Espaces vectoriels de type fini

12
!" # # $ % & ’ ( ) ) $ ( * + ’) ) , ) ) ) $ - !!## !# . ) / { } = ( !# . ) # ! = . = ) { } = ) ) $ ( . ) # ! ) $ ! 0 #( !# . ) # ) ! = . # ) ! ) / ) $ ( . / ) / ) ) , - !10 #( # ! ( */ !#) $ ( . 2 ( . !#( + # ! + ( . + ) # )((( ) ! + = . # )((( ) ! + ) ) $ ( . / )/ ) + ( # )((( ) ! ( */ !#) $ ) ’ ( !# % !# !# , / $ - / ) $ !# ( 3# * % . ( 4 ) ) # ! ( touscours.net

description

Groupes, Permutations, Anneaux, Arithmétique dans Z, Corps commutatif, Les polynômes formels à une indéterminée à coefficients dans un corps K, Fonctions polynomiales, racines, Espaces vectoriels, K-algèbres, Espaces vectoriels de type fini, Matrices, Déterminants, Fractions rationnelles, Produit scalaire sur un R-ev, Espace vectoriel euclidien, R-ev euclidien orienté de dimension 2, R-ev euclidien orienté de dimension 3, Espaces affines, Géométrie dans un espace affine euclidien

Transcript of Espaces vectoriels de type fini

Page 1: Espaces vectoriels de type fini

���������� ��������������������������

������������������ ��������

�������������� ��!�"������������������#

�������������� ������������# $�������������

%��������

&� ������� '�� � ����� ��� ������� ����������� ����� �( �����) �� �) �� ����

�$����������������(

*�������������

+������� ��� ���������� '��) ���� ���� �∈� ) ,�� � ����� ��� �������

�����������������������)�����)���)�������$����������������-!�!�##

• �!�#�.�� �������� ������� �� �������� �) �/���'�� { }�� �= �� �� �������

�����������������(

• �!#�.��������������������������������������)������ #! �� = �

.� �� � = )����� { }�� �= )��∅ ������������������)�$���������(

.� �� � ≠ ) #! � ��� ��� ������� ����� �� ����������� ���) �$������ ��� !���

�����0�#(

• �!�#� .� � ����� ��� ������� ����� �� ����������� �� �������� �) ������

#)! � ��� = �

.� #)! � �� ��������)������/�������������)�$���������(

.��������/������)������/����� �� )������ �� )�������������������������

,������- !�1��� 0 ���� � #(����� #! � ��� ��������������(*/������!#) ��

�����������$����������������(

• .��� 2�∈� ( .�������� �!�#( +������� #�! +� ( .�� ����� ��� �������

��������������������� +� )������ #)((()! � += ����� �

.� #)((()! � +���� ��������)����������������������)�$���������(

.��������/������)������/����� �� )������ +�� �������������������������

������(����� #)((()! � ���� �����������������(*/������!�#)������������

�$����������������)��'��������������������(

�����'������

!# %���� ������������������������!�����#

!�# ,�������� �/�$�������� �� ����-� �� ����� ������� ����������� ����� �/��

� ��)�������$�������������!�����#����� ��(

3#*��������

%��������������������

.������� ������������(����������������������������4����������)�����

��������������������)���� #���!� (

������������ ������������������������� ����

touscours.net

Page 2: Espaces vectoriels de type fini

���������� �������������������������������������������� ���������

*�������������

5�����

���� ���� ������ �∈� ) +� �������� '�� ���� ������������ ��������� �� �

���������������������6������������������(

������)����������������������������������

• ���� �=� �,������������������������������������������-(�/�������

������������������������������������)�/��� ��

• ���� =� � ,� �������� ����������� �������� �� ������� ������� ���

�����������-(.��� �� λ= �� �� λ= )����� #)! � �� ��������

.� �� ≠λ )����� �

��

λλ= (.���� �� �� = (*��� �� �� � ���������������(

• .��� �≥� )��������������������������� −� (

����������� +� �������� ���� )((() � ) ������������ ��������� �� � ��������

���� )((() � (&������������������ �)α ���� �� ≤≤� �� � ≤≤ ����'���

��

��

+++=

+++=+++=

#!(((

#!(((

#!(((

)��))

)��))

