Engouffrement symplectique et intersections lagrangiennes

Comment. Math. Helvetici 70 (1995) 558-614 0010-2571/95/040558 5751.50 + 0.20/0 �9 1995 Birkh'/iuser Verlag, Basel

Engouffrement sympleetique et intersections lagrangiennes

FRANt~OIS LAUDENBACH

Abstract. Let {L t }, t e [0, 1], be a path of exact Lagrangian submanifolds in an exact symplectic manifold that is convex at infinity and of dimension > 6. Under some homotopy conditions, an engulfing problem is solved: the given path {L, } is conjugate to a path of exact submanifolds in T*L o. This implies L t must intersect L o at as many points as known by the generating function theory. Our Engulfing theorem depends deeply on a new flexibility property of symplectic structures which is stated in the first part of this work.

En topologie diff6rentielle la m6thode d'engouffrement a 6t6 in t rodui te pa r E. C.

Zeeman utilis6e pa r J. Stall ings [St] pour 6tablir l 'unicit6 de la s tructure diff6rentielle

sur R", n > 5. Elle a 6t6 aussi t6t reprise pa r B. Mazur [Ma] pou r l '6quivalence stable

des vari6t6s. Dans le deux cas elle est raise en oeuvre dans un proc6d6 de rOpktition

infinie. Dans [EG], Y. El iashberg et M. G r o m o v ont donn6 une version symplect ique du

th6or6me de Mazur . Les champs de Liouvil le complets (voir la d6finition ci-dessous)

y jouen t une r61e majeur , le plus souvent grfice aux avatars du " t ruc d ' A l e x a n d e r "

c'est-&-dire des propri6t6s magiques de l 'expression ~f( tx) . Not re t ravai l d6veloppe aussi une m6thode d 'engouffrement symplect ique et

p ropose une a l ternat ive topolog ique dans des probl6mes 6tudi6s pa r M. G r o m o v puis

pa r A. F loe r avec les courbes holomorphes .

La situation

(a) ( M 2", w) est une vari&6 symplect ique de d imension 2n, suppos6e exacte,

c'est-&-dire ~o = ,/2. La forme 2, comme toute pr imit ive d 'une forme symplectique,

est appel6e forme de Liouville. Le champ de Liouvil le associ6 2 est le champ de

vecteurs d6fini pa r i(2)~o = d2. On fait l 'hypoth6se de convexitk d l'infini (au sens de

E l i a s h b e r g - G r o m o v [EG]):

Il existe une hypersurface compacte sans bord, transverse dt 2, bordant un domaine compact de M, et dont le saturk posi t i f par le riot de 2 est complet et constitue un voisinage de l'infini de M.

AMS Subject Classification (1991). 58 F 05.

558

Engouffrement symplectique et intersections lagrangiennes 559

(b) On consid6re une sous-vari&6 lagrangienne L compacte connexe sans bord et ~-exacte, c'est-fi-dire que 2 y induit la diff6rentielle d'une fonction. II est connu qu'il existe une forme de Liouville s ne diff6rant de 2 que par la diff6rentielle d'une fonction fi support compact, et un plongement symplectique (non propre en g6n6ral) T*L -~ M prolongeant l'inclusion L ~ Me t tel que 2L y induise la forme de Liouville canonique du cotangent. On d6signe par U(L) un ouvert de M image d'un tel plongement (on dira que U(L) est un ouvert cotangent).

On fait les hypoth6ses homotopiques:

~,(M, L) =0 , zoo(M, L) =0.

On peut dire aussi: ~ (M, U(L)) = 0, g2(M, U(L)) = O.

(c) On se donne une isotopie de sous-vari&6s lagrangiennes compactes 2- exactes, L, c M, t ~ [0, 1], partant de Lo c U(L). Sans perte de g6n6ralit6, on peut supposer que L 0 est transverse fl L

Le principe d'engouffrement

I1 6nonce qu'il existe une isotopie hamiltonienne ambiante ~o, : M ~ M, t ~ [0, 1], % = identitk, ~ support compact co'[ncidant avec l'identit6 sur L e t telle que, pour tout

t ~[0, 1], ~pt(U(L)) contienne L ~ L , . On dit aussi que U(L) peut engouffrer l'isotopie {L, } relativement fi L (rel. L).

On se propose d'&udier la validit6 de ce principe. Pour en souligner l'importance, notons tout de suite sa cons6quence dans ie cas

off L 0 = L (ou une approximation g6n6rique de L): la persistance d'intersection,

c'est-fi-dire que L t c~L reste non vide pour tout t. En effet, l'isotopie t ~ ~oT~(L,) est hamiltonienne dans le cotangent de L donc persiste fl recontrer la section nulle L (Hofer [Ho]), en autant de points que le prescrit la th6orie des fonctions g6n&atrices (Sikorav [Si]).

THI~OR]~ME D 'ENGOUFFREMENT. On considbre la situation d6crite ci-

dessus et on suppose n >_ 3. Alors quitte ~ remplacer {L t } par une e-approximation le

principe d'engouffrement est valide.

Grfice au th6or6me d'engouffrement, on retrouve par voie topologique certains des r6sultats sur les intersections lagrangiennes que Gromov [G1] a &ablis par la m&hode des courbes holomorphes; cependant nos hypoth6ses homotopiques et dimensionnelles sont plus restrictives. Par exemple, C" muni de sa structure symplectique standard est convexe fi l'infini. Par ailleurs, par translation n'importe quel

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compact peut 8tre disjoint de lui-mSme. Donc par l 'absurde, le th6or6me d'engouffrement et son corrollaire sur la persistance d'intersection donne que, pour n > 3, C" ne contient aucune sous-vari6t6 lagrangienne 1-connexe (une telle sous-va- ri6t6 v6rifierait l 'hypoth6se homotopique du th6or6me d'engouffrement).

Signalons que le th6or6me d'engouffrement ne peut 6tre vrai sans une hypoth6se tr6s forte fi l'infini. Dans [Mu] M.-P. Muller a construit une 3-sph6re lagrangienne plong6e dans R 6 muni d'une structure symplectique (exotique) qui poss6de n6an- moins un champ de Liouville complet dont le flot envoie tout compact fi l'infini. Le principe d'engouffrement n'y est donc pas valide.

Le travail est divis6 en trois chapitres.

- chapitre I: D4formation de structures symplectiques: un exemple de flexibilit4 - chapitre II: Engouffrement de cylindres de Liouville - chapitre III: Engouffrement de sous-vari4tOs lagrangiennes

Comme le titre l'indique, on r6sout au chapitre I un probl6me de d6formation de structures symplectiques. Le th6or6me qui y est 6tabli trouve au chapitre II une application imm6diate ~i un premier probl6me d'engouffrement. A partir de lfi on peut d6montrer au chapitre I I I l e th6or6me d'engouffrement annonc6. Chacun des chapitres a sa situation propre, une vari6t6 symplectique M vSrifiant certaines hypoth6ses pr~cis6es ~ chaque fois, et enfin sa num6rotation propre.

Chapitre I DI~FORMATION DE STRUCTURES SYMPLECTIQUES; UN EXEMPLE DE FLEXIBILITI~

Le h-principe de Gromov offre un outil trSs gSn6ral pour 6tudier les d6forma- tions de certaines structures g6om6triques, en particulier des structures symplectiques, sur les vari6t6s ouvertes. Ce principe interdit tout contr61e du support de la d6formation et on sait bien que si l 'on se fixe un compact comme support, on se trouve confront6 aux ph~nomanes de rigidit6 de la gSom6trie symplectique. On propose ici une situation interm6diaire off la d6formation cherch6e doit 8tre fi support compact, mais dans un compact qui n'est pas donn8 fi l'avance. Cela a un sens en g6om6trie symplectique car les compacts ont une "taille".

Soit donc M une vari6t6 de dimension 2n munie d'une forme symplectique o~. Un champ de vecteurs X sur M est un champ de Liouville si son flot Z satisfait l'identit&

o~ = etzt, oJ (1)


Ici Z~co d6signe l ' image directe de co par le diff6omorphisme Z t. En termes de d6riv6e de Lie, (1) s'6crit Lxco = co et par la formule de Car tan L x = ixd + dix, off ix d6signe le produi t int6rieur par X, le champ X est de Liouville si et seulement si

d(ixco) = co. (2)

Puisque co est symplectique, X ~ ixco est un isomorphisme entre les champs de Liouville et les formes de Liouville, i.e. les primitives de co. Donc un champ de

Liouville n'existe sur M que si co est exacte, ce que l 'on suppose dans la suite. On note 2 ~ )~ l ' i somorphisme inverse et on dit que 2 est le champ de vecteurs og-dual de la 1-forme 2.

Quand le riot Z n'est pas engendr6 par un champ de Liouville, la formule

co(t) = etz~,co (3)

d6finit une d6formation de co parmi les formes symplectiques. On r6sout ici, dans un cas particulier, le probl+me d'6tendre fi tout M une d6formation donn~e au voisinage du bord par des formules locales du type (3). L'originalit6 majeure de la

solution r6sidera dans une technique de chirurgie.

w l~nonc~ du r~sultat principal

La vari6t6 symplectique consid6r6e est de la forme M = S x R +, off S est une

vari6t6 compacte , ~t bord 6ventuellement non vide, et R + = [0, + m). La vari&~ M peut donc ~tre ~ coins. On note u: M ~ R § la coordonn6e "verticale" (projection

sur le second facteur): on note T ' le (semi)-flot (x, u ) ~ , ( x , u + t) et ~, son

g6n6rateur infinit6simal. On fait l 'hypoth6se:

(H~) I1 existe une primitive 2 de co dont le co-dual 2 coi'ncide avec ~u pr6s de

{u = + ~ } et de c3S x {0}.

Pour tout t_>0, la forme symplectique e'T',co n'est d6finie que sur T ' ( M ) = S x It, + ~ ) . Cependant comme 0u est un champ de Liouville sur

V • [0, a], off V e s t un voisinage collier de 0S dans S e t a > 0 , la structure symplectique 09 admet un prolongement canonique fi V x R de sorte que 0u soit un champ de Liouville sur V x ( - ~z, a]. Ce prolongement 6tant admis, la formule

co(t) = e ~ T~, co (4)

a un sens pour t > 0 sur V x R + et y d6finit une forme symplectique qui coincide avec ~o sur V x [0, a].

1.1 THI~ORI~ME. Il existe un chemin (05(0)o_<,<_1 de formes symplectiques sur M avec les propriOtks suivantes:

(i) 05(0) = ~o;

(ii) Co(t) a le mYme germe le long de OS x R + que le ~o(t) dbfini par (4); (iii) le ehemin (05(t)) est constant, kgal ~ ~o, prks de {u = 0} et de {u = + oo}. Le m~me rbsultat vaut avec un paramOtre 0 E [0, 1] k pour une famille (co o = d2o)

de formes symplectiques exactes, off toutes les primitives 2o vbrifient les propri~tOs suivantes :

(iv) 2o est indkpendant de 0 sur un voisinage f ixe de {u = + ~ } , (v) O~ est le ~oo-dual de 2o sur un voisinage f ixe de l'infini et de OS • {0}.

1.2 Remarques. Si t3 u est un champ de Liouville au voisinage de S • {0}, le r6sultat est 6vident, le pro longement 6tant donn6 par (4) avec V = S. I1 e n e s t de m~me s'il existe un champ de Liouville Z au voisinage de S • {0} qui pointe vers l ' int6rieur de M e t qui coincide avec t3u au voisinage de ~S • {0}. Malheureusement il y a en g6n6ral une obstruct ion ~t t rouver un tel champ Z; elle sera expliqu6e plus loin.

En revanche il n 'est pas difficile de r6soudre le probl6me de prolongement pour un temps petit ~ > 0. Pour le pro longement global le probl6me est d 'exhiber une proc6dure de prolongement en temps petit qui possSde la propriSt6 de microcom- pressibilitk au sens de G r o m o v [ G2, chapter 2], de sorte que la mSme procSdure puisse 8tre appliqu6e pour t ~ [e, 2~], t ~ [2e, 3e], e t c . . . L' ingr6dient principal permet tant cette d+marche est l 'existence de bandes caractbristiques [La], qui repose sur le fair que au est un champ de Liouville pr6s de l'infini. Le probl6me est finalement r6solu par une suite de chirurgies.

1.3 Terminologie. Dans la suite et sauf ment ion du contraire, par forme de Liouville (resp. champ de Liouville) on entend une primitive de 09 de la forme 2 + dH, oft H est une fonction a suppor t compact, (resp. le ~o-dual d 'une telle primitive).

w R ~ l u c t i o n ~t un cas particulier

On rappelle que les caract6ristiques d 'une hypersurfacc N sont les lignes L c N dont l 'espace tangent TxL est le ogx-orthogonal de TxN. Si N e s t le niveau r6gulier d 'une fonction H, le champ hamil tonien dH est tangent ~ N e t les caractSristiques

de N sont les courbes int6grales de dHtN.


2.1 Cylindres de Darboux et bandes caract&istiques

Un cylindre de Darboux B e s t une sous-vari6t6 de dimension 2n, proprement plong6e dans M, munie d 'une sous-vari6t6 symplectique A de dimension 2n - 2 et d 'un diff6omorphisme x ~-, (~(x), v(x), h(x)) de B sur A • R+[ - -6 , +6], 6 > 0, avec les propri&6s suivantes:

(i) si x e A, on a rt(x) = x, v(x) = 0, h(x) = 0; (ii) sur/~, on a co = rc*m 0 + dv A dh off ~o 0 est la forme symplectique induite par

~o sur A.

La base du cylindre de Darboux est d6finie par zi = {v = 0}. D 'au t re part on dira que /~ est un cylindre de Darboux normal si

(iii) ~ pointe ~i l 'ext6rieur de /~ le long de ~3/~ quand u (ou v, par propret6) est assez grand.

Si cette propri6t6 est satisfaite pour u >__ u0, on dira parfois que /~ est en forme normale pour u >_ Uo.

Une bande caractkristique (normale) B est l '5me {h = 0} d 'un cylindre de Darboux (normal) . Alors B e s t une hypersurface propre de M, avec une sous-va- ri6t6 symplectique A (appel6e la base de B) et un diff6omorphisme x ~ (n(x), v(x)) de B sur A x R + tels que z ( x ) = x s i x ~ A et que les fibres de ~ soient les caract6ristiques de B.

L 'hypoth6se (H1) garanti t l 'existence de beaucoup de bandes caract6ristiques normales. De fa~on pr6cise on a l e r6sultat suivant prouv6 dans [La].

2.2 THI~OREME. Soit flz . . . . , tip des boules de dimension 2n - 2 mutuellement disjointes, plongkes dans int{u = 0} transversalement aux caractbristiques (elles sont donc symplectiques). Soit fli ~ int{u = 0}, i = 1 . . . . . p, obtenu en kpaississant fli dans la direction des caractOristiques de {u = 0}. Alors il existe des bandes caract&istiques normales Bl . . . . . BN de bases A~ . . . . . AN avec les propriktks suivantes:

(i) elles sont les dmes de cylindres de Darboux normaux et mutuellement dis-

joints, de bases contenues dans {u = 0};

(ii) toute caract&istique de fli rencontre l'int&ieur d'un Ak.

2.3 Une construction

Soit U c int U' c U' c U" des voisinages colliers de OS dans S, U et U' +tant compacts et U" ouvert, assez petits pour que Ou soit un champ de Liouville au voisinage de U" x {0}. Identifiant un instant {u = 0} avec S, on choisit des boules de dimension 2n - 2, fll . . . . . fie, qui dktruisent la rkcurrence du feuilletage caract6- ristique de S = {u = 0} hors de U au sens suivant:

564 FRANCOIS LAUDENBACtl

(a) toute caract6ristique de {u = 0}, ou demi-caract6ristique infinie, non contenue dans U intersecte l ' inl6rieur d 'un des I/g;

(b) de m~me pour tout segment caract6ristique non contenu dans U" et dont les extr6mit6s sont dans U';

(c) tout segment caract+ristique dont les extr6mit6s sont dans un m~me [/g coupe l 'int6rieur d 'un autre [-~k.

On applique le th6or+me 2.2 5. ces boules et on trouve des bandes caract6ris-

tiques normales B~ . . . . . BN, dont les bases A~ . . . . . AN c int{u =0} d&ruisent aussi la r/~currence du feuilletage caract6ristique, c'est-5.-dire qu'ils v6rifient aussi ( a ) - ( c ) . Les /~i sont les cylindres de Darboux donn6s par 2.2 et les /~ d6signcnt leurs bases respectives. On note alors S ' l 'adh6rence de S \ ~ A j .

2.4 L E M M E . ll existe un champ de Liouville Y qui pointe vers les u > 0 h" hmg

de S ' x {0} et qui co'incide avec Cu pros de ~S x {0~.

