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Travail de candidature

Cours de gomtrie

analytique dans lespace

Dclaration

Par la prsente, je soussigne Lydie Jungers, candidate professeure en mathmatiques,

certifie que jai ralis ce travail de candidature par mes propres moyens, en cherchant

conceptualiser ce projet travers des recherches bibliographiques et travers des discus-

sions avec mon patron maccompagnant dans ce travail de candidature.

Grevenmacher, le 26 fvrier 2013

Lydie Jungers

Nom: Jungers

Prnom: Lydie

Fonction: candidate professeure en mathmatiques

au Lyce technique Joseph Bech

Patron de recherche: Jean-Claude Bremer

Cours de gomtrie analytique dans

lespace pour les classes de 2ime

et

1re

de lenseignement secondaire

Lieu de mon affectation: Lyce technique Joseph Bech Grevenmacher en 2012

Rsum

Ce travail de candidature propose un cours complet de gomtrie analytique de lespace

ainsi quun recueil dexercices adquats pouvant tre utilis en classe de deuxime et

premire de lenseignement secondaire.

Au dbut de ce travail, on rappelle les notions principales de gomtrie vectorielle telles

que:

vecteurs colinaires, vecteurs coplanaires, positions relatives de deux droites, de deux

plans, dune droite et dun plan de lespace.

Ensuite les notions telles que les bases, le produit scalaire, le produit vectoriel et mixte,

ainsi que toutes les proprits et thormes, qui en font partie, permettent aux lves

davoir une vue globale de la gomtrie analytique de lespace.

En traitant des problmes par plusieurs mthodes diffrentes, on essaie de donner aux

lves les connaissances et moyens ncessaires pour rsoudre des problmes de lespace.

A part des notions cites ci-dessus, on donne des applications concrtes. Notamment le

calcul daire, le calcul de volume, la perpendiculaire commune deux droites gauches sont

des applications intressantes et sont donc traites dans ce travail. Dautre part certaines

applications relvent le lien entre la physique et les mathmatiques, comme nous montre

par exemple le problme du rayon lumineux.

De cette faon on espre arriver voquer chez les lves un esprit autonome pour la

rsolution de ces problmes.

Ce travail est destin inciter les lves de se sentir plus laise et davoir des connais-

sances solides pour traiter des problmes en dimension trois.

Remerciements

Je remercie Monsieur Jean-Claude Bremer pour avoir pris en charge mon travail de

candidature.

Je le remercie galement pour son soutien et son aide lors de la ralisation de ce travail.

Table des matires

1 Gomtrie vectorielle de lespace 13

1.1 Lespace vectoriel V3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.1 Vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.2 Structure despace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2 Vecteurs colinaires. Droite vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3 Vecteurs coplanaires. Plan vectoriel de V3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4 Droites et plans. Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.1 Figures coplanaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.2 Positions relatives de deux droites de lespace . . . . . . . . . . . . 15

1.4.3 Positions relatives dune droite et dun plan . . . . . . . . . . . . . 16

1.4.4 Positions relatives de deux plans de lespace . . . . . . . . . . . . . 17

2 Elments de gomtrie analytique 19

2.1 Bases et repres de lespace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Coordonnes dun point, dun vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.1 Coordonnes dun point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.2 Composantes dun vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2.3 Proprits des coordonnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3 Droites de lespace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3.1 Reprsentation paramtrique dune droite . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3.2 Equations cartsiennes dune droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4 Plans de lespace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.4.1 Reprsentation paramtrique dun plan . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.4.2 Equation cartsienne dun plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.5 Vecteurs coplanaires et dterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.5.1 Dterminant dordre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.5.2 Vecteurs coplanaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.5.3 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Table des matires 7

3 Produit scalaire dans lespace 37

3.1 Angle form par deux vecteurs non nuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2 Produit scalaire de deux vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2.1 Dfinition et interprtation gomtrique . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2.2 Proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.3 Orthogonalit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3.1 Orthogonalit de vecteurs, de droites . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3.2 Perpendicularit de droite et plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.3.3 Vecteur normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.4 Expression analytique du produit scalaire dans un repre orthonormal . . . 44

3.4.1 Repre orthonormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.4.2 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.4.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.5 Equations cartsiennes dun plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.5.1 Plan dfini par un point et un vecteur normal . . . . . . . . . . . . 45

3.5.2 Paralllisme et perpendicularit de plans . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.5.3 Distance dun point un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.6 La sphre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.6.1 Dfinition et proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.6.2 Equation cartsienne dune sphre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.6.3 Equation de la sphre de diamtre [AB] . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.6.4 Intersection dune sphre et dun plan . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.6.5 Equation du plan tangent une sphre . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.6.6 Intersection dune sphre et dune droite . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.7 Application. Distance dun point une droite de lespace . . . . . . . . . . 58

3.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

8 Cours de gomtrie analytique de lespace

4 Produit vectoriel. Produit mixte. 67

4.1 Orientation des repres de lespace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.2 Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.2.1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.2.2 Proprits du produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.3 Bases orthonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.4 Rgles de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.4.1 Antisymtrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.4.2 Bilinarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.5 Coordonnes du produit vectoriel dans une base orthonormale directe . . . 72

4.6 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.6.1 Equation cartsienne dun plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.6.2 Intersection de deux plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.6.3 Calcul daire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.6.4 Distance dun point une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.7 Produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.7.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.7.2 Interprtation gomtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.7.3 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.7.4 Proprit: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.8 Expression analytique du produit mixte dans une base orthonormale directe. 81

4.9 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.9.1 Equation dun plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.9.2 Calcul de volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.9.3 Distance de deux droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.9.4 Perpendiculaire commune deux droites gauches. . . . . . . . . . . 86

4.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5 Problmes divers. Applications 99

A Solutions des exercices 111

A.1 Solutions des exercices du chapitre 1 et 2, voir 2.6 . . . . . . . . . . . . . . 111

A.2 Solutions des exercices du chapitre 3, voir 3.8 . . . . . . . . . . . . . . . . 121

A.3 Solutions des exercices du chapitre 4, voir 4.10 . . . . . . . . . . . . . . . . 137

Table des matires 9

Introduction

Depuis des annes de ma carrire denseignante, jai constat que beaucoup dlves ne se

sentaient pas laise en gomtrie dans lespace.

Les raisons peuvent tre multiples: certains naiment pas ce domaine dautres ont des

lacunes; mais part a beaucoup dlves ont des problmes simaginer une situation

concrte en dimension trois.

Ainsi cette aversion des lves pour la gomtrie dans lespace ma motive dcrire ce

cours et de le prsenter dans mon travail de candidature.

En premier lieu jai essay de ne pas baser la matire uniquement sur des axiomes pour

que le cours soit plus accessible et comprhensible pour les lves.

Dautre part en prsentant certains problmes de diffrentes manires jespre veiller chez

les lves un meilleur sens de lorientation dans lespace.

Entre autre dans les diverses applications il est important que les lves puissent simaginer

une situation dans lespace pour pouvoir rsoudre ces problmes.

Finalement je peux mimaginer quen classe on obtient cette visualisation en dimension

trois par une prsentation des problmes sur lordinateur.

Introduction 11

1 Gomtrie vectorielle de lespace

1.1 Lespace vectoriel V3

La prsentation de la notion de vecteur dans lespace est analogue celle des vecteurs du

plan. Nous nous limiterons dans ce premier chapitre rappeler les notions principales.

1.1.1 Vecteurs

Soient A et B deux points distincts de lespace.

Le vecteurAB est dtermin par:

B

A

sa direction: celle de la droite (AB) son sens: de A vers B sa norme: la distance AB, note

ABLes vecteurs de lespace ont les mmes proprits que les vecteurs du plan.

1.1.2 Structure despace vectoriel

De la mme faon que dans V2, on dfinit dans lespace:

la somme de deux vecteurs a et b , note a + b

le produit dun vecteur u par un rel , not u .

Dans lespace, laddition des vecteurs et la multiplication dun vecteur par un rel pos-

sdent les mmes proprits que les oprations correspondantes dans le plan. Donc

lensemble des vecteurs de lespace muni de laddition et de la multiplication par un

rel a une structure despace vectoriel rel, not (V3,+, )

1.2 Vecteurs colinaires. Droite vectorielle

Dfinition:

Deux vecteurs non nuls de lespace sont colinaires si et seulement

si

lun des deux est le produit de lautre par un nombre rel.

Soient u , v deux vecteurs non nuls de V3u et v colinaires k R tel que u = kv ou v = ku

1. Gomtrie vectorielle de lespace 13

Remarques:

1. Le vecteur nul est colinaire tout vecteur u car 0 = 0u

2. Deux vecteurs non nuls sont colinaires si et seulement si ils ont la mme direction.

3. Deux vecteurs u et v sont colinaires si et seulement si il existe des rels et non nuls tels que u + v = 0

1.3 Vecteurs coplanaires. Plan vectoriel de V3

Dfinition:

Soient u ,v ,w trois vecteurs de V3 et A un point quelconque delespace, on dfinit les points B,C,D par:AB = u ,AC = v ,AD = w .

A

B

DC

u

vw

u,v ,w sont dits coplanaires siles quatre points A,B,C,D ap-

partiennent un mme plan.

Remarques:

1. Si lun au moins des vecteursu ,v ,w de V3 est nul, les trois vecteurs sont coplanaires.

2. Si deux des vecteursu ,v ,w de V3 sont colinaires, les trois vecteurs sont coplanaires.

3. u et v tant deux vecteurs non colinaires, les vecteurs u ,v ,w de V3 sontcoplanaires si et seulement si il existe des rels et tels que w = u + v .On dit encore que w est une combinaison linaire des vecteurs u et v ou que lesvecteurs u ,v ,w sont linairement dpendants.

4. Soit A un point quelconque de lespace et B,C,D les points dfinis parAB = u ,

AC = v , AD = w .Les trois vecteurs

AB,

AC et

AD ne sont pas coplanaires quivaut ABCD est un

ttradre.


1.4 Droites et plans. Dfinition

1.4.1 Figures coplanaires

Deux figures sont coplanaires si elles sont contenues dans un mme plan.

1.4.2 Positions relatives de deux droites de lespace

1. Deux droites distinctes sont scantes si elles ont un seul point commun. Dans ce

cas elles sont coplanaires.

A

B

Da b

C

2. Deux droites distinctes sont strictement parallles si elles sont coplanaires et nont

pas de point commun.

AB

D

a

b

C

E F

H G


3. Deux droites sont gauches si elles ne sont pas coplanaires et nont aucun point

commun.

A

B

D

a

b CH

Remarque:

Deux droites sont parallles si elles sont confondues ou strictement parallles.

1.4.3 Positions relatives dune droite et dun plan

1. Une droite et un plan sont scants sils ont exactement un point en commun.

2. Une droite et un plan sont strictement parallles sils nont aucun point commun.

3. Une droite est incluse dans un plan si elle a au moins deux points communs avec le

plan.

