A D A M • B A U D E L E T • S E B I L L E

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EM566GCO

ISBN 978-2-8041-5732-6

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www.education.deboeck.com

CORRIGé ET nOTES MéThODOLOGIqUES

TOME 2 GéOMéTRIE & COMPLéMEnTS

6 périodes par semaine

T2

TABLE DES MATIÈRES

Géométrie synthétique & Géométrie vectorielle

— dans le plan — dans l'espace

1 Parallélisme et orthogonalité …………………………………5

2 Calcul vectoriel ………………………………………………35

3 Calcul vectoriel (suite) : Produit scalaire …………………51

4 Transformations du plan et de l'espace ……………………76

Algèbre linéaire & Géométrie analytique

5 Géométrie analytique dans l'espace (1re partie) …………87

6 Matrices et déterminants ……………………………………90

7 Systèmes linéaires …………………………………………107

8 Géométrie analytique dans l'espace (2e partie) …………124

9 Géométrie analytique plane: les coniques ………………144

10 Trajectoires …………………………………………………185

11 Lieux géométriques …………………………………………198

Compléments

12 Nombres complexes ………………………………………233

13 Combinatoire et binôme de Newton ………………………269

14 Statistiques — Probabilités …………………………………285

Cor566G-Intro 24/10/08 0:47 Page 3

PRÉLIMINAIRES

La rédaction d’un corrigé d’exercices est une vaste entreprise tant pour lesencodeur, dessinateur et metteur en page (que nous remercions chaleureuse-ment) que pour les auteurs.

Ces derniers n’ont pas voulu donner des solutions ne comportant qu’une suitede calculs et une réponse. Ils ont tenu à rédiger des stratégies de résolution,des justifications, des variantes ainsi que de nombreux conseils, fruits deleurs expériences.

Merci à tous ceux qui voudraient contribuer à améliorer ce corrigé en transmet-tant leurs remarques aux

Éditions De Boeck & LarcierFond Jean-Pâques, 4

B-1348 — Louvain-la-Neuveinfo@education.deboeck.com

Cor566G-Intro 24/10/08 0:47 Page 4

GÉOMÉTRIE SYNTHÉTIQUE&

GÉOMÉTRIE VECTORIELLE– DANS LE PLAN– DANS L’ESPACE

1 PARALLÉLISME ET ORTHOGONALITÉ

Les constructions dans l’espace (point de percee d’une droite dans un plan, section d’un solide par un plan) ontete etudiees en 4e des ecoles de la FESeC et doivent etre traitees en 5e des etablissements de la Communaute.Il s’agit de consolider les acquis des annees precedentes en geometrie de l’espace. Cette derniere s’elabore audepart de l’observation de solides. En 1re partie, on y traite particulierement les problemes d’incidence et deparallelisme qui preparent les eleves au calcul vectoriel dans l’espace.Le but est donc d’inserer la geometrie plane dans celle de l’espace.La construction du modele geometrique fera clairement apparaıtre les proprietes admises a partir de l’observationet celles qui seront demontrees. Une attention particuliere sera portee aux regles de la logique : contraposeed’implications ou d’equivalences, reciproques, demonstrations par l’absurde, criteres faisant intervenir des condi-tions necessaires et suffisantes.En 2e partie, tous les eleves de 5e etudieront les problemes d’orthogonalite de plans, de droites, de droites etde plan, ainsi que la construction de la perpendiculaire commune a deux droites et du plan mediateurd’un segment de droite.

ACTIVITÉS POUR DÉCOUVRIR

1

a) [AA′] et [DD′] sont paralleles;

[AB] et [AA′] sont perpendiculaires;

[AB] et [DD′] sont gauches.

d et[DD′] forment un angle droit en E.�

� �

��

��

�

��

�� �

�

6 1. Parallélisme et orthogonalité

b) – AB et CC′ ; B′C′ et AA′ ;– BC et AD′ ; CC′ et BD′ ;– A′C et AB′ ; A′B et C′D.

c) Cette perpendiculaire est unique. Puisque DD′ est verticale, d′ doit etre horizontale.Les perpendiculaires horizontales a AB forment le plan ABC. Puisque ABC ∩ DD′ = {D}, la seule de ces droitesqui convient est AD. Elle est appelee « la perpendiculaire commune aux droites gauches AB et DD′ ».

d) La distance entre deux droites gauches est celle separant leurs intersections avec leur perpendiculaire commune.Soit 5 cm.

2

a) Oui, puisque la porte peut tourner a 180◦, il existe une position pour chaque droite CM. Ces droites sontperpendiculaires.

b) a ⊥ α ⇔ ∀d ⊂ α telle que A ∈ d, a ⊥ d.

c) Deux car une droite secante a un plan est toujours perpendiculaire a l’une des droites de α passant par A.

d) 1) AM = k. Puisque BAP est un angle droit, par le theoreme de Pythagore, BP = k√

2. De meme BM = k√

2.Donc le triangle MBP est isocele.

2) • Le triangle MAP est isocele(MA = PA

).