�)���)�)��

�������

��

��

����

����

����

ααα

αααααα

��

.� [ ] �))� ) =∈∀ ���� α ) ����� ���� )((() � ���������������� ������������ −�

��������� )((() −���� ( ��� ��������� �� ����������) #)((()! � −���� ��� ����(

*��� #)((()! � ���� �/��������(

.��/����� ��)α )���� [ ]�� )�∈ �/���������)������ ��)α !�����������������

������#)�����������������������

��

��

��

��

�λ

αα

)

)−← ���� [ ])� −∈ �� ��������

��

��

=−

=−=−

(((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((

(((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((

)((()���������������������

���

���

��

��

��

�����

λ

λλ

5���������� [ ])�) −∈− ���� ��� λ �����������������������������'���������

������������������������������� −� !���������������������#(7��$��������

��� ��������� � )((() −�βββ ��� ���� ���� ���� '�� �#!

=−�−

=

���� �� λβ ( *���

�(

=+�−

=

��� �� γβ ���� �−

=−=

��λβγ ) ��'��������'�� #)((()! � ���� ��� �������

��������/����� �β ���������)��'��������������������(

+����������

.������)�/���$�����!�����#���)�������)�������������(

• � ��� ����������� ���( ���� ������ ���� �������� �� �/ ��� �����������

�����������������������(���� �� ≤ !�����)������������)�/����������#

• *��4��) �� ≤ (*��� �� =

touscours.net

Page 3: Espaces vectoriels de type fini

���������� �������������������������������������������� ����8����

$��������������� �� ��������������������������9�������������������

!������������'��#

:����'���

• .�����������������)����� { }�� �=

• .����������������)�����������������������������(

;�����������<�����������<=<�����������������<(

%�������,������������������-�

.��� � �� � �� �� ��������� ����� �( ����� ����� ������� ����� �� � ���� 4���

���������������������(

*�������������

.���������������������(

• .��������)�����������������������������������(

• .����) #)((()! � ���� = )�" 2�∈�

.��� #)((()! � ����=� ����������(

.������������������)������������������(

.����) �/�� �� ����� ��� [ ]���� )) ∈ �/��� ��� ����������� �������� ��

���� )((() � !��� ����� ������ �����������#( .��� ����� [ ]�� ) ∈ ��� '��

#)((()!;��� � �� ���� ∉ (�������������� #))((()!1� �� ���� = ��������(.��������

�����������) �/��� ��� ���� �� �( .����) �� ����������( �� ���� �/��

������) �� ������� ��� ������� ����� �� ����������� !����'��) �� ����)

