ENR810 – Énergies renouvelables Transferts thermiques...“Heat transfer is thermal energy in...

Daniel R. Rousse, PhD, Eng.

Louis Lamarche, ing, Ph.D.Patrick Belzile, ing., M.ing.Stéphane Hallé, M.Sc.A., Ph.D.Pierre-Luc Paradis

ENR810 – Énergies renouvelablesTransferts thermiques

Groupe de recherche industrielleen technologie de l’énergie et en efficacité énergétique

Question

• Quels sont les modes de transfert de chaleur?

231/08/2018 ENR 810 - Énergies renouvelables

Référence utile


Plan de cette présentation

• Généralités• Conduction• Convection• Rayonnement


GénéralitésTransfert de chaleur ↔ Thermodynamique

• Thermodynamique :– Bilan entre des états d’équilibre

• Transferts thermiques:– Prédit l’échange lors de déséquilibres thermiques


Généralités• Définition:

– “Heat transfer is thermal energy in transit due to a spatial temperature difference.”

• Référence:– Fundamentals of Heat and Mass Transfer, 6th or 7th Edition

Frank P. Incropera, David P. DeWitt, Theodore L. Bergman, and Adrienne Lavine.PDF disponibles sur le web


Généralités• Exemple


Source: Louis Lamarche, MEC532, cours 1

Généralités

• Analogies: – Transfert de chaleur V.S. autres disciplines


Source: Louis Lamarche, MEC532, cours 1

Conduction

• Définition:– Transfert par échange d’énergie au niveau

moléculaire (microscopique);– Dans un solide ou un fluide inerte (rare);– A la frontière entre un solide et un liquide.


Conduction

• Où, quand et comment la chaleur se propage-t-elle par conduction?– Dans les matériaux solides ou fluides, jamais

dans le vide– la chaleur se propage continuellement, sans

interruption sauf lorsque toutes les parties d'un corps se trouvent à la même température

– le transfert de chaleur naturel s'effectue de Tchaudvers Tfroid


Conduction

• Comment qualifier et quantifier le transfert thermique?– le taux de transfert de chaleur par conduction

dans les solides (fluides au repos) est proportionnel au gradient de T multiplié par la surface à travers laquelle se produit le transfert

– le taux de transfert dépend de la conductivité thermique, k, une propriété physique du matériau considéré


Conduction

• Loi de Fourier 1-D

𝑞𝑞" = −𝑘𝑘𝜕𝜕𝑇𝑇𝜕𝜕𝜕𝜕

k: conductivité thermique [W/m K]


T2

T1

x

T(x)

qx

Loi de Fourier

• Le signe négatif provient de la pente du gradient


x1 x2

Conduction• Ordre de grandeur: Conductivité thermique


ConductionLa conductivité thermique est dépendante de la température


Conduction

• Que se passe-t-il au juste?– Activité moléculaire quel que soit le milieu– Solides: vibration des structures inter-

atomiques• Dans les conducteurs il y a aussi transfert

d'électrons libres. • Dans les matériaux isolants: Vibrations

seulement.


Conduction

• Que se passe-t-il au juste?– fluides: échanges de quantité de mouvement par

collisions entre molécules

18

Schématisation de la conduction dans un fluide au repos


Conduction

• Conductivité des gaz parfaits

𝑘𝑘~ 𝑇𝑇𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎

𝑘𝑘~1𝑚𝑚


Conduction

20

• Existe-t-il une façon simple d'analyser les problèmes de transfert unidimensionnels?


Conduction

21

• Notion de Résistance thermique• Rappel électrique


1 2

électrique

V VIR

−=

Rélectrique

I

Conduction


• Notion de Résistance thermique

xq

condR1T2T

condR1T2T

xq

Conduction

23



( ) ( )1 2 1 2x

kA T T T Tq LL kA

− −= =

condLRkA

=

( )1 2x

cond

T Tq

R−

=

• Les résistances (successives) sont en série.

