron Suacuterm de diaacutemetro interno se obtuvieron los siguientes
valores para los distintos paraacutemetros de pro|gtagariexcloacuteu de midas litadas en el IIIIHIO
A = 145rw raquobullbdquo = 13 x WHi I = 02753rraquor A = 22S2raquo Zbdquo = 187
ti = 56 x 10degtrade K3 = lC x 10uumlcfia
La constante de amortiguatniento lgtara estas ondas romraquo ronseriiriiciraquo de la roudur-
tividad finita ile las paredes metaacutelicas tiene el valor om = 1032 x 104 como este valor
es muy pequentildeo obtenemos que se puede considerar que la guiacutea de onda del sistema de
microondas (de no maacutes de un metro de longitud) es una guiacutea de onda ideal (sin ]xrdiexcldas de
energiacutea) Por otro lado para el resonador cilindrico laquopie compone el sistema de microondas
de radio a bull 7cm se obtuvo la distancia necesaria para que en el resonador oscile una onda
en modo Ht (wm = 15394 x 10(f ) Esta distancia tiene el valor d - 71Gcm Ademaacutes
se evaluaron la calidad del resonador y el ancho de banda donde el modo TEu puede ser
excitado uacutenicamente Q =bullbull 404963 w2 - uraquo = 000025 x WH respectivamente
II Se analizoacute el problema cuando la guiacutea de onda y el resonador cilindricos conshy
tienen una columna de plasma friacuteo magnetizado e inhomogeacuteneo distribuido axialmcnte
105
La columna de plasma cti el caso de la fuente de plasma [2j tiene un radio r = 3mraquo
y ademaacutes el perfil de densidad se consideroacute de tijraquoo paraboacutelico Eu base a la teoriacutea tie
perturbacioacuten y usando como paraacutemetro pequentildeo la pequenez del radio del plasma con
respecto a la longitud dt- onda se calculoacute la constante de amortiguamiento de la ondas
que se propagan en la guiacutea de onda ocasionada por la presencia del plasma La constante
de amortiguamiento tiene el valor o = lSS x 10~4
Se calculoacute ia variacioacuten de la frecuencia de resonancia fie las ondas que se etinieutran
resonando en modo TEtti en i resonador asiacute romo la variacioacuten en el inverso dr la calidad
del resonador obteniendo resp t-tiacutevaineiifc Aw - -lG3x 10 H MlQ) = oacuteS2x lO1
Los valores para n Aw y plusmniexclQ) se obtuvieron paro el caso mando ^bulljiacute(l))raquo = OS y
para el punto cerranraquo al punto di- resonancia ciclorroacutenica u = 0999 Ademaacutes se obtuvo
que la constante de amortiguamiento en el caso de la guiacutea de onda en el punto de resonancia
ciclotroacutenica l-u = w) se hace cero De lo anterior podernos roiirluir que la inutii se propaga
libremente en el plasma
III En el marco de la teoriacutea lined se analizoacute el proceso de penetracioacuten de campos
electromagneacuteticos en un plasma scmilimitaclo Se obtuvieron Jos coeficientes de reflexioacuten
transmisioacuten y de absorcioacuten para ondas tipo H tanto para un plasma homogeacuteneo y un
plasma no bomogeacutetieo Un aspecto fiacutesico importante en el estudio de la penetracioacuten de
ondas electromagneacuteticas en plasmas inhomogeacuteneos es que para una incidencia normal existe
un crecimiento del campo eleacutectrico en el punto donde la permitividad se hace cero Para
plasmaraquo magnetizados el comportamiento anterior es similar Por otro lado cabe sentildealar
que los puntos dentro de un plasma friacuteo e inhomogeacuteneo en los cuales el iacutendice de refraccioacuten
106
es infinito permite una absorcioacuten de las ondas de tipo no colisional en el plasma y al
mismo tiempo se obliga al campo eleacutectrico a tener un valor finito Esta absorcioacuten en el
plasma se asocia al hecho de que en el punto iacute = oo el campo electromagneacutetico sufre una
transformacioacuten lineal en otro tipo de ondas
Finalmente hay que hacer notar que la absorcioacuten de las ondas en las guiacuteas de onda
y los resonadores se debe uacutenicamente a la variacioacuten o cambio que sufre la constante de
propagacioacuten y la calidad del resonador respectivamente por la influencia tlcl plasma Este
mecanismo de transferencia de energiacutea ai plasma es diferente al mecanismo laquoIr la transforshy
macioacuten lineal de ondas
107
REFERENCIAS
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23 Ginzburg VL(1961) Propagation of Electromagnetic Waves in Plasma Gordon and
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24 Gutieacuterrez Tapia CR Arzate Plata N Absorcioacuten de ondas en un plasma magneshy
tizado cilindrico de radio pequentildeo XXXVI Congreso Nacional de Fiacutesica Acnpulco
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109
25 Gutieacuterrez Tapia CR Arzate Plata N- Caacutelculo del coeficiente de amortiguamiento
en ana guiacutea ir onda y it la calidad it laquon ntonaior CAM 94 Physics Mnrtiuj
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26 Landau LD and Lifshitz EM(IOGO) Electrodynamics of Continuous Liedla Pciga-
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27 White RB and Chen FF(1974) Plasma Physicraquo 16 565
28 Stix TH(19Coacute) Radiation and absorption via mode conversion in an mhumogcucuraquo
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netomrtivr plasma Sw Phys-Trch Phys 11 No2 198
3D Piliyti A D(19C7) Wave conversion in a weakly inhomonrnrous plasma 11 Noll
1567
31 Erokhin NS and Moism- SS(1973) Sw Phys USPEKHI 16 Nol 64
32 Lebctlev N(1972) Special functions and ihrtr aplications Dover puhlirntioits Nrw
York
110
A mis compantildeeros y Amigos
Marcelo
Omar
Javier
J Manuel
Agradezco al Dr Ceacutesar R Gutieacuterrez Tapia
Por su valiosa direccioacuten eu la elaboracioacuten
de este trabajo de tesis
De manera especial al
Fit Gerardo Anguiano 0
Por su apoyo en sistemas de computo
Por sus comentarios al
Dr Enrique Campraquo C
Por su colaboraciuacuteu cu la roviaacuteoacuteu de esta tesis
agradezco a los Profesorraquoraquoraquo
FM J Antonio Aguilar S
MC Gloria Daca L
Fit Aurelio A Tamez M
Dr Albino Hernaacutendez G
M en I Carlos Sandoval A
y a las instituciones
Universidad Autoacutenoma del Ettado de Meacutexico
Instituto Nacional de Investigaciones Nucleates
Gobierno del Estado de Meacutexico
por su apoyo y facilidades brindadas en la
realizacioacuten de este trabajo de tesis
CONTENIDO
INTRODUCCIOacuteN 1
CAPITULO 1 DESCRIPCIOacuteN DEL PLASMA 3
1 Principales paraacutemetros del plasma 3
2 Meacutetodos teoacutericos ltraquobull descripcioacuten del plasma 8
CAPITULO 2 GUIAS DE ONDA Y RESONADORES 12
3 Guias de onda 1 2
31 Ecuacioacuten de valores propios 12
32 Paraacutemetros de propagacioacuten 15
33 Coeficiente de absorcioacuten 18
34 Guiacutea de onda cilindrica Modo Hmn 19
35 Coeficiente de absorcioacuten Modo H^ 23
4 Cavidades resonantes (resonadores) 27
41 Caracteriacutesticas generales 27
42 Energiacutea almacenada y calidad de los resonadores 31
43 Excitacioacuten de los IIHMIIH tie ilaquorilac)oacuteii 34
44 Resonador de forma cilindrica 30
CAPITULO 3 TEORIacuteA DE PERTURBACIOacuteN 41
5 El meacutetodo de perturbacioacuten eu las guiacuteas de onda 41
6 El meacutetodo de jicrturbacioacuteii en los resonadores 49
CAPITULO 4 INFLUENCIA DEL PLASMA 5G
7 InfliUliriii del plasma cu la- guiacuteas de onda 5C
8 Influencia ilel plasma en los resonadores 74
CAPITULO 5 PENETRACIOacuteN DE ONDAS EN EL PLASMA 83
9 Penetracioacuten de campo ilectruniagneacuteikos cu el plasma S3
91 Penetracioacuten de campos electromagneacuteticos en la aproximacioacuten
hidrodinaacutemica Sistema de ecuaciones 84
92 Penetracioacuten de ondas tipo E y H 86
10 Penetracioacuten de una onda electromagneacutetica en un plasma homogeacuteneo
semihmitado Reflexioacuten y absorcioacuten de ondas tipo H 89
11 Paso de una onda H en una capa de plasma 96
12 Penetracioacuten de una onda tipo H en un plasma deacutebilmente no homogeacuteneo 99
CONCLUSIONES 105
REFERENCIAS 108
INTRODUCCIOacuteN
ActUiiluieiili cu rl IXIN se tiene miii fiiriitc de plasma roiistruida iU el proyecto IB-
230 Esta es una fuente de plasma friacuteo sin ilict rodos (pie genera rl plasma por mirroondas
IIH iiniite resonancia rirlot romea di- los electrones Este tipo de dispositivos son de eran
actualidad ililiiiin iexcli sus posibilidades potenciales di apuracioacuten a Iti industria tiacuteili-s romo ltl
pngtisiacuteiiiiiiiitn ili- ilifi-riiifrs materiales |]iexcl (la formacioacuten laquoIr peliacuteculas delgadas poliacutemeros
liiiacutecnielcct ioacutenica soldadura iiiiit|uinns-lierrainieiitns etc) En estos dispositivos tambieacuten
rs relevante el estudio de fenoacutemenos baacutesicos i|iie ocurren en el plasma ionio la conversioacuten
lineuumll y no lineiil de ondiacuteis en el plasma Parraquo mayor informadoraquo sobre vi dispositivo ver [2]
Uno laquoIr los componentes baacutesicos del dispositivo es el sistema de inicruondas el cual consiste
de un generador de microondas (magnetron) de una guiacutea de onda y de un resonador El
generador que se utiliza es un Raytheon PGlOxl con frecuencia fija de = 245 GHz y de
potencia variable f 10 - 500 W) Li alta frecuencia del campo se transporta a una cavidad
resonante por una guiacutea de onda cilindrica de bronce de 85cm de diaacutemetro En esta guiacutea se
excita una onda electromagneacutetica en modo H El resonador de bronce tiene un diaacutemetro
de 14cm y en el cual se excita una onda en modo TTm-
En este trabajo de tesis se realiza una revisioacuten del caacutelculo del sistema de microondas
que componen el dispositivo y un estudio sobre la interaccioacuten lineal de ondas que pueden
ocurrir en el plasma en este dispositivo En el Capl se hace una pequentildea descripcioacuten de
los principales paraacutemetros del plasma y de los principales meacutetodos teoacutericos para su des-
1
bull ti|Miexclltgtii En bull Cap2 w laquoICSITIacuteIM- In teoriacutea general de las guiacutea- de onda y los resonadores
cilindricos En el (iexcli|i3 si- de-rrilie la Teoriacutea gtbullbull Perttirltacioacuten uacutetil iexclwira el i-aacutelculo di lo
diferentes )i-iiaacuteiii(tros di- lagt uniacuteraquo de onda y lo- resonadores nur contienen itti plasma en
su interior En el Cap4 en lgtase a la teoriacutea ltllt- pi-rturltacioacuten gtbullbull calcula la variacioacuten di- la
constante ri pro|gtagariigtn de las ondas ijuc so propagan en una guiacutea dr onihi cilindrica asiacute
iilaquomgt la variacioacuten di liexclgt frecuencia de resonancia de las ondas lt|tio si- iiiencntraii oscilando
ili un resonador laquopie IOIIIIacuteIIM una i-olnniiia de plasma friacuteo riliacutendriro magnetizado ltbull inlio-
mogoacuteiieo disnilmido axiacutealiiinili En el Cap-V i-ii el marro dr la teoriacutea linral se Kivostiga
ri proccsiraquo di penetracioacuten di campos eleotioniauiacuteHlieiraquo- III un plasma ademaacutes sr obtienen
los coeficientes de reflexioacuten transmisioacuten y di aliMgtirioacuten paia ululas bullbullgtltgt Finalmente
si- lian- un resumen di- los principales resollados nlitriiidos en el traUiacutejo di- trxis
La propagacioacuten de ondas de muy alta frecuencia representa un lema laquolo gran anualishy
dad iii campo romo la radiofiacutesica (oomttiiiriirionos radares radiotelescopios etc) y la
fiacutesica d r plasmas (aplicariones y fusion termonuclear iotroluda) En la fiacutesica de plasmaraquo
actualmente se est lidian dispositivos en base a suirrooiidas y radiofrecuencia laquopie son muy
interesantes por la gama ile aplicaciones (pie se descu-ren constantemente Por otro latioacute
el calentamiento adiriacuteonal tlel plasma por ondas de radiofrecuencia en dispositivo donde
se obtienen plasmas de alta temperatura para el estudio de la fusioacuten termonuclear conshy
trolada es un tema que tiene gran importancia Por lo anterior el desarrollo de la teoriacutea
lineal y no lineal de propagacioacuten dr ondaraquo de alta frecuencia es de gran relevancia
2
CAPITULO 1
DESCRIPCIOacuteN DEL PLASMA
1 Principales paraacutemetros del plasma
El plasma rs un uniacute lio nmsinritro compuesto laquole partiacuteculas cargairaquo positivas negativas
y ademaacutes tli- partiacuteculas neutra (aacutetomos y moleacuteculas) que inicraci-ionan entre siacute y con la
radiacioacuten Las partiacuteculas positivas son los iones y las negativas son los electrones (los iones
negativoraquo juegan un papel secundario) Ademaacutes de los aacutetomos y de las moleacuteculas que se
encuentran cu su estado base en el plasma ]meden existir tambieacuten en grandes cantidades
aacutetomos y moleacuteculas cu estados excitados El plasma entonces es un gas ionizado en el
cual la carga negativa de los electrones neutraliza casi completamente la carga positiva de
los iones
Veamos algunos procesos que ocurren en el plasma (3-7] El plasma se obtiene por la
ionizacioacuten cuando se separan los electrones de los aacutetomos o de las moleacuteculas Son posibles
dos formas de ionizacioacuten en un plasma denso principalmente tiene lugar la ionizacioacuten por
choques de los electrones con los iones o aacutetomos nertros y para un plasma muy enrarecido
es caracteriacutestica la ionizacioacuten por radiacioacuten (oacuteptica ultravioleta y por rayos X) Es posible
tambieacuten que ocurra la ionizacioacuten por los choques entre los aacutetomos o con los iones El
3
proceso inverso iquesti 1Iacute ionizacioacuten es lit recigtmlltinlaquoooacuteiiexcl es ib-cjr Ib unioacuten de un electroacuten con
mi ion y con ii consecuente formacioacuten de un aacutetomo o moleacutecula neutra En un plasma
enrarecido la igtgt iacuteniliniexclnioacuteii ocurre generalmente con radiacioacuten y en un plasma denso lu
riioiubiiiacioacuteu gtbullbull rriiiiii en los choques triples (se recoiuliina un electroacuten y un ion y mi
segundo electroacuten gtbull lleva el sobrante de energiacutea) Por otro birlo el plasma lugt solamente
radia hi visible sino tambieacuten radiacioacuten ultravioleta y ademaacutes si t-1 plasma es muy caliente
tambieacuten radia rayos A
El plasma por naturaleza se comporta como un gas por lo que para su laquoICM riprioacuten
si- utilizan ronrepros talrs como densidad presioacuten (esiipfralmgt itr El movimiento ile
las partiacutecula- ocurre ilr fon na caoacutetica En laquoI caso laquobull bull partiacuteculas lt|tilt- no timen carpa en
su movimiento teacutermico la iliriciioacuten de su movimiento varia solo |Mgtr los c-limpies como
cu un gas simple Entre cada choque el movimiento de las partiacutecularaquo con velocidad
constante r describe una linca t rta En este cano la longitud promedio de recorrido
lilwe es A = VT = iexclnma donde r es el tiempo entre los clioques nm es la densidad
tlil medio y n es la seccioacuten de choque A mayor densidad la longitud de recurrido libre
medio tm menor y Ja frecuencia dr rolimeacuteo v = 1T = nmav es mayor Loraquo choques entre
las partiacuteculas neutras ocurren por la accioacuten de fuerzas de corto alcance las cuales son
proporcionales a rri y pueden ser tanto elaacutesticas (intercambio uacutenicamente de energiacutea
cineacutetica) como inelaacutesticas (transformacioacuten de la energiacutea cineacutetica de las partiacuteculas ergt otras
formas de energiacutea como son excitacioacuten ionizacioacuten y recarga) A diferencio de las partiacuteculas
neutras sobre las partiacuteculas cargadas actuacutean tuerzas de largo alcance proporcionales a r
las cuales se rigen por la ley de Coulomb Esta interaccioacuten disminuye lentamente con la
distancia El movimiento de las partiacuteculas ya no se realiza por una linea quebrada sino
siguen trayectorias muy complicadas Sin embargo estas trayectorias se pueden aproximar
a una linea quebrada y en esta forma introducir el concepto de choque coulombiano En
4
iexclo inuwrioacuten iilt- 1iexclIgt partiacuteculas las maacutes fuertes resultan raquo T las de largo alcance Las
interacciones coulombiaiifis determinan Minchas propiedades del plasma A traveacutes de eacutestas
a|raquoareceii las propiedades colectivas del planum relacionadas ron la interaccioacuten simultaacutenea
ltltbull mtiriiH- partiacuteculas
Las partiacutecula nue componen cl plasma se encuentran igteniianenteinente en estado de
movimiento teacutermico caoacutetico Este movimiento se caracteriza por lit temperatura del plasma
7 romo un todo y por la temperatura Tbdquo tic siis diferentes componentes (aquiacute ir puede ser
i o i pata iexclos elertrmies o iones respectivamente) La temperatura liacuteeiennina la energiacutea lilshy
las partiacuteculas del sistema el euiil se tinmiit i iexcli en ei|iiililirio teri-iodinaacuteiiiico El |gtlnsiiit se
llama isoteacutermico si este se encuentra en equilibrio teuuodinaacuteinico ionio un todo y la funcioacuten
de distrUumlMieioacuteit de la energiacutea de las partiacuteculas de todo tipo es una distribucioacuten inaxweliacuteaua
con una misinn temperatura X (T = T = T) En el caso de un equilibrio lennodiacutenaacutemicolaquole
una parte del plasma cuando diferentes componentes tienen una distribucioacuten maxweliana
pero diferentes temperaturas vi plasma se llaina no-isoteacutermico o sea Tt iquest T Esto uacuteltimo
es posible debido a laquopie cl intercambio de energiacutea emre los electroiws y los iones ocurte maacutes
lentamente que el intercambio de energiacutea entre las partiacuteculas que tienen una misma masa
En base a esto uacuteltimo en un plasma no muy denso con pocas colisiones puede existir
un estado con dos temperaturas ioacutenica 7iexcl y electroacutenica T En el caso de una funcioacuten de
distribucioacuten maxweliana de las partiacuteculas fm exp(-m0vl2kTo) la temperatura de un
plasma en equilibrio determina la energiacutea cineacutetica promedio del movimiento teacutermico
3fcT _ _ _ _ _ ^=(mavl2) = Eacutee (11)
donde k mdash 138 x W~ttrgioraquodegK es la constante de Boltzmann y 7_ es la temperatura
de las partiacuteculas de clase o La raya superior en la parte derecha indica un promedio con
respecto a las velocidades
5
Una earailiTisMra importante del plasma rgt la fririMii-in plaacutesmica la cual esta canic-
tiriaila por liis oM-ilaciacuteouo electroacutenicas ltlrl plasma
tliHide i es la carga del electroacuten (t iexclft 4SU32 x 10iraquolaquotoiWoraquo()i u es 1iexcliexcl concentracioacuten ilr
electrones (laquobula iii mi) y MI lt~iexcl la masa del electroacuten (raquolaquo = 01095 x lO^V)- Las oscilashy
ciones |gtliacuteisiuiris son oscilaciones longitudinales electrostaacuteticas i|tn- surgen romo resultado
ilr hi separacioacuten ilr partiacuteculas lardadas a distancias microscoacutepicas y ilil surgimiento de lalaquo
fuelas ill COIIIIIIIIII La fu incuria plaacutesmica soacutelo depende dr la ciiurrut racioacuten laquo
raquo- 5 Tx Wyj^ 113)
ii ltii la forma
A = | = 2 x l O 3 ^ 1 0 ^ (14)
La escala temporal ill separacioacuten laquole carga cs una cantidad inversa a la frecuencia plaacutesmica
r ss 1w Como laquoi los intervalos dc tiempo gt r las partiacuteculas realizan imirlins oscilashy
ciones cerca de su posicioacuten de equilibrio entonces el plasma como un todo se comporta
como un sistema neutro en el tiempo La separacioacuten de cargas puede ser importante soacutelo en
intervalos de tiempo t lt r pequentildeos con respecto a la escala temporal La escala espacial
de separacioacuten de cargas es la distancia basta la cual se puede desplazar una perturbacioacuten de
la concentracioacuten de las partiacuteculas cargadas debido a su movimiento teacutermico en un tiempo
igual al periodo de las oscilaciones plaacutesmicas la cual se expresa en la forma (dada en cm)
laquobullV V 4iregtnt
6
doxiie = lTni mdash 45 x VSyJT laquo-s In velocidad del movimiento teacutermico de los
bull iexclii-roiifs 7 laquo- Iraquo fltbullijijx-rittiilt le los electrones en A y gt es la cow-rut racioacuten laquole los
bullllaquoM-roraquofgt MI nn~ bull La ltlisuiiit
bullgtbull llama radio ltit- Debye para los electrones Para tin plasma niasiiirtirro es necesario ijiie
its liiuiitiMoiiis riinirifristiras L scan siciiihnitivniiifiitc mayores ipie el radio ir Debyc cs
laquo[bullbullbullbulli L ~iquestgt in ion esta condicioacuten slaquo- purde considerar ijnc laquobull -iexcl-teiacutena ilf partiacuteculas figtrman
un plasma En riiMi inverso L ltg riexcl i tenemos mi coiijmtlo I|I- |gtutiiiiiii- cargadas
-f|gtnli- Asiacute llenamos iexcli la definicioacuten laquoIt-1 plasma propuesta por Laugmuii [5iexcl rl plasma
i-s tin conjunto tic partiacuteculas iirutras y careadas en rl cual ai sc satisfaci- la condicioacuten dc
ciiasiiii-utralidiid poundbdquo rbdquoraquobdquo = 0 y lit el radio dc Debyc dc apaiitallainit-iilo es mucho niiiior
bullinraquo1 las dimensiones caracteriacutesticas laquopic ocupan el conjunto laquole partiacuteculas r^ lt L
Una infltiriiciii iiii]iortantf sobre rl iiioviinie-nto de las partiacuteculas la ocasionan la exisshy
tencia laquolaquobull un riexcluingt magneacutetico externo constante el cual ordena el movimiento caoacutetico de
las partiacuteculas En un campo magneacutetico actuacutea laquoobre las partiacuteculas cargadas una fuerza llashy
mada poiidcroinotriz (lorentziana) dirigida ])cr]gtcndirulannriite a la direccioacuten del campo
magneacutetico B0 y a la velocidad de la partiacutecula iacute Bajo la influencia de esta fuerza las
partiacuteculas giran con una frecuencia angular igual a wBbdquo A esta frecuencia se le conoce
como frecuencia riclotroacutenica o de Larmor y para los electrones tiene la forma
~B = mdash 176x07Bo (17) me
Para que el plasma resulte ser magnetizado (anisoacutetropo) eacuteste no debe ser muy denso y
deblt encontrarse en un campo magneacutetico muy fuerte Por esta razoacuten es necesario que en
laquorl intervalo ltli- liniipo vnf dos i-olisiotn-s rbdquo las partiacuteculas pmdan nahzar uiiniios iexclinraquo
ttlri-drdor ill- las lincas del raui]Hgt iiiiiacutegiit-tiro Esta condicioacuten gtbull inarm tizai ion jitira lets
rliTtroiics es di- la forma
w laquo r m raquo l (lSj
En la ltlin riiiiti ilrl rampo iiiin-iiitiio la influencia de laquo-sir soliri- Ins partiacuteculas careadaraquo cs
nulo En mi campo magnet iro lioiiiogeacutem-o las trayectorias del movimiento dc las partiacuteculas
cargadas tiiinu forma bullltbull bullbull -jiiiiilraquo-
Por laquofin lado liay ijiir diferenciar los conceptos dc plasma friacuteo y plasma caliente Eli
mi plasma friacuteo r) movimiento teacutermico de las partiacuteculas es menor que la presioacuten i-I bullbulliinjgtgt
MKiKiirtim es decir
-2=2fIlti (io) Entonces podemos decir que rii mi plasma friacuteo que sr oiicticiif ni en mi campo magneacutetico
w puede despreciar rl movimiento trrminraquo dc1raquogt partinilas En mi plasma caliente esto
uacuteltimo no es vaacutelido
2 Meacutetodos teoacutericos de descripcioacuten del plasma
En el desarrollo de la concepcioacuten del plasma como un gas de partiacuteculas cargadas cambiaron
tambieacuten los meacutetodos de su descripcioacuten Los primeros modelos maacutes simples de la descripcioacuten
cualitativa del plasma lo suponen como un sistema de partiacuteculas cargadas que no interar-
tuan entre siacute y que se mueven libremente en presencia de los campos eleacutectrico y magneacutetico
externos Es decir si so considera que el plasma esta compuesto de jVbdquo partiacuteculas de clase o
8
iexclbulli -r mueven dcltido iexcli MI energiacutea teacutermica en forma caoacutetica entonces es uii-fNarin resolver
~ ecuaciones laquogtbull movimiento con uti miacutenimo iexclEnfil raquobullbull condiciones iniciales i posicioacuten y
-bullbullio-idades iniciales ilr partiacuteculas | Obviamente esto uacuteltimo es imposible de realizar Se
puede reducir fuertemente el problema si gtraquobull desprecia liexcli dis]gtcrsiexcleacutegtn de las velocidades dr
bullu iovimicnlo teacutermico es decir si se considera el movimiento promedio de una partiacutecula
laquoiexclHe v encuentra en reposo cuando no hay campos externos Asiacute este modelo simple
de iexclarticulas independientes completamente desprecia no solamente la interaccioacuten entre
piiriexclniiacuteiacuteiraquo sino eiexcl movimieiiio teacutermico de la- mismas
Pura determinar la velocidad dgt- una partiacutecula carnada del ntasma en el modelo de
pariacuteVittiis independiacuteenles se resuelven las i (ilaciones de movimiento para partiacuteculas de
gtia- bullgt en la forma
-y- = lt iacute iquest + -|ibdquo X D + iexcliexcl111 I110) Jlz
ir ~ donde iexcl = gtnbdquorbdquo es el impulso de la partiacutecula de dase o y ies la aceleracioacuten provocada
por fiHTns no electromagneacuteticas Eti las ecuaciones (LiO) la iiidiiccioacuten magneacutetica D
y el campo eleacutectrico E no se consideran como variaUes conocidas ya ipie estos campus
incluyen en siacute campos inducidos en el plasma cjue MOJIacute provocados por el movimiento de las
partiacuteculas cargadaraquo por lo (pie hay que resolver un problema autocousigtente es decir la
solucioacuten de (110) conjuntamente con laraquo ecuaciones de campo
VxS = M + Iacute I ( + ( 0) (iii) c ot c
V-Eacute m 4-(p + po) (1 13)
v i = 0 (114)
9
01
(si-i) ltraquoiquestbull AW + J) + W + sectxsectA)Y +ilaacute- raquo
waacute(A-iacute) + ^ Vlt = JLVpound mp
(iquestri) -o = W aacute w - A + ^
iexcllaquoupauSimi HJiuiHiupo pii] laquoj ip laquoai iopuioa ap jjnaiscsi io x) inn uctuivcs u n
HZI|1)II t8 opiti |f ui |vmi raquoia ap OIIMIIUIAOIH jap t iopduauap H| H Iacute H J -OJIIIU OIIIIIJIIOI o ip j tu mi
(ipllllllUOJ OJIIK laquoHill OIlllll lltijjodll S Sgt1IIIIIltMI|IIOJ SHJSI Hill llX HJItlHI A UIIIIOI liJIIIOJl
bullJMraquo NtJIIHKullllO1 Sl| 11)111 IttllHMJIi j j l lililiacute IMIacutelj IS lili IIJlllllllipiU|lll| CI|I|KM11 |l l|-J
i
OIIIIIIIIipiM|)II[ (gt|l|raquoOIII |l iZI|llll
is osli i|Si 113 ltM1IIHI l((|ill|)Ulll o|(llllil | mi imuii Jllli|MSIIlu ipmd is lti|i(i| (III oltloi
Dlllsmii |l lt ltI|IIIKIIJI(1IJltII 1)1111111 Ulllj l||St IS IIIHI SI|lll(UIltI SI|IIMIJI(I sltlt[ 1(1 (IJfUItlllAillll
|i ltisui|i 11111 miis-H|ltl 1111 111 iiUuumluniii iexcllaquo j o j ii|iiiuiiii(iultii ms i ltm siquniiud ltn gtgt
ltI|I1III1U Villi |l (MU | l lll lt 1(11ili 111 AIIIII iMIIsiqil tin 1(1 IKIII |i l|gt II|IK lti|ilI|I|ll MS i|llllltl
Sgt|I1HIIIIMII|IIII -ii(liilinil ip II(I|KMII (1 H|tiit|iiltl 113 lti|iiiiitll] si inusiqd |i|i IIltIIMIUISI|I
l| lll IIOIHiipill US Hill ltl| Hid degSI(||||||Ilt1 Sl| 1(1 i||llll(1llAOIII |lp 11(11liqll1111 bull] OlIItU11
(iinmiiiAoui (1 bulluipisUtii 1111 ofiji is (IHKII si|tfi(|ifiH(i|ifft s-ftptjiijiMi (lt lti(i(iorij ( 3
( 9 1 1 ) 0 = V V bull A + T ^
|Mqmimiuoj ltraquofi tiacuteotjuttji laquoj uKiexclatms (()) niexcljsijtfs j pthy
ltcni bullbulliquestx^ = [ -x^ = lt
laquoUIKIJ i( (lllllll l|(MMJltll ijl A i|l(lll(IUI laquoSjlM laquolt Kj|tt|raquoISIM|gt gtlJ Sgt(itl) slj | Ifi
= V y [- x D - -pound-V x I i r Uuml) (119) Of 4 ~ ltT
V B = 0 (120)
donde ni ex 1iexclI ltbull usidad del liquido ltlaquoMiraquohicTtgtr (plasma) ron una rondiirtividad n vi es la
velocidad del plasma y ( r son 1lt- roi-firiciites de viscosidad Este sistema laquoir eriiarionis
w debe de roiujut mentar ron las emanones de rotado y la iiiiwioacuteii laquole tnuiNpurte de calor
= Hni-T) (121 0
M7 mdash + (rlaquoV| uumlt
~ bdquo 2L1L + X-(VTgt+ mdash mdash l ^ x Uuml r (122)
donde raquo = raquoij(T) es la entropiacutea de uiiii masa unidad de plasma n es la rondnrtividad
iltl ialor y rttJ elaquo el tensor laquoir viscosidad
^= (iiexclr + iiquestL~ hgtv TA) av bull IacuteL23)
En la magnet oliidrodinaacutemira se consideran dados la rondnrtividad eleacutectrica la conshy
ductividad laquolaquobull calor tlcl plasma y tambieacuten los coeficientes de viscosidad En la praacutectica
se utilizan modelos modificados dr la magnetoliidrodiacutenaacutemicn tales como el modelo cuasi-
magnetohidrodinaacutemico de dos liacutequidos (electrones y iones) y de tres liacutequidos (electrones
iones y neutros) tos cuales de forma fenomenoloacutegica consideran la interaccioacuten entre las
partiacuteculas- su movimiento teacutermico Estos modelos simples generalmente son aproximados
y para su fundamentacioacuten se exige la utilizar ion de un modelo maacutes general del plasma
como gas ionizado El modelo maacutes general es la descripcioacuten estadiacutestica del plasma como
un sistema compuesto de un gran nuacutemero de partiacuteculas
11
CAPITULO 2
GUIAS DE ONDA Y RESONADORES
En rstr i-i|gtiacutemlgt v ilisrrilraquo li iroriacutea grurral i|r lis gniacuteis laquoIt- IIMIUuml y laquoIr los rrsoimdorrx
bullilimlriros Si luir- un r-iexclMilil riifuumlsis ru his giiiacuteigt d r mifhi V lvsotinliili- de MMIIacuteIMI
tliUlsvriMiI bull i i i i i iuuml l nn iDliiii 1iexclgt rxcitiiiiiVn dr o lnl raquo t i l IIHMII bdquobdquo y TE laquo11 estos
IIIacuteN|HIMIIacuteVIraquo rrx|Mitiacuteviexclifilttr rli Iilii|iiliquest ron rl d i spos i t ivo drsni t iraquo cu [2iexcl
3 Guiacuteas de onda
31 Ecuacioacuten de valores propios
pound1 estudio dr IHS propiedades fnuciaiiicntalcs dr la propagacioacuten de ondaraquo laquobulllectroniaglictiras
en tubos cilindricos dr conductividad infinita sr ha realizado ampliamente Ha sido resuelto
el problema para guiacuteas do seccioacuten transversal arbitraria |8) y para secciones transversales
particulares de importancia praacutectica se lian solucionado en sus modos fundamentales de
propagacioacuten [9] Asiacute mismo una analogiacutea con las lincas de transmisioacuten ha sido descrita en
[Wi
Veamos con maacutes detalle las guiacuteas de onda Consideremos una guiacutea cilindrica ron su eje
dirigido a lo largo del eje 0iexcl Ademaacutes consideremos que la guiacutea de omlas es longitudiliaj-
12
iifiacuteiti- lioiingtmiiriexcli y iptc la iexclgtariilrgt- metaacutelica sou conductores iierfcetos Sigtigtntgtiexcluiiltgts ltpit
bullniexcli omlii bull-lcctrumagiirticH plana di frecuencia ur si propaga a lo largo di- la guia ilt- onda
pound(fiacutel=f(r^)t r- iacute (21)
poundlt) = (riacute)t r-w ) (22)
iexclonde r es la constante de proiMtgacioacuten o nuacutemero de onda El problema fie contorno que
-bull iacuteu-duiT de liexcltgt fiiiacutenioins de Maxweil pura ondas ti|Mgt H en una guiacutea dr ondas ciliwtricn
-bullbull rxprrsa en la forma
bullbullon laraquo condiciones de frontera
-2- = 0 para r = a (24)
E = 0 cti todo el espacio
donde $ = H(r^) De la misma manera para las ondas tipo E el problema de contomo
tiene la forma
0 lt vgtlt 2ir
13
rtm las condiciones de frontera
= 0 para r = a (2C)
H = 0 til todo el espacio
donde ahora lt1gt = pound(r^) n es el radio ilr la guiacutea tic ondas
Los valores positivos
bull = -gtL = iquest - riquest (27)
determinan el con junto de valores propios correspondientes a rada una de las soluciones
lraquoTiiiisilles igt minios caracteriacutestico de la guiacutea de onda donde II y t son las constantes
de permeabilidad y permit ividad respectivamente del medio ipie llena la guiacutea de onda
GiiHTMliiHiite bdquo depende ile las (limensioiies geomeacutetricas de la guiacutea de onda de IacuteHJIIIacute
IJIIC siempre si puedan selerrionar los modos de propagacioacuten raquopraquoe se reijuieran
Por otro lado las componentes transversales de los campos eleacutectrico y magneacutetico se
determinan si se conocen las componentes longitudinales de los campos de la forma [8]
iT Eacutet = - j -Ve para ondas en modo E (28)
a iT H = - mdash V para ondas en modo H (29)
Traquonigt
Ademaacutes las componentes transversales de ambos campos (eleacutectrico y magneacutetico) se relashy
cionan mutuamente romo
14
H = ~iquestbdquo x Eacute (210)
aonde ~bdquo es un vrrtor unitariti dirigido a lo iexclarjraquo ltlcl eje 0 y Zf laquo la iiiipedanria tlr 1raquo
onda tiraquo modo E Igt H respectivamente
cT Zf = mdash igtara ondas en modo pound (211)
ZH = mdash=bull pnra ondas en IIIIMIII H (212) cT
Las efiiiexclirioiiigt (23) y (25) determinan problemas de valores propios ron sus corresshy
pondientes condiciones de frontera Cada turn de las soluciones nos representan diferentes
bullnodos normales unos transversales eleacutectricos y otros transversales magneacuteticos corresponshy
dientemente
32 Paraacutemetros de propagacioacuten
De la ecuacioacuten (27) se tiene que para cada valor de bdquo y correspondientemente de la
frecuencia se determina un valor para el nuacutemero de onda
r raquo - ^ - T Iacute (2i3)
En general T puede ser una cantidad compleja de donde podemos distinguir tres casos
a) siacute (tt^ gt y^n entonces T es real y define un modo permisible de propagacioacuten es decir
la onda se propaga libremente a lo largo de la guiacutea b) si ftfty lt 73nn entonces T es una
cantidad compleja de donde la onda se amortigua exponencialmente y c) el caso cuando
15
r = 0 ilefiiu la condicioacuten di- rortlaquo la nial separa los casos a) y li) Asiacute podemos definir a
la friTuciina de corte romo
Wbdquobdquobdquo = -J=-bdquo 1214)
y expresar el nuacutemero de onda en funcioacuten de ella
r = ^ ^ - ^ (215)
Para ftecuencin- uiiiyores ijue la de rorle la onda se propagii a lo largo de 1raquo guiacutea En
el ruso contrario pitra freriietiriuumls menores i|iie lii de rorte 1iexclgt onda se amortigua Otra
caracteriacutestica imporiiiiite la ]iodeinos olilenei de la bullbullxpresioacuten 1213) Va |IH- el nuacuteniero de
onda r siempre es menor ipie su valor en un espacio lilire entonces Ii longitud de onda en
la guia es siempre maacutes grande
y 77 7ngtt
Anaacutelogamente definimos una longitud de onda de corte o criacutetica (cuando A = 00)
Af = yiliacutemdash (217)
y expresamos la longitud de onda cu la guiacutea cu funcioacuten de ella
A = _ j (218)
donde A es la longitud de onda en el vacio Dr aquiacute que la onda se puede propagar a lo
largo de la guiacutea de onda uacutenicamente para longitudes de onda menores (pie la de corte
0
~ y - i y
_bull-
_ 1
bull i
iexclA
0
0
- gtiacuter
JfT7 ~ m
n
0
raquov
^ yJZliacuteiiacuteiacute
9C
Imaginaria
V
mdash _ l _ - M i l
0
Imaginaria
A
-Jraquo-$mdashil
X
Imaginaria
Tabla 21 Iaraacutewotrus ele propagacioacuten para onda ltrn moiio pound y cti una guiacutea ltlr onilas
Miacuterica uniformraquo
Por otro hielo iexclgt viliraquodegiiliexcliltl ltli fasr iiexcl riexcl un medio bullbullgt uisiraquo JraquoILIIlt1laquo ijiii- su Viilor III el
Wigt
7 = r
(219)
Por debajo del punto dlaquo- corte 1raquo velocidad de fase es imaginaria y pierde asiacute su sigshy
nificado fiacutesico En el punto de corte la velocidad ltlr fase se viirlvr infinita Un liccho
importante resulta serel que la guiacutea dp ondas es un sistema dispersivo aun cuando el
medio que llena la guiacutea no lo sea (la velocidad de fase es funcioacuten de la frecuencia) La
velocidad de grupo de la onda tiene la forma
tortt 1
(220)
En la Tabla 21 se resumen los paraacutemetros de propagacioacuten para una guiacutea de ondas sin
peacuterdida de energiacutea
1
33 Coeficiente de absorcioacuten
El finjo laquole inicrgiacutesi raquobull describe por ltbull vlaquo-ctigtr cimiplejo di- Piacutemiling
Sbdquo=[iquest]i[poundxW-j (221
su parte real nos dh el finjo di- energiacutea promedio plaquogtr unidad de tiempo y por unidad de
aren La romponeiite axial de Su representa el flujo de energiacutea prmimlio a lo largo de la
guiacutea Por lo tanto d flujo total promedio de energiacutea que se transmite a lo largo de la guiacutea
de onda e- la integral de la componente axial del verfor laquoIr Poyntilig evaluada sobre IIMIIacuteI
la weeioacuteii transversal de la guiacutea de onda
HilU^1 - iacute2-22) donde iquestbdquo es un ver tor unitario a lo largo del eje ()
Hasta el momento se lia considerado laquopie las paredes laquole la guiacutea tie laquonula son conductores
jraquocrfectigts in tal caso el Unjo total de energiacutea conserva su valor a lo largo tie la guiacutea laquole
onda Sin embargo en problemas reales la conductividad de las paredes tiene un valor
finito debido a ello existe muiacute fraccioacuten del flujo total laquole energiacutea que se absorlw |araquor Inraquo
paredes Dlt- aquiacute qtw la expresioacuten (222) representa uacutenicamente el fhyo tie energiacutea total
que entra a la guumliacuten de onda y cuyo valor decrece durante la propagacioacuten de la onda es
decir se generan peacuterdidas de energiacutea En la praacutectica tales peacuterdidas se consideran muy
petmentildeas considerando que siempre existe una fraccioacuten de la energiacutea que se pierde ya sea
en las paredes o por la presencia de un dieleacutectrico que llena la guiacutea de onda En tal caso la
laquoMida se amortigua en BU propagacioacuten y la constitute aacutee propagacioacuten time en consecuencia
una parte real y una imaginaria
18
r=i~m (223)
iultif i gts vl factor laquoit- iacuteiisi- y gtbull vi n^bulltirivuu- tU- iexclilisorcioacuteu o ltlr iacuteiiuortigiiaiiiii-tito E
cticiacutetiif ltli- iexcligtlaquouiri(raquoii ltbull Juumltllfi laquoir iexcllti rrhiritu
o = raquo +ltu (224)
bulliiiidr IIbdquo y o son los nlaquofiriciiiigt di- alisorrioacuten ilrliido n liexclis jx-nlidiis de energiacutea en las
m|t-iligt iin-luacuteliacutei-iraquo y 111 Illtilio diacuterliiirirai i|lilaquo- iexcllililiacute 1iexclI Riliacuteii rcspi-itivamriiti CiMisiiii-railiio
1iexclII |gtctiliiliexclis l l i -d ir ig iacutea ilr hi rxprrsion (2231 gtbullbull indure que los nui i )ms MUIacute propiui-ionalcs
bull bullbull tUUiexclltfgt rxpnililinal raquo i Ir ilonilr lii |MitgtIniacuteiexcli (222) laquo|lir sr transmitiacute iexcli iigt largo ltlr lli
bulliacuteliacutei ill lllllli llisillillliyr iexclI lo litigo (Ir (II la furnia
raquo(-)= Pbdquogt -- (2251
Por tamo la roiistiwtr de amortiguamiento o de alisorcioacuteii se definiacute- como ln razoacuten de
i poti-uria i MI il i ii bullbull lio lli eiirrgiacuteli (ptr si pierdr por unidad ilr longitud c u t i r il flujo toliil
promedio ilr rut-rglli lt|lie se transmit a lo largo di liexcli guiacutea gtllt onda
mdashiquestiacute-
34 Guiacutea de onda cilindrica Modo Hbdquobdquo
Nuestro principal intereacutes se centra en las caracteriacutesticas de propagacioacuten de ondas electroshy
magneacuteticas en modo Hnn en las guiacuteas de onda cilindricas Consideremos que la guiacutea de
onda tiene paredes conductoras perfectas y qui el iiexclgtgt dio que llena uniformemente la guiacutea
19
fcciMTraquo |Mrililiis laquoIr m c r g iacute a ilispiiviiilili-j Parraquo bulllaquolaquobullbull rwsn IIIN MIIIUIacuteOUIS n IIHgtI)Igt~ |MTIIIIacuteSIacuteIgt1IVS
ili- priiptiiuumlniiiii i|i 1iexclI r i i i iu ioacute i i (2 3 ) MHI
( bull r-t = CbdquoJJ- r)~laquoif (227)
laquolimilr Ci lt-- una ionstatiii y la rlaquotiltiirioacuteii ltr iacuteroutrrn (24) mjiriiTr jiir 1ltraquogt laquoiliircs propios
IDIIIIII la forma
bull t
bdquobdquo = mdash = U 123 122$) bulli
n = 123
Aipiiacute )bdquobdquo -un la raiacuteivs n bullbullMinas laquoIraquo la dnivaila ilr la fiuirioacuten gtlt- Ui-ssrl ili- unlcii m
JJjr) - Di y n rs il railin inlriim ilr la guia ir ondas Exislr un minino iexcliitiiiiln bullbull
IIHMIOS i|iu MUIacute -iiliniuiirs ilr (23) IIIII la i-igtiiiliexcli-iacuteoacuteii ili friitiliTa (24) Col aymla ili- (2Iacute))
y (210) iilitiiHiniraquo las rxprrsioiirs para las i-oinpoiimtrs transvirsalrs laquo1raquo- los campo ni
iminliiiailiacutei- riliacuteiiiiiiias y nitoiiri-s csiriacuteluacuteiiios las roiiipoiiriitcs ilr los i-ampos ni la furnia
H = C o ^ j h r ) trade m ^ i r mn
H = plusmniexclCo~-Jbdquohnnr)Zwir- (229) Inn r
E = 0 r laquoi
E = plusmniCbdquoZH-i Jmhmnr)ZtradeltigtriV-Tmn r
E = -iC0ZbdquoI-Jm(lmnr)Z^ert
donde los signos plusmn corresponden al en o co respectivamente y In expresioacuten Jm indica la
derivada ron respecto al argumento Jm = f- Sustituyendo (228) ni (213) w obtienen
20
gt valores tie la constante de propagacioacuten
r = Jfi- - iraquo (230)
Comraquo sc olwerva las ecuaciones (229) estaacuten doblemente degeneradas yraquo rpte uno de
lgtraquo ranijios se convierte ei el otro al girar ir2 alrededor del eje de la guiacutea
Determinemos lo paraacutemetros de pro|gtagiacuteicioacuteii para una guiacutea de inula cilindrica hueca
al variraquo) y de radio laquo = 425cm en la nuil se propaga una onda en modo Htl Considerashy
remos primeramente que las paredes de la guiacutea son conductores perfeetos En In siguiente
rioacuten se consideraraacute que estas tienen una conductividad finita
De acuerdo con (21C) toda onda electromagneticraquo podraacute propagarse en una guiacutea de
ouda de tales dimensiones si se cumple que su longitud de onda de )n primera es menor
que la longitud de onda critica Para tuia guia cilindrica se tiene
lisa A c = ~ (231)
Lolaquo dot modos inferiores Ha y JI para ondas de tipo H tienen las siguientes longishy
tudes de onda criacuteticas (en este caso iexcl = 18412 y j i t - 30542 [11])
Xe = 145cm (232)
Ac s 87cm
respectivamente Se puede demostrar que el modo pound0i es el modo fundamental para ondas
de tipo E Este modo tiene una longitud criacutetica
21
X = l l l f w (233)
Pur laquogttrcgt lhiii litraquo lougitiidcgt de inula rritkas lth- Uraquo siguiente modos ruiperiores ile muiacuteas
tipo H y li|xgt pound son menores que Itraquo valores 87rm y l l l m i rt-s]gtrrt miacutemente De aquiacute
que UMH onda clerirouiagiieacuteiira pueda propagarse en la guiacutea si su longitud lti onda laquobull
bulllienor que 145rraquoi Si ademaacutes fl valor de la longitud (ltbull ouda si- emueiilra en el iexclineacutervalo
11 lrjn lt A lt 145rru cntimres el jnodo H es el tiuiro que puede propagarse a lolargo
ile la guiacutea de onda
Eli figura 21 M muestra las vising tranvt-rsal y longitudinal de la estructura de los
bullaiii|Hraquogt en modo i | Aquiacute se 1gtI tomado la parti cosciioidal de (227) A continuacioacuten
e dan |igts valores de los paraacutemetros de propagacioacuten en el easu de IMIIIJIS clcrtronuigiieacutetiiiis
laquoMI iacutenriiencia w = 1539 x 10iacute (A = 1224nraquo) que si- propagan cu la guiacutea de onda
en nioilo | | Los valore se obtienen utilizando las expresiones correspondientes de la
seccioacuten (52) o de la Tnlila 21
Ar = 145laquoo
u w = 13 x 10luc
T = 02753cm-
A x 2282cro (234)
Zbdquo laquo 187 (i = l )
v = 5C x 100cm
w = 1CX10 OCTIIIacute
22
^mdashmdash Imea de campo eleacutectrico
mdash --Linearaquo di- campo magneacutetico
o Campo magneacutetico normal (hacia fuera ilr la hoja)
f ( ampo magneacutetico normal (hacia dentro di- la hoja)
Fig21 Vista- irahversal y longitudinal de la pstrurltira de Itraquo camporaquo ltn trimlo iacuteliexcliexcl La vigtti
otigitudial correspondiacute a un aacutengulo u = 90deg Figura tomada di- [bullgt]bull
i
Notemos (|Uf il iexclmaacutelisis anterior se inicioacute con una guiacutea dr onda de fliiiiensicmlts traquo-
gtltriacutetiacutecaj De- ahiacute se prosiguioacute a encontrar las onda electromagneticraquo npropiadas tale
que el modo fundamental H de la guiacutea de onda sea cl uacutenico que se propague Lo contrano
tambieacuten resulta vaacutelido es decir si se cuenta con una fuente de microotidas cotiacute determishy
nada longitud dr onda se pueden encontrar las dimensiones apropiadas de la guiacutea tales
que uacutenicamente se pueda propagar el modo fundamental
35 Coeficiente de absorcioacuten Modo Hmn
De la expresioacuten (226) determinemos la laquomulante de amortiguamiento debido H la conducshy
tividad finita de las paredes metaacutelicas para ondas en modo Hmn Primeramente calculemos
23
vi fltijiraquo total protiwlio ili laquowgia (222) r nial lunik bullbullscriiaacutersr IMI trrmiiins laquobullbull la funcioacuten
[gtrraquotgtiii bull at la forniH
iacutelowlc
= CMtmnr )rtismf (23C)
rlitotiirs
Praquo = If 1 Uw-T-KU [rIfjbdquor)nlaquoiquestraquoSlrlT-
= [iquest]^raquo^-Kraquol7rJraquo-rr- lt2-37)
La integra] ili- (237) sr cvaitwi utilizando la igualdad [12]
y CMisiacutedcnuidraquo IJHC la couiliriuacuteii de fruirtrra (24) rirquirrr ijiw Jm~innr)rmn = 0 DP rata
manera se obtiene el resultado
En el caso particular de ondas en modo Hti se tiene
La expresioacuten (240) puede escribirse en una forma mas conveniente
24
ionde
EJlJampuumlL (242
bullbull lii amgtIitultl del raui)Mgt eleacutertriro en rl bullbullclilro ltle 1raquo serriacutenraquo transversal laquobull 1raquo jiacuteiliacuteuuml de mida
La relanoacuteii (241I nos muestra rliimuienti- la iii-|n-iiiletiriacuteii rufidraacutetini ron n-sperrraquo iexclil radio
bull lti EUiiacutei ilil finjo total ]gtroiniilio ili- eneruiacuteraquo gt|raquo iitravicwi 1iexclI MTIIacuteIIH Iriexclmsvi-rsiil de 1raquo
uniacutea ib- omlu
Por otro lado la potcnria iacute|iic se pierde por mudad di- longitud (Mudo raquo las corrientes
u|gterfiiialc laquoi laraquo paredes metaacutelicas di- la guiacutea se expresa mediante la iutrgral de contorno
alrededor de la frontera de la guiacutea de onila) de las componentes tangenciales del campo
Magneacutetico en la fonna
p - dl
donde ntilde es un vector unitario normal a la superficie de la guiacutea de ondas ir es la conducshy
tividad de las paredes metaacutelicaraquo y S es el ancho de la capa piel expresada como
tiexcl es la permeabilidad magneacutetica de las paredes metaacutelicas Por tanto cotiacute ayuda de las
expresiones (229) se obtiene la potencia promedio que se pierde eti las paredes
25
- iexcl eacute f ^ - f (duuml]laquo 1245)
Fiiacutemlniiacuteiiti- di (245) y (240) bullbull oliticur la ruitstantr de Hiimnigiiuiiiitiitnpara el utixlo
I24G)
En vi raso ili- ondas ltw w propagan iii laquoI IIHMIO Hlt (MMII-IHH- laquoIr (24C) IDII raquoraquolt = raquo = I
obtener
f r i t o r sampsY+ traderaquo]
- - Id laquo-iexclzsf L v ( Siacute consideran)raquo tua guiacutea dr onda hurra ot dicir = 1 ni laquoti interior cotiacute paredes
metaacutelicas de broncr de conductividad a = 1413utg2crgaegnn) y radio a = 42vcm
en IB cual se propaga una onda en modo fiacuteu con una longitud de onda en el vacio de A s
1224cm (w = 15394 x 10degi) entonces obtenemos que la constante de amortiguamiento
tiene el valor de
om = 1032 xlO4 (248)
El valor anterior noraquo indica que a la distancia x = 0C88raquon la amplitud del campo eleacutectrico
disminuye 1e veceraquo de su valor en i = 0 De donde la constant v rlr amortiguamiento es
26
sntirp-itttniKiit nt-m-ntildea para considerar una guiacutea If onda laquoit unos riacutetanlos metros laquoit-
lUgitiiuacute romo una guia gtlr (tuda ideal (sin peacuterdulas)
4 Cavidades resonantes (resonadores)
Vu disjiositivo de gran importancia praacutectirtt y estrechamente relacionado ron las giriacuteas
ltbullbull onda son las cavidades resonantes Coinraquo w sabe una cavidad resonante (resoiimbir)
bull - privi-aiiii-iitr una cavidad roinpletameiit) armada por paredes nietaacuteliias Ins riacutetales
prewiiraii ilti propiedad tllt- podriacute alijiart-uar energiacutea eiertruiiiaRuitira tMeilanie Llaquoraquos riso-
iadores han sido ampliamente estudinilos en la misma magnitud ipu- las guiacuteas de ulula [13]
Anaacutelogamente al estudio de guiacuteas de laquonula gte ha resuelto el problema de 1laquoraquo resonadores
bullbull si-rrion transversal arbitraria routenieudraquo cu su interior un medio liiMiiogt-iraquo laquogt con IOIJS-
antes y t [S] Un estudio de los resonadores de formas particulares y de importancia
praacutectica se puede encontrar en [9] Ademaacutes una analogiacutea rlaquom liw circuitos resonantes se
(iescrUumlM en (II)] Con res|x-ctraquo a esto uacuteltimo podemos decir i|iie los rlaquosraquonailores tienen
la ventaja de ser superiores a los circuitos resonantes I - C en un factor laquole 20 laquos laquolecir
iexcla fraccioacuten de energiacutea almacenada laquopie se disipa por ciclo en un resonador es alrededor laquole
1 20 de la fraccioacuten disipada por ciclo en un circuito L - C [14]
41 Caracteriacutesticas generales
Consideremos una cavidad cilindrica hueca y acotada por un conductor perfecto Fijemos
el eje 0 de nuestro sistema de referencia a lo largo del eje de la cavidad cilindrica y
Mipongamos que la longitud del resonador esta acotada entre - = 0 y z mdash d
27
Un ri-Miiiitilor pucxlr i-oiisiilcriirsc mino unraquo guiacutea ltgtbull olida finita ilimih ltlaquobull tiww laquo|ingt
iexclumilir la rotiiliacutecioacuteii di- froniirit
para ltmdagt t-n modo TM
(Mirtl Otlflugt Ill IIMMIO TE
EbdquoM = 0 (249gt
HUbdquoi = 0 (250)
En itiilii linn illt- braquo sii](rrfiiiigt plana gtbull iilruumllnniitr ngtniltiitigtragt rxistr rcriixioacuteu di-ondas
El ti|Mgt lit iiiidii i|iilt- M- irrii iexclil siiprrpoiuT iliraquo ondas ilritroinatnitiias ron iexcliinplttudis
iguales y propagacioacuten en sentidos opuestos es ]iri)|iiiexcliinciiir rl di- uni onda estariouarin De
donde las rigtui]M)iiilillts axiales ilr 1ltKS rniupos ilclxn ttinl bullbull forma
para ondas en moiin TM
E = ( r r - )oi ^ - ) = 0123 (251)
para onda cu modo TE
H = Tf)raquoeM^-) j gt - 1 2 3 (252) o
Laraquo componentes transversales de los campos se determinan de (28) y (20) Para
ondas en modo TM obtenemos
28
Jfr = mdashT-cogtbullmdash )bdquo x V
(253)
vrrrgtjlaquogtijiiiciitfuifj)tc para ondas wi modo TE
pound = _ittif iacute iacutef)i1yr
W = iacutefJ_bdquo s (^)V
(254)
poundgtbullbull in-s riiiiiliiioliiN de frontera (249) y (25U olrtnirmos lt|iir 1iexclI ionstiuiti- ili- propagacioacuten
ltgtiitii 1ltraquo valores
r = uumlf = (0)123 ti
bull iexclonde de In ecuacioacuten (27) los vnlonv propio so expresan romo
(255)
(256)
La ecuacioacuten (25G) forma un conjunto discreto de valores que determina la frecuencia
bull ir resonancia para cada valor de p y bdquo es decir a cada tipo de onda estacionaria le
corresponde una frecuencia propia
vJ (257)
29
Fig22 Litraquo midas rsUt Miliaria- ilgt mi rismnclnr lidien en su lifiigiliitl un iiiiniTii IIIIITH ilr
niilMlcraquo lie la loiigilini tit- IgtMltU St- miii-sira H raso para )gt - Iiquest41 bullbull U exprntiiiacuteii iquestat)
En alaquoManii si mi si ritiniiita otra rosa raquobull omiten los Milmidiees rtii y laquopie ranraquo
UTIacutezan los modos laquoIr oscilacioacuten Ln resultado iiiiportaiilr laquole la ccuaraacutem (257) e laquopic se
pueden elegir Ian dimensiones ademadas ilcl resonador lie tal forma laquopie este opere ni una
frecuencia uacutenica de resonancia
Si comparamos (255) con la expresioacuten general para la parte real de la confitante de
propagacioacuten T = 2irA se concluye que para cada modo de resonancia la longitud del
resonador es proporcional a un nuacutemero entero de mitades de la longitud de onda (Fiacuteg22)
d s p ^ p laquo ( 0 ) 123 (258)
El caso plaquo0 correspondiente a la condicioacuten de corte para ondaraquo en modo TM tiene un
30
Mereacutes partieular ya qne eu este caso la longitud de nuda tiende a ser infinita entonces de
laquobullcuerdo ron (258 obtenemos
d - 0 bull oo (259)
ie donde la longitud del resonador esta indeterminada Los modos correspondientes a
gt raquo 0 existen en el resonador para cualquier longitud de la cavidad
Una propiedad de las ondas estacionarias es que loraquo CMIII|MgtK eleacutectrico y magneacutetico se
encuentran defamados en ir2
-ll = rt + iexclJ (2C0)
iielndu a ello existen instantes de tiempo en el resonador en que existe uacutenicamente el
bullampo eleacutectrico y momentos en que solo existe el rompo magneacutetico Como resultado de
este defasamiento el vector de Pijymiug resulta ser UIIH magnitud puramente imaginariacutea
de donde ai promedio con respecto al tiempo no existe transmisioacuten de energiacutea ya (pie el
valor promedio del vector de Poynting resulta ser indo Su - [ pound ] IitEacute x iquest ] = 0
42 Energiacutea almacenada y calidad de los resonadores
La energia total promedio almacenada en todo el volumen del resonador es la suma de las
energiacutearaquo eleacutectrica y magneacutetica promedio almacenadas por los modos normales
W m WE + WH (261)
donde
31
HiliacuteX-trade 2 M gt
Yraquo que en el resonador no hay MU flujo neto de energiacutea entonceraquo cu el cano en lt|Ur el
medio i|w Urna 1raquo guiacutea no genere |raquoeacutercliltlas di- energiacutea la energiacutea eleacutertririacutei y magneacutetica
promedio seraacuten igualo entre si Hiquest- s Wraquo Evaluemos la energiacutea total promedio alinarc-
tiada en el volumen del resonador |gtara ondas en modraquo TEmnf En este raso se tiene
=[iquest1U bull (2C4)
la cual puede expresarse cu teacuterminos de la integral de area tie la (tuicioacuten propia
= H(riacutep) evaluada sobre ln seccioacuten transversal de 1raquo guiacutea
bull-[iquestliacuteHs)]-- donde bull tiene la forma (227) Tomando uacutenicamente la parte cosenuiacutedal de (227) e
integrando de la misma manera como se evaluoacute la integral de (235) obtenemos
toT 47V ^n-m)Jmi^a) (266)
Para el caso particular de una onda en modo TEui se tiene
32
= [iquestiexcl](0375)|poundi|laquoib2 (2C7)
donde
1 1 - ^ (2-68)
raquo el valor di- lu magnitud tlt-1 riiinpo eleacutectrico en el centro di- la seccioacuten traiisveriMi) del
resonador
En griirral pura resonadores i n h siempre hay absorcioacuten ib energiacutea 1st nial se reashy
liza principalmente por dos raualcs a) porque el medio (pit- Ik-iui lu guiacutea es un medio
absorbente y Iraquo) debido a la conductividad finita de las paredes del resonador En cada
uno de estos casos las frecuencias de resonancia se vuelven cantidades complejas las ruakt
podemos escribir en la forma ugt = w + iw Entonces si la dependencia temporal de loraquo
campos es de la forma
Eacute(t)laquo Ac1 (269)
obtenemos que la energiacutea total promedio de un modo normal en un resonador real es
W(t)laquo W(0)e-3 (270)
donde se observa que se pierde al transcurrir el tiempo W(0) es la energiacutea total almaceshy
nada en el resonador en r = 0 Introduzcamos un paraacutemetro llamado factor de calidad Q
definido como 2n veces la razoacuten de la energiacutea almacenada en el resonador promediada con
respecto al tiempo entre las peacuterdidas de energiacutea por cada ciclo de oscilacioacuten
33
Qenrroiu ulmactnnda
SS itj mdash ^ mdash mdash ^ mdash ^ mdash mdash
jttrtlidim lit tnergtn
= wmdash IV
PmAtf
donde
(271)
P = - ^ I27-raquo)
egt la potencio media qui sc absorbe en tin ciclo de oscilacioacuten debido n las corrientes
superficiales de las |Ktrtdes del resonador (comparar ron la ecuacioacuten (224)) Di (270)-
(271) piulemos obtener que Q = raquo-2u Por lo tanto la frecuencia raquogt laquobull pnctlc expresar
a traveacutes de Q romo
=yj1 + eacutejh 273)
43 Excitacioacuten de los modos de oscilacioacuten
En el problema de un resonador ideal (sin jroacutedidas de energiacutea) cada modo de oscilacioacuten
tiene perfectamente definida su frecuencia propia de resonancia (257) Esto quiere decir
que si se quiere excitar un modo particular de oscilacioacuten en el resonador la frecuencia
de excitacioacuten debe coincidir exactamente con su frecuencia propia de resonancia En
problemas reales esto no ocurre y en lugar de ello se cuenta con un banda de frecuencias
alrededor de la frecuencia propia en la cual el modo de oscilacioacuten puede ser excitado La
existencia de esta banda de frecuencias se debe a que existen peacuterdidas de energiacutea
Para mostrar lo dicho anteriormente notoacutenos que las oscilaciones del tipo (260) se
pueden representar como una superposicioacuten de oscilaciones estacionariacuteas Supongamos
34
i le el campo electromagneacutetico se crea en el instante f = 0 y se le laquoleja oscilar libremente
para t gt 0 Obteniendo su transformada de Fourier de (269)
iquest(w) - p rt+Uacutet+Vt- (274) 2ff Jo
y evaluando la integral en (274) considerando que pound(t)| lsec = 0 se obtiene
cuyo valor absoluto es
eacuteMl = M mdash i ^ (27C)
La ecuacioacuten (27C) nos da un conjunto de curvas de resonancia para cada modo de
oscilacioacuten Cada graacutefica tiene su valor maacuteximo en w = u (Fig23) Los puntos ltii los
cuales la curva disminuye lgtsect de su valor maacuteximo se llaman puntos de potencia media y
su separacioacuten en frecuencia se denomina ancho de banda A cada punto de potencia media
le corresponden las frecuencias
w3 = w + ^ (278)
de donde obtenemos que el ancho de banda detennina el factor de calidad del resonador
en la forma
laquolaquo5 a raquoiquest- ltraquogt
35
IlaquolaquoM
Fiacuteg23 Curva (Ir resonancia para el mudo de oscilacioacuten a- Loraquo puntos |rV(laquo-|)| y |MJ)I son
lot punto dp potencia mediacutea y raquoraquo separacioacuten define el ancho de banda
Si las peacuterdidas de energiacutea son pequentildeas entonces las bandas de frecuencia son estrechas
Sin embargo siacute las ]ieacuterdidas son considerables entonces las curvas (le resonancia pueden
llegar a sobreponerse una sobre otra provocando la excitacioacuten mutua de los modos de
oscilacioacuten
44 Resonador de forma cilindrica
Consideremos ahora un resonador cilindrico Primeramente obtengamos las soluciones de
los campos para una onda en modo TE en un resonador ideal y posteriacuteormeite calculemos
la Q del resonador para este modo debido a la conductividad finita de las paredes metaacutelicas
Para este tipo de resonador y para ondas en modo TE las funciones propias o solucioneraquo
36
correspondientes al problema transversal (23 tienen la forma (227) ron los valores propios
1228) Ademaacutes con ayuda de las expresiones (234) se obtienen las expresiones de las
componentes transversales en coordenadas cilindricas y entonces escribimos los campos
en la forma
pit H- = C0Jn(mrr)cos(mj)sen(mdashz)
Hr = -r-mdashlt0-m nr)laquow(mi)laquow(-j-) O ~lmr O
H - -raquo -3 pound - -Jlaquo ( -mr)raquoen(ms)oraquo(5) (280) laquo in r laquo
E = 0 iCriquestft m laquor
E = mdashJB(-mraquor)iacutetrw(raquoraquof )rraquoi(mdashs) win
_ iacutei Co WK poundw = Jm(TimRr)laquow(raquon^)raquocii(-j-iacute)
C mn laquo
Sustituyendo (228) en (257) obtenemos para las frecuencias de resonancia la expresioacuten
i raquo J c
wmn= 4 = J ^ + (^) g | (281) c
El modo fundamental para las ondas tipo TE tiene como subiacutendices m = TI = p = 1
Este modo TEm es el modo fundamental de oscilacioacuten en la cavidad si la frecuencia de
resonancia u m para ondas TE es mas pequentildea que la frecuencia de resonancia corresponshy
diente a las ondas TM (wougt) Se puede demostrar que si d gt 203a (a es el radio del
resonador dado en cm) entonces el modo TE es el modo fundamental de oscilacioacuten del
resonador [9]
Calculemos ahora la Q del resonador debido a la conductividad finita de sus paredes en
el caso de ondas en modo TE La potencia que se pierde debido a las corrientes superficiales
en las paredes del resonador se calcula en la forma
37
bull -1iquest]iquest r r bull -bull+pound[+ - 4 (2-s2) donde ntilde| y ntilde2 son vectores unitarios normales a iraquo superficie cilindrica y a las superficies
transversales circulares respectivamente La expresioacuten (282) puede reescribtrsreu la forma
bull= [iquest] iquest j f W + lraquolaquol2)U + 2iquest J-iacutelJiacute + IWPMraquo bull (283) Usando las expresiones de los campos (2S0) sr resuelveraquo laraquo inti-gralcs de (2S31 en la
forma
I r l l f fo l mfa r ~ UirJ 2vlaquo 2 1 + bullpound(bullgtbullgt+
+2|CIraquopound [ lpoundrAOr)+ bullO^] laquo] bull Haciendo el cambio de variable x = fr obtenemos
I laquo-1 IColraquo iexclda UffJ 2ffiacute 2 m ]Cppoundr |dlaquo UffJ 2ltriacute 2
1 +
1 + rraquoraquo
J Iacute O laquo ) + 2 ^ j f [2iacute Ji(gt+J(X)] d
^(70) + [(7laquo)3(l~)^(^)] (284)
Sustituyendo la expresioacuten de f = ^ )bull arreglando teacuterminos resulta
Finalmente sustituyendo (266) y (285) en (271) obtenemos el (actor de calidad debido
a la conductividad finita de las paredes del resonador para ondas en modo TEmnt en la
forma
38
Consideremos un resonador cilindrico en el cual oscilan ondas electromagneacuteticas en
nodo TEm cou una frecuencia raquobull = 15394 gt 10degr (A = 1224cni) El resonador es de
bronce de conductividad o = 1413 x lOlsutiquestergscm y tiene un radio interno a mdash Ion
Pitra este resonador determinemos en el caso p = 1 los siguientes paraacutemetros a) la
longitud apropiada del resonador b) el factor de calii id ilrl resonador y ltbull) el audio de
banda donde sr puede excitar el modo TE
a) De acuerdo con (258) la condicrlaquon de un resonador es tal qui en su longitud exista
un nuacutemero entero de mitades de la longitud aacutev onda
d P Px
2 V1-WW - - _ V l (287
Despueacutes de sustituir los valores respectivos de A o y de los subiacutendices que caracterizan al
modo obtenemos
d - T13cm (288)
b) El factor de calidad Q del resonador se obtiene de (286) expresioacuten que reescribiacutemos
para ondas en modo TEm en la forma
Ud (l + 0343amp4)
2nlt61 + 02092 + 02436$
39
La permeabilidad magneacutetica del bronce (je) no difiere Mgninrativanicntt- riel valor corshy
respondiente al del vacio (lt as ftc - 1) Entonces la longitud de la capa piel (244) resulta
A = 812x 1 0 - W (290)
Finalmente obtenemos ltw el factor de calidad tiem- el valor
Q = 404903 (291)
c) FinalriKiitf nilrtilt-inos el ujrlifgt di- llaquoiinli en el nial la onda en moilo TEw puede
ser cxcitaihi Utilizando (277) y I27S) obleiicnicraquo los punto ile ]raquoifriiriiexcli inedia
-bull as 153927 x iexcluHz
w2 ss 153952 x 10VH
Por lo Unto el micho de banda tiene el valor
ui2 - ugt = 000025 x 10Hz
Observemos que el ancho de banda es lo suficientemente angosto relativamente por lo que
uacutenicamente se excita el modo TE Se puede demostrar que la frecuencia de resonancia
fundamental para ondas en modo TM es uiolo = 1031 x l0nHz
40
CAPITULO 3
TEORIacuteA DE PERTURBACIOacuteN
Toda Teoriacutea ile Perturbacioacuten establece que en ciertos casos los problemas irregulares
aquellos que no tienen soluciones analiacuteticas exactas) pueden ser considerados romo rrjpi-
iexcliexclTVraquo que sufrieron cierta perturbacioacuten Cuando la perturbacioacuten es suficientemente pequentildea
u el problema irregular podemos obtener una solucioacuten aproximada conociendo la solucioacuten
ltiel problema regular [9] El meacutetodo perturbativo se ha utilizado extensamente en las guiacuteas
de onda Existen trabajos donde se analizan los efectos de las perturbaciones en lew valoshy
res de frontera [15] asiacuteromo de las perturbaciones generadas por un pequentildea muestra de
Vrrita en el interior de las guiacuteas de onda y resonadores [1C] En este capiacutetulo se describe
ia teoriacutea baacutesica del meacutetodo perturbativo desarrollada en |17] en el caso cuando las guiacuteas
de onda y los resonadores contienen un pltsma en su interior
5 El Meacutetodo de Perturbacioacuten en las guiacuteas de onda
En la seccioacuten (32) se mostroacute que la propagacioacuten de ondas electromagneacuteticas en guiacuteas
de onda cilindricas se describe en teacuterminos de sus modos caracteriacutesticos Cada modo se
caracteriza por su constante de propagacioacuten Dependiendo de las dimensiones geomeacutetricas
41
de la guiacutea de mida estos modos o bien se propagaraquo o bien se atenuacutean En ln praacutectica Ins
dimensiones de las guias de onda siempre se escogen de tal forma lt|iii- unir amenteacute se puede
propagar el modo fundamental
El caso cuando se tiene una guia de onda parcial o completamente Urna con un plasma
sir produce uu cambio en los paraacutemetros caracteriacutesticos principales laquopie describen a la
guia de onda Si el efecto del plasma en tales paraacutemetros es lo suficientemente pequentildeo
entonces la teoriacutea de pertubacioacuten resulta ser mur adecuada para calcular ln constante de
propagacioacuten
Consideacuterenlos la propagacioacuten di ondas electromagneacuteticas a lo largo de tiiiiacutei guiacutea de ouila
cilindrica que se encuentra parrial ltgt rompidamente llena ron un plasma inhomogeacuteneo Si
sujHHiemos (|iir las caracteriacutesticas del plasma son axialmente uniformes podemos encontrar
la constante de propagacioacuten y las distribucioacuten de los campos
La propagacioacuten de ondas electromagneacuteticas en las guiacuteas de onda con plasma se tlescribc
por las ecuaciones de caminiacute
V x f + i - J = 0 (31) c
VxH-i-pound=mdashJ (32) c c
La condicioacuten de frontera se obtiene suponiendo que la conductividad de lax paredes de
la guiacutea de onda es infinita
|ntilde x Eacute = ntilde Ntilde = 0 (33)
donde ntilde es tin vector unitario normal a la frontera En ausencia de plasma la parte derecha
42
gtbull (32) es cero y el problema se reduce a U propagacioacuten dp ondas en una guia dlaquogt ondas
ivieca (Cap 2)
Las amplitudes del campo de las ondas normales se determinan en la forma
Eacutet(f) = pound ( I j e - i raquo w (34)
(F) = j(rj ) e- i ( r -
iquestonde r esel nuacutemero de onda En ausencia de peacuterdidas T es real (F = iacutei) Vamos a
suponer que las ondas se |gtropagan a lo largo del eje 0 paralelamente al eje de la guiacutea dr
onda
Para ileterniinar la influencia del plasma en la propagacioacuten de las ondas rlrrtroiiiagm-
licas en una guiacutea de onda es coacutemodo descomponer las ecuaciones pura las componentes
longitudinales y ]gtcr]gtendiculares del campo Estas ecuaciones se obtienen al descomponer
los campos y el operador V en la forma
pound = 4 + poundx ntilde = fflaquo + Ai = Lpound) + fjpound) (35)
V = Vbdquo + V I
donde los subiacutendices X y || denotan las componentes perpendiculares y longitudinales es
decir su proyecciones perpendiculares y paralelas al eje de la guiacutea de onda O) Sustishy
tuyendo (34) en (31)-(32) y considerando (35) obtenemos las ecuaciones en direccioacuten
perpendicular y longitudinal en la forma
- ^ [ V x ^ + V n ^ + i - l i o x f j = - mdash iexcl 0 x pound ( ) ] (36) IUgt C C
f-Vx[VxEacutex)-Vtamp-i-iexcloampl mdashrJiexcl (3-7) w C tt
43
donde i0 es un vector unitario dirigidraquo a lo largo del eje O Las componentes longitudinales
de tos campos se relacionan con las componentes jicrpctidiculares jKraquor liis expresiones
OZfy+^ftE) = [VxJbdquo (38)
Al = - - V x f ^ (39)
Ahora considerando que las ecuaciones de Maxwell son expresiones lineales es decir
que la combinacioacuten lineal de dos de sus soluciones tambieacuten es una solucioacuten y anaacutelogamente
para las condiciones de frontera (24) y (2C) determinamos (pie una solucioacuten maacutes general
del problema de uiiiacutei guumliacuten de onda sin plasma es una superposicioacuten de todos los modos
]MKgtibies de proiHigarioacuten con valores apropiados para sus eoetiacutecieiites Si la perturbacioacuten
originada por el plasma es lo suficientemente ]H-ltiuentildeu iiodemos suponer (pie la desviacioacuten
de cada uno de estos coeficientes es pequentildea con respecto a su valor no perturbada Dr
aquiacute que las componentes perpendiculares del cam]Mgt en una guiacutea de onda con plasma
se puedan representar como una serie (combinacioacuten lineal) con resjiecto a las funciones
ortogonales poundfc y Hk que determinan las comjioncntes transversales de los modos normales
en una guiacutea de oudn sin plasma
k
Los campos satisfacen las relaciones de ortogonalidnd [18]
(310)
JsEacute-kEacutedraquo laquo Nttu
JtpoundixEacute]deacute = ZSttu (311)
44
iquestiuumlaacutef el su|MTUacutegtdiexclctraquo denota el complejo conjugado de los campos Z = cTgt para
ltJAH ti|Mgt H y Z = wcT para ondas tilraquo pound ltlaquo es el siacutembolo de Kronecker bu = 1 si
raquo = y iquestbdquo = uuml si i- = ) y la integracioacuten se realiza sobre toda lo serenan transversal ilr la
tub de onda
Utilizando (310) y (311) rocontratnos las expresiones para los coeficientes uiquest y bk
(312) iexclsntilde ntildexu
Sistiruyriiiliraquo las seriacutees (310) en (3C) y (37) obtenemos el sislrinii f|i- eriiiioacuteoiirs
poundlt5r + ilgttfraquo4 = -- |iquestux(pound))l l t (313)
Ely+W)4 = VJbdquo (314) iacute
Multiplicando (313) vcrtorialinciitc por E[Aacute y (314) jMraquor HlM e integrando en 1raquo seccioacuten
transversal dr la guiacutea de onda obtenemos ron ayuda de las roiidintildeoucs de norma (311)
laraquo ecuaciones
rA + X KzcLEacuteltsEacute^ 3 1 6 gt En el caso en que los paraacutemetros del plasma no dependan de i la dependencia de los
campos con respecto a z se puede considerar de forma exponencial como en (34)
Eacute(jyz) = Eacutexy)t-iT ntildexvt) = ntilde(xy)r
45
(317)
o t ( iacute ) = laquo- M ) = V eacute r
Sustituyendo (317) n i (315) y (31C) obtenemos
laquoriacute - - - S S L bull +Ssect bull Uuml- 318)
Luraquo fiimriidirs (31S) y (319) |xira diferentes k roiii|xmni un sisirmraquo ltb-it-imrioiies lioinraquo-
geacuteneus liacutenenlegtgt ron res|gterttgt n liis roeiit-ientes nk y laquoV Lu riiudiriitn ilr solubilidad (igual)id
a rifo laquobrl determinante) determina la constante ib- igtrigt|Mi)igtiOacuteM Sin roiUirjpi el sistema
(318) y (319) resulta ser un problema muy laquolifiril laquoIt- resolwr De alaquo|iiiacute i|iie iexclti laraquo partes
ilereelias laquole (31S) y (319) son lo siinritrntetueiitc |ielt|iirntildeaH |MMICUIUS emplear la teoriacutea laquole
|MTturlgtMrilaquon
Sil|Kgtlliciifllaquogt fjflf- la denudad lie mrrirntc H traveacutes ilel plasma es (laquornjxirriimal H tin
paraacutemetro pequentildeo podemos descomponer las (-nulidades airaquorgt y E cii tiTiiiiiiiraquo laquole laquowte
paraacutemetro
bk = ZKv lt3 2 0gt
r - poundrubdquo
46
donde el subiacutendice ( dentildene el orden de pequentildees Vamos a considerar que en ausencia del
plasma en la guiacutea de onda se propaga el modo fundamental de una onda tipo H denotada
por iacute = 0 Ademaacutes si en la aproximacioacuten de orden cero se tiene
poundi = poundgt pound = pound | |= 0 (321)
entonces
ltbdquo - Abdquo (322)
Tiacuteo) = iexcl1lth
Asiacute considerando las expresiones (320)-(322) de (318) se oliticne la siguiente exshy
presioacuten en orden cero para lax ondas tipo H
laquo(bdquo[(r(0) + rbdquo + )raquo- rg = -^f-1 pound bdquo bull J(Eacute)d +
cAuZ|o) Js
de donde rlt -7IacuteT7-L iquestiacutef(Eacute)ds- (323) 2ni
Para las ondas tipo H Z(0) = c-iexcl^- mdash ^ de donde obtenemos finalmente
TMampLtedeg-f[Eacute)di- lt324gt
47
La cantidad compleja r ( 1 ) nos repcscnta el cambio que sufre la constante de propinacioacuten
T |Hgtr la presencia del plasma es ilecir es la correccioacuten a primer orden en la constante de
propagacioacuten (I = T - Tf0)) Esta cantidad se puede escribir en forma de unraquo suma de
sus componentes real e imaginaria
r bdquo = AJbdquo - iAobdquo (32b)
siendo An) gt 4 ltgt(i) las fracciones de cambio de la constante de fase y de amortiguamiento
respectivamente ocasionadas por la presenria del plasma
En corn-spomlencia con (32-1) y escribiendo la densidad de ciirrietite cuino J mdash J + i j
( es la parte real y es la parle iimiginaria) las cautidades de (325) toman respectivashy
mente la forma
iquest 4 1 = - V ^ V bull (3-20)
iquestngt = ^ C J bull (327)
2JSEacuteiexcl-Jiexcld
Vpoundbullpoundbdquo
far sfr0-Eacuteltj
En medios lineacuteale) anisotropicraquoraquo e inhomogeacuteneos la densidad de corriente r relaciona
ron el campo eleacutectrico en la forma
J=aEacute =mdashampbullpound (328) 4ir
donde amp es el tensor de conductividad eleacutectrica Af = (iacute - ) i es el tensor de permiacutetividad
dieleacutectrica e es el tensor unitario
Utilizando la expresioacuten (328) podemos reescribir (324) en la forma
48
wJ ft R bull Aacute iacute bull Ed
laquo Wen
r ^ poundbullampbullpound (330
En las expresiones anteriores no hay que olvidar que el campraquo eleacutectrico se expresa romo
una serif con respirtn al paraacutemetro pequentildeo pound Las expresiones (324)-(330) corresponden
iexcli iraquo aproximacioacuten de primer oidrn La condicioacuten que si- debe de satisfacer seguacuten la teoriacutea
de perttirlsirioacuten ni primera aproximacioacuten es tal qult- 1raquo magnitud de cambio en la ninstaiitr
de propagacioacuten debe ser sinnpre mucho menor que la magnitud laquobull- la difereiiria entre las
riHiMniitcraquo ilc propagacioacuten di cualquier modo con respecto al modo fundamental
ri lt r 0 r m lt |ru - rt| para todo Jl^O (331)
o con respecto a A y Aigt obtenemos
(332) Aibdquo laquo iquest A^bdquolt |A -r | iexcl
poundltraquobdquoltamp Ao(1)ltt|iquestt-rraquo|
6 El Meacutetodo de Perturbacioacuten en los resonadores
Anaacutelogamente al estudio de las guiacuteas de onda conteniendo plasma en su interior el anaacutelisis
en los resonadores que se encuentran parcial o completamente Henos con plasma exhibe
cambios en los paraacutemetros principales que describen los resonadores huecos En la seccioacuten
(41) ae mostroacute que un resonador tiene un nuacutemero infinito de modos de oscilacioacuten Cada 49
modo se caracteriza jagtr su frecuencia de resonancia su factor de calidad y su corres|Hraquon-
diente distribucioacuten de CHII)|Kgt La presencia del plasma en un resonador priMlure princishy
palmente un cambio en la frecuencia de resonancia en la cual el resonador se encuentra
opilando y en el factor de calidad Si la influencia del plasma en tales ]gtaraacutemetros es sufishy
cientemente pequentildea entonces para el anaacutelisis de este problema podemos tambieacuten emplear
la teoriacutea de perturbacioacuten
Consideremos un resonador que oscila en una de sus frecuencias de resonancia y que
contiene un plasma distribuido axialmente Evaluemos los iambins i|ite se producen en
liexcli frcciMiiciii de resonancia y en el factor de calidad del resonador Las distribuciones de
ciexclim|Hgty las frecuencias de resonancia se obtienen integrando las ecuaciones de campo (31)
y (32) con la condicioacuten de frontera (33) En este caso la condicioacuten de frontera (33) se
iipliia en la frontera cilindrica laquoleiacute resonador y en las superficies planas del mismo En
ausencia del plasma los raiiipos satisfacen las ecuaciones (31) v (32) con la piiacuterte derecha
igual con cero
VxEacutek + imdashH~k = 0 r (333)
V x Hk - mdashEacutebdquo = 0 c
y la condicioacuten de frontera (33) Donde se ha utilizado el subiacutendice Jt para denotar el
modo k de oscilacioacuten en un resonador hueco con frecuencia de resonancia ui Los campos
Ek y Hi satisfacen las relaciones de ortogonalidad
jvEacutekEacutedV = NkeacuteM
(334)
JvIacutekntildedV = Lk6kl
50
donde el superiacuteiidice nos indica el complejo conjugado de ios cam]gtos y la integracioacuten
igt realiza sobre tftdo el volumen del resonador
Se conoce que todo camjx) vectorial se compone de la suma de una parte con divergencia
ltITltJ iparte solenoidal) y una parte con rotacional cero (parte potencial) Para observar
la it^iuencia del plasma en la oscilacioacuten de ondas electromagneacuteticas es conveniente utilizar
este hecho escribiendo el campo eleacutertriacuteco como la suma de una parte solenoidal y una
potencial
Eacute = Eacute + Eacutebdquo V Eacutei = 0 (335)
V x Eacutebdquo = raquo
Llaquoraquos vectores solenoidales Eiexcl y H ile un resonador con plasma se pueden representar
como una coinlgtiuacioacuteu lineal de las funciones vectoriales Ei y Ht tjue detenuiiacuteian las
componentes solennidalcs de los modos de oscilacioacuten en un resonador sin plasma
Eacute = 5 gt pound raquo (33C) k
H - J gt amp (337)
Usando (336) y las relaciones de ortogonalidad (334) se encuentran las expresiones para
los coeficientes a y 6
TV (338)
_jvEacute-EacutexaacuteV 6gt 5 mdash bull
Sustituyendo (336) y (337) en las ecuaciones de campo (31) y (32) y considerando (333)
obtenemos eacutel sistema
51
k 1330)
J^(traquow-a tuf t)5 = 0
Multiplicando escalarmentc la primera ecuacioacuten de (339) por pound y la MRIIIKIIacuteI JMW HJ e
integrando sobre todo el volumen del resonador obtenemos
[b^k - laquow) = pound Eacute] bull poundkM - ^ I Eacute TIV (340)
(JW-laquo) = o 1341)
El primer tmuiiacuteiraquo tit- la tlrn-rlm ltb (340) i-s IacuteRIIUumlI IIHI erro Siacute ili-sprjaiiio ltbull (341) fr
y lo sustituimos cu (340) otitciii-inos
iJiexcl - J)nbdquo = Jj^L(pound-k f(g)dV (342) iexclSi Jv t
tlmide
k = ^ laquo 4 (343)
y Vi es el volumen que ocupa la columna dr plasma Sustituyendo la primera expresioacuten
para a de (338) en (342) se obtiene la relacioacuten
2 Jv Eacuteiexcl bull JEacute)dV - a g - iacute - 4 trade ^ iquest r f v 044)
donde se ha remarcado la dependencia de la densidad de la corriente con respecto al campo
eleacutectrico Por otro lado se observa que las ecuaciones (342) y (343) para diferenteraquo valores
de k forman un sistema de ecuaciones homogeacuteneas lineales con respecto a loraquo coeficientes
a La condicioacuten de solubilidad (igualdad a cero del determinante) determina la constante
52
bullltbull propagacioacuten Si la parte derecha fie (342) es lo suficientemente pequentildea jiodeinoraquo
ltiijgtlear el meacutetodo |gterturbatiro
Suponiendo laquoue la densidad de corriente a traveacutes del plasma es proporcional a un
paraacutemetro pequentildeo ]gtodemos desromponer las cantidades OkM^ ) E laquogt teacuterminos de este
paraacutemetro
h = poundbdquo lt3-45gt
(
lioiide el suloniHir ( define el orden (le peqncntildees Si en ausencia del plasma sr excita una
onda lie frecuencia UumlIiexcl en el resonador entotires en la aproximacioacuten de raquorltbii cero se tiene
pound|o) = Eiexcl
a = eacutelk (346)
Sustituyendo (345) en (344) e igualando los coeficientes de la misma potencia con respecto
al paraacutemetro pequentildeo se obtienen las soluciones en distintos ordenes de aproximacioacuten En
primera aproximacioacuten para k = l resulta
gt bien
53
= 2 ^ ^ 347)
En gmrral J ( ) ) es tuia cantidad complt-ja i|ttr mis reprcscuta la i-orrerrintildeu a primer
orden en la fnriirncia compleja de resonancia (uim = m mdash wi) Di- acuerdo ron (274) esta
cantidad puedr escribirse en la fonna
-bdquo = Aw + IA iacute J (348)
donde i parir mil ltbull imaginuria nos detenniunii las fraoioiirs laquobullbull cambio di- la |Ktrtc real
de la fri-eui-iicia di- n-soiiamia y la calillad dri resonador rcsptitivaiiniitc ocasionadas por
la pn-Hcuciacutea del plasma
En corrispoiidiiicia ion (347) escribiendo y descomponiendo la densidad de corriente
ronio J = 3 + i 3 (3 lts la parir real y 3 i la partiacute- imaginaria) las rantidailps ib (34S)
tulliacutean rirspeclivaineute la forma
- raquo m _av-j (340) wi w iexclv Eiexcl bull EilV
Qi) un fvpoundiexclEacuteM
En medios lineales anisotroacutepicos c inhomogeacuteneos la densidad de corriente se relaciona
con el campo eleacutectrico en la forma (328) De aquiacute qtie )gtodamos reescribir (347) como
WIacuteII bull - mdash mdash s mdash s 351) 2 v poundJ bull EdV
Para evaluar las correcciones en segunda aproximacioacuten a la frecuencia compleja de resoshy
nancia se sustituye la correcioacuten a primer orden del campo eleacutectrico E - poundbdquo + pound en
54
3441 la rual se determina por la expresioacuten (342) al evaluar cada uno de los rieficientes
u ron k JEacute
trtonces las correciones a las partes solenoidal y potencial se expresan en la forma
V pound | bdquo = mdash V bullbullltpound) (354)
Las roiidiiioniK laquo|nr se ilrlx-n satisfacer pariacutei cpir la expresioacuten (347) KIIacuteI viiacuteliiluuml es tul
([iilt parsi i ^ tentniMM
^ (355)
y |Hgtra I- =
A M mdash laquo 1 (366)
bull(4) e l
55
CAPITULO 4
INFLUENCIA DEL PLASMA
Eu i-sti- i-itpitulo en base al meacutetodo perturhativo descrito i-n el capitulo 3 se obtiene
el gtiexcliiiil)io laquopie sufre In constante de propagacioacuten para lindas rleclioniagneacutetiras eme se
propagan iii miii guiacutea ile onda ciliacuteiidriiacutea que i-oiitieur en su eje una roluijjua laquolaquobull plasma
friacuteo iiiliimiogeacuteufraquo y magnetizado Ademaacutes se determina la vaniiiioacuten ite la frecuencia laquole
roouancia para las ondas electromagneacuteticas qui se eiiruentran oscilando en tin resonador
cilindrico que contiene una columna de plasma friacuteo magnetizado e inhomogeacuteneo distribuido
axialmcnte Si- calculan las variaciones de la constante de propagacioacuten de la fierucucia de
resonancia y laquoleiacute factor de calillad jgtara diferentes valores de wjJJ1
7 Influencia del plasma en las guiacuteas de onda
Vamos a considerar como paraacutemetro pequentildeo que el radio del plasma es mucho menor que
la longitud de onda y que el perfil de densidad de electrones es de tipo paraboacutelico con
respecto al radio Ademaacutes el campo magneacutetico externo se considera homogeacuteneo y dirigido
a lo largo del eje O (Fig 41)
Como ya sabemos en una guiacutea de ondas cada modo de propagacioacuten se caracteriza por
56
Bo
P L A S M A
Fig41 Sc inwsira nnraquo i laquolimiiia ilr plasma laquoIc ratlin rbdquo loi aliidi sobre el ltbullbull bull)bull- miacutea guiacutea laquole
ogtda rihiiilrii-a dc railio rt in rampo iiiagnrliro externo iquestV osla dirigidraquo a Iraquo largraquo del ltbull)gtbull (gt
t i rumiante propagation Su parte real o factor dr fane drtrniiiiin la vrinriibul ill- fiiw
iexcluiftitraraquo I 1 piirti- imaginaria laquogt riwrkienlc tic absorcioacuten tlrtmniiacuteia el raquoinltgtrtigiiiexcliiiiiexcli-iitigt
(ir los diferentes modos ir propagacioacuten El efecto que se origina ttiantiraquo se rolix-a IIIIIacuteI
columna de plasma dentro de la guiacutea de ondas es un cambio en la constante de propagacioacuten
De acuerdo con la teoriacutea de perturbacioacuten este cambio es proporcional a la razoacuten del cambio
de energiacutea dentro de la seccioacuten transversal que ocupa el plasma sobre el vector de Poynting
evaluado sobre la seccioacuten transversal de la guiacutea de onda
r r - u _ IM-bullpound _ bdquo
donde las cantidades con subiacutendice 0 denotan cantidades no perturbadas (sin plasma)
Para evaluar la constante de propagacioacuten (41) es necesario obtener las soluciones de los
57
campos eleacutectrico y magneacutetico dentro del plasma en teacuterminos del jiaraacutemetrraquo peipientildeo
Para el caso de un plasma friacuteo cuando la velocidad de fase ile lsts nudas electromagneacuteshy
ticaraquo es mucho mayor (pie las velocidades teacutermicas di las (laquoarticulas si- utiliza el modelo
hidrodinaacutemico Debido a la simetriacutea cilindrica del problema su]Mgtngamos ijiacuten- los campos
tienen la forma
Eacute = iquestj(r)rr+--
Expresando la ecuacioacuten de onda
V x V x Eacute - ^r-iacuteEacute = 0
(42)
(43)
en coordenada iiliacuteiiltlriras se obtienen las eniariolies para las componentes del ranipo
eliVtriro i-ii la forma
igt
i-e- - mdash - DE = --Mt - DE + mdash(poundj + rr r r r r
E + - pound + (mdashv - ) pound = pound- + mdash (rpoundr) bull r r r r- r
(44)
(45)
-rcEr + iru(e - 1)poundJ + mdash | - i laquo ( f - 1)pound + poundpound] + rraquopound3 = 0 (46)
Aquiacute las primas indican una diferenciacioacuten con respecto a r l es el tensor dieleacutectrico en
la forma [19] (Bu esta dirigido a lo largo del eje 0)
poundraquo -
pound
0
pound 0
o vi ( t iquestu(e - 1) 0
= - t u ( c - l ) pound 0 V 0 0 r)
(47)
58
aacuteHtuacutee
- - 1 ti ul2 - - f j
2
= bull laquo bull i
_ = (r) = 4r r laquobull 1iexclI freruenna plaacutesmirraquo y -laquo lt-N ]iexclI fririirii-iraquo rirlotroacuteliira dr los
bullbulllaquobullerroiirs
Si il nidio ilil pliisiiiii o |Hi|iiiiacutein iii rumpiriiriuacuten ron IIacuteI loiigiliul de onda y n Irmas pound
varia i-ii un onli-n i|f iuiacuteraquotiacute-j)i in J |IIII|P)JIIgtS expresar li viiriiirioacuteji ili rraquo la forma
poundltrgt = bull ( laquo v ) bull iacute gt h 4 S )
donde el bullmnuiirtro se lm introducido para obtener las soluciones aproximadas ni difeshy
rentes ordenes ron respecta a pound di los camporaquo eleacutectrico y inaRiirliin Haciendo rl nunbio
lie variable x mdash =pound en la ininrioacuten (45) obtenemos
E = --(pound) - -plusmnpoundE - ^iquestE + - 4 J ( Iacute pound + gt9E) (4-9)
donde B kciexclwg = u(iacute - 1) y la prima denota una diferenciacioacuten con resprcto a x
Haciendo el mismo cambio de variable eliminando E por medio de (49) y limitaacutendole
hasta teacuterminos del orden (IO1- a ecuaciones (45) y (46) toman la forma
59
F i g 4 2 IVr l i l |gtiifiacuteilraquogtlirgtgt ili li |TinHivnli i l c|i| ( I I IM I I I n m P | W T 1 I I iexclI JT - mdashgt
[j-tl ltbullpoundbdquo-)] - (mh + mnixEf = 0 141raquo)
(411)
Se observa qui- la ecuacioacuten (410) no si- encuentra acoplada ron (49) y (411) cnloiires
podemos obtener su solucioacuten En condiciones experimentales una distribucioacuten dr la denshy
sidad de tipo paraboacutelico con respecto al radio resulta ser una rnuy buena aproximado
(Fig42) En tal caso escribimos
pound = T- - t0 (412)
siendo
CO
^ deg - 1 laquo413 J1 - ^
valor de la penuitividad en el eje del cilindro de plasma
Antes de sustituir el perfil paraboacutelico de iexcla permiacutetiviefad (412) en (4S) httgtimos en
bulli10 el cambio de variables
E = il|-r-|J-) 1414
bullbull donde obtenemos una ecuacioacuten diferencial pam en la forma
(V - bdquolr-+ [-(2|m| + 1 | - + (2|w| + 3|rjr-+ 2(|raquo| - tnu)Y = 0 1415
Haciendo un nuevo cambio de variables y = xiacutei en (415 se obtiene la ecuacioacuten
wd -v)r + H +1 - ( H + 2)W- iexcl y = o lt4icgt
Eltfa uacuteltima ecuacioacuten es una ecuacioacuten de tipo hiperficomeacutetrico y su solucioacuten es conocida
20 de donde la componente angular del campo eleacutectrico tiene la forma
poundv- = CxH-F(laquo6cy) (417)
donde F(a b c y) es la funcioacuten hipergeomeacutetrica [20] C es una constante y las constantes
cb y c tienen los valores
b = l + | m | - a (418)
C a 1 + H
61
respectivamente Dlt- la ecuacioacuten (411) podemos ahora escribir la expresioacuten paro la com-
jiacuteomrntf axial en la forma (hasta teacuterminos laquoiel orden (1iacute)1)
E = _ bdquo|m| D+-plusmn-CF(abc mdash mi poundu
= DiquestnbullT mdashJEiquest (419)
donde D es una constante La componente radial del campo eleacutectrico se obtiene de la
rniacioacuten (49) sustituyendo en esta (417 y (119) El campo majiexcliieacutetirtgt se deterniina laquole
la ecuacioacuten dr Faraday
1 OD r x pound = mdash mdash (420)
c uumlt
Limitaacutendose hasta teacuterminos del orden IO1 obtenemos la componente axial del camjm
magneacutetico
H = iacute H D gt i + Jiacute-lfEj - iiacuteuumlUuml^r (42D lit inz in(
Las constantes C y D que aparecen en (419) y (421) dependen de las condicioneraquo
de frontera Para su determinacioacuten acoplemos los campos dentro del plasma con los del
vacio bajo la condicioacuten que haya continuidad en la frontera del plasma (r = r) de las
componenteraquo E y Hiexcl
Ermfl = poundo | bdquo (422)
|tradebdquo = H0rmri (423)
Considerando que e(rf) = 1 y usando las expresiones correspondiente para las composhy
nentes axiales de los campos con plasma (419) y (421) y de los campos sin plasma
02
Z = DtJbdquo~ri y H0 = CWJbdquo(-T)) obtenemos las expresiones de las constantes C y
Z teacuterminos de los cani)gtos no perturbados En el raso para m gt 0 obtenemos
2 m (m- l ) -raquo - mF(n o r y ) + jF(noriexcl() bdquo-(bullraquo-raquogt( pound)bullraquo-)
D = 2miquest- C raquo + ^ deg - (4-25gt
iacute uiquest y = xfiacutey C0 y Dlaquo son unas constantes Hasta el momento nos hemos limitado a
- rinos del orden de ( l ) lo qtw equivale H decir que lit rondicioacuten de raquo|gt]irn)gtiliilad de
1- ecuaciones obtenidas es
kr iquest
7Iacute(l + | - bdquo | r laquo 1 1420)
Una vez lt|iie se lmn obtenido las expresiones tie los campos dentro del plasma evaluemos
bullbullbull integrales de 1iexclI expresioacuten (41) que determinan la const iexcltute tie propagacioacuten para una
sua de onda conteniendo en su eje una rolumna de plasma Se considera que el problema
gt perturbado es aquel que ronsiilera una guiacutea tie onda riliacutendrira llueca |fbdquo = 1 y bdquo = 1)
pound1 caacutelculo se realiza para una onda en modo H Para este modo la constante Dp es igual
con cero y las constantes C y D se reducen a la forma
C Jiquest poundk (4 27) 2 o F(a62yi) + ytFub2bdquo)
D = - g c bdquo (428)
Primeramente evaluemos la integral en el numerador de (41) para ello consideremos
la expresiones (229) Tomando la parte cosenoidal de (229) para la componente axial
correspondientes a los campos no perturbados y el tensor de permiacutetiv lad (47) obtenemos
63
= f - - A iacute - E iacute laquo 429) J Ai
= iexcl J |pound - 1) [poundJlaquoMraquon5(r + iuE) + poundt(MraquoiT-|pound - laquopound)] (-rdrtl
donde las componentes Ew Er y Eiquest dependen uacutenicamente del nidio La integral sobre if
en el intervalo [02r j se realiza expresando el termino exponencial romo senos y renenrraquo
y romanilo en cuenta sus relaciones de o-tugonalidad Por tanto despueacutes de realizar la
integral Mible r_ se obtiene
= - f r|pound - 1 )[Er(poundr + iuE) + EI poundr- - laquopoundbull ))ltbull
A1 r raquoraquo = r r(iacute - 1 )[rCZH mdash-J m (7r ) |pound r + laquopound) +
+ CZll-Jj-lr)(E-HiEr)dr 1430) i
La integral anterior se evalna sobre la seccioacuten transversal de la columna de plasma
Aquiacute r i es el radio de la columna de plasma Por otro linio si expresamos - en teacuterminos
de la longitud de onda di corte Ar (217) para tina guiacutea de ondas hueca en la forma = ^
ohservanios que el argumento de la funcioacuten de Bessel eu (430) es una cantidad mucho
menor que uno Para demostrar lo anterior notemos que de acuerdo con (218) para que
la onda se propague a traveacutes de la guiacutea de onda se debe satisfacer que la longitud de onda
en el vacio debe ser menor que t Ademaacutes debido a que sr ha considerado que la longitud
de onda es mucho mayor que el radio del plasma entonces la longitud de onda de corte
tambieacuten es mucho mayor que el radio del plasma Esto uacuteltimo nos sirve para considerar
uacutenicamente el primer teacutermino de la serie de la funcioacuten de Bessel [12] con respecto si
argumento -yr = 2iry De donde (430) se transforma romo
G4
Ix = gtCU (1 - ti) r(pound - iy[iEr + pound)rfr (431) Jrm Ji)
-spueacutes di- hacer el cambio de variable x = iacute - r y sustituir las formas expliacutecitas fie los
gt-npos (4D) y (417) para Er y Ef respectivamente se obtiene de (431) la expresioacuten
bull - f pound z raquo r m - i f e r ( i - u ) x 4-32) x i(-- -)rxx-F(iUlt mdash)] + iirtn-iquestFuUlt~ )li
Ai [ iquestu tu J
jiirlc se han aproximado los campos hasta teacuterminos del orden (7 ) Integrando P )laquoirles
raquo n-sperto a r el primer teacutermino de (432) obit-nemos
laquo - ^ V r r ( l - laquo ) x - + f V a r - (433) 2wi lt W bullraquo iacuteraquo
Sustituyendo la forma expliacutecita para la constante C (424) en (433) se observa miacutee (T-To)
vrrere con el nuacutemero de modo vi en la forma lt~IK Para t-l casiraquo (pie nos interesa tu = 1
iexcl integral ltpir aparece en (433) es faacutecil tie evaluar Para esto liaciendo el cambio de
variable y mdash x7t0 se puede reescribir la integral de (433) en la forma
Jsl+to x
xlnF(abcmdash)dx o iacuteo
= ~iexclg yF(abhy)dy (434)
utilizando la relacioacuten de diferenciacioacuten de las funciones hipergeonieacutetricas [11]
pound-[-gtF(abc)] = (c- n)nt-F(abc - ns) (435)
65
con ii = 1 v r = 3 se obtiene
Re-escribamos (43C) en una forma maacutes conveniente pura ello usando la siguiente
foacutermula de transformacioacuten para las funciones hipergeomeacutetricas [1121]
e f e - 1)(- - )Fnbc- z) + rr- 1 - ( 2 c - laquo - b- )zFlabr ) +
(r - laquo)(r - l | F I laquo i r - 1) = 0 (437)
ron laquobull = 2 y considerando las formas expliacutecitas praquoriexcli laquo y b tie (41) ron m = 1 de (437)
obtenemos la relacioacuten
F ( w fc 3 lplusmniraquo ) s ~ 4 ( 1 ^ 1 1 ) f^Ffafci 1plusmn^gt - J-(laquo2 l plusmn ^ iacute ) 1 (43S) poundbdquo (1 _ bdquo ) ( U i l j l fu ibdquo J
Finalmente usando la igualdad [11]
FUifc2) = F(ub-) - (laquo fc2c) (439)
la ecuacioacuten (43S) se puede escribir como
F(flft3^-=2)= F(laquob2^-^) (440) poundo ( I - K ) Iacute O iacuteo
Sustituyendo (440) en (436) y tomando en cuenta la relacioacuten t = 1 + pound0 obtenemos
-^|UftV(laquoraquoi^) H41) (1 - u) e0 pound0
y sustituyendo (427) y (441) en (433) finalmente obtenemos para | la expresioacuten
66
cbdquo r (1+^) riab2 iquestraquo)
M i r iacuteo F (laquo 6 2 l^ )+ L Uuml^F (laquo iquest 2 l i iacute i ) (442)
La integral del vector de Poynting correspondiente al denominador dr (41) evaluada
la seccioacuten transversal de la guiacutea de ondas tiene el valor obtenido cu (236) de donde
h - jA([Eiquestplusmnxntildevplusmn+EacuteraquoxxHiquest ]gtltlaquo
= CJZbdquoVgt bull laquo i i
JfjjLii- (-143)
iacutegt|HIacute rbdquo es el radio de la guiacutea ilc onda Finalmente dividiendo (442) entre (443) se obtiene
bulla expresioacuten para el cambio en la constante de propagacioacuten para unii onda en inodo Hu
ltue se propaga en una guiacutea de onda ron plasma
- ( r -r u ) = Ax iacute -Fnb2-^iacute)
F(laquoJ2 bullraquo)+ ^^Ff f i 2 ^ )
donde
(444)
M= 21(rr0)3
l - 3 3 9 ^
De aquiacute se obtiene que la constante de amortiguamiento es proporcional a
(445)
o = A F(o62ttiraquo)
f(afr2 iraquo) + UiacuteampFia fc2 raquo) Mtr)
F(a62iplusmniacuteraquo) (446)
07
Esta uacuteltima expresioacuten se igtigttnvigt ron vi uso di-la igualdad (439) Por otm bulo notemos
i|ugt- el argumento dr las funciones hipergromctriras dr (44G) es mayor laquopie la unidad Es
conocido laquopie la serie hipcrgeonirtrini diverge en yi = -f4 gt 1 [20] Por lo tanto rs
ruuvcuicute transformar las funciones hipergi-omctriras de- (44G) laquoru series convergentes
|gtaia filo obtrugamos las expresiones para Fluriacute l y ) y Fnb2y) donde y = 1(1 mdash z)
Para podrr estudiar la absorcioacuten de tma onda excitada en modo Hiexcl1 cu una guiacutea de onda
cilindrica como la que se tiene cu la fuente de plasma construida en el INlN y descrita
en 2] es necesario obtener las expresiones para Flnli 1 i) y FnU2y) ya ipie para
laraquo bull-iitiiiiciones de la niiiijuilia i tiende a la unidad como se desenlie con maacutes detalle maacutes
adelante
Observemos ipie la ecuacioacuten
t( 1 - )iquest + (1 - 3i)o - ltilgto = 0 1447)
tiene como solucioacuten la funcioacuten hiprrgromrt rica Finli li) Si bacnnus el cambio dr
variable raquo = 1(1 - z) entonces (447) sr rersrribr rn la forma
(1 - ) V + (1 - r gt ( 2 - r ) iquest + nkgt = 0 (448)
Fiacutetiaitnente con vi cambio iquestgt = (1 - )lt obtenemos la ecuacioacuten
i ( l - c)vgt + [2 - (26 + I r ) ] - IacuteraquoV = 0- N- 4 9 )
La solucioacuten dr la ecuacioacuten (449) es la funcioacuten hipergeomeacutetrica Fbb2z) [21] Sin emshy
bargo una solucioacuten maacutes general para F(ab i y) es una combinacioacuten lineal dr las dos
soluciones existentes de (449) [21] esto es
G8
Fiubly) = [-)lt AtF(bb2)-rB F(bb2z)Ln+Pii) + (l-fc) iJ
(450)
donde At y B son constantes por determinar y Pj(c) es una serie de potencias con resjiecto
a en la forma [21]
donde
^)=poundr^ [ lt ) - ( o j
Iraquo) = (laquo + raquo) + 4(+raquo)- I2 + raquo ) - ( + 1)
(451)
(452)
4 (bull In funcioacuten i igt iliiinim y (laquo) = laquo(laquo+ 1)(laquo + 2) bull bull bull (laquo + 7 - 1) Multiplicando anillos
luumldoM de hi ecuacioacuten 145(1) por zi - z) difiTciiciacutenndo ron respecto a i y considerando el
liacutemite ruando - tiende a cero olitcuciuoraquo la igualdad
vd - amp)bull(laquo ft 2v) = r r - r + BW + raquo - ) + iquesti-(i -raquo) (453)
Ahora usando la representacioacuten integral de la funcioacuten hiacutepergeomeacutetriacuteca (2Iiexcl y considerando
las definiciones (426) para aby c obtenemos
a - f - r(laquo)r(6)o ( i - lt y )
La primera integral de (454) se calcula faacutecilmente y tiene la forma
Jo 1 - ty y (455)
69
Para evaluar 1raquo segunda integral de (454) recordemos laquopie 1 = ^^ y notemos ipte en el
limite ruando y tiende a mm (c tiende en este castraquo a cero) iacutei se vuelve muy grande
raquo|iiraquo- laquobull equivalente a ltllaquorir que inraquo acercamos a] punto de resonancia eicloiroacuteiiica in = 1)
y por kgt tanto con r=2 Igt tiende a cero De esta manera la segunda integral de (454) se
aproxima al valor [21]
laquo-raquo- 1
1 - f dt = -(fc)-C (45C)
donde C es 1raquo constante de Euler Sustituyendo (455) y (45C) eiexcl (4541 obtenemos
f io 2) = 1
-Ltil - bull ) - laquo1M J- C 1 4 5 7 ) r(2-raquoinM
Pitra determinar las coacutemanles -4j y D sustituyamos (457) en (453) y separemos los
teacuterminos laquopie ionticueu Lti de aijticllos (pie no lo contienen Asi obtenemos las expreshy
siones para las constantes 4| y B en la forma
A =
B =
^ ^ laquo ^ ^ ^ r ( 2 - igt)T(igt)
(1-fc)raquo f(2-gt)JW
(45S)
(45ai
Anaacutelogamente se puede encontrar una solucioacuten para F[ab2y) en la forma
+ [ C + ( t ) + i raquo ] | F ( 6 f c - l l r ) I n iacute + fl(s)] (460)
donde
70
Las expresiones (450) y 1400) representn las transformaciones dr Filtibiy) y
Flt a b 2 y) respectivamente en series convergentes ruando y tiende iexcli la unidad Las consshy
tantes A y Bi se expresan mediante (458) y (459) corresigtondiexclentenieiitlaquo- Finalmente
y fie acuerdo ron (44G) dividiendo 4G0) intrc (450) y tomando la iexclgtiexclirtr iiiiiacute-uumliuaria
obtenemos la expresioacuten para la constante ltle amortiguamiento o de absorcioacuten en 1 forma
( i
Jf = laquo x Fffcfc - 11 )[1 - (1 - fc)(2 - fc)F(662 z) + Piexcl)- )bull]+
+ P (r) | l -6) F |6 6 2 )x
x [l - (1 - b)2 - h)FVb2) + P7(z)l - by +
+ C + (b) + Ln -](1 - 6)-F(6 62 r)] +
+ T T V ( 1 - 6 ) ^ ( 6 1 2 1 ) (4C2)
donde r = 1(1 + pound0) La figura 43 muestra el comportamiento de (4C2) en funcioacuten de
ni x u para m - 1 es decir los int2Tvalos [-LO) y [01] corresponden a m = - 1 y tu = +1
respectivamente Las graacuteficas de la figura 43 corresponden a los siguientes valores de
-bull(0)toiacutes a) 82 b) C c) 4 d) 3 y e) 1 Las graacuteficas c) d) y e) difieren de armellas
mostradas en [22j ya que aquiacute se han considerado uacutenicamente los primeros cinco teacuterminos
de las series Pz) y Pt(z) Por otro lado observemos que el coeficiente de amortiguamiento
se anula en el caso de resonancia cidotroacutenica (u = ) Sin embargo esto no significa que
no existe absorcioacuten de la onda en este caso como se reporta en [23] en los punto donde
71
o bulla
iquest
1 3
n raquo
o i
Wv
72
eiexcl Iacutendice de refraccioacuten tiende a infinito se produce una absorcioacuten delas ondas en el plasma
ltii- tipo no rolisioiiacuteal Esta absorrioacuteu se asraquo ic a la existencia de punto singulares dlaquo- la
ecuacioacuten de onda exacta para ciertos puntos dentro del plasma es decir ai|uiacute la componente
del campo eleacutectrico paralelo al gradiente de densidad es infinita
En la fuente de plasma descrita en el trabajo [2iexcl se trabaja actualmente con densidades
del plasma del orden raquof(0) = C x Nfcnr3 y con un campo magneacutetico externo B =
S~jGtntraquo Ademaacutes se cuenta ron una guiacutea de onda de radio rbdquo = 425rFraquogt en la rual se
IgtngtiexclgtiexcliEiexcli una onda electromagneacutetica ron 111raquo frecuencia w = 15304 X 10 gt Si el radio del
plasma es C| = 3ltm eutonres tendremos los Mullientes valores para _laquo_- 10) 11gtf0)-bull
y respectivatiieiite
wbdquo = 15379 x 10V
raquogt(()) = 13S19X 1 0 V
1 = 00990 1403)
^(0)--J = 08
poundn = 3902
A = 19525
En este caso podemos analizar de la figura 43 curva a) comportamiento riacutee la constante
de amortiguamiento cuando u^fO)raquo2 = 08 Como podemos olmcrvar la constante de
amortiguamiento tiene valores relativamente grandes en la vecindad de u = OC pero
decae raacutepidamente conforme u tiende a la unidad Cuando u = 0999 la constante de
amortiguamiento tiene el valor
73
o = Ai x (M)0()02455 = lSS x 10 (464)
El anaacutelisis anterior es vaacutelido si se rumple la rondicioacuten (42G)
^ ( 1 + |poundbdquo|)- ltpound 1 MCO)
que eii nuestro laquoaso es correcto ya que
^ - i d +|ibdquo|)-=ocnsx lo- ucc)
8 Influencia del plasma en los resonadores
El meacutetodo de Perturbacioacuten en este raso se mi de formraquo similii ii el rusraquo de tina guiacutea
tie onda Como paraacutemetro pequentildeo se considera anaacutelogamente que el radio del plasma
es lutirlio menor que la longitud de onda Ademaacutes se supone que el |HTTiexcl1 de tielisidad
electroacutenica es de tipo paralioacutelico y que el campo magneacutetico externo es homogeacuteneo y esla
dirigido a lo largo del eje O
Anaacutelogamente a el caso de una guiacutea de onda la presencia del plasma en un resonador
es originar un cambio en la frecuencia de resonancia De acuerdo ron la teoriacutea de perturshy
bacioacuten este cambio craquo proporrional a la razoacuten del cambio dr riirrga almacenadraquo dentro del
volumen que ocupa el plasma en el resonador sobre la energiacutea total almacenada en todo el
volumen del resonador (34C)
WJVpoundiquest iquestiquest EacutedV w - u 0 = wbdquo = - iquest (4Glt)
iquest Jr pound0 bulltoraquo
74
Lu i-niaciuacuteii (4CT) requiere la evaluacioacuteu de el campo eleacutectrico cu el plasma En la
-bullbullTIacuteOII 7 se obtuvieron los campos en una columna de plasma friacuteo de radio pefpit-iio
magnetizado e inhomogeacuteneo localizada en el eje de una guiacutea di- onda cilindrica Con
tuda de estas expresiones podemos determinar en forma expliacutecita los campos cuando una
lunuia de plasma se encuentra en el resonador
poundru-y--) = iacute
r 22
mi miacutem mS
poundir r-) = C | |- F(laquoraquor-K--fbdquo(4--) in raquo t4CS)
uy-) =
poundgtXM + _L pound raquoltiacute ti
In I-I - r i - l iacute - D P DJT] T mdashmdashstE) E 111 lllC laquo ( il
donde x = (iexclt~ C y D son constantes = ruy = u(i mdash 1) la prima denota diferenciacioacuten
con resjMcto a j - Fin h r y) es la funcioacuten de tipo hipergeomeacutetrico [20] y nb y r tienen llaquoraquos
valores obtenidos en (418)
No hay que olvidar que cu un resonador los campos son estacionarios de aquiacute que la
dependencia con respecto a r se escribe multiplicando cada ecuacioacuten de (468) por el factor
jffi(^z) oacute coM^z) p= 123 iacutees la longitud del resonador
Calculemos el cambio en la frecuencia de resonancia para ondas de tipo TEm- La
integral del denominador de la expresioacuten (4G7) nos expresa la cantidad de energiacutea eleacutectrica
almacenada por unidad de volumen en el resonador sin plasma cuyo resultado para un
resonador hueco se obtiene de (2GC) al considerar que WE = Wn y en pnrtirular fiv ~ 1
( = 1 El resultado para este modo se expresa en la forma
U = bull EacuteltW
= ^^M-MUn) M69)
Por otro lado la integral del numerador de (4C7) evaluada sobre todo el volumen que
ocupa el plasma se calcula con ayuda de las expresiones (2G0) (resonador sin plasma)
di las expresione (4CS) (resonador con plasma de radio pequentildeo) y de tensor dieleacutectrico
(47) obtcnirlidii
= iacute iacute f ( pound - l ) [E ( gtfm l T - | pound + l l lpound l + Jit u Jn
+EuacuterosinY-(Er - iuEr) rltMiJl-^-)riexclrd^dz (470) d
donde las coui]gtoiientes Eu E y pound tienen dependencia uacutenicamente radil Al realizar la
integracioacuten sobre Iacute y iquest en los intervalos [0 d) y [02riexcl respectivamenie obtenemos
s = V iacute r(t ~ XUumlEoE + iuE^) + Eiquest(E - niE)]ltlr iquest Jo d [ [ r
bull r ( iacute - l ) Jo
iC0 r Jm-r)Er + iuE)+
+ Q--JJfr)(E^ - iuE ] dr (471) c i J
Anaacutelogamente a el caso de una guiacutea de onda se utiliza el mismo argumento bajo el cual se
considera el primer teacutermino de la iuacute fmiacutecioacuteii en serie de la funcioacuten de Bcssel con respecto
al argumento r = 2JT^ De aquiacute que (471) se reescribe como
76
c iquest iquestml Jo
Lspueacutes de hacer el cambio de variable x = (iexcljfr y sustituir la forma expliacutecita de los campos
bull 49) y (417) para E y Et en (472) se obtiene
h = gtc ( l - u ) x wirdy-raquo l c V
0 c 2 2m V(wj
J-(pound- )L-[T FUIICmdash ) + mxJ-JF(bdquolt-i)h -raquo -raquo iraquo J
(473)
donde los campos M- han considerado hasta teacuterminos del orden (|) Integrando por partes
con respecto a J el primer teacutermino de (473) obtenemos
h = -2Cy bull )h (474) c 2 2raquoi Vi bulllaquo iu
La integral (pie aparece en (474) coincide exactamente con la cjne aparen- en (433)
de donde para ondas en modo TEm s se calcula sustituyendo (427) y 1441) en (474)
obteniendo
= rColTJiacutefrr iexclJ ltd j ( l+poundo) bull(laquoiquest2f)
(475) c3473 ebdquo f(o62lplusmnlaquoraquo)+1 plusmn a i v(o62iplusmniacuteraquo)
Finalmente dividiendo (475) entre (469) se obtiene la expresioacuten para el cambio en la
frecuencia de resonancia en modo T pound m para un resonador conteniendo una columna de
plasma friacuteo de radio pequentildeo
W(D = (u - u0) - MjX 1 - -F(laquo62lraquo)
siexcl X 1 -F(abll)
(476)
77
donde
La ecuacioacuten (47C) coincide con (444) salvo por una la constante Miexcl Anaacutelogamente n
el caso de una guiacutea de onda utilicemos las expresiones (450) y (4C0) juira Fintly) y
Fllti2 i) respectivamente Sustituyendo (450) y 14CO) eji (47C) y separando las partes
real e imaginaria obtenemos la variacioacuten de la frecuencia de resonancia (Araquo) y la variacioacuten
del inverso de la calidad del resonador l -M IO)) por influencia del |gtlasiniexcli respectivamente
en la forma
mdash^ = iexcl-zFbb- 11-) [-F( fcraquo 2-)([C+(-)] ( 1 -bf-
- (1 -fraquo)(2-)[C+(fc)l-Hl-lt) J(l - - ) ) +
+ C + ()][-gt(-)(] - h) - Ij] + -(1 - l)lPt)C + laquoK))F(hb2-) x
x [l - (1 - b)2-h)F(kb2z) + PJzil - raquo)+
+ -(1 - bjgtC + () + Li z]Fbb2z) + V | 1 - )F(bullbull 2--) (478)
-poundiquestmQ) = JTSX
x Fbb-lls)|l-(l- b)(2- b)zF(bb2z) + P ( - - ) r ( l -6 ) ]+
+ --F(i)(l-6) JF( iacute t 2i)x
x [ l - ( l - f r ) (2-amp^ -F(M2^) + P J ( - - ) iacute ( l -6 ) +
+ [C + (6) + iquestn --](1 - 6)zF(ampamp2z)]2 +
+ w12(l-b)4Fa(blgt2iacute)Yiacute (4-79)
t bull bull 78
La figuras 44 y 45 muestran las graacuteficas de las expresiones (478) y (479) con respecto
a ri x ii ]gturn distintos valores de u^(0)uz respectivamente Anaacutelogamente a el caso de
la- guiaraquo de onda se han considerado uacutenicamente los primeros cinro teacuterminos en las series
para Pi) y P jU) Un resultado importante de acuerdo cotiacute la figura 44 resulta ser
que en la resonancia ciclotroacutenica la variacioacuten del inverso del factor de calidad es cero es
decir en este caso y en la misma manera como en las guias de onda no existen peacuterdidas
de energiacutea de tipo colisional Sin embargo de la figura 45 notamos que cu resonancia
rirlotruacuteliira si existe un pequentildeo cambio en la frecuencia laquole resonancia del resonador
En la fuente de plasma descrita en [2J se tiene un resonador cilindrico donde oscila
una Diida a IUIIacuteI frecuencia laquobull = 15394 x ]() excitada en modo TEw y de radio
rbdquo = cm en el cual una columna dr pliacutetstua fie radio riexcl = 3lt se ein-iieiitrraquo a lo largo
del eje tlel resonador La cavidad resonante se encuentra dentro de un campo magneacutetico
externo D mdash SloacuteGauxraquo La densidad de electrones en la fuente tie plasma puede ser igual
a ni 0) = C x 10 I 0CTO 3 En este caso tenemos los mismos valores (4C3) para yinnfv0) u
y u-ji 0)raquo mientras cpie Miexcl tiene el valor
SU = 04C55 (480)
Entonces el cambio en el inverso de la calidad y en la frecuencia de resonancia tendraacuten
los valores
A( l ( ) = mdash x 000009C2455 = 582 x 1 0 (481)
Aw = Mj x |1 - (100035)] = - 1 0 3 x 10 V (482)
79
AwMa
i
o
I
U
bull3 I
I O
bull
a 6
1 1 1 bull 1 bull
bull
_
c x ^
- r f -
| 1 bull J T | 1 - | 1 |
l IX V if | rt i iacute i ( iraquo i i i bull i i i
i i
i i i
V
deg
iacute bull f
i i i
VI 1 A 1 ^ t
x X Iacute
JU i f ^
1 bull x
so
o i
fit
Zf Z rt w
El valor (481) se encuentra dentro del rango de validez de la teoriacutea de perturliacioacuten
ile acuerdo ron (35C) Asi mismo la variacioacuten de la freruenria de resonancia es dema-
siado |Mf|ttentildea en comparacioacuten con la freruencia propia del resonador de tal manera rpie
podemos considerar une no existe un cambio fuerte en la freruenria de resonancia ion esta
densidad
Los resultado iexclinteriores de las secciones 7 y 8 fueron presentados en iexcl24] y [25iexcl respecshy
tivamente
82
CAPITULO 5
PENETRACIOacuteN DE ONDAS EN EL PLASMA
En este iiipiacutetiilo ni el marro de 1iexclI teoriacutea lineal se liare una revisioacuten sulire el proceso
gtigt- penetracioacuten de campos elertDinaRneacuteticos en un plasma En vista de ijne en la fuente
lie plasma descrita en [2j se excita una onda tipo H nos vamos a limitar al caacutelenlo de
Un coeficieiites tie reflexioacuten transmisioacuten y de alisorrioacuteu para estlt- tipo de ondas liacuteay
eme hacer notar que en el experimento [2] se tiene un campo magneacutetico externo lo que
complica fuertemente el estudio de la interaccioacuten de ondas en este plasma Nos limitaremos
en este trabajo a considerar un plasma homogeacuteneo y deacutebilmente inhomogeacuteneo sin raiujm
magneacutetico externo Estos resultados preliminares son uacutetiles para posteriormente estudiar
la transformacioacuten lineal de ondas que es muy importante para el anaacutelisis del perfil de
densidad observado en la fuente de plasma [2]
9 Penetracioacuten de campos electromagneacuteticos en el plasma
El estudio de la interaccioacuten de ondas electromagneacuteticas en un plasma tiene particular
intereacutes por la gran variedad de paraacutemetros existentes como se mencionoacute anteriormente
83
(densidad de |ttirtirulas di- diferentes tipos prado dlt- ionizacioacuten longitud de trayectoria lishy
bre tfiii|raquocratura etc) 111 los diferentes casos Una de las caracteriacutesticas mas importantes
de un plasma real es su iuliomogeueidad Alt|iiiacute los paraacutemetros del jjasiilii variacutean en el
espacio produciendo considerables cambios en las caracteriacutesticas del mismo Freruontc-
menfe en lo concerniente a la propagacioacuten de ondas electromagneacuteticas estos cambios son
tan fuertes que la pennitividad dieleacutectrica cambia de signo
91 Penetracioacuten de campos electromagneacuteticos en la aproximacioacuten hidrodinaacutemica Sistema de ecuaciones
Il l sistema de emaeiones atltoroiisisteule i|iie desrribr la penetracioacuten tie un campo elecshy
tromagneacutetico en d plasma en la aproximacioacuten bidroiliuaacutemira se compone de las ecuaciones
ile Maxwell
V x pound = -2f 51 c 01
f x f l = - - i - mdash + mdash (02) c 01 c
V bull(poundlaquopound) = 4p (53)
V H = 0 (54)
donde las densidades de corriente y carga se determinan en la forma
P- pound c raquo n lt raquo = laquoiexcllaquoi + tnt = pound e bdquo n r r n (55)
y se expresan a traveacutes de los campos eleacutectrico y magneacutetico de las enlacioacutenos hidrodinaacutemicas
de movimiento y continuidad del fluido conductor de carga o [26]
84
sect + bullbdquobulllaquobull = ^(Eacute+-vnxH)-^--^va (56)
3raquobdquo _ _ _ ~ + V-n0viexcl = 0 U 7 )
En las ecuaciones (55)-(57) tbdquo es la carga m0 la masa tibdquo es la densidalt v0 es la
velocidad hidrodinaacutemica jgtbdquo o la presioacuten y ibdquo la frecuencia de colisioacuten entre las partiacuteculas
ltir- tipo o ron las partiacuterulas di- otra claw y con las moleacuteculas El subiacutendice o rorrcspondc a
i igt i ln ipii indica a los iones o electrones correspondientemente E D son las tensiones de
ligt- campos eleacutectrico y magiacutenico respectivamente y r es la velocidad de la luz en el vacio
Se supone i|iie el plasma se encuentra en un medio con un jieruiitiviilail dieleacutectrica iacutebdquo para
un plasma gaseoso bdquo = 1 y MI un plasma de estado soacutelido es la pcrmitiviilail dieleacutectrica
de la red cristalina Ya que la permit i vidad magneacutetica del plasma praacutecticamente es igual
a uno no vamos a diferenciar la induccioacuten magneacutetica de la tensioacuten del campo magneacutetico
lo que se refleja en las ecuaciones anteriormente descritas
El sistema laquole ecuaciones (oacutel)-(57) debiacute ser complementado con las ecuaciones de
estado de la materia expresados a traveacutes de la densidad nbdquo y la temperatura Tbdquo pn mdash
p0(noTa) Siacute las variaciones de estado de las componentes del plasma ocurren perioacutedicashy
mente entonces
Tpo = bullgtltJbdquoVn0 = 7raquoltfTbdquoVnlt (58)
donde vj = 2T0m0)t1 es la velocidad teacutermica promedio de laraquo partiacuteculas de tipo o 70
e la razoacuten entre loraquo caloreraquo especiacuteficos a presioacuten y volumen constante del gas de partiacuteculas
y 1 = mil
85
Las ecuaciones ib- movimiento describen un fluido en presencia dlt- cinco fuerza- ni
interaccioacuten a) la fuerza eleacutectrica (bdquopound b) la fuerza magneacutetica J x H c) la fuerza debida al
gradiente de la presioacuten d) la fuerza de interaccioacuten o colisioacuten entre la partiacuteculas de diferente
ti|Kraquo v0vbdquo y raquobull) la fuerza de inercia m-r0 bull V)tbdquo Por otro lado vamos a ronsiderar laquopie la
ecuacioacuten de estadraquo expresa un proceso adiatgtaacutetico caracterizado por el coeficiente -
92 Penetracioacuten de ondas tipo E y H
Vamos a investigar la penetracioacuten en el plasma ile ondas di- amplitud pcquiua La inteshy
raccioacuten de ondas electromagneacutetica con el plasma perturba los paraacutemetro caracteriacutesticos
en equilibrio del plasma Si las perturbaciones de los diferente paraacutemetros son lo sushy
ficientemente |xi|iientildeos en comparacioacuten con sus valoreraquo eii eipiilibrio entonces podemos
liiuariar las ecuaciones (51 H57) es decir iexclMHIIIIIOS despreciar los teacuterminos que contienen
producto entre las perturbaciones
Consideremos un plasma semiliiuitado sobre el cuaacutel a un aacutengulo fgt incide una onda
electromagneacutetica linealmente polarizada El sistema de coordenada lo escogemos de tal
manera que el plasma ocupe la regioacuten x gt 0 y la onda se propague sobre el plano X(gtZ
(Fig51) La onda incidente parcialmente se refleja del plasma y parcialmente se refracta
a un aacutengulo 8 Las amplitudes de las ondas reflejada y refractada se determinan de las
condiciones de frontera Como consecuencia de esto si la dependencia del campo de la
onda incidente con respecto a y t se determina a traveacutes del exponente rl-laquo) donde
kiquest = k0tcn9 k0 = raquogtc y w es la frecuencia de la onda entonces en la teoriacutea lineal para un
plasma estacionario y homogeacuteneo esta misma dependencia deben tener las ondas reflejada
y refractada en el plasma a lo largo de O
86
PLASMA
(b)
FiacutegKl Penetracioacuten de una onda electromagneacutetica lincalmente polarizada en un plasma raquoemi-
limitado La onda que incide a un aacutengulo 8 parcialmente se refleja a un aacutengulo 8 y parcialmente
se refracta a un aacutengulo V a) penetracioacuten de una onda tipo E y b) penetracioacuten de una onda tipo
H
87
Supongamos UIRraquo tenemos un plasma de dos componentes compuesto de electrones bullbull
iexclunes motwcargjados ron concentraciones en et|uilibrio raquobdquo = raquoraquolaquo = gtibdquo En un (Jasina friacuteo
la velocidad ternura de los iones se puetk despreciar 1 = 0) si esta es muy pei|iK-ntildea rn
contparacioacuteii con la velocidad de fase de la onda Si a lo largo del eje 0t la densidad no
varia entonces f = 0 y de laraquo ecuaciones (51)-(58) podemos obtener el sijpiiente sistema
dtr ecuaciones para los campos electromagneacuteticos
iexclKH = iquestJtpound - iacuteiacutejEi 159)
-rmdash = -iK0e mdash pound - + mdashmdashUE r ) U10) ni [ raquo-raquor J (w ni
Jvpound = - I (512)
^ = bullbdquobdquo (513) As
ik-HiE = JiL-ikJlr (514) ni
iloiiitr iacute ex la jx-ruiitividnd dirlrctrirraquo de un plasma isotropicraquo y friacuteo
taraquo(w + l^e) W(uraquo + Ifi)
ugtgt y uy son las frecuencias plaacutesmicas de los electrones e iones respetivamente expresadas
en la forma
iquestgt tgt
4c n 0 IJ
(6M) mlaquo
w a IB frecuencia compleja raquobull = w + ic y e eraquo la permitividad dieleacutectrica del fluido de
iones en la forma
88
t=to- + bull (517) w(w + llj)
El sistema de ecuaciones (59)-(514) se descompone en dos subsistemas iudc|Hiidientes
-i9H5ll y (512)-(514) lo que corresponde a la propagacioacuten en el plasma de dos ondas
independientes (Fig51) Para las ondas con componentes E E y Hy el vector del campo
eleacutectrico estraquo sobre el plano de incidencia XOZ Esta onda es una onda con polarizacioacuten
gt onda tipo TM o E Para )n segunda onda con comeacutentente Ebdquo Hr y H el vertor
fifi rutll|Mgt eleacutertriro es |H-r]gtriiiliriiIiir al planraquo fie incidencia Esta onda es unraquo onda ron
polarizacioacuten i ulula tipo TE o H Para las condiciones mencionadas iexclinteriormente el
ijjovjmieijlo teacutermico de laraquo partiacutecula es despreciable para la propasacioacuten de ondas tipo H
Sin embargo para las ondas ti]gto E puctlc ser bastante importante
10 Penetracioacuten de una onda electromagneacutetica tipo H en un plasma homogeacuteneo semilimitado Reflexioacuten y absorcioacuten de ondas tipo H
De las dos posibles polarizaciones que puede tener la onda que incide en el plasma el caso
de la onda de tipo H es el maacutes simple Encontremos la solucioacuten de las ecuaciones (512)-
(514) en el plasma y en el vacio suponiendo una frontera bien definida Sustituyendo H
de (513) en (514) y usando (512) obtenemos que el campo E satisface la ecuacioacuten
tPE - ^ + Jkfo - laquolaquoraquo)pound - 0 (518)
89
dmde en el plasma e se determina xx (515) y en el vacio pound = 1 Es faacutecil ronwtrar laquojar
eu el varkgt los campus tienen la furnia
para la onda incidente
poundbdquo = Eoraquo Bu m Fbdquocw0 (519)
y para kgt onda reflejada
Eraquo = llEbdquo-kltlt H = -Etcoraquoraquo ISM)
iliHiilraquo- pound es lii amplitud lie In i mi In hiiiiliiiti y iacutels rl riM-riiiiiili ili- icHrxiiVn El linihi|raquoligt
r i)r--wi) at j a s rX|ri^iHBM jbdquon lri caui|HKlaquo se excluye raquo aquiacute en adelante Praquor laquonraquo laria
bullbullI rwn]Mgt cu el plasma tirnr la forma
pound() = Eiquest0)rik B() = (^) poundlt) (5-21)
donde Et[0) es Iraquo amplitud de la rom|Hgtiiiiite poundbdquo del rampraquo cliVtriro III la frontera tlrl
plasma ( = ()) y A- se expresa romo
Jt JWlaquo - e2laquo (5-22)
Si it| es una cantidad real entonces la onda se propaga libremente en rl plasma prro
siacute Ai es una cantidad compleja entonces el campo en rl plasma r amortigua dr forma
exponencial a partir de la frontera
Para determinar el coeficiente de reflexioacuten y la amplitud del campo rn la frontera de)
plasma se utilizan laa condiciones de continuidad de laa componentes tangenciales dr los
eampoa en i = 0
90
pound(0)+poundbullbdquolaquogt) = pound(0)
(0) + raquo(0)-jr ((0)
Sustituyendo (519)-(oacute20) en (523) y considerando (521) encontramos
pound(0) = pound(l + rt)
dr donde obtiiunnos el coeficiente di reflexioacuten en Iraquo forum
(523)
(524)
=ampgtbull donde
e la impedancia sti]gtcrfieial o del plasma para una onda tipo H Sustituyendo (525) en
(524) encontramos la amplitud de la componente E del campo eleacutectrico raquo teacuterminos de
la impedancia el aacutengulo de incidencia y de la amplitud de la onda incidente en la frontera
del plasma
La definicioacuten de la impedancia (526) resulta coacutemoda ya que el coeficiente de reflexioacuten y la
profundidad de penetracioacuten se expresa de forma maacutes sencilla a traveacutes de ella En general
la impedancia es una cantidad compleja ZH = X + iX2 por eso el coeficiente de reflexioacuten
se puede escribir en la forma polar de Euler
01
M(AVlaquoM+1)-+ laquo-] e gt U 2 8 gt ^^xraquoiacute-l)1 + Y|coIiacutel
l
donde bull dcfitie la fase en la forma
XjcosO XjcosB bull = arctan bull mdash- - arctan bdquo mdash- (o29)
A i c o s 0 - 1 Xcos8+l
Uu paraacutemetro muy important del medio es ltbull) coeficiente lt]ltbull iexclilgtson-iiraquou el cual indica
laquorue laquoarte dc in energiacutea de la onda incidente se transfiere al pla-siiiraquo Si
P = 4~E x j = -iexcl-Eltraderaquo (030)
eraquo Iraquo denudad laquoIt-1 finjo de CIHTRIacuteH normal u la frontera dr la onda laquo[in incide y PT = y| |
es la densidad del finjo laquoIr In onda reflejada entonces el laquobulllaquobulleficiente de iilisorrioacuteii se define
roiiMraquo
W = ^mdash^ = 1 - |J|raquo (531)
Sustituyendo (528) en (531) obtenemos el coeficiente ltle absorcioacuten en teacuterminos de las
partes real e imaginaria dc la impedancia
W laquo Xcogt$ (532)
Ahora analiacutezemos con maacutes detalle las condiciones de propagacioacuten y amortiguamiento
de ondas electromagneacuteticas en un plasma de electrones en diferentes rangos dc frecuencia y
calculemos los coeficientes de reflexioacuten y absorcioacuten para cada casraquo respectivamente Para
92
ello sustituyamos (515) en (522) donde en este caso debido a la gran diferencia dr
masa de lo iones con respecto a los electrones consideraremos iquest^ as 0 Dr esta manera
obtenemos
r w V2
t - laquo raquo raquo - - (533) l jltlaquo + ilaquot)J
Consideremos los siguientes casos
a) El caso de altas frecuencias (cr lt -gt) Aquiacute los choques entre los electronraquo- se pueden
ilespreciar y entonces X- se reduce a la forma
Xraquo i- = - l - r o ^ - ^ (534)
En el reacutegimen de frecnciiriajiacute u lt ^lotfiacute lu m]x-ltlnraquorii es una caiitiilncl real y por In
tanto el coeficiente di- reflexioacuten y de absorcioacuten tomitii resjMrtivnniente la forma
donde
En este caso la fase (529) es igual con cero lo cual nos indica que laraquo ondas incidente
y reflejada se encuentran en fase Por otro lado la condicioacuten de amortiguamiento en un
plasma gaseoso sin colisiones consiste en que se cumple la desigualdad
ucof8 lt ugtVf (538)
03
IntrotUuetunos en calidad dr cararteriacutestica de penetracioacuten lthI ciexclttii|Mgt una |gtroftmililtlaltl
compleja de itetirtracioacuten determinada por medio de la relacioacuten tgt = t(gtraquo iquesti) El sentido
fiskti di la cantidad i es la distancia a la cual la amplitud del rampraquo en rl plasma ilecren
eu e mdash 271 veres de su valor inicial Con la condicioacuten ugt gtbull uicosB la profundidad de
penetracioacuten (anchura de la capa piel) no depende de la frecuencia = cu
h) En la regioacuten de bajas frecuencias w lt vt) los choques ya mgt se pueden despreciar En
este caso Rt Jt| s Ivi k y el campo en el plasma decreeraquo- ex]Mmirurial y oscilatoriamente
ilruumldr la frontera Si v gt m slt- tiene
k = -^zJviVrCosH+i- (539) Jiv v
si iacuteiilnilaacutes raquoiquest gt vrivosH entonces
y la longitud laquoIr la rapa piel tiene la forma
r iexcl2vt iquest = mdash J mdash = - 7 f iquest mdash (541)
donde raquo0 SB wf(4ffi) es la conductividad del plasma Notemos que (541) determina
la profundidad de penetracioacuten del campo en un conductor en el cual fluye una corriente
variable de baja frecuencia Asiacute las expresiones (521) determinan el campo en el plasma
en condiciones de un efecto piel normal o claacutesico A bajaraquo frecuencias y alta temperatura
del plasma estas expresiones ya no son vaacutelidas y es necesario analizar la penetracioacuten de los
campos en base a un modelo cineacutetico
Considerando las colisiones entre las partiacuteculas la impednncia del plasma tiene la forma
94
Zbdquo = (542) ^ugt(u)1cot10 - u pound ) + bull-bullJraquo
Si la frecuencia de colisiones es pequentildea pero sigue siendo finita y ademaacutes se cumplen las
desigualdades v lt raquo- ffgtiacute lt gtJcosi0 mdash uiiquest() entonces (542) se transforma COJIJO
Zbdquo = (543)
de donde observamos que en la regioacuten de frecuencias uirraquo^ lt ufPr el rocuumlcinjte ile iibsorrioacuten
se exprtsut en la lonnti
W = 2pro^Jtvwtraquo - l ) - (544)
Por otro lado si la frecuencia de la onda es lo suficientemente pequentildea tal laquopn- i gt laquobull y
se cumple la desigualdad J^Kv) gt OM rntonres la inj|MdnncIacutei se expri-sraquo como
z - iacute1 Voacuteiacute (545)
V -gtltbull y loraquo coeficientes de reflexioacuten y absorcioacuten se expresan respetivamente en la forma
R = (l-2Acltw0) 2e- MltM (540)
W = 4Xcoraquo9 (547)
donde A^ laquo -Xt = bullraquo( 2wt)
Finalmente observemos que las peacuterdidas de energiacutea que la onda sufre en el plasma
defiacutenidu por las foacutermuias (544) y (536) tiene diferente significado fiacutesico La W diferente
de cero cuando u = 0 esta relacionado con la excitacioacuten de una onda electromagneacutetica en
05
el plasma y el valor de W de (544) determina la parte de la energiacutea de la onda incidente
qiK- es utilizada para el calentamiento de los electrones del plasma eigt la capa piel
11 Paso deacute una onda H a traveacutes de una capa de plasma
Si la profundidad de penetracioacuten del campo ni una capa de plasma es tk-I orden de sns
dimensiones transversales o si la onda se pro|gtaga elraquo el plasma entonces la influrmia de
la segunda frontera del plasma resulta muy importante Determinemos el campo en el
plasma y los coeficientes iexclle reflexioacuten y de transmisioacuten en el paso de una onda incidente a
traveacutes de una rapa de plasma homogeacuteneo de anchura d
El canijaraquo i-n el vacio o cu la regioacuten T lt 0 tiene la forma (519)-(iquestj2l)) y el campo en la
regioacuten i gt 0 tiene la forma
Eraquo = TE0tcu = Eraquoltbdquosraquo (548)
donde T es el coeficiente de transmisioacuten El campo en el plasma consiste de dos ondas
tina de las cuales se propaga en direccioacuten de los valores positivos y la otra en direccioacuten de
los valores negativos de x
E = Aek + Be-ik = - iquest trade (549)
Las condiciones de continuidad de las componentes tangenciales del campo en la fronshy
tera del plasma x = 0 y x = ti anaacutelogas a (523) permiten determinar T y el campo en
el plasma
06
R = (1-pound)AiquestlaquogtM (550)
T = 2icoa$aacuteJWt - atn8t-kdeg (551)
Ey = 2cos8bTHi [iyt - iacuteenflcoJt(iacute - x) + aM0eni-(ri - ) ] (552)
donde
Aw = (t - 1 + 2colaquoI0)ifnfrrf + 2raquoVi - xriMrosHrosktd (553)
En el caso dr una onda que ]M-nctra en el plasma para la cual iquestrosH gt u dcspnviando
las colisiones entre las partiacuteculas el coeficiente de alisorcioacuten determinado como
B s l - R - T (554)
es igual a cero El cani|wgt en cl plasma tiene la forma dc uua onda estacionaria y con
la variacioacuten di- la cantidad t|rf los coeficientes de reflexioacuten y refraccioacuten oscilan Si en
condiciones de cierto piel kfd lt 1 entonceraquo a frecuencias lo suficientemente pequentildeas
(laquobullpound gt -(w + iv)) los coeficientes de reflexioacuten y nfraccioacuten tienen la forma
R = - (o iacute + io3)(o + 2co8 + iaj)~ (555)
T = 2cos0(a f 2ctgtiacuteiacute+^OJ^ (55C)
donde
- - 5^5-
97
En este caso el coeficiente de absorcioacuten se expresa como
IV = 4ocolaquo[(oi + 2co9)2 + a]]- (559)
Si Pt gtgt raquobull entonces o t gt cgt-iexcl Las peacuterdidas maacuteximas en este caso se obtienen con
la condicioacuten o = 2coi0 iguales a la mitad de la energiacutea de la onda incidente Las ondas
reflejada y refractada en este caso tendraacuten la misma amplitud en valor absoluto Las
foacutermulas (555)-(55G) se pueden generalizar para una capa delgada con cualquier iuhomc-
gcticidad Si diquest kcbdquobdquoj lt 1 entoneacuteis los campos en el plasma se ltrternmii del sistema
de ecuaciones
ils Ai r(w + ivrs)) = laquogtbull r 1 f i - laquo5CII)
donde las soluciones tienen lt forma
pound = C H = -f(x)C + C (5C1)
siendo
co w + iit(j)
Las condiciones de continuidad de los campos en las fronteras x = 0 y r mdash d nos llevan a
los valores (555) y (556) en los cuales oiacute = Re laquo(lt) y a2 = Im n(rf) Por otro latioacute
las constantes Ct y C3 a traveacutes de las cuales se expresan los campos en el plasma tienen
la forma
C = TEltiexcl = 2E0coraquo9aH(d) + 2coraquo9)- (503)
Cj = 2EoCO$eaH(d)co6)aHd) + 2coraquo8)- (564)
98
12 Penetracioacuten de una onda tipo H en un plasma deacutebilmente no homogeacuteneo
En una gran variedad de aplicaciones la densidad del plasma variacutea lentamente en el espacio
desde cero hasta cierto valor maacuteximo La penetracioacuten del campo en tales plasmas se
diferencia fuertemente de la penetracioacuten en un plasma con una frontera bien definida o
fuertemente no homogeacutenea Las ecuaciones que describen a las ondas electromagneacuteticas
en un plasma no homogeacuteneo son un sistema de ernarkmes diferenciales ron roefirntildeiites
variables iloudr sus soluciones exartas o aproximadas se enriient ran uacutenicamente para rasos
(laquoarticulares Uno ile estos rasos |gtartirulares es aquel laquoIr un medio de ra)gtas planas donde la
densidad variacutea ni una sola dirrrrioacuten Una serie dr soluciones escarias de las eruaeiones ile
la clertrodinaacutemira en un medio ile rapas planas ron diferentes variaciones de la densidad
se pueden ver en los trabajos (2327) Generalmente soluciones aproximadas relativamente
simples en estos medios se pueden eiirotitrar en regiones asintoacutetiras es decir a distanrias
grandes ron rcsjwrto a los puntos singulares de las eruaeiones difcrenriales Los paraacutemetros
que se usan en esta aproximar ion pueden ser la relacioacuten del tamantildeo caracteriacutestico de la
no lioinogcneidad L ron res|ierto a las longitudes de propagacioacuten A de las ondas en el
plasma Si uno de los valores rumple la desigualdad LX gt 1 eutoures en relacioacuten a esta
onda al plasma se le puede llamar deacutebilmente no homogeacuteneo La penetracioacuten de campos
electromagneacuteticos en un plasma deacutebilmente no homogeacuteneo se ha considerado en diferentes
trabajos [222327-31] Consideraremos algunos resultados obtenidos
Veamos un plasma compuesto de iones pesados fijos con densidad n0i) la carga de
los cuales en estado no perturbado se compensa con la carga dr los electrones ron temshy
peratura diferente de cero Te La densidad del plasma n0 - 0 ruando iacute - t O y rrece o
es infinita cuando mdashraquo ce No existe campo magneacutetico externo y la distriburioacuten de eler-
99
trones por velocidades es isotroacutepica Para la descripcioacuten de la penetracioacuten de mi cam]Mgt
electromagneacutetico en tal plasma se utilizan las ecuaciones de la hidrodinaacutemica (50)-(514)
en las cuales hay que sustituir iacuteo = 1raquo iacutei = 1 y gt mdash gt()bull La i-ruacioacuteu diflaquoniciacuteal (5IS)
que rige la jicnetracioacuten de ondas tipo H en un plasma no homogeacuteneo toma iexclihoni la fonna
iPE -=bull + kl(t[x) - stnH)E = 0 (5C5) tiacutex
donde la pcrinitividad dieleacutectrica es funcioacuten de la posicioacuten en la forma
pound ( ) = 1 ttiquestIl (5GG)
w(uiacute+ II ( x ) )
De id ecuacioacuten (oacuteCuuml) se puede hacer ililncdiiitaiiieiite tilia serie de deducciones a) 1raquo onda
se propaga libremente en li regioacuten Jif t lt bullgtni1tiacute b) en mi plasma maacutes ileliso iloude
Jlt gt nrrifl la propagacioacuten se vuelve imposible y la onda uacutenicamente penetra el plasma
en la longitud de la rapa piel y c) el punto Rr pound = srtiB es el punto de corle donde 1raquo
onda se refleja
En un plasma deacutebilmente inhomogeacuteneo ruando raquoo(x) variacutea deacutebilmente en la longitud de
la onda que se propaga por el plasma la ecuacioacuten (5C5) se puede resolver por el meacutetodo de
la geometriacutea oacuteptica para una dependencia arbitraria de la densidad gtibdquo(s) [23] La enlacioraquo
(565) tiene una solucioacuten exacta para una capa lineal cuando la permitividad dieleacutectrica
(v(x) lt ui) puede escribirse n la forma
donde
+ iUumlIacutepoundgtpoundf 507) X0 WI0
bull = amp
100
Aquiacute a es la pendiente que caracteriza la dependencia lineal de la densidad de electrones
ron respecto a la posicioacuten Para el caso de un plasma sin colisiones (e = 0) reescribimos
iacuteoacute65) en la forma
- pound + kl( co1raquo - mdash )pound = 0 (569) ax Xo
haciendo el cambio de variable
C=[f) ix^coraquo2raquo - x) (570)
la ecuacioacuten (5C9) se puede llevar a la ecuacioacuten de Airy
^ + C pound = 0 (571)
Su solucioacuten decreciente cuando i mdashbull ltx tiene la forma [32]
poundraquolaquo) = mdash coM--Ct)gtlv (5-72) ir Jo J
donde A ex una constante que se determina de la roiidieiones de frontera manilo x = 0
En la obtencioacuten de la expresioacuten (572) (te lia despreciado la reflexioacuten de la onda en la
frontera del plasma debido al gradiente de densidad Es decir la amplitud del campo
eleacutectrico en el punto x bull 0 se considera igual a Eg lo que es vaacutelido para valores pequentildeos
del gradiente de densidad en este punto (|^|o ltC k) En la regioacuten 0 lt x lt x0colaquo28
debido a la suma de las ondas incidente y reflejada poundbdquo(() tiene la forma de una onda
estacionariacutea Lo anterior es asiacute ya que para valores positivos y grandes de ( E(Q tiene
una representacioacuten asintoacutetica en la forma [32]
101
Cerca df la frontera los valores del campo estaacuten dados aproximadamente |laquogtr
cuyo valor maacuteximo es
4a-gtgt-w-niexcliacuteiquest5^- bull (575)
Ln expresioacuten (575) resulta de la interferencia constructiva de las ondas ipie viajan a In
ii|UIacutecrda y a la derecha rrsprctivamrnte pin lo tanto la amplitud de la onda incidente poundbdquo
tt-tidru la forma
Aliora evaluemos la ronstatite 4 de (572) Para rilo iitiliemos la representacioacuten
asintoacutetira (573) y consideremos la condicioacuten de frontera de acoplamiento de los campos
en el plasma y en el vacio
poundT(0) = JEIacute (577)
De acuerdo con la definicioacuten (570) para ( podemos escribir el teacutermino ijCv en ln forma
f^^ (--pound_) (578)
Sustituyendo (578) en (573) y evaluando en x = 0 obtenemos
3A 2 ir poundlaquo(0) ) = -7k0Xo)-ucos-iacuteli9coraquo(-k0j0coS9 - -) (579)
yf f O 4
102
x = O = x0rnslV X
FiexclgS2 Alii|tli(ultl laquoId rrtiii|ngt eleacuterlrim cu la vecindad del punto de reflexioacuten s - xbdquoiiiH
Finalmente apurando 1raquo roiitliacutetiacuteoacuten de frontero (577) cnroutraiiioM el valor de A
(580)
La amplitud aacutee la onda estacionaria que se forma en el plasma cu los puntos cercanos
al punto de reflexioacuten x = Xoco29 crece (Fig52) Su valor maacuteximo se puede obtener de la
expresioacuten (572) el cual corresponde al primer cero de la derivada de la funcioacuten de Airy
[11] y tiene el valor
2 a a | l = 268 (581)
Asiacute dividiendo (5S1) entre (576) obtenemos el coeficiente de amplificacioacuten de la amplitud
del campo eleacutectrico en el plasma con respecto al campo en el vacio
103
| s f = 374(oolaquo3laquo)3 (582)
En el caso maacutes general de un plasma deacutebilmente inhomogeacuteneo en (562) en lugar dr
arbdquo debemos sustituir
En este caso para valores grandes de (koro)l^eoraquo0 auacuten una |MI jtirntildea parte imaginaria de
ki pcniMtiviacutedad dieleacutectrica puede rondticir a jteacuterdidas significativa de energiacutea de la onda
Si ni gtgt P jiacute () entonces la ecuacioacuten (571) conserva su forma pero ( en csrraquoiexcl caso laquo-S una
cantidad compleja
- ( )
raquo ( j v o ^ + x - mdash ) (584)
Nuevamente la onda (pit se forma en la regioacuten 0 lt x lt sltol(t es una onda estacionaria
lgtcro ahora la onda que se refleja cu el punto de corte Tit t = oc) nltgt tiene la misma
amplitud de la oiiif-t incidente Aquiacute cl coeficiente de reflexioacuten es diferente de la unidad y
se expresa como [23]
R as e m laquomdashgtbull m e-raquopound raquolaquoraquo (585)
La amplitud maacutexima del campo cerca del punto de reflexioacuten en este raso disminuye en
Ry
|iexcl iacute | 2 374|| 2(ltWw3)1 3 (586)
104
CONCLUSIONES
I Se describioacute la teoriacutea general de las guiacuteas de onda y resonadores cilindricos En base a
esta teoriacutea se obtuvieron obtenido los paraacutemetros principales que ritrart izan vi sistema
de microondas di- la fuente de plasma descrita cu [2] En el raso ilc una guiacutea de onda
cilindrica hecha tiraquo- bronce y ron Suacuterm de diaacutemetro interno se obtuvieron los siguientes
valores para los distintos paraacutemetros de pro|gtagariexcloacuteu de midas litadas en el IIIIHIO
A = 145rw raquobullbdquo = 13 x WHi I = 02753rraquor A = 22S2raquo Zbdquo = 187
ti = 56 x 10degtrade K3 = lC x 10uumlcfia
La constante de amortiguatniento lgtara estas ondas romraquo ronseriiriiciraquo de la roudur-
tividad finita ile las paredes metaacutelicas tiene el valor om = 1032 x 104 como este valor
es muy pequentildeo obtenemos que se puede considerar que la guiacutea de onda del sistema de
microondas (de no maacutes de un metro de longitud) es una guiacutea de onda ideal (sin ]xrdiexcldas de
energiacutea) Por otro lado para el resonador cilindrico laquopie compone el sistema de microondas
de radio a bull 7cm se obtuvo la distancia necesaria para que en el resonador oscile una onda
en modo Ht (wm = 15394 x 10(f ) Esta distancia tiene el valor d - 71Gcm Ademaacutes
se evaluaron la calidad del resonador y el ancho de banda donde el modo TEu puede ser
excitado uacutenicamente Q =bullbull 404963 w2 - uraquo = 000025 x WH respectivamente
II Se analizoacute el problema cuando la guiacutea de onda y el resonador cilindricos conshy
tienen una columna de plasma friacuteo magnetizado e inhomogeacuteneo distribuido axialmcnte
105
La columna de plasma cti el caso de la fuente de plasma [2j tiene un radio r = 3mraquo
y ademaacutes el perfil de densidad se consideroacute de tijraquoo paraboacutelico Eu base a la teoriacutea tie
perturbacioacuten y usando como paraacutemetro pequentildeo la pequenez del radio del plasma con
respecto a la longitud dt- onda se calculoacute la constante de amortiguamiento de la ondas
que se propagan en la guiacutea de onda ocasionada por la presencia del plasma La constante
de amortiguamiento tiene el valor o = lSS x 10~4
Se calculoacute ia variacioacuten de la frecuencia de resonancia fie las ondas que se etinieutran
resonando en modo TEtti en i resonador asiacute romo la variacioacuten en el inverso dr la calidad
del resonador obteniendo resp t-tiacutevaineiifc Aw - -lG3x 10 H MlQ) = oacuteS2x lO1
Los valores para n Aw y plusmniexclQ) se obtuvieron paro el caso mando ^bulljiacute(l))raquo = OS y
para el punto cerranraquo al punto di- resonancia ciclorroacutenica u = 0999 Ademaacutes se obtuvo
que la constante de amortiguamiento en el caso de la guiacutea de onda en el punto de resonancia
ciclotroacutenica l-u = w) se hace cero De lo anterior podernos roiirluir que la inutii se propaga
libremente en el plasma
III En el marco de la teoriacutea lined se analizoacute el proceso de penetracioacuten de campos
electromagneacuteticos en un plasma scmilimitaclo Se obtuvieron Jos coeficientes de reflexioacuten
transmisioacuten y de absorcioacuten para ondas tipo H tanto para un plasma homogeacuteneo y un
plasma no bomogeacutetieo Un aspecto fiacutesico importante en el estudio de la penetracioacuten de
ondas electromagneacuteticas en plasmas inhomogeacuteneos es que para una incidencia normal existe
un crecimiento del campo eleacutectrico en el punto donde la permitividad se hace cero Para
plasmaraquo magnetizados el comportamiento anterior es similar Por otro lado cabe sentildealar
que los puntos dentro de un plasma friacuteo e inhomogeacuteneo en los cuales el iacutendice de refraccioacuten
106
es infinito permite una absorcioacuten de las ondas de tipo no colisional en el plasma y al
mismo tiempo se obliga al campo eleacutectrico a tener un valor finito Esta absorcioacuten en el
plasma se asocia al hecho de que en el punto iacute = oo el campo electromagneacutetico sufre una
transformacioacuten lineal en otro tipo de ondas
Finalmente hay que hacer notar que la absorcioacuten de las ondas en las guiacuteas de onda
y los resonadores se debe uacutenicamente a la variacioacuten o cambio que sufre la constante de
propagacioacuten y la calidad del resonador respectivamente por la influencia tlcl plasma Este
mecanismo de transferencia de energiacutea ai plasma es diferente al mecanismo laquoIr la transforshy
macioacuten lineal de ondas
107
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109
25 Gutieacuterrez Tapia CR Arzate Plata N- Caacutelculo del coeficiente de amortiguamiento
en ana guiacutea ir onda y it la calidad it laquon ntonaior CAM 94 Physics Mnrtiuj
Cancuacuten QRooMex en prensa
26 Landau LD and Lifshitz EM(IOGO) Electrodynamics of Continuous Liedla Pciga-
mon Press
27 White RB and Chen FF(1974) Plasma Physicraquo 16 565
28 Stix TH(19Coacute) Radiation and absorption via mode conversion in an mhumogcucuraquo
collision-free plasma Phys Rev Lett 15 No23 878
29 Dolgfgt]Mgtlmr VV( 19CC) Electromagnetic field singularities m an inhomogenrons mag-
netomrtivr plasma Sw Phys-Trch Phys 11 No2 198
3D Piliyti A D(19C7) Wave conversion in a weakly inhomonrnrous plasma 11 Noll
1567
31 Erokhin NS and Moism- SS(1973) Sw Phys USPEKHI 16 Nol 64
32 Lebctlev N(1972) Special functions and ihrtr aplications Dover puhlirntioits Nrw
York
110
Agradezco al Dr Ceacutesar R Gutieacuterrez Tapia
Por su valiosa direccioacuten eu la elaboracioacuten
de este trabajo de tesis
De manera especial al
Fit Gerardo Anguiano 0
Por su apoyo en sistemas de computo
Por sus comentarios al
Dr Enrique Campraquo C
Por su colaboraciuacuteu cu la roviaacuteoacuteu de esta tesis
agradezco a los Profesorraquoraquoraquo
FM J Antonio Aguilar S
MC Gloria Daca L
Fit Aurelio A Tamez M
Dr Albino Hernaacutendez G
M en I Carlos Sandoval A
y a las instituciones
Universidad Autoacutenoma del Ettado de Meacutexico
Instituto Nacional de Investigaciones Nucleates
Gobierno del Estado de Meacutexico
por su apoyo y facilidades brindadas en la
realizacioacuten de este trabajo de tesis
CONTENIDO
INTRODUCCIOacuteN 1
CAPITULO 1 DESCRIPCIOacuteN DEL PLASMA 3
1 Principales paraacutemetros del plasma 3
2 Meacutetodos teoacutericos ltraquobull descripcioacuten del plasma 8
CAPITULO 2 GUIAS DE ONDA Y RESONADORES 12
3 Guias de onda 1 2
31 Ecuacioacuten de valores propios 12
32 Paraacutemetros de propagacioacuten 15
33 Coeficiente de absorcioacuten 18
34 Guiacutea de onda cilindrica Modo Hmn 19
35 Coeficiente de absorcioacuten Modo H^ 23
4 Cavidades resonantes (resonadores) 27
41 Caracteriacutesticas generales 27
42 Energiacutea almacenada y calidad de los resonadores 31
43 Excitacioacuten de los IIHMIIH tie ilaquorilac)oacuteii 34
44 Resonador de forma cilindrica 30
CAPITULO 3 TEORIacuteA DE PERTURBACIOacuteN 41
5 El meacutetodo de perturbacioacuten eu las guiacuteas de onda 41
6 El meacutetodo de jicrturbacioacuteii en los resonadores 49
CAPITULO 4 INFLUENCIA DEL PLASMA 5G
7 InfliUliriii del plasma cu la- guiacuteas de onda 5C
8 Influencia ilel plasma en los resonadores 74
CAPITULO 5 PENETRACIOacuteN DE ONDAS EN EL PLASMA 83
9 Penetracioacuten de campo ilectruniagneacuteikos cu el plasma S3
91 Penetracioacuten de campos electromagneacuteticos en la aproximacioacuten
hidrodinaacutemica Sistema de ecuaciones 84
92 Penetracioacuten de ondas tipo E y H 86
10 Penetracioacuten de una onda electromagneacutetica en un plasma homogeacuteneo
semihmitado Reflexioacuten y absorcioacuten de ondas tipo H 89
11 Paso de una onda H en una capa de plasma 96
12 Penetracioacuten de una onda tipo H en un plasma deacutebilmente no homogeacuteneo 99
CONCLUSIONES 105
REFERENCIAS 108
INTRODUCCIOacuteN
ActUiiluieiili cu rl IXIN se tiene miii fiiriitc de plasma roiistruida iU el proyecto IB-
230 Esta es una fuente de plasma friacuteo sin ilict rodos (pie genera rl plasma por mirroondas
IIH iiniite resonancia rirlot romea di- los electrones Este tipo de dispositivos son de eran
actualidad ililiiiin iexcli sus posibilidades potenciales di apuracioacuten a Iti industria tiacuteili-s romo ltl
pngtisiacuteiiiiiiiitn ili- ilifi-riiifrs materiales |]iexcl (la formacioacuten laquoIr peliacuteculas delgadas poliacutemeros
liiiacutecnielcct ioacutenica soldadura iiiiit|uinns-lierrainieiitns etc) En estos dispositivos tambieacuten
rs relevante el estudio de fenoacutemenos baacutesicos i|iie ocurren en el plasma ionio la conversioacuten
lineuumll y no lineiil de ondiacuteis en el plasma Parraquo mayor informadoraquo sobre vi dispositivo ver [2]
Uno laquoIr los componentes baacutesicos del dispositivo es el sistema de inicruondas el cual consiste
de un generador de microondas (magnetron) de una guiacutea de onda y de un resonador El
generador que se utiliza es un Raytheon PGlOxl con frecuencia fija de = 245 GHz y de
potencia variable f 10 - 500 W) Li alta frecuencia del campo se transporta a una cavidad
resonante por una guiacutea de onda cilindrica de bronce de 85cm de diaacutemetro En esta guiacutea se
excita una onda electromagneacutetica en modo H El resonador de bronce tiene un diaacutemetro
de 14cm y en el cual se excita una onda en modo TTm-
En este trabajo de tesis se realiza una revisioacuten del caacutelculo del sistema de microondas
que componen el dispositivo y un estudio sobre la interaccioacuten lineal de ondas que pueden
ocurrir en el plasma en este dispositivo En el Capl se hace una pequentildea descripcioacuten de
los principales paraacutemetros del plasma y de los principales meacutetodos teoacutericos para su des-
1
bull ti|Miexclltgtii En bull Cap2 w laquoICSITIacuteIM- In teoriacutea general de las guiacutea- de onda y los resonadores
cilindricos En el (iexcli|i3 si- de-rrilie la Teoriacutea gtbullbull Perttirltacioacuten uacutetil iexclwira el i-aacutelculo di lo
diferentes )i-iiaacuteiii(tros di- lagt uniacuteraquo de onda y lo- resonadores nur contienen itti plasma en
su interior En el Cap4 en lgtase a la teoriacutea ltllt- pi-rturltacioacuten gtbullbull calcula la variacioacuten di- la
constante ri pro|gtagariigtn de las ondas ijuc so propagan en una guiacutea dr onihi cilindrica asiacute
iilaquomgt la variacioacuten di liexclgt frecuencia de resonancia de las ondas lt|tio si- iiiencntraii oscilando
ili un resonador laquopie IOIIIIacuteIIM una i-olnniiia de plasma friacuteo riliacutendriro magnetizado ltbull inlio-
mogoacuteiieo disnilmido axiacutealiiinili En el Cap-V i-ii el marro dr la teoriacutea linral se Kivostiga
ri proccsiraquo di penetracioacuten di campos eleotioniauiacuteHlieiraquo- III un plasma ademaacutes sr obtienen
los coeficientes de reflexioacuten transmisioacuten y di aliMgtirioacuten paia ululas bullbullgtltgt Finalmente
si- lian- un resumen di- los principales resollados nlitriiidos en el traUiacutejo di- trxis
La propagacioacuten de ondas de muy alta frecuencia representa un lema laquolo gran anualishy
dad iii campo romo la radiofiacutesica (oomttiiiriirionos radares radiotelescopios etc) y la
fiacutesica d r plasmas (aplicariones y fusion termonuclear iotroluda) En la fiacutesica de plasmaraquo
actualmente se est lidian dispositivos en base a suirrooiidas y radiofrecuencia laquopie son muy
interesantes por la gama ile aplicaciones (pie se descu-ren constantemente Por otro latioacute
el calentamiento adiriacuteonal tlel plasma por ondas de radiofrecuencia en dispositivo donde
se obtienen plasmas de alta temperatura para el estudio de la fusioacuten termonuclear conshy
trolada es un tema que tiene gran importancia Por lo anterior el desarrollo de la teoriacutea
lineal y no lineal de propagacioacuten dr ondaraquo de alta frecuencia es de gran relevancia
2
CAPITULO 1
DESCRIPCIOacuteN DEL PLASMA
1 Principales paraacutemetros del plasma
El plasma rs un uniacute lio nmsinritro compuesto laquole partiacuteculas cargairaquo positivas negativas
y ademaacutes tli- partiacuteculas neutra (aacutetomos y moleacuteculas) que inicraci-ionan entre siacute y con la
radiacioacuten Las partiacuteculas positivas son los iones y las negativas son los electrones (los iones
negativoraquo juegan un papel secundario) Ademaacutes de los aacutetomos y de las moleacuteculas que se
encuentran cu su estado base en el plasma ]meden existir tambieacuten en grandes cantidades
aacutetomos y moleacuteculas cu estados excitados El plasma entonces es un gas ionizado en el
cual la carga negativa de los electrones neutraliza casi completamente la carga positiva de
los iones
Veamos algunos procesos que ocurren en el plasma (3-7] El plasma se obtiene por la
ionizacioacuten cuando se separan los electrones de los aacutetomos o de las moleacuteculas Son posibles
dos formas de ionizacioacuten en un plasma denso principalmente tiene lugar la ionizacioacuten por
choques de los electrones con los iones o aacutetomos nertros y para un plasma muy enrarecido
es caracteriacutestica la ionizacioacuten por radiacioacuten (oacuteptica ultravioleta y por rayos X) Es posible
tambieacuten que ocurra la ionizacioacuten por los choques entre los aacutetomos o con los iones El
3
proceso inverso iquesti 1Iacute ionizacioacuten es lit recigtmlltinlaquoooacuteiiexcl es ib-cjr Ib unioacuten de un electroacuten con
mi ion y con ii consecuente formacioacuten de un aacutetomo o moleacutecula neutra En un plasma
enrarecido la igtgt iacuteniliniexclnioacuteii ocurre generalmente con radiacioacuten y en un plasma denso lu
riioiubiiiacioacuteu gtbullbull rriiiiii en los choques triples (se recoiuliina un electroacuten y un ion y mi
segundo electroacuten gtbull lleva el sobrante de energiacutea) Por otro birlo el plasma lugt solamente
radia hi visible sino tambieacuten radiacioacuten ultravioleta y ademaacutes si t-1 plasma es muy caliente
tambieacuten radia rayos A
El plasma por naturaleza se comporta como un gas por lo que para su laquoICM riprioacuten
si- utilizan ronrepros talrs como densidad presioacuten (esiipfralmgt itr El movimiento ile
las partiacutecula- ocurre ilr fon na caoacutetica En laquoI caso laquobull bull partiacuteculas lt|tilt- no timen carpa en
su movimiento teacutermico la iliriciioacuten de su movimiento varia solo |Mgtr los c-limpies como
cu un gas simple Entre cada choque el movimiento de las partiacutecularaquo con velocidad
constante r describe una linca t rta En este cano la longitud promedio de recorrido
lilwe es A = VT = iexclnma donde r es el tiempo entre los clioques nm es la densidad
tlil medio y n es la seccioacuten de choque A mayor densidad la longitud de recurrido libre
medio tm menor y Ja frecuencia dr rolimeacuteo v = 1T = nmav es mayor Loraquo choques entre
las partiacuteculas neutras ocurren por la accioacuten de fuerzas de corto alcance las cuales son
proporcionales a rri y pueden ser tanto elaacutesticas (intercambio uacutenicamente de energiacutea
cineacutetica) como inelaacutesticas (transformacioacuten de la energiacutea cineacutetica de las partiacuteculas ergt otras
formas de energiacutea como son excitacioacuten ionizacioacuten y recarga) A diferencio de las partiacuteculas
neutras sobre las partiacuteculas cargadas actuacutean tuerzas de largo alcance proporcionales a r
las cuales se rigen por la ley de Coulomb Esta interaccioacuten disminuye lentamente con la
distancia El movimiento de las partiacuteculas ya no se realiza por una linea quebrada sino
siguen trayectorias muy complicadas Sin embargo estas trayectorias se pueden aproximar
a una linea quebrada y en esta forma introducir el concepto de choque coulombiano En
4
iexclo inuwrioacuten iilt- 1iexclIgt partiacuteculas las maacutes fuertes resultan raquo T las de largo alcance Las
interacciones coulombiaiifis determinan Minchas propiedades del plasma A traveacutes de eacutestas
a|raquoareceii las propiedades colectivas del planum relacionadas ron la interaccioacuten simultaacutenea
ltltbull mtiriiH- partiacuteculas
Las partiacutecula nue componen cl plasma se encuentran igteniianenteinente en estado de
movimiento teacutermico caoacutetico Este movimiento se caracteriza por lit temperatura del plasma
7 romo un todo y por la temperatura Tbdquo tic siis diferentes componentes (aquiacute ir puede ser
i o i pata iexclos elertrmies o iones respectivamente) La temperatura liacuteeiennina la energiacutea lilshy
las partiacuteculas del sistema el euiil se tinmiit i iexcli en ei|iiililirio teri-iodinaacuteiiiico El |gtlnsiiit se
llama isoteacutermico si este se encuentra en equilibrio teuuodinaacuteinico ionio un todo y la funcioacuten
de distrUumlMieioacuteit de la energiacutea de las partiacuteculas de todo tipo es una distribucioacuten inaxweliacuteaua
con una misinn temperatura X (T = T = T) En el caso de un equilibrio lennodiacutenaacutemicolaquole
una parte del plasma cuando diferentes componentes tienen una distribucioacuten maxweliana
pero diferentes temperaturas vi plasma se llaina no-isoteacutermico o sea Tt iquest T Esto uacuteltimo
es posible debido a laquopie cl intercambio de energiacutea emre los electroiws y los iones ocurte maacutes
lentamente que el intercambio de energiacutea entre las partiacuteculas que tienen una misma masa
En base a esto uacuteltimo en un plasma no muy denso con pocas colisiones puede existir
un estado con dos temperaturas ioacutenica 7iexcl y electroacutenica T En el caso de una funcioacuten de
distribucioacuten maxweliana de las partiacuteculas fm exp(-m0vl2kTo) la temperatura de un
plasma en equilibrio determina la energiacutea cineacutetica promedio del movimiento teacutermico
3fcT _ _ _ _ _ ^=(mavl2) = Eacutee (11)
donde k mdash 138 x W~ttrgioraquodegK es la constante de Boltzmann y 7_ es la temperatura
de las partiacuteculas de clase o La raya superior en la parte derecha indica un promedio con
respecto a las velocidades
5
Una earailiTisMra importante del plasma rgt la fririMii-in plaacutesmica la cual esta canic-
tiriaila por liis oM-ilaciacuteouo electroacutenicas ltlrl plasma
tliHide i es la carga del electroacuten (t iexclft 4SU32 x 10iraquolaquotoiWoraquo()i u es 1iexcliexcl concentracioacuten ilr
electrones (laquobula iii mi) y MI lt~iexcl la masa del electroacuten (raquolaquo = 01095 x lO^V)- Las oscilashy
ciones |gtliacuteisiuiris son oscilaciones longitudinales electrostaacuteticas i|tn- surgen romo resultado
ilr hi separacioacuten ilr partiacuteculas lardadas a distancias microscoacutepicas y ilil surgimiento de lalaquo
fuelas ill COIIIIIIIIII La fu incuria plaacutesmica soacutelo depende dr la ciiurrut racioacuten laquo
raquo- 5 Tx Wyj^ 113)
ii ltii la forma
A = | = 2 x l O 3 ^ 1 0 ^ (14)
La escala temporal ill separacioacuten laquole carga cs una cantidad inversa a la frecuencia plaacutesmica
r ss 1w Como laquoi los intervalos dc tiempo gt r las partiacuteculas realizan imirlins oscilashy
ciones cerca de su posicioacuten de equilibrio entonces el plasma como un todo se comporta
como un sistema neutro en el tiempo La separacioacuten de cargas puede ser importante soacutelo en
intervalos de tiempo t lt r pequentildeos con respecto a la escala temporal La escala espacial
de separacioacuten de cargas es la distancia basta la cual se puede desplazar una perturbacioacuten de
la concentracioacuten de las partiacuteculas cargadas debido a su movimiento teacutermico en un tiempo
igual al periodo de las oscilaciones plaacutesmicas la cual se expresa en la forma (dada en cm)
laquobullV V 4iregtnt
6
doxiie = lTni mdash 45 x VSyJT laquo-s In velocidad del movimiento teacutermico de los
bull iexclii-roiifs 7 laquo- Iraquo fltbullijijx-rittiilt le los electrones en A y gt es la cow-rut racioacuten laquole los
bullllaquoM-roraquofgt MI nn~ bull La ltlisuiiit
bullgtbull llama radio ltit- Debye para los electrones Para tin plasma niasiiirtirro es necesario ijiie
its liiuiitiMoiiis riinirifristiras L scan siciiihnitivniiifiitc mayores ipie el radio ir Debyc cs
laquo[bullbullbullbulli L ~iquestgt in ion esta condicioacuten slaquo- purde considerar ijnc laquobull -iexcl-teiacutena ilf partiacuteculas figtrman
un plasma En riiMi inverso L ltg riexcl i tenemos mi coiijmtlo I|I- |gtutiiiiiii- cargadas
-f|gtnli- Asiacute llenamos iexcli la definicioacuten laquoIt-1 plasma propuesta por Laugmuii [5iexcl rl plasma
i-s tin conjunto tic partiacuteculas iirutras y careadas en rl cual ai sc satisfaci- la condicioacuten dc
ciiasiiii-utralidiid poundbdquo rbdquoraquobdquo = 0 y lit el radio dc Debyc dc apaiitallainit-iilo es mucho niiiior
bullinraquo1 las dimensiones caracteriacutesticas laquopic ocupan el conjunto laquole partiacuteculas r^ lt L
Una infltiriiciii iiii]iortantf sobre rl iiioviinie-nto de las partiacuteculas la ocasionan la exisshy
tencia laquolaquobull un riexcluingt magneacutetico externo constante el cual ordena el movimiento caoacutetico de
las partiacuteculas En un campo magneacutetico actuacutea laquoobre las partiacuteculas cargadas una fuerza llashy
mada poiidcroinotriz (lorentziana) dirigida ])cr]gtcndirulannriite a la direccioacuten del campo
magneacutetico B0 y a la velocidad de la partiacutecula iacute Bajo la influencia de esta fuerza las
partiacuteculas giran con una frecuencia angular igual a wBbdquo A esta frecuencia se le conoce
como frecuencia riclotroacutenica o de Larmor y para los electrones tiene la forma
~B = mdash 176x07Bo (17) me
Para que el plasma resulte ser magnetizado (anisoacutetropo) eacuteste no debe ser muy denso y
deblt encontrarse en un campo magneacutetico muy fuerte Por esta razoacuten es necesario que en
laquorl intervalo ltli- liniipo vnf dos i-olisiotn-s rbdquo las partiacuteculas pmdan nahzar uiiniios iexclinraquo
ttlri-drdor ill- las lincas del raui]Hgt iiiiiacutegiit-tiro Esta condicioacuten gtbull inarm tizai ion jitira lets
rliTtroiics es di- la forma
w laquo r m raquo l (lSj
En la ltlin riiiiti ilrl rampo iiiin-iiitiio la influencia de laquo-sir soliri- Ins partiacuteculas careadaraquo cs
nulo En mi campo magnet iro lioiiiogeacutem-o las trayectorias del movimiento dc las partiacuteculas
cargadas tiiinu forma bullltbull bullbull -jiiiiilraquo-
Por laquofin lado liay ijiir diferenciar los conceptos dc plasma friacuteo y plasma caliente Eli
mi plasma friacuteo r) movimiento teacutermico de las partiacuteculas es menor que la presioacuten i-I bullbulliinjgtgt
MKiKiirtim es decir
-2=2fIlti (io) Entonces podemos decir que rii mi plasma friacuteo que sr oiicticiif ni en mi campo magneacutetico
w puede despreciar rl movimiento trrminraquo dc1raquogt partinilas En mi plasma caliente esto
uacuteltimo no es vaacutelido
2 Meacutetodos teoacutericos de descripcioacuten del plasma
En el desarrollo de la concepcioacuten del plasma como un gas de partiacuteculas cargadas cambiaron
tambieacuten los meacutetodos de su descripcioacuten Los primeros modelos maacutes simples de la descripcioacuten
cualitativa del plasma lo suponen como un sistema de partiacuteculas cargadas que no interar-
tuan entre siacute y que se mueven libremente en presencia de los campos eleacutectrico y magneacutetico
externos Es decir si so considera que el plasma esta compuesto de jVbdquo partiacuteculas de clase o
8
iexclbulli -r mueven dcltido iexcli MI energiacutea teacutermica en forma caoacutetica entonces es uii-fNarin resolver
~ ecuaciones laquogtbull movimiento con uti miacutenimo iexclEnfil raquobullbull condiciones iniciales i posicioacuten y
-bullbullio-idades iniciales ilr partiacuteculas | Obviamente esto uacuteltimo es imposible de realizar Se
puede reducir fuertemente el problema si gtraquobull desprecia liexcli dis]gtcrsiexcleacutegtn de las velocidades dr
bullu iovimicnlo teacutermico es decir si se considera el movimiento promedio de una partiacutecula
laquoiexclHe v encuentra en reposo cuando no hay campos externos Asiacute este modelo simple
de iexclarticulas independientes completamente desprecia no solamente la interaccioacuten entre
piiriexclniiacuteiacuteiraquo sino eiexcl movimieiiio teacutermico de la- mismas
Pura determinar la velocidad dgt- una partiacutecula carnada del ntasma en el modelo de
pariacuteVittiis independiacuteenles se resuelven las i (ilaciones de movimiento para partiacuteculas de
gtia- bullgt en la forma
-y- = lt iacute iquest + -|ibdquo X D + iexcliexcl111 I110) Jlz
ir ~ donde iexcl = gtnbdquorbdquo es el impulso de la partiacutecula de dase o y ies la aceleracioacuten provocada
por fiHTns no electromagneacuteticas Eti las ecuaciones (LiO) la iiidiiccioacuten magneacutetica D
y el campo eleacutectrico E no se consideran como variaUes conocidas ya ipie estos campus
incluyen en siacute campos inducidos en el plasma cjue MOJIacute provocados por el movimiento de las
partiacuteculas cargadaraquo por lo (pie hay que resolver un problema autocousigtente es decir la
solucioacuten de (110) conjuntamente con laraquo ecuaciones de campo
VxS = M + Iacute I ( + ( 0) (iii) c ot c
V-Eacute m 4-(p + po) (1 13)
v i = 0 (114)
9
01
(si-i) ltraquoiquestbull AW + J) + W + sectxsectA)Y +ilaacute- raquo
waacute(A-iacute) + ^ Vlt = JLVpound mp
(iquestri) -o = W aacute w - A + ^
iexcllaquoupauSimi HJiuiHiupo pii] laquoj ip laquoai iopuioa ap jjnaiscsi io x) inn uctuivcs u n
HZI|1)II t8 opiti |f ui |vmi raquoia ap OIIMIIUIAOIH jap t iopduauap H| H Iacute H J -OJIIIU OIIIIIJIIOI o ip j tu mi
(ipllllllUOJ OJIIK laquoHill OIlllll lltijjodll S Sgt1IIIIIltMI|IIOJ SHJSI Hill llX HJItlHI A UIIIIOI liJIIIOJl
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l| lll IIOIHiipill US Hill ltl| Hid degSI(||||||Ilt1 Sl| 1(1 i||llll(1llAOIII |lp 11(11liqll1111 bull] OlIItU11
(iinmiiiAoui (1 bulluipisUtii 1111 ofiji is (IHKII si|tfi(|ifiH(i|ifft s-ftptjiijiMi (lt lti(i(iorij ( 3
( 9 1 1 ) 0 = V V bull A + T ^
|Mqmimiuoj ltraquofi tiacuteotjuttji laquoj uKiexclatms (()) niexcljsijtfs j pthy
ltcni bullbulliquestx^ = [ -x^ = lt
laquoUIKIJ i( (lllllll l|(MMJltll ijl A i|l(lll(IUI laquoSjlM laquolt Kj|tt|raquoISIM|gt gtlJ Sgt(itl) slj | Ifi
= V y [- x D - -pound-V x I i r Uuml) (119) Of 4 ~ ltT
V B = 0 (120)
donde ni ex 1iexclI ltbull usidad del liquido ltlaquoMiraquohicTtgtr (plasma) ron una rondiirtividad n vi es la
velocidad del plasma y ( r son 1lt- roi-firiciites de viscosidad Este sistema laquoir eriiarionis
w debe de roiujut mentar ron las emanones de rotado y la iiiiwioacuteii laquole tnuiNpurte de calor
= Hni-T) (121 0
M7 mdash + (rlaquoV| uumlt
~ bdquo 2L1L + X-(VTgt+ mdash mdash l ^ x Uuml r (122)
donde raquo = raquoij(T) es la entropiacutea de uiiii masa unidad de plasma n es la rondnrtividad
iltl ialor y rttJ elaquo el tensor laquoir viscosidad
^= (iiexclr + iiquestL~ hgtv TA) av bull IacuteL23)
En la magnet oliidrodinaacutemira se consideran dados la rondnrtividad eleacutectrica la conshy
ductividad laquolaquobull calor tlcl plasma y tambieacuten los coeficientes de viscosidad En la praacutectica
se utilizan modelos modificados dr la magnetoliidrodiacutenaacutemicn tales como el modelo cuasi-
magnetohidrodinaacutemico de dos liacutequidos (electrones y iones) y de tres liacutequidos (electrones
iones y neutros) tos cuales de forma fenomenoloacutegica consideran la interaccioacuten entre las
partiacuteculas- su movimiento teacutermico Estos modelos simples generalmente son aproximados
y para su fundamentacioacuten se exige la utilizar ion de un modelo maacutes general del plasma
como gas ionizado El modelo maacutes general es la descripcioacuten estadiacutestica del plasma como
un sistema compuesto de un gran nuacutemero de partiacuteculas
11
CAPITULO 2
GUIAS DE ONDA Y RESONADORES
En rstr i-i|gtiacutemlgt v ilisrrilraquo li iroriacutea grurral i|r lis gniacuteis laquoIt- IIMIUuml y laquoIr los rrsoimdorrx
bullilimlriros Si luir- un r-iexclMilil riifuumlsis ru his giiiacuteigt d r mifhi V lvsotinliili- de MMIIacuteIMI
tliUlsvriMiI bull i i i i i iuuml l nn iDliiii 1iexclgt rxcitiiiiiVn dr o lnl raquo t i l IIHMII bdquobdquo y TE laquo11 estos
IIIacuteN|HIMIIacuteVIraquo rrx|Mitiacuteviexclifilttr rli Iilii|iiliquest ron rl d i spos i t ivo drsni t iraquo cu [2iexcl
3 Guiacuteas de onda
31 Ecuacioacuten de valores propios
pound1 estudio dr IHS propiedades fnuciaiiicntalcs dr la propagacioacuten de ondaraquo laquobulllectroniaglictiras
en tubos cilindricos dr conductividad infinita sr ha realizado ampliamente Ha sido resuelto
el problema para guiacuteas do seccioacuten transversal arbitraria |8) y para secciones transversales
particulares de importancia praacutectica se lian solucionado en sus modos fundamentales de
propagacioacuten [9] Asiacute mismo una analogiacutea con las lincas de transmisioacuten ha sido descrita en
[Wi
Veamos con maacutes detalle las guiacuteas de onda Consideremos una guiacutea cilindrica ron su eje
dirigido a lo largo del eje 0iexcl Ademaacutes consideremos que la guiacutea de omlas es longitudiliaj-
12
iifiacuteiti- lioiingtmiiriexcli y iptc la iexclgtariilrgt- metaacutelica sou conductores iierfcetos Sigtigtntgtiexcluiiltgts ltpit
bullniexcli omlii bull-lcctrumagiirticH plana di frecuencia ur si propaga a lo largo di- la guia ilt- onda
pound(fiacutel=f(r^)t r- iacute (21)
poundlt) = (riacute)t r-w ) (22)
iexclonde r es la constante de proiMtgacioacuten o nuacutemero de onda El problema fie contorno que
-bull iacuteu-duiT de liexcltgt fiiiacutenioins de Maxweil pura ondas ti|Mgt H en una guiacutea dr ondas ciliwtricn
-bullbull rxprrsa en la forma
bullbullon laraquo condiciones de frontera
-2- = 0 para r = a (24)
E = 0 cti todo el espacio
donde $ = H(r^) De la misma manera para las ondas tipo E el problema de contomo
tiene la forma
0 lt vgtlt 2ir
13
rtm las condiciones de frontera
= 0 para r = a (2C)
H = 0 til todo el espacio
donde ahora lt1gt = pound(r^) n es el radio ilr la guiacutea tic ondas
Los valores positivos
bull = -gtL = iquest - riquest (27)
determinan el con junto de valores propios correspondientes a rada una de las soluciones
lraquoTiiiisilles igt minios caracteriacutestico de la guiacutea de onda donde II y t son las constantes
de permeabilidad y permit ividad respectivamente del medio ipie llena la guiacutea de onda
GiiHTMliiHiite bdquo depende ile las (limensioiies geomeacutetricas de la guiacutea de onda de IacuteHJIIIacute
IJIIC siempre si puedan selerrionar los modos de propagacioacuten raquopraquoe se reijuieran
Por otro lado las componentes transversales de los campos eleacutectrico y magneacutetico se
determinan si se conocen las componentes longitudinales de los campos de la forma [8]
iT Eacutet = - j -Ve para ondas en modo E (28)
a iT H = - mdash V para ondas en modo H (29)
Traquonigt
Ademaacutes las componentes transversales de ambos campos (eleacutectrico y magneacutetico) se relashy
cionan mutuamente romo
14
H = ~iquestbdquo x Eacute (210)
aonde ~bdquo es un vrrtor unitariti dirigido a lo iexclarjraquo ltlcl eje 0 y Zf laquo la iiiipedanria tlr 1raquo
onda tiraquo modo E Igt H respectivamente
cT Zf = mdash igtara ondas en modo pound (211)
ZH = mdash=bull pnra ondas en IIIIMIII H (212) cT
Las efiiiexclirioiiigt (23) y (25) determinan problemas de valores propios ron sus corresshy
pondientes condiciones de frontera Cada turn de las soluciones nos representan diferentes
bullnodos normales unos transversales eleacutectricos y otros transversales magneacuteticos corresponshy
dientemente
32 Paraacutemetros de propagacioacuten
De la ecuacioacuten (27) se tiene que para cada valor de bdquo y correspondientemente de la
frecuencia se determina un valor para el nuacutemero de onda
r raquo - ^ - T Iacute (2i3)
En general T puede ser una cantidad compleja de donde podemos distinguir tres casos
a) siacute (tt^ gt y^n entonces T es real y define un modo permisible de propagacioacuten es decir
la onda se propaga libremente a lo largo de la guiacutea b) si ftfty lt 73nn entonces T es una
cantidad compleja de donde la onda se amortigua exponencialmente y c) el caso cuando
15
r = 0 ilefiiu la condicioacuten di- rortlaquo la nial separa los casos a) y li) Asiacute podemos definir a
la friTuciina de corte romo
Wbdquobdquobdquo = -J=-bdquo 1214)
y expresar el nuacutemero de onda en funcioacuten de ella
r = ^ ^ - ^ (215)
Para ftecuencin- uiiiyores ijue la de rorle la onda se propagii a lo largo de 1raquo guiacutea En
el ruso contrario pitra freriietiriuumls menores i|iie lii de rorte 1iexclgt onda se amortigua Otra
caracteriacutestica imporiiiiite la ]iodeinos olilenei de la bullbullxpresioacuten 1213) Va |IH- el nuacuteniero de
onda r siempre es menor ipie su valor en un espacio lilire entonces Ii longitud de onda en
la guia es siempre maacutes grande
y 77 7ngtt
Anaacutelogamente definimos una longitud de onda de corte o criacutetica (cuando A = 00)
Af = yiliacutemdash (217)
y expresamos la longitud de onda cu la guiacutea cu funcioacuten de ella
A = _ j (218)
donde A es la longitud de onda en el vacio Dr aquiacute que la onda se puede propagar a lo
largo de la guiacutea de onda uacutenicamente para longitudes de onda menores (pie la de corte
0
~ y - i y
_bull-
_ 1
bull i
iexclA
0
0
- gtiacuter
JfT7 ~ m
n
0
raquov
^ yJZliacuteiiacuteiacute
9C
Imaginaria
V
mdash _ l _ - M i l
0
Imaginaria
A
-Jraquo-$mdashil
X
Imaginaria
Tabla 21 Iaraacutewotrus ele propagacioacuten para onda ltrn moiio pound y cti una guiacutea ltlr onilas
Miacuterica uniformraquo
Por otro hielo iexclgt viliraquodegiiliexcliltl ltli fasr iiexcl riexcl un medio bullbullgt uisiraquo JraquoILIIlt1laquo ijiii- su Viilor III el
Wigt
7 = r
(219)
Por debajo del punto dlaquo- corte 1raquo velocidad de fase es imaginaria y pierde asiacute su sigshy
nificado fiacutesico En el punto de corte la velocidad ltlr fase se viirlvr infinita Un liccho
importante resulta serel que la guiacutea dp ondas es un sistema dispersivo aun cuando el
medio que llena la guiacutea no lo sea (la velocidad de fase es funcioacuten de la frecuencia) La
velocidad de grupo de la onda tiene la forma
tortt 1
(220)
En la Tabla 21 se resumen los paraacutemetros de propagacioacuten para una guiacutea de ondas sin
peacuterdida de energiacutea
1
33 Coeficiente de absorcioacuten
El finjo laquole inicrgiacutesi raquobull describe por ltbull vlaquo-ctigtr cimiplejo di- Piacutemiling
Sbdquo=[iquest]i[poundxW-j (221
su parte real nos dh el finjo di- energiacutea promedio plaquogtr unidad de tiempo y por unidad de
aren La romponeiite axial de Su representa el flujo de energiacutea prmimlio a lo largo de la
guiacutea Por lo tanto d flujo total promedio de energiacutea que se transmite a lo largo de la guiacutea
de onda e- la integral de la componente axial del verfor laquoIr Poyntilig evaluada sobre IIMIIacuteI
la weeioacuteii transversal de la guiacutea de onda
HilU^1 - iacute2-22) donde iquestbdquo es un ver tor unitario a lo largo del eje ()
Hasta el momento se lia considerado laquopie las paredes laquole la guiacutea tie laquonula son conductores
jraquocrfectigts in tal caso el Unjo total de energiacutea conserva su valor a lo largo tie la guiacutea laquole
onda Sin embargo en problemas reales la conductividad de las paredes tiene un valor
finito debido a ello existe muiacute fraccioacuten del flujo total laquole energiacutea que se absorlw |araquor Inraquo
paredes Dlt- aquiacute qtw la expresioacuten (222) representa uacutenicamente el fhyo tie energiacutea total
que entra a la guumliacuten de onda y cuyo valor decrece durante la propagacioacuten de la onda es
decir se generan peacuterdidas de energiacutea En la praacutectica tales peacuterdidas se consideran muy
petmentildeas considerando que siempre existe una fraccioacuten de la energiacutea que se pierde ya sea
en las paredes o por la presencia de un dieleacutectrico que llena la guiacutea de onda En tal caso la
laquoMida se amortigua en BU propagacioacuten y la constitute aacutee propagacioacuten time en consecuencia
una parte real y una imaginaria
18
r=i~m (223)
iultif i gts vl factor laquoit- iacuteiisi- y gtbull vi n^bulltirivuu- tU- iexclilisorcioacuteu o ltlr iacuteiiuortigiiaiiiii-tito E
cticiacutetiif ltli- iexcligtlaquouiri(raquoii ltbull Juumltllfi laquoir iexcllti rrhiritu
o = raquo +ltu (224)
bulliiiidr IIbdquo y o son los nlaquofiriciiiigt di- alisorrioacuten ilrliido n liexclis jx-nlidiis de energiacutea en las
m|t-iligt iin-luacuteliacutei-iraquo y 111 Illtilio diacuterliiirirai i|lilaquo- iexcllililiacute 1iexclI Riliacuteii rcspi-itivamriiti CiMisiiii-railiio
1iexclII |gtctiliiliexclis l l i -d ir ig iacutea ilr hi rxprrsion (2231 gtbullbull indure que los nui i )ms MUIacute propiui-ionalcs
bull bullbull tUUiexclltfgt rxpnililinal raquo i Ir ilonilr lii |MitgtIniacuteiexcli (222) laquo|lir sr transmitiacute iexcli iigt largo ltlr lli
bulliacuteliacutei ill lllllli llisillillliyr iexclI lo litigo (Ir (II la furnia
raquo(-)= Pbdquogt -- (2251
Por tamo la roiistiwtr de amortiguamiento o de alisorcioacuteii se definiacute- como ln razoacuten de
i poti-uria i MI il i ii bullbull lio lli eiirrgiacuteli (ptr si pierdr por unidad ilr longitud c u t i r il flujo toliil
promedio ilr rut-rglli lt|lie se transmit a lo largo di liexcli guiacutea gtllt onda
mdashiquestiacute-
34 Guiacutea de onda cilindrica Modo Hbdquobdquo
Nuestro principal intereacutes se centra en las caracteriacutesticas de propagacioacuten de ondas electroshy
magneacuteticas en modo Hnn en las guiacuteas de onda cilindricas Consideremos que la guiacutea de
onda tiene paredes conductoras perfectas y qui el iiexclgtgt dio que llena uniformemente la guiacutea
19
fcciMTraquo |Mrililiis laquoIr m c r g iacute a ilispiiviiilili-j Parraquo bulllaquolaquobullbull rwsn IIIN MIIIUIacuteOUIS n IIHgtI)Igt~ |MTIIIIacuteSIacuteIgt1IVS
ili- priiptiiuumlniiiii i|i 1iexclI r i i i iu ioacute i i (2 3 ) MHI
( bull r-t = CbdquoJJ- r)~laquoif (227)
laquolimilr Ci lt-- una ionstatiii y la rlaquotiltiirioacuteii ltr iacuteroutrrn (24) mjiriiTr jiir 1ltraquogt laquoiliircs propios
IDIIIIII la forma
bull t
bdquobdquo = mdash = U 123 122$) bulli
n = 123
Aipiiacute )bdquobdquo -un la raiacuteivs n bullbullMinas laquoIraquo la dnivaila ilr la fiuirioacuten gtlt- Ui-ssrl ili- unlcii m
JJjr) - Di y n rs il railin inlriim ilr la guia ir ondas Exislr un minino iexcliitiiiiln bullbull
IIHMIOS i|iu MUIacute -iiliniuiirs ilr (23) IIIII la i-igtiiiliexcli-iacuteoacuteii ili friitiliTa (24) Col aymla ili- (2Iacute))
y (210) iilitiiHiniraquo las rxprrsioiirs para las i-oinpoiimtrs transvirsalrs laquo1raquo- los campo ni
iminliiiailiacutei- riliacuteiiiiiiias y nitoiiri-s csiriacuteluacuteiiios las roiiipoiiriitcs ilr los i-ampos ni la furnia
H = C o ^ j h r ) trade m ^ i r mn
H = plusmniexclCo~-Jbdquohnnr)Zwir- (229) Inn r
E = 0 r laquoi
E = plusmniCbdquoZH-i Jmhmnr)ZtradeltigtriV-Tmn r
E = -iC0ZbdquoI-Jm(lmnr)Z^ert
donde los signos plusmn corresponden al en o co respectivamente y In expresioacuten Jm indica la
derivada ron respecto al argumento Jm = f- Sustituyendo (228) ni (213) w obtienen
20
gt valores tie la constante de propagacioacuten
r = Jfi- - iraquo (230)
Comraquo sc olwerva las ecuaciones (229) estaacuten doblemente degeneradas yraquo rpte uno de
lgtraquo ranijios se convierte ei el otro al girar ir2 alrededor del eje de la guiacutea
Determinemos lo paraacutemetros de pro|gtagiacuteicioacuteii para una guiacutea de inula cilindrica hueca
al variraquo) y de radio laquo = 425cm en la nuil se propaga una onda en modo Htl Considerashy
remos primeramente que las paredes de la guiacutea son conductores perfeetos En In siguiente
rioacuten se consideraraacute que estas tienen una conductividad finita
De acuerdo con (21C) toda onda electromagneticraquo podraacute propagarse en una guiacutea de
ouda de tales dimensiones si se cumple que su longitud de onda de )n primera es menor
que la longitud de onda critica Para tuia guia cilindrica se tiene
lisa A c = ~ (231)
Lolaquo dot modos inferiores Ha y JI para ondas de tipo H tienen las siguientes longishy
tudes de onda criacuteticas (en este caso iexcl = 18412 y j i t - 30542 [11])
Xe = 145cm (232)
Ac s 87cm
respectivamente Se puede demostrar que el modo pound0i es el modo fundamental para ondas
de tipo E Este modo tiene una longitud criacutetica
21
X = l l l f w (233)
Pur laquogttrcgt lhiii litraquo lougitiidcgt de inula rritkas lth- Uraquo siguiente modos ruiperiores ile muiacuteas
tipo H y li|xgt pound son menores que Itraquo valores 87rm y l l l m i rt-s]gtrrt miacutemente De aquiacute
que UMH onda clerirouiagiieacuteiira pueda propagarse en la guiacutea si su longitud lti onda laquobull
bulllienor que 145rraquoi Si ademaacutes fl valor de la longitud (ltbull ouda si- emueiilra en el iexclineacutervalo
11 lrjn lt A lt 145rru cntimres el jnodo H es el tiuiro que puede propagarse a lolargo
ile la guiacutea de onda
Eli figura 21 M muestra las vising tranvt-rsal y longitudinal de la estructura de los
bullaiii|Hraquogt en modo i | Aquiacute se 1gtI tomado la parti cosciioidal de (227) A continuacioacuten
e dan |igts valores de los paraacutemetros de propagacioacuten en el easu de IMIIIJIS clcrtronuigiieacutetiiiis
laquoMI iacutenriiencia w = 1539 x 10iacute (A = 1224nraquo) que si- propagan cu la guiacutea de onda
en nioilo | | Los valore se obtienen utilizando las expresiones correspondientes de la
seccioacuten (52) o de la Tnlila 21
Ar = 145laquoo
u w = 13 x 10luc
T = 02753cm-
A x 2282cro (234)
Zbdquo laquo 187 (i = l )
v = 5C x 100cm
w = 1CX10 OCTIIIacute
22
^mdashmdash Imea de campo eleacutectrico
mdash --Linearaquo di- campo magneacutetico
o Campo magneacutetico normal (hacia fuera ilr la hoja)
f ( ampo magneacutetico normal (hacia dentro di- la hoja)
Fig21 Vista- irahversal y longitudinal de la pstrurltira de Itraquo camporaquo ltn trimlo iacuteliexcliexcl La vigtti
otigitudial correspondiacute a un aacutengulo u = 90deg Figura tomada di- [bullgt]bull
i
Notemos (|Uf il iexclmaacutelisis anterior se inicioacute con una guiacutea dr onda de fliiiiensicmlts traquo-
gtltriacutetiacutecaj De- ahiacute se prosiguioacute a encontrar las onda electromagneticraquo npropiadas tale
que el modo fundamental H de la guiacutea de onda sea cl uacutenico que se propague Lo contrano
tambieacuten resulta vaacutelido es decir si se cuenta con una fuente de microotidas cotiacute determishy
nada longitud dr onda se pueden encontrar las dimensiones apropiadas de la guiacutea tales
que uacutenicamente se pueda propagar el modo fundamental
35 Coeficiente de absorcioacuten Modo Hmn
De la expresioacuten (226) determinemos la laquomulante de amortiguamiento debido H la conducshy
tividad finita de las paredes metaacutelicas para ondas en modo Hmn Primeramente calculemos
23
vi fltijiraquo total protiwlio ili laquowgia (222) r nial lunik bullbullscriiaacutersr IMI trrmiiins laquobullbull la funcioacuten
[gtrraquotgtiii bull at la forniH
iacutelowlc
= CMtmnr )rtismf (23C)
rlitotiirs
Praquo = If 1 Uw-T-KU [rIfjbdquor)nlaquoiquestraquoSlrlT-
= [iquest]^raquo^-Kraquol7rJraquo-rr- lt2-37)
La integra] ili- (237) sr cvaitwi utilizando la igualdad [12]
y CMisiacutedcnuidraquo IJHC la couiliriuacuteii de fruirtrra (24) rirquirrr ijiw Jm~innr)rmn = 0 DP rata
manera se obtiene el resultado
En el caso particular de ondas en modo Hti se tiene
La expresioacuten (240) puede escribirse en una forma mas conveniente
24
ionde
EJlJampuumlL (242
bullbull lii amgtIitultl del raui)Mgt eleacutertriro en rl bullbullclilro ltle 1raquo serriacutenraquo transversal laquobull 1raquo jiacuteiliacuteuuml de mida
La relanoacuteii (241I nos muestra rliimuienti- la iii-|n-iiiletiriacuteii rufidraacutetini ron n-sperrraquo iexclil radio
bull lti EUiiacutei ilil finjo total ]gtroiniilio ili- eneruiacuteraquo gt|raquo iitravicwi 1iexclI MTIIacuteIIH Iriexclmsvi-rsiil de 1raquo
uniacutea ib- omlu
Por otro lado la potcnria iacute|iic se pierde por mudad di- longitud (Mudo raquo las corrientes
u|gterfiiialc laquoi laraquo paredes metaacutelicas di- la guiacutea se expresa mediante la iutrgral de contorno
alrededor de la frontera de la guiacutea de onila) de las componentes tangenciales del campo
Magneacutetico en la fonna
p - dl
donde ntilde es un vector unitario normal a la superficie de la guiacutea de ondas ir es la conducshy
tividad de las paredes metaacutelicaraquo y S es el ancho de la capa piel expresada como
tiexcl es la permeabilidad magneacutetica de las paredes metaacutelicas Por tanto cotiacute ayuda de las
expresiones (229) se obtiene la potencia promedio que se pierde eti las paredes
25
- iexcl eacute f ^ - f (duuml]laquo 1245)
Fiiacutemlniiacuteiiti- di (245) y (240) bullbull oliticur la ruitstantr de Hiimnigiiuiiiitiitnpara el utixlo
I24G)
En vi raso ili- ondas ltw w propagan iii laquoI IIHMIO Hlt (MMII-IHH- laquoIr (24C) IDII raquoraquolt = raquo = I
obtener
f r i t o r sampsY+ traderaquo]
- - Id laquo-iexclzsf L v ( Siacute consideran)raquo tua guiacutea dr onda hurra ot dicir = 1 ni laquoti interior cotiacute paredes
metaacutelicas de broncr de conductividad a = 1413utg2crgaegnn) y radio a = 42vcm
en IB cual se propaga una onda en modo fiacuteu con una longitud de onda en el vacio de A s
1224cm (w = 15394 x 10degi) entonces obtenemos que la constante de amortiguamiento
tiene el valor de
om = 1032 xlO4 (248)
El valor anterior noraquo indica que a la distancia x = 0C88raquon la amplitud del campo eleacutectrico
disminuye 1e veceraquo de su valor en i = 0 De donde la constant v rlr amortiguamiento es
26
sntirp-itttniKiit nt-m-ntildea para considerar una guiacutea If onda laquoit unos riacutetanlos metros laquoit-
lUgitiiuacute romo una guia gtlr (tuda ideal (sin peacuterdulas)
4 Cavidades resonantes (resonadores)
Vu disjiositivo de gran importancia praacutectirtt y estrechamente relacionado ron las giriacuteas
ltbullbull onda son las cavidades resonantes Coinraquo w sabe una cavidad resonante (resoiimbir)
bull - privi-aiiii-iitr una cavidad roinpletameiit) armada por paredes nietaacuteliias Ins riacutetales
prewiiraii ilti propiedad tllt- podriacute alijiart-uar energiacutea eiertruiiiaRuitira tMeilanie Llaquoraquos riso-
iadores han sido ampliamente estudinilos en la misma magnitud ipu- las guiacuteas de ulula [13]
Anaacutelogamente al estudio de guiacuteas de laquonula gte ha resuelto el problema de 1laquoraquo resonadores
bullbull si-rrion transversal arbitraria routenieudraquo cu su interior un medio liiMiiogt-iraquo laquogt con IOIJS-
antes y t [S] Un estudio de los resonadores de formas particulares y de importancia
praacutectica se puede encontrar en [9] Ademaacutes una analogiacutea rlaquom liw circuitos resonantes se
(iescrUumlM en (II)] Con res|x-ctraquo a esto uacuteltimo podemos decir i|iie los rlaquosraquonailores tienen
la ventaja de ser superiores a los circuitos resonantes I - C en un factor laquole 20 laquos laquolecir
iexcla fraccioacuten de energiacutea almacenada laquopie se disipa por ciclo en un resonador es alrededor laquole
1 20 de la fraccioacuten disipada por ciclo en un circuito L - C [14]
41 Caracteriacutesticas generales
Consideremos una cavidad cilindrica hueca y acotada por un conductor perfecto Fijemos
el eje 0 de nuestro sistema de referencia a lo largo del eje de la cavidad cilindrica y
Mipongamos que la longitud del resonador esta acotada entre - = 0 y z mdash d
27
Un ri-Miiiitilor pucxlr i-oiisiilcriirsc mino unraquo guiacutea ltgtbull olida finita ilimih ltlaquobull tiww laquo|ingt
iexclumilir la rotiiliacutecioacuteii di- froniirit
para ltmdagt t-n modo TM
(Mirtl Otlflugt Ill IIMMIO TE
EbdquoM = 0 (249gt
HUbdquoi = 0 (250)
En itiilii linn illt- braquo sii](rrfiiiigt plana gtbull iilruumllnniitr ngtniltiitigtragt rxistr rcriixioacuteu di-ondas
El ti|Mgt lit iiiidii i|iilt- M- irrii iexclil siiprrpoiuT iliraquo ondas ilritroinatnitiias ron iexcliinplttudis
iguales y propagacioacuten en sentidos opuestos es ]iri)|iiiexcliinciiir rl di- uni onda estariouarin De
donde las rigtui]M)iiilillts axiales ilr 1ltKS rniupos ilclxn ttinl bullbull forma
para ondas en moiin TM
E = ( r r - )oi ^ - ) = 0123 (251)
para onda cu modo TE
H = Tf)raquoeM^-) j gt - 1 2 3 (252) o
Laraquo componentes transversales de los campos se determinan de (28) y (20) Para
ondas en modo TM obtenemos
28
Jfr = mdashT-cogtbullmdash )bdquo x V
(253)
vrrrgtjlaquogtijiiiciitfuifj)tc para ondas wi modo TE
pound = _ittif iacute iacutef)i1yr
W = iacutefJ_bdquo s (^)V
(254)
poundgtbullbull in-s riiiiiliiioliiN de frontera (249) y (25U olrtnirmos lt|iir 1iexclI ionstiuiti- ili- propagacioacuten
ltgtiitii 1ltraquo valores
r = uumlf = (0)123 ti
bull iexclonde de In ecuacioacuten (27) los vnlonv propio so expresan romo
(255)
(256)
La ecuacioacuten (25G) forma un conjunto discreto de valores que determina la frecuencia
bull ir resonancia para cada valor de p y bdquo es decir a cada tipo de onda estacionaria le
corresponde una frecuencia propia
vJ (257)
29
Fig22 Litraquo midas rsUt Miliaria- ilgt mi rismnclnr lidien en su lifiigiliitl un iiiiniTii IIIIITH ilr
niilMlcraquo lie la loiigilini tit- IgtMltU St- miii-sira H raso para )gt - Iiquest41 bullbull U exprntiiiacuteii iquestat)
En alaquoManii si mi si ritiniiita otra rosa raquobull omiten los Milmidiees rtii y laquopie ranraquo
UTIacutezan los modos laquoIr oscilacioacuten Ln resultado iiiiportaiilr laquole la ccuaraacutem (257) e laquopic se
pueden elegir Ian dimensiones ademadas ilcl resonador lie tal forma laquopie este opere ni una
frecuencia uacutenica de resonancia
Si comparamos (255) con la expresioacuten general para la parte real de la confitante de
propagacioacuten T = 2irA se concluye que para cada modo de resonancia la longitud del
resonador es proporcional a un nuacutemero entero de mitades de la longitud de onda (Fiacuteg22)
d s p ^ p laquo ( 0 ) 123 (258)
El caso plaquo0 correspondiente a la condicioacuten de corte para ondaraquo en modo TM tiene un
30
Mereacutes partieular ya qne eu este caso la longitud de nuda tiende a ser infinita entonces de
laquobullcuerdo ron (258 obtenemos
d - 0 bull oo (259)
ie donde la longitud del resonador esta indeterminada Los modos correspondientes a
gt raquo 0 existen en el resonador para cualquier longitud de la cavidad
Una propiedad de las ondas estacionarias es que loraquo CMIII|MgtK eleacutectrico y magneacutetico se
encuentran defamados en ir2
-ll = rt + iexclJ (2C0)
iielndu a ello existen instantes de tiempo en el resonador en que existe uacutenicamente el
bullampo eleacutectrico y momentos en que solo existe el rompo magneacutetico Como resultado de
este defasamiento el vector de Pijymiug resulta ser UIIH magnitud puramente imaginariacutea
de donde ai promedio con respecto al tiempo no existe transmisioacuten de energiacutea ya (pie el
valor promedio del vector de Poynting resulta ser indo Su - [ pound ] IitEacute x iquest ] = 0
42 Energiacutea almacenada y calidad de los resonadores
La energia total promedio almacenada en todo el volumen del resonador es la suma de las
energiacutearaquo eleacutectrica y magneacutetica promedio almacenadas por los modos normales
W m WE + WH (261)
donde
31
HiliacuteX-trade 2 M gt
Yraquo que en el resonador no hay MU flujo neto de energiacutea entonceraquo cu el cano en lt|Ur el
medio i|w Urna 1raquo guiacutea no genere |raquoeacutercliltlas di- energiacutea la energiacutea eleacutertririacutei y magneacutetica
promedio seraacuten igualo entre si Hiquest- s Wraquo Evaluemos la energiacutea total promedio alinarc-
tiada en el volumen del resonador |gtara ondas en modraquo TEmnf En este raso se tiene
=[iquest1U bull (2C4)
la cual puede expresarse cu teacuterminos de la integral de area tie la (tuicioacuten propia
= H(riacutep) evaluada sobre ln seccioacuten transversal de 1raquo guiacutea
bull-[iquestliacuteHs)]-- donde bull tiene la forma (227) Tomando uacutenicamente la parte cosenuiacutedal de (227) e
integrando de la misma manera como se evaluoacute la integral de (235) obtenemos
toT 47V ^n-m)Jmi^a) (266)
Para el caso particular de una onda en modo TEui se tiene
32
= [iquestiexcl](0375)|poundi|laquoib2 (2C7)
donde
1 1 - ^ (2-68)
raquo el valor di- lu magnitud tlt-1 riiinpo eleacutectrico en el centro di- la seccioacuten traiisveriMi) del
resonador
En griirral pura resonadores i n h siempre hay absorcioacuten ib energiacutea 1st nial se reashy
liza principalmente por dos raualcs a) porque el medio (pit- Ik-iui lu guiacutea es un medio
absorbente y Iraquo) debido a la conductividad finita de las paredes del resonador En cada
uno de estos casos las frecuencias de resonancia se vuelven cantidades complejas las ruakt
podemos escribir en la forma ugt = w + iw Entonces si la dependencia temporal de loraquo
campos es de la forma
Eacute(t)laquo Ac1 (269)
obtenemos que la energiacutea total promedio de un modo normal en un resonador real es
W(t)laquo W(0)e-3 (270)
donde se observa que se pierde al transcurrir el tiempo W(0) es la energiacutea total almaceshy
nada en el resonador en r = 0 Introduzcamos un paraacutemetro llamado factor de calidad Q
definido como 2n veces la razoacuten de la energiacutea almacenada en el resonador promediada con
respecto al tiempo entre las peacuterdidas de energiacutea por cada ciclo de oscilacioacuten
33
Qenrroiu ulmactnnda
SS itj mdash ^ mdash mdash ^ mdash ^ mdash mdash
jttrtlidim lit tnergtn
= wmdash IV
PmAtf
donde
(271)
P = - ^ I27-raquo)
egt la potencio media qui sc absorbe en tin ciclo de oscilacioacuten debido n las corrientes
superficiales de las |Ktrtdes del resonador (comparar ron la ecuacioacuten (224)) Di (270)-
(271) piulemos obtener que Q = raquo-2u Por lo tanto la frecuencia raquogt laquobull pnctlc expresar
a traveacutes de Q romo
=yj1 + eacutejh 273)
43 Excitacioacuten de los modos de oscilacioacuten
En el problema de un resonador ideal (sin jroacutedidas de energiacutea) cada modo de oscilacioacuten
tiene perfectamente definida su frecuencia propia de resonancia (257) Esto quiere decir
que si se quiere excitar un modo particular de oscilacioacuten en el resonador la frecuencia
de excitacioacuten debe coincidir exactamente con su frecuencia propia de resonancia En
problemas reales esto no ocurre y en lugar de ello se cuenta con un banda de frecuencias
alrededor de la frecuencia propia en la cual el modo de oscilacioacuten puede ser excitado La
existencia de esta banda de frecuencias se debe a que existen peacuterdidas de energiacutea
Para mostrar lo dicho anteriormente notoacutenos que las oscilaciones del tipo (260) se
pueden representar como una superposicioacuten de oscilaciones estacionariacuteas Supongamos
34
i le el campo electromagneacutetico se crea en el instante f = 0 y se le laquoleja oscilar libremente
para t gt 0 Obteniendo su transformada de Fourier de (269)
iquest(w) - p rt+Uacutet+Vt- (274) 2ff Jo
y evaluando la integral en (274) considerando que pound(t)| lsec = 0 se obtiene
cuyo valor absoluto es
eacuteMl = M mdash i ^ (27C)
La ecuacioacuten (27C) nos da un conjunto de curvas de resonancia para cada modo de
oscilacioacuten Cada graacutefica tiene su valor maacuteximo en w = u (Fig23) Los puntos ltii los
cuales la curva disminuye lgtsect de su valor maacuteximo se llaman puntos de potencia media y
su separacioacuten en frecuencia se denomina ancho de banda A cada punto de potencia media
le corresponden las frecuencias
w3 = w + ^ (278)
de donde obtenemos que el ancho de banda detennina el factor de calidad del resonador
en la forma
laquolaquo5 a raquoiquest- ltraquogt
35
IlaquolaquoM
Fiacuteg23 Curva (Ir resonancia para el mudo de oscilacioacuten a- Loraquo puntos |rV(laquo-|)| y |MJ)I son
lot punto dp potencia mediacutea y raquoraquo separacioacuten define el ancho de banda
Si las peacuterdidas de energiacutea son pequentildeas entonces las bandas de frecuencia son estrechas
Sin embargo siacute las ]ieacuterdidas son considerables entonces las curvas (le resonancia pueden
llegar a sobreponerse una sobre otra provocando la excitacioacuten mutua de los modos de
oscilacioacuten
44 Resonador de forma cilindrica
Consideremos ahora un resonador cilindrico Primeramente obtengamos las soluciones de
los campos para una onda en modo TE en un resonador ideal y posteriacuteormeite calculemos
la Q del resonador para este modo debido a la conductividad finita de las paredes metaacutelicas
Para este tipo de resonador y para ondas en modo TE las funciones propias o solucioneraquo
36
correspondientes al problema transversal (23 tienen la forma (227) ron los valores propios
1228) Ademaacutes con ayuda de las expresiones (234) se obtienen las expresiones de las
componentes transversales en coordenadas cilindricas y entonces escribimos los campos
en la forma
pit H- = C0Jn(mrr)cos(mj)sen(mdashz)
Hr = -r-mdashlt0-m nr)laquow(mi)laquow(-j-) O ~lmr O
H - -raquo -3 pound - -Jlaquo ( -mr)raquoen(ms)oraquo(5) (280) laquo in r laquo
E = 0 iCriquestft m laquor
E = mdashJB(-mraquor)iacutetrw(raquoraquof )rraquoi(mdashs) win
_ iacutei Co WK poundw = Jm(TimRr)laquow(raquon^)raquocii(-j-iacute)
C mn laquo
Sustituyendo (228) en (257) obtenemos para las frecuencias de resonancia la expresioacuten
i raquo J c
wmn= 4 = J ^ + (^) g | (281) c
El modo fundamental para las ondas tipo TE tiene como subiacutendices m = TI = p = 1
Este modo TEm es el modo fundamental de oscilacioacuten en la cavidad si la frecuencia de
resonancia u m para ondas TE es mas pequentildea que la frecuencia de resonancia corresponshy
diente a las ondas TM (wougt) Se puede demostrar que si d gt 203a (a es el radio del
resonador dado en cm) entonces el modo TE es el modo fundamental de oscilacioacuten del
resonador [9]
Calculemos ahora la Q del resonador debido a la conductividad finita de sus paredes en
el caso de ondas en modo TE La potencia que se pierde debido a las corrientes superficiales
en las paredes del resonador se calcula en la forma
37
bull -1iquest]iquest r r bull -bull+pound[+ - 4 (2-s2) donde ntilde| y ntilde2 son vectores unitarios normales a iraquo superficie cilindrica y a las superficies
transversales circulares respectivamente La expresioacuten (282) puede reescribtrsreu la forma
bull= [iquest] iquest j f W + lraquolaquol2)U + 2iquest J-iacutelJiacute + IWPMraquo bull (283) Usando las expresiones de los campos (2S0) sr resuelveraquo laraquo inti-gralcs de (2S31 en la
forma
I r l l f fo l mfa r ~ UirJ 2vlaquo 2 1 + bullpound(bullgtbullgt+
+2|CIraquopound [ lpoundrAOr)+ bullO^] laquo] bull Haciendo el cambio de variable x = fr obtenemos
I laquo-1 IColraquo iexclda UffJ 2ffiacute 2 m ]Cppoundr |dlaquo UffJ 2ltriacute 2
1 +
1 + rraquoraquo
J Iacute O laquo ) + 2 ^ j f [2iacute Ji(gt+J(X)] d
^(70) + [(7laquo)3(l~)^(^)] (284)
Sustituyendo la expresioacuten de f = ^ )bull arreglando teacuterminos resulta
Finalmente sustituyendo (266) y (285) en (271) obtenemos el (actor de calidad debido
a la conductividad finita de las paredes del resonador para ondas en modo TEmnt en la
forma
38
Consideremos un resonador cilindrico en el cual oscilan ondas electromagneacuteticas en
nodo TEm cou una frecuencia raquobull = 15394 gt 10degr (A = 1224cni) El resonador es de
bronce de conductividad o = 1413 x lOlsutiquestergscm y tiene un radio interno a mdash Ion
Pitra este resonador determinemos en el caso p = 1 los siguientes paraacutemetros a) la
longitud apropiada del resonador b) el factor de calii id ilrl resonador y ltbull) el audio de
banda donde sr puede excitar el modo TE
a) De acuerdo con (258) la condicrlaquon de un resonador es tal qui en su longitud exista
un nuacutemero entero de mitades de la longitud aacutev onda
d P Px
2 V1-WW - - _ V l (287
Despueacutes de sustituir los valores respectivos de A o y de los subiacutendices que caracterizan al
modo obtenemos
d - T13cm (288)
b) El factor de calidad Q del resonador se obtiene de (286) expresioacuten que reescribiacutemos
