ENERGIE MAGNETIQUE ET CONVERSION...

Département licence

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ENERGIE MAGNETIQUE ET

CONVERSION

ELECTROMECANIQUE

Y. DESHAYES, J.C. GIANDUZZO et F. CAZAURANG

Ch 7 : Energie magnétique et conversion électromécanique

ENERGIE MAGNETIQUE ET CONVERSION ELECTROMECANIQUE............................................................. 3

I . ENERGIE MAGNETIQUE DANS UN MILIEU...................................................................................................................... 3

1.1 - Définition............................................................................................................................................................ 3

1.2 - Interprétation graphique .................................................................................................................................... 3

II . COENERGIE MAGNETIQUE DANS UN MILIEU................................................................................................................ 5

2.1 - Définition............................................................................................................................................................ 5

III . BILAN ENERGETIQUE................................................................................................................................................. 5

3.1 - cas d'un circuit simple........................................................................................................................................ 5

3.2 - Bilan énergétique pour des circuits couplés ...................................................................................................... 6

IV . CONVERSION ELECTROMECANIQUE .......................................................................................................................... 8

4.1 - Présentation de l’étude....................................................................................................................................... 8

4.2 - Généralisation.................................................................................................................................................. 10

4.3 - Exemple du moteur à réluctance variable........................................................................................................ 12

Université Bordeaux I - Cours d'Electrotechnique J.C. Gianduzzo et F. Cazaurang - page : 2/15


Energie magnétique et conversion électromécanique

Mots clés: Energie magnétique, coénergie magnétique, bilan énergétique, énergie des circuits couplés

I . Energie magnétique dans un milieu 1.1 - Définition

Soit un milieu magnétique dans lequel nous isolons un élément de volume dv de perméabilité constante µ. Soit rH le

champs local. Dans le cadre des approximations des régimes quasi-stationnaires, on suppose que le champ électrique E

est négligeable. A partir des équations de Maxwell on montre qu’il est stocké dans cet élément de volume une énergie

magnétique dw B Hdv=12

r r. ,

rB étant l’induction régnant dans le volume dv.

dv

rB

rH

On a supposé µ = Cte = scalaire HBrr

µ=→ donc dw BHdv=12

(rB et

rH sont supposés colinéaires).

dw H dv B dv= =12

12

2 2µµ

.

Le produit BH est donc homogène à une densité volumique d’énergie. Elle s’exprime en J m/ 3 .

Remarques

• La thermodynamique nous enseigne qu’à température constante la variation de la densité volumique d’énergie libre

de nature magnétostatique s’exprime par df H dB=r r

. , quantité que l’on notera dwdv

H dB=r r

. . Dans le cas le plus général

la perméabilité est de caractère tensoriel, donc r rr rB = Hµ ce qui signifie que

rB et

rH ne sont plus colinéaires et les

calculs perdent de leur simplicité.

• Par la suite nous considérerons que le matériau est isotrope ( µ = scalaire) mais µ peut être a priori non constante.

De plus on considèrera qu’il n’y a pas d’hystérésis. Nous écrirons donc r rB H= µ .

1.2 - Interprétation graphique 1.2.1 Energie magnétique dans le plan des caractéristiques partielles

Dans le plan B (H) , pour H donné, la quantité r rH dB HdB. = est représentée par l’aire du trapèze curviligne abcd. La

quantité est l’aire du triangle curviligne OMNO. La valeur numérique de cette aire est égale à la densité

d’énergie dans le matériau considéré, lorsque soumis à l'excitation H

HdBBM

0∫

m, le champ magnétique a pour valeur Bm.



B

H

dB

Hm0

M N

a

bi

S , l

B , ϕn

cd

Bm

dH Si on multiplie les ordonnées par la section S de l'élément et les abscisses par la longueur l de l'élément (en supposant

une géométrie simple du circuit magnétique), on a d’une part BS=ϕ et ni Hl= d’autre part. La courbe

devient , soit la caractéristique partielle de l'élément dans un montage donné. l’énergie stockée

dans le volume V = Sl de l'élément considéré s'écrit alors:

)(HfB = )(Hlf=ϕ

W = = HldM ϕϕ

0∫ nidM ϕϕ

0∫

En effet (Hl)dϕ = (Hl)SdB = (Sl)HdB. L’aire élémentaire HdB est bien multipliée par Sl le volume.