Preuve. (Chaperon) On veut construire un hamiltonien :~ support compac t H sur M tel que le ~o-dual Y de 2 + dH v6rifie Y = ~, pr6s de ~3S • {0} et Y. u > 0 sur S ' • {0}. La derni+re condition peut 6tre r66crite 2. u + {tt, u} > 0, off {H, u} d6signe le crochet de Poisson, ou encore:

d u ' H < ) . ~ ' u s u r S ' x {0},

Puisque du est tangent 5. {u = 0}, cette condition ne fait intervenir que les deux

fonctions h(x) ,= H(x, 0) et g(x) ,= ( f - u)(x, 0), x ~ S, ainsi que le champ de vectcurs Z sur S ' obtenu en prenant la restriction de du 5. S ' • {0}. Le probl6me est de construire h: S ' --* R satisfaisant

Z . h < g (5)

et (par exemple) h = 0 pr6s du bord de S, sachant que g(x) = ?,,. u = 1 s i x ~ U".

On pose h = 0 comme germe de fonction le long de U. On introduit une fonction 0 : R ~ R telle que O(t) < t pour tout t et O(t) = 0 pour t > 1. Soit K0 la r6union de toutes les lignes du champ Z (c.-fi-d. les caract6ristiques de S ' x {0}) qui

rencontrent U. D 'apr6s 2.3(a) K0 est compact . On affirme qu'il existe exactement

une extension de h e n un germe de fonction le long de K0 solution de l '6quation diff6rentielle

Z . h = O o g (6)

(ce qui implique (5) au voisinage de Ko). En effet, si ~ d6signe le flot de Z, (6) d6finit h par la formule

h(~'(x)) = O o g(~ ' (x) ) ds, (7)

pour tout (x, t ) e U x R appartenant au domaine de d6finition de (. Tant que l'orbite de x reste dans U", la fonction vaut 0 et si elle sort de U" elle ne revient jamais dans U, d'apr6s 2.3(b). Donc la d6finition de h est univoque sur Ko. Elle vaut aussi pour un germe de fonction le long de Ko car la formule (7) convient encore pour x ~ U'. Alors, comme germe de fonction le long de K0, on a l'identit6

f0 t h(~'(x)) = h(x) + O o g (~ (x ) ) as. (8)

Chaque ~?Aj est l'union disjointe d'une face d'entr6e zij + le long de laquelle Z pointe vers l'int6rieur de zij, d'une face de sortie z~f le long de laquelle Z pointe vers l'ext&ieur et d'un face lat&ale fi laquelle Z e s t tangente. Par 2.3(c), toute orbite dans S ' \ K o va d'un Af /t un zi ; . On peut donc d6finir des compacts K~ c . �9 �9 c KN = S ' contenant Ko comme suit: pour 0 < j < N, Kj est l'union de Kj_ ~ et des orbites de Z qui rencontrent l'adh6rence de zif . On suppose que hes t construite au voisinage de Kj_ ~, satisfaisant (6)-(8). On 6tend le germe induit le long de Kj_ 1 ~ adh(zif ) en un germe le long de adh(Af ) tout entier satisfaisant (6). Comme cette hypersurface est transverse fi Z, il n'y a pas d'obstruction i le faire. Puis on utilise la formule (8), avec x voisin de adh(z~f ), pour prolonger h comme germe le long de Kj. cfqd

2.5 Remarque. L'obstruction mentionn6e en 1.2 est claire. Par exemple si un segment caract6ristique de S • {0} a ses extr6mit6s a, b dans ~S • {0}, (5) peut interdire /t H de prendre la m~me valeur en a et b.

2.6 Le situation modkle

Elle est d6finie par les hypoth6ses suivantes:

(H2) S est elle-m~me le produit D • [0, 1], off D est une boule ferm6e standard de R 2"-2. Ainsi tout point de M s'6crit ( x , y , u) e D • [0, 1] x R +.

566 FRAN~OISLAUDENBACH

(H3) Les caract6ristiques de {u = 0} sont les segments {x} • [0, 1] et la forme induite par co sur {u = 0} rel6ve la structure symplectique standard de R2n- 2.

(Ha) I1 existe un voisinage collier compact U de dS et une bande caract6ristique normale B dans M v6rifiant: - Ou est un champ de Liouville au voisinage de U • {0}; - la base A de B rencontre transversalement et en un seul point toutes les

caract6ristiques {x} • {0, 1} de {u =0} non contenues dans U.

Remarque. Sauf sous des hypoth6ses de convexit6, il est impossible d'avoir dA c c3S.

2.7 LEMME. Pour obtenir le thkorkme 1.1 (sans paramktres), il suffit de le prouver sur la situation modkle (HI) - (H4) .

Preuve. On peut changer la structure produit M = S • R § qui n'a aucune signifcation particuli6re vis-h-vis de la structure symplectique sauf au voisinage de l'infini et de 0S • {0}. On reprend la construction 2.3. Disons que dans {u >_ Uo} les cylindres de Darboux/~l . . . . . /}At sont sous forme normale. Comme 2n r 3, un arc allant de {u = 0} ~ {u = Uo} dans {0 < u < u0} n'est jamais nou6 et deux tels arcs ne sont jamais enlac6s. De 1~ on d6duit que l'adh6rence de {0 < u <_ Uo}\UBi est un produit S ' • [0, u0] prolongeant la structure produit des /}i. On 61argit chaque base Aj de Bj en une boule Aj transverse aux caract6ristiques de {u = 0} et contenant Aj en son int6rieur, puis on 6paissit A) en Aj dans la direction des caract6ristiques de sorte que int z~j = z/j. A cause de la structure produit mention- n6e plus haut, il existe un champ de vecteurs Z sur M avec les propri&6s suivantes:

(i) Z coincide avec ?u dans {u _> Uo} et au voisinage de c~M c~ {u > 0}; (ii) Z coincide avec le champ de Liouville Y donn6 par 2.4 au voisinage de

s ' • {0}; (iii) toute orbite de Z va de {u = 0} fi l'infini; (iv) toute orbite issue d'un point de {u = 0} n'appartenant pas aux z~) 6vite les

cylindres /}k jusqu'~i {u =u0} et d6finitivement ~i cause de leur forme normale.

La nouvelle structure produit sur M est alors donn6e par le flot de Z. Dans cette structure, notons M' l'adh6rence de ( S \ U A ~ ) x R +. Comme Z = ~ , est un champ de Liouville au voisinage de {u --0} dans M', le prolongement cherch6 05(0 peut ~tre donn6 par la formule (4) au voisinage de M'. I1 ne reste plus qu'~i boucher les trous zlj x R +, qui correspondent chacun ~i une situation mo- d61e. cqfd

w D6monstrat ion du th6or6me 1.1 ( sans param6tre)

3.1 Hypothdses et notations

Par le lemme 2.7, on peut supposer ( H I ) - ( H 4 ) . Par (H3) on a {u, y} = du. y r 0 le long de {u = 0}. Alors, quitte ~ changer y e n 1 - y, on peut supposer {u,y} < 0 le long de {u =0} . Autrement dit 0y et du orientent les caract6ristiques de {u = 0} dans des sens oppos6s.

On note U0 et U1 des voisinages colliers compacts de dD dans D avec U o c Int UI, U~ x [0, 1] c U et ~A c Uo x [0, 1] x {0} (voir (H4)); leurs bords in- t6rieurs sont des sph6res euclidiennes. On choisit des constantes positives e et 6 satisfaisant ( 9 ) - (11 ) ci-dessous;

)~=3u pr6s de {1 - 6 < y < 1, u =0} et de {y = 1 - 6 , 0 < u <e} . (9)

En fait au d6part, on peut choisir 6 et e tel que , ( - - ~ , pr6s de { 1 - 6 _< y _< 1, 0 0 sur les domaines indiqu6s. En effet, le long de {u = 0 } , cela revient ~. 2 ( d u ) < 0 ou encore co(2, du) < 0, ce qui se lit du(O,) > 0, qui est vrai. La m6me conclusion vaut sur les autres niveaux de u au voisinage de {y = 1 - 6, 0 < u < e}, puisque le flot du champ de Liouville 6, preserve 2 fi un facteur positif pr6s.

Maintenant 6 est fix& La condition suivante sur e est relative aux caract6ris- tiques de {y = 1 - 6}: comme cette hypersurface est transversale aux caract6ris- tiques de {u = 0}, ses propres caract6ristiques sont transversales aux niveaux de u de valeurs voisines de 0. Donc pour e assez petit on a:

toute caract6ristique de {y = 1 - 6 } allant de {u = 0} ~t Uo x { 1 - 6 } x [0, El vient d 'un point de U~ • {1 - 6 } x {0} (Figure 1). (10)

Pour e assez petit et quitte fi changer les verticales sauf au voisinage du bord de M e t de l'infini, on peut encore satisfaire ~ la condition suivante:

I1 existe un cylindre de Darboux propre B c {1 - 6 < y < 1, u _> 0} dont la base zl dans {u = 0} intersecte en un unique intervalle toutes les caract6ristiques de {u = 0} qui ne sont pas contenues dans U0 x [0, 1] x {0}. (11)

En effet on prend la bande caract6ristique donn6e par (H4). Par une isotopie hamiltonienne ~ support compact on d6place chaque point de A sur sa propre

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Uo

k. .3

UI

FRAN~OISLAUDENBACH

u0

UI { y = l - g , 0_ 1 - 6 }. On proc6de alors comme dans la preuve de 2.7: on change les verticales sauf au voisinage du bord de M e t de l'infini de sorte que B soit contenu dans {y > 1 - 6 }. S ie est assez petit, 0, n 'est pas chang6 dans {u < a} et les conditions (9 ) - (10 ) sont pr6serv6es.

Remarque. En fait /~ peut ~tre choisi normal, mais on n'insiste plus sur cette propri6t6 qui ne sert en fait que pour l ' a rgument 2.7.

3.2 L E M M E . Il existe un hamiltonien H: M ~ R dont le champ de Liouville

associO X = 2 + d H a les propriOtks suivantes:

H = O p r k s d e U t x [ 0 , 1 l x{0} e t d e { y = 0 , u = 0 } ; (12)

X . u > 0 et H >O le long de { 0 < y < 1, u =0} ; (13)

X . y = 0 le long de {y = 1 - 6, O <_ u <_ ~ }

et H(x , l - f , u ) =O si x e Uo, u e[O,e]; (14)

X ' u = 1 pros de {y = 1 - 6 , O 0 revient ~t du. H < ,~.u. Ecrivant 0y = - a d u avec a > 0, la condit ion s'6crit 0y �9 H > -~ ,~ �9 u. On peut renforcer cette condit ion en demandan t en plus: 0y. H _> 0 et 0y. H = 0 pr6s de {y = 0}, de {y = 1 - 6} et de U~ • [0, 1] dans {u = 0}. Autrement dit, on peut construire Hl/u=o I satisfaisant (12 ) - (13 ) en lui demandan t d'~tre nulle pr6s de {y = 0 } et de croRe suffisamment vite avec y. Dans la suite on choisit un tel H sur {u = 0}.

C o m m e 0u = 2 le long de {y = 1 - 6 , 0 < u <~}, (14) revient ~ d k I . y = 0 ou dy �9 H = 0. Aut rement dit, H doit &re constant le long de chaque caract6ristique de

{y = 1 - 6, 0 _< u < ~:}. Alors, si un tel segment caract6ristique ~, vient de {u = 0}, Hl~, est d&ermin6 par la valeur qui lui est attribuge dans 1'6tape pr6cgdente. A cause

de (10), si ). aboutit dans U0 • [1 - f i } • [0, e,], HI:. est nul. On compl6te la construction de H,y~ ~-~.o . . . . ,, en prenant H = 0 le long des autres caract6ristiques; alors (14) est satisfaite.

La condition (15) revient 5. du �9 H = 0, ce qui est facile ft. satisfaire 5. partir

H!,_,.= ~ ,~.o<_ ..... : puisque du est transversal 5. {y = 1 - 6, 0 _< u _< e,}. cqfd

Remarque. Si les conditions (9 ) - (15) sont satisfaites, elles le sont encore si on diminue r, sans toucher ni a ,6 ni 5. H. Compte tenu de cette remarque une derni6re condition de petitesse sera impos6e 5. e, en 3.10 (21). Son 6nonc6 n6cessite d 'autres pr61iminaires.

3.3 Un champ de vecteurs Z

On fixe une fois pour routes un champ de vecteurs Z sur un voisinage de {y < 1 - 6 } 6gal au champ de Liouville X (donn+ par 3.2) au voisinage de {u = 0} w {y = 1 - 6, 0 < u < ~} et v6rifiant les hypoth6ses additionnelles suivantes:

Z e s t tangent 5. { y = 1 - 6 } et Z . u = 1 au voisinage de {y = 1 - 6 } ; (16)

Z=~3,, pr6s de ?)S x [ 0 , + o c ) dans { 0 < y < 1 - 6 } et au

voisinage de l'infini. (17)

On note ~' le flot de Z et on rappelle que T' est le flot de ~,,. On va utiliser r,

pour obtenir une "solution na'ive" du probl6me de prolongement pour 0 < t < e. Cette "solut ion" pr6sente une discontinuit6 le long de {y = 1 - 6 } qui sera r6sorb+e par une technique de chirurgie (coupure et recollement). On verra ensuite sous

quelle condition la mgme proc6dure peut fitre appliqu6e pour e _< t < 2e, e t c . . .

3.4 Un prolongement na?f

Pour 0_< t < c, on pose

cb~( t )=e ' (~eo s u r { 0 < y < l - 6 } ,

~2(t) =etTt, o9 sur {l - 6 < y <_ l,u <e}.

(18)

(19)

570 FRAN(~O1S LAUDENBACH

La formule (18) d6finit bien ~ l ( t ) sur (t({0 < y < 1 - 6 } ) . Mais comme Z est un c h a m p de Liouville au voisinage de {u = 0}, ~ (t) se prolonge canoniquement sur la part ie manquan te (voir (4)). La m6me remarque doit 6tre faite pour la formule (19). Par ces formules on a &~( t )=~o = 6~2(t ) au voisinage de {y = 1 - 6 , 0 e}, except6 ~t l'infini.

On va r6sorber cette discontinuit6 seulement pour t = e; cela pourrai t &re fait de la m6me faqon pour 0 < t < e. On observe d ' abo rd que les formes induites sur {y = 1 - 6 , u > e} par &l(e) et o52(e ) sont conjugu6es: la seconde est l ' image directe de la premi6re par

~ " = T~ ~ ~ - ' l {Y = I - ~5, u > e } ,

qui d 'apr6s (15) et (16) est bien un diff6omorphisme de cette hypersurface. De plus la restriction (o de �9 ~ {y = 1 - 6, u = ~ } est l 'extrkmitb d'une isotopie partant de

l'identitd,

q S t = T ' o f f -t, 0 < t < e ,

qui est hamiltonienne pour la forme sympleetique induite par ~o. D'ailleurs on peut v6rifier, ce qui ne servira pas dans la suite, que le hamil tonien correspondant est la fonction - e t H o T -t, n6gative on nulle.

On pr6f6rera utiliser une isotopie hamil tonienne 16g6rement diff6rente; on prendra q~t aUant de Id ~ ~ et stationnaire pou r t voisin de 0 et de e. Par exemple si ~: [0, e]--*[0, ~] est une fonction croissante telle que ~ ( t ) = 0 pr6s de 0 et ~(t) = pr6s de e, on prendra

qb' = T "~~ o ~-'~~

Son hamiltonien K, = - ~ ' ( t ) e ' H o T, (<0) , vu comme une fonction d6finie sur D, est nul pour t voisin de 0 et de e et aussi pour x e U0 d 'apr6s (14).

3.5 Graphe d'un hamiltonien

On consid6re le cylindre de D a r b o u x / ~ donn6 par (11). Son image T':(/1) est un cylindre de Da rboux pour la forme o52(e). Soit (x' , r, v) un syst~me de coordonn6es de Da rboux sur T~(B) --- A x [0, e] x [0, + ~ ) (noter que le r-intervalle peut 6tre choisi arbitrairement) . Sa base {v = 0} est contenue dans {u = e} et l 'espace rkduit

A est muni d 'une forme symplectique que l 'on peut ident i fer (en suivant les

Engouffrement symptectique et intersections lagrangiennes 571

caract6rist iques de {u = e}) fi la forme 09~ induite par ~2(a) sur {y = 1 - 6, u = e}.

Le vecteur 8~ dirige les caract6rist iques de {r = const} et, le long de {v = 0}, il pointe

vers {u > e}. On choisit 8~ de sorte que le long de (v = 0} il oriente les caract6ris- tiques de {u = e} dans le m6me sens que du. A priori th2(e)(8 ~, O~) = _+ 1. C o m m e

e52(E)(t3,, du) = - 1 , on d6duit que 052(e)(t3~, ~,) = - 1 et donc sur T"(/~) on a

~52(~) = o~ + dr ^ dr.

On note _r le graphe du hamiltonien, c'est-~t-dire l 'hypersur face de { 1 - 6 < y < 1, u > e } d6finie par l '6quat ion

v = - K ~ ( x ' )

dans T'(/~) et par u = e en dehors.