para ondas en modo TEm en la forma
Ud (l + 0343amp4)
2nlt61 + 02092 + 02436$
39
La permeabilidad magneacutetica del bronce (je) no difiere Mgninrativanicntt- riel valor corshy
respondiente al del vacio (lt as ftc - 1) Entonces la longitud de la capa piel (244) resulta
A = 812x 1 0 - W (290)
Finalmente obtenemos ltw el factor de calidad tiem- el valor
Q = 404903 (291)
c) FinalriKiitf nilrtilt-inos el ujrlifgt di- llaquoiinli en el nial la onda en moilo TEw puede
ser cxcitaihi Utilizando (277) y I27S) obleiicnicraquo los punto ile ]raquoifriiriiexcli inedia
-bull as 153927 x iexcluHz
w2 ss 153952 x 10VH
Por lo Unto el micho de banda tiene el valor
ui2 - ugt = 000025 x 10Hz
Observemos que el ancho de banda es lo suficientemente angosto relativamente por lo que
uacutenicamente se excita el modo TE Se puede demostrar que la frecuencia de resonancia
fundamental para ondas en modo TM es uiolo = 1031 x l0nHz
40
CAPITULO 3
TEORIacuteA DE PERTURBACIOacuteN
Toda Teoriacutea ile Perturbacioacuten establece que en ciertos casos los problemas irregulares
aquellos que no tienen soluciones analiacuteticas exactas) pueden ser considerados romo rrjpi-
iexcliexclTVraquo que sufrieron cierta perturbacioacuten Cuando la perturbacioacuten es suficientemente pequentildea
u el problema irregular podemos obtener una solucioacuten aproximada conociendo la solucioacuten
ltiel problema regular [9] El meacutetodo perturbativo se ha utilizado extensamente en las guiacuteas
de onda Existen trabajos donde se analizan los efectos de las perturbaciones en lew valoshy
res de frontera [15] asiacuteromo de las perturbaciones generadas por un pequentildea muestra de
Vrrita en el interior de las guiacuteas de onda y resonadores [1C] En este capiacutetulo se describe
ia teoriacutea baacutesica del meacutetodo perturbativo desarrollada en |17] en el caso cuando las guiacuteas
de onda y los resonadores contienen un pltsma en su interior
5 El Meacutetodo de Perturbacioacuten en las guiacuteas de onda
En la seccioacuten (32) se mostroacute que la propagacioacuten de ondas electromagneacuteticas en guiacuteas
de onda cilindricas se describe en teacuterminos de sus modos caracteriacutesticos Cada modo se
caracteriza por su constante de propagacioacuten Dependiendo de las dimensiones geomeacutetricas
41
de la guiacutea de mida estos modos o bien se propagaraquo o bien se atenuacutean En ln praacutectica Ins
dimensiones de las guias de onda siempre se escogen de tal forma lt|iii- unir amenteacute se puede
propagar el modo fundamental
El caso cuando se tiene una guia de onda parcial o completamente Urna con un plasma
sir produce uu cambio en los paraacutemetros caracteriacutesticos principales laquopie describen a la
guia de onda Si el efecto del plasma en tales paraacutemetros es lo suficientemente pequentildeo
entonces la teoriacutea de pertubacioacuten resulta ser mur adecuada para calcular ln constante de
propagacioacuten
Consideacuterenlos la propagacioacuten di ondas electromagneacuteticas a lo largo de tiiiiacutei guiacutea de ouila
cilindrica que se encuentra parrial ltgt rompidamente llena ron un plasma inhomogeacuteneo Si
sujHHiemos (|iir las caracteriacutesticas del plasma son axialmente uniformes podemos encontrar
la constante de propagacioacuten y las distribucioacuten de los campos
La propagacioacuten de ondas electromagneacuteticas en las guiacuteas de onda con plasma se tlescribc
por las ecuaciones de caminiacute
V x f + i - J = 0 (31) c
VxH-i-pound=mdashJ (32) c c
La condicioacuten de frontera se obtiene suponiendo que la conductividad de lax paredes de
la guiacutea de onda es infinita
|ntilde x Eacute = ntilde Ntilde = 0 (33)
donde ntilde es tin vector unitario normal a la frontera En ausencia de plasma la parte derecha
42
gtbull (32) es cero y el problema se reduce a U propagacioacuten dp ondas en una guia dlaquogt ondas
ivieca (Cap 2)
Las amplitudes del campo de las ondas normales se determinan en la forma
Eacutet(f) = pound ( I j e - i raquo w (34)
(F) = j(rj ) e- i ( r -
iquestonde r esel nuacutemero de onda En ausencia de peacuterdidas T es real (F = iacutei) Vamos a
suponer que las ondas se |gtropagan a lo largo del eje 0 paralelamente al eje de la guiacutea dr
onda
Para ileterniinar la influencia del plasma en la propagacioacuten de las ondas rlrrtroiiiagm-
licas en una guiacutea de onda es coacutemodo descomponer las ecuaciones pura las componentes
longitudinales y ]gtcr]gtendiculares del campo Estas ecuaciones se obtienen al descomponer
los campos y el operador V en la forma
pound = 4 + poundx ntilde = fflaquo + Ai = Lpound) + fjpound) (35)
V = Vbdquo + V I
donde los subiacutendices X y || denotan las componentes perpendiculares y longitudinales es
decir su proyecciones perpendiculares y paralelas al eje de la guiacutea de onda O) Sustishy
tuyendo (34) en (31)-(32) y considerando (35) obtenemos las ecuaciones en direccioacuten
perpendicular y longitudinal en la forma
- ^ [ V x ^ + V n ^ + i - l i o x f j = - mdash iexcl 0 x pound ( ) ] (36) IUgt C C
f-Vx[VxEacutex)-Vtamp-i-iexcloampl mdashrJiexcl (3-7) w C tt
43
donde i0 es un vector unitario dirigidraquo a lo largo del eje O Las componentes longitudinales
de tos campos se relacionan con las componentes jicrpctidiculares jKraquor liis expresiones
OZfy+^ftE) = [VxJbdquo (38)
Al = - - V x f ^ (39)
Ahora considerando que las ecuaciones de Maxwell son expresiones lineales es decir
que la combinacioacuten lineal de dos de sus soluciones tambieacuten es una solucioacuten y anaacutelogamente
para las condiciones de frontera (24) y (2C) determinamos (pie una solucioacuten maacutes general
del problema de uiiiacutei guumliacuten de onda sin plasma es una superposicioacuten de todos los modos
]MKgtibies de proiHigarioacuten con valores apropiados para sus eoetiacutecieiites Si la perturbacioacuten
originada por el plasma es lo suficientemente ]H-ltiuentildeu iiodemos suponer (pie la desviacioacuten
de cada uno de estos coeficientes es pequentildea con respecto a su valor no perturbada Dr
aquiacute que las componentes perpendiculares del cam]Mgt en una guiacutea de onda con plasma
se puedan representar como una serie (combinacioacuten lineal) con resjiecto a las funciones
ortogonales poundfc y Hk que determinan las comjioncntes transversales de los modos normales
en una guiacutea de oudn sin plasma
k
Los campos satisfacen las relaciones de ortogonalidnd [18]
(310)
JsEacute-kEacutedraquo laquo Nttu
JtpoundixEacute]deacute = ZSttu (311)
44
iquestiuumlaacutef el su|MTUacutegtdiexclctraquo denota el complejo conjugado de los campos Z = cTgt para
ltJAH ti|Mgt H y Z = wcT para ondas tilraquo pound ltlaquo es el siacutembolo de Kronecker bu = 1 si
raquo = y iquestbdquo = uuml si i- = ) y la integracioacuten se realiza sobre toda lo serenan transversal ilr la
tub de onda
Utilizando (310) y (311) rocontratnos las expresiones para los coeficientes uiquest y bk
(312) iexclsntilde ntildexu
Sistiruyriiiliraquo las seriacutees (310) en (3C) y (37) obtenemos el sislrinii f|i- eriiiioacuteoiirs
poundlt5r + ilgttfraquo4 = -- |iquestux(pound))l l t (313)
Ely+W)4 = VJbdquo (314) iacute
Multiplicando (313) vcrtorialinciitc por E[Aacute y (314) jMraquor HlM e integrando en 1raquo seccioacuten
transversal dr la guiacutea de onda obtenemos ron ayuda de las roiidintildeoucs de norma (311)
laraquo ecuaciones
rA + X KzcLEacuteltsEacute^ 3 1 6 gt En el caso en que los paraacutemetros del plasma no dependan de i la dependencia de los
campos con respecto a z se puede considerar de forma exponencial como en (34)
Eacute(jyz) = Eacutexy)t-iT ntildexvt) = ntilde(xy)r
45
(317)
o t ( iacute ) = laquo- M ) = V eacute r
Sustituyendo (317) n i (315) y (31C) obtenemos
laquoriacute - - - S S L bull +Ssect bull Uuml- 318)
Luraquo fiimriidirs (31S) y (319) |xira diferentes k roiii|xmni un sisirmraquo ltb-it-imrioiies lioinraquo-
geacuteneus liacutenenlegtgt ron res|gterttgt n liis roeiit-ientes nk y laquoV Lu riiudiriitn ilr solubilidad (igual)id
a rifo laquobrl determinante) determina la constante ib- igtrigt|Mi)igtiOacuteM Sin roiUirjpi el sistema
(318) y (319) resulta ser un problema muy laquolifiril laquoIt- resolwr De alaquo|iiiacute i|iie iexclti laraquo partes
ilereelias laquole (31S) y (319) son lo siinritrntetueiitc |ielt|iirntildeaH |MMICUIUS emplear la teoriacutea laquole
|MTturlgtMrilaquon
Sil|Kgtlliciifllaquogt fjflf- la denudad lie mrrirntc H traveacutes ilel plasma es (laquornjxirriimal H tin
paraacutemetro pequentildeo podemos descomponer las (-nulidades airaquorgt y E cii tiTiiiiiiiraquo laquole laquowte
paraacutemetro
bk = ZKv lt3 2 0gt
r - poundrubdquo
46
donde el subiacutendice ( dentildene el orden de pequentildees Vamos a considerar que en ausencia del
plasma en la guiacutea de onda se propaga el modo fundamental de una onda tipo H denotada
por iacute = 0 Ademaacutes si en la aproximacioacuten de orden cero se tiene
poundi = poundgt pound = pound | |= 0 (321)
entonces
ltbdquo - Abdquo (322)
Tiacuteo) = iexcl1lth
Asiacute considerando las expresiones (320)-(322) de (318) se oliticne la siguiente exshy
presioacuten en orden cero para lax ondas tipo H
laquo(bdquo[(r(0) + rbdquo + )raquo- rg = -^f-1 pound bdquo bull J(Eacute)d +
cAuZ|o) Js
de donde rlt -7IacuteT7-L iquestiacutef(Eacute)ds- (323) 2ni
Para las ondas tipo H Z(0) = c-iexcl^- mdash ^ de donde obtenemos finalmente
TMampLtedeg-f[Eacute)di- lt324gt
47
La cantidad compleja r ( 1 ) nos repcscnta el cambio que sufre la constante de propinacioacuten
T |Hgtr la presencia del plasma es ilecir es la correccioacuten a primer orden en la constante de
propagacioacuten (I = T - Tf0)) Esta cantidad se puede escribir en forma de unraquo suma de
sus componentes real e imaginaria
r bdquo = AJbdquo - iAobdquo (32b)
siendo An) gt 4 ltgt(i) las fracciones de cambio de la constante de fase y de amortiguamiento
respectivamente ocasionadas por la presenria del plasma
En corn-spomlencia con (32-1) y escribiendo la densidad de ciirrietite cuino J mdash J + i j
( es la parte real y es la parle iimiginaria) las cautidades de (325) toman respectivashy
mente la forma
iquest 4 1 = - V ^ V bull (3-20)
iquestngt = ^ C J bull (327)
2JSEacuteiexcl-Jiexcld
Vpoundbullpoundbdquo
far sfr0-Eacuteltj
En medios lineacuteale) anisotropicraquoraquo e inhomogeacuteneos la densidad de corriente r relaciona
ron el campo eleacutectrico en la forma
J=aEacute =mdashampbullpound (328) 4ir
donde amp es el tensor de conductividad eleacutectrica Af = (iacute - ) i es el tensor de permiacutetividad
dieleacutectrica e es el tensor unitario
Utilizando la expresioacuten (328) podemos reescribir (324) en la forma
48
wJ ft R bull Aacute iacute bull Ed
laquo Wen
r ^ poundbullampbullpound (330
En las expresiones anteriores no hay que olvidar que el campraquo eleacutectrico se expresa romo
una serif con respirtn al paraacutemetro pequentildeo pound Las expresiones (324)-(330) corresponden
iexcli iraquo aproximacioacuten de primer oidrn La condicioacuten que si- debe de satisfacer seguacuten la teoriacutea
de perttirlsirioacuten ni primera aproximacioacuten es tal qult- 1raquo magnitud de cambio en la ninstaiitr
de propagacioacuten debe ser sinnpre mucho menor que la magnitud laquobull- la difereiiria entre las
riHiMniitcraquo ilc propagacioacuten di cualquier modo con respecto al modo fundamental
ri lt r 0 r m lt |ru - rt| para todo Jl^O (331)
o con respecto a A y Aigt obtenemos
(332) Aibdquo laquo iquest A^bdquolt |A -r | iexcl
poundltraquobdquoltamp Ao(1)ltt|iquestt-rraquo|
6 El Meacutetodo de Perturbacioacuten en los resonadores
Anaacutelogamente al estudio de las guiacuteas de onda conteniendo plasma en su interior el anaacutelisis
en los resonadores que se encuentran parcial o completamente Henos con plasma exhibe
cambios en los paraacutemetros principales que describen los resonadores huecos En la seccioacuten
(41) ae mostroacute que un resonador tiene un nuacutemero infinito de modos de oscilacioacuten Cada 49
modo se caracteriza jagtr su frecuencia de resonancia su factor de calidad y su corres|Hraquon-
diente distribucioacuten de CHII)|Kgt La presencia del plasma en un resonador priMlure princishy
palmente un cambio en la frecuencia de resonancia en la cual el resonador se encuentra
opilando y en el factor de calidad Si la influencia del plasma en tales ]gtaraacutemetros es sufishy
cientemente pequentildea entonces para el anaacutelisis de este problema podemos tambieacuten emplear
la teoriacutea de perturbacioacuten
Consideremos un resonador que oscila en una de sus frecuencias de resonancia y que
contiene un plasma distribuido axialmente Evaluemos los iambins i|ite se producen en
liexcli frcciMiiciii de resonancia y en el factor de calidad del resonador Las distribuciones de
ciexclim|Hgty las frecuencias de resonancia se obtienen integrando las ecuaciones de campo (31)
y (32) con la condicioacuten de frontera (33) En este caso la condicioacuten de frontera (33) se
iipliia en la frontera cilindrica laquoleiacute resonador y en las superficies planas del mismo En
ausencia del plasma los raiiipos satisfacen las ecuaciones (31) v (32) con la piiacuterte derecha
igual con cero
VxEacutek + imdashH~k = 0 r (333)
V x Hk - mdashEacutebdquo = 0 c
y la condicioacuten de frontera (33) Donde se ha utilizado el subiacutendice Jt para denotar el
modo k de oscilacioacuten en un resonador hueco con frecuencia de resonancia ui Los campos
Ek y Hi satisfacen las relaciones de ortogonalidad
jvEacutekEacutedV = NkeacuteM
(334)
JvIacutekntildedV = Lk6kl
50
donde el superiacuteiidice nos indica el complejo conjugado de ios cam]gtos y la integracioacuten
igt realiza sobre tftdo el volumen del resonador
Se conoce que todo camjx) vectorial se compone de la suma de una parte con divergencia
ltITltJ iparte solenoidal) y una parte con rotacional cero (parte potencial) Para observar
la it^iuencia del plasma en la oscilacioacuten de ondas electromagneacuteticas es conveniente utilizar
este hecho escribiendo el campo eleacutertriacuteco como la suma de una parte solenoidal y una
potencial
Eacute = Eacute + Eacutebdquo V Eacutei = 0 (335)
V x Eacutebdquo = raquo
Llaquoraquos vectores solenoidales Eiexcl y H ile un resonador con plasma se pueden representar
como una coinlgtiuacioacuteu lineal de las funciones vectoriales Ei y Ht tjue detenuiiacuteian las
componentes solennidalcs de los modos de oscilacioacuten en un resonador sin plasma
Eacute = 5 gt pound raquo (33C) k
H - J gt amp (337)
Usando (336) y las relaciones de ortogonalidad (334) se encuentran las expresiones para
los coeficientes a y 6
TV (338)
_jvEacute-EacutexaacuteV 6gt 5 mdash bull
Sustituyendo (336) y (337) en las ecuaciones de campo (31) y (32) y considerando (333)
obtenemos eacutel sistema
51
k 1330)
J^(traquow-a tuf t)5 = 0
Multiplicando escalarmentc la primera ecuacioacuten de (339) por pound y la MRIIIKIIacuteI JMW HJ e
integrando sobre todo el volumen del resonador obtenemos
[b^k - laquow) = pound Eacute] bull poundkM - ^ I Eacute TIV (340)
(JW-laquo) = o 1341)
El primer tmuiiacuteiraquo tit- la tlrn-rlm ltb (340) i-s IacuteRIIUumlI IIHI erro Siacute ili-sprjaiiio ltbull (341) fr
y lo sustituimos cu (340) otitciii-inos
iJiexcl - J)nbdquo = Jj^L(pound-k f(g)dV (342) iexclSi Jv t
tlmide
k = ^ laquo 4 (343)
y Vi es el volumen que ocupa la columna dr plasma Sustituyendo la primera expresioacuten
para a de (338) en (342) se obtiene la relacioacuten
2 Jv Eacuteiexcl bull JEacute)dV - a g - iacute - 4 trade ^ iquest r f v 044)
donde se ha remarcado la dependencia de la densidad de la corriente con respecto al campo
eleacutectrico Por otro lado se observa que las ecuaciones (342) y (343) para diferenteraquo valores
de k forman un sistema de ecuaciones homogeacuteneas lineales con respecto a loraquo coeficientes
a La condicioacuten de solubilidad (igualdad a cero del determinante) determina la constante
52
bullltbull propagacioacuten Si la parte derecha fie (342) es lo suficientemente pequentildea jiodeinoraquo
ltiijgtlear el meacutetodo |gterturbatiro
Suponiendo laquoue la densidad de corriente a traveacutes del plasma es proporcional a un
paraacutemetro pequentildeo ]gtodemos desromponer las cantidades OkM^ ) E laquogt teacuterminos de este
paraacutemetro
h = poundbdquo lt3-45gt
(
lioiide el suloniHir ( define el orden (le peqncntildees Si en ausencia del plasma sr excita una
onda lie frecuencia UumlIiexcl en el resonador entotires en la aproximacioacuten de raquorltbii cero se tiene
pound|o) = Eiexcl
a = eacutelk (346)
Sustituyendo (345) en (344) e igualando los coeficientes de la misma potencia con respecto
al paraacutemetro pequentildeo se obtienen las soluciones en distintos ordenes de aproximacioacuten En
primera aproximacioacuten para k = l resulta
gt bien
53
= 2 ^ ^ 347)
En gmrral J ( ) ) es tuia cantidad complt-ja i|ttr mis reprcscuta la i-orrerrintildeu a primer
orden en la fnriirncia compleja de resonancia (uim = m mdash wi) Di- acuerdo ron (274) esta
cantidad puedr escribirse en la fonna
-bdquo = Aw + IA iacute J (348)
donde i parir mil ltbull imaginuria nos detenniunii las fraoioiirs laquobullbull cambio di- la |Ktrtc real
de la fri-eui-iicia di- n-soiiamia y la calillad dri resonador rcsptitivaiiniitc ocasionadas por
la pn-Hcuciacutea del plasma
En corrispoiidiiicia ion (347) escribiendo y descomponiendo la densidad de corriente
ronio J = 3 + i 3 (3 lts la parir real y 3 i la partiacute- imaginaria) las rantidailps ib (34S)
tulliacutean rirspeclivaineute la forma
- raquo m _av-j (340) wi w iexclv Eiexcl bull EilV
Qi) un fvpoundiexclEacuteM
En medios lineales anisotroacutepicos c inhomogeacuteneos la densidad de corriente se relaciona
con el campo eleacutectrico en la forma (328) De aquiacute qtie )gtodamos reescribir (347) como
WIacuteII bull - mdash mdash s mdash s 351) 2 v poundJ bull EdV
Para evaluar las correcciones en segunda aproximacioacuten a la frecuencia compleja de resoshy
nancia se sustituye la correcioacuten a primer orden del campo eleacutectrico E - poundbdquo + pound en
54
3441 la rual se determina por la expresioacuten (342) al evaluar cada uno de los rieficientes
u ron k JEacute
trtonces las correciones a las partes solenoidal y potencial se expresan en la forma
V pound | bdquo = mdash V bullbullltpound) (354)
Las roiidiiioniK laquo|nr se ilrlx-n satisfacer pariacutei cpir la expresioacuten (347) KIIacuteI viiacuteliiluuml es tul
([iilt parsi i ^ tentniMM
^ (355)
y |Hgtra I- =
A M mdash laquo 1 (366)
bull(4) e l
55
CAPITULO 4
INFLUENCIA DEL PLASMA
Eu i-sti- i-itpitulo en base al meacutetodo perturhativo descrito i-n el capitulo 3 se obtiene
el gtiexcliiiil)io laquopie sufre In constante de propagacioacuten para lindas rleclioniagneacutetiras eme se
propagan iii miii guiacutea ile onda ciliacuteiidriiacutea que i-oiitieur en su eje una roluijjua laquolaquobull plasma
friacuteo iiiliimiogeacuteufraquo y magnetizado Ademaacutes se determina la vaniiiioacuten ite la frecuencia laquole
roouancia para las ondas electromagneacuteticas qui se eiiruentran oscilando en tin resonador
cilindrico que contiene una columna de plasma friacuteo magnetizado e inhomogeacuteneo distribuido
axialmcnte Si- calculan las variaciones de la constante de propagacioacuten de la fierucucia de
resonancia y laquoleiacute factor de calillad jgtara diferentes valores de wjJJ1
7 Influencia del plasma en las guiacuteas de onda
Vamos a considerar como paraacutemetro pequentildeo que el radio del plasma es mucho menor que
la longitud de onda y que el perfil de densidad de electrones es de tipo paraboacutelico con
respecto al radio Ademaacutes el campo magneacutetico externo se considera homogeacuteneo y dirigido
a lo largo del eje O (Fig 41)
Como ya sabemos en una guiacutea de ondas cada modo de propagacioacuten se caracteriza por
56
Bo
P L A S M A
Fig41 Sc inwsira nnraquo i laquolimiiia ilr plasma laquoIc ratlin rbdquo loi aliidi sobre el ltbullbull bull)bull- miacutea guiacutea laquole
ogtda rihiiilrii-a dc railio rt in rampo iiiagnrliro externo iquestV osla dirigidraquo a Iraquo largraquo del ltbull)gtbull (gt
t i rumiante propagation Su parte real o factor dr fane drtrniiiiin la vrinriibul ill- fiiw
iexcluiftitraraquo I 1 piirti- imaginaria laquogt riwrkienlc tic absorcioacuten tlrtmniiacuteia el raquoinltgtrtigiiiexcliiiiiexcli-iitigt
(ir los diferentes modos ir propagacioacuten El efecto que se origina ttiantiraquo se rolix-a IIIIIacuteI
columna de plasma dentro de la guiacutea de ondas es un cambio en la constante de propagacioacuten
De acuerdo con la teoriacutea de perturbacioacuten este cambio es proporcional a la razoacuten del cambio
de energiacutea dentro de la seccioacuten transversal que ocupa el plasma sobre el vector de Poynting
evaluado sobre la seccioacuten transversal de la guiacutea de onda
r r - u _ IM-bullpound _ bdquo
donde las cantidades con subiacutendice 0 denotan cantidades no perturbadas (sin plasma)
Para evaluar la constante de propagacioacuten (41) es necesario obtener las soluciones de los
57
campos eleacutectrico y magneacutetico dentro del plasma en teacuterminos del jiaraacutemetrraquo peipientildeo
Para el caso de un plasma friacuteo cuando la velocidad de fase ile lsts nudas electromagneacuteshy
ticaraquo es mucho mayor (pie las velocidades teacutermicas di las (laquoarticulas si- utiliza el modelo
hidrodinaacutemico Debido a la simetriacutea cilindrica del problema su]Mgtngamos ijiacuten- los campos
tienen la forma
Eacute = iquestj(r)rr+--
Expresando la ecuacioacuten de onda
V x V x Eacute - ^r-iacuteEacute = 0
(42)
(43)
en coordenada iiliacuteiiltlriras se obtienen las eniariolies para las componentes del ranipo
eliVtriro i-ii la forma
igt
i-e- - mdash - DE = --Mt - DE + mdash(poundj + rr r r r r
E + - pound + (mdashv - ) pound = pound- + mdash (rpoundr) bull r r r r- r
(44)
(45)
-rcEr + iru(e - 1)poundJ + mdash | - i laquo ( f - 1)pound + poundpound] + rraquopound3 = 0 (46)
Aquiacute las primas indican una diferenciacioacuten con respecto a r l es el tensor dieleacutectrico en
la forma [19] (Bu esta dirigido a lo largo del eje 0)
poundraquo -
pound
0
pound 0
o vi ( t iquestu(e - 1) 0
= - t u ( c - l ) pound 0 V 0 0 r)
(47)
58
aacuteHtuacutee
- - 1 ti ul2 - - f j
2
= bull laquo bull i
_ = (r) = 4r r laquobull 1iexclI freruenna plaacutesmirraquo y -laquo lt-N ]iexclI fririirii-iraquo rirlotroacuteliira dr los
bullbulllaquobullerroiirs
Si il nidio ilil pliisiiiii o |Hi|iiiiacutein iii rumpiriiriuacuten ron IIacuteI loiigiliul de onda y n Irmas pound
varia i-ii un onli-n i|f iuiacuteraquotiacute-j)i in J |IIII|P)JIIgtS expresar li viiriiirioacuteji ili rraquo la forma
poundltrgt = bull ( laquo v ) bull iacute gt h 4 S )
donde el bullmnuiirtro se lm introducido para obtener las soluciones aproximadas ni difeshy
rentes ordenes ron respecta a pound di los camporaquo eleacutectrico y inaRiirliin Haciendo rl nunbio
lie variable x mdash =pound en la ininrioacuten (45) obtenemos
E = --(pound) - -plusmnpoundE - ^iquestE + - 4 J ( Iacute pound + gt9E) (4-9)
donde B kciexclwg = u(iacute - 1) y la prima denota una diferenciacioacuten con resprcto a x
Haciendo el mismo cambio de variable eliminando E por medio de (49) y limitaacutendole
hasta teacuterminos del orden (IO1- a ecuaciones (45) y (46) toman la forma
59
F i g 4 2 IVr l i l |gtiifiacuteilraquogtlirgtgt ili li |TinHivnli i l c|i| ( I I IM I I I n m P | W T 1 I I iexclI JT - mdashgt
[j-tl ltbullpoundbdquo-)] - (mh + mnixEf = 0 141raquo)
(411)
Se observa qui- la ecuacioacuten (410) no si- encuentra acoplada ron (49) y (411) cnloiires
podemos obtener su solucioacuten En condiciones experimentales una distribucioacuten dr la denshy
sidad de tipo paraboacutelico con respecto al radio resulta ser una rnuy buena aproximado
(Fig42) En tal caso escribimos
pound = T- - t0 (412)
siendo
CO
^ deg - 1 laquo413 J1 - ^
valor de la penuitividad en el eje del cilindro de plasma
Antes de sustituir el perfil paraboacutelico de iexcla permiacutetiviefad (412) en (4S) httgtimos en
bulli10 el cambio de variables
E = il|-r-|J-) 1414
bullbull donde obtenemos una ecuacioacuten diferencial pam en la forma
(V - bdquolr-+ [-(2|m| + 1 | - + (2|w| + 3|rjr-+ 2(|raquo| - tnu)Y = 0 1415
Haciendo un nuevo cambio de variables y = xiacutei en (415 se obtiene la ecuacioacuten
wd -v)r + H +1 - ( H + 2)W- iexcl y = o lt4icgt
Eltfa uacuteltima ecuacioacuten es una ecuacioacuten de tipo hiperficomeacutetrico y su solucioacuten es conocida
20 de donde la componente angular del campo eleacutectrico tiene la forma
poundv- = CxH-F(laquo6cy) (417)
donde F(a b c y) es la funcioacuten hipergeomeacutetrica [20] C es una constante y las constantes
cb y c tienen los valores
b = l + | m | - a (418)
C a 1 + H
61
respectivamente Dlt- la ecuacioacuten (411) podemos ahora escribir la expresioacuten paro la com-
jiacuteomrntf axial en la forma (hasta teacuterminos laquoiel orden (1iacute)1)
E = _ bdquo|m| D+-plusmn-CF(abc mdash mi poundu
= DiquestnbullT mdashJEiquest (419)
donde D es una constante La componente radial del campo eleacutectrico se obtiene de la
rniacioacuten (49) sustituyendo en esta (417 y (119) El campo majiexcliieacutetirtgt se deterniina laquole
la ecuacioacuten dr Faraday
1 OD r x pound = mdash mdash (420)
c uumlt
Limitaacutendose hasta teacuterminos del orden IO1 obtenemos la componente axial del camjm
magneacutetico
H = iacute H D gt i + Jiacute-lfEj - iiacuteuumlUuml^r (42D lit inz in(
Las constantes C y D que aparecen en (419) y (421) dependen de las condicioneraquo
de frontera Para su determinacioacuten acoplemos los campos dentro del plasma con los del
vacio bajo la condicioacuten que haya continuidad en la frontera del plasma (r = r) de las
componenteraquo E y Hiexcl
Ermfl = poundo | bdquo (422)
|tradebdquo = H0rmri (423)
Considerando que e(rf) = 1 y usando las expresiones correspondiente para las composhy
nentes axiales de los campos con plasma (419) y (421) y de los campos sin plasma
02
Z = DtJbdquo~ri y H0 = CWJbdquo(-T)) obtenemos las expresiones de las constantes C y
Z teacuterminos de los cani)gtos no perturbados En el raso para m gt 0 obtenemos
2 m (m- l ) -raquo - mF(n o r y ) + jF(noriexcl() bdquo-(bullraquo-raquogt( pound)bullraquo-)
D = 2miquest- C raquo + ^ deg - (4-25gt
iacute uiquest y = xfiacutey C0 y Dlaquo son unas constantes Hasta el momento nos hemos limitado a
- rinos del orden de ( l ) lo qtw equivale H decir que lit rondicioacuten de raquo|gt]irn)gtiliilad de
1- ecuaciones obtenidas es
kr iquest
7Iacute(l + | - bdquo | r laquo 1 1420)
Una vez lt|iie se lmn obtenido las expresiones tie los campos dentro del plasma evaluemos
bullbullbull integrales de 1iexclI expresioacuten (41) que determinan la const iexcltute tie propagacioacuten para una
sua de onda conteniendo en su eje una rolumna de plasma Se considera que el problema
gt perturbado es aquel que ronsiilera una guiacutea tie onda riliacutendrira llueca |fbdquo = 1 y bdquo = 1)
pound1 caacutelculo se realiza para una onda en modo H Para este modo la constante Dp es igual
con cero y las constantes C y D se reducen a la forma
C Jiquest poundk (4 27) 2 o F(a62yi) + ytFub2bdquo)
D = - g c bdquo (428)
Primeramente evaluemos la integral en el numerador de (41) para ello consideremos
la expresiones (229) Tomando la parte cosenoidal de (229) para la componente axial
correspondientes a los campos no perturbados y el tensor de permiacutetiv lad (47) obtenemos
63
= f - - A iacute - E iacute laquo 429) J Ai
= iexcl J |pound - 1) [poundJlaquoMraquon5(r + iuE) + poundt(MraquoiT-|pound - laquopound)] (-rdrtl
donde las componentes Ew Er y Eiquest dependen uacutenicamente del nidio La integral sobre if
en el intervalo [02r j se realiza expresando el termino exponencial romo senos y renenrraquo
y romanilo en cuenta sus relaciones de o-tugonalidad Por tanto despueacutes de realizar la
integral Mible r_ se obtiene
= - f r|pound - 1 )[Er(poundr + iuE) + EI poundr- - laquopoundbull ))ltbull
A1 r raquoraquo = r r(iacute - 1 )[rCZH mdash-J m (7r ) |pound r + laquopound) +
+ CZll-Jj-lr)(E-HiEr)dr 1430) i
La integral anterior se evalna sobre la seccioacuten transversal de la columna de plasma
Aquiacute r i es el radio de la columna de plasma Por otro linio si expresamos - en teacuterminos
de la longitud de onda di corte Ar (217) para tina guiacutea de ondas hueca en la forma = ^
ohservanios que el argumento de la funcioacuten de Bessel eu (430) es una cantidad mucho
menor que uno Para demostrar lo anterior notemos que de acuerdo con (218) para que
la onda se propague a traveacutes de la guiacutea de onda se debe satisfacer que la longitud de onda
en el vacio debe ser menor que t Ademaacutes debido a que sr ha considerado que la longitud
de onda es mucho mayor que el radio del plasma entonces la longitud de onda de corte
tambieacuten es mucho mayor que el radio del plasma Esto uacuteltimo nos sirve para considerar
uacutenicamente el primer teacutermino de la serie de la funcioacuten de Bessel [12] con respecto si
argumento -yr = 2iry De donde (430) se transforma romo
G4
Ix = gtCU (1 - ti) r(pound - iy[iEr + pound)rfr (431) Jrm Ji)
-spueacutes di- hacer el cambio de variable x = iacute - r y sustituir las formas expliacutecitas fie los
gt-npos (4D) y (417) para Er y Ef respectivamente se obtiene de (431) la expresioacuten
bull - f pound z raquo r m - i f e r ( i - u ) x 4-32) x i(-- -)rxx-F(iUlt mdash)] + iirtn-iquestFuUlt~ )li
Ai [ iquestu tu J
jiirlc se han aproximado los campos hasta teacuterminos del orden (7 ) Integrando P )laquoirles
raquo n-sperto a r el primer teacutermino de (432) obit-nemos
laquo - ^ V r r ( l - laquo ) x - + f V a r - (433) 2wi lt W bullraquo iacuteraquo
Sustituyendo la forma expliacutecita para la constante C (424) en (433) se observa miacutee (T-To)
vrrere con el nuacutemero de modo vi en la forma lt~IK Para t-l casiraquo (pie nos interesa tu = 1
iexcl integral ltpir aparece en (433) es faacutecil tie evaluar Para esto liaciendo el cambio de
variable y mdash x7t0 se puede reescribir la integral de (433) en la forma
Jsl+to x
xlnF(abcmdash)dx o iacuteo
= ~iexclg yF(abhy)dy (434)
utilizando la relacioacuten de diferenciacioacuten de las funciones hipergeonieacutetricas [11]
pound-[-gtF(abc)] = (c- n)nt-F(abc - ns) (435)
65
con ii = 1 v r = 3 se obtiene
Re-escribamos (43C) en una forma maacutes conveniente pura ello usando la siguiente
foacutermula de transformacioacuten para las funciones hipergeomeacutetricas [1121]
e f e - 1)(- - )Fnbc- z) + rr- 1 - ( 2 c - laquo - b- )zFlabr ) +
(r - laquo)(r - l | F I laquo i r - 1) = 0 (437)
ron laquobull = 2 y considerando las formas expliacutecitas praquoriexcli laquo y b tie (41) ron m = 1 de (437)
obtenemos la relacioacuten
F ( w fc 3 lplusmniraquo ) s ~ 4 ( 1 ^ 1 1 ) f^Ffafci 1plusmn^gt - J-(laquo2 l plusmn ^ iacute ) 1 (43S) poundbdquo (1 _ bdquo ) ( U i l j l fu ibdquo J
Finalmente usando la igualdad [11]
FUifc2) = F(ub-) - (laquo fc2c) (439)
la ecuacioacuten (43S) se puede escribir como
F(flft3^-=2)= F(laquob2^-^) (440) poundo ( I - K ) Iacute O iacuteo
Sustituyendo (440) en (436) y tomando en cuenta la relacioacuten t = 1 + pound0 obtenemos
-^|UftV(laquoraquoi^) H41) (1 - u) e0 pound0
y sustituyendo (427) y (441) en (433) finalmente obtenemos para | la expresioacuten
66
cbdquo r (1+^) riab2 iquestraquo)
M i r iacuteo F (laquo 6 2 l^ )+ L Uuml^F (laquo iquest 2 l i iacute i ) (442)
La integral del vector de Poynting correspondiente al denominador dr (41) evaluada
la seccioacuten transversal de la guiacutea de ondas tiene el valor obtenido cu (236) de donde
h - jA([Eiquestplusmnxntildevplusmn+EacuteraquoxxHiquest ]gtltlaquo
= CJZbdquoVgt bull laquo i i
JfjjLii- (-143)
iacutegt|HIacute rbdquo es el radio de la guiacutea ilc onda Finalmente dividiendo (442) entre (443) se obtiene
bulla expresioacuten para el cambio en la constante de propagacioacuten para unii onda en inodo Hu
ltue se propaga en una guiacutea de onda ron plasma
- ( r -r u ) = Ax iacute -Fnb2-^iacute)
F(laquoJ2 bullraquo)+ ^^Ff f i 2 ^ )
donde
(444)
M= 21(rr0)3
l - 3 3 9 ^
De aquiacute se obtiene que la constante de amortiguamiento es proporcional a
(445)
o = A F(o62ttiraquo)
f(afr2 iraquo) + UiacuteampFia fc2 raquo) Mtr)
F(a62iplusmniacuteraquo) (446)
07
Esta uacuteltima expresioacuten se igtigttnvigt ron vi uso di-la igualdad (439) Por otm bulo notemos
i|ugt- el argumento dr las funciones hipergromctriras dr (44G) es mayor laquopie la unidad Es
conocido laquopie la serie hipcrgeonirtrini diverge en yi = -f4 gt 1 [20] Por lo tanto rs
ruuvcuicute transformar las funciones hipergi-omctriras de- (44G) laquoru series convergentes
|gtaia filo obtrugamos las expresiones para Fluriacute l y ) y Fnb2y) donde y = 1(1 mdash z)
Para podrr estudiar la absorcioacuten de tma onda excitada en modo Hiexcl1 cu una guiacutea de onda
cilindrica como la que se tiene cu la fuente de plasma construida en el INlN y descrita
en 2] es necesario obtener las expresiones para Flnli 1 i) y FnU2y) ya ipie para
laraquo bull-iitiiiiciones de la niiiijuilia i tiende a la unidad como se desenlie con maacutes detalle maacutes
adelante
Observemos ipie la ecuacioacuten
t( 1 - )iquest + (1 - 3i)o - ltilgto = 0 1447)
tiene como solucioacuten la funcioacuten hiprrgromrt rica Finli li) Si bacnnus el cambio dr
variable raquo = 1(1 - z) entonces (447) sr rersrribr rn la forma
(1 - ) V + (1 - r gt ( 2 - r ) iquest + nkgt = 0 (448)
Fiacutetiaitnente con vi cambio iquestgt = (1 - )lt obtenemos la ecuacioacuten
i ( l - c)vgt + [2 - (26 + I r ) ] - IacuteraquoV = 0- N- 4 9 )
La solucioacuten dr la ecuacioacuten (449) es la funcioacuten hipergeomeacutetrica Fbb2z) [21] Sin emshy
bargo una solucioacuten maacutes general para F(ab i y) es una combinacioacuten lineal dr las dos
soluciones existentes de (449) [21] esto es
G8
Fiubly) = [-)lt AtF(bb2)-rB F(bb2z)Ln+Pii) + (l-fc) iJ
(450)
donde At y B son constantes por determinar y Pj(c) es una serie de potencias con resjiecto
a en la forma [21]
donde
^)=poundr^ [ lt ) - ( o j
Iraquo) = (laquo + raquo) + 4(+raquo)- I2 + raquo ) - ( + 1)
(451)
(452)
4 (bull In funcioacuten i igt iliiinim y (laquo) = laquo(laquo+ 1)(laquo + 2) bull bull bull (laquo + 7 - 1) Multiplicando anillos
luumldoM de hi ecuacioacuten 145(1) por zi - z) difiTciiciacutenndo ron respecto a i y considerando el
liacutemite ruando - tiende a cero olitcuciuoraquo la igualdad
vd - amp)bull(laquo ft 2v) = r r - r + BW + raquo - ) + iquesti-(i -raquo) (453)
Ahora usando la representacioacuten integral de la funcioacuten hiacutepergeomeacutetriacuteca (2Iiexcl y considerando
las definiciones (426) para aby c obtenemos
a - f - r(laquo)r(6)o ( i - lt y )
La primera integral de (454) se calcula faacutecilmente y tiene la forma
Jo 1 - ty y (455)
69
Para evaluar 1raquo segunda integral de (454) recordemos laquopie 1 = ^^ y notemos ipte en el
limite ruando y tiende a mm (c tiende en este castraquo a cero) iacutei se vuelve muy grande
raquo|iiraquo- laquobull equivalente a ltllaquorir que inraquo acercamos a] punto de resonancia eicloiroacuteiiica in = 1)
y por kgt tanto con r=2 Igt tiende a cero De esta manera la segunda integral de (454) se
aproxima al valor [21]
laquo-raquo- 1
1 - f dt = -(fc)-C (45C)
donde C es 1raquo constante de Euler Sustituyendo (455) y (45C) eiexcl (4541 obtenemos
f io 2) = 1
-Ltil - bull ) - laquo1M J- C 1 4 5 7 ) r(2-raquoinM
Pitra determinar las coacutemanles -4j y D sustituyamos (457) en (453) y separemos los
teacuterminos laquopie ionticueu Lti de aijticllos (pie no lo contienen Asi obtenemos las expreshy
siones para las constantes 4| y B en la forma
A =
B =
^ ^ laquo ^ ^ ^ r ( 2 - igt)T(igt)
(1-fc)raquo f(2-gt)JW
(45S)
(45ai
Anaacutelogamente se puede encontrar una solucioacuten para F[ab2y) en la forma
+ [ C + ( t ) + i raquo ] | F ( 6 f c - l l r ) I n iacute + fl(s)] (460)
donde
70
Las expresiones (450) y 1400) representn las transformaciones dr Filtibiy) y
Flt a b 2 y) respectivamente en series convergentes ruando y tiende iexcli la unidad Las consshy
tantes A y Bi se expresan mediante (458) y (459) corresigtondiexclentenieiitlaquo- Finalmente
y fie acuerdo ron (44G) dividiendo 4G0) intrc (450) y tomando la iexclgtiexclirtr iiiiiacute-uumliuaria
obtenemos la expresioacuten para la constante ltle amortiguamiento o de absorcioacuten en 1 forma
( i
Jf = laquo x Fffcfc - 11 )[1 - (1 - fc)(2 - fc)F(662 z) + Piexcl)- )bull]+
+ P (r) | l -6) F |6 6 2 )x
x [l - (1 - b)2 - h)FVb2) + P7(z)l - by +
+ C + (b) + Ln -](1 - 6)-F(6 62 r)] +
+ T T V ( 1 - 6 ) ^ ( 6 1 2 1 ) (4C2)
donde r = 1(1 + pound0) La figura 43 muestra el comportamiento de (4C2) en funcioacuten de
ni x u para m - 1 es decir los int2Tvalos [-LO) y [01] corresponden a m = - 1 y tu = +1
respectivamente Las graacuteficas de la figura 43 corresponden a los siguientes valores de
-bull(0)toiacutes a) 82 b) C c) 4 d) 3 y e) 1 Las graacuteficas c) d) y e) difieren de armellas
mostradas en [22j ya que aquiacute se han considerado uacutenicamente los primeros cinco teacuterminos
de las series Pz) y Pt(z) Por otro lado observemos que el coeficiente de amortiguamiento
se anula en el caso de resonancia cidotroacutenica (u = ) Sin embargo esto no significa que
no existe absorcioacuten de la onda en este caso como se reporta en [23] en los punto donde
71
o bulla
iquest
1 3
n raquo
o i
Wv
72
eiexcl Iacutendice de refraccioacuten tiende a infinito se produce una absorcioacuten delas ondas en el plasma
ltii- tipo no rolisioiiacuteal Esta absorrioacuteu se asraquo ic a la existencia de punto singulares dlaquo- la
ecuacioacuten de onda exacta para ciertos puntos dentro del plasma es decir ai|uiacute la componente
del campo eleacutectrico paralelo al gradiente de densidad es infinita
En la fuente de plasma descrita en el trabajo [2iexcl se trabaja actualmente con densidades
del plasma del orden raquof(0) = C x Nfcnr3 y con un campo magneacutetico externo B =
S~jGtntraquo Ademaacutes se cuenta ron una guiacutea de onda de radio rbdquo = 425rFraquogt en la rual se
IgtngtiexclgtiexcliEiexcli una onda electromagneacutetica ron 111raquo frecuencia w = 15304 X 10 gt Si el radio del
plasma es C| = 3ltm eutonres tendremos los Mullientes valores para _laquo_- 10) 11gtf0)-bull
y respectivatiieiite
wbdquo = 15379 x 10V
raquogt(()) = 13S19X 1 0 V
1 = 00990 1403)
^(0)--J = 08
poundn = 3902
A = 19525
En este caso podemos analizar de la figura 43 curva a) comportamiento riacutee la constante
de amortiguamiento cuando u^fO)raquo2 = 08 Como podemos olmcrvar la constante de
amortiguamiento tiene valores relativamente grandes en la vecindad de u = OC pero
decae raacutepidamente conforme u tiende a la unidad Cuando u = 0999 la constante de
amortiguamiento tiene el valor
73
o = Ai x (M)0()02455 = lSS x 10 (464)
El anaacutelisis anterior es vaacutelido si se rumple la rondicioacuten (42G)
^ ( 1 + |poundbdquo|)- ltpound 1 MCO)
que eii nuestro laquoaso es correcto ya que
^ - i d +|ibdquo|)-=ocnsx lo- ucc)
8 Influencia del plasma en los resonadores
El meacutetodo de Perturbacioacuten en este raso se mi de formraquo similii ii el rusraquo de tina guiacutea
tie onda Como paraacutemetro pequentildeo se considera anaacutelogamente que el radio del plasma
es lutirlio menor que la longitud de onda Ademaacutes se supone que el |HTTiexcl1 de tielisidad
electroacutenica es de tipo paralioacutelico y que el campo magneacutetico externo es homogeacuteneo y esla
dirigido a lo largo del eje O
Anaacutelogamente a el caso de una guiacutea de onda la presencia del plasma en un resonador
es originar un cambio en la frecuencia de resonancia De acuerdo ron la teoriacutea de perturshy
bacioacuten este cambio craquo proporrional a la razoacuten del cambio dr riirrga almacenadraquo dentro del
volumen que ocupa el plasma en el resonador sobre la energiacutea total almacenada en todo el
volumen del resonador (34C)
WJVpoundiquest iquestiquest EacutedV w - u 0 = wbdquo = - iquest (4Glt)
iquest Jr pound0 bulltoraquo
74
Lu i-niaciuacuteii (4CT) requiere la evaluacioacuteu de el campo eleacutectrico cu el plasma En la
-bullbullTIacuteOII 7 se obtuvieron los campos en una columna de plasma friacuteo de radio pefpit-iio
magnetizado e inhomogeacuteneo localizada en el eje de una guiacutea di- onda cilindrica Con
tuda de estas expresiones podemos determinar en forma expliacutecita los campos cuando una
lunuia de plasma se encuentra en el resonador
poundru-y--) = iacute
r 22
mi miacutem mS
poundir r-) = C | |- F(laquoraquor-K--fbdquo(4--) in raquo t4CS)
uy-) =
poundgtXM + _L pound raquoltiacute ti
In I-I - r i - l iacute - D P DJT] T mdashmdashstE) E 111 lllC laquo ( il
donde x = (iexclt~ C y D son constantes = ruy = u(i mdash 1) la prima denota diferenciacioacuten
con resjMcto a j - Fin h r y) es la funcioacuten de tipo hipergeomeacutetrico [20] y nb y r tienen llaquoraquos
valores obtenidos en (418)
No hay que olvidar que cu un resonador los campos son estacionarios de aquiacute que la
dependencia con respecto a r se escribe multiplicando cada ecuacioacuten de (468) por el factor
jffi(^z) oacute coM^z) p= 123 iacutees la longitud del resonador
Calculemos el cambio en la frecuencia de resonancia para ondas de tipo TEm- La
integral del denominador de la expresioacuten (4G7) nos expresa la cantidad de energiacutea eleacutectrica
almacenada por unidad de volumen en el resonador sin plasma cuyo resultado para un
resonador hueco se obtiene de (2GC) al considerar que WE = Wn y en pnrtirular fiv ~ 1
( = 1 El resultado para este modo se expresa en la forma
U = bull EacuteltW
= ^^M-MUn) M69)
Por otro lado la integral del numerador de (4C7) evaluada sobre todo el volumen que
ocupa el plasma se calcula con ayuda de las expresiones (2G0) (resonador sin plasma)
di las expresione (4CS) (resonador con plasma de radio pequentildeo) y de tensor dieleacutectrico
(47) obtcnirlidii
= iacute iacute f ( pound - l ) [E ( gtfm l T - | pound + l l lpound l + Jit u Jn
+EuacuterosinY-(Er - iuEr) rltMiJl-^-)riexclrd^dz (470) d
donde las coui]gtoiientes Eu E y pound tienen dependencia uacutenicamente radil Al realizar la
integracioacuten sobre Iacute y iquest en los intervalos [0 d) y [02riexcl respectivamenie obtenemos
s = V iacute r(t ~ XUumlEoE + iuE^) + Eiquest(E - niE)]ltlr iquest Jo d [ [ r
bull r ( iacute - l ) Jo
iC0 r Jm-r)Er + iuE)+
+ Q--JJfr)(E^ - iuE ] dr (471) c i J
Anaacutelogamente a el caso de una guiacutea de onda se utiliza el mismo argumento bajo el cual se
considera el primer teacutermino de la iuacute fmiacutecioacuteii en serie de la funcioacuten de Bcssel con respecto
al argumento r = 2JT^ De aquiacute que (471) se reescribe como
76
c iquest iquestml Jo
Lspueacutes de hacer el cambio de variable x = (iexcljfr y sustituir la forma expliacutecita de los campos
bull 49) y (417) para E y Et en (472) se obtiene
h = gtc ( l - u ) x wirdy-raquo l c V
0 c 2 2m V(wj
J-(pound- )L-[T FUIICmdash ) + mxJ-JF(bdquolt-i)h -raquo -raquo iraquo J
(473)
donde los campos M- han considerado hasta teacuterminos del orden (|) Integrando por partes
con respecto a J el primer teacutermino de (473) obtenemos
h = -2Cy bull )h (474) c 2 2raquoi Vi bulllaquo iu
La integral (pie aparece en (474) coincide exactamente con la cjne aparen- en (433)
de donde para ondas en modo TEm s se calcula sustituyendo (427) y 1441) en (474)
obteniendo
= rColTJiacutefrr iexclJ ltd j ( l+poundo) bull(laquoiquest2f)
(475) c3473 ebdquo f(o62lplusmnlaquoraquo)+1 plusmn a i v(o62iplusmniacuteraquo)
Finalmente dividiendo (475) entre (469) se obtiene la expresioacuten para el cambio en la
frecuencia de resonancia en modo T pound m para un resonador conteniendo una columna de
plasma friacuteo de radio pequentildeo
W(D = (u - u0) - MjX 1 - -F(laquo62lraquo)
siexcl X 1 -F(abll)
(476)
77
donde
La ecuacioacuten (47C) coincide con (444) salvo por una la constante Miexcl Anaacutelogamente n
el caso de una guiacutea de onda utilicemos las expresiones (450) y (4C0) juira Fintly) y
Fllti2 i) respectivamente Sustituyendo (450) y 14CO) eji (47C) y separando las partes
real e imaginaria obtenemos la variacioacuten de la frecuencia de resonancia (Araquo) y la variacioacuten
del inverso de la calidad del resonador l -M IO)) por influencia del |gtlasiniexcli respectivamente
en la forma
mdash^ = iexcl-zFbb- 11-) [-F( fcraquo 2-)([C+(-)] ( 1 -bf-
- (1 -fraquo)(2-)[C+(fc)l-Hl-lt) J(l - - ) ) +
+ C + ()][-gt(-)(] - h) - Ij] + -(1 - l)lPt)C + laquoK))F(hb2-) x
x [l - (1 - b)2-h)F(kb2z) + PJzil - raquo)+
+ -(1 - bjgtC + () + Li z]Fbb2z) + V | 1 - )F(bullbull 2--) (478)
-poundiquestmQ) = JTSX
x Fbb-lls)|l-(l- b)(2- b)zF(bb2z) + P ( - - ) r ( l -6 ) ]+
+ --F(i)(l-6) JF( iacute t 2i)x
x [ l - ( l - f r ) (2-amp^ -F(M2^) + P J ( - - ) iacute ( l -6 ) +
+ [C + (6) + iquestn --](1 - 6)zF(ampamp2z)]2 +
+ w12(l-b)4Fa(blgt2iacute)Yiacute (4-79)
t bull bull 78
La figuras 44 y 45 muestran las graacuteficas de las expresiones (478) y (479) con respecto
a ri x ii ]gturn distintos valores de u^(0)uz respectivamente Anaacutelogamente a el caso de
la- guiaraquo de onda se han considerado uacutenicamente los primeros cinro teacuterminos en las series
para Pi) y P jU) Un resultado importante de acuerdo cotiacute la figura 44 resulta ser
que en la resonancia ciclotroacutenica la variacioacuten del inverso del factor de calidad es cero es
decir en este caso y en la misma manera como en las guias de onda no existen peacuterdidas
de energiacutea de tipo colisional Sin embargo de la figura 45 notamos que cu resonancia
rirlotruacuteliira si existe un pequentildeo cambio en la frecuencia laquole resonancia del resonador
En la fuente de plasma descrita en [2J se tiene un resonador cilindrico donde oscila
una Diida a IUIIacuteI frecuencia laquobull = 15394 x ]() excitada en modo TEw y de radio
rbdquo = cm en el cual una columna dr pliacutetstua fie radio riexcl = 3lt se ein-iieiitrraquo a lo largo
del eje tlel resonador La cavidad resonante se encuentra dentro de un campo magneacutetico
externo D mdash SloacuteGauxraquo La densidad de electrones en la fuente tie plasma puede ser igual
a ni 0) = C x 10 I 0CTO 3 En este caso tenemos los mismos valores (4C3) para yinnfv0) u
y u-ji 0)raquo mientras cpie Miexcl tiene el valor
SU = 04C55 (480)
Entonces el cambio en el inverso de la calidad y en la frecuencia de resonancia tendraacuten
los valores
A( l ( ) = mdash x 000009C2455 = 582 x 1 0 (481)
Aw = Mj x |1 - (100035)] = - 1 0 3 x 10 V (482)
79
AwMa
i
o
I
U
bull3 I
I O
bull
a 6
1 1 1 bull 1 bull
bull
_
c x ^
- r f -
| 1 bull J T | 1 - | 1 |
l IX V if | rt i iacute i ( iraquo i i i bull i i i
i i
i i i
V
deg
iacute bull f
i i i
VI 1 A 1 ^ t
x X Iacute
JU i f ^
1 bull x
so
o i
fit
Zf Z rt w
El valor (481) se encuentra dentro del rango de validez de la teoriacutea de perturliacioacuten
ile acuerdo ron (35C) Asi mismo la variacioacuten de la freruenria de resonancia es dema-
siado |Mf|ttentildea en comparacioacuten con la freruencia propia del resonador de tal manera rpie
podemos considerar une no existe un cambio fuerte en la freruenria de resonancia ion esta
densidad
Los resultado iexclinteriores de las secciones 7 y 8 fueron presentados en iexcl24] y [25iexcl respecshy
tivamente
82
CAPITULO 5
PENETRACIOacuteN DE ONDAS EN EL PLASMA
En este iiipiacutetiilo ni el marro de 1iexclI teoriacutea lineal se liare una revisioacuten sulire el proceso
gtigt- penetracioacuten de campos elertDinaRneacuteticos en un plasma En vista de ijne en la fuente
lie plasma descrita en [2j se excita una onda tipo H nos vamos a limitar al caacutelenlo de
Un coeficieiites tie reflexioacuten transmisioacuten y de alisorrioacuteu para estlt- tipo de ondas liacuteay
eme hacer notar que en el experimento [2] se tiene un campo magneacutetico externo lo que
complica fuertemente el estudio de la interaccioacuten de ondas en este plasma Nos limitaremos
en este trabajo a considerar un plasma homogeacuteneo y deacutebilmente inhomogeacuteneo sin raiujm
magneacutetico externo Estos resultados preliminares son uacutetiles para posteriormente estudiar
la transformacioacuten lineal de ondas que es muy importante para el anaacutelisis del perfil de
densidad observado en la fuente de plasma [2]
9 Penetracioacuten de campos electromagneacuteticos en el plasma
El estudio de la interaccioacuten de ondas electromagneacuteticas en un plasma tiene particular
intereacutes por la gran variedad de paraacutemetros existentes como se mencionoacute anteriormente
83
(densidad de |ttirtirulas di- diferentes tipos prado dlt- ionizacioacuten longitud de trayectoria lishy
bre tfiii|raquocratura etc) 111 los diferentes casos Una de las caracteriacutesticas mas importantes
de un plasma real es su iuliomogeueidad Alt|iiiacute los paraacutemetros del jjasiilii variacutean en el
espacio produciendo considerables cambios en las caracteriacutesticas del mismo Freruontc-
menfe en lo concerniente a la propagacioacuten de ondas electromagneacuteticas estos cambios son
tan fuertes que la pennitividad dieleacutectrica cambia de signo
91 Penetracioacuten de campos electromagneacuteticos en la aproximacioacuten hidrodinaacutemica Sistema de ecuaciones
Il l sistema de emaeiones atltoroiisisteule i|iie desrribr la penetracioacuten tie un campo elecshy
tromagneacutetico en d plasma en la aproximacioacuten bidroiliuaacutemira se compone de las ecuaciones
ile Maxwell
V x pound = -2f 51 c 01
f x f l = - - i - mdash + mdash (02) c 01 c
V bull(poundlaquopound) = 4p (53)
V H = 0 (54)
donde las densidades de corriente y carga se determinan en la forma
P- pound c raquo n lt raquo = laquoiexcllaquoi + tnt = pound e bdquo n r r n (55)
y se expresan a traveacutes de los campos eleacutectrico y magneacutetico de las enlacioacutenos hidrodinaacutemicas
de movimiento y continuidad del fluido conductor de carga o [26]
84
sect + bullbdquobulllaquobull = ^(Eacute+-vnxH)-^--^va (56)
3raquobdquo _ _ _ ~ + V-n0viexcl = 0 U 7 )
En las ecuaciones (55)-(57) tbdquo es la carga m0 la masa tibdquo es la densidalt v0 es la
velocidad hidrodinaacutemica jgtbdquo o la presioacuten y ibdquo la frecuencia de colisioacuten entre las partiacuteculas
ltir- tipo o ron las partiacuterulas di- otra claw y con las moleacuteculas El subiacutendice o rorrcspondc a
i igt i ln ipii indica a los iones o electrones correspondientemente E D son las tensiones de
ligt- campos eleacutectrico y magiacutenico respectivamente y r es la velocidad de la luz en el vacio
Se supone i|iie el plasma se encuentra en un medio con un jieruiitiviilail dieleacutectrica iacutebdquo para
un plasma gaseoso bdquo = 1 y MI un plasma de estado soacutelido es la pcrmitiviilail dieleacutectrica
de la red cristalina Ya que la permit i vidad magneacutetica del plasma praacutecticamente es igual
a uno no vamos a diferenciar la induccioacuten magneacutetica de la tensioacuten del campo magneacutetico
lo que se refleja en las ecuaciones anteriormente descritas
El sistema laquole ecuaciones (oacutel)-(57) debiacute ser complementado con las ecuaciones de
estado de la materia expresados a traveacutes de la densidad nbdquo y la temperatura Tbdquo pn mdash
p0(noTa) Siacute las variaciones de estado de las componentes del plasma ocurren perioacutedicashy
mente entonces
Tpo = bullgtltJbdquoVn0 = 7raquoltfTbdquoVnlt (58)
donde vj = 2T0m0)t1 es la velocidad teacutermica promedio de laraquo partiacuteculas de tipo o 70
e la razoacuten entre loraquo caloreraquo especiacuteficos a presioacuten y volumen constante del gas de partiacuteculas
y 1 = mil
85
Las ecuaciones ib- movimiento describen un fluido en presencia dlt- cinco fuerza- ni
interaccioacuten a) la fuerza eleacutectrica (bdquopound b) la fuerza magneacutetica J x H c) la fuerza debida al
gradiente de la presioacuten d) la fuerza de interaccioacuten o colisioacuten entre la partiacuteculas de diferente
ti|Kraquo v0vbdquo y raquobull) la fuerza de inercia m-r0 bull V)tbdquo Por otro lado vamos a ronsiderar laquopie la
ecuacioacuten de estadraquo expresa un proceso adiatgtaacutetico caracterizado por el coeficiente -
92 Penetracioacuten de ondas tipo E y H
Vamos a investigar la penetracioacuten en el plasma ile ondas di- amplitud pcquiua La inteshy
raccioacuten de ondas electromagneacutetica con el plasma perturba los paraacutemetro caracteriacutesticos
en equilibrio del plasma Si las perturbaciones de los diferente paraacutemetros son lo sushy
ficientemente |xi|iientildeos en comparacioacuten con sus valoreraquo eii eipiilibrio entonces podemos
liiuariar las ecuaciones (51 H57) es decir iexclMHIIIIIOS despreciar los teacuterminos que contienen
producto entre las perturbaciones
Consideremos un plasma semiliiuitado sobre el cuaacutel a un aacutengulo fgt incide una onda
electromagneacutetica linealmente polarizada El sistema de coordenada lo escogemos de tal
manera que el plasma ocupe la regioacuten x gt 0 y la onda se propague sobre el plano X(gtZ
(Fig51) La onda incidente parcialmente se refleja del plasma y parcialmente se refracta
a un aacutengulo 8 Las amplitudes de las ondas reflejada y refractada se determinan de las
condiciones de frontera Como consecuencia de esto si la dependencia del campo de la
onda incidente con respecto a y t se determina a traveacutes del exponente rl-laquo) donde
kiquest = k0tcn9 k0 = raquogtc y w es la frecuencia de la onda entonces en la teoriacutea lineal para un
plasma estacionario y homogeacuteneo esta misma dependencia deben tener las ondas reflejada
y refractada en el plasma a lo largo de O
86
PLASMA
(b)
FiacutegKl Penetracioacuten de una onda electromagneacutetica lincalmente polarizada en un plasma raquoemi-
limitado La onda que incide a un aacutengulo 8 parcialmente se refleja a un aacutengulo 8 y parcialmente
se refracta a un aacutengulo V a) penetracioacuten de una onda tipo E y b) penetracioacuten de una onda tipo
H
87
Supongamos UIRraquo tenemos un plasma de dos componentes compuesto de electrones bullbull
iexclunes motwcargjados ron concentraciones en et|uilibrio raquobdquo = raquoraquolaquo = gtibdquo En un (Jasina friacuteo
la velocidad ternura de los iones se puetk despreciar 1 = 0) si esta es muy pei|iK-ntildea rn
contparacioacuteii con la velocidad de fase de la onda Si a lo largo del eje 0t la densidad no
varia entonces f = 0 y de laraquo ecuaciones (51)-(58) podemos obtener el sijpiiente sistema
dtr ecuaciones para los campos electromagneacuteticos
iexclKH = iquestJtpound - iacuteiacutejEi 159)
-rmdash = -iK0e mdash pound - + mdashmdashUE r ) U10) ni [ raquo-raquor J (w ni
Jvpound = - I (512)
^ = bullbdquobdquo (513) As
ik-HiE = JiL-ikJlr (514) ni
iloiiitr iacute ex la jx-ruiitividnd dirlrctrirraquo de un plasma isotropicraquo y friacuteo
taraquo(w + l^e) W(uraquo + Ifi)
ugtgt y uy son las frecuencias plaacutesmicas de los electrones e iones respetivamente expresadas
en la forma
iquestgt tgt
4c n 0 IJ
(6M) mlaquo
w a IB frecuencia compleja raquobull = w + ic y e eraquo la permitividad dieleacutectrica del fluido de
iones en la forma
88
t=to- + bull (517) w(w + llj)
El sistema de ecuaciones (59)-(514) se descompone en dos subsistemas iudc|Hiidientes
-i9H5ll y (512)-(514) lo que corresponde a la propagacioacuten en el plasma de dos ondas
independientes (Fig51) Para las ondas con componentes E E y Hy el vector del campo
eleacutectrico estraquo sobre el plano de incidencia XOZ Esta onda es una onda con polarizacioacuten
gt onda tipo TM o E Para )n segunda onda con comeacutentente Ebdquo Hr y H el vertor
fifi rutll|Mgt eleacutertriro es |H-r]gtriiiliriiIiir al planraquo fie incidencia Esta onda es unraquo onda ron
polarizacioacuten i ulula tipo TE o H Para las condiciones mencionadas iexclinteriormente el
ijjovjmieijlo teacutermico de laraquo partiacutecula es despreciable para la propasacioacuten de ondas tipo H
Sin embargo para las ondas ti]gto E puctlc ser bastante importante
10 Penetracioacuten de una onda electromagneacutetica tipo H en un plasma homogeacuteneo semilimitado Reflexioacuten y absorcioacuten de ondas tipo H
De las dos posibles polarizaciones que puede tener la onda que incide en el plasma el caso
de la onda de tipo H es el maacutes simple Encontremos la solucioacuten de las ecuaciones (512)-
(514) en el plasma y en el vacio suponiendo una frontera bien definida Sustituyendo H
de (513) en (514) y usando (512) obtenemos que el campo E satisface la ecuacioacuten
tPE - ^ + Jkfo - laquolaquoraquo)pound - 0 (518)
89
dmde en el plasma e se determina xx (515) y en el vacio pound = 1 Es faacutecil ronwtrar laquojar
eu el varkgt los campus tienen la furnia
para la onda incidente
poundbdquo = Eoraquo Bu m Fbdquocw0 (519)
y para kgt onda reflejada
Eraquo = llEbdquo-kltlt H = -Etcoraquoraquo ISM)
iliHiilraquo- pound es lii amplitud lie In i mi In hiiiiliiiti y iacutels rl riM-riiiiiili ili- icHrxiiVn El linihi|raquoligt
r i)r--wi) at j a s rX|ri^iHBM jbdquon lri caui|HKlaquo se excluye raquo aquiacute en adelante Praquor laquonraquo laria
bullbullI rwn]Mgt cu el plasma tirnr la forma
pound() = Eiquest0)rik B() = (^) poundlt) (5-21)
donde Et[0) es Iraquo amplitud de la rom|Hgtiiiiite poundbdquo del rampraquo cliVtriro III la frontera tlrl
plasma ( = ()) y A- se expresa romo
Jt JWlaquo - e2laquo (5-22)
Si it| es una cantidad real entonces la onda se propaga libremente en rl plasma prro
siacute Ai es una cantidad compleja entonces el campo en rl plasma r amortigua dr forma
exponencial a partir de la frontera
Para determinar el coeficiente de reflexioacuten y la amplitud del campo rn la frontera de)
plasma se utilizan laa condiciones de continuidad de laa componentes tangenciales dr los
eampoa en i = 0
90
pound(0)+poundbullbdquolaquogt) = pound(0)
(0) + raquo(0)-jr ((0)
Sustituyendo (519)-(oacute20) en (523) y considerando (521) encontramos
pound(0) = pound(l + rt)
dr donde obtiiunnos el coeficiente di reflexioacuten en Iraquo forum
(523)
(524)
=ampgtbull donde
e la impedancia sti]gtcrfieial o del plasma para una onda tipo H Sustituyendo (525) en
(524) encontramos la amplitud de la componente E del campo eleacutectrico raquo teacuterminos de
la impedancia el aacutengulo de incidencia y de la amplitud de la onda incidente en la frontera
del plasma
La definicioacuten de la impedancia (526) resulta coacutemoda ya que el coeficiente de reflexioacuten y la
profundidad de penetracioacuten se expresa de forma maacutes sencilla a traveacutes de ella En general
la impedancia es una cantidad compleja ZH = X + iX2 por eso el coeficiente de reflexioacuten
se puede escribir en la forma polar de Euler
01
M(AVlaquoM+1)-+ laquo-] e gt U 2 8 gt ^^xraquoiacute-l)1 + Y|coIiacutel
l
donde bull dcfitie la fase en la forma
XjcosO XjcosB bull = arctan bull mdash- - arctan bdquo mdash- (o29)
A i c o s 0 - 1 Xcos8+l
Uu paraacutemetro muy important del medio es ltbull) coeficiente lt]ltbull iexclilgtson-iiraquou el cual indica
laquorue laquoarte dc in energiacutea de la onda incidente se transfiere al pla-siiiraquo Si
P = 4~E x j = -iexcl-Eltraderaquo (030)
eraquo Iraquo denudad laquoIt-1 finjo de CIHTRIacuteH normal u la frontera dr la onda laquo[in incide y PT = y| |
es la densidad del finjo laquoIr In onda reflejada entonces el laquobulllaquobulleficiente de iilisorrioacuteii se define
roiiMraquo
W = ^mdash^ = 1 - |J|raquo (531)
Sustituyendo (528) en (531) obtenemos el coeficiente ltle absorcioacuten en teacuterminos de las
partes real e imaginaria dc la impedancia
W laquo Xcogt$ (532)
Ahora analiacutezemos con maacutes detalle las condiciones de propagacioacuten y amortiguamiento
de ondas electromagneacuteticas en un plasma de electrones en diferentes rangos dc frecuencia y
calculemos los coeficientes de reflexioacuten y absorcioacuten para cada casraquo respectivamente Para
92
ello sustituyamos (515) en (522) donde en este caso debido a la gran diferencia dr
masa de lo iones con respecto a los electrones consideraremos iquest^ as 0 Dr esta manera
obtenemos
r w V2
t - laquo raquo raquo - - (533) l jltlaquo + ilaquot)J
Consideremos los siguientes casos
a) El caso de altas frecuencias (cr lt -gt) Aquiacute los choques entre los electronraquo- se pueden
ilespreciar y entonces X- se reduce a la forma
Xraquo i- = - l - r o ^ - ^ (534)
En el reacutegimen de frecnciiriajiacute u lt ^lotfiacute lu m]x-ltlnraquorii es una caiitiilncl real y por In
tanto el coeficiente di- reflexioacuten y de absorcioacuten tomitii resjMrtivnniente la forma
donde
En este caso la fase (529) es igual con cero lo cual nos indica que laraquo ondas incidente
y reflejada se encuentran en fase Por otro lado la condicioacuten de amortiguamiento en un
plasma gaseoso sin colisiones consiste en que se cumple la desigualdad
ucof8 lt ugtVf (538)
03
IntrotUuetunos en calidad dr cararteriacutestica de penetracioacuten lthI ciexclttii|Mgt una |gtroftmililtlaltl
compleja de itetirtracioacuten determinada por medio de la relacioacuten tgt = t(gtraquo iquesti) El sentido
fiskti di la cantidad i es la distancia a la cual la amplitud del rampraquo en rl plasma ilecren
eu e mdash 271 veres de su valor inicial Con la condicioacuten ugt gtbull uicosB la profundidad de
penetracioacuten (anchura de la capa piel) no depende de la frecuencia = cu
h) En la regioacuten de bajas frecuencias w lt vt) los choques ya mgt se pueden despreciar En
este caso Rt Jt| s Ivi k y el campo en el plasma decreeraquo- ex]Mmirurial y oscilatoriamente
ilruumldr la frontera Si v gt m slt- tiene
k = -^zJviVrCosH+i- (539) Jiv v
si iacuteiilnilaacutes raquoiquest gt vrivosH entonces
y la longitud laquoIr la rapa piel tiene la forma
r iexcl2vt iquest = mdash J mdash = - 7 f iquest mdash (541)
donde raquo0 SB wf(4ffi) es la conductividad del plasma Notemos que (541) determina
la profundidad de penetracioacuten del campo en un conductor en el cual fluye una corriente
variable de baja frecuencia Asiacute las expresiones (521) determinan el campo en el plasma
en condiciones de un efecto piel normal o claacutesico A bajaraquo frecuencias y alta temperatura
del plasma estas expresiones ya no son vaacutelidas y es necesario analizar la penetracioacuten de los
campos en base a un modelo cineacutetico
Considerando las colisiones entre las partiacuteculas la impednncia del plasma tiene la forma
94
Zbdquo = (542) ^ugt(u)1cot10 - u pound ) + bull-bullJraquo
Si la frecuencia de colisiones es pequentildea pero sigue siendo finita y ademaacutes se cumplen las
desigualdades v lt raquo- ffgtiacute lt gtJcosi0 mdash uiiquest() entonces (542) se transforma COJIJO
Zbdquo = (543)
de donde observamos que en la regioacuten de frecuencias uirraquo^ lt ufPr el rocuumlcinjte ile iibsorrioacuten
se exprtsut en la lonnti
W = 2pro^Jtvwtraquo - l ) - (544)
Por otro lado si la frecuencia de la onda es lo suficientemente pequentildea tal laquopn- i gt laquobull y
se cumple la desigualdad J^Kv) gt OM rntonres la inj|MdnncIacutei se expri-sraquo como
z - iacute1 Voacuteiacute (545)
V -gtltbull y loraquo coeficientes de reflexioacuten y absorcioacuten se expresan respetivamente en la forma
R = (l-2Acltw0) 2e- MltM (540)
W = 4Xcoraquo9 (547)
donde A^ laquo -Xt = bullraquo( 2wt)
Finalmente observemos que las peacuterdidas de energiacutea que la onda sufre en el plasma
defiacutenidu por las foacutermuias (544) y (536) tiene diferente significado fiacutesico La W diferente
de cero cuando u = 0 esta relacionado con la excitacioacuten de una onda electromagneacutetica en
05
el plasma y el valor de W de (544) determina la parte de la energiacutea de la onda incidente
qiK- es utilizada para el calentamiento de los electrones del plasma eigt la capa piel
11 Paso deacute una onda H a traveacutes de una capa de plasma
Si la profundidad de penetracioacuten del campo ni una capa de plasma es tk-I orden de sns
dimensiones transversales o si la onda se pro|gtaga elraquo el plasma entonces la influrmia de
la segunda frontera del plasma resulta muy importante Determinemos el campo en el
plasma y los coeficientes iexclle reflexioacuten y de transmisioacuten en el paso de una onda incidente a
traveacutes de una rapa de plasma homogeacuteneo de anchura d
El canijaraquo i-n el vacio o cu la regioacuten T lt 0 tiene la forma (519)-(iquestj2l)) y el campo en la
regioacuten i gt 0 tiene la forma
Eraquo = TE0tcu = Eraquoltbdquosraquo (548)
donde T es el coeficiente de transmisioacuten El campo en el plasma consiste de dos ondas
tina de las cuales se propaga en direccioacuten de los valores positivos y la otra en direccioacuten de
los valores negativos de x
E = Aek + Be-ik = - iquest trade (549)
Las condiciones de continuidad de las componentes tangenciales del campo en la fronshy
tera del plasma x = 0 y x = ti anaacutelogas a (523) permiten determinar T y el campo en
el plasma
06
R = (1-pound)AiquestlaquogtM (550)
T = 2icoa$aacuteJWt - atn8t-kdeg (551)
Ey = 2cos8bTHi [iyt - iacuteenflcoJt(iacute - x) + aM0eni-(ri - ) ] (552)
donde
Aw = (t - 1 + 2colaquoI0)ifnfrrf + 2raquoVi - xriMrosHrosktd (553)
En el caso dr una onda que ]M-nctra en el plasma para la cual iquestrosH gt u dcspnviando
las colisiones entre las partiacuteculas el coeficiente de alisorcioacuten determinado como
B s l - R - T (554)
es igual a cero El cani|wgt en cl plasma tiene la forma dc uua onda estacionaria y con
la variacioacuten di- la cantidad t|rf los coeficientes de reflexioacuten y refraccioacuten oscilan Si en
condiciones de cierto piel kfd lt 1 entonceraquo a frecuencias lo suficientemente pequentildeas
(laquobullpound gt -(w + iv)) los coeficientes de reflexioacuten y nfraccioacuten tienen la forma
R = - (o iacute + io3)(o + 2co8 + iaj)~ (555)
T = 2cos0(a f 2ctgtiacuteiacute+^OJ^ (55C)
donde
- - 5^5-
97
En este caso el coeficiente de absorcioacuten se expresa como
IV = 4ocolaquo[(oi + 2co9)2 + a]]- (559)
Si Pt gtgt raquobull entonces o t gt cgt-iexcl Las peacuterdidas maacuteximas en este caso se obtienen con
la condicioacuten o = 2coi0 iguales a la mitad de la energiacutea de la onda incidente Las ondas
reflejada y refractada en este caso tendraacuten la misma amplitud en valor absoluto Las
foacutermulas (555)-(55G) se pueden generalizar para una capa delgada con cualquier iuhomc-
gcticidad Si diquest kcbdquobdquoj lt 1 entoneacuteis los campos en el plasma se ltrternmii del sistema
de ecuaciones
ils Ai r(w + ivrs)) = laquogtbull r 1 f i - laquo5CII)
donde las soluciones tienen lt forma
pound = C H = -f(x)C + C (5C1)
siendo
co w + iit(j)
Las condiciones de continuidad de los campos en las fronteras x = 0 y r mdash d nos llevan a
los valores (555) y (556) en los cuales oiacute = Re laquo(lt) y a2 = Im n(rf) Por otro latioacute
las constantes Ct y C3 a traveacutes de las cuales se expresan los campos en el plasma tienen
la forma
C = TEltiexcl = 2E0coraquo9aH(d) + 2coraquo9)- (503)
Cj = 2EoCO$eaH(d)co6)aHd) + 2coraquo8)- (564)
98
12 Penetracioacuten de una onda tipo H en un plasma deacutebilmente no homogeacuteneo
En una gran variedad de aplicaciones la densidad del plasma variacutea lentamente en el espacio
desde cero hasta cierto valor maacuteximo La penetracioacuten del campo en tales plasmas se
diferencia fuertemente de la penetracioacuten en un plasma con una frontera bien definida o
fuertemente no homogeacutenea Las ecuaciones que describen a las ondas electromagneacuteticas
en un plasma no homogeacuteneo son un sistema de ernarkmes diferenciales ron roefirntildeiites
variables iloudr sus soluciones exartas o aproximadas se enriient ran uacutenicamente para rasos
(laquoarticulares Uno ile estos rasos |gtartirulares es aquel laquoIr un medio de ra)gtas planas donde la
densidad variacutea ni una sola dirrrrioacuten Una serie dr soluciones escarias de las eruaeiones ile
la clertrodinaacutemira en un medio ile rapas planas ron diferentes variaciones de la densidad
se pueden ver en los trabajos (2327) Generalmente soluciones aproximadas relativamente
simples en estos medios se pueden eiirotitrar en regiones asintoacutetiras es decir a distanrias
grandes ron rcsjwrto a los puntos singulares de las eruaeiones difcrenriales Los paraacutemetros
que se usan en esta aproximar ion pueden ser la relacioacuten del tamantildeo caracteriacutestico de la
no lioinogcneidad L ron res|ierto a las longitudes de propagacioacuten A de las ondas en el
plasma Si uno de los valores rumple la desigualdad LX gt 1 eutoures en relacioacuten a esta
onda al plasma se le puede llamar deacutebilmente no homogeacuteneo La penetracioacuten de campos
electromagneacuteticos en un plasma deacutebilmente no homogeacuteneo se ha considerado en diferentes
trabajos [222327-31] Consideraremos algunos resultados obtenidos
Veamos un plasma compuesto de iones pesados fijos con densidad n0i) la carga de
los cuales en estado no perturbado se compensa con la carga dr los electrones ron temshy
peratura diferente de cero Te La densidad del plasma n0 - 0 ruando iacute - t O y rrece o
es infinita cuando mdashraquo ce No existe campo magneacutetico externo y la distriburioacuten de eler-
99
trones por velocidades es isotroacutepica Para la descripcioacuten de la penetracioacuten de mi cam]Mgt
electromagneacutetico en tal plasma se utilizan las ecuaciones de la hidrodinaacutemica (50)-(514)
en las cuales hay que sustituir iacuteo = 1raquo iacutei = 1 y gt mdash gt()bull La i-ruacioacuteu diflaquoniciacuteal (5IS)
que rige la jicnetracioacuten de ondas tipo H en un plasma no homogeacuteneo toma iexclihoni la fonna
iPE -=bull + kl(t[x) - stnH)E = 0 (5C5) tiacutex
donde la pcrinitividad dieleacutectrica es funcioacuten de la posicioacuten en la forma
pound ( ) = 1 ttiquestIl (5GG)
w(uiacute+ II ( x ) )
De id ecuacioacuten (oacuteCuuml) se puede hacer ililncdiiitaiiieiite tilia serie de deducciones a) 1raquo onda
se propaga libremente en li regioacuten Jif t lt bullgtni1tiacute b) en mi plasma maacutes ileliso iloude
Jlt gt nrrifl la propagacioacuten se vuelve imposible y la onda uacutenicamente penetra el plasma
en la longitud de la rapa piel y c) el punto Rr pound = srtiB es el punto de corle donde 1raquo
onda se refleja
En un plasma deacutebilmente inhomogeacuteneo ruando raquoo(x) variacutea deacutebilmente en la longitud de
la onda que se propaga por el plasma la ecuacioacuten (5C5) se puede resolver por el meacutetodo de
la geometriacutea oacuteptica para una dependencia arbitraria de la densidad gtibdquo(s) [23] La enlacioraquo
(565) tiene una solucioacuten exacta para una capa lineal cuando la permitividad dieleacutectrica
(v(x) lt ui) puede escribirse n la forma
donde
+ iUumlIacutepoundgtpoundf 507) X0 WI0
bull = amp
100
Aquiacute a es la pendiente que caracteriza la dependencia lineal de la densidad de electrones
ron respecto a la posicioacuten Para el caso de un plasma sin colisiones (e = 0) reescribimos
iacuteoacute65) en la forma
- pound + kl( co1raquo - mdash )pound = 0 (569) ax Xo
haciendo el cambio de variable
C=[f) ix^coraquo2raquo - x) (570)
la ecuacioacuten (5C9) se puede llevar a la ecuacioacuten de Airy
^ + C pound = 0 (571)
Su solucioacuten decreciente cuando i mdashbull ltx tiene la forma [32]
poundraquolaquo) = mdash coM--Ct)gtlv (5-72) ir Jo J
donde A ex una constante que se determina de la roiidieiones de frontera manilo x = 0
En la obtencioacuten de la expresioacuten (572) (te lia despreciado la reflexioacuten de la onda en la
frontera del plasma debido al gradiente de densidad Es decir la amplitud del campo
eleacutectrico en el punto x bull 0 se considera igual a Eg lo que es vaacutelido para valores pequentildeos
del gradiente de densidad en este punto (|^|o ltC k) En la regioacuten 0 lt x lt x0colaquo28
debido a la suma de las ondas incidente y reflejada poundbdquo(() tiene la forma de una onda
estacionariacutea Lo anterior es asiacute ya que para valores positivos y grandes de ( E(Q tiene
una representacioacuten asintoacutetica en la forma [32]
101
Cerca df la frontera los valores del campo estaacuten dados aproximadamente |laquogtr
cuyo valor maacuteximo es
4a-gtgt-w-niexcliacuteiquest5^- bull (575)
Ln expresioacuten (575) resulta de la interferencia constructiva de las ondas ipie viajan a In
ii|UIacutecrda y a la derecha rrsprctivamrnte pin lo tanto la amplitud de la onda incidente poundbdquo
tt-tidru la forma
Aliora evaluemos la ronstatite 4 de (572) Para rilo iitiliemos la representacioacuten
asintoacutetira (573) y consideremos la condicioacuten de frontera de acoplamiento de los campos
en el plasma y en el vacio
poundT(0) = JEIacute (577)
De acuerdo con la definicioacuten (570) para ( podemos escribir el teacutermino ijCv en ln forma
f^^ (--pound_) (578)
Sustituyendo (578) en (573) y evaluando en x = 0 obtenemos
3A 2 ir poundlaquo(0) ) = -7k0Xo)-ucos-iacuteli9coraquo(-k0j0coS9 - -) (579)
yf f O 4
102
x = O = x0rnslV X
FiexclgS2 Alii|tli(ultl laquoId rrtiii|ngt eleacuterlrim cu la vecindad del punto de reflexioacuten s - xbdquoiiiH
Finalmente apurando 1raquo roiitliacutetiacuteoacuten de frontero (577) cnroutraiiioM el valor de A
(580)
La amplitud aacutee la onda estacionaria que se forma en el plasma cu los puntos cercanos
al punto de reflexioacuten x = Xoco29 crece (Fig52) Su valor maacuteximo se puede obtener de la
expresioacuten (572) el cual corresponde al primer cero de la derivada de la funcioacuten de Airy
[11] y tiene el valor
2 a a | l = 268 (581)
Asiacute dividiendo (5S1) entre (576) obtenemos el coeficiente de amplificacioacuten de la amplitud
del campo eleacutectrico en el plasma con respecto al campo en el vacio
103
| s f = 374(oolaquo3laquo)3 (582)
En el caso maacutes general de un plasma deacutebilmente inhomogeacuteneo en (562) en lugar dr
arbdquo debemos sustituir
En este caso para valores grandes de (koro)l^eoraquo0 auacuten una |MI jtirntildea parte imaginaria de
ki pcniMtiviacutedad dieleacutectrica puede rondticir a jteacuterdidas significativa de energiacutea de la onda
Si ni gtgt P jiacute () entonces la ecuacioacuten (571) conserva su forma pero ( en csrraquoiexcl caso laquo-S una
cantidad compleja
- ( )
raquo ( j v o ^ + x - mdash ) (584)
Nuevamente la onda (pit se forma en la regioacuten 0 lt x lt sltol(t es una onda estacionaria
lgtcro ahora la onda que se refleja cu el punto de corte Tit t = oc) nltgt tiene la misma
amplitud de la oiiif-t incidente Aquiacute cl coeficiente de reflexioacuten es diferente de la unidad y
se expresa como [23]
R as e m laquomdashgtbull m e-raquopound raquolaquoraquo (585)
La amplitud maacutexima del campo cerca del punto de reflexioacuten en este raso disminuye en
Ry
|iexcl iacute | 2 374|| 2(ltWw3)1 3 (586)
104
CONCLUSIONES
I Se describioacute la teoriacutea general de las guiacuteas de onda y resonadores cilindricos En base a
esta teoriacutea se obtuvieron obtenido los paraacutemetros principales que ritrart izan vi sistema
de microondas di- la fuente de plasma descrita cu [2] En el raso ilc una guiacutea de onda
cilindrica hecha tiraquo- bronce y ron Suacuterm de diaacutemetro interno se obtuvieron los siguientes
valores para los distintos paraacutemetros de pro|gtagariexcloacuteu de midas litadas en el IIIIHIO
A = 145rw raquobullbdquo = 13 x WHi I = 02753rraquor A = 22S2raquo Zbdquo = 187
ti = 56 x 10degtrade K3 = lC x 10uumlcfia
La constante de amortiguatniento lgtara estas ondas romraquo ronseriiriiciraquo de la roudur-
tividad finita ile las paredes metaacutelicas tiene el valor om = 1032 x 104 como este valor
es muy pequentildeo obtenemos que se puede considerar que la guiacutea de onda del sistema de
microondas (de no maacutes de un metro de longitud) es una guiacutea de onda ideal (sin ]xrdiexcldas de
energiacutea) Por otro lado para el resonador cilindrico laquopie compone el sistema de microondas
de radio a bull 7cm se obtuvo la distancia necesaria para que en el resonador oscile una onda
en modo Ht (wm = 15394 x 10(f ) Esta distancia tiene el valor d - 71Gcm Ademaacutes
se evaluaron la calidad del resonador y el ancho de banda donde el modo TEu puede ser
excitado uacutenicamente Q =bullbull 404963 w2 - uraquo = 000025 x WH respectivamente
II Se analizoacute el problema cuando la guiacutea de onda y el resonador cilindricos conshy
tienen una columna de plasma friacuteo magnetizado e inhomogeacuteneo distribuido axialmcnte
105
La columna de plasma cti el caso de la fuente de plasma [2j tiene un radio r = 3mraquo
y ademaacutes el perfil de densidad se consideroacute de tijraquoo paraboacutelico Eu base a la teoriacutea tie
perturbacioacuten y usando como paraacutemetro pequentildeo la pequenez del radio del plasma con
respecto a la longitud dt- onda se calculoacute la constante de amortiguamiento de la ondas
que se propagan en la guiacutea de onda ocasionada por la presencia del plasma La constante
de amortiguamiento tiene el valor o = lSS x 10~4
Se calculoacute ia variacioacuten de la frecuencia de resonancia fie las ondas que se etinieutran
resonando en modo TEtti en i resonador asiacute romo la variacioacuten en el inverso dr la calidad
del resonador obteniendo resp t-tiacutevaineiifc Aw - -lG3x 10 H MlQ) = oacuteS2x lO1
Los valores para n Aw y plusmniexclQ) se obtuvieron paro el caso mando ^bulljiacute(l))raquo = OS y
para el punto cerranraquo al punto di- resonancia ciclorroacutenica u = 0999 Ademaacutes se obtuvo
que la constante de amortiguamiento en el caso de la guiacutea de onda en el punto de resonancia
ciclotroacutenica l-u = w) se hace cero De lo anterior podernos roiirluir que la inutii se propaga
libremente en el plasma
III En el marco de la teoriacutea lined se analizoacute el proceso de penetracioacuten de campos
electromagneacuteticos en un plasma scmilimitaclo Se obtuvieron Jos coeficientes de reflexioacuten
transmisioacuten y de absorcioacuten para ondas tipo H tanto para un plasma homogeacuteneo y un
plasma no bomogeacutetieo Un aspecto fiacutesico importante en el estudio de la penetracioacuten de
ondas electromagneacuteticas en plasmas inhomogeacuteneos es que para una incidencia normal existe
un crecimiento del campo eleacutectrico en el punto donde la permitividad se hace cero Para
plasmaraquo magnetizados el comportamiento anterior es similar Por otro lado cabe sentildealar
que los puntos dentro de un plasma friacuteo e inhomogeacuteneo en los cuales el iacutendice de refraccioacuten
106
es infinito permite una absorcioacuten de las ondas de tipo no colisional en el plasma y al
mismo tiempo se obliga al campo eleacutectrico a tener un valor finito Esta absorcioacuten en el
plasma se asocia al hecho de que en el punto iacute = oo el campo electromagneacutetico sufre una
transformacioacuten lineal en otro tipo de ondas
Finalmente hay que hacer notar que la absorcioacuten de las ondas en las guiacuteas de onda
y los resonadores se debe uacutenicamente a la variacioacuten o cambio que sufre la constante de
propagacioacuten y la calidad del resonador respectivamente por la influencia tlcl plasma Este
mecanismo de transferencia de energiacutea ai plasma es diferente al mecanismo laquoIr la transforshy
macioacuten lineal de ondas
107
REFERENCIAS
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110
Por su colaboraciuacuteu cu la roviaacuteoacuteu de esta tesis
agradezco a los Profesorraquoraquoraquo
FM J Antonio Aguilar S
MC Gloria Daca L
Fit Aurelio A Tamez M
Dr Albino Hernaacutendez G
M en I Carlos Sandoval A
y a las instituciones
Universidad Autoacutenoma del Ettado de Meacutexico
Instituto Nacional de Investigaciones Nucleates
Gobierno del Estado de Meacutexico
por su apoyo y facilidades brindadas en la
realizacioacuten de este trabajo de tesis
CONTENIDO
INTRODUCCIOacuteN 1
CAPITULO 1 DESCRIPCIOacuteN DEL PLASMA 3
1 Principales paraacutemetros del plasma 3
2 Meacutetodos teoacutericos ltraquobull descripcioacuten del plasma 8
CAPITULO 2 GUIAS DE ONDA Y RESONADORES 12
3 Guias de onda 1 2
31 Ecuacioacuten de valores propios 12
32 Paraacutemetros de propagacioacuten 15
33 Coeficiente de absorcioacuten 18
34 Guiacutea de onda cilindrica Modo Hmn 19
35 Coeficiente de absorcioacuten Modo H^ 23
4 Cavidades resonantes (resonadores) 27
41 Caracteriacutesticas generales 27
42 Energiacutea almacenada y calidad de los resonadores 31
43 Excitacioacuten de los IIHMIIH tie ilaquorilac)oacuteii 34
44 Resonador de forma cilindrica 30
CAPITULO 3 TEORIacuteA DE PERTURBACIOacuteN 41
5 El meacutetodo de perturbacioacuten eu las guiacuteas de onda 41
6 El meacutetodo de jicrturbacioacuteii en los resonadores 49
CAPITULO 4 INFLUENCIA DEL PLASMA 5G
7 InfliUliriii del plasma cu la- guiacuteas de onda 5C
8 Influencia ilel plasma en los resonadores 74
CAPITULO 5 PENETRACIOacuteN DE ONDAS EN EL PLASMA 83
9 Penetracioacuten de campo ilectruniagneacuteikos cu el plasma S3
91 Penetracioacuten de campos electromagneacuteticos en la aproximacioacuten
hidrodinaacutemica Sistema de ecuaciones 84
92 Penetracioacuten de ondas tipo E y H 86
10 Penetracioacuten de una onda electromagneacutetica en un plasma homogeacuteneo
semihmitado Reflexioacuten y absorcioacuten de ondas tipo H 89
11 Paso de una onda H en una capa de plasma 96
12 Penetracioacuten de una onda tipo H en un plasma deacutebilmente no homogeacuteneo 99
CONCLUSIONES 105
REFERENCIAS 108
INTRODUCCIOacuteN
ActUiiluieiili cu rl IXIN se tiene miii fiiriitc de plasma roiistruida iU el proyecto IB-
230 Esta es una fuente de plasma friacuteo sin ilict rodos (pie genera rl plasma por mirroondas
IIH iiniite resonancia rirlot romea di- los electrones Este tipo de dispositivos son de eran
actualidad ililiiiin iexcli sus posibilidades potenciales di apuracioacuten a Iti industria tiacuteili-s romo ltl
pngtisiacuteiiiiiiiitn ili- ilifi-riiifrs materiales |]iexcl (la formacioacuten laquoIr peliacuteculas delgadas poliacutemeros
liiiacutecnielcct ioacutenica soldadura iiiiit|uinns-lierrainieiitns etc) En estos dispositivos tambieacuten
rs relevante el estudio de fenoacutemenos baacutesicos i|iie ocurren en el plasma ionio la conversioacuten
lineuumll y no lineiil de ondiacuteis en el plasma Parraquo mayor informadoraquo sobre vi dispositivo ver [2]
Uno laquoIr los componentes baacutesicos del dispositivo es el sistema de inicruondas el cual consiste
de un generador de microondas (magnetron) de una guiacutea de onda y de un resonador El
generador que se utiliza es un Raytheon PGlOxl con frecuencia fija de = 245 GHz y de
potencia variable f 10 - 500 W) Li alta frecuencia del campo se transporta a una cavidad
resonante por una guiacutea de onda cilindrica de bronce de 85cm de diaacutemetro En esta guiacutea se
excita una onda electromagneacutetica en modo H El resonador de bronce tiene un diaacutemetro
de 14cm y en el cual se excita una onda en modo TTm-
En este trabajo de tesis se realiza una revisioacuten del caacutelculo del sistema de microondas
que componen el dispositivo y un estudio sobre la interaccioacuten lineal de ondas que pueden
ocurrir en el plasma en este dispositivo En el Capl se hace una pequentildea descripcioacuten de
los principales paraacutemetros del plasma y de los principales meacutetodos teoacutericos para su des-
1
bull ti|Miexclltgtii En bull Cap2 w laquoICSITIacuteIM- In teoriacutea general de las guiacutea- de onda y los resonadores
cilindricos En el (iexcli|i3 si- de-rrilie la Teoriacutea gtbullbull Perttirltacioacuten uacutetil iexclwira el i-aacutelculo di lo
diferentes )i-iiaacuteiii(tros di- lagt uniacuteraquo de onda y lo- resonadores nur contienen itti plasma en
su interior En el Cap4 en lgtase a la teoriacutea ltllt- pi-rturltacioacuten gtbullbull calcula la variacioacuten di- la
constante ri pro|gtagariigtn de las ondas ijuc so propagan en una guiacutea dr onihi cilindrica asiacute
iilaquomgt la variacioacuten di liexclgt frecuencia de resonancia de las ondas lt|tio si- iiiencntraii oscilando
ili un resonador laquopie IOIIIIacuteIIM una i-olnniiia de plasma friacuteo riliacutendriro magnetizado ltbull inlio-
mogoacuteiieo disnilmido axiacutealiiinili En el Cap-V i-ii el marro dr la teoriacutea linral se Kivostiga
ri proccsiraquo di penetracioacuten di campos eleotioniauiacuteHlieiraquo- III un plasma ademaacutes sr obtienen
los coeficientes de reflexioacuten transmisioacuten y di aliMgtirioacuten paia ululas bullbullgtltgt Finalmente
si- lian- un resumen di- los principales resollados nlitriiidos en el traUiacutejo di- trxis
La propagacioacuten de ondas de muy alta frecuencia representa un lema laquolo gran anualishy
dad iii campo romo la radiofiacutesica (oomttiiiriirionos radares radiotelescopios etc) y la
fiacutesica d r plasmas (aplicariones y fusion termonuclear iotroluda) En la fiacutesica de plasmaraquo
actualmente se est lidian dispositivos en base a suirrooiidas y radiofrecuencia laquopie son muy
interesantes por la gama ile aplicaciones (pie se descu-ren constantemente Por otro latioacute
el calentamiento adiriacuteonal tlel plasma por ondas de radiofrecuencia en dispositivo donde
se obtienen plasmas de alta temperatura para el estudio de la fusioacuten termonuclear conshy
trolada es un tema que tiene gran importancia Por lo anterior el desarrollo de la teoriacutea
lineal y no lineal de propagacioacuten dr ondaraquo de alta frecuencia es de gran relevancia
2
CAPITULO 1
DESCRIPCIOacuteN DEL PLASMA
1 Principales paraacutemetros del plasma
El plasma rs un uniacute lio nmsinritro compuesto laquole partiacuteculas cargairaquo positivas negativas
y ademaacutes tli- partiacuteculas neutra (aacutetomos y moleacuteculas) que inicraci-ionan entre siacute y con la
radiacioacuten Las partiacuteculas positivas son los iones y las negativas son los electrones (los iones
negativoraquo juegan un papel secundario) Ademaacutes de los aacutetomos y de las moleacuteculas que se
encuentran cu su estado base en el plasma ]meden existir tambieacuten en grandes cantidades
aacutetomos y moleacuteculas cu estados excitados El plasma entonces es un gas ionizado en el
cual la carga negativa de los electrones neutraliza casi completamente la carga positiva de
los iones
Veamos algunos procesos que ocurren en el plasma (3-7] El plasma se obtiene por la
ionizacioacuten cuando se separan los electrones de los aacutetomos o de las moleacuteculas Son posibles
dos formas de ionizacioacuten en un plasma denso principalmente tiene lugar la ionizacioacuten por
choques de los electrones con los iones o aacutetomos nertros y para un plasma muy enrarecido
es caracteriacutestica la ionizacioacuten por radiacioacuten (oacuteptica ultravioleta y por rayos X) Es posible
tambieacuten que ocurra la ionizacioacuten por los choques entre los aacutetomos o con los iones El
3
proceso inverso iquesti 1Iacute ionizacioacuten es lit recigtmlltinlaquoooacuteiiexcl es ib-cjr Ib unioacuten de un electroacuten con
mi ion y con ii consecuente formacioacuten de un aacutetomo o moleacutecula neutra En un plasma
enrarecido la igtgt iacuteniliniexclnioacuteii ocurre generalmente con radiacioacuten y en un plasma denso lu
riioiubiiiacioacuteu gtbullbull rriiiiii en los choques triples (se recoiuliina un electroacuten y un ion y mi
segundo electroacuten gtbull lleva el sobrante de energiacutea) Por otro birlo el plasma lugt solamente
radia hi visible sino tambieacuten radiacioacuten ultravioleta y ademaacutes si t-1 plasma es muy caliente
tambieacuten radia rayos A
El plasma por naturaleza se comporta como un gas por lo que para su laquoICM riprioacuten
si- utilizan ronrepros talrs como densidad presioacuten (esiipfralmgt itr El movimiento ile
las partiacutecula- ocurre ilr fon na caoacutetica En laquoI caso laquobull bull partiacuteculas lt|tilt- no timen carpa en
su movimiento teacutermico la iliriciioacuten de su movimiento varia solo |Mgtr los c-limpies como
cu un gas simple Entre cada choque el movimiento de las partiacutecularaquo con velocidad
constante r describe una linca t rta En este cano la longitud promedio de recorrido
lilwe es A = VT = iexclnma donde r es el tiempo entre los clioques nm es la densidad
tlil medio y n es la seccioacuten de choque A mayor densidad la longitud de recurrido libre
medio tm menor y Ja frecuencia dr rolimeacuteo v = 1T = nmav es mayor Loraquo choques entre
las partiacuteculas neutras ocurren por la accioacuten de fuerzas de corto alcance las cuales son
proporcionales a rri y pueden ser tanto elaacutesticas (intercambio uacutenicamente de energiacutea
cineacutetica) como inelaacutesticas (transformacioacuten de la energiacutea cineacutetica de las partiacuteculas ergt otras
formas de energiacutea como son excitacioacuten ionizacioacuten y recarga) A diferencio de las partiacuteculas
neutras sobre las partiacuteculas cargadas actuacutean tuerzas de largo alcance proporcionales a r
las cuales se rigen por la ley de Coulomb Esta interaccioacuten disminuye lentamente con la
distancia El movimiento de las partiacuteculas ya no se realiza por una linea quebrada sino
siguen trayectorias muy complicadas Sin embargo estas trayectorias se pueden aproximar
a una linea quebrada y en esta forma introducir el concepto de choque coulombiano En
4
iexclo inuwrioacuten iilt- 1iexclIgt partiacuteculas las maacutes fuertes resultan raquo T las de largo alcance Las
interacciones coulombiaiifis determinan Minchas propiedades del plasma A traveacutes de eacutestas
a|raquoareceii las propiedades colectivas del planum relacionadas ron la interaccioacuten simultaacutenea
ltltbull mtiriiH- partiacuteculas
Las partiacutecula nue componen cl plasma se encuentran igteniianenteinente en estado de
movimiento teacutermico caoacutetico Este movimiento se caracteriza por lit temperatura del plasma
7 romo un todo y por la temperatura Tbdquo tic siis diferentes componentes (aquiacute ir puede ser
i o i pata iexclos elertrmies o iones respectivamente) La temperatura liacuteeiennina la energiacutea lilshy
las partiacuteculas del sistema el euiil se tinmiit i iexcli en ei|iiililirio teri-iodinaacuteiiiico El |gtlnsiiit se
llama isoteacutermico si este se encuentra en equilibrio teuuodinaacuteinico ionio un todo y la funcioacuten
de distrUumlMieioacuteit de la energiacutea de las partiacuteculas de todo tipo es una distribucioacuten inaxweliacuteaua
con una misinn temperatura X (T = T = T) En el caso de un equilibrio lennodiacutenaacutemicolaquole
una parte del plasma cuando diferentes componentes tienen una distribucioacuten maxweliana
pero diferentes temperaturas vi plasma se llaina no-isoteacutermico o sea Tt iquest T Esto uacuteltimo
es posible debido a laquopie cl intercambio de energiacutea emre los electroiws y los iones ocurte maacutes
lentamente que el intercambio de energiacutea entre las partiacuteculas que tienen una misma masa
En base a esto uacuteltimo en un plasma no muy denso con pocas colisiones puede existir
un estado con dos temperaturas ioacutenica 7iexcl y electroacutenica T En el caso de una funcioacuten de
distribucioacuten maxweliana de las partiacuteculas fm exp(-m0vl2kTo) la temperatura de un
plasma en equilibrio determina la energiacutea cineacutetica promedio del movimiento teacutermico
3fcT _ _ _ _ _ ^=(mavl2) = Eacutee (11)
donde k mdash 138 x W~ttrgioraquodegK es la constante de Boltzmann y 7_ es la temperatura
de las partiacuteculas de clase o La raya superior en la parte derecha indica un promedio con
respecto a las velocidades
5
Una earailiTisMra importante del plasma rgt la fririMii-in plaacutesmica la cual esta canic-
tiriaila por liis oM-ilaciacuteouo electroacutenicas ltlrl plasma
tliHide i es la carga del electroacuten (t iexclft 4SU32 x 10iraquolaquotoiWoraquo()i u es 1iexcliexcl concentracioacuten ilr
electrones (laquobula iii mi) y MI lt~iexcl la masa del electroacuten (raquolaquo = 01095 x lO^V)- Las oscilashy
ciones |gtliacuteisiuiris son oscilaciones longitudinales electrostaacuteticas i|tn- surgen romo resultado
ilr hi separacioacuten ilr partiacuteculas lardadas a distancias microscoacutepicas y ilil surgimiento de lalaquo
fuelas ill COIIIIIIIIII La fu incuria plaacutesmica soacutelo depende dr la ciiurrut racioacuten laquo
raquo- 5 Tx Wyj^ 113)
ii ltii la forma
A = | = 2 x l O 3 ^ 1 0 ^ (14)
La escala temporal ill separacioacuten laquole carga cs una cantidad inversa a la frecuencia plaacutesmica
r ss 1w Como laquoi los intervalos dc tiempo gt r las partiacuteculas realizan imirlins oscilashy
ciones cerca de su posicioacuten de equilibrio entonces el plasma como un todo se comporta
como un sistema neutro en el tiempo La separacioacuten de cargas puede ser importante soacutelo en
intervalos de tiempo t lt r pequentildeos con respecto a la escala temporal La escala espacial
de separacioacuten de cargas es la distancia basta la cual se puede desplazar una perturbacioacuten de
la concentracioacuten de las partiacuteculas cargadas debido a su movimiento teacutermico en un tiempo
igual al periodo de las oscilaciones plaacutesmicas la cual se expresa en la forma (dada en cm)
laquobullV V 4iregtnt
6
doxiie = lTni mdash 45 x VSyJT laquo-s In velocidad del movimiento teacutermico de los
bull iexclii-roiifs 7 laquo- Iraquo fltbullijijx-rittiilt le los electrones en A y gt es la cow-rut racioacuten laquole los
bullllaquoM-roraquofgt MI nn~ bull La ltlisuiiit
bullgtbull llama radio ltit- Debye para los electrones Para tin plasma niasiiirtirro es necesario ijiie
its liiuiitiMoiiis riinirifristiras L scan siciiihnitivniiifiitc mayores ipie el radio ir Debyc cs
laquo[bullbullbullbulli L ~iquestgt in ion esta condicioacuten slaquo- purde considerar ijnc laquobull -iexcl-teiacutena ilf partiacuteculas figtrman
un plasma En riiMi inverso L ltg riexcl i tenemos mi coiijmtlo I|I- |gtutiiiiiii- cargadas
-f|gtnli- Asiacute llenamos iexcli la definicioacuten laquoIt-1 plasma propuesta por Laugmuii [5iexcl rl plasma
i-s tin conjunto tic partiacuteculas iirutras y careadas en rl cual ai sc satisfaci- la condicioacuten dc
ciiasiiii-utralidiid poundbdquo rbdquoraquobdquo = 0 y lit el radio dc Debyc dc apaiitallainit-iilo es mucho niiiior
bullinraquo1 las dimensiones caracteriacutesticas laquopic ocupan el conjunto laquole partiacuteculas r^ lt L
Una infltiriiciii iiii]iortantf sobre rl iiioviinie-nto de las partiacuteculas la ocasionan la exisshy
tencia laquolaquobull un riexcluingt magneacutetico externo constante el cual ordena el movimiento caoacutetico de
las partiacuteculas En un campo magneacutetico actuacutea laquoobre las partiacuteculas cargadas una fuerza llashy
mada poiidcroinotriz (lorentziana) dirigida ])cr]gtcndirulannriite a la direccioacuten del campo
magneacutetico B0 y a la velocidad de la partiacutecula iacute Bajo la influencia de esta fuerza las
partiacuteculas giran con una frecuencia angular igual a wBbdquo A esta frecuencia se le conoce
como frecuencia riclotroacutenica o de Larmor y para los electrones tiene la forma
~B = mdash 176x07Bo (17) me
Para que el plasma resulte ser magnetizado (anisoacutetropo) eacuteste no debe ser muy denso y
deblt encontrarse en un campo magneacutetico muy fuerte Por esta razoacuten es necesario que en
laquorl intervalo ltli- liniipo vnf dos i-olisiotn-s rbdquo las partiacuteculas pmdan nahzar uiiniios iexclinraquo
ttlri-drdor ill- las lincas del raui]Hgt iiiiiacutegiit-tiro Esta condicioacuten gtbull inarm tizai ion jitira lets
rliTtroiics es di- la forma
w laquo r m raquo l (lSj
En la ltlin riiiiti ilrl rampo iiiin-iiitiio la influencia de laquo-sir soliri- Ins partiacuteculas careadaraquo cs
nulo En mi campo magnet iro lioiiiogeacutem-o las trayectorias del movimiento dc las partiacuteculas
cargadas tiiinu forma bullltbull bullbull -jiiiiilraquo-
Por laquofin lado liay ijiir diferenciar los conceptos dc plasma friacuteo y plasma caliente Eli
mi plasma friacuteo r) movimiento teacutermico de las partiacuteculas es menor que la presioacuten i-I bullbulliinjgtgt
MKiKiirtim es decir
-2=2fIlti (io) Entonces podemos decir que rii mi plasma friacuteo que sr oiicticiif ni en mi campo magneacutetico
w puede despreciar rl movimiento trrminraquo dc1raquogt partinilas En mi plasma caliente esto
uacuteltimo no es vaacutelido
2 Meacutetodos teoacutericos de descripcioacuten del plasma
En el desarrollo de la concepcioacuten del plasma como un gas de partiacuteculas cargadas cambiaron
tambieacuten los meacutetodos de su descripcioacuten Los primeros modelos maacutes simples de la descripcioacuten
cualitativa del plasma lo suponen como un sistema de partiacuteculas cargadas que no interar-
tuan entre siacute y que se mueven libremente en presencia de los campos eleacutectrico y magneacutetico
externos Es decir si so considera que el plasma esta compuesto de jVbdquo partiacuteculas de clase o
8
iexclbulli -r mueven dcltido iexcli MI energiacutea teacutermica en forma caoacutetica entonces es uii-fNarin resolver
~ ecuaciones laquogtbull movimiento con uti miacutenimo iexclEnfil raquobullbull condiciones iniciales i posicioacuten y
-bullbullio-idades iniciales ilr partiacuteculas | Obviamente esto uacuteltimo es imposible de realizar Se
puede reducir fuertemente el problema si gtraquobull desprecia liexcli dis]gtcrsiexcleacutegtn de las velocidades dr
bullu iovimicnlo teacutermico es decir si se considera el movimiento promedio de una partiacutecula
laquoiexclHe v encuentra en reposo cuando no hay campos externos Asiacute este modelo simple
de iexclarticulas independientes completamente desprecia no solamente la interaccioacuten entre
piiriexclniiacuteiacuteiraquo sino eiexcl movimieiiio teacutermico de la- mismas
Pura determinar la velocidad dgt- una partiacutecula carnada del ntasma en el modelo de
pariacuteVittiis independiacuteenles se resuelven las i (ilaciones de movimiento para partiacuteculas de
gtia- bullgt en la forma
-y- = lt iacute iquest + -|ibdquo X D + iexcliexcl111 I110) Jlz
ir ~ donde iexcl = gtnbdquorbdquo es el impulso de la partiacutecula de dase o y ies la aceleracioacuten provocada
por fiHTns no electromagneacuteticas Eti las ecuaciones (LiO) la iiidiiccioacuten magneacutetica D
y el campo eleacutectrico E no se consideran como variaUes conocidas ya ipie estos campus
incluyen en siacute campos inducidos en el plasma cjue MOJIacute provocados por el movimiento de las
partiacuteculas cargadaraquo por lo (pie hay que resolver un problema autocousigtente es decir la
solucioacuten de (110) conjuntamente con laraquo ecuaciones de campo
VxS = M + Iacute I ( + ( 0) (iii) c ot c
V-Eacute m 4-(p + po) (1 13)
v i = 0 (114)
9
01
(si-i) ltraquoiquestbull AW + J) + W + sectxsectA)Y +ilaacute- raquo
waacute(A-iacute) + ^ Vlt = JLVpound mp
(iquestri) -o = W aacute w - A + ^
iexcllaquoupauSimi HJiuiHiupo pii] laquoj ip laquoai iopuioa ap jjnaiscsi io x) inn uctuivcs u n
HZI|1)II t8 opiti |f ui |vmi raquoia ap OIIMIIUIAOIH jap t iopduauap H| H Iacute H J -OJIIIU OIIIIIJIIOI o ip j tu mi
(ipllllllUOJ OJIIK laquoHill OIlllll lltijjodll S Sgt1IIIIIltMI|IIOJ SHJSI Hill llX HJItlHI A UIIIIOI liJIIIOJl
bullJMraquo NtJIIHKullllO1 Sl| 11)111 IttllHMJIi j j l lililiacute IMIacutelj IS lili IIJlllllllipiU|lll| CI|I|KM11 |l l|-J
i
OIIIIIIIIipiM|)II[ (gt|l|raquoOIII |l iZI|llll
is osli i|Si 113 ltM1IIHI l((|ill|)Ulll o|(llllil | mi imuii Jllli|MSIIlu ipmd is lti|i(i| (III oltloi
Dlllsmii |l lt ltI|IIIKIIJI(1IJltII 1)1111111 Ulllj l||St IS IIIHI SI|lll(UIltI SI|IIMIJI(I sltlt[ 1(1 (IJfUItlllAillll
|i ltisui|i 11111 miis-H|ltl 1111 111 iiUuumluniii iexcllaquo j o j ii|iiiuiiii(iultii ms i ltm siquniiud ltn gtgt
ltI|I1III1U Villi |l (MU | l lll lt 1(11ili 111 AIIIII iMIIsiqil tin 1(1 IKIII |i l|gt II|IK lti|ilI|I|ll MS i|llllltl
Sgt|I1HIIIIMII|IIII -ii(liilinil ip II(I|KMII (1 H|tiit|iiltl 113 lti|iiiiitll] si inusiqd |i|i IIltIIMIUISI|I
l| lll IIOIHiipill US Hill ltl| Hid degSI(||||||Ilt1 Sl| 1(1 i||llll(1llAOIII |lp 11(11liqll1111 bull] OlIItU11
(iinmiiiAoui (1 bulluipisUtii 1111 ofiji is (IHKII si|tfi(|ifiH(i|ifft s-ftptjiijiMi (lt lti(i(iorij ( 3
( 9 1 1 ) 0 = V V bull A + T ^
|Mqmimiuoj ltraquofi tiacuteotjuttji laquoj uKiexclatms (()) niexcljsijtfs j pthy
ltcni bullbulliquestx^ = [ -x^ = lt
laquoUIKIJ i( (lllllll l|(MMJltll ijl A i|l(lll(IUI laquoSjlM laquolt Kj|tt|raquoISIM|gt gtlJ Sgt(itl) slj | Ifi
= V y [- x D - -pound-V x I i r Uuml) (119) Of 4 ~ ltT
V B = 0 (120)
donde ni ex 1iexclI ltbull usidad del liquido ltlaquoMiraquohicTtgtr (plasma) ron una rondiirtividad n vi es la
velocidad del plasma y ( r son 1lt- roi-firiciites de viscosidad Este sistema laquoir eriiarionis
w debe de roiujut mentar ron las emanones de rotado y la iiiiwioacuteii laquole tnuiNpurte de calor
= Hni-T) (121 0
M7 mdash + (rlaquoV| uumlt
~ bdquo 2L1L + X-(VTgt+ mdash mdash l ^ x Uuml r (122)
donde raquo = raquoij(T) es la entropiacutea de uiiii masa unidad de plasma n es la rondnrtividad
iltl ialor y rttJ elaquo el tensor laquoir viscosidad
^= (iiexclr + iiquestL~ hgtv TA) av bull IacuteL23)
En la magnet oliidrodinaacutemira se consideran dados la rondnrtividad eleacutectrica la conshy
ductividad laquolaquobull calor tlcl plasma y tambieacuten los coeficientes de viscosidad En la praacutectica
se utilizan modelos modificados dr la magnetoliidrodiacutenaacutemicn tales como el modelo cuasi-
magnetohidrodinaacutemico de dos liacutequidos (electrones y iones) y de tres liacutequidos (electrones
iones y neutros) tos cuales de forma fenomenoloacutegica consideran la interaccioacuten entre las
partiacuteculas- su movimiento teacutermico Estos modelos simples generalmente son aproximados
y para su fundamentacioacuten se exige la utilizar ion de un modelo maacutes general del plasma
como gas ionizado El modelo maacutes general es la descripcioacuten estadiacutestica del plasma como
un sistema compuesto de un gran nuacutemero de partiacuteculas
11
CAPITULO 2
GUIAS DE ONDA Y RESONADORES
En rstr i-i|gtiacutemlgt v ilisrrilraquo li iroriacutea grurral i|r lis gniacuteis laquoIt- IIMIUuml y laquoIr los rrsoimdorrx
bullilimlriros Si luir- un r-iexclMilil riifuumlsis ru his giiiacuteigt d r mifhi V lvsotinliili- de MMIIacuteIMI
tliUlsvriMiI bull i i i i i iuuml l nn iDliiii 1iexclgt rxcitiiiiiVn dr o lnl raquo t i l IIHMII bdquobdquo y TE laquo11 estos
IIIacuteN|HIMIIacuteVIraquo rrx|Mitiacuteviexclifilttr rli Iilii|iiliquest ron rl d i spos i t ivo drsni t iraquo cu [2iexcl
3 Guiacuteas de onda
31 Ecuacioacuten de valores propios
pound1 estudio dr IHS propiedades fnuciaiiicntalcs dr la propagacioacuten de ondaraquo laquobulllectroniaglictiras
en tubos cilindricos dr conductividad infinita sr ha realizado ampliamente Ha sido resuelto
el problema para guiacuteas do seccioacuten transversal arbitraria |8) y para secciones transversales
particulares de importancia praacutectica se lian solucionado en sus modos fundamentales de
propagacioacuten [9] Asiacute mismo una analogiacutea con las lincas de transmisioacuten ha sido descrita en
[Wi
Veamos con maacutes detalle las guiacuteas de onda Consideremos una guiacutea cilindrica ron su eje
dirigido a lo largo del eje 0iexcl Ademaacutes consideremos que la guiacutea de omlas es longitudiliaj-
12
iifiacuteiti- lioiingtmiiriexcli y iptc la iexclgtariilrgt- metaacutelica sou conductores iierfcetos Sigtigtntgtiexcluiiltgts ltpit
bullniexcli omlii bull-lcctrumagiirticH plana di frecuencia ur si propaga a lo largo di- la guia ilt- onda
pound(fiacutel=f(r^)t r- iacute (21)
poundlt) = (riacute)t r-w ) (22)
iexclonde r es la constante de proiMtgacioacuten o nuacutemero de onda El problema fie contorno que
-bull iacuteu-duiT de liexcltgt fiiiacutenioins de Maxweil pura ondas ti|Mgt H en una guiacutea dr ondas ciliwtricn
-bullbull rxprrsa en la forma
bullbullon laraquo condiciones de frontera
-2- = 0 para r = a (24)
E = 0 cti todo el espacio
donde $ = H(r^) De la misma manera para las ondas tipo E el problema de contomo
tiene la forma
0 lt vgtlt 2ir
13
rtm las condiciones de frontera
= 0 para r = a (2C)
H = 0 til todo el espacio
donde ahora lt1gt = pound(r^) n es el radio ilr la guiacutea tic ondas
Los valores positivos
bull = -gtL = iquest - riquest (27)
determinan el con junto de valores propios correspondientes a rada una de las soluciones
lraquoTiiiisilles igt minios caracteriacutestico de la guiacutea de onda donde II y t son las constantes
de permeabilidad y permit ividad respectivamente del medio ipie llena la guiacutea de onda
GiiHTMliiHiite bdquo depende ile las (limensioiies geomeacutetricas de la guiacutea de onda de IacuteHJIIIacute
IJIIC siempre si puedan selerrionar los modos de propagacioacuten raquopraquoe se reijuieran
Por otro lado las componentes transversales de los campos eleacutectrico y magneacutetico se
determinan si se conocen las componentes longitudinales de los campos de la forma [8]
iT Eacutet = - j -Ve para ondas en modo E (28)
a iT H = - mdash V para ondas en modo H (29)
Traquonigt
Ademaacutes las componentes transversales de ambos campos (eleacutectrico y magneacutetico) se relashy
cionan mutuamente romo
14
H = ~iquestbdquo x Eacute (210)
aonde ~bdquo es un vrrtor unitariti dirigido a lo iexclarjraquo ltlcl eje 0 y Zf laquo la iiiipedanria tlr 1raquo
onda tiraquo modo E Igt H respectivamente
cT Zf = mdash igtara ondas en modo pound (211)
ZH = mdash=bull pnra ondas en IIIIMIII H (212) cT
Las efiiiexclirioiiigt (23) y (25) determinan problemas de valores propios ron sus corresshy
pondientes condiciones de frontera Cada turn de las soluciones nos representan diferentes
bullnodos normales unos transversales eleacutectricos y otros transversales magneacuteticos corresponshy
dientemente
32 Paraacutemetros de propagacioacuten
De la ecuacioacuten (27) se tiene que para cada valor de bdquo y correspondientemente de la
frecuencia se determina un valor para el nuacutemero de onda
r raquo - ^ - T Iacute (2i3)
En general T puede ser una cantidad compleja de donde podemos distinguir tres casos
a) siacute (tt^ gt y^n entonces T es real y define un modo permisible de propagacioacuten es decir
la onda se propaga libremente a lo largo de la guiacutea b) si ftfty lt 73nn entonces T es una
cantidad compleja de donde la onda se amortigua exponencialmente y c) el caso cuando
15
r = 0 ilefiiu la condicioacuten di- rortlaquo la nial separa los casos a) y li) Asiacute podemos definir a
la friTuciina de corte romo
Wbdquobdquobdquo = -J=-bdquo 1214)
y expresar el nuacutemero de onda en funcioacuten de ella
r = ^ ^ - ^ (215)
Para ftecuencin- uiiiyores ijue la de rorle la onda se propagii a lo largo de 1raquo guiacutea En
el ruso contrario pitra freriietiriuumls menores i|iie lii de rorte 1iexclgt onda se amortigua Otra
caracteriacutestica imporiiiiite la ]iodeinos olilenei de la bullbullxpresioacuten 1213) Va |IH- el nuacuteniero de
onda r siempre es menor ipie su valor en un espacio lilire entonces Ii longitud de onda en
la guia es siempre maacutes grande
y 77 7ngtt
Anaacutelogamente definimos una longitud de onda de corte o criacutetica (cuando A = 00)
Af = yiliacutemdash (217)
y expresamos la longitud de onda cu la guiacutea cu funcioacuten de ella
A = _ j (218)
donde A es la longitud de onda en el vacio Dr aquiacute que la onda se puede propagar a lo
largo de la guiacutea de onda uacutenicamente para longitudes de onda menores (pie la de corte
0
~ y - i y
_bull-
_ 1
bull i
iexclA
0
0
- gtiacuter
JfT7 ~ m
n
0
raquov
^ yJZliacuteiiacuteiacute
9C
Imaginaria
V
mdash _ l _ - M i l
0
Imaginaria
A
-Jraquo-$mdashil
X
Imaginaria
Tabla 21 Iaraacutewotrus ele propagacioacuten para onda ltrn moiio pound y cti una guiacutea ltlr onilas
Miacuterica uniformraquo
Por otro hielo iexclgt viliraquodegiiliexcliltl ltli fasr iiexcl riexcl un medio bullbullgt uisiraquo JraquoILIIlt1laquo ijiii- su Viilor III el
Wigt
7 = r
(219)
Por debajo del punto dlaquo- corte 1raquo velocidad de fase es imaginaria y pierde asiacute su sigshy
nificado fiacutesico En el punto de corte la velocidad ltlr fase se viirlvr infinita Un liccho
importante resulta serel que la guiacutea dp ondas es un sistema dispersivo aun cuando el
medio que llena la guiacutea no lo sea (la velocidad de fase es funcioacuten de la frecuencia) La
velocidad de grupo de la onda tiene la forma
tortt 1
(220)
En la Tabla 21 se resumen los paraacutemetros de propagacioacuten para una guiacutea de ondas sin
peacuterdida de energiacutea
1
33 Coeficiente de absorcioacuten
El finjo laquole inicrgiacutesi raquobull describe por ltbull vlaquo-ctigtr cimiplejo di- Piacutemiling
Sbdquo=[iquest]i[poundxW-j (221
su parte real nos dh el finjo di- energiacutea promedio plaquogtr unidad de tiempo y por unidad de
aren La romponeiite axial de Su representa el flujo de energiacutea prmimlio a lo largo de la
guiacutea Por lo tanto d flujo total promedio de energiacutea que se transmite a lo largo de la guiacutea
de onda e- la integral de la componente axial del verfor laquoIr Poyntilig evaluada sobre IIMIIacuteI
la weeioacuteii transversal de la guiacutea de onda
HilU^1 - iacute2-22) donde iquestbdquo es un ver tor unitario a lo largo del eje ()
Hasta el momento se lia considerado laquopie las paredes laquole la guiacutea tie laquonula son conductores
jraquocrfectigts in tal caso el Unjo total de energiacutea conserva su valor a lo largo tie la guiacutea laquole
onda Sin embargo en problemas reales la conductividad de las paredes tiene un valor
finito debido a ello existe muiacute fraccioacuten del flujo total laquole energiacutea que se absorlw |araquor Inraquo
paredes Dlt- aquiacute qtw la expresioacuten (222) representa uacutenicamente el fhyo tie energiacutea total
que entra a la guumliacuten de onda y cuyo valor decrece durante la propagacioacuten de la onda es
decir se generan peacuterdidas de energiacutea En la praacutectica tales peacuterdidas se consideran muy
petmentildeas considerando que siempre existe una fraccioacuten de la energiacutea que se pierde ya sea
en las paredes o por la presencia de un dieleacutectrico que llena la guiacutea de onda En tal caso la
laquoMida se amortigua en BU propagacioacuten y la constitute aacutee propagacioacuten time en consecuencia
una parte real y una imaginaria
18
r=i~m (223)
iultif i gts vl factor laquoit- iacuteiisi- y gtbull vi n^bulltirivuu- tU- iexclilisorcioacuteu o ltlr iacuteiiuortigiiaiiiii-tito E
cticiacutetiif ltli- iexcligtlaquouiri(raquoii ltbull Juumltllfi laquoir iexcllti rrhiritu
o = raquo +ltu (224)
bulliiiidr IIbdquo y o son los nlaquofiriciiiigt di- alisorrioacuten ilrliido n liexclis jx-nlidiis de energiacutea en las
m|t-iligt iin-luacuteliacutei-iraquo y 111 Illtilio diacuterliiirirai i|lilaquo- iexcllililiacute 1iexclI Riliacuteii rcspi-itivamriiti CiMisiiii-railiio
1iexclII |gtctiliiliexclis l l i -d ir ig iacutea ilr hi rxprrsion (2231 gtbullbull indure que los nui i )ms MUIacute propiui-ionalcs
bull bullbull tUUiexclltfgt rxpnililinal raquo i Ir ilonilr lii |MitgtIniacuteiexcli (222) laquo|lir sr transmitiacute iexcli iigt largo ltlr lli
bulliacuteliacutei ill lllllli llisillillliyr iexclI lo litigo (Ir (II la furnia
raquo(-)= Pbdquogt -- (2251
Por tamo la roiistiwtr de amortiguamiento o de alisorcioacuteii se definiacute- como ln razoacuten de
i poti-uria i MI il i ii bullbull lio lli eiirrgiacuteli (ptr si pierdr por unidad ilr longitud c u t i r il flujo toliil
promedio ilr rut-rglli lt|lie se transmit a lo largo di liexcli guiacutea gtllt onda
mdashiquestiacute-
34 Guiacutea de onda cilindrica Modo Hbdquobdquo
Nuestro principal intereacutes se centra en las caracteriacutesticas de propagacioacuten de ondas electroshy
magneacuteticas en modo Hnn en las guiacuteas de onda cilindricas Consideremos que la guiacutea de
onda tiene paredes conductoras perfectas y qui el iiexclgtgt dio que llena uniformemente la guiacutea
19
fcciMTraquo |Mrililiis laquoIr m c r g iacute a ilispiiviiilili-j Parraquo bulllaquolaquobullbull rwsn IIIN MIIIUIacuteOUIS n IIHgtI)Igt~ |MTIIIIacuteSIacuteIgt1IVS
ili- priiptiiuumlniiiii i|i 1iexclI r i i i iu ioacute i i (2 3 ) MHI
( bull r-t = CbdquoJJ- r)~laquoif (227)
laquolimilr Ci lt-- una ionstatiii y la rlaquotiltiirioacuteii ltr iacuteroutrrn (24) mjiriiTr jiir 1ltraquogt laquoiliircs propios
IDIIIIII la forma
bull t
bdquobdquo = mdash = U 123 122$) bulli
n = 123
Aipiiacute )bdquobdquo -un la raiacuteivs n bullbullMinas laquoIraquo la dnivaila ilr la fiuirioacuten gtlt- Ui-ssrl ili- unlcii m
JJjr) - Di y n rs il railin inlriim ilr la guia ir ondas Exislr un minino iexcliitiiiiln bullbull
IIHMIOS i|iu MUIacute -iiliniuiirs ilr (23) IIIII la i-igtiiiliexcli-iacuteoacuteii ili friitiliTa (24) Col aymla ili- (2Iacute))
y (210) iilitiiHiniraquo las rxprrsioiirs para las i-oinpoiimtrs transvirsalrs laquo1raquo- los campo ni
iminliiiailiacutei- riliacuteiiiiiiias y nitoiiri-s csiriacuteluacuteiiios las roiiipoiiriitcs ilr los i-ampos ni la furnia
H = C o ^ j h r ) trade m ^ i r mn
H = plusmniexclCo~-Jbdquohnnr)Zwir- (229) Inn r
E = 0 r laquoi
E = plusmniCbdquoZH-i Jmhmnr)ZtradeltigtriV-Tmn r
E = -iC0ZbdquoI-Jm(lmnr)Z^ert
donde los signos plusmn corresponden al en o co respectivamente y In expresioacuten Jm indica la
derivada ron respecto al argumento Jm = f- Sustituyendo (228) ni (213) w obtienen
20
gt valores tie la constante de propagacioacuten
r = Jfi- - iraquo (230)
Comraquo sc olwerva las ecuaciones (229) estaacuten doblemente degeneradas yraquo rpte uno de
lgtraquo ranijios se convierte ei el otro al girar ir2 alrededor del eje de la guiacutea
Determinemos lo paraacutemetros de pro|gtagiacuteicioacuteii para una guiacutea de inula cilindrica hueca
al variraquo) y de radio laquo = 425cm en la nuil se propaga una onda en modo Htl Considerashy
remos primeramente que las paredes de la guiacutea son conductores perfeetos En In siguiente
rioacuten se consideraraacute que estas tienen una conductividad finita
De acuerdo con (21C) toda onda electromagneticraquo podraacute propagarse en una guiacutea de
ouda de tales dimensiones si se cumple que su longitud de onda de )n primera es menor
que la longitud de onda critica Para tuia guia cilindrica se tiene
lisa A c = ~ (231)
Lolaquo dot modos inferiores Ha y JI para ondas de tipo H tienen las siguientes longishy
tudes de onda criacuteticas (en este caso iexcl = 18412 y j i t - 30542 [11])
Xe = 145cm (232)
Ac s 87cm
respectivamente Se puede demostrar que el modo pound0i es el modo fundamental para ondas
de tipo E Este modo tiene una longitud criacutetica
21
X = l l l f w (233)
Pur laquogttrcgt lhiii litraquo lougitiidcgt de inula rritkas lth- Uraquo siguiente modos ruiperiores ile muiacuteas
tipo H y li|xgt pound son menores que Itraquo valores 87rm y l l l m i rt-s]gtrrt miacutemente De aquiacute
que UMH onda clerirouiagiieacuteiira pueda propagarse en la guiacutea si su longitud lti onda laquobull
bulllienor que 145rraquoi Si ademaacutes fl valor de la longitud (ltbull ouda si- emueiilra en el iexclineacutervalo
11 lrjn lt A lt 145rru cntimres el jnodo H es el tiuiro que puede propagarse a lolargo
ile la guiacutea de onda
Eli figura 21 M muestra las vising tranvt-rsal y longitudinal de la estructura de los
bullaiii|Hraquogt en modo i | Aquiacute se 1gtI tomado la parti cosciioidal de (227) A continuacioacuten
e dan |igts valores de los paraacutemetros de propagacioacuten en el easu de IMIIIJIS clcrtronuigiieacutetiiiis
laquoMI iacutenriiencia w = 1539 x 10iacute (A = 1224nraquo) que si- propagan cu la guiacutea de onda
en nioilo | | Los valore se obtienen utilizando las expresiones correspondientes de la
seccioacuten (52) o de la Tnlila 21
Ar = 145laquoo
u w = 13 x 10luc
T = 02753cm-
A x 2282cro (234)
Zbdquo laquo 187 (i = l )
v = 5C x 100cm
w = 1CX10 OCTIIIacute
22
^mdashmdash Imea de campo eleacutectrico
mdash --Linearaquo di- campo magneacutetico
o Campo magneacutetico normal (hacia fuera ilr la hoja)
f ( ampo magneacutetico normal (hacia dentro di- la hoja)
Fig21 Vista- irahversal y longitudinal de la pstrurltira de Itraquo camporaquo ltn trimlo iacuteliexcliexcl La vigtti
otigitudial correspondiacute a un aacutengulo u = 90deg Figura tomada di- [bullgt]bull
i
Notemos (|Uf il iexclmaacutelisis anterior se inicioacute con una guiacutea dr onda de fliiiiensicmlts traquo-
gtltriacutetiacutecaj De- ahiacute se prosiguioacute a encontrar las onda electromagneticraquo npropiadas tale
que el modo fundamental H de la guiacutea de onda sea cl uacutenico que se propague Lo contrano
tambieacuten resulta vaacutelido es decir si se cuenta con una fuente de microotidas cotiacute determishy
nada longitud dr onda se pueden encontrar las dimensiones apropiadas de la guiacutea tales
que uacutenicamente se pueda propagar el modo fundamental
35 Coeficiente de absorcioacuten Modo Hmn
De la expresioacuten (226) determinemos la laquomulante de amortiguamiento debido H la conducshy
tividad finita de las paredes metaacutelicas para ondas en modo Hmn Primeramente calculemos
23
vi fltijiraquo total protiwlio ili laquowgia (222) r nial lunik bullbullscriiaacutersr IMI trrmiiins laquobullbull la funcioacuten
[gtrraquotgtiii bull at la forniH
iacutelowlc
= CMtmnr )rtismf (23C)
rlitotiirs
Praquo = If 1 Uw-T-KU [rIfjbdquor)nlaquoiquestraquoSlrlT-
= [iquest]^raquo^-Kraquol7rJraquo-rr- lt2-37)
La integra] ili- (237) sr cvaitwi utilizando la igualdad [12]
y CMisiacutedcnuidraquo IJHC la couiliriuacuteii de fruirtrra (24) rirquirrr ijiw Jm~innr)rmn = 0 DP rata
manera se obtiene el resultado
En el caso particular de ondas en modo Hti se tiene
La expresioacuten (240) puede escribirse en una forma mas conveniente
24
ionde
EJlJampuumlL (242
bullbull lii amgtIitultl del raui)Mgt eleacutertriro en rl bullbullclilro ltle 1raquo serriacutenraquo transversal laquobull 1raquo jiacuteiliacuteuuml de mida
La relanoacuteii (241I nos muestra rliimuienti- la iii-|n-iiiletiriacuteii rufidraacutetini ron n-sperrraquo iexclil radio
bull lti EUiiacutei ilil finjo total ]gtroiniilio ili- eneruiacuteraquo gt|raquo iitravicwi 1iexclI MTIIacuteIIH Iriexclmsvi-rsiil de 1raquo
uniacutea ib- omlu
Por otro lado la potcnria iacute|iic se pierde por mudad di- longitud (Mudo raquo las corrientes
u|gterfiiialc laquoi laraquo paredes metaacutelicas di- la guiacutea se expresa mediante la iutrgral de contorno
alrededor de la frontera de la guiacutea de onila) de las componentes tangenciales del campo
Magneacutetico en la fonna
p - dl
donde ntilde es un vector unitario normal a la superficie de la guiacutea de ondas ir es la conducshy
tividad de las paredes metaacutelicaraquo y S es el ancho de la capa piel expresada como
tiexcl es la permeabilidad magneacutetica de las paredes metaacutelicas Por tanto cotiacute ayuda de las
expresiones (229) se obtiene la potencia promedio que se pierde eti las paredes
25
- iexcl eacute f ^ - f (duuml]laquo 1245)
Fiiacutemlniiacuteiiti- di (245) y (240) bullbull oliticur la ruitstantr de Hiimnigiiuiiiitiitnpara el utixlo
I24G)
En vi raso ili- ondas ltw w propagan iii laquoI IIHMIO Hlt (MMII-IHH- laquoIr (24C) IDII raquoraquolt = raquo = I
obtener
f r i t o r sampsY+ traderaquo]
- - Id laquo-iexclzsf L v ( Siacute consideran)raquo tua guiacutea dr onda hurra ot dicir = 1 ni laquoti interior cotiacute paredes
metaacutelicas de broncr de conductividad a = 1413utg2crgaegnn) y radio a = 42vcm
en IB cual se propaga una onda en modo fiacuteu con una longitud de onda en el vacio de A s
1224cm (w = 15394 x 10degi) entonces obtenemos que la constante de amortiguamiento
tiene el valor de
om = 1032 xlO4 (248)
El valor anterior noraquo indica que a la distancia x = 0C88raquon la amplitud del campo eleacutectrico
disminuye 1e veceraquo de su valor en i = 0 De donde la constant v rlr amortiguamiento es
26
sntirp-itttniKiit nt-m-ntildea para considerar una guiacutea If onda laquoit unos riacutetanlos metros laquoit-
lUgitiiuacute romo una guia gtlr (tuda ideal (sin peacuterdulas)
4 Cavidades resonantes (resonadores)
Vu disjiositivo de gran importancia praacutectirtt y estrechamente relacionado ron las giriacuteas
ltbullbull onda son las cavidades resonantes Coinraquo w sabe una cavidad resonante (resoiimbir)
bull - privi-aiiii-iitr una cavidad roinpletameiit) armada por paredes nietaacuteliias Ins riacutetales
prewiiraii ilti propiedad tllt- podriacute alijiart-uar energiacutea eiertruiiiaRuitira tMeilanie Llaquoraquos riso-
iadores han sido ampliamente estudinilos en la misma magnitud ipu- las guiacuteas de ulula [13]
Anaacutelogamente al estudio de guiacuteas de laquonula gte ha resuelto el problema de 1laquoraquo resonadores
bullbull si-rrion transversal arbitraria routenieudraquo cu su interior un medio liiMiiogt-iraquo laquogt con IOIJS-
antes y t [S] Un estudio de los resonadores de formas particulares y de importancia
praacutectica se puede encontrar en [9] Ademaacutes una analogiacutea rlaquom liw circuitos resonantes se
(iescrUumlM en (II)] Con res|x-ctraquo a esto uacuteltimo podemos decir i|iie los rlaquosraquonailores tienen
la ventaja de ser superiores a los circuitos resonantes I - C en un factor laquole 20 laquos laquolecir
iexcla fraccioacuten de energiacutea almacenada laquopie se disipa por ciclo en un resonador es alrededor laquole
1 20 de la fraccioacuten disipada por ciclo en un circuito L - C [14]
41 Caracteriacutesticas generales
Consideremos una cavidad cilindrica hueca y acotada por un conductor perfecto Fijemos
el eje 0 de nuestro sistema de referencia a lo largo del eje de la cavidad cilindrica y
Mipongamos que la longitud del resonador esta acotada entre - = 0 y z mdash d
27
Un ri-Miiiitilor pucxlr i-oiisiilcriirsc mino unraquo guiacutea ltgtbull olida finita ilimih ltlaquobull tiww laquo|ingt
iexclumilir la rotiiliacutecioacuteii di- froniirit
para ltmdagt t-n modo TM
(Mirtl Otlflugt Ill IIMMIO TE
EbdquoM = 0 (249gt
HUbdquoi = 0 (250)
En itiilii linn illt- braquo sii](rrfiiiigt plana gtbull iilruumllnniitr ngtniltiitigtragt rxistr rcriixioacuteu di-ondas
El ti|Mgt lit iiiidii i|iilt- M- irrii iexclil siiprrpoiuT iliraquo ondas ilritroinatnitiias ron iexcliinplttudis
iguales y propagacioacuten en sentidos opuestos es ]iri)|iiiexcliinciiir rl di- uni onda estariouarin De
donde las rigtui]M)iiilillts axiales ilr 1ltKS rniupos ilclxn ttinl bullbull forma
para ondas en moiin TM
E = ( r r - )oi ^ - ) = 0123 (251)
para onda cu modo TE
H = Tf)raquoeM^-) j gt - 1 2 3 (252) o
Laraquo componentes transversales de los campos se determinan de (28) y (20) Para
ondas en modo TM obtenemos
28
Jfr = mdashT-cogtbullmdash )bdquo x V
(253)
vrrrgtjlaquogtijiiiciitfuifj)tc para ondas wi modo TE
pound = _ittif iacute iacutef)i1yr
W = iacutefJ_bdquo s (^)V
(254)
poundgtbullbull in-s riiiiiliiioliiN de frontera (249) y (25U olrtnirmos lt|iir 1iexclI ionstiuiti- ili- propagacioacuten
ltgtiitii 1ltraquo valores
r = uumlf = (0)123 ti
bull iexclonde de In ecuacioacuten (27) los vnlonv propio so expresan romo
(255)
(256)
La ecuacioacuten (25G) forma un conjunto discreto de valores que determina la frecuencia
bull ir resonancia para cada valor de p y bdquo es decir a cada tipo de onda estacionaria le
corresponde una frecuencia propia
vJ (257)
29
Fig22 Litraquo midas rsUt Miliaria- ilgt mi rismnclnr lidien en su lifiigiliitl un iiiiniTii IIIIITH ilr
niilMlcraquo lie la loiigilini tit- IgtMltU St- miii-sira H raso para )gt - Iiquest41 bullbull U exprntiiiacuteii iquestat)
En alaquoManii si mi si ritiniiita otra rosa raquobull omiten los Milmidiees rtii y laquopie ranraquo
UTIacutezan los modos laquoIr oscilacioacuten Ln resultado iiiiportaiilr laquole la ccuaraacutem (257) e laquopic se
pueden elegir Ian dimensiones ademadas ilcl resonador lie tal forma laquopie este opere ni una
frecuencia uacutenica de resonancia
Si comparamos (255) con la expresioacuten general para la parte real de la confitante de
propagacioacuten T = 2irA se concluye que para cada modo de resonancia la longitud del
resonador es proporcional a un nuacutemero entero de mitades de la longitud de onda (Fiacuteg22)
d s p ^ p laquo ( 0 ) 123 (258)
El caso plaquo0 correspondiente a la condicioacuten de corte para ondaraquo en modo TM tiene un
30
Mereacutes partieular ya qne eu este caso la longitud de nuda tiende a ser infinita entonces de
laquobullcuerdo ron (258 obtenemos
d - 0 bull oo (259)
ie donde la longitud del resonador esta indeterminada Los modos correspondientes a
gt raquo 0 existen en el resonador para cualquier longitud de la cavidad
Una propiedad de las ondas estacionarias es que loraquo CMIII|MgtK eleacutectrico y magneacutetico se
encuentran defamados en ir2
-ll = rt + iexclJ (2C0)
iielndu a ello existen instantes de tiempo en el resonador en que existe uacutenicamente el
bullampo eleacutectrico y momentos en que solo existe el rompo magneacutetico Como resultado de
este defasamiento el vector de Pijymiug resulta ser UIIH magnitud puramente imaginariacutea
de donde ai promedio con respecto al tiempo no existe transmisioacuten de energiacutea ya (pie el
valor promedio del vector de Poynting resulta ser indo Su - [ pound ] IitEacute x iquest ] = 0
42 Energiacutea almacenada y calidad de los resonadores
La energia total promedio almacenada en todo el volumen del resonador es la suma de las
energiacutearaquo eleacutectrica y magneacutetica promedio almacenadas por los modos normales
W m WE + WH (261)
donde
31
HiliacuteX-trade 2 M gt
Yraquo que en el resonador no hay MU flujo neto de energiacutea entonceraquo cu el cano en lt|Ur el
medio i|w Urna 1raquo guiacutea no genere |raquoeacutercliltlas di- energiacutea la energiacutea eleacutertririacutei y magneacutetica
promedio seraacuten igualo entre si Hiquest- s Wraquo Evaluemos la energiacutea total promedio alinarc-
tiada en el volumen del resonador |gtara ondas en modraquo TEmnf En este raso se tiene
=[iquest1U bull (2C4)
la cual puede expresarse cu teacuterminos de la integral de area tie la (tuicioacuten propia
= H(riacutep) evaluada sobre ln seccioacuten transversal de 1raquo guiacutea
bull-[iquestliacuteHs)]-- donde bull tiene la forma (227) Tomando uacutenicamente la parte cosenuiacutedal de (227) e
integrando de la misma manera como se evaluoacute la integral de (235) obtenemos
toT 47V ^n-m)Jmi^a) (266)
Para el caso particular de una onda en modo TEui se tiene
32
= [iquestiexcl](0375)|poundi|laquoib2 (2C7)
donde
1 1 - ^ (2-68)
raquo el valor di- lu magnitud tlt-1 riiinpo eleacutectrico en el centro di- la seccioacuten traiisveriMi) del
resonador
En griirral pura resonadores i n h siempre hay absorcioacuten ib energiacutea 1st nial se reashy
liza principalmente por dos raualcs a) porque el medio (pit- Ik-iui lu guiacutea es un medio
absorbente y Iraquo) debido a la conductividad finita de las paredes del resonador En cada
uno de estos casos las frecuencias de resonancia se vuelven cantidades complejas las ruakt
podemos escribir en la forma ugt = w + iw Entonces si la dependencia temporal de loraquo
campos es de la forma
Eacute(t)laquo Ac1 (269)
obtenemos que la energiacutea total promedio de un modo normal en un resonador real es
W(t)laquo W(0)e-3 (270)
donde se observa que se pierde al transcurrir el tiempo W(0) es la energiacutea total almaceshy
nada en el resonador en r = 0 Introduzcamos un paraacutemetro llamado factor de calidad Q
definido como 2n veces la razoacuten de la energiacutea almacenada en el resonador promediada con
respecto al tiempo entre las peacuterdidas de energiacutea por cada ciclo de oscilacioacuten
33
Qenrroiu ulmactnnda
SS itj mdash ^ mdash mdash ^ mdash ^ mdash mdash
jttrtlidim lit tnergtn
= wmdash IV
PmAtf
donde
(271)
P = - ^ I27-raquo)
egt la potencio media qui sc absorbe en tin ciclo de oscilacioacuten debido n las corrientes
superficiales de las |Ktrtdes del resonador (comparar ron la ecuacioacuten (224)) Di (270)-
(271) piulemos obtener que Q = raquo-2u Por lo tanto la frecuencia raquogt laquobull pnctlc expresar
a traveacutes de Q romo
=yj1 + eacutejh 273)
43 Excitacioacuten de los modos de oscilacioacuten
En el problema de un resonador ideal (sin jroacutedidas de energiacutea) cada modo de oscilacioacuten
tiene perfectamente definida su frecuencia propia de resonancia (257) Esto quiere decir
que si se quiere excitar un modo particular de oscilacioacuten en el resonador la frecuencia
de excitacioacuten debe coincidir exactamente con su frecuencia propia de resonancia En
problemas reales esto no ocurre y en lugar de ello se cuenta con un banda de frecuencias
alrededor de la frecuencia propia en la cual el modo de oscilacioacuten puede ser excitado La
existencia de esta banda de frecuencias se debe a que existen peacuterdidas de energiacutea
Para mostrar lo dicho anteriormente notoacutenos que las oscilaciones del tipo (260) se
pueden representar como una superposicioacuten de oscilaciones estacionariacuteas Supongamos
34
i le el campo electromagneacutetico se crea en el instante f = 0 y se le laquoleja oscilar libremente
para t gt 0 Obteniendo su transformada de Fourier de (269)
iquest(w) - p rt+Uacutet+Vt- (274) 2ff Jo
y evaluando la integral en (274) considerando que pound(t)| lsec = 0 se obtiene
cuyo valor absoluto es
eacuteMl = M mdash i ^ (27C)
La ecuacioacuten (27C) nos da un conjunto de curvas de resonancia para cada modo de
oscilacioacuten Cada graacutefica tiene su valor maacuteximo en w = u (Fig23) Los puntos ltii los
cuales la curva disminuye lgtsect de su valor maacuteximo se llaman puntos de potencia media y
su separacioacuten en frecuencia se denomina ancho de banda A cada punto de potencia media
le corresponden las frecuencias
w3 = w + ^ (278)
de donde obtenemos que el ancho de banda detennina el factor de calidad del resonador
en la forma
laquolaquo5 a raquoiquest- ltraquogt
35
IlaquolaquoM
Fiacuteg23 Curva (Ir resonancia para el mudo de oscilacioacuten a- Loraquo puntos |rV(laquo-|)| y |MJ)I son
lot punto dp potencia mediacutea y raquoraquo separacioacuten define el ancho de banda
Si las peacuterdidas de energiacutea son pequentildeas entonces las bandas de frecuencia son estrechas
Sin embargo siacute las ]ieacuterdidas son considerables entonces las curvas (le resonancia pueden
llegar a sobreponerse una sobre otra provocando la excitacioacuten mutua de los modos de
oscilacioacuten
44 Resonador de forma cilindrica
Consideremos ahora un resonador cilindrico Primeramente obtengamos las soluciones de
los campos para una onda en modo TE en un resonador ideal y posteriacuteormeite calculemos
la Q del resonador para este modo debido a la conductividad finita de las paredes metaacutelicas
Para este tipo de resonador y para ondas en modo TE las funciones propias o solucioneraquo
36
correspondientes al problema transversal (23 tienen la forma (227) ron los valores propios
1228) Ademaacutes con ayuda de las expresiones (234) se obtienen las expresiones de las
componentes transversales en coordenadas cilindricas y entonces escribimos los campos
en la forma
pit H- = C0Jn(mrr)cos(mj)sen(mdashz)
Hr = -r-mdashlt0-m nr)laquow(mi)laquow(-j-) O ~lmr O
H - -raquo -3 pound - -Jlaquo ( -mr)raquoen(ms)oraquo(5) (280) laquo in r laquo
E = 0 iCriquestft m laquor
E = mdashJB(-mraquor)iacutetrw(raquoraquof )rraquoi(mdashs) win
_ iacutei Co WK poundw = Jm(TimRr)laquow(raquon^)raquocii(-j-iacute)
C mn laquo
Sustituyendo (228) en (257) obtenemos para las frecuencias de resonancia la expresioacuten
i raquo J c
wmn= 4 = J ^ + (^) g | (281) c
El modo fundamental para las ondas tipo TE tiene como subiacutendices m = TI = p = 1
Este modo TEm es el modo fundamental de oscilacioacuten en la cavidad si la frecuencia de
resonancia u m para ondas TE es mas pequentildea que la frecuencia de resonancia corresponshy
diente a las ondas TM (wougt) Se puede demostrar que si d gt 203a (a es el radio del
resonador dado en cm) entonces el modo TE es el modo fundamental de oscilacioacuten del
resonador [9]
Calculemos ahora la Q del resonador debido a la conductividad finita de sus paredes en
el caso de ondas en modo TE La potencia que se pierde debido a las corrientes superficiales
en las paredes del resonador se calcula en la forma
37
bull -1iquest]iquest r r bull -bull+pound[+ - 4 (2-s2) donde ntilde| y ntilde2 son vectores unitarios normales a iraquo superficie cilindrica y a las superficies
transversales circulares respectivamente La expresioacuten (282) puede reescribtrsreu la forma
bull= [iquest] iquest j f W + lraquolaquol2)U + 2iquest J-iacutelJiacute + IWPMraquo bull (283) Usando las expresiones de los campos (2S0) sr resuelveraquo laraquo inti-gralcs de (2S31 en la
forma
I r l l f fo l mfa r ~ UirJ 2vlaquo 2 1 + bullpound(bullgtbullgt+
+2|CIraquopound [ lpoundrAOr)+ bullO^] laquo] bull Haciendo el cambio de variable x = fr obtenemos
I laquo-1 IColraquo iexclda UffJ 2ffiacute 2 m ]Cppoundr |dlaquo UffJ 2ltriacute 2
1 +
1 + rraquoraquo
J Iacute O laquo ) + 2 ^ j f [2iacute Ji(gt+J(X)] d
^(70) + [(7laquo)3(l~)^(^)] (284)
Sustituyendo la expresioacuten de f = ^ )bull arreglando teacuterminos resulta
Finalmente sustituyendo (266) y (285) en (271) obtenemos el (actor de calidad debido
a la conductividad finita de las paredes del resonador para ondas en modo TEmnt en la
forma
38
Consideremos un resonador cilindrico en el cual oscilan ondas electromagneacuteticas en
nodo TEm cou una frecuencia raquobull = 15394 gt 10degr (A = 1224cni) El resonador es de
bronce de conductividad o = 1413 x lOlsutiquestergscm y tiene un radio interno a mdash Ion
Pitra este resonador determinemos en el caso p = 1 los siguientes paraacutemetros a) la
longitud apropiada del resonador b) el factor de calii id ilrl resonador y ltbull) el audio de
banda donde sr puede excitar el modo TE
a) De acuerdo con (258) la condicrlaquon de un resonador es tal qui en su longitud exista
un nuacutemero entero de mitades de la longitud aacutev onda
d P Px
2 V1-WW - - _ V l (287
Despueacutes de sustituir los valores respectivos de A o y de los subiacutendices que caracterizan al
modo obtenemos
d - T13cm (288)
b) El factor de calidad Q del resonador se obtiene de (286) expresioacuten que reescribiacutemos
para ondas en modo TEm en la forma
Ud (l + 0343amp4)
2nlt61 + 02092 + 02436$
39
La permeabilidad magneacutetica del bronce (je) no difiere Mgninrativanicntt- riel valor corshy
respondiente al del vacio (lt as ftc - 1) Entonces la longitud de la capa piel (244) resulta
A = 812x 1 0 - W (290)
Finalmente obtenemos ltw el factor de calidad tiem- el valor
Q = 404903 (291)
c) FinalriKiitf nilrtilt-inos el ujrlifgt di- llaquoiinli en el nial la onda en moilo TEw puede
ser cxcitaihi Utilizando (277) y I27S) obleiicnicraquo los punto ile ]raquoifriiriiexcli inedia
-bull as 153927 x iexcluHz
w2 ss 153952 x 10VH
Por lo Unto el micho de banda tiene el valor
ui2 - ugt = 000025 x 10Hz
Observemos que el ancho de banda es lo suficientemente angosto relativamente por lo que
uacutenicamente se excita el modo TE Se puede demostrar que la frecuencia de resonancia
fundamental para ondas en modo TM es uiolo = 1031 x l0nHz
40
CAPITULO 3
TEORIacuteA DE PERTURBACIOacuteN
Toda Teoriacutea ile Perturbacioacuten establece que en ciertos casos los problemas irregulares
aquellos que no tienen soluciones analiacuteticas exactas) pueden ser considerados romo rrjpi-
iexcliexclTVraquo que sufrieron cierta perturbacioacuten Cuando la perturbacioacuten es suficientemente pequentildea
u el problema irregular podemos obtener una solucioacuten aproximada conociendo la solucioacuten
ltiel problema regular [9] El meacutetodo perturbativo se ha utilizado extensamente en las guiacuteas
de onda Existen trabajos donde se analizan los efectos de las perturbaciones en lew valoshy
res de frontera [15] asiacuteromo de las perturbaciones generadas por un pequentildea muestra de
Vrrita en el interior de las guiacuteas de onda y resonadores [1C] En este capiacutetulo se describe
ia teoriacutea baacutesica del meacutetodo perturbativo desarrollada en |17] en el caso cuando las guiacuteas
de onda y los resonadores contienen un pltsma en su interior
5 El Meacutetodo de Perturbacioacuten en las guiacuteas de onda
En la seccioacuten (32) se mostroacute que la propagacioacuten de ondas electromagneacuteticas en guiacuteas
de onda cilindricas se describe en teacuterminos de sus modos caracteriacutesticos Cada modo se
caracteriza por su constante de propagacioacuten Dependiendo de las dimensiones geomeacutetricas
41
de la guiacutea de mida estos modos o bien se propagaraquo o bien se atenuacutean En ln praacutectica Ins
dimensiones de las guias de onda siempre se escogen de tal forma lt|iii- unir amenteacute se puede
propagar el modo fundamental
El caso cuando se tiene una guia de onda parcial o completamente Urna con un plasma
sir produce uu cambio en los paraacutemetros caracteriacutesticos principales laquopie describen a la
guia de onda Si el efecto del plasma en tales paraacutemetros es lo suficientemente pequentildeo
entonces la teoriacutea de pertubacioacuten resulta ser mur adecuada para calcular ln constante de
propagacioacuten
Consideacuterenlos la propagacioacuten di ondas electromagneacuteticas a lo largo de tiiiiacutei guiacutea de ouila
cilindrica que se encuentra parrial ltgt rompidamente llena ron un plasma inhomogeacuteneo Si
sujHHiemos (|iir las caracteriacutesticas del plasma son axialmente uniformes podemos encontrar
la constante de propagacioacuten y las distribucioacuten de los campos
La propagacioacuten de ondas electromagneacuteticas en las guiacuteas de onda con plasma se tlescribc
por las ecuaciones de caminiacute
V x f + i - J = 0 (31) c
VxH-i-pound=mdashJ (32) c c
La condicioacuten de frontera se obtiene suponiendo que la conductividad de lax paredes de
la guiacutea de onda es infinita
|ntilde x Eacute = ntilde Ntilde = 0 (33)
donde ntilde es tin vector unitario normal a la frontera En ausencia de plasma la parte derecha
42
gtbull (32) es cero y el problema se reduce a U propagacioacuten dp ondas en una guia dlaquogt ondas
ivieca (Cap 2)
Las amplitudes del campo de las ondas normales se determinan en la forma
Eacutet(f) = pound ( I j e - i raquo w (34)
(F) = j(rj ) e- i ( r -
iquestonde r esel nuacutemero de onda En ausencia de peacuterdidas T es real (F = iacutei) Vamos a
suponer que las ondas se |gtropagan a lo largo del eje 0 paralelamente al eje de la guiacutea dr
onda
Para ileterniinar la influencia del plasma en la propagacioacuten de las ondas rlrrtroiiiagm-
licas en una guiacutea de onda es coacutemodo descomponer las ecuaciones pura las componentes
longitudinales y ]gtcr]gtendiculares del campo Estas ecuaciones se obtienen al descomponer
los campos y el operador V en la forma
pound = 4 + poundx ntilde = fflaquo + Ai = Lpound) + fjpound) (35)
V = Vbdquo + V I
donde los subiacutendices X y || denotan las componentes perpendiculares y longitudinales es
decir su proyecciones perpendiculares y paralelas al eje de la guiacutea de onda O) Sustishy
tuyendo (34) en (31)-(32) y considerando (35) obtenemos las ecuaciones en direccioacuten
perpendicular y longitudinal en la forma
- ^ [ V x ^ + V n ^ + i - l i o x f j = - mdash iexcl 0 x pound ( ) ] (36) IUgt C C
f-Vx[VxEacutex)-Vtamp-i-iexcloampl mdashrJiexcl (3-7) w C tt
43
donde i0 es un vector unitario dirigidraquo a lo largo del eje O Las componentes longitudinales
de tos campos se relacionan con las componentes jicrpctidiculares jKraquor liis expresiones
OZfy+^ftE) = [VxJbdquo (38)
Al = - - V x f ^ (39)
Ahora considerando que las ecuaciones de Maxwell son expresiones lineales es decir
que la combinacioacuten lineal de dos de sus soluciones tambieacuten es una solucioacuten y anaacutelogamente
para las condiciones de frontera (24) y (2C) determinamos (pie una solucioacuten maacutes general
del problema de uiiiacutei guumliacuten de onda sin plasma es una superposicioacuten de todos los modos
]MKgtibies de proiHigarioacuten con valores apropiados para sus eoetiacutecieiites Si la perturbacioacuten
originada por el plasma es lo suficientemente ]H-ltiuentildeu iiodemos suponer (pie la desviacioacuten
de cada uno de estos coeficientes es pequentildea con respecto a su valor no perturbada Dr
aquiacute que las componentes perpendiculares del cam]Mgt en una guiacutea de onda con plasma
se puedan representar como una serie (combinacioacuten lineal) con resjiecto a las funciones
ortogonales poundfc y Hk que determinan las comjioncntes transversales de los modos normales
en una guiacutea de oudn sin plasma
k
Los campos satisfacen las relaciones de ortogonalidnd [18]
(310)
JsEacute-kEacutedraquo laquo Nttu
JtpoundixEacute]deacute = ZSttu (311)
44
iquestiuumlaacutef el su|MTUacutegtdiexclctraquo denota el complejo conjugado de los campos Z = cTgt para
ltJAH ti|Mgt H y Z = wcT para ondas tilraquo pound ltlaquo es el siacutembolo de Kronecker bu = 1 si
raquo = y iquestbdquo = uuml si i- = ) y la integracioacuten se realiza sobre toda lo serenan transversal ilr la
tub de onda
Utilizando (310) y (311) rocontratnos las expresiones para los coeficientes uiquest y bk
(312) iexclsntilde ntildexu
Sistiruyriiiliraquo las seriacutees (310) en (3C) y (37) obtenemos el sislrinii f|i- eriiiioacuteoiirs
poundlt5r + ilgttfraquo4 = -- |iquestux(pound))l l t (313)
Ely+W)4 = VJbdquo (314) iacute
Multiplicando (313) vcrtorialinciitc por E[Aacute y (314) jMraquor HlM e integrando en 1raquo seccioacuten
transversal dr la guiacutea de onda obtenemos ron ayuda de las roiidintildeoucs de norma (311)
laraquo ecuaciones
rA + X KzcLEacuteltsEacute^ 3 1 6 gt En el caso en que los paraacutemetros del plasma no dependan de i la dependencia de los
campos con respecto a z se puede considerar de forma exponencial como en (34)
Eacute(jyz) = Eacutexy)t-iT ntildexvt) = ntilde(xy)r
45
(317)
o t ( iacute ) = laquo- M ) = V eacute r
Sustituyendo (317) n i (315) y (31C) obtenemos
laquoriacute - - - S S L bull +Ssect bull Uuml- 318)
Luraquo fiimriidirs (31S) y (319) |xira diferentes k roiii|xmni un sisirmraquo ltb-it-imrioiies lioinraquo-
geacuteneus liacutenenlegtgt ron res|gterttgt n liis roeiit-ientes nk y laquoV Lu riiudiriitn ilr solubilidad (igual)id
a rifo laquobrl determinante) determina la constante ib- igtrigt|Mi)igtiOacuteM Sin roiUirjpi el sistema
(318) y (319) resulta ser un problema muy laquolifiril laquoIt- resolwr De alaquo|iiiacute i|iie iexclti laraquo partes
ilereelias laquole (31S) y (319) son lo siinritrntetueiitc |ielt|iirntildeaH |MMICUIUS emplear la teoriacutea laquole
|MTturlgtMrilaquon
Sil|Kgtlliciifllaquogt fjflf- la denudad lie mrrirntc H traveacutes ilel plasma es (laquornjxirriimal H tin
paraacutemetro pequentildeo podemos descomponer las (-nulidades airaquorgt y E cii tiTiiiiiiiraquo laquole laquowte
paraacutemetro
bk = ZKv lt3 2 0gt
r - poundrubdquo
46
donde el subiacutendice ( dentildene el orden de pequentildees Vamos a considerar que en ausencia del
plasma en la guiacutea de onda se propaga el modo fundamental de una onda tipo H denotada
por iacute = 0 Ademaacutes si en la aproximacioacuten de orden cero se tiene
poundi = poundgt pound = pound | |= 0 (321)
entonces
ltbdquo - Abdquo (322)
Tiacuteo) = iexcl1lth
Asiacute considerando las expresiones (320)-(322) de (318) se oliticne la siguiente exshy
presioacuten en orden cero para lax ondas tipo H
laquo(bdquo[(r(0) + rbdquo + )raquo- rg = -^f-1 pound bdquo bull J(Eacute)d +
cAuZ|o) Js
de donde rlt -7IacuteT7-L iquestiacutef(Eacute)ds- (323) 2ni
Para las ondas tipo H Z(0) = c-iexcl^- mdash ^ de donde obtenemos finalmente
TMampLtedeg-f[Eacute)di- lt324gt
47
La cantidad compleja r ( 1 ) nos repcscnta el cambio que sufre la constante de propinacioacuten
T |Hgtr la presencia del plasma es ilecir es la correccioacuten a primer orden en la constante de
propagacioacuten (I = T - Tf0)) Esta cantidad se puede escribir en forma de unraquo suma de
sus componentes real e imaginaria
r bdquo = AJbdquo - iAobdquo (32b)
siendo An) gt 4 ltgt(i) las fracciones de cambio de la constante de fase y de amortiguamiento
respectivamente ocasionadas por la presenria del plasma
En corn-spomlencia con (32-1) y escribiendo la densidad de ciirrietite cuino J mdash J + i j
( es la parte real y es la parle iimiginaria) las cautidades de (325) toman respectivashy
mente la forma
iquest 4 1 = - V ^ V bull (3-20)
iquestngt = ^ C J bull (327)
2JSEacuteiexcl-Jiexcld
Vpoundbullpoundbdquo
far sfr0-Eacuteltj
En medios lineacuteale) anisotropicraquoraquo e inhomogeacuteneos la densidad de corriente r relaciona
ron el campo eleacutectrico en la forma
J=aEacute =mdashampbullpound (328) 4ir
donde amp es el tensor de conductividad eleacutectrica Af = (iacute - ) i es el tensor de permiacutetividad
dieleacutectrica e es el tensor unitario
Utilizando la expresioacuten (328) podemos reescribir (324) en la forma
48
wJ ft R bull Aacute iacute bull Ed
laquo Wen
r ^ poundbullampbullpound (330
En las expresiones anteriores no hay que olvidar que el campraquo eleacutectrico se expresa romo
una serif con respirtn al paraacutemetro pequentildeo pound Las expresiones (324)-(330) corresponden
iexcli iraquo aproximacioacuten de primer oidrn La condicioacuten que si- debe de satisfacer seguacuten la teoriacutea
de perttirlsirioacuten ni primera aproximacioacuten es tal qult- 1raquo magnitud de cambio en la ninstaiitr
de propagacioacuten debe ser sinnpre mucho menor que la magnitud laquobull- la difereiiria entre las
riHiMniitcraquo ilc propagacioacuten di cualquier modo con respecto al modo fundamental
ri lt r 0 r m lt |ru - rt| para todo Jl^O (331)
o con respecto a A y Aigt obtenemos
(332) Aibdquo laquo iquest A^bdquolt |A -r | iexcl
poundltraquobdquoltamp Ao(1)ltt|iquestt-rraquo|
6 El Meacutetodo de Perturbacioacuten en los resonadores
Anaacutelogamente al estudio de las guiacuteas de onda conteniendo plasma en su interior el anaacutelisis
en los resonadores que se encuentran parcial o completamente Henos con plasma exhibe
cambios en los paraacutemetros principales que describen los resonadores huecos En la seccioacuten
(41) ae mostroacute que un resonador tiene un nuacutemero infinito de modos de oscilacioacuten Cada 49
modo se caracteriza jagtr su frecuencia de resonancia su factor de calidad y su corres|Hraquon-
diente distribucioacuten de CHII)|Kgt La presencia del plasma en un resonador priMlure princishy
palmente un cambio en la frecuencia de resonancia en la cual el resonador se encuentra
opilando y en el factor de calidad Si la influencia del plasma en tales ]gtaraacutemetros es sufishy
cientemente pequentildea entonces para el anaacutelisis de este problema podemos tambieacuten emplear
la teoriacutea de perturbacioacuten
Consideremos un resonador que oscila en una de sus frecuencias de resonancia y que
contiene un plasma distribuido axialmente Evaluemos los iambins i|ite se producen en
liexcli frcciMiiciii de resonancia y en el factor de calidad del resonador Las distribuciones de
ciexclim|Hgty las frecuencias de resonancia se obtienen integrando las ecuaciones de campo (31)
y (32) con la condicioacuten de frontera (33) En este caso la condicioacuten de frontera (33) se
iipliia en la frontera cilindrica laquoleiacute resonador y en las superficies planas del mismo En
ausencia del plasma los raiiipos satisfacen las ecuaciones (31) v (32) con la piiacuterte derecha
igual con cero
VxEacutek + imdashH~k = 0 r (333)
V x Hk - mdashEacutebdquo = 0 c
y la condicioacuten de frontera (33) Donde se ha utilizado el subiacutendice Jt para denotar el
modo k de oscilacioacuten en un resonador hueco con frecuencia de resonancia ui Los campos
Ek y Hi satisfacen las relaciones de ortogonalidad
jvEacutekEacutedV = NkeacuteM
(334)
JvIacutekntildedV = Lk6kl
50
donde el superiacuteiidice nos indica el complejo conjugado de ios cam]gtos y la integracioacuten
igt realiza sobre tftdo el volumen del resonador
Se conoce que todo camjx) vectorial se compone de la suma de una parte con divergencia
ltITltJ iparte solenoidal) y una parte con rotacional cero (parte potencial) Para observar
la it^iuencia del plasma en la oscilacioacuten de ondas electromagneacuteticas es conveniente utilizar
este hecho escribiendo el campo eleacutertriacuteco como la suma de una parte solenoidal y una
potencial
Eacute = Eacute + Eacutebdquo V Eacutei = 0 (335)
V x Eacutebdquo = raquo
Llaquoraquos vectores solenoidales Eiexcl y H ile un resonador con plasma se pueden representar
como una coinlgtiuacioacuteu lineal de las funciones vectoriales Ei y Ht tjue detenuiiacuteian las
componentes solennidalcs de los modos de oscilacioacuten en un resonador sin plasma
Eacute = 5 gt pound raquo (33C) k
H - J gt amp (337)
Usando (336) y las relaciones de ortogonalidad (334) se encuentran las expresiones para
los coeficientes a y 6
TV (338)
_jvEacute-EacutexaacuteV 6gt 5 mdash bull
Sustituyendo (336) y (337) en las ecuaciones de campo (31) y (32) y considerando (333)
obtenemos eacutel sistema
51
k 1330)
J^(traquow-a tuf t)5 = 0
Multiplicando escalarmentc la primera ecuacioacuten de (339) por pound y la MRIIIKIIacuteI JMW HJ e
integrando sobre todo el volumen del resonador obtenemos
[b^k - laquow) = pound Eacute] bull poundkM - ^ I Eacute TIV (340)
(JW-laquo) = o 1341)
El primer tmuiiacuteiraquo tit- la tlrn-rlm ltb (340) i-s IacuteRIIUumlI IIHI erro Siacute ili-sprjaiiio ltbull (341) fr
y lo sustituimos cu (340) otitciii-inos
iJiexcl - J)nbdquo = Jj^L(pound-k f(g)dV (342) iexclSi Jv t
tlmide
k = ^ laquo 4 (343)
y Vi es el volumen que ocupa la columna dr plasma Sustituyendo la primera expresioacuten
para a de (338) en (342) se obtiene la relacioacuten
2 Jv Eacuteiexcl bull JEacute)dV - a g - iacute - 4 trade ^ iquest r f v 044)
donde se ha remarcado la dependencia de la densidad de la corriente con respecto al campo
eleacutectrico Por otro lado se observa que las ecuaciones (342) y (343) para diferenteraquo valores
de k forman un sistema de ecuaciones homogeacuteneas lineales con respecto a loraquo coeficientes
a La condicioacuten de solubilidad (igualdad a cero del determinante) determina la constante
52
bullltbull propagacioacuten Si la parte derecha fie (342) es lo suficientemente pequentildea jiodeinoraquo
ltiijgtlear el meacutetodo |gterturbatiro
Suponiendo laquoue la densidad de corriente a traveacutes del plasma es proporcional a un
paraacutemetro pequentildeo ]gtodemos desromponer las cantidades OkM^ ) E laquogt teacuterminos de este
paraacutemetro
h = poundbdquo lt3-45gt
(
lioiide el suloniHir ( define el orden (le peqncntildees Si en ausencia del plasma sr excita una
onda lie frecuencia UumlIiexcl en el resonador entotires en la aproximacioacuten de raquorltbii cero se tiene
pound|o) = Eiexcl
a = eacutelk (346)
Sustituyendo (345) en (344) e igualando los coeficientes de la misma potencia con respecto
al paraacutemetro pequentildeo se obtienen las soluciones en distintos ordenes de aproximacioacuten En
primera aproximacioacuten para k = l resulta
gt bien
53
= 2 ^ ^ 347)
En gmrral J ( ) ) es tuia cantidad complt-ja i|ttr mis reprcscuta la i-orrerrintildeu a primer
orden en la fnriirncia compleja de resonancia (uim = m mdash wi) Di- acuerdo ron (274) esta
cantidad puedr escribirse en la fonna
-bdquo = Aw + IA iacute J (348)
donde i parir mil ltbull imaginuria nos detenniunii las fraoioiirs laquobullbull cambio di- la |Ktrtc real
de la fri-eui-iicia di- n-soiiamia y la calillad dri resonador rcsptitivaiiniitc ocasionadas por
la pn-Hcuciacutea del plasma
En corrispoiidiiicia ion (347) escribiendo y descomponiendo la densidad de corriente
ronio J = 3 + i 3 (3 lts la parir real y 3 i la partiacute- imaginaria) las rantidailps ib (34S)
tulliacutean rirspeclivaineute la forma
- raquo m _av-j (340) wi w iexclv Eiexcl bull EilV
Qi) un fvpoundiexclEacuteM
En medios lineales anisotroacutepicos c inhomogeacuteneos la densidad de corriente se relaciona
con el campo eleacutectrico en la forma (328) De aquiacute qtie )gtodamos reescribir (347) como
WIacuteII bull - mdash mdash s mdash s 351) 2 v poundJ bull EdV
Para evaluar las correcciones en segunda aproximacioacuten a la frecuencia compleja de resoshy
nancia se sustituye la correcioacuten a primer orden del campo eleacutectrico E - poundbdquo + pound en
54
3441 la rual se determina por la expresioacuten (342) al evaluar cada uno de los rieficientes
u ron k JEacute
trtonces las correciones a las partes solenoidal y potencial se expresan en la forma
V pound | bdquo = mdash V bullbullltpound) (354)
Las roiidiiioniK laquo|nr se ilrlx-n satisfacer pariacutei cpir la expresioacuten (347) KIIacuteI viiacuteliiluuml es tul
([iilt parsi i ^ tentniMM
^ (355)
y |Hgtra I- =
A M mdash laquo 1 (366)
bull(4) e l
55
CAPITULO 4
INFLUENCIA DEL PLASMA
Eu i-sti- i-itpitulo en base al meacutetodo perturhativo descrito i-n el capitulo 3 se obtiene
el gtiexcliiiil)io laquopie sufre In constante de propagacioacuten para lindas rleclioniagneacutetiras eme se
propagan iii miii guiacutea ile onda ciliacuteiidriiacutea que i-oiitieur en su eje una roluijjua laquolaquobull plasma
friacuteo iiiliimiogeacuteufraquo y magnetizado Ademaacutes se determina la vaniiiioacuten ite la frecuencia laquole
roouancia para las ondas electromagneacuteticas qui se eiiruentran oscilando en tin resonador
cilindrico que contiene una columna de plasma friacuteo magnetizado e inhomogeacuteneo distribuido
axialmcnte Si- calculan las variaciones de la constante de propagacioacuten de la fierucucia de
resonancia y laquoleiacute factor de calillad jgtara diferentes valores de wjJJ1
7 Influencia del plasma en las guiacuteas de onda
Vamos a considerar como paraacutemetro pequentildeo que el radio del plasma es mucho menor que
la longitud de onda y que el perfil de densidad de electrones es de tipo paraboacutelico con
respecto al radio Ademaacutes el campo magneacutetico externo se considera homogeacuteneo y dirigido
a lo largo del eje O (Fig 41)
Como ya sabemos en una guiacutea de ondas cada modo de propagacioacuten se caracteriza por
56
Bo
P L A S M A
Fig41 Sc inwsira nnraquo i laquolimiiia ilr plasma laquoIc ratlin rbdquo loi aliidi sobre el ltbullbull bull)bull- miacutea guiacutea laquole
ogtda rihiiilrii-a dc railio rt in rampo iiiagnrliro externo iquestV osla dirigidraquo a Iraquo largraquo del ltbull)gtbull (gt
t i rumiante propagation Su parte real o factor dr fane drtrniiiiin la vrinriibul ill- fiiw
iexcluiftitraraquo I 1 piirti- imaginaria laquogt riwrkienlc tic absorcioacuten tlrtmniiacuteia el raquoinltgtrtigiiiexcliiiiiexcli-iitigt
(ir los diferentes modos ir propagacioacuten El efecto que se origina ttiantiraquo se rolix-a IIIIIacuteI
columna de plasma dentro de la guiacutea de ondas es un cambio en la constante de propagacioacuten
De acuerdo con la teoriacutea de perturbacioacuten este cambio es proporcional a la razoacuten del cambio
de energiacutea dentro de la seccioacuten transversal que ocupa el plasma sobre el vector de Poynting
evaluado sobre la seccioacuten transversal de la guiacutea de onda
r r - u _ IM-bullpound _ bdquo
donde las cantidades con subiacutendice 0 denotan cantidades no perturbadas (sin plasma)
Para evaluar la constante de propagacioacuten (41) es necesario obtener las soluciones de los
57
campos eleacutectrico y magneacutetico dentro del plasma en teacuterminos del jiaraacutemetrraquo peipientildeo
Para el caso de un plasma friacuteo cuando la velocidad de fase ile lsts nudas electromagneacuteshy
ticaraquo es mucho mayor (pie las velocidades teacutermicas di las (laquoarticulas si- utiliza el modelo
hidrodinaacutemico Debido a la simetriacutea cilindrica del problema su]Mgtngamos ijiacuten- los campos
tienen la forma
Eacute = iquestj(r)rr+--
Expresando la ecuacioacuten de onda
V x V x Eacute - ^r-iacuteEacute = 0
(42)
(43)
en coordenada iiliacuteiiltlriras se obtienen las eniariolies para las componentes del ranipo
eliVtriro i-ii la forma
igt
i-e- - mdash - DE = --Mt - DE + mdash(poundj + rr r r r r
E + - pound + (mdashv - ) pound = pound- + mdash (rpoundr) bull r r r r- r
(44)
(45)
-rcEr + iru(e - 1)poundJ + mdash | - i laquo ( f - 1)pound + poundpound] + rraquopound3 = 0 (46)
Aquiacute las primas indican una diferenciacioacuten con respecto a r l es el tensor dieleacutectrico en
la forma [19] (Bu esta dirigido a lo largo del eje 0)
poundraquo -
pound
0
pound 0
o vi ( t iquestu(e - 1) 0
= - t u ( c - l ) pound 0 V 0 0 r)
(47)
58
aacuteHtuacutee
- - 1 ti ul2 - - f j
2
= bull laquo bull i
_ = (r) = 4r r laquobull 1iexclI freruenna plaacutesmirraquo y -laquo lt-N ]iexclI fririirii-iraquo rirlotroacuteliira dr los
bullbulllaquobullerroiirs
Si il nidio ilil pliisiiiii o |Hi|iiiiacutein iii rumpiriiriuacuten ron IIacuteI loiigiliul de onda y n Irmas pound
varia i-ii un onli-n i|f iuiacuteraquotiacute-j)i in J |IIII|P)JIIgtS expresar li viiriiirioacuteji ili rraquo la forma
poundltrgt = bull ( laquo v ) bull iacute gt h 4 S )
donde el bullmnuiirtro se lm introducido para obtener las soluciones aproximadas ni difeshy
rentes ordenes ron respecta a pound di los camporaquo eleacutectrico y inaRiirliin Haciendo rl nunbio
lie variable x mdash =pound en la ininrioacuten (45) obtenemos
E = --(pound) - -plusmnpoundE - ^iquestE + - 4 J ( Iacute pound + gt9E) (4-9)
donde B kciexclwg = u(iacute - 1) y la prima denota una diferenciacioacuten con resprcto a x
Haciendo el mismo cambio de variable eliminando E por medio de (49) y limitaacutendole
hasta teacuterminos del orden (IO1- a ecuaciones (45) y (46) toman la forma
59
F i g 4 2 IVr l i l |gtiifiacuteilraquogtlirgtgt ili li |TinHivnli i l c|i| ( I I IM I I I n m P | W T 1 I I iexclI JT - mdashgt
[j-tl ltbullpoundbdquo-)] - (mh + mnixEf = 0 141raquo)
(411)
Se observa qui- la ecuacioacuten (410) no si- encuentra acoplada ron (49) y (411) cnloiires
podemos obtener su solucioacuten En condiciones experimentales una distribucioacuten dr la denshy
sidad de tipo paraboacutelico con respecto al radio resulta ser una rnuy buena aproximado
(Fig42) En tal caso escribimos
pound = T- - t0 (412)
siendo
CO
^ deg - 1 laquo413 J1 - ^
valor de la penuitividad en el eje del cilindro de plasma
Antes de sustituir el perfil paraboacutelico de iexcla permiacutetiviefad (412) en (4S) httgtimos en
bulli10 el cambio de variables
E = il|-r-|J-) 1414
bullbull donde obtenemos una ecuacioacuten diferencial pam en la forma
(V - bdquolr-+ [-(2|m| + 1 | - + (2|w| + 3|rjr-+ 2(|raquo| - tnu)Y = 0 1415
Haciendo un nuevo cambio de variables y = xiacutei en (415 se obtiene la ecuacioacuten
wd -v)r + H +1 - ( H + 2)W- iexcl y = o lt4icgt
Eltfa uacuteltima ecuacioacuten es una ecuacioacuten de tipo hiperficomeacutetrico y su solucioacuten es conocida
20 de donde la componente angular del campo eleacutectrico tiene la forma
poundv- = CxH-F(laquo6cy) (417)
donde F(a b c y) es la funcioacuten hipergeomeacutetrica [20] C es una constante y las constantes
cb y c tienen los valores
b = l + | m | - a (418)
C a 1 + H
61
respectivamente Dlt- la ecuacioacuten (411) podemos ahora escribir la expresioacuten paro la com-
jiacuteomrntf axial en la forma (hasta teacuterminos laquoiel orden (1iacute)1)
E = _ bdquo|m| D+-plusmn-CF(abc mdash mi poundu
= DiquestnbullT mdashJEiquest (419)
donde D es una constante La componente radial del campo eleacutectrico se obtiene de la
rniacioacuten (49) sustituyendo en esta (417 y (119) El campo majiexcliieacutetirtgt se deterniina laquole
la ecuacioacuten dr Faraday
1 OD r x pound = mdash mdash (420)
c uumlt
Limitaacutendose hasta teacuterminos del orden IO1 obtenemos la componente axial del camjm
magneacutetico
H = iacute H D gt i + Jiacute-lfEj - iiacuteuumlUuml^r (42D lit inz in(
Las constantes C y D que aparecen en (419) y (421) dependen de las condicioneraquo
de frontera Para su determinacioacuten acoplemos los campos dentro del plasma con los del
vacio bajo la condicioacuten que haya continuidad en la frontera del plasma (r = r) de las
componenteraquo E y Hiexcl
Ermfl = poundo | bdquo (422)
|tradebdquo = H0rmri (423)
Considerando que e(rf) = 1 y usando las expresiones correspondiente para las composhy
nentes axiales de los campos con plasma (419) y (421) y de los campos sin plasma
02
Z = DtJbdquo~ri y H0 = CWJbdquo(-T)) obtenemos las expresiones de las constantes C y
Z teacuterminos de los cani)gtos no perturbados En el raso para m gt 0 obtenemos
2 m (m- l ) -raquo - mF(n o r y ) + jF(noriexcl() bdquo-(bullraquo-raquogt( pound)bullraquo-)
D = 2miquest- C raquo + ^ deg - (4-25gt
iacute uiquest y = xfiacutey C0 y Dlaquo son unas constantes Hasta el momento nos hemos limitado a
- rinos del orden de ( l ) lo qtw equivale H decir que lit rondicioacuten de raquo|gt]irn)gtiliilad de
1- ecuaciones obtenidas es
kr iquest
7Iacute(l + | - bdquo | r laquo 1 1420)
Una vez lt|iie se lmn obtenido las expresiones tie los campos dentro del plasma evaluemos
bullbullbull integrales de 1iexclI expresioacuten (41) que determinan la const iexcltute tie propagacioacuten para una
sua de onda conteniendo en su eje una rolumna de plasma Se considera que el problema
gt perturbado es aquel que ronsiilera una guiacutea tie onda riliacutendrira llueca |fbdquo = 1 y bdquo = 1)
pound1 caacutelculo se realiza para una onda en modo H Para este modo la constante Dp es igual
con cero y las constantes C y D se reducen a la forma
C Jiquest poundk (4 27) 2 o F(a62yi) + ytFub2bdquo)
D = - g c bdquo (428)
Primeramente evaluemos la integral en el numerador de (41) para ello consideremos
la expresiones (229) Tomando la parte cosenoidal de (229) para la componente axial
correspondientes a los campos no perturbados y el tensor de permiacutetiv lad (47) obtenemos
63
= f - - A iacute - E iacute laquo 429) J Ai
= iexcl J |pound - 1) [poundJlaquoMraquon5(r + iuE) + poundt(MraquoiT-|pound - laquopound)] (-rdrtl
donde las componentes Ew Er y Eiquest dependen uacutenicamente del nidio La integral sobre if
en el intervalo [02r j se realiza expresando el termino exponencial romo senos y renenrraquo
y romanilo en cuenta sus relaciones de o-tugonalidad Por tanto despueacutes de realizar la
integral Mible r_ se obtiene
= - f r|pound - 1 )[Er(poundr + iuE) + EI poundr- - laquopoundbull ))ltbull
A1 r raquoraquo = r r(iacute - 1 )[rCZH mdash-J m (7r ) |pound r + laquopound) +
+ CZll-Jj-lr)(E-HiEr)dr 1430) i
La integral anterior se evalna sobre la seccioacuten transversal de la columna de plasma
Aquiacute r i es el radio de la columna de plasma Por otro linio si expresamos - en teacuterminos
de la longitud de onda di corte Ar (217) para tina guiacutea de ondas hueca en la forma = ^
ohservanios que el argumento de la funcioacuten de Bessel eu (430) es una cantidad mucho
menor que uno Para demostrar lo anterior notemos que de acuerdo con (218) para que
la onda se propague a traveacutes de la guiacutea de onda se debe satisfacer que la longitud de onda
en el vacio debe ser menor que t Ademaacutes debido a que sr ha considerado que la longitud
de onda es mucho mayor que el radio del plasma entonces la longitud de onda de corte
tambieacuten es mucho mayor que el radio del plasma Esto uacuteltimo nos sirve para considerar
uacutenicamente el primer teacutermino de la serie de la funcioacuten de Bessel [12] con respecto si
argumento -yr = 2iry De donde (430) se transforma romo
G4
Ix = gtCU (1 - ti) r(pound - iy[iEr + pound)rfr (431) Jrm Ji)
-spueacutes di- hacer el cambio de variable x = iacute - r y sustituir las formas expliacutecitas fie los
gt-npos (4D) y (417) para Er y Ef respectivamente se obtiene de (431) la expresioacuten
bull - f pound z raquo r m - i f e r ( i - u ) x 4-32) x i(-- -)rxx-F(iUlt mdash)] + iirtn-iquestFuUlt~ )li
Ai [ iquestu tu J
jiirlc se han aproximado los campos hasta teacuterminos del orden (7 ) Integrando P )laquoirles
raquo n-sperto a r el primer teacutermino de (432) obit-nemos
laquo - ^ V r r ( l - laquo ) x - + f V a r - (433) 2wi lt W bullraquo iacuteraquo
Sustituyendo la forma expliacutecita para la constante C (424) en (433) se observa miacutee (T-To)
vrrere con el nuacutemero de modo vi en la forma lt~IK Para t-l casiraquo (pie nos interesa tu = 1
iexcl integral ltpir aparece en (433) es faacutecil tie evaluar Para esto liaciendo el cambio de
variable y mdash x7t0 se puede reescribir la integral de (433) en la forma
Jsl+to x
xlnF(abcmdash)dx o iacuteo
= ~iexclg yF(abhy)dy (434)
utilizando la relacioacuten de diferenciacioacuten de las funciones hipergeonieacutetricas [11]
pound-[-gtF(abc)] = (c- n)nt-F(abc - ns) (435)
65
con ii = 1 v r = 3 se obtiene
Re-escribamos (43C) en una forma maacutes conveniente pura ello usando la siguiente
foacutermula de transformacioacuten para las funciones hipergeomeacutetricas [1121]
e f e - 1)(- - )Fnbc- z) + rr- 1 - ( 2 c - laquo - b- )zFlabr ) +
(r - laquo)(r - l | F I laquo i r - 1) = 0 (437)
ron laquobull = 2 y considerando las formas expliacutecitas praquoriexcli laquo y b tie (41) ron m = 1 de (437)
obtenemos la relacioacuten
F ( w fc 3 lplusmniraquo ) s ~ 4 ( 1 ^ 1 1 ) f^Ffafci 1plusmn^gt - J-(laquo2 l plusmn ^ iacute ) 1 (43S) poundbdquo (1 _ bdquo ) ( U i l j l fu ibdquo J
Finalmente usando la igualdad [11]
FUifc2) = F(ub-) - (laquo fc2c) (439)
la ecuacioacuten (43S) se puede escribir como
F(flft3^-=2)= F(laquob2^-^) (440) poundo ( I - K ) Iacute O iacuteo
Sustituyendo (440) en (436) y tomando en cuenta la relacioacuten t = 1 + pound0 obtenemos
-^|UftV(laquoraquoi^) H41) (1 - u) e0 pound0
y sustituyendo (427) y (441) en (433) finalmente obtenemos para | la expresioacuten
66
cbdquo r (1+^) riab2 iquestraquo)
M i r iacuteo F (laquo 6 2 l^ )+ L Uuml^F (laquo iquest 2 l i iacute i ) (442)
La integral del vector de Poynting correspondiente al denominador dr (41) evaluada
la seccioacuten transversal de la guiacutea de ondas tiene el valor obtenido cu (236) de donde
h - jA([Eiquestplusmnxntildevplusmn+EacuteraquoxxHiquest ]gtltlaquo
= CJZbdquoVgt bull laquo i i
JfjjLii- (-143)
iacutegt|HIacute rbdquo es el radio de la guiacutea ilc onda Finalmente dividiendo (442) entre (443) se obtiene
bulla expresioacuten para el cambio en la constante de propagacioacuten para unii onda en inodo Hu
ltue se propaga en una guiacutea de onda ron plasma
- ( r -r u ) = Ax iacute -Fnb2-^iacute)
F(laquoJ2 bullraquo)+ ^^Ff f i 2 ^ )
donde
(444)
M= 21(rr0)3
l - 3 3 9 ^
De aquiacute se obtiene que la constante de amortiguamiento es proporcional a
(445)
o = A F(o62ttiraquo)
f(afr2 iraquo) + UiacuteampFia fc2 raquo) Mtr)
F(a62iplusmniacuteraquo) (446)
07
Esta uacuteltima expresioacuten se igtigttnvigt ron vi uso di-la igualdad (439) Por otm bulo notemos
i|ugt- el argumento dr las funciones hipergromctriras dr (44G) es mayor laquopie la unidad Es
conocido laquopie la serie hipcrgeonirtrini diverge en yi = -f4 gt 1 [20] Por lo tanto rs
ruuvcuicute transformar las funciones hipergi-omctriras de- (44G) laquoru series convergentes
|gtaia filo obtrugamos las expresiones para Fluriacute l y ) y Fnb2y) donde y = 1(1 mdash z)
Para podrr estudiar la absorcioacuten de tma onda excitada en modo Hiexcl1 cu una guiacutea de onda
cilindrica como la que se tiene cu la fuente de plasma construida en el INlN y descrita
en 2] es necesario obtener las expresiones para Flnli 1 i) y FnU2y) ya ipie para
laraquo bull-iitiiiiciones de la niiiijuilia i tiende a la unidad como se desenlie con maacutes detalle maacutes
adelante
Observemos ipie la ecuacioacuten
t( 1 - )iquest + (1 - 3i)o - ltilgto = 0 1447)
tiene como solucioacuten la funcioacuten hiprrgromrt rica Finli li) Si bacnnus el cambio dr
variable raquo = 1(1 - z) entonces (447) sr rersrribr rn la forma
(1 - ) V + (1 - r gt ( 2 - r ) iquest + nkgt = 0 (448)
Fiacutetiaitnente con vi cambio iquestgt = (1 - )lt obtenemos la ecuacioacuten
i ( l - c)vgt + [2 - (26 + I r ) ] - IacuteraquoV = 0- N- 4 9 )
La solucioacuten dr la ecuacioacuten (449) es la funcioacuten hipergeomeacutetrica Fbb2z) [21] Sin emshy
bargo una solucioacuten maacutes general para F(ab i y) es una combinacioacuten lineal dr las dos
soluciones existentes de (449) [21] esto es
G8
Fiubly) = [-)lt AtF(bb2)-rB F(bb2z)Ln+Pii) + (l-fc) iJ
(450)
donde At y B son constantes por determinar y Pj(c) es una serie de potencias con resjiecto
a en la forma [21]
donde
^)=poundr^ [ lt ) - ( o j
Iraquo) = (laquo + raquo) + 4(+raquo)- I2 + raquo ) - ( + 1)
(451)
(452)
4 (bull In funcioacuten i igt iliiinim y (laquo) = laquo(laquo+ 1)(laquo + 2) bull bull bull (laquo + 7 - 1) Multiplicando anillos
luumldoM de hi ecuacioacuten 145(1) por zi - z) difiTciiciacutenndo ron respecto a i y considerando el
liacutemite ruando - tiende a cero olitcuciuoraquo la igualdad
vd - amp)bull(laquo ft 2v) = r r - r + BW + raquo - ) + iquesti-(i -raquo) (453)
Ahora usando la representacioacuten integral de la funcioacuten hiacutepergeomeacutetriacuteca (2Iiexcl y considerando
las definiciones (426) para aby c obtenemos
a - f - r(laquo)r(6)o ( i - lt y )
La primera integral de (454) se calcula faacutecilmente y tiene la forma
Jo 1 - ty y (455)
69
Para evaluar 1raquo segunda integral de (454) recordemos laquopie 1 = ^^ y notemos ipte en el
limite ruando y tiende a mm (c tiende en este castraquo a cero) iacutei se vuelve muy grande
raquo|iiraquo- laquobull equivalente a ltllaquorir que inraquo acercamos a] punto de resonancia eicloiroacuteiiica in = 1)
y por kgt tanto con r=2 Igt tiende a cero De esta manera la segunda integral de (454) se
aproxima al valor [21]
laquo-raquo- 1
1 - f dt = -(fc)-C (45C)
donde C es 1raquo constante de Euler Sustituyendo (455) y (45C) eiexcl (4541 obtenemos
f io 2) = 1
-Ltil - bull ) - laquo1M J- C 1 4 5 7 ) r(2-raquoinM
Pitra determinar las coacutemanles -4j y D sustituyamos (457) en (453) y separemos los
teacuterminos laquopie ionticueu Lti de aijticllos (pie no lo contienen Asi obtenemos las expreshy
siones para las constantes 4| y B en la forma
A =
B =
^ ^ laquo ^ ^ ^ r ( 2 - igt)T(igt)
(1-fc)raquo f(2-gt)JW
(45S)
(45ai
Anaacutelogamente se puede encontrar una solucioacuten para F[ab2y) en la forma
+ [ C + ( t ) + i raquo ] | F ( 6 f c - l l r ) I n iacute + fl(s)] (460)
donde
70
Las expresiones (450) y 1400) representn las transformaciones dr Filtibiy) y
Flt a b 2 y) respectivamente en series convergentes ruando y tiende iexcli la unidad Las consshy
tantes A y Bi se expresan mediante (458) y (459) corresigtondiexclentenieiitlaquo- Finalmente
y fie acuerdo ron (44G) dividiendo 4G0) intrc (450) y tomando la iexclgtiexclirtr iiiiiacute-uumliuaria
obtenemos la expresioacuten para la constante ltle amortiguamiento o de absorcioacuten en 1 forma
( i
Jf = laquo x Fffcfc - 11 )[1 - (1 - fc)(2 - fc)F(662 z) + Piexcl)- )bull]+
+ P (r) | l -6) F |6 6 2 )x
x [l - (1 - b)2 - h)FVb2) + P7(z)l - by +
+ C + (b) + Ln -](1 - 6)-F(6 62 r)] +
+ T T V ( 1 - 6 ) ^ ( 6 1 2 1 ) (4C2)
donde r = 1(1 + pound0) La figura 43 muestra el comportamiento de (4C2) en funcioacuten de
ni x u para m - 1 es decir los int2Tvalos [-LO) y [01] corresponden a m = - 1 y tu = +1
respectivamente Las graacuteficas de la figura 43 corresponden a los siguientes valores de
-bull(0)toiacutes a) 82 b) C c) 4 d) 3 y e) 1 Las graacuteficas c) d) y e) difieren de armellas
mostradas en [22j ya que aquiacute se han considerado uacutenicamente los primeros cinco teacuterminos
de las series Pz) y Pt(z) Por otro lado observemos que el coeficiente de amortiguamiento
se anula en el caso de resonancia cidotroacutenica (u = ) Sin embargo esto no significa que
no existe absorcioacuten de la onda en este caso como se reporta en [23] en los punto donde
71
o bulla
iquest
1 3
n raquo
o i
Wv
72
eiexcl Iacutendice de refraccioacuten tiende a infinito se produce una absorcioacuten delas ondas en el plasma
ltii- tipo no rolisioiiacuteal Esta absorrioacuteu se asraquo ic a la existencia de punto singulares dlaquo- la
ecuacioacuten de onda exacta para ciertos puntos dentro del plasma es decir ai|uiacute la componente
del campo eleacutectrico paralelo al gradiente de densidad es infinita
En la fuente de plasma descrita en el trabajo [2iexcl se trabaja actualmente con densidades
del plasma del orden raquof(0) = C x Nfcnr3 y con un campo magneacutetico externo B =
S~jGtntraquo Ademaacutes se cuenta ron una guiacutea de onda de radio rbdquo = 425rFraquogt en la rual se
IgtngtiexclgtiexcliEiexcli una onda electromagneacutetica ron 111raquo frecuencia w = 15304 X 10 gt Si el radio del
plasma es C| = 3ltm eutonres tendremos los Mullientes valores para _laquo_- 10) 11gtf0)-bull
y respectivatiieiite
wbdquo = 15379 x 10V
raquogt(()) = 13S19X 1 0 V
1 = 00990 1403)
^(0)--J = 08
poundn = 3902
A = 19525
En este caso podemos analizar de la figura 43 curva a) comportamiento riacutee la constante
de amortiguamiento cuando u^fO)raquo2 = 08 Como podemos olmcrvar la constante de
amortiguamiento tiene valores relativamente grandes en la vecindad de u = OC pero
decae raacutepidamente conforme u tiende a la unidad Cuando u = 0999 la constante de
amortiguamiento tiene el valor
73
o = Ai x (M)0()02455 = lSS x 10 (464)
El anaacutelisis anterior es vaacutelido si se rumple la rondicioacuten (42G)
^ ( 1 + |poundbdquo|)- ltpound 1 MCO)
que eii nuestro laquoaso es correcto ya que
^ - i d +|ibdquo|)-=ocnsx lo- ucc)
8 Influencia del plasma en los resonadores
El meacutetodo de Perturbacioacuten en este raso se mi de formraquo similii ii el rusraquo de tina guiacutea
tie onda Como paraacutemetro pequentildeo se considera anaacutelogamente que el radio del plasma
es lutirlio menor que la longitud de onda Ademaacutes se supone que el |HTTiexcl1 de tielisidad
electroacutenica es de tipo paralioacutelico y que el campo magneacutetico externo es homogeacuteneo y esla
dirigido a lo largo del eje O
Anaacutelogamente a el caso de una guiacutea de onda la presencia del plasma en un resonador
es originar un cambio en la frecuencia de resonancia De acuerdo ron la teoriacutea de perturshy
bacioacuten este cambio craquo proporrional a la razoacuten del cambio dr riirrga almacenadraquo dentro del
volumen que ocupa el plasma en el resonador sobre la energiacutea total almacenada en todo el
volumen del resonador (34C)
WJVpoundiquest iquestiquest EacutedV w - u 0 = wbdquo = - iquest (4Glt)
iquest Jr pound0 bulltoraquo
74
Lu i-niaciuacuteii (4CT) requiere la evaluacioacuteu de el campo eleacutectrico cu el plasma En la
-bullbullTIacuteOII 7 se obtuvieron los campos en una columna de plasma friacuteo de radio pefpit-iio
magnetizado e inhomogeacuteneo localizada en el eje de una guiacutea di- onda cilindrica Con
tuda de estas expresiones podemos determinar en forma expliacutecita los campos cuando una
lunuia de plasma se encuentra en el resonador
poundru-y--) = iacute
r 22
mi miacutem mS
poundir r-) = C | |- F(laquoraquor-K--fbdquo(4--) in raquo t4CS)
uy-) =
poundgtXM + _L pound raquoltiacute ti
In I-I - r i - l iacute - D P DJT] T mdashmdashstE) E 111 lllC laquo ( il
donde x = (iexclt~ C y D son constantes = ruy = u(i mdash 1) la prima denota diferenciacioacuten
con resjMcto a j - Fin h r y) es la funcioacuten de tipo hipergeomeacutetrico [20] y nb y r tienen llaquoraquos
valores obtenidos en (418)
No hay que olvidar que cu un resonador los campos son estacionarios de aquiacute que la
dependencia con respecto a r se escribe multiplicando cada ecuacioacuten de (468) por el factor
jffi(^z) oacute coM^z) p= 123 iacutees la longitud del resonador
Calculemos el cambio en la frecuencia de resonancia para ondas de tipo TEm- La
integral del denominador de la expresioacuten (4G7) nos expresa la cantidad de energiacutea eleacutectrica
almacenada por unidad de volumen en el resonador sin plasma cuyo resultado para un
resonador hueco se obtiene de (2GC) al considerar que WE = Wn y en pnrtirular fiv ~ 1
( = 1 El resultado para este modo se expresa en la forma
U = bull EacuteltW
= ^^M-MUn) M69)
Por otro lado la integral del numerador de (4C7) evaluada sobre todo el volumen que
ocupa el plasma se calcula con ayuda de las expresiones (2G0) (resonador sin plasma)
di las expresione (4CS) (resonador con plasma de radio pequentildeo) y de tensor dieleacutectrico
(47) obtcnirlidii
= iacute iacute f ( pound - l ) [E ( gtfm l T - | pound + l l lpound l + Jit u Jn
+EuacuterosinY-(Er - iuEr) rltMiJl-^-)riexclrd^dz (470) d
donde las coui]gtoiientes Eu E y pound tienen dependencia uacutenicamente radil Al realizar la
integracioacuten sobre Iacute y iquest en los intervalos [0 d) y [02riexcl respectivamenie obtenemos
s = V iacute r(t ~ XUumlEoE + iuE^) + Eiquest(E - niE)]ltlr iquest Jo d [ [ r
bull r ( iacute - l ) Jo
iC0 r Jm-r)Er + iuE)+
+ Q--JJfr)(E^ - iuE ] dr (471) c i J
Anaacutelogamente a el caso de una guiacutea de onda se utiliza el mismo argumento bajo el cual se
considera el primer teacutermino de la iuacute fmiacutecioacuteii en serie de la funcioacuten de Bcssel con respecto
al argumento r = 2JT^ De aquiacute que (471) se reescribe como
76
c iquest iquestml Jo
Lspueacutes de hacer el cambio de variable x = (iexcljfr y sustituir la forma expliacutecita de los campos
bull 49) y (417) para E y Et en (472) se obtiene
h = gtc ( l - u ) x wirdy-raquo l c V
0 c 2 2m V(wj
J-(pound- )L-[T FUIICmdash ) + mxJ-JF(bdquolt-i)h -raquo -raquo iraquo J
(473)
donde los campos M- han considerado hasta teacuterminos del orden (|) Integrando por partes
con respecto a J el primer teacutermino de (473) obtenemos
h = -2Cy bull )h (474) c 2 2raquoi Vi bulllaquo iu
La integral (pie aparece en (474) coincide exactamente con la cjne aparen- en (433)
de donde para ondas en modo TEm s se calcula sustituyendo (427) y 1441) en (474)
obteniendo
= rColTJiacutefrr iexclJ ltd j ( l+poundo) bull(laquoiquest2f)
(475) c3473 ebdquo f(o62lplusmnlaquoraquo)+1 plusmn a i v(o62iplusmniacuteraquo)
Finalmente dividiendo (475) entre (469) se obtiene la expresioacuten para el cambio en la
frecuencia de resonancia en modo T pound m para un resonador conteniendo una columna de
plasma friacuteo de radio pequentildeo
W(D = (u - u0) - MjX 1 - -F(laquo62lraquo)
siexcl X 1 -F(abll)
(476)
77
donde
La ecuacioacuten (47C) coincide con (444) salvo por una la constante Miexcl Anaacutelogamente n
el caso de una guiacutea de onda utilicemos las expresiones (450) y (4C0) juira Fintly) y
Fllti2 i) respectivamente Sustituyendo (450) y 14CO) eji (47C) y separando las partes
real e imaginaria obtenemos la variacioacuten de la frecuencia de resonancia (Araquo) y la variacioacuten
del inverso de la calidad del resonador l -M IO)) por influencia del |gtlasiniexcli respectivamente
en la forma
mdash^ = iexcl-zFbb- 11-) [-F( fcraquo 2-)([C+(-)] ( 1 -bf-
- (1 -fraquo)(2-)[C+(fc)l-Hl-lt) J(l - - ) ) +
+ C + ()][-gt(-)(] - h) - Ij] + -(1 - l)lPt)C + laquoK))F(hb2-) x
x [l - (1 - b)2-h)F(kb2z) + PJzil - raquo)+
+ -(1 - bjgtC + () + Li z]Fbb2z) + V | 1 - )F(bullbull 2--) (478)
-poundiquestmQ) = JTSX
x Fbb-lls)|l-(l- b)(2- b)zF(bb2z) + P ( - - ) r ( l -6 ) ]+
+ --F(i)(l-6) JF( iacute t 2i)x
x [ l - ( l - f r ) (2-amp^ -F(M2^) + P J ( - - ) iacute ( l -6 ) +
+ [C + (6) + iquestn --](1 - 6)zF(ampamp2z)]2 +
+ w12(l-b)4Fa(blgt2iacute)Yiacute (4-79)
t bull bull 78
La figuras 44 y 45 muestran las graacuteficas de las expresiones (478) y (479) con respecto
a ri x ii ]gturn distintos valores de u^(0)uz respectivamente Anaacutelogamente a el caso de
la- guiaraquo de onda se han considerado uacutenicamente los primeros cinro teacuterminos en las series
para Pi) y P jU) Un resultado importante de acuerdo cotiacute la figura 44 resulta ser
que en la resonancia ciclotroacutenica la variacioacuten del inverso del factor de calidad es cero es
decir en este caso y en la misma manera como en las guias de onda no existen peacuterdidas
de energiacutea de tipo colisional Sin embargo de la figura 45 notamos que cu resonancia
rirlotruacuteliira si existe un pequentildeo cambio en la frecuencia laquole resonancia del resonador
En la fuente de plasma descrita en [2J se tiene un resonador cilindrico donde oscila
una Diida a IUIIacuteI frecuencia laquobull = 15394 x ]() excitada en modo TEw y de radio
rbdquo = cm en el cual una columna dr pliacutetstua fie radio riexcl = 3lt se ein-iieiitrraquo a lo largo
del eje tlel resonador La cavidad resonante se encuentra dentro de un campo magneacutetico
externo D mdash SloacuteGauxraquo La densidad de electrones en la fuente tie plasma puede ser igual
a ni 0) = C x 10 I 0CTO 3 En este caso tenemos los mismos valores (4C3) para yinnfv0) u
y u-ji 0)raquo mientras cpie Miexcl tiene el valor
SU = 04C55 (480)
Entonces el cambio en el inverso de la calidad y en la frecuencia de resonancia tendraacuten
los valores
A( l ( ) = mdash x 000009C2455 = 582 x 1 0 (481)
Aw = Mj x |1 - (100035)] = - 1 0 3 x 10 V (482)
79
AwMa
i
o
I
U
bull3 I
I O
bull
a 6
1 1 1 bull 1 bull
bull
_
c x ^
- r f -
| 1 bull J T | 1 - | 1 |
l IX V if | rt i iacute i ( iraquo i i i bull i i i
i i
i i i
V
deg
iacute bull f
i i i
VI 1 A 1 ^ t
x X Iacute
JU i f ^
1 bull x
so
o i
fit
Zf Z rt w
El valor (481) se encuentra dentro del rango de validez de la teoriacutea de perturliacioacuten
ile acuerdo ron (35C) Asi mismo la variacioacuten de la freruenria de resonancia es dema-
siado |Mf|ttentildea en comparacioacuten con la freruencia propia del resonador de tal manera rpie
podemos considerar une no existe un cambio fuerte en la freruenria de resonancia ion esta
densidad
Los resultado iexclinteriores de las secciones 7 y 8 fueron presentados en iexcl24] y [25iexcl respecshy
tivamente
82
CAPITULO 5
PENETRACIOacuteN DE ONDAS EN EL PLASMA
En este iiipiacutetiilo ni el marro de 1iexclI teoriacutea lineal se liare una revisioacuten sulire el proceso
gtigt- penetracioacuten de campos elertDinaRneacuteticos en un plasma En vista de ijne en la fuente
lie plasma descrita en [2j se excita una onda tipo H nos vamos a limitar al caacutelenlo de
Un coeficieiites tie reflexioacuten transmisioacuten y de alisorrioacuteu para estlt- tipo de ondas liacuteay
eme hacer notar que en el experimento [2] se tiene un campo magneacutetico externo lo que
complica fuertemente el estudio de la interaccioacuten de ondas en este plasma Nos limitaremos
en este trabajo a considerar un plasma homogeacuteneo y deacutebilmente inhomogeacuteneo sin raiujm
magneacutetico externo Estos resultados preliminares son uacutetiles para posteriormente estudiar
la transformacioacuten lineal de ondas que es muy importante para el anaacutelisis del perfil de
densidad observado en la fuente de plasma [2]
9 Penetracioacuten de campos electromagneacuteticos en el plasma
El estudio de la interaccioacuten de ondas electromagneacuteticas en un plasma tiene particular
intereacutes por la gran variedad de paraacutemetros existentes como se mencionoacute anteriormente
83
(densidad de |ttirtirulas di- diferentes tipos prado dlt- ionizacioacuten longitud de trayectoria lishy
bre tfiii|raquocratura etc) 111 los diferentes casos Una de las caracteriacutesticas mas importantes
de un plasma real es su iuliomogeueidad Alt|iiiacute los paraacutemetros del jjasiilii variacutean en el
espacio produciendo considerables cambios en las caracteriacutesticas del mismo Freruontc-
menfe en lo concerniente a la propagacioacuten de ondas electromagneacuteticas estos cambios son
tan fuertes que la pennitividad dieleacutectrica cambia de signo
91 Penetracioacuten de campos electromagneacuteticos en la aproximacioacuten hidrodinaacutemica Sistema de ecuaciones
Il l sistema de emaeiones atltoroiisisteule i|iie desrribr la penetracioacuten tie un campo elecshy
tromagneacutetico en d plasma en la aproximacioacuten bidroiliuaacutemira se compone de las ecuaciones
ile Maxwell
V x pound = -2f 51 c 01
f x f l = - - i - mdash + mdash (02) c 01 c
V bull(poundlaquopound) = 4p (53)
V H = 0 (54)
donde las densidades de corriente y carga se determinan en la forma
P- pound c raquo n lt raquo = laquoiexcllaquoi + tnt = pound e bdquo n r r n (55)
y se expresan a traveacutes de los campos eleacutectrico y magneacutetico de las enlacioacutenos hidrodinaacutemicas
de movimiento y continuidad del fluido conductor de carga o [26]
84
sect + bullbdquobulllaquobull = ^(Eacute+-vnxH)-^--^va (56)
3raquobdquo _ _ _ ~ + V-n0viexcl = 0 U 7 )
En las ecuaciones (55)-(57) tbdquo es la carga m0 la masa tibdquo es la densidalt v0 es la
velocidad hidrodinaacutemica jgtbdquo o la presioacuten y ibdquo la frecuencia de colisioacuten entre las partiacuteculas
ltir- tipo o ron las partiacuterulas di- otra claw y con las moleacuteculas El subiacutendice o rorrcspondc a
i igt i ln ipii indica a los iones o electrones correspondientemente E D son las tensiones de
ligt- campos eleacutectrico y magiacutenico respectivamente y r es la velocidad de la luz en el vacio
Se supone i|iie el plasma se encuentra en un medio con un jieruiitiviilail dieleacutectrica iacutebdquo para
un plasma gaseoso bdquo = 1 y MI un plasma de estado soacutelido es la pcrmitiviilail dieleacutectrica
de la red cristalina Ya que la permit i vidad magneacutetica del plasma praacutecticamente es igual
a uno no vamos a diferenciar la induccioacuten magneacutetica de la tensioacuten del campo magneacutetico
lo que se refleja en las ecuaciones anteriormente descritas
El sistema laquole ecuaciones (oacutel)-(57) debiacute ser complementado con las ecuaciones de
estado de la materia expresados a traveacutes de la densidad nbdquo y la temperatura Tbdquo pn mdash
p0(noTa) Siacute las variaciones de estado de las componentes del plasma ocurren perioacutedicashy
mente entonces
Tpo = bullgtltJbdquoVn0 = 7raquoltfTbdquoVnlt (58)
donde vj = 2T0m0)t1 es la velocidad teacutermica promedio de laraquo partiacuteculas de tipo o 70
e la razoacuten entre loraquo caloreraquo especiacuteficos a presioacuten y volumen constante del gas de partiacuteculas
y 1 = mil
85
Las ecuaciones ib- movimiento describen un fluido en presencia dlt- cinco fuerza- ni
interaccioacuten a) la fuerza eleacutectrica (bdquopound b) la fuerza magneacutetica J x H c) la fuerza debida al
gradiente de la presioacuten d) la fuerza de interaccioacuten o colisioacuten entre la partiacuteculas de diferente
ti|Kraquo v0vbdquo y raquobull) la fuerza de inercia m-r0 bull V)tbdquo Por otro lado vamos a ronsiderar laquopie la
ecuacioacuten de estadraquo expresa un proceso adiatgtaacutetico caracterizado por el coeficiente -
92 Penetracioacuten de ondas tipo E y H
Vamos a investigar la penetracioacuten en el plasma ile ondas di- amplitud pcquiua La inteshy
raccioacuten de ondas electromagneacutetica con el plasma perturba los paraacutemetro caracteriacutesticos
en equilibrio del plasma Si las perturbaciones de los diferente paraacutemetros son lo sushy
ficientemente |xi|iientildeos en comparacioacuten con sus valoreraquo eii eipiilibrio entonces podemos
liiuariar las ecuaciones (51 H57) es decir iexclMHIIIIIOS despreciar los teacuterminos que contienen
producto entre las perturbaciones
Consideremos un plasma semiliiuitado sobre el cuaacutel a un aacutengulo fgt incide una onda
electromagneacutetica linealmente polarizada El sistema de coordenada lo escogemos de tal
manera que el plasma ocupe la regioacuten x gt 0 y la onda se propague sobre el plano X(gtZ
(Fig51) La onda incidente parcialmente se refleja del plasma y parcialmente se refracta
a un aacutengulo 8 Las amplitudes de las ondas reflejada y refractada se determinan de las
condiciones de frontera Como consecuencia de esto si la dependencia del campo de la
onda incidente con respecto a y t se determina a traveacutes del exponente rl-laquo) donde
kiquest = k0tcn9 k0 = raquogtc y w es la frecuencia de la onda entonces en la teoriacutea lineal para un
plasma estacionario y homogeacuteneo esta misma dependencia deben tener las ondas reflejada
y refractada en el plasma a lo largo de O
86
PLASMA
(b)
FiacutegKl Penetracioacuten de una onda electromagneacutetica lincalmente polarizada en un plasma raquoemi-
limitado La onda que incide a un aacutengulo 8 parcialmente se refleja a un aacutengulo 8 y parcialmente
se refracta a un aacutengulo V a) penetracioacuten de una onda tipo E y b) penetracioacuten de una onda tipo
H
87
Supongamos UIRraquo tenemos un plasma de dos componentes compuesto de electrones bullbull
iexclunes motwcargjados ron concentraciones en et|uilibrio raquobdquo = raquoraquolaquo = gtibdquo En un (Jasina friacuteo
la velocidad ternura de los iones se puetk despreciar 1 = 0) si esta es muy pei|iK-ntildea rn
contparacioacuteii con la velocidad de fase de la onda Si a lo largo del eje 0t la densidad no
varia entonces f = 0 y de laraquo ecuaciones (51)-(58) podemos obtener el sijpiiente sistema
dtr ecuaciones para los campos electromagneacuteticos
iexclKH = iquestJtpound - iacuteiacutejEi 159)
-rmdash = -iK0e mdash pound - + mdashmdashUE r ) U10) ni [ raquo-raquor J (w ni
Jvpound = - I (512)
^ = bullbdquobdquo (513) As
ik-HiE = JiL-ikJlr (514) ni
iloiiitr iacute ex la jx-ruiitividnd dirlrctrirraquo de un plasma isotropicraquo y friacuteo
taraquo(w + l^e) W(uraquo + Ifi)
ugtgt y uy son las frecuencias plaacutesmicas de los electrones e iones respetivamente expresadas
en la forma
iquestgt tgt
4c n 0 IJ
(6M) mlaquo
w a IB frecuencia compleja raquobull = w + ic y e eraquo la permitividad dieleacutectrica del fluido de
iones en la forma
88
t=to- + bull (517) w(w + llj)
El sistema de ecuaciones (59)-(514) se descompone en dos subsistemas iudc|Hiidientes
-i9H5ll y (512)-(514) lo que corresponde a la propagacioacuten en el plasma de dos ondas
independientes (Fig51) Para las ondas con componentes E E y Hy el vector del campo
eleacutectrico estraquo sobre el plano de incidencia XOZ Esta onda es una onda con polarizacioacuten
gt onda tipo TM o E Para )n segunda onda con comeacutentente Ebdquo Hr y H el vertor
fifi rutll|Mgt eleacutertriro es |H-r]gtriiiliriiIiir al planraquo fie incidencia Esta onda es unraquo onda ron
polarizacioacuten i ulula tipo TE o H Para las condiciones mencionadas iexclinteriormente el
ijjovjmieijlo teacutermico de laraquo partiacutecula es despreciable para la propasacioacuten de ondas tipo H
Sin embargo para las ondas ti]gto E puctlc ser bastante importante
10 Penetracioacuten de una onda electromagneacutetica tipo H en un plasma homogeacuteneo semilimitado Reflexioacuten y absorcioacuten de ondas tipo H
De las dos posibles polarizaciones que puede tener la onda que incide en el plasma el caso
de la onda de tipo H es el maacutes simple Encontremos la solucioacuten de las ecuaciones (512)-
(514) en el plasma y en el vacio suponiendo una frontera bien definida Sustituyendo H
de (513) en (514) y usando (512) obtenemos que el campo E satisface la ecuacioacuten
tPE - ^ + Jkfo - laquolaquoraquo)pound - 0 (518)
89
dmde en el plasma e se determina xx (515) y en el vacio pound = 1 Es faacutecil ronwtrar laquojar
eu el varkgt los campus tienen la furnia
para la onda incidente
poundbdquo = Eoraquo Bu m Fbdquocw0 (519)
y para kgt onda reflejada
Eraquo = llEbdquo-kltlt H = -Etcoraquoraquo ISM)
iliHiilraquo- pound es lii amplitud lie In i mi In hiiiiliiiti y iacutels rl riM-riiiiiili ili- icHrxiiVn El linihi|raquoligt
r i)r--wi) at j a s rX|ri^iHBM jbdquon lri caui|HKlaquo se excluye raquo aquiacute en adelante Praquor laquonraquo laria
bullbullI rwn]Mgt cu el plasma tirnr la forma
pound() = Eiquest0)rik B() = (^) poundlt) (5-21)
donde Et[0) es Iraquo amplitud de la rom|Hgtiiiiite poundbdquo del rampraquo cliVtriro III la frontera tlrl
plasma ( = ()) y A- se expresa romo
Jt JWlaquo - e2laquo (5-22)
Si it| es una cantidad real entonces la onda se propaga libremente en rl plasma prro
siacute Ai es una cantidad compleja entonces el campo en rl plasma r amortigua dr forma
exponencial a partir de la frontera
Para determinar el coeficiente de reflexioacuten y la amplitud del campo rn la frontera de)
plasma se utilizan laa condiciones de continuidad de laa componentes tangenciales dr los
eampoa en i = 0
90
pound(0)+poundbullbdquolaquogt) = pound(0)
(0) + raquo(0)-jr ((0)
Sustituyendo (519)-(oacute20) en (523) y considerando (521) encontramos
pound(0) = pound(l + rt)
dr donde obtiiunnos el coeficiente di reflexioacuten en Iraquo forum
(523)
(524)
=ampgtbull donde
e la impedancia sti]gtcrfieial o del plasma para una onda tipo H Sustituyendo (525) en
(524) encontramos la amplitud de la componente E del campo eleacutectrico raquo teacuterminos de
la impedancia el aacutengulo de incidencia y de la amplitud de la onda incidente en la frontera
del plasma
La definicioacuten de la impedancia (526) resulta coacutemoda ya que el coeficiente de reflexioacuten y la
profundidad de penetracioacuten se expresa de forma maacutes sencilla a traveacutes de ella En general
la impedancia es una cantidad compleja ZH = X + iX2 por eso el coeficiente de reflexioacuten
se puede escribir en la forma polar de Euler
01
M(AVlaquoM+1)-+ laquo-] e gt U 2 8 gt ^^xraquoiacute-l)1 + Y|coIiacutel
l
donde bull dcfitie la fase en la forma
XjcosO XjcosB bull = arctan bull mdash- - arctan bdquo mdash- (o29)
A i c o s 0 - 1 Xcos8+l
Uu paraacutemetro muy important del medio es ltbull) coeficiente lt]ltbull iexclilgtson-iiraquou el cual indica
laquorue laquoarte dc in energiacutea de la onda incidente se transfiere al pla-siiiraquo Si
P = 4~E x j = -iexcl-Eltraderaquo (030)
eraquo Iraquo denudad laquoIt-1 finjo de CIHTRIacuteH normal u la frontera dr la onda laquo[in incide y PT = y| |
es la densidad del finjo laquoIr In onda reflejada entonces el laquobulllaquobulleficiente de iilisorrioacuteii se define
roiiMraquo
W = ^mdash^ = 1 - |J|raquo (531)
Sustituyendo (528) en (531) obtenemos el coeficiente ltle absorcioacuten en teacuterminos de las
partes real e imaginaria dc la impedancia
W laquo Xcogt$ (532)
Ahora analiacutezemos con maacutes detalle las condiciones de propagacioacuten y amortiguamiento
de ondas electromagneacuteticas en un plasma de electrones en diferentes rangos dc frecuencia y
calculemos los coeficientes de reflexioacuten y absorcioacuten para cada casraquo respectivamente Para
92
ello sustituyamos (515) en (522) donde en este caso debido a la gran diferencia dr
masa de lo iones con respecto a los electrones consideraremos iquest^ as 0 Dr esta manera
obtenemos
r w V2
t - laquo raquo raquo - - (533) l jltlaquo + ilaquot)J
Consideremos los siguientes casos
a) El caso de altas frecuencias (cr lt -gt) Aquiacute los choques entre los electronraquo- se pueden
ilespreciar y entonces X- se reduce a la forma
Xraquo i- = - l - r o ^ - ^ (534)
En el reacutegimen de frecnciiriajiacute u lt ^lotfiacute lu m]x-ltlnraquorii es una caiitiilncl real y por In
tanto el coeficiente di- reflexioacuten y de absorcioacuten tomitii resjMrtivnniente la forma
donde
En este caso la fase (529) es igual con cero lo cual nos indica que laraquo ondas incidente
y reflejada se encuentran en fase Por otro lado la condicioacuten de amortiguamiento en un
plasma gaseoso sin colisiones consiste en que se cumple la desigualdad
ucof8 lt ugtVf (538)
