Enigme n°2 (Le champ de Loïc) (Réponse à rendre au plus tard le lundi 03/12 à 9h)

Loïc est le propriétaire d'un grand champ triangulaire où il laisse courir ses chevaux.

Fabrice, qui est de passage, lui en demande les dimensions et la longueur de la clôture qui

l'entoure.

Loïc répond : " Mon champ mesure très exactement 2 649 108 dm² et l'une de ses

hauteurs est de 2013 dm." Fabrice : " Mais il y a toute une famille de triangles qui ont cette hauteur et cette aire."

Loïc : "Oui, mais heureusement pour moi, la longueur de la clôture est la plus petite

que l'on peut obtenir pour un tel triangle."

Fabrice : "OK, là je peux calculer la longueur de ta clôture !".

Et vous, sauriez-vous trouver la longueur de la clôture du champ de Loïc ?

CORRECTION :

La base associée à la hauteur connue mesure 2632 dm. En effet 2013

2 6491082 2

base hauteur baseAire

.

Si l'on nomme cette base [AB] et S le troisième sommet, alors S est sur la parallèle à (AB) distante de (AB) de 2013 dm.

Le but est de trouver S sur cette droite parallèle de sorte que le périmètre SA + SB + AB soit minimal. (sachant que AB est une constante indépendante de la position de S).

On place le symétrique B' de B par rapport à cette parallèle.

Alors SA + SB = SA + SB', somme qui est minimale

lorsque A, S et B' sont alignés… Ce qui signifie que SAB est un triangle isocèle en S.

Reste à déterminer le périmètre du triangle SAB :

Le théorème de Pythagore appliqué dans le triangle SHA nous renseigne sur le côté SA :

2 2 2 2 22013 1316 5 784 025SA SH HA donc 5 784 025 2405SA dm .

Le périmètre du champ de Loïc est donc de : 2405 2632 2405 7442SA AB BS dm .

La clôture de Loïc mesure donc 744,2 mètres.