Université de Boumerdès Mai 2001Faculté des sciencesDépartement de physique

EMD 2 : Mécanique RationnelleDurée : 1h 30 mn

Partie I : (10 pts)

1) Soit une plaque carrée de côté a , homogène, de masse m . Déterminer la matrice d’inertie au point O, par rapport au repère Oxyz. Le centre de masse de la plaque est en O, l’axe (Ox) étant perpendiculaire à cette dernière.

2) A l’aide de plaques similaires, on construit une boite cubique. On désigne par O2 , le centre de masse de la boite.

a) Donner les coordonnées des centres de masse des faces de la boite, par rapport au repère  ;

b) Déterminer la matrice d’inertie au point O2 , par rapport au repère . On note par M la masse de la boite

c) Le repère est-il un repère principal d’inertie ?d) Calculer le moment d’inertie de la boite par rapport à l’axe passant par les points O2 et F.

z

x

y

a

o

B A

EF

G

z

x

y

C D

HO2

Partie II : (10 pts)On pratique deux petits trous dans les faces supérieure et inférieure AEFB et CDHG

respectivement, en leur centre, puis on enfile la boite sur une tige mince, sur laquelle elle peut glisser et autour de laquelle elle peut tourner. Le système est en mouvement et est décrit par les schémas ci-dessous.

On note . On déduit les repères suivants :

repère fixe ; repère lié à la tige ; repère lié à la boite.

Calculer :

a) La vitesse instantanée de rotation de la boite par rapport à exprimée

dans et dans  ;b) La vitesse du point O2 par rapport à exprimée dans  ;c) La vitesse du point M par rapport à exprimée dans  ;d) La vitesse d’entraînement du point M , étant le repère relatif, exprimée

dans  ;e) La vitesse du point M par rapport à et exprimée dans  ;f) L’accélération du point O2 par rapport à exprimée dans  

;g) L’accélération du point M par rapport à exprimée dans  ;

Solution :

0y

0z

10 , xx

21 , zz

2x

2y

1y

2O

2x

1x

2y

1y

2O

M

La plaque est un solide plan de masse dont l’axe Ox est l’axe perpendiculaire à celle-ci

alors :

Les axes Oy et Oz jouent le même rôle d’où :

Les plans (xOz) et (yOz) sont des plans de symétrie :

On choisi un élément de masse de coordonnées (0 , y , z) tel que :  ;

On aura ainsi :

Le tenseur d’inertie de la plaque en son centre O est  :

2.a. Coordonnées des centres d’inertie de chaque plaque formant la boite :

La boite est composée de six plaques identiques symétriques deux à deux par rapport au repère

, est aussi le centre d’inertie de la boite.

Les centres d’inertie des plaques ont pour coordonnées :

;

;

;

2.b. Matrice d’inertie de la boîte dans le repère  ;

Comme la boîte est cubique, alors tous les plans sont des plans de symétrie et tous les axes jouent

le même rôle. Nous aurons une matrice diagonale dont les éléments sont tous égaux.

On va procéder en cherchant les matrices d’inertie des plaques deux à deux.

Les plaques (ABCD) et (EFGH) ont les mêmes matrices d’inertie en leur centre d’inertie :

, en utilisant le théorème de Huygens on déduit

leurs tenseurs d’inertie au point .

on déduit facilement par rotation des axes :

La masse de la boite est donnée par : M = 6m la matrice s’écrirait :

1800

018

50

0018

5

)(

2

2

2

2

Ma

Ma

Ma

boiteIO

2.c. Le repère est-il un repère principal d’inertie ?

Comme tous les plans de ce repère sont des plans de symétrie et que tous les axes ont le même

rôle alors le repère est un repère principal d’inertie. La matrice étant diagonale

nous pouvons facilement le vérifier avec tous les axes.

En effet nous avons : de même pour les deux autres axes.

2.d. Moment d’inertie de la boîte par rapport à un axe passant par O2 et F.

Nous avons : , soit le vecteur unitaire porté par cet axe, il s’écrira :

Le moment d’inertie de la boîte par rapport à un axe passant par O2 et F est donné par la

relation :

L’axe est aussi un axe principal d’inertie.

Parie II.

a) Vitesse instantanée de rotation de la boite par rapport à exprimée dans

et dans  ;

; avec  ;

b) Vitesse du point O2 par rapport à exprimée dans  ;

c) Vitesse du point M par rapport à exprimée dans  ;

car ( il fixe dans )

d) Vitesse d’entraînement du point M, étant le repère relatif, exprimée dans  ;

e) Vitesse absolue du point M par rapport à et exprimée dans ),,,( 1111 zyxOR  ;

f) Accélération du point O2 par rapport à exprimée dans  ;

g) Accélération du point M par rapport à exprimée dans  ;