03
IntrotUuetunos en calidad dr cararteriacutestica de penetracioacuten lthI ciexclttii|Mgt una |gtroftmililtlaltl
compleja de itetirtracioacuten determinada por medio de la relacioacuten tgt = t(gtraquo iquesti) El sentido
fiskti di la cantidad i es la distancia a la cual la amplitud del rampraquo en rl plasma ilecren
eu e mdash 271 veres de su valor inicial Con la condicioacuten ugt gtbull uicosB la profundidad de
penetracioacuten (anchura de la capa piel) no depende de la frecuencia = cu
h) En la regioacuten de bajas frecuencias w lt vt) los choques ya mgt se pueden despreciar En
este caso Rt Jt| s Ivi k y el campo en el plasma decreeraquo- ex]Mmirurial y oscilatoriamente
ilruumldr la frontera Si v gt m slt- tiene
k = -^zJviVrCosH+i- (539) Jiv v
si iacuteiilnilaacutes raquoiquest gt vrivosH entonces
y la longitud laquoIr la rapa piel tiene la forma
r iexcl2vt iquest = mdash J mdash = - 7 f iquest mdash (541)
donde raquo0 SB wf(4ffi) es la conductividad del plasma Notemos que (541) determina
la profundidad de penetracioacuten del campo en un conductor en el cual fluye una corriente
variable de baja frecuencia Asiacute las expresiones (521) determinan el campo en el plasma
en condiciones de un efecto piel normal o claacutesico A bajaraquo frecuencias y alta temperatura
del plasma estas expresiones ya no son vaacutelidas y es necesario analizar la penetracioacuten de los
campos en base a un modelo cineacutetico
Considerando las colisiones entre las partiacuteculas la impednncia del plasma tiene la forma
94
Zbdquo = (542) ^ugt(u)1cot10 - u pound ) + bull-bullJraquo
Si la frecuencia de colisiones es pequentildea pero sigue siendo finita y ademaacutes se cumplen las
desigualdades v lt raquo- ffgtiacute lt gtJcosi0 mdash uiiquest() entonces (542) se transforma COJIJO
Zbdquo = (543)
de donde observamos que en la regioacuten de frecuencias uirraquo^ lt ufPr el rocuumlcinjte ile iibsorrioacuten
se exprtsut en la lonnti
W = 2pro^Jtvwtraquo - l ) - (544)
Por otro lado si la frecuencia de la onda es lo suficientemente pequentildea tal laquopn- i gt laquobull y
se cumple la desigualdad J^Kv) gt OM rntonres la inj|MdnncIacutei se expri-sraquo como
z - iacute1 Voacuteiacute (545)
V -gtltbull y loraquo coeficientes de reflexioacuten y absorcioacuten se expresan respetivamente en la forma
R = (l-2Acltw0) 2e- MltM (540)
W = 4Xcoraquo9 (547)
donde A^ laquo -Xt = bullraquo( 2wt)
Finalmente observemos que las peacuterdidas de energiacutea que la onda sufre en el plasma
defiacutenidu por las foacutermuias (544) y (536) tiene diferente significado fiacutesico La W diferente
de cero cuando u = 0 esta relacionado con la excitacioacuten de una onda electromagneacutetica en
05
el plasma y el valor de W de (544) determina la parte de la energiacutea de la onda incidente
qiK- es utilizada para el calentamiento de los electrones del plasma eigt la capa piel
11 Paso deacute una onda H a traveacutes de una capa de plasma
Si la profundidad de penetracioacuten del campo ni una capa de plasma es tk-I orden de sns
dimensiones transversales o si la onda se pro|gtaga elraquo el plasma entonces la influrmia de
la segunda frontera del plasma resulta muy importante Determinemos el campo en el
plasma y los coeficientes iexclle reflexioacuten y de transmisioacuten en el paso de una onda incidente a
traveacutes de una rapa de plasma homogeacuteneo de anchura d
El canijaraquo i-n el vacio o cu la regioacuten T lt 0 tiene la forma (519)-(iquestj2l)) y el campo en la
regioacuten i gt 0 tiene la forma
Eraquo = TE0tcu = Eraquoltbdquosraquo (548)
donde T es el coeficiente de transmisioacuten El campo en el plasma consiste de dos ondas
tina de las cuales se propaga en direccioacuten de los valores positivos y la otra en direccioacuten de
los valores negativos de x
E = Aek + Be-ik = - iquest trade (549)
Las condiciones de continuidad de las componentes tangenciales del campo en la fronshy
tera del plasma x = 0 y x = ti anaacutelogas a (523) permiten determinar T y el campo en
el plasma
06
R = (1-pound)AiquestlaquogtM (550)
T = 2icoa$aacuteJWt - atn8t-kdeg (551)
Ey = 2cos8bTHi [iyt - iacuteenflcoJt(iacute - x) + aM0eni-(ri - ) ] (552)
donde
Aw = (t - 1 + 2colaquoI0)ifnfrrf + 2raquoVi - xriMrosHrosktd (553)
En el caso dr una onda que ]M-nctra en el plasma para la cual iquestrosH gt u dcspnviando
las colisiones entre las partiacuteculas el coeficiente de alisorcioacuten determinado como
B s l - R - T (554)
es igual a cero El cani|wgt en cl plasma tiene la forma dc uua onda estacionaria y con
la variacioacuten di- la cantidad t|rf los coeficientes de reflexioacuten y refraccioacuten oscilan Si en
condiciones de cierto piel kfd lt 1 entonceraquo a frecuencias lo suficientemente pequentildeas
(laquobullpound gt -(w + iv)) los coeficientes de reflexioacuten y nfraccioacuten tienen la forma
R = - (o iacute + io3)(o + 2co8 + iaj)~ (555)
T = 2cos0(a f 2ctgtiacuteiacute+^OJ^ (55C)
donde
- - 5^5-
97
En este caso el coeficiente de absorcioacuten se expresa como
IV = 4ocolaquo[(oi + 2co9)2 + a]]- (559)
Si Pt gtgt raquobull entonces o t gt cgt-iexcl Las peacuterdidas maacuteximas en este caso se obtienen con
la condicioacuten o = 2coi0 iguales a la mitad de la energiacutea de la onda incidente Las ondas
reflejada y refractada en este caso tendraacuten la misma amplitud en valor absoluto Las
foacutermulas (555)-(55G) se pueden generalizar para una capa delgada con cualquier iuhomc-
gcticidad Si diquest kcbdquobdquoj lt 1 entoneacuteis los campos en el plasma se ltrternmii del sistema
de ecuaciones
ils Ai r(w + ivrs)) = laquogtbull r 1 f i - laquo5CII)
donde las soluciones tienen lt forma
pound = C H = -f(x)C + C (5C1)
siendo
co w + iit(j)
Las condiciones de continuidad de los campos en las fronteras x = 0 y r mdash d nos llevan a
los valores (555) y (556) en los cuales oiacute = Re laquo(lt) y a2 = Im n(rf) Por otro latioacute
las constantes Ct y C3 a traveacutes de las cuales se expresan los campos en el plasma tienen
la forma
C = TEltiexcl = 2E0coraquo9aH(d) + 2coraquo9)- (503)
Cj = 2EoCO$eaH(d)co6)aHd) + 2coraquo8)- (564)
98
12 Penetracioacuten de una onda tipo H en un plasma deacutebilmente no homogeacuteneo
En una gran variedad de aplicaciones la densidad del plasma variacutea lentamente en el espacio
desde cero hasta cierto valor maacuteximo La penetracioacuten del campo en tales plasmas se
diferencia fuertemente de la penetracioacuten en un plasma con una frontera bien definida o
fuertemente no homogeacutenea Las ecuaciones que describen a las ondas electromagneacuteticas
en un plasma no homogeacuteneo son un sistema de ernarkmes diferenciales ron roefirntildeiites
variables iloudr sus soluciones exartas o aproximadas se enriient ran uacutenicamente para rasos
(laquoarticulares Uno ile estos rasos |gtartirulares es aquel laquoIr un medio de ra)gtas planas donde la
densidad variacutea ni una sola dirrrrioacuten Una serie dr soluciones escarias de las eruaeiones ile
la clertrodinaacutemira en un medio ile rapas planas ron diferentes variaciones de la densidad
se pueden ver en los trabajos (2327) Generalmente soluciones aproximadas relativamente
simples en estos medios se pueden eiirotitrar en regiones asintoacutetiras es decir a distanrias
grandes ron rcsjwrto a los puntos singulares de las eruaeiones difcrenriales Los paraacutemetros
que se usan en esta aproximar ion pueden ser la relacioacuten del tamantildeo caracteriacutestico de la
no lioinogcneidad L ron res|ierto a las longitudes de propagacioacuten A de las ondas en el
plasma Si uno de los valores rumple la desigualdad LX gt 1 eutoures en relacioacuten a esta
onda al plasma se le puede llamar deacutebilmente no homogeacuteneo La penetracioacuten de campos
electromagneacuteticos en un plasma deacutebilmente no homogeacuteneo se ha considerado en diferentes
trabajos [222327-31] Consideraremos algunos resultados obtenidos
Veamos un plasma compuesto de iones pesados fijos con densidad n0i) la carga de
los cuales en estado no perturbado se compensa con la carga dr los electrones ron temshy
peratura diferente de cero Te La densidad del plasma n0 - 0 ruando iacute - t O y rrece o
es infinita cuando mdashraquo ce No existe campo magneacutetico externo y la distriburioacuten de eler-
99
trones por velocidades es isotroacutepica Para la descripcioacuten de la penetracioacuten de mi cam]Mgt
electromagneacutetico en tal plasma se utilizan las ecuaciones de la hidrodinaacutemica (50)-(514)
en las cuales hay que sustituir iacuteo = 1raquo iacutei = 1 y gt mdash gt()bull La i-ruacioacuteu diflaquoniciacuteal (5IS)
que rige la jicnetracioacuten de ondas tipo H en un plasma no homogeacuteneo toma iexclihoni la fonna
iPE -=bull + kl(t[x) - stnH)E = 0 (5C5) tiacutex
donde la pcrinitividad dieleacutectrica es funcioacuten de la posicioacuten en la forma
pound ( ) = 1 ttiquestIl (5GG)
w(uiacute+ II ( x ) )
De id ecuacioacuten (oacuteCuuml) se puede hacer ililncdiiitaiiieiite tilia serie de deducciones a) 1raquo onda
se propaga libremente en li regioacuten Jif t lt bullgtni1tiacute b) en mi plasma maacutes ileliso iloude
Jlt gt nrrifl la propagacioacuten se vuelve imposible y la onda uacutenicamente penetra el plasma
en la longitud de la rapa piel y c) el punto Rr pound = srtiB es el punto de corle donde 1raquo
onda se refleja
En un plasma deacutebilmente inhomogeacuteneo ruando raquoo(x) variacutea deacutebilmente en la longitud de
la onda que se propaga por el plasma la ecuacioacuten (5C5) se puede resolver por el meacutetodo de
la geometriacutea oacuteptica para una dependencia arbitraria de la densidad gtibdquo(s) [23] La enlacioraquo
(565) tiene una solucioacuten exacta para una capa lineal cuando la permitividad dieleacutectrica
(v(x) lt ui) puede escribirse n la forma
donde
+ iUumlIacutepoundgtpoundf 507) X0 WI0
bull = amp
100
Aquiacute a es la pendiente que caracteriza la dependencia lineal de la densidad de electrones
ron respecto a la posicioacuten Para el caso de un plasma sin colisiones (e = 0) reescribimos
iacuteoacute65) en la forma
- pound + kl( co1raquo - mdash )pound = 0 (569) ax Xo
haciendo el cambio de variable
C=[f) ix^coraquo2raquo - x) (570)
la ecuacioacuten (5C9) se puede llevar a la ecuacioacuten de Airy
^ + C pound = 0 (571)
Su solucioacuten decreciente cuando i mdashbull ltx tiene la forma [32]
poundraquolaquo) = mdash coM--Ct)gtlv (5-72) ir Jo J
donde A ex una constante que se determina de la roiidieiones de frontera manilo x = 0
En la obtencioacuten de la expresioacuten (572) (te lia despreciado la reflexioacuten de la onda en la
frontera del plasma debido al gradiente de densidad Es decir la amplitud del campo
eleacutectrico en el punto x bull 0 se considera igual a Eg lo que es vaacutelido para valores pequentildeos
del gradiente de densidad en este punto (|^|o ltC k) En la regioacuten 0 lt x lt x0colaquo28
debido a la suma de las ondas incidente y reflejada poundbdquo(() tiene la forma de una onda
estacionariacutea Lo anterior es asiacute ya que para valores positivos y grandes de ( E(Q tiene
una representacioacuten asintoacutetica en la forma [32]
101
Cerca df la frontera los valores del campo estaacuten dados aproximadamente |laquogtr
cuyo valor maacuteximo es
4a-gtgt-w-niexcliacuteiquest5^- bull (575)
Ln expresioacuten (575) resulta de la interferencia constructiva de las ondas ipie viajan a In
ii|UIacutecrda y a la derecha rrsprctivamrnte pin lo tanto la amplitud de la onda incidente poundbdquo
tt-tidru la forma
Aliora evaluemos la ronstatite 4 de (572) Para rilo iitiliemos la representacioacuten
asintoacutetira (573) y consideremos la condicioacuten de frontera de acoplamiento de los campos
en el plasma y en el vacio
poundT(0) = JEIacute (577)
De acuerdo con la definicioacuten (570) para ( podemos escribir el teacutermino ijCv en ln forma
f^^ (--pound_) (578)
Sustituyendo (578) en (573) y evaluando en x = 0 obtenemos
3A 2 ir poundlaquo(0) ) = -7k0Xo)-ucos-iacuteli9coraquo(-k0j0coS9 - -) (579)
yf f O 4
102
x = O = x0rnslV X
FiexclgS2 Alii|tli(ultl laquoId rrtiii|ngt eleacuterlrim cu la vecindad del punto de reflexioacuten s - xbdquoiiiH
Finalmente apurando 1raquo roiitliacutetiacuteoacuten de frontero (577) cnroutraiiioM el valor de A
(580)
La amplitud aacutee la onda estacionaria que se forma en el plasma cu los puntos cercanos
al punto de reflexioacuten x = Xoco29 crece (Fig52) Su valor maacuteximo se puede obtener de la
expresioacuten (572) el cual corresponde al primer cero de la derivada de la funcioacuten de Airy
[11] y tiene el valor
2 a a | l = 268 (581)
Asiacute dividiendo (5S1) entre (576) obtenemos el coeficiente de amplificacioacuten de la amplitud
del campo eleacutectrico en el plasma con respecto al campo en el vacio
103
| s f = 374(oolaquo3laquo)3 (582)
En el caso maacutes general de un plasma deacutebilmente inhomogeacuteneo en (562) en lugar dr
arbdquo debemos sustituir
En este caso para valores grandes de (koro)l^eoraquo0 auacuten una |MI jtirntildea parte imaginaria de
ki pcniMtiviacutedad dieleacutectrica puede rondticir a jteacuterdidas significativa de energiacutea de la onda
Si ni gtgt P jiacute () entonces la ecuacioacuten (571) conserva su forma pero ( en csrraquoiexcl caso laquo-S una
cantidad compleja
- ( )
raquo ( j v o ^ + x - mdash ) (584)
Nuevamente la onda (pit se forma en la regioacuten 0 lt x lt sltol(t es una onda estacionaria
lgtcro ahora la onda que se refleja cu el punto de corte Tit t = oc) nltgt tiene la misma
amplitud de la oiiif-t incidente Aquiacute cl coeficiente de reflexioacuten es diferente de la unidad y
se expresa como [23]
R as e m laquomdashgtbull m e-raquopound raquolaquoraquo (585)
La amplitud maacutexima del campo cerca del punto de reflexioacuten en este raso disminuye en
Ry
|iexcl iacute | 2 374|| 2(ltWw3)1 3 (586)
104
CONCLUSIONES
I Se describioacute la teoriacutea general de las guiacuteas de onda y resonadores cilindricos En base a
esta teoriacutea se obtuvieron obtenido los paraacutemetros principales que ritrart izan vi sistema
de microondas di- la fuente de plasma descrita cu [2] En el raso ilc una guiacutea de onda
cilindrica hecha tiraquo- bronce y ron Suacuterm de diaacutemetro interno se obtuvieron los siguientes
valores para los distintos paraacutemetros de pro|gtagariexcloacuteu de midas litadas en el IIIIHIO
A = 145rw raquobullbdquo = 13 x WHi I = 02753rraquor A = 22S2raquo Zbdquo = 187
ti = 56 x 10degtrade K3 = lC x 10uumlcfia
La constante de amortiguatniento lgtara estas ondas romraquo ronseriiriiciraquo de la roudur-
tividad finita ile las paredes metaacutelicas tiene el valor om = 1032 x 104 como este valor
es muy pequentildeo obtenemos que se puede considerar que la guiacutea de onda del sistema de
microondas (de no maacutes de un metro de longitud) es una guiacutea de onda ideal (sin ]xrdiexcldas de
energiacutea) Por otro lado para el resonador cilindrico laquopie compone el sistema de microondas
de radio a bull 7cm se obtuvo la distancia necesaria para que en el resonador oscile una onda
en modo Ht (wm = 15394 x 10(f ) Esta distancia tiene el valor d - 71Gcm Ademaacutes
se evaluaron la calidad del resonador y el ancho de banda donde el modo TEu puede ser
excitado uacutenicamente Q =bullbull 404963 w2 - uraquo = 000025 x WH respectivamente
II Se analizoacute el problema cuando la guiacutea de onda y el resonador cilindricos conshy
tienen una columna de plasma friacuteo magnetizado e inhomogeacuteneo distribuido axialmcnte
105
La columna de plasma cti el caso de la fuente de plasma [2j tiene un radio r = 3mraquo
y ademaacutes el perfil de densidad se consideroacute de tijraquoo paraboacutelico Eu base a la teoriacutea tie
perturbacioacuten y usando como paraacutemetro pequentildeo la pequenez del radio del plasma con
respecto a la longitud dt- onda se calculoacute la constante de amortiguamiento de la ondas
que se propagan en la guiacutea de onda ocasionada por la presencia del plasma La constante
de amortiguamiento tiene el valor o = lSS x 10~4
Se calculoacute ia variacioacuten de la frecuencia de resonancia fie las ondas que se etinieutran
resonando en modo TEtti en i resonador asiacute romo la variacioacuten en el inverso dr la calidad
del resonador obteniendo resp t-tiacutevaineiifc Aw - -lG3x 10 H MlQ) = oacuteS2x lO1
Los valores para n Aw y plusmniexclQ) se obtuvieron paro el caso mando ^bulljiacute(l))raquo = OS y
para el punto cerranraquo al punto di- resonancia ciclorroacutenica u = 0999 Ademaacutes se obtuvo
que la constante de amortiguamiento en el caso de la guiacutea de onda en el punto de resonancia
ciclotroacutenica l-u = w) se hace cero De lo anterior podernos roiirluir que la inutii se propaga
libremente en el plasma
III En el marco de la teoriacutea lined se analizoacute el proceso de penetracioacuten de campos
electromagneacuteticos en un plasma scmilimitaclo Se obtuvieron Jos coeficientes de reflexioacuten
transmisioacuten y de absorcioacuten para ondas tipo H tanto para un plasma homogeacuteneo y un
plasma no bomogeacutetieo Un aspecto fiacutesico importante en el estudio de la penetracioacuten de
ondas electromagneacuteticas en plasmas inhomogeacuteneos es que para una incidencia normal existe
un crecimiento del campo eleacutectrico en el punto donde la permitividad se hace cero Para
plasmaraquo magnetizados el comportamiento anterior es similar Por otro lado cabe sentildealar
que los puntos dentro de un plasma friacuteo e inhomogeacuteneo en los cuales el iacutendice de refraccioacuten
106
es infinito permite una absorcioacuten de las ondas de tipo no colisional en el plasma y al
mismo tiempo se obliga al campo eleacutectrico a tener un valor finito Esta absorcioacuten en el
plasma se asocia al hecho de que en el punto iacute = oo el campo electromagneacutetico sufre una
transformacioacuten lineal en otro tipo de ondas
Finalmente hay que hacer notar que la absorcioacuten de las ondas en las guiacuteas de onda
y los resonadores se debe uacutenicamente a la variacioacuten o cambio que sufre la constante de
propagacioacuten y la calidad del resonador respectivamente por la influencia tlcl plasma Este
mecanismo de transferencia de energiacutea ai plasma es diferente al mecanismo laquoIr la transforshy
macioacuten lineal de ondas
107
REFERENCIAS
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25 Gutieacuterrez Tapia CR Arzate Plata N- Caacutelculo del coeficiente de amortiguamiento
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32 Lebctlev N(1972) Special functions and ihrtr aplications Dover puhlirntioits Nrw
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110
CONTENIDO
INTRODUCCIOacuteN 1
CAPITULO 1 DESCRIPCIOacuteN DEL PLASMA 3
1 Principales paraacutemetros del plasma 3
2 Meacutetodos teoacutericos ltraquobull descripcioacuten del plasma 8
CAPITULO 2 GUIAS DE ONDA Y RESONADORES 12
3 Guias de onda 1 2
31 Ecuacioacuten de valores propios 12
32 Paraacutemetros de propagacioacuten 15
33 Coeficiente de absorcioacuten 18
34 Guiacutea de onda cilindrica Modo Hmn 19
35 Coeficiente de absorcioacuten Modo H^ 23
4 Cavidades resonantes (resonadores) 27
41 Caracteriacutesticas generales 27
42 Energiacutea almacenada y calidad de los resonadores 31
43 Excitacioacuten de los IIHMIIH tie ilaquorilac)oacuteii 34
44 Resonador de forma cilindrica 30
CAPITULO 3 TEORIacuteA DE PERTURBACIOacuteN 41
5 El meacutetodo de perturbacioacuten eu las guiacuteas de onda 41
6 El meacutetodo de jicrturbacioacuteii en los resonadores 49
CAPITULO 4 INFLUENCIA DEL PLASMA 5G
7 InfliUliriii del plasma cu la- guiacuteas de onda 5C
8 Influencia ilel plasma en los resonadores 74
CAPITULO 5 PENETRACIOacuteN DE ONDAS EN EL PLASMA 83
9 Penetracioacuten de campo ilectruniagneacuteikos cu el plasma S3
91 Penetracioacuten de campos electromagneacuteticos en la aproximacioacuten
hidrodinaacutemica Sistema de ecuaciones 84
92 Penetracioacuten de ondas tipo E y H 86
10 Penetracioacuten de una onda electromagneacutetica en un plasma homogeacuteneo
semihmitado Reflexioacuten y absorcioacuten de ondas tipo H 89
11 Paso de una onda H en una capa de plasma 96
12 Penetracioacuten de una onda tipo H en un plasma deacutebilmente no homogeacuteneo 99
CONCLUSIONES 105
REFERENCIAS 108
INTRODUCCIOacuteN
ActUiiluieiili cu rl IXIN se tiene miii fiiriitc de plasma roiistruida iU el proyecto IB-
230 Esta es una fuente de plasma friacuteo sin ilict rodos (pie genera rl plasma por mirroondas
IIH iiniite resonancia rirlot romea di- los electrones Este tipo de dispositivos son de eran
actualidad ililiiiin iexcli sus posibilidades potenciales di apuracioacuten a Iti industria tiacuteili-s romo ltl
pngtisiacuteiiiiiiiitn ili- ilifi-riiifrs materiales |]iexcl (la formacioacuten laquoIr peliacuteculas delgadas poliacutemeros
liiiacutecnielcct ioacutenica soldadura iiiiit|uinns-lierrainieiitns etc) En estos dispositivos tambieacuten
rs relevante el estudio de fenoacutemenos baacutesicos i|iie ocurren en el plasma ionio la conversioacuten
lineuumll y no lineiil de ondiacuteis en el plasma Parraquo mayor informadoraquo sobre vi dispositivo ver [2]
Uno laquoIr los componentes baacutesicos del dispositivo es el sistema de inicruondas el cual consiste
de un generador de microondas (magnetron) de una guiacutea de onda y de un resonador El
generador que se utiliza es un Raytheon PGlOxl con frecuencia fija de = 245 GHz y de
potencia variable f 10 - 500 W) Li alta frecuencia del campo se transporta a una cavidad
resonante por una guiacutea de onda cilindrica de bronce de 85cm de diaacutemetro En esta guiacutea se
excita una onda electromagneacutetica en modo H El resonador de bronce tiene un diaacutemetro
de 14cm y en el cual se excita una onda en modo TTm-
En este trabajo de tesis se realiza una revisioacuten del caacutelculo del sistema de microondas
que componen el dispositivo y un estudio sobre la interaccioacuten lineal de ondas que pueden
ocurrir en el plasma en este dispositivo En el Capl se hace una pequentildea descripcioacuten de
los principales paraacutemetros del plasma y de los principales meacutetodos teoacutericos para su des-
1
bull ti|Miexclltgtii En bull Cap2 w laquoICSITIacuteIM- In teoriacutea general de las guiacutea- de onda y los resonadores
cilindricos En el (iexcli|i3 si- de-rrilie la Teoriacutea gtbullbull Perttirltacioacuten uacutetil iexclwira el i-aacutelculo di lo
diferentes )i-iiaacuteiii(tros di- lagt uniacuteraquo de onda y lo- resonadores nur contienen itti plasma en
su interior En el Cap4 en lgtase a la teoriacutea ltllt- pi-rturltacioacuten gtbullbull calcula la variacioacuten di- la
constante ri pro|gtagariigtn de las ondas ijuc so propagan en una guiacutea dr onihi cilindrica asiacute
iilaquomgt la variacioacuten di liexclgt frecuencia de resonancia de las ondas lt|tio si- iiiencntraii oscilando
ili un resonador laquopie IOIIIIacuteIIM una i-olnniiia de plasma friacuteo riliacutendriro magnetizado ltbull inlio-
mogoacuteiieo disnilmido axiacutealiiinili En el Cap-V i-ii el marro dr la teoriacutea linral se Kivostiga
ri proccsiraquo di penetracioacuten di campos eleotioniauiacuteHlieiraquo- III un plasma ademaacutes sr obtienen
los coeficientes de reflexioacuten transmisioacuten y di aliMgtirioacuten paia ululas bullbullgtltgt Finalmente
si- lian- un resumen di- los principales resollados nlitriiidos en el traUiacutejo di- trxis
La propagacioacuten de ondas de muy alta frecuencia representa un lema laquolo gran anualishy
dad iii campo romo la radiofiacutesica (oomttiiiriirionos radares radiotelescopios etc) y la
fiacutesica d r plasmas (aplicariones y fusion termonuclear iotroluda) En la fiacutesica de plasmaraquo
actualmente se est lidian dispositivos en base a suirrooiidas y radiofrecuencia laquopie son muy
interesantes por la gama ile aplicaciones (pie se descu-ren constantemente Por otro latioacute
el calentamiento adiriacuteonal tlel plasma por ondas de radiofrecuencia en dispositivo donde
se obtienen plasmas de alta temperatura para el estudio de la fusioacuten termonuclear conshy
trolada es un tema que tiene gran importancia Por lo anterior el desarrollo de la teoriacutea
lineal y no lineal de propagacioacuten dr ondaraquo de alta frecuencia es de gran relevancia
2
CAPITULO 1
DESCRIPCIOacuteN DEL PLASMA
1 Principales paraacutemetros del plasma
El plasma rs un uniacute lio nmsinritro compuesto laquole partiacuteculas cargairaquo positivas negativas
y ademaacutes tli- partiacuteculas neutra (aacutetomos y moleacuteculas) que inicraci-ionan entre siacute y con la
radiacioacuten Las partiacuteculas positivas son los iones y las negativas son los electrones (los iones
negativoraquo juegan un papel secundario) Ademaacutes de los aacutetomos y de las moleacuteculas que se
encuentran cu su estado base en el plasma ]meden existir tambieacuten en grandes cantidades
aacutetomos y moleacuteculas cu estados excitados El plasma entonces es un gas ionizado en el
cual la carga negativa de los electrones neutraliza casi completamente la carga positiva de
los iones
Veamos algunos procesos que ocurren en el plasma (3-7] El plasma se obtiene por la
ionizacioacuten cuando se separan los electrones de los aacutetomos o de las moleacuteculas Son posibles
dos formas de ionizacioacuten en un plasma denso principalmente tiene lugar la ionizacioacuten por
choques de los electrones con los iones o aacutetomos nertros y para un plasma muy enrarecido
es caracteriacutestica la ionizacioacuten por radiacioacuten (oacuteptica ultravioleta y por rayos X) Es posible
tambieacuten que ocurra la ionizacioacuten por los choques entre los aacutetomos o con los iones El
3
proceso inverso iquesti 1Iacute ionizacioacuten es lit recigtmlltinlaquoooacuteiiexcl es ib-cjr Ib unioacuten de un electroacuten con
mi ion y con ii consecuente formacioacuten de un aacutetomo o moleacutecula neutra En un plasma
enrarecido la igtgt iacuteniliniexclnioacuteii ocurre generalmente con radiacioacuten y en un plasma denso lu
riioiubiiiacioacuteu gtbullbull rriiiiii en los choques triples (se recoiuliina un electroacuten y un ion y mi
segundo electroacuten gtbull lleva el sobrante de energiacutea) Por otro birlo el plasma lugt solamente
radia hi visible sino tambieacuten radiacioacuten ultravioleta y ademaacutes si t-1 plasma es muy caliente
tambieacuten radia rayos A
El plasma por naturaleza se comporta como un gas por lo que para su laquoICM riprioacuten
si- utilizan ronrepros talrs como densidad presioacuten (esiipfralmgt itr El movimiento ile
las partiacutecula- ocurre ilr fon na caoacutetica En laquoI caso laquobull bull partiacuteculas lt|tilt- no timen carpa en
su movimiento teacutermico la iliriciioacuten de su movimiento varia solo |Mgtr los c-limpies como
cu un gas simple Entre cada choque el movimiento de las partiacutecularaquo con velocidad
constante r describe una linca t rta En este cano la longitud promedio de recorrido
lilwe es A = VT = iexclnma donde r es el tiempo entre los clioques nm es la densidad
tlil medio y n es la seccioacuten de choque A mayor densidad la longitud de recurrido libre
medio tm menor y Ja frecuencia dr rolimeacuteo v = 1T = nmav es mayor Loraquo choques entre
las partiacuteculas neutras ocurren por la accioacuten de fuerzas de corto alcance las cuales son
proporcionales a rri y pueden ser tanto elaacutesticas (intercambio uacutenicamente de energiacutea
cineacutetica) como inelaacutesticas (transformacioacuten de la energiacutea cineacutetica de las partiacuteculas ergt otras
formas de energiacutea como son excitacioacuten ionizacioacuten y recarga) A diferencio de las partiacuteculas
neutras sobre las partiacuteculas cargadas actuacutean tuerzas de largo alcance proporcionales a r
las cuales se rigen por la ley de Coulomb Esta interaccioacuten disminuye lentamente con la
distancia El movimiento de las partiacuteculas ya no se realiza por una linea quebrada sino
siguen trayectorias muy complicadas Sin embargo estas trayectorias se pueden aproximar
a una linea quebrada y en esta forma introducir el concepto de choque coulombiano En
4
iexclo inuwrioacuten iilt- 1iexclIgt partiacuteculas las maacutes fuertes resultan raquo T las de largo alcance Las
interacciones coulombiaiifis determinan Minchas propiedades del plasma A traveacutes de eacutestas
a|raquoareceii las propiedades colectivas del planum relacionadas ron la interaccioacuten simultaacutenea
ltltbull mtiriiH- partiacuteculas
Las partiacutecula nue componen cl plasma se encuentran igteniianenteinente en estado de
movimiento teacutermico caoacutetico Este movimiento se caracteriza por lit temperatura del plasma
7 romo un todo y por la temperatura Tbdquo tic siis diferentes componentes (aquiacute ir puede ser
i o i pata iexclos elertrmies o iones respectivamente) La temperatura liacuteeiennina la energiacutea lilshy
las partiacuteculas del sistema el euiil se tinmiit i iexcli en ei|iiililirio teri-iodinaacuteiiiico El |gtlnsiiit se
llama isoteacutermico si este se encuentra en equilibrio teuuodinaacuteinico ionio un todo y la funcioacuten
de distrUumlMieioacuteit de la energiacutea de las partiacuteculas de todo tipo es una distribucioacuten inaxweliacuteaua
con una misinn temperatura X (T = T = T) En el caso de un equilibrio lennodiacutenaacutemicolaquole
una parte del plasma cuando diferentes componentes tienen una distribucioacuten maxweliana
pero diferentes temperaturas vi plasma se llaina no-isoteacutermico o sea Tt iquest T Esto uacuteltimo
es posible debido a laquopie cl intercambio de energiacutea emre los electroiws y los iones ocurte maacutes
lentamente que el intercambio de energiacutea entre las partiacuteculas que tienen una misma masa
En base a esto uacuteltimo en un plasma no muy denso con pocas colisiones puede existir
un estado con dos temperaturas ioacutenica 7iexcl y electroacutenica T En el caso de una funcioacuten de
distribucioacuten maxweliana de las partiacuteculas fm exp(-m0vl2kTo) la temperatura de un
plasma en equilibrio determina la energiacutea cineacutetica promedio del movimiento teacutermico
3fcT _ _ _ _ _ ^=(mavl2) = Eacutee (11)
donde k mdash 138 x W~ttrgioraquodegK es la constante de Boltzmann y 7_ es la temperatura
de las partiacuteculas de clase o La raya superior en la parte derecha indica un promedio con
respecto a las velocidades
5
Una earailiTisMra importante del plasma rgt la fririMii-in plaacutesmica la cual esta canic-
tiriaila por liis oM-ilaciacuteouo electroacutenicas ltlrl plasma
tliHide i es la carga del electroacuten (t iexclft 4SU32 x 10iraquolaquotoiWoraquo()i u es 1iexcliexcl concentracioacuten ilr
electrones (laquobula iii mi) y MI lt~iexcl la masa del electroacuten (raquolaquo = 01095 x lO^V)- Las oscilashy
ciones |gtliacuteisiuiris son oscilaciones longitudinales electrostaacuteticas i|tn- surgen romo resultado
ilr hi separacioacuten ilr partiacuteculas lardadas a distancias microscoacutepicas y ilil surgimiento de lalaquo
fuelas ill COIIIIIIIIII La fu incuria plaacutesmica soacutelo depende dr la ciiurrut racioacuten laquo
raquo- 5 Tx Wyj^ 113)
ii ltii la forma
A = | = 2 x l O 3 ^ 1 0 ^ (14)
La escala temporal ill separacioacuten laquole carga cs una cantidad inversa a la frecuencia plaacutesmica
r ss 1w Como laquoi los intervalos dc tiempo gt r las partiacuteculas realizan imirlins oscilashy
ciones cerca de su posicioacuten de equilibrio entonces el plasma como un todo se comporta
como un sistema neutro en el tiempo La separacioacuten de cargas puede ser importante soacutelo en
intervalos de tiempo t lt r pequentildeos con respecto a la escala temporal La escala espacial
de separacioacuten de cargas es la distancia basta la cual se puede desplazar una perturbacioacuten de
la concentracioacuten de las partiacuteculas cargadas debido a su movimiento teacutermico en un tiempo
igual al periodo de las oscilaciones plaacutesmicas la cual se expresa en la forma (dada en cm)
laquobullV V 4iregtnt
6
doxiie = lTni mdash 45 x VSyJT laquo-s In velocidad del movimiento teacutermico de los
bull iexclii-roiifs 7 laquo- Iraquo fltbullijijx-rittiilt le los electrones en A y gt es la cow-rut racioacuten laquole los
bullllaquoM-roraquofgt MI nn~ bull La ltlisuiiit
bullgtbull llama radio ltit- Debye para los electrones Para tin plasma niasiiirtirro es necesario ijiie
its liiuiitiMoiiis riinirifristiras L scan siciiihnitivniiifiitc mayores ipie el radio ir Debyc cs
laquo[bullbullbullbulli L ~iquestgt in ion esta condicioacuten slaquo- purde considerar ijnc laquobull -iexcl-teiacutena ilf partiacuteculas figtrman
un plasma En riiMi inverso L ltg riexcl i tenemos mi coiijmtlo I|I- |gtutiiiiiii- cargadas
-f|gtnli- Asiacute llenamos iexcli la definicioacuten laquoIt-1 plasma propuesta por Laugmuii [5iexcl rl plasma
i-s tin conjunto tic partiacuteculas iirutras y careadas en rl cual ai sc satisfaci- la condicioacuten dc
ciiasiiii-utralidiid poundbdquo rbdquoraquobdquo = 0 y lit el radio dc Debyc dc apaiitallainit-iilo es mucho niiiior
bullinraquo1 las dimensiones caracteriacutesticas laquopic ocupan el conjunto laquole partiacuteculas r^ lt L
Una infltiriiciii iiii]iortantf sobre rl iiioviinie-nto de las partiacuteculas la ocasionan la exisshy
tencia laquolaquobull un riexcluingt magneacutetico externo constante el cual ordena el movimiento caoacutetico de
las partiacuteculas En un campo magneacutetico actuacutea laquoobre las partiacuteculas cargadas una fuerza llashy
mada poiidcroinotriz (lorentziana) dirigida ])cr]gtcndirulannriite a la direccioacuten del campo
magneacutetico B0 y a la velocidad de la partiacutecula iacute Bajo la influencia de esta fuerza las
partiacuteculas giran con una frecuencia angular igual a wBbdquo A esta frecuencia se le conoce
como frecuencia riclotroacutenica o de Larmor y para los electrones tiene la forma
~B = mdash 176x07Bo (17) me
Para que el plasma resulte ser magnetizado (anisoacutetropo) eacuteste no debe ser muy denso y
deblt encontrarse en un campo magneacutetico muy fuerte Por esta razoacuten es necesario que en
laquorl intervalo ltli- liniipo vnf dos i-olisiotn-s rbdquo las partiacuteculas pmdan nahzar uiiniios iexclinraquo
ttlri-drdor ill- las lincas del raui]Hgt iiiiiacutegiit-tiro Esta condicioacuten gtbull inarm tizai ion jitira lets
rliTtroiics es di- la forma
w laquo r m raquo l (lSj
En la ltlin riiiiti ilrl rampo iiiin-iiitiio la influencia de laquo-sir soliri- Ins partiacuteculas careadaraquo cs
nulo En mi campo magnet iro lioiiiogeacutem-o las trayectorias del movimiento dc las partiacuteculas
cargadas tiiinu forma bullltbull bullbull -jiiiiilraquo-
Por laquofin lado liay ijiir diferenciar los conceptos dc plasma friacuteo y plasma caliente Eli
mi plasma friacuteo r) movimiento teacutermico de las partiacuteculas es menor que la presioacuten i-I bullbulliinjgtgt
MKiKiirtim es decir
-2=2fIlti (io) Entonces podemos decir que rii mi plasma friacuteo que sr oiicticiif ni en mi campo magneacutetico
w puede despreciar rl movimiento trrminraquo dc1raquogt partinilas En mi plasma caliente esto
uacuteltimo no es vaacutelido
2 Meacutetodos teoacutericos de descripcioacuten del plasma
En el desarrollo de la concepcioacuten del plasma como un gas de partiacuteculas cargadas cambiaron
tambieacuten los meacutetodos de su descripcioacuten Los primeros modelos maacutes simples de la descripcioacuten
cualitativa del plasma lo suponen como un sistema de partiacuteculas cargadas que no interar-
tuan entre siacute y que se mueven libremente en presencia de los campos eleacutectrico y magneacutetico
externos Es decir si so considera que el plasma esta compuesto de jVbdquo partiacuteculas de clase o
8
iexclbulli -r mueven dcltido iexcli MI energiacutea teacutermica en forma caoacutetica entonces es uii-fNarin resolver
~ ecuaciones laquogtbull movimiento con uti miacutenimo iexclEnfil raquobullbull condiciones iniciales i posicioacuten y
-bullbullio-idades iniciales ilr partiacuteculas | Obviamente esto uacuteltimo es imposible de realizar Se
puede reducir fuertemente el problema si gtraquobull desprecia liexcli dis]gtcrsiexcleacutegtn de las velocidades dr
bullu iovimicnlo teacutermico es decir si se considera el movimiento promedio de una partiacutecula
laquoiexclHe v encuentra en reposo cuando no hay campos externos Asiacute este modelo simple
de iexclarticulas independientes completamente desprecia no solamente la interaccioacuten entre
piiriexclniiacuteiacuteiraquo sino eiexcl movimieiiio teacutermico de la- mismas
Pura determinar la velocidad dgt- una partiacutecula carnada del ntasma en el modelo de
pariacuteVittiis independiacuteenles se resuelven las i (ilaciones de movimiento para partiacuteculas de
gtia- bullgt en la forma
-y- = lt iacute iquest + -|ibdquo X D + iexcliexcl111 I110) Jlz
ir ~ donde iexcl = gtnbdquorbdquo es el impulso de la partiacutecula de dase o y ies la aceleracioacuten provocada
por fiHTns no electromagneacuteticas Eti las ecuaciones (LiO) la iiidiiccioacuten magneacutetica D
y el campo eleacutectrico E no se consideran como variaUes conocidas ya ipie estos campus
incluyen en siacute campos inducidos en el plasma cjue MOJIacute provocados por el movimiento de las
partiacuteculas cargadaraquo por lo (pie hay que resolver un problema autocousigtente es decir la
solucioacuten de (110) conjuntamente con laraquo ecuaciones de campo
VxS = M + Iacute I ( + ( 0) (iii) c ot c
V-Eacute m 4-(p + po) (1 13)
v i = 0 (114)
9
01
(si-i) ltraquoiquestbull AW + J) + W + sectxsectA)Y +ilaacute- raquo
waacute(A-iacute) + ^ Vlt = JLVpound mp
(iquestri) -o = W aacute w - A + ^
iexcllaquoupauSimi HJiuiHiupo pii] laquoj ip laquoai iopuioa ap jjnaiscsi io x) inn uctuivcs u n
HZI|1)II t8 opiti |f ui |vmi raquoia ap OIIMIIUIAOIH jap t iopduauap H| H Iacute H J -OJIIIU OIIIIIJIIOI o ip j tu mi
(ipllllllUOJ OJIIK laquoHill OIlllll lltijjodll S Sgt1IIIIIltMI|IIOJ SHJSI Hill llX HJItlHI A UIIIIOI liJIIIOJl
bullJMraquo NtJIIHKullllO1 Sl| 11)111 IttllHMJIi j j l lililiacute IMIacutelj IS lili IIJlllllllipiU|lll| CI|I|KM11 |l l|-J
i
OIIIIIIIIipiM|)II[ (gt|l|raquoOIII |l iZI|llll
is osli i|Si 113 ltM1IIHI l((|ill|)Ulll o|(llllil | mi imuii Jllli|MSIIlu ipmd is lti|i(i| (III oltloi
Dlllsmii |l lt ltI|IIIKIIJI(1IJltII 1)1111111 Ulllj l||St IS IIIHI SI|lll(UIltI SI|IIMIJI(I sltlt[ 1(1 (IJfUItlllAillll
|i ltisui|i 11111 miis-H|ltl 1111 111 iiUuumluniii iexcllaquo j o j ii|iiiuiiii(iultii ms i ltm siquniiud ltn gtgt
ltI|I1III1U Villi |l (MU | l lll lt 1(11ili 111 AIIIII iMIIsiqil tin 1(1 IKIII |i l|gt II|IK lti|ilI|I|ll MS i|llllltl
Sgt|I1HIIIIMII|IIII -ii(liilinil ip II(I|KMII (1 H|tiit|iiltl 113 lti|iiiiitll] si inusiqd |i|i IIltIIMIUISI|I
l| lll IIOIHiipill US Hill ltl| Hid degSI(||||||Ilt1 Sl| 1(1 i||llll(1llAOIII |lp 11(11liqll1111 bull] OlIItU11
(iinmiiiAoui (1 bulluipisUtii 1111 ofiji is (IHKII si|tfi(|ifiH(i|ifft s-ftptjiijiMi (lt lti(i(iorij ( 3
( 9 1 1 ) 0 = V V bull A + T ^
|Mqmimiuoj ltraquofi tiacuteotjuttji laquoj uKiexclatms (()) niexcljsijtfs j pthy
ltcni bullbulliquestx^ = [ -x^ = lt
laquoUIKIJ i( (lllllll l|(MMJltll ijl A i|l(lll(IUI laquoSjlM laquolt Kj|tt|raquoISIM|gt gtlJ Sgt(itl) slj | Ifi
= V y [- x D - -pound-V x I i r Uuml) (119) Of 4 ~ ltT
V B = 0 (120)
donde ni ex 1iexclI ltbull usidad del liquido ltlaquoMiraquohicTtgtr (plasma) ron una rondiirtividad n vi es la
velocidad del plasma y ( r son 1lt- roi-firiciites de viscosidad Este sistema laquoir eriiarionis
w debe de roiujut mentar ron las emanones de rotado y la iiiiwioacuteii laquole tnuiNpurte de calor
= Hni-T) (121 0
M7 mdash + (rlaquoV| uumlt
~ bdquo 2L1L + X-(VTgt+ mdash mdash l ^ x Uuml r (122)
donde raquo = raquoij(T) es la entropiacutea de uiiii masa unidad de plasma n es la rondnrtividad
iltl ialor y rttJ elaquo el tensor laquoir viscosidad
^= (iiexclr + iiquestL~ hgtv TA) av bull IacuteL23)
En la magnet oliidrodinaacutemira se consideran dados la rondnrtividad eleacutectrica la conshy
ductividad laquolaquobull calor tlcl plasma y tambieacuten los coeficientes de viscosidad En la praacutectica
se utilizan modelos modificados dr la magnetoliidrodiacutenaacutemicn tales como el modelo cuasi-
magnetohidrodinaacutemico de dos liacutequidos (electrones y iones) y de tres liacutequidos (electrones
iones y neutros) tos cuales de forma fenomenoloacutegica consideran la interaccioacuten entre las
partiacuteculas- su movimiento teacutermico Estos modelos simples generalmente son aproximados
y para su fundamentacioacuten se exige la utilizar ion de un modelo maacutes general del plasma
como gas ionizado El modelo maacutes general es la descripcioacuten estadiacutestica del plasma como
un sistema compuesto de un gran nuacutemero de partiacuteculas
11
CAPITULO 2
GUIAS DE ONDA Y RESONADORES
En rstr i-i|gtiacutemlgt v ilisrrilraquo li iroriacutea grurral i|r lis gniacuteis laquoIt- IIMIUuml y laquoIr los rrsoimdorrx
bullilimlriros Si luir- un r-iexclMilil riifuumlsis ru his giiiacuteigt d r mifhi V lvsotinliili- de MMIIacuteIMI
tliUlsvriMiI bull i i i i i iuuml l nn iDliiii 1iexclgt rxcitiiiiiVn dr o lnl raquo t i l IIHMII bdquobdquo y TE laquo11 estos
IIIacuteN|HIMIIacuteVIraquo rrx|Mitiacuteviexclifilttr rli Iilii|iiliquest ron rl d i spos i t ivo drsni t iraquo cu [2iexcl
3 Guiacuteas de onda
31 Ecuacioacuten de valores propios
pound1 estudio dr IHS propiedades fnuciaiiicntalcs dr la propagacioacuten de ondaraquo laquobulllectroniaglictiras
en tubos cilindricos dr conductividad infinita sr ha realizado ampliamente Ha sido resuelto
el problema para guiacuteas do seccioacuten transversal arbitraria |8) y para secciones transversales
particulares de importancia praacutectica se lian solucionado en sus modos fundamentales de
propagacioacuten [9] Asiacute mismo una analogiacutea con las lincas de transmisioacuten ha sido descrita en
[Wi
Veamos con maacutes detalle las guiacuteas de onda Consideremos una guiacutea cilindrica ron su eje
dirigido a lo largo del eje 0iexcl Ademaacutes consideremos que la guiacutea de omlas es longitudiliaj-
12
iifiacuteiti- lioiingtmiiriexcli y iptc la iexclgtariilrgt- metaacutelica sou conductores iierfcetos Sigtigtntgtiexcluiiltgts ltpit
bullniexcli omlii bull-lcctrumagiirticH plana di frecuencia ur si propaga a lo largo di- la guia ilt- onda
pound(fiacutel=f(r^)t r- iacute (21)
poundlt) = (riacute)t r-w ) (22)
iexclonde r es la constante de proiMtgacioacuten o nuacutemero de onda El problema fie contorno que
-bull iacuteu-duiT de liexcltgt fiiiacutenioins de Maxweil pura ondas ti|Mgt H en una guiacutea dr ondas ciliwtricn
-bullbull rxprrsa en la forma
bullbullon laraquo condiciones de frontera
-2- = 0 para r = a (24)
E = 0 cti todo el espacio
donde $ = H(r^) De la misma manera para las ondas tipo E el problema de contomo
tiene la forma
0 lt vgtlt 2ir
13
rtm las condiciones de frontera
= 0 para r = a (2C)
H = 0 til todo el espacio
donde ahora lt1gt = pound(r^) n es el radio ilr la guiacutea tic ondas
Los valores positivos
bull = -gtL = iquest - riquest (27)
determinan el con junto de valores propios correspondientes a rada una de las soluciones
lraquoTiiiisilles igt minios caracteriacutestico de la guiacutea de onda donde II y t son las constantes
de permeabilidad y permit ividad respectivamente del medio ipie llena la guiacutea de onda
GiiHTMliiHiite bdquo depende ile las (limensioiies geomeacutetricas de la guiacutea de onda de IacuteHJIIIacute
IJIIC siempre si puedan selerrionar los modos de propagacioacuten raquopraquoe se reijuieran
Por otro lado las componentes transversales de los campos eleacutectrico y magneacutetico se
determinan si se conocen las componentes longitudinales de los campos de la forma [8]
iT Eacutet = - j -Ve para ondas en modo E (28)
a iT H = - mdash V para ondas en modo H (29)
Traquonigt
Ademaacutes las componentes transversales de ambos campos (eleacutectrico y magneacutetico) se relashy
cionan mutuamente romo
14
H = ~iquestbdquo x Eacute (210)
aonde ~bdquo es un vrrtor unitariti dirigido a lo iexclarjraquo ltlcl eje 0 y Zf laquo la iiiipedanria tlr 1raquo
onda tiraquo modo E Igt H respectivamente
cT Zf = mdash igtara ondas en modo pound (211)
ZH = mdash=bull pnra ondas en IIIIMIII H (212) cT
Las efiiiexclirioiiigt (23) y (25) determinan problemas de valores propios ron sus corresshy
pondientes condiciones de frontera Cada turn de las soluciones nos representan diferentes
bullnodos normales unos transversales eleacutectricos y otros transversales magneacuteticos corresponshy
dientemente
32 Paraacutemetros de propagacioacuten
De la ecuacioacuten (27) se tiene que para cada valor de bdquo y correspondientemente de la
frecuencia se determina un valor para el nuacutemero de onda
r raquo - ^ - T Iacute (2i3)
En general T puede ser una cantidad compleja de donde podemos distinguir tres casos
a) siacute (tt^ gt y^n entonces T es real y define un modo permisible de propagacioacuten es decir
la onda se propaga libremente a lo largo de la guiacutea b) si ftfty lt 73nn entonces T es una
cantidad compleja de donde la onda se amortigua exponencialmente y c) el caso cuando
15
r = 0 ilefiiu la condicioacuten di- rortlaquo la nial separa los casos a) y li) Asiacute podemos definir a
la friTuciina de corte romo
Wbdquobdquobdquo = -J=-bdquo 1214)
y expresar el nuacutemero de onda en funcioacuten de ella
r = ^ ^ - ^ (215)
Para ftecuencin- uiiiyores ijue la de rorle la onda se propagii a lo largo de 1raquo guiacutea En
el ruso contrario pitra freriietiriuumls menores i|iie lii de rorte 1iexclgt onda se amortigua Otra
caracteriacutestica imporiiiiite la ]iodeinos olilenei de la bullbullxpresioacuten 1213) Va |IH- el nuacuteniero de
onda r siempre es menor ipie su valor en un espacio lilire entonces Ii longitud de onda en
la guia es siempre maacutes grande
y 77 7ngtt
Anaacutelogamente definimos una longitud de onda de corte o criacutetica (cuando A = 00)
Af = yiliacutemdash (217)
y expresamos la longitud de onda cu la guiacutea cu funcioacuten de ella
A = _ j (218)
donde A es la longitud de onda en el vacio Dr aquiacute que la onda se puede propagar a lo
largo de la guiacutea de onda uacutenicamente para longitudes de onda menores (pie la de corte
0
~ y - i y
_bull-
_ 1
bull i
iexclA
0
0
- gtiacuter
JfT7 ~ m
n
0
raquov
^ yJZliacuteiiacuteiacute
9C
Imaginaria
V
mdash _ l _ - M i l
0
Imaginaria
A
-Jraquo-$mdashil
X
Imaginaria
Tabla 21 Iaraacutewotrus ele propagacioacuten para onda ltrn moiio pound y cti una guiacutea ltlr onilas
Miacuterica uniformraquo
Por otro hielo iexclgt viliraquodegiiliexcliltl ltli fasr iiexcl riexcl un medio bullbullgt uisiraquo JraquoILIIlt1laquo ijiii- su Viilor III el
Wigt
7 = r
(219)
Por debajo del punto dlaquo- corte 1raquo velocidad de fase es imaginaria y pierde asiacute su sigshy
nificado fiacutesico En el punto de corte la velocidad ltlr fase se viirlvr infinita Un liccho
importante resulta serel que la guiacutea dp ondas es un sistema dispersivo aun cuando el
medio que llena la guiacutea no lo sea (la velocidad de fase es funcioacuten de la frecuencia) La
velocidad de grupo de la onda tiene la forma
tortt 1
(220)
En la Tabla 21 se resumen los paraacutemetros de propagacioacuten para una guiacutea de ondas sin
peacuterdida de energiacutea
1
33 Coeficiente de absorcioacuten
El finjo laquole inicrgiacutesi raquobull describe por ltbull vlaquo-ctigtr cimiplejo di- Piacutemiling
Sbdquo=[iquest]i[poundxW-j (221
su parte real nos dh el finjo di- energiacutea promedio plaquogtr unidad de tiempo y por unidad de
aren La romponeiite axial de Su representa el flujo de energiacutea prmimlio a lo largo de la
guiacutea Por lo tanto d flujo total promedio de energiacutea que se transmite a lo largo de la guiacutea
de onda e- la integral de la componente axial del verfor laquoIr Poyntilig evaluada sobre IIMIIacuteI
la weeioacuteii transversal de la guiacutea de onda
HilU^1 - iacute2-22) donde iquestbdquo es un ver tor unitario a lo largo del eje ()
Hasta el momento se lia considerado laquopie las paredes laquole la guiacutea tie laquonula son conductores
jraquocrfectigts in tal caso el Unjo total de energiacutea conserva su valor a lo largo tie la guiacutea laquole
onda Sin embargo en problemas reales la conductividad de las paredes tiene un valor
finito debido a ello existe muiacute fraccioacuten del flujo total laquole energiacutea que se absorlw |araquor Inraquo
paredes Dlt- aquiacute qtw la expresioacuten (222) representa uacutenicamente el fhyo tie energiacutea total
que entra a la guumliacuten de onda y cuyo valor decrece durante la propagacioacuten de la onda es
decir se generan peacuterdidas de energiacutea En la praacutectica tales peacuterdidas se consideran muy
petmentildeas considerando que siempre existe una fraccioacuten de la energiacutea que se pierde ya sea
en las paredes o por la presencia de un dieleacutectrico que llena la guiacutea de onda En tal caso la
laquoMida se amortigua en BU propagacioacuten y la constitute aacutee propagacioacuten time en consecuencia
una parte real y una imaginaria
18
r=i~m (223)
iultif i gts vl factor laquoit- iacuteiisi- y gtbull vi n^bulltirivuu- tU- iexclilisorcioacuteu o ltlr iacuteiiuortigiiaiiiii-tito E
cticiacutetiif ltli- iexcligtlaquouiri(raquoii ltbull Juumltllfi laquoir iexcllti rrhiritu
o = raquo +ltu (224)
bulliiiidr IIbdquo y o son los nlaquofiriciiiigt di- alisorrioacuten ilrliido n liexclis jx-nlidiis de energiacutea en las
m|t-iligt iin-luacuteliacutei-iraquo y 111 Illtilio diacuterliiirirai i|lilaquo- iexcllililiacute 1iexclI Riliacuteii rcspi-itivamriiti CiMisiiii-railiio
1iexclII |gtctiliiliexclis l l i -d ir ig iacutea ilr hi rxprrsion (2231 gtbullbull indure que los nui i )ms MUIacute propiui-ionalcs
bull bullbull tUUiexclltfgt rxpnililinal raquo i Ir ilonilr lii |MitgtIniacuteiexcli (222) laquo|lir sr transmitiacute iexcli iigt largo ltlr lli
bulliacuteliacutei ill lllllli llisillillliyr iexclI lo litigo (Ir (II la furnia
raquo(-)= Pbdquogt -- (2251
Por tamo la roiistiwtr de amortiguamiento o de alisorcioacuteii se definiacute- como ln razoacuten de
i poti-uria i MI il i ii bullbull lio lli eiirrgiacuteli (ptr si pierdr por unidad ilr longitud c u t i r il flujo toliil
promedio ilr rut-rglli lt|lie se transmit a lo largo di liexcli guiacutea gtllt onda
mdashiquestiacute-
34 Guiacutea de onda cilindrica Modo Hbdquobdquo
Nuestro principal intereacutes se centra en las caracteriacutesticas de propagacioacuten de ondas electroshy
magneacuteticas en modo Hnn en las guiacuteas de onda cilindricas Consideremos que la guiacutea de
onda tiene paredes conductoras perfectas y qui el iiexclgtgt dio que llena uniformemente la guiacutea
19
fcciMTraquo |Mrililiis laquoIr m c r g iacute a ilispiiviiilili-j Parraquo bulllaquolaquobullbull rwsn IIIN MIIIUIacuteOUIS n IIHgtI)Igt~ |MTIIIIacuteSIacuteIgt1IVS
ili- priiptiiuumlniiiii i|i 1iexclI r i i i iu ioacute i i (2 3 ) MHI
( bull r-t = CbdquoJJ- r)~laquoif (227)
laquolimilr Ci lt-- una ionstatiii y la rlaquotiltiirioacuteii ltr iacuteroutrrn (24) mjiriiTr jiir 1ltraquogt laquoiliircs propios
IDIIIIII la forma
bull t
bdquobdquo = mdash = U 123 122$) bulli
n = 123
Aipiiacute )bdquobdquo -un la raiacuteivs n bullbullMinas laquoIraquo la dnivaila ilr la fiuirioacuten gtlt- Ui-ssrl ili- unlcii m
JJjr) - Di y n rs il railin inlriim ilr la guia ir ondas Exislr un minino iexcliitiiiiln bullbull
IIHMIOS i|iu MUIacute -iiliniuiirs ilr (23) IIIII la i-igtiiiliexcli-iacuteoacuteii ili friitiliTa (24) Col aymla ili- (2Iacute))
y (210) iilitiiHiniraquo las rxprrsioiirs para las i-oinpoiimtrs transvirsalrs laquo1raquo- los campo ni
iminliiiailiacutei- riliacuteiiiiiiias y nitoiiri-s csiriacuteluacuteiiios las roiiipoiiriitcs ilr los i-ampos ni la furnia
H = C o ^ j h r ) trade m ^ i r mn
H = plusmniexclCo~-Jbdquohnnr)Zwir- (229) Inn r
E = 0 r laquoi
E = plusmniCbdquoZH-i Jmhmnr)ZtradeltigtriV-Tmn r
E = -iC0ZbdquoI-Jm(lmnr)Z^ert
donde los signos plusmn corresponden al en o co respectivamente y In expresioacuten Jm indica la
derivada ron respecto al argumento Jm = f- Sustituyendo (228) ni (213) w obtienen
20
gt valores tie la constante de propagacioacuten
r = Jfi- - iraquo (230)
Comraquo sc olwerva las ecuaciones (229) estaacuten doblemente degeneradas yraquo rpte uno de
lgtraquo ranijios se convierte ei el otro al girar ir2 alrededor del eje de la guiacutea
Determinemos lo paraacutemetros de pro|gtagiacuteicioacuteii para una guiacutea de inula cilindrica hueca
al variraquo) y de radio laquo = 425cm en la nuil se propaga una onda en modo Htl Considerashy
remos primeramente que las paredes de la guiacutea son conductores perfeetos En In siguiente
rioacuten se consideraraacute que estas tienen una conductividad finita
De acuerdo con (21C) toda onda electromagneticraquo podraacute propagarse en una guiacutea de
ouda de tales dimensiones si se cumple que su longitud de onda de )n primera es menor
que la longitud de onda critica Para tuia guia cilindrica se tiene
lisa A c = ~ (231)
Lolaquo dot modos inferiores Ha y JI para ondas de tipo H tienen las siguientes longishy
tudes de onda criacuteticas (en este caso iexcl = 18412 y j i t - 30542 [11])
Xe = 145cm (232)
Ac s 87cm
respectivamente Se puede demostrar que el modo pound0i es el modo fundamental para ondas
de tipo E Este modo tiene una longitud criacutetica
21
X = l l l f w (233)
Pur laquogttrcgt lhiii litraquo lougitiidcgt de inula rritkas lth- Uraquo siguiente modos ruiperiores ile muiacuteas
tipo H y li|xgt pound son menores que Itraquo valores 87rm y l l l m i rt-s]gtrrt miacutemente De aquiacute
que UMH onda clerirouiagiieacuteiira pueda propagarse en la guiacutea si su longitud lti onda laquobull
bulllienor que 145rraquoi Si ademaacutes fl valor de la longitud (ltbull ouda si- emueiilra en el iexclineacutervalo
11 lrjn lt A lt 145rru cntimres el jnodo H es el tiuiro que puede propagarse a lolargo
ile la guiacutea de onda
Eli figura 21 M muestra las vising tranvt-rsal y longitudinal de la estructura de los
bullaiii|Hraquogt en modo i | Aquiacute se 1gtI tomado la parti cosciioidal de (227) A continuacioacuten
e dan |igts valores de los paraacutemetros de propagacioacuten en el easu de IMIIIJIS clcrtronuigiieacutetiiiis
laquoMI iacutenriiencia w = 1539 x 10iacute (A = 1224nraquo) que si- propagan cu la guiacutea de onda
en nioilo | | Los valore se obtienen utilizando las expresiones correspondientes de la
seccioacuten (52) o de la Tnlila 21
Ar = 145laquoo
u w = 13 x 10luc
T = 02753cm-
A x 2282cro (234)
Zbdquo laquo 187 (i = l )
v = 5C x 100cm
w = 1CX10 OCTIIIacute
22
^mdashmdash Imea de campo eleacutectrico
mdash --Linearaquo di- campo magneacutetico
o Campo magneacutetico normal (hacia fuera ilr la hoja)
f ( ampo magneacutetico normal (hacia dentro di- la hoja)
Fig21 Vista- irahversal y longitudinal de la pstrurltira de Itraquo camporaquo ltn trimlo iacuteliexcliexcl La vigtti
otigitudial correspondiacute a un aacutengulo u = 90deg Figura tomada di- [bullgt]bull
i
Notemos (|Uf il iexclmaacutelisis anterior se inicioacute con una guiacutea dr onda de fliiiiensicmlts traquo-
gtltriacutetiacutecaj De- ahiacute se prosiguioacute a encontrar las onda electromagneticraquo npropiadas tale
que el modo fundamental H de la guiacutea de onda sea cl uacutenico que se propague Lo contrano
tambieacuten resulta vaacutelido es decir si se cuenta con una fuente de microotidas cotiacute determishy
nada longitud dr onda se pueden encontrar las dimensiones apropiadas de la guiacutea tales
que uacutenicamente se pueda propagar el modo fundamental
35 Coeficiente de absorcioacuten Modo Hmn
De la expresioacuten (226) determinemos la laquomulante de amortiguamiento debido H la conducshy
tividad finita de las paredes metaacutelicas para ondas en modo Hmn Primeramente calculemos
23
vi fltijiraquo total protiwlio ili laquowgia (222) r nial lunik bullbullscriiaacutersr IMI trrmiiins laquobullbull la funcioacuten
[gtrraquotgtiii bull at la forniH
iacutelowlc
= CMtmnr )rtismf (23C)
rlitotiirs
Praquo = If 1 Uw-T-KU [rIfjbdquor)nlaquoiquestraquoSlrlT-
= [iquest]^raquo^-Kraquol7rJraquo-rr- lt2-37)
La integra] ili- (237) sr cvaitwi utilizando la igualdad [12]
y CMisiacutedcnuidraquo IJHC la couiliriuacuteii de fruirtrra (24) rirquirrr ijiw Jm~innr)rmn = 0 DP rata
manera se obtiene el resultado
En el caso particular de ondas en modo Hti se tiene
La expresioacuten (240) puede escribirse en una forma mas conveniente
24
ionde
EJlJampuumlL (242
bullbull lii amgtIitultl del raui)Mgt eleacutertriro en rl bullbullclilro ltle 1raquo serriacutenraquo transversal laquobull 1raquo jiacuteiliacuteuuml de mida
La relanoacuteii (241I nos muestra rliimuienti- la iii-|n-iiiletiriacuteii rufidraacutetini ron n-sperrraquo iexclil radio
bull lti EUiiacutei ilil finjo total ]gtroiniilio ili- eneruiacuteraquo gt|raquo iitravicwi 1iexclI MTIIacuteIIH Iriexclmsvi-rsiil de 1raquo
uniacutea ib- omlu
Por otro lado la potcnria iacute|iic se pierde por mudad di- longitud (Mudo raquo las corrientes
u|gterfiiialc laquoi laraquo paredes metaacutelicas di- la guiacutea se expresa mediante la iutrgral de contorno
alrededor de la frontera de la guiacutea de onila) de las componentes tangenciales del campo
Magneacutetico en la fonna
p - dl
donde ntilde es un vector unitario normal a la superficie de la guiacutea de ondas ir es la conducshy
tividad de las paredes metaacutelicaraquo y S es el ancho de la capa piel expresada como
tiexcl es la permeabilidad magneacutetica de las paredes metaacutelicas Por tanto cotiacute ayuda de las
expresiones (229) se obtiene la potencia promedio que se pierde eti las paredes
25
- iexcl eacute f ^ - f (duuml]laquo 1245)
Fiiacutemlniiacuteiiti- di (245) y (240) bullbull oliticur la ruitstantr de Hiimnigiiuiiiitiitnpara el utixlo
I24G)
En vi raso ili- ondas ltw w propagan iii laquoI IIHMIO Hlt (MMII-IHH- laquoIr (24C) IDII raquoraquolt = raquo = I
obtener
f r i t o r sampsY+ traderaquo]
- - Id laquo-iexclzsf L v ( Siacute consideran)raquo tua guiacutea dr onda hurra ot dicir = 1 ni laquoti interior cotiacute paredes
metaacutelicas de broncr de conductividad a = 1413utg2crgaegnn) y radio a = 42vcm
en IB cual se propaga una onda en modo fiacuteu con una longitud de onda en el vacio de A s
1224cm (w = 15394 x 10degi) entonces obtenemos que la constante de amortiguamiento
tiene el valor de
om = 1032 xlO4 (248)
El valor anterior noraquo indica que a la distancia x = 0C88raquon la amplitud del campo eleacutectrico
disminuye 1e veceraquo de su valor en i = 0 De donde la constant v rlr amortiguamiento es
26
sntirp-itttniKiit nt-m-ntildea para considerar una guiacutea If onda laquoit unos riacutetanlos metros laquoit-
lUgitiiuacute romo una guia gtlr (tuda ideal (sin peacuterdulas)
4 Cavidades resonantes (resonadores)
Vu disjiositivo de gran importancia praacutectirtt y estrechamente relacionado ron las giriacuteas
ltbullbull onda son las cavidades resonantes Coinraquo w sabe una cavidad resonante (resoiimbir)
bull - privi-aiiii-iitr una cavidad roinpletameiit) armada por paredes nietaacuteliias Ins riacutetales
prewiiraii ilti propiedad tllt- podriacute alijiart-uar energiacutea eiertruiiiaRuitira tMeilanie Llaquoraquos riso-
iadores han sido ampliamente estudinilos en la misma magnitud ipu- las guiacuteas de ulula [13]
Anaacutelogamente al estudio de guiacuteas de laquonula gte ha resuelto el problema de 1laquoraquo resonadores
bullbull si-rrion transversal arbitraria routenieudraquo cu su interior un medio liiMiiogt-iraquo laquogt con IOIJS-
antes y t [S] Un estudio de los resonadores de formas particulares y de importancia
praacutectica se puede encontrar en [9] Ademaacutes una analogiacutea rlaquom liw circuitos resonantes se
(iescrUumlM en (II)] Con res|x-ctraquo a esto uacuteltimo podemos decir i|iie los rlaquosraquonailores tienen
la ventaja de ser superiores a los circuitos resonantes I - C en un factor laquole 20 laquos laquolecir
iexcla fraccioacuten de energiacutea almacenada laquopie se disipa por ciclo en un resonador es alrededor laquole
1 20 de la fraccioacuten disipada por ciclo en un circuito L - C [14]
41 Caracteriacutesticas generales
Consideremos una cavidad cilindrica hueca y acotada por un conductor perfecto Fijemos
el eje 0 de nuestro sistema de referencia a lo largo del eje de la cavidad cilindrica y
Mipongamos que la longitud del resonador esta acotada entre - = 0 y z mdash d
27
Un ri-Miiiitilor pucxlr i-oiisiilcriirsc mino unraquo guiacutea ltgtbull olida finita ilimih ltlaquobull tiww laquo|ingt
iexclumilir la rotiiliacutecioacuteii di- froniirit
para ltmdagt t-n modo TM
(Mirtl Otlflugt Ill IIMMIO TE
EbdquoM = 0 (249gt
HUbdquoi = 0 (250)
En itiilii linn illt- braquo sii](rrfiiiigt plana gtbull iilruumllnniitr ngtniltiitigtragt rxistr rcriixioacuteu di-ondas
El ti|Mgt lit iiiidii i|iilt- M- irrii iexclil siiprrpoiuT iliraquo ondas ilritroinatnitiias ron iexcliinplttudis
iguales y propagacioacuten en sentidos opuestos es ]iri)|iiiexcliinciiir rl di- uni onda estariouarin De
donde las rigtui]M)iiilillts axiales ilr 1ltKS rniupos ilclxn ttinl bullbull forma
para ondas en moiin TM
E = ( r r - )oi ^ - ) = 0123 (251)
para onda cu modo TE
H = Tf)raquoeM^-) j gt - 1 2 3 (252) o
Laraquo componentes transversales de los campos se determinan de (28) y (20) Para
ondas en modo TM obtenemos
28
Jfr = mdashT-cogtbullmdash )bdquo x V
(253)
vrrrgtjlaquogtijiiiciitfuifj)tc para ondas wi modo TE
pound = _ittif iacute iacutef)i1yr
W = iacutefJ_bdquo s (^)V
(254)
poundgtbullbull in-s riiiiiliiioliiN de frontera (249) y (25U olrtnirmos lt|iir 1iexclI ionstiuiti- ili- propagacioacuten
ltgtiitii 1ltraquo valores
r = uumlf = (0)123 ti
bull iexclonde de In ecuacioacuten (27) los vnlonv propio so expresan romo
(255)
(256)
La ecuacioacuten (25G) forma un conjunto discreto de valores que determina la frecuencia
bull ir resonancia para cada valor de p y bdquo es decir a cada tipo de onda estacionaria le
corresponde una frecuencia propia
vJ (257)
29
Fig22 Litraquo midas rsUt Miliaria- ilgt mi rismnclnr lidien en su lifiigiliitl un iiiiniTii IIIIITH ilr
niilMlcraquo lie la loiigilini tit- IgtMltU St- miii-sira H raso para )gt - Iiquest41 bullbull U exprntiiiacuteii iquestat)
En alaquoManii si mi si ritiniiita otra rosa raquobull omiten los Milmidiees rtii y laquopie ranraquo
UTIacutezan los modos laquoIr oscilacioacuten Ln resultado iiiiportaiilr laquole la ccuaraacutem (257) e laquopic se
pueden elegir Ian dimensiones ademadas ilcl resonador lie tal forma laquopie este opere ni una
frecuencia uacutenica de resonancia
Si comparamos (255) con la expresioacuten general para la parte real de la confitante de
propagacioacuten T = 2irA se concluye que para cada modo de resonancia la longitud del
resonador es proporcional a un nuacutemero entero de mitades de la longitud de onda (Fiacuteg22)
d s p ^ p laquo ( 0 ) 123 (258)
El caso plaquo0 correspondiente a la condicioacuten de corte para ondaraquo en modo TM tiene un
30
Mereacutes partieular ya qne eu este caso la longitud de nuda tiende a ser infinita entonces de
laquobullcuerdo ron (258 obtenemos
d - 0 bull oo (259)
ie donde la longitud del resonador esta indeterminada Los modos correspondientes a
gt raquo 0 existen en el resonador para cualquier longitud de la cavidad
Una propiedad de las ondas estacionarias es que loraquo CMIII|MgtK eleacutectrico y magneacutetico se
encuentran defamados en ir2
-ll = rt + iexclJ (2C0)
iielndu a ello existen instantes de tiempo en el resonador en que existe uacutenicamente el
bullampo eleacutectrico y momentos en que solo existe el rompo magneacutetico Como resultado de
este defasamiento el vector de Pijymiug resulta ser UIIH magnitud puramente imaginariacutea
de donde ai promedio con respecto al tiempo no existe transmisioacuten de energiacutea ya (pie el
valor promedio del vector de Poynting resulta ser indo Su - [ pound ] IitEacute x iquest ] = 0
42 Energiacutea almacenada y calidad de los resonadores
La energia total promedio almacenada en todo el volumen del resonador es la suma de las
energiacutearaquo eleacutectrica y magneacutetica promedio almacenadas por los modos normales
W m WE + WH (261)
donde
31
HiliacuteX-trade 2 M gt
Yraquo que en el resonador no hay MU flujo neto de energiacutea entonceraquo cu el cano en lt|Ur el
medio i|w Urna 1raquo guiacutea no genere |raquoeacutercliltlas di- energiacutea la energiacutea eleacutertririacutei y magneacutetica
promedio seraacuten igualo entre si Hiquest- s Wraquo Evaluemos la energiacutea total promedio alinarc-
tiada en el volumen del resonador |gtara ondas en modraquo TEmnf En este raso se tiene
=[iquest1U bull (2C4)
la cual puede expresarse cu teacuterminos de la integral de area tie la (tuicioacuten propia
= H(riacutep) evaluada sobre ln seccioacuten transversal de 1raquo guiacutea
bull-[iquestliacuteHs)]-- donde bull tiene la forma (227) Tomando uacutenicamente la parte cosenuiacutedal de (227) e
integrando de la misma manera como se evaluoacute la integral de (235) obtenemos
toT 47V ^n-m)Jmi^a) (266)
Para el caso particular de una onda en modo TEui se tiene
32
= [iquestiexcl](0375)|poundi|laquoib2 (2C7)
donde
1 1 - ^ (2-68)
raquo el valor di- lu magnitud tlt-1 riiinpo eleacutectrico en el centro di- la seccioacuten traiisveriMi) del
resonador
En griirral pura resonadores i n h siempre hay absorcioacuten ib energiacutea 1st nial se reashy
liza principalmente por dos raualcs a) porque el medio (pit- Ik-iui lu guiacutea es un medio
absorbente y Iraquo) debido a la conductividad finita de las paredes del resonador En cada
uno de estos casos las frecuencias de resonancia se vuelven cantidades complejas las ruakt
podemos escribir en la forma ugt = w + iw Entonces si la dependencia temporal de loraquo
campos es de la forma
Eacute(t)laquo Ac1 (269)
obtenemos que la energiacutea total promedio de un modo normal en un resonador real es
W(t)laquo W(0)e-3 (270)
donde se observa que se pierde al transcurrir el tiempo W(0) es la energiacutea total almaceshy
nada en el resonador en r = 0 Introduzcamos un paraacutemetro llamado factor de calidad Q
definido como 2n veces la razoacuten de la energiacutea almacenada en el resonador promediada con
respecto al tiempo entre las peacuterdidas de energiacutea por cada ciclo de oscilacioacuten
33
Qenrroiu ulmactnnda
SS itj mdash ^ mdash mdash ^ mdash ^ mdash mdash
jttrtlidim lit tnergtn
= wmdash IV
PmAtf
donde
(271)
P = - ^ I27-raquo)
egt la potencio media qui sc absorbe en tin ciclo de oscilacioacuten debido n las corrientes
superficiales de las |Ktrtdes del resonador (comparar ron la ecuacioacuten (224)) Di (270)-
(271) piulemos obtener que Q = raquo-2u Por lo tanto la frecuencia raquogt laquobull pnctlc expresar
a traveacutes de Q romo
=yj1 + eacutejh 273)
43 Excitacioacuten de los modos de oscilacioacuten
En el problema de un resonador ideal (sin jroacutedidas de energiacutea) cada modo de oscilacioacuten
tiene perfectamente definida su frecuencia propia de resonancia (257) Esto quiere decir
que si se quiere excitar un modo particular de oscilacioacuten en el resonador la frecuencia
de excitacioacuten debe coincidir exactamente con su frecuencia propia de resonancia En
problemas reales esto no ocurre y en lugar de ello se cuenta con un banda de frecuencias
alrededor de la frecuencia propia en la cual el modo de oscilacioacuten puede ser excitado La
existencia de esta banda de frecuencias se debe a que existen peacuterdidas de energiacutea
Para mostrar lo dicho anteriormente notoacutenos que las oscilaciones del tipo (260) se
pueden representar como una superposicioacuten de oscilaciones estacionariacuteas Supongamos
34
i le el campo electromagneacutetico se crea en el instante f = 0 y se le laquoleja oscilar libremente
para t gt 0 Obteniendo su transformada de Fourier de (269)
iquest(w) - p rt+Uacutet+Vt- (274) 2ff Jo
y evaluando la integral en (274) considerando que pound(t)| lsec = 0 se obtiene
cuyo valor absoluto es
eacuteMl = M mdash i ^ (27C)
La ecuacioacuten (27C) nos da un conjunto de curvas de resonancia para cada modo de
oscilacioacuten Cada graacutefica tiene su valor maacuteximo en w = u (Fig23) Los puntos ltii los
cuales la curva disminuye lgtsect de su valor maacuteximo se llaman puntos de potencia media y
su separacioacuten en frecuencia se denomina ancho de banda A cada punto de potencia media
le corresponden las frecuencias
w3 = w + ^ (278)
de donde obtenemos que el ancho de banda detennina el factor de calidad del resonador
en la forma
laquolaquo5 a raquoiquest- ltraquogt
35
IlaquolaquoM
Fiacuteg23 Curva (Ir resonancia para el mudo de oscilacioacuten a- Loraquo puntos |rV(laquo-|)| y |MJ)I son
lot punto dp potencia mediacutea y raquoraquo separacioacuten define el ancho de banda
Si las peacuterdidas de energiacutea son pequentildeas entonces las bandas de frecuencia son estrechas
Sin embargo siacute las ]ieacuterdidas son considerables entonces las curvas (le resonancia pueden
llegar a sobreponerse una sobre otra provocando la excitacioacuten mutua de los modos de
oscilacioacuten
44 Resonador de forma cilindrica
Consideremos ahora un resonador cilindrico Primeramente obtengamos las soluciones de
los campos para una onda en modo TE en un resonador ideal y posteriacuteormeite calculemos
la Q del resonador para este modo debido a la conductividad finita de las paredes metaacutelicas
Para este tipo de resonador y para ondas en modo TE las funciones propias o solucioneraquo
36
correspondientes al problema transversal (23 tienen la forma (227) ron los valores propios
1228) Ademaacutes con ayuda de las expresiones (234) se obtienen las expresiones de las
componentes transversales en coordenadas cilindricas y entonces escribimos los campos
en la forma
pit H- = C0Jn(mrr)cos(mj)sen(mdashz)
Hr = -r-mdashlt0-m nr)laquow(mi)laquow(-j-) O ~lmr O
H - -raquo -3 pound - -Jlaquo ( -mr)raquoen(ms)oraquo(5) (280) laquo in r laquo
E = 0 iCriquestft m laquor
E = mdashJB(-mraquor)iacutetrw(raquoraquof )rraquoi(mdashs) win
_ iacutei Co WK poundw = Jm(TimRr)laquow(raquon^)raquocii(-j-iacute)
C mn laquo
Sustituyendo (228) en (257) obtenemos para las frecuencias de resonancia la expresioacuten
i raquo J c
wmn= 4 = J ^ + (^) g | (281) c
El modo fundamental para las ondas tipo TE tiene como subiacutendices m = TI = p = 1
Este modo TEm es el modo fundamental de oscilacioacuten en la cavidad si la frecuencia de
resonancia u m para ondas TE es mas pequentildea que la frecuencia de resonancia corresponshy
diente a las ondas TM (wougt) Se puede demostrar que si d gt 203a (a es el radio del
resonador dado en cm) entonces el modo TE es el modo fundamental de oscilacioacuten del
resonador [9]
Calculemos ahora la Q del resonador debido a la conductividad finita de sus paredes en
el caso de ondas en modo TE La potencia que se pierde debido a las corrientes superficiales
en las paredes del resonador se calcula en la forma
37
bull -1iquest]iquest r r bull -bull+pound[+ - 4 (2-s2) donde ntilde| y ntilde2 son vectores unitarios normales a iraquo superficie cilindrica y a las superficies
transversales circulares respectivamente La expresioacuten (282) puede reescribtrsreu la forma
bull= [iquest] iquest j f W + lraquolaquol2)U + 2iquest J-iacutelJiacute + IWPMraquo bull (283) Usando las expresiones de los campos (2S0) sr resuelveraquo laraquo inti-gralcs de (2S31 en la
forma
I r l l f fo l mfa r ~ UirJ 2vlaquo 2 1 + bullpound(bullgtbullgt+
+2|CIraquopound [ lpoundrAOr)+ bullO^] laquo] bull Haciendo el cambio de variable x = fr obtenemos
I laquo-1 IColraquo iexclda UffJ 2ffiacute 2 m ]Cppoundr |dlaquo UffJ 2ltriacute 2
1 +
1 + rraquoraquo
J Iacute O laquo ) + 2 ^ j f [2iacute Ji(gt+J(X)] d
^(70) + [(7laquo)3(l~)^(^)] (284)
Sustituyendo la expresioacuten de f = ^ )bull arreglando teacuterminos resulta
Finalmente sustituyendo (266) y (285) en (271) obtenemos el (actor de calidad debido
a la conductividad finita de las paredes del resonador para ondas en modo TEmnt en la
forma
38
Consideremos un resonador cilindrico en el cual oscilan ondas electromagneacuteticas en
nodo TEm cou una frecuencia raquobull = 15394 gt 10degr (A = 1224cni) El resonador es de
bronce de conductividad o = 1413 x lOlsutiquestergscm y tiene un radio interno a mdash Ion
Pitra este resonador determinemos en el caso p = 1 los siguientes paraacutemetros a) la
longitud apropiada del resonador b) el factor de calii id ilrl resonador y ltbull) el audio de
banda donde sr puede excitar el modo TE
a) De acuerdo con (258) la condicrlaquon de un resonador es tal qui en su longitud exista
un nuacutemero entero de mitades de la longitud aacutev onda
d P Px
2 V1-WW - - _ V l (287
Despueacutes de sustituir los valores respectivos de A o y de los subiacutendices que caracterizan al
modo obtenemos
d - T13cm (288)
b) El factor de calidad Q del resonador se obtiene de (286) expresioacuten que reescribiacutemos
para ondas en modo TEm en la forma
Ud (l + 0343amp4)
2nlt61 + 02092 + 02436$
39
La permeabilidad magneacutetica del bronce (je) no difiere Mgninrativanicntt- riel valor corshy
respondiente al del vacio (lt as ftc - 1) Entonces la longitud de la capa piel (244) resulta
A = 812x 1 0 - W (290)
Finalmente obtenemos ltw el factor de calidad tiem- el valor
Q = 404903 (291)
c) FinalriKiitf nilrtilt-inos el ujrlifgt di- llaquoiinli en el nial la onda en moilo TEw puede
ser cxcitaihi Utilizando (277) y I27S) obleiicnicraquo los punto ile ]raquoifriiriiexcli inedia
-bull as 153927 x iexcluHz
w2 ss 153952 x 10VH
Por lo Unto el micho de banda tiene el valor
ui2 - ugt = 000025 x 10Hz
Observemos que el ancho de banda es lo suficientemente angosto relativamente por lo que
uacutenicamente se excita el modo TE Se puede demostrar que la frecuencia de resonancia
fundamental para ondas en modo TM es uiolo = 1031 x l0nHz
40
CAPITULO 3
TEORIacuteA DE PERTURBACIOacuteN
Toda Teoriacutea ile Perturbacioacuten establece que en ciertos casos los problemas irregulares
aquellos que no tienen soluciones analiacuteticas exactas) pueden ser considerados romo rrjpi-
iexcliexclTVraquo que sufrieron cierta perturbacioacuten Cuando la perturbacioacuten es suficientemente pequentildea
u el problema irregular podemos obtener una solucioacuten aproximada conociendo la solucioacuten
ltiel problema regular [9] El meacutetodo perturbativo se ha utilizado extensamente en las guiacuteas
de onda Existen trabajos donde se analizan los efectos de las perturbaciones en lew valoshy
res de frontera [15] asiacuteromo de las perturbaciones generadas por un pequentildea muestra de
Vrrita en el interior de las guiacuteas de onda y resonadores [1C] En este capiacutetulo se describe
ia teoriacutea baacutesica del meacutetodo perturbativo desarrollada en |17] en el caso cuando las guiacuteas
de onda y los resonadores contienen un pltsma en su interior
5 El Meacutetodo de Perturbacioacuten en las guiacuteas de onda
En la seccioacuten (32) se mostroacute que la propagacioacuten de ondas electromagneacuteticas en guiacuteas
de onda cilindricas se describe en teacuterminos de sus modos caracteriacutesticos Cada modo se
caracteriza por su constante de propagacioacuten Dependiendo de las dimensiones geomeacutetricas
41
de la guiacutea de mida estos modos o bien se propagaraquo o bien se atenuacutean En ln praacutectica Ins
dimensiones de las guias de onda siempre se escogen de tal forma lt|iii- unir amenteacute se puede
propagar el modo fundamental
El caso cuando se tiene una guia de onda parcial o completamente Urna con un plasma
sir produce uu cambio en los paraacutemetros caracteriacutesticos principales laquopie describen a la
guia de onda Si el efecto del plasma en tales paraacutemetros es lo suficientemente pequentildeo
entonces la teoriacutea de pertubacioacuten resulta ser mur adecuada para calcular ln constante de
propagacioacuten
Consideacuterenlos la propagacioacuten di ondas electromagneacuteticas a lo largo de tiiiiacutei guiacutea de ouila
cilindrica que se encuentra parrial ltgt rompidamente llena ron un plasma inhomogeacuteneo Si
sujHHiemos (|iir las caracteriacutesticas del plasma son axialmente uniformes podemos encontrar
la constante de propagacioacuten y las distribucioacuten de los campos
La propagacioacuten de ondas electromagneacuteticas en las guiacuteas de onda con plasma se tlescribc
por las ecuaciones de caminiacute
V x f + i - J = 0 (31) c
VxH-i-pound=mdashJ (32) c c
La condicioacuten de frontera se obtiene suponiendo que la conductividad de lax paredes de
la guiacutea de onda es infinita
|ntilde x Eacute = ntilde Ntilde = 0 (33)
donde ntilde es tin vector unitario normal a la frontera En ausencia de plasma la parte derecha
42
gtbull (32) es cero y el problema se reduce a U propagacioacuten dp ondas en una guia dlaquogt ondas
ivieca (Cap 2)
Las amplitudes del campo de las ondas normales se determinan en la forma
Eacutet(f) = pound ( I j e - i raquo w (34)
(F) = j(rj ) e- i ( r -
iquestonde r esel nuacutemero de onda En ausencia de peacuterdidas T es real (F = iacutei) Vamos a
suponer que las ondas se |gtropagan a lo largo del eje 0 paralelamente al eje de la guiacutea dr
onda
Para ileterniinar la influencia del plasma en la propagacioacuten de las ondas rlrrtroiiiagm-
licas en una guiacutea de onda es coacutemodo descomponer las ecuaciones pura las componentes
longitudinales y ]gtcr]gtendiculares del campo Estas ecuaciones se obtienen al descomponer
los campos y el operador V en la forma
pound = 4 + poundx ntilde = fflaquo + Ai = Lpound) + fjpound) (35)
V = Vbdquo + V I
donde los subiacutendices X y || denotan las componentes perpendiculares y longitudinales es
decir su proyecciones perpendiculares y paralelas al eje de la guiacutea de onda O) Sustishy
tuyendo (34) en (31)-(32) y considerando (35) obtenemos las ecuaciones en direccioacuten
perpendicular y longitudinal en la forma
- ^ [ V x ^ + V n ^ + i - l i o x f j = - mdash iexcl 0 x pound ( ) ] (36) IUgt C C
f-Vx[VxEacutex)-Vtamp-i-iexcloampl mdashrJiexcl (3-7) w C tt
43
donde i0 es un vector unitario dirigidraquo a lo largo del eje O Las componentes longitudinales
de tos campos se relacionan con las componentes jicrpctidiculares jKraquor liis expresiones
OZfy+^ftE) = [VxJbdquo (38)
Al = - - V x f ^ (39)
Ahora considerando que las ecuaciones de Maxwell son expresiones lineales es decir
que la combinacioacuten lineal de dos de sus soluciones tambieacuten es una solucioacuten y anaacutelogamente
para las condiciones de frontera (24) y (2C) determinamos (pie una solucioacuten maacutes general
del problema de uiiiacutei guumliacuten de onda sin plasma es una superposicioacuten de todos los modos
]MKgtibies de proiHigarioacuten con valores apropiados para sus eoetiacutecieiites Si la perturbacioacuten
originada por el plasma es lo suficientemente ]H-ltiuentildeu iiodemos suponer (pie la desviacioacuten
de cada uno de estos coeficientes es pequentildea con respecto a su valor no perturbada Dr
aquiacute que las componentes perpendiculares del cam]Mgt en una guiacutea de onda con plasma
se puedan representar como una serie (combinacioacuten lineal) con resjiecto a las funciones
ortogonales poundfc y Hk que determinan las comjioncntes transversales de los modos normales
en una guiacutea de oudn sin plasma
k
Los campos satisfacen las relaciones de ortogonalidnd [18]
(310)
JsEacute-kEacutedraquo laquo Nttu
JtpoundixEacute]deacute = ZSttu (311)
44
iquestiuumlaacutef el su|MTUacutegtdiexclctraquo denota el complejo conjugado de los campos Z = cTgt para
ltJAH ti|Mgt H y Z = wcT para ondas tilraquo pound ltlaquo es el siacutembolo de Kronecker bu = 1 si
raquo = y iquestbdquo = uuml si i- = ) y la integracioacuten se realiza sobre toda lo serenan transversal ilr la
tub de onda
Utilizando (310) y (311) rocontratnos las expresiones para los coeficientes uiquest y bk
(312) iexclsntilde ntildexu
Sistiruyriiiliraquo las seriacutees (310) en (3C) y (37) obtenemos el sislrinii f|i- eriiiioacuteoiirs
poundlt5r + ilgttfraquo4 = -- |iquestux(pound))l l t (313)
Ely+W)4 = VJbdquo (314) iacute
Multiplicando (313) vcrtorialinciitc por E[Aacute y (314) jMraquor HlM e integrando en 1raquo seccioacuten
transversal dr la guiacutea de onda obtenemos ron ayuda de las roiidintildeoucs de norma (311)
laraquo ecuaciones
rA + X KzcLEacuteltsEacute^ 3 1 6 gt En el caso en que los paraacutemetros del plasma no dependan de i la dependencia de los
campos con respecto a z se puede considerar de forma exponencial como en (34)
Eacute(jyz) = Eacutexy)t-iT ntildexvt) = ntilde(xy)r
45
(317)
o t ( iacute ) = laquo- M ) = V eacute r
Sustituyendo (317) n i (315) y (31C) obtenemos
laquoriacute - - - S S L bull +Ssect bull Uuml- 318)
Luraquo fiimriidirs (31S) y (319) |xira diferentes k roiii|xmni un sisirmraquo ltb-it-imrioiies lioinraquo-
geacuteneus liacutenenlegtgt ron res|gterttgt n liis roeiit-ientes nk y laquoV Lu riiudiriitn ilr solubilidad (igual)id
a rifo laquobrl determinante) determina la constante ib- igtrigt|Mi)igtiOacuteM Sin roiUirjpi el sistema
(318) y (319) resulta ser un problema muy laquolifiril laquoIt- resolwr De alaquo|iiiacute i|iie iexclti laraquo partes
ilereelias laquole (31S) y (319) son lo siinritrntetueiitc |ielt|iirntildeaH |MMICUIUS emplear la teoriacutea laquole
|MTturlgtMrilaquon
Sil|Kgtlliciifllaquogt fjflf- la denudad lie mrrirntc H traveacutes ilel plasma es (laquornjxirriimal H tin
paraacutemetro pequentildeo podemos descomponer las (-nulidades airaquorgt y E cii tiTiiiiiiiraquo laquole laquowte
paraacutemetro
bk = ZKv lt3 2 0gt
r - poundrubdquo
46
donde el subiacutendice ( dentildene el orden de pequentildees Vamos a considerar que en ausencia del
plasma en la guiacutea de onda se propaga el modo fundamental de una onda tipo H denotada
por iacute = 0 Ademaacutes si en la aproximacioacuten de orden cero se tiene
poundi = poundgt pound = pound | |= 0 (321)
entonces
ltbdquo - Abdquo (322)
Tiacuteo) = iexcl1lth
Asiacute considerando las expresiones (320)-(322) de (318) se oliticne la siguiente exshy
presioacuten en orden cero para lax ondas tipo H
laquo(bdquo[(r(0) + rbdquo + )raquo- rg = -^f-1 pound bdquo bull J(Eacute)d +
cAuZ|o) Js
de donde rlt -7IacuteT7-L iquestiacutef(Eacute)ds- (323) 2ni
Para las ondas tipo H Z(0) = c-iexcl^- mdash ^ de donde obtenemos finalmente
TMampLtedeg-f[Eacute)di- lt324gt
47
La cantidad compleja r ( 1 ) nos repcscnta el cambio que sufre la constante de propinacioacuten
T |Hgtr la presencia del plasma es ilecir es la correccioacuten a primer orden en la constante de
propagacioacuten (I = T - Tf0)) Esta cantidad se puede escribir en forma de unraquo suma de
sus componentes real e imaginaria
r bdquo = AJbdquo - iAobdquo (32b)
siendo An) gt 4 ltgt(i) las fracciones de cambio de la constante de fase y de amortiguamiento
respectivamente ocasionadas por la presenria del plasma
En corn-spomlencia con (32-1) y escribiendo la densidad de ciirrietite cuino J mdash J + i j
( es la parte real y es la parle iimiginaria) las cautidades de (325) toman respectivashy
mente la forma
iquest 4 1 = - V ^ V bull (3-20)
iquestngt = ^ C J bull (327)
2JSEacuteiexcl-Jiexcld
Vpoundbullpoundbdquo
far sfr0-Eacuteltj
En medios lineacuteale) anisotropicraquoraquo e inhomogeacuteneos la densidad de corriente r relaciona
ron el campo eleacutectrico en la forma
J=aEacute =mdashampbullpound (328) 4ir
donde amp es el tensor de conductividad eleacutectrica Af = (iacute - ) i es el tensor de permiacutetividad
dieleacutectrica e es el tensor unitario
Utilizando la expresioacuten (328) podemos reescribir (324) en la forma
48
wJ ft R bull Aacute iacute bull Ed
laquo Wen
r ^ poundbullampbullpound (330
En las expresiones anteriores no hay que olvidar que el campraquo eleacutectrico se expresa romo
una serif con respirtn al paraacutemetro pequentildeo pound Las expresiones (324)-(330) corresponden
iexcli iraquo aproximacioacuten de primer oidrn La condicioacuten que si- debe de satisfacer seguacuten la teoriacutea
de perttirlsirioacuten ni primera aproximacioacuten es tal qult- 1raquo magnitud de cambio en la ninstaiitr
de propagacioacuten debe ser sinnpre mucho menor que la magnitud laquobull- la difereiiria entre las
riHiMniitcraquo ilc propagacioacuten di cualquier modo con respecto al modo fundamental
ri lt r 0 r m lt |ru - rt| para todo Jl^O (331)
o con respecto a A y Aigt obtenemos
(332) Aibdquo laquo iquest A^bdquolt |A -r | iexcl
poundltraquobdquoltamp Ao(1)ltt|iquestt-rraquo|
6 El Meacutetodo de Perturbacioacuten en los resonadores
Anaacutelogamente al estudio de las guiacuteas de onda conteniendo plasma en su interior el anaacutelisis
en los resonadores que se encuentran parcial o completamente Henos con plasma exhibe
cambios en los paraacutemetros principales que describen los resonadores huecos En la seccioacuten
(41) ae mostroacute que un resonador tiene un nuacutemero infinito de modos de oscilacioacuten Cada 49
modo se caracteriza jagtr su frecuencia de resonancia su factor de calidad y su corres|Hraquon-
diente distribucioacuten de CHII)|Kgt La presencia del plasma en un resonador priMlure princishy
palmente un cambio en la frecuencia de resonancia en la cual el resonador se encuentra
opilando y en el factor de calidad Si la influencia del plasma en tales ]gtaraacutemetros es sufishy
cientemente pequentildea entonces para el anaacutelisis de este problema podemos tambieacuten emplear
la teoriacutea de perturbacioacuten
Consideremos un resonador que oscila en una de sus frecuencias de resonancia y que
contiene un plasma distribuido axialmente Evaluemos los iambins i|ite se producen en
liexcli frcciMiiciii de resonancia y en el factor de calidad del resonador Las distribuciones de
ciexclim|Hgty las frecuencias de resonancia se obtienen integrando las ecuaciones de campo (31)
y (32) con la condicioacuten de frontera (33) En este caso la condicioacuten de frontera (33) se
iipliia en la frontera cilindrica laquoleiacute resonador y en las superficies planas del mismo En
ausencia del plasma los raiiipos satisfacen las ecuaciones (31) v (32) con la piiacuterte derecha
igual con cero
VxEacutek + imdashH~k = 0 r (333)
V x Hk - mdashEacutebdquo = 0 c
y la condicioacuten de frontera (33) Donde se ha utilizado el subiacutendice Jt para denotar el
modo k de oscilacioacuten en un resonador hueco con frecuencia de resonancia ui Los campos
Ek y Hi satisfacen las relaciones de ortogonalidad
jvEacutekEacutedV = NkeacuteM
(334)
JvIacutekntildedV = Lk6kl
50
donde el superiacuteiidice nos indica el complejo conjugado de ios cam]gtos y la integracioacuten
igt realiza sobre tftdo el volumen del resonador
Se conoce que todo camjx) vectorial se compone de la suma de una parte con divergencia
ltITltJ iparte solenoidal) y una parte con rotacional cero (parte potencial) Para observar
la it^iuencia del plasma en la oscilacioacuten de ondas electromagneacuteticas es conveniente utilizar
este hecho escribiendo el campo eleacutertriacuteco como la suma de una parte solenoidal y una
potencial
Eacute = Eacute + Eacutebdquo V Eacutei = 0 (335)
V x Eacutebdquo = raquo
Llaquoraquos vectores solenoidales Eiexcl y H ile un resonador con plasma se pueden representar
como una coinlgtiuacioacuteu lineal de las funciones vectoriales Ei y Ht tjue detenuiiacuteian las
componentes solennidalcs de los modos de oscilacioacuten en un resonador sin plasma
Eacute = 5 gt pound raquo (33C) k
H - J gt amp (337)
Usando (336) y las relaciones de ortogonalidad (334) se encuentran las expresiones para
los coeficientes a y 6
TV (338)
_jvEacute-EacutexaacuteV 6gt 5 mdash bull
Sustituyendo (336) y (337) en las ecuaciones de campo (31) y (32) y considerando (333)
obtenemos eacutel sistema
51
k 1330)
J^(traquow-a tuf t)5 = 0
Multiplicando escalarmentc la primera ecuacioacuten de (339) por pound y la MRIIIKIIacuteI JMW HJ e
integrando sobre todo el volumen del resonador obtenemos
[b^k - laquow) = pound Eacute] bull poundkM - ^ I Eacute TIV (340)
(JW-laquo) = o 1341)
El primer tmuiiacuteiraquo tit- la tlrn-rlm ltb (340) i-s IacuteRIIUumlI IIHI erro Siacute ili-sprjaiiio ltbull (341) fr
y lo sustituimos cu (340) otitciii-inos
iJiexcl - J)nbdquo = Jj^L(pound-k f(g)dV (342) iexclSi Jv t
tlmide
k = ^ laquo 4 (343)
y Vi es el volumen que ocupa la columna dr plasma Sustituyendo la primera expresioacuten
para a de (338) en (342) se obtiene la relacioacuten
2 Jv Eacuteiexcl bull JEacute)dV - a g - iacute - 4 trade ^ iquest r f v 044)
donde se ha remarcado la dependencia de la densidad de la corriente con respecto al campo
eleacutectrico Por otro lado se observa que las ecuaciones (342) y (343) para diferenteraquo valores
de k forman un sistema de ecuaciones homogeacuteneas lineales con respecto a loraquo coeficientes
a La condicioacuten de solubilidad (igualdad a cero del determinante) determina la constante
52
bullltbull propagacioacuten Si la parte derecha fie (342) es lo suficientemente pequentildea jiodeinoraquo
ltiijgtlear el meacutetodo |gterturbatiro
Suponiendo laquoue la densidad de corriente a traveacutes del plasma es proporcional a un
paraacutemetro pequentildeo ]gtodemos desromponer las cantidades OkM^ ) E laquogt teacuterminos de este
paraacutemetro
h = poundbdquo lt3-45gt
(
lioiide el suloniHir ( define el orden (le peqncntildees Si en ausencia del plasma sr excita una
onda lie frecuencia UumlIiexcl en el resonador entotires en la aproximacioacuten de raquorltbii cero se tiene
pound|o) = Eiexcl
a = eacutelk (346)
Sustituyendo (345) en (344) e igualando los coeficientes de la misma potencia con respecto
al paraacutemetro pequentildeo se obtienen las soluciones en distintos ordenes de aproximacioacuten En
primera aproximacioacuten para k = l resulta
gt bien
53
= 2 ^ ^ 347)
En gmrral J ( ) ) es tuia cantidad complt-ja i|ttr mis reprcscuta la i-orrerrintildeu a primer
orden en la fnriirncia compleja de resonancia (uim = m mdash wi) Di- acuerdo ron (274) esta
cantidad puedr escribirse en la fonna
-bdquo = Aw + IA iacute J (348)
donde i parir mil ltbull imaginuria nos detenniunii las fraoioiirs laquobullbull cambio di- la |Ktrtc real
de la fri-eui-iicia di- n-soiiamia y la calillad dri resonador rcsptitivaiiniitc ocasionadas por
la pn-Hcuciacutea del plasma
En corrispoiidiiicia ion (347) escribiendo y descomponiendo la densidad de corriente
ronio J = 3 + i 3 (3 lts la parir real y 3 i la partiacute- imaginaria) las rantidailps ib (34S)
tulliacutean rirspeclivaineute la forma
- raquo m _av-j (340) wi w iexclv Eiexcl bull EilV
Qi) un fvpoundiexclEacuteM
En medios lineales anisotroacutepicos c inhomogeacuteneos la densidad de corriente se relaciona
con el campo eleacutectrico en la forma (328) De aquiacute qtie )gtodamos reescribir (347) como
WIacuteII bull - mdash mdash s mdash s 351) 2 v poundJ bull EdV
Para evaluar las correcciones en segunda aproximacioacuten a la frecuencia compleja de resoshy
nancia se sustituye la correcioacuten a primer orden del campo eleacutectrico E - poundbdquo + pound en
54
3441 la rual se determina por la expresioacuten (342) al evaluar cada uno de los rieficientes
u ron k JEacute
trtonces las correciones a las partes solenoidal y potencial se expresan en la forma
V pound | bdquo = mdash V bullbullltpound) (354)
Las roiidiiioniK laquo|nr se ilrlx-n satisfacer pariacutei cpir la expresioacuten (347) KIIacuteI viiacuteliiluuml es tul
([iilt parsi i ^ tentniMM
^ (355)
y |Hgtra I- =
A M mdash laquo 1 (366)
bull(4) e l
55
CAPITULO 4
INFLUENCIA DEL PLASMA
Eu i-sti- i-itpitulo en base al meacutetodo perturhativo descrito i-n el capitulo 3 se obtiene
el gtiexcliiiil)io laquopie sufre In constante de propagacioacuten para lindas rleclioniagneacutetiras eme se
propagan iii miii guiacutea ile onda ciliacuteiidriiacutea que i-oiitieur en su eje una roluijjua laquolaquobull plasma
friacuteo iiiliimiogeacuteufraquo y magnetizado Ademaacutes se determina la vaniiiioacuten ite la frecuencia laquole
roouancia para las ondas electromagneacuteticas qui se eiiruentran oscilando en tin resonador
cilindrico que contiene una columna de plasma friacuteo magnetizado e inhomogeacuteneo distribuido
axialmcnte Si- calculan las variaciones de la constante de propagacioacuten de la fierucucia de
resonancia y laquoleiacute factor de calillad jgtara diferentes valores de wjJJ1
7 Influencia del plasma en las guiacuteas de onda
Vamos a considerar como paraacutemetro pequentildeo que el radio del plasma es mucho menor que
la longitud de onda y que el perfil de densidad de electrones es de tipo paraboacutelico con
respecto al radio Ademaacutes el campo magneacutetico externo se considera homogeacuteneo y dirigido
a lo largo del eje O (Fig 41)
Como ya sabemos en una guiacutea de ondas cada modo de propagacioacuten se caracteriza por
56
Bo
P L A S M A
Fig41 Sc inwsira nnraquo i laquolimiiia ilr plasma laquoIc ratlin rbdquo loi aliidi sobre el ltbullbull bull)bull- miacutea guiacutea laquole
ogtda rihiiilrii-a dc railio rt in rampo iiiagnrliro externo iquestV osla dirigidraquo a Iraquo largraquo del ltbull)gtbull (gt
t i rumiante propagation Su parte real o factor dr fane drtrniiiiin la vrinriibul ill- fiiw
iexcluiftitraraquo I 1 piirti- imaginaria laquogt riwrkienlc tic absorcioacuten tlrtmniiacuteia el raquoinltgtrtigiiiexcliiiiiexcli-iitigt
(ir los diferentes modos ir propagacioacuten El efecto que se origina ttiantiraquo se rolix-a IIIIIacuteI
columna de plasma dentro de la guiacutea de ondas es un cambio en la constante de propagacioacuten
De acuerdo con la teoriacutea de perturbacioacuten este cambio es proporcional a la razoacuten del cambio
de energiacutea dentro de la seccioacuten transversal que ocupa el plasma sobre el vector de Poynting
evaluado sobre la seccioacuten transversal de la guiacutea de onda
r r - u _ IM-bullpound _ bdquo
donde las cantidades con subiacutendice 0 denotan cantidades no perturbadas (sin plasma)
Para evaluar la constante de propagacioacuten (41) es necesario obtener las soluciones de los
57
campos eleacutectrico y magneacutetico dentro del plasma en teacuterminos del jiaraacutemetrraquo peipientildeo
Para el caso de un plasma friacuteo cuando la velocidad de fase ile lsts nudas electromagneacuteshy
ticaraquo es mucho mayor (pie las velocidades teacutermicas di las (laquoarticulas si- utiliza el modelo
hidrodinaacutemico Debido a la simetriacutea cilindrica del problema su]Mgtngamos ijiacuten- los campos
tienen la forma
Eacute = iquestj(r)rr+--
Expresando la ecuacioacuten de onda
V x V x Eacute - ^r-iacuteEacute = 0
(42)
(43)
en coordenada iiliacuteiiltlriras se obtienen las eniariolies para las componentes del ranipo
eliVtriro i-ii la forma
igt
i-e- - mdash - DE = --Mt - DE + mdash(poundj + rr r r r r
E + - pound + (mdashv - ) pound = pound- + mdash (rpoundr) bull r r r r- r
(44)
(45)
-rcEr + iru(e - 1)poundJ + mdash | - i laquo ( f - 1)pound + poundpound] + rraquopound3 = 0 (46)
Aquiacute las primas indican una diferenciacioacuten con respecto a r l es el tensor dieleacutectrico en
la forma [19] (Bu esta dirigido a lo largo del eje 0)
poundraquo -
pound
0
pound 0
o vi ( t iquestu(e - 1) 0
= - t u ( c - l ) pound 0 V 0 0 r)
(47)
58
aacuteHtuacutee
- - 1 ti ul2 - - f j
2
= bull laquo bull i
_ = (r) = 4r r laquobull 1iexclI freruenna plaacutesmirraquo y -laquo lt-N ]iexclI fririirii-iraquo rirlotroacuteliira dr los
bullbulllaquobullerroiirs
Si il nidio ilil pliisiiiii o |Hi|iiiiacutein iii rumpiriiriuacuten ron IIacuteI loiigiliul de onda y n Irmas pound
varia i-ii un onli-n i|f iuiacuteraquotiacute-j)i in J |IIII|P)JIIgtS expresar li viiriiirioacuteji ili rraquo la forma
poundltrgt = bull ( laquo v ) bull iacute gt h 4 S )
donde el bullmnuiirtro se lm introducido para obtener las soluciones aproximadas ni difeshy
rentes ordenes ron respecta a pound di los camporaquo eleacutectrico y inaRiirliin Haciendo rl nunbio
lie variable x mdash =pound en la ininrioacuten (45) obtenemos
E = --(pound) - -plusmnpoundE - ^iquestE + - 4 J ( Iacute pound + gt9E) (4-9)
donde B kciexclwg = u(iacute - 1) y la prima denota una diferenciacioacuten con resprcto a x
Haciendo el mismo cambio de variable eliminando E por medio de (49) y limitaacutendole
hasta teacuterminos del orden (IO1- a ecuaciones (45) y (46) toman la forma
59
F i g 4 2 IVr l i l |gtiifiacuteilraquogtlirgtgt ili li |TinHivnli i l c|i| ( I I IM I I I n m P | W T 1 I I iexclI JT - mdashgt
[j-tl ltbullpoundbdquo-)] - (mh + mnixEf = 0 141raquo)
(411)
Se observa qui- la ecuacioacuten (410) no si- encuentra acoplada ron (49) y (411) cnloiires
podemos obtener su solucioacuten En condiciones experimentales una distribucioacuten dr la denshy
sidad de tipo paraboacutelico con respecto al radio resulta ser una rnuy buena aproximado
(Fig42) En tal caso escribimos
pound = T- - t0 (412)
siendo
CO
^ deg - 1 laquo413 J1 - ^
valor de la penuitividad en el eje del cilindro de plasma
Antes de sustituir el perfil paraboacutelico de iexcla permiacutetiviefad (412) en (4S) httgtimos en
bulli10 el cambio de variables
E = il|-r-|J-) 1414
bullbull donde obtenemos una ecuacioacuten diferencial pam en la forma
(V - bdquolr-+ [-(2|m| + 1 | - + (2|w| + 3|rjr-+ 2(|raquo| - tnu)Y = 0 1415
Haciendo un nuevo cambio de variables y = xiacutei en (415 se obtiene la ecuacioacuten
wd -v)r + H +1 - ( H + 2)W- iexcl y = o lt4icgt
Eltfa uacuteltima ecuacioacuten es una ecuacioacuten de tipo hiperficomeacutetrico y su solucioacuten es conocida
20 de donde la componente angular del campo eleacutectrico tiene la forma
poundv- = CxH-F(laquo6cy) (417)
donde F(a b c y) es la funcioacuten hipergeomeacutetrica [20] C es una constante y las constantes
cb y c tienen los valores
b = l + | m | - a (418)
C a 1 + H
61
respectivamente Dlt- la ecuacioacuten (411) podemos ahora escribir la expresioacuten paro la com-
jiacuteomrntf axial en la forma (hasta teacuterminos laquoiel orden (1iacute)1)
E = _ bdquo|m| D+-plusmn-CF(abc mdash mi poundu
= DiquestnbullT mdashJEiquest (419)
donde D es una constante La componente radial del campo eleacutectrico se obtiene de la
rniacioacuten (49) sustituyendo en esta (417 y (119) El campo majiexcliieacutetirtgt se deterniina laquole
la ecuacioacuten dr Faraday
1 OD r x pound = mdash mdash (420)
c uumlt
Limitaacutendose hasta teacuterminos del orden IO1 obtenemos la componente axial del camjm
magneacutetico
H = iacute H D gt i + Jiacute-lfEj - iiacuteuumlUuml^r (42D lit inz in(
Las constantes C y D que aparecen en (419) y (421) dependen de las condicioneraquo
de frontera Para su determinacioacuten acoplemos los campos dentro del plasma con los del
vacio bajo la condicioacuten que haya continuidad en la frontera del plasma (r = r) de las
componenteraquo E y Hiexcl
Ermfl = poundo | bdquo (422)
|tradebdquo = H0rmri (423)
Considerando que e(rf) = 1 y usando las expresiones correspondiente para las composhy
nentes axiales de los campos con plasma (419) y (421) y de los campos sin plasma
02
Z = DtJbdquo~ri y H0 = CWJbdquo(-T)) obtenemos las expresiones de las constantes C y
Z teacuterminos de los cani)gtos no perturbados En el raso para m gt 0 obtenemos
2 m (m- l ) -raquo - mF(n o r y ) + jF(noriexcl() bdquo-(bullraquo-raquogt( pound)bullraquo-)
D = 2miquest- C raquo + ^ deg - (4-25gt
iacute uiquest y = xfiacutey C0 y Dlaquo son unas constantes Hasta el momento nos hemos limitado a
- rinos del orden de ( l ) lo qtw equivale H decir que lit rondicioacuten de raquo|gt]irn)gtiliilad de
1- ecuaciones obtenidas es
kr iquest
7Iacute(l + | - bdquo | r laquo 1 1420)
Una vez lt|iie se lmn obtenido las expresiones tie los campos dentro del plasma evaluemos
bullbullbull integrales de 1iexclI expresioacuten (41) que determinan la const iexcltute tie propagacioacuten para una
sua de onda conteniendo en su eje una rolumna de plasma Se considera que el problema
gt perturbado es aquel que ronsiilera una guiacutea tie onda riliacutendrira llueca |fbdquo = 1 y bdquo = 1)
pound1 caacutelculo se realiza para una onda en modo H Para este modo la constante Dp es igual
con cero y las constantes C y D se reducen a la forma
C Jiquest poundk (4 27) 2 o F(a62yi) + ytFub2bdquo)
D = - g c bdquo (428)
Primeramente evaluemos la integral en el numerador de (41) para ello consideremos
la expresiones (229) Tomando la parte cosenoidal de (229) para la componente axial
correspondientes a los campos no perturbados y el tensor de permiacutetiv lad (47) obtenemos
63
= f - - A iacute - E iacute laquo 429) J Ai
= iexcl J |pound - 1) [poundJlaquoMraquon5(r + iuE) + poundt(MraquoiT-|pound - laquopound)] (-rdrtl
donde las componentes Ew Er y Eiquest dependen uacutenicamente del nidio La integral sobre if
en el intervalo [02r j se realiza expresando el termino exponencial romo senos y renenrraquo
y romanilo en cuenta sus relaciones de o-tugonalidad Por tanto despueacutes de realizar la
integral Mible r_ se obtiene
= - f r|pound - 1 )[Er(poundr + iuE) + EI poundr- - laquopoundbull ))ltbull
A1 r raquoraquo = r r(iacute - 1 )[rCZH mdash-J m (7r ) |pound r + laquopound) +
+ CZll-Jj-lr)(E-HiEr)dr 1430) i
La integral anterior se evalna sobre la seccioacuten transversal de la columna de plasma
Aquiacute r i es el radio de la columna de plasma Por otro linio si expresamos - en teacuterminos
de la longitud de onda di corte Ar (217) para tina guiacutea de ondas hueca en la forma = ^
ohservanios que el argumento de la funcioacuten de Bessel eu (430) es una cantidad mucho
menor que uno Para demostrar lo anterior notemos que de acuerdo con (218) para que
la onda se propague a traveacutes de la guiacutea de onda se debe satisfacer que la longitud de onda
en el vacio debe ser menor que t Ademaacutes debido a que sr ha considerado que la longitud
de onda es mucho mayor que el radio del plasma entonces la longitud de onda de corte
tambieacuten es mucho mayor que el radio del plasma Esto uacuteltimo nos sirve para considerar
uacutenicamente el primer teacutermino de la serie de la funcioacuten de Bessel [12] con respecto si
argumento -yr = 2iry De donde (430) se transforma romo
G4
Ix = gtCU (1 - ti) r(pound - iy[iEr + pound)rfr (431) Jrm Ji)
-spueacutes di- hacer el cambio de variable x = iacute - r y sustituir las formas expliacutecitas fie los
gt-npos (4D) y (417) para Er y Ef respectivamente se obtiene de (431) la expresioacuten
bull - f pound z raquo r m - i f e r ( i - u ) x 4-32) x i(-- -)rxx-F(iUlt mdash)] + iirtn-iquestFuUlt~ )li
Ai [ iquestu tu J
jiirlc se han aproximado los campos hasta teacuterminos del orden (7 ) Integrando P )laquoirles
raquo n-sperto a r el primer teacutermino de (432) obit-nemos
laquo - ^ V r r ( l - laquo ) x - + f V a r - (433) 2wi lt W bullraquo iacuteraquo
Sustituyendo la forma expliacutecita para la constante C (424) en (433) se observa miacutee (T-To)
vrrere con el nuacutemero de modo vi en la forma lt~IK Para t-l casiraquo (pie nos interesa tu = 1
iexcl integral ltpir aparece en (433) es faacutecil tie evaluar Para esto liaciendo el cambio de
variable y mdash x7t0 se puede reescribir la integral de (433) en la forma
Jsl+to x
xlnF(abcmdash)dx o iacuteo
= ~iexclg yF(abhy)dy (434)
utilizando la relacioacuten de diferenciacioacuten de las funciones hipergeonieacutetricas [11]
pound-[-gtF(abc)] = (c- n)nt-F(abc - ns) (435)
65
con ii = 1 v r = 3 se obtiene
Re-escribamos (43C) en una forma maacutes conveniente pura ello usando la siguiente
foacutermula de transformacioacuten para las funciones hipergeomeacutetricas [1121]
e f e - 1)(- - )Fnbc- z) + rr- 1 - ( 2 c - laquo - b- )zFlabr ) +
(r - laquo)(r - l | F I laquo i r - 1) = 0 (437)
ron laquobull = 2 y considerando las formas expliacutecitas praquoriexcli laquo y b tie (41) ron m = 1 de (437)
obtenemos la relacioacuten
F ( w fc 3 lplusmniraquo ) s ~ 4 ( 1 ^ 1 1 ) f^Ffafci 1plusmn^gt - J-(laquo2 l plusmn ^ iacute ) 1 (43S) poundbdquo (1 _ bdquo ) ( U i l j l fu ibdquo J
Finalmente usando la igualdad [11]
FUifc2) = F(ub-) - (laquo fc2c) (439)
la ecuacioacuten (43S) se puede escribir como
F(flft3^-=2)= F(laquob2^-^) (440) poundo ( I - K ) Iacute O iacuteo
Sustituyendo (440) en (436) y tomando en cuenta la relacioacuten t = 1 + pound0 obtenemos
-^|UftV(laquoraquoi^) H41) (1 - u) e0 pound0
y sustituyendo (427) y (441) en (433) finalmente obtenemos para | la expresioacuten
66
cbdquo r (1+^) riab2 iquestraquo)
M i r iacuteo F (laquo 6 2 l^ )+ L Uuml^F (laquo iquest 2 l i iacute i ) (442)
La integral del vector de Poynting correspondiente al denominador dr (41) evaluada
la seccioacuten transversal de la guiacutea de ondas tiene el valor obtenido cu (236) de donde
h - jA([Eiquestplusmnxntildevplusmn+EacuteraquoxxHiquest ]gtltlaquo
= CJZbdquoVgt bull laquo i i
JfjjLii- (-143)
iacutegt|HIacute rbdquo es el radio de la guiacutea ilc onda Finalmente dividiendo (442) entre (443) se obtiene
bulla expresioacuten para el cambio en la constante de propagacioacuten para unii onda en inodo Hu
ltue se propaga en una guiacutea de onda ron plasma
- ( r -r u ) = Ax iacute -Fnb2-^iacute)
F(laquoJ2 bullraquo)+ ^^Ff f i 2 ^ )
donde
(444)
M= 21(rr0)3
l - 3 3 9 ^
De aquiacute se obtiene que la constante de amortiguamiento es proporcional a
(445)
o = A F(o62ttiraquo)
f(afr2 iraquo) + UiacuteampFia fc2 raquo) Mtr)
F(a62iplusmniacuteraquo) (446)
07
Esta uacuteltima expresioacuten se igtigttnvigt ron vi uso di-la igualdad (439) Por otm bulo notemos
i|ugt- el argumento dr las funciones hipergromctriras dr (44G) es mayor laquopie la unidad Es
conocido laquopie la serie hipcrgeonirtrini diverge en yi = -f4 gt 1 [20] Por lo tanto rs
ruuvcuicute transformar las funciones hipergi-omctriras de- (44G) laquoru series convergentes
|gtaia filo obtrugamos las expresiones para Fluriacute l y ) y Fnb2y) donde y = 1(1 mdash z)
Para podrr estudiar la absorcioacuten de tma onda excitada en modo Hiexcl1 cu una guiacutea de onda
cilindrica como la que se tiene cu la fuente de plasma construida en el INlN y descrita
en 2] es necesario obtener las expresiones para Flnli 1 i) y FnU2y) ya ipie para
laraquo bull-iitiiiiciones de la niiiijuilia i tiende a la unidad como se desenlie con maacutes detalle maacutes
adelante
Observemos ipie la ecuacioacuten
t( 1 - )iquest + (1 - 3i)o - ltilgto = 0 1447)
tiene como solucioacuten la funcioacuten hiprrgromrt rica Finli li) Si bacnnus el cambio dr
variable raquo = 1(1 - z) entonces (447) sr rersrribr rn la forma
(1 - ) V + (1 - r gt ( 2 - r ) iquest + nkgt = 0 (448)
Fiacutetiaitnente con vi cambio iquestgt = (1 - )lt obtenemos la ecuacioacuten
i ( l - c)vgt + [2 - (26 + I r ) ] - IacuteraquoV = 0- N- 4 9 )
La solucioacuten dr la ecuacioacuten (449) es la funcioacuten hipergeomeacutetrica Fbb2z) [21] Sin emshy
bargo una solucioacuten maacutes general para F(ab i y) es una combinacioacuten lineal dr las dos
soluciones existentes de (449) [21] esto es
G8
Fiubly) = [-)lt AtF(bb2)-rB F(bb2z)Ln+Pii) + (l-fc) iJ
(450)
donde At y B son constantes por determinar y Pj(c) es una serie de potencias con resjiecto
a en la forma [21]
donde
^)=poundr^ [ lt ) - ( o j
Iraquo) = (laquo + raquo) + 4(+raquo)- I2 + raquo ) - ( + 1)
(451)
(452)
4 (bull In funcioacuten i igt iliiinim y (laquo) = laquo(laquo+ 1)(laquo + 2) bull bull bull (laquo + 7 - 1) Multiplicando anillos
luumldoM de hi ecuacioacuten 145(1) por zi - z) difiTciiciacutenndo ron respecto a i y considerando el
liacutemite ruando - tiende a cero olitcuciuoraquo la igualdad
vd - amp)bull(laquo ft 2v) = r r - r + BW + raquo - ) + iquesti-(i -raquo) (453)
Ahora usando la representacioacuten integral de la funcioacuten hiacutepergeomeacutetriacuteca (2Iiexcl y considerando
las definiciones (426) para aby c obtenemos
a - f - r(laquo)r(6)o ( i - lt y )
La primera integral de (454) se calcula faacutecilmente y tiene la forma
Jo 1 - ty y (455)
69
Para evaluar 1raquo segunda integral de (454) recordemos laquopie 1 = ^^ y notemos ipte en el
limite ruando y tiende a mm (c tiende en este castraquo a cero) iacutei se vuelve muy grande
raquo|iiraquo- laquobull equivalente a ltllaquorir que inraquo acercamos a] punto de resonancia eicloiroacuteiiica in = 1)
y por kgt tanto con r=2 Igt tiende a cero De esta manera la segunda integral de (454) se
aproxima al valor [21]
laquo-raquo- 1
1 - f dt = -(fc)-C (45C)
donde C es 1raquo constante de Euler Sustituyendo (455) y (45C) eiexcl (4541 obtenemos
f io 2) = 1
-Ltil - bull ) - laquo1M J- C 1 4 5 7 ) r(2-raquoinM
Pitra determinar las coacutemanles -4j y D sustituyamos (457) en (453) y separemos los
teacuterminos laquopie ionticueu Lti de aijticllos (pie no lo contienen Asi obtenemos las expreshy
siones para las constantes 4| y B en la forma
A =
B =
^ ^ laquo ^ ^ ^ r ( 2 - igt)T(igt)
(1-fc)raquo f(2-gt)JW
(45S)
(45ai
Anaacutelogamente se puede encontrar una solucioacuten para F[ab2y) en la forma
+ [ C + ( t ) + i raquo ] | F ( 6 f c - l l r ) I n iacute + fl(s)] (460)
donde
70
Las expresiones (450) y 1400) representn las transformaciones dr Filtibiy) y
Flt a b 2 y) respectivamente en series convergentes ruando y tiende iexcli la unidad Las consshy
tantes A y Bi se expresan mediante (458) y (459) corresigtondiexclentenieiitlaquo- Finalmente
y fie acuerdo ron (44G) dividiendo 4G0) intrc (450) y tomando la iexclgtiexclirtr iiiiiacute-uumliuaria
obtenemos la expresioacuten para la constante ltle amortiguamiento o de absorcioacuten en 1 forma
( i
Jf = laquo x Fffcfc - 11 )[1 - (1 - fc)(2 - fc)F(662 z) + Piexcl)- )bull]+
+ P (r) | l -6) F |6 6 2 )x
x [l - (1 - b)2 - h)FVb2) + P7(z)l - by +
+ C + (b) + Ln -](1 - 6)-F(6 62 r)] +
+ T T V ( 1 - 6 ) ^ ( 6 1 2 1 ) (4C2)
donde r = 1(1 + pound0) La figura 43 muestra el comportamiento de (4C2) en funcioacuten de
ni x u para m - 1 es decir los int2Tvalos [-LO) y [01] corresponden a m = - 1 y tu = +1
respectivamente Las graacuteficas de la figura 43 corresponden a los siguientes valores de
-bull(0)toiacutes a) 82 b) C c) 4 d) 3 y e) 1 Las graacuteficas c) d) y e) difieren de armellas
mostradas en [22j ya que aquiacute se han considerado uacutenicamente los primeros cinco teacuterminos
de las series Pz) y Pt(z) Por otro lado observemos que el coeficiente de amortiguamiento
se anula en el caso de resonancia cidotroacutenica (u = ) Sin embargo esto no significa que
no existe absorcioacuten de la onda en este caso como se reporta en [23] en los punto donde
71
o bulla
iquest
1 3
n raquo
o i
Wv
72
eiexcl Iacutendice de refraccioacuten tiende a infinito se produce una absorcioacuten delas ondas en el plasma
ltii- tipo no rolisioiiacuteal Esta absorrioacuteu se asraquo ic a la existencia de punto singulares dlaquo- la
ecuacioacuten de onda exacta para ciertos puntos dentro del plasma es decir ai|uiacute la componente
del campo eleacutectrico paralelo al gradiente de densidad es infinita
En la fuente de plasma descrita en el trabajo [2iexcl se trabaja actualmente con densidades
del plasma del orden raquof(0) = C x Nfcnr3 y con un campo magneacutetico externo B =
S~jGtntraquo Ademaacutes se cuenta ron una guiacutea de onda de radio rbdquo = 425rFraquogt en la rual se
IgtngtiexclgtiexcliEiexcli una onda electromagneacutetica ron 111raquo frecuencia w = 15304 X 10 gt Si el radio del
plasma es C| = 3ltm eutonres tendremos los Mullientes valores para _laquo_- 10) 11gtf0)-bull
y respectivatiieiite
wbdquo = 15379 x 10V
raquogt(()) = 13S19X 1 0 V
1 = 00990 1403)
^(0)--J = 08
poundn = 3902
A = 19525
En este caso podemos analizar de la figura 43 curva a) comportamiento riacutee la constante
de amortiguamiento cuando u^fO)raquo2 = 08 Como podemos olmcrvar la constante de
amortiguamiento tiene valores relativamente grandes en la vecindad de u = OC pero
decae raacutepidamente conforme u tiende a la unidad Cuando u = 0999 la constante de
amortiguamiento tiene el valor
73
o = Ai x (M)0()02455 = lSS x 10 (464)
El anaacutelisis anterior es vaacutelido si se rumple la rondicioacuten (42G)
^ ( 1 + |poundbdquo|)- ltpound 1 MCO)
que eii nuestro laquoaso es correcto ya que
^ - i d +|ibdquo|)-=ocnsx lo- ucc)
8 Influencia del plasma en los resonadores
El meacutetodo de Perturbacioacuten en este raso se mi de formraquo similii ii el rusraquo de tina guiacutea
tie onda Como paraacutemetro pequentildeo se considera anaacutelogamente que el radio del plasma
es lutirlio menor que la longitud de onda Ademaacutes se supone que el |HTTiexcl1 de tielisidad
electroacutenica es de tipo paralioacutelico y que el campo magneacutetico externo es homogeacuteneo y esla
dirigido a lo largo del eje O
Anaacutelogamente a el caso de una guiacutea de onda la presencia del plasma en un resonador
es originar un cambio en la frecuencia de resonancia De acuerdo ron la teoriacutea de perturshy
bacioacuten este cambio craquo proporrional a la razoacuten del cambio dr riirrga almacenadraquo dentro del
volumen que ocupa el plasma en el resonador sobre la energiacutea total almacenada en todo el
volumen del resonador (34C)
WJVpoundiquest iquestiquest EacutedV w - u 0 = wbdquo = - iquest (4Glt)
iquest Jr pound0 bulltoraquo
74
Lu i-niaciuacuteii (4CT) requiere la evaluacioacuteu de el campo eleacutectrico cu el plasma En la
-bullbullTIacuteOII 7 se obtuvieron los campos en una columna de plasma friacuteo de radio pefpit-iio
magnetizado e inhomogeacuteneo localizada en el eje de una guiacutea di- onda cilindrica Con
tuda de estas expresiones podemos determinar en forma expliacutecita los campos cuando una
lunuia de plasma se encuentra en el resonador
poundru-y--) = iacute
r 22
mi miacutem mS
poundir r-) = C | |- F(laquoraquor-K--fbdquo(4--) in raquo t4CS)
uy-) =
poundgtXM + _L pound raquoltiacute ti
In I-I - r i - l iacute - D P DJT] T mdashmdashstE) E 111 lllC laquo ( il
donde x = (iexclt~ C y D son constantes = ruy = u(i mdash 1) la prima denota diferenciacioacuten
con resjMcto a j - Fin h r y) es la funcioacuten de tipo hipergeomeacutetrico [20] y nb y r tienen llaquoraquos
valores obtenidos en (418)
No hay que olvidar que cu un resonador los campos son estacionarios de aquiacute que la
dependencia con respecto a r se escribe multiplicando cada ecuacioacuten de (468) por el factor
jffi(^z) oacute coM^z) p= 123 iacutees la longitud del resonador
Calculemos el cambio en la frecuencia de resonancia para ondas de tipo TEm- La
integral del denominador de la expresioacuten (4G7) nos expresa la cantidad de energiacutea eleacutectrica
almacenada por unidad de volumen en el resonador sin plasma cuyo resultado para un
resonador hueco se obtiene de (2GC) al considerar que WE = Wn y en pnrtirular fiv ~ 1
( = 1 El resultado para este modo se expresa en la forma
U = bull EacuteltW
= ^^M-MUn) M69)
Por otro lado la integral del numerador de (4C7) evaluada sobre todo el volumen que
ocupa el plasma se calcula con ayuda de las expresiones (2G0) (resonador sin plasma)
di las expresione (4CS) (resonador con plasma de radio pequentildeo) y de tensor dieleacutectrico
(47) obtcnirlidii
= iacute iacute f ( pound - l ) [E ( gtfm l T - | pound + l l lpound l + Jit u Jn
+EuacuterosinY-(Er - iuEr) rltMiJl-^-)riexclrd^dz (470) d
donde las coui]gtoiientes Eu E y pound tienen dependencia uacutenicamente radil Al realizar la
integracioacuten sobre Iacute y iquest en los intervalos [0 d) y [02riexcl respectivamenie obtenemos
s = V iacute r(t ~ XUumlEoE + iuE^) + Eiquest(E - niE)]ltlr iquest Jo d [ [ r
bull r ( iacute - l ) Jo
iC0 r Jm-r)Er + iuE)+
+ Q--JJfr)(E^ - iuE ] dr (471) c i J
Anaacutelogamente a el caso de una guiacutea de onda se utiliza el mismo argumento bajo el cual se
considera el primer teacutermino de la iuacute fmiacutecioacuteii en serie de la funcioacuten de Bcssel con respecto
al argumento r = 2JT^ De aquiacute que (471) se reescribe como
76
c iquest iquestml Jo
Lspueacutes de hacer el cambio de variable x = (iexcljfr y sustituir la forma expliacutecita de los campos
bull 49) y (417) para E y Et en (472) se obtiene
h = gtc ( l - u ) x wirdy-raquo l c V
0 c 2 2m V(wj
J-(pound- )L-[T FUIICmdash ) + mxJ-JF(bdquolt-i)h -raquo -raquo iraquo J
(473)
donde los campos M- han considerado hasta teacuterminos del orden (|) Integrando por partes
con respecto a J el primer teacutermino de (473) obtenemos
h = -2Cy bull )h (474) c 2 2raquoi Vi bulllaquo iu
La integral (pie aparece en (474) coincide exactamente con la cjne aparen- en (433)
de donde para ondas en modo TEm s se calcula sustituyendo (427) y 1441) en (474)
obteniendo
= rColTJiacutefrr iexclJ ltd j ( l+poundo) bull(laquoiquest2f)
(475) c3473 ebdquo f(o62lplusmnlaquoraquo)+1 plusmn a i v(o62iplusmniacuteraquo)
Finalmente dividiendo (475) entre (469) se obtiene la expresioacuten para el cambio en la
frecuencia de resonancia en modo T pound m para un resonador conteniendo una columna de
plasma friacuteo de radio pequentildeo
W(D = (u - u0) - MjX 1 - -F(laquo62lraquo)
siexcl X 1 -F(abll)
(476)
77
donde
La ecuacioacuten (47C) coincide con (444) salvo por una la constante Miexcl Anaacutelogamente n
el caso de una guiacutea de onda utilicemos las expresiones (450) y (4C0) juira Fintly) y
Fllti2 i) respectivamente Sustituyendo (450) y 14CO) eji (47C) y separando las partes
real e imaginaria obtenemos la variacioacuten de la frecuencia de resonancia (Araquo) y la variacioacuten
del inverso de la calidad del resonador l -M IO)) por influencia del |gtlasiniexcli respectivamente
en la forma
mdash^ = iexcl-zFbb- 11-) [-F( fcraquo 2-)([C+(-)] ( 1 -bf-
- (1 -fraquo)(2-)[C+(fc)l-Hl-lt) J(l - - ) ) +
+ C + ()][-gt(-)(] - h) - Ij] + -(1 - l)lPt)C + laquoK))F(hb2-) x
x [l - (1 - b)2-h)F(kb2z) + PJzil - raquo)+
+ -(1 - bjgtC + () + Li z]Fbb2z) + V | 1 - )F(bullbull 2--) (478)
-poundiquestmQ) = JTSX
x Fbb-lls)|l-(l- b)(2- b)zF(bb2z) + P ( - - ) r ( l -6 ) ]+
+ --F(i)(l-6) JF( iacute t 2i)x
x [ l - ( l - f r ) (2-amp^ -F(M2^) + P J ( - - ) iacute ( l -6 ) +
+ [C + (6) + iquestn --](1 - 6)zF(ampamp2z)]2 +
+ w12(l-b)4Fa(blgt2iacute)Yiacute (4-79)
t bull bull 78
La figuras 44 y 45 muestran las graacuteficas de las expresiones (478) y (479) con respecto
a ri x ii ]gturn distintos valores de u^(0)uz respectivamente Anaacutelogamente a el caso de
la- guiaraquo de onda se han considerado uacutenicamente los primeros cinro teacuterminos en las series
para Pi) y P jU) Un resultado importante de acuerdo cotiacute la figura 44 resulta ser
que en la resonancia ciclotroacutenica la variacioacuten del inverso del factor de calidad es cero es
decir en este caso y en la misma manera como en las guias de onda no existen peacuterdidas
de energiacutea de tipo colisional Sin embargo de la figura 45 notamos que cu resonancia
rirlotruacuteliira si existe un pequentildeo cambio en la frecuencia laquole resonancia del resonador
En la fuente de plasma descrita en [2J se tiene un resonador cilindrico donde oscila
una Diida a IUIIacuteI frecuencia laquobull = 15394 x ]() excitada en modo TEw y de radio
rbdquo = cm en el cual una columna dr pliacutetstua fie radio riexcl = 3lt se ein-iieiitrraquo a lo largo
del eje tlel resonador La cavidad resonante se encuentra dentro de un campo magneacutetico
externo D mdash SloacuteGauxraquo La densidad de electrones en la fuente tie plasma puede ser igual
a ni 0) = C x 10 I 0CTO 3 En este caso tenemos los mismos valores (4C3) para yinnfv0) u
y u-ji 0)raquo mientras cpie Miexcl tiene el valor
SU = 04C55 (480)
Entonces el cambio en el inverso de la calidad y en la frecuencia de resonancia tendraacuten
los valores
A( l ( ) = mdash x 000009C2455 = 582 x 1 0 (481)
Aw = Mj x |1 - (100035)] = - 1 0 3 x 10 V (482)
79
AwMa
i
o
I
U
bull3 I
I O
bull
a 6
1 1 1 bull 1 bull
bull
_
c x ^
- r f -
| 1 bull J T | 1 - | 1 |
l IX V if | rt i iacute i ( iraquo i i i bull i i i
i i
i i i
V
deg
iacute bull f
i i i
VI 1 A 1 ^ t
x X Iacute
JU i f ^
1 bull x
so
o i
fit
Zf Z rt w
El valor (481) se encuentra dentro del rango de validez de la teoriacutea de perturliacioacuten
ile acuerdo ron (35C) Asi mismo la variacioacuten de la freruenria de resonancia es dema-
siado |Mf|ttentildea en comparacioacuten con la freruencia propia del resonador de tal manera rpie
podemos considerar une no existe un cambio fuerte en la freruenria de resonancia ion esta
densidad
Los resultado iexclinteriores de las secciones 7 y 8 fueron presentados en iexcl24] y [25iexcl respecshy
tivamente
82
CAPITULO 5
PENETRACIOacuteN DE ONDAS EN EL PLASMA
En este iiipiacutetiilo ni el marro de 1iexclI teoriacutea lineal se liare una revisioacuten sulire el proceso
gtigt- penetracioacuten de campos elertDinaRneacuteticos en un plasma En vista de ijne en la fuente
lie plasma descrita en [2j se excita una onda tipo H nos vamos a limitar al caacutelenlo de
Un coeficieiites tie reflexioacuten transmisioacuten y de alisorrioacuteu para estlt- tipo de ondas liacuteay
eme hacer notar que en el experimento [2] se tiene un campo magneacutetico externo lo que
complica fuertemente el estudio de la interaccioacuten de ondas en este plasma Nos limitaremos
en este trabajo a considerar un plasma homogeacuteneo y deacutebilmente inhomogeacuteneo sin raiujm
magneacutetico externo Estos resultados preliminares son uacutetiles para posteriormente estudiar
la transformacioacuten lineal de ondas que es muy importante para el anaacutelisis del perfil de
densidad observado en la fuente de plasma [2]
9 Penetracioacuten de campos electromagneacuteticos en el plasma
El estudio de la interaccioacuten de ondas electromagneacuteticas en un plasma tiene particular
intereacutes por la gran variedad de paraacutemetros existentes como se mencionoacute anteriormente
83
(densidad de |ttirtirulas di- diferentes tipos prado dlt- ionizacioacuten longitud de trayectoria lishy
bre tfiii|raquocratura etc) 111 los diferentes casos Una de las caracteriacutesticas mas importantes
de un plasma real es su iuliomogeueidad Alt|iiiacute los paraacutemetros del jjasiilii variacutean en el
espacio produciendo considerables cambios en las caracteriacutesticas del mismo Freruontc-
menfe en lo concerniente a la propagacioacuten de ondas electromagneacuteticas estos cambios son
tan fuertes que la pennitividad dieleacutectrica cambia de signo
91 Penetracioacuten de campos electromagneacuteticos en la aproximacioacuten hidrodinaacutemica Sistema de ecuaciones
Il l sistema de emaeiones atltoroiisisteule i|iie desrribr la penetracioacuten tie un campo elecshy
tromagneacutetico en d plasma en la aproximacioacuten bidroiliuaacutemira se compone de las ecuaciones
ile Maxwell
V x pound = -2f 51 c 01
f x f l = - - i - mdash + mdash (02) c 01 c
V bull(poundlaquopound) = 4p (53)
V H = 0 (54)
donde las densidades de corriente y carga se determinan en la forma
P- pound c raquo n lt raquo = laquoiexcllaquoi + tnt = pound e bdquo n r r n (55)
y se expresan a traveacutes de los campos eleacutectrico y magneacutetico de las enlacioacutenos hidrodinaacutemicas
de movimiento y continuidad del fluido conductor de carga o [26]
84
sect + bullbdquobulllaquobull = ^(Eacute+-vnxH)-^--^va (56)
3raquobdquo _ _ _ ~ + V-n0viexcl = 0 U 7 )
En las ecuaciones (55)-(57) tbdquo es la carga m0 la masa tibdquo es la densidalt v0 es la
velocidad hidrodinaacutemica jgtbdquo o la presioacuten y ibdquo la frecuencia de colisioacuten entre las partiacuteculas
ltir- tipo o ron las partiacuterulas di- otra claw y con las moleacuteculas El subiacutendice o rorrcspondc a
i igt i ln ipii indica a los iones o electrones correspondientemente E D son las tensiones de
ligt- campos eleacutectrico y magiacutenico respectivamente y r es la velocidad de la luz en el vacio
Se supone i|iie el plasma se encuentra en un medio con un jieruiitiviilail dieleacutectrica iacutebdquo para
un plasma gaseoso bdquo = 1 y MI un plasma de estado soacutelido es la pcrmitiviilail dieleacutectrica
de la red cristalina Ya que la permit i vidad magneacutetica del plasma praacutecticamente es igual
a uno no vamos a diferenciar la induccioacuten magneacutetica de la tensioacuten del campo magneacutetico
lo que se refleja en las ecuaciones anteriormente descritas
El sistema laquole ecuaciones (oacutel)-(57) debiacute ser complementado con las ecuaciones de
estado de la materia expresados a traveacutes de la densidad nbdquo y la temperatura Tbdquo pn mdash
p0(noTa) Siacute las variaciones de estado de las componentes del plasma ocurren perioacutedicashy
mente entonces
Tpo = bullgtltJbdquoVn0 = 7raquoltfTbdquoVnlt (58)
donde vj = 2T0m0)t1 es la velocidad teacutermica promedio de laraquo partiacuteculas de tipo o 70
e la razoacuten entre loraquo caloreraquo especiacuteficos a presioacuten y volumen constante del gas de partiacuteculas
y 1 = mil
85
Las ecuaciones ib- movimiento describen un fluido en presencia dlt- cinco fuerza- ni
interaccioacuten a) la fuerza eleacutectrica (bdquopound b) la fuerza magneacutetica J x H c) la fuerza debida al
gradiente de la presioacuten d) la fuerza de interaccioacuten o colisioacuten entre la partiacuteculas de diferente
ti|Kraquo v0vbdquo y raquobull) la fuerza de inercia m-r0 bull V)tbdquo Por otro lado vamos a ronsiderar laquopie la
ecuacioacuten de estadraquo expresa un proceso adiatgtaacutetico caracterizado por el coeficiente -
92 Penetracioacuten de ondas tipo E y H
Vamos a investigar la penetracioacuten en el plasma ile ondas di- amplitud pcquiua La inteshy
raccioacuten de ondas electromagneacutetica con el plasma perturba los paraacutemetro caracteriacutesticos
en equilibrio del plasma Si las perturbaciones de los diferente paraacutemetros son lo sushy
ficientemente |xi|iientildeos en comparacioacuten con sus valoreraquo eii eipiilibrio entonces podemos
liiuariar las ecuaciones (51 H57) es decir iexclMHIIIIIOS despreciar los teacuterminos que contienen
producto entre las perturbaciones
Consideremos un plasma semiliiuitado sobre el cuaacutel a un aacutengulo fgt incide una onda
electromagneacutetica linealmente polarizada El sistema de coordenada lo escogemos de tal
manera que el plasma ocupe la regioacuten x gt 0 y la onda se propague sobre el plano X(gtZ
(Fig51) La onda incidente parcialmente se refleja del plasma y parcialmente se refracta
a un aacutengulo 8 Las amplitudes de las ondas reflejada y refractada se determinan de las
condiciones de frontera Como consecuencia de esto si la dependencia del campo de la
onda incidente con respecto a y t se determina a traveacutes del exponente rl-laquo) donde
kiquest = k0tcn9 k0 = raquogtc y w es la frecuencia de la onda entonces en la teoriacutea lineal para un
plasma estacionario y homogeacuteneo esta misma dependencia deben tener las ondas reflejada
y refractada en el plasma a lo largo de O
86
PLASMA
(b)
FiacutegKl Penetracioacuten de una onda electromagneacutetica lincalmente polarizada en un plasma raquoemi-
limitado La onda que incide a un aacutengulo 8 parcialmente se refleja a un aacutengulo 8 y parcialmente
se refracta a un aacutengulo V a) penetracioacuten de una onda tipo E y b) penetracioacuten de una onda tipo
H
87
Supongamos UIRraquo tenemos un plasma de dos componentes compuesto de electrones bullbull
iexclunes motwcargjados ron concentraciones en et|uilibrio raquobdquo = raquoraquolaquo = gtibdquo En un (Jasina friacuteo
la velocidad ternura de los iones se puetk despreciar 1 = 0) si esta es muy pei|iK-ntildea rn
contparacioacuteii con la velocidad de fase de la onda Si a lo largo del eje 0t la densidad no
varia entonces f = 0 y de laraquo ecuaciones (51)-(58) podemos obtener el sijpiiente sistema
dtr ecuaciones para los campos electromagneacuteticos
iexclKH = iquestJtpound - iacuteiacutejEi 159)
-rmdash = -iK0e mdash pound - + mdashmdashUE r ) U10) ni [ raquo-raquor J (w ni
Jvpound = - I (512)
^ = bullbdquobdquo (513) As
ik-HiE = JiL-ikJlr (514) ni
iloiiitr iacute ex la jx-ruiitividnd dirlrctrirraquo de un plasma isotropicraquo y friacuteo
taraquo(w + l^e) W(uraquo + Ifi)
ugtgt y uy son las frecuencias plaacutesmicas de los electrones e iones respetivamente expresadas
en la forma
iquestgt tgt
4c n 0 IJ
(6M) mlaquo
w a IB frecuencia compleja raquobull = w + ic y e eraquo la permitividad dieleacutectrica del fluido de
iones en la forma
88
t=to- + bull (517) w(w + llj)
El sistema de ecuaciones (59)-(514) se descompone en dos subsistemas iudc|Hiidientes
-i9H5ll y (512)-(514) lo que corresponde a la propagacioacuten en el plasma de dos ondas
independientes (Fig51) Para las ondas con componentes E E y Hy el vector del campo
eleacutectrico estraquo sobre el plano de incidencia XOZ Esta onda es una onda con polarizacioacuten
gt onda tipo TM o E Para )n segunda onda con comeacutentente Ebdquo Hr y H el vertor
fifi rutll|Mgt eleacutertriro es |H-r]gtriiiliriiIiir al planraquo fie incidencia Esta onda es unraquo onda ron
polarizacioacuten i ulula tipo TE o H Para las condiciones mencionadas iexclinteriormente el
ijjovjmieijlo teacutermico de laraquo partiacutecula es despreciable para la propasacioacuten de ondas tipo H
Sin embargo para las ondas ti]gto E puctlc ser bastante importante
10 Penetracioacuten de una onda electromagneacutetica tipo H en un plasma homogeacuteneo semilimitado Reflexioacuten y absorcioacuten de ondas tipo H
De las dos posibles polarizaciones que puede tener la onda que incide en el plasma el caso
de la onda de tipo H es el maacutes simple Encontremos la solucioacuten de las ecuaciones (512)-
(514) en el plasma y en el vacio suponiendo una frontera bien definida Sustituyendo H
de (513) en (514) y usando (512) obtenemos que el campo E satisface la ecuacioacuten
tPE - ^ + Jkfo - laquolaquoraquo)pound - 0 (518)
89
dmde en el plasma e se determina xx (515) y en el vacio pound = 1 Es faacutecil ronwtrar laquojar
eu el varkgt los campus tienen la furnia
para la onda incidente
poundbdquo = Eoraquo Bu m Fbdquocw0 (519)
y para kgt onda reflejada
Eraquo = llEbdquo-kltlt H = -Etcoraquoraquo ISM)
iliHiilraquo- pound es lii amplitud lie In i mi In hiiiiliiiti y iacutels rl riM-riiiiiili ili- icHrxiiVn El linihi|raquoligt
r i)r--wi) at j a s rX|ri^iHBM jbdquon lri caui|HKlaquo se excluye raquo aquiacute en adelante Praquor laquonraquo laria
bullbullI rwn]Mgt cu el plasma tirnr la forma
pound() = Eiquest0)rik B() = (^) poundlt) (5-21)
donde Et[0) es Iraquo amplitud de la rom|Hgtiiiiite poundbdquo del rampraquo cliVtriro III la frontera tlrl
plasma ( = ()) y A- se expresa romo
Jt JWlaquo - e2laquo (5-22)
Si it| es una cantidad real entonces la onda se propaga libremente en rl plasma prro
siacute Ai es una cantidad compleja entonces el campo en rl plasma r amortigua dr forma
exponencial a partir de la frontera
Para determinar el coeficiente de reflexioacuten y la amplitud del campo rn la frontera de)
plasma se utilizan laa condiciones de continuidad de laa componentes tangenciales dr los
eampoa en i = 0
90
pound(0)+poundbullbdquolaquogt) = pound(0)
(0) + raquo(0)-jr ((0)
Sustituyendo (519)-(oacute20) en (523) y considerando (521) encontramos
pound(0) = pound(l + rt)
dr donde obtiiunnos el coeficiente di reflexioacuten en Iraquo forum
(523)
(524)
=ampgtbull donde
e la impedancia sti]gtcrfieial o del plasma para una onda tipo H Sustituyendo (525) en
(524) encontramos la amplitud de la componente E del campo eleacutectrico raquo teacuterminos de
la impedancia el aacutengulo de incidencia y de la amplitud de la onda incidente en la frontera
del plasma
La definicioacuten de la impedancia (526) resulta coacutemoda ya que el coeficiente de reflexioacuten y la
profundidad de penetracioacuten se expresa de forma maacutes sencilla a traveacutes de ella En general
la impedancia es una cantidad compleja ZH = X + iX2 por eso el coeficiente de reflexioacuten
se puede escribir en la forma polar de Euler
01
M(AVlaquoM+1)-+ laquo-] e gt U 2 8 gt ^^xraquoiacute-l)1 + Y|coIiacutel
l
donde bull dcfitie la fase en la forma
XjcosO XjcosB bull = arctan bull mdash- - arctan bdquo mdash- (o29)
A i c o s 0 - 1 Xcos8+l
Uu paraacutemetro muy important del medio es ltbull) coeficiente lt]ltbull iexclilgtson-iiraquou el cual indica
laquorue laquoarte dc in energiacutea de la onda incidente se transfiere al pla-siiiraquo Si
P = 4~E x j = -iexcl-Eltraderaquo (030)
eraquo Iraquo denudad laquoIt-1 finjo de CIHTRIacuteH normal u la frontera dr la onda laquo[in incide y PT = y| |
es la densidad del finjo laquoIr In onda reflejada entonces el laquobulllaquobulleficiente de iilisorrioacuteii se define
roiiMraquo
W = ^mdash^ = 1 - |J|raquo (531)
Sustituyendo (528) en (531) obtenemos el coeficiente ltle absorcioacuten en teacuterminos de las
partes real e imaginaria dc la impedancia
W laquo Xcogt$ (532)
Ahora analiacutezemos con maacutes detalle las condiciones de propagacioacuten y amortiguamiento
de ondas electromagneacuteticas en un plasma de electrones en diferentes rangos dc frecuencia y
calculemos los coeficientes de reflexioacuten y absorcioacuten para cada casraquo respectivamente Para
92
ello sustituyamos (515) en (522) donde en este caso debido a la gran diferencia dr
masa de lo iones con respecto a los electrones consideraremos iquest^ as 0 Dr esta manera
obtenemos
r w V2
t - laquo raquo raquo - - (533) l jltlaquo + ilaquot)J
Consideremos los siguientes casos
a) El caso de altas frecuencias (cr lt -gt) Aquiacute los choques entre los electronraquo- se pueden
ilespreciar y entonces X- se reduce a la forma
Xraquo i- = - l - r o ^ - ^ (534)
En el reacutegimen de frecnciiriajiacute u lt ^lotfiacute lu m]x-ltlnraquorii es una caiitiilncl real y por In
tanto el coeficiente di- reflexioacuten y de absorcioacuten tomitii resjMrtivnniente la forma
donde
En este caso la fase (529) es igual con cero lo cual nos indica que laraquo ondas incidente
y reflejada se encuentran en fase Por otro lado la condicioacuten de amortiguamiento en un
plasma gaseoso sin colisiones consiste en que se cumple la desigualdad
ucof8 lt ugtVf (538)
03
IntrotUuetunos en calidad dr cararteriacutestica de penetracioacuten lthI ciexclttii|Mgt una |gtroftmililtlaltl
compleja de itetirtracioacuten determinada por medio de la relacioacuten tgt = t(gtraquo iquesti) El sentido
fiskti di la cantidad i es la distancia a la cual la amplitud del rampraquo en rl plasma ilecren
eu e mdash 271 veres de su valor inicial Con la condicioacuten ugt gtbull uicosB la profundidad de
penetracioacuten (anchura de la capa piel) no depende de la frecuencia = cu
h) En la regioacuten de bajas frecuencias w lt vt) los choques ya mgt se pueden despreciar En
este caso Rt Jt| s Ivi k y el campo en el plasma decreeraquo- ex]Mmirurial y oscilatoriamente
ilruumldr la frontera Si v gt m slt- tiene
k = -^zJviVrCosH+i- (539) Jiv v
si iacuteiilnilaacutes raquoiquest gt vrivosH entonces
y la longitud laquoIr la rapa piel tiene la forma
r iexcl2vt iquest = mdash J mdash = - 7 f iquest mdash (541)
donde raquo0 SB wf(4ffi) es la conductividad del plasma Notemos que (541) determina
la profundidad de penetracioacuten del campo en un conductor en el cual fluye una corriente
variable de baja frecuencia Asiacute las expresiones (521) determinan el campo en el plasma
en condiciones de un efecto piel normal o claacutesico A bajaraquo frecuencias y alta temperatura
del plasma estas expresiones ya no son vaacutelidas y es necesario analizar la penetracioacuten de los
campos en base a un modelo cineacutetico
Considerando las colisiones entre las partiacuteculas la impednncia del plasma tiene la forma
94
Zbdquo = (542) ^ugt(u)1cot10 - u pound ) + bull-bullJraquo
Si la frecuencia de colisiones es pequentildea pero sigue siendo finita y ademaacutes se cumplen las
desigualdades v lt raquo- ffgtiacute lt gtJcosi0 mdash uiiquest() entonces (542) se transforma COJIJO
Zbdquo = (543)
de donde observamos que en la regioacuten de frecuencias uirraquo^ lt ufPr el rocuumlcinjte ile iibsorrioacuten
se exprtsut en la lonnti
W = 2pro^Jtvwtraquo - l ) - (544)
Por otro lado si la frecuencia de la onda es lo suficientemente pequentildea tal laquopn- i gt laquobull y
se cumple la desigualdad J^Kv) gt OM rntonres la inj|MdnncIacutei se expri-sraquo como
z - iacute1 Voacuteiacute (545)
V -gtltbull y loraquo coeficientes de reflexioacuten y absorcioacuten se expresan respetivamente en la forma
R = (l-2Acltw0) 2e- MltM (540)
W = 4Xcoraquo9 (547)
donde A^ laquo -Xt = bullraquo( 2wt)
Finalmente observemos que las peacuterdidas de energiacutea que la onda sufre en el plasma
defiacutenidu por las foacutermuias (544) y (536) tiene diferente significado fiacutesico La W diferente
de cero cuando u = 0 esta relacionado con la excitacioacuten de una onda electromagneacutetica en
05
el plasma y el valor de W de (544) determina la parte de la energiacutea de la onda incidente
qiK- es utilizada para el calentamiento de los electrones del plasma eigt la capa piel
11 Paso deacute una onda H a traveacutes de una capa de plasma
Si la profundidad de penetracioacuten del campo ni una capa de plasma es tk-I orden de sns
dimensiones transversales o si la onda se pro|gtaga elraquo el plasma entonces la influrmia de
la segunda frontera del plasma resulta muy importante Determinemos el campo en el
plasma y los coeficientes iexclle reflexioacuten y de transmisioacuten en el paso de una onda incidente a
traveacutes de una rapa de plasma homogeacuteneo de anchura d
El canijaraquo i-n el vacio o cu la regioacuten T lt 0 tiene la forma (519)-(iquestj2l)) y el campo en la
regioacuten i gt 0 tiene la forma
Eraquo = TE0tcu = Eraquoltbdquosraquo (548)
donde T es el coeficiente de transmisioacuten El campo en el plasma consiste de dos ondas
tina de las cuales se propaga en direccioacuten de los valores positivos y la otra en direccioacuten de
los valores negativos de x
E = Aek + Be-ik = - iquest trade (549)
Las condiciones de continuidad de las componentes tangenciales del campo en la fronshy
tera del plasma x = 0 y x = ti anaacutelogas a (523) permiten determinar T y el campo en
el plasma
06
R = (1-pound)AiquestlaquogtM (550)
T = 2icoa$aacuteJWt - atn8t-kdeg (551)
Ey = 2cos8bTHi [iyt - iacuteenflcoJt(iacute - x) + aM0eni-(ri - ) ] (552)
donde
Aw = (t - 1 + 2colaquoI0)ifnfrrf + 2raquoVi - xriMrosHrosktd (553)
En el caso dr una onda que ]M-nctra en el plasma para la cual iquestrosH gt u dcspnviando
las colisiones entre las partiacuteculas el coeficiente de alisorcioacuten determinado como
B s l - R - T (554)
es igual a cero El cani|wgt en cl plasma tiene la forma dc uua onda estacionaria y con
la variacioacuten di- la cantidad t|rf los coeficientes de reflexioacuten y refraccioacuten oscilan Si en
condiciones de cierto piel kfd lt 1 entonceraquo a frecuencias lo suficientemente pequentildeas
(laquobullpound gt -(w + iv)) los coeficientes de reflexioacuten y nfraccioacuten tienen la forma
R = - (o iacute + io3)(o + 2co8 + iaj)~ (555)
T = 2cos0(a f 2ctgtiacuteiacute+^OJ^ (55C)
donde
- - 5^5-
97
En este caso el coeficiente de absorcioacuten se expresa como
IV = 4ocolaquo[(oi + 2co9)2 + a]]- (559)
Si Pt gtgt raquobull entonces o t gt cgt-iexcl Las peacuterdidas maacuteximas en este caso se obtienen con
la condicioacuten o = 2coi0 iguales a la mitad de la energiacutea de la onda incidente Las ondas
reflejada y refractada en este caso tendraacuten la misma amplitud en valor absoluto Las
foacutermulas (555)-(55G) se pueden generalizar para una capa delgada con cualquier iuhomc-
gcticidad Si diquest kcbdquobdquoj lt 1 entoneacuteis los campos en el plasma se ltrternmii del sistema
de ecuaciones
ils Ai r(w + ivrs)) = laquogtbull r 1 f i - laquo5CII)
donde las soluciones tienen lt forma
pound = C H = -f(x)C + C (5C1)
siendo
co w + iit(j)
Las condiciones de continuidad de los campos en las fronteras x = 0 y r mdash d nos llevan a
los valores (555) y (556) en los cuales oiacute = Re laquo(lt) y a2 = Im n(rf) Por otro latioacute
las constantes Ct y C3 a traveacutes de las cuales se expresan los campos en el plasma tienen
la forma
C = TEltiexcl = 2E0coraquo9aH(d) + 2coraquo9)- (503)
Cj = 2EoCO$eaH(d)co6)aHd) + 2coraquo8)- (564)
98
12 Penetracioacuten de una onda tipo H en un plasma deacutebilmente no homogeacuteneo
En una gran variedad de aplicaciones la densidad del plasma variacutea lentamente en el espacio
desde cero hasta cierto valor maacuteximo La penetracioacuten del campo en tales plasmas se
diferencia fuertemente de la penetracioacuten en un plasma con una frontera bien definida o
fuertemente no homogeacutenea Las ecuaciones que describen a las ondas electromagneacuteticas
en un plasma no homogeacuteneo son un sistema de ernarkmes diferenciales ron roefirntildeiites
variables iloudr sus soluciones exartas o aproximadas se enriient ran uacutenicamente para rasos
(laquoarticulares Uno ile estos rasos |gtartirulares es aquel laquoIr un medio de ra)gtas planas donde la
densidad variacutea ni una sola dirrrrioacuten Una serie dr soluciones escarias de las eruaeiones ile
la clertrodinaacutemira en un medio ile rapas planas ron diferentes variaciones de la densidad
se pueden ver en los trabajos (2327) Generalmente soluciones aproximadas relativamente
simples en estos medios se pueden eiirotitrar en regiones asintoacutetiras es decir a distanrias
grandes ron rcsjwrto a los puntos singulares de las eruaeiones difcrenriales Los paraacutemetros
que se usan en esta aproximar ion pueden ser la relacioacuten del tamantildeo caracteriacutestico de la
no lioinogcneidad L ron res|ierto a las longitudes de propagacioacuten A de las ondas en el
plasma Si uno de los valores rumple la desigualdad LX gt 1 eutoures en relacioacuten a esta
onda al plasma se le puede llamar deacutebilmente no homogeacuteneo La penetracioacuten de campos
electromagneacuteticos en un plasma deacutebilmente no homogeacuteneo se ha considerado en diferentes
trabajos [222327-31] Consideraremos algunos resultados obtenidos
Veamos un plasma compuesto de iones pesados fijos con densidad n0i) la carga de
los cuales en estado no perturbado se compensa con la carga dr los electrones ron temshy
peratura diferente de cero Te La densidad del plasma n0 - 0 ruando iacute - t O y rrece o
es infinita cuando mdashraquo ce No existe campo magneacutetico externo y la distriburioacuten de eler-
99
trones por velocidades es isotroacutepica Para la descripcioacuten de la penetracioacuten de mi cam]Mgt
electromagneacutetico en tal plasma se utilizan las ecuaciones de la hidrodinaacutemica (50)-(514)
en las cuales hay que sustituir iacuteo = 1raquo iacutei = 1 y gt mdash gt()bull La i-ruacioacuteu diflaquoniciacuteal (5IS)
que rige la jicnetracioacuten de ondas tipo H en un plasma no homogeacuteneo toma iexclihoni la fonna
iPE -=bull + kl(t[x) - stnH)E = 0 (5C5) tiacutex
donde la pcrinitividad dieleacutectrica es funcioacuten de la posicioacuten en la forma
pound ( ) = 1 ttiquestIl (5GG)
w(uiacute+ II ( x ) )
De id ecuacioacuten (oacuteCuuml) se puede hacer ililncdiiitaiiieiite tilia serie de deducciones a) 1raquo onda
se propaga libremente en li regioacuten Jif t lt bullgtni1tiacute b) en mi plasma maacutes ileliso iloude
Jlt gt nrrifl la propagacioacuten se vuelve imposible y la onda uacutenicamente penetra el plasma
en la longitud de la rapa piel y c) el punto Rr pound = srtiB es el punto de corle donde 1raquo
onda se refleja
En un plasma deacutebilmente inhomogeacuteneo ruando raquoo(x) variacutea deacutebilmente en la longitud de
la onda que se propaga por el plasma la ecuacioacuten (5C5) se puede resolver por el meacutetodo de
la geometriacutea oacuteptica para una dependencia arbitraria de la densidad gtibdquo(s) [23] La enlacioraquo
(565) tiene una solucioacuten exacta para una capa lineal cuando la permitividad dieleacutectrica
(v(x) lt ui) puede escribirse n la forma
donde
+ iUumlIacutepoundgtpoundf 507) X0 WI0
bull = amp
100
Aquiacute a es la pendiente que caracteriza la dependencia lineal de la densidad de electrones
ron respecto a la posicioacuten Para el caso de un plasma sin colisiones (e = 0) reescribimos
iacuteoacute65) en la forma
- pound + kl( co1raquo - mdash )pound = 0 (569) ax Xo
haciendo el cambio de variable
C=[f) ix^coraquo2raquo - x) (570)
la ecuacioacuten (5C9) se puede llevar a la ecuacioacuten de Airy
^ + C pound = 0 (571)
Su solucioacuten decreciente cuando i mdashbull ltx tiene la forma [32]
poundraquolaquo) = mdash coM--Ct)gtlv (5-72) ir Jo J
donde A ex una constante que se determina de la roiidieiones de frontera manilo x = 0
En la obtencioacuten de la expresioacuten (572) (te lia despreciado la reflexioacuten de la onda en la
frontera del plasma debido al gradiente de densidad Es decir la amplitud del campo
eleacutectrico en el punto x bull 0 se considera igual a Eg lo que es vaacutelido para valores pequentildeos
del gradiente de densidad en este punto (|^|o ltC k) En la regioacuten 0 lt x lt x0colaquo28
debido a la suma de las ondas incidente y reflejada poundbdquo(() tiene la forma de una onda
estacionariacutea Lo anterior es asiacute ya que para valores positivos y grandes de ( E(Q tiene
una representacioacuten asintoacutetica en la forma [32]
101
Cerca df la frontera los valores del campo estaacuten dados aproximadamente |laquogtr
cuyo valor maacuteximo es
4a-gtgt-w-niexcliacuteiquest5^- bull (575)
Ln expresioacuten (575) resulta de la interferencia constructiva de las ondas ipie viajan a In
ii|UIacutecrda y a la derecha rrsprctivamrnte pin lo tanto la amplitud de la onda incidente poundbdquo
tt-tidru la forma
Aliora evaluemos la ronstatite 4 de (572) Para rilo iitiliemos la representacioacuten
asintoacutetira (573) y consideremos la condicioacuten de frontera de acoplamiento de los campos
en el plasma y en el vacio
poundT(0) = JEIacute (577)
De acuerdo con la definicioacuten (570) para ( podemos escribir el teacutermino ijCv en ln forma
f^^ (--pound_) (578)
Sustituyendo (578) en (573) y evaluando en x = 0 obtenemos
3A 2 ir poundlaquo(0) ) = -7k0Xo)-ucos-iacuteli9coraquo(-k0j0coS9 - -) (579)
yf f O 4
102
x = O = x0rnslV X
FiexclgS2 Alii|tli(ultl laquoId rrtiii|ngt eleacuterlrim cu la vecindad del punto de reflexioacuten s - xbdquoiiiH
Finalmente apurando 1raquo roiitliacutetiacuteoacuten de frontero (577) cnroutraiiioM el valor de A
(580)
La amplitud aacutee la onda estacionaria que se forma en el plasma cu los puntos cercanos
al punto de reflexioacuten x = Xoco29 crece (Fig52) Su valor maacuteximo se puede obtener de la
expresioacuten (572) el cual corresponde al primer cero de la derivada de la funcioacuten de Airy
[11] y tiene el valor
2 a a | l = 268 (581)
Asiacute dividiendo (5S1) entre (576) obtenemos el coeficiente de amplificacioacuten de la amplitud
del campo eleacutectrico en el plasma con respecto al campo en el vacio
103
| s f = 374(oolaquo3laquo)3 (582)
En el caso maacutes general de un plasma deacutebilmente inhomogeacuteneo en (562) en lugar dr
arbdquo debemos sustituir
En este caso para valores grandes de (koro)l^eoraquo0 auacuten una |MI jtirntildea parte imaginaria de
ki pcniMtiviacutedad dieleacutectrica puede rondticir a jteacuterdidas significativa de energiacutea de la onda
Si ni gtgt P jiacute () entonces la ecuacioacuten (571) conserva su forma pero ( en csrraquoiexcl caso laquo-S una
cantidad compleja
- ( )
raquo ( j v o ^ + x - mdash ) (584)
Nuevamente la onda (pit se forma en la regioacuten 0 lt x lt sltol(t es una onda estacionaria
lgtcro ahora la onda que se refleja cu el punto de corte Tit t = oc) nltgt tiene la misma
amplitud de la oiiif-t incidente Aquiacute cl coeficiente de reflexioacuten es diferente de la unidad y
se expresa como [23]
R as e m laquomdashgtbull m e-raquopound raquolaquoraquo (585)
La amplitud maacutexima del campo cerca del punto de reflexioacuten en este raso disminuye en
Ry
|iexcl iacute | 2 374|| 2(ltWw3)1 3 (586)
104
CONCLUSIONES
I Se describioacute la teoriacutea general de las guiacuteas de onda y resonadores cilindricos En base a
esta teoriacutea se obtuvieron obtenido los paraacutemetros principales que ritrart izan vi sistema
de microondas di- la fuente de plasma descrita cu [2] En el raso ilc una guiacutea de onda
cilindrica hecha tiraquo- bronce y ron Suacuterm de diaacutemetro interno se obtuvieron los siguientes
valores para los distintos paraacutemetros de pro|gtagariexcloacuteu de midas litadas en el IIIIHIO
A = 145rw raquobullbdquo = 13 x WHi I = 02753rraquor A = 22S2raquo Zbdquo = 187
ti = 56 x 10degtrade K3 = lC x 10uumlcfia
La constante de amortiguatniento lgtara estas ondas romraquo ronseriiriiciraquo de la roudur-
tividad finita ile las paredes metaacutelicas tiene el valor om = 1032 x 104 como este valor
es muy pequentildeo obtenemos que se puede considerar que la guiacutea de onda del sistema de
microondas (de no maacutes de un metro de longitud) es una guiacutea de onda ideal (sin ]xrdiexcldas de
energiacutea) Por otro lado para el resonador cilindrico laquopie compone el sistema de microondas
de radio a bull 7cm se obtuvo la distancia necesaria para que en el resonador oscile una onda
en modo Ht (wm = 15394 x 10(f ) Esta distancia tiene el valor d - 71Gcm Ademaacutes
se evaluaron la calidad del resonador y el ancho de banda donde el modo TEu puede ser
excitado uacutenicamente Q =bullbull 404963 w2 - uraquo = 000025 x WH respectivamente
II Se analizoacute el problema cuando la guiacutea de onda y el resonador cilindricos conshy
tienen una columna de plasma friacuteo magnetizado e inhomogeacuteneo distribuido axialmcnte
105
La columna de plasma cti el caso de la fuente de plasma [2j tiene un radio r = 3mraquo
y ademaacutes el perfil de densidad se consideroacute de tijraquoo paraboacutelico Eu base a la teoriacutea tie
perturbacioacuten y usando como paraacutemetro pequentildeo la pequenez del radio del plasma con
respecto a la longitud dt- onda se calculoacute la constante de amortiguamiento de la ondas
que se propagan en la guiacutea de onda ocasionada por la presencia del plasma La constante
de amortiguamiento tiene el valor o = lSS x 10~4
Se calculoacute ia variacioacuten de la frecuencia de resonancia fie las ondas que se etinieutran
resonando en modo TEtti en i resonador asiacute romo la variacioacuten en el inverso dr la calidad
del resonador obteniendo resp t-tiacutevaineiifc Aw - -lG3x 10 H MlQ) = oacuteS2x lO1
Los valores para n Aw y plusmniexclQ) se obtuvieron paro el caso mando ^bulljiacute(l))raquo = OS y
para el punto cerranraquo al punto di- resonancia ciclorroacutenica u = 0999 Ademaacutes se obtuvo
que la constante de amortiguamiento en el caso de la guiacutea de onda en el punto de resonancia
ciclotroacutenica l-u = w) se hace cero De lo anterior podernos roiirluir que la inutii se propaga
libremente en el plasma
III En el marco de la teoriacutea lined se analizoacute el proceso de penetracioacuten de campos
electromagneacuteticos en un plasma scmilimitaclo Se obtuvieron Jos coeficientes de reflexioacuten
transmisioacuten y de absorcioacuten para ondas tipo H tanto para un plasma homogeacuteneo y un
plasma no bomogeacutetieo Un aspecto fiacutesico importante en el estudio de la penetracioacuten de
ondas electromagneacuteticas en plasmas inhomogeacuteneos es que para una incidencia normal existe
un crecimiento del campo eleacutectrico en el punto donde la permitividad se hace cero Para
plasmaraquo magnetizados el comportamiento anterior es similar Por otro lado cabe sentildealar
que los puntos dentro de un plasma friacuteo e inhomogeacuteneo en los cuales el iacutendice de refraccioacuten
106
es infinito permite una absorcioacuten de las ondas de tipo no colisional en el plasma y al
mismo tiempo se obliga al campo eleacutectrico a tener un valor finito Esta absorcioacuten en el
plasma se asocia al hecho de que en el punto iacute = oo el campo electromagneacutetico sufre una
transformacioacuten lineal en otro tipo de ondas
Finalmente hay que hacer notar que la absorcioacuten de las ondas en las guiacuteas de onda
y los resonadores se debe uacutenicamente a la variacioacuten o cambio que sufre la constante de
propagacioacuten y la calidad del resonador respectivamente por la influencia tlcl plasma Este
mecanismo de transferencia de energiacutea ai plasma es diferente al mecanismo laquoIr la transforshy
macioacuten lineal de ondas
107
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43 Excitacioacuten de los IIHMIIH tie ilaquorilac)oacuteii 34
44 Resonador de forma cilindrica 30
CAPITULO 3 TEORIacuteA DE PERTURBACIOacuteN 41
5 El meacutetodo de perturbacioacuten eu las guiacuteas de onda 41
6 El meacutetodo de jicrturbacioacuteii en los resonadores 49
CAPITULO 4 INFLUENCIA DEL PLASMA 5G
7 InfliUliriii del plasma cu la- guiacuteas de onda 5C
8 Influencia ilel plasma en los resonadores 74
CAPITULO 5 PENETRACIOacuteN DE ONDAS EN EL PLASMA 83
9 Penetracioacuten de campo ilectruniagneacuteikos cu el plasma S3
91 Penetracioacuten de campos electromagneacuteticos en la aproximacioacuten
hidrodinaacutemica Sistema de ecuaciones 84
92 Penetracioacuten de ondas tipo E y H 86
10 Penetracioacuten de una onda electromagneacutetica en un plasma homogeacuteneo
semihmitado Reflexioacuten y absorcioacuten de ondas tipo H 89
11 Paso de una onda H en una capa de plasma 96
12 Penetracioacuten de una onda tipo H en un plasma deacutebilmente no homogeacuteneo 99
CONCLUSIONES 105
REFERENCIAS 108
INTRODUCCIOacuteN
ActUiiluieiili cu rl IXIN se tiene miii fiiriitc de plasma roiistruida iU el proyecto IB-
230 Esta es una fuente de plasma friacuteo sin ilict rodos (pie genera rl plasma por mirroondas
IIH iiniite resonancia rirlot romea di- los electrones Este tipo de dispositivos son de eran
actualidad ililiiiin iexcli sus posibilidades potenciales di apuracioacuten a Iti industria tiacuteili-s romo ltl
pngtisiacuteiiiiiiiitn ili- ilifi-riiifrs materiales |]iexcl (la formacioacuten laquoIr peliacuteculas delgadas poliacutemeros
liiiacutecnielcct ioacutenica soldadura iiiiit|uinns-lierrainieiitns etc) En estos dispositivos tambieacuten
rs relevante el estudio de fenoacutemenos baacutesicos i|iie ocurren en el plasma ionio la conversioacuten
lineuumll y no lineiil de ondiacuteis en el plasma Parraquo mayor informadoraquo sobre vi dispositivo ver [2]
Uno laquoIr los componentes baacutesicos del dispositivo es el sistema de inicruondas el cual consiste
de un generador de microondas (magnetron) de una guiacutea de onda y de un resonador El
generador que se utiliza es un Raytheon PGlOxl con frecuencia fija de = 245 GHz y de
potencia variable f 10 - 500 W) Li alta frecuencia del campo se transporta a una cavidad
resonante por una guiacutea de onda cilindrica de bronce de 85cm de diaacutemetro En esta guiacutea se
excita una onda electromagneacutetica en modo H El resonador de bronce tiene un diaacutemetro
de 14cm y en el cual se excita una onda en modo TTm-
En este trabajo de tesis se realiza una revisioacuten del caacutelculo del sistema de microondas
que componen el dispositivo y un estudio sobre la interaccioacuten lineal de ondas que pueden
ocurrir en el plasma en este dispositivo En el Capl se hace una pequentildea descripcioacuten de
los principales paraacutemetros del plasma y de los principales meacutetodos teoacutericos para su des-
1
bull ti|Miexclltgtii En bull Cap2 w laquoICSITIacuteIM- In teoriacutea general de las guiacutea- de onda y los resonadores
cilindricos En el (iexcli|i3 si- de-rrilie la Teoriacutea gtbullbull Perttirltacioacuten uacutetil iexclwira el i-aacutelculo di lo
diferentes )i-iiaacuteiii(tros di- lagt uniacuteraquo de onda y lo- resonadores nur contienen itti plasma en
su interior En el Cap4 en lgtase a la teoriacutea ltllt- pi-rturltacioacuten gtbullbull calcula la variacioacuten di- la
constante ri pro|gtagariigtn de las ondas ijuc so propagan en una guiacutea dr onihi cilindrica asiacute
iilaquomgt la variacioacuten di liexclgt frecuencia de resonancia de las ondas lt|tio si- iiiencntraii oscilando
ili un resonador laquopie IOIIIIacuteIIM una i-olnniiia de plasma friacuteo riliacutendriro magnetizado ltbull inlio-
mogoacuteiieo disnilmido axiacutealiiinili En el Cap-V i-ii el marro dr la teoriacutea linral se Kivostiga
ri proccsiraquo di penetracioacuten di campos eleotioniauiacuteHlieiraquo- III un plasma ademaacutes sr obtienen
los coeficientes de reflexioacuten transmisioacuten y di aliMgtirioacuten paia ululas bullbullgtltgt Finalmente
si- lian- un resumen di- los principales resollados nlitriiidos en el traUiacutejo di- trxis
La propagacioacuten de ondas de muy alta frecuencia representa un lema laquolo gran anualishy
dad iii campo romo la radiofiacutesica (oomttiiiriirionos radares radiotelescopios etc) y la
fiacutesica d r plasmas (aplicariones y fusion termonuclear iotroluda) En la fiacutesica de plasmaraquo
actualmente se est lidian dispositivos en base a suirrooiidas y radiofrecuencia laquopie son muy
interesantes por la gama ile aplicaciones (pie se descu-ren constantemente Por otro latioacute
el calentamiento adiriacuteonal tlel plasma por ondas de radiofrecuencia en dispositivo donde
se obtienen plasmas de alta temperatura para el estudio de la fusioacuten termonuclear conshy
trolada es un tema que tiene gran importancia Por lo anterior el desarrollo de la teoriacutea
lineal y no lineal de propagacioacuten dr ondaraquo de alta frecuencia es de gran relevancia
2
CAPITULO 1
DESCRIPCIOacuteN DEL PLASMA
1 Principales paraacutemetros del plasma
El plasma rs un uniacute lio nmsinritro compuesto laquole partiacuteculas cargairaquo positivas negativas
y ademaacutes tli- partiacuteculas neutra (aacutetomos y moleacuteculas) que inicraci-ionan entre siacute y con la
radiacioacuten Las partiacuteculas positivas son los iones y las negativas son los electrones (los iones
negativoraquo juegan un papel secundario) Ademaacutes de los aacutetomos y de las moleacuteculas que se
encuentran cu su estado base en el plasma ]meden existir tambieacuten en grandes cantidades
aacutetomos y moleacuteculas cu estados excitados El plasma entonces es un gas ionizado en el
cual la carga negativa de los electrones neutraliza casi completamente la carga positiva de
los iones
Veamos algunos procesos que ocurren en el plasma (3-7] El plasma se obtiene por la
ionizacioacuten cuando se separan los electrones de los aacutetomos o de las moleacuteculas Son posibles
dos formas de ionizacioacuten en un plasma denso principalmente tiene lugar la ionizacioacuten por
choques de los electrones con los iones o aacutetomos nertros y para un plasma muy enrarecido
es caracteriacutestica la ionizacioacuten por radiacioacuten (oacuteptica ultravioleta y por rayos X) Es posible
tambieacuten que ocurra la ionizacioacuten por los choques entre los aacutetomos o con los iones El
3
proceso inverso iquesti 1Iacute ionizacioacuten es lit recigtmlltinlaquoooacuteiiexcl es ib-cjr Ib unioacuten de un electroacuten con
mi ion y con ii consecuente formacioacuten de un aacutetomo o moleacutecula neutra En un plasma
enrarecido la igtgt iacuteniliniexclnioacuteii ocurre generalmente con radiacioacuten y en un plasma denso lu
riioiubiiiacioacuteu gtbullbull rriiiiii en los choques triples (se recoiuliina un electroacuten y un ion y mi
segundo electroacuten gtbull lleva el sobrante de energiacutea) Por otro birlo el plasma lugt solamente
radia hi visible sino tambieacuten radiacioacuten ultravioleta y ademaacutes si t-1 plasma es muy caliente
tambieacuten radia rayos A
El plasma por naturaleza se comporta como un gas por lo que para su laquoICM riprioacuten
si- utilizan ronrepros talrs como densidad presioacuten (esiipfralmgt itr El movimiento ile
las partiacutecula- ocurre ilr fon na caoacutetica En laquoI caso laquobull bull partiacuteculas lt|tilt- no timen carpa en
su movimiento teacutermico la iliriciioacuten de su movimiento varia solo |Mgtr los c-limpies como
cu un gas simple Entre cada choque el movimiento de las partiacutecularaquo con velocidad
constante r describe una linca t rta En este cano la longitud promedio de recorrido
lilwe es A = VT = iexclnma donde r es el tiempo entre los clioques nm es la densidad
tlil medio y n es la seccioacuten de choque A mayor densidad la longitud de recurrido libre
medio tm menor y Ja frecuencia dr rolimeacuteo v = 1T = nmav es mayor Loraquo choques entre
las partiacuteculas neutras ocurren por la accioacuten de fuerzas de corto alcance las cuales son
proporcionales a rri y pueden ser tanto elaacutesticas (intercambio uacutenicamente de energiacutea
cineacutetica) como inelaacutesticas (transformacioacuten de la energiacutea cineacutetica de las partiacuteculas ergt otras
formas de energiacutea como son excitacioacuten ionizacioacuten y recarga) A diferencio de las partiacuteculas
neutras sobre las partiacuteculas cargadas actuacutean tuerzas de largo alcance proporcionales a r
las cuales se rigen por la ley de Coulomb Esta interaccioacuten disminuye lentamente con la
distancia El movimiento de las partiacuteculas ya no se realiza por una linea quebrada sino
siguen trayectorias muy complicadas Sin embargo estas trayectorias se pueden aproximar
a una linea quebrada y en esta forma introducir el concepto de choque coulombiano En
4
iexclo inuwrioacuten iilt- 1iexclIgt partiacuteculas las maacutes fuertes resultan raquo T las de largo alcance Las
interacciones coulombiaiifis determinan Minchas propiedades del plasma A traveacutes de eacutestas
a|raquoareceii las propiedades colectivas del planum relacionadas ron la interaccioacuten simultaacutenea
ltltbull mtiriiH- partiacuteculas
Las partiacutecula nue componen cl plasma se encuentran igteniianenteinente en estado de
movimiento teacutermico caoacutetico Este movimiento se caracteriza por lit temperatura del plasma
7 romo un todo y por la temperatura Tbdquo tic siis diferentes componentes (aquiacute ir puede ser
i o i pata iexclos elertrmies o iones respectivamente) La temperatura liacuteeiennina la energiacutea lilshy
las partiacuteculas del sistema el euiil se tinmiit i iexcli en ei|iiililirio teri-iodinaacuteiiiico El |gtlnsiiit se
llama isoteacutermico si este se encuentra en equilibrio teuuodinaacuteinico ionio un todo y la funcioacuten
de distrUumlMieioacuteit de la energiacutea de las partiacuteculas de todo tipo es una distribucioacuten inaxweliacuteaua
con una misinn temperatura X (T = T = T) En el caso de un equilibrio lennodiacutenaacutemicolaquole
una parte del plasma cuando diferentes componentes tienen una distribucioacuten maxweliana
pero diferentes temperaturas vi plasma se llaina no-isoteacutermico o sea Tt iquest T Esto uacuteltimo
es posible debido a laquopie cl intercambio de energiacutea emre los electroiws y los iones ocurte maacutes
lentamente que el intercambio de energiacutea entre las partiacuteculas que tienen una misma masa
En base a esto uacuteltimo en un plasma no muy denso con pocas colisiones puede existir
un estado con dos temperaturas ioacutenica 7iexcl y electroacutenica T En el caso de una funcioacuten de
distribucioacuten maxweliana de las partiacuteculas fm exp(-m0vl2kTo) la temperatura de un
plasma en equilibrio determina la energiacutea cineacutetica promedio del movimiento teacutermico
3fcT _ _ _ _ _ ^=(mavl2) = Eacutee (11)
donde k mdash 138 x W~ttrgioraquodegK es la constante de Boltzmann y 7_ es la temperatura
de las partiacuteculas de clase o La raya superior en la parte derecha indica un promedio con
respecto a las velocidades
5
Una earailiTisMra importante del plasma rgt la fririMii-in plaacutesmica la cual esta canic-
tiriaila por liis oM-ilaciacuteouo electroacutenicas ltlrl plasma
tliHide i es la carga del electroacuten (t iexclft 4SU32 x 10iraquolaquotoiWoraquo()i u es 1iexcliexcl concentracioacuten ilr
electrones (laquobula iii mi) y MI lt~iexcl la masa del electroacuten (raquolaquo = 01095 x lO^V)- Las oscilashy
ciones |gtliacuteisiuiris son oscilaciones longitudinales electrostaacuteticas i|tn- surgen romo resultado
ilr hi separacioacuten ilr partiacuteculas lardadas a distancias microscoacutepicas y ilil surgimiento de lalaquo
fuelas ill COIIIIIIIIII La fu incuria plaacutesmica soacutelo depende dr la ciiurrut racioacuten laquo
raquo- 5 Tx Wyj^ 113)
ii ltii la forma
A = | = 2 x l O 3 ^ 1 0 ^ (14)
La escala temporal ill separacioacuten laquole carga cs una cantidad inversa a la frecuencia plaacutesmica
r ss 1w Como laquoi los intervalos dc tiempo gt r las partiacuteculas realizan imirlins oscilashy
ciones cerca de su posicioacuten de equilibrio entonces el plasma como un todo se comporta
como un sistema neutro en el tiempo La separacioacuten de cargas puede ser importante soacutelo en
intervalos de tiempo t lt r pequentildeos con respecto a la escala temporal La escala espacial
de separacioacuten de cargas es la distancia basta la cual se puede desplazar una perturbacioacuten de
la concentracioacuten de las partiacuteculas cargadas debido a su movimiento teacutermico en un tiempo
igual al periodo de las oscilaciones plaacutesmicas la cual se expresa en la forma (dada en cm)
laquobullV V 4iregtnt
6
doxiie = lTni mdash 45 x VSyJT laquo-s In velocidad del movimiento teacutermico de los
bull iexclii-roiifs 7 laquo- Iraquo fltbullijijx-rittiilt le los electrones en A y gt es la cow-rut racioacuten laquole los
bullllaquoM-roraquofgt MI nn~ bull La ltlisuiiit
bullgtbull llama radio ltit- Debye para los electrones Para tin plasma niasiiirtirro es necesario ijiie
its liiuiitiMoiiis riinirifristiras L scan siciiihnitivniiifiitc mayores ipie el radio ir Debyc cs
laquo[bullbullbullbulli L ~iquestgt in ion esta condicioacuten slaquo- purde considerar ijnc laquobull -iexcl-teiacutena ilf partiacuteculas figtrman
un plasma En riiMi inverso L ltg riexcl i tenemos mi coiijmtlo I|I- |gtutiiiiiii- cargadas
-f|gtnli- Asiacute llenamos iexcli la definicioacuten laquoIt-1 plasma propuesta por Laugmuii [5iexcl rl plasma
i-s tin conjunto tic partiacuteculas iirutras y careadas en rl cual ai sc satisfaci- la condicioacuten dc
ciiasiiii-utralidiid poundbdquo rbdquoraquobdquo = 0 y lit el radio dc Debyc dc apaiitallainit-iilo es mucho niiiior
bullinraquo1 las dimensiones caracteriacutesticas laquopic ocupan el conjunto laquole partiacuteculas r^ lt L
Una infltiriiciii iiii]iortantf sobre rl iiioviinie-nto de las partiacuteculas la ocasionan la exisshy
tencia laquolaquobull un riexcluingt magneacutetico externo constante el cual ordena el movimiento caoacutetico de
las partiacuteculas En un campo magneacutetico actuacutea laquoobre las partiacuteculas cargadas una fuerza llashy
mada poiidcroinotriz (lorentziana) dirigida ])cr]gtcndirulannriite a la direccioacuten del campo
magneacutetico B0 y a la velocidad de la partiacutecula iacute Bajo la influencia de esta fuerza las
partiacuteculas giran con una frecuencia angular igual a wBbdquo A esta frecuencia se le conoce
como frecuencia riclotroacutenica o de Larmor y para los electrones tiene la forma
~B = mdash 176x07Bo (17) me
Para que el plasma resulte ser magnetizado (anisoacutetropo) eacuteste no debe ser muy denso y
deblt encontrarse en un campo magneacutetico muy fuerte Por esta razoacuten es necesario que en
laquorl intervalo ltli- liniipo vnf dos i-olisiotn-s rbdquo las partiacuteculas pmdan nahzar uiiniios iexclinraquo
ttlri-drdor ill- las lincas del raui]Hgt iiiiiacutegiit-tiro Esta condicioacuten gtbull inarm tizai ion jitira lets
rliTtroiics es di- la forma
w laquo r m raquo l (lSj
En la ltlin riiiiti ilrl rampo iiiin-iiitiio la influencia de laquo-sir soliri- Ins partiacuteculas careadaraquo cs
nulo En mi campo magnet iro lioiiiogeacutem-o las trayectorias del movimiento dc las partiacuteculas
cargadas tiiinu forma bullltbull bullbull -jiiiiilraquo-
Por laquofin lado liay ijiir diferenciar los conceptos dc plasma friacuteo y plasma caliente Eli
mi plasma friacuteo r) movimiento teacutermico de las partiacuteculas es menor que la presioacuten i-I bullbulliinjgtgt
MKiKiirtim es decir
-2=2fIlti (io) Entonces podemos decir que rii mi plasma friacuteo que sr oiicticiif ni en mi campo magneacutetico
w puede despreciar rl movimiento trrminraquo dc1raquogt partinilas En mi plasma caliente esto
uacuteltimo no es vaacutelido
2 Meacutetodos teoacutericos de descripcioacuten del plasma
En el desarrollo de la concepcioacuten del plasma como un gas de partiacuteculas cargadas cambiaron
tambieacuten los meacutetodos de su descripcioacuten Los primeros modelos maacutes simples de la descripcioacuten
cualitativa del plasma lo suponen como un sistema de partiacuteculas cargadas que no interar-
tuan entre siacute y que se mueven libremente en presencia de los campos eleacutectrico y magneacutetico
externos Es decir si so considera que el plasma esta compuesto de jVbdquo partiacuteculas de clase o
8
iexclbulli -r mueven dcltido iexcli MI energiacutea teacutermica en forma caoacutetica entonces es uii-fNarin resolver
~ ecuaciones laquogtbull movimiento con uti miacutenimo iexclEnfil raquobullbull condiciones iniciales i posicioacuten y
-bullbullio-idades iniciales ilr partiacuteculas | Obviamente esto uacuteltimo es imposible de realizar Se
puede reducir fuertemente el problema si gtraquobull desprecia liexcli dis]gtcrsiexcleacutegtn de las velocidades dr
bullu iovimicnlo teacutermico es decir si se considera el movimiento promedio de una partiacutecula
laquoiexclHe v encuentra en reposo cuando no hay campos externos Asiacute este modelo simple
de iexclarticulas independientes completamente desprecia no solamente la interaccioacuten entre
piiriexclniiacuteiacuteiraquo sino eiexcl movimieiiio teacutermico de la- mismas
Pura determinar la velocidad dgt- una partiacutecula carnada del ntasma en el modelo de
pariacuteVittiis independiacuteenles se resuelven las i (ilaciones de movimiento para partiacuteculas de
gtia- bullgt en la forma
-y- = lt iacute iquest + -|ibdquo X D + iexcliexcl111 I110) Jlz
ir ~ donde iexcl = gtnbdquorbdquo es el impulso de la partiacutecula de dase o y ies la aceleracioacuten provocada
por fiHTns no electromagneacuteticas Eti las ecuaciones (LiO) la iiidiiccioacuten magneacutetica D
y el campo eleacutectrico E no se consideran como variaUes conocidas ya ipie estos campus
incluyen en siacute campos inducidos en el plasma cjue MOJIacute provocados por el movimiento de las
partiacuteculas cargadaraquo por lo (pie hay que resolver un problema autocousigtente es decir la
solucioacuten de (110) conjuntamente con laraquo ecuaciones de campo
VxS = M + Iacute I ( + ( 0) (iii) c ot c
V-Eacute m 4-(p + po) (1 13)
v i = 0 (114)
9
01
(si-i) ltraquoiquestbull AW + J) + W + sectxsectA)Y +ilaacute- raquo
waacute(A-iacute) + ^ Vlt = JLVpound mp
(iquestri) -o = W aacute w - A + ^
iexcllaquoupauSimi HJiuiHiupo pii] laquoj ip laquoai iopuioa ap jjnaiscsi io x) inn uctuivcs u n
HZI|1)II t8 opiti |f ui |vmi raquoia ap OIIMIIUIAOIH jap t iopduauap H| H Iacute H J -OJIIIU OIIIIIJIIOI o ip j tu mi
(ipllllllUOJ OJIIK laquoHill OIlllll lltijjodll S Sgt1IIIIIltMI|IIOJ SHJSI Hill llX HJItlHI A UIIIIOI liJIIIOJl
bullJMraquo NtJIIHKullllO1 Sl| 11)111 IttllHMJIi j j l lililiacute IMIacutelj IS lili IIJlllllllipiU|lll| CI|I|KM11 |l l|-J
i
OIIIIIIIIipiM|)II[ (gt|l|raquoOIII |l iZI|llll
is osli i|Si 113 ltM1IIHI l((|ill|)Ulll o|(llllil | mi imuii Jllli|MSIIlu ipmd is lti|i(i| (III oltloi
Dlllsmii |l lt ltI|IIIKIIJI(1IJltII 1)1111111 Ulllj l||St IS IIIHI SI|lll(UIltI SI|IIMIJI(I sltlt[ 1(1 (IJfUItlllAillll
|i ltisui|i 11111 miis-H|ltl 1111 111 iiUuumluniii iexcllaquo j o j ii|iiiuiiii(iultii ms i ltm siquniiud ltn gtgt
ltI|I1III1U Villi |l (MU | l lll lt 1(11ili 111 AIIIII iMIIsiqil tin 1(1 IKIII |i l|gt II|IK lti|ilI|I|ll MS i|llllltl
Sgt|I1HIIIIMII|IIII -ii(liilinil ip II(I|KMII (1 H|tiit|iiltl 113 lti|iiiiitll] si inusiqd |i|i IIltIIMIUISI|I
l| lll IIOIHiipill US Hill ltl| Hid degSI(||||||Ilt1 Sl| 1(1 i||llll(1llAOIII |lp 11(11liqll1111 bull] OlIItU11
(iinmiiiAoui (1 bulluipisUtii 1111 ofiji is (IHKII si|tfi(|ifiH(i|ifft s-ftptjiijiMi (lt lti(i(iorij ( 3
( 9 1 1 ) 0 = V V bull A + T ^
|Mqmimiuoj ltraquofi tiacuteotjuttji laquoj uKiexclatms (()) niexcljsijtfs j pthy
ltcni bullbulliquestx^ = [ -x^ = lt
laquoUIKIJ i( (lllllll l|(MMJltll ijl A i|l(lll(IUI laquoSjlM laquolt Kj|tt|raquoISIM|gt gtlJ Sgt(itl) slj | Ifi
= V y [- x D - -pound-V x I i r Uuml) (119) Of 4 ~ ltT
V B = 0 (120)
donde ni ex 1iexclI ltbull usidad del liquido ltlaquoMiraquohicTtgtr (plasma) ron una rondiirtividad n vi es la
velocidad del plasma y ( r son 1lt- roi-firiciites de viscosidad Este sistema laquoir eriiarionis
w debe de roiujut mentar ron las emanones de rotado y la iiiiwioacuteii laquole tnuiNpurte de calor
= Hni-T) (121 0
M7 mdash + (rlaquoV| uumlt
~ bdquo 2L1L + X-(VTgt+ mdash mdash l ^ x Uuml r (122)
donde raquo = raquoij(T) es la entropiacutea de uiiii masa unidad de plasma n es la rondnrtividad
iltl ialor y rttJ elaquo el tensor laquoir viscosidad
^= (iiexclr + iiquestL~ hgtv TA) av bull IacuteL23)
En la magnet oliidrodinaacutemira se consideran dados la rondnrtividad eleacutectrica la conshy
ductividad laquolaquobull calor tlcl plasma y tambieacuten los coeficientes de viscosidad En la praacutectica
se utilizan modelos modificados dr la magnetoliidrodiacutenaacutemicn tales como el modelo cuasi-
magnetohidrodinaacutemico de dos liacutequidos (electrones y iones) y de tres liacutequidos (electrones
iones y neutros) tos cuales de forma fenomenoloacutegica consideran la interaccioacuten entre las
partiacuteculas- su movimiento teacutermico Estos modelos simples generalmente son aproximados
y para su fundamentacioacuten se exige la utilizar ion de un modelo maacutes general del plasma
como gas ionizado El modelo maacutes general es la descripcioacuten estadiacutestica del plasma como
un sistema compuesto de un gran nuacutemero de partiacuteculas
11
CAPITULO 2
GUIAS DE ONDA Y RESONADORES
En rstr i-i|gtiacutemlgt v ilisrrilraquo li iroriacutea grurral i|r lis gniacuteis laquoIt- IIMIUuml y laquoIr los rrsoimdorrx
bullilimlriros Si luir- un r-iexclMilil riifuumlsis ru his giiiacuteigt d r mifhi V lvsotinliili- de MMIIacuteIMI
tliUlsvriMiI bull i i i i i iuuml l nn iDliiii 1iexclgt rxcitiiiiiVn dr o lnl raquo t i l IIHMII bdquobdquo y TE laquo11 estos
IIIacuteN|HIMIIacuteVIraquo rrx|Mitiacuteviexclifilttr rli Iilii|iiliquest ron rl d i spos i t ivo drsni t iraquo cu [2iexcl
3 Guiacuteas de onda
31 Ecuacioacuten de valores propios
pound1 estudio dr IHS propiedades fnuciaiiicntalcs dr la propagacioacuten de ondaraquo laquobulllectroniaglictiras
en tubos cilindricos dr conductividad infinita sr ha realizado ampliamente Ha sido resuelto
el problema para guiacuteas do seccioacuten transversal arbitraria |8) y para secciones transversales
particulares de importancia praacutectica se lian solucionado en sus modos fundamentales de
propagacioacuten [9] Asiacute mismo una analogiacutea con las lincas de transmisioacuten ha sido descrita en
[Wi
Veamos con maacutes detalle las guiacuteas de onda Consideremos una guiacutea cilindrica ron su eje
dirigido a lo largo del eje 0iexcl Ademaacutes consideremos que la guiacutea de omlas es longitudiliaj-
12
iifiacuteiti- lioiingtmiiriexcli y iptc la iexclgtariilrgt- metaacutelica sou conductores iierfcetos Sigtigtntgtiexcluiiltgts ltpit
bullniexcli omlii bull-lcctrumagiirticH plana di frecuencia ur si propaga a lo largo di- la guia ilt- onda
pound(fiacutel=f(r^)t r- iacute (21)
poundlt) = (riacute)t r-w ) (22)
iexclonde r es la constante de proiMtgacioacuten o nuacutemero de onda El problema fie contorno que
-bull iacuteu-duiT de liexcltgt fiiiacutenioins de Maxweil pura ondas ti|Mgt H en una guiacutea dr ondas ciliwtricn
-bullbull rxprrsa en la forma
bullbullon laraquo condiciones de frontera
-2- = 0 para r = a (24)
E = 0 cti todo el espacio
donde $ = H(r^) De la misma manera para las ondas tipo E el problema de contomo
tiene la forma
0 lt vgtlt 2ir
13
rtm las condiciones de frontera
= 0 para r = a (2C)
H = 0 til todo el espacio
donde ahora lt1gt = pound(r^) n es el radio ilr la guiacutea tic ondas
Los valores positivos
bull = -gtL = iquest - riquest (27)
determinan el con junto de valores propios correspondientes a rada una de las soluciones
lraquoTiiiisilles igt minios caracteriacutestico de la guiacutea de onda donde II y t son las constantes
de permeabilidad y permit ividad respectivamente del medio ipie llena la guiacutea de onda
GiiHTMliiHiite bdquo depende ile las (limensioiies geomeacutetricas de la guiacutea de onda de IacuteHJIIIacute
IJIIC siempre si puedan selerrionar los modos de propagacioacuten raquopraquoe se reijuieran
Por otro lado las componentes transversales de los campos eleacutectrico y magneacutetico se
determinan si se conocen las componentes longitudinales de los campos de la forma [8]
iT Eacutet = - j -Ve para ondas en modo E (28)
a iT H = - mdash V para ondas en modo H (29)
Traquonigt
Ademaacutes las componentes transversales de ambos campos (eleacutectrico y magneacutetico) se relashy
cionan mutuamente romo
14
H = ~iquestbdquo x Eacute (210)
aonde ~bdquo es un vrrtor unitariti dirigido a lo iexclarjraquo ltlcl eje 0 y Zf laquo la iiiipedanria tlr 1raquo
onda tiraquo modo E Igt H respectivamente
cT Zf = mdash igtara ondas en modo pound (211)
ZH = mdash=bull pnra ondas en IIIIMIII H (212) cT
Las efiiiexclirioiiigt (23) y (25) determinan problemas de valores propios ron sus corresshy
pondientes condiciones de frontera Cada turn de las soluciones nos representan diferentes
bullnodos normales unos transversales eleacutectricos y otros transversales magneacuteticos corresponshy
dientemente
32 Paraacutemetros de propagacioacuten
De la ecuacioacuten (27) se tiene que para cada valor de bdquo y correspondientemente de la
frecuencia se determina un valor para el nuacutemero de onda
r raquo - ^ - T Iacute (2i3)
En general T puede ser una cantidad compleja de donde podemos distinguir tres casos
a) siacute (tt^ gt y^n entonces T es real y define un modo permisible de propagacioacuten es decir
la onda se propaga libremente a lo largo de la guiacutea b) si ftfty lt 73nn entonces T es una
cantidad compleja de donde la onda se amortigua exponencialmente y c) el caso cuando
15
r = 0 ilefiiu la condicioacuten di- rortlaquo la nial separa los casos a) y li) Asiacute podemos definir a
la friTuciina de corte romo
Wbdquobdquobdquo = -J=-bdquo 1214)
y expresar el nuacutemero de onda en funcioacuten de ella
r = ^ ^ - ^ (215)
Para ftecuencin- uiiiyores ijue la de rorle la onda se propagii a lo largo de 1raquo guiacutea En
el ruso contrario pitra freriietiriuumls menores i|iie lii de rorte 1iexclgt onda se amortigua Otra
caracteriacutestica imporiiiiite la ]iodeinos olilenei de la bullbullxpresioacuten 1213) Va |IH- el nuacuteniero de
onda r siempre es menor ipie su valor en un espacio lilire entonces Ii longitud de onda en
la guia es siempre maacutes grande
y 77 7ngtt
Anaacutelogamente definimos una longitud de onda de corte o criacutetica (cuando A = 00)
Af = yiliacutemdash (217)
y expresamos la longitud de onda cu la guiacutea cu funcioacuten de ella
A = _ j (218)
donde A es la longitud de onda en el vacio Dr aquiacute que la onda se puede propagar a lo
largo de la guiacutea de onda uacutenicamente para longitudes de onda menores (pie la de corte
0
~ y - i y
_bull-
_ 1
bull i
iexclA
0
0
- gtiacuter
JfT7 ~ m
n
0
raquov
^ yJZliacuteiiacuteiacute
9C
Imaginaria
V
mdash _ l _ - M i l
0
Imaginaria
A
-Jraquo-$mdashil
X
Imaginaria
Tabla 21 Iaraacutewotrus ele propagacioacuten para onda ltrn moiio pound y cti una guiacutea ltlr onilas
Miacuterica uniformraquo
Por otro hielo iexclgt viliraquodegiiliexcliltl ltli fasr iiexcl riexcl un medio bullbullgt uisiraquo JraquoILIIlt1laquo ijiii- su Viilor III el
Wigt
7 = r
(219)
Por debajo del punto dlaquo- corte 1raquo velocidad de fase es imaginaria y pierde asiacute su sigshy
nificado fiacutesico En el punto de corte la velocidad ltlr fase se viirlvr infinita Un liccho
importante resulta serel que la guiacutea dp ondas es un sistema dispersivo aun cuando el
medio que llena la guiacutea no lo sea (la velocidad de fase es funcioacuten de la frecuencia) La
velocidad de grupo de la onda tiene la forma
tortt 1
(220)
En la Tabla 21 se resumen los paraacutemetros de propagacioacuten para una guiacutea de ondas sin
peacuterdida de energiacutea
1
33 Coeficiente de absorcioacuten
El finjo laquole inicrgiacutesi raquobull describe por ltbull vlaquo-ctigtr cimiplejo di- Piacutemiling
Sbdquo=[iquest]i[poundxW-j (221
su parte real nos dh el finjo di- energiacutea promedio plaquogtr unidad de tiempo y por unidad de
aren La romponeiite axial de Su representa el flujo de energiacutea prmimlio a lo largo de la
guiacutea Por lo tanto d flujo total promedio de energiacutea que se transmite a lo largo de la guiacutea
de onda e- la integral de la componente axial del verfor laquoIr Poyntilig evaluada sobre IIMIIacuteI
la weeioacuteii transversal de la guiacutea de onda
HilU^1 - iacute2-22) donde iquestbdquo es un ver tor unitario a lo largo del eje ()
Hasta el momento se lia considerado laquopie las paredes laquole la guiacutea tie laquonula son conductores
jraquocrfectigts in tal caso el Unjo total de energiacutea conserva su valor a lo largo tie la guiacutea laquole
onda Sin embargo en problemas reales la conductividad de las paredes tiene un valor
finito debido a ello existe muiacute fraccioacuten del flujo total laquole energiacutea que se absorlw |araquor Inraquo
paredes Dlt- aquiacute qtw la expresioacuten (222) representa uacutenicamente el fhyo tie energiacutea total
que entra a la guumliacuten de onda y cuyo valor decrece durante la propagacioacuten de la onda es
decir se generan peacuterdidas de energiacutea En la praacutectica tales peacuterdidas se consideran muy
petmentildeas considerando que siempre existe una fraccioacuten de la energiacutea que se pierde ya sea
en las paredes o por la presencia de un dieleacutectrico que llena la guiacutea de onda En tal caso la
laquoMida se amortigua en BU propagacioacuten y la constitute aacutee propagacioacuten time en consecuencia
una parte real y una imaginaria
18
r=i~m (223)
iultif i gts vl factor laquoit- iacuteiisi- y gtbull vi n^bulltirivuu- tU- iexclilisorcioacuteu o ltlr iacuteiiuortigiiaiiiii-tito E
cticiacutetiif ltli- iexcligtlaquouiri(raquoii ltbull Juumltllfi laquoir iexcllti rrhiritu
o = raquo +ltu (224)
bulliiiidr IIbdquo y o son los nlaquofiriciiiigt di- alisorrioacuten ilrliido n liexclis jx-nlidiis de energiacutea en las
m|t-iligt iin-luacuteliacutei-iraquo y 111 Illtilio diacuterliiirirai i|lilaquo- iexcllililiacute 1iexclI Riliacuteii rcspi-itivamriiti CiMisiiii-railiio
1iexclII |gtctiliiliexclis l l i -d ir ig iacutea ilr hi rxprrsion (2231 gtbullbull indure que los nui i )ms MUIacute propiui-ionalcs
bull bullbull tUUiexclltfgt rxpnililinal raquo i Ir ilonilr lii |MitgtIniacuteiexcli (222) laquo|lir sr transmitiacute iexcli iigt largo ltlr lli
bulliacuteliacutei ill lllllli llisillillliyr iexclI lo litigo (Ir (II la furnia
raquo(-)= Pbdquogt -- (2251
Por tamo la roiistiwtr de amortiguamiento o de alisorcioacuteii se definiacute- como ln razoacuten de
i poti-uria i MI il i ii bullbull lio lli eiirrgiacuteli (ptr si pierdr por unidad ilr longitud c u t i r il flujo toliil
promedio ilr rut-rglli lt|lie se transmit a lo largo di liexcli guiacutea gtllt onda
mdashiquestiacute-
34 Guiacutea de onda cilindrica Modo Hbdquobdquo
Nuestro principal intereacutes se centra en las caracteriacutesticas de propagacioacuten de ondas electroshy
magneacuteticas en modo Hnn en las guiacuteas de onda cilindricas Consideremos que la guiacutea de
onda tiene paredes conductoras perfectas y qui el iiexclgtgt dio que llena uniformemente la guiacutea
19
fcciMTraquo |Mrililiis laquoIr m c r g iacute a ilispiiviiilili-j Parraquo bulllaquolaquobullbull rwsn IIIN MIIIUIacuteOUIS n IIHgtI)Igt~ |MTIIIIacuteSIacuteIgt1IVS
ili- priiptiiuumlniiiii i|i 1iexclI r i i i iu ioacute i i (2 3 ) MHI
( bull r-t = CbdquoJJ- r)~laquoif (227)
laquolimilr Ci lt-- una ionstatiii y la rlaquotiltiirioacuteii ltr iacuteroutrrn (24) mjiriiTr jiir 1ltraquogt laquoiliircs propios
IDIIIIII la forma
bull t
bdquobdquo = mdash = U 123 122$) bulli
n = 123
Aipiiacute )bdquobdquo -un la raiacuteivs n bullbullMinas laquoIraquo la dnivaila ilr la fiuirioacuten gtlt- Ui-ssrl ili- unlcii m
JJjr) - Di y n rs il railin inlriim ilr la guia ir ondas Exislr un minino iexcliitiiiiln bullbull
IIHMIOS i|iu MUIacute -iiliniuiirs ilr (23) IIIII la i-igtiiiliexcli-iacuteoacuteii ili friitiliTa (24) Col aymla ili- (2Iacute))
y (210) iilitiiHiniraquo las rxprrsioiirs para las i-oinpoiimtrs transvirsalrs laquo1raquo- los campo ni
iminliiiailiacutei- riliacuteiiiiiiias y nitoiiri-s csiriacuteluacuteiiios las roiiipoiiriitcs ilr los i-ampos ni la furnia
H = C o ^ j h r ) trade m ^ i r mn
H = plusmniexclCo~-Jbdquohnnr)Zwir- (229) Inn r
E = 0 r laquoi
E = plusmniCbdquoZH-i Jmhmnr)ZtradeltigtriV-Tmn r
E = -iC0ZbdquoI-Jm(lmnr)Z^ert
donde los signos plusmn corresponden al en o co respectivamente y In expresioacuten Jm indica la
derivada ron respecto al argumento Jm = f- Sustituyendo (228) ni (213) w obtienen
20
gt valores tie la constante de propagacioacuten
r = Jfi- - iraquo (230)
Comraquo sc olwerva las ecuaciones (229) estaacuten doblemente degeneradas yraquo rpte uno de
lgtraquo ranijios se convierte ei el otro al girar ir2 alrededor del eje de la guiacutea
Determinemos lo paraacutemetros de pro|gtagiacuteicioacuteii para una guiacutea de inula cilindrica hueca
al variraquo) y de radio laquo = 425cm en la nuil se propaga una onda en modo Htl Considerashy
remos primeramente que las paredes de la guiacutea son conductores perfeetos En In siguiente
rioacuten se consideraraacute que estas tienen una conductividad finita
De acuerdo con (21C) toda onda electromagneticraquo podraacute propagarse en una guiacutea de
ouda de tales dimensiones si se cumple que su longitud de onda de )n primera es menor
que la longitud de onda critica Para tuia guia cilindrica se tiene
lisa A c = ~ (231)
Lolaquo dot modos inferiores Ha y JI para ondas de tipo H tienen las siguientes longishy
tudes de onda criacuteticas (en este caso iexcl = 18412 y j i t - 30542 [11])
Xe = 145cm (232)
Ac s 87cm
respectivamente Se puede demostrar que el modo pound0i es el modo fundamental para ondas
de tipo E Este modo tiene una longitud criacutetica
21
X = l l l f w (233)
Pur laquogttrcgt lhiii litraquo lougitiidcgt de inula rritkas lth- Uraquo siguiente modos ruiperiores ile muiacuteas
tipo H y li|xgt pound son menores que Itraquo valores 87rm y l l l m i rt-s]gtrrt miacutemente De aquiacute
que UMH onda clerirouiagiieacuteiira pueda propagarse en la guiacutea si su longitud lti onda laquobull
bulllienor que 145rraquoi Si ademaacutes fl valor de la longitud (ltbull ouda si- emueiilra en el iexclineacutervalo
11 lrjn lt A lt 145rru cntimres el jnodo H es el tiuiro que puede propagarse a lolargo
ile la guiacutea de onda
Eli figura 21 M muestra las vising tranvt-rsal y longitudinal de la estructura de los
bullaiii|Hraquogt en modo i | Aquiacute se 1gtI tomado la parti cosciioidal de (227) A continuacioacuten
e dan |igts valores de los paraacutemetros de propagacioacuten en el easu de IMIIIJIS clcrtronuigiieacutetiiiis
laquoMI iacutenriiencia w = 1539 x 10iacute (A = 1224nraquo) que si- propagan cu la guiacutea de onda
en nioilo | | Los valore se obtienen utilizando las expresiones correspondientes de la
seccioacuten (52) o de la Tnlila 21
Ar = 145laquoo
u w = 13 x 10luc
T = 02753cm-
A x 2282cro (234)
Zbdquo laquo 187 (i = l )
v = 5C x 100cm
w = 1CX10 OCTIIIacute
22
^mdashmdash Imea de campo eleacutectrico
mdash --Linearaquo di- campo magneacutetico
o Campo magneacutetico normal (hacia fuera ilr la hoja)
f ( ampo magneacutetico normal (hacia dentro di- la hoja)
Fig21 Vista- irahversal y longitudinal de la pstrurltira de Itraquo camporaquo ltn trimlo iacuteliexcliexcl La vigtti
otigitudial correspondiacute a un aacutengulo u = 90deg Figura tomada di- [bullgt]bull
i
Notemos (|Uf il iexclmaacutelisis anterior se inicioacute con una guiacutea dr onda de fliiiiensicmlts traquo-
gtltriacutetiacutecaj De- ahiacute se prosiguioacute a encontrar las onda electromagneticraquo npropiadas tale
que el modo fundamental H de la guiacutea de onda sea cl uacutenico que se propague Lo contrano
tambieacuten resulta vaacutelido es decir si se cuenta con una fuente de microotidas cotiacute determishy
nada longitud dr onda se pueden encontrar las dimensiones apropiadas de la guiacutea tales
que uacutenicamente se pueda propagar el modo fundamental
35 Coeficiente de absorcioacuten Modo Hmn
De la expresioacuten (226) determinemos la laquomulante de amortiguamiento debido H la conducshy
tividad finita de las paredes metaacutelicas para ondas en modo Hmn Primeramente calculemos
23
vi fltijiraquo total protiwlio ili laquowgia (222) r nial lunik bullbullscriiaacutersr IMI trrmiiins laquobullbull la funcioacuten
[gtrraquotgtiii bull at la forniH
iacutelowlc
= CMtmnr )rtismf (23C)
rlitotiirs
Praquo = If 1 Uw-T-KU [rIfjbdquor)nlaquoiquestraquoSlrlT-
= [iquest]^raquo^-Kraquol7rJraquo-rr- lt2-37)
La integra] ili- (237) sr cvaitwi utilizando la igualdad [12]
y CMisiacutedcnuidraquo IJHC la couiliriuacuteii de fruirtrra (24) rirquirrr ijiw Jm~innr)rmn = 0 DP rata
manera se obtiene el resultado
En el caso particular de ondas en modo Hti se tiene
La expresioacuten (240) puede escribirse en una forma mas conveniente
24
ionde
EJlJampuumlL (242
bullbull lii amgtIitultl del raui)Mgt eleacutertriro en rl bullbullclilro ltle 1raquo serriacutenraquo transversal laquobull 1raquo jiacuteiliacuteuuml de mida
La relanoacuteii (241I nos muestra rliimuienti- la iii-|n-iiiletiriacuteii rufidraacutetini ron n-sperrraquo iexclil radio
bull lti EUiiacutei ilil finjo total ]gtroiniilio ili- eneruiacuteraquo gt|raquo iitravicwi 1iexclI MTIIacuteIIH Iriexclmsvi-rsiil de 1raquo
uniacutea ib- omlu
Por otro lado la potcnria iacute|iic se pierde por mudad di- longitud (Mudo raquo las corrientes
u|gterfiiialc laquoi laraquo paredes metaacutelicas di- la guiacutea se expresa mediante la iutrgral de contorno
alrededor de la frontera de la guiacutea de onila) de las componentes tangenciales del campo
Magneacutetico en la fonna
p - dl
donde ntilde es un vector unitario normal a la superficie de la guiacutea de ondas ir es la conducshy
tividad de las paredes metaacutelicaraquo y S es el ancho de la capa piel expresada como
tiexcl es la permeabilidad magneacutetica de las paredes metaacutelicas Por tanto cotiacute ayuda de las
expresiones (229) se obtiene la potencia promedio que se pierde eti las paredes
25
- iexcl eacute f ^ - f (duuml]laquo 1245)
Fiiacutemlniiacuteiiti- di (245) y (240) bullbull oliticur la ruitstantr de Hiimnigiiuiiiitiitnpara el utixlo
I24G)
En vi raso ili- ondas ltw w propagan iii laquoI IIHMIO Hlt (MMII-IHH- laquoIr (24C) IDII raquoraquolt = raquo = I
obtener
f r i t o r sampsY+ traderaquo]
- - Id laquo-iexclzsf L v ( Siacute consideran)raquo tua guiacutea dr onda hurra ot dicir = 1 ni laquoti interior cotiacute paredes
metaacutelicas de broncr de conductividad a = 1413utg2crgaegnn) y radio a = 42vcm
en IB cual se propaga una onda en modo fiacuteu con una longitud de onda en el vacio de A s
1224cm (w = 15394 x 10degi) entonces obtenemos que la constante de amortiguamiento
tiene el valor de
om = 1032 xlO4 (248)
El valor anterior noraquo indica que a la distancia x = 0C88raquon la amplitud del campo eleacutectrico
disminuye 1e veceraquo de su valor en i = 0 De donde la constant v rlr amortiguamiento es
26
sntirp-itttniKiit nt-m-ntildea para considerar una guiacutea If onda laquoit unos riacutetanlos metros laquoit-
lUgitiiuacute romo una guia gtlr (tuda ideal (sin peacuterdulas)
4 Cavidades resonantes (resonadores)
Vu disjiositivo de gran importancia praacutectirtt y estrechamente relacionado ron las giriacuteas
ltbullbull onda son las cavidades resonantes Coinraquo w sabe una cavidad resonante (resoiimbir)
bull - privi-aiiii-iitr una cavidad roinpletameiit) armada por paredes nietaacuteliias Ins riacutetales
prewiiraii ilti propiedad tllt- podriacute alijiart-uar energiacutea eiertruiiiaRuitira tMeilanie Llaquoraquos riso-
iadores han sido ampliamente estudinilos en la misma magnitud ipu- las guiacuteas de ulula [13]
Anaacutelogamente al estudio de guiacuteas de laquonula gte ha resuelto el problema de 1laquoraquo resonadores
bullbull si-rrion transversal arbitraria routenieudraquo cu su interior un medio liiMiiogt-iraquo laquogt con IOIJS-
antes y t [S] Un estudio de los resonadores de formas particulares y de importancia
praacutectica se puede encontrar en [9] Ademaacutes una analogiacutea rlaquom liw circuitos resonantes se
(iescrUumlM en (II)] Con res|x-ctraquo a esto uacuteltimo podemos decir i|iie los rlaquosraquonailores tienen
la ventaja de ser superiores a los circuitos resonantes I - C en un factor laquole 20 laquos laquolecir
iexcla fraccioacuten de energiacutea almacenada laquopie se disipa por ciclo en un resonador es alrededor laquole
1 20 de la fraccioacuten disipada por ciclo en un circuito L - C [14]
41 Caracteriacutesticas generales
Consideremos una cavidad cilindrica hueca y acotada por un conductor perfecto Fijemos
el eje 0 de nuestro sistema de referencia a lo largo del eje de la cavidad cilindrica y
Mipongamos que la longitud del resonador esta acotada entre - = 0 y z mdash d
27
Un ri-Miiiitilor pucxlr i-oiisiilcriirsc mino unraquo guiacutea ltgtbull olida finita ilimih ltlaquobull tiww laquo|ingt
iexclumilir la rotiiliacutecioacuteii di- froniirit
para ltmdagt t-n modo TM
(Mirtl Otlflugt Ill IIMMIO TE
EbdquoM = 0 (249gt
HUbdquoi = 0 (250)
En itiilii linn illt- braquo sii](rrfiiiigt plana gtbull iilruumllnniitr ngtniltiitigtragt rxistr rcriixioacuteu di-ondas
El ti|Mgt lit iiiidii i|iilt- M- irrii iexclil siiprrpoiuT iliraquo ondas ilritroinatnitiias ron iexcliinplttudis
iguales y propagacioacuten en sentidos opuestos es ]iri)|iiiexcliinciiir rl di- uni onda estariouarin De
donde las rigtui]M)iiilillts axiales ilr 1ltKS rniupos ilclxn ttinl bullbull forma
para ondas en moiin TM
E = ( r r - )oi ^ - ) = 0123 (251)
para onda cu modo TE
H = Tf)raquoeM^-) j gt - 1 2 3 (252) o
Laraquo componentes transversales de los campos se determinan de (28) y (20) Para
ondas en modo TM obtenemos
28
Jfr = mdashT-cogtbullmdash )bdquo x V
(253)
vrrrgtjlaquogtijiiiciitfuifj)tc para ondas wi modo TE
pound = _ittif iacute iacutef)i1yr
W = iacutefJ_bdquo s (^)V
(254)
poundgtbullbull in-s riiiiiliiioliiN de frontera (249) y (25U olrtnirmos lt|iir 1iexclI ionstiuiti- ili- propagacioacuten
ltgtiitii 1ltraquo valores
r = uumlf = (0)123 ti
bull iexclonde de In ecuacioacuten (27) los vnlonv propio so expresan romo
(255)
(256)
La ecuacioacuten (25G) forma un conjunto discreto de valores que determina la frecuencia
