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Outils Mathematiques pour l’Ingenieur

EPU CiP 1


S. Icart

Table des matieres

1 Systemes de coordonnees 2

1.1 Coordonnees cartesiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Coordonnees polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Coordonnees cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Coordonnees spheriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.5 Surfaces et volumes elementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Calcul vectoriel 8

2.1 Un vecteur qu’est-ce que c’est ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Vecteurs et coordonnees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.4 Multiplication d’un vecteur par un reel ou scalaire . . . . . . . . . . . . . . 9

2.5 Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.6 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.7 Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.8 Produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 Operateurs vectoriels 13

3.1 Champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2 Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.3 Divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.4 Rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.5 Laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4 Grandeurs complexes 17

4.1 Forme cartesienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.2 Forme trigonometrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.3 Forme exponentielle (complexe) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

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septembre 2010

1 Systemes de coordonnees

• objectif : reperer un point (sur une droite, dans le plan, l’espace)• outils : un point origine, et 1, 2 ou 3 directions munie(s) d’un sens

on obtient alors des coordonnees qui peuvent etre des longueurs ou des angles, affectes d’unsigne.

Selon l’application consideree, les symetries du probleme considere, on choisira le sys-teme de coordonnees le plus approprie.

1.1 Coordonnees cartesiennes

• sur une droite (dimension 1) : on choisit un sens. Tout point M est represente a l’aided’une coordonnee, appelee abcisse (valeur positive ou negative) note xM .• dans le plan (dimension 2) : on choisit deux directions Ox et Oy perpendiculaires.

Tout point M est represente dans ce repere par deux coordonnees, l’abcisse et l’or-donnee, notees

(xM , yM) ou

(xMyM

)

O xM

yMM

y

x

• dans l’espace (dimension 3) : on choisit trois axes perpendiculaires Ox, Oy et Oz.Tout point M est alors represente dans ce repere par trois coordonnees notees

(xM , yM , zM) ou

xMyMzM

2


O yM

zM

M

x

z

y

xM

Remarque : on parle de repere direct ou indirect selon que le triedre est direct ouindirect. Pour savoir si un triedre est direct, on pourra utiliser la regle des trois doigts, dutire-bouchon ou encore du bonhomme d’Ampere :

x

z

y

G

D

Le bras droit etant sur le premier axe (x), le bras gauche sur le deuxieme axe (y), letroisieme axe va des pieds vers la tete (z).

1.2 Coordonnees polaires

Dans le plan, on repere le point M grace a la distance OM + ρ et a l’angle oriente(Ox,OM) + θ .

Ox

M

y

ρ

θ

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On a les relations suivantes entre les coordonnees cartesiennes et polaires :

x = ρ cos θ

y = ρ sin θ

ρ =

√x2 + y2

θ = arctany

x, x 6= 0

Attention : la fonction arctan n’est definie que modulo π et non pas 2π, en consequence, ilfaut regarder les signes de x et y pour savoir dans quel quadrant on se trouve.

1.3 Coordonnees cylindriques

Dans l’espace, soit P la projection de M dans le plan xOy. On repere le point M grace

a la distance OP + ρ et a l’angle oriente (Ox,OP ) + θ, et enfin grace a la cote z.

O

zM

M

x

z

y

θ

ρ

P

Les relations entre coordonnees cartesiennes et cylindriques sont immediates :

x = ρ cos θy = ρ sin θz = z

ρ =

√x2 + y2

θ = arctany

x, x 6= 0

z = z

1.4 Coordonnees spheriques

On repere cette fois le point M grace a une distance et deux angles. Soit P la projectionde M dans le plan xOy. On definit le rayon vecteur r + OM , la longitude (ou azimuth)

ϕ + (Ox,OP ) et la colatitude θ + (Oz,OM)

4


Les relations entre coordonnees cartesiennes et spheriques sont les suivantes :

x = r sin θ cosϕ

y = r sin θ sinϕ

z = r cos θ

r =√x2 + y2 + z2

ϕ = arctany

x

θ = arccosz√

x2 + y2 + z2

Les coordonnees d’un point dans un repere donne sont uniques (modulo 2πpour les angles). Si on change de repere, les coordonneees changent !

1.5 Surfaces et volumes elementaires

1.5.1 Coordonnees cartesiennes

• Dans le plan (dim2) : M peut se deplacer suivant deux directions, dx et dy, la surfaceelementaire est dS = dx dy.