En résumé, pour ϕ et ni donnés l’énergie magnétostatique stockée dans un volume donné est égale à l’aire du triangle

curviligne OMNO situé au-dessus de la courbe ϕ = f(ni).

Remarque: Pour calculer cette aire on a fixé ni et réalisé une variation de ϕ.

ni

Hlni1niO

MN

ϕ

dϕ

ϕ1

1.2.2 Exemple du tore:

Si on suppose µ = Cte alors on peut définir une inductance L n=ℜ

2 avec ℜ =

lSµ

.

ϕ

O

MN

Hl = ni

ni0

nLi0

0 =ϕ

L'aire du triangle 0MN0 s'écrit: W n ‘ i d ni= =∫ ϕ ϕϕ 1

20 1 11



Or n Liϕ 1 = 1 par définition de L. Soit: W i Li Li= × =12

121 1

21

II . Coénergie magnétique dans un milieu 2.1 - Définition

Si on tient compte du caractère non linéaire de la fonction B = f(H) on constate que ce qui revient à

écrire . Il est alors nécessaire de définir la manière dont évolue les paramètres pour savoir ce qu’il y a

lieu de considérer. Pour ni fixé, l’aire élémentaire du trapèze curviligne (abcd) est différente de l’aire du trapèze

curviligne (bcef).

HdB BdH≠ ∫∫

ni d n diϕ ϕ≠ ∫∫

ϕ

ϕ

niM

W’

ϕM

W

ni

dϕa

d c

b

e fdnini0

On appelle la coénergie. On remarque que pour W niM'= ∫ ϕ0

di [ ] [ ]M M∈ ∈0 0, , ,ϕ ϕi i on a:

W W nid n diiMM+ = + ∫∫' ϕ ϕ

ϕ

00

Aire du rectangle ayant pour cotés ϕ M et iM c’est à dire que W W n i B H VolumeM M M M+ = = ×' ϕ

Remarque: Si le circuit magnétique est linéaire alors W = W’ (uniquement dans ce cas).

III . Bilan énergétique 3.1 - cas d'un circuit simple

Considérons le circuit magnétique suivant, composé d'un élément magnétique et d'une bobine comportant n spires et de

résistance R. Cette bobine est alimentée par une tension u(t) et absorbe un courant i(t).

i

S , l

B , ϕnu

R

u Ri nddt

= +ϕ

; avec nϕ = Li.

Si µ = Cte alors u Ri L didt

= +

Reprenons l’expression ci-dessus et multiplions par idt :

uidt = Ridt + nidϕ .



Intégrons:

uid Ri d nidttt

τ τ= + ∫∫∫ 2000

ϕ .

Le premier terme est l’énergie fournie par la source, le second est l’énergie dissipée sous forme joule et le troisième est

l’énergie dite magnétique stockée dans le volume du circuit magnétique. Comme on l’a déjà vu cette énergie

magnétique a une forme simple dans le cas d’un circuit magnétique linéaire.

3.2 - Bilan énergétique pour des circuits couplés Soient r circuits couplés représentés sur le schéma suivant:

u1 i1 ij

L11

up

ip

Lpp

uj

LjjL1p=Lp1

L1j=Lj1

Ljp=Lpj

On note Lnn l'inductance propre du circuit électrique numéro n et Lmn l'inductance mutuelle entre les circuits numéros n

et m avec n ≠ m. On rappelle que Lnm = Lmn.

Le flux propre au travers du circuit numéro j est noté Φj = Ljjij.

Le flux total embrassé par le circuit numéro j est:

Φj = Lj1i1 + Lj2i2 + ..... +…Ljjij + ....+.....+ Ljkik .....+ Ljrir.

ou bien Φ (1) j jp

r

pL i==∑

1p

Pour le circuit n°j on peut écrire u R iddt

R i ddt

L ij j jj

j j jpp

r

p= + = +=∑

Φ

1

Soit )(1 dt

dLi

dtdi

LiR jpp

pr

pjpjjj ++= ∑

=

u (2)

Le premier terme de la somme est classique, le second terme tient compte des variations des termes Ljp. Cette variation

peut être non nulle si certains circuits se déforment ou se déplacent. Exprimons l’énergie au niveau du circuit n° j:

Multiplions la relation (2) par ijdt.