bull ir resonancia para cada valor de p y bdquo es decir a cada tipo de onda estacionaria le
corresponde una frecuencia propia
vJ (257)
29
Fig22 Litraquo midas rsUt Miliaria- ilgt mi rismnclnr lidien en su lifiigiliitl un iiiiniTii IIIIITH ilr
niilMlcraquo lie la loiigilini tit- IgtMltU St- miii-sira H raso para )gt - Iiquest41 bullbull U exprntiiiacuteii iquestat)
En alaquoManii si mi si ritiniiita otra rosa raquobull omiten los Milmidiees rtii y laquopie ranraquo
UTIacutezan los modos laquoIr oscilacioacuten Ln resultado iiiiportaiilr laquole la ccuaraacutem (257) e laquopic se
pueden elegir Ian dimensiones ademadas ilcl resonador lie tal forma laquopie este opere ni una
frecuencia uacutenica de resonancia
Si comparamos (255) con la expresioacuten general para la parte real de la confitante de
propagacioacuten T = 2irA se concluye que para cada modo de resonancia la longitud del
resonador es proporcional a un nuacutemero entero de mitades de la longitud de onda (Fiacuteg22)
d s p ^ p laquo ( 0 ) 123 (258)
El caso plaquo0 correspondiente a la condicioacuten de corte para ondaraquo en modo TM tiene un
30
Mereacutes partieular ya qne eu este caso la longitud de nuda tiende a ser infinita entonces de
laquobullcuerdo ron (258 obtenemos
d - 0 bull oo (259)
ie donde la longitud del resonador esta indeterminada Los modos correspondientes a
gt raquo 0 existen en el resonador para cualquier longitud de la cavidad
Una propiedad de las ondas estacionarias es que loraquo CMIII|MgtK eleacutectrico y magneacutetico se
encuentran defamados en ir2
-ll = rt + iexclJ (2C0)
iielndu a ello existen instantes de tiempo en el resonador en que existe uacutenicamente el
bullampo eleacutectrico y momentos en que solo existe el rompo magneacutetico Como resultado de
este defasamiento el vector de Pijymiug resulta ser UIIH magnitud puramente imaginariacutea
de donde ai promedio con respecto al tiempo no existe transmisioacuten de energiacutea ya (pie el
valor promedio del vector de Poynting resulta ser indo Su - [ pound ] IitEacute x iquest ] = 0
42 Energiacutea almacenada y calidad de los resonadores
La energia total promedio almacenada en todo el volumen del resonador es la suma de las
energiacutearaquo eleacutectrica y magneacutetica promedio almacenadas por los modos normales
W m WE + WH (261)
donde
31
HiliacuteX-trade 2 M gt
Yraquo que en el resonador no hay MU flujo neto de energiacutea entonceraquo cu el cano en lt|Ur el
medio i|w Urna 1raquo guiacutea no genere |raquoeacutercliltlas di- energiacutea la energiacutea eleacutertririacutei y magneacutetica
promedio seraacuten igualo entre si Hiquest- s Wraquo Evaluemos la energiacutea total promedio alinarc-
tiada en el volumen del resonador |gtara ondas en modraquo TEmnf En este raso se tiene
=[iquest1U bull (2C4)
la cual puede expresarse cu teacuterminos de la integral de area tie la (tuicioacuten propia
= H(riacutep) evaluada sobre ln seccioacuten transversal de 1raquo guiacutea
bull-[iquestliacuteHs)]-- donde bull tiene la forma (227) Tomando uacutenicamente la parte cosenuiacutedal de (227) e
integrando de la misma manera como se evaluoacute la integral de (235) obtenemos
toT 47V ^n-m)Jmi^a) (266)
Para el caso particular de una onda en modo TEui se tiene
32
= [iquestiexcl](0375)|poundi|laquoib2 (2C7)
donde
1 1 - ^ (2-68)
raquo el valor di- lu magnitud tlt-1 riiinpo eleacutectrico en el centro di- la seccioacuten traiisveriMi) del
resonador
En griirral pura resonadores i n h siempre hay absorcioacuten ib energiacutea 1st nial se reashy
liza principalmente por dos raualcs a) porque el medio (pit- Ik-iui lu guiacutea es un medio
absorbente y Iraquo) debido a la conductividad finita de las paredes del resonador En cada
uno de estos casos las frecuencias de resonancia se vuelven cantidades complejas las ruakt
podemos escribir en la forma ugt = w + iw Entonces si la dependencia temporal de loraquo
campos es de la forma
Eacute(t)laquo Ac1 (269)
obtenemos que la energiacutea total promedio de un modo normal en un resonador real es
W(t)laquo W(0)e-3 (270)
donde se observa que se pierde al transcurrir el tiempo W(0) es la energiacutea total almaceshy
nada en el resonador en r = 0 Introduzcamos un paraacutemetro llamado factor de calidad Q
definido como 2n veces la razoacuten de la energiacutea almacenada en el resonador promediada con
respecto al tiempo entre las peacuterdidas de energiacutea por cada ciclo de oscilacioacuten
33
Qenrroiu ulmactnnda
SS itj mdash ^ mdash mdash ^ mdash ^ mdash mdash
jttrtlidim lit tnergtn
= wmdash IV
PmAtf
donde
(271)
P = - ^ I27-raquo)
egt la potencio media qui sc absorbe en tin ciclo de oscilacioacuten debido n las corrientes
superficiales de las |Ktrtdes del resonador (comparar ron la ecuacioacuten (224)) Di (270)-
(271) piulemos obtener que Q = raquo-2u Por lo tanto la frecuencia raquogt laquobull pnctlc expresar
a traveacutes de Q romo
=yj1 + eacutejh 273)
43 Excitacioacuten de los modos de oscilacioacuten
En el problema de un resonador ideal (sin jroacutedidas de energiacutea) cada modo de oscilacioacuten
tiene perfectamente definida su frecuencia propia de resonancia (257) Esto quiere decir
que si se quiere excitar un modo particular de oscilacioacuten en el resonador la frecuencia
de excitacioacuten debe coincidir exactamente con su frecuencia propia de resonancia En
problemas reales esto no ocurre y en lugar de ello se cuenta con un banda de frecuencias
alrededor de la frecuencia propia en la cual el modo de oscilacioacuten puede ser excitado La
existencia de esta banda de frecuencias se debe a que existen peacuterdidas de energiacutea
Para mostrar lo dicho anteriormente notoacutenos que las oscilaciones del tipo (260) se
pueden representar como una superposicioacuten de oscilaciones estacionariacuteas Supongamos
34
i le el campo electromagneacutetico se crea en el instante f = 0 y se le laquoleja oscilar libremente
para t gt 0 Obteniendo su transformada de Fourier de (269)
iquest(w) - p rt+Uacutet+Vt- (274) 2ff Jo
y evaluando la integral en (274) considerando que pound(t)| lsec = 0 se obtiene
cuyo valor absoluto es
eacuteMl = M mdash i ^ (27C)
La ecuacioacuten (27C) nos da un conjunto de curvas de resonancia para cada modo de
oscilacioacuten Cada graacutefica tiene su valor maacuteximo en w = u (Fig23) Los puntos ltii los
cuales la curva disminuye lgtsect de su valor maacuteximo se llaman puntos de potencia media y
su separacioacuten en frecuencia se denomina ancho de banda A cada punto de potencia media
le corresponden las frecuencias
w3 = w + ^ (278)
de donde obtenemos que el ancho de banda detennina el factor de calidad del resonador
en la forma
laquolaquo5 a raquoiquest- ltraquogt
35
IlaquolaquoM
Fiacuteg23 Curva (Ir resonancia para el mudo de oscilacioacuten a- Loraquo puntos |rV(laquo-|)| y |MJ)I son
lot punto dp potencia mediacutea y raquoraquo separacioacuten define el ancho de banda
Si las peacuterdidas de energiacutea son pequentildeas entonces las bandas de frecuencia son estrechas
Sin embargo siacute las ]ieacuterdidas son considerables entonces las curvas (le resonancia pueden
llegar a sobreponerse una sobre otra provocando la excitacioacuten mutua de los modos de
oscilacioacuten
44 Resonador de forma cilindrica
Consideremos ahora un resonador cilindrico Primeramente obtengamos las soluciones de
los campos para una onda en modo TE en un resonador ideal y posteriacuteormeite calculemos
la Q del resonador para este modo debido a la conductividad finita de las paredes metaacutelicas
Para este tipo de resonador y para ondas en modo TE las funciones propias o solucioneraquo
36
correspondientes al problema transversal (23 tienen la forma (227) ron los valores propios
1228) Ademaacutes con ayuda de las expresiones (234) se obtienen las expresiones de las
componentes transversales en coordenadas cilindricas y entonces escribimos los campos
en la forma
pit H- = C0Jn(mrr)cos(mj)sen(mdashz)
Hr = -r-mdashlt0-m nr)laquow(mi)laquow(-j-) O ~lmr O
H - -raquo -3 pound - -Jlaquo ( -mr)raquoen(ms)oraquo(5) (280) laquo in r laquo
E = 0 iCriquestft m laquor
E = mdashJB(-mraquor)iacutetrw(raquoraquof )rraquoi(mdashs) win
_ iacutei Co WK poundw = Jm(TimRr)laquow(raquon^)raquocii(-j-iacute)
C mn laquo
Sustituyendo (228) en (257) obtenemos para las frecuencias de resonancia la expresioacuten
i raquo J c
wmn= 4 = J ^ + (^) g | (281) c
El modo fundamental para las ondas tipo TE tiene como subiacutendices m = TI = p = 1
Este modo TEm es el modo fundamental de oscilacioacuten en la cavidad si la frecuencia de
resonancia u m para ondas TE es mas pequentildea que la frecuencia de resonancia corresponshy
diente a las ondas TM (wougt) Se puede demostrar que si d gt 203a (a es el radio del
resonador dado en cm) entonces el modo TE es el modo fundamental de oscilacioacuten del
resonador [9]
Calculemos ahora la Q del resonador debido a la conductividad finita de sus paredes en
el caso de ondas en modo TE La potencia que se pierde debido a las corrientes superficiales
en las paredes del resonador se calcula en la forma
37
bull -1iquest]iquest r r bull -bull+pound[+ - 4 (2-s2) donde ntilde| y ntilde2 son vectores unitarios normales a iraquo superficie cilindrica y a las superficies
transversales circulares respectivamente La expresioacuten (282) puede reescribtrsreu la forma
bull= [iquest] iquest j f W + lraquolaquol2)U + 2iquest J-iacutelJiacute + IWPMraquo bull (283) Usando las expresiones de los campos (2S0) sr resuelveraquo laraquo inti-gralcs de (2S31 en la
forma
I r l l f fo l mfa r ~ UirJ 2vlaquo 2 1 + bullpound(bullgtbullgt+
+2|CIraquopound [ lpoundrAOr)+ bullO^] laquo] bull Haciendo el cambio de variable x = fr obtenemos
I laquo-1 IColraquo iexclda UffJ 2ffiacute 2 m ]Cppoundr |dlaquo UffJ 2ltriacute 2
1 +
1 + rraquoraquo
J Iacute O laquo ) + 2 ^ j f [2iacute Ji(gt+J(X)] d
^(70) + [(7laquo)3(l~)^(^)] (284)
Sustituyendo la expresioacuten de f = ^ )bull arreglando teacuterminos resulta
Finalmente sustituyendo (266) y (285) en (271) obtenemos el (actor de calidad debido
a la conductividad finita de las paredes del resonador para ondas en modo TEmnt en la
forma
38
Consideremos un resonador cilindrico en el cual oscilan ondas electromagneacuteticas en
nodo TEm cou una frecuencia raquobull = 15394 gt 10degr (A = 1224cni) El resonador es de
bronce de conductividad o = 1413 x lOlsutiquestergscm y tiene un radio interno a mdash Ion
Pitra este resonador determinemos en el caso p = 1 los siguientes paraacutemetros a) la
longitud apropiada del resonador b) el factor de calii id ilrl resonador y ltbull) el audio de
banda donde sr puede excitar el modo TE
a) De acuerdo con (258) la condicrlaquon de un resonador es tal qui en su longitud exista
un nuacutemero entero de mitades de la longitud aacutev onda
d P Px
2 V1-WW - - _ V l (287
Despueacutes de sustituir los valores respectivos de A o y de los subiacutendices que caracterizan al
modo obtenemos
d - T13cm (288)
b) El factor de calidad Q del resonador se obtiene de (286) expresioacuten que reescribiacutemos
para ondas en modo TEm en la forma
Ud (l + 0343amp4)
2nlt61 + 02092 + 02436$
39
La permeabilidad magneacutetica del bronce (je) no difiere Mgninrativanicntt- riel valor corshy
respondiente al del vacio (lt as ftc - 1) Entonces la longitud de la capa piel (244) resulta
A = 812x 1 0 - W (290)
Finalmente obtenemos ltw el factor de calidad tiem- el valor
Q = 404903 (291)
c) FinalriKiitf nilrtilt-inos el ujrlifgt di- llaquoiinli en el nial la onda en moilo TEw puede
ser cxcitaihi Utilizando (277) y I27S) obleiicnicraquo los punto ile ]raquoifriiriiexcli inedia
-bull as 153927 x iexcluHz
w2 ss 153952 x 10VH
Por lo Unto el micho de banda tiene el valor
ui2 - ugt = 000025 x 10Hz
Observemos que el ancho de banda es lo suficientemente angosto relativamente por lo que
uacutenicamente se excita el modo TE Se puede demostrar que la frecuencia de resonancia
fundamental para ondas en modo TM es uiolo = 1031 x l0nHz
40
CAPITULO 3
TEORIacuteA DE PERTURBACIOacuteN
Toda Teoriacutea ile Perturbacioacuten establece que en ciertos casos los problemas irregulares
aquellos que no tienen soluciones analiacuteticas exactas) pueden ser considerados romo rrjpi-
iexcliexclTVraquo que sufrieron cierta perturbacioacuten Cuando la perturbacioacuten es suficientemente pequentildea
u el problema irregular podemos obtener una solucioacuten aproximada conociendo la solucioacuten
ltiel problema regular [9] El meacutetodo perturbativo se ha utilizado extensamente en las guiacuteas
de onda Existen trabajos donde se analizan los efectos de las perturbaciones en lew valoshy
res de frontera [15] asiacuteromo de las perturbaciones generadas por un pequentildea muestra de
Vrrita en el interior de las guiacuteas de onda y resonadores [1C] En este capiacutetulo se describe
ia teoriacutea baacutesica del meacutetodo perturbativo desarrollada en |17] en el caso cuando las guiacuteas
de onda y los resonadores contienen un pltsma en su interior
5 El Meacutetodo de Perturbacioacuten en las guiacuteas de onda
En la seccioacuten (32) se mostroacute que la propagacioacuten de ondas electromagneacuteticas en guiacuteas
de onda cilindricas se describe en teacuterminos de sus modos caracteriacutesticos Cada modo se
caracteriza por su constante de propagacioacuten Dependiendo de las dimensiones geomeacutetricas
41
de la guiacutea de mida estos modos o bien se propagaraquo o bien se atenuacutean En ln praacutectica Ins
dimensiones de las guias de onda siempre se escogen de tal forma lt|iii- unir amenteacute se puede
propagar el modo fundamental
El caso cuando se tiene una guia de onda parcial o completamente Urna con un plasma
sir produce uu cambio en los paraacutemetros caracteriacutesticos principales laquopie describen a la
guia de onda Si el efecto del plasma en tales paraacutemetros es lo suficientemente pequentildeo
entonces la teoriacutea de pertubacioacuten resulta ser mur adecuada para calcular ln constante de
propagacioacuten
Consideacuterenlos la propagacioacuten di ondas electromagneacuteticas a lo largo de tiiiiacutei guiacutea de ouila
cilindrica que se encuentra parrial ltgt rompidamente llena ron un plasma inhomogeacuteneo Si
sujHHiemos (|iir las caracteriacutesticas del plasma son axialmente uniformes podemos encontrar
la constante de propagacioacuten y las distribucioacuten de los campos
La propagacioacuten de ondas electromagneacuteticas en las guiacuteas de onda con plasma se tlescribc
por las ecuaciones de caminiacute
V x f + i - J = 0 (31) c
VxH-i-pound=mdashJ (32) c c
La condicioacuten de frontera se obtiene suponiendo que la conductividad de lax paredes de
la guiacutea de onda es infinita
|ntilde x Eacute = ntilde Ntilde = 0 (33)
donde ntilde es tin vector unitario normal a la frontera En ausencia de plasma la parte derecha
42
gtbull (32) es cero y el problema se reduce a U propagacioacuten dp ondas en una guia dlaquogt ondas
ivieca (Cap 2)
Las amplitudes del campo de las ondas normales se determinan en la forma
Eacutet(f) = pound ( I j e - i raquo w (34)
(F) = j(rj ) e- i ( r -
iquestonde r esel nuacutemero de onda En ausencia de peacuterdidas T es real (F = iacutei) Vamos a
suponer que las ondas se |gtropagan a lo largo del eje 0 paralelamente al eje de la guiacutea dr
onda
Para ileterniinar la influencia del plasma en la propagacioacuten de las ondas rlrrtroiiiagm-
licas en una guiacutea de onda es coacutemodo descomponer las ecuaciones pura las componentes
longitudinales y ]gtcr]gtendiculares del campo Estas ecuaciones se obtienen al descomponer
los campos y el operador V en la forma
pound = 4 + poundx ntilde = fflaquo + Ai = Lpound) + fjpound) (35)
V = Vbdquo + V I
donde los subiacutendices X y || denotan las componentes perpendiculares y longitudinales es
decir su proyecciones perpendiculares y paralelas al eje de la guiacutea de onda O) Sustishy
tuyendo (34) en (31)-(32) y considerando (35) obtenemos las ecuaciones en direccioacuten
perpendicular y longitudinal en la forma
- ^ [ V x ^ + V n ^ + i - l i o x f j = - mdash iexcl 0 x pound ( ) ] (36) IUgt C C
f-Vx[VxEacutex)-Vtamp-i-iexcloampl mdashrJiexcl (3-7) w C tt
43
donde i0 es un vector unitario dirigidraquo a lo largo del eje O Las componentes longitudinales
de tos campos se relacionan con las componentes jicrpctidiculares jKraquor liis expresiones
OZfy+^ftE) = [VxJbdquo (38)
Al = - - V x f ^ (39)
Ahora considerando que las ecuaciones de Maxwell son expresiones lineales es decir
que la combinacioacuten lineal de dos de sus soluciones tambieacuten es una solucioacuten y anaacutelogamente
para las condiciones de frontera (24) y (2C) determinamos (pie una solucioacuten maacutes general
del problema de uiiiacutei guumliacuten de onda sin plasma es una superposicioacuten de todos los modos
]MKgtibies de proiHigarioacuten con valores apropiados para sus eoetiacutecieiites Si la perturbacioacuten
originada por el plasma es lo suficientemente ]H-ltiuentildeu iiodemos suponer (pie la desviacioacuten
de cada uno de estos coeficientes es pequentildea con respecto a su valor no perturbada Dr
aquiacute que las componentes perpendiculares del cam]Mgt en una guiacutea de onda con plasma
se puedan representar como una serie (combinacioacuten lineal) con resjiecto a las funciones
ortogonales poundfc y Hk que determinan las comjioncntes transversales de los modos normales
en una guiacutea de oudn sin plasma
k
Los campos satisfacen las relaciones de ortogonalidnd [18]
(310)
JsEacute-kEacutedraquo laquo Nttu
JtpoundixEacute]deacute = ZSttu (311)
44
iquestiuumlaacutef el su|MTUacutegtdiexclctraquo denota el complejo conjugado de los campos Z = cTgt para
ltJAH ti|Mgt H y Z = wcT para ondas tilraquo pound ltlaquo es el siacutembolo de Kronecker bu = 1 si
raquo = y iquestbdquo = uuml si i- = ) y la integracioacuten se realiza sobre toda lo serenan transversal ilr la
tub de onda
Utilizando (310) y (311) rocontratnos las expresiones para los coeficientes uiquest y bk
(312) iexclsntilde ntildexu
Sistiruyriiiliraquo las seriacutees (310) en (3C) y (37) obtenemos el sislrinii f|i- eriiiioacuteoiirs
poundlt5r + ilgttfraquo4 = -- |iquestux(pound))l l t (313)
Ely+W)4 = VJbdquo (314) iacute
Multiplicando (313) vcrtorialinciitc por E[Aacute y (314) jMraquor HlM e integrando en 1raquo seccioacuten
transversal dr la guiacutea de onda obtenemos ron ayuda de las roiidintildeoucs de norma (311)
laraquo ecuaciones
rA + X KzcLEacuteltsEacute^ 3 1 6 gt En el caso en que los paraacutemetros del plasma no dependan de i la dependencia de los
campos con respecto a z se puede considerar de forma exponencial como en (34)
Eacute(jyz) = Eacutexy)t-iT ntildexvt) = ntilde(xy)r
45
(317)
o t ( iacute ) = laquo- M ) = V eacute r
Sustituyendo (317) n i (315) y (31C) obtenemos
laquoriacute - - - S S L bull +Ssect bull Uuml- 318)
Luraquo fiimriidirs (31S) y (319) |xira diferentes k roiii|xmni un sisirmraquo ltb-it-imrioiies lioinraquo-
geacuteneus liacutenenlegtgt ron res|gterttgt n liis roeiit-ientes nk y laquoV Lu riiudiriitn ilr solubilidad (igual)id
a rifo laquobrl determinante) determina la constante ib- igtrigt|Mi)igtiOacuteM Sin roiUirjpi el sistema
(318) y (319) resulta ser un problema muy laquolifiril laquoIt- resolwr De alaquo|iiiacute i|iie iexclti laraquo partes
ilereelias laquole (31S) y (319) son lo siinritrntetueiitc |ielt|iirntildeaH |MMICUIUS emplear la teoriacutea laquole
|MTturlgtMrilaquon
Sil|Kgtlliciifllaquogt fjflf- la denudad lie mrrirntc H traveacutes ilel plasma es (laquornjxirriimal H tin
paraacutemetro pequentildeo podemos descomponer las (-nulidades airaquorgt y E cii tiTiiiiiiiraquo laquole laquowte
paraacutemetro
bk = ZKv lt3 2 0gt
r - poundrubdquo
46
donde el subiacutendice ( dentildene el orden de pequentildees Vamos a considerar que en ausencia del
plasma en la guiacutea de onda se propaga el modo fundamental de una onda tipo H denotada
por iacute = 0 Ademaacutes si en la aproximacioacuten de orden cero se tiene
poundi = poundgt pound = pound | |= 0 (321)
entonces
ltbdquo - Abdquo (322)
Tiacuteo) = iexcl1lth
Asiacute considerando las expresiones (320)-(322) de (318) se oliticne la siguiente exshy
presioacuten en orden cero para lax ondas tipo H
laquo(bdquo[(r(0) + rbdquo + )raquo- rg = -^f-1 pound bdquo bull J(Eacute)d +
cAuZ|o) Js
de donde rlt -7IacuteT7-L iquestiacutef(Eacute)ds- (323) 2ni
Para las ondas tipo H Z(0) = c-iexcl^- mdash ^ de donde obtenemos finalmente
TMampLtedeg-f[Eacute)di- lt324gt
47
La cantidad compleja r ( 1 ) nos repcscnta el cambio que sufre la constante de propinacioacuten
T |Hgtr la presencia del plasma es ilecir es la correccioacuten a primer orden en la constante de
propagacioacuten (I = T - Tf0)) Esta cantidad se puede escribir en forma de unraquo suma de
sus componentes real e imaginaria
r bdquo = AJbdquo - iAobdquo (32b)
siendo An) gt 4 ltgt(i) las fracciones de cambio de la constante de fase y de amortiguamiento
respectivamente ocasionadas por la presenria del plasma
En corn-spomlencia con (32-1) y escribiendo la densidad de ciirrietite cuino J mdash J + i j
( es la parte real y es la parle iimiginaria) las cautidades de (325) toman respectivashy
mente la forma
iquest 4 1 = - V ^ V bull (3-20)
iquestngt = ^ C J bull (327)
2JSEacuteiexcl-Jiexcld
Vpoundbullpoundbdquo
far sfr0-Eacuteltj
En medios lineacuteale) anisotropicraquoraquo e inhomogeacuteneos la densidad de corriente r relaciona
ron el campo eleacutectrico en la forma
J=aEacute =mdashampbullpound (328) 4ir
donde amp es el tensor de conductividad eleacutectrica Af = (iacute - ) i es el tensor de permiacutetividad
dieleacutectrica e es el tensor unitario
Utilizando la expresioacuten (328) podemos reescribir (324) en la forma
48
wJ ft R bull Aacute iacute bull Ed
laquo Wen
r ^ poundbullampbullpound (330
En las expresiones anteriores no hay que olvidar que el campraquo eleacutectrico se expresa romo
una serif con respirtn al paraacutemetro pequentildeo pound Las expresiones (324)-(330) corresponden
iexcli iraquo aproximacioacuten de primer oidrn La condicioacuten que si- debe de satisfacer seguacuten la teoriacutea
de perttirlsirioacuten ni primera aproximacioacuten es tal qult- 1raquo magnitud de cambio en la ninstaiitr
de propagacioacuten debe ser sinnpre mucho menor que la magnitud laquobull- la difereiiria entre las
riHiMniitcraquo ilc propagacioacuten di cualquier modo con respecto al modo fundamental
ri lt r 0 r m lt |ru - rt| para todo Jl^O (331)
o con respecto a A y Aigt obtenemos
(332) Aibdquo laquo iquest A^bdquolt |A -r | iexcl
poundltraquobdquoltamp Ao(1)ltt|iquestt-rraquo|
6 El Meacutetodo de Perturbacioacuten en los resonadores
Anaacutelogamente al estudio de las guiacuteas de onda conteniendo plasma en su interior el anaacutelisis
en los resonadores que se encuentran parcial o completamente Henos con plasma exhibe
cambios en los paraacutemetros principales que describen los resonadores huecos En la seccioacuten
(41) ae mostroacute que un resonador tiene un nuacutemero infinito de modos de oscilacioacuten Cada 49
modo se caracteriza jagtr su frecuencia de resonancia su factor de calidad y su corres|Hraquon-
diente distribucioacuten de CHII)|Kgt La presencia del plasma en un resonador priMlure princishy
palmente un cambio en la frecuencia de resonancia en la cual el resonador se encuentra
opilando y en el factor de calidad Si la influencia del plasma en tales ]gtaraacutemetros es sufishy
cientemente pequentildea entonces para el anaacutelisis de este problema podemos tambieacuten emplear
la teoriacutea de perturbacioacuten
Consideremos un resonador que oscila en una de sus frecuencias de resonancia y que
contiene un plasma distribuido axialmente Evaluemos los iambins i|ite se producen en
liexcli frcciMiiciii de resonancia y en el factor de calidad del resonador Las distribuciones de
ciexclim|Hgty las frecuencias de resonancia se obtienen integrando las ecuaciones de campo (31)
y (32) con la condicioacuten de frontera (33) En este caso la condicioacuten de frontera (33) se
iipliia en la frontera cilindrica laquoleiacute resonador y en las superficies planas del mismo En
ausencia del plasma los raiiipos satisfacen las ecuaciones (31) v (32) con la piiacuterte derecha
igual con cero
VxEacutek + imdashH~k = 0 r (333)
V x Hk - mdashEacutebdquo = 0 c
y la condicioacuten de frontera (33) Donde se ha utilizado el subiacutendice Jt para denotar el
modo k de oscilacioacuten en un resonador hueco con frecuencia de resonancia ui Los campos
Ek y Hi satisfacen las relaciones de ortogonalidad
jvEacutekEacutedV = NkeacuteM
(334)
JvIacutekntildedV = Lk6kl
50
donde el superiacuteiidice nos indica el complejo conjugado de ios cam]gtos y la integracioacuten
igt realiza sobre tftdo el volumen del resonador
Se conoce que todo camjx) vectorial se compone de la suma de una parte con divergencia
ltITltJ iparte solenoidal) y una parte con rotacional cero (parte potencial) Para observar
la it^iuencia del plasma en la oscilacioacuten de ondas electromagneacuteticas es conveniente utilizar
este hecho escribiendo el campo eleacutertriacuteco como la suma de una parte solenoidal y una
potencial
Eacute = Eacute + Eacutebdquo V Eacutei = 0 (335)
V x Eacutebdquo = raquo
Llaquoraquos vectores solenoidales Eiexcl y H ile un resonador con plasma se pueden representar
como una coinlgtiuacioacuteu lineal de las funciones vectoriales Ei y Ht tjue detenuiiacuteian las
componentes solennidalcs de los modos de oscilacioacuten en un resonador sin plasma
Eacute = 5 gt pound raquo (33C) k
H - J gt amp (337)
Usando (336) y las relaciones de ortogonalidad (334) se encuentran las expresiones para
los coeficientes a y 6
TV (338)
_jvEacute-EacutexaacuteV 6gt 5 mdash bull
Sustituyendo (336) y (337) en las ecuaciones de campo (31) y (32) y considerando (333)
obtenemos eacutel sistema
51
k 1330)
J^(traquow-a tuf t)5 = 0
Multiplicando escalarmentc la primera ecuacioacuten de (339) por pound y la MRIIIKIIacuteI JMW HJ e
integrando sobre todo el volumen del resonador obtenemos
[b^k - laquow) = pound Eacute] bull poundkM - ^ I Eacute TIV (340)
(JW-laquo) = o 1341)
El primer tmuiiacuteiraquo tit- la tlrn-rlm ltb (340) i-s IacuteRIIUumlI IIHI erro Siacute ili-sprjaiiio ltbull (341) fr
y lo sustituimos cu (340) otitciii-inos
iJiexcl - J)nbdquo = Jj^L(pound-k f(g)dV (342) iexclSi Jv t
tlmide
k = ^ laquo 4 (343)
y Vi es el volumen que ocupa la columna dr plasma Sustituyendo la primera expresioacuten
para a de (338) en (342) se obtiene la relacioacuten
2 Jv Eacuteiexcl bull JEacute)dV - a g - iacute - 4 trade ^ iquest r f v 044)
donde se ha remarcado la dependencia de la densidad de la corriente con respecto al campo
eleacutectrico Por otro lado se observa que las ecuaciones (342) y (343) para diferenteraquo valores
de k forman un sistema de ecuaciones homogeacuteneas lineales con respecto a loraquo coeficientes
a La condicioacuten de solubilidad (igualdad a cero del determinante) determina la constante
52
bullltbull propagacioacuten Si la parte derecha fie (342) es lo suficientemente pequentildea jiodeinoraquo
ltiijgtlear el meacutetodo |gterturbatiro
Suponiendo laquoue la densidad de corriente a traveacutes del plasma es proporcional a un
paraacutemetro pequentildeo ]gtodemos desromponer las cantidades OkM^ ) E laquogt teacuterminos de este
paraacutemetro
h = poundbdquo lt3-45gt
(
lioiide el suloniHir ( define el orden (le peqncntildees Si en ausencia del plasma sr excita una
onda lie frecuencia UumlIiexcl en el resonador entotires en la aproximacioacuten de raquorltbii cero se tiene
pound|o) = Eiexcl
a = eacutelk (346)
Sustituyendo (345) en (344) e igualando los coeficientes de la misma potencia con respecto
al paraacutemetro pequentildeo se obtienen las soluciones en distintos ordenes de aproximacioacuten En
primera aproximacioacuten para k = l resulta
gt bien
53
= 2 ^ ^ 347)
En gmrral J ( ) ) es tuia cantidad complt-ja i|ttr mis reprcscuta la i-orrerrintildeu a primer
orden en la fnriirncia compleja de resonancia (uim = m mdash wi) Di- acuerdo ron (274) esta
cantidad puedr escribirse en la fonna
-bdquo = Aw + IA iacute J (348)
donde i parir mil ltbull imaginuria nos detenniunii las fraoioiirs laquobullbull cambio di- la |Ktrtc real
de la fri-eui-iicia di- n-soiiamia y la calillad dri resonador rcsptitivaiiniitc ocasionadas por
la pn-Hcuciacutea del plasma
En corrispoiidiiicia ion (347) escribiendo y descomponiendo la densidad de corriente
ronio J = 3 + i 3 (3 lts la parir real y 3 i la partiacute- imaginaria) las rantidailps ib (34S)
tulliacutean rirspeclivaineute la forma
- raquo m _av-j (340) wi w iexclv Eiexcl bull EilV
Qi) un fvpoundiexclEacuteM
En medios lineales anisotroacutepicos c inhomogeacuteneos la densidad de corriente se relaciona
con el campo eleacutectrico en la forma (328) De aquiacute qtie )gtodamos reescribir (347) como
WIacuteII bull - mdash mdash s mdash s 351) 2 v poundJ bull EdV
Para evaluar las correcciones en segunda aproximacioacuten a la frecuencia compleja de resoshy
nancia se sustituye la correcioacuten a primer orden del campo eleacutectrico E - poundbdquo + pound en
54
3441 la rual se determina por la expresioacuten (342) al evaluar cada uno de los rieficientes
u ron k JEacute
trtonces las correciones a las partes solenoidal y potencial se expresan en la forma
V pound | bdquo = mdash V bullbullltpound) (354)
Las roiidiiioniK laquo|nr se ilrlx-n satisfacer pariacutei cpir la expresioacuten (347) KIIacuteI viiacuteliiluuml es tul
([iilt parsi i ^ tentniMM
^ (355)
y |Hgtra I- =
A M mdash laquo 1 (366)
bull(4) e l
55
CAPITULO 4
INFLUENCIA DEL PLASMA
Eu i-sti- i-itpitulo en base al meacutetodo perturhativo descrito i-n el capitulo 3 se obtiene
el gtiexcliiiil)io laquopie sufre In constante de propagacioacuten para lindas rleclioniagneacutetiras eme se
propagan iii miii guiacutea ile onda ciliacuteiidriiacutea que i-oiitieur en su eje una roluijjua laquolaquobull plasma
friacuteo iiiliimiogeacuteufraquo y magnetizado Ademaacutes se determina la vaniiiioacuten ite la frecuencia laquole
roouancia para las ondas electromagneacuteticas qui se eiiruentran oscilando en tin resonador
cilindrico que contiene una columna de plasma friacuteo magnetizado e inhomogeacuteneo distribuido
axialmcnte Si- calculan las variaciones de la constante de propagacioacuten de la fierucucia de
resonancia y laquoleiacute factor de calillad jgtara diferentes valores de wjJJ1
7 Influencia del plasma en las guiacuteas de onda
Vamos a considerar como paraacutemetro pequentildeo que el radio del plasma es mucho menor que
la longitud de onda y que el perfil de densidad de electrones es de tipo paraboacutelico con
respecto al radio Ademaacutes el campo magneacutetico externo se considera homogeacuteneo y dirigido
a lo largo del eje O (Fig 41)
Como ya sabemos en una guiacutea de ondas cada modo de propagacioacuten se caracteriza por
56
Bo
P L A S M A
Fig41 Sc inwsira nnraquo i laquolimiiia ilr plasma laquoIc ratlin rbdquo loi aliidi sobre el ltbullbull bull)bull- miacutea guiacutea laquole
ogtda rihiiilrii-a dc railio rt in rampo iiiagnrliro externo iquestV osla dirigidraquo a Iraquo largraquo del ltbull)gtbull (gt
t i rumiante propagation Su parte real o factor dr fane drtrniiiiin la vrinriibul ill- fiiw
iexcluiftitraraquo I 1 piirti- imaginaria laquogt riwrkienlc tic absorcioacuten tlrtmniiacuteia el raquoinltgtrtigiiiexcliiiiiexcli-iitigt
(ir los diferentes modos ir propagacioacuten El efecto que se origina ttiantiraquo se rolix-a IIIIIacuteI
columna de plasma dentro de la guiacutea de ondas es un cambio en la constante de propagacioacuten
De acuerdo con la teoriacutea de perturbacioacuten este cambio es proporcional a la razoacuten del cambio
de energiacutea dentro de la seccioacuten transversal que ocupa el plasma sobre el vector de Poynting
evaluado sobre la seccioacuten transversal de la guiacutea de onda
r r - u _ IM-bullpound _ bdquo
donde las cantidades con subiacutendice 0 denotan cantidades no perturbadas (sin plasma)
Para evaluar la constante de propagacioacuten (41) es necesario obtener las soluciones de los
57
campos eleacutectrico y magneacutetico dentro del plasma en teacuterminos del jiaraacutemetrraquo peipientildeo
Para el caso de un plasma friacuteo cuando la velocidad de fase ile lsts nudas electromagneacuteshy
ticaraquo es mucho mayor (pie las velocidades teacutermicas di las (laquoarticulas si- utiliza el modelo
hidrodinaacutemico Debido a la simetriacutea cilindrica del problema su]Mgtngamos ijiacuten- los campos
tienen la forma
Eacute = iquestj(r)rr+--
Expresando la ecuacioacuten de onda
V x V x Eacute - ^r-iacuteEacute = 0
(42)
(43)
en coordenada iiliacuteiiltlriras se obtienen las eniariolies para las componentes del ranipo
eliVtriro i-ii la forma
igt
i-e- - mdash - DE = --Mt - DE + mdash(poundj + rr r r r r
E + - pound + (mdashv - ) pound = pound- + mdash (rpoundr) bull r r r r- r
(44)
(45)
-rcEr + iru(e - 1)poundJ + mdash | - i laquo ( f - 1)pound + poundpound] + rraquopound3 = 0 (46)
Aquiacute las primas indican una diferenciacioacuten con respecto a r l es el tensor dieleacutectrico en
la forma [19] (Bu esta dirigido a lo largo del eje 0)
poundraquo -
pound
0
pound 0
o vi ( t iquestu(e - 1) 0
= - t u ( c - l ) pound 0 V 0 0 r)
(47)
58
aacuteHtuacutee
- - 1 ti ul2 - - f j
2
= bull laquo bull i
_ = (r) = 4r r laquobull 1iexclI freruenna plaacutesmirraquo y -laquo lt-N ]iexclI fririirii-iraquo rirlotroacuteliira dr los
bullbulllaquobullerroiirs
Si il nidio ilil pliisiiiii o |Hi|iiiiacutein iii rumpiriiriuacuten ron IIacuteI loiigiliul de onda y n Irmas pound
varia i-ii un onli-n i|f iuiacuteraquotiacute-j)i in J |IIII|P)JIIgtS expresar li viiriiirioacuteji ili rraquo la forma
poundltrgt = bull ( laquo v ) bull iacute gt h 4 S )
donde el bullmnuiirtro se lm introducido para obtener las soluciones aproximadas ni difeshy
rentes ordenes ron respecta a pound di los camporaquo eleacutectrico y inaRiirliin Haciendo rl nunbio
lie variable x mdash =pound en la ininrioacuten (45) obtenemos
E = --(pound) - -plusmnpoundE - ^iquestE + - 4 J ( Iacute pound + gt9E) (4-9)
donde B kciexclwg = u(iacute - 1) y la prima denota una diferenciacioacuten con resprcto a x
Haciendo el mismo cambio de variable eliminando E por medio de (49) y limitaacutendole
hasta teacuterminos del orden (IO1- a ecuaciones (45) y (46) toman la forma
59
F i g 4 2 IVr l i l |gtiifiacuteilraquogtlirgtgt ili li |TinHivnli i l c|i| ( I I IM I I I n m P | W T 1 I I iexclI JT - mdashgt
[j-tl ltbullpoundbdquo-)] - (mh + mnixEf = 0 141raquo)
(411)
Se observa qui- la ecuacioacuten (410) no si- encuentra acoplada ron (49) y (411) cnloiires
podemos obtener su solucioacuten En condiciones experimentales una distribucioacuten dr la denshy
sidad de tipo paraboacutelico con respecto al radio resulta ser una rnuy buena aproximado
(Fig42) En tal caso escribimos
pound = T- - t0 (412)
siendo
CO
^ deg - 1 laquo413 J1 - ^
valor de la penuitividad en el eje del cilindro de plasma
Antes de sustituir el perfil paraboacutelico de iexcla permiacutetiviefad (412) en (4S) httgtimos en
bulli10 el cambio de variables
E = il|-r-|J-) 1414
bullbull donde obtenemos una ecuacioacuten diferencial pam en la forma
(V - bdquolr-+ [-(2|m| + 1 | - + (2|w| + 3|rjr-+ 2(|raquo| - tnu)Y = 0 1415
Haciendo un nuevo cambio de variables y = xiacutei en (415 se obtiene la ecuacioacuten
wd -v)r + H +1 - ( H + 2)W- iexcl y = o lt4icgt
Eltfa uacuteltima ecuacioacuten es una ecuacioacuten de tipo hiperficomeacutetrico y su solucioacuten es conocida
20 de donde la componente angular del campo eleacutectrico tiene la forma
poundv- = CxH-F(laquo6cy) (417)
donde F(a b c y) es la funcioacuten hipergeomeacutetrica [20] C es una constante y las constantes
cb y c tienen los valores
b = l + | m | - a (418)
C a 1 + H
61
respectivamente Dlt- la ecuacioacuten (411) podemos ahora escribir la expresioacuten paro la com-
jiacuteomrntf axial en la forma (hasta teacuterminos laquoiel orden (1iacute)1)
E = _ bdquo|m| D+-plusmn-CF(abc mdash mi poundu
= DiquestnbullT mdashJEiquest (419)
donde D es una constante La componente radial del campo eleacutectrico se obtiene de la
rniacioacuten (49) sustituyendo en esta (417 y (119) El campo majiexcliieacutetirtgt se deterniina laquole
la ecuacioacuten dr Faraday
1 OD r x pound = mdash mdash (420)
c uumlt
Limitaacutendose hasta teacuterminos del orden IO1 obtenemos la componente axial del camjm
magneacutetico
H = iacute H D gt i + Jiacute-lfEj - iiacuteuumlUuml^r (42D lit inz in(
Las constantes C y D que aparecen en (419) y (421) dependen de las condicioneraquo
de frontera Para su determinacioacuten acoplemos los campos dentro del plasma con los del
vacio bajo la condicioacuten que haya continuidad en la frontera del plasma (r = r) de las
componenteraquo E y Hiexcl
Ermfl = poundo | bdquo (422)
|tradebdquo = H0rmri (423)
Considerando que e(rf) = 1 y usando las expresiones correspondiente para las composhy
nentes axiales de los campos con plasma (419) y (421) y de los campos sin plasma
02
Z = DtJbdquo~ri y H0 = CWJbdquo(-T)) obtenemos las expresiones de las constantes C y
Z teacuterminos de los cani)gtos no perturbados En el raso para m gt 0 obtenemos
2 m (m- l ) -raquo - mF(n o r y ) + jF(noriexcl() bdquo-(bullraquo-raquogt( pound)bullraquo-)
D = 2miquest- C raquo + ^ deg - (4-25gt
iacute uiquest y = xfiacutey C0 y Dlaquo son unas constantes Hasta el momento nos hemos limitado a
- rinos del orden de ( l ) lo qtw equivale H decir que lit rondicioacuten de raquo|gt]irn)gtiliilad de
1- ecuaciones obtenidas es
kr iquest
7Iacute(l + | - bdquo | r laquo 1 1420)
Una vez lt|iie se lmn obtenido las expresiones tie los campos dentro del plasma evaluemos
bullbullbull integrales de 1iexclI expresioacuten (41) que determinan la const iexcltute tie propagacioacuten para una
sua de onda conteniendo en su eje una rolumna de plasma Se considera que el problema
gt perturbado es aquel que ronsiilera una guiacutea tie onda riliacutendrira llueca |fbdquo = 1 y bdquo = 1)
pound1 caacutelculo se realiza para una onda en modo H Para este modo la constante Dp es igual
con cero y las constantes C y D se reducen a la forma
C Jiquest poundk (4 27) 2 o F(a62yi) + ytFub2bdquo)
D = - g c bdquo (428)
Primeramente evaluemos la integral en el numerador de (41) para ello consideremos
la expresiones (229) Tomando la parte cosenoidal de (229) para la componente axial
correspondientes a los campos no perturbados y el tensor de permiacutetiv lad (47) obtenemos
63
= f - - A iacute - E iacute laquo 429) J Ai
= iexcl J |pound - 1) [poundJlaquoMraquon5(r + iuE) + poundt(MraquoiT-|pound - laquopound)] (-rdrtl
donde las componentes Ew Er y Eiquest dependen uacutenicamente del nidio La integral sobre if
en el intervalo [02r j se realiza expresando el termino exponencial romo senos y renenrraquo
y romanilo en cuenta sus relaciones de o-tugonalidad Por tanto despueacutes de realizar la
integral Mible r_ se obtiene
= - f r|pound - 1 )[Er(poundr + iuE) + EI poundr- - laquopoundbull ))ltbull
A1 r raquoraquo = r r(iacute - 1 )[rCZH mdash-J m (7r ) |pound r + laquopound) +
+ CZll-Jj-lr)(E-HiEr)dr 1430) i
La integral anterior se evalna sobre la seccioacuten transversal de la columna de plasma
Aquiacute r i es el radio de la columna de plasma Por otro linio si expresamos - en teacuterminos
de la longitud de onda di corte Ar (217) para tina guiacutea de ondas hueca en la forma = ^
ohservanios que el argumento de la funcioacuten de Bessel eu (430) es una cantidad mucho
menor que uno Para demostrar lo anterior notemos que de acuerdo con (218) para que
la onda se propague a traveacutes de la guiacutea de onda se debe satisfacer que la longitud de onda
en el vacio debe ser menor que t Ademaacutes debido a que sr ha considerado que la longitud
de onda es mucho mayor que el radio del plasma entonces la longitud de onda de corte
tambieacuten es mucho mayor que el radio del plasma Esto uacuteltimo nos sirve para considerar
uacutenicamente el primer teacutermino de la serie de la funcioacuten de Bessel [12] con respecto si
argumento -yr = 2iry De donde (430) se transforma romo
G4
Ix = gtCU (1 - ti) r(pound - iy[iEr + pound)rfr (431) Jrm Ji)
-spueacutes di- hacer el cambio de variable x = iacute - r y sustituir las formas expliacutecitas fie los
gt-npos (4D) y (417) para Er y Ef respectivamente se obtiene de (431) la expresioacuten
bull - f pound z raquo r m - i f e r ( i - u ) x 4-32) x i(-- -)rxx-F(iUlt mdash)] + iirtn-iquestFuUlt~ )li
Ai [ iquestu tu J
jiirlc se han aproximado los campos hasta teacuterminos del orden (7 ) Integrando P )laquoirles
raquo n-sperto a r el primer teacutermino de (432) obit-nemos
laquo - ^ V r r ( l - laquo ) x - + f V a r - (433) 2wi lt W bullraquo iacuteraquo
Sustituyendo la forma expliacutecita para la constante C (424) en (433) se observa miacutee (T-To)
vrrere con el nuacutemero de modo vi en la forma lt~IK Para t-l casiraquo (pie nos interesa tu = 1
iexcl integral ltpir aparece en (433) es faacutecil tie evaluar Para esto liaciendo el cambio de
variable y mdash x7t0 se puede reescribir la integral de (433) en la forma
Jsl+to x
xlnF(abcmdash)dx o iacuteo
= ~iexclg yF(abhy)dy (434)
utilizando la relacioacuten de diferenciacioacuten de las funciones hipergeonieacutetricas [11]
pound-[-gtF(abc)] = (c- n)nt-F(abc - ns) (435)
65
con ii = 1 v r = 3 se obtiene
Re-escribamos (43C) en una forma maacutes conveniente pura ello usando la siguiente
foacutermula de transformacioacuten para las funciones hipergeomeacutetricas [1121]
e f e - 1)(- - )Fnbc- z) + rr- 1 - ( 2 c - laquo - b- )zFlabr ) +
(r - laquo)(r - l | F I laquo i r - 1) = 0 (437)
ron laquobull = 2 y considerando las formas expliacutecitas praquoriexcli laquo y b tie (41) ron m = 1 de (437)
obtenemos la relacioacuten
F ( w fc 3 lplusmniraquo ) s ~ 4 ( 1 ^ 1 1 ) f^Ffafci 1plusmn^gt - J-(laquo2 l plusmn ^ iacute ) 1 (43S) poundbdquo (1 _ bdquo ) ( U i l j l fu ibdquo J
Finalmente usando la igualdad [11]
FUifc2) = F(ub-) - (laquo fc2c) (439)
la ecuacioacuten (43S) se puede escribir como
F(flft3^-=2)= F(laquob2^-^) (440) poundo ( I - K ) Iacute O iacuteo
Sustituyendo (440) en (436) y tomando en cuenta la relacioacuten t = 1 + pound0 obtenemos
-^|UftV(laquoraquoi^) H41) (1 - u) e0 pound0
y sustituyendo (427) y (441) en (433) finalmente obtenemos para | la expresioacuten
66
cbdquo r (1+^) riab2 iquestraquo)
M i r iacuteo F (laquo 6 2 l^ )+ L Uuml^F (laquo iquest 2 l i iacute i ) (442)
La integral del vector de Poynting correspondiente al denominador dr (41) evaluada
la seccioacuten transversal de la guiacutea de ondas tiene el valor obtenido cu (236) de donde
h - jA([Eiquestplusmnxntildevplusmn+EacuteraquoxxHiquest ]gtltlaquo
= CJZbdquoVgt bull laquo i i
JfjjLii- (-143)
iacutegt|HIacute rbdquo es el radio de la guiacutea ilc onda Finalmente dividiendo (442) entre (443) se obtiene
bulla expresioacuten para el cambio en la constante de propagacioacuten para unii onda en inodo Hu
ltue se propaga en una guiacutea de onda ron plasma
- ( r -r u ) = Ax iacute -Fnb2-^iacute)
F(laquoJ2 bullraquo)+ ^^Ff f i 2 ^ )
donde
(444)
M= 21(rr0)3
l - 3 3 9 ^
De aquiacute se obtiene que la constante de amortiguamiento es proporcional a
(445)
o = A F(o62ttiraquo)
f(afr2 iraquo) + UiacuteampFia fc2 raquo) Mtr)
F(a62iplusmniacuteraquo) (446)
07
Esta uacuteltima expresioacuten se igtigttnvigt ron vi uso di-la igualdad (439) Por otm bulo notemos
i|ugt- el argumento dr las funciones hipergromctriras dr (44G) es mayor laquopie la unidad Es
conocido laquopie la serie hipcrgeonirtrini diverge en yi = -f4 gt 1 [20] Por lo tanto rs
ruuvcuicute transformar las funciones hipergi-omctriras de- (44G) laquoru series convergentes
|gtaia filo obtrugamos las expresiones para Fluriacute l y ) y Fnb2y) donde y = 1(1 mdash z)
Para podrr estudiar la absorcioacuten de tma onda excitada en modo Hiexcl1 cu una guiacutea de onda
cilindrica como la que se tiene cu la fuente de plasma construida en el INlN y descrita
en 2] es necesario obtener las expresiones para Flnli 1 i) y FnU2y) ya ipie para
laraquo bull-iitiiiiciones de la niiiijuilia i tiende a la unidad como se desenlie con maacutes detalle maacutes
adelante
Observemos ipie la ecuacioacuten
t( 1 - )iquest + (1 - 3i)o - ltilgto = 0 1447)
tiene como solucioacuten la funcioacuten hiprrgromrt rica Finli li) Si bacnnus el cambio dr
variable raquo = 1(1 - z) entonces (447) sr rersrribr rn la forma
(1 - ) V + (1 - r gt ( 2 - r ) iquest + nkgt = 0 (448)
Fiacutetiaitnente con vi cambio iquestgt = (1 - )lt obtenemos la ecuacioacuten
i ( l - c)vgt + [2 - (26 + I r ) ] - IacuteraquoV = 0- N- 4 9 )
La solucioacuten dr la ecuacioacuten (449) es la funcioacuten hipergeomeacutetrica Fbb2z) [21] Sin emshy
bargo una solucioacuten maacutes general para F(ab i y) es una combinacioacuten lineal dr las dos
soluciones existentes de (449) [21] esto es
G8
Fiubly) = [-)lt AtF(bb2)-rB F(bb2z)Ln+Pii) + (l-fc) iJ
(450)
donde At y B son constantes por determinar y Pj(c) es una serie de potencias con resjiecto
a en la forma [21]
donde
^)=poundr^ [ lt ) - ( o j
Iraquo) = (laquo + raquo) + 4(+raquo)- I2 + raquo ) - ( + 1)
(451)
(452)
4 (bull In funcioacuten i igt iliiinim y (laquo) = laquo(laquo+ 1)(laquo + 2) bull bull bull (laquo + 7 - 1) Multiplicando anillos
luumldoM de hi ecuacioacuten 145(1) por zi - z) difiTciiciacutenndo ron respecto a i y considerando el
liacutemite ruando - tiende a cero olitcuciuoraquo la igualdad
vd - amp)bull(laquo ft 2v) = r r - r + BW + raquo - ) + iquesti-(i -raquo) (453)
Ahora usando la representacioacuten integral de la funcioacuten hiacutepergeomeacutetriacuteca (2Iiexcl y considerando
las definiciones (426) para aby c obtenemos
a - f - r(laquo)r(6)o ( i - lt y )
La primera integral de (454) se calcula faacutecilmente y tiene la forma
Jo 1 - ty y (455)
69
Para evaluar 1raquo segunda integral de (454) recordemos laquopie 1 = ^^ y notemos ipte en el
limite ruando y tiende a mm (c tiende en este castraquo a cero) iacutei se vuelve muy grande
raquo|iiraquo- laquobull equivalente a ltllaquorir que inraquo acercamos a] punto de resonancia eicloiroacuteiiica in = 1)
y por kgt tanto con r=2 Igt tiende a cero De esta manera la segunda integral de (454) se
aproxima al valor [21]
laquo-raquo- 1
1 - f dt = -(fc)-C (45C)
donde C es 1raquo constante de Euler Sustituyendo (455) y (45C) eiexcl (4541 obtenemos
f io 2) = 1
-Ltil - bull ) - laquo1M J- C 1 4 5 7 ) r(2-raquoinM
Pitra determinar las coacutemanles -4j y D sustituyamos (457) en (453) y separemos los
teacuterminos laquopie ionticueu Lti de aijticllos (pie no lo contienen Asi obtenemos las expreshy
siones para las constantes 4| y B en la forma
A =
B =
^ ^ laquo ^ ^ ^ r ( 2 - igt)T(igt)
(1-fc)raquo f(2-gt)JW
(45S)
(45ai
Anaacutelogamente se puede encontrar una solucioacuten para F[ab2y) en la forma
+ [ C + ( t ) + i raquo ] | F ( 6 f c - l l r ) I n iacute + fl(s)] (460)
donde
70
Las expresiones (450) y 1400) representn las transformaciones dr Filtibiy) y
Flt a b 2 y) respectivamente en series convergentes ruando y tiende iexcli la unidad Las consshy
tantes A y Bi se expresan mediante (458) y (459) corresigtondiexclentenieiitlaquo- Finalmente
y fie acuerdo ron (44G) dividiendo 4G0) intrc (450) y tomando la iexclgtiexclirtr iiiiiacute-uumliuaria
obtenemos la expresioacuten para la constante ltle amortiguamiento o de absorcioacuten en 1 forma
( i
Jf = laquo x Fffcfc - 11 )[1 - (1 - fc)(2 - fc)F(662 z) + Piexcl)- )bull]+
+ P (r) | l -6) F |6 6 2 )x
x [l - (1 - b)2 - h)FVb2) + P7(z)l - by +
+ C + (b) + Ln -](1 - 6)-F(6 62 r)] +
+ T T V ( 1 - 6 ) ^ ( 6 1 2 1 ) (4C2)
donde r = 1(1 + pound0) La figura 43 muestra el comportamiento de (4C2) en funcioacuten de
ni x u para m - 1 es decir los int2Tvalos [-LO) y [01] corresponden a m = - 1 y tu = +1
respectivamente Las graacuteficas de la figura 43 corresponden a los siguientes valores de
-bull(0)toiacutes a) 82 b) C c) 4 d) 3 y e) 1 Las graacuteficas c) d) y e) difieren de armellas
mostradas en [22j ya que aquiacute se han considerado uacutenicamente los primeros cinco teacuterminos
de las series Pz) y Pt(z) Por otro lado observemos que el coeficiente de amortiguamiento
se anula en el caso de resonancia cidotroacutenica (u = ) Sin embargo esto no significa que
no existe absorcioacuten de la onda en este caso como se reporta en [23] en los punto donde
71
o bulla
iquest
1 3
n raquo
o i
Wv
72
eiexcl Iacutendice de refraccioacuten tiende a infinito se produce una absorcioacuten delas ondas en el plasma
ltii- tipo no rolisioiiacuteal Esta absorrioacuteu se asraquo ic a la existencia de punto singulares dlaquo- la
ecuacioacuten de onda exacta para ciertos puntos dentro del plasma es decir ai|uiacute la componente
del campo eleacutectrico paralelo al gradiente de densidad es infinita
En la fuente de plasma descrita en el trabajo [2iexcl se trabaja actualmente con densidades
del plasma del orden raquof(0) = C x Nfcnr3 y con un campo magneacutetico externo B =
S~jGtntraquo Ademaacutes se cuenta ron una guiacutea de onda de radio rbdquo = 425rFraquogt en la rual se
IgtngtiexclgtiexcliEiexcli una onda electromagneacutetica ron 111raquo frecuencia w = 15304 X 10 gt Si el radio del
plasma es C| = 3ltm eutonres tendremos los Mullientes valores para _laquo_- 10) 11gtf0)-bull
y respectivatiieiite
wbdquo = 15379 x 10V
raquogt(()) = 13S19X 1 0 V
1 = 00990 1403)
^(0)--J = 08
poundn = 3902
A = 19525
En este caso podemos analizar de la figura 43 curva a) comportamiento riacutee la constante
de amortiguamiento cuando u^fO)raquo2 = 08 Como podemos olmcrvar la constante de
amortiguamiento tiene valores relativamente grandes en la vecindad de u = OC pero
decae raacutepidamente conforme u tiende a la unidad Cuando u = 0999 la constante de
amortiguamiento tiene el valor
73
o = Ai x (M)0()02455 = lSS x 10 (464)
El anaacutelisis anterior es vaacutelido si se rumple la rondicioacuten (42G)
^ ( 1 + |poundbdquo|)- ltpound 1 MCO)
que eii nuestro laquoaso es correcto ya que
^ - i d +|ibdquo|)-=ocnsx lo- ucc)
8 Influencia del plasma en los resonadores
El meacutetodo de Perturbacioacuten en este raso se mi de formraquo similii ii el rusraquo de tina guiacutea
tie onda Como paraacutemetro pequentildeo se considera anaacutelogamente que el radio del plasma
es lutirlio menor que la longitud de onda Ademaacutes se supone que el |HTTiexcl1 de tielisidad
electroacutenica es de tipo paralioacutelico y que el campo magneacutetico externo es homogeacuteneo y esla
dirigido a lo largo del eje O
Anaacutelogamente a el caso de una guiacutea de onda la presencia del plasma en un resonador
es originar un cambio en la frecuencia de resonancia De acuerdo ron la teoriacutea de perturshy
bacioacuten este cambio craquo proporrional a la razoacuten del cambio dr riirrga almacenadraquo dentro del
volumen que ocupa el plasma en el resonador sobre la energiacutea total almacenada en todo el
volumen del resonador (34C)
WJVpoundiquest iquestiquest EacutedV w - u 0 = wbdquo = - iquest (4Glt)
iquest Jr pound0 bulltoraquo
74
Lu i-niaciuacuteii (4CT) requiere la evaluacioacuteu de el campo eleacutectrico cu el plasma En la
-bullbullTIacuteOII 7 se obtuvieron los campos en una columna de plasma friacuteo de radio pefpit-iio
magnetizado e inhomogeacuteneo localizada en el eje de una guiacutea di- onda cilindrica Con
tuda de estas expresiones podemos determinar en forma expliacutecita los campos cuando una
lunuia de plasma se encuentra en el resonador
poundru-y--) = iacute
r 22
mi miacutem mS
poundir r-) = C | |- F(laquoraquor-K--fbdquo(4--) in raquo t4CS)
uy-) =
poundgtXM + _L pound raquoltiacute ti
In I-I - r i - l iacute - D P DJT] T mdashmdashstE) E 111 lllC laquo ( il
donde x = (iexclt~ C y D son constantes = ruy = u(i mdash 1) la prima denota diferenciacioacuten
con resjMcto a j - Fin h r y) es la funcioacuten de tipo hipergeomeacutetrico [20] y nb y r tienen llaquoraquos
valores obtenidos en (418)
No hay que olvidar que cu un resonador los campos son estacionarios de aquiacute que la
dependencia con respecto a r se escribe multiplicando cada ecuacioacuten de (468) por el factor
jffi(^z) oacute coM^z) p= 123 iacutees la longitud del resonador
Calculemos el cambio en la frecuencia de resonancia para ondas de tipo TEm- La
integral del denominador de la expresioacuten (4G7) nos expresa la cantidad de energiacutea eleacutectrica
almacenada por unidad de volumen en el resonador sin plasma cuyo resultado para un
resonador hueco se obtiene de (2GC) al considerar que WE = Wn y en pnrtirular fiv ~ 1
( = 1 El resultado para este modo se expresa en la forma
U = bull EacuteltW
= ^^M-MUn) M69)
Por otro lado la integral del numerador de (4C7) evaluada sobre todo el volumen que
ocupa el plasma se calcula con ayuda de las expresiones (2G0) (resonador sin plasma)
di las expresione (4CS) (resonador con plasma de radio pequentildeo) y de tensor dieleacutectrico
(47) obtcnirlidii
= iacute iacute f ( pound - l ) [E ( gtfm l T - | pound + l l lpound l + Jit u Jn
+EuacuterosinY-(Er - iuEr) rltMiJl-^-)riexclrd^dz (470) d
donde las coui]gtoiientes Eu E y pound tienen dependencia uacutenicamente radil Al realizar la
integracioacuten sobre Iacute y iquest en los intervalos [0 d) y [02riexcl respectivamenie obtenemos
s = V iacute r(t ~ XUumlEoE + iuE^) + Eiquest(E - niE)]ltlr iquest Jo d [ [ r
bull r ( iacute - l ) Jo
iC0 r Jm-r)Er + iuE)+
+ Q--JJfr)(E^ - iuE ] dr (471) c i J
Anaacutelogamente a el caso de una guiacutea de onda se utiliza el mismo argumento bajo el cual se
considera el primer teacutermino de la iuacute fmiacutecioacuteii en serie de la funcioacuten de Bcssel con respecto
al argumento r = 2JT^ De aquiacute que (471) se reescribe como
76
c iquest iquestml Jo
Lspueacutes de hacer el cambio de variable x = (iexcljfr y sustituir la forma expliacutecita de los campos
bull 49) y (417) para E y Et en (472) se obtiene
h = gtc ( l - u ) x wirdy-raquo l c V
0 c 2 2m V(wj
J-(pound- )L-[T FUIICmdash ) + mxJ-JF(bdquolt-i)h -raquo -raquo iraquo J
(473)
donde los campos M- han considerado hasta teacuterminos del orden (|) Integrando por partes
con respecto a J el primer teacutermino de (473) obtenemos
h = -2Cy bull )h (474) c 2 2raquoi Vi bulllaquo iu
La integral (pie aparece en (474) coincide exactamente con la cjne aparen- en (433)
de donde para ondas en modo TEm s se calcula sustituyendo (427) y 1441) en (474)
obteniendo
= rColTJiacutefrr iexclJ ltd j ( l+poundo) bull(laquoiquest2f)
(475) c3473 ebdquo f(o62lplusmnlaquoraquo)+1 plusmn a i v(o62iplusmniacuteraquo)
Finalmente dividiendo (475) entre (469) se obtiene la expresioacuten para el cambio en la
frecuencia de resonancia en modo T pound m para un resonador conteniendo una columna de
plasma friacuteo de radio pequentildeo
W(D = (u - u0) - MjX 1 - -F(laquo62lraquo)
siexcl X 1 -F(abll)
(476)
77
donde
La ecuacioacuten (47C) coincide con (444) salvo por una la constante Miexcl Anaacutelogamente n
el caso de una guiacutea de onda utilicemos las expresiones (450) y (4C0) juira Fintly) y
Fllti2 i) respectivamente Sustituyendo (450) y 14CO) eji (47C) y separando las partes
real e imaginaria obtenemos la variacioacuten de la frecuencia de resonancia (Araquo) y la variacioacuten
del inverso de la calidad del resonador l -M IO)) por influencia del |gtlasiniexcli respectivamente
en la forma
mdash^ = iexcl-zFbb- 11-) [-F( fcraquo 2-)([C+(-)] ( 1 -bf-
- (1 -fraquo)(2-)[C+(fc)l-Hl-lt) J(l - - ) ) +
+ C + ()][-gt(-)(] - h) - Ij] + -(1 - l)lPt)C + laquoK))F(hb2-) x
x [l - (1 - b)2-h)F(kb2z) + PJzil - raquo)+
+ -(1 - bjgtC + () + Li z]Fbb2z) + V | 1 - )F(bullbull 2--) (478)
-poundiquestmQ) = JTSX
x Fbb-lls)|l-(l- b)(2- b)zF(bb2z) + P ( - - ) r ( l -6 ) ]+
+ --F(i)(l-6) JF( iacute t 2i)x
x [ l - ( l - f r ) (2-amp^ -F(M2^) + P J ( - - ) iacute ( l -6 ) +
+ [C + (6) + iquestn --](1 - 6)zF(ampamp2z)]2 +
+ w12(l-b)4Fa(blgt2iacute)Yiacute (4-79)
t bull bull 78
La figuras 44 y 45 muestran las graacuteficas de las expresiones (478) y (479) con respecto
a ri x ii ]gturn distintos valores de u^(0)uz respectivamente Anaacutelogamente a el caso de
la- guiaraquo de onda se han considerado uacutenicamente los primeros cinro teacuterminos en las series
para Pi) y P jU) Un resultado importante de acuerdo cotiacute la figura 44 resulta ser
que en la resonancia ciclotroacutenica la variacioacuten del inverso del factor de calidad es cero es
decir en este caso y en la misma manera como en las guias de onda no existen peacuterdidas
de energiacutea de tipo colisional Sin embargo de la figura 45 notamos que cu resonancia
rirlotruacuteliira si existe un pequentildeo cambio en la frecuencia laquole resonancia del resonador
En la fuente de plasma descrita en [2J se tiene un resonador cilindrico donde oscila
una Diida a IUIIacuteI frecuencia laquobull = 15394 x ]() excitada en modo TEw y de radio
rbdquo = cm en el cual una columna dr pliacutetstua fie radio riexcl = 3lt se ein-iieiitrraquo a lo largo
del eje tlel resonador La cavidad resonante se encuentra dentro de un campo magneacutetico
externo D mdash SloacuteGauxraquo La densidad de electrones en la fuente tie plasma puede ser igual
a ni 0) = C x 10 I 0CTO 3 En este caso tenemos los mismos valores (4C3) para yinnfv0) u
y u-ji 0)raquo mientras cpie Miexcl tiene el valor
SU = 04C55 (480)
Entonces el cambio en el inverso de la calidad y en la frecuencia de resonancia tendraacuten
los valores
A( l ( ) = mdash x 000009C2455 = 582 x 1 0 (481)
Aw = Mj x |1 - (100035)] = - 1 0 3 x 10 V (482)
79
AwMa
i
o
I
U
bull3 I
I O
bull
a 6
1 1 1 bull 1 bull
bull
_
c x ^
- r f -
| 1 bull J T | 1 - | 1 |
l IX V if | rt i iacute i ( iraquo i i i bull i i i
i i
i i i
V
deg
iacute bull f
i i i
VI 1 A 1 ^ t
x X Iacute
JU i f ^
1 bull x
so
o i
fit
Zf Z rt w
El valor (481) se encuentra dentro del rango de validez de la teoriacutea de perturliacioacuten
ile acuerdo ron (35C) Asi mismo la variacioacuten de la freruenria de resonancia es dema-
siado |Mf|ttentildea en comparacioacuten con la freruencia propia del resonador de tal manera rpie
podemos considerar une no existe un cambio fuerte en la freruenria de resonancia ion esta
densidad
Los resultado iexclinteriores de las secciones 7 y 8 fueron presentados en iexcl24] y [25iexcl respecshy
tivamente
82
CAPITULO 5
PENETRACIOacuteN DE ONDAS EN EL PLASMA
En este iiipiacutetiilo ni el marro de 1iexclI teoriacutea lineal se liare una revisioacuten sulire el proceso
gtigt- penetracioacuten de campos elertDinaRneacuteticos en un plasma En vista de ijne en la fuente
lie plasma descrita en [2j se excita una onda tipo H nos vamos a limitar al caacutelenlo de
Un coeficieiites tie reflexioacuten transmisioacuten y de alisorrioacuteu para estlt- tipo de ondas liacuteay
eme hacer notar que en el experimento [2] se tiene un campo magneacutetico externo lo que
complica fuertemente el estudio de la interaccioacuten de ondas en este plasma Nos limitaremos
en este trabajo a considerar un plasma homogeacuteneo y deacutebilmente inhomogeacuteneo sin raiujm
magneacutetico externo Estos resultados preliminares son uacutetiles para posteriormente estudiar
la transformacioacuten lineal de ondas que es muy importante para el anaacutelisis del perfil de
densidad observado en la fuente de plasma [2]
9 Penetracioacuten de campos electromagneacuteticos en el plasma
El estudio de la interaccioacuten de ondas electromagneacuteticas en un plasma tiene particular
intereacutes por la gran variedad de paraacutemetros existentes como se mencionoacute anteriormente
83
(densidad de |ttirtirulas di- diferentes tipos prado dlt- ionizacioacuten longitud de trayectoria lishy
bre tfiii|raquocratura etc) 111 los diferentes casos Una de las caracteriacutesticas mas importantes
de un plasma real es su iuliomogeueidad Alt|iiiacute los paraacutemetros del jjasiilii variacutean en el
espacio produciendo considerables cambios en las caracteriacutesticas del mismo Freruontc-
menfe en lo concerniente a la propagacioacuten de ondas electromagneacuteticas estos cambios son
tan fuertes que la pennitividad dieleacutectrica cambia de signo
91 Penetracioacuten de campos electromagneacuteticos en la aproximacioacuten hidrodinaacutemica Sistema de ecuaciones
Il l sistema de emaeiones atltoroiisisteule i|iie desrribr la penetracioacuten tie un campo elecshy
tromagneacutetico en d plasma en la aproximacioacuten bidroiliuaacutemira se compone de las ecuaciones
ile Maxwell
V x pound = -2f 51 c 01
f x f l = - - i - mdash + mdash (02) c 01 c
V bull(poundlaquopound) = 4p (53)
V H = 0 (54)
donde las densidades de corriente y carga se determinan en la forma
P- pound c raquo n lt raquo = laquoiexcllaquoi + tnt = pound e bdquo n r r n (55)
y se expresan a traveacutes de los campos eleacutectrico y magneacutetico de las enlacioacutenos hidrodinaacutemicas
de movimiento y continuidad del fluido conductor de carga o [26]
84
sect + bullbdquobulllaquobull = ^(Eacute+-vnxH)-^--^va (56)
3raquobdquo _ _ _ ~ + V-n0viexcl = 0 U 7 )
En las ecuaciones (55)-(57) tbdquo es la carga m0 la masa tibdquo es la densidalt v0 es la
velocidad hidrodinaacutemica jgtbdquo o la presioacuten y ibdquo la frecuencia de colisioacuten entre las partiacuteculas
ltir- tipo o ron las partiacuterulas di- otra claw y con las moleacuteculas El subiacutendice o rorrcspondc a
i igt i ln ipii indica a los iones o electrones correspondientemente E D son las tensiones de
ligt- campos eleacutectrico y magiacutenico respectivamente y r es la velocidad de la luz en el vacio
Se supone i|iie el plasma se encuentra en un medio con un jieruiitiviilail dieleacutectrica iacutebdquo para
un plasma gaseoso bdquo = 1 y MI un plasma de estado soacutelido es la pcrmitiviilail dieleacutectrica
de la red cristalina Ya que la permit i vidad magneacutetica del plasma praacutecticamente es igual
a uno no vamos a diferenciar la induccioacuten magneacutetica de la tensioacuten del campo magneacutetico
lo que se refleja en las ecuaciones anteriormente descritas
El sistema laquole ecuaciones (oacutel)-(57) debiacute ser complementado con las ecuaciones de
estado de la materia expresados a traveacutes de la densidad nbdquo y la temperatura Tbdquo pn mdash
p0(noTa) Siacute las variaciones de estado de las componentes del plasma ocurren perioacutedicashy
mente entonces
Tpo = bullgtltJbdquoVn0 = 7raquoltfTbdquoVnlt (58)
donde vj = 2T0m0)t1 es la velocidad teacutermica promedio de laraquo partiacuteculas de tipo o 70
e la razoacuten entre loraquo caloreraquo especiacuteficos a presioacuten y volumen constante del gas de partiacuteculas
y 1 = mil
85
Las ecuaciones ib- movimiento describen un fluido en presencia dlt- cinco fuerza- ni
interaccioacuten a) la fuerza eleacutectrica (bdquopound b) la fuerza magneacutetica J x H c) la fuerza debida al
gradiente de la presioacuten d) la fuerza de interaccioacuten o colisioacuten entre la partiacuteculas de diferente
ti|Kraquo v0vbdquo y raquobull) la fuerza de inercia m-r0 bull V)tbdquo Por otro lado vamos a ronsiderar laquopie la
ecuacioacuten de estadraquo expresa un proceso adiatgtaacutetico caracterizado por el coeficiente -
92 Penetracioacuten de ondas tipo E y H
Vamos a investigar la penetracioacuten en el plasma ile ondas di- amplitud pcquiua La inteshy
raccioacuten de ondas electromagneacutetica con el plasma perturba los paraacutemetro caracteriacutesticos
en equilibrio del plasma Si las perturbaciones de los diferente paraacutemetros son lo sushy
ficientemente |xi|iientildeos en comparacioacuten con sus valoreraquo eii eipiilibrio entonces podemos
liiuariar las ecuaciones (51 H57) es decir iexclMHIIIIIOS despreciar los teacuterminos que contienen
producto entre las perturbaciones
Consideremos un plasma semiliiuitado sobre el cuaacutel a un aacutengulo fgt incide una onda
electromagneacutetica linealmente polarizada El sistema de coordenada lo escogemos de tal
manera que el plasma ocupe la regioacuten x gt 0 y la onda se propague sobre el plano X(gtZ
(Fig51) La onda incidente parcialmente se refleja del plasma y parcialmente se refracta
a un aacutengulo 8 Las amplitudes de las ondas reflejada y refractada se determinan de las
condiciones de frontera Como consecuencia de esto si la dependencia del campo de la
onda incidente con respecto a y t se determina a traveacutes del exponente rl-laquo) donde
kiquest = k0tcn9 k0 = raquogtc y w es la frecuencia de la onda entonces en la teoriacutea lineal para un
plasma estacionario y homogeacuteneo esta misma dependencia deben tener las ondas reflejada
y refractada en el plasma a lo largo de O
86
PLASMA
(b)
FiacutegKl Penetracioacuten de una onda electromagneacutetica lincalmente polarizada en un plasma raquoemi-
limitado La onda que incide a un aacutengulo 8 parcialmente se refleja a un aacutengulo 8 y parcialmente
se refracta a un aacutengulo V a) penetracioacuten de una onda tipo E y b) penetracioacuten de una onda tipo
H
87
Supongamos UIRraquo tenemos un plasma de dos componentes compuesto de electrones bullbull
iexclunes motwcargjados ron concentraciones en et|uilibrio raquobdquo = raquoraquolaquo = gtibdquo En un (Jasina friacuteo
la velocidad ternura de los iones se puetk despreciar 1 = 0) si esta es muy pei|iK-ntildea rn
contparacioacuteii con la velocidad de fase de la onda Si a lo largo del eje 0t la densidad no
varia entonces f = 0 y de laraquo ecuaciones (51)-(58) podemos obtener el sijpiiente sistema
dtr ecuaciones para los campos electromagneacuteticos
iexclKH = iquestJtpound - iacuteiacutejEi 159)
-rmdash = -iK0e mdash pound - + mdashmdashUE r ) U10) ni [ raquo-raquor J (w ni
Jvpound = - I (512)
^ = bullbdquobdquo (513) As
ik-HiE = JiL-ikJlr (514) ni
iloiiitr iacute ex la jx-ruiitividnd dirlrctrirraquo de un plasma isotropicraquo y friacuteo
taraquo(w + l^e) W(uraquo + Ifi)
ugtgt y uy son las frecuencias plaacutesmicas de los electrones e iones respetivamente expresadas
en la forma
iquestgt tgt
4c n 0 IJ
(6M) mlaquo
w a IB frecuencia compleja raquobull = w + ic y e eraquo la permitividad dieleacutectrica del fluido de
iones en la forma
88
t=to- + bull (517) w(w + llj)
El sistema de ecuaciones (59)-(514) se descompone en dos subsistemas iudc|Hiidientes
-i9H5ll y (512)-(514) lo que corresponde a la propagacioacuten en el plasma de dos ondas
independientes (Fig51) Para las ondas con componentes E E y Hy el vector del campo
eleacutectrico estraquo sobre el plano de incidencia XOZ Esta onda es una onda con polarizacioacuten
gt onda tipo TM o E Para )n segunda onda con comeacutentente Ebdquo Hr y H el vertor
fifi rutll|Mgt eleacutertriro es |H-r]gtriiiliriiIiir al planraquo fie incidencia Esta onda es unraquo onda ron
polarizacioacuten i ulula tipo TE o H Para las condiciones mencionadas iexclinteriormente el
ijjovjmieijlo teacutermico de laraquo partiacutecula es despreciable para la propasacioacuten de ondas tipo H
Sin embargo para las ondas ti]gto E puctlc ser bastante importante
10 Penetracioacuten de una onda electromagneacutetica tipo H en un plasma homogeacuteneo semilimitado Reflexioacuten y absorcioacuten de ondas tipo H
De las dos posibles polarizaciones que puede tener la onda que incide en el plasma el caso
de la onda de tipo H es el maacutes simple Encontremos la solucioacuten de las ecuaciones (512)-
(514) en el plasma y en el vacio suponiendo una frontera bien definida Sustituyendo H
de (513) en (514) y usando (512) obtenemos que el campo E satisface la ecuacioacuten
tPE - ^ + Jkfo - laquolaquoraquo)pound - 0 (518)
89
dmde en el plasma e se determina xx (515) y en el vacio pound = 1 Es faacutecil ronwtrar laquojar
eu el varkgt los campus tienen la furnia
para la onda incidente
poundbdquo = Eoraquo Bu m Fbdquocw0 (519)
y para kgt onda reflejada
Eraquo = llEbdquo-kltlt H = -Etcoraquoraquo ISM)
iliHiilraquo- pound es lii amplitud lie In i mi In hiiiiliiiti y iacutels rl riM-riiiiiili ili- icHrxiiVn El linihi|raquoligt
r i)r--wi) at j a s rX|ri^iHBM jbdquon lri caui|HKlaquo se excluye raquo aquiacute en adelante Praquor laquonraquo laria
bullbullI rwn]Mgt cu el plasma tirnr la forma
pound() = Eiquest0)rik B() = (^) poundlt) (5-21)
donde Et[0) es Iraquo amplitud de la rom|Hgtiiiiite poundbdquo del rampraquo cliVtriro III la frontera tlrl
plasma ( = ()) y A- se expresa romo
Jt JWlaquo - e2laquo (5-22)
Si it| es una cantidad real entonces la onda se propaga libremente en rl plasma prro
siacute Ai es una cantidad compleja entonces el campo en rl plasma r amortigua dr forma
exponencial a partir de la frontera
Para determinar el coeficiente de reflexioacuten y la amplitud del campo rn la frontera de)
plasma se utilizan laa condiciones de continuidad de laa componentes tangenciales dr los
eampoa en i = 0
90
pound(0)+poundbullbdquolaquogt) = pound(0)
(0) + raquo(0)-jr ((0)
Sustituyendo (519)-(oacute20) en (523) y considerando (521) encontramos
pound(0) = pound(l + rt)
dr donde obtiiunnos el coeficiente di reflexioacuten en Iraquo forum
(523)
(524)
=ampgtbull donde
e la impedancia sti]gtcrfieial o del plasma para una onda tipo H Sustituyendo (525) en
(524) encontramos la amplitud de la componente E del campo eleacutectrico raquo teacuterminos de
la impedancia el aacutengulo de incidencia y de la amplitud de la onda incidente en la frontera
del plasma
La definicioacuten de la impedancia (526) resulta coacutemoda ya que el coeficiente de reflexioacuten y la
profundidad de penetracioacuten se expresa de forma maacutes sencilla a traveacutes de ella En general
la impedancia es una cantidad compleja ZH = X + iX2 por eso el coeficiente de reflexioacuten
se puede escribir en la forma polar de Euler
01
M(AVlaquoM+1)-+ laquo-] e gt U 2 8 gt ^^xraquoiacute-l)1 + Y|coIiacutel
l
donde bull dcfitie la fase en la forma
XjcosO XjcosB bull = arctan bull mdash- - arctan bdquo mdash- (o29)
A i c o s 0 - 1 Xcos8+l
Uu paraacutemetro muy important del medio es ltbull) coeficiente lt]ltbull iexclilgtson-iiraquou el cual indica
laquorue laquoarte dc in energiacutea de la onda incidente se transfiere al pla-siiiraquo Si
P = 4~E x j = -iexcl-Eltraderaquo (030)
eraquo Iraquo denudad laquoIt-1 finjo de CIHTRIacuteH normal u la frontera dr la onda laquo[in incide y PT = y| |
es la densidad del finjo laquoIr In onda reflejada entonces el laquobulllaquobulleficiente de iilisorrioacuteii se define
roiiMraquo
W = ^mdash^ = 1 - |J|raquo (531)
Sustituyendo (528) en (531) obtenemos el coeficiente ltle absorcioacuten en teacuterminos de las
partes real e imaginaria dc la impedancia
W laquo Xcogt$ (532)
Ahora analiacutezemos con maacutes detalle las condiciones de propagacioacuten y amortiguamiento
de ondas electromagneacuteticas en un plasma de electrones en diferentes rangos dc frecuencia y
calculemos los coeficientes de reflexioacuten y absorcioacuten para cada casraquo respectivamente Para
92
ello sustituyamos (515) en (522) donde en este caso debido a la gran diferencia dr
masa de lo iones con respecto a los electrones consideraremos iquest^ as 0 Dr esta manera
obtenemos
r w V2
t - laquo raquo raquo - - (533) l jltlaquo + ilaquot)J
Consideremos los siguientes casos
a) El caso de altas frecuencias (cr lt -gt) Aquiacute los choques entre los electronraquo- se pueden
ilespreciar y entonces X- se reduce a la forma
Xraquo i- = - l - r o ^ - ^ (534)
En el reacutegimen de frecnciiriajiacute u lt ^lotfiacute lu m]x-ltlnraquorii es una caiitiilncl real y por In
tanto el coeficiente di- reflexioacuten y de absorcioacuten tomitii resjMrtivnniente la forma
donde
En este caso la fase (529) es igual con cero lo cual nos indica que laraquo ondas incidente
y reflejada se encuentran en fase Por otro lado la condicioacuten de amortiguamiento en un
plasma gaseoso sin colisiones consiste en que se cumple la desigualdad
ucof8 lt ugtVf (538)
03
IntrotUuetunos en calidad dr cararteriacutestica de penetracioacuten lthI ciexclttii|Mgt una |gtroftmililtlaltl
compleja de itetirtracioacuten determinada por medio de la relacioacuten tgt = t(gtraquo iquesti) El sentido
fiskti di la cantidad i es la distancia a la cual la amplitud del rampraquo en rl plasma ilecren
eu e mdash 271 veres de su valor inicial Con la condicioacuten ugt gtbull uicosB la profundidad de
penetracioacuten (anchura de la capa piel) no depende de la frecuencia = cu
h) En la regioacuten de bajas frecuencias w lt vt) los choques ya mgt se pueden despreciar En
este caso Rt Jt| s Ivi k y el campo en el plasma decreeraquo- ex]Mmirurial y oscilatoriamente
ilruumldr la frontera Si v gt m slt- tiene
k = -^zJviVrCosH+i- (539) Jiv v
si iacuteiilnilaacutes raquoiquest gt vrivosH entonces
y la longitud laquoIr la rapa piel tiene la forma
r iexcl2vt iquest = mdash J mdash = - 7 f iquest mdash (541)
donde raquo0 SB wf(4ffi) es la conductividad del plasma Notemos que (541) determina
la profundidad de penetracioacuten del campo en un conductor en el cual fluye una corriente
variable de baja frecuencia Asiacute las expresiones (521) determinan el campo en el plasma
en condiciones de un efecto piel normal o claacutesico A bajaraquo frecuencias y alta temperatura
del plasma estas expresiones ya no son vaacutelidas y es necesario analizar la penetracioacuten de los
campos en base a un modelo cineacutetico
Considerando las colisiones entre las partiacuteculas la impednncia del plasma tiene la forma
94
Zbdquo = (542) ^ugt(u)1cot10 - u pound ) + bull-bullJraquo
Si la frecuencia de colisiones es pequentildea pero sigue siendo finita y ademaacutes se cumplen las
desigualdades v lt raquo- ffgtiacute lt gtJcosi0 mdash uiiquest() entonces (542) se transforma COJIJO
Zbdquo = (543)
de donde observamos que en la regioacuten de frecuencias uirraquo^ lt ufPr el rocuumlcinjte ile iibsorrioacuten
se exprtsut en la lonnti
W = 2pro^Jtvwtraquo - l ) - (544)
Por otro lado si la frecuencia de la onda es lo suficientemente pequentildea tal laquopn- i gt laquobull y
se cumple la desigualdad J^Kv) gt OM rntonres la inj|MdnncIacutei se expri-sraquo como
z - iacute1 Voacuteiacute (545)
V -gtltbull y loraquo coeficientes de reflexioacuten y absorcioacuten se expresan respetivamente en la forma
R = (l-2Acltw0) 2e- MltM (540)
W = 4Xcoraquo9 (547)
donde A^ laquo -Xt = bullraquo( 2wt)
Finalmente observemos que las peacuterdidas de energiacutea que la onda sufre en el plasma
defiacutenidu por las foacutermuias (544) y (536) tiene diferente significado fiacutesico La W diferente
de cero cuando u = 0 esta relacionado con la excitacioacuten de una onda electromagneacutetica en
05
el plasma y el valor de W de (544) determina la parte de la energiacutea de la onda incidente
qiK- es utilizada para el calentamiento de los electrones del plasma eigt la capa piel
11 Paso deacute una onda H a traveacutes de una capa de plasma
Si la profundidad de penetracioacuten del campo ni una capa de plasma es tk-I orden de sns
dimensiones transversales o si la onda se pro|gtaga elraquo el plasma entonces la influrmia de
la segunda frontera del plasma resulta muy importante Determinemos el campo en el
plasma y los coeficientes iexclle reflexioacuten y de transmisioacuten en el paso de una onda incidente a
traveacutes de una rapa de plasma homogeacuteneo de anchura d
El canijaraquo i-n el vacio o cu la regioacuten T lt 0 tiene la forma (519)-(iquestj2l)) y el campo en la
regioacuten i gt 0 tiene la forma
Eraquo = TE0tcu = Eraquoltbdquosraquo (548)
donde T es el coeficiente de transmisioacuten El campo en el plasma consiste de dos ondas
tina de las cuales se propaga en direccioacuten de los valores positivos y la otra en direccioacuten de
los valores negativos de x
E = Aek + Be-ik = - iquest trade (549)
Las condiciones de continuidad de las componentes tangenciales del campo en la fronshy
tera del plasma x = 0 y x = ti anaacutelogas a (523) permiten determinar T y el campo en
el plasma
06
R = (1-pound)AiquestlaquogtM (550)
T = 2icoa$aacuteJWt - atn8t-kdeg (551)
Ey = 2cos8bTHi [iyt - iacuteenflcoJt(iacute - x) + aM0eni-(ri - ) ] (552)
donde
Aw = (t - 1 + 2colaquoI0)ifnfrrf + 2raquoVi - xriMrosHrosktd (553)
En el caso dr una onda que ]M-nctra en el plasma para la cual iquestrosH gt u dcspnviando
las colisiones entre las partiacuteculas el coeficiente de alisorcioacuten determinado como
B s l - R - T (554)
es igual a cero El cani|wgt en cl plasma tiene la forma dc uua onda estacionaria y con
la variacioacuten di- la cantidad t|rf los coeficientes de reflexioacuten y refraccioacuten oscilan Si en
condiciones de cierto piel kfd lt 1 entonceraquo a frecuencias lo suficientemente pequentildeas
(laquobullpound gt -(w + iv)) los coeficientes de reflexioacuten y nfraccioacuten tienen la forma
R = - (o iacute + io3)(o + 2co8 + iaj)~ (555)
T = 2cos0(a f 2ctgtiacuteiacute+^OJ^ (55C)
donde
- - 5^5-
97
En este caso el coeficiente de absorcioacuten se expresa como
IV = 4ocolaquo[(oi + 2co9)2 + a]]- (559)
Si Pt gtgt raquobull entonces o t gt cgt-iexcl Las peacuterdidas maacuteximas en este caso se obtienen con
la condicioacuten o = 2coi0 iguales a la mitad de la energiacutea de la onda incidente Las ondas
reflejada y refractada en este caso tendraacuten la misma amplitud en valor absoluto Las
foacutermulas (555)-(55G) se pueden generalizar para una capa delgada con cualquier iuhomc-
gcticidad Si diquest kcbdquobdquoj lt 1 entoneacuteis los campos en el plasma se ltrternmii del sistema
de ecuaciones
ils Ai r(w + ivrs)) = laquogtbull r 1 f i - laquo5CII)
donde las soluciones tienen lt forma
pound = C H = -f(x)C + C (5C1)
siendo
co w + iit(j)
Las condiciones de continuidad de los campos en las fronteras x = 0 y r mdash d nos llevan a
los valores (555) y (556) en los cuales oiacute = Re laquo(lt) y a2 = Im n(rf) Por otro latioacute
las constantes Ct y C3 a traveacutes de las cuales se expresan los campos en el plasma tienen
la forma
C = TEltiexcl = 2E0coraquo9aH(d) + 2coraquo9)- (503)
Cj = 2EoCO$eaH(d)co6)aHd) + 2coraquo8)- (564)
98
12 Penetracioacuten de una onda tipo H en un plasma deacutebilmente no homogeacuteneo
En una gran variedad de aplicaciones la densidad del plasma variacutea lentamente en el espacio
desde cero hasta cierto valor maacuteximo La penetracioacuten del campo en tales plasmas se
diferencia fuertemente de la penetracioacuten en un plasma con una frontera bien definida o
fuertemente no homogeacutenea Las ecuaciones que describen a las ondas electromagneacuteticas
en un plasma no homogeacuteneo son un sistema de ernarkmes diferenciales ron roefirntildeiites
variables iloudr sus soluciones exartas o aproximadas se enriient ran uacutenicamente para rasos
(laquoarticulares Uno ile estos rasos |gtartirulares es aquel laquoIr un medio de ra)gtas planas donde la
densidad variacutea ni una sola dirrrrioacuten Una serie dr soluciones escarias de las eruaeiones ile
la clertrodinaacutemira en un medio ile rapas planas ron diferentes variaciones de la densidad
se pueden ver en los trabajos (2327) Generalmente soluciones aproximadas relativamente
simples en estos medios se pueden eiirotitrar en regiones asintoacutetiras es decir a distanrias
grandes ron rcsjwrto a los puntos singulares de las eruaeiones difcrenriales Los paraacutemetros
que se usan en esta aproximar ion pueden ser la relacioacuten del tamantildeo caracteriacutestico de la
no lioinogcneidad L ron res|ierto a las longitudes de propagacioacuten A de las ondas en el
plasma Si uno de los valores rumple la desigualdad LX gt 1 eutoures en relacioacuten a esta
onda al plasma se le puede llamar deacutebilmente no homogeacuteneo La penetracioacuten de campos
electromagneacuteticos en un plasma deacutebilmente no homogeacuteneo se ha considerado en diferentes
trabajos [222327-31] Consideraremos algunos resultados obtenidos
Veamos un plasma compuesto de iones pesados fijos con densidad n0i) la carga de
los cuales en estado no perturbado se compensa con la carga dr los electrones ron temshy
peratura diferente de cero Te La densidad del plasma n0 - 0 ruando iacute - t O y rrece o
es infinita cuando mdashraquo ce No existe campo magneacutetico externo y la distriburioacuten de eler-
99
trones por velocidades es isotroacutepica Para la descripcioacuten de la penetracioacuten de mi cam]Mgt
electromagneacutetico en tal plasma se utilizan las ecuaciones de la hidrodinaacutemica (50)-(514)
en las cuales hay que sustituir iacuteo = 1raquo iacutei = 1 y gt mdash gt()bull La i-ruacioacuteu diflaquoniciacuteal (5IS)
que rige la jicnetracioacuten de ondas tipo H en un plasma no homogeacuteneo toma iexclihoni la fonna
iPE -=bull + kl(t[x) - stnH)E = 0 (5C5) tiacutex
donde la pcrinitividad dieleacutectrica es funcioacuten de la posicioacuten en la forma
pound ( ) = 1 ttiquestIl (5GG)
w(uiacute+ II ( x ) )
De id ecuacioacuten (oacuteCuuml) se puede hacer ililncdiiitaiiieiite tilia serie de deducciones a) 1raquo onda
se propaga libremente en li regioacuten Jif t lt bullgtni1tiacute b) en mi plasma maacutes ileliso iloude
Jlt gt nrrifl la propagacioacuten se vuelve imposible y la onda uacutenicamente penetra el plasma
en la longitud de la rapa piel y c) el punto Rr pound = srtiB es el punto de corle donde 1raquo
onda se refleja
En un plasma deacutebilmente inhomogeacuteneo ruando raquoo(x) variacutea deacutebilmente en la longitud de
la onda que se propaga por el plasma la ecuacioacuten (5C5) se puede resolver por el meacutetodo de
la geometriacutea oacuteptica para una dependencia arbitraria de la densidad gtibdquo(s) [23] La enlacioraquo
(565) tiene una solucioacuten exacta para una capa lineal cuando la permitividad dieleacutectrica
(v(x) lt ui) puede escribirse n la forma
donde
+ iUumlIacutepoundgtpoundf 507) X0 WI0
bull = amp
100
Aquiacute a es la pendiente que caracteriza la dependencia lineal de la densidad de electrones
ron respecto a la posicioacuten Para el caso de un plasma sin colisiones (e = 0) reescribimos
iacuteoacute65) en la forma
- pound + kl( co1raquo - mdash )pound = 0 (569) ax Xo
haciendo el cambio de variable
C=[f) ix^coraquo2raquo - x) (570)
la ecuacioacuten (5C9) se puede llevar a la ecuacioacuten de Airy
^ + C pound = 0 (571)
Su solucioacuten decreciente cuando i mdashbull ltx tiene la forma [32]
poundraquolaquo) = mdash coM--Ct)gtlv (5-72) ir Jo J
donde A ex una constante que se determina de la roiidieiones de frontera manilo x = 0
En la obtencioacuten de la expresioacuten (572) (te lia despreciado la reflexioacuten de la onda en la
frontera del plasma debido al gradiente de densidad Es decir la amplitud del campo
eleacutectrico en el punto x bull 0 se considera igual a Eg lo que es vaacutelido para valores pequentildeos
del gradiente de densidad en este punto (|^|o ltC k) En la regioacuten 0 lt x lt x0colaquo28
debido a la suma de las ondas incidente y reflejada poundbdquo(() tiene la forma de una onda
estacionariacutea Lo anterior es asiacute ya que para valores positivos y grandes de ( E(Q tiene
una representacioacuten asintoacutetica en la forma [32]
101
Cerca df la frontera los valores del campo estaacuten dados aproximadamente |laquogtr
cuyo valor maacuteximo es
4a-gtgt-w-niexcliacuteiquest5^- bull (575)
Ln expresioacuten (575) resulta de la interferencia constructiva de las ondas ipie viajan a In
ii|UIacutecrda y a la derecha rrsprctivamrnte pin lo tanto la amplitud de la onda incidente poundbdquo
tt-tidru la forma
Aliora evaluemos la ronstatite 4 de (572) Para rilo iitiliemos la representacioacuten
asintoacutetira (573) y consideremos la condicioacuten de frontera de acoplamiento de los campos
en el plasma y en el vacio
poundT(0) = JEIacute (577)
De acuerdo con la definicioacuten (570) para ( podemos escribir el teacutermino ijCv en ln forma
f^^ (--pound_) (578)
Sustituyendo (578) en (573) y evaluando en x = 0 obtenemos
3A 2 ir poundlaquo(0) ) = -7k0Xo)-ucos-iacuteli9coraquo(-k0j0coS9 - -) (579)
yf f O 4
102
x = O = x0rnslV X
FiexclgS2 Alii|tli(ultl laquoId rrtiii|ngt eleacuterlrim cu la vecindad del punto de reflexioacuten s - xbdquoiiiH
Finalmente apurando 1raquo roiitliacutetiacuteoacuten de frontero (577) cnroutraiiioM el valor de A
(580)
La amplitud aacutee la onda estacionaria que se forma en el plasma cu los puntos cercanos
al punto de reflexioacuten x = Xoco29 crece (Fig52) Su valor maacuteximo se puede obtener de la
expresioacuten (572) el cual corresponde al primer cero de la derivada de la funcioacuten de Airy
[11] y tiene el valor
2 a a | l = 268 (581)
Asiacute dividiendo (5S1) entre (576) obtenemos el coeficiente de amplificacioacuten de la amplitud
del campo eleacutectrico en el plasma con respecto al campo en el vacio
103
| s f = 374(oolaquo3laquo)3 (582)
En el caso maacutes general de un plasma deacutebilmente inhomogeacuteneo en (562) en lugar dr
arbdquo debemos sustituir
En este caso para valores grandes de (koro)l^eoraquo0 auacuten una |MI jtirntildea parte imaginaria de
ki pcniMtiviacutedad dieleacutectrica puede rondticir a jteacuterdidas significativa de energiacutea de la onda
Si ni gtgt P jiacute () entonces la ecuacioacuten (571) conserva su forma pero ( en csrraquoiexcl caso laquo-S una
cantidad compleja
- ( )
raquo ( j v o ^ + x - mdash ) (584)
Nuevamente la onda (pit se forma en la regioacuten 0 lt x lt sltol(t es una onda estacionaria
lgtcro ahora la onda que se refleja cu el punto de corte Tit t = oc) nltgt tiene la misma
amplitud de la oiiif-t incidente Aquiacute cl coeficiente de reflexioacuten es diferente de la unidad y
se expresa como [23]
R as e m laquomdashgtbull m e-raquopound raquolaquoraquo (585)
La amplitud maacutexima del campo cerca del punto de reflexioacuten en este raso disminuye en
Ry
|iexcl iacute | 2 374|| 2(ltWw3)1 3 (586)
104
CONCLUSIONES
I Se describioacute la teoriacutea general de las guiacuteas de onda y resonadores cilindricos En base a
esta teoriacutea se obtuvieron obtenido los paraacutemetros principales que ritrart izan vi sistema
de microondas di- la fuente de plasma descrita cu [2] En el raso ilc una guiacutea de onda
cilindrica hecha tiraquo- bronce y ron Suacuterm de diaacutemetro interno se obtuvieron los siguientes
valores para los distintos paraacutemetros de pro|gtagariexcloacuteu de midas litadas en el IIIIHIO
A = 145rw raquobullbdquo = 13 x WHi I = 02753rraquor A = 22S2raquo Zbdquo = 187
ti = 56 x 10degtrade K3 = lC x 10uumlcfia
La constante de amortiguatniento lgtara estas ondas romraquo ronseriiriiciraquo de la roudur-
tividad finita ile las paredes metaacutelicas tiene el valor om = 1032 x 104 como este valor
es muy pequentildeo obtenemos que se puede considerar que la guiacutea de onda del sistema de
microondas (de no maacutes de un metro de longitud) es una guiacutea de onda ideal (sin ]xrdiexcldas de
energiacutea) Por otro lado para el resonador cilindrico laquopie compone el sistema de microondas
de radio a bull 7cm se obtuvo la distancia necesaria para que en el resonador oscile una onda
en modo Ht (wm = 15394 x 10(f ) Esta distancia tiene el valor d - 71Gcm Ademaacutes
se evaluaron la calidad del resonador y el ancho de banda donde el modo TEu puede ser
excitado uacutenicamente Q =bullbull 404963 w2 - uraquo = 000025 x WH respectivamente
II Se analizoacute el problema cuando la guiacutea de onda y el resonador cilindricos conshy
tienen una columna de plasma friacuteo magnetizado e inhomogeacuteneo distribuido axialmcnte
105
La columna de plasma cti el caso de la fuente de plasma [2j tiene un radio r = 3mraquo
y ademaacutes el perfil de densidad se consideroacute de tijraquoo paraboacutelico Eu base a la teoriacutea tie
perturbacioacuten y usando como paraacutemetro pequentildeo la pequenez del radio del plasma con
respecto a la longitud dt- onda se calculoacute la constante de amortiguamiento de la ondas
que se propagan en la guiacutea de onda ocasionada por la presencia del plasma La constante
de amortiguamiento tiene el valor o = lSS x 10~4
Se calculoacute ia variacioacuten de la frecuencia de resonancia fie las ondas que se etinieutran
resonando en modo TEtti en i resonador asiacute romo la variacioacuten en el inverso dr la calidad
del resonador obteniendo resp t-tiacutevaineiifc Aw - -lG3x 10 H MlQ) = oacuteS2x lO1
Los valores para n Aw y plusmniexclQ) se obtuvieron paro el caso mando ^bulljiacute(l))raquo = OS y
para el punto cerranraquo al punto di- resonancia ciclorroacutenica u = 0999 Ademaacutes se obtuvo
que la constante de amortiguamiento en el caso de la guiacutea de onda en el punto de resonancia
ciclotroacutenica l-u = w) se hace cero De lo anterior podernos roiirluir que la inutii se propaga
libremente en el plasma
III En el marco de la teoriacutea lined se analizoacute el proceso de penetracioacuten de campos
electromagneacuteticos en un plasma scmilimitaclo Se obtuvieron Jos coeficientes de reflexioacuten
transmisioacuten y de absorcioacuten para ondas tipo H tanto para un plasma homogeacuteneo y un
plasma no bomogeacutetieo Un aspecto fiacutesico importante en el estudio de la penetracioacuten de
ondas electromagneacuteticas en plasmas inhomogeacuteneos es que para una incidencia normal existe
un crecimiento del campo eleacutectrico en el punto donde la permitividad se hace cero Para
plasmaraquo magnetizados el comportamiento anterior es similar Por otro lado cabe sentildealar
que los puntos dentro de un plasma friacuteo e inhomogeacuteneo en los cuales el iacutendice de refraccioacuten
106
es infinito permite una absorcioacuten de las ondas de tipo no colisional en el plasma y al
mismo tiempo se obliga al campo eleacutectrico a tener un valor finito Esta absorcioacuten en el
plasma se asocia al hecho de que en el punto iacute = oo el campo electromagneacutetico sufre una
transformacioacuten lineal en otro tipo de ondas
Finalmente hay que hacer notar que la absorcioacuten de las ondas en las guiacuteas de onda
y los resonadores se debe uacutenicamente a la variacioacuten o cambio que sufre la constante de
propagacioacuten y la calidad del resonador respectivamente por la influencia tlcl plasma Este
mecanismo de transferencia de energiacutea ai plasma es diferente al mecanismo laquoIr la transforshy
macioacuten lineal de ondas
107
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110
INTRODUCCIOacuteN
ActUiiluieiili cu rl IXIN se tiene miii fiiriitc de plasma roiistruida iU el proyecto IB-
230 Esta es una fuente de plasma friacuteo sin ilict rodos (pie genera rl plasma por mirroondas
IIH iiniite resonancia rirlot romea di- los electrones Este tipo de dispositivos son de eran
actualidad ililiiiin iexcli sus posibilidades potenciales di apuracioacuten a Iti industria tiacuteili-s romo ltl
pngtisiacuteiiiiiiiitn ili- ilifi-riiifrs materiales |]iexcl (la formacioacuten laquoIr peliacuteculas delgadas poliacutemeros
liiiacutecnielcct ioacutenica soldadura iiiiit|uinns-lierrainieiitns etc) En estos dispositivos tambieacuten
rs relevante el estudio de fenoacutemenos baacutesicos i|iie ocurren en el plasma ionio la conversioacuten
lineuumll y no lineiil de ondiacuteis en el plasma Parraquo mayor informadoraquo sobre vi dispositivo ver [2]
Uno laquoIr los componentes baacutesicos del dispositivo es el sistema de inicruondas el cual consiste
de un generador de microondas (magnetron) de una guiacutea de onda y de un resonador El
generador que se utiliza es un Raytheon PGlOxl con frecuencia fija de = 245 GHz y de
potencia variable f 10 - 500 W) Li alta frecuencia del campo se transporta a una cavidad
resonante por una guiacutea de onda cilindrica de bronce de 85cm de diaacutemetro En esta guiacutea se
excita una onda electromagneacutetica en modo H El resonador de bronce tiene un diaacutemetro
de 14cm y en el cual se excita una onda en modo TTm-
En este trabajo de tesis se realiza una revisioacuten del caacutelculo del sistema de microondas
que componen el dispositivo y un estudio sobre la interaccioacuten lineal de ondas que pueden
ocurrir en el plasma en este dispositivo En el Capl se hace una pequentildea descripcioacuten de
los principales paraacutemetros del plasma y de los principales meacutetodos teoacutericos para su des-
1
bull ti|Miexclltgtii En bull Cap2 w laquoICSITIacuteIM- In teoriacutea general de las guiacutea- de onda y los resonadores
cilindricos En el (iexcli|i3 si- de-rrilie la Teoriacutea gtbullbull Perttirltacioacuten uacutetil iexclwira el i-aacutelculo di lo
diferentes )i-iiaacuteiii(tros di- lagt uniacuteraquo de onda y lo- resonadores nur contienen itti plasma en
su interior En el Cap4 en lgtase a la teoriacutea ltllt- pi-rturltacioacuten gtbullbull calcula la variacioacuten di- la
constante ri pro|gtagariigtn de las ondas ijuc so propagan en una guiacutea dr onihi cilindrica asiacute
iilaquomgt la variacioacuten di liexclgt frecuencia de resonancia de las ondas lt|tio si- iiiencntraii oscilando
ili un resonador laquopie IOIIIIacuteIIM una i-olnniiia de plasma friacuteo riliacutendriro magnetizado ltbull inlio-
mogoacuteiieo disnilmido axiacutealiiinili En el Cap-V i-ii el marro dr la teoriacutea linral se Kivostiga
ri proccsiraquo di penetracioacuten di campos eleotioniauiacuteHlieiraquo- III un plasma ademaacutes sr obtienen
los coeficientes de reflexioacuten transmisioacuten y di aliMgtirioacuten paia ululas bullbullgtltgt Finalmente
si- lian- un resumen di- los principales resollados nlitriiidos en el traUiacutejo di- trxis
La propagacioacuten de ondas de muy alta frecuencia representa un lema laquolo gran anualishy
dad iii campo romo la radiofiacutesica (oomttiiiriirionos radares radiotelescopios etc) y la
fiacutesica d r plasmas (aplicariones y fusion termonuclear iotroluda) En la fiacutesica de plasmaraquo
actualmente se est lidian dispositivos en base a suirrooiidas y radiofrecuencia laquopie son muy
interesantes por la gama ile aplicaciones (pie se descu-ren constantemente Por otro latioacute
el calentamiento adiriacuteonal tlel plasma por ondas de radiofrecuencia en dispositivo donde
se obtienen plasmas de alta temperatura para el estudio de la fusioacuten termonuclear conshy
trolada es un tema que tiene gran importancia Por lo anterior el desarrollo de la teoriacutea
lineal y no lineal de propagacioacuten dr ondaraquo de alta frecuencia es de gran relevancia
2
CAPITULO 1
DESCRIPCIOacuteN DEL PLASMA
1 Principales paraacutemetros del plasma
El plasma rs un uniacute lio nmsinritro compuesto laquole partiacuteculas cargairaquo positivas negativas
y ademaacutes tli- partiacuteculas neutra (aacutetomos y moleacuteculas) que inicraci-ionan entre siacute y con la
radiacioacuten Las partiacuteculas positivas son los iones y las negativas son los electrones (los iones
negativoraquo juegan un papel secundario) Ademaacutes de los aacutetomos y de las moleacuteculas que se
encuentran cu su estado base en el plasma ]meden existir tambieacuten en grandes cantidades
aacutetomos y moleacuteculas cu estados excitados El plasma entonces es un gas ionizado en el
cual la carga negativa de los electrones neutraliza casi completamente la carga positiva de
los iones
Veamos algunos procesos que ocurren en el plasma (3-7] El plasma se obtiene por la
ionizacioacuten cuando se separan los electrones de los aacutetomos o de las moleacuteculas Son posibles
dos formas de ionizacioacuten en un plasma denso principalmente tiene lugar la ionizacioacuten por
choques de los electrones con los iones o aacutetomos nertros y para un plasma muy enrarecido
es caracteriacutestica la ionizacioacuten por radiacioacuten (oacuteptica ultravioleta y por rayos X) Es posible
tambieacuten que ocurra la ionizacioacuten por los choques entre los aacutetomos o con los iones El
3
proceso inverso iquesti 1Iacute ionizacioacuten es lit recigtmlltinlaquoooacuteiiexcl es ib-cjr Ib unioacuten de un electroacuten con
mi ion y con ii consecuente formacioacuten de un aacutetomo o moleacutecula neutra En un plasma
enrarecido la igtgt iacuteniliniexclnioacuteii ocurre generalmente con radiacioacuten y en un plasma denso lu
riioiubiiiacioacuteu gtbullbull rriiiiii en los choques triples (se recoiuliina un electroacuten y un ion y mi
segundo electroacuten gtbull lleva el sobrante de energiacutea) Por otro birlo el plasma lugt solamente
radia hi visible sino tambieacuten radiacioacuten ultravioleta y ademaacutes si t-1 plasma es muy caliente
tambieacuten radia rayos A
El plasma por naturaleza se comporta como un gas por lo que para su laquoICM riprioacuten
si- utilizan ronrepros talrs como densidad presioacuten (esiipfralmgt itr El movimiento ile
las partiacutecula- ocurre ilr fon na caoacutetica En laquoI caso laquobull bull partiacuteculas lt|tilt- no timen carpa en
su movimiento teacutermico la iliriciioacuten de su movimiento varia solo |Mgtr los c-limpies como
cu un gas simple Entre cada choque el movimiento de las partiacutecularaquo con velocidad
constante r describe una linca t rta En este cano la longitud promedio de recorrido
lilwe es A = VT = iexclnma donde r es el tiempo entre los clioques nm es la densidad
tlil medio y n es la seccioacuten de choque A mayor densidad la longitud de recurrido libre
medio tm menor y Ja frecuencia dr rolimeacuteo v = 1T = nmav es mayor Loraquo choques entre
las partiacuteculas neutras ocurren por la accioacuten de fuerzas de corto alcance las cuales son
proporcionales a rri y pueden ser tanto elaacutesticas (intercambio uacutenicamente de energiacutea
cineacutetica) como inelaacutesticas (transformacioacuten de la energiacutea cineacutetica de las partiacuteculas ergt otras
formas de energiacutea como son excitacioacuten ionizacioacuten y recarga) A diferencio de las partiacuteculas
neutras sobre las partiacuteculas cargadas actuacutean tuerzas de largo alcance proporcionales a r
las cuales se rigen por la ley de Coulomb Esta interaccioacuten disminuye lentamente con la
distancia El movimiento de las partiacuteculas ya no se realiza por una linea quebrada sino
siguen trayectorias muy complicadas Sin embargo estas trayectorias se pueden aproximar
a una linea quebrada y en esta forma introducir el concepto de choque coulombiano En
4
iexclo inuwrioacuten iilt- 1iexclIgt partiacuteculas las maacutes fuertes resultan raquo T las de largo alcance Las
interacciones coulombiaiifis determinan Minchas propiedades del plasma A traveacutes de eacutestas
a|raquoareceii las propiedades colectivas del planum relacionadas ron la interaccioacuten simultaacutenea
ltltbull mtiriiH- partiacuteculas
Las partiacutecula nue componen cl plasma se encuentran igteniianenteinente en estado de
movimiento teacutermico caoacutetico Este movimiento se caracteriza por lit temperatura del plasma
7 romo un todo y por la temperatura Tbdquo tic siis diferentes componentes (aquiacute ir puede ser
i o i pata iexclos elertrmies o iones respectivamente) La temperatura liacuteeiennina la energiacutea lilshy
las partiacuteculas del sistema el euiil se tinmiit i iexcli en ei|iiililirio teri-iodinaacuteiiiico El |gtlnsiiit se
llama isoteacutermico si este se encuentra en equilibrio teuuodinaacuteinico ionio un todo y la funcioacuten
de distrUumlMieioacuteit de la energiacutea de las partiacuteculas de todo tipo es una distribucioacuten inaxweliacuteaua
con una misinn temperatura X (T = T = T) En el caso de un equilibrio lennodiacutenaacutemicolaquole
una parte del plasma cuando diferentes componentes tienen una distribucioacuten maxweliana
pero diferentes temperaturas vi plasma se llaina no-isoteacutermico o sea Tt iquest T Esto uacuteltimo
es posible debido a laquopie cl intercambio de energiacutea emre los electroiws y los iones ocurte maacutes
lentamente que el intercambio de energiacutea entre las partiacuteculas que tienen una misma masa
En base a esto uacuteltimo en un plasma no muy denso con pocas colisiones puede existir
un estado con dos temperaturas ioacutenica 7iexcl y electroacutenica T En el caso de una funcioacuten de
distribucioacuten maxweliana de las partiacuteculas fm exp(-m0vl2kTo) la temperatura de un
plasma en equilibrio determina la energiacutea cineacutetica promedio del movimiento teacutermico
3fcT _ _ _ _ _ ^=(mavl2) = Eacutee (11)
donde k mdash 138 x W~ttrgioraquodegK es la constante de Boltzmann y 7_ es la temperatura
de las partiacuteculas de clase o La raya superior en la parte derecha indica un promedio con
respecto a las velocidades
5
Una earailiTisMra importante del plasma rgt la fririMii-in plaacutesmica la cual esta canic-
tiriaila por liis oM-ilaciacuteouo electroacutenicas ltlrl plasma
tliHide i es la carga del electroacuten (t iexclft 4SU32 x 10iraquolaquotoiWoraquo()i u es 1iexcliexcl concentracioacuten ilr
electrones (laquobula iii mi) y MI lt~iexcl la masa del electroacuten (raquolaquo = 01095 x lO^V)- Las oscilashy
ciones |gtliacuteisiuiris son oscilaciones longitudinales electrostaacuteticas i|tn- surgen romo resultado
ilr hi separacioacuten ilr partiacuteculas lardadas a distancias microscoacutepicas y ilil surgimiento de lalaquo
fuelas ill COIIIIIIIIII La fu incuria plaacutesmica soacutelo depende dr la ciiurrut racioacuten laquo
raquo- 5 Tx Wyj^ 113)
ii ltii la forma
A = | = 2 x l O 3 ^ 1 0 ^ (14)
La escala temporal ill separacioacuten laquole carga cs una cantidad inversa a la frecuencia plaacutesmica
r ss 1w Como laquoi los intervalos dc tiempo gt r las partiacuteculas realizan imirlins oscilashy
ciones cerca de su posicioacuten de equilibrio entonces el plasma como un todo se comporta
como un sistema neutro en el tiempo La separacioacuten de cargas puede ser importante soacutelo en
intervalos de tiempo t lt r pequentildeos con respecto a la escala temporal La escala espacial
de separacioacuten de cargas es la distancia basta la cual se puede desplazar una perturbacioacuten de
la concentracioacuten de las partiacuteculas cargadas debido a su movimiento teacutermico en un tiempo
igual al periodo de las oscilaciones plaacutesmicas la cual se expresa en la forma (dada en cm)
laquobullV V 4iregtnt
6
doxiie = lTni mdash 45 x VSyJT laquo-s In velocidad del movimiento teacutermico de los
bull iexclii-roiifs 7 laquo- Iraquo fltbullijijx-rittiilt le los electrones en A y gt es la cow-rut racioacuten laquole los
bullllaquoM-roraquofgt MI nn~ bull La ltlisuiiit
bullgtbull llama radio ltit- Debye para los electrones Para tin plasma niasiiirtirro es necesario ijiie
its liiuiitiMoiiis riinirifristiras L scan siciiihnitivniiifiitc mayores ipie el radio ir Debyc cs
laquo[bullbullbullbulli L ~iquestgt in ion esta condicioacuten slaquo- purde considerar ijnc laquobull -iexcl-teiacutena ilf partiacuteculas figtrman
un plasma En riiMi inverso L ltg riexcl i tenemos mi coiijmtlo I|I- |gtutiiiiiii- cargadas
-f|gtnli- Asiacute llenamos iexcli la definicioacuten laquoIt-1 plasma propuesta por Laugmuii [5iexcl rl plasma
i-s tin conjunto tic partiacuteculas iirutras y careadas en rl cual ai sc satisfaci- la condicioacuten dc
ciiasiiii-utralidiid poundbdquo rbdquoraquobdquo = 0 y lit el radio dc Debyc dc apaiitallainit-iilo es mucho niiiior
bullinraquo1 las dimensiones caracteriacutesticas laquopic ocupan el conjunto laquole partiacuteculas r^ lt L
Una infltiriiciii iiii]iortantf sobre rl iiioviinie-nto de las partiacuteculas la ocasionan la exisshy
tencia laquolaquobull un riexcluingt magneacutetico externo constante el cual ordena el movimiento caoacutetico de
las partiacuteculas En un campo magneacutetico actuacutea laquoobre las partiacuteculas cargadas una fuerza llashy
mada poiidcroinotriz (lorentziana) dirigida ])cr]gtcndirulannriite a la direccioacuten del campo
magneacutetico B0 y a la velocidad de la partiacutecula iacute Bajo la influencia de esta fuerza las
partiacuteculas giran con una frecuencia angular igual a wBbdquo A esta frecuencia se le conoce
como frecuencia riclotroacutenica o de Larmor y para los electrones tiene la forma
~B = mdash 176x07Bo (17) me
Para que el plasma resulte ser magnetizado (anisoacutetropo) eacuteste no debe ser muy denso y
deblt encontrarse en un campo magneacutetico muy fuerte Por esta razoacuten es necesario que en
laquorl intervalo ltli- liniipo vnf dos i-olisiotn-s rbdquo las partiacuteculas pmdan nahzar uiiniios iexclinraquo
ttlri-drdor ill- las lincas del raui]Hgt iiiiiacutegiit-tiro Esta condicioacuten gtbull inarm tizai ion jitira lets
rliTtroiics es di- la forma
w laquo r m raquo l (lSj
En la ltlin riiiiti ilrl rampo iiiin-iiitiio la influencia de laquo-sir soliri- Ins partiacuteculas careadaraquo cs
nulo En mi campo magnet iro lioiiiogeacutem-o las trayectorias del movimiento dc las partiacuteculas
cargadas tiiinu forma bullltbull bullbull -jiiiiilraquo-
Por laquofin lado liay ijiir diferenciar los conceptos dc plasma friacuteo y plasma caliente Eli
mi plasma friacuteo r) movimiento teacutermico de las partiacuteculas es menor que la presioacuten i-I bullbulliinjgtgt
MKiKiirtim es decir
-2=2fIlti (io) Entonces podemos decir que rii mi plasma friacuteo que sr oiicticiif ni en mi campo magneacutetico
w puede despreciar rl movimiento trrminraquo dc1raquogt partinilas En mi plasma caliente esto
uacuteltimo no es vaacutelido
2 Meacutetodos teoacutericos de descripcioacuten del plasma
En el desarrollo de la concepcioacuten del plasma como un gas de partiacuteculas cargadas cambiaron
tambieacuten los meacutetodos de su descripcioacuten Los primeros modelos maacutes simples de la descripcioacuten
cualitativa del plasma lo suponen como un sistema de partiacuteculas cargadas que no interar-
tuan entre siacute y que se mueven libremente en presencia de los campos eleacutectrico y magneacutetico
externos Es decir si so considera que el plasma esta compuesto de jVbdquo partiacuteculas de clase o
8
iexclbulli -r mueven dcltido iexcli MI energiacutea teacutermica en forma caoacutetica entonces es uii-fNarin resolver
~ ecuaciones laquogtbull movimiento con uti miacutenimo iexclEnfil raquobullbull condiciones iniciales i posicioacuten y
-bullbullio-idades iniciales ilr partiacuteculas | Obviamente esto uacuteltimo es imposible de realizar Se
puede reducir fuertemente el problema si gtraquobull desprecia liexcli dis]gtcrsiexcleacutegtn de las velocidades dr
bullu iovimicnlo teacutermico es decir si se considera el movimiento promedio de una partiacutecula
laquoiexclHe v encuentra en reposo cuando no hay campos externos Asiacute este modelo simple
de iexclarticulas independientes completamente desprecia no solamente la interaccioacuten entre
piiriexclniiacuteiacuteiraquo sino eiexcl movimieiiio teacutermico de la- mismas
Pura determinar la velocidad dgt- una partiacutecula carnada del ntasma en el modelo de
pariacuteVittiis independiacuteenles se resuelven las i (ilaciones de movimiento para partiacuteculas de
gtia- bullgt en la forma
-y- = lt iacute iquest + -|ibdquo X D + iexcliexcl111 I110) Jlz
ir ~ donde iexcl = gtnbdquorbdquo es el impulso de la partiacutecula de dase o y ies la aceleracioacuten provocada
por fiHTns no electromagneacuteticas Eti las ecuaciones (LiO) la iiidiiccioacuten magneacutetica D
y el campo eleacutectrico E no se consideran como variaUes conocidas ya ipie estos campus
incluyen en siacute campos inducidos en el plasma cjue MOJIacute provocados por el movimiento de las
partiacuteculas cargadaraquo por lo (pie hay que resolver un problema autocousigtente es decir la
solucioacuten de (110) conjuntamente con laraquo ecuaciones de campo
VxS = M + Iacute I ( + ( 0) (iii) c ot c
V-Eacute m 4-(p + po) (1 13)
v i = 0 (114)
9
01
(si-i) ltraquoiquestbull AW + J) + W + sectxsectA)Y +ilaacute- raquo
waacute(A-iacute) + ^ Vlt = JLVpound mp
(iquestri) -o = W aacute w - A + ^
iexcllaquoupauSimi HJiuiHiupo pii] laquoj ip laquoai iopuioa ap jjnaiscsi io x) inn uctuivcs u n
HZI|1)II t8 opiti |f ui |vmi raquoia ap OIIMIIUIAOIH jap t iopduauap H| H Iacute H J -OJIIIU OIIIIIJIIOI o ip j tu mi
(ipllllllUOJ OJIIK laquoHill OIlllll lltijjodll S Sgt1IIIIIltMI|IIOJ SHJSI Hill llX HJItlHI A UIIIIOI liJIIIOJl
bullJMraquo NtJIIHKullllO1 Sl| 11)111 IttllHMJIi j j l lililiacute IMIacutelj IS lili IIJlllllllipiU|lll| CI|I|KM11 |l l|-J
i
OIIIIIIIIipiM|)II[ (gt|l|raquoOIII |l iZI|llll
is osli i|Si 113 ltM1IIHI l((|ill|)Ulll o|(llllil | mi imuii Jllli|MSIIlu ipmd is lti|i(i| (III oltloi
Dlllsmii |l lt ltI|IIIKIIJI(1IJltII 1)1111111 Ulllj l||St IS IIIHI SI|lll(UIltI SI|IIMIJI(I sltlt[ 1(1 (IJfUItlllAillll
|i ltisui|i 11111 miis-H|ltl 1111 111 iiUuumluniii iexcllaquo j o j ii|iiiuiiii(iultii ms i ltm siquniiud ltn gtgt
ltI|I1III1U Villi |l (MU | l lll lt 1(11ili 111 AIIIII iMIIsiqil tin 1(1 IKIII |i l|gt II|IK lti|ilI|I|ll MS i|llllltl
Sgt|I1HIIIIMII|IIII -ii(liilinil ip II(I|KMII (1 H|tiit|iiltl 113 lti|iiiiitll] si inusiqd |i|i IIltIIMIUISI|I
l| lll IIOIHiipill US Hill ltl| Hid degSI(||||||Ilt1 Sl| 1(1 i||llll(1llAOIII |lp 11(11liqll1111 bull] OlIItU11
(iinmiiiAoui (1 bulluipisUtii 1111 ofiji is (IHKII si|tfi(|ifiH(i|ifft s-ftptjiijiMi (lt lti(i(iorij ( 3
( 9 1 1 ) 0 = V V bull A + T ^
|Mqmimiuoj ltraquofi tiacuteotjuttji laquoj uKiexclatms (()) niexcljsijtfs j pthy
ltcni bullbulliquestx^ = [ -x^ = lt
laquoUIKIJ i( (lllllll l|(MMJltll ijl A i|l(lll(IUI laquoSjlM laquolt Kj|tt|raquoISIM|gt gtlJ Sgt(itl) slj | Ifi
= V y [- x D - -pound-V x I i r Uuml) (119) Of 4 ~ ltT
V B = 0 (120)
donde ni ex 1iexclI ltbull usidad del liquido ltlaquoMiraquohicTtgtr (plasma) ron una rondiirtividad n vi es la
velocidad del plasma y ( r son 1lt- roi-firiciites de viscosidad Este sistema laquoir eriiarionis
w debe de roiujut mentar ron las emanones de rotado y la iiiiwioacuteii laquole tnuiNpurte de calor
= Hni-T) (121 0
M7 mdash + (rlaquoV| uumlt
~ bdquo 2L1L + X-(VTgt+ mdash mdash l ^ x Uuml r (122)
donde raquo = raquoij(T) es la entropiacutea de uiiii masa unidad de plasma n es la rondnrtividad
iltl ialor y rttJ elaquo el tensor laquoir viscosidad
^= (iiexclr + iiquestL~ hgtv TA) av bull IacuteL23)
En la magnet oliidrodinaacutemira se consideran dados la rondnrtividad eleacutectrica la conshy
ductividad laquolaquobull calor tlcl plasma y tambieacuten los coeficientes de viscosidad En la praacutectica
se utilizan modelos modificados dr la magnetoliidrodiacutenaacutemicn tales como el modelo cuasi-
magnetohidrodinaacutemico de dos liacutequidos (electrones y iones) y de tres liacutequidos (electrones
iones y neutros) tos cuales de forma fenomenoloacutegica consideran la interaccioacuten entre las
partiacuteculas- su movimiento teacutermico Estos modelos simples generalmente son aproximados
y para su fundamentacioacuten se exige la utilizar ion de un modelo maacutes general del plasma
como gas ionizado El modelo maacutes general es la descripcioacuten estadiacutestica del plasma como
un sistema compuesto de un gran nuacutemero de partiacuteculas
11
CAPITULO 2
GUIAS DE ONDA Y RESONADORES
En rstr i-i|gtiacutemlgt v ilisrrilraquo li iroriacutea grurral i|r lis gniacuteis laquoIt- IIMIUuml y laquoIr los rrsoimdorrx
bullilimlriros Si luir- un r-iexclMilil riifuumlsis ru his giiiacuteigt d r mifhi V lvsotinliili- de MMIIacuteIMI
tliUlsvriMiI bull i i i i i iuuml l nn iDliiii 1iexclgt rxcitiiiiiVn dr o lnl raquo t i l IIHMII bdquobdquo y TE laquo11 estos
IIIacuteN|HIMIIacuteVIraquo rrx|Mitiacuteviexclifilttr rli Iilii|iiliquest ron rl d i spos i t ivo drsni t iraquo cu [2iexcl
3 Guiacuteas de onda
31 Ecuacioacuten de valores propios
pound1 estudio dr IHS propiedades fnuciaiiicntalcs dr la propagacioacuten de ondaraquo laquobulllectroniaglictiras
en tubos cilindricos dr conductividad infinita sr ha realizado ampliamente Ha sido resuelto
el problema para guiacuteas do seccioacuten transversal arbitraria |8) y para secciones transversales
particulares de importancia praacutectica se lian solucionado en sus modos fundamentales de
propagacioacuten [9] Asiacute mismo una analogiacutea con las lincas de transmisioacuten ha sido descrita en
[Wi
Veamos con maacutes detalle las guiacuteas de onda Consideremos una guiacutea cilindrica ron su eje
dirigido a lo largo del eje 0iexcl Ademaacutes consideremos que la guiacutea de omlas es longitudiliaj-
12
iifiacuteiti- lioiingtmiiriexcli y iptc la iexclgtariilrgt- metaacutelica sou conductores iierfcetos Sigtigtntgtiexcluiiltgts ltpit
bullniexcli omlii bull-lcctrumagiirticH plana di frecuencia ur si propaga a lo largo di- la guia ilt- onda
pound(fiacutel=f(r^)t r- iacute (21)
poundlt) = (riacute)t r-w ) (22)
iexclonde r es la constante de proiMtgacioacuten o nuacutemero de onda El problema fie contorno que
-bull iacuteu-duiT de liexcltgt fiiiacutenioins de Maxweil pura ondas ti|Mgt H en una guiacutea dr ondas ciliwtricn
-bullbull rxprrsa en la forma
bullbullon laraquo condiciones de frontera
-2- = 0 para r = a (24)
E = 0 cti todo el espacio
donde $ = H(r^) De la misma manera para las ondas tipo E el problema de contomo
tiene la forma
0 lt vgtlt 2ir
13
rtm las condiciones de frontera
= 0 para r = a (2C)
H = 0 til todo el espacio
donde ahora lt1gt = pound(r^) n es el radio ilr la guiacutea tic ondas
Los valores positivos
bull = -gtL = iquest - riquest (27)
determinan el con junto de valores propios correspondientes a rada una de las soluciones
lraquoTiiiisilles igt minios caracteriacutestico de la guiacutea de onda donde II y t son las constantes
de permeabilidad y permit ividad respectivamente del medio ipie llena la guiacutea de onda
GiiHTMliiHiite bdquo depende ile las (limensioiies geomeacutetricas de la guiacutea de onda de IacuteHJIIIacute
IJIIC siempre si puedan selerrionar los modos de propagacioacuten raquopraquoe se reijuieran
Por otro lado las componentes transversales de los campos eleacutectrico y magneacutetico se
determinan si se conocen las componentes longitudinales de los campos de la forma [8]
iT Eacutet = - j -Ve para ondas en modo E (28)
a iT H = - mdash V para ondas en modo H (29)
Traquonigt
Ademaacutes las componentes transversales de ambos campos (eleacutectrico y magneacutetico) se relashy
cionan mutuamente romo
14
H = ~iquestbdquo x Eacute (210)
aonde ~bdquo es un vrrtor unitariti dirigido a lo iexclarjraquo ltlcl eje 0 y Zf laquo la iiiipedanria tlr 1raquo
onda tiraquo modo E Igt H respectivamente
cT Zf = mdash igtara ondas en modo pound (211)
ZH = mdash=bull pnra ondas en IIIIMIII H (212) cT
Las efiiiexclirioiiigt (23) y (25) determinan problemas de valores propios ron sus corresshy
pondientes condiciones de frontera Cada turn de las soluciones nos representan diferentes
bullnodos normales unos transversales eleacutectricos y otros transversales magneacuteticos corresponshy
dientemente
32 Paraacutemetros de propagacioacuten
De la ecuacioacuten (27) se tiene que para cada valor de bdquo y correspondientemente de la
frecuencia se determina un valor para el nuacutemero de onda
r raquo - ^ - T Iacute (2i3)
En general T puede ser una cantidad compleja de donde podemos distinguir tres casos
a) siacute (tt^ gt y^n entonces T es real y define un modo permisible de propagacioacuten es decir
la onda se propaga libremente a lo largo de la guiacutea b) si ftfty lt 73nn entonces T es una
cantidad compleja de donde la onda se amortigua exponencialmente y c) el caso cuando
15
r = 0 ilefiiu la condicioacuten di- rortlaquo la nial separa los casos a) y li) Asiacute podemos definir a
la friTuciina de corte romo
Wbdquobdquobdquo = -J=-bdquo 1214)
y expresar el nuacutemero de onda en funcioacuten de ella
r = ^ ^ - ^ (215)
Para ftecuencin- uiiiyores ijue la de rorle la onda se propagii a lo largo de 1raquo guiacutea En
el ruso contrario pitra freriietiriuumls menores i|iie lii de rorte 1iexclgt onda se amortigua Otra
caracteriacutestica imporiiiiite la ]iodeinos olilenei de la bullbullxpresioacuten 1213) Va |IH- el nuacuteniero de
onda r siempre es menor ipie su valor en un espacio lilire entonces Ii longitud de onda en
la guia es siempre maacutes grande
y 77 7ngtt
Anaacutelogamente definimos una longitud de onda de corte o criacutetica (cuando A = 00)
Af = yiliacutemdash (217)
y expresamos la longitud de onda cu la guiacutea cu funcioacuten de ella
A = _ j (218)
donde A es la longitud de onda en el vacio Dr aquiacute que la onda se puede propagar a lo
largo de la guiacutea de onda uacutenicamente para longitudes de onda menores (pie la de corte
0
~ y - i y
_bull-
_ 1
bull i
iexclA
0
0
- gtiacuter
JfT7 ~ m
n
0
raquov
^ yJZliacuteiiacuteiacute
9C
Imaginaria
V
mdash _ l _ - M i l
0
Imaginaria
A
-Jraquo-$mdashil
X
Imaginaria
Tabla 21 Iaraacutewotrus ele propagacioacuten para onda ltrn moiio pound y cti una guiacutea ltlr onilas
Miacuterica uniformraquo
Por otro hielo iexclgt viliraquodegiiliexcliltl ltli fasr iiexcl riexcl un medio bullbullgt uisiraquo JraquoILIIlt1laquo ijiii- su Viilor III el
Wigt
7 = r
(219)
Por debajo del punto dlaquo- corte 1raquo velocidad de fase es imaginaria y pierde asiacute su sigshy
nificado fiacutesico En el punto de corte la velocidad ltlr fase se viirlvr infinita Un liccho
importante resulta serel que la guiacutea dp ondas es un sistema dispersivo aun cuando el
medio que llena la guiacutea no lo sea (la velocidad de fase es funcioacuten de la frecuencia) La
velocidad de grupo de la onda tiene la forma
tortt 1
(220)
En la Tabla 21 se resumen los paraacutemetros de propagacioacuten para una guiacutea de ondas sin
peacuterdida de energiacutea
1
33 Coeficiente de absorcioacuten
El finjo laquole inicrgiacutesi raquobull describe por ltbull vlaquo-ctigtr cimiplejo di- Piacutemiling
Sbdquo=[iquest]i[poundxW-j (221
su parte real nos dh el finjo di- energiacutea promedio plaquogtr unidad de tiempo y por unidad de
aren La romponeiite axial de Su representa el flujo de energiacutea prmimlio a lo largo de la
guiacutea Por lo tanto d flujo total promedio de energiacutea que se transmite a lo largo de la guiacutea
de onda e- la integral de la componente axial del verfor laquoIr Poyntilig evaluada sobre IIMIIacuteI
la weeioacuteii transversal de la guiacutea de onda
HilU^1 - iacute2-22) donde iquestbdquo es un ver tor unitario a lo largo del eje ()
Hasta el momento se lia considerado laquopie las paredes laquole la guiacutea tie laquonula son conductores
jraquocrfectigts in tal caso el Unjo total de energiacutea conserva su valor a lo largo tie la guiacutea laquole
onda Sin embargo en problemas reales la conductividad de las paredes tiene un valor
finito debido a ello existe muiacute fraccioacuten del flujo total laquole energiacutea que se absorlw |araquor Inraquo
paredes Dlt- aquiacute qtw la expresioacuten (222) representa uacutenicamente el fhyo tie energiacutea total
que entra a la guumliacuten de onda y cuyo valor decrece durante la propagacioacuten de la onda es
decir se generan peacuterdidas de energiacutea En la praacutectica tales peacuterdidas se consideran muy
petmentildeas considerando que siempre existe una fraccioacuten de la energiacutea que se pierde ya sea
en las paredes o por la presencia de un dieleacutectrico que llena la guiacutea de onda En tal caso la
laquoMida se amortigua en BU propagacioacuten y la constitute aacutee propagacioacuten time en consecuencia
una parte real y una imaginaria
18
r=i~m (223)
iultif i gts vl factor laquoit- iacuteiisi- y gtbull vi n^bulltirivuu- tU- iexclilisorcioacuteu o ltlr iacuteiiuortigiiaiiiii-tito E
cticiacutetiif ltli- iexcligtlaquouiri(raquoii ltbull Juumltllfi laquoir iexcllti rrhiritu
o = raquo +ltu (224)
bulliiiidr IIbdquo y o son los nlaquofiriciiiigt di- alisorrioacuten ilrliido n liexclis jx-nlidiis de energiacutea en las
m|t-iligt iin-luacuteliacutei-iraquo y 111 Illtilio diacuterliiirirai i|lilaquo- iexcllililiacute 1iexclI Riliacuteii rcspi-itivamriiti CiMisiiii-railiio
1iexclII |gtctiliiliexclis l l i -d ir ig iacutea ilr hi rxprrsion (2231 gtbullbull indure que los nui i )ms MUIacute propiui-ionalcs
bull bullbull tUUiexclltfgt rxpnililinal raquo i Ir ilonilr lii |MitgtIniacuteiexcli (222) laquo|lir sr transmitiacute iexcli iigt largo ltlr lli
bulliacuteliacutei ill lllllli llisillillliyr iexclI lo litigo (Ir (II la furnia
raquo(-)= Pbdquogt -- (2251
Por tamo la roiistiwtr de amortiguamiento o de alisorcioacuteii se definiacute- como ln razoacuten de
i poti-uria i MI il i ii bullbull lio lli eiirrgiacuteli (ptr si pierdr por unidad ilr longitud c u t i r il flujo toliil
promedio ilr rut-rglli lt|lie se transmit a lo largo di liexcli guiacutea gtllt onda
mdashiquestiacute-
34 Guiacutea de onda cilindrica Modo Hbdquobdquo
Nuestro principal intereacutes se centra en las caracteriacutesticas de propagacioacuten de ondas electroshy
magneacuteticas en modo Hnn en las guiacuteas de onda cilindricas Consideremos que la guiacutea de
onda tiene paredes conductoras perfectas y qui el iiexclgtgt dio que llena uniformemente la guiacutea
19
fcciMTraquo |Mrililiis laquoIr m c r g iacute a ilispiiviiilili-j Parraquo bulllaquolaquobullbull rwsn IIIN MIIIUIacuteOUIS n IIHgtI)Igt~ |MTIIIIacuteSIacuteIgt1IVS
ili- priiptiiuumlniiiii i|i 1iexclI r i i i iu ioacute i i (2 3 ) MHI
( bull r-t = CbdquoJJ- r)~laquoif (227)
laquolimilr Ci lt-- una ionstatiii y la rlaquotiltiirioacuteii ltr iacuteroutrrn (24) mjiriiTr jiir 1ltraquogt laquoiliircs propios
IDIIIIII la forma
bull t
bdquobdquo = mdash = U 123 122$) bulli
n = 123
Aipiiacute )bdquobdquo -un la raiacuteivs n bullbullMinas laquoIraquo la dnivaila ilr la fiuirioacuten gtlt- Ui-ssrl ili- unlcii m
JJjr) - Di y n rs il railin inlriim ilr la guia ir ondas Exislr un minino iexcliitiiiiln bullbull
IIHMIOS i|iu MUIacute -iiliniuiirs ilr (23) IIIII la i-igtiiiliexcli-iacuteoacuteii ili friitiliTa (24) Col aymla ili- (2Iacute))
y (210) iilitiiHiniraquo las rxprrsioiirs para las i-oinpoiimtrs transvirsalrs laquo1raquo- los campo ni
iminliiiailiacutei- riliacuteiiiiiiias y nitoiiri-s csiriacuteluacuteiiios las roiiipoiiriitcs ilr los i-ampos ni la furnia
H = C o ^ j h r ) trade m ^ i r mn
H = plusmniexclCo~-Jbdquohnnr)Zwir- (229) Inn r
E = 0 r laquoi
E = plusmniCbdquoZH-i Jmhmnr)ZtradeltigtriV-Tmn r
E = -iC0ZbdquoI-Jm(lmnr)Z^ert
donde los signos plusmn corresponden al en o co respectivamente y In expresioacuten Jm indica la
derivada ron respecto al argumento Jm = f- Sustituyendo (228) ni (213) w obtienen
20
gt valores tie la constante de propagacioacuten
r = Jfi- - iraquo (230)
Comraquo sc olwerva las ecuaciones (229) estaacuten doblemente degeneradas yraquo rpte uno de
lgtraquo ranijios se convierte ei el otro al girar ir2 alrededor del eje de la guiacutea
Determinemos lo paraacutemetros de pro|gtagiacuteicioacuteii para una guiacutea de inula cilindrica hueca
al variraquo) y de radio laquo = 425cm en la nuil se propaga una onda en modo Htl Considerashy
remos primeramente que las paredes de la guiacutea son conductores perfeetos En In siguiente
rioacuten se consideraraacute que estas tienen una conductividad finita
De acuerdo con (21C) toda onda electromagneticraquo podraacute propagarse en una guiacutea de
ouda de tales dimensiones si se cumple que su longitud de onda de )n primera es menor
que la longitud de onda critica Para tuia guia cilindrica se tiene
lisa A c = ~ (231)
Lolaquo dot modos inferiores Ha y JI para ondas de tipo H tienen las siguientes longishy
tudes de onda criacuteticas (en este caso iexcl = 18412 y j i t - 30542 [11])
Xe = 145cm (232)
Ac s 87cm
respectivamente Se puede demostrar que el modo pound0i es el modo fundamental para ondas
de tipo E Este modo tiene una longitud criacutetica
21
X = l l l f w (233)
Pur laquogttrcgt lhiii litraquo lougitiidcgt de inula rritkas lth- Uraquo siguiente modos ruiperiores ile muiacuteas
tipo H y li|xgt pound son menores que Itraquo valores 87rm y l l l m i rt-s]gtrrt miacutemente De aquiacute
que UMH onda clerirouiagiieacuteiira pueda propagarse en la guiacutea si su longitud lti onda laquobull
bulllienor que 145rraquoi Si ademaacutes fl valor de la longitud (ltbull ouda si- emueiilra en el iexclineacutervalo
11 lrjn lt A lt 145rru cntimres el jnodo H es el tiuiro que puede propagarse a lolargo
ile la guiacutea de onda
Eli figura 21 M muestra las vising tranvt-rsal y longitudinal de la estructura de los
bullaiii|Hraquogt en modo i | Aquiacute se 1gtI tomado la parti cosciioidal de (227) A continuacioacuten
e dan |igts valores de los paraacutemetros de propagacioacuten en el easu de IMIIIJIS clcrtronuigiieacutetiiiis
laquoMI iacutenriiencia w = 1539 x 10iacute (A = 1224nraquo) que si- propagan cu la guiacutea de onda
en nioilo | | Los valore se obtienen utilizando las expresiones correspondientes de la
seccioacuten (52) o de la Tnlila 21
Ar = 145laquoo
u w = 13 x 10luc
T = 02753cm-
A x 2282cro (234)
Zbdquo laquo 187 (i = l )
v = 5C x 100cm
w = 1CX10 OCTIIIacute
22
^mdashmdash Imea de campo eleacutectrico
mdash --Linearaquo di- campo magneacutetico
o Campo magneacutetico normal (hacia fuera ilr la hoja)
f ( ampo magneacutetico normal (hacia dentro di- la hoja)
Fig21 Vista- irahversal y longitudinal de la pstrurltira de Itraquo camporaquo ltn trimlo iacuteliexcliexcl La vigtti
otigitudial correspondiacute a un aacutengulo u = 90deg Figura tomada di- [bullgt]bull
i
Notemos (|Uf il iexclmaacutelisis anterior se inicioacute con una guiacutea dr onda de fliiiiensicmlts traquo-
gtltriacutetiacutecaj De- ahiacute se prosiguioacute a encontrar las onda electromagneticraquo npropiadas tale
que el modo fundamental H de la guiacutea de onda sea cl uacutenico que se propague Lo contrano
tambieacuten resulta vaacutelido es decir si se cuenta con una fuente de microotidas cotiacute determishy
nada longitud dr onda se pueden encontrar las dimensiones apropiadas de la guiacutea tales
que uacutenicamente se pueda propagar el modo fundamental
35 Coeficiente de absorcioacuten Modo Hmn
De la expresioacuten (226) determinemos la laquomulante de amortiguamiento debido H la conducshy
tividad finita de las paredes metaacutelicas para ondas en modo Hmn Primeramente calculemos
23
vi fltijiraquo total protiwlio ili laquowgia (222) r nial lunik bullbullscriiaacutersr IMI trrmiiins laquobullbull la funcioacuten
[gtrraquotgtiii bull at la forniH
iacutelowlc
= CMtmnr )rtismf (23C)
rlitotiirs
Praquo = If 1 Uw-T-KU [rIfjbdquor)nlaquoiquestraquoSlrlT-
= [iquest]^raquo^-Kraquol7rJraquo-rr- lt2-37)
La integra] ili- (237) sr cvaitwi utilizando la igualdad [12]
y CMisiacutedcnuidraquo IJHC la couiliriuacuteii de fruirtrra (24) rirquirrr ijiw Jm~innr)rmn = 0 DP rata
manera se obtiene el resultado
En el caso particular de ondas en modo Hti se tiene
La expresioacuten (240) puede escribirse en una forma mas conveniente
24
ionde
EJlJampuumlL (242
bullbull lii amgtIitultl del raui)Mgt eleacutertriro en rl bullbullclilro ltle 1raquo serriacutenraquo transversal laquobull 1raquo jiacuteiliacuteuuml de mida
La relanoacuteii (241I nos muestra rliimuienti- la iii-|n-iiiletiriacuteii rufidraacutetini ron n-sperrraquo iexclil radio
bull lti EUiiacutei ilil finjo total ]gtroiniilio ili- eneruiacuteraquo gt|raquo iitravicwi 1iexclI MTIIacuteIIH Iriexclmsvi-rsiil de 1raquo
uniacutea ib- omlu
Por otro lado la potcnria iacute|iic se pierde por mudad di- longitud (Mudo raquo las corrientes
u|gterfiiialc laquoi laraquo paredes metaacutelicas di- la guiacutea se expresa mediante la iutrgral de contorno
alrededor de la frontera de la guiacutea de onila) de las componentes tangenciales del campo
Magneacutetico en la fonna
p - dl
donde ntilde es un vector unitario normal a la superficie de la guiacutea de ondas ir es la conducshy
tividad de las paredes metaacutelicaraquo y S es el ancho de la capa piel expresada como
tiexcl es la permeabilidad magneacutetica de las paredes metaacutelicas Por tanto cotiacute ayuda de las
expresiones (229) se obtiene la potencia promedio que se pierde eti las paredes
25
- iexcl eacute f ^ - f (duuml]laquo 1245)
Fiiacutemlniiacuteiiti- di (245) y (240) bullbull oliticur la ruitstantr de Hiimnigiiuiiiitiitnpara el utixlo
I24G)
En vi raso ili- ondas ltw w propagan iii laquoI IIHMIO Hlt (MMII-IHH- laquoIr (24C) IDII raquoraquolt = raquo = I
obtener
f r i t o r sampsY+ traderaquo]
- - Id laquo-iexclzsf L v ( Siacute consideran)raquo tua guiacutea dr onda hurra ot dicir = 1 ni laquoti interior cotiacute paredes
metaacutelicas de broncr de conductividad a = 1413utg2crgaegnn) y radio a = 42vcm
en IB cual se propaga una onda en modo fiacuteu con una longitud de onda en el vacio de A s
1224cm (w = 15394 x 10degi) entonces obtenemos que la constante de amortiguamiento
tiene el valor de
om = 1032 xlO4 (248)
El valor anterior noraquo indica que a la distancia x = 0C88raquon la amplitud del campo eleacutectrico
disminuye 1e veceraquo de su valor en i = 0 De donde la constant v rlr amortiguamiento es
26
sntirp-itttniKiit nt-m-ntildea para considerar una guiacutea If onda laquoit unos riacutetanlos metros laquoit-
lUgitiiuacute romo una guia gtlr (tuda ideal (sin peacuterdulas)
4 Cavidades resonantes (resonadores)
Vu disjiositivo de gran importancia praacutectirtt y estrechamente relacionado ron las giriacuteas
ltbullbull onda son las cavidades resonantes Coinraquo w sabe una cavidad resonante (resoiimbir)
bull - privi-aiiii-iitr una cavidad roinpletameiit) armada por paredes nietaacuteliias Ins riacutetales
prewiiraii ilti propiedad tllt- podriacute alijiart-uar energiacutea eiertruiiiaRuitira tMeilanie Llaquoraquos riso-
iadores han sido ampliamente estudinilos en la misma magnitud ipu- las guiacuteas de ulula [13]
Anaacutelogamente al estudio de guiacuteas de laquonula gte ha resuelto el problema de 1laquoraquo resonadores
bullbull si-rrion transversal arbitraria routenieudraquo cu su interior un medio liiMiiogt-iraquo laquogt con IOIJS-
antes y t [S] Un estudio de los resonadores de formas particulares y de importancia
praacutectica se puede encontrar en [9] Ademaacutes una analogiacutea rlaquom liw circuitos resonantes se
(iescrUumlM en (II)] Con res|x-ctraquo a esto uacuteltimo podemos decir i|iie los rlaquosraquonailores tienen
la ventaja de ser superiores a los circuitos resonantes I - C en un factor laquole 20 laquos laquolecir
iexcla fraccioacuten de energiacutea almacenada laquopie se disipa por ciclo en un resonador es alrededor laquole
1 20 de la fraccioacuten disipada por ciclo en un circuito L - C [14]
41 Caracteriacutesticas generales
Consideremos una cavidad cilindrica hueca y acotada por un conductor perfecto Fijemos
el eje 0 de nuestro sistema de referencia a lo largo del eje de la cavidad cilindrica y
Mipongamos que la longitud del resonador esta acotada entre - = 0 y z mdash d
27
Un ri-Miiiitilor pucxlr i-oiisiilcriirsc mino unraquo guiacutea ltgtbull olida finita ilimih ltlaquobull tiww laquo|ingt
iexclumilir la rotiiliacutecioacuteii di- froniirit
para ltmdagt t-n modo TM
(Mirtl Otlflugt Ill IIMMIO TE
EbdquoM = 0 (249gt
HUbdquoi = 0 (250)
En itiilii linn illt- braquo sii](rrfiiiigt plana gtbull iilruumllnniitr ngtniltiitigtragt rxistr rcriixioacuteu di-ondas
El ti|Mgt lit iiiidii i|iilt- M- irrii iexclil siiprrpoiuT iliraquo ondas ilritroinatnitiias ron iexcliinplttudis
iguales y propagacioacuten en sentidos opuestos es ]iri)|iiiexcliinciiir rl di- uni onda estariouarin De
donde las rigtui]M)iiilillts axiales ilr 1ltKS rniupos ilclxn ttinl bullbull forma
para ondas en moiin TM
E = ( r r - )oi ^ - ) = 0123 (251)
para onda cu modo TE
H = Tf)raquoeM^-) j gt - 1 2 3 (252) o
Laraquo componentes transversales de los campos se determinan de (28) y (20) Para
ondas en modo TM obtenemos
28
Jfr = mdashT-cogtbullmdash )bdquo x V
(253)
vrrrgtjlaquogtijiiiciitfuifj)tc para ondas wi modo TE
pound = _ittif iacute iacutef)i1yr
W = iacutefJ_bdquo s (^)V
(254)
poundgtbullbull in-s riiiiiliiioliiN de frontera (249) y (25U olrtnirmos lt|iir 1iexclI ionstiuiti- ili- propagacioacuten
ltgtiitii 1ltraquo valores
r = uumlf = (0)123 ti
bull iexclonde de In ecuacioacuten (27) los vnlonv propio so expresan romo
(255)
(256)
La ecuacioacuten (25G) forma un conjunto discreto de valores que determina la frecuencia
bull ir resonancia para cada valor de p y bdquo es decir a cada tipo de onda estacionaria le
corresponde una frecuencia propia
vJ (257)
29
Fig22 Litraquo midas rsUt Miliaria- ilgt mi rismnclnr lidien en su lifiigiliitl un iiiiniTii IIIIITH ilr
niilMlcraquo lie la loiigilini tit- IgtMltU St- miii-sira H raso para )gt - Iiquest41 bullbull U exprntiiiacuteii iquestat)
En alaquoManii si mi si ritiniiita otra rosa raquobull omiten los Milmidiees rtii y laquopie ranraquo
UTIacutezan los modos laquoIr oscilacioacuten Ln resultado iiiiportaiilr laquole la ccuaraacutem (257) e laquopic se
pueden elegir Ian dimensiones ademadas ilcl resonador lie tal forma laquopie este opere ni una
frecuencia uacutenica de resonancia
Si comparamos (255) con la expresioacuten general para la parte real de la confitante de
propagacioacuten T = 2irA se concluye que para cada modo de resonancia la longitud del
resonador es proporcional a un nuacutemero entero de mitades de la longitud de onda (Fiacuteg22)
d s p ^ p laquo ( 0 ) 123 (258)
El caso plaquo0 correspondiente a la condicioacuten de corte para ondaraquo en modo TM tiene un
30
Mereacutes partieular ya qne eu este caso la longitud de nuda tiende a ser infinita entonces de
laquobullcuerdo ron (258 obtenemos
d - 0 bull oo (259)
ie donde la longitud del resonador esta indeterminada Los modos correspondientes a
gt raquo 0 existen en el resonador para cualquier longitud de la cavidad
Una propiedad de las ondas estacionarias es que loraquo CMIII|MgtK eleacutectrico y magneacutetico se
encuentran defamados en ir2
-ll = rt + iexclJ (2C0)
iielndu a ello existen instantes de tiempo en el resonador en que existe uacutenicamente el
bullampo eleacutectrico y momentos en que solo existe el rompo magneacutetico Como resultado de
este defasamiento el vector de Pijymiug resulta ser UIIH magnitud puramente imaginariacutea
de donde ai promedio con respecto al tiempo no existe transmisioacuten de energiacutea ya (pie el
valor promedio del vector de Poynting resulta ser indo Su - [ pound ] IitEacute x iquest ] = 0
42 Energiacutea almacenada y calidad de los resonadores
La energia total promedio almacenada en todo el volumen del resonador es la suma de las
energiacutearaquo eleacutectrica y magneacutetica promedio almacenadas por los modos normales
W m WE + WH (261)
donde
31
HiliacuteX-trade 2 M gt
Yraquo que en el resonador no hay MU flujo neto de energiacutea entonceraquo cu el cano en lt|Ur el
medio i|w Urna 1raquo guiacutea no genere |raquoeacutercliltlas di- energiacutea la energiacutea eleacutertririacutei y magneacutetica
promedio seraacuten igualo entre si Hiquest- s Wraquo Evaluemos la energiacutea total promedio alinarc-
tiada en el volumen del resonador |gtara ondas en modraquo TEmnf En este raso se tiene
=[iquest1U bull (2C4)
la cual puede expresarse cu teacuterminos de la integral de area tie la (tuicioacuten propia
= H(riacutep) evaluada sobre ln seccioacuten transversal de 1raquo guiacutea
bull-[iquestliacuteHs)]-- donde bull tiene la forma (227) Tomando uacutenicamente la parte cosenuiacutedal de (227) e
integrando de la misma manera como se evaluoacute la integral de (235) obtenemos
toT 47V ^n-m)Jmi^a) (266)
Para el caso particular de una onda en modo TEui se tiene
32
= [iquestiexcl](0375)|poundi|laquoib2 (2C7)
donde
1 1 - ^ (2-68)
raquo el valor di- lu magnitud tlt-1 riiinpo eleacutectrico en el centro di- la seccioacuten traiisveriMi) del
resonador
En griirral pura resonadores i n h siempre hay absorcioacuten ib energiacutea 1st nial se reashy
liza principalmente por dos raualcs a) porque el medio (pit- Ik-iui lu guiacutea es un medio
absorbente y Iraquo) debido a la conductividad finita de las paredes del resonador En cada
uno de estos casos las frecuencias de resonancia se vuelven cantidades complejas las ruakt
podemos escribir en la forma ugt = w + iw Entonces si la dependencia temporal de loraquo
campos es de la forma
Eacute(t)laquo Ac1 (269)
obtenemos que la energiacutea total promedio de un modo normal en un resonador real es
W(t)laquo W(0)e-3 (270)
donde se observa que se pierde al transcurrir el tiempo W(0) es la energiacutea total almaceshy
nada en el resonador en r = 0 Introduzcamos un paraacutemetro llamado factor de calidad Q
definido como 2n veces la razoacuten de la energiacutea almacenada en el resonador promediada con
respecto al tiempo entre las peacuterdidas de energiacutea por cada ciclo de oscilacioacuten
33
Qenrroiu ulmactnnda
SS itj mdash ^ mdash mdash ^ mdash ^ mdash mdash
jttrtlidim lit tnergtn
= wmdash IV
PmAtf
donde
(271)
P = - ^ I27-raquo)
egt la potencio media qui sc absorbe en tin ciclo de oscilacioacuten debido n las corrientes
superficiales de las |Ktrtdes del resonador (comparar ron la ecuacioacuten (224)) Di (270)-
(271) piulemos obtener que Q = raquo-2u Por lo tanto la frecuencia raquogt laquobull pnctlc expresar
a traveacutes de Q romo
=yj1 + eacutejh 273)
43 Excitacioacuten de los modos de oscilacioacuten
En el problema de un resonador ideal (sin jroacutedidas de energiacutea) cada modo de oscilacioacuten
tiene perfectamente definida su frecuencia propia de resonancia (257) Esto quiere decir
que si se quiere excitar un modo particular de oscilacioacuten en el resonador la frecuencia
de excitacioacuten debe coincidir exactamente con su frecuencia propia de resonancia En
problemas reales esto no ocurre y en lugar de ello se cuenta con un banda de frecuencias
alrededor de la frecuencia propia en la cual el modo de oscilacioacuten puede ser excitado La
existencia de esta banda de frecuencias se debe a que existen peacuterdidas de energiacutea
Para mostrar lo dicho anteriormente notoacutenos que las oscilaciones del tipo (260) se
pueden representar como una superposicioacuten de oscilaciones estacionariacuteas Supongamos
34
i le el campo electromagneacutetico se crea en el instante f = 0 y se le laquoleja oscilar libremente
para t gt 0 Obteniendo su transformada de Fourier de (269)
iquest(w) - p rt+Uacutet+Vt- (274) 2ff Jo
y evaluando la integral en (274) considerando que pound(t)| lsec = 0 se obtiene
cuyo valor absoluto es
eacuteMl = M mdash i ^ (27C)
La ecuacioacuten (27C) nos da un conjunto de curvas de resonancia para cada modo de
oscilacioacuten Cada graacutefica tiene su valor maacuteximo en w = u (Fig23) Los puntos ltii los
cuales la curva disminuye lgtsect de su valor maacuteximo se llaman puntos de potencia media y
su separacioacuten en frecuencia se denomina ancho de banda A cada punto de potencia media
le corresponden las frecuencias
w3 = w + ^ (278)
de donde obtenemos que el ancho de banda detennina el factor de calidad del resonador
en la forma
laquolaquo5 a raquoiquest- ltraquogt
35
IlaquolaquoM
Fiacuteg23 Curva (Ir resonancia para el mudo de oscilacioacuten a- Loraquo puntos |rV(laquo-|)| y |MJ)I son
lot punto dp potencia mediacutea y raquoraquo separacioacuten define el ancho de banda
Si las peacuterdidas de energiacutea son pequentildeas entonces las bandas de frecuencia son estrechas
Sin embargo siacute las ]ieacuterdidas son considerables entonces las curvas (le resonancia pueden
llegar a sobreponerse una sobre otra provocando la excitacioacuten mutua de los modos de
oscilacioacuten
44 Resonador de forma cilindrica
Consideremos ahora un resonador cilindrico Primeramente obtengamos las soluciones de
los campos para una onda en modo TE en un resonador ideal y posteriacuteormeite calculemos
la Q del resonador para este modo debido a la conductividad finita de las paredes metaacutelicas
Para este tipo de resonador y para ondas en modo TE las funciones propias o solucioneraquo
36
correspondientes al problema transversal (23 tienen la forma (227) ron los valores propios
1228) Ademaacutes con ayuda de las expresiones (234) se obtienen las expresiones de las
componentes transversales en coordenadas cilindricas y entonces escribimos los campos
en la forma
pit H- = C0Jn(mrr)cos(mj)sen(mdashz)
Hr = -r-mdashlt0-m nr)laquow(mi)laquow(-j-) O ~lmr O
H - -raquo -3 pound - -Jlaquo ( -mr)raquoen(ms)oraquo(5) (280) laquo in r laquo
E = 0 iCriquestft m laquor
E = mdashJB(-mraquor)iacutetrw(raquoraquof )rraquoi(mdashs) win
_ iacutei Co WK poundw = Jm(TimRr)laquow(raquon^)raquocii(-j-iacute)
C mn laquo
Sustituyendo (228) en (257) obtenemos para las frecuencias de resonancia la expresioacuten
i raquo J c
wmn= 4 = J ^ + (^) g | (281) c
El modo fundamental para las ondas tipo TE tiene como subiacutendices m = TI = p = 1
Este modo TEm es el modo fundamental de oscilacioacuten en la cavidad si la frecuencia de
resonancia u m para ondas TE es mas pequentildea que la frecuencia de resonancia corresponshy
diente a las ondas TM (wougt) Se puede demostrar que si d gt 203a (a es el radio del
resonador dado en cm) entonces el modo TE es el modo fundamental de oscilacioacuten del
resonador [9]
Calculemos ahora la Q del resonador debido a la conductividad finita de sus paredes en
el caso de ondas en modo TE La potencia que se pierde debido a las corrientes superficiales
en las paredes del resonador se calcula en la forma
37
bull -1iquest]iquest r r bull -bull+pound[+ - 4 (2-s2) donde ntilde| y ntilde2 son vectores unitarios normales a iraquo superficie cilindrica y a las superficies
transversales circulares respectivamente La expresioacuten (282) puede reescribtrsreu la forma
bull= [iquest] iquest j f W + lraquolaquol2)U + 2iquest J-iacutelJiacute + IWPMraquo bull (283) Usando las expresiones de los campos (2S0) sr resuelveraquo laraquo inti-gralcs de (2S31 en la
forma
I r l l f fo l mfa r ~ UirJ 2vlaquo 2 1 + bullpound(bullgtbullgt+
+2|CIraquopound [ lpoundrAOr)+ bullO^] laquo] bull Haciendo el cambio de variable x = fr obtenemos
I laquo-1 IColraquo iexclda UffJ 2ffiacute 2 m ]Cppoundr |dlaquo UffJ 2ltriacute 2
1 +
1 + rraquoraquo
J Iacute O laquo ) + 2 ^ j f [2iacute Ji(gt+J(X)] d
^(70) + [(7laquo)3(l~)^(^)] (284)
Sustituyendo la expresioacuten de f = ^ )bull arreglando teacuterminos resulta
Finalmente sustituyendo (266) y (285) en (271) obtenemos el (actor de calidad debido
a la conductividad finita de las paredes del resonador para ondas en modo TEmnt en la
forma
38
Consideremos un resonador cilindrico en el cual oscilan ondas electromagneacuteticas en
nodo TEm cou una frecuencia raquobull = 15394 gt 10degr (A = 1224cni) El resonador es de
bronce de conductividad o = 1413 x lOlsutiquestergscm y tiene un radio interno a mdash Ion
Pitra este resonador determinemos en el caso p = 1 los siguientes paraacutemetros a) la
longitud apropiada del resonador b) el factor de calii id ilrl resonador y ltbull) el audio de
banda donde sr puede excitar el modo TE
a) De acuerdo con (258) la condicrlaquon de un resonador es tal qui en su longitud exista
un nuacutemero entero de mitades de la longitud aacutev onda
d P Px
2 V1-WW - - _ V l (287
Despueacutes de sustituir los valores respectivos de A o y de los subiacutendices que caracterizan al
modo obtenemos
d - T13cm (288)
b) El factor de calidad Q del resonador se obtiene de (286) expresioacuten que reescribiacutemos
para ondas en modo TEm en la forma
Ud (l + 0343amp4)
2nlt61 + 02092 + 02436$
39
La permeabilidad magneacutetica del bronce (je) no difiere Mgninrativanicntt- riel valor corshy
respondiente al del vacio (lt as ftc - 1) Entonces la longitud de la capa piel (244) resulta
A = 812x 1 0 - W (290)
Finalmente obtenemos ltw el factor de calidad tiem- el valor
Q = 404903 (291)
c) FinalriKiitf nilrtilt-inos el ujrlifgt di- llaquoiinli en el nial la onda en moilo TEw puede
ser cxcitaihi Utilizando (277) y I27S) obleiicnicraquo los punto ile ]raquoifriiriiexcli inedia
-bull as 153927 x iexcluHz
w2 ss 153952 x 10VH
Por lo Unto el micho de banda tiene el valor
ui2 - ugt = 000025 x 10Hz
Observemos que el ancho de banda es lo suficientemente angosto relativamente por lo que
uacutenicamente se excita el modo TE Se puede demostrar que la frecuencia de resonancia
fundamental para ondas en modo TM es uiolo = 1031 x l0nHz
40
CAPITULO 3
TEORIacuteA DE PERTURBACIOacuteN
Toda Teoriacutea ile Perturbacioacuten establece que en ciertos casos los problemas irregulares
aquellos que no tienen soluciones analiacuteticas exactas) pueden ser considerados romo rrjpi-
iexcliexclTVraquo que sufrieron cierta perturbacioacuten Cuando la perturbacioacuten es suficientemente pequentildea
u el problema irregular podemos obtener una solucioacuten aproximada conociendo la solucioacuten
ltiel problema regular [9] El meacutetodo perturbativo se ha utilizado extensamente en las guiacuteas
de onda Existen trabajos donde se analizan los efectos de las perturbaciones en lew valoshy
res de frontera [15] asiacuteromo de las perturbaciones generadas por un pequentildea muestra de
Vrrita en el interior de las guiacuteas de onda y resonadores [1C] En este capiacutetulo se describe
ia teoriacutea baacutesica del meacutetodo perturbativo desarrollada en |17] en el caso cuando las guiacuteas
de onda y los resonadores contienen un pltsma en su interior
5 El Meacutetodo de Perturbacioacuten en las guiacuteas de onda
En la seccioacuten (32) se mostroacute que la propagacioacuten de ondas electromagneacuteticas en guiacuteas
de onda cilindricas se describe en teacuterminos de sus modos caracteriacutesticos Cada modo se
caracteriza por su constante de propagacioacuten Dependiendo de las dimensiones geomeacutetricas
41
de la guiacutea de mida estos modos o bien se propagaraquo o bien se atenuacutean En ln praacutectica Ins
dimensiones de las guias de onda siempre se escogen de tal forma lt|iii- unir amenteacute se puede
propagar el modo fundamental
El caso cuando se tiene una guia de onda parcial o completamente Urna con un plasma
sir produce uu cambio en los paraacutemetros caracteriacutesticos principales laquopie describen a la
guia de onda Si el efecto del plasma en tales paraacutemetros es lo suficientemente pequentildeo
entonces la teoriacutea de pertubacioacuten resulta ser mur adecuada para calcular ln constante de
propagacioacuten
Consideacuterenlos la propagacioacuten di ondas electromagneacuteticas a lo largo de tiiiiacutei guiacutea de ouila
cilindrica que se encuentra parrial ltgt rompidamente llena ron un plasma inhomogeacuteneo Si
sujHHiemos (|iir las caracteriacutesticas del plasma son axialmente uniformes podemos encontrar
la constante de propagacioacuten y las distribucioacuten de los campos
La propagacioacuten de ondas electromagneacuteticas en las guiacuteas de onda con plasma se tlescribc
por las ecuaciones de caminiacute
V x f + i - J = 0 (31) c
VxH-i-pound=mdashJ (32) c c
La condicioacuten de frontera se obtiene suponiendo que la conductividad de lax paredes de
la guiacutea de onda es infinita
|ntilde x Eacute = ntilde Ntilde = 0 (33)
donde ntilde es tin vector unitario normal a la frontera En ausencia de plasma la parte derecha
42
gtbull (32) es cero y el problema se reduce a U propagacioacuten dp ondas en una guia dlaquogt ondas
ivieca (Cap 2)
Las amplitudes del campo de las ondas normales se determinan en la forma
Eacutet(f) = pound ( I j e - i raquo w (34)
(F) = j(rj ) e- i ( r -
iquestonde r esel nuacutemero de onda En ausencia de peacuterdidas T es real (F = iacutei) Vamos a
suponer que las ondas se |gtropagan a lo largo del eje 0 paralelamente al eje de la guiacutea dr
onda
Para ileterniinar la influencia del plasma en la propagacioacuten de las ondas rlrrtroiiiagm-
licas en una guiacutea de onda es coacutemodo descomponer las ecuaciones pura las componentes
longitudinales y ]gtcr]gtendiculares del campo Estas ecuaciones se obtienen al descomponer
los campos y el operador V en la forma
pound = 4 + poundx ntilde = fflaquo + Ai = Lpound) + fjpound) (35)
V = Vbdquo + V I
donde los subiacutendices X y || denotan las componentes perpendiculares y longitudinales es
decir su proyecciones perpendiculares y paralelas al eje de la guiacutea de onda O) Sustishy
tuyendo (34) en (31)-(32) y considerando (35) obtenemos las ecuaciones en direccioacuten
perpendicular y longitudinal en la forma
- ^ [ V x ^ + V n ^ + i - l i o x f j = - mdash iexcl 0 x pound ( ) ] (36) IUgt C C
f-Vx[VxEacutex)-Vtamp-i-iexcloampl mdashrJiexcl (3-7) w C tt
43
donde i0 es un vector unitario dirigidraquo a lo largo del eje O Las componentes longitudinales
de tos campos se relacionan con las componentes jicrpctidiculares jKraquor liis expresiones
OZfy+^ftE) = [VxJbdquo (38)
Al = - - V x f ^ (39)
Ahora considerando que las ecuaciones de Maxwell son expresiones lineales es decir
que la combinacioacuten lineal de dos de sus soluciones tambieacuten es una solucioacuten y anaacutelogamente
para las condiciones de frontera (24) y (2C) determinamos (pie una solucioacuten maacutes general
del problema de uiiiacutei guumliacuten de onda sin plasma es una superposicioacuten de todos los modos
]MKgtibies de proiHigarioacuten con valores apropiados para sus eoetiacutecieiites Si la perturbacioacuten
originada por el plasma es lo suficientemente ]H-ltiuentildeu iiodemos suponer (pie la desviacioacuten
de cada uno de estos coeficientes es pequentildea con respecto a su valor no perturbada Dr
aquiacute que las componentes perpendiculares del cam]Mgt en una guiacutea de onda con plasma
se puedan representar como una serie (combinacioacuten lineal) con resjiecto a las funciones
ortogonales poundfc y Hk que determinan las comjioncntes transversales de los modos normales
en una guiacutea de oudn sin plasma
k
Los campos satisfacen las relaciones de ortogonalidnd [18]
(310)
JsEacute-kEacutedraquo laquo Nttu
JtpoundixEacute]deacute = ZSttu (311)
44
iquestiuumlaacutef el su|MTUacutegtdiexclctraquo denota el complejo conjugado de los campos Z = cTgt para
ltJAH ti|Mgt H y Z = wcT para ondas tilraquo pound ltlaquo es el siacutembolo de Kronecker bu = 1 si
raquo = y iquestbdquo = uuml si i- = ) y la integracioacuten se realiza sobre toda lo serenan transversal ilr la
tub de onda
Utilizando (310) y (311) rocontratnos las expresiones para los coeficientes uiquest y bk
(312) iexclsntilde ntildexu
Sistiruyriiiliraquo las seriacutees (310) en (3C) y (37) obtenemos el sislrinii f|i- eriiiioacuteoiirs
poundlt5r + ilgttfraquo4 = -- |iquestux(pound))l l t (313)
Ely+W)4 = VJbdquo (314) iacute
Multiplicando (313) vcrtorialinciitc por E[Aacute y (314) jMraquor HlM e integrando en 1raquo seccioacuten
transversal dr la guiacutea de onda obtenemos ron ayuda de las roiidintildeoucs de norma (311)
laraquo ecuaciones
rA + X KzcLEacuteltsEacute^ 3 1 6 gt En el caso en que los paraacutemetros del plasma no dependan de i la dependencia de los
campos con respecto a z se puede considerar de forma exponencial como en (34)
Eacute(jyz) = Eacutexy)t-iT ntildexvt) = ntilde(xy)r
45
(317)
o t ( iacute ) = laquo- M ) = V eacute r
Sustituyendo (317) n i (315) y (31C) obtenemos
laquoriacute - - - S S L bull +Ssect bull Uuml- 318)
Luraquo fiimriidirs (31S) y (319) |xira diferentes k roiii|xmni un sisirmraquo ltb-it-imrioiies lioinraquo-
geacuteneus liacutenenlegtgt ron res|gterttgt n liis roeiit-ientes nk y laquoV Lu riiudiriitn ilr solubilidad (igual)id
a rifo laquobrl determinante) determina la constante ib- igtrigt|Mi)igtiOacuteM Sin roiUirjpi el sistema
(318) y (319) resulta ser un problema muy laquolifiril laquoIt- resolwr De alaquo|iiiacute i|iie iexclti laraquo partes
ilereelias laquole (31S) y (319) son lo siinritrntetueiitc |ielt|iirntildeaH |MMICUIUS emplear la teoriacutea laquole
|MTturlgtMrilaquon
Sil|Kgtlliciifllaquogt fjflf- la denudad lie mrrirntc H traveacutes ilel plasma es (laquornjxirriimal H tin
paraacutemetro pequentildeo podemos descomponer las (-nulidades airaquorgt y E cii tiTiiiiiiiraquo laquole laquowte
paraacutemetro
bk = ZKv lt3 2 0gt
r - poundrubdquo
46
donde el subiacutendice ( dentildene el orden de pequentildees Vamos a considerar que en ausencia del
plasma en la guiacutea de onda se propaga el modo fundamental de una onda tipo H denotada
por iacute = 0 Ademaacutes si en la aproximacioacuten de orden cero se tiene
poundi = poundgt pound = pound | |= 0 (321)
entonces
ltbdquo - Abdquo (322)
Tiacuteo) = iexcl1lth
Asiacute considerando las expresiones (320)-(322) de (318) se oliticne la siguiente exshy
presioacuten en orden cero para lax ondas tipo H
laquo(bdquo[(r(0) + rbdquo + )raquo- rg = -^f-1 pound bdquo bull J(Eacute)d +
cAuZ|o) Js
de donde rlt -7IacuteT7-L iquestiacutef(Eacute)ds- (323) 2ni
Para las ondas tipo H Z(0) = c-iexcl^- mdash ^ de donde obtenemos finalmente
TMampLtedeg-f[Eacute)di- lt324gt
47
La cantidad compleja r ( 1 ) nos repcscnta el cambio que sufre la constante de propinacioacuten
T |Hgtr la presencia del plasma es ilecir es la correccioacuten a primer orden en la constante de
propagacioacuten (I = T - Tf0)) Esta cantidad se puede escribir en forma de unraquo suma de
sus componentes real e imaginaria
r bdquo = AJbdquo - iAobdquo (32b)
siendo An) gt 4 ltgt(i) las fracciones de cambio de la constante de fase y de amortiguamiento
respectivamente ocasionadas por la presenria del plasma
En corn-spomlencia con (32-1) y escribiendo la densidad de ciirrietite cuino J mdash J + i j
( es la parte real y es la parle iimiginaria) las cautidades de (325) toman respectivashy
mente la forma
iquest 4 1 = - V ^ V bull (3-20)
iquestngt = ^ C J bull (327)
2JSEacuteiexcl-Jiexcld
Vpoundbullpoundbdquo
far sfr0-Eacuteltj
En medios lineacuteale) anisotropicraquoraquo e inhomogeacuteneos la densidad de corriente r relaciona
ron el campo eleacutectrico en la forma
J=aEacute =mdashampbullpound (328) 4ir
donde amp es el tensor de conductividad eleacutectrica Af = (iacute - ) i es el tensor de permiacutetividad
dieleacutectrica e es el tensor unitario
Utilizando la expresioacuten (328) podemos reescribir (324) en la forma
48
wJ ft R bull Aacute iacute bull Ed
laquo Wen
r ^ poundbullampbullpound (330
En las expresiones anteriores no hay que olvidar que el campraquo eleacutectrico se expresa romo
una serif con respirtn al paraacutemetro pequentildeo pound Las expresiones (324)-(330) corresponden
iexcli iraquo aproximacioacuten de primer oidrn La condicioacuten que si- debe de satisfacer seguacuten la teoriacutea
de perttirlsirioacuten ni primera aproximacioacuten es tal qult- 1raquo magnitud de cambio en la ninstaiitr
de propagacioacuten debe ser sinnpre mucho menor que la magnitud laquobull- la difereiiria entre las
riHiMniitcraquo ilc propagacioacuten di cualquier modo con respecto al modo fundamental
ri lt r 0 r m lt |ru - rt| para todo Jl^O (331)
o con respecto a A y Aigt obtenemos
(332) Aibdquo laquo iquest A^bdquolt |A -r | iexcl
poundltraquobdquoltamp Ao(1)ltt|iquestt-rraquo|
6 El Meacutetodo de Perturbacioacuten en los resonadores
Anaacutelogamente al estudio de las guiacuteas de onda conteniendo plasma en su interior el anaacutelisis
en los resonadores que se encuentran parcial o completamente Henos con plasma exhibe
cambios en los paraacutemetros principales que describen los resonadores huecos En la seccioacuten
(41) ae mostroacute que un resonador tiene un nuacutemero infinito de modos de oscilacioacuten Cada 49
modo se caracteriza jagtr su frecuencia de resonancia su factor de calidad y su corres|Hraquon-
diente distribucioacuten de CHII)|Kgt La presencia del plasma en un resonador priMlure princishy
palmente un cambio en la frecuencia de resonancia en la cual el resonador se encuentra
opilando y en el factor de calidad Si la influencia del plasma en tales ]gtaraacutemetros es sufishy
cientemente pequentildea entonces para el anaacutelisis de este problema podemos tambieacuten emplear
la teoriacutea de perturbacioacuten
Consideremos un resonador que oscila en una de sus frecuencias de resonancia y que
contiene un plasma distribuido axialmente Evaluemos los iambins i|ite se producen en
liexcli frcciMiiciii de resonancia y en el factor de calidad del resonador Las distribuciones de
ciexclim|Hgty las frecuencias de resonancia se obtienen integrando las ecuaciones de campo (31)
y (32) con la condicioacuten de frontera (33) En este caso la condicioacuten de frontera (33) se
iipliia en la frontera cilindrica laquoleiacute resonador y en las superficies planas del mismo En
ausencia del plasma los raiiipos satisfacen las ecuaciones (31) v (32) con la piiacuterte derecha
igual con cero
VxEacutek + imdashH~k = 0 r (333)
V x Hk - mdashEacutebdquo = 0 c
y la condicioacuten de frontera (33) Donde se ha utilizado el subiacutendice Jt para denotar el
modo k de oscilacioacuten en un resonador hueco con frecuencia de resonancia ui Los campos
Ek y Hi satisfacen las relaciones de ortogonalidad
jvEacutekEacutedV = NkeacuteM
(334)
JvIacutekntildedV = Lk6kl
50
donde el superiacuteiidice nos indica el complejo conjugado de ios cam]gtos y la integracioacuten
igt realiza sobre tftdo el volumen del resonador
Se conoce que todo camjx) vectorial se compone de la suma de una parte con divergencia
ltITltJ iparte solenoidal) y una parte con rotacional cero (parte potencial) Para observar
la it^iuencia del plasma en la oscilacioacuten de ondas electromagneacuteticas es conveniente utilizar
este hecho escribiendo el campo eleacutertriacuteco como la suma de una parte solenoidal y una
potencial
Eacute = Eacute + Eacutebdquo V Eacutei = 0 (335)
V x Eacutebdquo = raquo
Llaquoraquos vectores solenoidales Eiexcl y H ile un resonador con plasma se pueden representar
como una coinlgtiuacioacuteu lineal de las funciones vectoriales Ei y Ht tjue detenuiiacuteian las
componentes solennidalcs de los modos de oscilacioacuten en un resonador sin plasma
Eacute = 5 gt pound raquo (33C) k
H - J gt amp (337)
Usando (336) y las relaciones de ortogonalidad (334) se encuentran las expresiones para
los coeficientes a y 6
TV (338)
_jvEacute-EacutexaacuteV 6gt 5 mdash bull
Sustituyendo (336) y (337) en las ecuaciones de campo (31) y (32) y considerando (333)
obtenemos eacutel sistema
51
k 1330)
J^(traquow-a tuf t)5 = 0
Multiplicando escalarmentc la primera ecuacioacuten de (339) por pound y la MRIIIKIIacuteI JMW HJ e
integrando sobre todo el volumen del resonador obtenemos
[b^k - laquow) = pound Eacute] bull poundkM - ^ I Eacute TIV (340)
(JW-laquo) = o 1341)
El primer tmuiiacuteiraquo tit- la tlrn-rlm ltb (340) i-s IacuteRIIUumlI IIHI erro Siacute ili-sprjaiiio ltbull (341) fr
y lo sustituimos cu (340) otitciii-inos
iJiexcl - J)nbdquo = Jj^L(pound-k f(g)dV (342) iexclSi Jv t
tlmide
k = ^ laquo 4 (343)
y Vi es el volumen que ocupa la columna dr plasma Sustituyendo la primera expresioacuten
para a de (338) en (342) se obtiene la relacioacuten
2 Jv Eacuteiexcl bull JEacute)dV - a g - iacute - 4 trade ^ iquest r f v 044)
donde se ha remarcado la dependencia de la densidad de la corriente con respecto al campo
eleacutectrico Por otro lado se observa que las ecuaciones (342) y (343) para diferenteraquo valores
de k forman un sistema de ecuaciones homogeacuteneas lineales con respecto a loraquo coeficientes
a La condicioacuten de solubilidad (igualdad a cero del determinante) determina la constante
52
bullltbull propagacioacuten Si la parte derecha fie (342) es lo suficientemente pequentildea jiodeinoraquo
ltiijgtlear el meacutetodo |gterturbatiro
Suponiendo laquoue la densidad de corriente a traveacutes del plasma es proporcional a un
paraacutemetro pequentildeo ]gtodemos desromponer las cantidades OkM^ ) E laquogt teacuterminos de este
paraacutemetro
h = poundbdquo lt3-45gt
(
lioiide el suloniHir ( define el orden (le peqncntildees Si en ausencia del plasma sr excita una
onda lie frecuencia UumlIiexcl en el resonador entotires en la aproximacioacuten de raquorltbii cero se tiene
pound|o) = Eiexcl
a = eacutelk (346)
Sustituyendo (345) en (344) e igualando los coeficientes de la misma potencia con respecto
al paraacutemetro pequentildeo se obtienen las soluciones en distintos ordenes de aproximacioacuten En
primera aproximacioacuten para k = l resulta
gt bien
53
= 2 ^ ^ 347)
En gmrral J ( ) ) es tuia cantidad complt-ja i|ttr mis reprcscuta la i-orrerrintildeu a primer
orden en la fnriirncia compleja de resonancia (uim = m mdash wi) Di- acuerdo ron (274) esta
cantidad puedr escribirse en la fonna
-bdquo = Aw + IA iacute J (348)
donde i parir mil ltbull imaginuria nos detenniunii las fraoioiirs laquobullbull cambio di- la |Ktrtc real
de la fri-eui-iicia di- n-soiiamia y la calillad dri resonador rcsptitivaiiniitc ocasionadas por
la pn-Hcuciacutea del plasma
En corrispoiidiiicia ion (347) escribiendo y descomponiendo la densidad de corriente
ronio J = 3 + i 3 (3 lts la parir real y 3 i la partiacute- imaginaria) las rantidailps ib (34S)
tulliacutean rirspeclivaineute la forma
- raquo m _av-j (340) wi w iexclv Eiexcl bull EilV
Qi) un fvpoundiexclEacuteM
En medios lineales anisotroacutepicos c inhomogeacuteneos la densidad de corriente se relaciona
con el campo eleacutectrico en la forma (328) De aquiacute qtie )gtodamos reescribir (347) como
WIacuteII bull - mdash mdash s mdash s 351) 2 v poundJ bull EdV
Para evaluar las correcciones en segunda aproximacioacuten a la frecuencia compleja de resoshy
nancia se sustituye la correcioacuten a primer orden del campo eleacutectrico E - poundbdquo + pound en
54
3441 la rual se determina por la expresioacuten (342) al evaluar cada uno de los rieficientes
u ron k JEacute
trtonces las correciones a las partes solenoidal y potencial se expresan en la forma
V pound | bdquo = mdash V bullbullltpound) (354)
Las roiidiiioniK laquo|nr se ilrlx-n satisfacer pariacutei cpir la expresioacuten (347) KIIacuteI viiacuteliiluuml es tul
([iilt parsi i ^ tentniMM
^ (355)
y |Hgtra I- =
A M mdash laquo 1 (366)
bull(4) e l
55
CAPITULO 4
INFLUENCIA DEL PLASMA
Eu i-sti- i-itpitulo en base al meacutetodo perturhativo descrito i-n el capitulo 3 se obtiene
el gtiexcliiiil)io laquopie sufre In constante de propagacioacuten para lindas rleclioniagneacutetiras eme se
propagan iii miii guiacutea ile onda ciliacuteiidriiacutea que i-oiitieur en su eje una roluijjua laquolaquobull plasma
friacuteo iiiliimiogeacuteufraquo y magnetizado Ademaacutes se determina la vaniiiioacuten ite la frecuencia laquole
roouancia para las ondas electromagneacuteticas qui se eiiruentran oscilando en tin resonador
cilindrico que contiene una columna de plasma friacuteo magnetizado e inhomogeacuteneo distribuido
axialmcnte Si- calculan las variaciones de la constante de propagacioacuten de la fierucucia de
resonancia y laquoleiacute factor de calillad jgtara diferentes valores de wjJJ1
7 Influencia del plasma en las guiacuteas de onda
Vamos a considerar como paraacutemetro pequentildeo que el radio del plasma es mucho menor que
la longitud de onda y que el perfil de densidad de electrones es de tipo paraboacutelico con
respecto al radio Ademaacutes el campo magneacutetico externo se considera homogeacuteneo y dirigido
a lo largo del eje O (Fig 41)
Como ya sabemos en una guiacutea de ondas cada modo de propagacioacuten se caracteriza por
56
Bo
P L A S M A
Fig41 Sc inwsira nnraquo i laquolimiiia ilr plasma laquoIc ratlin rbdquo loi aliidi sobre el ltbullbull bull)bull- miacutea guiacutea laquole
ogtda rihiiilrii-a dc railio rt in rampo iiiagnrliro externo iquestV osla dirigidraquo a Iraquo largraquo del ltbull)gtbull (gt
t i rumiante propagation Su parte real o factor dr fane drtrniiiiin la vrinriibul ill- fiiw
iexcluiftitraraquo I 1 piirti- imaginaria laquogt riwrkienlc tic absorcioacuten tlrtmniiacuteia el raquoinltgtrtigiiiexcliiiiiexcli-iitigt
(ir los diferentes modos ir propagacioacuten El efecto que se origina ttiantiraquo se rolix-a IIIIIacuteI
columna de plasma dentro de la guiacutea de ondas es un cambio en la constante de propagacioacuten
De acuerdo con la teoriacutea de perturbacioacuten este cambio es proporcional a la razoacuten del cambio
de energiacutea dentro de la seccioacuten transversal que ocupa el plasma sobre el vector de Poynting
evaluado sobre la seccioacuten transversal de la guiacutea de onda
r r - u _ IM-bullpound _ bdquo
donde las cantidades con subiacutendice 0 denotan cantidades no perturbadas (sin plasma)
Para evaluar la constante de propagacioacuten (41) es necesario obtener las soluciones de los
57
campos eleacutectrico y magneacutetico dentro del plasma en teacuterminos del jiaraacutemetrraquo peipientildeo
Para el caso de un plasma friacuteo cuando la velocidad de fase ile lsts nudas electromagneacuteshy
ticaraquo es mucho mayor (pie las velocidades teacutermicas di las (laquoarticulas si- utiliza el modelo
hidrodinaacutemico Debido a la simetriacutea cilindrica del problema su]Mgtngamos ijiacuten- los campos
tienen la forma
Eacute = iquestj(r)rr+--
Expresando la ecuacioacuten de onda
V x V x Eacute - ^r-iacuteEacute = 0
(42)
(43)
en coordenada iiliacuteiiltlriras se obtienen las eniariolies para las componentes del ranipo
eliVtriro i-ii la forma
igt
i-e- - mdash - DE = --Mt - DE + mdash(poundj + rr r r r r
E + - pound + (mdashv - ) pound = pound- + mdash (rpoundr) bull r r r r- r
(44)
(45)
-rcEr + iru(e - 1)poundJ + mdash | - i laquo ( f - 1)pound + poundpound] + rraquopound3 = 0 (46)
Aquiacute las primas indican una diferenciacioacuten con respecto a r l es el tensor dieleacutectrico en
la forma [19] (Bu esta dirigido a lo largo del eje 0)
poundraquo -
pound
0
pound 0
o vi ( t iquestu(e - 1) 0
= - t u ( c - l ) pound 0 V 0 0 r)
(47)
58
aacuteHtuacutee
- - 1 ti ul2 - - f j
2
= bull laquo bull i
_ = (r) = 4r r laquobull 1iexclI freruenna plaacutesmirraquo y -laquo lt-N ]iexclI fririirii-iraquo rirlotroacuteliira dr los
bullbulllaquobullerroiirs
Si il nidio ilil pliisiiiii o |Hi|iiiiacutein iii rumpiriiriuacuten ron IIacuteI loiigiliul de onda y n Irmas pound
varia i-ii un onli-n i|f iuiacuteraquotiacute-j)i in J |IIII|P)JIIgtS expresar li viiriiirioacuteji ili rraquo la forma
poundltrgt = bull ( laquo v ) bull iacute gt h 4 S )
donde el bullmnuiirtro se lm introducido para obtener las soluciones aproximadas ni difeshy
rentes ordenes ron respecta a pound di los camporaquo eleacutectrico y inaRiirliin Haciendo rl nunbio
lie variable x mdash =pound en la ininrioacuten (45) obtenemos
E = --(pound) - -plusmnpoundE - ^iquestE + - 4 J ( Iacute pound + gt9E) (4-9)
donde B kciexclwg = u(iacute - 1) y la prima denota una diferenciacioacuten con resprcto a x
Haciendo el mismo cambio de variable eliminando E por medio de (49) y limitaacutendole
hasta teacuterminos del orden (IO1- a ecuaciones (45) y (46) toman la forma
59
F i g 4 2 IVr l i l |gtiifiacuteilraquogtlirgtgt ili li |TinHivnli i l c|i| ( I I IM I I I n m P | W T 1 I I iexclI JT - mdashgt
[j-tl ltbullpoundbdquo-)] - (mh + mnixEf = 0 141raquo)
(411)
Se observa qui- la ecuacioacuten (410) no si- encuentra acoplada ron (49) y (411) cnloiires
podemos obtener su solucioacuten En condiciones experimentales una distribucioacuten dr la denshy
sidad de tipo paraboacutelico con respecto al radio resulta ser una rnuy buena aproximado
(Fig42) En tal caso escribimos
pound = T- - t0 (412)
siendo
CO
^ deg - 1 laquo413 J1 - ^
valor de la penuitividad en el eje del cilindro de plasma
Antes de sustituir el perfil paraboacutelico de iexcla permiacutetiviefad (412) en (4S) httgtimos en
bulli10 el cambio de variables
E = il|-r-|J-) 1414
bullbull donde obtenemos una ecuacioacuten diferencial pam en la forma
(V - bdquolr-+ [-(2|m| + 1 | - + (2|w| + 3|rjr-+ 2(|raquo| - tnu)Y = 0 1415
Haciendo un nuevo cambio de variables y = xiacutei en (415 se obtiene la ecuacioacuten
wd -v)r + H +1 - ( H + 2)W- iexcl y = o lt4icgt
Eltfa uacuteltima ecuacioacuten es una ecuacioacuten de tipo hiperficomeacutetrico y su solucioacuten es conocida
20 de donde la componente angular del campo eleacutectrico tiene la forma
poundv- = CxH-F(laquo6cy) (417)
donde F(a b c y) es la funcioacuten hipergeomeacutetrica [20] C es una constante y las constantes
cb y c tienen los valores
b = l + | m | - a (418)
C a 1 + H
61
respectivamente Dlt- la ecuacioacuten (411) podemos ahora escribir la expresioacuten paro la com-
jiacuteomrntf axial en la forma (hasta teacuterminos laquoiel orden (1iacute)1)
E = _ bdquo|m| D+-plusmn-CF(abc mdash mi poundu
= DiquestnbullT mdashJEiquest (419)
donde D es una constante La componente radial del campo eleacutectrico se obtiene de la
rniacioacuten (49) sustituyendo en esta (417 y (119) El campo majiexcliieacutetirtgt se deterniina laquole
la ecuacioacuten dr Faraday
1 OD r x pound = mdash mdash (420)
c uumlt
Limitaacutendose hasta teacuterminos del orden IO1 obtenemos la componente axial del camjm
magneacutetico
H = iacute H D gt i + Jiacute-lfEj - iiacuteuumlUuml^r (42D lit inz in(
Las constantes C y D que aparecen en (419) y (421) dependen de las condicioneraquo
de frontera Para su determinacioacuten acoplemos los campos dentro del plasma con los del
vacio bajo la condicioacuten que haya continuidad en la frontera del plasma (r = r) de las
componenteraquo E y Hiexcl
Ermfl = poundo | bdquo (422)
|tradebdquo = H0rmri (423)
Considerando que e(rf) = 1 y usando las expresiones correspondiente para las composhy
nentes axiales de los campos con plasma (419) y (421) y de los campos sin plasma
02
Z = DtJbdquo~ri y H0 = CWJbdquo(-T)) obtenemos las expresiones de las constantes C y
Z teacuterminos de los cani)gtos no perturbados En el raso para m gt 0 obtenemos
2 m (m- l ) -raquo - mF(n o r y ) + jF(noriexcl() bdquo-(bullraquo-raquogt( pound)bullraquo-)
D = 2miquest- C raquo + ^ deg - (4-25gt
iacute uiquest y = xfiacutey C0 y Dlaquo son unas constantes Hasta el momento nos hemos limitado a
- rinos del orden de ( l ) lo qtw equivale H decir que lit rondicioacuten de raquo|gt]irn)gtiliilad de
1- ecuaciones obtenidas es
kr iquest
7Iacute(l + | - bdquo | r laquo 1 1420)
Una vez lt|iie se lmn obtenido las expresiones tie los campos dentro del plasma evaluemos
bullbullbull integrales de 1iexclI expresioacuten (41) que determinan la const iexcltute tie propagacioacuten para una
sua de onda conteniendo en su eje una rolumna de plasma Se considera que el problema
gt perturbado es aquel que ronsiilera una guiacutea tie onda riliacutendrira llueca |fbdquo = 1 y bdquo = 1)
pound1 caacutelculo se realiza para una onda en modo H Para este modo la constante Dp es igual
con cero y las constantes C y D se reducen a la forma
C Jiquest poundk (4 27) 2 o F(a62yi) + ytFub2bdquo)
D = - g c bdquo (428)
Primeramente evaluemos la integral en el numerador de (41) para ello consideremos
la expresiones (229) Tomando la parte cosenoidal de (229) para la componente axial
correspondientes a los campos no perturbados y el tensor de permiacutetiv lad (47) obtenemos
63
= f - - A iacute - E iacute laquo 429) J Ai
= iexcl J |pound - 1) [poundJlaquoMraquon5(r + iuE) + poundt(MraquoiT-|pound - laquopound)] (-rdrtl
donde las componentes Ew Er y Eiquest dependen uacutenicamente del nidio La integral sobre if
en el intervalo [02r j se realiza expresando el termino exponencial romo senos y renenrraquo
y romanilo en cuenta sus relaciones de o-tugonalidad Por tanto despueacutes de realizar la
integral Mible r_ se obtiene
= - f r|pound - 1 )[Er(poundr + iuE) + EI poundr- - laquopoundbull ))ltbull
A1 r raquoraquo = r r(iacute - 1 )[rCZH mdash-J m (7r ) |pound r + laquopound) +
+ CZll-Jj-lr)(E-HiEr)dr 1430) i
La integral anterior se evalna sobre la seccioacuten transversal de la columna de plasma
Aquiacute r i es el radio de la columna de plasma Por otro linio si expresamos - en teacuterminos
de la longitud de onda di corte Ar (217) para tina guiacutea de ondas hueca en la forma = ^
ohservanios que el argumento de la funcioacuten de Bessel eu (430) es una cantidad mucho
menor que uno Para demostrar lo anterior notemos que de acuerdo con (218) para que
la onda se propague a traveacutes de la guiacutea de onda se debe satisfacer que la longitud de onda
en el vacio debe ser menor que t Ademaacutes debido a que sr ha considerado que la longitud
de onda es mucho mayor que el radio del plasma entonces la longitud de onda de corte
tambieacuten es mucho mayor que el radio del plasma Esto uacuteltimo nos sirve para considerar
uacutenicamente el primer teacutermino de la serie de la funcioacuten de Bessel [12] con respecto si
argumento -yr = 2iry De donde (430) se transforma romo
G4
Ix = gtCU (1 - ti) r(pound - iy[iEr + pound)rfr (431) Jrm Ji)
-spueacutes di- hacer el cambio de variable x = iacute - r y sustituir las formas expliacutecitas fie los
gt-npos (4D) y (417) para Er y Ef respectivamente se obtiene de (431) la expresioacuten
bull - f pound z raquo r m - i f e r ( i - u ) x 4-32) x i(-- -)rxx-F(iUlt mdash)] + iirtn-iquestFuUlt~ )li
Ai [ iquestu tu J
jiirlc se han aproximado los campos hasta teacuterminos del orden (7 ) Integrando P )laquoirles
raquo n-sperto a r el primer teacutermino de (432) obit-nemos
laquo - ^ V r r ( l - laquo ) x - + f V a r - (433) 2wi lt W bullraquo iacuteraquo
Sustituyendo la forma expliacutecita para la constante C (424) en (433) se observa miacutee (T-To)
vrrere con el nuacutemero de modo vi en la forma lt~IK Para t-l casiraquo (pie nos interesa tu = 1
iexcl integral ltpir aparece en (433) es faacutecil tie evaluar Para esto liaciendo el cambio de
variable y mdash x7t0 se puede reescribir la integral de (433) en la forma
Jsl+to x
xlnF(abcmdash)dx o iacuteo
= ~iexclg yF(abhy)dy (434)
utilizando la relacioacuten de diferenciacioacuten de las funciones hipergeonieacutetricas [11]
pound-[-gtF(abc)] = (c- n)nt-F(abc - ns) (435)
65
con ii = 1 v r = 3 se obtiene
Re-escribamos (43C) en una forma maacutes conveniente pura ello usando la siguiente
foacutermula de transformacioacuten para las funciones hipergeomeacutetricas [1121]
e f e - 1)(- - )Fnbc- z) + rr- 1 - ( 2 c - laquo - b- )zFlabr ) +
(r - laquo)(r - l | F I laquo i r - 1) = 0 (437)
ron laquobull = 2 y considerando las formas expliacutecitas praquoriexcli laquo y b tie (41) ron m = 1 de (437)
obtenemos la relacioacuten
F ( w fc 3 lplusmniraquo ) s ~ 4 ( 1 ^ 1 1 ) f^Ffafci 1plusmn^gt - J-(laquo2 l plusmn ^ iacute ) 1 (43S) poundbdquo (1 _ bdquo ) ( U i l j l fu ibdquo J
Finalmente usando la igualdad [11]
FUifc2) = F(ub-) - (laquo fc2c) (439)
la ecuacioacuten (43S) se puede escribir como
F(flft3^-=2)= F(laquob2^-^) (440) poundo ( I - K ) Iacute O iacuteo
Sustituyendo (440) en (436) y tomando en cuenta la relacioacuten t = 1 + pound0 obtenemos
-^|UftV(laquoraquoi^) H41) (1 - u) e0 pound0
y sustituyendo (427) y (441) en (433) finalmente obtenemos para | la expresioacuten
66
cbdquo r (1+^) riab2 iquestraquo)
M i r iacuteo F (laquo 6 2 l^ )+ L Uuml^F (laquo iquest 2 l i iacute i ) (442)
La integral del vector de Poynting correspondiente al denominador dr (41) evaluada
la seccioacuten transversal de la guiacutea de ondas tiene el valor obtenido cu (236) de donde
h - jA([Eiquestplusmnxntildevplusmn+EacuteraquoxxHiquest ]gtltlaquo
= CJZbdquoVgt bull laquo i i
JfjjLii- (-143)
iacutegt|HIacute rbdquo es el radio de la guiacutea ilc onda Finalmente dividiendo (442) entre (443) se obtiene
bulla expresioacuten para el cambio en la constante de propagacioacuten para unii onda en inodo Hu
ltue se propaga en una guiacutea de onda ron plasma
- ( r -r u ) = Ax iacute -Fnb2-^iacute)
F(laquoJ2 bullraquo)+ ^^Ff f i 2 ^ )
donde
(444)
M= 21(rr0)3
l - 3 3 9 ^
De aquiacute se obtiene que la constante de amortiguamiento es proporcional a
(445)
o = A F(o62ttiraquo)
f(afr2 iraquo) + UiacuteampFia fc2 raquo) Mtr)
F(a62iplusmniacuteraquo) (446)
07
Esta uacuteltima expresioacuten se igtigttnvigt ron vi uso di-la igualdad (439) Por otm bulo notemos
i|ugt- el argumento dr las funciones hipergromctriras dr (44G) es mayor laquopie la unidad Es
conocido laquopie la serie hipcrgeonirtrini diverge en yi = -f4 gt 1 [20] Por lo tanto rs
ruuvcuicute transformar las funciones hipergi-omctriras de- (44G) laquoru series convergentes
|gtaia filo obtrugamos las expresiones para Fluriacute l y ) y Fnb2y) donde y = 1(1 mdash z)
Para podrr estudiar la absorcioacuten de tma onda excitada en modo Hiexcl1 cu una guiacutea de onda
cilindrica como la que se tiene cu la fuente de plasma construida en el INlN y descrita
en 2] es necesario obtener las expresiones para Flnli 1 i) y FnU2y) ya ipie para
laraquo bull-iitiiiiciones de la niiiijuilia i tiende a la unidad como se desenlie con maacutes detalle maacutes
adelante
Observemos ipie la ecuacioacuten
t( 1 - )iquest + (1 - 3i)o - ltilgto = 0 1447)
tiene como solucioacuten la funcioacuten hiprrgromrt rica Finli li) Si bacnnus el cambio dr
variable raquo = 1(1 - z) entonces (447) sr rersrribr rn la forma
(1 - ) V + (1 - r gt ( 2 - r ) iquest + nkgt = 0 (448)
Fiacutetiaitnente con vi cambio iquestgt = (1 - )lt obtenemos la ecuacioacuten
i ( l - c)vgt + [2 - (26 + I r ) ] - IacuteraquoV = 0- N- 4 9 )
La solucioacuten dr la ecuacioacuten (449) es la funcioacuten hipergeomeacutetrica Fbb2z) [21] Sin emshy
bargo una solucioacuten maacutes general para F(ab i y) es una combinacioacuten lineal dr las dos
soluciones existentes de (449) [21] esto es
G8
Fiubly) = [-)lt AtF(bb2)-rB F(bb2z)Ln+Pii) + (l-fc) iJ
(450)
donde At y B son constantes por determinar y Pj(c) es una serie de potencias con resjiecto
a en la forma [21]
donde
^)=poundr^ [ lt ) - ( o j
Iraquo) = (laquo + raquo) + 4(+raquo)- I2 + raquo ) - ( + 1)
(451)
(452)
4 (bull In funcioacuten i igt iliiinim y (laquo) = laquo(laquo+ 1)(laquo + 2) bull bull bull (laquo + 7 - 1) Multiplicando anillos
luumldoM de hi ecuacioacuten 145(1) por zi - z) difiTciiciacutenndo ron respecto a i y considerando el
liacutemite ruando - tiende a cero olitcuciuoraquo la igualdad
vd - amp)bull(laquo ft 2v) = r r - r + BW + raquo - ) + iquesti-(i -raquo) (453)
Ahora usando la representacioacuten integral de la funcioacuten hiacutepergeomeacutetriacuteca (2Iiexcl y considerando
las definiciones (426) para aby c obtenemos
a - f - r(laquo)r(6)o ( i - lt y )
La primera integral de (454) se calcula faacutecilmente y tiene la forma
Jo 1 - ty y (455)
69
Para evaluar 1raquo segunda integral de (454) recordemos laquopie 1 = ^^ y notemos ipte en el
limite ruando y tiende a mm (c tiende en este castraquo a cero) iacutei se vuelve muy grande
raquo|iiraquo- laquobull equivalente a ltllaquorir que inraquo acercamos a] punto de resonancia eicloiroacuteiiica in = 1)
y por kgt tanto con r=2 Igt tiende a cero De esta manera la segunda integral de (454) se
aproxima al valor [21]
laquo-raquo- 1
1 - f dt = -(fc)-C (45C)
donde C es 1raquo constante de Euler Sustituyendo (455) y (45C) eiexcl (4541 obtenemos
f io 2) = 1
-Ltil - bull ) - laquo1M J- C 1 4 5 7 ) r(2-raquoinM
Pitra determinar las coacutemanles -4j y D sustituyamos (457) en (453) y separemos los
teacuterminos laquopie ionticueu Lti de aijticllos (pie no lo contienen Asi obtenemos las expreshy
siones para las constantes 4| y B en la forma
A =
B =
^ ^ laquo ^ ^ ^ r ( 2 - igt)T(igt)
(1-fc)raquo f(2-gt)JW
(45S)
(45ai
Anaacutelogamente se puede encontrar una solucioacuten para F[ab2y) en la forma
+ [ C + ( t ) + i raquo ] | F ( 6 f c - l l r ) I n iacute + fl(s)] (460)
donde
70
Las expresiones (450) y 1400) representn las transformaciones dr Filtibiy) y
Flt a b 2 y) respectivamente en series convergentes ruando y tiende iexcli la unidad Las consshy
tantes A y Bi se expresan mediante (458) y (459) corresigtondiexclentenieiitlaquo- Finalmente
y fie acuerdo ron (44G) dividiendo 4G0) intrc (450) y tomando la iexclgtiexclirtr iiiiiacute-uumliuaria
obtenemos la expresioacuten para la constante ltle amortiguamiento o de absorcioacuten en 1 forma
( i
Jf = laquo x Fffcfc - 11 )[1 - (1 - fc)(2 - fc)F(662 z) + Piexcl)- )bull]+
+ P (r) | l -6) F |6 6 2 )x
x [l - (1 - b)2 - h)FVb2) + P7(z)l - by +
+ C + (b) + Ln -](1 - 6)-F(6 62 r)] +
+ T T V ( 1 - 6 ) ^ ( 6 1 2 1 ) (4C2)
donde r = 1(1 + pound0) La figura 43 muestra el comportamiento de (4C2) en funcioacuten de
ni x u para m - 1 es decir los int2Tvalos [-LO) y [01] corresponden a m = - 1 y tu = +1
respectivamente Las graacuteficas de la figura 43 corresponden a los siguientes valores de
-bull(0)toiacutes a) 82 b) C c) 4 d) 3 y e) 1 Las graacuteficas c) d) y e) difieren de armellas
mostradas en [22j ya que aquiacute se han considerado uacutenicamente los primeros cinco teacuterminos
de las series Pz) y Pt(z) Por otro lado observemos que el coeficiente de amortiguamiento
se anula en el caso de resonancia cidotroacutenica (u = ) Sin embargo esto no significa que
no existe absorcioacuten de la onda en este caso como se reporta en [23] en los punto donde
71
o bulla
iquest
1 3
n raquo
o i
Wv
72
eiexcl Iacutendice de refraccioacuten tiende a infinito se produce una absorcioacuten delas ondas en el plasma
ltii- tipo no rolisioiiacuteal Esta absorrioacuteu se asraquo ic a la existencia de punto singulares dlaquo- la
ecuacioacuten de onda exacta para ciertos puntos dentro del plasma es decir ai|uiacute la componente
del campo eleacutectrico paralelo al gradiente de densidad es infinita
En la fuente de plasma descrita en el trabajo [2iexcl se trabaja actualmente con densidades
del plasma del orden raquof(0) = C x Nfcnr3 y con un campo magneacutetico externo B =
S~jGtntraquo Ademaacutes se cuenta ron una guiacutea de onda de radio rbdquo = 425rFraquogt en la rual se
IgtngtiexclgtiexcliEiexcli una onda electromagneacutetica ron 111raquo frecuencia w = 15304 X 10 gt Si el radio del
plasma es C| = 3ltm eutonres tendremos los Mullientes valores para _laquo_- 10) 11gtf0)-bull
y respectivatiieiite
wbdquo = 15379 x 10V
raquogt(()) = 13S19X 1 0 V
1 = 00990 1403)
^(0)--J = 08
poundn = 3902
A = 19525
En este caso podemos analizar de la figura 43 curva a) comportamiento riacutee la constante
de amortiguamiento cuando u^fO)raquo2 = 08 Como podemos olmcrvar la constante de
amortiguamiento tiene valores relativamente grandes en la vecindad de u = OC pero
decae raacutepidamente conforme u tiende a la unidad Cuando u = 0999 la constante de
amortiguamiento tiene el valor
73
o = Ai x (M)0()02455 = lSS x 10 (464)
El anaacutelisis anterior es vaacutelido si se rumple la rondicioacuten (42G)
^ ( 1 + |poundbdquo|)- ltpound 1 MCO)
que eii nuestro laquoaso es correcto ya que
^ - i d +|ibdquo|)-=ocnsx lo- ucc)
8 Influencia del plasma en los resonadores
El meacutetodo de Perturbacioacuten en este raso se mi de formraquo similii ii el rusraquo de tina guiacutea
tie onda Como paraacutemetro pequentildeo se considera anaacutelogamente que el radio del plasma
es lutirlio menor que la longitud de onda Ademaacutes se supone que el |HTTiexcl1 de tielisidad
electroacutenica es de tipo paralioacutelico y que el campo magneacutetico externo es homogeacuteneo y esla
dirigido a lo largo del eje O
Anaacutelogamente a el caso de una guiacutea de onda la presencia del plasma en un resonador
es originar un cambio en la frecuencia de resonancia De acuerdo ron la teoriacutea de perturshy
bacioacuten este cambio craquo proporrional a la razoacuten del cambio dr riirrga almacenadraquo dentro del
volumen que ocupa el plasma en el resonador sobre la energiacutea total almacenada en todo el
volumen del resonador (34C)
WJVpoundiquest iquestiquest EacutedV w - u 0 = wbdquo = - iquest (4Glt)
iquest Jr pound0 bulltoraquo
74
Lu i-niaciuacuteii (4CT) requiere la evaluacioacuteu de el campo eleacutectrico cu el plasma En la
-bullbullTIacuteOII 7 se obtuvieron los campos en una columna de plasma friacuteo de radio pefpit-iio
magnetizado e inhomogeacuteneo localizada en el eje de una guiacutea di- onda cilindrica Con
tuda de estas expresiones podemos determinar en forma expliacutecita los campos cuando una
lunuia de plasma se encuentra en el resonador
poundru-y--) = iacute
r 22
mi miacutem mS
poundir r-) = C | |- F(laquoraquor-K--fbdquo(4--) in raquo t4CS)
uy-) =
poundgtXM + _L pound raquoltiacute ti
In I-I - r i - l iacute - D P DJT] T mdashmdashstE) E 111 lllC laquo ( il
donde x = (iexclt~ C y D son constantes = ruy = u(i mdash 1) la prima denota diferenciacioacuten
con resjMcto a j - Fin h r y) es la funcioacuten de tipo hipergeomeacutetrico [20] y nb y r tienen llaquoraquos
valores obtenidos en (418)
No hay que olvidar que cu un resonador los campos son estacionarios de aquiacute que la
dependencia con respecto a r se escribe multiplicando cada ecuacioacuten de (468) por el factor
jffi(^z) oacute coM^z) p= 123 iacutees la longitud del resonador
Calculemos el cambio en la frecuencia de resonancia para ondas de tipo TEm- La
integral del denominador de la expresioacuten (4G7) nos expresa la cantidad de energiacutea eleacutectrica
almacenada por unidad de volumen en el resonador sin plasma cuyo resultado para un
resonador hueco se obtiene de (2GC) al considerar que WE = Wn y en pnrtirular fiv ~ 1
( = 1 El resultado para este modo se expresa en la forma
U = bull EacuteltW
= ^^M-MUn) M69)
Por otro lado la integral del numerador de (4C7) evaluada sobre todo el volumen que
ocupa el plasma se calcula con ayuda de las expresiones (2G0) (resonador sin plasma)
di las expresione (4CS) (resonador con plasma de radio pequentildeo) y de tensor dieleacutectrico
(47) obtcnirlidii
= iacute iacute f ( pound - l ) [E ( gtfm l T - | pound + l l lpound l + Jit u Jn
+EuacuterosinY-(Er - iuEr) rltMiJl-^-)riexclrd^dz (470) d
donde las coui]gtoiientes Eu E y pound tienen dependencia uacutenicamente radil Al realizar la
integracioacuten sobre Iacute y iquest en los intervalos [0 d) y [02riexcl respectivamenie obtenemos
s = V iacute r(t ~ XUumlEoE + iuE^) + Eiquest(E - niE)]ltlr iquest Jo d [ [ r
bull r ( iacute - l ) Jo
iC0 r Jm-r)Er + iuE)+
+ Q--JJfr)(E^ - iuE ] dr (471) c i J
Anaacutelogamente a el caso de una guiacutea de onda se utiliza el mismo argumento bajo el cual se
considera el primer teacutermino de la iuacute fmiacutecioacuteii en serie de la funcioacuten de Bcssel con respecto
al argumento r = 2JT^ De aquiacute que (471) se reescribe como
76
c iquest iquestml Jo
Lspueacutes de hacer el cambio de variable x = (iexcljfr y sustituir la forma expliacutecita de los campos
bull 49) y (417) para E y Et en (472) se obtiene
h = gtc ( l - u ) x wirdy-raquo l c V
0 c 2 2m V(wj
J-(pound- )L-[T FUIICmdash ) + mxJ-JF(bdquolt-i)h -raquo -raquo iraquo J
(473)
donde los campos M- han considerado hasta teacuterminos del orden (|) Integrando por partes
con respecto a J el primer teacutermino de (473) obtenemos
h = -2Cy bull )h (474) c 2 2raquoi Vi bulllaquo iu
La integral (pie aparece en (474) coincide exactamente con la cjne aparen- en (433)
de donde para ondas en modo TEm s se calcula sustituyendo (427) y 1441) en (474)
obteniendo
= rColTJiacutefrr iexclJ ltd j ( l+poundo) bull(laquoiquest2f)
(475) c3473 ebdquo f(o62lplusmnlaquoraquo)+1 plusmn a i v(o62iplusmniacuteraquo)
Finalmente dividiendo (475) entre (469) se obtiene la expresioacuten para el cambio en la
frecuencia de resonancia en modo T pound m para un resonador conteniendo una columna de
plasma friacuteo de radio pequentildeo
W(D = (u - u0) - MjX 1 - -F(laquo62lraquo)
siexcl X 1 -F(abll)
(476)
77
donde
La ecuacioacuten (47C) coincide con (444) salvo por una la constante Miexcl Anaacutelogamente n
el caso de una guiacutea de onda utilicemos las expresiones (450) y (4C0) juira Fintly) y
Fllti2 i) respectivamente Sustituyendo (450) y 14CO) eji (47C) y separando las partes
real e imaginaria obtenemos la variacioacuten de la frecuencia de resonancia (Araquo) y la variacioacuten
del inverso de la calidad del resonador l -M IO)) por influencia del |gtlasiniexcli respectivamente
en la forma
mdash^ = iexcl-zFbb- 11-) [-F( fcraquo 2-)([C+(-)] ( 1 -bf-
- (1 -fraquo)(2-)[C+(fc)l-Hl-lt) J(l - - ) ) +
+ C + ()][-gt(-)(] - h) - Ij] + -(1 - l)lPt)C + laquoK))F(hb2-) x
x [l - (1 - b)2-h)F(kb2z) + PJzil - raquo)+
+ -(1 - bjgtC + () + Li z]Fbb2z) + V | 1 - )F(bullbull 2--) (478)
-poundiquestmQ) = JTSX
x Fbb-lls)|l-(l- b)(2- b)zF(bb2z) + P ( - - ) r ( l -6 ) ]+
+ --F(i)(l-6) JF( iacute t 2i)x
x [ l - ( l - f r ) (2-amp^ -F(M2^) + P J ( - - ) iacute ( l -6 ) +
+ [C + (6) + iquestn --](1 - 6)zF(ampamp2z)]2 +
+ w12(l-b)4Fa(blgt2iacute)Yiacute (4-79)
t bull bull 78
La figuras 44 y 45 muestran las graacuteficas de las expresiones (478) y (479) con respecto
a ri x ii ]gturn distintos valores de u^(0)uz respectivamente Anaacutelogamente a el caso de
la- guiaraquo de onda se han considerado uacutenicamente los primeros cinro teacuterminos en las series
para Pi) y P jU) Un resultado importante de acuerdo cotiacute la figura 44 resulta ser
que en la resonancia ciclotroacutenica la variacioacuten del inverso del factor de calidad es cero es
decir en este caso y en la misma manera como en las guias de onda no existen peacuterdidas
de energiacutea de tipo colisional Sin embargo de la figura 45 notamos que cu resonancia
rirlotruacuteliira si existe un pequentildeo cambio en la frecuencia laquole resonancia del resonador
En la fuente de plasma descrita en [2J se tiene un resonador cilindrico donde oscila
una Diida a IUIIacuteI frecuencia laquobull = 15394 x ]() excitada en modo TEw y de radio
rbdquo = cm en el cual una columna dr pliacutetstua fie radio riexcl = 3lt se ein-iieiitrraquo a lo largo
del eje tlel resonador La cavidad resonante se encuentra dentro de un campo magneacutetico
externo D mdash SloacuteGauxraquo La densidad de electrones en la fuente tie plasma puede ser igual
a ni 0) = C x 10 I 0CTO 3 En este caso tenemos los mismos valores (4C3) para yinnfv0) u
y u-ji 0)raquo mientras cpie Miexcl tiene el valor
SU = 04C55 (480)
Entonces el cambio en el inverso de la calidad y en la frecuencia de resonancia tendraacuten
los valores
A( l ( ) = mdash x 000009C2455 = 582 x 1 0 (481)
Aw = Mj x |1 - (100035)] = - 1 0 3 x 10 V (482)
79
AwMa
i
o
I
U
bull3 I
I O
bull
a 6
1 1 1 bull 1 bull
bull
_
c x ^
- r f -
| 1 bull J T | 1 - | 1 |
l IX V if | rt i iacute i ( iraquo i i i bull i i i
i i
i i i
V
deg
iacute bull f
i i i
VI 1 A 1 ^ t
x X Iacute
JU i f ^
1 bull x
so
o i
fit
Zf Z rt w
El valor (481) se encuentra dentro del rango de validez de la teoriacutea de perturliacioacuten
ile acuerdo ron (35C) Asi mismo la variacioacuten de la freruenria de resonancia es dema-
siado |Mf|ttentildea en comparacioacuten con la freruencia propia del resonador de tal manera rpie
podemos considerar une no existe un cambio fuerte en la freruenria de resonancia ion esta
densidad
Los resultado iexclinteriores de las secciones 7 y 8 fueron presentados en iexcl24] y [25iexcl respecshy
tivamente
82
CAPITULO 5
PENETRACIOacuteN DE ONDAS EN EL PLASMA
En este iiipiacutetiilo ni el marro de 1iexclI teoriacutea lineal se liare una revisioacuten sulire el proceso
gtigt- penetracioacuten de campos elertDinaRneacuteticos en un plasma En vista de ijne en la fuente
lie plasma descrita en [2j se excita una onda tipo H nos vamos a limitar al caacutelenlo de
Un coeficieiites tie reflexioacuten transmisioacuten y de alisorrioacuteu para estlt- tipo de ondas liacuteay
eme hacer notar que en el experimento [2] se tiene un campo magneacutetico externo lo que
complica fuertemente el estudio de la interaccioacuten de ondas en este plasma Nos limitaremos
en este trabajo a considerar un plasma homogeacuteneo y deacutebilmente inhomogeacuteneo sin raiujm
magneacutetico externo Estos resultados preliminares son uacutetiles para posteriormente estudiar
la transformacioacuten lineal de ondas que es muy importante para el anaacutelisis del perfil de
densidad observado en la fuente de plasma [2]
9 Penetracioacuten de campos electromagneacuteticos en el plasma
El estudio de la interaccioacuten de ondas electromagneacuteticas en un plasma tiene particular
intereacutes por la gran variedad de paraacutemetros existentes como se mencionoacute anteriormente
83
(densidad de |ttirtirulas di- diferentes tipos prado dlt- ionizacioacuten longitud de trayectoria lishy
bre tfiii|raquocratura etc) 111 los diferentes casos Una de las caracteriacutesticas mas importantes
de un plasma real es su iuliomogeueidad Alt|iiiacute los paraacutemetros del jjasiilii variacutean en el
espacio produciendo considerables cambios en las caracteriacutesticas del mismo Freruontc-
menfe en lo concerniente a la propagacioacuten de ondas electromagneacuteticas estos cambios son
tan fuertes que la pennitividad dieleacutectrica cambia de signo
91 Penetracioacuten de campos electromagneacuteticos en la aproximacioacuten hidrodinaacutemica Sistema de ecuaciones
Il l sistema de emaeiones atltoroiisisteule i|iie desrribr la penetracioacuten tie un campo elecshy
tromagneacutetico en d plasma en la aproximacioacuten bidroiliuaacutemira se compone de las ecuaciones
ile Maxwell
V x pound = -2f 51 c 01
f x f l = - - i - mdash + mdash (02) c 01 c
V bull(poundlaquopound) = 4p (53)
V H = 0 (54)
donde las densidades de corriente y carga se determinan en la forma
P- pound c raquo n lt raquo = laquoiexcllaquoi + tnt = pound e bdquo n r r n (55)
y se expresan a traveacutes de los campos eleacutectrico y magneacutetico de las enlacioacutenos hidrodinaacutemicas
de movimiento y continuidad del fluido conductor de carga o [26]
84
sect + bullbdquobulllaquobull = ^(Eacute+-vnxH)-^--^va (56)
3raquobdquo _ _ _ ~ + V-n0viexcl = 0 U 7 )
En las ecuaciones (55)-(57) tbdquo es la carga m0 la masa tibdquo es la densidalt v0 es la
velocidad hidrodinaacutemica jgtbdquo o la presioacuten y ibdquo la frecuencia de colisioacuten entre las partiacuteculas
ltir- tipo o ron las partiacuterulas di- otra claw y con las moleacuteculas El subiacutendice o rorrcspondc a
i igt i ln ipii indica a los iones o electrones correspondientemente E D son las tensiones de
ligt- campos eleacutectrico y magiacutenico respectivamente y r es la velocidad de la luz en el vacio
Se supone i|iie el plasma se encuentra en un medio con un jieruiitiviilail dieleacutectrica iacutebdquo para
un plasma gaseoso bdquo = 1 y MI un plasma de estado soacutelido es la pcrmitiviilail dieleacutectrica
de la red cristalina Ya que la permit i vidad magneacutetica del plasma praacutecticamente es igual
a uno no vamos a diferenciar la induccioacuten magneacutetica de la tensioacuten del campo magneacutetico
lo que se refleja en las ecuaciones anteriormente descritas
El sistema laquole ecuaciones (oacutel)-(57) debiacute ser complementado con las ecuaciones de
estado de la materia expresados a traveacutes de la densidad nbdquo y la temperatura Tbdquo pn mdash
p0(noTa) Siacute las variaciones de estado de las componentes del plasma ocurren perioacutedicashy
mente entonces
Tpo = bullgtltJbdquoVn0 = 7raquoltfTbdquoVnlt (58)
donde vj = 2T0m0)t1 es la velocidad teacutermica promedio de laraquo partiacuteculas de tipo o 70
e la razoacuten entre loraquo caloreraquo especiacuteficos a presioacuten y volumen constante del gas de partiacuteculas
y 1 = mil
85
Las ecuaciones ib- movimiento describen un fluido en presencia dlt- cinco fuerza- ni
interaccioacuten a) la fuerza eleacutectrica (bdquopound b) la fuerza magneacutetica J x H c) la fuerza debida al