O

y

x

dx

dy

• Dans l’espace (dim 3), le volume elementaire est dV = dx dy dz

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O

x

z

y

dy

dx

dz

1.5.2 Coordonnees polaires

M peut se deplacer suivant le rayon vecteur de dρ et decrire un arc de cercle d’angledθ. La surface elementaire est dS = ρ dρ dθ.

O

y

x

ρ

dθ

ρdθ

dρ

6


1.5.3 Coordonnees cylindriques

Meme chose que precedemment plus un deplacement suivant la cote dz. Le volumeelementaire est dV = ρ dρ dθ dz.

O

x

z

y

dθ dρ

dz

1.5.4 Coordonnees spheriques

Le volume elementaire est dV = r2 sin θ dr dθ dϕ.NB : Penser a verifier l’homogeneite : dS correspond a une surface, dV a un volume.

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2 Calcul vectoriel

2.1 Un vecteur qu’est-ce que c’est ?

• un etre mathematique bizarre qu’on croise partout, qu’on represente par une fleche,qui a une longueur, appelee norme, une direction et un sens mais . . . pas d’origine.Exemples : la gravite, le vent, un champ magnetique, une force, une tension dans unfil, une vitesse . . .• un outil adapte pour manipuler plusieurs equations a la fois.• des generalisations ”en dimension n” utilisees dans bien des domaines : traitement

du signal, imagerie, automatique, robotique etc.

2.2 Notations

• On notera un vecteur ~v ou v ou v.• La norme du vecteur considere sera notee ‖~v‖ ou ‖v‖ ou v.• Enfin, le vecteur ayant meme sens, meme direction que v, mais une norme valant 1,

appele vecteur unitaire, sera note ~uv.

2.3 Vecteurs et coordonnees

Dans le plan, il est pratique de reperer un vecteur a l’aide de ses coordonnees dans unrepere cartesien (O,~ı,~) tel que ~ı et ~ sont de norme unitaire, ~ı est perpendiculaire a ~ (le

repere est alors orthonorme). On note alors 1 ~v =

(xy

)

O xM

yMM

y

xjr

ir

vr

1. En toute rigueur, il faudrait ecrire ~v :

(xy

)et preciser dans quelle base on travaille. Lorsque rien

n’est precise, on suppose que c’est la base ”classique” (canonique)

8


On peut associer au vecteur ~v une point M tel que le vecteur ~v soit egal au vecteur−−→OM

(les coordonnees du vecteur ~v sont alors egales aux coordonnees du point M). Si on n’eneprouve pas le besoin, le point O du repere (O,~ı,~) n’a aucune utilite, on n’a donc besoinque des deux vecteurs ~ı et ~ dont on dit qu’ils forment une base du plan.

Dans l’espace, on s’interessera a la base (~ı,~,~k) et le vecteur aura alors 3 coordonnees

~v =

xyz

.

Si on change de repere, les coordonnees changent mais le vecteur ne change pas.

2.4 Multiplication d’un vecteur par un reel ou scalaire

Soit ~v un vecteur et soit λ un reel, alors λ~v est le vecteur ayant meme direction que ~vet ayant pour norme |λ| ‖~v‖, le sens est identique si λ > 0 et oppose si λ < 0.

2.5 Addition

Soient ~u et ~v deux vecteurs, on definit la somme de ~u et ~v par comme etant un vecteurdefini a l’aide de la regle du parallelogramme :

vr

ur

vurr

+

2.5.1 Proprietes

• commutativite : ~u+ ~v = ~v + ~u, ∀~u et ~v• associativite : ~u+ (~v + ~w) = (~u+ ~v) + ~w• distributivite : soit λ un reel, alors λ(~u+ ~v) = λ~u+ λ~v• soustraction : ~u− ~v = ~u+ (−~v)

• addition et coordonnees : on remarque que d’apres la definition, on a ~u =

(xy

)⇔

~u = x~ı + y~, en utilisant les proprietes ci-dessus, on montre donc facilement que si

~u =

(xuyu

)et ~v =

(xvyv

)alors ~u+ ~v =

(xu + xvyu + yv

)Applications

Resultante de forces, influence du vent sur la trajectoire d’un avion etc.