u i dt R i dt d L i ij j j j jpp

r

p j= +=∑2

1( ) (3)

Posons expression qui ne dépend que de j. L’énergie élémentaire totale magnétique est

(On tient compte de tous les circuits).

dW d L i ij jpp

r

p j==∑ ( )

1

dWj1

dWj

r=

=∑



Explicitons, il vient dW d L i ijppj

p j= ∑∑ ( ) (4)

Traitons deux exemples:

a - Considérons un système au repos c’est à dire Ljp = cte ∀ j et p.

pjj p

jp diiLdW ∑∑= (5)

Lors de la sommation on va trouver deux ensembles de termes du type (i et j permutés). L i di L i dijp j p jp p j+

Ceci est égal à car (6) L d i ijp j p( ) L Ljp pj=

D’autre part pour j = p on va faire apparaître Lppipdip , ceci peut s’écrire 12

Lppd(ipip) (6’)

dW L d i ijppj

j p= ∑∑12

( ) , (On somme sur tous les indices mais on ne prend que la moitié des termes à cause des

propriétés dégagées en (6) et (6’).

W L i i i Ljppj

j p jj

jpp

p= =∑∑ ∑ ∑12

12

i j. Or d’après (1). D’où L ijpp

p∑ = Φ

W (7) ijj

r

j==∑1

2 1Φ

b - Considérons un cas courant

Nous considérons ici deux circuits couplés indéformables et conservant la même position relative. L11 et L22 sont des

constantes ainsi que L12 ou L21.

u1

i1

u2

i2

L11 L22

L12

••

Nous pouvons écrire:

u i dt R i dt L i di L i di

u i dt R i dt L i dt L i dt1 1 1 1

211 1 1 12 2 2

2 2 2 22

22 2 12 1

= + +

= + +

L’énergie élémentaire magnétique totale est: dW L i di L i di L di i di i= + + +11 1 1 22 2 2 12 2 1 1 2( ) . On peut l’écrire aussi sous

la forme suivante: d L i L i L12

1211 1

222 2

212+ +

i i1 2

. On pose généralement L1 = L11 et

L2 = L22 et L12 = M.

Soit dW d L i L i Mi i= + +

12

121 1

22 2

21 2 que l’on peut écrire:

[dW d i L i Mi i L i Mi= + + +12 1 1 1 2 2 2 2 1( ) ( ]) soit [d i i= +

12 1 1 2 2Φ Φ ]dW qui est un cas particulier de la relation (7).



c - Cas où L12 = L21 (= M) est variable avec L11 (= L1) et L22 (= L2) constantes. Cela signifie que les circuits sont

indéformables mais que l’un d’eux au moins se déplace par rapport à l’autre. Reprenons le schéma utilisé dans

l’exemple b. . En utilisant la technique développée ci-dessus on peut écrire: Φ Φ1 1 1 2 2 2 2= + = +L i Mi L i Mi, 1

u i dt R i dt L i di Mi di i i dM

u i dt R i dt L i di Mi di i i dM1 1 1 1

21 1 1 1 2 1 2

2 2 2 22

2 2 2 2 1 1 2

− = + +

− = + +

La somme des deux seconds membres est l’énergie magnétique élémentaire. On peut la mettre sous la forme suivante:

dW dL i dL i d Mi i d Mi i i i dM= + + + +12

12

12

121 1

22 2

21 2 1 2 1 2( ) ( ) .Par intégration on obtient:

W L i L i Mi i Mi i i i d= + + + + ∫12

12

12

121 1

22 2

21 2 1 2 1 2 M . En regroupant et en posant dM M

xdx=

∂∂

on obtient:

W i i i i Mx

dx= + + ∫12

121 1 2 2 1 2Φ Φ

∂∂

Remarque:

Dans certaine littérature on rencontre la notation matricielle, elle est évoquée ici pour donner au lecteur une autre vision

de la classique loi d’Ohm u Ri ddt

= +Φ .

Avec k circuits couplés on a:

[ ] [ ][ ] [u R i ddtk k k= + ]kΦ . Les termes [ ] [ ] [ ]u ik k k, , Φ sont des matrices colonnes, [ ]Rk est diagonale.

[ ]Rk =

RR

Rk

1

2 0

0.

.

Multiplions à gauche par la matrice intensité transposée [ ]Tki

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]i u i R i i ddtk

Tk k

Tk k k

Tk= + Φ .

