Enigme n°19

Loïc collectionne les vieux livres de problèmes mathématiques . Il vient d’en acheter un des

années cinquante dans lequel une des énigmes lui résiste…La voici :

« Quel est le dernier chiffre non nul du produit des mille premiers entiers positifs ? »

Correction de l’énigme 19 (Le chiffre mystère) Deux problèmes se présentent :

Mettre de côté tous les facteurs 10 possibles de ce produit et donc en réalité tous les facteurs 5×2.

Déterminer le chiffre des unités du produit restant.

Par commodité, on note 1000

1

( )i

entiers i

le produit de tous les entiers compris entre 1 et 1000.

1000 1000 1000

1 1 1

1000 1000

1 1

500 1000500

1 1

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 ( ) ( )

i i i

i i

i i

entiers i entiers pairs i entiers impairs i

entiers pairs i entiers impairs i

entiers i entiers impairs i

Les entiers pairs de 1 à 1000 sont 2, 4, 6, …, 1000.

Leur produit est donc bien 500

500

1

(1 2) (2 2) (3 2) ...(500 2) 2 ( )i

entiers i

.

On extrait ensuite les facteurs 5 possibles dans 500

1

( )i

entiers i

.

500 500 100100

1 1 1

( ) ( 5) 5 ( )i i i

entiers i entiers i non div par entiers i

car les entiers divisibles par 5 sont 5, 10,

15, 20, …, 500 : leur produit est donc 100

100

1

(1 5) (2 5) (3 5) ...(100 5) 5 ( )i

entiers i

.

100 100 2020

1 1 1

( ) ( 5) 5 ( )i i i

entiers i entiers i non div par entiers i

20 204

1 1

( ) ( 5) 5 2 3 4i i

entiers i entiers i non div par

Au final 500 500 100 20

124

1 1 1 1

( ) 5 ( 5) ( 5) ( 5) 2 3 4i i i i

entiers i i non div par i non div par i non div par

On extrait ensuite les facteurs 5 possibles dans 1000

1

( )i

entiers impairs i

.

1000 1000 200100

1 1 1

( ) ( 5) 5 ( )i i i

entiers impairs i i impairs non div par impairs i

200 200 4020

1 1 1

( ) ( 5) 5 ( )i i i

entiers impairs i i impairs non div par impairs i

40 405

1 1

( ) ( 5) 5 3 7i i

entiers impairs i i impairs non div par

Au final 1000 1000 200 40

125

1 1 1 1

( ) 5 ( 5) ( 5) ( 5) 3 7i i i i

impairs i impairs non div par impairs non div par impairs non div par

Le produit 1000

1

( )i

entiers i

finit donc par 249 zéros à cause du produit 249 2495 2 .

Dernier chiffre non nul :

Pour connaitre le dernier chiffre du produit 1000

1

( )i

entiers i

, il suffit donc de trouver le dernier chiffre de

chacun des facteurs restants, à savoir :

(1) 500 100 20

1 1 1

( 5) ( 5) ( 5) 2 3 4i i i

i non div par i non div par i non div par

(2) 1000 200 40

1 1 1

( 5) ( 5) ( 5) 3 7i i i

impairs non div par impairs non div par impairs non div par

(3) 500 249 2512 2

Tous les produits 1 2 3 4 6 7 8 9 , 11 12 13 14 16 17 18 19 … finissent tous par 6 .

Donc 500 100 20

1 1 1

( 5) ( 5) ( 5) 2 3 4i i i

i non div par i non div par i non div par

finit par 4 car

6 6 6 2 3 4 4 .

Tous les produits 1 3 7 9 , 11 13 17 19 … finissent tous par 9 .

Dans 1000 200 40

1 1 1

( 5) ( 5) ( 5)i i i

impairs non div par impairs non div par impairs non div par

, on dénombre

100 20 4 124 produits de ce type. Le dernier chiffre du produit est donc 1 puisque 9entier pair finit par 1.

On examine enfin les derniers chiffres des puissances de 2 successives :

2 / 4 / 8 / 6 / 2 /… Les chiffres des unités reviennent de façon cyclique tous les 4 termes…

Alors 2512 finit par un 8 car 251 4 62 3 .

Conclusion : Le dernier chiffre cherché est aussi le dernier chiffre de 4 1 8 . C’est donc un 2.