Cas particulier:

Une droite est perpendiculaire un plan si elle est perpendiculaire deux droites scantes a

et b de ce plan.


1.4.4 Positions relatives de deux plans de lespace

1. Deux plans distincts sont scants sils ont une seule droite en commun qui est appele

intersection de deux plans.

A B

D C

E F

H G

2. Deux plans distincts sont strictement parallles sils nont aucun point en commun.

A B

D C

E F

H G

Remarque:

Deux plans sont parallles sils sont confondus ou strictement parallles.

Cas particulier:

Deux plans distincts sont perpendiculaires si lun contient une droite perpendiculaire

lautre.


2 Elments de gomtrie analytique

2.1 Bases et repres de lespace

Dfinition:

On appelle base de lespace vectoriel V3, tout triplet(i ,j ,k)

de vecteurs non coplanaires.

Proprit:

Si(i ,j ,k)

est une base de V3 et sil existe trois rels x, y, z tels

que xi + y

j + z

k = 0 alors x = y = z = 0

Dfinition:

On appelle repre de lespace tout quadruplet(O,i ,j ,k)

o O

est un point de lespace et(i ,j ,k)

une base de V3. Le point O

est appel origine du repre.

K

J

I

O

k

j

i

Remarque:

Si on appelle I, J,K les points de lespace tels queOI =

i ,OJ =

j ,OK =

k , la

donne des quatre points O, I, J,K est quivalente celle du repre(O,i ,j ,k).

2. Elments de gomtrie analytique 19

2.2 Coordonnes dun point, dun vecteur

2.2.1 Coordonnes dun point

Thorme:

Soit(O,i ,j ,k)

un repre de lespace. Pour tout point M de

lespace, il existe un triplet unique (x, y, z) de rels tel queOM = x

i + y

j + z

k

x, y, z sont les coordonnes du point M dans le repre(O,i ,j ,k)

et les composantes du vecteurOM dans la base

(i ,j ,k).

x est labscisse, y lordonne et z la cote.

Dmonstration:

K

J

I

O

k

ji

M

M

Mexistence:

Soit(O,i ,j ,k)

un repre de

lespace et M un point quelconque.

Soit M le projet de M sur le plan(O,i ,j)

paralllement la droite

d(O,k)

et soit M le point de d tel

queOM =

M M .

Comme M appartient (O,i ,j)

il existe deux rels x et y tels queOM = x

i + y

j .

Dautre part M d donc il existe z R tel que OM = zk .OM MM tant un paralllogramme

doOM =

OM +

M M

=OM +

OM

OM = x

i + y

j + z

k

unicit:

SupposonsOM = x

i + y

j + z

k et

OM = x

i + y

j + z

k

on a: (x x)i + (y y)j + (z z)k = 0donc (x x) = (y y) = (z z) = 0

et par suite x = x, y = y, z = z


2.2.2 Composantes dun vecteur

Thorme:

Soit(i ,j ,k)

une base de V3. Pour tout vecteuru de V3, il

existe un unique triplet (x, y, z) de rels tel que:u = xi + yj + zk

x, y, z sont les composantes de u dans la base(i ,j ,k).

en effet: Soit(O,i ,j ,k)

un repre de lespace.

Soit M (x, y, z) un point de lespace

A tout vecteur u de V3 on associe le point M unique tel que OM = u

donc u = xi + yj + zk

2.2.3 Proprits des coordonnes

Les proprits sont analogues celles du plan, nous nous limiterons les numrer.

Composantes dun vecteur

Soit(i ,j ,k)

une base de V3, un rel etu

xyz

, u x

y

z

deux vecteurs de V3

1. u = u

x = x

y = y

z = z

2.(u +u)

x+ x

y + y

z + z

3. (u )

xyz

Coordonnes dun point

Soient(O,i ,j ,k)

un repre de lespace et A (xA, yA, zA), B (xB, yB, zB) deux points

de lespace


1. A = B

xA = xB

yA = yB

zA = zB

2.AB

xB xAyB yAzB zA

3. M = mil [AB] avec M

(xA + xB

2,yA + yB2

,zA + zB2

)

2.3 Droites de lespace

Dans tout ce paragraphe, on considre(O,i ,j ,k)

un repre de lespace.

2.3.1 Reprsentation paramtrique dune droite

a) Droite dtermine par un point et un vecteur directeur

Soit A (x0, y0, z0) un point de lespace et soitu

un vecteur non nul.M (x, y, z) d (A,u ) AM est colinaire u .

R tel que AM = u R tel que OM = OA+ u

R:

x = x0 +

y = y0 +

z = z0 +

(1)

le systme (1) est appel systme dquations paramtriques de la droite d (A,u ) et uest appel vecteur directeur de la droite d.

b) Droite dtermine par deux points

Soient A (xA, yA, zA) et B (xB, yB, zB) deux points donns.

On se ramne au cas a) en prenant comme vecteur directeur de la droite (AB) le vecteuru = AB


Donc

M (x, y, z) (AB) R tel que AM = u

R :

x = xA + (xB xA)y = yA + (yB yA)z = zA + (zB zA)

R :

x = (1 )xA + xBy = (1 )yA + yBz = (1 )zA + zB

Le systme est un systme dquations paramtriques de la droite (AB).

2.3.2 Equations cartsiennes dune droite

Soit une droite d passant par A(x0, y0, z0) et de vecteur directeuru

.

Alors d

x = x0 +

y = y0 +

z = z0 +

1. Si = 0, = 0 et = 0on a:

d

x x0 = y y0 = z z0 =

x x0

=y y0

=

z z0

x x0

=

z z0

y y0

=z z0

x = x0 +

(z z0)

y = y0 +

(z z0)

x =

z + x0

z0

y =

z + y0

z0


posons

= a,

= a, x0

z0 = b et y0

z0 = b

, on obtient un systme

dquations cartsiennes de la droite d

d {

x = az + b

y = az + b

2. Si une composante relle du vecteur u est nulle, supposons par exemple = 0,on a:

u = i + j est un vecteur parallle au plan xOy et le systme (1) devient:x x0 = y y0 =

z = z0

x x0

=y y0

z = z0

on obtient donc un systme dquations cartsiennes de la droite d:

d {

y = mx+ p

z = z0

3. Si deux composantes relles du vecteur u sont nulles,supposons par exemple = = 0 et = 0On a u = k est un vecteur parallle (Oz).Par consquent un systme dquations cartsiennes de d est

d {

x = x0

y = y0

En gnral:

Quels que soient les rels a, b, c, d, a, b, c, d{ax+ by + cz = d

ax+ by + cz = d

est un systme dquations cartsiennes dune droite .

Les deux quations du systme reprsentent deux plans dont lintersection est la droite

en question.


2.4 Plans de lespace

2.4.1 Reprsentation paramtrique dun plan

a) Plan dtermin par un point et deux vecteurs directeurs

Soit A(xA, yA, zA) un point de lespace et soientu

et v

deux vecteursnon colinaires

M(x, y, z) pi(A,u ,v ) AM,u et v sont coplanaires.

r, s R tels que AM = ru + sv

r, s R :

x xAy yAz zA

= r

+ s

r, s R :

x = xA + r+ s

y = yA + r + s

z = zA + r + s

(1)

Le systme (1) est appel systme dquations paramtriques du plan pi.

b) Plan dtermin par trois points

Soient A,B,C trois points non aligns de lespace

A

C

B M

p

On sait quun point M appartient au

plan (ABC) ssiAM ,

AB,

AC sont

coplanaires. Ainsi on peut tablir les

quations paramtriques de (ABC)

de la mme faon que a)

2.4.2 Equation cartsienne dun plan

Reprenons le plan dfini sous 2.4.1

(1)

x xA = r+ sy yA = r + sz zA = r + s

(1)

(2)

(3)


Combinons les deux premires quations pour dterminer s et r

(1) (2) : (x xA) (y yA) = s( )(1) (2) : (x xA) (y yA) = r( )or = 0donc on a:

s =(x xA) (y yA)

et r =(x xA) (y yA)

Remplaons s et r dans (3)

z zA = (x xA) (y yA)

+(x xA) (y yA)

z zA =

x+ y +

xA +

yA

Cette dernire quation est de la forme

a x+ b y + c z + d = 0

avec a, b, c et d R.Cette quation sappelle quation cartsienne du plan pi (A,u ,v )

2.5 Vecteurs coplanaires et dterminant

2.5.1 Dterminant dordre 3

Dfinition:

Soient u

abc

, u a

b

c

, u a

b

c

trois vecteurs delespace.

On appelle dterminant des vecteurs u ,u ,u , not

det(u ,u ,u) =

a a a

b b b

c c c

,le nombre rel abc + abc+ abc abc abc abc


Calcul dun dterminant dordre3:

rgle de Sarrus:

a

c

b

a

c

b

a

c

b

a

c

b

a

c

b

+ + +

-- -

= abc + abc+ abc cba cba cba

ou bien

rgle des cofacteurs:a a a

b b b

c c c

= ab bc c

ba ac c

+ ca ab b

2.5.2 Vecteurs coplanaires

Soient u

abc

, u a

b

c

, u a

b

c

trois vecteurs de lespaceavec u non colinaire u .u ,u ,u sont coplanaires si et seulement si il existe et rels tels que

u = u + u

a = a+ a

b = b+ b

c = c + c

(1)

(2)

(3)

b(1) a(2) : ba ab = (ba ab)b(1) a(2) : ba ab = (ba ba)Comme u et u ne sont pas colinaires, ab ba = 0 et on obtient:

=ba abba ba et =

ba abba ab


Remplaons les expressions de et dans (3):

c(ba ba) = (ba ab)c (ba ab)c cba cba bac+ abc+ bac abc = 0 abc + abc+ abc abc abc abc = 0

det(u ,u ,u) = 0do

Thorme:

Soientu ,u ,u trois vecteurs de lespaceu ,u ,u sont coplanairesssi det(u ,u ,u) = 0

Consquence:

Trois vecteurs de lespace forment une base ssi leur dterminant est non nul.

2.5.3 Application

Dterminer lquation cartsienne dun plan donn par un point A(xA, yA, zA) et deux

vecteurs directeurs u

u1u2u3

et v v1v2

v3

M(x, y, z) (A,u ,v ) AM,u ,v sont coplanaires

det(AM,u ,v ) = 0

x xA u1 v1y yA u2 v2z zA u3 v3

= 0En dveloppant ce terminant on obtient une quation cartsienne de .


2.6 Exercices

Exercice 1

On considre le paralllpipde ABCDEFGH et les points K, M , R, S et T de la figure

ci-dessous (M et R tant les milieux respectifs de [CG] et [BC]):

A B

D

SK

C

EF

H G

RT

M

1. Donner, relativement la base B1 =(AB,

AD,

AE

), les composantes des vecteurs

AB,

AC,

AD,

AE,

AF ,

AG,

AH,

AM ,

AS,

AR et

AK.