#)((()))((()! �� �� ������ ��������������#(

�����'����������������

.������� ��������������(������

!# 5�������������������������������������(

!�# .���������������������������������)������/�������������(

:����'����������������������������������'��)�����������������������

�����������������)���������������������������������'�������������������

����)��$���/������)���(

�����'���������������,�/�$��������������-�

.������� ��������������(������

!# 5��������������������������������������� �≥ (

!�# .���������������������������������������)������/�������������(

%��������

.������� ��(������

��6�����������������������������������

�������������������

����������������������������������������������������

⇔⇔⇔

touscours.net

Page 4: Espaces vectoriels de type fini

���������� ��������������������������

������������������ ����>����

*�������������!������$����������'������������������������#

� � ������)�/�������������6������ #���!�

⇐ �.��������'�������������������������������������6���(5/�����������

��������$����������������������������������������!���������#����6�������(

&����������$�����������������(

.�����������������������������(

.� �=� )����� { }�� �= ���∅ ����������������������������(

.����) #)((()! � ���� = ( ����� ����� ������� ��� �����������) ��� ����� ��

�������� ������� ��∈ '�� �/��� ��� ����������� �������� ��� �� ) �� ����� ��

������� #))((()! � ���� � ������ ����� �� �������� +� ) �� '�� ��������� ��

�������������(

%��������

.������� �������������������(

.��� ������ ������������������(

����� �������������������� �≤ )�������������)����� � =

*�������������

• 5�� �������� �������/���������� ������� �������� �������/�����������(

*��� ���� �������� ��� ��6��� ��� �( *��� ��� �� ��������� ����� �� ≤

!����'���� #)((()! � ���� ������������ )������/�������������������������

�)���� �� ≤ #

• .� �� = )��������� #)((()! � ���� ��������� (�/����������������� �����

������������� �� = (�/�����������������(*��� � = (

%��������

.������� �������������������(������������� �����������������������

���������������������!����������������������#(

*�������������

.��� ������ ������������������(

• .� � = ){ }�� ������������������� (!������ �����#

• .����) ������������������������ �� <≤ (.��� #)((()! � ���� �������

�� (�/��������������������������(������������������������������

#)((())((()! � ��� ����� + ���(&����� ����� #)(((!;��� �� ��� += (������ ���

������������������ �����( �������

.��� ��∈ (*������ ���� ���� ��� ��

����

�� ���������

++

+++++= (((((( ( !��� #)((()! � ����

�����������������#�/��������������� ��∈ (*��� � � += (

+�����������������'�������������������)����'�� { }�� �=∩ �

.��� � � ∩∈ ) ����� ������� ++= ((( �� ���� ����� −+ ++= ((( ( *���

�(((((( =−−−++ −+ ������ �������� ( ����� �� ������� #)((()! � ���� ���

�����) �(((((( �� ======== − ��� ������ (*��� �=� (

*��� { }�� �⊂∩ (*��� { }�� �=∩ (

*��� � � ⊕=

touscours.net

Page 5: Espaces vectoriels de type fini

���������� ��������������������������

������������������ ����?����

��������� ���� ������������������

*���������������)������� ��(

*����������

.���������������������������(5������������ ##!;������!#!�����

�� = (

$�������

• .� 8�=� (

@#A)B)C!)#D)?)>!)#8)�)!E

8�

������������

=� (����� �#!�� =� !��� #!�

8� ��� += #

• .� #)! ���=�

�������� � ��� ��� 8�

����� 8#))��! 8� =��� ! #))! 8� ��� ��������)������������� #));���! 8� ��� #

*�������������

.����� �∈8� )) λλλ )���������'�� �88�� =++ ��� λλλ (

����� �#!#!#!) 88�� =++∈∀ ������� λλλ� ( */�") �� ������� ����� ������� ���� �)

����$����� )�))�������� �8� === λλλ (

�����������

.���������������������(

.���������������/����������������������)������ #)((()! � ����=�

F����� #;���!�= (.��� #!�� �=� !�����) � ���= #

������

2 �� ≤ � #)((()! � ���� ���������������� ���� �� ≥

2 �� ≤ � ��������� ���������������������� � ������ ≤

2 ⇔= �� ���������� #)((()!��� � ����� �� ⇔=⇔= ������������ (

2 ⇔= �� �������������������� ⇔=⇔=⇔= � � �� ��� �����������(

2 ⇔== ��� ��������������!�������������$��������������#

$���������������?��������������8��������������������������������>�

#@�)8)�)>A!#)�)�)?)C!#)�))�)�!#)�)�))�!#)�)�)�)E! −

����!����������"�����������������������������

7��)������� �������������������(

%��������

.����� ������$���� ����������������������������������(

.� #)((()! � ���� ������������ (

��� #)((()! � ���� �������������(

����� #)((()))((()! �� �� ������ ������������ � ⊕ (

touscours.net

Page 6: Espaces vectoriels de type fini

���������� ��������������������������

������������������ ����D����

�������

2 #)((()))((()! �� �� ������ ���������������� � ⊕ ��������(

2 ����� ������� ��� ������ ���

��

��

�� ��������� �(((((( ���� =+++++++∈=∈=

��� ���� ����� ���� ��λλλ ) �����

��� �== ��� ���������������������(

&�)�� �� �= )����� [ ] �)) =∈∀ ��� λ ��� #)((()! � ���� ��������(

��� �� �= )����� [ ] �)) =∈∀ ���� ��� #)((()! � ���� ��������(

*��� #)((()))((()! �� �� ������ ��������(�/���������������� � ⊕ (

�����'�������� ���������������������)����� #���!#���!#���! � � +=⊕

%��������

.����� ������$���� ��������������������(

����� #���!#���!#���!#���! � � � ∩−+=+

*�������������

������ � � ∩= (��������������� ������������������) ���(

���������� ������������������)����������������������������)������ � (

*��� ��� ⊕= (

����� � � +=+ )�� �� � �������������������

!# 5� ����� ��� �������� �� � � ∩∈ ) ����� �� � =∩∈ ) �� ��∈ ( *���

{ }�������

���

=

∩∈ (*��� �� �=

!�# � � +=+ �*�60) � � +⊂+ !�� � ���

���

⊂∈∈

+=

)����� � � +∈ #

.��� � � +∈ (����� � ��

���∈∈

+= (&�) ��∈ (*��� � �

��

���

∈∈

+= (

*��� � �

����

��

����

∈⊂∈∈

++=

*��� � � ⊕=+

�����) #���!#���!#���! � � +=+

&�) #���!#���!#���! ��� += !��� ��� ⊕= #

*��� #���!#���!#���!#���! �� � −+=+

�����'������

.����� )����$���� ��������������������(������

{ }

{ }

���

=+=+

���

=∩=+

���

=∩=+

#!

