Correction de l’énigme n°16 ( L’anniversaire des cubes et des carrés )

Loïc a demandé à l’un de ses amis sa date d’anniversaire.

Lorsque cet ami lui répond, Loïc s’amuse :

« La différence des cubes du jour et du mois de ton anniversaire est le carré d’un entier. Et la

différence des carrés du jour et du mois de ton anniversaire est le cube d’un entier. »

Saurez-vous dire quel jour de l’année l’ami de Loïc va fêter son anniversaire ?

On nomme X le jour de l’anniversaire. 1 31X

On nomme Y le mois de l’anniversaire. 1 12Y

Bien sûr, on a la solution triviale qui consiste à choisir X Y .

En effet, 3 3 20 0X Y et

2 2 30 0X Y .

On construit un tableau avec toutes les différences de carrés possibles 2 2X Y .

On y repère en couleur les cubes d’entiers…

Reste à tester la différence des cubes sur les seules situations marquées en couleur… 3 33 1 8 n’est pas un carré d’entier. 3 36 3 189 n’est pas un carré d’entier.

3 315 3 3348 n’est pas un carré d’entier. 3 3 210 6 784 28 : c’est un carré d’entier. 3 324 8 13312 n’est pas un carré. 3 315 10 2375 n’est pas un carré d’entier.

Au final, les jours possibles d’anniversaire sont : le 1er janvier, le 2 février, le 3 mars … le 12 décembre.

Mais aussi le 06 octobre et le 10 juin…