2. Mme question relativement la base B2 =(CM,

CD,

BR

).

Exercice 2

A

B

J

C

K

D

L

S

M

P

I

Q

G

R

N

Soit un ttradre ABCD,

I, J,K, L,M,N les milieux respectifs des artes [AB], [BC], [CD], [DA], [AC] et [BD],

P,Q,R, S les centres de gravit respectifs des triangles ABC, BCD, ACD et ABD,

G le centre de gravit du ttradre.

Donner les coordonnes de tous ces points dans le repre (A,AB,

AC,

AD).


Exercice 3

Relativement une base B = (e1 ;e2 ;e3 ) de V3, on considre les vecteurs suivants:

a

121

,b 211

,c 74

1

,

d

123

,e 123

2

,f 21

5

.1. Dterminer si les vecteurs a , b et c sont coplanaires,

2. Dterminer si les vecteursd , e et f sont coplanaires.

Exercice 4

Relativement une base B de V3 , on considre les vecteurs:

a

132

,b 085

,c 21811

,

d

351410

,f 21

0

.1. Calculer les composantes des vecteurs

u = 2a b + 2d , v = c + 3f ,w = 1

2a 1

3c + 2d et t = 2a + 3b c .

2. Montrer que les vecteurs a , b et c sont linairement dpendants.

Exercice 5

Relativement une base B de V3 , on considre les vecteurs:

a

620

,b 933

,c 03

2

.1. Dterminer le vecteur v tel que v + 2a = b 2c .


2. Dterminer le vecteur w tel que 6(c a + 12w ) + 2b = 0 .

3. Dterminer le vecteurt tel que 5

t a = 3

2(2c 3

2

t ) + 5

6

b .

Exercice 6

Trouver un systme dquations cartsiennes

1. des axes de coordonne x, y, et z;

2. de la droite passant par A(1, 2,3) et de vecteur directeur v

312

;3. de la droite passant par A(2, 1,3) et B(2, 1, 5).

Exercice 7

Trouver des quations paramtriques et des quations cartsiennes de la droite d

1. comprenant les points A(1, 5, 2) et B(3, 1, 1);

2. comprenant le point D(1,2, 3) et de vecteur directeur u

203

Exercice 8

Dterminer les rels a et b pour que le point A(2a + 1, b + 2, a 4b) appartienne ladroite d, lorsque

1. d x 24

=y

2=

z 13

2. d

x = 2 1

y =

z = 3 + 1

Exercice 9

Dterminer pour chacune des droites ci-dessous, un systme dquations paramtriques et

les composantes dun vecteur directeur lorsque:

1. d {

2x+ y z = 4x+ y 4z = 2


2. d {

3x 2y + z = 43x 3y + z = 6

3. d {

x = 2

z = 4

Exercice 10

Trouver un systme dquations paramtriques et un systme dquations cartsiennes de

chacune des droites ci-dessous:

1. qui passe par A (1, 2, 3) et a pour vecteur directeurd

022

;2. qui passe par A (2, 3, 5) et B (1, 5, 7) ;

3. qui passe par A (3, 5, 2) et est parallle (O,k)

;

4. qui passe par A (0,2,7) et est parallle (O,i)

;

5. qui passe par A (8, 6,12) et est parallle au segment [BC] , o B (4, 0,2) etC (5,2, 3).

Exercice 11

Trouver un systme dquations paramtriques et une quation cartsienne du plan pi

comprenant le point A(3, 1, 2) et de vecteurs directeurs a

123

et b 12

3

.Exercice 12

Trouver une quation cartsienne du plan comprenant les points M(1, 2,3), N(3,2, 1)et P (1, 1,2).


Exercice 13

Dterminer une quation cartsienne des plans de coordonne, savoir les plans xOy,

yOz, xOz.

z

y

x

1

1

10

O

Exercice 14

Dterminer le rel m pour que le point (2m 3,m + 1, 1 2m) appartienne au plan pidquation 2x 3y z 1 = 0.

Exercice 15

Dans un repre de lespace, on donne les points

A(3,1, 2), B(1, 2,3) et C(0, 3,1).

Le point D(7, 10, 13) et le point E(4,5, 1) appartiennent-ils au plan (ABC)? Rpondresans tablir une quation du plan.

Exercice 16

On suppose a > 0, b > 0, c > 0.

Identifier lensemble des points M(x, y, z) dquation|x|a+|y|b+|z|c= 1.

Exercice 17

Dterminer lquation cartsienne du plan passant par le point P (4, 2, 1) et contenant

la droite d

x = 2 + k

y = 1 3kz = 3 + k


Exercice 18

1. Dterminer lquation cartsienne du plan passant par le point P (2,5, 3) etparallle au plan

xyz

= 22

4

+ k 11

2

+ n 311

2. Mme question avec le point P (2, 2,2) et le plan x 2y 3z = 0.

Exercice 19

On donne les quations de deux droites d et d. Dans chaque cas indiquer si ces droites

sont scantes, strictement parallles, confondues ou gauches.

1. d

x = 1 + 3k

y = 2 5kz = 5 + k

d

x = 2 6ny = 3 + 10n

z = 4 2n

2. d

x = 2 5ky = 3 + 2k

z = 5 4kd

x = 2 5ny = 3 2nz = 5 4n

3. d

x = 7 + 2k

y = 5 6kz = 3 + 3k

d

x = 6 + 4n

y = 1 12nz = 5 5n

4. d {

x+ y = 4

2y + z = 5d

{x+ 3y + z = 9

x y z = 1

Exercice 20

On considre la droite d1 passant par le point A (2, 1, 1), de vecteur directeur

1mm 1

,ainsi que la droite d2 passant par le point B (5, 2,7),

de vecteur directeur

2m32

(m R).Etudier, selon les valeurs de m, les positions relatives des droites d1 et d2.


Exercice 21

On donne les six points

A (1, 4, 1) B (2,8, 3)C (5,11, 5) P (3, 5,1)Q (3,11,1) R (0,3, 1) .

Montrer que les plans (ABC) et (PQR) sont parallles.

Exercice 22

On donne les quations de deux plans pi et pi. Dterminer dans chaque cas si ces plans

sont scants, strictement parallles ou confondus.

1. pi 3x 2y + 5z 4 = 0 pi 3x+ 2y + 5z 4 = 0

2. pi 3x 2y + 5z 4 = 0 pi 6x 4y + 10z 7 = 0

3. pi 3x 2y + 5z 4 = 0 pi 15x+ 10y 25z + 20 = 0

4. pi

x = 1 + 3k 2ny = 1 k + nz = 3 + k n

pi

x = 2 p+ 5qy = 2 2qz = 2 + 2q

5. pi

x = 1 + 3k 2ny = 2 k + nz = 3 + k n

pi

x = 1 + 6p 2qy = 2 2p+ 2qz = 3 + 2p q

6. pi

x = 1 + 3k ny = 2 + k + n

z = 3 + k npi

x = 2 + p+ 6q

y = 2 + p+ 2q

z = 2 + 2q

Exercice 23

Dans chaque cas dterminer les coordonnes du point dintersection de la droite d et du

plan dfini ci-dessous:

1. d

x = 4 5ky = 8 + 6k

z = 3 k 2x+ 3y z 5 = 0

2. d

x = 1 + 2k

y = 3 + kz = 2 k

2x y + 3z + 1 = 0


3. d

x = 3 + 2k

y = 5 + k

z = k

2x y + 3z + 5 = 0

4. d

x = 6 4ky = 4 + 3k

z = 5 + 7k

x = 1 + 3p 5qy = 2 + 7p+ 2q

z = 6 + 4p+ 3q

Exercice 24

Dterminer une reprsentation paramtrique de la droite dintersection des deux plans

et , dans les cas suivants:

1. x 2y + z + 3 = 0 x+ y 3z 2 = 0

2. x 2y + z = 0 :plan comprenant les points P (2, 3, 1) , Q (3, 0, 2) et R (1, 2, 3)

Exercice 25

Soit les points O (0, 0, 0), A (1, 0, 0), B (0, 1, 0) et C (0, 0, 1) . Soit le plan passant par A

et parallle au plan (OBC), le plan passant par B et parallle au plan (OAC) et le

plan passant par C et parallle au plan (OAB).

1. Dterminer les coordonnes du point dintersection P des trois plans , et .

2. Le point P appartient-il au plan (ABC)?

Exercice 26

Dterminer les quations cartsiennes et paramtriques de la droite dintersection du plan

comprenant les points (2, 1,1), (4, 2,3) , (6, 3, 0) et du plan comprenant le point(1,2, 3) et de vecteurs directeurs (1, 1, 1) et (2, 1, 4) .


3 Produit scalaire dans lespace

3.1 Angle form par deux vecteurs non nuls

Soientu etv deux vecteurs non nuls et A,B,C trois points non aligns tels queu = ABet v = AC

u

v

A

C

B

2pi

Langle orient = BAC , indpendants des reprsentants de u et v choisis, est appelangle form par les vecteurs u et v .

3.2 Produit scalaire de deux vecteurs

3.2.1 Dfinition et interprtation gomtrique

En sinspirant des dfinitions du produit scalaire dans le plan, on peut dfinir le produit

scalaire dans lespace de la faon suivante:

Dfinition:

Soient u et v deux vecteurs de V3.On appelle produit scalaire de u par v , not u v ,le nombre rel dfini par:

u v ={

0 si u = 0 ou v = 0u v cos si u = 0 et v = 0

tant langle form par u et v .

Interprtation gomtrique

Soient u = AB = 0 , v = AC = 0 et langle form par u et v .Distinguons diffrents cas:

3. Produit scalaire dans lespace 37

1er cas: = 0, u et v ont mme sens

u

vA C B

= 0

u v = u v cos = u v = AB AC2e cas: = pi, u et v ont mme direction et sont de sens contraires.

uv AC B

= pi

u v = u v cospi (1)

= AB AC

3e cas: = pi2, u v

u

v

A

C

B

u v = u v cos pi2= 0

4e cas: 0 < < pi2

u

v

A

C

B

H

Soit H la projection orthogonale de C sur (AB) alors le triangle (ACH) est rectangle en

H et on a: cos =AH

AC

do u v = u v AHAC

= AB AC AHAC

= AB AH


5e cas: pi2< < pi

v

C

pi

H uA B

Soit H la projection orthogonale de C sur (AB) dans le triangle AHC on a:

cos(pi ) = AHAC

cos = AHAC

cos = AHAC

do u v = u v (AHAC

) = AB AH

En gnral:

u v = AB AC = AB AH o H est la projection orthogonalede C sur (AB).

AB et AH tant des mesures algbriques.