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2.6 Produit scalaire

2.6.1 Definition

Soient ~u et ~v deux vecteurs, on definit le produit scalaire 2 de ~u et ~v par :

~u · ~v = ‖~u‖ ‖~v‖ cos (~u,~v)

NB : le produit scalaire de deux vecteurs est un reel (scalaire).Exemple, si ~u et ~v sont de norme 1, alors :

vr

vurr.

ur

α

2.6.2 Proprietes

• commutativite : ~u · ~v = ~v · ~u• p.s et orthogonalite : ~u⊥~v ⇔ ~u · ~v = 0• p.s et colinearite : ~u · ~v = ±‖~u‖ ‖~v‖ ⇔ les vecteurs sont colineaires (α = 0 ou π).• p.s et norme : ~u · ~u = ‖~u‖2 (nul ssi ~u = ~0)• non associativite : ~u · ~v · ~w n’existe pas !• distributivite du p.s sur l’addition : ~u · (~v + ~w) = ~u · ~v + ~u · ~w• multiplication externe : soit λ un reel, alors λ(~u · ~v) = (λ~u) · ~v• p.s et coordonnees (dans une base orthonormee) :~u · ~v = xuxv + yuyv + zuzv

Applications

calcul de projection, travail d’une force, test pour la perpendicularite de deux vecteurs,independance de donnees . . .

2.7 Produit vectoriel

2.7.1 Definition

Le produit vectoriel 3 du vecteur ~u par le vecteur ~v note ~w = ~u ∧ ~v est un vecteur telque :

2. scalar product or inner product3. vector product or cross product or outer product

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• ‖~w‖ = ‖~u‖ ‖~v‖ | sin (~u,~v)| (aire du parallelogramme que l’on peut construire a partirde ~u et ~v).• ~w⊥~u, ~w⊥~v et (~u,~v, ~w) forment un triedre direct.

€

r u ∧ r v

€

r v

€

r u

2.7.2 Proprietes

• anticommutativite : ~u ∧ ~v = −~v ∧ ~u• p.v et orthogonalite : ‖~u ∧ ~v‖ = ‖~u‖ ‖~v‖ ⇔ ~u⊥~v• p.v et colinearite : ~u ∧ ~v = ~0⇔ ~u et ~v sont colineaires.• distributivite du p.v sur l’addition : ~u∧(~v+~w) = ~u∧~v+~u∧~w et (~u+~v)∧~w = ~u∧~w+~v∧~w• soit λ un reel, alors λ(~u ∧ ~v) = (λ~u) ∧ ~v = ~u ∧ (λ~v)• p.v et coordonnees (dans une base orthonormee directe) :

Soit ~u =

xuyuzu

et ~v =

xvyvzv

, alors

~u ∧ ~v =

yuzv − yvzuxvzu − xuzvxuyv − xvyu

=

∣∣∣∣∣∣~ı xu xv~ yu yv~k zu zv

∣∣∣∣∣∣ =~ı

∣∣∣∣yu yvzu zv

∣∣∣∣− ~ ∣∣∣∣xu xvzu zv

∣∣∣∣+ ~k

∣∣∣∣xu xvyu yv

∣∣∣∣• double produit vectoriel : (~u ∧ ~v) ∧ ~w = (~u · ~w)~v − (~v · ~w)~u

Applications

Orientation de surface, force de Lorentz (electromagnetisme), calcul du moment d’uneforce par rapport a un point (ouverture d’une porte !), vitesse d’un point d’un solide enrotation autour d’un axe.

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2.8 Produit mixte

2.8.1 Definition

Le produit mixte 4 de trois vecteurs ~u,~v, ~w est le reel (scalaire) defini par

[~u,~v, ~w] = (~u ∧ ~v) · ~w

la valeur absolue de ce reel represente le volume du parallelepipede construit a partir des3 vecteurs.

2.8.2 Proprietes

• [~u,~v, ~w] = 0⇔ ~u,~v et ~w sont coplanaires.• p.m et coordonnees (dans une base orthonormee directe) :

[~u,~v, ~w] =

∣∣∣∣∣∣xu xv xwyu yv ywzu zv zw

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣xu yu zuxv yv zvxw yw zw

∣∣∣∣∣∣• [~u,~v, ~w] = (~u ∧ ~v) · ~w = ~u · (~v ∧ ~w)• le p.m change de signe lorsqu’on permute deux vecteurs :

[~u,~v, ~w] = −[~v, ~u, ~w] = −[~u, ~w,~v] = −[~w,~v, ~u]• [~u,~v, ~w] > 0 signifie que (~u,~v, ~w) est dans le sens direct.