Conduction

31/08/2018 24ENR 810 - Énergies renouvelables

𝑅𝑅−− = �𝑅𝑅

𝑅𝑅𝑇𝑇 =1ℎ1𝐴𝐴

+𝐿𝐿𝐴𝐴𝑘𝑘𝐴𝐴𝐴𝐴

+𝐿𝐿𝐵𝐵𝑘𝑘𝐵𝐵𝐴𝐴

+𝐿𝐿𝐶𝐶𝑘𝑘𝐶𝐶𝐴𝐴

+1ℎ4𝐴𝐴

Matériaux en série

• Des résistances en parallèle et en série.

25

𝑅𝑅// = �1𝑅𝑅1

+1𝑅𝑅2�−1


𝑅𝑅𝑇𝑇 =𝐿𝐿𝐸𝐸𝑘𝑘𝐸𝐸𝐴𝐴

+

⎝

⎜⎛ 1

𝐿𝐿𝐹𝐹𝑘𝑘𝐹𝐹 �

𝐴𝐴2�

+1𝐿𝐿𝐺𝐺

𝑘𝑘𝐺𝐺 �𝐴𝐴2�⎠

⎟⎞

−1

+𝐿𝐿𝐻𝐻𝑘𝑘𝐻𝐻𝐴𝐴

31/08/2018

Exercice


Convection

• Définition– Transfert de chaleur par échange d’énergie par

un fluide en mouvement (macroscopique)– À l’interface entre une paroi solide et un fluide en

mouvement– Advection + conduction


Convection

• Couche limite hydrodynamique


Convection

• Couche limite thermique


• Que se passe-t-il physiquement?– couche limite– deux mécanismes combinés

(diffusion et mouvement macroscopique du fluide (advection))

– le mouvement du fluide en paquets de molécules en présence de différences de température induit le transfert

Convection


Convection

• Différents types de convection– Convection forcée: écoulement dû à un gradient

de pression (pompes, ventilateurs) – Convection naturelle: écoulement dû à l’effet

d’Archimède (variations de densité dues aux variations de température), fluide chaud monte et le fluides froid descendent


Convection

• Comment qualifier et quantifier le transfert de la chaleur?– le taux de transfert de chaleur par convection est

proportionnel à la différence de T entre le fluide et une paroi multiplié par la surface à travers laquelle se produit le transfert

– le taux de transfert dépend du coefficient de transfert de chaleur, h, qui n'est pas une propriétéphysique mais un facteur qui dépend de nombreux paramètres (géométrie, nature de l'écoulement, propriétés, état de surface, etc.)


Convection

• Flux de chaleur sortant d’une paroi de température Ts vers un fluide de température T∞


'' ( )conv sq h T T∞= −

Convection

• Les paramètres de la convection – des nombres caractéristiques sans dimension qui

expriment des rapports physiques;• (Reynolds, Prandt, Rayleigh, Nusselt, Schmidt, Jakob,

Colburn, etc…)

– issus de l’analyse théorique et expérimentale du phénomène;

– permettent d’obtenir la valeur de h par le biais de corrélations.


Convection

• Une fois le nombre de Nusselt, Nu, estimé, on calcule le coefficient de transfert convectif, h.

• kf est la conductivité thermique du fluide

36

( )*

**

*0

,Re,PrLf y

hL dTNu f xk dy

=

≡ = =

( )PrRe,,*

0*

*

*

rfdrdT

khDNu

rfD ==≡

=


Corrélations !

Convection

• Le nombre de Reynolds (Re)– Le nombre de Reynolds est défini comme un

rapport des forces d’inertie du fluide par rapport aux forces dues à sa viscosité


Convection• Le nombre de Reynolds (Re)

• Force d’inertie

• Force visqueuse

38

≡v

U∞LReL =µ

ρU∞L

ρU∞2A

m3

kg

s2

m2

. m2. kgs2

mN

______

L

µ U∞ A

m2

N s

s

m. m2.m

1N.______ ___ __ __


Convection

• Le nombre de Reynolds– Est aussi utilisé pour caractériser l’écoulement

• Laminaire (force visqueuse > force d’inertie)– Écoulement stable

• Transition• Turbulent (force d’inertie > force visqueuse)

– Instabilité– Tourbillon, Vortex


Convection• Il existe des corrélations pour déterminer les

pertes thermiques pour des:– Surfaces planes tels les murs d’un bâtiment, d’un

panneau solaire, etc.– Surfaces cylindriques tels les tubes d’un champ

géothermique, d’une pompe à chaleur ou de n’importe quel système de chauffage à l’eau, etc.

