Correction de l'énigme n°1 (Les 2012 nombres de Loïc)

ENONCE : Loïc affectionne certains nombres plus que d'autres. Ses nombres préférés sont les nombres rationnels (qui peuvent

s'écrire sous forme de fractions) strictement compris entre -2 et 2. Nous les appellerons les nombres de Loïc !

Loïc interroge Fabrice : "Avec les trois nombres 1/ 4 , 1 et 1/ 4 , je parviens à une somme de 1. Et avec les trois

nombres 1 , 1 et 1, j'obtiens un produit de 1. Mais je ne sais pas si je peux avoir trois nombres qui ont à la fois un

produit et une somme de 1."

Fabrice connaît ce problème et lui répond : "Avec trois nombres, c'est impossible et la démonstration est vraiment

délicate. Par contre avec 2012 nombres, c'est tout à fait possible ! "

Loïc réfléchit et finit par trouver la solution :"Oui je vois aussi comment y parvenir !"

Et vous, sauriez vous donner 2012 nombres de Loïc (qui ne sont pas nécessairement tous différents) tels que leur

somme et leur produit soient en même temps égaux à 1 ?

CORRECTION :

Première remarque : avec les quatre nombres ( 1 / 1 / -1 / -1 ), on obtient un produit de 1 et une somme de 0.

On pourra donc éventuellement compléter une première liste de nombres avec autant de groupes de ces quatre nombres sans changer ni la somme, ni le produit.

L'objectif est ensuite de maîtriser le produit tout en gagnant petit à petit pour arriver à la somme de 1.

On peut par exemple examiner les deux nombres inverses suivants : 5/4=1,25 et 4/5 =0,8. Leur somme est de 2,05 et leur produit de 1.

Si on complète avec -1 et -1, on obtient donc une somme de 0,05 et un produit de 1.

On choisit ensuite 20 groupes de ce type ( -1 / -1 / 1,25 / 0,8 ) : cela nous donne 80 nombres de Loïc dont la somme et le produit sont égaux à 1.

Il reste donc à choisir 1932 nombres de Loïc sans changer ni la somme ni le produit.

On complète donc avec 483 groupes de (-1 / -1 / 1 / 1).

Au final, on choisit :

1006 fois le nombre -1, 966 fois le nombre 1, 20 fois le nombre 1,25 et 20 fois le nombre 0,8.