4. scalar triple product

12


3 Operateurs vectoriels

3.1 Champ de vecteurs

Lorsqu’on est dans un espace de dimension 3 (le notre), on peut etre amene a associera chaque point de l’espace un scalaire (par exemple, temperature ou niveau sonore enchaque point d’une piece), on utilise alors sans le savoir un champ scalaire. En termes plusprosaıques, un champ scalaire 5 est une application de IR3 dans IR.

Si maintenant on associe a tout point un vecteur (vent, champ gravitationnel, champmagnetique ou electrique), on a affaire a un champ vectoriel qui est donc une applicationde IR3 dans IR3.

L’ensemble des operations qui concernent ces champs scalaires et vectoriels prend unenotation simplifiee avec l’utilisation de l’operateur differentiel vectoriel nabla (appele aussidel) qui est defini en coordonnees cartesiennes par

~∇ =

∂

∂x∂

∂y∂

∂z

3.2 Gradient

On rappelle que si f est une fonction de plusieurs variables f(x, y, z), alors la deriveepartielle de f par rapport a la variable x (ou y ou z) est obtenue en derivant f par rapporta x, les autres variables etant considerees comme constantes.

3.2.1 Definition

Soit f un champ scalaire suffisamment ”regulier”, alors on definit le gradient 6 de f encoordonnes cartesiennes comme etant :

−→∇ f =

−−→gradf =

∂f

∂x

∂f

∂y

∂f

∂z

=∂f

∂x~ı+

∂f

∂y~+

∂f

∂z~k

5. vector field6. gradient

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3.2.2 Proprietes

• L’accroissement de la fonction pour un deplacement elementaire est :

df =−−→gradf ·

−−→dM

• Le gradient de f est un vecteur dont le sens est celui des f croissant, et dont ladirection est perpendiculaire aux lignes f(x) = cte (equipotentielles).

• Un champ vectoriel ~E est conservatif s’il existe un champ scalaire φ tq ~E =−−→gradφ,

φ est alors un potentiel associe a ~E.

3.2.3 Champ conservatif et Calcul du travail d’une force

Un champ vectoriel ~E est conservatif s’il existe un champ scalaire φ tq ~E =−−→gradφ, φ

est alors un potentiel associe a ~E.Soit ~f une force derivant d’un potentiel φ (champ conservatif), alors le travail de la

force ~f pour aller du point M1 au point M2 (qui est independant du chemin suivi) est :

WM2M1

=

∫ M2

M1

~f ·−−→dM =

∫ M2

M1

−−→gradφ ·

−−→dM =

∫ M2

M1

dφ = φ(M2)− φ(M1)

Remarque : on pose parfois ~E = −−−→gradV chute de potentiel.

3.2.4 Gradient et coordonnees polaires

On utilise la propriete df =−→∇f ·

−−→dM et les deplacements elementaires

−−→gradPf =

∂f

∂ρ

1

ρ

∂f

∂θ

=∂f

∂ρ~eρ +

1

ρ

∂f

∂θ~eθ

attention a la base associee : ~eρ =−−→OM

||−−→OM ||

et ~eθ perpendiculaire et direct avec ~eρ.

3.2.5 Gradient et coordonnees spheriques

De la meme maniere, dans la base (~er, ~eθ, ~eϕ),

−−→gradSf =

∂f

∂r

1

r

∂f

∂θ

1

r sin θ

∂f

∂ϕ

=∂f

∂r~er +

1

r

∂f

∂θ~eθ +

1

r sin θ

∂f

∂ϕ~eϕ

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Applications

Le gradient permet de caracteriser la maniere dont le champ augmente ou diminue(gradient de temperature), potentiel.

3.3 Divergence

3.3.1 Definition

La divergence 7 d’un champ vectoriel ~E(x, y, z) = Ex(x, y, z)~ı+Ey(x, y, z)~+Ez(x, y, z)~kest un champ scalaire defini par :

div ~E =∂Ex∂x

+∂Ey∂y

+∂Ez∂z

soit, avec l’operateur ~∇ : div ~E = ~∇ · ~E.

3.3.2 Proprietes

• Etant donne une surface S qui delimite un volume V , on a :∫∫S

~E ·−→dS =

∫∫∫V

div ~E dv

−→dS etant l’element de surface oriente par le vecteur normal a la surface et dv etantle volume elementaire limite par la surface dS (theoreme de Gauss).

La quantite scalaire Φ =∫∫

S~E ·−→dS represente le flux du champ ~E a travers la

surface S.• div ~E represente le flux par unite de volume (ou densite de flux) au point considere.