Remarque. Si on ne conna] t pas le signe du hamil tonien, on consid6re le cylindre doub lemen t infini T~(B)~ x [0, e] x R et _r est alors une hypersurface de {1 - , ~ _<y _< 1, u _>e}uT~(/~) ~

L E M M E . Lediffkomorphisme d'holonomie A x {0} x {0}--, A x {e} • {0)obtenu

en suivant les caractkristiques de X est donnk par c# ~, si on identifie la source et le but fi la m~me boule de l'espace rkduit.

Preuve. On rappelle que le g6n6rateur infinitesimal de r est d K , I1 s 'agit de voir que les caract6rist iques de X se projet tent (dans les coordonn6es de Darboux) sur les

graphes dans A x [0, e] des solutions de l '6quat ion diff6rentielle ~ ' = dK~(x'), ou

encore que dK~ + 8~ dirige le noyau de ~o6 - dz ^ dK: dans A x [0, e]. Or

i(dK~ + O~)(e~a - dr A d K r ) = i(dK~)~o~ - dK, = O. cqfd

3.6 Chirurgie

O n pro longe le d i f f6omorphisme de conjugaison q~ de {y = 1 - 6, u > e} en un

di f f6omorphisme, not6 encore cb, de { 1 - 6 _< y _< 1, u = e } sur Z" avec les propr i&6s

suivantes:

(i) ~ envoie les caract6rist iques de {u = e} sur celles de 2; p o u r la fo rme cb2(e);

(ii) r est l ' identit6 au voisinage de {y = 1}; (iii) r = T ' o ( - ' au voisinage de {y = 1 - 6}.

572 FRANt~OIS LAUDENBACH

D'apr+s (15), la derni6re formule op&e bien de {u = e} dans lui-mame au voisinage de {y = 1 - 6 }. Ce diff6omorphisme se prolonge en un germe de symplec- tomorphisme pour la forme (52(5) d 'un voisinage de {1 - 6 < y < 1, u = 5} sur un voisinage de X. On peut pour cela invoquer un argument g6n6ral de Givental (voir [Be]) ou v6rifier que, dans les coordonn6es de Darboux,

(x ' , ~, v) ~ ( r z, v - K , ( x ' ) )

est un diff6omorphisme symplectique. On pose M'g = {0 < y < 1 - 6 } que l 'on muni t de la forme symplectique (5~(E).

On pose M} = {1 - 6 < y _< 1, 0 < u < e} que l 'on munit de la forme Cb2(5 ). Au p voisinage de M'gnM'a, on a e51(5)=~o =(52(5 ). Doric M ' = M g U M ' a est muni

d 'une forme symplectique. Enfin on note M" la partie de { 1 - 6 < y < 1, u ~> 5} w T~(/~) ~ au-dessus de 22, que l 'on muni t de la forme 052(5 ).

La chirurgie consiste fi couper M le long de {y = 1 - 6, u > e } u { 1 - 6 < y < 1, u = 5} e t / t recoller M ' it M" par le diff6omorphisme ~b. On pose

M(~) - M ' u , M".

Les propri6t6s de q~ et de son prolongement comme germe impliquent l '6nonc6 suivant (Figure 2).

L E M M E . De fafon naturelle, il existe sur M(~) une structure diffOrentiable et une forme symplectique Co(5) telles que:

(a) M(4~) soit diffOomorphe gl M par un difJOomorphisme qui est l'identitO au voisinage du bord et de l'infini;

y=O

M "

M~

M;

y=l- 6

Figure 2

/ E

U = s

y=l

(b) par la projection M' u M" --* M(q~), la forme 05(~) induise 051 (~) sur M'g et ~52(~ ) sur M'awM".

Si on identifie M e t M(~b) par ce diff6omorphisme, on obtient la forme cherch6e 05(e) sur M qui coi'ncide avec e~T~,co pros de OMc~{u > 0} et avec co pr6s de {u = 0, + or}. La chirurgie a r6sorb6 la discontinuit6 du prolongement naif.

3.7 Peut-on faire la seconde ktape e < t < 2e?

Sur la partie gauche {y < 1 - 6 } , on continue avec la formule (18) 051(0 = e ' ~ c o . Vu au voisinage de {y = 1 - 6 } dans M", le champ utilis6 pour ce pre longement est 4~,Z = T~Z. I1 est de Liouville au voisinage de {y = 1 - 6, e < u < 2~ } pour la forme 05 2 (~). Le champ ~, a aussi cette propri6t6. De plus les champs 4~, Z et 0~ cGncident au voisinage de U0 x { 1 - 6 } x [e, 2e] d 'apr6s (14).

D ' au t r e part , (M", 052(~)) contient un cylindre de Darboux propre dont la base recontrent toutes los caract6ristiques de 12 q ui ne sont pas contenues dans U0 z [1 - 6 , 1] • {e}, ~, savoir la partie de T~(B) ~ au-dessus de 2;. Tout est donc comme dans la figure initiale, sauf que l 'on ne sait pas s'il existe un champ qui jouerai t sur M" le r61e jou6 par 6, sur {1 - & < y < 1, u > 0). Ou encore, on ne sait pas s'il existe un champ de Liouville pour (52(e) transverse /t Z et co~ncidant avec 0u au voisinage de U o • 2 1 5 et de { y = l - 6 ou 1, u = e } . On va contourner cette difficult6 en se fondant sur la remarque suivante.

Remarque. A priori la classe d ' isotopie de eS(e) d6pend du choix qui a 6t6 fait pour l ' isotopie hamiltonienne de l'identit6 ~i ~b ~i travers los diff6omorphismes symplectiques de (D, cog) cGncidant avec l'identit6 au voisinage de Uo. Par un argument gtla Moser, cette question d6pend de savoir si l 'espace de cos diff6omor- phismes symplectiques est simplement connexe; cette question est ouverte. Devant cette ignorance, on par t ~i la recherche d 'une isotopic hamiltonienne qui nous convienne. Pour cela on tire profit du lemme de fragmentation de Banyaga [Ba, III.2] (voir aussi l 'appendice).

3.8 EnoncO de lemme de fragmentation

On consid6re la boule s tandard (D, coo) dans (R 2"- 2 standard) et son voisinage collier U o. Soit G le groupe des diff6omorphismes symplectiques de (D, COo), coincidant avec l 'identit6 au voisinage de Uo. On se donne des domaines

574 FRANCOIS LAUDENBACH

A0 . . . . . A2._2, dits domaines de fragmentation, dont les int6rieurs forment un recouvrement de D - Uo. Alors il existe un C~-voisinage de l'identitk dans G dans lequel tout dlkment (0 peut ~tre fragmentb, c'est-5-dire Otre kcrit comme le produit de 2n -- 1 diffeomorphismes symplectiques

,~ = ~0 . . . . . 4 ,~ ._~,

o~ ehaque c~k est le temps 1 d'une isotopie hamiltonienne 71 support dans int(Ak n (D - Do)).

I I n e faut pas penser que les A~ sont connexes. Au contraire un proc6d6

classique pour se donner les A~ consiste fi partir d 'une triangulation ~-- d 'un voisinage de D - U 0 dans int D. A chaque k-simplexe ai on associe une anse Ak. i d'indice k qui recouvre la partie de ai non couverte par les anses d'indice inf6rieur; la construct ion des anses se fait par r6currence sur k et, pour i # j , Akj n Ak, j =

(voir [Ba, p. 200]). On prend alors pour A~ la r6union des arises d'indice k. Par ce proc6d6, si la tr iangulation Y est assez fine on peut rendre le diam&re (euclidien) des composantes c o n n e x e s Ak, i de Ak arbitrairement petit.

3.9 Choix des domaines de fragmentation

DI~FINITION. Soit (.4, d) une ( 2 n - 2 ) - b o u l e symplectique point6e dans { 1 -- 6 < y < 1, u = 0} dont la projection par la r6duction est un domaine (A, a) de

D, dtoilO par rapport fi a. Soit 2,i la forme de Liouville induite par 2 sur A e t soit 2~ le champ de Liouville dual pour la structure symplectique de A. On dira que (A, ~) est 2-standard si f~j se projette sur le champ de Liouville linbaire radial de (A, a), �89 - ai)Oxi, o~ (xi) (resp. (ai)) sont les coordonnbes euclidiennes de x (reap. de a) dans R 2"- 2.

Le lemme suivant montre qu'il existe beaucoup de boules 2-standard. Pour l '6noncer sous la forme qui sera utile, il convient d ' introduire une nouvelle

constante g6om6trique de la figure.

On d6finit 0o > 0 comme la borne inf6rieure des longueurs, mesur6es

par [21, des caract6ristiques compl6tes de { 1 - 6 < y < 1, u = 0}. (20)

No tan t O le riot de - -du et sachant que 2 ( - d u ) = + 1, on voit que O est bien d6fini sur {y = 1 - 6, u = 0} x [0, 0o], fi valeurs dans {u = 0}; son image est munie

de coordonn6es (x, 0) e D x [0, 0o], off 0 est le temps du flot et off {y = 1 - 6, u = 0}

est identifi6 ~ l 'espace r6duit D. On va fractionner la longueur 0o en 4n(2n - 1) parties 6gales; la raison pour cet entier appara~tra plus loin.

L E M M E . II existe r > 0 tel que, pour toute boule euclidienne (A, a) centr~e en un

point a de D - Uo et de rayon < r, il existe un relbvement 2-standard

{ 0o } (A,6) c u = O , O < O < 4 n ( 2 n _ l ) .

Preuve. Soit 20 la forme de contact induite par 2 sur {u = 0 , 0 < 0 < Oo/4n(2n - 1)}. C o m m e - d u est le champ de Reeb de 2o on peut 6crire

f~O = E ~i (X) dx i -~- dO,

C o m m e d2o = Z dx2j + ~ ̂ dx2j + 2, pour tout a ~ D - Uo il existe une fonction ha, unique ~ une constante additive pr6s, v6rifiant l 'identit6

1 ~i (x) dxi + dh, (x) = ~ ~ [(xzj +1 - a2j +, ) dx2j + 2 - (x2j + 2 - a2j + 2) dxzj + 1 ].

Soit C une constante de Lipschitz uniforme pour ha, a e D - Uo. On prend

0o F - -

8n(2n - 1)C"

On d6finit alors A par: 0 = ha(x), x ~ A. Si on choisit h,(a) = Oo/8n(2n - 1), A est bien dans la r6gion prescrite, cqfd

Remarques. (1) La 0-translat ion laisse aux boules leur caract6re 2-standard.

Donc on peut 6galement prendre

~ kOo (k + 1)0o "~ "4 ~4n(2nn-- 1) < 0 < 4n(2n - 1)J '

(2) Le lemme vaut aussi lorsque (A, a) est seulement un domaine 6toi16 de

rayon < r.

On note Ao la projection de A dans l 'espace r6duit, off, rappelons-le, A est la base de la bande caract6ristique donn6e par (11). On choisit une triangulation 3 . d 'un voisinage de D - Uo dans int Ao, 06 le diam6tre de chaque simplexe est <2r .

Pour chaque simplexe tr de ~--, de barycentre a(tr), on associe une anse A(~r) 6toil6e par rapport ~ a(a). Si a et ~r' sont de m~me dimension, A(a) c~ A(a') = ~ . Enfin la r6union des anses A(a) associ6es aux cellules de dimension <k recouvre le k-squelette de ~ . Soit Ak la r6union des A(a) avec dim tr = k. Les A~ sont les domaines de fragmentation cherchbs.

On note (A(tr), 6(tr)) le rel~vement 2-standard de (A(cr), a(tr)) dans {u = 0}, o~ la 0-coordonn6e de d(a) ne d6pend que de la dimension k de t re t est donn6e par

( k + l / 2 ) O(k) - 0o.

4n(2n - 1)

On note /]k la r6union des ~](a) o6 a parcourt l'ensemble des simplexes de dimension k (Figure 3).

3.10 Utilisation des domaines de fragmentation pour la premikre ktape

LEMME. Les "4k sont les bases de bandes caractkristiques propres Bk dans ({y > 1 - 6 } , e~), mutuellement disjointes et disjointes de B, et tangentes h du au voisinage de la base.

Preuve. Soit (x', z, v) des coordonn6es de Darboux pour le cylindre/~ donn6 par (11). Le lemme est 6vident si on remplace -4k par un rel6vement A~ de Ak dans { z - z ( k ) } , off z(k) est une constante ne d6pendant que de k, avec r(0) > z(1) > . . . > z(2n - 2 ) , l'axe des ~ 6tant orient6 dans le m~me sens que du. Or u-4k se d6duit de ~A~ par glissement le long des caract6ristiques de {u = 0},

B B 0 B I

{y =1 - 8} --,-

\

A ~o ~l

Figure 3

.,--- { y = l }

c'est-fi-dire par une isotopie (hamiltonienne) qui d6place chaque point sur sa propre caract6ristique. La base &ant fix6e, le germe de la bande caract6ristique au voisinage de la base peut &re choisi arbitrairement, fi condition d'etre transversal ~i {u = 0}; cela permet de satisfaire la derni6re condition, cqfd

On considere de nouveau le diff6omorphisme ~b ~ = T ~ o ff-~ de {y = 1 - 6, u = e}. Le diff6omorphisme T-':cUT ~: peut 6tre vu comme un diff6omorphisme symplectique de l 'espace r6duit de {u = 0} ~, support dans D - U0. Voici enfin la derni~re condit ion de petitesse impos6e ~, e. D 'apr6s le lemme de Banyaga, pour e assez petit:

T-~0 ' :T ~: est fragmentable relativement h la famille des domaines Ak. (21)

On fixe d6finitivement un tel e et on 6crit

T- ' :O ' : r ' : = 4o . . . . . 4,a,,-~,

off ~b k est isotope fi l 'identit6 avec un hamiltonien hk: A k x [0, I] --*R/t support dans l 'int4rieur de (Ak m(D - Uo)) x [0, 1].

Soi t / ]k un cylindre de Darboux pour r d'fime Bk et de base dans {u = 0}; les/~k sont choisis mutuel lement disjoints. On obtient/~k ~ part ir de Bk en l '6paississant au moyen d 'un champ hamiltonien qui lui est transversal. Pour la suite, on impose qu 'au voisinage de la base,

Bk s 'obtienne en appl iquant le flot de pdu, off p e s t une constante assez petite pour que le flot existe sur l 'intervalle de temps [ - 1, + 1]. (22)

Sur l ' image T~(Bk) on a des coordonn6es de Darboux (2, f, ~) ~ dk x [ - - I, 1] x [0, + oc) qui s '6tendent au cylindre doublement infini T~(/tk) ~ dont la partie {~ < 0} est ext6rieure fi {u > e}. On convient aussi que ~3e dirige les caract+ristiques de {u = e } dans le m~me sens que du, que l'fime {i = 0} est T'(Bk) et qu ' au voisinage de la base on a

f = p(u - e). (23)

C o m m e en 3.5, on a dans chacun des cylindres de Darboux

e32(E ) = o~ + df ^ dO.

On d6finit l 'hypersurface Z de {1 - 6 < y _< 1, u > e} w T'( /~0)~ . . . ta T~(B2n_2) ~

par l'6quation

= --hk (24)

dans le k-i6me cylindre de Darboux et, en dehors de ces cylindres, Z coincide avec {u = e}. L'holonomie globale de Z e s t bien le diff6omorphisme ~b ~. On peut donc proc6der fi la chirurgie comme en 3.6. Cela ach6ve la premi6re &ape et va permettre la poursuite du prolongement sans toucher & e.

3.11 En rue de la seconde ktape e < t < 2~

On rapelle que (M, &(e)) est pr6sent6e en deux morceaux M' et M" et que l'on a 2; = 0M". Par 3.10, T'(B) est contenu dans M"; c'est une bande caract6ristique pour tb(e) dont la base coupe toutes les caract6ristiques de 2; non contenues dans U0 • [1 - 6 , 1] x {e} (comme ici, les coordonn6es (x, y, u) ne seront utilis6es dans la suite que l~t off elles ont un sens canonique).

LEMME. Il existe dans M " une hypersurface 2;' munie d'un germe de forme de

Liouville 2' pour ~(e) vOrifiant les conditions suivantes:

(i) 2;' se dkduit de 2; par une isotopie dans M" laissant f i xe un voisinage de 0~; (ii) toute caract6ristique de 2;' va de {y = 1} h {y = 1 - 6 } ;

(iii) 2' est transverse d 2;' et coi'ncide avec ~, au voisinage de Q2;'= 02;;

(iv) l'intOgrale de 2' sur toute caract6ristique complkte de 2;' est > e~0o(1 - 1/4n), off Oo est d6fini en (20).

Remarque. On pourrait &re tent6 de prendre Z ' = S e t 2 ' = e'T~.2. Mais la condition (iii) (premi6re partie) n'a pas de raison d'&re satisfaite.

