8/13/2019 EP_2010_2011_corrige

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Service de Thorie des Circuits

et de Traitement du signal

EPREUVE PRATIQUE DETRAITEMENT DU SIGNAL

4meELEC - 2010-2011(dure : 2 H , sans notes, sans calculette, sans GSM)

SOLUTIONS

NB: En ce qui concerne les questions sous Matlab, noubliez pas d'indiquer sur votre feuille les

commandes MATLAB utilises et les rsultats obtenus: esquisses des graphiques avec indication

des abscisses et ordonnes, valeurs numriques des rsultats des calculs.

En ce qui concerne les questions sous Simulink, noubliez pas de dessiner votre graphe simulinkcomplet sur votre feuille et de prciser chaque tape les paramtres choisis pour les blocs

utiliss. Nous vous demandons galement de sauver votre graphe Simulink dans lespace de

travail Work sous le nom de famille de lun des membres du groupe, crit sans espaces ni

caractres spciaux.

1. Filtre tout-plesSoit un filtre tout-ples ( )H z dordre 2 et de gain unitaire (K=1), ralisable physiquement, dont larponse impulsionnelle est illustre la Figure 1 (pour une frquence dchantillonnage fe=1) etdont la rponse en rgime une entre constante damplitude 2 est une constante damplitude

13,025.

0 5 10 15 20 25 30 35 40-0.5

-0.45-0.4

-0.35-0.3

-0.25-0.2

-0.15-0.1

-0.050

0.1

0.20.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2

n

h(n)

Rponse impulsionnelle

Figure 1 Rponse impulsionnelle du filtre H(z).

On vous demande de dessiner de la manire la plus prcise possible la position des ples et zrosde ce filtre.

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Solution : Il sagit dun filtre tout-ples , sa rponse en frquence est donc de la forme :

1

1( )

1

Ni

i

i

H z K

a z

=

=

+

Comme il sagit dun ordre 2, on a :

( ) ( )

2

2 1 2 2 2 1 2 11 2 1 2 1 2

1

1 1 1( )

1 1 11 ii

i

zH z K K K K

a z a z z z a z a z a z aa z

=

= = = =+ + + + + +

+

On a deux zros en zros et deux ples Comme cest ralisable physiquement et que la rponse impulsionnelle est de type

cosinusode amortie, on sait que ces deux ples sont complexes conjugus de moduleinfrieur 1.

Or, on sait que la rponse impulsionnelle correspondant deux ples complexes conjugus estune cosinusode amortie de frquence lie largument des ples et damortissement li aumodule des ples(c'est--dire ( ) cos( )nh n K n = + o K est une constante (diffrente dugain de filtre)).

Ici la rponse impulsionnelle du filtre compte 16 chantillons par priode T0 avec une priode

dchantillonnage unitaire. DoncT0=16 f0=1/162

0.9827 22.516

rad rad

= = =

Il reste dterminer le module .

Pour cela, plusieurs possibilits :

-Soit on regarde la rponse impulsionnelle aux maximas de la cosinusode amortie c'est--direaux endroits o cos( ) 1n + = . Il sagit des chantillons n=2 et n=10 (par exemple).

Pour ces chantillons on sait que ( ) cos( )n nh n K n K = + =

En n=2, on a : 2( ) 1.7h n K= =

En n=10, on a : 10( ) 0.42h n K= =

2

10

1.7

1.42

K

K

=

8 1.42

1.7 = 8

1.420.8397

1.7= =

-Soit, on considre le fait quon sait quen rgime:

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Ici, on examine la rponse une entre constante damplitude 2 cd une cosinusode damplitude2 et de frquence nulle 0 0 =

Donc,

00

1

1

0

amplsignal sortie 13.025( 0)

ampl signal entre 2

)

( )

(

j j

N

i

i

i

z e

M

i

e

K

z

z p

H

z

==

=

=

= = =

=

(pour 0 0 = )

Pour un filtre tout-ples dordre 2 ralisable physiquement et de gain unitaire (K=1), on a:

1 00*

0

1

amplsignal sortie 13.0 125( 0)

amplsignal ( ) (ent e1

2 )r j jz e e

Hz p z p

= =

= = ==

Or, pour 0 0 = , les deux segments 1*

1 et( ) ( )z p z p sont gaux (cf dessin ci-dessous)

0

2

1

13.025 1

2 ( )j

z ez p

=

=

12

( )13.025

r z p= =

la position des ples correspondent lintersection de la droite passant par lorigine et dangle

2

16rad

= et le cercle de centre (1,0) et de rayon 1

2( ) 0.3919

13.025r z p= = =

Et on a deux zros en zro

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NB : ce nest pas demand (car seule lillustration de la position des ples ci-dessus suffit) maison pourrait calculer exactement la valeur aux formules du triangle quelconque:

IciB=a=1 (cercle unit)b = |Z-pi| = r = sqrt(a_entree/a_sortie) = 0.3919c=

22 2 cos 1

13.025 = + (quation du second degr)

= 0.8396 ou = 1.0082Ici doit tre plus petit que 1 pour tre stable (car la rponse impulsionnelle est bien finie en

amplitude et amortie) 0.8396=

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2. Dtection dun trsor au moyen de deux sonars

Un sonar actif est un appareil qui mesure la direction et la distance dun objet sous-marin enmettant dans l'eau une impulsion sonore puis en coutant l'cho de cette impulsion rflchie parlobjet. Le temps entre l'mission de l'impulsion et le retour de l'cho donne la distance ducontact, puisque la vitesse du son dans l'eau est connue.

Figure 2 Pour la dtection dun trsor, deux navires quips de sonars sont rquisitionns.

Pour la dtection dun trsor, deux navires quips de sonars sont rquisitionns (Figure 2). Onsuppose ici que lon travaille en numrique et quil ny a aucune attnuation de lamplitude des

signaux dans leau et aucun bruit additionnel (ceci est videmment irralisable en pratique).

Londe sonore envoye par le premier navire toutes les 3s correspond une sinusodedamplitude 4, de frquence 20 Hz, chantillonne 300 Hz et limite en dure 248 ms par unefentre rectangulaire

Londe sonore envoye par le second navire toutes les 2s correspond une sinusodedamplitudeA, de frquence 27 Hz, chantillonne 300 Hz et limite en dure D secondes parune fentre triangulaire dont lallure temporelle et le spectre en amplitude sont illustr laFigure 3.

Figure 3 Allure temporelle et spectre en amplitude dune fentre triangulaire.

A tout instant, le second navire peut recevoir lcho de son propre signal ( 27 Hz) et/ou celui deson comparse ( 20 Hz).

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On vous demande de :

a) Dterminer (sur papier) quelle doit tre lamplitude minimale et la dure minimale dusignal mis par le second navire pour que ce dernier puisse discerner clairement les deuxsignaux en visualisant leurs spectres en amplitude en dB calculs sur NTFD=512 points(NB : partir du principe que la contribution du second navire est plus faible sur le spectre).

b) Dterminer (sur papier) quelle devrait tre lamplitude A du signal mis par le secondnavire pour que les contributions des deux signaux aient des amplitudes gales sur lespectre en amplitude.

c) Crer sous MATLAB 300 chantillons du signal x(t) constitu de la somme de londe

sonore envoye par le premier navire et de londe sonore envoye par le second navire (dedureDdtermine au point a) et damplitudeAdtermine au point b) ) et visualiser sonallure temporelle. Utiliser pour cela la fentre triang(N)sous matlab.

d) Afficher le spectre de ce signal x(t) calculs sur NTFD=512 points sous MATLAB. Celacorrespond-il ?