#8!������

#�!�

#8!������

#�!�

#!�������������������������

��

��

��

�� ��

touscours.net

Page 7: Espaces vectoriels de type fini

���������� ��������������������������

������������������ ����C����

�������

{ }�� �

�� ���

�� ��

� � � �

������#���!*���

��������#���!#���!�#�!#!��#8!

����#���!�����)

#���!#���!#���!#���!#���!#���!�#!#8!��#�!

����������������������#8!#�!��#!

=∩=∩=+==+�•

=+=++=∩−+=+�•

�•

�#�$�������������������������������� �����

*����������������

������� ������������������ ≥� (

������ ������������������ ≥� (

�#*�������������/�������������� ����������� ����������� ���������

���������/�������

%��������

.��� #)((()! � �� ���=� ����������(

.��� #)((()! � ���� ��� ���������������'������'����� (

����� �� �$���� ��� ���'�� ����������� �������� ϕ �� � ���� ����� '��

[ ]�� ���� =∈∀ #!)) ϕ

*�������������

• G������� �� ϕ ��������) �����) ����� ����� ��∈ ) �=

=�

���

( *���

��==

==�

�����

#!#! ϕϕ (

• $��������.���ϕ �/������������������ �����������

�=

→�

��

� ��

�� ����#)(((!

�������������

��

ϕ

!5�����������������������������������������������������'��#

�����ϕ ������������

.����� ��� ∈1) )������������� #)((()! � ���� ) #1)(((1)1! � ���� ���� �� �� �∈λ (

����� 1�� λ+ ���������������� #1)(((1)1! �� �� ������ λλλ +++ ���� �� (

*��� #1!#!1#1!#1!

������������

λϕϕλλλϕ +=+=+=+ ���===

����)������� [ ]�� ���� =∈∀ #!)) ϕ �

���� ���� [ ]�� )∈ ) �� � ���� ����������� #�)((()((()�!�

���� �� ) ����

���� ���� ==#!ϕ

touscours.net

Page 8: Espaces vectoriels de type fini

���������� �������������������������������������������� ����B����

�����'������

.� #)((()! � �� ���=� �������������)�� #)((()! � � ���=� ������������ (

����� �� ������ �/��� ����������� �������� ��� ���� ������� 0 �� ������ ��

��× ���������)0��������� �� ) )���� [ ] [ ]��� ))) ∈∈ ����'���

[ ][ ] #!#!))

#��������������������!�������#!))

)

)

��

�����

���

==∈∀

=∈∀

�=

ϕ

ϕ �

&�������������������������������0� ������)���������)�������'��)����

���� [ ] [ ]��� ))#)! ×∈ ) �� ) �������������� ������������ �����������

�����

����

���

���

���

)�))

)��)�)�

)�))

���

����������/������������������ϕ ������������ �� �� � !������������,��-

�/����������������#

5� ���������������������������������������������������� #! �ϕ ����

������ � (

3#�����������������������������������������/�������

������������

.��� #)! �∈ϕ ) #)((()! � �� ���=� ����������(������

!# ϕϕϕϕ 7�##!#)(((!#)!!;��� � =����

!�#ϕ ������6��������������������� ##!#)(((!#)!! � ���� ϕϕϕ ���������������� (

!8#ϕ �����6��������������������� ##!#)(((!#)!! � ���� ϕϕϕ ��������(

!>#ϕ �����6��������������������� ##!#)(((!#)!! � ���� ϕϕϕ ������������ (

*�������������

!# 2.� ##!#)(((!#)!!;��� � ����� ϕϕϕ∈ )����� ϕλϕϕλ 7�#!

∈���

�== ��

==

��� (

2.� ϕ7�∈� )����� #!�� ϕ= )�" ��∈ (&�) �=

=�

���

!����������������

���� �� #(*��� ##!#)(((!#)!!;���#! �

������ ϕϕϕϕλλϕ ∈=���

�= ��

==

!�# �����'���������������!#

!8# 2 .� ##!#)(((!#)!! � ���� ϕϕϕ ��� ������ ���� ϕH��∈� ) �=

=�

���

( �����

( ) �=

==�

���

#!� ϕϕ ( ##!#)(((!#)!! � ���� ϕϕϕ ��� �����) ����

[ ] �)) =∈∀ �� (*��� { }��H�� =ϕ (*���ϕ �����6������(

touscours.net

Page 9: Espaces vectoriels de type fini

���������� �������������������������������������������� ����A����

2.� ϕ �����6������������� �∈���� )((() � (.��������'��

�� �#!