gradiente de la presioacuten d) la fuerza de interaccioacuten o colisioacuten entre la partiacuteculas de diferente
ti|Kraquo v0vbdquo y raquobull) la fuerza de inercia m-r0 bull V)tbdquo Por otro lado vamos a ronsiderar laquopie la
ecuacioacuten de estadraquo expresa un proceso adiatgtaacutetico caracterizado por el coeficiente -
92 Penetracioacuten de ondas tipo E y H
Vamos a investigar la penetracioacuten en el plasma ile ondas di- amplitud pcquiua La inteshy
raccioacuten de ondas electromagneacutetica con el plasma perturba los paraacutemetro caracteriacutesticos
en equilibrio del plasma Si las perturbaciones de los diferente paraacutemetros son lo sushy
ficientemente |xi|iientildeos en comparacioacuten con sus valoreraquo eii eipiilibrio entonces podemos
liiuariar las ecuaciones (51 H57) es decir iexclMHIIIIIOS despreciar los teacuterminos que contienen
producto entre las perturbaciones
Consideremos un plasma semiliiuitado sobre el cuaacutel a un aacutengulo fgt incide una onda
electromagneacutetica linealmente polarizada El sistema de coordenada lo escogemos de tal
manera que el plasma ocupe la regioacuten x gt 0 y la onda se propague sobre el plano X(gtZ
(Fig51) La onda incidente parcialmente se refleja del plasma y parcialmente se refracta
a un aacutengulo 8 Las amplitudes de las ondas reflejada y refractada se determinan de las
condiciones de frontera Como consecuencia de esto si la dependencia del campo de la
onda incidente con respecto a y t se determina a traveacutes del exponente rl-laquo) donde
kiquest = k0tcn9 k0 = raquogtc y w es la frecuencia de la onda entonces en la teoriacutea lineal para un
plasma estacionario y homogeacuteneo esta misma dependencia deben tener las ondas reflejada
y refractada en el plasma a lo largo de O
86
PLASMA
(b)
FiacutegKl Penetracioacuten de una onda electromagneacutetica lincalmente polarizada en un plasma raquoemi-
limitado La onda que incide a un aacutengulo 8 parcialmente se refleja a un aacutengulo 8 y parcialmente
se refracta a un aacutengulo V a) penetracioacuten de una onda tipo E y b) penetracioacuten de una onda tipo
H
87
Supongamos UIRraquo tenemos un plasma de dos componentes compuesto de electrones bullbull
iexclunes motwcargjados ron concentraciones en et|uilibrio raquobdquo = raquoraquolaquo = gtibdquo En un (Jasina friacuteo
la velocidad ternura de los iones se puetk despreciar 1 = 0) si esta es muy pei|iK-ntildea rn
contparacioacuteii con la velocidad de fase de la onda Si a lo largo del eje 0t la densidad no
varia entonces f = 0 y de laraquo ecuaciones (51)-(58) podemos obtener el sijpiiente sistema
dtr ecuaciones para los campos electromagneacuteticos
iexclKH = iquestJtpound - iacuteiacutejEi 159)
-rmdash = -iK0e mdash pound - + mdashmdashUE r ) U10) ni [ raquo-raquor J (w ni
Jvpound = - I (512)
^ = bullbdquobdquo (513) As
ik-HiE = JiL-ikJlr (514) ni
iloiiitr iacute ex la jx-ruiitividnd dirlrctrirraquo de un plasma isotropicraquo y friacuteo
taraquo(w + l^e) W(uraquo + Ifi)
ugtgt y uy son las frecuencias plaacutesmicas de los electrones e iones respetivamente expresadas
en la forma
iquestgt tgt
4c n 0 IJ
(6M) mlaquo
w a IB frecuencia compleja raquobull = w + ic y e eraquo la permitividad dieleacutectrica del fluido de
iones en la forma
88
t=to- + bull (517) w(w + llj)
El sistema de ecuaciones (59)-(514) se descompone en dos subsistemas iudc|Hiidientes
-i9H5ll y (512)-(514) lo que corresponde a la propagacioacuten en el plasma de dos ondas
independientes (Fig51) Para las ondas con componentes E E y Hy el vector del campo
eleacutectrico estraquo sobre el plano de incidencia XOZ Esta onda es una onda con polarizacioacuten
gt onda tipo TM o E Para )n segunda onda con comeacutentente Ebdquo Hr y H el vertor
fifi rutll|Mgt eleacutertriro es |H-r]gtriiiliriiIiir al planraquo fie incidencia Esta onda es unraquo onda ron
polarizacioacuten i ulula tipo TE o H Para las condiciones mencionadas iexclinteriormente el
ijjovjmieijlo teacutermico de laraquo partiacutecula es despreciable para la propasacioacuten de ondas tipo H
Sin embargo para las ondas ti]gto E puctlc ser bastante importante
10 Penetracioacuten de una onda electromagneacutetica tipo H en un plasma homogeacuteneo semilimitado Reflexioacuten y absorcioacuten de ondas tipo H
De las dos posibles polarizaciones que puede tener la onda que incide en el plasma el caso
de la onda de tipo H es el maacutes simple Encontremos la solucioacuten de las ecuaciones (512)-
(514) en el plasma y en el vacio suponiendo una frontera bien definida Sustituyendo H
de (513) en (514) y usando (512) obtenemos que el campo E satisface la ecuacioacuten
tPE - ^ + Jkfo - laquolaquoraquo)pound - 0 (518)
89
dmde en el plasma e se determina xx (515) y en el vacio pound = 1 Es faacutecil ronwtrar laquojar
eu el varkgt los campus tienen la furnia
para la onda incidente
poundbdquo = Eoraquo Bu m Fbdquocw0 (519)
y para kgt onda reflejada
Eraquo = llEbdquo-kltlt H = -Etcoraquoraquo ISM)
iliHiilraquo- pound es lii amplitud lie In i mi In hiiiiliiiti y iacutels rl riM-riiiiiili ili- icHrxiiVn El linihi|raquoligt
r i)r--wi) at j a s rX|ri^iHBM jbdquon lri caui|HKlaquo se excluye raquo aquiacute en adelante Praquor laquonraquo laria
bullbullI rwn]Mgt cu el plasma tirnr la forma
pound() = Eiquest0)rik B() = (^) poundlt) (5-21)
donde Et[0) es Iraquo amplitud de la rom|Hgtiiiiite poundbdquo del rampraquo cliVtriro III la frontera tlrl
plasma ( = ()) y A- se expresa romo
Jt JWlaquo - e2laquo (5-22)
Si it| es una cantidad real entonces la onda se propaga libremente en rl plasma prro
siacute Ai es una cantidad compleja entonces el campo en rl plasma r amortigua dr forma
exponencial a partir de la frontera
Para determinar el coeficiente de reflexioacuten y la amplitud del campo rn la frontera de)
plasma se utilizan laa condiciones de continuidad de laa componentes tangenciales dr los
eampoa en i = 0
90
pound(0)+poundbullbdquolaquogt) = pound(0)
(0) + raquo(0)-jr ((0)
Sustituyendo (519)-(oacute20) en (523) y considerando (521) encontramos
pound(0) = pound(l + rt)
dr donde obtiiunnos el coeficiente di reflexioacuten en Iraquo forum
(523)
(524)
=ampgtbull donde
e la impedancia sti]gtcrfieial o del plasma para una onda tipo H Sustituyendo (525) en
(524) encontramos la amplitud de la componente E del campo eleacutectrico raquo teacuterminos de
la impedancia el aacutengulo de incidencia y de la amplitud de la onda incidente en la frontera
del plasma
La definicioacuten de la impedancia (526) resulta coacutemoda ya que el coeficiente de reflexioacuten y la
profundidad de penetracioacuten se expresa de forma maacutes sencilla a traveacutes de ella En general
la impedancia es una cantidad compleja ZH = X + iX2 por eso el coeficiente de reflexioacuten
se puede escribir en la forma polar de Euler
01
M(AVlaquoM+1)-+ laquo-] e gt U 2 8 gt ^^xraquoiacute-l)1 + Y|coIiacutel
l
donde bull dcfitie la fase en la forma
XjcosO XjcosB bull = arctan bull mdash- - arctan bdquo mdash- (o29)
A i c o s 0 - 1 Xcos8+l
Uu paraacutemetro muy important del medio es ltbull) coeficiente lt]ltbull iexclilgtson-iiraquou el cual indica
laquorue laquoarte dc in energiacutea de la onda incidente se transfiere al pla-siiiraquo Si
P = 4~E x j = -iexcl-Eltraderaquo (030)
eraquo Iraquo denudad laquoIt-1 finjo de CIHTRIacuteH normal u la frontera dr la onda laquo[in incide y PT = y| |
es la densidad del finjo laquoIr In onda reflejada entonces el laquobulllaquobulleficiente de iilisorrioacuteii se define
roiiMraquo
W = ^mdash^ = 1 - |J|raquo (531)
Sustituyendo (528) en (531) obtenemos el coeficiente ltle absorcioacuten en teacuterminos de las
partes real e imaginaria dc la impedancia
W laquo Xcogt$ (532)
Ahora analiacutezemos con maacutes detalle las condiciones de propagacioacuten y amortiguamiento
de ondas electromagneacuteticas en un plasma de electrones en diferentes rangos dc frecuencia y
calculemos los coeficientes de reflexioacuten y absorcioacuten para cada casraquo respectivamente Para
92
ello sustituyamos (515) en (522) donde en este caso debido a la gran diferencia dr
masa de lo iones con respecto a los electrones consideraremos iquest^ as 0 Dr esta manera
obtenemos
r w V2
t - laquo raquo raquo - - (533) l jltlaquo + ilaquot)J
Consideremos los siguientes casos
a) El caso de altas frecuencias (cr lt -gt) Aquiacute los choques entre los electronraquo- se pueden
ilespreciar y entonces X- se reduce a la forma
Xraquo i- = - l - r o ^ - ^ (534)
En el reacutegimen de frecnciiriajiacute u lt ^lotfiacute lu m]x-ltlnraquorii es una caiitiilncl real y por In
tanto el coeficiente di- reflexioacuten y de absorcioacuten tomitii resjMrtivnniente la forma
donde
En este caso la fase (529) es igual con cero lo cual nos indica que laraquo ondas incidente
y reflejada se encuentran en fase Por otro lado la condicioacuten de amortiguamiento en un
plasma gaseoso sin colisiones consiste en que se cumple la desigualdad
ucof8 lt ugtVf (538)
03
IntrotUuetunos en calidad dr cararteriacutestica de penetracioacuten lthI ciexclttii|Mgt una |gtroftmililtlaltl
compleja de itetirtracioacuten determinada por medio de la relacioacuten tgt = t(gtraquo iquesti) El sentido
fiskti di la cantidad i es la distancia a la cual la amplitud del rampraquo en rl plasma ilecren
eu e mdash 271 veres de su valor inicial Con la condicioacuten ugt gtbull uicosB la profundidad de
penetracioacuten (anchura de la capa piel) no depende de la frecuencia = cu
h) En la regioacuten de bajas frecuencias w lt vt) los choques ya mgt se pueden despreciar En
este caso Rt Jt| s Ivi k y el campo en el plasma decreeraquo- ex]Mmirurial y oscilatoriamente
ilruumldr la frontera Si v gt m slt- tiene
k = -^zJviVrCosH+i- (539) Jiv v
si iacuteiilnilaacutes raquoiquest gt vrivosH entonces
y la longitud laquoIr la rapa piel tiene la forma
r iexcl2vt iquest = mdash J mdash = - 7 f iquest mdash (541)
donde raquo0 SB wf(4ffi) es la conductividad del plasma Notemos que (541) determina
la profundidad de penetracioacuten del campo en un conductor en el cual fluye una corriente
variable de baja frecuencia Asiacute las expresiones (521) determinan el campo en el plasma
en condiciones de un efecto piel normal o claacutesico A bajaraquo frecuencias y alta temperatura
del plasma estas expresiones ya no son vaacutelidas y es necesario analizar la penetracioacuten de los
campos en base a un modelo cineacutetico
Considerando las colisiones entre las partiacuteculas la impednncia del plasma tiene la forma
94
Zbdquo = (542) ^ugt(u)1cot10 - u pound ) + bull-bullJraquo
Si la frecuencia de colisiones es pequentildea pero sigue siendo finita y ademaacutes se cumplen las
desigualdades v lt raquo- ffgtiacute lt gtJcosi0 mdash uiiquest() entonces (542) se transforma COJIJO
Zbdquo = (543)
de donde observamos que en la regioacuten de frecuencias uirraquo^ lt ufPr el rocuumlcinjte ile iibsorrioacuten
se exprtsut en la lonnti
W = 2pro^Jtvwtraquo - l ) - (544)
Por otro lado si la frecuencia de la onda es lo suficientemente pequentildea tal laquopn- i gt laquobull y
se cumple la desigualdad J^Kv) gt OM rntonres la inj|MdnncIacutei se expri-sraquo como
z - iacute1 Voacuteiacute (545)
V -gtltbull y loraquo coeficientes de reflexioacuten y absorcioacuten se expresan respetivamente en la forma
R = (l-2Acltw0) 2e- MltM (540)
W = 4Xcoraquo9 (547)
donde A^ laquo -Xt = bullraquo( 2wt)
Finalmente observemos que las peacuterdidas de energiacutea que la onda sufre en el plasma
defiacutenidu por las foacutermuias (544) y (536) tiene diferente significado fiacutesico La W diferente
de cero cuando u = 0 esta relacionado con la excitacioacuten de una onda electromagneacutetica en
05
el plasma y el valor de W de (544) determina la parte de la energiacutea de la onda incidente
qiK- es utilizada para el calentamiento de los electrones del plasma eigt la capa piel
11 Paso deacute una onda H a traveacutes de una capa de plasma
Si la profundidad de penetracioacuten del campo ni una capa de plasma es tk-I orden de sns
dimensiones transversales o si la onda se pro|gtaga elraquo el plasma entonces la influrmia de
la segunda frontera del plasma resulta muy importante Determinemos el campo en el
plasma y los coeficientes iexclle reflexioacuten y de transmisioacuten en el paso de una onda incidente a
traveacutes de una rapa de plasma homogeacuteneo de anchura d
El canijaraquo i-n el vacio o cu la regioacuten T lt 0 tiene la forma (519)-(iquestj2l)) y el campo en la
regioacuten i gt 0 tiene la forma
Eraquo = TE0tcu = Eraquoltbdquosraquo (548)
donde T es el coeficiente de transmisioacuten El campo en el plasma consiste de dos ondas
tina de las cuales se propaga en direccioacuten de los valores positivos y la otra en direccioacuten de
los valores negativos de x
E = Aek + Be-ik = - iquest trade (549)
Las condiciones de continuidad de las componentes tangenciales del campo en la fronshy
tera del plasma x = 0 y x = ti anaacutelogas a (523) permiten determinar T y el campo en
el plasma
06
R = (1-pound)AiquestlaquogtM (550)
T = 2icoa$aacuteJWt - atn8t-kdeg (551)
Ey = 2cos8bTHi [iyt - iacuteenflcoJt(iacute - x) + aM0eni-(ri - ) ] (552)
donde
Aw = (t - 1 + 2colaquoI0)ifnfrrf + 2raquoVi - xriMrosHrosktd (553)
En el caso dr una onda que ]M-nctra en el plasma para la cual iquestrosH gt u dcspnviando
las colisiones entre las partiacuteculas el coeficiente de alisorcioacuten determinado como
B s l - R - T (554)
es igual a cero El cani|wgt en cl plasma tiene la forma dc uua onda estacionaria y con
la variacioacuten di- la cantidad t|rf los coeficientes de reflexioacuten y refraccioacuten oscilan Si en
condiciones de cierto piel kfd lt 1 entonceraquo a frecuencias lo suficientemente pequentildeas
(laquobullpound gt -(w + iv)) los coeficientes de reflexioacuten y nfraccioacuten tienen la forma
R = - (o iacute + io3)(o + 2co8 + iaj)~ (555)
T = 2cos0(a f 2ctgtiacuteiacute+^OJ^ (55C)
donde
- - 5^5-
97
En este caso el coeficiente de absorcioacuten se expresa como
IV = 4ocolaquo[(oi + 2co9)2 + a]]- (559)
Si Pt gtgt raquobull entonces o t gt cgt-iexcl Las peacuterdidas maacuteximas en este caso se obtienen con
la condicioacuten o = 2coi0 iguales a la mitad de la energiacutea de la onda incidente Las ondas
reflejada y refractada en este caso tendraacuten la misma amplitud en valor absoluto Las
foacutermulas (555)-(55G) se pueden generalizar para una capa delgada con cualquier iuhomc-
gcticidad Si diquest kcbdquobdquoj lt 1 entoneacuteis los campos en el plasma se ltrternmii del sistema
de ecuaciones
ils Ai r(w + ivrs)) = laquogtbull r 1 f i - laquo5CII)
donde las soluciones tienen lt forma
pound = C H = -f(x)C + C (5C1)
siendo
co w + iit(j)
Las condiciones de continuidad de los campos en las fronteras x = 0 y r mdash d nos llevan a
los valores (555) y (556) en los cuales oiacute = Re laquo(lt) y a2 = Im n(rf) Por otro latioacute
las constantes Ct y C3 a traveacutes de las cuales se expresan los campos en el plasma tienen
la forma
C = TEltiexcl = 2E0coraquo9aH(d) + 2coraquo9)- (503)
Cj = 2EoCO$eaH(d)co6)aHd) + 2coraquo8)- (564)
98
12 Penetracioacuten de una onda tipo H en un plasma deacutebilmente no homogeacuteneo
En una gran variedad de aplicaciones la densidad del plasma variacutea lentamente en el espacio
desde cero hasta cierto valor maacuteximo La penetracioacuten del campo en tales plasmas se
diferencia fuertemente de la penetracioacuten en un plasma con una frontera bien definida o
fuertemente no homogeacutenea Las ecuaciones que describen a las ondas electromagneacuteticas
en un plasma no homogeacuteneo son un sistema de ernarkmes diferenciales ron roefirntildeiites
variables iloudr sus soluciones exartas o aproximadas se enriient ran uacutenicamente para rasos
(laquoarticulares Uno ile estos rasos |gtartirulares es aquel laquoIr un medio de ra)gtas planas donde la
densidad variacutea ni una sola dirrrrioacuten Una serie dr soluciones escarias de las eruaeiones ile
la clertrodinaacutemira en un medio ile rapas planas ron diferentes variaciones de la densidad
se pueden ver en los trabajos (2327) Generalmente soluciones aproximadas relativamente
simples en estos medios se pueden eiirotitrar en regiones asintoacutetiras es decir a distanrias
grandes ron rcsjwrto a los puntos singulares de las eruaeiones difcrenriales Los paraacutemetros
que se usan en esta aproximar ion pueden ser la relacioacuten del tamantildeo caracteriacutestico de la
no lioinogcneidad L ron res|ierto a las longitudes de propagacioacuten A de las ondas en el
plasma Si uno de los valores rumple la desigualdad LX gt 1 eutoures en relacioacuten a esta
onda al plasma se le puede llamar deacutebilmente no homogeacuteneo La penetracioacuten de campos
electromagneacuteticos en un plasma deacutebilmente no homogeacuteneo se ha considerado en diferentes
trabajos [222327-31] Consideraremos algunos resultados obtenidos
Veamos un plasma compuesto de iones pesados fijos con densidad n0i) la carga de
los cuales en estado no perturbado se compensa con la carga dr los electrones ron temshy
peratura diferente de cero Te La densidad del plasma n0 - 0 ruando iacute - t O y rrece o
es infinita cuando mdashraquo ce No existe campo magneacutetico externo y la distriburioacuten de eler-
99
trones por velocidades es isotroacutepica Para la descripcioacuten de la penetracioacuten de mi cam]Mgt
electromagneacutetico en tal plasma se utilizan las ecuaciones de la hidrodinaacutemica (50)-(514)
en las cuales hay que sustituir iacuteo = 1raquo iacutei = 1 y gt mdash gt()bull La i-ruacioacuteu diflaquoniciacuteal (5IS)
que rige la jicnetracioacuten de ondas tipo H en un plasma no homogeacuteneo toma iexclihoni la fonna
iPE -=bull + kl(t[x) - stnH)E = 0 (5C5) tiacutex
donde la pcrinitividad dieleacutectrica es funcioacuten de la posicioacuten en la forma
pound ( ) = 1 ttiquestIl (5GG)
w(uiacute+ II ( x ) )
De id ecuacioacuten (oacuteCuuml) se puede hacer ililncdiiitaiiieiite tilia serie de deducciones a) 1raquo onda
se propaga libremente en li regioacuten Jif t lt bullgtni1tiacute b) en mi plasma maacutes ileliso iloude
Jlt gt nrrifl la propagacioacuten se vuelve imposible y la onda uacutenicamente penetra el plasma
en la longitud de la rapa piel y c) el punto Rr pound = srtiB es el punto de corle donde 1raquo
onda se refleja
En un plasma deacutebilmente inhomogeacuteneo ruando raquoo(x) variacutea deacutebilmente en la longitud de
la onda que se propaga por el plasma la ecuacioacuten (5C5) se puede resolver por el meacutetodo de
la geometriacutea oacuteptica para una dependencia arbitraria de la densidad gtibdquo(s) [23] La enlacioraquo
(565) tiene una solucioacuten exacta para una capa lineal cuando la permitividad dieleacutectrica
(v(x) lt ui) puede escribirse n la forma
donde
+ iUumlIacutepoundgtpoundf 507) X0 WI0
bull = amp
100
Aquiacute a es la pendiente que caracteriza la dependencia lineal de la densidad de electrones
ron respecto a la posicioacuten Para el caso de un plasma sin colisiones (e = 0) reescribimos
iacuteoacute65) en la forma
- pound + kl( co1raquo - mdash )pound = 0 (569) ax Xo
haciendo el cambio de variable
C=[f) ix^coraquo2raquo - x) (570)
la ecuacioacuten (5C9) se puede llevar a la ecuacioacuten de Airy
^ + C pound = 0 (571)
Su solucioacuten decreciente cuando i mdashbull ltx tiene la forma [32]
poundraquolaquo) = mdash coM--Ct)gtlv (5-72) ir Jo J
donde A ex una constante que se determina de la roiidieiones de frontera manilo x = 0
En la obtencioacuten de la expresioacuten (572) (te lia despreciado la reflexioacuten de la onda en la
frontera del plasma debido al gradiente de densidad Es decir la amplitud del campo
eleacutectrico en el punto x bull 0 se considera igual a Eg lo que es vaacutelido para valores pequentildeos
del gradiente de densidad en este punto (|^|o ltC k) En la regioacuten 0 lt x lt x0colaquo28
debido a la suma de las ondas incidente y reflejada poundbdquo(() tiene la forma de una onda
estacionariacutea Lo anterior es asiacute ya que para valores positivos y grandes de ( E(Q tiene
una representacioacuten asintoacutetica en la forma [32]
101
Cerca df la frontera los valores del campo estaacuten dados aproximadamente |laquogtr
cuyo valor maacuteximo es
4a-gtgt-w-niexcliacuteiquest5^- bull (575)
Ln expresioacuten (575) resulta de la interferencia constructiva de las ondas ipie viajan a In
ii|UIacutecrda y a la derecha rrsprctivamrnte pin lo tanto la amplitud de la onda incidente poundbdquo
tt-tidru la forma
Aliora evaluemos la ronstatite 4 de (572) Para rilo iitiliemos la representacioacuten
asintoacutetira (573) y consideremos la condicioacuten de frontera de acoplamiento de los campos
en el plasma y en el vacio
poundT(0) = JEIacute (577)
De acuerdo con la definicioacuten (570) para ( podemos escribir el teacutermino ijCv en ln forma
f^^ (--pound_) (578)
Sustituyendo (578) en (573) y evaluando en x = 0 obtenemos
3A 2 ir poundlaquo(0) ) = -7k0Xo)-ucos-iacuteli9coraquo(-k0j0coS9 - -) (579)
yf f O 4
102
x = O = x0rnslV X
FiexclgS2 Alii|tli(ultl laquoId rrtiii|ngt eleacuterlrim cu la vecindad del punto de reflexioacuten s - xbdquoiiiH
Finalmente apurando 1raquo roiitliacutetiacuteoacuten de frontero (577) cnroutraiiioM el valor de A
(580)
La amplitud aacutee la onda estacionaria que se forma en el plasma cu los puntos cercanos
al punto de reflexioacuten x = Xoco29 crece (Fig52) Su valor maacuteximo se puede obtener de la
expresioacuten (572) el cual corresponde al primer cero de la derivada de la funcioacuten de Airy
[11] y tiene el valor
2 a a | l = 268 (581)
Asiacute dividiendo (5S1) entre (576) obtenemos el coeficiente de amplificacioacuten de la amplitud
del campo eleacutectrico en el plasma con respecto al campo en el vacio
103
| s f = 374(oolaquo3laquo)3 (582)
En el caso maacutes general de un plasma deacutebilmente inhomogeacuteneo en (562) en lugar dr
arbdquo debemos sustituir
En este caso para valores grandes de (koro)l^eoraquo0 auacuten una |MI jtirntildea parte imaginaria de
ki pcniMtiviacutedad dieleacutectrica puede rondticir a jteacuterdidas significativa de energiacutea de la onda
Si ni gtgt P jiacute () entonces la ecuacioacuten (571) conserva su forma pero ( en csrraquoiexcl caso laquo-S una
cantidad compleja
- ( )
raquo ( j v o ^ + x - mdash ) (584)
Nuevamente la onda (pit se forma en la regioacuten 0 lt x lt sltol(t es una onda estacionaria
lgtcro ahora la onda que se refleja cu el punto de corte Tit t = oc) nltgt tiene la misma
amplitud de la oiiif-t incidente Aquiacute cl coeficiente de reflexioacuten es diferente de la unidad y
se expresa como [23]
R as e m laquomdashgtbull m e-raquopound raquolaquoraquo (585)
La amplitud maacutexima del campo cerca del punto de reflexioacuten en este raso disminuye en
Ry
|iexcl iacute | 2 374|| 2(ltWw3)1 3 (586)
104
CONCLUSIONES
I Se describioacute la teoriacutea general de las guiacuteas de onda y resonadores cilindricos En base a
esta teoriacutea se obtuvieron obtenido los paraacutemetros principales que ritrart izan vi sistema
de microondas di- la fuente de plasma descrita cu [2] En el raso ilc una guiacutea de onda
cilindrica hecha tiraquo- bronce y ron Suacuterm de diaacutemetro interno se obtuvieron los siguientes
valores para los distintos paraacutemetros de pro|gtagariexcloacuteu de midas litadas en el IIIIHIO
A = 145rw raquobullbdquo = 13 x WHi I = 02753rraquor A = 22S2raquo Zbdquo = 187
ti = 56 x 10degtrade K3 = lC x 10uumlcfia
La constante de amortiguatniento lgtara estas ondas romraquo ronseriiriiciraquo de la roudur-
tividad finita ile las paredes metaacutelicas tiene el valor om = 1032 x 104 como este valor
es muy pequentildeo obtenemos que se puede considerar que la guiacutea de onda del sistema de
microondas (de no maacutes de un metro de longitud) es una guiacutea de onda ideal (sin ]xrdiexcldas de
energiacutea) Por otro lado para el resonador cilindrico laquopie compone el sistema de microondas
de radio a bull 7cm se obtuvo la distancia necesaria para que en el resonador oscile una onda
en modo Ht (wm = 15394 x 10(f ) Esta distancia tiene el valor d - 71Gcm Ademaacutes
se evaluaron la calidad del resonador y el ancho de banda donde el modo TEu puede ser
excitado uacutenicamente Q =bullbull 404963 w2 - uraquo = 000025 x WH respectivamente
II Se analizoacute el problema cuando la guiacutea de onda y el resonador cilindricos conshy
tienen una columna de plasma friacuteo magnetizado e inhomogeacuteneo distribuido axialmcnte
105
La columna de plasma cti el caso de la fuente de plasma [2j tiene un radio r = 3mraquo
y ademaacutes el perfil de densidad se consideroacute de tijraquoo paraboacutelico Eu base a la teoriacutea tie
perturbacioacuten y usando como paraacutemetro pequentildeo la pequenez del radio del plasma con
respecto a la longitud dt- onda se calculoacute la constante de amortiguamiento de la ondas
que se propagan en la guiacutea de onda ocasionada por la presencia del plasma La constante
de amortiguamiento tiene el valor o = lSS x 10~4
Se calculoacute ia variacioacuten de la frecuencia de resonancia fie las ondas que se etinieutran
resonando en modo TEtti en i resonador asiacute romo la variacioacuten en el inverso dr la calidad
del resonador obteniendo resp t-tiacutevaineiifc Aw - -lG3x 10 H MlQ) = oacuteS2x lO1
Los valores para n Aw y plusmniexclQ) se obtuvieron paro el caso mando ^bulljiacute(l))raquo = OS y
para el punto cerranraquo al punto di- resonancia ciclorroacutenica u = 0999 Ademaacutes se obtuvo
que la constante de amortiguamiento en el caso de la guiacutea de onda en el punto de resonancia
ciclotroacutenica l-u = w) se hace cero De lo anterior podernos roiirluir que la inutii se propaga
libremente en el plasma
III En el marco de la teoriacutea lined se analizoacute el proceso de penetracioacuten de campos
electromagneacuteticos en un plasma scmilimitaclo Se obtuvieron Jos coeficientes de reflexioacuten
transmisioacuten y de absorcioacuten para ondas tipo H tanto para un plasma homogeacuteneo y un
plasma no bomogeacutetieo Un aspecto fiacutesico importante en el estudio de la penetracioacuten de
ondas electromagneacuteticas en plasmas inhomogeacuteneos es que para una incidencia normal existe
un crecimiento del campo eleacutectrico en el punto donde la permitividad se hace cero Para
plasmaraquo magnetizados el comportamiento anterior es similar Por otro lado cabe sentildealar
que los puntos dentro de un plasma friacuteo e inhomogeacuteneo en los cuales el iacutendice de refraccioacuten
106
es infinito permite una absorcioacuten de las ondas de tipo no colisional en el plasma y al
mismo tiempo se obliga al campo eleacutectrico a tener un valor finito Esta absorcioacuten en el
plasma se asocia al hecho de que en el punto iacute = oo el campo electromagneacutetico sufre una
transformacioacuten lineal en otro tipo de ondas
Finalmente hay que hacer notar que la absorcioacuten de las ondas en las guiacuteas de onda
y los resonadores se debe uacutenicamente a la variacioacuten o cambio que sufre la constante de
propagacioacuten y la calidad del resonador respectivamente por la influencia tlcl plasma Este
mecanismo de transferencia de energiacutea ai plasma es diferente al mecanismo laquoIr la transforshy
macioacuten lineal de ondas
107
REFERENCIAS
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110
bull ti|Miexclltgtii En bull Cap2 w laquoICSITIacuteIM- In teoriacutea general de las guiacutea- de onda y los resonadores
cilindricos En el (iexcli|i3 si- de-rrilie la Teoriacutea gtbullbull Perttirltacioacuten uacutetil iexclwira el i-aacutelculo di lo
diferentes )i-iiaacuteiii(tros di- lagt uniacuteraquo de onda y lo- resonadores nur contienen itti plasma en
su interior En el Cap4 en lgtase a la teoriacutea ltllt- pi-rturltacioacuten gtbullbull calcula la variacioacuten di- la
constante ri pro|gtagariigtn de las ondas ijuc so propagan en una guiacutea dr onihi cilindrica asiacute
iilaquomgt la variacioacuten di liexclgt frecuencia de resonancia de las ondas lt|tio si- iiiencntraii oscilando
ili un resonador laquopie IOIIIIacuteIIM una i-olnniiia de plasma friacuteo riliacutendriro magnetizado ltbull inlio-
mogoacuteiieo disnilmido axiacutealiiinili En el Cap-V i-ii el marro dr la teoriacutea linral se Kivostiga
ri proccsiraquo di penetracioacuten di campos eleotioniauiacuteHlieiraquo- III un plasma ademaacutes sr obtienen
los coeficientes de reflexioacuten transmisioacuten y di aliMgtirioacuten paia ululas bullbullgtltgt Finalmente
si- lian- un resumen di- los principales resollados nlitriiidos en el traUiacutejo di- trxis
La propagacioacuten de ondas de muy alta frecuencia representa un lema laquolo gran anualishy
dad iii campo romo la radiofiacutesica (oomttiiiriirionos radares radiotelescopios etc) y la
fiacutesica d r plasmas (aplicariones y fusion termonuclear iotroluda) En la fiacutesica de plasmaraquo
actualmente se est lidian dispositivos en base a suirrooiidas y radiofrecuencia laquopie son muy
interesantes por la gama ile aplicaciones (pie se descu-ren constantemente Por otro latioacute
el calentamiento adiriacuteonal tlel plasma por ondas de radiofrecuencia en dispositivo donde
se obtienen plasmas de alta temperatura para el estudio de la fusioacuten termonuclear conshy
trolada es un tema que tiene gran importancia Por lo anterior el desarrollo de la teoriacutea
lineal y no lineal de propagacioacuten dr ondaraquo de alta frecuencia es de gran relevancia
2
CAPITULO 1
DESCRIPCIOacuteN DEL PLASMA
1 Principales paraacutemetros del plasma
El plasma rs un uniacute lio nmsinritro compuesto laquole partiacuteculas cargairaquo positivas negativas
y ademaacutes tli- partiacuteculas neutra (aacutetomos y moleacuteculas) que inicraci-ionan entre siacute y con la
radiacioacuten Las partiacuteculas positivas son los iones y las negativas son los electrones (los iones
negativoraquo juegan un papel secundario) Ademaacutes de los aacutetomos y de las moleacuteculas que se
encuentran cu su estado base en el plasma ]meden existir tambieacuten en grandes cantidades
aacutetomos y moleacuteculas cu estados excitados El plasma entonces es un gas ionizado en el
cual la carga negativa de los electrones neutraliza casi completamente la carga positiva de
los iones
Veamos algunos procesos que ocurren en el plasma (3-7] El plasma se obtiene por la
ionizacioacuten cuando se separan los electrones de los aacutetomos o de las moleacuteculas Son posibles
dos formas de ionizacioacuten en un plasma denso principalmente tiene lugar la ionizacioacuten por
choques de los electrones con los iones o aacutetomos nertros y para un plasma muy enrarecido
es caracteriacutestica la ionizacioacuten por radiacioacuten (oacuteptica ultravioleta y por rayos X) Es posible
tambieacuten que ocurra la ionizacioacuten por los choques entre los aacutetomos o con los iones El
3
proceso inverso iquesti 1Iacute ionizacioacuten es lit recigtmlltinlaquoooacuteiiexcl es ib-cjr Ib unioacuten de un electroacuten con
mi ion y con ii consecuente formacioacuten de un aacutetomo o moleacutecula neutra En un plasma
enrarecido la igtgt iacuteniliniexclnioacuteii ocurre generalmente con radiacioacuten y en un plasma denso lu
riioiubiiiacioacuteu gtbullbull rriiiiii en los choques triples (se recoiuliina un electroacuten y un ion y mi
segundo electroacuten gtbull lleva el sobrante de energiacutea) Por otro birlo el plasma lugt solamente
radia hi visible sino tambieacuten radiacioacuten ultravioleta y ademaacutes si t-1 plasma es muy caliente
tambieacuten radia rayos A
El plasma por naturaleza se comporta como un gas por lo que para su laquoICM riprioacuten
si- utilizan ronrepros talrs como densidad presioacuten (esiipfralmgt itr El movimiento ile
las partiacutecula- ocurre ilr fon na caoacutetica En laquoI caso laquobull bull partiacuteculas lt|tilt- no timen carpa en
su movimiento teacutermico la iliriciioacuten de su movimiento varia solo |Mgtr los c-limpies como
cu un gas simple Entre cada choque el movimiento de las partiacutecularaquo con velocidad
constante r describe una linca t rta En este cano la longitud promedio de recorrido
lilwe es A = VT = iexclnma donde r es el tiempo entre los clioques nm es la densidad
tlil medio y n es la seccioacuten de choque A mayor densidad la longitud de recurrido libre
medio tm menor y Ja frecuencia dr rolimeacuteo v = 1T = nmav es mayor Loraquo choques entre
las partiacuteculas neutras ocurren por la accioacuten de fuerzas de corto alcance las cuales son
proporcionales a rri y pueden ser tanto elaacutesticas (intercambio uacutenicamente de energiacutea
cineacutetica) como inelaacutesticas (transformacioacuten de la energiacutea cineacutetica de las partiacuteculas ergt otras
formas de energiacutea como son excitacioacuten ionizacioacuten y recarga) A diferencio de las partiacuteculas
neutras sobre las partiacuteculas cargadas actuacutean tuerzas de largo alcance proporcionales a r
las cuales se rigen por la ley de Coulomb Esta interaccioacuten disminuye lentamente con la
distancia El movimiento de las partiacuteculas ya no se realiza por una linea quebrada sino
siguen trayectorias muy complicadas Sin embargo estas trayectorias se pueden aproximar
a una linea quebrada y en esta forma introducir el concepto de choque coulombiano En
4
iexclo inuwrioacuten iilt- 1iexclIgt partiacuteculas las maacutes fuertes resultan raquo T las de largo alcance Las
interacciones coulombiaiifis determinan Minchas propiedades del plasma A traveacutes de eacutestas
a|raquoareceii las propiedades colectivas del planum relacionadas ron la interaccioacuten simultaacutenea
ltltbull mtiriiH- partiacuteculas
Las partiacutecula nue componen cl plasma se encuentran igteniianenteinente en estado de
movimiento teacutermico caoacutetico Este movimiento se caracteriza por lit temperatura del plasma
7 romo un todo y por la temperatura Tbdquo tic siis diferentes componentes (aquiacute ir puede ser
i o i pata iexclos elertrmies o iones respectivamente) La temperatura liacuteeiennina la energiacutea lilshy
las partiacuteculas del sistema el euiil se tinmiit i iexcli en ei|iiililirio teri-iodinaacuteiiiico El |gtlnsiiit se
llama isoteacutermico si este se encuentra en equilibrio teuuodinaacuteinico ionio un todo y la funcioacuten
de distrUumlMieioacuteit de la energiacutea de las partiacuteculas de todo tipo es una distribucioacuten inaxweliacuteaua
con una misinn temperatura X (T = T = T) En el caso de un equilibrio lennodiacutenaacutemicolaquole
una parte del plasma cuando diferentes componentes tienen una distribucioacuten maxweliana
pero diferentes temperaturas vi plasma se llaina no-isoteacutermico o sea Tt iquest T Esto uacuteltimo
es posible debido a laquopie cl intercambio de energiacutea emre los electroiws y los iones ocurte maacutes
lentamente que el intercambio de energiacutea entre las partiacuteculas que tienen una misma masa
En base a esto uacuteltimo en un plasma no muy denso con pocas colisiones puede existir
un estado con dos temperaturas ioacutenica 7iexcl y electroacutenica T En el caso de una funcioacuten de
distribucioacuten maxweliana de las partiacuteculas fm exp(-m0vl2kTo) la temperatura de un
plasma en equilibrio determina la energiacutea cineacutetica promedio del movimiento teacutermico
3fcT _ _ _ _ _ ^=(mavl2) = Eacutee (11)
donde k mdash 138 x W~ttrgioraquodegK es la constante de Boltzmann y 7_ es la temperatura
de las partiacuteculas de clase o La raya superior en la parte derecha indica un promedio con
respecto a las velocidades
5
Una earailiTisMra importante del plasma rgt la fririMii-in plaacutesmica la cual esta canic-
tiriaila por liis oM-ilaciacuteouo electroacutenicas ltlrl plasma
tliHide i es la carga del electroacuten (t iexclft 4SU32 x 10iraquolaquotoiWoraquo()i u es 1iexcliexcl concentracioacuten ilr
electrones (laquobula iii mi) y MI lt~iexcl la masa del electroacuten (raquolaquo = 01095 x lO^V)- Las oscilashy
ciones |gtliacuteisiuiris son oscilaciones longitudinales electrostaacuteticas i|tn- surgen romo resultado
ilr hi separacioacuten ilr partiacuteculas lardadas a distancias microscoacutepicas y ilil surgimiento de lalaquo
fuelas ill COIIIIIIIIII La fu incuria plaacutesmica soacutelo depende dr la ciiurrut racioacuten laquo
raquo- 5 Tx Wyj^ 113)
ii ltii la forma
A = | = 2 x l O 3 ^ 1 0 ^ (14)
La escala temporal ill separacioacuten laquole carga cs una cantidad inversa a la frecuencia plaacutesmica
r ss 1w Como laquoi los intervalos dc tiempo gt r las partiacuteculas realizan imirlins oscilashy
ciones cerca de su posicioacuten de equilibrio entonces el plasma como un todo se comporta
como un sistema neutro en el tiempo La separacioacuten de cargas puede ser importante soacutelo en
intervalos de tiempo t lt r pequentildeos con respecto a la escala temporal La escala espacial
de separacioacuten de cargas es la distancia basta la cual se puede desplazar una perturbacioacuten de
la concentracioacuten de las partiacuteculas cargadas debido a su movimiento teacutermico en un tiempo
igual al periodo de las oscilaciones plaacutesmicas la cual se expresa en la forma (dada en cm)
laquobullV V 4iregtnt
6
doxiie = lTni mdash 45 x VSyJT laquo-s In velocidad del movimiento teacutermico de los
bull iexclii-roiifs 7 laquo- Iraquo fltbullijijx-rittiilt le los electrones en A y gt es la cow-rut racioacuten laquole los
bullllaquoM-roraquofgt MI nn~ bull La ltlisuiiit
bullgtbull llama radio ltit- Debye para los electrones Para tin plasma niasiiirtirro es necesario ijiie
its liiuiitiMoiiis riinirifristiras L scan siciiihnitivniiifiitc mayores ipie el radio ir Debyc cs
laquo[bullbullbullbulli L ~iquestgt in ion esta condicioacuten slaquo- purde considerar ijnc laquobull -iexcl-teiacutena ilf partiacuteculas figtrman
un plasma En riiMi inverso L ltg riexcl i tenemos mi coiijmtlo I|I- |gtutiiiiiii- cargadas
-f|gtnli- Asiacute llenamos iexcli la definicioacuten laquoIt-1 plasma propuesta por Laugmuii [5iexcl rl plasma
i-s tin conjunto tic partiacuteculas iirutras y careadas en rl cual ai sc satisfaci- la condicioacuten dc
ciiasiiii-utralidiid poundbdquo rbdquoraquobdquo = 0 y lit el radio dc Debyc dc apaiitallainit-iilo es mucho niiiior
bullinraquo1 las dimensiones caracteriacutesticas laquopic ocupan el conjunto laquole partiacuteculas r^ lt L
Una infltiriiciii iiii]iortantf sobre rl iiioviinie-nto de las partiacuteculas la ocasionan la exisshy
tencia laquolaquobull un riexcluingt magneacutetico externo constante el cual ordena el movimiento caoacutetico de
las partiacuteculas En un campo magneacutetico actuacutea laquoobre las partiacuteculas cargadas una fuerza llashy
mada poiidcroinotriz (lorentziana) dirigida ])cr]gtcndirulannriite a la direccioacuten del campo
magneacutetico B0 y a la velocidad de la partiacutecula iacute Bajo la influencia de esta fuerza las
partiacuteculas giran con una frecuencia angular igual a wBbdquo A esta frecuencia se le conoce
como frecuencia riclotroacutenica o de Larmor y para los electrones tiene la forma
~B = mdash 176x07Bo (17) me
Para que el plasma resulte ser magnetizado (anisoacutetropo) eacuteste no debe ser muy denso y
deblt encontrarse en un campo magneacutetico muy fuerte Por esta razoacuten es necesario que en
laquorl intervalo ltli- liniipo vnf dos i-olisiotn-s rbdquo las partiacuteculas pmdan nahzar uiiniios iexclinraquo
ttlri-drdor ill- las lincas del raui]Hgt iiiiiacutegiit-tiro Esta condicioacuten gtbull inarm tizai ion jitira lets
rliTtroiics es di- la forma
w laquo r m raquo l (lSj
En la ltlin riiiiti ilrl rampo iiiin-iiitiio la influencia de laquo-sir soliri- Ins partiacuteculas careadaraquo cs
nulo En mi campo magnet iro lioiiiogeacutem-o las trayectorias del movimiento dc las partiacuteculas
cargadas tiiinu forma bullltbull bullbull -jiiiiilraquo-
Por laquofin lado liay ijiir diferenciar los conceptos dc plasma friacuteo y plasma caliente Eli
mi plasma friacuteo r) movimiento teacutermico de las partiacuteculas es menor que la presioacuten i-I bullbulliinjgtgt
MKiKiirtim es decir
-2=2fIlti (io) Entonces podemos decir que rii mi plasma friacuteo que sr oiicticiif ni en mi campo magneacutetico
w puede despreciar rl movimiento trrminraquo dc1raquogt partinilas En mi plasma caliente esto
uacuteltimo no es vaacutelido
2 Meacutetodos teoacutericos de descripcioacuten del plasma
En el desarrollo de la concepcioacuten del plasma como un gas de partiacuteculas cargadas cambiaron
tambieacuten los meacutetodos de su descripcioacuten Los primeros modelos maacutes simples de la descripcioacuten
cualitativa del plasma lo suponen como un sistema de partiacuteculas cargadas que no interar-
tuan entre siacute y que se mueven libremente en presencia de los campos eleacutectrico y magneacutetico
externos Es decir si so considera que el plasma esta compuesto de jVbdquo partiacuteculas de clase o
8
iexclbulli -r mueven dcltido iexcli MI energiacutea teacutermica en forma caoacutetica entonces es uii-fNarin resolver
~ ecuaciones laquogtbull movimiento con uti miacutenimo iexclEnfil raquobullbull condiciones iniciales i posicioacuten y
-bullbullio-idades iniciales ilr partiacuteculas | Obviamente esto uacuteltimo es imposible de realizar Se
puede reducir fuertemente el problema si gtraquobull desprecia liexcli dis]gtcrsiexcleacutegtn de las velocidades dr
bullu iovimicnlo teacutermico es decir si se considera el movimiento promedio de una partiacutecula
laquoiexclHe v encuentra en reposo cuando no hay campos externos Asiacute este modelo simple
de iexclarticulas independientes completamente desprecia no solamente la interaccioacuten entre
piiriexclniiacuteiacuteiraquo sino eiexcl movimieiiio teacutermico de la- mismas
Pura determinar la velocidad dgt- una partiacutecula carnada del ntasma en el modelo de
pariacuteVittiis independiacuteenles se resuelven las i (ilaciones de movimiento para partiacuteculas de
gtia- bullgt en la forma
-y- = lt iacute iquest + -|ibdquo X D + iexcliexcl111 I110) Jlz
ir ~ donde iexcl = gtnbdquorbdquo es el impulso de la partiacutecula de dase o y ies la aceleracioacuten provocada
por fiHTns no electromagneacuteticas Eti las ecuaciones (LiO) la iiidiiccioacuten magneacutetica D
y el campo eleacutectrico E no se consideran como variaUes conocidas ya ipie estos campus
incluyen en siacute campos inducidos en el plasma cjue MOJIacute provocados por el movimiento de las
partiacuteculas cargadaraquo por lo (pie hay que resolver un problema autocousigtente es decir la
solucioacuten de (110) conjuntamente con laraquo ecuaciones de campo
VxS = M + Iacute I ( + ( 0) (iii) c ot c
V-Eacute m 4-(p + po) (1 13)
v i = 0 (114)
9
01
(si-i) ltraquoiquestbull AW + J) + W + sectxsectA)Y +ilaacute- raquo
waacute(A-iacute) + ^ Vlt = JLVpound mp
(iquestri) -o = W aacute w - A + ^
iexcllaquoupauSimi HJiuiHiupo pii] laquoj ip laquoai iopuioa ap jjnaiscsi io x) inn uctuivcs u n
HZI|1)II t8 opiti |f ui |vmi raquoia ap OIIMIIUIAOIH jap t iopduauap H| H Iacute H J -OJIIIU OIIIIIJIIOI o ip j tu mi
(ipllllllUOJ OJIIK laquoHill OIlllll lltijjodll S Sgt1IIIIIltMI|IIOJ SHJSI Hill llX HJItlHI A UIIIIOI liJIIIOJl
bullJMraquo NtJIIHKullllO1 Sl| 11)111 IttllHMJIi j j l lililiacute IMIacutelj IS lili IIJlllllllipiU|lll| CI|I|KM11 |l l|-J
i
OIIIIIIIIipiM|)II[ (gt|l|raquoOIII |l iZI|llll
is osli i|Si 113 ltM1IIHI l((|ill|)Ulll o|(llllil | mi imuii Jllli|MSIIlu ipmd is lti|i(i| (III oltloi
Dlllsmii |l lt ltI|IIIKIIJI(1IJltII 1)1111111 Ulllj l||St IS IIIHI SI|lll(UIltI SI|IIMIJI(I sltlt[ 1(1 (IJfUItlllAillll
|i ltisui|i 11111 miis-H|ltl 1111 111 iiUuumluniii iexcllaquo j o j ii|iiiuiiii(iultii ms i ltm siquniiud ltn gtgt
ltI|I1III1U Villi |l (MU | l lll lt 1(11ili 111 AIIIII iMIIsiqil tin 1(1 IKIII |i l|gt II|IK lti|ilI|I|ll MS i|llllltl
Sgt|I1HIIIIMII|IIII -ii(liilinil ip II(I|KMII (1 H|tiit|iiltl 113 lti|iiiiitll] si inusiqd |i|i IIltIIMIUISI|I
l| lll IIOIHiipill US Hill ltl| Hid degSI(||||||Ilt1 Sl| 1(1 i||llll(1llAOIII |lp 11(11liqll1111 bull] OlIItU11
(iinmiiiAoui (1 bulluipisUtii 1111 ofiji is (IHKII si|tfi(|ifiH(i|ifft s-ftptjiijiMi (lt lti(i(iorij ( 3
( 9 1 1 ) 0 = V V bull A + T ^
|Mqmimiuoj ltraquofi tiacuteotjuttji laquoj uKiexclatms (()) niexcljsijtfs j pthy
ltcni bullbulliquestx^ = [ -x^ = lt
laquoUIKIJ i( (lllllll l|(MMJltll ijl A i|l(lll(IUI laquoSjlM laquolt Kj|tt|raquoISIM|gt gtlJ Sgt(itl) slj | Ifi
= V y [- x D - -pound-V x I i r Uuml) (119) Of 4 ~ ltT
V B = 0 (120)
donde ni ex 1iexclI ltbull usidad del liquido ltlaquoMiraquohicTtgtr (plasma) ron una rondiirtividad n vi es la
velocidad del plasma y ( r son 1lt- roi-firiciites de viscosidad Este sistema laquoir eriiarionis
w debe de roiujut mentar ron las emanones de rotado y la iiiiwioacuteii laquole tnuiNpurte de calor
= Hni-T) (121 0
M7 mdash + (rlaquoV| uumlt
~ bdquo 2L1L + X-(VTgt+ mdash mdash l ^ x Uuml r (122)
donde raquo = raquoij(T) es la entropiacutea de uiiii masa unidad de plasma n es la rondnrtividad
iltl ialor y rttJ elaquo el tensor laquoir viscosidad
^= (iiexclr + iiquestL~ hgtv TA) av bull IacuteL23)
En la magnet oliidrodinaacutemira se consideran dados la rondnrtividad eleacutectrica la conshy
ductividad laquolaquobull calor tlcl plasma y tambieacuten los coeficientes de viscosidad En la praacutectica
se utilizan modelos modificados dr la magnetoliidrodiacutenaacutemicn tales como el modelo cuasi-
magnetohidrodinaacutemico de dos liacutequidos (electrones y iones) y de tres liacutequidos (electrones
iones y neutros) tos cuales de forma fenomenoloacutegica consideran la interaccioacuten entre las
partiacuteculas- su movimiento teacutermico Estos modelos simples generalmente son aproximados
y para su fundamentacioacuten se exige la utilizar ion de un modelo maacutes general del plasma
como gas ionizado El modelo maacutes general es la descripcioacuten estadiacutestica del plasma como
un sistema compuesto de un gran nuacutemero de partiacuteculas
11
CAPITULO 2
GUIAS DE ONDA Y RESONADORES
En rstr i-i|gtiacutemlgt v ilisrrilraquo li iroriacutea grurral i|r lis gniacuteis laquoIt- IIMIUuml y laquoIr los rrsoimdorrx
bullilimlriros Si luir- un r-iexclMilil riifuumlsis ru his giiiacuteigt d r mifhi V lvsotinliili- de MMIIacuteIMI
tliUlsvriMiI bull i i i i i iuuml l nn iDliiii 1iexclgt rxcitiiiiiVn dr o lnl raquo t i l IIHMII bdquobdquo y TE laquo11 estos
IIIacuteN|HIMIIacuteVIraquo rrx|Mitiacuteviexclifilttr rli Iilii|iiliquest ron rl d i spos i t ivo drsni t iraquo cu [2iexcl
3 Guiacuteas de onda
31 Ecuacioacuten de valores propios
pound1 estudio dr IHS propiedades fnuciaiiicntalcs dr la propagacioacuten de ondaraquo laquobulllectroniaglictiras
en tubos cilindricos dr conductividad infinita sr ha realizado ampliamente Ha sido resuelto
el problema para guiacuteas do seccioacuten transversal arbitraria |8) y para secciones transversales
particulares de importancia praacutectica se lian solucionado en sus modos fundamentales de
propagacioacuten [9] Asiacute mismo una analogiacutea con las lincas de transmisioacuten ha sido descrita en
[Wi
Veamos con maacutes detalle las guiacuteas de onda Consideremos una guiacutea cilindrica ron su eje
dirigido a lo largo del eje 0iexcl Ademaacutes consideremos que la guiacutea de omlas es longitudiliaj-
12
iifiacuteiti- lioiingtmiiriexcli y iptc la iexclgtariilrgt- metaacutelica sou conductores iierfcetos Sigtigtntgtiexcluiiltgts ltpit
bullniexcli omlii bull-lcctrumagiirticH plana di frecuencia ur si propaga a lo largo di- la guia ilt- onda
pound(fiacutel=f(r^)t r- iacute (21)
poundlt) = (riacute)t r-w ) (22)
iexclonde r es la constante de proiMtgacioacuten o nuacutemero de onda El problema fie contorno que
-bull iacuteu-duiT de liexcltgt fiiiacutenioins de Maxweil pura ondas ti|Mgt H en una guiacutea dr ondas ciliwtricn
-bullbull rxprrsa en la forma
bullbullon laraquo condiciones de frontera
-2- = 0 para r = a (24)
E = 0 cti todo el espacio
donde $ = H(r^) De la misma manera para las ondas tipo E el problema de contomo
tiene la forma
0 lt vgtlt 2ir
13
rtm las condiciones de frontera
= 0 para r = a (2C)
H = 0 til todo el espacio
donde ahora lt1gt = pound(r^) n es el radio ilr la guiacutea tic ondas
Los valores positivos
bull = -gtL = iquest - riquest (27)
determinan el con junto de valores propios correspondientes a rada una de las soluciones
lraquoTiiiisilles igt minios caracteriacutestico de la guiacutea de onda donde II y t son las constantes
de permeabilidad y permit ividad respectivamente del medio ipie llena la guiacutea de onda
GiiHTMliiHiite bdquo depende ile las (limensioiies geomeacutetricas de la guiacutea de onda de IacuteHJIIIacute
IJIIC siempre si puedan selerrionar los modos de propagacioacuten raquopraquoe se reijuieran
Por otro lado las componentes transversales de los campos eleacutectrico y magneacutetico se
determinan si se conocen las componentes longitudinales de los campos de la forma [8]
iT Eacutet = - j -Ve para ondas en modo E (28)
a iT H = - mdash V para ondas en modo H (29)
Traquonigt
Ademaacutes las componentes transversales de ambos campos (eleacutectrico y magneacutetico) se relashy
cionan mutuamente romo
14
H = ~iquestbdquo x Eacute (210)
aonde ~bdquo es un vrrtor unitariti dirigido a lo iexclarjraquo ltlcl eje 0 y Zf laquo la iiiipedanria tlr 1raquo
onda tiraquo modo E Igt H respectivamente
cT Zf = mdash igtara ondas en modo pound (211)
ZH = mdash=bull pnra ondas en IIIIMIII H (212) cT
Las efiiiexclirioiiigt (23) y (25) determinan problemas de valores propios ron sus corresshy
pondientes condiciones de frontera Cada turn de las soluciones nos representan diferentes
bullnodos normales unos transversales eleacutectricos y otros transversales magneacuteticos corresponshy
dientemente
32 Paraacutemetros de propagacioacuten
De la ecuacioacuten (27) se tiene que para cada valor de bdquo y correspondientemente de la
frecuencia se determina un valor para el nuacutemero de onda
r raquo - ^ - T Iacute (2i3)
En general T puede ser una cantidad compleja de donde podemos distinguir tres casos
a) siacute (tt^ gt y^n entonces T es real y define un modo permisible de propagacioacuten es decir
la onda se propaga libremente a lo largo de la guiacutea b) si ftfty lt 73nn entonces T es una
cantidad compleja de donde la onda se amortigua exponencialmente y c) el caso cuando
15
r = 0 ilefiiu la condicioacuten di- rortlaquo la nial separa los casos a) y li) Asiacute podemos definir a
la friTuciina de corte romo
Wbdquobdquobdquo = -J=-bdquo 1214)
y expresar el nuacutemero de onda en funcioacuten de ella
r = ^ ^ - ^ (215)
Para ftecuencin- uiiiyores ijue la de rorle la onda se propagii a lo largo de 1raquo guiacutea En
el ruso contrario pitra freriietiriuumls menores i|iie lii de rorte 1iexclgt onda se amortigua Otra
caracteriacutestica imporiiiiite la ]iodeinos olilenei de la bullbullxpresioacuten 1213) Va |IH- el nuacuteniero de
onda r siempre es menor ipie su valor en un espacio lilire entonces Ii longitud de onda en
la guia es siempre maacutes grande
y 77 7ngtt
Anaacutelogamente definimos una longitud de onda de corte o criacutetica (cuando A = 00)
Af = yiliacutemdash (217)
y expresamos la longitud de onda cu la guiacutea cu funcioacuten de ella
A = _ j (218)
donde A es la longitud de onda en el vacio Dr aquiacute que la onda se puede propagar a lo
largo de la guiacutea de onda uacutenicamente para longitudes de onda menores (pie la de corte
0
~ y - i y
_bull-
_ 1
bull i
iexclA
0
0
- gtiacuter
JfT7 ~ m
n
0
raquov
^ yJZliacuteiiacuteiacute
9C
Imaginaria
V
mdash _ l _ - M i l
0
Imaginaria
A
-Jraquo-$mdashil
X
Imaginaria
Tabla 21 Iaraacutewotrus ele propagacioacuten para onda ltrn moiio pound y cti una guiacutea ltlr onilas
Miacuterica uniformraquo
Por otro hielo iexclgt viliraquodegiiliexcliltl ltli fasr iiexcl riexcl un medio bullbullgt uisiraquo JraquoILIIlt1laquo ijiii- su Viilor III el
Wigt
7 = r
(219)
Por debajo del punto dlaquo- corte 1raquo velocidad de fase es imaginaria y pierde asiacute su sigshy
nificado fiacutesico En el punto de corte la velocidad ltlr fase se viirlvr infinita Un liccho
importante resulta serel que la guiacutea dp ondas es un sistema dispersivo aun cuando el
medio que llena la guiacutea no lo sea (la velocidad de fase es funcioacuten de la frecuencia) La
velocidad de grupo de la onda tiene la forma
tortt 1
(220)
En la Tabla 21 se resumen los paraacutemetros de propagacioacuten para una guiacutea de ondas sin
peacuterdida de energiacutea
1
33 Coeficiente de absorcioacuten
El finjo laquole inicrgiacutesi raquobull describe por ltbull vlaquo-ctigtr cimiplejo di- Piacutemiling
Sbdquo=[iquest]i[poundxW-j (221
su parte real nos dh el finjo di- energiacutea promedio plaquogtr unidad de tiempo y por unidad de
aren La romponeiite axial de Su representa el flujo de energiacutea prmimlio a lo largo de la
guiacutea Por lo tanto d flujo total promedio de energiacutea que se transmite a lo largo de la guiacutea
de onda e- la integral de la componente axial del verfor laquoIr Poyntilig evaluada sobre IIMIIacuteI
la weeioacuteii transversal de la guiacutea de onda
HilU^1 - iacute2-22) donde iquestbdquo es un ver tor unitario a lo largo del eje ()
Hasta el momento se lia considerado laquopie las paredes laquole la guiacutea tie laquonula son conductores
jraquocrfectigts in tal caso el Unjo total de energiacutea conserva su valor a lo largo tie la guiacutea laquole
onda Sin embargo en problemas reales la conductividad de las paredes tiene un valor
finito debido a ello existe muiacute fraccioacuten del flujo total laquole energiacutea que se absorlw |araquor Inraquo
paredes Dlt- aquiacute qtw la expresioacuten (222) representa uacutenicamente el fhyo tie energiacutea total
que entra a la guumliacuten de onda y cuyo valor decrece durante la propagacioacuten de la onda es
decir se generan peacuterdidas de energiacutea En la praacutectica tales peacuterdidas se consideran muy
petmentildeas considerando que siempre existe una fraccioacuten de la energiacutea que se pierde ya sea
en las paredes o por la presencia de un dieleacutectrico que llena la guiacutea de onda En tal caso la
laquoMida se amortigua en BU propagacioacuten y la constitute aacutee propagacioacuten time en consecuencia
una parte real y una imaginaria
18
r=i~m (223)
iultif i gts vl factor laquoit- iacuteiisi- y gtbull vi n^bulltirivuu- tU- iexclilisorcioacuteu o ltlr iacuteiiuortigiiaiiiii-tito E
cticiacutetiif ltli- iexcligtlaquouiri(raquoii ltbull Juumltllfi laquoir iexcllti rrhiritu
o = raquo +ltu (224)
bulliiiidr IIbdquo y o son los nlaquofiriciiiigt di- alisorrioacuten ilrliido n liexclis jx-nlidiis de energiacutea en las
m|t-iligt iin-luacuteliacutei-iraquo y 111 Illtilio diacuterliiirirai i|lilaquo- iexcllililiacute 1iexclI Riliacuteii rcspi-itivamriiti CiMisiiii-railiio
1iexclII |gtctiliiliexclis l l i -d ir ig iacutea ilr hi rxprrsion (2231 gtbullbull indure que los nui i )ms MUIacute propiui-ionalcs
bull bullbull tUUiexclltfgt rxpnililinal raquo i Ir ilonilr lii |MitgtIniacuteiexcli (222) laquo|lir sr transmitiacute iexcli iigt largo ltlr lli
bulliacuteliacutei ill lllllli llisillillliyr iexclI lo litigo (Ir (II la furnia
raquo(-)= Pbdquogt -- (2251
Por tamo la roiistiwtr de amortiguamiento o de alisorcioacuteii se definiacute- como ln razoacuten de
i poti-uria i MI il i ii bullbull lio lli eiirrgiacuteli (ptr si pierdr por unidad ilr longitud c u t i r il flujo toliil
promedio ilr rut-rglli lt|lie se transmit a lo largo di liexcli guiacutea gtllt onda
mdashiquestiacute-
34 Guiacutea de onda cilindrica Modo Hbdquobdquo
Nuestro principal intereacutes se centra en las caracteriacutesticas de propagacioacuten de ondas electroshy
magneacuteticas en modo Hnn en las guiacuteas de onda cilindricas Consideremos que la guiacutea de
onda tiene paredes conductoras perfectas y qui el iiexclgtgt dio que llena uniformemente la guiacutea
19
fcciMTraquo |Mrililiis laquoIr m c r g iacute a ilispiiviiilili-j Parraquo bulllaquolaquobullbull rwsn IIIN MIIIUIacuteOUIS n IIHgtI)Igt~ |MTIIIIacuteSIacuteIgt1IVS
ili- priiptiiuumlniiiii i|i 1iexclI r i i i iu ioacute i i (2 3 ) MHI
( bull r-t = CbdquoJJ- r)~laquoif (227)
laquolimilr Ci lt-- una ionstatiii y la rlaquotiltiirioacuteii ltr iacuteroutrrn (24) mjiriiTr jiir 1ltraquogt laquoiliircs propios
IDIIIIII la forma
bull t
bdquobdquo = mdash = U 123 122$) bulli
n = 123
Aipiiacute )bdquobdquo -un la raiacuteivs n bullbullMinas laquoIraquo la dnivaila ilr la fiuirioacuten gtlt- Ui-ssrl ili- unlcii m
JJjr) - Di y n rs il railin inlriim ilr la guia ir ondas Exislr un minino iexcliitiiiiln bullbull
IIHMIOS i|iu MUIacute -iiliniuiirs ilr (23) IIIII la i-igtiiiliexcli-iacuteoacuteii ili friitiliTa (24) Col aymla ili- (2Iacute))
y (210) iilitiiHiniraquo las rxprrsioiirs para las i-oinpoiimtrs transvirsalrs laquo1raquo- los campo ni
iminliiiailiacutei- riliacuteiiiiiiias y nitoiiri-s csiriacuteluacuteiiios las roiiipoiiriitcs ilr los i-ampos ni la furnia
H = C o ^ j h r ) trade m ^ i r mn
H = plusmniexclCo~-Jbdquohnnr)Zwir- (229) Inn r
E = 0 r laquoi
E = plusmniCbdquoZH-i Jmhmnr)ZtradeltigtriV-Tmn r
E = -iC0ZbdquoI-Jm(lmnr)Z^ert
donde los signos plusmn corresponden al en o co respectivamente y In expresioacuten Jm indica la
derivada ron respecto al argumento Jm = f- Sustituyendo (228) ni (213) w obtienen
20
gt valores tie la constante de propagacioacuten
r = Jfi- - iraquo (230)
Comraquo sc olwerva las ecuaciones (229) estaacuten doblemente degeneradas yraquo rpte uno de
lgtraquo ranijios se convierte ei el otro al girar ir2 alrededor del eje de la guiacutea
Determinemos lo paraacutemetros de pro|gtagiacuteicioacuteii para una guiacutea de inula cilindrica hueca
al variraquo) y de radio laquo = 425cm en la nuil se propaga una onda en modo Htl Considerashy
remos primeramente que las paredes de la guiacutea son conductores perfeetos En In siguiente
rioacuten se consideraraacute que estas tienen una conductividad finita
De acuerdo con (21C) toda onda electromagneticraquo podraacute propagarse en una guiacutea de
ouda de tales dimensiones si se cumple que su longitud de onda de )n primera es menor
que la longitud de onda critica Para tuia guia cilindrica se tiene
lisa A c = ~ (231)
Lolaquo dot modos inferiores Ha y JI para ondas de tipo H tienen las siguientes longishy
tudes de onda criacuteticas (en este caso iexcl = 18412 y j i t - 30542 [11])
Xe = 145cm (232)
Ac s 87cm
respectivamente Se puede demostrar que el modo pound0i es el modo fundamental para ondas
de tipo E Este modo tiene una longitud criacutetica
21
X = l l l f w (233)
Pur laquogttrcgt lhiii litraquo lougitiidcgt de inula rritkas lth- Uraquo siguiente modos ruiperiores ile muiacuteas
tipo H y li|xgt pound son menores que Itraquo valores 87rm y l l l m i rt-s]gtrrt miacutemente De aquiacute
que UMH onda clerirouiagiieacuteiira pueda propagarse en la guiacutea si su longitud lti onda laquobull
bulllienor que 145rraquoi Si ademaacutes fl valor de la longitud (ltbull ouda si- emueiilra en el iexclineacutervalo
11 lrjn lt A lt 145rru cntimres el jnodo H es el tiuiro que puede propagarse a lolargo
ile la guiacutea de onda
Eli figura 21 M muestra las vising tranvt-rsal y longitudinal de la estructura de los
bullaiii|Hraquogt en modo i | Aquiacute se 1gtI tomado la parti cosciioidal de (227) A continuacioacuten
e dan |igts valores de los paraacutemetros de propagacioacuten en el easu de IMIIIJIS clcrtronuigiieacutetiiiis
laquoMI iacutenriiencia w = 1539 x 10iacute (A = 1224nraquo) que si- propagan cu la guiacutea de onda
en nioilo | | Los valore se obtienen utilizando las expresiones correspondientes de la
seccioacuten (52) o de la Tnlila 21
Ar = 145laquoo
u w = 13 x 10luc
T = 02753cm-
A x 2282cro (234)
Zbdquo laquo 187 (i = l )
v = 5C x 100cm
w = 1CX10 OCTIIIacute
22
^mdashmdash Imea de campo eleacutectrico
mdash --Linearaquo di- campo magneacutetico
o Campo magneacutetico normal (hacia fuera ilr la hoja)
f ( ampo magneacutetico normal (hacia dentro di- la hoja)
Fig21 Vista- irahversal y longitudinal de la pstrurltira de Itraquo camporaquo ltn trimlo iacuteliexcliexcl La vigtti
otigitudial correspondiacute a un aacutengulo u = 90deg Figura tomada di- [bullgt]bull
i
Notemos (|Uf il iexclmaacutelisis anterior se inicioacute con una guiacutea dr onda de fliiiiensicmlts traquo-
gtltriacutetiacutecaj De- ahiacute se prosiguioacute a encontrar las onda electromagneticraquo npropiadas tale
que el modo fundamental H de la guiacutea de onda sea cl uacutenico que se propague Lo contrano
tambieacuten resulta vaacutelido es decir si se cuenta con una fuente de microotidas cotiacute determishy
nada longitud dr onda se pueden encontrar las dimensiones apropiadas de la guiacutea tales
que uacutenicamente se pueda propagar el modo fundamental
35 Coeficiente de absorcioacuten Modo Hmn
De la expresioacuten (226) determinemos la laquomulante de amortiguamiento debido H la conducshy
tividad finita de las paredes metaacutelicas para ondas en modo Hmn Primeramente calculemos
23
vi fltijiraquo total protiwlio ili laquowgia (222) r nial lunik bullbullscriiaacutersr IMI trrmiiins laquobullbull la funcioacuten
[gtrraquotgtiii bull at la forniH
iacutelowlc
= CMtmnr )rtismf (23C)
rlitotiirs
Praquo = If 1 Uw-T-KU [rIfjbdquor)nlaquoiquestraquoSlrlT-
= [iquest]^raquo^-Kraquol7rJraquo-rr- lt2-37)
La integra] ili- (237) sr cvaitwi utilizando la igualdad [12]
y CMisiacutedcnuidraquo IJHC la couiliriuacuteii de fruirtrra (24) rirquirrr ijiw Jm~innr)rmn = 0 DP rata
manera se obtiene el resultado
En el caso particular de ondas en modo Hti se tiene
La expresioacuten (240) puede escribirse en una forma mas conveniente
24
ionde
EJlJampuumlL (242
bullbull lii amgtIitultl del raui)Mgt eleacutertriro en rl bullbullclilro ltle 1raquo serriacutenraquo transversal laquobull 1raquo jiacuteiliacuteuuml de mida
La relanoacuteii (241I nos muestra rliimuienti- la iii-|n-iiiletiriacuteii rufidraacutetini ron n-sperrraquo iexclil radio
bull lti EUiiacutei ilil finjo total ]gtroiniilio ili- eneruiacuteraquo gt|raquo iitravicwi 1iexclI MTIIacuteIIH Iriexclmsvi-rsiil de 1raquo
uniacutea ib- omlu
Por otro lado la potcnria iacute|iic se pierde por mudad di- longitud (Mudo raquo las corrientes
u|gterfiiialc laquoi laraquo paredes metaacutelicas di- la guiacutea se expresa mediante la iutrgral de contorno
alrededor de la frontera de la guiacutea de onila) de las componentes tangenciales del campo
Magneacutetico en la fonna
p - dl
donde ntilde es un vector unitario normal a la superficie de la guiacutea de ondas ir es la conducshy
tividad de las paredes metaacutelicaraquo y S es el ancho de la capa piel expresada como
tiexcl es la permeabilidad magneacutetica de las paredes metaacutelicas Por tanto cotiacute ayuda de las
expresiones (229) se obtiene la potencia promedio que se pierde eti las paredes
25
- iexcl eacute f ^ - f (duuml]laquo 1245)
Fiiacutemlniiacuteiiti- di (245) y (240) bullbull oliticur la ruitstantr de Hiimnigiiuiiiitiitnpara el utixlo
I24G)
En vi raso ili- ondas ltw w propagan iii laquoI IIHMIO Hlt (MMII-IHH- laquoIr (24C) IDII raquoraquolt = raquo = I
obtener
f r i t o r sampsY+ traderaquo]
- - Id laquo-iexclzsf L v ( Siacute consideran)raquo tua guiacutea dr onda hurra ot dicir = 1 ni laquoti interior cotiacute paredes
metaacutelicas de broncr de conductividad a = 1413utg2crgaegnn) y radio a = 42vcm
en IB cual se propaga una onda en modo fiacuteu con una longitud de onda en el vacio de A s
1224cm (w = 15394 x 10degi) entonces obtenemos que la constante de amortiguamiento
tiene el valor de
om = 1032 xlO4 (248)
El valor anterior noraquo indica que a la distancia x = 0C88raquon la amplitud del campo eleacutectrico
disminuye 1e veceraquo de su valor en i = 0 De donde la constant v rlr amortiguamiento es
26
sntirp-itttniKiit nt-m-ntildea para considerar una guiacutea If onda laquoit unos riacutetanlos metros laquoit-
lUgitiiuacute romo una guia gtlr (tuda ideal (sin peacuterdulas)
4 Cavidades resonantes (resonadores)
Vu disjiositivo de gran importancia praacutectirtt y estrechamente relacionado ron las giriacuteas
ltbullbull onda son las cavidades resonantes Coinraquo w sabe una cavidad resonante (resoiimbir)
bull - privi-aiiii-iitr una cavidad roinpletameiit) armada por paredes nietaacuteliias Ins riacutetales
prewiiraii ilti propiedad tllt- podriacute alijiart-uar energiacutea eiertruiiiaRuitira tMeilanie Llaquoraquos riso-
iadores han sido ampliamente estudinilos en la misma magnitud ipu- las guiacuteas de ulula [13]
Anaacutelogamente al estudio de guiacuteas de laquonula gte ha resuelto el problema de 1laquoraquo resonadores
bullbull si-rrion transversal arbitraria routenieudraquo cu su interior un medio liiMiiogt-iraquo laquogt con IOIJS-
antes y t [S] Un estudio de los resonadores de formas particulares y de importancia
praacutectica se puede encontrar en [9] Ademaacutes una analogiacutea rlaquom liw circuitos resonantes se
(iescrUumlM en (II)] Con res|x-ctraquo a esto uacuteltimo podemos decir i|iie los rlaquosraquonailores tienen
la ventaja de ser superiores a los circuitos resonantes I - C en un factor laquole 20 laquos laquolecir
iexcla fraccioacuten de energiacutea almacenada laquopie se disipa por ciclo en un resonador es alrededor laquole
1 20 de la fraccioacuten disipada por ciclo en un circuito L - C [14]
41 Caracteriacutesticas generales
Consideremos una cavidad cilindrica hueca y acotada por un conductor perfecto Fijemos
el eje 0 de nuestro sistema de referencia a lo largo del eje de la cavidad cilindrica y
Mipongamos que la longitud del resonador esta acotada entre - = 0 y z mdash d
27
Un ri-Miiiitilor pucxlr i-oiisiilcriirsc mino unraquo guiacutea ltgtbull olida finita ilimih ltlaquobull tiww laquo|ingt
iexclumilir la rotiiliacutecioacuteii di- froniirit
para ltmdagt t-n modo TM
(Mirtl Otlflugt Ill IIMMIO TE
EbdquoM = 0 (249gt
HUbdquoi = 0 (250)
En itiilii linn illt- braquo sii](rrfiiiigt plana gtbull iilruumllnniitr ngtniltiitigtragt rxistr rcriixioacuteu di-ondas
El ti|Mgt lit iiiidii i|iilt- M- irrii iexclil siiprrpoiuT iliraquo ondas ilritroinatnitiias ron iexcliinplttudis
iguales y propagacioacuten en sentidos opuestos es ]iri)|iiiexcliinciiir rl di- uni onda estariouarin De
donde las rigtui]M)iiilillts axiales ilr 1ltKS rniupos ilclxn ttinl bullbull forma
para ondas en moiin TM
E = ( r r - )oi ^ - ) = 0123 (251)
para onda cu modo TE
H = Tf)raquoeM^-) j gt - 1 2 3 (252) o
Laraquo componentes transversales de los campos se determinan de (28) y (20) Para
ondas en modo TM obtenemos
28
Jfr = mdashT-cogtbullmdash )bdquo x V
(253)
vrrrgtjlaquogtijiiiciitfuifj)tc para ondas wi modo TE
pound = _ittif iacute iacutef)i1yr
W = iacutefJ_bdquo s (^)V
(254)
poundgtbullbull in-s riiiiiliiioliiN de frontera (249) y (25U olrtnirmos lt|iir 1iexclI ionstiuiti- ili- propagacioacuten
ltgtiitii 1ltraquo valores
r = uumlf = (0)123 ti
bull iexclonde de In ecuacioacuten (27) los vnlonv propio so expresan romo
(255)
(256)
La ecuacioacuten (25G) forma un conjunto discreto de valores que determina la frecuencia
bull ir resonancia para cada valor de p y bdquo es decir a cada tipo de onda estacionaria le
corresponde una frecuencia propia
vJ (257)
29
Fig22 Litraquo midas rsUt Miliaria- ilgt mi rismnclnr lidien en su lifiigiliitl un iiiiniTii IIIIITH ilr
niilMlcraquo lie la loiigilini tit- IgtMltU St- miii-sira H raso para )gt - Iiquest41 bullbull U exprntiiiacuteii iquestat)
En alaquoManii si mi si ritiniiita otra rosa raquobull omiten los Milmidiees rtii y laquopie ranraquo
UTIacutezan los modos laquoIr oscilacioacuten Ln resultado iiiiportaiilr laquole la ccuaraacutem (257) e laquopic se
pueden elegir Ian dimensiones ademadas ilcl resonador lie tal forma laquopie este opere ni una
frecuencia uacutenica de resonancia
Si comparamos (255) con la expresioacuten general para la parte real de la confitante de
propagacioacuten T = 2irA se concluye que para cada modo de resonancia la longitud del
resonador es proporcional a un nuacutemero entero de mitades de la longitud de onda (Fiacuteg22)
d s p ^ p laquo ( 0 ) 123 (258)
El caso plaquo0 correspondiente a la condicioacuten de corte para ondaraquo en modo TM tiene un
30
Mereacutes partieular ya qne eu este caso la longitud de nuda tiende a ser infinita entonces de
laquobullcuerdo ron (258 obtenemos
d - 0 bull oo (259)
ie donde la longitud del resonador esta indeterminada Los modos correspondientes a
gt raquo 0 existen en el resonador para cualquier longitud de la cavidad
Una propiedad de las ondas estacionarias es que loraquo CMIII|MgtK eleacutectrico y magneacutetico se
encuentran defamados en ir2
-ll = rt + iexclJ (2C0)
iielndu a ello existen instantes de tiempo en el resonador en que existe uacutenicamente el
bullampo eleacutectrico y momentos en que solo existe el rompo magneacutetico Como resultado de
este defasamiento el vector de Pijymiug resulta ser UIIH magnitud puramente imaginariacutea
de donde ai promedio con respecto al tiempo no existe transmisioacuten de energiacutea ya (pie el
valor promedio del vector de Poynting resulta ser indo Su - [ pound ] IitEacute x iquest ] = 0
42 Energiacutea almacenada y calidad de los resonadores
La energia total promedio almacenada en todo el volumen del resonador es la suma de las
energiacutearaquo eleacutectrica y magneacutetica promedio almacenadas por los modos normales
W m WE + WH (261)
donde
31
HiliacuteX-trade 2 M gt
Yraquo que en el resonador no hay MU flujo neto de energiacutea entonceraquo cu el cano en lt|Ur el
medio i|w Urna 1raquo guiacutea no genere |raquoeacutercliltlas di- energiacutea la energiacutea eleacutertririacutei y magneacutetica
promedio seraacuten igualo entre si Hiquest- s Wraquo Evaluemos la energiacutea total promedio alinarc-
tiada en el volumen del resonador |gtara ondas en modraquo TEmnf En este raso se tiene
=[iquest1U bull (2C4)
la cual puede expresarse cu teacuterminos de la integral de area tie la (tuicioacuten propia
= H(riacutep) evaluada sobre ln seccioacuten transversal de 1raquo guiacutea
bull-[iquestliacuteHs)]-- donde bull tiene la forma (227) Tomando uacutenicamente la parte cosenuiacutedal de (227) e
integrando de la misma manera como se evaluoacute la integral de (235) obtenemos
toT 47V ^n-m)Jmi^a) (266)
Para el caso particular de una onda en modo TEui se tiene
32
= [iquestiexcl](0375)|poundi|laquoib2 (2C7)
donde
1 1 - ^ (2-68)
raquo el valor di- lu magnitud tlt-1 riiinpo eleacutectrico en el centro di- la seccioacuten traiisveriMi) del
resonador
En griirral pura resonadores i n h siempre hay absorcioacuten ib energiacutea 1st nial se reashy
liza principalmente por dos raualcs a) porque el medio (pit- Ik-iui lu guiacutea es un medio
absorbente y Iraquo) debido a la conductividad finita de las paredes del resonador En cada
uno de estos casos las frecuencias de resonancia se vuelven cantidades complejas las ruakt
podemos escribir en la forma ugt = w + iw Entonces si la dependencia temporal de loraquo
campos es de la forma
Eacute(t)laquo Ac1 (269)
obtenemos que la energiacutea total promedio de un modo normal en un resonador real es
W(t)laquo W(0)e-3 (270)
donde se observa que se pierde al transcurrir el tiempo W(0) es la energiacutea total almaceshy
nada en el resonador en r = 0 Introduzcamos un paraacutemetro llamado factor de calidad Q
definido como 2n veces la razoacuten de la energiacutea almacenada en el resonador promediada con
respecto al tiempo entre las peacuterdidas de energiacutea por cada ciclo de oscilacioacuten
33
Qenrroiu ulmactnnda
SS itj mdash ^ mdash mdash ^ mdash ^ mdash mdash
jttrtlidim lit tnergtn
= wmdash IV
PmAtf
donde
(271)
P = - ^ I27-raquo)
egt la potencio media qui sc absorbe en tin ciclo de oscilacioacuten debido n las corrientes
superficiales de las |Ktrtdes del resonador (comparar ron la ecuacioacuten (224)) Di (270)-
(271) piulemos obtener que Q = raquo-2u Por lo tanto la frecuencia raquogt laquobull pnctlc expresar
a traveacutes de Q romo
=yj1 + eacutejh 273)
43 Excitacioacuten de los modos de oscilacioacuten
En el problema de un resonador ideal (sin jroacutedidas de energiacutea) cada modo de oscilacioacuten
tiene perfectamente definida su frecuencia propia de resonancia (257) Esto quiere decir
que si se quiere excitar un modo particular de oscilacioacuten en el resonador la frecuencia
de excitacioacuten debe coincidir exactamente con su frecuencia propia de resonancia En
problemas reales esto no ocurre y en lugar de ello se cuenta con un banda de frecuencias
alrededor de la frecuencia propia en la cual el modo de oscilacioacuten puede ser excitado La
existencia de esta banda de frecuencias se debe a que existen peacuterdidas de energiacutea
Para mostrar lo dicho anteriormente notoacutenos que las oscilaciones del tipo (260) se
pueden representar como una superposicioacuten de oscilaciones estacionariacuteas Supongamos
34
i le el campo electromagneacutetico se crea en el instante f = 0 y se le laquoleja oscilar libremente
para t gt 0 Obteniendo su transformada de Fourier de (269)
iquest(w) - p rt+Uacutet+Vt- (274) 2ff Jo
y evaluando la integral en (274) considerando que pound(t)| lsec = 0 se obtiene
cuyo valor absoluto es
eacuteMl = M mdash i ^ (27C)
La ecuacioacuten (27C) nos da un conjunto de curvas de resonancia para cada modo de
oscilacioacuten Cada graacutefica tiene su valor maacuteximo en w = u (Fig23) Los puntos ltii los
cuales la curva disminuye lgtsect de su valor maacuteximo se llaman puntos de potencia media y
su separacioacuten en frecuencia se denomina ancho de banda A cada punto de potencia media
le corresponden las frecuencias
w3 = w + ^ (278)
de donde obtenemos que el ancho de banda detennina el factor de calidad del resonador
en la forma
laquolaquo5 a raquoiquest- ltraquogt
35
IlaquolaquoM
Fiacuteg23 Curva (Ir resonancia para el mudo de oscilacioacuten a- Loraquo puntos |rV(laquo-|)| y |MJ)I son
lot punto dp potencia mediacutea y raquoraquo separacioacuten define el ancho de banda
Si las peacuterdidas de energiacutea son pequentildeas entonces las bandas de frecuencia son estrechas
Sin embargo siacute las ]ieacuterdidas son considerables entonces las curvas (le resonancia pueden
llegar a sobreponerse una sobre otra provocando la excitacioacuten mutua de los modos de
oscilacioacuten
44 Resonador de forma cilindrica
Consideremos ahora un resonador cilindrico Primeramente obtengamos las soluciones de
los campos para una onda en modo TE en un resonador ideal y posteriacuteormeite calculemos
la Q del resonador para este modo debido a la conductividad finita de las paredes metaacutelicas
Para este tipo de resonador y para ondas en modo TE las funciones propias o solucioneraquo
36
correspondientes al problema transversal (23 tienen la forma (227) ron los valores propios
1228) Ademaacutes con ayuda de las expresiones (234) se obtienen las expresiones de las
componentes transversales en coordenadas cilindricas y entonces escribimos los campos
en la forma
pit H- = C0Jn(mrr)cos(mj)sen(mdashz)
Hr = -r-mdashlt0-m nr)laquow(mi)laquow(-j-) O ~lmr O
H - -raquo -3 pound - -Jlaquo ( -mr)raquoen(ms)oraquo(5) (280) laquo in r laquo
E = 0 iCriquestft m laquor
E = mdashJB(-mraquor)iacutetrw(raquoraquof )rraquoi(mdashs) win
_ iacutei Co WK poundw = Jm(TimRr)laquow(raquon^)raquocii(-j-iacute)
C mn laquo
Sustituyendo (228) en (257) obtenemos para las frecuencias de resonancia la expresioacuten
i raquo J c
wmn= 4 = J ^ + (^) g | (281) c
El modo fundamental para las ondas tipo TE tiene como subiacutendices m = TI = p = 1
Este modo TEm es el modo fundamental de oscilacioacuten en la cavidad si la frecuencia de
resonancia u m para ondas TE es mas pequentildea que la frecuencia de resonancia corresponshy
diente a las ondas TM (wougt) Se puede demostrar que si d gt 203a (a es el radio del
resonador dado en cm) entonces el modo TE es el modo fundamental de oscilacioacuten del
resonador [9]
Calculemos ahora la Q del resonador debido a la conductividad finita de sus paredes en
el caso de ondas en modo TE La potencia que se pierde debido a las corrientes superficiales
en las paredes del resonador se calcula en la forma
37
bull -1iquest]iquest r r bull -bull+pound[+ - 4 (2-s2) donde ntilde| y ntilde2 son vectores unitarios normales a iraquo superficie cilindrica y a las superficies
transversales circulares respectivamente La expresioacuten (282) puede reescribtrsreu la forma
bull= [iquest] iquest j f W + lraquolaquol2)U + 2iquest J-iacutelJiacute + IWPMraquo bull (283) Usando las expresiones de los campos (2S0) sr resuelveraquo laraquo inti-gralcs de (2S31 en la
forma
I r l l f fo l mfa r ~ UirJ 2vlaquo 2 1 + bullpound(bullgtbullgt+
+2|CIraquopound [ lpoundrAOr)+ bullO^] laquo] bull Haciendo el cambio de variable x = fr obtenemos
I laquo-1 IColraquo iexclda UffJ 2ffiacute 2 m ]Cppoundr |dlaquo UffJ 2ltriacute 2
1 +
1 + rraquoraquo
J Iacute O laquo ) + 2 ^ j f [2iacute Ji(gt+J(X)] d
^(70) + [(7laquo)3(l~)^(^)] (284)
Sustituyendo la expresioacuten de f = ^ )bull arreglando teacuterminos resulta
Finalmente sustituyendo (266) y (285) en (271) obtenemos el (actor de calidad debido
a la conductividad finita de las paredes del resonador para ondas en modo TEmnt en la
forma
38
Consideremos un resonador cilindrico en el cual oscilan ondas electromagneacuteticas en
nodo TEm cou una frecuencia raquobull = 15394 gt 10degr (A = 1224cni) El resonador es de
bronce de conductividad o = 1413 x lOlsutiquestergscm y tiene un radio interno a mdash Ion
Pitra este resonador determinemos en el caso p = 1 los siguientes paraacutemetros a) la
longitud apropiada del resonador b) el factor de calii id ilrl resonador y ltbull) el audio de
banda donde sr puede excitar el modo TE
a) De acuerdo con (258) la condicrlaquon de un resonador es tal qui en su longitud exista
un nuacutemero entero de mitades de la longitud aacutev onda
d P Px
2 V1-WW - - _ V l (287
Despueacutes de sustituir los valores respectivos de A o y de los subiacutendices que caracterizan al
modo obtenemos
d - T13cm (288)
b) El factor de calidad Q del resonador se obtiene de (286) expresioacuten que reescribiacutemos
para ondas en modo TEm en la forma
Ud (l + 0343amp4)
2nlt61 + 02092 + 02436$
39
La permeabilidad magneacutetica del bronce (je) no difiere Mgninrativanicntt- riel valor corshy
respondiente al del vacio (lt as ftc - 1) Entonces la longitud de la capa piel (244) resulta
A = 812x 1 0 - W (290)
Finalmente obtenemos ltw el factor de calidad tiem- el valor
Q = 404903 (291)
c) FinalriKiitf nilrtilt-inos el ujrlifgt di- llaquoiinli en el nial la onda en moilo TEw puede
ser cxcitaihi Utilizando (277) y I27S) obleiicnicraquo los punto ile ]raquoifriiriiexcli inedia
-bull as 153927 x iexcluHz
w2 ss 153952 x 10VH
Por lo Unto el micho de banda tiene el valor
ui2 - ugt = 000025 x 10Hz
Observemos que el ancho de banda es lo suficientemente angosto relativamente por lo que
uacutenicamente se excita el modo TE Se puede demostrar que la frecuencia de resonancia
fundamental para ondas en modo TM es uiolo = 1031 x l0nHz
40
CAPITULO 3
TEORIacuteA DE PERTURBACIOacuteN
Toda Teoriacutea ile Perturbacioacuten establece que en ciertos casos los problemas irregulares
aquellos que no tienen soluciones analiacuteticas exactas) pueden ser considerados romo rrjpi-
iexcliexclTVraquo que sufrieron cierta perturbacioacuten Cuando la perturbacioacuten es suficientemente pequentildea
u el problema irregular podemos obtener una solucioacuten aproximada conociendo la solucioacuten
ltiel problema regular [9] El meacutetodo perturbativo se ha utilizado extensamente en las guiacuteas
de onda Existen trabajos donde se analizan los efectos de las perturbaciones en lew valoshy
res de frontera [15] asiacuteromo de las perturbaciones generadas por un pequentildea muestra de
Vrrita en el interior de las guiacuteas de onda y resonadores [1C] En este capiacutetulo se describe
ia teoriacutea baacutesica del meacutetodo perturbativo desarrollada en |17] en el caso cuando las guiacuteas
de onda y los resonadores contienen un pltsma en su interior
5 El Meacutetodo de Perturbacioacuten en las guiacuteas de onda
En la seccioacuten (32) se mostroacute que la propagacioacuten de ondas electromagneacuteticas en guiacuteas
de onda cilindricas se describe en teacuterminos de sus modos caracteriacutesticos Cada modo se
caracteriza por su constante de propagacioacuten Dependiendo de las dimensiones geomeacutetricas
41
de la guiacutea de mida estos modos o bien se propagaraquo o bien se atenuacutean En ln praacutectica Ins
dimensiones de las guias de onda siempre se escogen de tal forma lt|iii- unir amenteacute se puede
propagar el modo fundamental
El caso cuando se tiene una guia de onda parcial o completamente Urna con un plasma
sir produce uu cambio en los paraacutemetros caracteriacutesticos principales laquopie describen a la
guia de onda Si el efecto del plasma en tales paraacutemetros es lo suficientemente pequentildeo
entonces la teoriacutea de pertubacioacuten resulta ser mur adecuada para calcular ln constante de
propagacioacuten
Consideacuterenlos la propagacioacuten di ondas electromagneacuteticas a lo largo de tiiiiacutei guiacutea de ouila
cilindrica que se encuentra parrial ltgt rompidamente llena ron un plasma inhomogeacuteneo Si
sujHHiemos (|iir las caracteriacutesticas del plasma son axialmente uniformes podemos encontrar
la constante de propagacioacuten y las distribucioacuten de los campos
La propagacioacuten de ondas electromagneacuteticas en las guiacuteas de onda con plasma se tlescribc
por las ecuaciones de caminiacute
V x f + i - J = 0 (31) c
VxH-i-pound=mdashJ (32) c c
La condicioacuten de frontera se obtiene suponiendo que la conductividad de lax paredes de
la guiacutea de onda es infinita
|ntilde x Eacute = ntilde Ntilde = 0 (33)
donde ntilde es tin vector unitario normal a la frontera En ausencia de plasma la parte derecha
42
gtbull (32) es cero y el problema se reduce a U propagacioacuten dp ondas en una guia dlaquogt ondas
ivieca (Cap 2)
Las amplitudes del campo de las ondas normales se determinan en la forma
Eacutet(f) = pound ( I j e - i raquo w (34)
(F) = j(rj ) e- i ( r -
iquestonde r esel nuacutemero de onda En ausencia de peacuterdidas T es real (F = iacutei) Vamos a
suponer que las ondas se |gtropagan a lo largo del eje 0 paralelamente al eje de la guiacutea dr
onda
Para ileterniinar la influencia del plasma en la propagacioacuten de las ondas rlrrtroiiiagm-
licas en una guiacutea de onda es coacutemodo descomponer las ecuaciones pura las componentes
longitudinales y ]gtcr]gtendiculares del campo Estas ecuaciones se obtienen al descomponer
los campos y el operador V en la forma
pound = 4 + poundx ntilde = fflaquo + Ai = Lpound) + fjpound) (35)
V = Vbdquo + V I
donde los subiacutendices X y || denotan las componentes perpendiculares y longitudinales es
decir su proyecciones perpendiculares y paralelas al eje de la guiacutea de onda O) Sustishy
tuyendo (34) en (31)-(32) y considerando (35) obtenemos las ecuaciones en direccioacuten
perpendicular y longitudinal en la forma
- ^ [ V x ^ + V n ^ + i - l i o x f j = - mdash iexcl 0 x pound ( ) ] (36) IUgt C C
f-Vx[VxEacutex)-Vtamp-i-iexcloampl mdashrJiexcl (3-7) w C tt
43
donde i0 es un vector unitario dirigidraquo a lo largo del eje O Las componentes longitudinales
de tos campos se relacionan con las componentes jicrpctidiculares jKraquor liis expresiones
OZfy+^ftE) = [VxJbdquo (38)
Al = - - V x f ^ (39)
Ahora considerando que las ecuaciones de Maxwell son expresiones lineales es decir
que la combinacioacuten lineal de dos de sus soluciones tambieacuten es una solucioacuten y anaacutelogamente
para las condiciones de frontera (24) y (2C) determinamos (pie una solucioacuten maacutes general
del problema de uiiiacutei guumliacuten de onda sin plasma es una superposicioacuten de todos los modos
]MKgtibies de proiHigarioacuten con valores apropiados para sus eoetiacutecieiites Si la perturbacioacuten
originada por el plasma es lo suficientemente ]H-ltiuentildeu iiodemos suponer (pie la desviacioacuten
de cada uno de estos coeficientes es pequentildea con respecto a su valor no perturbada Dr
aquiacute que las componentes perpendiculares del cam]Mgt en una guiacutea de onda con plasma
se puedan representar como una serie (combinacioacuten lineal) con resjiecto a las funciones
ortogonales poundfc y Hk que determinan las comjioncntes transversales de los modos normales
en una guiacutea de oudn sin plasma
k
Los campos satisfacen las relaciones de ortogonalidnd [18]
(310)
JsEacute-kEacutedraquo laquo Nttu
JtpoundixEacute]deacute = ZSttu (311)
44
iquestiuumlaacutef el su|MTUacutegtdiexclctraquo denota el complejo conjugado de los campos Z = cTgt para
ltJAH ti|Mgt H y Z = wcT para ondas tilraquo pound ltlaquo es el siacutembolo de Kronecker bu = 1 si
raquo = y iquestbdquo = uuml si i- = ) y la integracioacuten se realiza sobre toda lo serenan transversal ilr la
tub de onda
Utilizando (310) y (311) rocontratnos las expresiones para los coeficientes uiquest y bk
(312) iexclsntilde ntildexu
Sistiruyriiiliraquo las seriacutees (310) en (3C) y (37) obtenemos el sislrinii f|i- eriiiioacuteoiirs
poundlt5r + ilgttfraquo4 = -- |iquestux(pound))l l t (313)
Ely+W)4 = VJbdquo (314) iacute
Multiplicando (313) vcrtorialinciitc por E[Aacute y (314) jMraquor HlM e integrando en 1raquo seccioacuten
transversal dr la guiacutea de onda obtenemos ron ayuda de las roiidintildeoucs de norma (311)
laraquo ecuaciones
rA + X KzcLEacuteltsEacute^ 3 1 6 gt En el caso en que los paraacutemetros del plasma no dependan de i la dependencia de los
campos con respecto a z se puede considerar de forma exponencial como en (34)
Eacute(jyz) = Eacutexy)t-iT ntildexvt) = ntilde(xy)r
45
(317)
o t ( iacute ) = laquo- M ) = V eacute r
Sustituyendo (317) n i (315) y (31C) obtenemos
laquoriacute - - - S S L bull +Ssect bull Uuml- 318)
Luraquo fiimriidirs (31S) y (319) |xira diferentes k roiii|xmni un sisirmraquo ltb-it-imrioiies lioinraquo-
geacuteneus liacutenenlegtgt ron res|gterttgt n liis roeiit-ientes nk y laquoV Lu riiudiriitn ilr solubilidad (igual)id
a rifo laquobrl determinante) determina la constante ib- igtrigt|Mi)igtiOacuteM Sin roiUirjpi el sistema
(318) y (319) resulta ser un problema muy laquolifiril laquoIt- resolwr De alaquo|iiiacute i|iie iexclti laraquo partes
ilereelias laquole (31S) y (319) son lo siinritrntetueiitc |ielt|iirntildeaH |MMICUIUS emplear la teoriacutea laquole
|MTturlgtMrilaquon
Sil|Kgtlliciifllaquogt fjflf- la denudad lie mrrirntc H traveacutes ilel plasma es (laquornjxirriimal H tin
paraacutemetro pequentildeo podemos descomponer las (-nulidades airaquorgt y E cii tiTiiiiiiiraquo laquole laquowte
paraacutemetro
bk = ZKv lt3 2 0gt
r - poundrubdquo
46
donde el subiacutendice ( dentildene el orden de pequentildees Vamos a considerar que en ausencia del
plasma en la guiacutea de onda se propaga el modo fundamental de una onda tipo H denotada
por iacute = 0 Ademaacutes si en la aproximacioacuten de orden cero se tiene
poundi = poundgt pound = pound | |= 0 (321)
entonces
ltbdquo - Abdquo (322)
Tiacuteo) = iexcl1lth
Asiacute considerando las expresiones (320)-(322) de (318) se oliticne la siguiente exshy
presioacuten en orden cero para lax ondas tipo H
laquo(bdquo[(r(0) + rbdquo + )raquo- rg = -^f-1 pound bdquo bull J(Eacute)d +
cAuZ|o) Js
de donde rlt -7IacuteT7-L iquestiacutef(Eacute)ds- (323) 2ni
Para las ondas tipo H Z(0) = c-iexcl^- mdash ^ de donde obtenemos finalmente
TMampLtedeg-f[Eacute)di- lt324gt
47
La cantidad compleja r ( 1 ) nos repcscnta el cambio que sufre la constante de propinacioacuten
T |Hgtr la presencia del plasma es ilecir es la correccioacuten a primer orden en la constante de
propagacioacuten (I = T - Tf0)) Esta cantidad se puede escribir en forma de unraquo suma de
sus componentes real e imaginaria
r bdquo = AJbdquo - iAobdquo (32b)
siendo An) gt 4 ltgt(i) las fracciones de cambio de la constante de fase y de amortiguamiento
respectivamente ocasionadas por la presenria del plasma
En corn-spomlencia con (32-1) y escribiendo la densidad de ciirrietite cuino J mdash J + i j
( es la parte real y es la parle iimiginaria) las cautidades de (325) toman respectivashy
mente la forma
iquest 4 1 = - V ^ V bull (3-20)
iquestngt = ^ C J bull (327)
2JSEacuteiexcl-Jiexcld
Vpoundbullpoundbdquo
far sfr0-Eacuteltj
En medios lineacuteale) anisotropicraquoraquo e inhomogeacuteneos la densidad de corriente r relaciona
ron el campo eleacutectrico en la forma
J=aEacute =mdashampbullpound (328) 4ir
donde amp es el tensor de conductividad eleacutectrica Af = (iacute - ) i es el tensor de permiacutetividad
dieleacutectrica e es el tensor unitario
Utilizando la expresioacuten (328) podemos reescribir (324) en la forma
48
wJ ft R bull Aacute iacute bull Ed
laquo Wen
r ^ poundbullampbullpound (330
En las expresiones anteriores no hay que olvidar que el campraquo eleacutectrico se expresa romo
una serif con respirtn al paraacutemetro pequentildeo pound Las expresiones (324)-(330) corresponden
iexcli iraquo aproximacioacuten de primer oidrn La condicioacuten que si- debe de satisfacer seguacuten la teoriacutea
de perttirlsirioacuten ni primera aproximacioacuten es tal qult- 1raquo magnitud de cambio en la ninstaiitr
de propagacioacuten debe ser sinnpre mucho menor que la magnitud laquobull- la difereiiria entre las
riHiMniitcraquo ilc propagacioacuten di cualquier modo con respecto al modo fundamental
ri lt r 0 r m lt |ru - rt| para todo Jl^O (331)
o con respecto a A y Aigt obtenemos
(332) Aibdquo laquo iquest A^bdquolt |A -r | iexcl
poundltraquobdquoltamp Ao(1)ltt|iquestt-rraquo|
6 El Meacutetodo de Perturbacioacuten en los resonadores
Anaacutelogamente al estudio de las guiacuteas de onda conteniendo plasma en su interior el anaacutelisis
en los resonadores que se encuentran parcial o completamente Henos con plasma exhibe
cambios en los paraacutemetros principales que describen los resonadores huecos En la seccioacuten
(41) ae mostroacute que un resonador tiene un nuacutemero infinito de modos de oscilacioacuten Cada 49
modo se caracteriza jagtr su frecuencia de resonancia su factor de calidad y su corres|Hraquon-
diente distribucioacuten de CHII)|Kgt La presencia del plasma en un resonador priMlure princishy
palmente un cambio en la frecuencia de resonancia en la cual el resonador se encuentra
opilando y en el factor de calidad Si la influencia del plasma en tales ]gtaraacutemetros es sufishy
cientemente pequentildea entonces para el anaacutelisis de este problema podemos tambieacuten emplear
la teoriacutea de perturbacioacuten
Consideremos un resonador que oscila en una de sus frecuencias de resonancia y que
contiene un plasma distribuido axialmente Evaluemos los iambins i|ite se producen en
liexcli frcciMiiciii de resonancia y en el factor de calidad del resonador Las distribuciones de
ciexclim|Hgty las frecuencias de resonancia se obtienen integrando las ecuaciones de campo (31)
y (32) con la condicioacuten de frontera (33) En este caso la condicioacuten de frontera (33) se
iipliia en la frontera cilindrica laquoleiacute resonador y en las superficies planas del mismo En
ausencia del plasma los raiiipos satisfacen las ecuaciones (31) v (32) con la piiacuterte derecha
igual con cero
VxEacutek + imdashH~k = 0 r (333)
V x Hk - mdashEacutebdquo = 0 c
y la condicioacuten de frontera (33) Donde se ha utilizado el subiacutendice Jt para denotar el
modo k de oscilacioacuten en un resonador hueco con frecuencia de resonancia ui Los campos
Ek y Hi satisfacen las relaciones de ortogonalidad
jvEacutekEacutedV = NkeacuteM
(334)
JvIacutekntildedV = Lk6kl
50
donde el superiacuteiidice nos indica el complejo conjugado de ios cam]gtos y la integracioacuten
igt realiza sobre tftdo el volumen del resonador
Se conoce que todo camjx) vectorial se compone de la suma de una parte con divergencia
ltITltJ iparte solenoidal) y una parte con rotacional cero (parte potencial) Para observar
la it^iuencia del plasma en la oscilacioacuten de ondas electromagneacuteticas es conveniente utilizar
este hecho escribiendo el campo eleacutertriacuteco como la suma de una parte solenoidal y una
potencial
Eacute = Eacute + Eacutebdquo V Eacutei = 0 (335)
V x Eacutebdquo = raquo
Llaquoraquos vectores solenoidales Eiexcl y H ile un resonador con plasma se pueden representar
como una coinlgtiuacioacuteu lineal de las funciones vectoriales Ei y Ht tjue detenuiiacuteian las
componentes solennidalcs de los modos de oscilacioacuten en un resonador sin plasma
Eacute = 5 gt pound raquo (33C) k
H - J gt amp (337)
Usando (336) y las relaciones de ortogonalidad (334) se encuentran las expresiones para
los coeficientes a y 6
TV (338)
_jvEacute-EacutexaacuteV 6gt 5 mdash bull
Sustituyendo (336) y (337) en las ecuaciones de campo (31) y (32) y considerando (333)
obtenemos eacutel sistema
51
k 1330)
J^(traquow-a tuf t)5 = 0
Multiplicando escalarmentc la primera ecuacioacuten de (339) por pound y la MRIIIKIIacuteI JMW HJ e
integrando sobre todo el volumen del resonador obtenemos
[b^k - laquow) = pound Eacute] bull poundkM - ^ I Eacute TIV (340)
(JW-laquo) = o 1341)
El primer tmuiiacuteiraquo tit- la tlrn-rlm ltb (340) i-s IacuteRIIUumlI IIHI erro Siacute ili-sprjaiiio ltbull (341) fr
y lo sustituimos cu (340) otitciii-inos
iJiexcl - J)nbdquo = Jj^L(pound-k f(g)dV (342) iexclSi Jv t
tlmide
k = ^ laquo 4 (343)
y Vi es el volumen que ocupa la columna dr plasma Sustituyendo la primera expresioacuten
para a de (338) en (342) se obtiene la relacioacuten
2 Jv Eacuteiexcl bull JEacute)dV - a g - iacute - 4 trade ^ iquest r f v 044)
donde se ha remarcado la dependencia de la densidad de la corriente con respecto al campo
eleacutectrico Por otro lado se observa que las ecuaciones (342) y (343) para diferenteraquo valores
de k forman un sistema de ecuaciones homogeacuteneas lineales con respecto a loraquo coeficientes
a La condicioacuten de solubilidad (igualdad a cero del determinante) determina la constante
52
bullltbull propagacioacuten Si la parte derecha fie (342) es lo suficientemente pequentildea jiodeinoraquo
ltiijgtlear el meacutetodo |gterturbatiro
Suponiendo laquoue la densidad de corriente a traveacutes del plasma es proporcional a un
paraacutemetro pequentildeo ]gtodemos desromponer las cantidades OkM^ ) E laquogt teacuterminos de este
paraacutemetro
h = poundbdquo lt3-45gt
(
lioiide el suloniHir ( define el orden (le peqncntildees Si en ausencia del plasma sr excita una
onda lie frecuencia UumlIiexcl en el resonador entotires en la aproximacioacuten de raquorltbii cero se tiene
pound|o) = Eiexcl
a = eacutelk (346)
Sustituyendo (345) en (344) e igualando los coeficientes de la misma potencia con respecto
al paraacutemetro pequentildeo se obtienen las soluciones en distintos ordenes de aproximacioacuten En
primera aproximacioacuten para k = l resulta
gt bien
53
= 2 ^ ^ 347)
En gmrral J ( ) ) es tuia cantidad complt-ja i|ttr mis reprcscuta la i-orrerrintildeu a primer
orden en la fnriirncia compleja de resonancia (uim = m mdash wi) Di- acuerdo ron (274) esta
cantidad puedr escribirse en la fonna
-bdquo = Aw + IA iacute J (348)
donde i parir mil ltbull imaginuria nos detenniunii las fraoioiirs laquobullbull cambio di- la |Ktrtc real
de la fri-eui-iicia di- n-soiiamia y la calillad dri resonador rcsptitivaiiniitc ocasionadas por
la pn-Hcuciacutea del plasma
En corrispoiidiiicia ion (347) escribiendo y descomponiendo la densidad de corriente
ronio J = 3 + i 3 (3 lts la parir real y 3 i la partiacute- imaginaria) las rantidailps ib (34S)
tulliacutean rirspeclivaineute la forma
- raquo m _av-j (340) wi w iexclv Eiexcl bull EilV
Qi) un fvpoundiexclEacuteM
En medios lineales anisotroacutepicos c inhomogeacuteneos la densidad de corriente se relaciona
con el campo eleacutectrico en la forma (328) De aquiacute qtie )gtodamos reescribir (347) como
WIacuteII bull - mdash mdash s mdash s 351) 2 v poundJ bull EdV
Para evaluar las correcciones en segunda aproximacioacuten a la frecuencia compleja de resoshy
nancia se sustituye la correcioacuten a primer orden del campo eleacutectrico E - poundbdquo + pound en
54
3441 la rual se determina por la expresioacuten (342) al evaluar cada uno de los rieficientes
u ron k JEacute
trtonces las correciones a las partes solenoidal y potencial se expresan en la forma
V pound | bdquo = mdash V bullbullltpound) (354)
Las roiidiiioniK laquo|nr se ilrlx-n satisfacer pariacutei cpir la expresioacuten (347) KIIacuteI viiacuteliiluuml es tul
([iilt parsi i ^ tentniMM
^ (355)
y |Hgtra I- =
A M mdash laquo 1 (366)
bull(4) e l
55
CAPITULO 4
INFLUENCIA DEL PLASMA
Eu i-sti- i-itpitulo en base al meacutetodo perturhativo descrito i-n el capitulo 3 se obtiene
el gtiexcliiiil)io laquopie sufre In constante de propagacioacuten para lindas rleclioniagneacutetiras eme se
propagan iii miii guiacutea ile onda ciliacuteiidriiacutea que i-oiitieur en su eje una roluijjua laquolaquobull plasma
friacuteo iiiliimiogeacuteufraquo y magnetizado Ademaacutes se determina la vaniiiioacuten ite la frecuencia laquole
roouancia para las ondas electromagneacuteticas qui se eiiruentran oscilando en tin resonador
cilindrico que contiene una columna de plasma friacuteo magnetizado e inhomogeacuteneo distribuido
axialmcnte Si- calculan las variaciones de la constante de propagacioacuten de la fierucucia de
resonancia y laquoleiacute factor de calillad jgtara diferentes valores de wjJJ1
7 Influencia del plasma en las guiacuteas de onda
Vamos a considerar como paraacutemetro pequentildeo que el radio del plasma es mucho menor que
la longitud de onda y que el perfil de densidad de electrones es de tipo paraboacutelico con
respecto al radio Ademaacutes el campo magneacutetico externo se considera homogeacuteneo y dirigido
a lo largo del eje O (Fig 41)
Como ya sabemos en una guiacutea de ondas cada modo de propagacioacuten se caracteriza por
56
Bo
P L A S M A
Fig41 Sc inwsira nnraquo i laquolimiiia ilr plasma laquoIc ratlin rbdquo loi aliidi sobre el ltbullbull bull)bull- miacutea guiacutea laquole
ogtda rihiiilrii-a dc railio rt in rampo iiiagnrliro externo iquestV osla dirigidraquo a Iraquo largraquo del ltbull)gtbull (gt
t i rumiante propagation Su parte real o factor dr fane drtrniiiiin la vrinriibul ill- fiiw
iexcluiftitraraquo I 1 piirti- imaginaria laquogt riwrkienlc tic absorcioacuten tlrtmniiacuteia el raquoinltgtrtigiiiexcliiiiiexcli-iitigt
(ir los diferentes modos ir propagacioacuten El efecto que se origina ttiantiraquo se rolix-a IIIIIacuteI
columna de plasma dentro de la guiacutea de ondas es un cambio en la constante de propagacioacuten
De acuerdo con la teoriacutea de perturbacioacuten este cambio es proporcional a la razoacuten del cambio
de energiacutea dentro de la seccioacuten transversal que ocupa el plasma sobre el vector de Poynting
evaluado sobre la seccioacuten transversal de la guiacutea de onda
r r - u _ IM-bullpound _ bdquo
donde las cantidades con subiacutendice 0 denotan cantidades no perturbadas (sin plasma)
Para evaluar la constante de propagacioacuten (41) es necesario obtener las soluciones de los
57
campos eleacutectrico y magneacutetico dentro del plasma en teacuterminos del jiaraacutemetrraquo peipientildeo
Para el caso de un plasma friacuteo cuando la velocidad de fase ile lsts nudas electromagneacuteshy
ticaraquo es mucho mayor (pie las velocidades teacutermicas di las (laquoarticulas si- utiliza el modelo
hidrodinaacutemico Debido a la simetriacutea cilindrica del problema su]Mgtngamos ijiacuten- los campos
tienen la forma
Eacute = iquestj(r)rr+--
Expresando la ecuacioacuten de onda
V x V x Eacute - ^r-iacuteEacute = 0
(42)
(43)
en coordenada iiliacuteiiltlriras se obtienen las eniariolies para las componentes del ranipo
eliVtriro i-ii la forma
igt
i-e- - mdash - DE = --Mt - DE + mdash(poundj + rr r r r r
E + - pound + (mdashv - ) pound = pound- + mdash (rpoundr) bull r r r r- r
(44)
(45)
-rcEr + iru(e - 1)poundJ + mdash | - i laquo ( f - 1)pound + poundpound] + rraquopound3 = 0 (46)
Aquiacute las primas indican una diferenciacioacuten con respecto a r l es el tensor dieleacutectrico en
la forma [19] (Bu esta dirigido a lo largo del eje 0)
poundraquo -
pound
0
pound 0
o vi ( t iquestu(e - 1) 0
= - t u ( c - l ) pound 0 V 0 0 r)
(47)
58
aacuteHtuacutee
- - 1 ti ul2 - - f j
2
= bull laquo bull i
_ = (r) = 4r r laquobull 1iexclI freruenna plaacutesmirraquo y -laquo lt-N ]iexclI fririirii-iraquo rirlotroacuteliira dr los
bullbulllaquobullerroiirs
Si il nidio ilil pliisiiiii o |Hi|iiiiacutein iii rumpiriiriuacuten ron IIacuteI loiigiliul de onda y n Irmas pound
varia i-ii un onli-n i|f iuiacuteraquotiacute-j)i in J |IIII|P)JIIgtS expresar li viiriiirioacuteji ili rraquo la forma
poundltrgt = bull ( laquo v ) bull iacute gt h 4 S )
donde el bullmnuiirtro se lm introducido para obtener las soluciones aproximadas ni difeshy
rentes ordenes ron respecta a pound di los camporaquo eleacutectrico y inaRiirliin Haciendo rl nunbio
lie variable x mdash =pound en la ininrioacuten (45) obtenemos
E = --(pound) - -plusmnpoundE - ^iquestE + - 4 J ( Iacute pound + gt9E) (4-9)
donde B kciexclwg = u(iacute - 1) y la prima denota una diferenciacioacuten con resprcto a x
Haciendo el mismo cambio de variable eliminando E por medio de (49) y limitaacutendole
hasta teacuterminos del orden (IO1- a ecuaciones (45) y (46) toman la forma
59
F i g 4 2 IVr l i l |gtiifiacuteilraquogtlirgtgt ili li |TinHivnli i l c|i| ( I I IM I I I n m P | W T 1 I I iexclI JT - mdashgt
[j-tl ltbullpoundbdquo-)] - (mh + mnixEf = 0 141raquo)
(411)
Se observa qui- la ecuacioacuten (410) no si- encuentra acoplada ron (49) y (411) cnloiires
podemos obtener su solucioacuten En condiciones experimentales una distribucioacuten dr la denshy
sidad de tipo paraboacutelico con respecto al radio resulta ser una rnuy buena aproximado
(Fig42) En tal caso escribimos
pound = T- - t0 (412)
siendo
CO
^ deg - 1 laquo413 J1 - ^
valor de la penuitividad en el eje del cilindro de plasma
Antes de sustituir el perfil paraboacutelico de iexcla permiacutetiviefad (412) en (4S) httgtimos en
bulli10 el cambio de variables
E = il|-r-|J-) 1414
bullbull donde obtenemos una ecuacioacuten diferencial pam en la forma
(V - bdquolr-+ [-(2|m| + 1 | - + (2|w| + 3|rjr-+ 2(|raquo| - tnu)Y = 0 1415
Haciendo un nuevo cambio de variables y = xiacutei en (415 se obtiene la ecuacioacuten
wd -v)r + H +1 - ( H + 2)W- iexcl y = o lt4icgt
Eltfa uacuteltima ecuacioacuten es una ecuacioacuten de tipo hiperficomeacutetrico y su solucioacuten es conocida
20 de donde la componente angular del campo eleacutectrico tiene la forma
poundv- = CxH-F(laquo6cy) (417)
donde F(a b c y) es la funcioacuten hipergeomeacutetrica [20] C es una constante y las constantes
cb y c tienen los valores
b = l + | m | - a (418)
C a 1 + H
61
respectivamente Dlt- la ecuacioacuten (411) podemos ahora escribir la expresioacuten paro la com-
jiacuteomrntf axial en la forma (hasta teacuterminos laquoiel orden (1iacute)1)
E = _ bdquo|m| D+-plusmn-CF(abc mdash mi poundu
= DiquestnbullT mdashJEiquest (419)
donde D es una constante La componente radial del campo eleacutectrico se obtiene de la
rniacioacuten (49) sustituyendo en esta (417 y (119) El campo majiexcliieacutetirtgt se deterniina laquole
la ecuacioacuten dr Faraday
1 OD r x pound = mdash mdash (420)
c uumlt
Limitaacutendose hasta teacuterminos del orden IO1 obtenemos la componente axial del camjm
magneacutetico
H = iacute H D gt i + Jiacute-lfEj - iiacuteuumlUuml^r (42D lit inz in(
Las constantes C y D que aparecen en (419) y (421) dependen de las condicioneraquo
de frontera Para su determinacioacuten acoplemos los campos dentro del plasma con los del
vacio bajo la condicioacuten que haya continuidad en la frontera del plasma (r = r) de las
componenteraquo E y Hiexcl
Ermfl = poundo | bdquo (422)
|tradebdquo = H0rmri (423)
Considerando que e(rf) = 1 y usando las expresiones correspondiente para las composhy
nentes axiales de los campos con plasma (419) y (421) y de los campos sin plasma
02
Z = DtJbdquo~ri y H0 = CWJbdquo(-T)) obtenemos las expresiones de las constantes C y
Z teacuterminos de los cani)gtos no perturbados En el raso para m gt 0 obtenemos
2 m (m- l ) -raquo - mF(n o r y ) + jF(noriexcl() bdquo-(bullraquo-raquogt( pound)bullraquo-)
D = 2miquest- C raquo + ^ deg - (4-25gt
iacute uiquest y = xfiacutey C0 y Dlaquo son unas constantes Hasta el momento nos hemos limitado a
- rinos del orden de ( l ) lo qtw equivale H decir que lit rondicioacuten de raquo|gt]irn)gtiliilad de
1- ecuaciones obtenidas es
kr iquest
7Iacute(l + | - bdquo | r laquo 1 1420)
Una vez lt|iie se lmn obtenido las expresiones tie los campos dentro del plasma evaluemos
bullbullbull integrales de 1iexclI expresioacuten (41) que determinan la const iexcltute tie propagacioacuten para una
sua de onda conteniendo en su eje una rolumna de plasma Se considera que el problema
gt perturbado es aquel que ronsiilera una guiacutea tie onda riliacutendrira llueca |fbdquo = 1 y bdquo = 1)
pound1 caacutelculo se realiza para una onda en modo H Para este modo la constante Dp es igual
con cero y las constantes C y D se reducen a la forma
C Jiquest poundk (4 27) 2 o F(a62yi) + ytFub2bdquo)
D = - g c bdquo (428)
Primeramente evaluemos la integral en el numerador de (41) para ello consideremos
la expresiones (229) Tomando la parte cosenoidal de (229) para la componente axial
correspondientes a los campos no perturbados y el tensor de permiacutetiv lad (47) obtenemos
63
= f - - A iacute - E iacute laquo 429) J Ai
= iexcl J |pound - 1) [poundJlaquoMraquon5(r + iuE) + poundt(MraquoiT-|pound - laquopound)] (-rdrtl
donde las componentes Ew Er y Eiquest dependen uacutenicamente del nidio La integral sobre if
en el intervalo [02r j se realiza expresando el termino exponencial romo senos y renenrraquo
y romanilo en cuenta sus relaciones de o-tugonalidad Por tanto despueacutes de realizar la
integral Mible r_ se obtiene
= - f r|pound - 1 )[Er(poundr + iuE) + EI poundr- - laquopoundbull ))ltbull
A1 r raquoraquo = r r(iacute - 1 )[rCZH mdash-J m (7r ) |pound r + laquopound) +
+ CZll-Jj-lr)(E-HiEr)dr 1430) i
La integral anterior se evalna sobre la seccioacuten transversal de la columna de plasma
Aquiacute r i es el radio de la columna de plasma Por otro linio si expresamos - en teacuterminos
de la longitud de onda di corte Ar (217) para tina guiacutea de ondas hueca en la forma = ^
ohservanios que el argumento de la funcioacuten de Bessel eu (430) es una cantidad mucho
menor que uno Para demostrar lo anterior notemos que de acuerdo con (218) para que
la onda se propague a traveacutes de la guiacutea de onda se debe satisfacer que la longitud de onda
en el vacio debe ser menor que t Ademaacutes debido a que sr ha considerado que la longitud
de onda es mucho mayor que el radio del plasma entonces la longitud de onda de corte
tambieacuten es mucho mayor que el radio del plasma Esto uacuteltimo nos sirve para considerar
uacutenicamente el primer teacutermino de la serie de la funcioacuten de Bessel [12] con respecto si
argumento -yr = 2iry De donde (430) se transforma romo
G4
Ix = gtCU (1 - ti) r(pound - iy[iEr + pound)rfr (431) Jrm Ji)
-spueacutes di- hacer el cambio de variable x = iacute - r y sustituir las formas expliacutecitas fie los
gt-npos (4D) y (417) para Er y Ef respectivamente se obtiene de (431) la expresioacuten
bull - f pound z raquo r m - i f e r ( i - u ) x 4-32) x i(-- -)rxx-F(iUlt mdash)] + iirtn-iquestFuUlt~ )li
Ai [ iquestu tu J
jiirlc se han aproximado los campos hasta teacuterminos del orden (7 ) Integrando P )laquoirles
raquo n-sperto a r el primer teacutermino de (432) obit-nemos
laquo - ^ V r r ( l - laquo ) x - + f V a r - (433) 2wi lt W bullraquo iacuteraquo
Sustituyendo la forma expliacutecita para la constante C (424) en (433) se observa miacutee (T-To)
vrrere con el nuacutemero de modo vi en la forma lt~IK Para t-l casiraquo (pie nos interesa tu = 1
iexcl integral ltpir aparece en (433) es faacutecil tie evaluar Para esto liaciendo el cambio de
variable y mdash x7t0 se puede reescribir la integral de (433) en la forma
Jsl+to x
xlnF(abcmdash)dx o iacuteo
= ~iexclg yF(abhy)dy (434)
utilizando la relacioacuten de diferenciacioacuten de las funciones hipergeonieacutetricas [11]
pound-[-gtF(abc)] = (c- n)nt-F(abc - ns) (435)
65
con ii = 1 v r = 3 se obtiene
Re-escribamos (43C) en una forma maacutes conveniente pura ello usando la siguiente
foacutermula de transformacioacuten para las funciones hipergeomeacutetricas [1121]
e f e - 1)(- - )Fnbc- z) + rr- 1 - ( 2 c - laquo - b- )zFlabr ) +
(r - laquo)(r - l | F I laquo i r - 1) = 0 (437)
ron laquobull = 2 y considerando las formas expliacutecitas praquoriexcli laquo y b tie (41) ron m = 1 de (437)
obtenemos la relacioacuten
F ( w fc 3 lplusmniraquo ) s ~ 4 ( 1 ^ 1 1 ) f^Ffafci 1plusmn^gt - J-(laquo2 l plusmn ^ iacute ) 1 (43S) poundbdquo (1 _ bdquo ) ( U i l j l fu ibdquo J
Finalmente usando la igualdad [11]
FUifc2) = F(ub-) - (laquo fc2c) (439)
la ecuacioacuten (43S) se puede escribir como
F(flft3^-=2)= F(laquob2^-^) (440) poundo ( I - K ) Iacute O iacuteo
Sustituyendo (440) en (436) y tomando en cuenta la relacioacuten t = 1 + pound0 obtenemos
-^|UftV(laquoraquoi^) H41) (1 - u) e0 pound0
y sustituyendo (427) y (441) en (433) finalmente obtenemos para | la expresioacuten
66
cbdquo r (1+^) riab2 iquestraquo)
M i r iacuteo F (laquo 6 2 l^ )+ L Uuml^F (laquo iquest 2 l i iacute i ) (442)
La integral del vector de Poynting correspondiente al denominador dr (41) evaluada
la seccioacuten transversal de la guiacutea de ondas tiene el valor obtenido cu (236) de donde
h - jA([Eiquestplusmnxntildevplusmn+EacuteraquoxxHiquest ]gtltlaquo
= CJZbdquoVgt bull laquo i i
JfjjLii- (-143)
iacutegt|HIacute rbdquo es el radio de la guiacutea ilc onda Finalmente dividiendo (442) entre (443) se obtiene
bulla expresioacuten para el cambio en la constante de propagacioacuten para unii onda en inodo Hu
ltue se propaga en una guiacutea de onda ron plasma
- ( r -r u ) = Ax iacute -Fnb2-^iacute)
F(laquoJ2 bullraquo)+ ^^Ff f i 2 ^ )
donde
(444)
M= 21(rr0)3
l - 3 3 9 ^
De aquiacute se obtiene que la constante de amortiguamiento es proporcional a
(445)
o = A F(o62ttiraquo)
f(afr2 iraquo) + UiacuteampFia fc2 raquo) Mtr)
F(a62iplusmniacuteraquo) (446)
07
Esta uacuteltima expresioacuten se igtigttnvigt ron vi uso di-la igualdad (439) Por otm bulo notemos
i|ugt- el argumento dr las funciones hipergromctriras dr (44G) es mayor laquopie la unidad Es
conocido laquopie la serie hipcrgeonirtrini diverge en yi = -f4 gt 1 [20] Por lo tanto rs
ruuvcuicute transformar las funciones hipergi-omctriras de- (44G) laquoru series convergentes
|gtaia filo obtrugamos las expresiones para Fluriacute l y ) y Fnb2y) donde y = 1(1 mdash z)
Para podrr estudiar la absorcioacuten de tma onda excitada en modo Hiexcl1 cu una guiacutea de onda
cilindrica como la que se tiene cu la fuente de plasma construida en el INlN y descrita
en 2] es necesario obtener las expresiones para Flnli 1 i) y FnU2y) ya ipie para
laraquo bull-iitiiiiciones de la niiiijuilia i tiende a la unidad como se desenlie con maacutes detalle maacutes
adelante
Observemos ipie la ecuacioacuten
t( 1 - )iquest + (1 - 3i)o - ltilgto = 0 1447)
tiene como solucioacuten la funcioacuten hiprrgromrt rica Finli li) Si bacnnus el cambio dr
variable raquo = 1(1 - z) entonces (447) sr rersrribr rn la forma
(1 - ) V + (1 - r gt ( 2 - r ) iquest + nkgt = 0 (448)
Fiacutetiaitnente con vi cambio iquestgt = (1 - )lt obtenemos la ecuacioacuten
i ( l - c)vgt + [2 - (26 + I r ) ] - IacuteraquoV = 0- N- 4 9 )
La solucioacuten dr la ecuacioacuten (449) es la funcioacuten hipergeomeacutetrica Fbb2z) [21] Sin emshy
bargo una solucioacuten maacutes general para F(ab i y) es una combinacioacuten lineal dr las dos
soluciones existentes de (449) [21] esto es
G8
Fiubly) = [-)lt AtF(bb2)-rB F(bb2z)Ln+Pii) + (l-fc) iJ
(450)
donde At y B son constantes por determinar y Pj(c) es una serie de potencias con resjiecto
a en la forma [21]
donde
^)=poundr^ [ lt ) - ( o j
Iraquo) = (laquo + raquo) + 4(+raquo)- I2 + raquo ) - ( + 1)
(451)
(452)
4 (bull In funcioacuten i igt iliiinim y (laquo) = laquo(laquo+ 1)(laquo + 2) bull bull bull (laquo + 7 - 1) Multiplicando anillos
luumldoM de hi ecuacioacuten 145(1) por zi - z) difiTciiciacutenndo ron respecto a i y considerando el
liacutemite ruando - tiende a cero olitcuciuoraquo la igualdad
vd - amp)bull(laquo ft 2v) = r r - r + BW + raquo - ) + iquesti-(i -raquo) (453)
Ahora usando la representacioacuten integral de la funcioacuten hiacutepergeomeacutetriacuteca (2Iiexcl y considerando
las definiciones (426) para aby c obtenemos
a - f - r(laquo)r(6)o ( i - lt y )
La primera integral de (454) se calcula faacutecilmente y tiene la forma
Jo 1 - ty y (455)
69
Para evaluar 1raquo segunda integral de (454) recordemos laquopie 1 = ^^ y notemos ipte en el
limite ruando y tiende a mm (c tiende en este castraquo a cero) iacutei se vuelve muy grande
raquo|iiraquo- laquobull equivalente a ltllaquorir que inraquo acercamos a] punto de resonancia eicloiroacuteiiica in = 1)
y por kgt tanto con r=2 Igt tiende a cero De esta manera la segunda integral de (454) se
aproxima al valor [21]
laquo-raquo- 1
1 - f dt = -(fc)-C (45C)
donde C es 1raquo constante de Euler Sustituyendo (455) y (45C) eiexcl (4541 obtenemos
f io 2) = 1
-Ltil - bull ) - laquo1M J- C 1 4 5 7 ) r(2-raquoinM
Pitra determinar las coacutemanles -4j y D sustituyamos (457) en (453) y separemos los
teacuterminos laquopie ionticueu Lti de aijticllos (pie no lo contienen Asi obtenemos las expreshy
siones para las constantes 4| y B en la forma
A =
B =
^ ^ laquo ^ ^ ^ r ( 2 - igt)T(igt)
(1-fc)raquo f(2-gt)JW
(45S)
(45ai
Anaacutelogamente se puede encontrar una solucioacuten para F[ab2y) en la forma
+ [ C + ( t ) + i raquo ] | F ( 6 f c - l l r ) I n iacute + fl(s)] (460)
donde
70
Las expresiones (450) y 1400) representn las transformaciones dr Filtibiy) y
Flt a b 2 y) respectivamente en series convergentes ruando y tiende iexcli la unidad Las consshy
tantes A y Bi se expresan mediante (458) y (459) corresigtondiexclentenieiitlaquo- Finalmente
y fie acuerdo ron (44G) dividiendo 4G0) intrc (450) y tomando la iexclgtiexclirtr iiiiiacute-uumliuaria
obtenemos la expresioacuten para la constante ltle amortiguamiento o de absorcioacuten en 1 forma
( i
Jf = laquo x Fffcfc - 11 )[1 - (1 - fc)(2 - fc)F(662 z) + Piexcl)- )bull]+
+ P (r) | l -6) F |6 6 2 )x
x [l - (1 - b)2 - h)FVb2) + P7(z)l - by +
+ C + (b) + Ln -](1 - 6)-F(6 62 r)] +
+ T T V ( 1 - 6 ) ^ ( 6 1 2 1 ) (4C2)
donde r = 1(1 + pound0) La figura 43 muestra el comportamiento de (4C2) en funcioacuten de
ni x u para m - 1 es decir los int2Tvalos [-LO) y [01] corresponden a m = - 1 y tu = +1
respectivamente Las graacuteficas de la figura 43 corresponden a los siguientes valores de
-bull(0)toiacutes a) 82 b) C c) 4 d) 3 y e) 1 Las graacuteficas c) d) y e) difieren de armellas
mostradas en [22j ya que aquiacute se han considerado uacutenicamente los primeros cinco teacuterminos
de las series Pz) y Pt(z) Por otro lado observemos que el coeficiente de amortiguamiento
se anula en el caso de resonancia cidotroacutenica (u = ) Sin embargo esto no significa que
no existe absorcioacuten de la onda en este caso como se reporta en [23] en los punto donde
71
o bulla
iquest
1 3
n raquo
o i
Wv
72
eiexcl Iacutendice de refraccioacuten tiende a infinito se produce una absorcioacuten delas ondas en el plasma
ltii- tipo no rolisioiiacuteal Esta absorrioacuteu se asraquo ic a la existencia de punto singulares dlaquo- la
ecuacioacuten de onda exacta para ciertos puntos dentro del plasma es decir ai|uiacute la componente
del campo eleacutectrico paralelo al gradiente de densidad es infinita
En la fuente de plasma descrita en el trabajo [2iexcl se trabaja actualmente con densidades
del plasma del orden raquof(0) = C x Nfcnr3 y con un campo magneacutetico externo B =
S~jGtntraquo Ademaacutes se cuenta ron una guiacutea de onda de radio rbdquo = 425rFraquogt en la rual se
IgtngtiexclgtiexcliEiexcli una onda electromagneacutetica ron 111raquo frecuencia w = 15304 X 10 gt Si el radio del
plasma es C| = 3ltm eutonres tendremos los Mullientes valores para _laquo_- 10) 11gtf0)-bull
y respectivatiieiite
wbdquo = 15379 x 10V
raquogt(()) = 13S19X 1 0 V
1 = 00990 1403)
^(0)--J = 08
poundn = 3902
A = 19525
En este caso podemos analizar de la figura 43 curva a) comportamiento riacutee la constante
de amortiguamiento cuando u^fO)raquo2 = 08 Como podemos olmcrvar la constante de
amortiguamiento tiene valores relativamente grandes en la vecindad de u = OC pero
decae raacutepidamente conforme u tiende a la unidad Cuando u = 0999 la constante de
amortiguamiento tiene el valor
73
o = Ai x (M)0()02455 = lSS x 10 (464)
El anaacutelisis anterior es vaacutelido si se rumple la rondicioacuten (42G)
^ ( 1 + |poundbdquo|)- ltpound 1 MCO)
que eii nuestro laquoaso es correcto ya que
^ - i d +|ibdquo|)-=ocnsx lo- ucc)
8 Influencia del plasma en los resonadores
El meacutetodo de Perturbacioacuten en este raso se mi de formraquo similii ii el rusraquo de tina guiacutea
tie onda Como paraacutemetro pequentildeo se considera anaacutelogamente que el radio del plasma
es lutirlio menor que la longitud de onda Ademaacutes se supone que el |HTTiexcl1 de tielisidad
electroacutenica es de tipo paralioacutelico y que el campo magneacutetico externo es homogeacuteneo y esla
dirigido a lo largo del eje O
Anaacutelogamente a el caso de una guiacutea de onda la presencia del plasma en un resonador
es originar un cambio en la frecuencia de resonancia De acuerdo ron la teoriacutea de perturshy
bacioacuten este cambio craquo proporrional a la razoacuten del cambio dr riirrga almacenadraquo dentro del
volumen que ocupa el plasma en el resonador sobre la energiacutea total almacenada en todo el
volumen del resonador (34C)
WJVpoundiquest iquestiquest EacutedV w - u 0 = wbdquo = - iquest (4Glt)
iquest Jr pound0 bulltoraquo
74
Lu i-niaciuacuteii (4CT) requiere la evaluacioacuteu de el campo eleacutectrico cu el plasma En la
-bullbullTIacuteOII 7 se obtuvieron los campos en una columna de plasma friacuteo de radio pefpit-iio
magnetizado e inhomogeacuteneo localizada en el eje de una guiacutea di- onda cilindrica Con
tuda de estas expresiones podemos determinar en forma expliacutecita los campos cuando una
lunuia de plasma se encuentra en el resonador
poundru-y--) = iacute
r 22
mi miacutem mS
poundir r-) = C | |- F(laquoraquor-K--fbdquo(4--) in raquo t4CS)
uy-) =
poundgtXM + _L pound raquoltiacute ti
In I-I - r i - l iacute - D P DJT] T mdashmdashstE) E 111 lllC laquo ( il
donde x = (iexclt~ C y D son constantes = ruy = u(i mdash 1) la prima denota diferenciacioacuten
con resjMcto a j - Fin h r y) es la funcioacuten de tipo hipergeomeacutetrico [20] y nb y r tienen llaquoraquos
valores obtenidos en (418)
No hay que olvidar que cu un resonador los campos son estacionarios de aquiacute que la
dependencia con respecto a r se escribe multiplicando cada ecuacioacuten de (468) por el factor
jffi(^z) oacute coM^z) p= 123 iacutees la longitud del resonador
Calculemos el cambio en la frecuencia de resonancia para ondas de tipo TEm- La
integral del denominador de la expresioacuten (4G7) nos expresa la cantidad de energiacutea eleacutectrica
almacenada por unidad de volumen en el resonador sin plasma cuyo resultado para un
resonador hueco se obtiene de (2GC) al considerar que WE = Wn y en pnrtirular fiv ~ 1
( = 1 El resultado para este modo se expresa en la forma
U = bull EacuteltW
= ^^M-MUn) M69)
Por otro lado la integral del numerador de (4C7) evaluada sobre todo el volumen que
ocupa el plasma se calcula con ayuda de las expresiones (2G0) (resonador sin plasma)
di las expresione (4CS) (resonador con plasma de radio pequentildeo) y de tensor dieleacutectrico
(47) obtcnirlidii
= iacute iacute f ( pound - l ) [E ( gtfm l T - | pound + l l lpound l + Jit u Jn
+EuacuterosinY-(Er - iuEr) rltMiJl-^-)riexclrd^dz (470) d
donde las coui]gtoiientes Eu E y pound tienen dependencia uacutenicamente radil Al realizar la
integracioacuten sobre Iacute y iquest en los intervalos [0 d) y [02riexcl respectivamenie obtenemos
s = V iacute r(t ~ XUumlEoE + iuE^) + Eiquest(E - niE)]ltlr iquest Jo d [ [ r
bull r ( iacute - l ) Jo
iC0 r Jm-r)Er + iuE)+
+ Q--JJfr)(E^ - iuE ] dr (471) c i J
Anaacutelogamente a el caso de una guiacutea de onda se utiliza el mismo argumento bajo el cual se
considera el primer teacutermino de la iuacute fmiacutecioacuteii en serie de la funcioacuten de Bcssel con respecto
al argumento r = 2JT^ De aquiacute que (471) se reescribe como
76
c iquest iquestml Jo
Lspueacutes de hacer el cambio de variable x = (iexcljfr y sustituir la forma expliacutecita de los campos
bull 49) y (417) para E y Et en (472) se obtiene
h = gtc ( l - u ) x wirdy-raquo l c V
0 c 2 2m V(wj
J-(pound- )L-[T FUIICmdash ) + mxJ-JF(bdquolt-i)h -raquo -raquo iraquo J
(473)
donde los campos M- han considerado hasta teacuterminos del orden (|) Integrando por partes
con respecto a J el primer teacutermino de (473) obtenemos
h = -2Cy bull )h (474) c 2 2raquoi Vi bulllaquo iu
La integral (pie aparece en (474) coincide exactamente con la cjne aparen- en (433)
de donde para ondas en modo TEm s se calcula sustituyendo (427) y 1441) en (474)
obteniendo
= rColTJiacutefrr iexclJ ltd j ( l+poundo) bull(laquoiquest2f)
(475) c3473 ebdquo f(o62lplusmnlaquoraquo)+1 plusmn a i v(o62iplusmniacuteraquo)
Finalmente dividiendo (475) entre (469) se obtiene la expresioacuten para el cambio en la
frecuencia de resonancia en modo T pound m para un resonador conteniendo una columna de
plasma friacuteo de radio pequentildeo
W(D = (u - u0) - MjX 1 - -F(laquo62lraquo)
siexcl X 1 -F(abll)
(476)
77
donde
La ecuacioacuten (47C) coincide con (444) salvo por una la constante Miexcl Anaacutelogamente n
el caso de una guiacutea de onda utilicemos las expresiones (450) y (4C0) juira Fintly) y
Fllti2 i) respectivamente Sustituyendo (450) y 14CO) eji (47C) y separando las partes
real e imaginaria obtenemos la variacioacuten de la frecuencia de resonancia (Araquo) y la variacioacuten
del inverso de la calidad del resonador l -M IO)) por influencia del |gtlasiniexcli respectivamente
en la forma
mdash^ = iexcl-zFbb- 11-) [-F( fcraquo 2-)([C+(-)] ( 1 -bf-
- (1 -fraquo)(2-)[C+(fc)l-Hl-lt) J(l - - ) ) +
+ C + ()][-gt(-)(] - h) - Ij] + -(1 - l)lPt)C + laquoK))F(hb2-) x
x [l - (1 - b)2-h)F(kb2z) + PJzil - raquo)+
+ -(1 - bjgtC + () + Li z]Fbb2z) + V | 1 - )F(bullbull 2--) (478)
-poundiquestmQ) = JTSX
x Fbb-lls)|l-(l- b)(2- b)zF(bb2z) + P ( - - ) r ( l -6 ) ]+
+ --F(i)(l-6) JF( iacute t 2i)x
x [ l - ( l - f r ) (2-amp^ -F(M2^) + P J ( - - ) iacute ( l -6 ) +
+ [C + (6) + iquestn --](1 - 6)zF(ampamp2z)]2 +
+ w12(l-b)4Fa(blgt2iacute)Yiacute (4-79)
t bull bull 78
La figuras 44 y 45 muestran las graacuteficas de las expresiones (478) y (479) con respecto
a ri x ii ]gturn distintos valores de u^(0)uz respectivamente Anaacutelogamente a el caso de
la- guiaraquo de onda se han considerado uacutenicamente los primeros cinro teacuterminos en las series
para Pi) y P jU) Un resultado importante de acuerdo cotiacute la figura 44 resulta ser
que en la resonancia ciclotroacutenica la variacioacuten del inverso del factor de calidad es cero es
decir en este caso y en la misma manera como en las guias de onda no existen peacuterdidas
de energiacutea de tipo colisional Sin embargo de la figura 45 notamos que cu resonancia
rirlotruacuteliira si existe un pequentildeo cambio en la frecuencia laquole resonancia del resonador
En la fuente de plasma descrita en [2J se tiene un resonador cilindrico donde oscila
una Diida a IUIIacuteI frecuencia laquobull = 15394 x ]() excitada en modo TEw y de radio
rbdquo = cm en el cual una columna dr pliacutetstua fie radio riexcl = 3lt se ein-iieiitrraquo a lo largo
del eje tlel resonador La cavidad resonante se encuentra dentro de un campo magneacutetico
externo D mdash SloacuteGauxraquo La densidad de electrones en la fuente tie plasma puede ser igual
a ni 0) = C x 10 I 0CTO 3 En este caso tenemos los mismos valores (4C3) para yinnfv0) u
y u-ji 0)raquo mientras cpie Miexcl tiene el valor
SU = 04C55 (480)
Entonces el cambio en el inverso de la calidad y en la frecuencia de resonancia tendraacuten
los valores
A( l ( ) = mdash x 000009C2455 = 582 x 1 0 (481)
Aw = Mj x |1 - (100035)] = - 1 0 3 x 10 V (482)
79
AwMa
i
o
I
U
bull3 I
I O
bull
a 6
1 1 1 bull 1 bull
bull
_
c x ^
- r f -
| 1 bull J T | 1 - | 1 |
l IX V if | rt i iacute i ( iraquo i i i bull i i i
i i
i i i
V
deg
iacute bull f
i i i
VI 1 A 1 ^ t
x X Iacute
JU i f ^
1 bull x
so
o i
fit
Zf Z rt w
El valor (481) se encuentra dentro del rango de validez de la teoriacutea de perturliacioacuten
ile acuerdo ron (35C) Asi mismo la variacioacuten de la freruenria de resonancia es dema-
siado |Mf|ttentildea en comparacioacuten con la freruencia propia del resonador de tal manera rpie
podemos considerar une no existe un cambio fuerte en la freruenria de resonancia ion esta
densidad
Los resultado iexclinteriores de las secciones 7 y 8 fueron presentados en iexcl24] y [25iexcl respecshy
tivamente
82
CAPITULO 5
PENETRACIOacuteN DE ONDAS EN EL PLASMA
En este iiipiacutetiilo ni el marro de 1iexclI teoriacutea lineal se liare una revisioacuten sulire el proceso
gtigt- penetracioacuten de campos elertDinaRneacuteticos en un plasma En vista de ijne en la fuente
lie plasma descrita en [2j se excita una onda tipo H nos vamos a limitar al caacutelenlo de
Un coeficieiites tie reflexioacuten transmisioacuten y de alisorrioacuteu para estlt- tipo de ondas liacuteay
eme hacer notar que en el experimento [2] se tiene un campo magneacutetico externo lo que
complica fuertemente el estudio de la interaccioacuten de ondas en este plasma Nos limitaremos
en este trabajo a considerar un plasma homogeacuteneo y deacutebilmente inhomogeacuteneo sin raiujm
magneacutetico externo Estos resultados preliminares son uacutetiles para posteriormente estudiar
la transformacioacuten lineal de ondas que es muy importante para el anaacutelisis del perfil de
densidad observado en la fuente de plasma [2]
9 Penetracioacuten de campos electromagneacuteticos en el plasma
El estudio de la interaccioacuten de ondas electromagneacuteticas en un plasma tiene particular
intereacutes por la gran variedad de paraacutemetros existentes como se mencionoacute anteriormente
83
(densidad de |ttirtirulas di- diferentes tipos prado dlt- ionizacioacuten longitud de trayectoria lishy
bre tfiii|raquocratura etc) 111 los diferentes casos Una de las caracteriacutesticas mas importantes
de un plasma real es su iuliomogeueidad Alt|iiiacute los paraacutemetros del jjasiilii variacutean en el
espacio produciendo considerables cambios en las caracteriacutesticas del mismo Freruontc-
menfe en lo concerniente a la propagacioacuten de ondas electromagneacuteticas estos cambios son
tan fuertes que la pennitividad dieleacutectrica cambia de signo
91 Penetracioacuten de campos electromagneacuteticos en la aproximacioacuten hidrodinaacutemica Sistema de ecuaciones
Il l sistema de emaeiones atltoroiisisteule i|iie desrribr la penetracioacuten tie un campo elecshy
tromagneacutetico en d plasma en la aproximacioacuten bidroiliuaacutemira se compone de las ecuaciones
ile Maxwell
V x pound = -2f 51 c 01
f x f l = - - i - mdash + mdash (02) c 01 c
V bull(poundlaquopound) = 4p (53)
V H = 0 (54)
donde las densidades de corriente y carga se determinan en la forma
P- pound c raquo n lt raquo = laquoiexcllaquoi + tnt = pound e bdquo n r r n (55)
y se expresan a traveacutes de los campos eleacutectrico y magneacutetico de las enlacioacutenos hidrodinaacutemicas
de movimiento y continuidad del fluido conductor de carga o [26]
84
sect + bullbdquobulllaquobull = ^(Eacute+-vnxH)-^--^va (56)
3raquobdquo _ _ _ ~ + V-n0viexcl = 0 U 7 )
En las ecuaciones (55)-(57) tbdquo es la carga m0 la masa tibdquo es la densidalt v0 es la
velocidad hidrodinaacutemica jgtbdquo o la presioacuten y ibdquo la frecuencia de colisioacuten entre las partiacuteculas
ltir- tipo o ron las partiacuterulas di- otra claw y con las moleacuteculas El subiacutendice o rorrcspondc a
i igt i ln ipii indica a los iones o electrones correspondientemente E D son las tensiones de
ligt- campos eleacutectrico y magiacutenico respectivamente y r es la velocidad de la luz en el vacio
Se supone i|iie el plasma se encuentra en un medio con un jieruiitiviilail dieleacutectrica iacutebdquo para
un plasma gaseoso bdquo = 1 y MI un plasma de estado soacutelido es la pcrmitiviilail dieleacutectrica
de la red cristalina Ya que la permit i vidad magneacutetica del plasma praacutecticamente es igual
a uno no vamos a diferenciar la induccioacuten magneacutetica de la tensioacuten del campo magneacutetico
lo que se refleja en las ecuaciones anteriormente descritas
El sistema laquole ecuaciones (oacutel)-(57) debiacute ser complementado con las ecuaciones de
estado de la materia expresados a traveacutes de la densidad nbdquo y la temperatura Tbdquo pn mdash
p0(noTa) Siacute las variaciones de estado de las componentes del plasma ocurren perioacutedicashy
mente entonces
Tpo = bullgtltJbdquoVn0 = 7raquoltfTbdquoVnlt (58)
donde vj = 2T0m0)t1 es la velocidad teacutermica promedio de laraquo partiacuteculas de tipo o 70
e la razoacuten entre loraquo caloreraquo especiacuteficos a presioacuten y volumen constante del gas de partiacuteculas
y 1 = mil
85
Las ecuaciones ib- movimiento describen un fluido en presencia dlt- cinco fuerza- ni
interaccioacuten a) la fuerza eleacutectrica (bdquopound b) la fuerza magneacutetica J x H c) la fuerza debida al
gradiente de la presioacuten d) la fuerza de interaccioacuten o colisioacuten entre la partiacuteculas de diferente
ti|Kraquo v0vbdquo y raquobull) la fuerza de inercia m-r0 bull V)tbdquo Por otro lado vamos a ronsiderar laquopie la
ecuacioacuten de estadraquo expresa un proceso adiatgtaacutetico caracterizado por el coeficiente -
92 Penetracioacuten de ondas tipo E y H
Vamos a investigar la penetracioacuten en el plasma ile ondas di- amplitud pcquiua La inteshy
raccioacuten de ondas electromagneacutetica con el plasma perturba los paraacutemetro caracteriacutesticos
en equilibrio del plasma Si las perturbaciones de los diferente paraacutemetros son lo sushy
ficientemente |xi|iientildeos en comparacioacuten con sus valoreraquo eii eipiilibrio entonces podemos
liiuariar las ecuaciones (51 H57) es decir iexclMHIIIIIOS despreciar los teacuterminos que contienen
producto entre las perturbaciones
Consideremos un plasma semiliiuitado sobre el cuaacutel a un aacutengulo fgt incide una onda
electromagneacutetica linealmente polarizada El sistema de coordenada lo escogemos de tal
manera que el plasma ocupe la regioacuten x gt 0 y la onda se propague sobre el plano X(gtZ
(Fig51) La onda incidente parcialmente se refleja del plasma y parcialmente se refracta
a un aacutengulo 8 Las amplitudes de las ondas reflejada y refractada se determinan de las
condiciones de frontera Como consecuencia de esto si la dependencia del campo de la
onda incidente con respecto a y t se determina a traveacutes del exponente rl-laquo) donde
kiquest = k0tcn9 k0 = raquogtc y w es la frecuencia de la onda entonces en la teoriacutea lineal para un
plasma estacionario y homogeacuteneo esta misma dependencia deben tener las ondas reflejada
y refractada en el plasma a lo largo de O
86
PLASMA
(b)
FiacutegKl Penetracioacuten de una onda electromagneacutetica lincalmente polarizada en un plasma raquoemi-
limitado La onda que incide a un aacutengulo 8 parcialmente se refleja a un aacutengulo 8 y parcialmente
se refracta a un aacutengulo V a) penetracioacuten de una onda tipo E y b) penetracioacuten de una onda tipo
H
87
Supongamos UIRraquo tenemos un plasma de dos componentes compuesto de electrones bullbull
iexclunes motwcargjados ron concentraciones en et|uilibrio raquobdquo = raquoraquolaquo = gtibdquo En un (Jasina friacuteo
la velocidad ternura de los iones se puetk despreciar 1 = 0) si esta es muy pei|iK-ntildea rn
contparacioacuteii con la velocidad de fase de la onda Si a lo largo del eje 0t la densidad no
varia entonces f = 0 y de laraquo ecuaciones (51)-(58) podemos obtener el sijpiiente sistema
dtr ecuaciones para los campos electromagneacuteticos
iexclKH = iquestJtpound - iacuteiacutejEi 159)
-rmdash = -iK0e mdash pound - + mdashmdashUE r ) U10) ni [ raquo-raquor J (w ni
Jvpound = - I (512)
^ = bullbdquobdquo (513) As
ik-HiE = JiL-ikJlr (514) ni
iloiiitr iacute ex la jx-ruiitividnd dirlrctrirraquo de un plasma isotropicraquo y friacuteo
taraquo(w + l^e) W(uraquo + Ifi)
ugtgt y uy son las frecuencias plaacutesmicas de los electrones e iones respetivamente expresadas
en la forma
iquestgt tgt
4c n 0 IJ
(6M) mlaquo
w a IB frecuencia compleja raquobull = w + ic y e eraquo la permitividad dieleacutectrica del fluido de
iones en la forma
88
t=to- + bull (517) w(w + llj)
El sistema de ecuaciones (59)-(514) se descompone en dos subsistemas iudc|Hiidientes
-i9H5ll y (512)-(514) lo que corresponde a la propagacioacuten en el plasma de dos ondas
independientes (Fig51) Para las ondas con componentes E E y Hy el vector del campo
eleacutectrico estraquo sobre el plano de incidencia XOZ Esta onda es una onda con polarizacioacuten
gt onda tipo TM o E Para )n segunda onda con comeacutentente Ebdquo Hr y H el vertor
fifi rutll|Mgt eleacutertriro es |H-r]gtriiiliriiIiir al planraquo fie incidencia Esta onda es unraquo onda ron
polarizacioacuten i ulula tipo TE o H Para las condiciones mencionadas iexclinteriormente el
ijjovjmieijlo teacutermico de laraquo partiacutecula es despreciable para la propasacioacuten de ondas tipo H
Sin embargo para las ondas ti]gto E puctlc ser bastante importante
10 Penetracioacuten de una onda electromagneacutetica tipo H en un plasma homogeacuteneo semilimitado Reflexioacuten y absorcioacuten de ondas tipo H
De las dos posibles polarizaciones que puede tener la onda que incide en el plasma el caso
de la onda de tipo H es el maacutes simple Encontremos la solucioacuten de las ecuaciones (512)-
(514) en el plasma y en el vacio suponiendo una frontera bien definida Sustituyendo H
de (513) en (514) y usando (512) obtenemos que el campo E satisface la ecuacioacuten
tPE - ^ + Jkfo - laquolaquoraquo)pound - 0 (518)
89
dmde en el plasma e se determina xx (515) y en el vacio pound = 1 Es faacutecil ronwtrar laquojar
eu el varkgt los campus tienen la furnia
para la onda incidente
poundbdquo = Eoraquo Bu m Fbdquocw0 (519)
y para kgt onda reflejada
Eraquo = llEbdquo-kltlt H = -Etcoraquoraquo ISM)
iliHiilraquo- pound es lii amplitud lie In i mi In hiiiiliiiti y iacutels rl riM-riiiiiili ili- icHrxiiVn El linihi|raquoligt
r i)r--wi) at j a s rX|ri^iHBM jbdquon lri caui|HKlaquo se excluye raquo aquiacute en adelante Praquor laquonraquo laria
bullbullI rwn]Mgt cu el plasma tirnr la forma
pound() = Eiquest0)rik B() = (^) poundlt) (5-21)
donde Et[0) es Iraquo amplitud de la rom|Hgtiiiiite poundbdquo del rampraquo cliVtriro III la frontera tlrl
plasma ( = ()) y A- se expresa romo
Jt JWlaquo - e2laquo (5-22)
Si it| es una cantidad real entonces la onda se propaga libremente en rl plasma prro
siacute Ai es una cantidad compleja entonces el campo en rl plasma r amortigua dr forma
exponencial a partir de la frontera
Para determinar el coeficiente de reflexioacuten y la amplitud del campo rn la frontera de)
plasma se utilizan laa condiciones de continuidad de laa componentes tangenciales dr los
eampoa en i = 0
90
pound(0)+poundbullbdquolaquogt) = pound(0)
(0) + raquo(0)-jr ((0)
Sustituyendo (519)-(oacute20) en (523) y considerando (521) encontramos
pound(0) = pound(l + rt)
dr donde obtiiunnos el coeficiente di reflexioacuten en Iraquo forum
(523)
(524)
=ampgtbull donde
e la impedancia sti]gtcrfieial o del plasma para una onda tipo H Sustituyendo (525) en
(524) encontramos la amplitud de la componente E del campo eleacutectrico raquo teacuterminos de
la impedancia el aacutengulo de incidencia y de la amplitud de la onda incidente en la frontera
del plasma
La definicioacuten de la impedancia (526) resulta coacutemoda ya que el coeficiente de reflexioacuten y la
profundidad de penetracioacuten se expresa de forma maacutes sencilla a traveacutes de ella En general
la impedancia es una cantidad compleja ZH = X + iX2 por eso el coeficiente de reflexioacuten
se puede escribir en la forma polar de Euler
01
M(AVlaquoM+1)-+ laquo-] e gt U 2 8 gt ^^xraquoiacute-l)1 + Y|coIiacutel
l
donde bull dcfitie la fase en la forma
XjcosO XjcosB bull = arctan bull mdash- - arctan bdquo mdash- (o29)
A i c o s 0 - 1 Xcos8+l
Uu paraacutemetro muy important del medio es ltbull) coeficiente lt]ltbull iexclilgtson-iiraquou el cual indica
laquorue laquoarte dc in energiacutea de la onda incidente se transfiere al pla-siiiraquo Si
P = 4~E x j = -iexcl-Eltraderaquo (030)
eraquo Iraquo denudad laquoIt-1 finjo de CIHTRIacuteH normal u la frontera dr la onda laquo[in incide y PT = y| |
es la densidad del finjo laquoIr In onda reflejada entonces el laquobulllaquobulleficiente de iilisorrioacuteii se define
roiiMraquo
W = ^mdash^ = 1 - |J|raquo (531)
Sustituyendo (528) en (531) obtenemos el coeficiente ltle absorcioacuten en teacuterminos de las
partes real e imaginaria dc la impedancia
W laquo Xcogt$ (532)
Ahora analiacutezemos con maacutes detalle las condiciones de propagacioacuten y amortiguamiento
de ondas electromagneacuteticas en un plasma de electrones en diferentes rangos dc frecuencia y
calculemos los coeficientes de reflexioacuten y absorcioacuten para cada casraquo respectivamente Para
92
ello sustituyamos (515) en (522) donde en este caso debido a la gran diferencia dr
masa de lo iones con respecto a los electrones consideraremos iquest^ as 0 Dr esta manera
obtenemos
r w V2
t - laquo raquo raquo - - (533) l jltlaquo + ilaquot)J
Consideremos los siguientes casos
a) El caso de altas frecuencias (cr lt -gt) Aquiacute los choques entre los electronraquo- se pueden
ilespreciar y entonces X- se reduce a la forma
Xraquo i- = - l - r o ^ - ^ (534)
En el reacutegimen de frecnciiriajiacute u lt ^lotfiacute lu m]x-ltlnraquorii es una caiitiilncl real y por In
tanto el coeficiente di- reflexioacuten y de absorcioacuten tomitii resjMrtivnniente la forma
donde
En este caso la fase (529) es igual con cero lo cual nos indica que laraquo ondas incidente
y reflejada se encuentran en fase Por otro lado la condicioacuten de amortiguamiento en un
plasma gaseoso sin colisiones consiste en que se cumple la desigualdad
ucof8 lt ugtVf (538)
03
IntrotUuetunos en calidad dr cararteriacutestica de penetracioacuten lthI ciexclttii|Mgt una |gtroftmililtlaltl
compleja de itetirtracioacuten determinada por medio de la relacioacuten tgt = t(gtraquo iquesti) El sentido
fiskti di la cantidad i es la distancia a la cual la amplitud del rampraquo en rl plasma ilecren
eu e mdash 271 veres de su valor inicial Con la condicioacuten ugt gtbull uicosB la profundidad de
penetracioacuten (anchura de la capa piel) no depende de la frecuencia = cu
h) En la regioacuten de bajas frecuencias w lt vt) los choques ya mgt se pueden despreciar En
este caso Rt Jt| s Ivi k y el campo en el plasma decreeraquo- ex]Mmirurial y oscilatoriamente
ilruumldr la frontera Si v gt m slt- tiene
k = -^zJviVrCosH+i- (539) Jiv v
si iacuteiilnilaacutes raquoiquest gt vrivosH entonces
y la longitud laquoIr la rapa piel tiene la forma
r iexcl2vt iquest = mdash J mdash = - 7 f iquest mdash (541)
donde raquo0 SB wf(4ffi) es la conductividad del plasma Notemos que (541) determina
la profundidad de penetracioacuten del campo en un conductor en el cual fluye una corriente
variable de baja frecuencia Asiacute las expresiones (521) determinan el campo en el plasma
en condiciones de un efecto piel normal o claacutesico A bajaraquo frecuencias y alta temperatura
del plasma estas expresiones ya no son vaacutelidas y es necesario analizar la penetracioacuten de los
campos en base a un modelo cineacutetico
Considerando las colisiones entre las partiacuteculas la impednncia del plasma tiene la forma
94
Zbdquo = (542) ^ugt(u)1cot10 - u pound ) + bull-bullJraquo
Si la frecuencia de colisiones es pequentildea pero sigue siendo finita y ademaacutes se cumplen las
desigualdades v lt raquo- ffgtiacute lt gtJcosi0 mdash uiiquest() entonces (542) se transforma COJIJO
Zbdquo = (543)
de donde observamos que en la regioacuten de frecuencias uirraquo^ lt ufPr el rocuumlcinjte ile iibsorrioacuten
se exprtsut en la lonnti
W = 2pro^Jtvwtraquo - l ) - (544)
Por otro lado si la frecuencia de la onda es lo suficientemente pequentildea tal laquopn- i gt laquobull y
se cumple la desigualdad J^Kv) gt OM rntonres la inj|MdnncIacutei se expri-sraquo como
z - iacute1 Voacuteiacute (545)
V -gtltbull y loraquo coeficientes de reflexioacuten y absorcioacuten se expresan respetivamente en la forma
R = (l-2Acltw0) 2e- MltM (540)
W = 4Xcoraquo9 (547)
donde A^ laquo -Xt = bullraquo( 2wt)
Finalmente observemos que las peacuterdidas de energiacutea que la onda sufre en el plasma
defiacutenidu por las foacutermuias (544) y (536) tiene diferente significado fiacutesico La W diferente
de cero cuando u = 0 esta relacionado con la excitacioacuten de una onda electromagneacutetica en
05
el plasma y el valor de W de (544) determina la parte de la energiacutea de la onda incidente
qiK- es utilizada para el calentamiento de los electrones del plasma eigt la capa piel
11 Paso deacute una onda H a traveacutes de una capa de plasma
Si la profundidad de penetracioacuten del campo ni una capa de plasma es tk-I orden de sns
dimensiones transversales o si la onda se pro|gtaga elraquo el plasma entonces la influrmia de
la segunda frontera del plasma resulta muy importante Determinemos el campo en el
plasma y los coeficientes iexclle reflexioacuten y de transmisioacuten en el paso de una onda incidente a
traveacutes de una rapa de plasma homogeacuteneo de anchura d
El canijaraquo i-n el vacio o cu la regioacuten T lt 0 tiene la forma (519)-(iquestj2l)) y el campo en la
regioacuten i gt 0 tiene la forma
Eraquo = TE0tcu = Eraquoltbdquosraquo (548)
donde T es el coeficiente de transmisioacuten El campo en el plasma consiste de dos ondas
tina de las cuales se propaga en direccioacuten de los valores positivos y la otra en direccioacuten de
los valores negativos de x
E = Aek + Be-ik = - iquest trade (549)
Las condiciones de continuidad de las componentes tangenciales del campo en la fronshy
tera del plasma x = 0 y x = ti anaacutelogas a (523) permiten determinar T y el campo en
el plasma
06
R = (1-pound)AiquestlaquogtM (550)
T = 2icoa$aacuteJWt - atn8t-kdeg (551)
Ey = 2cos8bTHi [iyt - iacuteenflcoJt(iacute - x) + aM0eni-(ri - ) ] (552)
donde
Aw = (t - 1 + 2colaquoI0)ifnfrrf + 2raquoVi - xriMrosHrosktd (553)
En el caso dr una onda que ]M-nctra en el plasma para la cual iquestrosH gt u dcspnviando
las colisiones entre las partiacuteculas el coeficiente de alisorcioacuten determinado como
B s l - R - T (554)
es igual a cero El cani|wgt en cl plasma tiene la forma dc uua onda estacionaria y con
la variacioacuten di- la cantidad t|rf los coeficientes de reflexioacuten y refraccioacuten oscilan Si en
condiciones de cierto piel kfd lt 1 entonceraquo a frecuencias lo suficientemente pequentildeas
(laquobullpound gt -(w + iv)) los coeficientes de reflexioacuten y nfraccioacuten tienen la forma
R = - (o iacute + io3)(o + 2co8 + iaj)~ (555)
T = 2cos0(a f 2ctgtiacuteiacute+^OJ^ (55C)
donde
- - 5^5-
97
En este caso el coeficiente de absorcioacuten se expresa como
IV = 4ocolaquo[(oi + 2co9)2 + a]]- (559)
Si Pt gtgt raquobull entonces o t gt cgt-iexcl Las peacuterdidas maacuteximas en este caso se obtienen con
la condicioacuten o = 2coi0 iguales a la mitad de la energiacutea de la onda incidente Las ondas
reflejada y refractada en este caso tendraacuten la misma amplitud en valor absoluto Las
foacutermulas (555)-(55G) se pueden generalizar para una capa delgada con cualquier iuhomc-
gcticidad Si diquest kcbdquobdquoj lt 1 entoneacuteis los campos en el plasma se ltrternmii del sistema
de ecuaciones
ils Ai r(w + ivrs)) = laquogtbull r 1 f i - laquo5CII)
donde las soluciones tienen lt forma
pound = C H = -f(x)C + C (5C1)
siendo
co w + iit(j)
Las condiciones de continuidad de los campos en las fronteras x = 0 y r mdash d nos llevan a
los valores (555) y (556) en los cuales oiacute = Re laquo(lt) y a2 = Im n(rf) Por otro latioacute
las constantes Ct y C3 a traveacutes de las cuales se expresan los campos en el plasma tienen
la forma
C = TEltiexcl = 2E0coraquo9aH(d) + 2coraquo9)- (503)
Cj = 2EoCO$eaH(d)co6)aHd) + 2coraquo8)- (564)
98
12 Penetracioacuten de una onda tipo H en un plasma deacutebilmente no homogeacuteneo
En una gran variedad de aplicaciones la densidad del plasma variacutea lentamente en el espacio
desde cero hasta cierto valor maacuteximo La penetracioacuten del campo en tales plasmas se
diferencia fuertemente de la penetracioacuten en un plasma con una frontera bien definida o
fuertemente no homogeacutenea Las ecuaciones que describen a las ondas electromagneacuteticas
en un plasma no homogeacuteneo son un sistema de ernarkmes diferenciales ron roefirntildeiites
variables iloudr sus soluciones exartas o aproximadas se enriient ran uacutenicamente para rasos
(laquoarticulares Uno ile estos rasos |gtartirulares es aquel laquoIr un medio de ra)gtas planas donde la
densidad variacutea ni una sola dirrrrioacuten Una serie dr soluciones escarias de las eruaeiones ile
la clertrodinaacutemira en un medio ile rapas planas ron diferentes variaciones de la densidad
se pueden ver en los trabajos (2327) Generalmente soluciones aproximadas relativamente
simples en estos medios se pueden eiirotitrar en regiones asintoacutetiras es decir a distanrias
grandes ron rcsjwrto a los puntos singulares de las eruaeiones difcrenriales Los paraacutemetros
que se usan en esta aproximar ion pueden ser la relacioacuten del tamantildeo caracteriacutestico de la
no lioinogcneidad L ron res|ierto a las longitudes de propagacioacuten A de las ondas en el
plasma Si uno de los valores rumple la desigualdad LX gt 1 eutoures en relacioacuten a esta
onda al plasma se le puede llamar deacutebilmente no homogeacuteneo La penetracioacuten de campos
electromagneacuteticos en un plasma deacutebilmente no homogeacuteneo se ha considerado en diferentes
trabajos [222327-31] Consideraremos algunos resultados obtenidos
Veamos un plasma compuesto de iones pesados fijos con densidad n0i) la carga de
los cuales en estado no perturbado se compensa con la carga dr los electrones ron temshy
peratura diferente de cero Te La densidad del plasma n0 - 0 ruando iacute - t O y rrece o
es infinita cuando mdashraquo ce No existe campo magneacutetico externo y la distriburioacuten de eler-
99
trones por velocidades es isotroacutepica Para la descripcioacuten de la penetracioacuten de mi cam]Mgt
electromagneacutetico en tal plasma se utilizan las ecuaciones de la hidrodinaacutemica (50)-(514)
en las cuales hay que sustituir iacuteo = 1raquo iacutei = 1 y gt mdash gt()bull La i-ruacioacuteu diflaquoniciacuteal (5IS)
que rige la jicnetracioacuten de ondas tipo H en un plasma no homogeacuteneo toma iexclihoni la fonna
iPE -=bull + kl(t[x) - stnH)E = 0 (5C5) tiacutex
donde la pcrinitividad dieleacutectrica es funcioacuten de la posicioacuten en la forma
pound ( ) = 1 ttiquestIl (5GG)
w(uiacute+ II ( x ) )
De id ecuacioacuten (oacuteCuuml) se puede hacer ililncdiiitaiiieiite tilia serie de deducciones a) 1raquo onda
se propaga libremente en li regioacuten Jif t lt bullgtni1tiacute b) en mi plasma maacutes ileliso iloude
Jlt gt nrrifl la propagacioacuten se vuelve imposible y la onda uacutenicamente penetra el plasma
en la longitud de la rapa piel y c) el punto Rr pound = srtiB es el punto de corle donde 1raquo
onda se refleja
En un plasma deacutebilmente inhomogeacuteneo ruando raquoo(x) variacutea deacutebilmente en la longitud de
la onda que se propaga por el plasma la ecuacioacuten (5C5) se puede resolver por el meacutetodo de
la geometriacutea oacuteptica para una dependencia arbitraria de la densidad gtibdquo(s) [23] La enlacioraquo
(565) tiene una solucioacuten exacta para una capa lineal cuando la permitividad dieleacutectrica
(v(x) lt ui) puede escribirse n la forma
donde
+ iUumlIacutepoundgtpoundf 507) X0 WI0
bull = amp
100
Aquiacute a es la pendiente que caracteriza la dependencia lineal de la densidad de electrones
ron respecto a la posicioacuten Para el caso de un plasma sin colisiones (e = 0) reescribimos
iacuteoacute65) en la forma
- pound + kl( co1raquo - mdash )pound = 0 (569) ax Xo
haciendo el cambio de variable
C=[f) ix^coraquo2raquo - x) (570)
la ecuacioacuten (5C9) se puede llevar a la ecuacioacuten de Airy
^ + C pound = 0 (571)
Su solucioacuten decreciente cuando i mdashbull ltx tiene la forma [32]
poundraquolaquo) = mdash coM--Ct)gtlv (5-72) ir Jo J
donde A ex una constante que se determina de la roiidieiones de frontera manilo x = 0
En la obtencioacuten de la expresioacuten (572) (te lia despreciado la reflexioacuten de la onda en la
frontera del plasma debido al gradiente de densidad Es decir la amplitud del campo
eleacutectrico en el punto x bull 0 se considera igual a Eg lo que es vaacutelido para valores pequentildeos
del gradiente de densidad en este punto (|^|o ltC k) En la regioacuten 0 lt x lt x0colaquo28
debido a la suma de las ondas incidente y reflejada poundbdquo(() tiene la forma de una onda
estacionariacutea Lo anterior es asiacute ya que para valores positivos y grandes de ( E(Q tiene
una representacioacuten asintoacutetica en la forma [32]
101
Cerca df la frontera los valores del campo estaacuten dados aproximadamente |laquogtr
cuyo valor maacuteximo es
4a-gtgt-w-niexcliacuteiquest5^- bull (575)
Ln expresioacuten (575) resulta de la interferencia constructiva de las ondas ipie viajan a In
ii|UIacutecrda y a la derecha rrsprctivamrnte pin lo tanto la amplitud de la onda incidente poundbdquo
tt-tidru la forma
Aliora evaluemos la ronstatite 4 de (572) Para rilo iitiliemos la representacioacuten
asintoacutetira (573) y consideremos la condicioacuten de frontera de acoplamiento de los campos
en el plasma y en el vacio
poundT(0) = JEIacute (577)
De acuerdo con la definicioacuten (570) para ( podemos escribir el teacutermino ijCv en ln forma
f^^ (--pound_) (578)
Sustituyendo (578) en (573) y evaluando en x = 0 obtenemos
3A 2 ir poundlaquo(0) ) = -7k0Xo)-ucos-iacuteli9coraquo(-k0j0coS9 - -) (579)
yf f O 4
102
x = O = x0rnslV X
FiexclgS2 Alii|tli(ultl laquoId rrtiii|ngt eleacuterlrim cu la vecindad del punto de reflexioacuten s - xbdquoiiiH
Finalmente apurando 1raquo roiitliacutetiacuteoacuten de frontero (577) cnroutraiiioM el valor de A
(580)
La amplitud aacutee la onda estacionaria que se forma en el plasma cu los puntos cercanos
al punto de reflexioacuten x = Xoco29 crece (Fig52) Su valor maacuteximo se puede obtener de la
expresioacuten (572) el cual corresponde al primer cero de la derivada de la funcioacuten de Airy
[11] y tiene el valor
2 a a | l = 268 (581)
Asiacute dividiendo (5S1) entre (576) obtenemos el coeficiente de amplificacioacuten de la amplitud
del campo eleacutectrico en el plasma con respecto al campo en el vacio
103
| s f = 374(oolaquo3laquo)3 (582)
En el caso maacutes general de un plasma deacutebilmente inhomogeacuteneo en (562) en lugar dr
arbdquo debemos sustituir
En este caso para valores grandes de (koro)l^eoraquo0 auacuten una |MI jtirntildea parte imaginaria de
ki pcniMtiviacutedad dieleacutectrica puede rondticir a jteacuterdidas significativa de energiacutea de la onda
Si ni gtgt P jiacute () entonces la ecuacioacuten (571) conserva su forma pero ( en csrraquoiexcl caso laquo-S una
cantidad compleja
- ( )
raquo ( j v o ^ + x - mdash ) (584)
Nuevamente la onda (pit se forma en la regioacuten 0 lt x lt sltol(t es una onda estacionaria
lgtcro ahora la onda que se refleja cu el punto de corte Tit t = oc) nltgt tiene la misma
amplitud de la oiiif-t incidente Aquiacute cl coeficiente de reflexioacuten es diferente de la unidad y
se expresa como [23]
R as e m laquomdashgtbull m e-raquopound raquolaquoraquo (585)
La amplitud maacutexima del campo cerca del punto de reflexioacuten en este raso disminuye en
Ry
|iexcl iacute | 2 374|| 2(ltWw3)1 3 (586)
104
CONCLUSIONES
I Se describioacute la teoriacutea general de las guiacuteas de onda y resonadores cilindricos En base a
esta teoriacutea se obtuvieron obtenido los paraacutemetros principales que ritrart izan vi sistema
de microondas di- la fuente de plasma descrita cu [2] En el raso ilc una guiacutea de onda
cilindrica hecha tiraquo- bronce y ron Suacuterm de diaacutemetro interno se obtuvieron los siguientes
valores para los distintos paraacutemetros de pro|gtagariexcloacuteu de midas litadas en el IIIIHIO
A = 145rw raquobullbdquo = 13 x WHi I = 02753rraquor A = 22S2raquo Zbdquo = 187
ti = 56 x 10degtrade K3 = lC x 10uumlcfia
La constante de amortiguatniento lgtara estas ondas romraquo ronseriiriiciraquo de la roudur-
tividad finita ile las paredes metaacutelicas tiene el valor om = 1032 x 104 como este valor
es muy pequentildeo obtenemos que se puede considerar que la guiacutea de onda del sistema de
microondas (de no maacutes de un metro de longitud) es una guiacutea de onda ideal (sin ]xrdiexcldas de
energiacutea) Por otro lado para el resonador cilindrico laquopie compone el sistema de microondas
de radio a bull 7cm se obtuvo la distancia necesaria para que en el resonador oscile una onda
en modo Ht (wm = 15394 x 10(f ) Esta distancia tiene el valor d - 71Gcm Ademaacutes
se evaluaron la calidad del resonador y el ancho de banda donde el modo TEu puede ser
excitado uacutenicamente Q =bullbull 404963 w2 - uraquo = 000025 x WH respectivamente
II Se analizoacute el problema cuando la guiacutea de onda y el resonador cilindricos conshy
tienen una columna de plasma friacuteo magnetizado e inhomogeacuteneo distribuido axialmcnte
105
La columna de plasma cti el caso de la fuente de plasma [2j tiene un radio r = 3mraquo
y ademaacutes el perfil de densidad se consideroacute de tijraquoo paraboacutelico Eu base a la teoriacutea tie
perturbacioacuten y usando como paraacutemetro pequentildeo la pequenez del radio del plasma con
respecto a la longitud dt- onda se calculoacute la constante de amortiguamiento de la ondas
que se propagan en la guiacutea de onda ocasionada por la presencia del plasma La constante
de amortiguamiento tiene el valor o = lSS x 10~4
Se calculoacute ia variacioacuten de la frecuencia de resonancia fie las ondas que se etinieutran
resonando en modo TEtti en i resonador asiacute romo la variacioacuten en el inverso dr la calidad
del resonador obteniendo resp t-tiacutevaineiifc Aw - -lG3x 10 H MlQ) = oacuteS2x lO1
Los valores para n Aw y plusmniexclQ) se obtuvieron paro el caso mando ^bulljiacute(l))raquo = OS y
para el punto cerranraquo al punto di- resonancia ciclorroacutenica u = 0999 Ademaacutes se obtuvo
que la constante de amortiguamiento en el caso de la guiacutea de onda en el punto de resonancia
ciclotroacutenica l-u = w) se hace cero De lo anterior podernos roiirluir que la inutii se propaga
libremente en el plasma
III En el marco de la teoriacutea lined se analizoacute el proceso de penetracioacuten de campos
electromagneacuteticos en un plasma scmilimitaclo Se obtuvieron Jos coeficientes de reflexioacuten
transmisioacuten y de absorcioacuten para ondas tipo H tanto para un plasma homogeacuteneo y un
plasma no bomogeacutetieo Un aspecto fiacutesico importante en el estudio de la penetracioacuten de
ondas electromagneacuteticas en plasmas inhomogeacuteneos es que para una incidencia normal existe
un crecimiento del campo eleacutectrico en el punto donde la permitividad se hace cero Para
plasmaraquo magnetizados el comportamiento anterior es similar Por otro lado cabe sentildealar
que los puntos dentro de un plasma friacuteo e inhomogeacuteneo en los cuales el iacutendice de refraccioacuten
106
es infinito permite una absorcioacuten de las ondas de tipo no colisional en el plasma y al
mismo tiempo se obliga al campo eleacutectrico a tener un valor finito Esta absorcioacuten en el
plasma se asocia al hecho de que en el punto iacute = oo el campo electromagneacutetico sufre una
transformacioacuten lineal en otro tipo de ondas
Finalmente hay que hacer notar que la absorcioacuten de las ondas en las guiacuteas de onda
y los resonadores se debe uacutenicamente a la variacioacuten o cambio que sufre la constante de
propagacioacuten y la calidad del resonador respectivamente por la influencia tlcl plasma Este
mecanismo de transferencia de energiacutea ai plasma es diferente al mecanismo laquoIr la transforshy
macioacuten lineal de ondas
107
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110
CAPITULO 1
DESCRIPCIOacuteN DEL PLASMA
1 Principales paraacutemetros del plasma
El plasma rs un uniacute lio nmsinritro compuesto laquole partiacuteculas cargairaquo positivas negativas
y ademaacutes tli- partiacuteculas neutra (aacutetomos y moleacuteculas) que inicraci-ionan entre siacute y con la
radiacioacuten Las partiacuteculas positivas son los iones y las negativas son los electrones (los iones
negativoraquo juegan un papel secundario) Ademaacutes de los aacutetomos y de las moleacuteculas que se
encuentran cu su estado base en el plasma ]meden existir tambieacuten en grandes cantidades
aacutetomos y moleacuteculas cu estados excitados El plasma entonces es un gas ionizado en el
cual la carga negativa de los electrones neutraliza casi completamente la carga positiva de
los iones
Veamos algunos procesos que ocurren en el plasma (3-7] El plasma se obtiene por la
ionizacioacuten cuando se separan los electrones de los aacutetomos o de las moleacuteculas Son posibles
dos formas de ionizacioacuten en un plasma denso principalmente tiene lugar la ionizacioacuten por
choques de los electrones con los iones o aacutetomos nertros y para un plasma muy enrarecido
es caracteriacutestica la ionizacioacuten por radiacioacuten (oacuteptica ultravioleta y por rayos X) Es posible
tambieacuten que ocurra la ionizacioacuten por los choques entre los aacutetomos o con los iones El
3
proceso inverso iquesti 1Iacute ionizacioacuten es lit recigtmlltinlaquoooacuteiiexcl es ib-cjr Ib unioacuten de un electroacuten con
mi ion y con ii consecuente formacioacuten de un aacutetomo o moleacutecula neutra En un plasma
enrarecido la igtgt iacuteniliniexclnioacuteii ocurre generalmente con radiacioacuten y en un plasma denso lu
riioiubiiiacioacuteu gtbullbull rriiiiii en los choques triples (se recoiuliina un electroacuten y un ion y mi
segundo electroacuten gtbull lleva el sobrante de energiacutea) Por otro birlo el plasma lugt solamente
radia hi visible sino tambieacuten radiacioacuten ultravioleta y ademaacutes si t-1 plasma es muy caliente
tambieacuten radia rayos A
El plasma por naturaleza se comporta como un gas por lo que para su laquoICM riprioacuten
si- utilizan ronrepros talrs como densidad presioacuten (esiipfralmgt itr El movimiento ile
las partiacutecula- ocurre ilr fon na caoacutetica En laquoI caso laquobull bull partiacuteculas lt|tilt- no timen carpa en
su movimiento teacutermico la iliriciioacuten de su movimiento varia solo |Mgtr los c-limpies como
cu un gas simple Entre cada choque el movimiento de las partiacutecularaquo con velocidad
constante r describe una linca t rta En este cano la longitud promedio de recorrido
lilwe es A = VT = iexclnma donde r es el tiempo entre los clioques nm es la densidad
tlil medio y n es la seccioacuten de choque A mayor densidad la longitud de recurrido libre
medio tm menor y Ja frecuencia dr rolimeacuteo v = 1T = nmav es mayor Loraquo choques entre
las partiacuteculas neutras ocurren por la accioacuten de fuerzas de corto alcance las cuales son
proporcionales a rri y pueden ser tanto elaacutesticas (intercambio uacutenicamente de energiacutea
cineacutetica) como inelaacutesticas (transformacioacuten de la energiacutea cineacutetica de las partiacuteculas ergt otras
formas de energiacutea como son excitacioacuten ionizacioacuten y recarga) A diferencio de las partiacuteculas
neutras sobre las partiacuteculas cargadas actuacutean tuerzas de largo alcance proporcionales a r
las cuales se rigen por la ley de Coulomb Esta interaccioacuten disminuye lentamente con la
distancia El movimiento de las partiacuteculas ya no se realiza por una linea quebrada sino
siguen trayectorias muy complicadas Sin embargo estas trayectorias se pueden aproximar
a una linea quebrada y en esta forma introducir el concepto de choque coulombiano En
4
iexclo inuwrioacuten iilt- 1iexclIgt partiacuteculas las maacutes fuertes resultan raquo T las de largo alcance Las
interacciones coulombiaiifis determinan Minchas propiedades del plasma A traveacutes de eacutestas
a|raquoareceii las propiedades colectivas del planum relacionadas ron la interaccioacuten simultaacutenea
ltltbull mtiriiH- partiacuteculas
Las partiacutecula nue componen cl plasma se encuentran igteniianenteinente en estado de
movimiento teacutermico caoacutetico Este movimiento se caracteriza por lit temperatura del plasma
7 romo un todo y por la temperatura Tbdquo tic siis diferentes componentes (aquiacute ir puede ser
i o i pata iexclos elertrmies o iones respectivamente) La temperatura liacuteeiennina la energiacutea lilshy
las partiacuteculas del sistema el euiil se tinmiit i iexcli en ei|iiililirio teri-iodinaacuteiiiico El |gtlnsiiit se
llama isoteacutermico si este se encuentra en equilibrio teuuodinaacuteinico ionio un todo y la funcioacuten
de distrUumlMieioacuteit de la energiacutea de las partiacuteculas de todo tipo es una distribucioacuten inaxweliacuteaua
con una misinn temperatura X (T = T = T) En el caso de un equilibrio lennodiacutenaacutemicolaquole
una parte del plasma cuando diferentes componentes tienen una distribucioacuten maxweliana
pero diferentes temperaturas vi plasma se llaina no-isoteacutermico o sea Tt iquest T Esto uacuteltimo
es posible debido a laquopie cl intercambio de energiacutea emre los electroiws y los iones ocurte maacutes
lentamente que el intercambio de energiacutea entre las partiacuteculas que tienen una misma masa
En base a esto uacuteltimo en un plasma no muy denso con pocas colisiones puede existir
un estado con dos temperaturas ioacutenica 7iexcl y electroacutenica T En el caso de una funcioacuten de
distribucioacuten maxweliana de las partiacuteculas fm exp(-m0vl2kTo) la temperatura de un
plasma en equilibrio determina la energiacutea cineacutetica promedio del movimiento teacutermico
3fcT _ _ _ _ _ ^=(mavl2) = Eacutee (11)
donde k mdash 138 x W~ttrgioraquodegK es la constante de Boltzmann y 7_ es la temperatura
de las partiacuteculas de clase o La raya superior en la parte derecha indica un promedio con
respecto a las velocidades
5
Una earailiTisMra importante del plasma rgt la fririMii-in plaacutesmica la cual esta canic-
tiriaila por liis oM-ilaciacuteouo electroacutenicas ltlrl plasma
tliHide i es la carga del electroacuten (t iexclft 4SU32 x 10iraquolaquotoiWoraquo()i u es 1iexcliexcl concentracioacuten ilr
electrones (laquobula iii mi) y MI lt~iexcl la masa del electroacuten (raquolaquo = 01095 x lO^V)- Las oscilashy
ciones |gtliacuteisiuiris son oscilaciones longitudinales electrostaacuteticas i|tn- surgen romo resultado
ilr hi separacioacuten ilr partiacuteculas lardadas a distancias microscoacutepicas y ilil surgimiento de lalaquo
fuelas ill COIIIIIIIIII La fu incuria plaacutesmica soacutelo depende dr la ciiurrut racioacuten laquo
raquo- 5 Tx Wyj^ 113)
ii ltii la forma
A = | = 2 x l O 3 ^ 1 0 ^ (14)
La escala temporal ill separacioacuten laquole carga cs una cantidad inversa a la frecuencia plaacutesmica
r ss 1w Como laquoi los intervalos dc tiempo gt r las partiacuteculas realizan imirlins oscilashy
ciones cerca de su posicioacuten de equilibrio entonces el plasma como un todo se comporta
como un sistema neutro en el tiempo La separacioacuten de cargas puede ser importante soacutelo en
intervalos de tiempo t lt r pequentildeos con respecto a la escala temporal La escala espacial
de separacioacuten de cargas es la distancia basta la cual se puede desplazar una perturbacioacuten de
la concentracioacuten de las partiacuteculas cargadas debido a su movimiento teacutermico en un tiempo
igual al periodo de las oscilaciones plaacutesmicas la cual se expresa en la forma (dada en cm)
laquobullV V 4iregtnt
6
doxiie = lTni mdash 45 x VSyJT laquo-s In velocidad del movimiento teacutermico de los
bull iexclii-roiifs 7 laquo- Iraquo fltbullijijx-rittiilt le los electrones en A y gt es la cow-rut racioacuten laquole los
bullllaquoM-roraquofgt MI nn~ bull La ltlisuiiit
bullgtbull llama radio ltit- Debye para los electrones Para tin plasma niasiiirtirro es necesario ijiie
its liiuiitiMoiiis riinirifristiras L scan siciiihnitivniiifiitc mayores ipie el radio ir Debyc cs
laquo[bullbullbullbulli L ~iquestgt in ion esta condicioacuten slaquo- purde considerar ijnc laquobull -iexcl-teiacutena ilf partiacuteculas figtrman
un plasma En riiMi inverso L ltg riexcl i tenemos mi coiijmtlo I|I- |gtutiiiiiii- cargadas
-f|gtnli- Asiacute llenamos iexcli la definicioacuten laquoIt-1 plasma propuesta por Laugmuii [5iexcl rl plasma
i-s tin conjunto tic partiacuteculas iirutras y careadas en rl cual ai sc satisfaci- la condicioacuten dc
ciiasiiii-utralidiid poundbdquo rbdquoraquobdquo = 0 y lit el radio dc Debyc dc apaiitallainit-iilo es mucho niiiior
bullinraquo1 las dimensiones caracteriacutesticas laquopic ocupan el conjunto laquole partiacuteculas r^ lt L
Una infltiriiciii iiii]iortantf sobre rl iiioviinie-nto de las partiacuteculas la ocasionan la exisshy
tencia laquolaquobull un riexcluingt magneacutetico externo constante el cual ordena el movimiento caoacutetico de
las partiacuteculas En un campo magneacutetico actuacutea laquoobre las partiacuteculas cargadas una fuerza llashy
mada poiidcroinotriz (lorentziana) dirigida ])cr]gtcndirulannriite a la direccioacuten del campo
magneacutetico B0 y a la velocidad de la partiacutecula iacute Bajo la influencia de esta fuerza las
partiacuteculas giran con una frecuencia angular igual a wBbdquo A esta frecuencia se le conoce
como frecuencia riclotroacutenica o de Larmor y para los electrones tiene la forma
~B = mdash 176x07Bo (17) me
Para que el plasma resulte ser magnetizado (anisoacutetropo) eacuteste no debe ser muy denso y
deblt encontrarse en un campo magneacutetico muy fuerte Por esta razoacuten es necesario que en
laquorl intervalo ltli- liniipo vnf dos i-olisiotn-s rbdquo las partiacuteculas pmdan nahzar uiiniios iexclinraquo
ttlri-drdor ill- las lincas del raui]Hgt iiiiiacutegiit-tiro Esta condicioacuten gtbull inarm tizai ion jitira lets
rliTtroiics es di- la forma
w laquo r m raquo l (lSj
En la ltlin riiiiti ilrl rampo iiiin-iiitiio la influencia de laquo-sir soliri- Ins partiacuteculas careadaraquo cs
nulo En mi campo magnet iro lioiiiogeacutem-o las trayectorias del movimiento dc las partiacuteculas
cargadas tiiinu forma bullltbull bullbull -jiiiiilraquo-
Por laquofin lado liay ijiir diferenciar los conceptos dc plasma friacuteo y plasma caliente Eli
mi plasma friacuteo r) movimiento teacutermico de las partiacuteculas es menor que la presioacuten i-I bullbulliinjgtgt
MKiKiirtim es decir
-2=2fIlti (io) Entonces podemos decir que rii mi plasma friacuteo que sr oiicticiif ni en mi campo magneacutetico
w puede despreciar rl movimiento trrminraquo dc1raquogt partinilas En mi plasma caliente esto
uacuteltimo no es vaacutelido
2 Meacutetodos teoacutericos de descripcioacuten del plasma
En el desarrollo de la concepcioacuten del plasma como un gas de partiacuteculas cargadas cambiaron
tambieacuten los meacutetodos de su descripcioacuten Los primeros modelos maacutes simples de la descripcioacuten
cualitativa del plasma lo suponen como un sistema de partiacuteculas cargadas que no interar-
tuan entre siacute y que se mueven libremente en presencia de los campos eleacutectrico y magneacutetico
externos Es decir si so considera que el plasma esta compuesto de jVbdquo partiacuteculas de clase o
8
iexclbulli -r mueven dcltido iexcli MI energiacutea teacutermica en forma caoacutetica entonces es uii-fNarin resolver
~ ecuaciones laquogtbull movimiento con uti miacutenimo iexclEnfil raquobullbull condiciones iniciales i posicioacuten y
-bullbullio-idades iniciales ilr partiacuteculas | Obviamente esto uacuteltimo es imposible de realizar Se
puede reducir fuertemente el problema si gtraquobull desprecia liexcli dis]gtcrsiexcleacutegtn de las velocidades dr
bullu iovimicnlo teacutermico es decir si se considera el movimiento promedio de una partiacutecula
laquoiexclHe v encuentra en reposo cuando no hay campos externos Asiacute este modelo simple
de iexclarticulas independientes completamente desprecia no solamente la interaccioacuten entre
piiriexclniiacuteiacuteiraquo sino eiexcl movimieiiio teacutermico de la- mismas
Pura determinar la velocidad dgt- una partiacutecula carnada del ntasma en el modelo de
pariacuteVittiis independiacuteenles se resuelven las i (ilaciones de movimiento para partiacuteculas de
gtia- bullgt en la forma
-y- = lt iacute iquest + -|ibdquo X D + iexcliexcl111 I110) Jlz
ir ~ donde iexcl = gtnbdquorbdquo es el impulso de la partiacutecula de dase o y ies la aceleracioacuten provocada
por fiHTns no electromagneacuteticas Eti las ecuaciones (LiO) la iiidiiccioacuten magneacutetica D
y el campo eleacutectrico E no se consideran como variaUes conocidas ya ipie estos campus
incluyen en siacute campos inducidos en el plasma cjue MOJIacute provocados por el movimiento de las
partiacuteculas cargadaraquo por lo (pie hay que resolver un problema autocousigtente es decir la
solucioacuten de (110) conjuntamente con laraquo ecuaciones de campo
VxS = M + Iacute I ( + ( 0) (iii) c ot c
V-Eacute m 4-(p + po) (1 13)
v i = 0 (114)
9
01
(si-i) ltraquoiquestbull AW + J) + W + sectxsectA)Y +ilaacute- raquo
waacute(A-iacute) + ^ Vlt = JLVpound mp
(iquestri) -o = W aacute w - A + ^
iexcllaquoupauSimi HJiuiHiupo pii] laquoj ip laquoai iopuioa ap jjnaiscsi io x) inn uctuivcs u n
HZI|1)II t8 opiti |f ui |vmi raquoia ap OIIMIIUIAOIH jap t iopduauap H| H Iacute H J -OJIIIU OIIIIIJIIOI o ip j tu mi
(ipllllllUOJ OJIIK laquoHill OIlllll lltijjodll S Sgt1IIIIIltMI|IIOJ SHJSI Hill llX HJItlHI A UIIIIOI liJIIIOJl
bullJMraquo NtJIIHKullllO1 Sl| 11)111 IttllHMJIi j j l lililiacute IMIacutelj IS lili IIJlllllllipiU|lll| CI|I|KM11 |l l|-J
i
OIIIIIIIIipiM|)II[ (gt|l|raquoOIII |l iZI|llll
is osli i|Si 113 ltM1IIHI l((|ill|)Ulll o|(llllil | mi imuii Jllli|MSIIlu ipmd is lti|i(i| (III oltloi
Dlllsmii |l lt ltI|IIIKIIJI(1IJltII 1)1111111 Ulllj l||St IS IIIHI SI|lll(UIltI SI|IIMIJI(I sltlt[ 1(1 (IJfUItlllAillll
|i ltisui|i 11111 miis-H|ltl 1111 111 iiUuumluniii iexcllaquo j o j ii|iiiuiiii(iultii ms i ltm siquniiud ltn gtgt
ltI|I1III1U Villi |l (MU | l lll lt 1(11ili 111 AIIIII iMIIsiqil tin 1(1 IKIII |i l|gt II|IK lti|ilI|I|ll MS i|llllltl
Sgt|I1HIIIIMII|IIII -ii(liilinil ip II(I|KMII (1 H|tiit|iiltl 113 lti|iiiiitll] si inusiqd |i|i IIltIIMIUISI|I
l| lll IIOIHiipill US Hill ltl| Hid degSI(||||||Ilt1 Sl| 1(1 i||llll(1llAOIII |lp 11(11liqll1111 bull] OlIItU11
(iinmiiiAoui (1 bulluipisUtii 1111 ofiji is (IHKII si|tfi(|ifiH(i|ifft s-ftptjiijiMi (lt lti(i(iorij ( 3
( 9 1 1 ) 0 = V V bull A + T ^
|Mqmimiuoj ltraquofi tiacuteotjuttji laquoj uKiexclatms (()) niexcljsijtfs j pthy
ltcni bullbulliquestx^ = [ -x^ = lt
laquoUIKIJ i( (lllllll l|(MMJltll ijl A i|l(lll(IUI laquoSjlM laquolt Kj|tt|raquoISIM|gt gtlJ Sgt(itl) slj | Ifi
= V y [- x D - -pound-V x I i r Uuml) (119) Of 4 ~ ltT
V B = 0 (120)
donde ni ex 1iexclI ltbull usidad del liquido ltlaquoMiraquohicTtgtr (plasma) ron una rondiirtividad n vi es la
velocidad del plasma y ( r son 1lt- roi-firiciites de viscosidad Este sistema laquoir eriiarionis
w debe de roiujut mentar ron las emanones de rotado y la iiiiwioacuteii laquole tnuiNpurte de calor
= Hni-T) (121 0
M7 mdash + (rlaquoV| uumlt
~ bdquo 2L1L + X-(VTgt+ mdash mdash l ^ x Uuml r (122)
donde raquo = raquoij(T) es la entropiacutea de uiiii masa unidad de plasma n es la rondnrtividad
iltl ialor y rttJ elaquo el tensor laquoir viscosidad
^= (iiexclr + iiquestL~ hgtv TA) av bull IacuteL23)
En la magnet oliidrodinaacutemira se consideran dados la rondnrtividad eleacutectrica la conshy
ductividad laquolaquobull calor tlcl plasma y tambieacuten los coeficientes de viscosidad En la praacutectica
se utilizan modelos modificados dr la magnetoliidrodiacutenaacutemicn tales como el modelo cuasi-
magnetohidrodinaacutemico de dos liacutequidos (electrones y iones) y de tres liacutequidos (electrones
iones y neutros) tos cuales de forma fenomenoloacutegica consideran la interaccioacuten entre las
partiacuteculas- su movimiento teacutermico Estos modelos simples generalmente son aproximados
y para su fundamentacioacuten se exige la utilizar ion de un modelo maacutes general del plasma
como gas ionizado El modelo maacutes general es la descripcioacuten estadiacutestica del plasma como
un sistema compuesto de un gran nuacutemero de partiacuteculas
11
CAPITULO 2
GUIAS DE ONDA Y RESONADORES
En rstr i-i|gtiacutemlgt v ilisrrilraquo li iroriacutea grurral i|r lis gniacuteis laquoIt- IIMIUuml y laquoIr los rrsoimdorrx
bullilimlriros Si luir- un r-iexclMilil riifuumlsis ru his giiiacuteigt d r mifhi V lvsotinliili- de MMIIacuteIMI
tliUlsvriMiI bull i i i i i iuuml l nn iDliiii 1iexclgt rxcitiiiiiVn dr o lnl raquo t i l IIHMII bdquobdquo y TE laquo11 estos
IIIacuteN|HIMIIacuteVIraquo rrx|Mitiacuteviexclifilttr rli Iilii|iiliquest ron rl d i spos i t ivo drsni t iraquo cu [2iexcl
3 Guiacuteas de onda
31 Ecuacioacuten de valores propios
pound1 estudio dr IHS propiedades fnuciaiiicntalcs dr la propagacioacuten de ondaraquo laquobulllectroniaglictiras
en tubos cilindricos dr conductividad infinita sr ha realizado ampliamente Ha sido resuelto
el problema para guiacuteas do seccioacuten transversal arbitraria |8) y para secciones transversales
particulares de importancia praacutectica se lian solucionado en sus modos fundamentales de
propagacioacuten [9] Asiacute mismo una analogiacutea con las lincas de transmisioacuten ha sido descrita en
[Wi
Veamos con maacutes detalle las guiacuteas de onda Consideremos una guiacutea cilindrica ron su eje
dirigido a lo largo del eje 0iexcl Ademaacutes consideremos que la guiacutea de omlas es longitudiliaj-
12
iifiacuteiti- lioiingtmiiriexcli y iptc la iexclgtariilrgt- metaacutelica sou conductores iierfcetos Sigtigtntgtiexcluiiltgts ltpit
bullniexcli omlii bull-lcctrumagiirticH plana di frecuencia ur si propaga a lo largo di- la guia ilt- onda
pound(fiacutel=f(r^)t r- iacute (21)
poundlt) = (riacute)t r-w ) (22)
iexclonde r es la constante de proiMtgacioacuten o nuacutemero de onda El problema fie contorno que
-bull iacuteu-duiT de liexcltgt fiiiacutenioins de Maxweil pura ondas ti|Mgt H en una guiacutea dr ondas ciliwtricn
-bullbull rxprrsa en la forma
bullbullon laraquo condiciones de frontera
-2- = 0 para r = a (24)
E = 0 cti todo el espacio
donde $ = H(r^) De la misma manera para las ondas tipo E el problema de contomo
tiene la forma
0 lt vgtlt 2ir
13
rtm las condiciones de frontera
= 0 para r = a (2C)
H = 0 til todo el espacio
donde ahora lt1gt = pound(r^) n es el radio ilr la guiacutea tic ondas
Los valores positivos
bull = -gtL = iquest - riquest (27)
determinan el con junto de valores propios correspondientes a rada una de las soluciones
lraquoTiiiisilles igt minios caracteriacutestico de la guiacutea de onda donde II y t son las constantes
de permeabilidad y permit ividad respectivamente del medio ipie llena la guiacutea de onda
GiiHTMliiHiite bdquo depende ile las (limensioiies geomeacutetricas de la guiacutea de onda de IacuteHJIIIacute
IJIIC siempre si puedan selerrionar los modos de propagacioacuten raquopraquoe se reijuieran
Por otro lado las componentes transversales de los campos eleacutectrico y magneacutetico se
determinan si se conocen las componentes longitudinales de los campos de la forma [8]
iT Eacutet = - j -Ve para ondas en modo E (28)
a iT H = - mdash V para ondas en modo H (29)
Traquonigt
Ademaacutes las componentes transversales de ambos campos (eleacutectrico y magneacutetico) se relashy
cionan mutuamente romo
14
H = ~iquestbdquo x Eacute (210)
aonde ~bdquo es un vrrtor unitariti dirigido a lo iexclarjraquo ltlcl eje 0 y Zf laquo la iiiipedanria tlr 1raquo
onda tiraquo modo E Igt H respectivamente
cT Zf = mdash igtara ondas en modo pound (211)
ZH = mdash=bull pnra ondas en IIIIMIII H (212) cT
Las efiiiexclirioiiigt (23) y (25) determinan problemas de valores propios ron sus corresshy
pondientes condiciones de frontera Cada turn de las soluciones nos representan diferentes
bullnodos normales unos transversales eleacutectricos y otros transversales magneacuteticos corresponshy
dientemente
32 Paraacutemetros de propagacioacuten
De la ecuacioacuten (27) se tiene que para cada valor de bdquo y correspondientemente de la
frecuencia se determina un valor para el nuacutemero de onda
r raquo - ^ - T Iacute (2i3)
En general T puede ser una cantidad compleja de donde podemos distinguir tres casos
a) siacute (tt^ gt y^n entonces T es real y define un modo permisible de propagacioacuten es decir
la onda se propaga libremente a lo largo de la guiacutea b) si ftfty lt 73nn entonces T es una
cantidad compleja de donde la onda se amortigua exponencialmente y c) el caso cuando
15
r = 0 ilefiiu la condicioacuten di- rortlaquo la nial separa los casos a) y li) Asiacute podemos definir a
la friTuciina de corte romo
Wbdquobdquobdquo = -J=-bdquo 1214)
y expresar el nuacutemero de onda en funcioacuten de ella
r = ^ ^ - ^ (215)
Para ftecuencin- uiiiyores ijue la de rorle la onda se propagii a lo largo de 1raquo guiacutea En
el ruso contrario pitra freriietiriuumls menores i|iie lii de rorte 1iexclgt onda se amortigua Otra
caracteriacutestica imporiiiiite la ]iodeinos olilenei de la bullbullxpresioacuten 1213) Va |IH- el nuacuteniero de
onda r siempre es menor ipie su valor en un espacio lilire entonces Ii longitud de onda en
la guia es siempre maacutes grande
y 77 7ngtt
Anaacutelogamente definimos una longitud de onda de corte o criacutetica (cuando A = 00)
Af = yiliacutemdash (217)
y expresamos la longitud de onda cu la guiacutea cu funcioacuten de ella
A = _ j (218)
donde A es la longitud de onda en el vacio Dr aquiacute que la onda se puede propagar a lo
largo de la guiacutea de onda uacutenicamente para longitudes de onda menores (pie la de corte
0
~ y - i y
_bull-
_ 1
bull i
iexclA
0
0
- gtiacuter
JfT7 ~ m
n
0
raquov
^ yJZliacuteiiacuteiacute
9C
Imaginaria
V
mdash _ l _ - M i l
0
Imaginaria
A
-Jraquo-$mdashil
X
Imaginaria
Tabla 21 Iaraacutewotrus ele propagacioacuten para onda ltrn moiio pound y cti una guiacutea ltlr onilas
Miacuterica uniformraquo
Por otro hielo iexclgt viliraquodegiiliexcliltl ltli fasr iiexcl riexcl un medio bullbullgt uisiraquo JraquoILIIlt1laquo ijiii- su Viilor III el
Wigt
7 = r
(219)
Por debajo del punto dlaquo- corte 1raquo velocidad de fase es imaginaria y pierde asiacute su sigshy
nificado fiacutesico En el punto de corte la velocidad ltlr fase se viirlvr infinita Un liccho
importante resulta serel que la guiacutea dp ondas es un sistema dispersivo aun cuando el
medio que llena la guiacutea no lo sea (la velocidad de fase es funcioacuten de la frecuencia) La
velocidad de grupo de la onda tiene la forma
tortt 1
(220)
En la Tabla 21 se resumen los paraacutemetros de propagacioacuten para una guiacutea de ondas sin
peacuterdida de energiacutea
1
33 Coeficiente de absorcioacuten
El finjo laquole inicrgiacutesi raquobull describe por ltbull vlaquo-ctigtr cimiplejo di- Piacutemiling
Sbdquo=[iquest]i[poundxW-j (221
su parte real nos dh el finjo di- energiacutea promedio plaquogtr unidad de tiempo y por unidad de
aren La romponeiite axial de Su representa el flujo de energiacutea prmimlio a lo largo de la
guiacutea Por lo tanto d flujo total promedio de energiacutea que se transmite a lo largo de la guiacutea
de onda e- la integral de la componente axial del verfor laquoIr Poyntilig evaluada sobre IIMIIacuteI
la weeioacuteii transversal de la guiacutea de onda
HilU^1 - iacute2-22) donde iquestbdquo es un ver tor unitario a lo largo del eje ()
Hasta el momento se lia considerado laquopie las paredes laquole la guiacutea tie laquonula son conductores
jraquocrfectigts in tal caso el Unjo total de energiacutea conserva su valor a lo largo tie la guiacutea laquole
onda Sin embargo en problemas reales la conductividad de las paredes tiene un valor
finito debido a ello existe muiacute fraccioacuten del flujo total laquole energiacutea que se absorlw |araquor Inraquo
paredes Dlt- aquiacute qtw la expresioacuten (222) representa uacutenicamente el fhyo tie energiacutea total
que entra a la guumliacuten de onda y cuyo valor decrece durante la propagacioacuten de la onda es
decir se generan peacuterdidas de energiacutea En la praacutectica tales peacuterdidas se consideran muy
petmentildeas considerando que siempre existe una fraccioacuten de la energiacutea que se pierde ya sea
en las paredes o por la presencia de un dieleacutectrico que llena la guiacutea de onda En tal caso la
laquoMida se amortigua en BU propagacioacuten y la constitute aacutee propagacioacuten time en consecuencia
una parte real y una imaginaria
18
r=i~m (223)
iultif i gts vl factor laquoit- iacuteiisi- y gtbull vi n^bulltirivuu- tU- iexclilisorcioacuteu o ltlr iacuteiiuortigiiaiiiii-tito E
cticiacutetiif ltli- iexcligtlaquouiri(raquoii ltbull Juumltllfi laquoir iexcllti rrhiritu
o = raquo +ltu (224)
bulliiiidr IIbdquo y o son los nlaquofiriciiiigt di- alisorrioacuten ilrliido n liexclis jx-nlidiis de energiacutea en las
m|t-iligt iin-luacuteliacutei-iraquo y 111 Illtilio diacuterliiirirai i|lilaquo- iexcllililiacute 1iexclI Riliacuteii rcspi-itivamriiti CiMisiiii-railiio
1iexclII |gtctiliiliexclis l l i -d ir ig iacutea ilr hi rxprrsion (2231 gtbullbull indure que los nui i )ms MUIacute propiui-ionalcs
bull bullbull tUUiexclltfgt rxpnililinal raquo i Ir ilonilr lii |MitgtIniacuteiexcli (222) laquo|lir sr transmitiacute iexcli iigt largo ltlr lli
bulliacuteliacutei ill lllllli llisillillliyr iexclI lo litigo (Ir (II la furnia
raquo(-)= Pbdquogt -- (2251
Por tamo la roiistiwtr de amortiguamiento o de alisorcioacuteii se definiacute- como ln razoacuten de
i poti-uria i MI il i ii bullbull lio lli eiirrgiacuteli (ptr si pierdr por unidad ilr longitud c u t i r il flujo toliil
promedio ilr rut-rglli lt|lie se transmit a lo largo di liexcli guiacutea gtllt onda
mdashiquestiacute-
34 Guiacutea de onda cilindrica Modo Hbdquobdquo
Nuestro principal intereacutes se centra en las caracteriacutesticas de propagacioacuten de ondas electroshy
magneacuteticas en modo Hnn en las guiacuteas de onda cilindricas Consideremos que la guiacutea de
onda tiene paredes conductoras perfectas y qui el iiexclgtgt dio que llena uniformemente la guiacutea
19
fcciMTraquo |Mrililiis laquoIr m c r g iacute a ilispiiviiilili-j Parraquo bulllaquolaquobullbull rwsn IIIN MIIIUIacuteOUIS n IIHgtI)Igt~ |MTIIIIacuteSIacuteIgt1IVS
ili- priiptiiuumlniiiii i|i 1iexclI r i i i iu ioacute i i (2 3 ) MHI
( bull r-t = CbdquoJJ- r)~laquoif (227)
laquolimilr Ci lt-- una ionstatiii y la rlaquotiltiirioacuteii ltr iacuteroutrrn (24) mjiriiTr jiir 1ltraquogt laquoiliircs propios
IDIIIIII la forma
bull t
bdquobdquo = mdash = U 123 122$) bulli
n = 123
Aipiiacute )bdquobdquo -un la raiacuteivs n bullbullMinas laquoIraquo la dnivaila ilr la fiuirioacuten gtlt- Ui-ssrl ili- unlcii m
JJjr) - Di y n rs il railin inlriim ilr la guia ir ondas Exislr un minino iexcliitiiiiln bullbull
IIHMIOS i|iu MUIacute -iiliniuiirs ilr (23) IIIII la i-igtiiiliexcli-iacuteoacuteii ili friitiliTa (24) Col aymla ili- (2Iacute))
y (210) iilitiiHiniraquo las rxprrsioiirs para las i-oinpoiimtrs transvirsalrs laquo1raquo- los campo ni
iminliiiailiacutei- riliacuteiiiiiiias y nitoiiri-s csiriacuteluacuteiiios las roiiipoiiriitcs ilr los i-ampos ni la furnia
H = C o ^ j h r ) trade m ^ i r mn
H = plusmniexclCo~-Jbdquohnnr)Zwir- (229) Inn r
E = 0 r laquoi
E = plusmniCbdquoZH-i Jmhmnr)ZtradeltigtriV-Tmn r
E = -iC0ZbdquoI-Jm(lmnr)Z^ert
donde los signos plusmn corresponden al en o co respectivamente y In expresioacuten Jm indica la
derivada ron respecto al argumento Jm = f- Sustituyendo (228) ni (213) w obtienen
20
gt valores tie la constante de propagacioacuten
r = Jfi- - iraquo (230)
Comraquo sc olwerva las ecuaciones (229) estaacuten doblemente degeneradas yraquo rpte uno de
lgtraquo ranijios se convierte ei el otro al girar ir2 alrededor del eje de la guiacutea
Determinemos lo paraacutemetros de pro|gtagiacuteicioacuteii para una guiacutea de inula cilindrica hueca
al variraquo) y de radio laquo = 425cm en la nuil se propaga una onda en modo Htl Considerashy
remos primeramente que las paredes de la guiacutea son conductores perfeetos En In siguiente
rioacuten se consideraraacute que estas tienen una conductividad finita
De acuerdo con (21C) toda onda electromagneticraquo podraacute propagarse en una guiacutea de
ouda de tales dimensiones si se cumple que su longitud de onda de )n primera es menor
que la longitud de onda critica Para tuia guia cilindrica se tiene
lisa A c = ~ (231)
Lolaquo dot modos inferiores Ha y JI para ondas de tipo H tienen las siguientes longishy
tudes de onda criacuteticas (en este caso iexcl = 18412 y j i t - 30542 [11])
Xe = 145cm (232)
Ac s 87cm
respectivamente Se puede demostrar que el modo pound0i es el modo fundamental para ondas
de tipo E Este modo tiene una longitud criacutetica
21
X = l l l f w (233)
Pur laquogttrcgt lhiii litraquo lougitiidcgt de inula rritkas lth- Uraquo siguiente modos ruiperiores ile muiacuteas
tipo H y li|xgt pound son menores que Itraquo valores 87rm y l l l m i rt-s]gtrrt miacutemente De aquiacute
que UMH onda clerirouiagiieacuteiira pueda propagarse en la guiacutea si su longitud lti onda laquobull
bulllienor que 145rraquoi Si ademaacutes fl valor de la longitud (ltbull ouda si- emueiilra en el iexclineacutervalo
11 lrjn lt A lt 145rru cntimres el jnodo H es el tiuiro que puede propagarse a lolargo
ile la guiacutea de onda
Eli figura 21 M muestra las vising tranvt-rsal y longitudinal de la estructura de los
bullaiii|Hraquogt en modo i | Aquiacute se 1gtI tomado la parti cosciioidal de (227) A continuacioacuten
e dan |igts valores de los paraacutemetros de propagacioacuten en el easu de IMIIIJIS clcrtronuigiieacutetiiiis
laquoMI iacutenriiencia w = 1539 x 10iacute (A = 1224nraquo) que si- propagan cu la guiacutea de onda
en nioilo | | Los valore se obtienen utilizando las expresiones correspondientes de la
seccioacuten (52) o de la Tnlila 21
Ar = 145laquoo
u w = 13 x 10luc
T = 02753cm-
A x 2282cro (234)
Zbdquo laquo 187 (i = l )
v = 5C x 100cm
w = 1CX10 OCTIIIacute
22
^mdashmdash Imea de campo eleacutectrico
mdash --Linearaquo di- campo magneacutetico
o Campo magneacutetico normal (hacia fuera ilr la hoja)
f ( ampo magneacutetico normal (hacia dentro di- la hoja)
Fig21 Vista- irahversal y longitudinal de la pstrurltira de Itraquo camporaquo ltn trimlo iacuteliexcliexcl La vigtti
otigitudial correspondiacute a un aacutengulo u = 90deg Figura tomada di- [bullgt]bull
i
Notemos (|Uf il iexclmaacutelisis anterior se inicioacute con una guiacutea dr onda de fliiiiensicmlts traquo-
gtltriacutetiacutecaj De- ahiacute se prosiguioacute a encontrar las onda electromagneticraquo npropiadas tale
que el modo fundamental H de la guiacutea de onda sea cl uacutenico que se propague Lo contrano
tambieacuten resulta vaacutelido es decir si se cuenta con una fuente de microotidas cotiacute determishy
nada longitud dr onda se pueden encontrar las dimensiones apropiadas de la guiacutea tales
que uacutenicamente se pueda propagar el modo fundamental
35 Coeficiente de absorcioacuten Modo Hmn
De la expresioacuten (226) determinemos la laquomulante de amortiguamiento debido H la conducshy
tividad finita de las paredes metaacutelicas para ondas en modo Hmn Primeramente calculemos
23
vi fltijiraquo total protiwlio ili laquowgia (222) r nial lunik bullbullscriiaacutersr IMI trrmiiins laquobullbull la funcioacuten
[gtrraquotgtiii bull at la forniH
iacutelowlc
= CMtmnr )rtismf (23C)
rlitotiirs
Praquo = If 1 Uw-T-KU [rIfjbdquor)nlaquoiquestraquoSlrlT-
= [iquest]^raquo^-Kraquol7rJraquo-rr- lt2-37)
La integra] ili- (237) sr cvaitwi utilizando la igualdad [12]
y CMisiacutedcnuidraquo IJHC la couiliriuacuteii de fruirtrra (24) rirquirrr ijiw Jm~innr)rmn = 0 DP rata
manera se obtiene el resultado
En el caso particular de ondas en modo Hti se tiene
La expresioacuten (240) puede escribirse en una forma mas conveniente
24
ionde
EJlJampuumlL (242
bullbull lii amgtIitultl del raui)Mgt eleacutertriro en rl bullbullclilro ltle 1raquo serriacutenraquo transversal laquobull 1raquo jiacuteiliacuteuuml de mida
La relanoacuteii (241I nos muestra rliimuienti- la iii-|n-iiiletiriacuteii rufidraacutetini ron n-sperrraquo iexclil radio
bull lti EUiiacutei ilil finjo total ]gtroiniilio ili- eneruiacuteraquo gt|raquo iitravicwi 1iexclI MTIIacuteIIH Iriexclmsvi-rsiil de 1raquo
uniacutea ib- omlu
Por otro lado la potcnria iacute|iic se pierde por mudad di- longitud (Mudo raquo las corrientes
u|gterfiiialc laquoi laraquo paredes metaacutelicas di- la guiacutea se expresa mediante la iutrgral de contorno
alrededor de la frontera de la guiacutea de onila) de las componentes tangenciales del campo
Magneacutetico en la fonna
p - dl
donde ntilde es un vector unitario normal a la superficie de la guiacutea de ondas ir es la conducshy
tividad de las paredes metaacutelicaraquo y S es el ancho de la capa piel expresada como
tiexcl es la permeabilidad magneacutetica de las paredes metaacutelicas Por tanto cotiacute ayuda de las
expresiones (229) se obtiene la potencia promedio que se pierde eti las paredes
25
- iexcl eacute f ^ - f (duuml]laquo 1245)
Fiiacutemlniiacuteiiti- di (245) y (240) bullbull oliticur la ruitstantr de Hiimnigiiuiiiitiitnpara el utixlo
I24G)
En vi raso ili- ondas ltw w propagan iii laquoI IIHMIO Hlt (MMII-IHH- laquoIr (24C) IDII raquoraquolt = raquo = I
obtener
f r i t o r sampsY+ traderaquo]
- - Id laquo-iexclzsf L v ( Siacute consideran)raquo tua guiacutea dr onda hurra ot dicir = 1 ni laquoti interior cotiacute paredes
metaacutelicas de broncr de conductividad a = 1413utg2crgaegnn) y radio a = 42vcm
en IB cual se propaga una onda en modo fiacuteu con una longitud de onda en el vacio de A s
1224cm (w = 15394 x 10degi) entonces obtenemos que la constante de amortiguamiento
tiene el valor de
om = 1032 xlO4 (248)
El valor anterior noraquo indica que a la distancia x = 0C88raquon la amplitud del campo eleacutectrico
disminuye 1e veceraquo de su valor en i = 0 De donde la constant v rlr amortiguamiento es
26
sntirp-itttniKiit nt-m-ntildea para considerar una guiacutea If onda laquoit unos riacutetanlos metros laquoit-
lUgitiiuacute romo una guia gtlr (tuda ideal (sin peacuterdulas)
4 Cavidades resonantes (resonadores)
Vu disjiositivo de gran importancia praacutectirtt y estrechamente relacionado ron las giriacuteas
ltbullbull onda son las cavidades resonantes Coinraquo w sabe una cavidad resonante (resoiimbir)
bull - privi-aiiii-iitr una cavidad roinpletameiit) armada por paredes nietaacuteliias Ins riacutetales
prewiiraii ilti propiedad tllt- podriacute alijiart-uar energiacutea eiertruiiiaRuitira tMeilanie Llaquoraquos riso-
iadores han sido ampliamente estudinilos en la misma magnitud ipu- las guiacuteas de ulula [13]
Anaacutelogamente al estudio de guiacuteas de laquonula gte ha resuelto el problema de 1laquoraquo resonadores
bullbull si-rrion transversal arbitraria routenieudraquo cu su interior un medio liiMiiogt-iraquo laquogt con IOIJS-
antes y t [S] Un estudio de los resonadores de formas particulares y de importancia
praacutectica se puede encontrar en [9] Ademaacutes una analogiacutea rlaquom liw circuitos resonantes se
(iescrUumlM en (II)] Con res|x-ctraquo a esto uacuteltimo podemos decir i|iie los rlaquosraquonailores tienen
la ventaja de ser superiores a los circuitos resonantes I - C en un factor laquole 20 laquos laquolecir
iexcla fraccioacuten de energiacutea almacenada laquopie se disipa por ciclo en un resonador es alrededor laquole
1 20 de la fraccioacuten disipada por ciclo en un circuito L - C [14]
41 Caracteriacutesticas generales
Consideremos una cavidad cilindrica hueca y acotada por un conductor perfecto Fijemos
el eje 0 de nuestro sistema de referencia a lo largo del eje de la cavidad cilindrica y
Mipongamos que la longitud del resonador esta acotada entre - = 0 y z mdash d
27
Un ri-Miiiitilor pucxlr i-oiisiilcriirsc mino unraquo guiacutea ltgtbull olida finita ilimih ltlaquobull tiww laquo|ingt
iexclumilir la rotiiliacutecioacuteii di- froniirit
para ltmdagt t-n modo TM
(Mirtl Otlflugt Ill IIMMIO TE
EbdquoM = 0 (249gt
HUbdquoi = 0 (250)
En itiilii linn illt- braquo sii](rrfiiiigt plana gtbull iilruumllnniitr ngtniltiitigtragt rxistr rcriixioacuteu di-ondas
El ti|Mgt lit iiiidii i|iilt- M- irrii iexclil siiprrpoiuT iliraquo ondas ilritroinatnitiias ron iexcliinplttudis
iguales y propagacioacuten en sentidos opuestos es ]iri)|iiiexcliinciiir rl di- uni onda estariouarin De
donde las rigtui]M)iiilillts axiales ilr 1ltKS rniupos ilclxn ttinl bullbull forma
para ondas en moiin TM
E = ( r r - )oi ^ - ) = 0123 (251)
para onda cu modo TE
H = Tf)raquoeM^-) j gt - 1 2 3 (252) o
Laraquo componentes transversales de los campos se determinan de (28) y (20) Para
ondas en modo TM obtenemos
28
Jfr = mdashT-cogtbullmdash )bdquo x V
(253)
vrrrgtjlaquogtijiiiciitfuifj)tc para ondas wi modo TE
pound = _ittif iacute iacutef)i1yr
W = iacutefJ_bdquo s (^)V
(254)
poundgtbullbull in-s riiiiiliiioliiN de frontera (249) y (25U olrtnirmos lt|iir 1iexclI ionstiuiti- ili- propagacioacuten
ltgtiitii 1ltraquo valores
r = uumlf = (0)123 ti
bull iexclonde de In ecuacioacuten (27) los vnlonv propio so expresan romo
(255)