Preuve. En dehors des cylindres T'(/~k), Z' coincide avec S e t donc avec {u = e}. Dans le k-i6me cylindre, 2;' est d6fini par l'6quation

6=mk(YC, f ) ,Yc~Ak , f ~ [ - -1 , +1]

ot~ la fonction m k 2> 0 est choisie comme suit: (a) mk 2> --hk, ce qui garantit 2;' ~ M"; (b) mk est nulle si s est proche de OAk ou si f est proche de + 1;

(c) r Oemk < 0; (d) (d6croissance radiale f i r fix6) pour toute composante A(a) de Ak, de

barycentre a(tr),

(Yc - a(tr), demk ) < O.

I1 n 'y a pas de difficult6 ~ trouver une telle fonction. Les conditions (i) et (ii) sont alors satisfaites.

S O U S - L E M M E . Sous la condition (23), au voisinage de {~3 = 0}, le champ ~ (qui est de Liouville pour ~5z(~)) est sous forme normale:

1 O ~ = = ( ~ - a ( a ) ) . ~ + f ~ + p ~ .

z

Preuve. D'apr+s (23), 0, = ~(.f, f, ~3) c3~ + fl(~, ~, t3) de + p c~e. Dualement , il vient e~T~,2 = ~' dye + fl d6 - p d~, ofa ~' se d6duit de ~ par la dualit6 symplectique.

Ecrivons que d(e':T~,2)= ~52(e) est la forme symplectique canonique dans les coordonn6es de Darboux. On obtient que ~' ne d6pend pas de ~ et que fl = ~ + fl'(2, 6). C o m m e #~ est tangent fi {~ = 0} au voisinage de 6 = 0 ( lemme 3.10), on a /~ ' : -0 . On d6duit alors que ~' est aussi ind6pendant de f.

Dualement , il en est de m6me de cr L'6criture de ~ est alors d6termin6e par l 'hypoth6se que {~ = 0, f = 0} est s tandard vis-~t-vis de e~T,2. Cela termine la preuve du sous-lemme.

La forme de Liouville 2' au voisinage de 2;' est d6finie hors des cylindres par 2 ' = e'T~,2 (dans ce cas 2 ' = #~) et dans les cylindres par

1 = (~ - a(a)) . ~ + f~, + p ~ . (25)

Les conditions (c) et (d) impliquent la transversalit6 requise en (iii). Le point (iv) est une est imation grossi6re qui sera affin6e ci-dessous. No tons 0'

la fonction d6finie sur { 1 - 6 _< y < 1, u = e } comma la distance ~t {y = 1 - 6 } me- sur6e le long de ses caract6ristiques avec la forme e'T~, 2. Par d6finition de 00, toutes ces caract6ristiques sont de longueur >e '0o , et la base T~(/~k) est contenue dans

ke'Oo ( k + l ) e ' O o

4n(2n - 1) < 0' < 4-n(-2n--- ~ J

pour k = 0, 1 , . . . , 2n - 2. Alors toute caract6ristique de Z ' court dans {u = e} de

O' = e'Oo/4n ~ O' = e'Oo .

3.12 Analyse de la longueur des caraetkristiques de Z '

On pr6cise le choix des fonctions m~ et donc le choix de Z". Pour cela on note A~ ' le domaine de R 2"-2 obtenu en retirant h Ak un petit collier du bord de sorte

580 FRANt~OIS LAUDENBACH

que ~)kA~, ~ contienne D -- Uo en son int6rieur. La fonction m~ est alors not6e m~, et

on impose:

pour )~ e A~, m~(2, {) est ind6pendante de ~. (26)

On note ~ , un anneau ferm6 de int Ak, collier extbrieur de A ~,' et contenant tous

les points off 8xm~ # O. On note (~ '= ~k c~,. On note US la composante connexe du compl6mentaire de (g" dans D contenant 0D.

L'espace r6duit de ({1 - 6 < y < 1, u = e}, ~32(e)) est (D, e ~ standard) que l 'on

identifie ~ ({y = 1 - 6, u = E}, e)8) (voir 3.5). On rep6re une caract6ristique 7 de X'

pour 032(e) par son extr6mit6 e ( j dans {y = 1 - 6, u = e}, c'est-fi-dire par un point

de D; l(7) d6signe la longueur de 7 mesur6e par 2'.

L E M M E . Sie(7) e ~ , on a l(7) -> e~00(1 - 1 / 4 n ) . Sinon, on a 1(7) > e~'00 �9

Preuve. Si e ( J e ~ ~, on applique le (iv) du lemme 3.11. Si e ( j ~ U~,7 est contenue dans {1 - 6 < y < 1, u = e}; elle est alors mesur6e par e~T~2 et la conclu-

sion est claire. Sinon, e ( j appartient ~i au moins l 'un des A ~,~. Dans ce cas 7 est

contenu dans {u = e}, except6 lors de la travers6e des T~(/~k); chacune de celles-ci

se fait en restant dans 9~ = const, et on a:

~r~(g,) 12'[ = p df + _ m~, dr.

Le premier terme est la longueur d 'un arc caract6ristique de la base de T':(/~k)

formant avec 7 ~ T'(/~,) un lacet et le second terme est l'aire entourSe par ce lacet

mesur~e par co:(e). On a l'in6galit~ voulue, cqfd

3.13 La seconde ktape

La vari~t6 M" n 'a pas une structure produit canonique. En revanche, d'apr~s

3.11, si on note N" la partie de M" au-dessus de S ' , il existe sur

N" ~ D x [1 - 6, 1] • [0, + ~ ) des coordonn6es (x', y', u') avec les propri6t6s sui-

vantes:

(i) t3,, = ~3 au voisinage de ?M" \X = ~N"\X' et en particulier le long de

{y = 1 - 6}; (ii) 8,, = )- au voisinage de 2;'; 8,, est donc un champ de Liouville pour t~(e) au

voisinage de X' (Figure 4).

~u

N ~

;~({O_<y < 1 -5, u = O }) Z '

y=0 y = l - 5 Figure 4

U=l~

u = 0

y= l

Notons N ' = ~ ' ( { 0 _ < y < l - 6 } ) . Le champ Z (voir 3.3) est un champ de Liouville pour oS(e) au voisinage du bord inf6rieur de N' , ~ savoir ff~({0 < y < 1 - 6, u = 0}). A la seconde 6tape (E < t < 2~) le prolongement na~f consiste ~ prendre sur N ' (et m~me au voisinage)

e5 t (t) = e'-~~,oS(e), (27)

avec la m~me convention qu'en (4) pour d6finir c3~ (t) sur N' \ f f ' ({0 < y < 1 - 6}), et prendre sur N"

~2( t) = e'-~T~ ~(~), (28)

off T ' est le riot de ~, . En dessous de N ' w N", on garde ~b(e). Regardons t = 2e. C o m m e Z (resp. ~,) est de Liouville pour ~(e) au voisinage

de {y = 1 - ~, e 2e }. Vu au voisinage de {y = 1 - 6, u > E } dans (la carte) N", le champ Z, g6n6rateur de if, se lit T~,Z. Donc au voisinage de {y = 1 - 6, u >2~} dans N", on a:

&, (2~) = e ' (T '~ ~ T - ' ) , eS(e)

&2 (2~) = e ' T~, o5(~);

les formes co~(2e) et cb2(2e) sont donc conjugu6es par T~(q~)..= TC~T-L En parti- culler sur { y = l - 6 , u=2e} on a tb2(2e)=Oz,~(~51(2e)), off par d~finition


~ 2 e = T~(~b~). En suivant les caract6ristiques, l'espace r6duit de 27 s'identifie fi {y = 1 - 6 , u = e} muni de la forme ~b(e) donc ~ (D, e ~ standard). Le diff6omor- phisme ~b ' v6rifie q5 ~ = T-~qb2~T ~ et, dans le r6duit (D, e ~ s tandard) , (o ~ se lit T-~(a~T ~

(voir (21)); il est donc fragmentable dans les domaines Ak.

LEMME. Les Ak admet ten t des relOvements )~'-standards A~ dans Z ' mutuel le -

men t disjoints. Plus prOcisement ~1~ prend p lace dans une bande caractkrist ique de Z '

de base {y = 1 - ~, u = ~ } dont les earactdrist iques sont toutes de ;t '-longueur @ale gt

e'Oo/4n(2n - 1).

Preuve. Comme dans le lemme 3.9, ce r6sultat d6pend d'une part de la ,U- longueur des caract6ristiques de Z' et d'autre part d'une constante de Lipschitz uniforme pour une primitive de

2' 1 l ly='-~ . . . . } - ~ ~ e'[( x2y+ t - a2j+ 1) dx2j+ 2 - ( x2j+ z - azy + 2) dx2j+ ,1

lorsque a = (a;) parcourt D - Uo. Or cette primitive, fi une constante pros, est e~ha,

de constante de Lipschitz uniforme e~C (voir 3.9). D'autre part la ;~'-longueur des caract6ristiques de Z' est >e~00(l - 1/4n) (lemme 3.11); c'est >>_e~Oo(1/4n), qui est la longueur suffisante pour faire ces rel6vements, cqfd

La bande caract6ristique T~(B) pour eS(~) est contenue dans N". Donc les A~ sont les bases de bandes caract6ristiques mutuellement disjointes B~, disjointes de T':(B) et tangentes & 0,. au voisinage de la base (comparer avec 3.10). La fragmentation du diff6omorphisme 4~ ' donne lieu ~ la construction de graphes de hamiltoniens dans des cylindres de Darboux qui ont pour gtme les translat6s "verticaux" T":(B~,). L'hypersurface Z 2~ ainsi obtenue (son bord est dans {u = 2e}) intervient dans la chirurgie de la seconde 6tape qui r6sorbe la discontinuit6 existant entre les formules (27) et (28). Ceci termine la construction de @2E).

3.14 Fin d~ la dbmonstrat ion du thOorbme 1.1 (sans paramktres )

En vue de la troisi6me 6tape on met en place une hypersurface ,~',2e, au-dessus de r2~' et de m6me bord dans {u = 2e}, et une forme de Liouville 2 2~ pour tb2(2e ) avec des propri6t6s analogues ~ celles du lemme 3.1 I. En particulier au voisinage du bord de 27 '2` on a: 22~=e2~T2':2. L'hypersurface Z '2~ est faite avec des graphes de fonctions _> 0

m ~ : A k •

trac6s dans des cylindres de Darboux. Pour contr61er les longueurs des caract&istiques de Z '2~ mesur6es par 2 2', on choisit judicieusement les supports de ces fonctions:

l ' ensemble des points oft ~ m ~ ~ v~ 0 est contenu dans un anneau c~2~, disjoint de ~

et l ' entourant.

On note A'k 2~ la r6union des composantes du compl6mentaire de ~'k 2~ dans A k ne rencontrant pas t?Ak. Comme en 3.12 on forme la rSunion

~e~'= ~o~' u ~ef '~ . . . ~ e ~ _ ~

et on note Uo 2~ la composante connexe du compl6mentaire de cg2~ dans D contenant DD.

Concernant les longueurs des caract6ristiques 7 trac6es sur Z '2~ et mesur6es par 2 2~ on a l e s r&ultats suivants.

L E M M E . (1) Si e(7) n 'appart ient ni a r ni h c~2~, on a l(7) > e 2 e 0 o �9

(2) Si e(7) appart ient exac temen t ~ un des colliers ~ , cg2,, on a l (7 )> e2'0o(1 - 1/4n).

(3) Si e(7) e r c~ cg', on a l(7) > e2~0o(t - 2 / 4 n ) .

Preuve. Pour une extrhmit6 fixhe dans le rhduit, on a trois caract6ristiques: 7o dans ({u = 0}, e)), 71 dans (S'e.'= Z ', e52(e)), et 72 = 7 dans (Z '2~, th2(2e)); elles sont mesur6es respectivement par 2, )~',=2', 2 2' Dans le cas 1), on a l ( 7 2 ) > e~'l(7~)> e2~l(7o) > e2~Oo . D a n s le cas 2), on a l(72) > eq(7~) - e2~Oo/4n et l(71) > eq(7o). Dans le cas 3), on a l(72) > e~l(71) - e2~Oo/4n et l(71) > e~l(7o) - e'Oo/4n, cqfd

Ces minorations permettent de trouver des rel4vements 22'-standards pour les Ak, mutuellement disjoints.

Si on it4re la construction, en prenant les colliers ~ ~i chaque fois ~i l'ext6rieur du pr6chdent, on observe que, pour toute suite de 2n + 1 entiers qo < " �9 ' < q2~, on a:

(~qo~ o ( ~ q l e (") . . . o (~q2n e _~_ ~ . (29)

Cela implique que si l 'on estime en fonction de q les longueurs des caract6ristiques 7q trac6es sur les Z 'q` ayant une extrSmit6 fix6e dans l 'espace r6duit, on ne peut trouver plus de 2n raccourcissements. On trouve donc pour tout q < I/e,

', q eq Oo(1 )=eq Oo - - 2"

Cette estimation a priori assure que la construction peut effectivement 6tre pour- suivie jusqu'fi q ~ I/e, puisque, pour tout q, l'in6galit6 I(L~)> e '~': Oo/4n permet d 'avoir des rel6vements 2q':-standards de Ak dans S"', mutuellement disjoints. Ceci ach6ve la d6monstration du th6or6me 1.1 sans param&res.

w Preuve du th~or~me 1.1 avec param~tres

Soit I le cube unit6 d'un espace euclidien. On consid6re une famille COo = d2o, 0 e L de formes symplectiques satisfaisant les hypoth6ses du th6or6me 1.1. On note COo(t), 0 < t < 1, la d&ormation de COo donn6e au voisinage de OS • R + par la formule (4)

coo(t) = e' T ' , COo.

On veut construire une famille ~?~o(t) de formes symplectiques sur M satisfaisant ( i)-( i i i) du th6or6me 1.1

La difficult6 principale tient au fait que la g6om6trie des caract6ristiques de S • {0} peut changer avec 0. Pour 6viter un probl6me de bifurcation similaire, A. Hatcher [Ha] a utilis6 une technique de partition de l'unit6, dont on va s'inspirer ici.

4.1 Construction de bandes caractkristiques dans le cas h paramktres

l~tant donn6 une bande caract6ristique B de coo, ,, de base A, et un voisinage Y de A dans {u = 0}, la proposition 5 de [La] 6nonce ce qui suit: si la forme induite par

COo sur A est assez proche de celle induite par COoo, il existe des bandes caractkristiques normales BI(O) . . . . . BN(O) pour co o, mutuellement disjointes et C ~ en O, dont les bases dans {u = 0} rencontrent toutes les caractkristiques de ~/ff qui coupent A.

Noter que la condition de proximit6 ne porte que sur les bases.

4.2 Un recouvrement de l'espace des paramktres

On recouvre I par des cubes Ik, 1 < k < p. Si le recouvrement est assez fin, il existe des ensembles finis Jk et des (2n - 2)-disques Akj c S x {0},j e Jk, munis de voisinages Jff~.j avec les propri&6s suivantes:

- les AkU d6truisent la r6currence du feuilletage caract6ristique de ({u = 0}, COo) hors d 'un voisinage du bord (voir 2.3), pour tout 0 e Ik;

- les formes induites sur Aka par coo, 0 Elk, satisfont la condition de proximit6 de 4.1;

- les A~j sont les bases de bandes caract6ristiques normales pour coo,, off 0h est le centre de I~.

Par hypoth6se, le champ 13, est un champ de Liouville pour t ous l e s 090, 0 ~ L darts un voisinage fixe de t3S x {0}. Comme en 2.4, on peut 6tendre ce champ de Liouville en un champ Yo, 0 ~ I k, le long de S • {0}, C ~ en 0, qui est de Liouville pour 09 o et qui pointe vers {u > 0} except6 au voisinage des A~j.

En effet, comme dans la preuve de 2.4, on dolt construire une fonction avec une certaine propri&6 de croissance le long des caract6ristiques. Pour chaque 0 e I~, le r61e de 2 est jou6 par 20. En fait, si on travaille dans S • I~, la construction est exactement la mfime qu'en 2.4.

4.3 Fin de la preuve

Comme dans le c616bre livre de Steenrod, on choisit une partition de l'unit6 ~, subordonn6e au recouvrement (Ik). On peut supposer Ctk(0k)= 1. On pose Ak(O ) = Cq (0) + . . . + ~k(0). On construit la famille (~0(t))o<,_< Ak~0) par r6currence sur k. Observer que Ak(O) > A~ 1 (0) implique 0 ~ I k.

Pour 0 e Ik, on pose 120 = ~o(Ak 1(0)). Cette forme coincide avec coo pros de {u = 0} et avec co pr6s de l'infini; en particulier elle satisfait la condition de proximit6 4.1. Comme Ak_ 1(Ok) = 0, on a 120, = cook sur M tout entier. Alors, par 4.2, le disque Akj est la base d 'une bande caract6ristique Bk,/ pour f20k.

On applique 4.1 fi I20, 0 e I , , avec B = Bk.j et JV" = Jff,.j. I1 existe donc un nombre fini de bandes caract6ristiques normales Bkj.z(O), l e Lkj, pour la forme symplectique f20, C ~ en 0 ~ Ik ; leurs bases Akjj(O), I ~ Lkj , sont dans Jffk,/et leur union sur l recontre toute caract6ristique de JC'kj qui coupe Ak.j. Le long de l'int6rieur de ~/V~.j, on peut modifier Yo en un champ de Liouville pour O0 = coo et qui pointe vers {u > 0} except6 le long des Akj, t(0); de nouveau cela peut se faire exactement comme en 2.4.