Le premier terme est la puissance fournie par les k sources, le deuxième terme est la puissance dissipée sous forme

joule, enfin le dernier terme est la puissance magnétique totale.

Si le système est rotatif alors il développe un couple électromagnétique Ce tel que P C ddtmec e=θ .

[ ] [ ]C ddt

i ddt

dWdte k

Tk

magnθ= −Φ . Soit sous forme variationnelle : C i [ ] [ ] We k

Tk maδθ δ δ= −Φ gn

IV . Conversion électromécanique 4.1 - Présentation de l’étude

Ce paragraphe est consacré aux circuits magnétiques déformables. C’est à partir d’un exemple que nous allons préciser

et concrétiser ce qui a été abordé aux paragraphes précédents.

Rappelons ce que nous avons vu dans un cas simple. Un circuit magnétique donné homogène est caractérisé par sa

courbe B(H) ou ϕ(Ni) représentée ci-dessous. par la courbe C(0).(Cette notation sera précisée plus loin).



x

ϕ

u

i

ϕ C(0)

C(x)

ni0

Si on pratique une ouverture d’épaisseur x dans le circuit magnétique alors le circuit n’est plus homogène et la courbe

représentative dans le plan ϕ(ni) est la courbe C(x) (voir caractéristiques partielles et totales).dont l’allure dépend de

l’épaisseur x de l’entrefer.

Considérons le montage suivant. La partie (A) est fixe, la partie (B) peut coulisser.

ϕ0

i0

u

x0

F0

A

B

ϕ1

i1

u

x1

A

BF1

Système à l’état initial t0 Système à l’instant t1

Dans le plan (ϕ,Ni) on peut représenter l’évolution du point de fonctionnement qui passe de M0 à M1.

x1(t1)

x0(t0)

M1{ 1ϕ , ni1

M0 { 00 , niϕ

ni

ϕ

0

Ce dispositif obéit à la règle du flux maximum c’est à dire que la partie B va se rapprocher de la partie A. (diminution

de la réluctance). La distance x va diminuer et le point de fonctionnement dans le plan ϕ(ni) va appartenir à des

caractéristiques totales paramétrées en x. Pour x0 le point est sur C(x0) en M0 et pour la distance x1 on est en M1

appartenant à C(x1). La trajectoire M0M1 est a priori complexe.

Cette expérience nous permet d’affirmer que la circulation du courant dans les n spires a pour effet de:

• Produire du travail (frottements)

•Modifier l’état magnétique du matériau magnétique (i et ϕ ont varié)

Si on considère un intervalle de temps dt on peut écrire dtdnRi ϕ

+=u ou . ϕ+= niddtRiuidt 2



Dans le chapitre précédent la quantité nidϕ était intégralement convertie en énergie magnétique stockée (ou restituée)

car il n’y avait pas de travail, ici la quantité nidϕ est convertie en partie en travail mécanique et en partie en énergie

magnétique comme nous venons de le voir.

uidt Ri dt dW dWmec magn= + +2 donc . magnmec dWdWnid +=ϕ

Reprenons la caractéristique totale précédente et procédons à une analyse des bilans énergétiques.

Ni

ϕ

x0(t0)

x1(t1)

•

•ϕ1

ϕ0

Ni1 Ni0

(1) (2)

(3) (4)

0

M0

M1

Le flux ϕ est une fonction de ni et de x. La variation d’énergie électrique lorsqu’on passe de x0 à x1 est :

N idϕϕ

ϕ

0

1∫ = (1) + (2).

L’énergie initialement stockée dans le circuit magnétique (matériau + entrefer) est (3) + (4). L’énergie finale stockée

dans le circuit magnétique (matériau + entrefer) est (1) + (3).