Le calcul du produit scalaire des vecteursAB et

AC de lespace se ramne au produit

scalaire de ces vecteurs dans le plan contenant A,B et C; il ne dpend pas du choix du

point A de lespace. Il possde les proprits suivantes:

3.2.2 Proprits

u , v , w de V3 et R on aa) u v = v u , le produit scalaire est symtriqueb) u (v) = (u v )c) u (v +w ) = u v +u w


en effet

Considrons trois vecteurs quelconques u = OA, v = OB, w = OC

O

B

A

C

u

v

w

H

K

Soit H la projection orthogonale de B sur (OA)

et K la projection orthogonale de C sur (OA)

On a:u v +u w = OA OB +OA OC

= OA OH +OA OK= OA (OH +OK)

OH +

OK est la projection orthogonale du vecteur

OB +

OC

doOA (OB +OC) = OA (OH +OK)

et doncOA (OB +OC) = OA OB +OA OC

d) u =u 2 o u 2 = u u est appel carr scalaire de u

e) |u v | u v f) u +v u + v g) Langle des deux vecteurs u et v et donn par:

cos =u v

u v

3.3 Orthogonalit

3.3.1 Orthogonalit de vecteurs, de droites

Dfinition:

Deux vecteurs u et v sont orthogonaux lorsque u v = 0.

Proprit:

Soient deux droites d(A,u ) et d(B,v )d et d sont orthogonales ssi u v = 0.


Dmonstration:

Soient d(A,u ) et d(A,u ) deux droites de lespace

A

d

v

A

d

v

u

Soit la droite passant par A et parallle d

On a:

d d d

Et dans un plan contenant d et , ces droites sont perpendiculaires ssi u v = 0

3.3.2 Perpendicularit de droite et plan

Proprit:

Une droite d(A,u ) et un plan P (B,v ,w ) sont perpendiculairesssi u v = 0 et u w = 0

Dmonstration:

A

w

v

d

B

u

PPPP


Les droites (B,w ) et (B,v ) sont scantes.On a

d P ssi d et d

u w = 0 et u v = 0

3.3.3 Vecteur normal

Dfinition:

Soit un plan P de lespace.u est appel un vecteur normal P lorsque

u un vecteur directeur dune droite perpendiculaire P .

Proprit:

Soit P un plan et soit u un vecteur.u est un vecteur normal P

ssi

{ u = 0 etu est orthogonal 2 vecteurs non colinaires de P

Dmonstration:

Soit u = 0 et soit d une droite de vecteur directeur u .Soient u et v deux vecteurs non colinaires de P et soit A un point de P . Alors (A,v )et (A,w ) sont deux droites scantes de P .

Supposons u normal PDonc d Pcest dire d et d

do u v = 0 et u w = 0

Rciproquement, supposons u v et u wAlors d et d

Comme d est orthogonale deux droites scantes de P , d est perpendiculaire P

Ainsi u est un vecteur normal P .


3.3.4 Applications

Proprit:

Soit P le plan passant par un point A et ayant un vecteur normalu .Alors M P , u AM = 0

Dmonstration:

Si M = A alors u AM = u 0 = 0

Si M = A et M P alors (AM) d(A,u )donc u AM = 0

Thorme:

Soit A un point et u un vecteur non nulLe plan passant par A et de vecteur normal uest lensemble des points M tels que u AM = 0

Dmonstration:

Soit d la droite passant par A et de vecteur directeur u .Soit P le plan passant par A et perpendiculaire d.

Etant donn un point M tel que u AM = 0, soit M1 le projet orthogonal de M sur P .On a:

AM =

AM1 +

M1M

donc u AM = u AM1 +u M1MComme M1 P , u AM1 = 0 et u AM = u M1MAinsi u AM = 0 u M1M = 0Comme u et M1M sont deux vecteurs colinaires on a:u M1M = 0 u = 0

impossible

ouM1M = 0

M1 =Met donc M appartient P.


3.4 Expression analytique du produit scalaire dans un repre

orthonormal

3.4.1 Repre orthonormal

Etant donn les vecteursi ,j ,k et un point O de lespace.(

i ,j ,k)

est une base orthonormale ssii = j = k = 1eti j = j k = k i = 0

Un repre orthonormal(O,i ,j ,k)

est un repre form dun point O et dune base

orthonormale(i ,j ,k)

3.4.2 Produit scalaire

Thorme:

Soit(i ,j ,k)

une base orthonormale et des vecteurs u et v decomposantes respectives (x, y, z) et (x, y, z) dans cette base.

Alors u v = xx + yy + zz

Dmonstration:

Soient u = xi + yj + zk et v = xi + yj + zkOn a:

u v =(xi + y

j + z

k)(xi + y

j + z

k)

= xxi 2+xy

i j +xzi k +yxj i +yyj 2+yzj k +zxk i +zyk j +zzk 2

Comme(i ,j ,k)

est une base orthonormale,i j = j k = k i = 0

eti 2 =

i 2 = 1, j 2 = j 2 = 1, k 2 = k 2 = 1donc: u v = xx + yy + zz

Thorme:

Soit(i ,j ,k)

une base orthonormale de lespace et u de com-posantes (x, y, z) dans cette base.

Alors

u =

x2 + y2 + z2

Dmonstration:

On a: u 2 = u u = x2 + y2 + z2do u =

u 2 =x2 + y2 + z244 Cours de gomtrie analytique de lespace

3.4.3 Applications

Lespace est rapport un repre orthonormal(O,i ,j ,k).

1) Condition dorthogonalit

Deux vecteurs u

xyz

et v x

y

z

sont orthogonaux u v = 0 xx + yy + zz = 0

2) Distance de deux points

Soient A(xA, yA, zA) et B(xB, yB, zB) deux points.

On a:

AB =AB =(xB xA)2 + (yB yA)2 + (zB zA)2

3) Angle de deux vecteurs

Soient u

xyz

et v x

y

z

deux vecteurs non nuls de lespace.On a:

u v = u v cos o est langle form par u et v .

xx + yy + zz =

x2 + y2 + z2 x2 + y2 + z2 cos do cos =

xx + yy + zzx2 + y2 + z2 x2 + y2 + z2

3.5 Equations cartsiennes dun plan

Lespace est rapport un repre orthonormal(O,i ,j ,k).

3.5.1 Plan dfini par un point et un vecteur normal

Proprit:

Soit A(xA, yA, zA) un point de lespace etu

abc

un vecteur.Soit P le plan passant par A et de vecteur normal u .M(x, y, z) P a(x xA) + b(y yA) + c(z zA) = 0


Dmonstration:

Soit P le plan passant par A(xA, yA, zA) et de vecteur normalu

abc

M(x, y, z) P u AM = 0

a(x xA) + b(y yA) + c(z zA) = 0Thorme:

Soient a, b, c, d des rels avec a, b et c non tous nuls

Lensemble des points M(x, y, z) tels que ax+ by + cz + d = 0

est un plan de vecteur normal u

abc

.Remarque:

ax+ by + cz + d = 0 est une quation cartsienne du plan P .

Dmonstration:

En dveloppant lexpression de la proprit prcdente, on obtient

ax axA + by byA + cz czA = 0 ax+ by + cz axA byA czA = 0 ax+ by + cz + d = 0

o d = axA byA czARciproquement, montrons que

quels que soient a, b, c, d R tel que (a, b, c) = (0, 0, 0),

lensembleE = {M (x, y, z) |ax+ by + cz + d = 0} est un plan de vecteur normaln

abc

.Comme (a, b, c) = (0, 0, 0), lun au moins des nombres a, b, c est diffrent de 0.Supposons par exemple c = 0

do A

(0, 0,d

c

) E car a 0 + b 0 + c (d

c) + d = 0

Appelons P le plan passant par A et de vecteur normal n

abc

, alors46 Cours de gomtrie analytique de lespace

M(x, y, z) P AM n = 0 ax+ by + c(z + d

c) = 0

ax+ by + cz + d = 0 M(x, y, z) E

et par consquent E = P

3.5.2 Paralllisme et perpendicularit de plans

A. Paralllisme

Proprit:

Les plans dquation ax+ by+ cz+ d = 0 et ax+ by+ cz+ d = 0

sont parallles ssi il existe R tel que a = a , b = b etc = c.

Dmonstration:

Soient u

abc

et v a

b

c

. Ces vecteurs sont non nulsP ax+ by + cz + d = 0 est un plan perpendiculaire une droite de vecteur directeuruet P ax + by + cz + d = 0 est un plan perpendiculaire une droite de vecteurdirecteur

u .

P P

u colinaire u

R tel que

a =

b = b

c = c

Si de plus d = d, les deux plans sont confondus

en effet:

P et P ont un point commun M(x0, y0, z0) ssi

ax0 + by0 + cz0 + d = 0

et ax0 + by0 + cz0 + d = 0

ainsi

d = ax0 by0 cz0= (ax0 by0 cz0)= d


B. Perpendicularit

Thorme:

Les plans dquation ax+ by+ cz+ d = 0 et ax+ by+ cz+ d = 0

sont perpendiculaires ssi aa + bb + cc = 0

Dmonstration

u

abc

est un vecteur normal P ax+ by + cz + d = 0

u

a

b

c

est un vecteur normal P ax+ by + cz + d = 0P P u u

u u = 0 aa + bb + cc = 0

3.5.3 Distance dun point un plan

Soit P un plan dquation ax+ by + cz + d = 0

A

H

P

Soit A(x0, y0, z0) un point de

lespace et H la projection or-

thogonale de A sur P .

Considrons la droite passant par A et orthogonale P .

Ainsi n

abc

vecteur normal P est un vecteur directeur .M(x, y, z) (A,n ) k R tel que AM = k n

k R

x = x0 + k ay = y0 + k bz = z0 + k c

Dterminons les coordonnes de H tel que P = {H}


Il faut rsoudre le systme:ax+ by + cz + d = 0

x = x0 + k ay = y0 + k bz = z0 + k c

, k R

(1)

(2)

(3)

(4)

Remplaons (2), (3), (4) dans (1) :

a (x0 + k a) + b (y0 + k b) + c (z0 + k c) + d = 0 k (a2 + b2 + c2) = ax0 by0 cz0 d

Comme n = 0 , a2 + b2 + c2 = 0 et on obtient:

k =ax0 by0 cz0 d

a2 + b2 + c2

En remplaant lexpression de k dans (2), (3), (4), on obtient les coordonnes du point H:

x = x0 aa2 + b2 + c2

(ax0 + by0 + cz0 + d)

y = y0 ba2 + b2 + c2

(ax0 + by0 + cz0 + d)

z = z0 ca2 + b2 + c2

(ax0 + by0 + cz0 + d)

Ainsi la distance de A au plan P est

AH = (x x0)2 + (y y0)2 + (z z0)2=

(a(ax0+by0+cz0+d)

a2+b2+c2

)2 +

( b(ax0+by0+cz0+d)

a2+b2+c2

)2 +

( c(ax0+by0+cz0+d)

a2+b2+c2

)2

=

a2 + b2 + c2

(a2 + b2 + c2) 2(ax0 + by0 + cz0 + d)2

do la distance du point A(x0, y0, z0) au plan P ax+ by + cz + d = 0 est donne par:

d(A,P ) = AH =|ax0 + by0 + cz0 + d|

a2 + b2 + c2()

H tant la projection orthogonale de A sur P.