Application

calcul de flux en electrostatique, calcul de masse.

3.4 Rotationnel

3.4.1 Definition

Le rotationnel 8 d’un champ vectoriel ~E est defini par

−→rot ~E = ~∇∧ ~E

soit−→rot ~E =

(∂Ez∂y− ∂Ey

∂z

)~ı−

(∂Ez∂x− ∂Ex

∂z

)~+

(∂Ey∂x− ∂Ex

∂y

)~k

7. divergence8. curl

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3.4.2 Proprietes

• Etant donne un contour Γ sur lequel s’appuie une surface S, on a∫Γ

~E ·−→dl =

∫∫S

−→rot ~E ·

−→dS

(theoreme de Green).• On a les equivalences suivantes :

−→rot ~E = ~0⇔ ∃φ tq

−−→gradφ = ~E

div ~E = 0⇔ ∃ ~A tq−→rot ~A = ~E

Applications : Calcul de travail

3.5 Laplacien

3.5.1 Definition

Le laplacien 9, note ∆ est defini par

∆ = ~∇ · ~∇ =∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2

3.5.2 Proprietes

• Si f est un champ scalaire, on obtient donc pour le laplacien un scalaire

∆f =∂2f

∂x2+∂2f

∂y2+∂2f

∂z2

on a donc ∆f = div(−−→gradf)

• Si ~E est un champ vectoriel, on obtient pour le laplacien un vecteur

∆ ~E =

∆Ex∆Ey∆Ez

=

∂2Ex∂x2

+∂2Ex∂y2

+∂2Ex∂z2

∂2Ey∂x2

+∂2Ey∂y2

+∂2Ey∂z2

∂2Ez∂x2

+∂2Ez∂y2

+∂2Ez∂z2

Remarque : le laplacien peut se definir en dimension quelconque.

Applications : Theoreme de Gauss en electrostatique, lois de Faraday et d’Ampere enelectromagnetisme, optimisation.

9. laplacian

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4 Grandeurs complexes

4.1 Forme cartesienne

4.1.1 Notations

En physique, on notera la racine carree de -1 par j (i etant traditionnellement reservea l’intensite des courants).

Soit z un nombre complexe, on le notera sous forme cartesienne 10 : z = x+jy, x = <e(z)etant sa partie reelle et y = =m(z) sa partie imaginaire.

4.1.2 Le plan complexe

On peut ainsi representer un nombre complexe dans un systeme orthonorme : la valeurde la partie reelle etant portee sur l’axe horizontal et celle de la partie imaginaire sur l’axevertical :

O

M (z)

x

y

x

y

On peut ainsi associer au nombre complexe z un point du plan note M ou M(z), z estalors l’affixe du point M .

On pense alors immediatement a un plan vectoriel : les regles d’addition et de sous-traction des nombres complexes seront des regles vectorielles.• addition : (x1 + jy1) + (x2 + jy2) = (x1 + x2) + j(y1 + y2)• soustraction : (x1 + jy1)− (x2 + jy2) = (x1 − x2) + j(y1 − y2)

4.1.3 Conjugue d’un nombre complexe

On definit le conjugue 11 d’un nombre complexe z comme etant le nombre complexeayant meme partie reelle mais une partie imaginaire opposee, on le note z ou z∗. Si z =x+ jy, z = x− jy.

On obtient alors : z+ z = 2<e(z) (la somme d’un nombre complexe et de son conjugueest donc un nombre reel) ; et z − z = 2j=m(z)(la difference entre un nombre complexe etson conjugue est donc un nombre imaginaire pur).

10. Cartesian coordinates11. complex conjugate

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O

z

x

y

-x

-y-z z*

x

y

4.1.4 Proprietes

• Deux nombres complexes sont egaux ssi leur partie reelle et leur partie imaginairesont egales.• En consequence, un nombre complexe n’est nul que si sa partie reelle et sa partie

imaginaire sont nulles.• Multiplication : on utilise la distributivite de l’addition et j2 = −1, on obtient ainsi :

(x1 + jy1).(x2 + jy2) = (x1x2 − y1y2) + j(x1y2 + x2y1)

• Produit d’un complexe par son conjugue : z.z = <e(z)2 + =m(z)2 (nombre reelpositif).• Inverse d’un nombre complexe : z1 et z2 (non nuls) sont tels que z1.z2 = 1, soit

1

x+ jy=

x

x2 + y2− j y

x2 + y2(multiplication par le complexe conjugue).