D’après la relation écrite plus haut on a: qui se traduit par: N id W Wmagn mecϕϕ

ϕ

0

1∫ = +∆ ∆

(1) + (2) = ((1) + (3)) - ((3) + (4)) + ce qui donne pour ∆Wmec ∆Wmec = (2) + (4).ou bien = Aire du triangle

curviligne 0M

∆Wmec

0M10. On peut exprimer la force moyenne qui agit sur le barreau

FW

x xmoymec=−

∆

1 0. La force instantanée est donnée par passage à la limite: F

Aire M Mx xx x=−− →lim

( )( )1 0 0

0 1

1 0

0 0

4.2 - Généralisation Un système électromécanique est caractérisé par K circuits électriques indicés j, [ ]Kj ,1∈ auxquels sont associés les

intensités ij, les tensions uj et les flux Φj = Njϕj.

uj

ij

u R iddtj j j

j= +ΦNj

Ce système est supposé déformable ou constitués d’éléments en mouvement (exemple du relais, du moteur

électrique...). Il possède L degrés de liberté, caractérisés par L coordonnées généralisées [ ]x x Lm m, ,∈ 1 . Ces

coordonnées peuvent être des longueurs ou des angles. En effet, s’il y a mouvement de translation alors dWmec=Fdx , et

s’il y a rotation dWmec=Cdθ.



4.2.1 Energie magnétique et force

L’énergie disponible fournie par les sources est i djj

j∑ Φ . Comme nous l’avons vu cette énergie se transforme en

énergie magnétique et en énergie mécanique.

i d dW F dxjj

K

j magn mm

L

m= =∑ ∑= +

1 1Φ ou bien . i d dW C dj

j

K

j magn mm

L

m= =∑ ∑+

1 1Φ θ

De la première expression on isole l’énergie magnétique: dW (1) i d F dxmagn jj

K

j mm

L

m= −= =∑ ∑

1 1Φ

Le flux φj dépend des courants ij et de tous les autres à cause des couplages. Comme nous l’avons vu plus haut φj

dépend également des déplacements donc des variables d’espace xm.

Φ Φj j j K m Li i i i x x x x= ( , , , , , , , ; , , , )1 2 1 2K K K K . De même pour l’énergie magnétique:

W W x x x xmagn magn j K m L= ( , , , , , , , , , , , )Φ Φ Φ Φ1 2 1 2K K K K .

Cette dernière expression peut être différenciée:

dWW

dW

xdxmagn

magn

jj

K

jmagn

mm

L

m= += =∑ ∑

∂

∂

∂

∂ΦΦ

1 1 (2)

Par identification avec (1) on tire:

iW

jmagn

j=∂

∂Φ ; F

Wxmmagn

m= −

∂

∂ (ou C

Wm

magn

m= −

∂

∂θ ).

•La force Fm est la dérivée partielle changée de signe de toute l’énergie magnétique par rapport à la variable xm.

4.2.2 Coénergie magnétique et force

Rappelons que la coénergie est définie par W’magn telle que Wmagn + W’magn = ϕ×Ni = iΦ

ϕWmagn

W’magn

Ni ε (A)

Comme précédemment on considère ici K circuits couplés: W W (défini pour un système au

repos).

imagn magn jj

K

j+ ==∑'

1Φ

dW dW i d dimagn magn jj

j jj

j+ = +∑ ∑' Φ Φ (le deuxième terme est la coénergie).

Sachant que on peut affirmer que

. (3)

Φ Φj j j K m Li i i i x x x x= ( , , , , , , , ; , , , )1 2 1 2K K K K

i i i x x x xj K m L, , , , , , , , , , , )1 2 1 2K K K KdW dW imagn magn' ' (=

On a vu que . i d F dx dWjj

K

j mm

L

m ma= =∑ ∑= +

1 1Φ gn



Cette relation permet d’écrire: . Soit: dW dW F dx dW dimagn magn mm

L

m magn jj

K

j+ = + += =∑ ∑'

1 1Φ

dW F dx dimagn mm

L

m jj

K

j' = += =∑ ∑

1 1Φ . (4)

A partir de (3) exprimons dW’magn:

dWW

xdx

Wi

dimagnmagn

mmm

magn

jjj'

' '= +∑ ∑

∂

∂

∂

∂ (5)

De (4) et (5) nous tirons

FW

xW

immagn

mj

magn

j= =∂

∂

∂

∂

',

'.Φ avec W W i i i i x x x xmagn magn j K m L' ' ( , , , , , , , , , , , )= 1 2 1 2K K K K

• Fm est la dérivée partielle de la coénergie par rapport à xm

• Un mot sur le couple. Supposons que W’magn ne dépende que d’un seul courant et d’un seul angle :W’magn=W’magn(i,θ).

Dans ces conditions on a CW i

emagn=

∂ θ

∂θ

' ( , ). Le paragraphe qui suit illustre ce cas de figure.