Remarque:

En utilisant le produit scalaire la distance dun point A un plan P sexprime par:

d(A,P ) = AH =

n AHn

H, tant la projection orthogonale de A sur P et n est un vecteurnormal P .

En effet:

Soit le plan P ax0 + by0 + cz0 + d = 0 de vecteur normal n

abc

.Soit A un point de lespace et H son projet orthogonal sur le plan P.

Alors n et AH sont colinaires.

A

H

P

x

n

On a donc:

n AH = n AH ou n AH = n AH

doncn AH = n AH

ou AH =

n AHn (1)

En utilisant lexpression analytique du produit scalaire, on a:

n AH = a(xH x0) + b(yH y0) + c(zH z0)= axH ax0 + byH by0 + czH cz0

Comme H P on a: axH + byH + czH + d = 0

axH + byH + czH = d


do n AH = d ax0 by0 cz0et

n AH = |ax0 + by0 + cz0 + d|Comme n = a2 + b2 + c2,

(1) devient AH =|ax0 + by0 + cz0 + d|

a2 + b2 + c2on retrouve la formule ()

do:

Proprit:

Dans un repre orthonormal,

soit P un plan dquation ax + by + cz + d = 0 et A(x0, y0, z0) un

point de lespace.

La distance du point A au plan P est gale

d(A,P ) =|ax0 + by0 + cz0 + d|

a2 + b2 + c2

3.6 La sphre

3.6.1 Dfinition et proprits

Dfinition:

Soit un point de lespace et r un nombre rel strictement positif.

On appelle sphre de centre et de rayon r,

lensemble des points M tels que M = r

3.6.2 Equation cartsienne dune sphre

Proprit:

Un point M(x, y, z) appartient la sphre de centre (x, y, z)

si et seulement si

(x x)2 + (y y)2 + (z z)2 = r2 ()

Remarque:

() est une quation cartsienne de la sphre S(, r).


Dmonstration:

M(x, y, z) S(, r) M = r

(x x)2 + (y y)2 + (z z)2 = r

(x x)2 + (y y)2 + (z z)2 = r2

Etudions la rciproque:

En dveloppant () on obtient:

x2 + y2 + z2 2xx 2yy 2zz + x2 + y2 + z2 r2 = 0

Posons: d = x2 + y

2 + z2 r2 , on obtient

x2 + y2 + z2 2xx 2yy 2zz + d = 0

Donc, dterminons lensemble des points M(x, y, z) tels que

x2 + y2 + z2 2xx 2yy 2zz + d = 0

o x, y, z, d sont des rels donns.

Cette quation scrit

(x x)2 + (y y)2 + (z z)2 = x2 + y2 + z2 d (1)

si x2+ y2+ z2d < 0, lgalit(1) nest vraie pour aucun point M et lensemblecherch est vide

si x2 + y2 + z2 d = 0, lensemble se rduit au point

si x2+ y2+ z2d > 0, lgalit(1) devient (xx)2+(y y)2+(z z)2 = r2avec r =

x2 + y2 + z2 d

Lensemble cherch est donc la sphre de centre (x, y, z) et de rayon r.


3.6.3 Equation de la sphre de diamtre [AB]

Proprit:

Soient A et B deux points de lespace. Lensemble des points M de

lespace tel queMA MB = 0 est la sphre de diamtre [AB].

Dmonstration:

Soient A(xA, yA, zA) et B (xB, yB, zB) et I = mil [AB] .

Soit M (x, y, z) un point de lespace alors on a:

MA MB = 0 (MI +IA) (MI +IB) = 0

MI2 +MI IB +IA MI +IA IB = 0Comme I = mil [AB] , on obtient MI2 +MI (IA) +MI IA+IA (IA) = 0

MI2 IA2 = 0 MI2 = IA2

MI2 = IA2 MI = IA M S(I, IA)

do M appartient la sphre de diamtre [AB]

3.6.4 Intersection dune sphre et dun plan

Considrons une sphre S, de centre , de rayon r et un plan P .

H

P

w

u

v

S

Soit H le projet orthogonal de sur P .


Considrons (H,u ,v ,w ) comme repre orthonormal.

Si nappartient pas P , on choisit w = 1H H.Dans ce repre, en notant c la distance de P on a:

coordonnes de (0, 0, c)

quation du plan P z = 0

quation de la sphre S(, r) : S (x 0)2 + (y 0)2 + (z c)2 = r2

S x2 + y2 + (z c)2 = r2

Analysons lintersection de la sphre S et du plan P .

M(x, y, z) S P {

x2 + y2 + (z c)2 = r2z = 0

{

x2 + y2 = r2 c2z = 0

(1)

(2)

Distinguons trois cas

1er cas Si c = r (1) : x2 + y2 = 0

x = 0 et y = 0et S P = {H}

2e cas Si c> r (1) : x2 + y2 = r2 c2 0

S P = {M(x, y, z) M P et M C(H,r2 c2)}do

Proprit:

Soit S une sphre de centre et de rayon r et soit P un plan.

Dsignons par c la distance de P

S P est

vide si c > r

rduite un point si c = r

un cercle de centre H et de rayonr2 c2 si c < r


Remarques:

1. Si c = 0 alors P passe par le centre de S et le cercle SP est appel grand cerclede S.

2. Si c = r alors S P = {H} on dit que P est un plan tangent S.

Dfinition:

P est un plan tangent la sphre S lorsque leur intersection est

rduite un point,

ou bien

un plan P est tangent une sphre S(, r), lorsque d(, P ) = r

3.6.5 Equation du plan tangent une sphre

Exemple

Soit lensemble S dquation

x2 + y2 + z2 6y 4z + 9 = 0 (1)

Dterminer une quation du plan P tangent en A(+2, 2, 3) S

(1) x2 + (y 3)2 + (z 2)2 + 9 = 9 + 4 x2 + (y 3)2 + (z 2)2 = 4

S est une sphre de centre (0, 3, 2) et de rayon r = 2

A(2, 2, 3) S car (2)2 + (2 3)2 + (3 2)2 = 2 + 1 + 1 = 4

y

x

S

z

A


Le plan P tangent en A S est le plan orthogonal en A (A). Donc

M(x, y, z) P A AM = 0 avec A

2 02 33 2

et AM x

2

y 2z 3

2(x

2) + (1) (y 2) + 1(z 3) = 0

2x 2 y + 2 + z 3 = 0

2x y + z 3 = 0

Cas gnral:

Soit S la sphre de centre (a, b, c) et de rayon r

S : (x a)2 + (y b)2 + (z c)2 = r2

Soit A(x0, y0, z0) un point de S.

Le plan P tangent en A S est le plan orthogonal en A (A).

Donc le plan tangent en A S est donn par:

M(x, y, z) P A AM = 0

3.6.6 Intersection dune sphre et dune droite

Considrons une sphre S(, r) et une droite .

Soit P un plan passant par et contenant .

P

S

C

H

d

Le plan P coupe S suivant un grand cercle C.

Appelons d la distance de et soit H le projet orthogonal de sur alors d = H.

Ainsi le problme se rduit une question de gomtrie plane et S = C.


On a donc les 4 cas de figures suivantes:

P

C

P

C

H

P

C

H

P

C

H

do

Proprit:

Soit S une sphre de centre , de rayon r et une droite

Soit d la distance de

Si d < r, S et ont exactement deux points communs Si d = r, S et ont exactement un point commun Si d > r, S et nont aucun point commun


Dfinition:

Une droite est tangente une sphre S(, r) lorsque la distance

de est gale r.

3.7 Application. Distance dun point une droite de lespace

En utilisant les notions vues prcdemment on va exposer sur un exemple diffrentes

mthodes pour dterminer la distance dun point une droite de lespace.

Soit (O,i ,j ,k ) un repre orthonormal de lespace.

Soit le point A(2, 3,1) et la droite b dquations paramtriques

x = 1 + 2t

y = 3 tz = 2 + 3t

(t R)

M

H

b

A

Soit H le projet orthogonal de A sur b, AH est la plus petite des distances de A un

point quelconque M de b de lespace.

Dterminons cette distance.

Premire mthode

A

H

u

b

P


Soit P le plan passant par A et perpendiculaire la droite b. Appelons H le point

dintersection de P et de b, alors AH est la distance demande.

u

213

est un vecteur directeur de b donc un vecteur normal au plan P .Do

M(x, y, z) appartient au plan P passant par A et de vecteur normal u ssi

AM u = 0

2 (x 2) 1 (y 3) + 3 (z + 1) = 0 2x y + 3z + 2 = 0

b P :

x = 1 + 2t

y = 3 tz = 2 + 3t

2x y + 3z + 2 = 0

(1)

(2)

(3)

(4)

(1), (2) et (3) dans (4) : 2(1 + 2t) (3 t) + 3(2 + 3t) + 2 = 0 14t+ 7 = 0 t = 1

2

donc H(0,7

2,1

2)

et AH =

(2)2 + (7

2 3)2 + (1

2+ 1)2 =

26

2

Deuxime mthode

On cherche immdiatement le projet orthogonal de A sur b.

Soitu

213

un vecteur directeur de b, on cherche donc le point H de b tel queAH uSoit H(xH , yH , zH) un point de b tel que

AH u

on a: 2 (xH 2) 1 (yH 3) + 3 (zH + 1) = 0 ()comme H b,t R : H (1 + 2t, 3 t, 2 + 3t)

() 2(1 + 2t 2) 1(3t 3) + 3(2 + 3t+ 1) = 0 t = 1

2

et on retrouve H(0,7

2,1

2) et donc AH =

26

2


Troisime mthode

A

B

b

H

S

On choisit un point B quelconque de la droite b et on cherche lensemble des points H de

lespace tels queAM BM . Daprs le paragraphe 3.6.3 on a vu que cet ensemble est la

sphre S de diamtre [AB]. Ainsi S b nous donne deux points B et H et par consquentAH.

Soit B(1, 3, 2) (t = 0)

Equation de S:

M(x, y, z) S AB BM = 0 (x 2)(x 1) + (y 3)(y 3) + (z + 1)(z 2) = 0 x2 3x+ 2 + y2 6y + 9 + z2 z 2 = 0 x2 + y2 + z2 3x 6y z + 9 = 0

S b : (1 + 2t)2 + (3 t)2 + (2 + 3t)2 3(1 + 2t) 6(3 t) (2 + 3t) + 9 = 0 14t2 + 7t = 0 7t(2t+ 1) = 0 t = 0 ou t = 1

2

On retrouve B pour t = 0 et H(0,7

2,1

2) et donc AH =

26

2

Ceci ne sont que quelques mthodes pour dterminer la distance dun point une droite.

On va en rencontrer dautres dans le chapitre suivant.


3.8 Exercices

Exercice 1

Lespace est rapport un repre (O,i ,j ,k).