Pour 0 ~ Ik, la proc6dure de prolongement d6crite au paragraphe 3 s'applique en prenant ~20 comme condition initiale au lieu de coo- Elle fournit une famille de formes symplectiques ~2o(t ). 0 < t < 1, C ~ en 0 ~ Ik, qui coi'ncident avec e'T' ,I2o pr6s de c3S • R +, avec f20 = coo pr6s de S • {0} et avec co pr6s de l'infini. On peut

d6finir alors d9o(t) pour Ak_ j(O) < t < Ak(O) par

~2o(t - Ak_ i(0)) pour 0 ~ Ik

& o ( t ) = ( C o o ( A k _ l ( O ) ) pour 0 r k

Ces deux formules se recollent car A~(O) = A k_ 1 (0) pros du bord de Ik. Les formes ~o(t) ont les propri6t6s requises au voisinage du bord de M car T' est un groupe 5,

un param&re.


4.4 Compldments sur les primitives

Concernant les formes symplectiques aS(t) donn6es par le th6or6me 1.1, on sait qu'elles sont toutes exactes puisqu'/t l'infini elles coincident toutes avec une marne forme exacte. De faqon plus pr6cise on a la proposition suivante.

PROPOSITION. Soit (o)0) = (d20) une )Camille de formes symplectiques exactes satisfaisant les hypothbses du thkorbme 1.1, c'est-gl-dire que:

- 2o = 2 est ind@endant de 0 hors d'un compact fixe sur lequel a, est le d2-dual de2;

- a, est le d2o-dual de 2o dans un voisinage fixe de aS x {0}. Dans ces conditions on peut choisir les formes ~5(t) avec des primitives 2"(t) ayant les propri6t6s suivantes:

(i) 20(0) = ,b; (ii) ~.o(t) = ,~ en dehors d'un compact fixe;

(iii) ~.o(t) = 2o au voisinage de S x {0} (iv) 2o(t) = e'(T,),2o au voisinage de aS x [0, + oo).

Preuve. Le seul probl6me, qui n'existe pas lorsque S est simplement connexe, est de satisfaire la condition (iii).

Consid6rons d'abord le cas simple o6 il existe un champ de vecteurs Zo, rentrant dans M le long de {u = 0}, C ~ en 0, qui coincide avec a, au voisinage de aS x {0} et de l'infini et qui au voisinage de {u = 0} est le %-dual d'une forme de Liouville que l'on peut 6crire globalement 2~ = 2o + dHo, off Ho est une fonction ~ support compact dans M. On consid6re

,~'(t) = etf~.(2~),

o~ G0 est le flot de Zo (comparer avec la remarque 1.2): cette formule est bien d6finie au-dessus de (~({u = 0}) et se prolonge canoniquement en-dessous de (~({u = 0}) en utilisant le fait que Zo est un champ de Liouville au voisinage de {u = 0) (voir (4)); ce prolongement vaut ~ ( t ) = 2b au voisinage de {u = 0}. Une solution du probl6me dans ce premier cas est alors donn6e par

L( t ) = 2'o(t) - dHo.

Dans le compl6mentaire de cylindres bien choisis, on est dans cette situation, d'apr6s 2.4 et 2.7. Les primitives choisies en dehors des cylindres se prolongent en primitives dans ces cylindres en vertu du lemme de Poincar6. Pr6s de la base des cylindres, les primitives ainsi trouv6es ne coincident peut-&re pas avec 20, mais comme ces bases sont simplement connexes on r6cup6re la bonne restriction ~i {u = 0} en corrigeant les primitives par des diff6rentielles de fonctions, cqfd


Appendice: d~monstration du lemme de fragmentation

On donne ici une d6monstrat ion du lemme de f ragmentat ion de Banyaga 6nonc6 en 3.8.

Au d6part on a des domaines Ak, k = 0 . . . . . p, formant un recouvrement de D - Uo. Chaque Ak est une r6union finie de boules disjointes, mais cela ne servira pas. On se donne un r6tr6cissement A~, c int A k tel que les A~ recouvrent encore D - Uo. On choisit une fois pour toutes une fonction cloche ind6pendante du temps, a: D ~ [ 0 , I], fi support dans int Ao et valant 1 sur un voisinage de A~.

Soit h: D x [0, 1 ] -~R+ un hamiltonien d6pendant du temps fi support dans (D - Uo) x [0, 1] et soit ~b', t e [0, 1], l ' isotopie hamiltonienne correspondante. Si h est assez petit (en topologie CI), ~b'(Ao) c i n t ~ - l (1 ) pour tout t E [0, 1].

On pose ho = ~h et on note ~b~ l ' isotopie hamiltonienne correspondante. Si x est proche de A~, on a pour tout t E [0, 1]

~b~(x) = ~b'(x) et h(c~'o(X ), t) = ho(ck'o(X), t).

D'au t re par t le support de h0 est contenu dans (D - U0) x [0, 1]. On consid6re le diff6omorphisme ~=(4~0~)-1o~b ~. Son support est dans

D - (UouA~) . La diff6rence " to rdue" de h et de ho est un hamiltonien pour une isotopie hamittonienne de l'identit6 fi ~0, fi support dans D - ( U o u A ' o ) . La diffe-

rence " to rdue" est d6finie par la formule:

H ( x , t) = h( (o'o(X), t) - ho( (O'o(X), t).

Par r6currence sur le nombre de domaines de fragmentat ion, on sait que si H est assez petit, ~, peut ~tre fragment6 comme produit

o~ chaque ~k est le temps 1 d 'une isotopie hamiltonienne dont le hamiltonien est fi

support dans

[(D - ( U o u A o ) ) h i n t Ak] x [0, 1].

C o m m e la petitesse de H e n topologie C ~ ne d6pend que de celle de h, on a le

r6sultat cherch6:

~b' = q~o~o @, . . . . . ~,p. cqfd


Remarque. La d6monstration montre aussi que si on part d'une isotopie hamiltonienne dont le hamiltonien est positif, on peut imposer aux "fragments" d'fitre donn6s par des hamiltoniens positifs. D'autre part, le nombre de d6riv6es consom- m6es est le nombre de domaines de fragmentation, ~ une unit6 pr6s. Comme ce nombre est arbitraire, on doit utiliser la topologie C ~.

Chapitre II E N G O U F F R E M E N T DE CYLINDRES DE LIOUVILLE

Le probl+me qui est r6solu dans ce chapitre est totalement trivial du point de vue de la topologie diff6rentielle alors qu'en topologie symplectique il n6cessite des hypoth6ses tr6s fortes fi l'infini. Le th6or6me de flexibilit6 6tabli au chapitre I enes t la cheville ouvri6re, il sera r66nonc6 sous la forme o6 il sera utilis&

w Enonc~s des r~sultats

1.1. On consid+re une vari&6 symplectique exacte de dimension 2n (M 2", ~o = d2), avec un bord S = 2M compact. Le champ de vecteurs 2, qui est le co-dual de la forme de Liouville 2, est suppos6 positivement complet; en particulier, le champ de Liouville 2 rentre dans la vari6t6 le long du bord S, qui est alors concave (au sens de [EG]) pour son orientation comme bord. Si ~o tes t le riot d 'un champ de Liouville pour ~o et si ~o,. d6signe l 'op6rateur image directe sur les formes diff&entielles, on a l'identit6 caract6ristique

09 ~ et~gt, o).

Tousles champs de Liouville de (M, co) consid6r6s dans ce chapitre rentrent dans M le long du bord et ne diff6rent de 2 que par un hamiltonien fi support compact; en revanche, ils peuvent diff6rer le long du bord. On fait l 'hypoth6se de convexit6 l'infini [EG]:

(HI ) II ex&te une hypersurface compacte sans bord S, transverse ~ 2, limitant avec S une variOtb compacte, et dont le saturk posit i fpar 2 est complet et constitue

un voisinage de I'infini de M.

1.2 Engouffrement d'un cylindre de Liouville

Soit A un domaine de S e t C = A x [0, 1] un cylindre dans M de base A; on suppose que C est un cylindre de Liouville, c'est-fi-dire qu'il existe un champ de Liouville Yd6fini seulement au voisinage de C et tangent aux lignes a • [0, 1], a e A


(on ne demande pas que Y se prolonge en un champ de Liouville rentrant dans M le long de tout le bord). Enfin on note Uo le satur6 positif de S par 2.

THI~ORI~ME A. Sous l 'hypothkse (H 1) le cylindre C peut ?tre engouffrb par Uo: i! existe une isotopie hamiltonienne ambiante ~ support compact dans int M poussant

Uo jusqu'f i contenir C.

On d6duit ce th60r6me d'un th60r6me d'engouffrement plus technique.

1.3. Soit Y~ et Y2 deux champs de Liouville rentrant dans M le long de S; pour i = 1, 2, Us d6signe le satur6 positif de S par le champ Y~.

Soit alors Aj et A2 deux domaines compacts dans S; on note A = A~ c~A2. On consid6re d'une part le cylindre R~ (resp. R), diff60morphe ",i A~ x [0, 1] (resp. A x [0, 1]), qui est le satur6 de A~ (resp. A) par le champ Y~ jusqu'au temps 1. On consid6re d'autre part un cylindre R 2--- A 2 x [0, 1] de base A2, contenu dans U2 (il n'est pas demand6 que Y2 soit tangent ~ R2). On suppose:

(H2) R = R~ c~ RR et, au voisinage de cette intersection, Yt = Y2.

Enfin on fait l'hypoth6se topologique suivante:

(H3) A ~ - - A se rbtracte par dkformation sur un polykdre de dimension k pour un

entier k tel que le cobordisme compact W entre S e t S, ait une dkcomposition en

anses gt partir de S sans anses d'indice >_ 2n - k.

Par exemple, l'hypoth6se (H3) est satisfaite si A, - A est une r6union de boules disjointes. En effet, ~ cause du champ de Liouville rentrant le long de S, toute

UI U 2 ,,, \

R2

At ~X, A 2 S

Figure 5


composante connexe de W touche 2; et admet donc une d6composition en anses sans anses d'indice 2n. Dans la situation d6crite ci-dessus on a cet autre th6or6me d'engouffrement de cylindres:

THI~OR]~ME B. II existe une isotopie hamiltonienne de plongement de R2 dans M - ( R l --R), stationnaire au voisinage de R uA2, partant de l'inclusion et aboutissant dans U1 (Figure 5).

Pour la d6monstration, on pourra se limiter au cas off R1 et R2 sont disjoints. En effet soit M ' la vari&8 obtenue en retirant ~i M un petit voisinage r6gulier de S u R qui s'y r&racte en suivant tes lignes de champ de Y1. Soit S' le bord de M'. Les champs de Liouville Y~ et II2 pointent tous les deux vers l'int6rieur de M ' le long de S'. Soit A'~ =R~c~S', R'~ =R~c~M' pour i = 1, 2. Par construction R] n R ~ = ~ et l 'engouffrement dans M' donne ce que l'on veut dans M.

1.4 Dkformation de formes symplectiques

On rappelle Ie th6or6me de pro|ongement de formes symplectiques 8tabli au chapitre I (th. 1.1 et prop. 4.4). On consid6re une vari6t6 V, compacte /~ bord de dimension 2n - 1, et le produit V x [0, + oe). Notant u la derni6re coordonn6e, on consid~re sur V x [0, + ~ ) le semi-flot t E R + ~-, T, engendr6 par 8/8u. On se donne une famille de formes symplectiques exactes % = d2, d6pendant d'un paramdtre s e [0, 1] k. On fait les hypotheses suivantes:

a) hors d'un compact f ixe {u > u0}, 2s est indOpendant de s; b) 8/8u est le champ de Liouville %-dual de 2, dans {u > Uo} et au voisinage de

• {0}.

On consid6re, pour t E [0, 1], le chemin co,U) de germes de formes symplectiques le long du bord de V x [0, + oo) d6fini par les deux formules suivantes:

% ( 0 = e ' ( T , ) . % au voisinage de t?V x [0, +oc) (1)

e)~(t) = cos au voisinage de V x {0}. (2)

Pour donner compl~tement un sens ~ la formule (1), on observe que O [Ou 6rant un champ de Liouville au voisinage de ~?V x {0}, la structure symplectique c0, se prolonge canoniquement comme germe le long de c~ V x ( - 0% 0], en imposant que 8/8u y soit un champ de Liouville; la formule (1) est alors bien dbfinie et produit une d6formation de co, stationnaire au voisinage de 8 V x {0}.

THI~ORI~M DE P R O L O N G E M E N T . Dans les conditions ci-dessus, il existe des formes symplectiques exactes ~b,.(t) et des primitives z,(t) dOpendant continffment


des deux paramktres et v~rifiant: (a) hors d'un compact f ixe {u >_ u 1 }, 2s(t) est ind@endant de s e t de t; (b) au voisinage du bord, ffg~(t) est donnd par les formules (1) et (2); (c) au voisinage de {u = 0}, 2s(t) = 2,; (d) au voisinage de 0V • [0, +0o), 2~(t) = #(T,) 2~; (e) pour t = O, 2~(0) = 2,.

1.5 NOTATION. Revenant /t la vari6t6 M de 1.1, pour un ouvert U de M contenant S, on note 3f(U) l'ensemble des formes symplectiques exactes de M dont une primitive coincide avec 2 au voisinage de S e t hors d'un compact de U. On ne consid~re pas 3if(U) comme un espace topologique mais comme un ensemble simplicial; les k-simplexes sont les familles ~i k param~tres de formes symplectiques exactes se relevant en une famille de primitives qui coincident avec 2 au voisinage de S et hors d'un compact f ixe de U. D'apr~s le lemme de Moser [Mo], dans un k-simplexe de 3if(U) tousles 616ments se d6duisent les uns des autres par une isotopie ambiante fi support dans le compact indiqu~.

w D6monstration du th6or4me B

Comme on l'a dit, on peut se limiter au cas off R~ et R2 sont disjoints. Voici le plan de la d6monstration: on pousse R2 dans U~ par une isotopie

hamiltonienne du type "Alexander"; on cr6e ainsi des intersections de R2 avec Rl. On fait fuir ces intersections par le bord libre de R~, ce qui d6truit la structure symplectique. Le th6or6me de prolongement rappel+ pr6c6demment, joint au lemme de Moser, permet le redressement de la structure symplectique tout en laissant R~ disjoint de R2. On &ablit enfin que cette construction est le r~sultat d'une isotopie hamiltonienne.

Voici les d6tails. On note r/i(t ) le semi-riot de Yg et Si l'hypersurface r/i(1)(S ).

LEMME 1. L'hypersurface $2 est isotope dt Sl par une isotopie hamiltonienne ambiante f ixe prks du bord.

Preuve (~ la Alexander). La formule ql(O)qz(O)-llS2 est une isotopie hamiltonienne que l'on prolonge fi support compact dans int M e t qui convient, cqfd

Quitte ~ remplacer le temps 1 du riot q2 par un temps plus grand, on peut supposer que R2 est dans la composante compacte limit6e par S e t $2. On r6colte ainsi une isotopie hamiltonienne ~b, : R 2 ~ M, t ~ [0, 1], oh ~bo est l'inclusion de R2 dans M off ~b~(R2) c G . Mais q~l(R2) n'a aucune raison d'&re disjoint de RI. Soit Z, : M ~ M, u e [0, 1], une isotopie (non hamiltonienne), fixe pr6s du bord, ~i support compact dans U t - R 2 et d6plaqant chaque point sur son Y~-orbite dans le

592 F R A N C O I S L A U D E N B A C H

sens du champ. On demande que X l l(RI), qui est contenu dans R1, soit disjoint de r pour tout t e [0, 1]. L ' isotopie t ~ (Z~ q%: R 2 - - * M - R1) est hamiltonienne pour co'"=;t,.co et non pour to.

La forme symplectique co' coincide avec co Was de S. Ceci permet de consid6rer la formule suivante qui donne une d6format ion de co' jusqu'fi co le tong de Rl:

co; = e~(rh (s)), co' (3)

t ~ ) t t Pour s = 0, on a coo = et, pour s proche de 1, on a co s = to le long de R~ fi cause de l 'identit6 caract6ristique des champs de Liouville. On applique alors le th6or6me de prolongement fi cette d6formation de formes symplectiques. Voici comment on le fait (Figure 6).

On considSre un champ Y~ (de riot ~h (s)), coi'ncidant avec Y~ pr6s de S w R~ et hors d 'un compact de U~. On demande que le satur6 de Aj par Yl 6vite Zl~l(R2) et que U~ soit encore le satur6 de S pa r ce nouveau champ; ceci est facile fl assurer car, topologiquement , Z~r se rdtracte sur A2.