(256)
La ecuacioacuten (25G) forma un conjunto discreto de valores que determina la frecuencia
bull ir resonancia para cada valor de p y bdquo es decir a cada tipo de onda estacionaria le
corresponde una frecuencia propia
vJ (257)
29
Fig22 Litraquo midas rsUt Miliaria- ilgt mi rismnclnr lidien en su lifiigiliitl un iiiiniTii IIIIITH ilr
niilMlcraquo lie la loiigilini tit- IgtMltU St- miii-sira H raso para )gt - Iiquest41 bullbull U exprntiiiacuteii iquestat)
En alaquoManii si mi si ritiniiita otra rosa raquobull omiten los Milmidiees rtii y laquopie ranraquo
UTIacutezan los modos laquoIr oscilacioacuten Ln resultado iiiiportaiilr laquole la ccuaraacutem (257) e laquopic se
pueden elegir Ian dimensiones ademadas ilcl resonador lie tal forma laquopie este opere ni una
frecuencia uacutenica de resonancia
Si comparamos (255) con la expresioacuten general para la parte real de la confitante de
propagacioacuten T = 2irA se concluye que para cada modo de resonancia la longitud del
resonador es proporcional a un nuacutemero entero de mitades de la longitud de onda (Fiacuteg22)
d s p ^ p laquo ( 0 ) 123 (258)
El caso plaquo0 correspondiente a la condicioacuten de corte para ondaraquo en modo TM tiene un
30
Mereacutes partieular ya qne eu este caso la longitud de nuda tiende a ser infinita entonces de
laquobullcuerdo ron (258 obtenemos
d - 0 bull oo (259)
ie donde la longitud del resonador esta indeterminada Los modos correspondientes a
gt raquo 0 existen en el resonador para cualquier longitud de la cavidad
Una propiedad de las ondas estacionarias es que loraquo CMIII|MgtK eleacutectrico y magneacutetico se
encuentran defamados en ir2
-ll = rt + iexclJ (2C0)
iielndu a ello existen instantes de tiempo en el resonador en que existe uacutenicamente el
bullampo eleacutectrico y momentos en que solo existe el rompo magneacutetico Como resultado de
este defasamiento el vector de Pijymiug resulta ser UIIH magnitud puramente imaginariacutea
de donde ai promedio con respecto al tiempo no existe transmisioacuten de energiacutea ya (pie el
valor promedio del vector de Poynting resulta ser indo Su - [ pound ] IitEacute x iquest ] = 0
42 Energiacutea almacenada y calidad de los resonadores
La energia total promedio almacenada en todo el volumen del resonador es la suma de las
energiacutearaquo eleacutectrica y magneacutetica promedio almacenadas por los modos normales
W m WE + WH (261)
donde
31
HiliacuteX-trade 2 M gt
Yraquo que en el resonador no hay MU flujo neto de energiacutea entonceraquo cu el cano en lt|Ur el
medio i|w Urna 1raquo guiacutea no genere |raquoeacutercliltlas di- energiacutea la energiacutea eleacutertririacutei y magneacutetica
promedio seraacuten igualo entre si Hiquest- s Wraquo Evaluemos la energiacutea total promedio alinarc-
tiada en el volumen del resonador |gtara ondas en modraquo TEmnf En este raso se tiene
=[iquest1U bull (2C4)
la cual puede expresarse cu teacuterminos de la integral de area tie la (tuicioacuten propia
= H(riacutep) evaluada sobre ln seccioacuten transversal de 1raquo guiacutea
bull-[iquestliacuteHs)]-- donde bull tiene la forma (227) Tomando uacutenicamente la parte cosenuiacutedal de (227) e
integrando de la misma manera como se evaluoacute la integral de (235) obtenemos
toT 47V ^n-m)Jmi^a) (266)
Para el caso particular de una onda en modo TEui se tiene
32
= [iquestiexcl](0375)|poundi|laquoib2 (2C7)
donde
1 1 - ^ (2-68)
raquo el valor di- lu magnitud tlt-1 riiinpo eleacutectrico en el centro di- la seccioacuten traiisveriMi) del
resonador
En griirral pura resonadores i n h siempre hay absorcioacuten ib energiacutea 1st nial se reashy
liza principalmente por dos raualcs a) porque el medio (pit- Ik-iui lu guiacutea es un medio
absorbente y Iraquo) debido a la conductividad finita de las paredes del resonador En cada
uno de estos casos las frecuencias de resonancia se vuelven cantidades complejas las ruakt
podemos escribir en la forma ugt = w + iw Entonces si la dependencia temporal de loraquo
campos es de la forma
Eacute(t)laquo Ac1 (269)
obtenemos que la energiacutea total promedio de un modo normal en un resonador real es
W(t)laquo W(0)e-3 (270)
donde se observa que se pierde al transcurrir el tiempo W(0) es la energiacutea total almaceshy
nada en el resonador en r = 0 Introduzcamos un paraacutemetro llamado factor de calidad Q
definido como 2n veces la razoacuten de la energiacutea almacenada en el resonador promediada con
respecto al tiempo entre las peacuterdidas de energiacutea por cada ciclo de oscilacioacuten
33
Qenrroiu ulmactnnda
SS itj mdash ^ mdash mdash ^ mdash ^ mdash mdash
jttrtlidim lit tnergtn
= wmdash IV
PmAtf
donde
(271)
P = - ^ I27-raquo)
egt la potencio media qui sc absorbe en tin ciclo de oscilacioacuten debido n las corrientes
superficiales de las |Ktrtdes del resonador (comparar ron la ecuacioacuten (224)) Di (270)-
(271) piulemos obtener que Q = raquo-2u Por lo tanto la frecuencia raquogt laquobull pnctlc expresar
a traveacutes de Q romo
=yj1 + eacutejh 273)
43 Excitacioacuten de los modos de oscilacioacuten
En el problema de un resonador ideal (sin jroacutedidas de energiacutea) cada modo de oscilacioacuten
tiene perfectamente definida su frecuencia propia de resonancia (257) Esto quiere decir
que si se quiere excitar un modo particular de oscilacioacuten en el resonador la frecuencia
de excitacioacuten debe coincidir exactamente con su frecuencia propia de resonancia En
problemas reales esto no ocurre y en lugar de ello se cuenta con un banda de frecuencias
alrededor de la frecuencia propia en la cual el modo de oscilacioacuten puede ser excitado La
existencia de esta banda de frecuencias se debe a que existen peacuterdidas de energiacutea
Para mostrar lo dicho anteriormente notoacutenos que las oscilaciones del tipo (260) se
pueden representar como una superposicioacuten de oscilaciones estacionariacuteas Supongamos
34
i le el campo electromagneacutetico se crea en el instante f = 0 y se le laquoleja oscilar libremente
para t gt 0 Obteniendo su transformada de Fourier de (269)
iquest(w) - p rt+Uacutet+Vt- (274) 2ff Jo
y evaluando la integral en (274) considerando que pound(t)| lsec = 0 se obtiene
cuyo valor absoluto es
eacuteMl = M mdash i ^ (27C)
La ecuacioacuten (27C) nos da un conjunto de curvas de resonancia para cada modo de
oscilacioacuten Cada graacutefica tiene su valor maacuteximo en w = u (Fig23) Los puntos ltii los
cuales la curva disminuye lgtsect de su valor maacuteximo se llaman puntos de potencia media y
su separacioacuten en frecuencia se denomina ancho de banda A cada punto de potencia media
le corresponden las frecuencias
w3 = w + ^ (278)
de donde obtenemos que el ancho de banda detennina el factor de calidad del resonador
en la forma
laquolaquo5 a raquoiquest- ltraquogt
35
IlaquolaquoM
Fiacuteg23 Curva (Ir resonancia para el mudo de oscilacioacuten a- Loraquo puntos |rV(laquo-|)| y |MJ)I son
lot punto dp potencia mediacutea y raquoraquo separacioacuten define el ancho de banda
Si las peacuterdidas de energiacutea son pequentildeas entonces las bandas de frecuencia son estrechas
Sin embargo siacute las ]ieacuterdidas son considerables entonces las curvas (le resonancia pueden
llegar a sobreponerse una sobre otra provocando la excitacioacuten mutua de los modos de
oscilacioacuten
44 Resonador de forma cilindrica
Consideremos ahora un resonador cilindrico Primeramente obtengamos las soluciones de
los campos para una onda en modo TE en un resonador ideal y posteriacuteormeite calculemos
la Q del resonador para este modo debido a la conductividad finita de las paredes metaacutelicas
Para este tipo de resonador y para ondas en modo TE las funciones propias o solucioneraquo
36
correspondientes al problema transversal (23 tienen la forma (227) ron los valores propios
1228) Ademaacutes con ayuda de las expresiones (234) se obtienen las expresiones de las
componentes transversales en coordenadas cilindricas y entonces escribimos los campos
en la forma
pit H- = C0Jn(mrr)cos(mj)sen(mdashz)
Hr = -r-mdashlt0-m nr)laquow(mi)laquow(-j-) O ~lmr O
H - -raquo -3 pound - -Jlaquo ( -mr)raquoen(ms)oraquo(5) (280) laquo in r laquo
E = 0 iCriquestft m laquor
E = mdashJB(-mraquor)iacutetrw(raquoraquof )rraquoi(mdashs) win
_ iacutei Co WK poundw = Jm(TimRr)laquow(raquon^)raquocii(-j-iacute)
C mn laquo
Sustituyendo (228) en (257) obtenemos para las frecuencias de resonancia la expresioacuten
i raquo J c
wmn= 4 = J ^ + (^) g | (281) c
El modo fundamental para las ondas tipo TE tiene como subiacutendices m = TI = p = 1
Este modo TEm es el modo fundamental de oscilacioacuten en la cavidad si la frecuencia de
resonancia u m para ondas TE es mas pequentildea que la frecuencia de resonancia corresponshy
diente a las ondas TM (wougt) Se puede demostrar que si d gt 203a (a es el radio del
resonador dado en cm) entonces el modo TE es el modo fundamental de oscilacioacuten del
resonador [9]
Calculemos ahora la Q del resonador debido a la conductividad finita de sus paredes en
el caso de ondas en modo TE La potencia que se pierde debido a las corrientes superficiales
en las paredes del resonador se calcula en la forma
37
bull -1iquest]iquest r r bull -bull+pound[+ - 4 (2-s2) donde ntilde| y ntilde2 son vectores unitarios normales a iraquo superficie cilindrica y a las superficies
transversales circulares respectivamente La expresioacuten (282) puede reescribtrsreu la forma
bull= [iquest] iquest j f W + lraquolaquol2)U + 2iquest J-iacutelJiacute + IWPMraquo bull (283) Usando las expresiones de los campos (2S0) sr resuelveraquo laraquo inti-gralcs de (2S31 en la
forma
I r l l f fo l mfa r ~ UirJ 2vlaquo 2 1 + bullpound(bullgtbullgt+
+2|CIraquopound [ lpoundrAOr)+ bullO^] laquo] bull Haciendo el cambio de variable x = fr obtenemos
I laquo-1 IColraquo iexclda UffJ 2ffiacute 2 m ]Cppoundr |dlaquo UffJ 2ltriacute 2
1 +
1 + rraquoraquo
J Iacute O laquo ) + 2 ^ j f [2iacute Ji(gt+J(X)] d
^(70) + [(7laquo)3(l~)^(^)] (284)
Sustituyendo la expresioacuten de f = ^ )bull arreglando teacuterminos resulta
Finalmente sustituyendo (266) y (285) en (271) obtenemos el (actor de calidad debido
a la conductividad finita de las paredes del resonador para ondas en modo TEmnt en la
forma
38
Consideremos un resonador cilindrico en el cual oscilan ondas electromagneacuteticas en
nodo TEm cou una frecuencia raquobull = 15394 gt 10degr (A = 1224cni) El resonador es de
bronce de conductividad o = 1413 x lOlsutiquestergscm y tiene un radio interno a mdash Ion
Pitra este resonador determinemos en el caso p = 1 los siguientes paraacutemetros a) la
longitud apropiada del resonador b) el factor de calii id ilrl resonador y ltbull) el audio de
banda donde sr puede excitar el modo TE
a) De acuerdo con (258) la condicrlaquon de un resonador es tal qui en su longitud exista
un nuacutemero entero de mitades de la longitud aacutev onda
d P Px
2 V1-WW - - _ V l (287
Despueacutes de sustituir los valores respectivos de A o y de los subiacutendices que caracterizan al
modo obtenemos
d - T13cm (288)
b) El factor de calidad Q del resonador se obtiene de (286) expresioacuten que reescribiacutemos
para ondas en modo TEm en la forma
Ud (l + 0343amp4)
2nlt61 + 02092 + 02436$
39
La permeabilidad magneacutetica del bronce (je) no difiere Mgninrativanicntt- riel valor corshy
respondiente al del vacio (lt as ftc - 1) Entonces la longitud de la capa piel (244) resulta
A = 812x 1 0 - W (290)
Finalmente obtenemos ltw el factor de calidad tiem- el valor
Q = 404903 (291)
c) FinalriKiitf nilrtilt-inos el ujrlifgt di- llaquoiinli en el nial la onda en moilo TEw puede
ser cxcitaihi Utilizando (277) y I27S) obleiicnicraquo los punto ile ]raquoifriiriiexcli inedia
-bull as 153927 x iexcluHz
w2 ss 153952 x 10VH
Por lo Unto el micho de banda tiene el valor
ui2 - ugt = 000025 x 10Hz
Observemos que el ancho de banda es lo suficientemente angosto relativamente por lo que
uacutenicamente se excita el modo TE Se puede demostrar que la frecuencia de resonancia
fundamental para ondas en modo TM es uiolo = 1031 x l0nHz
40
CAPITULO 3
TEORIacuteA DE PERTURBACIOacuteN
Toda Teoriacutea ile Perturbacioacuten establece que en ciertos casos los problemas irregulares
aquellos que no tienen soluciones analiacuteticas exactas) pueden ser considerados romo rrjpi-
iexcliexclTVraquo que sufrieron cierta perturbacioacuten Cuando la perturbacioacuten es suficientemente pequentildea
u el problema irregular podemos obtener una solucioacuten aproximada conociendo la solucioacuten
ltiel problema regular [9] El meacutetodo perturbativo se ha utilizado extensamente en las guiacuteas
de onda Existen trabajos donde se analizan los efectos de las perturbaciones en lew valoshy
res de frontera [15] asiacuteromo de las perturbaciones generadas por un pequentildea muestra de
Vrrita en el interior de las guiacuteas de onda y resonadores [1C] En este capiacutetulo se describe
ia teoriacutea baacutesica del meacutetodo perturbativo desarrollada en |17] en el caso cuando las guiacuteas
de onda y los resonadores contienen un pltsma en su interior
5 El Meacutetodo de Perturbacioacuten en las guiacuteas de onda
En la seccioacuten (32) se mostroacute que la propagacioacuten de ondas electromagneacuteticas en guiacuteas
de onda cilindricas se describe en teacuterminos de sus modos caracteriacutesticos Cada modo se
caracteriza por su constante de propagacioacuten Dependiendo de las dimensiones geomeacutetricas
41
de la guiacutea de mida estos modos o bien se propagaraquo o bien se atenuacutean En ln praacutectica Ins
dimensiones de las guias de onda siempre se escogen de tal forma lt|iii- unir amenteacute se puede
propagar el modo fundamental
El caso cuando se tiene una guia de onda parcial o completamente Urna con un plasma
sir produce uu cambio en los paraacutemetros caracteriacutesticos principales laquopie describen a la
guia de onda Si el efecto del plasma en tales paraacutemetros es lo suficientemente pequentildeo
entonces la teoriacutea de pertubacioacuten resulta ser mur adecuada para calcular ln constante de
propagacioacuten
Consideacuterenlos la propagacioacuten di ondas electromagneacuteticas a lo largo de tiiiiacutei guiacutea de ouila
cilindrica que se encuentra parrial ltgt rompidamente llena ron un plasma inhomogeacuteneo Si
sujHHiemos (|iir las caracteriacutesticas del plasma son axialmente uniformes podemos encontrar
la constante de propagacioacuten y las distribucioacuten de los campos
La propagacioacuten de ondas electromagneacuteticas en las guiacuteas de onda con plasma se tlescribc
por las ecuaciones de caminiacute
V x f + i - J = 0 (31) c
VxH-i-pound=mdashJ (32) c c
La condicioacuten de frontera se obtiene suponiendo que la conductividad de lax paredes de
la guiacutea de onda es infinita
|ntilde x Eacute = ntilde Ntilde = 0 (33)
donde ntilde es tin vector unitario normal a la frontera En ausencia de plasma la parte derecha
42
gtbull (32) es cero y el problema se reduce a U propagacioacuten dp ondas en una guia dlaquogt ondas
ivieca (Cap 2)
Las amplitudes del campo de las ondas normales se determinan en la forma
Eacutet(f) = pound ( I j e - i raquo w (34)
(F) = j(rj ) e- i ( r -
iquestonde r esel nuacutemero de onda En ausencia de peacuterdidas T es real (F = iacutei) Vamos a
suponer que las ondas se |gtropagan a lo largo del eje 0 paralelamente al eje de la guiacutea dr
onda
Para ileterniinar la influencia del plasma en la propagacioacuten de las ondas rlrrtroiiiagm-
licas en una guiacutea de onda es coacutemodo descomponer las ecuaciones pura las componentes
longitudinales y ]gtcr]gtendiculares del campo Estas ecuaciones se obtienen al descomponer
los campos y el operador V en la forma
pound = 4 + poundx ntilde = fflaquo + Ai = Lpound) + fjpound) (35)
V = Vbdquo + V I
donde los subiacutendices X y || denotan las componentes perpendiculares y longitudinales es
decir su proyecciones perpendiculares y paralelas al eje de la guiacutea de onda O) Sustishy
tuyendo (34) en (31)-(32) y considerando (35) obtenemos las ecuaciones en direccioacuten
perpendicular y longitudinal en la forma
- ^ [ V x ^ + V n ^ + i - l i o x f j = - mdash iexcl 0 x pound ( ) ] (36) IUgt C C
f-Vx[VxEacutex)-Vtamp-i-iexcloampl mdashrJiexcl (3-7) w C tt
43
donde i0 es un vector unitario dirigidraquo a lo largo del eje O Las componentes longitudinales
de tos campos se relacionan con las componentes jicrpctidiculares jKraquor liis expresiones
OZfy+^ftE) = [VxJbdquo (38)
Al = - - V x f ^ (39)
Ahora considerando que las ecuaciones de Maxwell son expresiones lineales es decir
que la combinacioacuten lineal de dos de sus soluciones tambieacuten es una solucioacuten y anaacutelogamente
para las condiciones de frontera (24) y (2C) determinamos (pie una solucioacuten maacutes general
del problema de uiiiacutei guumliacuten de onda sin plasma es una superposicioacuten de todos los modos
]MKgtibies de proiHigarioacuten con valores apropiados para sus eoetiacutecieiites Si la perturbacioacuten
originada por el plasma es lo suficientemente ]H-ltiuentildeu iiodemos suponer (pie la desviacioacuten
de cada uno de estos coeficientes es pequentildea con respecto a su valor no perturbada Dr
aquiacute que las componentes perpendiculares del cam]Mgt en una guiacutea de onda con plasma
se puedan representar como una serie (combinacioacuten lineal) con resjiecto a las funciones
ortogonales poundfc y Hk que determinan las comjioncntes transversales de los modos normales
en una guiacutea de oudn sin plasma
k
Los campos satisfacen las relaciones de ortogonalidnd [18]
(310)
JsEacute-kEacutedraquo laquo Nttu
JtpoundixEacute]deacute = ZSttu (311)
44
iquestiuumlaacutef el su|MTUacutegtdiexclctraquo denota el complejo conjugado de los campos Z = cTgt para
ltJAH ti|Mgt H y Z = wcT para ondas tilraquo pound ltlaquo es el siacutembolo de Kronecker bu = 1 si
raquo = y iquestbdquo = uuml si i- = ) y la integracioacuten se realiza sobre toda lo serenan transversal ilr la
tub de onda
Utilizando (310) y (311) rocontratnos las expresiones para los coeficientes uiquest y bk
(312) iexclsntilde ntildexu
Sistiruyriiiliraquo las seriacutees (310) en (3C) y (37) obtenemos el sislrinii f|i- eriiiioacuteoiirs
poundlt5r + ilgttfraquo4 = -- |iquestux(pound))l l t (313)
Ely+W)4 = VJbdquo (314) iacute
Multiplicando (313) vcrtorialinciitc por E[Aacute y (314) jMraquor HlM e integrando en 1raquo seccioacuten
transversal dr la guiacutea de onda obtenemos ron ayuda de las roiidintildeoucs de norma (311)
laraquo ecuaciones
rA + X KzcLEacuteltsEacute^ 3 1 6 gt En el caso en que los paraacutemetros del plasma no dependan de i la dependencia de los
campos con respecto a z se puede considerar de forma exponencial como en (34)
Eacute(jyz) = Eacutexy)t-iT ntildexvt) = ntilde(xy)r
45
(317)
o t ( iacute ) = laquo- M ) = V eacute r
Sustituyendo (317) n i (315) y (31C) obtenemos
laquoriacute - - - S S L bull +Ssect bull Uuml- 318)
Luraquo fiimriidirs (31S) y (319) |xira diferentes k roiii|xmni un sisirmraquo ltb-it-imrioiies lioinraquo-
geacuteneus liacutenenlegtgt ron res|gterttgt n liis roeiit-ientes nk y laquoV Lu riiudiriitn ilr solubilidad (igual)id
a rifo laquobrl determinante) determina la constante ib- igtrigt|Mi)igtiOacuteM Sin roiUirjpi el sistema
(318) y (319) resulta ser un problema muy laquolifiril laquoIt- resolwr De alaquo|iiiacute i|iie iexclti laraquo partes
ilereelias laquole (31S) y (319) son lo siinritrntetueiitc |ielt|iirntildeaH |MMICUIUS emplear la teoriacutea laquole
|MTturlgtMrilaquon
Sil|Kgtlliciifllaquogt fjflf- la denudad lie mrrirntc H traveacutes ilel plasma es (laquornjxirriimal H tin
paraacutemetro pequentildeo podemos descomponer las (-nulidades airaquorgt y E cii tiTiiiiiiiraquo laquole laquowte
paraacutemetro
bk = ZKv lt3 2 0gt
r - poundrubdquo
46
donde el subiacutendice ( dentildene el orden de pequentildees Vamos a considerar que en ausencia del
plasma en la guiacutea de onda se propaga el modo fundamental de una onda tipo H denotada
por iacute = 0 Ademaacutes si en la aproximacioacuten de orden cero se tiene
poundi = poundgt pound = pound | |= 0 (321)
entonces
ltbdquo - Abdquo (322)
Tiacuteo) = iexcl1lth
Asiacute considerando las expresiones (320)-(322) de (318) se oliticne la siguiente exshy
presioacuten en orden cero para lax ondas tipo H
laquo(bdquo[(r(0) + rbdquo + )raquo- rg = -^f-1 pound bdquo bull J(Eacute)d +
cAuZ|o) Js
de donde rlt -7IacuteT7-L iquestiacutef(Eacute)ds- (323) 2ni
Para las ondas tipo H Z(0) = c-iexcl^- mdash ^ de donde obtenemos finalmente
TMampLtedeg-f[Eacute)di- lt324gt
47
La cantidad compleja r ( 1 ) nos repcscnta el cambio que sufre la constante de propinacioacuten
T |Hgtr la presencia del plasma es ilecir es la correccioacuten a primer orden en la constante de
propagacioacuten (I = T - Tf0)) Esta cantidad se puede escribir en forma de unraquo suma de
sus componentes real e imaginaria
r bdquo = AJbdquo - iAobdquo (32b)
siendo An) gt 4 ltgt(i) las fracciones de cambio de la constante de fase y de amortiguamiento
respectivamente ocasionadas por la presenria del plasma
En corn-spomlencia con (32-1) y escribiendo la densidad de ciirrietite cuino J mdash J + i j
( es la parte real y es la parle iimiginaria) las cautidades de (325) toman respectivashy
mente la forma
iquest 4 1 = - V ^ V bull (3-20)
iquestngt = ^ C J bull (327)
2JSEacuteiexcl-Jiexcld
Vpoundbullpoundbdquo
far sfr0-Eacuteltj
En medios lineacuteale) anisotropicraquoraquo e inhomogeacuteneos la densidad de corriente r relaciona
ron el campo eleacutectrico en la forma
J=aEacute =mdashampbullpound (328) 4ir
donde amp es el tensor de conductividad eleacutectrica Af = (iacute - ) i es el tensor de permiacutetividad
dieleacutectrica e es el tensor unitario
Utilizando la expresioacuten (328) podemos reescribir (324) en la forma
48
wJ ft R bull Aacute iacute bull Ed
laquo Wen
r ^ poundbullampbullpound (330
En las expresiones anteriores no hay que olvidar que el campraquo eleacutectrico se expresa romo
una serif con respirtn al paraacutemetro pequentildeo pound Las expresiones (324)-(330) corresponden
iexcli iraquo aproximacioacuten de primer oidrn La condicioacuten que si- debe de satisfacer seguacuten la teoriacutea
de perttirlsirioacuten ni primera aproximacioacuten es tal qult- 1raquo magnitud de cambio en la ninstaiitr
de propagacioacuten debe ser sinnpre mucho menor que la magnitud laquobull- la difereiiria entre las
riHiMniitcraquo ilc propagacioacuten di cualquier modo con respecto al modo fundamental
ri lt r 0 r m lt |ru - rt| para todo Jl^O (331)
o con respecto a A y Aigt obtenemos
(332) Aibdquo laquo iquest A^bdquolt |A -r | iexcl
poundltraquobdquoltamp Ao(1)ltt|iquestt-rraquo|
6 El Meacutetodo de Perturbacioacuten en los resonadores
Anaacutelogamente al estudio de las guiacuteas de onda conteniendo plasma en su interior el anaacutelisis
en los resonadores que se encuentran parcial o completamente Henos con plasma exhibe
cambios en los paraacutemetros principales que describen los resonadores huecos En la seccioacuten
(41) ae mostroacute que un resonador tiene un nuacutemero infinito de modos de oscilacioacuten Cada 49
modo se caracteriza jagtr su frecuencia de resonancia su factor de calidad y su corres|Hraquon-
diente distribucioacuten de CHII)|Kgt La presencia del plasma en un resonador priMlure princishy
palmente un cambio en la frecuencia de resonancia en la cual el resonador se encuentra
opilando y en el factor de calidad Si la influencia del plasma en tales ]gtaraacutemetros es sufishy
cientemente pequentildea entonces para el anaacutelisis de este problema podemos tambieacuten emplear
la teoriacutea de perturbacioacuten
Consideremos un resonador que oscila en una de sus frecuencias de resonancia y que
contiene un plasma distribuido axialmente Evaluemos los iambins i|ite se producen en
liexcli frcciMiiciii de resonancia y en el factor de calidad del resonador Las distribuciones de
ciexclim|Hgty las frecuencias de resonancia se obtienen integrando las ecuaciones de campo (31)
y (32) con la condicioacuten de frontera (33) En este caso la condicioacuten de frontera (33) se
iipliia en la frontera cilindrica laquoleiacute resonador y en las superficies planas del mismo En
ausencia del plasma los raiiipos satisfacen las ecuaciones (31) v (32) con la piiacuterte derecha
igual con cero
VxEacutek + imdashH~k = 0 r (333)
V x Hk - mdashEacutebdquo = 0 c
y la condicioacuten de frontera (33) Donde se ha utilizado el subiacutendice Jt para denotar el
modo k de oscilacioacuten en un resonador hueco con frecuencia de resonancia ui Los campos
Ek y Hi satisfacen las relaciones de ortogonalidad
jvEacutekEacutedV = NkeacuteM
(334)
JvIacutekntildedV = Lk6kl
50
donde el superiacuteiidice nos indica el complejo conjugado de ios cam]gtos y la integracioacuten
igt realiza sobre tftdo el volumen del resonador
Se conoce que todo camjx) vectorial se compone de la suma de una parte con divergencia
ltITltJ iparte solenoidal) y una parte con rotacional cero (parte potencial) Para observar
la it^iuencia del plasma en la oscilacioacuten de ondas electromagneacuteticas es conveniente utilizar
este hecho escribiendo el campo eleacutertriacuteco como la suma de una parte solenoidal y una
potencial
Eacute = Eacute + Eacutebdquo V Eacutei = 0 (335)
V x Eacutebdquo = raquo
Llaquoraquos vectores solenoidales Eiexcl y H ile un resonador con plasma se pueden representar
como una coinlgtiuacioacuteu lineal de las funciones vectoriales Ei y Ht tjue detenuiiacuteian las
componentes solennidalcs de los modos de oscilacioacuten en un resonador sin plasma
Eacute = 5 gt pound raquo (33C) k
H - J gt amp (337)
Usando (336) y las relaciones de ortogonalidad (334) se encuentran las expresiones para
los coeficientes a y 6
TV (338)
_jvEacute-EacutexaacuteV 6gt 5 mdash bull
Sustituyendo (336) y (337) en las ecuaciones de campo (31) y (32) y considerando (333)
obtenemos eacutel sistema
51
k 1330)
J^(traquow-a tuf t)5 = 0
Multiplicando escalarmentc la primera ecuacioacuten de (339) por pound y la MRIIIKIIacuteI JMW HJ e
integrando sobre todo el volumen del resonador obtenemos
[b^k - laquow) = pound Eacute] bull poundkM - ^ I Eacute TIV (340)
(JW-laquo) = o 1341)
El primer tmuiiacuteiraquo tit- la tlrn-rlm ltb (340) i-s IacuteRIIUumlI IIHI erro Siacute ili-sprjaiiio ltbull (341) fr
y lo sustituimos cu (340) otitciii-inos
iJiexcl - J)nbdquo = Jj^L(pound-k f(g)dV (342) iexclSi Jv t
tlmide
k = ^ laquo 4 (343)
y Vi es el volumen que ocupa la columna dr plasma Sustituyendo la primera expresioacuten
para a de (338) en (342) se obtiene la relacioacuten
2 Jv Eacuteiexcl bull JEacute)dV - a g - iacute - 4 trade ^ iquest r f v 044)
donde se ha remarcado la dependencia de la densidad de la corriente con respecto al campo
eleacutectrico Por otro lado se observa que las ecuaciones (342) y (343) para diferenteraquo valores
de k forman un sistema de ecuaciones homogeacuteneas lineales con respecto a loraquo coeficientes
a La condicioacuten de solubilidad (igualdad a cero del determinante) determina la constante
52
bullltbull propagacioacuten Si la parte derecha fie (342) es lo suficientemente pequentildea jiodeinoraquo
ltiijgtlear el meacutetodo |gterturbatiro
Suponiendo laquoue la densidad de corriente a traveacutes del plasma es proporcional a un
paraacutemetro pequentildeo ]gtodemos desromponer las cantidades OkM^ ) E laquogt teacuterminos de este
paraacutemetro
h = poundbdquo lt3-45gt
(
lioiide el suloniHir ( define el orden (le peqncntildees Si en ausencia del plasma sr excita una
onda lie frecuencia UumlIiexcl en el resonador entotires en la aproximacioacuten de raquorltbii cero se tiene
pound|o) = Eiexcl
a = eacutelk (346)
Sustituyendo (345) en (344) e igualando los coeficientes de la misma potencia con respecto
al paraacutemetro pequentildeo se obtienen las soluciones en distintos ordenes de aproximacioacuten En
primera aproximacioacuten para k = l resulta
gt bien
53
= 2 ^ ^ 347)
En gmrral J ( ) ) es tuia cantidad complt-ja i|ttr mis reprcscuta la i-orrerrintildeu a primer
orden en la fnriirncia compleja de resonancia (uim = m mdash wi) Di- acuerdo ron (274) esta
cantidad puedr escribirse en la fonna
-bdquo = Aw + IA iacute J (348)
donde i parir mil ltbull imaginuria nos detenniunii las fraoioiirs laquobullbull cambio di- la |Ktrtc real
de la fri-eui-iicia di- n-soiiamia y la calillad dri resonador rcsptitivaiiniitc ocasionadas por
la pn-Hcuciacutea del plasma
En corrispoiidiiicia ion (347) escribiendo y descomponiendo la densidad de corriente
ronio J = 3 + i 3 (3 lts la parir real y 3 i la partiacute- imaginaria) las rantidailps ib (34S)
tulliacutean rirspeclivaineute la forma
- raquo m _av-j (340) wi w iexclv Eiexcl bull EilV
Qi) un fvpoundiexclEacuteM
En medios lineales anisotroacutepicos c inhomogeacuteneos la densidad de corriente se relaciona
con el campo eleacutectrico en la forma (328) De aquiacute qtie )gtodamos reescribir (347) como
WIacuteII bull - mdash mdash s mdash s 351) 2 v poundJ bull EdV
Para evaluar las correcciones en segunda aproximacioacuten a la frecuencia compleja de resoshy
nancia se sustituye la correcioacuten a primer orden del campo eleacutectrico E - poundbdquo + pound en
54
3441 la rual se determina por la expresioacuten (342) al evaluar cada uno de los rieficientes
u ron k JEacute
trtonces las correciones a las partes solenoidal y potencial se expresan en la forma
V pound | bdquo = mdash V bullbullltpound) (354)
Las roiidiiioniK laquo|nr se ilrlx-n satisfacer pariacutei cpir la expresioacuten (347) KIIacuteI viiacuteliiluuml es tul
([iilt parsi i ^ tentniMM
^ (355)
y |Hgtra I- =
A M mdash laquo 1 (366)
bull(4) e l
55
CAPITULO 4
INFLUENCIA DEL PLASMA
Eu i-sti- i-itpitulo en base al meacutetodo perturhativo descrito i-n el capitulo 3 se obtiene
el gtiexcliiiil)io laquopie sufre In constante de propagacioacuten para lindas rleclioniagneacutetiras eme se
propagan iii miii guiacutea ile onda ciliacuteiidriiacutea que i-oiitieur en su eje una roluijjua laquolaquobull plasma
friacuteo iiiliimiogeacuteufraquo y magnetizado Ademaacutes se determina la vaniiiioacuten ite la frecuencia laquole
roouancia para las ondas electromagneacuteticas qui se eiiruentran oscilando en tin resonador
cilindrico que contiene una columna de plasma friacuteo magnetizado e inhomogeacuteneo distribuido
axialmcnte Si- calculan las variaciones de la constante de propagacioacuten de la fierucucia de
resonancia y laquoleiacute factor de calillad jgtara diferentes valores de wjJJ1
7 Influencia del plasma en las guiacuteas de onda
Vamos a considerar como paraacutemetro pequentildeo que el radio del plasma es mucho menor que
la longitud de onda y que el perfil de densidad de electrones es de tipo paraboacutelico con
respecto al radio Ademaacutes el campo magneacutetico externo se considera homogeacuteneo y dirigido
a lo largo del eje O (Fig 41)
Como ya sabemos en una guiacutea de ondas cada modo de propagacioacuten se caracteriza por
56
Bo
P L A S M A
Fig41 Sc inwsira nnraquo i laquolimiiia ilr plasma laquoIc ratlin rbdquo loi aliidi sobre el ltbullbull bull)bull- miacutea guiacutea laquole
ogtda rihiiilrii-a dc railio rt in rampo iiiagnrliro externo iquestV osla dirigidraquo a Iraquo largraquo del ltbull)gtbull (gt
t i rumiante propagation Su parte real o factor dr fane drtrniiiiin la vrinriibul ill- fiiw
iexcluiftitraraquo I 1 piirti- imaginaria laquogt riwrkienlc tic absorcioacuten tlrtmniiacuteia el raquoinltgtrtigiiiexcliiiiiexcli-iitigt
(ir los diferentes modos ir propagacioacuten El efecto que se origina ttiantiraquo se rolix-a IIIIIacuteI
columna de plasma dentro de la guiacutea de ondas es un cambio en la constante de propagacioacuten
De acuerdo con la teoriacutea de perturbacioacuten este cambio es proporcional a la razoacuten del cambio
de energiacutea dentro de la seccioacuten transversal que ocupa el plasma sobre el vector de Poynting
evaluado sobre la seccioacuten transversal de la guiacutea de onda
r r - u _ IM-bullpound _ bdquo
donde las cantidades con subiacutendice 0 denotan cantidades no perturbadas (sin plasma)
Para evaluar la constante de propagacioacuten (41) es necesario obtener las soluciones de los
57
campos eleacutectrico y magneacutetico dentro del plasma en teacuterminos del jiaraacutemetrraquo peipientildeo
Para el caso de un plasma friacuteo cuando la velocidad de fase ile lsts nudas electromagneacuteshy
ticaraquo es mucho mayor (pie las velocidades teacutermicas di las (laquoarticulas si- utiliza el modelo
hidrodinaacutemico Debido a la simetriacutea cilindrica del problema su]Mgtngamos ijiacuten- los campos
tienen la forma
Eacute = iquestj(r)rr+--
Expresando la ecuacioacuten de onda
V x V x Eacute - ^r-iacuteEacute = 0
(42)
(43)
en coordenada iiliacuteiiltlriras se obtienen las eniariolies para las componentes del ranipo
eliVtriro i-ii la forma
igt
i-e- - mdash - DE = --Mt - DE + mdash(poundj + rr r r r r
E + - pound + (mdashv - ) pound = pound- + mdash (rpoundr) bull r r r r- r
(44)
(45)
-rcEr + iru(e - 1)poundJ + mdash | - i laquo ( f - 1)pound + poundpound] + rraquopound3 = 0 (46)
Aquiacute las primas indican una diferenciacioacuten con respecto a r l es el tensor dieleacutectrico en
la forma [19] (Bu esta dirigido a lo largo del eje 0)
poundraquo -
pound
0
pound 0
o vi ( t iquestu(e - 1) 0
= - t u ( c - l ) pound 0 V 0 0 r)
(47)
58
aacuteHtuacutee
- - 1 ti ul2 - - f j
2
= bull laquo bull i
_ = (r) = 4r r laquobull 1iexclI freruenna plaacutesmirraquo y -laquo lt-N ]iexclI fririirii-iraquo rirlotroacuteliira dr los
bullbulllaquobullerroiirs
Si il nidio ilil pliisiiiii o |Hi|iiiiacutein iii rumpiriiriuacuten ron IIacuteI loiigiliul de onda y n Irmas pound
varia i-ii un onli-n i|f iuiacuteraquotiacute-j)i in J |IIII|P)JIIgtS expresar li viiriiirioacuteji ili rraquo la forma
poundltrgt = bull ( laquo v ) bull iacute gt h 4 S )
donde el bullmnuiirtro se lm introducido para obtener las soluciones aproximadas ni difeshy
rentes ordenes ron respecta a pound di los camporaquo eleacutectrico y inaRiirliin Haciendo rl nunbio
lie variable x mdash =pound en la ininrioacuten (45) obtenemos
E = --(pound) - -plusmnpoundE - ^iquestE + - 4 J ( Iacute pound + gt9E) (4-9)
donde B kciexclwg = u(iacute - 1) y la prima denota una diferenciacioacuten con resprcto a x
Haciendo el mismo cambio de variable eliminando E por medio de (49) y limitaacutendole
hasta teacuterminos del orden (IO1- a ecuaciones (45) y (46) toman la forma
59
F i g 4 2 IVr l i l |gtiifiacuteilraquogtlirgtgt ili li |TinHivnli i l c|i| ( I I IM I I I n m P | W T 1 I I iexclI JT - mdashgt
[j-tl ltbullpoundbdquo-)] - (mh + mnixEf = 0 141raquo)
(411)
Se observa qui- la ecuacioacuten (410) no si- encuentra acoplada ron (49) y (411) cnloiires
podemos obtener su solucioacuten En condiciones experimentales una distribucioacuten dr la denshy
sidad de tipo paraboacutelico con respecto al radio resulta ser una rnuy buena aproximado
(Fig42) En tal caso escribimos
pound = T- - t0 (412)
siendo
CO
^ deg - 1 laquo413 J1 - ^
valor de la penuitividad en el eje del cilindro de plasma
Antes de sustituir el perfil paraboacutelico de iexcla permiacutetiviefad (412) en (4S) httgtimos en
bulli10 el cambio de variables
E = il|-r-|J-) 1414
bullbull donde obtenemos una ecuacioacuten diferencial pam en la forma
(V - bdquolr-+ [-(2|m| + 1 | - + (2|w| + 3|rjr-+ 2(|raquo| - tnu)Y = 0 1415
Haciendo un nuevo cambio de variables y = xiacutei en (415 se obtiene la ecuacioacuten
wd -v)r + H +1 - ( H + 2)W- iexcl y = o lt4icgt
Eltfa uacuteltima ecuacioacuten es una ecuacioacuten de tipo hiperficomeacutetrico y su solucioacuten es conocida
20 de donde la componente angular del campo eleacutectrico tiene la forma
poundv- = CxH-F(laquo6cy) (417)
donde F(a b c y) es la funcioacuten hipergeomeacutetrica [20] C es una constante y las constantes
cb y c tienen los valores
b = l + | m | - a (418)
C a 1 + H
61
respectivamente Dlt- la ecuacioacuten (411) podemos ahora escribir la expresioacuten paro la com-
jiacuteomrntf axial en la forma (hasta teacuterminos laquoiel orden (1iacute)1)
E = _ bdquo|m| D+-plusmn-CF(abc mdash mi poundu
= DiquestnbullT mdashJEiquest (419)
donde D es una constante La componente radial del campo eleacutectrico se obtiene de la
rniacioacuten (49) sustituyendo en esta (417 y (119) El campo majiexcliieacutetirtgt se deterniina laquole
la ecuacioacuten dr Faraday
1 OD r x pound = mdash mdash (420)
c uumlt
Limitaacutendose hasta teacuterminos del orden IO1 obtenemos la componente axial del camjm
magneacutetico
H = iacute H D gt i + Jiacute-lfEj - iiacuteuumlUuml^r (42D lit inz in(
Las constantes C y D que aparecen en (419) y (421) dependen de las condicioneraquo
de frontera Para su determinacioacuten acoplemos los campos dentro del plasma con los del
vacio bajo la condicioacuten que haya continuidad en la frontera del plasma (r = r) de las
componenteraquo E y Hiexcl
Ermfl = poundo | bdquo (422)
|tradebdquo = H0rmri (423)
Considerando que e(rf) = 1 y usando las expresiones correspondiente para las composhy
nentes axiales de los campos con plasma (419) y (421) y de los campos sin plasma
02
Z = DtJbdquo~ri y H0 = CWJbdquo(-T)) obtenemos las expresiones de las constantes C y
Z teacuterminos de los cani)gtos no perturbados En el raso para m gt 0 obtenemos
2 m (m- l ) -raquo - mF(n o r y ) + jF(noriexcl() bdquo-(bullraquo-raquogt( pound)bullraquo-)
D = 2miquest- C raquo + ^ deg - (4-25gt
iacute uiquest y = xfiacutey C0 y Dlaquo son unas constantes Hasta el momento nos hemos limitado a
- rinos del orden de ( l ) lo qtw equivale H decir que lit rondicioacuten de raquo|gt]irn)gtiliilad de
1- ecuaciones obtenidas es
kr iquest
7Iacute(l + | - bdquo | r laquo 1 1420)
Una vez lt|iie se lmn obtenido las expresiones tie los campos dentro del plasma evaluemos
bullbullbull integrales de 1iexclI expresioacuten (41) que determinan la const iexcltute tie propagacioacuten para una
sua de onda conteniendo en su eje una rolumna de plasma Se considera que el problema
gt perturbado es aquel que ronsiilera una guiacutea tie onda riliacutendrira llueca |fbdquo = 1 y bdquo = 1)
pound1 caacutelculo se realiza para una onda en modo H Para este modo la constante Dp es igual
con cero y las constantes C y D se reducen a la forma
C Jiquest poundk (4 27) 2 o F(a62yi) + ytFub2bdquo)
D = - g c bdquo (428)
Primeramente evaluemos la integral en el numerador de (41) para ello consideremos
la expresiones (229) Tomando la parte cosenoidal de (229) para la componente axial
correspondientes a los campos no perturbados y el tensor de permiacutetiv lad (47) obtenemos
63
= f - - A iacute - E iacute laquo 429) J Ai
= iexcl J |pound - 1) [poundJlaquoMraquon5(r + iuE) + poundt(MraquoiT-|pound - laquopound)] (-rdrtl
donde las componentes Ew Er y Eiquest dependen uacutenicamente del nidio La integral sobre if
en el intervalo [02r j se realiza expresando el termino exponencial romo senos y renenrraquo
y romanilo en cuenta sus relaciones de o-tugonalidad Por tanto despueacutes de realizar la
integral Mible r_ se obtiene
= - f r|pound - 1 )[Er(poundr + iuE) + EI poundr- - laquopoundbull ))ltbull
A1 r raquoraquo = r r(iacute - 1 )[rCZH mdash-J m (7r ) |pound r + laquopound) +
+ CZll-Jj-lr)(E-HiEr)dr 1430) i
La integral anterior se evalna sobre la seccioacuten transversal de la columna de plasma
Aquiacute r i es el radio de la columna de plasma Por otro linio si expresamos - en teacuterminos
de la longitud de onda di corte Ar (217) para tina guiacutea de ondas hueca en la forma = ^
ohservanios que el argumento de la funcioacuten de Bessel eu (430) es una cantidad mucho
menor que uno Para demostrar lo anterior notemos que de acuerdo con (218) para que
la onda se propague a traveacutes de la guiacutea de onda se debe satisfacer que la longitud de onda
en el vacio debe ser menor que t Ademaacutes debido a que sr ha considerado que la longitud
de onda es mucho mayor que el radio del plasma entonces la longitud de onda de corte
tambieacuten es mucho mayor que el radio del plasma Esto uacuteltimo nos sirve para considerar
uacutenicamente el primer teacutermino de la serie de la funcioacuten de Bessel [12] con respecto si
argumento -yr = 2iry De donde (430) se transforma romo
G4
Ix = gtCU (1 - ti) r(pound - iy[iEr + pound)rfr (431) Jrm Ji)
-spueacutes di- hacer el cambio de variable x = iacute - r y sustituir las formas expliacutecitas fie los
gt-npos (4D) y (417) para Er y Ef respectivamente se obtiene de (431) la expresioacuten
bull - f pound z raquo r m - i f e r ( i - u ) x 4-32) x i(-- -)rxx-F(iUlt mdash)] + iirtn-iquestFuUlt~ )li
Ai [ iquestu tu J
jiirlc se han aproximado los campos hasta teacuterminos del orden (7 ) Integrando P )laquoirles
raquo n-sperto a r el primer teacutermino de (432) obit-nemos
laquo - ^ V r r ( l - laquo ) x - + f V a r - (433) 2wi lt W bullraquo iacuteraquo
Sustituyendo la forma expliacutecita para la constante C (424) en (433) se observa miacutee (T-To)
vrrere con el nuacutemero de modo vi en la forma lt~IK Para t-l casiraquo (pie nos interesa tu = 1
iexcl integral ltpir aparece en (433) es faacutecil tie evaluar Para esto liaciendo el cambio de
variable y mdash x7t0 se puede reescribir la integral de (433) en la forma
Jsl+to x
xlnF(abcmdash)dx o iacuteo
= ~iexclg yF(abhy)dy (434)
utilizando la relacioacuten de diferenciacioacuten de las funciones hipergeonieacutetricas [11]
pound-[-gtF(abc)] = (c- n)nt-F(abc - ns) (435)
65
con ii = 1 v r = 3 se obtiene
Re-escribamos (43C) en una forma maacutes conveniente pura ello usando la siguiente
foacutermula de transformacioacuten para las funciones hipergeomeacutetricas [1121]
e f e - 1)(- - )Fnbc- z) + rr- 1 - ( 2 c - laquo - b- )zFlabr ) +
(r - laquo)(r - l | F I laquo i r - 1) = 0 (437)
ron laquobull = 2 y considerando las formas expliacutecitas praquoriexcli laquo y b tie (41) ron m = 1 de (437)
obtenemos la relacioacuten
F ( w fc 3 lplusmniraquo ) s ~ 4 ( 1 ^ 1 1 ) f^Ffafci 1plusmn^gt - J-(laquo2 l plusmn ^ iacute ) 1 (43S) poundbdquo (1 _ bdquo ) ( U i l j l fu ibdquo J
Finalmente usando la igualdad [11]
FUifc2) = F(ub-) - (laquo fc2c) (439)
la ecuacioacuten (43S) se puede escribir como
F(flft3^-=2)= F(laquob2^-^) (440) poundo ( I - K ) Iacute O iacuteo
Sustituyendo (440) en (436) y tomando en cuenta la relacioacuten t = 1 + pound0 obtenemos
-^|UftV(laquoraquoi^) H41) (1 - u) e0 pound0
y sustituyendo (427) y (441) en (433) finalmente obtenemos para | la expresioacuten
66
cbdquo r (1+^) riab2 iquestraquo)
M i r iacuteo F (laquo 6 2 l^ )+ L Uuml^F (laquo iquest 2 l i iacute i ) (442)
La integral del vector de Poynting correspondiente al denominador dr (41) evaluada
la seccioacuten transversal de la guiacutea de ondas tiene el valor obtenido cu (236) de donde
h - jA([Eiquestplusmnxntildevplusmn+EacuteraquoxxHiquest ]gtltlaquo
= CJZbdquoVgt bull laquo i i
JfjjLii- (-143)
iacutegt|HIacute rbdquo es el radio de la guiacutea ilc onda Finalmente dividiendo (442) entre (443) se obtiene
bulla expresioacuten para el cambio en la constante de propagacioacuten para unii onda en inodo Hu
ltue se propaga en una guiacutea de onda ron plasma
- ( r -r u ) = Ax iacute -Fnb2-^iacute)
F(laquoJ2 bullraquo)+ ^^Ff f i 2 ^ )
donde
(444)
M= 21(rr0)3
l - 3 3 9 ^
De aquiacute se obtiene que la constante de amortiguamiento es proporcional a
(445)
o = A F(o62ttiraquo)
f(afr2 iraquo) + UiacuteampFia fc2 raquo) Mtr)
F(a62iplusmniacuteraquo) (446)
07
Esta uacuteltima expresioacuten se igtigttnvigt ron vi uso di-la igualdad (439) Por otm bulo notemos
i|ugt- el argumento dr las funciones hipergromctriras dr (44G) es mayor laquopie la unidad Es
conocido laquopie la serie hipcrgeonirtrini diverge en yi = -f4 gt 1 [20] Por lo tanto rs
ruuvcuicute transformar las funciones hipergi-omctriras de- (44G) laquoru series convergentes
|gtaia filo obtrugamos las expresiones para Fluriacute l y ) y Fnb2y) donde y = 1(1 mdash z)
Para podrr estudiar la absorcioacuten de tma onda excitada en modo Hiexcl1 cu una guiacutea de onda
cilindrica como la que se tiene cu la fuente de plasma construida en el INlN y descrita
en 2] es necesario obtener las expresiones para Flnli 1 i) y FnU2y) ya ipie para
laraquo bull-iitiiiiciones de la niiiijuilia i tiende a la unidad como se desenlie con maacutes detalle maacutes
adelante
Observemos ipie la ecuacioacuten
t( 1 - )iquest + (1 - 3i)o - ltilgto = 0 1447)
tiene como solucioacuten la funcioacuten hiprrgromrt rica Finli li) Si bacnnus el cambio dr
variable raquo = 1(1 - z) entonces (447) sr rersrribr rn la forma
(1 - ) V + (1 - r gt ( 2 - r ) iquest + nkgt = 0 (448)
Fiacutetiaitnente con vi cambio iquestgt = (1 - )lt obtenemos la ecuacioacuten
i ( l - c)vgt + [2 - (26 + I r ) ] - IacuteraquoV = 0- N- 4 9 )
La solucioacuten dr la ecuacioacuten (449) es la funcioacuten hipergeomeacutetrica Fbb2z) [21] Sin emshy
bargo una solucioacuten maacutes general para F(ab i y) es una combinacioacuten lineal dr las dos
soluciones existentes de (449) [21] esto es
G8
Fiubly) = [-)lt AtF(bb2)-rB F(bb2z)Ln+Pii) + (l-fc) iJ
(450)
donde At y B son constantes por determinar y Pj(c) es una serie de potencias con resjiecto
a en la forma [21]
donde
^)=poundr^ [ lt ) - ( o j
Iraquo) = (laquo + raquo) + 4(+raquo)- I2 + raquo ) - ( + 1)
(451)
(452)
4 (bull In funcioacuten i igt iliiinim y (laquo) = laquo(laquo+ 1)(laquo + 2) bull bull bull (laquo + 7 - 1) Multiplicando anillos
luumldoM de hi ecuacioacuten 145(1) por zi - z) difiTciiciacutenndo ron respecto a i y considerando el
liacutemite ruando - tiende a cero olitcuciuoraquo la igualdad
vd - amp)bull(laquo ft 2v) = r r - r + BW + raquo - ) + iquesti-(i -raquo) (453)
Ahora usando la representacioacuten integral de la funcioacuten hiacutepergeomeacutetriacuteca (2Iiexcl y considerando
las definiciones (426) para aby c obtenemos
a - f - r(laquo)r(6)o ( i - lt y )
La primera integral de (454) se calcula faacutecilmente y tiene la forma
Jo 1 - ty y (455)
69
Para evaluar 1raquo segunda integral de (454) recordemos laquopie 1 = ^^ y notemos ipte en el
limite ruando y tiende a mm (c tiende en este castraquo a cero) iacutei se vuelve muy grande
raquo|iiraquo- laquobull equivalente a ltllaquorir que inraquo acercamos a] punto de resonancia eicloiroacuteiiica in = 1)
y por kgt tanto con r=2 Igt tiende a cero De esta manera la segunda integral de (454) se
aproxima al valor [21]
laquo-raquo- 1
1 - f dt = -(fc)-C (45C)
donde C es 1raquo constante de Euler Sustituyendo (455) y (45C) eiexcl (4541 obtenemos
f io 2) = 1
-Ltil - bull ) - laquo1M J- C 1 4 5 7 ) r(2-raquoinM
Pitra determinar las coacutemanles -4j y D sustituyamos (457) en (453) y separemos los
teacuterminos laquopie ionticueu Lti de aijticllos (pie no lo contienen Asi obtenemos las expreshy
siones para las constantes 4| y B en la forma
A =
B =
^ ^ laquo ^ ^ ^ r ( 2 - igt)T(igt)
(1-fc)raquo f(2-gt)JW
(45S)
(45ai
Anaacutelogamente se puede encontrar una solucioacuten para F[ab2y) en la forma
+ [ C + ( t ) + i raquo ] | F ( 6 f c - l l r ) I n iacute + fl(s)] (460)
donde
70
Las expresiones (450) y 1400) representn las transformaciones dr Filtibiy) y
Flt a b 2 y) respectivamente en series convergentes ruando y tiende iexcli la unidad Las consshy
tantes A y Bi se expresan mediante (458) y (459) corresigtondiexclentenieiitlaquo- Finalmente
y fie acuerdo ron (44G) dividiendo 4G0) intrc (450) y tomando la iexclgtiexclirtr iiiiiacute-uumliuaria
obtenemos la expresioacuten para la constante ltle amortiguamiento o de absorcioacuten en 1 forma
( i
Jf = laquo x Fffcfc - 11 )[1 - (1 - fc)(2 - fc)F(662 z) + Piexcl)- )bull]+
+ P (r) | l -6) F |6 6 2 )x
x [l - (1 - b)2 - h)FVb2) + P7(z)l - by +
+ C + (b) + Ln -](1 - 6)-F(6 62 r)] +
+ T T V ( 1 - 6 ) ^ ( 6 1 2 1 ) (4C2)
donde r = 1(1 + pound0) La figura 43 muestra el comportamiento de (4C2) en funcioacuten de
ni x u para m - 1 es decir los int2Tvalos [-LO) y [01] corresponden a m = - 1 y tu = +1
respectivamente Las graacuteficas de la figura 43 corresponden a los siguientes valores de
-bull(0)toiacutes a) 82 b) C c) 4 d) 3 y e) 1 Las graacuteficas c) d) y e) difieren de armellas
mostradas en [22j ya que aquiacute se han considerado uacutenicamente los primeros cinco teacuterminos
de las series Pz) y Pt(z) Por otro lado observemos que el coeficiente de amortiguamiento
se anula en el caso de resonancia cidotroacutenica (u = ) Sin embargo esto no significa que
no existe absorcioacuten de la onda en este caso como se reporta en [23] en los punto donde
71
o bulla
iquest
1 3
n raquo
o i
Wv
72
eiexcl Iacutendice de refraccioacuten tiende a infinito se produce una absorcioacuten delas ondas en el plasma
ltii- tipo no rolisioiiacuteal Esta absorrioacuteu se asraquo ic a la existencia de punto singulares dlaquo- la
ecuacioacuten de onda exacta para ciertos puntos dentro del plasma es decir ai|uiacute la componente
del campo eleacutectrico paralelo al gradiente de densidad es infinita
En la fuente de plasma descrita en el trabajo [2iexcl se trabaja actualmente con densidades
del plasma del orden raquof(0) = C x Nfcnr3 y con un campo magneacutetico externo B =
S~jGtntraquo Ademaacutes se cuenta ron una guiacutea de onda de radio rbdquo = 425rFraquogt en la rual se
IgtngtiexclgtiexcliEiexcli una onda electromagneacutetica ron 111raquo frecuencia w = 15304 X 10 gt Si el radio del
plasma es C| = 3ltm eutonres tendremos los Mullientes valores para _laquo_- 10) 11gtf0)-bull
y respectivatiieiite
wbdquo = 15379 x 10V
raquogt(()) = 13S19X 1 0 V
1 = 00990 1403)
^(0)--J = 08
poundn = 3902
A = 19525
En este caso podemos analizar de la figura 43 curva a) comportamiento riacutee la constante
de amortiguamiento cuando u^fO)raquo2 = 08 Como podemos olmcrvar la constante de
amortiguamiento tiene valores relativamente grandes en la vecindad de u = OC pero
decae raacutepidamente conforme u tiende a la unidad Cuando u = 0999 la constante de
amortiguamiento tiene el valor
73
o = Ai x (M)0()02455 = lSS x 10 (464)
El anaacutelisis anterior es vaacutelido si se rumple la rondicioacuten (42G)
^ ( 1 + |poundbdquo|)- ltpound 1 MCO)
que eii nuestro laquoaso es correcto ya que
^ - i d +|ibdquo|)-=ocnsx lo- ucc)
8 Influencia del plasma en los resonadores
El meacutetodo de Perturbacioacuten en este raso se mi de formraquo similii ii el rusraquo de tina guiacutea
tie onda Como paraacutemetro pequentildeo se considera anaacutelogamente que el radio del plasma
es lutirlio menor que la longitud de onda Ademaacutes se supone que el |HTTiexcl1 de tielisidad
electroacutenica es de tipo paralioacutelico y que el campo magneacutetico externo es homogeacuteneo y esla
dirigido a lo largo del eje O
Anaacutelogamente a el caso de una guiacutea de onda la presencia del plasma en un resonador
es originar un cambio en la frecuencia de resonancia De acuerdo ron la teoriacutea de perturshy
bacioacuten este cambio craquo proporrional a la razoacuten del cambio dr riirrga almacenadraquo dentro del
volumen que ocupa el plasma en el resonador sobre la energiacutea total almacenada en todo el
volumen del resonador (34C)
WJVpoundiquest iquestiquest EacutedV w - u 0 = wbdquo = - iquest (4Glt)
iquest Jr pound0 bulltoraquo
74
Lu i-niaciuacuteii (4CT) requiere la evaluacioacuteu de el campo eleacutectrico cu el plasma En la
-bullbullTIacuteOII 7 se obtuvieron los campos en una columna de plasma friacuteo de radio pefpit-iio
magnetizado e inhomogeacuteneo localizada en el eje de una guiacutea di- onda cilindrica Con
tuda de estas expresiones podemos determinar en forma expliacutecita los campos cuando una
lunuia de plasma se encuentra en el resonador
poundru-y--) = iacute
r 22
mi miacutem mS
poundir r-) = C | |- F(laquoraquor-K--fbdquo(4--) in raquo t4CS)
uy-) =
poundgtXM + _L pound raquoltiacute ti
In I-I - r i - l iacute - D P DJT] T mdashmdashstE) E 111 lllC laquo ( il
donde x = (iexclt~ C y D son constantes = ruy = u(i mdash 1) la prima denota diferenciacioacuten
con resjMcto a j - Fin h r y) es la funcioacuten de tipo hipergeomeacutetrico [20] y nb y r tienen llaquoraquos
valores obtenidos en (418)
No hay que olvidar que cu un resonador los campos son estacionarios de aquiacute que la
dependencia con respecto a r se escribe multiplicando cada ecuacioacuten de (468) por el factor
jffi(^z) oacute coM^z) p= 123 iacutees la longitud del resonador
Calculemos el cambio en la frecuencia de resonancia para ondas de tipo TEm- La
integral del denominador de la expresioacuten (4G7) nos expresa la cantidad de energiacutea eleacutectrica
almacenada por unidad de volumen en el resonador sin plasma cuyo resultado para un
resonador hueco se obtiene de (2GC) al considerar que WE = Wn y en pnrtirular fiv ~ 1
( = 1 El resultado para este modo se expresa en la forma
U = bull EacuteltW
= ^^M-MUn) M69)
Por otro lado la integral del numerador de (4C7) evaluada sobre todo el volumen que
ocupa el plasma se calcula con ayuda de las expresiones (2G0) (resonador sin plasma)
di las expresione (4CS) (resonador con plasma de radio pequentildeo) y de tensor dieleacutectrico
(47) obtcnirlidii
= iacute iacute f ( pound - l ) [E ( gtfm l T - | pound + l l lpound l + Jit u Jn
+EuacuterosinY-(Er - iuEr) rltMiJl-^-)riexclrd^dz (470) d
donde las coui]gtoiientes Eu E y pound tienen dependencia uacutenicamente radil Al realizar la
integracioacuten sobre Iacute y iquest en los intervalos [0 d) y [02riexcl respectivamenie obtenemos
s = V iacute r(t ~ XUumlEoE + iuE^) + Eiquest(E - niE)]ltlr iquest Jo d [ [ r
bull r ( iacute - l ) Jo
iC0 r Jm-r)Er + iuE)+
+ Q--JJfr)(E^ - iuE ] dr (471) c i J
Anaacutelogamente a el caso de una guiacutea de onda se utiliza el mismo argumento bajo el cual se
considera el primer teacutermino de la iuacute fmiacutecioacuteii en serie de la funcioacuten de Bcssel con respecto
al argumento r = 2JT^ De aquiacute que (471) se reescribe como
76
c iquest iquestml Jo
Lspueacutes de hacer el cambio de variable x = (iexcljfr y sustituir la forma expliacutecita de los campos
bull 49) y (417) para E y Et en (472) se obtiene
h = gtc ( l - u ) x wirdy-raquo l c V
0 c 2 2m V(wj
J-(pound- )L-[T FUIICmdash ) + mxJ-JF(bdquolt-i)h -raquo -raquo iraquo J
(473)
donde los campos M- han considerado hasta teacuterminos del orden (|) Integrando por partes
con respecto a J el primer teacutermino de (473) obtenemos
h = -2Cy bull )h (474) c 2 2raquoi Vi bulllaquo iu
La integral (pie aparece en (474) coincide exactamente con la cjne aparen- en (433)
de donde para ondas en modo TEm s se calcula sustituyendo (427) y 1441) en (474)
obteniendo
= rColTJiacutefrr iexclJ ltd j ( l+poundo) bull(laquoiquest2f)
(475) c3473 ebdquo f(o62lplusmnlaquoraquo)+1 plusmn a i v(o62iplusmniacuteraquo)
Finalmente dividiendo (475) entre (469) se obtiene la expresioacuten para el cambio en la
frecuencia de resonancia en modo T pound m para un resonador conteniendo una columna de
plasma friacuteo de radio pequentildeo
W(D = (u - u0) - MjX 1 - -F(laquo62lraquo)
siexcl X 1 -F(abll)
(476)
77
donde
La ecuacioacuten (47C) coincide con (444) salvo por una la constante Miexcl Anaacutelogamente n
el caso de una guiacutea de onda utilicemos las expresiones (450) y (4C0) juira Fintly) y
Fllti2 i) respectivamente Sustituyendo (450) y 14CO) eji (47C) y separando las partes
real e imaginaria obtenemos la variacioacuten de la frecuencia de resonancia (Araquo) y la variacioacuten
del inverso de la calidad del resonador l -M IO)) por influencia del |gtlasiniexcli respectivamente
en la forma
mdash^ = iexcl-zFbb- 11-) [-F( fcraquo 2-)([C+(-)] ( 1 -bf-
- (1 -fraquo)(2-)[C+(fc)l-Hl-lt) J(l - - ) ) +
+ C + ()][-gt(-)(] - h) - Ij] + -(1 - l)lPt)C + laquoK))F(hb2-) x
x [l - (1 - b)2-h)F(kb2z) + PJzil - raquo)+
+ -(1 - bjgtC + () + Li z]Fbb2z) + V | 1 - )F(bullbull 2--) (478)
-poundiquestmQ) = JTSX
x Fbb-lls)|l-(l- b)(2- b)zF(bb2z) + P ( - - ) r ( l -6 ) ]+
+ --F(i)(l-6) JF( iacute t 2i)x
x [ l - ( l - f r ) (2-amp^ -F(M2^) + P J ( - - ) iacute ( l -6 ) +
+ [C + (6) + iquestn --](1 - 6)zF(ampamp2z)]2 +
+ w12(l-b)4Fa(blgt2iacute)Yiacute (4-79)
t bull bull 78
La figuras 44 y 45 muestran las graacuteficas de las expresiones (478) y (479) con respecto
a ri x ii ]gturn distintos valores de u^(0)uz respectivamente Anaacutelogamente a el caso de
la- guiaraquo de onda se han considerado uacutenicamente los primeros cinro teacuterminos en las series
para Pi) y P jU) Un resultado importante de acuerdo cotiacute la figura 44 resulta ser
que en la resonancia ciclotroacutenica la variacioacuten del inverso del factor de calidad es cero es
decir en este caso y en la misma manera como en las guias de onda no existen peacuterdidas
de energiacutea de tipo colisional Sin embargo de la figura 45 notamos que cu resonancia
rirlotruacuteliira si existe un pequentildeo cambio en la frecuencia laquole resonancia del resonador
En la fuente de plasma descrita en [2J se tiene un resonador cilindrico donde oscila
una Diida a IUIIacuteI frecuencia laquobull = 15394 x ]() excitada en modo TEw y de radio
rbdquo = cm en el cual una columna dr pliacutetstua fie radio riexcl = 3lt se ein-iieiitrraquo a lo largo
del eje tlel resonador La cavidad resonante se encuentra dentro de un campo magneacutetico
externo D mdash SloacuteGauxraquo La densidad de electrones en la fuente tie plasma puede ser igual
a ni 0) = C x 10 I 0CTO 3 En este caso tenemos los mismos valores (4C3) para yinnfv0) u
y u-ji 0)raquo mientras cpie Miexcl tiene el valor
SU = 04C55 (480)
Entonces el cambio en el inverso de la calidad y en la frecuencia de resonancia tendraacuten
los valores
A( l ( ) = mdash x 000009C2455 = 582 x 1 0 (481)
Aw = Mj x |1 - (100035)] = - 1 0 3 x 10 V (482)
79
AwMa
i
o
I
U
bull3 I
I O
bull
a 6
1 1 1 bull 1 bull
bull
_
c x ^
- r f -
| 1 bull J T | 1 - | 1 |
l IX V if | rt i iacute i ( iraquo i i i bull i i i
i i
i i i
V
deg
iacute bull f
i i i
VI 1 A 1 ^ t
x X Iacute
JU i f ^
1 bull x
so
o i
fit
Zf Z rt w
El valor (481) se encuentra dentro del rango de validez de la teoriacutea de perturliacioacuten
ile acuerdo ron (35C) Asi mismo la variacioacuten de la freruenria de resonancia es dema-
siado |Mf|ttentildea en comparacioacuten con la freruencia propia del resonador de tal manera rpie
podemos considerar une no existe un cambio fuerte en la freruenria de resonancia ion esta
densidad
Los resultado iexclinteriores de las secciones 7 y 8 fueron presentados en iexcl24] y [25iexcl respecshy
tivamente
82
CAPITULO 5
PENETRACIOacuteN DE ONDAS EN EL PLASMA
En este iiipiacutetiilo ni el marro de 1iexclI teoriacutea lineal se liare una revisioacuten sulire el proceso
gtigt- penetracioacuten de campos elertDinaRneacuteticos en un plasma En vista de ijne en la fuente
lie plasma descrita en [2j se excita una onda tipo H nos vamos a limitar al caacutelenlo de
Un coeficieiites tie reflexioacuten transmisioacuten y de alisorrioacuteu para estlt- tipo de ondas liacuteay
eme hacer notar que en el experimento [2] se tiene un campo magneacutetico externo lo que
complica fuertemente el estudio de la interaccioacuten de ondas en este plasma Nos limitaremos
en este trabajo a considerar un plasma homogeacuteneo y deacutebilmente inhomogeacuteneo sin raiujm
magneacutetico externo Estos resultados preliminares son uacutetiles para posteriormente estudiar
la transformacioacuten lineal de ondas que es muy importante para el anaacutelisis del perfil de
densidad observado en la fuente de plasma [2]
9 Penetracioacuten de campos electromagneacuteticos en el plasma
El estudio de la interaccioacuten de ondas electromagneacuteticas en un plasma tiene particular
intereacutes por la gran variedad de paraacutemetros existentes como se mencionoacute anteriormente
83
(densidad de |ttirtirulas di- diferentes tipos prado dlt- ionizacioacuten longitud de trayectoria lishy
bre tfiii|raquocratura etc) 111 los diferentes casos Una de las caracteriacutesticas mas importantes
de un plasma real es su iuliomogeueidad Alt|iiiacute los paraacutemetros del jjasiilii variacutean en el
espacio produciendo considerables cambios en las caracteriacutesticas del mismo Freruontc-
menfe en lo concerniente a la propagacioacuten de ondas electromagneacuteticas estos cambios son
tan fuertes que la pennitividad dieleacutectrica cambia de signo
91 Penetracioacuten de campos electromagneacuteticos en la aproximacioacuten hidrodinaacutemica Sistema de ecuaciones
Il l sistema de emaeiones atltoroiisisteule i|iie desrribr la penetracioacuten tie un campo elecshy
tromagneacutetico en d plasma en la aproximacioacuten bidroiliuaacutemira se compone de las ecuaciones
ile Maxwell
V x pound = -2f 51 c 01
f x f l = - - i - mdash + mdash (02) c 01 c
V bull(poundlaquopound) = 4p (53)
V H = 0 (54)
donde las densidades de corriente y carga se determinan en la forma
P- pound c raquo n lt raquo = laquoiexcllaquoi + tnt = pound e bdquo n r r n (55)
y se expresan a traveacutes de los campos eleacutectrico y magneacutetico de las enlacioacutenos hidrodinaacutemicas
de movimiento y continuidad del fluido conductor de carga o [26]
84
sect + bullbdquobulllaquobull = ^(Eacute+-vnxH)-^--^va (56)
3raquobdquo _ _ _ ~ + V-n0viexcl = 0 U 7 )
En las ecuaciones (55)-(57) tbdquo es la carga m0 la masa tibdquo es la densidalt v0 es la
velocidad hidrodinaacutemica jgtbdquo o la presioacuten y ibdquo la frecuencia de colisioacuten entre las partiacuteculas
ltir- tipo o ron las partiacuterulas di- otra claw y con las moleacuteculas El subiacutendice o rorrcspondc a
i igt i ln ipii indica a los iones o electrones correspondientemente E D son las tensiones de
ligt- campos eleacutectrico y magiacutenico respectivamente y r es la velocidad de la luz en el vacio
Se supone i|iie el plasma se encuentra en un medio con un jieruiitiviilail dieleacutectrica iacutebdquo para
un plasma gaseoso bdquo = 1 y MI un plasma de estado soacutelido es la pcrmitiviilail dieleacutectrica
de la red cristalina Ya que la permit i vidad magneacutetica del plasma praacutecticamente es igual
a uno no vamos a diferenciar la induccioacuten magneacutetica de la tensioacuten del campo magneacutetico
lo que se refleja en las ecuaciones anteriormente descritas
El sistema laquole ecuaciones (oacutel)-(57) debiacute ser complementado con las ecuaciones de
estado de la materia expresados a traveacutes de la densidad nbdquo y la temperatura Tbdquo pn mdash
p0(noTa) Siacute las variaciones de estado de las componentes del plasma ocurren perioacutedicashy
mente entonces
Tpo = bullgtltJbdquoVn0 = 7raquoltfTbdquoVnlt (58)
donde vj = 2T0m0)t1 es la velocidad teacutermica promedio de laraquo partiacuteculas de tipo o 70
e la razoacuten entre loraquo caloreraquo especiacuteficos a presioacuten y volumen constante del gas de partiacuteculas
y 1 = mil
85
Las ecuaciones ib- movimiento describen un fluido en presencia dlt- cinco fuerza- ni
interaccioacuten a) la fuerza eleacutectrica (bdquopound b) la fuerza magneacutetica J x H c) la fuerza debida al
gradiente de la presioacuten d) la fuerza de interaccioacuten o colisioacuten entre la partiacuteculas de diferente
ti|Kraquo v0vbdquo y raquobull) la fuerza de inercia m-r0 bull V)tbdquo Por otro lado vamos a ronsiderar laquopie la
ecuacioacuten de estadraquo expresa un proceso adiatgtaacutetico caracterizado por el coeficiente -
92 Penetracioacuten de ondas tipo E y H
Vamos a investigar la penetracioacuten en el plasma ile ondas di- amplitud pcquiua La inteshy
raccioacuten de ondas electromagneacutetica con el plasma perturba los paraacutemetro caracteriacutesticos
en equilibrio del plasma Si las perturbaciones de los diferente paraacutemetros son lo sushy
ficientemente |xi|iientildeos en comparacioacuten con sus valoreraquo eii eipiilibrio entonces podemos
liiuariar las ecuaciones (51 H57) es decir iexclMHIIIIIOS despreciar los teacuterminos que contienen
producto entre las perturbaciones
Consideremos un plasma semiliiuitado sobre el cuaacutel a un aacutengulo fgt incide una onda
electromagneacutetica linealmente polarizada El sistema de coordenada lo escogemos de tal
manera que el plasma ocupe la regioacuten x gt 0 y la onda se propague sobre el plano X(gtZ
(Fig51) La onda incidente parcialmente se refleja del plasma y parcialmente se refracta
a un aacutengulo 8 Las amplitudes de las ondas reflejada y refractada se determinan de las
condiciones de frontera Como consecuencia de esto si la dependencia del campo de la
onda incidente con respecto a y t se determina a traveacutes del exponente rl-laquo) donde
kiquest = k0tcn9 k0 = raquogtc y w es la frecuencia de la onda entonces en la teoriacutea lineal para un
plasma estacionario y homogeacuteneo esta misma dependencia deben tener las ondas reflejada
y refractada en el plasma a lo largo de O
86
PLASMA
(b)
FiacutegKl Penetracioacuten de una onda electromagneacutetica lincalmente polarizada en un plasma raquoemi-
limitado La onda que incide a un aacutengulo 8 parcialmente se refleja a un aacutengulo 8 y parcialmente
se refracta a un aacutengulo V a) penetracioacuten de una onda tipo E y b) penetracioacuten de una onda tipo
H
87
Supongamos UIRraquo tenemos un plasma de dos componentes compuesto de electrones bullbull
iexclunes motwcargjados ron concentraciones en et|uilibrio raquobdquo = raquoraquolaquo = gtibdquo En un (Jasina friacuteo
la velocidad ternura de los iones se puetk despreciar 1 = 0) si esta es muy pei|iK-ntildea rn
contparacioacuteii con la velocidad de fase de la onda Si a lo largo del eje 0t la densidad no
varia entonces f = 0 y de laraquo ecuaciones (51)-(58) podemos obtener el sijpiiente sistema
dtr ecuaciones para los campos electromagneacuteticos
iexclKH = iquestJtpound - iacuteiacutejEi 159)
-rmdash = -iK0e mdash pound - + mdashmdashUE r ) U10) ni [ raquo-raquor J (w ni
Jvpound = - I (512)
^ = bullbdquobdquo (513) As
ik-HiE = JiL-ikJlr (514) ni
iloiiitr iacute ex la jx-ruiitividnd dirlrctrirraquo de un plasma isotropicraquo y friacuteo
taraquo(w + l^e) W(uraquo + Ifi)
ugtgt y uy son las frecuencias plaacutesmicas de los electrones e iones respetivamente expresadas
en la forma
iquestgt tgt
4c n 0 IJ
(6M) mlaquo
w a IB frecuencia compleja raquobull = w + ic y e eraquo la permitividad dieleacutectrica del fluido de
iones en la forma
88
t=to- + bull (517) w(w + llj)
El sistema de ecuaciones (59)-(514) se descompone en dos subsistemas iudc|Hiidientes
-i9H5ll y (512)-(514) lo que corresponde a la propagacioacuten en el plasma de dos ondas
independientes (Fig51) Para las ondas con componentes E E y Hy el vector del campo
eleacutectrico estraquo sobre el plano de incidencia XOZ Esta onda es una onda con polarizacioacuten
gt onda tipo TM o E Para )n segunda onda con comeacutentente Ebdquo Hr y H el vertor
fifi rutll|Mgt eleacutertriro es |H-r]gtriiiliriiIiir al planraquo fie incidencia Esta onda es unraquo onda ron
polarizacioacuten i ulula tipo TE o H Para las condiciones mencionadas iexclinteriormente el
ijjovjmieijlo teacutermico de laraquo partiacutecula es despreciable para la propasacioacuten de ondas tipo H
Sin embargo para las ondas ti]gto E puctlc ser bastante importante
10 Penetracioacuten de una onda electromagneacutetica tipo H en un plasma homogeacuteneo semilimitado Reflexioacuten y absorcioacuten de ondas tipo H
De las dos posibles polarizaciones que puede tener la onda que incide en el plasma el caso
de la onda de tipo H es el maacutes simple Encontremos la solucioacuten de las ecuaciones (512)-
(514) en el plasma y en el vacio suponiendo una frontera bien definida Sustituyendo H
de (513) en (514) y usando (512) obtenemos que el campo E satisface la ecuacioacuten
tPE - ^ + Jkfo - laquolaquoraquo)pound - 0 (518)
89
dmde en el plasma e se determina xx (515) y en el vacio pound = 1 Es faacutecil ronwtrar laquojar
eu el varkgt los campus tienen la furnia
para la onda incidente
poundbdquo = Eoraquo Bu m Fbdquocw0 (519)
y para kgt onda reflejada
Eraquo = llEbdquo-kltlt H = -Etcoraquoraquo ISM)
iliHiilraquo- pound es lii amplitud lie In i mi In hiiiiliiiti y iacutels rl riM-riiiiiili ili- icHrxiiVn El linihi|raquoligt
r i)r--wi) at j a s rX|ri^iHBM jbdquon lri caui|HKlaquo se excluye raquo aquiacute en adelante Praquor laquonraquo laria
bullbullI rwn]Mgt cu el plasma tirnr la forma
pound() = Eiquest0)rik B() = (^) poundlt) (5-21)
donde Et[0) es Iraquo amplitud de la rom|Hgtiiiiite poundbdquo del rampraquo cliVtriro III la frontera tlrl
plasma ( = ()) y A- se expresa romo
Jt JWlaquo - e2laquo (5-22)
Si it| es una cantidad real entonces la onda se propaga libremente en rl plasma prro
siacute Ai es una cantidad compleja entonces el campo en rl plasma r amortigua dr forma
exponencial a partir de la frontera
Para determinar el coeficiente de reflexioacuten y la amplitud del campo rn la frontera de)
plasma se utilizan laa condiciones de continuidad de laa componentes tangenciales dr los
eampoa en i = 0
90
pound(0)+poundbullbdquolaquogt) = pound(0)
(0) + raquo(0)-jr ((0)
Sustituyendo (519)-(oacute20) en (523) y considerando (521) encontramos
pound(0) = pound(l + rt)
dr donde obtiiunnos el coeficiente di reflexioacuten en Iraquo forum
(523)
(524)
=ampgtbull donde
e la impedancia sti]gtcrfieial o del plasma para una onda tipo H Sustituyendo (525) en
(524) encontramos la amplitud de la componente E del campo eleacutectrico raquo teacuterminos de
la impedancia el aacutengulo de incidencia y de la amplitud de la onda incidente en la frontera
del plasma
La definicioacuten de la impedancia (526) resulta coacutemoda ya que el coeficiente de reflexioacuten y la
profundidad de penetracioacuten se expresa de forma maacutes sencilla a traveacutes de ella En general
la impedancia es una cantidad compleja ZH = X + iX2 por eso el coeficiente de reflexioacuten
se puede escribir en la forma polar de Euler
01
M(AVlaquoM+1)-+ laquo-] e gt U 2 8 gt ^^xraquoiacute-l)1 + Y|coIiacutel
l
donde bull dcfitie la fase en la forma
XjcosO XjcosB bull = arctan bull mdash- - arctan bdquo mdash- (o29)
A i c o s 0 - 1 Xcos8+l
Uu paraacutemetro muy important del medio es ltbull) coeficiente lt]ltbull iexclilgtson-iiraquou el cual indica
laquorue laquoarte dc in energiacutea de la onda incidente se transfiere al pla-siiiraquo Si
P = 4~E x j = -iexcl-Eltraderaquo (030)
eraquo Iraquo denudad laquoIt-1 finjo de CIHTRIacuteH normal u la frontera dr la onda laquo[in incide y PT = y| |
es la densidad del finjo laquoIr In onda reflejada entonces el laquobulllaquobulleficiente de iilisorrioacuteii se define
roiiMraquo
W = ^mdash^ = 1 - |J|raquo (531)
Sustituyendo (528) en (531) obtenemos el coeficiente ltle absorcioacuten en teacuterminos de las
partes real e imaginaria dc la impedancia
W laquo Xcogt$ (532)
Ahora analiacutezemos con maacutes detalle las condiciones de propagacioacuten y amortiguamiento
de ondas electromagneacuteticas en un plasma de electrones en diferentes rangos dc frecuencia y
calculemos los coeficientes de reflexioacuten y absorcioacuten para cada casraquo respectivamente Para
92
ello sustituyamos (515) en (522) donde en este caso debido a la gran diferencia dr
masa de lo iones con respecto a los electrones consideraremos iquest^ as 0 Dr esta manera
obtenemos
r w V2
t - laquo raquo raquo - - (533) l jltlaquo + ilaquot)J
Consideremos los siguientes casos
a) El caso de altas frecuencias (cr lt -gt) Aquiacute los choques entre los electronraquo- se pueden
ilespreciar y entonces X- se reduce a la forma
Xraquo i- = - l - r o ^ - ^ (534)
En el reacutegimen de frecnciiriajiacute u lt ^lotfiacute lu m]x-ltlnraquorii es una caiitiilncl real y por In
tanto el coeficiente di- reflexioacuten y de absorcioacuten tomitii resjMrtivnniente la forma
donde
En este caso la fase (529) es igual con cero lo cual nos indica que laraquo ondas incidente
y reflejada se encuentran en fase Por otro lado la condicioacuten de amortiguamiento en un
plasma gaseoso sin colisiones consiste en que se cumple la desigualdad
ucof8 lt ugtVf (538)
03
IntrotUuetunos en calidad dr cararteriacutestica de penetracioacuten lthI ciexclttii|Mgt una |gtroftmililtlaltl
compleja de itetirtracioacuten determinada por medio de la relacioacuten tgt = t(gtraquo iquesti) El sentido
fiskti di la cantidad i es la distancia a la cual la amplitud del rampraquo en rl plasma ilecren
eu e mdash 271 veres de su valor inicial Con la condicioacuten ugt gtbull uicosB la profundidad de
penetracioacuten (anchura de la capa piel) no depende de la frecuencia = cu
h) En la regioacuten de bajas frecuencias w lt vt) los choques ya mgt se pueden despreciar En
este caso Rt Jt| s Ivi k y el campo en el plasma decreeraquo- ex]Mmirurial y oscilatoriamente
ilruumldr la frontera Si v gt m slt- tiene
k = -^zJviVrCosH+i- (539) Jiv v
si iacuteiilnilaacutes raquoiquest gt vrivosH entonces
y la longitud laquoIr la rapa piel tiene la forma
r iexcl2vt iquest = mdash J mdash = - 7 f iquest mdash (541)
donde raquo0 SB wf(4ffi) es la conductividad del plasma Notemos que (541) determina
la profundidad de penetracioacuten del campo en un conductor en el cual fluye una corriente
variable de baja frecuencia Asiacute las expresiones (521) determinan el campo en el plasma
en condiciones de un efecto piel normal o claacutesico A bajaraquo frecuencias y alta temperatura
del plasma estas expresiones ya no son vaacutelidas y es necesario analizar la penetracioacuten de los
campos en base a un modelo cineacutetico
Considerando las colisiones entre las partiacuteculas la impednncia del plasma tiene la forma
94
Zbdquo = (542) ^ugt(u)1cot10 - u pound ) + bull-bullJraquo
Si la frecuencia de colisiones es pequentildea pero sigue siendo finita y ademaacutes se cumplen las
desigualdades v lt raquo- ffgtiacute lt gtJcosi0 mdash uiiquest() entonces (542) se transforma COJIJO
Zbdquo = (543)
de donde observamos que en la regioacuten de frecuencias uirraquo^ lt ufPr el rocuumlcinjte ile iibsorrioacuten
se exprtsut en la lonnti
W = 2pro^Jtvwtraquo - l ) - (544)
Por otro lado si la frecuencia de la onda es lo suficientemente pequentildea tal laquopn- i gt laquobull y
se cumple la desigualdad J^Kv) gt OM rntonres la inj|MdnncIacutei se expri-sraquo como
z - iacute1 Voacuteiacute (545)
V -gtltbull y loraquo coeficientes de reflexioacuten y absorcioacuten se expresan respetivamente en la forma
R = (l-2Acltw0) 2e- MltM (540)
W = 4Xcoraquo9 (547)
donde A^ laquo -Xt = bullraquo( 2wt)
Finalmente observemos que las peacuterdidas de energiacutea que la onda sufre en el plasma
defiacutenidu por las foacutermuias (544) y (536) tiene diferente significado fiacutesico La W diferente
de cero cuando u = 0 esta relacionado con la excitacioacuten de una onda electromagneacutetica en
05
el plasma y el valor de W de (544) determina la parte de la energiacutea de la onda incidente
qiK- es utilizada para el calentamiento de los electrones del plasma eigt la capa piel
11 Paso deacute una onda H a traveacutes de una capa de plasma
Si la profundidad de penetracioacuten del campo ni una capa de plasma es tk-I orden de sns
dimensiones transversales o si la onda se pro|gtaga elraquo el plasma entonces la influrmia de
la segunda frontera del plasma resulta muy importante Determinemos el campo en el
plasma y los coeficientes iexclle reflexioacuten y de transmisioacuten en el paso de una onda incidente a
traveacutes de una rapa de plasma homogeacuteneo de anchura d
El canijaraquo i-n el vacio o cu la regioacuten T lt 0 tiene la forma (519)-(iquestj2l)) y el campo en la
regioacuten i gt 0 tiene la forma
Eraquo = TE0tcu = Eraquoltbdquosraquo (548)
donde T es el coeficiente de transmisioacuten El campo en el plasma consiste de dos ondas
tina de las cuales se propaga en direccioacuten de los valores positivos y la otra en direccioacuten de
los valores negativos de x
E = Aek + Be-ik = - iquest trade (549)
Las condiciones de continuidad de las componentes tangenciales del campo en la fronshy
tera del plasma x = 0 y x = ti anaacutelogas a (523) permiten determinar T y el campo en
el plasma
06
R = (1-pound)AiquestlaquogtM (550)
T = 2icoa$aacuteJWt - atn8t-kdeg (551)
Ey = 2cos8bTHi [iyt - iacuteenflcoJt(iacute - x) + aM0eni-(ri - ) ] (552)
donde
Aw = (t - 1 + 2colaquoI0)ifnfrrf + 2raquoVi - xriMrosHrosktd (553)
En el caso dr una onda que ]M-nctra en el plasma para la cual iquestrosH gt u dcspnviando
las colisiones entre las partiacuteculas el coeficiente de alisorcioacuten determinado como
B s l - R - T (554)
es igual a cero El cani|wgt en cl plasma tiene la forma dc uua onda estacionaria y con
la variacioacuten di- la cantidad t|rf los coeficientes de reflexioacuten y refraccioacuten oscilan Si en
condiciones de cierto piel kfd lt 1 entonceraquo a frecuencias lo suficientemente pequentildeas
(laquobullpound gt -(w + iv)) los coeficientes de reflexioacuten y nfraccioacuten tienen la forma
R = - (o iacute + io3)(o + 2co8 + iaj)~ (555)
T = 2cos0(a f 2ctgtiacuteiacute+^OJ^ (55C)
donde
- - 5^5-
97
En este caso el coeficiente de absorcioacuten se expresa como
IV = 4ocolaquo[(oi + 2co9)2 + a]]- (559)
Si Pt gtgt raquobull entonces o t gt cgt-iexcl Las peacuterdidas maacuteximas en este caso se obtienen con
la condicioacuten o = 2coi0 iguales a la mitad de la energiacutea de la onda incidente Las ondas
reflejada y refractada en este caso tendraacuten la misma amplitud en valor absoluto Las
foacutermulas (555)-(55G) se pueden generalizar para una capa delgada con cualquier iuhomc-
gcticidad Si diquest kcbdquobdquoj lt 1 entoneacuteis los campos en el plasma se ltrternmii del sistema
de ecuaciones
ils Ai r(w + ivrs)) = laquogtbull r 1 f i - laquo5CII)
donde las soluciones tienen lt forma
pound = C H = -f(x)C + C (5C1)
siendo
co w + iit(j)
Las condiciones de continuidad de los campos en las fronteras x = 0 y r mdash d nos llevan a
los valores (555) y (556) en los cuales oiacute = Re laquo(lt) y a2 = Im n(rf) Por otro latioacute
las constantes Ct y C3 a traveacutes de las cuales se expresan los campos en el plasma tienen
la forma
C = TEltiexcl = 2E0coraquo9aH(d) + 2coraquo9)- (503)
Cj = 2EoCO$eaH(d)co6)aHd) + 2coraquo8)- (564)
98
12 Penetracioacuten de una onda tipo H en un plasma deacutebilmente no homogeacuteneo
En una gran variedad de aplicaciones la densidad del plasma variacutea lentamente en el espacio
desde cero hasta cierto valor maacuteximo La penetracioacuten del campo en tales plasmas se
diferencia fuertemente de la penetracioacuten en un plasma con una frontera bien definida o
fuertemente no homogeacutenea Las ecuaciones que describen a las ondas electromagneacuteticas
en un plasma no homogeacuteneo son un sistema de ernarkmes diferenciales ron roefirntildeiites
variables iloudr sus soluciones exartas o aproximadas se enriient ran uacutenicamente para rasos
(laquoarticulares Uno ile estos rasos |gtartirulares es aquel laquoIr un medio de ra)gtas planas donde la
densidad variacutea ni una sola dirrrrioacuten Una serie dr soluciones escarias de las eruaeiones ile
la clertrodinaacutemira en un medio ile rapas planas ron diferentes variaciones de la densidad
se pueden ver en los trabajos (2327) Generalmente soluciones aproximadas relativamente
simples en estos medios se pueden eiirotitrar en regiones asintoacutetiras es decir a distanrias
grandes ron rcsjwrto a los puntos singulares de las eruaeiones difcrenriales Los paraacutemetros
que se usan en esta aproximar ion pueden ser la relacioacuten del tamantildeo caracteriacutestico de la
no lioinogcneidad L ron res|ierto a las longitudes de propagacioacuten A de las ondas en el
plasma Si uno de los valores rumple la desigualdad LX gt 1 eutoures en relacioacuten a esta
onda al plasma se le puede llamar deacutebilmente no homogeacuteneo La penetracioacuten de campos
electromagneacuteticos en un plasma deacutebilmente no homogeacuteneo se ha considerado en diferentes
trabajos [222327-31] Consideraremos algunos resultados obtenidos
Veamos un plasma compuesto de iones pesados fijos con densidad n0i) la carga de
los cuales en estado no perturbado se compensa con la carga dr los electrones ron temshy
peratura diferente de cero Te La densidad del plasma n0 - 0 ruando iacute - t O y rrece o
es infinita cuando mdashraquo ce No existe campo magneacutetico externo y la distriburioacuten de eler-
99
trones por velocidades es isotroacutepica Para la descripcioacuten de la penetracioacuten de mi cam]Mgt
electromagneacutetico en tal plasma se utilizan las ecuaciones de la hidrodinaacutemica (50)-(514)
en las cuales hay que sustituir iacuteo = 1raquo iacutei = 1 y gt mdash gt()bull La i-ruacioacuteu diflaquoniciacuteal (5IS)
que rige la jicnetracioacuten de ondas tipo H en un plasma no homogeacuteneo toma iexclihoni la fonna
iPE -=bull + kl(t[x) - stnH)E = 0 (5C5) tiacutex
donde la pcrinitividad dieleacutectrica es funcioacuten de la posicioacuten en la forma
pound ( ) = 1 ttiquestIl (5GG)
w(uiacute+ II ( x ) )
De id ecuacioacuten (oacuteCuuml) se puede hacer ililncdiiitaiiieiite tilia serie de deducciones a) 1raquo onda
se propaga libremente en li regioacuten Jif t lt bullgtni1tiacute b) en mi plasma maacutes ileliso iloude
Jlt gt nrrifl la propagacioacuten se vuelve imposible y la onda uacutenicamente penetra el plasma
en la longitud de la rapa piel y c) el punto Rr pound = srtiB es el punto de corle donde 1raquo
onda se refleja
En un plasma deacutebilmente inhomogeacuteneo ruando raquoo(x) variacutea deacutebilmente en la longitud de
la onda que se propaga por el plasma la ecuacioacuten (5C5) se puede resolver por el meacutetodo de
la geometriacutea oacuteptica para una dependencia arbitraria de la densidad gtibdquo(s) [23] La enlacioraquo
(565) tiene una solucioacuten exacta para una capa lineal cuando la permitividad dieleacutectrica
(v(x) lt ui) puede escribirse n la forma
donde
+ iUumlIacutepoundgtpoundf 507) X0 WI0
bull = amp
100
Aquiacute a es la pendiente que caracteriza la dependencia lineal de la densidad de electrones
ron respecto a la posicioacuten Para el caso de un plasma sin colisiones (e = 0) reescribimos
iacuteoacute65) en la forma
- pound + kl( co1raquo - mdash )pound = 0 (569) ax Xo
haciendo el cambio de variable
C=[f) ix^coraquo2raquo - x) (570)
la ecuacioacuten (5C9) se puede llevar a la ecuacioacuten de Airy
^ + C pound = 0 (571)
Su solucioacuten decreciente cuando i mdashbull ltx tiene la forma [32]
poundraquolaquo) = mdash coM--Ct)gtlv (5-72) ir Jo J
donde A ex una constante que se determina de la roiidieiones de frontera manilo x = 0
En la obtencioacuten de la expresioacuten (572) (te lia despreciado la reflexioacuten de la onda en la
frontera del plasma debido al gradiente de densidad Es decir la amplitud del campo
eleacutectrico en el punto x bull 0 se considera igual a Eg lo que es vaacutelido para valores pequentildeos
del gradiente de densidad en este punto (|^|o ltC k) En la regioacuten 0 lt x lt x0colaquo28
debido a la suma de las ondas incidente y reflejada poundbdquo(() tiene la forma de una onda
estacionariacutea Lo anterior es asiacute ya que para valores positivos y grandes de ( E(Q tiene
una representacioacuten asintoacutetica en la forma [32]
101
Cerca df la frontera los valores del campo estaacuten dados aproximadamente |laquogtr
cuyo valor maacuteximo es
4a-gtgt-w-niexcliacuteiquest5^- bull (575)
Ln expresioacuten (575) resulta de la interferencia constructiva de las ondas ipie viajan a In
ii|UIacutecrda y a la derecha rrsprctivamrnte pin lo tanto la amplitud de la onda incidente poundbdquo
tt-tidru la forma
Aliora evaluemos la ronstatite 4 de (572) Para rilo iitiliemos la representacioacuten
asintoacutetira (573) y consideremos la condicioacuten de frontera de acoplamiento de los campos
en el plasma y en el vacio
poundT(0) = JEIacute (577)
De acuerdo con la definicioacuten (570) para ( podemos escribir el teacutermino ijCv en ln forma
f^^ (--pound_) (578)
Sustituyendo (578) en (573) y evaluando en x = 0 obtenemos
3A 2 ir poundlaquo(0) ) = -7k0Xo)-ucos-iacuteli9coraquo(-k0j0coS9 - -) (579)
yf f O 4
102
x = O = x0rnslV X
FiexclgS2 Alii|tli(ultl laquoId rrtiii|ngt eleacuterlrim cu la vecindad del punto de reflexioacuten s - xbdquoiiiH
Finalmente apurando 1raquo roiitliacutetiacuteoacuten de frontero (577) cnroutraiiioM el valor de A
(580)
La amplitud aacutee la onda estacionaria que se forma en el plasma cu los puntos cercanos
al punto de reflexioacuten x = Xoco29 crece (Fig52) Su valor maacuteximo se puede obtener de la
expresioacuten (572) el cual corresponde al primer cero de la derivada de la funcioacuten de Airy
[11] y tiene el valor
2 a a | l = 268 (581)
Asiacute dividiendo (5S1) entre (576) obtenemos el coeficiente de amplificacioacuten de la amplitud
del campo eleacutectrico en el plasma con respecto al campo en el vacio
103
| s f = 374(oolaquo3laquo)3 (582)
En el caso maacutes general de un plasma deacutebilmente inhomogeacuteneo en (562) en lugar dr
arbdquo debemos sustituir
En este caso para valores grandes de (koro)l^eoraquo0 auacuten una |MI jtirntildea parte imaginaria de
ki pcniMtiviacutedad dieleacutectrica puede rondticir a jteacuterdidas significativa de energiacutea de la onda
Si ni gtgt P jiacute () entonces la ecuacioacuten (571) conserva su forma pero ( en csrraquoiexcl caso laquo-S una
cantidad compleja
- ( )
raquo ( j v o ^ + x - mdash ) (584)
Nuevamente la onda (pit se forma en la regioacuten 0 lt x lt sltol(t es una onda estacionaria
lgtcro ahora la onda que se refleja cu el punto de corte Tit t = oc) nltgt tiene la misma
amplitud de la oiiif-t incidente Aquiacute cl coeficiente de reflexioacuten es diferente de la unidad y
se expresa como [23]
R as e m laquomdashgtbull m e-raquopound raquolaquoraquo (585)
La amplitud maacutexima del campo cerca del punto de reflexioacuten en este raso disminuye en
Ry
|iexcl iacute | 2 374|| 2(ltWw3)1 3 (586)
104
CONCLUSIONES
I Se describioacute la teoriacutea general de las guiacuteas de onda y resonadores cilindricos En base a
esta teoriacutea se obtuvieron obtenido los paraacutemetros principales que ritrart izan vi sistema
de microondas di- la fuente de plasma descrita cu [2] En el raso ilc una guiacutea de onda
cilindrica hecha tiraquo- bronce y ron Suacuterm de diaacutemetro interno se obtuvieron los siguientes
valores para los distintos paraacutemetros de pro|gtagariexcloacuteu de midas litadas en el IIIIHIO
A = 145rw raquobullbdquo = 13 x WHi I = 02753rraquor A = 22S2raquo Zbdquo = 187
ti = 56 x 10degtrade K3 = lC x 10uumlcfia
La constante de amortiguatniento lgtara estas ondas romraquo ronseriiriiciraquo de la roudur-
tividad finita ile las paredes metaacutelicas tiene el valor om = 1032 x 104 como este valor
es muy pequentildeo obtenemos que se puede considerar que la guiacutea de onda del sistema de
microondas (de no maacutes de un metro de longitud) es una guiacutea de onda ideal (sin ]xrdiexcldas de
energiacutea) Por otro lado para el resonador cilindrico laquopie compone el sistema de microondas
de radio a bull 7cm se obtuvo la distancia necesaria para que en el resonador oscile una onda
en modo Ht (wm = 15394 x 10(f ) Esta distancia tiene el valor d - 71Gcm Ademaacutes
se evaluaron la calidad del resonador y el ancho de banda donde el modo TEu puede ser
excitado uacutenicamente Q =bullbull 404963 w2 - uraquo = 000025 x WH respectivamente
II Se analizoacute el problema cuando la guiacutea de onda y el resonador cilindricos conshy
tienen una columna de plasma friacuteo magnetizado e inhomogeacuteneo distribuido axialmcnte
105
La columna de plasma cti el caso de la fuente de plasma [2j tiene un radio r = 3mraquo
y ademaacutes el perfil de densidad se consideroacute de tijraquoo paraboacutelico Eu base a la teoriacutea tie
perturbacioacuten y usando como paraacutemetro pequentildeo la pequenez del radio del plasma con
respecto a la longitud dt- onda se calculoacute la constante de amortiguamiento de la ondas
que se propagan en la guiacutea de onda ocasionada por la presencia del plasma La constante
de amortiguamiento tiene el valor o = lSS x 10~4
Se calculoacute ia variacioacuten de la frecuencia de resonancia fie las ondas que se etinieutran
resonando en modo TEtti en i resonador asiacute romo la variacioacuten en el inverso dr la calidad
del resonador obteniendo resp t-tiacutevaineiifc Aw - -lG3x 10 H MlQ) = oacuteS2x lO1
Los valores para n Aw y plusmniexclQ) se obtuvieron paro el caso mando ^bulljiacute(l))raquo = OS y
para el punto cerranraquo al punto di- resonancia ciclorroacutenica u = 0999 Ademaacutes se obtuvo
que la constante de amortiguamiento en el caso de la guiacutea de onda en el punto de resonancia
ciclotroacutenica l-u = w) se hace cero De lo anterior podernos roiirluir que la inutii se propaga
libremente en el plasma
III En el marco de la teoriacutea lined se analizoacute el proceso de penetracioacuten de campos
electromagneacuteticos en un plasma scmilimitaclo Se obtuvieron Jos coeficientes de reflexioacuten
transmisioacuten y de absorcioacuten para ondas tipo H tanto para un plasma homogeacuteneo y un
plasma no bomogeacutetieo Un aspecto fiacutesico importante en el estudio de la penetracioacuten de
ondas electromagneacuteticas en plasmas inhomogeacuteneos es que para una incidencia normal existe
un crecimiento del campo eleacutectrico en el punto donde la permitividad se hace cero Para
plasmaraquo magnetizados el comportamiento anterior es similar Por otro lado cabe sentildealar
que los puntos dentro de un plasma friacuteo e inhomogeacuteneo en los cuales el iacutendice de refraccioacuten
106
es infinito permite una absorcioacuten de las ondas de tipo no colisional en el plasma y al
mismo tiempo se obliga al campo eleacutectrico a tener un valor finito Esta absorcioacuten en el
plasma se asocia al hecho de que en el punto iacute = oo el campo electromagneacutetico sufre una
transformacioacuten lineal en otro tipo de ondas
Finalmente hay que hacer notar que la absorcioacuten de las ondas en las guiacuteas de onda
y los resonadores se debe uacutenicamente a la variacioacuten o cambio que sufre la constante de
propagacioacuten y la calidad del resonador respectivamente por la influencia tlcl plasma Este
mecanismo de transferencia de energiacutea ai plasma es diferente al mecanismo laquoIr la transforshy
macioacuten lineal de ondas
107
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18 Slater JCU950) Microwave Electronics D Van Nostraud Coraquonpariylult
19 Alexandrov AF Bogdankevich LS and Rhnkadze AA(1984) Principles of Plasma
Electrodynamics Springer-Vti lag Berlin Heidelberg Cap19
20 Whittakcr ET and Watson GN(19C5) A Course of Modern Analysis Cambridge
University Press Cap 14
21 Grandshtrin IS and Ryzhik lM(19C3) Tables of Integrals Sums Series and Prodshy
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22 Golant VE and Piliya AD(1972) Sov Phys USPEKH1 14 No4 413
23 Ginzburg VL(1961) Propagation of Electromagnetic Waves in Plasma Gordon and
Breach Science PublisherInc
24 Gutieacuterrez Tapia CR Arzate Plata N Absorcioacuten de ondas en un plasma magneshy
tizado cilindrico de radio pequentildeo XXXVI Congreso Nacional de Fiacutesica Acnpulco
GroMexbdquo 64 1994
109
25 Gutieacuterrez Tapia CR Arzate Plata N- Caacutelculo del coeficiente de amortiguamiento
en ana guiacutea ir onda y it la calidad it laquon ntonaior CAM 94 Physics Mnrtiuj
Cancuacuten QRooMex en prensa
26 Landau LD and Lifshitz EM(IOGO) Electrodynamics of Continuous Liedla Pciga-
mon Press
27 White RB and Chen FF(1974) Plasma Physicraquo 16 565
28 Stix TH(19Coacute) Radiation and absorption via mode conversion in an mhumogcucuraquo
collision-free plasma Phys Rev Lett 15 No23 878
29 Dolgfgt]Mgtlmr VV( 19CC) Electromagnetic field singularities m an inhomogenrons mag-
netomrtivr plasma Sw Phys-Trch Phys 11 No2 198
3D Piliyti A D(19C7) Wave conversion in a weakly inhomonrnrous plasma 11 Noll
1567
31 Erokhin NS and Moism- SS(1973) Sw Phys USPEKHI 16 Nol 64
32 Lebctlev N(1972) Special functions and ihrtr aplications Dover puhlirntioits Nrw
York
110
proceso inverso iquesti 1Iacute ionizacioacuten es lit recigtmlltinlaquoooacuteiiexcl es ib-cjr Ib unioacuten de un electroacuten con
mi ion y con ii consecuente formacioacuten de un aacutetomo o moleacutecula neutra En un plasma
enrarecido la igtgt iacuteniliniexclnioacuteii ocurre generalmente con radiacioacuten y en un plasma denso lu
riioiubiiiacioacuteu gtbullbull rriiiiii en los choques triples (se recoiuliina un electroacuten y un ion y mi
segundo electroacuten gtbull lleva el sobrante de energiacutea) Por otro birlo el plasma lugt solamente
radia hi visible sino tambieacuten radiacioacuten ultravioleta y ademaacutes si t-1 plasma es muy caliente
tambieacuten radia rayos A
El plasma por naturaleza se comporta como un gas por lo que para su laquoICM riprioacuten
si- utilizan ronrepros talrs como densidad presioacuten (esiipfralmgt itr El movimiento ile
las partiacutecula- ocurre ilr fon na caoacutetica En laquoI caso laquobull bull partiacuteculas lt|tilt- no timen carpa en
su movimiento teacutermico la iliriciioacuten de su movimiento varia solo |Mgtr los c-limpies como
cu un gas simple Entre cada choque el movimiento de las partiacutecularaquo con velocidad
constante r describe una linca t rta En este cano la longitud promedio de recorrido
lilwe es A = VT = iexclnma donde r es el tiempo entre los clioques nm es la densidad
tlil medio y n es la seccioacuten de choque A mayor densidad la longitud de recurrido libre
medio tm menor y Ja frecuencia dr rolimeacuteo v = 1T = nmav es mayor Loraquo choques entre
las partiacuteculas neutras ocurren por la accioacuten de fuerzas de corto alcance las cuales son
proporcionales a rri y pueden ser tanto elaacutesticas (intercambio uacutenicamente de energiacutea
cineacutetica) como inelaacutesticas (transformacioacuten de la energiacutea cineacutetica de las partiacuteculas ergt otras
formas de energiacutea como son excitacioacuten ionizacioacuten y recarga) A diferencio de las partiacuteculas
neutras sobre las partiacuteculas cargadas actuacutean tuerzas de largo alcance proporcionales a r
las cuales se rigen por la ley de Coulomb Esta interaccioacuten disminuye lentamente con la
distancia El movimiento de las partiacuteculas ya no se realiza por una linea quebrada sino
siguen trayectorias muy complicadas Sin embargo estas trayectorias se pueden aproximar
a una linea quebrada y en esta forma introducir el concepto de choque coulombiano En
4
iexclo inuwrioacuten iilt- 1iexclIgt partiacuteculas las maacutes fuertes resultan raquo T las de largo alcance Las
interacciones coulombiaiifis determinan Minchas propiedades del plasma A traveacutes de eacutestas
a|raquoareceii las propiedades colectivas del planum relacionadas ron la interaccioacuten simultaacutenea
ltltbull mtiriiH- partiacuteculas
Las partiacutecula nue componen cl plasma se encuentran igteniianenteinente en estado de
movimiento teacutermico caoacutetico Este movimiento se caracteriza por lit temperatura del plasma
7 romo un todo y por la temperatura Tbdquo tic siis diferentes componentes (aquiacute ir puede ser
i o i pata iexclos elertrmies o iones respectivamente) La temperatura liacuteeiennina la energiacutea lilshy
las partiacuteculas del sistema el euiil se tinmiit i iexcli en ei|iiililirio teri-iodinaacuteiiiico El |gtlnsiiit se
llama isoteacutermico si este se encuentra en equilibrio teuuodinaacuteinico ionio un todo y la funcioacuten
de distrUumlMieioacuteit de la energiacutea de las partiacuteculas de todo tipo es una distribucioacuten inaxweliacuteaua
con una misinn temperatura X (T = T = T) En el caso de un equilibrio lennodiacutenaacutemicolaquole
una parte del plasma cuando diferentes componentes tienen una distribucioacuten maxweliana
pero diferentes temperaturas vi plasma se llaina no-isoteacutermico o sea Tt iquest T Esto uacuteltimo
es posible debido a laquopie cl intercambio de energiacutea emre los electroiws y los iones ocurte maacutes
lentamente que el intercambio de energiacutea entre las partiacuteculas que tienen una misma masa
En base a esto uacuteltimo en un plasma no muy denso con pocas colisiones puede existir
un estado con dos temperaturas ioacutenica 7iexcl y electroacutenica T En el caso de una funcioacuten de
distribucioacuten maxweliana de las partiacuteculas fm exp(-m0vl2kTo) la temperatura de un
plasma en equilibrio determina la energiacutea cineacutetica promedio del movimiento teacutermico
3fcT _ _ _ _ _ ^=(mavl2) = Eacutee (11)
donde k mdash 138 x W~ttrgioraquodegK es la constante de Boltzmann y 7_ es la temperatura
de las partiacuteculas de clase o La raya superior en la parte derecha indica un promedio con
respecto a las velocidades
5
Una earailiTisMra importante del plasma rgt la fririMii-in plaacutesmica la cual esta canic-
tiriaila por liis oM-ilaciacuteouo electroacutenicas ltlrl plasma
tliHide i es la carga del electroacuten (t iexclft 4SU32 x 10iraquolaquotoiWoraquo()i u es 1iexcliexcl concentracioacuten ilr
electrones (laquobula iii mi) y MI lt~iexcl la masa del electroacuten (raquolaquo = 01095 x lO^V)- Las oscilashy
ciones |gtliacuteisiuiris son oscilaciones longitudinales electrostaacuteticas i|tn- surgen romo resultado
ilr hi separacioacuten ilr partiacuteculas lardadas a distancias microscoacutepicas y ilil surgimiento de lalaquo
fuelas ill COIIIIIIIIII La fu incuria plaacutesmica soacutelo depende dr la ciiurrut racioacuten laquo
raquo- 5 Tx Wyj^ 113)
ii ltii la forma
A = | = 2 x l O 3 ^ 1 0 ^ (14)
La escala temporal ill separacioacuten laquole carga cs una cantidad inversa a la frecuencia plaacutesmica
r ss 1w Como laquoi los intervalos dc tiempo gt r las partiacuteculas realizan imirlins oscilashy
ciones cerca de su posicioacuten de equilibrio entonces el plasma como un todo se comporta
como un sistema neutro en el tiempo La separacioacuten de cargas puede ser importante soacutelo en
intervalos de tiempo t lt r pequentildeos con respecto a la escala temporal La escala espacial
de separacioacuten de cargas es la distancia basta la cual se puede desplazar una perturbacioacuten de
la concentracioacuten de las partiacuteculas cargadas debido a su movimiento teacutermico en un tiempo
igual al periodo de las oscilaciones plaacutesmicas la cual se expresa en la forma (dada en cm)
laquobullV V 4iregtnt
6
doxiie = lTni mdash 45 x VSyJT laquo-s In velocidad del movimiento teacutermico de los
bull iexclii-roiifs 7 laquo- Iraquo fltbullijijx-rittiilt le los electrones en A y gt es la cow-rut racioacuten laquole los
bullllaquoM-roraquofgt MI nn~ bull La ltlisuiiit
bullgtbull llama radio ltit- Debye para los electrones Para tin plasma niasiiirtirro es necesario ijiie
its liiuiitiMoiiis riinirifristiras L scan siciiihnitivniiifiitc mayores ipie el radio ir Debyc cs
laquo[bullbullbullbulli L ~iquestgt in ion esta condicioacuten slaquo- purde considerar ijnc laquobull -iexcl-teiacutena ilf partiacuteculas figtrman
un plasma En riiMi inverso L ltg riexcl i tenemos mi coiijmtlo I|I- |gtutiiiiiii- cargadas
-f|gtnli- Asiacute llenamos iexcli la definicioacuten laquoIt-1 plasma propuesta por Laugmuii [5iexcl rl plasma
i-s tin conjunto tic partiacuteculas iirutras y careadas en rl cual ai sc satisfaci- la condicioacuten dc
ciiasiiii-utralidiid poundbdquo rbdquoraquobdquo = 0 y lit el radio dc Debyc dc apaiitallainit-iilo es mucho niiiior
bullinraquo1 las dimensiones caracteriacutesticas laquopic ocupan el conjunto laquole partiacuteculas r^ lt L
Una infltiriiciii iiii]iortantf sobre rl iiioviinie-nto de las partiacuteculas la ocasionan la exisshy
tencia laquolaquobull un riexcluingt magneacutetico externo constante el cual ordena el movimiento caoacutetico de
las partiacuteculas En un campo magneacutetico actuacutea laquoobre las partiacuteculas cargadas una fuerza llashy
mada poiidcroinotriz (lorentziana) dirigida ])cr]gtcndirulannriite a la direccioacuten del campo
magneacutetico B0 y a la velocidad de la partiacutecula iacute Bajo la influencia de esta fuerza las
partiacuteculas giran con una frecuencia angular igual a wBbdquo A esta frecuencia se le conoce
como frecuencia riclotroacutenica o de Larmor y para los electrones tiene la forma
~B = mdash 176x07Bo (17) me
Para que el plasma resulte ser magnetizado (anisoacutetropo) eacuteste no debe ser muy denso y
deblt encontrarse en un campo magneacutetico muy fuerte Por esta razoacuten es necesario que en
laquorl intervalo ltli- liniipo vnf dos i-olisiotn-s rbdquo las partiacuteculas pmdan nahzar uiiniios iexclinraquo
ttlri-drdor ill- las lincas del raui]Hgt iiiiiacutegiit-tiro Esta condicioacuten gtbull inarm tizai ion jitira lets
rliTtroiics es di- la forma
w laquo r m raquo l (lSj
En la ltlin riiiiti ilrl rampo iiiin-iiitiio la influencia de laquo-sir soliri- Ins partiacuteculas careadaraquo cs
nulo En mi campo magnet iro lioiiiogeacutem-o las trayectorias del movimiento dc las partiacuteculas
cargadas tiiinu forma bullltbull bullbull -jiiiiilraquo-
Por laquofin lado liay ijiir diferenciar los conceptos dc plasma friacuteo y plasma caliente Eli
mi plasma friacuteo r) movimiento teacutermico de las partiacuteculas es menor que la presioacuten i-I bullbulliinjgtgt
MKiKiirtim es decir
-2=2fIlti (io) Entonces podemos decir que rii mi plasma friacuteo que sr oiicticiif ni en mi campo magneacutetico
w puede despreciar rl movimiento trrminraquo dc1raquogt partinilas En mi plasma caliente esto
uacuteltimo no es vaacutelido
2 Meacutetodos teoacutericos de descripcioacuten del plasma
En el desarrollo de la concepcioacuten del plasma como un gas de partiacuteculas cargadas cambiaron
tambieacuten los meacutetodos de su descripcioacuten Los primeros modelos maacutes simples de la descripcioacuten
cualitativa del plasma lo suponen como un sistema de partiacuteculas cargadas que no interar-
tuan entre siacute y que se mueven libremente en presencia de los campos eleacutectrico y magneacutetico
externos Es decir si so considera que el plasma esta compuesto de jVbdquo partiacuteculas de clase o
8
iexclbulli -r mueven dcltido iexcli MI energiacutea teacutermica en forma caoacutetica entonces es uii-fNarin resolver
~ ecuaciones laquogtbull movimiento con uti miacutenimo iexclEnfil raquobullbull condiciones iniciales i posicioacuten y
-bullbullio-idades iniciales ilr partiacuteculas | Obviamente esto uacuteltimo es imposible de realizar Se
puede reducir fuertemente el problema si gtraquobull desprecia liexcli dis]gtcrsiexcleacutegtn de las velocidades dr
bullu iovimicnlo teacutermico es decir si se considera el movimiento promedio de una partiacutecula
laquoiexclHe v encuentra en reposo cuando no hay campos externos Asiacute este modelo simple
de iexclarticulas independientes completamente desprecia no solamente la interaccioacuten entre
piiriexclniiacuteiacuteiraquo sino eiexcl movimieiiio teacutermico de la- mismas
Pura determinar la velocidad dgt- una partiacutecula carnada del ntasma en el modelo de
pariacuteVittiis independiacuteenles se resuelven las i (ilaciones de movimiento para partiacuteculas de
gtia- bullgt en la forma
-y- = lt iacute iquest + -|ibdquo X D + iexcliexcl111 I110) Jlz
ir ~ donde iexcl = gtnbdquorbdquo es el impulso de la partiacutecula de dase o y ies la aceleracioacuten provocada
por fiHTns no electromagneacuteticas Eti las ecuaciones (LiO) la iiidiiccioacuten magneacutetica D
y el campo eleacutectrico E no se consideran como variaUes conocidas ya ipie estos campus
incluyen en siacute campos inducidos en el plasma cjue MOJIacute provocados por el movimiento de las
partiacuteculas cargadaraquo por lo (pie hay que resolver un problema autocousigtente es decir la
solucioacuten de (110) conjuntamente con laraquo ecuaciones de campo
VxS = M + Iacute I ( + ( 0) (iii) c ot c
V-Eacute m 4-(p + po) (1 13)
v i = 0 (114)
9
01
(si-i) ltraquoiquestbull AW + J) + W + sectxsectA)Y +ilaacute- raquo
waacute(A-iacute) + ^ Vlt = JLVpound mp
(iquestri) -o = W aacute w - A + ^
iexcllaquoupauSimi HJiuiHiupo pii] laquoj ip laquoai iopuioa ap jjnaiscsi io x) inn uctuivcs u n
HZI|1)II t8 opiti |f ui |vmi raquoia ap OIIMIIUIAOIH jap t iopduauap H| H Iacute H J -OJIIIU OIIIIIJIIOI o ip j tu mi
(ipllllllUOJ OJIIK laquoHill OIlllll lltijjodll S Sgt1IIIIIltMI|IIOJ SHJSI Hill llX HJItlHI A UIIIIOI liJIIIOJl
bullJMraquo NtJIIHKullllO1 Sl| 11)111 IttllHMJIi j j l lililiacute IMIacutelj IS lili IIJlllllllipiU|lll| CI|I|KM11 |l l|-J
i
OIIIIIIIIipiM|)II[ (gt|l|raquoOIII |l iZI|llll
is osli i|Si 113 ltM1IIHI l((|ill|)Ulll o|(llllil | mi imuii Jllli|MSIIlu ipmd is lti|i(i| (III oltloi
Dlllsmii |l lt ltI|IIIKIIJI(1IJltII 1)1111111 Ulllj l||St IS IIIHI SI|lll(UIltI SI|IIMIJI(I sltlt[ 1(1 (IJfUItlllAillll
|i ltisui|i 11111 miis-H|ltl 1111 111 iiUuumluniii iexcllaquo j o j ii|iiiuiiii(iultii ms i ltm siquniiud ltn gtgt
ltI|I1III1U Villi |l (MU | l lll lt 1(11ili 111 AIIIII iMIIsiqil tin 1(1 IKIII |i l|gt II|IK lti|ilI|I|ll MS i|llllltl
Sgt|I1HIIIIMII|IIII -ii(liilinil ip II(I|KMII (1 H|tiit|iiltl 113 lti|iiiiitll] si inusiqd |i|i IIltIIMIUISI|I
l| lll IIOIHiipill US Hill ltl| Hid degSI(||||||Ilt1 Sl| 1(1 i||llll(1llAOIII |lp 11(11liqll1111 bull] OlIItU11
(iinmiiiAoui (1 bulluipisUtii 1111 ofiji is (IHKII si|tfi(|ifiH(i|ifft s-ftptjiijiMi (lt lti(i(iorij ( 3
( 9 1 1 ) 0 = V V bull A + T ^
|Mqmimiuoj ltraquofi tiacuteotjuttji laquoj uKiexclatms (()) niexcljsijtfs j pthy
ltcni bullbulliquestx^ = [ -x^ = lt
laquoUIKIJ i( (lllllll l|(MMJltll ijl A i|l(lll(IUI laquoSjlM laquolt Kj|tt|raquoISIM|gt gtlJ Sgt(itl) slj | Ifi
= V y [- x D - -pound-V x I i r Uuml) (119) Of 4 ~ ltT
V B = 0 (120)
donde ni ex 1iexclI ltbull usidad del liquido ltlaquoMiraquohicTtgtr (plasma) ron una rondiirtividad n vi es la
velocidad del plasma y ( r son 1lt- roi-firiciites de viscosidad Este sistema laquoir eriiarionis
w debe de roiujut mentar ron las emanones de rotado y la iiiiwioacuteii laquole tnuiNpurte de calor
= Hni-T) (121 0
M7 mdash + (rlaquoV| uumlt
~ bdquo 2L1L + X-(VTgt+ mdash mdash l ^ x Uuml r (122)
donde raquo = raquoij(T) es la entropiacutea de uiiii masa unidad de plasma n es la rondnrtividad
iltl ialor y rttJ elaquo el tensor laquoir viscosidad
^= (iiexclr + iiquestL~ hgtv TA) av bull IacuteL23)
En la magnet oliidrodinaacutemira se consideran dados la rondnrtividad eleacutectrica la conshy
ductividad laquolaquobull calor tlcl plasma y tambieacuten los coeficientes de viscosidad En la praacutectica
se utilizan modelos modificados dr la magnetoliidrodiacutenaacutemicn tales como el modelo cuasi-
magnetohidrodinaacutemico de dos liacutequidos (electrones y iones) y de tres liacutequidos (electrones
iones y neutros) tos cuales de forma fenomenoloacutegica consideran la interaccioacuten entre las
partiacuteculas- su movimiento teacutermico Estos modelos simples generalmente son aproximados
y para su fundamentacioacuten se exige la utilizar ion de un modelo maacutes general del plasma
como gas ionizado El modelo maacutes general es la descripcioacuten estadiacutestica del plasma como
un sistema compuesto de un gran nuacutemero de partiacuteculas
11
CAPITULO 2
GUIAS DE ONDA Y RESONADORES
En rstr i-i|gtiacutemlgt v ilisrrilraquo li iroriacutea grurral i|r lis gniacuteis laquoIt- IIMIUuml y laquoIr los rrsoimdorrx
bullilimlriros Si luir- un r-iexclMilil riifuumlsis ru his giiiacuteigt d r mifhi V lvsotinliili- de MMIIacuteIMI
tliUlsvriMiI bull i i i i i iuuml l nn iDliiii 1iexclgt rxcitiiiiiVn dr o lnl raquo t i l IIHMII bdquobdquo y TE laquo11 estos
IIIacuteN|HIMIIacuteVIraquo rrx|Mitiacuteviexclifilttr rli Iilii|iiliquest ron rl d i spos i t ivo drsni t iraquo cu [2iexcl
3 Guiacuteas de onda
31 Ecuacioacuten de valores propios
pound1 estudio dr IHS propiedades fnuciaiiicntalcs dr la propagacioacuten de ondaraquo laquobulllectroniaglictiras
en tubos cilindricos dr conductividad infinita sr ha realizado ampliamente Ha sido resuelto
el problema para guiacuteas do seccioacuten transversal arbitraria |8) y para secciones transversales
particulares de importancia praacutectica se lian solucionado en sus modos fundamentales de
propagacioacuten [9] Asiacute mismo una analogiacutea con las lincas de transmisioacuten ha sido descrita en
[Wi
Veamos con maacutes detalle las guiacuteas de onda Consideremos una guiacutea cilindrica ron su eje
dirigido a lo largo del eje 0iexcl Ademaacutes consideremos que la guiacutea de omlas es longitudiliaj-
12
iifiacuteiti- lioiingtmiiriexcli y iptc la iexclgtariilrgt- metaacutelica sou conductores iierfcetos Sigtigtntgtiexcluiiltgts ltpit
bullniexcli omlii bull-lcctrumagiirticH plana di frecuencia ur si propaga a lo largo di- la guia ilt- onda
pound(fiacutel=f(r^)t r- iacute (21)
poundlt) = (riacute)t r-w ) (22)
iexclonde r es la constante de proiMtgacioacuten o nuacutemero de onda El problema fie contorno que
-bull iacuteu-duiT de liexcltgt fiiiacutenioins de Maxweil pura ondas ti|Mgt H en una guiacutea dr ondas ciliwtricn
-bullbull rxprrsa en la forma
bullbullon laraquo condiciones de frontera
-2- = 0 para r = a (24)
E = 0 cti todo el espacio
donde $ = H(r^) De la misma manera para las ondas tipo E el problema de contomo
tiene la forma
0 lt vgtlt 2ir
13
rtm las condiciones de frontera
= 0 para r = a (2C)
H = 0 til todo el espacio
donde ahora lt1gt = pound(r^) n es el radio ilr la guiacutea tic ondas
Los valores positivos
bull = -gtL = iquest - riquest (27)
determinan el con junto de valores propios correspondientes a rada una de las soluciones
lraquoTiiiisilles igt minios caracteriacutestico de la guiacutea de onda donde II y t son las constantes
de permeabilidad y permit ividad respectivamente del medio ipie llena la guiacutea de onda
GiiHTMliiHiite bdquo depende ile las (limensioiies geomeacutetricas de la guiacutea de onda de IacuteHJIIIacute
IJIIC siempre si puedan selerrionar los modos de propagacioacuten raquopraquoe se reijuieran
Por otro lado las componentes transversales de los campos eleacutectrico y magneacutetico se
determinan si se conocen las componentes longitudinales de los campos de la forma [8]
iT Eacutet = - j -Ve para ondas en modo E (28)
a iT H = - mdash V para ondas en modo H (29)
Traquonigt
Ademaacutes las componentes transversales de ambos campos (eleacutectrico y magneacutetico) se relashy
cionan mutuamente romo
14
H = ~iquestbdquo x Eacute (210)
aonde ~bdquo es un vrrtor unitariti dirigido a lo iexclarjraquo ltlcl eje 0 y Zf laquo la iiiipedanria tlr 1raquo
onda tiraquo modo E Igt H respectivamente
cT Zf = mdash igtara ondas en modo pound (211)
ZH = mdash=bull pnra ondas en IIIIMIII H (212) cT
Las efiiiexclirioiiigt (23) y (25) determinan problemas de valores propios ron sus corresshy
pondientes condiciones de frontera Cada turn de las soluciones nos representan diferentes
bullnodos normales unos transversales eleacutectricos y otros transversales magneacuteticos corresponshy
dientemente
32 Paraacutemetros de propagacioacuten
De la ecuacioacuten (27) se tiene que para cada valor de bdquo y correspondientemente de la
frecuencia se determina un valor para el nuacutemero de onda
r raquo - ^ - T Iacute (2i3)
En general T puede ser una cantidad compleja de donde podemos distinguir tres casos
a) siacute (tt^ gt y^n entonces T es real y define un modo permisible de propagacioacuten es decir
la onda se propaga libremente a lo largo de la guiacutea b) si ftfty lt 73nn entonces T es una
cantidad compleja de donde la onda se amortigua exponencialmente y c) el caso cuando
15
r = 0 ilefiiu la condicioacuten di- rortlaquo la nial separa los casos a) y li) Asiacute podemos definir a
la friTuciina de corte romo
Wbdquobdquobdquo = -J=-bdquo 1214)
y expresar el nuacutemero de onda en funcioacuten de ella
r = ^ ^ - ^ (215)
Para ftecuencin- uiiiyores ijue la de rorle la onda se propagii a lo largo de 1raquo guiacutea En
el ruso contrario pitra freriietiriuumls menores i|iie lii de rorte 1iexclgt onda se amortigua Otra
caracteriacutestica imporiiiiite la ]iodeinos olilenei de la bullbullxpresioacuten 1213) Va |IH- el nuacuteniero de
onda r siempre es menor ipie su valor en un espacio lilire entonces Ii longitud de onda en
la guia es siempre maacutes grande
y 77 7ngtt
Anaacutelogamente definimos una longitud de onda de corte o criacutetica (cuando A = 00)
Af = yiliacutemdash (217)
y expresamos la longitud de onda cu la guiacutea cu funcioacuten de ella
A = _ j (218)
donde A es la longitud de onda en el vacio Dr aquiacute que la onda se puede propagar a lo
largo de la guiacutea de onda uacutenicamente para longitudes de onda menores (pie la de corte
0
~ y - i y
_bull-
_ 1
bull i
iexclA
0
0
- gtiacuter
JfT7 ~ m
n
0
raquov
^ yJZliacuteiiacuteiacute
9C
Imaginaria
V
mdash _ l _ - M i l
0
Imaginaria
A
-Jraquo-$mdashil
X
Imaginaria
Tabla 21 Iaraacutewotrus ele propagacioacuten para onda ltrn moiio pound y cti una guiacutea ltlr onilas
Miacuterica uniformraquo
Por otro hielo iexclgt viliraquodegiiliexcliltl ltli fasr iiexcl riexcl un medio bullbullgt uisiraquo JraquoILIIlt1laquo ijiii- su Viilor III el
Wigt
7 = r
(219)
Por debajo del punto dlaquo- corte 1raquo velocidad de fase es imaginaria y pierde asiacute su sigshy
nificado fiacutesico En el punto de corte la velocidad ltlr fase se viirlvr infinita Un liccho
importante resulta serel que la guiacutea dp ondas es un sistema dispersivo aun cuando el
medio que llena la guiacutea no lo sea (la velocidad de fase es funcioacuten de la frecuencia) La
velocidad de grupo de la onda tiene la forma
tortt 1
(220)
En la Tabla 21 se resumen los paraacutemetros de propagacioacuten para una guiacutea de ondas sin
peacuterdida de energiacutea
1
33 Coeficiente de absorcioacuten
El finjo laquole inicrgiacutesi raquobull describe por ltbull vlaquo-ctigtr cimiplejo di- Piacutemiling
Sbdquo=[iquest]i[poundxW-j (221
su parte real nos dh el finjo di- energiacutea promedio plaquogtr unidad de tiempo y por unidad de
aren La romponeiite axial de Su representa el flujo de energiacutea prmimlio a lo largo de la
guiacutea Por lo tanto d flujo total promedio de energiacutea que se transmite a lo largo de la guiacutea
de onda e- la integral de la componente axial del verfor laquoIr Poyntilig evaluada sobre IIMIIacuteI
la weeioacuteii transversal de la guiacutea de onda
HilU^1 - iacute2-22) donde iquestbdquo es un ver tor unitario a lo largo del eje ()
Hasta el momento se lia considerado laquopie las paredes laquole la guiacutea tie laquonula son conductores
jraquocrfectigts in tal caso el Unjo total de energiacutea conserva su valor a lo largo tie la guiacutea laquole
onda Sin embargo en problemas reales la conductividad de las paredes tiene un valor
finito debido a ello existe muiacute fraccioacuten del flujo total laquole energiacutea que se absorlw |araquor Inraquo
paredes Dlt- aquiacute qtw la expresioacuten (222) representa uacutenicamente el fhyo tie energiacutea total
que entra a la guumliacuten de onda y cuyo valor decrece durante la propagacioacuten de la onda es
decir se generan peacuterdidas de energiacutea En la praacutectica tales peacuterdidas se consideran muy
petmentildeas considerando que siempre existe una fraccioacuten de la energiacutea que se pierde ya sea
en las paredes o por la presencia de un dieleacutectrico que llena la guiacutea de onda En tal caso la
laquoMida se amortigua en BU propagacioacuten y la constitute aacutee propagacioacuten time en consecuencia
una parte real y una imaginaria
18
r=i~m (223)
iultif i gts vl factor laquoit- iacuteiisi- y gtbull vi n^bulltirivuu- tU- iexclilisorcioacuteu o ltlr iacuteiiuortigiiaiiiii-tito E
cticiacutetiif ltli- iexcligtlaquouiri(raquoii ltbull Juumltllfi laquoir iexcllti rrhiritu
o = raquo +ltu (224)
bulliiiidr IIbdquo y o son los nlaquofiriciiiigt di- alisorrioacuten ilrliido n liexclis jx-nlidiis de energiacutea en las
m|t-iligt iin-luacuteliacutei-iraquo y 111 Illtilio diacuterliiirirai i|lilaquo- iexcllililiacute 1iexclI Riliacuteii rcspi-itivamriiti CiMisiiii-railiio
1iexclII |gtctiliiliexclis l l i -d ir ig iacutea ilr hi rxprrsion (2231 gtbullbull indure que los nui i )ms MUIacute propiui-ionalcs
bull bullbull tUUiexclltfgt rxpnililinal raquo i Ir ilonilr lii |MitgtIniacuteiexcli (222) laquo|lir sr transmitiacute iexcli iigt largo ltlr lli
bulliacuteliacutei ill lllllli llisillillliyr iexclI lo litigo (Ir (II la furnia
raquo(-)= Pbdquogt -- (2251
Por tamo la roiistiwtr de amortiguamiento o de alisorcioacuteii se definiacute- como ln razoacuten de
i poti-uria i MI il i ii bullbull lio lli eiirrgiacuteli (ptr si pierdr por unidad ilr longitud c u t i r il flujo toliil
promedio ilr rut-rglli lt|lie se transmit a lo largo di liexcli guiacutea gtllt onda
mdashiquestiacute-
34 Guiacutea de onda cilindrica Modo Hbdquobdquo
Nuestro principal intereacutes se centra en las caracteriacutesticas de propagacioacuten de ondas electroshy
magneacuteticas en modo Hnn en las guiacuteas de onda cilindricas Consideremos que la guiacutea de
onda tiene paredes conductoras perfectas y qui el iiexclgtgt dio que llena uniformemente la guiacutea
19
fcciMTraquo |Mrililiis laquoIr m c r g iacute a ilispiiviiilili-j Parraquo bulllaquolaquobullbull rwsn IIIN MIIIUIacuteOUIS n IIHgtI)Igt~ |MTIIIIacuteSIacuteIgt1IVS
ili- priiptiiuumlniiiii i|i 1iexclI r i i i iu ioacute i i (2 3 ) MHI
( bull r-t = CbdquoJJ- r)~laquoif (227)
laquolimilr Ci lt-- una ionstatiii y la rlaquotiltiirioacuteii ltr iacuteroutrrn (24) mjiriiTr jiir 1ltraquogt laquoiliircs propios
IDIIIIII la forma
bull t
bdquobdquo = mdash = U 123 122$) bulli
n = 123
Aipiiacute )bdquobdquo -un la raiacuteivs n bullbullMinas laquoIraquo la dnivaila ilr la fiuirioacuten gtlt- Ui-ssrl ili- unlcii m
JJjr) - Di y n rs il railin inlriim ilr la guia ir ondas Exislr un minino iexcliitiiiiln bullbull
IIHMIOS i|iu MUIacute -iiliniuiirs ilr (23) IIIII la i-igtiiiliexcli-iacuteoacuteii ili friitiliTa (24) Col aymla ili- (2Iacute))
y (210) iilitiiHiniraquo las rxprrsioiirs para las i-oinpoiimtrs transvirsalrs laquo1raquo- los campo ni
iminliiiailiacutei- riliacuteiiiiiiias y nitoiiri-s csiriacuteluacuteiiios las roiiipoiiriitcs ilr los i-ampos ni la furnia
H = C o ^ j h r ) trade m ^ i r mn
H = plusmniexclCo~-Jbdquohnnr)Zwir- (229) Inn r
E = 0 r laquoi
E = plusmniCbdquoZH-i Jmhmnr)ZtradeltigtriV-Tmn r
E = -iC0ZbdquoI-Jm(lmnr)Z^ert
donde los signos plusmn corresponden al en o co respectivamente y In expresioacuten Jm indica la
derivada ron respecto al argumento Jm = f- Sustituyendo (228) ni (213) w obtienen
20
gt valores tie la constante de propagacioacuten
r = Jfi- - iraquo (230)
Comraquo sc olwerva las ecuaciones (229) estaacuten doblemente degeneradas yraquo rpte uno de
lgtraquo ranijios se convierte ei el otro al girar ir2 alrededor del eje de la guiacutea
Determinemos lo paraacutemetros de pro|gtagiacuteicioacuteii para una guiacutea de inula cilindrica hueca
al variraquo) y de radio laquo = 425cm en la nuil se propaga una onda en modo Htl Considerashy
remos primeramente que las paredes de la guiacutea son conductores perfeetos En In siguiente
rioacuten se consideraraacute que estas tienen una conductividad finita
De acuerdo con (21C) toda onda electromagneticraquo podraacute propagarse en una guiacutea de
ouda de tales dimensiones si se cumple que su longitud de onda de )n primera es menor
que la longitud de onda critica Para tuia guia cilindrica se tiene
lisa A c = ~ (231)
Lolaquo dot modos inferiores Ha y JI para ondas de tipo H tienen las siguientes longishy
tudes de onda criacuteticas (en este caso iexcl = 18412 y j i t - 30542 [11])
Xe = 145cm (232)
Ac s 87cm
respectivamente Se puede demostrar que el modo pound0i es el modo fundamental para ondas
de tipo E Este modo tiene una longitud criacutetica
21
X = l l l f w (233)
Pur laquogttrcgt lhiii litraquo lougitiidcgt de inula rritkas lth- Uraquo siguiente modos ruiperiores ile muiacuteas
tipo H y li|xgt pound son menores que Itraquo valores 87rm y l l l m i rt-s]gtrrt miacutemente De aquiacute
que UMH onda clerirouiagiieacuteiira pueda propagarse en la guiacutea si su longitud lti onda laquobull
bulllienor que 145rraquoi Si ademaacutes fl valor de la longitud (ltbull ouda si- emueiilra en el iexclineacutervalo
11 lrjn lt A lt 145rru cntimres el jnodo H es el tiuiro que puede propagarse a lolargo
ile la guiacutea de onda
Eli figura 21 M muestra las vising tranvt-rsal y longitudinal de la estructura de los
bullaiii|Hraquogt en modo i | Aquiacute se 1gtI tomado la parti cosciioidal de (227) A continuacioacuten
e dan |igts valores de los paraacutemetros de propagacioacuten en el easu de IMIIIJIS clcrtronuigiieacutetiiiis
laquoMI iacutenriiencia w = 1539 x 10iacute (A = 1224nraquo) que si- propagan cu la guiacutea de onda
en nioilo | | Los valore se obtienen utilizando las expresiones correspondientes de la
seccioacuten (52) o de la Tnlila 21
Ar = 145laquoo
u w = 13 x 10luc
T = 02753cm-
A x 2282cro (234)
Zbdquo laquo 187 (i = l )
v = 5C x 100cm
w = 1CX10 OCTIIIacute
22
^mdashmdash Imea de campo eleacutectrico
mdash --Linearaquo di- campo magneacutetico
o Campo magneacutetico normal (hacia fuera ilr la hoja)
f ( ampo magneacutetico normal (hacia dentro di- la hoja)
Fig21 Vista- irahversal y longitudinal de la pstrurltira de Itraquo camporaquo ltn trimlo iacuteliexcliexcl La vigtti
otigitudial correspondiacute a un aacutengulo u = 90deg Figura tomada di- [bullgt]bull
i
Notemos (|Uf il iexclmaacutelisis anterior se inicioacute con una guiacutea dr onda de fliiiiensicmlts traquo-
gtltriacutetiacutecaj De- ahiacute se prosiguioacute a encontrar las onda electromagneticraquo npropiadas tale
que el modo fundamental H de la guiacutea de onda sea cl uacutenico que se propague Lo contrano
tambieacuten resulta vaacutelido es decir si se cuenta con una fuente de microotidas cotiacute determishy
nada longitud dr onda se pueden encontrar las dimensiones apropiadas de la guiacutea tales
que uacutenicamente se pueda propagar el modo fundamental
35 Coeficiente de absorcioacuten Modo Hmn
De la expresioacuten (226) determinemos la laquomulante de amortiguamiento debido H la conducshy
tividad finita de las paredes metaacutelicas para ondas en modo Hmn Primeramente calculemos
23
vi fltijiraquo total protiwlio ili laquowgia (222) r nial lunik bullbullscriiaacutersr IMI trrmiiins laquobullbull la funcioacuten
[gtrraquotgtiii bull at la forniH
iacutelowlc
= CMtmnr )rtismf (23C)
rlitotiirs
Praquo = If 1 Uw-T-KU [rIfjbdquor)nlaquoiquestraquoSlrlT-
= [iquest]^raquo^-Kraquol7rJraquo-rr- lt2-37)
La integra] ili- (237) sr cvaitwi utilizando la igualdad [12]
y CMisiacutedcnuidraquo IJHC la couiliriuacuteii de fruirtrra (24) rirquirrr ijiw Jm~innr)rmn = 0 DP rata
manera se obtiene el resultado
En el caso particular de ondas en modo Hti se tiene
La expresioacuten (240) puede escribirse en una forma mas conveniente
24
ionde
EJlJampuumlL (242
bullbull lii amgtIitultl del raui)Mgt eleacutertriro en rl bullbullclilro ltle 1raquo serriacutenraquo transversal laquobull 1raquo jiacuteiliacuteuuml de mida
La relanoacuteii (241I nos muestra rliimuienti- la iii-|n-iiiletiriacuteii rufidraacutetini ron n-sperrraquo iexclil radio
bull lti EUiiacutei ilil finjo total ]gtroiniilio ili- eneruiacuteraquo gt|raquo iitravicwi 1iexclI MTIIacuteIIH Iriexclmsvi-rsiil de 1raquo
uniacutea ib- omlu
Por otro lado la potcnria iacute|iic se pierde por mudad di- longitud (Mudo raquo las corrientes
u|gterfiiialc laquoi laraquo paredes metaacutelicas di- la guiacutea se expresa mediante la iutrgral de contorno
alrededor de la frontera de la guiacutea de onila) de las componentes tangenciales del campo
Magneacutetico en la fonna
p - dl
donde ntilde es un vector unitario normal a la superficie de la guiacutea de ondas ir es la conducshy
tividad de las paredes metaacutelicaraquo y S es el ancho de la capa piel expresada como
tiexcl es la permeabilidad magneacutetica de las paredes metaacutelicas Por tanto cotiacute ayuda de las
expresiones (229) se obtiene la potencia promedio que se pierde eti las paredes
25
- iexcl eacute f ^ - f (duuml]laquo 1245)
Fiiacutemlniiacuteiiti- di (245) y (240) bullbull oliticur la ruitstantr de Hiimnigiiuiiiitiitnpara el utixlo
I24G)
En vi raso ili- ondas ltw w propagan iii laquoI IIHMIO Hlt (MMII-IHH- laquoIr (24C) IDII raquoraquolt = raquo = I
obtener
f r i t o r sampsY+ traderaquo]
- - Id laquo-iexclzsf L v ( Siacute consideran)raquo tua guiacutea dr onda hurra ot dicir = 1 ni laquoti interior cotiacute paredes
metaacutelicas de broncr de conductividad a = 1413utg2crgaegnn) y radio a = 42vcm
en IB cual se propaga una onda en modo fiacuteu con una longitud de onda en el vacio de A s
1224cm (w = 15394 x 10degi) entonces obtenemos que la constante de amortiguamiento
tiene el valor de
om = 1032 xlO4 (248)
El valor anterior noraquo indica que a la distancia x = 0C88raquon la amplitud del campo eleacutectrico
disminuye 1e veceraquo de su valor en i = 0 De donde la constant v rlr amortiguamiento es
26
sntirp-itttniKiit nt-m-ntildea para considerar una guiacutea If onda laquoit unos riacutetanlos metros laquoit-
lUgitiiuacute romo una guia gtlr (tuda ideal (sin peacuterdulas)
4 Cavidades resonantes (resonadores)
Vu disjiositivo de gran importancia praacutectirtt y estrechamente relacionado ron las giriacuteas
ltbullbull onda son las cavidades resonantes Coinraquo w sabe una cavidad resonante (resoiimbir)
bull - privi-aiiii-iitr una cavidad roinpletameiit) armada por paredes nietaacuteliias Ins riacutetales
prewiiraii ilti propiedad tllt- podriacute alijiart-uar energiacutea eiertruiiiaRuitira tMeilanie Llaquoraquos riso-
iadores han sido ampliamente estudinilos en la misma magnitud ipu- las guiacuteas de ulula [13]
Anaacutelogamente al estudio de guiacuteas de laquonula gte ha resuelto el problema de 1laquoraquo resonadores
bullbull si-rrion transversal arbitraria routenieudraquo cu su interior un medio liiMiiogt-iraquo laquogt con IOIJS-
antes y t [S] Un estudio de los resonadores de formas particulares y de importancia
praacutectica se puede encontrar en [9] Ademaacutes una analogiacutea rlaquom liw circuitos resonantes se
(iescrUumlM en (II)] Con res|x-ctraquo a esto uacuteltimo podemos decir i|iie los rlaquosraquonailores tienen
la ventaja de ser superiores a los circuitos resonantes I - C en un factor laquole 20 laquos laquolecir
iexcla fraccioacuten de energiacutea almacenada laquopie se disipa por ciclo en un resonador es alrededor laquole
1 20 de la fraccioacuten disipada por ciclo en un circuito L - C [14]
41 Caracteriacutesticas generales
Consideremos una cavidad cilindrica hueca y acotada por un conductor perfecto Fijemos
el eje 0 de nuestro sistema de referencia a lo largo del eje de la cavidad cilindrica y
Mipongamos que la longitud del resonador esta acotada entre - = 0 y z mdash d
27
Un ri-Miiiitilor pucxlr i-oiisiilcriirsc mino unraquo guiacutea ltgtbull olida finita ilimih ltlaquobull tiww laquo|ingt
iexclumilir la rotiiliacutecioacuteii di- froniirit
para ltmdagt t-n modo TM
(Mirtl Otlflugt Ill IIMMIO TE
EbdquoM = 0 (249gt
HUbdquoi = 0 (250)
En itiilii linn illt- braquo sii](rrfiiiigt plana gtbull iilruumllnniitr ngtniltiitigtragt rxistr rcriixioacuteu di-ondas
El ti|Mgt lit iiiidii i|iilt- M- irrii iexclil siiprrpoiuT iliraquo ondas ilritroinatnitiias ron iexcliinplttudis
iguales y propagacioacuten en sentidos opuestos es ]iri)|iiiexcliinciiir rl di- uni onda estariouarin De
donde las rigtui]M)iiilillts axiales ilr 1ltKS rniupos ilclxn ttinl bullbull forma
para ondas en moiin TM
E = ( r r - )oi ^ - ) = 0123 (251)
para onda cu modo TE
H = Tf)raquoeM^-) j gt - 1 2 3 (252) o
Laraquo componentes transversales de los campos se determinan de (28) y (20) Para
ondas en modo TM obtenemos
28
Jfr = mdashT-cogtbullmdash )bdquo x V
(253)
vrrrgtjlaquogtijiiiciitfuifj)tc para ondas wi modo TE
pound = _ittif iacute iacutef)i1yr
W = iacutefJ_bdquo s (^)V
(254)
poundgtbullbull in-s riiiiiliiioliiN de frontera (249) y (25U olrtnirmos lt|iir 1iexclI ionstiuiti- ili- propagacioacuten
ltgtiitii 1ltraquo valores
r = uumlf = (0)123 ti
bull iexclonde de In ecuacioacuten (27) los vnlonv propio so expresan romo
(255)
(256)
La ecuacioacuten (25G) forma un conjunto discreto de valores que determina la frecuencia
bull ir resonancia para cada valor de p y bdquo es decir a cada tipo de onda estacionaria le
corresponde una frecuencia propia
vJ (257)
29
Fig22 Litraquo midas rsUt Miliaria- ilgt mi rismnclnr lidien en su lifiigiliitl un iiiiniTii IIIIITH ilr
niilMlcraquo lie la loiigilini tit- IgtMltU St- miii-sira H raso para )gt - Iiquest41 bullbull U exprntiiiacuteii iquestat)
En alaquoManii si mi si ritiniiita otra rosa raquobull omiten los Milmidiees rtii y laquopie ranraquo
UTIacutezan los modos laquoIr oscilacioacuten Ln resultado iiiiportaiilr laquole la ccuaraacutem (257) e laquopic se
pueden elegir Ian dimensiones ademadas ilcl resonador lie tal forma laquopie este opere ni una
frecuencia uacutenica de resonancia
Si comparamos (255) con la expresioacuten general para la parte real de la confitante de
propagacioacuten T = 2irA se concluye que para cada modo de resonancia la longitud del
resonador es proporcional a un nuacutemero entero de mitades de la longitud de onda (Fiacuteg22)
d s p ^ p laquo ( 0 ) 123 (258)
El caso plaquo0 correspondiente a la condicioacuten de corte para ondaraquo en modo TM tiene un
30
Mereacutes partieular ya qne eu este caso la longitud de nuda tiende a ser infinita entonces de
laquobullcuerdo ron (258 obtenemos
d - 0 bull oo (259)
ie donde la longitud del resonador esta indeterminada Los modos correspondientes a
gt raquo 0 existen en el resonador para cualquier longitud de la cavidad
Una propiedad de las ondas estacionarias es que loraquo CMIII|MgtK eleacutectrico y magneacutetico se
encuentran defamados en ir2
-ll = rt + iexclJ (2C0)
iielndu a ello existen instantes de tiempo en el resonador en que existe uacutenicamente el
bullampo eleacutectrico y momentos en que solo existe el rompo magneacutetico Como resultado de
este defasamiento el vector de Pijymiug resulta ser UIIH magnitud puramente imaginariacutea
de donde ai promedio con respecto al tiempo no existe transmisioacuten de energiacutea ya (pie el
valor promedio del vector de Poynting resulta ser indo Su - [ pound ] IitEacute x iquest ] = 0
42 Energiacutea almacenada y calidad de los resonadores
La energia total promedio almacenada en todo el volumen del resonador es la suma de las
energiacutearaquo eleacutectrica y magneacutetica promedio almacenadas por los modos normales
W m WE + WH (261)
donde
31
HiliacuteX-trade 2 M gt
Yraquo que en el resonador no hay MU flujo neto de energiacutea entonceraquo cu el cano en lt|Ur el
medio i|w Urna 1raquo guiacutea no genere |raquoeacutercliltlas di- energiacutea la energiacutea eleacutertririacutei y magneacutetica
promedio seraacuten igualo entre si Hiquest- s Wraquo Evaluemos la energiacutea total promedio alinarc-
tiada en el volumen del resonador |gtara ondas en modraquo TEmnf En este raso se tiene
=[iquest1U bull (2C4)
la cual puede expresarse cu teacuterminos de la integral de area tie la (tuicioacuten propia
= H(riacutep) evaluada sobre ln seccioacuten transversal de 1raquo guiacutea
bull-[iquestliacuteHs)]-- donde bull tiene la forma (227) Tomando uacutenicamente la parte cosenuiacutedal de (227) e
integrando de la misma manera como se evaluoacute la integral de (235) obtenemos
toT 47V ^n-m)Jmi^a) (266)
Para el caso particular de una onda en modo TEui se tiene
32
= [iquestiexcl](0375)|poundi|laquoib2 (2C7)
donde
1 1 - ^ (2-68)
raquo el valor di- lu magnitud tlt-1 riiinpo eleacutectrico en el centro di- la seccioacuten traiisveriMi) del
resonador
En griirral pura resonadores i n h siempre hay absorcioacuten ib energiacutea 1st nial se reashy
liza principalmente por dos raualcs a) porque el medio (pit- Ik-iui lu guiacutea es un medio
absorbente y Iraquo) debido a la conductividad finita de las paredes del resonador En cada
uno de estos casos las frecuencias de resonancia se vuelven cantidades complejas las ruakt
podemos escribir en la forma ugt = w + iw Entonces si la dependencia temporal de loraquo
campos es de la forma
Eacute(t)laquo Ac1 (269)
obtenemos que la energiacutea total promedio de un modo normal en un resonador real es
W(t)laquo W(0)e-3 (270)
donde se observa que se pierde al transcurrir el tiempo W(0) es la energiacutea total almaceshy
nada en el resonador en r = 0 Introduzcamos un paraacutemetro llamado factor de calidad Q
definido como 2n veces la razoacuten de la energiacutea almacenada en el resonador promediada con
respecto al tiempo entre las peacuterdidas de energiacutea por cada ciclo de oscilacioacuten
33
Qenrroiu ulmactnnda
SS itj mdash ^ mdash mdash ^ mdash ^ mdash mdash
jttrtlidim lit tnergtn
= wmdash IV
PmAtf
donde
(271)
P = - ^ I27-raquo)
egt la potencio media qui sc absorbe en tin ciclo de oscilacioacuten debido n las corrientes
superficiales de las |Ktrtdes del resonador (comparar ron la ecuacioacuten (224)) Di (270)-
(271) piulemos obtener que Q = raquo-2u Por lo tanto la frecuencia raquogt laquobull pnctlc expresar
a traveacutes de Q romo
=yj1 + eacutejh 273)
43 Excitacioacuten de los modos de oscilacioacuten
En el problema de un resonador ideal (sin jroacutedidas de energiacutea) cada modo de oscilacioacuten
tiene perfectamente definida su frecuencia propia de resonancia (257) Esto quiere decir
que si se quiere excitar un modo particular de oscilacioacuten en el resonador la frecuencia
de excitacioacuten debe coincidir exactamente con su frecuencia propia de resonancia En
problemas reales esto no ocurre y en lugar de ello se cuenta con un banda de frecuencias
alrededor de la frecuencia propia en la cual el modo de oscilacioacuten puede ser excitado La
existencia de esta banda de frecuencias se debe a que existen peacuterdidas de energiacutea
Para mostrar lo dicho anteriormente notoacutenos que las oscilaciones del tipo (260) se
pueden representar como una superposicioacuten de oscilaciones estacionariacuteas Supongamos
34
i le el campo electromagneacutetico se crea en el instante f = 0 y se le laquoleja oscilar libremente
para t gt 0 Obteniendo su transformada de Fourier de (269)
iquest(w) - p rt+Uacutet+Vt- (274) 2ff Jo
y evaluando la integral en (274) considerando que pound(t)| lsec = 0 se obtiene
cuyo valor absoluto es
eacuteMl = M mdash i ^ (27C)
La ecuacioacuten (27C) nos da un conjunto de curvas de resonancia para cada modo de
oscilacioacuten Cada graacutefica tiene su valor maacuteximo en w = u (Fig23) Los puntos ltii los
cuales la curva disminuye lgtsect de su valor maacuteximo se llaman puntos de potencia media y
su separacioacuten en frecuencia se denomina ancho de banda A cada punto de potencia media
le corresponden las frecuencias
w3 = w + ^ (278)
de donde obtenemos que el ancho de banda detennina el factor de calidad del resonador
en la forma
laquolaquo5 a raquoiquest- ltraquogt
35
IlaquolaquoM
Fiacuteg23 Curva (Ir resonancia para el mudo de oscilacioacuten a- Loraquo puntos |rV(laquo-|)| y |MJ)I son
lot punto dp potencia mediacutea y raquoraquo separacioacuten define el ancho de banda
Si las peacuterdidas de energiacutea son pequentildeas entonces las bandas de frecuencia son estrechas
Sin embargo siacute las ]ieacuterdidas son considerables entonces las curvas (le resonancia pueden
llegar a sobreponerse una sobre otra provocando la excitacioacuten mutua de los modos de
oscilacioacuten
44 Resonador de forma cilindrica
Consideremos ahora un resonador cilindrico Primeramente obtengamos las soluciones de
los campos para una onda en modo TE en un resonador ideal y posteriacuteormeite calculemos
la Q del resonador para este modo debido a la conductividad finita de las paredes metaacutelicas
Para este tipo de resonador y para ondas en modo TE las funciones propias o solucioneraquo
36
correspondientes al problema transversal (23 tienen la forma (227) ron los valores propios
1228) Ademaacutes con ayuda de las expresiones (234) se obtienen las expresiones de las
componentes transversales en coordenadas cilindricas y entonces escribimos los campos
en la forma
pit H- = C0Jn(mrr)cos(mj)sen(mdashz)
Hr = -r-mdashlt0-m nr)laquow(mi)laquow(-j-) O ~lmr O
H - -raquo -3 pound - -Jlaquo ( -mr)raquoen(ms)oraquo(5) (280) laquo in r laquo
E = 0 iCriquestft m laquor
E = mdashJB(-mraquor)iacutetrw(raquoraquof )rraquoi(mdashs) win
_ iacutei Co WK poundw = Jm(TimRr)laquow(raquon^)raquocii(-j-iacute)
C mn laquo
Sustituyendo (228) en (257) obtenemos para las frecuencias de resonancia la expresioacuten
i raquo J c
wmn= 4 = J ^ + (^) g | (281) c
El modo fundamental para las ondas tipo TE tiene como subiacutendices m = TI = p = 1
Este modo TEm es el modo fundamental de oscilacioacuten en la cavidad si la frecuencia de
resonancia u m para ondas TE es mas pequentildea que la frecuencia de resonancia corresponshy
diente a las ondas TM (wougt) Se puede demostrar que si d gt 203a (a es el radio del
resonador dado en cm) entonces el modo TE es el modo fundamental de oscilacioacuten del
resonador [9]
Calculemos ahora la Q del resonador debido a la conductividad finita de sus paredes en
el caso de ondas en modo TE La potencia que se pierde debido a las corrientes superficiales
en las paredes del resonador se calcula en la forma
37
bull -1iquest]iquest r r bull -bull+pound[+ - 4 (2-s2) donde ntilde| y ntilde2 son vectores unitarios normales a iraquo superficie cilindrica y a las superficies
transversales circulares respectivamente La expresioacuten (282) puede reescribtrsreu la forma
bull= [iquest] iquest j f W + lraquolaquol2)U + 2iquest J-iacutelJiacute + IWPMraquo bull (283) Usando las expresiones de los campos (2S0) sr resuelveraquo laraquo inti-gralcs de (2S31 en la
forma
I r l l f fo l mfa r ~ UirJ 2vlaquo 2 1 + bullpound(bullgtbullgt+
+2|CIraquopound [ lpoundrAOr)+ bullO^] laquo] bull Haciendo el cambio de variable x = fr obtenemos
I laquo-1 IColraquo iexclda UffJ 2ffiacute 2 m ]Cppoundr |dlaquo UffJ 2ltriacute 2
1 +
1 + rraquoraquo
J Iacute O laquo ) + 2 ^ j f [2iacute Ji(gt+J(X)] d
^(70) + [(7laquo)3(l~)^(^)] (284)
Sustituyendo la expresioacuten de f = ^ )bull arreglando teacuterminos resulta
Finalmente sustituyendo (266) y (285) en (271) obtenemos el (actor de calidad debido
a la conductividad finita de las paredes del resonador para ondas en modo TEmnt en la
forma
38
Consideremos un resonador cilindrico en el cual oscilan ondas electromagneacuteticas en
nodo TEm cou una frecuencia raquobull = 15394 gt 10degr (A = 1224cni) El resonador es de
bronce de conductividad o = 1413 x lOlsutiquestergscm y tiene un radio interno a mdash Ion
Pitra este resonador determinemos en el caso p = 1 los siguientes paraacutemetros a) la
longitud apropiada del resonador b) el factor de calii id ilrl resonador y ltbull) el audio de
banda donde sr puede excitar el modo TE
a) De acuerdo con (258) la condicrlaquon de un resonador es tal qui en su longitud exista
un nuacutemero entero de mitades de la longitud aacutev onda
d P Px
2 V1-WW - - _ V l (287
Despueacutes de sustituir los valores respectivos de A o y de los subiacutendices que caracterizan al
modo obtenemos
d - T13cm (288)
b) El factor de calidad Q del resonador se obtiene de (286) expresioacuten que reescribiacutemos
para ondas en modo TEm en la forma
Ud (l + 0343amp4)
2nlt61 + 02092 + 02436$
39
La permeabilidad magneacutetica del bronce (je) no difiere Mgninrativanicntt- riel valor corshy
respondiente al del vacio (lt as ftc - 1) Entonces la longitud de la capa piel (244) resulta
A = 812x 1 0 - W (290)
Finalmente obtenemos ltw el factor de calidad tiem- el valor
Q = 404903 (291)
c) FinalriKiitf nilrtilt-inos el ujrlifgt di- llaquoiinli en el nial la onda en moilo TEw puede
ser cxcitaihi Utilizando (277) y I27S) obleiicnicraquo los punto ile ]raquoifriiriiexcli inedia
-bull as 153927 x iexcluHz
w2 ss 153952 x 10VH
Por lo Unto el micho de banda tiene el valor
ui2 - ugt = 000025 x 10Hz
Observemos que el ancho de banda es lo suficientemente angosto relativamente por lo que
uacutenicamente se excita el modo TE Se puede demostrar que la frecuencia de resonancia
fundamental para ondas en modo TM es uiolo = 1031 x l0nHz
40
CAPITULO 3
TEORIacuteA DE PERTURBACIOacuteN
Toda Teoriacutea ile Perturbacioacuten establece que en ciertos casos los problemas irregulares
aquellos que no tienen soluciones analiacuteticas exactas) pueden ser considerados romo rrjpi-
iexcliexclTVraquo que sufrieron cierta perturbacioacuten Cuando la perturbacioacuten es suficientemente pequentildea
u el problema irregular podemos obtener una solucioacuten aproximada conociendo la solucioacuten
ltiel problema regular [9] El meacutetodo perturbativo se ha utilizado extensamente en las guiacuteas
de onda Existen trabajos donde se analizan los efectos de las perturbaciones en lew valoshy
res de frontera [15] asiacuteromo de las perturbaciones generadas por un pequentildea muestra de
Vrrita en el interior de las guiacuteas de onda y resonadores [1C] En este capiacutetulo se describe
ia teoriacutea baacutesica del meacutetodo perturbativo desarrollada en |17] en el caso cuando las guiacuteas
de onda y los resonadores contienen un pltsma en su interior
5 El Meacutetodo de Perturbacioacuten en las guiacuteas de onda
En la seccioacuten (32) se mostroacute que la propagacioacuten de ondas electromagneacuteticas en guiacuteas
de onda cilindricas se describe en teacuterminos de sus modos caracteriacutesticos Cada modo se
caracteriza por su constante de propagacioacuten Dependiendo de las dimensiones geomeacutetricas
41
de la guiacutea de mida estos modos o bien se propagaraquo o bien se atenuacutean En ln praacutectica Ins
dimensiones de las guias de onda siempre se escogen de tal forma lt|iii- unir amenteacute se puede
propagar el modo fundamental
El caso cuando se tiene una guia de onda parcial o completamente Urna con un plasma
sir produce uu cambio en los paraacutemetros caracteriacutesticos principales laquopie describen a la
guia de onda Si el efecto del plasma en tales paraacutemetros es lo suficientemente pequentildeo
entonces la teoriacutea de pertubacioacuten resulta ser mur adecuada para calcular ln constante de
propagacioacuten
Consideacuterenlos la propagacioacuten di ondas electromagneacuteticas a lo largo de tiiiiacutei guiacutea de ouila
cilindrica que se encuentra parrial ltgt rompidamente llena ron un plasma inhomogeacuteneo Si
sujHHiemos (|iir las caracteriacutesticas del plasma son axialmente uniformes podemos encontrar
la constante de propagacioacuten y las distribucioacuten de los campos
La propagacioacuten de ondas electromagneacuteticas en las guiacuteas de onda con plasma se tlescribc
por las ecuaciones de caminiacute
V x f + i - J = 0 (31) c
VxH-i-pound=mdashJ (32) c c
La condicioacuten de frontera se obtiene suponiendo que la conductividad de lax paredes de
la guiacutea de onda es infinita
|ntilde x Eacute = ntilde Ntilde = 0 (33)
donde ntilde es tin vector unitario normal a la frontera En ausencia de plasma la parte derecha
42
gtbull (32) es cero y el problema se reduce a U propagacioacuten dp ondas en una guia dlaquogt ondas
ivieca (Cap 2)
Las amplitudes del campo de las ondas normales se determinan en la forma
Eacutet(f) = pound ( I j e - i raquo w (34)
(F) = j(rj ) e- i ( r -
iquestonde r esel nuacutemero de onda En ausencia de peacuterdidas T es real (F = iacutei) Vamos a
suponer que las ondas se |gtropagan a lo largo del eje 0 paralelamente al eje de la guiacutea dr
onda
Para ileterniinar la influencia del plasma en la propagacioacuten de las ondas rlrrtroiiiagm-
licas en una guiacutea de onda es coacutemodo descomponer las ecuaciones pura las componentes
longitudinales y ]gtcr]gtendiculares del campo Estas ecuaciones se obtienen al descomponer
los campos y el operador V en la forma
pound = 4 + poundx ntilde = fflaquo + Ai = Lpound) + fjpound) (35)
V = Vbdquo + V I
donde los subiacutendices X y || denotan las componentes perpendiculares y longitudinales es
decir su proyecciones perpendiculares y paralelas al eje de la guiacutea de onda O) Sustishy
tuyendo (34) en (31)-(32) y considerando (35) obtenemos las ecuaciones en direccioacuten
perpendicular y longitudinal en la forma
- ^ [ V x ^ + V n ^ + i - l i o x f j = - mdash iexcl 0 x pound ( ) ] (36) IUgt C C
f-Vx[VxEacutex)-Vtamp-i-iexcloampl mdashrJiexcl (3-7) w C tt
43
donde i0 es un vector unitario dirigidraquo a lo largo del eje O Las componentes longitudinales
de tos campos se relacionan con las componentes jicrpctidiculares jKraquor liis expresiones
OZfy+^ftE) = [VxJbdquo (38)
Al = - - V x f ^ (39)
Ahora considerando que las ecuaciones de Maxwell son expresiones lineales es decir
que la combinacioacuten lineal de dos de sus soluciones tambieacuten es una solucioacuten y anaacutelogamente
para las condiciones de frontera (24) y (2C) determinamos (pie una solucioacuten maacutes general
del problema de uiiiacutei guumliacuten de onda sin plasma es una superposicioacuten de todos los modos
]MKgtibies de proiHigarioacuten con valores apropiados para sus eoetiacutecieiites Si la perturbacioacuten
originada por el plasma es lo suficientemente ]H-ltiuentildeu iiodemos suponer (pie la desviacioacuten
de cada uno de estos coeficientes es pequentildea con respecto a su valor no perturbada Dr
aquiacute que las componentes perpendiculares del cam]Mgt en una guiacutea de onda con plasma
se puedan representar como una serie (combinacioacuten lineal) con resjiecto a las funciones
ortogonales poundfc y Hk que determinan las comjioncntes transversales de los modos normales
en una guiacutea de oudn sin plasma
k
Los campos satisfacen las relaciones de ortogonalidnd [18]
(310)
JsEacute-kEacutedraquo laquo Nttu
JtpoundixEacute]deacute = ZSttu (311)
44
iquestiuumlaacutef el su|MTUacutegtdiexclctraquo denota el complejo conjugado de los campos Z = cTgt para
ltJAH ti|Mgt H y Z = wcT para ondas tilraquo pound ltlaquo es el siacutembolo de Kronecker bu = 1 si
raquo = y iquestbdquo = uuml si i- = ) y la integracioacuten se realiza sobre toda lo serenan transversal ilr la
tub de onda
Utilizando (310) y (311) rocontratnos las expresiones para los coeficientes uiquest y bk
(312) iexclsntilde ntildexu
Sistiruyriiiliraquo las seriacutees (310) en (3C) y (37) obtenemos el sislrinii f|i- eriiiioacuteoiirs
poundlt5r + ilgttfraquo4 = -- |iquestux(pound))l l t (313)
Ely+W)4 = VJbdquo (314) iacute
Multiplicando (313) vcrtorialinciitc por E[Aacute y (314) jMraquor HlM e integrando en 1raquo seccioacuten
transversal dr la guiacutea de onda obtenemos ron ayuda de las roiidintildeoucs de norma (311)
laraquo ecuaciones
rA + X KzcLEacuteltsEacute^ 3 1 6 gt En el caso en que los paraacutemetros del plasma no dependan de i la dependencia de los
campos con respecto a z se puede considerar de forma exponencial como en (34)
Eacute(jyz) = Eacutexy)t-iT ntildexvt) = ntilde(xy)r
45
(317)
o t ( iacute ) = laquo- M ) = V eacute r
Sustituyendo (317) n i (315) y (31C) obtenemos
laquoriacute - - - S S L bull +Ssect bull Uuml- 318)
Luraquo fiimriidirs (31S) y (319) |xira diferentes k roiii|xmni un sisirmraquo ltb-it-imrioiies lioinraquo-
geacuteneus liacutenenlegtgt ron res|gterttgt n liis roeiit-ientes nk y laquoV Lu riiudiriitn ilr solubilidad (igual)id
a rifo laquobrl determinante) determina la constante ib- igtrigt|Mi)igtiOacuteM Sin roiUirjpi el sistema
(318) y (319) resulta ser un problema muy laquolifiril laquoIt- resolwr De alaquo|iiiacute i|iie iexclti laraquo partes
ilereelias laquole (31S) y (319) son lo siinritrntetueiitc |ielt|iirntildeaH |MMICUIUS emplear la teoriacutea laquole
|MTturlgtMrilaquon
Sil|Kgtlliciifllaquogt fjflf- la denudad lie mrrirntc H traveacutes ilel plasma es (laquornjxirriimal H tin
paraacutemetro pequentildeo podemos descomponer las (-nulidades airaquorgt y E cii tiTiiiiiiiraquo laquole laquowte
paraacutemetro
bk = ZKv lt3 2 0gt
r - poundrubdquo
46
donde el subiacutendice ( dentildene el orden de pequentildees Vamos a considerar que en ausencia del
plasma en la guiacutea de onda se propaga el modo fundamental de una onda tipo H denotada
por iacute = 0 Ademaacutes si en la aproximacioacuten de orden cero se tiene
poundi = poundgt pound = pound | |= 0 (321)
entonces
ltbdquo - Abdquo (322)
Tiacuteo) = iexcl1lth
Asiacute considerando las expresiones (320)-(322) de (318) se oliticne la siguiente exshy
presioacuten en orden cero para lax ondas tipo H
laquo(bdquo[(r(0) + rbdquo + )raquo- rg = -^f-1 pound bdquo bull J(Eacute)d +
cAuZ|o) Js
de donde rlt -7IacuteT7-L iquestiacutef(Eacute)ds- (323) 2ni
Para las ondas tipo H Z(0) = c-iexcl^- mdash ^ de donde obtenemos finalmente
TMampLtedeg-f[Eacute)di- lt324gt
47
La cantidad compleja r ( 1 ) nos repcscnta el cambio que sufre la constante de propinacioacuten
T |Hgtr la presencia del plasma es ilecir es la correccioacuten a primer orden en la constante de
propagacioacuten (I = T - Tf0)) Esta cantidad se puede escribir en forma de unraquo suma de
sus componentes real e imaginaria
r bdquo = AJbdquo - iAobdquo (32b)
siendo An) gt 4 ltgt(i) las fracciones de cambio de la constante de fase y de amortiguamiento
respectivamente ocasionadas por la presenria del plasma
En corn-spomlencia con (32-1) y escribiendo la densidad de ciirrietite cuino J mdash J + i j
( es la parte real y es la parle iimiginaria) las cautidades de (325) toman respectivashy
mente la forma
iquest 4 1 = - V ^ V bull (3-20)
iquestngt = ^ C J bull (327)
2JSEacuteiexcl-Jiexcld
Vpoundbullpoundbdquo
far sfr0-Eacuteltj
En medios lineacuteale) anisotropicraquoraquo e inhomogeacuteneos la densidad de corriente r relaciona
ron el campo eleacutectrico en la forma
J=aEacute =mdashampbullpound (328) 4ir
donde amp es el tensor de conductividad eleacutectrica Af = (iacute - ) i es el tensor de permiacutetividad
dieleacutectrica e es el tensor unitario
Utilizando la expresioacuten (328) podemos reescribir (324) en la forma
48
wJ ft R bull Aacute iacute bull Ed
laquo Wen
r ^ poundbullampbullpound (330
En las expresiones anteriores no hay que olvidar que el campraquo eleacutectrico se expresa romo
una serif con respirtn al paraacutemetro pequentildeo pound Las expresiones (324)-(330) corresponden
iexcli iraquo aproximacioacuten de primer oidrn La condicioacuten que si- debe de satisfacer seguacuten la teoriacutea
de perttirlsirioacuten ni primera aproximacioacuten es tal qult- 1raquo magnitud de cambio en la ninstaiitr
de propagacioacuten debe ser sinnpre mucho menor que la magnitud laquobull- la difereiiria entre las
riHiMniitcraquo ilc propagacioacuten di cualquier modo con respecto al modo fundamental
ri lt r 0 r m lt |ru - rt| para todo Jl^O (331)
o con respecto a A y Aigt obtenemos
(332) Aibdquo laquo iquest A^bdquolt |A -r | iexcl
poundltraquobdquoltamp Ao(1)ltt|iquestt-rraquo|
6 El Meacutetodo de Perturbacioacuten en los resonadores
Anaacutelogamente al estudio de las guiacuteas de onda conteniendo plasma en su interior el anaacutelisis
en los resonadores que se encuentran parcial o completamente Henos con plasma exhibe
cambios en los paraacutemetros principales que describen los resonadores huecos En la seccioacuten
(41) ae mostroacute que un resonador tiene un nuacutemero infinito de modos de oscilacioacuten Cada 49
modo se caracteriza jagtr su frecuencia de resonancia su factor de calidad y su corres|Hraquon-
diente distribucioacuten de CHII)|Kgt La presencia del plasma en un resonador priMlure princishy
palmente un cambio en la frecuencia de resonancia en la cual el resonador se encuentra
opilando y en el factor de calidad Si la influencia del plasma en tales ]gtaraacutemetros es sufishy
cientemente pequentildea entonces para el anaacutelisis de este problema podemos tambieacuten emplear
la teoriacutea de perturbacioacuten
Consideremos un resonador que oscila en una de sus frecuencias de resonancia y que
contiene un plasma distribuido axialmente Evaluemos los iambins i|ite se producen en
liexcli frcciMiiciii de resonancia y en el factor de calidad del resonador Las distribuciones de
ciexclim|Hgty las frecuencias de resonancia se obtienen integrando las ecuaciones de campo (31)
y (32) con la condicioacuten de frontera (33) En este caso la condicioacuten de frontera (33) se
iipliia en la frontera cilindrica laquoleiacute resonador y en las superficies planas del mismo En
ausencia del plasma los raiiipos satisfacen las ecuaciones (31) v (32) con la piiacuterte derecha
igual con cero
VxEacutek + imdashH~k = 0 r (333)
V x Hk - mdashEacutebdquo = 0 c
y la condicioacuten de frontera (33) Donde se ha utilizado el subiacutendice Jt para denotar el
modo k de oscilacioacuten en un resonador hueco con frecuencia de resonancia ui Los campos
Ek y Hi satisfacen las relaciones de ortogonalidad
jvEacutekEacutedV = NkeacuteM
(334)
JvIacutekntildedV = Lk6kl
50
donde el superiacuteiidice nos indica el complejo conjugado de ios cam]gtos y la integracioacuten
igt realiza sobre tftdo el volumen del resonador
Se conoce que todo camjx) vectorial se compone de la suma de una parte con divergencia
ltITltJ iparte solenoidal) y una parte con rotacional cero (parte potencial) Para observar
la it^iuencia del plasma en la oscilacioacuten de ondas electromagneacuteticas es conveniente utilizar
este hecho escribiendo el campo eleacutertriacuteco como la suma de una parte solenoidal y una
potencial
Eacute = Eacute + Eacutebdquo V Eacutei = 0 (335)
V x Eacutebdquo = raquo
Llaquoraquos vectores solenoidales Eiexcl y H ile un resonador con plasma se pueden representar
como una coinlgtiuacioacuteu lineal de las funciones vectoriales Ei y Ht tjue detenuiiacuteian las
componentes solennidalcs de los modos de oscilacioacuten en un resonador sin plasma
Eacute = 5 gt pound raquo (33C) k
H - J gt amp (337)
Usando (336) y las relaciones de ortogonalidad (334) se encuentran las expresiones para
los coeficientes a y 6
TV (338)
_jvEacute-EacutexaacuteV 6gt 5 mdash bull
Sustituyendo (336) y (337) en las ecuaciones de campo (31) y (32) y considerando (333)
obtenemos eacutel sistema
51
k 1330)
J^(traquow-a tuf t)5 = 0
Multiplicando escalarmentc la primera ecuacioacuten de (339) por pound y la MRIIIKIIacuteI JMW HJ e
integrando sobre todo el volumen del resonador obtenemos
[b^k - laquow) = pound Eacute] bull poundkM - ^ I Eacute TIV (340)
(JW-laquo) = o 1341)
El primer tmuiiacuteiraquo tit- la tlrn-rlm ltb (340) i-s IacuteRIIUumlI IIHI erro Siacute ili-sprjaiiio ltbull (341) fr
y lo sustituimos cu (340) otitciii-inos
iJiexcl - J)nbdquo = Jj^L(pound-k f(g)dV (342) iexclSi Jv t
tlmide
k = ^ laquo 4 (343)
y Vi es el volumen que ocupa la columna dr plasma Sustituyendo la primera expresioacuten
para a de (338) en (342) se obtiene la relacioacuten
2 Jv Eacuteiexcl bull JEacute)dV - a g - iacute - 4 trade ^ iquest r f v 044)
donde se ha remarcado la dependencia de la densidad de la corriente con respecto al campo
eleacutectrico Por otro lado se observa que las ecuaciones (342) y (343) para diferenteraquo valores
de k forman un sistema de ecuaciones homogeacuteneas lineales con respecto a loraquo coeficientes
a La condicioacuten de solubilidad (igualdad a cero del determinante) determina la constante
52
bullltbull propagacioacuten Si la parte derecha fie (342) es lo suficientemente pequentildea jiodeinoraquo
ltiijgtlear el meacutetodo |gterturbatiro
Suponiendo laquoue la densidad de corriente a traveacutes del plasma es proporcional a un
paraacutemetro pequentildeo ]gtodemos desromponer las cantidades OkM^ ) E laquogt teacuterminos de este
paraacutemetro
h = poundbdquo lt3-45gt
(
lioiide el suloniHir ( define el orden (le peqncntildees Si en ausencia del plasma sr excita una
onda lie frecuencia UumlIiexcl en el resonador entotires en la aproximacioacuten de raquorltbii cero se tiene
pound|o) = Eiexcl
a = eacutelk (346)
Sustituyendo (345) en (344) e igualando los coeficientes de la misma potencia con respecto
al paraacutemetro pequentildeo se obtienen las soluciones en distintos ordenes de aproximacioacuten En
primera aproximacioacuten para k = l resulta
gt bien
53
= 2 ^ ^ 347)
En gmrral J ( ) ) es tuia cantidad complt-ja i|ttr mis reprcscuta la i-orrerrintildeu a primer
orden en la fnriirncia compleja de resonancia (uim = m mdash wi) Di- acuerdo ron (274) esta
cantidad puedr escribirse en la fonna
-bdquo = Aw + IA iacute J (348)
donde i parir mil ltbull imaginuria nos detenniunii las fraoioiirs laquobullbull cambio di- la |Ktrtc real
de la fri-eui-iicia di- n-soiiamia y la calillad dri resonador rcsptitivaiiniitc ocasionadas por
la pn-Hcuciacutea del plasma
En corrispoiidiiicia ion (347) escribiendo y descomponiendo la densidad de corriente
ronio J = 3 + i 3 (3 lts la parir real y 3 i la partiacute- imaginaria) las rantidailps ib (34S)
tulliacutean rirspeclivaineute la forma
- raquo m _av-j (340) wi w iexclv Eiexcl bull EilV
Qi) un fvpoundiexclEacuteM
En medios lineales anisotroacutepicos c inhomogeacuteneos la densidad de corriente se relaciona
con el campo eleacutectrico en la forma (328) De aquiacute qtie )gtodamos reescribir (347) como
WIacuteII bull - mdash mdash s mdash s 351) 2 v poundJ bull EdV
Para evaluar las correcciones en segunda aproximacioacuten a la frecuencia compleja de resoshy
nancia se sustituye la correcioacuten a primer orden del campo eleacutectrico E - poundbdquo + pound en
54
3441 la rual se determina por la expresioacuten (342) al evaluar cada uno de los rieficientes
u ron k JEacute
trtonces las correciones a las partes solenoidal y potencial se expresan en la forma
V pound | bdquo = mdash V bullbullltpound) (354)
Las roiidiiioniK laquo|nr se ilrlx-n satisfacer pariacutei cpir la expresioacuten (347) KIIacuteI viiacuteliiluuml es tul
([iilt parsi i ^ tentniMM
^ (355)
y |Hgtra I- =
A M mdash laquo 1 (366)
bull(4) e l
55
CAPITULO 4
INFLUENCIA DEL PLASMA
Eu i-sti- i-itpitulo en base al meacutetodo perturhativo descrito i-n el capitulo 3 se obtiene
el gtiexcliiiil)io laquopie sufre In constante de propagacioacuten para lindas rleclioniagneacutetiras eme se
propagan iii miii guiacutea ile onda ciliacuteiidriiacutea que i-oiitieur en su eje una roluijjua laquolaquobull plasma
friacuteo iiiliimiogeacuteufraquo y magnetizado Ademaacutes se determina la vaniiiioacuten ite la frecuencia laquole
roouancia para las ondas electromagneacuteticas qui se eiiruentran oscilando en tin resonador
cilindrico que contiene una columna de plasma friacuteo magnetizado e inhomogeacuteneo distribuido
axialmcnte Si- calculan las variaciones de la constante de propagacioacuten de la fierucucia de
resonancia y laquoleiacute factor de calillad jgtara diferentes valores de wjJJ1
7 Influencia del plasma en las guiacuteas de onda
Vamos a considerar como paraacutemetro pequentildeo que el radio del plasma es mucho menor que
la longitud de onda y que el perfil de densidad de electrones es de tipo paraboacutelico con
respecto al radio Ademaacutes el campo magneacutetico externo se considera homogeacuteneo y dirigido
a lo largo del eje O (Fig 41)
Como ya sabemos en una guiacutea de ondas cada modo de propagacioacuten se caracteriza por
56
Bo
P L A S M A
Fig41 Sc inwsira nnraquo i laquolimiiia ilr plasma laquoIc ratlin rbdquo loi aliidi sobre el ltbullbull bull)bull- miacutea guiacutea laquole
ogtda rihiiilrii-a dc railio rt in rampo iiiagnrliro externo iquestV osla dirigidraquo a Iraquo largraquo del ltbull)gtbull (gt
t i rumiante propagation Su parte real o factor dr fane drtrniiiiin la vrinriibul ill- fiiw
iexcluiftitraraquo I 1 piirti- imaginaria laquogt riwrkienlc tic absorcioacuten tlrtmniiacuteia el raquoinltgtrtigiiiexcliiiiiexcli-iitigt
(ir los diferentes modos ir propagacioacuten El efecto que se origina ttiantiraquo se rolix-a IIIIIacuteI
columna de plasma dentro de la guiacutea de ondas es un cambio en la constante de propagacioacuten
De acuerdo con la teoriacutea de perturbacioacuten este cambio es proporcional a la razoacuten del cambio
de energiacutea dentro de la seccioacuten transversal que ocupa el plasma sobre el vector de Poynting
evaluado sobre la seccioacuten transversal de la guiacutea de onda
r r - u _ IM-bullpound _ bdquo
donde las cantidades con subiacutendice 0 denotan cantidades no perturbadas (sin plasma)
Para evaluar la constante de propagacioacuten (41) es necesario obtener las soluciones de los
57
campos eleacutectrico y magneacutetico dentro del plasma en teacuterminos del jiaraacutemetrraquo peipientildeo
Para el caso de un plasma friacuteo cuando la velocidad de fase ile lsts nudas electromagneacuteshy
ticaraquo es mucho mayor (pie las velocidades teacutermicas di las (laquoarticulas si- utiliza el modelo
hidrodinaacutemico Debido a la simetriacutea cilindrica del problema su]Mgtngamos ijiacuten- los campos
tienen la forma
Eacute = iquestj(r)rr+--
Expresando la ecuacioacuten de onda
V x V x Eacute - ^r-iacuteEacute = 0
(42)
(43)
en coordenada iiliacuteiiltlriras se obtienen las eniariolies para las componentes del ranipo
eliVtriro i-ii la forma
igt
i-e- - mdash - DE = --Mt - DE + mdash(poundj + rr r r r r
E + - pound + (mdashv - ) pound = pound- + mdash (rpoundr) bull r r r r- r
(44)
(45)
-rcEr + iru(e - 1)poundJ + mdash | - i laquo ( f - 1)pound + poundpound] + rraquopound3 = 0 (46)
Aquiacute las primas indican una diferenciacioacuten con respecto a r l es el tensor dieleacutectrico en
la forma [19] (Bu esta dirigido a lo largo del eje 0)
poundraquo -
pound
0
pound 0
o vi ( t iquestu(e - 1) 0
= - t u ( c - l ) pound 0 V 0 0 r)
(47)
58
aacuteHtuacutee
- - 1 ti ul2 - - f j
2
= bull laquo bull i
_ = (r) = 4r r laquobull 1iexclI freruenna plaacutesmirraquo y -laquo lt-N ]iexclI fririirii-iraquo rirlotroacuteliira dr los
bullbulllaquobullerroiirs
Si il nidio ilil pliisiiiii o |Hi|iiiiacutein iii rumpiriiriuacuten ron IIacuteI loiigiliul de onda y n Irmas pound
varia i-ii un onli-n i|f iuiacuteraquotiacute-j)i in J |IIII|P)JIIgtS expresar li viiriiirioacuteji ili rraquo la forma
poundltrgt = bull ( laquo v ) bull iacute gt h 4 S )
donde el bullmnuiirtro se lm introducido para obtener las soluciones aproximadas ni difeshy
rentes ordenes ron respecta a pound di los camporaquo eleacutectrico y inaRiirliin Haciendo rl nunbio
lie variable x mdash =pound en la ininrioacuten (45) obtenemos
E = --(pound) - -plusmnpoundE - ^iquestE + - 4 J ( Iacute pound + gt9E) (4-9)
donde B kciexclwg = u(iacute - 1) y la prima denota una diferenciacioacuten con resprcto a x
Haciendo el mismo cambio de variable eliminando E por medio de (49) y limitaacutendole
hasta teacuterminos del orden (IO1- a ecuaciones (45) y (46) toman la forma
59
F i g 4 2 IVr l i l |gtiifiacuteilraquogtlirgtgt ili li |TinHivnli i l c|i| ( I I IM I I I n m P | W T 1 I I iexclI JT - mdashgt
[j-tl ltbullpoundbdquo-)] - (mh + mnixEf = 0 141raquo)
(411)
Se observa qui- la ecuacioacuten (410) no si- encuentra acoplada ron (49) y (411) cnloiires
podemos obtener su solucioacuten En condiciones experimentales una distribucioacuten dr la denshy
sidad de tipo paraboacutelico con respecto al radio resulta ser una rnuy buena aproximado
(Fig42) En tal caso escribimos
pound = T- - t0 (412)
siendo
CO
^ deg - 1 laquo413 J1 - ^
valor de la penuitividad en el eje del cilindro de plasma
Antes de sustituir el perfil paraboacutelico de iexcla permiacutetiviefad (412) en (4S) httgtimos en
bulli10 el cambio de variables
E = il|-r-|J-) 1414
bullbull donde obtenemos una ecuacioacuten diferencial pam en la forma
(V - bdquolr-+ [-(2|m| + 1 | - + (2|w| + 3|rjr-+ 2(|raquo| - tnu)Y = 0 1415
Haciendo un nuevo cambio de variables y = xiacutei en (415 se obtiene la ecuacioacuten
wd -v)r + H +1 - ( H + 2)W- iexcl y = o lt4icgt
Eltfa uacuteltima ecuacioacuten es una ecuacioacuten de tipo hiperficomeacutetrico y su solucioacuten es conocida
20 de donde la componente angular del campo eleacutectrico tiene la forma
poundv- = CxH-F(laquo6cy) (417)
donde F(a b c y) es la funcioacuten hipergeomeacutetrica [20] C es una constante y las constantes
cb y c tienen los valores
b = l + | m | - a (418)
C a 1 + H
61
respectivamente Dlt- la ecuacioacuten (411) podemos ahora escribir la expresioacuten paro la com-
jiacuteomrntf axial en la forma (hasta teacuterminos laquoiel orden (1iacute)1)
E = _ bdquo|m| D+-plusmn-CF(abc mdash mi poundu
= DiquestnbullT mdashJEiquest (419)
donde D es una constante La componente radial del campo eleacutectrico se obtiene de la
rniacioacuten (49) sustituyendo en esta (417 y (119) El campo majiexcliieacutetirtgt se deterniina laquole
la ecuacioacuten dr Faraday
1 OD r x pound = mdash mdash (420)
c uumlt
Limitaacutendose hasta teacuterminos del orden IO1 obtenemos la componente axial del camjm
magneacutetico
H = iacute H D gt i + Jiacute-lfEj - iiacuteuumlUuml^r (42D lit inz in(
Las constantes C y D que aparecen en (419) y (421) dependen de las condicioneraquo
de frontera Para su determinacioacuten acoplemos los campos dentro del plasma con los del
vacio bajo la condicioacuten que haya continuidad en la frontera del plasma (r = r) de las
componenteraquo E y Hiexcl
Ermfl = poundo | bdquo (422)
|tradebdquo = H0rmri (423)
Considerando que e(rf) = 1 y usando las expresiones correspondiente para las composhy
nentes axiales de los campos con plasma (419) y (421) y de los campos sin plasma
02
Z = DtJbdquo~ri y H0 = CWJbdquo(-T)) obtenemos las expresiones de las constantes C y
Z teacuterminos de los cani)gtos no perturbados En el raso para m gt 0 obtenemos
2 m (m- l ) -raquo - mF(n o r y ) + jF(noriexcl() bdquo-(bullraquo-raquogt( pound)bullraquo-)
D = 2miquest- C raquo + ^ deg - (4-25gt
iacute uiquest y = xfiacutey C0 y Dlaquo son unas constantes Hasta el momento nos hemos limitado a
- rinos del orden de ( l ) lo qtw equivale H decir que lit rondicioacuten de raquo|gt]irn)gtiliilad de
1- ecuaciones obtenidas es
kr iquest
7Iacute(l + | - bdquo | r laquo 1 1420)
Una vez lt|iie se lmn obtenido las expresiones tie los campos dentro del plasma evaluemos
bullbullbull integrales de 1iexclI expresioacuten (41) que determinan la const iexcltute tie propagacioacuten para una
sua de onda conteniendo en su eje una rolumna de plasma Se considera que el problema
gt perturbado es aquel que ronsiilera una guiacutea tie onda riliacutendrira llueca |fbdquo = 1 y bdquo = 1)
pound1 caacutelculo se realiza para una onda en modo H Para este modo la constante Dp es igual
con cero y las constantes C y D se reducen a la forma
C Jiquest poundk (4 27) 2 o F(a62yi) + ytFub2bdquo)
D = - g c bdquo (428)
Primeramente evaluemos la integral en el numerador de (41) para ello consideremos
la expresiones (229) Tomando la parte cosenoidal de (229) para la componente axial
correspondientes a los campos no perturbados y el tensor de permiacutetiv lad (47) obtenemos
63
= f - - A iacute - E iacute laquo 429) J Ai
= iexcl J |pound - 1) [poundJlaquoMraquon5(r + iuE) + poundt(MraquoiT-|pound - laquopound)] (-rdrtl
donde las componentes Ew Er y Eiquest dependen uacutenicamente del nidio La integral sobre if
en el intervalo [02r j se realiza expresando el termino exponencial romo senos y renenrraquo
y romanilo en cuenta sus relaciones de o-tugonalidad Por tanto despueacutes de realizar la
integral Mible r_ se obtiene
= - f r|pound - 1 )[Er(poundr + iuE) + EI poundr- - laquopoundbull ))ltbull
A1 r raquoraquo = r r(iacute - 1 )[rCZH mdash-J m (7r ) |pound r + laquopound) +
+ CZll-Jj-lr)(E-HiEr)dr 1430) i
La integral anterior se evalna sobre la seccioacuten transversal de la columna de plasma
Aquiacute r i es el radio de la columna de plasma Por otro linio si expresamos - en teacuterminos
de la longitud de onda di corte Ar (217) para tina guiacutea de ondas hueca en la forma = ^
ohservanios que el argumento de la funcioacuten de Bessel eu (430) es una cantidad mucho
menor que uno Para demostrar lo anterior notemos que de acuerdo con (218) para que
la onda se propague a traveacutes de la guiacutea de onda se debe satisfacer que la longitud de onda
en el vacio debe ser menor que t Ademaacutes debido a que sr ha considerado que la longitud
de onda es mucho mayor que el radio del plasma entonces la longitud de onda de corte
tambieacuten es mucho mayor que el radio del plasma Esto uacuteltimo nos sirve para considerar
uacutenicamente el primer teacutermino de la serie de la funcioacuten de Bessel [12] con respecto si
argumento -yr = 2iry De donde (430) se transforma romo
G4
Ix = gtCU (1 - ti) r(pound - iy[iEr + pound)rfr (431) Jrm Ji)
-spueacutes di- hacer el cambio de variable x = iacute - r y sustituir las formas expliacutecitas fie los
gt-npos (4D) y (417) para Er y Ef respectivamente se obtiene de (431) la expresioacuten
bull - f pound z raquo r m - i f e r ( i - u ) x 4-32) x i(-- -)rxx-F(iUlt mdash)] + iirtn-iquestFuUlt~ )li
Ai [ iquestu tu J
jiirlc se han aproximado los campos hasta teacuterminos del orden (7 ) Integrando P )laquoirles
raquo n-sperto a r el primer teacutermino de (432) obit-nemos
laquo - ^ V r r ( l - laquo ) x - + f V a r - (433) 2wi lt W bullraquo iacuteraquo
Sustituyendo la forma expliacutecita para la constante C (424) en (433) se observa miacutee (T-To)
vrrere con el nuacutemero de modo vi en la forma lt~IK Para t-l casiraquo (pie nos interesa tu = 1
iexcl integral ltpir aparece en (433) es faacutecil tie evaluar Para esto liaciendo el cambio de
variable y mdash x7t0 se puede reescribir la integral de (433) en la forma
Jsl+to x
xlnF(abcmdash)dx o iacuteo
= ~iexclg yF(abhy)dy (434)
utilizando la relacioacuten de diferenciacioacuten de las funciones hipergeonieacutetricas [11]
pound-[-gtF(abc)] = (c- n)nt-F(abc - ns) (435)
65
con ii = 1 v r = 3 se obtiene
Re-escribamos (43C) en una forma maacutes conveniente pura ello usando la siguiente
foacutermula de transformacioacuten para las funciones hipergeomeacutetricas [1121]
e f e - 1)(- - )Fnbc- z) + rr- 1 - ( 2 c - laquo - b- )zFlabr ) +
(r - laquo)(r - l | F I laquo i r - 1) = 0 (437)
ron laquobull = 2 y considerando las formas expliacutecitas praquoriexcli laquo y b tie (41) ron m = 1 de (437)
obtenemos la relacioacuten
F ( w fc 3 lplusmniraquo ) s ~ 4 ( 1 ^ 1 1 ) f^Ffafci 1plusmn^gt - J-(laquo2 l plusmn ^ iacute ) 1 (43S) poundbdquo (1 _ bdquo ) ( U i l j l fu ibdquo J
Finalmente usando la igualdad [11]
FUifc2) = F(ub-) - (laquo fc2c) (439)
la ecuacioacuten (43S) se puede escribir como
F(flft3^-=2)= F(laquob2^-^) (440) poundo ( I - K ) Iacute O iacuteo
Sustituyendo (440) en (436) y tomando en cuenta la relacioacuten t = 1 + pound0 obtenemos
-^|UftV(laquoraquoi^) H41) (1 - u) e0 pound0
y sustituyendo (427) y (441) en (433) finalmente obtenemos para | la expresioacuten
66
cbdquo r (1+^) riab2 iquestraquo)
M i r iacuteo F (laquo 6 2 l^ )+ L Uuml^F (laquo iquest 2 l i iacute i ) (442)
La integral del vector de Poynting correspondiente al denominador dr (41) evaluada
la seccioacuten transversal de la guiacutea de ondas tiene el valor obtenido cu (236) de donde
h - jA([Eiquestplusmnxntildevplusmn+EacuteraquoxxHiquest ]gtltlaquo
= CJZbdquoVgt bull laquo i i
JfjjLii- (-143)
iacutegt|HIacute rbdquo es el radio de la guiacutea ilc onda Finalmente dividiendo (442) entre (443) se obtiene
bulla expresioacuten para el cambio en la constante de propagacioacuten para unii onda en inodo Hu
ltue se propaga en una guiacutea de onda ron plasma
- ( r -r u ) = Ax iacute -Fnb2-^iacute)
F(laquoJ2 bullraquo)+ ^^Ff f i 2 ^ )
donde
(444)
M= 21(rr0)3
l - 3 3 9 ^
De aquiacute se obtiene que la constante de amortiguamiento es proporcional a
(445)
o = A F(o62ttiraquo)
f(afr2 iraquo) + UiacuteampFia fc2 raquo) Mtr)
F(a62iplusmniacuteraquo) (446)
07
Esta uacuteltima expresioacuten se igtigttnvigt ron vi uso di-la igualdad (439) Por otm bulo notemos
i|ugt- el argumento dr las funciones hipergromctriras dr (44G) es mayor laquopie la unidad Es
conocido laquopie la serie hipcrgeonirtrini diverge en yi = -f4 gt 1 [20] Por lo tanto rs
ruuvcuicute transformar las funciones hipergi-omctriras de- (44G) laquoru series convergentes
|gtaia filo obtrugamos las expresiones para Fluriacute l y ) y Fnb2y) donde y = 1(1 mdash z)
Para podrr estudiar la absorcioacuten de tma onda excitada en modo Hiexcl1 cu una guiacutea de onda
cilindrica como la que se tiene cu la fuente de plasma construida en el INlN y descrita
en 2] es necesario obtener las expresiones para Flnli 1 i) y FnU2y) ya ipie para
laraquo bull-iitiiiiciones de la niiiijuilia i tiende a la unidad como se desenlie con maacutes detalle maacutes
adelante
Observemos ipie la ecuacioacuten
t( 1 - )iquest + (1 - 3i)o - ltilgto = 0 1447)
tiene como solucioacuten la funcioacuten hiprrgromrt rica Finli li) Si bacnnus el cambio dr
variable raquo = 1(1 - z) entonces (447) sr rersrribr rn la forma
(1 - ) V + (1 - r gt ( 2 - r ) iquest + nkgt = 0 (448)
Fiacutetiaitnente con vi cambio iquestgt = (1 - )lt obtenemos la ecuacioacuten
i ( l - c)vgt + [2 - (26 + I r ) ] - IacuteraquoV = 0- N- 4 9 )
La solucioacuten dr la ecuacioacuten (449) es la funcioacuten hipergeomeacutetrica Fbb2z) [21] Sin emshy
bargo una solucioacuten maacutes general para F(ab i y) es una combinacioacuten lineal dr las dos
soluciones existentes de (449) [21] esto es
G8
Fiubly) = [-)lt AtF(bb2)-rB F(bb2z)Ln+Pii) + (l-fc) iJ
(450)
donde At y B son constantes por determinar y Pj(c) es una serie de potencias con resjiecto
a en la forma [21]
donde
^)=poundr^ [ lt ) - ( o j
Iraquo) = (laquo + raquo) + 4(+raquo)- I2 + raquo ) - ( + 1)
(451)
(452)
4 (bull In funcioacuten i igt iliiinim y (laquo) = laquo(laquo+ 1)(laquo + 2) bull bull bull (laquo + 7 - 1) Multiplicando anillos
luumldoM de hi ecuacioacuten 145(1) por zi - z) difiTciiciacutenndo ron respecto a i y considerando el
liacutemite ruando - tiende a cero olitcuciuoraquo la igualdad
vd - amp)bull(laquo ft 2v) = r r - r + BW + raquo - ) + iquesti-(i -raquo) (453)
Ahora usando la representacioacuten integral de la funcioacuten hiacutepergeomeacutetriacuteca (2Iiexcl y considerando
las definiciones (426) para aby c obtenemos
a - f - r(laquo)r(6)o ( i - lt y )
La primera integral de (454) se calcula faacutecilmente y tiene la forma
Jo 1 - ty y (455)
69
Para evaluar 1raquo segunda integral de (454) recordemos laquopie 1 = ^^ y notemos ipte en el
limite ruando y tiende a mm (c tiende en este castraquo a cero) iacutei se vuelve muy grande
raquo|iiraquo- laquobull equivalente a ltllaquorir que inraquo acercamos a] punto de resonancia eicloiroacuteiiica in = 1)
y por kgt tanto con r=2 Igt tiende a cero De esta manera la segunda integral de (454) se
aproxima al valor [21]
laquo-raquo- 1
1 - f dt = -(fc)-C (45C)
donde C es 1raquo constante de Euler Sustituyendo (455) y (45C) eiexcl (4541 obtenemos
f io 2) = 1
-Ltil - bull ) - laquo1M J- C 1 4 5 7 ) r(2-raquoinM
Pitra determinar las coacutemanles -4j y D sustituyamos (457) en (453) y separemos los
teacuterminos laquopie ionticueu Lti de aijticllos (pie no lo contienen Asi obtenemos las expreshy
siones para las constantes 4| y B en la forma
A =
B =
^ ^ laquo ^ ^ ^ r ( 2 - igt)T(igt)
(1-fc)raquo f(2-gt)JW
(45S)
(45ai
Anaacutelogamente se puede encontrar una solucioacuten para F[ab2y) en la forma
+ [ C + ( t ) + i raquo ] | F ( 6 f c - l l r ) I n iacute + fl(s)] (460)
donde
70
Las expresiones (450) y 1400) representn las transformaciones dr Filtibiy) y
Flt a b 2 y) respectivamente en series convergentes ruando y tiende iexcli la unidad Las consshy
tantes A y Bi se expresan mediante (458) y (459) corresigtondiexclentenieiitlaquo- Finalmente
y fie acuerdo ron (44G) dividiendo 4G0) intrc (450) y tomando la iexclgtiexclirtr iiiiiacute-uumliuaria
obtenemos la expresioacuten para la constante ltle amortiguamiento o de absorcioacuten en 1 forma
( i
Jf = laquo x Fffcfc - 11 )[1 - (1 - fc)(2 - fc)F(662 z) + Piexcl)- )bull]+
+ P (r) | l -6) F |6 6 2 )x
x [l - (1 - b)2 - h)FVb2) + P7(z)l - by +
+ C + (b) + Ln -](1 - 6)-F(6 62 r)] +
+ T T V ( 1 - 6 ) ^ ( 6 1 2 1 ) (4C2)
donde r = 1(1 + pound0) La figura 43 muestra el comportamiento de (4C2) en funcioacuten de
ni x u para m - 1 es decir los int2Tvalos [-LO) y [01] corresponden a m = - 1 y tu = +1
respectivamente Las graacuteficas de la figura 43 corresponden a los siguientes valores de
-bull(0)toiacutes a) 82 b) C c) 4 d) 3 y e) 1 Las graacuteficas c) d) y e) difieren de armellas
mostradas en [22j ya que aquiacute se han considerado uacutenicamente los primeros cinco teacuterminos
de las series Pz) y Pt(z) Por otro lado observemos que el coeficiente de amortiguamiento
se anula en el caso de resonancia cidotroacutenica (u = ) Sin embargo esto no significa que
no existe absorcioacuten de la onda en este caso como se reporta en [23] en los punto donde
71
o bulla
iquest
1 3
n raquo
o i
Wv
72
eiexcl Iacutendice de refraccioacuten tiende a infinito se produce una absorcioacuten delas ondas en el plasma
ltii- tipo no rolisioiiacuteal Esta absorrioacuteu se asraquo ic a la existencia de punto singulares dlaquo- la
ecuacioacuten de onda exacta para ciertos puntos dentro del plasma es decir ai|uiacute la componente
del campo eleacutectrico paralelo al gradiente de densidad es infinita
En la fuente de plasma descrita en el trabajo [2iexcl se trabaja actualmente con densidades
del plasma del orden raquof(0) = C x Nfcnr3 y con un campo magneacutetico externo B =
S~jGtntraquo Ademaacutes se cuenta ron una guiacutea de onda de radio rbdquo = 425rFraquogt en la rual se
IgtngtiexclgtiexcliEiexcli una onda electromagneacutetica ron 111raquo frecuencia w = 15304 X 10 gt Si el radio del
plasma es C| = 3ltm eutonres tendremos los Mullientes valores para _laquo_- 10) 11gtf0)-bull
y respectivatiieiite
wbdquo = 15379 x 10V
raquogt(()) = 13S19X 1 0 V
1 = 00990 1403)
^(0)--J = 08
poundn = 3902
A = 19525
En este caso podemos analizar de la figura 43 curva a) comportamiento riacutee la constante
de amortiguamiento cuando u^fO)raquo2 = 08 Como podemos olmcrvar la constante de
amortiguamiento tiene valores relativamente grandes en la vecindad de u = OC pero
decae raacutepidamente conforme u tiende a la unidad Cuando u = 0999 la constante de
amortiguamiento tiene el valor
73
o = Ai x (M)0()02455 = lSS x 10 (464)
El anaacutelisis anterior es vaacutelido si se rumple la rondicioacuten (42G)
^ ( 1 + |poundbdquo|)- ltpound 1 MCO)
que eii nuestro laquoaso es correcto ya que
^ - i d +|ibdquo|)-=ocnsx lo- ucc)
8 Influencia del plasma en los resonadores
El meacutetodo de Perturbacioacuten en este raso se mi de formraquo similii ii el rusraquo de tina guiacutea
tie onda Como paraacutemetro pequentildeo se considera anaacutelogamente que el radio del plasma
es lutirlio menor que la longitud de onda Ademaacutes se supone que el |HTTiexcl1 de tielisidad
electroacutenica es de tipo paralioacutelico y que el campo magneacutetico externo es homogeacuteneo y esla
dirigido a lo largo del eje O
Anaacutelogamente a el caso de una guiacutea de onda la presencia del plasma en un resonador
es originar un cambio en la frecuencia de resonancia De acuerdo ron la teoriacutea de perturshy
bacioacuten este cambio craquo proporrional a la razoacuten del cambio dr riirrga almacenadraquo dentro del
volumen que ocupa el plasma en el resonador sobre la energiacutea total almacenada en todo el
volumen del resonador (34C)
WJVpoundiquest iquestiquest EacutedV w - u 0 = wbdquo = - iquest (4Glt)
iquest Jr pound0 bulltoraquo
74
Lu i-niaciuacuteii (4CT) requiere la evaluacioacuteu de el campo eleacutectrico cu el plasma En la
-bullbullTIacuteOII 7 se obtuvieron los campos en una columna de plasma friacuteo de radio pefpit-iio
magnetizado e inhomogeacuteneo localizada en el eje de una guiacutea di- onda cilindrica Con
tuda de estas expresiones podemos determinar en forma expliacutecita los campos cuando una
lunuia de plasma se encuentra en el resonador
poundru-y--) = iacute
r 22
mi miacutem mS
poundir r-) = C | |- F(laquoraquor-K--fbdquo(4--) in raquo t4CS)
uy-) =
poundgtXM + _L pound raquoltiacute ti
In I-I - r i - l iacute - D P DJT] T mdashmdashstE) E 111 lllC laquo ( il
donde x = (iexclt~ C y D son constantes = ruy = u(i mdash 1) la prima denota diferenciacioacuten
con resjMcto a j - Fin h r y) es la funcioacuten de tipo hipergeomeacutetrico [20] y nb y r tienen llaquoraquos
valores obtenidos en (418)
No hay que olvidar que cu un resonador los campos son estacionarios de aquiacute que la
dependencia con respecto a r se escribe multiplicando cada ecuacioacuten de (468) por el factor
jffi(^z) oacute coM^z) p= 123 iacutees la longitud del resonador
Calculemos el cambio en la frecuencia de resonancia para ondas de tipo TEm- La
integral del denominador de la expresioacuten (4G7) nos expresa la cantidad de energiacutea eleacutectrica
almacenada por unidad de volumen en el resonador sin plasma cuyo resultado para un
resonador hueco se obtiene de (2GC) al considerar que WE = Wn y en pnrtirular fiv ~ 1
( = 1 El resultado para este modo se expresa en la forma
U = bull EacuteltW
= ^^M-MUn) M69)
Por otro lado la integral del numerador de (4C7) evaluada sobre todo el volumen que
ocupa el plasma se calcula con ayuda de las expresiones (2G0) (resonador sin plasma)
di las expresione (4CS) (resonador con plasma de radio pequentildeo) y de tensor dieleacutectrico
(47) obtcnirlidii
= iacute iacute f ( pound - l ) [E ( gtfm l T - | pound + l l lpound l + Jit u Jn
+EuacuterosinY-(Er - iuEr) rltMiJl-^-)riexclrd^dz (470) d
donde las coui]gtoiientes Eu E y pound tienen dependencia uacutenicamente radil Al realizar la
integracioacuten sobre Iacute y iquest en los intervalos [0 d) y [02riexcl respectivamenie obtenemos
s = V iacute r(t ~ XUumlEoE + iuE^) + Eiquest(E - niE)]ltlr iquest Jo d [ [ r
bull r ( iacute - l ) Jo
iC0 r Jm-r)Er + iuE)+
+ Q--JJfr)(E^ - iuE ] dr (471) c i J
Anaacutelogamente a el caso de una guiacutea de onda se utiliza el mismo argumento bajo el cual se
considera el primer teacutermino de la iuacute fmiacutecioacuteii en serie de la funcioacuten de Bcssel con respecto
al argumento r = 2JT^ De aquiacute que (471) se reescribe como
76
c iquest iquestml Jo
Lspueacutes de hacer el cambio de variable x = (iexcljfr y sustituir la forma expliacutecita de los campos
bull 49) y (417) para E y Et en (472) se obtiene
h = gtc ( l - u ) x wirdy-raquo l c V
0 c 2 2m V(wj
J-(pound- )L-[T FUIICmdash ) + mxJ-JF(bdquolt-i)h -raquo -raquo iraquo J
(473)
donde los campos M- han considerado hasta teacuterminos del orden (|) Integrando por partes
con respecto a J el primer teacutermino de (473) obtenemos
h = -2Cy bull )h (474) c 2 2raquoi Vi bulllaquo iu
La integral (pie aparece en (474) coincide exactamente con la cjne aparen- en (433)
de donde para ondas en modo TEm s se calcula sustituyendo (427) y 1441) en (474)
obteniendo
= rColTJiacutefrr iexclJ ltd j ( l+poundo) bull(laquoiquest2f)
(475) c3473 ebdquo f(o62lplusmnlaquoraquo)+1 plusmn a i v(o62iplusmniacuteraquo)
Finalmente dividiendo (475) entre (469) se obtiene la expresioacuten para el cambio en la
frecuencia de resonancia en modo T pound m para un resonador conteniendo una columna de
plasma friacuteo de radio pequentildeo
W(D = (u - u0) - MjX 1 - -F(laquo62lraquo)
siexcl X 1 -F(abll)
(476)
77
donde
La ecuacioacuten (47C) coincide con (444) salvo por una la constante Miexcl Anaacutelogamente n
el caso de una guiacutea de onda utilicemos las expresiones (450) y (4C0) juira Fintly) y
Fllti2 i) respectivamente Sustituyendo (450) y 14CO) eji (47C) y separando las partes
real e imaginaria obtenemos la variacioacuten de la frecuencia de resonancia (Araquo) y la variacioacuten
del inverso de la calidad del resonador l -M IO)) por influencia del |gtlasiniexcli respectivamente
en la forma
mdash^ = iexcl-zFbb- 11-) [-F( fcraquo 2-)([C+(-)] ( 1 -bf-
- (1 -fraquo)(2-)[C+(fc)l-Hl-lt) J(l - - ) ) +
+ C + ()][-gt(-)(] - h) - Ij] + -(1 - l)lPt)C + laquoK))F(hb2-) x
x [l - (1 - b)2-h)F(kb2z) + PJzil - raquo)+
+ -(1 - bjgtC + () + Li z]Fbb2z) + V | 1 - )F(bullbull 2--) (478)
-poundiquestmQ) = JTSX
x Fbb-lls)|l-(l- b)(2- b)zF(bb2z) + P ( - - ) r ( l -6 ) ]+
+ --F(i)(l-6) JF( iacute t 2i)x
x [ l - ( l - f r ) (2-amp^ -F(M2^) + P J ( - - ) iacute ( l -6 ) +
+ [C + (6) + iquestn --](1 - 6)zF(ampamp2z)]2 +
+ w12(l-b)4Fa(blgt2iacute)Yiacute (4-79)
t bull bull 78
La figuras 44 y 45 muestran las graacuteficas de las expresiones (478) y (479) con respecto
a ri x ii ]gturn distintos valores de u^(0)uz respectivamente Anaacutelogamente a el caso de
la- guiaraquo de onda se han considerado uacutenicamente los primeros cinro teacuterminos en las series
para Pi) y P jU) Un resultado importante de acuerdo cotiacute la figura 44 resulta ser
que en la resonancia ciclotroacutenica la variacioacuten del inverso del factor de calidad es cero es
decir en este caso y en la misma manera como en las guias de onda no existen peacuterdidas
de energiacutea de tipo colisional Sin embargo de la figura 45 notamos que cu resonancia
rirlotruacuteliira si existe un pequentildeo cambio en la frecuencia laquole resonancia del resonador
En la fuente de plasma descrita en [2J se tiene un resonador cilindrico donde oscila
una Diida a IUIIacuteI frecuencia laquobull = 15394 x ]() excitada en modo TEw y de radio
rbdquo = cm en el cual una columna dr pliacutetstua fie radio riexcl = 3lt se ein-iieiitrraquo a lo largo
del eje tlel resonador La cavidad resonante se encuentra dentro de un campo magneacutetico
externo D mdash SloacuteGauxraquo La densidad de electrones en la fuente tie plasma puede ser igual
a ni 0) = C x 10 I 0CTO 3 En este caso tenemos los mismos valores (4C3) para yinnfv0) u
y u-ji 0)raquo mientras cpie Miexcl tiene el valor
SU = 04C55 (480)
Entonces el cambio en el inverso de la calidad y en la frecuencia de resonancia tendraacuten
los valores
A( l ( ) = mdash x 000009C2455 = 582 x 1 0 (481)
Aw = Mj x |1 - (100035)] = - 1 0 3 x 10 V (482)
79
AwMa
i
o
I
U
bull3 I
I O
bull
a 6
1 1 1 bull 1 bull
bull
_
c x ^
- r f -
| 1 bull J T | 1 - | 1 |
l IX V if | rt i iacute i ( iraquo i i i bull i i i
i i
i i i
V
deg
iacute bull f
i i i
VI 1 A 1 ^ t
x X Iacute
JU i f ^
1 bull x
so
o i
fit
Zf Z rt w
El valor (481) se encuentra dentro del rango de validez de la teoriacutea de perturliacioacuten
ile acuerdo ron (35C) Asi mismo la variacioacuten de la freruenria de resonancia es dema-
siado |Mf|ttentildea en comparacioacuten con la freruencia propia del resonador de tal manera rpie
podemos considerar une no existe un cambio fuerte en la freruenria de resonancia ion esta
densidad
Los resultado iexclinteriores de las secciones 7 y 8 fueron presentados en iexcl24] y [25iexcl respecshy
tivamente
82
CAPITULO 5
PENETRACIOacuteN DE ONDAS EN EL PLASMA
En este iiipiacutetiilo ni el marro de 1iexclI teoriacutea lineal se liare una revisioacuten sulire el proceso
gtigt- penetracioacuten de campos elertDinaRneacuteticos en un plasma En vista de ijne en la fuente
lie plasma descrita en [2j se excita una onda tipo H nos vamos a limitar al caacutelenlo de
Un coeficieiites tie reflexioacuten transmisioacuten y de alisorrioacuteu para estlt- tipo de ondas liacuteay
eme hacer notar que en el experimento [2] se tiene un campo magneacutetico externo lo que
complica fuertemente el estudio de la interaccioacuten de ondas en este plasma Nos limitaremos
en este trabajo a considerar un plasma homogeacuteneo y deacutebilmente inhomogeacuteneo sin raiujm
magneacutetico externo Estos resultados preliminares son uacutetiles para posteriormente estudiar
la transformacioacuten lineal de ondas que es muy importante para el anaacutelisis del perfil de
densidad observado en la fuente de plasma [2]
9 Penetracioacuten de campos electromagneacuteticos en el plasma
El estudio de la interaccioacuten de ondas electromagneacuteticas en un plasma tiene particular
intereacutes por la gran variedad de paraacutemetros existentes como se mencionoacute anteriormente
83
(densidad de |ttirtirulas di- diferentes tipos prado dlt- ionizacioacuten longitud de trayectoria lishy
bre tfiii|raquocratura etc) 111 los diferentes casos Una de las caracteriacutesticas mas importantes
de un plasma real es su iuliomogeueidad Alt|iiiacute los paraacutemetros del jjasiilii variacutean en el
espacio produciendo considerables cambios en las caracteriacutesticas del mismo Freruontc-
menfe en lo concerniente a la propagacioacuten de ondas electromagneacuteticas estos cambios son
tan fuertes que la pennitividad dieleacutectrica cambia de signo
91 Penetracioacuten de campos electromagneacuteticos en la aproximacioacuten hidrodinaacutemica Sistema de ecuaciones
Il l sistema de emaeiones atltoroiisisteule i|iie desrribr la penetracioacuten tie un campo elecshy
tromagneacutetico en d plasma en la aproximacioacuten bidroiliuaacutemira se compone de las ecuaciones
ile Maxwell
V x pound = -2f 51 c 01
f x f l = - - i - mdash + mdash (02) c 01 c
V bull(poundlaquopound) = 4p (53)
V H = 0 (54)
donde las densidades de corriente y carga se determinan en la forma
P- pound c raquo n lt raquo = laquoiexcllaquoi + tnt = pound e bdquo n r r n (55)
y se expresan a traveacutes de los campos eleacutectrico y magneacutetico de las enlacioacutenos hidrodinaacutemicas
de movimiento y continuidad del fluido conductor de carga o [26]
84
sect + bullbdquobulllaquobull = ^(Eacute+-vnxH)-^--^va (56)
3raquobdquo _ _ _ ~ + V-n0viexcl = 0 U 7 )
En las ecuaciones (55)-(57) tbdquo es la carga m0 la masa tibdquo es la densidalt v0 es la
velocidad hidrodinaacutemica jgtbdquo o la presioacuten y ibdquo la frecuencia de colisioacuten entre las partiacuteculas
ltir- tipo o ron las partiacuterulas di- otra claw y con las moleacuteculas El subiacutendice o rorrcspondc a
i igt i ln ipii indica a los iones o electrones correspondientemente E D son las tensiones de
ligt- campos eleacutectrico y magiacutenico respectivamente y r es la velocidad de la luz en el vacio
Se supone i|iie el plasma se encuentra en un medio con un jieruiitiviilail dieleacutectrica iacutebdquo para
un plasma gaseoso bdquo = 1 y MI un plasma de estado soacutelido es la pcrmitiviilail dieleacutectrica
de la red cristalina Ya que la permit i vidad magneacutetica del plasma praacutecticamente es igual
a uno no vamos a diferenciar la induccioacuten magneacutetica de la tensioacuten del campo magneacutetico
lo que se refleja en las ecuaciones anteriormente descritas
El sistema laquole ecuaciones (oacutel)-(57) debiacute ser complementado con las ecuaciones de
estado de la materia expresados a traveacutes de la densidad nbdquo y la temperatura Tbdquo pn mdash
p0(noTa) Siacute las variaciones de estado de las componentes del plasma ocurren perioacutedicashy
mente entonces
Tpo = bullgtltJbdquoVn0 = 7raquoltfTbdquoVnlt (58)
donde vj = 2T0m0)t1 es la velocidad teacutermica promedio de laraquo partiacuteculas de tipo o 70
e la razoacuten entre loraquo caloreraquo especiacuteficos a presioacuten y volumen constante del gas de partiacuteculas
y 1 = mil
85
Las ecuaciones ib- movimiento describen un fluido en presencia dlt- cinco fuerza- ni
interaccioacuten a) la fuerza eleacutectrica (bdquopound b) la fuerza magneacutetica J x H c) la fuerza debida al
gradiente de la presioacuten d) la fuerza de interaccioacuten o colisioacuten entre la partiacuteculas de diferente
ti|Kraquo v0vbdquo y raquobull) la fuerza de inercia m-r0 bull V)tbdquo Por otro lado vamos a ronsiderar laquopie la
ecuacioacuten de estadraquo expresa un proceso adiatgtaacutetico caracterizado por el coeficiente -
92 Penetracioacuten de ondas tipo E y H
Vamos a investigar la penetracioacuten en el plasma ile ondas di- amplitud pcquiua La inteshy
raccioacuten de ondas electromagneacutetica con el plasma perturba los paraacutemetro caracteriacutesticos
en equilibrio del plasma Si las perturbaciones de los diferente paraacutemetros son lo sushy
ficientemente |xi|iientildeos en comparacioacuten con sus valoreraquo eii eipiilibrio entonces podemos
liiuariar las ecuaciones (51 H57) es decir iexclMHIIIIIOS despreciar los teacuterminos que contienen
producto entre las perturbaciones
Consideremos un plasma semiliiuitado sobre el cuaacutel a un aacutengulo fgt incide una onda
electromagneacutetica linealmente polarizada El sistema de coordenada lo escogemos de tal
manera que el plasma ocupe la regioacuten x gt 0 y la onda se propague sobre el plano X(gtZ
(Fig51) La onda incidente parcialmente se refleja del plasma y parcialmente se refracta
a un aacutengulo 8 Las amplitudes de las ondas reflejada y refractada se determinan de las
condiciones de frontera Como consecuencia de esto si la dependencia del campo de la
onda incidente con respecto a y t se determina a traveacutes del exponente rl-laquo) donde
kiquest = k0tcn9 k0 = raquogtc y w es la frecuencia de la onda entonces en la teoriacutea lineal para un
plasma estacionario y homogeacuteneo esta misma dependencia deben tener las ondas reflejada
y refractada en el plasma a lo largo de O
86
PLASMA
(b)
FiacutegKl Penetracioacuten de una onda electromagneacutetica lincalmente polarizada en un plasma raquoemi-
limitado La onda que incide a un aacutengulo 8 parcialmente se refleja a un aacutengulo 8 y parcialmente
se refracta a un aacutengulo V a) penetracioacuten de una onda tipo E y b) penetracioacuten de una onda tipo
H
87
Supongamos UIRraquo tenemos un plasma de dos componentes compuesto de electrones bullbull
iexclunes motwcargjados ron concentraciones en et|uilibrio raquobdquo = raquoraquolaquo = gtibdquo En un (Jasina friacuteo
la velocidad ternura de los iones se puetk despreciar 1 = 0) si esta es muy pei|iK-ntildea rn
contparacioacuteii con la velocidad de fase de la onda Si a lo largo del eje 0t la densidad no
varia entonces f = 0 y de laraquo ecuaciones (51)-(58) podemos obtener el sijpiiente sistema
dtr ecuaciones para los campos electromagneacuteticos
iexclKH = iquestJtpound - iacuteiacutejEi 159)
-rmdash = -iK0e mdash pound - + mdashmdashUE r ) U10) ni [ raquo-raquor J (w ni
Jvpound = - I (512)
^ = bullbdquobdquo (513) As
ik-HiE = JiL-ikJlr (514) ni
iloiiitr iacute ex la jx-ruiitividnd dirlrctrirraquo de un plasma isotropicraquo y friacuteo
taraquo(w + l^e) W(uraquo + Ifi)
ugtgt y uy son las frecuencias plaacutesmicas de los electrones e iones respetivamente expresadas
en la forma
iquestgt tgt
4c n 0 IJ
(6M) mlaquo
w a IB frecuencia compleja raquobull = w + ic y e eraquo la permitividad dieleacutectrica del fluido de
iones en la forma
88
t=to- + bull (517) w(w + llj)
El sistema de ecuaciones (59)-(514) se descompone en dos subsistemas iudc|Hiidientes
-i9H5ll y (512)-(514) lo que corresponde a la propagacioacuten en el plasma de dos ondas
independientes (Fig51) Para las ondas con componentes E E y Hy el vector del campo
eleacutectrico estraquo sobre el plano de incidencia XOZ Esta onda es una onda con polarizacioacuten