Pour les exemples a) d), les vecteurs u et v sont-ils orthogonaux?

a) u

123

v 231

b) u

7

11

23

59

v256

134

7

c) u

375

2

v

3

20

2

d) u

3

77

5

v 91037

2

Exercice 2

Pour les exemples a) d), calculer pour que les vecteurs u et v soient orthogonaux.

a) u

372

v

3

232

b) u

183

v

4

332

c) u

223

v 53

2

d) u

783

v 4

2

32


Exercice 3

Pour les exemples a) d), tant donn le triangle ABC, calculer les longueurs de ses cts

et calculer langle BAC.

a) A(3, 1, 5) B(3, 5, 1) C(1, 5, 5)b) A(1, 1, 5) B(3, 5, 1) C(1, 5, 1)c) A(3, 3, 1) B(3, 5, 5) C(1, 5, 5)d) A(2, 4, 3) B(3,5, 4) C(1, 3,1)

Exercice 4

On considre les points

A(2, 3, 2) B(5, 3,1) C(1, 2,2) D(2, 2, 1).

a) Montrer que ABCD est un losange.

b) Dterminer les mesures en degrs des angles de ce losange.

Exercice 5

On considre les points A(1,2, 1), B(2, 0,3), C(1, 2,2). Dterminer une quationcartsienne du plan passant par C et perpendiculaire la droite (AB).

Exercice 6

Dterminer une quation cartsienne du plan P vrifiant les conditions suivantes:

P passe par A(1,1, 2) et un vecteur normal est u

210

.Exercice 7

Pour les exemples (a) (d), soit une droite d de repre (A,u ) et un plan P donn parune quation cartsienne.

1. Montrer que d nest pas perpendiculaire P .

2. Former une quation cartsienne du plan P contenant d et perpendiculaire P .

a) A(1,2, 1), u

111

,P 2x+ y z = 0


b) A(1, 0, 1), u

121

,P 2x y z + 3 = 0

c) A(3, 2, 1), u

213

,P 3x y 2z + 6 = 0

d) A(1, 3, 1), u

112

,P 2x+ 4y + 3z + 5 = 0

Exercice 8


P passe par A(1,1, 2) et il est parallle au plan Q dquation

3x+ 5y 8z 2 = 0.

Exercice 9


P passe par A(1,1, 2) et B(1, 0, 2) et il est perpendiculaire au plan dquation

3x+ 5y 8z 3 = 0.

Exercice 10


P passe par A(1, 0, 2) et il est perpendiculaire aux plans P etP dquation

P 3x+ 5y 8z 2 = 0 et P x+ y + z 4 = 0.

Exercice 11

On considre les points A(2, 0, 0), B(1, b, 0), C(1, c, 0) et D(0, 0, 3), o b et c sont desrels.

1. Montrer que les droites (AD) et (BC) sont orthogonales.


2. Trouver une condition ncessaire et suffisante portant sur b et c pour que les droites

(AC) et (BD) soient orthogonales.

Cette condition est suppose ralise dans la question suivante:

3. Montrer que les droites (AB) et (CD) sont orthogonales.

Exercice 12

Etant donn un rel m, on considre le plan Pm dquation x+ (2m 1)y +mz 3 = 0.

1. Donner un repre de la droite d intersection de P0 et de P1.

2. Montrer que d est incluse dans tous les plans Pm.

Exercice 13

Etant donn un rel m, on considre le plan Pm dquation m2x+(2m1)y+mz3 = 0.

1. Pour quelle valeur de m le plan Pm passe-t-il par A(1,2, 6)?

2. Montrer quil existe un point et un seul, dont on donnera les coordonnes, qui

appartient tous les plans Pm.

Exercice 14

On considre les points

A(2, 1, 2), B(1, 2, 12), C(1, 0,2) et D(x, y, 1).

1. Montrer que A, B, C ne sont pas coplanaires.

2. Dterminer x et y pour que la droite (OD) soit perpendiculaire au plan (ABC).

3. Calculer alors la distance de D (ABC).

Exercice 15

Calculer les longueurs des hauteurs du ttradre de sommets

A(2, 4, 6), B(4,4, 4), C(5, 0, 3) et D(1, 7, 5).

Exercice 16

On considre les plans et dquations cartsiennes respectives x 2y + 2z = 0 et2x + y 2z = 0. Dterminer lquation du lieu gomtrique des points dont le rapportdes distances aux plans et , dans cet ordre, est gal 2.


Exercice 17

On donne les trois plans , et dquations cartsiennes respectives x2y+2z+4 = 0,2x+ 3y 6z 5 = 0 et 12x+ 2y + 5z = 0. Dterminer les coordonnes des points situssur la perpendiculaire n issue du point P (13, 4, 9) au plan et quidistants des plans

et .

Exercice 18

Pour les exemples 1. 4., former une quation de la sphre:

1. de centre (3, 4, 0) et de rayon 32.

2. de centre (3, 2, 2) et passant par A(1, 3, 0).

3. de points diamtralement opposs A(3,5, 7) et B(1,3, 9).

4. passant par les quatre points:

A(0, 4,1), B(2, 4,5), C(1, 1,5) et D(1, 0,4).

Exercice 19

Pour les exemples 1. 6., tudier lensemble dquation:

1. x2 + y2 + z2 x 3y 4z + 132= 0

2. x2 + y2 + z2 2x+ y 6z + 212= 0

3. 5(x2 + y2 + z2) 8x 3y 4z = 0

4. 2(x2 + y2 + z2) + 6x 2y + 8z + 9 = 0

5. x2 + y2 + z2 2x 4y 6z = 0

6. x2 + y2 + z2 x 3y + 5z 1 = 0

Exercice 20

On considre lensemble dquation x2 + y2 + z2 4x 2y + 6z + 5 = 0.

1. Montrer que cest une sphre S, dont on prcisera le centre et le rayon.

2. Montrer que le plan P dquation 2x y + 3z 2 = 0 coupe S suivant un cercle.

3. Prciser le centre et le rayon de ce cercle.


Exercice 21

Dterminer les coordonnes des points dintersection dune sphre S et dune droite d

dans chacun des cas suivants:

1. S x2 + y2 + z2 2x y + z 3 = 0 d

x = 3 + 2ky = 6 2kz = 4 + k

2. S x2 + y2 + z2 + x+ 2y + 3z 9 = 0 d

x = 2 ky = 4 + k

z = 4 + k

3. S x2 + y2 + z2 3x+ y + 1 = 0 d

x = 1

y = 2 + k

z = 3 + 2k

Exercice 22

Dterminer lquation de la sphre inscrite dans le ttradre de sommets

A(12, 0,2) , B(12,12,2) , C(0, 12,2) et D(4, 4, 6) .

Exercice 23

On donne une sphre S et un point T . Aprs avoir vrifi que T appartient S, trouver

lquation du plan tangent S au point T .

1. S (x+ 3)2 + (y 15)2 + (z 2)2 = 225 T (7, 4, 4)2. S (x 2)2 + (y + 4)2 + (z 3)2 = 289 T (14, 4,6)3. S x2 + y2 + z2 2x 10y + 6z 27 = 0 T (2, 12,5)

4. S 49x2 + 49y2 + 49z2 70x+ 42y 294z + 34 = 0 T (3,1, 87)

Exercice 24

Trouver les quations des plans tangents la sphre dquation

x2 + y2 + z2 + 8x 2y 2z 48 = 0

aux points dintersection de cette sphre avec les axes de coordonnes.

Exercice 25

Montrer que les deux sphres dquations

x2 + y2 + z2 = 81 et x2 + y2 + z2 4x 12y + 6z + 45 = 0

sont tangentes et dterminer lquation de leur plan tangent commun.


4 Produit vectoriel. Produit mixte.

4.1 Orientation des repres de lespace

A. Description

Considrons, dans lespace, un repre (O,i ,j ,k ) et [Ox), [Oy), [Oz) les demi-droites

dorigine O et de vecteurs directeurs respectifsi ,j ,k .

Soient I, J,K trois points dfinis parOI =

i ,OJ =

j ,OK =

k .

Une base (i ,j ,k ) orthonormale, cest--dire telle que

i j = j k = k i = 0 eti = j = k = 1, peut-tre directe ou indirecte.

Un repre (O,i ,j ,k ) est orthonormal direct sil en est de mme de la base (

i ,j ,k ).

Notons que les procds employs pour fixer des conventions (rgle du tire-bouchon, bon-

homme dAmpre) sont extra-mathmatiques, les conventions contraires seraient tout

aussi admissibles.

En mathmatiques on a privilgi un sens appel direct, celui correspondant au vissage

dun tire-bouchon.

La base (i ,j ,k ) est directe si en tournant de

i vers

j , le tire-bouchon senfonce

dans la direction dek .

K

JO

k

j

i

z

y

x

On trouve la mme orientation avec la rgle des trois doigts de la main droite, le triplet

(pouce, index, majeur) dfinit une orientation directe.

4. Produit vectoriel. Produit mixte. 67

Remarque:

Lespace est dit orient quand il est muni dun repre direct.

B. Proprits:

1. Soit (O,i ,j ,k ) un repre direct de lespace.

Pour tout point de lespace, le repre (,i ,j ,k ) est direct.

2. Si (i ,j ,k ) est une base directe, alors

(i ,j ,k ) ; (i ,j ,k ) ; (i ,j ,k ) sont des bases indirectes.3. Si (O,

i ,j ,k ) est un repre direct de lespace, alors

(O,j ,k ,i ) ; (O,k ,i ,j ) sont directs (O,i ,k ,j ) ; (O,j ,i ,k ) ; (O,k ,j ,i ) sont indirects

En effet, une permutation circulaire des 3 vecteurs ne change pas lorientation de lespace;

lchange de deux des trois vecteurs change lorientation.

4.2 Produit vectoriel

4.2.1 Dfinitions

A. Dfinition:

Soient A,B,C trois points non aligns. Le produit vectoriel deAB

etAC, not

AB AC , est le vecteur AD dfini par les conditions

suivantes:

1. la droite (AD) est perpendiculaire au plan (ABC)

2. le repre (A,AB,

AC,

AD) est direct.

3. AD = AB AC sin BAC

D

CA

BA


B. Remarques:

1. AD =AB AC = aire du paralllogramme ABAC construit avec les segments

[AB] et [AC].

En effet,

soit la mesure en radians (O < < pi) de langle non orient BAC, H le projet

orthogonal de C sur (AB).

A

C A

BH

AD =AB AC = AB AC sin

= AB AC CHAC

= AB CH

2. Si A, B, C sont trois points aligns,AB AC = 0

en effet:

A, B, C sont aligns lorsque AB = 0 ou AC = 0

ou si A = B et A = C , sin BAC = 0ainsi il sensuit:

AB AC = 0

C. Produit vectoriel de deux vecteurs

Dfinition:

Soient u et v deux vecteurs de lespace et soit A un point. Onconstruit B et C tels que

AB = u et AC = v .

Le produit vectoriel de u et v , not u v , est AB AC.