Si dans la formule (3), on remplace ~h par ~ , on obtient une d6formation de co' d6finie pa r (4) sur l 'adh6rence de U'~ clans U~, off U'~ est le Yl-satur6 d 'un voisinage de R~:

co'(s) = eS(r~, (s)),co'. (4)

On consid6re U'(, obtenu fi par t i r de U1 - U't en retirant l 'int6rieur d 'un voisinage r6gulier ouvert de Zl 4h (R2). Cette vari6t6 est de la forme V • [0, + oo), off Ves t une vari6t6 compacte fi bord. La d6formation, donn6e par (4) le long de # V • [0, + oo), et stat ionnaire 6gale fi co' le long de V • {0}, s'6tend fi U'( d 'apr6s

il ' (U~' est en point i l l~s '

Figure 6


le th6or6me de prolongement. Finalement, la d6formation (4) de co' ~ co le long de

R1 se prolonge en une famille de formes symplectiques d6finies sur M tout entier et not6es COl, ,. La dkformation est ~ support compact dans Ui et est stationnaire sur

)~1 qS,(R2); de plus les formes ~Ol, ~ sont exactes et ont chacune une primitive 21.~ qui

coincide avec 2 hors d 'un compact fixe de Ul. Par le c) du th6or6me de prolonge-

ment, on peut choisir les primitives de sorte que 21.s = )~1,2 sur un voisinage de

S w z~ 4~l(Rz). On pose ~1,~ = : Ol. Le plongement 7.1 q~l est symplectique d 'un voisinage de R~

muni de ~o vers U ~ - RI muni de ~ .

L E M M E 2. f21 est isotope ~ co par une isotopie h support compact dans Ut et

stationnaire au voisinage de R~. De plus le lacet form~ des chemins dOcrits de oo gl o~'

(u ~ ()&),~o) puis de ~o' ~ ~1 (s F-~ ml..~), compl4t4 par l'isotopie rel R , , de f21 fi co, est

contractile dans 4ff (U~).

Preuve. D'apr6s le lemme de Moser [Mo], pour 6tablir la premi6re partie du

lemme, il suffit de trouver un chemin dans J{'(U~) joignant f21 ~i m constitu6 de formes symplectiques qui coincident avec e) au voisinage de R~. En effet, comme ce

cylindre se r6tracte par d&ormation sur sa base, on peut trouver des primitives qui coincident avec ~. sur RI u S e t hors d 'un compact fixe; le g6n6rateur infinit6simal de

l ' isotopie de Moser est alors nul sur ces deux domaines.

On obtient ce chemin dans ~ ( U ~ ) en appliquant le th6or6me de prolongement avec un param6tre. Pr6cis6ment, consid6rons la famille de formes symplectiques

co. = ~..~o, u E [0, 1], et sa d6formation le long de l 'adh~rence de U] donn~e par

~u.s -= es (Ol(S) ) . tDu, S e [0, 1].

Comme plus haut, par le th6or6me de prolongement elle s'6tend fi

U]' = V x [0, + oo) et donc fi U1 en prenant to,,, = ~ou sur U1 - (U'l w U]') pour tout s. C'est un 2-simplexe dans xtr(U1). Pour u = 1, le chemin col,, est celui d~crit

pr6c6demment de ~o' fi O1. Pour s = 1 et tout u e [0, 1], on a ou, l = ~o au voisinage

de R1 (Figure 7). On peut faire mieux car, en mame temps que l 'on change la condition initiale ~ '

en co,, on peut changer le plongement de V x [0, + oo), sans changer celui de

8V x [0, + oo), de sorte que, pour u = 0, V x {0} soit contenu dans S: la r6traction

de R2 sur A2 fournit une isotopie de U'~ jusqu'fi UI - U'I. Dans ce cas, comme Y1 est un champ de Liouville le long de S tout entier, la d+formation de formes

symplectiques pour u = 0 peut atre globalement donn6e par ~Oo. , = eS(tll(S)).~. Cependant ce dernier chemin n'est pas encore stationnaire, car Y1 n'est pas un

champ de Liouville pour co sur tout UI. Pour y parvenir, on choisit, pour


isotopi, rel. R 1

%--Xu .~ I

U

J

Figure 7

co'

fZ 1

~_ U

u E [ -- 1, 0], une famille de champs de vecteurs Z~, de riots ~,, joignant Zo = Y~ /l Z_j = Y~ parmi les champs de vecteurs qui coincident avec Yt au voisinage de S u R ~ et hors d 'un compact de U1 et dont les orbites sont propres dans Ut (donc le satur6 de S est toujours U~). On applique alors la formule globale

, = " s e [ - 1 , 0 ] , se [0 ,1 ] . tous e (~ , ( ) ) . to , u

Pour u = - 1 , to-~,s = to pour tout s. Finalement tou, l pour u variant de - 1 fi + 1 joint to fi f2~, avec les propri&6s requises.

Enfin, la contractibilit6 du lacet d6crit dans l '6nonc6 r6sulte de la construction m~me du chemin de f2~ /L to. cqfd

L'isotopie de Moser ~ support dans U t - R~ qui ram6ne f2~ sur ~o modifie le plongement gl ~b~ I Rz en un plongement 7~: (R2, to) ---, (UI - R~, to). II reste fi voir que ce plongement symplectique est isotope, de faqon hamiltonienne dans

( M - R~, to), ~ l 'injection de R2. Dit briSvement, le chemin de R2 ~ ~u (R2) est "hamil tonien vis-fi-vis de formes

variables". On applique ~t ce chemin de formes une proc6dure de redressement de la structure symplectique analogue fi la pr6c6dente; mais cette fois-ci, elle est appliqu6e ~t M e t non ~t U~ et c'est 1~ que l 'on utilise les hypoth6ses ~t l'infini.

Notons ~u, t E [0, 1], la famille de plongements R2 --* M - R~ obtenue en mettant bout ~t bout le chemin Z~ ~bt ]R2 puis l ' isotopie de Moser; 7~o est l 'inclusion et ~ul est to-symplectique ~t valeurs dans U~ - R ~ .

L E M M E 3. I1 existe un lacet {to(t)} contractile dans ~f-(M) tel que

~, : (R2, o9) ~ ( M - RI , to(t)) soit symplectique.


Preuve. Essentiellement le tacet {to(t)} est donn~ par le bord du rectangle de la figure 7. En changeant le param6trage, on peut supposer que ~, = ~o sur un intervalle de temps au cours duquel on d6forme co en to' par (Z~).; cette d~formation est stationnaire sur R2. Ensuite ~ , varie comme Z~q~t e t e s t symplectique de (R~, to) vers (M - R~, 09'). Puis on d6forme 09' en ~ selon le chemin de la figure 7; cette d6formation est constante sur ;~ ~0~(R~). On finit en d6formant Z~ ~0, et t2~ par l ' isotopie de Moser. (cqfd)

Pour la fin, on peut oublier comment q', et to(t), t e [0, 1], ont 6t6 fabriqu6s et part ir s implement du lemme 3. Par commodit6, on suppose que l 'un et l 'autre sont ind6pendants de t pour t voisin de 0 et de 1. Le lemme suivant permett ra de

conclure grS.ce a Moser.

L E M M E 4. (1) II existe une famille de formes symplectiques ~n.,(t) ~ .:,Y(M), s, t ~ [0, 1]

vkr~ant : (i) co~(t) = co(t) le long de ~',(R,),

(ii) too(t) = to(t), (iii) to~ (t) = co /e long de Ri, (iv) pour tout s, co5(0 ) = (n,.(1) = to. (2) Le lacet t F--~Col(t) est contractile dans le sous-espace o,Y',(M m o d R i ) des

jbrmes symplectiques qui coi'ncident avec 09 voisinage de R~.

Preuve. 1) C o m m e les anses de la paire (M, S) peuvent s 'a t tacher sur S sans toucher A~ (hypoth6se H2), il est facile de t rouver un champ de vecteurs Z 0, coincidant avec Y~ sur un voisinage V(R~) de R~ et hors d 'un compact , tel que ie satur6 de V(R~) par Z0 6vite R2 et soit proprement plong6 dans M. Soit tfi, une isotopie ambiante prolongeant T, ~i support compact dans M - R ~ ; on pose Z, = i~, .Z o et on note s ~ ~,(s) son flot. Le Z,-sature de V(R~) est p roprement plong6, 6vite q',(R2) et est ind6pendant de t hors d 'un compact ; dans ce domaine,

on considdre la formule:

co,., = e"(~, (s))co(t). (5)

Soit Mt la vari6t6 obtenue d part ir de M e n retirant le Z,-satur6 de V(R~), un voisinage de ~t(R2) et un voisinage des anses de la paire (M, S w qJ,(Rz). Cette vari6t6 est de la forme V x [0, + oc) otl Vest une vari6t6 compacte h bord.

La formule s v-, co,., donne une d6formation de co(t) le long de ~ V x [0, + oc), que l 'on 6tend de fagon stationnaire 6gale h to(t) le long de V • {0}. Son proionge- ment d V x [0, + o~) donne le to,(t) cherch6, v6rifiant ( i ) -( i i i ) . La propri+t6 (iv)

596 F R A N C O I S L A U D E N B A C H

o~(t)

i,

0 s 1

Figure 8

s'obtient en jouant sur l'intervalle off va r i e s (voir Figure 8). En effet, pout t = 0, 1, le champ Zt, qui coincide avec Y1 au voisinage de R~, est un champ de Liouville pour ~o sur R1 et la formule (5) donne une forme symplectique ind6pendante de s sur Rt; done si on tronque l'intervalle de variation de s pour t voisin de 0 et 1, on ne perd pas la propri6t6 (iii) et on gagne la propri6t6 (iv).

2) Le lacet {~o(t)} est contractile dans ~ ( M ) ; il en est doric de m~me du lacet homotope {~ol (t)}. Mais ce dernier se trouve dans oCl(M rood R~). On consid6re la contraction de {e0~(t)} darts X ( M ) et on lui applique la formule habituelle (voir (3)) pour redresser les formes le long de R~, puis le th6or6me de prolongement avec deux param6tres pour obtenir une contraction dans ~ ( M mod Rt). cqfd

On ach6ve la d6monstration du thbor6me comme suit: d'apr6s le (i) du lemme 4, W, est un plongement symplectique de (R 2, ~o) dans (M - R l , ~o~ (t)). Le lemme de Moser (fi param6tre) permet de redresser tol(t ) en ~o par une isotopie fi support compact dans M - R~, d6pendant continfiment de t et valant l'identit6 pour t = 0, 1. En modifiant "P, par cette isotopie on obtient l 'engouffrement cherch6, ce qui termine la d6monstration du th6or6me B.

w D~monstration du th~or~me A

3.1 En rempla~ant A par un voisinage dans S, on peut supposer que A est un

poly6dre.

LEMME. Si la triangulation est assez fine, on a la propribtk de prolongement

suivante : (H4) Pour tout ( 2 n - l)-simplexe a de A, le germe de Y au voisinage de tr se

prolonge en germe de champ de Liouville Y, le long de S rentrant clans M.

Preuve. Au d6part Y est le champ dual d 'une forme de Liouville # = 2 + df Soit u une fonction sans point critique au voisinage de S telle que S = u - ~ ( 0 ) et que du(2) = 1 le long de A. Les caract6ristiques de S sont dirig6es par du, le champ hamil tonien dual de du. La question de prolonger Y e n un champ de Liouville le long de S rentrant dans M, c'est-5.-dire v6rifiant du(Y) > 0 ou encore o~(du, Y) > O, revient 5. prolonger 5. S la fonction f de sorte que:

o4df, du) + co(2, du) < O, (6)

ou encore df(du) < 1. En g6n6ral l 'application de l'in6galit6 des accroissements finis sur un segment

caract6ristique de S ayant ses deux extr6mit6s dans A interdit l 'existence d 'un prolongement . En revanche si a est assez petit, il n 'y a pas d 'obst ruct ion 5. t rouver un prolongement de f~ satisfaisant (6) en tout point de S. Pr6cis6ment l 'obstruct ion est nulle s'il existe T > 0 v6rifiant:

- max fo -min f , < T; - a est contenu dans une boite B du flot de du telle que le temps de retour de

B dans lui-m6me soit > T (voir chap. I, 2.4). Cette condition est satisfaite si le diam6tre de a est assez petit, cqfd

3.2. La d6monstrat ion du th6or6me A se fait maintenant par r6currence sur le nombre de (2n - 1)-simplexes de A dans une triangulation v6rifiant (H4).

Soit ~ un (2n - l)-simplexe de A. On 6crit A = a wA' avec e c ~ A ' = z c Oa; r est un sous~poly6dre de A'. Par hypoth6se de r6currence, l 'ouvert Uo satur6 positif de S par 2 contient le cylindre de Liouville C ' = A ' x [0, 1] apr+s une isotopie hamil tonienne convenable fi support compact dans int M. Soit Y~ = Y, le champ de Liouville donn6 au voisinage de S par le lemme 3.1 et globalis6 par parti t ion de l 'unit6 de sorte que ]11 = Yle long de G x [0, 1]. No tons U~ le satur6 positif de S par Y~. En vertu du lemme 1 du w Ul peut engouffrer C' par une isotopie hamiltonienne fi support compact dans intM. Notons U2 le r6sultat sur U~ de cette isotopie: U2 = C'. Cet ouvert est muni naturellement d 'un champ de Liouville Y~, transport6 de Yt par l ' isotopie. Consid6rons les poly+dres P~ et P2 respectivement satur6 positif de r jusqu 'au temps 1 par les champs Y~ et Y~. On a P ~ c C ' car Y ~ = Y a u voisinage de r x [0, 1]. Donc Pt et P2 sont tous le s deux dans /-72.

L E M M E . II existe une isotopie hamiltonienne fi support compact dans U2- S transportant P2 sur P~ avec leurs champs de Liouville respectifs.

Preuve. La structure symplectique au voisinage d 'un cylindre de Liouville est

598 FRAN~OISLAUDENBACH

conjugu6e ~i celle d 'un mod61e Q d6termin6 par la structure symplectique et le champ de Liouville au voisinage de la base du cylindre. Comme Y1 = Y~ au voisinage de r, P~ et P2 ont des voisinages symplectomorphes. L'isotopie va 6tre donn6e par une interpolation. A l'aide d'une partition de l'unit6, on choisit un champ de Liouville Y'I coi'ncidant avec 111 au voisinage de S w P1 et avec Y~ hors d'un compact de U2. Cette derni6re condition assure que le satur6 positif de S par Y'l est contenu dans U2. Soit Y~ = (t - 1)Y~ + ( 2 - t)Y'~, t ~ [1, 2]; c'est un champ de Liouville coi'ncidant avec Y~ hors d'un compact de U 2 - S. Soit P t l e satur6 positif de z par Y', jusqu'au temps 1; Pt est l ' image d'un plongement canonique q%: z x [0, 1] ~ U2 et t ~ [1, 2] ~ 4~, est une isotopie d'un plongement canonique ~b,: z x [0, 1] - . U2 et t e [1, 2] ~ q% est une isotopie hamiltonienne de plongements. L'isotopie cherch6e s'obtient par extension des isotopies, cqfd

On note alors Y2 le transport6 de Y~ par cette isotopie. L'ouvert U2 est le satur6 positif de S par Y2 et contient C'. Par construction Y2 = Y~ au voisinage de z x [0, 1]. Les hypoth6ses du th60r6me B sont satisfaites, avec R1 = a • [0, 1], R2 = C' = A' x [0, 1], ce qui ach6ve la d6monstration du th60r6me A.

C h a p i t r e I I I E N G O U F F R E M E N T DE SOUS-VARII~TI~S LAGRANGIENNES

On revient fi la situation d6crite dans l 'introduction et en se fondant sur le th6or6me d'engouffrement des cylindres de Liouville on va 6tablir le th6or6me d'engouffrement des sous-vari6t6s lagrangiennes qui y a 6t6 annonc6.

On rappelle que:

- (M 2", oJ = d2) est une vari6t6 symplectique exacte convexe ~i l'infini de dimen-

sion >_ 6, - L est une sous-vari6t6 lagrangienne exacte compacte connexe, - U(L) est un ouvert de M isomorphe fi T ' L ,

- ~ , ( M , L ) = 0 , ~2(M, L) =0 , - {L, } est un chemin de sous-vari6t6s lagrangiennes compactes 2-exactes avec

L o c U(L).

THI~ORI~ME D ' E N G O U F F R E M E N T GI~NI~RIQUE. L'ouvert cotangent

U(L) peut engouffrer rel. L une e-approximation de {L t }.

Tous les champs de Liouville consid6r6s dans ce chapitre sont 6quivalentes fi au sens off ils ne diff6rent de 2 que par un hamiltonien fi support compact.


w P r 6 1 i m i n a i r e s

1.1 Stratification associOe gt L.

Consid6rons l 'espace 5~ des sous-vari6t6s lagrangiennes 2-exactes diff6omorphes 5. L0, muni de la topologie C ~. Le type de contact d 'un 616rnent L ' e ~ avec L permet de stratifier Lf comme suit:

6r ~ est form6 des sous-vari6t6s transverses 5- L; c'est un ouvert dense; _ ~ t est form6 des sous-vari6t6s ayant exactement un point de contact avec L,

lequel est quadratique; 5r 1 est une "sous-vari6t6 de codimension 1"; _ ~2: = ~ _ ( y o U d r ) ; c'est un ferm6 de codimension >1 .

