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DES SOLLICITATIONS AUX CONTRAINTES…Fiche n°3

Tout bâtiment, structure, subit des sollicitations (traction, compression, cisaillement, flexion, torsion…). En réponse à cessollicitations, les éléments d'une structure résistent et se déforment. On nomme contrainte, la résistance à l'effort subie parun matériaux. Pour correspondre avec la terminologie des sollicitations, on parlera de contrainte normale (par exemple pourla compression ou la traction), de contrainte tangentielle (par exemple pour le cisaillement). Une contrainte est définie par lerapport entre une force et la surface d'une section.

La contrainte σ = Force (sollicitation) / unité de surface, [par exemple pour une contrainte normale : = n = N / S ]

Unité usuelle : daN/mm2 ou daN/cm2 [rappel : 1 daN ≈ 1 kg poids] Unité légale : le Pascal [1 Pa = 1 Newton/m2]

En pratique, on utilise le méga Pascal : 1 Mpa = 10 Bar = 10 daN/cm2 ≈ 10 kgp/cm2 [1kgp = 9,81 N P = mg]

CONTRAINTES NORMALES (TRACTION / COMPRESSION)

Si on étire un élément de structure en lui appliquant une sollicitation detraction croissante (N et -N), on observe une évolution de la distanceentre A et B (∆L en m [ou ∆L/L en %]) avec les phénomènes suivants :

− entre 0 et A, une zone de déformation élastique (l'élémentretrouvera sa forme initiale quand N=0).

− entre A et D, une zone de déformation plastique (l'élément neretrouvera pas sa forme initiale quand N=0, zone de déformationpermanente quand on étire au dessus de Nélastique).

− puis une rupture en B quand on étire à Nmax.

Déformations par traction / Déformations par compression

Pour prédimensionner un élément quand on connaît les sollicitations qui s'exercent sur lui (c-à-d. les forces et les moments)on utilise les inéquations d'équarrissage. À chaque matériau correspondent des résistances admissibles (Ra) par typede sollicitation (Ra en compression, Ra en traction, etc. cf. tableau des matériaux). On se fixe (ou la réglementation nous fixe)ensuite les limites admissibles de déformation (∆L ou ∆L/L).

La section minimale de matériau doit être celle qui satisfait toutes les inéquations d'équarrissage.

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• Résistance

• Traction • Si pas de concentration de contrainte : n = N / S Ra (homogène dans toute la section)

• Si concentration de contrainte : n = N / S Ra avec nmax = k.n ne (ex. pour un filetage, k = 2,5)

• Compression • n = N / S Ra (homogène dans toute la section)

• Déformation • Application de la loi de Hooke n = E L/L

• Traction ou compression L = n.L / E Valeur fixée (par l'architecte, la réglementation)

CONTRAINTES TANGENTIELLES (CISAILLEMENT)Quand on applique sur un élément des forces T et -T tangentiellement à une section, la résistance à l'effort subie par lematériaux est nommée contrainte de cisaillement : σ = t. La contrainte de cisaillement n'est pas répartie uniformément danstoute la section (à chaque petite zone de la section, on a une contrainte de cisaillement t = dT / dS, on travaille donc sur untmoyen). Lorsqu'il existe en un point une contrainte de cisaillement t dans un plan transversal d'un élément, il existe la mêmecontrainte t dans le plan longitudinal. C'est ce qui explique un déplacement relatif dans les deux plans dans le cas d'unedéformation. Pour le cisaillement, on a besoin que d'une seule inéquation d'équarrissage.

• Résistance

• On définit une contrainte ou une résistance admissible au glissement : Rag

Pour l'acier de construction Rag ≈ 100 MPa, le bois de charpente, cisaillement transversal aux fibres Rag ≈ 1,5 MPa, sinon Rag ≈ 1,2 Mpa Pour le béton et la maçonnerie, la résistance au cisaillement est très faible. (Le béton armé est un cas particulier et plus complexe)

• tmax = k T / S Rag Section de forme : k = 3 / 2 k = 4 / 3 k = 1 (S = Sâme d'une section enH)

CONTRAINTES DE FLEXION (SIMPLE)Dans une zone de déformation élastique, on remarque :

− Une flèche f proportionnelle aux forces F càd. à Mf

− Pour des mêmes forces F, la flèche est plus grande si onse rapproche de l'axe de symétrie (Mf augmente)

− Pour des mêmes forces F et une hauteur de poutre h, laflèche est inversement proportionnelle à la largeur b, on aalors f1 / f2 = b2 / b1 → f1.b1 = f2.b2 = f.b = constante

− À largeur de poutre égale, on remarque que f.h3 = cste, etdonc que f1.h31 = f2.h32

− La hauteur d'une poutre a beaucoup plus d'importanceque sa largeur pour résister à la sollicitation de flexion.

Une sollicitation de flexion provoque des contraintes : • normales n aux sections droites• de traction d'un côté du plan neutre• de compression de l'autre côté du plan neutre• de cisaillement t longitudinales et par réciprocité transversales

En résumé, pour connaître n et t, on simplifie en ne vérifiant que les extrêmes. On utilise les inéquations d'équarrissage :

• nmax = Mf / (I / V) Ra avec I : moment d'inertie de la section / à l'axe neutre, unité m4 [cf. catalogues]

et I / V : module d'inertie, unité m3 (V : distance entre le bord et l'axe neutre) [cf. catalogues]

I = b.h3 / 13 et I / V = b.h2 / 6 (profilé) I = S.h2 / 2 et I / V = S.h (h hauteur, S surface section d'une aile)

• (tmax = T.W0 / I.L0 ≤ Rag)dans le cas général Mais en pratique, pour les section simples, on utilise :

tmax = k T / S Rag Section de forme : k = 3 / 2 k = 4 / 3 k = 1 (S = Sâme d'une section en H)

nmax et tmax, se situent respectivement au niveau de Mfmax et de Tmax pour un élément de section constante.

• On vérifie que la flèche maximale est inférieure à une flèche donnée (réglementation) : f 1 / N

N = 150 pour les parties d'ouvrage en console sans circulationN = 200 pour des éléments supportant directement des éléments de couvertureN = 300 pour des éléments supportant des matériaux verriers, pour les pannes, les consoles avec circulationN = 400 pour les solivesN = 500 pour les poutres maîtresses, les ouvrages autres que les consoles supportant une circulation ou un remplissage

Cours et schémas in P. Lavigne, Approche scientifique des structures, EAG & in J.E. Gordon, Structures et matériaux, Éd. Pour la Science, 1994.