Remarque:

Si u et v ne sont pas colinaires, (u ,v , u v ) est une base directe.

4.2.2 Proprits du produit vectoriel

A) Orthogonalit

Thorme:

Soient u et v deux vecteurs de lespace, leur produit vectoriel estun vecteur orthogonal u et v .

Dmonstration:

Si u colinaire v , alors u v = 0 .Or0 est orthogonal tout vecteur de lespace donc en particulier u et v .

Si u nest pas colinaire v , alors daprs la dfinition et la description donnepar la dfinition 4.2.1, u v est un vecteur AD orthogonal au plan (ABC).

cest--direAD AB et AD AC

ou u v u et u v v

B) Colinarit de deux vecteurs

Thorme:

Deux vecteurs u et v sont colinaires,si et seulement si u v = 0

Dmonstration:

Si u colinaires v alors u v = 0

Rciproquement,Supposons u non colinaire vSoient A,B,C trois points tels que

AB = u et AC = v , alors A,B,C ne sont pas

aligns.

Donc AB = 0 et AC = 0 et sin BAC = 0ainsi

AD = AB AC sin BAC = 0do

AD = u v = 0

par consquent u v = 0 u colinaire v .


4.3 Bases orthonormales

Thorme:

Soient u et v deux vecteurs unitaires et orthogonaux et w =u v .

Alors (u ,v ,w ) est une base orthonormale directe.

Dmonstration:

Comme u et v sont orthogonaux et non nuls, u et v ne sont pas colinaires. Donc(u ,v ,u v ) est une base directe.Daprs le thorme du paragraphe 4.2.2 et par hypothse

les vecteurs u ,v ,w = u v sont orthogonaux deux deuxEn plus mes(u ,v ) = pi

2

do w = u v = u v sin(u ,v )= 1 1 sin pi

2= 1

do w est un vecteur unitaire.Ainsi, (u ,v ,w ) est une base orthonormale.

Thorme:

Si (u ,v ,w ) est une base orthonormale directe, alorsw = u v .

Dmonstration:

Soit A un point de lespace.

Construisons B,C,D et D tels queAB = u ,AC = v ,AD = u v et AD = w .

Comme u et v ne sont pas colinaires, A,B et C ne sont pas aligns.Les points D et D appartiennent la droite perpendiculaire au plan (ABC) passant par

A.

(u ,v ,w ) tant une base orthonormale directe donc w = 1 et u v = 1Donc AD = AD

Comme (A,AB,

AC,

AD) et (A,

AB,

AC,

AD) sont directs les points D et D sont dans

le mme demi-espace de frontire (ABC)

Donc D = D

par consquent u v = w


4.4 Rgles de calcul

4.4.1 Antisymtrie

Quels que soient les vecteurs u et v

u v = (v u )

En effet:

si u et v sont colinaires, u v = 0 et v u = 0donc u v = (v u )

supposons u et v non colinaires.Construisons A,B,C tels que

AB = u ,AC = v .

Soient les points D et D tels queAD = u v et AD = v u .

Daprs la dfinition du produit vectoriel les points D et D sont de part et dautre

du point A et A = mil [DD] .

DoncAD = AD

ou u v = (v u )

4.4.2 Bilinarit

On admet les proprits suivantes:

quels que soient les vecteurs u ,v ,w et le rel

u (v +w ) = u v +u w(u +v ) w = u w +v w

u (v ) = (u v )(u ) v = (u v )

4.5 Coordonnes du produit vectoriel dans une base orthonor-

male directe

Soit (i ,j ,k ) une base orthonormale directe de lespace. La proprit suivante rsulte

des rsultats prcdents


a) Proprit:

i i = j j = k k = 0

i j = k et j i = kj k = i et k j = ik i = j et i k = j

b) Coordonnes du produit vectoriel de deux vecteurs

Soit (i ,j ,k ) une base orthonormale directe

Considrons u (x, y, z) et v (x, y, z) deux vecteurs de lespace

On a:

u v = (xi + yj + zk ) (xi + yj + zk )= x

i (xi + yj + zk ) + yj (xi + yj + zk )

+zk (xi + yj + zk )

= xx(i i ) + xy(i j ) + xz(i k ) + yx(j i ) + yy(j j )

+yz(j k ) + zx(k i ) + zy(k j ) + zz(k k )

Daprs la proprit prcdente on obtient:

u v = xyk + xz(j ) + yx(k ) + yzi + zxj + zy(i )= (yz zy)i + (zx xz)j + (xy yx)k

Les coordonnes de u v sont donc:

( y zy z , z xz x

, x yx y

)

Remarque:

Pour le calcul de u v on utilise souvent le pseudo-dterminant suivant:

u v =

i

j

k

x y z

x y z

=

i

y zy zj

x zx z+k

x yx y


4.6 Applications

4.6.1 Equation cartsienne dun plan

Lespace est rapport un repre (O,i ,j ,k )

Soit A(2,3, 1) un point et les deux vecteurs u

111

,v 230

de lespace.Dterminons lquation cartsienne du plan P passant par A et de base (u ,v ).

P

v

u

A

M

P est dtermin par le point A et par un vecteur normal n .Or u et v sont non nuls et non colinairesdonc:

n = u v

=

i

j

k

1 1 12 3 0

=

i

1 13 0j

1 12 0+k

1 12 3

= 3i + 2j + 5k

do n

325

Ainsi

M(x, y, z) P AM n = 0 (x 2) (3) + (y + 3) 2 + (z 1) 5 = 0 3x+ 2y + 5z + 7 = 0 3x 2y 5z 7 = 0


4.6.2 Intersection de deux plans

Lespace est rapport un repre orthonormal direct (O,i ,j ,k ).

Etudions lintersection des deux plans

P 3x 2y z + 2 = 0et P x 2y z 3 = 0

vecteur normal P : n

321

vecteur normal P :n

121

Comme n nest pas colinaire n , les deux plans ne sont pas parallles et P P estune droite d de vecteur directeur u avec u n et u n .Par consquent n n est un vecteur directeur de d.

n n =

i

j

k

3 2 11 2 1

=

i (2 2)j (3 + 1) +k (6 + 2)

n n 024

ou u

012

Dterminons enfin un point A de d,

la droite d ntant pas parallle au plan z = 0 cherchons donc A de cote z = 0:

{3x 2y + 2 = 0 (1)x 2y 3 = 0 (2)

(1) (2) 2x+ 5 = 0 x = 5

2(1) 3 (2) 4y + 11 = 0

y = 114

do A(52;11

4; 0)


Par consquent P P = d avec d passant par A(52;11

4; 0) et de vecteur directeur

u

012

.

4.6.3 Calcul daire

Lespace est rapport un repre orthonormal direct (O,i ,j ,k ).

Soient les points A(2,1, 1), B(0,3, 2) et C(2,3, 4)Dterminons laire du triangle ABC.

AB

221

et AC 02

3

AB et

AC ne sont pas colinaires, on sait que

AB AC est laire du paralllogrammeconstruit sur les vecteurs

AB et

AC.

Do:

laire du triangle ABC est:

A = 12

AB ACRevenons lexemple numrique:

On a:

AB AC =

i

j

k

2 2 10 2 3

=

i (6 + 2)j (6) +k (4)(AB AC

) 464

Ainsi:

A = 12

AB AC=

1

2

42 + 62 + 42

=1

2

68

=1

2

22 17

=17


4.6.4 Distance dun point une droite

Dans le chapitre 3, on a vu en utilisant le produit scalaire comment dterminer la distance

dun point une droite.

Maintenant aprs avoir rencontr la notion du produit vectoriel nous allons dcouvrir une

autre mthode pour dterminer cette distance.

Soit une droite passant par un point A et de vecteur directeur v

A

BH

Mv

Considrons un point B de tel queAB = v .

Soit M un point de lespace et H son projet orthogonal sur .

On a:

AB AM = AB (AH +HM)

=AB AH +AB HM

orAB AH = 0 car AB et AH sont colinaires

doncAB AM = AB HM

etAB AM = AB HM

=ABHM sin pi

2= v d(M, )

do d(M, ) =

AB AMv

ou: d(M, ) =

v AMv

Exemple:

A(2, 0,1), v =

131

, M(2,1, 3), la droite passant par A et de vecteur directeur v


d(M, ) =

v AMv

v AM =

i

j

k

1 3 14 1 4

= 13i + 0

j + 13

k

d(M, ) =

132 + 1321 + 9 + 1

=13211

=1322

11

4.7 Produit mixte

4.7.1 Dfinition

Le produit mixte de trois vecteurs u , v , w , not [u ,v ,w ]est le nombre rel (u v ) w

Remarques:

1. Comme le produit scalaire est symtrique, on a (u v ) w = w (u v )

2. Daprs les proprit du produit scalaire et du produit vectoriel, on obtient

quel que soit rel et quels que soient les vecteurs u , u1, u2, v , w de lespace

[u ,v ,w ] = ((u ) v ) w= (u v ) w= [u ,v ,w ]

[u1 +u2,v ,w ] = ((u1 +u2) v ) w= (u1 v +u2 v ) w= (u1 v ) w + (u2 v ) w= [u1,v ,w ] + [u2,v ,w ]

4.7.2 Interprtation gomtrique

Soient A, B, C, D quatre points non coplanaires de lespace

PosonsAB = u , AC = v et AD = w


HJ

A

w

u

v

U

B

D

C

E

B

C E

Soit ABEC le paralllogramme construit sur les vecteurs u et v .Posons:

AB AC = u v = AU

On sait que AU a mme mesure que laire du paralllogramme ABEC.

Supposons que (AB,

AC,

AD) est de sens direct, alors U et D sont du mme ct du plan

(ABEC)

Soit H le projet orthogonal de D sur (AU),

on a donc

AU AD = AU AH

Comme AH est la hauteur du paralllpipde ABECDBE C de base ABEC,

AU AH en est le volume.Par consquent:

AU AD =

(AB AC

) AD =

[AB,

AC,

AD

]reprsente le volume du paralllpipde.

Si(AB,

AC,

AD

)est de sens indirect, les points U et H sont de part et dautre du plan

(ABEC) et on a:

AU AD = AH AU

DoncAU AD reprsente galement le volume du paralllpipde.


En rsum:

Si A,B,C,D sont quatre points tels queAB = u , AC = v et

AD = w ,[AB,AC,AD] est le volume du paralllpipde construit sur les vecteursAB,

AC et

AD

Remarque:

Daprs linterprtation gomtrique on voit que

[u ,v ,w ] est positif, si (u ,v ,w ) est une base directeet ngatif si (u ,v ,w ) est une base indirecte.Donc [u ,v ,w ] = [w ,u ,v ] = [v ,w ,u ] car ces produits mixtes ont mme valeurabsolue et mme signe. En considrant les rsultats vus pour les bases, on peut dire

quun produit mixte est invariant par permutation circulaire des trois vecteurs, mais se

transforme en son oppos par transposition de deux de ceux-ci.