4.3 - Exemple du moteur à réluctance variable Dans le cas traité ici on ne considèrera qu’un seul circuit, c’est à dire que K = 1 et le nombre de degrés de liberté est de

1, c’est à dire que L =1.

Le montage proposé est un moteur à réluctance variable. Cette appellation vient du fait que lors de la rotation de la

partie mobile (B) la réluctance du circuit magnétique varie périodiquement.

.

α

β

i

ϕθ

d

q

(A)

(B)Nu

Nous proposons de calculer le moment du couple électromagnétique développé en utilisant les résultats précédents.

Pour pouvoir faire une étude simple nous supposerons que la perméabilité du matériau magnétique est constante. Dans

ces conditions l’énergie et la coénergie sont égales. La pièce B peut tourner autour d’un axe perpendiculaire au plan de

la feuille, c’est le rotor repéré par l’angle θ dans le repère (d,q), “d” pour direct et “q” pour quadrature.

Soit ϕ le flux dans le circuit magnétique. Le flux total intercepté par le circuit électrique est Nϕ=Li en appelant L

l’inductance vue entre les bornes αβ. Il est clair que L dépend de la variable θ, donc Nϕ=L(θ)i. La dépendance de L en

θ est liée en fait à la modification de la réluctance du circuit magnétique: L N( )( )

θθ

=ℜ

2. La réluctance dépend aussi

de la partie fixe du circuit magnétique et de µ, mais on ne fera figurer que la dépendance en θ , la seule variable.

ℜ



W L i W imagn = =12

2( ) ( , )θ θ = la coénergie.

Or Ni i

N

W Wmagn

= ℜ → = ℜ

= ℜ = =

( ) ( )

( ) ( , )

θ ϕ θϕ

θ ϕ ϕ θ

2 22

2

212

é nergie

De ces deux expressions on peut exprimer le moment du couple électromagnétique de deux façons différentes:

C i i dLde ( , ) ( )θ θθ

=12

2 ; C dde ( , ) ( )ϕ θ ϕ θθ

= −ℜ1

22

La réluctance du circuit magnétique est la même pour θ et θ+π c’est à dire que la réluctance est une fonction périodique

de 2θ .ℜ = avec ℜ + ℜ=

∞

∑( ) cosθ θ0 21

2kk

k ℜ ≥ ℜ ∀0 2k k

ℜ

(la réluctance doit rester positive). Par la suite on limitera

le développement au premier terme, à savoir = ℜ +ℜ( ) cosθ θ0 2 2 afin de simplifier l’étude. Dans ces conditions on

peut exprimer ℜ et en fonction de valeurs particulières prises par la réluctance. Considérons les deux situations

suivantes:

0 ℜ2

d

q

d

q

π=θ ou0)()0( πℜ=ℜ = dℜ

2π

±=θ

qℜ=π

+ℜ=π

−ℜ )2

()2

(

ℜd est la valeur minimale de ℜ( )θ ce qui correspond à une valeur minimale de la réluctance d’entrefer.

ℜq est la valeur maximale de ℜ( )θ ce qui correspond à une valeur maximale de la réluctance d’entrefer.

Résolvons:

ℜ = ℜ +ℜ = ℜ

ℜ = ℜ −ℜ = ℜ

( )

( )

0

2

0 2

0 2

d

qπ

D’où ℜ =ℜ +ℜ

ℜ =ℜ −ℜ

0 22 2d q d q;

Enfin: ℜ =ℜ +ℜ

+ℜ −ℜ

( ) cosθ θd q d q

2 22

Supposons maintenant que la tension appliquée aux bornes du circuit d’excitation (non figuré sur les schémas) soit de la forme u t . Si on néglige la résistance des fils de l’enroulement excitateur, alors le flux dans le circuit

magnétique s’écrit:

U t( ) cos= 2 ω

ϕ = ∫1N

u t dt( ) soit ϕω

ω=UN

t2 sin .



C dd

UN

te d( , ) ( ) ( ) sin sinϕ θ ϕθθ ω

θ ω= −ℜ

= ℜ −ℜ12

222

2 22

q .

Supposons que le rotor tourne à une vitesse angulaire constante c’est à dire que ddt Rθ

ω= soit θ ω θ= +Rt 0 .

