Erreur Quadratique Moyenne — Wikipédia
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14/3/2015 Erreur quadratique moyenne Wikipdia
http://fr.wikipedia.org/wiki/Erreur_quadratique_moyenne 1/3
ErreurquadratiquemoyenneEnstatistiques,lerreurquadratiquemoyenne(ouplussouventlerreurquadratique,moyennetantsousentendu),appeleaussirisquequadratique ,pourunparamtre dedimension1,quenousnoteronsMSE(pourMeanSquaredError),estdfiniepar:
Dfinition
avec lestimateurduparamtre .
Sommaire
1Utilit1.1Comparaisond'estimateurs1.2Convergencedel'estimateur
2Gnralisation3Rfrences4Voiraussi
Utilit
Comparaisond'estimateurs
L'erreurquadratiquemoyenneesttrsutilepourcomparerplusieursestimateurs,notammentlorsquel'und'euxestbiais.Silesdeuxestimateurscomparersontsansbiais,l'estimateurleplusefficaceestsimplementceluiquialavariancelapluspetite.Onpeuteffectivementexprimerl'erreurquadratiquemoyenneenfonctiondubiaisdel'estimateur ainsiquesavariance:
Thorme
Dmonstration
Enfaisantintervenirlebiaisetlavariance,l'erreurquadratiquemoyennepermetdoncdetrancherdansunesituationoilexisteunestimateursansbiaisetunautrebiaismaisdevariancepluspetite.
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14/3/2015 Erreur quadratique moyenne Wikipdia
http://fr.wikipedia.org/wiki/Erreur_quadratique_moyenne 2/3
Exemple:
Comparonslesdeuxestimateursdelavariance:
Pourunedistributiongaussienne,descalculsmontrentque(voirGreene2005,p.861):
L'estimateur estsansbiaismaisauneplusfortevariancequel'estimateur .
Lacomparaisondeserreursquadratiquesmoyennes(MSE)donne:
Etl'estimateurbiais estdoncplusprcisentermesd'erreurquadratiquemoyenne.L'estimateur ,oondivisepar ,est(encorepourlecasgaussien)lemeilleurdetousentermesd'erreurquadratiquemoyenne,
cettedernirevalantalors .
Convergencedel'estimateur
Ilestpossiblededterminersiunestimateurestconvergentenprobabilitpartirdesonerreurquadratiquemoyenne,onaeneffet:
Thorme
Ladmonstrationestfaitelapageconvergencedevariablesalatoires.
Gnralisation
Dansuncadreplusgnralpourunmodlemultiparamtriqueol'onchercheestimerplusieursparamtresoupourestimerunefonction deunouplusieursparamtres,l'erreurquadratiquemoyennepourunestimateur de estdfinipar:
Dfinition
oAestunematricesymtriquedfiniepositive(quidfinitdoncunproduitscalaire).
Rfrences1. http://wwwfourier.ujfgrenoble.fr/~dpiau/capes06/F6.pdf
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14/3/2015 Erreur quadratique moyenne Wikipdia
http://fr.wikipedia.org/wiki/Erreur_quadratique_moyenne 3/3
(en)WilliamHGreene,Economtrie,Paris,PearsonEducation,2005,5ed.(ISBN9782744070976),p.2
Voiraussi
ConvergencedevariablesalatoiresEstimateur(statistique)
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