gt onda tipo TM o E Para )n segunda onda con comeacutentente Ebdquo Hr y H el vertor
fifi rutll|Mgt eleacutertriro es |H-r]gtriiiliriiIiir al planraquo fie incidencia Esta onda es unraquo onda ron
polarizacioacuten i ulula tipo TE o H Para las condiciones mencionadas iexclinteriormente el
ijjovjmieijlo teacutermico de laraquo partiacutecula es despreciable para la propasacioacuten de ondas tipo H
Sin embargo para las ondas ti]gto E puctlc ser bastante importante
10 Penetracioacuten de una onda electromagneacutetica tipo H en un plasma homogeacuteneo semilimitado Reflexioacuten y absorcioacuten de ondas tipo H
De las dos posibles polarizaciones que puede tener la onda que incide en el plasma el caso
de la onda de tipo H es el maacutes simple Encontremos la solucioacuten de las ecuaciones (512)-
(514) en el plasma y en el vacio suponiendo una frontera bien definida Sustituyendo H
de (513) en (514) y usando (512) obtenemos que el campo E satisface la ecuacioacuten
tPE - ^ + Jkfo - laquolaquoraquo)pound - 0 (518)
89
dmde en el plasma e se determina xx (515) y en el vacio pound = 1 Es faacutecil ronwtrar laquojar
eu el varkgt los campus tienen la furnia
para la onda incidente
poundbdquo = Eoraquo Bu m Fbdquocw0 (519)
y para kgt onda reflejada
Eraquo = llEbdquo-kltlt H = -Etcoraquoraquo ISM)
iliHiilraquo- pound es lii amplitud lie In i mi In hiiiiliiiti y iacutels rl riM-riiiiiili ili- icHrxiiVn El linihi|raquoligt
r i)r--wi) at j a s rX|ri^iHBM jbdquon lri caui|HKlaquo se excluye raquo aquiacute en adelante Praquor laquonraquo laria
bullbullI rwn]Mgt cu el plasma tirnr la forma
pound() = Eiquest0)rik B() = (^) poundlt) (5-21)
donde Et[0) es Iraquo amplitud de la rom|Hgtiiiiite poundbdquo del rampraquo cliVtriro III la frontera tlrl
plasma ( = ()) y A- se expresa romo
Jt JWlaquo - e2laquo (5-22)
Si it| es una cantidad real entonces la onda se propaga libremente en rl plasma prro
siacute Ai es una cantidad compleja entonces el campo en rl plasma r amortigua dr forma
exponencial a partir de la frontera
Para determinar el coeficiente de reflexioacuten y la amplitud del campo rn la frontera de)
plasma se utilizan laa condiciones de continuidad de laa componentes tangenciales dr los
eampoa en i = 0
90
pound(0)+poundbullbdquolaquogt) = pound(0)
(0) + raquo(0)-jr ((0)
Sustituyendo (519)-(oacute20) en (523) y considerando (521) encontramos
pound(0) = pound(l + rt)
dr donde obtiiunnos el coeficiente di reflexioacuten en Iraquo forum
(523)
(524)
=ampgtbull donde
e la impedancia sti]gtcrfieial o del plasma para una onda tipo H Sustituyendo (525) en
(524) encontramos la amplitud de la componente E del campo eleacutectrico raquo teacuterminos de
la impedancia el aacutengulo de incidencia y de la amplitud de la onda incidente en la frontera
del plasma
La definicioacuten de la impedancia (526) resulta coacutemoda ya que el coeficiente de reflexioacuten y la
profundidad de penetracioacuten se expresa de forma maacutes sencilla a traveacutes de ella En general
la impedancia es una cantidad compleja ZH = X + iX2 por eso el coeficiente de reflexioacuten
se puede escribir en la forma polar de Euler
01
M(AVlaquoM+1)-+ laquo-] e gt U 2 8 gt ^^xraquoiacute-l)1 + Y|coIiacutel
l
donde bull dcfitie la fase en la forma
XjcosO XjcosB bull = arctan bull mdash- - arctan bdquo mdash- (o29)
A i c o s 0 - 1 Xcos8+l
Uu paraacutemetro muy important del medio es ltbull) coeficiente lt]ltbull iexclilgtson-iiraquou el cual indica
laquorue laquoarte dc in energiacutea de la onda incidente se transfiere al pla-siiiraquo Si
P = 4~E x j = -iexcl-Eltraderaquo (030)
eraquo Iraquo denudad laquoIt-1 finjo de CIHTRIacuteH normal u la frontera dr la onda laquo[in incide y PT = y| |
es la densidad del finjo laquoIr In onda reflejada entonces el laquobulllaquobulleficiente de iilisorrioacuteii se define
roiiMraquo
W = ^mdash^ = 1 - |J|raquo (531)
Sustituyendo (528) en (531) obtenemos el coeficiente ltle absorcioacuten en teacuterminos de las
partes real e imaginaria dc la impedancia
W laquo Xcogt$ (532)
Ahora analiacutezemos con maacutes detalle las condiciones de propagacioacuten y amortiguamiento
de ondas electromagneacuteticas en un plasma de electrones en diferentes rangos dc frecuencia y
calculemos los coeficientes de reflexioacuten y absorcioacuten para cada casraquo respectivamente Para
92
ello sustituyamos (515) en (522) donde en este caso debido a la gran diferencia dr
masa de lo iones con respecto a los electrones consideraremos iquest^ as 0 Dr esta manera
obtenemos
r w V2
t - laquo raquo raquo - - (533) l jltlaquo + ilaquot)J
Consideremos los siguientes casos
a) El caso de altas frecuencias (cr lt -gt) Aquiacute los choques entre los electronraquo- se pueden
ilespreciar y entonces X- se reduce a la forma
Xraquo i- = - l - r o ^ - ^ (534)
En el reacutegimen de frecnciiriajiacute u lt ^lotfiacute lu m]x-ltlnraquorii es una caiitiilncl real y por In
tanto el coeficiente di- reflexioacuten y de absorcioacuten tomitii resjMrtivnniente la forma
donde
En este caso la fase (529) es igual con cero lo cual nos indica que laraquo ondas incidente
y reflejada se encuentran en fase Por otro lado la condicioacuten de amortiguamiento en un
plasma gaseoso sin colisiones consiste en que se cumple la desigualdad
ucof8 lt ugtVf (538)
03
IntrotUuetunos en calidad dr cararteriacutestica de penetracioacuten lthI ciexclttii|Mgt una |gtroftmililtlaltl
compleja de itetirtracioacuten determinada por medio de la relacioacuten tgt = t(gtraquo iquesti) El sentido
fiskti di la cantidad i es la distancia a la cual la amplitud del rampraquo en rl plasma ilecren
eu e mdash 271 veres de su valor inicial Con la condicioacuten ugt gtbull uicosB la profundidad de
penetracioacuten (anchura de la capa piel) no depende de la frecuencia = cu
h) En la regioacuten de bajas frecuencias w lt vt) los choques ya mgt se pueden despreciar En
este caso Rt Jt| s Ivi k y el campo en el plasma decreeraquo- ex]Mmirurial y oscilatoriamente
ilruumldr la frontera Si v gt m slt- tiene
k = -^zJviVrCosH+i- (539) Jiv v
si iacuteiilnilaacutes raquoiquest gt vrivosH entonces
y la longitud laquoIr la rapa piel tiene la forma
r iexcl2vt iquest = mdash J mdash = - 7 f iquest mdash (541)
donde raquo0 SB wf(4ffi) es la conductividad del plasma Notemos que (541) determina
la profundidad de penetracioacuten del campo en un conductor en el cual fluye una corriente
variable de baja frecuencia Asiacute las expresiones (521) determinan el campo en el plasma
en condiciones de un efecto piel normal o claacutesico A bajaraquo frecuencias y alta temperatura
del plasma estas expresiones ya no son vaacutelidas y es necesario analizar la penetracioacuten de los
campos en base a un modelo cineacutetico
Considerando las colisiones entre las partiacuteculas la impednncia del plasma tiene la forma
94
Zbdquo = (542) ^ugt(u)1cot10 - u pound ) + bull-bullJraquo
Si la frecuencia de colisiones es pequentildea pero sigue siendo finita y ademaacutes se cumplen las
desigualdades v lt raquo- ffgtiacute lt gtJcosi0 mdash uiiquest() entonces (542) se transforma COJIJO
Zbdquo = (543)
de donde observamos que en la regioacuten de frecuencias uirraquo^ lt ufPr el rocuumlcinjte ile iibsorrioacuten
se exprtsut en la lonnti
W = 2pro^Jtvwtraquo - l ) - (544)
Por otro lado si la frecuencia de la onda es lo suficientemente pequentildea tal laquopn- i gt laquobull y
se cumple la desigualdad J^Kv) gt OM rntonres la inj|MdnncIacutei se expri-sraquo como
z - iacute1 Voacuteiacute (545)
V -gtltbull y loraquo coeficientes de reflexioacuten y absorcioacuten se expresan respetivamente en la forma
R = (l-2Acltw0) 2e- MltM (540)
W = 4Xcoraquo9 (547)
donde A^ laquo -Xt = bullraquo( 2wt)
Finalmente observemos que las peacuterdidas de energiacutea que la onda sufre en el plasma
defiacutenidu por las foacutermuias (544) y (536) tiene diferente significado fiacutesico La W diferente
de cero cuando u = 0 esta relacionado con la excitacioacuten de una onda electromagneacutetica en
05
el plasma y el valor de W de (544) determina la parte de la energiacutea de la onda incidente
qiK- es utilizada para el calentamiento de los electrones del plasma eigt la capa piel
11 Paso deacute una onda H a traveacutes de una capa de plasma
Si la profundidad de penetracioacuten del campo ni una capa de plasma es tk-I orden de sns
dimensiones transversales o si la onda se pro|gtaga elraquo el plasma entonces la influrmia de
la segunda frontera del plasma resulta muy importante Determinemos el campo en el
plasma y los coeficientes iexclle reflexioacuten y de transmisioacuten en el paso de una onda incidente a
traveacutes de una rapa de plasma homogeacuteneo de anchura d
El canijaraquo i-n el vacio o cu la regioacuten T lt 0 tiene la forma (519)-(iquestj2l)) y el campo en la
regioacuten i gt 0 tiene la forma
Eraquo = TE0tcu = Eraquoltbdquosraquo (548)
donde T es el coeficiente de transmisioacuten El campo en el plasma consiste de dos ondas
tina de las cuales se propaga en direccioacuten de los valores positivos y la otra en direccioacuten de
los valores negativos de x
E = Aek + Be-ik = - iquest trade (549)
Las condiciones de continuidad de las componentes tangenciales del campo en la fronshy
tera del plasma x = 0 y x = ti anaacutelogas a (523) permiten determinar T y el campo en
el plasma
06
R = (1-pound)AiquestlaquogtM (550)
T = 2icoa$aacuteJWt - atn8t-kdeg (551)
Ey = 2cos8bTHi [iyt - iacuteenflcoJt(iacute - x) + aM0eni-(ri - ) ] (552)
donde
Aw = (t - 1 + 2colaquoI0)ifnfrrf + 2raquoVi - xriMrosHrosktd (553)
En el caso dr una onda que ]M-nctra en el plasma para la cual iquestrosH gt u dcspnviando
las colisiones entre las partiacuteculas el coeficiente de alisorcioacuten determinado como
B s l - R - T (554)
es igual a cero El cani|wgt en cl plasma tiene la forma dc uua onda estacionaria y con
la variacioacuten di- la cantidad t|rf los coeficientes de reflexioacuten y refraccioacuten oscilan Si en
condiciones de cierto piel kfd lt 1 entonceraquo a frecuencias lo suficientemente pequentildeas
(laquobullpound gt -(w + iv)) los coeficientes de reflexioacuten y nfraccioacuten tienen la forma
R = - (o iacute + io3)(o + 2co8 + iaj)~ (555)
T = 2cos0(a f 2ctgtiacuteiacute+^OJ^ (55C)
donde
- - 5^5-
97
En este caso el coeficiente de absorcioacuten se expresa como
IV = 4ocolaquo[(oi + 2co9)2 + a]]- (559)
Si Pt gtgt raquobull entonces o t gt cgt-iexcl Las peacuterdidas maacuteximas en este caso se obtienen con
la condicioacuten o = 2coi0 iguales a la mitad de la energiacutea de la onda incidente Las ondas
reflejada y refractada en este caso tendraacuten la misma amplitud en valor absoluto Las
foacutermulas (555)-(55G) se pueden generalizar para una capa delgada con cualquier iuhomc-
gcticidad Si diquest kcbdquobdquoj lt 1 entoneacuteis los campos en el plasma se ltrternmii del sistema
de ecuaciones
ils Ai r(w + ivrs)) = laquogtbull r 1 f i - laquo5CII)
donde las soluciones tienen lt forma
pound = C H = -f(x)C + C (5C1)
siendo
co w + iit(j)
Las condiciones de continuidad de los campos en las fronteras x = 0 y r mdash d nos llevan a
los valores (555) y (556) en los cuales oiacute = Re laquo(lt) y a2 = Im n(rf) Por otro latioacute
las constantes Ct y C3 a traveacutes de las cuales se expresan los campos en el plasma tienen
la forma
C = TEltiexcl = 2E0coraquo9aH(d) + 2coraquo9)- (503)
Cj = 2EoCO$eaH(d)co6)aHd) + 2coraquo8)- (564)
98
12 Penetracioacuten de una onda tipo H en un plasma deacutebilmente no homogeacuteneo
En una gran variedad de aplicaciones la densidad del plasma variacutea lentamente en el espacio
desde cero hasta cierto valor maacuteximo La penetracioacuten del campo en tales plasmas se
diferencia fuertemente de la penetracioacuten en un plasma con una frontera bien definida o
fuertemente no homogeacutenea Las ecuaciones que describen a las ondas electromagneacuteticas
en un plasma no homogeacuteneo son un sistema de ernarkmes diferenciales ron roefirntildeiites
variables iloudr sus soluciones exartas o aproximadas se enriient ran uacutenicamente para rasos
(laquoarticulares Uno ile estos rasos |gtartirulares es aquel laquoIr un medio de ra)gtas planas donde la
densidad variacutea ni una sola dirrrrioacuten Una serie dr soluciones escarias de las eruaeiones ile
la clertrodinaacutemira en un medio ile rapas planas ron diferentes variaciones de la densidad
se pueden ver en los trabajos (2327) Generalmente soluciones aproximadas relativamente
simples en estos medios se pueden eiirotitrar en regiones asintoacutetiras es decir a distanrias
grandes ron rcsjwrto a los puntos singulares de las eruaeiones difcrenriales Los paraacutemetros
que se usan en esta aproximar ion pueden ser la relacioacuten del tamantildeo caracteriacutestico de la
no lioinogcneidad L ron res|ierto a las longitudes de propagacioacuten A de las ondas en el
plasma Si uno de los valores rumple la desigualdad LX gt 1 eutoures en relacioacuten a esta
onda al plasma se le puede llamar deacutebilmente no homogeacuteneo La penetracioacuten de campos
electromagneacuteticos en un plasma deacutebilmente no homogeacuteneo se ha considerado en diferentes
trabajos [222327-31] Consideraremos algunos resultados obtenidos
Veamos un plasma compuesto de iones pesados fijos con densidad n0i) la carga de
los cuales en estado no perturbado se compensa con la carga dr los electrones ron temshy
peratura diferente de cero Te La densidad del plasma n0 - 0 ruando iacute - t O y rrece o
es infinita cuando mdashraquo ce No existe campo magneacutetico externo y la distriburioacuten de eler-
99
trones por velocidades es isotroacutepica Para la descripcioacuten de la penetracioacuten de mi cam]Mgt
electromagneacutetico en tal plasma se utilizan las ecuaciones de la hidrodinaacutemica (50)-(514)
en las cuales hay que sustituir iacuteo = 1raquo iacutei = 1 y gt mdash gt()bull La i-ruacioacuteu diflaquoniciacuteal (5IS)
que rige la jicnetracioacuten de ondas tipo H en un plasma no homogeacuteneo toma iexclihoni la fonna
iPE -=bull + kl(t[x) - stnH)E = 0 (5C5) tiacutex
donde la pcrinitividad dieleacutectrica es funcioacuten de la posicioacuten en la forma
pound ( ) = 1 ttiquestIl (5GG)
w(uiacute+ II ( x ) )
De id ecuacioacuten (oacuteCuuml) se puede hacer ililncdiiitaiiieiite tilia serie de deducciones a) 1raquo onda
se propaga libremente en li regioacuten Jif t lt bullgtni1tiacute b) en mi plasma maacutes ileliso iloude
Jlt gt nrrifl la propagacioacuten se vuelve imposible y la onda uacutenicamente penetra el plasma
en la longitud de la rapa piel y c) el punto Rr pound = srtiB es el punto de corle donde 1raquo
onda se refleja
En un plasma deacutebilmente inhomogeacuteneo ruando raquoo(x) variacutea deacutebilmente en la longitud de
la onda que se propaga por el plasma la ecuacioacuten (5C5) se puede resolver por el meacutetodo de
la geometriacutea oacuteptica para una dependencia arbitraria de la densidad gtibdquo(s) [23] La enlacioraquo
(565) tiene una solucioacuten exacta para una capa lineal cuando la permitividad dieleacutectrica
(v(x) lt ui) puede escribirse n la forma
donde
+ iUumlIacutepoundgtpoundf 507) X0 WI0
bull = amp
100
Aquiacute a es la pendiente que caracteriza la dependencia lineal de la densidad de electrones
ron respecto a la posicioacuten Para el caso de un plasma sin colisiones (e = 0) reescribimos
iacuteoacute65) en la forma
- pound + kl( co1raquo - mdash )pound = 0 (569) ax Xo
haciendo el cambio de variable
C=[f) ix^coraquo2raquo - x) (570)
la ecuacioacuten (5C9) se puede llevar a la ecuacioacuten de Airy
^ + C pound = 0 (571)
Su solucioacuten decreciente cuando i mdashbull ltx tiene la forma [32]
poundraquolaquo) = mdash coM--Ct)gtlv (5-72) ir Jo J
donde A ex una constante que se determina de la roiidieiones de frontera manilo x = 0
En la obtencioacuten de la expresioacuten (572) (te lia despreciado la reflexioacuten de la onda en la
frontera del plasma debido al gradiente de densidad Es decir la amplitud del campo
eleacutectrico en el punto x bull 0 se considera igual a Eg lo que es vaacutelido para valores pequentildeos
del gradiente de densidad en este punto (|^|o ltC k) En la regioacuten 0 lt x lt x0colaquo28
debido a la suma de las ondas incidente y reflejada poundbdquo(() tiene la forma de una onda
estacionariacutea Lo anterior es asiacute ya que para valores positivos y grandes de ( E(Q tiene
una representacioacuten asintoacutetica en la forma [32]
101
Cerca df la frontera los valores del campo estaacuten dados aproximadamente |laquogtr
cuyo valor maacuteximo es
4a-gtgt-w-niexcliacuteiquest5^- bull (575)
Ln expresioacuten (575) resulta de la interferencia constructiva de las ondas ipie viajan a In
ii|UIacutecrda y a la derecha rrsprctivamrnte pin lo tanto la amplitud de la onda incidente poundbdquo
tt-tidru la forma
Aliora evaluemos la ronstatite 4 de (572) Para rilo iitiliemos la representacioacuten
asintoacutetira (573) y consideremos la condicioacuten de frontera de acoplamiento de los campos
en el plasma y en el vacio
poundT(0) = JEIacute (577)
De acuerdo con la definicioacuten (570) para ( podemos escribir el teacutermino ijCv en ln forma
f^^ (--pound_) (578)
Sustituyendo (578) en (573) y evaluando en x = 0 obtenemos
3A 2 ir poundlaquo(0) ) = -7k0Xo)-ucos-iacuteli9coraquo(-k0j0coS9 - -) (579)
yf f O 4
102
x = O = x0rnslV X
FiexclgS2 Alii|tli(ultl laquoId rrtiii|ngt eleacuterlrim cu la vecindad del punto de reflexioacuten s - xbdquoiiiH
Finalmente apurando 1raquo roiitliacutetiacuteoacuten de frontero (577) cnroutraiiioM el valor de A
(580)
La amplitud aacutee la onda estacionaria que se forma en el plasma cu los puntos cercanos
al punto de reflexioacuten x = Xoco29 crece (Fig52) Su valor maacuteximo se puede obtener de la
expresioacuten (572) el cual corresponde al primer cero de la derivada de la funcioacuten de Airy
[11] y tiene el valor
2 a a | l = 268 (581)
Asiacute dividiendo (5S1) entre (576) obtenemos el coeficiente de amplificacioacuten de la amplitud
del campo eleacutectrico en el plasma con respecto al campo en el vacio
103
| s f = 374(oolaquo3laquo)3 (582)
En el caso maacutes general de un plasma deacutebilmente inhomogeacuteneo en (562) en lugar dr
arbdquo debemos sustituir
En este caso para valores grandes de (koro)l^eoraquo0 auacuten una |MI jtirntildea parte imaginaria de
ki pcniMtiviacutedad dieleacutectrica puede rondticir a jteacuterdidas significativa de energiacutea de la onda
Si ni gtgt P jiacute () entonces la ecuacioacuten (571) conserva su forma pero ( en csrraquoiexcl caso laquo-S una
cantidad compleja
- ( )
raquo ( j v o ^ + x - mdash ) (584)
Nuevamente la onda (pit se forma en la regioacuten 0 lt x lt sltol(t es una onda estacionaria
lgtcro ahora la onda que se refleja cu el punto de corte Tit t = oc) nltgt tiene la misma
amplitud de la oiiif-t incidente Aquiacute cl coeficiente de reflexioacuten es diferente de la unidad y
se expresa como [23]
R as e m laquomdashgtbull m e-raquopound raquolaquoraquo (585)
La amplitud maacutexima del campo cerca del punto de reflexioacuten en este raso disminuye en
Ry
|iexcl iacute | 2 374|| 2(ltWw3)1 3 (586)
104
CONCLUSIONES
I Se describioacute la teoriacutea general de las guiacuteas de onda y resonadores cilindricos En base a
esta teoriacutea se obtuvieron obtenido los paraacutemetros principales que ritrart izan vi sistema
de microondas di- la fuente de plasma descrita cu [2] En el raso ilc una guiacutea de onda
cilindrica hecha tiraquo- bronce y ron Suacuterm de diaacutemetro interno se obtuvieron los siguientes
valores para los distintos paraacutemetros de pro|gtagariexcloacuteu de midas litadas en el IIIIHIO
A = 145rw raquobullbdquo = 13 x WHi I = 02753rraquor A = 22S2raquo Zbdquo = 187
ti = 56 x 10degtrade K3 = lC x 10uumlcfia
La constante de amortiguatniento lgtara estas ondas romraquo ronseriiriiciraquo de la roudur-
tividad finita ile las paredes metaacutelicas tiene el valor om = 1032 x 104 como este valor
es muy pequentildeo obtenemos que se puede considerar que la guiacutea de onda del sistema de
microondas (de no maacutes de un metro de longitud) es una guiacutea de onda ideal (sin ]xrdiexcldas de
energiacutea) Por otro lado para el resonador cilindrico laquopie compone el sistema de microondas
de radio a bull 7cm se obtuvo la distancia necesaria para que en el resonador oscile una onda
en modo Ht (wm = 15394 x 10(f ) Esta distancia tiene el valor d - 71Gcm Ademaacutes
se evaluaron la calidad del resonador y el ancho de banda donde el modo TEu puede ser
excitado uacutenicamente Q =bullbull 404963 w2 - uraquo = 000025 x WH respectivamente
II Se analizoacute el problema cuando la guiacutea de onda y el resonador cilindricos conshy
tienen una columna de plasma friacuteo magnetizado e inhomogeacuteneo distribuido axialmcnte
105
La columna de plasma cti el caso de la fuente de plasma [2j tiene un radio r = 3mraquo
y ademaacutes el perfil de densidad se consideroacute de tijraquoo paraboacutelico Eu base a la teoriacutea tie
perturbacioacuten y usando como paraacutemetro pequentildeo la pequenez del radio del plasma con
respecto a la longitud dt- onda se calculoacute la constante de amortiguamiento de la ondas
que se propagan en la guiacutea de onda ocasionada por la presencia del plasma La constante
de amortiguamiento tiene el valor o = lSS x 10~4
Se calculoacute ia variacioacuten de la frecuencia de resonancia fie las ondas que se etinieutran
resonando en modo TEtti en i resonador asiacute romo la variacioacuten en el inverso dr la calidad
del resonador obteniendo resp t-tiacutevaineiifc Aw - -lG3x 10 H MlQ) = oacuteS2x lO1
Los valores para n Aw y plusmniexclQ) se obtuvieron paro el caso mando ^bulljiacute(l))raquo = OS y
para el punto cerranraquo al punto di- resonancia ciclorroacutenica u = 0999 Ademaacutes se obtuvo
que la constante de amortiguamiento en el caso de la guiacutea de onda en el punto de resonancia
ciclotroacutenica l-u = w) se hace cero De lo anterior podernos roiirluir que la inutii se propaga
libremente en el plasma
III En el marco de la teoriacutea lined se analizoacute el proceso de penetracioacuten de campos
electromagneacuteticos en un plasma scmilimitaclo Se obtuvieron Jos coeficientes de reflexioacuten
transmisioacuten y de absorcioacuten para ondas tipo H tanto para un plasma homogeacuteneo y un
plasma no bomogeacutetieo Un aspecto fiacutesico importante en el estudio de la penetracioacuten de
ondas electromagneacuteticas en plasmas inhomogeacuteneos es que para una incidencia normal existe
un crecimiento del campo eleacutectrico en el punto donde la permitividad se hace cero Para
plasmaraquo magnetizados el comportamiento anterior es similar Por otro lado cabe sentildealar
que los puntos dentro de un plasma friacuteo e inhomogeacuteneo en los cuales el iacutendice de refraccioacuten
106
es infinito permite una absorcioacuten de las ondas de tipo no colisional en el plasma y al
mismo tiempo se obliga al campo eleacutectrico a tener un valor finito Esta absorcioacuten en el
plasma se asocia al hecho de que en el punto iacute = oo el campo electromagneacutetico sufre una
transformacioacuten lineal en otro tipo de ondas
Finalmente hay que hacer notar que la absorcioacuten de las ondas en las guiacuteas de onda
y los resonadores se debe uacutenicamente a la variacioacuten o cambio que sufre la constante de
propagacioacuten y la calidad del resonador respectivamente por la influencia tlcl plasma Este
mecanismo de transferencia de energiacutea ai plasma es diferente al mecanismo laquoIr la transforshy
macioacuten lineal de ondas
107
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110
iexclo inuwrioacuten iilt- 1iexclIgt partiacuteculas las maacutes fuertes resultan raquo T las de largo alcance Las
interacciones coulombiaiifis determinan Minchas propiedades del plasma A traveacutes de eacutestas
a|raquoareceii las propiedades colectivas del planum relacionadas ron la interaccioacuten simultaacutenea
ltltbull mtiriiH- partiacuteculas
Las partiacutecula nue componen cl plasma se encuentran igteniianenteinente en estado de
movimiento teacutermico caoacutetico Este movimiento se caracteriza por lit temperatura del plasma
7 romo un todo y por la temperatura Tbdquo tic siis diferentes componentes (aquiacute ir puede ser
i o i pata iexclos elertrmies o iones respectivamente) La temperatura liacuteeiennina la energiacutea lilshy
las partiacuteculas del sistema el euiil se tinmiit i iexcli en ei|iiililirio teri-iodinaacuteiiiico El |gtlnsiiit se
llama isoteacutermico si este se encuentra en equilibrio teuuodinaacuteinico ionio un todo y la funcioacuten
de distrUumlMieioacuteit de la energiacutea de las partiacuteculas de todo tipo es una distribucioacuten inaxweliacuteaua
con una misinn temperatura X (T = T = T) En el caso de un equilibrio lennodiacutenaacutemicolaquole
una parte del plasma cuando diferentes componentes tienen una distribucioacuten maxweliana
pero diferentes temperaturas vi plasma se llaina no-isoteacutermico o sea Tt iquest T Esto uacuteltimo
es posible debido a laquopie cl intercambio de energiacutea emre los electroiws y los iones ocurte maacutes
lentamente que el intercambio de energiacutea entre las partiacuteculas que tienen una misma masa
En base a esto uacuteltimo en un plasma no muy denso con pocas colisiones puede existir
un estado con dos temperaturas ioacutenica 7iexcl y electroacutenica T En el caso de una funcioacuten de
distribucioacuten maxweliana de las partiacuteculas fm exp(-m0vl2kTo) la temperatura de un
plasma en equilibrio determina la energiacutea cineacutetica promedio del movimiento teacutermico
3fcT _ _ _ _ _ ^=(mavl2) = Eacutee (11)
donde k mdash 138 x W~ttrgioraquodegK es la constante de Boltzmann y 7_ es la temperatura
de las partiacuteculas de clase o La raya superior en la parte derecha indica un promedio con
respecto a las velocidades
5
Una earailiTisMra importante del plasma rgt la fririMii-in plaacutesmica la cual esta canic-
tiriaila por liis oM-ilaciacuteouo electroacutenicas ltlrl plasma
tliHide i es la carga del electroacuten (t iexclft 4SU32 x 10iraquolaquotoiWoraquo()i u es 1iexcliexcl concentracioacuten ilr
electrones (laquobula iii mi) y MI lt~iexcl la masa del electroacuten (raquolaquo = 01095 x lO^V)- Las oscilashy
ciones |gtliacuteisiuiris son oscilaciones longitudinales electrostaacuteticas i|tn- surgen romo resultado
ilr hi separacioacuten ilr partiacuteculas lardadas a distancias microscoacutepicas y ilil surgimiento de lalaquo
fuelas ill COIIIIIIIIII La fu incuria plaacutesmica soacutelo depende dr la ciiurrut racioacuten laquo
raquo- 5 Tx Wyj^ 113)
ii ltii la forma
A = | = 2 x l O 3 ^ 1 0 ^ (14)
La escala temporal ill separacioacuten laquole carga cs una cantidad inversa a la frecuencia plaacutesmica
r ss 1w Como laquoi los intervalos dc tiempo gt r las partiacuteculas realizan imirlins oscilashy
ciones cerca de su posicioacuten de equilibrio entonces el plasma como un todo se comporta
como un sistema neutro en el tiempo La separacioacuten de cargas puede ser importante soacutelo en
intervalos de tiempo t lt r pequentildeos con respecto a la escala temporal La escala espacial
de separacioacuten de cargas es la distancia basta la cual se puede desplazar una perturbacioacuten de
la concentracioacuten de las partiacuteculas cargadas debido a su movimiento teacutermico en un tiempo
igual al periodo de las oscilaciones plaacutesmicas la cual se expresa en la forma (dada en cm)
laquobullV V 4iregtnt
6
doxiie = lTni mdash 45 x VSyJT laquo-s In velocidad del movimiento teacutermico de los
bull iexclii-roiifs 7 laquo- Iraquo fltbullijijx-rittiilt le los electrones en A y gt es la cow-rut racioacuten laquole los
bullllaquoM-roraquofgt MI nn~ bull La ltlisuiiit
bullgtbull llama radio ltit- Debye para los electrones Para tin plasma niasiiirtirro es necesario ijiie
its liiuiitiMoiiis riinirifristiras L scan siciiihnitivniiifiitc mayores ipie el radio ir Debyc cs
laquo[bullbullbullbulli L ~iquestgt in ion esta condicioacuten slaquo- purde considerar ijnc laquobull -iexcl-teiacutena ilf partiacuteculas figtrman
un plasma En riiMi inverso L ltg riexcl i tenemos mi coiijmtlo I|I- |gtutiiiiiii- cargadas
-f|gtnli- Asiacute llenamos iexcli la definicioacuten laquoIt-1 plasma propuesta por Laugmuii [5iexcl rl plasma
i-s tin conjunto tic partiacuteculas iirutras y careadas en rl cual ai sc satisfaci- la condicioacuten dc
ciiasiiii-utralidiid poundbdquo rbdquoraquobdquo = 0 y lit el radio dc Debyc dc apaiitallainit-iilo es mucho niiiior
bullinraquo1 las dimensiones caracteriacutesticas laquopic ocupan el conjunto laquole partiacuteculas r^ lt L
Una infltiriiciii iiii]iortantf sobre rl iiioviinie-nto de las partiacuteculas la ocasionan la exisshy
tencia laquolaquobull un riexcluingt magneacutetico externo constante el cual ordena el movimiento caoacutetico de
las partiacuteculas En un campo magneacutetico actuacutea laquoobre las partiacuteculas cargadas una fuerza llashy
mada poiidcroinotriz (lorentziana) dirigida ])cr]gtcndirulannriite a la direccioacuten del campo
magneacutetico B0 y a la velocidad de la partiacutecula iacute Bajo la influencia de esta fuerza las
partiacuteculas giran con una frecuencia angular igual a wBbdquo A esta frecuencia se le conoce
como frecuencia riclotroacutenica o de Larmor y para los electrones tiene la forma
~B = mdash 176x07Bo (17) me
Para que el plasma resulte ser magnetizado (anisoacutetropo) eacuteste no debe ser muy denso y
deblt encontrarse en un campo magneacutetico muy fuerte Por esta razoacuten es necesario que en
laquorl intervalo ltli- liniipo vnf dos i-olisiotn-s rbdquo las partiacuteculas pmdan nahzar uiiniios iexclinraquo
ttlri-drdor ill- las lincas del raui]Hgt iiiiiacutegiit-tiro Esta condicioacuten gtbull inarm tizai ion jitira lets
rliTtroiics es di- la forma
w laquo r m raquo l (lSj
En la ltlin riiiiti ilrl rampo iiiin-iiitiio la influencia de laquo-sir soliri- Ins partiacuteculas careadaraquo cs
nulo En mi campo magnet iro lioiiiogeacutem-o las trayectorias del movimiento dc las partiacuteculas
cargadas tiiinu forma bullltbull bullbull -jiiiiilraquo-
Por laquofin lado liay ijiir diferenciar los conceptos dc plasma friacuteo y plasma caliente Eli
mi plasma friacuteo r) movimiento teacutermico de las partiacuteculas es menor que la presioacuten i-I bullbulliinjgtgt
MKiKiirtim es decir
-2=2fIlti (io) Entonces podemos decir que rii mi plasma friacuteo que sr oiicticiif ni en mi campo magneacutetico
w puede despreciar rl movimiento trrminraquo dc1raquogt partinilas En mi plasma caliente esto
uacuteltimo no es vaacutelido
2 Meacutetodos teoacutericos de descripcioacuten del plasma
En el desarrollo de la concepcioacuten del plasma como un gas de partiacuteculas cargadas cambiaron
tambieacuten los meacutetodos de su descripcioacuten Los primeros modelos maacutes simples de la descripcioacuten
cualitativa del plasma lo suponen como un sistema de partiacuteculas cargadas que no interar-
tuan entre siacute y que se mueven libremente en presencia de los campos eleacutectrico y magneacutetico
externos Es decir si so considera que el plasma esta compuesto de jVbdquo partiacuteculas de clase o
8
iexclbulli -r mueven dcltido iexcli MI energiacutea teacutermica en forma caoacutetica entonces es uii-fNarin resolver
~ ecuaciones laquogtbull movimiento con uti miacutenimo iexclEnfil raquobullbull condiciones iniciales i posicioacuten y
-bullbullio-idades iniciales ilr partiacuteculas | Obviamente esto uacuteltimo es imposible de realizar Se
puede reducir fuertemente el problema si gtraquobull desprecia liexcli dis]gtcrsiexcleacutegtn de las velocidades dr
bullu iovimicnlo teacutermico es decir si se considera el movimiento promedio de una partiacutecula
laquoiexclHe v encuentra en reposo cuando no hay campos externos Asiacute este modelo simple
de iexclarticulas independientes completamente desprecia no solamente la interaccioacuten entre
piiriexclniiacuteiacuteiraquo sino eiexcl movimieiiio teacutermico de la- mismas
Pura determinar la velocidad dgt- una partiacutecula carnada del ntasma en el modelo de
pariacuteVittiis independiacuteenles se resuelven las i (ilaciones de movimiento para partiacuteculas de
gtia- bullgt en la forma
-y- = lt iacute iquest + -|ibdquo X D + iexcliexcl111 I110) Jlz
ir ~ donde iexcl = gtnbdquorbdquo es el impulso de la partiacutecula de dase o y ies la aceleracioacuten provocada
por fiHTns no electromagneacuteticas Eti las ecuaciones (LiO) la iiidiiccioacuten magneacutetica D
y el campo eleacutectrico E no se consideran como variaUes conocidas ya ipie estos campus
incluyen en siacute campos inducidos en el plasma cjue MOJIacute provocados por el movimiento de las
partiacuteculas cargadaraquo por lo (pie hay que resolver un problema autocousigtente es decir la
solucioacuten de (110) conjuntamente con laraquo ecuaciones de campo
VxS = M + Iacute I ( + ( 0) (iii) c ot c
V-Eacute m 4-(p + po) (1 13)
v i = 0 (114)
9
01
(si-i) ltraquoiquestbull AW + J) + W + sectxsectA)Y +ilaacute- raquo
waacute(A-iacute) + ^ Vlt = JLVpound mp
(iquestri) -o = W aacute w - A + ^
iexcllaquoupauSimi HJiuiHiupo pii] laquoj ip laquoai iopuioa ap jjnaiscsi io x) inn uctuivcs u n
HZI|1)II t8 opiti |f ui |vmi raquoia ap OIIMIIUIAOIH jap t iopduauap H| H Iacute H J -OJIIIU OIIIIIJIIOI o ip j tu mi
(ipllllllUOJ OJIIK laquoHill OIlllll lltijjodll S Sgt1IIIIIltMI|IIOJ SHJSI Hill llX HJItlHI A UIIIIOI liJIIIOJl
bullJMraquo NtJIIHKullllO1 Sl| 11)111 IttllHMJIi j j l lililiacute IMIacutelj IS lili IIJlllllllipiU|lll| CI|I|KM11 |l l|-J
i
OIIIIIIIIipiM|)II[ (gt|l|raquoOIII |l iZI|llll
is osli i|Si 113 ltM1IIHI l((|ill|)Ulll o|(llllil | mi imuii Jllli|MSIIlu ipmd is lti|i(i| (III oltloi
Dlllsmii |l lt ltI|IIIKIIJI(1IJltII 1)1111111 Ulllj l||St IS IIIHI SI|lll(UIltI SI|IIMIJI(I sltlt[ 1(1 (IJfUItlllAillll
|i ltisui|i 11111 miis-H|ltl 1111 111 iiUuumluniii iexcllaquo j o j ii|iiiuiiii(iultii ms i ltm siquniiud ltn gtgt
ltI|I1III1U Villi |l (MU | l lll lt 1(11ili 111 AIIIII iMIIsiqil tin 1(1 IKIII |i l|gt II|IK lti|ilI|I|ll MS i|llllltl
Sgt|I1HIIIIMII|IIII -ii(liilinil ip II(I|KMII (1 H|tiit|iiltl 113 lti|iiiiitll] si inusiqd |i|i IIltIIMIUISI|I
l| lll IIOIHiipill US Hill ltl| Hid degSI(||||||Ilt1 Sl| 1(1 i||llll(1llAOIII |lp 11(11liqll1111 bull] OlIItU11
(iinmiiiAoui (1 bulluipisUtii 1111 ofiji is (IHKII si|tfi(|ifiH(i|ifft s-ftptjiijiMi (lt lti(i(iorij ( 3
( 9 1 1 ) 0 = V V bull A + T ^
|Mqmimiuoj ltraquofi tiacuteotjuttji laquoj uKiexclatms (()) niexcljsijtfs j pthy
ltcni bullbulliquestx^ = [ -x^ = lt
laquoUIKIJ i( (lllllll l|(MMJltll ijl A i|l(lll(IUI laquoSjlM laquolt Kj|tt|raquoISIM|gt gtlJ Sgt(itl) slj | Ifi
= V y [- x D - -pound-V x I i r Uuml) (119) Of 4 ~ ltT
V B = 0 (120)
donde ni ex 1iexclI ltbull usidad del liquido ltlaquoMiraquohicTtgtr (plasma) ron una rondiirtividad n vi es la
velocidad del plasma y ( r son 1lt- roi-firiciites de viscosidad Este sistema laquoir eriiarionis
w debe de roiujut mentar ron las emanones de rotado y la iiiiwioacuteii laquole tnuiNpurte de calor
= Hni-T) (121 0
M7 mdash + (rlaquoV| uumlt
~ bdquo 2L1L + X-(VTgt+ mdash mdash l ^ x Uuml r (122)
donde raquo = raquoij(T) es la entropiacutea de uiiii masa unidad de plasma n es la rondnrtividad
iltl ialor y rttJ elaquo el tensor laquoir viscosidad
^= (iiexclr + iiquestL~ hgtv TA) av bull IacuteL23)
En la magnet oliidrodinaacutemira se consideran dados la rondnrtividad eleacutectrica la conshy
ductividad laquolaquobull calor tlcl plasma y tambieacuten los coeficientes de viscosidad En la praacutectica
se utilizan modelos modificados dr la magnetoliidrodiacutenaacutemicn tales como el modelo cuasi-
magnetohidrodinaacutemico de dos liacutequidos (electrones y iones) y de tres liacutequidos (electrones
iones y neutros) tos cuales de forma fenomenoloacutegica consideran la interaccioacuten entre las
partiacuteculas- su movimiento teacutermico Estos modelos simples generalmente son aproximados
y para su fundamentacioacuten se exige la utilizar ion de un modelo maacutes general del plasma
como gas ionizado El modelo maacutes general es la descripcioacuten estadiacutestica del plasma como
un sistema compuesto de un gran nuacutemero de partiacuteculas
11
CAPITULO 2
GUIAS DE ONDA Y RESONADORES
En rstr i-i|gtiacutemlgt v ilisrrilraquo li iroriacutea grurral i|r lis gniacuteis laquoIt- IIMIUuml y laquoIr los rrsoimdorrx
bullilimlriros Si luir- un r-iexclMilil riifuumlsis ru his giiiacuteigt d r mifhi V lvsotinliili- de MMIIacuteIMI
tliUlsvriMiI bull i i i i i iuuml l nn iDliiii 1iexclgt rxcitiiiiiVn dr o lnl raquo t i l IIHMII bdquobdquo y TE laquo11 estos
IIIacuteN|HIMIIacuteVIraquo rrx|Mitiacuteviexclifilttr rli Iilii|iiliquest ron rl d i spos i t ivo drsni t iraquo cu [2iexcl
3 Guiacuteas de onda
31 Ecuacioacuten de valores propios
pound1 estudio dr IHS propiedades fnuciaiiicntalcs dr la propagacioacuten de ondaraquo laquobulllectroniaglictiras
en tubos cilindricos dr conductividad infinita sr ha realizado ampliamente Ha sido resuelto
el problema para guiacuteas do seccioacuten transversal arbitraria |8) y para secciones transversales
particulares de importancia praacutectica se lian solucionado en sus modos fundamentales de
propagacioacuten [9] Asiacute mismo una analogiacutea con las lincas de transmisioacuten ha sido descrita en
[Wi
Veamos con maacutes detalle las guiacuteas de onda Consideremos una guiacutea cilindrica ron su eje
dirigido a lo largo del eje 0iexcl Ademaacutes consideremos que la guiacutea de omlas es longitudiliaj-
12
iifiacuteiti- lioiingtmiiriexcli y iptc la iexclgtariilrgt- metaacutelica sou conductores iierfcetos Sigtigtntgtiexcluiiltgts ltpit
bullniexcli omlii bull-lcctrumagiirticH plana di frecuencia ur si propaga a lo largo di- la guia ilt- onda
pound(fiacutel=f(r^)t r- iacute (21)
poundlt) = (riacute)t r-w ) (22)
iexclonde r es la constante de proiMtgacioacuten o nuacutemero de onda El problema fie contorno que
-bull iacuteu-duiT de liexcltgt fiiiacutenioins de Maxweil pura ondas ti|Mgt H en una guiacutea dr ondas ciliwtricn
-bullbull rxprrsa en la forma
bullbullon laraquo condiciones de frontera
-2- = 0 para r = a (24)
E = 0 cti todo el espacio
donde $ = H(r^) De la misma manera para las ondas tipo E el problema de contomo
tiene la forma
0 lt vgtlt 2ir
13
rtm las condiciones de frontera
= 0 para r = a (2C)
H = 0 til todo el espacio
donde ahora lt1gt = pound(r^) n es el radio ilr la guiacutea tic ondas
Los valores positivos
bull = -gtL = iquest - riquest (27)
determinan el con junto de valores propios correspondientes a rada una de las soluciones
lraquoTiiiisilles igt minios caracteriacutestico de la guiacutea de onda donde II y t son las constantes
de permeabilidad y permit ividad respectivamente del medio ipie llena la guiacutea de onda
GiiHTMliiHiite bdquo depende ile las (limensioiies geomeacutetricas de la guiacutea de onda de IacuteHJIIIacute
IJIIC siempre si puedan selerrionar los modos de propagacioacuten raquopraquoe se reijuieran
Por otro lado las componentes transversales de los campos eleacutectrico y magneacutetico se
determinan si se conocen las componentes longitudinales de los campos de la forma [8]
iT Eacutet = - j -Ve para ondas en modo E (28)
a iT H = - mdash V para ondas en modo H (29)
Traquonigt
Ademaacutes las componentes transversales de ambos campos (eleacutectrico y magneacutetico) se relashy
cionan mutuamente romo
14
H = ~iquestbdquo x Eacute (210)
aonde ~bdquo es un vrrtor unitariti dirigido a lo iexclarjraquo ltlcl eje 0 y Zf laquo la iiiipedanria tlr 1raquo
onda tiraquo modo E Igt H respectivamente
cT Zf = mdash igtara ondas en modo pound (211)
ZH = mdash=bull pnra ondas en IIIIMIII H (212) cT
Las efiiiexclirioiiigt (23) y (25) determinan problemas de valores propios ron sus corresshy
pondientes condiciones de frontera Cada turn de las soluciones nos representan diferentes
bullnodos normales unos transversales eleacutectricos y otros transversales magneacuteticos corresponshy
dientemente
32 Paraacutemetros de propagacioacuten
De la ecuacioacuten (27) se tiene que para cada valor de bdquo y correspondientemente de la
frecuencia se determina un valor para el nuacutemero de onda
r raquo - ^ - T Iacute (2i3)
En general T puede ser una cantidad compleja de donde podemos distinguir tres casos
a) siacute (tt^ gt y^n entonces T es real y define un modo permisible de propagacioacuten es decir
la onda se propaga libremente a lo largo de la guiacutea b) si ftfty lt 73nn entonces T es una
cantidad compleja de donde la onda se amortigua exponencialmente y c) el caso cuando
15
r = 0 ilefiiu la condicioacuten di- rortlaquo la nial separa los casos a) y li) Asiacute podemos definir a
la friTuciina de corte romo
Wbdquobdquobdquo = -J=-bdquo 1214)
y expresar el nuacutemero de onda en funcioacuten de ella
r = ^ ^ - ^ (215)
Para ftecuencin- uiiiyores ijue la de rorle la onda se propagii a lo largo de 1raquo guiacutea En
el ruso contrario pitra freriietiriuumls menores i|iie lii de rorte 1iexclgt onda se amortigua Otra
caracteriacutestica imporiiiiite la ]iodeinos olilenei de la bullbullxpresioacuten 1213) Va |IH- el nuacuteniero de
onda r siempre es menor ipie su valor en un espacio lilire entonces Ii longitud de onda en
la guia es siempre maacutes grande
y 77 7ngtt
Anaacutelogamente definimos una longitud de onda de corte o criacutetica (cuando A = 00)
Af = yiliacutemdash (217)
y expresamos la longitud de onda cu la guiacutea cu funcioacuten de ella
A = _ j (218)
donde A es la longitud de onda en el vacio Dr aquiacute que la onda se puede propagar a lo
largo de la guiacutea de onda uacutenicamente para longitudes de onda menores (pie la de corte
0
~ y - i y
_bull-
_ 1
bull i
iexclA
0
0
- gtiacuter
JfT7 ~ m
n
0
raquov
^ yJZliacuteiiacuteiacute
9C
Imaginaria
V
mdash _ l _ - M i l
0
Imaginaria
A
-Jraquo-$mdashil
X
Imaginaria
Tabla 21 Iaraacutewotrus ele propagacioacuten para onda ltrn moiio pound y cti una guiacutea ltlr onilas
Miacuterica uniformraquo
Por otro hielo iexclgt viliraquodegiiliexcliltl ltli fasr iiexcl riexcl un medio bullbullgt uisiraquo JraquoILIIlt1laquo ijiii- su Viilor III el
Wigt
7 = r
(219)
Por debajo del punto dlaquo- corte 1raquo velocidad de fase es imaginaria y pierde asiacute su sigshy
nificado fiacutesico En el punto de corte la velocidad ltlr fase se viirlvr infinita Un liccho
importante resulta serel que la guiacutea dp ondas es un sistema dispersivo aun cuando el
medio que llena la guiacutea no lo sea (la velocidad de fase es funcioacuten de la frecuencia) La
velocidad de grupo de la onda tiene la forma
tortt 1
(220)
En la Tabla 21 se resumen los paraacutemetros de propagacioacuten para una guiacutea de ondas sin
peacuterdida de energiacutea
1
33 Coeficiente de absorcioacuten
El finjo laquole inicrgiacutesi raquobull describe por ltbull vlaquo-ctigtr cimiplejo di- Piacutemiling
Sbdquo=[iquest]i[poundxW-j (221
su parte real nos dh el finjo di- energiacutea promedio plaquogtr unidad de tiempo y por unidad de
aren La romponeiite axial de Su representa el flujo de energiacutea prmimlio a lo largo de la
guiacutea Por lo tanto d flujo total promedio de energiacutea que se transmite a lo largo de la guiacutea
de onda e- la integral de la componente axial del verfor laquoIr Poyntilig evaluada sobre IIMIIacuteI
la weeioacuteii transversal de la guiacutea de onda
HilU^1 - iacute2-22) donde iquestbdquo es un ver tor unitario a lo largo del eje ()
Hasta el momento se lia considerado laquopie las paredes laquole la guiacutea tie laquonula son conductores
jraquocrfectigts in tal caso el Unjo total de energiacutea conserva su valor a lo largo tie la guiacutea laquole
onda Sin embargo en problemas reales la conductividad de las paredes tiene un valor
finito debido a ello existe muiacute fraccioacuten del flujo total laquole energiacutea que se absorlw |araquor Inraquo
paredes Dlt- aquiacute qtw la expresioacuten (222) representa uacutenicamente el fhyo tie energiacutea total
que entra a la guumliacuten de onda y cuyo valor decrece durante la propagacioacuten de la onda es
decir se generan peacuterdidas de energiacutea En la praacutectica tales peacuterdidas se consideran muy
petmentildeas considerando que siempre existe una fraccioacuten de la energiacutea que se pierde ya sea
en las paredes o por la presencia de un dieleacutectrico que llena la guiacutea de onda En tal caso la
laquoMida se amortigua en BU propagacioacuten y la constitute aacutee propagacioacuten time en consecuencia
una parte real y una imaginaria
18
r=i~m (223)
iultif i gts vl factor laquoit- iacuteiisi- y gtbull vi n^bulltirivuu- tU- iexclilisorcioacuteu o ltlr iacuteiiuortigiiaiiiii-tito E
cticiacutetiif ltli- iexcligtlaquouiri(raquoii ltbull Juumltllfi laquoir iexcllti rrhiritu
o = raquo +ltu (224)
bulliiiidr IIbdquo y o son los nlaquofiriciiiigt di- alisorrioacuten ilrliido n liexclis jx-nlidiis de energiacutea en las
m|t-iligt iin-luacuteliacutei-iraquo y 111 Illtilio diacuterliiirirai i|lilaquo- iexcllililiacute 1iexclI Riliacuteii rcspi-itivamriiti CiMisiiii-railiio
1iexclII |gtctiliiliexclis l l i -d ir ig iacutea ilr hi rxprrsion (2231 gtbullbull indure que los nui i )ms MUIacute propiui-ionalcs
bull bullbull tUUiexclltfgt rxpnililinal raquo i Ir ilonilr lii |MitgtIniacuteiexcli (222) laquo|lir sr transmitiacute iexcli iigt largo ltlr lli
bulliacuteliacutei ill lllllli llisillillliyr iexclI lo litigo (Ir (II la furnia
raquo(-)= Pbdquogt -- (2251
Por tamo la roiistiwtr de amortiguamiento o de alisorcioacuteii se definiacute- como ln razoacuten de
i poti-uria i MI il i ii bullbull lio lli eiirrgiacuteli (ptr si pierdr por unidad ilr longitud c u t i r il flujo toliil
promedio ilr rut-rglli lt|lie se transmit a lo largo di liexcli guiacutea gtllt onda
mdashiquestiacute-
34 Guiacutea de onda cilindrica Modo Hbdquobdquo
Nuestro principal intereacutes se centra en las caracteriacutesticas de propagacioacuten de ondas electroshy
magneacuteticas en modo Hnn en las guiacuteas de onda cilindricas Consideremos que la guiacutea de
onda tiene paredes conductoras perfectas y qui el iiexclgtgt dio que llena uniformemente la guiacutea
19
fcciMTraquo |Mrililiis laquoIr m c r g iacute a ilispiiviiilili-j Parraquo bulllaquolaquobullbull rwsn IIIN MIIIUIacuteOUIS n IIHgtI)Igt~ |MTIIIIacuteSIacuteIgt1IVS
ili- priiptiiuumlniiiii i|i 1iexclI r i i i iu ioacute i i (2 3 ) MHI
( bull r-t = CbdquoJJ- r)~laquoif (227)
laquolimilr Ci lt-- una ionstatiii y la rlaquotiltiirioacuteii ltr iacuteroutrrn (24) mjiriiTr jiir 1ltraquogt laquoiliircs propios
IDIIIIII la forma
bull t
bdquobdquo = mdash = U 123 122$) bulli
n = 123
Aipiiacute )bdquobdquo -un la raiacuteivs n bullbullMinas laquoIraquo la dnivaila ilr la fiuirioacuten gtlt- Ui-ssrl ili- unlcii m
JJjr) - Di y n rs il railin inlriim ilr la guia ir ondas Exislr un minino iexcliitiiiiln bullbull
IIHMIOS i|iu MUIacute -iiliniuiirs ilr (23) IIIII la i-igtiiiliexcli-iacuteoacuteii ili friitiliTa (24) Col aymla ili- (2Iacute))
y (210) iilitiiHiniraquo las rxprrsioiirs para las i-oinpoiimtrs transvirsalrs laquo1raquo- los campo ni
iminliiiailiacutei- riliacuteiiiiiiias y nitoiiri-s csiriacuteluacuteiiios las roiiipoiiriitcs ilr los i-ampos ni la furnia
H = C o ^ j h r ) trade m ^ i r mn
H = plusmniexclCo~-Jbdquohnnr)Zwir- (229) Inn r
E = 0 r laquoi
E = plusmniCbdquoZH-i Jmhmnr)ZtradeltigtriV-Tmn r
E = -iC0ZbdquoI-Jm(lmnr)Z^ert
donde los signos plusmn corresponden al en o co respectivamente y In expresioacuten Jm indica la
derivada ron respecto al argumento Jm = f- Sustituyendo (228) ni (213) w obtienen
20
gt valores tie la constante de propagacioacuten
r = Jfi- - iraquo (230)
Comraquo sc olwerva las ecuaciones (229) estaacuten doblemente degeneradas yraquo rpte uno de
lgtraquo ranijios se convierte ei el otro al girar ir2 alrededor del eje de la guiacutea
Determinemos lo paraacutemetros de pro|gtagiacuteicioacuteii para una guiacutea de inula cilindrica hueca
al variraquo) y de radio laquo = 425cm en la nuil se propaga una onda en modo Htl Considerashy
remos primeramente que las paredes de la guiacutea son conductores perfeetos En In siguiente
rioacuten se consideraraacute que estas tienen una conductividad finita
De acuerdo con (21C) toda onda electromagneticraquo podraacute propagarse en una guiacutea de
ouda de tales dimensiones si se cumple que su longitud de onda de )n primera es menor
que la longitud de onda critica Para tuia guia cilindrica se tiene
lisa A c = ~ (231)
Lolaquo dot modos inferiores Ha y JI para ondas de tipo H tienen las siguientes longishy
tudes de onda criacuteticas (en este caso iexcl = 18412 y j i t - 30542 [11])
Xe = 145cm (232)
Ac s 87cm
respectivamente Se puede demostrar que el modo pound0i es el modo fundamental para ondas
de tipo E Este modo tiene una longitud criacutetica
21
X = l l l f w (233)
Pur laquogttrcgt lhiii litraquo lougitiidcgt de inula rritkas lth- Uraquo siguiente modos ruiperiores ile muiacuteas
tipo H y li|xgt pound son menores que Itraquo valores 87rm y l l l m i rt-s]gtrrt miacutemente De aquiacute
que UMH onda clerirouiagiieacuteiira pueda propagarse en la guiacutea si su longitud lti onda laquobull
bulllienor que 145rraquoi Si ademaacutes fl valor de la longitud (ltbull ouda si- emueiilra en el iexclineacutervalo
11 lrjn lt A lt 145rru cntimres el jnodo H es el tiuiro que puede propagarse a lolargo
ile la guiacutea de onda
Eli figura 21 M muestra las vising tranvt-rsal y longitudinal de la estructura de los
bullaiii|Hraquogt en modo i | Aquiacute se 1gtI tomado la parti cosciioidal de (227) A continuacioacuten
e dan |igts valores de los paraacutemetros de propagacioacuten en el easu de IMIIIJIS clcrtronuigiieacutetiiiis
laquoMI iacutenriiencia w = 1539 x 10iacute (A = 1224nraquo) que si- propagan cu la guiacutea de onda
en nioilo | | Los valore se obtienen utilizando las expresiones correspondientes de la
seccioacuten (52) o de la Tnlila 21
Ar = 145laquoo
u w = 13 x 10luc
T = 02753cm-
A x 2282cro (234)
Zbdquo laquo 187 (i = l )
v = 5C x 100cm
w = 1CX10 OCTIIIacute
22
^mdashmdash Imea de campo eleacutectrico
mdash --Linearaquo di- campo magneacutetico
o Campo magneacutetico normal (hacia fuera ilr la hoja)
f ( ampo magneacutetico normal (hacia dentro di- la hoja)
Fig21 Vista- irahversal y longitudinal de la pstrurltira de Itraquo camporaquo ltn trimlo iacuteliexcliexcl La vigtti
otigitudial correspondiacute a un aacutengulo u = 90deg Figura tomada di- [bullgt]bull
i
Notemos (|Uf il iexclmaacutelisis anterior se inicioacute con una guiacutea dr onda de fliiiiensicmlts traquo-
gtltriacutetiacutecaj De- ahiacute se prosiguioacute a encontrar las onda electromagneticraquo npropiadas tale
que el modo fundamental H de la guiacutea de onda sea cl uacutenico que se propague Lo contrano
tambieacuten resulta vaacutelido es decir si se cuenta con una fuente de microotidas cotiacute determishy
nada longitud dr onda se pueden encontrar las dimensiones apropiadas de la guiacutea tales
que uacutenicamente se pueda propagar el modo fundamental
35 Coeficiente de absorcioacuten Modo Hmn
De la expresioacuten (226) determinemos la laquomulante de amortiguamiento debido H la conducshy
tividad finita de las paredes metaacutelicas para ondas en modo Hmn Primeramente calculemos
23
vi fltijiraquo total protiwlio ili laquowgia (222) r nial lunik bullbullscriiaacutersr IMI trrmiiins laquobullbull la funcioacuten
[gtrraquotgtiii bull at la forniH
iacutelowlc
= CMtmnr )rtismf (23C)
rlitotiirs
Praquo = If 1 Uw-T-KU [rIfjbdquor)nlaquoiquestraquoSlrlT-
= [iquest]^raquo^-Kraquol7rJraquo-rr- lt2-37)
La integra] ili- (237) sr cvaitwi utilizando la igualdad [12]
y CMisiacutedcnuidraquo IJHC la couiliriuacuteii de fruirtrra (24) rirquirrr ijiw Jm~innr)rmn = 0 DP rata
manera se obtiene el resultado
En el caso particular de ondas en modo Hti se tiene
La expresioacuten (240) puede escribirse en una forma mas conveniente
24
ionde
EJlJampuumlL (242
bullbull lii amgtIitultl del raui)Mgt eleacutertriro en rl bullbullclilro ltle 1raquo serriacutenraquo transversal laquobull 1raquo jiacuteiliacuteuuml de mida
La relanoacuteii (241I nos muestra rliimuienti- la iii-|n-iiiletiriacuteii rufidraacutetini ron n-sperrraquo iexclil radio
bull lti EUiiacutei ilil finjo total ]gtroiniilio ili- eneruiacuteraquo gt|raquo iitravicwi 1iexclI MTIIacuteIIH Iriexclmsvi-rsiil de 1raquo
uniacutea ib- omlu
Por otro lado la potcnria iacute|iic se pierde por mudad di- longitud (Mudo raquo las corrientes
u|gterfiiialc laquoi laraquo paredes metaacutelicas di- la guiacutea se expresa mediante la iutrgral de contorno
alrededor de la frontera de la guiacutea de onila) de las componentes tangenciales del campo
Magneacutetico en la fonna
p - dl
donde ntilde es un vector unitario normal a la superficie de la guiacutea de ondas ir es la conducshy
tividad de las paredes metaacutelicaraquo y S es el ancho de la capa piel expresada como
tiexcl es la permeabilidad magneacutetica de las paredes metaacutelicas Por tanto cotiacute ayuda de las
expresiones (229) se obtiene la potencia promedio que se pierde eti las paredes
25
- iexcl eacute f ^ - f (duuml]laquo 1245)
Fiiacutemlniiacuteiiti- di (245) y (240) bullbull oliticur la ruitstantr de Hiimnigiiuiiiitiitnpara el utixlo
I24G)
En vi raso ili- ondas ltw w propagan iii laquoI IIHMIO Hlt (MMII-IHH- laquoIr (24C) IDII raquoraquolt = raquo = I
obtener
f r i t o r sampsY+ traderaquo]
- - Id laquo-iexclzsf L v ( Siacute consideran)raquo tua guiacutea dr onda hurra ot dicir = 1 ni laquoti interior cotiacute paredes
metaacutelicas de broncr de conductividad a = 1413utg2crgaegnn) y radio a = 42vcm
en IB cual se propaga una onda en modo fiacuteu con una longitud de onda en el vacio de A s
1224cm (w = 15394 x 10degi) entonces obtenemos que la constante de amortiguamiento
tiene el valor de
om = 1032 xlO4 (248)
El valor anterior noraquo indica que a la distancia x = 0C88raquon la amplitud del campo eleacutectrico
disminuye 1e veceraquo de su valor en i = 0 De donde la constant v rlr amortiguamiento es
26
sntirp-itttniKiit nt-m-ntildea para considerar una guiacutea If onda laquoit unos riacutetanlos metros laquoit-
lUgitiiuacute romo una guia gtlr (tuda ideal (sin peacuterdulas)
4 Cavidades resonantes (resonadores)
Vu disjiositivo de gran importancia praacutectirtt y estrechamente relacionado ron las giriacuteas
ltbullbull onda son las cavidades resonantes Coinraquo w sabe una cavidad resonante (resoiimbir)
bull - privi-aiiii-iitr una cavidad roinpletameiit) armada por paredes nietaacuteliias Ins riacutetales
prewiiraii ilti propiedad tllt- podriacute alijiart-uar energiacutea eiertruiiiaRuitira tMeilanie Llaquoraquos riso-
iadores han sido ampliamente estudinilos en la misma magnitud ipu- las guiacuteas de ulula [13]
Anaacutelogamente al estudio de guiacuteas de laquonula gte ha resuelto el problema de 1laquoraquo resonadores
bullbull si-rrion transversal arbitraria routenieudraquo cu su interior un medio liiMiiogt-iraquo laquogt con IOIJS-
antes y t [S] Un estudio de los resonadores de formas particulares y de importancia
praacutectica se puede encontrar en [9] Ademaacutes una analogiacutea rlaquom liw circuitos resonantes se
(iescrUumlM en (II)] Con res|x-ctraquo a esto uacuteltimo podemos decir i|iie los rlaquosraquonailores tienen
la ventaja de ser superiores a los circuitos resonantes I - C en un factor laquole 20 laquos laquolecir
iexcla fraccioacuten de energiacutea almacenada laquopie se disipa por ciclo en un resonador es alrededor laquole
1 20 de la fraccioacuten disipada por ciclo en un circuito L - C [14]
41 Caracteriacutesticas generales
Consideremos una cavidad cilindrica hueca y acotada por un conductor perfecto Fijemos
el eje 0 de nuestro sistema de referencia a lo largo del eje de la cavidad cilindrica y
Mipongamos que la longitud del resonador esta acotada entre - = 0 y z mdash d
27
Un ri-Miiiitilor pucxlr i-oiisiilcriirsc mino unraquo guiacutea ltgtbull olida finita ilimih ltlaquobull tiww laquo|ingt
iexclumilir la rotiiliacutecioacuteii di- froniirit
para ltmdagt t-n modo TM
(Mirtl Otlflugt Ill IIMMIO TE
EbdquoM = 0 (249gt
HUbdquoi = 0 (250)
En itiilii linn illt- braquo sii](rrfiiiigt plana gtbull iilruumllnniitr ngtniltiitigtragt rxistr rcriixioacuteu di-ondas
El ti|Mgt lit iiiidii i|iilt- M- irrii iexclil siiprrpoiuT iliraquo ondas ilritroinatnitiias ron iexcliinplttudis
iguales y propagacioacuten en sentidos opuestos es ]iri)|iiiexcliinciiir rl di- uni onda estariouarin De
donde las rigtui]M)iiilillts axiales ilr 1ltKS rniupos ilclxn ttinl bullbull forma
para ondas en moiin TM
E = ( r r - )oi ^ - ) = 0123 (251)
para onda cu modo TE
H = Tf)raquoeM^-) j gt - 1 2 3 (252) o
Laraquo componentes transversales de los campos se determinan de (28) y (20) Para
ondas en modo TM obtenemos
28
Jfr = mdashT-cogtbullmdash )bdquo x V
(253)
vrrrgtjlaquogtijiiiciitfuifj)tc para ondas wi modo TE
pound = _ittif iacute iacutef)i1yr
W = iacutefJ_bdquo s (^)V
(254)
poundgtbullbull in-s riiiiiliiioliiN de frontera (249) y (25U olrtnirmos lt|iir 1iexclI ionstiuiti- ili- propagacioacuten
ltgtiitii 1ltraquo valores
r = uumlf = (0)123 ti
bull iexclonde de In ecuacioacuten (27) los vnlonv propio so expresan romo
(255)
(256)
La ecuacioacuten (25G) forma un conjunto discreto de valores que determina la frecuencia
bull ir resonancia para cada valor de p y bdquo es decir a cada tipo de onda estacionaria le
corresponde una frecuencia propia
vJ (257)
29
Fig22 Litraquo midas rsUt Miliaria- ilgt mi rismnclnr lidien en su lifiigiliitl un iiiiniTii IIIIITH ilr
niilMlcraquo lie la loiigilini tit- IgtMltU St- miii-sira H raso para )gt - Iiquest41 bullbull U exprntiiiacuteii iquestat)
En alaquoManii si mi si ritiniiita otra rosa raquobull omiten los Milmidiees rtii y laquopie ranraquo
UTIacutezan los modos laquoIr oscilacioacuten Ln resultado iiiiportaiilr laquole la ccuaraacutem (257) e laquopic se
pueden elegir Ian dimensiones ademadas ilcl resonador lie tal forma laquopie este opere ni una
frecuencia uacutenica de resonancia
Si comparamos (255) con la expresioacuten general para la parte real de la confitante de
propagacioacuten T = 2irA se concluye que para cada modo de resonancia la longitud del
resonador es proporcional a un nuacutemero entero de mitades de la longitud de onda (Fiacuteg22)
d s p ^ p laquo ( 0 ) 123 (258)
El caso plaquo0 correspondiente a la condicioacuten de corte para ondaraquo en modo TM tiene un
30
Mereacutes partieular ya qne eu este caso la longitud de nuda tiende a ser infinita entonces de
laquobullcuerdo ron (258 obtenemos
d - 0 bull oo (259)
ie donde la longitud del resonador esta indeterminada Los modos correspondientes a
gt raquo 0 existen en el resonador para cualquier longitud de la cavidad
Una propiedad de las ondas estacionarias es que loraquo CMIII|MgtK eleacutectrico y magneacutetico se
encuentran defamados en ir2
-ll = rt + iexclJ (2C0)
iielndu a ello existen instantes de tiempo en el resonador en que existe uacutenicamente el
bullampo eleacutectrico y momentos en que solo existe el rompo magneacutetico Como resultado de
este defasamiento el vector de Pijymiug resulta ser UIIH magnitud puramente imaginariacutea
de donde ai promedio con respecto al tiempo no existe transmisioacuten de energiacutea ya (pie el
valor promedio del vector de Poynting resulta ser indo Su - [ pound ] IitEacute x iquest ] = 0
42 Energiacutea almacenada y calidad de los resonadores
La energia total promedio almacenada en todo el volumen del resonador es la suma de las
energiacutearaquo eleacutectrica y magneacutetica promedio almacenadas por los modos normales
W m WE + WH (261)
donde
31
HiliacuteX-trade 2 M gt
Yraquo que en el resonador no hay MU flujo neto de energiacutea entonceraquo cu el cano en lt|Ur el
medio i|w Urna 1raquo guiacutea no genere |raquoeacutercliltlas di- energiacutea la energiacutea eleacutertririacutei y magneacutetica
promedio seraacuten igualo entre si Hiquest- s Wraquo Evaluemos la energiacutea total promedio alinarc-
tiada en el volumen del resonador |gtara ondas en modraquo TEmnf En este raso se tiene
=[iquest1U bull (2C4)
la cual puede expresarse cu teacuterminos de la integral de area tie la (tuicioacuten propia
= H(riacutep) evaluada sobre ln seccioacuten transversal de 1raquo guiacutea
bull-[iquestliacuteHs)]-- donde bull tiene la forma (227) Tomando uacutenicamente la parte cosenuiacutedal de (227) e
integrando de la misma manera como se evaluoacute la integral de (235) obtenemos
toT 47V ^n-m)Jmi^a) (266)
Para el caso particular de una onda en modo TEui se tiene
32
= [iquestiexcl](0375)|poundi|laquoib2 (2C7)
donde
1 1 - ^ (2-68)
raquo el valor di- lu magnitud tlt-1 riiinpo eleacutectrico en el centro di- la seccioacuten traiisveriMi) del
resonador
En griirral pura resonadores i n h siempre hay absorcioacuten ib energiacutea 1st nial se reashy
liza principalmente por dos raualcs a) porque el medio (pit- Ik-iui lu guiacutea es un medio
absorbente y Iraquo) debido a la conductividad finita de las paredes del resonador En cada
uno de estos casos las frecuencias de resonancia se vuelven cantidades complejas las ruakt
podemos escribir en la forma ugt = w + iw Entonces si la dependencia temporal de loraquo
campos es de la forma
Eacute(t)laquo Ac1 (269)
obtenemos que la energiacutea total promedio de un modo normal en un resonador real es
W(t)laquo W(0)e-3 (270)
donde se observa que se pierde al transcurrir el tiempo W(0) es la energiacutea total almaceshy
nada en el resonador en r = 0 Introduzcamos un paraacutemetro llamado factor de calidad Q
definido como 2n veces la razoacuten de la energiacutea almacenada en el resonador promediada con
respecto al tiempo entre las peacuterdidas de energiacutea por cada ciclo de oscilacioacuten
33
Qenrroiu ulmactnnda
SS itj mdash ^ mdash mdash ^ mdash ^ mdash mdash
jttrtlidim lit tnergtn
= wmdash IV
PmAtf
donde
(271)
P = - ^ I27-raquo)
egt la potencio media qui sc absorbe en tin ciclo de oscilacioacuten debido n las corrientes
superficiales de las |Ktrtdes del resonador (comparar ron la ecuacioacuten (224)) Di (270)-
(271) piulemos obtener que Q = raquo-2u Por lo tanto la frecuencia raquogt laquobull pnctlc expresar
a traveacutes de Q romo
=yj1 + eacutejh 273)
43 Excitacioacuten de los modos de oscilacioacuten
En el problema de un resonador ideal (sin jroacutedidas de energiacutea) cada modo de oscilacioacuten
tiene perfectamente definida su frecuencia propia de resonancia (257) Esto quiere decir
que si se quiere excitar un modo particular de oscilacioacuten en el resonador la frecuencia
de excitacioacuten debe coincidir exactamente con su frecuencia propia de resonancia En
problemas reales esto no ocurre y en lugar de ello se cuenta con un banda de frecuencias
alrededor de la frecuencia propia en la cual el modo de oscilacioacuten puede ser excitado La
existencia de esta banda de frecuencias se debe a que existen peacuterdidas de energiacutea
Para mostrar lo dicho anteriormente notoacutenos que las oscilaciones del tipo (260) se
pueden representar como una superposicioacuten de oscilaciones estacionariacuteas Supongamos
34
i le el campo electromagneacutetico se crea en el instante f = 0 y se le laquoleja oscilar libremente
para t gt 0 Obteniendo su transformada de Fourier de (269)
iquest(w) - p rt+Uacutet+Vt- (274) 2ff Jo
y evaluando la integral en (274) considerando que pound(t)| lsec = 0 se obtiene
cuyo valor absoluto es
eacuteMl = M mdash i ^ (27C)
La ecuacioacuten (27C) nos da un conjunto de curvas de resonancia para cada modo de
oscilacioacuten Cada graacutefica tiene su valor maacuteximo en w = u (Fig23) Los puntos ltii los
cuales la curva disminuye lgtsect de su valor maacuteximo se llaman puntos de potencia media y
su separacioacuten en frecuencia se denomina ancho de banda A cada punto de potencia media
le corresponden las frecuencias
w3 = w + ^ (278)
de donde obtenemos que el ancho de banda detennina el factor de calidad del resonador
en la forma
laquolaquo5 a raquoiquest- ltraquogt
35
IlaquolaquoM
Fiacuteg23 Curva (Ir resonancia para el mudo de oscilacioacuten a- Loraquo puntos |rV(laquo-|)| y |MJ)I son
lot punto dp potencia mediacutea y raquoraquo separacioacuten define el ancho de banda
Si las peacuterdidas de energiacutea son pequentildeas entonces las bandas de frecuencia son estrechas
Sin embargo siacute las ]ieacuterdidas son considerables entonces las curvas (le resonancia pueden
llegar a sobreponerse una sobre otra provocando la excitacioacuten mutua de los modos de
oscilacioacuten
44 Resonador de forma cilindrica
Consideremos ahora un resonador cilindrico Primeramente obtengamos las soluciones de
los campos para una onda en modo TE en un resonador ideal y posteriacuteormeite calculemos
la Q del resonador para este modo debido a la conductividad finita de las paredes metaacutelicas
Para este tipo de resonador y para ondas en modo TE las funciones propias o solucioneraquo
36
correspondientes al problema transversal (23 tienen la forma (227) ron los valores propios
1228) Ademaacutes con ayuda de las expresiones (234) se obtienen las expresiones de las
componentes transversales en coordenadas cilindricas y entonces escribimos los campos
en la forma
pit H- = C0Jn(mrr)cos(mj)sen(mdashz)
Hr = -r-mdashlt0-m nr)laquow(mi)laquow(-j-) O ~lmr O
H - -raquo -3 pound - -Jlaquo ( -mr)raquoen(ms)oraquo(5) (280) laquo in r laquo
E = 0 iCriquestft m laquor
E = mdashJB(-mraquor)iacutetrw(raquoraquof )rraquoi(mdashs) win
_ iacutei Co WK poundw = Jm(TimRr)laquow(raquon^)raquocii(-j-iacute)
C mn laquo
Sustituyendo (228) en (257) obtenemos para las frecuencias de resonancia la expresioacuten
i raquo J c
wmn= 4 = J ^ + (^) g | (281) c
El modo fundamental para las ondas tipo TE tiene como subiacutendices m = TI = p = 1
Este modo TEm es el modo fundamental de oscilacioacuten en la cavidad si la frecuencia de
resonancia u m para ondas TE es mas pequentildea que la frecuencia de resonancia corresponshy
diente a las ondas TM (wougt) Se puede demostrar que si d gt 203a (a es el radio del
resonador dado en cm) entonces el modo TE es el modo fundamental de oscilacioacuten del
resonador [9]
Calculemos ahora la Q del resonador debido a la conductividad finita de sus paredes en
el caso de ondas en modo TE La potencia que se pierde debido a las corrientes superficiales
en las paredes del resonador se calcula en la forma
37
bull -1iquest]iquest r r bull -bull+pound[+ - 4 (2-s2) donde ntilde| y ntilde2 son vectores unitarios normales a iraquo superficie cilindrica y a las superficies
transversales circulares respectivamente La expresioacuten (282) puede reescribtrsreu la forma
bull= [iquest] iquest j f W + lraquolaquol2)U + 2iquest J-iacutelJiacute + IWPMraquo bull (283) Usando las expresiones de los campos (2S0) sr resuelveraquo laraquo inti-gralcs de (2S31 en la
forma
I r l l f fo l mfa r ~ UirJ 2vlaquo 2 1 + bullpound(bullgtbullgt+
+2|CIraquopound [ lpoundrAOr)+ bullO^] laquo] bull Haciendo el cambio de variable x = fr obtenemos
I laquo-1 IColraquo iexclda UffJ 2ffiacute 2 m ]Cppoundr |dlaquo UffJ 2ltriacute 2
1 +
1 + rraquoraquo
J Iacute O laquo ) + 2 ^ j f [2iacute Ji(gt+J(X)] d
^(70) + [(7laquo)3(l~)^(^)] (284)
Sustituyendo la expresioacuten de f = ^ )bull arreglando teacuterminos resulta
Finalmente sustituyendo (266) y (285) en (271) obtenemos el (actor de calidad debido
a la conductividad finita de las paredes del resonador para ondas en modo TEmnt en la
forma
38
Consideremos un resonador cilindrico en el cual oscilan ondas electromagneacuteticas en
nodo TEm cou una frecuencia raquobull = 15394 gt 10degr (A = 1224cni) El resonador es de
bronce de conductividad o = 1413 x lOlsutiquestergscm y tiene un radio interno a mdash Ion
Pitra este resonador determinemos en el caso p = 1 los siguientes paraacutemetros a) la
longitud apropiada del resonador b) el factor de calii id ilrl resonador y ltbull) el audio de
banda donde sr puede excitar el modo TE
a) De acuerdo con (258) la condicrlaquon de un resonador es tal qui en su longitud exista
un nuacutemero entero de mitades de la longitud aacutev onda
d P Px
2 V1-WW - - _ V l (287
Despueacutes de sustituir los valores respectivos de A o y de los subiacutendices que caracterizan al
modo obtenemos
d - T13cm (288)
b) El factor de calidad Q del resonador se obtiene de (286) expresioacuten que reescribiacutemos
para ondas en modo TEm en la forma
Ud (l + 0343amp4)
2nlt61 + 02092 + 02436$
39
La permeabilidad magneacutetica del bronce (je) no difiere Mgninrativanicntt- riel valor corshy
respondiente al del vacio (lt as ftc - 1) Entonces la longitud de la capa piel (244) resulta
A = 812x 1 0 - W (290)
Finalmente obtenemos ltw el factor de calidad tiem- el valor
Q = 404903 (291)
c) FinalriKiitf nilrtilt-inos el ujrlifgt di- llaquoiinli en el nial la onda en moilo TEw puede
ser cxcitaihi Utilizando (277) y I27S) obleiicnicraquo los punto ile ]raquoifriiriiexcli inedia
-bull as 153927 x iexcluHz
w2 ss 153952 x 10VH
Por lo Unto el micho de banda tiene el valor
ui2 - ugt = 000025 x 10Hz
Observemos que el ancho de banda es lo suficientemente angosto relativamente por lo que
uacutenicamente se excita el modo TE Se puede demostrar que la frecuencia de resonancia
fundamental para ondas en modo TM es uiolo = 1031 x l0nHz
40
CAPITULO 3
TEORIacuteA DE PERTURBACIOacuteN
Toda Teoriacutea ile Perturbacioacuten establece que en ciertos casos los problemas irregulares
aquellos que no tienen soluciones analiacuteticas exactas) pueden ser considerados romo rrjpi-
iexcliexclTVraquo que sufrieron cierta perturbacioacuten Cuando la perturbacioacuten es suficientemente pequentildea
u el problema irregular podemos obtener una solucioacuten aproximada conociendo la solucioacuten
ltiel problema regular [9] El meacutetodo perturbativo se ha utilizado extensamente en las guiacuteas
de onda Existen trabajos donde se analizan los efectos de las perturbaciones en lew valoshy
res de frontera [15] asiacuteromo de las perturbaciones generadas por un pequentildea muestra de
Vrrita en el interior de las guiacuteas de onda y resonadores [1C] En este capiacutetulo se describe
ia teoriacutea baacutesica del meacutetodo perturbativo desarrollada en |17] en el caso cuando las guiacuteas
de onda y los resonadores contienen un pltsma en su interior
5 El Meacutetodo de Perturbacioacuten en las guiacuteas de onda
En la seccioacuten (32) se mostroacute que la propagacioacuten de ondas electromagneacuteticas en guiacuteas
de onda cilindricas se describe en teacuterminos de sus modos caracteriacutesticos Cada modo se
caracteriza por su constante de propagacioacuten Dependiendo de las dimensiones geomeacutetricas
41
de la guiacutea de mida estos modos o bien se propagaraquo o bien se atenuacutean En ln praacutectica Ins
dimensiones de las guias de onda siempre se escogen de tal forma lt|iii- unir amenteacute se puede
propagar el modo fundamental
El caso cuando se tiene una guia de onda parcial o completamente Urna con un plasma
sir produce uu cambio en los paraacutemetros caracteriacutesticos principales laquopie describen a la
guia de onda Si el efecto del plasma en tales paraacutemetros es lo suficientemente pequentildeo
entonces la teoriacutea de pertubacioacuten resulta ser mur adecuada para calcular ln constante de
propagacioacuten
Consideacuterenlos la propagacioacuten di ondas electromagneacuteticas a lo largo de tiiiiacutei guiacutea de ouila
cilindrica que se encuentra parrial ltgt rompidamente llena ron un plasma inhomogeacuteneo Si
sujHHiemos (|iir las caracteriacutesticas del plasma son axialmente uniformes podemos encontrar
la constante de propagacioacuten y las distribucioacuten de los campos
La propagacioacuten de ondas electromagneacuteticas en las guiacuteas de onda con plasma se tlescribc
por las ecuaciones de caminiacute
V x f + i - J = 0 (31) c
VxH-i-pound=mdashJ (32) c c
La condicioacuten de frontera se obtiene suponiendo que la conductividad de lax paredes de
la guiacutea de onda es infinita
|ntilde x Eacute = ntilde Ntilde = 0 (33)
donde ntilde es tin vector unitario normal a la frontera En ausencia de plasma la parte derecha
42
gtbull (32) es cero y el problema se reduce a U propagacioacuten dp ondas en una guia dlaquogt ondas
ivieca (Cap 2)
Las amplitudes del campo de las ondas normales se determinan en la forma
Eacutet(f) = pound ( I j e - i raquo w (34)
(F) = j(rj ) e- i ( r -
iquestonde r esel nuacutemero de onda En ausencia de peacuterdidas T es real (F = iacutei) Vamos a
suponer que las ondas se |gtropagan a lo largo del eje 0 paralelamente al eje de la guiacutea dr
onda
Para ileterniinar la influencia del plasma en la propagacioacuten de las ondas rlrrtroiiiagm-
licas en una guiacutea de onda es coacutemodo descomponer las ecuaciones pura las componentes
longitudinales y ]gtcr]gtendiculares del campo Estas ecuaciones se obtienen al descomponer
los campos y el operador V en la forma
pound = 4 + poundx ntilde = fflaquo + Ai = Lpound) + fjpound) (35)
V = Vbdquo + V I
donde los subiacutendices X y || denotan las componentes perpendiculares y longitudinales es
decir su proyecciones perpendiculares y paralelas al eje de la guiacutea de onda O) Sustishy
tuyendo (34) en (31)-(32) y considerando (35) obtenemos las ecuaciones en direccioacuten
perpendicular y longitudinal en la forma
- ^ [ V x ^ + V n ^ + i - l i o x f j = - mdash iexcl 0 x pound ( ) ] (36) IUgt C C
f-Vx[VxEacutex)-Vtamp-i-iexcloampl mdashrJiexcl (3-7) w C tt
43
donde i0 es un vector unitario dirigidraquo a lo largo del eje O Las componentes longitudinales
de tos campos se relacionan con las componentes jicrpctidiculares jKraquor liis expresiones
OZfy+^ftE) = [VxJbdquo (38)
Al = - - V x f ^ (39)
Ahora considerando que las ecuaciones de Maxwell son expresiones lineales es decir
que la combinacioacuten lineal de dos de sus soluciones tambieacuten es una solucioacuten y anaacutelogamente
para las condiciones de frontera (24) y (2C) determinamos (pie una solucioacuten maacutes general
del problema de uiiiacutei guumliacuten de onda sin plasma es una superposicioacuten de todos los modos
]MKgtibies de proiHigarioacuten con valores apropiados para sus eoetiacutecieiites Si la perturbacioacuten
originada por el plasma es lo suficientemente ]H-ltiuentildeu iiodemos suponer (pie la desviacioacuten
de cada uno de estos coeficientes es pequentildea con respecto a su valor no perturbada Dr
aquiacute que las componentes perpendiculares del cam]Mgt en una guiacutea de onda con plasma
se puedan representar como una serie (combinacioacuten lineal) con resjiecto a las funciones
ortogonales poundfc y Hk que determinan las comjioncntes transversales de los modos normales
en una guiacutea de oudn sin plasma
k
Los campos satisfacen las relaciones de ortogonalidnd [18]
(310)
JsEacute-kEacutedraquo laquo Nttu
JtpoundixEacute]deacute = ZSttu (311)
44
iquestiuumlaacutef el su|MTUacutegtdiexclctraquo denota el complejo conjugado de los campos Z = cTgt para
ltJAH ti|Mgt H y Z = wcT para ondas tilraquo pound ltlaquo es el siacutembolo de Kronecker bu = 1 si
raquo = y iquestbdquo = uuml si i- = ) y la integracioacuten se realiza sobre toda lo serenan transversal ilr la
tub de onda
Utilizando (310) y (311) rocontratnos las expresiones para los coeficientes uiquest y bk
(312) iexclsntilde ntildexu
Sistiruyriiiliraquo las seriacutees (310) en (3C) y (37) obtenemos el sislrinii f|i- eriiiioacuteoiirs
poundlt5r + ilgttfraquo4 = -- |iquestux(pound))l l t (313)
Ely+W)4 = VJbdquo (314) iacute
Multiplicando (313) vcrtorialinciitc por E[Aacute y (314) jMraquor HlM e integrando en 1raquo seccioacuten
transversal dr la guiacutea de onda obtenemos ron ayuda de las roiidintildeoucs de norma (311)
laraquo ecuaciones
rA + X KzcLEacuteltsEacute^ 3 1 6 gt En el caso en que los paraacutemetros del plasma no dependan de i la dependencia de los
campos con respecto a z se puede considerar de forma exponencial como en (34)
Eacute(jyz) = Eacutexy)t-iT ntildexvt) = ntilde(xy)r
45
(317)
o t ( iacute ) = laquo- M ) = V eacute r
Sustituyendo (317) n i (315) y (31C) obtenemos
laquoriacute - - - S S L bull +Ssect bull Uuml- 318)
Luraquo fiimriidirs (31S) y (319) |xira diferentes k roiii|xmni un sisirmraquo ltb-it-imrioiies lioinraquo-
geacuteneus liacutenenlegtgt ron res|gterttgt n liis roeiit-ientes nk y laquoV Lu riiudiriitn ilr solubilidad (igual)id
a rifo laquobrl determinante) determina la constante ib- igtrigt|Mi)igtiOacuteM Sin roiUirjpi el sistema
(318) y (319) resulta ser un problema muy laquolifiril laquoIt- resolwr De alaquo|iiiacute i|iie iexclti laraquo partes
ilereelias laquole (31S) y (319) son lo siinritrntetueiitc |ielt|iirntildeaH |MMICUIUS emplear la teoriacutea laquole
|MTturlgtMrilaquon
Sil|Kgtlliciifllaquogt fjflf- la denudad lie mrrirntc H traveacutes ilel plasma es (laquornjxirriimal H tin
paraacutemetro pequentildeo podemos descomponer las (-nulidades airaquorgt y E cii tiTiiiiiiiraquo laquole laquowte
paraacutemetro
bk = ZKv lt3 2 0gt
r - poundrubdquo
46
donde el subiacutendice ( dentildene el orden de pequentildees Vamos a considerar que en ausencia del
plasma en la guiacutea de onda se propaga el modo fundamental de una onda tipo H denotada
por iacute = 0 Ademaacutes si en la aproximacioacuten de orden cero se tiene
poundi = poundgt pound = pound | |= 0 (321)
entonces
ltbdquo - Abdquo (322)
Tiacuteo) = iexcl1lth
Asiacute considerando las expresiones (320)-(322) de (318) se oliticne la siguiente exshy
presioacuten en orden cero para lax ondas tipo H
laquo(bdquo[(r(0) + rbdquo + )raquo- rg = -^f-1 pound bdquo bull J(Eacute)d +
cAuZ|o) Js
de donde rlt -7IacuteT7-L iquestiacutef(Eacute)ds- (323) 2ni
Para las ondas tipo H Z(0) = c-iexcl^- mdash ^ de donde obtenemos finalmente
TMampLtedeg-f[Eacute)di- lt324gt
47
La cantidad compleja r ( 1 ) nos repcscnta el cambio que sufre la constante de propinacioacuten
T |Hgtr la presencia del plasma es ilecir es la correccioacuten a primer orden en la constante de
propagacioacuten (I = T - Tf0)) Esta cantidad se puede escribir en forma de unraquo suma de
sus componentes real e imaginaria
r bdquo = AJbdquo - iAobdquo (32b)
siendo An) gt 4 ltgt(i) las fracciones de cambio de la constante de fase y de amortiguamiento
respectivamente ocasionadas por la presenria del plasma
En corn-spomlencia con (32-1) y escribiendo la densidad de ciirrietite cuino J mdash J + i j
( es la parte real y es la parle iimiginaria) las cautidades de (325) toman respectivashy
mente la forma
iquest 4 1 = - V ^ V bull (3-20)
iquestngt = ^ C J bull (327)
2JSEacuteiexcl-Jiexcld
Vpoundbullpoundbdquo
far sfr0-Eacuteltj
En medios lineacuteale) anisotropicraquoraquo e inhomogeacuteneos la densidad de corriente r relaciona
ron el campo eleacutectrico en la forma
J=aEacute =mdashampbullpound (328) 4ir
donde amp es el tensor de conductividad eleacutectrica Af = (iacute - ) i es el tensor de permiacutetividad
dieleacutectrica e es el tensor unitario
Utilizando la expresioacuten (328) podemos reescribir (324) en la forma
48
wJ ft R bull Aacute iacute bull Ed
laquo Wen
r ^ poundbullampbullpound (330
En las expresiones anteriores no hay que olvidar que el campraquo eleacutectrico se expresa romo
una serif con respirtn al paraacutemetro pequentildeo pound Las expresiones (324)-(330) corresponden
iexcli iraquo aproximacioacuten de primer oidrn La condicioacuten que si- debe de satisfacer seguacuten la teoriacutea
de perttirlsirioacuten ni primera aproximacioacuten es tal qult- 1raquo magnitud de cambio en la ninstaiitr
de propagacioacuten debe ser sinnpre mucho menor que la magnitud laquobull- la difereiiria entre las
riHiMniitcraquo ilc propagacioacuten di cualquier modo con respecto al modo fundamental
ri lt r 0 r m lt |ru - rt| para todo Jl^O (331)
o con respecto a A y Aigt obtenemos
(332) Aibdquo laquo iquest A^bdquolt |A -r | iexcl
poundltraquobdquoltamp Ao(1)ltt|iquestt-rraquo|
6 El Meacutetodo de Perturbacioacuten en los resonadores
Anaacutelogamente al estudio de las guiacuteas de onda conteniendo plasma en su interior el anaacutelisis
en los resonadores que se encuentran parcial o completamente Henos con plasma exhibe
cambios en los paraacutemetros principales que describen los resonadores huecos En la seccioacuten
(41) ae mostroacute que un resonador tiene un nuacutemero infinito de modos de oscilacioacuten Cada 49
modo se caracteriza jagtr su frecuencia de resonancia su factor de calidad y su corres|Hraquon-
diente distribucioacuten de CHII)|Kgt La presencia del plasma en un resonador priMlure princishy
palmente un cambio en la frecuencia de resonancia en la cual el resonador se encuentra
opilando y en el factor de calidad Si la influencia del plasma en tales ]gtaraacutemetros es sufishy
cientemente pequentildea entonces para el anaacutelisis de este problema podemos tambieacuten emplear
la teoriacutea de perturbacioacuten
Consideremos un resonador que oscila en una de sus frecuencias de resonancia y que
contiene un plasma distribuido axialmente Evaluemos los iambins i|ite se producen en
liexcli frcciMiiciii de resonancia y en el factor de calidad del resonador Las distribuciones de
ciexclim|Hgty las frecuencias de resonancia se obtienen integrando las ecuaciones de campo (31)
y (32) con la condicioacuten de frontera (33) En este caso la condicioacuten de frontera (33) se
iipliia en la frontera cilindrica laquoleiacute resonador y en las superficies planas del mismo En
ausencia del plasma los raiiipos satisfacen las ecuaciones (31) v (32) con la piiacuterte derecha
igual con cero
VxEacutek + imdashH~k = 0 r (333)
V x Hk - mdashEacutebdquo = 0 c
y la condicioacuten de frontera (33) Donde se ha utilizado el subiacutendice Jt para denotar el
modo k de oscilacioacuten en un resonador hueco con frecuencia de resonancia ui Los campos
Ek y Hi satisfacen las relaciones de ortogonalidad
jvEacutekEacutedV = NkeacuteM
(334)
JvIacutekntildedV = Lk6kl
50
donde el superiacuteiidice nos indica el complejo conjugado de ios cam]gtos y la integracioacuten
igt realiza sobre tftdo el volumen del resonador
Se conoce que todo camjx) vectorial se compone de la suma de una parte con divergencia
ltITltJ iparte solenoidal) y una parte con rotacional cero (parte potencial) Para observar
la it^iuencia del plasma en la oscilacioacuten de ondas electromagneacuteticas es conveniente utilizar
este hecho escribiendo el campo eleacutertriacuteco como la suma de una parte solenoidal y una
potencial
Eacute = Eacute + Eacutebdquo V Eacutei = 0 (335)
V x Eacutebdquo = raquo
Llaquoraquos vectores solenoidales Eiexcl y H ile un resonador con plasma se pueden representar
como una coinlgtiuacioacuteu lineal de las funciones vectoriales Ei y Ht tjue detenuiiacuteian las
componentes solennidalcs de los modos de oscilacioacuten en un resonador sin plasma
Eacute = 5 gt pound raquo (33C) k
H - J gt amp (337)
Usando (336) y las relaciones de ortogonalidad (334) se encuentran las expresiones para
los coeficientes a y 6
TV (338)
_jvEacute-EacutexaacuteV 6gt 5 mdash bull
Sustituyendo (336) y (337) en las ecuaciones de campo (31) y (32) y considerando (333)
obtenemos eacutel sistema
51
k 1330)
J^(traquow-a tuf t)5 = 0
Multiplicando escalarmentc la primera ecuacioacuten de (339) por pound y la MRIIIKIIacuteI JMW HJ e
integrando sobre todo el volumen del resonador obtenemos
[b^k - laquow) = pound Eacute] bull poundkM - ^ I Eacute TIV (340)
(JW-laquo) = o 1341)
El primer tmuiiacuteiraquo tit- la tlrn-rlm ltb (340) i-s IacuteRIIUumlI IIHI erro Siacute ili-sprjaiiio ltbull (341) fr
y lo sustituimos cu (340) otitciii-inos
iJiexcl - J)nbdquo = Jj^L(pound-k f(g)dV (342) iexclSi Jv t
tlmide
k = ^ laquo 4 (343)
y Vi es el volumen que ocupa la columna dr plasma Sustituyendo la primera expresioacuten
para a de (338) en (342) se obtiene la relacioacuten
2 Jv Eacuteiexcl bull JEacute)dV - a g - iacute - 4 trade ^ iquest r f v 044)
donde se ha remarcado la dependencia de la densidad de la corriente con respecto al campo
eleacutectrico Por otro lado se observa que las ecuaciones (342) y (343) para diferenteraquo valores
de k forman un sistema de ecuaciones homogeacuteneas lineales con respecto a loraquo coeficientes
a La condicioacuten de solubilidad (igualdad a cero del determinante) determina la constante
52
bullltbull propagacioacuten Si la parte derecha fie (342) es lo suficientemente pequentildea jiodeinoraquo
ltiijgtlear el meacutetodo |gterturbatiro
Suponiendo laquoue la densidad de corriente a traveacutes del plasma es proporcional a un
paraacutemetro pequentildeo ]gtodemos desromponer las cantidades OkM^ ) E laquogt teacuterminos de este
paraacutemetro
h = poundbdquo lt3-45gt
(
lioiide el suloniHir ( define el orden (le peqncntildees Si en ausencia del plasma sr excita una
onda lie frecuencia UumlIiexcl en el resonador entotires en la aproximacioacuten de raquorltbii cero se tiene
pound|o) = Eiexcl
a = eacutelk (346)
Sustituyendo (345) en (344) e igualando los coeficientes de la misma potencia con respecto
al paraacutemetro pequentildeo se obtienen las soluciones en distintos ordenes de aproximacioacuten En
primera aproximacioacuten para k = l resulta
gt bien
53
= 2 ^ ^ 347)
En gmrral J ( ) ) es tuia cantidad complt-ja i|ttr mis reprcscuta la i-orrerrintildeu a primer
orden en la fnriirncia compleja de resonancia (uim = m mdash wi) Di- acuerdo ron (274) esta
cantidad puedr escribirse en la fonna
-bdquo = Aw + IA iacute J (348)
donde i parir mil ltbull imaginuria nos detenniunii las fraoioiirs laquobullbull cambio di- la |Ktrtc real
de la fri-eui-iicia di- n-soiiamia y la calillad dri resonador rcsptitivaiiniitc ocasionadas por
la pn-Hcuciacutea del plasma
En corrispoiidiiicia ion (347) escribiendo y descomponiendo la densidad de corriente
ronio J = 3 + i 3 (3 lts la parir real y 3 i la partiacute- imaginaria) las rantidailps ib (34S)
tulliacutean rirspeclivaineute la forma
- raquo m _av-j (340) wi w iexclv Eiexcl bull EilV
Qi) un fvpoundiexclEacuteM
En medios lineales anisotroacutepicos c inhomogeacuteneos la densidad de corriente se relaciona
con el campo eleacutectrico en la forma (328) De aquiacute qtie )gtodamos reescribir (347) como
WIacuteII bull - mdash mdash s mdash s 351) 2 v poundJ bull EdV
Para evaluar las correcciones en segunda aproximacioacuten a la frecuencia compleja de resoshy
nancia se sustituye la correcioacuten a primer orden del campo eleacutectrico E - poundbdquo + pound en
54
3441 la rual se determina por la expresioacuten (342) al evaluar cada uno de los rieficientes
u ron k JEacute
trtonces las correciones a las partes solenoidal y potencial se expresan en la forma
V pound | bdquo = mdash V bullbullltpound) (354)
Las roiidiiioniK laquo|nr se ilrlx-n satisfacer pariacutei cpir la expresioacuten (347) KIIacuteI viiacuteliiluuml es tul
([iilt parsi i ^ tentniMM
^ (355)
y |Hgtra I- =
A M mdash laquo 1 (366)
bull(4) e l
55
CAPITULO 4
INFLUENCIA DEL PLASMA
Eu i-sti- i-itpitulo en base al meacutetodo perturhativo descrito i-n el capitulo 3 se obtiene
el gtiexcliiiil)io laquopie sufre In constante de propagacioacuten para lindas rleclioniagneacutetiras eme se
propagan iii miii guiacutea ile onda ciliacuteiidriiacutea que i-oiitieur en su eje una roluijjua laquolaquobull plasma
friacuteo iiiliimiogeacuteufraquo y magnetizado Ademaacutes se determina la vaniiiioacuten ite la frecuencia laquole
roouancia para las ondas electromagneacuteticas qui se eiiruentran oscilando en tin resonador
cilindrico que contiene una columna de plasma friacuteo magnetizado e inhomogeacuteneo distribuido
axialmcnte Si- calculan las variaciones de la constante de propagacioacuten de la fierucucia de
resonancia y laquoleiacute factor de calillad jgtara diferentes valores de wjJJ1
7 Influencia del plasma en las guiacuteas de onda
Vamos a considerar como paraacutemetro pequentildeo que el radio del plasma es mucho menor que
la longitud de onda y que el perfil de densidad de electrones es de tipo paraboacutelico con
respecto al radio Ademaacutes el campo magneacutetico externo se considera homogeacuteneo y dirigido
a lo largo del eje O (Fig 41)
Como ya sabemos en una guiacutea de ondas cada modo de propagacioacuten se caracteriza por
56
Bo
P L A S M A
Fig41 Sc inwsira nnraquo i laquolimiiia ilr plasma laquoIc ratlin rbdquo loi aliidi sobre el ltbullbull bull)bull- miacutea guiacutea laquole
ogtda rihiiilrii-a dc railio rt in rampo iiiagnrliro externo iquestV osla dirigidraquo a Iraquo largraquo del ltbull)gtbull (gt
t i rumiante propagation Su parte real o factor dr fane drtrniiiiin la vrinriibul ill- fiiw
iexcluiftitraraquo I 1 piirti- imaginaria laquogt riwrkienlc tic absorcioacuten tlrtmniiacuteia el raquoinltgtrtigiiiexcliiiiiexcli-iitigt
(ir los diferentes modos ir propagacioacuten El efecto que se origina ttiantiraquo se rolix-a IIIIIacuteI
columna de plasma dentro de la guiacutea de ondas es un cambio en la constante de propagacioacuten
De acuerdo con la teoriacutea de perturbacioacuten este cambio es proporcional a la razoacuten del cambio
de energiacutea dentro de la seccioacuten transversal que ocupa el plasma sobre el vector de Poynting
evaluado sobre la seccioacuten transversal de la guiacutea de onda
r r - u _ IM-bullpound _ bdquo
donde las cantidades con subiacutendice 0 denotan cantidades no perturbadas (sin plasma)
Para evaluar la constante de propagacioacuten (41) es necesario obtener las soluciones de los
57
campos eleacutectrico y magneacutetico dentro del plasma en teacuterminos del jiaraacutemetrraquo peipientildeo
Para el caso de un plasma friacuteo cuando la velocidad de fase ile lsts nudas electromagneacuteshy
ticaraquo es mucho mayor (pie las velocidades teacutermicas di las (laquoarticulas si- utiliza el modelo
hidrodinaacutemico Debido a la simetriacutea cilindrica del problema su]Mgtngamos ijiacuten- los campos
tienen la forma
Eacute = iquestj(r)rr+--
Expresando la ecuacioacuten de onda
V x V x Eacute - ^r-iacuteEacute = 0
(42)
(43)
en coordenada iiliacuteiiltlriras se obtienen las eniariolies para las componentes del ranipo
eliVtriro i-ii la forma
igt
i-e- - mdash - DE = --Mt - DE + mdash(poundj + rr r r r r
E + - pound + (mdashv - ) pound = pound- + mdash (rpoundr) bull r r r r- r
(44)
(45)
-rcEr + iru(e - 1)poundJ + mdash | - i laquo ( f - 1)pound + poundpound] + rraquopound3 = 0 (46)
Aquiacute las primas indican una diferenciacioacuten con respecto a r l es el tensor dieleacutectrico en
la forma [19] (Bu esta dirigido a lo largo del eje 0)
poundraquo -
pound
0
pound 0
o vi ( t iquestu(e - 1) 0
= - t u ( c - l ) pound 0 V 0 0 r)
(47)
58
aacuteHtuacutee
- - 1 ti ul2 - - f j
2
= bull laquo bull i
_ = (r) = 4r r laquobull 1iexclI freruenna plaacutesmirraquo y -laquo lt-N ]iexclI fririirii-iraquo rirlotroacuteliira dr los
bullbulllaquobullerroiirs
Si il nidio ilil pliisiiiii o |Hi|iiiiacutein iii rumpiriiriuacuten ron IIacuteI loiigiliul de onda y n Irmas pound
varia i-ii un onli-n i|f iuiacuteraquotiacute-j)i in J |IIII|P)JIIgtS expresar li viiriiirioacuteji ili rraquo la forma
poundltrgt = bull ( laquo v ) bull iacute gt h 4 S )
donde el bullmnuiirtro se lm introducido para obtener las soluciones aproximadas ni difeshy
rentes ordenes ron respecta a pound di los camporaquo eleacutectrico y inaRiirliin Haciendo rl nunbio
lie variable x mdash =pound en la ininrioacuten (45) obtenemos
E = --(pound) - -plusmnpoundE - ^iquestE + - 4 J ( Iacute pound + gt9E) (4-9)
donde B kciexclwg = u(iacute - 1) y la prima denota una diferenciacioacuten con resprcto a x
Haciendo el mismo cambio de variable eliminando E por medio de (49) y limitaacutendole
hasta teacuterminos del orden (IO1- a ecuaciones (45) y (46) toman la forma
59
F i g 4 2 IVr l i l |gtiifiacuteilraquogtlirgtgt ili li |TinHivnli i l c|i| ( I I IM I I I n m P | W T 1 I I iexclI JT - mdashgt
[j-tl ltbullpoundbdquo-)] - (mh + mnixEf = 0 141raquo)
(411)
Se observa qui- la ecuacioacuten (410) no si- encuentra acoplada ron (49) y (411) cnloiires
podemos obtener su solucioacuten En condiciones experimentales una distribucioacuten dr la denshy
sidad de tipo paraboacutelico con respecto al radio resulta ser una rnuy buena aproximado
(Fig42) En tal caso escribimos
pound = T- - t0 (412)
siendo
CO
^ deg - 1 laquo413 J1 - ^
valor de la penuitividad en el eje del cilindro de plasma
Antes de sustituir el perfil paraboacutelico de iexcla permiacutetiviefad (412) en (4S) httgtimos en
bulli10 el cambio de variables
E = il|-r-|J-) 1414
bullbull donde obtenemos una ecuacioacuten diferencial pam en la forma
(V - bdquolr-+ [-(2|m| + 1 | - + (2|w| + 3|rjr-+ 2(|raquo| - tnu)Y = 0 1415
Haciendo un nuevo cambio de variables y = xiacutei en (415 se obtiene la ecuacioacuten
wd -v)r + H +1 - ( H + 2)W- iexcl y = o lt4icgt
Eltfa uacuteltima ecuacioacuten es una ecuacioacuten de tipo hiperficomeacutetrico y su solucioacuten es conocida
20 de donde la componente angular del campo eleacutectrico tiene la forma
poundv- = CxH-F(laquo6cy) (417)
donde F(a b c y) es la funcioacuten hipergeomeacutetrica [20] C es una constante y las constantes
cb y c tienen los valores
b = l + | m | - a (418)
C a 1 + H
61
respectivamente Dlt- la ecuacioacuten (411) podemos ahora escribir la expresioacuten paro la com-
jiacuteomrntf axial en la forma (hasta teacuterminos laquoiel orden (1iacute)1)
E = _ bdquo|m| D+-plusmn-CF(abc mdash mi poundu
= DiquestnbullT mdashJEiquest (419)
donde D es una constante La componente radial del campo eleacutectrico se obtiene de la
rniacioacuten (49) sustituyendo en esta (417 y (119) El campo majiexcliieacutetirtgt se deterniina laquole
la ecuacioacuten dr Faraday
1 OD r x pound = mdash mdash (420)
c uumlt
Limitaacutendose hasta teacuterminos del orden IO1 obtenemos la componente axial del camjm
magneacutetico
H = iacute H D gt i + Jiacute-lfEj - iiacuteuumlUuml^r (42D lit inz in(
Las constantes C y D que aparecen en (419) y (421) dependen de las condicioneraquo
de frontera Para su determinacioacuten acoplemos los campos dentro del plasma con los del
vacio bajo la condicioacuten que haya continuidad en la frontera del plasma (r = r) de las
componenteraquo E y Hiexcl
Ermfl = poundo | bdquo (422)
|tradebdquo = H0rmri (423)
Considerando que e(rf) = 1 y usando las expresiones correspondiente para las composhy
nentes axiales de los campos con plasma (419) y (421) y de los campos sin plasma
02
Z = DtJbdquo~ri y H0 = CWJbdquo(-T)) obtenemos las expresiones de las constantes C y
Z teacuterminos de los cani)gtos no perturbados En el raso para m gt 0 obtenemos
2 m (m- l ) -raquo - mF(n o r y ) + jF(noriexcl() bdquo-(bullraquo-raquogt( pound)bullraquo-)
D = 2miquest- C raquo + ^ deg - (4-25gt
iacute uiquest y = xfiacutey C0 y Dlaquo son unas constantes Hasta el momento nos hemos limitado a
- rinos del orden de ( l ) lo qtw equivale H decir que lit rondicioacuten de raquo|gt]irn)gtiliilad de
1- ecuaciones obtenidas es
kr iquest
7Iacute(l + | - bdquo | r laquo 1 1420)
Una vez lt|iie se lmn obtenido las expresiones tie los campos dentro del plasma evaluemos
bullbullbull integrales de 1iexclI expresioacuten (41) que determinan la const iexcltute tie propagacioacuten para una
sua de onda conteniendo en su eje una rolumna de plasma Se considera que el problema
gt perturbado es aquel que ronsiilera una guiacutea tie onda riliacutendrira llueca |fbdquo = 1 y bdquo = 1)
pound1 caacutelculo se realiza para una onda en modo H Para este modo la constante Dp es igual
con cero y las constantes C y D se reducen a la forma
C Jiquest poundk (4 27) 2 o F(a62yi) + ytFub2bdquo)
D = - g c bdquo (428)
Primeramente evaluemos la integral en el numerador de (41) para ello consideremos
la expresiones (229) Tomando la parte cosenoidal de (229) para la componente axial
correspondientes a los campos no perturbados y el tensor de permiacutetiv lad (47) obtenemos
63
= f - - A iacute - E iacute laquo 429) J Ai
= iexcl J |pound - 1) [poundJlaquoMraquon5(r + iuE) + poundt(MraquoiT-|pound - laquopound)] (-rdrtl
donde las componentes Ew Er y Eiquest dependen uacutenicamente del nidio La integral sobre if
en el intervalo [02r j se realiza expresando el termino exponencial romo senos y renenrraquo
y romanilo en cuenta sus relaciones de o-tugonalidad Por tanto despueacutes de realizar la
integral Mible r_ se obtiene
= - f r|pound - 1 )[Er(poundr + iuE) + EI poundr- - laquopoundbull ))ltbull
A1 r raquoraquo = r r(iacute - 1 )[rCZH mdash-J m (7r ) |pound r + laquopound) +
+ CZll-Jj-lr)(E-HiEr)dr 1430) i
La integral anterior se evalna sobre la seccioacuten transversal de la columna de plasma
Aquiacute r i es el radio de la columna de plasma Por otro linio si expresamos - en teacuterminos
de la longitud de onda di corte Ar (217) para tina guiacutea de ondas hueca en la forma = ^
ohservanios que el argumento de la funcioacuten de Bessel eu (430) es una cantidad mucho
menor que uno Para demostrar lo anterior notemos que de acuerdo con (218) para que
la onda se propague a traveacutes de la guiacutea de onda se debe satisfacer que la longitud de onda
en el vacio debe ser menor que t Ademaacutes debido a que sr ha considerado que la longitud
de onda es mucho mayor que el radio del plasma entonces la longitud de onda de corte
tambieacuten es mucho mayor que el radio del plasma Esto uacuteltimo nos sirve para considerar
uacutenicamente el primer teacutermino de la serie de la funcioacuten de Bessel [12] con respecto si
argumento -yr = 2iry De donde (430) se transforma romo
G4
Ix = gtCU (1 - ti) r(pound - iy[iEr + pound)rfr (431) Jrm Ji)
-spueacutes di- hacer el cambio de variable x = iacute - r y sustituir las formas expliacutecitas fie los
gt-npos (4D) y (417) para Er y Ef respectivamente se obtiene de (431) la expresioacuten
bull - f pound z raquo r m - i f e r ( i - u ) x 4-32) x i(-- -)rxx-F(iUlt mdash)] + iirtn-iquestFuUlt~ )li
Ai [ iquestu tu J
jiirlc se han aproximado los campos hasta teacuterminos del orden (7 ) Integrando P )laquoirles
raquo n-sperto a r el primer teacutermino de (432) obit-nemos
laquo - ^ V r r ( l - laquo ) x - + f V a r - (433) 2wi lt W bullraquo iacuteraquo
Sustituyendo la forma expliacutecita para la constante C (424) en (433) se observa miacutee (T-To)
vrrere con el nuacutemero de modo vi en la forma lt~IK Para t-l casiraquo (pie nos interesa tu = 1
iexcl integral ltpir aparece en (433) es faacutecil tie evaluar Para esto liaciendo el cambio de
variable y mdash x7t0 se puede reescribir la integral de (433) en la forma
Jsl+to x
xlnF(abcmdash)dx o iacuteo
= ~iexclg yF(abhy)dy (434)
utilizando la relacioacuten de diferenciacioacuten de las funciones hipergeonieacutetricas [11]
pound-[-gtF(abc)] = (c- n)nt-F(abc - ns) (435)
65
con ii = 1 v r = 3 se obtiene
Re-escribamos (43C) en una forma maacutes conveniente pura ello usando la siguiente
foacutermula de transformacioacuten para las funciones hipergeomeacutetricas [1121]
e f e - 1)(- - )Fnbc- z) + rr- 1 - ( 2 c - laquo - b- )zFlabr ) +
(r - laquo)(r - l | F I laquo i r - 1) = 0 (437)
ron laquobull = 2 y considerando las formas expliacutecitas praquoriexcli laquo y b tie (41) ron m = 1 de (437)
obtenemos la relacioacuten
F ( w fc 3 lplusmniraquo ) s ~ 4 ( 1 ^ 1 1 ) f^Ffafci 1plusmn^gt - J-(laquo2 l plusmn ^ iacute ) 1 (43S) poundbdquo (1 _ bdquo ) ( U i l j l fu ibdquo J
Finalmente usando la igualdad [11]
FUifc2) = F(ub-) - (laquo fc2c) (439)
la ecuacioacuten (43S) se puede escribir como
F(flft3^-=2)= F(laquob2^-^) (440) poundo ( I - K ) Iacute O iacuteo
Sustituyendo (440) en (436) y tomando en cuenta la relacioacuten t = 1 + pound0 obtenemos
-^|UftV(laquoraquoi^) H41) (1 - u) e0 pound0
y sustituyendo (427) y (441) en (433) finalmente obtenemos para | la expresioacuten
66
cbdquo r (1+^) riab2 iquestraquo)
M i r iacuteo F (laquo 6 2 l^ )+ L Uuml^F (laquo iquest 2 l i iacute i ) (442)
La integral del vector de Poynting correspondiente al denominador dr (41) evaluada
la seccioacuten transversal de la guiacutea de ondas tiene el valor obtenido cu (236) de donde
h - jA([Eiquestplusmnxntildevplusmn+EacuteraquoxxHiquest ]gtltlaquo
= CJZbdquoVgt bull laquo i i
JfjjLii- (-143)
iacutegt|HIacute rbdquo es el radio de la guiacutea ilc onda Finalmente dividiendo (442) entre (443) se obtiene
bulla expresioacuten para el cambio en la constante de propagacioacuten para unii onda en inodo Hu
ltue se propaga en una guiacutea de onda ron plasma
- ( r -r u ) = Ax iacute -Fnb2-^iacute)
F(laquoJ2 bullraquo)+ ^^Ff f i 2 ^ )
donde
(444)
M= 21(rr0)3
l - 3 3 9 ^
De aquiacute se obtiene que la constante de amortiguamiento es proporcional a
(445)
o = A F(o62ttiraquo)
f(afr2 iraquo) + UiacuteampFia fc2 raquo) Mtr)
F(a62iplusmniacuteraquo) (446)
07
Esta uacuteltima expresioacuten se igtigttnvigt ron vi uso di-la igualdad (439) Por otm bulo notemos
i|ugt- el argumento dr las funciones hipergromctriras dr (44G) es mayor laquopie la unidad Es
conocido laquopie la serie hipcrgeonirtrini diverge en yi = -f4 gt 1 [20] Por lo tanto rs
ruuvcuicute transformar las funciones hipergi-omctriras de- (44G) laquoru series convergentes
|gtaia filo obtrugamos las expresiones para Fluriacute l y ) y Fnb2y) donde y = 1(1 mdash z)
Para podrr estudiar la absorcioacuten de tma onda excitada en modo Hiexcl1 cu una guiacutea de onda
cilindrica como la que se tiene cu la fuente de plasma construida en el INlN y descrita
en 2] es necesario obtener las expresiones para Flnli 1 i) y FnU2y) ya ipie para
laraquo bull-iitiiiiciones de la niiiijuilia i tiende a la unidad como se desenlie con maacutes detalle maacutes
adelante
Observemos ipie la ecuacioacuten
t( 1 - )iquest + (1 - 3i)o - ltilgto = 0 1447)
tiene como solucioacuten la funcioacuten hiprrgromrt rica Finli li) Si bacnnus el cambio dr
variable raquo = 1(1 - z) entonces (447) sr rersrribr rn la forma
(1 - ) V + (1 - r gt ( 2 - r ) iquest + nkgt = 0 (448)
Fiacutetiaitnente con vi cambio iquestgt = (1 - )lt obtenemos la ecuacioacuten
i ( l - c)vgt + [2 - (26 + I r ) ] - IacuteraquoV = 0- N- 4 9 )
La solucioacuten dr la ecuacioacuten (449) es la funcioacuten hipergeomeacutetrica Fbb2z) [21] Sin emshy
bargo una solucioacuten maacutes general para F(ab i y) es una combinacioacuten lineal dr las dos
soluciones existentes de (449) [21] esto es
G8
Fiubly) = [-)lt AtF(bb2)-rB F(bb2z)Ln+Pii) + (l-fc) iJ
(450)
donde At y B son constantes por determinar y Pj(c) es una serie de potencias con resjiecto
a en la forma [21]
donde
^)=poundr^ [ lt ) - ( o j
Iraquo) = (laquo + raquo) + 4(+raquo)- I2 + raquo ) - ( + 1)
(451)
(452)
4 (bull In funcioacuten i igt iliiinim y (laquo) = laquo(laquo+ 1)(laquo + 2) bull bull bull (laquo + 7 - 1) Multiplicando anillos
luumldoM de hi ecuacioacuten 145(1) por zi - z) difiTciiciacutenndo ron respecto a i y considerando el
liacutemite ruando - tiende a cero olitcuciuoraquo la igualdad
vd - amp)bull(laquo ft 2v) = r r - r + BW + raquo - ) + iquesti-(i -raquo) (453)
Ahora usando la representacioacuten integral de la funcioacuten hiacutepergeomeacutetriacuteca (2Iiexcl y considerando
las definiciones (426) para aby c obtenemos
a - f - r(laquo)r(6)o ( i - lt y )
La primera integral de (454) se calcula faacutecilmente y tiene la forma
Jo 1 - ty y (455)
69
Para evaluar 1raquo segunda integral de (454) recordemos laquopie 1 = ^^ y notemos ipte en el
limite ruando y tiende a mm (c tiende en este castraquo a cero) iacutei se vuelve muy grande
raquo|iiraquo- laquobull equivalente a ltllaquorir que inraquo acercamos a] punto de resonancia eicloiroacuteiiica in = 1)
y por kgt tanto con r=2 Igt tiende a cero De esta manera la segunda integral de (454) se
aproxima al valor [21]
laquo-raquo- 1
1 - f dt = -(fc)-C (45C)
donde C es 1raquo constante de Euler Sustituyendo (455) y (45C) eiexcl (4541 obtenemos
f io 2) = 1
-Ltil - bull ) - laquo1M J- C 1 4 5 7 ) r(2-raquoinM
Pitra determinar las coacutemanles -4j y D sustituyamos (457) en (453) y separemos los
teacuterminos laquopie ionticueu Lti de aijticllos (pie no lo contienen Asi obtenemos las expreshy
siones para las constantes 4| y B en la forma
A =
B =
^ ^ laquo ^ ^ ^ r ( 2 - igt)T(igt)
(1-fc)raquo f(2-gt)JW
(45S)
(45ai
Anaacutelogamente se puede encontrar una solucioacuten para F[ab2y) en la forma
+ [ C + ( t ) + i raquo ] | F ( 6 f c - l l r ) I n iacute + fl(s)] (460)
donde
70
Las expresiones (450) y 1400) representn las transformaciones dr Filtibiy) y
Flt a b 2 y) respectivamente en series convergentes ruando y tiende iexcli la unidad Las consshy
tantes A y Bi se expresan mediante (458) y (459) corresigtondiexclentenieiitlaquo- Finalmente
y fie acuerdo ron (44G) dividiendo 4G0) intrc (450) y tomando la iexclgtiexclirtr iiiiiacute-uumliuaria
obtenemos la expresioacuten para la constante ltle amortiguamiento o de absorcioacuten en 1 forma
( i
Jf = laquo x Fffcfc - 11 )[1 - (1 - fc)(2 - fc)F(662 z) + Piexcl)- )bull]+
+ P (r) | l -6) F |6 6 2 )x
x [l - (1 - b)2 - h)FVb2) + P7(z)l - by +
+ C + (b) + Ln -](1 - 6)-F(6 62 r)] +
+ T T V ( 1 - 6 ) ^ ( 6 1 2 1 ) (4C2)
donde r = 1(1 + pound0) La figura 43 muestra el comportamiento de (4C2) en funcioacuten de
ni x u para m - 1 es decir los int2Tvalos [-LO) y [01] corresponden a m = - 1 y tu = +1
respectivamente Las graacuteficas de la figura 43 corresponden a los siguientes valores de
-bull(0)toiacutes a) 82 b) C c) 4 d) 3 y e) 1 Las graacuteficas c) d) y e) difieren de armellas
mostradas en [22j ya que aquiacute se han considerado uacutenicamente los primeros cinco teacuterminos
de las series Pz) y Pt(z) Por otro lado observemos que el coeficiente de amortiguamiento
se anula en el caso de resonancia cidotroacutenica (u = ) Sin embargo esto no significa que
no existe absorcioacuten de la onda en este caso como se reporta en [23] en los punto donde
71
o bulla
iquest
1 3
n raquo
o i
Wv
72
eiexcl Iacutendice de refraccioacuten tiende a infinito se produce una absorcioacuten delas ondas en el plasma
ltii- tipo no rolisioiiacuteal Esta absorrioacuteu se asraquo ic a la existencia de punto singulares dlaquo- la
ecuacioacuten de onda exacta para ciertos puntos dentro del plasma es decir ai|uiacute la componente
del campo eleacutectrico paralelo al gradiente de densidad es infinita
En la fuente de plasma descrita en el trabajo [2iexcl se trabaja actualmente con densidades
del plasma del orden raquof(0) = C x Nfcnr3 y con un campo magneacutetico externo B =
S~jGtntraquo Ademaacutes se cuenta ron una guiacutea de onda de radio rbdquo = 425rFraquogt en la rual se
IgtngtiexclgtiexcliEiexcli una onda electromagneacutetica ron 111raquo frecuencia w = 15304 X 10 gt Si el radio del
plasma es C| = 3ltm eutonres tendremos los Mullientes valores para _laquo_- 10) 11gtf0)-bull
y respectivatiieiite
wbdquo = 15379 x 10V
raquogt(()) = 13S19X 1 0 V
1 = 00990 1403)
^(0)--J = 08
poundn = 3902
A = 19525
En este caso podemos analizar de la figura 43 curva a) comportamiento riacutee la constante
de amortiguamiento cuando u^fO)raquo2 = 08 Como podemos olmcrvar la constante de
amortiguamiento tiene valores relativamente grandes en la vecindad de u = OC pero
decae raacutepidamente conforme u tiende a la unidad Cuando u = 0999 la constante de
amortiguamiento tiene el valor
73
o = Ai x (M)0()02455 = lSS x 10 (464)
El anaacutelisis anterior es vaacutelido si se rumple la rondicioacuten (42G)
^ ( 1 + |poundbdquo|)- ltpound 1 MCO)
que eii nuestro laquoaso es correcto ya que
^ - i d +|ibdquo|)-=ocnsx lo- ucc)
8 Influencia del plasma en los resonadores
El meacutetodo de Perturbacioacuten en este raso se mi de formraquo similii ii el rusraquo de tina guiacutea
tie onda Como paraacutemetro pequentildeo se considera anaacutelogamente que el radio del plasma
es lutirlio menor que la longitud de onda Ademaacutes se supone que el |HTTiexcl1 de tielisidad
electroacutenica es de tipo paralioacutelico y que el campo magneacutetico externo es homogeacuteneo y esla
dirigido a lo largo del eje O
Anaacutelogamente a el caso de una guiacutea de onda la presencia del plasma en un resonador
es originar un cambio en la frecuencia de resonancia De acuerdo ron la teoriacutea de perturshy
bacioacuten este cambio craquo proporrional a la razoacuten del cambio dr riirrga almacenadraquo dentro del
volumen que ocupa el plasma en el resonador sobre la energiacutea total almacenada en todo el
volumen del resonador (34C)
WJVpoundiquest iquestiquest EacutedV w - u 0 = wbdquo = - iquest (4Glt)
iquest Jr pound0 bulltoraquo
74
Lu i-niaciuacuteii (4CT) requiere la evaluacioacuteu de el campo eleacutectrico cu el plasma En la
-bullbullTIacuteOII 7 se obtuvieron los campos en una columna de plasma friacuteo de radio pefpit-iio
magnetizado e inhomogeacuteneo localizada en el eje de una guiacutea di- onda cilindrica Con
tuda de estas expresiones podemos determinar en forma expliacutecita los campos cuando una
lunuia de plasma se encuentra en el resonador
poundru-y--) = iacute
r 22
mi miacutem mS
poundir r-) = C | |- F(laquoraquor-K--fbdquo(4--) in raquo t4CS)
uy-) =
poundgtXM + _L pound raquoltiacute ti
In I-I - r i - l iacute - D P DJT] T mdashmdashstE) E 111 lllC laquo ( il
donde x = (iexclt~ C y D son constantes = ruy = u(i mdash 1) la prima denota diferenciacioacuten
con resjMcto a j - Fin h r y) es la funcioacuten de tipo hipergeomeacutetrico [20] y nb y r tienen llaquoraquos
valores obtenidos en (418)
No hay que olvidar que cu un resonador los campos son estacionarios de aquiacute que la
dependencia con respecto a r se escribe multiplicando cada ecuacioacuten de (468) por el factor
jffi(^z) oacute coM^z) p= 123 iacutees la longitud del resonador
Calculemos el cambio en la frecuencia de resonancia para ondas de tipo TEm- La
integral del denominador de la expresioacuten (4G7) nos expresa la cantidad de energiacutea eleacutectrica
almacenada por unidad de volumen en el resonador sin plasma cuyo resultado para un
resonador hueco se obtiene de (2GC) al considerar que WE = Wn y en pnrtirular fiv ~ 1
( = 1 El resultado para este modo se expresa en la forma
U = bull EacuteltW
= ^^M-MUn) M69)
Por otro lado la integral del numerador de (4C7) evaluada sobre todo el volumen que
ocupa el plasma se calcula con ayuda de las expresiones (2G0) (resonador sin plasma)
di las expresione (4CS) (resonador con plasma de radio pequentildeo) y de tensor dieleacutectrico
(47) obtcnirlidii
= iacute iacute f ( pound - l ) [E ( gtfm l T - | pound + l l lpound l + Jit u Jn
+EuacuterosinY-(Er - iuEr) rltMiJl-^-)riexclrd^dz (470) d
donde las coui]gtoiientes Eu E y pound tienen dependencia uacutenicamente radil Al realizar la
integracioacuten sobre Iacute y iquest en los intervalos [0 d) y [02riexcl respectivamenie obtenemos
s = V iacute r(t ~ XUumlEoE + iuE^) + Eiquest(E - niE)]ltlr iquest Jo d [ [ r
bull r ( iacute - l ) Jo
iC0 r Jm-r)Er + iuE)+
+ Q--JJfr)(E^ - iuE ] dr (471) c i J
Anaacutelogamente a el caso de una guiacutea de onda se utiliza el mismo argumento bajo el cual se
considera el primer teacutermino de la iuacute fmiacutecioacuteii en serie de la funcioacuten de Bcssel con respecto
al argumento r = 2JT^ De aquiacute que (471) se reescribe como
76
c iquest iquestml Jo
Lspueacutes de hacer el cambio de variable x = (iexcljfr y sustituir la forma expliacutecita de los campos
bull 49) y (417) para E y Et en (472) se obtiene
h = gtc ( l - u ) x wirdy-raquo l c V
0 c 2 2m V(wj
J-(pound- )L-[T FUIICmdash ) + mxJ-JF(bdquolt-i)h -raquo -raquo iraquo J
(473)
donde los campos M- han considerado hasta teacuterminos del orden (|) Integrando por partes
con respecto a J el primer teacutermino de (473) obtenemos
h = -2Cy bull )h (474) c 2 2raquoi Vi bulllaquo iu
La integral (pie aparece en (474) coincide exactamente con la cjne aparen- en (433)
de donde para ondas en modo TEm s se calcula sustituyendo (427) y 1441) en (474)
obteniendo
= rColTJiacutefrr iexclJ ltd j ( l+poundo) bull(laquoiquest2f)
(475) c3473 ebdquo f(o62lplusmnlaquoraquo)+1 plusmn a i v(o62iplusmniacuteraquo)
Finalmente dividiendo (475) entre (469) se obtiene la expresioacuten para el cambio en la
frecuencia de resonancia en modo T pound m para un resonador conteniendo una columna de
plasma friacuteo de radio pequentildeo
W(D = (u - u0) - MjX 1 - -F(laquo62lraquo)
siexcl X 1 -F(abll)
(476)
77
donde
La ecuacioacuten (47C) coincide con (444) salvo por una la constante Miexcl Anaacutelogamente n
el caso de una guiacutea de onda utilicemos las expresiones (450) y (4C0) juira Fintly) y
Fllti2 i) respectivamente Sustituyendo (450) y 14CO) eji (47C) y separando las partes
real e imaginaria obtenemos la variacioacuten de la frecuencia de resonancia (Araquo) y la variacioacuten
del inverso de la calidad del resonador l -M IO)) por influencia del |gtlasiniexcli respectivamente
en la forma
mdash^ = iexcl-zFbb- 11-) [-F( fcraquo 2-)([C+(-)] ( 1 -bf-
- (1 -fraquo)(2-)[C+(fc)l-Hl-lt) J(l - - ) ) +
+ C + ()][-gt(-)(] - h) - Ij] + -(1 - l)lPt)C + laquoK))F(hb2-) x
x [l - (1 - b)2-h)F(kb2z) + PJzil - raquo)+
+ -(1 - bjgtC + () + Li z]Fbb2z) + V | 1 - )F(bullbull 2--) (478)
-poundiquestmQ) = JTSX
x Fbb-lls)|l-(l- b)(2- b)zF(bb2z) + P ( - - ) r ( l -6 ) ]+
+ --F(i)(l-6) JF( iacute t 2i)x
x [ l - ( l - f r ) (2-amp^ -F(M2^) + P J ( - - ) iacute ( l -6 ) +
+ [C + (6) + iquestn --](1 - 6)zF(ampamp2z)]2 +
+ w12(l-b)4Fa(blgt2iacute)Yiacute (4-79)
t bull bull 78
La figuras 44 y 45 muestran las graacuteficas de las expresiones (478) y (479) con respecto
a ri x ii ]gturn distintos valores de u^(0)uz respectivamente Anaacutelogamente a el caso de
la- guiaraquo de onda se han considerado uacutenicamente los primeros cinro teacuterminos en las series
para Pi) y P jU) Un resultado importante de acuerdo cotiacute la figura 44 resulta ser
que en la resonancia ciclotroacutenica la variacioacuten del inverso del factor de calidad es cero es
decir en este caso y en la misma manera como en las guias de onda no existen peacuterdidas
de energiacutea de tipo colisional Sin embargo de la figura 45 notamos que cu resonancia
rirlotruacuteliira si existe un pequentildeo cambio en la frecuencia laquole resonancia del resonador
En la fuente de plasma descrita en [2J se tiene un resonador cilindrico donde oscila
una Diida a IUIIacuteI frecuencia laquobull = 15394 x ]() excitada en modo TEw y de radio
rbdquo = cm en el cual una columna dr pliacutetstua fie radio riexcl = 3lt se ein-iieiitrraquo a lo largo
del eje tlel resonador La cavidad resonante se encuentra dentro de un campo magneacutetico
externo D mdash SloacuteGauxraquo La densidad de electrones en la fuente tie plasma puede ser igual
a ni 0) = C x 10 I 0CTO 3 En este caso tenemos los mismos valores (4C3) para yinnfv0) u
y u-ji 0)raquo mientras cpie Miexcl tiene el valor
SU = 04C55 (480)
Entonces el cambio en el inverso de la calidad y en la frecuencia de resonancia tendraacuten
los valores
A( l ( ) = mdash x 000009C2455 = 582 x 1 0 (481)
Aw = Mj x |1 - (100035)] = - 1 0 3 x 10 V (482)
79
AwMa
i
o
I
U
bull3 I
I O
bull
a 6
1 1 1 bull 1 bull
bull
_
c x ^
- r f -
| 1 bull J T | 1 - | 1 |
l IX V if | rt i iacute i ( iraquo i i i bull i i i
i i
i i i
V
deg
iacute bull f
i i i
VI 1 A 1 ^ t
x X Iacute
JU i f ^
1 bull x
so
o i
fit
Zf Z rt w
El valor (481) se encuentra dentro del rango de validez de la teoriacutea de perturliacioacuten
ile acuerdo ron (35C) Asi mismo la variacioacuten de la freruenria de resonancia es dema-
siado |Mf|ttentildea en comparacioacuten con la freruencia propia del resonador de tal manera rpie
podemos considerar une no existe un cambio fuerte en la freruenria de resonancia ion esta
densidad
Los resultado iexclinteriores de las secciones 7 y 8 fueron presentados en iexcl24] y [25iexcl respecshy
tivamente
82
CAPITULO 5
PENETRACIOacuteN DE ONDAS EN EL PLASMA
En este iiipiacutetiilo ni el marro de 1iexclI teoriacutea lineal se liare una revisioacuten sulire el proceso
gtigt- penetracioacuten de campos elertDinaRneacuteticos en un plasma En vista de ijne en la fuente
lie plasma descrita en [2j se excita una onda tipo H nos vamos a limitar al caacutelenlo de
Un coeficieiites tie reflexioacuten transmisioacuten y de alisorrioacuteu para estlt- tipo de ondas liacuteay
eme hacer notar que en el experimento [2] se tiene un campo magneacutetico externo lo que
complica fuertemente el estudio de la interaccioacuten de ondas en este plasma Nos limitaremos
en este trabajo a considerar un plasma homogeacuteneo y deacutebilmente inhomogeacuteneo sin raiujm
magneacutetico externo Estos resultados preliminares son uacutetiles para posteriormente estudiar
la transformacioacuten lineal de ondas que es muy importante para el anaacutelisis del perfil de
densidad observado en la fuente de plasma [2]
9 Penetracioacuten de campos electromagneacuteticos en el plasma
El estudio de la interaccioacuten de ondas electromagneacuteticas en un plasma tiene particular
intereacutes por la gran variedad de paraacutemetros existentes como se mencionoacute anteriormente
83
(densidad de |ttirtirulas di- diferentes tipos prado dlt- ionizacioacuten longitud de trayectoria lishy
bre tfiii|raquocratura etc) 111 los diferentes casos Una de las caracteriacutesticas mas importantes
de un plasma real es su iuliomogeueidad Alt|iiiacute los paraacutemetros del jjasiilii variacutean en el
espacio produciendo considerables cambios en las caracteriacutesticas del mismo Freruontc-
menfe en lo concerniente a la propagacioacuten de ondas electromagneacuteticas estos cambios son
tan fuertes que la pennitividad dieleacutectrica cambia de signo
91 Penetracioacuten de campos electromagneacuteticos en la aproximacioacuten hidrodinaacutemica Sistema de ecuaciones
Il l sistema de emaeiones atltoroiisisteule i|iie desrribr la penetracioacuten tie un campo elecshy
tromagneacutetico en d plasma en la aproximacioacuten bidroiliuaacutemira se compone de las ecuaciones
ile Maxwell
V x pound = -2f 51 c 01
f x f l = - - i - mdash + mdash (02) c 01 c
V bull(poundlaquopound) = 4p (53)
V H = 0 (54)
donde las densidades de corriente y carga se determinan en la forma
P- pound c raquo n lt raquo = laquoiexcllaquoi + tnt = pound e bdquo n r r n (55)
y se expresan a traveacutes de los campos eleacutectrico y magneacutetico de las enlacioacutenos hidrodinaacutemicas
de movimiento y continuidad del fluido conductor de carga o [26]
84
sect + bullbdquobulllaquobull = ^(Eacute+-vnxH)-^--^va (56)
3raquobdquo _ _ _ ~ + V-n0viexcl = 0 U 7 )
En las ecuaciones (55)-(57) tbdquo es la carga m0 la masa tibdquo es la densidalt v0 es la
velocidad hidrodinaacutemica jgtbdquo o la presioacuten y ibdquo la frecuencia de colisioacuten entre las partiacuteculas
ltir- tipo o ron las partiacuterulas di- otra claw y con las moleacuteculas El subiacutendice o rorrcspondc a
i igt i ln ipii indica a los iones o electrones correspondientemente E D son las tensiones de
ligt- campos eleacutectrico y magiacutenico respectivamente y r es la velocidad de la luz en el vacio
Se supone i|iie el plasma se encuentra en un medio con un jieruiitiviilail dieleacutectrica iacutebdquo para
un plasma gaseoso bdquo = 1 y MI un plasma de estado soacutelido es la pcrmitiviilail dieleacutectrica
de la red cristalina Ya que la permit i vidad magneacutetica del plasma praacutecticamente es igual
a uno no vamos a diferenciar la induccioacuten magneacutetica de la tensioacuten del campo magneacutetico
lo que se refleja en las ecuaciones anteriormente descritas
El sistema laquole ecuaciones (oacutel)-(57) debiacute ser complementado con las ecuaciones de
estado de la materia expresados a traveacutes de la densidad nbdquo y la temperatura Tbdquo pn mdash
p0(noTa) Siacute las variaciones de estado de las componentes del plasma ocurren perioacutedicashy
mente entonces
Tpo = bullgtltJbdquoVn0 = 7raquoltfTbdquoVnlt (58)
donde vj = 2T0m0)t1 es la velocidad teacutermica promedio de laraquo partiacuteculas de tipo o 70
e la razoacuten entre loraquo caloreraquo especiacuteficos a presioacuten y volumen constante del gas de partiacuteculas
y 1 = mil
85
Las ecuaciones ib- movimiento describen un fluido en presencia dlt- cinco fuerza- ni
interaccioacuten a) la fuerza eleacutectrica (bdquopound b) la fuerza magneacutetica J x H c) la fuerza debida al
gradiente de la presioacuten d) la fuerza de interaccioacuten o colisioacuten entre la partiacuteculas de diferente
ti|Kraquo v0vbdquo y raquobull) la fuerza de inercia m-r0 bull V)tbdquo Por otro lado vamos a ronsiderar laquopie la
ecuacioacuten de estadraquo expresa un proceso adiatgtaacutetico caracterizado por el coeficiente -
92 Penetracioacuten de ondas tipo E y H
Vamos a investigar la penetracioacuten en el plasma ile ondas di- amplitud pcquiua La inteshy
raccioacuten de ondas electromagneacutetica con el plasma perturba los paraacutemetro caracteriacutesticos
en equilibrio del plasma Si las perturbaciones de los diferente paraacutemetros son lo sushy
ficientemente |xi|iientildeos en comparacioacuten con sus valoreraquo eii eipiilibrio entonces podemos
liiuariar las ecuaciones (51 H57) es decir iexclMHIIIIIOS despreciar los teacuterminos que contienen
producto entre las perturbaciones
Consideremos un plasma semiliiuitado sobre el cuaacutel a un aacutengulo fgt incide una onda
electromagneacutetica linealmente polarizada El sistema de coordenada lo escogemos de tal
manera que el plasma ocupe la regioacuten x gt 0 y la onda se propague sobre el plano X(gtZ
(Fig51) La onda incidente parcialmente se refleja del plasma y parcialmente se refracta
a un aacutengulo 8 Las amplitudes de las ondas reflejada y refractada se determinan de las
condiciones de frontera Como consecuencia de esto si la dependencia del campo de la
onda incidente con respecto a y t se determina a traveacutes del exponente rl-laquo) donde
kiquest = k0tcn9 k0 = raquogtc y w es la frecuencia de la onda entonces en la teoriacutea lineal para un
plasma estacionario y homogeacuteneo esta misma dependencia deben tener las ondas reflejada
y refractada en el plasma a lo largo de O
86
PLASMA
(b)
FiacutegKl Penetracioacuten de una onda electromagneacutetica lincalmente polarizada en un plasma raquoemi-
limitado La onda que incide a un aacutengulo 8 parcialmente se refleja a un aacutengulo 8 y parcialmente
se refracta a un aacutengulo V a) penetracioacuten de una onda tipo E y b) penetracioacuten de una onda tipo
H
87
Supongamos UIRraquo tenemos un plasma de dos componentes compuesto de electrones bullbull
iexclunes motwcargjados ron concentraciones en et|uilibrio raquobdquo = raquoraquolaquo = gtibdquo En un (Jasina friacuteo
la velocidad ternura de los iones se puetk despreciar 1 = 0) si esta es muy pei|iK-ntildea rn
contparacioacuteii con la velocidad de fase de la onda Si a lo largo del eje 0t la densidad no
varia entonces f = 0 y de laraquo ecuaciones (51)-(58) podemos obtener el sijpiiente sistema
dtr ecuaciones para los campos electromagneacuteticos
iexclKH = iquestJtpound - iacuteiacutejEi 159)
-rmdash = -iK0e mdash pound - + mdashmdashUE r ) U10) ni [ raquo-raquor J (w ni
Jvpound = - I (512)
^ = bullbdquobdquo (513) As
ik-HiE = JiL-ikJlr (514) ni
iloiiitr iacute ex la jx-ruiitividnd dirlrctrirraquo de un plasma isotropicraquo y friacuteo
taraquo(w + l^e) W(uraquo + Ifi)
ugtgt y uy son las frecuencias plaacutesmicas de los electrones e iones respetivamente expresadas
en la forma
iquestgt tgt
4c n 0 IJ
(6M) mlaquo
w a IB frecuencia compleja raquobull = w + ic y e eraquo la permitividad dieleacutectrica del fluido de
iones en la forma
88
t=to- + bull (517) w(w + llj)
El sistema de ecuaciones (59)-(514) se descompone en dos subsistemas iudc|Hiidientes
-i9H5ll y (512)-(514) lo que corresponde a la propagacioacuten en el plasma de dos ondas
independientes (Fig51) Para las ondas con componentes E E y Hy el vector del campo
eleacutectrico estraquo sobre el plano de incidencia XOZ Esta onda es una onda con polarizacioacuten
gt onda tipo TM o E Para )n segunda onda con comeacutentente Ebdquo Hr y H el vertor
fifi rutll|Mgt eleacutertriro es |H-r]gtriiiliriiIiir al planraquo fie incidencia Esta onda es unraquo onda ron
polarizacioacuten i ulula tipo TE o H Para las condiciones mencionadas iexclinteriormente el
ijjovjmieijlo teacutermico de laraquo partiacutecula es despreciable para la propasacioacuten de ondas tipo H
Sin embargo para las ondas ti]gto E puctlc ser bastante importante
10 Penetracioacuten de una onda electromagneacutetica tipo H en un plasma homogeacuteneo semilimitado Reflexioacuten y absorcioacuten de ondas tipo H
De las dos posibles polarizaciones que puede tener la onda que incide en el plasma el caso
de la onda de tipo H es el maacutes simple Encontremos la solucioacuten de las ecuaciones (512)-
(514) en el plasma y en el vacio suponiendo una frontera bien definida Sustituyendo H
de (513) en (514) y usando (512) obtenemos que el campo E satisface la ecuacioacuten
tPE - ^ + Jkfo - laquolaquoraquo)pound - 0 (518)
89
dmde en el plasma e se determina xx (515) y en el vacio pound = 1 Es faacutecil ronwtrar laquojar
eu el varkgt los campus tienen la furnia
para la onda incidente
poundbdquo = Eoraquo Bu m Fbdquocw0 (519)
y para kgt onda reflejada
Eraquo = llEbdquo-kltlt H = -Etcoraquoraquo ISM)
iliHiilraquo- pound es lii amplitud lie In i mi In hiiiiliiiti y iacutels rl riM-riiiiiili ili- icHrxiiVn El linihi|raquoligt
r i)r--wi) at j a s rX|ri^iHBM jbdquon lri caui|HKlaquo se excluye raquo aquiacute en adelante Praquor laquonraquo laria
bullbullI rwn]Mgt cu el plasma tirnr la forma
pound() = Eiquest0)rik B() = (^) poundlt) (5-21)
donde Et[0) es Iraquo amplitud de la rom|Hgtiiiiite poundbdquo del rampraquo cliVtriro III la frontera tlrl
plasma ( = ()) y A- se expresa romo
Jt JWlaquo - e2laquo (5-22)
Si it| es una cantidad real entonces la onda se propaga libremente en rl plasma prro
siacute Ai es una cantidad compleja entonces el campo en rl plasma r amortigua dr forma
exponencial a partir de la frontera
Para determinar el coeficiente de reflexioacuten y la amplitud del campo rn la frontera de)
plasma se utilizan laa condiciones de continuidad de laa componentes tangenciales dr los
eampoa en i = 0
90
pound(0)+poundbullbdquolaquogt) = pound(0)
(0) + raquo(0)-jr ((0)
Sustituyendo (519)-(oacute20) en (523) y considerando (521) encontramos
pound(0) = pound(l + rt)
dr donde obtiiunnos el coeficiente di reflexioacuten en Iraquo forum
(523)
(524)
=ampgtbull donde
e la impedancia sti]gtcrfieial o del plasma para una onda tipo H Sustituyendo (525) en
(524) encontramos la amplitud de la componente E del campo eleacutectrico raquo teacuterminos de
la impedancia el aacutengulo de incidencia y de la amplitud de la onda incidente en la frontera
del plasma
La definicioacuten de la impedancia (526) resulta coacutemoda ya que el coeficiente de reflexioacuten y la
profundidad de penetracioacuten se expresa de forma maacutes sencilla a traveacutes de ella En general
la impedancia es una cantidad compleja ZH = X + iX2 por eso el coeficiente de reflexioacuten
se puede escribir en la forma polar de Euler
01
M(AVlaquoM+1)-+ laquo-] e gt U 2 8 gt ^^xraquoiacute-l)1 + Y|coIiacutel
l
donde bull dcfitie la fase en la forma
XjcosO XjcosB bull = arctan bull mdash- - arctan bdquo mdash- (o29)
A i c o s 0 - 1 Xcos8+l
Uu paraacutemetro muy important del medio es ltbull) coeficiente lt]ltbull iexclilgtson-iiraquou el cual indica
laquorue laquoarte dc in energiacutea de la onda incidente se transfiere al pla-siiiraquo Si
P = 4~E x j = -iexcl-Eltraderaquo (030)
eraquo Iraquo denudad laquoIt-1 finjo de CIHTRIacuteH normal u la frontera dr la onda laquo[in incide y PT = y| |
es la densidad del finjo laquoIr In onda reflejada entonces el laquobulllaquobulleficiente de iilisorrioacuteii se define
roiiMraquo
W = ^mdash^ = 1 - |J|raquo (531)
Sustituyendo (528) en (531) obtenemos el coeficiente ltle absorcioacuten en teacuterminos de las
partes real e imaginaria dc la impedancia
W laquo Xcogt$ (532)
Ahora analiacutezemos con maacutes detalle las condiciones de propagacioacuten y amortiguamiento
de ondas electromagneacuteticas en un plasma de electrones en diferentes rangos dc frecuencia y
calculemos los coeficientes de reflexioacuten y absorcioacuten para cada casraquo respectivamente Para
92
ello sustituyamos (515) en (522) donde en este caso debido a la gran diferencia dr
masa de lo iones con respecto a los electrones consideraremos iquest^ as 0 Dr esta manera
obtenemos
r w V2
t - laquo raquo raquo - - (533) l jltlaquo + ilaquot)J
Consideremos los siguientes casos
a) El caso de altas frecuencias (cr lt -gt) Aquiacute los choques entre los electronraquo- se pueden
ilespreciar y entonces X- se reduce a la forma
Xraquo i- = - l - r o ^ - ^ (534)
En el reacutegimen de frecnciiriajiacute u lt ^lotfiacute lu m]x-ltlnraquorii es una caiitiilncl real y por In
tanto el coeficiente di- reflexioacuten y de absorcioacuten tomitii resjMrtivnniente la forma
donde
En este caso la fase (529) es igual con cero lo cual nos indica que laraquo ondas incidente
y reflejada se encuentran en fase Por otro lado la condicioacuten de amortiguamiento en un
plasma gaseoso sin colisiones consiste en que se cumple la desigualdad
ucof8 lt ugtVf (538)
03
IntrotUuetunos en calidad dr cararteriacutestica de penetracioacuten lthI ciexclttii|Mgt una |gtroftmililtlaltl
compleja de itetirtracioacuten determinada por medio de la relacioacuten tgt = t(gtraquo iquesti) El sentido
fiskti di la cantidad i es la distancia a la cual la amplitud del rampraquo en rl plasma ilecren
eu e mdash 271 veres de su valor inicial Con la condicioacuten ugt gtbull uicosB la profundidad de
penetracioacuten (anchura de la capa piel) no depende de la frecuencia = cu
h) En la regioacuten de bajas frecuencias w lt vt) los choques ya mgt se pueden despreciar En
este caso Rt Jt| s Ivi k y el campo en el plasma decreeraquo- ex]Mmirurial y oscilatoriamente
ilruumldr la frontera Si v gt m slt- tiene
k = -^zJviVrCosH+i- (539) Jiv v
si iacuteiilnilaacutes raquoiquest gt vrivosH entonces
y la longitud laquoIr la rapa piel tiene la forma
r iexcl2vt iquest = mdash J mdash = - 7 f iquest mdash (541)
donde raquo0 SB wf(4ffi) es la conductividad del plasma Notemos que (541) determina
la profundidad de penetracioacuten del campo en un conductor en el cual fluye una corriente
variable de baja frecuencia Asiacute las expresiones (521) determinan el campo en el plasma
en condiciones de un efecto piel normal o claacutesico A bajaraquo frecuencias y alta temperatura
del plasma estas expresiones ya no son vaacutelidas y es necesario analizar la penetracioacuten de los
campos en base a un modelo cineacutetico
Considerando las colisiones entre las partiacuteculas la impednncia del plasma tiene la forma
94
Zbdquo = (542) ^ugt(u)1cot10 - u pound ) + bull-bullJraquo
Si la frecuencia de colisiones es pequentildea pero sigue siendo finita y ademaacutes se cumplen las
desigualdades v lt raquo- ffgtiacute lt gtJcosi0 mdash uiiquest() entonces (542) se transforma COJIJO
Zbdquo = (543)
de donde observamos que en la regioacuten de frecuencias uirraquo^ lt ufPr el rocuumlcinjte ile iibsorrioacuten
se exprtsut en la lonnti
W = 2pro^Jtvwtraquo - l ) - (544)
Por otro lado si la frecuencia de la onda es lo suficientemente pequentildea tal laquopn- i gt laquobull y
se cumple la desigualdad J^Kv) gt OM rntonres la inj|MdnncIacutei se expri-sraquo como
z - iacute1 Voacuteiacute (545)
V -gtltbull y loraquo coeficientes de reflexioacuten y absorcioacuten se expresan respetivamente en la forma
R = (l-2Acltw0) 2e- MltM (540)
W = 4Xcoraquo9 (547)
donde A^ laquo -Xt = bullraquo( 2wt)
Finalmente observemos que las peacuterdidas de energiacutea que la onda sufre en el plasma
defiacutenidu por las foacutermuias (544) y (536) tiene diferente significado fiacutesico La W diferente
de cero cuando u = 0 esta relacionado con la excitacioacuten de una onda electromagneacutetica en
05
el plasma y el valor de W de (544) determina la parte de la energiacutea de la onda incidente
qiK- es utilizada para el calentamiento de los electrones del plasma eigt la capa piel
11 Paso deacute una onda H a traveacutes de una capa de plasma
Si la profundidad de penetracioacuten del campo ni una capa de plasma es tk-I orden de sns
dimensiones transversales o si la onda se pro|gtaga elraquo el plasma entonces la influrmia de
la segunda frontera del plasma resulta muy importante Determinemos el campo en el
plasma y los coeficientes iexclle reflexioacuten y de transmisioacuten en el paso de una onda incidente a
traveacutes de una rapa de plasma homogeacuteneo de anchura d
El canijaraquo i-n el vacio o cu la regioacuten T lt 0 tiene la forma (519)-(iquestj2l)) y el campo en la
regioacuten i gt 0 tiene la forma
Eraquo = TE0tcu = Eraquoltbdquosraquo (548)
donde T es el coeficiente de transmisioacuten El campo en el plasma consiste de dos ondas
tina de las cuales se propaga en direccioacuten de los valores positivos y la otra en direccioacuten de
los valores negativos de x
E = Aek + Be-ik = - iquest trade (549)
Las condiciones de continuidad de las componentes tangenciales del campo en la fronshy
tera del plasma x = 0 y x = ti anaacutelogas a (523) permiten determinar T y el campo en
el plasma
06
R = (1-pound)AiquestlaquogtM (550)
T = 2icoa$aacuteJWt - atn8t-kdeg (551)
Ey = 2cos8bTHi [iyt - iacuteenflcoJt(iacute - x) + aM0eni-(ri - ) ] (552)
donde
Aw = (t - 1 + 2colaquoI0)ifnfrrf + 2raquoVi - xriMrosHrosktd (553)
En el caso dr una onda que ]M-nctra en el plasma para la cual iquestrosH gt u dcspnviando
las colisiones entre las partiacuteculas el coeficiente de alisorcioacuten determinado como
B s l - R - T (554)
es igual a cero El cani|wgt en cl plasma tiene la forma dc uua onda estacionaria y con
la variacioacuten di- la cantidad t|rf los coeficientes de reflexioacuten y refraccioacuten oscilan Si en
condiciones de cierto piel kfd lt 1 entonceraquo a frecuencias lo suficientemente pequentildeas
(laquobullpound gt -(w + iv)) los coeficientes de reflexioacuten y nfraccioacuten tienen la forma
R = - (o iacute + io3)(o + 2co8 + iaj)~ (555)
T = 2cos0(a f 2ctgtiacuteiacute+^OJ^ (55C)
donde
- - 5^5-
97
En este caso el coeficiente de absorcioacuten se expresa como
IV = 4ocolaquo[(oi + 2co9)2 + a]]- (559)
Si Pt gtgt raquobull entonces o t gt cgt-iexcl Las peacuterdidas maacuteximas en este caso se obtienen con
la condicioacuten o = 2coi0 iguales a la mitad de la energiacutea de la onda incidente Las ondas
reflejada y refractada en este caso tendraacuten la misma amplitud en valor absoluto Las
foacutermulas (555)-(55G) se pueden generalizar para una capa delgada con cualquier iuhomc-
gcticidad Si diquest kcbdquobdquoj lt 1 entoneacuteis los campos en el plasma se ltrternmii del sistema
de ecuaciones
ils Ai r(w + ivrs)) = laquogtbull r 1 f i - laquo5CII)
donde las soluciones tienen lt forma
pound = C H = -f(x)C + C (5C1)
siendo
co w + iit(j)
Las condiciones de continuidad de los campos en las fronteras x = 0 y r mdash d nos llevan a
los valores (555) y (556) en los cuales oiacute = Re laquo(lt) y a2 = Im n(rf) Por otro latioacute
las constantes Ct y C3 a traveacutes de las cuales se expresan los campos en el plasma tienen
la forma
C = TEltiexcl = 2E0coraquo9aH(d) + 2coraquo9)- (503)
Cj = 2EoCO$eaH(d)co6)aHd) + 2coraquo8)- (564)
98
12 Penetracioacuten de una onda tipo H en un plasma deacutebilmente no homogeacuteneo
En una gran variedad de aplicaciones la densidad del plasma variacutea lentamente en el espacio
desde cero hasta cierto valor maacuteximo La penetracioacuten del campo en tales plasmas se
diferencia fuertemente de la penetracioacuten en un plasma con una frontera bien definida o
fuertemente no homogeacutenea Las ecuaciones que describen a las ondas electromagneacuteticas
en un plasma no homogeacuteneo son un sistema de ernarkmes diferenciales ron roefirntildeiites
variables iloudr sus soluciones exartas o aproximadas se enriient ran uacutenicamente para rasos
(laquoarticulares Uno ile estos rasos |gtartirulares es aquel laquoIr un medio de ra)gtas planas donde la
densidad variacutea ni una sola dirrrrioacuten Una serie dr soluciones escarias de las eruaeiones ile
la clertrodinaacutemira en un medio ile rapas planas ron diferentes variaciones de la densidad
se pueden ver en los trabajos (2327) Generalmente soluciones aproximadas relativamente
simples en estos medios se pueden eiirotitrar en regiones asintoacutetiras es decir a distanrias
grandes ron rcsjwrto a los puntos singulares de las eruaeiones difcrenriales Los paraacutemetros
que se usan en esta aproximar ion pueden ser la relacioacuten del tamantildeo caracteriacutestico de la
no lioinogcneidad L ron res|ierto a las longitudes de propagacioacuten A de las ondas en el
plasma Si uno de los valores rumple la desigualdad LX gt 1 eutoures en relacioacuten a esta
onda al plasma se le puede llamar deacutebilmente no homogeacuteneo La penetracioacuten de campos
electromagneacuteticos en un plasma deacutebilmente no homogeacuteneo se ha considerado en diferentes
trabajos [222327-31] Consideraremos algunos resultados obtenidos
Veamos un plasma compuesto de iones pesados fijos con densidad n0i) la carga de
los cuales en estado no perturbado se compensa con la carga dr los electrones ron temshy
peratura diferente de cero Te La densidad del plasma n0 - 0 ruando iacute - t O y rrece o
es infinita cuando mdashraquo ce No existe campo magneacutetico externo y la distriburioacuten de eler-
99
trones por velocidades es isotroacutepica Para la descripcioacuten de la penetracioacuten de mi cam]Mgt
electromagneacutetico en tal plasma se utilizan las ecuaciones de la hidrodinaacutemica (50)-(514)
en las cuales hay que sustituir iacuteo = 1raquo iacutei = 1 y gt mdash gt()bull La i-ruacioacuteu diflaquoniciacuteal (5IS)
que rige la jicnetracioacuten de ondas tipo H en un plasma no homogeacuteneo toma iexclihoni la fonna
iPE -=bull + kl(t[x) - stnH)E = 0 (5C5) tiacutex
donde la pcrinitividad dieleacutectrica es funcioacuten de la posicioacuten en la forma
pound ( ) = 1 ttiquestIl (5GG)
w(uiacute+ II ( x ) )
De id ecuacioacuten (oacuteCuuml) se puede hacer ililncdiiitaiiieiite tilia serie de deducciones a) 1raquo onda
se propaga libremente en li regioacuten Jif t lt bullgtni1tiacute b) en mi plasma maacutes ileliso iloude
Jlt gt nrrifl la propagacioacuten se vuelve imposible y la onda uacutenicamente penetra el plasma
en la longitud de la rapa piel y c) el punto Rr pound = srtiB es el punto de corle donde 1raquo
onda se refleja
En un plasma deacutebilmente inhomogeacuteneo ruando raquoo(x) variacutea deacutebilmente en la longitud de
la onda que se propaga por el plasma la ecuacioacuten (5C5) se puede resolver por el meacutetodo de
la geometriacutea oacuteptica para una dependencia arbitraria de la densidad gtibdquo(s) [23] La enlacioraquo
(565) tiene una solucioacuten exacta para una capa lineal cuando la permitividad dieleacutectrica
(v(x) lt ui) puede escribirse n la forma
donde
+ iUumlIacutepoundgtpoundf 507) X0 WI0
bull = amp
100
Aquiacute a es la pendiente que caracteriza la dependencia lineal de la densidad de electrones
ron respecto a la posicioacuten Para el caso de un plasma sin colisiones (e = 0) reescribimos
iacuteoacute65) en la forma
- pound + kl( co1raquo - mdash )pound = 0 (569) ax Xo
haciendo el cambio de variable
C=[f) ix^coraquo2raquo - x) (570)
la ecuacioacuten (5C9) se puede llevar a la ecuacioacuten de Airy
^ + C pound = 0 (571)
Su solucioacuten decreciente cuando i mdashbull ltx tiene la forma [32]
poundraquolaquo) = mdash coM--Ct)gtlv (5-72) ir Jo J
donde A ex una constante que se determina de la roiidieiones de frontera manilo x = 0
En la obtencioacuten de la expresioacuten (572) (te lia despreciado la reflexioacuten de la onda en la
frontera del plasma debido al gradiente de densidad Es decir la amplitud del campo
eleacutectrico en el punto x bull 0 se considera igual a Eg lo que es vaacutelido para valores pequentildeos
del gradiente de densidad en este punto (|^|o ltC k) En la regioacuten 0 lt x lt x0colaquo28
debido a la suma de las ondas incidente y reflejada poundbdquo(() tiene la forma de una onda
estacionariacutea Lo anterior es asiacute ya que para valores positivos y grandes de ( E(Q tiene
una representacioacuten asintoacutetica en la forma [32]
101
Cerca df la frontera los valores del campo estaacuten dados aproximadamente |laquogtr
cuyo valor maacuteximo es
4a-gtgt-w-niexcliacuteiquest5^- bull (575)
Ln expresioacuten (575) resulta de la interferencia constructiva de las ondas ipie viajan a In
ii|UIacutecrda y a la derecha rrsprctivamrnte pin lo tanto la amplitud de la onda incidente poundbdquo
tt-tidru la forma
Aliora evaluemos la ronstatite 4 de (572) Para rilo iitiliemos la representacioacuten
asintoacutetira (573) y consideremos la condicioacuten de frontera de acoplamiento de los campos
en el plasma y en el vacio
poundT(0) = JEIacute (577)
De acuerdo con la definicioacuten (570) para ( podemos escribir el teacutermino ijCv en ln forma
f^^ (--pound_) (578)
Sustituyendo (578) en (573) y evaluando en x = 0 obtenemos
3A 2 ir poundlaquo(0) ) = -7k0Xo)-ucos-iacuteli9coraquo(-k0j0coS9 - -) (579)
yf f O 4
102
x = O = x0rnslV X
FiexclgS2 Alii|tli(ultl laquoId rrtiii|ngt eleacuterlrim cu la vecindad del punto de reflexioacuten s - xbdquoiiiH
Finalmente apurando 1raquo roiitliacutetiacuteoacuten de frontero (577) cnroutraiiioM el valor de A
(580)
La amplitud aacutee la onda estacionaria que se forma en el plasma cu los puntos cercanos
al punto de reflexioacuten x = Xoco29 crece (Fig52) Su valor maacuteximo se puede obtener de la
expresioacuten (572) el cual corresponde al primer cero de la derivada de la funcioacuten de Airy
[11] y tiene el valor
2 a a | l = 268 (581)
Asiacute dividiendo (5S1) entre (576) obtenemos el coeficiente de amplificacioacuten de la amplitud
del campo eleacutectrico en el plasma con respecto al campo en el vacio
103
| s f = 374(oolaquo3laquo)3 (582)
En el caso maacutes general de un plasma deacutebilmente inhomogeacuteneo en (562) en lugar dr
arbdquo debemos sustituir
En este caso para valores grandes de (koro)l^eoraquo0 auacuten una |MI jtirntildea parte imaginaria de
ki pcniMtiviacutedad dieleacutectrica puede rondticir a jteacuterdidas significativa de energiacutea de la onda
Si ni gtgt P jiacute () entonces la ecuacioacuten (571) conserva su forma pero ( en csrraquoiexcl caso laquo-S una
cantidad compleja
- ( )
raquo ( j v o ^ + x - mdash ) (584)
Nuevamente la onda (pit se forma en la regioacuten 0 lt x lt sltol(t es una onda estacionaria
lgtcro ahora la onda que se refleja cu el punto de corte Tit t = oc) nltgt tiene la misma
amplitud de la oiiif-t incidente Aquiacute cl coeficiente de reflexioacuten es diferente de la unidad y
se expresa como [23]
R as e m laquomdashgtbull m e-raquopound raquolaquoraquo (585)
La amplitud maacutexima del campo cerca del punto de reflexioacuten en este raso disminuye en
Ry
|iexcl iacute | 2 374|| 2(ltWw3)1 3 (586)
104
CONCLUSIONES
I Se describioacute la teoriacutea general de las guiacuteas de onda y resonadores cilindricos En base a
esta teoriacutea se obtuvieron obtenido los paraacutemetros principales que ritrart izan vi sistema
de microondas di- la fuente de plasma descrita cu [2] En el raso ilc una guiacutea de onda
cilindrica hecha tiraquo- bronce y ron Suacuterm de diaacutemetro interno se obtuvieron los siguientes
valores para los distintos paraacutemetros de pro|gtagariexcloacuteu de midas litadas en el IIIIHIO
A = 145rw raquobullbdquo = 13 x WHi I = 02753rraquor A = 22S2raquo Zbdquo = 187
ti = 56 x 10degtrade K3 = lC x 10uumlcfia
La constante de amortiguatniento lgtara estas ondas romraquo ronseriiriiciraquo de la roudur-
tividad finita ile las paredes metaacutelicas tiene el valor om = 1032 x 104 como este valor
es muy pequentildeo obtenemos que se puede considerar que la guiacutea de onda del sistema de
microondas (de no maacutes de un metro de longitud) es una guiacutea de onda ideal (sin ]xrdiexcldas de
energiacutea) Por otro lado para el resonador cilindrico laquopie compone el sistema de microondas
de radio a bull 7cm se obtuvo la distancia necesaria para que en el resonador oscile una onda
en modo Ht (wm = 15394 x 10(f ) Esta distancia tiene el valor d - 71Gcm Ademaacutes
se evaluaron la calidad del resonador y el ancho de banda donde el modo TEu puede ser
excitado uacutenicamente Q =bullbull 404963 w2 - uraquo = 000025 x WH respectivamente
II Se analizoacute el problema cuando la guiacutea de onda y el resonador cilindricos conshy
tienen una columna de plasma friacuteo magnetizado e inhomogeacuteneo distribuido axialmcnte
105
La columna de plasma cti el caso de la fuente de plasma [2j tiene un radio r = 3mraquo
y ademaacutes el perfil de densidad se consideroacute de tijraquoo paraboacutelico Eu base a la teoriacutea tie
perturbacioacuten y usando como paraacutemetro pequentildeo la pequenez del radio del plasma con
respecto a la longitud dt- onda se calculoacute la constante de amortiguamiento de la ondas
que se propagan en la guiacutea de onda ocasionada por la presencia del plasma La constante
de amortiguamiento tiene el valor o = lSS x 10~4
Se calculoacute ia variacioacuten de la frecuencia de resonancia fie las ondas que se etinieutran
resonando en modo TEtti en i resonador asiacute romo la variacioacuten en el inverso dr la calidad
del resonador obteniendo resp t-tiacutevaineiifc Aw - -lG3x 10 H MlQ) = oacuteS2x lO1
Los valores para n Aw y plusmniexclQ) se obtuvieron paro el caso mando ^bulljiacute(l))raquo = OS y
para el punto cerranraquo al punto di- resonancia ciclorroacutenica u = 0999 Ademaacutes se obtuvo
que la constante de amortiguamiento en el caso de la guiacutea de onda en el punto de resonancia
ciclotroacutenica l-u = w) se hace cero De lo anterior podernos roiirluir que la inutii se propaga
libremente en el plasma
III En el marco de la teoriacutea lined se analizoacute el proceso de penetracioacuten de campos
electromagneacuteticos en un plasma scmilimitaclo Se obtuvieron Jos coeficientes de reflexioacuten
transmisioacuten y de absorcioacuten para ondas tipo H tanto para un plasma homogeacuteneo y un
plasma no bomogeacutetieo Un aspecto fiacutesico importante en el estudio de la penetracioacuten de
ondas electromagneacuteticas en plasmas inhomogeacuteneos es que para una incidencia normal existe
un crecimiento del campo eleacutectrico en el punto donde la permitividad se hace cero Para
plasmaraquo magnetizados el comportamiento anterior es similar Por otro lado cabe sentildealar
que los puntos dentro de un plasma friacuteo e inhomogeacuteneo en los cuales el iacutendice de refraccioacuten
106
es infinito permite una absorcioacuten de las ondas de tipo no colisional en el plasma y al
mismo tiempo se obliga al campo eleacutectrico a tener un valor finito Esta absorcioacuten en el
plasma se asocia al hecho de que en el punto iacute = oo el campo electromagneacutetico sufre una
transformacioacuten lineal en otro tipo de ondas
Finalmente hay que hacer notar que la absorcioacuten de las ondas en las guiacuteas de onda
y los resonadores se debe uacutenicamente a la variacioacuten o cambio que sufre la constante de
propagacioacuten y la calidad del resonador respectivamente por la influencia tlcl plasma Este
mecanismo de transferencia de energiacutea ai plasma es diferente al mecanismo laquoIr la transforshy
macioacuten lineal de ondas
107
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110
Una earailiTisMra importante del plasma rgt la fririMii-in plaacutesmica la cual esta canic-
tiriaila por liis oM-ilaciacuteouo electroacutenicas ltlrl plasma
tliHide i es la carga del electroacuten (t iexclft 4SU32 x 10iraquolaquotoiWoraquo()i u es 1iexcliexcl concentracioacuten ilr
electrones (laquobula iii mi) y MI lt~iexcl la masa del electroacuten (raquolaquo = 01095 x lO^V)- Las oscilashy
ciones |gtliacuteisiuiris son oscilaciones longitudinales electrostaacuteticas i|tn- surgen romo resultado
ilr hi separacioacuten ilr partiacuteculas lardadas a distancias microscoacutepicas y ilil surgimiento de lalaquo
fuelas ill COIIIIIIIIII La fu incuria plaacutesmica soacutelo depende dr la ciiurrut racioacuten laquo
raquo- 5 Tx Wyj^ 113)
ii ltii la forma
A = | = 2 x l O 3 ^ 1 0 ^ (14)
La escala temporal ill separacioacuten laquole carga cs una cantidad inversa a la frecuencia plaacutesmica
r ss 1w Como laquoi los intervalos dc tiempo gt r las partiacuteculas realizan imirlins oscilashy
ciones cerca de su posicioacuten de equilibrio entonces el plasma como un todo se comporta
como un sistema neutro en el tiempo La separacioacuten de cargas puede ser importante soacutelo en
intervalos de tiempo t lt r pequentildeos con respecto a la escala temporal La escala espacial
de separacioacuten de cargas es la distancia basta la cual se puede desplazar una perturbacioacuten de
la concentracioacuten de las partiacuteculas cargadas debido a su movimiento teacutermico en un tiempo
igual al periodo de las oscilaciones plaacutesmicas la cual se expresa en la forma (dada en cm)
laquobullV V 4iregtnt
6
doxiie = lTni mdash 45 x VSyJT laquo-s In velocidad del movimiento teacutermico de los
bull iexclii-roiifs 7 laquo- Iraquo fltbullijijx-rittiilt le los electrones en A y gt es la cow-rut racioacuten laquole los
bullllaquoM-roraquofgt MI nn~ bull La ltlisuiiit
bullgtbull llama radio ltit- Debye para los electrones Para tin plasma niasiiirtirro es necesario ijiie
its liiuiitiMoiiis riinirifristiras L scan siciiihnitivniiifiitc mayores ipie el radio ir Debyc cs
laquo[bullbullbullbulli L ~iquestgt in ion esta condicioacuten slaquo- purde considerar ijnc laquobull -iexcl-teiacutena ilf partiacuteculas figtrman
un plasma En riiMi inverso L ltg riexcl i tenemos mi coiijmtlo I|I- |gtutiiiiiii- cargadas
-f|gtnli- Asiacute llenamos iexcli la definicioacuten laquoIt-1 plasma propuesta por Laugmuii [5iexcl rl plasma
i-s tin conjunto tic partiacuteculas iirutras y careadas en rl cual ai sc satisfaci- la condicioacuten dc
ciiasiiii-utralidiid poundbdquo rbdquoraquobdquo = 0 y lit el radio dc Debyc dc apaiitallainit-iilo es mucho niiiior
bullinraquo1 las dimensiones caracteriacutesticas laquopic ocupan el conjunto laquole partiacuteculas r^ lt L
Una infltiriiciii iiii]iortantf sobre rl iiioviinie-nto de las partiacuteculas la ocasionan la exisshy
tencia laquolaquobull un riexcluingt magneacutetico externo constante el cual ordena el movimiento caoacutetico de
las partiacuteculas En un campo magneacutetico actuacutea laquoobre las partiacuteculas cargadas una fuerza llashy
mada poiidcroinotriz (lorentziana) dirigida ])cr]gtcndirulannriite a la direccioacuten del campo
magneacutetico B0 y a la velocidad de la partiacutecula iacute Bajo la influencia de esta fuerza las
partiacuteculas giran con una frecuencia angular igual a wBbdquo A esta frecuencia se le conoce
como frecuencia riclotroacutenica o de Larmor y para los electrones tiene la forma
~B = mdash 176x07Bo (17) me
Para que el plasma resulte ser magnetizado (anisoacutetropo) eacuteste no debe ser muy denso y
deblt encontrarse en un campo magneacutetico muy fuerte Por esta razoacuten es necesario que en
laquorl intervalo ltli- liniipo vnf dos i-olisiotn-s rbdquo las partiacuteculas pmdan nahzar uiiniios iexclinraquo
ttlri-drdor ill- las lincas del raui]Hgt iiiiiacutegiit-tiro Esta condicioacuten gtbull inarm tizai ion jitira lets
rliTtroiics es di- la forma
w laquo r m raquo l (lSj
En la ltlin riiiiti ilrl rampo iiiin-iiitiio la influencia de laquo-sir soliri- Ins partiacuteculas careadaraquo cs
nulo En mi campo magnet iro lioiiiogeacutem-o las trayectorias del movimiento dc las partiacuteculas
cargadas tiiinu forma bullltbull bullbull -jiiiiilraquo-
Por laquofin lado liay ijiir diferenciar los conceptos dc plasma friacuteo y plasma caliente Eli
mi plasma friacuteo r) movimiento teacutermico de las partiacuteculas es menor que la presioacuten i-I bullbulliinjgtgt
MKiKiirtim es decir
-2=2fIlti (io) Entonces podemos decir que rii mi plasma friacuteo que sr oiicticiif ni en mi campo magneacutetico
w puede despreciar rl movimiento trrminraquo dc1raquogt partinilas En mi plasma caliente esto
uacuteltimo no es vaacutelido
2 Meacutetodos teoacutericos de descripcioacuten del plasma
En el desarrollo de la concepcioacuten del plasma como un gas de partiacuteculas cargadas cambiaron
tambieacuten los meacutetodos de su descripcioacuten Los primeros modelos maacutes simples de la descripcioacuten
cualitativa del plasma lo suponen como un sistema de partiacuteculas cargadas que no interar-
tuan entre siacute y que se mueven libremente en presencia de los campos eleacutectrico y magneacutetico
externos Es decir si so considera que el plasma esta compuesto de jVbdquo partiacuteculas de clase o
8
iexclbulli -r mueven dcltido iexcli MI energiacutea teacutermica en forma caoacutetica entonces es uii-fNarin resolver
~ ecuaciones laquogtbull movimiento con uti miacutenimo iexclEnfil raquobullbull condiciones iniciales i posicioacuten y
-bullbullio-idades iniciales ilr partiacuteculas | Obviamente esto uacuteltimo es imposible de realizar Se
puede reducir fuertemente el problema si gtraquobull desprecia liexcli dis]gtcrsiexcleacutegtn de las velocidades dr
bullu iovimicnlo teacutermico es decir si se considera el movimiento promedio de una partiacutecula
laquoiexclHe v encuentra en reposo cuando no hay campos externos Asiacute este modelo simple
de iexclarticulas independientes completamente desprecia no solamente la interaccioacuten entre
piiriexclniiacuteiacuteiraquo sino eiexcl movimieiiio teacutermico de la- mismas
Pura determinar la velocidad dgt- una partiacutecula carnada del ntasma en el modelo de
pariacuteVittiis independiacuteenles se resuelven las i (ilaciones de movimiento para partiacuteculas de
gtia- bullgt en la forma
-y- = lt iacute iquest + -|ibdquo X D + iexcliexcl111 I110) Jlz
ir ~ donde iexcl = gtnbdquorbdquo es el impulso de la partiacutecula de dase o y ies la aceleracioacuten provocada
por fiHTns no electromagneacuteticas Eti las ecuaciones (LiO) la iiidiiccioacuten magneacutetica D
y el campo eleacutectrico E no se consideran como variaUes conocidas ya ipie estos campus
incluyen en siacute campos inducidos en el plasma cjue MOJIacute provocados por el movimiento de las
partiacuteculas cargadaraquo por lo (pie hay que resolver un problema autocousigtente es decir la
solucioacuten de (110) conjuntamente con laraquo ecuaciones de campo
VxS = M + Iacute I ( + ( 0) (iii) c ot c
V-Eacute m 4-(p + po) (1 13)
v i = 0 (114)
9
01
(si-i) ltraquoiquestbull AW + J) + W + sectxsectA)Y +ilaacute- raquo
waacute(A-iacute) + ^ Vlt = JLVpound mp
(iquestri) -o = W aacute w - A + ^
iexcllaquoupauSimi HJiuiHiupo pii] laquoj ip laquoai iopuioa ap jjnaiscsi io x) inn uctuivcs u n
HZI|1)II t8 opiti |f ui |vmi raquoia ap OIIMIIUIAOIH jap t iopduauap H| H Iacute H J -OJIIIU OIIIIIJIIOI o ip j tu mi
(ipllllllUOJ OJIIK laquoHill OIlllll lltijjodll S Sgt1IIIIIltMI|IIOJ SHJSI Hill llX HJItlHI A UIIIIOI liJIIIOJl
bullJMraquo NtJIIHKullllO1 Sl| 11)111 IttllHMJIi j j l lililiacute IMIacutelj IS lili IIJlllllllipiU|lll| CI|I|KM11 |l l|-J
i
OIIIIIIIIipiM|)II[ (gt|l|raquoOIII |l iZI|llll
is osli i|Si 113 ltM1IIHI l((|ill|)Ulll o|(llllil | mi imuii Jllli|MSIIlu ipmd is lti|i(i| (III oltloi
Dlllsmii |l lt ltI|IIIKIIJI(1IJltII 1)1111111 Ulllj l||St IS IIIHI SI|lll(UIltI SI|IIMIJI(I sltlt[ 1(1 (IJfUItlllAillll
|i ltisui|i 11111 miis-H|ltl 1111 111 iiUuumluniii iexcllaquo j o j ii|iiiuiiii(iultii ms i ltm siquniiud ltn gtgt
ltI|I1III1U Villi |l (MU | l lll lt 1(11ili 111 AIIIII iMIIsiqil tin 1(1 IKIII |i l|gt II|IK lti|ilI|I|ll MS i|llllltl
Sgt|I1HIIIIMII|IIII -ii(liilinil ip II(I|KMII (1 H|tiit|iiltl 113 lti|iiiiitll] si inusiqd |i|i IIltIIMIUISI|I
l| lll IIOIHiipill US Hill ltl| Hid degSI(||||||Ilt1 Sl| 1(1 i||llll(1llAOIII |lp 11(11liqll1111 bull] OlIItU11
(iinmiiiAoui (1 bulluipisUtii 1111 ofiji is (IHKII si|tfi(|ifiH(i|ifft s-ftptjiijiMi (lt lti(i(iorij ( 3
( 9 1 1 ) 0 = V V bull A + T ^
|Mqmimiuoj ltraquofi tiacuteotjuttji laquoj uKiexclatms (()) niexcljsijtfs j pthy
ltcni bullbulliquestx^ = [ -x^ = lt
laquoUIKIJ i( (lllllll l|(MMJltll ijl A i|l(lll(IUI laquoSjlM laquolt Kj|tt|raquoISIM|gt gtlJ Sgt(itl) slj | Ifi
= V y [- x D - -pound-V x I i r Uuml) (119) Of 4 ~ ltT
V B = 0 (120)
donde ni ex 1iexclI ltbull usidad del liquido ltlaquoMiraquohicTtgtr (plasma) ron una rondiirtividad n vi es la
velocidad del plasma y ( r son 1lt- roi-firiciites de viscosidad Este sistema laquoir eriiarionis
w debe de roiujut mentar ron las emanones de rotado y la iiiiwioacuteii laquole tnuiNpurte de calor
= Hni-T) (121 0
M7 mdash + (rlaquoV| uumlt
~ bdquo 2L1L + X-(VTgt+ mdash mdash l ^ x Uuml r (122)
donde raquo = raquoij(T) es la entropiacutea de uiiii masa unidad de plasma n es la rondnrtividad
iltl ialor y rttJ elaquo el tensor laquoir viscosidad
^= (iiexclr + iiquestL~ hgtv TA) av bull IacuteL23)
En la magnet oliidrodinaacutemira se consideran dados la rondnrtividad eleacutectrica la conshy
ductividad laquolaquobull calor tlcl plasma y tambieacuten los coeficientes de viscosidad En la praacutectica
se utilizan modelos modificados dr la magnetoliidrodiacutenaacutemicn tales como el modelo cuasi-
magnetohidrodinaacutemico de dos liacutequidos (electrones y iones) y de tres liacutequidos (electrones
iones y neutros) tos cuales de forma fenomenoloacutegica consideran la interaccioacuten entre las
partiacuteculas- su movimiento teacutermico Estos modelos simples generalmente son aproximados
y para su fundamentacioacuten se exige la utilizar ion de un modelo maacutes general del plasma
como gas ionizado El modelo maacutes general es la descripcioacuten estadiacutestica del plasma como
un sistema compuesto de un gran nuacutemero de partiacuteculas
11
CAPITULO 2
GUIAS DE ONDA Y RESONADORES
En rstr i-i|gtiacutemlgt v ilisrrilraquo li iroriacutea grurral i|r lis gniacuteis laquoIt- IIMIUuml y laquoIr los rrsoimdorrx
bullilimlriros Si luir- un r-iexclMilil riifuumlsis ru his giiiacuteigt d r mifhi V lvsotinliili- de MMIIacuteIMI
tliUlsvriMiI bull i i i i i iuuml l nn iDliiii 1iexclgt rxcitiiiiiVn dr o lnl raquo t i l IIHMII bdquobdquo y TE laquo11 estos
IIIacuteN|HIMIIacuteVIraquo rrx|Mitiacuteviexclifilttr rli Iilii|iiliquest ron rl d i spos i t ivo drsni t iraquo cu [2iexcl
3 Guiacuteas de onda
31 Ecuacioacuten de valores propios
pound1 estudio dr IHS propiedades fnuciaiiicntalcs dr la propagacioacuten de ondaraquo laquobulllectroniaglictiras
en tubos cilindricos dr conductividad infinita sr ha realizado ampliamente Ha sido resuelto
el problema para guiacuteas do seccioacuten transversal arbitraria |8) y para secciones transversales
particulares de importancia praacutectica se lian solucionado en sus modos fundamentales de
propagacioacuten [9] Asiacute mismo una analogiacutea con las lincas de transmisioacuten ha sido descrita en
[Wi
Veamos con maacutes detalle las guiacuteas de onda Consideremos una guiacutea cilindrica ron su eje
dirigido a lo largo del eje 0iexcl Ademaacutes consideremos que la guiacutea de omlas es longitudiliaj-
12
iifiacuteiti- lioiingtmiiriexcli y iptc la iexclgtariilrgt- metaacutelica sou conductores iierfcetos Sigtigtntgtiexcluiiltgts ltpit
bullniexcli omlii bull-lcctrumagiirticH plana di frecuencia ur si propaga a lo largo di- la guia ilt- onda
pound(fiacutel=f(r^)t r- iacute (21)
poundlt) = (riacute)t r-w ) (22)
iexclonde r es la constante de proiMtgacioacuten o nuacutemero de onda El problema fie contorno que
-bull iacuteu-duiT de liexcltgt fiiiacutenioins de Maxweil pura ondas ti|Mgt H en una guiacutea dr ondas ciliwtricn
-bullbull rxprrsa en la forma
bullbullon laraquo condiciones de frontera
-2- = 0 para r = a (24)
E = 0 cti todo el espacio
donde $ = H(r^) De la misma manera para las ondas tipo E el problema de contomo
tiene la forma
0 lt vgtlt 2ir
13
rtm las condiciones de frontera
= 0 para r = a (2C)
H = 0 til todo el espacio
donde ahora lt1gt = pound(r^) n es el radio ilr la guiacutea tic ondas
Los valores positivos
bull = -gtL = iquest - riquest (27)
determinan el con junto de valores propios correspondientes a rada una de las soluciones
lraquoTiiiisilles igt minios caracteriacutestico de la guiacutea de onda donde II y t son las constantes
de permeabilidad y permit ividad respectivamente del medio ipie llena la guiacutea de onda
GiiHTMliiHiite bdquo depende ile las (limensioiies geomeacutetricas de la guiacutea de onda de IacuteHJIIIacute
IJIIC siempre si puedan selerrionar los modos de propagacioacuten raquopraquoe se reijuieran
Por otro lado las componentes transversales de los campos eleacutectrico y magneacutetico se
determinan si se conocen las componentes longitudinales de los campos de la forma [8]
iT Eacutet = - j -Ve para ondas en modo E (28)
a iT H = - mdash V para ondas en modo H (29)
Traquonigt
Ademaacutes las componentes transversales de ambos campos (eleacutectrico y magneacutetico) se relashy
cionan mutuamente romo
14
H = ~iquestbdquo x Eacute (210)
aonde ~bdquo es un vrrtor unitariti dirigido a lo iexclarjraquo ltlcl eje 0 y Zf laquo la iiiipedanria tlr 1raquo
onda tiraquo modo E Igt H respectivamente
cT Zf = mdash igtara ondas en modo pound (211)
ZH = mdash=bull pnra ondas en IIIIMIII H (212) cT
Las efiiiexclirioiiigt (23) y (25) determinan problemas de valores propios ron sus corresshy
pondientes condiciones de frontera Cada turn de las soluciones nos representan diferentes
bullnodos normales unos transversales eleacutectricos y otros transversales magneacuteticos corresponshy
dientemente
32 Paraacutemetros de propagacioacuten
De la ecuacioacuten (27) se tiene que para cada valor de bdquo y correspondientemente de la
frecuencia se determina un valor para el nuacutemero de onda
r raquo - ^ - T Iacute (2i3)
En general T puede ser una cantidad compleja de donde podemos distinguir tres casos
a) siacute (tt^ gt y^n entonces T es real y define un modo permisible de propagacioacuten es decir
la onda se propaga libremente a lo largo de la guiacutea b) si ftfty lt 73nn entonces T es una
cantidad compleja de donde la onda se amortigua exponencialmente y c) el caso cuando
15
r = 0 ilefiiu la condicioacuten di- rortlaquo la nial separa los casos a) y li) Asiacute podemos definir a
la friTuciina de corte romo
Wbdquobdquobdquo = -J=-bdquo 1214)
y expresar el nuacutemero de onda en funcioacuten de ella
r = ^ ^ - ^ (215)
Para ftecuencin- uiiiyores ijue la de rorle la onda se propagii a lo largo de 1raquo guiacutea En
el ruso contrario pitra freriietiriuumls menores i|iie lii de rorte 1iexclgt onda se amortigua Otra
caracteriacutestica imporiiiiite la ]iodeinos olilenei de la bullbullxpresioacuten 1213) Va |IH- el nuacuteniero de
onda r siempre es menor ipie su valor en un espacio lilire entonces Ii longitud de onda en
la guia es siempre maacutes grande
y 77 7ngtt
Anaacutelogamente definimos una longitud de onda de corte o criacutetica (cuando A = 00)
Af = yiliacutemdash (217)
y expresamos la longitud de onda cu la guiacutea cu funcioacuten de ella
A = _ j (218)
donde A es la longitud de onda en el vacio Dr aquiacute que la onda se puede propagar a lo
largo de la guiacutea de onda uacutenicamente para longitudes de onda menores (pie la de corte
0
~ y - i y
_bull-
_ 1
bull i
iexclA
0
0
- gtiacuter
JfT7 ~ m
n
0
raquov
^ yJZliacuteiiacuteiacute
9C
Imaginaria
V
mdash _ l _ - M i l
0
Imaginaria
A
-Jraquo-$mdashil
X
Imaginaria
Tabla 21 Iaraacutewotrus ele propagacioacuten para onda ltrn moiio pound y cti una guiacutea ltlr onilas
Miacuterica uniformraquo
Por otro hielo iexclgt viliraquodegiiliexcliltl ltli fasr iiexcl riexcl un medio bullbullgt uisiraquo JraquoILIIlt1laquo ijiii- su Viilor III el
Wigt
7 = r
(219)
Por debajo del punto dlaquo- corte 1raquo velocidad de fase es imaginaria y pierde asiacute su sigshy
nificado fiacutesico En el punto de corte la velocidad ltlr fase se viirlvr infinita Un liccho
importante resulta serel que la guiacutea dp ondas es un sistema dispersivo aun cuando el
medio que llena la guiacutea no lo sea (la velocidad de fase es funcioacuten de la frecuencia) La
velocidad de grupo de la onda tiene la forma
tortt 1
(220)
En la Tabla 21 se resumen los paraacutemetros de propagacioacuten para una guiacutea de ondas sin
peacuterdida de energiacutea
1
33 Coeficiente de absorcioacuten
El finjo laquole inicrgiacutesi raquobull describe por ltbull vlaquo-ctigtr cimiplejo di- Piacutemiling
Sbdquo=[iquest]i[poundxW-j (221
su parte real nos dh el finjo di- energiacutea promedio plaquogtr unidad de tiempo y por unidad de
aren La romponeiite axial de Su representa el flujo de energiacutea prmimlio a lo largo de la
guiacutea Por lo tanto d flujo total promedio de energiacutea que se transmite a lo largo de la guiacutea
de onda e- la integral de la componente axial del verfor laquoIr Poyntilig evaluada sobre IIMIIacuteI
la weeioacuteii transversal de la guiacutea de onda
HilU^1 - iacute2-22) donde iquestbdquo es un ver tor unitario a lo largo del eje ()
Hasta el momento se lia considerado laquopie las paredes laquole la guiacutea tie laquonula son conductores
jraquocrfectigts in tal caso el Unjo total de energiacutea conserva su valor a lo largo tie la guiacutea laquole
onda Sin embargo en problemas reales la conductividad de las paredes tiene un valor
finito debido a ello existe muiacute fraccioacuten del flujo total laquole energiacutea que se absorlw |araquor Inraquo
paredes Dlt- aquiacute qtw la expresioacuten (222) representa uacutenicamente el fhyo tie energiacutea total
que entra a la guumliacuten de onda y cuyo valor decrece durante la propagacioacuten de la onda es
decir se generan peacuterdidas de energiacutea En la praacutectica tales peacuterdidas se consideran muy
petmentildeas considerando que siempre existe una fraccioacuten de la energiacutea que se pierde ya sea
en las paredes o por la presencia de un dieleacutectrico que llena la guiacutea de onda En tal caso la
laquoMida se amortigua en BU propagacioacuten y la constitute aacutee propagacioacuten time en consecuencia
una parte real y una imaginaria
18
r=i~m (223)
iultif i gts vl factor laquoit- iacuteiisi- y gtbull vi n^bulltirivuu- tU- iexclilisorcioacuteu o ltlr iacuteiiuortigiiaiiiii-tito E
cticiacutetiif ltli- iexcligtlaquouiri(raquoii ltbull Juumltllfi laquoir iexcllti rrhiritu
o = raquo +ltu (224)
bulliiiidr IIbdquo y o son los nlaquofiriciiiigt di- alisorrioacuten ilrliido n liexclis jx-nlidiis de energiacutea en las
m|t-iligt iin-luacuteliacutei-iraquo y 111 Illtilio diacuterliiirirai i|lilaquo- iexcllililiacute 1iexclI Riliacuteii rcspi-itivamriiti CiMisiiii-railiio
1iexclII |gtctiliiliexclis l l i -d ir ig iacutea ilr hi rxprrsion (2231 gtbullbull indure que los nui i )ms MUIacute propiui-ionalcs
bull bullbull tUUiexclltfgt rxpnililinal raquo i Ir ilonilr lii |MitgtIniacuteiexcli (222) laquo|lir sr transmitiacute iexcli iigt largo ltlr lli
bulliacuteliacutei ill lllllli llisillillliyr iexclI lo litigo (Ir (II la furnia
raquo(-)= Pbdquogt -- (2251
Por tamo la roiistiwtr de amortiguamiento o de alisorcioacuteii se definiacute- como ln razoacuten de
i poti-uria i MI il i ii bullbull lio lli eiirrgiacuteli (ptr si pierdr por unidad ilr longitud c u t i r il flujo toliil
promedio ilr rut-rglli lt|lie se transmit a lo largo di liexcli guiacutea gtllt onda
mdashiquestiacute-
34 Guiacutea de onda cilindrica Modo Hbdquobdquo
Nuestro principal intereacutes se centra en las caracteriacutesticas de propagacioacuten de ondas electroshy
magneacuteticas en modo Hnn en las guiacuteas de onda cilindricas Consideremos que la guiacutea de
onda tiene paredes conductoras perfectas y qui el iiexclgtgt dio que llena uniformemente la guiacutea
19
fcciMTraquo |Mrililiis laquoIr m c r g iacute a ilispiiviiilili-j Parraquo bulllaquolaquobullbull rwsn IIIN MIIIUIacuteOUIS n IIHgtI)Igt~ |MTIIIIacuteSIacuteIgt1IVS
ili- priiptiiuumlniiiii i|i 1iexclI r i i i iu ioacute i i (2 3 ) MHI
( bull r-t = CbdquoJJ- r)~laquoif (227)
laquolimilr Ci lt-- una ionstatiii y la rlaquotiltiirioacuteii ltr iacuteroutrrn (24) mjiriiTr jiir 1ltraquogt laquoiliircs propios
IDIIIIII la forma
bull t
bdquobdquo = mdash = U 123 122$) bulli
n = 123
Aipiiacute )bdquobdquo -un la raiacuteivs n bullbullMinas laquoIraquo la dnivaila ilr la fiuirioacuten gtlt- Ui-ssrl ili- unlcii m
JJjr) - Di y n rs il railin inlriim ilr la guia ir ondas Exislr un minino iexcliitiiiiln bullbull
IIHMIOS i|iu MUIacute -iiliniuiirs ilr (23) IIIII la i-igtiiiliexcli-iacuteoacuteii ili friitiliTa (24) Col aymla ili- (2Iacute))
y (210) iilitiiHiniraquo las rxprrsioiirs para las i-oinpoiimtrs transvirsalrs laquo1raquo- los campo ni
iminliiiailiacutei- riliacuteiiiiiiias y nitoiiri-s csiriacuteluacuteiiios las roiiipoiiriitcs ilr los i-ampos ni la furnia
H = C o ^ j h r ) trade m ^ i r mn
H = plusmniexclCo~-Jbdquohnnr)Zwir- (229) Inn r
E = 0 r laquoi
E = plusmniCbdquoZH-i Jmhmnr)ZtradeltigtriV-Tmn r
E = -iC0ZbdquoI-Jm(lmnr)Z^ert
donde los signos plusmn corresponden al en o co respectivamente y In expresioacuten Jm indica la
derivada ron respecto al argumento Jm = f- Sustituyendo (228) ni (213) w obtienen
20
gt valores tie la constante de propagacioacuten
r = Jfi- - iraquo (230)
Comraquo sc olwerva las ecuaciones (229) estaacuten doblemente degeneradas yraquo rpte uno de
lgtraquo ranijios se convierte ei el otro al girar ir2 alrededor del eje de la guiacutea
Determinemos lo paraacutemetros de pro|gtagiacuteicioacuteii para una guiacutea de inula cilindrica hueca
al variraquo) y de radio laquo = 425cm en la nuil se propaga una onda en modo Htl Considerashy
remos primeramente que las paredes de la guiacutea son conductores perfeetos En In siguiente
rioacuten se consideraraacute que estas tienen una conductividad finita
De acuerdo con (21C) toda onda electromagneticraquo podraacute propagarse en una guiacutea de
ouda de tales dimensiones si se cumple que su longitud de onda de )n primera es menor
que la longitud de onda critica Para tuia guia cilindrica se tiene
lisa A c = ~ (231)
Lolaquo dot modos inferiores Ha y JI para ondas de tipo H tienen las siguientes longishy
tudes de onda criacuteticas (en este caso iexcl = 18412 y j i t - 30542 [11])
Xe = 145cm (232)
Ac s 87cm
respectivamente Se puede demostrar que el modo pound0i es el modo fundamental para ondas
de tipo E Este modo tiene una longitud criacutetica
21
X = l l l f w (233)
Pur laquogttrcgt lhiii litraquo lougitiidcgt de inula rritkas lth- Uraquo siguiente modos ruiperiores ile muiacuteas
tipo H y li|xgt pound son menores que Itraquo valores 87rm y l l l m i rt-s]gtrrt miacutemente De aquiacute
que UMH onda clerirouiagiieacuteiira pueda propagarse en la guiacutea si su longitud lti onda laquobull
bulllienor que 145rraquoi Si ademaacutes fl valor de la longitud (ltbull ouda si- emueiilra en el iexclineacutervalo
11 lrjn lt A lt 145rru cntimres el jnodo H es el tiuiro que puede propagarse a lolargo
ile la guiacutea de onda
Eli figura 21 M muestra las vising tranvt-rsal y longitudinal de la estructura de los
bullaiii|Hraquogt en modo i | Aquiacute se 1gtI tomado la parti cosciioidal de (227) A continuacioacuten
e dan |igts valores de los paraacutemetros de propagacioacuten en el easu de IMIIIJIS clcrtronuigiieacutetiiiis
laquoMI iacutenriiencia w = 1539 x 10iacute (A = 1224nraquo) que si- propagan cu la guiacutea de onda
en nioilo | | Los valore se obtienen utilizando las expresiones correspondientes de la
seccioacuten (52) o de la Tnlila 21
Ar = 145laquoo
u w = 13 x 10luc
T = 02753cm-
A x 2282cro (234)
Zbdquo laquo 187 (i = l )
v = 5C x 100cm
w = 1CX10 OCTIIIacute
22
^mdashmdash Imea de campo eleacutectrico
mdash --Linearaquo di- campo magneacutetico
o Campo magneacutetico normal (hacia fuera ilr la hoja)
f ( ampo magneacutetico normal (hacia dentro di- la hoja)
Fig21 Vista- irahversal y longitudinal de la pstrurltira de Itraquo camporaquo ltn trimlo iacuteliexcliexcl La vigtti
otigitudial correspondiacute a un aacutengulo u = 90deg Figura tomada di- [bullgt]bull
i
Notemos (|Uf il iexclmaacutelisis anterior se inicioacute con una guiacutea dr onda de fliiiiensicmlts traquo-
gtltriacutetiacutecaj De- ahiacute se prosiguioacute a encontrar las onda electromagneticraquo npropiadas tale
que el modo fundamental H de la guiacutea de onda sea cl uacutenico que se propague Lo contrano
tambieacuten resulta vaacutelido es decir si se cuenta con una fuente de microotidas cotiacute determishy
nada longitud dr onda se pueden encontrar las dimensiones apropiadas de la guiacutea tales
que uacutenicamente se pueda propagar el modo fundamental
35 Coeficiente de absorcioacuten Modo Hmn
De la expresioacuten (226) determinemos la laquomulante de amortiguamiento debido H la conducshy
tividad finita de las paredes metaacutelicas para ondas en modo Hmn Primeramente calculemos
23
vi fltijiraquo total protiwlio ili laquowgia (222) r nial lunik bullbullscriiaacutersr IMI trrmiiins laquobullbull la funcioacuten
[gtrraquotgtiii bull at la forniH
iacutelowlc
= CMtmnr )rtismf (23C)
rlitotiirs
Praquo = If 1 Uw-T-KU [rIfjbdquor)nlaquoiquestraquoSlrlT-
= [iquest]^raquo^-Kraquol7rJraquo-rr- lt2-37)
La integra] ili- (237) sr cvaitwi utilizando la igualdad [12]
y CMisiacutedcnuidraquo IJHC la couiliriuacuteii de fruirtrra (24) rirquirrr ijiw Jm~innr)rmn = 0 DP rata
manera se obtiene el resultado
En el caso particular de ondas en modo Hti se tiene
La expresioacuten (240) puede escribirse en una forma mas conveniente
24
ionde
EJlJampuumlL (242
bullbull lii amgtIitultl del raui)Mgt eleacutertriro en rl bullbullclilro ltle 1raquo serriacutenraquo transversal laquobull 1raquo jiacuteiliacuteuuml de mida
La relanoacuteii (241I nos muestra rliimuienti- la iii-|n-iiiletiriacuteii rufidraacutetini ron n-sperrraquo iexclil radio
bull lti EUiiacutei ilil finjo total ]gtroiniilio ili- eneruiacuteraquo gt|raquo iitravicwi 1iexclI MTIIacuteIIH Iriexclmsvi-rsiil de 1raquo
uniacutea ib- omlu
Por otro lado la potcnria iacute|iic se pierde por mudad di- longitud (Mudo raquo las corrientes
u|gterfiiialc laquoi laraquo paredes metaacutelicas di- la guiacutea se expresa mediante la iutrgral de contorno
alrededor de la frontera de la guiacutea de onila) de las componentes tangenciales del campo
Magneacutetico en la fonna
p - dl
donde ntilde es un vector unitario normal a la superficie de la guiacutea de ondas ir es la conducshy
tividad de las paredes metaacutelicaraquo y S es el ancho de la capa piel expresada como
tiexcl es la permeabilidad magneacutetica de las paredes metaacutelicas Por tanto cotiacute ayuda de las
expresiones (229) se obtiene la potencia promedio que se pierde eti las paredes
25
- iexcl eacute f ^ - f (duuml]laquo 1245)
Fiiacutemlniiacuteiiti- di (245) y (240) bullbull oliticur la ruitstantr de Hiimnigiiuiiiitiitnpara el utixlo
I24G)
En vi raso ili- ondas ltw w propagan iii laquoI IIHMIO Hlt (MMII-IHH- laquoIr (24C) IDII raquoraquolt = raquo = I
obtener
f r i t o r sampsY+ traderaquo]
- - Id laquo-iexclzsf L v ( Siacute consideran)raquo tua guiacutea dr onda hurra ot dicir = 1 ni laquoti interior cotiacute paredes
metaacutelicas de broncr de conductividad a = 1413utg2crgaegnn) y radio a = 42vcm
en IB cual se propaga una onda en modo fiacuteu con una longitud de onda en el vacio de A s
1224cm (w = 15394 x 10degi) entonces obtenemos que la constante de amortiguamiento
tiene el valor de
om = 1032 xlO4 (248)
El valor anterior noraquo indica que a la distancia x = 0C88raquon la amplitud del campo eleacutectrico
disminuye 1e veceraquo de su valor en i = 0 De donde la constant v rlr amortiguamiento es
26
sntirp-itttniKiit nt-m-ntildea para considerar una guiacutea If onda laquoit unos riacutetanlos metros laquoit-
lUgitiiuacute romo una guia gtlr (tuda ideal (sin peacuterdulas)
4 Cavidades resonantes (resonadores)
Vu disjiositivo de gran importancia praacutectirtt y estrechamente relacionado ron las giriacuteas
ltbullbull onda son las cavidades resonantes Coinraquo w sabe una cavidad resonante (resoiimbir)
bull - privi-aiiii-iitr una cavidad roinpletameiit) armada por paredes nietaacuteliias Ins riacutetales
prewiiraii ilti propiedad tllt- podriacute alijiart-uar energiacutea eiertruiiiaRuitira tMeilanie Llaquoraquos riso-
iadores han sido ampliamente estudinilos en la misma magnitud ipu- las guiacuteas de ulula [13]
Anaacutelogamente al estudio de guiacuteas de laquonula gte ha resuelto el problema de 1laquoraquo resonadores
bullbull si-rrion transversal arbitraria routenieudraquo cu su interior un medio liiMiiogt-iraquo laquogt con IOIJS-
antes y t [S] Un estudio de los resonadores de formas particulares y de importancia
praacutectica se puede encontrar en [9] Ademaacutes una analogiacutea rlaquom liw circuitos resonantes se
(iescrUumlM en (II)] Con res|x-ctraquo a esto uacuteltimo podemos decir i|iie los rlaquosraquonailores tienen
la ventaja de ser superiores a los circuitos resonantes I - C en un factor laquole 20 laquos laquolecir
iexcla fraccioacuten de energiacutea almacenada laquopie se disipa por ciclo en un resonador es alrededor laquole
1 20 de la fraccioacuten disipada por ciclo en un circuito L - C [14]
41 Caracteriacutesticas generales
Consideremos una cavidad cilindrica hueca y acotada por un conductor perfecto Fijemos
el eje 0 de nuestro sistema de referencia a lo largo del eje de la cavidad cilindrica y
Mipongamos que la longitud del resonador esta acotada entre - = 0 y z mdash d
27
Un ri-Miiiitilor pucxlr i-oiisiilcriirsc mino unraquo guiacutea ltgtbull olida finita ilimih ltlaquobull tiww laquo|ingt
iexclumilir la rotiiliacutecioacuteii di- froniirit
para ltmdagt t-n modo TM
(Mirtl Otlflugt Ill IIMMIO TE
EbdquoM = 0 (249gt
HUbdquoi = 0 (250)
En itiilii linn illt- braquo sii](rrfiiiigt plana gtbull iilruumllnniitr ngtniltiitigtragt rxistr rcriixioacuteu di-ondas
El ti|Mgt lit iiiidii i|iilt- M- irrii iexclil siiprrpoiuT iliraquo ondas ilritroinatnitiias ron iexcliinplttudis
iguales y propagacioacuten en sentidos opuestos es ]iri)|iiiexcliinciiir rl di- uni onda estariouarin De
donde las rigtui]M)iiilillts axiales ilr 1ltKS rniupos ilclxn ttinl bullbull forma
para ondas en moiin TM
E = ( r r - )oi ^ - ) = 0123 (251)
para onda cu modo TE
H = Tf)raquoeM^-) j gt - 1 2 3 (252) o
Laraquo componentes transversales de los campos se determinan de (28) y (20) Para
ondas en modo TM obtenemos
28
Jfr = mdashT-cogtbullmdash )bdquo x V
(253)
vrrrgtjlaquogtijiiiciitfuifj)tc para ondas wi modo TE
pound = _ittif iacute iacutef)i1yr
W = iacutefJ_bdquo s (^)V
(254)
poundgtbullbull in-s riiiiiliiioliiN de frontera (249) y (25U olrtnirmos lt|iir 1iexclI ionstiuiti- ili- propagacioacuten
ltgtiitii 1ltraquo valores
r = uumlf = (0)123 ti
bull iexclonde de In ecuacioacuten (27) los vnlonv propio so expresan romo
(255)
(256)
La ecuacioacuten (25G) forma un conjunto discreto de valores que determina la frecuencia
bull ir resonancia para cada valor de p y bdquo es decir a cada tipo de onda estacionaria le
corresponde una frecuencia propia
vJ (257)
29
Fig22 Litraquo midas rsUt Miliaria- ilgt mi rismnclnr lidien en su lifiigiliitl un iiiiniTii IIIIITH ilr
niilMlcraquo lie la loiigilini tit- IgtMltU St- miii-sira H raso para )gt - Iiquest41 bullbull U exprntiiiacuteii iquestat)
En alaquoManii si mi si ritiniiita otra rosa raquobull omiten los Milmidiees rtii y laquopie ranraquo
UTIacutezan los modos laquoIr oscilacioacuten Ln resultado iiiiportaiilr laquole la ccuaraacutem (257) e laquopic se
pueden elegir Ian dimensiones ademadas ilcl resonador lie tal forma laquopie este opere ni una
frecuencia uacutenica de resonancia
Si comparamos (255) con la expresioacuten general para la parte real de la confitante de
propagacioacuten T = 2irA se concluye que para cada modo de resonancia la longitud del
resonador es proporcional a un nuacutemero entero de mitades de la longitud de onda (Fiacuteg22)
d s p ^ p laquo ( 0 ) 123 (258)
El caso plaquo0 correspondiente a la condicioacuten de corte para ondaraquo en modo TM tiene un
30
Mereacutes partieular ya qne eu este caso la longitud de nuda tiende a ser infinita entonces de
laquobullcuerdo ron (258 obtenemos
d - 0 bull oo (259)
ie donde la longitud del resonador esta indeterminada Los modos correspondientes a
gt raquo 0 existen en el resonador para cualquier longitud de la cavidad
Una propiedad de las ondas estacionarias es que loraquo CMIII|MgtK eleacutectrico y magneacutetico se
encuentran defamados en ir2
-ll = rt + iexclJ (2C0)
iielndu a ello existen instantes de tiempo en el resonador en que existe uacutenicamente el
bullampo eleacutectrico y momentos en que solo existe el rompo magneacutetico Como resultado de
este defasamiento el vector de Pijymiug resulta ser UIIH magnitud puramente imaginariacutea
de donde ai promedio con respecto al tiempo no existe transmisioacuten de energiacutea ya (pie el
valor promedio del vector de Poynting resulta ser indo Su - [ pound ] IitEacute x iquest ] = 0
42 Energiacutea almacenada y calidad de los resonadores
La energia total promedio almacenada en todo el volumen del resonador es la suma de las
energiacutearaquo eleacutectrica y magneacutetica promedio almacenadas por los modos normales
W m WE + WH (261)
donde
31
HiliacuteX-trade 2 M gt
Yraquo que en el resonador no hay MU flujo neto de energiacutea entonceraquo cu el cano en lt|Ur el
medio i|w Urna 1raquo guiacutea no genere |raquoeacutercliltlas di- energiacutea la energiacutea eleacutertririacutei y magneacutetica
promedio seraacuten igualo entre si Hiquest- s Wraquo Evaluemos la energiacutea total promedio alinarc-
tiada en el volumen del resonador |gtara ondas en modraquo TEmnf En este raso se tiene
=[iquest1U bull (2C4)
la cual puede expresarse cu teacuterminos de la integral de area tie la (tuicioacuten propia
= H(riacutep) evaluada sobre ln seccioacuten transversal de 1raquo guiacutea
bull-[iquestliacuteHs)]-- donde bull tiene la forma (227) Tomando uacutenicamente la parte cosenuiacutedal de (227) e
integrando de la misma manera como se evaluoacute la integral de (235) obtenemos
toT 47V ^n-m)Jmi^a) (266)
Para el caso particular de una onda en modo TEui se tiene
32
= [iquestiexcl](0375)|poundi|laquoib2 (2C7)
donde
1 1 - ^ (2-68)
raquo el valor di- lu magnitud tlt-1 riiinpo eleacutectrico en el centro di- la seccioacuten traiisveriMi) del
resonador
En griirral pura resonadores i n h siempre hay absorcioacuten ib energiacutea 1st nial se reashy
liza principalmente por dos raualcs a) porque el medio (pit- Ik-iui lu guiacutea es un medio
absorbente y Iraquo) debido a la conductividad finita de las paredes del resonador En cada
uno de estos casos las frecuencias de resonancia se vuelven cantidades complejas las ruakt
podemos escribir en la forma ugt = w + iw Entonces si la dependencia temporal de loraquo
campos es de la forma
Eacute(t)laquo Ac1 (269)
obtenemos que la energiacutea total promedio de un modo normal en un resonador real es
W(t)laquo W(0)e-3 (270)
donde se observa que se pierde al transcurrir el tiempo W(0) es la energiacutea total almaceshy
nada en el resonador en r = 0 Introduzcamos un paraacutemetro llamado factor de calidad Q
definido como 2n veces la razoacuten de la energiacutea almacenada en el resonador promediada con
respecto al tiempo entre las peacuterdidas de energiacutea por cada ciclo de oscilacioacuten
33
Qenrroiu ulmactnnda
SS itj mdash ^ mdash mdash ^ mdash ^ mdash mdash
jttrtlidim lit tnergtn
= wmdash IV
PmAtf
donde
(271)
P = - ^ I27-raquo)
egt la potencio media qui sc absorbe en tin ciclo de oscilacioacuten debido n las corrientes
superficiales de las |Ktrtdes del resonador (comparar ron la ecuacioacuten (224)) Di (270)-
(271) piulemos obtener que Q = raquo-2u Por lo tanto la frecuencia raquogt laquobull pnctlc expresar
a traveacutes de Q romo
=yj1 + eacutejh 273)
43 Excitacioacuten de los modos de oscilacioacuten
En el problema de un resonador ideal (sin jroacutedidas de energiacutea) cada modo de oscilacioacuten
tiene perfectamente definida su frecuencia propia de resonancia (257) Esto quiere decir
que si se quiere excitar un modo particular de oscilacioacuten en el resonador la frecuencia
de excitacioacuten debe coincidir exactamente con su frecuencia propia de resonancia En
problemas reales esto no ocurre y en lugar de ello se cuenta con un banda de frecuencias
alrededor de la frecuencia propia en la cual el modo de oscilacioacuten puede ser excitado La
existencia de esta banda de frecuencias se debe a que existen peacuterdidas de energiacutea
Para mostrar lo dicho anteriormente notoacutenos que las oscilaciones del tipo (260) se
pueden representar como una superposicioacuten de oscilaciones estacionariacuteas Supongamos
34
i le el campo electromagneacutetico se crea en el instante f = 0 y se le laquoleja oscilar libremente
para t gt 0 Obteniendo su transformada de Fourier de (269)
iquest(w) - p rt+Uacutet+Vt- (274) 2ff Jo
y evaluando la integral en (274) considerando que pound(t)| lsec = 0 se obtiene
cuyo valor absoluto es
eacuteMl = M mdash i ^ (27C)
La ecuacioacuten (27C) nos da un conjunto de curvas de resonancia para cada modo de
oscilacioacuten Cada graacutefica tiene su valor maacuteximo en w = u (Fig23) Los puntos ltii los
cuales la curva disminuye lgtsect de su valor maacuteximo se llaman puntos de potencia media y
su separacioacuten en frecuencia se denomina ancho de banda A cada punto de potencia media
le corresponden las frecuencias
w3 = w + ^ (278)
de donde obtenemos que el ancho de banda detennina el factor de calidad del resonador
en la forma
laquolaquo5 a raquoiquest- ltraquogt
35
IlaquolaquoM
Fiacuteg23 Curva (Ir resonancia para el mudo de oscilacioacuten a- Loraquo puntos |rV(laquo-|)| y |MJ)I son
lot punto dp potencia mediacutea y raquoraquo separacioacuten define el ancho de banda
Si las peacuterdidas de energiacutea son pequentildeas entonces las bandas de frecuencia son estrechas
Sin embargo siacute las ]ieacuterdidas son considerables entonces las curvas (le resonancia pueden
llegar a sobreponerse una sobre otra provocando la excitacioacuten mutua de los modos de
oscilacioacuten
44 Resonador de forma cilindrica
Consideremos ahora un resonador cilindrico Primeramente obtengamos las soluciones de
los campos para una onda en modo TE en un resonador ideal y posteriacuteormeite calculemos
la Q del resonador para este modo debido a la conductividad finita de las paredes metaacutelicas
Para este tipo de resonador y para ondas en modo TE las funciones propias o solucioneraquo
36
correspondientes al problema transversal (23 tienen la forma (227) ron los valores propios
1228) Ademaacutes con ayuda de las expresiones (234) se obtienen las expresiones de las
componentes transversales en coordenadas cilindricas y entonces escribimos los campos
en la forma
pit H- = C0Jn(mrr)cos(mj)sen(mdashz)
Hr = -r-mdashlt0-m nr)laquow(mi)laquow(-j-) O ~lmr O
H - -raquo -3 pound - -Jlaquo ( -mr)raquoen(ms)oraquo(5) (280) laquo in r laquo
E = 0 iCriquestft m laquor
E = mdashJB(-mraquor)iacutetrw(raquoraquof )rraquoi(mdashs) win
_ iacutei Co WK poundw = Jm(TimRr)laquow(raquon^)raquocii(-j-iacute)
C mn laquo
Sustituyendo (228) en (257) obtenemos para las frecuencias de resonancia la expresioacuten
i raquo J c
wmn= 4 = J ^ + (^) g | (281) c
El modo fundamental para las ondas tipo TE tiene como subiacutendices m = TI = p = 1
Este modo TEm es el modo fundamental de oscilacioacuten en la cavidad si la frecuencia de
resonancia u m para ondas TE es mas pequentildea que la frecuencia de resonancia corresponshy
diente a las ondas TM (wougt) Se puede demostrar que si d gt 203a (a es el radio del
resonador dado en cm) entonces el modo TE es el modo fundamental de oscilacioacuten del
resonador [9]
Calculemos ahora la Q del resonador debido a la conductividad finita de sus paredes en
el caso de ondas en modo TE La potencia que se pierde debido a las corrientes superficiales
en las paredes del resonador se calcula en la forma
37
bull -1iquest]iquest r r bull -bull+pound[+ - 4 (2-s2) donde ntilde| y ntilde2 son vectores unitarios normales a iraquo superficie cilindrica y a las superficies
transversales circulares respectivamente La expresioacuten (282) puede reescribtrsreu la forma
bull= [iquest] iquest j f W + lraquolaquol2)U + 2iquest J-iacutelJiacute + IWPMraquo bull (283) Usando las expresiones de los campos (2S0) sr resuelveraquo laraquo inti-gralcs de (2S31 en la
forma
I r l l f fo l mfa r ~ UirJ 2vlaquo 2 1 + bullpound(bullgtbullgt+
+2|CIraquopound [ lpoundrAOr)+ bullO^] laquo] bull Haciendo el cambio de variable x = fr obtenemos
I laquo-1 IColraquo iexclda UffJ 2ffiacute 2 m ]Cppoundr |dlaquo UffJ 2ltriacute 2
1 +
1 + rraquoraquo
J Iacute O laquo ) + 2 ^ j f [2iacute Ji(gt+J(X)] d
^(70) + [(7laquo)3(l~)^(^)] (284)
Sustituyendo la expresioacuten de f = ^ )bull arreglando teacuterminos resulta
Finalmente sustituyendo (266) y (285) en (271) obtenemos el (actor de calidad debido
a la conductividad finita de las paredes del resonador para ondas en modo TEmnt en la
forma
38
Consideremos un resonador cilindrico en el cual oscilan ondas electromagneacuteticas en
nodo TEm cou una frecuencia raquobull = 15394 gt 10degr (A = 1224cni) El resonador es de
bronce de conductividad o = 1413 x lOlsutiquestergscm y tiene un radio interno a mdash Ion
Pitra este resonador determinemos en el caso p = 1 los siguientes paraacutemetros a) la
longitud apropiada del resonador b) el factor de calii id ilrl resonador y ltbull) el audio de
banda donde sr puede excitar el modo TE
a) De acuerdo con (258) la condicrlaquon de un resonador es tal qui en su longitud exista
un nuacutemero entero de mitades de la longitud aacutev onda
d P Px
2 V1-WW - - _ V l (287
Despueacutes de sustituir los valores respectivos de A o y de los subiacutendices que caracterizan al
modo obtenemos
d - T13cm (288)
b) El factor de calidad Q del resonador se obtiene de (286) expresioacuten que reescribiacutemos
para ondas en modo TEm en la forma
Ud (l + 0343amp4)
2nlt61 + 02092 + 02436$
39
La permeabilidad magneacutetica del bronce (je) no difiere Mgninrativanicntt- riel valor corshy
respondiente al del vacio (lt as ftc - 1) Entonces la longitud de la capa piel (244) resulta
A = 812x 1 0 - W (290)
Finalmente obtenemos ltw el factor de calidad tiem- el valor
Q = 404903 (291)
c) FinalriKiitf nilrtilt-inos el ujrlifgt di- llaquoiinli en el nial la onda en moilo TEw puede
ser cxcitaihi Utilizando (277) y I27S) obleiicnicraquo los punto ile ]raquoifriiriiexcli inedia
-bull as 153927 x iexcluHz
w2 ss 153952 x 10VH
Por lo Unto el micho de banda tiene el valor
ui2 - ugt = 000025 x 10Hz
Observemos que el ancho de banda es lo suficientemente angosto relativamente por lo que
uacutenicamente se excita el modo TE Se puede demostrar que la frecuencia de resonancia
fundamental para ondas en modo TM es uiolo = 1031 x l0nHz
40
CAPITULO 3
TEORIacuteA DE PERTURBACIOacuteN
Toda Teoriacutea ile Perturbacioacuten establece que en ciertos casos los problemas irregulares
aquellos que no tienen soluciones analiacuteticas exactas) pueden ser considerados romo rrjpi-
iexcliexclTVraquo que sufrieron cierta perturbacioacuten Cuando la perturbacioacuten es suficientemente pequentildea
u el problema irregular podemos obtener una solucioacuten aproximada conociendo la solucioacuten
ltiel problema regular [9] El meacutetodo perturbativo se ha utilizado extensamente en las guiacuteas
de onda Existen trabajos donde se analizan los efectos de las perturbaciones en lew valoshy
res de frontera [15] asiacuteromo de las perturbaciones generadas por un pequentildea muestra de
Vrrita en el interior de las guiacuteas de onda y resonadores [1C] En este capiacutetulo se describe
ia teoriacutea baacutesica del meacutetodo perturbativo desarrollada en |17] en el caso cuando las guiacuteas
de onda y los resonadores contienen un pltsma en su interior
5 El Meacutetodo de Perturbacioacuten en las guiacuteas de onda
En la seccioacuten (32) se mostroacute que la propagacioacuten de ondas electromagneacuteticas en guiacuteas
de onda cilindricas se describe en teacuterminos de sus modos caracteriacutesticos Cada modo se
caracteriza por su constante de propagacioacuten Dependiendo de las dimensiones geomeacutetricas
41
de la guiacutea de mida estos modos o bien se propagaraquo o bien se atenuacutean En ln praacutectica Ins
dimensiones de las guias de onda siempre se escogen de tal forma lt|iii- unir amenteacute se puede
propagar el modo fundamental
El caso cuando se tiene una guia de onda parcial o completamente Urna con un plasma
sir produce uu cambio en los paraacutemetros caracteriacutesticos principales laquopie describen a la
guia de onda Si el efecto del plasma en tales paraacutemetros es lo suficientemente pequentildeo
entonces la teoriacutea de pertubacioacuten resulta ser mur adecuada para calcular ln constante de
propagacioacuten
Consideacuterenlos la propagacioacuten di ondas electromagneacuteticas a lo largo de tiiiiacutei guiacutea de ouila
cilindrica que se encuentra parrial ltgt rompidamente llena ron un plasma inhomogeacuteneo Si
sujHHiemos (|iir las caracteriacutesticas del plasma son axialmente uniformes podemos encontrar
la constante de propagacioacuten y las distribucioacuten de los campos
La propagacioacuten de ondas electromagneacuteticas en las guiacuteas de onda con plasma se tlescribc
por las ecuaciones de caminiacute
V x f + i - J = 0 (31) c
VxH-i-pound=mdashJ (32) c c
La condicioacuten de frontera se obtiene suponiendo que la conductividad de lax paredes de
la guiacutea de onda es infinita
|ntilde x Eacute = ntilde Ntilde = 0 (33)
donde ntilde es tin vector unitario normal a la frontera En ausencia de plasma la parte derecha
42
gtbull (32) es cero y el problema se reduce a U propagacioacuten dp ondas en una guia dlaquogt ondas
ivieca (Cap 2)
Las amplitudes del campo de las ondas normales se determinan en la forma
Eacutet(f) = pound ( I j e - i raquo w (34)
(F) = j(rj ) e- i ( r -
iquestonde r esel nuacutemero de onda En ausencia de peacuterdidas T es real (F = iacutei) Vamos a
suponer que las ondas se |gtropagan a lo largo del eje 0 paralelamente al eje de la guiacutea dr
onda
Para ileterniinar la influencia del plasma en la propagacioacuten de las ondas rlrrtroiiiagm-
licas en una guiacutea de onda es coacutemodo descomponer las ecuaciones pura las componentes
longitudinales y ]gtcr]gtendiculares del campo Estas ecuaciones se obtienen al descomponer