4.7.3 Exemple

Lespace est rapport un repre orthonorm direct. Soient les points

A(1, 2, 3) B(0, 1, 1, ) C(3, 2, 0) D(1, 1, 2)

Calculons le volume du paralllpipde ABECDBEC dartes [AB], [AC] et [AD][AB,

AC,

AD

]=

(AB AC

) AD

On a:

AB AC =

i

j

k

1 1 24 0 3

= 3

i 5j + 4k

donc(AB AC

) 354

et

(AB AC

) AD = 3 2 + (5) (1) + 4 (1)

= 6 + 5 4= 7

Do le volume du paralllpipde: V = 7 u.a.


4.7.4 Proprit:

En utilisant les notations du paragraphe 4.7.2 ci-dessus, on a:

[AB,

AC,

AD

]= [u ,v ,w ] = |AU AH|

Alors[AB,

AC,

AD

]= 0 AU = 0 ou AH = 0 AB colinaire AC ou D plan (ABC) u colinaire v ou D plan (ABC)

do la proprit

Proprit:

Soient u ,v ,w trois vecteurs de lespace[u ,v ,w ] = 0 u ,v ,w sont coplanaires

4.8 Expression analytique du produit mixte dans une base or-

thonormale directe.

Soit(i ,j ,k)

une base orthonormale directe.

Considrons les trois vecteurs u

xyz

, v x

y

z

et w x

y

z

dans cette base.On sait que

u v

yz yz

zx xzxy xy

donc:

(u v ) w = (yz yz) x + (zx xz) y + (xy xy) z= yzx yzx + zxy xzy + xyz xyz


Or

x x x

y y y

z z z

= x(yz zy) x(yz zy) + x(yz zy)= xyz xzy xyz + xzy + xyz xzy

Par consquent, le produit mixte de trois vecteurs u ,v ,w dans une base orthonormaledirecte

(i ,j ,k)

est le dterminant du triplet (u ,v ,w ) dans cette base.

[u ,v ,w ] =

x x x

y y y

z z z

4.9 Applications

4.9.1 Equation dun plan

Soit P le plan dfini par un point A(xA, yA, zA) et de deux vecteurs directeursu

et v

M(x, y, z) P AM , u , v sont coplanaires

[AM,u ,v

]= 0

Exemple

Dterminer lquation du plan P passant par A(3, 1, 0) et de vecteurs directeursu

210

et v

3

0

2

.M(x, y, z) P (A,u ,v )

[AM , u , v

]= 0

x3 2 3y 1 1 0z 0 2

= 0 (x

3)(2) 2(2(y 1)) +

3(z) = 0

2x+ 23 4y + 4 +

3z = 0 |(1)

2x+ 4y 3z 4 2

2 = 0


4.9.2 Calcul de volume

Soit ABCD un ttradre de sommets A(2, 3, 1), B(4, 1,2), C(6, 3, 7) et D(5 4, 8)

C

A B

D

C

D

B A

Le volume du ttradre est

V =1

6

[AB,AC,AD]On a:

[AB,

AC,

AD

]=

2 4 72 0 73 6 7

= 2 42 + 4 35 + 7 12= 84 + 140 + 84

= 308

do V =1

6 308 = 154

3

4.9.3 Distance de deux droites

1. Droites parallles

A H

A

v

v

M

H Lespace est rapport un repre

orthonormal direct (0,i ,j ,k ).

Soient la droite passant par A

de vecteur directeur v et ladroite passant par A de vecteur

directeur v o v est colinaire v .


Si M , H le projet orthogonal de M sur alors d(, ) =MH.La distance MH est indpendant du choix de M donc prenons A et soit H leprojet orthogonal de A sur , on obtient en utilisant la distance du point A la

droite

d(, ) = AH =

v AAv

2. Droites non parallles

Exemple:

Soient les deux droites f(A,u ), g(A,v ) de lespace avec

A(3, 2, 1), u

112

, A(1,1, 0) et v 11

3

.Dterminons la distance entre f et g. Pour cela, on prsente plusieurs mthodes:

a) Soit (HH ) la perpendiculaire commune f et g.

f

A

A

u

v

g

n

H

H

Alors d(f, g) = HH .

Appelons n un vecteur normal f et g,

n = u v =

i

j

k

1 1 21 1 3

=i (3 2)j (3 2)k (1 + 1)

donc n

110

Systme dquations paramtriques de f :

x = 3 + ty = 2 + t

z = 1 2t; t R


Systme dquations paramtriques de g :

x = 1 ty = 1 t

z = 3t; t R

Le problme se ramne trouver les points H de f et H de g tels queHH

colinaire n

orHH colinaire n R tel que HH = n

R :

1 t (3 + t)

1 t (2 + t)3t (1 2t)

= 11

0

R :

t t+ 4 = t t 3 = 3t + 2t 1 = 0

(1)

(2)

(3)

(1) (2) : 7 = 2 =

7

2

Ainsi HH =HH

= || n =

7

2

2

=72

2

b) On peut dterminer la distance entre f et g par une autre mthode.

Pour cela, dterminons dabord le plan P contenant g et parallle f .

f

g

v

H

u

P


M(x, y, z) P (A,u ,v )

[AM,u ,v

]= 0

x 1 1 1y + 1 1 1z 2 3

= 0 (x 1)(3 2) 1 (3 (y + 1) + z) 1 (2(y + 1) z = 0 x 1 3y 3 z + 2y + 2 + z = 0 x y 2 = 0

Au chapitre 3 on a vu que la distance dun point A(x0, y0, z0)

au plan P ax+ by + cz + d = 0 est donne par |ax0 + by0 + cz0|a2 + b2 + c2

Donc ici la distance entre f et g est donne par d(A,P )

o A(3, 2, 1) f

do d(f, g) =|1 (3) 2 2|

1 + 1

=|7|2

=72

2

4.9.4 Perpendiculaire commune deux droites gauches.

Soit (O,i ,j ,k ) un repre orthonormal direct de lespace et soient d1 , d2 les droites

dquations:

d1 {2x+ y + z = 2

x+ y + z = 1d2

{x y + z = 12x y + z = 4

a) Montrons que d1 et d2 sont gauches

d1 {2x+ y + z = 2

x+ y + z = 1

(1)

(2)

d1 {2x+ y + z = 2

x = 1

(1)

(1) (2)

d1 {

y = zx = 1


Posons z = , R

d1

x = 1

y = z =

d1 est la droite passant par A(1, 0, 0) et de vecteur directeuru

011

.

d2 {

x y + z = 12x y + z = 4

(1)

(2)

d2 {

x y + z = 1x = 3

(1)

(1) (2)

d2 {

x = 3

y = z + 2

Posons z = , R

d2

x = 3

y = 2 +

z =

d2 est la droite passant par B(3, 2, 0) et de vecteur directeurv

011

.u nest pas colinaire v . donc d1 et d2 ne sont pas parallles.Montrons que d1 et d2 ne sont pas scantes.

Supposons que {M (x, y, z)} = d1 d2

alors il existe deux rels r et s tels que

{ AM = ruBM = sv

r, s R :

x 1 = 0y = rz = r

et

x 3 = 0y 2 = sz = s

donc r, s R :

x = 1 et x = 3

r = s+ 2r = s

ce qui est impossible

finalement d1 et d2 sont deux droites gauches.


b) Dterminons un systme dquations cartsiennes de la perpendiculaire

commune d1 et d2.

Soit w un vecteur directeur de ,

w = u v

=

i

j

k

0 1 10 1 1

=

i (1 1)j (0) +k 0

donc w

200

d1

A

B

u

v

H

H

w

d2

Considrons les plans P (A,u ,w )et P (B,v ,w )Alors lintersection des deux plans P et P

est une droite perpendiculaire aux

droites d1 et d2.

Cest donc la perpendiculaire commune

ces deux droites.

Equation cartsienne de P :

M(x, y, z) P [AM,u ,w

]= 0

x 1 0 2y 1 0z 1 0

= 0 2(y + z) = 0 y + z = 0


Equation cartsienne de P

M(x, y, z) P [BM,v ,w

]= 0

x 3 0 2y 2 1 0z 1 0

= 0 2(y 2 z) = 0 y z 2 = 0

Do {

y + z = 0

y z = 2Accessoirement on peut dterminer la distance entre d1 et d2.

Soit {H} = d2 et {H } = d1 on a d(d1, d2) = HH

Dterminons H :

y + z = 0

y z = 2x y + z = 12x y + z = 4

(1)

(2)

(3)

(4)

(1) (2) : 2z = 2z = 1

dans (1) : y = 1

dans (3) : x = 3 donc H(3, 1,1)

Pour H :

y + z = 0

y z = 22x+ y + z = 2

x+ y + z = 1

on trouve: H (1, 1,1)Do HH =

22 = 2


4.10 Exercices

Exercice 1:

Soit(i ,j ,k)


Montrer que(i +

j +

k ,i j ,i +j 2k

)constitue une base orthogonale; normer

chacun des vecteurs pour obtenir une base orthonormale.

Exercice 2:

Soient les vecteurs a =

122

, b = 101

et c = 41

2

.1. Construire une base orthonormale (u ,v ,w ) directe qui satisfait aux deux condi-

tions suivantes:

u est de mme direction et de mme sens que a . v appartient au plan vectoriel de vecteurs directeurs a et b .

2. Dterminer les composantes de c dans la base (u ,v ,w ).

Exercice 3:

Lespace est rapport un repre orthonormal direct (O,i ,j ,k )

Pour les exemples 1 8, calculer u v .

1. u = 2j 3kv = 2j 3k

2. u = 2j 3kv = 2j + 3k

3. u = i +j +kv = i j +k

4. u = 3i 2j +kv = i +j k

5. u = i +j +kv = i +j +k


6. u = i +j +kv = 3i 2j k

7. u = 2j 3kv = 2i 4j +k

8. u = 2j 3kv = 4i + 2j k

Exercice 4:

Soit (i ,j ,k ) une base orthonormale directe les vecteurs u ,v ,w tant donns par

leurs coordonnes dans cette base.

Analyser dans chaque cas si (u ,v ,w ) est une base orthonormale directe.

1. u =

12

012

v =

13

13

13

w =

1626

16

2. u =

121212

v =

12

12

12

w =

12

0

12

3. u =

2323

13

v =

132323

w =

23

1323

Exercice 5:

Soit(i ,j ,k)

une base orthonormale directe de lensemble V3 des vecteurs de lespace.

On considre les vecteurs

u = 19(7i + 4j 4k ), v = 1

9(4i j 8k ) et w = 1

9(4i + 8

j +

k ).

1. Montrer que (u ,v ,w ) est une base orthonormale de V3.

2. Cette base est-elle directe ou non?


Exercise 6:

Soit(i ,j ,k)


On considre les vecteurs u et v

u = 12(i +

j ), v = 1

3(i j +k ).

1. Montrer que u et v sont orthogonaux et de norme 1.

2. Donner les coordonnes d

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