– Sphères comme dans le cas de lits de particules utilisées dans le stockage d’énergie solaire

– Faisceaux tubulaires comme dans les échangeurs


Méthodologie de calcul

1. Reconnaître la géométrie de l'écoulement.2. Déterminer la température de référence, Tf, pour le

calcul des propriétés du fluide.3. Calculer la valeur du nombre de Reynolds, Re. 4. Choisir la corrélation appropriée pour le nombre de

Nusselt, Nu, en fonction des plages de validité5. Déterminer le coefficient de transfert de chaleur, h.6. Calculer le flux de chaleur


Nombre de Nusselt• Échange entre un cylindre et un écoulement

d’air (convection externe)– Corrélation de Hilpert pour un écoulement

externe autour d’un cylindre



d’air (convection externe)– Corrélation de Zukauskas pour un écoulement

externe autour d’un cylindre


n=0.37 Pr<10n=0.36 autrement


d’air (convection externe)– Corrélation de Churchill-Bernstein pour un

écoulement externe autour d’un cylindre


Nombre de Nusselt

• Échange entre un cylindre et un écoulement d’air (convection externe)– Pour les corrélations de Hilpert et de Churchill-

Bernstein, toutes les propriétés sont évaluées à la température du film, Tf =(T∞ -Ts )/2

– Pour celle de Zukauskas :


Nombre de Nusselt


Nombre de Nusselt

Rangées de cylindre (Modified Grimson)

𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑑𝑑 = 𝐶𝐶𝑁𝑁∞𝑑𝑑ν𝑓𝑓

𝑛𝑛

𝑃𝑃𝑃𝑃𝑓𝑓13

Propriété évalué à la tempérture de la couche limite 𝑇𝑇𝑓𝑓 = 𝑇𝑇𝑤𝑤+𝑇𝑇∞2


Nombre de Nusselt

• Rangées de cylindres


Nombre de Nusselt

• Corrélation de Dittus-Boelter– For fully developed (hydrodynamically and thermally)

turbulent flow in a smooth circular tube


4 50.023Re Pr0.4 (chauffage)0.3 (refroidissement)

nD DNu

n

=

=

Nombre de Nusselt• Pour un panneau solaire incliné jusqu’à β= 60o, le coefficient de

transfert convectif, h, entre une plaque absorbante et un couvercle de verre peut être estimé par (Hollands, 1976):

𝑁𝑁𝑁𝑁

= 1 + 1.44 1 −1708 sin(1.8𝛽𝛽) 1.6)

𝑅𝑅𝑅𝑅 cos(𝛽𝛽)

∗ max 0, 1 −1708

𝑅𝑅𝑅𝑅 cos 𝛽𝛽+ max(0,

𝑅𝑅𝑅𝑅 cos 𝛽𝛽5830

13− 1)


Convection• Le nombre de Rayleigh, est un nombre sans dimension,

utilisé en convection naturelle, qui peut être estimé par:

– g: constante gravitationnelle– β’: coefficient d’expansion, 1/T– Pr: Nombre de Prandtl– L: Distance entre la plaque absorbante et la plaque de verre,

épaisseur– ν: viscosité cinématique

• Lorsque les propriétés du fluide sont évaluées à

51

( )'

32

Prs

gRa T T Lβν ∞≡ −


2s

fT TT ∞ +

=

Convection


• Valeurs typiques du coefficient de convection

I&D, Fundamentals of heat and mass transfer, 6th ed., Wiley, 2007

Convection


convR1T2T

convq


( ) ( )1 21 2 1conv

T Tq hA T T

hA

−= − =

1convR

hA=

( )1 2conv

conv

T Tq

R−

=

Exercice


Rayonnement

• Définition– Transfert de chaleur par des ondes électromagnétiques

d'un corps chaud vers un corps froid. – Tout corps émet un rayonnement dont la longueur d’onde

dépend de sa température– Le rayonnement est due aux oscillations et transitions

d’états des électrons formant la matière.