• Explicitation d’un nombre complexe : pour avoir la forme cartesienne d’un quotient,on multiplie le numerateur et le denominateur par le conjugue du denominateurx1 + jy1

x2 + jy2

=(x1 + jy1)(x2 − jy2)

(x2 + jy2)(x2 − jy2)=x1x2 + y1y2

x22 + y2

2

+ jy1x2 − x1y2

x22 + y2

2

4.2 Forme trigonometrique

Comme pour les vecteurs, on peut choisir de reperer un nombre complexe dans leplan complexe non pas par ses coordonnees cartesiennes mais a l’aide de ses coordonneespolaires 12

Soit M le point associe au nombre reel z. L’angle que forme le vecteur−−→OM avec l’axe

reel (axe Ox) est appele argument 13 du nombre complexe et note arg(z) (c’est un nombrereel positif ou negatif selon l’orientation, il est defini a 2kπ pres). Le module du vecteur

12. polar coordinates13. phase angle

18


Ox

M(z)

y

ρ

θ

x

y

−−→OM est appele module 14 ou amplitude de z, est note |z|, c’est un nombre reel positif (nulseulement si z est nul). Les relations entre forme cartesienne et forme trigonometrique sededuisent de z = x+ jy = ρ(cos θ + j sin θ) :

{x = ρ cos θy = ρ sin θ

{ρ =

√x2 + y2

θ = arctany

xa kπ pres

Les nombres complexes de module 1 se trouvent tous sur un cercle de centre O et derayon 1 appele cercle trigonometrique :

O

θ

cosθ

sinθ M(z)

Re(z)

Im(z)

1

j

l’utilisation de cette figure permet de retrouver les formules trigonometriques comme

cos(−θ), sin(π − θ), sin(π

2+ θ) . . .

Inegalites triangulaires

|z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2|||z1| − |z2|| ≤ |z1 + z2|

14. magnitude

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4.3 Forme exponentielle (complexe)

Une maniere ”compacte” d’ecrire un nombre complexe est la forme exponentielle : soitz un nombre complexe de module ρ et d’argument θ. On note

z = ρ(cos θ + j sin θ) = ρ ejθ

Nombre de formules deviennent alors simples a retrouver :

• produit : z1z2 = ρ1ρ2ej(θ1+θ2) (le module d’un produit est le produit des modules et

l’argument d’un produit est la somme des arguments)

• quotient :z1

z2

=ρ1

ρ2

ej(θ1−θ2)

le module d’un quotient est le quotient des modules et l’argument d’unquotient est la difference des arguments (il est donc inutile, voire deconseillede passer par la forme complexe conjuguee !)• puissance : zn = ρnejnθ, n ∈ Z• conjugue : z = ρe−jθ (meme module mais argument oppose)

• complexe de module 1 : z =1

z

4.3.1 Formules de Moivre et d’Euler

Le formule de Moivre permet de calculer simplement cos(nθ) et sin(nθ) en fonction decos θ et sin θ :

zn = ρn(cos(nθ) + j sin(nθ)) = ρn(cos θ + j sin θ)n

Les formes d’Euler permettent, elles, de calculer cosn θ et sinn θ en fonction de cos θ etsin θ :

cos θ =ejθ + e−jθ

2sin θ =

ejθ − e−jθ

2j

cos(nθ) =ejnθ + e−jnθ

2sin(nθ) =

ejnθ − e−jnθ

2j

4.3.2 Racines d’un nombre complexe

Soit z = ρ ejθ un nombre complexe, ses racines niemes verifient : zracn = z et ont donc

pour module ρrac = n√ρ et pour argument θrac =

θ

n+

2kπ

n(il y a donc n racines distinctes).

Les racines sont conjuguees et symetriques par rapport a l’axe reel deux a deux. La sommedes n racines est nulle.

Exemple : les racines niemes de l’unite ont un module 1 et sont espacees de ej2kπ

n .

20


4.3.3 Differentiation par rapport a l’argument

Soit z = ρ ejθ, alorsdz

dθ= jρ ejθ = jz. Deriver un nombre complexe par rapport a son

argument revient donc a augmenter l’argument de π2.

Un cas particulier important est celui ou l’argument est proportionnel au temps θ = ωt,ω etant un nombre constant (vitesse de rotation constante ou pulsation constante), alorsdz

dt=dz

dθ.dθ

dt= j ωz

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