Donc la bissectrice b3 de MAP(

= θ)

est aussi la mediatrice de [MP].

Des lors, MQA = 90◦.

Dans le triangle MQA rectangle en Q, AQ2

= AM2 − MQ

2ou AQ

2= k2 − MQ

2.

• Le triangle MBP est isocele(MB = BP

).

MQ = QP (dans le triangle MAP, la bissectrice b3 est la médiane de [MP]).Donc la mediane [BQ] est aussi la mediatrice de [MP] et BQ ⊥ MP.

BQM mesure donc 90◦.

Dans le triangle BQM rectangle en Q, BQ2

= BM2 − MQ

2ou BQ

2= 2k2 − MQ

2.

• BQ2 − AQ

2=

(

2k2 − MQ2)

−(

k2 − MQ2)

. D’ou BQ2 − AQ

2= k2.

Des lors, AB ⊥ AQ (réciproque du théorème de Pythagore).c.-a-d. a ⊥ b3.

e) En prenant une droite b4, bissectrice de l’angle forme par b1 et b3 ; une droite b5, bissectrice de l’angle forme parb3 et b2 ; en montrant ensuite que la droite a est perpendiculaire a b4 et a b5...

POUR APPLIQUER

1.1 Conventions de représentation1.2 Coffre à outils de géométrie dans l’espace1.3 Point de percée d’une droite dans un plan intersection d’un solide

et d’un plan

1.A

B

CD

E

A

B

CD

E

vue du dessus vue du dessous

1. Parallélisme et orthogonalité 7

Les eleves eprouvent souvent de nombreuses difficultes :• vu le manque d’habitude du dessin en perspective, ils ne savent pas qu’un carre se represente par un

parallelogramme;• ils eprouveront souvent des difficultes pour reproduire deux fois le meme dessin;• une fois les dessins realises, ils devront representer les parties vues et cachees.

2.

A B

A' B'

A" B"

A B

A' B'

A" B"

• Dans le premier dessin, l’œil de l’observateur est en-dessous. Il voit donc la face A′B′B′′A′′.

• Dans le second dessin, l’observateur voit le solide (un prisme) du dessus. Il est face au plan oblique AA′′B′′Bet l’arete [AB] est au-dessus du plan A′B′B′′A′′.

3.

aα

β

γa

c

α

β

γa

b

ca

c

b

β

α

γ

a

cb

β

α

γ

4.

a

A

B

α

β

yeux de l’observateur au-dessus de α yeux de l’observateur au-dessous de β

a

A

B

α

β

yeux de l’observateur entre α et β

a

A

B

α

β

COMPLÉMENTS

12 NOMBRES COMPLEXES

Dans l’ensemble des nombres reels, les proprietes des operations ont ete, dans le passe, mises en evidence d’unpoint de vue algebrique et d’un point de vue geometrique.Il en va de meme, en sixieme annee, pour l’etude du champ des nombres complexes car la geometrie y estetroitement associee a la trigonometrie et a certains groupes de transformations du plan.

ACTIVITÉS POUR DÉCOUVRIR

1

a) 1) Soit l’equation x3 − 18x − 35 = 0 avec p = −18 et q = −35.• 4p3 + 27q2 = 4(−18)3 + 27(−35)2 = 9747.

Puisque ce nombre est positif, il est legitime d’utiliser la formule de Cardan.• Une solution particuliere est donc donnee par

x =

3√√√√− − 35

2+

√

9 747

108+

3√√√√− − 35

2−

√

9 747

108

=

3√√√√ 35

2+

√

361

4+

3√√√√ 35

2−

√

361

4=

3√27 +

3√8 = 5.

• Puisque le reel x=5 est solution de l’equation x3−18x−35=0, celle-ci peut aussi s’ecrire (x−5)(x2+mx+n

)=0.

En utilisant la methode des coefficients indetermines,on a (x − 5)

(x2 + mx + n

)= x3 − 5x2 + mx2 − 5mx + nx − 5n.

D’ou x3 − 18x − 15 = x3 + x2(m − 5) + x(n − 5m) − 5n ⇔{

m − 5 = 0 (coefficients de x2)n − 5m = −18 (coefficients de x)−5n = −35 (termes indépendants)

Des lors m = 5 et n = 7.• L’equation initiale peut alors s’ecrire (x − 5)

(x2 + 5x + 7

)= 0.

Le realisant du 2e facteur vaut ρ = 52 − 4 . 1 . 7 = −3.• L’unique solution reelle de l’equation x3 − 18x − 35 = 0 est x = 5.

2) Soit l’equation x3 − 3x + 2 = 0 avec p = −3 et q = 2• 4p3 + 27q2 = 4 . (−3)3 + 27 . 22 = 0. Il est donc legitime d’utiliser la formule de Cardan.• Une solution particuliere est donc donnee par

x =3√

− 2

2+

√0 +

3√

− 2

2−

√0 = −2.

• Puisque le reel x=−2 est solution de l’equation x3−3x+2=0, celle-ci peut aussi s’ecrire (x+2)(x2+mx+n

)=0.