– Températures en Kelvins


Rayonnement

• Taux de transfert– si Ts > Tsur alors qray,net sort du solide et le solide

atteindra éventuellement Tsur


Rayonnement

• Nature volumétrique du phénomène– L'émission radiante est volumétrique, mais pour

un solide ou un liquide opaque on considère un phénomène surfacique.


Rayonnement

• Caractéristiques du rayonnement– Aspect spectral: l'émission dépend de la

longueur d'onde– Aspect directionnel: l'émission dépend de la

direction de propagation


Rayonnement

• Aspect spectral– Une surface opaque n’émet pas à une seule

longueur d’onde mais possède un spectre d’émission


Rayonnement

• Aspect directionnel– Une surface opaque n’émet pas dans une seule

direction mais possède une distribution de directions


Rayonnement

• L’aspect spectral est caractérisé par une fréquence et une longueur d’onde


80

: Longueur d'onde : La vitesse de la lumière dans le milieu: La fréquence: La vitesse de la lumière dans le vide 2.998 10 /

c

c

c m s

λν

λ

ν

=

×

Rayonnement• Spectre électromagnétique du rayonnement


Bande très étroite

Haute énergie

Rayonnement

• Corps noir– Corps idéal qui

• Absorbe toute la radiation incidente• À une température donnée, émet le maximum de

radiation de façon diffuse


Rayonnement

• La distribution de Planck (loi de Planck)– Le pouvoir émissif spectral d’un corps noir

(émetteur diffus) à une température donnée

65

( ) ( )1

, 52

8 4 21

42

,exp / 1

3.742 10 W µm / m1.439 10 µm K

bCE TC T

CC

λ λλ λ

=−

= ×

= ×


Rayonnement• Distribution spectrale du pouvoir émissif d'un corps

noir, E λ,b pour différentes températures


Rayonnement• Loi de Wien

– Le pouvoir émissif d'un corps noir, E λ,b possède un maximum pour une certaine longueur d’onde.

– Ce maximum est donné par:

λ𝑚𝑚𝑎𝑎𝑚𝑚𝑇𝑇 = 𝐶𝐶3 = 2898 µm K

• Cas du soleil à λmax=0.5 µm• Attention aux Kelvin!


Rayonnement

• Loi de Stefan-Boltzmann– Intégrale de la loi de Planck sur tout λ– Pouvoir émissif total d’un corps noir

– σ est connue sous le nom de constante de Stefan-Boltzmann


( )41

, 520 0

8 2 4

( , )exp / 1

5.67 10 W/m K

b bCE E T TC Tλ λ σ

λ λ

σ

∞ ∞

−

= = =−

= ×

∫ ∫

Rayonnement

• Corps réel• Corps gris

• On le caractérise à l’aide de l’émissivité, ε– Ratio du pouvoir émissif total hémisphérique d’une surface

réelle par rapport à un corps noir de même température.


4

( ) ( )( )b

E T E TE T T

εσ

= =

Rayonnement• Matériau transparent

– L’irradiation (G) peut être• Absorbée • Réfléchie• Transmise


( )1

G G G G Gα ρ τ α ρ τα ρ τ

= + + = + +

+ + =

Rayonnement

• Absorptivité α– propriété qui détermine la fraction de

l'irradiation absorbée par une surface. Cette propriété dépend de la direction d'incidence et de la longueur d'onde.


Rayonnement

• Réflectivité ρ– propriété qui détermine la fraction de

l'irradiation réfléchie par une surface. Cette propriété dépend de la direction d'incidence et de la direction de réflexion de même que de la longueur d'onde.


Rayonnement

• Réflectivité ρ

73

Réflexion diffuse Réflexion spéculaire


Rayonnement

• Transmissivité τ– propriété qui détermine la fraction de

l'irradiation transmise à travers un volume. Cette propriété dépend de la longueur d'onde. Nulle pour un matériau opaque.