=�=

ϕ (

�����

�� �

=���

��

=ϕ ( *��� �

�� �

=�=

!��� { }��H�� =ϕ #( *���

[ ] �)) =∈∀ �� !��� #)((()! � ���� ��� �����#(*��� ##!#)(((!#)!! � ���� ϕϕϕ ���

�����(

!># �����'��������������!�#��!8#

�����'������

.� �� =��� ) � =��� )������

ϕ ���6������ �� ≤�

ϕ ��6������ �� ≤�

�#7������������

������������.����������������) ������������(

�������� ������������������������������������4�����������(

*�������������

• .�� �� ���� ����������) ����� �� �$���� #)! �∈ϕ ��6������(&� � �����

� ������ = !�������� � ������ ≤ �� � ������ ≤ #

• .� � � == ������ ( .����� ����� #)((()! � �� ���=� ��� ���� �� � ��

#)((()! � � ���=� ��� ���� �� ( 7� �$���� ����� ��� ����������� ��������

#)! �∈ϕ ����� '�� [ ]�� ���� =∈∀ #!)) ϕ ( ����� ����������� ��� ���� ��

������������!������������ ##!#)(((!#)!! � ���� ϕϕϕ ���������������������#

������������.�������� ���4����������������(

�����)�������� #)! �∈ϕ )��������'�����������

���6���������

��6�����������6���������

ϕϕϕ

⇔⇔

*�������������

.��������'�� � � == ������ (.�������� #)((()! � �� ���=� ����������(

������

��6���������

#���!���������������##!#)(((!#)!!

��������##!#)(((!#)!!��6���������

ϕϕϕϕϕϕϕϕ

⇔=⇔

⇔� ���

���

&��������4������������/������'���������(

������������

5�������������������������������)�1��� 0 ����'����ϕ �����������������

�� � ���� �/) �����) ���� ����� ������� #)((()! � ���� �� �������� �� �)

##!#)(((!#)!!��#)((()!�� �� �� ������ ϕϕϕ= (

touscours.net

Page 10: Espaces vectoriels de type fini

���������� �������������������������������������������� ���������

�������

.� �� ���� #)((()!;��� � ���� = ) ����� ##!#)(((!#)!!;���#! � ���� ϕϕϕϕ = ) �� ϕ

���������������������������� ���� #! ϕ (*��� #!������ ϕ= (

$������

.����������������) #)((()! � �� ���=� ����������(

�����

[ ] �=

→�

�����

���

)#!

�ϕ �����������������(

*#5���������,����� �����-

%��������

.������) ���$� ��)�"��������������������(

.��� #)! �∈ϕ (

����� ϕ7� �������������������)�� #���!7�#���!H����� ϕϕ +=� (

*�������������

&���������������������������������� ϕH�� �����(�����) �� ⊕= ϕH�� (

&�������������#!