los campos y el operador V en la forma
pound = 4 + poundx ntilde = fflaquo + Ai = Lpound) + fjpound) (35)
V = Vbdquo + V I
donde los subiacutendices X y || denotan las componentes perpendiculares y longitudinales es
decir su proyecciones perpendiculares y paralelas al eje de la guiacutea de onda O) Sustishy
tuyendo (34) en (31)-(32) y considerando (35) obtenemos las ecuaciones en direccioacuten
perpendicular y longitudinal en la forma
- ^ [ V x ^ + V n ^ + i - l i o x f j = - mdash iexcl 0 x pound ( ) ] (36) IUgt C C
f-Vx[VxEacutex)-Vtamp-i-iexcloampl mdashrJiexcl (3-7) w C tt
43
donde i0 es un vector unitario dirigidraquo a lo largo del eje O Las componentes longitudinales
de tos campos se relacionan con las componentes jicrpctidiculares jKraquor liis expresiones
OZfy+^ftE) = [VxJbdquo (38)
Al = - - V x f ^ (39)
Ahora considerando que las ecuaciones de Maxwell son expresiones lineales es decir
que la combinacioacuten lineal de dos de sus soluciones tambieacuten es una solucioacuten y anaacutelogamente
para las condiciones de frontera (24) y (2C) determinamos (pie una solucioacuten maacutes general
del problema de uiiiacutei guumliacuten de onda sin plasma es una superposicioacuten de todos los modos
]MKgtibies de proiHigarioacuten con valores apropiados para sus eoetiacutecieiites Si la perturbacioacuten
originada por el plasma es lo suficientemente ]H-ltiuentildeu iiodemos suponer (pie la desviacioacuten
de cada uno de estos coeficientes es pequentildea con respecto a su valor no perturbada Dr
aquiacute que las componentes perpendiculares del cam]Mgt en una guiacutea de onda con plasma
se puedan representar como una serie (combinacioacuten lineal) con resjiecto a las funciones
ortogonales poundfc y Hk que determinan las comjioncntes transversales de los modos normales
en una guiacutea de oudn sin plasma
k
Los campos satisfacen las relaciones de ortogonalidnd [18]
(310)
JsEacute-kEacutedraquo laquo Nttu
JtpoundixEacute]deacute = ZSttu (311)
44
iquestiuumlaacutef el su|MTUacutegtdiexclctraquo denota el complejo conjugado de los campos Z = cTgt para
ltJAH ti|Mgt H y Z = wcT para ondas tilraquo pound ltlaquo es el siacutembolo de Kronecker bu = 1 si
raquo = y iquestbdquo = uuml si i- = ) y la integracioacuten se realiza sobre toda lo serenan transversal ilr la
tub de onda
Utilizando (310) y (311) rocontratnos las expresiones para los coeficientes uiquest y bk
(312) iexclsntilde ntildexu
Sistiruyriiiliraquo las seriacutees (310) en (3C) y (37) obtenemos el sislrinii f|i- eriiiioacuteoiirs
poundlt5r + ilgttfraquo4 = -- |iquestux(pound))l l t (313)
Ely+W)4 = VJbdquo (314) iacute
Multiplicando (313) vcrtorialinciitc por E[Aacute y (314) jMraquor HlM e integrando en 1raquo seccioacuten
transversal dr la guiacutea de onda obtenemos ron ayuda de las roiidintildeoucs de norma (311)
laraquo ecuaciones
rA + X KzcLEacuteltsEacute^ 3 1 6 gt En el caso en que los paraacutemetros del plasma no dependan de i la dependencia de los
campos con respecto a z se puede considerar de forma exponencial como en (34)
Eacute(jyz) = Eacutexy)t-iT ntildexvt) = ntilde(xy)r
45
(317)
o t ( iacute ) = laquo- M ) = V eacute r
Sustituyendo (317) n i (315) y (31C) obtenemos
laquoriacute - - - S S L bull +Ssect bull Uuml- 318)
Luraquo fiimriidirs (31S) y (319) |xira diferentes k roiii|xmni un sisirmraquo ltb-it-imrioiies lioinraquo-
geacuteneus liacutenenlegtgt ron res|gterttgt n liis roeiit-ientes nk y laquoV Lu riiudiriitn ilr solubilidad (igual)id
a rifo laquobrl determinante) determina la constante ib- igtrigt|Mi)igtiOacuteM Sin roiUirjpi el sistema
(318) y (319) resulta ser un problema muy laquolifiril laquoIt- resolwr De alaquo|iiiacute i|iie iexclti laraquo partes
ilereelias laquole (31S) y (319) son lo siinritrntetueiitc |ielt|iirntildeaH |MMICUIUS emplear la teoriacutea laquole
|MTturlgtMrilaquon
Sil|Kgtlliciifllaquogt fjflf- la denudad lie mrrirntc H traveacutes ilel plasma es (laquornjxirriimal H tin
paraacutemetro pequentildeo podemos descomponer las (-nulidades airaquorgt y E cii tiTiiiiiiiraquo laquole laquowte
paraacutemetro
bk = ZKv lt3 2 0gt
r - poundrubdquo
46
donde el subiacutendice ( dentildene el orden de pequentildees Vamos a considerar que en ausencia del
plasma en la guiacutea de onda se propaga el modo fundamental de una onda tipo H denotada
por iacute = 0 Ademaacutes si en la aproximacioacuten de orden cero se tiene
poundi = poundgt pound = pound | |= 0 (321)
entonces
ltbdquo - Abdquo (322)
Tiacuteo) = iexcl1lth
Asiacute considerando las expresiones (320)-(322) de (318) se oliticne la siguiente exshy
presioacuten en orden cero para lax ondas tipo H
laquo(bdquo[(r(0) + rbdquo + )raquo- rg = -^f-1 pound bdquo bull J(Eacute)d +
cAuZ|o) Js
de donde rlt -7IacuteT7-L iquestiacutef(Eacute)ds- (323) 2ni
Para las ondas tipo H Z(0) = c-iexcl^- mdash ^ de donde obtenemos finalmente
TMampLtedeg-f[Eacute)di- lt324gt
47
La cantidad compleja r ( 1 ) nos repcscnta el cambio que sufre la constante de propinacioacuten
T |Hgtr la presencia del plasma es ilecir es la correccioacuten a primer orden en la constante de
propagacioacuten (I = T - Tf0)) Esta cantidad se puede escribir en forma de unraquo suma de
sus componentes real e imaginaria
r bdquo = AJbdquo - iAobdquo (32b)
siendo An) gt 4 ltgt(i) las fracciones de cambio de la constante de fase y de amortiguamiento
respectivamente ocasionadas por la presenria del plasma
En corn-spomlencia con (32-1) y escribiendo la densidad de ciirrietite cuino J mdash J + i j
( es la parte real y es la parle iimiginaria) las cautidades de (325) toman respectivashy
mente la forma
iquest 4 1 = - V ^ V bull (3-20)
iquestngt = ^ C J bull (327)
2JSEacuteiexcl-Jiexcld
Vpoundbullpoundbdquo
far sfr0-Eacuteltj
En medios lineacuteale) anisotropicraquoraquo e inhomogeacuteneos la densidad de corriente r relaciona
ron el campo eleacutectrico en la forma
J=aEacute =mdashampbullpound (328) 4ir
donde amp es el tensor de conductividad eleacutectrica Af = (iacute - ) i es el tensor de permiacutetividad
dieleacutectrica e es el tensor unitario
Utilizando la expresioacuten (328) podemos reescribir (324) en la forma
48
wJ ft R bull Aacute iacute bull Ed
laquo Wen
r ^ poundbullampbullpound (330
En las expresiones anteriores no hay que olvidar que el campraquo eleacutectrico se expresa romo
una serif con respirtn al paraacutemetro pequentildeo pound Las expresiones (324)-(330) corresponden
iexcli iraquo aproximacioacuten de primer oidrn La condicioacuten que si- debe de satisfacer seguacuten la teoriacutea
de perttirlsirioacuten ni primera aproximacioacuten es tal qult- 1raquo magnitud de cambio en la ninstaiitr
de propagacioacuten debe ser sinnpre mucho menor que la magnitud laquobull- la difereiiria entre las
riHiMniitcraquo ilc propagacioacuten di cualquier modo con respecto al modo fundamental
ri lt r 0 r m lt |ru - rt| para todo Jl^O (331)
o con respecto a A y Aigt obtenemos
(332) Aibdquo laquo iquest A^bdquolt |A -r | iexcl
poundltraquobdquoltamp Ao(1)ltt|iquestt-rraquo|
6 El Meacutetodo de Perturbacioacuten en los resonadores
Anaacutelogamente al estudio de las guiacuteas de onda conteniendo plasma en su interior el anaacutelisis
en los resonadores que se encuentran parcial o completamente Henos con plasma exhibe
cambios en los paraacutemetros principales que describen los resonadores huecos En la seccioacuten
(41) ae mostroacute que un resonador tiene un nuacutemero infinito de modos de oscilacioacuten Cada 49
modo se caracteriza jagtr su frecuencia de resonancia su factor de calidad y su corres|Hraquon-
diente distribucioacuten de CHII)|Kgt La presencia del plasma en un resonador priMlure princishy
palmente un cambio en la frecuencia de resonancia en la cual el resonador se encuentra
opilando y en el factor de calidad Si la influencia del plasma en tales ]gtaraacutemetros es sufishy
cientemente pequentildea entonces para el anaacutelisis de este problema podemos tambieacuten emplear
la teoriacutea de perturbacioacuten
Consideremos un resonador que oscila en una de sus frecuencias de resonancia y que
contiene un plasma distribuido axialmente Evaluemos los iambins i|ite se producen en
liexcli frcciMiiciii de resonancia y en el factor de calidad del resonador Las distribuciones de
ciexclim|Hgty las frecuencias de resonancia se obtienen integrando las ecuaciones de campo (31)
y (32) con la condicioacuten de frontera (33) En este caso la condicioacuten de frontera (33) se
iipliia en la frontera cilindrica laquoleiacute resonador y en las superficies planas del mismo En
ausencia del plasma los raiiipos satisfacen las ecuaciones (31) v (32) con la piiacuterte derecha
igual con cero
VxEacutek + imdashH~k = 0 r (333)
V x Hk - mdashEacutebdquo = 0 c
y la condicioacuten de frontera (33) Donde se ha utilizado el subiacutendice Jt para denotar el
modo k de oscilacioacuten en un resonador hueco con frecuencia de resonancia ui Los campos
Ek y Hi satisfacen las relaciones de ortogonalidad
jvEacutekEacutedV = NkeacuteM
(334)
JvIacutekntildedV = Lk6kl
50
donde el superiacuteiidice nos indica el complejo conjugado de ios cam]gtos y la integracioacuten
igt realiza sobre tftdo el volumen del resonador
Se conoce que todo camjx) vectorial se compone de la suma de una parte con divergencia
ltITltJ iparte solenoidal) y una parte con rotacional cero (parte potencial) Para observar
la it^iuencia del plasma en la oscilacioacuten de ondas electromagneacuteticas es conveniente utilizar
este hecho escribiendo el campo eleacutertriacuteco como la suma de una parte solenoidal y una
potencial
Eacute = Eacute + Eacutebdquo V Eacutei = 0 (335)
V x Eacutebdquo = raquo
Llaquoraquos vectores solenoidales Eiexcl y H ile un resonador con plasma se pueden representar
como una coinlgtiuacioacuteu lineal de las funciones vectoriales Ei y Ht tjue detenuiiacuteian las
componentes solennidalcs de los modos de oscilacioacuten en un resonador sin plasma
Eacute = 5 gt pound raquo (33C) k
H - J gt amp (337)
Usando (336) y las relaciones de ortogonalidad (334) se encuentran las expresiones para
los coeficientes a y 6
TV (338)
_jvEacute-EacutexaacuteV 6gt 5 mdash bull
Sustituyendo (336) y (337) en las ecuaciones de campo (31) y (32) y considerando (333)
obtenemos eacutel sistema
51
k 1330)
J^(traquow-a tuf t)5 = 0
Multiplicando escalarmentc la primera ecuacioacuten de (339) por pound y la MRIIIKIIacuteI JMW HJ e
integrando sobre todo el volumen del resonador obtenemos
[b^k - laquow) = pound Eacute] bull poundkM - ^ I Eacute TIV (340)
(JW-laquo) = o 1341)
El primer tmuiiacuteiraquo tit- la tlrn-rlm ltb (340) i-s IacuteRIIUumlI IIHI erro Siacute ili-sprjaiiio ltbull (341) fr
y lo sustituimos cu (340) otitciii-inos
iJiexcl - J)nbdquo = Jj^L(pound-k f(g)dV (342) iexclSi Jv t
tlmide
k = ^ laquo 4 (343)
y Vi es el volumen que ocupa la columna dr plasma Sustituyendo la primera expresioacuten
para a de (338) en (342) se obtiene la relacioacuten
2 Jv Eacuteiexcl bull JEacute)dV - a g - iacute - 4 trade ^ iquest r f v 044)
donde se ha remarcado la dependencia de la densidad de la corriente con respecto al campo
eleacutectrico Por otro lado se observa que las ecuaciones (342) y (343) para diferenteraquo valores
de k forman un sistema de ecuaciones homogeacuteneas lineales con respecto a loraquo coeficientes
a La condicioacuten de solubilidad (igualdad a cero del determinante) determina la constante
52
bullltbull propagacioacuten Si la parte derecha fie (342) es lo suficientemente pequentildea jiodeinoraquo
ltiijgtlear el meacutetodo |gterturbatiro
Suponiendo laquoue la densidad de corriente a traveacutes del plasma es proporcional a un
paraacutemetro pequentildeo ]gtodemos desromponer las cantidades OkM^ ) E laquogt teacuterminos de este
paraacutemetro
h = poundbdquo lt3-45gt
(
lioiide el suloniHir ( define el orden (le peqncntildees Si en ausencia del plasma sr excita una
onda lie frecuencia UumlIiexcl en el resonador entotires en la aproximacioacuten de raquorltbii cero se tiene
pound|o) = Eiexcl
a = eacutelk (346)
Sustituyendo (345) en (344) e igualando los coeficientes de la misma potencia con respecto
al paraacutemetro pequentildeo se obtienen las soluciones en distintos ordenes de aproximacioacuten En
primera aproximacioacuten para k = l resulta
gt bien
53
= 2 ^ ^ 347)
En gmrral J ( ) ) es tuia cantidad complt-ja i|ttr mis reprcscuta la i-orrerrintildeu a primer
orden en la fnriirncia compleja de resonancia (uim = m mdash wi) Di- acuerdo ron (274) esta
cantidad puedr escribirse en la fonna
-bdquo = Aw + IA iacute J (348)
donde i parir mil ltbull imaginuria nos detenniunii las fraoioiirs laquobullbull cambio di- la |Ktrtc real
de la fri-eui-iicia di- n-soiiamia y la calillad dri resonador rcsptitivaiiniitc ocasionadas por
la pn-Hcuciacutea del plasma
En corrispoiidiiicia ion (347) escribiendo y descomponiendo la densidad de corriente
ronio J = 3 + i 3 (3 lts la parir real y 3 i la partiacute- imaginaria) las rantidailps ib (34S)
tulliacutean rirspeclivaineute la forma
- raquo m _av-j (340) wi w iexclv Eiexcl bull EilV
Qi) un fvpoundiexclEacuteM
En medios lineales anisotroacutepicos c inhomogeacuteneos la densidad de corriente se relaciona
con el campo eleacutectrico en la forma (328) De aquiacute qtie )gtodamos reescribir (347) como
WIacuteII bull - mdash mdash s mdash s 351) 2 v poundJ bull EdV
Para evaluar las correcciones en segunda aproximacioacuten a la frecuencia compleja de resoshy
nancia se sustituye la correcioacuten a primer orden del campo eleacutectrico E - poundbdquo + pound en
54
3441 la rual se determina por la expresioacuten (342) al evaluar cada uno de los rieficientes
u ron k JEacute
trtonces las correciones a las partes solenoidal y potencial se expresan en la forma
V pound | bdquo = mdash V bullbullltpound) (354)
Las roiidiiioniK laquo|nr se ilrlx-n satisfacer pariacutei cpir la expresioacuten (347) KIIacuteI viiacuteliiluuml es tul
([iilt parsi i ^ tentniMM
^ (355)
y |Hgtra I- =
A M mdash laquo 1 (366)
bull(4) e l
55
CAPITULO 4
INFLUENCIA DEL PLASMA
Eu i-sti- i-itpitulo en base al meacutetodo perturhativo descrito i-n el capitulo 3 se obtiene
el gtiexcliiiil)io laquopie sufre In constante de propagacioacuten para lindas rleclioniagneacutetiras eme se
propagan iii miii guiacutea ile onda ciliacuteiidriiacutea que i-oiitieur en su eje una roluijjua laquolaquobull plasma
friacuteo iiiliimiogeacuteufraquo y magnetizado Ademaacutes se determina la vaniiiioacuten ite la frecuencia laquole
roouancia para las ondas electromagneacuteticas qui se eiiruentran oscilando en tin resonador
cilindrico que contiene una columna de plasma friacuteo magnetizado e inhomogeacuteneo distribuido
axialmcnte Si- calculan las variaciones de la constante de propagacioacuten de la fierucucia de
resonancia y laquoleiacute factor de calillad jgtara diferentes valores de wjJJ1
7 Influencia del plasma en las guiacuteas de onda
Vamos a considerar como paraacutemetro pequentildeo que el radio del plasma es mucho menor que
la longitud de onda y que el perfil de densidad de electrones es de tipo paraboacutelico con
respecto al radio Ademaacutes el campo magneacutetico externo se considera homogeacuteneo y dirigido
a lo largo del eje O (Fig 41)
Como ya sabemos en una guiacutea de ondas cada modo de propagacioacuten se caracteriza por
56
Bo
P L A S M A
Fig41 Sc inwsira nnraquo i laquolimiiia ilr plasma laquoIc ratlin rbdquo loi aliidi sobre el ltbullbull bull)bull- miacutea guiacutea laquole
ogtda rihiiilrii-a dc railio rt in rampo iiiagnrliro externo iquestV osla dirigidraquo a Iraquo largraquo del ltbull)gtbull (gt
t i rumiante propagation Su parte real o factor dr fane drtrniiiiin la vrinriibul ill- fiiw
iexcluiftitraraquo I 1 piirti- imaginaria laquogt riwrkienlc tic absorcioacuten tlrtmniiacuteia el raquoinltgtrtigiiiexcliiiiiexcli-iitigt
(ir los diferentes modos ir propagacioacuten El efecto que se origina ttiantiraquo se rolix-a IIIIIacuteI
columna de plasma dentro de la guiacutea de ondas es un cambio en la constante de propagacioacuten
De acuerdo con la teoriacutea de perturbacioacuten este cambio es proporcional a la razoacuten del cambio
de energiacutea dentro de la seccioacuten transversal que ocupa el plasma sobre el vector de Poynting
evaluado sobre la seccioacuten transversal de la guiacutea de onda
r r - u _ IM-bullpound _ bdquo
donde las cantidades con subiacutendice 0 denotan cantidades no perturbadas (sin plasma)
Para evaluar la constante de propagacioacuten (41) es necesario obtener las soluciones de los
57
campos eleacutectrico y magneacutetico dentro del plasma en teacuterminos del jiaraacutemetrraquo peipientildeo
Para el caso de un plasma friacuteo cuando la velocidad de fase ile lsts nudas electromagneacuteshy
ticaraquo es mucho mayor (pie las velocidades teacutermicas di las (laquoarticulas si- utiliza el modelo
hidrodinaacutemico Debido a la simetriacutea cilindrica del problema su]Mgtngamos ijiacuten- los campos
tienen la forma
Eacute = iquestj(r)rr+--
Expresando la ecuacioacuten de onda
V x V x Eacute - ^r-iacuteEacute = 0
(42)
(43)
en coordenada iiliacuteiiltlriras se obtienen las eniariolies para las componentes del ranipo
eliVtriro i-ii la forma
igt
i-e- - mdash - DE = --Mt - DE + mdash(poundj + rr r r r r
E + - pound + (mdashv - ) pound = pound- + mdash (rpoundr) bull r r r r- r
(44)
(45)
-rcEr + iru(e - 1)poundJ + mdash | - i laquo ( f - 1)pound + poundpound] + rraquopound3 = 0 (46)
Aquiacute las primas indican una diferenciacioacuten con respecto a r l es el tensor dieleacutectrico en
la forma [19] (Bu esta dirigido a lo largo del eje 0)
poundraquo -
pound
0
pound 0
o vi ( t iquestu(e - 1) 0
= - t u ( c - l ) pound 0 V 0 0 r)
(47)
58
aacuteHtuacutee
- - 1 ti ul2 - - f j
2
= bull laquo bull i
_ = (r) = 4r r laquobull 1iexclI freruenna plaacutesmirraquo y -laquo lt-N ]iexclI fririirii-iraquo rirlotroacuteliira dr los
bullbulllaquobullerroiirs
Si il nidio ilil pliisiiiii o |Hi|iiiiacutein iii rumpiriiriuacuten ron IIacuteI loiigiliul de onda y n Irmas pound
varia i-ii un onli-n i|f iuiacuteraquotiacute-j)i in J |IIII|P)JIIgtS expresar li viiriiirioacuteji ili rraquo la forma
poundltrgt = bull ( laquo v ) bull iacute gt h 4 S )
donde el bullmnuiirtro se lm introducido para obtener las soluciones aproximadas ni difeshy
rentes ordenes ron respecta a pound di los camporaquo eleacutectrico y inaRiirliin Haciendo rl nunbio
lie variable x mdash =pound en la ininrioacuten (45) obtenemos
E = --(pound) - -plusmnpoundE - ^iquestE + - 4 J ( Iacute pound + gt9E) (4-9)
donde B kciexclwg = u(iacute - 1) y la prima denota una diferenciacioacuten con resprcto a x
Haciendo el mismo cambio de variable eliminando E por medio de (49) y limitaacutendole
hasta teacuterminos del orden (IO1- a ecuaciones (45) y (46) toman la forma
59
F i g 4 2 IVr l i l |gtiifiacuteilraquogtlirgtgt ili li |TinHivnli i l c|i| ( I I IM I I I n m P | W T 1 I I iexclI JT - mdashgt
[j-tl ltbullpoundbdquo-)] - (mh + mnixEf = 0 141raquo)
(411)
Se observa qui- la ecuacioacuten (410) no si- encuentra acoplada ron (49) y (411) cnloiires
podemos obtener su solucioacuten En condiciones experimentales una distribucioacuten dr la denshy
sidad de tipo paraboacutelico con respecto al radio resulta ser una rnuy buena aproximado
(Fig42) En tal caso escribimos
pound = T- - t0 (412)
siendo
CO
^ deg - 1 laquo413 J1 - ^
valor de la penuitividad en el eje del cilindro de plasma
Antes de sustituir el perfil paraboacutelico de iexcla permiacutetiviefad (412) en (4S) httgtimos en
bulli10 el cambio de variables
E = il|-r-|J-) 1414
bullbull donde obtenemos una ecuacioacuten diferencial pam en la forma
(V - bdquolr-+ [-(2|m| + 1 | - + (2|w| + 3|rjr-+ 2(|raquo| - tnu)Y = 0 1415
Haciendo un nuevo cambio de variables y = xiacutei en (415 se obtiene la ecuacioacuten
wd -v)r + H +1 - ( H + 2)W- iexcl y = o lt4icgt
Eltfa uacuteltima ecuacioacuten es una ecuacioacuten de tipo hiperficomeacutetrico y su solucioacuten es conocida
20 de donde la componente angular del campo eleacutectrico tiene la forma
poundv- = CxH-F(laquo6cy) (417)
donde F(a b c y) es la funcioacuten hipergeomeacutetrica [20] C es una constante y las constantes
cb y c tienen los valores
b = l + | m | - a (418)
C a 1 + H
61
respectivamente Dlt- la ecuacioacuten (411) podemos ahora escribir la expresioacuten paro la com-
jiacuteomrntf axial en la forma (hasta teacuterminos laquoiel orden (1iacute)1)
E = _ bdquo|m| D+-plusmn-CF(abc mdash mi poundu
= DiquestnbullT mdashJEiquest (419)
donde D es una constante La componente radial del campo eleacutectrico se obtiene de la
rniacioacuten (49) sustituyendo en esta (417 y (119) El campo majiexcliieacutetirtgt se deterniina laquole
la ecuacioacuten dr Faraday
1 OD r x pound = mdash mdash (420)
c uumlt
Limitaacutendose hasta teacuterminos del orden IO1 obtenemos la componente axial del camjm
magneacutetico
H = iacute H D gt i + Jiacute-lfEj - iiacuteuumlUuml^r (42D lit inz in(
Las constantes C y D que aparecen en (419) y (421) dependen de las condicioneraquo
de frontera Para su determinacioacuten acoplemos los campos dentro del plasma con los del
vacio bajo la condicioacuten que haya continuidad en la frontera del plasma (r = r) de las
componenteraquo E y Hiexcl
Ermfl = poundo | bdquo (422)
|tradebdquo = H0rmri (423)
Considerando que e(rf) = 1 y usando las expresiones correspondiente para las composhy
nentes axiales de los campos con plasma (419) y (421) y de los campos sin plasma
02
Z = DtJbdquo~ri y H0 = CWJbdquo(-T)) obtenemos las expresiones de las constantes C y
Z teacuterminos de los cani)gtos no perturbados En el raso para m gt 0 obtenemos
2 m (m- l ) -raquo - mF(n o r y ) + jF(noriexcl() bdquo-(bullraquo-raquogt( pound)bullraquo-)
D = 2miquest- C raquo + ^ deg - (4-25gt
iacute uiquest y = xfiacutey C0 y Dlaquo son unas constantes Hasta el momento nos hemos limitado a
- rinos del orden de ( l ) lo qtw equivale H decir que lit rondicioacuten de raquo|gt]irn)gtiliilad de
1- ecuaciones obtenidas es
kr iquest
7Iacute(l + | - bdquo | r laquo 1 1420)
Una vez lt|iie se lmn obtenido las expresiones tie los campos dentro del plasma evaluemos
bullbullbull integrales de 1iexclI expresioacuten (41) que determinan la const iexcltute tie propagacioacuten para una
sua de onda conteniendo en su eje una rolumna de plasma Se considera que el problema
gt perturbado es aquel que ronsiilera una guiacutea tie onda riliacutendrira llueca |fbdquo = 1 y bdquo = 1)
pound1 caacutelculo se realiza para una onda en modo H Para este modo la constante Dp es igual
con cero y las constantes C y D se reducen a la forma
C Jiquest poundk (4 27) 2 o F(a62yi) + ytFub2bdquo)
D = - g c bdquo (428)
Primeramente evaluemos la integral en el numerador de (41) para ello consideremos
la expresiones (229) Tomando la parte cosenoidal de (229) para la componente axial
correspondientes a los campos no perturbados y el tensor de permiacutetiv lad (47) obtenemos
63
= f - - A iacute - E iacute laquo 429) J Ai
= iexcl J |pound - 1) [poundJlaquoMraquon5(r + iuE) + poundt(MraquoiT-|pound - laquopound)] (-rdrtl
donde las componentes Ew Er y Eiquest dependen uacutenicamente del nidio La integral sobre if
en el intervalo [02r j se realiza expresando el termino exponencial romo senos y renenrraquo
y romanilo en cuenta sus relaciones de o-tugonalidad Por tanto despueacutes de realizar la
integral Mible r_ se obtiene
= - f r|pound - 1 )[Er(poundr + iuE) + EI poundr- - laquopoundbull ))ltbull
A1 r raquoraquo = r r(iacute - 1 )[rCZH mdash-J m (7r ) |pound r + laquopound) +
+ CZll-Jj-lr)(E-HiEr)dr 1430) i
La integral anterior se evalna sobre la seccioacuten transversal de la columna de plasma
Aquiacute r i es el radio de la columna de plasma Por otro linio si expresamos - en teacuterminos
de la longitud de onda di corte Ar (217) para tina guiacutea de ondas hueca en la forma = ^
ohservanios que el argumento de la funcioacuten de Bessel eu (430) es una cantidad mucho
menor que uno Para demostrar lo anterior notemos que de acuerdo con (218) para que
la onda se propague a traveacutes de la guiacutea de onda se debe satisfacer que la longitud de onda
en el vacio debe ser menor que t Ademaacutes debido a que sr ha considerado que la longitud
de onda es mucho mayor que el radio del plasma entonces la longitud de onda de corte
tambieacuten es mucho mayor que el radio del plasma Esto uacuteltimo nos sirve para considerar
uacutenicamente el primer teacutermino de la serie de la funcioacuten de Bessel [12] con respecto si
argumento -yr = 2iry De donde (430) se transforma romo
G4
Ix = gtCU (1 - ti) r(pound - iy[iEr + pound)rfr (431) Jrm Ji)
-spueacutes di- hacer el cambio de variable x = iacute - r y sustituir las formas expliacutecitas fie los
gt-npos (4D) y (417) para Er y Ef respectivamente se obtiene de (431) la expresioacuten
bull - f pound z raquo r m - i f e r ( i - u ) x 4-32) x i(-- -)rxx-F(iUlt mdash)] + iirtn-iquestFuUlt~ )li
Ai [ iquestu tu J
jiirlc se han aproximado los campos hasta teacuterminos del orden (7 ) Integrando P )laquoirles
raquo n-sperto a r el primer teacutermino de (432) obit-nemos
laquo - ^ V r r ( l - laquo ) x - + f V a r - (433) 2wi lt W bullraquo iacuteraquo
Sustituyendo la forma expliacutecita para la constante C (424) en (433) se observa miacutee (T-To)
vrrere con el nuacutemero de modo vi en la forma lt~IK Para t-l casiraquo (pie nos interesa tu = 1
iexcl integral ltpir aparece en (433) es faacutecil tie evaluar Para esto liaciendo el cambio de
variable y mdash x7t0 se puede reescribir la integral de (433) en la forma
Jsl+to x
xlnF(abcmdash)dx o iacuteo
= ~iexclg yF(abhy)dy (434)
utilizando la relacioacuten de diferenciacioacuten de las funciones hipergeonieacutetricas [11]
pound-[-gtF(abc)] = (c- n)nt-F(abc - ns) (435)
65
con ii = 1 v r = 3 se obtiene
Re-escribamos (43C) en una forma maacutes conveniente pura ello usando la siguiente
foacutermula de transformacioacuten para las funciones hipergeomeacutetricas [1121]
e f e - 1)(- - )Fnbc- z) + rr- 1 - ( 2 c - laquo - b- )zFlabr ) +
(r - laquo)(r - l | F I laquo i r - 1) = 0 (437)
ron laquobull = 2 y considerando las formas expliacutecitas praquoriexcli laquo y b tie (41) ron m = 1 de (437)
obtenemos la relacioacuten
F ( w fc 3 lplusmniraquo ) s ~ 4 ( 1 ^ 1 1 ) f^Ffafci 1plusmn^gt - J-(laquo2 l plusmn ^ iacute ) 1 (43S) poundbdquo (1 _ bdquo ) ( U i l j l fu ibdquo J
Finalmente usando la igualdad [11]
FUifc2) = F(ub-) - (laquo fc2c) (439)
la ecuacioacuten (43S) se puede escribir como
F(flft3^-=2)= F(laquob2^-^) (440) poundo ( I - K ) Iacute O iacuteo
Sustituyendo (440) en (436) y tomando en cuenta la relacioacuten t = 1 + pound0 obtenemos
-^|UftV(laquoraquoi^) H41) (1 - u) e0 pound0
y sustituyendo (427) y (441) en (433) finalmente obtenemos para | la expresioacuten
66
cbdquo r (1+^) riab2 iquestraquo)
M i r iacuteo F (laquo 6 2 l^ )+ L Uuml^F (laquo iquest 2 l i iacute i ) (442)
La integral del vector de Poynting correspondiente al denominador dr (41) evaluada
la seccioacuten transversal de la guiacutea de ondas tiene el valor obtenido cu (236) de donde
h - jA([Eiquestplusmnxntildevplusmn+EacuteraquoxxHiquest ]gtltlaquo
= CJZbdquoVgt bull laquo i i
JfjjLii- (-143)
iacutegt|HIacute rbdquo es el radio de la guiacutea ilc onda Finalmente dividiendo (442) entre (443) se obtiene
bulla expresioacuten para el cambio en la constante de propagacioacuten para unii onda en inodo Hu
ltue se propaga en una guiacutea de onda ron plasma
- ( r -r u ) = Ax iacute -Fnb2-^iacute)
F(laquoJ2 bullraquo)+ ^^Ff f i 2 ^ )
donde
(444)
M= 21(rr0)3
l - 3 3 9 ^
De aquiacute se obtiene que la constante de amortiguamiento es proporcional a
(445)
o = A F(o62ttiraquo)
f(afr2 iraquo) + UiacuteampFia fc2 raquo) Mtr)
F(a62iplusmniacuteraquo) (446)
07
Esta uacuteltima expresioacuten se igtigttnvigt ron vi uso di-la igualdad (439) Por otm bulo notemos
i|ugt- el argumento dr las funciones hipergromctriras dr (44G) es mayor laquopie la unidad Es
conocido laquopie la serie hipcrgeonirtrini diverge en yi = -f4 gt 1 [20] Por lo tanto rs
ruuvcuicute transformar las funciones hipergi-omctriras de- (44G) laquoru series convergentes
|gtaia filo obtrugamos las expresiones para Fluriacute l y ) y Fnb2y) donde y = 1(1 mdash z)
Para podrr estudiar la absorcioacuten de tma onda excitada en modo Hiexcl1 cu una guiacutea de onda
cilindrica como la que se tiene cu la fuente de plasma construida en el INlN y descrita
en 2] es necesario obtener las expresiones para Flnli 1 i) y FnU2y) ya ipie para
laraquo bull-iitiiiiciones de la niiiijuilia i tiende a la unidad como se desenlie con maacutes detalle maacutes
adelante
Observemos ipie la ecuacioacuten
t( 1 - )iquest + (1 - 3i)o - ltilgto = 0 1447)
tiene como solucioacuten la funcioacuten hiprrgromrt rica Finli li) Si bacnnus el cambio dr
variable raquo = 1(1 - z) entonces (447) sr rersrribr rn la forma
(1 - ) V + (1 - r gt ( 2 - r ) iquest + nkgt = 0 (448)
Fiacutetiaitnente con vi cambio iquestgt = (1 - )lt obtenemos la ecuacioacuten
i ( l - c)vgt + [2 - (26 + I r ) ] - IacuteraquoV = 0- N- 4 9 )
La solucioacuten dr la ecuacioacuten (449) es la funcioacuten hipergeomeacutetrica Fbb2z) [21] Sin emshy
bargo una solucioacuten maacutes general para F(ab i y) es una combinacioacuten lineal dr las dos
soluciones existentes de (449) [21] esto es
G8
Fiubly) = [-)lt AtF(bb2)-rB F(bb2z)Ln+Pii) + (l-fc) iJ
(450)
donde At y B son constantes por determinar y Pj(c) es una serie de potencias con resjiecto
a en la forma [21]
donde
^)=poundr^ [ lt ) - ( o j
Iraquo) = (laquo + raquo) + 4(+raquo)- I2 + raquo ) - ( + 1)
(451)
(452)
4 (bull In funcioacuten i igt iliiinim y (laquo) = laquo(laquo+ 1)(laquo + 2) bull bull bull (laquo + 7 - 1) Multiplicando anillos
luumldoM de hi ecuacioacuten 145(1) por zi - z) difiTciiciacutenndo ron respecto a i y considerando el
liacutemite ruando - tiende a cero olitcuciuoraquo la igualdad
vd - amp)bull(laquo ft 2v) = r r - r + BW + raquo - ) + iquesti-(i -raquo) (453)
Ahora usando la representacioacuten integral de la funcioacuten hiacutepergeomeacutetriacuteca (2Iiexcl y considerando
las definiciones (426) para aby c obtenemos
a - f - r(laquo)r(6)o ( i - lt y )
La primera integral de (454) se calcula faacutecilmente y tiene la forma
Jo 1 - ty y (455)
69
Para evaluar 1raquo segunda integral de (454) recordemos laquopie 1 = ^^ y notemos ipte en el
limite ruando y tiende a mm (c tiende en este castraquo a cero) iacutei se vuelve muy grande
raquo|iiraquo- laquobull equivalente a ltllaquorir que inraquo acercamos a] punto de resonancia eicloiroacuteiiica in = 1)
y por kgt tanto con r=2 Igt tiende a cero De esta manera la segunda integral de (454) se
aproxima al valor [21]
laquo-raquo- 1
1 - f dt = -(fc)-C (45C)
donde C es 1raquo constante de Euler Sustituyendo (455) y (45C) eiexcl (4541 obtenemos
f io 2) = 1
-Ltil - bull ) - laquo1M J- C 1 4 5 7 ) r(2-raquoinM
Pitra determinar las coacutemanles -4j y D sustituyamos (457) en (453) y separemos los
teacuterminos laquopie ionticueu Lti de aijticllos (pie no lo contienen Asi obtenemos las expreshy
siones para las constantes 4| y B en la forma
A =
B =
^ ^ laquo ^ ^ ^ r ( 2 - igt)T(igt)
(1-fc)raquo f(2-gt)JW
(45S)
(45ai
Anaacutelogamente se puede encontrar una solucioacuten para F[ab2y) en la forma
+ [ C + ( t ) + i raquo ] | F ( 6 f c - l l r ) I n iacute + fl(s)] (460)
donde
70
Las expresiones (450) y 1400) representn las transformaciones dr Filtibiy) y
Flt a b 2 y) respectivamente en series convergentes ruando y tiende iexcli la unidad Las consshy
tantes A y Bi se expresan mediante (458) y (459) corresigtondiexclentenieiitlaquo- Finalmente
y fie acuerdo ron (44G) dividiendo 4G0) intrc (450) y tomando la iexclgtiexclirtr iiiiiacute-uumliuaria
obtenemos la expresioacuten para la constante ltle amortiguamiento o de absorcioacuten en 1 forma
( i
Jf = laquo x Fffcfc - 11 )[1 - (1 - fc)(2 - fc)F(662 z) + Piexcl)- )bull]+
+ P (r) | l -6) F |6 6 2 )x
x [l - (1 - b)2 - h)FVb2) + P7(z)l - by +
+ C + (b) + Ln -](1 - 6)-F(6 62 r)] +
+ T T V ( 1 - 6 ) ^ ( 6 1 2 1 ) (4C2)
donde r = 1(1 + pound0) La figura 43 muestra el comportamiento de (4C2) en funcioacuten de
ni x u para m - 1 es decir los int2Tvalos [-LO) y [01] corresponden a m = - 1 y tu = +1
respectivamente Las graacuteficas de la figura 43 corresponden a los siguientes valores de
-bull(0)toiacutes a) 82 b) C c) 4 d) 3 y e) 1 Las graacuteficas c) d) y e) difieren de armellas
mostradas en [22j ya que aquiacute se han considerado uacutenicamente los primeros cinco teacuterminos
de las series Pz) y Pt(z) Por otro lado observemos que el coeficiente de amortiguamiento
se anula en el caso de resonancia cidotroacutenica (u = ) Sin embargo esto no significa que
no existe absorcioacuten de la onda en este caso como se reporta en [23] en los punto donde
71
o bulla
iquest
1 3
n raquo
o i
Wv
72
eiexcl Iacutendice de refraccioacuten tiende a infinito se produce una absorcioacuten delas ondas en el plasma
ltii- tipo no rolisioiiacuteal Esta absorrioacuteu se asraquo ic a la existencia de punto singulares dlaquo- la
ecuacioacuten de onda exacta para ciertos puntos dentro del plasma es decir ai|uiacute la componente
del campo eleacutectrico paralelo al gradiente de densidad es infinita
En la fuente de plasma descrita en el trabajo [2iexcl se trabaja actualmente con densidades
del plasma del orden raquof(0) = C x Nfcnr3 y con un campo magneacutetico externo B =
S~jGtntraquo Ademaacutes se cuenta ron una guiacutea de onda de radio rbdquo = 425rFraquogt en la rual se
IgtngtiexclgtiexcliEiexcli una onda electromagneacutetica ron 111raquo frecuencia w = 15304 X 10 gt Si el radio del
plasma es C| = 3ltm eutonres tendremos los Mullientes valores para _laquo_- 10) 11gtf0)-bull
y respectivatiieiite
wbdquo = 15379 x 10V
raquogt(()) = 13S19X 1 0 V
1 = 00990 1403)
^(0)--J = 08
poundn = 3902
A = 19525
En este caso podemos analizar de la figura 43 curva a) comportamiento riacutee la constante
de amortiguamiento cuando u^fO)raquo2 = 08 Como podemos olmcrvar la constante de
amortiguamiento tiene valores relativamente grandes en la vecindad de u = OC pero
decae raacutepidamente conforme u tiende a la unidad Cuando u = 0999 la constante de
amortiguamiento tiene el valor
73
o = Ai x (M)0()02455 = lSS x 10 (464)
El anaacutelisis anterior es vaacutelido si se rumple la rondicioacuten (42G)
^ ( 1 + |poundbdquo|)- ltpound 1 MCO)
que eii nuestro laquoaso es correcto ya que
^ - i d +|ibdquo|)-=ocnsx lo- ucc)
8 Influencia del plasma en los resonadores
El meacutetodo de Perturbacioacuten en este raso se mi de formraquo similii ii el rusraquo de tina guiacutea
tie onda Como paraacutemetro pequentildeo se considera anaacutelogamente que el radio del plasma
es lutirlio menor que la longitud de onda Ademaacutes se supone que el |HTTiexcl1 de tielisidad
electroacutenica es de tipo paralioacutelico y que el campo magneacutetico externo es homogeacuteneo y esla
dirigido a lo largo del eje O
Anaacutelogamente a el caso de una guiacutea de onda la presencia del plasma en un resonador
es originar un cambio en la frecuencia de resonancia De acuerdo ron la teoriacutea de perturshy
bacioacuten este cambio craquo proporrional a la razoacuten del cambio dr riirrga almacenadraquo dentro del
volumen que ocupa el plasma en el resonador sobre la energiacutea total almacenada en todo el
volumen del resonador (34C)
WJVpoundiquest iquestiquest EacutedV w - u 0 = wbdquo = - iquest (4Glt)
iquest Jr pound0 bulltoraquo
74
Lu i-niaciuacuteii (4CT) requiere la evaluacioacuteu de el campo eleacutectrico cu el plasma En la
-bullbullTIacuteOII 7 se obtuvieron los campos en una columna de plasma friacuteo de radio pefpit-iio
magnetizado e inhomogeacuteneo localizada en el eje de una guiacutea di- onda cilindrica Con
tuda de estas expresiones podemos determinar en forma expliacutecita los campos cuando una
lunuia de plasma se encuentra en el resonador
poundru-y--) = iacute
r 22
mi miacutem mS
poundir r-) = C | |- F(laquoraquor-K--fbdquo(4--) in raquo t4CS)
uy-) =
poundgtXM + _L pound raquoltiacute ti
In I-I - r i - l iacute - D P DJT] T mdashmdashstE) E 111 lllC laquo ( il
donde x = (iexclt~ C y D son constantes = ruy = u(i mdash 1) la prima denota diferenciacioacuten
con resjMcto a j - Fin h r y) es la funcioacuten de tipo hipergeomeacutetrico [20] y nb y r tienen llaquoraquos
valores obtenidos en (418)
No hay que olvidar que cu un resonador los campos son estacionarios de aquiacute que la
dependencia con respecto a r se escribe multiplicando cada ecuacioacuten de (468) por el factor
jffi(^z) oacute coM^z) p= 123 iacutees la longitud del resonador
Calculemos el cambio en la frecuencia de resonancia para ondas de tipo TEm- La
integral del denominador de la expresioacuten (4G7) nos expresa la cantidad de energiacutea eleacutectrica
almacenada por unidad de volumen en el resonador sin plasma cuyo resultado para un
resonador hueco se obtiene de (2GC) al considerar que WE = Wn y en pnrtirular fiv ~ 1
( = 1 El resultado para este modo se expresa en la forma
U = bull EacuteltW
= ^^M-MUn) M69)
Por otro lado la integral del numerador de (4C7) evaluada sobre todo el volumen que
ocupa el plasma se calcula con ayuda de las expresiones (2G0) (resonador sin plasma)
di las expresione (4CS) (resonador con plasma de radio pequentildeo) y de tensor dieleacutectrico
(47) obtcnirlidii
= iacute iacute f ( pound - l ) [E ( gtfm l T - | pound + l l lpound l + Jit u Jn
+EuacuterosinY-(Er - iuEr) rltMiJl-^-)riexclrd^dz (470) d
donde las coui]gtoiientes Eu E y pound tienen dependencia uacutenicamente radil Al realizar la
integracioacuten sobre Iacute y iquest en los intervalos [0 d) y [02riexcl respectivamenie obtenemos
s = V iacute r(t ~ XUumlEoE + iuE^) + Eiquest(E - niE)]ltlr iquest Jo d [ [ r
bull r ( iacute - l ) Jo
iC0 r Jm-r)Er + iuE)+
+ Q--JJfr)(E^ - iuE ] dr (471) c i J
Anaacutelogamente a el caso de una guiacutea de onda se utiliza el mismo argumento bajo el cual se
considera el primer teacutermino de la iuacute fmiacutecioacuteii en serie de la funcioacuten de Bcssel con respecto
al argumento r = 2JT^ De aquiacute que (471) se reescribe como
76
c iquest iquestml Jo
Lspueacutes de hacer el cambio de variable x = (iexcljfr y sustituir la forma expliacutecita de los campos
bull 49) y (417) para E y Et en (472) se obtiene
h = gtc ( l - u ) x wirdy-raquo l c V
0 c 2 2m V(wj
J-(pound- )L-[T FUIICmdash ) + mxJ-JF(bdquolt-i)h -raquo -raquo iraquo J
(473)
donde los campos M- han considerado hasta teacuterminos del orden (|) Integrando por partes
con respecto a J el primer teacutermino de (473) obtenemos
h = -2Cy bull )h (474) c 2 2raquoi Vi bulllaquo iu
La integral (pie aparece en (474) coincide exactamente con la cjne aparen- en (433)
de donde para ondas en modo TEm s se calcula sustituyendo (427) y 1441) en (474)
obteniendo
= rColTJiacutefrr iexclJ ltd j ( l+poundo) bull(laquoiquest2f)
(475) c3473 ebdquo f(o62lplusmnlaquoraquo)+1 plusmn a i v(o62iplusmniacuteraquo)
Finalmente dividiendo (475) entre (469) se obtiene la expresioacuten para el cambio en la
frecuencia de resonancia en modo T pound m para un resonador conteniendo una columna de
plasma friacuteo de radio pequentildeo
W(D = (u - u0) - MjX 1 - -F(laquo62lraquo)
siexcl X 1 -F(abll)
(476)
77
donde
La ecuacioacuten (47C) coincide con (444) salvo por una la constante Miexcl Anaacutelogamente n
el caso de una guiacutea de onda utilicemos las expresiones (450) y (4C0) juira Fintly) y
Fllti2 i) respectivamente Sustituyendo (450) y 14CO) eji (47C) y separando las partes
real e imaginaria obtenemos la variacioacuten de la frecuencia de resonancia (Araquo) y la variacioacuten
del inverso de la calidad del resonador l -M IO)) por influencia del |gtlasiniexcli respectivamente
en la forma
mdash^ = iexcl-zFbb- 11-) [-F( fcraquo 2-)([C+(-)] ( 1 -bf-
- (1 -fraquo)(2-)[C+(fc)l-Hl-lt) J(l - - ) ) +
+ C + ()][-gt(-)(] - h) - Ij] + -(1 - l)lPt)C + laquoK))F(hb2-) x
x [l - (1 - b)2-h)F(kb2z) + PJzil - raquo)+
+ -(1 - bjgtC + () + Li z]Fbb2z) + V | 1 - )F(bullbull 2--) (478)
-poundiquestmQ) = JTSX
x Fbb-lls)|l-(l- b)(2- b)zF(bb2z) + P ( - - ) r ( l -6 ) ]+
+ --F(i)(l-6) JF( iacute t 2i)x
x [ l - ( l - f r ) (2-amp^ -F(M2^) + P J ( - - ) iacute ( l -6 ) +
+ [C + (6) + iquestn --](1 - 6)zF(ampamp2z)]2 +
+ w12(l-b)4Fa(blgt2iacute)Yiacute (4-79)
t bull bull 78
La figuras 44 y 45 muestran las graacuteficas de las expresiones (478) y (479) con respecto
a ri x ii ]gturn distintos valores de u^(0)uz respectivamente Anaacutelogamente a el caso de
la- guiaraquo de onda se han considerado uacutenicamente los primeros cinro teacuterminos en las series
para Pi) y P jU) Un resultado importante de acuerdo cotiacute la figura 44 resulta ser
que en la resonancia ciclotroacutenica la variacioacuten del inverso del factor de calidad es cero es
decir en este caso y en la misma manera como en las guias de onda no existen peacuterdidas
de energiacutea de tipo colisional Sin embargo de la figura 45 notamos que cu resonancia
rirlotruacuteliira si existe un pequentildeo cambio en la frecuencia laquole resonancia del resonador
En la fuente de plasma descrita en [2J se tiene un resonador cilindrico donde oscila
una Diida a IUIIacuteI frecuencia laquobull = 15394 x ]() excitada en modo TEw y de radio
rbdquo = cm en el cual una columna dr pliacutetstua fie radio riexcl = 3lt se ein-iieiitrraquo a lo largo
del eje tlel resonador La cavidad resonante se encuentra dentro de un campo magneacutetico
externo D mdash SloacuteGauxraquo La densidad de electrones en la fuente tie plasma puede ser igual
a ni 0) = C x 10 I 0CTO 3 En este caso tenemos los mismos valores (4C3) para yinnfv0) u
y u-ji 0)raquo mientras cpie Miexcl tiene el valor
SU = 04C55 (480)
Entonces el cambio en el inverso de la calidad y en la frecuencia de resonancia tendraacuten
los valores
A( l ( ) = mdash x 000009C2455 = 582 x 1 0 (481)
Aw = Mj x |1 - (100035)] = - 1 0 3 x 10 V (482)
79
AwMa
i
o
I
U
bull3 I
I O
bull
a 6
1 1 1 bull 1 bull
bull
_
c x ^
- r f -
| 1 bull J T | 1 - | 1 |
l IX V if | rt i iacute i ( iraquo i i i bull i i i
i i
i i i
V
deg
iacute bull f
i i i
VI 1 A 1 ^ t
x X Iacute
JU i f ^
1 bull x
so
o i
fit
Zf Z rt w
El valor (481) se encuentra dentro del rango de validez de la teoriacutea de perturliacioacuten
ile acuerdo ron (35C) Asi mismo la variacioacuten de la freruenria de resonancia es dema-
siado |Mf|ttentildea en comparacioacuten con la freruencia propia del resonador de tal manera rpie
podemos considerar une no existe un cambio fuerte en la freruenria de resonancia ion esta
densidad
Los resultado iexclinteriores de las secciones 7 y 8 fueron presentados en iexcl24] y [25iexcl respecshy
tivamente
82
CAPITULO 5
PENETRACIOacuteN DE ONDAS EN EL PLASMA
En este iiipiacutetiilo ni el marro de 1iexclI teoriacutea lineal se liare una revisioacuten sulire el proceso
gtigt- penetracioacuten de campos elertDinaRneacuteticos en un plasma En vista de ijne en la fuente
lie plasma descrita en [2j se excita una onda tipo H nos vamos a limitar al caacutelenlo de
Un coeficieiites tie reflexioacuten transmisioacuten y de alisorrioacuteu para estlt- tipo de ondas liacuteay
eme hacer notar que en el experimento [2] se tiene un campo magneacutetico externo lo que
complica fuertemente el estudio de la interaccioacuten de ondas en este plasma Nos limitaremos
en este trabajo a considerar un plasma homogeacuteneo y deacutebilmente inhomogeacuteneo sin raiujm
magneacutetico externo Estos resultados preliminares son uacutetiles para posteriormente estudiar
la transformacioacuten lineal de ondas que es muy importante para el anaacutelisis del perfil de
densidad observado en la fuente de plasma [2]
9 Penetracioacuten de campos electromagneacuteticos en el plasma
El estudio de la interaccioacuten de ondas electromagneacuteticas en un plasma tiene particular
intereacutes por la gran variedad de paraacutemetros existentes como se mencionoacute anteriormente
83
(densidad de |ttirtirulas di- diferentes tipos prado dlt- ionizacioacuten longitud de trayectoria lishy
bre tfiii|raquocratura etc) 111 los diferentes casos Una de las caracteriacutesticas mas importantes
de un plasma real es su iuliomogeueidad Alt|iiiacute los paraacutemetros del jjasiilii variacutean en el
espacio produciendo considerables cambios en las caracteriacutesticas del mismo Freruontc-
menfe en lo concerniente a la propagacioacuten de ondas electromagneacuteticas estos cambios son
tan fuertes que la pennitividad dieleacutectrica cambia de signo
91 Penetracioacuten de campos electromagneacuteticos en la aproximacioacuten hidrodinaacutemica Sistema de ecuaciones
Il l sistema de emaeiones atltoroiisisteule i|iie desrribr la penetracioacuten tie un campo elecshy
tromagneacutetico en d plasma en la aproximacioacuten bidroiliuaacutemira se compone de las ecuaciones
ile Maxwell
V x pound = -2f 51 c 01
f x f l = - - i - mdash + mdash (02) c 01 c
V bull(poundlaquopound) = 4p (53)
V H = 0 (54)
donde las densidades de corriente y carga se determinan en la forma
P- pound c raquo n lt raquo = laquoiexcllaquoi + tnt = pound e bdquo n r r n (55)
y se expresan a traveacutes de los campos eleacutectrico y magneacutetico de las enlacioacutenos hidrodinaacutemicas
de movimiento y continuidad del fluido conductor de carga o [26]
84
sect + bullbdquobulllaquobull = ^(Eacute+-vnxH)-^--^va (56)
3raquobdquo _ _ _ ~ + V-n0viexcl = 0 U 7 )
En las ecuaciones (55)-(57) tbdquo es la carga m0 la masa tibdquo es la densidalt v0 es la
velocidad hidrodinaacutemica jgtbdquo o la presioacuten y ibdquo la frecuencia de colisioacuten entre las partiacuteculas
ltir- tipo o ron las partiacuterulas di- otra claw y con las moleacuteculas El subiacutendice o rorrcspondc a
i igt i ln ipii indica a los iones o electrones correspondientemente E D son las tensiones de
ligt- campos eleacutectrico y magiacutenico respectivamente y r es la velocidad de la luz en el vacio
Se supone i|iie el plasma se encuentra en un medio con un jieruiitiviilail dieleacutectrica iacutebdquo para
un plasma gaseoso bdquo = 1 y MI un plasma de estado soacutelido es la pcrmitiviilail dieleacutectrica
de la red cristalina Ya que la permit i vidad magneacutetica del plasma praacutecticamente es igual
a uno no vamos a diferenciar la induccioacuten magneacutetica de la tensioacuten del campo magneacutetico
lo que se refleja en las ecuaciones anteriormente descritas
El sistema laquole ecuaciones (oacutel)-(57) debiacute ser complementado con las ecuaciones de
estado de la materia expresados a traveacutes de la densidad nbdquo y la temperatura Tbdquo pn mdash
p0(noTa) Siacute las variaciones de estado de las componentes del plasma ocurren perioacutedicashy
mente entonces
Tpo = bullgtltJbdquoVn0 = 7raquoltfTbdquoVnlt (58)
donde vj = 2T0m0)t1 es la velocidad teacutermica promedio de laraquo partiacuteculas de tipo o 70
e la razoacuten entre loraquo caloreraquo especiacuteficos a presioacuten y volumen constante del gas de partiacuteculas
y 1 = mil
85
Las ecuaciones ib- movimiento describen un fluido en presencia dlt- cinco fuerza- ni
interaccioacuten a) la fuerza eleacutectrica (bdquopound b) la fuerza magneacutetica J x H c) la fuerza debida al
gradiente de la presioacuten d) la fuerza de interaccioacuten o colisioacuten entre la partiacuteculas de diferente
ti|Kraquo v0vbdquo y raquobull) la fuerza de inercia m-r0 bull V)tbdquo Por otro lado vamos a ronsiderar laquopie la
ecuacioacuten de estadraquo expresa un proceso adiatgtaacutetico caracterizado por el coeficiente -
92 Penetracioacuten de ondas tipo E y H
Vamos a investigar la penetracioacuten en el plasma ile ondas di- amplitud pcquiua La inteshy
raccioacuten de ondas electromagneacutetica con el plasma perturba los paraacutemetro caracteriacutesticos
en equilibrio del plasma Si las perturbaciones de los diferente paraacutemetros son lo sushy
ficientemente |xi|iientildeos en comparacioacuten con sus valoreraquo eii eipiilibrio entonces podemos
liiuariar las ecuaciones (51 H57) es decir iexclMHIIIIIOS despreciar los teacuterminos que contienen
producto entre las perturbaciones
Consideremos un plasma semiliiuitado sobre el cuaacutel a un aacutengulo fgt incide una onda
electromagneacutetica linealmente polarizada El sistema de coordenada lo escogemos de tal
manera que el plasma ocupe la regioacuten x gt 0 y la onda se propague sobre el plano X(gtZ
(Fig51) La onda incidente parcialmente se refleja del plasma y parcialmente se refracta
a un aacutengulo 8 Las amplitudes de las ondas reflejada y refractada se determinan de las
condiciones de frontera Como consecuencia de esto si la dependencia del campo de la
onda incidente con respecto a y t se determina a traveacutes del exponente rl-laquo) donde
kiquest = k0tcn9 k0 = raquogtc y w es la frecuencia de la onda entonces en la teoriacutea lineal para un
plasma estacionario y homogeacuteneo esta misma dependencia deben tener las ondas reflejada
y refractada en el plasma a lo largo de O
86
PLASMA
(b)
FiacutegKl Penetracioacuten de una onda electromagneacutetica lincalmente polarizada en un plasma raquoemi-
limitado La onda que incide a un aacutengulo 8 parcialmente se refleja a un aacutengulo 8 y parcialmente
se refracta a un aacutengulo V a) penetracioacuten de una onda tipo E y b) penetracioacuten de una onda tipo
H
87
Supongamos UIRraquo tenemos un plasma de dos componentes compuesto de electrones bullbull
iexclunes motwcargjados ron concentraciones en et|uilibrio raquobdquo = raquoraquolaquo = gtibdquo En un (Jasina friacuteo
la velocidad ternura de los iones se puetk despreciar 1 = 0) si esta es muy pei|iK-ntildea rn
contparacioacuteii con la velocidad de fase de la onda Si a lo largo del eje 0t la densidad no
varia entonces f = 0 y de laraquo ecuaciones (51)-(58) podemos obtener el sijpiiente sistema
dtr ecuaciones para los campos electromagneacuteticos
iexclKH = iquestJtpound - iacuteiacutejEi 159)
-rmdash = -iK0e mdash pound - + mdashmdashUE r ) U10) ni [ raquo-raquor J (w ni
Jvpound = - I (512)
^ = bullbdquobdquo (513) As
ik-HiE = JiL-ikJlr (514) ni
iloiiitr iacute ex la jx-ruiitividnd dirlrctrirraquo de un plasma isotropicraquo y friacuteo
taraquo(w + l^e) W(uraquo + Ifi)
ugtgt y uy son las frecuencias plaacutesmicas de los electrones e iones respetivamente expresadas
en la forma
iquestgt tgt
4c n 0 IJ
(6M) mlaquo
w a IB frecuencia compleja raquobull = w + ic y e eraquo la permitividad dieleacutectrica del fluido de
iones en la forma
88
t=to- + bull (517) w(w + llj)
El sistema de ecuaciones (59)-(514) se descompone en dos subsistemas iudc|Hiidientes
-i9H5ll y (512)-(514) lo que corresponde a la propagacioacuten en el plasma de dos ondas
independientes (Fig51) Para las ondas con componentes E E y Hy el vector del campo
eleacutectrico estraquo sobre el plano de incidencia XOZ Esta onda es una onda con polarizacioacuten
gt onda tipo TM o E Para )n segunda onda con comeacutentente Ebdquo Hr y H el vertor
fifi rutll|Mgt eleacutertriro es |H-r]gtriiiliriiIiir al planraquo fie incidencia Esta onda es unraquo onda ron
polarizacioacuten i ulula tipo TE o H Para las condiciones mencionadas iexclinteriormente el
ijjovjmieijlo teacutermico de laraquo partiacutecula es despreciable para la propasacioacuten de ondas tipo H
Sin embargo para las ondas ti]gto E puctlc ser bastante importante
10 Penetracioacuten de una onda electromagneacutetica tipo H en un plasma homogeacuteneo semilimitado Reflexioacuten y absorcioacuten de ondas tipo H
De las dos posibles polarizaciones que puede tener la onda que incide en el plasma el caso
de la onda de tipo H es el maacutes simple Encontremos la solucioacuten de las ecuaciones (512)-
(514) en el plasma y en el vacio suponiendo una frontera bien definida Sustituyendo H
de (513) en (514) y usando (512) obtenemos que el campo E satisface la ecuacioacuten
tPE - ^ + Jkfo - laquolaquoraquo)pound - 0 (518)
89
dmde en el plasma e se determina xx (515) y en el vacio pound = 1 Es faacutecil ronwtrar laquojar
eu el varkgt los campus tienen la furnia
para la onda incidente
poundbdquo = Eoraquo Bu m Fbdquocw0 (519)
y para kgt onda reflejada
Eraquo = llEbdquo-kltlt H = -Etcoraquoraquo ISM)
iliHiilraquo- pound es lii amplitud lie In i mi In hiiiiliiiti y iacutels rl riM-riiiiiili ili- icHrxiiVn El linihi|raquoligt
r i)r--wi) at j a s rX|ri^iHBM jbdquon lri caui|HKlaquo se excluye raquo aquiacute en adelante Praquor laquonraquo laria
bullbullI rwn]Mgt cu el plasma tirnr la forma
pound() = Eiquest0)rik B() = (^) poundlt) (5-21)
donde Et[0) es Iraquo amplitud de la rom|Hgtiiiiite poundbdquo del rampraquo cliVtriro III la frontera tlrl
plasma ( = ()) y A- se expresa romo
Jt JWlaquo - e2laquo (5-22)
Si it| es una cantidad real entonces la onda se propaga libremente en rl plasma prro
siacute Ai es una cantidad compleja entonces el campo en rl plasma r amortigua dr forma
exponencial a partir de la frontera
Para determinar el coeficiente de reflexioacuten y la amplitud del campo rn la frontera de)
plasma se utilizan laa condiciones de continuidad de laa componentes tangenciales dr los
eampoa en i = 0
90
pound(0)+poundbullbdquolaquogt) = pound(0)
(0) + raquo(0)-jr ((0)
Sustituyendo (519)-(oacute20) en (523) y considerando (521) encontramos
pound(0) = pound(l + rt)
dr donde obtiiunnos el coeficiente di reflexioacuten en Iraquo forum
(523)
(524)
=ampgtbull donde
e la impedancia sti]gtcrfieial o del plasma para una onda tipo H Sustituyendo (525) en
(524) encontramos la amplitud de la componente E del campo eleacutectrico raquo teacuterminos de
la impedancia el aacutengulo de incidencia y de la amplitud de la onda incidente en la frontera
del plasma
La definicioacuten de la impedancia (526) resulta coacutemoda ya que el coeficiente de reflexioacuten y la
profundidad de penetracioacuten se expresa de forma maacutes sencilla a traveacutes de ella En general
la impedancia es una cantidad compleja ZH = X + iX2 por eso el coeficiente de reflexioacuten
se puede escribir en la forma polar de Euler
01
M(AVlaquoM+1)-+ laquo-] e gt U 2 8 gt ^^xraquoiacute-l)1 + Y|coIiacutel
l
donde bull dcfitie la fase en la forma
XjcosO XjcosB bull = arctan bull mdash- - arctan bdquo mdash- (o29)
A i c o s 0 - 1 Xcos8+l
Uu paraacutemetro muy important del medio es ltbull) coeficiente lt]ltbull iexclilgtson-iiraquou el cual indica
laquorue laquoarte dc in energiacutea de la onda incidente se transfiere al pla-siiiraquo Si
P = 4~E x j = -iexcl-Eltraderaquo (030)
eraquo Iraquo denudad laquoIt-1 finjo de CIHTRIacuteH normal u la frontera dr la onda laquo[in incide y PT = y| |
es la densidad del finjo laquoIr In onda reflejada entonces el laquobulllaquobulleficiente de iilisorrioacuteii se define
roiiMraquo
W = ^mdash^ = 1 - |J|raquo (531)
Sustituyendo (528) en (531) obtenemos el coeficiente ltle absorcioacuten en teacuterminos de las
partes real e imaginaria dc la impedancia
W laquo Xcogt$ (532)
Ahora analiacutezemos con maacutes detalle las condiciones de propagacioacuten y amortiguamiento
de ondas electromagneacuteticas en un plasma de electrones en diferentes rangos dc frecuencia y
calculemos los coeficientes de reflexioacuten y absorcioacuten para cada casraquo respectivamente Para
92
ello sustituyamos (515) en (522) donde en este caso debido a la gran diferencia dr
masa de lo iones con respecto a los electrones consideraremos iquest^ as 0 Dr esta manera
obtenemos
r w V2
t - laquo raquo raquo - - (533) l jltlaquo + ilaquot)J
Consideremos los siguientes casos
a) El caso de altas frecuencias (cr lt -gt) Aquiacute los choques entre los electronraquo- se pueden
ilespreciar y entonces X- se reduce a la forma
Xraquo i- = - l - r o ^ - ^ (534)
En el reacutegimen de frecnciiriajiacute u lt ^lotfiacute lu m]x-ltlnraquorii es una caiitiilncl real y por In
tanto el coeficiente di- reflexioacuten y de absorcioacuten tomitii resjMrtivnniente la forma
donde
En este caso la fase (529) es igual con cero lo cual nos indica que laraquo ondas incidente
y reflejada se encuentran en fase Por otro lado la condicioacuten de amortiguamiento en un
plasma gaseoso sin colisiones consiste en que se cumple la desigualdad
ucof8 lt ugtVf (538)
03
IntrotUuetunos en calidad dr cararteriacutestica de penetracioacuten lthI ciexclttii|Mgt una |gtroftmililtlaltl
compleja de itetirtracioacuten determinada por medio de la relacioacuten tgt = t(gtraquo iquesti) El sentido
fiskti di la cantidad i es la distancia a la cual la amplitud del rampraquo en rl plasma ilecren
eu e mdash 271 veres de su valor inicial Con la condicioacuten ugt gtbull uicosB la profundidad de
penetracioacuten (anchura de la capa piel) no depende de la frecuencia = cu
h) En la regioacuten de bajas frecuencias w lt vt) los choques ya mgt se pueden despreciar En
este caso Rt Jt| s Ivi k y el campo en el plasma decreeraquo- ex]Mmirurial y oscilatoriamente
ilruumldr la frontera Si v gt m slt- tiene
k = -^zJviVrCosH+i- (539) Jiv v
si iacuteiilnilaacutes raquoiquest gt vrivosH entonces
y la longitud laquoIr la rapa piel tiene la forma
r iexcl2vt iquest = mdash J mdash = - 7 f iquest mdash (541)
donde raquo0 SB wf(4ffi) es la conductividad del plasma Notemos que (541) determina
la profundidad de penetracioacuten del campo en un conductor en el cual fluye una corriente
variable de baja frecuencia Asiacute las expresiones (521) determinan el campo en el plasma
en condiciones de un efecto piel normal o claacutesico A bajaraquo frecuencias y alta temperatura
del plasma estas expresiones ya no son vaacutelidas y es necesario analizar la penetracioacuten de los
campos en base a un modelo cineacutetico
Considerando las colisiones entre las partiacuteculas la impednncia del plasma tiene la forma
94
Zbdquo = (542) ^ugt(u)1cot10 - u pound ) + bull-bullJraquo
Si la frecuencia de colisiones es pequentildea pero sigue siendo finita y ademaacutes se cumplen las
desigualdades v lt raquo- ffgtiacute lt gtJcosi0 mdash uiiquest() entonces (542) se transforma COJIJO
Zbdquo = (543)
de donde observamos que en la regioacuten de frecuencias uirraquo^ lt ufPr el rocuumlcinjte ile iibsorrioacuten
se exprtsut en la lonnti
W = 2pro^Jtvwtraquo - l ) - (544)
Por otro lado si la frecuencia de la onda es lo suficientemente pequentildea tal laquopn- i gt laquobull y
se cumple la desigualdad J^Kv) gt OM rntonres la inj|MdnncIacutei se expri-sraquo como
z - iacute1 Voacuteiacute (545)
V -gtltbull y loraquo coeficientes de reflexioacuten y absorcioacuten se expresan respetivamente en la forma
R = (l-2Acltw0) 2e- MltM (540)
W = 4Xcoraquo9 (547)
donde A^ laquo -Xt = bullraquo( 2wt)
Finalmente observemos que las peacuterdidas de energiacutea que la onda sufre en el plasma
defiacutenidu por las foacutermuias (544) y (536) tiene diferente significado fiacutesico La W diferente
de cero cuando u = 0 esta relacionado con la excitacioacuten de una onda electromagneacutetica en
05
el plasma y el valor de W de (544) determina la parte de la energiacutea de la onda incidente
qiK- es utilizada para el calentamiento de los electrones del plasma eigt la capa piel
11 Paso deacute una onda H a traveacutes de una capa de plasma
Si la profundidad de penetracioacuten del campo ni una capa de plasma es tk-I orden de sns
dimensiones transversales o si la onda se pro|gtaga elraquo el plasma entonces la influrmia de
la segunda frontera del plasma resulta muy importante Determinemos el campo en el
plasma y los coeficientes iexclle reflexioacuten y de transmisioacuten en el paso de una onda incidente a
traveacutes de una rapa de plasma homogeacuteneo de anchura d
El canijaraquo i-n el vacio o cu la regioacuten T lt 0 tiene la forma (519)-(iquestj2l)) y el campo en la
regioacuten i gt 0 tiene la forma
Eraquo = TE0tcu = Eraquoltbdquosraquo (548)
donde T es el coeficiente de transmisioacuten El campo en el plasma consiste de dos ondas
tina de las cuales se propaga en direccioacuten de los valores positivos y la otra en direccioacuten de
los valores negativos de x
E = Aek + Be-ik = - iquest trade (549)
Las condiciones de continuidad de las componentes tangenciales del campo en la fronshy
tera del plasma x = 0 y x = ti anaacutelogas a (523) permiten determinar T y el campo en
el plasma
06
R = (1-pound)AiquestlaquogtM (550)
T = 2icoa$aacuteJWt - atn8t-kdeg (551)
Ey = 2cos8bTHi [iyt - iacuteenflcoJt(iacute - x) + aM0eni-(ri - ) ] (552)
donde
Aw = (t - 1 + 2colaquoI0)ifnfrrf + 2raquoVi - xriMrosHrosktd (553)
En el caso dr una onda que ]M-nctra en el plasma para la cual iquestrosH gt u dcspnviando
las colisiones entre las partiacuteculas el coeficiente de alisorcioacuten determinado como
B s l - R - T (554)
es igual a cero El cani|wgt en cl plasma tiene la forma dc uua onda estacionaria y con
la variacioacuten di- la cantidad t|rf los coeficientes de reflexioacuten y refraccioacuten oscilan Si en
condiciones de cierto piel kfd lt 1 entonceraquo a frecuencias lo suficientemente pequentildeas
(laquobullpound gt -(w + iv)) los coeficientes de reflexioacuten y nfraccioacuten tienen la forma
R = - (o iacute + io3)(o + 2co8 + iaj)~ (555)
T = 2cos0(a f 2ctgtiacuteiacute+^OJ^ (55C)
donde
- - 5^5-
97
En este caso el coeficiente de absorcioacuten se expresa como
IV = 4ocolaquo[(oi + 2co9)2 + a]]- (559)
Si Pt gtgt raquobull entonces o t gt cgt-iexcl Las peacuterdidas maacuteximas en este caso se obtienen con
la condicioacuten o = 2coi0 iguales a la mitad de la energiacutea de la onda incidente Las ondas
reflejada y refractada en este caso tendraacuten la misma amplitud en valor absoluto Las
foacutermulas (555)-(55G) se pueden generalizar para una capa delgada con cualquier iuhomc-
gcticidad Si diquest kcbdquobdquoj lt 1 entoneacuteis los campos en el plasma se ltrternmii del sistema
de ecuaciones
ils Ai r(w + ivrs)) = laquogtbull r 1 f i - laquo5CII)
donde las soluciones tienen lt forma
pound = C H = -f(x)C + C (5C1)
siendo
co w + iit(j)
Las condiciones de continuidad de los campos en las fronteras x = 0 y r mdash d nos llevan a
los valores (555) y (556) en los cuales oiacute = Re laquo(lt) y a2 = Im n(rf) Por otro latioacute
las constantes Ct y C3 a traveacutes de las cuales se expresan los campos en el plasma tienen
la forma
C = TEltiexcl = 2E0coraquo9aH(d) + 2coraquo9)- (503)
Cj = 2EoCO$eaH(d)co6)aHd) + 2coraquo8)- (564)
98
12 Penetracioacuten de una onda tipo H en un plasma deacutebilmente no homogeacuteneo
En una gran variedad de aplicaciones la densidad del plasma variacutea lentamente en el espacio
desde cero hasta cierto valor maacuteximo La penetracioacuten del campo en tales plasmas se
diferencia fuertemente de la penetracioacuten en un plasma con una frontera bien definida o
fuertemente no homogeacutenea Las ecuaciones que describen a las ondas electromagneacuteticas
en un plasma no homogeacuteneo son un sistema de ernarkmes diferenciales ron roefirntildeiites
variables iloudr sus soluciones exartas o aproximadas se enriient ran uacutenicamente para rasos
(laquoarticulares Uno ile estos rasos |gtartirulares es aquel laquoIr un medio de ra)gtas planas donde la
densidad variacutea ni una sola dirrrrioacuten Una serie dr soluciones escarias de las eruaeiones ile
la clertrodinaacutemira en un medio ile rapas planas ron diferentes variaciones de la densidad
se pueden ver en los trabajos (2327) Generalmente soluciones aproximadas relativamente
simples en estos medios se pueden eiirotitrar en regiones asintoacutetiras es decir a distanrias
grandes ron rcsjwrto a los puntos singulares de las eruaeiones difcrenriales Los paraacutemetros
que se usan en esta aproximar ion pueden ser la relacioacuten del tamantildeo caracteriacutestico de la
no lioinogcneidad L ron res|ierto a las longitudes de propagacioacuten A de las ondas en el
plasma Si uno de los valores rumple la desigualdad LX gt 1 eutoures en relacioacuten a esta
onda al plasma se le puede llamar deacutebilmente no homogeacuteneo La penetracioacuten de campos
electromagneacuteticos en un plasma deacutebilmente no homogeacuteneo se ha considerado en diferentes
trabajos [222327-31] Consideraremos algunos resultados obtenidos
Veamos un plasma compuesto de iones pesados fijos con densidad n0i) la carga de
los cuales en estado no perturbado se compensa con la carga dr los electrones ron temshy
peratura diferente de cero Te La densidad del plasma n0 - 0 ruando iacute - t O y rrece o
es infinita cuando mdashraquo ce No existe campo magneacutetico externo y la distriburioacuten de eler-
99
trones por velocidades es isotroacutepica Para la descripcioacuten de la penetracioacuten de mi cam]Mgt
electromagneacutetico en tal plasma se utilizan las ecuaciones de la hidrodinaacutemica (50)-(514)
en las cuales hay que sustituir iacuteo = 1raquo iacutei = 1 y gt mdash gt()bull La i-ruacioacuteu diflaquoniciacuteal (5IS)
que rige la jicnetracioacuten de ondas tipo H en un plasma no homogeacuteneo toma iexclihoni la fonna
iPE -=bull + kl(t[x) - stnH)E = 0 (5C5) tiacutex
donde la pcrinitividad dieleacutectrica es funcioacuten de la posicioacuten en la forma
pound ( ) = 1 ttiquestIl (5GG)
w(uiacute+ II ( x ) )
De id ecuacioacuten (oacuteCuuml) se puede hacer ililncdiiitaiiieiite tilia serie de deducciones a) 1raquo onda
se propaga libremente en li regioacuten Jif t lt bullgtni1tiacute b) en mi plasma maacutes ileliso iloude
Jlt gt nrrifl la propagacioacuten se vuelve imposible y la onda uacutenicamente penetra el plasma
en la longitud de la rapa piel y c) el punto Rr pound = srtiB es el punto de corle donde 1raquo
onda se refleja
En un plasma deacutebilmente inhomogeacuteneo ruando raquoo(x) variacutea deacutebilmente en la longitud de
la onda que se propaga por el plasma la ecuacioacuten (5C5) se puede resolver por el meacutetodo de
la geometriacutea oacuteptica para una dependencia arbitraria de la densidad gtibdquo(s) [23] La enlacioraquo
(565) tiene una solucioacuten exacta para una capa lineal cuando la permitividad dieleacutectrica
(v(x) lt ui) puede escribirse n la forma
donde
+ iUumlIacutepoundgtpoundf 507) X0 WI0
bull = amp
100
Aquiacute a es la pendiente que caracteriza la dependencia lineal de la densidad de electrones
ron respecto a la posicioacuten Para el caso de un plasma sin colisiones (e = 0) reescribimos
iacuteoacute65) en la forma
- pound + kl( co1raquo - mdash )pound = 0 (569) ax Xo
haciendo el cambio de variable
C=[f) ix^coraquo2raquo - x) (570)
la ecuacioacuten (5C9) se puede llevar a la ecuacioacuten de Airy
^ + C pound = 0 (571)
Su solucioacuten decreciente cuando i mdashbull ltx tiene la forma [32]
poundraquolaquo) = mdash coM--Ct)gtlv (5-72) ir Jo J
donde A ex una constante que se determina de la roiidieiones de frontera manilo x = 0
En la obtencioacuten de la expresioacuten (572) (te lia despreciado la reflexioacuten de la onda en la
frontera del plasma debido al gradiente de densidad Es decir la amplitud del campo
eleacutectrico en el punto x bull 0 se considera igual a Eg lo que es vaacutelido para valores pequentildeos
del gradiente de densidad en este punto (|^|o ltC k) En la regioacuten 0 lt x lt x0colaquo28
debido a la suma de las ondas incidente y reflejada poundbdquo(() tiene la forma de una onda
estacionariacutea Lo anterior es asiacute ya que para valores positivos y grandes de ( E(Q tiene
una representacioacuten asintoacutetica en la forma [32]
101
Cerca df la frontera los valores del campo estaacuten dados aproximadamente |laquogtr
cuyo valor maacuteximo es
4a-gtgt-w-niexcliacuteiquest5^- bull (575)
Ln expresioacuten (575) resulta de la interferencia constructiva de las ondas ipie viajan a In
ii|UIacutecrda y a la derecha rrsprctivamrnte pin lo tanto la amplitud de la onda incidente poundbdquo
tt-tidru la forma
Aliora evaluemos la ronstatite 4 de (572) Para rilo iitiliemos la representacioacuten
asintoacutetira (573) y consideremos la condicioacuten de frontera de acoplamiento de los campos
en el plasma y en el vacio
poundT(0) = JEIacute (577)
De acuerdo con la definicioacuten (570) para ( podemos escribir el teacutermino ijCv en ln forma
f^^ (--pound_) (578)
Sustituyendo (578) en (573) y evaluando en x = 0 obtenemos
3A 2 ir poundlaquo(0) ) = -7k0Xo)-ucos-iacuteli9coraquo(-k0j0coS9 - -) (579)
yf f O 4
102
x = O = x0rnslV X
FiexclgS2 Alii|tli(ultl laquoId rrtiii|ngt eleacuterlrim cu la vecindad del punto de reflexioacuten s - xbdquoiiiH
Finalmente apurando 1raquo roiitliacutetiacuteoacuten de frontero (577) cnroutraiiioM el valor de A
(580)
La amplitud aacutee la onda estacionaria que se forma en el plasma cu los puntos cercanos
al punto de reflexioacuten x = Xoco29 crece (Fig52) Su valor maacuteximo se puede obtener de la
expresioacuten (572) el cual corresponde al primer cero de la derivada de la funcioacuten de Airy
[11] y tiene el valor
2 a a | l = 268 (581)
Asiacute dividiendo (5S1) entre (576) obtenemos el coeficiente de amplificacioacuten de la amplitud
del campo eleacutectrico en el plasma con respecto al campo en el vacio
103
| s f = 374(oolaquo3laquo)3 (582)
En el caso maacutes general de un plasma deacutebilmente inhomogeacuteneo en (562) en lugar dr
arbdquo debemos sustituir
En este caso para valores grandes de (koro)l^eoraquo0 auacuten una |MI jtirntildea parte imaginaria de
ki pcniMtiviacutedad dieleacutectrica puede rondticir a jteacuterdidas significativa de energiacutea de la onda
Si ni gtgt P jiacute () entonces la ecuacioacuten (571) conserva su forma pero ( en csrraquoiexcl caso laquo-S una
cantidad compleja
- ( )
raquo ( j v o ^ + x - mdash ) (584)
Nuevamente la onda (pit se forma en la regioacuten 0 lt x lt sltol(t es una onda estacionaria
lgtcro ahora la onda que se refleja cu el punto de corte Tit t = oc) nltgt tiene la misma
amplitud de la oiiif-t incidente Aquiacute cl coeficiente de reflexioacuten es diferente de la unidad y
se expresa como [23]
R as e m laquomdashgtbull m e-raquopound raquolaquoraquo (585)
La amplitud maacutexima del campo cerca del punto de reflexioacuten en este raso disminuye en
Ry
|iexcl iacute | 2 374|| 2(ltWw3)1 3 (586)
104
CONCLUSIONES
I Se describioacute la teoriacutea general de las guiacuteas de onda y resonadores cilindricos En base a
esta teoriacutea se obtuvieron obtenido los paraacutemetros principales que ritrart izan vi sistema
de microondas di- la fuente de plasma descrita cu [2] En el raso ilc una guiacutea de onda
cilindrica hecha tiraquo- bronce y ron Suacuterm de diaacutemetro interno se obtuvieron los siguientes
valores para los distintos paraacutemetros de pro|gtagariexcloacuteu de midas litadas en el IIIIHIO
A = 145rw raquobullbdquo = 13 x WHi I = 02753rraquor A = 22S2raquo Zbdquo = 187
ti = 56 x 10degtrade K3 = lC x 10uumlcfia
La constante de amortiguatniento lgtara estas ondas romraquo ronseriiriiciraquo de la roudur-
tividad finita ile las paredes metaacutelicas tiene el valor om = 1032 x 104 como este valor
es muy pequentildeo obtenemos que se puede considerar que la guiacutea de onda del sistema de
microondas (de no maacutes de un metro de longitud) es una guiacutea de onda ideal (sin ]xrdiexcldas de
energiacutea) Por otro lado para el resonador cilindrico laquopie compone el sistema de microondas
de radio a bull 7cm se obtuvo la distancia necesaria para que en el resonador oscile una onda
en modo Ht (wm = 15394 x 10(f ) Esta distancia tiene el valor d - 71Gcm Ademaacutes
se evaluaron la calidad del resonador y el ancho de banda donde el modo TEu puede ser
excitado uacutenicamente Q =bullbull 404963 w2 - uraquo = 000025 x WH respectivamente
II Se analizoacute el problema cuando la guiacutea de onda y el resonador cilindricos conshy
tienen una columna de plasma friacuteo magnetizado e inhomogeacuteneo distribuido axialmcnte
105
La columna de plasma cti el caso de la fuente de plasma [2j tiene un radio r = 3mraquo
y ademaacutes el perfil de densidad se consideroacute de tijraquoo paraboacutelico Eu base a la teoriacutea tie
perturbacioacuten y usando como paraacutemetro pequentildeo la pequenez del radio del plasma con
respecto a la longitud dt- onda se calculoacute la constante de amortiguamiento de la ondas
que se propagan en la guiacutea de onda ocasionada por la presencia del plasma La constante
de amortiguamiento tiene el valor o = lSS x 10~4
Se calculoacute ia variacioacuten de la frecuencia de resonancia fie las ondas que se etinieutran
resonando en modo TEtti en i resonador asiacute romo la variacioacuten en el inverso dr la calidad
del resonador obteniendo resp t-tiacutevaineiifc Aw - -lG3x 10 H MlQ) = oacuteS2x lO1
Los valores para n Aw y plusmniexclQ) se obtuvieron paro el caso mando ^bulljiacute(l))raquo = OS y
para el punto cerranraquo al punto di- resonancia ciclorroacutenica u = 0999 Ademaacutes se obtuvo
que la constante de amortiguamiento en el caso de la guiacutea de onda en el punto de resonancia
ciclotroacutenica l-u = w) se hace cero De lo anterior podernos roiirluir que la inutii se propaga
libremente en el plasma
III En el marco de la teoriacutea lined se analizoacute el proceso de penetracioacuten de campos
electromagneacuteticos en un plasma scmilimitaclo Se obtuvieron Jos coeficientes de reflexioacuten
transmisioacuten y de absorcioacuten para ondas tipo H tanto para un plasma homogeacuteneo y un
plasma no bomogeacutetieo Un aspecto fiacutesico importante en el estudio de la penetracioacuten de
ondas electromagneacuteticas en plasmas inhomogeacuteneos es que para una incidencia normal existe
un crecimiento del campo eleacutectrico en el punto donde la permitividad se hace cero Para
plasmaraquo magnetizados el comportamiento anterior es similar Por otro lado cabe sentildealar
que los puntos dentro de un plasma friacuteo e inhomogeacuteneo en los cuales el iacutendice de refraccioacuten
106
es infinito permite una absorcioacuten de las ondas de tipo no colisional en el plasma y al
mismo tiempo se obliga al campo eleacutectrico a tener un valor finito Esta absorcioacuten en el
plasma se asocia al hecho de que en el punto iacute = oo el campo electromagneacutetico sufre una
transformacioacuten lineal en otro tipo de ondas
Finalmente hay que hacer notar que la absorcioacuten de las ondas en las guiacuteas de onda
y los resonadores se debe uacutenicamente a la variacioacuten o cambio que sufre la constante de
propagacioacuten y la calidad del resonador respectivamente por la influencia tlcl plasma Este
mecanismo de transferencia de energiacutea ai plasma es diferente al mecanismo laquoIr la transforshy
macioacuten lineal de ondas
107
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doxiie = lTni mdash 45 x VSyJT laquo-s In velocidad del movimiento teacutermico de los
bull iexclii-roiifs 7 laquo- Iraquo fltbullijijx-rittiilt le los electrones en A y gt es la cow-rut racioacuten laquole los
bullllaquoM-roraquofgt MI nn~ bull La ltlisuiiit
bullgtbull llama radio ltit- Debye para los electrones Para tin plasma niasiiirtirro es necesario ijiie
its liiuiitiMoiiis riinirifristiras L scan siciiihnitivniiifiitc mayores ipie el radio ir Debyc cs
laquo[bullbullbullbulli L ~iquestgt in ion esta condicioacuten slaquo- purde considerar ijnc laquobull -iexcl-teiacutena ilf partiacuteculas figtrman
un plasma En riiMi inverso L ltg riexcl i tenemos mi coiijmtlo I|I- |gtutiiiiiii- cargadas
-f|gtnli- Asiacute llenamos iexcli la definicioacuten laquoIt-1 plasma propuesta por Laugmuii [5iexcl rl plasma
i-s tin conjunto tic partiacuteculas iirutras y careadas en rl cual ai sc satisfaci- la condicioacuten dc
ciiasiiii-utralidiid poundbdquo rbdquoraquobdquo = 0 y lit el radio dc Debyc dc apaiitallainit-iilo es mucho niiiior
bullinraquo1 las dimensiones caracteriacutesticas laquopic ocupan el conjunto laquole partiacuteculas r^ lt L
Una infltiriiciii iiii]iortantf sobre rl iiioviinie-nto de las partiacuteculas la ocasionan la exisshy
tencia laquolaquobull un riexcluingt magneacutetico externo constante el cual ordena el movimiento caoacutetico de
las partiacuteculas En un campo magneacutetico actuacutea laquoobre las partiacuteculas cargadas una fuerza llashy
mada poiidcroinotriz (lorentziana) dirigida ])cr]gtcndirulannriite a la direccioacuten del campo
magneacutetico B0 y a la velocidad de la partiacutecula iacute Bajo la influencia de esta fuerza las
partiacuteculas giran con una frecuencia angular igual a wBbdquo A esta frecuencia se le conoce
como frecuencia riclotroacutenica o de Larmor y para los electrones tiene la forma
~B = mdash 176x07Bo (17) me
Para que el plasma resulte ser magnetizado (anisoacutetropo) eacuteste no debe ser muy denso y
deblt encontrarse en un campo magneacutetico muy fuerte Por esta razoacuten es necesario que en
laquorl intervalo ltli- liniipo vnf dos i-olisiotn-s rbdquo las partiacuteculas pmdan nahzar uiiniios iexclinraquo
ttlri-drdor ill- las lincas del raui]Hgt iiiiiacutegiit-tiro Esta condicioacuten gtbull inarm tizai ion jitira lets
rliTtroiics es di- la forma
w laquo r m raquo l (lSj
En la ltlin riiiiti ilrl rampo iiiin-iiitiio la influencia de laquo-sir soliri- Ins partiacuteculas careadaraquo cs
nulo En mi campo magnet iro lioiiiogeacutem-o las trayectorias del movimiento dc las partiacuteculas
cargadas tiiinu forma bullltbull bullbull -jiiiiilraquo-
Por laquofin lado liay ijiir diferenciar los conceptos dc plasma friacuteo y plasma caliente Eli
mi plasma friacuteo r) movimiento teacutermico de las partiacuteculas es menor que la presioacuten i-I bullbulliinjgtgt
MKiKiirtim es decir
-2=2fIlti (io) Entonces podemos decir que rii mi plasma friacuteo que sr oiicticiif ni en mi campo magneacutetico
w puede despreciar rl movimiento trrminraquo dc1raquogt partinilas En mi plasma caliente esto
uacuteltimo no es vaacutelido
2 Meacutetodos teoacutericos de descripcioacuten del plasma
En el desarrollo de la concepcioacuten del plasma como un gas de partiacuteculas cargadas cambiaron
tambieacuten los meacutetodos de su descripcioacuten Los primeros modelos maacutes simples de la descripcioacuten
cualitativa del plasma lo suponen como un sistema de partiacuteculas cargadas que no interar-
tuan entre siacute y que se mueven libremente en presencia de los campos eleacutectrico y magneacutetico
externos Es decir si so considera que el plasma esta compuesto de jVbdquo partiacuteculas de clase o
8
iexclbulli -r mueven dcltido iexcli MI energiacutea teacutermica en forma caoacutetica entonces es uii-fNarin resolver
~ ecuaciones laquogtbull movimiento con uti miacutenimo iexclEnfil raquobullbull condiciones iniciales i posicioacuten y
-bullbullio-idades iniciales ilr partiacuteculas | Obviamente esto uacuteltimo es imposible de realizar Se
puede reducir fuertemente el problema si gtraquobull desprecia liexcli dis]gtcrsiexcleacutegtn de las velocidades dr
bullu iovimicnlo teacutermico es decir si se considera el movimiento promedio de una partiacutecula
laquoiexclHe v encuentra en reposo cuando no hay campos externos Asiacute este modelo simple
de iexclarticulas independientes completamente desprecia no solamente la interaccioacuten entre
piiriexclniiacuteiacuteiraquo sino eiexcl movimieiiio teacutermico de la- mismas
Pura determinar la velocidad dgt- una partiacutecula carnada del ntasma en el modelo de
pariacuteVittiis independiacuteenles se resuelven las i (ilaciones de movimiento para partiacuteculas de
gtia- bullgt en la forma
-y- = lt iacute iquest + -|ibdquo X D + iexcliexcl111 I110) Jlz
ir ~ donde iexcl = gtnbdquorbdquo es el impulso de la partiacutecula de dase o y ies la aceleracioacuten provocada
por fiHTns no electromagneacuteticas Eti las ecuaciones (LiO) la iiidiiccioacuten magneacutetica D
y el campo eleacutectrico E no se consideran como variaUes conocidas ya ipie estos campus
incluyen en siacute campos inducidos en el plasma cjue MOJIacute provocados por el movimiento de las
partiacuteculas cargadaraquo por lo (pie hay que resolver un problema autocousigtente es decir la
solucioacuten de (110) conjuntamente con laraquo ecuaciones de campo
VxS = M + Iacute I ( + ( 0) (iii) c ot c
V-Eacute m 4-(p + po) (1 13)
v i = 0 (114)
9
01
(si-i) ltraquoiquestbull AW + J) + W + sectxsectA)Y +ilaacute- raquo
waacute(A-iacute) + ^ Vlt = JLVpound mp
(iquestri) -o = W aacute w - A + ^
iexcllaquoupauSimi HJiuiHiupo pii] laquoj ip laquoai iopuioa ap jjnaiscsi io x) inn uctuivcs u n
HZI|1)II t8 opiti |f ui |vmi raquoia ap OIIMIIUIAOIH jap t iopduauap H| H Iacute H J -OJIIIU OIIIIIJIIOI o ip j tu mi
(ipllllllUOJ OJIIK laquoHill OIlllll lltijjodll S Sgt1IIIIIltMI|IIOJ SHJSI Hill llX HJItlHI A UIIIIOI liJIIIOJl
bullJMraquo NtJIIHKullllO1 Sl| 11)111 IttllHMJIi j j l lililiacute IMIacutelj IS lili IIJlllllllipiU|lll| CI|I|KM11 |l l|-J
i
OIIIIIIIIipiM|)II[ (gt|l|raquoOIII |l iZI|llll
is osli i|Si 113 ltM1IIHI l((|ill|)Ulll o|(llllil | mi imuii Jllli|MSIIlu ipmd is lti|i(i| (III oltloi
Dlllsmii |l lt ltI|IIIKIIJI(1IJltII 1)1111111 Ulllj l||St IS IIIHI SI|lll(UIltI SI|IIMIJI(I sltlt[ 1(1 (IJfUItlllAillll
|i ltisui|i 11111 miis-H|ltl 1111 111 iiUuumluniii iexcllaquo j o j ii|iiiuiiii(iultii ms i ltm siquniiud ltn gtgt
ltI|I1III1U Villi |l (MU | l lll lt 1(11ili 111 AIIIII iMIIsiqil tin 1(1 IKIII |i l|gt II|IK lti|ilI|I|ll MS i|llllltl
Sgt|I1HIIIIMII|IIII -ii(liilinil ip II(I|KMII (1 H|tiit|iiltl 113 lti|iiiiitll] si inusiqd |i|i IIltIIMIUISI|I
l| lll IIOIHiipill US Hill ltl| Hid degSI(||||||Ilt1 Sl| 1(1 i||llll(1llAOIII |lp 11(11liqll1111 bull] OlIItU11
(iinmiiiAoui (1 bulluipisUtii 1111 ofiji is (IHKII si|tfi(|ifiH(i|ifft s-ftptjiijiMi (lt lti(i(iorij ( 3
( 9 1 1 ) 0 = V V bull A + T ^
|Mqmimiuoj ltraquofi tiacuteotjuttji laquoj uKiexclatms (()) niexcljsijtfs j pthy
ltcni bullbulliquestx^ = [ -x^ = lt
laquoUIKIJ i( (lllllll l|(MMJltll ijl A i|l(lll(IUI laquoSjlM laquolt Kj|tt|raquoISIM|gt gtlJ Sgt(itl) slj | Ifi
= V y [- x D - -pound-V x I i r Uuml) (119) Of 4 ~ ltT
V B = 0 (120)
donde ni ex 1iexclI ltbull usidad del liquido ltlaquoMiraquohicTtgtr (plasma) ron una rondiirtividad n vi es la
velocidad del plasma y ( r son 1lt- roi-firiciites de viscosidad Este sistema laquoir eriiarionis
w debe de roiujut mentar ron las emanones de rotado y la iiiiwioacuteii laquole tnuiNpurte de calor
= Hni-T) (121 0
M7 mdash + (rlaquoV| uumlt
~ bdquo 2L1L + X-(VTgt+ mdash mdash l ^ x Uuml r (122)
donde raquo = raquoij(T) es la entropiacutea de uiiii masa unidad de plasma n es la rondnrtividad
iltl ialor y rttJ elaquo el tensor laquoir viscosidad
^= (iiexclr + iiquestL~ hgtv TA) av bull IacuteL23)
En la magnet oliidrodinaacutemira se consideran dados la rondnrtividad eleacutectrica la conshy
ductividad laquolaquobull calor tlcl plasma y tambieacuten los coeficientes de viscosidad En la praacutectica
se utilizan modelos modificados dr la magnetoliidrodiacutenaacutemicn tales como el modelo cuasi-
magnetohidrodinaacutemico de dos liacutequidos (electrones y iones) y de tres liacutequidos (electrones
iones y neutros) tos cuales de forma fenomenoloacutegica consideran la interaccioacuten entre las
partiacuteculas- su movimiento teacutermico Estos modelos simples generalmente son aproximados
y para su fundamentacioacuten se exige la utilizar ion de un modelo maacutes general del plasma
como gas ionizado El modelo maacutes general es la descripcioacuten estadiacutestica del plasma como
un sistema compuesto de un gran nuacutemero de partiacuteculas
11
CAPITULO 2
GUIAS DE ONDA Y RESONADORES
En rstr i-i|gtiacutemlgt v ilisrrilraquo li iroriacutea grurral i|r lis gniacuteis laquoIt- IIMIUuml y laquoIr los rrsoimdorrx
bullilimlriros Si luir- un r-iexclMilil riifuumlsis ru his giiiacuteigt d r mifhi V lvsotinliili- de MMIIacuteIMI
tliUlsvriMiI bull i i i i i iuuml l nn iDliiii 1iexclgt rxcitiiiiiVn dr o lnl raquo t i l IIHMII bdquobdquo y TE laquo11 estos
IIIacuteN|HIMIIacuteVIraquo rrx|Mitiacuteviexclifilttr rli Iilii|iiliquest ron rl d i spos i t ivo drsni t iraquo cu [2iexcl
3 Guiacuteas de onda
31 Ecuacioacuten de valores propios
pound1 estudio dr IHS propiedades fnuciaiiicntalcs dr la propagacioacuten de ondaraquo laquobulllectroniaglictiras
en tubos cilindricos dr conductividad infinita sr ha realizado ampliamente Ha sido resuelto
el problema para guiacuteas do seccioacuten transversal arbitraria |8) y para secciones transversales
particulares de importancia praacutectica se lian solucionado en sus modos fundamentales de
propagacioacuten [9] Asiacute mismo una analogiacutea con las lincas de transmisioacuten ha sido descrita en
[Wi
Veamos con maacutes detalle las guiacuteas de onda Consideremos una guiacutea cilindrica ron su eje
dirigido a lo largo del eje 0iexcl Ademaacutes consideremos que la guiacutea de omlas es longitudiliaj-
12
iifiacuteiti- lioiingtmiiriexcli y iptc la iexclgtariilrgt- metaacutelica sou conductores iierfcetos Sigtigtntgtiexcluiiltgts ltpit
bullniexcli omlii bull-lcctrumagiirticH plana di frecuencia ur si propaga a lo largo di- la guia ilt- onda
pound(fiacutel=f(r^)t r- iacute (21)
poundlt) = (riacute)t r-w ) (22)
iexclonde r es la constante de proiMtgacioacuten o nuacutemero de onda El problema fie contorno que
-bull iacuteu-duiT de liexcltgt fiiiacutenioins de Maxweil pura ondas ti|Mgt H en una guiacutea dr ondas ciliwtricn
-bullbull rxprrsa en la forma
bullbullon laraquo condiciones de frontera
-2- = 0 para r = a (24)
E = 0 cti todo el espacio
donde $ = H(r^) De la misma manera para las ondas tipo E el problema de contomo
tiene la forma
0 lt vgtlt 2ir
13
rtm las condiciones de frontera
= 0 para r = a (2C)
H = 0 til todo el espacio
donde ahora lt1gt = pound(r^) n es el radio ilr la guiacutea tic ondas
Los valores positivos
bull = -gtL = iquest - riquest (27)
determinan el con junto de valores propios correspondientes a rada una de las soluciones
lraquoTiiiisilles igt minios caracteriacutestico de la guiacutea de onda donde II y t son las constantes
de permeabilidad y permit ividad respectivamente del medio ipie llena la guiacutea de onda
GiiHTMliiHiite bdquo depende ile las (limensioiies geomeacutetricas de la guiacutea de onda de IacuteHJIIIacute
IJIIC siempre si puedan selerrionar los modos de propagacioacuten raquopraquoe se reijuieran
Por otro lado las componentes transversales de los campos eleacutectrico y magneacutetico se
determinan si se conocen las componentes longitudinales de los campos de la forma [8]
iT Eacutet = - j -Ve para ondas en modo E (28)
a iT H = - mdash V para ondas en modo H (29)
Traquonigt
Ademaacutes las componentes transversales de ambos campos (eleacutectrico y magneacutetico) se relashy
cionan mutuamente romo
14
H = ~iquestbdquo x Eacute (210)
aonde ~bdquo es un vrrtor unitariti dirigido a lo iexclarjraquo ltlcl eje 0 y Zf laquo la iiiipedanria tlr 1raquo
onda tiraquo modo E Igt H respectivamente
cT Zf = mdash igtara ondas en modo pound (211)
ZH = mdash=bull pnra ondas en IIIIMIII H (212) cT
Las efiiiexclirioiiigt (23) y (25) determinan problemas de valores propios ron sus corresshy
pondientes condiciones de frontera Cada turn de las soluciones nos representan diferentes
bullnodos normales unos transversales eleacutectricos y otros transversales magneacuteticos corresponshy
dientemente
32 Paraacutemetros de propagacioacuten
De la ecuacioacuten (27) se tiene que para cada valor de bdquo y correspondientemente de la
frecuencia se determina un valor para el nuacutemero de onda
r raquo - ^ - T Iacute (2i3)
En general T puede ser una cantidad compleja de donde podemos distinguir tres casos
a) siacute (tt^ gt y^n entonces T es real y define un modo permisible de propagacioacuten es decir
la onda se propaga libremente a lo largo de la guiacutea b) si ftfty lt 73nn entonces T es una
cantidad compleja de donde la onda se amortigua exponencialmente y c) el caso cuando
15
r = 0 ilefiiu la condicioacuten di- rortlaquo la nial separa los casos a) y li) Asiacute podemos definir a
la friTuciina de corte romo
Wbdquobdquobdquo = -J=-bdquo 1214)
y expresar el nuacutemero de onda en funcioacuten de ella
r = ^ ^ - ^ (215)
Para ftecuencin- uiiiyores ijue la de rorle la onda se propagii a lo largo de 1raquo guiacutea En
el ruso contrario pitra freriietiriuumls menores i|iie lii de rorte 1iexclgt onda se amortigua Otra
caracteriacutestica imporiiiiite la ]iodeinos olilenei de la bullbullxpresioacuten 1213) Va |IH- el nuacuteniero de
onda r siempre es menor ipie su valor en un espacio lilire entonces Ii longitud de onda en
la guia es siempre maacutes grande
y 77 7ngtt
Anaacutelogamente definimos una longitud de onda de corte o criacutetica (cuando A = 00)
Af = yiliacutemdash (217)
y expresamos la longitud de onda cu la guiacutea cu funcioacuten de ella
A = _ j (218)
donde A es la longitud de onda en el vacio Dr aquiacute que la onda se puede propagar a lo
largo de la guiacutea de onda uacutenicamente para longitudes de onda menores (pie la de corte
0
~ y - i y
_bull-
_ 1
bull i
iexclA
0
0
- gtiacuter
JfT7 ~ m
n
0
raquov
^ yJZliacuteiiacuteiacute
9C
Imaginaria
V
mdash _ l _ - M i l
0
Imaginaria
A
-Jraquo-$mdashil
X
Imaginaria
Tabla 21 Iaraacutewotrus ele propagacioacuten para onda ltrn moiio pound y cti una guiacutea ltlr onilas
Miacuterica uniformraquo
Por otro hielo iexclgt viliraquodegiiliexcliltl ltli fasr iiexcl riexcl un medio bullbullgt uisiraquo JraquoILIIlt1laquo ijiii- su Viilor III el
Wigt
7 = r
(219)
Por debajo del punto dlaquo- corte 1raquo velocidad de fase es imaginaria y pierde asiacute su sigshy
nificado fiacutesico En el punto de corte la velocidad ltlr fase se viirlvr infinita Un liccho
importante resulta serel que la guiacutea dp ondas es un sistema dispersivo aun cuando el
medio que llena la guiacutea no lo sea (la velocidad de fase es funcioacuten de la frecuencia) La
velocidad de grupo de la onda tiene la forma
tortt 1
(220)
En la Tabla 21 se resumen los paraacutemetros de propagacioacuten para una guiacutea de ondas sin
peacuterdida de energiacutea
1
33 Coeficiente de absorcioacuten
El finjo laquole inicrgiacutesi raquobull describe por ltbull vlaquo-ctigtr cimiplejo di- Piacutemiling
Sbdquo=[iquest]i[poundxW-j (221
su parte real nos dh el finjo di- energiacutea promedio plaquogtr unidad de tiempo y por unidad de
aren La romponeiite axial de Su representa el flujo de energiacutea prmimlio a lo largo de la
guiacutea Por lo tanto d flujo total promedio de energiacutea que se transmite a lo largo de la guiacutea
de onda e- la integral de la componente axial del verfor laquoIr Poyntilig evaluada sobre IIMIIacuteI
la weeioacuteii transversal de la guiacutea de onda
HilU^1 - iacute2-22) donde iquestbdquo es un ver tor unitario a lo largo del eje ()
Hasta el momento se lia considerado laquopie las paredes laquole la guiacutea tie laquonula son conductores
jraquocrfectigts in tal caso el Unjo total de energiacutea conserva su valor a lo largo tie la guiacutea laquole
onda Sin embargo en problemas reales la conductividad de las paredes tiene un valor
finito debido a ello existe muiacute fraccioacuten del flujo total laquole energiacutea que se absorlw |araquor Inraquo
paredes Dlt- aquiacute qtw la expresioacuten (222) representa uacutenicamente el fhyo tie energiacutea total
que entra a la guumliacuten de onda y cuyo valor decrece durante la propagacioacuten de la onda es
decir se generan peacuterdidas de energiacutea En la praacutectica tales peacuterdidas se consideran muy
petmentildeas considerando que siempre existe una fraccioacuten de la energiacutea que se pierde ya sea
en las paredes o por la presencia de un dieleacutectrico que llena la guiacutea de onda En tal caso la
laquoMida se amortigua en BU propagacioacuten y la constitute aacutee propagacioacuten time en consecuencia
una parte real y una imaginaria
18
r=i~m (223)
iultif i gts vl factor laquoit- iacuteiisi- y gtbull vi n^bulltirivuu- tU- iexclilisorcioacuteu o ltlr iacuteiiuortigiiaiiiii-tito E
cticiacutetiif ltli- iexcligtlaquouiri(raquoii ltbull Juumltllfi laquoir iexcllti rrhiritu
o = raquo +ltu (224)
bulliiiidr IIbdquo y o son los nlaquofiriciiiigt di- alisorrioacuten ilrliido n liexclis jx-nlidiis de energiacutea en las
m|t-iligt iin-luacuteliacutei-iraquo y 111 Illtilio diacuterliiirirai i|lilaquo- iexcllililiacute 1iexclI Riliacuteii rcspi-itivamriiti CiMisiiii-railiio
1iexclII |gtctiliiliexclis l l i -d ir ig iacutea ilr hi rxprrsion (2231 gtbullbull indure que los nui i )ms MUIacute propiui-ionalcs
bull bullbull tUUiexclltfgt rxpnililinal raquo i Ir ilonilr lii |MitgtIniacuteiexcli (222) laquo|lir sr transmitiacute iexcli iigt largo ltlr lli
bulliacuteliacutei ill lllllli llisillillliyr iexclI lo litigo (Ir (II la furnia
raquo(-)= Pbdquogt -- (2251
Por tamo la roiistiwtr de amortiguamiento o de alisorcioacuteii se definiacute- como ln razoacuten de
i poti-uria i MI il i ii bullbull lio lli eiirrgiacuteli (ptr si pierdr por unidad ilr longitud c u t i r il flujo toliil
promedio ilr rut-rglli lt|lie se transmit a lo largo di liexcli guiacutea gtllt onda
mdashiquestiacute-
34 Guiacutea de onda cilindrica Modo Hbdquobdquo
Nuestro principal intereacutes se centra en las caracteriacutesticas de propagacioacuten de ondas electroshy
magneacuteticas en modo Hnn en las guiacuteas de onda cilindricas Consideremos que la guiacutea de
onda tiene paredes conductoras perfectas y qui el iiexclgtgt dio que llena uniformemente la guiacutea
19
fcciMTraquo |Mrililiis laquoIr m c r g iacute a ilispiiviiilili-j Parraquo bulllaquolaquobullbull rwsn IIIN MIIIUIacuteOUIS n IIHgtI)Igt~ |MTIIIIacuteSIacuteIgt1IVS
ili- priiptiiuumlniiiii i|i 1iexclI r i i i iu ioacute i i (2 3 ) MHI
( bull r-t = CbdquoJJ- r)~laquoif (227)
laquolimilr Ci lt-- una ionstatiii y la rlaquotiltiirioacuteii ltr iacuteroutrrn (24) mjiriiTr jiir 1ltraquogt laquoiliircs propios
IDIIIIII la forma
bull t
bdquobdquo = mdash = U 123 122$) bulli
n = 123
Aipiiacute )bdquobdquo -un la raiacuteivs n bullbullMinas laquoIraquo la dnivaila ilr la fiuirioacuten gtlt- Ui-ssrl ili- unlcii m
JJjr) - Di y n rs il railin inlriim ilr la guia ir ondas Exislr un minino iexcliitiiiiln bullbull
IIHMIOS i|iu MUIacute -iiliniuiirs ilr (23) IIIII la i-igtiiiliexcli-iacuteoacuteii ili friitiliTa (24) Col aymla ili- (2Iacute))
y (210) iilitiiHiniraquo las rxprrsioiirs para las i-oinpoiimtrs transvirsalrs laquo1raquo- los campo ni
iminliiiailiacutei- riliacuteiiiiiiias y nitoiiri-s csiriacuteluacuteiiios las roiiipoiiriitcs ilr los i-ampos ni la furnia
H = C o ^ j h r ) trade m ^ i r mn
H = plusmniexclCo~-Jbdquohnnr)Zwir- (229) Inn r
E = 0 r laquoi
E = plusmniCbdquoZH-i Jmhmnr)ZtradeltigtriV-Tmn r
E = -iC0ZbdquoI-Jm(lmnr)Z^ert
donde los signos plusmn corresponden al en o co respectivamente y In expresioacuten Jm indica la
derivada ron respecto al argumento Jm = f- Sustituyendo (228) ni (213) w obtienen
20
gt valores tie la constante de propagacioacuten
r = Jfi- - iraquo (230)
Comraquo sc olwerva las ecuaciones (229) estaacuten doblemente degeneradas yraquo rpte uno de
lgtraquo ranijios se convierte ei el otro al girar ir2 alrededor del eje de la guiacutea
Determinemos lo paraacutemetros de pro|gtagiacuteicioacuteii para una guiacutea de inula cilindrica hueca
al variraquo) y de radio laquo = 425cm en la nuil se propaga una onda en modo Htl Considerashy
remos primeramente que las paredes de la guiacutea son conductores perfeetos En In siguiente
rioacuten se consideraraacute que estas tienen una conductividad finita
De acuerdo con (21C) toda onda electromagneticraquo podraacute propagarse en una guiacutea de
ouda de tales dimensiones si se cumple que su longitud de onda de )n primera es menor
que la longitud de onda critica Para tuia guia cilindrica se tiene
lisa A c = ~ (231)
Lolaquo dot modos inferiores Ha y JI para ondas de tipo H tienen las siguientes longishy
tudes de onda criacuteticas (en este caso iexcl = 18412 y j i t - 30542 [11])
Xe = 145cm (232)
Ac s 87cm
respectivamente Se puede demostrar que el modo pound0i es el modo fundamental para ondas
de tipo E Este modo tiene una longitud criacutetica
21
X = l l l f w (233)
Pur laquogttrcgt lhiii litraquo lougitiidcgt de inula rritkas lth- Uraquo siguiente modos ruiperiores ile muiacuteas
tipo H y li|xgt pound son menores que Itraquo valores 87rm y l l l m i rt-s]gtrrt miacutemente De aquiacute
que UMH onda clerirouiagiieacuteiira pueda propagarse en la guiacutea si su longitud lti onda laquobull
bulllienor que 145rraquoi Si ademaacutes fl valor de la longitud (ltbull ouda si- emueiilra en el iexclineacutervalo
11 lrjn lt A lt 145rru cntimres el jnodo H es el tiuiro que puede propagarse a lolargo
ile la guiacutea de onda
Eli figura 21 M muestra las vising tranvt-rsal y longitudinal de la estructura de los
bullaiii|Hraquogt en modo i | Aquiacute se 1gtI tomado la parti cosciioidal de (227) A continuacioacuten
e dan |igts valores de los paraacutemetros de propagacioacuten en el easu de IMIIIJIS clcrtronuigiieacutetiiiis
laquoMI iacutenriiencia w = 1539 x 10iacute (A = 1224nraquo) que si- propagan cu la guiacutea de onda
en nioilo | | Los valore se obtienen utilizando las expresiones correspondientes de la
seccioacuten (52) o de la Tnlila 21
Ar = 145laquoo
u w = 13 x 10luc
T = 02753cm-
A x 2282cro (234)
Zbdquo laquo 187 (i = l )
v = 5C x 100cm
w = 1CX10 OCTIIIacute
22
^mdashmdash Imea de campo eleacutectrico
mdash --Linearaquo di- campo magneacutetico
o Campo magneacutetico normal (hacia fuera ilr la hoja)
f ( ampo magneacutetico normal (hacia dentro di- la hoja)
Fig21 Vista- irahversal y longitudinal de la pstrurltira de Itraquo camporaquo ltn trimlo iacuteliexcliexcl La vigtti
otigitudial correspondiacute a un aacutengulo u = 90deg Figura tomada di- [bullgt]bull
i
Notemos (|Uf il iexclmaacutelisis anterior se inicioacute con una guiacutea dr onda de fliiiiensicmlts traquo-
gtltriacutetiacutecaj De- ahiacute se prosiguioacute a encontrar las onda electromagneticraquo npropiadas tale
que el modo fundamental H de la guiacutea de onda sea cl uacutenico que se propague Lo contrano
tambieacuten resulta vaacutelido es decir si se cuenta con una fuente de microotidas cotiacute determishy
nada longitud dr onda se pueden encontrar las dimensiones apropiadas de la guiacutea tales
que uacutenicamente se pueda propagar el modo fundamental
35 Coeficiente de absorcioacuten Modo Hmn
De la expresioacuten (226) determinemos la laquomulante de amortiguamiento debido H la conducshy
tividad finita de las paredes metaacutelicas para ondas en modo Hmn Primeramente calculemos
23
vi fltijiraquo total protiwlio ili laquowgia (222) r nial lunik bullbullscriiaacutersr IMI trrmiiins laquobullbull la funcioacuten
[gtrraquotgtiii bull at la forniH
iacutelowlc
= CMtmnr )rtismf (23C)
rlitotiirs
Praquo = If 1 Uw-T-KU [rIfjbdquor)nlaquoiquestraquoSlrlT-
= [iquest]^raquo^-Kraquol7rJraquo-rr- lt2-37)
La integra] ili- (237) sr cvaitwi utilizando la igualdad [12]
y CMisiacutedcnuidraquo IJHC la couiliriuacuteii de fruirtrra (24) rirquirrr ijiw Jm~innr)rmn = 0 DP rata
manera se obtiene el resultado
En el caso particular de ondas en modo Hti se tiene
La expresioacuten (240) puede escribirse en una forma mas conveniente
24
ionde
EJlJampuumlL (242
bullbull lii amgtIitultl del raui)Mgt eleacutertriro en rl bullbullclilro ltle 1raquo serriacutenraquo transversal laquobull 1raquo jiacuteiliacuteuuml de mida
La relanoacuteii (241I nos muestra rliimuienti- la iii-|n-iiiletiriacuteii rufidraacutetini ron n-sperrraquo iexclil radio
bull lti EUiiacutei ilil finjo total ]gtroiniilio ili- eneruiacuteraquo gt|raquo iitravicwi 1iexclI MTIIacuteIIH Iriexclmsvi-rsiil de 1raquo
uniacutea ib- omlu
Por otro lado la potcnria iacute|iic se pierde por mudad di- longitud (Mudo raquo las corrientes
u|gterfiiialc laquoi laraquo paredes metaacutelicas di- la guiacutea se expresa mediante la iutrgral de contorno
alrededor de la frontera de la guiacutea de onila) de las componentes tangenciales del campo
Magneacutetico en la fonna
p - dl
donde ntilde es un vector unitario normal a la superficie de la guiacutea de ondas ir es la conducshy
tividad de las paredes metaacutelicaraquo y S es el ancho de la capa piel expresada como
tiexcl es la permeabilidad magneacutetica de las paredes metaacutelicas Por tanto cotiacute ayuda de las
expresiones (229) se obtiene la potencia promedio que se pierde eti las paredes
25
- iexcl eacute f ^ - f (duuml]laquo 1245)
Fiiacutemlniiacuteiiti- di (245) y (240) bullbull oliticur la ruitstantr de Hiimnigiiuiiiitiitnpara el utixlo
I24G)
En vi raso ili- ondas ltw w propagan iii laquoI IIHMIO Hlt (MMII-IHH- laquoIr (24C) IDII raquoraquolt = raquo = I
obtener
f r i t o r sampsY+ traderaquo]
- - Id laquo-iexclzsf L v ( Siacute consideran)raquo tua guiacutea dr onda hurra ot dicir = 1 ni laquoti interior cotiacute paredes
metaacutelicas de broncr de conductividad a = 1413utg2crgaegnn) y radio a = 42vcm
en IB cual se propaga una onda en modo fiacuteu con una longitud de onda en el vacio de A s
1224cm (w = 15394 x 10degi) entonces obtenemos que la constante de amortiguamiento
tiene el valor de
om = 1032 xlO4 (248)
El valor anterior noraquo indica que a la distancia x = 0C88raquon la amplitud del campo eleacutectrico
disminuye 1e veceraquo de su valor en i = 0 De donde la constant v rlr amortiguamiento es
26
sntirp-itttniKiit nt-m-ntildea para considerar una guiacutea If onda laquoit unos riacutetanlos metros laquoit-
lUgitiiuacute romo una guia gtlr (tuda ideal (sin peacuterdulas)
4 Cavidades resonantes (resonadores)
Vu disjiositivo de gran importancia praacutectirtt y estrechamente relacionado ron las giriacuteas
ltbullbull onda son las cavidades resonantes Coinraquo w sabe una cavidad resonante (resoiimbir)
bull - privi-aiiii-iitr una cavidad roinpletameiit) armada por paredes nietaacuteliias Ins riacutetales
prewiiraii ilti propiedad tllt- podriacute alijiart-uar energiacutea eiertruiiiaRuitira tMeilanie Llaquoraquos riso-
iadores han sido ampliamente estudinilos en la misma magnitud ipu- las guiacuteas de ulula [13]
Anaacutelogamente al estudio de guiacuteas de laquonula gte ha resuelto el problema de 1laquoraquo resonadores
bullbull si-rrion transversal arbitraria routenieudraquo cu su interior un medio liiMiiogt-iraquo laquogt con IOIJS-
antes y t [S] Un estudio de los resonadores de formas particulares y de importancia
praacutectica se puede encontrar en [9] Ademaacutes una analogiacutea rlaquom liw circuitos resonantes se
(iescrUumlM en (II)] Con res|x-ctraquo a esto uacuteltimo podemos decir i|iie los rlaquosraquonailores tienen
la ventaja de ser superiores a los circuitos resonantes I - C en un factor laquole 20 laquos laquolecir
iexcla fraccioacuten de energiacutea almacenada laquopie se disipa por ciclo en un resonador es alrededor laquole
1 20 de la fraccioacuten disipada por ciclo en un circuito L - C [14]
41 Caracteriacutesticas generales
Consideremos una cavidad cilindrica hueca y acotada por un conductor perfecto Fijemos
el eje 0 de nuestro sistema de referencia a lo largo del eje de la cavidad cilindrica y
Mipongamos que la longitud del resonador esta acotada entre - = 0 y z mdash d
27
Un ri-Miiiitilor pucxlr i-oiisiilcriirsc mino unraquo guiacutea ltgtbull olida finita ilimih ltlaquobull tiww laquo|ingt
iexclumilir la rotiiliacutecioacuteii di- froniirit
para ltmdagt t-n modo TM
(Mirtl Otlflugt Ill IIMMIO TE
EbdquoM = 0 (249gt
HUbdquoi = 0 (250)
En itiilii linn illt- braquo sii](rrfiiiigt plana gtbull iilruumllnniitr ngtniltiitigtragt rxistr rcriixioacuteu di-ondas
El ti|Mgt lit iiiidii i|iilt- M- irrii iexclil siiprrpoiuT iliraquo ondas ilritroinatnitiias ron iexcliinplttudis
iguales y propagacioacuten en sentidos opuestos es ]iri)|iiiexcliinciiir rl di- uni onda estariouarin De
donde las rigtui]M)iiilillts axiales ilr 1ltKS rniupos ilclxn ttinl bullbull forma
para ondas en moiin TM
E = ( r r - )oi ^ - ) = 0123 (251)
para onda cu modo TE
H = Tf)raquoeM^-) j gt - 1 2 3 (252) o
Laraquo componentes transversales de los campos se determinan de (28) y (20) Para
ondas en modo TM obtenemos
28
Jfr = mdashT-cogtbullmdash )bdquo x V
(253)
vrrrgtjlaquogtijiiiciitfuifj)tc para ondas wi modo TE
pound = _ittif iacute iacutef)i1yr
W = iacutefJ_bdquo s (^)V
(254)
poundgtbullbull in-s riiiiiliiioliiN de frontera (249) y (25U olrtnirmos lt|iir 1iexclI ionstiuiti- ili- propagacioacuten
ltgtiitii 1ltraquo valores
r = uumlf = (0)123 ti
bull iexclonde de In ecuacioacuten (27) los vnlonv propio so expresan romo
(255)
(256)
La ecuacioacuten (25G) forma un conjunto discreto de valores que determina la frecuencia
bull ir resonancia para cada valor de p y bdquo es decir a cada tipo de onda estacionaria le
corresponde una frecuencia propia
vJ (257)
29
Fig22 Litraquo midas rsUt Miliaria- ilgt mi rismnclnr lidien en su lifiigiliitl un iiiiniTii IIIIITH ilr
niilMlcraquo lie la loiigilini tit- IgtMltU St- miii-sira H raso para )gt - Iiquest41 bullbull U exprntiiiacuteii iquestat)
En alaquoManii si mi si ritiniiita otra rosa raquobull omiten los Milmidiees rtii y laquopie ranraquo
UTIacutezan los modos laquoIr oscilacioacuten Ln resultado iiiiportaiilr laquole la ccuaraacutem (257) e laquopic se
pueden elegir Ian dimensiones ademadas ilcl resonador lie tal forma laquopie este opere ni una
frecuencia uacutenica de resonancia
Si comparamos (255) con la expresioacuten general para la parte real de la confitante de
propagacioacuten T = 2irA se concluye que para cada modo de resonancia la longitud del
resonador es proporcional a un nuacutemero entero de mitades de la longitud de onda (Fiacuteg22)
d s p ^ p laquo ( 0 ) 123 (258)
El caso plaquo0 correspondiente a la condicioacuten de corte para ondaraquo en modo TM tiene un
30
Mereacutes partieular ya qne eu este caso la longitud de nuda tiende a ser infinita entonces de
laquobullcuerdo ron (258 obtenemos
d - 0 bull oo (259)
ie donde la longitud del resonador esta indeterminada Los modos correspondientes a
gt raquo 0 existen en el resonador para cualquier longitud de la cavidad
Una propiedad de las ondas estacionarias es que loraquo CMIII|MgtK eleacutectrico y magneacutetico se
encuentran defamados en ir2
-ll = rt + iexclJ (2C0)
iielndu a ello existen instantes de tiempo en el resonador en que existe uacutenicamente el
bullampo eleacutectrico y momentos en que solo existe el rompo magneacutetico Como resultado de
este defasamiento el vector de Pijymiug resulta ser UIIH magnitud puramente imaginariacutea
de donde ai promedio con respecto al tiempo no existe transmisioacuten de energiacutea ya (pie el
valor promedio del vector de Poynting resulta ser indo Su - [ pound ] IitEacute x iquest ] = 0
42 Energiacutea almacenada y calidad de los resonadores
La energia total promedio almacenada en todo el volumen del resonador es la suma de las
energiacutearaquo eleacutectrica y magneacutetica promedio almacenadas por los modos normales
W m WE + WH (261)
donde
31
HiliacuteX-trade 2 M gt
Yraquo que en el resonador no hay MU flujo neto de energiacutea entonceraquo cu el cano en lt|Ur el
medio i|w Urna 1raquo guiacutea no genere |raquoeacutercliltlas di- energiacutea la energiacutea eleacutertririacutei y magneacutetica
promedio seraacuten igualo entre si Hiquest- s Wraquo Evaluemos la energiacutea total promedio alinarc-
tiada en el volumen del resonador |gtara ondas en modraquo TEmnf En este raso se tiene
=[iquest1U bull (2C4)
la cual puede expresarse cu teacuterminos de la integral de area tie la (tuicioacuten propia
= H(riacutep) evaluada sobre ln seccioacuten transversal de 1raquo guiacutea
bull-[iquestliacuteHs)]-- donde bull tiene la forma (227) Tomando uacutenicamente la parte cosenuiacutedal de (227) e
integrando de la misma manera como se evaluoacute la integral de (235) obtenemos
toT 47V ^n-m)Jmi^a) (266)
Para el caso particular de una onda en modo TEui se tiene
32
= [iquestiexcl](0375)|poundi|laquoib2 (2C7)
donde
1 1 - ^ (2-68)
raquo el valor di- lu magnitud tlt-1 riiinpo eleacutectrico en el centro di- la seccioacuten traiisveriMi) del
resonador
En griirral pura resonadores i n h siempre hay absorcioacuten ib energiacutea 1st nial se reashy
liza principalmente por dos raualcs a) porque el medio (pit- Ik-iui lu guiacutea es un medio
absorbente y Iraquo) debido a la conductividad finita de las paredes del resonador En cada
uno de estos casos las frecuencias de resonancia se vuelven cantidades complejas las ruakt
podemos escribir en la forma ugt = w + iw Entonces si la dependencia temporal de loraquo
campos es de la forma
Eacute(t)laquo Ac1 (269)
obtenemos que la energiacutea total promedio de un modo normal en un resonador real es
W(t)laquo W(0)e-3 (270)
donde se observa que se pierde al transcurrir el tiempo W(0) es la energiacutea total almaceshy
nada en el resonador en r = 0 Introduzcamos un paraacutemetro llamado factor de calidad Q
definido como 2n veces la razoacuten de la energiacutea almacenada en el resonador promediada con
respecto al tiempo entre las peacuterdidas de energiacutea por cada ciclo de oscilacioacuten
33
Qenrroiu ulmactnnda
SS itj mdash ^ mdash mdash ^ mdash ^ mdash mdash
jttrtlidim lit tnergtn
= wmdash IV
PmAtf
donde
(271)
P = - ^ I27-raquo)
egt la potencio media qui sc absorbe en tin ciclo de oscilacioacuten debido n las corrientes
superficiales de las |Ktrtdes del resonador (comparar ron la ecuacioacuten (224)) Di (270)-
(271) piulemos obtener que Q = raquo-2u Por lo tanto la frecuencia raquogt laquobull pnctlc expresar
a traveacutes de Q romo
=yj1 + eacutejh 273)
43 Excitacioacuten de los modos de oscilacioacuten
En el problema de un resonador ideal (sin jroacutedidas de energiacutea) cada modo de oscilacioacuten
tiene perfectamente definida su frecuencia propia de resonancia (257) Esto quiere decir
que si se quiere excitar un modo particular de oscilacioacuten en el resonador la frecuencia
de excitacioacuten debe coincidir exactamente con su frecuencia propia de resonancia En
problemas reales esto no ocurre y en lugar de ello se cuenta con un banda de frecuencias
alrededor de la frecuencia propia en la cual el modo de oscilacioacuten puede ser excitado La
existencia de esta banda de frecuencias se debe a que existen peacuterdidas de energiacutea
Para mostrar lo dicho anteriormente notoacutenos que las oscilaciones del tipo (260) se
pueden representar como una superposicioacuten de oscilaciones estacionariacuteas Supongamos
34
i le el campo electromagneacutetico se crea en el instante f = 0 y se le laquoleja oscilar libremente
para t gt 0 Obteniendo su transformada de Fourier de (269)
iquest(w) - p rt+Uacutet+Vt- (274) 2ff Jo
y evaluando la integral en (274) considerando que pound(t)| lsec = 0 se obtiene
cuyo valor absoluto es
eacuteMl = M mdash i ^ (27C)
La ecuacioacuten (27C) nos da un conjunto de curvas de resonancia para cada modo de
oscilacioacuten Cada graacutefica tiene su valor maacuteximo en w = u (Fig23) Los puntos ltii los
cuales la curva disminuye lgtsect de su valor maacuteximo se llaman puntos de potencia media y
su separacioacuten en frecuencia se denomina ancho de banda A cada punto de potencia media
le corresponden las frecuencias
w3 = w + ^ (278)
de donde obtenemos que el ancho de banda detennina el factor de calidad del resonador
en la forma
laquolaquo5 a raquoiquest- ltraquogt
35
IlaquolaquoM
Fiacuteg23 Curva (Ir resonancia para el mudo de oscilacioacuten a- Loraquo puntos |rV(laquo-|)| y |MJ)I son
lot punto dp potencia mediacutea y raquoraquo separacioacuten define el ancho de banda
Si las peacuterdidas de energiacutea son pequentildeas entonces las bandas de frecuencia son estrechas
Sin embargo siacute las ]ieacuterdidas son considerables entonces las curvas (le resonancia pueden
llegar a sobreponerse una sobre otra provocando la excitacioacuten mutua de los modos de
oscilacioacuten
44 Resonador de forma cilindrica
Consideremos ahora un resonador cilindrico Primeramente obtengamos las soluciones de
los campos para una onda en modo TE en un resonador ideal y posteriacuteormeite calculemos
la Q del resonador para este modo debido a la conductividad finita de las paredes metaacutelicas
Para este tipo de resonador y para ondas en modo TE las funciones propias o solucioneraquo
36
correspondientes al problema transversal (23 tienen la forma (227) ron los valores propios
1228) Ademaacutes con ayuda de las expresiones (234) se obtienen las expresiones de las
componentes transversales en coordenadas cilindricas y entonces escribimos los campos
en la forma
pit H- = C0Jn(mrr)cos(mj)sen(mdashz)
Hr = -r-mdashlt0-m nr)laquow(mi)laquow(-j-) O ~lmr O
H - -raquo -3 pound - -Jlaquo ( -mr)raquoen(ms)oraquo(5) (280) laquo in r laquo
E = 0 iCriquestft m laquor
E = mdashJB(-mraquor)iacutetrw(raquoraquof )rraquoi(mdashs) win
_ iacutei Co WK poundw = Jm(TimRr)laquow(raquon^)raquocii(-j-iacute)
C mn laquo
Sustituyendo (228) en (257) obtenemos para las frecuencias de resonancia la expresioacuten
i raquo J c
wmn= 4 = J ^ + (^) g | (281) c
El modo fundamental para las ondas tipo TE tiene como subiacutendices m = TI = p = 1
Este modo TEm es el modo fundamental de oscilacioacuten en la cavidad si la frecuencia de
resonancia u m para ondas TE es mas pequentildea que la frecuencia de resonancia corresponshy
diente a las ondas TM (wougt) Se puede demostrar que si d gt 203a (a es el radio del
resonador dado en cm) entonces el modo TE es el modo fundamental de oscilacioacuten del
resonador [9]
Calculemos ahora la Q del resonador debido a la conductividad finita de sus paredes en
el caso de ondas en modo TE La potencia que se pierde debido a las corrientes superficiales
en las paredes del resonador se calcula en la forma
37
bull -1iquest]iquest r r bull -bull+pound[+ - 4 (2-s2) donde ntilde| y ntilde2 son vectores unitarios normales a iraquo superficie cilindrica y a las superficies
transversales circulares respectivamente La expresioacuten (282) puede reescribtrsreu la forma
bull= [iquest] iquest j f W + lraquolaquol2)U + 2iquest J-iacutelJiacute + IWPMraquo bull (283) Usando las expresiones de los campos (2S0) sr resuelveraquo laraquo inti-gralcs de (2S31 en la
forma
I r l l f fo l mfa r ~ UirJ 2vlaquo 2 1 + bullpound(bullgtbullgt+
+2|CIraquopound [ lpoundrAOr)+ bullO^] laquo] bull Haciendo el cambio de variable x = fr obtenemos
I laquo-1 IColraquo iexclda UffJ 2ffiacute 2 m ]Cppoundr |dlaquo UffJ 2ltriacute 2
1 +
1 + rraquoraquo
J Iacute O laquo ) + 2 ^ j f [2iacute Ji(gt+J(X)] d
^(70) + [(7laquo)3(l~)^(^)] (284)
Sustituyendo la expresioacuten de f = ^ )bull arreglando teacuterminos resulta
Finalmente sustituyendo (266) y (285) en (271) obtenemos el (actor de calidad debido
a la conductividad finita de las paredes del resonador para ondas en modo TEmnt en la
forma
38
Consideremos un resonador cilindrico en el cual oscilan ondas electromagneacuteticas en
nodo TEm cou una frecuencia raquobull = 15394 gt 10degr (A = 1224cni) El resonador es de
bronce de conductividad o = 1413 x lOlsutiquestergscm y tiene un radio interno a mdash Ion
Pitra este resonador determinemos en el caso p = 1 los siguientes paraacutemetros a) la
longitud apropiada del resonador b) el factor de calii id ilrl resonador y ltbull) el audio de
banda donde sr puede excitar el modo TE
a) De acuerdo con (258) la condicrlaquon de un resonador es tal qui en su longitud exista
un nuacutemero entero de mitades de la longitud aacutev onda
d P Px
2 V1-WW - - _ V l (287
Despueacutes de sustituir los valores respectivos de A o y de los subiacutendices que caracterizan al
modo obtenemos
d - T13cm (288)
b) El factor de calidad Q del resonador se obtiene de (286) expresioacuten que reescribiacutemos
para ondas en modo TEm en la forma
Ud (l + 0343amp4)
2nlt61 + 02092 + 02436$
39
La permeabilidad magneacutetica del bronce (je) no difiere Mgninrativanicntt- riel valor corshy
respondiente al del vacio (lt as ftc - 1) Entonces la longitud de la capa piel (244) resulta
A = 812x 1 0 - W (290)
Finalmente obtenemos ltw el factor de calidad tiem- el valor
Q = 404903 (291)
c) FinalriKiitf nilrtilt-inos el ujrlifgt di- llaquoiinli en el nial la onda en moilo TEw puede
ser cxcitaihi Utilizando (277) y I27S) obleiicnicraquo los punto ile ]raquoifriiriiexcli inedia
-bull as 153927 x iexcluHz
w2 ss 153952 x 10VH
Por lo Unto el micho de banda tiene el valor
ui2 - ugt = 000025 x 10Hz
Observemos que el ancho de banda es lo suficientemente angosto relativamente por lo que
uacutenicamente se excita el modo TE Se puede demostrar que la frecuencia de resonancia
fundamental para ondas en modo TM es uiolo = 1031 x l0nHz
40
CAPITULO 3
TEORIacuteA DE PERTURBACIOacuteN
Toda Teoriacutea ile Perturbacioacuten establece que en ciertos casos los problemas irregulares
aquellos que no tienen soluciones analiacuteticas exactas) pueden ser considerados romo rrjpi-
iexcliexclTVraquo que sufrieron cierta perturbacioacuten Cuando la perturbacioacuten es suficientemente pequentildea
u el problema irregular podemos obtener una solucioacuten aproximada conociendo la solucioacuten
ltiel problema regular [9] El meacutetodo perturbativo se ha utilizado extensamente en las guiacuteas
de onda Existen trabajos donde se analizan los efectos de las perturbaciones en lew valoshy
res de frontera [15] asiacuteromo de las perturbaciones generadas por un pequentildea muestra de
Vrrita en el interior de las guiacuteas de onda y resonadores [1C] En este capiacutetulo se describe
ia teoriacutea baacutesica del meacutetodo perturbativo desarrollada en |17] en el caso cuando las guiacuteas
de onda y los resonadores contienen un pltsma en su interior
5 El Meacutetodo de Perturbacioacuten en las guiacuteas de onda
En la seccioacuten (32) se mostroacute que la propagacioacuten de ondas electromagneacuteticas en guiacuteas
de onda cilindricas se describe en teacuterminos de sus modos caracteriacutesticos Cada modo se
caracteriza por su constante de propagacioacuten Dependiendo de las dimensiones geomeacutetricas
41
de la guiacutea de mida estos modos o bien se propagaraquo o bien se atenuacutean En ln praacutectica Ins
dimensiones de las guias de onda siempre se escogen de tal forma lt|iii- unir amenteacute se puede
propagar el modo fundamental
El caso cuando se tiene una guia de onda parcial o completamente Urna con un plasma
sir produce uu cambio en los paraacutemetros caracteriacutesticos principales laquopie describen a la
guia de onda Si el efecto del plasma en tales paraacutemetros es lo suficientemente pequentildeo
entonces la teoriacutea de pertubacioacuten resulta ser mur adecuada para calcular ln constante de
propagacioacuten
Consideacuterenlos la propagacioacuten di ondas electromagneacuteticas a lo largo de tiiiiacutei guiacutea de ouila
cilindrica que se encuentra parrial ltgt rompidamente llena ron un plasma inhomogeacuteneo Si
sujHHiemos (|iir las caracteriacutesticas del plasma son axialmente uniformes podemos encontrar
la constante de propagacioacuten y las distribucioacuten de los campos
La propagacioacuten de ondas electromagneacuteticas en las guiacuteas de onda con plasma se tlescribc
por las ecuaciones de caminiacute
V x f + i - J = 0 (31) c
VxH-i-pound=mdashJ (32) c c
La condicioacuten de frontera se obtiene suponiendo que la conductividad de lax paredes de
la guiacutea de onda es infinita
|ntilde x Eacute = ntilde Ntilde = 0 (33)
donde ntilde es tin vector unitario normal a la frontera En ausencia de plasma la parte derecha
42
gtbull (32) es cero y el problema se reduce a U propagacioacuten dp ondas en una guia dlaquogt ondas
ivieca (Cap 2)
Las amplitudes del campo de las ondas normales se determinan en la forma
Eacutet(f) = pound ( I j e - i raquo w (34)
(F) = j(rj ) e- i ( r -
iquestonde r esel nuacutemero de onda En ausencia de peacuterdidas T es real (F = iacutei) Vamos a
suponer que las ondas se |gtropagan a lo largo del eje 0 paralelamente al eje de la guiacutea dr
onda
Para ileterniinar la influencia del plasma en la propagacioacuten de las ondas rlrrtroiiiagm-
licas en una guiacutea de onda es coacutemodo descomponer las ecuaciones pura las componentes
longitudinales y ]gtcr]gtendiculares del campo Estas ecuaciones se obtienen al descomponer
los campos y el operador V en la forma
pound = 4 + poundx ntilde = fflaquo + Ai = Lpound) + fjpound) (35)
V = Vbdquo + V I
donde los subiacutendices X y || denotan las componentes perpendiculares y longitudinales es
decir su proyecciones perpendiculares y paralelas al eje de la guiacutea de onda O) Sustishy
tuyendo (34) en (31)-(32) y considerando (35) obtenemos las ecuaciones en direccioacuten
perpendicular y longitudinal en la forma
- ^ [ V x ^ + V n ^ + i - l i o x f j = - mdash iexcl 0 x pound ( ) ] (36) IUgt C C
f-Vx[VxEacutex)-Vtamp-i-iexcloampl mdashrJiexcl (3-7) w C tt
43
donde i0 es un vector unitario dirigidraquo a lo largo del eje O Las componentes longitudinales
de tos campos se relacionan con las componentes jicrpctidiculares jKraquor liis expresiones
OZfy+^ftE) = [VxJbdquo (38)
Al = - - V x f ^ (39)
Ahora considerando que las ecuaciones de Maxwell son expresiones lineales es decir
que la combinacioacuten lineal de dos de sus soluciones tambieacuten es una solucioacuten y anaacutelogamente
para las condiciones de frontera (24) y (2C) determinamos (pie una solucioacuten maacutes general
del problema de uiiiacutei guumliacuten de onda sin plasma es una superposicioacuten de todos los modos
]MKgtibies de proiHigarioacuten con valores apropiados para sus eoetiacutecieiites Si la perturbacioacuten
originada por el plasma es lo suficientemente ]H-ltiuentildeu iiodemos suponer (pie la desviacioacuten
de cada uno de estos coeficientes es pequentildea con respecto a su valor no perturbada Dr
aquiacute que las componentes perpendiculares del cam]Mgt en una guiacutea de onda con plasma
se puedan representar como una serie (combinacioacuten lineal) con resjiecto a las funciones
ortogonales poundfc y Hk que determinan las comjioncntes transversales de los modos normales
en una guiacutea de oudn sin plasma
k
Los campos satisfacen las relaciones de ortogonalidnd [18]
(310)
JsEacute-kEacutedraquo laquo Nttu
JtpoundixEacute]deacute = ZSttu (311)
44
iquestiuumlaacutef el su|MTUacutegtdiexclctraquo denota el complejo conjugado de los campos Z = cTgt para
ltJAH ti|Mgt H y Z = wcT para ondas tilraquo pound ltlaquo es el siacutembolo de Kronecker bu = 1 si
raquo = y iquestbdquo = uuml si i- = ) y la integracioacuten se realiza sobre toda lo serenan transversal ilr la
tub de onda
Utilizando (310) y (311) rocontratnos las expresiones para los coeficientes uiquest y bk
(312) iexclsntilde ntildexu
Sistiruyriiiliraquo las seriacutees (310) en (3C) y (37) obtenemos el sislrinii f|i- eriiiioacuteoiirs
poundlt5r + ilgttfraquo4 = -- |iquestux(pound))l l t (313)
Ely+W)4 = VJbdquo (314) iacute
Multiplicando (313) vcrtorialinciitc por E[Aacute y (314) jMraquor HlM e integrando en 1raquo seccioacuten
transversal dr la guiacutea de onda obtenemos ron ayuda de las roiidintildeoucs de norma (311)
laraquo ecuaciones
rA + X KzcLEacuteltsEacute^ 3 1 6 gt En el caso en que los paraacutemetros del plasma no dependan de i la dependencia de los
campos con respecto a z se puede considerar de forma exponencial como en (34)
Eacute(jyz) = Eacutexy)t-iT ntildexvt) = ntilde(xy)r
45
(317)
o t ( iacute ) = laquo- M ) = V eacute r
Sustituyendo (317) n i (315) y (31C) obtenemos
laquoriacute - - - S S L bull +Ssect bull Uuml- 318)
Luraquo fiimriidirs (31S) y (319) |xira diferentes k roiii|xmni un sisirmraquo ltb-it-imrioiies lioinraquo-
geacuteneus liacutenenlegtgt ron res|gterttgt n liis roeiit-ientes nk y laquoV Lu riiudiriitn ilr solubilidad (igual)id
a rifo laquobrl determinante) determina la constante ib- igtrigt|Mi)igtiOacuteM Sin roiUirjpi el sistema
(318) y (319) resulta ser un problema muy laquolifiril laquoIt- resolwr De alaquo|iiiacute i|iie iexclti laraquo partes
ilereelias laquole (31S) y (319) son lo siinritrntetueiitc |ielt|iirntildeaH |MMICUIUS emplear la teoriacutea laquole
|MTturlgtMrilaquon
Sil|Kgtlliciifllaquogt fjflf- la denudad lie mrrirntc H traveacutes ilel plasma es (laquornjxirriimal H tin
paraacutemetro pequentildeo podemos descomponer las (-nulidades airaquorgt y E cii tiTiiiiiiiraquo laquole laquowte
paraacutemetro
bk = ZKv lt3 2 0gt
r - poundrubdquo
46
donde el subiacutendice ( dentildene el orden de pequentildees Vamos a considerar que en ausencia del
plasma en la guiacutea de onda se propaga el modo fundamental de una onda tipo H denotada
por iacute = 0 Ademaacutes si en la aproximacioacuten de orden cero se tiene
poundi = poundgt pound = pound | |= 0 (321)
entonces
ltbdquo - Abdquo (322)
Tiacuteo) = iexcl1lth
Asiacute considerando las expresiones (320)-(322) de (318) se oliticne la siguiente exshy
presioacuten en orden cero para lax ondas tipo H
laquo(bdquo[(r(0) + rbdquo + )raquo- rg = -^f-1 pound bdquo bull J(Eacute)d +
cAuZ|o) Js
de donde rlt -7IacuteT7-L iquestiacutef(Eacute)ds- (323) 2ni
Para las ondas tipo H Z(0) = c-iexcl^- mdash ^ de donde obtenemos finalmente
TMampLtedeg-f[Eacute)di- lt324gt
47
La cantidad compleja r ( 1 ) nos repcscnta el cambio que sufre la constante de propinacioacuten
T |Hgtr la presencia del plasma es ilecir es la correccioacuten a primer orden en la constante de
propagacioacuten (I = T - Tf0)) Esta cantidad se puede escribir en forma de unraquo suma de
sus componentes real e imaginaria
r bdquo = AJbdquo - iAobdquo (32b)
siendo An) gt 4 ltgt(i) las fracciones de cambio de la constante de fase y de amortiguamiento
respectivamente ocasionadas por la presenria del plasma
En corn-spomlencia con (32-1) y escribiendo la densidad de ciirrietite cuino J mdash J + i j
( es la parte real y es la parle iimiginaria) las cautidades de (325) toman respectivashy
mente la forma
iquest 4 1 = - V ^ V bull (3-20)
iquestngt = ^ C J bull (327)
2JSEacuteiexcl-Jiexcld
Vpoundbullpoundbdquo
far sfr0-Eacuteltj
En medios lineacuteale) anisotropicraquoraquo e inhomogeacuteneos la densidad de corriente r relaciona
ron el campo eleacutectrico en la forma
J=aEacute =mdashampbullpound (328) 4ir
donde amp es el tensor de conductividad eleacutectrica Af = (iacute - ) i es el tensor de permiacutetividad
dieleacutectrica e es el tensor unitario
Utilizando la expresioacuten (328) podemos reescribir (324) en la forma
48
wJ ft R bull Aacute iacute bull Ed
laquo Wen
r ^ poundbullampbullpound (330
En las expresiones anteriores no hay que olvidar que el campraquo eleacutectrico se expresa romo
una serif con respirtn al paraacutemetro pequentildeo pound Las expresiones (324)-(330) corresponden
iexcli iraquo aproximacioacuten de primer oidrn La condicioacuten que si- debe de satisfacer seguacuten la teoriacutea
de perttirlsirioacuten ni primera aproximacioacuten es tal qult- 1raquo magnitud de cambio en la ninstaiitr
de propagacioacuten debe ser sinnpre mucho menor que la magnitud laquobull- la difereiiria entre las
riHiMniitcraquo ilc propagacioacuten di cualquier modo con respecto al modo fundamental
ri lt r 0 r m lt |ru - rt| para todo Jl^O (331)
o con respecto a A y Aigt obtenemos
(332) Aibdquo laquo iquest A^bdquolt |A -r | iexcl
poundltraquobdquoltamp Ao(1)ltt|iquestt-rraquo|
6 El Meacutetodo de Perturbacioacuten en los resonadores
Anaacutelogamente al estudio de las guiacuteas de onda conteniendo plasma en su interior el anaacutelisis
en los resonadores que se encuentran parcial o completamente Henos con plasma exhibe
cambios en los paraacutemetros principales que describen los resonadores huecos En la seccioacuten
(41) ae mostroacute que un resonador tiene un nuacutemero infinito de modos de oscilacioacuten Cada 49
modo se caracteriza jagtr su frecuencia de resonancia su factor de calidad y su corres|Hraquon-
diente distribucioacuten de CHII)|Kgt La presencia del plasma en un resonador priMlure princishy
palmente un cambio en la frecuencia de resonancia en la cual el resonador se encuentra
opilando y en el factor de calidad Si la influencia del plasma en tales ]gtaraacutemetros es sufishy
cientemente pequentildea entonces para el anaacutelisis de este problema podemos tambieacuten emplear
la teoriacutea de perturbacioacuten
Consideremos un resonador que oscila en una de sus frecuencias de resonancia y que
contiene un plasma distribuido axialmente Evaluemos los iambins i|ite se producen en
liexcli frcciMiiciii de resonancia y en el factor de calidad del resonador Las distribuciones de
ciexclim|Hgty las frecuencias de resonancia se obtienen integrando las ecuaciones de campo (31)
y (32) con la condicioacuten de frontera (33) En este caso la condicioacuten de frontera (33) se
iipliia en la frontera cilindrica laquoleiacute resonador y en las superficies planas del mismo En
ausencia del plasma los raiiipos satisfacen las ecuaciones (31) v (32) con la piiacuterte derecha
igual con cero
VxEacutek + imdashH~k = 0 r (333)
V x Hk - mdashEacutebdquo = 0 c
y la condicioacuten de frontera (33) Donde se ha utilizado el subiacutendice Jt para denotar el
modo k de oscilacioacuten en un resonador hueco con frecuencia de resonancia ui Los campos
Ek y Hi satisfacen las relaciones de ortogonalidad
jvEacutekEacutedV = NkeacuteM
(334)
JvIacutekntildedV = Lk6kl
50
donde el superiacuteiidice nos indica el complejo conjugado de ios cam]gtos y la integracioacuten
igt realiza sobre tftdo el volumen del resonador
Se conoce que todo camjx) vectorial se compone de la suma de una parte con divergencia
ltITltJ iparte solenoidal) y una parte con rotacional cero (parte potencial) Para observar
la it^iuencia del plasma en la oscilacioacuten de ondas electromagneacuteticas es conveniente utilizar
este hecho escribiendo el campo eleacutertriacuteco como la suma de una parte solenoidal y una
potencial
Eacute = Eacute + Eacutebdquo V Eacutei = 0 (335)
V x Eacutebdquo = raquo
Llaquoraquos vectores solenoidales Eiexcl y H ile un resonador con plasma se pueden representar
como una coinlgtiuacioacuteu lineal de las funciones vectoriales Ei y Ht tjue detenuiiacuteian las
componentes solennidalcs de los modos de oscilacioacuten en un resonador sin plasma
Eacute = 5 gt pound raquo (33C) k
H - J gt amp (337)
Usando (336) y las relaciones de ortogonalidad (334) se encuentran las expresiones para
los coeficientes a y 6
TV (338)
_jvEacute-EacutexaacuteV 6gt 5 mdash bull
Sustituyendo (336) y (337) en las ecuaciones de campo (31) y (32) y considerando (333)
obtenemos eacutel sistema
51
k 1330)
J^(traquow-a tuf t)5 = 0
Multiplicando escalarmentc la primera ecuacioacuten de (339) por pound y la MRIIIKIIacuteI JMW HJ e
integrando sobre todo el volumen del resonador obtenemos
[b^k - laquow) = pound Eacute] bull poundkM - ^ I Eacute TIV (340)
(JW-laquo) = o 1341)
El primer tmuiiacuteiraquo tit- la tlrn-rlm ltb (340) i-s IacuteRIIUumlI IIHI erro Siacute ili-sprjaiiio ltbull (341) fr
y lo sustituimos cu (340) otitciii-inos
iJiexcl - J)nbdquo = Jj^L(pound-k f(g)dV (342) iexclSi Jv t
tlmide
k = ^ laquo 4 (343)
y Vi es el volumen que ocupa la columna dr plasma Sustituyendo la primera expresioacuten
para a de (338) en (342) se obtiene la relacioacuten
2 Jv Eacuteiexcl bull JEacute)dV - a g - iacute - 4 trade ^ iquest r f v 044)
donde se ha remarcado la dependencia de la densidad de la corriente con respecto al campo
eleacutectrico Por otro lado se observa que las ecuaciones (342) y (343) para diferenteraquo valores
de k forman un sistema de ecuaciones homogeacuteneas lineales con respecto a loraquo coeficientes
a La condicioacuten de solubilidad (igualdad a cero del determinante) determina la constante
52
bullltbull propagacioacuten Si la parte derecha fie (342) es lo suficientemente pequentildea jiodeinoraquo
ltiijgtlear el meacutetodo |gterturbatiro
Suponiendo laquoue la densidad de corriente a traveacutes del plasma es proporcional a un
paraacutemetro pequentildeo ]gtodemos desromponer las cantidades OkM^ ) E laquogt teacuterminos de este
paraacutemetro
h = poundbdquo lt3-45gt
(
lioiide el suloniHir ( define el orden (le peqncntildees Si en ausencia del plasma sr excita una
onda lie frecuencia UumlIiexcl en el resonador entotires en la aproximacioacuten de raquorltbii cero se tiene
pound|o) = Eiexcl
a = eacutelk (346)
Sustituyendo (345) en (344) e igualando los coeficientes de la misma potencia con respecto
al paraacutemetro pequentildeo se obtienen las soluciones en distintos ordenes de aproximacioacuten En
primera aproximacioacuten para k = l resulta
gt bien
53
= 2 ^ ^ 347)
En gmrral J ( ) ) es tuia cantidad complt-ja i|ttr mis reprcscuta la i-orrerrintildeu a primer
orden en la fnriirncia compleja de resonancia (uim = m mdash wi) Di- acuerdo ron (274) esta
cantidad puedr escribirse en la fonna
-bdquo = Aw + IA iacute J (348)
donde i parir mil ltbull imaginuria nos detenniunii las fraoioiirs laquobullbull cambio di- la |Ktrtc real
de la fri-eui-iicia di- n-soiiamia y la calillad dri resonador rcsptitivaiiniitc ocasionadas por
la pn-Hcuciacutea del plasma
En corrispoiidiiicia ion (347) escribiendo y descomponiendo la densidad de corriente
ronio J = 3 + i 3 (3 lts la parir real y 3 i la partiacute- imaginaria) las rantidailps ib (34S)
tulliacutean rirspeclivaineute la forma
- raquo m _av-j (340) wi w iexclv Eiexcl bull EilV
Qi) un fvpoundiexclEacuteM
En medios lineales anisotroacutepicos c inhomogeacuteneos la densidad de corriente se relaciona
con el campo eleacutectrico en la forma (328) De aquiacute qtie )gtodamos reescribir (347) como
WIacuteII bull - mdash mdash s mdash s 351) 2 v poundJ bull EdV
Para evaluar las correcciones en segunda aproximacioacuten a la frecuencia compleja de resoshy
nancia se sustituye la correcioacuten a primer orden del campo eleacutectrico E - poundbdquo + pound en
54
3441 la rual se determina por la expresioacuten (342) al evaluar cada uno de los rieficientes
u ron k JEacute
trtonces las correciones a las partes solenoidal y potencial se expresan en la forma
V pound | bdquo = mdash V bullbullltpound) (354)
Las roiidiiioniK laquo|nr se ilrlx-n satisfacer pariacutei cpir la expresioacuten (347) KIIacuteI viiacuteliiluuml es tul
([iilt parsi i ^ tentniMM
^ (355)
y |Hgtra I- =
A M mdash laquo 1 (366)
bull(4) e l
55
CAPITULO 4
INFLUENCIA DEL PLASMA
Eu i-sti- i-itpitulo en base al meacutetodo perturhativo descrito i-n el capitulo 3 se obtiene
el gtiexcliiiil)io laquopie sufre In constante de propagacioacuten para lindas rleclioniagneacutetiras eme se
propagan iii miii guiacutea ile onda ciliacuteiidriiacutea que i-oiitieur en su eje una roluijjua laquolaquobull plasma
friacuteo iiiliimiogeacuteufraquo y magnetizado Ademaacutes se determina la vaniiiioacuten ite la frecuencia laquole
roouancia para las ondas electromagneacuteticas qui se eiiruentran oscilando en tin resonador
cilindrico que contiene una columna de plasma friacuteo magnetizado e inhomogeacuteneo distribuido
axialmcnte Si- calculan las variaciones de la constante de propagacioacuten de la fierucucia de
resonancia y laquoleiacute factor de calillad jgtara diferentes valores de wjJJ1
7 Influencia del plasma en las guiacuteas de onda
Vamos a considerar como paraacutemetro pequentildeo que el radio del plasma es mucho menor que
la longitud de onda y que el perfil de densidad de electrones es de tipo paraboacutelico con
respecto al radio Ademaacutes el campo magneacutetico externo se considera homogeacuteneo y dirigido
a lo largo del eje O (Fig 41)
Como ya sabemos en una guiacutea de ondas cada modo de propagacioacuten se caracteriza por
56
Bo
P L A S M A
Fig41 Sc inwsira nnraquo i laquolimiiia ilr plasma laquoIc ratlin rbdquo loi aliidi sobre el ltbullbull bull)bull- miacutea guiacutea laquole
ogtda rihiiilrii-a dc railio rt in rampo iiiagnrliro externo iquestV osla dirigidraquo a Iraquo largraquo del ltbull)gtbull (gt
t i rumiante propagation Su parte real o factor dr fane drtrniiiiin la vrinriibul ill- fiiw
iexcluiftitraraquo I 1 piirti- imaginaria laquogt riwrkienlc tic absorcioacuten tlrtmniiacuteia el raquoinltgtrtigiiiexcliiiiiexcli-iitigt
(ir los diferentes modos ir propagacioacuten El efecto que se origina ttiantiraquo se rolix-a IIIIIacuteI
columna de plasma dentro de la guiacutea de ondas es un cambio en la constante de propagacioacuten
De acuerdo con la teoriacutea de perturbacioacuten este cambio es proporcional a la razoacuten del cambio
de energiacutea dentro de la seccioacuten transversal que ocupa el plasma sobre el vector de Poynting
evaluado sobre la seccioacuten transversal de la guiacutea de onda
r r - u _ IM-bullpound _ bdquo
donde las cantidades con subiacutendice 0 denotan cantidades no perturbadas (sin plasma)
Para evaluar la constante de propagacioacuten (41) es necesario obtener las soluciones de los
57
campos eleacutectrico y magneacutetico dentro del plasma en teacuterminos del jiaraacutemetrraquo peipientildeo
Para el caso de un plasma friacuteo cuando la velocidad de fase ile lsts nudas electromagneacuteshy
ticaraquo es mucho mayor (pie las velocidades teacutermicas di las (laquoarticulas si- utiliza el modelo
hidrodinaacutemico Debido a la simetriacutea cilindrica del problema su]Mgtngamos ijiacuten- los campos
tienen la forma
Eacute = iquestj(r)rr+--
Expresando la ecuacioacuten de onda
V x V x Eacute - ^r-iacuteEacute = 0
(42)
(43)
en coordenada iiliacuteiiltlriras se obtienen las eniariolies para las componentes del ranipo
eliVtriro i-ii la forma
igt
i-e- - mdash - DE = --Mt - DE + mdash(poundj + rr r r r r
E + - pound + (mdashv - ) pound = pound- + mdash (rpoundr) bull r r r r- r
(44)
(45)
-rcEr + iru(e - 1)poundJ + mdash | - i laquo ( f - 1)pound + poundpound] + rraquopound3 = 0 (46)
Aquiacute las primas indican una diferenciacioacuten con respecto a r l es el tensor dieleacutectrico en
la forma [19] (Bu esta dirigido a lo largo del eje 0)
poundraquo -
pound
0
pound 0
o vi ( t iquestu(e - 1) 0
= - t u ( c - l ) pound 0 V 0 0 r)
(47)
58
aacuteHtuacutee
- - 1 ti ul2 - - f j
2
= bull laquo bull i
_ = (r) = 4r r laquobull 1iexclI freruenna plaacutesmirraquo y -laquo lt-N ]iexclI fririirii-iraquo rirlotroacuteliira dr los
bullbulllaquobullerroiirs
Si il nidio ilil pliisiiiii o |Hi|iiiiacutein iii rumpiriiriuacuten ron IIacuteI loiigiliul de onda y n Irmas pound
varia i-ii un onli-n i|f iuiacuteraquotiacute-j)i in J |IIII|P)JIIgtS expresar li viiriiirioacuteji ili rraquo la forma
poundltrgt = bull ( laquo v ) bull iacute gt h 4 S )
donde el bullmnuiirtro se lm introducido para obtener las soluciones aproximadas ni difeshy
rentes ordenes ron respecta a pound di los camporaquo eleacutectrico y inaRiirliin Haciendo rl nunbio
lie variable x mdash =pound en la ininrioacuten (45) obtenemos
E = --(pound) - -plusmnpoundE - ^iquestE + - 4 J ( Iacute pound + gt9E) (4-9)
donde B kciexclwg = u(iacute - 1) y la prima denota una diferenciacioacuten con resprcto a x
Haciendo el mismo cambio de variable eliminando E por medio de (49) y limitaacutendole
hasta teacuterminos del orden (IO1- a ecuaciones (45) y (46) toman la forma
59
F i g 4 2 IVr l i l |gtiifiacuteilraquogtlirgtgt ili li |TinHivnli i l c|i| ( I I IM I I I n m P | W T 1 I I iexclI JT - mdashgt
[j-tl ltbullpoundbdquo-)] - (mh + mnixEf = 0 141raquo)
(411)
Se observa qui- la ecuacioacuten (410) no si- encuentra acoplada ron (49) y (411) cnloiires
podemos obtener su solucioacuten En condiciones experimentales una distribucioacuten dr la denshy
sidad de tipo paraboacutelico con respecto al radio resulta ser una rnuy buena aproximado
(Fig42) En tal caso escribimos
pound = T- - t0 (412)
siendo
CO
^ deg - 1 laquo413 J1 - ^
valor de la penuitividad en el eje del cilindro de plasma
Antes de sustituir el perfil paraboacutelico de iexcla permiacutetiviefad (412) en (4S) httgtimos en
bulli10 el cambio de variables
E = il|-r-|J-) 1414
bullbull donde obtenemos una ecuacioacuten diferencial pam en la forma
(V - bdquolr-+ [-(2|m| + 1 | - + (2|w| + 3|rjr-+ 2(|raquo| - tnu)Y = 0 1415
Haciendo un nuevo cambio de variables y = xiacutei en (415 se obtiene la ecuacioacuten
wd -v)r + H +1 - ( H + 2)W- iexcl y = o lt4icgt
Eltfa uacuteltima ecuacioacuten es una ecuacioacuten de tipo hiperficomeacutetrico y su solucioacuten es conocida
20 de donde la componente angular del campo eleacutectrico tiene la forma
poundv- = CxH-F(laquo6cy) (417)
donde F(a b c y) es la funcioacuten hipergeomeacutetrica [20] C es una constante y las constantes
cb y c tienen los valores
b = l + | m | - a (418)
C a 1 + H
61
respectivamente Dlt- la ecuacioacuten (411) podemos ahora escribir la expresioacuten paro la com-
jiacuteomrntf axial en la forma (hasta teacuterminos laquoiel orden (1iacute)1)
E = _ bdquo|m| D+-plusmn-CF(abc mdash mi poundu
= DiquestnbullT mdashJEiquest (419)
donde D es una constante La componente radial del campo eleacutectrico se obtiene de la
rniacioacuten (49) sustituyendo en esta (417 y (119) El campo majiexcliieacutetirtgt se deterniina laquole
la ecuacioacuten dr Faraday
1 OD r x pound = mdash mdash (420)
c uumlt
Limitaacutendose hasta teacuterminos del orden IO1 obtenemos la componente axial del camjm
magneacutetico
H = iacute H D gt i + Jiacute-lfEj - iiacuteuumlUuml^r (42D lit inz in(
Las constantes C y D que aparecen en (419) y (421) dependen de las condicioneraquo
de frontera Para su determinacioacuten acoplemos los campos dentro del plasma con los del
vacio bajo la condicioacuten que haya continuidad en la frontera del plasma (r = r) de las
componenteraquo E y Hiexcl
Ermfl = poundo | bdquo (422)
|tradebdquo = H0rmri (423)
Considerando que e(rf) = 1 y usando las expresiones correspondiente para las composhy
nentes axiales de los campos con plasma (419) y (421) y de los campos sin plasma
02
Z = DtJbdquo~ri y H0 = CWJbdquo(-T)) obtenemos las expresiones de las constantes C y
Z teacuterminos de los cani)gtos no perturbados En el raso para m gt 0 obtenemos
2 m (m- l ) -raquo - mF(n o r y ) + jF(noriexcl() bdquo-(bullraquo-raquogt( pound)bullraquo-)
D = 2miquest- C raquo + ^ deg - (4-25gt
iacute uiquest y = xfiacutey C0 y Dlaquo son unas constantes Hasta el momento nos hemos limitado a
- rinos del orden de ( l ) lo qtw equivale H decir que lit rondicioacuten de raquo|gt]irn)gtiliilad de
1- ecuaciones obtenidas es
kr iquest
7Iacute(l + | - bdquo | r laquo 1 1420)
Una vez lt|iie se lmn obtenido las expresiones tie los campos dentro del plasma evaluemos
bullbullbull integrales de 1iexclI expresioacuten (41) que determinan la const iexcltute tie propagacioacuten para una
sua de onda conteniendo en su eje una rolumna de plasma Se considera que el problema
gt perturbado es aquel que ronsiilera una guiacutea tie onda riliacutendrira llueca |fbdquo = 1 y bdquo = 1)
pound1 caacutelculo se realiza para una onda en modo H Para este modo la constante Dp es igual
con cero y las constantes C y D se reducen a la forma
C Jiquest poundk (4 27) 2 o F(a62yi) + ytFub2bdquo)
D = - g c bdquo (428)
Primeramente evaluemos la integral en el numerador de (41) para ello consideremos
la expresiones (229) Tomando la parte cosenoidal de (229) para la componente axial
correspondientes a los campos no perturbados y el tensor de permiacutetiv lad (47) obtenemos
63
= f - - A iacute - E iacute laquo 429) J Ai
= iexcl J |pound - 1) [poundJlaquoMraquon5(r + iuE) + poundt(MraquoiT-|pound - laquopound)] (-rdrtl
donde las componentes Ew Er y Eiquest dependen uacutenicamente del nidio La integral sobre if
en el intervalo [02r j se realiza expresando el termino exponencial romo senos y renenrraquo
y romanilo en cuenta sus relaciones de o-tugonalidad Por tanto despueacutes de realizar la
integral Mible r_ se obtiene
= - f r|pound - 1 )[Er(poundr + iuE) + EI poundr- - laquopoundbull ))ltbull
A1 r raquoraquo = r r(iacute - 1 )[rCZH mdash-J m (7r ) |pound r + laquopound) +
+ CZll-Jj-lr)(E-HiEr)dr 1430) i
La integral anterior se evalna sobre la seccioacuten transversal de la columna de plasma
Aquiacute r i es el radio de la columna de plasma Por otro linio si expresamos - en teacuterminos
de la longitud de onda di corte Ar (217) para tina guiacutea de ondas hueca en la forma = ^
ohservanios que el argumento de la funcioacuten de Bessel eu (430) es una cantidad mucho
menor que uno Para demostrar lo anterior notemos que de acuerdo con (218) para que
la onda se propague a traveacutes de la guiacutea de onda se debe satisfacer que la longitud de onda
en el vacio debe ser menor que t Ademaacutes debido a que sr ha considerado que la longitud
de onda es mucho mayor que el radio del plasma entonces la longitud de onda de corte
tambieacuten es mucho mayor que el radio del plasma Esto uacuteltimo nos sirve para considerar
uacutenicamente el primer teacutermino de la serie de la funcioacuten de Bessel [12] con respecto si
argumento -yr = 2iry De donde (430) se transforma romo
G4
Ix = gtCU (1 - ti) r(pound - iy[iEr + pound)rfr (431) Jrm Ji)
-spueacutes di- hacer el cambio de variable x = iacute - r y sustituir las formas expliacutecitas fie los
gt-npos (4D) y (417) para Er y Ef respectivamente se obtiene de (431) la expresioacuten
bull - f pound z raquo r m - i f e r ( i - u ) x 4-32) x i(-- -)rxx-F(iUlt mdash)] + iirtn-iquestFuUlt~ )li
Ai [ iquestu tu J
jiirlc se han aproximado los campos hasta teacuterminos del orden (7 ) Integrando P )laquoirles
raquo n-sperto a r el primer teacutermino de (432) obit-nemos
laquo - ^ V r r ( l - laquo ) x - + f V a r - (433) 2wi lt W bullraquo iacuteraquo
Sustituyendo la forma expliacutecita para la constante C (424) en (433) se observa miacutee (T-To)
vrrere con el nuacutemero de modo vi en la forma lt~IK Para t-l casiraquo (pie nos interesa tu = 1
iexcl integral ltpir aparece en (433) es faacutecil tie evaluar Para esto liaciendo el cambio de
variable y mdash x7t0 se puede reescribir la integral de (433) en la forma
Jsl+to x
xlnF(abcmdash)dx o iacuteo
= ~iexclg yF(abhy)dy (434)
utilizando la relacioacuten de diferenciacioacuten de las funciones hipergeonieacutetricas [11]
pound-[-gtF(abc)] = (c- n)nt-F(abc - ns) (435)
65
con ii = 1 v r = 3 se obtiene
Re-escribamos (43C) en una forma maacutes conveniente pura ello usando la siguiente
foacutermula de transformacioacuten para las funciones hipergeomeacutetricas [1121]
e f e - 1)(- - )Fnbc- z) + rr- 1 - ( 2 c - laquo - b- )zFlabr ) +
(r - laquo)(r - l | F I laquo i r - 1) = 0 (437)
ron laquobull = 2 y considerando las formas expliacutecitas praquoriexcli laquo y b tie (41) ron m = 1 de (437)
obtenemos la relacioacuten
F ( w fc 3 lplusmniraquo ) s ~ 4 ( 1 ^ 1 1 ) f^Ffafci 1plusmn^gt - J-(laquo2 l plusmn ^ iacute ) 1 (43S) poundbdquo (1 _ bdquo ) ( U i l j l fu ibdquo J
Finalmente usando la igualdad [11]
FUifc2) = F(ub-) - (laquo fc2c) (439)
la ecuacioacuten (43S) se puede escribir como
F(flft3^-=2)= F(laquob2^-^) (440) poundo ( I - K ) Iacute O iacuteo
Sustituyendo (440) en (436) y tomando en cuenta la relacioacuten t = 1 + pound0 obtenemos
-^|UftV(laquoraquoi^) H41) (1 - u) e0 pound0
y sustituyendo (427) y (441) en (433) finalmente obtenemos para | la expresioacuten
66
cbdquo r (1+^) riab2 iquestraquo)
M i r iacuteo F (laquo 6 2 l^ )+ L Uuml^F (laquo iquest 2 l i iacute i ) (442)
La integral del vector de Poynting correspondiente al denominador dr (41) evaluada
la seccioacuten transversal de la guiacutea de ondas tiene el valor obtenido cu (236) de donde
h - jA([Eiquestplusmnxntildevplusmn+EacuteraquoxxHiquest ]gtltlaquo
= CJZbdquoVgt bull laquo i i
JfjjLii- (-143)
iacutegt|HIacute rbdquo es el radio de la guiacutea ilc onda Finalmente dividiendo (442) entre (443) se obtiene
bulla expresioacuten para el cambio en la constante de propagacioacuten para unii onda en inodo Hu
ltue se propaga en una guiacutea de onda ron plasma
- ( r -r u ) = Ax iacute -Fnb2-^iacute)
F(laquoJ2 bullraquo)+ ^^Ff f i 2 ^ )
donde
(444)
M= 21(rr0)3
l - 3 3 9 ^
De aquiacute se obtiene que la constante de amortiguamiento es proporcional a
(445)
o = A F(o62ttiraquo)
f(afr2 iraquo) + UiacuteampFia fc2 raquo) Mtr)
F(a62iplusmniacuteraquo) (446)
07
Esta uacuteltima expresioacuten se igtigttnvigt ron vi uso di-la igualdad (439) Por otm bulo notemos
i|ugt- el argumento dr las funciones hipergromctriras dr (44G) es mayor laquopie la unidad Es
conocido laquopie la serie hipcrgeonirtrini diverge en yi = -f4 gt 1 [20] Por lo tanto rs
ruuvcuicute transformar las funciones hipergi-omctriras de- (44G) laquoru series convergentes
|gtaia filo obtrugamos las expresiones para Fluriacute l y ) y Fnb2y) donde y = 1(1 mdash z)
Para podrr estudiar la absorcioacuten de tma onda excitada en modo Hiexcl1 cu una guiacutea de onda
cilindrica como la que se tiene cu la fuente de plasma construida en el INlN y descrita
en 2] es necesario obtener las expresiones para Flnli 1 i) y FnU2y) ya ipie para
laraquo bull-iitiiiiciones de la niiiijuilia i tiende a la unidad como se desenlie con maacutes detalle maacutes
adelante
Observemos ipie la ecuacioacuten
t( 1 - )iquest + (1 - 3i)o - ltilgto = 0 1447)
tiene como solucioacuten la funcioacuten hiprrgromrt rica Finli li) Si bacnnus el cambio dr
variable raquo = 1(1 - z) entonces (447) sr rersrribr rn la forma
(1 - ) V + (1 - r gt ( 2 - r ) iquest + nkgt = 0 (448)
Fiacutetiaitnente con vi cambio iquestgt = (1 - )lt obtenemos la ecuacioacuten
i ( l - c)vgt + [2 - (26 + I r ) ] - IacuteraquoV = 0- N- 4 9 )
La solucioacuten dr la ecuacioacuten (449) es la funcioacuten hipergeomeacutetrica Fbb2z) [21] Sin emshy
bargo una solucioacuten maacutes general para F(ab i y) es una combinacioacuten lineal dr las dos
soluciones existentes de (449) [21] esto es
G8
Fiubly) = [-)lt AtF(bb2)-rB F(bb2z)Ln+Pii) + (l-fc) iJ
(450)
donde At y B son constantes por determinar y Pj(c) es una serie de potencias con resjiecto
a en la forma [21]
donde
^)=poundr^ [ lt ) - ( o j
Iraquo) = (laquo + raquo) + 4(+raquo)- I2 + raquo ) - ( + 1)
(451)
(452)
4 (bull In funcioacuten i igt iliiinim y (laquo) = laquo(laquo+ 1)(laquo + 2) bull bull bull (laquo + 7 - 1) Multiplicando anillos
luumldoM de hi ecuacioacuten 145(1) por zi - z) difiTciiciacutenndo ron respecto a i y considerando el
liacutemite ruando - tiende a cero olitcuciuoraquo la igualdad
vd - amp)bull(laquo ft 2v) = r r - r + BW + raquo - ) + iquesti-(i -raquo) (453)
Ahora usando la representacioacuten integral de la funcioacuten hiacutepergeomeacutetriacuteca (2Iiexcl y considerando
las definiciones (426) para aby c obtenemos
a - f - r(laquo)r(6)o ( i - lt y )
La primera integral de (454) se calcula faacutecilmente y tiene la forma
Jo 1 - ty y (455)
69
Para evaluar 1raquo segunda integral de (454) recordemos laquopie 1 = ^^ y notemos ipte en el
limite ruando y tiende a mm (c tiende en este castraquo a cero) iacutei se vuelve muy grande
raquo|iiraquo- laquobull equivalente a ltllaquorir que inraquo acercamos a] punto de resonancia eicloiroacuteiiica in = 1)
y por kgt tanto con r=2 Igt tiende a cero De esta manera la segunda integral de (454) se
aproxima al valor [21]
laquo-raquo- 1
1 - f dt = -(fc)-C (45C)
donde C es 1raquo constante de Euler Sustituyendo (455) y (45C) eiexcl (4541 obtenemos
f io 2) = 1
-Ltil - bull ) - laquo1M J- C 1 4 5 7 ) r(2-raquoinM
Pitra determinar las coacutemanles -4j y D sustituyamos (457) en (453) y separemos los
teacuterminos laquopie ionticueu Lti de aijticllos (pie no lo contienen Asi obtenemos las expreshy
siones para las constantes 4| y B en la forma
A =
B =
^ ^ laquo ^ ^ ^ r ( 2 - igt)T(igt)
(1-fc)raquo f(2-gt)JW
(45S)
(45ai
Anaacutelogamente se puede encontrar una solucioacuten para F[ab2y) en la forma
+ [ C + ( t ) + i raquo ] | F ( 6 f c - l l r ) I n iacute + fl(s)] (460)
donde
70
Las expresiones (450) y 1400) representn las transformaciones dr Filtibiy) y
Flt a b 2 y) respectivamente en series convergentes ruando y tiende iexcli la unidad Las consshy
tantes A y Bi se expresan mediante (458) y (459) corresigtondiexclentenieiitlaquo- Finalmente
y fie acuerdo ron (44G) dividiendo 4G0) intrc (450) y tomando la iexclgtiexclirtr iiiiiacute-uumliuaria
obtenemos la expresioacuten para la constante ltle amortiguamiento o de absorcioacuten en 1 forma
( i
Jf = laquo x Fffcfc - 11 )[1 - (1 - fc)(2 - fc)F(662 z) + Piexcl)- )bull]+
+ P (r) | l -6) F |6 6 2 )x
x [l - (1 - b)2 - h)FVb2) + P7(z)l - by +
+ C + (b) + Ln -](1 - 6)-F(6 62 r)] +
+ T T V ( 1 - 6 ) ^ ( 6 1 2 1 ) (4C2)
donde r = 1(1 + pound0) La figura 43 muestra el comportamiento de (4C2) en funcioacuten de
ni x u para m - 1 es decir los int2Tvalos [-LO) y [01] corresponden a m = - 1 y tu = +1
respectivamente Las graacuteficas de la figura 43 corresponden a los siguientes valores de
-bull(0)toiacutes a) 82 b) C c) 4 d) 3 y e) 1 Las graacuteficas c) d) y e) difieren de armellas
mostradas en [22j ya que aquiacute se han considerado uacutenicamente los primeros cinco teacuterminos
de las series Pz) y Pt(z) Por otro lado observemos que el coeficiente de amortiguamiento
se anula en el caso de resonancia cidotroacutenica (u = ) Sin embargo esto no significa que
no existe absorcioacuten de la onda en este caso como se reporta en [23] en los punto donde
71
o bulla
iquest
1 3
n raquo
o i
Wv
72
eiexcl Iacutendice de refraccioacuten tiende a infinito se produce una absorcioacuten delas ondas en el plasma
ltii- tipo no rolisioiiacuteal Esta absorrioacuteu se asraquo ic a la existencia de punto singulares dlaquo- la
ecuacioacuten de onda exacta para ciertos puntos dentro del plasma es decir ai|uiacute la componente
del campo eleacutectrico paralelo al gradiente de densidad es infinita
En la fuente de plasma descrita en el trabajo [2iexcl se trabaja actualmente con densidades
del plasma del orden raquof(0) = C x Nfcnr3 y con un campo magneacutetico externo B =
S~jGtntraquo Ademaacutes se cuenta ron una guiacutea de onda de radio rbdquo = 425rFraquogt en la rual se
IgtngtiexclgtiexcliEiexcli una onda electromagneacutetica ron 111raquo frecuencia w = 15304 X 10 gt Si el radio del
plasma es C| = 3ltm eutonres tendremos los Mullientes valores para _laquo_- 10) 11gtf0)-bull
y respectivatiieiite
wbdquo = 15379 x 10V
raquogt(()) = 13S19X 1 0 V
1 = 00990 1403)
^(0)--J = 08
poundn = 3902
A = 19525
En este caso podemos analizar de la figura 43 curva a) comportamiento riacutee la constante
de amortiguamiento cuando u^fO)raquo2 = 08 Como podemos olmcrvar la constante de
amortiguamiento tiene valores relativamente grandes en la vecindad de u = OC pero
decae raacutepidamente conforme u tiende a la unidad Cuando u = 0999 la constante de
amortiguamiento tiene el valor
73
o = Ai x (M)0()02455 = lSS x 10 (464)
El anaacutelisis anterior es vaacutelido si se rumple la rondicioacuten (42G)
^ ( 1 + |poundbdquo|)- ltpound 1 MCO)
que eii nuestro laquoaso es correcto ya que
^ - i d +|ibdquo|)-=ocnsx lo- ucc)
8 Influencia del plasma en los resonadores
El meacutetodo de Perturbacioacuten en este raso se mi de formraquo similii ii el rusraquo de tina guiacutea
tie onda Como paraacutemetro pequentildeo se considera anaacutelogamente que el radio del plasma
es lutirlio menor que la longitud de onda Ademaacutes se supone que el |HTTiexcl1 de tielisidad
electroacutenica es de tipo paralioacutelico y que el campo magneacutetico externo es homogeacuteneo y esla
dirigido a lo largo del eje O
Anaacutelogamente a el caso de una guiacutea de onda la presencia del plasma en un resonador
es originar un cambio en la frecuencia de resonancia De acuerdo ron la teoriacutea de perturshy
bacioacuten este cambio craquo proporrional a la razoacuten del cambio dr riirrga almacenadraquo dentro del
volumen que ocupa el plasma en el resonador sobre la energiacutea total almacenada en todo el
volumen del resonador (34C)
WJVpoundiquest iquestiquest EacutedV w - u 0 = wbdquo = - iquest (4Glt)
iquest Jr pound0 bulltoraquo
74
Lu i-niaciuacuteii (4CT) requiere la evaluacioacuteu de el campo eleacutectrico cu el plasma En la
-bullbullTIacuteOII 7 se obtuvieron los campos en una columna de plasma friacuteo de radio pefpit-iio
magnetizado e inhomogeacuteneo localizada en el eje de una guiacutea di- onda cilindrica Con
tuda de estas expresiones podemos determinar en forma expliacutecita los campos cuando una
lunuia de plasma se encuentra en el resonador
poundru-y--) = iacute
r 22
mi miacutem mS
poundir r-) = C | |- F(laquoraquor-K--fbdquo(4--) in raquo t4CS)
uy-) =
poundgtXM + _L pound raquoltiacute ti
In I-I - r i - l iacute - D P DJT] T mdashmdashstE) E 111 lllC laquo ( il
donde x = (iexclt~ C y D son constantes = ruy = u(i mdash 1) la prima denota diferenciacioacuten
con resjMcto a j - Fin h r y) es la funcioacuten de tipo hipergeomeacutetrico [20] y nb y r tienen llaquoraquos
valores obtenidos en (418)
No hay que olvidar que cu un resonador los campos son estacionarios de aquiacute que la
dependencia con respecto a r se escribe multiplicando cada ecuacioacuten de (468) por el factor
jffi(^z) oacute coM^z) p= 123 iacutees la longitud del resonador
Calculemos el cambio en la frecuencia de resonancia para ondas de tipo TEm- La
integral del denominador de la expresioacuten (4G7) nos expresa la cantidad de energiacutea eleacutectrica
almacenada por unidad de volumen en el resonador sin plasma cuyo resultado para un
resonador hueco se obtiene de (2GC) al considerar que WE = Wn y en pnrtirular fiv ~ 1
( = 1 El resultado para este modo se expresa en la forma
U = bull EacuteltW
= ^^M-MUn) M69)
Por otro lado la integral del numerador de (4C7) evaluada sobre todo el volumen que
ocupa el plasma se calcula con ayuda de las expresiones (2G0) (resonador sin plasma)
di las expresione (4CS) (resonador con plasma de radio pequentildeo) y de tensor dieleacutectrico
(47) obtcnirlidii
= iacute iacute f ( pound - l ) [E ( gtfm l T - | pound + l l lpound l + Jit u Jn
+EuacuterosinY-(Er - iuEr) rltMiJl-^-)riexclrd^dz (470) d
donde las coui]gtoiientes Eu E y pound tienen dependencia uacutenicamente radil Al realizar la
integracioacuten sobre Iacute y iquest en los intervalos [0 d) y [02riexcl respectivamenie obtenemos
s = V iacute r(t ~ XUumlEoE + iuE^) + Eiquest(E - niE)]ltlr iquest Jo d [ [ r
bull r ( iacute - l ) Jo
iC0 r Jm-r)Er + iuE)+
+ Q--JJfr)(E^ - iuE ] dr (471) c i J
Anaacutelogamente a el caso de una guiacutea de onda se utiliza el mismo argumento bajo el cual se
considera el primer teacutermino de la iuacute fmiacutecioacuteii en serie de la funcioacuten de Bcssel con respecto
al argumento r = 2JT^ De aquiacute que (471) se reescribe como
76
c iquest iquestml Jo
Lspueacutes de hacer el cambio de variable x = (iexcljfr y sustituir la forma expliacutecita de los campos
bull 49) y (417) para E y Et en (472) se obtiene
h = gtc ( l - u ) x wirdy-raquo l c V
0 c 2 2m V(wj
J-(pound- )L-[T FUIICmdash ) + mxJ-JF(bdquolt-i)h -raquo -raquo iraquo J
(473)
donde los campos M- han considerado hasta teacuterminos del orden (|) Integrando por partes
con respecto a J el primer teacutermino de (473) obtenemos
h = -2Cy bull )h (474) c 2 2raquoi Vi bulllaquo iu
La integral (pie aparece en (474) coincide exactamente con la cjne aparen- en (433)
de donde para ondas en modo TEm s se calcula sustituyendo (427) y 1441) en (474)
obteniendo
= rColTJiacutefrr iexclJ ltd j ( l+poundo) bull(laquoiquest2f)
(475) c3473 ebdquo f(o62lplusmnlaquoraquo)+1 plusmn a i v(o62iplusmniacuteraquo)
Finalmente dividiendo (475) entre (469) se obtiene la expresioacuten para el cambio en la
frecuencia de resonancia en modo T pound m para un resonador conteniendo una columna de
plasma friacuteo de radio pequentildeo
W(D = (u - u0) - MjX 1 - -F(laquo62lraquo)
siexcl X 1 -F(abll)
(476)
77
donde
La ecuacioacuten (47C) coincide con (444) salvo por una la constante Miexcl Anaacutelogamente n
el caso de una guiacutea de onda utilicemos las expresiones (450) y (4C0) juira Fintly) y
Fllti2 i) respectivamente Sustituyendo (450) y 14CO) eji (47C) y separando las partes
real e imaginaria obtenemos la variacioacuten de la frecuencia de resonancia (Araquo) y la variacioacuten
del inverso de la calidad del resonador l -M IO)) por influencia del |gtlasiniexcli respectivamente
en la forma
mdash^ = iexcl-zFbb- 11-) [-F( fcraquo 2-)([C+(-)] ( 1 -bf-
- (1 -fraquo)(2-)[C+(fc)l-Hl-lt) J(l - - ) ) +
+ C + ()][-gt(-)(] - h) - Ij] + -(1 - l)lPt)C + laquoK))F(hb2-) x
x [l - (1 - b)2-h)F(kb2z) + PJzil - raquo)+
+ -(1 - bjgtC + () + Li z]Fbb2z) + V | 1 - )F(bullbull 2--) (478)
-poundiquestmQ) = JTSX
x Fbb-lls)|l-(l- b)(2- b)zF(bb2z) + P ( - - ) r ( l -6 ) ]+
+ --F(i)(l-6) JF( iacute t 2i)x
x [ l - ( l - f r ) (2-amp^ -F(M2^) + P J ( - - ) iacute ( l -6 ) +
+ [C + (6) + iquestn --](1 - 6)zF(ampamp2z)]2 +
+ w12(l-b)4Fa(blgt2iacute)Yiacute (4-79)
t bull bull 78
La figuras 44 y 45 muestran las graacuteficas de las expresiones (478) y (479) con respecto
a ri x ii ]gturn distintos valores de u^(0)uz respectivamente Anaacutelogamente a el caso de
la- guiaraquo de onda se han considerado uacutenicamente los primeros cinro teacuterminos en las series
para Pi) y P jU) Un resultado importante de acuerdo cotiacute la figura 44 resulta ser
que en la resonancia ciclotroacutenica la variacioacuten del inverso del factor de calidad es cero es
decir en este caso y en la misma manera como en las guias de onda no existen peacuterdidas
de energiacutea de tipo colisional Sin embargo de la figura 45 notamos que cu resonancia
rirlotruacuteliira si existe un pequentildeo cambio en la frecuencia laquole resonancia del resonador
En la fuente de plasma descrita en [2J se tiene un resonador cilindrico donde oscila
una Diida a IUIIacuteI frecuencia laquobull = 15394 x ]() excitada en modo TEw y de radio
rbdquo = cm en el cual una columna dr pliacutetstua fie radio riexcl = 3lt se ein-iieiitrraquo a lo largo
del eje tlel resonador La cavidad resonante se encuentra dentro de un campo magneacutetico
externo D mdash SloacuteGauxraquo La densidad de electrones en la fuente tie plasma puede ser igual
a ni 0) = C x 10 I 0CTO 3 En este caso tenemos los mismos valores (4C3) para yinnfv0) u
y u-ji 0)raquo mientras cpie Miexcl tiene el valor
SU = 04C55 (480)
Entonces el cambio en el inverso de la calidad y en la frecuencia de resonancia tendraacuten
los valores
A( l ( ) = mdash x 000009C2455 = 582 x 1 0 (481)
Aw = Mj x |1 - (100035)] = - 1 0 3 x 10 V (482)
79
AwMa
i
o
I
U
bull3 I
I O
bull
a 6
1 1 1 bull 1 bull
bull
_
c x ^
- r f -
| 1 bull J T | 1 - | 1 |
l IX V if | rt i iacute i ( iraquo i i i bull i i i
i i
i i i
V
deg
iacute bull f
i i i
VI 1 A 1 ^ t
x X Iacute
JU i f ^
1 bull x
so
o i
fit
Zf Z rt w
El valor (481) se encuentra dentro del rango de validez de la teoriacutea de perturliacioacuten
ile acuerdo ron (35C) Asi mismo la variacioacuten de la freruenria de resonancia es dema-
siado |Mf|ttentildea en comparacioacuten con la freruencia propia del resonador de tal manera rpie
podemos considerar une no existe un cambio fuerte en la freruenria de resonancia ion esta
densidad
Los resultado iexclinteriores de las secciones 7 y 8 fueron presentados en iexcl24] y [25iexcl respecshy
tivamente
82
CAPITULO 5
PENETRACIOacuteN DE ONDAS EN EL PLASMA
En este iiipiacutetiilo ni el marro de 1iexclI teoriacutea lineal se liare una revisioacuten sulire el proceso
gtigt- penetracioacuten de campos elertDinaRneacuteticos en un plasma En vista de ijne en la fuente
lie plasma descrita en [2j se excita una onda tipo H nos vamos a limitar al caacutelenlo de
Un coeficieiites tie reflexioacuten transmisioacuten y de alisorrioacuteu para estlt- tipo de ondas liacuteay
eme hacer notar que en el experimento [2] se tiene un campo magneacutetico externo lo que
complica fuertemente el estudio de la interaccioacuten de ondas en este plasma Nos limitaremos
en este trabajo a considerar un plasma homogeacuteneo y deacutebilmente inhomogeacuteneo sin raiujm
magneacutetico externo Estos resultados preliminares son uacutetiles para posteriormente estudiar
la transformacioacuten lineal de ondas que es muy importante para el anaacutelisis del perfil de
densidad observado en la fuente de plasma [2]
9 Penetracioacuten de campos electromagneacuteticos en el plasma
El estudio de la interaccioacuten de ondas electromagneacuteticas en un plasma tiene particular
intereacutes por la gran variedad de paraacutemetros existentes como se mencionoacute anteriormente
83
(densidad de |ttirtirulas di- diferentes tipos prado dlt- ionizacioacuten longitud de trayectoria lishy
bre tfiii|raquocratura etc) 111 los diferentes casos Una de las caracteriacutesticas mas importantes
de un plasma real es su iuliomogeueidad Alt|iiiacute los paraacutemetros del jjasiilii variacutean en el
espacio produciendo considerables cambios en las caracteriacutesticas del mismo Freruontc-
menfe en lo concerniente a la propagacioacuten de ondas electromagneacuteticas estos cambios son
tan fuertes que la pennitividad dieleacutectrica cambia de signo
91 Penetracioacuten de campos electromagneacuteticos en la aproximacioacuten hidrodinaacutemica Sistema de ecuaciones
Il l sistema de emaeiones atltoroiisisteule i|iie desrribr la penetracioacuten tie un campo elecshy
tromagneacutetico en d plasma en la aproximacioacuten bidroiliuaacutemira se compone de las ecuaciones
ile Maxwell
V x pound = -2f 51 c 01
f x f l = - - i - mdash + mdash (02) c 01 c
V bull(poundlaquopound) = 4p (53)
V H = 0 (54)
donde las densidades de corriente y carga se determinan en la forma
P- pound c raquo n lt raquo = laquoiexcllaquoi + tnt = pound e bdquo n r r n (55)
y se expresan a traveacutes de los campos eleacutectrico y magneacutetico de las enlacioacutenos hidrodinaacutemicas
de movimiento y continuidad del fluido conductor de carga o [26]
84
sect + bullbdquobulllaquobull = ^(Eacute+-vnxH)-^--^va (56)
3raquobdquo _ _ _ ~ + V-n0viexcl = 0 U 7 )
En las ecuaciones (55)-(57) tbdquo es la carga m0 la masa tibdquo es la densidalt v0 es la
velocidad hidrodinaacutemica jgtbdquo o la presioacuten y ibdquo la frecuencia de colisioacuten entre las partiacuteculas
ltir- tipo o ron las partiacuterulas di- otra claw y con las moleacuteculas El subiacutendice o rorrcspondc a
i igt i ln ipii indica a los iones o electrones correspondientemente E D son las tensiones de
ligt- campos eleacutectrico y magiacutenico respectivamente y r es la velocidad de la luz en el vacio
Se supone i|iie el plasma se encuentra en un medio con un jieruiitiviilail dieleacutectrica iacutebdquo para
un plasma gaseoso bdquo = 1 y MI un plasma de estado soacutelido es la pcrmitiviilail dieleacutectrica
de la red cristalina Ya que la permit i vidad magneacutetica del plasma praacutecticamente es igual
a uno no vamos a diferenciar la induccioacuten magneacutetica de la tensioacuten del campo magneacutetico
lo que se refleja en las ecuaciones anteriormente descritas
El sistema laquole ecuaciones (oacutel)-(57) debiacute ser complementado con las ecuaciones de
estado de la materia expresados a traveacutes de la densidad nbdquo y la temperatura Tbdquo pn mdash
p0(noTa) Siacute las variaciones de estado de las componentes del plasma ocurren perioacutedicashy
mente entonces
Tpo = bullgtltJbdquoVn0 = 7raquoltfTbdquoVnlt (58)
donde vj = 2T0m0)t1 es la velocidad teacutermica promedio de laraquo partiacuteculas de tipo o 70
e la razoacuten entre loraquo caloreraquo especiacuteficos a presioacuten y volumen constante del gas de partiacuteculas
y 1 = mil
85
Las ecuaciones ib- movimiento describen un fluido en presencia dlt- cinco fuerza- ni
interaccioacuten a) la fuerza eleacutectrica (bdquopound b) la fuerza magneacutetica J x H c) la fuerza debida al
gradiente de la presioacuten d) la fuerza de interaccioacuten o colisioacuten entre la partiacuteculas de diferente
ti|Kraquo v0vbdquo y raquobull) la fuerza de inercia m-r0 bull V)tbdquo Por otro lado vamos a ronsiderar laquopie la
ecuacioacuten de estadraquo expresa un proceso adiatgtaacutetico caracterizado por el coeficiente -
92 Penetracioacuten de ondas tipo E y H
Vamos a investigar la penetracioacuten en el plasma ile ondas di- amplitud pcquiua La inteshy
raccioacuten de ondas electromagneacutetica con el plasma perturba los paraacutemetro caracteriacutesticos
en equilibrio del plasma Si las perturbaciones de los diferente paraacutemetros son lo sushy
ficientemente |xi|iientildeos en comparacioacuten con sus valoreraquo eii eipiilibrio entonces podemos
liiuariar las ecuaciones (51 H57) es decir iexclMHIIIIIOS despreciar los teacuterminos que contienen
producto entre las perturbaciones
Consideremos un plasma semiliiuitado sobre el cuaacutel a un aacutengulo fgt incide una onda
electromagneacutetica linealmente polarizada El sistema de coordenada lo escogemos de tal
manera que el plasma ocupe la regioacuten x gt 0 y la onda se propague sobre el plano X(gtZ
(Fig51) La onda incidente parcialmente se refleja del plasma y parcialmente se refracta
a un aacutengulo 8 Las amplitudes de las ondas reflejada y refractada se determinan de las
condiciones de frontera Como consecuencia de esto si la dependencia del campo de la
onda incidente con respecto a y t se determina a traveacutes del exponente rl-laquo) donde
kiquest = k0tcn9 k0 = raquogtc y w es la frecuencia de la onda entonces en la teoriacutea lineal para un
plasma estacionario y homogeacuteneo esta misma dependencia deben tener las ondas reflejada
y refractada en el plasma a lo largo de O
86
PLASMA
(b)
FiacutegKl Penetracioacuten de una onda electromagneacutetica lincalmente polarizada en un plasma raquoemi-
limitado La onda que incide a un aacutengulo 8 parcialmente se refleja a un aacutengulo 8 y parcialmente
se refracta a un aacutengulo V a) penetracioacuten de una onda tipo E y b) penetracioacuten de una onda tipo
H
87
Supongamos UIRraquo tenemos un plasma de dos componentes compuesto de electrones bullbull
iexclunes motwcargjados ron concentraciones en et|uilibrio raquobdquo = raquoraquolaquo = gtibdquo En un (Jasina friacuteo
la velocidad ternura de los iones se puetk despreciar 1 = 0) si esta es muy pei|iK-ntildea rn
contparacioacuteii con la velocidad de fase de la onda Si a lo largo del eje 0t la densidad no
varia entonces f = 0 y de laraquo ecuaciones (51)-(58) podemos obtener el sijpiiente sistema
dtr ecuaciones para los campos electromagneacuteticos
iexclKH = iquestJtpound - iacuteiacutejEi 159)
-rmdash = -iK0e mdash pound - + mdashmdashUE r ) U10) ni [ raquo-raquor J (w ni
Jvpound = - I (512)
^ = bullbdquobdquo (513) As
ik-HiE = JiL-ikJlr (514) ni
iloiiitr iacute ex la jx-ruiitividnd dirlrctrirraquo de un plasma isotropicraquo y friacuteo
taraquo(w + l^e) W(uraquo + Ifi)
ugtgt y uy son las frecuencias plaacutesmicas de los electrones e iones respetivamente expresadas
en la forma
iquestgt tgt
4c n 0 IJ
(6M) mlaquo
w a IB frecuencia compleja raquobull = w + ic y e eraquo la permitividad dieleacutectrica del fluido de
iones en la forma
88
t=to- + bull (517) w(w + llj)
El sistema de ecuaciones (59)-(514) se descompone en dos subsistemas iudc|Hiidientes
-i9H5ll y (512)-(514) lo que corresponde a la propagacioacuten en el plasma de dos ondas
independientes (Fig51) Para las ondas con componentes E E y Hy el vector del campo
eleacutectrico estraquo sobre el plano de incidencia XOZ Esta onda es una onda con polarizacioacuten
gt onda tipo TM o E Para )n segunda onda con comeacutentente Ebdquo Hr y H el vertor
fifi rutll|Mgt eleacutertriro es |H-r]gtriiiliriiIiir al planraquo fie incidencia Esta onda es unraquo onda ron
polarizacioacuten i ulula tipo TE o H Para las condiciones mencionadas iexclinteriormente el
ijjovjmieijlo teacutermico de laraquo partiacutecula es despreciable para la propasacioacuten de ondas tipo H
Sin embargo para las ondas ti]gto E puctlc ser bastante importante
10 Penetracioacuten de una onda electromagneacutetica tipo H en un plasma homogeacuteneo semilimitado Reflexioacuten y absorcioacuten de ondas tipo H
De las dos posibles polarizaciones que puede tener la onda que incide en el plasma el caso
de la onda de tipo H es el maacutes simple Encontremos la solucioacuten de las ecuaciones (512)-
(514) en el plasma y en el vacio suponiendo una frontera bien definida Sustituyendo H
de (513) en (514) y usando (512) obtenemos que el campo E satisface la ecuacioacuten
tPE - ^ + Jkfo - laquolaquoraquo)pound - 0 (518)
89
dmde en el plasma e se determina xx (515) y en el vacio pound = 1 Es faacutecil ronwtrar laquojar
eu el varkgt los campus tienen la furnia
para la onda incidente
poundbdquo = Eoraquo Bu m Fbdquocw0 (519)
y para kgt onda reflejada
Eraquo = llEbdquo-kltlt H = -Etcoraquoraquo ISM)
iliHiilraquo- pound es lii amplitud lie In i mi In hiiiiliiiti y iacutels rl riM-riiiiiili ili- icHrxiiVn El linihi|raquoligt
r i)r--wi) at j a s rX|ri^iHBM jbdquon lri caui|HKlaquo se excluye raquo aquiacute en adelante Praquor laquonraquo laria
bullbullI rwn]Mgt cu el plasma tirnr la forma
pound() = Eiquest0)rik B() = (^) poundlt) (5-21)
donde Et[0) es Iraquo amplitud de la rom|Hgtiiiiite poundbdquo del rampraquo cliVtriro III la frontera tlrl
plasma ( = ()) y A- se expresa romo
Jt JWlaquo - e2laquo (5-22)
Si it| es una cantidad real entonces la onda se propaga libremente en rl plasma prro
siacute Ai es una cantidad compleja entonces el campo en rl plasma r amortigua dr forma
exponencial a partir de la frontera
Para determinar el coeficiente de reflexioacuten y la amplitud del campo rn la frontera de)
plasma se utilizan laa condiciones de continuidad de laa componentes tangenciales dr los
eampoa en i = 0
90
pound(0)+poundbullbdquolaquogt) = pound(0)
(0) + raquo(0)-jr ((0)
Sustituyendo (519)-(oacute20) en (523) y considerando (521) encontramos
pound(0) = pound(l + rt)
dr donde obtiiunnos el coeficiente di reflexioacuten en Iraquo forum
(523)
(524)
=ampgtbull donde
e la impedancia sti]gtcrfieial o del plasma para una onda tipo H Sustituyendo (525) en
(524) encontramos la amplitud de la componente E del campo eleacutectrico raquo teacuterminos de
la impedancia el aacutengulo de incidencia y de la amplitud de la onda incidente en la frontera
del plasma
La definicioacuten de la impedancia (526) resulta coacutemoda ya que el coeficiente de reflexioacuten y la
profundidad de penetracioacuten se expresa de forma maacutes sencilla a traveacutes de ella En general
la impedancia es una cantidad compleja ZH = X + iX2 por eso el coeficiente de reflexioacuten
se puede escribir en la forma polar de Euler
01
M(AVlaquoM+1)-+ laquo-] e gt U 2 8 gt ^^xraquoiacute-l)1 + Y|coIiacutel
l
donde bull dcfitie la fase en la forma
XjcosO XjcosB bull = arctan bull mdash- - arctan bdquo mdash- (o29)
A i c o s 0 - 1 Xcos8+l
Uu paraacutemetro muy important del medio es ltbull) coeficiente lt]ltbull iexclilgtson-iiraquou el cual indica
laquorue laquoarte dc in energiacutea de la onda incidente se transfiere al pla-siiiraquo Si
P = 4~E x j = -iexcl-Eltraderaquo (030)
eraquo Iraquo denudad laquoIt-1 finjo de CIHTRIacuteH normal u la frontera dr la onda laquo[in incide y PT = y| |
es la densidad del finjo laquoIr In onda reflejada entonces el laquobulllaquobulleficiente de iilisorrioacuteii se define
roiiMraquo
W = ^mdash^ = 1 - |J|raquo (531)
Sustituyendo (528) en (531) obtenemos el coeficiente ltle absorcioacuten en teacuterminos de las
partes real e imaginaria dc la impedancia
W laquo Xcogt$ (532)
Ahora analiacutezemos con maacutes detalle las condiciones de propagacioacuten y amortiguamiento
de ondas electromagneacuteticas en un plasma de electrones en diferentes rangos dc frecuencia y
calculemos los coeficientes de reflexioacuten y absorcioacuten para cada casraquo respectivamente Para
92
ello sustituyamos (515) en (522) donde en este caso debido a la gran diferencia dr
masa de lo iones con respecto a los electrones consideraremos iquest^ as 0 Dr esta manera
obtenemos
r w V2
t - laquo raquo raquo - - (533) l jltlaquo + ilaquot)J
Consideremos los siguientes casos
a) El caso de altas frecuencias (cr lt -gt) Aquiacute los choques entre los electronraquo- se pueden
ilespreciar y entonces X- se reduce a la forma
Xraquo i- = - l - r o ^ - ^ (534)
En el reacutegimen de frecnciiriajiacute u lt ^lotfiacute lu m]x-ltlnraquorii es una caiitiilncl real y por In
tanto el coeficiente di- reflexioacuten y de absorcioacuten tomitii resjMrtivnniente la forma
donde
En este caso la fase (529) es igual con cero lo cual nos indica que laraquo ondas incidente
y reflejada se encuentran en fase Por otro lado la condicioacuten de amortiguamiento en un
plasma gaseoso sin colisiones consiste en que se cumple la desigualdad
ucof8 lt ugtVf (538)
03
IntrotUuetunos en calidad dr cararteriacutestica de penetracioacuten lthI ciexclttii|Mgt una |gtroftmililtlaltl
compleja de itetirtracioacuten determinada por medio de la relacioacuten tgt = t(gtraquo iquesti) El sentido
fiskti di la cantidad i es la distancia a la cual la amplitud del rampraquo en rl plasma ilecren
eu e mdash 271 veres de su valor inicial Con la condicioacuten ugt gtbull uicosB la profundidad de
penetracioacuten (anchura de la capa piel) no depende de la frecuencia = cu
h) En la regioacuten de bajas frecuencias w lt vt) los choques ya mgt se pueden despreciar En
este caso Rt Jt| s Ivi k y el campo en el plasma decreeraquo- ex]Mmirurial y oscilatoriamente
ilruumldr la frontera Si v gt m slt- tiene
k = -^zJviVrCosH+i- (539) Jiv v
si iacuteiilnilaacutes raquoiquest gt vrivosH entonces
y la longitud laquoIr la rapa piel tiene la forma
r iexcl2vt iquest = mdash J mdash = - 7 f iquest mdash (541)
donde raquo0 SB wf(4ffi) es la conductividad del plasma Notemos que (541) determina
la profundidad de penetracioacuten del campo en un conductor en el cual fluye una corriente
variable de baja frecuencia Asiacute las expresiones (521) determinan el campo en el plasma
en condiciones de un efecto piel normal o claacutesico A bajaraquo frecuencias y alta temperatura
del plasma estas expresiones ya no son vaacutelidas y es necesario analizar la penetracioacuten de los
campos en base a un modelo cineacutetico
Considerando las colisiones entre las partiacuteculas la impednncia del plasma tiene la forma
94
Zbdquo = (542) ^ugt(u)1cot10 - u pound ) + bull-bullJraquo
Si la frecuencia de colisiones es pequentildea pero sigue siendo finita y ademaacutes se cumplen las
desigualdades v lt raquo- ffgtiacute lt gtJcosi0 mdash uiiquest() entonces (542) se transforma COJIJO
Zbdquo = (543)
de donde observamos que en la regioacuten de frecuencias uirraquo^ lt ufPr el rocuumlcinjte ile iibsorrioacuten
se exprtsut en la lonnti
W = 2pro^Jtvwtraquo - l ) - (544)
Por otro lado si la frecuencia de la onda es lo suficientemente pequentildea tal laquopn- i gt laquobull y
se cumple la desigualdad J^Kv) gt OM rntonres la inj|MdnncIacutei se expri-sraquo como
z - iacute1 Voacuteiacute (545)
V -gtltbull y loraquo coeficientes de reflexioacuten y absorcioacuten se expresan respetivamente en la forma
R = (l-2Acltw0) 2e- MltM (540)
W = 4Xcoraquo9 (547)
donde A^ laquo -Xt = bullraquo( 2wt)
Finalmente observemos que las peacuterdidas de energiacutea que la onda sufre en el plasma
defiacutenidu por las foacutermuias (544) y (536) tiene diferente significado fiacutesico La W diferente
de cero cuando u = 0 esta relacionado con la excitacioacuten de una onda electromagneacutetica en
05
el plasma y el valor de W de (544) determina la parte de la energiacutea de la onda incidente
qiK- es utilizada para el calentamiento de los electrones del plasma eigt la capa piel
11 Paso deacute una onda H a traveacutes de una capa de plasma
Si la profundidad de penetracioacuten del campo ni una capa de plasma es tk-I orden de sns
dimensiones transversales o si la onda se pro|gtaga elraquo el plasma entonces la influrmia de
la segunda frontera del plasma resulta muy importante Determinemos el campo en el
plasma y los coeficientes iexclle reflexioacuten y de transmisioacuten en el paso de una onda incidente a
traveacutes de una rapa de plasma homogeacuteneo de anchura d
El canijaraquo i-n el vacio o cu la regioacuten T lt 0 tiene la forma (519)-(iquestj2l)) y el campo en la
regioacuten i gt 0 tiene la forma
Eraquo = TE0tcu = Eraquoltbdquosraquo (548)
donde T es el coeficiente de transmisioacuten El campo en el plasma consiste de dos ondas
tina de las cuales se propaga en direccioacuten de los valores positivos y la otra en direccioacuten de
los valores negativos de x
E = Aek + Be-ik = - iquest trade (549)
Las condiciones de continuidad de las componentes tangenciales del campo en la fronshy
tera del plasma x = 0 y x = ti anaacutelogas a (523) permiten determinar T y el campo en
el plasma
06
R = (1-pound)AiquestlaquogtM (550)
T = 2icoa$aacuteJWt - atn8t-kdeg (551)
Ey = 2cos8bTHi [iyt - iacuteenflcoJt(iacute - x) + aM0eni-(ri - ) ] (552)
donde
Aw = (t - 1 + 2colaquoI0)ifnfrrf + 2raquoVi - xriMrosHrosktd (553)
En el caso dr una onda que ]M-nctra en el plasma para la cual iquestrosH gt u dcspnviando
las colisiones entre las partiacuteculas el coeficiente de alisorcioacuten determinado como
B s l - R - T (554)
es igual a cero El cani|wgt en cl plasma tiene la forma dc uua onda estacionaria y con
la variacioacuten di- la cantidad t|rf los coeficientes de reflexioacuten y refraccioacuten oscilan Si en
condiciones de cierto piel kfd lt 1 entonceraquo a frecuencias lo suficientemente pequentildeas
(laquobullpound gt -(w + iv)) los coeficientes de reflexioacuten y nfraccioacuten tienen la forma
R = - (o iacute + io3)(o + 2co8 + iaj)~ (555)
T = 2cos0(a f 2ctgtiacuteiacute+^OJ^ (55C)
donde
- - 5^5-
97
En este caso el coeficiente de absorcioacuten se expresa como
IV = 4ocolaquo[(oi + 2co9)2 + a]]- (559)
Si Pt gtgt raquobull entonces o t gt cgt-iexcl Las peacuterdidas maacuteximas en este caso se obtienen con
la condicioacuten o = 2coi0 iguales a la mitad de la energiacutea de la onda incidente Las ondas
reflejada y refractada en este caso tendraacuten la misma amplitud en valor absoluto Las
foacutermulas (555)-(55G) se pueden generalizar para una capa delgada con cualquier iuhomc-
gcticidad Si diquest kcbdquobdquoj lt 1 entoneacuteis los campos en el plasma se ltrternmii del sistema
de ecuaciones
ils Ai r(w + ivrs)) = laquogtbull r 1 f i - laquo5CII)
donde las soluciones tienen lt forma
pound = C H = -f(x)C + C (5C1)
siendo
co w + iit(j)
Las condiciones de continuidad de los campos en las fronteras x = 0 y r mdash d nos llevan a
los valores (555) y (556) en los cuales oiacute = Re laquo(lt) y a2 = Im n(rf) Por otro latioacute
las constantes Ct y C3 a traveacutes de las cuales se expresan los campos en el plasma tienen
la forma
C = TEltiexcl = 2E0coraquo9aH(d) + 2coraquo9)- (503)
Cj = 2EoCO$eaH(d)co6)aHd) + 2coraquo8)- (564)
98
12 Penetracioacuten de una onda tipo H en un plasma deacutebilmente no homogeacuteneo
En una gran variedad de aplicaciones la densidad del plasma variacutea lentamente en el espacio
desde cero hasta cierto valor maacuteximo La penetracioacuten del campo en tales plasmas se
diferencia fuertemente de la penetracioacuten en un plasma con una frontera bien definida o
fuertemente no homogeacutenea Las ecuaciones que describen a las ondas electromagneacuteticas
en un plasma no homogeacuteneo son un sistema de ernarkmes diferenciales ron roefirntildeiites
variables iloudr sus soluciones exartas o aproximadas se enriient ran uacutenicamente para rasos
(laquoarticulares Uno ile estos rasos |gtartirulares es aquel laquoIr un medio de ra)gtas planas donde la
densidad variacutea ni una sola dirrrrioacuten Una serie dr soluciones escarias de las eruaeiones ile
la clertrodinaacutemira en un medio ile rapas planas ron diferentes variaciones de la densidad
se pueden ver en los trabajos (2327) Generalmente soluciones aproximadas relativamente
simples en estos medios se pueden eiirotitrar en regiones asintoacutetiras es decir a distanrias
grandes ron rcsjwrto a los puntos singulares de las eruaeiones difcrenriales Los paraacutemetros
que se usan en esta aproximar ion pueden ser la relacioacuten del tamantildeo caracteriacutestico de la
no lioinogcneidad L ron res|ierto a las longitudes de propagacioacuten A de las ondas en el
plasma Si uno de los valores rumple la desigualdad LX gt 1 eutoures en relacioacuten a esta
onda al plasma se le puede llamar deacutebilmente no homogeacuteneo La penetracioacuten de campos
electromagneacuteticos en un plasma deacutebilmente no homogeacuteneo se ha considerado en diferentes
trabajos [222327-31] Consideraremos algunos resultados obtenidos
Veamos un plasma compuesto de iones pesados fijos con densidad n0i) la carga de
los cuales en estado no perturbado se compensa con la carga dr los electrones ron temshy
peratura diferente de cero Te La densidad del plasma n0 - 0 ruando iacute - t O y rrece o
es infinita cuando mdashraquo ce No existe campo magneacutetico externo y la distriburioacuten de eler-
99
trones por velocidades es isotroacutepica Para la descripcioacuten de la penetracioacuten de mi cam]Mgt
electromagneacutetico en tal plasma se utilizan las ecuaciones de la hidrodinaacutemica (50)-(514)
en las cuales hay que sustituir iacuteo = 1raquo iacutei = 1 y gt mdash gt()bull La i-ruacioacuteu diflaquoniciacuteal (5IS)
que rige la jicnetracioacuten de ondas tipo H en un plasma no homogeacuteneo toma iexclihoni la fonna
iPE -=bull + kl(t[x) - stnH)E = 0 (5C5) tiacutex
donde la pcrinitividad dieleacutectrica es funcioacuten de la posicioacuten en la forma
pound ( ) = 1 ttiquestIl (5GG)
w(uiacute+ II ( x ) )
De id ecuacioacuten (oacuteCuuml) se puede hacer ililncdiiitaiiieiite tilia serie de deducciones a) 1raquo onda
se propaga libremente en li regioacuten Jif t lt bullgtni1tiacute b) en mi plasma maacutes ileliso iloude
Jlt gt nrrifl la propagacioacuten se vuelve imposible y la onda uacutenicamente penetra el plasma
en la longitud de la rapa piel y c) el punto Rr pound = srtiB es el punto de corle donde 1raquo
onda se refleja
En un plasma deacutebilmente inhomogeacuteneo ruando raquoo(x) variacutea deacutebilmente en la longitud de
la onda que se propaga por el plasma la ecuacioacuten (5C5) se puede resolver por el meacutetodo de
la geometriacutea oacuteptica para una dependencia arbitraria de la densidad gtibdquo(s) [23] La enlacioraquo
(565) tiene una solucioacuten exacta para una capa lineal cuando la permitividad dieleacutectrica
(v(x) lt ui) puede escribirse n la forma
donde
+ iUumlIacutepoundgtpoundf 507) X0 WI0
bull = amp
100
Aquiacute a es la pendiente que caracteriza la dependencia lineal de la densidad de electrones
ron respecto a la posicioacuten Para el caso de un plasma sin colisiones (e = 0) reescribimos
iacuteoacute65) en la forma
- pound + kl( co1raquo - mdash )pound = 0 (569) ax Xo
haciendo el cambio de variable
C=[f) ix^coraquo2raquo - x) (570)
la ecuacioacuten (5C9) se puede llevar a la ecuacioacuten de Airy
^ + C pound = 0 (571)
Su solucioacuten decreciente cuando i mdashbull ltx tiene la forma [32]
poundraquolaquo) = mdash coM--Ct)gtlv (5-72) ir Jo J
donde A ex una constante que se determina de la roiidieiones de frontera manilo x = 0
En la obtencioacuten de la expresioacuten (572) (te lia despreciado la reflexioacuten de la onda en la
frontera del plasma debido al gradiente de densidad Es decir la amplitud del campo
eleacutectrico en el punto x bull 0 se considera igual a Eg lo que es vaacutelido para valores pequentildeos
del gradiente de densidad en este punto (|^|o ltC k) En la regioacuten 0 lt x lt x0colaquo28
debido a la suma de las ondas incidente y reflejada poundbdquo(() tiene la forma de una onda
estacionariacutea Lo anterior es asiacute ya que para valores positivos y grandes de ( E(Q tiene
una representacioacuten asintoacutetica en la forma [32]
101
Cerca df la frontera los valores del campo estaacuten dados aproximadamente |laquogtr
cuyo valor maacuteximo es
4a-gtgt-w-niexcliacuteiquest5^- bull (575)
Ln expresioacuten (575) resulta de la interferencia constructiva de las ondas ipie viajan a In
ii|UIacutecrda y a la derecha rrsprctivamrnte pin lo tanto la amplitud de la onda incidente poundbdquo
tt-tidru la forma
Aliora evaluemos la ronstatite 4 de (572) Para rilo iitiliemos la representacioacuten
asintoacutetira (573) y consideremos la condicioacuten de frontera de acoplamiento de los campos
en el plasma y en el vacio
poundT(0) = JEIacute (577)
De acuerdo con la definicioacuten (570) para ( podemos escribir el teacutermino ijCv en ln forma
f^^ (--pound_) (578)
Sustituyendo (578) en (573) y evaluando en x = 0 obtenemos
3A 2 ir poundlaquo(0) ) = -7k0Xo)-ucos-iacuteli9coraquo(-k0j0coS9 - -) (579)
yf f O 4
102
x = O = x0rnslV X
FiexclgS2 Alii|tli(ultl laquoId rrtiii|ngt eleacuterlrim cu la vecindad del punto de reflexioacuten s - xbdquoiiiH
Finalmente apurando 1raquo roiitliacutetiacuteoacuten de frontero (577) cnroutraiiioM el valor de A
(580)
La amplitud aacutee la onda estacionaria que se forma en el plasma cu los puntos cercanos
al punto de reflexioacuten x = Xoco29 crece (Fig52) Su valor maacuteximo se puede obtener de la
expresioacuten (572) el cual corresponde al primer cero de la derivada de la funcioacuten de Airy
[11] y tiene el valor
2 a a | l = 268 (581)
Asiacute dividiendo (5S1) entre (576) obtenemos el coeficiente de amplificacioacuten de la amplitud
del campo eleacutectrico en el plasma con respecto al campo en el vacio
103
| s f = 374(oolaquo3laquo)3 (582)
En el caso maacutes general de un plasma deacutebilmente inhomogeacuteneo en (562) en lugar dr
arbdquo debemos sustituir
En este caso para valores grandes de (koro)l^eoraquo0 auacuten una |MI jtirntildea parte imaginaria de
ki pcniMtiviacutedad dieleacutectrica puede rondticir a jteacuterdidas significativa de energiacutea de la onda
Si ni gtgt P jiacute () entonces la ecuacioacuten (571) conserva su forma pero ( en csrraquoiexcl caso laquo-S una
cantidad compleja
- ( )
raquo ( j v o ^ + x - mdash ) (584)
Nuevamente la onda (pit se forma en la regioacuten 0 lt x lt sltol(t es una onda estacionaria
lgtcro ahora la onda que se refleja cu el punto de corte Tit t = oc) nltgt tiene la misma
amplitud de la oiiif-t incidente Aquiacute cl coeficiente de reflexioacuten es diferente de la unidad y
se expresa como [23]
R as e m laquomdashgtbull m e-raquopound raquolaquoraquo (585)
La amplitud maacutexima del campo cerca del punto de reflexioacuten en este raso disminuye en
Ry
|iexcl iacute | 2 374|| 2(ltWw3)1 3 (586)
104
CONCLUSIONES
I Se describioacute la teoriacutea general de las guiacuteas de onda y resonadores cilindricos En base a
esta teoriacutea se obtuvieron obtenido los paraacutemetros principales que ritrart izan vi sistema
de microondas di- la fuente de plasma descrita cu [2] En el raso ilc una guiacutea de onda
cilindrica hecha tiraquo- bronce y ron Suacuterm de diaacutemetro interno se obtuvieron los siguientes
valores para los distintos paraacutemetros de pro|gtagariexcloacuteu de midas litadas en el IIIIHIO
A = 145rw raquobullbdquo = 13 x WHi I = 02753rraquor A = 22S2raquo Zbdquo = 187
ti = 56 x 10degtrade K3 = lC x 10uumlcfia
La constante de amortiguatniento lgtara estas ondas romraquo ronseriiriiciraquo de la roudur-
tividad finita ile las paredes metaacutelicas tiene el valor om = 1032 x 104 como este valor
es muy pequentildeo obtenemos que se puede considerar que la guiacutea de onda del sistema de
microondas (de no maacutes de un metro de longitud) es una guiacutea de onda ideal (sin ]xrdiexcldas de
energiacutea) Por otro lado para el resonador cilindrico laquopie compone el sistema de microondas
de radio a bull 7cm se obtuvo la distancia necesaria para que en el resonador oscile una onda
en modo Ht (wm = 15394 x 10(f ) Esta distancia tiene el valor d - 71Gcm Ademaacutes
se evaluaron la calidad del resonador y el ancho de banda donde el modo TEu puede ser
excitado uacutenicamente Q =bullbull 404963 w2 - uraquo = 000025 x WH respectivamente
II Se analizoacute el problema cuando la guiacutea de onda y el resonador cilindricos conshy
tienen una columna de plasma friacuteo magnetizado e inhomogeacuteneo distribuido axialmcnte
105
La columna de plasma cti el caso de la fuente de plasma [2j tiene un radio r = 3mraquo
y ademaacutes el perfil de densidad se consideroacute de tijraquoo paraboacutelico Eu base a la teoriacutea tie
perturbacioacuten y usando como paraacutemetro pequentildeo la pequenez del radio del plasma con
respecto a la longitud dt- onda se calculoacute la constante de amortiguamiento de la ondas
que se propagan en la guiacutea de onda ocasionada por la presencia del plasma La constante
de amortiguamiento tiene el valor o = lSS x 10~4
Se calculoacute ia variacioacuten de la frecuencia de resonancia fie las ondas que se etinieutran
resonando en modo TEtti en i resonador asiacute romo la variacioacuten en el inverso dr la calidad
del resonador obteniendo resp t-tiacutevaineiifc Aw - -lG3x 10 H MlQ) = oacuteS2x lO1
Los valores para n Aw y plusmniexclQ) se obtuvieron paro el caso mando ^bulljiacute(l))raquo = OS y
para el punto cerranraquo al punto di- resonancia ciclorroacutenica u = 0999 Ademaacutes se obtuvo
que la constante de amortiguamiento en el caso de la guiacutea de onda en el punto de resonancia
ciclotroacutenica l-u = w) se hace cero De lo anterior podernos roiirluir que la inutii se propaga
libremente en el plasma
III En el marco de la teoriacutea lined se analizoacute el proceso de penetracioacuten de campos
electromagneacuteticos en un plasma scmilimitaclo Se obtuvieron Jos coeficientes de reflexioacuten
transmisioacuten y de absorcioacuten para ondas tipo H tanto para un plasma homogeacuteneo y un
plasma no bomogeacutetieo Un aspecto fiacutesico importante en el estudio de la penetracioacuten de
ondas electromagneacuteticas en plasmas inhomogeacuteneos es que para una incidencia normal existe
un crecimiento del campo eleacutectrico en el punto donde la permitividad se hace cero Para
plasmaraquo magnetizados el comportamiento anterior es similar Por otro lado cabe sentildealar
que los puntos dentro de un plasma friacuteo e inhomogeacuteneo en los cuales el iacutendice de refraccioacuten
106
es infinito permite una absorcioacuten de las ondas de tipo no colisional en el plasma y al
mismo tiempo se obliga al campo eleacutectrico a tener un valor finito Esta absorcioacuten en el
plasma se asocia al hecho de que en el punto iacute = oo el campo electromagneacutetico sufre una
transformacioacuten lineal en otro tipo de ondas
Finalmente hay que hacer notar que la absorcioacuten de las ondas en las guiacuteas de onda
y los resonadores se debe uacutenicamente a la variacioacuten o cambio que sufre la constante de
propagacioacuten y la calidad del resonador respectivamente por la influencia tlcl plasma Este
mecanismo de transferencia de energiacutea ai plasma es diferente al mecanismo laquoIr la transforshy
macioacuten lineal de ondas
107
REFERENCIAS
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