Rayonnement• Matériau opaque

– Donc l’irradiation (G) peut uniquement être• Absorbée • Réfléchie


0τ =

1α ρ+ =

Rayonnement• Loi de Kirckoff


λ λε α=

On fera l’hypothèse

presque toujours vrai sauf si les sources d’irradiation et d’émission sont à des températures très différentes. Exemple : irradiation solaire alors on emploiera deux valeurs dontl’absorbtivité au rayonnement solaire αs

ε α=

Rayonnement

• La difficulté dans les problèmes de radiation est de trouver G.


''

''

'' 4

( ) car =( )

rad b

rad b

rad

q E G E Gq E Gq T G

α ε α

ε ε α

ε σ

= − = −

= −

= −

Émis Absorbé Corps gris

Rayonnement• Un cas particulier est lorsqu’on a une petite

surface (Ts) complètement entourée par une grande surface (Tsur)– Dans ce cas– Relation de Stefan-Boltzmann


( )'' 4 4rad s surq T Tεσ= −

4surG Tσ= (La grande surface agit comme un

corps noir)

Rayonnement


radR1T2T

radq


( ) ( )( )( )( )( )

4 4 2 2 2 21 2 1 2 1 2

2 21 2 1 2 1 2

rad

rad

q A T T A T T T T

q A T T T T T T

εσ εσ

εσ

= − = − +

= − + +

( )( )2 21 2 1 2

1radR

A T T T Tεσ=

+ +

( )1 2rad

rad

T Tq

R−

=

Rayonnement


• Notion de coefficient de transfert radiatif

( )( )( )2 21 2 1 2 1 2radq A T T T T T Tεσ= − + +

( )( )2 21 2 1 2radh T T T Tεσ= + +

( )1 2rad radq h A T T= −

Rayonnement• Il arrive aussi qu’on ait une source connue

de radiation Ex : Soleil, lampe ultra-violet ou infra-rouge)– Dans ce cas, G est connue– On doit utiliser l’absorptivité appropriée aux

longueurs d’onde du rayonnement en question.


Rayonnement• Dans ce cours, nous allons limiter les

calculs d’échanges radiatifs au cas particulier de Stefan-Boltzmann

• Ceci implique un expression non linérairedu flux énergétique par rapport à la température


( )'' 4 4rad s surq T Tεσ= −

Rayonnement• En général, sur un collecteur le bilan

d’énergie est

• Le terme de génération est souvent nul • En régime permanent, le terme

d’accumulation est alors aussi nul

• En préfaisabilité, nous utilisons souvent cette forme.


in out gen accE E E E− + =

in outE E=

Rayonnement• Ainsi, sur un collecteur le bilan d’énergie est

simplement

• Lorsque la température de surface n’est pas connue, il faut résoudre une équation telle que


( )

4

4

in out

in s s sur

out s s air u loss

E E

E AG A T

E A T hA T T P P

α α σ

ε σ

=

= +

= + − + +

4 0s sA T B T C× + × + =

Rayonnement• Pour résoudre cette équation non linéaire, trois

possibilités existent:– préprogrammer une autre calculatrice pour

déterminer les trois coefficients; – employer un résolveur d’équations tel IHT (vu en

classe);– induire manuellement un processus itératif dans une

calculatrice jusqu’à convergence. • Dans les faits, il existe aussi une voie analytique

mais il est rare que l’équation obtenue possède une solution de cette nature et même lorsque c’est le cas, nous avons oublié les recettes pour résoudre de telles équations.


31/08/2018 ENR810 Énergies renouvelables

Exemple

31/08/2018 86


Exemple

31/08/2018 87

I&D, Fundamentals of heat and mass transfer, 6th ed., Wiley, 2007


Exemple

31/08/2018 88

Exemple


31/08/2018

Exemple



Exemple



Exemple

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Trouver le coefficient de convection entre deux plaques parallèle séparées d’une distance de 25mm à une angle de 45°. La plaque du bas est à une température de 70°C tandis que celle du haut est à une température de 50°C. De l’air se trouve entre les deux plaques. Quel est le transfert de chaleur entre les deux plaques?

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