Ensuite, dans un mme graphe Simulink o vous utiliserez un temps de simulation de 1s et un pasde traitement variable, on vous demande de :

e) Gnrer le signal x(t) (constitu de la somme de londe sonore envoye par le premier

navire et de londe sonore envoye par le second navire) chantillonn 300 Hz ettransmis par chantillons. Pour cela, utiliser les blocs sine wave et repeatingsequence de la librairie Simulink->Sources ainsi que les blocs product et sum dela librairie Simulink->Commonly used blocks.(Remarque : si ce point na pu tre ralis, importer les chantillons du signal x(n) aumoyen d'un bloc Signal From Workspace de sorte que le signal soit transmis parchantillons).

f) Afficher lallure temporelle du signalx(n) sous Simulink.

g) Afficher le spectre en amplitude (transforme de Fourier) de la totalit des chantillons du

signalx(n) calculs sur NTFD=512 points,pour des frquences normalises allant def=0f =fe, et en dB. Cela correspond-il ce que vous aviez observ sous Matlab?

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Solution :

a)Nous utilisons deux fentres diffrentes pour limiter la dure des sinusodes et donc deux

fonctions pieuvres diffrentes apparaitront sur le spectre :

Pour que les lobes principaux des deux sinusodes ne se recouvrent pas, il faut:

2 1 1 2F F LP LP +

1 2

27 20 1 2

300 N N

+

Or, si la frquence dchantillonnage vaut 300 Hz et que la dure de la premire sinusodevaut 0.248s t1=0:1/300:0.248 N1=length(t1)=75

Ou ( )1 1 0.248N Te =

1 75,4N = (entier)

1 75N = Donc,

2

27 20 1 2

300 75 N

+

2

7 1 2

300 75 N

2

7 4 2

300 N

2

1 2

100 N

2 200N

Or ( )2 1N Te D = ( )200 1 / 300D

0.6633sD

Pour ne pas que le lobe principal de la seconde sinusode soit cach dans les lobessecondaires de la premire sinusode il faut :il faut

dB dBD A

Or 1 1 2 2 1 1

2 2

220*log10( ) 20*log10( ) 20*log10( )

2 2 2dBN A N A N A

AN A

= =

Et pour une fentre rectangulaire, 13dB

D dB =

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1 1

2 2

213 20*log10( )

N AdB

N A

13/202

2 75 410 200 A

2 13/202 75 4200 10

A

2 0.6716A

b)Pour que les contributions des deux signaux aient des amplitudes gales sur le spectre enamplitude, il faut :

1 2A A=

1 1 2 22 2 2

N A N A= 1 12

2

2 2 75 4

200

N AA

N

= =

2 3A =

c)Crer sous MATLAB le signal x(t) et le visualiser:

fe=300; f1=20; a1=4;t1=0:1/fe:0.248;N1=length(t1)

f2=27N2=ceil(2/(((f2-f1)/fe)-(1/N1)))Duree2=(N2-1)*1/fea2min=4/(N2/2)*N1/(10^(13/20))a2=2*N1*a1/N2t2=0:1/fe:(N2-1)/fe;

x1=a1*sin(2*pi*f1*t1);x2=a2*sin(2*pi*f2*t2).*triang(length(t2))';

% pour additionner les deux vecteurs, il faut quils aient la mme dimension

% => on complte par des zros pour avoir 300 chantillons de chaque cot

x=[x2,zeros(1,300-length(x2))]+[x1,zeros(1,300-length(x1))];

figure,plot(0:1/fe:(length(x)-1)/fe,x),title('x'),xlabel(Temps[s]),

ylabel(x(t))

FF1 F2

LP1 LP2

A*1=N1A1

2A*2=

N2 A22 2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-6

-4

-2

0

2

4

6x

Temps[s]

x(t)

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d)Afficher le spectre de ce signal x(t) calcul sur NTFD=512 points sous MATLAB. Celacorrespond-il ?NTFD=512;

figure,freqz(x,1,NTFD,'whole',fe);subplot(2,1,1),ylim([-50 50])

on a bien deux raies de mme amplitude(dont les lobes principaux ne se recouvrentpas) en 20 et 27Hz

zoom :

0 50 100 150 200 250 300-10000

-5000

0

5000

Frequency (Hz)

Phase(degrees

)

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

0

20

40

Frequency (Hz)

Magnitude(dB)

e) g) sous simulink :

0 50 100 150 200 250 300-10000

-5000

0

5000

Frequency (Hz)

Phase(degrees)

0 50 100 150 200 250 300-50

0

50

Frequency (Hz)

Magnitude(dB)

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