7��I��

�ϕ

ϕϕ�→ (�����ϕI �����������!�/�����'���'�������<

�Jϕ <#

������

ϕI• �����6������� { } { } { }�������� �H���#!)�#!I)IH�� =∩==∈==∈= ϕϕϕϕ

ϕI• ��� ���6�������.��� ϕ7�∈� (� �/����� #!�ϕ )�" ��∈ (����� � ��

���∈∈

+=ϕH��

1 (

*��� ����� ==+= #!#!#1!#! ϕϕϕϕ (

*���ϕI �����������������(*��� ����#���!7� =ϕ (

&�) #���!H�������� ϕ−= �� (*��� #���!7�#���!H����� ϕϕ +=� (

�����'������

&���������������'���

��6���������6��������6������)������.�

���������6������

��������6������

���#���!7�

ϕϕϕϕϕ

ϕ

⇔⇔=•≥�•

≤�•≤•

#:����/����������������������

.��� #)! �∈ϕ )�"��������������������(

����� #���!7������

ϕϕ =

�������������

.� #)((()! � ���� �������������)������

##!#)(((!#)!!��

###!#)(((!#)!!;������!#���!7���

���

���

ϕϕϕϕϕϕϕϕ

=

==

touscours.net

Page 11: Espaces vectoriels de type fini

���������� �������������������������������������������� ��������

.������� �� =��� ) � =��� ) �=#!�� ϕ )������

��6������K���6������K��6������

K

ϕϕϕ ⇔==⇔=⇔=≤≤

�������

����

!���������������������������������L�����#

#�%�������������������������

*���������������)����������� ������������� �≥� (

�#M�����������������(

:������ ��� ����� �������� �� � ��� ��� ����������� �������� �� � ���� �(

5/�������������������������������� #)! �� )��������� 2� !�������#(

! 2� ������ ��#(

������������

.��� #)((()! � ����=� ����������(

5�������������������������$������������������������������

�����

� �������

+++→(((

��

����#)((()!�������������

��

� )�" �

���� �∈#)((()! � (

�������

5/������������

��==

=→

��

�� �����

� ��� �/���'������������� �������� ��� ���� �

�����'�� [ ]�� ���� =∈∀ #!)) ϕ (5����������������������������������ϕ ������������

���!#����������������� #)((()! � ���� !�����)���������#

���������������

���� [ ]�� )∈ )������ �� �����������������

����

� ���

�����#)((()!�������������

� �

�→

!������� #�)((()(((�!�

#K������������������6����������������0�(

5����������� �� �������������������������� 2� !����,�����-#)���������

������ [ ] �

���

��

������ �#!))�

2

=��

�∈∀�=

=

==��

�������

(

*��� [ ]���� )#! ∈ ������������ 2� (*��� 2� ������4�����������'���(5�

���� #)((()! � ���� ����������������������� #)((()! � ���� (

3#N��������

*����������

G���������������������� ����������������������������� −� (

touscours.net

Page 12: Espaces vectoriels de type fini

���������� ��������������������������

������������������ ���������

$������

�����������)���������������������������(

����������8)�������������������������(

%��������

5�����������������$����������������$������������������������������(

����������������

!#.� { }#)!�O#)!

�� ��∈ϕ )����� ϕH�� �����������������(

!�#.�������������������)��������$���� { }�O#)! ��∈ϕ ���'�� ϕH��=� (

!8#.� #)!) � ��∈ϕϕ ����'�� � H��H�� ϕϕ = )����� ϕ �� �ϕ ���������������)

�1��� 0 ����'�/���$���� { }�O�∈λ ���'�� � λϕϕ = (

*�������������

!# .� { }#)!�O#)!

�� ��∈ϕ )����� ϕ7� ��������� ������������������)'�����

�����������(*��� ϕ7� �����������������(.� �#���!7� =ϕ )�����

{ }�7� =ϕ �� #)!���=ϕ (*��� #���!7� =ϕ !�� �=ϕ7� #(

*��� #���!7����#���!H�� −=−= �� ϕϕ

!�# .������������������(.��� #)((()! � −���� ����������(

&������������������������� #)((()! � ���� (

.���ϕ ���������������'����������� [ ])) −∈ ���� ������ �� ���(

����� �=ϕH�� !������� ������� �

�� ∈⇔=⇔==�=

��#!)

ϕ #

!8# .� � =ϕ ) �=H��ϕ K���� �=�H��ϕ )���� � (� ϕϕ == (

.� � ≠ϕ ) �� ����� �� ϕ ��� �� ���������� �� ���� #)((()! � −���� )'�� �/��

����������������� #)((()! � ���� ���(

������

{ } { }��

��

∈=∈===

==

−−

�O#!K�O#!

�#!#!

�#!#!

�� ����

��

��

��

��

ϕϕϕϕ

ϕϕ�

*���� ϕϕ

��= !����'�� [ ] #!#!)) � �

� ��� ϕϕ =∈∀ ����������������������

���������/�����������������/�������������������#

�����'������

.��� #)((()! � ����=� ����������(��������������������������$�����������

����������'����������������������)����'������������ �(((�� =+ �� ������

�� ��� �� ���� ��� ��������� ��� ���� ����( *� ����) �� �� ��������� ����� ���$

�'�������)������������������������������(

:������ ���� ������ #)! ��� ∈ ) �� ������� �/�'������ �#)((()! � =����

���� �� ���� � ���) ��� ����������) �/�������� ��� ����������� #)((()! � ���� �����

��������� �#)((()! � =���� (

&� ����� '�� �� ��� �� ��� �� � �� ��������� �) ����� ��� �/������������

�/����������!����������4����������������������/�'�������#)���������������

�/�'����������������������� �� − (

touscours.net