Le th6or6me de transversalit6 de Thom 6nonce que g6n6riquement un chemin {L, } dans 5 a est transversal 5- 5e ~ et 6vite 5r 2.

Dans ce cas l 'isotopie est form6e d 'un nombre fini de chemins des types suivants:

- chemin ot~ L, reste transverse 5- L;

- chemin conjugu6 5- un chemin 616mentaire d'elimination ou de naissance d 'une paire de points d'intersection avec L.

Cette derni6re d6finition sera pr~cis6e ult6rieurement. Pour le th6or+me d 'engouffrement g6n6rique, il suffit de consid6rer successivement ces deux types de chemins. Dans les deux cas, l 'ingr6dient essentiel est le th6or6me suivant, 6tabli au chapitre II.

1.2 Le thkorOme d'engouffrement des cylindres de Liouville

On consid6re une hypersurface S compacte connexe, bordant un domaine compact. La composante non compacte du compl6mentaire est not6e Ext S (ext6rieur de S) et la composante compacte est not6e Int S (int6rieur de S).

On suppose que S est transverse 5- un champ de Liouville X (qui pointe n6cessairement vers Ext S); on note Ux le satur6 positif de S par X. On se donne

un cylindre C = A • [0, 1] dans Ext S, dont la base A = A • {0} est contenue dans S. On suppose que C est un cylindre de Liouville, c'est-5--dire qu'il existe au voisinage de C u n champ de Liouville Y, transverse 5- Se t tangent aux lignes {a} • [0, 1], a e A.

THI~ORI~ME. II ex&te une &otopie hamiltonienne de Ext S, stationnaire sur S, ?t support compact et poussant Ux jusqu'h contenir C.


1.3 Premibre rkduction, chemin de type constant

Deux chemins {L~ } et {L~ } sont dits conjuguks s'il existe une isotopie hamiltonienne pr6servant L, ~0~: (M, L) ~ ( M , L), telle que, pour tout t ~ [0, 1], L', = r Si l 'ouvert U(L) peut engouffrer le chemin {L, } rel. L, il peut aussi engouffrer tout autre chemin qui lui est conjugu&

LEMME. Un chemin dans ~o est conjuguk ~un chemin, dit de type constant, oft Lt n L e s t fixe et oft { Lt } est stationnaire au voisinage de l' intersection avec L.

En effet, d'une part il existe une isotopie de L en lui-m6me qui ram6ne L, n L sa position initiale. Comme L e s t lagrangienne cette isotopie s'6tend en isotopie

hamiltonienne ambiante. D'autre part l'espace des germes de disques lagrangiens transverses fi L en un point donn6 est contractile. Une seconde isotopie hamiltonienne permet donc de redresser L, au voisinage de L t n L. cqfd

1.4 Seconde rbduction, chem& linbaire

Soit U(Lo) ~ T*Lo un ouvert cotangent muni de sa structure fibr6e. Soitf: Lo ~ R une fonction C ~. Le graphe de dfdans T*Lo donne une sous-vari&6 lagrangienne 2-exacte. R6ciproquement tout 616ment de &~' assez proche de L 0 est un tel graphe car la 2-exactitude 6quivaut 5. l'exactitude dans le cotangent.

Le chemin { L t } form6 des graphes des diff~rentielles t df, t E [0, 1], est le prototype d'un chemin lin~aire dans ~ et la fonction f est sa fonction g6n6ratrice. On obtient un chemin lin6aire par morceaux en mettant bout fi bout un nombre fini de chemins lin6aires (~ reparam6trage pr6s).

Si L o est transverse ~, L e t si dfest assez petite, le chemin lin~aire associ~ est dans ~0. Si de plus f est constante au voisinage de chaque point d'intersection avec L, le chemin lin6aire est de type constant.

GrS.ce fi la compacit6 de l'intervalle [0, 1] et sachant que tout 616ment de ~r donne lieu ~ un ouvert cotangent, on 6tablit imm6diatement:

LEMME. Pour tout chem& de type constant {L, } et tout e > 0, il ex&te un chemin linbaire par morceaux {L't} ayant les m~mes extrkmitbs et tel que, pour tout t ~ [0, 1], L't soit e-proche de Lt.

Au w on &ablira que le th~or6me d'engouffrement vaut pour les chemins lin~aires de type constant. Comme consequence on aura l'engouffrement des chemins de type constant lin6aires par morceaux et donc l'engouffrement des isotopies g6n6riques {L,} off L, reste transverse fi L. L'engouffrement des chemins ~16mentaires de naissance ou d'61imination d'une paire de points d'intersection avec L sera trait6 au w achevant ainsi la d6monstration du th~or~me d'engouffrement g6n6rique.


Pour finir ce paragraphe de pr6liminaires, on d6gage une id6e d'6quivalence trSs utile pour l 'engouffrement.

1.5 Principe dYquivalence

Si S est une hypersurface transverse 5- un champ de Liouville Y e t borde un domaine compact , on note W(S, Y) la r6union de ce domaine et du satur6 positif de S.

L E M M E . Soit (S,, Y~), t E [0, 1], une famille hun parambtre d'hypersurfaces et de champs de Liout'ille transverses (oh Y, diffkre de Yo par un champ hamiltonien). Alors W(So, Yo) et W(SI, Yi ) engouffrent les mOmes compacts; autrement dit, tout compact du premier ouvert peut Otre poussO dans l'autre par une isotopie hamiltonienne.

Preuve. Observant que S,_ ~, est encore transverse 5- Y, pour 6t assez petit, par une discr6tisation du param+tre il suffit de consid6rer le cas off S~ = So pour tout t. Soit K un compact de W(So, Yo) et soit S0 l ' image de So par le riot de Yo au temps Tchoisi assez grand pour que So soit au-delfi de K (Ext S'onK = 0). Soit S't l ' image de S~ = So par le riot de Y~ au marne temps T. On salt qu'il existe une isotopie hamiltonienne rel. So poussant S'~ sur So (truc d 'Alexander, lemme 1 w Chap. II) et donc W(S~, Y~) jusqu'5- contenir K. cqfd

Le principe d'6quivalence s 'applique 6videmment

(1) ~t des hypersurfaces isotopes en restant transverses 5. un m~me champ de Liouville;

(2) h une hypersurface munie de deux champs de Liouville transverses; (3) ~i deux hypersurfaces se d6duisant l 'une de l 'autre par isotopie hamiltonienne.

Avec l 'hypoth6se du lemme ci-dessus, on dira que So et St sont des hypersurfaces kquivalentes. Si toutes les S, sont au-dels- d 'un compact K on les dira ~quivalentes rel. K. On donne ci-dessous un crit6re d'6quivalence.

1.6 Critkre d'kquivalence

Soit (S, X) une hypersurface munie d 'un champ de Liouville transverse. Soit A une sous-vari&6 compacte de S e t C ~ A • [0, 1] un cylindre de Liouville engendr6 par un champ de Liouville Y (d6fini seulement au voisinage de C); Y est transverse h S le long de A et C n S = A x {0}. Soit S ' une hypersurface obtenue 5- part ir de S par un glissement le long des orbites de Y.

L E M M E . Si dim A < n - 2 et quitte ~ remplacer Spar une hypersurface voisine, S' est kquivalente gt S.

Remarque. S est bien 6quivalente fi toutes ses approximations; cela ne prouve pas qu'apr~s glissement elles restent 6quivalentes.

Preuve. D'apr6s 1.5 il suttit de prouver que Yse prolonge en un champ de Liouville transverse fi S. Au voisinage de C on a Y = X + df, ofa dfest un champ hamiltonien. Si u est une fonction, telle qu 'en tout point de S on ait u = 0 et du(X) > 0, et si du est le champ hamiltonien correspondant, la transversalit6 de Y ~ S s'6crit:

af(au) < au(X).

Disons que du(X) > 1. Soit T = maxfA - - m i n f A . G6n6riquement sur S, le flot de du ne va pas de A sur lui-m6me en temps < T; en effet l 'espace des orbites de du est de dimension 2n - 2 > 2 dim A. Le prolongement de la fonction fv6r i f iant l'in6galit6 ci-dessus se fait sans difficult6 (voir chap. I, 2.4). cqfd

Si dim A = n - 1, il y a un nombre fini de retours en temps < T. Si de tels retours n'existent pas, S ' est 6quivalente ~i S.

w Rideau d'un chemin lin~aire

2.1 DI~FINITION. Etant donn6 un chemin lin6aire de type constant de fonction g6n6ratrice f : Lo ~ R , / e rideau associ6 est la r6union R ( f ) des graphes des diff6ren- tielles t df, t e [0, 1] dans U(Lo) ~- T*Lo.

Le rideau R ( f ) est une sous-vari6t6 singuli6re de dimension n + 1, diff6omorphe L 0 x [0, I], chaque segment au-dessus d 'un point critique de f & a n t 6cras6 sur un

point. L 'engouffrement d 'un chemin lin6aire de type constant est rdalis6 par l 'engouffre-

ment du rideau associ&

2.2 P R O P O S I T I O N (Engouffrement d 'un rideau). II existe une isotopie hamiltonienne opt" M --, M, t ~ [0, 1], h support compact, stationnaire sur L w Lo et telle que hi (U(L)) contienne R ( f ) .

2.3 Rbduction ~ l'engouffrement d'un rideau rkgulier

Via la projection R ( f ) - - . L o induite par la projection T*Lo~Lo , on &end f : Lo ~ R en une fonction )~ R ( f ) ~ R. Une sous-vari6t6 de dimension n contenue dans un niveau de )7 est lagrangienne.


Remarque. Comme toute isotopie interne ~ une sous-vari6t6 lagrangienne s'6tend en une isotopie hamiltonienne ambiante pr6servant celle-ci, on peut supposer au depart que U(L) contient la pr6image par f des valeurs critiques de f. Ainsi il reste

r6aliser l'engouffrement d'un rideau r6gulier (d6finition ci-dessous) disjoint de L.

DI~FINITION. Un rideau r6gulier R e s t une sous-vari6t6 (non singuli~re) de dimension n + 1, munie d'une submersion n: R ~ [ a , b ] • [0, 1], avec les deux propri6t6s suivantes:

(i) la forme induite par co sur R est rr*(ds ^ du), off (s, u) d~signe les coordon- n6es du but;

(ii) les fibres de z~ sont des sous-vari6t~s compactes sans bord 2-exactes.

EXEMPLE. Si R c R ( f ) est la pr6image parfd' intervalles de valeurs r6guli6res de ~ alors R e s t un rideau r6gulier. Sur chaque composante connexe de R on a s o rc = f e t u o zc = 1 - t (la raison de ce retournement de la verticale appara~t plus loin).

Le bord principal du carr6 [a, b] • [0, 1] est la r6union Fp des trois c6t6s {a} • [0,1], [a, b] • • Le bord libre Ft est le quatri+me c6t6 [a, b] • {0} (Figure 9).

Le bord principal du rideau R est #pR = rr-l(Fp) et le bord libre du rideau est OzR = rc-l(F/).

D'apr6s la remarque ci-dessus l'engouffrement d'un rideau se r6duit /l la proposition suivante.

PROPOSITION (Engouffrement d'un rideau r6gulier). Soit R un rideau rkgulier. Soit K un compact de U(L) tel que K n dv R et qui se r~tracte sur un polykdre de codimension > 3. Alors, sous l'hypothbse de convexitk ~ l'infini, il existe une isotopie hamiltonienne tpt : M --* M, t ~ [0, 1], ~ support compact, stationnaire sur K et

telle que hi (U(L)) contienne R.

U

F/ s Figure 9


Pour d6duire 2.2, on prend R comme dans l'exemple ci-dessus et K =

L u L o u ( R ( f ) - R). La strat6gie est la suivante: on consid6re une hypersurface S dans U(L) au-delfi

de K et un champ de Liouville X, transverse fi S, tel que Ext S n U(L) soit le satur6 positif de S. On prend S transverse fi R. Supposons provisoirement qu'il existe un champ de Liouville Y transverse fi S e t tangent fi R. L'image de S e n un temps T assez grand du flot de Y est au-delfi de R. Le principe d'6quivalence 1.5 donne l'engouffrement cherch&

En fait, cette m6thode se heurte fi des obstructions mais on peut au moins simplifier S n R jusqu'/t pouvoir appliquer le th6or6me d'engouffrement des cylindres de Liouville (1.2) qui a une hypoth6se moins restrictive concernant le champ Y.

2.4 Champ de Liouville sur un rideau r@ulier

Les deux remarques suivantes sont 616mentaires:

(1) Tout champ de vecteurs sur [a,b] x [0, i] dont les orbites vont du bord principal au bord libre peut ~tre rendu de Liouville pour ds/x du (resp. anti- Liouvil le-- l 'oppos6 d'un champ de Liouville) en le multipliant par une fonction positive convenable, de sorte que son flot dilate (resp. contracte) les aires exponen- tiellement.

(2) Tout champ tangent fi R relevant un champ de Liouville de [a, b] x [0, 1] est la restriction d 'un champ de Liouville pour ~o, 6quivalent fi ,s car les cycles de dimension 1 de R sont dans les fibres de ~ sur lesquelles 2 est exacte. Bien entendu, ce champ global ne peut pas g6n6ralement ~tre transverse fi S; dans ce qui suit cette question est 6tudi6e de plus pr6s.

2.5 Contour apparent

Si S est une hypersurface transverse/t R, S n R est une vari&6 de dimension n dont le rang symplectique est non constant. Elle est de rang 2, sauf le long du contour apparent fi la source de rc I S n R, lieu qui g6n6riquement est une courbe F et en chaque point duquel le plan tangent fi S n R est lagrangien.

Pour s ~ [a, b] tel que S soit transversal fi rc-~({s} • [0, 1]) on note hs la fonction hauteur u o / t l S n % - l ( { a } • [0, 1]). Les points critiques de h, sont les points de F

d'abscisse s. G6n6riquement F est l'adh6rence de U , crit hs. On a une autre caract6risation de F:


L E M M E . F est le lieu des points off R e s t tangent aux caractOristiques de S.

Preuve. Si z E F, le plan tangent fi S n R en z est lagrangien done il doit contenir la direction caract6ristique de T~S. Si z CF, il existe un vecteur v tangent ~i la fibre de n contentant z et transverse fi S; si z est un vecteur tangent ~i R, ~o(v, ~) = 0 ce qui interdit que r soit dans la direction caract6ristique de S. cqfd

Le contour apparent au but n(F) est une courbe qui g6n~riquement ne pr6sente pas de points triples et un nombre fini de points remarquables:

- points doubles fi croisement normaux, - points de rebroussement, - points fi tangente verticale (parall61e ~i ~/~u).

Pour chaque arc ~ c F tel que n(e) ne contienne aucun point ~ tangente verticale et aucun point de rebroussement saul 6ventuellement aux extr~mit~s, on peut associer un indice, l'indice de Morse de la fonction hateur hs au point de e d'abscisse s (qui est ind~pendant de s). On peut associer aussi la vari6t6 instable W"(~) pour un champ descendant tangent aux feuilles S n n - l ({s} x [0, 1]) et qui sur chaque feuille est de gradient pour hs au sens d 'une m~trique auxiliaire.

2.6 L E M M E . Soit A une bande verticale dans [a, b] x [0, 1]. On suppose que n(F) n A = n(ct) of~ ~ est un arc de F dont la projection n'a pas de tangente verticale. Alors il existe un champ de Liouville Z tangent ~ n - I(A) avec les propriOtOs suivantes:

(a) Z relOve un champ de Liouville vertical sur A. (b) Z e s t transverse d S le long de Sr~n- I (A) et pointe vers Ext S.

Preuve. En un point de e, un vecteur tangent au rideau et pointant vers l'ext~rieur de S a une composante sur O/Ou dont le signe + ou - est ind~pendant du point sur :q car n(~) n 'a pas de tangente verticale. Connaissant ce signe on d~termine sur A un champ de Liouville ~ vertical dirig~ dans le mame sens. On choisit des rel~vements locaux de ~ que l 'on recolle par partition de Funk& En un point de S n R qui n'est pas sur le contour apparent, on est libre de choisir le rel~vement pointant vers l'ext~rieur ou l'int6rieur de S; on fait le premier choix, cqfd

2.7 Un lemme de la th~orie de Morse

Le lemme suivant est bien connu en th6orie de Morse. La situation est la m~me

que dans le lemme pr6c6dent.

L E M M E . Soit {n(~)~ }, v E [0, 1], un glissement descendant de l'arc n(~) le long des verticales, f ixe pros du bord. Alors il existe un glissement de S n n - l ( A ) le long de


Z, ~ bord fixe, tel que pour tout z ~[0, 1], ~(cr soit le contour apparent de [S n n-I(A)],. De plus le glissement est f ixe hors d'un voisinage de W~(cO.