Explicitons l’expression du couple instantané après quelques rappels :

sin cos2 1 22

ωωt t

=− et [ ]sin cos sin( ) sin( )a b a b a b= + + −

12

.

C UN

t te d q R R( , ) ( ) sin (( ) ) sin (( ) ) sin ( )ϕ θω

ω ω θ ω ω θ ω θ= ℜ −ℜ − + + − − + + +

2

2 2 0 0212

2 12

2 2 tR 0

Pour ω et ω R différents, les trois termes du crochet donnent une contribution moyenne nulle, donc (Ce)moy = 0 dans ce

cas. En revanche, si ω ω= R alors ( ) . ( ) sinC UNe moy d q= − ℜ −ℜ

2

2 042

ωθ

Remarques: a - Si le rotor est homogène (c’est à dire cylindrique), ce qui correspond à ⇒ (Cℜ = ℜd q e)moy = 0.

b - On a vu que pour que (Ce)moy ≠ 0 il fallait ω ω= R impérativement. Cela signifie que la pulsation de rotation est

égale à la pulsation imposée par la source d’énergie électrique. On a réalisé un moteur synchrone à réluctance

variable.

c - Nous savons que ℜ ≤ ℜ → =d q e moyC K( ) sin 2 0θ avec K ≥ 0.

Interprétation : En régime permanent c’est à dire à vitesse rotorique ω R constante on a (Ce)moy = Cr le moment du

couple résistant appliqué sur l’arbre. Si Cr augmente de ∆Cr > 0 alors (toujours en régime permanent) (Ce)moy se voit

augmenter de ∆(Ce)moy = ∆Cr.

Ceci se traduit par K∆(sin2θ0) > 0 → 2Kcos2θ0∆θ0 > 0.

Que signifie θ0 ? Imaginons un champ magnétique bipolaire (un pôle N et un pôle S) généré par les f.m.m. statoriques

tournant à la vitesse angulaire ω. Placé dans ce champ, un rotor aimanté (ici, aimanté par influence) est attiré par les

pôles (fictifs) tournants du stator.

NS

s

n

θ0

s

n

S

N

Cr = 0θ0 = 0

Cr > 0θ0 ≠ 0

Si aucun couple ne s’exerce sur l’arbre rotorique on est dans la situation où Cr = 0 → (Ce)moy = 0 → θ0 = 0.

L’axe magnétique du rotor est confondu avec l’axe du champ tournant statorique et ω = ωR.

Si au cours de cette rotation on exerce un couple résistant sur l’arbre → Cr > 0, il va y avoir un ralentissement

transitoire du rotor (assorti d’oscillations), puis un nouveau régime permanent va s’instaurer. Le rotor va se positionner

en arrière du champ statorique d’un angle θ0 tel que (Ce)moy = Ksin2θ0 = Cr tout en conservant ω = ωR .




d - Etude succincte de la stabilité en régime établi (Ce)moy = Ksin2θ0 = Cr en régime permanent.

0 π/4π/2 π 2π θ0(Rad)

(Cem)moy

P1 P2

P’2P’1

P3

θ0 θ0+∆θ0

Cr

Cr+∆Cr

Pour Cr donné on est en P1 auquel correspond θ0 .

Si Cr → Cr + ∆Cr : P1 → P’1, (Ce)moy augmente et θ0 → θ0 + ∆θ0 avec (Ce)moy > 0.

Pour 0 ≤ θ0 < 4π on a 2Kcos2θ0 > 0 → zone stable

π

∈4

,00θ .

Si le point de fonctionnement est en P2 , un sur-couple résistant sur l’arbre ralentit transitoirement le rotor qui se décale

un peu plus en arrière par rapport au champ tournant statorique (θ0 augmente en valeur absolue). On voit ici que le

passage de P2 à P’2 se fait à ∆θ0 < 0 ce qui n’est pas possible mécaniquement. P2 n’est pas un point stable.

On observe que si θ θ π0 0→ + ( P1 → P3 ) le système est à nouveau stable. Ceci vient du fait que l’aimantation du

rotor est induite donc un retournement de ce dernier de π ne modifie pas le moment du couple électromagnétique.

Remarque : Cette situation n’est pas vraie avec un rotor polarisé (aimant ou électro-aimant).

ENERGIE MAGNETIQUE ET CONVERSION...

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