En utilisant la methode des coefficients indetermines, on a

234 12. Nombres complexes

(x + 2)(x2 + mx + n

)= x3 + 2x2 + mx2 + 2mx + nx + 2n.

D’ou x3 − 3x + 2 = 0 = x3 + x2(m + 2) + x(2m + n) + 2n ⇔{

m + 2 = 0 (coefficients de x2)2m + n = −3 (coefficients de x)2n = 2 (termes indépendants)

Des lors m = −2 et n = 1.

• L’equation initiale peut alors s’ecrire (x + 2)(x2 − 2x + 1

)= 0 ou encore (x + 2)(x − 1)2 = 0

• Les solutions reelles de l’equation x3 − 3x + 2 = 0 sont donc x = −2 et x = 1 (racine double).

b) • f : R → R : x → x3 − 18x − 35

�

��

�

���������������

���

�

�

��

���

���

���

���

���

���

• f : R → R : x → x3 − 3x + 2

�

��

�

���������������

�

���

��

�� �

2

On considere l’equation x3 − 15x − 4 = 0 avec p = −15 et q = −4.

a) 4p3 + 27q2 = 4 (−15)3 + 27(−4)2 = −13 608.

La formule de Cardan n’est pas applicable puisque 4p3 + 27q2 < 0.

On ne peut extraire les racines carrees d’un nombre strictement negatif.

b) • En notant i une racine carree de −1, cela signifie que i2 = −1. On peut alors ecrire le nombre −13 068 sous laforme 13 068i2.

En utilisant la formule de Cardan, une solution particuliere de l’equation x3 − 15x − 4 = 0 est donc

x =

3√√√√− − 4

2+

√

13 068i2

108+

3√√√√− − 4

2−

√

13 068i2

108=

3√

2 +√

121i2 +3√

2 −√

121i2 =3√2 + 11i +

3√2 − 11i.

Il est difficile de faire admettre que ce nombre complexe egale 4.

Toutefois, lorsque l’ecriture trigonometrique d’un complexe aura ete etudiee, on pourra ecrire2 + 11i �

√125 cis 79, 695◦ et 2 − 11i �

√125 cis (−79, 695◦).

Une racine cubique de 2 + 11i est6√125 (cis 26, 565◦),

une racine cubique de 2 − 11i est6√125 (cis (−26, 565◦)).

D’ou3√2 + 11i +

3√2 − 11i � 6√

125 (cos 26, 565◦ + i sin 26, 565◦ + cos 26, 565◦ − i sin 26, 565◦)

=6√125 . 2 cos 26, 565◦ � 4.

12. Nombres complexes 235

• Le reel 4 est une solution de l’equation x3 − 15x − 4 = 0 puisque 43 − 15 . 4 − 4 = 64 − 60 − 4 = 0.Des lors, l’equation x3 − 15x − 4 = 0 peut s’ecrire sous la forme (x − 4)

(x2 + mx + n

)= 0.

En utilisant la methode des coefficients indetermines, on a(x − 4)

(x2 + mx + n

)= x3 − 4x2 + mx2 − 4mx + nx − 4n.

D’ou x3 − 15x − 4 = x3 + x2(m − 4) + x(n − 4m) − 4n ⇔{

m − 4 = 0 (coefficients de x2)n − 4m = −15 (coefficients de x)−4n = −4 (termes indépendants)

Des lors m = 4 et n = 1.

• L’equation initiale peut donc s’ecrire (x−4)(x2+4x+1

)=0. Le realisant du 2e facteur vaut ρ=42−4 . 1 . 1 = 12.

Les solutions de l’equation x2 + 4x + 1 = 0 sont donc x =− 4 ±

√12

2= −2 ±

√3.

• Les trois solutions reelles de l’equation x3 − 15x − 4 = 0 sont 4;−2 −√

3 et −2 +√

3.

• La solution trouvee grace a la formule de Cardan est donc un nombre reel malgre son apparence.

�

���

���������������

��

���

���

��

���

������ � �

�

�

���� ���

3

a) (−i)2 = i2 = −1.−1 admet des lors 2 racines carrees, a savoir i et −i.

b) −36 = 36(−1) = 36i2.Les deux racines carrees de −36 sont donc 6i et −6i.

c) 2x2 + 2x + 5 = 0 ρ = 22 − 4 . 2 . 5 = −36 = 36i2. Donc x =− 2 ±

√36i2

4=

− 2 ± 6i

4

− 1 + 3i

2− 1 − 3i

2

d) 1) x2 + x + 1 = 0 ρ = 12 − 4 . 1 . 1 = −3 = 3i2. Donc x =− 1 ±

√3i2

2=

− 1 ± i√

3

2

− 1 + i√

3

2− 1 − i

√3

2

2) x2 − x + 1 = 0 ρ = (−1)2 − 4 . 1 . 1 = −3 = 3i2. Donc x =1 ±

√3i2

2=

1 ± i√

3

2

1 + i√

3

21 − i

√3

2