Commentaire. Tout se passe dans un voisinage du Z-satur6 descendant de W"(ct), not6 W~r(~). C'est une sous-vari6t6 (~ bord et coins) et chaque orbite de Z qui lui est tangente descend jusqu'au niveau u = 0.

2.8 Descente d'un point

LEMME. Soit A un sous-rectangle [a', b'] • [0, 1] de [a, b] • [0, 1]. On suppose que n(F) c~A est connexe et ne contient qu'un point remarquable g(zo). Alors:

(1) il existe une isotopie hamiltonienne de A h support dans intA descendant n(Zo) jusqu'h un niveau infkrieur {u = ul } donnb h l'avance. De plus, au cours de l'isotopie l'image de tout segment vertical descendant d'un point de 7z(l') reste verticale au-dessus du niveau u~.

(2) Le relbvement it R e s t la restriction d'une isotopie hamiltonienne ambiante pr~servant R. L 'allure du contour apparent au but est prOservbe (m~me nombre

de points remarquables). (3) Les m~mes conclusions valent encore si 7z(F) n A = ~ et si Zo est un point

quelconque de ~ -t(A) n S.

Preuve. (1) I1 existe une isotopic de plongements de ~( I ' )~A- -*A , d6pla~ant n(Zo) comme on le veut, d6plaqant chaque point de n(F) sur sa verticale et pr6servant l'aire de chaque composante du compl6mentaire. Elle n'introduit aucun point remarquable. La figure 10 repr6sente le cas d'un point de croisement. Cette isotopic se prolonge en isotopie de A pr6servant l'aire. Si on prend soin des deux conditions suivantes, on peut avoir le r6sultat compl6mentaire demand6 sur les verticales:

- l'aire balay6e par tout arc de n(F) n A est plus petite que l'aire en-dessous du

niveau {u = uj }; - le d6placement vertical des points qui montent est inf6rieur/l ul (Figure 10). (2) Soit ~0t un rel6vement ~i R de cette isotopic. C'est une isotopic hamiltonienne

pour o)IR qui donc se prolonge en isotopic hamiltonienne ambiante par prolongement de fonctions. Enfin le contour apparent de ~o,(S c~ R) est l'image par q~, du contour apparent de S n R . Le point (3) est 6vident. cqfd

2.9 D~monstration de rengouffrement du rideau

Sans le r~p&er, il est entendu que toutes les isotopies sont stationnaires sur le compact K donn6 dans la proposition 2.3.

Engouffrement symplectique et intersections lagrangiennes

ul

\A Figure 10

607

L E M M E 1. I1 ex&te une &otopie hamiltonienne de M poussant S e n S' de sorte

que le contour apparent au but de S' c~ R n'ait aucun point remarquable.

Preuve. On consid6re le point remarquable z 0 le plus bas, puis sur la m~me verticale le point rt(zl) le plus bas de n(F). On applique le lemme 2.8 ft. ce point et ainsi de suite jusqu'fi l 'appliquer ~t ~(Zo). A chaque fois on utilise une bande verticale qui descend un peu en-dessous de {u = 0}. On fait ainsi fuir rr(Zo) vers le bas du rideau et on diminue d 'une unit6 le nombre de points remarquables, cqfd

Apr6s ce lemme, le contour apparent au but se pr6sente comme suit (on appelle de nouveau S l 'hypersurface). Chaque branche du contour apparent porte un indice compris entre 0 et n - 1.

L E M M E 2. II existe une hypersurface S' kquivalente ?1 S (rel. K) telle que le

contour apparent au but de S ' ~ R ne prOsente aucun point remarquable et que des

branches d'indice n - 1 (Figure 11).

Figure 11

608 FRANCOIS I.AL/DENBAC]t

Preuve. Soit ~ une branche du contour apparent d'indice k < n - 1, minimai; on

prend la branche la plus basse parmi celles d'indice minimal. Alors, pour un champ

de gradient g6n6rique, WU(~) descend jusqu 'au niveau {u = 0} et pour chaque z E

d'abscisse s on a une membrane m~, disque (~ coins) de dimension k + 1, contenue

dans ~-~({s} • [0, 1]), s ' appuyant sur W"(z) et descendant jusqu 'au niveau {u = 0);

l'int6rieur de ms 6vite S n R. La collection des membranes forme un cylindre de

Liouville C dont une des extr6mit6s est la vari6t6 W"(~) de dimension k + 1 < n et

dont le champ de Liouville g6n6rateur Y est tangent aux membranes.

ler cas: k < n - 2. Les hypoth6ses du lemme 1.6 sont satisfaites. Par glissement on fait fuir cette branche du contour apparent par le bas du rideau.

26me cas: k = n - 2. On est en pr6sence d 'une obstruction. Pr6cis6ment si dt t est un champ hamiltonien tangent fi S, il existe un temps T (d6pendant de C et du

choix de d/-l) tel que les retours du flot de d/~ de WU(~) sur lui-mfime en temps > 0

et < T soient une obstruction ~i trouver un champ de Liouville transverse ~ S e t

tangent fi C. Or g6n6riquement il n 'y a qu 'un nombre fini de points de W"(~) ayant

un tel retour. De plus s i s est l'abscisse d 'un tel point zo, g6n6riquement le retour

n 'a pas la m6me abscisse. On fait fuir Zo vers te bas du rideau par application du

lemme 2.8.

Apr+s cette isotopic le temps T ft. consid6rer est le mfime qu'initialement car S, dJ7 et le champ de Liouville Y tangent ~ C le long de WU(~) sont transport+s par

la m~me isotopie en vertu du compl6ment au 1 du lemme 2.8. Une fois qu 'on a fair

fuir ces obstructions, le champ Y se globalise en un champ de Liouville transverse ~t S et le glissement de S au voisinage de C donne des hypersurfaces 6quivalentes.

cqfd

Le contour apparent au but se pr6sente maintenant de la m~me faqon, mais

routes les branches ont l'indice maximum n - 1. Chaque composante de S n R e s t

un disque D" bordant, avec un n-disque de {u = 0}, une (n + l)-boule anguleuse.

L'ensemble de ces disques est muni d 'un ordre partiel (un disque est au-dessus

d 'un autre); supposons pour simplifier qu'il n'existe qu 'un disque maximal. On peut

alors r6aliser les sommes connexes au bord de certaines composantes de S n R.

Pr6ciskment:

L E M M E 3. Il existe S' hypersurface bquivalente h S (rel. K) telle que S' n R ne

soit formO que de disques maximaux et que le contour apparent au but de chacun

d'eux ait l'allure ci-dessous (Figure 12).

Preuve. II suffit en fait de savoir faire la somme connexe du disque maximal

avec un disque imm6diatement inf6rieur dont le contour apparent au but est lui

aussi imm~diatement inf~rieur ~ celui du disque maximal; puis on poursuivra en


Figure 12

traitant s6parement les disques maximaux ainsi obtenus. En topologie diff6rentielle ordinaire, on sait modifier l'intersection d'une hypersurface s6parante, ici S, et d'une sous-vari6t6, ici L~ (le bas du rideau), par une isotopie de S pour raaliser la somme connexe de deux composantes de S n L~ joignables par un arc de L~ qui ne retraverse pas S.

I1 y a deux conditions homotopiques et une condition de dimension. Les condi- toins homotopiques sont

7t~(ExtS, S ) = 0 et rh ( In tS , S ) = 0 .

Elles sont v6rifi6es car S est isotope au bord d'un voisinage tubulaire de L dans M avec ~ (M, L) = 0, ce qui garantit la premiere condition, et codim L > 2 ce qui garantit la seconde. La condition dimensionnelle est codim L~ > 2. Dans ce cas il existe un 2-disque de Whitney A avec la moiti6 du bord dans S e t l 'autre dans L~. L'isotopie est donn~e par un module au voisinage de A.

Comme K se r6tracte sur un poly~dre de codimension > 3, A peut ~tre pris disjoint de K et l'isotopie se fait loin de K.

Pour modifier l'intersection S n R par somme connexe au bord, sachant que L~ est dans le bord de R, on choisit A tangent ~ ~lt3u le long de L~ nA, du c6t~ de la tangente sortante de R; le mod61e de Whitney fait le travail demand6.

Pour contr61er le contour apparent de la projection re: S n R --, R 2 et le r6aliser tel qu'il est demand6 il suffit de choisir l'arc L~ n A avec les deux propri6t6s suivantes:

(1) une extr6mit6 de L~nA est sur le contour apparent de la composante "inf6rieure";

(2) s o n[Ll c~A est une fonction sans point critique. (3) s o re(L1 hA) ne recoupe pas le contour apparent au but.

En pr6sence d'une structure symplectique, le disque A peut ~tre symplectique. En effet on commence par le rendre symplectique au voisinage du bord, ce qui est


facile d+s que la condition g6n6rique, que A n S soit non tangent aux caract6ristiques de S, est satisfaite; on peut aussi supposer que l'int6grale de ~o sur A est non nulle. Puis par le h-principe de Gromov, on d6forme A rel. un voisinage du b o r d e n un disque symplectique immerg6, et donc plong6 en position g6n6rale.

Lorsque A est symplectique, il peut &re muni d'une structure de cylindre de Liouville. Comme son bord dans S est un arc, on peut appliquer 1.6 et conclure que l 'hypersurface S' donn6e par le mod61e de Whitney est 6quivalente/t S. cqfd

L E M M E 4. Dans la situation donnke par le lemme 3, il existe un champ de Liouville ~ sur le rectangle image de rt, transversal h chaque branche du contour apparent, pointant dans le sens indiquO par Ext S e t dont toutes les orbites coupent

{u =0}.

Remarque. Le sens en question ne se lit pas sur le contour apparent au but car, s'il est vrai que deux disques ordonn6s de S n R (avant la somme connexe) donnent des branches ordonn6es du contour apparent au but, deux disques non comparables peuvent aussi donner des branches ordonn6es.

Preuve. On la fait par r6currence sur le nombre de branches de rt(F). D'apr6s 2.4 1), la question est purement topologique. Soit Go une solution pour k - 1 branches. On consid~re une bande A d'orbites de ~o aboutissant dans {u = 0} et on y insure une courbe 7 avec un point de rebroussement, munie d'un champ transverse. Dans les deux cas de figures, on peut modifier 3o sur A pour le rendre compatible avec cette donn6e (Figure 13). cqfd

On peut maintenant conclure. Dans la situation donn6e par le lemme 3, S n R est un disque D bordant avec un disque D' de {u = 0} un domaine C dans Ext S. Le champ de Liouville ~ donn6 par le lemme 4 se rel6ve dans C en un champ de Liou- ville dont les orbites vont de D ~ D'. Donc C est contenu dans un cylindre de Liou- ville. Le th6or6me 1.2 est applicable et finit l 'engouffrement du rideau, cqfd

Figure 13


w Engrouffrement des ehemins/~l~mentaires de naissanee ou d'/~limination

On rappelle que ~ est l 'ensemble des L ' ~ 5(' ayant exactement un contact quadrat ique avec L.

3.1 Modkle du contact quadratique

Soit L ' e ~ t et soit a l e point de contact de L ' avec L. D 'apr6s Darboux, il existe un voisinage de a isomorphe fi un polydisque D x D*, muni de la forme

symplectique s tandard de T*R ", off D x {0} est un voisinage de a dans L e t off les fibres {pt} x D* coupent L ' en un seul point et transversalement. Dans ces coordonn6es, L ' est le graphe de df pour une certaine fonction f : D ~ R ayant /t l 'origine une singularit6 de codimension 1. Doric quitte ~t r6tr6cir D autour de a et

y choisir des coordonn6es convenables (x~ . . . . x , ) , on a la forme normale:

f ( x l . . . . . x . ) = x~ + q(x2 . . . . . x . )

off q est une forme quadrat ique non d6g6n6r6e. Par cons6quent ce qui est connu sur cette singularit6 et sur son d6ploiement universel 6tablit que LP ~ est une sous-vari~t6

de codimension 1 et que tout germe de chemin 7: (R, 0)--, (,La, &a~), C ~ et transverse ~ Lf ~ en L ' est conjugu6 (au sens 2.3) a un chemin dit "616mentaire" ou chemin de Cerf-Smale (voir Cerf [Ce]).

Le germe de chemin V en L ' = 7(0) est ~lkmentaire si, pour t voisin de 0, la sous-vari6t6 V(t) passe dans le polydisque D x D* selon le graphe de la diff6rentielle

de la fonction

(xl . . . . . x~) ~ x~ +_ txl + q(x2 . . . . . xn).

Avec le signe + , le chemin est dit 616mentaire d'61imination parce que deux points

d ' intersection avec L disparaissent lorsque t cro~t de 0 fi 0+. Avec le signe - , le

chemin est dit 616mentaire de naissance.

3.2 Un autre modkle de chemin klkmentaire

A part ir des formules pr6c6dentes, on effectue un changement d 'axes qui fait

disparaitre la notion d'indice pour q. Voici donc une nouvelle description du

chemin 616mentaire typique.

612 F R A N r L A U D E N B A C H

Le mod61e est un polydisque B, voisinage du point de contact a de L ' avec L. II a des coordonn6es

{(x, G y , q) I (x, ~) e [ - 6 , 62], (y, ~/) e l l " - ' x (R"-~) *, ]ly[] <_ R, Ilrr II _<R}

et, sur B, ~o = dx ^ d~ + dy ^ dr. L'intersect ion L c~ B e s t d~finie par ~ = 0, ~/= 0, section nulle de T* R ". L' inter-

section L'c~B est d6finie par y = 0 , ~ - - x 2. La situation de produi t cart6sien est r6sum6e sur la figure, off il faut penser 6 < 1 (Figure 14).

Le chemin 616mentaire d'Olimination, vu dans B, consiste en une translat ion parall61e fi l 'axe ~. Pr6cis6ment, pour t e [0, 1],

L,c~B={y=O,r

Hors de B, L, est seulement assujetti fi rester transverse fi L. Pour un chemin de naissance, on change t en 1 - t .

Remarque. On peut modifier le mod+le pr6c6dent pour que le chemin d'61imina- tion soit fi suppor t dans le polydisque. Cela suppose que R soit assez grand devant 6. Nous n 'avons pas besoin d'utiliser ce mod61e.

Avec le mod61e ci-dessus, on pose les deux d6finitions suivantes. (a) Pour L0, dont deux points d ' intersection avec L sont en position de

s'61iminer, on appelle disque de Whitney le disque d6fini par

A = = 0 , 0 _ >

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~. y

i

-> X

Figure 14

On dit que A ~ = {y = O, ~ = O, x 2 - 62/4 < ~ < x 2 + 6z/4} est le disque de Whitney 6tendu.

(b) Pour L~, qui ne rencontre pas L c~ B, on appelle arc de naissance le segment

J={y=O,~ l=O,x=O,O<_~<_6- - -4} .

3.3 Engouffrement d'un chemin 6lOmentaire

PROPOSITION. Le principe d'engouffrement est valide pour tout chemin Ol6-

mentaire de naissance ou d'6limination.

Preuve. Disons que {L,, t E[0, 1]} est un chemin 616mentaire d'61imination;

Lo c U(L). La premi6re 4tape consiste a engouffrer le disque de Whitney A. Comme 7 ~ 2 ( M , U(L)) = 0 et que dim A < �89 dim M, on peut le faire en vertu du h-principe [G2]. Donc on peut supposer A ~ U(L). Comme le disque de Whitney 6tendu a la propri6t6 que L w L o u A 0 se rhtracte sur L u L o u A, le m6me argument permet de supposer que A~ c U(L).

Ensuite, par les m4mes r6ductions qu'au w on peut supposer qu'en dehors du polydisque B, L, est stationnaire au voisinage de son intersection avec L e t que le chemin L, est linhaire. On est ramen6 ~ l'engouffrement d'un rideau r6gulier R contenant B.

La projection n: R-*[a , b] x [0, 1] induit un plongement du disque de Whitney 6tendu A ~ allant du niveau u = 0 au niveau u = 1. Donc les mouvements de l'hypersurface S effectu4s en 2.9 pour simplifier le contour apparent ont tous lieu dans le complhmentaire de A 0, donc dans le compl6mentaire de L, ce qui ach6ve l'engouffrement du chemin d'61imination.

Pour un chemin de naissance (le m4me chemin {L, } parcouru de t = 1 ~ t -- 0), on rhalise d 'abord l'engouffrement de l'arc de naissance en utilisant n~(M, U ( L ) ) = 0 , puis l 'engouffrement de A ~ car L ~ u L u A ~ se r6tracte sur L1 u L wJ . La fin de la preuve est la m6me que ci-dessus, cqfd

Remerciements

Je remercie Jean-Claude Sikorav et Claude Viterbo qui ont 6cout6 patiemment plusieurs versions pr61iminaires. Je remercie aussi et plus particuli6rement Marc Chaperon et Emmanuel Giroux qui ont particip6 de pros f ice travail pendant un

long moment.

614 FRANCOIS LAUDEN BACH

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Received February 18, 1994

Engouffrement symplectique et intersections lagrangiennes

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